Persamaan pembezaan separa

Masalah nilai awal sempadan

Banyak masalah-masalah matematik fizik dirumuskan sebagai masalah nilai awal sempadan.

Contoh lain

The persamaan Schrödinger adalah PPS di tengah-tengah tak kerelatifan mekanik kuantum. Dalam anggaran WKB, ia adalah persamaan Hamilton-Jacobi.
Kecuali bagi persamaan Dym dan persamaan Ginzburg-Landau, persamaan di atas adalah lelurus dalam erti kata bahawa persamaan itu boleh ditulis dalam bentuk Au = f untuk diberikan operator lelurus A dan fungsi yang diberikan f. Persamaan bukan lelurus lain yang penting termasuk persamaan Navier-Stokes yang menerangkan aliran cecair, dan persamaan bidang Einstein dari relativiti umum.
Lihat juga senarai persamaan pembezaan separa bukan lelurus.

Klasifikasi

Beberapa persamaan pembezaan lelurus, tertib keduat separa boleh diklasifikasikan sebagai parabola, hiperbola dan eliptik. Lain-lain seperti persamaan Euler-Tricomi mempunyai pelbagai jenis di kawasan-kawasan yang berbeza. Klasifikasi menyediakan panduan kepada syarat-syarat awal dan sempadan yang sesuai, dan untuk kelancaran penyelesaian.

PPS tertib terhingga dalam mekanik kuantum

Pengkuantuman Weyl dalam ruang fasa membawa kepada persamaan kuantum Hamilton untuk trajektori zarah kuantum. Mereka adalah persamaan PPS tertib terhingga. Walau bagaimanapun, dalam perkembangan semiklasik mempunyai sistem terhingga PPB di mana-mana tertib tetap . Persamaan evolusi fungsi Wigner adalah bukan tertib terhingga PPS juga. Trajektori kuantum adalah ciri-ciri kuantum dengan penggunaan yang mana satu boleh mengira evolusi fungsi Wigner itu.

Pengasingan pembolehubah

PPS Linear boleh dikurangkan kepada sistem persamaan pembezaan biasa dengan teknik yang penting pemisahan pembolehubah. Logik teknik ini boleh mengelirukan apabila kenalan pertama, tetapi ia bergantung kepada keunikan penyelesaian kepada persamaan pembezaan: seperti ODEs, jika seseorang itu boleh mencari apa-apa penyelesaian yang menyelesaikan persamaan dan memenuhi syarat-syarat sempadan, maka ia adalah penyelesaian. Kami menganggap sebagai ansatz bahawa pergantungan penyelesaian di ruang dan masa boleh ditulis sebagai hasil daripada terma-terma yang sama bergantung kepada koordinat tunggal, dan kemudian melihat jika dan bagaimana ini boleh dibuat untuk menyelesaikan masalah tersebut.
Dalam kaedah pemisahan pembolehubah, salah satu mengurangkan PPS kepada PPS lebih sedikit pembolehubah, yang merupakan PPB jika dalam satu pembolehubah - ini pula lebih mudah untuk menyelesaikan.
Ini tidak mustahil bagi PPS yang mudah, yang dikenali sebagai [[persamaan pembezaan separa diasingkan], dan domain biasanya segi empat tepat (produk selang). PPS diasingkan sesuai dengan matriks pepenjuru - memikirkan "nilai untuk tetap x" seperti koordinat, setiap koordinat boleh difahami secara berasingan.
Ini generalisasi kepada kaedah ciri-ciri, dan juga digunakan dalam perubahan kamiran.

Kaedah ciri-ciri

Dalam kes-kes khas, seseorang itu boleh mencari lengkung ciri yang persamaan mengurangkan kepada PPB - perubahan koordinat dalam domain untuk meluruskan lengkung ini membolehkan pemisahan pembolehubah, dan dipanggil kaedah ciri-ciri.
Secara amnya, seseorang boleh mencari permukaan ciri.

Perubahan kamiran

Satu perubahan kamiran boleh mengubah PPS kepada yang mudah, khususnya PPS diasingkan. Ini sepadan dengan mempepenjurukan pengendali.
Satu contoh penting ini adalah analisis Fourier, yang mempepenjurukan persamaan haba menggunakan eigenbasis gelombang sinusoidal.
Jika domain adalah terhad atau berkala, sejumlah penyelesaian yang tidak terhingga seperti siri Fourier adalah sesuai, tetapi penting bagi penyelesaian seperti kamiran Fourier secara amnya diperlukan untuk domain terbatas. Penyelesaian untuk titik punca bagi persamaan haba yang diberikan di atas adalah satu contoh bagi penggunaan kamiran Fourier.

Penyelesaian asas

Persamaan tak homogen selalunya boleh diselesaikan (bagi PPS pekali malar, sentiasa diselesaikan) dengan mencari penyelesaian asas (penyelesaian untuk sumber titik), kemudian mengambil kekusutan dengan syarat-syarat sempadan untuk mendapatkan penyelesaian .
Ini adalah mirip dalam pemprosesan isyarat untuk memahami penapis oleh itu sambutan dedenyut.

