미적분학

고대

적분을 이끌어내기 위한 몇 가지 아이디어들은 고대에서부터 시작됐지만 이 시대의 방법들은 수학적으로 엄밀하지도 않고 체계적이지 않았다. 모스크바 수학 파피루스(Moscow mathematical papyrus)에서 적분의 목표 중 하나인 부피계산법들이 나와있으나 이것들은 방법으로서 설명이 부족하고 몇 가지는 틀렸다. 고대 그리스에서는 크니도스의 에우독소스(Eudoxus)가 극한의 개념과 비슷한 문제의 철저 검토법을 사용했고 아르키메데스는 이 방법을 발전시킨 발견적 교수법이라는 적분과 비슷한 방법을 만들었다. 중국에서는 유휘가 3세기에 원의 넓이를 구하기 위해 크니도스의 에우독소스와 같은 방법을 발명하였다.

중세

중세 시대에는 인도에서 미적분학의 기초가 다져졌다. 14세기 인도 수학자 마다바(Mādhava of Sañgamāgrama)와 케랄라 학파(Kerala school of astronomy and mathematics)가 테일러 급수, 무한급수의 근사법, 수렴에 대한 적분판정법, 미분의 초기형태, 비선형 방정식 풀이를 위한 방법, 곡선 아래부분이 차지하는 넓이가 적분값과 같다는 이론 등 미적분을 위한 많은 요소들을 기술하였다.

근대

페르마는 무한소 오차항이 있어도 등호가 성립된다는 것을 보여주는 adequality 개념을 소개했다. 무한소 미적분과 유한차 미적분의 결합은 두 번째 미적분학 기본정리가 증명되고 2년이 지나서 존 월리스(John Wallis), 아이작 배로(Issac Barrow)와 제임스 그레고리(James Gregory)에 의해 1670년경에 완성됐다.
아이작 뉴턴은 그가 수리물리학 문제를 풀 때 사용했던 이상한 형태의 곱의 미분법, 연쇄법칙, 고계도 미분계수의 개념, 테일러 급수와 해석함수를 공개했다. 하지만 그가 출판물로 낼 때는 그 시대의 수학적 표현방법에 맞게 그의 아이디어와 동등한 의미를 지니는 기하적 표현으로 그의 아이디어를 적어냈다. 뉴턴은 그의 책 자연철학의 수학적 원리에서 거론한 행성의 운동, 회전하는 유체 표면의 모양, 지구의 편평도, 사이클로이드에서 미끄러지는 물체의 운동 같은 문제들을 푸는 데 미적분을 사용했다. 뉴턴은 미적분과 함께 함수의 급수를 실수의 범위로 확장했고 테일러 급수의 원칙들을 이해하고 있었다. 하지만 그는 그가 이뤄낸 모든 발견을 출판하지는 않았고 이 시대에 무한소를 이용한 방법은 여전히 평이 좋지 않았다.
그의 아이디어들은 뉴턴이 자신을 표절했다고 고소한 고트프리트 라이프니츠에 의해서 참된 무한소 미적분으로 체계화됐다. 뉴턴은 그를 표절자로 여겼지만, 현재는 그도 독립적인 미적분의 발명자라는 것이 밝혀졌다. 그는 무한소를 다루는 규칙들을 명확하게 정리했고 2계도 이상의 미분을 가능하도록 해줬으며 곱의 미분법과 연계법칙을 미분 적분 형태로 모두 만들었다.
앞에서 말했듯이 뉴턴과 라이프니츠는 모두 미적분의 발명가로 인정받고 있다. 하지만 둘의 미적분의 성격은 다르다. 뉴턴은 미적분을 물리학에서 활용한 첫 번째 사람으로, 라이프니츠는 오늘날 사용하는 미적분 표기법의 대부분을 만든 사람으로 여겨진다. 또 라이프니츠는 뉴턴과는 달리 형식을 중시해서 알맞은 표현법을 만들어내는데 며칠을 쓰는 일도 종종 있었다고 한다. 두 사람의 미적분에서 규정한 기본적인 사항들로는 미분과 적분의 법칙들, 2계도 이상에서의 미분, 다항 함수 급수의 근사에 대한 개념들이 있다. 그런데 이 시대에 미적분학의 기본정리들은 이미 알려져 있었다.
라이프니츠가 그의 결과를 발표하고 뉴턴이 그의 아이디어에 대해서 권리를 주장하자 수학자들 사이에서는 어떤 사람을 미적분학의 발명가로 인정을 해야 하느냐는 주제로 큰 논란이 일었다. 뉴턴이 최초로 결과를 이끌어 낸 사람이지만 출판을 한 것은 라이프니츠가 처음이었기 때문이다. 뉴턴은 라이프니츠가 자신이 출판하지 않고 왕립학회에서 공유한 노트들에서 아이디어를 훔쳤다고 주장했다. 이 논란 때문에 영국 수학자들과 유럽 대륙의 수학자들이 오랫동안 갈라지게 되고 이는 영국 수학에 큰 손실을 초래했다. 현재는 뉴턴과 라이프니츠의 논문에 대한 면밀한 조사 덕분에 그들이 독립적으로 결론을 이끌어 냈다는 것이 밝혀졌다. 라이프니츠는 적분에서부터 뉴턴은 미분에서부터 시작해서 결과를 도출해냈다.
이 시대 이후에 수많은 수학자들이 미적분학 발전에 크게 공헌했다. 첫 번째로 가장 성공적이었던 업적 중 하나로 마리아 아녜시가 1748년에 쓴 무한과 유한 분석이 있다.

