Hyperbolsk geometri

Grunnlag

Hyperbolsk geometri er bygd på Euklids fire første postulat. De sier at gjennom to punkt går det alltid en linje som kan forlenges i begge retninger samt at man om hvert punkt kan lage en sirkel med gitt radius. Dermed kan man også i hvert punkt konstruere en rett vinkel som skal være den samme overalt. For to linjer som skjærer hverandre, er vinkelen mellom dem veldefinert og kan bestemmes.
Linjene i hyperbolsk geometri er ikke rette linjer som i euklidsk geometri, men heller geodetiske kurver som gir den korteste avstand mellom to punkt. Rent praktisk kan de finnes ved å strekke et målbånd mellom disse punktene. På denne måten kan også lengden av denne linjen bestemmes. Da disse linjene er glatte og kontinuerlige, vil en forvente at geometrien i en liten omegn rundt hvert punkt er tilnærmet euklidsk. I illustrasjoner fremstilles disse linjene ofte med litt krumning som en påminnelse om at de ligger i et ikke-euklidsk plan eller rom.

Paralleller

Både  Bolyai og Lobatsjevskij erstattet parallellaksiomet med antagelsen at gjennom et punkt utenfor en linje i et hyperbolsk plan går det minst en annen linje som ikke skjærer den gitte linjen. Finnes det kun en slik linje, vil geometrien være euklidsk. Hvis det er flere slike linjer, er planet hyperbolsk. Kalles punktet utenfor linjen l  for P, vil det derfor finnes minst et annet punkt A utenfor linjen slik at forlengelsen av linjen PA gjennom P og A ikke skjærer den gitte linjen l. Hvis A flyttes litt nærmere den gitte linjen, kan man finne flere linjer som ikke skjærer l. Geometrien er da hyperbolsk og disse ikke-skjærende linjene sies å være ultraparallelle med den gitte linjen.
Derimot, hvis man velger et punkt B  på l, vil linjen PB gjennom P og B selvsagt skjære denne. Det vil den også fortsette å gjøre etter som punktet B beveger seg ut til en av sidene. I grensen hvor det bevegelige punktet B  beveger seg uendelig langt bort, nærmer linjen PB  seg en ikke-skjærende linje. Denne kritiske linjen kalles en «grenseparallell» eller horoparallell.  Når det ikke kan oppstå misforståelser, forkortes dette vanligvis ganske enkelt til «parallell». I en hyperbolsk geometri vil derfor hver linje ha to slike paralleller, en til hver side. Disse to sammenfaller når geometrien blir euklidsk.
Endepunktet til en slik parallell ligger uendelig langt borte og kalles ofte for et ideelt punkt. Det kan betegnes med en stor, gresk bokstav som Ω. Man tenker seg da at ultraparallelle linjer går gjennom punkt enda lenger vekk, det vil si gjennom ultraideelle punkt. Disse kan lettere visualiseres i endelige modeller for det uendelig stor hyperbolske planet eller rommet.

Parallellvinkelen

Avstanden p  mellom punktet P  og den gitte linjen l er lengden av linjestykket  OP  hvor punktet O  ligger på den gitte linjen slik at vinkelen POB er rett. 
Når punktet B  har beveget seg uendelig langt vekk, vil grenseparallellen danne en viss vinkel Π  med denne perpendikulæren. Denne  «grensevinkelen» eller parallellvinkelen vil variere med avstanden p, slik at det finnes en sammenheng Π = Π(p). Denne funksjonen spiller en fundamental rolle i hyperbolsk geometri og notasjonen ble innført av Lobatsjevskij. Basert på resultatene til Saccheri vet man at dette er en avtagende funksjon med grenseverdiene Π(0) = π /2 og Π(∞) = 0. Euklidsk geometri tilsvarer at parallellvinkelen har den konstante verdien π /2.
I grensen der B  har beveget seg uendelig langt bort til det ideelle punktet Ω, blir trekanten POΩ «asymptotisk» med en vinkel OΩP i det ideelle punktet som er null. Summen av vinklene i denne asymptotiske trekanten er da Π + π /2. Den er mindre enn π  som for alle hyperbolske trekanter.

