Kvadrātsakne

Kvadrātsakne matemātikā ir otrās pakāpes sakne no skaitļa. Kvadrātsakne no skaitļa x ir skaitlis a, kuru, reizinot pašu ar sevi, iegūst skaitli x, tas ir, . Skaitli x sauc par skaitļa a kvadrātu. Kvadrātsaknes vilkšana ir pretējā darbība skaitļa celšanai kvadrātā. Piemēram, 4 un -4 ir kvadrātsakne no 16. Ikvienam nenegatīvam reālam skaitlim x ir unikāla nenegatīva kvadrātsakne, kuru sauc par galveno kvadrātsakni un apzīmē ar simbolu , kur radikāļa simbolu  sauc par saknes zīmi vai sakni. Piemēram, galvenā kvadrātsakne no 9 ir 3, to pieraksta šādi:  = 3, jo 3² = 3 · 3 = 9 un 3 ir nenegatīvs skaitlis. Skaitli vai izteiksmi x, kas atrodas zem saknes zīmes, sauc par zemsaknes skaitli vai zemsaknes izteiksmi, šajā piemērā tas ir 9.
Ikvienam pozitīvam skaitlim ir divas kvadrātsaknes: , kas ir pozitīvs, un , kas ir negatīvs. Īsāk to var pierakstīt . Tomēr termins "kvadrātsakne" bieži tiek izmantots ar nozīmi galvenā kvadrātsakne . Pozitīvam x var lietot arī pakāpju pierakstu: x1/2.
Lai runātu par kvadrātsakni no negatīva skaitļa, ir jāapskata kompleksie skaitļi. Vispārīgi kvadrātsakni var aplūkot jebkurā kontekstā, kurā matemātiskiem objektiem ir definēta kāpināšana, piemēram, matricu algebrā.
Trešās pakāpes sakni sauc par kubsakni.

 Vēsture

Babiloniešu māla plāksnīte YBC 7289 no Jeilas Babiloniešu kolekcijas tika izveidota starp 1800. un 1600. gadu pirms mūsu ēras. Tajā ir attēlota  un  kā skaitļi 1; 24; 51; 10 un 0; 42; 25; 35 skaitīšanas sistēmā ar bāzi 60 uz kvadrāta, kurā krustojas tā divas diagonāles.
Rinda papiruss ir 1650. gada pirms mūsu ēras agrāka Berlīnes papirusa un citu rakstu kopija (iespējams, Kahuna papirusa), kurā attēlots, kā ēģiptieši izvilka kvadrātsakni, izmantojot apgriezto proporcionalitāti.
Senajā Indijā zināšanas par kvadrāta un kvadrātsaknes teorētiskajiem un praktiskajiem aspektiem ir vismaz tik pat senas, cik Sulba Sūtras , ap 800. - 500. gadu pirms mūsu ēras (iespējams, daudz agrāk). Metode, lai atrastu ļoti labus tuvinājumus kvadrātsaknei no 2 un 3, ir izklāstīta Baudhayana Sūtrās. Ārjabhata savā darbā Aryabhatiya (nodaļā 2.4) ir izklāstījis metodi, kā atrast kvadrātsakni no skaitļiem ar daudz cipariem.
Senajiem grieķiem bija zināms, ka kvadrātsakne no pozitīviem veseliem skaitļiem, kuri nav precīzi kāda skaitļa kvadrāts, vienmēr ir iracionāli skaitļi - skaitļi nav izsakāmi kā divu veselu skaitļu attiecība, tas ir, tos nevar uzrakstīt kā m/n, kur m un n ir veseli skaitļi. Teorēma par šo ir aprakstīta Eiklīda "Elementi" 10. grāmatā, teorēmas autors ir matemātiķis Teatets no Atēnām apmēram 380 gadus pirms mūsu ēras.  ir tieši kvadrāta ar malas garumu 1 diagonāles garums.
Ķīniešu matemātiskajā darbā Raksti par aprēķiniem, rakstīts starp 202. un 186. gadu pirms mūsu ēras, kvadrātsakne ir aproksimēta, lietojot "pārpalikumu un deficītu" metodi.
Kvadrātsaknes simbolu, uzrakstītu kā izsmalcinātu R, izgudroja Regiomontans (1436-1476). Šāds pieraksts, lai apzīmētu kvadrātsakni, tika lietots arī Džerolāmo Kardāno darbā Ars Magna.
Saskaņā ar matemātikas vēsturnieku D. E. Smitu, Ārjabhata metodi kvadrātsaknes atrašanai pirmo reizi Eiropā ieviesa Kataneo 1546. gadā.
Saskaņā ar Džofriju A. Oaku, arābi lietoja burtu  jīm/ĝīm (ج), tas ir pirmais burts no vārda “جذر” (tulkojums latviski: "sakne"), uzrakstītu tā sākotnējā formā (ﺟ) virs skaitļa, lai apzīmētu tā kvadrātsakni. Burts jīm atgādina pašreizējo kvadrātsaknes simbola formu. Tāds apzīmējums tika lietots līdz 12. gadsimta beigām Marokas matemātiķa Ibn al-Yasmin darbos.
Simbols  kvadrātsaknes apzīmēšanai pirmo reizi drukātā darbā ticis lietots 1525. gadā Kristofera Rūdolfa darbā Coss.

