Kvantinė lauko teorija

Kvantinė lauko teorija (angl.- Quantum Field Theory; QFT) – kvantinių reliatyvistinių sistemų su begaliniu laisvės laipsnių skaičiumi teorija, tirianti fizinius laukus, elementariąsias daleles, jų sąveikas ir virtimą vienų kitomis. Taikoma ir kondensuotųjų medžiagų fizikos, superlaidininkų, kitų sistemų tyrimuose. Kvantinė lauko teorija atsirado kaip kvantinės mechanikos apibendrinimas ir išplėtojimas.

Kvantinė lauko teorija teoriškai aprašo kvantmechaninių sistemų modelius, apibūdinamas laukais arba daugelio kūnų sistemomis. Ši teorija plačiausiai naudojama elementariųjų dalelių fizikoje, apimančioje Standartinį dalelių modelį, taip pat aprašant dalelių susidūrimus. Dauguma teorijų , apimančių šias sritis yra formuluojamos kaip reliatyvistinės kvantinės lauko teorijos. Kvantinė lauko teorija naudojama ir kondensuotųjų medžiagų fizikoje arba aprašant superlaidumą.

Samprata

Pagal šiuolaikinę sampratą, kvantiniai laukai yra fundamentali ir universali materijos forma. Kvantinėje lauko teorijoje dalelės vaizduojamos kvantuotomis lauko normaliųjų svyravimų modomis – lauko kvantais. Pvz., fotonas yra elektromagnetinio lauko kvantas.
Kvantinėje lauko teorijoje fizinis laukas apibūdinamas lauko funkcijomis, kurioms lygtys sudaromos remiantis fundamentaliaisiais principais (pvz., Langranžo ar Hamiltono formalizmas). Kiekviena dalelių sistema yra fizinis laukas, nusakomas lauko operatoriais, veikiančiais lauko būsenos funkciją. Būsenos kitimas randamas iš bendrosios Šredingerio lygties, kurios Hamiltono operatorius pagal tam tikras taisykles užrašomas lauko operatoriais, lauko operatoriai užrašomi dalelių atsiradimo ir išnykimo operatoriais (antrinio kvantavimo principas). Lauko operatorių priklausomybę nuo keturmačio erdvėlaikio koordinačių nusako klasikinės lauko teorijos lygtys, kuriose lauko funkcijos pakeistos lauko operatoriais.

Kvantinėje lauko teorijoje fotonai yra ne maži rutuliukai. Jie apibrėžiami kaip lauko kvantai, vilnijantys lauke, kuris atrodo tarsi sudarytas iš dalelių. Fermionai (dalelės, kurių sukinys 1/2), tokie, kaip elektronas, gali būti aprašomi kaip raibuliuojančios bangos, turinčios savo laukus. Todėl čia viskas gali būti aprašoma ir kaip dalelės, ir kaip bangos. Visa tai grafiškai parodoma Feinmano diagramomis. Lauko teorijoje dalelių elementarumas reliatyvus. Kuo detalesnė teorija, tuo abstraktesnės jos sąvokos ir vaizdiniai. Dėl laukų sąveikos kvantinės lauko teorijos lygtys netiesinės, todėl jų sprendimas sudėtingas. Kai sąveika silpna, tinka trikdžių (nuosekliųjų artinių) metodas. Kitais atvejais remiamasi algebriniais metodais, naudojami kompiuteriniai skaičiavimai.

Simetrijos

Esminį vaidmenį kvantinėje lauko teorijoje vaidina simetrijos. Kvantinės lauko teorijos lygtys turi nekeisti pavidalo, atliekant tam tikras simetrijos transformacijas (invariantiškumo savybė). Lauko lygčių invariantiškumas globalinių transformacijų atžvilgiu veda prie tvarių dydžių, apibūdinančių sistemos ar dalelių savybes (energijos tvermė, elektrinio krūvio tvermė, leptoninio krūvio tvermė). Kovariantiškumas lokalinių transformacijų atžvilgiu (kalibruotės simetrija) veda prie naujų lygčių ir kalibruotinių laukų atsiradimo. Kalibruotiniai laukai neturi masės, jie užduoda ryšius ant dalelių sistemos ir atitinka sąveiką pernešančius laukus. Pavyzdžiui, elektromagnetinės sąveikos kalibruotinis laukas yra fotonų laukas.

