端数処理

端数処理（はすうしょり）とは、与えられた数値を、ある一定の丸め幅の整数倍の数値に置き換えることである。平たく、丸め（まるめ）ともいう。常用的には、十進法で10となる数値の累乗（…100、10、1、0.1、0.01…）が丸め幅とされることが多いが、十進法以外のN進法についても同様である。

凡例

丸めは任意の丸め幅に対し可能だが、以下では特にことわらない限り、丸め幅を1とする。任意の丸め幅で丸めるには、丸める前に丸め幅で割り、丸めた後に丸め幅をかける。
主に正数について述べるが、負数についても適宜述べる。

（広義の）最近接丸め

丸め誤差を小さく抑えるには、常に最も近い整数（2つある場合はそのうちどちらか）に丸めればいい。これを「最近接丸め (round to the nearest)」という。ただし、単に「最近接丸め」というと、後述する「偶数への丸め」を意味することが多いので注意。
最近接丸めでは、丸め誤差は最大で1/2となる小数（以下「半分小数」。十進法の0.5や、十二進法の0.6など）で、切り捨て・切り上げの半分になる。バイアスも、端数がランダム（[0,1)で一様分布）の場合は発生しない。端数がランダムでなく端数が半分小数が有限の割合で発生する場合のみバイアスが発生するが、それでも、切り上げ・切り捨てより格段に少ない（端数が全て小数化すると半数になる、十進法0.5のデータを四捨五入する、十二進法0.6のデータを五捨六入するいったワーストケースでは同じ程度になる）。
端数がちょうど半数だった場合どちらに丸めるかで、いくつかの変種がある。

四捨五入

十進法では、端数が0.5未満なら切り捨て、0.5以上なら切り上げる「半数切り上げ」の丸めを「四捨五入」という。JIS Z 8401で規則Bとして定められている。「四捨五入」という呼び名は、小数第一位が4以下ならば切り捨て、5 以上ならば切り上げることに相当することから来ている。一般にはR丸めとも言う。（「ある程度」というのは、1.0 の半分が 0.5 であるということは記数法に無関係な、量（数量）としての関係だからである。小数点からずれた位置での丸めは記数法の影響が大きいが、小数点のひとつ左にある「ーの位の桁」の重みが1である、ということは記数法の影響を受けない。
）
正数に対しては、0.5を足して切り捨てるという、単純なアルゴリズムで得られる。なお、負数に対して正常な結果を得ようとすれば、切り捨ては負の無限大への丸めである必要がある（0への丸めだと、たとえば−2が−1に丸められてしまう）。ただし、0.5を足して負への無限大へ丸めると、端数が0.5の場合に絶対値が減る（たとえば、−1.5は−1へと丸められる）。一方、JIS Z 8401では、負数は絶対値として丸める（−1.5は−2へと丸められる）。実際に、コンピュータで負の数に「0.5を足して切り捨て」た場合どうなるかは、負数と切り捨ての実装による。
端数が0.5のとき常に増える方向に丸められるため、（端数がランダムでない場合は）わずかに正のバイアスが発生しうる。

五捨五超入

端数が0.5以下なら切り捨て、0.5超なら切り上げる丸めを「五捨五超入」という。
0.5は常に切り上げられる四捨五入とは逆の特徴を持つ。端数がランダムでない場合は、わずかに負のバイアスが発生しうる。
正の数に対しては、0.5を引いて切り上げることで得られる。

