Predikatų logika

Predikatų logika yra matematinės logikos rūšis, kuri tyrinėja požymio priskyrimo objektui loginę raišką. Teiginys savyje turi subjektą ir predikatą, tam tikrą objektą ir požymį, kuris nusako ar apibūdina tą objektą, arba atvirkščiai, požymis, kuris nepriskiriamas ar netinkamas objektui. Objektas gali būti bet kas, apie ką galima ką nors pasakyti ir suteikti tam tikrą požymį. Yra trys skirtingos požymių rūšys: savybės, santykiai ir vardai. Vardai yra priskiriami prie požymių, dar kitaip vadinamų predikatų, tačiau vardai yra nagrinėjami loginėje semantikoje.

Savybių samprata

Savybė yra kiekvienam objektui būdingas požymis. Savybę gali turėti keli skirtingi objektai. Tačiau savybiškumas, skirtingai nei santykis, gali apsiriboti ir tik vienu objektu, t. y. jis nereikalauja santykinio ryšio. Pvz. „Dangus yra mėlynas“ arba „Gėlė yra mėlyna“, šie teiginiai būdami teisingi ir prasmingi, nesudaro privalomojo santykinio ryšio.

Išraiškų pertvarkymas

Savybių teorijos išraiškos įvairiai pertvarkomos, iš vienų išraiškų išvedant kitas joms ekvivalentes išraiškas. 
Dėsniai: 
; 
 
nurodo, jog kurioje nors išraiškoje pakeitę kintamąjį kitu kintamuoju, gausime jai ekvivalentę išraišką. Taip pat ir išraiškoje: 
 
kintamąjį x pakeitę kintamuoju y gausime ekvivalentę išraišką: 
 
Keičiant kintamąjį kitu, privaloma pakeisti visus kintamuosius, ir negalima pakeisti laisvųjų kintamųjų suvaržytaisiais kintamaisiais, ar atvirkščiai, pavyzdžiui: 
 
tokios išraiškos negalima pakeisti į išraišką: 
, 
nes y kintamasis pirmojoje išraiškoje yra laisvas, o antrojoje pakeičiamas į suvaržytą kintamąjį x. Išraiška, kurios savybių teorijos išraiškas pertvarkant taip, kad kvantoriai iškeliami prieš visus kitus išraišką sudarančius simbolius įgauna normaliąją formą, pavyzdžiui: 
 
išraiškos normalioji forma yra: 
, 
kurią skaitome taip: kiekvienam x ir kiekvienam y teisinga, kad x turi savybę F arba y turi savybę G. Taikant kvantorių ekvivalencijos bei teiginių logikos dėsnius, savybių teorijos išraiškas įmanoma pertvarkyti taip, kad neigimas tektų tiktai savybėms. 
 
išraiška skaitoma: netiesa, kad jei yra koks x, kuris turi savybę F, tai kiekvienas y turi savybę G. Šiai išraiškai pritaikius teiginių logikos dėsnį: 
 
gausime išraišką: 
 
Jeigu pritaikysime kvantorių ekvivalencijos dėsnį: 
, 
tuomet gausime išraišką: 
 
Gautoje išraiškoje, neigimas taikomas tiktai savybėms.

Formalioji implikacija

Teiginys, kurio forma yra tokia: „iš to, kad x turi predikatą F, visuomet seka, kad x turi predikatą G“ Šis teiginys vadinamas formaliąja implikacija, kurios išraiška yra  tokia: 
 
Formalioji implikacija reiškiama materialiąja implikacija bei bendrumo kvantoriumi, kurios reikšmė: kiekvienas objektas, turintis predikatą F, turi predikatą G. 
Galimi du atvejai: 
1. Objektų klasė x yra baigtinė ir jos elementai žinomi. Pavyzdžiui,  ant žemės guli 10 obuolių. Tuomet tokio teiginio, kaip „kiekvienas x, jei x yra obuolys, gulintis ant žemės, tai x yra raudonas“, teisingumas yra nustatomas peržiūrint visus obuolius. Tokiu atveju išraiška: 
 
turi konjunkcijos prasmę: [F(x1) → G (x1)] • [F(x2) → G (x2)] • [F(x3) → G (x3)] ... [F(xn) → G (xn)]. Ši formalioji implikacija yra teisinga tokiu atveju, jeigu jos visi konjunkcijos nariai (visos atskiros implikacijos) yra teisingos. 
2. Objektų x klasė yra nesuskaičiuojama. Tokiu atveju, formaliosios implikacijos teisingumas negali būti reiškiamas atskirų implikacijų konjunkcija. Pavyzdžiui, teiginio, „kiekvienas x, jei x yra automobilis, tai x yra būdingas vidaus degimo variklis“ teisingumo negalima nustatyti stebint pavienius objektus, nes tų objektų neina suskaičiuoti. Formalioji implikacija reikalinga formalizuoti vienam iš jungties „jei..., tai“ vartojimo variantų, siekiant išreikšti prasminį antecedento ir konsekvento ryšį.