Istorija

Kvantinės lauko teorijos pradžia galima laikyti 1920 metus, kuomet buvo bandoma sukurti kvantinės mechanikos teoriją elektromagnetinių laukų aprašymui. 1926 metais M. Born‘as, P. Jordan‘as ir W. Heisenberg‘as suformulavo tokią teoriją, išreiškiančią vidinius lauko laisvės laipsnius kaip begalybę harmoninių osciliatorių pritaikant tam tikrą ,,procedūrą“- kanoninį kvantavimą (kvantuojami tie patys osciliatoriai). Čia nebuvo jokių elektrinių srovių ar krūvių. Kadangi harmoninių osciliatorių yra begalybė, tai laukai turi begalybę laisvės laipsnių. Pirmoji nuosekli kvantinės elektrodinamikos teorija, aprašanti elektromagnetinius laukus, įelektrintą materiją kaip kvantmechaninius objektus, buvo sukurta dėka Polio Dirako 1927 metais. Ji naudojama aiškinant kaip sąveikauja elektronai su fotonais, kaip elektronas išspinduliuoja fotoną ir pereina į žemesnės energijos būseną. Tai yra procesai, kuomet iš elektrono lieka elektronas ir fotonas. Tai vienas iš svarbiausių kvantinės lauko teorijos pasiekimų. Ši teorija taip pat padėjo užpildyti spragas sujungiant kvantinę mechaniką su reliatyvumo teorija. Prie to prisidėjo ir Dirako lygties išvedimas- vienos dalelės lygties, paklūstančios ir kvantinei mechanikai, ir bendrajai reliatyvumo teorijai. Dar vienas kvantinės lauko teorijos vystymo tikslas buvo kuo paprasčiau suprasti daugelio dalelių sistemų statistiką. Jordan’as dėl to pritaikė kanoninį laukų kvantavimą daugelio kūnų banginėms funkcijoms iš vienodų dalelių. Ši ,,procedūra’’ vadinama Antriniu Kvantavimu. Buvo atrasta, kad elektronus ar kitus fermionus apimantys kvantiniai laukai gali būti išskleisti naudojant pagal Paulio principą nekomutuojančius sukūrimo ir anihiliacijos operatorius. Tai yra labai naudinga aprašant daugelio kūnų sistemas, taip pat kondensuotų medžiagų ir branduolinėje fizikoje. Nepaisant ankstyvos sėkmės, dar buvo teorinių sunkumų. Skaičiuojant pagal kvantinę lauko teoriją kai kuriuos dydžius, tokius, kaip energija, dažnai buvo gaunamos begalybės- neapibrėžti dydžiai. Šią problemą išsprendė mokslininkai Betė, Tomonaga, Švinger‘is, Ričardas Fainmanas, Dyson‘as panaudodami veiksmą, vadinamą pernormavimu. Tai buvo paskutinis modernios teorijos- kvantinės elektrodinamikos (QED) kūrimo žingsnis. 1950 metais Mokslininkų Yang ir Mils’o darbai apibendrino grupę kvantinių lauko teorijų, vadinamų kalibracinėmis teorijomis (Angl.- Gauge theories), kurios dabar vadinamos vienu vardu: dalelių fizikos Standartiniu modeliu. Šios teorijos aprašo visas elementariąsias daleles ir visas tarp jų veikiančias jėgas. Aprašant stipriąją sąveiką buvo pasitelktas Higso mechanizmas.

