循環小数

循環小数（じゅんかんしょうすう、recurring decimal, repeating decimal）とは、ある桁から先で同じ数字の列が無限に繰り返される小数のことである。繰り返される数字の列を循環節という。
より細かく、小数第一位から循環が始まる類を純循環小数（pure recurring decimal）、小数第二位以降から始まる類を混合循環小数（mixed recurring decimal）といい、混合循環小数は冒頭の有限小数とそれ以降の循環小数の二つに分離される。

循環節

例えば、十進法の¹⁄₃ = 0.3333… は小数点以下「3」が無限に続くので、循環小数であり、この循環節は 3 である。この小数は「33」や「333」等の繰り返しでもあるが、これを循環節とはせず、最短の数列を循環節とする。
もう少し複雑な例としては、¹²³⁴⁄₅₅₅ = 2.2234234… は小数第三位以下の「234」を無限に繰り返すので、循環節が 234 の循環小数である。
小数の表示は、十進法に限らず他のN進法で同様である。例えば、²⁄₃ を二進法の小数で表すと、0.101010… であり、循環節が 10 の循環小数である。他にも、六進法の¹⁄₅ = 0.1111… であり、循環節が 1 の循環小数である。二十進法の⁴⁄B (十一分の四) = 0.7591G… であり、循環節が 7591G の循環小数である。
有限小数も循環小数の一つであり(後述)、例えば十進法の1/2 = 0.500000…と「0」を無限に繰り返す循環小数である（但し、循環節が0の場合は特に明記する必要はない）。

有限小数

割り切れる有限小数も、循環小数として表すことができ、その循環節は0（0桁ではなく、1桁の「0」）である。しかし、小数第一位が「商－1」で小数第二位以降が「桁の底－1」から成る循環小数と見なす見解もある。
例えば、十二進法の ¹⁄₃ は通常 0.4 と表すが、これは 0.4000… ということであり、循環節が 0 の循環小数である(つまり有限小数は循環小数(無限小数)の特別な場合と見ることもできる)。一方、0.3BBB… と表す見解もあり、これは循環節が B（十一）の循環小数となる。
同じく、二十進法の ¹⁄₅ も通常 0.4 と表すが、これは 0.4000… ということであり、循環節が 0 の循環小数である(つまり有限小数は循環小数(無限小数)の特別な場合と見ることもできる)。一方、0.3JJJ… と表す見解もあり、これは循環節が J（十九）の循環小数となる。
一般に正の実数について、有限小数は二種類の循環小数で表せ、逆に、二通りに小数表示できるのはその一方が有限小数である場合に限る。
有理数が有限小数表示を持つのは、六進法や十二進法や十八進法なら分母の素因数が2と3（一般には、基数の約数たる素数）、十進法や二十進法なら分母の素因数が2と5（一般には、基数の約数たる素数）のみである時で、またその時に限る。

無理数

円周率や2の平方根といった、循環小数でない小数は無理数である。有理数は循環小数に表示でき、逆に、循環小数に表示できる実数は有理数に限る。

一般の有理数

10 と（一般には基数と）互いに素な自然数 n の逆数の循環節の長さは、カーマイケルの定理のλ関数を用いた場合、たかだか λ(n) 桁である。また有理数を整数倍したり、分母 n に対して基数に含まれる素因数を掛けた場合、循環節の長さが増すことはない。

定義に則った方法

最も素朴には、充分な桁数の小数表記を求め、その繰返し周期を見つける。
ただし、同じ数字の並びが表れてもより長い周期の一部かもしれない（たとえば ¹²¹²¹²³⁄₉₉₉₉₉₉₉ = 0.1212123 の循環節を 12 と求めてしまうかもしれない）ので、循環節の長さの上限を事前に知っておかなければならず、それだけの桁数まで求めて初めて、循環節を求められる。上限としては#一般の有理数にて挙げたものがあるほか、素因数分解の手間をかけたくなければ「分母 － 1」が使える。

筆算

割り算を筆算で求めれば、余りに同じ数が現れた時点で、繰り返しに入ったことがわかる。例えば、十進法の  を小数表示する場合、次のような計算を行う。
        0.142857
    7 ) 1.000000
          7
          30
          28
           20
           14
            60
            56
             40
             35
              50
              49
               1
これ以降は同じ計算の繰り返しとなるので、 = 0.142857 であることが分かる。この例では、1 を 7 で割った商と余りを計算することを繰り返している。
別のN進法でも、筆算によって循環小数が現れる。六進法の （= 5⁻² = 十進法の ）を筆算で小数表示する場合、次のような計算を行う。
       0.01235
  41 ) 1.00000
         41
         150
         122
          240
          203
           330
           325
             1
これ以降は同じ計算の繰り返しとなるので、 = 0.01235 であることが分かる。この例では、整数を 41 で割った商と余りを計算することを繰り返している。
被除数が1以外の場合も、同じように筆算で循環小数が現れる。割り切れる例も併載する。例として、被除数を 2⁸、除数を 3³とする。
十六進法の 100 ÷ 1B（2⁸ ÷ 3³、十進法だと 256 ÷ 27）
           9.7B425ED097B
    1B ) 100.00000000000
          F3
           D 0
           B D
           1 30
           1 29
             70
             6C
              40
              36
               A0
               87
               190
               17A
                160
                15F
                  100
                   F3
                    D0
                    BD
                    130
                    129
                      7
被除数が除数より大きい例だが、整数部分を含めて「97B」が2回現れているので、これ以降は同じ計算の繰り返しとなり、100÷1B = 9.7B425ED09 となり、小数部分は9桁の「7B425ED09」が繰り返されることが分かる。この割り切れない「0.7B425ED09」を分数化すると、十六進法で 、十進法で  となる。
六進法の 1104 ÷ 43（六進冪指数だと 2¹² ÷ 3³、十進法だと 256 ÷ 27）
          13.252
   43 ) 1104.000
         43
         234
         213
          21 0
          13 0
           4 00
           3 43
             130
             130
               0
小数部分が3桁の「252」で終わって、1104÷43 = 13.252 となる。割り切れる小数「0.252」に相当する六進分数  は、十六進法で 、十進法で  となり、既約分数にすると六進法で 、十六進法で 、十進法で  となる。
一般に、a を b で割る筆算では、ある整数を b で割った商と余りを計算することを繰り返すが、b で割った余りは 0 から b － 1 の b 通りしかないため、余りが 0 になって計算が終わるのでなければ、必ずどこかで同じ余りが出現して同じ計算の繰り返しとなる。ゆえに、有理数を小数表示すると循環小数になる。この方法では循環節の長さの上限を事前に知っておく必要はないが、「分母 － 1」以下であることがこれによりわかる。

素数の逆数の場合

基数に素因数として含まれない素数 p の逆数に対しては、循環節を m 桁とすると 10ᵐ － 1 は p で割り切れ、商が循環節となるので、p － 1 の約数それぞれに対し 10ᵐ － 1 が p で割り切れるかを試せばよい。m が小さい順に試せば、計算量を節約できる（たとえば ¹⁄₃ = 0.333… に対しては 3 (m = 1) も 33 (m = 2) もこれを満たすので、小さい順でなければならない）。