Savybių teorijos dėsniai

Savybių teorijos dėsniai, skiriasi nuo santykių teorijos dėsnių tuo, kad savybių teorijoje dėsniai yra taikomi tuo atveju, kai egzistuoja bent vienas objektas (santykių teorijoje privalomi du objektai tarp kurių išreikštas santykis.) 
Pagrindinė sąvoka santykių teorijoje yra kvantoriaus sąvoka. Kvantorius yra tam tikra funkcija, kuri išreiškia tam tikrą mąstymo objektų kiekį. Kadangi gali būti daug mąstomų objektų ir mažai mąstomų objektų, tai pat egzistuoja kvantoriai, kuriais naudojantis formalizacijos metodu yra užrašomas objektų kiekis. 
 
Kvantoriai yra skirstomi į egzistencijos kvantorių ir bendrąjį kvantorių. Egzistencijos kvantorius yra žymimas , kuris reiškia, kad egzistuoja bent vienas objektas. Bendrumo kvantorius, kuris žymimas   reiškia, kad kiekvienas arba visi turi tam tikrą savybę. Susipažinus su kvantorių žymėjimais ir reikšmėmis prieisime prie jų naudojimo kartu su savybėmis. 
Naudojant egzistencijos kvantorių, prie jo priskiriant savybę F(x) sakoma, kad egzistuoja bent vienas objektas, kuris turi savybę F(x) pvz.: jei automobilis yra raudonas, tai sakoma, kad egzistuoja bent vienas automobilis, kuris turi savybę būti raudonu. Formalus šios išraiškos užrašas yra: 
 
apie tai ar visi automobiliai raudoni mes nežinome. Naudosime bendrumo kvantorių  kai apie jo priskiriamą savybė F(x) bus sakoma, kad visi arba kiekvienas objektas turi savybę F(x), pvz.: kiekvienas važiuojantis automobilis turi ratus, šios išraiškos formalus užrašas yra: 
 
reiškia, kad kiekvienas važiuojantis automobilis turi savybę būti ratuotam. 
Savybių teorijos dėsniai. 
Keturi dėsniai, kurie yra taikomi vieniems kvantoriams paverčiant kitais. Tai yra egzistencijos kvantorius galima paversti bendraisiais kvantoriais ir bendrumo kvantorius galima paversti egzistencijos kvantoriais. Kvantorių keitimas yra pagrįstas kvantorių neigimu, kai yra neigiamas pats kvantorius arba jo savybė. 
Kvantorių tapatybės arba dėsniai yra keturi: 
1.)  
Teiginys: „kiekviena knyga turi puslapius“ ekvivalentus teiginiui „Netiesa, kad yra tokia knyga, kuri neturėtų puslapių.“
2.)  
Teiginys: „kadangi netiesa, kad kiekvienas žmogus yra doras, tai yra žmonių, kurie nėra dori.“ 
3.)  
Teiginys: „kadangi yra dorų žmonių, tai netiesa, kad kiekvienas žmogus nedoras.“ 
4.)  
Teiginys: „netiesa, kad mūsų grupėje yra toks studentas, kuris moka Estų kalbą ekvivalentus teiginiui: kiekvienas mūsų grupės studentas Estų kalbos nemoka.“ 
Egzistuoja dėsniai kurie nurodo, kaip kvantoriai gali būti įkelti į skliaustus ir iškelti iš jų. Šie dėsniai vadinami kvantorių išskaidymo ir jungimo dėsniais. 
Dėsniai yra šie: 
1.)Bendrumo kvantoriaus išskaidymas konjunkcijoje: 
 
Pvz.: teiginys: „kiekviename universitete yra fakultetai ir katedros“ ekvivalentus teiginiui: „kiekviename universitete yra fakultetai ir kiekviename universitete yra katedros.“ 
2.) Kitaip išskaidomas egzistavimo kvantorius konjunkcijoje: 
 
Pvz.: teiginys: „yra toks sportininkas, kuris pasiekė geriausią rezultatą pasaulyje ietės metimo rungtyje 1960m. ir yra toks sportininkas, kuris pasiekė geriausią rezultatą pasaulyje ietės metimo rungtyje 2000m.“ 
3.) Egzistavimo kvantoriaus išskaidymas disjunkcijoje: 
 
