Tallære

Tallærens historie

Grekerne gjorde store oppdagelser innenfor geometrien, men de leverte også viktige bidrag til tallæreen. Euklids Elementer omhandler i første rekke geometri, men bok 7, 8 og 9 (av totalt 13) handler om tallære. Her finner vi blant annet Euklids algoritme, som brukes for å finne den største felles faktoren til to tall. Dette regnes som en av de viktigste grunnleggende teoremene i tallære. Her finner vi også et bevis for at det fins uendelig mange primtall, og Euklid presenterer også en variant av aritmetikkens fundamentalteorem.
Den store tallteoretikeren i det gamle Hellas var utvilsomt Diofant. Vi vet veldig lite om hans liv, men han levde antageligvis i Alexandria omkring år 250 e.Kr. Hovedverket hans var Arithmetika, som er nesten fullstendig bevart (10 av 13 bøker er kjent).
I India finner vi en av Middelalderens store tallteoretikere, Bhaskara II (1114–1185). Slik tradisjonen var i India, ble alle hans bøker utgitt i poetisk form, og en av hans viktigste bøker var dedikert til datteren Lilavati i form av et matematisk problem.
Kinesisk matematikk var også på høyden i Middelalderen, og her finner vi viktige tallteoretiske resultater. Kinesiske matematikere sto blant annet for klassifiseringen av alle pythagoreiske tripler. Kongruensproblemer var også viktige i den kinesiske matematikken. Pascals trekant brukes innenfor ulike områder av matematikken, og kineserne var blant de aller første som oppdaget denne. Kineserne brukte blant annet trekanten i sine ligningsteorier. Også araberne var tidlig ute med studier av Pascals trekant, og de var også blant de første som brukte induksjon. Ellers var ikke arabiske matematikere så opptatt av tallære.
På 1600-tallet møter vi Pierre de Fermat, og hans arbeider markerer starten på den moderne tallæreen. Han var jurist av yrke, men likevel blir han regnet som en av tidenes største matematikere. Han leverte viktige bidrag til flere grener av matematikken, og han regnes blant annet som en av opphavsmennene til analytisk geometri og sannsynlighetsregning. Likevel var det først og fremst innenfor tallæren han leverte sine viktigste bidrag. Dagens tallteoretikere arbeider stadig med de ideene og problemene han etterlot seg. For eksempel ble det såkalte Fermats siste teorem først endelig bevist av matematikeren Andrew Wiles i 1994.

Primtall

Når et tall ikke har andre faktorer enn 1 og seg selv, sier vi at tallet er et primtall. Disse tallene har fascinert matematikere i århundrer. De ti første primtallene er 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Det kan være krevende å finne ut om et stort tall er primtall eller ikke, og dette er noe av årsaken til at primtall i vår tid har blitt viktig innenfor kryptering.
Primtallene følger ikke etter hverandre i noe forutsigbart mønster slik som partall og oddetall gjør. Et av matematikkens uløste problemer er nettopp å finne noe mønster for når primtallene dukker opp i tallrekken. Det er en stadig pågående konkurranse i å finne det største primtallet, og dette er en aktivitet som aldri vil ta slutt. En av setningene i tallæreen sier nemlig at det er uendelig mange primtall.

Andre egenskaper ved tallene

Det er mange egenskaper ved tallene som tallteoretikere studerer, og mange av disse dreier seg om faktorene til et tall. Dersom vi summerer faktorene til et tall (for eksempel , der ,  og  er faktorer i tallet ), og denne summen blir mindre enn tallet selv, så sier vi at dette er et fattig tall. Dersom summen av faktorene blir større enn tallet selv, så sier vi at tallet er et rikt tall. Et tall hvor summen av faktorene er lik tallet selv – slik som for tallet  – kalles for et perfekt tall.

Analytisk tallære

Analytisk tallære tar i bruk metoder fra analysen for å behandle problemer vedrørende tall. Primtallsteoremet og den relaterte Riemann hypotesen er eksempler på dette. Warings problem (representere et gitt tall som en sum av potenser), hypotesen om tvilling-primtall (finne uendelig mange par av primtall med differanse 2) og Goldbachs hypotese (skrive partall som sum av to primtall) er eksempler på problemer innenfor tallæreen hvor en også har brukt analytiske metoder for å komme nærmere en løsning.

Algebraisk tallære

I algebraisk tallære blir tallbegrepet utvidet til algebraiske tall (tall som er røtter av polynomer med rasjonale koeffisienter). I en slik setting er ikke nødvendigvis de kjente egenskapene til tallene lenger gyldige. En bruker her metoder fra algebraen (Galois teori, teorier om grupperepresentasjoner og L-funksjoner osv.) for å komme nærmere en løsning
Mange problemer fra tallæreen blir forsøkt løst ved å studere dem modulo  for alle primtall . Dette kalles for lokalisering eller lokal analyse, og er et felt som går ut fra den algebraiske tallæreen.