Nededukciniai samprotavimai

Indukcija

Kasdieninėje veikloje mes lengvai ir greitai formuluojame bendrus teiginius, bet mažai galvojame apie jų pagrindą. Dedukcijos studijos rodo, kokias išvadas galime padaryti iš bendrųjų teiginių, bet nepaaiškina, kaip gaunami tie bendrieji teiginiai. Teiginių šaltinis yra mūsų gyvenimo patirtis, kuri leidžia sužinoti, kad kiaušiniai dūžta, ugnis degina ir daugybę kitų svarbių dalykų. Apibendrindami tos patirties fragmentus (t. y. atskirus atvejus), padarome išvadą apie visus tos pačios rūšies atvejus, nes pažymėtina, kad tikrovei būdingas tam tikras pasikartojamumas. Samprotavimo būdas, kai ištyrus ir nustačius, kad koks nors objektas turi tam tikrą savybę, daroma išvada, kad tą savybę turi visi tos klasės objektai, vadinamas indukcija (lot. inductio – įvedimas).
Indukcinio samprotavimo išraiška yra štai tokia:
       $xF(x)®"xF(x) , tai reiškia, kad iš to, jog yra kurios nors klasės objektai, turintys savybę F, išvedama, kad kiekvienas tos klasės objektas turi savybę F.
Pavyzdys:
Silkė gyvena vandenyje.
Karpis gyvena vandenyje.
Plekšnė gyvena vandenyje.
Piranija gyvena vandenyje.
Jos yra žuvys.
Vadinasi, visos žuvys gyvena vandenyje.
Indukcijos premisos – teiginiai, fiksuojantys informaciją apie tam tikro
požymio pasikartojimą tikrovėje, tiksliau, objektuose ar reiškiniuose,
priklausančiuose tai pačiai loginei klasei. Indukcijos išvada, kad tą
požymį  turi visi tos klasės objektai,
padaroma remiantis informacija apie atskirus klasės objektus.
Pažvelkime į dar vieną indukcinio samprotavimo pavyzdį:
Varnos skraido.
Ereliai skraido.
Žvirbliai skraido.
Vanagai skraido.
Jie yra paukščiai.
Vadinasi, visi paukščiai skraido.
Palyginę abu pavyzdžius pastebėsime, kad vieno samprotavimo išvada yra
teisingas teiginys, o kito – klaidingas, nors abiejų premisos buvo vienodai
teisingos, o samprotavimų loginė forma tapati. Jeigu samprotavimo išvada gali
būti teisinga, bet gali būti ir klaidinga, sakome, kad išvada yra tikėtina.
Indukcija yra nededukcinis, t. y. žinojimą išplečiantis samprotavimo
būdas, kurio išvadoje informacijos bus daugiau, nei jos duota premisose.
Informacija atsiranda samprotaujant nuo premisų (patirties faktų) prie išvados
(bendro teiginio), savotiško indukcinio „šuolio“ metu, siejant žinomus ir
aptariamąjį požymius. Indukcijos išvados tiesos vertę lemia ir patirties
išsamumas, o mūsų patirtis yra menka ir ribota. Todėl indukcijos išvada gali
būti visuomet (ir būtinai) teisinga tik išimties tvarka.

Analogija

Senosios graikų kalbos žodis analogia reiškia taisyklingą santykį tarp objektų, jų proporciją ir atitikimą.
Analogija yra toks samprotavimas, kai iš dviejų objektų sutapimo vienais požymiais daroma išvada, kad tie objektai sutampa ir kitais požymiais. Dar kitaip analogija gali būti vadinama tradukcija.
Analogijos schema tokia:
       
       Objektas x turi požymius a, b, c, d.
       Objektas y turi požymius a, b, c.
–––––––––––––––––––
Vadinasi, tikėtina, kad objektas y turi požymį d.

Natūralioji dedukcija

Norint patikrinti, ar teiginys yra tautologiškas išbandant kiekvieną galimai teisingą variantą yra brangus, kadangi jų labai daug. Tam reikia dedukcinės sistemos, kuri žingsnis po žingsnio leistų sukurti tautologiškus įrodymus. Tam yra naudojama natūralioji dedukcija. Ši sistema susideda iš kelių išvados gavimo taisyklių gaunant išvadas iš premisų. Viena iš taisyklių remiasi įrodymų medžių, kurio esmė yra įrodomas teiginys ir kurio lapai yra pradinės prielaidos ar aksiomos (Įrodymų medžiui šaknis dažniausiai piešiame apačioje, o lapus viršuje). Pavyzdžiui, viena iš taisyklių yra žinoma kaip modus ponens. Tai sako, kad jei mes žinome, jog P yra tiesa, ir jei žinome, kad P yra Q, tai gauname išvadą Q.
P ⇒ Q
Q
Įrodymai natūraliojoje dedukcijoje sudaromi skirtingais būdais. Mes pateikiame premisas, bet ne išvadas. Tada taikome natūraliosios dedukcijos taisykles premisoms, tol kol gauname argumento išvadą. Natūraliosios dedukcijos taisyklės yra tiesos išsaugojamos ir tokiu būdu mes galime sukurti išvadas, pritaikant jas premisoms ir žinome, kad išvados teisingumas yra tiesiogiai susijęs su premisų teisingumu. Jei mes negalime išvesti išvados iš premisų, mes negalime daryti išvadų.
Logikoje ir įrodymų teorijoje natūralioji dedukcija yra gana patikimas skaičiavimas, kuriame loginis samprotavimas yra išreikštas išvados taisyklėms glaudžiai siejantis su „natūraliu“ samprotavimo būdu. Tai kontrastas su aksiomatine sistema, kuri naudoja aksiomas tiek, kiek įmanoma išreikšti loginius dedukcinio samprotavimo dėsnius.
Natūralioji dedukcija yra naudojama norint pabandyti įrodyti, kad kai kurie samprotavimai yra teisingi („patikrinti tolesnį pagrįstumą“ sako teorija). Pavyzdys:
Aš tau sakau: „ Vasarą yra karšta, o dabar yra vasara, taigi dabar yra karšta“. Tu pradedi daryti skaičiavimus ir galiausiai sakai: „Gerai, aš galiu įrodyti, kad šis samprotavimas, kurį tu padarei yra teisingas“. Tai ir yra natūraliosios dedukcijos nauda, bet ne visada yra taip paprasta. Pavyzdžiui, „jeigu neišlaikai egzamino, tu privalai jį perlaikyti ir jei nesimokai jam, tu neišlaikai. Dabar tarkime, kad tu jo neperlaikai. Taigi arba tu mokaisi, arba neišlaikai, arba mokaisi, bet vis tiek neišlaikai.“ Toks samprotavimas yra pagrįstas ir gali būti įrodytas natūraliosios dedukcijos būdu.