Pvz.: teiginys: „yra toks automobilis kuris yra raudonas arba juodas tai yra ekvivalentu išraiškai: yra toks automobilis kuris yra raudonas arba yra toks automobilis kuris yra juodas.“ 
4.) Bendrumo kvantoriaus išskaidymas implikacijoje: 
 
Pvz.: teiginys: „visi automobiliai, jei jie yra su paauksuotais ratlankiais yra brangūs, iš to išplaukia, kad jei kiekvienas automobilis yra su paauksuotais ratlankiais, kiekvienas automobilis yra brangus.“
5.) Bendrumo kvantoriaus jungimas konjunkcijoje: 
 
Pvz.: teiginys: „kiekvienas automobilis turi veidrodėlius ir kiekvienas automobilis turi langus yra ekvivalentu, kad kiekvienas automobilis turi veidrodėlius ir langus.“ 
6.) Bendrumo kvantoriaus jungimas disjunkcijoje: 
 
Pvz.: teiginys: „tarkime, kad kiekvienas mūsų grupės narys keliavo Nerimi arba kiekvienas mūsų grupės narys keliavo Nemunu. Iš čia seka, kad kiekvienas mūsų grupės narys keliavo Nerimi arba Nemunu.“ 
7.) Egzistavimo kvantoriaus jungimas disjunkcijoje: 
 
 
Pvz.: teiginys: „egzistuoja automobilis kuris yra juodas arba egzistuoja automobilis kuris turi dureles, ekvivalentus išraiškai egzistuoja automobilis kuris yra juodas arba turi dureles.“ 
8.) Egzistavimo kvantoriaus jungimas implikacijoje: 
 
Pvz.: teiginys: „jei egzistuoja komanda kuri yra varžybų dalyvė, tai egzistuoja komanda kuri laimi, iš to išplaukia, kad jei kažkokia komanda egzistuoja kaip varžybų dalyvė tai ji laimi.“

Santykių samprata

Santykių teorija nagrinėja tokius požymius, kurie priskiriami dviem, trims, keturiems ar daugiau objektų, tačiau negali būti priskiriami vienam objektui. Turi būti mažiausiai du objektai. Tikrovės objektų sąveikos logiškai reiškiamos santykiais. Kalboje gausu žodžių, kurie reiškia santykius, pavyzdžiui: mažiau, brolis, puolimas, tėvas, būti tarp, priešas, judėjimas ir taip toliau. Santykių teorijoje objektai žymimi mažosiomis raidėmis x, y, z, o patys santykiai – didžiosiomis raidėmis R, S, T. Tokia išraiška, kaip  skaitoma taip: tarp objektų x ir y yra santykis R. Tokią struktūra turi teiginys: „Medžiotojas nušovė šerną“ (Medžiotojas yra x, nušovė – R, šernas – y). 
 
Santykis, esantis tarp dviejų objektų, vadinamas dviviečiu santykiu, tačiau santykiai, kurie yra tarp trijų, keturių ir daugiau objektų, sakoma, kad santykis yra tarp trijų, keturių ir taip toliau vietų. Jeigu savybės yra vienviečiai predikatai, tokiu atveju santykiai yra daugiaviečiai predikatai. 
Tokiame teiginyje, kaip „Katė yra tarp stalo ir kėdės“ reikalauja trijų objektų. Katę pažymėjus raide x, stalą – y, kėdę – z, gaunama formulė – R(x,y,z), kuri skaitoma: tarp objektų x, y, z yra santykis R. Žodis „duoti“, taip pat yra trivietis santykis, nes kas nors kam nors duoda ką nors, pavyzdžiui, senelė duoda anūkėliui saldainį. Žodis „mainai“ – keturvietis santykis, nes kas nors su kuo nors keičia ką nors į ką nors, pavyzdžiui, berniukas su mergaite keičia apelsiną į obuolį. 
Dauguma požymių, kurie dabar laikomi santykiais, kažkada buvo laikomi savybėmis. Terminas „būti geresniam“ yra trijų vietų santykis, kadangi x geresnis už y z požiūriu, pavyzdžiui mokinys x geresnis už mokinį y pažymių atžvilgiu z. 
Pagrindinis santykis loginių santykių teorijoje yra santykis tarp dviejų objektų, kuris žymimas išraiška . Santykių teorijoje taip pat plačiai naudojami kvantoriai. Tokios išraiško, kaip: x mokosi geriau už y; x įveikė y, yra ne teiginiai, o propozicinės funkcijos. Santykių teorijoje teiginiai iš propozicinių funkcijų sudaromi panašiai, kaip savybių teorijoje. Lengviausias būdas tai padaryti yra kintamuosius dydžius pakeisti objektų vardais, pavyzdžiui: Justas mokosi geriau už Arūną; imtynininkas įveikė boksininką. Kitas būdas propozicinę funkciją pakeisti teiginiu, tai susieti ją kvantoriais: 
 (x mokosi geriau už y); 
 (x įveikė y), kuriuos skaitome: yra toks x ir yra toks y, iš kurių x mokosi geriau už y; yra toks x ir yra toks y, iš kurių x įveikė y. Šie teiginiai yra teisingi, nes kiekvienoje mokyklos klasėje gali būti du moksleiviai, iš kurių vienas mokosi geriau, nei kitas; daug yra tokių imtininkų, kurie įveikia boksininkus. 