Tyrimo sritys

Pagal tyrimo objektą skiriamos atskiros kvantinės lauko teorijos šakos. Viena jų – kvantinė elektrodinamika, nagrinėjanti elektromagnetinės sąveikos reiškinius. Ji labiausiai išplėtota šaka, o jos išvados patvirtintos daugybe eksperimentų.
Kvantinė chromodinamika – tai stipriąją sąveiką nagrinėjanti teorija. Ji aprašo kvarkų, iš kurių sudaryti hadronai, dinamiką, aiškina jų savybes. Stipriąją sąveiką pernešantys 8 tarpusavyje sąveikaujantys kalibraciniai laukai vadinami gliuonais. Jų dinamiką lemia spalvinio krūvio SU(3) kalibracinės simetrijos grupė.
Silpnosios sąveikos teorija aprašo leptonų bei kvarkų sąveiką, pernešamą masyviais vektoriniais bozonais {W}^{+}, {W}^{-} ir {Z}^{0}. Tai masyvūs, tarpusavyje sąveikaujantys, SU(2) kalibruotinės simetrijos laukai. Jie įgyja masę sąveikaudami su Higso lauku. Teorijos numatyti bozonai rasti eksperimentiškai, todėl manoma, kad šios teorijos idėjos yra teisingos. Tačiau Higso laukas dar nėra surastas (2006).
Silpnoji ir elektromagnetinės sąveikos apibendrinamos elektrosilpnosios sąveikos teorija. Didelių energijų srityje elektrosilpnąją sąveiką perneša keturi neturintys masės kalibraciniai laukai ir masyvus Higso dalelių laukas. Mažų energijų srityje elektrosilpnosios sąveikos simetrija spontaniškai pažeidžiama ir elektrosilpnoji sąveika skyla į elektromagnetinę bei silpnąją sąveiką.
Kvantinė lauko teorija, aprašanti elektrosilpnąją ir stipriąją sąveikas vadinama standartiniu modeliu. Nors standartinis modelis gerai atitinka šiuolaikinius eksperimentinius duomenis, bet negali paaiškinti visų šiuo metu stebimų kvantinės lauko teorijos efektų.

Pernormavimas

Pradėjus kurti QFT buvo pastebėta, kad daug paprastų skaičiavimų, tokių, kaip perturbacinis elektrono energijos poslinkis esant elektromagnetiniam laukui, duoda begalinius rezultatus - begalybes. Taip yra dėl to, kad perturbacijų teorija energijos poslinkiui sumuoja per visus energijos lygmenis, o tokių lygmenų yra begalybė ir kiekvienas duoda savo ,,indėlį”. Daugybė tokių problemų yra susijusios su klasikinės elektrodinamikos nesėkmėmis, kurios nebuvo išspręstos iki XIX amžiaus. Jos kilo dėl spėjamai ,,vidinių” elektrono savybių, kurios kyla dėl elektrono ryšio su elektromagnetiniu lauku, kuris sklinda kartu su elektronu. Pavienio elektrono energija - jo vidinė energija - yra ne gryna energija, bet suma energijų, iš kurių viena yra elektromagnetinio lauko energija. Sprendimas iš anksto buvo pasiūlytas keleto mokslininkų ir dabar vadinamas pernormavimu. Pernormavimo metodas padeda suvokti problemą grynai matematiškai. Norint apibrėžti kontinuumo teoriją, pirma reikia nustatyti galutinę ribą laukams, nes kvanto energija negali būti be galo didelė. Tai sukelia efektą, kad neegzistuoja erdvė, kurioje egzistuotų be galo trumpi bangų ilgiai. Jie neegzistuoja ir gardelės teorijoje (angl.- Lattice Theory). Gardelės pažeidžia sukimosi simetriją ir viena iš kertinių taisyklių, atrastų Feinmano, Paulio, Hooft’o ir kt, yra simetrija, ,,sauganti” kraštinę ribą perturbacijos teorijoje. Panašūs ,,pažeidimai” nežinomi jokioje perturbacijų teorijoje. Gardelėje kiekvienas dydis yra baigtinis, bet priklauso nuo tarpusavio atstumo. Jei atstumas nulinis, mes įsitikiname, kad stebimi dydžiai, tokie, kaip elektrono masė, yra pastovūs. Tai reiškia, kad konstantos Lagranžo operatoriumi aprašomoje teorijoje priklauso nuo atstumo. Jei tarsime, kad konstantos kinta pagal atstumą gardelėje, visi rezultatai dideliame atstume tampa labai silpni lyginant su gardele Pernormavimas veikia tik tam tikrai kvantinių lauko teorijų klasei, kuri taip ir vadinama - pernormuojamos kvantinės lauko teorijos. Teorija yra perturbaciškai renormalizuojama kai konstantos Lagranžiane išsiskiria kaip gardelės atstumų logaritmai labai mažuose tarpusavio nuotoliuose. Kontinuumo riba yra apibrėžiama perturbacijų teorijoje. Standartinis dalelių fizikos modelis yra perturbaciškai renormalizuojamas, kaip ir jo komponentai (QED, QCD, elektrosilpnosios sąveikos teorija). Pernormavimo grupė apibūdina kaip tokios teorijos elgiasi kai į jas žiūrime kaip į ilgų atstumų mažų energijų QFT bet kuriai didelės energijos teorijai.

