Fonon

Pengulangan pengembangan mod normal

Persamaan dalam bahagian ini tidak menggunakan aksiom mekanik kuantum atau menggunakan perkaitan yang wujudnya penghubung terus dengan mekanik klasik.

Mekanik zarah kekisi

Katakan kekisi tegar biasa (atau "berhablur") mengandungi N zarah. (Kita akan rujuk zarah ini sebagai atom, walaupun dalam pepejal sebenar mungkin terdapatnya ion.) N adalah nombor yang besar, katakan sekitar 10²³ (nombor Avogadro) bagi satu ketul pepejal. Sekiranya kekisi adalah tegar, atom akan mengenakan daya pada satu sama lain, supaya mengekalkan setiap atom pada kedudukan seimbang. Dalam pepejal sebenar, daya ini termasuklah daya Van der Waals, ikatan kovalen, dan lain lagi, yang semuanya adalah disebabkan daya elektrik; daya magnet dan kegravitian sering diabaikan. Daya antara setiap pasang atom boleh ditentukan dengan fungsi tenaga keupayaan V, bergantung kepada pemisahan atom. Tenaga keupayaan bagi seluruh kekisi adalah jumlah tenaga keupayaan berpasangan:
\,\sum_{i < j}  V(r_i - r_j)
iaitu \, r_i adalah kedudukan atom ke-idan \, V adalah tenaga keupayaan antara dua atom.
Amatlah sukar untuk menyelasaikan masalah banyak jasad dalam keadaan umum, sama ada dalam mekanik klasik atau kuantum. Untuk memudahkan kerja, kita memperkenalkan dua anggaran penting. Pertama, kita hanya membuat jumlah bagi atom bersebelahan sahaja. Walaupun daya elektrik dalam ppejal sebenar adalah tidak terbatas, anggaran ini sekurang-kurangnya sahih kerana medan yang dihasilkan dari atom jauh adalah tertabir atau terhalang. Kedua, kita letakkan keupayaan \, V sebagai keupayaan harmonik: perkara ini dibenarkan selagi atom berdekatan dengan kedudukan keseimbangan mereka. (Dahulu, penyelesaian menggunakan kembangan Taylor \, V pada nilai keseimbangannya yang memberikan \, V berkada dengan \, x^2.)
Hasil ekisi mungkin boleh digambarkan sebagai bebola yang disambungkan dengan spring. Rajah berikut menunjukkan kekisi kubus yang merupakan model yang baik untuk kebanyakan pepejal berhablur. Kekisi lain termasuklah rantaian linear yang merupakan kekisi paling mudah yang akan digunakan untuk memodelkan fonon. Kekisi lain yang biasa boleh ditemui dalam rencana struktur kekisi.
      
Tenaga keupayaan bagi kekisi kini boleh ditulis sebagai
\sum_{i \ne j (nn)} {1\over2} m \omega^2 (R_i - R_j)^2
Di sini, \,\omega adalah frekuensi asli bagi keupayaan harmonik, yang kita anggap sama memandangkan kekisi adalah serupa. \, R_i adalah koordinat kedudukan atom ke-i yang kini diukur dari kedudukan keseimbangan. Jumlah jiran terdekat ditulis sebagai "(nn)".

Gelombang kekisi

Disebabkan hubungan antara atom-atom, sesaran satu atau lebih atom dari kedudukan keseimbangan mereka akan menyebabkan getaran gelombang merambat sepanjang kekisi. Satu gelombang begitu ditunjukkan di bawah. Amplitud bagi gelombang adalah diberi sebagai sesaran atom dari kedudukan keseimbangan mereka. Panjang gelombang \,\lambda ditandakan.
Terdapat panjang gelombang kemungkinan kecil, diberi oleh pemisahan keseimbangan a antara atom-atom. Seperti yang akan dilihat dalam bahagian seterusnya, mana-mana panjang gelombang yang lebih pendek daripada ini boleh digabungkan kepada panjang gelombang yang lebih besar dari a, disebabkan kesan yang sama dengan yang dalam mengalias.
Tidak semua getaran kekisi mempunyai panjang gelombang dan frekuensi yang betul-betul tertakrif. Walau bagaimanapun, mod normal (iaitu yang dibincangkan ketika pengenalan rencana, adalah blok binaan asas bagi getaran kekisi) mempunyai panjang gelombang dan frekuensi yang betul-betul tertakrif.

