Laplace-ligning

Elektrisk potensial

Da Coulombs lov for elektriske krefter har samme form som Newtons gravitasjonslov, er det å forvente at Laplace-ligningen også vil kunne beskrive det elektriske potensialet φ. Det følger fra Maxwells ligninger. Hvis man ikke har noe magnetisk felt, sier Faradays induksjonslov at  det elektriske feltet E må oppfylle  ∇ × E = 0. Det må derfor kunne skrives som gradienten av potensialet, det vil si at E = - ∇ Φ. Når man i tillegg er i et område hvor det ikke er noen elektriske ladninger, sier Maxwells første ligning at ∇ ⋅ E = 0. Det betyr at ∇ ⋅ ∇ Φ = ∇ ²Φ = 0 som er Laplace-ligningen. Den tillater ofte å finne løsninger for det elektriske potensialet og derav feltet E, noe som er lettere enn å beregne det elektriske feltet direkte.

Potensialstrømning

En ideell væske beskrives ved Euler-ligningene. Under vanlig forhold er væsken virvelfri. Det betyr at curl til dens hastighet v  er null, det vil si at ∇ × v = 0. På samme måte som for det elektriske feltet, betyr det at hastighetsfeltet til væsken må kunne skrives som gradienten av et potensial Ψ. Da har man at v = ∇ Ψ og bevegelsen til væsken sies å være en potensialstrømning. I stedet for en beskrivelse ved de tre komponentene til  vektorfeltet v, kan man da klare seg med den ene potensialfunksjonen Ψ.
Beregning av dette potensialet forenkles når væsken i tillegg er  inkompressibel, det vil si at den medfølgende tettheten er konstant. Kontinuitetsligningen sier da at væskens hastighet v tilfredsstiller ∇ ⋅ v = 0.  Benytter man her kravet v = ∇ Ψ om virvelfrihet, følger igjen Laplace-ligningen 
∇ ²Ψ = 0. 
Dette er vanligvis en tredimensjonal ligning da potensialet avhenger av tre koordinater, det vil si at Ψ = Ψ(x,y,z). Men løsning av den todimensjonale ligningen kan også ha praktisk betydning. For eksempel, så følger det fra Young-Laplace-ligningen for en glatt hinne av såpevann med en høyde H = H(x,y) over et plant referansenivå, at den er bestemt av ∇ ²H = 0 hvor nå Laplace-operatoren involverer bare de to koordinatene x og y. Den glatte egenskapen til denne flaten og likedan såpebobler er en konsekvens av overflatespenningen til såpevannet.

Homogene polynom og harmoniske løsninger

I N = 2 dimensjoner er det kun løsningen ln(x² + y²)  som er rotasjonssymmetrisk. Men oppgis dette kravet, er det en uendelighet av andre løsninger. En spesiell klasse  er homogene polynom. De to enkleste er xy og x² - y² som er slike polynom av andre grad og oppfyller Laplace-ligningen. Uttrykkes disse i polare koordinater x = r cosθ og y = r sinθ, er de to løsningene proporsjonale med henholdsvis r ²sin 2θ og r ²cos 2θ. 
Denne sammenhengen kan man også se ved å betrakte homogene polynom av tredje grad. Av dem er der fire, nemlig x ³, x ²y, xy ² og y ³. Men bare de to kombinasjonene 3x ²y - y ³ og 3y ²x - x ³ oppfyller Laplace-ligningen. I polarkoordinater kan de skrives som henholdsvis r ³sin 3θ og r ³cos 3θ når man benytter de Moivres formler. Og slik fortsetter det for polynom av høyere grad. Disse spesielle løsningene sies å være harmoniske da de kan uttrykkes ved trigonometriske funksjoner som beskriver harmoniske svingninger.

Maksima og minima

Middelverditeoremet legger store krav på formen til harmoniske funksjoner. Det viktigste er at de ikke kan ha noe lokalt maksimum eller minimum innenfor et begrenset område. Slike ekstremalpunkt kan eventuelt kun finnes på randen av området. Grunnen er at hvis det for eksempel fantes et lokalt maksimum inni området, så kunne ikke dette være middelverdien av punktene på en liten kuleflate som omslutter punktet da alle verdiene på denne ville være mindre enn verdien i det gitte punktet. Tilsvarende ville gjelde for et lokalt minimum.