페르마의 마지막 정리

페르마의 마지막 정리(영어: Fermat’s last theorem)는 정수론에서 3 이상 지수의 거듭제곱수는 같은 지수의 두 거듭제곱수의 합으로 나타낼 수 없다는 정리이다. 즉, 가 양의 정수이고, 이 3 이상의 정수일 때, 항상 이다.
이 정리는 1637년 프랑스의 유명한 수학자였던 피에르 드 페르마가 처음으로 추측하였다. 수많은 수학자들이 이를 증명하기 위해서 노력하였으나 실패하였다. 페르마가 자신의 추측을 기록한지 358년이 지난 1995년에 이르러서야 영국의 저명한 수학자인 앤드루 와일스에게 증명되었다. 이 방법이 페르마가 살던 시기에는 발견되지 않은 데다가 매우 복잡하기 때문에 수학자들은 페르마가 다른 방법으로 증명했거나 증명에 실패했다고 추측한다.
이 정리를 증명하기 위한 수학자들의 각고의 노력 덕분에 19세기 대수적 수론이 발전했고 20세기에 모듈러성 정리가 증명되었다. 앤드루 와일스의 증명은 기네스북에서 가장 어려운 수학 문제로 등재되었다.
사실 이 문제는 고대 그리스의 저명한 수학자인 피타고라스가 증명한 피타고라스 정리가 세제곱, 네제곱 등에서도 성립할까라는 질문에서 시작되었다고 한다.

수학적 배경

페르마의 마지막 정리는 피타고라스 수의 관계식 a² + b² = c²을 일반식 aⁿ + bⁿ = cⁿ으로 확장시켰을 경우, 지수 n에 대해 n >= 3 정수 해가 없다는 것을 뜻한다. 여기에는 피타고라스 수 외에도 디오판토스 방정식과 같은 수학적 배경이 자리하고 있다.

소피 제르맹

19세기 초, 소피 제르맹은 페르마의 마지막 정리를 모든 지수에 대해 적용하는 단초로써 몇 가지 특별한 접근법을 개발하였다.  우선, 제르맹은 소수 p 에 대하여 3의 배수가 아닌 임의의 정수 h를 사용하여 방정식 θ = 2hp+1 을 만족하는 보조적인 소수의 집합 θ를 정의하였다. 제르맹은 만약 모듈러 θ에 인접한 정수가 소수 p 제곱으로 나타낼 수 없다면 (이를 비접속 조건이라 한다),  θ는 반드시 세 정수 xyz의 곱으로 나타낼 수 있다는 것을 보였다. 제르맹은 수학적 귀납법을 사용하여 이와 같은 조건을 만족할 경우 페르마의 마지막 정리가 참이 된다는 것을 증명하였고, 100 이하의 소수에 대해 이를 검증하였다.  그러나 모든 정수 n 에 대하여 성립한다는 것을 증명할 수는 없었다.  1985년 레오나드 애들먼과 로저 히스브라운, 그리고 에디엥 포브리는 제르맹이 정의한 특정한 소수 p 전체에 대해 페르마의 마지막 정리가 참임을 증명하였다.

쿠머의 아이디얼 이론

에른스트 쿠머는 또한 페르마의 마지막 정리에 대한 증명 과정에서 근대 정수론의 기반을 마련하였다. 쿠머는 소수를 정규 소수와 비정규 소수로 구분하고, 페르마의 마지막 정리의 방정식 에 대해 n이 정규 소수일 때 해를 갖지 않는다는 것을 증명하였다. 쿠머의 증명 방법은 훗날 아이디얼 이론으로 불리게 된 이론의 기초인 P진수의 발견에 거의 근접한 것이었다. 소수의 n차 단위근에 대해 체를 확장한 쿠머 이론은 이차 형식에 대한 탁월한 연구였으며, 오늘날에도 아이디얼 유군을 다루는 유체론의 기반을 이루고 있다.

모델 추측

1920년대에 들어 루이스 모델은 페르마의 방정식에서 지수 n 이 자명하지 않은 소수일 경우 n이 아무리 큰 수라도 페르마의 마지막 정리가 성립할 것이란 추측을 내놓았다.  이 추측은 1983년 게르트 팔팅스에 의해 증명되어 팔팅스 정리라고 불리게 되었다.

컴퓨터의 이용

20세기 후반에 들어 컴퓨터를 이용해 비정규 소수에 대한 쿠머의 접근법을 확장하는 연구가 있었다. 1954년, 해리 밴디버(Harry Vandiver)는 SWAC 컴퓨터를 이용하여 2521까지의 소수 n에 대하여 페르마의 마지막 정리가 성립한다는 것을 증명하였다  1978년에는 새뮤얼 왜그스태프(Samuel S. Wagstaff)가 125,000 이하의 소수에 대하여 페르마의 마지막 정리가 성립함을 증명하였다.  1993년, 4백만 이하의 모든 소수에 대해 페르마의 마지막 정리가 성립한다는 것이 증명되었다.