Sebaran fonon dalam rantaian atom satu matra

Katakan ada satu rantaian harmonik bersifat mekanik kuantum bagi N atom. Ini adalah model mekanik kuantum yang termudah bagi kekisi, dan kita akan lihat bagaimana fonon muncul daripadanya. Formalisme yang akan dikembangkan bagi model ini adalah sudah sedia diamkan kepada dua dan tiga matra. Hamiltonian bagi sistem ini
\mathbf{H} = \sum_{i=1}^N {p_i^2 \over 2m} + {1\over 2} m \omega^2 \sum_{\{ij\} (nn)} (x_i - x_j)^2
iaitu \, m adalah jisim setiap atom, dan \, x_i dan \, p_i adalah pengoperaso kedudukan dan momentum bagi atom ke-i.
Kita perkenalkan set \, N "koordniat normal" \, Q_k, ditakrifkan sebagai jelmaan Fourier diskret bagi \, x dan \, N "momenta konjugat" \,\Pi  ditakrfkan sebagai jelmaan Fourier bagi \, p's:
\begin{matrix}
x_j   &=& {1\over\sqrt{N}} \sum_{n=-N}^{N} Q_{k_n} e^{ik_nja} \\
p_j   &=& {1\over\sqrt{N}} \sum_{n=-N}^{N} \Pi_{k_n} e^{-ik_nja} \\
\end{matrix}
Kuantiti \, k_n akan menjadi nombor gelombang bagi fonon, iaitu \, 2\,\pi dibahagikan panjang gelombang. Ia mengambil kira nilai terkuantum, kerana nombor atom adalah terhingga. Bentuk pengkuantuman bergantung kepada pilihan syarat sempadan; bagi memudahkan, kita mengenakan syarat sempadan berkala, mentakrifkan atom ke-\, (N+1) sama dengan atom pertama. Secara fizikal, ini disebabkan sambungan rantaian pada pengujungnya. Keputusan pengkuantuman ialah
k_n = {n\pi \over Na}
\quad \hbox{for}\ n = 0, \pm1, \pm2, ... , \pm N
Sempadan atas bagi \, n muncul dari panjang gelobang minimum yang dikenakan oleh pemisahan kekisi \, a, seoerti yang diterangkan di atas.
Dengan menyongsangkan jelmaan Fourier diskret untuk menyatakan \, Q dalam sebutan \, x dan \,\Pi dalam sebutan \, p, dengan mengunakan hubungan penukar tertiban berkanun antara \, x dan \, p, kita boleh tunjukkan

\left[ Q_k , \Pi_{k'} \right] = i \hbar \delta_{k k'} \quad
;\quad \left[ Q_k , Q_{k'} \right] = \left[ \Pi_k , \Pi_{k'} \right] = 0
Dalam erti kata lain, koordniat normal dan momenta konjugat mematuhi hubungan penukar tertiban sebagai pengoperasi kedudukan dan momentum! Menulis Hamiltonian dalam sebutan kuantiti ini,
\mathbf{H} = \sum_k \left(
{ \Pi_k\Pi_{-k} \over 2m } + {1\over2} m \omega_k^2 Q_k Q_{-k}
\right)
iaitu
\omega_k = \sqrt{2 \omega^2 (1 - \cos(ka))}
Perhatikan gandingan antara pembolehubah kedudukan telah dipindahkan; sekiranyta \, Q dan \,\Pi adalah Hermitian (yang sebenarnya bukan), Hamiltonian yang berubah itu akan menerangkan \, N tak berganding dalam pengayun harmonik.

Fonon tiga matra

Amat jelas, walaupun membosankan, untuk membuat tanggapan umum tentang kekisi tiga dimensi. Didapati nombor gelombang k digantikan dengan vektor gelombang tiga matra k. Tambahan lagi, setiap k kini dikaitkan dengamn tiga koordinat normal.
Indeks baru s = 1, 2, 3 melabelkan kekutuban fonon. Dalam model satu matra, atom adalah terikat untuk bergerak di sepanjang garisan, maka fonon bertindak kepada gelombang membujur. Dalam tiga matra, kekisi tidak terikat kepada arah rambatan, dan boleh juga berlaku dalam satah berserenjang, seperti gelombang melintang. Ini menimbulkan koordinat normal tambahan, yang, seperti yang ditunjukkan bentuk Hamiltonian, kita boleh lihat jenis fonon yang berbeza-beza.

