Bayesiansk nettverk

Et bayesiansk nettverk, bayesiansk nett, eller en rettet asyklisk grafisk modell er en grafisk modell for sannsynlighet. Den representerer et sett av tilfeldige variabler og deres betingede avhengigheter fremstilt ved hjelp av en rettet asyklisk graf. Et praktisk eksempel på en bayesiansk nettverk kan være en representasjon av sannsynlighetsfordelingen mellom sykdommer og relaterte symptomer. Nettverket kan, gitt ulike symptomer, kalkulere sannsynligheten for at en person har en sykdom.
Formelt sett er et bayesiansk nettverk en rettet asyklisk graf der nodene representerer tilfeldige variabler. Ifølge Bayes teori kan variablene være observerbare kvantiteter, latente variabler, ukjente parameter eller hypoteser. Kantene i grafen representerer betingede avhengigheter, representert av betinget sannsynlighet. Noder som ikke er knyttet sammen representerer variabler som er betinget uavhengige av hverandre. Hver node er tilknyttet en sannsynlighetsfunksjon som tar som input et spesielt sett av verdier etter nodens foreldre variabler, og gir sannsynligheten for variabelen representert i noden. For eksempel, hvis foreldrenodene er  boolske variabler så kan sannsynlighetsfunksjonen representeres i en tabell av  oppføringer. Det er en for hver av de  mulige kombinasjonene av foreldrenodenes mulighet for å være sann eller falsk.
Det finnes effektive algoritmer som utfører inferens og læring i bayesianske nettverk. Bayesianske nettverk som modellerer sekvenser av variabler (eks telesignaler eller protein sekvenser) blir kalt dynamiske bayesianske nettverk. Generalisering av bayesianske nettverk som kan representere og løse beslutningsproblemer ved usikkerhet, kalles innflytelsesdiagrammer.

Definisjoner og konsepter

Det finnes flere ekvivalente definisjoner av bayesianske nettverk. For de følgende definisjonene la G = (V,E) være en rettet asyklisk graf, og la X = (Xᵥ)ᵥ ∈ V være et sett av tilfeldige variabler indeksert av V.

Factorization definition

X er et bayesiansk nettverk med hensyn til G hvis dens felles sannsynlighet tetthetsfunksjonkan bli beskrevet som et produkt av de individuelle tetthetsfunksjonene, betinget av deres foreldre variabler:
hvor pa(v) er settet av foreldre til v (eks de toppunkter som peker direkte til v via en singel kant).
For et hvilket som helst sett av tilfeldige variabler, er sannsynligheten til hvilket som helst medlem av felles distribusjon bli kalkulert ut i fra betingede sannsynligheter ved å bruke kjerneregelen som følger:
Sammenlign denne med definisjonen over, kan det bli skrevet som:
 for each  which is a parent of 
Forskjellen mellom de to uttrykkene er den kondisjonelle uavhengigheten til variablene fra hvilken som helst av deres ikke-etterkommere, gitt verdiene til deres foreldrevariabler.

Lokal Markov egenskap

X er et bayesiansk nettverk med hensyn til G hvis det oppfyller den lokale Markov egenskapen. Det vil si at hver variabel er betinget uavhengig av dens ikke-etterkommere gitt at dens foreldre variabler som følger :
hvor de(v) er settet av etterkommere av v.
Dette kan også bli uttrykt på en form som er maken til den første definisjonen:
 for hver  som ikke er en etterkommer av  for hver  som er foreldre av 
Legg merke til at settet av foreldre er et subsett av settet av ikke-etterkommere fordi grafen er asyklisk.

Utvikling av bayesianske nettverk

For å utvikle et bayesiansk nettverk må vi ofte først utvikle en DAG G slik at vi tror X oppfyller den lokale Markov egenskapen med hensyn til G. Noen ganger blir dette gjort ved å lage en kausal DAG. Dermed fastslår vi den betingede sannsynlighets distribusjon til hver variabel, gitt dens foreldre i G. I mange tilfeller, spesielt i de tilfellene hvor variablene er diskrete, hvis vi definerer felles distribusjon av X til å være produktet av disse betingede distribusjonene, så er X et bayesiansk nettverk med hensyn til G.

Markov-teppet

Markov-teppet til en node er nodens sett av nabonoder: dens foreldre, barn og andre foreldre av dens barn. X er et bayesiansk nettverk med hensyn til G hvis hver node er betinget uavhengig av alle andre noder i nettverket, gitt dens Markov teppe.