기초

미적분학에서 기초(foundations)는 정확하고 엄밀한 공리와 정의들의 발전을 말한다. 초기 미적분학에서 사용한 무한소는 엄밀하지 않은 것으로 생각되었기에 많은 작가들에게 특히 미셸 롤과 조지 버클리(George Berkeley)에게 맹렬하게 비난 받았다. 버클리는 그가 1734년에 출판한 《해석학자》(영어: The Analyst)라는 책에서 무한소를 ‘사라진 값들의 유령’(영어: the Ghosts of departed quantities)이라고 묘사했다. 미적분학의 엄밀한 기초를 도출해내는 일은 그 세기 동안 뉴턴과 라이프니츠를 따르는 수학자들이 제공했고 오늘날까지도 연구활동이 있는 분야다.
콜린 매클로린(Colin Maclaurin)을 포함한 다수의 수학자들이 무한소의 사용이 정당하는 것을 증명하려고 시도했지만 그것은 150년이 지나서야 오귀스탱 루이 코시와 카를 바이어슈트라스에 의해서 증명됐고 무한소의 의미가 극히 작은 값이라는 관념을 막을 방법을 찾았다. 이것이 미분과 적분을 위한 기초를 놓았다. 코시의 필기에서 무한소의 형태로 적혀진 연속의 정의와 극한의 (ε-δ) 정의의 원형 등의 기초에 접근하기 위한 다양한 방법을 찾을 수 있다. 코시의 업적에서 바이어슈트라스는 극한의 정의를 공식화 시키고 무한소의 개념을 없애버린다. 바이어슈트라스의 작업에 따라서 미적분학은 무한소가 아닌 극한에 기초하는 것이 일반적이게 됐다. 베른하르트 리만은 바이어슈트라스의 개념을 사용해서 적분의 정확한 개념을 만들었다. 그리고 이 발견의 기간 동안 미적분학의 아이디어들은 유클리드 공간과 복소평면에서 일반화됐다.
현대 수학에서 미적분학의 기초는 미적분학의 정리에 대한 완전한 정의와 증명들을 포함하는 실해석 분야에 포함되어 있고 미적분학의 범위는 엄청나게 확대됐다. 앙리 르베그는 측도론을 만들어서 거의 모든Pathological function에서 적분을 가능하게 했다. 로랑 슈바르츠는 어떤 함수도 미분시킬 수 있는 분포 이론을 만들었다.
일반적으로 극한의 개념을 미적분학의 기초로 두지만 극한이 미적분학의 기초에 대한 유일한 접근법은 아니다. 에이브러햄 로빈슨(Abraham Robinson)의 비표준해석학이 대안책이다. 1960년대에 만들어진 로빈슨의 접근법은 뉴턴과 라이프니츠가 사용했던 개념인 무한소와 무한수로 실수체계를 늘린 체계를 사용한다. 그 결과로 나온 수를 초실수라고 부른다. 초실수는 미적분학의 일반적인 법칙들을 라이프니츠의 방식처럼 이끌어 낼 수 있다.

