Congak

Congak ialah satu kaedah pengiraan yang hanya menggunakan otak manusia, tanpa bantuan kalkulator, komputer, atau pen dan kertas.
Secara praktikalnya, pencongakan bukan sahaja membantu apabila tiada alat pengiraan, tetapi ia juga membantu dalam keadaan pengiraan cepat mesti dilakukan. Apabila sesuatu kaedah dibuat dengan lebih pantas dari kaedah konvensional (seperti yang diajar di sekolah), ia dipanggil kaedah pendek. Walaupun tujuan utamanya ialah untuk mempercepatkan pengiraan, pencongakan juga dipraktikkan dan ditambah dengan helah-helah untuk menunjukkan kemahiran pengiraan pantas.
Hampir semua kaedah sebegini menggunakan sistem angka perpuluhan. Pemilihan radiks menentukan kaedah yang sesuai dan pengiraan yang mudah untuk dilakukan dalam fikiran. Contohnya, mendarab atau membahagi dengan 10 adalah sangat mudah untuk angka perpuluhan (cuma alihkan titik perpuluhan), sementara mendarab dan membahagi dengan enam belas adalah sukar; tetapi keadaan berbeza berlaku apabila asas perenambelasan digunakan.
Terdapat banyak teknik berbeza untuk melakukan congakan, kebanyakannya adalah khusus untuk jenis-jenis masalahnya.

Penganggaran

Apabila memeriksa congakan, ia berguna dengan menggunakan penskalaan. Contohnya, apabila mengendalikan pengiraan nombor besar seperti 1531 × 19625, penganggaran boleh dibuat untuk nilai akhir kepada pengiraan ini. 1531 adalah hampir dengan 1500 dan 19625 adalah hampir dengan 20000, jadi hasil pengiraan ini sepatutnya hampir dengan 20000 × 1500 (30000000), satu nilai anggaran yang baik untuk jawapan sebenar (30045875). Jadi jika sesuatu jawapan memiliki lebih bilangan digit dari jumlah digit dalam nilai anggaran, jawapan itu adalah salah.

Faktor-faktor

Apabila mendarab, perlu diingat yang faktor-faktor kepada kendalian akan kekal. Contohnya, adalah tidak munasabah jika hasil darab 14 × 15 ialah 211 kerana 15 adalah satu nilai gandaan 5, jadi hasil darabnya sepatutnya gandaan lima juga. Jawapan yang betul ialah 210.

Pengiraan langsung

Apabila digit-digit b adalah semuanya lebih kecil dari digit-digit "a", pengiraan boleh dibuat secara langsung antara digit dengan digit. Contohnya, pengiraan 872 − 41 dibuat dengan menolak 1 dari 2 di tempat "sa", dan 4 dari 7 di tempat "puluh", mendapatkan jawapan:831

Kaedah peminjaman lihat ke depan

Kaedah ini boleh digunakan untuk menolak nombor dari kiri ke kanan, dan penggunaan memori adalah sedikit walaupun untuk menolak nombor dalam apa-apa saiz.
Satu tempat dikendalikan pada masa yang sama, kiri ke kanan.

Contoh:

          4075
        - 1844
        ------

Ribu: 4 - 1 = 3, lihat ke kanan, 075 < 844, perlu dipinjam.
           3 - 1 = 2, disebut "dua ribu"

 Ratus: 0 - 8 = nombor negatif tidak dibenarkan di sini,
           10 - 8 = 2, 75 > 44, jadi tidak perlu dipinjam,
           disebut  "dua ratus"

     Puluh: 7 - 4 = 3, 5 > 4 jadi tidak perlu dipinjam, disebut "tiga puluh"

     Sa: 5 - 4 = 1, disebut "satu"

Mengira hasil darab: a × b

Banyak kaedah ini berhasil disebabkan oleh sifat penaburan.

