Kortevego–de Vryso lygtis

Matematinėje fizikoje Kortevego–de Vryso (Korteweg – de Vries) (KdV) lygtis naudojama kaip matematinis modelis, apibūdinantis bangas, sklindančias seklaus vandens paviršiumi. Ji žinoma kaip tiksliai sprendžiamo netiesinio modelio pavyzdys, t. y. kaip netiesinė diferencialinė dalinių išvestinių lygtis, kurios sprendiniai gali būti pavaizduoti analiziniu būdu. Vienas iš šios lygties analizinių sprendinių yra solitonas. KdV lygtis yra viena išsamiausiai išnagrinėtų lygčių matematinėje fizikoje; ji gali būti išspręsta atvirkštinio sklaidos uždavinio metodu (ASUM). Matematinė KdV lygties teorija turininga ir įdomi, ji iki šiol aktyviai tiriama. Lygtis pavadinta Dyderiko Kortevego (Diederik Korteweg) ir Gustavo de Vryso (Gustav de Vries) vardais. Jie nagrinėjo šią lygtį 1895 metais [1], nors pirmą kartą šią lygtį paskelbė Džozefas Busineskas (Joseph Boussinesq) 1877 m. [2].

Istorija

KdV lygties istorija prasidėjo nuo Džono Skoto Raselo (John Scott Russell) 1834 metų eksperimentų (pav. 5), kurie stimuliavo teorinius lordo Relėjaus (Lord Rayleigh) ir Džozefo Businesko (Joseph Boussinesq) (maždaug 1870 metais) ir pagaliau Kortevego bei de Vryso (1895 m.) tyrimus [3].
Po to KdV lygtis buvo beveik nenagrinėjama, kol Zabusky (Zabusky) ir Kruskalas (Kruskal) 1965 m. skaitmeniniuose eksperimentuose pastebėjo, kad asimptotiniai KdV lygties sprendiniai suskyla į „solitonu“ rinkinį – aiškiai išreikštas atskiras pavienes bangas [10]. Be to, solitonai, praktiškai nekeisdami formos, pereina vienas per kitą (nors tai gali pakeisti jų padėtį). Jie taip pat pastebėjo sąryšį tarp KdV lygties ir anksčiau atliktų skaitmeninių Fermi (Fermi), Pastos (Pasta) ir Ulamo (Ulam) eksperimentų. Analizinis KdV lygties sprendinys, pasinaudojus ASUM, buvo rastas Gardnerio (Gardner), Grino (Greene) ir Miuros (Miura) 1967 m. [8].

Pastabos

Pastebėsime, kad dispersinis linearizuotas KdV lygties sąryšis  atitinka dispersijos dėsnį, būdingą seklaus vandens artėjimui. Gilaus vandens artėjimui būdingas dispersinis sąryšis  (žr. Dispersija (paviršinės vandens bangos)). Tai reiškia, kad gilaus vandens artėjime pavienės bangos evoliucinė lygtis skiriasi nuo KdV lygties, ir sklidimo metu keičiasi ne tik pavienės bangos profilis, bet ir jos evoliucinė lygtis.

Literatūra

[1] Korteweg, D. J. & de Vries, G. (1895), "On the Change of Form of Long Waves Advancing in a Rectangular Canal, and on a New Type of Long Stationary Waves", Philosophical Magazine 39: 422–443
[2] Boussinesq, J. (1877), Essai sur la theorie des eaux courantes, Memoires presentes par divers savants ` l’Acad. des Sci. Inst. Nat. France, XXIII, p. 1–680
[3] Drazin, P. G. (1983), Solitons, London Mathematical Society Lecture Note Series, 85, Cambridge: Cambridge University Press, pp. viii+136, MR0716135, ISBN 0-521-27422-2
[4] de Jager, E.M., On the Origin of the Korteweg–de Vries Equation, arΧiv:math/0602661
[5] Dingemans, M.W. (1997), Water wave propagation over uneven bottoms, Advanced Series on Ocean Engineering, 13, World Scientific, Singapore, ISBN 981 02 0427 2, 2 Parts, 967 pages
[6] Kappeler, Thomas; Pöschel, Jürgen (2003), KdV & KAM, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics [Results in Mathematics and Related Areas. 3rd Series. A Series of Modern Surveys in Mathematics], 45, Berlin, New York: Springer-Verlag, MR1997070, ISBN 978-3-540-02234-3
[7] Lax, P. (1968), "Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves", Comm. Pure Applied Math. 21: 467-490, doi:10.1002/cpa.3160210503
[8] Miura, Robert M.; Gardner, Clifford S.; Kruskal, Martin D. (1968), "Korteweg - de Vries equation and generalizations. II. Existence of conservation laws and constants of motion", J. Mathematical Phys. 9: 1204–1209, doi:10.1063/1.1664701, MR0252826
[9] Takhtadzhyan, L.A. (2001), "Korteweg – de Vries equation", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
[10] Zabusky, N. J.; Kruskal, M. D. (1965), "Interaction of "Solitons" in a Collisionless Plasma and the Recurrence of Initial States", Phys. Rev. Lett. 15: 240–243, doi:10.1103/PhysRevLett.15.240, http://link.aps.org/abstract/PRL/v15/p240
[11] Janke. E.; Emde F.; Lösch F. (1960) „Tafeln höherer functionen“. B. G. Teubner Verlag, Stutgart.