Kurve

En kurve er i matematikk et endimensjonalt geometrisk objekt, en kontinuerlig samling av punkt i det reelle rommet Rⁿ eller i det komplekse rommet Cⁿ.  Kurven kan betraktes som banen til et punkt som beveger seg.  Kurven har lengde, men ikke bredde eller dybde.  Ordet kurve stammer fra det latinske linea curva, med betydning krum linje.
Kurver har mange anvendelsesområder, både i matematikk og i andre fagområder.  Studiet av kurver inngår i mange deler av matematikk, slik som i matematisk analyse, i geometri og i topologi.
En lang rekke kurver har egne navn, og figuren til venstre viser en skrulinje, også kalt en helix. 
En kurve i det tre-dimensjonale rommet kan lokalt karakteriseres ved en tangentretning, en krumning og en torsjon. Tangenten er en  vektor som peker i retningen langs kurven.  Krumningen indikerer hvor fort tangentretningen endrer seg.  Torsjonen er et mål på om kurven er plan eller om den vrir seg ut av et plan.  Sammenhengen mellom tangent, krumning og torsjon er gitt ved Frenets formler, også kalt Frenet-Serrets formler.
Bregrepet linje blir av og til brukt synonymt med en kurve (krum linje), av og til synonymt med en rett linje.  En rett linje er et spesialtilfelle av en kurve.  
For reelle funksjoner blir ordet kurve også brukt synonymt med grafen til funksjonen.  Denne bruken er også reflektert i sammensetninger som «glemselskurve» og «feberkurve».

Kurvetyper og egenskaper

En kurve er en plan kurve dersom hele kurven ligger i et plan.  Alle kurver i R² er plane kurver.
En kurve er lukket dersom startpunktet og endepunktet er det samme.  En sirkel er eksempel på en lukket kurve.
En plan, lukket kurve som ikke krysser seg selv kalles en Jordan-kurve.  Den deler et plan i en innside og en utside.
En algebraisk kurve er definert som skjæringskurven mellom to algebraiske flater.  En algebraisk flate av grad n er definert ved en ligning p(x,y,z) = 0, der p er et polynom av grad.n.  Dersom de to algebraiske flatene har grad henholdsvis m og n, så defineres graden til den algebraiske kurven å være lik (mn).  
En geodetisk kurve er en kurve som følger den korteste vei mellom to punkt på en kurvet flate.    På en  kuleflate vil en geodetisk kurve ligge på en storsirkel.   Kurver på en kuleflate kalles generelt sfæriske kurver.  Geodetiske kurver er også definert for andre flater enn kuleflater.
En glatt kurve er en kurve der parameterfunksjonene x(t) , y(t)  og z(t)  alle har kontinuerlige deriverte. En glatt kurve har ingen spisse hjørner.  Kurven er stykkevis glatt dersom den er glatt overalt, bortsett fra i et endelig antall punkt, der den kan ha knekkpunkt.  En gren av kurven er en del mellom to påfølgende knekkpunkt.  Det engelske ordet «cusp» blir brukt for å betegne et knekkpunkt der tangentretningene til kurven på hver side av knekkpunktet har sammenfallende retning i grenseverdien når en nærmer seg knekkpunktet.

Fundamentalteoremet for romkurver

Gitt to vilkårlige kontinuerlige funksjoner  κ = κ(s) og τ = τ(s)  der s er positiv.  Da eksisterer det én og kun én romkurve, entydig bestemt bortsett fra posisjon og orientering i rommet, som har buelengden s, krumningen κ og torsjon lik τ.   En plan kurve som er definert å ha null torsjon, er derfor entydig gitt ved funksjonen κ = κ(s) alene.
Ligningene  κ = κ(s) og τ = τ(s) kalles de naturlige ligningene til romkurven.