Affin geometri

Affin geometri er en forenklet utgave av euklidsk geometri. Den omhandler punkter og rette linjer i et affint rom, men inneholder ingen sirkler.  Man har derfor ikke muligheten for å konstruere en rett vinkel. Mer generelt kan man derfor heller ikke snakke om vinkelen mellom to linjer som skjærer hverandre. Dette har også som konsekvens at Pythagoras setning ikke gjelder slik at man ikke kan bestemme lengder av forskjellige linjestykker.
Men parallellaksiomet til Euklid skal være gyldig. Gitt et punkt utenfor en linje, kan man derfor alltid finne en linje gjennom dette punktet og parallell med den gitte linjen. Eksistensen av parallelle linjer gjør det også mulig å geometrisk dele opp et linjestykke i mindre deler med samme, relative lengder. På den måten er det mulig å angi lengden av et linjestykke i forhold til et annet linjestykke i samme retning. Dermed kan man benytte delingsforholdet til å beskrive relative avstander mellom punkt på samme linje.

Punkter og linjer

Gjennom to punkt P og Q i  det affine rommet kan det trekkes en rette linje. Linjestykket PQ kan man tenke seg som en pil som starter i P og med spissen i Q. Matematisk kan man da skrive at Q = P + v  hvor vektoren v = Q - P tilsvarer denne pilen. Den står for en forskyving eller forflytning fra P til Q. Punktet Q + v = P + 2v  kan da konstrueres og tilsvarer en dobbelt så lang forflytning fra utgangspunktet P.  Generelt kan punktet Q' = P + av  nå finnes hvor a er et vilkårlig tall. Fra forskyvninger i motsatt retning, kan man likedan definere den negative vektoren -v = P - Q . Ved parallellforskyvning kan disse vektorene tenkes å virke på ethvert punkt i det affine rommet hvor de vil gi tilsvarende forflytninger uansett utgangspunkt.
Hvis man har et tredje punkt R utenfor linjen gjennom P og Q, har man samtidig en ny vektor u = R - P. Det gjør det så mulig å konstruere et fjerde punkt S = R + v. Det kan skrives som S = P + w  hvor vektoren w = u + v  fremkommer ved vanlig addisjon av vektorer som er konsistent med at S = Q + u.

Koordinatsystem

Da det ikke eksisterer noen rette vinkler i et affint rom, kan man ikke benytte et kartesisk koordinatsystem til å stedfeste punkter i rommet. Men da alle punkter kan angis i forhold til et endelig antall referansepunkter, er det likevel mulig å koordinatisere dette rommet på andre måter.  For det n-dimensjonale, affine rommet Aⁿ behøver man n + 1 slike referansepunkt. Det tilsvarer at det kan inneholde maksimalt n lineært uavhengige vektorer.

Endelige geometrier

Et affint rom med et endelig antall punkter og linjer, sies å ha en endelig geometri. Hver av disse kan formuleres som en insidensgeometri. Skal den være affin, må spesielt parallellaksiomet være oppfylt. Det garanterer at gjennom hvert punkt utenfor en linje går det nøyaktig en parallell linje.
De forskjellige koordinatene man bruker i affin geometri, er vanligvis reelle tall R. Det affine rommet med m dimensjoner over denne kroppen kan da betegnes som Aᵐ(R). Benytter man i stedet en  endelig tallkropp, vil man da få en endelig geometri. Da disse tallkroppene kalles Galois-kropper, blir den resulterende geometrien ofte omtalt som en Galois-geometri.

Galois-geometrier

Affine plan kan også konstrueres ved å gå ut fra endelige, Galois-kropper. Det enkleste tilfellet får man ved å benytte binære tall, 0 eller 1. Denne tallkroppen kalles vanligvis for F₂. Et affint plan over denne endelig kroppen betegnes da med A²(F₂) og inneholder bare fire punkter. De har affine koordinater (0,0), (0,1), (1,0) og (1,1). Ingen andre punkt kan eksistere i dette affine planet. Det har orden n = 2.
Betegner man de to affine koordinatene som (x,y), kan en linje i dette planet skrives som y = ax + b hvor også koeffisientene a og b er binære tall. Det gir opphav til de fire linjene y = 0, y = 1, y = x og y = x + 1. I tillegg har man de to "vertikale" linjene x = 0 og x = 1. Det gir i alt seks linjer som vist i figuren. På hver linje ligger det to punkt, mens gjennom hvert punkt løper det tre linjer. Til hver linje finnes det en parallell linje, det vil si at den ikke har noen felles punkt med den gitt linjen. Dette utgjør den såkalte firepunktsmodellen for det affine planet. 
En annen måte å betrakte den, er å tenke seg de fire punktene på hjørnene av et tetraeder. Sider som forbinder forskjellige hjørner, kan da betraktes å være parallelle hvis tetraederet brukes som en illustrasjon av dette affine planet.
Ved å benytte større tallkropper Fₙ  med n > 2  tall, kan man på samme måte konstruere større, affine plan. Det vil da inneholde n² punkter. Hver linje vil inneholde n  punkt som følger fra å angi dem med linjekoordinater. Hvis man tenker seg et punkt P utenfor en linje p, vil det være en linje gjennom P som er parallell med denne linjen. Alle andre linjer gjennom P må skjære linjen p i et punkt. Da den inneholder i alt n punkt, er det totale antall linjer gjennom hvert punkt P lik n + 1. Hver linje er av formen y = ax + b hvor det er i alt  n² mulige kombinasjoner av koeffisientene (a,b). I tillegg er det n vertikale linjer av formen x = k da også konstanten k må tilhøre tallkroppen Fₙ. Det totale antall linjer i planet er derfor n² + n. Firepunktsmodellen har n = 2 og inneholder seks linjer som tidligere funnet.
Et annet eksempel er det affine planet med orden n = 3. Det har i alt ni punkter og tolv linjer. Disse kan organiseres i fire grupper, hver med tre parallelle linjer som vist i figuren.