곡선좌표계

기하학에서, 곡선 좌표계는, 유클리드 공간에 대한 좌표 시스템의 하나로서, 좌표 라인들이 휘어질 수도 있다는 특징을 갖는다. 널리 사용되는 곡선 좌표계들로는, 직각, 구, 및 원통 좌표계들이 있다. 이들 곡선 좌표계에서의 좌표들은, 각 점에서의 국소적으로 가역적인(일대일 맵핑이 가능한) 변환을 통해, 데카르트 좌표들의 집합으로부터 얻어질 수 있다. 즉, 데카르트 좌표계에서 주어진 한 점의 좌표들은 곡선 좌표들로 변환될 수 있고 그 반대로도 변환될 수 있다.  (프랑스의 수학자 Lamé가 이름 붙인) 곡선 좌표계는 그것의 좌표 표면들이 휘어져 있다는 사실에서 유래되었다.
3차원 유클리드 공간 (R³)에서의 잘 알려진 곡선 좌표계의 예들로는, 데카르트, 원통, 및 구 극좌표계들이 있다. 이 공간에서, 데카르트 좌표 표면은 좌표 평면(coordinate plane)이다. 예를 들어, z = 0은 x-y 평면을 정의한다. 같은 공간에서, 구 극 좌표계에서, r = 1인 좌표 표면은 (휘어진 모양을 갖는) 단위 구의 표면이다. 곡선 좌표계의 정식화는 표준적인 좌표계들에 대한 통일적이면서 일반적인 설명을 제공한다.
곡선 좌표들은 종종 (예를 들어 스칼라, 벡터, 또는 텐서와 같은) 물리량들의 위치 또는 분포를 정의하는 데 사용된다. (그래디언트, 발산, 회전, 및 라플라시안과 같은) 벡터 계산 및 텐서 해석에서, 이러한 양들과 관련된 수학 표현들은, 스칼라, 벡터, 및 텐서에 대한 변환 규칙에 따라, 한 좌표계에서 다른 좌표계로 변환될 수 있다. 그러한 표현들은 어떠한 곡선 좌표계에 대해서도 유효해진다.
문제에 따라서는, 곡선 좌표계를 사용하는 것이 데카르트 좌표계를 사용하는 것보다 간단할 수 있다. 예를 들어, R³ 에서 정의되는 구 대칭성을 갖는 물리 문제(예 : 중심력 하에서의 입자의 운동)는 대부분 데카르트 좌표계에서보다 구형 극 좌표계에서 더 쉽게 풀린다. (그 경계 조건이 특정 곡선 좌표 시스템의 좌표 표면을 따라 주어지는) 방정식들은 그러한 곡선 좌표 시스템에서 보다 쉽게 풀린다. 예를 들어, 직사각형 상자 안에서의 입자의 운동은 직교 좌표계에서 기술하는 것이 편하고, 구 내부에서의 입자의 운동은 구 좌표계에서 기술하는 것이 선호된다.  구 좌표계는 지구 과학, 지도 제작, 물리학(특히 양자 역학, 상대성 이론), 및 공학과 같은 분야에서 가장 많이 사용되는 곡선 좌표계들 중의 하나이다.

곡선 좌표계에서의 벡터 및 텐서 대수

곡선 좌표계에서의 기초적인 벡터 및 텐서 대수는 역학 및 물리학의 오래된 과학 문헌들에서 사용되며, 1900년대 초반 및 중반부터의 작업(Green과 Zerna의 교과서)을 이해하는데 있어 필수적일 수 있다. 곡선 좌표계에서의 벡터들 및 2차 텐서들(second-order tensors)의 대수에 관한 몇몇 유용한 관계들이 이 절에서 논의된다.  표기법 및 내용은 주로 Ogden, Naghdi, Simmonds, Green and Zerna,  Basar 및 Weichert, 및 Ciarlet에 기초한다.

3차원 곡선 좌표계에서 벡터 및 텐서 계산

선, 면, 및 부피 적분을 계산에 있어서, 약간의 수정이 가해질 필요가 있다. 단순함을 위해, 아래의 논의는 3차원 및 직교하는 곡선 좌표계들로 제한한다. 하지만, 동일한 논거는 n차원의 공간들에 대해서도 적용될 수 있다.  좌표계가 직교하지 않을 경우, 표현들에는 몇몇 부가적인 항들이 나타난다.

