Giovanni Girolamo Saccheri

Biografi

I 1690 begynte Saccheri å studere filosofi og teologi ved en jesuittisk skole i Milano. Der fulgte han også forelesninger i matematikk under matematikereren og jesuitten Tommaso Ceva. Denne var bror til den mer kjente Giovanni Ceva.  Her publiserte han i 1693 sitt første større, matematiske verk Quaesita geometrica som var en lærebok i geometri. Fra 1694 underviste han i filosofi ved Universitetet i Torino og publiserte i 1697 verket Logica demonstrativa. Her innførte han en mer stringent fremgangsmåte ved logiske utledninger. Denne metoden brukte han senere i sine matematiske arbeid. Samme år begynte han å undervise filosofi og teologi ved universitetet i Pavia hvor han i 1699 også fikk lærestolen for matematikk. Denne beholdt han til sin død.
Saccheri forsøkte å utlede parallellpostulatet fra Euklids øvrige aksiomer ved reductio ad absurdum. Samme år som han døde, offentliggjorte han sine resultat i sitt mest berømte verk  Euclides ab omni naevo vindicatus (Euklid rensket for alle feil ). Han lyktes ikke i å bevise parallellpostulatet på denne måten, men utledet tvertimot mange av de teoremene som i dag regnes til den hyperbolske geometrien. Noen av disse minner delvis om resultat som tidligere var oppnådd av Omar Khayyam og senere videreført av Nasir al-Din al-Tusi. Man må gå ut fra at Saccheri kjente disse arbeidene.
Betraktningene til Saccheri ble raskt glemt etter hans død selv om hans bok fantes ved flere tyske universitet. Da ikke-euklidsk geometri ble oppdaget av Janos Bolyai og Nikolaj Lobatsjevskij hundre år senere, skjedde dette uten direkte kjennskap til hans verk. Dette ble først gjenoppdaget i 1889 av den italienske matematiker Eugenio Beltrami som selv var med på å videreutvikle denne delen av moderne matematikk.

Saccheris firkant

Euklids geometri var basert på fem postulater. De fire første definerer både hva en rett linje og en sirkel er. Av dette følger også hvordan man alltid kan konstruere en rett vinkel. Med disse antagelsene kunne Euklid så bevise åtte og tyve påstander som omhandler mer kompliserte, geometriske konstruksjoner. Men fra og med den neste påstanden må han ta i bruk det femte postulatet som definerer en parallell linje. Dette postulatet hadde vært omdiskutert siden antikken, og mange hadde prøvd å bevise det ut fra de fire første postulatene som virket mer fundamentale.
Saccheri var overbevist om at euklidsk geometri var riktig. Han ville bevise det femte postulatet ved å finne en selvmotsigelse som ville oppstå hvis man antok noe annet. På samme måte som  Omar Khayyam  tok han utgangspunkt i en symmetrisk firkant med en visse grunnlinje som går gjennom to punkt A og B. Mens Khayyam og mange andre etter han antok at en linje parallell med linjestykket AB måtte ha konstant avstand til denne, var Saccheri mer forsiktig i sin argumentasjon. For å definere firkanten, opprettet han en perpendikulær i A og en i B. Langs disse kunne han så sette av to punkt C og D slik at linjestykkene AD og BC er like lange. Ifølge Euklids første postulat, kan så en linje trekkes fra B til C. Han sier ingenting om at denne  topplinjen er parallell eller ikke med linjen gjennom A og B. Firkanten ABCD med to rette vinkler ved A og B samt med sidelinjer AD = BC, kalles en Saccheri-firkant. Hans viktigste resultat finnes fra videre betraktninger av denne figuren.
Når parallellpostulatet ikke lenger gjelder, må man være mer bevisst på hva en rett linje er.  Ifølge  Euklid kan den alltid trekkes mellom to gitte punkt. Rent praktisk kan man tenke seg å ha et måleband som strekkes mellom de to punktene. Dermed kan en også avlese avstanden mellom punktene. Denne spesielle linjen som tilsvarer en rett linje i euklidsk geometri, har den korteste avstanden av alle kurver som forbinder de to punktene. I moderne terminologi kalles den en geodetisk linje. Når en slik linje fremstilles på et plant stykke papir, vil det kunne virke misvisende å tegne den som en rett linje. Ofte vil den derfor være buet.

Paralleller i hyperbolsk geometri

I den halve Saccheri-firkanten OBCP kan man trekke en linje PQ fra P til et punkt Q innen vinkelen OPC. Saccheri viste at forlengelsen av denne linjen får stadig mindre avstand til forlengelsen av linjen OB etterhvert som man beveger seg bort fra O. Derfor kan disse to forlengete linjer enten skjære hverandre eller ikke. Hvis skjæringspunktet er endelig langt borte, kalles linjen gjennom P og Q for en vanlig skjæringslinje. Hvis det ligger uendelig langt borte, er linjen en grenseparallell eller ganske enkelt en parallell linje. I dette siste tilfellet vil hver linje gjennom P som har en litt større vinkel OPQ , ikke skjære forlengelsen av OB i det hele tatt. I mer moderne terminologi sies slike linjer å være ultraparallelle og at de har et ultraparallelt skjæringspunkt som ligger lenger borte enn uendelig langt borte.
Gjennom et punkt P utenfor en hyperbolsk linje, kan det ut fra dette trekkes to paralleller - en til hver side. Avstanden mellom en slik parallell og den gitte linjen er ikke konstant som i euklidsk geometri. I tillegg kommer et uendelig antall ultraparalleller til hver side. Disse er adskilt fra den ekte parallellen i samme retning med en grensevinkelen OPQ. Denne parallelvinkelen nærmer seg en rett vinkel desto kortere linjestykket OP er. Det eksisterer derfor en funksjonsavhengighet mellom disse to størrelsene som først ble funnet av Bolyai og Lobatsjevskij hundre år senere.