Simbolinė logika

Istorija

Simbolinės logikos formavimosi istorijos pradžia siekia XIX a. vidurį. 1847 m. buvo išleistas anglų matematiko Džordžo Būlio (George Boole) kūrinys „Mathematical Analysis of Logic“. Jame D. Būlis teigė, jog logika turėtų būti siejama labiau su matematika nei filosofija. Taip pat matematikas sukūrė naują algebrinę kalbą su trimis pagrindinėmis operacijomis: IR, ARBA, NE. Ši kalba vadinama Būlio algebra. Ji buvo papildyta 1854 m. išleistu darbu „The Laws of Thought“.
Simbolinės logikos formavimuisi didžiulės įtakos turėjo ir kito anglų matematiko Augusto De Morgano (Augustus De Morgan) darbai. Pastarasis suformulavo neigimo taisykles, pavadintas De Morgano taisyklėmis.
Žymus vokiečių matematikas, logikas ir filosofas Gotlobas Frėgė (Gottlob Frege) 1879 m. darbe „Beggriffsschrift“ išskyrė „logiką kaip kalbą“ ir suformavo aksiomatinę predikatų logiką, grindžiamą funkcijų, kintamųjų ir kvantorių naudojimu. Nors G. Frėgės darbai nesulaukė dėmesio tarp tuometinių intelektualų, vėliau jie buvo atgaivinti Džiuzepės Peano (Giuseppe Peano) ir Bertrano Raselo (Bertrand Russell), kurie pateikė juos naujoms matematikų ir filosofų kartoms. Pastarasis supaprastino gana sudėtingą G. Fregės simboliką. Iš daugelio B. Raselo nuopelnų simbolinei logikai galime išskirti žymiojo Raselo paradokso ir jo plėtros tipų teoriją. Ji akcentuojama veikale „Principia Mathematica“, kurią B. Raselas parašė kartu su Alfredu Nortu Vaithedu (Alfred North Whitehead). Šį darbą sudarė aksiomų rinkiniai ir samprotavimo taisyklės simbolinėje logikoje, kuriomis galėtų būti įrodomos visos matematikos tiesos. Kitaip tariant, buvo bandoma pastatyti matematiką ant tvirto logikos pagrindo. „Principia Mathematica“ yra laikomas vienu iš įtakingiausių XX amžiaus darbų, su ja yra siejamas naujas matematinės logikos vystymosi etapas.
Nuo 1890 m. iki 1905 m. buvo išleisti trys tomai Ernsto Šrioderio (Ernst Schröder) darbo, pavadinimu „Vorlesungen uber die Algebra der Logik“. Šis kūrinys apibendrino ir pratęsė D. Būlio, A. De Morgano ir Čarlzo Pirso (Charles Pierce) (loginės semiotikos pradininkas, sukūręs teisingumo matricų metodą) darbą ir aiškiai nusako kaip simbolinė logika buvo suvokta XIX amžiuje.
Ankstyvaisiais XX amžiaus dešimtmečiais pagrindiniai studijuojami objektai buvo aibių teorija ir formalioji logika. Didelę įtaką padarė ir atrasti aibių teorijos paradoksai.
1900 m. Deividas Hilbertas (David Hilbert) išleido naujojo amžiaus 23 problemų sąrašą. Bandymas išspręsti šias problemas nurodė kryptį simbolinei logikai XX amžiuje. Kitas D. Hilberto kūrinys „Entscheidungsproblem“, kuriame buvo išdėstytas siekis sukurti algoritmą, norint išsiaiškinti, ar formalizuotas matematinis sakinys yra teisingas ar klaidingas, buvo išleistas 1928 m.
Įtakingi simbolinei logikai buvo XX amžiaus pirmojoje pusėje išleisti austrų-amerikiečių matematiko Kurto Giodelio (Kurt Gödel) darbai. 1931 m., būdamas 25-erių, jis paskelbė dvi nepilnumo teoremas. Pirmoji teigė, jog neprieštaringose formaliose sistemose yra formulių, kurių negalima nei įrodyti, nei paneigti. Antrojoje buvo teigiama, jog neprieštaringumas, pačios formalios sistemos priemonėmis nėra įrodomas.

