일반상대론의 수학적 공식화 개론

벡터

수학, 물리학, 및 공학에서 유클리드 벡터 (종종, 기하 또는 공간 벡터라고 부름 - 여기서는 단순히 벡터라고 함)는 크기 (또는 길이)와 방향을 모두 갖는 기하학적 대상이다.  벡터는 점 A를 점 B로 "옮기는"데 필요한 것이다. 라틴어 단어 벡터(vector)는 "운반하는 사람"을 의미한다.  벡터의 크기는 두 점 사이의 거리이며, 방향은 A에서 B 로의 변위의 방향을 나타낸다. (덧셈, 뺄셈, 곱셈, 및 부정과 같은) 실수에 대한 수많은 대수적 연산은 벡터에 대해서도 아주 비슷하며, 교환, 결합, 및 분배 법칙들과 같은 친숙한 대수적 법칙들을 준수한다.

텐서

텐서는 벡터의 개념을 추가 차원으로 확장시킨다. 스칼라(즉 방향이없는 단순 숫자)는 그래프에 점(즉, 0 차원 객체)으로 표시된다. 크기와 방향을 가진 벡터는 그래프에 선(즉, 1 차원 객체)으로 표시된다. 텐서 (tensor)는이 개념을 추가적인 차원으로 확장시킨다. 2 차원 텐서를 2 차 텐서라고 부른다.  이러한 2 차 텐서는, 평면 상에서 여러 방향으로 움직이는, 일련의 관련된 벡터들로 볼 수 있다.

차원

일반 상대성 이론에서는, 4차원 벡터 또는 4 벡터가 필요하다. 이러한 네 가지 차원들은 길이, 높이, 너비, 및 시간이다. 이 문서에서, "점(point)"은 위치와 시간을 모두 갖는 이벤트이다. 벡터와 마찬가지로, 상대론에서의 텐서는 4개의 차원을 필요로 한다.  그것의 한 예는 리만 곡률 텐서이다.

기울어진 축

기울어진 좌표계는 축들이 서로 직교할 필요는 없는 것으로, 즉, 축들은 직각이 아닌 각도들로 만난다. 앞서 기술된 좌표 변환을 사용할 때, 새로운 좌표계는, 이전 좌표계에 비해, 기울어진 축들을 갖는 것처럼 보일 것이다.

비텐서

비 센서 (nontensor)는 인덱스의 올림 및 내림에서 텐서처럼 동작하는 텐서-비슷한 양이지만, 좌표 변환을 통해 텐서처럼 변환하지는 않는다.  예를 들어, 좌표가 선형으로 변하지 않으면, 크리스토펠 기호들는 텐서 그 자체일 수는 없다.
일반 상대성 이론에서, 중력장의 에너지와 운동량은 에너지 - 운동량 텐서를 통해 기술될 수는 없다. 대신, 제한된 좌표 변환에 대해서만 텐서로 동작하는 대상들을 도입할 수 있다. 엄밀히 말하면, 그런 대상들은 전혀 텐서가 아니다. 그러한 가짜 텐서의 유명한 예로는 Landau-Lifshitz 슈도텐서가 있다.

곡선 좌표들 및 휘어진 시공간

곡선 좌표들은 축들 사이의 각도가 점마다 바뀔 수 있는 좌표들이다. 이 말은 (직선들의 그리드를 갖는 대신) 그리드가 곡률을 갖는다는 것을 의미한다.
이것의 좋은 예는 지구의 표면이다. 많은 지도들에서, 동서남북이 단순한 정사각형 그리드로서 묘사되지만, 이는 사실이 아니다. 대신, 남북으로 달리는 경도선들은 휘어져 있으며 북극에서 만나게 된다. 이는 지구가 편평하지 않고, 휘어져있기 때문이다.
일반 상대성 이론에서, 중력은 사차원의 우주 상에서 곡률 효과를 갖는다. 잡아늘려진 고무 판 상에, 그 판이 아래 쪽으로 휘어지도록, 무거운 물체를 놓는 것은 이에 대한 일반적인 유비이다.  이는 그 물체를 둘러싼 좌표계를 곡선화하며, 이는 우주 안의 물체가 그것이 들어있는 좌표계를 곡선화하는 것과 상당히 비슷하다. 휘어진 2차원 표면을 기술하는데 사용되는 3차원 대신, 4차원의 휘어진 좌표들이 사용되기 때문에, 여기에서의 수학은, 개념적으로, 지구 상에서 보다 훨씬 복잡하다.

