可微分多様体

両立するアトラス

異なるアトラスが本質的に同じ多様体を生じることがある。円を2つの座標チャートによって写すことができるが、これらのチャートの定義域をわずかに変えると同じ多様体に対する異なるアトラスが得られる。これらの異なるアトラスはより大きいアトラスに統合することができる。そのような統合されたアトラスの変換関数が構成成分のアトラスの変換関数ほど滑らかでないということが起こり得る。Cᵏ アトラスを Cᵏ アトラスを構成するために統合できれば、両立できる (compatible) という。アトラスの両立可能性は同値関係である。ある同値類のすべてのアトラスを統合することによって極大アトラス (maximal atlas) を構成できる。各 Cᵏ アトラスはある一意的な極大 Cᵏ アトラスに属する。

構造層

多様体に Cᵏ 構造を与える別のアプローチを使うことが便利なことがある。ここで k は 1, 2, ..., ∞, あるいは実解析的多様体に対して ω, である。座標チャートを考える代わりに、多様体自身の上に定義された関数から始めることができる。M の構造層、Cᵏ と表記する、は、各開集合 U ⊂ M に対して連続関数 U →  R の代数 Cᵏ(U) を定義する関手の一種である。構造層 Cᵏ が n 次元 Cᵏ 級多様体の構造を M に与えるとは、任意の p ∈ M に対して、p の近傍 U と n 個の関数 x¹, ..., xⁿ ∈ Cᵏ(U) が存在して、写像 f = (x¹, ..., xⁿ): U → Rⁿ が Rⁿ の開集合の上への同相写像で、Cᵏ|U が Rⁿ 上の k 回連続微分可能な関数の層の引き戻しとなることをいう。
とくに、この後者の条件が意味するのは、V に対して任意の関数 h ∈ Cᵏ(V) は h(x) = H(x¹(x),...,xⁿ(x)), ただし H は f(V)（Rⁿ の開集合）上の k 回微分可能な関数、と一意的に書けるということである。したがって、層論的な視点は、可微分多様体上の関数は局所座標において Rⁿ 上の微分可能な関数として表現でき、a fortiori にこれは多様体上の微分構造を特徴づけるのに十分であるということである。

関数の微分

可微分多様体上の関数の微分を定義する様々な方法があるが、最も基本的なのは方向微分である。方向微分の定義は多様体がベクトルを定義する適切なアフィン構造を欠いているという事実によって複雑である。したがって方向微分はベクトルの代わりに多様体内の曲線を見る。

多様体間の写像の微分可能性

M と N を次元がそれぞれ m と n の可微分多様体とし、f を M から N への写像とする。可微分多様体は位相空間であるから f が連続であるとはどういう意味かを知っている。しかし k ≥ 1 に対して「f は Cᵏ(M, N) である」とはどういう意味であろうか？f がユークリッド空間の間の関数のときにはそれがどういう意味か知っているので、 f を M のチャートと N のチャートと合成してユークリッド空間から M へ行き N へ行きユークリッド空間へ行く写像を得ると、その写像が Cᵏ(Rᵐ, Rⁿ) であるということの意味を知っている。「f は Cᵏ(M, N) である」ということを f のチャートとのすべてのそのような合成が Cᵏ(Rᵐ, Rⁿ) であるいうことだと定義する。再びチェーンルールにより微分可能性のアイデアが M と N のアトラスのどのチャートが選ばれたかに依らないことが保証される。しかしながら、微分そのものの定義はより微妙である。M あるいは N がそれ自身既にユークリッド空間であれば、それをユークリッド空間に写すチャートは必要ない。

接束

ある点の接空間はその点におけるあらゆる方向微分からなり、多様体と同じ次元 n を持つ。その点に局所的な（非特異）座標 xₖ の集合に対して、座標微分  は一般にその接空間の基底を定義する。すべての点における接空間の集まりに多様体の構造を入れることができ、接束 (tangent bundle) と呼ばれ、次元は 2n である。接束は接ベクトルが住んでいるところで、それ自身可微分多様体である。ラグランジアンは接束上の関数である。接束を R （実数直線）から M への 1-jet の束として定義することもできる。
Uα × Rⁿ, ただし Uα は M のアトラスのチャートの1つを表す、に基づいたチャートからなる接束のアトラスを構成できる。これらの新しいチャートの各々はチャート Uα の接束である。このアトラスの変換関数はもとの多様体上の変換関数から定義され、もとの微分可能性のクラスを保つ。