Mendarab dengan 2 atau nombor kecil yang lain

Apabila satu nombor yang didarab adalah cukup kecil untuk didarab dengan mudah oleh mana-mana digit tunggal, hasil darabnya boleh dikira dengan mudah antara digit dengan digit dari kanan ke kiri. Ini khususnya mudah untuk pendaraban dengan 2 kerana digit bawa tidak boleh lebih dari 1.
Contohnya, untuk mengira 2 × 167: 2x7=14, jadi digit akhirnya ialah 4, dengan 1 dibawa dan ditambah pada 2x6=12 untuk mendapatkan 13, jadi digit seterusnya ialah 3 dengan 1 dibawa dan ditambah pada 2x1=2 untuk mendapatkan 3. Jadi hasil darabnya ialah 334.

Mendarab dengan 5

Untuk mendarab satu nombor dengan 5,
1. Pertama, darab nombor tersebut dengan 10, kemudian bahagikan hasilnya dengan 2.
Algoritma berikut ialah cara pantas untuk menghasilkan keputusan ini:
2. Tambahkan sifar pada bahagian kanan nombor kendalian pertama. (A.)
3. Kemudian, bermula dari angka paling kiri, bahagikan setiap digit dengan 2 (B) dan gabungkan semua hasilnya menjadi satu nombor baru; (jawapan dengan titik perpuluhan perlu dibundarkan menjadi nombor bulat).

CONTOH: Darabkan 176 dengan 5. 
     A. Tambahkan sifar pada 176 menjadikannya 1760. 
     B. Bahagikan setiap digit dengan 2 bermula dari kiri.
           1. Bahagikan 1 dengan 2 = 0.5, dibundarkan kepada 0. 
           2. Bahagikan 7 dengan 2 = 3.5, dibundarkan kepada 3.
           3. Bahagikan 6 dengan 2 = 3
4. Bahagikan 0 dengan 2 = 0
Gabungan nombor-nombor di atas menghasilkan nombor baru 0330. (Ini bukanlah jawapan akhir, tetapi satu anggaran pertama yang akan dilaras dalam langkah berikut:)

     C. Tambahkan 5 kepada nombor yang mengikut mana-mana angka tunggal di dalam nombor baru ini 
        (yang sebelum ia dibahagikan dengan 2, merupakan nombor ganjil);
CONTOH: 176 (Dalam tempat PERTAMA, KEDUA, KETIGA):

 1.Tempat PERTAMA ialah 1, yang merupakan angka ganjil. 
   Tambahkan 5 kepada nombor selepas tempat pertama dalam nombor baru (0330) iaitu 3; 3+5=8.
          
 2.Tempat KEDUA ialah 7, juga angka ganjil. 
   Hasil dari langkah pertama (0830) akan bertambah dengan 5 juga, menjadi 0880. 

 3.Tempat KETIGA ialah 6, satu angka genap, jadi nombor akhir, 0 tidak akan berubah. 
   Jawapan akhir ialah 0880. 

 Sifar paling kiri boleh dibuang, meninggalkan 880. Jadi 176 didarab 5 bersamaan dengan 880.

Mendarab dengan 9

Oleh kerana 9 = 10 - 1, untuk mendarab dengan 9, darabkan nombor itu dengan 10 dan tolakkan nombor asal dari hasil ini. Contohnya, 9 × 27, ubahkan menjadi 10 × 27 = 270 ; jadi 9 × 27 = (270 - 27) = 243.