Santykių teorijoje propozicinės funkcijos gali būti susiejamos įvairiais kvantoriais. Tokia išraiška, kaip 
 yra skaitoma: kiekvienam x ir kiekvienam y teisinga, kad tarp jų yra santykis R. 

Išraiška  skaitoma: yra toks x, kuris su kiekvienu y yra santykyje R, pavyzdžiui, yra gyvūnų, kurie pamatę ugnį bando ją užgesinti. 

Išraišką susiejantiems kvantoriams esant vienodiems, galima juos sukeisti vietomis, taip nepakeičiant išraiškos esmės, pavyzdžiui: 
 ar , prasmė nesikeičia. Bet jeigu išraišką susiejantys kvantoriai nevienodi, tuomet sukeitus juos vietomis pasikeistų išraiškos prasmė ir todėl jų keisti negalima. 
 
Santykių teorijoje yra ir tokių išraiškų, kai ne visi kintamieji yra susieti kvantoriais, tai yra, ne visi kintamieji suvaržyti, būna ir laisvų kintamųjų, pavyzdžiui, tokioje išraiškoje, kaip:  kintamasis x suvaržytas, o y – laisvas.

Teiginių formalizacija

Santykių teorijoje formalizuojant teiginius, pasinaudojama ir savybių teorijoje nustatytomis priemonėmis. 

Teiginio „Kiekvienam automobiliui reikia atsarginių detalių“ dalinė formalizacija yra tokia: (automobilis )  (atsarginės detalės )   reikia . Savybę „būti automobiliu“ pažymėjus raide F, o savybę „būti reikalingumu“ pažymėję raide G, galima visiškai formalizuoti: 
 
Ši išraiška skaitoma: kiekvienam x yra tokie y, kad, jei x turi savybę F ir y turi savybę G, tai tarp x ir y yra santykis R. 

Teiginio „esama šunų, kurie nepaklūsta šeimininkams“ dalinė formalizacija yra tokia: (šunys )   (šeimininkai )  ( nepaklūsta ). Visiška formalizacija: 
 
kuri skaitoma: yra tokie x ir yra tokie y, kad jei x turi savybę F ir y turi savybę G, tai tarp x ir y nėra santykio R. 
Teiginio „joks gyvūnas neišgėrė viso vandens“ dalinė formalizacija yra tokia: (gyvūnas )  (visas vanduo )  ( neišgėrė ). Visiška formalizacija: 
 
kuri skaitoma: kiekviename x yra toks y, kad, jei x turi savybę F ir y turi savybę G, tai tarp x ir y nėra santykio R.

Veiksmai su santykiais

Santykiai yra sąvokos, todėl, atliekant veiksmus su santykiais, gaunami nauji santykiai ir tuo pačiu kuriamos naujos sąvokos. Jie taip pat išreiškia didžiąją dalį žmogaus mąstyme naudojamų sąvokų, kaip antai paprastus santykius tarp objektų (daugiau, lygu, būti tarp) sąvokas, nusakančias laiko, erdvės, socialinius santykius (vėliau, arčiau, brolis, uošvis, įstabesnis) bei veiksmus (x atsiskaito y, x perduoda y, x nemėgsta y).

Santykio neigimas

Santykį neigiant, virš arba šalia santykio rašomas neigimo ženklas. Išraišką , kai ji yra neigiama, skaitome: netiesa, kad tarp x ir y yra santykis R; tarp x ir y nėra santykio R. Pavyzdžiui, teiginyje „netiesa, kad tvarka ir teisingumas sutampa" nurodoma, kad tarp šių objektų tokio santykio nėra. Šis neigimas išreiškiamas formule: 
 
Kalboje santykio neigimo reikšmė atitinka teiginio, kuris išreiškia santykį, tarinio neigimą. Pavyzdžiui, teiginio „automobilis yra garaže“ neigimo – „netiesa, kad automobilis yra garaže“ prasmė bus „automobilio nėra garaže“. 

