ゼロの偶奇性

ゼロは偶数である。このことを数学的に証明することは簡単であり、それを理解することも容易である。ゼロが偶数であることを証明するもっとも簡単な方法は、それが「偶数」の定義(2の倍数である整数)に当てはまることを確認することである。すなわち0＝0×2である。結果的に、ゼロは偶数の特徴であるような性質をすべて持っている。例えば、0は2で割りきれる。0の両隣は奇数である、0はある整数(0)とそれ自身との和である。0要素の集合(空集合)は、二つの等しい集合に分割できる、等々。ゼロは、他の偶数が満たすべきパターンにもまた合致している。例えば、偶数－偶数＝偶数のような算術における規則は、0が偶数であることを要求する。
しかしながら、一般社会において、ゼロの偶奇性を認識することは、他の整数の偶奇性に比較して困難が伴い、混乱の元になるようだ。ある研究によれば、小学校の生徒たちは半数程度がゼロが偶数であることを正しく認識できなかった(後述)。また、数学専攻の学生や数学の教師でさえ、0が偶数であることに対して、しばしば誤った認識を持つ(後述)。反応時間試験において、大部分の人々は、0が偶数と認識するのに要する時間は、2,4,6,8などより明らかに遅かった。
本記事では、このようにゼロの偶奇性に対する一般的な認識に関して研究された、あるいは発生した事象を中心に解説する。

ゼロが偶数である理由

「偶数」の標準的な定義は、ゼロが偶数であることの直接的な証明に利用できる。ある数は、それが2の整数倍であるとき「偶数」と呼ばれる。例えば 10が偶数であるのは、それが2×5に等しいことが理由である。同様にゼロも2の整数倍である。すなわち0＝2×0。ゆえに0は偶数である。
なぜ0が偶数であるのかを形式的な定義無しに説明することも可能である。
以下の説明は、数の概念の基本的な観点から、ゼロが偶数である、という命題を解明する。この基本的観点は、偶数の定義それ自身、およびその定義がゼロに対して適用可能であることに対する論理的根拠を与えることができる。

基本的な説明

ゼロは一つの「数」であり、数とは計数に対して使われるものである。何かのモノの集合が与えられたとき、我々はその集合にどれくらいのモノがあるか考察するために数を使用する。ゼロとは「モノがない」場合の計数である:もっと形式的ないいかたをすれば、ゼロとは空集合の要素の数である。偶奇性の概念は、モノを2個ずつのペアにする際に使われる。ある集合に含まれるモノを、2個ずつ一まとめにして区切るとき、余りがなければそのモノの数は偶数である。余りが出るならば奇数である。空集合は、2個一まとめのグループを0個含んでおり余るモノは無いからゼロは偶数である。
この考え方は、モノの対を描くことにより図式化できる。要素数0の2つのグループを描くこと、あるいは余りが存在しないことを強調するように描くこと困難であり、そのために、要素数ゼロでない場合のグループ分けを描き、それらをゼロと比較することが助けになる。例えば、5要素の集合の場合、二つの対が存在し、なおかつ重要なことは一つの余りが存在することである。それゆえに5は奇数である。4要素の集合の場合は、余りの要素はない。ゆえに4は偶数である。更に、一つの要素を持つ集合においては、対が存在せず、一つの要素が余るので、1は奇数である。ゼロ要素の集合は、余りの要素がない。そこで0は偶数である。 (右図参照)
他にも、偶数性の具体的な定義が存在する。集合の要素が二つの等しい大きさのグループに区切れるならば、その要素数は偶数である。この定義は最初のそれと同値である。この定義でも先の定義と同様に、空集合はそれぞれゼロ要素を持つ二つのグループにわけることができるからゼロは偶数である。

数はまた、数直線上の点としても視覚化できる。偶数と奇数がそれぞれ区別され、特に負の数が導入されれば、それらのパターンが明瞭になる。
偶数と奇数は交互に現れる。任意の偶数から始めて二つずつ、上から、あるいは下から数えることにより他の偶数に到達できる。この方法で任意の偶数から0に到達でき、また0から任意の偶数に到達できる。ここで0を例外扱いして飛ばすべき理由はない。
積を導入し、算術表現を使うことで、偶奇性はより公式的な方法でアプローチできる。すべての整数は(2 × □) + 0か、(2 × □) + 1のどちらかである。この形式的な数は前者が偶数、後者が奇数である。例えば、1は1=(2 × 0) + 1だから奇数であり、0は0 = (2 × 0) + 0だから偶数である。これを表にまとめてみれば、上の数直線の絵による説明が補強される。

