Elliptisk funksjon

Elliptiske funksjoner er en generalisering av trigonometriske funksjoner slik at de har to perioder ω₁ og ω₂ istedenfor én. De er i alminnelighet komplekse funksjoner med verdier som derfor kun avhenger av argumentet innen et fundamentalt parallellogram i det komplekse planet definert ved de to periodene. Det tilsvarer at verdien av en trigonometrisk funksjon er gitt ved argumentet innen et intervall med lengde 2π  på den reelle tallinjen. Funksjonene har stor betydning innen den rene matematikk, men er også viktige for mer praktiske anvendelser i fysikk.
De elliptiske funksjonene ble første oppdaget av Niels Henrik Abel som oppdaget dem ved å invertere elliptiske integral. Disse oppsto i forbindelse med beregningen av buelengden til en ellipse som dermed ga opphav til funksjonenes navn. Carl Friedrich Gauss hadde tidligere studert lignende funksjoner som oppsto i forbindelse med buelengden til en lemniskate. Mens Abel vanligvis får æren for oppdagelsen av de elliptiske funksjonene og deres viktigste egenskaper, var det Carl Gustav Jacobi som omtrent samtidig ga deres teoretiske grunnlag på en slik måte at hans beskrivelse i ettertiden er blitt standard. En mer abstrakt, men også mer elegant formulering av slike funksjoner ble senere gitt av Karl Weierstrass.
Basert på Abels addisjonsteorem kunne Jacobi også vise veien til generaliseringer av de elliptiske funksjonene til komplekse funksjoner med mer enn to perioder. Dette viste seg mulig etter at han kunne uttrykke de elliptiske funksjonene ved mer fundamentale theta-funksjoner som viste seg å være av stor betydning i tallteori. Alt dette fikk en dypere forankring etter at komplekse funksjoner kunne defineres entydig på Riemann-flater. I dag er dette ren matematikk som benyttes ved kryptering av elektronisk kommunikasjon og innen moderne teoretisk fysikk.

Perioder

Jacobi viste at disse nye funksjonene også tilfredsstiller forskjellige addisjonsteorem slik at man kan uttrykke sn(u + v) ved snu  og sn v. Derav følger med en gang at sn(u + 2K,k) = - sn(u,k)  slik at denne elliptiske funksjonen er periodisk med periode 4K. Funksjonen K = K(k)  blir derfor ofte omtalt som en kvartperiode. Han kunne også utvide argumentet i funksjon til komplekse verdier selv om dette var mer omstendelig enn for Abels funksjoner. Han fant da at sn(u + 2iK' ) = sn(u,k)  hvor K'  = K(k' ) er den komplimentære kvartperioden. Denne funksjonen har derfor også en kompleks periode av størrelse 2iK'  og er derfor dobbeltperiodisk. Disse to periodene danner et fundamentalt parallellogram  i det komplekse planet. Det ene nullpunktet u = 0  for sn u  gjentas da regelmessig i uendelig mange punkt u = 2mK + 2niK'   hvor m og n er hele tall. Nullpunktene danner derfor et rektangulært gitter. Fra de samme addisjonsteoremene kan et meget stort antall relasjoner nå utledes mellom funksjonene.
I tillegg til nullpunktene har funksjonene også et uendelig antall med regulært plassert divergenser som er enkle poler i det komplekse planet. For funksjonen sn u  befinner disse seg i u = 2mK + (2n + 1)iK'   hvor m og n igjen er hele tall. Noen er vist i figuren til høyre. I et fundamentalt rektangel begrenset av periodene 4K  og 2iK'  ligger to enkle nullpunkt og to enkle poler. Det er typisk for elliptiske funksjoner at antall nullpunkt er lik med antall poler og kan bevises generelt.