Menggunakan tangan: nombor 1-10 didarab dengan 9

Tandakan setiap jari (pada kedua-dua belah tangan) dengan nombor dari 1 hingga 10, dari kiri ke kanan. Simbol "|" dalam rajah berikut mewakili setiap jari yang diangkat, manakala tanda "-" mewakili jari yang dibengkokkan.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
| | | | |  | | | | |
tangan kiri tangan kanan
Bengkokkan jari yang mewakili nombor yang akan didarab dengan sembilan
Contoh: 6 didarab dengan 9

| | | | |  - | | | |
Jari yang keenam dari kiri telah dibengkokkan. Ambil jumlah jari yang masih diangkat di sebelah kiri jari keenam dan gabungkannya dengan jumlah jari yang masih diangkat di sebelah kanan jari keenam untuk mendapatkan hasil darab.
Contoh: Terdapat 5 jari yang masih diangkat di sebelah kiri jari ke-6 dan 4 jari yang masih diangkat di sebelah kanan. Jadi 6 didarab dengan 9 = 54.

    5          4
| | | | |  - | | | |

Mendarab dengan 10 (dan kuasa 10)

Untuk mendarab satu integer dengan 10; cuma tambahkan angka 0 pada hujung kanan nombor tersebut.
Untuk mendarab satu bukan integer dengan 10, cuma alihkan titik perpuluhan ke kanan satu digit.
Untuk algoritma asas 10, mendarab dengan 10ⁿ (n ialah satu integer), alihkan titik perpuluhan digit-digit n ke kanan. Jika n ialah nombor negatif, alihkan perpuluhan digit-digit |n| ke kiri.

Mendarab 2 nombor antara 11 dan 19

Untuk mendarab dengan mudah 2 nombor antara 11 dan 19 dalam algoritma ringkas seperti berikut

Rumus:

(10+a) × (10+b)

100 + 10 * (a+b) + a*b

Contoh:

17 * 16

(10+7) × (10+6)

100 + 10(7+6) + (7 × 6)
100 + 10(13) + (42)

=272

Mengkuasa duakan nombor

Ia mungkin berguna juga untuk mengetahui yang perbezaan anatara dua nombor kuasa dua yang berturutan adalah penambahan punca kuasa dua untuk keduanya. Jadi, jika anda sudah mengetahui yang 12 × 12 = 144 dan mahu mengetahui 13 × 13, kira x - 144 = 12 + 13, jadi x=12 + 13 + 144, jadi x=169.
Ini kerana (x + 1)² − x² = x² + 2x + 1 − x² = x + (x + 1)
x² = (x − 1)² + (2x − 1)

Kuasa dua sebarang integer 2 digit

Kaedah ini memerlukan penghafalan nombor kuasa dua dari 1 hingga 9.
Kuasa dua mn yang merupakan satu integer dua digit, boleh dikira dengan rumus berikut
10 × m(mn + n) + n²
Contoh untul 23²:

23²
= 10 × 2(23 + 3) + 3²
= 10 × 2(26) + 9
= 520 + 9
= 529
Jadi 23² = 529.

Mengekstrak punca kuasa untuk kuasa-kuasa yang sempurna

Ini merupakan satu tugas yang mudah untuk banyak kuasa-kuasa yang besar, tetapi kurang berguna selain untuk membuat kawan anda kagum (Secara praktikalnya, pencarian punca kuasa jarang melibatkan kuasa-kuasa sempurna). Tugas ini tidaklah sesusah bunyinya terutamanya kerana kaedah asasnya ialah mencari digit terakhir menggunakan digit akhir kuasa yang diberi dan seterusnya mencari digit-digit yang lain menggunakan magnitud kuasa yang diberi. Kaedah ini mungkin kelihatan sukar difahami, tetapi bagaimanapun ia ada direkodkan dan dipraktikkan. Lihat punca kuasa ke-13.

Piala Dunia Pengiraan Congak

Kejohanan Pengiraan Congak Dunia (Piala Duni Pengiraan Congak) diadakan pada tahun 2004. Ia berlangsung setiap dua tahun. Ia terdiri dari enam tugasan berbeza: penambahan sepuluh nombor sepuluh digit, pendaraban nombor lapan digit, pengiraan punca kuasa dua dan pengiraan hari-hari berdasarkan tarikh, ditambah dengan dua tugasan kejutan.