教育

ゼロの偶奇性の課題は、しばしば初等教育の最初の二、三年以内に、偶数と奇数の概念が導入され発展されるときに扱われる。

教員の知識

ミシガン大学の数学教育の研究者たちは、「ゼロは偶数」の真偽を問う質問を、教師の持つ知識の内容を測るべく設計された250以上の質問のデータベースに含めている。この質問集は教師たちに対して、"誰でも十分な教育を受けた大人が持つべき共通の数学的知識、かつ、教師として必要なだけではなく教育という仕事のために特化した数学的知識"を例示する。そしてそれは、traditional mathematicsとReform mathematicsの間で変化が無いように、"思想として中立"であるものとすべく注意が払われている。2000-2004年にかけて、アメリカで行われた700人の実験的な教員たちの研究では、これらの質問の全体的な成績は、その教員たちの授業を受けた後の生徒たちのstandardized testの成績の改善を有意に予測した。さらに深い2008年の研究で、研究者たちは、他のすべての計測では模範的だった一人の教員を含む教員のすべてが、ゼロは偶数でも奇数でもない、と考えていた学校を発見した。この誤認はそれらの建物にいた数学コーチによって広められていた。
どれくらいの教員が、ゼロについての誤解を持っているかは不明瞭である。このミシガン大学の研究は、個々の質問に対する公開データはない。1972年に報告された、南フロリダ大学で数学教育の助教授だった Betty Lichtenberg の研究によれば、有望な小学校の教員のグループが、「ゼロは偶数である」という項目を含む真偽テストを与えられたとき、彼らはこれを「引っかけ問題」と見なし、およそ3分の2が「偽」と答えた。

教育指導への示唆

数学的に、ゼロが偶数であることの証明は、定義の簡単な応用である。しかし、教育現場ではさらなる説明が必要とされる。数学的証明の本質に関連する問題の一つは、「2の倍数である整数」としての「偶数」の定義は常に適当なわけではない、という点である。初等教育第一学年の生徒は、まだ「整数」や「倍数」の意味を学習していないであろうし、0をかける方法はなおさらであろう。
さらに加えて、もし今のところ偶数が正の数だけと教えられているならば、すべての整数に対する偶奇性の定義を主張することは、概念を恣意的に短絡しているように見えるかもしれない。それは数の概念が正整数から0を含む負の整数に拡張されるような知識の助けになるかもしれない、偶奇性のような数の性質もまた非自明な方法で拡張される。

数量認識

ゼロは偶数であると信じる大人であっても、それを偶数と考えることに必ずしも馴染んでいるわけではない。その馴染の無さは、 反応時間テストで、それらの低減を計測できる程十分である。数量認識の分野における開拓者の一人であるStanislas Dehaeneは、1990年代初期にそのような一連の実験を行った。
ある命数あるいは数詞がモニター上で被験者に表示される。被験者はその数字が偶数か奇数かを決定し、それに応じて右または左のボタンを押す。左右のボタンと偶数・奇数の対応は、実験ごとに変わる。コンピューターは被験者が二つのボタンの一つを押すまでにその対象を表示している時間を記録する。この結果、0は他の偶数よりも処理時間が遅いことが示された。この実験のあるバリエーションでは、60ミリ秒ほど、あるいは平均反応時間の約10%の--小さな違いだが特徴的である--遅れが見られた。
Dehaene の実験は、特に0について研究するためにデザインされていたわけではなく、むしろ、いかにして偶奇性の情報が処理され抽出されるのかを説明するための、複数の競合するモデルを比較するためのものであった。もっとも明確なモデルである精神計算仮説は、0に対する反応は早くなるであろうことを示唆していた。0は小さな数であり、0 × 2 = 0を計算することは容易だからである。しかし、この実験結果は何かまったく違うことが発生していたことを示唆している。どうやら、偶奇性の情報は、素数やら2の冪のような関連する数の性質のクラスターとともに記憶から呼び出されているらしい。
2の冪の数列と、偶数の列2, 4, 6, 8, ...は両方共、それらのメンバーが偶数の原型であるような、よく目立つ精神的カテゴリーである。ゼロはこれらのリストのどちらにも属していない、だから反応が遅いのである。
繰り返された実験では、命数形式での数の名前、文字による表示、および鏡文字などを使い、多様な年齢、国籍、言語などを持つ被験者に対してゼロでの遅れが示された。
Dehaeneのグループは、ある異なる要素を見出した。それは数学の専門知識である。これらの試験の一つでは、高等師範学校の学生が二つのグループに分けられた:文学専攻と数学、物理、生物専攻である。0での遅れは「本質的に文学専攻群に見られる」。そして実際、「試験の前に、ある文学専攻の対象者は0が偶数か奇数か確信が無く、数学的定義の復習をしなければならなかった」。
馴染みに対するこの強力な依存性は、精神的計算仮説をさらに不利にする 。
この結果は又、グループとして偶数と奇数が比較されるような実験においてゼロを含むことは不適切であるということを示唆している。ある研究で述べられていたように「大部分の研究者は、0が典型的な偶数ではなく、精神的な数直線の一部として研究されるべきではない、ということに同意しているようだ」

