Topologija

Istorija

Topologiniai tyrimai prasidėjo nuo specifinių geometrijos uždavinių. 1736 metais Leonardas Oileris paskelbė tyrimą apie Septynių Karaliaučiaus tiltų problemą, kuris laikomas viena iš pačių pirmutinių akademinių šiuolaikinės topologijos publikacijų.
Pačią topologijos sąvoką 1847 m. Vokietijoje įvedė Johanas Listingas (Johann Benedict Listing), paskelbdamas Vorstudien zur Topologie (Parengtinę topologijos studiją). Jis jau dešimtmetį iki šios publikacijos vartojo topologijos terminą susirašinėdamas su kitais matematikais. Bet tuometinė topologijos samprata dar buvo nutolusi nuo dabartinio turinio.
Šiuolaikinė topologija griežtai remiasi idėjomis pagrįstomis aibių teorijoje, kurią XIX a. pabaigoje išplėtojo Georgas Kantoras (Georg Cantor). Kartu su pamatinėmis aibių teorijos idėjomis, jis, tirdamas Furjė eiles, jau nagrinėjo ir euklidinės erdvės taškų aibes.
Anri Puankarė 1895 m. publikavo veikalą „Analysis Situs“, kuriame pirmą kartą aprašė homotopijos ir homologijos savybes, šiuo metu laikomas algebrinės topologijos objektais.
1906 metais Morisas Frešė (Maurice Fréchet), unifikuodamas darbus apie funkcijų erdves, kuriuos atliko Georgas Kantoras (Georg Cantor), Vito Voltera (Vito Volterra), Cezarė Arcela (Cesare Arzelà), Žakas Adamaras (Jacques Hadamard), Džiulijo Askoli (Giulio Ascoli) ir kiti, į apyvartą įvedė metrinės erdvės sąvoką. Mūsų dienomis metrinė erdvė yra laikoma bendrosios topologinės erdvės atskiru atveju. 1914 metais Feliksas Hausdorfas (Felix Hausdorff) sukūrė pačią topologinės erdvės sąvoką ir apibrėžė matematinę struktūrą, kuri dabar vadinama jo vardu – Hausdorfo erdvę. Pagal šiuolaikinį supratimą, topologinė erdvė yra nežymus Hausdorfo erdvės apibendrinimas, kurį 1922 m. pateikė Kazimiežas Kuratovskis (Kazimierz Kuratowski).
Toliau topologija ėmė skaidytis į dabar žinomas atskiras šakas, kaip taškų aibių topologija, algebrinė topologija ir kt.

Biologija

Topologijos šaka mazgų teorija yra naudojama biologijoje tiriant kai kurių fermentų poveikį DNR. Šie fermentai padeda karpyti, pasukti ir kitaip sukabinti DNR fragmentus, leisdami deramai keisti molekulės susimazgymo pobūdį. Be topologijos negali apsieiti ir evoliucinė biologija, kurioje reikia patikimai nustatyti ryšius tarp fenotipo ir genotipo. Fenotipinės variacijos, kurios išoriškai gali atrodyti skirtingos, genotipiškai gali skirtis tik keliomis mutacijomis, priklausomai nuo to, kaip rūšies raidos metu genetiniai pokyčiai veikia fenotipą – tai padeda nustatyti topologija.

Fizika

Fizikoje topologija naudojama labai plačiai, ypač kvantinėje mechanikoje ir kosmologijoje. Yra net išskiriama atskira topologinė kvantinių laukų teorija, kurioje tiriami topologiniai invariantai. Beje, nors pastarąją teoriją sukūrė fizikai, ji smarkiai sudomino ir matematikus, kadangi atvėrė naujovių mazgų teorijoje ir keturmačių daugdarų tyrimuose bei kitose srityse. Topologinės lauko teorijos srityje dirbantys mokslininkai yra sulaukę ypatingo pripažinimo pasauliniu mastu (apdovanoti Fildso premija).
Kosmologijoje topologija pasitelkiama mėginant apibrėžti visatos pavidalą ir būsenas. Ši sritis dar vadinama erdvėlaikio topologija.

Robotika

Skirtingas robotų veikimo padėtis galima formalizuoti pasitelkiant daugdarų, vadinamų konfigūracijos erdve, galimybes. Taip projektuojami robotų lankstų (sąnarių) judesių algoritmai, leidžiantys kurti atitinkamas pozas ir padėtis.