弦理論

概要

1970年に南部陽一郎、レオナルド・サスキンド 、ホルガー・ベック・ニールセン (Holger Bech Nielsen|en) が独立に発表したハドロンに関する理論によって登場したものの、量子色力学にその座を譲った。しかし、1984年にマイケル・グリーンとジョン・シュワルツ (John Henry Schwarz) が発表した超対称性及び、カルツァ＝クライン理論を取り入れた超弦理論 (superstring theory)によって、再び表舞台に現れた。4つの基本相互作用を統一する試みとして注目されている。
最近では、超弦理論やM理論を含む広い意味で「弦理論 (string theory)」と呼ぶことも多いが、ここでは超対称性を持たないボゾン弦 (bosonic string) について記述する。

弦理論の衰退

しかし、ハドロンの弦理論は様々な欠陥を含んでいた。この弦に基づく強い力の記述は、実験結果と直接矛盾する多くの予測を算出した。まず、弦の運動が安定して維持可能な時空は26次元に限られていた。また、弦のスピンは整数であり、ハドロンの理論にもかかわらずボース粒子的な性質を有していた。この他に閉じた弦の振動の種類には重力子や、理論の不安定性を表すタキオンの存在が要請された。
これらの欠陥が判明し出した頃に、ゲージ場の粒子であるグルーオンによって力が媒介されるとする量子色力学の発展が1974年に始まり、強い相互作用の特性を正確に記述できることがわかってきた。南部はクォークの閉じ込めについて、弦をいくら切断しても端部を取り出せず、新たな端を形成するだけとイメージした。これに対して、量子色力学においては、二つのクォークが引き離されると、単純にそれ以上引き離すよりも、その間の真空から新たにクォークと反クォークの対を生成し、新たな2個のクォークにより構成される粒子になる方が、必要なエネルギーが低いと考える。
このため、ほとんどの研究者が弦理論から撤退していった。当時の状況に関して南部は「結局は、紐理論、いわゆるハドロンの紐模型はだめだということが結論されたのは1974年ごろだと思っているのです。1974年夏、アスペンのいわゆる合宿の研究会にそのころの研究家のほとんど全部が集まったのです。そのときの結論として、どうもこれはだめだろうということになったということを、吉川（圭二）さんから聞きました」と述べている。現在ではハドロンの弦理論は、クォーク間のゲージ場の力線を半定量的に表現した現象論的模型と考えられている。

超弦理論へ

ハドロンの弦理論が失敗に終わった後も、ごく一部の研究者は重力を含んだ系を記述できる弦理論に魅力を感じ、研究を継続していた。1970年代前半、ジョン・シュワルツとアンドレ・ヌボー (en) は、整数スピンのボソン的弦に半整数スピンのフェルミ粒子の性質をつけ加えた、超対称性の弦理論を作った。しかし同時期にゲージ理論による大統一の研究が盛んになっており、弦理論は忘れられた存在となった。
この間にもジョン・シュワルツとマイケル・グリーンは粘り強く研究を継続し、1984年には相対論と整合性があり、量子化された超対称性などをとりいれて超弦理論を打ち立てた。彼らは弦の長さを10⁻³⁵mオーダーの微小なものとし、弦の運動する時空を10次元とした。また、特殊な内部対称性を用いることで、数学的矛盾の無い物質の最小単位の理論とすることに成功した。
尚、1995年、エドワード・ウィッテンにより提唱されたM理論では、5つの超弦理論が11次元の一つの理論に統合されている。

登場する粒子

場の量子論では、クォーク・レプトン・ゲージ場といった多くの種類の量子場が存在する事を前提としている。弦理論の描像では対照的に、全ての物理的実体は、ただ一種類の弦の様々な状態に対応する。
弦は自然長ゼロ、自然長の状態での質量もゼロ（だが特殊相対性理論から、弦が振動エネルギーを持つ時にはE=mc²の関係式で質量を持つ）で、張力のみを手で与える。張力はたとえ変えても系全体が相似に拡大縮小されるだけなので、内部で起こる物理には影響を及ぼさない。
α'はレッジェの傾きパラメータと呼ばれ、歴史的な理由から張力そのままではなくこのパラメータが用いられる。あるいは、長さの次元を持ったパラメータを代わりに用いる事がある。ハドロンの弦理論では核子の大きさ程度、量子重力理論としての弦理論ではプランク長程度に取られる事が一般的である。
作用（≒弦の持つエネルギー）は、空間に時間を加えた二次元面の表面積に比例し、南部＝後藤作用と呼ばれる。あるいは同値であるが経路積分での扱いが容易なポリヤコフ作用が用いられる事もある。
観測される粒子は、ごく短い弦が振動しながら飛び回る状態として記述される。
以下最も簡単な例として、26次元時空の平坦な時空について、閉じた弦と開いた弦の振る舞いを見る。
まず開いた弦について、最も低いエネルギーの状態は振動せず飛ぶ弦である。次の状態として、ある一つの方向に自由端定在波一倍振動をする弦がある。量子的な弦なので振幅は量子化され、1量子分のエネルギーを持った状態が第一励起状態となる。
さらに、量子効果として振動の零点エネルギーへの寄与がある。相対論的な弦の場合、この量子効果はマイナスに働き、最低エネルギーの開弦は負の質量二乗（虚数質量）を持つスカラー粒子、開弦タキオンとなる。一方、第一励起状態の弦は質量ゼロとなり、横波24成分を持つゲージ粒子となる。
閉じた弦は定在波だけでなく進行波を許すので、物理的自由度は二倍となる。ただし、弦が内部構造を持たない実体であるという制限から、状態の数は減る。
その結果、基底状態は閉弦タキオン、第一励起状態は24²の成分を持ったゼロ質量テンソル粒子で、うち対称な成分が重力子、トレース成分がディラトン、反対称な成分が2-形式ゲージ粒子となる。2-形式ゲージ粒子は、粒子が持つ電荷と結合するゲージ粒子の拡張で、弦が持つストリングチャージと結合する。
これらより重い状態は、lₛをプランク長程度とすると最低でも1/√α'＝プランク質量の質量を持つため、とりあえず無視される場合が多い。

