Koši - Švarco nelygybė

Matematikoje Koši–Švarco nelygybė (dar vadinama Koši–Buniakovski–Švarco arba CBS nelygybe) yra viena iš pagrindinių optimizavimo priemonių tiesinėje algebroje, analizėje, tikimybių teorijoje, fizikoje ir kitose srityse. Nelygybė turi labai daug apibendrinimų, tarp kurių pati svarbiausia – Holderio nelygybė. Koši–Švarco nelygybė gali būti išreikšta vektorinėje, algebrinėje ir integralinėse formose.
Pirmasis šią nelygybę skaičių sekoms suformulavo ir įrodė Augustinas Liuisas Koši (1821), o teoremą integralinėje formoje pirmasis įrodė Viktoras Buniakovskis (1859). Pirmas modernus integralinės nelygybės įrodymas buvo pateiktas Hermano Amadėjaus Švarco (1888).
Algebrinio tipo nelygybė dar gali būti išreikšta vadinamoje Engel formoje. Titas Andreskas ir Bogdanas Aneskas buvo pirmieji matematikai, kurie pateikė save apibendrinantį įrodymą tokioje formoje.

Vektorinė forma

Teorema: Tegul  [x,y]  – tiesinės erdvės vektorių skaliarinė sandauga, tai su vektoriais x ir y, priklausantiems šiai erdvei, galioja nelygybė:
 [ x,x ]  [ y,y ] \geq |[ x,y ]| ^2  
be to, lygybė galioja tada ir tik tada kai vektoriai x ir y yra tiesiškai priklausomi.

Integralinė forma

Teorema: Bet kokioms tolydžioms ir integruojamoms intervale [a,b] funkcijoms f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} ir g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} galioja nelygybė:
 \int\limits_{a}^{b} \left ( f(x) \right)^2 dx \int\limits_{a}^{b} \left ( g(x) \right)^2 dx \geq \left ( \int\limits_{a}^{b} f(x)g(x) dx \right)^2 
Lygybė galioja tada ir tik tada, kai egzistuoja toks c\in\mathbb{R}, kad f(x)=cg(x).

Algebrinė forma

Teorema: Tarkime  (x_n)_{n \geq 1}  ir  (y_n)_{n \geq 1}  yra realiųjų skaičių sekos, tuomet galioja nelygybė:
 \left (\sum_{i=1}^n x_i^2 \right)\left (\sum_{i=1}^n y_i^2 \right) \geq \left (\sum_{i=1}^n x_i y_i \right)^2 
Lygybės atvejis pasiekiamas tada ir tik tada, kai:
 \frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}=...=\frac{x_n}{y_n}.

Lagranžo būdas

Nelygybė lengvai įrodoma pasinaudojus Lagranžo tapatybe:
 \left (\sum_{i=1}^n x_i^2 \right)\left (\sum_{i=1}^n y_i^2 \right) - \left (\sum_{i=1}^n y_i x_i \right)^2 = \sum_{1 \leq i < j \leq n} \left (x_iy_j - x_jy_i \right)^2 \geq 0 \Rightarrow 
\left (\sum_{i=1}^n x_i^2 \right)\left (\sum_{i=1}^n y_i^2 \right) \geq \left (\sum_{i=1}^n x_i  y_i  \right)^2 \blacktriangle

Kvadratinės lygties metodas

Tarkime  (a_n)_{n \geq 1}  ir  (b_n)_{n \geq 1}  yra realiųjų skaičių sekos. Pastebėkime, kad kvadratinė funkcija  f(x)=\sum_{i=1}^n \left (a_ix-b_i \right)^2  yra teigiama su bet kokiu x\in\mathbb{R}, taigi jos diskriminantas D turi būti mažesnis arba lygus už nulį. Taigi:
 f(x)=\sum_{i=1}^n \left (a_ix-b_i \right)^2 = x^2\sum_{i=1}^n a_i^2 -2x\sum_{i=1}^n a_ib_i + \sum_{i=1}^n b_i^2 \geq 0 , bei  D \leq 0 \Rightarrow 
D = 4\left (\sum_{i=1}^n a_i b_i \right)^2  - 4\left (\sum_{i=1}^n a_i^2 \right)\left (\sum_{i=1}^n b_i^2 \right) \leq 0 \Rightarrow 
\left (\sum_{i=1}^n a_i^2 \right)\left (\sum_{i=1}^n b_i^2 \right) \geq \left (\sum_{i=1}^n a_i  b_i  \right)^2 \blacktriangle

