RSA 암호

RSA는 공개키 암호시스템의 하나로, 암호화뿐만 아니라 전자서명이 가능한 최초의 알고리즘으로 알려져 있다. RSA가 갖는 전자서명 기능은 인증을 요구하는 전자 상거래 등에 RSA의 광범위한 활용을 가능하게 하였다.
1978년 로널드 라이베스트(Ron Rivest), 아디 샤미르(Adi Shamir), 레너드 애들먼(Leonard Adleman)의 연구에 의해 체계화되었으며, RSA라는 이름은 이들 3명의 이름 앞글자를 딴 것이다. 이 세 발명자는 이 공로로 2002년 튜링상을 수상했다. 그러나 RSA 방식을 제일 먼저 개발한 사람은 영국 GCHQ에 근무하던 수학자였으며, 이보다 빠른 1973년도에 개발하게 된다. 이 내용은 GCHQ에서 비밀로 취급되었으며, 이후 1997년 세상으로 발표되게 된다.
RSA 암호체계의 안정성은 큰 숫자를 소인수 분해하는 것이 어렵다는 것에 기반을 두고 있다. 그러므로 큰 수의 소인수 분해를 획기적으로 빠르게 할 수 있는 알고리즘이 발견된다면 이 암호 체계는 가치가 떨어질 것이다. 1993년 피터 쇼어는 쇼어 알고리즘을 발표하여, 양자 컴퓨터를 이용하여 임의의 정수를 다항 시간 안에 소인수 분해하는 방법을 발표하였다. 따라서 양자 컴퓨터가 본격적으로 실용화되면 RSA 알고리즘은 무용지물이 될 것이다. 그러나 양자 컴퓨터가 이 정도 수준으로 실용화되려면 아직 여러 해가 더 필요할 것으로 보인다.
RSA 암호화 알고리즘은 1983년에 발명자들이 소속되어 있던 매사추세츠 공과대학교(MIT)에 의해 미국에 특허로 등록되었고, 2000년 9월 21일에 그 특허가 만료되었다.

개요

RSA는 두 개의 키를 사용한다. 여기서 키란 메시지를 열고 잠그는 상수(constant)를 의미한다. 일반적으로 많은 공개키 알고리즘의 공개키(public key)는 모두에게 알려져 있으며 메시지를 암호화(encrypt)하는데 쓰이며, 암호화된 메시지는 개인키(private key)를 가진 자만이 복호화(decrypt)하여 열어볼 수 있다. 하지만 RSA 공개키 알고리즘은 이러한 제약조건이 없다. 즉 개인키로 암호화하여 공개키로 복호화할 수도 있다.
공개키 알고리즘은 누구나 어떤 메시지를 암호화할 수 있지만, 그것을 해독하여 열람할 수 있는 사람은 개인키를 지닌 단 한 사람만이 존재한다는 점에서 대칭키 알고리즘과 차이를 가진다.
RSA는 소인수 분해의 난해함에 기반하여, 공개키만을 가지고는 개인키를 쉽게 짐작할 수 없도록 디자인되어 있다.
보다 이해하기 쉬운 예를 들자면, A라는 사람에게 B라는 사람이 메시지를 전하고자 할 때 B는 A의 열린 자물쇠를 들고 와 그의 메시지를 봉인(공개키 암호화 과정에 해당)하고, 그런 다음 A에게 전해 주면, 자물쇠의 열쇠(개인키에 해당)를 가지고 있는 A가 그 메시지를 열어보는(개인키 복호화 과정에 해당) 식이 된다. 중간에 그 메시지를 가로채는 사람은 그 열쇠를 가지고 있지 않으므로 메시지를 열람할 수 없다.
메시지와 공개키 모두를 알 수 있다면 변조된 메시지를 보낼 수 있기 때문에, 실제로는 수신측의 공개키만을 사용하여 암호화하는 경우는 드물다. 송수신 양측의 키쌍을 사용하는 방법으로는 A의 개인키로 암호화 -> B의 공개키로 암호화 한 메시지를 전달하고 복호화 과정은 B의 개인키로 복호화 -> A의 공개키로 복호화로 구성된 방식이 일반적이다. RSA의 디자인 상, 그 열쇠(개인키에 해당)는 자물쇠의 형태(공개키에 해당)만 보고서는 쉽게 제작할 수가 없게 되어 있다.

RSA증명 영문버전에 대한 상세 번역

RSA의 정확성 검증관련하여 2가지 방안으로 설명코자 한다.

