Polinoms

Polinoms ir funkcija, kas izsakāma kā viena vai vairāku monomu summa no viena vai vairākiem mainīgajiem. Piemēram, funkcija  ir vienargumenta polinoms, kura mainīgais ir .  ir divargumentu polinoms, kura mainīgie ir  un .

Polinoma jēdziens

Vispārīgajā gadījumā par polinomu (grieķu izcelsmes vārds; poli nozīmē "daudz", nomē - "daļa") sauc jebkuru monomu algebrisku summu, t.i., ar plusa vai mīnusa zīmēm savienotus monomus, kurus sauc par polinoma locekļiem. Ja polinomā ir tikai divi saskaitāmie, tad polinomu sauc par binomu, ja trīs saskaitāmie, tad par trinomu. Polinomus saskaitot, atņemot vai sareizinot, vienmēr rezultātā iegūst polinomu.

   3x + 5 (lineārs binoms)
   4x² + 7x - 8 (kvadrāttrinoms)
   x³ - 4x² + 6x + 2 (trešās pakāpes polinoms)
Vispārīgajā gadījumā n-tās pakāpes polinomu pieraksta šādi (polinoma normālforma):

   P(x) = aₙxⁿ + aⁿ⁻¹xⁿ⁻¹ + aₙ₋₃xⁿ⁻³ + ... + a₂x² + a₁x + a₀.
aₙ, aₙ₋₁, aₙ₋₂,..., a₂, a₁, a₀ - polinoma koeficienti
n - polinoma pakāpe (naturāls skaitlis)
aₙxⁿ - polinoma augstākās pakāpes loceklis
Ja kāds no polinoma koeficientiem (izņemot aₙ) ir nulle, tad polinomu sauc par nepilnu n-tās pakāpes polinomu. Ja aₙ = 1, tad polinomu sauc par reducētu polinomu. Skaitli ar kuru polinoma vērtība ir nulle, sauc par polinoma sakni. Polinoma sakne var būt gan reāls skaitlis, gan arī komplekss skaitlis.

Darbības ar polinomiem

Divus polinomus sauc par vienādiem, ja ir vienādas to pakāpes un ir vienādi visi šo polinomu koeficienti pie vienādām mainīgā lieluma pakāpēm, kā arī ir vienādi brīvie locekļi. Par nulles polinomu sauc polinomu, kuram visi koeficienti ir vienādi ar nulli.

Polinomu saskaitīšana un atņemšana

Par divu polinomu summu (starpību) sauc polinomu, kuru iegūst saskaitot (atņemot) dot polinomu koeficientus pie vienādiem mainīgā lieluma pakāpēm, piemēram, (3x² - 4x + 1) - (x² + 7x -4) = 2x² - 11x + 5. No piemēra redzams, ka saskaitīt (atņemt) var arī dažādu pakāpju polinomus; tad summā iegūtā polinoma pakāpe ir vienāda ar saskaitāmo polinomu lielāko pakāpi. Saskaitot (atņemot) vienādu pakāpju polinomus, iegūst polinomu ar tādu pašu (vai mazāku) pakāpi. Acīmredzami polinomu saskaitīšanai ir spēkā komutatīvā un asociatīvā īpašība.

Polinomu reizināšana

Par divu polinomu Pₙ(x) = aₙxⁿ + aⁿ⁻¹xⁿ⁻¹ + aₙ₋₃xⁿ⁻³ + ... + a₂x² + a₁x + a₀ un Qₘ(x) = aₘxᵐ + aᵐ⁻¹xᵐ⁻¹ + aₘ₋₃xᵐ⁻³ + ... + a₂x² + a₁x + a₀ reizinājumu sauc polinomu, kura koeficientus atrod šādi:
brīvais loceklis ir a₀b₀;
koeficients pie x ir a₀b₁ + a₁b₀;
koeficients pie x² ir a₀b₂ + a₁b₁ + a₂b₀;
koeficients pie x³' ir a₀b₃ + a₁b₂ + a₂b₁ + a₃b₀.
Praktiski divus polinomus reizina, pareizinot katru pirmā polinoma locekli ar katru otrā polinoma locekli un saskaitot iegūtos rezultātus. Reizinājumā iegūtā polinoma pakāpe ir vienāda ar doto polinomu pakāpju summu n + m. Polinomu reizināšanai ir spēkā komutatīvā, asociatīvā un distributīvā īpašība attiecībā pret polinomu summas reizināšanu ar polinomu.

Polinomu dalīšana

Par divu polinomu Pₙ(x) un Qₘ(x) dalījumu sauc tādu polinomu Sₖ(x), kuru reizinot ar Pₙ(x) iegūst polinomu Qₘ(x), t.i.,

          Qₘ(x) : Pₙ(x) = Sₖ(x), ja Pₙ(x) * Sₖ(x) = Qₘ(x). 
Taču ne katriem diviem polinomiem dalījums eksistē. Acīmredzami dalīt polinomu Qₘ(x) ar Pₙ(x) var tikai tad, ja m ≥ n, t.i., ja dalāmā polinoma pakāpe m nav mazāka par dalītāja polinoma pakāpi n; pie tam k = m - n. No dalījuma definīcijas izriet polinomu dalīšanas algoritms.

Polinomu dalīšana ar binomu x - a. Bezū teorēma.

Polinomu algebrā īpaši aplūko gadījumu, kad polinoms ir jādala ar binomu x - a. Viegli pārliecināties, ka šādā gadījumā dalīšanas atlikums ir no x neatkarīgs lielums (skaitlis) r. Ja polinomu ar binomu var izdalīt bez atlikuma, tad atlikums r = 0.
Bezū teorēma (Etjēns Bezū (1730 - 1783) - franču matemātiķis): Ja, dalot Q(x) ar binomu x - a, iegūst atlikumu r, tad r = Q(a), t.i., dalīšanas atlikums ir vienāds ar polinoma Q(x) vērtību punktā a.
Pierādījums. Apzīmēsim S(x) dalīšanas rezultātā iegūto polinomu. Tad ir spēkā vienība Q(x) = S(x)(x - a) + r. Šī vienība ir pareiza ar visām x vērtībām. Ievietojot vienādībā x vietā skaitli a, iegūstam, ka Q(a) = S(a)(a - a) + r, No kurienes Q(a) = r. Līdz ar to teorēma ir pierādīta.
Secinājums. Polinomu Q(x) var izdalīt bez atlikuma ar binomu x - a tad un tikai tad, ja skaitlis a ir šī polinoma sakne (Q(a) = 0).
Bezū teorēmas secinājumu lieto, sadalot polinomus reizinātājos, saīsinot algebriskās daļas, atrisinot dažādas augstāku pakāpju algebriskus vienādojumus, ja ir zināma viena vai vairākas saknes.

Polinoma pakāpe

Par vienargumenta polinoma pakāpi sauc lielāko kāpinātāju kāds ir pie tā mainīgā. Piemēram,  ir 2. pakāpes polinoms,  ir 1. pakāpes polinoms utt. Parasti kāda polinoma  pakāpi apzīmē ar .