관수로

관수로(管水路)란 수로 내의 액체가 공기와 맞닿는 면이 없는, 즉 자유 수면이 없는 수로를 말한다. 쉽게 말하면 폐쇄된 관이 꽉 차 있으면 관수로라고 한다. 반대되는 개념은 개수로이다. 관수로의 흐름은 압력차에 의해 발생된다. 정상류이면서 비압축성이라 가정할 때, 실제 유체에서는 점성이 존재하기 때문에 관벽에서 점성에 의한 마찰력이 발생하고, 수두 손실이 생기게 된다. 따라서 관수로에서의 유체의 흐름 형상은 관 단면의 어떤 지점인지에 상관없이 일정한 것이 아니라, 위치에 따라 형상이 변하게 된다.
흐름 형상이 포물선인 경우를 층류, 흐름 형상이 가장자리는 층류 저층(laminar sublayer)이 존재하고, 층류 저층 사이는 평활화된 경우를 난류라고 한다. 이때 층류 저층은 아주 미소한 구간에서 나타나게 된다. 난류의 두 층류 저층 사이 평활화된
구간은 난류 핵(turbulence core)라고 한다.
두 가지 흐름 형상을 구분하는 지표로 레이놀즈 수(Re)를 사용한다. 원형 관의 경우 레이놀즈 수가 2100 이하이면 층류, 2900에서 4000 사이이면 천이 영역, 4000 이상이면 난류라고 한다. 명확한 구분은 없어서 어떤 경우는 2000에서 4000 사이를 천이 영역으로 보기도 한다.
층류와 난류 모두 관벽에서는 유속이 0이다. 이것을 비활조건(no-slip condition)이라고 한다. 층류와 난류를 구분하는 또다른 방법은 흐름에 교란을 주는 것이다. 교란을 주었을 때 흐름이 점성에 의해 감쇠된다면 층류, 증폭된다면 난류로 구분한다.

관수로 내 흐름 변화

어떤 넓은 수조에서 관수로로 흘러 들어가는 물에 대해 생각해보자. 관수로 입구에서는 흐름 형상이 유속이 모두 일정한 모습을 띌 것이다. 그러다가 관벽과의 마찰, 즉 점성에 의해 관과 접한 부분은 유속이 0이 되고 관벽의 영향을 받지 않는 중앙부의 평활화된 부분은 점성의 영향을 받지 않아 흐름이 가속화될 것이다. 그리고 점점 하류로 갈수록 흐름 형상에서 인접한 층의 속도가 감소되기 시작할 것이다.
최종적으로 관벽의 영향을 받지 않는 부분, 즉 핵(core) 부분은 사라지고 점성에 의해 영향을 받던 가장자리 부분이 만나게 되는데, 이 상태를 완전히 발달된 흐름(fully developed flow)이라고 한다. 관수로의 입구에서부터 완전 발달 흐름이 생기기까지의 거리를 발달 거리(entrance length)라고 한다. 발달 거리 이후에는 유속 분포가 변하지 않고, 벽에서의 전단력도 일정하며, 층류이건 난류이건 상관 없이 선형적인 압력 손실이 발생한다. 발달 거리는 층류, 난류에 상관 없이 레이놀즈 수(Re), 관수로의 직경에 대한 함수로 나타난다. 그러나 두 식이 동일하게 나타나는 것은 아니다.

