Interpolasjon

Interpolasjon er i matematikk en prosess for å tilnærme en funksjon i et punkt ved hjelp av kjente funksjonsverdier i nærliggende punkt.  Begrepet er ofte knyttet til at punktet der funksjonen er ukjent ligger innenfor et intervall utspent av punktene der funksjonen er kjent, i motsetning til ekstrapolasjon, der punktet ligger utenfor intervallet.
I mange tilfeller vil en funksjonssammenheng kunne være kjent bare i et endelig antall punkt.  Som ledd i et eksperiment kan en for eksempel ha utført målinger av fallhastigheten til en ball, slik at denne er kjent for et sett av tidspunkt etter at ballen er sluppet.  For å estimere hastigheten i et vilkårlig tidspunkt kan en bruke en interpolasjonsteknikk.
En vanlig brukt teknikk er lineær interpolasjon, der en antar at funksjonssammenhengen er lineær mellom de kjente punktene.  Det eksisterer imidlertid en lang rekke teknikker for interpolasjon, studert i den delen av matematikk som kalles numerisk analyse.  Mange metoder i numerisk analyse bruker interpolasjon som en viktig byggestein, for eksempel metoder for numerisk integrasjon.
Også kurvetilpasning og regresjonsanalyse kan brukes for å estimere en funksjonssammenheng, men disse teknikkene skiller seg fra interpolasjon ved at de kjente funksjonsverdiene ikke nødvendigvis blir eksakt reprodusert.

Invers interpolasjon

I invers interpolasjon blir en tabulert funksjon brukt til å bestemme verdien av x når funksjonsverdien f(x) er gitt.  For lineær interpolasjon er interpolasjonsproblemet og den inverse interpolasjonsproblemet ekvivalente, men de vil ikke være det for andre valg av interpolasjonsfunksjoner.

Stykkevis konstant interpolasjon

En enkel form for interpolasjon er å la den ukjente funksjonsverdien være lik verdien i det nærmeste kjente datapunktet.  Interpolanten er da en stykkevis konstant funksjon.  Metoden kalles også  «nærmeste-nabo-interpolasjon».
I eksempelet gitt innledningsvis kan en velge f(2,5) = f(2) = 0,9093.

Statistisk interpolasjon

Statistiske interpolasjonsmetoder er basert på teori og metoder fra statistikk.  En viktig klasse av metoder er kriging, oppkalt etter den sørafrikanske gruveingeniøren Daniel Gerhardus Krige.  Dette er romlige interpolasjonsteknikker, basert på at en kjenner en observert størrelse i gitte punkt i rommet, og at en så ønsker å bestemme størrelsen i et vilkårlig romlig punkt.  Metoden forutsetter at størrelsen som interpoleres er romlig korrelert.
Interpolasjon med kriging gir under visse vilkår en såkalt «best linear unbiased estimator», ofte forkortet «BLUE».

Etymologi

Ordet «interpolasjon» har opphav i latin, fra sammensetningen av «inter» = «mellom» og «polire» = «å glatte».  Tilsvarende er «ekstrapolasjon» laget ved hjelp av forstavelsen «extra» = «utenfor».
For å lette beregninger hadde man tabeller av spesielle funksjoner, som trigonometriske funksjoner og logaritmer.  Dersom en hadde behov for en funksjonsverdi som ikke fantes i tabellen, måtte en «glatte over» gapet i tabellen ved å beregne den ukjente funksjonsverdien fra de gitte tabellverdiene.

Historie

Over tusen år før Kristus hadde en i Babylonia tabeller for ulike funksjoner, tabeller som ble brukt til å løse spesielle matematiske problem.  Dette var tabeller for multiplikasjon, resiproke tall, kvadrattall og også logaritme-lignende tabeller.  Babylonierene brukte lineær interpolasjon når de hadde behov for funksjonsverdier som ikke var tabulert.  En tabell over (n³ + n²), samt lineær interpolasjon i denne, ble brukt til å løse visse typer kubiske ligninger.