AM – GM metodas

Pažymėkime  A=\sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^2}  ir  B=\sqrt{\sum_{i=1}^n b_i^2} , tuomet pagal aritmetinio – geometrinio vidurkio (AM  \geq  GM) nelygybę turime:
 \sum_{i=1}^n \frac{a_ib_i}{AB} \leq \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n \left (\frac{a_i^2}{A^2}+\frac{b_i^2}{B^2} \right) = 1 \Rightarrow \sum_{i=1}^n a_ib_i \leq AB  , o pakėlus abi puses kvadratu gausime tai, ką ir reikėjo įrodyti.  \blacktriangle

Jenseno nelygybės metodas

Akivaizdu, kad funkcija  f(x)=x^2  yra įgaubta visoje skaičių tiesėje (t. y. jos  f''(x) > 0 ), todėl galime taikyti pasvertąją Jenseno nelygybę:
 \sum_{i=1}^n w_ix_i^2 \geq \left (\sum_{i=1}^n w_ix_i \right)^2  ,čia  w_i  yra pasirinktas funkcijos svorio vienetas, o šių svorio vienetų suma yra apibrėžta ir lygi vienetui:  \sum_{i=1}^n w_i = 1; 
Dabar kiekvienam  b_i \neq 0  ir  i=1, 2, 3, ..., n  parenkame  x_i=\frac{a_i}{b_i}  bei  w_i = \frac{b_i^2}{\sum_{i=1}^n b_i^2} , o tai įsistačius į Jenseno nelygybės išraišką gausime Koši – Švarco nelygybę.  \blacktriangle

Andresko – Anesko įrodymas

Tarkime a,b\in\mathbb{R} ir x,y\in\mathbb{R^+}, tuomet akivaizdu, kad galioja:
\left (ay-bx \right)^2 \geq 0 \Rightarrow 
 a^2y^2+b^2x^2 -2abxy \geq 0 \Rightarrow 
 \frac{a^2y}{x} + \frac{b^2x}{y} \geq 2ab \Rightarrow 
 \frac{a^2y}{x} + \frac{b^2x}{y} +a^2 +b^2 \geq \left (a+b\right)^2 , o pertvarkę gauname:
 \frac{a^2}{x} + \frac {b^2}{y} \geq \frac{(a+b)^2}{x+y}.  Ši nelygybė dar vadinama Tito lema. Dabar pakeitę  b  į  b+c  , kur  c\in\mathbb{R} , bei  y  į  y+z  , kur  z \in\mathbb{R^+}  ir pritaikę Tito lemą, gausime:
 \frac{a^2}{x} + \frac {b^2}{y} +\frac{c^2}{z} \geq \frac{(a+b+c)^2}{x+y+z} , o kartodami šias pakeitimo operacijas n kartų, gausime apibendrintą Tito lemą, dar vadinamą Koši – Švarco nelygybe Engel formoje (matematiko Artūro Engelio garbei):
 \sum_{i=1}^n \frac{a_i^2}{b_i} \geq \frac{\left (\sum_{i=1}^n a_i\right)^2}{\sum_{i=1}^n b_i}.  Belieka tik pastebėti, kad parinkę tokius  a_i=\alpha_i \beta_i  ir  b_i = \beta_i^2  gausime standartinę Koši – Švarco nelygybę:
\left (\sum_{i=1}^n \alpha_i^2 \right)\left (\sum_{i=1}^n \beta_i^2 \right) \geq \left (\sum_{i=1}^n \alpha_i  \beta_i  \right)^2 \blacktriangle