Felix Klein

Kleins liv

Foreldrene til Klein var fra Prøyssen, og han gikk på gymnaset i Düsseldorf. Senere studerte han matematikk og fysikk ved Universitetet i Bonn fra 1865 til 1866, og meningen var da at han skulle bli fysiker. I 1868 tok Klein doktorgraden under veiledning av Julius Plücker, som var professor i matematikk og eksperimentell fysikk. Plückers store interesse på den tiden var geometri, og da han døde i 1868 uten å ha fullført den andre delen av sin bok Neue Geometrie des Raumes, var Klein den naturlige arvtakeren. 
I 1872 ble Klein professor i Erlangen i delstaten Bayern. Det var ikke så mange studenter i Erlangen på denne tiden, så det var med stor glede Klein tok i mot et professorat ved den tekniske høyskolen i München i 1875. Det samme året giftet han seg med Anne Hegel, barnebarn av den kjente filosofen Georg Wilhelm Friedrich Hegel. 
Etter fem år i München ble Klein professor i geometri ved Universitetet i Leipzig. I 1882 opplevde han en fysisk kollaps, og i et par år etter dette var han sterkt plaget av depresjoner. I 1886 tok han imot et professorat ved Universitetet i Göttingen. Her underviste han helt fram til han gikk av med pensjon i 1913. 
I Göttingen etablerte Klein et forskningssenter, og i 1894 ble det opprettet et professorat i didaktikk for de matematiske vitenskaper. Etter hvert ble dette forskningssenteret et svært toneangivende senter som fungerte som modell for mange av de beste forskningssentrene rundt om i verden. Klein introduserte ukentlige diskusjonsmøter, og han opprettet en matematisk lesesal og et bibliotek. I 1895 sørget Klein for at den kjente matematikeren David Hilbert ble knyttet til forskningssenteret i Göttingen. 
Under Kleins ledelse ble tidsskriftet Matematische Annalen ett av de aller beste matematiske tidsskriftene i verden. Tidsskriftet ble grunnlagt av Clebsch, men det var først da Klein tok over at det ble virkelig utvikling. Han organiserte en liten gruppe av redaktører som møttes regelmessig og tok demokratiske avgjørelser. Spesialområdene til tidsskriftet var blant annet kompleks analyse og algebraisk geometri, men det ble også viktig for utviklingen av reell analyse og den nye gruppeteorien. 
Omkring år 1900 begynte Klein å interessere seg særlig for matematikkundervisning i skolene, og i 1908 ble han valgt til president i det nystartede International Commission on Mathematical Instruction (ICMI). Under Kleins ledelse publiserte den tyske grenen av ICMI en stor mengde bøker om undervisning i matematikk på alle nivåer. 
I 1893 fikk Klein De Morgan medaljen av London Mathematical Society. I 1885 ble han utnevnt til medlem av Royal Society, og i 1912 fikk han Copley medaljen ved Royal Society. Året etter trakk han seg tilbake på grunn av dårlig helse, men han fortsatte å undervise i matematikk fra hjemmet sitt i enda noen år.

Kleins arbeider

Kleins første viktige matematiske oppdagelser ble gjort i 1870. I samarbeid med den norske matematikeren Sophus Lie oppdaget han de grunnleggende egenskapene til asymptotiske linjer i såkalte Kummer-flater. De fortsatte å undersøke W-kurver, som er en type kurver som er som er invariante under en gruppe av projektive transformasjoner. Det var Lie som introduserte Klein for gruppebegrepet, som skulle spille en viktig rolle i hans videre liv som matematiker. 
Klein laget også den såkalte Klein-flasken, som er en lukket flate med bare én side. Dette er en figur som ikke kan konstrueres innenfor det euklidske rombegrepet, og det kan best beskrives som en sylinder som går i loop tilbake gjennom seg selv, for så å kobles sammen med sin egen ende. En Klein-flaske er bare mulig å konstruere i et ikke-euklidsk rom, og det vil da være en figur helt uten kanter. Hvis en maur begynner å gå langs overflaten på en slik flaske vil den aldri falle utfor noen kant, og den vil alltid komme tilbake til samme sted på en eller annen måte. 
I 1890-årene vendte Klein tilbake til den matematiske fysikken, et emne som han aldri helt hadde forlatt, og sammen med sin elev Arnold Sommerfeld skrev han om gyroskopet. På denne tiden var han også med og redigerte de fire bindene om mekanikk i Encyklopedie der Mathematischen Wissenschaften.

Erlangen-programmet

I 1871, mens han var i Göttingen, gjorde Klein noen viktige oppdagelser i geometri. Han publiserte to artikler som viste at både euklidske og ikke-euklidske geometrier kunne oppfattes som spesialtilfeller av en projektiv flate med et spesifikt tilhørende kjeglesnitt. En viktig setning som ble utledet ut fra dette arbeidet var at ikke-euklidsk geometri var konsistent hvis og bare hvis euklidsk geometri var det. 
Kleins syntese av geometri som studiet av egenskaper ved et rom som er uforandret under en gitt transformasjonsgruppe ble kjent som Erlangen-programmet, og dette hadde stor betydning for den videre utviklingen av matematikken. Dette programmet foreslo en tilnærming til geometrien som stadig er det aksepterte synet blant matematikere.