Slutsky-likningen

Utledning av Marshallianske (ordinære) etterspørselsfunksjoner

Vi antar en konsument med preferanser på formen:
Vektoren  er et sett som beksriver alle konsumgoder () som konsumenten har nytte av. Vi antar at preferansene har følgende egenskaper:
 der 
Det innebærer at konsumenten får økt nytte når han får mer av et konsumgode, men at nytten er avtagende. Konsumenten står overfor budsjettbetingelsen:
Her er  prisen på konsumvare , og  er konsumentens inntekt. Vi antar at konsumentens inntekt er eksogen (dvs. at inntekten tas for gitt). Problemet til konsumenten er altså å fordele inntekten på de ulike konsumgodene slik at han får mest mulig nytte. 
Matematisk kan vi formulere problemet som:
Problemet gir oss følgende førsteordensbetingselser:
  der  
Førsteordensbetingelsene sammen med budsjettbetingelsen lar oss løse for optimale kvanta av de ulike konsumgodene:
Vi har altså at   er konsumentens (ordinære) etterspørselsfunksjon for vare . 
Ved å sette inn etterspørselsfunksjonene i konsumentens preferansefunksjon får vi den indirekte preferansefunksjonen:
Den indirekte preferansefunksjonen forteller hvor mye nytte konsumenten får for gitte priser og gitt inntekt, etter han har tilpasset seg optimalt.

Utledning av Hicksiske (kompenserte) etterspørselsfunksjoner

Nytten som konsumenten fikk i avsnittet over, da vi maksimerte nytten for en gitt inntekt, kan vi skrive som , der  er en konstant. Nå stiller vi oss følgende spørsmål: hvis vi legger til grunn at nyttenivået  skal oppnås, hvor lav inntekt kan konsumenten klare seg med? Det vi da ønsker å gjøre, er å minimere inntekten for en gitt nytte. Konsumentens problem blir:
Vi skriver at . Her blir  å betrakte som de utgiftene konsumenten får når han skal kjøpe seg konsumgodene  til prisene . M.a.o.: Konsumenten har bestemt seg for at nyttenivået  skal oppnås, og han ønsker å gjøre det til lavest mulige utgifter. Ved å løse problemet kan vi se at førsteordensbetingelsene er de samme som da vi utledet de Marshallianske etterspørselsfunksjonene. Førsteordensbetingelsene sammen med nyttebetingelsen  lar oss løse for de optimale kvanta av de ulike konsumgodene:
Dette kalles for de "Hicksianske" eller de "kompenserte" etterspørselsfunksjonene.  forteller oss hvor mange enheter det er optimalt for konsumenten å kjøpe av konsumgode  for gitte priser og gitt nyttenivå. Det følger av preferansefunksjonens egenskaper og førsteordensbetingelsene at  .
Setter vi de Hicksianske etterspørselsfunksjonene inn i utgiftsfunksjonen , finner vi den utgiften som konsumenten må ut med hvis han skal oppnå nyttenivået :
Vi har altså at hvis nyttenivået  skal oppnås, ja da må konsumenten bruke minst  kroner.

Utledning av Slutsky-likningen

Ettersom vi bestemte i stad at  er det nyttenivået som realiseres når konsumenten maksimerer sin nytte for gitte priser og den gitte inntekten , altså at , skjønner vi at maksimeringsproblemet  og minimeringsproblemet   er to sider av samme sak. Vi vet dermed at så lenge , så vil . og da må . Ved derivasjon av  mhp.  får vi:
Fra definisjonen av , ser vi at  . Vi kan dermed skrive derivasjonen av  som:
 
Ved derivasjon av  mhp.  får vi et analogt resultat:
Likning (1) og likning (2) er eksempler på Slutsky-likningen.

