代数曲線

ユークリッド幾何学において

ユークリッド平面内の代数曲線とは、二元多項式方程式 p(x, y) = 0 の解を座標に持つ点全体からなる集合を言う。「y が x の函数として陽 (explicit) に定義される」ときの函数のグラフとして曲線が得られる場合と対照して、この方程式はしばしばこの曲線の陰伏方程式（あるいはこの方程式がこの曲線を陰 (implicit) に定義する）といわれる（陰函数の項も参照）。
そのような陰伏的に与えられた曲線に対して、最初の問題は曲線の形を決定して曲線を描くことである。これらの問題は、さまざまな x に対して容易に計算できない y については、函数のグラフとして陽に得られる場合と比べて容易ではない。定義方程式が多項式であるという事実は、曲線がこれら問題を解決する手助けとなるある種の構造的性質を持つということを意味する。
任意の代数曲線は、有限個の滑らかで単調な弧（これをこの曲線の枝あるいは分枝 (branches) と呼ぶ）を適当な点（分点、あるいは「特徴点」("remarkable point") と呼ぶ）で結んだものに一意的に分解することができる。ここに、「単調で滑らかな弧」とは x-軸内の開区間上で定義された単調かつ滑らかな函数のグラフとなるものである。どちらの方向についても、弧は非有界（無限弧 (infinite arc)）となってもよいし、端点を持ってもよい（端点は特異点（後述）でもよいし、何れかの座標軸に平行となってもよい）。
例えば、チルンハウスの三次曲線は、原点 (0,0) を端点に持つふたつの無限弧を持つ。原点はこの曲線上の唯一の特異点である。さらに二つ、原点を一方の端点に持ち、他方の端点は水平接線を持つ点とする有限弧があり、さらに後二つ、水平接線を持つ点を片方の端点とし、曲線上の唯一垂直接線を持つ点をともにもう片方の端点とする有限弧を持つ。他方、正弦曲線は明らかに代数曲線ではなく、無限個の単調弧を持つ。
代数曲線を描くためには、分点および分点での接線、無限弧となる枝と（もしあれば）その漸近線、およびそれら枝の分点での繋がり方などを知ることが重要である。変曲点も特徴点として考えるのは有効である。これらすべての情報を紙面に描き連ねたとき、曲線の形状はふつうはかなりはっきり見えてくるはずである。もし不足があるのならば、さらにいくつか曲線よく表す点および接線を描き加える。
特徴点およびその接線の計算法は後述。

直線との交点

曲線に対して、与えられた直線との交点を知ることはしばしば有効である。座標軸との交点や漸近線との交点は曲線を描くために利用できる。軸に平行な直線との交点を考えれば、曲線の各枝に少なくとも一点を求めることができる。効果的な求根アルゴリズムが利用できるならば、x-軸上の各画素を通り y-軸に平行な任意の直線との交点をプロットすることで曲線を描きだすことが可能になる。
曲線の定義多項式が次数 d ならば、任意の直線は高々 d 個の点において曲線を横切る。 ベズーの定理は、代数閉体（例えば複素数体）上の射影平面の点について調べる限りにおいて、重複度を込めて数えれば、この数がちょうど d 個であることを主張する。以下に述べる計算法はこの単純な場合においてこの定理を再び証明するものである。
多項式 p の定義する曲線と、直線 ax+by+c = 0 との交点を計算するために、直線の方程式を x に関して（a = 0 のときは y について）解く。それを p に代入すれば、一元方程式 q(y) = 0（直線を y について解いたときは q(x) = 0）を得て、その根は交点の座標の一つを与える。他の座標の値は直線の方程式から求められる。交点の重複度は、対応する根の重複度である。q の次数が p の次数より低いならば、無限遠点において交点が存在し、そのような無限遠点の重複度は次数の差 p − q で与えられる。

