Sykliske grupper

Definisjon

En gruppe G kalles syklisk om det er et element g i G slik at  G = ⟨g⟩ = { gⁿ | n is an integer }.   
Siden enhver gruppe generert av et element g i gruppn er en undergruppe av den gitte gruppen, så  for å vise at G er syklisk er det nok å vise at den eneste undergruppen av G som inneholder g er Gselv (hvor g er gruppens generator).  
For eksempel, hvis G = { g⁰, g¹, g², g³, g⁴, g⁵ }  er en gruppe, så er g⁶ = g⁰, og G er syklisk. G er i praksis det samme som (i matematisk språk, isomorf med) 
mengden { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } med addisjon modulo 6.  For eksempel, 1 + 2 ≡ 3 (mod 6) svarer til g¹ · g² = g³,  and 2 + 5 ≡ 1 (mod 6) svarer til g² · g⁵ = g⁷ = g¹, og så videre.   Man kan bruke isomorfismen χ  definert ved χ(gⁱ) = i.   
Navnet "syklisk" kan være misvisende: Det er mulig å generere uendelig mange elementer, men ikke danne noen sykler i bokstavelig forstand;  det vil si, alle  gⁿ er forskjellige.  (Det kan tenkes som å ha en uendelig lang sykel.) En gruppe generert på denne måten (for eksempel, den første frieze group, p1) kalles en uendelig syklisk gruppe, og er isomorf med den additive gruppen av de hele tallene,  (Z, +).

Hele tall og modulær addisjon

Mengden av de hele tallene, med operasjonen addisjon, danner en gruppe. Den er en uendelig syklisk gruppe, fordi alle hele tall kan skrives som en endelig sum eller differanse av kopier av tallet 1. I denne gruppen er 1 og −1 de eneste generatorene. Alle uendelige sykliske grupper er isomorf til denne gruppen.   
For hvert hele positive tall n, så danner mengden av hele tall modulo n en endelig syklisk gruppe, igjen med operasjonen addisjon.  Et element g er en generator for denne gruppen hvis g er  relativt primisk til n.  Enhver endelig syklisk gruppe er isomorf til en gruppe Z/n, hvor n er ordenen til gruppen.  
Addisjon av hele tall og modulær addisjon, brukt for å definere sykliske grupper, er begge addisjonsoperasjoner  i kommutative ringer, som også betegnes som Z and Z/n. Hvis p er et primtall, så er Z/p en endelig kropp, og skrives vanligvis som Fₚ  eller som GF(p).  Enhver kropp med p elementer er isomorf til denne.

Modulær multiplikasjon

For hvert positivt heltall n, så vil delmengden av de hele tallene modulo n som er relativt primiske til n, med operasjonen multiplikasjon,  danne en endelig gruppe som for mange verdier av n er syklisk.  Det er den  group under multiplication modulo n,  og den er syklisk når n er 1, 2, 4, en  power of an odd prime, eller to ganger en potens av et odde primtall.    Dens elementer er units i ringen  Z/nZ; det er φ(n)  av dem, hvor igjen  φ  er Euler's phi-funksjon.  Denne gruppen skrives som (Z/nZ)×.  For eksempel,  (Z/6Z)× har som sine elementer {1,5}; 6 er to ganger et odde primtall (3), så dette er en syklisk gruppe.  Til sammenligning,  (Z/8Z)× (med elementer {1,3,5,7}) erKleingruppen og er ikke syklisk.  Når  (Z/nZ)×  er syklisk, så kalles enhver generator av (Z/nZ)× en  primitive root modulo n.   
Den sykliske gruppen (Z/pZ)× hvor p er et primtall, skrives også som (Z/pZ)* fordi den består av ikkenull-elementene i den endelig kroppen av orden p.  Mere generelt, enhver endelig undergruppe av den multiplikative gruppen til enhver kropp er syklisk.

Rotasjonssymmetrier

Mengden av rotasjonssymmetrier til et polygon danner en endelig syklisk gruppe.   Hvis det er n  forskjellige måter å avbilde polygonet til seg selv ved en rotasjon (som inkluderer nullrotasjonen) så er denne gruppen isomorf til Zₙ.  I dimensjon tre eller høyere så kan det eksistere andre endelige symmetrigrupper som ikke er sykliske,  men som ikke danner en mengde av rotasjoner rundt en akse. 
Gruppen S¹ av alle rotasjonene til en sirkel rundt sitt sentrum er ikke syklisk.  Ulike den uendelige sykliske gruppen, er den ikke engang tellbar.  Det finnes også andre uendelige rotasjonsgrupper som er tellbare men ikke sykliske,  så som mengden av rotasjoner ved rasjonale vinkler.

Undergrupper og notasjon

Alle undergrupper og kvotientgrupper til sykliske grupper er sykliske. Spesielt, så er alle undergrupper til Z av formen mZ,  hvor m er et heltall ≥0.  Alle disse undergruppene er forskjellige fra hverandre, og bortsett fra den trivielle gruppen (for m = 0) så er alle isomorfe til Z.  Gitteret (eller lattice) av undergrupper  av Z er isomorf til dualen til gitteret av naturlige tall ordnet ved dividerbarhet. Spesielt, siden primtallene er de tallene som ikke har ikketrivielle divisorer,  så er en syklisk gruppe enkel hvis og bare hvis ordenen (antall elementer) er primisk.     
Siden de sykliske gruppene er abelsk, så skrives de ofte additivt og betegnes Zₙ med identitetselemetet skrevet 0.  Men, denne notasjonen kan være problematisk for tallteoretikere fordi den er i konflikt med den vanlige notasjonen for p-adic numberringer eller  localization ved et primideal.  kvotientnotasjonen Z/nZ, Z/n, og Z/(n) 
er standardalternativer.  
Man kan istedenfor skrive gruppen multiplikativt,  og betegne den som Cₙ, hvor n er ordenen for endelige grupper, og som C for den uendelige sykliske gruppen.  For eksempel,   g²g⁴ = g¹ i C₅,  mens 2 + 4 = 1 i Z/5Z.
Alle kvotientgrupper av Z er endelige, bortsett fra det trivielle unntaket Z/{0} = Z/0Z.   For enhver positiv divisor d av n,  så har kvotientgruppen Z/nZ nøyaktig en undergruppe av orden d,  den som er genert av restklassen til n/d.  Det er ingen andre undergrupper.  
Ved bruk av kvotientgruppe-formalismen,  så er Z/nZ standardnotasjon for den additive sykliske gruppen med n elementer.  I  ring-terminologi, så er undergruppen nZ et ideal (n),  så kvotienten kan også skrives som Z/(n) eller Z/n uten misbruk av notasjon.  Disse alternativene er ikke i mkonflikt med notasjonen for de p-adiske heltallene.  Den siste formen er svært vanlig i uformlle beregninger,  den har i tillegg den fordelen at den leses på samme måten som den gruppen eller ringen den beskriver, på norsk, "Zet mod en".