Nikuradse의 손실 계수 실험

관수로에서 Darcy-Weisbach 공식을 적용하기 위해선 마찰 계수 f를 알아야 하는데, f는 레이놀즈 수(Re)와 상대 조도의 함수이므로, 결국 관수로에서 손실 수두를 알기 위해선 흐름 특성과 관의 제원을 알아야 하는 문제가 있다. Nikuradse는 실험을 통해 이들의 관계를 알아내고자 했다. 우측의 그래프로부터, 분홍색 직선은 층류의 경우를 나타낸 것이다. 층류는 관의 조도에 상관 없이 레이놀즈 수(Re)에만 반비례한다.
레이놀즈 수가 층류일 때보다 더 커지면 흐름은 천이 영역과 난류 흐름으로 변하게 된다. 상대 조도가 작은 경우에는 큰 레이놀즈 수 영역까지, 상대 조도가 큰 경우에는 그보다 작은 레이놀즈 수 영역까지 천이 영역이 나타난다. 천이 영역에서는 마찰 계수가 레이놀즈 수와 상대 조도 모두의 영향을 받는다. 레이놀즈 수가 더 커져서 천이 영역을 벗어나 난류 영역으로 가면, 마찰 계수 f는 레이놀즈 수와 관계없고 상대 조도에 의해서만 변하는 것을 확인할 수 있다.(그래프 상에서 우측 부분. Re가 커지더라도 마찰 계수 f가 일정하게 되어 수평 구간이 나타난다) 이 구간을 완전 난류 영역이라고 한다.
한편 매끈한 관(smooth pipe)에서는 상대 조도와 관계 없이 마찰 계수 f가 레이놀즈 수만의 함수로 나타난다.
Nikuradse 실험의 한계는 공장에서 생산되는 관의 조도가 실험실에서 인공적으로 관에 모래를 뿌려 만든 조도와는 다르기 때문에 실제 상황에 적용하기는 힘들다는 점이다.

Moody 선도

인공적으로 조성한 조도를 가지고 실험한 Nikuradse 실험보다 실제의 관에 사용할 수 있도록 만든 도표가 Moody가 제시한 Moody 선도(Moody diagram or Moody chart)이다. Moody 선도는 상업용 관에 널리 사용되고 있는 식인 Colebrook의 경험식을 반복 계산을 통해 이용하기 어렵기 때문에 편의를 위해 도표화한 것이다.

유속 분포

실험에 따르면 관벽 근처에서만 적용하던 (6)번 식은 관 중심에서도 유효하다. 따라서
매끈한 관에서는 점성의 작용이 탁월하여 무차원량 를 이용하여 식을 변형할 수 있다.
실험에 의하면 우변의 첫번째, 두번째 항의 값은 5.5이다.
이 식은 완전 난류 영역에서는 잘 맞으나, 가 작은 영역에서는 실험 결과와 잘 맞지 않는다. 이는 벽면 근처에서는 점성이 지배적이어서 층류 상태가 되므로(층류 저층) (6)번 식이 성립하지 않기 때문이다. 이때는 뉴턴의 점성 법칙을 이용해 식을 다시 만들어주어야 한다. 층류 저층에서의 유속 분포는 이므로 다음 식으로 나타난다.

관수로의 평균 유속 경험식

Darcy-Weisbach 공식에서 손실수두 hL과 마찰계수 f를 알면 평균 유속 V를 구할 수 있으나, f가 주어지지 않으면 시행착오법을 통해 구할 수밖에 없는 번거로움이 있다. 따라서 좀더 간편하고 실용적인 방법으로 평균유속을 구하는 방법이 생겼다. Manning 공식, Chezy 공식, Hazen-Williams 공식은 모두 경험식으로, 평균유속을 구하는 간편한 방법들이다.

Chezy 공식

개수로, 관수로에 사용.  여기서 C는 평균 유속 계수이며, 다음 식과 같다.  (g는 중력가속도, f는 마찰 손실 계수이다)

관수로의 종류

관수로는 관로의 연결 상태에 따라 단일 관수로, 병렬 관수로, 다지 관수로로 분류한다. 단일 관수로는 두 개의 수조나 저수지를 관 하나가 연결한 것을 말한다. 병렬 관수로(parallel pipe line)는 두 개의 수조나 저수지를 중간에 두개로 분기했다가 합쳐지는 관, 혹은 아예 두 개의 관으로 연결하는 경우를 말한다. 다지 관수로(branching pipe line)는 여러 개의 관이 서로 다른 수조나 저수지에 연결된 경우를 말한다.

단일관수로

단일관수로에는 등단면 관수로, 부등단면 관수로, 사이펀이 있다.