Bukti matematik

Dalam matematik, bukti ialah demonstrasi yang meyakinkan (dalam piawaian yang diterima untuk bidang tersebut) untuk membuktikan kebenaran beberapa pernyataan bermatematik. Bukti tidak akan diperolehi dengan taakulan induktif atau hujah empirikal, tetapi dengan taakulan deduktif. Ini bermaksud, satu bukti mesti menunjukkan yang satu pernyataan itu benar dalam semua kes, tanpa sebarang pengecualian. Proposisi yang tidak dibuktikan tetapi dipercayai benar, dikenali sebagai konjektur. Pernyataan yang telah dibuktikan sering dipanggil teorem . Apabila satu teorem telah dibuktikan , ia boleh digunakan sebagai asas untuk membuktikan pernyataan-pernyataan yang lain. Satu teorem boleh juga dirujuk sebagai lema, terutamanya jika ia hendak digunakan sebagai batu loncatan dalam pembuktian teorem yang lain. Bukti menggunakan logik, tetapi selalunya mengandungi juga beberapa bahasa asli yang biasanya mempunyai kesamaran. Sebenarnya, sebahagian besar bukti-bukti dalam matematik bertulis boleh dianggap sebagai aplikasi logik tak formal yang keras. Bukti formal yang tulen yang ditulis dalam bahasa simbolik, bukan bahasa asli, akan diterima dalam teori bukti. Perbezaan antara bukti formal dan tak formal telah membawa kepada banyak penyelidikan tentang amalan matematik, kuasi empirisisme dalam matematik, dan matematik lisan yang digunakan dulu dan sekarang. Falsafah matematik mengambil berat tentang peranan bahasa dan logik dalam bukti-bukti dan matematik sebagai satu bahasa.

Sifat

Terdapat dua konsepsi yang berbeza untuk bukti matematik.  Pertamanya ialah bukti tidak formal, iaitu ungkapan rapi bahasa asli yang bertujuan untuk meyakinkan khalayak akan kebenaran sesebuah teorem. Oleh kerana penggunaan bahasa asli ini, piawai kerapian untuk bukti tidak formal akan bergantung pada khalayak bukti tersebut. Walau bagaimanapun, untuk dianggap sebagai satu bukti, hujah tersebut mestilah cukup rapi; kerana hujah yang samar atau tidak lengkap adalah tidak layak menjadi bukti. Bukti tidak formal ialah bukti yang biasa dijumpai dalam penerbitan matematik. Ia kadang-kadang dipanggil "bukti formal" kerana kerapiannya, tetapi ahli logik menggunakan istilah "bukti formal" untuk merujuk kepada satu jenis bukti yang berbeza sepenuhnya. Dalam logik, bukti formal tidak ditulis dalam bahasa asli, sebaliknya menggunakan bahasa formal yang terdiri daripada rantaian simbol tertentu dari abjad tetap. Ini membenarkan pentakrifan bukti formal ditentukan tanpa sebarang kesamaran. Bidang teori bukti mengkaji bukti formal dan sifat-sifatnya. Walaupun secara teori, setiap bukti tidak formal boleh ditukar menjadi bukti formal, ia jarang dilakukan. Pengkajian bukti formal digunakan untuk menentukan sifat-sifat kebolehbuktian secara umumnya, dan untuk menunjukkan pernyataan tertentu tidak boleh dibuktikan.

Bukti menerusi transposisi

Bukti menerusi transposisi memberi kesimpulan "jika p maka q" dengan membuktikan pernyataan kontrapositif "jika bukan q maka bukan p".

Bukti menerusi pembinaan

Bukti menerusi pembinaan atau bukti dengan contoh, ialah satu pembinaan contoh yang konkrit dengan satu sifat untuk menunjukkan yang, sesuatu yang memiliki sifat tersebut wujud. Contohnya, Joseph Liouville membuktikan kewujudan nombor transenden dengan membina contoh yang tak tersirat.

Bukti menerusi habisan

Dalam bukti menerusi habisan, kesimpulan didapati dengan membahagikannya kepada satu bilangan kes yang terhingga dan membuktikan setiap satunya secara berasingan. Bilangan kes kadang-kadang boleh menjadi sangat besar. Sebagai contoh,bukti pertama untuk teorem empat warna ialah bukti menerusi habisan dengan 1,936 kes. Bukti ini adalah satu kontrovesi kerana majoriti kes diperiksa dengan satu program komputer, bukan dengan pengiraan tangan. Bukti paling pendek yang diketahui hari ini untuk teorem empat warna masih memiliki lebih 600 kes.

