Predikatlogikk

Predikatlogikk (også predikatkalkyle eller kvantorlogikk) er en gren av logikken som analyserer setninger som inneholder kvantorer («alle», «noen», «ingen» osv.) og variabler. Som en utvidelse av setningslogikken analyserer predikatlogikken ikke bare kombinasjoner av utsagn, men også utsagnenes indre struktur. Syllogistikken kan ses på som et delsystem av predikatlogikken.
Predikatlogikken har betydning for fagfelt langt utover logikk, spesielt for matematikk, lingvistikk, filosofi og informatikk. Den ble utviklet uavhengig av hverandre av Gottlob Frege og Charles S. Peirce på slutten av 1800-tallet.

Predikat

Med predikat menes (noe avvikende fra begrepets betydning i grammatikken) en ordsekvens med en eller flere plassholder(e), som blir til et sant eller usant utsagn når plassholderne («_») fylles med egennavn. Fyller man plassholderen i «_ er et menneske» med «Sokrates», blir setningen til et sant utsagn. Plassholdere kan også fylles med variabler, f.eks. når x settes inn i predikatet «_ er et menneske». I så fall blir predikatet til en setningsfunksjon, M(x) = «x er et menneske», som blir et sant utsagn for alle x som er mennesker (f.eks. Sokrates eller Plato), og et usant utsagn for alle x som ikke er mennesker (f.eks. elefanten Jumbo eller roboten R2-D2).
Predikater kan ikke bare beskrive egenskaper, men også relasjoner. Predikater som beskriver egenskaper, har én plassholder, dvs. de er unære eller har en aritet på 1. Således er den nevnte setningsfunksjonen, M(x) = «x er et menneske», altså en funksjon med én variabel.
Relasjoner mellom to eller flere individer krever to eller flere plassholdere. Antall plassholdere eller variabler tilsvarer ariteten til setningsfunksjon. Eksempler på binære setningsfunksjoner (dvs. med en aritet på 2) er F(x, y) = «x er født tidligere enn y», eller A(x, y) = «x har en høyere atommasse enn y». Disse funksjonene er eksempelvis sanne for F(Sokrates, Platon) respektive A(gull, svovel). Eksempler på ternære setningsfunksjoner (dvs. med en aritet på 3) er B(x, y, z) = «x har y til mor og z til far», eller K(x, y, z) = «x konkurrerer med y om z». Disse funksjonene er eksempelvis sanne for B(Leia Organa, Padmé Amidala, Anakin Skywalker) respektive K(fjellrev, snøugle, lemen).

Kvantor

En kvantor angir (kvantifiserer) hvor mange individuer som oppfyller en setningsfunksjon. I setningen «alle x er dødelige», er det ordet «alle» som er kvantoren. De to mest brukte kvantorene er all- og eksistenskvantor.

Eksempler

Noen eksempler kan illustrere hvordan setninger fra hverdagsspråket kan formaliseres gjennom predikatlogikken. Symbolene som brukes, er allkvantoren («∀»), eksistenskvantoren («∃») og ekvivalens («⇔») samt de setningslogiske sannhetsfunksjonene negasjon («ikke», «¬»), konjunksjon («både–og», «∧»), inklusiv disjunksjon («eller», «∨») og subjunksjon («hvis–så», «→»).

Predikatlogiske ekvivalenser

Her presenteres noen grunnleggende ekvivalenser (dvs. gyldige omforminger) som gjelder i predikatlogikken.

Høyere ordens predikatlogikk

Eksemplene som ble gitt over, hører til predikatlogikken av første orden. Her refererer alle predikater til individer (eller variabler for individer). Hvis predikatene refererer til klasser av individer, til klasser av klasser av individer osv., eller hvis kvantorene refererer til predikatvariabler (f.eks. «alle x som oppfyller noen av egenskapene F»), snakker man om høyere ordens predikatlogikk.