Horosirkler

For hvert valg av avstanden p  til punktet P  vil det i samme retning finnes en bestemt horoparallell. De vil alle gå gjennom det samme ideelle punktet Ω  som er bestemt av linjen l. Man kan nå tenke seg en sirkel med sentrum i dette punktet og med de tilsvarende horoparallellene som diametre. Dette kalles en horosirkel eller «grensesirkel». Det er en sirkel med sitt sentrum i et ideelt punkt uendelig langt borte. En vanlig sirkel i hyperbolsk geometri vil bestå av alle punkt med samme, endelige avstand til et gitt punkt som i euklidsk geometri.
Oppretter man vinkelrette linjer i halveringspunktene til to forskjellige korder på horosirkelen, vil disse være parallelle og gå gjennom samme, ideelle punkt. To punkt på en horosirkelbue PQ  vil være  adskilt med en buelengde som øker med lengden 2p  av korden som forbinder dem. Når p har den spesielle verdien som tilsvarer parallellvinkelen Π = π /4, ser man av figuren at tangenten t  i den ene enden av horosirkelbuen blir parallell med diameteren l  gjennom kordens halveringspunkt O. Det skyldes at tangenten i et punkt alltid står vinkelrett på diameteren gjennom samme punkt.

Tre dimensjoner

Utvidelse av hyperbolsk geometri i et plan til et tredimensjonalt rom kan gjennomføres på samme måte som i euklidsk geometri uten at nye antagelser må gjøres. Både Bolayai og Lobatsjevskij undersøkte denne utvidelsen av geometrien. En linje som skjærer et plan, står vinkelrett på dette hvis den står vinkelrett på alle linjer i planet gjennom skjæringspunktet. Mens to linjer som skjærer hverandre i et plan, definerer et punkt, vil to plan som skjærer hverandre i rommet, definere en linje. Vinkelen mellom planene kan bestemmes utfra vinkelen mellom deres normaler i et vilkårlig punkt på skjæringslinjen. Dette er det samme som den dihedrale vinkelen i euklidsk geometri.
En vanlig kuleflate  eller «sfære» i hyperbolsk geometri består av de puktene som har samme avstand til et gitt punkt som er sfærens sentrum. Hyperbolske plan gjennom dette punktet vil skjære kuleflaten i storsirkler og avgrense sfæriske mangekanter. Både Bolayai og Lobatsjevskij viste at vinklene til disse oppfylte de samme lovene som i vanlig, sfærisk trigonometri. På den måten hadde de dermed bevist eksistensen av sfærisk geometri direkte fra postulatene for hyperbolsk geometri. Helt overraskende var det ikke da sfærisk geometri som er konstruert på vanlig måte i euklidsk geometri, ikke gjør bruk av parallellaksiomet.
To parallelle linjer ligger i et plan og skjærer hverandre i et punkt Ω  uendelig langt borte. En tredje linje som er parallell med den ene av disse, men ligger utenfor planet, vil også være parallell med den andre linjen og gå gjennom det samme, ideelle  punktet Ω. På same måte kan man definere to parallelle plan som vil skjære hverandre langs en linje uendelig langt borte.
Tre parallelle linjer som ikke ligger i samme plan, definerer tre plan som skjærer hverandre langs de tre samme linjene. Vinklene mellom disse planene kan nå relateres. Da fremkommer det overraskende resultatet at summen av de indre, dihedrale vinklene er 180° eller π  radianer. Dette resultatet er som i et euklidsk rom og ble funnet av Bolyai og Lobatsjevskij. I dag blir det omtalt som «prismeteoremet».

Horosfærer

En kuleflate med sitt sentrum i et ideelt punkt Ω kalles en horosfære. Alle dens diametre (eller radier) vil gå gjennom dette punktet uendelig langt borte og er derfor parallelle med hverandre.  Dette er en direkte generalisering til tre dimensjoner av en horosirkel i to dimensjoner. Ethvert tangentplan til denne flaten vil derfor ha normaler som sammenfaller med disse og er derfor også parallelle.
Velger man ut tre av diameterne som ikke ligger i samme plan, vil de sammen definere et trekantet prisme med uendelig lange sidekanter. Horosfæren vil de skjære i tre punkter som utgjør hjørnene i en trekant. Prismeteoremet sier da at summen av de interne vinklene i denne trekanten vil være 180°. Det betyr at horosfæren er en flate hvor euklidsk geometri er gyldig. Alle vanlige trigonometriske resultat kan derfor benyttes på denne. De gjør det mulig å foreta beregninger som da gjelder i det hyperbolske rommet hvor flaten befinner seg.

Horosirkel

En horosirkel er i Lobatsjevskij-koordinater beskrevet ved ligningen eᵘ = coshw. Det betyr at du = tanhw dw  som innsatt i linjelementet gir ds = coshw dw. Ved direkte integrasjon gir det buelengden s = sinhw  i overensstemmelse med hva som finnes fra geometriske metoder. Den karakteristiske konstanten S = 1 målt i enheter av den underliggende lengdeenheten k.