Teiginių logika

Teiginių logika yra matematinės logikos mokslo teorija, kurioje formaliosios kalbos simboliais bei loginėmis operacijomis nusakomi teiginiai. Išvedimo ir ekvivalencijos taisyklių sistema leidžia išvesti tam tikras formules, kurios vadinamos teoremomis, o tokie teiginiai yra interpretuojami kaip teisingi. Visa eilė formulių, kuri yra surašoma naudojantis šia sistema, yra vadinama išvedimu, o paskutinė iš jų yra teorema, kurios išvedimas ir yra laikomas teiginio teisingumo įrodymu. Teiginių logikos interpretaciją riboja teisingumo reikšmė, kuri dažniausiai būna arba teisinga, arba klaidinga.

Teiginių formalizacija

Pasinaudodami turima informacija ir žiniomis apie logines jungtis ir neigimą galime teiginį užrašyti loginių simbolių kalba, kitaip tariant formalizuoti jį užrašant naudojant žinomus loginius simbolius.
Visų pirma, formalizuojant teiginį svarbiausia susirasti paprastuosius teiginius, arba kintamuosius, kurie dažniausia susideda iš dviejų arba kelių žodžių (žinoma, kintamasis gali būti ir vienas žodis). Toliau ieškome loginių jungčių, kurios, kaip žinome, turi save išskiriančias teiginio jungtis, pavyzdžiui, jeigu; ir; arba; tai ir pan. Kintamieji pažymimi skirtingais simboliais ir išskiriami iš kitų kintamųjų, pavyzdžiui, vienas kintamasis žymimas , kitas – , sekantis – , it t. t.
Dabar visą tai pritaikykime praktikoje, taigi formalizuokime vieną paprastą teiginį: „Jei pamoka baigsis, tai galėsime keliauti namo, arba nesibaigis ir namo keliauti negalėsime.“ Taigi, visų pirma nustatome kintamuosius: pirmasis – jei pamoka baigsis, antrasis – galėsime keliauti namo. Pirmąjį pažymėkime – , antrajį – , taip pat turime ir šių kintamųjų neiginius, kuriuos žymėsime taip pat, tik su neigimo ženklu - . Toliau nustatome logines jungtis, kurios yra teiginyje: pirmoji yra implikacija, antroji – disjunkcija, trečioji – konjunkcija. Dabar apipavidalinkime visą tai loginiais simboliais ir užrašykime formulę. Šitaip atrodo mūsų formalizuotas teiginys, matome visas logines jungtis ir mūsų pažymėtus kintamuosius: .

Sudėtinio teiginio teisingumo reikšmės nustatymas

Sudėtinio teiginio teisingumas priklauso nuo jį sudarančio paprastųjų teiginių (, ,  ir pan.) teisingumo. Taigi, jei mes žinome, jog paprastieji teiginiai yra teisingi, taip mes galime teigti, jog sudėtinis teiginys yra taip pat teisingas, nes naudojant konjunkcijos, disjunkcijos ir kitų loginių jungčių taisykles, mes galime nustatyti ar paprastieji teiginiai teisingi, tokiu būdu galėsime įrodyti, jog ir sudėtinis teiginys teisingas.
Tarkime, turime teiginį , kuriame  yra teisingas (t),  - taip pat teisingas,  – klaidingas (k), o  – teisingas. Dabar pakeiskime teisingas reikšmes raide – t, o klaidingas – k. Dabar mūsų teiginys atrodys šitaip: .
Taigi, pirmoji dalis yra disjunkcija, todėl taikysime disjunkcijos teisingumo taisykles:  – pagal griežtosios disjunkcijos teisingumo reikalavimą, šitoks teiginys būtų neteisingas, bet disjunkcijos simbolis neturi brūkšnio, taigi čia – silpnoji disjunkcija, o jos teisingumo reikalavimai nustato, jog jeigu abu arba bent vienas disjunkcijos narys teisingas, tai disjunkcija yra teisinga.
Toliau seka implikacija: , o pasak implikacijos taisyklių mes žinome, jog ji yra teisinga tada, kai abu nariai teisingi, arba antecedentas klaidingas, o konsekventas teisingas. Šiuo atveju, mūsų antecedentas ( yra klaidingas), o konsekventas ( – teisingas), taigi mūsų implikacijos reikšmė yra teisinga.
Jungtis tarp disjunkcijos ir implikacijos yra ekvivalencija: , o ekvivalencija bus teisinga tik tada, kai abu nariai turės tas pačias teisingumo reikšmes. Dabar pakeisime tiek disjunkcijos, tiek implikacijos narius jų teisingumo reikšmėmis ir pažiūrėkime, kaip atrodo mūsų ekvivalencija: . Tiek silpnoji disjunkcija, tiek implikacija yra teisingos, todėl mūsų ekvivalencija yra taip pat teisinga, todėl dabar mes galime teigti, jog šis teiginys teisingas.

