Påskeformelen

Påskeformelen er metoden som brukes for å beregne tidspunktet for påskehøytiden i et gitt år. Påskedatoen følger et komplisert mønster som aldri har vært helt enkelt å forstå for den som ikke var spesialist. På latin og engelsk kalles prosedyren for Computus og har siden tidlig middelalder vært svært betydningsfull, da datoene for store deler av kirkeåret bestemmes ut fra dette tidspunktet. Ordet «computer» («komputist» på norsk) betydde opprinnelig en person som var i stand til å regne ut påsketidspunktet. Komputistene kan på mange måter betraktes som forløperne til den nyere tids matematikere. De mest kjente komputistene fra middelalderen er Denis le Petit og Beda.

Juliansk påskeformel

Det ene regneskjemaet gjelder frem til og med året 1582 og kalles den julianske påskeformelen. Denne er viktig for historiske undersøkelser. Den opprinnelige påske­formelen ble først utarbeidet av Denis le Petit på 500-tallet. På 700-tallet publiserte så engelskmannen Beda boken De temporum ratione, som ble brukt som standard læreverk på dette området gjennom hele middelalderen.
I de fleste ortodokse kirkene baseres påskeformelen fortsatt på den julianske kalenderen. Siden landene vanligvis bruker den gregorianske kalenderen som sin borgerlige kalender, betyr det at påskedagen vil ligge i tidsrommet 4. april – 8. mai i perioden 1900 – 2099. (Forskjellen mellom den julianske og den gregorianske kalenderen øker med tre døgn i løpet av 400 år.)
Månekalenderen som ligger til grunn for påskeformelen bygger på en syklus på 532 år, som er sammensatt av en 28-årig solsyklus og en 19-årig månesyklus. Den 28-årige sol­syklusen er igjen sammensatt av den 4-årige skuddårs­syklusen og den 7-årige ukedags­syklusen, mens månesyklusen bygger på det fra gammelt av kjente faktum at den synodiske månen gjennom­fører nokså nøyaktig 235 omløp i løpet av 19 julianske år (ett juliansk år består av 365¼ døgn). Denne 19-årige månesyklusen er kjent fra den greske astronomen Meton og kalles etter ham for Metons syklus.
Som begynnelsesår for denne 532-årige påskesyklusen valgte man året 608 e. Kr. (påskedag var 7. april). Dette årets første nymåne kom 23. januar og året fikk tilordnet gyldentallet 1. I dette året falt 1. januar på en mandag. Året fikk derfor tilordnet søndagsbokstavene G og F. Går man herfra 532 år fremover i tid til året 1140 e. Kr., så finner man at sistnevnte år har nøyaktig det samme gyldentallet 1 og søndags­bokstav­paret G F som det førstnevnte (og dermed påskedag 7. april). Dette er fordi den samme kombinasjonen av gyldentall og søndags­bokstaver alltid gjentar seg efter 532 år, men ikke før. Et års gyldentall er ett av tallene 1, 2,...19 og et års søndags­bokstav er én av de syv bokstavene A, B,...G, to bokstaver når det er et skuddår.

Gregoriansk påskeformel

Det andre regneskjemaet gjelder fra og med året 1583 med unntak for de land som inn­førte den gregorianske kalenderen ved et senere tidspunkt, deriblant Norge (1700) og kalles den gregorianske påskeformelen. Fordi skuddårene i den gregorianske kalenderen ikke følger en like enkel regel som i den julianske, er den gregorianske påskeformelen litt mer komplisert enn den julianske.
Påskeformelen gir nå en periodisk syklus på 5 700 000 år (eksakt) (300 000 × 19 år). Påske­dagen kan falle på 35 forskjellige datoer; 22. mars er den tidligste, og 25. april er den seneste datoen. Sistnevnte dato var fra gammelt av en merkedag som kaltes gangdagen eller markusmesse. Ikke siden 1818 har påske­dagen falt på den tidligst mulige datoen, og den vil ikke gjøre det igjen før i 2285. I 1913 og 2008 falt påske­dagen på 23. mars, neste gang det skjer er i 2160. Påskedagen var på den senest mulige datoen i 1886 og 1943, neste gang det skjer er i 2038. 19. april er den vanligste datoen, i løpet av syklusen faller påskedagen på denne datoen hele 220 400 ganger, dette tilsvarer 3,87 % av alle gangene (gjennomsnittet for alle datoene er 2,86 %). 22. mars er den sjeldneste datoen, den forekommer bare 27 550 ganger (0,48 %), dernest følger 25. april som forekommer 42 000 ganger (0,74 %) i løpet av 5 700 000 år.