偶数への丸め（round to even）

偶数への丸め（round to even）は、端数が0.5より小さいなら切り捨て、端数が0.5より大きいならは切り上げ、端数がちょうど0.5なら切り捨てと切り上げのうち結果が偶数となる方へ丸める。JIS Z 8401で規則Aとして定められていて、規則B（四捨五入）より「望ましい」とされている。
四捨五入ではバイアスが発生する、端数0.5のデータが有限割合で存在する場合でも、バイアスがないのが特徴であり、多数足し合わせても丸め誤差が特定の側に偏って累積することがない（偶数+0.5は現れるが奇数+0.5は現れない、といったような特徴があるデータであれば、やはりバイアスはあらわれる）。
単に「偶数丸め」「最近接丸め」とも呼ばれる。JIS Z 8401で定められていることから「JISの丸め方」、あるいは同様にISO 31-0で定められていることから「ISO丸め」ともいう。英語では、誤差の累積を嫌い銀行家が好んで使ったため「銀行家の丸め (bankers' rounding)」、「銀行丸め」ともいう。5が切り捨てられたり切り上げられたりするので「五捨五入」と呼ばれたり、端数がちょうど0.5の場合に整数部分が偶数なら「ゼロへの丸め」奇数なら「無限大への丸め」になるので「偶捨奇入」と呼ばれたりもする。

奇数への丸め（round to odd）

奇数への丸め（round to odd）は、偶数への丸めの対称である。端数が0.5より小さいなら切り捨て、端数が0.5より大きいならは切り上げという点は最近接丸めとして同様だが、端数がちょうど0.5なら切り捨てと切り上げのうち結果が奇数となる方へ丸める、という点が偶数への丸めの逆である。
四捨五入ではバイアスが発生する、端数0.5のデータが有限割合で存在する場合でも、バイアスがないのが特徴であり、多数足し合わせても丸め誤差が特定の側に偏って累積することがない（偶数+0.5は現れるが奇数+0.5は現れない、といったような特徴があるデータであれば、やはりバイアスはあらわれる）。

実用上は最近接丸めとなる丸め

定義は最近接丸めになっていないが、最近接丸めと等しくなる場合にのみ実用される丸めがいくつかある。

五捨六入

小数第一位が5以下ならば切り捨て、6以上ならば切り上げる丸めを「五捨六入」という。ただし、後述するように五捨六入は十進法と十二進法では異なり、十進法では「半数切り捨て」が五捨六入で、十二進法では「半数切り上げ」が五捨六入である。この節では、十進法で「半数切り捨て」を指す五捨六入について述べる。
0.4を足して切り捨てることで得られる。0.55が0へ丸められることから、五捨六入が最近接丸めではないことがわかる。端数がランダムなデータに対しは、やや強い負のバイアスがあるため、そのようなデータに対し五捨六入が使われることはまずない。
五捨六入が実用的なのは、端数が0.1の整数倍のみを取りうる場合に限られる。この場合の五捨六入は、0.1〜0.5で切り捨て、0.6〜0.9で切り上げ（0.5超0.6未満は発生しない）なので、最近接丸めの一種の五捨五超入と同じ結果となる。
例えば、麻雀のとあるローカルルールでは、最終的な得失点を五捨六入する。この場合の端数は常に0.1の整数倍（100の倍数を、1000の倍数に丸める）なので、丸め結果は五捨五超入である。
コンピュータでは、プロセッサによっては四捨五入と五捨六入を均等に使い分け、バイアスを0にする工夫がなされているものがある。

四捨六入

アルシーアル麻雀の得点計算では、かつて端数処理が行われる前の段階の計算による得点を丸めるときに四捨六入と呼ばれるものが採用されていた。これは丸める桁が必ず偶数になるためであり、実質的には最近接丸めである。また、#偶数への丸めが「四捨六入」と呼ばれる事例もある。

スウェディッシュ・ラウンディング

ニュージーランドでは現金での支払いの際、スウェディッシュ・ラウンディングと呼ばれる方法で端数処理が行われている。「スウェディッシュ・ラウンディング」とは、十進法で二捨三入や七捨八入と呼ばれる方法である。
5を単位とした端数が3未満なら切り捨て、3以上なら切り上げとなる。
端数がランダムな場合は、五捨六入と同様に非実用的である。しかし通常は、1刻みのデータに対し5を丸め幅として丸めるので、その結果は最近接値への丸めである。

