Projektiv geometri

Punkt i det uendelige

To parallelle linjer i landskapet, som for eksempel et par jernbanespor, vil se ut til å møtes i et forsvinningspunkt i en todimensjonal avbildning hvor det ligger på horisonten. Derfor kan man ikke snakke om parallelle linjer i projektiv geometri, og parallellaksiomet til Euklid er ikke lenger gyldig. På den måten vil to linjer i det projektive planet  alltid skjære hverandre og dermed definere et punkt. Det er på tilsvarende måte som at to punkter definerer en entydig linje som går gjennom begge. At en egenskap mellom to punkter tilsvarer en lignende egenskap mellom to linjer i det projektive planet, er et eksempel på en dualitet.  Den opptrer på en lignende måte i projektive rom med flere dimensjoner enn to.
Det som ser ut som parallelle linjer i planet, vil antas å skjære hverandre i et punkt i det uendelige. Dette kalles et ideelt punkt. To andre linjer som er parallelle i en annen retning, vil definere et annet, ideelt punkt. Disse forskjellige punktene i det uendelige vil i det  projektive planet utgjøre en linje i det uendelige, en ideell linje. En linje gjennom to ideelle punkt definerer en ideell linje. I et projektivt rom vil ideelle linjer på samme måte ligge på et plan i det uendelige. Slike ideelle objekt i det uendelig inngår i projektiv geometri på helt tilsvarende måte som tilsvarende geometriske størrelser innen rekkevidde og som vi kan se. De kan gjøres synlig ved en projekson. Et ideelt punkt vil da kunne fremstå som et forsvinningspunkt og en ideell linje blir en horisont.
Skulle vi bestemme oss for å se bort fra slike ideelle punkt og linjer i det uendelige, ville projektiv geometri gå over til å bli affin geometri i et affint rom. Og i slike rom har parallelle linjer en helt avgjørende rolle som gjør affin geometri mer lik euklidsk geometri.

Historie

Den første forståelsen for egenskaper ved projektiv geometri ble utviklet av den greske matematiker Pappos i Alexandria på 400-tallet, det vil si over seks hundre år etter at Euklid had etablert sin geometri. Han viste at hvis man har gitt fire punkt langs en linje og de projiseres som vist i figuren til høyre, fra et punkt over på en annen linje hvor de avbildes på fire nye punkt, så vil disse projiserte punktene ha samme dobbeltforhold som de opprinnelige punktene. Dette dobbeltforholdet viste seg etter hvert å spille en sentral rolle i projektiv geometri.
I tillegg beviste Pappos et annet teorem som også fikk meget stor betydning. Hvis man har gitt tre punkt på en linje og tre punkt på en annen linje, og disse seks punktene forbindes som vist til venstre, vil de tre skjæringspunktene ligge på en rett linje. Og dette vil alltid skje, uavhengig av hvordan de gitte linjene ligger og eller hvordan punktene på dem er fordelte. Dette er innholdet av Pappos' teorem. På samme måte som dobbeltforholdet er invariant, er også denne egenskapen ved skjæringspunktene invariant under forskjellige projeksjoner eller projektive transformasjoner.
Gjennom de neste tusen år kom det omtrent ingen nye bidrag av betydning til projektiv geometri. Innen skolastikken var euklidsk geometri helt dominerende og ingen tvilte på dens riktighet. Og det var det heller ingen empirisk grunn til.

