Matematik tulen

Abad ke-19

Istilah ini sendiri diabadikan dalam judul penuh kursi Sadleir yang diasaskan (sebagai jawatan profesor) pada pertengahan kurun ke-19. Idea tentang disiplin berasingan untuk matematik tulen mungkin mula muncul pada masa ini. Generasi sezaman dengan Gauss tidak membuat perbezaan ketara antara tulen dan gunaan. Tahun-tahun berikutnya, pengkhususan dan pengikhtisasan (terutamanya dalam pendekatan Weierstrass untuk analisis matematik) telah mula membongkar selok belok bidang ini.

Abada ke-20

Pada permulaan abad ke-20, ahli matematik menggunakan kaedah aksiom yang mendapat pengaruh kuat dari contoh David Hilbert. Formulasi logik untuk matematik tulen dicadangkan oleh Bertrand Russell dalam bentuk satu struktur pengkuantiti proposisi yang menjadikannya kelihatan semakin munasabah kerana semakin banyak bahagian matematik yang diaksiomkan, dan oleh itu ia tertakluk pada kriteria bukti rigor.
Sesungguhnya dalam tetapan aksiomatik, rigor tidak menambah apa pun kepada idea bukti. Menurut satu pandangan yang berkaitan dengan kumpulan Bourbaki, matematik tulen ialah matematik yang dibuktikan. Ahli matematik tulen kemudiannya menjadi satu kerjaya yang diiktiraf, dan dapat dicapai melalui latihan.

Purisme (ketulenan)

Ahli matematik sentiasa memiliki pendapat berlainan tetang perbezaan antara matematik tulen dan gunaan. Antara contoh moden untuk perdebatan ini yang terkenal (tetapi mungkin juga disalah tafsir) boleh didapati dalam karya G.H. Hardy, A Mathematician's Apology.
Adalah dipercayai ramai yang Hardy menganggap matematik gunaan sebagai hodoh dan kusam. Walaupun adalah benar Hardy memilih matematik tulen yang beliau bandingkan dengan seni lukis dan sajak, Hardy melihat perbezaan antara matematik tulen dan gunaan dengan ringkas: matematik gunaan cenderung untuk mengungkap kebenaran fizikal dalam rangka kerja matematik, sementara matematik tulen mengungkap kebenaran yang tidak bergantung pada dunia fizikal. Hardy membuat perbezaan berasingan dalam matematik antara apa yang beliau gelar matematik "sebenar" (matematik tulen), "yang mempunyai nilai estetik yang berkekalan", dan "bahagian asas dan kusam dalam matematik" yang dapat dipraktikkan (matematik gunaan).
Hardy menganggap beberapa ahli fizik seperti Einstein dan Dirac, antara ahli matematik "sebenar", tetapi ketika beliau menulis Apology beliau juga menganggap kerelatifan am dan mekanik kuantum sebagai "tak berguna", membenarkan beliau berpegang pada pendapat yang hanya matematik "kusam" yang berguna. Selain itu, Hardy secara ringkas mengakui yang - sepertimana aplikasi teori matriks dan teori kumpulan dalam fizik yang tidak dijangka - mungkin akan sampai masanya beberapa jenis matematik "sebenar" yang indah, dapat dipraktikkan juga.
Pandangan lain diberikan oleh Magid:
"Saya sentiasa menganggap model yang baik ini boleh diperolehi dari teori gelanggang. Dalam subjek tersebut, salah satunya memiliki sub bidang teori gelanggang komutatif dan teori gelanggang tak komutatif. Seorang pemerhati yang tidak diberitahu mungkin terfikir yang ini mungkin mewakili satu pembahagian dua, tetapi hakikatnya satu gelanggang tak komutatif ialah gelanggang yang tak semestinya komutatif. Jika kita menggunakan perumpamaan yang sama, maka kita merujuk kepada matematik gunaan dan matematik tak gunaan, dengan matematik tak gunaan bermaksud matematik yang tak semestinya diaplikasikan… [emphasis added]"