Mi sklaida

Mi sklaida, taip pat žinoma kaip Lorenco Mi teorija arba Lorenco Mi Debajaus teorija, yra šviesos sklaida, tiksliai aprašoma analitiniu Maksvelo lygčių sprendiniu. Tai tiksliausia sklaidos teorija, tinkanti elektromagnetinės spinduliuotės sklaidai sferinėmis dalelėmis aprašyti. Mi sprendiniai pirmą kartą buvo aprašyti vokiečių fiziko Gustavo Mi (Gustav Mie). Tačiau danų fizikas Liudvigas Lorencas (Ludvig Lorenz) ir kiti mokslininkai yra nepriklausomai išvystę elektromagnetinės plokščios bangos sklaidos dielektriniu rutuliu teoriją.
Šiuo metu, terminas „Mi sklaida“ yra fizikoje vartojamas platesniame kontekste, pavyzdžiui, aprašant Maksvelo lygties sprendinius sklaidai nuo sferų rinkinių, cilindrų arba kitų objektų, kurių forma gali būti aprašyta paprastomis geometrinėmis formulėmis, o uždavinio sprendimo metu gali būti pasinaudota kintamųjų atskyrimo metodu.
Priešingai negu Relėjaus sklaida, Mi sklaidos sprendiniai yra tikslūs visiems įmanomiems santykiams tarp sferos diametro ir krentančios spinduliuotės bangos ilgio, nors skaitmeniniu požiūriu tai yra begalinės sumos sumavimo uždavinys. Savo originalioje formuluotėje teorija buvo vystoma sferai iš homogeninės, izotropinės ir tiesinės medžiagos, kuri yra apšviečiama begaline plokščia banga. Tačiau sprendinio paieškos metodika yra sėkmingai taikoma ir optiniams pluoštams bei sluoksniuotoms sferoms.
Mi sklaidos teorija yra ypač svarbi meteorologinėje optikoje, kur vandens lašų matmenų santykiai su bangos ilgiais yra vienetų eilės ir didesni, o nagrinėjamos įvairios problemos susijusios su debesų, rūko ir kitų dalelių sąveika su šviesa. Naujausias praktinis taikymas yra susijęs su aerozolio dalelių (smogas) charakterizavimu optiniais metodais. Mi teorija taip pat sėkmingai taikoma naftos produktų detekcijai užterštuose vandenyse.

