Pecahan

Pecahan (Bahasa Inggeris: fraction daripada Bahasa Latin fractus, "dipecahkan") ialah nombor yang mewakili sebahagian daripada keseluruhan atau sekumpulan benda.
Pecahan terawal ialah salingan integer-integer yang menggunakan simbol mewakili satu perdua, satu pertiga, satu perempat, dan seterusnya.
Dalam perkembangan seterusnya, pecahan "kasar" atau pecahan biasa telah dibangunkan dan ia masih digunakan sehingga hari ini. Pecahan ini terdiri daripada satu pengangka dan satu penyebut, pengangka mewakili beberapa bahagian sama dan penyebut menunjukkan berapa banyak bahagian-bahagian tersebut yang membentuk keseluruhan. Sebagai contoh dalam pecahan 3/4, pengangka, 3, menunjukkan 3 bahagian sama, sementara penyebut, 4, menunjukkan yang 4 bahagian yang membentuk keseluruhan.
Kemudian, pecahan perpuluhan pula diperkenalkan, yang kini hanya dikenali sebagai "perpuluhan". Penyebutnya ialah nombor asas sepuluh yang dikuasakan dengan nombor yang ditentukan oleh bilangan digit di kanan titik perpuluhan. Jadi, nombor perpuluhan 0.75 mempunyai pengangka 75 dan penyebut 10 kuasa 2 (kerana terdapat 2 digit di kanan titik perpuluhan). Jadi penyebutnya ialah 100. 
Jenis pecahan ketiga yang sering digunakan ialah "peratusan", yang menggunakan penyebut 100 sahaja. Jadi, 75 peratus bermaksud 75/100.
Dalam matematik, set untuk semua pecahan (kasar) dipanggil set nombor nisbah dan diwakili simbol Q.
Penggunaan lain pecahan adalah untuk menunjukkan nisbah dan pembahagian. Jadi, pecahan 3/4 juga digunakan untuk menunjukkan nisbah 3:4 (tiga kepada empat) dan pembahagian 3 ÷ 4 (tiga dibahagikan dengan empat).

Istilah

Mengikut sejarah, "pecahan" merujuk kepada sebarang nombor yang tidak mewakili keseluruhan, nombor yang kini dipanggil "perpuluhan", asalnya dikenali sebagai "pecahan perpuluhan"; dan nombor yang kini dipanggil "pecahan", asalnya dikenali sebagai "pecahan kasar", perkataan "kasar" (vulgar) bermaksud "biasa" (commonplace). 
Perkataan pecahan juga digunakan dalam ungkapan matematik seperti pecahan lanjar dan pecahan algebra.

Penggunaan

Pecahan lebih banyak digunakan apabila penyebutnya kecil. Adalah mudah untuk mendarab 32 dengan ³⁄₁₆, berbanding mendarabnya dengan nombor perpuluhan untuk pecahan tersebut, (0.1875). Adalah juga lebih tepat mendarab 15 dengan ¹⁄₃, berbanding mendarabnya dengan nombor perpuluhan untuk satu pertiga (0.333...). Untuk mengubah satu pecahan menjadi nombor perpuluhan, bahagikan pengangka dengan penyebut, dan bundarkan kepada ketepatan yang diingini.

Pecahan biasa, pecahan wajar dan pecahan tak wajar

Pecahan kasar (atau pecahan biasa) ialah satu nombor nisbah yang ditulis dengan satu integer (pengangka) yang dibahagikan dengan satu integer bukan sifar (penyebut). 
Satu pecahan kasar akan menjadi pecahan wajar apabila nilai mutlak pengangka adalah kurang dari nilai mutlak penyebut; yang menjadikan nilai mutlak keseluruhan pecahan kurang daripada 1. Pecahan kasar akan menjadi pecahan tak wajar  apabila nilai mutlak pengangka adalah lebih besar atau sama dengan nilai mutlak penyebut (cth. ⁹⁄₇).

Pecahan setara

Dengan mendarab pengangka dan penyebut sesuatu pecahan dengan nombor yang sama (bukan sifar), hasil pecahan yang baru adalah setara dengan pecahan asal. Perkataan setara di sini bermaksud, kedua-dua pecahan memiliki nilai yang sama yang mengekalkan integriti yang sama - Perimbangan dan perkadaran yang sama. Ini adalah benar kerana mana-mana nombor , didarab dengan  adalah sama dengan pendaraban dengan satu, dan sebarang nombor yang didarab dengan satu mempunyai nilai yang sama dengan nombor asal. Contohnya, untuk pecahan : apabila kedua-dua pengangka dan penyebut didarab dengan 2, hasilnya adalah , yang memiliki nilai yang sama (0.5) dengan . Untuk gambaran lebih jelas, bayangkan kek (dalam gambar di atas) dipotong menjadi empat bahagian; 2 dari empat bahagian ini () mewakili separuh kek ().
Contoh: , ,  dan  kesemuanya adalah pecahan setara. 
Membahagikan pengangka dan penyebut dengan nombor (bukan sifar) yang sama juga menghasilkan pecahan setara. Ia dikenali sebagai mengurangkan atau memudahkan pecahan. Satu pecahan yang pengangka dan penyebutnya tidak mempunyai faktor yang sama (selain 1) adalah dianggap tidak boleh dimudahkan dan berada dalam bentuk termudah atau sebutan terendah. Sebagai contoh,  bukanlah satu pecahan termudah kerana 3 dan 9 mempunyai faktor yang sama iaitu 3. Sebaliknya,  ialah pecahan termudah kerana satu-satunya faktor untuk 3 dan 8 ialah 1.

Salingan dan "penyebut halimunan"

Salingan sesuatu pecahan ialah pecahan dengan pengangka dan penyebutnya diterbalikkan. Contohnya, salingan untuk , ialah .
Oleh kerana hasil bahagi sebarang nombor dengan 1 adalah sama dengan nombor itu, nombor bulat juga boleh ditulis dalam pecahan dengan menggunakan 1 sebagai penyebut: 17 =  (kadang-kadang 1 dirujuk sebagai "penyebut halimunan"). Maka, kecuali untuk sifar, setiap pecahan atau nombor bulat memiliki satu salingan. Salingan untuk 17 ialah .

Aritmetik dengan pecahan

Seperti juga nombor bulat, pecahan mematuhi hukum ketertukartertiban, kesekutuan, dan ketaburan, dan hukum melarang pembahagian dengan sifar.

Rasionalisasi

Rasionalisasi pecahan adalah satu teknik memudahkan penyebut untuk ungkapan pecahan yang rumit, seperti . Ia sangat berguna dalam pengiraan yang melibatkan nombor kompleks seperti . Satu pecahan perlu dirasionalkan jika penyebutnya mengandungi nombor tak nisbah, nombor khayalan atau nombor kompleks agar pengiraan menjadi lebih mudah. Proses rasionalisasi adalah melibatkan pendaraban bahagian atas dan bawah pecahan dengan konjugat penyebut untuk menjadikan penyebutnya satu nombor nisbah. Walaupun proses ini menyebabkan pengangka boleh bertukar menjadi tak nisbah atau kompleks, proses ini masih boleh memudahkan manipulasi dengan mengurangkan bilangan nombor tak nisbah dalam penyebut, atau dengan membuat penyebutnya menjadi nyata, dalam kes ungkapan yang kompleks.