Tullio Levi-Civita

Vitenskapelige bidrag

Da Levi-Civita begynte å studere ved universitetet i Padovo, var Ricci allerede opptatt med å videreutvikle tensorregningen etter de grunnleggende bidragene av Riemann og Christoffel. Mye av dette var konsentreret rundt eksistensen av invarianter til kvadratiske former under koordinattransformasjoner. Levi-Civita utvidet disse undersøkelsene basert på nye metoder utviklet av Sophus Lie og publiserte resultatene i 1894 som en del av sitt avsluttende diplomarbeid. Samarbeidet med Ricci fortsatte etter at han ble ansatt ved det samme universitetet. Dette resulterte i en stor oversiktsartikkel om tensorregning som de publiserte i 1900. Det var i denne at  Grossmann og Einstein noen år senere skulle finne det matematiske språket de behøvde for å formulere den generelle relativitetsteorien.

Trelegemeproblemet

På samme tid ble Levi-Civita opptatt av trelegemeproblemet i celest mekanikk. Dette omhandler eksistensen av stabile baner i et system med tre masser som beveger seg under påvirkning av de gjensidige tyngdekreftene. Etter at Poincaré i 1889 hadde blitt beæret med en pris av Oscar II for oppdagelsen av grunnleggende nye egenskaper til dette astronomiske problemet, var det blitt av interesse for mange matematikere. Levi-Civita undersøkte spesielt de singulære situasjonene som kan oppstå når to av massene kolliderer. Han skrev mange arbeid i dette feltet som ble summert opp i en større artikkel som kom ut i 1920. Disse undersøkelsene ble også utvidet til å gjelde et vilkårlig antall legemer og gjort mer presise ved å inkludere relativistiske effekter.

D'Alemberts paradoks

Når et legeme beveger seg gjennom en væske som er beskrevet ved de hydrodynamiske Euler-ligningene, vil løsningen av disse gi at legemet beveger seg uten motstand. Det strider mot alle obervasjoner og omtales som «d'Alemberts paradoks». Dette problemet ble i stor grad løst i 1901 da Levi-Civita publiserte et arbeid hvor han viste at motstanden  skyldes et turbulent kjølvann som oppstår  bak legemet. Euler-ligningene gjelder fortsatt utenfor dette og gir en motstand som er proporsjonal med kvadratet av hastigheten til legemet, noe som er i god overensstemmelse med målinger. I årene som fulgte skrev han flere arbeid om samme tema. Hans forklaring av problemet er den som ligger til grunn for mer nøyaktige beregninger som utføres i dag.

Parallellforskyvning

Levi-Civita tok opp igjen tensoranalysen i forbindelse med Einsteins søken etter en generell relativitetsteori. De var også i aktiv korrespondanse mens dette foregikk. Riemannsk geometri fikk dermed direkte fysisk relevans, og Levi-Civita så nødvendigheten av å gi denne mer geometrisk innhold. I et viktig arbeid fra 1917 viste han hvordan man kunne definere parallelle vektorer i slike krumme rom. Retningen til to vektorer som befinner seg i forskjellige punkt, kan sammenlignes ved at den ene «parallellforskyves» til samme punkt hvor den andre vektoren befinner seg. Denne parallellforskyvingen tilsvarte at vektoren forflyttes langs en geodetisk kurve mellom de to punktene slik at den hele tiden danner samme vinkel med tangenten til kurven. På denne måten fikk også kovariant derivasjon av vektorer en mer geometrisk og dermed enklere forklaring.
En direkte konsekvens av samme tankegang kom frem noen få år senere da det ble vist at Riemanns krumningstensor også kan gis et lignende, geometrisk innhold. Transporteres en vektor parallelt rundt en lukket kurve, så måler denne tensoren forandringen i vektorens retning etter rundturen. I nyere tid blir omtrent samme betraktningsmåte benyttet til å gi en geometrisk begrunnelse for gaugeteorier som spiller en fundamental rolle i moderne elementærpartikkelfysikk.