余接束

ベクトル空間の双対空間はベクトル空間上の実数値線型写像の集合である。ある点での余接空間はその点での接空間の双対であり、余接束はすべての余接空間の集まりである。
接束と同様余接束は再び可微分多様体である。ハミルトニアンは余接束上のスカラーである。余接束の全空間はシンプレクティック多様体の構造を持つ。余接ベクトルを「余ベクトル」(covector) と呼ぶことがある。余接束を M から R への関数の 1-jet の束として定義することもできる。
余接空間の元を無限小の変位と考えることができる。f が微分可能な関数であれば、各点 p において余接ベクトル dfₚ を定義することができる。これは接ベクトル Xₚ を Xₚ に伴う f の微分に送る。しかしながら、すべての余ベクトル場がこのように表現できるわけではない。そのようにできるものを完全微分形と呼ぶ。与えられた局所座標 xᵏ の集合に対し、微分 dx k
p  は p における余接空間の基底を成す。

テンソル束

テンソル束は接束と余接束のすべてのテンソル積の直和である。テンソル束の各元はテンソル場であり、ベクトル場上、あるいは他のテンソル場上、多重線型作用素として作用することができる。
テンソル束は可微分多様体にはなれない、なぜならば無限次元だからである。しかしながらスカラー関数の環上の多元環ではある。各テンソルはどれだけの接因子と余接因子をそれが持っているかを示すその階数によって特徴づけられる。ときどきこれらの階数は共変および反変階数、それぞれ接階数と余接階数を表す、と呼ばれることがある。

枠束

枠（あるいはより正確には接枠 (tangent frame/接標構)）は特定の接空間の順序付き基底である。同様に、接枠は Rⁿ からこの接空間への線型同型写像である。動く接枠は定義域の各点での基底を与えるベクトル場の順序付きリストである。動く枠を枠束 F(M) 、M 上のすべての枠からなる集合からなる GL(n, R) 主束、の断面と見なすこともできる。M 上のテンソル場を F(M) 上の同変ベクトル値関数と見なすことができるので、枠束は有用である。

ジェット束

十分滑らかな多様体上様々な種類のジェット束を考えることができる。多様体の（1階の）接束は多様体の曲線を一次の接触なる同値関係で割った集合である。類似的に、k-階の接束は k-次の接触関係で割った曲線の集まりである。同様に、余接束は多様体上の関数の 1-jet の束であり、k-jet 束はそれらの k-jet の束である。ジェット束の一般的なアイデアのこれらおよび他の例は多様体上の微分作用素の研究において重要な役割を果たす。
枠の概念も高次ジェットの場合に一般化する。k 階の枠を Rⁿ から M への微分同相写像の k-jet と定義する。すべての k 階の枠の集まり Fᵏ(M) は M 上の主 Gᵏ 束である、ただし Gᵏ はk-jet の群である、すなわち原点を固定する Rⁿ の微分同相の k-jet からなる群である。GL(n, R) は自然に G¹, およびすべての k ≥ 2 に対する Gᵏ の部分群に同型であることに注意する。とくに、F²(M) の断面は M 上の接続の枠成分を与える。したがって、商束 F²(M)/ GL(n, R) は M 上の線型接続全体からなる束である。

外微分法

外微分法によって勾配、発散、回転作用素の一般化ができる。
各点における微分形式の束はその点における接空間上のすべての反対称多重線型写像からなる。それは自然に多様体の次元以下の各 n に対し n 形式に分割される。n 形式は n 変数の形式で、n 次の形式とも呼ばれる。1 形式は余接ベクトルであり、0 形式は単にスカラー関数である。一般に、n 形式は余接ランク n で接ランク 0 のテンソルである。しかしすべてのそのようなテンソルが形式であるわけではない。形式は反対称でなければならないからである。

位相多様体との関係

1, 2, 3次元のすべての位相多様体は（微分同相の違いを除いて）一意的な微分構造を持つ。したがって位相多様体と可微分多様体の概念は高次元でしか区別がない。各高次元で滑らかな構造を持たない位相多様体や複数の微分同相でない構造を持つ位相多様体が存在することが知られている。
滑らかにできない多様体の存在は Kervaire (1960) によって証明され、Kervaire多様体参照、後にドナルドソンの定理の文脈で説明された（ヒルベルトの第五問題と比較せよ）； 滑らかにできない多様体の良い例は E₈ 多様体である。
複数の両立不能な構造を持つ多様体の古典的な例はジョン・ミルナー (John Milnor) のエキゾチック 7 次元球面である。