Matematinė logika

Teorinė matematika yra klasė visų formuluotės p implikuoja q teiginių, kur p ir q teiginiai turintys vieną ar daugiau kintamųjų, tokių pačių kaip dviejuose teiginiuose ir nei p nei q neturi jokių konstantų išskyrus logines konstantas. O loginės konstantos yra visos sąvokos apibrėžiamos šiais terminais: implikacija, termino santykis su klase, kurios narys jis yra, sąvoka kaip tokia, santykio sąvoka ir kitos sąvokos, kurios gali būti įtrauktos į bendras anksčiau išvardytų teiginių formas. Be to, matematika vartoja sąvoką, kuri nėra sudėtinė dalis teiginių, kuriuos ji aptaria, būtent – tiesos sąvoka.
Iki visai neseniai matematiniuose principuose buvo susidurta su ypatingu keblumu. Atrodė, kad matematika susideda iš dedukcijos, vis tik visų priimtos dedukcijos tarpusavio pretenzijos buvo didžiąja dalimi visiškai implikuotos egzistuojančiai matematikai. Ne tik aristotelinė silogistikos teorija, bet taip pat moderniosios simbolinės logikos doktrinos buvo arba teoriškai neadekvačios matematiniams samprotavimams, arba bet kuriame taške reikalavo tokių dirbtinių konstatavimo formų, kurios negalėjo būti praktiškai pritaikomos. Šioje vietoje pateikiamas kantiškasis požiūris, kuris pareiškia, kad matematinis samprotavimas nėra griežtai formalus, bet visada naudojasi intuicijomis, i.e. à priori erdvės ir laiko žinojimas. Dėka simbolinės logikos progreso, šią kantiškąją filosofiją dabar galima galutinai ir negrąžinamai atmesti. Dešimties dedukcinių principų pagalba ir dešimties kitų visuotinės logikos prigimties premisų (pvz., implikacija yra santykis), visos matematikos gali būti griežtai ir formaliai išvestos. Visos esybės, kurios pasitaiko matematikoje gali būti apibūdintos tomis sąlygomis, kurios pasitaiko tuose dvidešimtyje premisų. Taigi, matematiką sudaro ne tik aritmetika ir analizė, bet taip pat ir geometrija (euklidiškoji ir ne-euklidiškoji), racionalioji dinamika ir begalinis skaičius dar negimusių ar esančių ankstyvoje stadijoje studijų. Faktas, kad visos matematikos yra simbolinė logika, yra vienas iš didžiausių mūsų amžiaus atradimų.
Pagrindinė doktrina, pagal kurią visos matematikos yra loginiais principais dedukuojamos iš loginių principų, buvo stipriai ginama G. Leibnico (jis primygtinai siūlė, kad aksiomos privalo būti įrodytos ir visa tai išskyrus kelias fundamentaliąsias sąvokas privalo būti apibrėžta). Bet galimai dėl klaidingos logikos (dėl tikėjimo logine Euklido geometrijos būtinybe), jis buvo nuvestas į beviltiškas klaidas pastangose įtikinti detaliu vaizdu, kuris, dabar yra žinoma, buvo teisingas. Tikroji Euklido teorema, neseka iš loginių principų viena; šio fakto suvokimas nuvedė I. Kantą prie jo inovacijų jo pažinimo teorijoje. Bet nuo ne-euklidinės geometrijos augimo, paaiškėjo, kad teorinė matematika neturi problemų su klausimu ar Euklido aksiomos ir teiginiai laikosi už konkrečios erdvės ar ne: tai yra klausimas taikomajai matematikai apspręsti, kol kas bet kokie sprendimai yra galimi pagrindžiant eksperimentais ir stebėjimais. Tai, ką teorinė matematika tvirtina, yra paprasčiausiai tai, kad eukleidiškieji teiginiai seka iš eukleidiškųjų aksiomų–i.e. tai teigia implikacija: bet kuri erdvė turi tokias ir tokias ypatybes bei taip pat turi tokias ir kitokias ypatybes. Vadinasi, kaip buvo susitvarkyta su teorine matematika, eukleidiškoji ir ne-eukleidiškoji geometrijos yra vienodai teisingos: kiekvienoje viskas yra nepatvirtintina išskyrus implikacijas. Visi teiginiai iš tikrųjų egzistuoja taip kaip erdvė, kurioje mes gyvename. Jie priklauso eksperimentiniams ar empiriniams mokslams, o ne matematikai.