Renessansen

Utviklingen av projektiv geometri er tett knyttet til forståelsen av perspektivet i bildende kunst. Allerede på 1300-tallet prøvde  den italienske maler Giotto å gi noen av sine bilder en viss dypde uten at det i dag ser særlig overbevisende ut. Men hundre år senere ble denne kunsten bedre mestret etter at den italienske arkitekten Filippo Brunelleschi hadde mer systematisk undersøkt hvordan en perspektivisk fremstilling kunne gjøres mest mulig naturtro.
Denne forståelsen ble videre bearbeidet av hans venn og kollega Leon Battista Alberti som i 1436 presenterte den nye innsikten i verket Trattato della pittura og omtales i dag som sentralperspektiv. I de følgende årene fikk det stor betydning for utviklingen av renessansekunsten.
En av de første malerne som gjorde bruk av disse nye idéene, var Masaccio som fremstilte flere malerier med et tydelig dybdeperspektiv og forsvinningspunkt. Dette ble raskt benyttet av de fleste andre malere og videre undersøkt av Piero della Francesca i hans verk De prospectiva pingendi fra siste halvdel av 1400-tallet.  Noe tid senere ble Albrecht Dürer  kjent med perpektivtegning på en reise i Italia og utga i 1525 sin forståelse av denne som en del av  skriftsamlingen Underweysung der Messung mit dem Zirkel und Richtscheyt  som gjorde denne lærdommen kjent i Nord-Europa.

Opplysningstiden

Idéen om ideelle punkt ble først diskutert av Johannes Kepler rundt år 1600 i hans astronomiske arbeid. Han antok at stjernene lå uendelig langt borte og skulle betraktes som slike punkt. Derimot er lyspunktene som vi ser, kun projeksjoner av denne mer ideelle verden. I andre arbeider undersøkte han også hvordan forskjellige kjeglesnitt kunne gå over i hverandre ved det som tilsvarer projektive transformasjoner.
Mer systematisk ble disse ideelle punktene studert i en større sammenheng av Girard Desargues som anses som grunnleggeren av projektiv geometri. Hans første arbeid om perspektiv kom i 1636. Men kanskje hans mest originale og dyptpløyende betraktninger ble skrevet sammen i 1639 og blir omtalt som hans Brouillon project (grov skisse) etter de første ordene i tittelen. Selv om denne sier at arbeidet er en undersøkelse av egenskapene til kjeglesnitt, er det nye resultat innen projektiv geometri som blir presentert. Betydningen av harmonisk deling blir diskutert og forståelsen av pol og polare blir utvidet for første gang siden Apollonios.
Det er her Desargues også viser at projektiv geometri inneholder en dualitet mellom punkt og linjer i planet. Mens to punkt definerer en linje, vil to linjer definere et punkt. Dette gjelder også når de ser ut til å være parallelle. Det betyr at hvis man følger dem ut mot det uendelige, vil man komme til ett og samme punkt enten man går ut langs den ene eller den motsatte retningen.  I samme verk finnes også tanker som ledet opp til hva som i dag kalles Desargues' teorem. Dette er av grunnleggende betydning i projektiv geometri, men ble først publisert i sin endelige form i 1648 av en av hans venner.
Blaise Pascal var tidlig i sitt liv influert av Desargues og hans arbeid. Som 16-åring publiserte han en generalisering av Pappos' teorem for skjæringspunktene mellom linjer som forbinder seks punkt plassert på et generelt kjeglesnitt. Dette teoremet er nå kjent som Hexagrammum Mysticum og er av fundamental betydning i projektiv geometri. På samme måte ga arbeidene til Desargues inspirasjon til Philippe de La Hire som i samme tidsperiode også utledet et stor antall resultat innen samme felt.
Arbeidene til Desargues var for de aller fleste andre vanskelig å forstå og ble raskt overskygget av hva Descartes omtrent samtidig utviklet av moderne, analytisk geometri. Etter få år ble oppdagelsene til Desargues omtrent helt glemt og ble først gjenoppdaget omtrent to hundre år senere.

