Kjeglesnitt

Kjeglesnitt kalles de geometriske figurer som man får ved å legge et plant snitt gjennom en kjegle.  Avhengig av retningen til snittet vil kjeglesnittet være en ellipse, parabel eller hyperbel. For noen spesielle plasseringer av det snittende planet, kan et kjeglesnitt degenere til et punkt, en linje eller to linjer. I analytisk geometri er et kjeglesnitt en kurve  av andre orden i to variable.
Den kan også defineres som det geometrisk sted for de punkter i planet hvis avstand til ett gitt punkt, kalt fokus eller brennpunkt, og til en gitt linje som kalles direktrise eller styrelinje, har et konstant forhold som er eksentrisiteten e. Den karakteriserer formen til kjeglesnittet. Hvis eksentrisiteten e < 1, har man en ellipse som er en lukket kurve. Derimot er en hyperbel en åpen kurve med e > 1. Den består av to like grener som ikke er forbundet. En parabel har eksentrisitet e = 1 og er også en åpen kurve, mens en sirkel kan betraktes som et spesialtilfelle av en ellipse med eksentrisitet e = 0.
Egenskapene til de forskjellige kjeglesnittene ble utforsket av greske matematikere for over to tusen år siden. I særdeleshet har bidragene til Apollonios fra Perge vært av stor betydning for senere utvikling av moderne geometri og matematikk. Det var også han som innførte navnene ellipse, parabel og hyperbel.

Historie

Spesielt kjeglesnittet ellipse må ha vært kjent i veldig lang tid da det oppstår i mange daglige situasjoner. For eksempel vil det oppstå når en sirkel sees fra siden, eller om en sylindrisk trestamme blir kuttet skjevt i to stykker. Skyggen til lys som går gjennom et lite sirkulært hull og treffer skjevt på en vegg, vil også være en ellipse. Lyset danner her en kjegle som blir kuttet over av veggen.

Antikken

Man tror at den første definisjonen av kjeglesnitt ble utarbeidet av den greske matematiker Menaikhmos på 300-tallet f.Kr. Dette arbeidet har ikke overlevd. Definisjonen som han brukte, skiller seg fra den vanlige i dag ved at den krevde at planet som snitter kjeglen, alltid står vinkelrett på en av linjene som genererer kjeglen ved sin rotasjon (dens generatrise). Derimot kunne kjeglens åpningsvinkel være forskjellig. Var denne spiss eller stump, ville kjeglesnittet bli henholdsvis en ellipse eller hyperbel. Det spesielle tilfellet med en rettvinklet kjegleåpning, ville gi en parabel. Denne konstruksjonen kunne ikke gi en sirkel, og denne ble derfor ikke betraktet som et kjeglesnitt. Menaikhmos brukte disse kurvene til å finne løsninger av det deliske problem med kubens fordobling.
Omtrent på samme tid sies Euklid å ha skrevet fire bøker om kjeglesnitt, men disse har gått tapt. Det er fra han at man kan definere kjegelsnitt som geometrisk sted gitt et fokus og en direktrise. Man vet at Arkimedes også studerte kjeglesnitt ettersom han bestemte arealet begrenset av en parabel og en ellipse i tillegg til at han gjorde andre, tilsvarende beregninger.
De største fremskrittene i de gamle grekernes studie av kjeglesnitt skyldes Apollonios på 200-tallet f.Kr. Hans åttebindsverk Kjeglesnitt oppsummerte og videreutviklet tidens kunnskap. Det er et av de største og viktigste vitenskapelig arbeid fra antikken. En av hans originale bidrag var å definere kjeglesnittene som et generelt snitt mellom et plan og en vilkårlig kjegle,  i motsetning til Menaikhmos som benyttet forskjellige kjegler med bestemte egenskaper. På den måten har Apollonios gitt oss den moderne definisjonen av  kjeglesnitt.
Kjeglesnittene og Apollonios' teoretiske betraktninger spilte også en viktig rolle i Ptolemaios' store matematiske og astronomiske verk Almagest på 200-tallet e.Kr. selv om sirkelen der ble betraktet som det viktigste kjeglesnittet.
Den greske matematiker Pappos som arbeidet hundre år senere i Alexandria, tilskrives oppdagelsen av det viktige begrepet fokus til et kjeglesnitt og oppdagelsen av det relaterte begrepet direktrise.

Middelalderen

Etter hvert som Romerriket erobret det antikke Hellas forsvant gradvis interessen for disse matematiske problemene, og mange av de originale, vitenskapelige verkene forsvant. Heldigvis ble en del oversatt til arabisk og arbeidene kunne dermed bli studert og videreutviklet i Midtøsten i de følgende århundrene. På den måten har mange av dem også overlevd frem til vår tid.
Et instrument for å tegne kjeglesnitt ble beskrevet i 1000 e.Kr. av den muslimske matematikeren Al-Kuhi.  Perserne fant også anvendelser av teorien for kjeglesnitt. Kanskje den mest bemerkelsesverdige av disse var den persiske matematikeren og poeten Omar Khayyám, som brukte dem til å løse algebraiske ligninger.

