Binært tallsystem

Historie

Den første kjente beskrivelse av et totallsystem ble gjort av den indiske matematikeren Pingala i sin Chhandah-shastra, og er tidsfestet til det femte eller det andre århundret f.Kr. Pingala beskrev det binære tallsystem i sammenheng med en opplisting av vediske meter med korte eller lange vokaler. Ifølge den indiske tradisjon er Pingala den yngre broren til grammatikeren Panini.
Selv om den britiske filosofoen Francis Bacon tidligere hadde beskrevet et utviklet system for skjult binær enkoding til bruk i kryptering, ble det moderne binære totallsystem først fullt ut dokumentert av Gottfried Leibniz i det 17. århundre i hans artikkel Explication de l'Arithmétique Binaire. Mens Pingalas system bruker symbolene 1 og 2, bruker Leibniz 0 og 1 som det moderne totallsystemet.
Den britiske matematikeren George Boole publiserte i 1854 en forskningsartikkel som beskrev et logisk system som senere skulle bli kjent som boolsk algebra. Det viste seg at hans logiske system var nyttig i utviklingen av det binære system, særlig i implementeringen av den i elektroniske kretser.
Claude Shannon skrev sin masteravhandling A Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits i 1937. Denne beskrev for første gang i historien boolsk algebra og binær aritmetikk implementert med elektroniske reléer og brytere. Avhandlingen grunnla praktisk talt teorien bak design av digitale kretser.
George Stibitz, som da jobbet ved Bell Labs, ferdigstilte i november 1937 en relebasert datamaskin som han kalte for «Modell K» (etter «kjøkken», hvor han hadde satt den sammen), som kunne regne ved å bruke binær addisjon. Bell Labs godkjente derfor et forskningsprogram i slutten av 1938 med Stibitz ved roret. Deres Complex Number Computer, som ble ferdig den 8. januar 1940 kunne regne med komplekse tall.
I en demonstrasjon ved American Mathematical Society-konferansen ved Darthmouth College den 11. september 1940 kunne Stibbitz sende kommandoer over telefonlinjen til maskinen med en fjernskriver. Det var den første beregningsbaserte maskinen som noengang hadde blitt kontrollert over en telefonlinje. Noen av deltagerne på konferansen som overvar demonstrasjonen var John von Neumann, John Mauchly og Norbert Wiener som skrev om dette i sine memoarer.

Binær aritmetikk

Aritmetikk i totallsystemet er veldig likt aritmetikk i andre tallsystemer. Addisjon, subtrahering, multiplikasjon og divisjon kan gjøres på binære tall.

Dividering

Dividering i det binære tallsystemet er likt metoden brukt i det desimale tallsystem:

Bitvise logiske operasjoner

Selv om det ikke er direkte relatert til den numeriske tolkningen av binære symboler, kan sekvenser av bits bli manipulert ved å bruke Boolske logisk operator. Når en streng med binære symboler blir manipulert på denne måten kalles det en bitvis operasjon.
De logiske operandene AND, OR og Eksklusiv disjunksjon kan bli utført på samsvarende bits på to binære tall. Den logiske NOT operasjonen kan bli utført på individuelle bits i et enkelt binærtall. 
Slike operasjoner kan enkelte ganger bli brukt som aritmetiske snarveier, og kan også ha andre fordeler ved utregning. For eksempel kan man kutte av den siste biten av et binært tall (også kjent som binærskifting), tilsvarer å dele på to desimalt. 
Se bitvis operasjon.

Brøk

I titallsystemet heter desimalene tideler, hundredeler, tusendeler, titusendeler, hundretusendeler osv. Disse tallene er henholdsvis 10⁻¹, 10⁻², 10⁻³, 10⁻⁴, 10⁻⁵.
Sifrene til høyre for kommaet i totallsystemet representerer (i rekkefølge fra venstre mot høyre) 2⁻¹, 2⁻², 2⁻³, 2⁻⁴, 2⁻⁵ osv. Disse tallene er med andre ord 1/2, 1/4, 1/8, 1/16 og 1/32.
Tallet 0,01 i totallsystemet er en firedel. Ved å summere 0,1 og 0,001 får man at tallet 0,101 i totallsystemet er en halv pluss en åttedel, det vil si fem åttedeler.