페르마의 소정리를 이용한 검증

첫번째 방법은 페르마의 소정리를 이용하여 검증하는 방법으로 다음과 같다.
RSA의 정확성에 대한 검증은 페르마의 소정리에 근거하고 있다.
이 정리(theorem)는 p가 소수이고, p가 정수 a를 나눌 수 없다면 이 성립함을 보여주고 있다.
p와 q가 별개의 소수이고 e와 d가 양의 정수이면서 를 만족한다면
모든 정수 m에 대해
이 성립함을 보이고자 한다. 는 구성식에 의해 p–1과 q–1의 최소공배수로, p-1과 q-1로 나누어 질 수 있기 때문에 0 또는 양수 h와 k에 대하여
와 같이 표현할 수 있다.
(주: 특히, 위의 설명은 (p-1)(q-1)이 λ(pq) 또는 λ(pq)가 (p-1)&(q-1)로 나누어질 수 있기 때문에 어떤 e와 d에 대하여도 합동식 이 성립함을 나타내고 있다.
그러나 RSA의 최근 구현에서,약하지만 충분 조건<>을 만족하는 reduced private exponent d를 사용하는 것이 일반적이다)
두개의 숫자 mᵉᵈ와 m이에 대하여 합동인지, 가 와 각각의 경우에도 합동인지를 확인하기 위해(이 부문은 CRT검증의 부분이며, 중요한 부분은 아니지만) 아울러,  인지를 알아 보기위해,
두가지의 케이스를 고려해 보자 m ≡ 0 (mod p) and m ≢ 0 (mod p).
첫번째 Case의 경우 m이 p의 배수이므로, 가 p의 배수가 된다.
따라서 mᵉᵈ는 mod p에 대하여 나머지가 zero인 합동이다.
두번째 Case의 경우
관련하여, 페르마의 소정리를 이용하여 mᵖ⁻¹ mod p를 1로 대체하면 가 성립함을 알수 있다.
mod q의 경우에도 유사한 방법으로 수행하여
첫번째 Case의 경우 mᵉᵈ는 q의 배수이므로, mᵉᵈ는 mod q와 나머지가 zero인 합동이다.
두번째 Case의 경우 []
관련하여, 페르마의 소정리를 이용하여 mq-1 mod q를 1로 대체하면
가 성립함을 알수 있다.
이것으로 어떤 정수 m, 그리고 e, d 관련하여, 다음의 합동식이 성립함을 검증하였다. [ed ≡ 1 (mod λ : (pq), (mᵉ)ᵈ ≡ m(mod pq)]

오일러의 정리를 이용한 검증

두번째 방법은 오일러의 정리를 이용해 검증을 하고자 한다.
Rivest, Shamir, Adleman의 논문은 페르마의 소정리를 이용하여 RSA의 동작원리를 설명했지만, 오일러의 정리를 이용해 증명하는 것이 일반적이다.
 (두 개의 서로 다른 소수 p와 q의 곱 N)과  를 만족하는 양의 정수 e와 d를 이용해
를 보이고자 한다.
e와 d가 양수이기 때문에 라고 쓸 수 있다.(h는 음이 아닌 정수)
m을 n과 서로소라고 가정하면,
끝에서 두번째 합동식  는 오일러의 정리에 따른 것이다.
좀 더 일반적으로 를 만족하는 임의의 e와 d는,
n과 서로소인 m은 라고 명시된 Carmichael의 '오일러 이론의 일반화'를 보면 알 수 있다.
m이 n과 서로소가 아니면 이 이론은 성립하지 않는다.
매우 드문 확률(의 비율)이지만 이 경우에도 합동은 성립한다.
나 , 그리고 이 경우는 이전의 증명으로 해결할 수 있다.

d test code (javascript)

<script><!-- this is tested on mozilla firefox 47.0 -->function modular_multiplicative_inverse() {var a =  Math.abs(document.form.e.value);var n = Math.abs(document.form.mod.value);

   var t  = 0;
   var nt = 1;
   var r  = n;
   var nr = a % n;

        if (n < 0){
        n = -n;
        }
        if (a < 0){
        a = n - (-a % n);
        }
    while (nr !== 0) {
    var quot= (r/nr) | 0;
    var tmp = nt;  nt = t - quot*nt;  t = tmp;
        tmp = nr;  nr = r - quot*nr;  r = tmp;
    }
    if (r > 1) { return -1; }
    if (t < 0) { t += n; }alert("d value="+t);

    return t;

    }</script><html><form name="form" >e <input type="text" name="e">mod() <input type = "text" name="mod"></form><a href="javascript:void(0);" onclick=modular_multiplicative_inverse();>Click me to get the inverse value of mod for d...</a></html>