Dualus briaunainis

Geometrijoje, briaunainiai tarpusavyje yra susiję poromis, vadinamomis dualiais briaunainiais, arba tiesiog vienas kito dualais: dviejų dualių briaunainių poroje, vieno briaunainio viršūnės tiesiogiai atitinka kito briaunainio sienas. Bet kurio briaunainio dualo dualas yra tas pats pradinis briaunainis. Izogono dualas, kadangi (pagal apibrėžimą) jis privalo turėti viršūnėms ekvivalentiškas sienas, bus izoedras (ir atvirkščiai), o izotokso, kadangi privalo turėti ekvivalentiškas briaunas, – taip pat bus izotoksas. Taisyklingieji briaunainiai (Platono kūnai ir Keplerio-Puanso kūnai) irgi, kaip ir visi briaunainiai, sudaro dualias poras, tik čia išimtį sudaro tetraedras, kuris yra dualus pats sau.
Dualumas yra glaudžiai susijęs su apgręžiamumu, arba poliarumu.
Bendrojoje matematikoje, dualumas, pačia bendriausia prasme, yra savybė, leidžianti pakeisti sąvokas, teoremas ar matematines struktūras atitinkamai kitomis sąvokomis, teoremomis ar matematinėmis struktūromis pagal principą „vienas prie vieno“, ir, dažniausiai (bet ne visuomet), naudojant involiuciją: jei A dualas yra B, tuomet B dualas yra A. Ši involiucija kartais turi fiksuotus „taškus“, tada A dualas yra tas pats A.

Topologinis dualumas

Nepaisant, kad kiekvieną dualą galima taip deformuoti, jog būtų nebeįmanoma jo gauti (jokioje sferoje) laipsniškai transformuojant originalą, vis dėlto, šiuo atveju galima sakyti, kad abu briaunainiai vis dar yra topologiniai arba abstraktieji dualai.
Iškilo briaunainio viršūnes ir briaunas galima suprojektuoti ant sferos paviršiaus arba tikrosios plokštumos, kur iš jų gausime grafą, kitaip dar vadinamą Šlėgelio (Schlegel) diagrama; o tokiu pat būdu suprojektuoti šio briaunainio dualo elementai sudarytų pirmajam dualų grafą.
Abstraktus briaunainis yra tam tikra nepilnai sutvarkyta elementų aibė (angl. partially ordered set; poset), kurioje aibės elementų gretimumas ar ryšiai yra susieti su briaunainio elementų (sienų, briaunų ir t. t.) gretimumu. Tokią nepilnai sutvarkytą aibę galima „realizuoti“ kaip geometrinį briaunainį, turintį tokią pačią topologinę struktūrą. Minėtą aibę galima išreikšti Hasės (Hasse) diagrama. Bet kuri tokia aibė turi savo dualą. O dualaus briaunainio Hasės diagrama užrašoma labai paprastai: tereikia apgręžti pirminę diagramą.

Sudėtiniai briaunainiai, dualūs patys sau

Paprastai, bet kurio briaunainio ir jo dualo sudėtinis darinys yra figūra, duali pati sau.
Jei briaunainis yra dualus pats sau, tada jį sudėjus su dualu, gausime kongruentinį briaunainį. Jei taisyklingai sudėsime du tetraedrus, gausime aštuoniakampę žvaigždę, dėl savo taisyklingumo nuo seno žinomą lotynišku stella octangula pavadinimu. Šiuo metu tik ši sudėtinė figūra yra žinoma, kaip visiškai kongruentiška.

Dualūs politopai ir klojiniai

Dualumą galima apibendrinti n-matės erdvės dualiems politopams, kurie dvimatėje erdvėje vadinami dualiais daugiakampiais.
Tegul vieno politopo viršūnės atitinka kito politopo (n − 1)-mačius elementus, arba sienas, tada j taškai, kurie apibrėžia (j − 1)-mačius elementus, atitiks j hiperplokštumas, kurios susikirsdamos sudaro (n − j)-mačius elementus. Panašiai galima apibūdinti ir 'n-mačius klojinius bei korius.
Bendru atveju, politopo dualo sienos bus pirminio politopo viršūnių plano topologiniai dualai. Taisyklingųjų ir tolygiųjų politopų dualų sienos bus poliariai apgręžtos politopo viršūnės plano figūros. Pavyzdžiui, keturmatėje erdvėje, šešiašimtaelemenčio (angl. 600-cell) briaunainio viršūnės planas yra taisyklingasis ikosaedras; šešiašimtaelemenčio dualas yra šimtasdvidešimtelementis (angl. 120-cell), kurio sienos yra dodekaedrai, o dodekaedras ir ikosaedras kaip tik yra dualai.