함수의 정의

함수 (x) 란 집합 안에 있는 원소 가 집합 에 있는 정확히 한 원소, 에 대응되는 규칙을 말한다. 여기서 집합 는 정의역이라하고 는 공역이라고 한다. 또한 정의역에 있는 임의의 수를 나타내는 기호를 독립변수, 공역에 있는 원소를 나타내는 기호를 종속변수라고 한다.

함수의 표현방법

함수를 표현하는 방법에는 말로 설명하는 방법, 표를 이용하는 방법, 그래프를 이용하는 방법, 대수학적 식으로 표현하는 방법 등이 있다.

극한의 정의

는 가 로 다가갈 때 가 로 다가간다는 것이다. 극한에는 좌극한과 우극한이 존재하는데 좌극한이란 가 보다 작은 곳에서 로 다가갈 때 가 다가가는 값을 의미하고 우극한은 반대로 가 보다 큰 곳에서 다가간다. 좌극한과 우극한은 기호로 각각 , 라고 표시한다. 극한값이 라는 것과 좌극한과 우극한 모두 라는 것은 필요충분조건이다.는 가 로 다가갈 때 는 무한히 커진다는 것이고 는 무한히 작아진다는 것이다.

균등연속(Uniform Continuity)

함수 f(x)가 모든 정의역에서 연속이면, 정의역의 모든점 에 대해서 ε-δ 논법에 의해 모든 ε>0에 대해 0<||<δ를 만족하는 x가 ||<ε가 되게하는 δ>0이 존재한다. 만약 모든 에 대해서 δ가 같다면, 즉, δ가 에 변화에 따르지 않고 오직 ε의 변화에만 따른다면, 이 함수 f(x)가 균등연속(Uniformly continuous)이라고 한다.

제거 가능한 불연속성

함수 f(x)가 에서 불연속이지만 를 적절히 정했을 때 연속이 될 수 있다면, 는 에서 제거 가능한 불연속성을 지닌다고 표현한다.
예를 들어 라면, 인 점에서 함숫값이 정의되지 않아 불연속이다. 그러나 로 극한값이 존재하므로 만약 로 함숫값을 정하면 불연속성이 제거될 수 있다. 따라서 함수 는 x=0인 점에서 제거 가능한 불연속성을 지닌다.

도함수

그래프 에서 점을 통과하는 접선은 기울기 를 가진다. 여기서 라고 하면 가 된다. 함수 의 도함수 란 를 의미한다. 도함수 표현법에는  등이 있다. 도함수를 한번 더 미분한 것을 이계도함수라고 한다. 이계도함수의 표현법에는  등이 있다.이계도함수를 또 한번 더 미분한 것을 삼차도함수라고 하고 이것은  등으로 표현한다. 를 번 미분한 것은  등으로 표현한다.

미분 가능성

함수 가 에서 미분 가능하다는 말은 가 존재한다는 것이다. 구간에서 미분가능하다는 말은 구간 내의 모든점에서 미분가능하다는 것이다. 함수 가 점 에서 미분 가능하다는 말은 에서 연속하다는 것이다. 미분 불가능한 경우에는 좌미분계수와 우미분계수값이 다르거나 불연속하거나 수직 접선을 가지고 있다는 것이다. 수직접선이란 일 때 에서 수직 접선을 가진다.

연쇄법칙

가 에서 미분가능하고 가 에서 미분가능하면 는 에서 미분가능하고 로 표현된다. 이것을 다른방식으로 표현하면 와 가 미분가능한 함수면 이다.

음함수 미분법

일반적으로 함수는 로 표현된다. 하지만  나 와 같이 표현되는 음함수도 존재한다. 이런 함수를 미분할 때는 이 함수를 형태로 바꿀 필요 없이 음함수 미분법을 사용하면 된다. 이 방법은 양변을 모두 에 대하여 미분을 한 뒤, 에 대한 방정식을 풀면 된다. 예를 들어 는 양변을 로 미분하면 가 돼서 가 된다.