Simmonds은, 그의 책 "tensor analysis"에서, 다음과 같은 아인슈타인의 말을 인용하였다.
"이 이론의 마법은, 이 이론을 진정으로 이해하고 있는 사람은 그 누구라도, 이 이론에 강요될 수 밖에 없다는 점에 있다. 그것은 가우스, 리만, 리찌, 및 레비치비타에 의해 발견된, 철저한 미분 기하학의 방법이 일궈낸 진정한 승리를 나타낸다." 
일반적인 곡선 좌표계에서 벡터 및 텐서 계산은, 일반 상대론에서의 4차원 곡면 다양체 상의 텐서 해석에, 휘어진 껍질들에서의 역학에, 메타물질에 대한 관심에서 맥스웰 방정식들의 불변성을 조사하는데에, 그리고 많은 다른 분야들에서 사용된다.
곡선 좌표계에서의 벡터들 및 2차 텐서들을 계산함에 있어서, 몇몇 유용한 관계들이 이 절에서 제시된다. 표기법 및 내용들은 주로 Ogden, Simmonds, Green 및 Zerna,  Basar 및 Weichert, 및 Ciarlet에 기초한다.
φ = φ(x) 는 잘-정의된 스칼라 장이고, v = v(x) 는 잘-정의된 벡터 장이고, λ₁, λ₂... 는 좌표들의 파라미터들이라고 하자.

일반적인 곡선 좌표계에서 겉보기 힘들

[그것에 작용하는 힘이 없는] 입자가 관성 좌표계(x₁, x₂, x₃, t)에서 표현된 위치를 갖는다면, 정의에 의해, 거기에서, 그 입자는 가속도를 갖지 않을 것이다(d²xⱼ/dt² = 0). 이런 맥락에서, 좌표계는, 비-직선적 시간축 또는 비-직선적 공간 축 (또는 둘 모두)에 의해서는, "관성적"일 수 없다. 다시 말해, 좌표들의 기저 벡터들은, 고정된 위치들에서 시간에 따라 변하거나, 고정된 시간들에서 위치에 따라 변하거나, 또는 둘 모두에 있어서, 변할 수 있다. 운동 방정식들이 어떤 비관성 좌표계에서 표현될 때에는, 크리스토펠 기호로 불리는, 여분의 항들이 나타난다. 엄밀히 말해, 이러한 항들은 (고전 역학에서) 절대 가속의 성분들을 나타내지만, 우리는 (마치 좌표들이 관성적인 것처럼) d²xⱼ/dt² 를 가속도로서 계속 간주하고, 여분의 항들을 (마치 그들이 힘들인 것처럼)(이러한 경우에, 이들은 겉보기 힘으로 불린다) 계속 취급할 수도 있다. (입자의 경로에 수직하면서 경로의 곡률의 평면 내에 있는) 그러한 겉보기 힘의 성분들은 원심력이라 불린다.
보다 일반적인 이러한 상황은 (회전하는 좌표계에서의 그리고 정지한 곡선 좌표계에서의) 원심력에 대한 개념들 사이의 대응 관계를 명확하게 만들어 준다. (이들 개념들 모두 문헌들에 종종 나타난다.) 단순한 예로, 각속력 W로 회전하는 극 좌표계에 대해, 반경 r의 원 상에서 각속력 w로 움직이는 질량 m인 물체를 고려해보자. 반경 방향에서의 운동 방정식은 mr” = Fᵣ + mr(w + W)²이다.  따라서, 원심력은 mr 과 입자의 절대 회전 속력(A = w + W )의 제곱의 곱이다.  만일, 입자의 속력으로 회전하는 좌표계를 선택한다면,  W = A 이고 w = 0으로, 이 경우, 원심력은 mrA²이다. 반면, 정지한 좌표계를 선택한다면, W = 0 이고 w = A으로, 이 경우, 원심력은 다시 mrA²이다.  결과 값들에서의 이러한 동일성의 이유는, 두 경우 모두에서, 입자의 위치에서의 기저 벡터들이 정확하게 동일한 방식으로 시간에 따라 변하기 때문이다. 따라서, 이들은, 실제로는, 정확하게 동일한 것을 기술하는 두 다른 방법들일 뿐이다. 하나는 회전하는 좌표계를 통한 기술이고, 다른 하나는 정지한 곡선 좌표계를 통한 기술로서, 이 둘 모두는 그 항의 보다 추상적인 의미에 따라 비관성적이다.
일반적인 운동을 기술할 때, 입자에 작용하는 실제 힘들은 종종 운동 경로에 접하는 순간적인 접촉 원을 참조하게 되며, 통상적인 경우에서 이러한 원은 고정된 위치에 중심을 갖지 않으며, 따라서, 원심 및 코리올리 성분들로의 분해는 계속해서 변하게 된다. 이는 그러한 운동이 정지 또는 회전 좌표계를 통해 기술되는가에 상관없이 항상 유효하다.