Teorem

Anggapan formal dan tak formal

Secara logik, banyak teorem adalah dalam bentuk indikatif bersyarat: Jika A, maka B. Teorem seperti ini tidak menyatakan B sentiasa benar, sebaliknya B mesti menjadi benar hanya jika A adalah benar. Dalam kes ini A dipanggil hipotesis teorem (ambil perhatian yang "hipotesis" di sini adalah berbeza dengan satu konjektur) dan B adalah kesimpulan (A dan B boleh juga disebut antejadian dan akibat). Teorem "jika n adalah satu nombor asli yang genap, maka n/2 adalah satu nombor asli", merupakan contoh tipikal di mana hipotesisnya ialah "n adalah satu nombor asli yang genap" dan kesimpulannya ialah "n/2 juga adalah nombor asli". Untuk dibuktikan, satu teorem mesti dapat diungkapkan dalam pernyataan yang formal dan tepat. Walau bagaimanapun, teorem biasanya diungkapkan dalam bahasa asli, bukan di dalam bentuk simbolik sepenuhnya, bertujuan membolehkan pembaca mampu menghasilkan pernyataan yang formal dari yang tidak formal. Selain itu, ada hipotesis yang boleh difahami dalam konteks, bukan seperti yang tersurat dinyatakan. Menjadi perkara biasa dalam Matematik untuk memilih beberapa hipotesis yang dianggap benar dalam teori yang diberi, dan kemudian isytiharkan yang teori itu terdiri dari semua teorem yang boleh dibuktikan menggunakan hipotesis-hipotesis tersebut sebagai andaian. Dalam kes ini, hipotesis-hipotesis yang membentuk asas ini dikenali sebagai aksiom (atau postulat) kepada teori. Bidang matematik yang dikenali sebagai teori bukti mengkaji sistem-sistem aksiom formal dan bukti-bukti yang boleh dilakukan di dalamnya.
Beberapa teorem akan dianggap "remeh" jika ia mengikut dari definisi, aksiom, dan teorem yang lain secara ketara dan tidak mengandungi sebarang pemahaman yang mengejutkan. Ada juga teorem yang dianggap "dalam": bukti-buktinya mungkin panjang dan sukar, melibatkan bidang matematik yang berbeza dari pernyataan teorem itu sendiri, atau menunjukkan hubungan yang mengejutkan antara bidang-bidang yang berbeza sama sekali dalam matematik. Sebuah teorem mungkin mudah dinyatakan tetapi mendalam. Contoh terbaik adalah teorem terakhir Fermat, dan terdapat banyak contoh dalam bidang matematik yang lain seperti teori nombor dan kombinatorik. Terdapat teorem lain yang buktinya diketahui tetapi tidak mudah dicatat. Contoh terkenal ialah teorem empat warna dan konjektur Kepler. Kedua-dua teorem ini dibuktikan benar hanya selepas melibatkan proses pengiraan berkomputer. Pada awalnya, ramai ahli matematik tidak dapat menerima bukti dalam bentuk ini, tetapi ia telah diterima dengan meluas kemudiannya. Meskipun begitu, banyak teorem matematik sebenarnya boleh diselesaikan dengan pengiraan yang lebih ringkas, termasuklah identiti polinomial, trigonometri, dan hipergeometri.

Hubungan dengan bukti

Konsep Teorem adalah sangat berkait rapat dengan konsep bukti. Sememangnya, teorem akan menjadi benar hanya setelah ia memiliki bukti. Jadi, untuk membentuk satu pernyataan matematik menjadi sebuah teorem, kewujudan satu penaakulan dari aksiom di dalam sistem (dan teorem lain yang telah terbina) kepada pernyataan yang diberi mesti ditunjukkan. Walaupun bukti adalah perlu untuk membentuk sebuah teorem, ia biasanya tidak dianggap sebahagian dari teorem. Dan walaupun lebih dari satu bukti diketahui untuk sesebuah teorem, cuma satu sahaja yang diperlukan untuk mengesahkan teorem tersebut. Teorem Pythagoras dan hukum kesalingan kuadratik merupakan antara teorem yang memilki bukti-bukti yang paling banyak.