공변 미분

공변 미분(covariant derivative)은 벡터 계산에서의 방향 도함수(directional derivative)의 일반화이다.  방향 도함수와 마찬가지로, 공변 미분은 (1) 점 P 에서 정의된 벡터 u (이를 따라 미분이 계산되는) 및 (2) 점 P 주변에서 정의된 벡터장 v 를, 그 입력으로 취하는 규칙으로, 그 출력은 그 점 P 에서의 벡터이다. 통상적인 방향 도함수와의 주된 차이는, 정확한 의미에서, 공변 미분은 그것이 어떤 좌표계에서 표현되는 방식에 독립적이어야 만 한다는 것이다.

평행 이동

공변 미분이 주어지면, 점 P 에서 시작하는 곡선 γ을 따라 P 에 위치한 벡터 v의 평행 이동을 정의할 수 있다. γ 의 각 점 x 에 대해,  x에서의 v의 평행 이동은 x의 함수일 것이며 v(x) 로 쓰여질 수 있다(여기서, v(0) = v).  함수 v는, 곡선 γ 를 따른 v(x) 의 공변 미분이 0이라는 요건에 의해, 결정된다. 이는, 상수 함수는 이에 대한 미분이 항상 0이라는 사실과, 유사하다.

크리스토펠 기호

공변 미분에 대한 방정식은 크리스토펠 기호를 통해 쓰여질 수 있다. 크리스토펠 기호는, 시공간이 레비치비타 연결을 갖는 휘어진 4차원의 로렌츠 다양체에 의해 표현되는, 아인슈타인의 일반상대성 이론에서 빈번하게 사용된다. 물질이 존재할 때 시공간의 기하를 결정하는, 아인슈타인 장 방정식들은 리찌 텐서를 포함한다. 리찌 텐서는, 크리스토펠 기호를 통해 표현될 수 있는, 리만 텐서로부터 얻어지기 때문에, 크리스토펠 기호에 대한 계산은 필수적이다. 일단 기하학적 구조가 결정되면, 입자들 및 광선들의 경로들은, 크리스토펠 기호들이 명시적으로 나타나는, 측지선 방정식들을 풂으로써 계산된다.

측지선

일반 상대론에서, 측지선은 "직선" 개념을 휘어진 시공간으로의 일반화시킨다.  중요한 것은, 모든 외부의 비중력적 힘들로부터 자유로운, 입자의 세계선은 특정한 유형의 측지선이라는 것이다. 즉, 자유롭게 움직이는 또는 자유 낙하하는 입자는 항상 측지선을 따라 움직인다.
일반 상대론에서, 중력은, 힘이 아니라, 휘어진 시공간 기하의 결과로서, 여기서 곡률의 소스는 (예를 들면 물질을 나타내는)스트레스-에너지 텐서이다. 따라서, 별 주위를 공전하는 행성의 경로는 그 별 주위의 휘어진 4차원 시공간 기하의 측지선이 3차원 공간 상으로의 투영이다.
어떤 점에서 한 곡선의 접선 벡터가 기저 점(base point)의 접선 벡터의 평행 이동과 같다면, 그 곡선은 측지선이다.

스트레스-에너지 텐서

스트레스-에너지 텐서 (가끔은, 스트레스-에너지-운동량 텐서 또는 에너지-운동량 텐서)는 시공간에서 에너지와 운동량의 밀도 및 다발(flux)를 기술하는, 그리고 뉴턴 물리학에서의 스트레스 텐서를 일반화시키는, 물리학에서의 텐서량이다.  이는 물질, 복사, 비중력적 힘장(non-gravitational force fields)의 특성이다.  질량 밀도가 뉴턴 중력 이론에서 그러한 장의 소스인 것처럼, 스트레스-에너지 텐서는 일반 상대론의 아인슈타인 장 방정식에서, 중력장의 소스이다.

슈바르츠쉴트 해 그리고 블랙홀

아인슈타인의 일반 상대론에서, 슈바르츠쉴트 메트릭(또는 슈바르츠쉴트 진공 또는 슈바르츠쉴트 해)는 구형 질량 바깥의 중력장을 기술하는 아인슈타인 장 방정식에 대한 해이다(이때, 그러한 질량 물질의 전하량 및 각 운동량 그리고 우주 상수 등은 모두 0이라고 가정됨).  이 해는 천천히 회전하는 천체들(예를 들면, 지구와 태양을 포함하는 수 많은 별들 및 행성들)을 근사적으로 기술하는데 있어서 유용하다. 이 해는 1916년에 칼 슈바르츠쉴트에 의해 최초로 발견되었다.
버코프의 정리에 따르면,  슈바르츠쉴트 메트릭은 아인슈타인 장 방정식의 가장 일반적인, 구 대칭적 진공 해이다.  슈바르츠쉴트 블랙홀 또는 정적인 블랙홀은 전하 및 각 운동량이 없는 블랙홀이다. 슈바르츠쉴트 블랙홀은 슈바르츠쉴트 메트릭에 의해 기술된다.  그 질량에서의 차이를 제외하면, 슈바르츠쉴트 블랙홀들은 서로 구별될 수 없다.