ケイリー・ハミルトンの定理

1×1

1×1 行列 A = (a) に対し、その固有多項式は p(λ) := λ − a であり、p(A) = (a) − a⋅I₁ = (0) は明らかである。

2×2

一般の 2×2 行列を  と書けば、固有多項式は  p(λ) := λ² − (a + d)λ + (ad − bc) で与えられ、ケイリー–ハミルトンの定理の述べるところによれば 
 が成り立つはずであるが、これは実際に A² の成分を具体的に書きだせば、確かに成り立っていることが確認できる。

短絡的な「証明」の誤りに関する注意

この定理を「証明」するのに、単に定義式  の λ を A に置き換えて 
(error)
 を得るとするのは、一見極めて初等的で簡単なようだが、これは明らかに誤った論法である。
この論法がダメな理由はいくつもあるが、第一に定理に現れる p(A) は「（n × n の）行列」であるのに対し、上式 error の右辺は行列式の値としての「スカラー」になっているから、（n = 1 でもない限り）それらが等しいと置くことは不当である。第二に、λIₙ − A に変数 λ は実際には対角成分だけにしか現れない。様子が分かるように具体例として  に対する 
 を見れば、単に λ のところを A で置き換えるというのは明らかに不適当な「行列」を考えていることが理解できるはずである。もちろん、単にスカラーであるところをスカラー行列（単位行列のスカラー倍）で置き換えたブロック行列 
 を考えるならば式としては有効で、この行列式は実際に 0 になるが、この行列が上記の論法で det の引数とした AIₙ − A でないことは明らかである。あるいは、行列式が 0 というのもスカラーとして零なのであって、行列である p(A) と比較して等しいかどうかは考えるまでもないという意味でもやはり p(A) = det(AIₙ − A) = 0 という論法は破綻している。
あるいはまた、この論法が実際に成立していたと仮定した場合、それは行列式以外にもほかの任意の多重線型形式についても成立しないといけないことになる（つまり任意の線型写像は零ベクトルを零ベクトルに写すのだから、AIₙ − A = O（零行列）は任意の多重線型形式で 0 に写る）。そのような多重線型形式として例えばパーマネント (permanent)を使って q(λ) := perm(λ⋅Iₙ − A) とすれば、同じ論法で q(A) = 0 が証明されなければならないわけだが、それは見るからに誤りである。実例として 2×2 の場合を書けば、 であるから、 であり、これに A を代入した 
 は一般には零でない。
ケイリー–ハミルトンの定理の証明の中には、数以外を成分とする行列を用いて、あたかも error 式を用いた論法にある意味似た方法をとるものがあるが、その場合でも AIₙ は A と等しくなく、結論も異なる所へ到達する。

応用

固有多項式の各 i-次の係数は A の固有値たちのなす (n − i)-次基本対称式に等しく、とくに定数項（0 次の係数）は固有値の総乗ゆえそれは A の行列式に等しい。したがって、ケイリー–ハミルトンの定理が保証する等式を 
(∗)
 の形に書くことができる。ニュートンの公式を用いれば、基本対称式は冪和対称式 で書き表せることに注意すれば、上記の cᵢ は固有値の冪和対称式 sₖ たちで表されることがわかるが、各  は A の累乗 Aᵏ のトレースである。したがって、cᵢ は Aᵏ のトレースたちで書き表せる。

高次の冪の計算

ケイリー–ハミルトンの定理は A の冪の間に成り立つ（もっとも単純とは限らないが）関係を記述するものであるから、それにより A の十分大きな指数の冪を含む式の計算において、式を簡単化して A の（n 以上の指数が大きな）冪を直接計算することなく値を評価することができるようになる。
例えば二次の場合に、 とすれば定理より
 だから、A⁴ を計算したければ、順に 
 のように次数の低い多項式表示に帰着される。同様に 
二次の場合には二つの項の和で書けるということが上での計算からわかる。事実として、任意の k-乗がその正方行列のサイズ n に対して次数高々 n − 1 の多項式として書き表せる。これは定理を行列函数の表示に利用できることの一つの実例であり、次の節でより系統的に述べる。

代数的数論

代数的整数の最小多項式の計算においてもケイリー–ハミルトンの定理は有用である。例えば、Q の有限次拡大 Q[α₁, …, αₖ] とその代数的整数 α（これは添加された元の冪積 α n₁
1 ⋯α nₖ
k  の非自明な Q-線型結合に書ける）が与えられたとき、α を掛けるという Q-線型変換 
 の表現行列を A と書けば、A にケイリー–ハミルトンの定理を適用することにより α の最小多項式が求まる。

一般の証明

既にみたように、任意の n × n 行列  に対してケイリー–ハミルトンの定理の主張を得るには、二つの段階を踏む必要がある。第一には固有多項式を t の多項式として展開してその各項の係数 cᵢ を決定すること: 
 第二にこれらの係数を用いて作った A の冪たちの線型結合が零行列に等しいと示すこと: 
 である。この左辺は A の成分 aᵢⱼ 全てを変数に持つ（非常に巨大な）多項式を成分とする一つの n × n 行列であり、したがってケイリー–ハミルトンの定理はこれら n² 個の式の各々がすべて恒等的に 0 に等しいことを述べるものである。行列のサイズ n の値を一つに（どのような値にせよ）止めて考えるとき、これら恒等式を（うんざりするような、しかし）完全に代数的な直截手計算を行って得ることは原理的には可能である。しかしそれでは任意のサイズ n に対して成立すると主張するケイリー–ハミルトンの定理を証明したことにはならないので、すべての n に一様に適用できる証明を与える必要がある。