Īpašības un lietojums

Galvenās kvadrātsaknes funkcija  (parasti attiecināts uz "kvadrātsaknes funkcija") ir funkcija, kas reālo nenegatīvo skaitļu kopu attēlo par tādu pašu skaitļu kopu. Ģeometriskā interpretācija: kvadrātsaknes funkcija izsaka kvadrāta malas garumu, ja zināms ir tā laukums.
Kvadrātsakne no x ir racionāla tad un tikai tad, ja x ir racionāls skaitlis, kuru var attēlot kā divu racionālu skaitļu kvadrātu. Kvadrātsaknes funkcija racionālus skaitļus attēlo kā algebriskus skaitļus.
Visiem reāliem skaitļiem x:
Visiem reāliem nenegatīviem skaitļiem x un y:
un
Kvadrātsaknes funkcija ir nepārtraukta visiem nenegatīviem x un diferencējama visiem pozitīviem x. Ja f apzīmē kvadrātsaknes funkciju, tad tās atvasinājums ir:
Teilora rinda izteiksmei  konverģē, kad , un ir dota:
Kvadrātsakne no nenegatīva skaitļa ir izmantota, lai definētu Eiklīda normu (un distanci), kā arī vispārinājumos, piemēram, Hilberta telpa. Tā definē svarīgu standartnovirzes koncepciju, kuru izmanto varbūtību teorijā un statistikā. Tai ir liela nozīme formulās, lai atrastu kvadrātvienādojumu saknes. Kvadrātu lauki un kvadrātisko skaitļu gredzeni, kas ir balstīti uz kvadrātsaknēm, ir svarīgi algebrā un ir pielietojami ģeometrijā. Kvadrātsaknes bieži parādās arī citās matemātikas formulās, kā arī fizikas likumos.

Kvadrātsakne no negatīva skaitļa un kompleksie skaitļi

Jebkura pozitīva vai negatīva skaitļa kvadrāts ir pozitīvs, un 0 kvadrāts ir 0. Tādēļ nevienam negatīvam skaitlim nevar būt reāla kvadrātsakne. Tomēr ir iespējams darboties ar kompleksajiem skaitļiem, ar kuriem var uzrakstīt negatīva skaitļa kvadrātsaknes vērtību. Ir jāievieš jauns skaitlis, to apzīmē ar i un sauc par imagināro vienību, kuru definē kā . Lietojot šo apzīmējumu, i var uzskatīt par kvadrātsakni no -1, bet ir jāpiezīmē, ka , tātad arī -i ir kvadrātsakne no -1. Tiek pieņemts, ka galvenā kvadrātsakne no -1 ir i, vispārināti: ja x ir jebkurš nenegatīvs skaitlis, tad galvenā kvadrātsakne no -x ir
Labā puse (tāpat kā tās negatīvā vērtība) patiesi ir kvadrātsakne no -x, jo
Katram no nulles atšķirīgam kompleksam skaitlim z eksistē tieši divi skaitļi w, ka : galvenā kvadrātsaknes vērtība no z un tā negatīvā vērtība.

