微分法

微分法の歴史

接線の傾きを知るという意味で言えば、微分係数の概念は旧く古代ギリシアのエウクレイデス (c. 300 BC), アルキメデス (c. 287–212 BC), ペルガのアポロニウス (c. 262–190 BC) ら幾何学者たちには馴染みのものであった。またアルキメデスは無限小を用いる方法も導入しているが、それは微分や接線に関してではなくて主に面積や体積に対してである（アルキメデスの『方法論』の項を参照）。
変化率の研究に無限小を利用することは、インドの数学において恐らく紀元前500年くらい頃には見つけることができる。天文学者で数学者のアリヤバータ (476–550) は月の運行の研究に無限小を用いた。変化率の計算に無限小を用いる手法はバースカラ2世 (1114–1185) によって飛躍的に推し進められた。実際、ロルの定理などの微分法における重要な概念がその研究結果には含まれていると言われている。ペルシアの数学者シャラフ・アル゠ディン・アル゠ツシ (1135–1213) は三次多項式の微分係数を初めて求めて、微分法における重要な足跡を残した。その「方程式に関する研究論文」では、導函数や曲線の最大と最小など、正の解を持たない三次方程式を解くための微分法に関する概念が展開されている。
現代的な微分積分学は、アイザック・ニュートン (1643–1727) およびゴットフリート・ライプニッツ (1646–1716) の両者が独立に創始したというのが通例である。これにより微分を求めることと接線の傾きを求めることとが統一的に扱われるようになるが、彼らを創始者とする鍵となる洞察は微分法と積分法とを結びつける微分積分学の基本定理であり、これは時代遅れの（イブン・ハイサム（アルハゼン）の時代からそれほど拡張されたわけではなかった）古くからある面積や体積の計算法を塗り替えるものである。ニュートンとライプニッツ両者の微分に関する考え方は、アイザック・バロー (1630–1677), ルネ・デカルト (1596–1650), クリスティアーン・ホイヘンス (1629–1695), ブレーズ・パスカル (1623–1662), ジョン・ウォリス (1616–1703) ら数学者の著しい先駆的研究の上に打ちたてられている。一般的にはバローが微分の先駆的発明者とされるにも拘らず、ニュートンとライプニッツが微分法の歴史における重要人物であることに変わりないのは、少なくともニュートンが微分法を理論物理学に応用した最初の人であり、一方ライプニッツは今日においても使用される系統的な記号法を生み出したといった理由による。
17世紀以降多くの数学者が微分法に貢献している。19世紀には、微分積分学はオーギュスタン・ルイ・コーシー (1789–1857), ベルンハルト・リーマン (1826–1866), カール・ヴァイヤストラス (1815–1897) ら数学者によってより厳密な基礎の上に置かれることになる。このころにはまた、微分法はユークリッド空間やガウス平面上へも一般化されている。

変分法

最適化問題の一つの例は、「曲線上の二点間を結ぶ最短曲線を求めよ、曲線はある曲面上に無ければならないものとする」というようなものである。考える曲面が平面ならば最短曲線は直線である。しかし曲面が例えば卵型のようなものならば最短経路はすぐには明らかでない。そのような経路は測地線と呼ばれ、変分法におけるもっとも単純な問題の一つが、測地線を求めることである。別の例は「空間ないの閉曲線が囲む最小の面積を求めよ」というものである。この曲面は極小曲面と呼ばれ、これも変分法を用いて求めることができる。

微分方程式

微分方程式は函数とその各階導函数たちの間に成り立つ関係を記述するものである。常微分方程式は一変数函数とその変数に関する導函数に対する微分方程式であり、偏微分方程式は多変数函数とその偏導函数に対する微分方程式である。微分方程式は物理科学、数理モデリングおよび数学自身のなかから自然に生じてくる。例えば、力と加速度の関係を記述するニュートンの第二法則は二階常微分方程式 F(t) = m で記述される。また、真っ直ぐな筒を通る熱の拡散の仕方を記述する一つの空間変数に関する熱方程式は偏微分方程式  = α で記述される。ただし、u(x,t) は x の位置の時刻 t における筒の温度を表し、α は筒を通る熱の拡散の仕方に依存して決まる定数である。