乱数丸め

[0,1)の一様乱数を発生させ、端数以上なら切り捨て、端数より小さければ切り上げる。
一様乱数を足して切り捨てることで得られる。
丸め誤差は上界が1だが、分布が0近くに集まっているため、ランダムなデータに対する平均二乗誤差は切り捨て・切り上げよりは少ない。
任意の分布の端数に対して、バイアスがないのが特長である。たとえば、0～0.5の間に端数が多かったとすると、偶数への丸めでは負のバイアスが生まれるが、乱数丸めではバイアスがない。
ディザの一種として使われる。

フォン・ノイマン丸め

常に奇数側へ丸める。
二進法では、切り捨てた後LSBをセットするという、簡単なアルゴリズムで得られる。
丸め誤差は切り捨て・切り上げと同程度で大きいが、ランダムなデータに対してはバイアスがないという性質は持っている。

低レベルの丸め

choppingは、あるビット以下を全て0にする。これは最も計算が簡単な丸めで、正の数に対しては切捨てとなる。負数に対する動作は負数の方式によるが、2の補数表現では負の無限大への丸めとなる。
choppingは、下位ビットを明示的に0にするほか、たとえば32ビットレジスタの上位16ビットを16ビットレジスタとして使うなどでも得られる。
choppingのあと、有効桁の中でのLSBをセットすると、フォン・ノイマン丸めとなる。

プログラミング言語の丸め関数

同様にビット操作で実装されるものであるが、プログラミング言語の関数などで丸めの機能が提供されている。FPUで実装されていることも多い。
通常は、丸め関数の丸め幅は1で、それ以外の丸め幅に対しては、丸め前に丸め幅で割り丸め後に丸め幅を掛ける、というのが一般的なレシピである。これは、割ったり掛けたりするのはプログラマの責任であり、処理系は「小数点以下の丸め」のみに責任を持つ、という明確な責任の分界点のあらわれである。第2引数以降で丸め幅を指定できる環境もある（が、次で述べるように問題がある）。
Ruby（やPHP）など一部の言語のライブラリでは、（十進で）小数点以下何桁目で丸める、ということを引数で指定できるものがあるが、仕様に問題がある。よく知られているように一般的な二進の浮動小数点表現では、例えばきっかり 0.1 という値は表現できない。ということは、たとえば 0.11 を小数点以下1桁に丸めた結果として 0.1 が欲しい、と要求しても、その 0.1 は内部的には「丸めた」結果とは本来は言えないものだからである。そのような計算に関する、いくつかのモデルの立て方は考えられるが、いずれにしろ元々の要求のほうが無理としたほうが妥当である。
丸め関数が返す値は、小数点以下が全てゼロの値、という意味では整数だが、型は引数と同様に浮動小数点型というものも多い。これは理論的な理由よりは実際上の理由で、以前は一般的な整数型であった32ビット固定長整数で表現できる整数の範囲よりも、一般的な浮動小数点型である倍精度浮動小数点型で正確に表現できる整数の範囲のほうが広いためである。

C言語における型変換と端数処理

浮動小数点型から整数型へのキャストなどによる型変換では、処理が単純な切り捨てになるものが多く、負の場合は実装による。
C言語のmodf関数は、実数を整数部と小数部に分割する。整数部は0への丸めである。
（以下（§a.b）のようにして示すセクションは JIS X 3010-1993（C89）のもの）
C言語およびそれと同じ仕様の言語では、キャストなどによる浮動小数点型から整数型への型変換においては、その値は小数部が捨てられる（§6.2.1.3）。よって「0への丸め」が行われる。
C89では、数学ライブラリ（§7.5）に床関数floorと天井関数ceilがあり（§7.5.6）、浮動小数点型において正方向への丸めと負方向への丸めが計算できる。
C99では、四捨五入関数roundをはじめとして、fegetround/fesetround（これはmath.hではなくfenv.h）による丸めモードの取得と設定など、大幅な強化が図られている。
なお、浮動小数点演算の性質上、たとえば (int)(0.6/0.2) は 3.0 ではなく 2.0 になる（なってもおかしくない）ので注意が必要である。これは浮動小数点表現では 0.6 や 0.2 を厳密に表現できないため、0.6/0.2 が、厳密には 2.9999999999999996 のような値になるためである。

