Dedukciniai samprotavimai

Reikalavimai dedukcinei teorijai

Dedukcinė teorija aiškinama dviem požiūriais – sintaksiniu ir semantiniu. Sintaksinis tyrimas reiškia, kad kalba formalizuojama, ji aiškinama kaip sistema formalių teiginių, susietų tarpusavyje pagal tam tikras formalias taisykles. Sintaksiniu požiūriu dedukcinė teorija suprantama kaip visuma kurios nors kalbos ženklų ir išraiškų, kurie nagrinėjami tik kaip grafiniai ženklai, sutvarkyti pagal bendras kalbos sudarymo ir loginio išvedimo taisykles. Semantinis tyrimas išaiškina, kokius objektus ji išreiškia, kokiai objektų sričiai ji taikoma. Suradus objektus, kuriems taikoma dedukcinė sistema, sakoma, kad surasta tos sistemos interpretacija.
Dedukcinei teorijai keliami trys pagrindiniai reikalavimai:
1. Aksiomų nepriklausomumas. Aksiomos turi būti nepriklausomos viena nuo kitos, t. y. jos turi būti parinktos taip, kad bet kurios aksiomos nebūtų galima išvesti iš kitų aksiomų. Jei kuri nors aksioma nėra nepriklausoma, tai reiškia, kad ji bereikalinga, ją galima išvesti iš kitų tos teorijos aksiomų. Bereikalingos aksiomos buvimas apsunkina dedukcinės teorijos neprieštaringumo įrodymą.
2. Neprieštaringumas. Dedukcinė teorija turi būti neprieštaringa, t. y. tokia, kad iš jos aksiomų nebūtų galima išvesti kokio nors teiginio ir to teiginio neigimo. Toks neprieštaringumas vadinamas sintaksiniu neprieštaringumu. Jei iš dedukcinės teorijos aksiomų galima išvesti teiginį ӯ ir jo neigimą, tai ji yra prieštaringa. Išeina, kad y teisingas ir ӯ teisingas. Bet žinome, kad prieštaravimo dėsnis neleidžia laikyti kartu teisingais teiginių y ir ne ӯ. Prieštaringoje teorijoje nėra skirtumo tarp tiesos ir klaidingumo, joje galima įrodyti bet kuriuos teiginius. Neprieštaringumo reikalavimas – pats svarbiausias reikalavimas, keliamas dedukcinei teorijai. Kita neprieštaringumo samprata yra semantinis neprieštaringumas: teorija yra semantiškai neprieštaringa, jei ji turi bent vieną modelį, t. y. tam tikrą objektų sritį, kurioje ši teorija įvykdoma.
3. Pilnumas. Dedukcinė teorija laikoma pilna, jei kiekvieną joje suformuluotą teiginį galima įrodyti arba paneigti. Teiginio įrodymas dedukcinėje teorijoje – tai jo išvedimas iš aksiomų arba iš jau įrodytų teoremų. Teiginio paneigimas – to teiginio neigimo išvedimas. Jei dedukcinė teorija pilna, tai kiekvieną teiginį, suformuluotą tos teorijos teiginiais, galima išvesti iš jos aksiomų (arba iš jau įrodytų teoremų) arba iš jų galima išvesti to teiginio neigimą. Teorijos pilnumas yra kiek mažesnės reikšmės negu neprieštaringumas, nes ir pilna teorija gali teikti daug duomenų apie joje tiriamus objektus. Teiginių logika, kaip nesudėtinga dedukcinė sistema, yra pilna. Kiekvieną teiginių logikos išraišką galima išvesti iš aksiomų, tuo įrodant jos teisingumą, arba įrodyti, kad ji neišvedama iš jų (t. y. kad ji klaidinga). Tačiau ne kiekviena dedukcinė teorija yra pilna. Jei dedukcinė teorija yra sudėtinga, tai ji nepilna. Dedukcinės teorijos nepilnumas reiškia, kad joje galima suformuluoti teisingų teiginių, kurių negalima išvesti iš jos aksiomų. Deduktyviai sudaryta aritmetikos teorija jau nepilna. Giödelio teorema: Jei dedukcinė teorija pakankamai sudėtinga, išplėtota, tai iš jos aksiomų negalima išvesti visų tos teorijos teiginių. Tai 1931 metais įrodė austrų logikas K. Giödelis, ir šis jo įrodymas vadinamas pirmąją Giödelio teorema. Ši teorema parodo, jog mokslo neįmanoma išreikšti tik deduktyviai, kad negalima visiška mąstymo proceso formalizacija. Formaliai sistema neišsemia teorijos. Teorijoje esama tokių pradinių prielaidų, kurios aiškiai neformuluojamos, jomis remiamasi intuityviai. Lieka ir tam tikro neapibrėžtumo interpretuojant formalios sistemos alfabetą. Giödelio teorema rodo, kad kuriant sąvokines konstrukcijas susiduriama su problemomis, kurios neišsprendžiamos anksčiau sukurtais metodais. Antroji Giödelio teorema susijusi su neprieštaringumu. Ši teorema teigia: formalios teorijos neprieštaringumo neįmanoma įrodyti tos pačios teorijos priemonėmis. Teorija deduktyviai sudaroma tada, kai ji jau pakankamai ištirta, išplėtota. Siekiant tiksliai ir griežtai išreikšti teorijos teiginius, ji sudaroma deduktyviai, vienus jo teiginius laikant aksiomomis ir iš jų logiškai išvedant kitus teiginius.

Silogizmas

Silogizmas – tai dedukcinis samprotavimas, kuriame nustatomas ryšys tarp išvadoje esančių kraštutinių terminų, remiantis jų santykiu su viduriniuoju terminu premisose. Premisa, kurioje yra didysis terminas (P), vadinama didžiąja premisa, o toji, kurioje yra mažasis terminas (S), vadinama mažąja premisa. Paprastai didžioji silogizmo premisa rašoma pirmoje eilutėje. Iš šių premisų silogizme išvedama ne bet kokia išvada, o tokia, kokią leidžia silogizmo taisyklės, kurios skirstomos į terminų ir premisų taisykles.

Terminų taisyklės:

1. Kiekviename silogizme turi būti tik trys terminai – mažasis, didysis ir vidurinysis.
Iš dviejų terminų negalima daryti išvados, nes nėra juos siejančio termino. Jei terminų daugiau negu trys, išvada taip pat negalima. Terminų suketverinimas yra klaida, kuri atsiranda, kai vidurinysis terminas vienoje premisoje vartojamas viena reikšme, o antrojoje – kita reikšme (tapatybės dėsnio pažeidimas).
2. Vidurinysis terminas turi būti suskirstytas bent vienoje premisoje.
3. Terminas, nesuskirstytas premisoje, negali būti suskirstytas išvadoje. Pažeidus šią taisyklę, daroma klaida, vadinama neteisėtu termino išplėtimu.