Santykio dvigubas neigimas lygus santykiui.

Santykio konversija

Jeigu turime santykį xAy, tai santykio A konversija bus toks santykis A⁻¹ (dažnai žymimas Â), kuris užrašomas atvirkščia kintamųjų x ir y tvarka, tačiau išlaiko tą pačią prasmę: 
xÂy ↔ yA⁻¹x 
Santykio x yra y tėvas" konversija - tai santykis y yra x sūnus. Kalboje, jeigu santykis yra veiksmas, o jį reiškiąs žodis yra veiksmažodis, tai santykio konversija reiškiama neveikiamąja dalyvio rūšimi (pasyvu). 

Pažymėtina, kad konversijos neigimas nieko nekeičia (A-A), todėl konversijos neigimas ekvivalentus konversijos neigimui. Galima konversuoti ir santykių konjunkciją ar disjunkciją. 
Pvz.: (yᵢ,xᵢ) ∈ A⁻¹ → (xᵢ, yᵢ) ∈ A 

Tegul A žymi santykį "perskaityti", o S - santykį „parašyti". Sudarom teiginį: „x perskaitė y arba x parašė y". Jį konversavę, gausime: „y buvo x-so perskaitytas arba y buvo x-so parašytas".

Santykių sudėtis

Tai veiksmas, kai iš dviejų santykių  ir  gaunamas naujas santykis , kurį sudaro poros (x, y), gautos sujungus santykio R ir santykio S x-sų ir y-kų poras: 
 
Pvz.: jei  – santykis „x-as yra y-ko tėvas“,  – santykis „x-as yra y-ko motina“,
tai  – santykis „x-as yra y-ko gimdytojas“, bus: 
 
iš to išplaukia: „būti gimdytoju reiškia būti arba tėvu, arba motina“.

Santykių daugyba

Tai toks veiksmas, kai iš dviejų santykių  ir  gaunamas naujas santykis , kurį sudaro poros (x, y), bendros santykiui R ir santykiui S. 
 
Pvz.: jei  – santykis „x-as dėsto y-ui anglų k.“,  – santykis „x-as dėsto y-ui rusų k.“, tai santykis: 
 
reikš poras tų studentų y, kurie pas tuos pačius dėstytojus x mokosi ir anglų, ir rusų kalbos.

Santykių kompozicija

Santykių kompozicija yra vadinamas veiksmas, kai iš dviejų santykių sudaromas naujas sudėtinis santykis. Santykiai „brolio draugas", „motinos motina" ir pan. gaunami santykius komponuojant. Santykių kompozicija žymima taip: . 

Santykių kompozicija - veiksmas, veiksmas, kai iš dviejų santykių  ir  dėl jų bendro elemento z gaunamas naujas santykis , kurį sudaro poros (x, y), gautos iš porų (x, z) ir (z, y) kraštinių elementų, kai jų viduriniai elementai z sutampa: 
 
Tokiu atveju egzistuoja objektas z, su kuriuo x yra santykyje R ir kuris yra santykyje S su y: . 
Pvz.: santykis dėdė (D) gaunamas iš santykio brolis (BR) ir santykio gimdytojas (GI): 
 
Skaitome „x-as yra dėdė y-ui tada ir tik tada, kai egzistuoja kažkas, kam x-as yra brolis, ir kas yra gimdytojas y-ui“. Sukomponavę santykius „gimdytojas" ir „brolis", gavome naują santykį „brolio sūnus". 

Galima santykių kompozicijos konversija: 
 
Tegul R žymi santykį „būti mokytoju", S - „būti vyresniuoju draugu". Kompozicijos „x yra z mokytojas, o z yra y vyresnysis draugas" konversija bus tokia: „y yra x mokinio jaunesnysis draugas". Tegul x žymi Sokratą, y - Aristotelį, z - Platoną. Teiginio „Sokratas yra Platono mokytojas, o Platonas yra Aristotelio vyresnysis draugas" konversija yra teiginys „Aristotelis yra Sokrato mokinio (Platono) jaunesnysis draugas.

Loginės santykių savybės

Nors pasaulyje be galo daug objektų ir įvairiausių santykių tarp jų, tačiau santykiai turi tam tikrų savybių. Santykiai – tai labai didelė mūsų mąstyme dalyvaujančių sąvokų grupė, ir yra prasminga panagrinėti pačių santykių, kaip tokių, logines savybes.