Aksiominiai priartėjimai

Kvantinėje lauko teorijoje daug skaičiavimų gali būti atlikti apytiksliais- priartėjimų metodais. Per pastaruosius kelis dešimtmečius buvo dedama daug pastangų, kad būtų sukurtas matematinis ,,aparatas”, nusakomas keliomis aksiomomis. Taip buvo sukurtos dvi klasės. Pirmoji aksiomų klasė sukurta 1950 metais. Buvo siekiama formaliai funkcinės analizės rėmuose nusakyti lauką, kuris aprašomas operatoriaus vertėmis. Buvo įmanoma patikrinti, kad kiekviena QFT, tenkinanti tokias aksiomas, tenkino ir bendras teoremas, tokias, kaip sukinio statistikos teorema ir CPT teorema. Deja, buvo įrodyta, kad realiems laukams ir jų teorijai, taip pat ir standartiniam modeliui, itin sunku tenkinti tokias aksiomas. Dauguma teorijų, kurios tenkino aksiomas, buvo labai trivialios, apsiribojančios nedideliu laisvės laipsnių skaičiumi ir turinčios didelių trūkumų dinamikoje. 1980 metais buvo parašytas antras rinkinys aksiomų, pagrįstų geometrinėmis idėjomis. Tokia klasė, kuri sutelkia dėmesį į išskirtines - topologines kvantines lauko teorijas, buvo sukurta fizikų Edvardo Vitteno; Richard’o Borcherds’o; Graeme’o Segal’o ir kitų dėka. Vis dėlto, svarbiausios QFT, tokios, kaip Standartinis modelis, nėra topologinės QFT. Išskirti čia galima, nebent, Kvantinio Holo efekto teoriją. Svarbiausias aksiominės topologinės QFT žingsnis buvo matematika, pritaikoma algebrinėje topologijoje, diferencialinėje geometrijoje.