Ved endring i godets egen pris

Slutsky-likningen  forteller hva effekten er på etterspørselen for gode  når prisen på godet øker. Vi ser at det er to effekter på etterspørselen. Den ene effekten,   , forteller hvor mye etterspørselen etter godet endres ved en prisendring når inntektseffekten nøytraliseres. M.a.o. er  et uttrykk for substitusjonseffekten, altså hvor mye konsumenten ønsker å vri seg vekk fra gode  når prisen på godet øker. Ettersom vi vet at , innebærer det at substitusjonseffekten på gode  ved en endring i egen pris, er alltid negativ. Konsumenten vil altså alltid forsøke å vri seg vekk fra å konsumere gode  når prisen øker.                    
Den andre effekten, , er inntektseffekten. Den forteller hvor mye etterspørselen for gode  endres som følge av at konsumentens realinntekt endrer seg når prisene endrer seg. Hvis  øker, innebærer det nemlig at konsumenten får kjøpt færre goder for sin (nominelle) inntekt . For å forstå dette tenk på  som det kvantum melk konsumenten finner det optimalt å kjøpe. Og la oss si at , altså at konsumenten ønsker å kjøpe 5 enheter melk. Hvis prisen på melk er 10 kr, og prisen øker marginalt til 11 kr, da har konsumentens utgifter til melk økt fra 50 kr til 55 kr. Utgiftene til melk har altså økt med det antall enheter melk konsumenten ønsker å kjøpe.  blir dermed et uttrykk for hvor mye mindre verdt den nominelle inntekten  er ved en endring i prisen på gode .  forteller så hvor stor effekt på etterspørselen (nominelle) inntektsendringer har. Multiplisert med hverandre, , har vi et uttrykk for effekten på etterspørselen ved inntektsendringer, altså inntektseffekten.                    
Normale goder er definert ved at  , altså at konsumenten vil etterspørre mer når han blir rikere. I så fall vil inntektseffekten i likning (1) bli negativ, når prisen øker, som følge av at realinntekten til konsumenten har falt. Men dersom godet er et mindreverdig gode, dvs. at , da vil inntektseffekten være positiv. Mindreverdige goder er de goder som konsumenten vil ønske seg mindre av når han blir rikere,. havregrøt eller First Price-produkter. Og ettersom konsumenten er blitt fattigere når prisen øker, ønsker han isolert sett å kjøpe mer av det mindreverdige godet.          
Dersom godet er et mindreverdig gode, samtidig som at inntektseffekten er så stor at den dominerer substitusjonseffekten, altså at , da ser vi fra likning (1) at . Det betyr at konsumenten vil ønske å kjøpe mer av godet når prisen på godet øker. Slike goder kalles for Giffen-goder.     
Slutsky-likningen forteller altså at så lenge godet er et normalt gode, vil substitusjons- og inntektseffekt trekke etterspørselen i samme retning, nemlig å redusere den, ved prisøkninger. Dersom godet er mindreverdig, vil substitusjons- og inntektseffektene trekke i hver sin retning, og det er ikke lenger helt klart hva totaleffekten på etterspørselen blir.

Ved endring i prisen på et annet gode

forteller hva effekten på etterspørselen for gode  ved en marginal økning i prisen på gode , der .  Dersom, altså at når prisen på gode  øker, vil konsumenten substituere seg mot ethvert gode , så lenge . Når dette er tilfelle, sier vi at gode  og gode  er substitutter. Dvs. at godene er tilstrekkelig like at det er mulig å erstatte det ene godet med det andre. Eksempel på goder som er substitutter er Coca-Cola og Pepsi.  , sier vi at gode  og gode  er komplementære goder. Dvs. goder som er i et gjensidig avhengighetsforhold. Et eksempel på komplementære goder er DVD-filmer og DVD-spillere. Hvis prisen på DVD-spillere øker så mye at konsumenten ikke er villig til å kjøpe det, vil han heller ikke etterspørre DVD-filmer lenger.
Fra  ser vi at inntektseffekten på gode  er negativ når prisen på gode  øker, så lenge gode  er et normalt gode. Det er fordi prisøkningen på gode  fører til lavere realinntekt, og da vil konsumenten ønske å glatte ut inntektsreduksjonen ved å stramme inn etterspørselen for alle goder han kjøper. Dette følger av egenskapene . For å se det, tenk deg at konsumenten tok ut hele inntektsreduksjonen i form av lavere etterspørsel for gode . Da ville marginalnytten av gode  være langt høyere enn marginalnytten for alle andre goder.  Følgelig ville konsumenten kunne redusert etterspørslen for et av de andre godene, og brukt pengene på øke etterspørselen for gode , hvorpå konsumentens totale nytte ville økt. Ved å dra resonnementet helt ut, ser vi at den optimale tilpasningen er å redusere etterspørslen litt for alle goder. Da blir nyttetapet lavest.
Slutsky-likningen forteller altså at når prisen på gode  øker, er effekten på etterspørselen for gode  uklar, når godene er substitutter og gode  er normalt. På den ene siden vil konsumenten ønske å substituere seg mot gode . På den andre siden vil inntektseffekten isolert sett gi reduksjon i etterspørselen på gode . Totaleffekten kommer derfor an på hvilken effekt som er sterkest. Dersom inntektseffekten er sterkest, innebærer det at prisøkningen på gode  har rammet konsumenten så hardt, at han reduserer etterspørselen for alle goder, også gode .