Refleksyvumas

Refleksyviu vadinamas toks santykis, kai objektas yra tame santykyje su pačiu savimi. Lygybės, tapatybės, panašumo santykiai yra refleksyvūs, nes kiekvienas objektas lygus pats sau, tapatus pats sau ir pan. 
,  
Jeigu santykis  refleksyvus, tai jam būtinai priklauso ir abiejų, jį sudarančių elementų poros:

Antirefleksyvumas

Santykis  vadinamas antirefleksyviu, jeigu nei vienam aibės x elementui xᵢ, jo pora su pačiu savimi (xᵢ, xᵢ) nėra santykio R elementas: 
,  
 
Antirefleksyvių santykių pavyzdžiais gali būti: , . 
Santykiai gali būti ir nei refleksyvūs, nei antirefleksyvūs, jei į juos įeina kai kurios, bet ne visos poros (xᵢ, xᵢ). Pavyzdžiui, santykį  tenkina poros: (1,2), (2,2), (3,2), tačiau netenkins nei poros (1,1), nei poros (3,3).

Simetriškumas

Simetrišku vadinamas toks santykis, kai, būdamas tarp objektų x ir y, jis yra tarp objektų y ir x. Simetriškumo santykis užrašomas: 
 
Santykis „sėdėti greta" simetriškas, nes jei x sėdi greta y, tai y sėdi greta x. Skirtumo santykis taip pat simetriškas: x skiriasi nuo y, o y skiriasi nuo x. Jei santykio, kuris yra tarp objektų x ir y, nėra tarp objektų y ir x, jis vadinamas nesimetrišku. Nesimetriškumo santykis užrašomas: 
 
Santykiai „būti motina", „būti aukštesniam" - nesimetriški: jei x yra y motina, tai y yra x sūnus arba duktė; jei x aukštesnis už y, tai y yra žemesnis už x. Kartais negalima pasakyti, ar santykis simetriškas, ar nesimetriškas. Pavyzdžiui, jei x myli y, tai vien logikos priemonėmis neįmanoma nustatyti, ar y myli x, ar nemyli. 
Santykis  vadinamas antisimetriniu, jeigu esant kintamųjų porai , būtinai nebus kintamųjų poros , nebent . Tai reiškia, kad abu santykiai  ir  galimi drauge tada ir tik tada, kai . 

Antisimetrinių santykių pavyzdžiais gali būti santykiai: x nedalus iš y, x didesnis už y, x≥y. 
Santykis  vadinamas asimetriniu, jeigu esant kintamųjų porai (xᵢ, yⱼ)∈R, būtinai nebus kintamųjų poros (yⱼ, xᵢ)∈R: 
R∈X×Y∩R⁻¹∈X×Y=ø 
arba, 
∀x∀y((xᵢ,yⱼ)∈R↔(yⱼ,xᵢ)∉R) 
Asimetrinių santykių pavyzdžiais gali būti santykiai: x>y, x įspūdingesnis už y, x lakesnis už y.

Tranzityvumas

Tranzityviu vadinamas toks santykis, kuris, būdamas tarp objektų x ir y, ir tarp objektų y ir z, yra taip pat tarp objektų x ir z. Tranzityvumo santykis užrašomas: 
 
Santykiai „lygus", „didesnis", „ankstesnis" - tranzityvūs: jei x įvyko anksčiau už y, o y įvyko anksčiau už z, tai x įvyko anksčiau už z. 

Netranzityviu vadinamas santykis, kuris, būdamas tarp objektų x ir y ir tarp objektų y ir z, nėra tarp objektų x ir z. Netranzityvumo santykis užrašomas: 
 
Pavyzdžiui, jei x yra y tėvas ir y yra z tėvas, tai x jau ne z tėvas, o senelis. Kartais vien logikos priemonėmis neįmanoma nustatyti, ar santykis tranzityvus, ar netranzityvus. Pavyzdžiui, jei x yra y draugas, o y yra z draugas, tai dar nežinia, ar x yra z draugas. 
 
Santykių savybės nustatomos apibendrinant patirtį - tai semantikos sritis.

