게임 이론

역사

갈등과 대립의 전략적 측면을 연구했던 인물로 1921년 보렐 연구가 있지만, 그 이론적인 기초는 폰 노이만(John von Neumann)에 의해 달성되었다. 노이만은 1928년에 논문 등의 이론 구축을 시도했지만, 이 시점에서의 이론은 아직 수학적으로도 난해하고, 용도도 이해하기 어려운 것이었다. 그러나 오스카 모르겐슈테른
(Oskar Morgenstern)이 게임 이론의 중요성을 간파하고 공동으로 연구를 진행하여, 《게임 이론과 경제 행동》(Theory of Games and Economic Behavior, 1944)을 노이만과 공동으로 발표했다. 이 연구는 노이만이 이론적인 부분의 대부분을 담당하고, 경제 분석의 대부분은 모르겐슈테른이 담당했다고 한다. 이 연구는 경제 상황에서 분쟁 상태에 있는 여러 주체와 이해 관계, 불완전한 정보, 합리적인 결정은 우연히 같은 요소의 존재에 대한 분석에서 시작되어 실제 정세는 이론적으로 확립할 수 있는 게임 모델이 되었다. 동시에 이 연구에서 노이만에 의해 미니맥스 원리(미니맥스 법)가 증명된 것으로 게임 이론은 응용 수학 영역으로 명확히 자리를 잡았다. 이 게임 이론이 처음 적용된 전쟁은 제2차 세계 대전이었다. 노이만에게 배운 존 츄키는 게임 이론에 확률론을 도입하여 최소의 손실로 수행할 수 있는 전략 폭격 계획을 미군에 조언했다.
그 후 이 이론은 1950년대 많은 학자들에 의해 광범위하게 연구되었으며, 1970년대에는 자연선택에 의한 종의 진화를 포함한 동물의 행동연구에 적용되었다. 이제 게임이론은 다양한 분야에서 중요한 연구 도구로 널리 인식되고 있다. 8명의 게임이론학자들이 노벨 경제학상을 수상했으며, 존 메이나드 스미스(John Maynard Smith)는 생물학에 게임이론을 적용해 Crafoord Prize을 수상했다.
이 이론은 한 개인의 전략적 상황(자신의 의사결정에 의한 성공이 다른 사람의 선택에 의존적인 상황)에서의 행동을 수학적으로 설명하고자 한다. 처음에는 제로섬 게임(zero sum game, 한 개인이 다른 사람의 이익을 빼앗는 상황)에서의 경쟁을 분석하기 위해 개발되었으나, 지금은 다양한 조건의 광범위한 상호 작용을 다룰 수 있도록 확장되었다. 오늘날 게임이론은 사회과학의 이성적인 부분을 다루는 마치 우산처럼 드리워진 통합된 이론으로 사회라는 것을 더 확장하여 인간뿐 아니라 컴퓨터, 동식물의 상호작용(interaction)까지 포괄하고 있다.
전통적인 게임이론의 응용은 게임에서의 균형점(각 개체들이 자신의 행동을 바꾸지 않는 전략들의 집합)을 찾는 것이다. 이러한 아이디어를 바탕으로 많은 균형개념들이 개발되었다. 이 중 내시 균형(Nash equilibrium)이 가장 유명하다. 이런 균형개념은 중복되거나 비슷하기도 하지만, 적용되는 분야에 따라 상이하게 발전되어 왔다. 이런 방법론은 비판도 없지 않고, 특정 균형개념의 적절성이나 전체 균형개념들의 적절성, 더 일반적으로는 수학 모델들의 유용성에 대한 토론이 아직도 이어지고 있다.

게임의 형태

게임이론에서 연구하는 게임들은 잘 정의된 수학적 객체들이다. 하나의 게임은 몇 명의 참가자(행위자, actor)와 이런 참가자들이 할 수 있는 행동들(전략, strategy), 그리고 전략들의 조합에 따라 받게 되는 참가자들의 보상(payoff)으로 구성된다. 대부분의 협조적 게임들은 특성함수형(characteristic function form)으로 표현되는 반면, 전개형(extensive form)과 일반형(normal form)은 비협조적인 게임을 정의하는 데 사용된다.

