Vektorrom

Et vektorrom eller et lineært rom er i matematikk en struktur med en mengde av elementer kalt vektorer og en tilhørende mengde av skalarer, sammen med operasjoner som gjør at vektorene kan skaleres og adderes.  Operasjonene er ikke definert eksplisitt, men gjennom et sett av aksiomer som beskriver egenskaper til operasjonene.  Skalarene er vanligvis reelle eller komplekse tall, men kan mer generelt være elementer i en kropp.  Vektorrom er basert på en abstraksjon av egenskaper fra geometri, og gjør at vektoregenskapene kan generaliseres til høyere dimensjoner og mange typer elementer.  Mange viktige matematiske resultater kan utledes for samtlige vektorrom ved å basere utledningen kun på de definerte aksiomene. 
Fra plangeometri og romlig geometri er det kjent at to geometriske vektorer kan skaleres og adderes, slik som vist i planet på figuren til høyre.  Vektorrommet har to operasjoner, kalt vektoraddisjon og skalarmultiplikasjon, som generaliserer egenskapene til romlige vektorer.  Elementene i et vektorrom kan adderes og skaleres, og resultatet vil også være inneholdt i vektorrommet.  Denne egenskapen omtales som at rommet er lukket under vektoraddisjon og skalarmultiplikasjon.  Linearitetsegenskapene til vektoraddisjonen er også svært viktige, og vektorrom er sentrale i studiet av lineær algebra og i funksjonalanalyse.
Ut fra definisjonen av vektorrom kan ett og samme matematiske resultat vise seg å være gyldig for tilsynelatende ulike objekter som funksjoner og matriser, fordi begge disse typene objekter er elementer av vektorrom. Vektorrom er dermed en abstraksjon som gjør en i stand til å studere mange ulike matematiske objekter ut fra et sett av felles egenskaper.   
Et vektorrom inneholder generelt ingen definisjon av nærhet, lengde eller vinkel, og vektorrommet kan dermed brukes til å studere egenskaper som ikke avhenger disse begrepene.  Det er imidlertid mulig å utvide definisjonen av vektorrom til også å inneholde et lengdemål, kalt en norm, og et vinkelmål, kalt et indreprodukt.        
Dimensjonen til et vektorrom er løst sagt lik antall uavhengige «retninger» i rommet.  Dimensjonen kan være endelig eller uendelig.  Dimensjonen er lik antall basisvektorer i rommet.  For eksempel vil mengden av alle vektorer med tre reelle koordinater (x,y,z) kunne defineres som et tredimensjonalt vektorrom, med en passende definisjon av addisjon og skalarmultiplikasjon.  Mengden av alle kontinuerlige funksjoner kan defineres som et uendeligdimensjonalt vektorrom.

Notasjon

Vektorer skrives ofte i fet skrift, slik som vist over.  Dersom typen objekt går fram av sammenhengen vil en ofte skrive både skalarer og vektorer med same typesetting, som i skalarproduktet (ku).  I håndskrift brukes ofte en strek under eller over bokstaven for å markere en vektor.  Formen der en vektor skrives som en bokstav med pil over  er kanskje mest vanlig i fysikk.  
Vanlig addisjonssymbol brukes både for vektoraddisjon og addisjonen av skalarer, selv om dette er to ulike operasjoner, definert i to forskjellige mengder.  For likhet mellom vektorer brukes i dag det vanlige likhetstegnet = , men historisk har en rekke ulike symboler vært brukt, blant annet #,  og .
Et vektorrom V med en mengde skalarer K uttrykkes gjerne i kortform som vektorrommet «V over K».  Skalarene er vanligvis reelle eller komplekse tall.  Et vektorrom med reelle skalarer kalles et reelt vektorrom.  Likedan har et komplekst vektorrom komplekse skalarer og et rasjonalt vektromrom har rasjonale tall.  Dersom en ønsker å presisere at skalarobjektene er i en kropp K, kan en bruke skriveformen K-vektorrom.