Vienareikšmiškumas

Dažnai svarbu nustatyti kiekį objektų, tarp kurių yra kuris nors santykis. Kiekvienas turi tik vieną tėvą ir vieną motiną, tuo tarpu pastarieji gali turėti ir daugiau vaikų. 
Vienareikšmiu vadinamas toks santykis, kai santykyje  kiekvieną objektą y atitinka tik vienas objektas x. Santykis „x yra y pirmasis mokytojas" - vienareikšmis. Kiekvienas (y), pirmą kartą atėjęs į mokyklą, turi savo pirmąjį mokytoją (x). Tačiau pirmasis mokytojas turi ne vieną mokinį, o visą klasę. Vienareikšmiškumo santykis užrašomas: 
 
Jei x yra y motina, tai z yra x sūnus ir x = z, nes y tegali turėti vieną motiną. 
Abipusiai vienareikšmis santykis yra tada, kai santykyje  kiekvieną, objektą y atitinka tik vienas objektas x, ir atvirkščiai: kiekvieną objektą x atitinka tik vienas objektas y. Teiginyje „M. Mažvydas išleido pirmąją lietuvišką knygą" išreikštas abipusiai vienareikšmis santykis. Turimomis žiniomis, pirmąją lietuvišką knygą išleido vienas asmuo - M. Mažvydas, ir atvirkščiai: M. Mažvydas išleido vienintelę pirmąją lietuvišką knygą. Abipusio vienareikšmiškumo santykis užrašomas išraiška:

Tapatybė

Tapatybės pagrindinis dėsnis yra x lygus y. Visi x požymiai turi būti tapatūs ir su y požymiais, kad jie reikštų tą patį. Tapatybę žymėsime , o savybes raide  ir tapatybės pagrindinį dėsnį išreikštume taip: 
 
Tai skaitytusi taip: x tapatus y, jei ir tik jei kiekvieną požymį Q, kai jį turi objektas x, tai jį turi objektas y, ir priešingai. 
Kadangi kyla problema, kad nėra dviejų lygiai tokių pačių daiktų, iš to kyla kitas dėsnis kuris teigia, kad x yra tapatus tik sau. Jį užrašutyme šitaip: 
 
Taip pat kyla problema, dėl daikto tapatybės išlaikymo laike, tačiau visuotiniame kitime yra santykinio pastovumo momentas. Šio santykinio objektų pastovumo momento atsispindėjimas mąstyme yra loginis tapatybės dėsnio aspektas: kiekviena mintis tapati sau. Šis dėsnis užrašomas išraiška kurioje A simbolizuoja mintį: 
 
Iš to išplaukia, kad sąvokas galima naudoti tik vienareikšmiškai, nes kai tarkime žmogus sako žodį “grožis” jo pašnekovas gali tą grožį suprasti tik tapatų su savo mintyse atsispindinčia grožio sąvoka.

Santykių išreiškimas savybių teorijos terminais

Santykiai galimi tarp individualių objektų, objektų klasių ir pačių santykių. Skirtumas tarp savybių ir santykių nėra absoliutus. Santykis atlieka tą patį vaidmenį, kaip ir savybė, bet tarp dviejų, trejų ar keturių objektų ir nusako šių objektų eiliškumą, tarkim, santykio „daugiau“ atveju, negalima sakyti, kad objektas, kuris yra kiekybiškai mažesnis už lyginamą su juo objektą, būtų prieš „daugiau“. Norint savybę paversti santykiu, reikia išskaidytus narius sujungti į vieną, pavyzdžiui: „žvejys yra pagavęs žuvį“ ir „žuvis yra pagauta žvejo“ yra savybės; ‚žvejys pagavo žuvį“ yra santykis.

Santykių teorijos dėsniai

Santykių teorijoje dėsniai išvedami iš teiginių logikos dėsnių. Teiginių logikos nariai pakeičiami santykiais, o loginės konstantos lieka. Tarkim, norint gauti dvigubo neigimo dėsnį santykių teorijoje naudojama išraiška ,  pakeitus , jos išraiška yra: 
 
skaitoma: kiekvienam x ir kiekvienam y yra teisinga, kad teiginys „netiesa, kad tarp x ir y nėra santykio R“ ekvivalentiška teiginiui „tarp x ir y yra santykis R. 
Teiginių logikos išraiškoje esant keliems kintamiesiems, santykių teorijoje visi jie pakeičiami skirtingais santykių kintamaisiais: p pakeičiams xRy, o q pakeičiamas xSy. Implikacijos dėsnis: 
 
santykių teorijoje atrodo taip: 
 
skaitoma: kiekvienam x ir kiekvienam y yra teisinga, jeigu tarp x ir y yra santykis R, tarp jų nėra santykio S. 
Kontrapozicijos dėsnis: 
 
jeigu p yra xRy, o q yra xSy keičiamas:
 
skaitome: kiekvienam  x ir kiekvienam y teisinga, kad jei tarp jų yra santykis R, tai tarp jų yra santykis S; iš to išplaukia, kad jei tarp x ir y nėra santykio S, tai tarp jų nėra santykio R.