Dvejybiškumas

Galimybė keisti logines jungtis mums rodo, jog kiekvieną teiginių logikoje sutiktą išraišką, mes galime pakeisti ir pertvarkyti taip, kad ją sudarytų tik trys operacijos, kurios būtų konjunkcija, disjunkcija ir neigimas. Konjunkcijos ir disjunkcijos operacijos yra vadinamos dvejybiškomis, t.y konjunkcija dvejybiška disjunkcijai ir disjunkcija dvejybiška konjunkcijai.
Dvejybiškos išraiškos vadinamos tokiomis tik tada, kai vieną galime gauti iš kitos, kiekvieną veiksmą pakeitus dvejybišku veiksmu. Pavyzdžiui,  ir ; šios išraiškos yra dvejybiškos. Taip pat dvejybiškų išraiškų teisingumas ir klaidingumas yra dvejybiškas. Nesikeičia tik neigimas, kuris savaime yra vadinamas dvejybišku.
Dvejybiškumo principas – jei dvi išraiškos yra lygiavertės, tai joms dvejybiškos išraiškos, taip pat lygiavertės.

Įrodymai

Loginiuose samprotavimuose iš prielaidų konjunkcijos daroma išvada, o įrodymuose iš argumentų konjunkcijos išvedamas tezės teisingumo pagrindimas. Skirtumas tas, jog samprotavimuose yra žinomos prielaidos ir reikia nustatyti, ar siūloma išvada logiškai išplaukia iš tų prielaidų, kai įrodymuose atramos taškas yra tezė ir reikia parinkti tokius argumentus iš kurių tezė išplauktų taip, kaip išvada iš prielaidų samprotavimuose.
Įrodymai būna formalūs, kai argumentais parinktos tam tikros aksiomos, o reikia parodyti, jog tezės formulė, kaip teorema išplaukia iš argumentų, tad tokiu atveju įrodymas priklauso tik nuo struktūros; arba prasminėse sistemose, kuriuose ir tezėje, ir argumentuose naudojamos prasmę turinčios sąvokos, o juose argumentai parenkami remiantis praktiniu objektinės srities pažinimu.
Tiesioginiai įrodymai paremti implikacijos pereinamumo taikymu, t. y. ieškoma prielaidų forma: . Kai turima begalinę implikacijų grandinę ir fiziškai negalima jos realizuoti, naudojama matematinė indukcija: kai yra žinoma, kad kažkokiam tai skaičiui  yra teisinga savybė  ir norima įrodyti, jog ta savybė yra teisinga bet kuriam skaičiui , t. y. teisinga . Įrodymo schema yra tokia:
Netiesioginiuose įrodymuose užuot įrodžius, kad logiškai teisingas sakinys , įrodomas kitas, ekvivalentus teiginys. Įrodymas per transpoziciją, kaip vienas tokio įrodymo būdų, užuot įrodęs, kad sakinys  yra logiškai teisingas, įrodomas jam ekvivalentus kontrapozicijos teiginys . Panašus netiesioginis įrodymas yra reductio ad absurdum, arba įrodymas per prieštarą. Jeigu reikia įrodyti tezę , tai priimama priešinga prielaida  ir gaunamas prieštaravimas , tada daroma išvada, kad turėjo būti teisinga , t. y. . Dar vienas netiesioginis įrodymas – atskiriamasis įrodymas, kuriame tezės teisingumas nustatomas nustatant kitų disjunkcijos alternatyvų klaidingumą.