Īpašvērtības un īpašvektori

Kvadrātiskās matricas īpašvektori ir nenulles vektori, kuri pēc reizināšanas ar matricu paliek uz iepriekšējās līnijas. Ar kvadrātisko matricu izteiktā lineārā transformācija var mainīt tikai šādu vektoru garumu. Rezultējošā un sākotnējā vektora garumu attiecības koeficients ir matricas īpašvērtība.
Īpašvērtībām un īpašvektoriem ir daudz pielietojumu gan teorētiskajā, gan lietišķajā matemātikā. Tie raksturo lineāro transformāciju būtiskas īpašības - piemēram, vai attiecīgai lineāru vienādojumu sistēmai ir viennozīmīgs risinājums vai nē. Daudzos pielietojumos īpašvērtības un īpašvektori raksturo arī matemātiska modeļa fiziskās īpašības. Mehānikā īpašvērtības reprezentē mehānisko sistēmu rezonanses frekvences, piemēram, stīgu pamattoņus. Būtiska nozīme īpašvērtībām ir kvantu mehānikā. Piemēram, tās nosaka iespējamus enerģijas līmeņus atomos un molekulās.

Īpašvektori

Pēc īpašvērtību atrašanas īpašvektorus atrod, secīgi ieliekot atrastās īpašvērtības vienādojumā  (\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I}) \mathbf {x} = \mathbf {0}  un risinot to attiecībā uz \mathbf {x} . Tā kā  \det (\mathbf {A} - \lambda \mathbf {I}) = 0 , pastāv bezgalīgs skaits risinājumu, t. i. īpašvektoru ir bezgalīgi daudz un tos var izteikt tikai ģeneralizētā veidā, norādot vektora komponentu attiecības.

Īpaštelpas

Papildinot īpašvektoru kopu ar nulles vektoru, iegūst īpaštelpu attiecīgajai īpašvērtībai.

Bīde

Bīde ir transformācija, pie kuras visi punkti gar noteiktu līniju paliek savās vietās, bet citi punkti nobīdās paralēli šai līnijai par attālumu, kurš ir proporcionāls punkta perpendikulāram attālumam no līnijas. Horizontālajā bīdē, kura ir attēlota augšā, plaknes punkts P pārvietojas paralēli x asij uz punktu P' , jo punkta y koordināta nemainās, bet x koordināta pieaug x = x + k y, kur k sauc par bīdes koeficientu. Bīdes leņķi φ nosaka k = cotφ.
Atkārtoti pielietojot bīdes transformāciju, jebkura plaknes vektora virziens mainās arvien tuvāk īpašvektora virzienam.

Vienmērīga mērogošana un atspoguļošana punktā

Katra vektora reizināšanu ar nemainīgu reālu skaitli k var izteikt ar diagonālmatricu, kurā visi diagonāles elementi ir vienādi ar k. Mehāniski tas atbilst gumijas loksnes vienādai stiepšanai visos virzienos. Piemēram, šādai transformācijai ir pakļauts katrs gaisa balona fragments, piepušot balonu. Visi vektori, kuri iziet no centra (piemēram, kāda izvēlēta punkta uz balona virsmas), izstiepjas ar vienādu mērogošanas koeficientu k, nemainot savu sākotnējo vērsumu. Tādējādi, katrs nenulles vektors ir īpašvektors ar īpašvērtību k. Šīs transformācijas fizisks paveids − stiepšana (pagarināšana, paplašināšana, inflācija) vai sarukšana (saspiešana, deflācija) − ir atkarīgs no mērogošanas koeficienta: k > 1 atbilst stiepšanai, bet 0 < k < 1 sarukumam. Negatīvas k vērtības atbilst apvēršanai, kurai seko izstiepšanās vai sarukšana, atkarībā no k absolūtās vērtības.

Nevienāda mērogošana

Nedaudz sarežģītakam piemēram aplūkosim loksni, kura tiek nevienādi izstiepta divos perpendikulāros virzienos gar koordinātu asīm, vai arī izstiepta vienā virzienā un saspiesta citā. Šajā gadījumā ir divi dažādi mērogošanas koeficienti: k₁ virzienam x, un k₂ virzienam y. Ja īpašvērtība ir lielāka par 1, vektori izstiepjas attiecīgā īpašvektora virzienā. Ja mazāka par 1, vektori sarūk. Negatīvas īpašvērtības atbilst atspoguļošanai, kurai seko izstiepšanās vai sarukšana. Vispārīgā gadījumā matricas, kuras ir diagonalizējamas reālos skaitļos, atveido mērogojumus un atspoguļojumus: īpašvērtības ir mērogošanas koeficienti (tos var viegli nolasīt kā diagonāles elementus pēc matricas diagonalizēšanas), bet īpašvektori ir mērogojumu virzieni.
Attēlā ir parādīts gadījums, kur k_1>1 un 1>k_2>0. Gumijas loksne tiek izstiepta gar x asi un vienlaikus saspiesta gar y asi.

Hiperboliska rotācija

Īpašvērtības ir apgrieztie skaitļi attiecībā viens uz otru.