Teorem dalam logik

Logik terutamanya dalam bidang teori bukti, menganggap teorem sebagai satu pernyataan (dipanggil formula atau formula yang dibentuk dengan baik) kepada bahasa formal. Satu set untuk hukum deduksi, juga dikenali sebagai hukum transformasi atau hukum pentaabiran, mesti diberikan. Hukum deduksi ini menyatakan dengan tepat bila formula dapat diterbitkan daripada satu set premis. Set hukum penerbitan yang berlainan memberi ruang wujudnya interpretasi yang berbeza tentang apa maksudnya untuk sebuah ungkapan menjadi teorem. Beberapa hukum penerbitan dan bahasa formal adalah bertujuan untuk penaakulan matematik; contoh biasanya ialah penggunaan logik tertib pertama. Sistem deduktif yang lain menerangkan penulisan semula istilah, seperti hukum pengurangan untuk λ kalkulus. Takrifan teoram sebagai elemen bahasa formal memberi ruang kepada keputusan-keputusan dalam teori bukti yang mengkaji struktur bukti formal dan struktur formula yang boleh dibuktikan. Keputusan yang paling terkenal ialah teorem ketaklengkapan Gödel; dengan mewakili teorem tentang teori nombor asas sebagai ungkapan dalam bahasa formal. dan kemudiannya mewakili bahasa ini di dalam teori nombor itu sendiri, Gödel membina contoh-contoh pernyataan yang tidak boleh dibuktikan dan tidak dipersetujui dari pengaksiomisasi teori nombor.

Hubungan dengan teori saintifik

Teorem dalam matematik dan teori dalam sains pada dasarnya adalah berbeza dalam epistemologi. Teori saintifik tidak boleh dibuktikan; ciri utamanya ialah kebolehpalsuan, bererti, ia membuat ramalan tentang alam sekitar yang boleh diuji dengan eksperimen. Sebarang percanggahan antara ramalan dan eksperimen menunjukkan kesalahan teori saintifik, atau sekurang-kurangnya menghadkan ketepatan atau kesahihannya. Teorem matematik, sebaliknya adalah pernyataan formal yang abstrak sepenuhnya: bukti teorem tidak boleh melibatkan eksperimen atau bukti empirik sepertimana ia digunakan untuk menyokong teori santifik.
Walau bagaimanapun, penemuan teorem matematik juga melibatkan sedikit empirisisme dan pengumpulan data. Dengan membentuk paten, kadangkala penggunaan komputer yang berkuasa membolehkan ahli matematik mendapat idea tentang apa yang hendak dibuktikan, dan dalam sesetengah kes merancang bagaimana melakukan bukti. Sebagai contoh, konjektur Collatz telah disahkan untuk nilai permulaan sehingga 2.88 × 10¹⁸. Hipotesis Riemann telah disahkan untuk 10 trilion sifar yang pertama dalam fungsi zeta. Namun, kedua-dua pernyataan ini dianggap tidak dibuktikan. Bukti sebegini tidak membentuk bukti matematik. Contohnya, konjektur Mertens adalah satu pernyataan tentang nombor asli yang sekarang diketahui salah, namun tiada contoh penyangkal tersurat (satu nombor asli n di mana fungsi Merten M(n) bersamaan atau melebihi punca kuasa dua n) yang diketahui: semua nombor kurang daripada 10¹⁴ memiliki sifat Merten, dan nombor terkecil yang tidak memiliki sifat ini cuma diketahui kurang dari eksponen 1.59 × 10⁴⁰, yang bersamaan 10 kuasa 4.3 × 10³⁹. Contoh; oleh kerana jumlah partikel dalam alam semesta secara umumnya dianggap kurang daripada 10 kuasa 100 (googol), tiada harapan untuk mencari satu contoh penyangkal tersurat dengan carian habisan pada masa kini. Perlu diingat yang perkataan "teori" juga digunakan dalam matematik untuk merujuk kepada badan aksiom-aksiom matematik, definisi dan teorem, seperti dalam, contohnya teori kumpulan. Terdapat juga "teorem" dalam sains, terutamanya fizik dan dalam kejuruteraan, tetapi ia sering mempunyai pernyataan dan bukti di mana andaian fizikal dan intuisi memainkan peranan yang penting; aksiom fizikal di mana "teorem" ini didasarkan adalah boleh menjadi palsu.

Tradisi

Dianggarkan terdapat suku juta teorem telah dibuktikan setiap tahun. Pengelasan kumpulan ringkas terbatas dianggap oleh sesetengah pihak sebagai bukti terpanjang bagi teorem; ia terdiri dari sepuluh ribu muka surat dalam 500 artikel jurnal oleh beberapa orang penulis. Kesemua kertas kerja ini dipercayai memberi bukti yang lengkap, dan terdapat beberapa projek yang sedang dijalankan untuk memendekkan dan meringkaskan bukti ini. Teorem lain dalam jenis ini ialah teorem empat warna janaan komputer yang terlalu panjang untuk dibaca oleh manusia. Walaupun ia merupakan bukti teorem yang sangat panjang, pernyataannya boleh difahami dengan mudah oleh orang biasa.