Insidensgeometri

Insidensgeometri er en strengt logisk formulering av relasjoner mellom punkter, linjer og plan som inngår i forskjellige geometrier. Dette ble gjort som et resultat av oppdagelsen av ikke-euklidske geometrier i første halvdel av attenhundretallet. Disse viste at parallellaksiomet som Euklid hadde postulert, ikke er generelt gyldig. Det ble derfor viktig å undersøke egenskapene til mer generelle geometrier og hvilke antagelser som må gjøres for at disse er logisk konsistente. Spesielt viktig var bidraget til den tyske matematiker David Hilbert som i 1899 formulerte et sett med mer grunnleggende aksiom som kort tid etter ble publisert i hans verk Grundlagen der Geometrie. 
Noe av det første som her ble klarlagt, var betydningen av relasjoner som sier at et punkt ligger på en linje eller en linje ligger i et plan. At et punkt ligger på en linje er ensbetydende med at linjen går gjennom punktet. Det sammenfattes ved å si at de er insidente. Enhver geometri kan i stor grad bygges opp fra slike insidensrelasjoner sammen med andre postulerte egenskaper.

Affine plan

Med flere punkt kan man på tilsvarende måte konstruere mer kompliserte geometrier.  Legges et nytt punkt S til, har man da fire punkter og kan i alt lage seks linjer. De er gitt ved mengdene  {P,Q}, {Q,R}, {R,P}, {S,Q}, {S,R} og {S,P}. Dette blir kalt for firepunktsmodellen og er illustrert i figuren. 
Den har tre par med parallelle linjer. For eksempel, et par består av linjene {P,Q} og {R,S}. En slik insidensgeometri hvor det til hver linje finnes minst en parallell linje, kalles et affint plan.
En modell med N  punkter vil ved denne konstruksjonen med to punkt på hver linje, gi opphav til en geometri med N(N + 1)/2 linjer. Men disse vil ikke oppfylle parallellaksiomet. Men med ni punkter og med tre punkt på hver linje er det mulig. En slik modell vil inneholde i alt tolv linjer og beskriver igjen et affint plan.

Projektive plan

Mens en affin geometri oppstår i en insidensgeometri ved at den inneholder parallelle linjer, vil en projektiv geometri ikke ha noen parallelle linjer. To punkt definerer alltid en linje, mens hvilke som helst to linjer vil skjære hverandre i et punkt. Derfor er trepunktsmodellen det enkleste eksemplet på et projektivt plan, men triviell. 
Det minste, ikke-trivielle, projektive plan inneholder syv punkt. Kalles de A, B, ...., G, kan man forme syv linjer {A,B,D}, {D,E,G}, {A,C,G}, pluss  {G,F,B}, {A,F,E}, {D,F,C}  og til slutt {B,C,E} som er linjen i det uendelige. De inneholder alle tre punkter, og gjennom hvert punkt går det tre linjer.
At det er like mange punkt som linjer i den projektive syvpunktsmodellen, er en symmetri som kalles for dualitet. Ethvert utsagn om et visst antall punkt har et tilsvarende utsagn for de samme antall linjer. Det er denne dualiteten som gjør projektiv geometri så elegant og grunnleggende.
Linjen i det uendelige inneholder punktene hvor de parallelle linjene i det affine planet kan tenkes å skjære hverandre. Hvis man derfor fjerner linjen {B,C,E}  fra syvpunktsmodellen sammen med dens punkt B, C og E, står man igjen med den affine firepunktsmodellen.
I et generelt, projektivt plan vll alle linjer skjære hverandre. Det finnes derfor ikke noen parallell linje gjennom et punkt utenfor en gitt linje. Dette planet sies derfor å ha en elliptisk geometri.

Hyperbolsk plan

I euklidsk geometri kan man derimot gjennom hvert punkt trekke en bestemt parallell til en annen linje. Denne vil da ikke skjære den gitte linjen. Dette følger fra parallellaksiomet. Hvis man ikke forlanger at dette skal være gyldig, oppstår en ny, ikke-euklidsk geometri i et hyperbolsk plan som ble oppdaget av Bolyai og Lobatjevskij på midten av 1800-tallet.  I dette planet vil det gjennom hvert punkt utenfor en linje finnes et uendelig antall andre linjer som ikke skjærer den gitte linjen. Disse kan da i utgangspunktet alle sies å være parallelle linjer. Men nærmere betraktninger viser at det finnes to grenseparalleller som skiller de  linjene som ikke skjærer den gitte linjen, fra dem som skjærer den. Det viser seg da hensiktsmessig å kalle disse to grenseparallellene for de ekte parallellene. Man sier derfor at i det hyperbolske planet kan det trekkes to parallelle linjer gjennom et punkt utenfor en gitt linje.