Bukti menerusi kebarangkalian

Bukti berkebarangkalian ialah di mana contoh ditunjukkan wujud dengan kepastian, menggunakan kaedah teori kebarangkalian. Ia tidak boleh dikelirukan dengan satu hujah yang teorem adalah 'barangkali' benar. Penaakulan ini boleh dipanggil 'hujah kemungkinan' dan bukannya satu bukti; dalam kes konjektur Collatz, ia jelas betapa jauh konsepnya dari bukti tulen.  Seperti juga bukti menerusi pembinaan, bukti berkebarangkalian ialah salah satu cara untuk menunjukkan teorem kewujudan.

Bukti kombinatorik

Bukti kombinatorik membina kesamaan antara ungkapan-ungkapan yang berbeza dengan menunjukkan yang mereka mengira objek yang sama dengan cara yang berbeza. Bijeksi antara dua set yang berbeza sering digunakan untuk menunjukkan yang ungkapan untuk saiz mereka adalah sama. Secara alternatif, hujah pengiraan dua kali memberi dua ungkapan yang berbeza untuk saiz satu set tunggal, juga menunjukkan yang kedua-dua ungkapan adalah sama.

Bukti visual

Walaupun ia secara rasminya bukan satu bukti, demonstrasi visual untuk teorem matematik kadang-kadang dipanggil "bukti tanpa perkataan". Gambar berikut merupakan contoh bersejarah bukti visual untuk teorem Pythagoras dan kes segi tiga (3,4,5).

Bukti asas

Bukti asas ialah bukti yang hanya menggunakan teknik-teknik asas. Istilah ini digunakan terutamanya dalam teori nombor untuk merujuk kepada bukti-bukti yang tidak menggunakan analisis kompleks. Untuk seketika, beberapa teorem seperti teorem nombor perdana dianggap hanya boleh dibuktikan dengan matematik "tinggi". Bagaimanapun, seiring peredaran masa, kebanyakan keputusan-keputusan ini telah dibuktikan semula dengan menggunakan hanya teknik asas.

Bukti dua lajur

Bentuk bukti tertentu yang menggunakan dua lajur selari sering digunakan dalam kelas geometri asas di Amerika Syarikat. Bukti ini ditulis dalam bentuk siri garisan dalam dua lajur. Dalam setiap garisan, lajur bahagian kiri mengandungi satu proposisi, sementara lajur bahagian kanan mengandungi penerangan ringkas tentang samada proposisi itu adalah aksiom, hipotesis, atau boleh secara logik diterbitkan dari proposisi sebelumnya. Lajur di bahagian kiri selalunya diberi tajuk "pernyataan" dan bahagian kanan diberi tajuk "taakulan".

Bukti statistik dalam matematik tulen

Ungkapan "bukti statistik" mungkin digunakan secara teknikal atau bahasan dalam bidang-bidang matematik tulen, seperti yang melibatkan kriptografi dan teori nombor yang berkebarangkalian atau analitik. Istilah ini jarang digunakan untuk merujuk kepada bukti matematik dalam cabang matematik yang dikenali sebagai statistik matematik.

Bukti bantuan komputer

Sehingga kurun ke-20, sebarang bukti dianggap secara prinsipnya boleh diperiksa oleh ahli matematik yang cekap untuk menentukan kesahihannya. . Bagaimanapun, sekarang komputer digunakan untuk membuktikan teorem dan juga untuk menyelesaikan pengiraan yang terlalu panjang untuk manusia lakukan; bukti pertama untuk teorem empat warna adalah contoh bukti bantuan komputer. Beberapa ahli matematik mengambil berat akan kemungkinan ralat di dalam program komputer atau ralat masa jalanan dalam pengiraannya, menyebabkan kesahihan bukti bantuan komputer ini boleh dipersoalkan. Realitinya, kebarangkalian ralat mentaksahkan bukti bantuan komputerr boleh dikurangkan dengan memasukkan semak lawahan dan semak sendiri dalam pengiraan, dan dengan membangunkan beberapa pendekatan dan program bebas.