Tangen

Garisan tengen pada suatu lengkung

Notion intuitif adalah bahawa garisan tangen "cuma menyentuh" sebuah lengkung dapat diperbuat lebih eksplisit dengan menganggapkan langkah garisan lurus (garisan secant) lintas melalui dua titik, A dan B, yang terbaring pada lengkung fungsi. Tangen di A adalah had apabila titik B dianggarkan atau tend ke A. Kemunculan dan keunikan garisan tangen tergantung pada sesetengah jenis kelicinan matematik, dikenali sebagai "differentiability". Contohnya, jika dua arc bulat bertemu di suatu titik tajam (sebuah verteks) kemudian tiada tangen yang unik di verteks kerana had progression garisan secant tergantung pada mana "titik B" mencapai verteks.
Dalam sesetengah kes umumnya dijumpai, tangen pada sebuah lengkung tidak melintasi lengkung dari titik tengen (walaupun ia mungkin, apabila berlanjut, melintasi lengkung di tempat-tempat lain jauh dari titik tangen) Ini benar, contohnya, pada kesemua tangen pada sebuah bulat atau sebuah parabola. Meskipun, di titik-titik yang terkecuali digelar titik infleksi, garisan tangen memang melintasi dio titik tangen. Suatu contoh adalah titik (0,0) di graf parabola berkiub y = x³.
Secara tutur, ia dapatnya berlaku bahawa lengkung terbaring keseluruhannya di satu bahagian suatu garisan lurus melalui suatu titik padanya, dan meskipun garis lurus ini bukanlah suatu garis tangen. Inia dalah kesnya, contohnya, untuk suatu garis melintas lalu verteks sebuah segi tiga  dan tidak intersecting segi tiga—di mana garis tangen tidak wujud untuk alasan-alasan dijelaskan di atas. Pada geometri konveks, garis-garis seperti itu digelar supporting lines.

Pendekatan analisis

Gagasan geometri pada garis tengen sebagai had garis secant berkhidmat sebagai dorongan untuk kaedah--kaedah analitikal yang digunakan untuk mencari garis tangen secara eksplisit. Soalan pencarian garis tangen pada suatu graf, atau masalah garis tangen, adalah salah suatu soalan memusat yang membawa ke perkembangan kalculus pada abad ke-17. Dalam buku keduanya Geometry, René Descartes dikatakan pada masalah membina tangen pada suatu lengkung, "Dan saya berani berkata bahawa ini bukanlah satu-satunya masalah yang terguna dan terumum dalam geometri yang saya ketahui, tetapi yang saya pernah ingin mengetahui"

Apabila kaedahnya gagal

Kalkulus juga menunjukkan bahawa adanya fungsi-fungsi dan titik-titik di graf mereka di mana had mendapati cerun garis tangen tidak wujud. Untuk titik-titik ini fungsi f adalah non-differentiable. Ada dua alasan kemungkinan menyebabkan kaedah mencari tangen-tangen berasaskan had dan derivatif gagal: sama ada tangen goemetri wujud, tetapi ia adalah suatu garis tegak, yang tidak dapat diberikan dalam bentuk titik-cerun sejak ia tidak mempunyai suatu cerun, atau graf yang sangat teruk diakui suatu tangen geometri.
Graf y = x1/3 menggambarkan kemungkinan pertama: di sini darjah perbezaan di  a = 0 adalah sama dengan h1/3/h = h-2/3, yang menjadi sangat besar apabila h mendekati 0. Garis tangen pada lengkung ini di asalnya adalah tegak.
Graf y = |x| pada fungsi nilai mutlak terdiri dari dua garisan lurus dengan berlainan cerun bercantum di asalnya. Apabila suatu titik q mendekati asalnya dari kanan, garis secant mempunyai cerun 1. Apabila titik q mendekati asalnya dari kiri, garis secant mempunyai cerun &tolak;1. Oleh itu, tiada tangen unik pada graf di asalnya (walaupun pada sesetengah segi, adanya dua setengah tangen, berkorespon dengan dua arahan kemungkinan pada mendekati asalnya).

Permukaan dan manifold dimensi lebih tinggi

Satah tangen pada suatu permukaan pada suatu titik diberikan p didefinisikan sebagai suatu cara analog pada garisan kes lengkung. Ia adalah anggaran terbaik pada permukaan dengan suatu plane di p, dan dalah diperolehi sebagai kedudukan terhad pada plan melintasi 3 titik berlainan pada permukaan berhampiran dengan p oleh kerana titik-titik ini menumpu dengan p. Lebih umumnya, adanya ruang tangent dimensi-k di setiap titik suatu manifold dimensi-k pada dimensi-n ruang Euclidean.