Lauko teorija (matematika)

Lauko teorija yra matematikos sritis, kuri tiria matematinių laukų savybes. Laukas yra matematinė struktūra, kurioje apibrėžtos sudėties, atimties, daugybos ir dalybos operacijos.

Istorija

Sąvoka laukas buvo netiesiogiai panaudota Nylso Henriko Abelio ir Evaristo Galua darbe lygties išsprendžiamumas.
1871 metais, Ričardas Dedekinas, pavadino "lauku" - realių arba kompleksinių skaičių aibę, kuri yra uždara keturių aritmetinių operacijų atžvilgiu.
1881 metais, Leopoldas Kronekeris terminu "racionalumo sritis" apibūdino tai, kas iš tikrųjų yra polinomų laukas šiuolaikiniuose matematikos apibrėžimuose.
1893 metais, Henrikas Vėberis davė pirmą aiškų apibrėžimą abstrakčiam laukui.
1910 Ernestas Steinitzas publikavo svarbų straipsnį Algebrinė laukų teorija. Čia jis tyrinėjo aksiomines laukų savybes ir apibrėžė labai reikšmingas, svarbias teorines lauko sąvokas, tokias kaip pagrindinis laukas, tobulas laukas ir transcendentiškumo laipsnis lauko plėtinyje.
Galua, kuris net mintyse neturėjo termino "laukas", yra laikomas pirmuoju matematiku, apjungusiu grupių teoriją ir lauko teoriją. Galua teorija pavadinta jo garbei. Vis dėlto tik Emilis Artinas pirmasis nustatė ryšį tarp grupių ir laukų 1928-1942 metais.

Įvadas

Laukai yra svarbūs objektai algebros moksle nuo to laiko, kai jie suteikia naudingą daugybės skaičių sistemų apibendrinimą, tokį kaip racionalūs skaičiai, realieji skaičiai ir kompleksiniai skaičiai. Juose ypač svarbios asociatyvumo, komutatyvumo ir distributyvumo taisyklės. Laukai taip pat yra daugelyje kitų matematikos sričių (žiūrėti pavyzdžius, esančius žemiau).
Kada pirmą kartą buvo formuluojama abstrakčioji matematika, lauko apibrėžimas neapėmė komutatyvios daugybos. Laukas šiais laikais vadinamas lauku arba komutatyviu lauku arba racionali sritis. Šiuolaikiniame vartojime, laukas visada yra komutatyvus. Struktūra, kuri atitinka lauko savybes, išskyrus galbūt komutatyvumą, šiandien yra vadinama žiedas su dalyba arba kartais asimetriškas laukas, bet taip pat nekomutatyvus laukas yra vis dar plačiai naudojamas. Vis dėlto, kitos kalbos yra išsaugoję seną vartojimą. Prancūziškai, žiedas su dalyba vadinamas corps (pažodžiui, kūnu). Tai yra nevienintelis lauko pavadinimas, paprastai yra vadinama corps commutatif (komutatyvus kūnas). Vokiškai žodis kūnas yra Körper ir šis pavadinimas yra naudojamas išreikšti laukus; taigi naudojama paryškinta \mathbb K žymi lauką.
Laukų sąvoka pirmą kartą buvo panaudota įrodyti, kad nėra bendros formulės realių aukštesnio nei ketvirto laipsnio daugianarių šaknims skaičiuoti (t. y. algebrinė lygtis neišsprendžiama radikalais).
Svarbiausia Galua teorijos idėja yra algebrinis plėtinys polinomų laukui. Tai paprastai mažiausias laukas, susidedantis iš polinomų ir jo šaknų lauko. Algebriškai uždaras laukas yra laukas, kuris kiekviename daugianaryje turi šaknį. Pavyzdžiui, algebrinių skaičių laukas yra algebrinis racionaliųjų skaičių lauko plėtinys, o kompleksinių skaičių laukas yra algebrinis realiųjų skaičių lauko plėtinys.
Lauko sąvoka yra naudojama apibrėžiant, pavyzdžiui, vektorius ir matricas, dvi struktūras tiesinėje algebroje, kurių komponentai taip pat gali būti lauko elementais.
Baigtiniai laukai yra naudojami skaičių teorijoje, Galua teorijoje ir simbolių teorijoje, taip pat algebriniai plėtiniai, kurie yra yra svarbūs įrankiai šiuolaikinėje matematikoje.
Dvejetainiai laukai, laukai su savybe 2, yra naudingi informatikoje.

Formulės

Gradientas: grad u=\frac{\partial u}{\partial x}i+\frac{\partial u}{\partial y}j+\frac{\partial u}{\partial z}k  . Kryptinė išvestinė: \frac{\partial u}{\partial s}=\frac{\partial u}{\partial x}\cos\alpha+\frac{\partial u}{\partial y}\cos\beta+\frac{\partial u}{\partial z}\cos\gamma. Vektorinį lauką F=P(x, y, z)i+Q(x, y, z)j+R(x, y, z)k charakterizuoja divergencija div F=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z} ir rotorius rot F=\begin{vmatrix} i & j & k \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix} =\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)i+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)j+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)k.