Išplėstinė predikatų logika

Išplėstinė predikatų logika (dar kitaip siauroji predikatų logika) – logikos rūšis, kur kvantoriai suvaržo individualius kintamuosius (x,y,z) – anksčiau nagrinėti atvejai. Aukštesnės eilės predikatų logikoje kvantoriai suvaržo propozicinius (p,q,r...) ir predikatinius (F,G,R,S....) kintamuosius. Pavyzdžiai: 
 
Skaitoma: kiekvienam p teisinga, kad „netiesa, kad ne p“ yra ekvivalentiška p.
 
Skaitoma: yra tokia savybė F, kurią turi visi x.

Predikatų logika filosofijoje

Predikatų logika padėjo išspręsti seną loginį ginčą ir mąstymo prieštaravimą, kurį atrado senovės graikų filosofas Zenonas Elėjietis. Ginčai ir prieštaravimai kildavo dėl mąstymo paradoksų, kurie yra vadinami aporijomis. Daugiausia žinomos Zenono Elėjiečio aporijos (Zenono paradoksai). Vienoje iš Zenono aporijų apie strėlę sakoma, kad nuo taško A strėlė pasiekia tašką B per tam tikrą laiko atkarpą, kurią žymėsime t₁-t₂. Kiekviename laiko t₁-t₂ momente strėlė turi būti kuriame nors tarpiniame laiko taške. Todėl, strėlė būdama kuriame nors laiko taške, turi, tuo laiko momentu (nors ir itin trumpai), būti rimtyje, tai reiškia nejudėti. Atsiranda paradoksas, nes taip išeina, kad rimties būvių suma sudaro judėjimą. Todėl Zenonas daro išvada, jog strėlės judėjimo protas įrodyti negali.
Pabandykime išanalizuoti šią aporiją predikatų logikos terminais: 
 - judąs kūnas (strėlė);
 - bet kuris laiko t₁-t₂ momentas;
 - bet kuris erdvės taškas.
Teiginį, kad kiekvienu laiko t₁-t₂ momentu yra toks erdvės taškas m, kuriame strėlė a turi būti, užrašome: 
 (a yra taške m laiko t₁-t₂ momentu T)
Tačiau iš to dar neseka, kad strėlė laiko tarpu t₁-t₂ yra rimties būvio. Strėlė per laiką t₁-t₂ būtų rimties būvio tuo atveju, jei iš teiginio „bet kuriuo laiko t₁-t₂ momentu T yra toks erdvės taškas m, kuriame strėlė a turi būti" būtų galima išvesti teiginį „yra toks erdvės taškas m, kuriame strėlė a turi būti bet kuriuo laiko t₁-t₂ momentu T". Šį antrą teiginį užrašysime: 
 (a yra taške m laiko t₁-t₂ momentu T)
Vadinasi, Zenono įrodinėjimas, kad strėlė nejuda, būtų teisingas, jei būtų teisinga implikacija: 
 (a yra taške m laiko t₁-t₂ momentu T)   (a yra taške m laiko t₁-t₂ momentu T) 
Tačiau ši implikacija yra neteisinga, nėra logikos dėsnis, nes iš teiginio: 
 (a yra taške m laiko t₁-t₂ momentu T)
negalima išvesti teiginio 
 (a yra taške m laiko t₁-t₂ momentu T).
Toks antecedento kvatorių ∀T∃m sukeitimas vietomis konsekvente ∃m∀T neleistinas todėl, kad išraiška:
nėra predikatų logikos dėsnis. Tačiau predikatų logikos dėsnis yra išraiška:
. 
Pagal šią išraišką, nagrinėjant strėlės kelią erdvėje, tegalima pasakyti: iš teiginio „yra toks erdvės taškas m, kuriame strėlė a turi būti bet kuriuo laiko t₁-t₂ momentu T" seka teiginys „bet kuriuo laiko t₁-t₂ momentu T yra toks erdvės taškas m, kuriame strėlė a turi būti". Tačiau iš to neseka išvada, kad strėlė laiko tarpu t₁-t₂ yra rimties būvio. 

Vadinasi, Zenono Elėjiečio samprotavime, kad strėlė nejuda, slypi tiesiog loginė klaida. Pateiktas pavyzdys parodo, kad naudojant simbolinę kalbą galima išspręsti loginius prieštaravimus ir kokią naudą teikia filosofijai bei kitiems mokslams.