Geometrisk modellering

Geometrisk modellering er en retning innen anvendt matematikk, som interesserer seg for effektive metoder for å representere og gjøre beregninger på geometriske former. Deler av teorien ble utviklet før datamaskinene kom, men deres inntog var av avgjørende betydning for hvor langt fagfeltet har nådd i moderne tid. Geometrisk modellering brukes innen en rekke virksomheter, som mekanisk industri, spillindustri og billedstyrt kirurgi.

Bakgrunn

Fra og med den industrielle revolusjon oppsto det et behov for å gi gode formbeskrivelser av gjenstander som skulle lages, dette skyldes flere forhold. Mer kompliserte produkter enn tidligere ble konstruert, derfor måtte mange underprodusenter bidra med deler, skulle de enkelte delene passe sammen måtte man ha en felles måte å beskrive formen på. Forbrukerne begynte å etterspørre produkter der formen var komplisert og sentral, f.eks. vil få idag kjøpe en bil med et karosseri som gir ujevne og buklete refleksjonslinjer. Utviklere begynte å forske på hvilke former som er mest effektive i ulike anvendelser, ved å beregne og lagre slike ble bl.a. propeller og vannturbiner mye mer effektive. Produsjonsprosessene ble automatisert, det krevde at styringssystemene hadde presise representasjoner av de formene som skulle lages.
Svært lenge ble modelleringen gjort fysisk på tegnebrett, med enkle hjelpemidler som blyant, linjal og sjablong. Man oppnådde gode resultater, likevel hadde metoden klare begrensninger. Den var todimensjonal (2D), selv om modellen som ble modellert var tredimensjonal (3D). For store produkter (som f.eks. et skip) krevdes svært mange tegninger, og det var lett å miste oversikten. Med de enkle hjelpemidlene var det vanskelig å lage kompliserte geometrier, som f.eks. glatte overgangsflater mellom andre flater. Dessuten er det begrenset hvor nøyaktig en fysisk tegning kan overføres til produksjonsprosessen, og justeringer som ble gjort på den endelige fysiske prototypen kunne ofte ikke tilbakeføres til tegningene.

Splinegeometrien

Det utviklet seg etterhvert et behov for nøyaktige matematiske metoder som kunne beskrive komplekse tredimesjonale former på en enkel og konsistent måte. Innen skipsbygging hadde man benyttet seg av såkalte splines som hjelpemiddel under tegning av spanter og andre skipsdeler. Den opprinnelige splinen var en bøyelig linjal, som kunne forankres i visse punkter og som ga en «korrekt» form mellom punktene (korrekt i den forstand at formen minimerer krumningen). Matematikere fant så ut at den fysiske splinen kunne beskrives som en sum av polynomer multiplisert med romlige posisjoner (koeffisienter), der hvert polynom er definert på et delinterval av splinens parameterområde. For å avdele polynomintervalene plasseres en eller flere såkalte skjøter mellom intervalene.
Dermed kunne komplekse kurveformer beskrives kompakt ved hjelp av en skjøtvektor (parameterverdi og multiplisitet til hver skjøt), en koeffisientvektor og graden til splinen (polynomene), velegnet til lagring i en datamaskin. Det er videre enkelt å generalisere dette til også å representere flater, ved å legge skjøtvektorer og koeffisientvektorer i 2 retninger istedenfor bare 1.
Det har i flere tiår pågått et intenst forskningarbeide innen splineteori. Dette har fortrinnsvis vært drevet ut fra industrielle behov, og forskningen har pågått både i den akademiske verden og i industrien (f.eks. var oppfinneren av Bézier-kurven Pierre Bézier ansatt hos Renault).
Norge har vært langt fremme på splineområdet, bl.a. ble Osloalgoritmen oppfunnet i Oslo av Elaine Cohen, Tom Lyche og Richard Riesenfeld. På Sintefs avdeling for anvendt matematikk utviklet man et av verdens fremste splinesystemer (SISL), under ledelse av Tor Dokken og Morten Dæhlen. Grunnen til den store splineinteressen i Norge var designbehovene man møtte innen maritime konstruksjoner og vannkraftutbygging.

Dagens situasjon

Det er 2 trekk som kjennetegner geometrisk modellering idag. For det første har man fått alternativer til splineformatet, f.eks. subdivisjonsflater. Dernest har bruken av denne type modellering spredd seg fra tradisjonell mekanisk industri, til spillbransjen, animasjonsfilmer og medisinsk simulering. Disse utviklingstrekkene henger nøye sammen, en animatør har f.eks. andre modelleringsbehov enn det en teknisk ingeniør har.