음수 미포함 행렬 분해

역사

계량분석화학에서 자기 모델링 그래프 분해라는 이름으로 오랫동안 행해져 왔다. 이 경우 오른쪽 행렬에 있는 벡터들은 떨어져 있는 값보다는 연속적인 값을 갖게 된다. 또 한 핀란드의 연구자들은 양수 행렬 분해라는 이름으로 1990년대 중에 이 알고리즘을 연구해왔다. 연구자 Lee와 Seung이 이 분해의 성질과 두 개의 간단한 분해 알고리즘을 음수 미포함 행렬 분해로 소개한 뒤 널리 알려졌다.

근사적인 음수 미포함 행렬 분해

일반적으로 W의 열 개수와 H의 행 개수가 WH=V가 되도록 결정된다. 기존 행렬 V와 분해한 음수 미포함 행렬 W와 H의 곱과의 차이를 오차 U라고 이야기한다. V=WH+U. U의 원소들은 양수나 음수가 될 수 있다.
W와 H의 크기가 V보다 작기 때문에 저장하거나 다루기에 용이하다. 또 V를 원래 정보보다 상대적으로 적은 정보로 표현하여 분해한 행렬 하나가 전체 정보의 대략적인 정보를 제시할 수 있다.

볼록 음수 미포함 행렬 분해

기존 음수 미포함 행렬 분해에서는 W는 어떤 행렬도 될 수 있지만 볼록 음수 미포함 행렬 분해에서는 W를 기존 입력 벡터들의 볼록 결합으로 제한하기 때문에 W에 포함된 정보의 질이 크게 향상된다. 또한, 결과 행렬 H가 더 직교화되는 효과가 생긴다.

음수가 아닌 랭크 분해 (Non-negative rank factorization, NRF)

V의 음수가 아닌 랭크가 V의 랭크와 같다면 V=WH를 음수가 아닌 랭크 분해라고 한다. 음수가 아닌 랭크 분해를 찾는 것은 NP-난해이다.

여러 가지 비용 함수와 정형화 기법

어떤 비용 함수를 사용하느냐, 어떤 정형화 기법을 사용하느냐에 따라 분해의 종류가 나뉜다. 널리 쓰이는 두 가지 분해 방법에는 Lee와 Seung가 연구한 최소 제곱 오차와 양수 행렬에 대한 Kullback-Leibler 수렴 방법을 이용한 것이 있다. 두 방법은 다른 알고리즘으로 취급된다.
가장 보편적인 최소 제곱 오차를 이용한 분해를 아래에 서술한다. 다른 분해의 방법으로는 총 표준 변화를 이용한 방법이 있다. L1 정규화가 최소 제곱 오차에 같이 사용되었을 때 성긴 코딩과 형태가 유사하여 음수가 아닌 성긴 코딩이라고도 부른다.

온라인 NMF

음수 미포함 행렬 분해는 입력 데이터를 한번에 다루는 특징이 있다. 따라서 이 알고리즘은 저장하기에 너무 크거나 스트리밍과 같은 데이터에 대해서는 적용하기 힘들다. 이렇게 많은 사용자나 많은 입력이 있거나 새로운 정보가 계속 들어와 계산을 새로 해야하는 경우에는 협업 필터링을 사용할 수도 있다. 이 때 비용 함수는 같을 수도 다를 수도 있지만 알고리즘은 달라져야 한다.

알고리즘

음수 미포함 행렬 에 근사하는 행렬곱 을 찾기 위해 최신화 규칙을 반복해서 시행하면, 비용 함수의 함수값을 수렴 조건이 만족할 때까지 감소시킬 수 있고 이를 통해 구하고자 했던 분해된 행렬 와 를 얻을 수 있다. 이 때 수렴은 항상 보장된다.
즉, 알고리즘을 1) 비용 함수 2) 최신화 규칙 3) 수렴 보장으로 나누어 분석할 수 있다.

비용 함수

비용 함수에는 크게 두가지가 있다.
첫 번째 비용함수는 최소 제곱 오차로 아래 수식과 같이 표현할 수 있으며,
 

0을 하한값으로 하며 A=B일 때 하한값을 취하게 된다.
두 번째 비용함수는 B로부터 A의 발산값으로, 아래 수식과 같이 표현할 수 있다.

이들 비용함수의 함수값을 최소화하는 방식을 통해, 에 근사하는 를 구한다.

최신화 규칙

각각의 비용함수들의 최신화 규칙과 그에 관한 정리는 아래와 같다.
정리 1. 아래 최신화 규칙 하에서, 최소 제곱 오차  는 비증가함수이다.
 ← 
 ←  

이 최신화 규칙을 통해 얻은 최소 제곱 오차가 불변할 때, W와 H는 임계점(stationary point)에 도달하게 된다. 이 명제의 역도 성립한다.
정리 2. 아래 최신화 규칙 하에서, B로부터 A의 발산값 은 비증가함수이다.
 ← 
 ← 

이 최신화 규칙을 통해 얻은 발산값이 불변할 때, W와 H는 임계점(stationary point)에 도달하게 된다. 이 명제의 역도 성립한다.
정리1과 정리2의 증명을 아래 수렴 보장성 부분에서 확인할 수 있다.

수렴 보장성

[정의]

 모든 h에 대해,

   를 만족하는 를 의 보조 함수라고 한다.

[보조 정리1]

 G가 보조 함수일 때, 함수 F는 비증가함수이다. 즉, 

[보조 정리2]

 행렬 가  를 만족하는 대각 행렬일 때,

 ▽

 을 만족하는 함수 는  의 보조함수이다.