Alternative definisjoner

I litteraturen blir definisjonen av vektorrom presentert på flere ulike måter, der grunnleggende konsekvenser blir tatt som forutsetninger, og omvendt.  For eksempel kan operasjonene i K presiseres med aksiomer, med egenskapen at disse utgjør en kropp som en avledet konsekvens.   
Aksiomene for vektoraddisjon om eksistens av nullelement og av invers kan erstattes av ett enkelt aksiom:  For alle vektorer u og v i mengden eksisterer det en entydig bestemt vektor w slik at u + w = v.  Dette aksiomet inneholder de to andre som spesialtilfeller.    
Med terminologi fra abstrakt algebra kan vektorrom defineres som en matematisk struktur sammensatt av en abelsk gruppe V, en kropp K og en ringhomomorfi K → End(V). 
Gitt en skalarmultiplikasjon som over, så eksisterer det en ringhomomorfi ξ : K→ End(V) gitt ved  ξ(α)(u) := αu. En ringhomomorfi ξ : K→ End(V) definerer en skalarmultiplikasjon ved αu := ξ(α)(u).

Matriser

Mengden av alle (n × m)-matriser utgjør et vektorrom ved å bruke definisjonen av matriseoperasjonene addisjon og skalarmultiplikasjon.  Dimensjonen til vektorrommet er lik produktet nm.

Naturlige tall

Mengden av naturlige tall er ikke et vektorrom, da mengden ikke inneholde inverselement.  Alle naturlige tall er positive.

Underrom og undermengder

I et vektorrom kan en definere en rekke undermengder eller delmengder:

Underrom

Et underrom er et vektorrom som er en delmengde av et annet vektorrom, og der operasjonene vektoraddisjon og skalarmultiplikasjon er felles.  En nødvendig forutsetning for at en mengde W skal være et underrom av et vektorrom V er at W inneholder nullelementet i V.  I tillegg må W være lukket under vektoraddisjonen og skalarmultiplikasjonen.  
Alle underrom vil ha minst to underrom, nemmelig nullvektorrommet og vektorrommet selv.  Alle andre underrom enn disse to kalles ekte underrom.  
I vektorrommet R³ vil ethvert plan gjennom origo være et underrom.  Vektorer i planet kan skaleres og adderes, men vil fortsatt ligge i planet.   
Definerer en vektorrommet Pₙ som mengden av alle polynom av grad mindre eller lik n-1, så vil Pᵢ være et underrom av Pⱼ når i < j.
For en lineær transformasjon T(x) mellom to vektorrom V og W vil nullrommet til transformasjonen være et underrom i V.   Nullrommet er mengden av alle vektorer i V som avbildes inn  på nullelementet i W.   Dette må ikke forveksles med nullvektorrommet.

Kjegler

En kjegle i et vektorrom er en undermengde S som har egenskapen at dersom vektoren u ligger i S, så ligger også skalarproduktet ku i S for all k ≥ 0.  En kjegle som også er en konveks mengde kalles en konveks kjegle.

Isomorfe vektorrom

To vektorrom er isomorfe dersom det eksisterer en bijektiv lineær transformasjon mellom de to vektorrommene.  To isomorfe vektorrom har samme struktur:  Elementene i de to vektorrommene kan være forskjellige, men egenskapene til vektorrommene er ellers like.
Reelle endeligdimensjonale vektorrom er isomorfe dersom de har samme dimensjon.  Det vil si at alle  n-dimensjonale reelle vektorrom er isomorfe med Rⁿ.   Tilsvarende gjelder for komplekse vektorrom.  For eksempel vil vektorrommet Rⁿ være isomorft med vektorrommet av polynom Pₙ.
Vektorrommet av komplekse tall C = { x + iy } er isomorft med mengden av reelle ordnede par (x,y).  Vektoraddisjon og skalarmultiplikasjon er de samme i de to rommene.

