Algebraisk funksjon

En algebraisk funksjon ble opprinnelig definert som en matematisk funksjon som kunne uttrykkes ved de fire algebraiske regneoperasjonene addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og rotutdragning. Nå defineres den mer generelt som løsningen av en polynomligning i to eller flere variable. Etter at Niels Henrik Abel i 1824 viste at femtegradsligningen og andre polynomligninger av høyere grad ikke i alminnelighet kan løses ved bruk av disse fire regneoperasjonene, ble det klart at algebraiske funksjoner er mye mer kompliserte og innholdsrike enn opprinnelig antatt. Bruk av komplekse tall er nødvendig for å få en full forståelse av deres egenskaper.
Motstykket til algebraiske funksjoner, er transcendente funksjoner. Eksempler på disse er eksponentialfunksjon, trigonometriske funksjoner og hyperbolske funksjoner. Disse kan ikke uttrykkes som løsninger av algebraisk ligninger.
Hvis de variable i polynomligningen som definerer den algebraiske funksjonen, er koordinater i et affint rom, vil den fremstille en geometrisk varietet i dette rommet. Algebraiske funksjoner spiller derfor en viktig rolle i algebraisk geometri.  I det spesielle tilfellet med to variable, vil en slik funksjonen beskrive en algebraisk kurve. De var utgangspunktet for Niels Henrik Abel og Carl Gustav Jacobi ved oppdagelsen av elliptiske funksjoner for knapt to hundre år siden og benyttes i dag ved kryptering i moderne elektronisk kommunikasjon.

Algebraiske kurver

Med bare en fri variabel, kan x og y i polynomligningen betraktes som koordinatene i et affint rom. Er disse reelle tall, tilsvarer det vektorrommet R². Den algebraiske løsningen y = f(x) av ligningen beskriver da en kurve i planet. Det er eksempel på en endimensjonal varietet. Grunnet sitt opphav i en algebraisk ligning, kalles den derfor for en algebraisk kurve. Et enkelt eksempel er sirkelen som er beskrevet ved ligningen x² + y² = 1 når den har radius r = 1 og senter i origo. På samme måte er hyperbelen y = 1/x også en algebraisk kurve.
Hvert ledd i polynomet som definerer kurven, er et monom av formen yᵏxᵐ. Det sies å ha en grad som er lik med summen k + m av eksponentene til de to variablene i leddet. Monomet med den høyeste graden definerer graden til hele polynomet. En rett linje gitt ved ligningen ax + by + c = 0 har derfor grad lik med 1, mens en sirkel er en kurve av andre grad. Det er også en hyperbel hvis ligning kan skrives som xy = 1. De tre kjeglesnittene ellipse, parabel og hyperbel kan uttrykkes ved polynom av andre grad og har derfor grad lik med 2. I et projektivt plan er de ekvivalente med en ellipse.

Riemann-flater

Graden til en algebraisk kurve angir det maksimale antall skjæringspunkt den vil ha med en rett linje. En annengradskurve som sirkelen har derfor to reelle skjæringspunkt når linjen skjærer sirkelen, men ingen når linjen går utenom. På tilsvarende måte vil to sirkler kunne skjære hverandre i maksimalt to punkter eller ingen. Derimot vil to ellipser kunne skjære hverandre i maksimalt fire punkt, men også to eller null skjæringspunkt er mulig avhengig av deres relative posisjoner.
Ved å akseptere ikke-reelle skjæringspunkt beskrevet ved komplekse tall, får man frem egenskapene ved kurvene som er uavhengig av deres posisjoner og kun gitt av graden av de tilsvarende algebraiske funksjonene. Slike sikre fakta er av stor betydning i matematikken. Bruk av komplekse variable i algebraiske funksjoner og som koordinater for algebraiske kurver har derfor vist seg å være særdeles viktig. En linje vil da alltid skjære et kjeglesnitt i to punkt, og to kjeglesnitt vil alltid skjære hverandre i fire punkt.
Med bruk av komplekse koordinater vil ligningen  y = f(x) da beskrive en algebraisk kurve med kompleks dimensjon lik en i et todimensjonalt, komplekst plan C². Uttrykt med reelle koordinater, tilsvarer dette en todimensjonal varietet eller flate i et firedimensjonalt, reelt rom. Dette kalles en Riemann-flate etter Bernhard Riemann som var den som innførte dette synspunktet og startet utforskningen av deres egenskaper. Hans resultat var en direkte videreføring av arbeidene til Abel og Jacobi med elliptiske funksjoner.