Briaunainis

Briaunainio paviršius

Apibrėžiančioji kone visų briaunainių savybė yra ta, kad tik dvi sienos turi vieną bendrą briauną (vieną briauną liečia tik dvi sienos). Lygiai taip pat, kiekviena briauna jungia tik dvi viršūnes, po vieną kiekvienos briaunos galuose. Šios dvi savybės yra dualios viena kitai ir užtikrina, kad briaunainio paviršius yra vientisas ir nesibaigia trūkiu ar plyšiu bei neskyla jokia kryptimi.
Dėl tos pačios priežasties paviršius negali būti padalintas į dvi dalis taip, kad kiekviena dalis būtų naujas briaunainis. Ši taisyklė neleidžia vienu briaunainiu laikyti susikertančių briaunainių ar tokių, kurie liečiasi tik viena briauna ar tik viena viršūne – tai atskiri briaunainiai.

Sienų skaičius

Klasikinėje geometrijoje briaunainiai dar yra vadinami daugiasieniais arba pagal konkretų sienų skaičių: ketursieniai – tetraedrai; penkiasieniai – pentaedrai, šešiasieniai – heksaedrai, trisdešimtsieniai – triakontaedrai ir panašiai. Kiekvienas paprastas (savęs nekertantis) briaunainis turi bent dvi sienas, turinčias vienodą briaunų skaičių.

Topologinės savybės

Briaunainio topologinė klasė apibrėžiama Oilerio charakteristika ir orientavimo būdu.
Šiuo požiūriu, kiekvieno briaunainio paviršius gali būti klasifikuojamas kaip tam tikros klasės topologinė daugdara. Pavyzdžiui, iškilojo arba tiksliau, bet kurio silpnai susieto briaunainio paviršius yra topologinė sfera.

Orientuojamumas

Iškilieji briaunainiai, kaip ir kai kurie kiti, turi dvi skirtingas paviršiaus puses: pavyzdžiui, vieną pusę galima ištisai nudažyti juoda, o kitą – balta spalva. Tada sakoma, kad tai yra orientuojamasis kūnas.
Bet kai kurie briaunainiai, kaip tetrahemiheksaedras, šios savybės neturi, nes jie tiesiog yra vienpusiai, turi tik vieną paviršiaus pusę. Tada sakoma, kad tai nėra orientuojamasis briaunainis.
Joks briaunainis, turintis nelyginę Oilerio charakteristikos reikšmę, negali būti orientuojamasis. Tam tikri kūnai, turintys lyginį χ < 2 gali būti arba orientuojamieji, arba neorientuojamieji. Pavyzdžiui, vienos kiaurymės toras ir Kleino butelis: abiejų χ = 0, bet tik pirmasis yra orientuojamasis, o antrasis – ne.

Viršūnės planas

Visada galima nustatyti, koks yra bet kurios viršūnės planas (angl. vertex figure) rodantis vietinę briaunainio viršūnės sandarą. Viršūnės plano apibrėžimai skiriasi vieni nuo kitų, bet paprastai galima sakyti, kad viršūnės planas yra daugiakampis, kurį gautume nupjovus briaunainio viršūnę. Jeigu viršūnės plano daugiakampis yra taisyklingas, tai ir pati viršūnė laikoma taisyklinga.

Briaunainiai su taisyklingomis sienomis

Greta taisyklingųjų ir tolygiųjų briaunainių, dar yra kitų briaunainių klasių, kur briaunainiai taip pat turi taisyklingų daugiakampių sienas, bet jų simetrija yra mažesnė.

Stačiakampiai briaunainiai

Stačiakampiais briaunainiais laikome tuos briaunainius, kurių visos susisiekiančios sienos sudaro statų kampą, o kartu visos briaunos yra lygiagrečios atitinkamoms stačiakampių koordinačių sistemos ašims. Tik stačiakampis gretasienis yra iškilas briaunainis, visi kiti stačiakampiai briaunainiai yra neiškili. Jie yra plokščių stačiakampių daugiakampių trimačiai analogai. Stačiakampiai briaunainiai naudojami skaičiuojamojoje geometrijoje, kur jų pagrindu konstruojamos struktūros leidžia spręsti problemas, kurių nepavyksta išspręsti naudojant nestačiakampius briaunainius, pavyzdžiui, briaunainių paviršiaus išlankstymas ant daugiakampių tinklo.

