Potens til et punkt

Geometrisk innhold

Betydningen av dette begrepet var kjent for de greske matematikerne for over 2000 år siden. I Bok III av Euklids Elementer bevises det i 35. setning:  Trekker man sekanter gjennom et fast punkt innenfor en sirkel, vil de rektanglene man kan lage med sidepar lik stykkene av samme sekant regnet fra punktet og til de to skjæringspunktene mellom sekanten og sirkelen, være like store.
Dette er illustrert i figuren til høyre. I tillegg til det faste punktet P, er de fire skjæringspunktene A, B, C og D angitt. Mellom punktene A og B er trukket hjelpelinjen AB, mens linjen CD er trukket mellom C og D. Da nå periferivinklene BAC og BDC er like store på samme måte som periferivinklene ABD og ACD er like store, er trekantene PAB og PCD formlike. Derfor vil lengden av deres sidekanter oppfylle PA : PB = PD : PC som igjen betyr at PA ⋅ PC = PB ⋅ PD. 
Og dette er nøyaktig hva setningen sier, produktet av de to delene til hver sekant er det samme for alle sekanter gjennom det gitte punktet P. Ligger dette i en avstand a fra sentrum til sirkelen med radius r og  sekanten går gjennom sentrum, vil det ene skjæringspunktet med sirkelen ligge i avstand a + r, mens det andre har avstanden r - a. Det konstante produktet har derfor verdien (a + r)⋅(a - r) = a² - r ². Og det er akkurat punktets potens.

Punkt utenfor sirkelen

I dette tilfellet er periferivinklene PBD og PAC like store slik at  trekantene PBD og PAC er formlike. Derfor er PA : PC = PB : PD eller PA ⋅ PD = PB ⋅ PC som igjen definerer den konstante potensen for punktet P. Betrakter man nå en sekant gjennom sirkelens sentrum, vil  avstanden til det fjerneste skjæringspunktet være a + r, mens det nærmeste har avstanden a - r. Verdien til potensen blir dermed igjen (a + r)⋅(a - r) = a² - r ².
Ved å la de to skjæringspunktene til sekanten nærme seg hverandre, vil den gå over til å bli en tangent til sirkelen i grensen hvor skjæringspunktene faller sammen med hverandre. De to delene av sekanten har da samme lengde. Derfor er også potensen for et punkt utenfor sirkelen lik med kvadratet av lengden til tangenten fra punktet under betraktning til dens berøringspunkt med sirkelen.

Ortogonal sirkel

Anta at man har gitt et punkt P med potens p utenfor en sirkel med sentrum i O og radius r. Hvis man nå tenker seg en ny sirkel med sentrum i P som  skjærer den gitte sirkelen i punktet T under en rett vinkel 90°, kalles dette en ortogonal sirkel.  Dens radius R kan beregnes hvis avstanden a mellom O og P er kjent. Da trekanten OTP er rettvinklet, vil bruk av Pythagoras’ læresetning bety at R² = a² - r ². Men dette er ikke noe annet enn potensen p til punktet P. Derfor er radius R til den ortogonale sirkelen gitt som kvadratroten av denne potensen.

Konstruksjon

Den ortogonale sirkelen kan konstrueres ved å først lage en tredje sirkel med OP som diameter, det vil si med radius a/2. Den skjærer den gitte sirkelen i punktet T. Linjestykket PT er nå radius til den ortogonale sirkelen med sentrum i P.
Ut fra denne konstruksjonen ser man at projeksjonen Q av skjæringspunktet T ned på linjen OP er harmonisk konjugert med punktet P med hensyn til den gitte sirkelen med sentrum i O. Det er ensbetydende med at punktet Q ligger på polaren til P med hensyn til denne sirkelen.

Potenslinjen

Hvis man har to sirkler, kan man finne en rett linje hvor alle punktene har samme potens med hensyn på begge sirklene. Dette er deres potenslinje. Hvis de skjærer hverandre, går den gjennom deres to skjæringspunkt. Per definisjon har da hvert punkt P på denne linjen samme potens p = PA ⋅ PB med hensyn på hver av sirklene.
Ligger de to sirklene utenfor eller innenfor hverandre, kan potenslinjen bestemmes ved en annen, geometrisk konstruksjon. Den vil alltid være normal til linjen som går gjennom sentrene til de to sirklene.
Potenslinjen kan også finnes ved hjelp av analytisk geometri. Da må radiene til begge sirklene være oppgitt samt koordinatene til deres sentra. Man kan da beregne posisjonen til potenslinjen. Resultatet vil nå være gyldig også for det tilfellet at sirklene ikke skjærer hverandre.