Knuteteori

Knuteteori er den delen av topologien som beskriver de matematiske egenskapene til knuter. I motsetning til en vanlig knute på en snor hvor de to endene er frie (en knop), omhandler knuteteori lukkete knuter hvor endene av snoren er sammenfestet slik at knuten ikke kan knytes opp. Danner snoren en enkel sløyfe uten knuter,  kalles sløyfen en nullknute og kan tegnes som en sirkel.
Matematisk beskrives en knute som en avbildning av sirkelen inn i det tredimensjonale, euklidske rommet E³. To knuter anses som identiske hvis den ene kan forandres kontinuerlig over i den andre uten at snoren den er laget av, kuttes opp eller går gjennom seg selv. Hvis rommet derimot hatt fire dimensjoner, kunne alle knuter deformeres på denne måten  til nullknuten og dermed løsnes. Man kan derfor ikke knyte skoene sine i rom med mer enn tre dimensjoner.
En og samme knute kan se vidt forskjellig ut. Vanligvis fremstilles en knute ved et knutediagram som er en projeksjon av den på et plan. Hver slik projeksjon vil i alminnelighet se forskjellig ut. Der hvor to linjer krysser hverandre, kalles en krysning. Desto flere slike man har, desto mer komplisert kan knuten være. Men noen ganger kan den deformeres slik at noen eller alle krysningene forsvinner. Et fundamentalt problem i knuteteori er derfor å kunne avgjøre når to knutediagram representerer den samme knuten. Til det formål er det opp gjennom årene funnet stadig nye «knuteinvarianter» som er uavhengige av hvordan knuten beskrives. Dette er nå en sentral del av moderne topologi.
Det er vanlig å la knuteteori også omhandle lenker. Disse består av en eller flere knuter som er lenket sammen. Et vanlig, sirkulært bånd kan betraktes som en lenke med to komponenter hvor hver sidekant av båndet utgjør en knute og vanligvis fremstilles med hver sin farge. Et Möbius-bånd er derimot ingen lenke da dette bare har en sidekant.
Enhver 2-komponent lenke kan tilordnes et lenketall som er en topologisk invariant. Dette ble funnet av Gauss i 1833 og representerer begynnelsen av moderne knuteteori. Det ble gjenoppdaget av Maxwell i 1867 i forbindelse med den matematiske beskrivelsen av Ampères sirkulasjonslov for det magnetiske feltet.
Knuteteori har praktiske anvendelser i beskrivelsen av polymerer og deres forskjellige konfigurasjoner. Spesielt har dette vært nyttig i forbindelse med å forstå DNA-molekylet og hvordan det kan pakkes tett sammen i forskjellige celler. Dette molekylet kan ofte betraktes som en lenke bestående av to fosforiserte sukkerstrenger som danner et bånd. Et slikt bånd kan krølle seg opp i en knute som kan være vanskelig å løsne. Det tilsvarer den «båndsalat» som kan oppstå fra båndet i en kassettspiller når dette løsner fra spolen.