Apibendrintieji briaunainiai

Briaunainiu tapo įprasta vadinti įvairius matematinius objektus, kurių struktūrinės savybės atitinka klasikiniams briaunainiams.

Kreivieji briaunainiai

Kai kuriose tyrimų srityse daroma prielaida, kad briaunainiai gali turėti kreivo pavišiaus sienas ir kreivas briaunas.

Tuščiasieniai arba karkasiniai briaunainiai

Bet kurį briaunainį puikiai suvokiame net jei jo sienos nėra užpildytos, o turime tik briaunas. Pavyzdžiui Leonardas da Vinčis pateikė taisyklingų kūnų karkasinius modelius Pačiolio knygai Divina proportione. Dabartinais laikais (1994) B. Griunbaumas (Branko Grünbaum) tirdamas karkasinius briaunainius išplėtojo ankstesnę idėją apie abstrakčius briaunainius. Jis apibrėžė, kad briaunainio siena yra cikliškai išdėstytų viršūnių aibė, todėl sienos gali būti tiek kreivos, tiek plokščios.

Gretutinis naudojimas

Antroje XX a. pusėje buvo atrasta įvairių matematinių konstruktų, kurie turėjo savybes, būdingas briaunainiams. Todėl nebuvo apsiribota, kad briaunainiais dera vadinti vien trimačius politopus, ir šiuo pavadinimu imti vadinti įvairios susijusios, bet kartu skirtingos struktūros.

Topologiniai briaunainiai

Topologinis politopas yra topologinė erdvė kartu su specifine jos dekompozicija į pavidalus, topologiškai ekvivalenčius iškiliam politopui, glaudžiai ir taisyklingai liečiančius vienas kitą.
Tokia figūra vadinama simpleksine, jei kiekviena jos sritis yra simpleksas, t. y. n matėje erdvėje kiekviena sritis turi n+1 viršūnę. Simpleksinio politopo dualas vadinamas paprastu. Panašiai, plačiai ištyrinėta politopų (briaunainių) klasė yra kubiniai briaunainiai, kurių bazinis sudarantysis blokas yra nmatis kubas.

Ikiistorinis periodas

Briaunainiai sutinkami jau ankstyviausiuose statiniuose, dažniausiai, stačiakampiai gretasieniai ir kubai, taip pat keturkampės Egipto piramidės ir kitokie statiniai, išlikę net iš akmens amžiaus.
Kai kuriuos taisyklinguosius briaunainius žinojo jau etruskai, kurių civilizacija senesnė nei graikų, ką rodo XIX a. pabaigos kasinėjimai prie Padujos (šiaurės Italijoje ), kur buvo rastas iš talko mineralo uolienos steatito, dar vadinamo muilo akmeniu, maždaug prieš 2500 metų padarytas dodekaedras. (Lindemann, 1987)

Graikų civilizacija

Seniausi žinomi raštiški briaunainių paminėjimai sutinkami klasikinės Graikijos autorių darbuose, kur kartu buvo pateikti ir pirmieji šių figūrų matematiniai apibūdinimai. Senovės graikai pirmiausia domėjosi taisyklingais iškilais briaunainiais, kuriuos vėliau imta vadinti Platono kūnais. Pitagorui buvo žinomi ne mažiau kaip trys šie kūnai, o Teatetas (Theaetetus) apie 417 p.m.e. aprašė jau visus penkis. Galiausiai Euklidas „Elementuose“ aprašė jų sandarą. Vėliau Archimedas išplėtojo briaunainių studiją ir aprašė tolygius iškiliuosius briaunainius, kurie gavo jo vardą ir dabar vadinami Archimedo kūnias. Pirminė Archimedo studija iki mūsų laikų neišliko, bet apie ją žinoma iš Paposo Aleksandriškio darbų.