建設事業における積算の例

建設事業における積算において、当該業務の金額を算出する際に取り扱われる端数処理については、各種作業行為（請負工事、委託業務…）によってそれぞれ規定や定めがあり、それに従って端数処理が取り扱われる。
例として、「国土交通省土木工事積算基準」で第1編土木工事積算基準等通達資料の中の「土木工事積算要領及び基準の運用」に、「国土交通省土木工事標準積算基準書(共通編)」では第Ⅰ編総則第2章に（例）、「土木工事積算マニュアル」では第5編「土木工事積算基準の解説」1章一般事項にそれぞれ諸雑費及び端数処理の方法が記載されている。たとえば土木請負工事における共通仮設費、一般管理費、現場管理費の経費率は全て、小数点以下第3位を四捨五入して2位止めにしているが、これは『国土交通省 土木工事標準積算基準書（共通編）』「P特−2−月−8」、「特−2−月−30」、「特−3−日−2」に記載された記述規定に基づく。
数量についても積算基準で定めがあり、建築では「建築数量積算基準」で「積算の数量は、設計図書から読みとることのできる設計数量によることを原則とする」としている。したがって、所要数量、 計画数量を必要とする場合は、その旨明記することになっている。また、 所要数量で表示する必要のあるときには、その割増率についても規定している。
長さ計測の単位はmとし, 小数点以下3位を四捨五入する。一般に設計図書の寸法は「mm」単位で記入されているが、 そのまま計算すると非常に細かい数値となる。積算上では長さの計測は「m」が単位であるから、端数が多いとそれだけ作業効率がわるいばかりか計算違いのもとにもなりやすい。このため「建築数量積算基準」など各種積算基準書では、 積算精度を勘案して小数点以下3位を四捨五入し、「cm」の位までとしている。
計算数値の端数についても小数点以下3位を四捨五入する。
電子データの場合は, 入力時, 計算途上で端数処理は行わなくてもよく, 最後の内訳書に対応する数量で端数処理を行う。
また同一のものが数箇所ある場合の計算過程は, 1箇所の長さ, 面積、体積について四捨五入したのち,倍数を乗じる方法と,倍数を乗じた上で最後に四捨五入する方法と二通り考えられるが,  前者は原則による計算とし, 後者は便法による計算としている。多少の差はあるが,微細な誤差だけにほとんど問題はないので,  いずれの方法によってもよいことになっている。
鉄筋の径、鉄骨材,木材の断面等は材料の規格を示すものであるので,この場合は上述の規定の適用外として, mmまで計測することとしている。また建築工事積算基準の第4編第2章第2節1通則および第5編第2種第2節6. (6).2)に示す通り, コンクリートの断面寸法も小数点以下3位まで計測し,木材の所要数量(体積)を求める場合もこの規定の適用外となっている。
設計図書の数量表示について、単位はいうまでもなく、長さm,面積m2, 体積m3および質量tであり,表示される数量の端数については、小数点以下2位を四捨五入して小数点以下1位とする。ただし, 100以上の数値については, 四捨五入して整数とする、などがある。
単価表についても、川崎市の例などのように、有効数字に合わせた桁を、一次単価表では諸雑費をプラス計上、二次以下単価表では諸雑費をプラス計上せず切捨て、などの処置で端数を調整しているのが一般的である。
また、土木工事工事費積算要領及び基準の運用にあるとおり、単価表では、歩掛表に諸雑費率があるものは単位数量当りの単価表の合計金額が，有効数字４桁になるように原則として所定の諸雑費率以内で端数を計上し、歩掛表に諸雑費率がなく，端数処理のみの場合は単位数量当りの単価表の合計金額が有効数字４桁になるように原則として端数を計上しており、単価表の各構成要素の数量×単価＝金額は小数第２位までとして３位以下は切り捨てているが、内訳書では諸雑費は計上せず、内訳書の各構成要素の数量×単価＝金額は１円までとし、１円未満は切り捨てている。