代数函数体

代数曲線の研究は既約代数曲線（より小さな曲線の合併として表すことができない曲線）の研究に還元される。双有理同値の違いを除いて、体 F 上の既約曲線全体の成す圏は F 上の一変数代数函数体全体の成す圏に圏同値である。そのような代数函数体は、F 上超越的な元 x を含む F の拡大体 K であって、x を不定元とする F 上の有理函数体 F(x) の有限次代数拡大となっているようなものである。
例えば、複素数体 C を考えると、その上に C-係数有理函数体 C(x) が定義できる。y² = x³ − x − 1 とすれば、体 C(x, y) は楕円函数体である。元 x は一意に決まるものではなく、例えばいま挙げた例を C(y) の拡大体と看做すことも可能である。この函数体に対応する代数曲線は、単純に y² = x³ − x − 1 を満たす点 (x, y) ∈ C² 全体の成す集合である。
F が代数閉体でない場合には、函数体を考える視点のほうが点の軌跡を考える視点よりも少しだけ一般である（これは例えば、点が一つも載っていない「曲線」なども考えるからである）。例えば、係数体 F が実数体 R であるとき、x² + y² = −1 は R(x) の代数拡大体を定義するが、対応する曲線は R² の部分集合と見れば点を持たない。方程式 x² + y² = −1 は、スキームの意味での R 上の既約代数曲線（R 上有限型の、整かつ分離的な一次元スキーム）を定義する。この意味において、F 上の既約代数曲線の全体（を双有理同値で割ったもの）と F 上の一変数代数函数体の全体との間の一対一対応は、一般に成立する。 
曲線としては同型でない二つの曲線が双有理同値となる（つまり同型な函数体を持つ）ことが起こり得る。この状況は非特異（つまり如何なる特異点も持たない）曲線を扱うときには簡単になる。すなわち、体上の二つの非特異射影曲線が同型となるための必要十分条件は、それらの函数体が同型となることである。
曾の定理は代数閉体上の代数曲線の函数体に関するものである。

複素曲線と実曲面

複素射影代数曲面が存在する n-次元複素射影空間 CPⁿ は、（複素次元は n だが）実多様体として位相次元 2n のコンパクト連結かつ向き付け可能な多様体である。複素代数曲線も同様に位相次元は 2、つまり曲面になる。 
この曲面の位相的種数（つまりハンドル体やドーナツ穴の数）は、代数曲線の幾何種数に等しく、代数的な意味で計算することができる。要するに、次数 d の非特異曲線の平面射影を考えるとき、常特異点（相異なる接線を持つ重複度 2 の特異点）しか持たないならば、その種数は (d − 1)(d − 2)/2 − k となる。ただし、k はそのような特異点の数とする。

コンパクトリーマン面

リーマン面とは複素一次元の連結な複素解析的多様体のことであり、これを連結な実二次元多様体と看做すことができる。リーマン面がコンパクトであるとは、それが位相空間としてコンパクトとなるときに言う。
C 上の非特異既約射影代数曲線の全体が（定数でない正則写像を射として）成す圏、コンパクトリーマン面の全体が（定数でない正則写像を射として）成す圏、C 上の一変数代数函数体の全体（が C を固定する体準同型を射として）成す圏の反対圏の三者の間には圏同値が存在する。これは、この三つの主題を研究するにあたって、そのうちの一つについて知ることはほかの二つにおいても同じであることを意味する。これにより、代数幾何学において複素解析的手法を用いたり、複素解析において代数幾何学的手法を用いたり、両方において体論的手法を用いたりすることができるようになる。これは代数幾何学におけるかなり広範なクラスの問題の持つ特徴である。

種数 1 より大きな曲線

1 より大きな種数を持つ曲線は有理曲線とも楕円曲線とも著しく異なる。有理数体上定義されたそのような曲線は、ファルティングスの定理により有理点を有限個しか持たず、またそのような曲線は双曲幾何構造を持つものと見ることができる。例として、超楕円曲線、クラインの四次曲線、フェルマー曲線 xⁿ + yⁿ = zⁿ (n ≥ 3) などが挙げられる。