전개형

전개형은 순서가 있는 게임을 정형화하는 데 사용된다. 이런 게임들은 종종 옆의 그림처럼 (거꾸로 된) 나무 모양으로 표현된다. 여기서 각 점(노드)는 한 참여자의 선택의 지점을 나타낸다. 각 참여자는 점 위에 표시된 숫자로 구분된다. 점에서 뻗어나오는 선들은 점에 있는 참여자가 할 수 있는 행동들을 나타낸다. 보상은 나무의 아래쪽에 표시된다.
이 그림의 게임에서는 두 명의 참여자가 있다. 참여자1이 먼저 움직일 수 있고, F와 U 중에 한 가지를 선택할 수 있다. 참여자2는 참여자1의 행동을 보고 A와 R 중에 하나를 선택할 수 있다. 참여자1이 U를 선택하고, 참여자2가 A를 선택한다면 참여자1은 8점을 얻고, 참여자2는 2점을 얻는다는 표시이다.
이러한 전개형태는 불충분한 정보를 가진 게임이나 동시에 움직이는 게임에도 적용할 수 있다. 이를 위해 점선을 서로 다른 점(노드)를 연결하여 같은 정보( 게임 참여자들은 서로 어느 점에 있는지 알지 못하는)에서 게임하는 것을 뜻한다 (아니면 폐곡선으로 둘러 그린다.)

특성함수형

이전 가능한 효용이 있는 협조적 게임에서는 각 개인들에게는 어떤 보상도 주어지지 않는다. 대신 특성함수가 각 연합의 보상을 결정하게 된다. 기본 가정은 빈 연합은 0의 보상을 얻는다는 것이다.
이 형태의 기원은 협력적 일반형 게임을 연구했던 폰 노이만(von Neumann)과 모르겐스턴(Morgenstern)의 책에 나오는데, 어떤 연합 C가 형성되면, 마치 2개의 참가자가 있는 게임처럼 연합가 보완적인 연합()에 대항해 행동한다고 가정했다. 이때 연합 의 균형 보수는 어떤 특성을 갖는다(characteristic). 지금은 모든 특성함수형 게임들을 일반형 게임으로부터 파생할 수 있다.
이를 식으로 표현하면 특성 기능 형태 게임은 짝 로 주어지고 여기서 은 게임참여자들의 집합과 를 특성기능으로 가진다. 특성 기능 형태는 이전 가능한 효용의 추정 없이도 게임을 일반화 시킬 수 있다.

분할함수형

특성함수형은 연합 형성에서의 외형영향을 무시한다. 분할함수형에서는 연합의 보수가 연합의 구성원에 의해 결정될 뿐만 아니라 참가자들의 나머지들이 분할되는 방식에도 영향을 받게 된다.

협조적 게임과 비협조적 게임

만약 게임 참여자들이 구속력 있는 약속을 맺을 수 있다면 그 게임을 협조적이라 한다. 예를 들어 법적 규제가 참여자들이 반드시 약속을 지키도록 요구하는 경우다. 비협조적 게임에서는 이것이 가능하지 않다.
협조적 게임에서는 종종 참여자 간의 의사소통이 허용된다. 그러나 비협조적 게임에서는 허용되지 않는다.

동시적 게임과 순차적 게임

동시적 게임(Simultaneous Game)은 참가자들이 동시에 행동하거나, 동시에 시행하지 않더라도 후자가 전자의 선택을 모르고 행동하는 것이다. 반대로, 순차적 게임(Sequential Game)에서는 후자가 전자의 선택에 대한 정보를 갖고서 선택하는데, 이 때 정보는 전자의 행동에 대한 완전 정보(Perfect information)가 아닐 수도 있다. 다시 말해 후자는 전자에 대한 조금의 정보를 갖고 있다. 예를 들어, 후자는 전자가 특정한 행동을 취했는 지에 대한 여부를 알 수는 있지만, 전자가 어떤 행동을 취했는지는 알 수 없다.