Nyere tid

Projektiv geometri fikk en ny start i Paris med Gaspard Monge som var opptatt av deskriptiv geometri til praktisk bruk, spesielt i militære sammenhenger. En av hans tidligste elever var Joseph Gergonne som systematiserte bruken av dualitet i todimensjonal, projektiv geometri, det vil si symmetrien mellom punkt og linjer. I samme gruppe med matematikere var også  Jean-Victor Poncelet som samlet sammen og videreførte resultatene til Desargues og presenterte disse på en mer helhetlig måte inspirert av Euklids verk Elementene. Dette ble kalt syntetisk geometri i motsetning til analytisk geometri.
For å kunne gi projektiv geometri en analytisk behandling, må den formuleres med matematiske ligninger som inneholder koordinater til punkter og linjer. Et første step i denne retningen ble gjort av Lazare Carnot som også tilhørte gruppen rundt Monge. Han viste hvordan punkter på en linje kan koordinatiseres slik at man kunne gjøre bruk av delingsforholdet mellom dem. Av større betydning var koordinatene som August Möbius innførte 1827 i forbindelse med affin geometri. Disse ble generalisert til homogene koordinater et par år senere av Julius Plücker. De viste seg fort å være ideelle for projektiv geometri og kan brukes i projektive rom av høyere dimensjoner. På den måten kunne han gi en elegant, matematisk formulering av dualitet.
Projektiv geometri er mer generell enn affin geometri. Men hvis man ser bort fra de ideelle punktene i det uendelige, skulle det projektive rommet gå over i det affine rommet slik at man får euklidsk geometri. Matematisk ble dette demonstrert av Arthur Cayley i 1859 ved å bruke dobbeltforholdet til å sette størrelse på vinkler og avstander målt i forhold til visse punkter i det uendelige, bestemt av et absolutt kjeglesnitt. Ti år senere viste Felix Klein ved bruk av samme fremgangsmåte at også ikke-euklidsk geometrier vil følge fra projektiv geometri.

Homogene koordinater

Et punkt i et todimensjonalet plan med  et kartesisk koordinatsystem kan angis ved to koordinater som (x,y). Dette er det euklidske planet som vanligvis betegnes som  E². Ligningen for en rett linje i dette planet er ax + by + c = 0 hvor koeffisientene a og b angir retningen til linjen, mens c inneholder informasjon om dens avstand fra origo til koordinatsystemet.
Plücker påpekte i 1830 at de tre størrelsene [a,b,c] kan betraktes som en ny type koordinater for en slik linje. Hvis nå λ er et eller annet reelt tall, vil ligningen λax + λby + λc = 0 gi den samme linjen. Det betyr at linjekoordinatene [λa,λb,λc] og  [a,b,c] er ekvivalente da de beskriver samme linje. Slike koordinater som ikke forandrer geometrisk innhold når de blir multiplisert med en konstant, sies å være homogene. Retningen til linjen er alltid gitt ved forholdet mellom de to første av disse tre homogene linjekoordinatene.
På samme måte kan man fra de vanlige koordinatene  (x,y) for et punkt i planet definere dets homogene koordinater som (x₁,x₂,x₃) slik at (λx₁,λx₂,λx₃) tilsvarer samme punkt. Punktets koordinater i E² vil da være gitt som henholdsvis x = x₁/x₃ og y = x₂/x₃. Det betyr at punktene i dette planet kan skrives som (x,y,1) ved bruk av slike homogene koordinater.
Ligningen for en vilkårlig linje i denne mer generelle formuleringen blir nå ax₁ + bx₂ + cx₃ = 0. Regner man ut de homogene koordinatene for skjæringspunktet mellom de to parallelle linjene [a,b,c] og [a,b,c' ], finner man at det har x₃ = 0. Akkurat denne verdien betyr derfor at punktet ligger uendelig langt borte. Alle slike ideelle punkt vil ha samme verdi for denne koordinaten. Utvider man derfor det euklidske planet E² til å inkludere disse punktene på lik fot med de endelige punktene, har man et projektivt plan P² med punkter angitt med homogene koordinater (x₁,x₂,x₃) hvor x₃ kan ta alle verdier, inkluderte null. Mer generelt kan disse velges slik at de ideelle punktene er gitt ved andre verdier enn x₃ = 0. Slike forandringer av koordinatene vil være en projektiv transformasjon.
I projektive rom med flere dimensjoner enn i planet, kan homogene koordinater innføres på helt analogt vis. De gjør det mulig å gjennomføre geometriske bevis med analytiske metoder, ofte for situasjoner som det er vanskelig å mentalt forestille seg i slike abstrakte rom med høyere dimensjoner.