Hubungan sebaran

Dalam perbincangan di atas, kita telah memperoleh persamaan yang mengaitkan frekuensi fonon, \,\omega_k, kepada nombor gelombangnya \, k:
\omega_k = \sqrt{2 \omega^2 (1 - \cos(ka))} = 2 \omega | sin(ka/2) |
Ini dikenali sebagai hubungan sebaran.
Laju rambatan bagi satu fonon, iaitu kelajuan bunyi dalam kekisi, diberi oleh kecerunan hubungan sebaran, \,\tfrac{\partial\omega_k}{\partial k} (lihat halaju kelompok.) Pada nilai \, k rendah (panjang gelombang yang besar), hubungan sebaran hampir linear, dan laju bunyi dianggarkan \,\omega a, tidak bergantung kepada frekuensi fonon. Maka, paket-paket fonon dengan panjang gelombang yang berbeza (tetapi panjang) boleh merambat pada jarak yang besar melintasi kekisi tanpa berpecah. Ini yang menyebabkan bunyi merambat melalui pepejal tanpa sebarang herotan. Ciri ini gagal pada nilai \, k besar, panjang gelombang yang kecil, disebabkan perincian mikroskopik dalam kekisi.
Bagi hablur yang mempunyai dua atom dalam satu sel unit (sama atau berbeza), hubungan sebaran menunjukkan dua jenis fonon mod iaitu mod optik dan akustik iaitu set lengkungan atas dan bawah seperti yang ditunjukkan dalam rajah. Paksi menegak adalah tenaga atau frekuensi fonon sementara paksi melintang adalah nombor gelombang. Sempadan di -kₘ dan kₘ adalah zon Brillouin yang pertama. Lengkungan biru, ungu dan perang adalah akusti membujur, akustik melintang 1 dan akustik melintang 2.
Dalam sesetengah hablur, dua mod akustik melintang mempunyai lengkungan sebaran yang sama. Yang menarik juga bagi kristal dengan N ( > 2) atom berbeza dalam sel primitif, akan sentiasa terdapat tiga mod akustik. Bilangan bagi mod optik pula ialah 3N - 3. Kebanyakan lengkungan sebaran fonon telah diukur melalui serakan neutron.
Fizik bunyi dalam bendalir berbeza dari fizik bunyi dalam pepejal, walaupun kedua-duanya mempunyai adalah gelombang ketumpatan: gelombang bunyi dalam bendalir hanya mempunyai komponen membujur, manakala gelombang bunyi dalam pepejal mempunyai komponen membujur dan melintang. Ini disebabkan bendalir tidak dapat menampung tegasan ricih (tetapi lihat bendalir likat anjal, yang hanya digunapakai pada frekuensi tinggi).

Fonon optik dan akustik

Dalam pepejal yang mempunyao ebih satu atom dalam sel unit terkecil, terdapat dua jenis fonon: fonon "akustik" dan fonon "optik". "Fonon akustik" mempunyai frekuensi yang kecil pada panjang gelombang yang besar dan bersamaan dengan gelombang bunyi dalam kekisi.
"Fonon optik" yang muncul dalam hablur yang mempunyai lebih dari satu atom dalam sel unit terkecil, sentiasa mempunyai frekuensi getaran minimum walaupun apabila panjang gelombangnya besar. Fonon tersebut dipanggil "optik" kerana dalam hablur berion (seperti natrium klorida), fonon sangat mudah teruja disebabkan cahaya (sinaran infra merah). Ini disebabkan mereka n\bertindak kepada mod getaran apabila ion positif dan negatif di kekisi bersebelahan berayun menentang satu sama lain, mencipta momen dwikutub elektrik. Fonon optik yang berinteraksi dengan cahaya dipanggil aktif infra merah. Fonon optik yang aktif Raman juga boleh berinteraksi dengan cahaya melalui serakan Raman.