Fraktal

En fraktal er et geometrisk objekt som er ru eller uregelmessig i alle målestokker, og framstår som 'oppstykket' på et radikalt vis. Noen av de beste eksemplene kan deles slik at hver av delene ligner det originale objektet. Fraktaler sies å ha uendelige detaljer, og de kan ha en selvliknende struktur som forekommer på forskjellige nivåer av forstørrelse. I mange tilfeller kan et fraktal genereres ved et gjentagende mønster gjennom en typisk rekursiv eller iterativ prosess. Begrepet fraktal ble først brukt i 1975 av Benoît Mandelbrot, fra det latinske fractus eller "brutt". Før Mandelbrot brukte begrepet, ble slike strukturer (Koch-snøflaket, for eksempel) kalt monsterkurver.
Fraktaler av mange slag ble opprinnelig studert som matematiske objekter. Fraktal geometri er den grenen av matematikken som studerer slike fraktalers egenskaper. Den beskriver mange situasjoner som ikke enkelt kan forklares av klassisk geometri, og dette har ofte blitt anvendt i vitenskap, teknologi og datagenerert kunst. De konseptuelle røttene til fraktaler kan spores tilbake til forsøk på å måle størrelsen på objekter hvor tradisjonelle definisjoner basert på Euklidisk geometri eller kalkulus svikter.

Bidrag fra klassisk analyse

Objekt som nå kalles fraktaler ble oppdaget og utforsket lenge før begrepet fraktal ble tatt i bruk. I 1872 fant Karl Weierstrass et eksempel på en funksjon med en ikke-intuitiv egenskap som er kontinuerlig overalt, men ingen steder deriverbar – grafen til denne funksjonen ville nå bli kalt en fraktal. Helge von Koch i 1904, utilfreds med Weierstrass' veldig abstrakte og analytiske definisjon, ga en mer geometrisk definisjon av en liknende funksjon, som nå kalles Koch-snøflaket. Idéen med selvliknende kurver ble videreført av Paul Pierre Lévy som, i sin 1938 artikkel Plane or Space Curves and Surfaces Consisting of Parts Similar to the Whole, beskrev en ny fraktal kurve, Lévy C kurven.
Georg Cantor ga eksempler på delmengder av den reele tallinjen med uvanlige egenskaper – disse Cantor-mengdene er også nå kjent som fraktaler. Iterative funksjoner i det komplekse planet hadde blitt undersøkt sent på 1800-tallet og i begynnelsen av 1900-tallet av Henri Poincaré, Felix Klein, Pierre Fatou, og Gaston Julia. Men uten moderne datagrafikk hadde de ikke muligheten til å visualisere skjønnheten av objektene de hadde oppdaget.

Aspekter av mengdebeskrivelse

I et forsøk på å forstå objekter slik som Cantor mengder, generaliserte matematikere som Constatin Carathéodory og Felix Hausdorff det intuitive begrepet dimensjon til å omfatte ikke-heltall verdier. Dette var del av den generelle bevegelsen i den første delen av 1900-tallet på å skape en beskrivende mengdeteori; det vil si, en fortsettelse i retningen av Cantors forskning som kunne på en måte klassifisere mengder av punkter i Euklidisk rom. Definisjonen av Hausdorff dimensjon er geometrisk i natur, selv om den er basert teknisk sett på verktøy fra matematisk analyse. Denne retningen ble tatt opp av Besicovitch, blant andre; den er annerledes i karakter fra de logiske undersøkelsene som preget den beskrivende mengdeteorien fra 1920- og 1930-tallet. Begge disse feltene ble videre utviklet etterpå, men stort sett av spesialister.

Mandelbrots bidrag

Benoît Mandelbrot begynte på 1960-tallet å undersøke selvliknende strukturer i artikler slik som How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension. Dette bygget på tidligere arbeide av Lewis Fry Richardson. Ved å bruke en meget visuell framgangsmåte, anerkjente Mandelbrot forbindelser mellom disse tidligere urelaterte delene av matematikken. I 1975 brukte Mandelbrot ordet fraktal til å beskrive selvliknende objekter som ikke hadde noen klar dimensjon. Han tok ordet fraktal fra det latinske fractus, som betyr brutt eller irregulær, og ikke fra ordet fractional, slik som vanligvis trodd. Men, fractional i seg selv kommer til slutt også fra fractus.
Så snart datavisualisjon ble anvendt på fraktal geometri, presenterte det et kraftig visuelt argument for at fraktal geometri kunne knyttes til større domener innen matematikk og vitenskap enn hadde tidligere vært betraktet, særlig i sammenheng med ikke-lineær dynamikk, kaosteori (skjønt noen få bruker heller ordet xaos for å gjøre forskjell på ikke-lineær oppførsel og den vanlige betydningen av ordet), og kompleksitet. Et eksempel er å plotte Newtons metode som et fraktal, for å vise hvordan grensene mellom forskjellige løsninger er fraktale, og at løsningene selv er strange attractors. Fraktal geometri ble også brukt til data komprimering og for å modellere komplekse organiske og geologiske systemer, for eksempel veksten av trær eller utviklingen av elvebasseng.
Harrison  utvidet Newtons kalkulus til å omfatte fraktale domener, inkludert teoremene til Gauss, Green og Stokes.