와일스의 증명

1986년 이루어진 리벳의 엡실론 추측에 대한 증명으로, 페르마의 마지막 정리를 증명하기 위한 프라이 방법의 첫 단계가 해결되었다. 앤드루 와일스는 프라이 방법의 두 번째 단계인 타니야마-시무라 추론을 홀로 증명하기로 결심하였다.(타니야마-시무라 추론은 와일스의 증명 이후, 모듈러성 정리로 불린다.) 와일스는 6년동안 비밀리에 연구를 계속하였다. 와일스는 빅토르 콜리바긴(러시아어: Виктор Александрович Колывагин)과 마티아스 플라흐가 발전시킨 오일러 계를 확장하였다. 와일스는 이 방식에 익숙하지 않았기 때문에, 1993년 프린스턴 대학교 동료인 닉 카츠에게 자신의 연구 결과 검증을 부탁하였다.
1993년 중반 무렵, 와일스는 자신의 결과에 대해서 충분히 확신할 수 있었다. 와일스는 6월 21일에서 6월 23일까지 아이작 뉴턴 수리과학 협회에서 3번의 강의를 통해서, 자신의 연구 결과를 발표하였다. 와일스는 특히 불완전한 타원곡선에 대한 타니야마-시무라 추론의 증명을 제시하면서, 타원함수 추론에 대한 리벳의 증명을 함께 도입해서 페르마의 마지막 정리를 증명하였다. 그러나 와일스의 이러한 증명을 검증하는 과정에서 오류가 발견되었다. 오류를 발견한 사람 가운데에는 와일스의 증명에 도움을 준 카츠도 있었다고 한다.
와일스와 그의 제자였던 리처드 로런스 테일러는 1년 가까이 오류를 해결하기 위해서 노력하였으나 실패하였다. 그러던 1994년 9월 19일 와일스는 예전에 콜리바긴-플라흐 방법을 도입하면서 포기하였던 자신의 수평 이와사와 이론 접근법과 헤케 대수학의 환론적 속성을 떠올렸고, 다시 테일러와 함께 증명을 완성하였다. 와일스는 1995년 5월 2편의 논문을 발표해서, 358년 된 수학 난제인 페르마의 마지막 정리를 완벽하게 증명하였다.

양의 정수 이외의 지수

지수의 법칙에 따라 어떤 수의 거듭제곱 aⁿ의 지수 n은 정수 뿐만 아니라 유리수와 복소수를 포함하는 모든 수로 나타낼 수1992년 렌스트라는 유리 지수를 갖는 방정식 에 대하여 n=1 일 경우의 일반 해를 구하였다.

페르마는 정말 증명하였나?

페르마는 《산법》 여백에 자신이 놀라운 방법으로 증명하였다고 기록하였지만, 남아있는 상세한 증명은 n=4인 경우, 즉 x⁴+y⁴=z⁴의 정수 해가 존재하지 않는다는 것뿐이다. 실제 페르마는 아마추어 수학자로서, 여가 활동으로 수학을 즐겼기 때문에 어느 정도 자신의 생각이 정리되면 다음 문제로 넘어가곤 하였다. 앤드루 와일스와 리처드 로런스 테일러가 마무리 지은 증명 방법은 20세기에 발견한 많은 현대 수학을 바탕으로 하고 있기 때문에, 페르마가 이와 같은 방법으로 페르마의 마지막 정리를 증명할 생각을 할 수는 없었을 것이다.
오하이오 주립 대학교의 수학 논리학자인 하비 프리드먼(Harvey Friedman)은 페르마가 직접 페르마의 마지막 정리를 증명하기에는 당시 개발된 산술의 기초 도구들이 빈약하였기 때문에, 무리였을 것이라고 주장한 바 있다.
하지만 어떤 사람들은 페르마의 인품과 성격을 봤을 때, 증명했을 것이라고 생각하기도 한다.

포상

프랑스 과학 아카데미는 1816년과 1850년에 페르마의 마지막 정리에 대한 일반적인 증명에 대해서 포상을 내걸었다. 1857년 프랑스 과학 아카데미는 쿠머의 아이디얼 이론에 대해서 금메달과 함께 3,000 프랑을 수여하였다.  브뤼셀 과학 아카데미에서도 1883년 페르마의 마지막 정리를 증명하는 사람에게는 포상을 줄 것이라고 발표하였다.
1908년 독일의 기업가이자 아마추어 수학자였던 파울 볼프스켈은 100,000 마르크를 괴팅겐 과학 아카데미에 기탁해서, 페르마의 마지막 정리를 증명하는 사람에게 수여되도록 하였다. 1908년 6월 27일 괴팅겐 과학 아카데미는 증명의 검증과 상금의 수여에 대한 9가지 기준을 발표하였다. 중요 기준은 학술지에 발표된 논문만을 심사의 대상으로 한다는 것과 상금 지급 대상은 2007년 9월 13일까지로 한다는 것 등이었다. 1997년 6월 27일 앤드루 와일스는 볼프스켈상을 수상하고, 50,000 달러를 받았다. 볼프스켈이 페르마의 마지막 정리를 증명한 사람에게는 100,000 마르크를 준다는 공약을 한 이유가 있는데, 예전에 볼프스켈에게 굉장히 좋지 않은 일이 생겨서 자살을 결심했던 적이 있었다고 한다. 그러나 자살하기 전에 페르마의 마지막 정리를 우연히 연구하게 됐는데, 페르마의 마지막 정리에 흠뻑 매료되고 만 볼프스켈은 자살을 그만두었다고 한다. 그래서 볼프스켈이 이런 공약을 하게 된 것이었다고 한다.
볼프스켈상 심사 위원회에는 와일스 이전에 이미 수천 건의 잘못된 증명이 접수되어 있었는데, 이렇게 모인 증명의 양은 높이가 약 3미터에 달했다. 볼프스켈상이 시작된 1908년에 접수된 것만 621건이었고, 1970년대에도 매달 3~4건의 증명이 접수되었다. 수학사 연구자인 하워드 이브스는 "페르마의 마지막 정리는 가장 많은 잘못된 증명들이 발표된 정리이기도 하다"고 언급하였다.