Konstruerbare tall

Konstruerbare tall tall er definert å være lengder av linjestykker i det euklidske planet som lar seg konstruere kun ved bruk av passer og linjal. De vil derfor kunne kombineres ved de fire aritmetiske regneoperasjonene addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon samt ha en konstruerbar kvadratrot. Kubikkrøtter og høyre røtter lar seg ikke beregne ved slike konstruksjoner. Disse går historisk tilbake til de klassiske problemene som har med sirkelens kvadratur, kubens fordobling og vinkelens tredeling å gjøre.
Gitt to punkter i planet, kan disse forbindes med en rett linje. På dette linjestykket kan ved en geometrisk konstruksjon basert på Thales' transversalteorem settes av et endelig antall, ekvidistante punkter. Hvert slikt punkt vil ha en avstand fra endepunktet til det gitte linjestykket som er en viss brøkdel av dette og tilsvarer derfor et rasjonelt tall. Slike ekvidistante punkt kan på samme måte legges ut i andre retninger og punktene i dette euklidske planet vil derfor ha koordinater som er rasjonelle tall og utgjør tallkroppen Q.
Ved en geometrisk konstruksjon som vist i figuren, kan man også konstruere kvadratrøtter som for eksempel √2. Dette er ikke lenger et rasjonelt tall, men irrasjonelt. Det gir opphav til en ny lengde som vil tilsvare punkter med koordinater av formen a + b√2 hvor både a og b er rasjonelle. Disse nye tallene tilhører en utvidelse av tallkroppen Q og betegnes ved Q(√2). Da en kvadratrot tilsvarer løsningen av en andregradsligning, sies denne utvidelsen av Q å være av andre grad.
Benytter man disse nye punktene i videre, geometriske konstruksjoner som involverer kvadratrøtter, vil det igjen gi nye punkt med koordinater i en tallkropp med den dobbelte grad, det vil en med grad 4 = 2² over utgangskroppen Q. Slik kan man fortsette og dermed bygge opp tallkropper med grad  2ᵐ over den opprinnelige. Denne sammenhengen mellom geometriske konstruksjoner og tallteori ble først forstått av Carl Friedrich Gauss rundt 1800 og bevist av Pierre Wantzel vel tredve år senere. Dette åpnet opp et nytt, matematisk felt som også var intimt forbundet med Niels Henrik Abels arbeid rundt løsning av  polynomligninger og dets videreføring av Evariste Galois. I dag blir ofte alt dette omtalt som en del av moderne Galois-teori.

Aritmetiske regneoperasjoner

For at to konstruerbare tall a og b skal tilhøre en tallkropp må de kunne kombineres ved de  fire aritmetiske regneoperasjonene addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon ved geometriske konstruksjoner. De to første kan enkelt utføres ved å forlenge eller forminske linjestykket med lengde a med en lengde b. Dette kan alltid gjøres ifølge de fundamentale aksiomene i euklidsk geometri.

Multiplikasjon

Tallet a og vil tilsvare et linjestykke OA i figuren. Gjennom punktet O trekkes en vilkårlig linje. På den settes av et punkt P slik at lengden av linjestykket OP tilsvarer den lengdeenheten man har valgt å bruke. Videre settes av på samme linje et punkt B slik at OB har lengden b som er den andre faktoren i multiplikasjonen. Punktene A og P forbindes med en linje. En ny linje konstrueres så gjennom punktet B slik at den er prallell med AP.  Den skjærer forlengelsen av OA i et punkt C. Lengden av linjestykket OC  er nå produktet c = ab.
Bevis for dette resultatet følger fra Thales' transversalteorem. Det sier at OC/OA = OB/OP  som betyr at c/a = b  som gir c = ab. Dette argumentet er ekvivalent med å benytte at trekantene OAP og OCB er likeformete da linjestykkene AP og CB er parallelle.

Divisjon

Divisjonen a/b utføres geometrisk ved å merke av de tilsvarende linjestykkene på samme måte som ved multiplikasjon. Men nå forbindes punktene A og B med en linje. Gjennom punktet P trekkes en ny linje som er parallell med denne. Den skjærer linjen gjennom O og A i et nytt punkt C. Linjestykket OC har nå lengden c = a/b  som er det ønskede resultatet.
Igjen sees fra figuren at OC/OP = OA/OB som gir direkte resultatet c = a/b  av divisjonen. Det følger fra at trekantene OCP og OAB er likeformete da linjestykkene CP og AB er parallelle med hverandre.

Kvadratrot

Kvadratroten av et produkt ab  av to tall a og b kan konstrueres geometrisk ved å merke av de tilsvarende linjestykkene på en linje ut fra et punkt O som vist i figuren til venstre. Velges for eksempel a å være lengdeenheten som man ønsker å benytte, vil konstruksjonen derfor gi kvadratroten av b.
Selve kvadratroten kommer frem ved å konstruere en sirkel som har linjestykket AB som diameter. Gjennom punktet O trekkes en rett linje vinkelrett på AB. Den skjærer den øvre halvsirkelen i punktet C. Linjestykket OC  har nå lengden c = √(ab).
Beviset for dette er en konsekvens av Thales' halvsirkelteorem som sier at vinkelen C i trekanten ABC er en rett vinkel. Trekantene AOC og COB er derfor likeformete da deres hjørnevinkler er like store. Det betyr at AO/OC = OC/OB eller a/c = c/b slik at c² = ab. Herav følger så resultatet som sier c er det geometrisk gjennomsnittet av a og b.