Matematiniai teiginiai yra apibūdinami ne tik kaip tvirtinantys implikacijas, bet taip pat kaip nepastovūs. Nepastovumo sąvoka yra viena sudėtingiausių logikoje sutinkamų. Visose matematikos teiginiuose yra kintamumų, net ten, kur iš pirmo žvilgsnio jie gali atrodyti nesantys. Elementari aritmetika gali būti apmąstyta kaip išimties forma: 1+1=2 atrodo nei tai yra susiję su nepastovumu, nei tvirtina implikaciją. Bet jei x yra 1 ir y yra 1, ir x skiriasi nuo y, tada x ir y yra 2. Ir šis teiginys kintamumus ir tvirtinimus talpina į implikacijas. Taigi, šie teiginiai gali būti išreikšti tokia forma: bet koks vienetas ir bet koks kitas vienetas yra du vienetai.
Skirtumas tarp kintamųjų ir konstantų yra užtemdytas matematinės vartosenos. Konstanta yra kažkas absoliučiai apibrėžto, be jokių dviprasmybių. Vadinasi, 1, 2, 3, e, π, Sokratas, žmonės, žmonių rasė, praeitis, dabartis, ateitis yra konstantos. Teiginys, implikacijos, klasė ir t. t. taip pat yra konstantos, bet bet koks teiginys, kai kurie teiginiai yra ne konstantos. Šioms frazėms nėra vieno tiksliai apibrėžto objekto. Taigi tai, kas yra vadinama kriterijais yra paprasčiausi kintamieji. Pavyzdžiui, paimkime lygtį ax + by + c = 0, apmąstyta kaip lygybė tiesiai linijai plokštumoje. Čia tariame, kad x ir y yra kintamieji, kol a, b, c yra konstantos. Bet nebent mes turime reikalą su tam tikra linija, tarkime linija iš tam tikro taško Londone į tam tikrą tašką Kembridže, arba a, b, c yra ne apibrėžti numeriai, bet atstovauja bet kokius numerius ir taip pat yra kintamieji. Bet geometrijoje niekas neturi reikalo su tam tikromis specifinėmis linijomis, aptariamos bet kurios linijos. Esmė tame, kad mes renkame kintamųjų poras x, y į klases, kiekvieną klasę apibūdindami kaip tas poras, kurios turi tam tikrą pastovų santykį vienai triadai (a, b, c). Bet iš klasių į klases a, b, c taip pat kinta ir dėl to yra tinkami kintamieji.
Matematikoje įprasta žiūrėti į kintamuosius kaip apribotas tam tikras klases. Pavyzdžiui, teiginys x yra y implikuoja (x+y)² = x² + 2xy + y² vis tiek išliks vienodas, jei x ir y mes pakeisime į Sokratą ir Platoną: abi hipotezės ir konsekventai šiuo atveju bus klaidingi, bet implikacija toliau bus teisinga. Taigi kiekviename teorinės matematikos teiginyje, kai jis yra visiškai suformuluotas, kintamieji turi absoliučiai neribotą sferą: bet kokia suvokiama esybė gali būti pakeista bet kuriuo iš kintamųjų nesusilpninant teiginių teisingumo.
Matematikos ir logikos ryšys yra nepaprastai glaudus. Faktas, kad matematinės konstantos yra loginės konstantos ir kad visi matematikos premisai yra susiję su šiais, duoda aiškų tvirtinimą, iš kurio filosofai leido sau teigti, kad matematika yra à priori. Nuo tada, kai logika buvo priimta, visa matematika neišvengiamai ja seka. Loginės konstantos pačios iš savęs yra apibūdinamos tik išskaičiavimo, nes jos tokios fundamentalios, kad visos ypatybės, kuriomis jų klasė gali būti apibūdinta, suponuoja kai kuriuos klasės terminus. Bet praktiškai loginių konstantų atradimo metodas yra simbolinės logikos analizė. Matematikos ir logikos skiriamoji savybė yra labai nepagrįsta. Logika susideda iš matematinių premisų, kartu su visais kitais teiginiais, kurie yra išskirtinai susiję su loginėmis konstantomis ir su kintamaisiais. Matematika susideda iš visų koncekventų, kurie tvirtina formalias implikacijas talpinančius kintamuosius, kartu su tokiais premisais turinčiais šias žymes. Taigi kai kurie iš matematinių premisų (e.g. silogizmo principas, jei p implikuoja q ir implikuoja r, tada p implikuoja r) priklausys matematikai, kol kiti, taip kaip implikacija yra santykis, priklausys logikai, bet ne matematikai. Norint tvirtai laikytis vartosenos nuomonės, mes galime identifikuoti matematiką ir logiką ir apibūdinti jas abi kaip teiginių klasę sudarančią tik kintamuosius ir logines konstantas.

