モンティ・ホール問題

モンティ・ホール問題（モンティ・ホールもんだい、英: Monty Hall problem）とは、確率論の問題で、ベイズの定理における事後確率、あるいは主観確率の例題の一つとなっている。モンティ・ホール（Monty Hall, 本名：Monte Halperin）が司会者を務めるアメリカのゲームショー番組、「Let's make a deal」の中で行われたゲームに関する論争に由来する。一種の心理トリックになっており、確率論から導かれる結果を説明されても、なお納得しない者が少なくないことから、ジレンマあるいはパラドックスとも称される。「直感で正しいと思える解答と、論理的に正しい解答が異なる問題」の適例とされる。
なお、モンティ・ホール問題と実質的に同型である「3囚人問題」については、かつて日本で精力的に研究された。

概要

「プレーヤーの前に閉まった3つのドアがあって、1つのドアの後ろには景品の新車が、2つのドアの後ろには、はずれを意味するヤギがいる。プレーヤーは新車のドアを当てると新車がもらえる。プレーヤーが1つのドアを選択した後、司会のモンティが残りのドアのうちヤギがいるドアを開けてヤギを見せる。
ここでプレーヤーは、最初に選んだドアを、残っている開けられていないドアに変更してもよいと言われる。プレーヤーはドアを変更すべきだろうか？」
1990年9月9日発行、ニュース雑誌「Parade」にてマリリン・ボス・サヴァントが連載するコラム「マリリンにおまかせ」で、上記の読者投稿による質問に「正解は『ドアを変更する』である。なぜなら、ドアを変更した場合には景品を当てる確率が2倍になるからだ」と回答した。すると直後から、読者からの「彼女の解答は間違っている」との約1万通の投書が殺到し、本問題は大議論に発展した。

直感と理論の乖離

この問題を巡る人々の反応は、冒頭のエピソードにある様に『どちらを選んでも変わらない』とする意見が多かった。
ドアが2つになった時点でプレーヤーが改めてコイントスによって決めなおしたと仮定すると、景品を得る確率は1/2となる。
ところが、2枚のドアの価値はルール (1) - (4) で確率の高い（価値のある）選択をすることが可能となっている。つまり、『どちらを選んでも変わらない』は誤りである。
以下のように考えると直感でも理解しやすい。

パラドックス

この問題はパラドックスであるといわれることがある。最初からドアが1つ開いた状態で、2つのドアから1つを選ぶという問題であったなら、確率は 1/2 である。それに対して、このゲームによってドアが1つ開いた状態になった場合には、確率は 1/3 と 2/3 になる。このように確率が異なることがパラドックスといわれる理由である。
しかし、これは確率の計算に矛盾があるわけではないので、擬似パラドックスである。ドアが2択になった経緯を知っているか知らないかの情報の差がドアの評価に影響しているだけである（単純な話、「最初にプレーヤーがドアを選択する時点での確率」と考えると理解しやすい。なお、１つドアが初めから開いた状態＝単なる2択問題であり、モンティ・ホール問題は成立し得ない）。

シミュレーション

簡単なプログラムでシミュレーションを行い、答えを導くこともできる（図）。このグラフでは、変更したドアに景品があった回数の累計が、変更しなかった場合の約2倍となっている。

変形問題

ルールを変更することで例題の理解を助けたり、統計論の別の課題を説明する試みが行われている。

変更ルール1

(4) モンティは景品のあるドアを知っている。どちらを開けるかコイントスで決めるが、選んだドアが景品の場合はもう片方のドアに変更する。
このルールは結局ドアの選び方に変化はないので、解答は「開けるドアを変更する」である。

変更ルール2

(4) モンティは景品のあるドアを知らない。どちらを開けるかコイントスで決めるが、選んだドアが景品の場合は番組スタッフが中身を入れ替える。
これは、前のルールで最後にモンティがドアの選択を変更していたところをスタッフが代わりにやっているだけであり、解答は「開けるドアを変更する」である。
このルールではドアを変更したほうがよいことが直感的に分かる。残ったドアに景品が移動してくることはあっても、出ていくことはないからである。数値で示すと、プレーヤーが最初から正解していた確率は 1/3、モンティが正解して景品が移動した確率も 1/3、二人ともハズレであった確率も 1/3 である。景品は必ず最後の扉に移動するので、最後の扉に景品がある確率は 2/3 である。

