Vinkelens tredeling

Vinkelens tredeling er et klassisk problem i geometri som består i å dele en gitt vinkel i tre like store deler kun ved bruk av passer og linjal. Sammen med kubens fordobling og sirkelens kvadratur ble dette problemet tatt opp av greske matematikere i antikkens Hellas for over 2000 år siden. I de følgende århundre ble ingen tilfredsstillende løsning funnet. Først på begynnelsen av 1800-tallet med utviklingen av Galois-teori for løsning av polynomligninger ble det klart at dette problemet i alminnelighet er uløselig.
Men tredeling av en vinkel skiller seg fra kubens fordobling og sirkelens kvadratur ved at for visse vinkler som for eksempel 90° og 180°, kan problemet løses geometrisk ved bruk av passer og linjal alene. Dette følger også fra matematikken som ligger bak slike geometriske konstruksjoner. I dag er derfor dette klassiske problemet fullstendig forstått og av mindre interesse.

Historie

Med bruk av kun passer og linjal var det i gamle Hellas kjent hvordan man kunne halvere en vilkårlig vinkel. Dette kan leses i Euklids store verk Elementene om geometri. Ligger vinkelens toppunkt i O, slår man en vilkårlig sirkel om dette punktet. Linjestykkene OA og OB i figuren til venstre er da like lange. Deretter lager man to nye sirkler med samme radius og med sentrum henholdsvis i A og i B. Disse to sirklene skjærer hverandre i to punkt. Kalles det ene av disse for C, vil derfor trekanten ABC være likesidet. En linje gjennom punktene O og C vil nå halvere vinkelen AOB. Denne konstruksjonen kan benyttes for alle vinkler som skal halveres.
I Elementene er det ingen omtale av en mulig, geometrisk tredeling av en vinkel. Det skyldes nok at Euklid ikke kjente til noen konstruksjon som var mulig ved kun å benytte passer og linjal. Men noen spesielle vinkler kunne la seg tredele på denne måten. For eksempel hvis vinkelen er 90°, så er det lett å konstruere tredjeparten på 30° som vist i figuren over ved bruk av tre sirkler. Ved så å halvere denne vinkelen igjen, har man også automatisk tredelt vinkelen på 45°. Men dette så altså ut til å være spesielle unntakstilfeller.

Løsning med kvadratrise

Ved å tillate andre hjelpemidler enn kun passer og linjal, viste greske matematikere før Euklids tid at tredelingen var mulig. Ifølge Proklos er det Hippias fra Elis som skal ha æren for dette ved å ha innført en ny kurve spesielt til dette bruk. Den ble kalt for Hippias trisektrise og er tegnet med rødt i figuren til høyre. Den fremkommer ved å betrakte et punkt som beveger seg jevnt langs en sirkelkvadrant BD samtidig som en rett linje beveger seg med konstant hastighet parallell med AB. Bevegelsen til denne horisontale linjen starter i posisjon AB samtidig med at det bevegelige punktet starter i B. Hastighetene til disse to bevegelsene er slik at linjen kommer frem til posisjon CD samtidig som punktet kommer frem til D. Etter en viss tid er punktet kommet til E på sirkelbuen, mens linjen har beveget seg slik at den går gjennom F. Dette tidpunktet tilsvarer skjæringspunktet G på kurven. Slik kan hvert punkt på kurven finnes. Men dette kan ikke gjøres med passer og linjal alene da man også behøver å fremstille den jevne bevegelsen, for eksempel ved en mekanisk innretning.
Skal man nå tredele vinkelen BAE, finner man først punktet F. Linjestykket AF deles så i tre like stykker, for eksempel ved hjelp av en hjelpelinje AO gjennom A. Gjennom delingspunktene P og Q trekkes horisontale linjer som skjærer den trisektrisen i U og T. Fra dens definisjon følger nå at hvert av disse punktene tilsvarer en tredeling av den gitte vinkelen.
Noe tid senere gjorde en annen, gresk matematiker Dinostratos bruk av den samme kurven til å løse problemet med sirkelens kvadratur. Han var bror til Menaikhmos og begge hadde vært elever av Platon. At Hippias' trisektrise  denne gangen ble brukt til å løse dette kvadraturproblemet, hadde som konsekvens at den senere er blitt omtalt som Dinostratos' kvadratrise eller ganske enkelt som kvadratrisen. Dette er den tredje kurven med eget navn som kom i bruk etter linjen og sirkelen.
Etter hvert viste det seg at problemet med vinkelens tredeling også lot seg gjennomføre ved bruk av andre kurver. For eksempel, så viste Apollonios at man kunne bruke forskjellige kjeglesnitt. Men disse lot seg heller ikke konstruere ved hjelp av passer og linjal alene.

Arkimedes

Hvis man tillot å bruke en gradert linjal, hadde Hippokrates vist at man kunne tredele en vinkel ved å la linjalen gå gjennom et punkt slik at den bestemmer to andre skjæringspunkt med en bestemt avstand. En lignende, mekanisk løsning ble også foreslått av Arkimedes. Hvis vinkelen har sitt toppunkt i O, slå en sirkel om dette med radius a. Det bestemmer punktene P og M slik at vinkelen POM har størrelsen α. Hvis man nå legger linjalen slik at den går gjennom P, oppstår skjæringspunktet A med forlengelsen av linjen OM og skjæringspunktet B med sirkelen. Linjalen gjennom P roteres så om dette punktet slik at linjestykket AB nøyaktig blir lik med radius a. Da er størrelsen β til vinkelen OAB lik med α/3 og derfor den tredelte av den gitte vinkelen.
Beviset for det følger fra å enkel geometri. Da trekanten ABO er likesidet, vil γ = 2β  når man kaller størrelsen til vinkelen BPO for γ og benytter at trekanten BOP også er likesidet. Men samtidig må α + β = 2γ  som betyr at β = α/3. Men denne glidende benyttelsen av en gradert linjal ble ikke ansett å være tillatt i en ideell konstruksjon.