Kompiuterių mokslas

Visa simbolinė logika dirbant su skaičiais yra sudarytas iš vienetų ir nulių. Ko rezultate Dž. Būlio sugalvotos naujovės matematikoje įnešė naujovių kompiuterių moksle. Šiandien visi kompiuteriai naudoja būliškąją (Boolean) logikos sistemą (Boolean data type), kurioje mikroschemos sudarytos iš tūkstančių mažyčių elektroninių jungiklių išdėstytų į loginius "vartus" – tris pagrindines AND, OR, NOT sistemas. Jos duoda galimas ir patikimas išvadas bei leidžia kompiuteriams įvykdyti operacijas naudojant dvejetainę skaičiavimo sistemą.

Santykių logikos pagrindai matematikai

Šią temą pirmasis ėmėsi plėtoti C. S. Peirce. Atidi matematinių samprotavimų analizė parodė, jog santykių tipai verti atskiros temos. Taigi, santykių logika turėtų greičiau atsižvelgti į matematiką nei į klases ar teiginius, ir vienintelė yra galima bet kokia teoriškai teisinga ir tinkama matematinių tiesų išraiška.
Peirce ir Ernstas Šrioderis suprato šios temos svarbą, deja, jų metodai buvo pagrįsti ne D. Peano, o kur kas senesne simboline logika, gauta (su pakeitimais) iš Boole, todėl dauguma programų, kurios turėtų būti įvykdytos yra praktiškai neįmanomos.
Nežiūrint į senosios simbolinės logikos trūkumus, jų metodas pasitarnauja techniškai ta prasme, jog ji iš esmės laiko santykius tarsi porų klases, todėl reikia detaliau paaiškinti tiesiog santykius. Toks požiūris kilęs, greičiausiai nesąmoningai, iš filosofinės klaidos: buvo įprasta manyti, jog santykių teiginiai mažiau svarbūs nei klasių teiginiai (ar predikatų teiginiai, kurie su klasių teiginiais yra nuolat maišomi).

Nauji primityvūs teiginiai

Jeigu R yra santykis, mes tai išreikšime kaip xRy; teiginys x turės ryšį R su teiginiu y.
Reiktų primityvaus (nereikalaujančio įrodymo) teiginio parodyti, jog xRy yra teiginys su visomis x ir y reikšmėmis. Turime apsvarstyti sekančias klases: terminų klasę, kuri turi ryšį R su kitu terminu, kuris vadinamas referentų klase atsižvelgiant į R; ir terminų klasę, kur kai kurie terminai turi ryšį su R, kurie vadinami relata klase. Todėl jei R būtų tėvystė, referentai būtų tėvai, o relatos – vaikai. Taip pat reiktų atsiželgti į atitinkamas klases, atkreipiant dėmesį į tam tikrus terminus ar klasių terminus.
Toks santykių vaizdas čia veda link to, jog du santykiai gali turėti tą patį plėtinį net nebūdami identiški. Yra pasakyta, kad du santykiai R ir R′ yra lygūs, lygiaverčiai arba turintys ta patį plėtinį, kai xRy reiškia ir yra numanomas xR′ y su visoms x ir y reikšmėms. Tačiau čia nėra jokios prasmės primityviam teiginiui, kaip buvusių klasių atveju, siekiant išgauti santykį, kuris yra apibrėžtas kai plėtinys apibrėžtas. Galime pakeisti santykį R iki loginės sumos arba santykio klasės produkto, kuris yra lygus R, t. y., kai kurių arba visų santykių teigimas; ir tai yra identiška loginiui sumos arba santykių klasės produktui, kuris lygus R′ , jeigu R′ būtų lygus R.
Čia panaudojamas dviejų klasių tapatumas, kuris priklauso nuo primityvaus teiginio kaip sukurti klasės tapatybę. Nustatyti dviejų santykių tapatybę – procedūra, kuri negalėjo būti pritaikyta klasėms be šio užburto rato.
Primityvus pasiūlymas – kiekvienas santykis turi priešingybę, t. y., kad jei R būtų bet koks santykis, yra santykis R′ , toks kaip xRy yra lygus yR′ x ir atitinka visas x ir y reikšmes. Remiantis Šrioderiu, reikėtų pažymėti, kad R yra priešingas R̆. Didesnis ar mažesnis, prieš ar po, reiškia ar suponuoja, yra tarpusavyje priešingi santykiai. Su kai kuriais santykiais, kaip antai asmens, įvairovės, lygybės, nelygybės, priešingybė yra pats santykio originalas; tokie santykiai vadinami simetriškais. Kai priešingybė yra nesuderinama su pirminiu jos santykiu, tokiais atvejais kaip daugiau ir mažiau, santykis vadinamas asimetrišku; tarpiniais atvejais ne simetrišku.
Svarbiausia iš primityvių teiginių šioje temoje yra tai, kad tarp bet kurių dviejų sąlygų yra ryšys, kuris nesisieja su bet kuriomis kitomis dviejomis sąlygomis.
Tai yra analogiškas principas, kad bet kokia sąlyga yra vienintelis tam tikos klasės narys. Šioje vietoje beišsiplečiantis santykių vaizdas turi pranašumą, bet pranašumas gali pasirodyti nusveriantis kitus motyvus. Kai santykiai yra laikomi įtemptais gali atrodyti, jog galima pradėti abejoti, ar minėtas principas yra teisingas. Tačiau, bet kokiu atveju, paprastai bus pripažinta, kad bet kurios dvi sąlygos bus teisingos nors tokios būti neturėtų, nes jų vietoje bus panaudotos visiškai kitos dvi sąlygos.
Jei tai būtų patvirtinta, anksčiau minėtas principas būtų palaikytas, remiantis logiško visų santykių produkto, tarpiniu pirmųjų sąlygų principu. Nors ir minėtas principas galėtų būti pakeistas pastaruoju, kuris yra lygus jam: jeigu xRy reiškia x′ Ry′ , kad ir koks būtų R, kol R yra santykis, tuomet x ir x′ , ir y, ir y′ yra atitinkamai identiški. Tačiau šis principas parodo loginę dilemą nuo kurios ligi šiol nepabėgta, įvardinant įvairius apribotus laukus; nebent R yra santykis, xRy nėra teiginys. Net jei tai būtų tiesa ar netiesa, ir taip R, galėtų atrodyti, negali pasiimti visų reikšmių – tik tokias kaip santykiai.