Kalibracinė laisvė

Kalibracinė teorija (angl.-Gauge Theory) yra teorija, priimanti simetriją su lokaliais parametrais. Kiekvienoje kvantinėje teorijoje banginės funkcijos globali būsena yra sutartinė ir neturi fizikinės prasmės. Taigi, teorija yra invariantas esant bet kokiems globaliniams būsenos pokyčiams- tai yra globali simetrija. Kvantinėje elektrodinamikoje teorija taip pat yra invariantas ir esant lokaliems būsenos pokyčiams, galima pakeisti būseną visoms banginėms funkcijoms taip kad pokytis būtų skirtingas visuose erdvėlaikio taškuose. Tai vadinama lokalia simetrija. Norėdami apibrėžti sąlygą išvestinės operatoriui egzistuoti, reikia apžvelgti naują lauką, vadinamą kalibraciniu lauku (angl.-Gauge Field), kuris taip pat susijęs su lokaliais būsenos ir dydžių pokyčiais. Kvantinėje elektrodinamikoje šis kalibracinis laukas yra elektromagnetinis laukas. Šio lauko kalibraciniai pokyčiai vadinami kalibracinėmis transformacijomis. Kvantinėje lauko teorijoje lauko sužadinimai vaizduoja daleles. Dalelės, susijusios su tokiais kalibracinio lauko sužadinimais, vadinamos kalibraciniais bozonais, o kvantinėje elektrodinamikoje tokią dalelę atitinka fotonas. Laisvės laipsnius QFT atitinka lokalios laukų fliuktuacijos. Kalibracinės simetrijos buvimas mažina laisvės laipsnių skaičių, nes laukų fliuktuacijos gali būti transformuotos iki nulio, pasitelkiant kalibracines transformacijas. Tokiu būtu gaunama, kad fliuktuacijų visai nėra ir jos neturi fizikinės prasmės. Tokios fliuktuacijos yra vadinamos ,,nefizikiniais laisvės laipsniais” (angl.- Gauge artifacts). Jeigu klasikinio lauko teorija turi kalibracinę simetriją, tuomet jos kvantuota versija taip pat turės tokią simetriją. Kitaip tariant, kalibracinė simetrija negali turėti kvantinės anomalijos. Jei simetrija yra anomališka, tuomet teorija yra nepilna: pvz.: Kvantinėje Elektrodinamikoje esant kalibracinėms anomalijoms, turėtų atsirasti fotonai su išilgine poliarizacija ir dar poliarizacija laiko ašies kryptimi. Tai padarytų teoriją neišbaigta. Kita galimybė- tokie fotonai galėtų būti tarpiniais produktais, tačiau jokiu būdu jokioje sąveikoje jie negali būti galutiniai produktai dėl tos pačios priežasties. Kalbant bendrai, kalibracinės teorijų transformacijos sudaro keletą transformacijų, kurios nėra komutatyvios. Tokios transformacijos kartu apibrėžiamos matematiniu objektu- Kalibracine grupe (angl.-Gauge group). Nykstamos kalibracinės transformacijos yra kalibracinės grupės generatoriai. Kalibracinių bozonų skaičius yra grupės dimensija. Visos gamtoje esančios sąveikos aprašomos kalibracinėmis teorijomis (gauge theories). Jos yra tokios:

1. Kvantinė elektrodinamika (QED), kurios kalibracinė transformacija yra lokalus būsenos pokytis. Jos kalibracinė grupė yra žymima U(1), o kalibracinis bozonas- fotonas.

2. Kvantinė chromodinamika (QCD), kurios kalibracinė grupė yra SU(3). Šioje teorijoje kalibraciniai bozonai yra 8 rūšių gliuonai.

3. Elektrosilpnosios sąveikos (angl.-Electroweak interaction) teorija, kurios kalibracinė grupė yra tiesinis grupių U(1) ir SU(2) darinys.

4. Gravitacinė sąveika, kurios klasikinė teorija yra Bendroji reliatyvumo teorija, vadovaujasi ekvivalentiškumo principu, tam tikra kalibracinės simetrijos forma.

Naujos kryptys

Nauja supersimetrinė kvantinė lauko teorija numato, kad visos dalelės ir sąveiką pernešantys laukai turi superpartneres daleles – sdaleles ir superpartnerius laukus – superlaukus. Superpartnerių įvedimas padeda išvengti standartinio modelio begalybių problemos didelių energijų srityje. Tačiau nėra vieningos supersimetrinės kvantinės lauko teorijos ir nei viena sdalelė ar superlaukas dar nėra stebėtas eksperimentiškai (2006).
Didžiojo suvienijimo teorija, kuri taip pat nėra baigta, bando sujungti elektrosilpnosios ir stipriosios sąveikos teorijas į suvienytą kvantinę lauko teoriją. Gravitacinės sąveikos kvantinė teorija silpną gravitacinį lauką nusako kaip nesąveikaujančių lauko kvantų – gravitonų sistemą. Kvantiniai gravitacinio lauko efektai dažniausiai labai silpni, todėl dar nėra (2006 m) patikimų stebėjimo rezultatų, su kuriais būtų galima palyginti teorijos išvadas. Kvantinė gravitacijos teorija, sujungta su didžiojo suvienijimo teorija, vadinama visuotine kvantine lauko teorija.

Atskira kvantinės lauko teorijos šaka yra topologinė kvantinė lauko teorija, padedanti skaičiuoti topologinius invariantus bet kokio dimensijų skaičiaus erdvėlaikyje. Šios teorijos turi dvi rūšis: Švarco tipą ir Viteno tipą.