代数的な直截証明

この証明では、ケイリー–ハミルトンの定理の定式化に必要な概念として「多項式を成分とする行列」を用いる。A の固有多項式を定義する行列 tIₙ − A もまたそのような行列である。多項式の全体は可換環をなすから、この行列の余因子行列の転置 
 が存在して、基本関係式により 
(1)
 が成り立つ。
この B もまた t を変数とする多項式を成分とする行列であるから、各 i に対して行列の各成分から tⁱ の項だけを取り出してまとめたものを係数行列 Bᵢ として、
(B)
 と書き直すことができる（B の定義の仕方から、tⁿ⁻¹ より高次の冪は現れないことに注意）。これはあたかも「行列を係数に持つ多項式」であるように見えるが、ここではそのような概念を用いないで、単に多項式を成分とする行列を n 個の定数成分行列の線型結合として書く便法とみる（それを強調するために tⁱ は係数として左側に書いている）。
さて等式 1 を積の双線型性により展開すれば 
 の形に書ける（これは t の冪を係数とする定数成分行列の線型結合として書いた、多項式を成分とする二つの行列の間の等式である）。このような等式が成立するためには、両辺の同じ位置にある成分について各 tⁱ の係数が等しくなければならない。つまり、両辺の各 tⁱ を係数とする定数成分行列がそれぞれ等しくなることが必要である。このような係数比較 により、
 を得る。これにそれぞれ（比較に用いた tⁱ に応じて）Aⁱ を掛けて足し合わせた 
 は畳み込み和としてすべての項が打ち消しあうから、p(A) = O を得て証明が完了する。

抽象化・一般化

上で述べた通り、定理の主張における行列 p(A) は、先に行列式を評価してからその後で行列 A を変数 t に代入して得るものであり、行列式を計算する前に行列 tIₙ − A に代入を行うことは意味をなさない。にも拘らず、p(A) をある特定の行列式の値として直截に得ることのできる解釈を与えることは可能である。
ただしこれには、環上の行列 A とはその成分 aᵢⱼ のことともそれらの全体としての A そのものとも解釈できるというような、やや面倒な状況を設定する必要がある。すなわち、環 R 上の n × n 行列全体の成す環 M(n, R) の中で、成分 aᵢⱼ はスカラー行列 aᵢⱼIₙ として実現されるし、A それ自体も入っている。しかし行列を成分とする行列は、ここでの意図でないブロック行列との混同を引き起こしかねない（ブロック行列と考えると行列式の概念が正しく与えられない）。状況をよりはっきりさせるため、基底 e₁, …, eₙ を持つ n-次元ベクトル空間（係数環 R が体でないときは n-階 R-自由加群）V 上の自己準同型 φ を行列 A と区別をつけて、全自己準同型環 V 上の行列を考えることにする。そうすると、各 φ ∈ End(V) は行列の成分になれるし、その一方で行列 A とは各 (i, j)-成分がスカラー aᵢⱼ-倍するという自己準同型になっているような M(n, End(V)) の元を指すものとできる（同様に単位行列 Iₙ も M(n, End(V)) の元と解釈される）。
ただし、End(V) は可換環ではないから、M(n, End(V)) の全体で定義される行列式は存在せず、End(V) の可換部分環上の行列に限った場合にだけ行列式が定義できることには注意しなければならない。いま、問題の行列 φIₙ − A の成分はすべて、φ と恒等変換で R 上生成される可換部分環 R[φ] に属しているから、行列式をとる写像 det: M(n, R[φ]) → R[φ] は定義されて、det(φIₙ − A) を A の固有多項式を φ において評価した値とすることができる（このことは A と φ との間に成り立つ関係とは無関係に成り立つ）。
この設定で、ケイリー–ハミルトンの定理の主張は p(φ) が零写像となることである。この設定での定理の証明を以下に示す（これは（中山の補題と関連した）より一般の形で (Atiyah & MacDonald 1969, Prop. 2.4) にあるものである）:
この証明を検討すれば、固有多項式をとる行列 A は、多項式に代入する値としての φ と同一である必要がないことが分かる。すなわち V 上の自己準同型 φ は、最初に与えた等式 φ(eᵢ) = ∑
j aⱼᵢ⋅eⱼ を、何らかの元の列 e₁,　…, eₙ に対して満足すればよい（これらの元の生成する空間を改めて V と書けば上記の証明を追うことができる）。この元の列には基底のような独立性は仮定しないでよいから、生成される空間の次元は n よりも小さくなり得るし、係数環が体でないときは自由加群でない場合も出てくる。
そうして R を生成系 {e₁, …, eₙ} を持つ任意の可換環とし、R の自己準同型 φ の上記生成系に関する表現行列が A = (aᵢⱼ), すなわち 
 を満たすものとする設定のもとでのハミルトン–ケイリーの定理: pφ(φ) = 0 が満足されることが正当化できる。
このように一般化された状況におけるこの定理は可換環論および代数幾何学において重要な中山の補題の源流である。