変更ルール3

(4) モンティはどちらを開けるかコイントスで決め、中身にかかわらず開ける。
モンティが景品を出してしまった場合はゲーム終了と仮定して、モンティがヤギを出したらプレーヤーはドアを変更すべきだろうか？この場合の正解はどっちを選んでも確率は 1/2 となり、変更してもしなくてもよいのである。
モンティが景品を出す確率は1/3、ヤギを出す確率は 2/3 である。景品を出したらゲームは終了するので、ヤギを出した場合の2/3の内訳を考えると、プレーヤーが選んだドアに景品がある確率1/3と、最後のドアにある確率1/3になる。
この場合、プレーヤーもモンティも正解に関係なくドアを選ぶので、先に景品を入れる必要はなく、後から景品の位置をランダムに決めても結果は等価となる。

変更ルール4

(3) モンティは景品のあるドアを知っている。コイントスでヤギのドアの片方を選び、プレーヤーの選択にかかわらず開ける。
モンティがプレーヤーの選んだドアを選んだ場合はゲーム終了と仮定して、モンティがヤギを出したらプレーヤーはドアを変更すべきだろうか？この場合も変更ルール3同様、変更してもしなくてもよいのである。

変更ルール5

(3) モンティは景品のあるドアを知っている。最初にプレーヤーが景品のあるドアを選んだ時に限り、ドアを開ける。
このように変更すると、モンティがドアを開けない場合がある。もし、偶然にもモンティがドアを開けたとすると、プレーヤーはドアを変更すべきだろうか？この場合は当然答えは「開けるドアを変更しない」である。
このことから、モンティがドアを必ず開けるというルールは非常に重要だということが分かる。

悪魔モンティ

(5) モンティは景品のあるドアを知っていて、プレーヤーが景品のあるドアを選んだ時だけ、変更してよいという。

天使モンティ

(5) モンティは景品のあるドアを知っていて、プレーヤーがヤギのいるドアを選んだ時だけ、変更してよいという。

心理戦

プレーヤーとモンティの心理戦を想定した例題も試みられている。駆け引きの内容を数値化することで、統計論的に解を求めることができる。
(5) モンティは景品のあるドアを知っていて、プレーヤーが景品のあるドアを選んだ時は100％の確率で、ヤギのいるドアを選んだ時は50％の確率で、プレーヤーが選ばなかったヤギのいるドアを開けて見せ、変更してよいという。
ナッシュ均衡による解では、変更したときに景品を得る確率は1/2となる。つまり、変更してもしなくても変わらない。

数学的解説

もとの例題ではルール (3) と (4) が重要とされるのが一般的だが、実はもう一つ重要な前提がある。それは、「プレーヤーが最初に当たりを選んだ場合に、モンティが残るドアのどちらを開けるかについて "癖がない（ランダムに選ぶ）" ことだ。例えば「プレーヤーが最初に当たりのドアAを選んだ場合は、モンティは必ずBを開く」という可能性があるとすれば、「マリリンの解答は間違っている」というのは必ずしも間違いではない。ここで、「癖がない（ランダムに選ぶ）」ことがいかに重要であるか、具体的に説明する。
プレーヤーがドアAを選んだ場合にモンティがドアBを選択する（選択して開ける）確率を x とすると、ドアBが開いた（もちろん外れ）という条件のもとで、ドアAが当たりである確率は x/(1+x）となる（もちろん、ドアCが当たりである確率は 1/(1+x）である）。
計算法
ドアBが開いたということは、プレーヤーがドアCを選択したかドアAを選択したということである。ドアCを選択した場合は必ず（確率1で）ドアBを開き、ドアAを選択した場合は、確率 x でドアBを開くのであるから、ドアBが開いたという条件で、ドアAが当たりである確率は、xを1＋x で割れば求められる。
よって、確率 x が0から1の間の数値を取るとすれば、ドアAが当たりである確率は0から1/2まで変化する（ドアCが当たりである確率は1から1/2まで変化する）。ドアB、Cをランダムに（x＝1/2 の確率で）選択したときに限って、ドアAが当たりの確率は1/3のまま（ドアCが当たりの確率は当初の1/3から2/3に上がる）となる。マリリンの答えは、この特殊な条件を想定したものである。確かに常識的仮定だが、数学的には当然視できるものではない。