背景時空と真空状態

弦は空間的広がりを持つため、空間の形によって運動の形態が変わりやすいという特徴がある。たとえばカルツァ＝クライン理論のような空間座標の巻き込みコンパクト化を、特に小半径の場合で考えると、粒子の場合は波長が短くなる事によってそちら側への励起が単純に起こりづらくなるが、弦の場合は「巻き付き」という、半径が小さいほど励起しやすいモードが存在する。結果的に、半径がRの時と1/Rの時の物理的自由度の数が等しくなる（T双対性）。
これに加え、重力子の見かけ上の運動方程式はほぼアインシュタイン方程式になり、一般相対性理論が与える重力場の解が弦理論の古典解となる。
特に重要なのはブラックブレーンと呼ばれる「質量を持った膜」の解である。一般相対論とは独立に、弦理論からT双対性を用いて、通常の空間方向を体積0の空間と対応させる事によって得られるDブレーンは、ブラックブレーンの弦理論による説明であるとされる。
弦理論からの解釈によれば、Dブレーンは開弦の端点が「繋がる」事ができ、開弦の運動がその空間に制限される。N枚のDブレーンが重なっていた場合、開弦から得られるゲージ場はどのブレーンに端点を持つかによってN²の種類を持ち、U(N)の非可換ゲージ理論を再現する。T双対性との兼ね合いから、全く自由に見える開弦も、全空間を満たすD25ブレーンに繋がる事を要請される。
ディラトン場は結合定数の強さを与える。
弦理論は場の種類はおろか、調節可能なパラメータすらない「唯一の理論」である。しかしこれら空間のコンパクト化やブレーンの配位などを用いて、一つの理論に対して無数ともいえる「真空状態」が導かれ、弦はそれぞれの真空で異なった振る舞いをする。ただし後述するが、ボソン弦理論では全てのDブレーンは安定した存在ではない。ブレーン配位が威力を発揮するのは超弦理論においてである。
どのような理論が得られるか、特に我々の4次元時空に相当するものが得られるのか、については、弦理論の主要な関心事である。

弦の場の理論

現在の定式化では、南部＝後藤作用もしくはポリヤコフ作用から出発し、弦の単一過程の確率振幅を求める事が出来る。場の量子論とのアナロジーで言えば、これはファインマンダイアグラムの一つ分に相当する。全ての過程のダイアグラムを足し合わせる事によって振幅を求める事は可能とされるが、これは理論が摂動論で定義されたに過ぎない。場の量子論では場というもので作用を書き下し、それを摂動展開する事によってファインマンルールを得るが、弦理論でのこれに相当する定式化、弦の場の理論はミチオ・カクと吉川圭二による提唱以来、様々な研究が重ねられてきたが、未完成である。
例えばDブレーンは、非摂動論的な対象の一つである。
Dブレーンは開弦から出来ており、ボソン弦理論の全てのDブレーンは開弦由来のタキオンを含む。タキオンの存在は場の理論においては、その状態が不安定である事を意味し、結論としてボソン弦理論の全てのDブレーンは崩壊する。
崩壊後の状態は、Dブレーンがないため開弦が存在できず、もはや弦での記述が不可能となる。弦の場の理論はこのような状態の記述が出来ると期待され、実際に数値計算でならばポテンシャルが求められている。極めて小さいエネルギーで安定状態が存在するとされる（タキオン凝縮, en)。
閉弦タキオンに関してはこのような物理的解釈すら出来ない。これをもってボソン弦理論は不完全であり、弦の完全な定式化のためには超対称性が必要不可欠であるとする立場がある一方、弦の場の理論の研究はなおも続けられている。