Kjedelinje

Historie

I sitt store verk Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze  fra 1638 diskuterte Galileo Galilei formen til en hengende kjede. Han mente at den kunne beskrives som en parabel i en tilnærmelse som ble bedre desto mindre nedheng kjeden hadde. Men i 1646 kunne Christiaan Huygens, som da bare var 17 år gammel, vise ved bruk av geometriske metoder, at kurven ikke kunne være en eksakt parabel. 
Rundt 1670 studerte  Robert Hooke formen til den mest stabile konstruksjon av en bue. Han kom frem til at det måtte være en kjedelinje snudd opp-ned selv om han ikke kjente den matematiske formen til denne kurven. Den ble først funnet i 1691 etter at Jakob Bernoulli året før hadde utlyst en konkurranse om en matematisk utledning av denne. Geometriske løsninger ble da presentert av Huygens og Leibniz, mens Johann Bernoulli presenterte sin løsning basert på den nye differensialregningen som Leibniz hadde vært med på å utvikle. I den matematiske notasjon som brukes i dag, ble den først flere tiår senere skrevet ned av Leonhard Euler etter at han hadde funnet egenskapene til eksponensialfunksjonen.

Matematisk form

En kjede består av mange små ledd som kan vri seg fritt i forhold til hverandre. Derfor kan det ikke være noen vridningskrefter langs kjeden,  den kan kun overføre et strekk T  som i alminnelighet vil variere langs kjeden. Hvert ledd er påvirket av denne kraften tangensielt til kjeden pluss virkningen av tyngdekraften. Beskriver man kjeden i et koordinatsystem (x,y) og y - aksen er rettet oppover, vil da tyngdekraften virke nedover. 
Man antar vanligvis at alle leddene i kjeden er like. Dermed vil massen m  til en kjedelengde s  øke proporsjonalt med denne. Det vil si at m = λs  hvor λ  er den lineære massetettheten. Tyngdekraften på dette kjedestykket vil da ha en størrelse gλs  hvor g  er tyngdeakselerasjonen.

Praktiske anvendelser

I en hengende kjede er det en strekkspenning som går fra ledd til ledd og er derfor rettet tangensielt til kjeden. Konstruerer man derfor en stiv bue med formen til en kjedelinje snudd på hodet, vil trykkspenningen i denne også gå tangensielt til buen. På den måten blir skjærspenningene i konstruksjonen minimalisert og den blir spesielt stabil.  Det var akkurat denne egenskapen ved kjedelinjen som Robert Hooke oppdaget rundt 1670. Derfor er slike kjedebuer senere blitt benyttet i mange broer og bygg.

Generaliserte kjedelinjer

Ved utledning av formen til den ideelle kjedelinjen er det gjort flere antagelser. I praksis er ikke alle disse nøyaktig oppfylt, og den resulterende kjeden vil se noe annerledes ut. For eksempel vil en virkelig kjede være litt elastisk, slik at den blir litt forlenget når den blir utsatt for strekkraften T. Denne effekten kan tas hensyn til, og man kan også for en slik situasjon beregne analytisk formen som kjeden beskriver.
Man kan også være interessert i å benytte en kjede som har en variabel massetetthet λ. Dette skyldes at strekkraften T kan forårsake brudd i kjeden hvis denne kraften blir for stor. Det gjelder spesielt de delene av kjeden som er nærmest opphengingspunktene, da kjeden der må bære en stor del av vekten til hele kjeden. For å unngå det kan man benytte en kjede som har en lavere massetetthet λ på midten enn ved disse endepunktene hvor kjeden gjøres sterkere.
Formen til en slik generalisert kjedelinje er ofte gitt ved ligningen y = a cosh(bx)  som involverer to parametre a og b. Den ideelle kjedelinjen tilsvarer at ab = 1. Den 192 meter høye Gateway Arch i St. Louis som ble tegnet av den finske arkitekten Eero Saarinen, er en generalisert kjedebue beskrevet ved denne ligningen med parametre a = 68,8 og b = 0,01 inntegnet på en minneplakett ved byggverket.