[보조 정리3]

 

  일 때,

 는 의 보조함수이다.

정리1의 증명

보조정리1의 를 보조정리2의 로 바꾸면 아래와 같은 최신화 규칙을 얻는다.
▽
보조정리2의  가 보조함수이므로, 보조정리1에 의해 함수 F는 비증가함수이다.
방정식을 풀면, 
즉, H에 대한 최신화 규칙을 유도한 것이다.
보조정리1과 보조정리2의 W와 H의 위치를 바꿔주면 W에 대한 최신화 규칙 역시 쉽게 유도할 수 있다.

정리2의 증명

보조정리3에서의 함수 의 최솟값을 구하기 위해 미분값을 0으로 할 때의 h값을 찾는다.

그러므로 
G가 보조 함수이므로, 함수 F는 최신화를 거듭할수록 그 함수값이 감소 내지 일정하게 유지된다. 위의 식을 행렬 형식으로 바꾸면, 발산값에서의 H 최신화 규칙과 동일한 것을 알 수 있다.
H와 W의 위치를 바꿔서, 발산값에서의 W의 최신화 규칙 역시 비증가함을 증명할 수 있다.

정확한 음수 미포함 행렬 분해

일반적으로 음수 미포함 행렬 분해는 근사를 통해 이루어지지만, 추가적인 조건이 더해지면 정확한 행렬 분해를 얻을 수 있다. 

1) 행렬 V가 자신의 계수와 같은 계수를 가진 단항 부분 행렬을 가지고 있을 때 정확한 음수 미포함 행렬 분해를 구할 수 있다. 

2) 행렬 V가 대칭성을 가지고 있으며 자신의 계수와 같은 계수를 가진 대각 부분 행렬을 가지고 있을 때, 정확한 음수 미포함 행렬 분해를 구할 수 있다. 

3) 행렬 W가 분리 조건을 만족하면 정확한 음수 미포함 행렬 분해를 구할 수 있다.

유일성 유무 판단

음수 미포함 행렬 분해는 유일성을 가지지 않는다.
이고,
만약 새로운 행렬  과  가 음수항을 가지고 있지 않다면, 또다른 행렬 분해를 구할 수 있다.

군집 성질

음수 미포함 행렬 분해는 군집 성질을 가진다. 즉, 이 행렬 분해는 입력 자료 행렬의 행들을 무조건 군집화한다.
구체적으로, 를  로 근사할 때 오차 함수를 최소화하는 방식을 택한다.
만약  라는 조건이 추가된다면, 위의 최소화 과정은 K-평균 군집화의 최소화과정과 동일-음이 아니라는 것만 제외하면-한 것이다.
최소 제곱 오차가 아닌 발산값을 비용 함수로 고려하는 경우에 이 행렬 분해는, 이미 대중적인 문서 군집 방법인 확률적 잠재 의미 분석과 동일하다.

텍스트 마이닝

음수 미포함 행렬 분해는 텍스트 마이닝에 응용할 수 있다. 텍스트 마이닝에서 문서-용어 행렬은 문서에서 용어들의 가중치 정보를 담고 있다. 이 행렬은 음수 미포함 행렬 분해를 이용하여 용어-요소 행렬과 요소-문서 행렬로 분해할 수 있다. 이 요소들은 문서의 내용으로부터 도출되고, 요소-문서 행렬은 관련 문서들의 정보 군집에 대한 정보를 담는다.

스펙트럼 데이터 분석

음수 미포함 행렬 분해는 스펙트럼 데이터 분석에 응용할 수 있다. 한 가지 예시로, 음수 미포함 행렬은 우주 상의 물체와 파편을 구분짓는데 쓰였다.

생물 정보 공학

음수 미포함 행렬 분해는 유전자 발현 데이터를 그룹화하고, 군집된 데이터의 대표적인 유전자를 찾는데에 응용할 수 있다.

인터넷 거리 예측

음수 미포함 행렬 분해는 인터넷 상의 거리 예측에 응용할 수 있다. 예를 들어, N개의 호스트가 있다고 하자. 각각의 호스트 사이의 거리 정보는 N×N 행렬 안에 담을 수 있고, 이를 예측해 볼 수 있다.

최근 연구 동향

음수 미포함 행렬 분해에서는 다양하게 연구가 진행되고 있지만, 특히 다음 영역에서의 연구를 포함한다.

알고리즘

요소의 초기화나 요소의 광역 최솟값을 찾는 법에 대한 연구가 진행 중이다.

확장성

엄청나게 큰 크기의 행렬을 분해하는 방법에 대한 연구가 진행 중이다. 웹 데이터 마이닝 분야 같은 곳에서는 굉장히 큰 데이터가 빈번하게 쓰여 지고 있고, 이는 분산 기법을 도입한 분산 음수 미포함 행렬 분해에 대한 연구로 이어지고 있다.

동적 학습

데이터가 들어올 때마다 분해를 업데이트 해줄 수 있는 연구가 진행 중이다.

C

Linux에서 이용할 수 있다.
http://www.cs.virginia.edu/~jdl/nmf/

Python

파이썬은 자체적으로 nimfa라는 NMF 라이브러리를 가지고 있다.
관련 API: http://nimfa.biolab.si/

JAVA

자바에서 기계학습을 위한 라이브러리를 제공하는 곳이다.
http://sourceforge.net/projects/jlml/files/JML/

Matlab

매트랩에는 음수 미포함 행렬 분해를 수행하는 함수가 있다.
관련 API: http://kr.mathworks.com/help/stats/nnmf.html