Kinija

Kubinis lošimo kauliukas Kinijos šaltiniuose minimas maždaug nuo 600 m.p.m.e.
236 m. Liu Hui aprašė, kaip nupjauti kubą, kad gautume tetraedrą ir kitus susijusius briaunainius; jis briaunanių junginius naudojo skaičiuodamas statyboms iškasamo grunto tūrį.

Arabų civilizacija

Pasibaigus klasikiniam istorijos periodui, arabų mokslininkai perėmė graikų žinias ir jas plėtojo.
IX a. mokslininkas Tabitas ibn Kura (Thabit ibn Qurra) išvedė įvairių braunainių tūrio skaičiavimo formules, tarp jų, nupjautinės piramidės.
X a. Abu’l Vafa (Abūl Wafā' Būzjānī) aprašė kai kuriuos sferinius briaunainius.

Renesansas

Kaip ir daugelis mokslo idėjų, kurios buvo suformuluotos Senovės Graikijoje ir išplėtotos arabų mokslininkų, renesanso laikotarpiu atgijo domėjimasis briaunainiais. Meninkai konstravo karkasinius briaunainius, piešė juos iš natūros, tirdami grafinės perspektyvos ir atspindžio dėsnius. Kai kurie vaizdai buvo įamžinti tuometinėse medžio inkrustacijose. Pjeras dela Frančeska pirmą kartą aprašė briaunanių grafinės perspektyvos braižymo būdus. Leonardas da Vinčis padarė keleto briaunainių karkasinius modelius ir panaudojo jų piešinius iliustruodamas Pačiolio knygą. O nežinomo tapytojo nutapytame Pačiolio portrete matosi stiklinis rombokuboktaedro pavidalo indas pusiau pripiltas vandens.
Renesansui plintant iš Italijos į Europą, vėlesni menininkai (Jamniceris, Diureris) savo graviūrose raižė įvairius briaunainius, dažnai anksčiau nevaizduotus.

Žvaiždiniai briaunainiai

Kone 2000 metų briaunaniai, kaip iškilosios figūros, buvo suvokiami, remiantis graikų matematiniais pasiekimais. Bet renesanso periodu buvo atrasti žvaigždiniai briaunainiai. Venecijos šv. Marko bazilikos grindyse buvo padaryta marmuro inkrustacija, kurioje vaizduojamas žvaigždinis dodekaedras. O kai kurie dailininkai, pavyzdžiui, Jamniceris (Wenzel Jamnitzer) piešė vis sudėtingesnes žvaigždines figūras.
Johanas Kepleris (1571–1630) naudodamas žvaigždinius daugiakampius, daugiausia pentagramas, kūrė žvaigždinius briaunainius. Kai kurios figūros turbūt buvo jau atrastos iki Keplerio, bet jis buvo pirmasis, kuris nustatė, kad šias figūras dera laikyti taisyklingomis, jei nesilaikysime reikalavimo, kad taisyklingos figūros turi būti iškilos. Vėliau Lui Puanso nagrinėjo žvaigždinius viršūnės planus ir atrado dar du taisyklingus žvaigždinius briaunainius. Augustinas Lui Koši įrodė, kad Puanso sąrašas yra išsamus, o Arturas Keilis (Arthur Cayley) suformulavo jų pavadinimus: du Keplerio kūnai buvo pavadinti mažuoju žvaigždiniu dodekaedru ir didžiuoju žvaigždiniu dodekaedru; kiti du (Puanso kūnai) – didžiuoju ikosaedru ir didžiuoju dodekaedru. Dabar priimtas kuopinis šių kūnų pavadinimas yra Keplerio-Puanso briaunainiai.
Keplerio-Puanso briaunainius galima sukonstruoti iš Platono kūnų stelacijos būdu. Daugelis figūrų, gaunamų stelacijos metu, yra netaisyklingos. 1938 metais Platono kūnų stelacijos tyrimus smarkiai pastūmėjo Kokseteris ir kiti geometrai, išleisdami veikalą „Penkiasdešimt devyni ikosaedrai“ (The Fifty-Nine Icosahedra).
Stelacijai atvirkštinis procesas yra vadinamas išduobimu. Jei paimsime bet kokį politopą ir jo dualą, tai taikydami pirminiam politopui stelaciją, o dualui – išduobimą, gauname žvaigždinus briaunainius, kurie taip pat yra dualūs. Taisyklingus žvaigždinius briaunainius dar galima gauti išduobiant Platono kūnus. Nuo knygos „Penkiasdešimt devyni ikosaedrai“ pasirodymo yra atrasta daugiau šių figūrų ir paieškos dar tęsiasi.

