De Broglies bølgelengde

Bølgeligninger

Idéene til de Broglie vakte stor interesse.  Ved en forelesning i Zürich nevnte den nederlandske fysiker Debye at når det finnes en bølgelengde, må det også finnes en bølgeligning.  Erwin Schrödinger hørte dette og gikk i gang med å finne en slik ligning. Han tok utgangspunkt i  Hamiltonss formulering av klassisk mekanikk som han mente kunne være en slags approksimasjon til en underliggende bølgemekanikk.

Interpretasjon av bølgefunksjonen

Materiebølgene som de Broglie hadde forseslått og beskrevet ved bølgefunksjoner Ψ(x,t) som følger fra Schrödingers ligning, var opprinnelig ment å være fysiske bølger som skulle erstatte det gamle bildet av partikler som små, harde kuler. Schrödinger hadde også den første tiden et slikt håp. Hver partikkel skulle kunne beskrives med sin bølge. Kvadratet av bølgefunksjonen skulle være et uttrykk for tettheten av energi/masse i et punkt i rommet på samme måte som kvadratet av det elektriske feltet gir den elektriske energitettheten i rommet.
Men allerede på slutten av året 1926 var det klart at dette klassiske bølgebildet ikke kunne være riktig. Max Born foreslo at den komplekse bølgefunksjonen  er en sannsynlighetsamplitude hvor det reelle produktet Ψ*Ψ(x,t) gir sannsynligheten for å finne partikkelen i punktet x ved tiden t. Med en slik interpretasjon har  den ikke  noen veldefinert posisjon før denne blir målt. Dette er direkte i motstrid med det klassiske bildet av en partikkel.
På samme måte finnes det tilsvarende en sannsynlighetsamplitude  Ψ(x₁, x₂, x₃, ...,t) som beskriver  en samling av flere partikler. Denne ene funksjonen har i alminnelighet lite å gjøre med en vanlig bølgebeskrivelse i vårt 3-dimensjonale rom. Den oppfyller den generelle Schrödinger-ligningen og tar komplekse verdier basert på konfigurasjoner i et multidimensjonalt «konfigurasjonsrom». Det er med denne København-interpretasjonen at moderne kvantemekanikk i dag blir forstått av de fleste.
En alternativ interpretasjon ble lansert av de Broglie allerede ved Solvay-konferansen i 1927 og tatt opp igjen av David Bohm i 1952. Denne gir en mer «realistisk» beskrivelse av kvantefenomen ved at hver partikkel følger en bestemt bane x(t) som i det klassiske bildet. Den er styrt av bølgefunksjonen som dermed gir en bevegelse som er forskjellig fra den som følger fra Newtons lover. Bølgefunksjonen er derfor en pilotbølge som reflekterer den eksperimentelle usikkerheten som ligger i å bestemme posisjonen til partikkelen. Selv om denne interpretasjonen fortsatt har noen tilhengere, har den fått lite gjennomslag.
Det som i dag ligger tettest opp til den opprinnelige beskrivelsen av partikler som materiebølger i moderne kvantemekanikk, er kvantefeltteori hvor partiklene opptrer som kvant av et klassisk felt Φ(x,t). Dette oppfyller sin egen feltligning som er en bølgeligning. Maxwells ligninger er de klassiske feltligningene for fotonet, Dirac-ligningen er feltligningen for elektronet og fermioner med spinn S = 1/2, mens Klein-Gordon-ligningen beskriver Higgs-partikkelen og andre partikler uten spinn. De tilsvarende feltfunksjonene kan nå betraktes som en slags materiebølger. Men til forskjell fra de opprinnelige idéene til de Broglie og Schrödinger, så er det nå kun ett felt for alle partikler av samme sort. For eksempel beskriver Dirac-feltet alle elektroner og deres antipartikler (positronene) i hele Universet. Det er derfor alle elektroner er like, uansett hvor de finnes.