Matematik kerelatifan am

Mengapa tensor?

Prinsip perselisihan sama umum menyatakan bahawa undang-undang fizik seharusnya mengambila bentuk matematik sama dalam semua bingkai rujukan dan dalah salah satu prinsip pusat dalam perkembangan kerelatifan am. Istilah 'perselisihan sama umum' telah digunakan dalam perumusan awal kerelatifan am, tetapi kini dirujukkan oleh banyak orang sebagai perselisihan sama diffeomorfisme. Walaupun perselisihan sama diffeomorfisme tidak metakrifkan ciri kerelatifan am, dan kontroversi tetap mengenai kedudukan kininya di GR, ciri invariance undang-undang fizik digunakan dalam prinsip dipasangankan dengan faktanya bahawa teori adalah geometri secara penting dalam sifat (membuat guna geometri bukan-Euclidian) bercadangkan bahawa kerelatifan umum dapat dirumuskan menggunakan bahasa tensor. Ini akan dibincangkan lanjut di bawah.

Stuktur tempatan lawan global

Suatu pembezaan penting dalam fizik adalah perbezaan di antara struktur tempatan dan global. Ukuran pada fizik dilakukan dalam secara relatif rantau kecil ruangmasa dan ini adalah satu alasan untuk mengajikan struktur tempatan ruangmasa dalam kerelatifan umum, sedangkan menentukan struktur ruangmasa global adalah penting, khususnya dalam masalah kosmologi.
Suatu masalah penting dalam kerelatifan umum adalah untuk memberitahu apabila dua ruangmasa adalah 'sama', sekurang-kurangnya secara tempatan. Masalah ini mempunyai akarnya dalam teori berlipat ganda di mana menentu jika dua berlipat ganda Riemannian dimensi sama adalah isometri tempatan ('secara tempatan sama'). Masalah yang kedua telah diselesaikan dan kegunaannya untuk kerelatifan umum digelar algoritma Cartan-Karlhede.

Tensor dalam GR

Salah satu akibat teori kerelatifan adalah abolition bingkai rujukan diutamakan. Penjelasan fenomena fizikal tidak harus bergantung pada yang membuatkan ukuran - satu bingkai rujukan seharusnya menjadi sebaik yang lain. Kerelatifan khas menunjukkan bahawa tiada bingkai rujukan inertia telah disukai pada bingkai rujukan intertia lain, tetapi bingkai rujukan intertia yang disukai ke atas bingkai rujukan yang bukan intertia. Kerelatifan umum dikurangkan untuk bingkai rujukan intertia dengan menunjukkan bahawa tiada bingkai rujukan disukai (inertia atau bukan) untuk menjelaskan sifat.
Mana-mana pemerhati dapat membuat ukuran dan kuantiti angka tepat diperolehi hanya bergantung pada sistem koordinat yang digunakan. Ini mencadangkan suatu cara merumuskan kerelatifan menggunakan 'struktur invariant', yang adalah berdikari dari yang berdikari dari sistem koordinat (diwakili oleh pemerhati) digunakan, namun masih mempunyai kewujudan berdikari. Struktur matematik yang tersesuai kelihatan sebuah tensor. Contohnya, apabila mengukur jurusan elektrik dan magnetik dihasilkan oleh suatu charge accelerating, nilai-nilai jurusan akan bergantung pada sistem koordinat digunakan, tetapi jurusan dianggap mempunyai suatu kewujudan berdikari, kedikarian ini diwakili oleh tensor jurusan elektromagnetik.
Secara matematik, tensor adalah pejalan linear dimumumkan - multilinear peta. Oleh itu, gagasan algebra lineardigunakan untuk mempelajari tensor.
Di tiap titik \, p suatu lipatan ganda, ruang tangen dan kotangen pada lipatan handa pada peringkat itu harus dibina. Vektor (kadang-kadang dirujukkan vektor kontravarian) ditakrifkan sebagai elemen-elemen ruang tengen dan kovektor (kadang-kadang diistilah kovarian vektor, tetapi lebih umumnya vektor dua atau one-forms) adalah elemen-elemen dari ruang kotangen.
Di \, p, dua ruang vektor ini dapat digunakan untuk membina jesnis \, (r,s) tensor, yang mana adalah peta multilinear bernilai real bertindak pada jumlah lanjut dari \, r salinan ruang kotangen dengan \, s salinan ruang tangen. Set semua peta pelbagai linear seperti itu membentukkan suatu ruang vektor, digelar ruang hasil tensor jenis \, (r,s) at \, p dan denoted oleh \, (T_p)^r{}_sM. Jika ruang tangen adalah dimentsi-n, ia dapat menunjukkan bahawa \dim (T_p)^r{}_sM = n^{r+s}.
Dalam sastera kerelatifan umum, ia adalah lazim untuk menggunakan sintaks komponen untuk tensor.
Suatu jenis (r,s) tensor dapat dikarang sebagai
 T \;\! = \;\! {T^{a_1 \ldots a_r}}_{{b_1} \ldots {b_s}} \frac {\partial} {\partial x^{a_1}} \otimes \ldots \otimes \frac {\partial} {\partial x^{a_r}} \otimes dx^{b_1} \otimes \ldots \otimes dx^{b_s} 
di mana \;\!\frac {\partial} {\partial x^{a_i}} adalah suatu asas untuk ruang tangen ke-i dan \;\!dx^{b_j} suatu dasar untuk ruang kotengen ke-j.
Apabila spacetime ditanggap berdimensi empat, tiap indeks pada sebah tensor dapat menjadi satu dari empat nilai. Oleh itu, jumlah bilangan elemen sebuah tensor memiliki adalah sama dengan 4ᴿ, di mana R adalah jumlah bolangan indeks kovarian dan kontravarian pada tensor (sebuang angka digelarkan penempatan tensor).

