Topologinė kvantinė lauko teorija

Topologinė kvantinė lauko teorija (arba- topologinė lauko teorija) yra kvantinė lauko teorija, kuri padeda skaičiuoti topologinius invariantus. Ši teorija sutrumpintai žymima TQFT (angl. topological quantum field theory). TQFT buvo išvesta fizikų, tačiau, taip pat ji yra ir matematikų tyrimų objektas, susijęs su kilpų teorija, keturmačių daugdarų algebrinėje topologijoje ir modulinių erdvių algebrinėje geometrijoje teorija. Kondensuotų medžiagų fizikoje, topologinės kvantinės lauko teorijos yra efektyvios topologiškai tvarkingose būsenose (tokiose, kaip trupmeninio kvantinio Holo efekto būsenos, stygų tinklo kondensuotos būsenos ir kitos stipriai koreliuotos kvantinio (skysčio būsenos) žemų energijų reiškinius aprašančios teorijos. Topologinėje lauko teorijoje koreliacijų funkcijos nepriklauso nuo metrikos erdvėlaikyje. Tai reiškia, kad teorija nėra jautri erdvėlaikio formos pokyčiams; jei erdvėlaikis deformuojamas (riečiasi, išsikreipia ar susitraukia), koreliacijos funkcija išlieka nepakitusi. Taigi, šios funkcijos yra topologiniai invariantai.

Topologinė kvantinė lauko teorija plokščiame erdvėlaikyje

TQFT nėra labai įdomios plokščiame Minkovskio erdvėlaikyje, kuris naudojamas dalelių fizikoje. Minkovskio erdvė gali būti susitraukusi į tašką, todėl TQFT skaičiuoja tik trivialius topologinius invariantus. Todėl TQFT yra nagrinėjama kreivuose erdvėlaikiuose, tokiuose, kaip Rymano paviršiai. Dauguma žinomų TQFT yra apibrėžiamos erdvėlaikiuose su mažiau nei penkiomis dimensijomis. Atrodo, kad teorijos su keletu papildomų dimensijų yra žinomos, bet dar nėra gerai suprastos. Kvantinė gravitacija, kaip tikima, turi būti neprieštaringa teorija. Dažnai sakoma, kad TQFT turi baigtinį laisvės laipsnių skaičių. Tai nėra fundamentali savybė. Tai yra teisinga daugumoje fizikų ir matematikų studijuojamų modelių, bet nebūtinai visuose.

Topologinių kvantinių lauko teorijų tipai

Žinomos TQFT skirstomos į dvi apibendrintas klases: Švarco tipo topologinės QFT ir Viteno tipo topologinės QFT. Švarco tipo topologinėse QFT koreliacijos funkcijos, apskaičiuotos trajektorijų integralu, yra topologiniai invariantai, nes matuojamas trajektorijų integralas ir kvantinio lauko stebėjimai išskirtinai priklauso nuo metrikos; pvz.: BF modelyje erdvėlaikis yra dviejų dimensijų daugdara M, stebimi dydžiai yra sudaryti iš dviejose dimensijose esančio vektoriaus F, viendimensinio skaliaro B ir jų išvestinių. Erdvėlaikio metrika šioje teorijoje nėra naudojama, todėl teorija yra tiksliai topologiškai invariantinė. Viteno tipo topologinėse lauko teorijose, topologinis invariantiškumas yra subtilesnis, pvz.: Lagranžianas gali priklausyti ne tiksliai nuo metrikos, bet skaičiavimais parodyti tikimybės vertę skirstinio funkcijoje ir speciali koreliacijos funkcijų klasė yra difeomorfizmo invariantas. Buvo pasiūlytas aksiomų rinkinys topologinei QFT, įkvėptas aksiomų konformaliai lauko teorijai. Šios aksiomos buvo naudingos matematiniam Švarco tipo QFT ,,apdirbimui“, bet dar nežinoma, ar jos aprašytų visą Viteno tipo QFT struktūrą. Pagrindinė idėja yra tai, kad topologinė QFT yra funktorius (tam tikras homomorfizmas tarp dviejų sąvokų) iš tam tikros teorijų kategorijos vektorinių erdvių kategorijai. Faktiškai yra du skirtingi aksiomų rinkiniai. Šios aksiomos iš esmės skiriasi tuo, kad aprašo topologinę QFT viename fiksuotame n dimensijų Rymano/Lorenco erdvėlaikyje arba yra apibrėžta visuose n dimensijų erdvėlaikiuose vienu metu.