감쇠장

감쇠장(減衰場, 영어: evanescent field) 또는 소산장(消散場)이란 전자파(빛),가 특정한 조건 하에서 금속 같은 반사성이 있는 매질 내부에서 야기하는 전자장의 변동을 말한다. 감쇠장에서 방출(반사)되는 전자파인 소멸파(消滅波, 영어: evanescent wave)는 지수함수적으로 세기가 감소하는 전자기파로 근접장파의 일종이다.

도체 속에서의 전자기파

일반적으로 도체 내에서는 전하의 움직임을 조절할 수 없고, 또한 이다. 옴의 법칙에 따르면, 이다. 따라서 맥스웰 방정식은 다음과 같이 정리된다.

이 때, 자유전하에 대한 연속방정식은 다음을 만족한다.

따라서 이를 만족하는 해는 다음과 같이 지수함수적으로 감소하는 형태의 자유전하를 보인다.

이 때, 고유시간 는 초기 자유전하가 흩어지는데 소모되는 characteristic time으로, 완벽한 도체에서는 이므로 이다. 따라서 우리는 도체의 자유전하를 0으로 둘 수 있고, 맥스웰 방정식은 다음과 같이 고쳐진다.

이를 정리하면 다음과 같이 전기장과 자기장에 대한 미분방정식을 각각 얻을 수 있다.
이 미분방정식을 만족하는 해는 다음과 같다.

이 때, 이므로, 는 복소수이고, 라고 할 때,

로 정리된다. 따라서 전자기장의 편광과 위상, 실수 부분을 고려하여 실질적인 전자기장은 다음과 같이 나타난다.

이 때, 지수함수적으로(e^{-\kappa z}) 감쇠하는 부분에 의해 이는 소멸파로 분류되는 현상 중 하나이다.

소개

평면파가 소멸파라는 것은 평면파의 slowness vector의 성분 중 적어도 하나가 복소수라는 것이다. 이 복소수의 허수 부분은 공간상에서의 진폭 감쇠 효과를 낳는다.

소멸파에 대한 Christoffel equation

조화 평면파가 homogeneous, arbitrarily한 이방성 매질을 통과한다고 가정하자. 이 때, 평면파는 다음과 같이 표현된다.
(이 때, \vec{u}는 변위벡터, \vec{U}는 단위 편광 벡터, 는 각속도 \vec{m}은 slowness 벡터이다. 그리고 우리가 알고 있듯이 일반적으로 \vec{k}=\omega\vec{m}이다.)

이제 slowness 벡터의 성분 중 적어도 하나가 복소수라고 가정하자.

이 평면파는 파동 방정식을 만족해야 하므로 다음의 식이 유도된다.
(일반적으로 은 christoffel matrix라고 물리우며, 로 쓰인다. 여기서 는 Kronecker symbol이다.)

소멸파의 조건에 의해서 slowness 벡터와 변위 벡터는 일반적으로 모두 복소수이다. 따라서 위 식의 좌변은 실수부와 허수부로 나뉠 수 있고, 이는 에 대한 coupled equation을 준다.
지금 우리는 non-attenuative, 즉 purely elastic model에 대해 다루고 있다고 할 때, 매질이 elastic하고, isotropic 하다면 slowness 벡터의 실수부와 허수부가 서로에 대해 수직하다. 게다가 purely isotropic tensor 는 방정식을 다음의 두 관계식으로 나타내준다.
(이 때, V는 P- 또는 S- wave의 속도이고, 에 의해 결정되는 진폭의 감쇠 방향과 에 의해 결정되는 파동의 진행방향이 서로 수직하다.
의 크기는 소멸파의 frequency-normalized 진폭 감쇠 요인을 나타내고, 소멸파의 속도()는 의 증가에 의해 매질의 속도 V부터 0까지 감소하게 된다.
이 때, 소멸파는 [, ] plane으로 진행하며,  방향으로 감쇠한다고 가정하자. 또한 매질은 수직축에 대해 transversely isotropic하므로, VTI 모델은 azimuthally isotropic하며, 모든 수직 평면은 동일하므로 slowness 벡터를 좌표평면 [ , ]에서 다루기에 충분하다. 따라서  이다.