Klasifikasi tensor

Klasifikasi tensor adalah cuma masalah matematik. Dalam GR, meskipun, sesetengah tensor yang mempunyaiu terjemahan fizikal dapat diklasifikasikan dengan bentu=bentuk lain tensor biasanya berkorespon dengan sesetengah fizik. Contoh-contoh klasifikasi tensor berguna dalam kerelatifan umum termasuk klasifikasi Segre dari tensor momentum tenaga dan klasifikasi Petrov dari tensor Weyl. Ada berbagai kaedah mengklasifikasikan tensor-tensor ini, sesetengah dari mana menggunakan ketidakvarian tensor.

Tensorial derivatives

Sebelum bermulanya kerelatifan am, perubahan pada proses fizikal biasanya dijelaskan oleh derivatif separuh, contohnya, dengan menjelaskan perubahan dalam bidang elektromagnetik (lihat persamaan Maxwell). Walaupun dalam kerelatifan khas, derivatif separuh masih cukup untuk menjelaskan sebarang perubahan. Meskipun, dalam kerelatifan am, ia didapati bahawa derivatif yang juga tensor harus digunakan. Derivatif telah mempunyai ciri-ciri umum termasuk bahawa mereka adalah derivatif bersama dengan lengkung integral bidang vektor.
Masalah dalam mentakrifkan derivatif pada berlipat ganda yang bukan leper adalah bahawa tiada cara semulajadi untuk membandingkan vektor di berlainan titik. Sebuah struktur tambahan pada berlipat ganda am diperlukan untuk mentakrifkan derivatif. Di bawah menjelaskan dua derivatif penting yang dapat ditakrifkan dengan imposing sebuah struktur tambahan pada berlipat ganda dalam tiap hal.

Pemuliharaan tenaga

Dalam GR, ada suatu hukum tempatan untuk pemuliharaan kederasan tenaga. Ia dapat disecara ringkas dan padat dijelaskan oleh persamaan tensor:
T^{ab}{}_{;b} \, =0.
Kenyataan berkorespon pemuliharaan tenaga tempatan dalam kerelatifan khas adalah:
T^{ab}{}_{,b} \, =0.
Ini mengilustrasikan rule of thumb yang 'derivatif separuh pergi ke derivatif kovarian'.

Nota

Ciri mentakrifkan (gagasan fizikal berpusat) kerelatifan umum adalah bahawa jirim dan tenaga menyebabkan geometri ruangmasa di keliling untuk diukirkan.