Historikk

Den matematiske beskrivelsen av knuter oppsto først på 1800-tallet i forbindelse med problemstillinger innen fysikk. Da Gauss oppdaget lenketallet i 1833, var dette i forbindelse med hans undersøkelse av jordmagnetismen og inspirert av Ampères sirkulasjonslov. Hans resultat for denne topologiske invarienten uttrykt som et dobbeltintegral over de to sammenlenkete delene, ble først kjent etter hans død i 1867.
Denne interessen for knuter ble overtatt av Johann Benedict Listing som var en elev av Gauss og senere hans medarbeider. I denne forbindelsen skrev han verket 
Vorstudien zur Topologie som kom ut i 1847. Det var her ordet topologi for første gang ble benyttet. Tidligere hadde denne delen av matematikken blitt omtalt som geometria situs (posisjonsgeometri) og opprinnelig innført av Leibniz.
Men selve oppblomstringen av knuteteori fant sted i Skottland.  Her var Peter Guthrie Tait ansatt ved Universitetet i Edinburgh og hadde oversatt arbeidene til Helmholtz om virvelbevegelse eller vorteksteori i ikke-viskøse væsker. Der hadde han hadde vist at ringvirvler var stabile, noe som Tait demonstrerte med røykringer. Dette fikk William Thomson (senere Lord Kelvin) i 1867 til å foreslå at atomene kunne bestå av stabile vorteks i eteren. Stabiliteten skulle da skyldes at de opptrådde som forskjellige knuter.  Desto mer komplisert knuten var, desto tyngre skulle det tilsvarende atomet være. Det store antall spektrallinjer typisk for hvert atom skulle skyldes de ulike tilstander av rotasjon og vibrasjon for et slikt vorteksatom.
Dette inspirerte Tait til å klassifisere knuter på en systematisk måte. Han prøvde å finne alle knuter med opp til syv krysninger. Listen viste seg ikke å være fullstendig og ble senere utvidet av andre til å omfatte også mer kompliserte knuter. Disse detaljerte undersøkelsene til Tait etablerte knuteteori som en ny, matematisk disiplin. Maxwell fattet også interesse for denne aktiviteten, men stilte seg mer skeptisk til ideen om vorteksatom. Da Michelson-Morley-eksperimentet i 1887 viste at det ikke finnes noen eter, forsvant interessen for denne atommodellen ganske raskt.
Etter Henri Poincarés banebrytende oppdagelser innen topologien ved århundreskiftet tok knuteteori en mer analytisk retning. Deres klassifisering ble mer oversiktlig etter at Kurt Reidemeister i 1927 innførte veldefinerte transformasjoner av knutediagram som kunne forenkle hvert diagram til det med færrest krysninger. Man kunne nå også tilordne hver knute en chiralitet, avhengig av om den er lik sitt eget speilbilde eller ikke.
For å kunne skille forskjellige knuter med samme antall krysninger, ble det funnet forskjellige typer polynom som kunne kode denne ulikheten.  Av disse er «Alexander-polynomene» og de relaterte «Conway-polynomene» de mest kjente. I nyere tid har spesielt de såkalte «Jones-polynomene» spilt en viktig rolle. På 1980-tallet viste Edward Witten at disse kunne beregnes ved Feynmans veiintegral basert på topologiske gaugeteorier i tre dimensjoner. Denne sammenhengen mellom kvanteteori og topologiske egenskaper til knuter har skapt stor interesse innen teoretisk fysikk i dag.

Krysningstall

For å kunne klassifisere knuter er krysningstallet K det enkleste og viktigste. Når knuten er avbildet ved forskjellige knutediagram, er krysningstallet definert som det minste antall krysninger som dermed fremkommer. Nullknuten har derfor krysningstallet K = 0. Krysningstallet er en topologisk invariant.
 
Det finnes ingen knuter med krysningstall  K = 1 eller 2. Den enkleste, ikke-trivielle knuten har K = 3. Denne kalles gjerne for «trekløverknuten» og tilsvarer den gamle trikvetrafiguren. Man kan lage den ved å feste sammen endene til en burknop. Da trekløverknuten kan skilles fra sitt eget speilbilde hvor underkrysninger går over i overkrysninger og omvendt, har den en bestemt chiralitet. Vanligvis skiller man ikke mellom disse to versjonene.
Hvis man fester sammen endene til en åttetallsknop, fremkommer «åttetallsknuten». Den har krysningstall K = 4 og er identisk med sitt eget speilbilde. Det finnes ingen andre knuter med samme krysningstall.
Øker krysningstallet ut over 4, finner man stadig flere knuter. Noen av disse kan forenkles ved å betrakte dem som sammensatt av enklere primknuter. Disse spiller samme rolle som primtallene i tallteori. Klassifisering av alle knuter blir dermed redusert til å finne alle primknutene. Dette programmet ble startet allerede av Tait og har fortsatt frem til i dag og fullført for primknuter med K ≤ 16.
For hvert krysningstall K > 4 finnes det flere enn en primknute. Det er derfor blitt vanlig å angi dem med notasjon Kₙ  hvor n = 1,2,3,... angir hvilken primknute man mener med krysningstallet K. Her skilles det ikke mellom «chirale» og «achirale» knuter. I denne notasjonen  finnes det derfor bare en trekløverknute 3₁. Det finnes også bare en knute med krysningstall K = 4, og det er åttetallsknuten 4₁. Men det er to primknuter 5₁ og 5₂ med krysningstall K = 5 og tre med K = 6. Mens det er syv med K = 7, øker antallet stadig raskere for større krysningstall. Mens det er 165 primknuter med K = 10, er det hele 1 388 705 med K = 16.