Santykiniai produktai

Kitos reikalingos prielaidos yra tokios, jog santykio neigimas yra santykis ir, kad logiškas klasės produktas iš santykių yra santykis. Taip pat santykinis produktas sudarytas iš dviejų santykių turi būti ryšys. Santykinis produktas iš dviejų santykių R ir S yra santykis, kuris yra tarp x ir z, neatsižvelgiant ar yra sąlyga y iš kurios x turi ryšį su R ir kuri turi z ryšį su S.
Taigi, nors ryšys tarp, iš motinos pusės, senelio ir jo anūko yra giminiškas tėvo ir motinos produktas; to pavyzdžiu senelė savo anūkei yra giminiškas jos tėvų produktas. Santykinis produktas, kaip rodo šie rodikliai, yra bendrai jungiamas ir apskritai nėra paklųstantis pagrindiniam tautologijos principui. Santykinis produktas yra labai didelės svarbos sąvoka. Kadangi jis nepaklūsta tautologijos principui, tai veda prie santykių galių: santykių kvadratas tėvams ir jo vaikui yra ryšys tarp senelio ir anūko ir taip toliau. Peirce ir Schröder svarsto tai kaip jie patys vadina ryšiu tarp dviejų sumų R ir S, kuri yra tarp x ir z tada, kai y yra bet kokia kita sąlyga ir x turi y santykis R arba y turi z santykis S.
Tai sudėtinga sąvoka, kuri išvesta, siekiant išsaugoti sudėties ir daugybos dvilypumą. Šis dvilypumas turi tam tikro techninio žavesio, kai objektas yra laikomas nepriklausoma matematikos šaka, bet kai jis yra aptariamas išimtinai tik atsižvelgiant į matematikos principus, tas dvilypumas pasirodo neturi visiškai jokios filosofinės reikšmės.

Priskirtų sričių santykiai

Matematika reikalauja, tiek, kiek žinoma, tik dviejų kitų primityvių teiginių. Pirmas, kad materiali reikšmė yra santykis, o kita, kad ∈ (termino santykis su klase, kuriai jis priklauso) yra ryšys. Dabar galima sukurti matematinę visumą be papildomų prielaidų ar neapibrėžtumų. Kai kurie teiginiai santykių logikoje nusipelno būti paminėti, nes jie yra svarbūs ir gali būti abejonių ar jie yra patikrinti formalių įrodymų. Jei u, v yra bet kurių dviejų klasių, tuomet yra santykis R teiginys, kuris tarp bet kurių dviejų sąvokų x ir y yra lygiavertis teiginiui, kad x priklauso u ir y priklauso v. Jei u yra bet kurios klasės, kuris nėra lygus nuliui, tuomet yra santykis, kuris turi visas sąlygas ir kuris neturi daugiau jokių kitų terminų porų. Jei R yra bet koks santykis ir u yra bet kokia klasė turinti referentą R klasėje, tuomet yra ryšys, kuris turi u referentus savo klasėje ir visa tai yra lygu R visoje toje klasėje; šis ryšys yra tas pats kaip ir R padėtis, bet turi daug griežtesnį domeną. Nuo šio taško pirmyn, objekto kūrimas yra techninis dalykas: ypatingų tipų santykiai yra laikomi matematikos rezultatu ir specialia matematikos šaka.