Oilerio charakteristika ir topologija

Briaunanių teorijai didelę įtaką turėjo šiuolaikiniai matematiniai tyrimai.
1750 metais vokiečių matematikas Leonardas Oileris pirmą kartą istorijoje ištyrė briaunainių savybes ir atrado žymiąją charakteristiką, kuri susieja briaunainio viršūnių, briaunų ir sienų skaičių į bendrą formulę. Šis faktas laikomas topologijos mokslo pradžia (kartais topologija dar vadinama tąsaus lakšto geometrija), o XIX a. pabaigoje prancūzų matematikas Anri Puankarė suformulavo pagrindines šio mokslo nuostatas. Tai leido išspręsti nemažai problemų, susijusių su briaunainiais.
1900 metais Vokietijoje buvo išleista Briuknerio (Brückner) knyga „Daugiakampiai ir briaunainiai: teorija ir istorija“ (Vielecke und Vielflache: Theorie und Geschichte). Ši išsami knyga vis dar mažai žinoma.
Panašiai tuo metu, giliau nagrinėjant daugiamates geometrijas, briaunainius pradėta laikyti daugiamačių politopų trimačiais atvejais.

XX amžiaus tyrimai

XX amžiaus pradžioje matematikos tyrimai persikėlė į kitas sritis ir geometrijai buvo skiriama nedaug dėmesio. Kartu su Kokseterio analize, pateikta jo (su bendraautoriais) knygoje „Penkiasdešimt devyni ikosaedrai“ (1938), prasidėjo šiuolaikinių grafų teorijos ir kombinatorikos idėjų taikymas briaunainių studijoms, tuo pačiu buvo atgaivintas domėjimasis geometrija.
Kokseteris ėmėsi pirmą kartą suskaičiuoti tolygius žvaigždinius briaunainius. Plokštumos klojinius jis taip pat laikė braunainiais ir taip atrado taisyklingus įžambius briaunainius, o kartu sukūrė teoriją, aprašančią sudėtinius briaunainius, kuriuos 1952 metais aprašė Šeperdas (Shephard), taip pat iš esmės prisidėjo prie kitų geometrijos sričių.
Antroje XX a. pusėje Griunbaumas (Grünbaum) paskelbė svarbių veikalų, svarbių dviem požiūriais. Pirmas, iškilieji politopai, kur jis atkreipė dėmesį, kad šiuolaikinai matematikai traktuoja braunainius skirtingai ir, kartais, nesuderinamai, siekdami siauro, jiems svarbaus tikslo. Kitas, eilėje savo kūrinių jis išplėtojo briaunainių apibrėžimus, o kartu aprašė nemažai naujų taisyklingųjų briaunainių. XX ir XXI amžių sandūroje vėlyvosios idėjos buvo papildytos naujovėmis apie incidentumo kompleksus (angl. incidence complex) ir buvo sukurta nauja abstrakčiojo briaunainio idėja (kitaip, abstraktus trimatis politopas), prie kurios sukūrimo ypač prisidėjo Makmulenas (McMullen) ir Šatlas (Schulte).

Briaunainiai gamtoje

Kokie taisyklingieji briaunainai randami gamtoje, skaitykite atskirame straipsnio Platono kūnai skirsnyje.
Netaisyklingieji briaunainiai gamtoje dažniausiai sutinakami kaip kristalai.