Kvadrātsakne no imagināra skaitļa

Kvadrātsakne no i ir dota kā
Iegūto rezultātu var iegūt algebriski, atrodot tādus a un b, ka
No tā var iegūt divu nezināmo vienādojumu sistēmu
ar rezultātu
No tā galvenā kvadrātsakne ir
Rezultātu var iegūt arī, lietojot Moivra formulu:
no kā izriet, ka

Galvenā kvadrātsakne no kompleksa skaitļa

Lai definētu vērtību, kura ļautu konstanti izvēlēties vienu un to pašu skaitli, sauktu par galveno kvadrātsaknes vērtību, no sākuma ir jāievēro, ka jebkurš komplekss skaitlis  var tik uzskatīts kā punkts plaknē ar koordinātēm (x, y) Dekarta ortogonālo koordinātu sistēmā. Tas pats punkts var tikt aprakstīts, izmantojot polāro koordinātu sistēmu, ar (r, φ), kur  raksturo distanci no koordinātu sākumpunkta un φ apraksta leņķi, kuru veido vektors r ar x ass pozitīvo virzienu. Kompleksajā analīzē šo vērtību visbiežāk raksta kā . Ja
tad galveno kvadrātsaknes vērtību no z definē kā:
Kvadrātsaknes galvenās vērtības funkcija ir holomorfiska visur, izņemot nepozitīvu reālu skaitļu kopā.  izvirzījums Teilora rindā ir patiess kompleksiem skaitļiem, kamēr .
Augstāk teiktais var tikt arī aprakstīts, izmantojot trigonometriskās funkcijas:

Algebriskā formula

Kad skaitlis ir izteikts Dekarta koordinātās, galvenajai kvadrātsaknei var izmantot formulu:
kur imaginārās daļas zīme ir tāda pati, kā sākotnējā skaitļa z imaginārās daļas zīme vai pozitīva, ja tā ir nulle. Galvenās kvadrātsaknes reālā daļa vienmēr ir nenegatīva.

Kvadrātsakne no matricas un operatora

Ja matrica A ir pozitīvi noteikta matrica vai operators, tad eksistē viena vienīga matrica vai operators B, kuram izpildās ; tātad arī , bet vispārīgi matricām var būt vairākas saknes, pat bezgalīgi daudz atšķirīgu sakņu. Piemēram: 2×2 vienības matricai ir bezgalīgi daudz sakņu, bet tikai viena no tām ir pozitīva noteikta

Kvadrātsaknes ģeometriskā konstruēšana

Kvadrātsakne no pozitīva skaitļa tiek interpretēta kā kvadrāta mala, kura laukums ir vienāds ar doto skaitli. Bet kvadrāta forma nav obligāta: ja vienam no diviem līdzīgiem planāriem Eiklīda objektiem laukums ir a reizes lielāks kā otram, tad attiecība starp to lineārajiem lielumiem joprojām būs .
Kvadrātsakni ir iespējas konstruēt, izmantojot kompasu un lineālu. Savā grāmatā Elementi Eiklīds aprakstīja, kā konstruēt divu lielumu ģeometrisko vidējo divos veidos: Piedāvājums II.14 un Piedāvājums VI.13. Tā kā a un b ģeometriskais vidējais ir , tad  var viegli konstruēt, ņemot b = 1.
Eiklīda 2. pierādījums 4. grāmatā pamatojas uz teorēmu par līdzīgiem trijstūriem. Pieņem, ka AHB ir līnija ar garumu a + b, ka a = AH un b = HB. Konstruē riņķa līniju ar diametru AB un novelk perpendikulu pret AB no punkta H. Punkts C ir, kur perpendikuls krusto riņķa līniju. Pieņem, ka HC = h. Pamatojoties uz Tallesa teorēmu un Pitagora pierādījumu, izmantojot līdzīgu trijstūrus, trijstūris AHC ir līdzīgs trijstūrim CHB, no tā AH:CH un HC:HB, tas ir , no tā . Pieņemot AH kā vienības nogriezni (a = 1), . Tātad nogriežņa HC garums ir kvadrātsakne no nogreižņa HB garuma, un ir uzkonstruēta kvadrātsakne.
Vēl viena metode, kā ģeometriski konstruēt kvadrātsakni, ir izmantojot taisnleņķa trījstūri un matemātisko indukciju: , protams, var konstruēt, un, kad ir  uzkonstruēts, taisnleņķa trīsstūra katetes būs 1 un , bet hipotenūza . Teodora spirāle tiek konstruēta, atkārtoti konstruējot taisnleņķa trīsstūrus.