따라서 평면파는 다음과 같이 표현된다.

그리고 VTI 모델의 stiffness tensor와 위의 단순화된 slowness 벡터를 에 대입하면, 다음의 세가지 식을 얻는다.

여기서 SH-wave는 두 번째 식으로부터 유도되는 소멸파이고, P-wave와 SV-wave는 각각 첫 번째, 세 번째 식에서 유도되는 소멸파이다.

SH-wave에 대한 정확한 해

SH-wave의 편광 벡터는 파동의 진행 평면인 [, ]에 수직하고, slowness 벡터의 수평성분과 수직성분은 위에 주어진 두 번째 식에 의해 연관되어 있다.

이 때, slowness 벡터의 수평성분은 다음과 같이 표현할 수 있다.
(여기서 는 Thomsen anisotropy parameter이며, 이고, 는 shear-wave vertical velocity로 이다. 또한 는 homogeneous SH-wave의 수평 속도이다.)

등방성 매질에 대해서 SH-소멸파의 속도는  보다 만큼 작았다. 일반적으로 는 0보다 크기 때문에 이는 주어진  값에 대해 값을 증가시킨다. 따라서 진폭 감쇠 요인을 증가시킨다.

P-wave와 SV-wave의 정확한 해

P-wave와 SV-wave는 각각
에 의해서 유도되는 소멸파인데, 이 두 방정식은 실수 변위 벡터 에 대해 일반적으로 동시에 풀 수 없다. 이는 물리학적으로 수직축과 수평축의 편광 성분 사이의 위상 변화가 발생하고, 소멸파의 편광이 비선형적이라는 것을 의미한다.
등방성 매질에 대한 문제에서는 이 위상 변화가 90도임을 보였는데, 이방성 매질에 대해서도 이를 적용하고 단순화를 위해 를 각각 실수, 허수로 정하였다.
(단, 위의 두 식에선 편광 성분들 사이의 비율만이 주어져 있기 때문에 는 언제든지 complex로 정할 수 있다.)
만일 이 실수이고, 라고 하면, 위의 두 식은 다음과 같이 정리된다.

위 방정식에 대해서 non-trivial한 해를 얻기 위해서는 과 에 대한 선형 방정식의 판별식이 0이 되어야 하므로,

P-wave에 대한 약한 이방성 근사

과 에 대한 정확한 표현은 간단하지 않다.하지만 P-wave에서 이 보다 약간 작은 것을 도입하면 다음과 같이 표현할 수 있다.
(단, )

만일 이라면 이므로,
은 가 증가함에 따라 단조증가 하게 되고, 이는 소멸파의 진폭이 수직 방향에 대해서 더 빠르게 감쇠한다는 것을 의미한다.
만일 과 가 과 항에 대해 큰 변화를 주고, 항이 순수하게 이방성을 띤다면, 식은 다음과 같이 정리할 수 있다.
의 값이 작은 소멸파에 대해선 (즉 작은 진폭 감쇠에 대해) 위 식의 이방성 성분이 주로 에 의해서 조정된다.
일반적인 TI 모델은 인 성질을 갖고 있으므로, 이방성 부분은 주어진 에 대해 를 줄이게 된다. 이는 주어진 수평 slowness vector인 에 대해서 이방성 성분이 을 증가시키는 것을 뜻하므로 진폭의 감쇠가 일어난다.

SV-wave에 대한 약한 이방성 근사

P-wave와 마찬가지의 과정에 따라 SV-wave에 대한 방정식은 다음과 같이 정리된다.

그리고  이므로,

이방성은 homogeneous SV-wave의 수평 속도를 변화시키지 않으므로, 수평속도는 수직속도 와 같다.
일반적으로  는 0보다 크기 때문에 이는 를 줄이기 때문에, 고정된  에 대해서 진폭 감쇠 효과가 일어난다.