Tensor

En tensor er et matematisk objekt som er sentralt i lineær algebra og differensialgeometri. Tensorer og den tilsvarende tensoranalysen var av avgjørende betydning i Einsteins formulering av den generelle relativitetsteorien.  Siden har denne delen av moderne matematikk forblitt en viktig del av teoretisk fysikk.
Egenskapene til tensorer kan defineres på flere forskjellige måter. De representerer en generalisering av vanlige vektorrom, men kan også betraktes som funksjoner som har vanlige vektorer som argument. Deres bruk og egenskaper ble spesielt utviklet av de italienske matematikerne Gregorio Ricci Curbastro og hans elev Tullio Levi-Civita i forbindelse med videreutviklingen av riemannsk geometri for ikke-euklidsk rom. I denne sammenhengen blir ofte tensorregning omtalt som «Ricci-kalkulus».

Historie

Innføring av tensorer kan føres tilbake til Bernhard Riemann og hans etablering av en generell beskrivelse av ikke-euklidske rom som han i 1854 fremla i et Habilitasjonsforedrag. Det ble publisert i 1868 og dermed kjent for et videre publikum.  Den matematiske formalismen som han hadde bygd opp i denne forbindelsen, ble presentert i en avhandling på latin om varmeledning han skrev i 1861 i en priskonkurranse utlyst av det franske vitenskapsakademiet, men som først ble offentliggjort i 1876 etter hans død. På den måten var grunnlaget for hva som i dag omtales som Riemanns differensialgeometri, ferdig oppstilt.
Det sentrale objektet i Riemanns geometri var en kvadratisk form som i dag omtales som den metriske tensor. Selve begrepet «tensor» kom ikke i bruk før helt på slutten av det århundret, og da i forbindelse med de fysiske egenskapene til krystaller. Riemann hadde vist at et rom eller generell mangfoldighet kunne beskrives ved euklidsk geometri bare når visse størrelser som han betegnet med symbolet , var null. Innholdet i parentesen bestod av fire arabiske bokstaver som kunne ta verdiene 1,2,...,n  hvor n er dimensjonen til rommet. Disse størrelsene sier man i dag er komponentene til Riemanns krumningstensor. Han kom frem til dette resultatet ved å benytte hjelpestørrelsene  som tilsvarer det første Christoffel-symbolet.

Ricci-kalkulus

Etter bidragene til Beltrami ble Riemannsk geometri videre utforsket spesielt ved Scuola Normale Superiore i Pisa. Her hadde Gregorio Ricci Curbastro studert og etter at han ble ansatt ved universitetet i Padova, bidro han med flere viktige arbeid angående bruk av tensorer i differensialgeometri. Det ble etterhvert navnet for denne mer generelle geometrien.  Ricci utvidet forståelsen av kovariant derivasjon og spesielt dennes virkning på komponentene til en tensor. Da resultatene var gyldig i alle koordinatsystem, ble denne nye matematikken kalt for «absolutt differensialregning» eller  Ricci-kalkulus.  I flere arbeid viste han den praktiske nytte av tensoranalysen og hvordan fysiske lover kunne skrives på en koordinat-uavhengig måte ved bruk av tensorer.
Sammen med sin tidligere student Tullio Levi-Civita, ble alt dette samlet i en større verk som kom ut i 1900. I de følgende årene fikk det stor betydning og gjorde tensoranalysen kjent. Det er også her at den moderne notasjonen stammer med øvre indekser for kontravariante og nedre indekser for de kovariante tensorkomponentene.
Senere viste Levi-Civita  hvordan kovariant derivasjon er forbundet med muligheten for å definere parallelle vektorer i krumme rom. Dette førte i sin tur til en mer generell forståelse av «konneksjon» på en mangfoldighet, noe som i ettertid har knyttet Levi-Civitas navn til dette begrepet. I moderne elementærpartikkelfysikk tilsvarer en konneksjon et «gaugefelt», mens en koordinattransformasjon spiller samme rolle som en gaugetransformasjon.

Differensielle former

Gjennom sine arbeid hadde Ricci og Levi-Civita vist at man i hvert punkt på en krum mangfoldighet kunne opprette et ortogonalt aksekors. På tysk omtales det som et vielbein eller vierbein  hvis dimensjonen er fire som i generell relativitetsteori. Ved å benytte tensorkomponentene utregnet i slike aksekors kunne ofte beregninger forenkles og knyttes tettere til fysiske størrelser.
Med et litt annet utgangspunkt ble noe tilsvarende lansert av den franske matematiker Élie Cartan rundt århundreskiftet. Han undersøkte hvordan slike aksekors forandret seg fra punkt til punkt og kalte dem for repère mobile. Dette var en generalisering av lignende aksekors som tidligere var benyttet av Frenet og Serret for beskrivelse av kurver i det euklidske rommet. I utgangspunktet er denne betraktningsmåten uavhengig av metrikken til mangfoldigheten og derfor mer generell enn tidligere formuleringer. I stedet for kovariant derivasjon opptrer nå «ytre derivasjon» som virker på differensielle former. Disse er nye, geometriske objekt med komponenter som tilsvarer antisymmetriske tensorer.
Den nye differensialgeometrien til Cartan er mer abstrakt og derfor også mer kompakt enn den vanlige bekrivelsen med bruk av tensorer. Men beregningsmessig er den ofte mer effektiv og 
er idag en sentral del av moderne matematikk og teoretisk fysikk.