Avvik i Danmark-Norge

Ved innføringen av den gregorianske kalenderen i Danmark-Norge mandag 1. mars 1700 valgte man å følge de astronomiske tidspunktene for vårjevndøgn og fullmåne med utgangspunkt i Vens meridian etter anbefaling fra astronomen Ole Rømer.
Det eneste året da dette ga seg praktisk utslag var i 1744, da Danmark-Norge feiret påske én uke før alle andre land som hadde gått over til den gregorianske kalenderen. I 1724 var det også én ukes avvik, men da valgte man likevel å følge påskeformelen. I 1778 ville det også ha vært avvik, men da hadde man allerede besluttet å gå tilbake til å bruke den gregorianske påskeformelen.

Beregninger

Beregningen av datoen for påskedagen kan utføres på flere måter. Her er noen av de mest benyttede i nyere tid:

Gauss' metode (for både juliansk og gregoriansk kalender)

Metoden ble utarbeidet av Carl Friedrich Gauss og publisert i 1816 i artikkelen: «Berichtigung zu dem Aufsatze: Berechnung des Osterfestes».
Definisjoner
K = årstallet
a = K mod 19
b = K mod 4
c = K mod 7
Definér fra tabell:
Årstall   | M | N
------------------
Juliansk kalender:
           15   6
Gregoriansk kalender:
1583-1699  22   2
1700-1799  23   3
1800-1899  23   4
1900-2099  24   5
2100-2199  24   6
2200-2299  25   0
2300-2399  26   1
d = (19a + M) mod 30
e = (2b + 4c + 6d + N) mod 7
Hvis (d + e) < 10, vil påske­dagen være (d + e + 22). mars ellers (d + e – 9). april.
Med unntak av:
26. april erstattes med 19. april.
25. april erstattes med 18. april hvis d = 28, e = 6 og a > 10.
Tallene M og N beregnes slik (skal bare gjøres for gregoriansk kalender, se over):
Hvis k er årstallets to første sifre (hundretallet),
p er kvotienten av divisjonen (13 + 8k)/25 uten hensyn til resten og
q er kvotienten av divisjonen k/4 uten hensyn til resten, så er
M = (15 - p + k - q) mod 30 og
N = (4 + k - q) mod 7.

Påskeformler i én enkelt celle i regneark (bare for gregoriansk kalender)

Det kan være fristende å bruke et regne­ark for å beregne den gregorianske datoen for påskedagen; én enkelt celle er tilstrekkelig. Da er det et par ting man bør være klar over først:

Kalenderen i Microsoft Excel på PC (og en del andre regneark) begynner med år 1900, som disse regnearkene mener var et skuddår som begynte på søndag. Men det året var ikke skuddår i den gregorianske kalenderen og det begynte på mandag! Fra og med torsdag 1. mars 1900 samsvarer ukedag og dato riktig i disse regnearkene. Beregningen av fastelavns­søndag (49 døgn før påske­dagen) kan dermed bli feil for året 1900 i slike regneark hvis man ikke tar hensyn til disse feilene (riktig dato er 25. februar 1900).

Formlene under kan brukes direkte i én enkelt celle i et regneark, f.eks. Microsoft Excel både på PC (1900-datosystem) og Mac (1904-datosystem):
Norsk:   =AVRUND.GJELDENDE.MULTIPLUM.NED
          (DATO(A2;3;27-DAG(0))+0,97*REST(18,998*REST(A2+8/9;19)+HELTALL(0,68*HELTALL(A2/100)-HELTALL(A2/400)-5/9);30);7)+DAG(1)
Engelsk: =FLOOR(DATE(A2,3,27-DAY(0))+0.97*MOD(18.998*MOD(A2+8/9,19)+INT(0.68*INT(A2/100)-INT(A2/400)-5/9),30),7)+DAY(1)
hvor cellen A2 inneholder det fire-sifrede års­tallet til datoen som man ønsker å finne for påskedagen i perioden 1900 – 9999. Cellen som inneholder utregningen bør formateres som en dato.
Det finnes også forenklede formler for beregning av påskedagens gregorianske dato, men disse gjelder bare for et begrenset tids­rom. Dette kan likevel være tilstrekkelig for å finne datoen(e) for påskedagen i en kortere periode. Flere av dem kan brukes direkte i én enkelt celle i et regneark, f.eks. Excel både på PC (1900-datosystem) og Mac (1904-datosystem):
Norsk: =AVRUND(DATO(A3;4;1-DAG(0))/7+REST(19*REST(A3;19)-7;30)*0,14;0)*7-6+DAG(0)
Engelsk:  =ROUND(DATE(A3,4,1-DAY(0))/7+MOD(19*MOD(A3,19)-7,30)*0.14,0)*7-6+DAY(0)
hvor cellen A3 inneholder det fire-sifrede års­tallet til datoen som man ønsker å finne for påskedagen i perioden 1900 – 2203. Cellen som inneholder utregningen bør formateres som en dato. Den viste formelen vil gi riktig dato for påskedagen til og med år 2203. Deretter gir den hyppige feil (bl.a. i år 2204, 2207 og 2209). Andre forenklede formler kan gi feil dato for år 2079 også.