分類

境界を持たないすべての第二可算 1 次元多様体は R（実数直線）と S（円周）の高々可算個のコピーの非交和に同相である。連結なのは R と S だけで、このうち S のみがコンパクトである。高次元では、分類理論は通常コンパクト連結多様体のみを考える。
2次元多様体の分類は、曲面を参照：とくにコンパクトで連結な向き付けられた2次元多様体は非負整数である種数によって分類される。
3次元多様体の分類は、原理的には、3次元多様体の幾何化と、モストウ (Mostow) の剛性定理や双曲群の同型問題に対するセラ (Sela) のアルゴリズムのような幾何化可能 3 次元多様体に対する様々な認知されている結果から従う。
n > 3 に対する n 次元多様体の分類はホモトピー同値の違いを除いてでさえ不可能なことが知られている。任意の有限表示群が与えられると、その群を基本群に持つ 4 次元閉多様体を構成できる。有限表示群の同型問題を決定するアルゴリズムは存在しないから、2つの4次元多様体が同じ基本群を持つかどうか決定するアルゴリズムは存在しない。前に書かれた構成が同相な4次元多様体のクラスになることとそれらの群が同型であることは同値であるから、4次元多様体の同相問題は決定不能である。さらに、自明群を認識することさえ決定不能であるから、多様体が自明な基本群を持つかどうか、すなわち単連結かどうかを決定することさえ一般には可能でない。
単連結4次元多様体は交叉形式とカービー・ジーベンマン不変量 (Kirby–Siebenmann invariant) を用いてフリードマン (Michael Freedman) によって同相の違いを除いて分類されている。滑らかな4次元多様体の理論は、R⁴ 上の異種微分構造が示しているように、はるかに複雑であることが知られている。
しかしながら、次元が 5 以上の単連結な滑らかな多様体に対しては状況は扱いやすくなる。このときはh-コボルディズム論を分類をホモトピー同値の違いを除いた分類に還元することに使え、手術理論が適用できる。これは Dennis Barden によって単連結5次元多様体の明示的な分類を提供するために実行されてきた。

（擬）リーマン多様体

リーマン多様体とは接空間に微分可能なような内積を入れた可微分多様体である。内積構造はリーマン計量と呼ばれる対称2階テンソルの形式で与えられる。この計量はベクトルと余ベクトルを相互変換するために、そして階数4のリーマン曲率テンソルを定義するために、使うことができる。リーマン多様体には、長さ、体積、角度の概念がある。任意の可微分多様体にはリーマン構造を与えることができる。
擬リーマン多様体はリーマン多様体の変種で、計量テンソルが（正定値とは対照的に）不定値符号を持つことも許したものである。符号 (3, 1) の擬リーマン多様体は一般相対論において重要である。すべての可微分多様体に擬リーマン構造を与えられるわけではない。位相幾何学的な制限があるのである。
フィンスラー多様体はリーマン多様体の一般化で、内積をベクトルノルムに置き換えたものである。長さは定義できるが、角度は定義できない。

シンプレクティック多様体

シンプレクティック多様体とは閉非退化2形式を伴った多様体である。この条件からシンプレクティック多様体の次元は偶数でなければならない。ハミルトン力学において相空間として生じる余接束は動機づけとなる例であるが、多くのコンパクト多様体もまたシンプレクティック構造を持つ。ユークリッド空間に埋め込まれたすべての向き付け可能な曲面はシンプレクティック構造、ユークリッド内積に誘導された各接空間上の符号付き面積形式、を持つ。すべてのリーマン面はそのような曲面の例であり、したがって、実多様体と考えてシンプレクティック多様体の例である。

リー群

リー群は C∞ 多様体であって群でもあり積と逆元を取る演算が多様体の写像として滑らかであるようなものである。これらの対象は対称性の記述において自然に生じる。

一般化

滑らかな写像と滑らかな多様体の圏は望まれる性質をいくらか欠いており、人々はこれを修正するために滑らかな多様体を一般化しようとしてきた。微分空間は "plot" と呼ばれるチャートの異なる概念を用いる。他の試みに Frölicher space や軌道体 (orbifold) がある。
修正可能集合 (rectifiable set) は区分的に滑らかあるいは求長可能な曲線の概念を高次元に一般化する。しかしながら、修正可能集合は一般の多様体にない。