Affint rom

Et affint rom i matematikken er en utvidelse av et vektorrom hvor punkter og vektorer er mer uavhengige av hverandre. Alle punktene i rommet har samme betydning, og det har derfor ikke noe origo. Punktene kan derfor heller ikke angis ved bruk av posisjonsvektorer som ved bruk av kartesiske koordinater.
Men to vilkårlige punkter kan alltid knyttes sammen med en vektor og definerer en linje. Denne kan parallellforskyves omkring i rommet og på den måten gi ekvivalente vektorer. I motsetning til et euklidsk rom er lengden og vinkler mellom vektorer i et affint rom ikke definerte. Kun forhold mellom avstandene til punkt på samme linje kan bestemmes. Parallellforskyving er den basale operasjon man kan utføre og gir opphav til affin geometri som kan generaliseres til projektiv geometri. Disse geometriene er mer generelle enn euklidsk geometri idet to av Euklids fem aksiomer ikke lenger er gyldige.
Affine relasjoner mellom punkt og vektorer ble først diskutert av Leonhard Euler på midten av 1700-tallet, men vakte liten interesse. Først knapt hundre år senere gjennom arbeidene til August Möbius ble disse tankene tatt opp av andre og videreført. Det affine rom fikk et mer veldefinert fundament spesielt etter at Felix Klein påviste at dets egenskaper kunne utledes matematisk direkte fra egenskaper ved den tilsvarende symmetrigruppen som en del av hans Erlangen-program.

Punkt og vektorer

I to dimensjoner ser et affint rom ut som et blankt ark hvor man kan tegne inn punkt og rette linjer. Der er ikke noe origo eller koordinatsystem, men hver rett linje man kan tegne inn, angir samtidig retningen til en mulig vektor. De kan parallellforskyves omkring, og mellom to punkt kan det alltid legges en rett linje. Dette rommet  har to dimensjoner og betegnes vanligvis som A². Mer generelt har det n-dimensjonale, affine rommet Aⁿ de samme egenskapene.
Mer nøyaktig, man kan forbinde to vilkårlige punkt P og Q  med en vektor v  og utrrykke denne sammenhengen ved relasjonen v = (Q - P). Dette kan visualiseres som et rettet linjesegment som starter i punktet P og går til punktet Q.  Man kan tegne dette som en pil med halen i P og spissen i Q som vist i figuren.
Omvendt kan man skrive at Q = P + v. Det betyr at punktet Q finnes ved å først gå til P  hvorfra man forskyver seg et rettet stykke v. Punktet P + 2v  ville bety at man forflyttet seg dobbelt så langt fra P i samme retning. Dette kan lett generaliseres da hver vektor kan multipliseres med et reelt tall som i alle vektorrom Rⁿ. Dette tallet kan være positivt, negativt eller null. Er a = 0, vil av = 0  hvor 0  er nullvektoren. Det betyr at vektoren (P - P) = 0   og tilsvarende for forskyvningen mellom andre, identiske punkt
Vektorer kan man regne med som i normale vektorrom. Og differansen Q - P definerer et vektor. Likedan kan man addere et punkt til en vektor som gir et nytt punkt. Derimot kan man ikke uten videre addere to punkt som man kan i et euklidsk rom med posisjonsvektorer. Klare regneregler må formuleres som aksiom, selv om de kan se selvinnlysende ut. For eksempel, fra definisjonen v = (Q - P) må man ha at (P - Q) = - (Q - P) da den motsatte vektoren  -v er allerede antatt å eksistere. Derfor må også Q = P + (Q - P). Her opptrer et punkt på begge sidene av likhetstegnet. På samme måte må derfor (Q - P) + v = (Q + v) - P  for to vilkårlige punkt P  og Q  hvor  v nå er en eller annen vektor. Begge sider av relasjonen er her vektorer som vist i figuren. Er u en vektor, må også (P + u) + v = P + (u + v) definere samme punkt.
Disse antagelsene følger som om parentesene ikke fantes. For eksempel, med et tredje punkt R = Q + (R - Q) hvor Q = P + (Q - P), vil man ha at R = P + (Q - P) + (R - Q) slik at  (R - Q) + (Q - P) = (R - P).  Begge sidene av ligningen definerer en vektor, og den er i overensstemmelse med loven for vanlig vektoraddisjon som illustrert i figuren.
Med denne direkte sammenhengen mellom differanser av punkt og ekvivalent vektorer, kan man gjennomføre noen entydige beregninger. Derimot kan vilkårlige punkter ikke uten videre adderes. Det kan kun gjøres når de vektes på en spesiell måte som kalles en affin kombinasjon av punktene. På den måten kan man foreta mye mer generelle beregninger i det affine rommet.

Geometrisk bilde

Kort sagt er et affint rom et vektorrom uten et origo. Derfor er for eksempel enhver linje i planet R²  gjennom origo (0,0)  ikke noe affint rom, men punktene på en linje utenom ligger i det affine rommet A¹. Alle punkt P = (x,y) på denne linjen kan angis som  P = P₀ + λv  hvor P₀ = (a,b) er et vilkårlig punkt  og v = (1,k)  er en vektor i R²  hvis tilsvarende pil har en helning gitt ved k. Denne affine linjen har ligningen y = k(x - a) + b  og hvilket som helst punkt på den kan velges som origo. Differansen mellom to punkt i dette rommet er nå en ren vektor, P₁ - P₂ = (λ₁ - λ₂)v .
I det tredimensjonale vektorrommet  R³  er på tilsvarende vis hvert plan som går utenom origo (0,0,0), et affint rom  A². Velges dette å være z = 1  som er parallelt med xy - planet og går gjennom punktet (0,0,1), kan alle punkt P  i dette planet angis som P = (x₁,x₂,1). Differansen mellom to punkt blir da av formen v = (v₁,v₂, 0), og man har en koordinatisering som ved bruk av homogene koordinater. I dette bildet befinner de affine punktene seg i planet z = 1 , mens vektorene ligger i planet z = 0 .