Gjennomsnitt

Gjennomsnitt eller middelverdi er et matematisk begrep om sentraltendens i en populasjon, en tallrekke eller en funksjon. Begrepet har flere forskjellige meninger alt etter konteksten.
I sannsynlighetsteori og statistikk blir gjennomsnitt og forventet verdi bruket synonymt for å referere til et mål for sentraltendens enten av en sannsynlighetsfordeling eller for en stokastisk variabel I tilfelle av en diskret sannsynlighetsfordeling av en stokastisk variabel X, er gjennomsnittet lik summen over hver mulig verdi vektet for den gjennomsnittlige sannsynligheten for denne verdien. Det vil si at den er beregnet ved å ta produktet av hver mulig verdi x i X, dens sannsynlighet P (x), og deretter adderes alle disse produkter sammen, noe som gir . En analog formel gjelder for tilfelle av en kontinuerlig sannsynlighetsfordeling. Ikke alle sannsynlighetsfordeling har et definert gjennomsnitt. Se for eksempel Cauchyfordeling. For noen distribusjoner er middelverdien uendelig, for eksempel når sannsynligheten for verdien  is  for n = 1, 2, 3, ....
For et utvalg eller datasett er termene aritmetisk gjennomsnitt, forventet verdi, og noen ganger er gjennomsnitt brukt synonymt for å vise til en sentral verdi av et diskret sett av tall, nemlig  summen av verdiene dividert med antall verdier. Det aritmetiske gjennomsnittet av et sett med tall x₁, x₂, ..., xₙ er vanligvis merket med  (uttales «x strek»). Hvis datasettet var basert på en serie av observasjoner innhentet ved prøvetaking fra en statistisk populasjon, vil det aritmetisk gjennomsnittet kales utvalgsgjennomsnitt (angitt ) for å skille det fra populasjonsgjennomsnittet (angitt som  eller ).
For en gitt populasjon er populasjonsgjennomsnittet av en egenskap lik det aritmetiske gjennomsnittet av den gitte egenskapen vurderer for hvert medlem av populasjonen. For eksempel er en populasjonens gjennomsitteligge høyden lik summen av alle høydene for hver enkelt individ dividert med det totale antall medlemmer. Utvalgsgjennomsnittet kan avvike fra populasjonsgjennomsnittet, spesielt for små utvalg. De store talls lov tilsier at jo større utvalget er jo mer sannsynlig er det at utvalgsgjennomsnittet vil være nær populasjonsgjennomsnittet.
Utenfor sannsynlighetsregning og statistikk finnes et bredt spekter av andre definisjoner for hva  «gjennomsnitt» betyr. Innenfor geometri og matematisk analyse er det mange forskjellige definisjoner og eksempler blir gitt her.

Statistiske plassering

Gjennomsnitt kan ofte bli forveksles med median, typetall eller mid-range. Middelverdien er det aritmetiske gjennomsnitt av et sett med verdier eller en distribusjon. Imidlertid vil det for en  skjev fordeling være slik at gjennomsnitt ikke nødvendigvis er den samme som median  eller typetall.
For eksempel vil gjennomsnittlig inntekt forskyves oppover av et lite antall mennesker med svært store inntekter, slik at de fleste har en inntekt lavere enn gjennomsnittet. Derimot, er medianinntekten nivået der halvparten av befolkningen er under og halvparten er over. Typetallet er den inntekt er den mest sannsynlige inntekt, og favoriserer større antall personer med lavere inntekter. Medianen eller typetallet er ofte mer intuitive mål for slike data. Likevel er mange skjeve fordelinger best beskrevet av deres gjennomsnitts verdi slik som Weibull fordeling og Poissonfordeling.

Typetall

Den hyppigst forekommende tallet i en liste kalles typetallet. For eksempel typetallet av listen (1, 2, 2, 3, 3, 3, 4) er 3. Det kan forekomme at det er to eller flere tall som forekommer like ofte, og oftere enn en hvilken som helst annen rekke. I dette tilfellet er det ingen omforent definisjon av typetall. Noen lærebokforfattere sier de er alle typetall og andre sier det ikke er noen typetall.

Median

Median er den midterste tallet i en rekke når de er rangert i rekkefølge. (Hvis det er et likt antall av tall er medianen middelverdien av de to midterste tallene).
For å finne medianen ordnes tallrekke i henhold til dens elementers størrelse fra lavest til høyest. Deretter fjernes reppeterende det høyeste og laveste verdiparet, inntil enten en eller to verdier blir igjen. Hvis nøyaktig en verdi er igjen, er det medianen. Hvis en står igjen med to verdier er medianen det aritmetiske gjennomsnittet av disse to.
Eksempel på bruk av metoden er tallrekken 1, 7, 3, 13, som ordnes slik: 1, 3, 7, 13. Etter at det første parret 1 og 13 er fjernet står en igjen med 3, 7. Siden det er to elementer i den gjenværende listen er medianen det aritmetisk gjennomsnittet av disse, altså (3 + 7)/2 = 5.

Avkortet gjennomsnitt

Noen ganger kan et sett med tall inneholde slengere, det vil si dataverdier som er mye lavere eller mye høyere enn de andre. Ofte er slengere feilaktige data forårsaket av anomaliteter eller avlesningsfeil. I dette tilfelle kan man bruke en avkortet gjennomsnitt. Det innebærer å forkaste gitt deler av dataene på toppen eller bunnen, typisk en lik mengde i hver ende, og deretter ta det aritmetiske gjennomsnitt av de resterende data. Antall verdier som fjernes angis som en prosent av totalt antall verdier.

Glidende gjennomsnitt

Gitt en tidsrekke med verdier som skifter verdi hurtig, for eksempel aksjemarkedets daglige priser eller årlige temperaturer. For slike måleserier kan være fremstilt som en kurve i et koordinatsystem, og det er ofte ønskelig å skape en jevnere serie. Dette bidrar til å vise underliggende trender eller kanskje periodisk oppførsel. En enkel måte å gjøre dette på er å velge et nummer n og lage en ny serie ved å ta det aritmetiske gjennomsnittet av de  første n verdiene i måleserien, deretter flytte frem en posisjon og så videre.
Dette er den enkleste formen for glidende gjennomsnitt. Mer kompliserte former innebære å bruke et vektet gjennomsnitt. Vektingen kan brukes til å forsterke eller undertrykke ulike periodiske oppførsler.
Innenfor digital signalbehandling er filtrering et sentralt begrep, der elektriske signaler blir «jevnet ut» etter spesielle metoder som er analogt til at glidende gjennomsnittsverdier blir beregnet.
En ytterligere generalisering er en autoregressiv glidende gjennomsnitt I dette tilfelle den gjennomsnittlige omfatter også noen av de nylig beregnede utganger. Dette gjør at prøver fra lenger tilbake i historien for å påvirke dagens produksjon.