Prinsip Tindihan

Kerana apa-apa  tindihan penyelesaian daripada lelurus, homogen PPS sekali lagi penyelesaian, penyelesaian yang tertentu, maka boleh digabungkan untuk mendapatkan penyelesaian yang lebih umum.

Kaedah kumpulan Lie

Dari tahun 1870 kerja Sophus Lie berkenaan teori persamaan pembezaan di atas landasan yang lebih memuaskan. Dia menunjukkan bahawa teori-teori integrasi ahli matematik lebih tua juga boleh, kini dikenali sebagai kumpulan Lie, dirujuk kepada sumber yang sama, dan bahawa persamaan pembezaan biasa yang mengakui transformasi sangat kecil yang sama membentangkan kesukaran setanding integrasi. Beliau juga menekankan subjek transformasi hubungan.
Satu pendekatan umum untuk menyelesaikan PPS ini menggunakan sifat simetri persamaan pembezaan, penyelesaian transformasi sangat kecilyang berterusan kepada penyelesaian (teori Lie). Kumpulan teoriyang berterusan, aljabar Lie dan geometri kebezaan yang digunakan untuk memahami struktur persamaan kebezaan separa lelurus dan bukan lelurus untuk menjana persamaan terkamir, untuk mencari pasanngan Lax, pengendali rekursi, perubahan Bäcklund dan akhirnya mencari penyelesaian analisis yang tepat kepada PPS.
Kaedah simetri telah diiktiraf untuk mengkaji persamaan pembezaan yang timbul dalam matematik, fizik, kejuruteraan dan pelbagai bidang lain.

Kaedah Semianalitikel

Kaedah penguraian adomian, kaedah parameter kecil tiruan Lyapunov, dan kaedah pengusikan homotopinya adalah semua kes-kes khas yang lebih umum kaedah analisis homotopi. Ini adalah kaedah pengembangan siri, dan kecuali untuk kaedah Lyapunov, adalah bebas daripada parameter fizikal kecil berbanding dengan teori usikan yang terkenal, sekali gus memberi kaedah ini lebih banyak fleksibiliti dan keluasan penyelesaian.

Kaedah berangka untuk menyelesaikan PPS

Ketiga-tiga kaedah yang paling banyak digunakan berangka untuk menyelesaikan PPS adalah kaedah unsur terhingga (KUT), kaedah isipadu terhingga (KIT) dan kaedah perbeza terhingga (KPT). KUT mempunyai kedudukan yang menonjol di kalangan kaedah ini dan terutamanya versi tertib yang lebih tinggi yang sangat cekap hp-KUT. Versi lain KUT termasuk kaedah unsur terhingga umum (KUTU), lanjutan kaedah unsur terhingga (LKUT), kaedah unsur terhingga spektrum (KUTS), kaedah unsur Meshfree terhingga, kaedah unsur selanjar Galerkin terhingga (KUSGT), kaedah Galerkin bebas unsur (KGBU), kaedah Galerkin bebas unsur penentudalaman (KGBUP), dan lain-lain

Kaedah unsur terhingga

Kaedah unsur terhingga (KUT) (permohonan praktikal sering dikenali sebagai analisis unsur terhingga (AUT)) adalah satu teknik berangka bagi mencari penyelesaian anggaran persamaan pembezaan separa (PPS) serta persamaan penting. Pendekatan penyelesaian adalah berdasarkan sama ada kepada menghapuskan persamaan pembezaan sepenuhnya (masalah keadaan mantap), atau memberikan PPS ke dalam sistem yang hampir persamaan pembezaan biasa, kemudiannya bersepadu berangka menggunakan teknik yang standard seperti kaedah Euler, Runge-Kutta, dan lain-lain

Kaedah perbezaan terhingga

Kaedah perbezaan terhingga adalah kaedah berangka bagi hampir penyelesaian kepada persamaan pembezaan menggunakan persamaan perbezaan terhingga dengan derivatif anggaran.

Kaedah isipadu terhingga

Sama dengan kaedah perbezaan terhingga atau kaedah unsur terhingga, nilai-nilai yang dikira di tempat-tempat berasingan pada geometri dihancurkan. "Jumlah terhingga" merujuk kepada jumlah yang kecil sekitar setiap titik nod pada jaringan a. Dalam kaedah isipadu terhingga, kamiran permukaan persamaan pembezaan separa yang mengandungi istilah perbezaan ditukar kepada kamiran jumlah, dengan menggunakan teorem kecapahan. Istilah ini kemudian dinilai sebagai fluks di permukaan setiap jumlah terbatas. Kerana fluks memasuki jumlah yang diberikan adalah sama dengan yang meninggalkan jumlah bersebelahan, kaedah ini adalah konservatif.