Slutsky-likningen på elastisitetsform

Vi kan elastisitere Slutsky-likningen ved å multiplisere likning (2) med .
Hvorpå ledd nr. 3 kan vi skrive som: 
Vi ser at , altså Cournot-elastisiteten for gode  av prisen på gode . Cournot-elastisiteten, eller krysspriselastisiteten, forteller hvor mange prosents endring som oppstår i etterspørslelen når prisen endres med én prosent.    
Vi definerer så Slutsky-elastisiteten som . Denne forteller oss hvor mange prosents endring som oppstår i etterspørselen på gode  når prisen på gode  øker med én prosent, når vi ser på substitusjonseffekten isolert.  
Til sist ser vi at  er budsjettandelen for gode  , altså utgiftene til anskaffelse av gode  som andel av total inntekt. Og vi ser at  er Engel-elastisiteten, eller inntektselastisiteten, for gode . Engel-elastisiteten forteller hvor mange prosent etterspørselen for gode  øker når inntekten øker med én prosent. Det kan for øvrig nevnes at dersom , er gode  et luksusgode. Dersom , er gode  et nødvendighetsgode. Dersom , er gode  et mindreverdig gode.
Slutsky-likningen på elastisitetsform kan dermed skrives som:
Og vi ser med en gang at:
.
Tolkningen av likning (3) og (4) er analog med tolkningen av likning (1) og (2), bortsett fra at vi i (3) og (4) ser mer eksplisitt budsjettandelens betydning. Jo mer av inntekten konsumenten bruker på et gode, jo sterkere blir inntektseffekten ved prisendringer. Intuitivt er det åpenbart at for eksempel en økning i prisen på bensin, som den gjennomsnittlige husholdning bruker mye penger på, har mer negativ effekt på realinntekten enn hvis prisen på blyanter øker. Hvis bensinprisene øker, blir husholdningene kanskje nødt å redusere etterspørselen for alle goder (inntektseffekten dominerer). Men hvis prisen på blyanter øker, tenker vi ikke så mye over det, men vi kjøper kanskje penn neste gang vi skal ha et skriveredskap (substitusjonseffekten dominerer).

Utledning

Slutsky-likningen kan anvendes på ethvert gode eller anti-gode (altså ubehag) som konsumenten har en eller annen form for verdsettelse av, også verdsettelsen av arbeid og fritid. Vi kan modellere det ved å utvide preferansefunksjonen til , der  er antall timer fritid. Vi antar funksjonen har egenskapene , altså at konsumenten får høyere nytte av å ta ut en time fritid ekstra, men at nytten er avtagende.
Vi definerer så relasjonen , som sier at total tid, , kan fordeles på enten arbeid, , eller fritid, . Total tid kan sees på som antall våkne timer i døgnet, uken eller hvilken som helst måleenhet man finner passende. Timelønnen konsumenten får er . Følgelig kan vi skrive hans budsjettbetingelse som . Det er nå åpenbart at tiden for konsumenten er som en ressurs med verdi  per time. Ettersom konsumenten "eier"  timer, er inntekten (eller mer presist: formuen) hans . Denne kan han velge hvordan han vil disponere. Enten kan han "kjøpe" seg fritid, eller så kan han kjøpe seg konsum, gjennom å bruke tiden på å jobbe, få lønn og deretter kjøpe konsum.   
Vi definerer nå denne formuen som . Fordelen med det, er at vi får et tydelig skille mellom  som faktor i konsumentens inntekt, og  som prisen på fritid. Konsumentens problem er altså hvordan han skal fordele  på konsumgodene og fritid slik at han får høyest mulig nytte. Det gir maksimeringsproblemet:  
De tilhørende førsteordensbetingelsene er:
 