역도함수(부정적분)

모든 에 대하여 일 때 함수 를 구간 에서의 의 역도함수(부정적분)라고 한다.
여기서 F가 f의 부정적분이면 일반적으로 F+C도 f의 부정적분이다. 여기서 C는 임의의 상수이다.

정적분

함수 f가 구간 [a,b]에서 정의된 연속함수 일 때, 구간 [a,b]를 동일한 n개의 폭 으로 분할하여, 이 n개의 부분구간들의 끝점들을
이라하자. 에 속하도록 표본점 을 잡자. 이 때 가 존재하면, 그 값을 a로부터 b까지의 f의 정적분이라고 하고, 함수 f는 구간 [a,b]에서 적분 가능하다고 한다. 이 때 표본점은 각구간의 끝점 또는 중점으로 잡는다.
일반적으로 함수f가 구간 [a,b]에서 유한개의 불연속점을 가지면 f가 구간[a,b]에서 적분 가능하다.

정적분의 성질

1. 
2.  (단, 는 임의의 실수)
3. 
4. 
5. 인 에 대해서 이면 이다.
6. 인 에 대해서 이면 이다.
7. 인 에 대해서 이면 이다.
8. 이면

치환 법칙

함수 가 미분 가능하고, 그 치역이 구간 I이며 함수 f가 구간 I에서 연속이면,
이다.
정적분에 대해 변형시키면,
함수 g'이 [a,b]에서 연속이고, 함수 f가 의 치역에서 연속이면,
이다.

넓이

[a,b]안의 모든 x에 대하여 f,g가 연속이고, ≥일 때, 곡선,와 직선 ,로 둘러싸인 영역의 넓이 A는
로 정의된다.

부피

S를 와 에 놓인 입체도형이라 하자. x를 지나고 x축에 수직인 평면 Pₓ에 있는 S의 절단면의 넓이가 A(x)이고, A가 연속이라면
S의 부피(V)는
이다.
회전체의 경우, 위의 방법으로는 부피를 구하기 어려운 경우가 많다. 회전체의 부피의 경우, 아래와 같은 방법을 이용한다.
곡선 와 및 로 둘러싸인 영역을 축을 둘레로 회전시킬때 생기는 회전체의 부피는 다음과 같다.

급수

급수(級數)란 수학에서 수열들의 각 항의 합을 의미한다. 즉, 급수란 여러 수들의 합연산으로 표현된다. 급수의 예로는 아래와 같은 등차수열의 합이 있다.
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 99 + 100
급수에 더해지는 각 항들이 어떤 공식이나 알고리즘에 의해 표현되는 경우도 있다. 난수들로 이루어진 급수도 생각할 수 있다.
급수는 유한 급수와 무한급수로 나눌 수 있다. 유한 급수의 경우 기초적인 대수학의 법칙들만 사용하여도 그 값을 구할 수 있다. 하지만 무한급수는 그 정확한 합을 구하기 위해서는 해석학의 여러 정리들이 필요하다. 예를 들어 등차수열들의 합으로 이루어진 급수의 경우, 다음과 같이 나타낼 수 있다.
등비수열의 합으로 이루어진 급수의 경우, 다음과 같이 나타낼 수 있다.

무한급수

무한급수는 위의 , 즉 급수의 부분합으로 이루어지는 수열의 극한값으로 생각한다. 이 무한대로 갈 때, 그 극한이 유한한 값을 갖는다면 이 급수가 수렴한다고 한다. 만약 이 값이 무한하거나 존재하지 않는다면, 이 급수는 발산한다고 한다.
무한급수의 수렴을 판정하는데는 비교판정법, 적분판정법, 일반항판정법, 멱근판정법, 비율판정법등이있다.

멱급수

주어진 수열 와 변수 에 대해서 
를 수열 a로부터 얻은 멱급수라고 부른다.
가 존재한다고 하자.
이때, 이 수열의 멱급수는 일 때 수렴한다.

테일러 급수

원점 을 포함하는 구간I에 대해서 정의된 n번 미분가능한 함수 f:I→R 에 대하여
의 차 근사 다항식이라하고,
를 차 테일러 나머지 항이라고 하자.
그리고 원점 근방에서 정의된 무한번 미분 가능한 함수 에 대하여 멱급수
를 의 테일러 급수라고 한다. 테일러 급수가 원래 함수에 수렴할 필요충분조건은

이다.