Normerte vektorrom

Vektorrom som er definert med en  norm kalles et normert vektorrom.  Normen er et lengdemål for vektorer, som gjør at det er mulig å snakke om lengder og avstander i vektorrommet.  Normen innfører både en metrikk og en topologi i vektorrommet.  
Med et definert avstandsmål er det også mulig å introdusere begreper som kontinuitet og   konvergens i rommet.
Et normert vektorrom er komplett dersom en hver Cauchyfølge av vektorer har en grenseverdi som også er en vektor i rommet.  Et komplett normert vektorrom kalles et Banachrom, oppkalt etter den polske matematikeren Stefan Banach (1892-1945).

Indreproduktrom

Et indreproduktrom er et vektorrom definert med et indreprodukt.  Til hvert par av vektorer (u,v) vil indreprodukt definerer en tilhørende skalarverdi, og dette gjør det mulig å generalisere vinkelegenskaper slik de er kjente fra romlig geometri.  To vektorer defineres som ortogonale dersom indreproduktet mellom dem er lik null.  
Fra indreproduktet følger det en naturlig definert norm, slik at indreproduktrom også er normerte vektorrom.  Et komplett indreproduktrom kalles et Hilbertrom, oppkalt etter en tysk matematiker David Hilbert (1862-1943).  Fra definisjonen følger det umiddelbart at alle Hilbertrom også er Bannachrom.  Dersom indreproduktrommet ikke er komplett kalles det et pre-Hilbertrom.
Et Euklidsk vektorrom er et reelt vektorrom der det er definert et spesielt indreprodukt, det såkalte Euklidske indreproduktet.  Et n-dimensjonalt Euklidske vektorrom er isomorf med Rⁿ.

Generalisering

En modul er en matematisk struktur der vektoraddisjonen og skalarmultiplikasjonen oppfyller samme aksiomer som i et vektorrom, men der skalarene er elementer i en ring.  Siden enhver kropp er en ring, så vil ethvert vektorrom være en modul.  Det eksisterer imidlertid moduler som ikke er vektorrom.

Historie

Teori for vektorrom vokste ut fra studiet av analytisk geometri og introduksjonen av koordinater i planet og det tredimensjonale rommet.  Den franske matematikeren René Descartes (1596-1650)  regnes som opphavsmannen til analytisk geometri, sammen med landsmannen Pierre de Fermat (1601-1665).  I 1636 publiserte Descartes verket La Geométrie, der han drøfter koblingen mellom geometri og algebra.  Fermat sirkulerte samme år et manuskript som også drøfter emner i analytisk geometri, men dette manuskriptet ble først publisert etter Fermats død.
Den analytiske geometrien ble generaliserte til høyere dimensjoner av engelskmannen Arthur Caley (1821-1895).  Ved hjelp av determinanter generaliserte han ligninger for linjer og plan til n dimensjoner.
Ett år etter at Caley hadde publisert det første arbeidet på geometri i høyere dimensjon, i 1844, ga den tyske matematikeren Hermann Grassmann (1809-1877) ut verket Die Lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik, der han forsøker å bygge en vektoranalyse for høyere dimensjoner.  Grassmann hevdet at når geometri var gitt en algebraisk form, så er det ikke noe spesielt ved det tredimensjonale rommet, sammenlignet med et vilkårlig n-dimensjonalt rom.  Antall dimensjoner kan også være uendelig.  Arbeidet til Grassmann møtte imidlertid ikke særlig forståelse i samtiden.
Den første formuleringen av aksiomene for et vektorrom ble gitt av italieneren Giuseppe Peano (1858-1932), som i 1888 i prinsippet definerte et reelt vektorrom.
David Hilbert (1862-1943) var professor i matematikk i Göttingen og arbeidet mye med å gjøre matematikk aksiomatisk, det vil si bygge opp teori fra et grunnleggende sett av aksiomer.  Under arbeid med differensial- og intergralligninger rundt 1909 innførte han begrepet «Euklidsk rom»  for det som senere ble omdøpt til Hilbertrom.  Ytterligere formalisering av vektorrom ble innført av Stefan Banach (1892-1945), en av grunnleggerne av moderne funksjonalanalyse.