0.999...

Dalam matematik, perpuluhan berulang 0.999... (kadang kala ditulis dengan lebih atau kurang angka 9 sebelum elipsis akhir seperti 0.9... misalnya, atau dalam pelbagai notasi lain seperti 0.9, 0.(9), atau ) menandakan sebuah nombor nyata yang boleh dibuktikan bersamaan dengan nombor satu. Dengan erti kata lain, simbol "0.999..." dan "1" mewakilkan nombor yang sama. Bukti-bukti matematik bagi kesamaan ini telah dihasilkan dengan bermacam-macam kerapian matematik yang mengambil kira pembangunan nombor-nombor nyata yang diutamakan, andaian latar belakang, konteks sejarah dan kumpulan sasaran.
Setiap angka perpuluhan bukan sifar yang berakhir (dengan jumlah angka 0 yang tidak terhingga) mempunyai perwakilan pasangan yang sama nilainya dengan jumlah angka 9 yang tidak terhingga (contohnya, 8.32 dan 8.31999...). Biasanya, perwakilan perpuluhan berakhir lebih digemari, menyebabkan tanggapan salah bahawa ia merupakan satu-satunya bentuk perwakilan. Fenomena matematik yang serupa turut berlaku dalam semua asas (dengan digit terbesar sesuatu asas) atau dalam sebarang perwakilan nombor nyata yang serupa seperti ini.
Kesamaan 0.999... dan 1 berkait rapat dengan ketiadaan infinitesimal bukan sifar dalam sistem nombor nyata, sistem yang paling biasa digunakan dalam analisis matematik. Sesetengah sistem nombor berlainan seperti sistem hipernyata, ada mempunyai infinitesimal bukan sifar. Dalam kebanyakan sistem nombor alternatif ini, tafsiran biasa ungkapan 0.999... menjadikannya sama dengan 1, tetapi dalam sesetengah sistem nombor ini, simbol "0.999..." menggunakan tafsiran-tafsiran lain yang mempunyai jumlah angka 9 yang tidak terhingga tetapi masih lagi teramat sedikit kurang daripada 1.
Kesamaan 0.999... = 1 telah lama diterima oleh ahli matematik dan merupakan sebahagian daripada pengajaran matematik umum. Walau bagaimanapun, sesetengah pelajar merasakan bahawa ia terlalu bertentangan dengan kebiasaan sehingga mereka mempersoal atau menolak fakta ini. Perkara ini cukup biasa berlaku sehinggakan kesukaran untuk meyakinkan pelajar akan kebenaran identiti ini telah menjadi subjek pelbagai kajian dalam pengajaran matematik.

Bukti algebra

Bukti algebra yang menunjukkan 0.999... mewakilkan angka 1 menggunakan konsep-konsep seperti pecahan, bahagi panjang dan manipulasi digit untuk membentuk transformasi sementara mengekalkan kesamaan daripada 0.999... hingga 1. Namun, bukti-bukti ini tidak begitu ketat kerana ia tidak mengandungi takrifan analitik terperinci bagi 0.999...

Perbincangan

Meskipun bukti-buktu ini mendemonstrasikan bahawa 0.999... = 1, sebanyak mana ia menjelaskan persamaan tersebut bergantung kepada pembaca. Dalam aritmetik pengenalan, bukti-bukti tersebut membantu menjelaskan mengapa 0.999... = 1 tetapi 0.333... < 0.34. Dalam algebra pengenalan, bukti-bukti tersebut dapat membantu menjelaskan mengapa kaedah umum untuk menukarkan antara pecahan dan perpuluhan berulang berkesan, tetapi ia tidak banyak menerangkan berkenaan hubung kait asas antara angka perpuluhan dan nombor yang ia wakilkan, yang mendasari persoalan bagaimana dua angka perpuluhan berbeza boleh dikatakan serupa sama sekali.
Setelah satu skema perwakilan ditakrifkan, ia boleh digunakan untuk memberi alasan yang kuat bagi hukum-hukum aritmetik perpuluhan yang digunakan di dalam pembuktian-pembuktian di atas. Tambahan lagi, seseorang boleh mendemonstrasi secara terus bahawa titik perpuluhan 0.999... dan 1.000... kedua-duanya mewakilkan nombor nyata yang sama kerana ia terdapat di dalam takrifan. Ini dilakukan di bawah.

Pembuktian daripada pembangunan nombor nyata

Sesetengah pendekatan terang-terangan menakrifkan nombor-nombor nyata sebagai struktur-struktur tertentu yang dibina di atas nombor-nombor nisbah, menggunakan teori set beraksiom. Nombor-nombor asli – 0, 1, 2, 3 dan seterusnya – bermula dengan 0 dan berterusan secara menaik, maka setiap nombor mempunyai nombor selepasnya. Boleh juga dikembangkan lagi senarai nombor asli dengan nenombor negatifnya untuk memberikan semua integer, dan jika dimasukkan sekali nisbah-nisbah, nombor-nombor nisbah boleh diperolehi. Sistem nombor ini disertakan bersama aritmetik tambah, tolak, darab dan bahagi. Lebih terperinci lagi, sistem nombor ini turut menyertakan pengurutan, maka satu nombor boleh dibandingkan dengan nombor lain dan ditentukan sama ada ia sama dengan, kurang atau lebih daripada nombor lain.
Langkah daripada nombor nisbah ke nombor nyata adalah satu peluasan yang besar. Terdapat sekurang-kurangnya dua kaedah popular untuk mencapai langkah ini dan kedua-duanya diterbitkan pada 1872: potongan Dedekind dan jujukan Cauchy. Pembuktian bahawa 0.999... = 1 yang secara terang-terangan menggunakan pembinaan ini belum ditemui dalam buku-buku teks berkenaan analisis nombor nyata kerana dalam dekad-dekad yang lepas, analisis aksiom lebih kerap digunakan. Meskipun apabila satu pembinaan disertakan, ia biasanya digunakan untuk membuktikan aksiom nombor-nombor nyata, yang kemudiannya menyokong bukti-bukti di atas. Namun, sesetengah penulis menyatakan pendapat bahawa bermula dengan satu pembinaan adalah lebih sesuai secara logik, dan bukti-bukti yang terbit daripadanya akan menjadi lebih lengkap.

Perwakilan perpuluhan tidak terhingga

Kebiasaannya dalam pengajaran matematik sekolah menengah, nombor nyata dibina dengan menakrifkan nombor menggunakan integer diikuti dengan titik radiks dan satu jujukan tidak terhingga yang ditulis dalam bentuk rentetan untuk mewakilkan bahagian pecahan bagi sebarang nombor nyata yang diberikan. Dalam binaan ini, set bagi sebarang gabungan integer dan digit selepas titik perpuluhan (atau titik radiks dalam sistem asas bukan 10) ialah set nombor nyata. Binaan ini juga boleh ditunjukkan dengan ketat memuaskan semua aksiom nombor nyata selepas menakrifkan satu hubungan persamaan pada set yang menakrifkan 1 =eq 0.999... serta bagi sebarang nombor perpuluhan bukan sifar dengan sebutan bukan sifar terhingga dalam rentetan perpuluhannya dengan versi 9 bersambungnya. Dengan binaan nombor nyata ini, semua bukti bagi pernyataan 1 = .999... boleh dilihat sebagai menganggap secara tersirat persamaan tersebut apabila sebarang operasi dikenakan pada nombor-nombor nyata.