Førsteordensbetingelsene sammen med budsjettbetingelsen gir de ordinære etterspørselsfunksjonene for konsum,, og etterspørselsfunksjonen for fritid, . Bemerk at argumentet  betegner utelukkende prisen på fritid.  som faktor i inntekten, inngår i argumentet . Som i utledningene over, kan vi skrive de kompenserte etterspørselsfunksjonene for konsum som . Og den kompensere etterspørselsfunksjonen for fritid kan naturligvis skrives som . Tilbudsfunksjonen for arbeid blir da . 
Vi har nå at: 
Hvorpå vi vet fra utledningen av Slutsky-likningen at: 
Dermed kan vi skrive: 
Og vi har dermed at effekten på arbeidstilbudet er:

Tolkning

Likning (6) forteller at effekten på arbeidstilbudet av en økning i timelønnen, , består av en substitusjonseffekt og en inntektseffekt. Vi vet at substitusjonseffekten har egenskapen , da økt timelønn er det samme som økt pris på fritid: Konsumenten vil ønske å substituere seg vekk fra fritid og mot arbeid når prisen på fritid øker.   
Inntektseffekten, , er negativ i den grad fritid er et normalt gode, slik at vi har at . Tolkningen av inntektseffekten er at jo høyere timelønnen er, jo rikere er konsumenten. Og når konsumenten er blitt rikere, vil han ønske å konsumere mer av alle normale goder, inkludert fritid. Derfor vil han ønske å redusere arbeidstilbudet, isolert sett. 
Totaleffekten på arbeidstilbud ved økt timelønn er altså uklar og avhenger av timelønnen. Jo høyere timelønnen er, jo mer trolig vil inntektseffekten dominere, slik at arbeidstilbudet blir redusert dersom lønnen øker.

Utledning

Vi kan betegne  som antall konsumenheter konsumenten velger å konsumere i periode . Hvis konsumenten lever i totalt 2 perioder, kan vi skrive hans preferansefunksjon som . Diskontering er ikke modellert eksplisitt her, men man kunne for eksempel tenke seg at -verdien er hensyntatt diskontering.
Vi antar at han har en eksogen gitt inntekt i hver periode, . Da kan vi formulere sluttverdien av hans livsinntekt som:
. Der  er rentesatsen. 
Konsumentens problem er da å maksimere preferansefunksjonen mhp. budsjettbetingelsen . Det gir førsteordensbetingelsen:
 
Vi ser at at rentesatsen opptrer i to roller: Den inngår som variabel i livsinntekten, , og den er prisen på konsum i periode  målt i enheter konsum i periode . Førsteordensbetingelsene sammen med budsjettbetingelsen gir de ordinære etterspørselsfunksjonene på formen  og de kompenserte etterspørselsfunksjonene . 
Derivasjon gir: 
Slik at:

Tolkning

Likning (7) sier at effekten på etterspørselen i periode 1 ved en renteøkning kan deles inn i en substitusjonseffekt og en inntektseffekt. Substitusjonseffekten, altså første ledd, er alltid negativ: Når renta øker, øker prisen på konsum i dag målt i enheter konsum i morgen. Ergo ønsker konsumenten å substituere seg vekk fra konsum i dag gjennom økt sparing/redusert låneopptak. Siste ledd i likning (7) er inntektseffekten. Så lenge konsum i periode 1 regnes som et normalt gode, vil . Dermed er fortegnet på inntektseffekten bestemt av hvorvidt konsumenten sparer, altså at , eller om han låner . Dersom han sparer, vil inntektseffekten være positv: økt rentesats gir mer avkastning på pengene han sparer til periode 2. Er han låner, er inntektseffekten negativ: økte kostnader på pengene han låner for å finansiere konsum i periode 1. Vi har dermed at en konsument som låner, vil aldri øke belåningen når rentesatsen øker. Derimot kan det være at en konsument som sparer, vil ønske å spare mindre når rentesatsen øker (dvs. når inntektseffekten dominerer substitusjonseffekten).