Keplerio-Puanso kūnas

Neiškilumas

Šių briaunainių sienos arba viršūnės planai yra pentagramos (žvaigždiniai penkiakampiai). Mažasis žvaigždinis dodekaedras ir didysis žvaigždinis dodekaedras – tai briaunainiai, kurių sienos yra neiškili žvaigždiniai penkiakampiai, o didysis dodekaedras ir didysis ikosaedras – tai briaunainiai, kurių sienos yra iškili penkiakampiai, bet jų viršūnės planas yra žvaigždiniai penkiakampiai.
Visų keturių briaunainių dvi sienos kertasi išilgai linijos, kuri nėra kurios nors sienos kraštinė, taigi dalis kiekvienos sienos eina briaunainio vidumi. Ši kirtimosi linija nėra briaunainio paviršiaus dalis ir kartais vadinama netikrąja briauna. Lygia taip pat, kai šios linijos susikerta kitur nei sienos kampas, susikirtimo taškas vadinamas netikrąja višrūne. Žemiau pateiktuose raudonuose briaunainių modeliuose tikrosios viršūnės pažymėtos auksiniais bumbulais, o sidabriniai strypeliai žymi tikrąsias briaunas. Mažojo ir didžiojo žvaigždinio dodekaedro modeliuose aiškiai matome netikrąsias viršūnes, didžiojo dodekaedro – netikrąsias briaunas, o didžiojo ikosaedro – tiek netikrąsias viršūnes, tiek netikrąsias briaunas.
Smulkiau nagrinėdami šiuos modelius matome, kad mažasis žvaigždinis dodekaedras turi 12 penkiakampės žvaigždės sienų, kurių centrinės dalies iškilas penkiakampis slepiasi figūros viduje. Regimąją kiekvienos sienos dalį sudaro 5 lygiakraščiai trikampiai, liečiantys vienas kitą penkiuose taškuose aplinkui vidinį (paslėptą) penkiakampį. Šių trikampių visumą galima laikyti 60-čia briaunainio sienų, taip sutapatindami figūrą su nauju, netaisyklingu briaunainiu, kuris išoriškai yra tapatus nagrinėjamajam. Tuomet kiekviena mažojo žvaigždinio dodekaedro briauna bus padalinta į tris trumpesnes (dvejopas) briaunas, o 20 netikrųjų viršūnių taps tikrosiomis ir iš viso turėsime 32 viršūnes (ir vėl dvejopas). Šiuo atveju vidiniai neregimieji penkiakampiai daugiau nebebus laikomi briaunainio paviršiaus dalimis ir bus galima juos ignoruoti. Nuo šiol Oilerio charakteristika bus: 60 − 90 + 32 = 2. Bet šio briaunainio jau nebegalima laikyti briaunainiu, kurį nusako Šlėfli simbolis {5/2, 5}, tad kartu, jo nebegalima laikyti Keplerio-Puanso kūnu, nors išoriškai jis niekaip nepakito. Tiesiog pasikeitė matematinės jo egzistavimo sąlygos.

Taisyklingi žvaigždiniai briaunainiai mene ir kultūroje

Taisyklingus žvaigždinius briaunainius pirmiausia aptinkame renesanso mene. Mažasis žvaigždinis dodekaedras vaizduojamas Venecijos baziliką puošiančioje marmurinėje grindų mozaikoje (apie 1430 m.). 1568 metais išleista ksilografinė knyga, kurioje yra didžiojo dodekaedro ir didžiojo žvaigždinio dodekaedro graviūros. Tiesa, antrasis briaunainis truputį iškraipytas, greičiausiai dėl naudoto vaizdavimo būdo, o ne dėl to, kad menininkas prastai suprato jo formą. Bet nėra jokių įrodymų, kad menininkai suprato, kad šios figūros yra tokios pat taisyklingos, kaip Platono kūnai.
Žinomas XX a. įmantrių geometrinių formų piešėjas, Morisas Kornelijus Ešeris, dažnai vaizduodavo taisyklinguosius geometrinius kūnus. Jo litografijoje „Gravitacija“ (1952 m.), vaizduojamas mažasis žvaigždinis dodekaedras.
Didžiojo dodekaedro fragmentų dėlionė panaudota XX a. 9 dešimtmetyje sukurtame galvosūkyje „Aleksandro žvaigždė“, panašiame į Rubiko kubą.
Prie Norvegijos sostinės Oslo Gardermoeno oro uosto pastatyta menininko Vebjorno Sando (Vebjørn Sand) skulptūra, pavadinta „Keplerio žvaigždė“ (kitaip dar vadinama „Norvegijos taikos žvaigžde“ ar tiesiog „Taikos žvaigžde“). Skulptūros aukštis yra 14 metrų, o ją sudaro trys grakščios keturbriaunės kolonos, ant kurių iškelta didžiulė žvaigždė – vienas į kitą įmontuoti ikosaedras ir dodekaedras, įdėti į didįjį žvaigždinį dodekaedrą.