Bertrano paradoksas

Bertrano paradoksas (arba Bertrano uždavinys) yra problema su klasikine tikimybių teorijos interpretacija. Paradoksas parodo, kad galima gauti skirtingus to pačio tikimybių teorijos uždavinio atsakymus, jei atsitiktinį kintamąjį nusakantis mechanizmas nėra aiškiai suformuluotas. Uždavinys yra pavadintas jį suformulavusio matematiko Juozapo Bertrano vardu.

Uždavinys

Bertrano uždavinys formuluojamas taip: lygiakraštis trikampis (arba trikampis, kurio visos kraštinės yra lygios) yra įbrėžtas į apskritimą. Tarkime, kad yra atsitiktinai parenkama apskritimo styga. Kokia yra tikimybė, kad ta atsitiktinai parinkta styga yra ilgesnė už įbrėžto trikampio kraštinę?

Sprendimai

Bertranas šį uždavinį išsprendė trimis skirtingais ir, atrodytų, teisingais būdais, kurie pateikia skirtingus atsakymus:

Atsitiktinių stygos galų metodas

Atsitiktinai pasirenkame tašką apskritimo lanke (arba, kitaip tariant, pakraštyje) ir pasukame įbrėžtą trikampį taip, kad parinktas taškas sutaptų su viena iš jo viršūnių, kurią pažymime raide A. Atsitiktinai pasirenkame dar vieną apskritimo lanko tašką ir tuos du taškus sujungiame. Gauta styga bus ilgesnė tada ir tik tada, kai antrasis atsitiktinai parinktas taškas papuls į lanką tarp trikampio viršūnių B ir C. Kadangi šis lankas užima 1/3 apskritimo lanko ilgio, tikimybė, kad atsitiktinai parinkta styga bus ilgesnė už trikampio kraštinę, yra 1/3.

Atsitiktinio spindulio metodas

Atsitiktinai parenkame apskritimo spindulį ir pasukame trikampį taip, kad viena iš jo kraštinių būtų statmena parinktam spinduliui. Atsitiktinai parenkame tašką ant spindulio ir nubrėžiame stygą, kuriai parinktas spindulio taškas bus centru (ši styga spinduliui bus statmena). Tokia styga yra ilgesnė už įbrėžto trikampio kraštinę tada ir tik tada, kai atsitiktinai parinktas spindulio taškas yra arčiau apskritimo centro nei taškas, kuriame trikampis susikerta su spinduliu. Kadangi trikampio kraštinė dalija spindulį į dvi lygias dalis, tikimybė, kad atsitiktinai parinkta styga bus ilgesnė už trikampio kraštinę, yra lygi 1/2.

Atsitiktinio vidurio taško metodas

Atsitiktinai parenkame tašką bet kur apskritime ir nubrėžiame stygą, kuriai tas taškas bus viduriniu. Styga bus ilgesnė už įbrėžto trikampio kraštinę tada ir tik tada, kai ji pateks į apskritimą, kuris yra įbrėžtas į trikampį. Taip yra todėl, kad visos apskritimą liečiančios stygos yra vienodo ilgio, kuris yra lygus trikampio kraštinei, nes ji irgi yra apskritimą liečianti styga. Mažesniojo skritulio plotas yra keturis kartus mažesnis nei didesniojo skritulio, todėl tikimybė, kad atsitiktinai parinkta styga bus ilgesnė už trikampio kraštinę, yra lygi 1/4.

Klasikinis paradokso sprendimas

Paradoksas rodo, kad tikimybių teorijos uždaviniuose visada reikia tiksliai apibrėžti, ką reiškia žodis „atsitiktinai“. Pasirodo, kad uždavinys turi gerai apibrėžtą atsakymą tik jei yra sukonkretinta, koks atsitiktinio pasirinkimo metodas yra naudojamas. Šiuo atveju uždavinyje nėra nurodytas joks unikalus stygų parinkimo metodas, todėl uždavinys neturi ir unikalaus teisingo sprendimo. Bertrano sprendimo metodų atsakymai kaip tik ir skiriasi dėl skirtingų parinkimo metodų ir jei uždavinyje nėra nurodyta daugiau sąlygų, nėra jokios priežasties vieną iš metodų laikyti geresniu ar teisingesniu už kurį nors kitą. Šis ir kiti klasikinės tikimybės paradoksai privertė matematikus suformuluoti griežtesnius tikimybės apibrėžimus.