日常での文脈

ゼロの偶奇性を問う質問は、インターネットの掲示板や専門家に尋ねるウェブサイトにおける話題を提供する。時として、ゼロの偶奇性は、純粋に修辞学的な意味合いで引合いに出される。言語学者のJoseph Grimes は、結婚したカップルに「ゼロは偶数か?」と尋ねることは彼らに不一致をもたらす良い方法であると考えた。
ゼロは偶数で奇数でもないと考える人々は、すべての規則が反例を持つということの証明として、あるいは引っかけ問題の例としてゼロの偶奇性を使うようだ。 
standardized testsにおいて、偶数の振舞についての問題が出題されたら、0が偶数であることを心に止めておく必要があるかもしれない Graduate Management Admission TestとGREに関する公式な出版物は両方共0は偶数であると主張している。
ゼロの偶奇性は、車がナンバープレートの最後の桁の数字の偶奇にしたがって一日おきに運転あるいはガソリンを購入できるようにする交通政策(Odd–even rationing)にも関連する。適用される範囲の半分の数は、 0, 2, 4, 6, 8 であり、残りの半分は1, 3, 5, 7, 9である。そこでこれは他の偶数とともに0を含めるという意味合いである。
ところが、1977年に、パリでこのシステムが導入されたとき、ある「奇数のみの日」に混乱を引き起こした。警察はナンバー下一桁が0であるドライバーが違反しても罰金を課すことを避けたのである。なぜなら警察は、0が偶数かどうか知らなかったからだ 。
このような混乱を予防するために、時としてこの種の交通規制に関連する法律では、0は偶数であると規定することがある。そのような法律はニューサウスウェールズ 
およびメリーランドで通過した。
ルーレットにおいて、0は偶数にも奇数にも数えられない。そこで出目の偶奇性を当てるような賭ではカジノ側に有利である 同様に、ゼロの偶奇性を定めないでおくことは、発生させた乱数が偶数か奇数かに依存するような事象に対して賭けるプロップベットにおいて0が発生した場合に、支払い側に有利である。
"odds and evens"ゲームにおいても影響がある。二人のプレーヤーが両方共0の指を出したとき、指の数の和は0である。このときは偶数プレーヤーの勝ちになる ある教員マニュアルでは、0が2で割り切れることの概念を生徒に導入するための方法として、このゲームをプレイすることを薦めている。

数学的な文脈

数論の無数の結果から、偶数の代数的および算術的性質の基本的な定理が導かれる。そこで0を偶数とすることでさらに深い結論に到達する。例えば正の数が一意的な素因数を持つということは、ある数が異なる素因数を偶数個持つか奇数個持つかということが一意的に決定されるということを意味する。1は素数ではなく素因数も持たないから、0個の異なる素数の積と見なせる。そして0は偶数だから、1は異なる素因数を偶数個持つということになる。これよりメビウス関数はとなる。この等式は、メビウス関数が乗法的関数となるために、およびメビウス反転公式が成立するために必要である。

奇数とはなり得ないこと

数nは、n = 2k + 1となるようなある整数kが存在すれば奇数である 。ゼロが奇数では無いことを証明する一つの方法は、背理法である。すなわち、0 = 2k + 1となるようなあるkが存在すれば、この式よりk = −1/2、となるが、これは整数ではない。ゼロが奇数でないから、ある未知の数が奇数であることが示されれば、それはゼロではありえない。この一見したところ自明な事実は、ある数がなぜゼロではありえないのか、ということを説明する便利で明瞭な証明を与える。
グラフ理論の古典的な結果は、奇数位数のグラフは常に少なくとも一つの偶数次数の頂点を持つことを主張する。空グラフの位数(0)、および孤立点の次数(0)は偶数であるため、この主張は、ゼロが偶数であることを要求する。

代数的パターン

抽象代数学において、偶数は0を含むことを要求する多様な代数的構造を構成する。加法的単位元(ゼロ)が偶数であるという事実に、偶数の和も逆元も偶数であることと、和の結合律を加えると、偶数は群を構成することを意味する。さらに言えば、偶数の群は、すべての整数が構成する加法群の部分群である。これは部分群の概念の基本的な例である。  
群論の立場から言えば、一般的にある加法群において、減算の元で閉じている任意の非空な部分集合は必然的に部分群になり、特にそれは単位元を含んでいる。先に述べた、"偶数 - 偶数 = 偶数" という規則が0が偶数であるべきことを強要する、という結論は、この一般論における一つの具体例にすぎない。
偶数の集合は整数の正規部分群だから、それは整数を剰余類に類別する。これらの剰余類は次の同値関係による同値類として構成できる。が偶数であるときと定義する。ここで0が偶数であることは二項関係の反射律として直接導かれる。 この部分群による剰余類はただ2つだけ(偶数と奇数)存在し、そこでその位数は2である
同様に、交代群は、n文字の対称群の位数2の部分群である。偶置換と呼ばれる交代群の要素は互換の偶数回数の積である。恒等置換は、互換の0回の積(つまり何もしない)と見なされ、0は偶数だからこれも偶置換である。これは対称群の単位元であるから、偶置換は対称群の部分群となる。