Teorinis pagrindimas

Mi sklaidos teorijoje, į dalelę krentantis elektromagnetinis laukas (indeksas i), elektromagnetinis laukas susidaręs dalelėje (indeksas p) bei išsklaidytas elektomagnetinis laukas (indeksas s) yra išreiškiami per vektorines sferines harmonikas \mathbf{M}^{(1,3)}_{mn}\left(\mathbf{R}, k \right) ir \mathbf{N}^{(1,3)}_{mn}\left(\mathbf{R}, k \right), kurių tiksli išraiška yra
\mathbf{M}^{(1,3)}_{mn}\left(\mathbf{R}, k \right)= \mathbf{e}_{\theta} \frac{ m}{\sin{\theta}} z_n(kR) P_n^m(\cos{\theta}) \exp (i m\phi) - \mathbf{e}_{\phi} z_n(kR) \frac{\partial P_n^m \left(\cos \theta \right)}{\partial \theta}  \exp (i m\phi)
\mathbf{N}^{(1,3)}_{mn}\left(\mathbf{R}, k \right)= \mathbf{e}_Rn(n+1)\frac{z_n(kR)}{kR}P_n^m(\cos{\theta})\exp (i m\phi) + \mathbf{e}_{\theta} \frac{\partial [kRz_n(kR)]}{kR\partial R}\frac{\partial P_n^m \left(\cos \theta \right)}{\partial \theta}\exp (i m\phi) + \mathbf{e}_{\phi}\frac{ m}{\sin{\theta}}\frac{\partial [kRz_n(kR)]}{kR\partial R}P_n^m(\cos{\theta})\exp (i m\phi)
kur \mathbf{e}_R, \mathbf{e}_{\theta} ir \mathbf{e}_{\phi} yra sferinės koordinačių sistemos vienetiniai vektoriai, skaičius (1) atitinka sferinę Beselio funkcija j_n, o skaičius skliaustuose 3 pažymi pirmos eilės sferinę Hankelio funkciją h_n^{(1)}. Apibendrintas sferinės Beselio funkcijos žymėjimas z_n lygtyse yra pakeičiamas atitinkamai į j_n arba h_n^{(1)}. Kuomet sveikas skaičius n=1, šios vektorinės sferinės harmonikos aprašo magnetinį ir elektrinį dipolius, atitinkamai. Sveikas skaičius m aprašo dipolių orientaciją erdvėje. Funkciją P_n^m yra apibendrintas Ležandro polinomas.
Krentanti iš terpės su lūžio rodiklio n_m šviesa yra išreiškiama lygtimi
\mathbf{E}_\text{i}=\sum _{n=1}^{\infty} \sum _{m=-n}^{n}\left[A_{mn}\mathbf{M}^{(1)}_{mn}\left(\mathbf{R}, k_m \right) + B_{mn}\mathbf{N}^{(1)}_{mn}\left(\mathbf{R}, k_m \right) \right]
čia Ryra atstumo vektorius nuo sferinės koordinačių sistemos centro iki nagrinėjamo taško, R – šio vektoriaus ilgis, \theta ir \phi yra atitinkamai meridianinis ir azimutinis kampai. Sveiki skaičiai m ir n nusako sferinės vektorinės harmonikos eilę. Koeficientai A_{mn} ir B_{mn} aprašo krentančios šviesos lauką ir yra dalelę apšviečiančio optinio pluošto elektrinio lauko skleidinio vektorinėmis sferinėmis harmonikomis koeficientai. Spindulio R_{sf} dalelėje, kurios lūžio rodiklis yra n_{sp}, indukuotą šviesą aprašo formulė
\mathbf{E}_\text{p}=\sum _{n=1}^{\infty} \sum _{m=-n}^{n}\left[\gamma _n A_{mn}\mathbf{M}^{(1)}_{mn}\left(\mathbf{R}, k_{sp} \right) + \delta_n B_{mn}\mathbf{N}^{(1)}_{mn}\left(\mathbf{R}, k_{sp} \right) \right],
o išsklaidytą šviesą lygtis
\mathbf{E}_\text{s}=\sum _{n=1}^{\infty} \sum _{m=-n}^{n}\left[\alpha _n A_{mn}\mathbf{M}^{(3)}_{mn} \left(\mathbf{R}, k_m \right) + \beta_n B_{mn}\mathbf{N}^{(3)}_{mn}\left(\mathbf{R}, k_m \right) \right]
Paskutinėse dvejuos lygtyse atsiradę koeficientai \alpha _n, \beta _n, \gamma _n ir \delta _n Mie sklaidos teorijoje nusako sferinės dalelės atsaką į ją žadinantį lauką. Sferinė harmonika \mathbf{M}^{(1,3)}_{mn}\left(\mathbf{R}, k_m \right) aprašo magnetinius multipolius, o sferinė harmonika \mathbf{N}^{(1,3)}_{mn}\left(\mathbf{R}, k_m \right) – elektrinius. Tokiu būdu, \alpha _n ir \gamma _n nusako, kaip sferinė dalelė reaguoja į magnetinius multipolius, o koeficientai \beta _n ir \delta _n – į elektrinius. Koeficientų \alpha _n, \beta _n, \gamma _n ir \delta _n vertės yra randamos pritaikius elektrinio ir magnetinio laukų tolydumo sąlygas ties dalelės paviršiumi
\alpha _n = \frac{j_n\left(\rho _1 \right)\left[\rho j_n\left(\rho  \right) \right]'-j_n\left(\rho  \right)\left[\rho _1 j_n\left(\rho _1  \right) \right]'}{h^{(1)}_n\left(\rho  \right)\left[\rho _1 j_n\left(\rho _1 \right) \right]'-j_n\left(\rho _1  \right)\left[\rho  h^{(1)}_n\left(\rho   \right) \right]'},
\beta _n = \frac{j_n\left(\rho  \right)\left[\rho _1 j_n\left(\rho _1  \right) \right]'-n^2_rj_n\left(\rho _1 \right)\left[\rho  j_n\left(\rho  \right) \right]'}{n^2_rj_n\left(\rho _1 \right)\left[\rho h^{(1)}_n\left(\rho  \right) \right]'-h^{(1)}_n\left(\rho  \right)\left[\rho _1 j_n\left(\rho _1   \right) \right]'},
\gamma _n = \frac{h^{(1)}_n\left(\rho  \right)\left[\rho j_n\left(\rho  \right) \right]'-j_n\left(\rho  \right)\left[\rho h^{(1)}_n\left(\rho \right) \right]'}{h^{(1)}_n\left(\rho  \right)\left[\rho _1 j_n\left(\rho _1 \right) \right]'-j_n\left(\rho _1  \right)\left[\rho  h^{(1)}_n\left(\rho   \right) \right]'}, 
\delta _n = \frac{n_rj_n\left(\rho  \right)\left[\rho  h^{(1)}_n\left(\rho  \right) \right]'-n_rh^{(1)}_n\left(\rho \right)\left[\rho  j_n\left(\rho  \right) \right]'}{n^2_rj_n\left(\rho _1 \right)\left[\rho h^{(1)}_n\left(\rho  \right) \right]'-h^{(1)}_n\left(\rho  \right)\left[\rho _1 j_n\left(\rho _1   \right) \right]'}
Šiuose lygtyse įvesti sekantys žymėjimai \rho = k_mR_{sf} ir \rho _1 =\left(n_{sp}/n_m \right)\rho = n_r\rho, funkcijos j_n ir h^{(1)}_n yra sferinės Beselio funkcijos, o apostrofas reiškia išvestinę pagal kintamąjį skliaustuose.
Dalelės išsklaidytos šviesos kiekis yra randamas suintegravus Pointingo vektoriaus radialinę dalį sferos paviršiumi, kurios viduje yra patalpinta dalelę. Po šios operacijos yra gaunama begalinė suma dalelės išsklaidytai energijai W_s ir prarastai W_e
W_{s}=\frac{\pi}{k^2}\sum _{n=1}^{\infty}\sum _{m=-n}^{n} \frac{2n\left(n+1 \right)}{2n+1}\frac{\left( n + m \right)!}{\left(n - m \right)!} \left[\mathrm{Re} \alpha _n \left|A_{mn} \right|^2 + \mathrm{Re}\beta _n \left|B_{mn} \right|^2 \right]
W_{e}= \frac{\pi}{k^2}\sum _{n=1}^{\infty}\sum _{m=-n}^{n} \frac{2n\left(n+1 \right)}{2n+1}\frac{\left( n + m \right)!}{\left(n - m \right)!} \left[\left|\alpha _n \right| ^2  \left|A_{mn} \right|^2 +  \left|\beta _n \right| ^2 \left|B_{mn} \right|^2 \right]
Kaip matome, sprendiniai yra aprašomi begalinėmis sumomis, sudarytomis iš narių, atitinkančių skirtingų eilių magnetinius ir elektrinius multipolius, dėl šios priežasties Mi sklaidos metodai yra neparankūs stambių dalelių nagrinėjimui, tačiau dažnai taikomi vidutinio dydžio dalelių sklaidai aprašyti.