Nyere tid

Kjeglesnittene spilte en avgjørende rolle i Keplers lover for planetenes bevegelser. Planetene beveger seg i bundne baner som er ellipser med Solen i et fokus, mens f.eks. kometer følger ubundne hyperbler. De franske vitenskapsmenn Desargues og Pascal utviklet en teori for kjeglesnitt som brukte en tidlig versjon av projektiv geometri. Dette hjalp som motivasjon for utviklingen av dette nye feltet innen matematikken. Det ble etter hvert klart at de tilsynelatende ulike kjeglesnittene kunne betraktes som forskjellige projeksjoner av et og samme kjeglesnitt.
Pascal oppdaget et teorem kalt hexagrammum mysticum fra hvilket mange andre egenskaper ved kjeglesnitt kan utledes. Videre anvendte Descartes sin nylig oppdagede analytiske geometri til studiet av kjeglesnitt. Effekten av dette var å redusere de geometriske egenskapene ved kjeglesnitt til problemer i algebra.

Projektiv geometri

Vanligvis beskrives kjeglesnitt i euklidsk geometri. Den er basert på parallellaksiomet. Det postulerer at det finnes parallelle linjer som aldri skjærer hverandre, selv om man følger dem uendelig langt bort. Oppgis dette aksiomet, går det euklidske planet over til å bli et projektivt plan hvor det ikke finnes parallelle linjer. Alle linjer vil skjære hverandre. Hva man vanligvis kaller parallelle linjer, vil da være linjer som skjærer hverandre i et punkt uendelig langt borte. Tar man med disse nye skjæringspunktene i planet, vil den euklidske geometrien bli erstattet med projektiv geometri. I denne geometriske utvidelsen ligger punktene i det uendelig fjerne langs en ny linje som selvsagt også ligger i det uendelig fjerne. Beveger man seg langs en rett linje mot uendelig i en retning, vil man komme tilbake på samme linje, men fra motsatt retning. Alle linjene i dette projektive planet er lukkete kurver.
Med bruk av projektiv geometri blir beskrivelsen av kjeglesnitt enklere og mer systematisk. En ellipse kan da beskrives som et kjeglesnitt som ikke skjærer linjen i det uendelig fjerne. Parabelen vil også være en lukket kurve som tangerer denne linjen i ett dobbeltpunkt, mens en hyperbel skjærer den i to forskjellige punkt gitt ved retningene til de to asymptotene. Ved projektive transformasjoner kan disse kjeglesnittene omformes i hverandre ved at de flyttes i forhold til linjen i det uendelige fjerne.
I denne beskrivelsen blir også hyperbelen en lukket kurve. Beveger man seg mot uendelig langs en gren, vil man passere linjen i det uendelige langs en asymptote, dukke opp igjen på motsatt side av samme asymptote slik at man kommer tilbake på den andre grenen av hyperbelen. Følger man denne grenen videre, forsvinner man igjen langs den andre asymptoten og dukker så opp igjen på den grenen hvor man startet etter å ha passert linjen i det uendelige enda en gang. Slik kan hyperbler ses som ellipser som har blitt trukket gjennom uendelig og gjenoppstår på den andre siden.

Komplekse koordinater

I den projektive beskrivelsen kan man også la koordinatene ta komplekse verdier. Dette er en naturlig generalisering i moderne matematikk. Det vil da ikke lenger være noen forskjeller mellom ellipser og hyperbler. For eksempel, så vil sirkelen x² + y² = 1 gå over til hyperbelen  x² - y² = 1 ved å la y → iy hvor i er den imaginære enheten. Ellipsen og hyperbelen vil da kunne klassifiseres som tilhørende samme type kjeglesnitt. Mens hyperbelen har to reelle skjæringspunkt med linjen i det uendelige, vil ellipsen ha to komplekse skjæringspunkt. En parabel tilsvarer da spesialtilfellet hvor disse to skjæringspunktene faller sammen til ett, og man har en tangering i stedet.

Elliptiske kurver

I moderne kryptografi spiller elliptiske kurver en viktig rolle. Det er nærliggende å tro at de er ellipser, men det er de ikke. Og sammenhengen mellom dem er ganske indirekte. Mens ligningen som beskriver en ellipse er av formen y² = f(x) hvor funksjonen f(x) er et polynom i x av andre grad, fremkommer en elliptisk kurve når f(x) er av tredje grad. Skulle arealene under disse kurvene beregnes, måtte man utføre integrasjonen ∫ ydx. For den vanlige ellipsen kan dette lett la seg gjøre ved bruk av trigonometriske funksjoner, mens for en elliptisk kurve er det mye mer vanskelig. Man må da ta i bruk de mer kompliserte, elliptiske funksjoner som først ble studert av den norske matematiker Niels Henrik Abel for snart to hundre år siden. Det er denne elliptiske sammenhengen som har gitt disse kurvene deres navn.