平均値の定理

平均値の定理は微分係数の値と元の函数の値との関係を記述する。f(x) が実数値函数で a, b は a < b を満たす数とするとき、平均値の定理は、緩やかな仮定の下で二点 (a, f(a)) および (b, f(b)) 間の傾きが a と b の間にある適当な点 c における接線の傾きに等しいことを主張する。記号で書けば f'(c) =  が成り立つ。
実用上は、平均値の定理がやっていることは、導函数によって函数自身を制御することである。例えば、f が各点において零に等しい導函数を持つとすると、これはその接線が至る所水平であることを意味するから、函数自身も水平でなければならない。平均値の定理はこれが実際に正しいことを証明する。f グラフ上の任意の二点間の傾きは f の接線の一つの傾きに等しくなければならず、それは全て零なのであるから、グラフ上の一点から別の任意の点へ引いた任意の直線も傾き零でなければならない。そしてそのような函数は上昇も下降もできないのだから水平線に他ならない。
導函数に対してより複雑な条件を与えれば、正確性は落ちるがより有効なもとの函数に関する情報が得られる。

テイラー展開

導函数は与えられた点において可能な函数の最適線型近似を与えるが、それはもとの函数とは非常に異なることもある。この近似を改善する一つの方法は、二次の近似をとることである。それはつまり、実数値函数 f(x) の点 x₀ における線型化が一次の多項式函数 a + b(x − x₀) であるのに対し、より良い近似が二次多項式 a + b(x − x₀) + c(x − x₀)² を考えることで得られるかもしれないということである。三次多項式 a + b(x − x₀) + c(x − x₀)² + d(x − x₀)³ なら更によいかもしれないし、この考えはより高次の多項式に対しても推し進めることができる。これらの多項式の各々に対して、可能な限りの近似を実現する係数 a, b, c, d の最適な選び方があるはずである。
x₀ の近傍において、a として可能な最適の選択は常に f(x₀) であり、b に対して可能な最適の選択は常に f'(x₀) である。c, d およびより高階の係数についてもそれら係数は f の高階微分係数によって決定される。c は常に  であるはずだし、d は常に  となるはずである。これら係数を用いて f のテイラー多項式が得られる。次数 d のテイラー多項式は f の最適近似となる d-次多項式であり、その係数は上記の式を一般化したものによって求められる。テイラーの定理はそれがどの程度よい近似であるのかの詳しい評価を与える。f が次数 d 以下の多項式ならば次数 d のテイラー多項式は f 自身に一致する。
テイラー多項式の極限はテイラー級数と呼ばれる無限級数である。テイラー級数はしばしばもとの函数の非常に良い近似を与える。自身のテイラー級数と一致するような函数は解析函数と呼ばれる。不連続だったり尖ったりしている函数は解析的になることはできない。そして滑らかだが解析的でない函数が存在する。

陰函数定理

円など自然な幾何学図形のうちには函数のグラフとして描くことができないものが存在する。例えば f(x, y) = x² + y² − 1 と置けば円は f(x, y) = 0 なる対 (x, y) 全体の成す集合（f の零点集合）である。これは f のグラフと同じものではない（グラフは円錐になる）。陰函数定理は f(x, y) = 0 のような関係を函数に変換するものである。陰函数定理は、f が連続的微分可能ならば、ほとんどの点の周りで f の零点集合は函数のグラフを貼り合せたものに見えることを主張する。これが成り立たない点は f の微分に関する条件から決定される。例えば円の場合ｓ、二つの函数 ± √1 - x² のグラフの貼り合せにすることができる。(−1, 0) および (1, 0) を除く円上の各点の近傍においてこの二つの函数のうちの一方が円のように見えるグラフを持つ（これら二つの函数は (−1, 0) および (1, 0) で交わるが、陰函数定理はそのことは保証しない）。
陰函数定理は、函数が逆函数の貼り合せのように見えることを述べる逆函数定理と近しい関係がある。