Maksvela vienādojumi

Maksvela diferenciālvienādojumi

No Maksvela integrālajiem vienādojumiem, kuri ir spēkā galīgam tilpumam  V \ , virsmai  S \  un kontūram  l \  var iegūt atbilstošus diferenciālvienādojumus. Tie saista vektorus  \vec{E} \  un  \vec{B} \  katrā telpas punktā, jebkurā laika momentā un tāpēc ir noteiktā nozīmē vispārīgāki nekā integrālie vienādojumi.
Lai iegūtu Maksvela diferenciālvienādojumus \begin{cases} \ rot \vec{E} = - \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \\ \ div \vec{B} = 0 \end{cases} \  \begin{cases} \ rot \vec{B} = \mu_0 \vec{j} + \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \\ \ div \vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0} \end{cases} \  , integrālie vienādojumi jāpārveido tā, lai to abās pusēs būtu integrāļi pa vienu un to pašu apgabalu - virsmu vai tilpumu. Šādi pārveidotām zemintegrāļa izteiksmēm integrālo vienādojumu kreisajā un labajā pusē jābūt vienādām, jo integrēšanas apgabals ir patvaļīgs. Zemintegrāļu izteiksmju vienādības ir meklētie diferenciālvienādojumi. Integrālo vienādojumu pārveidošanai izmanto Stoksa un Ostrogradska - Gausa teorēmas.

Pirmais Maksvela diferenciālvienādojums

Pirmo Maksvela diferenciālvienādojumu iegūst no integrālā vienādojuma \oint_l \vec{E} \mathrm{d} \boldsymbol{\ell} = - \frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d} t} \ . Šeit plūsma \Phi = \int_S \vec{B} \mathrm{d} \vec{S} \  ir aprēķināta virsmai  S \ , kuru aptver noslēgts kontūrs  l \ . Vienādojuma kreiso pusi pārveido , izmantojot Stoksa teorēmu:  \oint_l \vec{E} \mathrm{d} \boldsymbol{\ell} = \int_S rot \vec{E} \mathrm{d} \vec{S} \  Labajā pusē mainam atvasināšanas un integrēšanas secību, \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \int_S \vec{B} \mathrm{d} \vec{S} = \int_S \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \mathrm{d} \vec{S} \ . Šo pārveidojumu rezultātā iegūstam, ka  \int_S rot \vec{E} \mathrm{d} \vec{S} = - \int_S \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \mathrm{d} \vec{S} \ 
Pielīdzinot zemintegrāļa izteiksmes vienu otrai, iegūst pirmo Maksvela diferenciālvienādojumu  rot \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \

Otrais Maksvela diferenciālvienādojums

Otrā Maksvela diferenciālvienādojuma uzrakstīšanai izmanto Ostrogradska - Gausa teorēmu integrālam vienādojumam \oint_S \vec{B} \mathrm{d} \vec{S} =  0 \ , proti, nosacījumam, ka magnētiskā plūsma caur jebkuru noslēgtu virsmu  S \  ir vienāda ar nulli. Patvaļīgam tilpumam  V \   \int_V div \vec{B} \mathrm{d} V = 0 \ . No tā izriet otrais Maksvela diferenciālvienādojums
 div \vec{B} = 0 \

Trešais Maksvela diferenciālvienādojums

Trešo Maksvela diferenciālvienādojumu iegūst analogi pirmā diferenciālvienādojuma pārveidošanai \oint_l \vec{B} \mathrm{d} \boldsymbol{\ell} = \mu_0 (I + I_D) \ , kur strāva  I = \int_S \vec{j} \mathrm{d} \vec{S} \  un vektora  \vec{E} \  plūsma  N = \int_S \vec{E} \mathrm{d} \vec{S} \  ir saķēdēta ar kontūru  l \ , kas savukārt ietver virsmu  S \ . Izmantojot Stoksa teorēmu magnētiskās indukcijas cirkulācijai,  \oint_l \vec{B} \mathrm{d} \boldsymbol{\ell} = \int_S rot \vec{B} \mathrm{d} \vec{S} . Lietojot strāvas tilpuma blīvuma formulu  \vec{j} = \rho \vec{v} \ , strāvu var uzskatīt par lādiņnesēju plūsmu caur virsmu  S \ , kuras robežkontūrs  l \ . Mainot atvasināšanas un integrēšanas secību vienādojuma labās puses otrajā saskaitāmajā, var atrast, ka  \int_S rot \vec{B} \mathrm{d} \vec{S} = \mu_0 \int_S \vec{j} \mathrm{d} \vec{S} + \epsilon_0 \mu_0 \int_S \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \mathrm{d} \vec{S} \  un tātad iegūstam trešo Maksvela diferenciālvienādojumu
 rot \vec{B} = \mu_0 \vec{j} + \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \

Ceturtais Maksvela diferenciālvienādojums

Ceturto Maksvela diferenciālvienādojumu uzraksta, izmantojot Gausa teorēmu \oint_S \vec{E} \mathrm{d} \vec{S} = \frac{q}{\epsilon_0} \ . Noslēgtas virsmas  S \  ierobežotā tilpumā  V \  lādiņš  q = \int_V \rho \mathrm{d} V \  ( \rho \  ir tilpuma lādiņa blīvums). Pārveidojot elektriskās intensitātes plūsmu pēc Ostrogradska-Gausa teorēmas,  \oint_S \vec{E} \mathrm{d} \vec{S} = \int_V div \vec{E} \mathrm{d} V \ , varam uzrakstīt, ka  \int_V div \vec{E} \mathrm{d} V = \int_V \frac{\rho \mathrm{d} V}{\epsilon_0} \ .
Tātad, rezultātā iegūstam pēdējo, ceturto Maksvela diferenciālvienādojumu:  div \vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}\

Maksvela vienādojumi koordinātās

Maksvela vienādojumus var uzrakstīt arī koordinātās. Piemēram, Dekarta koordinātās iegūstam astoņus parciālos diferenciālvienādojumus trim elektriskās intensitātes koordinātām  E_x \ ,  E_y \ ,  E_z \  un trim magnētiskās indukcijas koordinātām  B_x \ ,  B_y \ ,  B_z \ :
\begin{cases} \ \frac{\partial E_z}{\partial y} - \frac{\partial E_y}{\partial z} = - \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial B_x}{\partial t} \\ \ \frac{\partial E_x}{\partial z} - \frac{\partial E_z}{\partial x} = - \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial B_y}{\partial t} \\ \ \frac{\partial E_y}{\partial x} - \frac{\partial E_x}{\partial y} = - \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial B_z}{\partial t} \end{cases} \ 
\frac{\partial B_x}{\partial x} + \frac{\partial B_y}{\partial y} + \frac{\partial B_z}{\partial z} = 0 \ 
\begin{cases} \ \frac{\partial B_z}{\partial y} - \frac{\partial B_y}{\partial z} = \mu_0 j_x + \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial E_x}{\partial t} \\ \ \frac{\partial B_x}{\partial z} - \frac{\partial B_z}{\partial x} = \mu_0 j_y + \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial E_y}{\partial t} \\ \ \frac{\partial B_y}{\partial x} - \frac{\partial B_x}{\partial y} = \mu_0 j_z + \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial E_z}{\partial t} \end{cases} \ 
\frac{\partial E_x}{\partial x} + \frac{\partial E_y}{\partial y} + \frac{\partial E_z}{\partial z} = \frac{\rho}{\epsilon_0} \

Maksvela vienādojumi nav jebkuru elektromagnētisko procesu vienādojumi

Maksvela vienādojumi ir elektromagnētiskā lauka dinamikas vienādojumi. Tomēr tie nav jebkuru elektromagnētisko vai elektrodinamisko procesu vienādojumi, un, piemēram, no tiem neizriet lauka avotu - lādiņu (vai, precīzāk sakot, lādiņnesēju) kustības likumi elektriskajā un magnētiskajā laukā. Tie jāformulē īpaši, iepriekš noskaidrojot, kādi ir spēki un momenti, kuri uz lādiņnesējiem un strāvas vadītājiem darbojas elektriskajā un magnētiskajā laukā.