Euklidsk rom

Et euklidsk rom eller et kartesisk rom er i matematikk et reelt endeligdimensjonalt vektorrom der det er definert et såkalt euklidsk indreprodukt og en tilhørende norm. Har rommet n dimensjononer, betegnes det vanligvis som Eⁿ . Definisjonen av indreproduktet medfører at euklidske rom har egenskaper som svarer til de vi er fortrolig med fra Euklidsk geometri.  Blant annet gjelder generaliseringer av Pythagoras’ læresetning og parallellogramloven.
Definisjonen av et Euklidske rom kan variere, og noen forfattere utvider definisjonen til også å omfatte komplekse tallmengder.  Alternativt defineres også euklidske rom mer generelt som et endelig- eller uendeligdimensjonalt (reelt) indreproduktrom, det vil si som et vektorrom utstyrt med et vilkårlig indreprodukt.  Denne alternative definisjonen er ikke så utbredt.
Den reelle tallinjen R er et endimensjonalt euklidsk rom E¹.  Tilsvarende er planet R² og rommet R³ henholdsvis et todimensjonalt E² og et tredimensjonalt E³ euklidsk rom når disse rommene er utstyrte med euklidske indreprodukt.
Definisjonen av et euklidsk rom abstraherer egenskaper kjent fra disse vektorrommene og gjør det også mulig å generalisere egenskapene til rom av høyere dimensjon.  Et vilkårlig n-dimensjonalt euklidsk rom er isomorft med Rⁿ, det vil si har samme struktur som Rⁿ.  Notasjonen Eⁿ er vanlig brukt for et n-dimensjonalt euklidsk rom, men Rⁿ kan også benyttes når det går klart frem av sammenhengen at rommet har et indreprodukt.   
Løst kan en beskrive euklidske rom som mengder eller rom der de euklidske geometriske postulatene er oppfylt.  Euklid av Alexandria var en gresk matematiker som levde rundt 300 f.Kr.  Navnet kartesiske rom er oppkalt etter den franske matematikeren René Descartes.

Euklidsk og ikke-euklidsk geometri

Rundt 300 f.Kr. studerte den greske matematikeren Euklid forholdene mellom avstander og vinkler, først i planet (en idealisert flat overflate) og deretter i rommet. Et eksempel på et slikt forhold er at summen av vinklene i en trekant alltid er lik 180 grader. I dag er denne samlingen av forhold kjent som to- eller tredimensjonal euklidisk geometri.
I klassisk gresk geometri ble det euklidske planet og de tredimensjonale rommene definert ved bruk av en rekke aksiomer, og rommenes andre egenskaper ble utledet som teoremer. I moderne matematikk er det mer vanlig å definere euklidsk rom ved bruk av kartesiske koordinater og prinsippene for analytisk geometri. Dette gjør at man kan bruke verktøyene i algebra og matematisk analyse til å løse geometriske problemer, og har den fordelen at den enkelt generaliserer til euklidske rom med mer enn tre dimensjoner. 
En avgjørende egenskap ved euklidsk rom er dets «flathet». Det eksisterer vektorrom som ikke er euklidske,  for eksempel knyttet til geometri på en kuleoverflate.  En trekant på en kule vil (når den er passende definert) ha vinkler som til sammen kan summeres til mer enn 180 grader.

Topologien til euklidsk rom

Ettersom et euklidsk rom er et metrisk rom, er det også et topologisk rom, med den naturlige topologien som følger av metrikken. Metrikktopologien på Rⁿ kalles den euklidske topologien.  
En mengde er åpen i den euklidske topologien hvis og bare hvis mengden inneholder en åpen kule om ethvert av punktene. Den euklidske topologien er ekvivalent med produkttopologien for det kartesiske produktet (R × R × ... × R) , med n faktorer. 
Et viktig resultat om topologien til Rⁿ er Brouwers teorem for domeneinvarians: Enhver delmengde av Rⁿ (med deltopologien) som er homeomorft med en annen åpen delmengde av Rⁿ, er selv åpen. En umiddelbar følge av dette er at Rᵐ ikke er homeomorft med Rⁿ hvis m ≠ n – et intuitivt resultat som ikke så lett lar seg bevise.

Generaliseringer

Et Hilbertrom kan betraktes som en generalisering av et euklidsk rom til å omfatte også uendeligdimensjonale rom.  Et Hilbertrom er et komplett indreproduktrom, det vil si at alle Cauchyfølger konvergerer i rommet.  Et Hilbertrom kan være definert med reelle eller komplekse vektorer. Dersom et euklidske rom defineres som et vilkårlig (reelt) indreproduktrom, så er dette sammenfallende med et (reelt) pre-Hilbertrom.  Forskjellen med et Hilbertrom er kravet om kompletthet.  
I moderne matematikk er euklidsk rom prototypen for andre mer kompliserte geometriske objekter. Eksempelvis er en glatt mangfoldighet et Hausdorff-rom, som er lokalt diffeomorft med euklidsk rom. Diffeomorfier bevarer ikke avstand og indreprodukt, så disse begrepene går tapt på en glatt mangfoldighet. Tilføyer man imidlertid mangfoldigheten et glatt indreprodukt på mangfoldighetens tangentrom, får en det som kalles en riemannsk mangfoldighet. Med andre ord er en riemannsk mangfoldighet et rom og resultat av å deformere og sammenlappe euklidske rom. Et slikt rom har også begreper som avstander og vinkler, men oppfører seg på en krum ikke-euklidsk måte. Den enkleste riemannske mangfoldigheten består av Rⁿ med et konstant indreprodukt, og det er i seg selv stort sett identisk med det euklidske rom.
Endrer man det euklidske rommet slik at dets indreprodukt blir negativt i en eller flere retninger, får en frem det som kalles pseudoeuklidsk rom. Glatte mangfoldigheter basert på disse rommene kalles pseudoriemannske mangfoldigheter. Deres kanskje mest kjente anvendelse er i relativitetsteorien, hvor materieløst romtid representeres ved et flatt pseudoeuklidsk rom kalt Minkowski-rommet, og hvor romtider med materie representeres ved andre pseudoriemannske mangfoldigheter og tyngdekraften svarer til krumningen av en slik mangfoldighet.
Vårt univers, som er underlagt relativitetsteorien, er ikke euklidsk. Dette er avgjørende i teoretiske betraktninger i astronomi og kosmologi, samt i praktiske problemstillinger som global posisjonering og navigasjon av fly. Ikke desto mindre kan en euklidsk modell brukes i løsningen av mange andre problemer med tilstrekkelig presisjon.