かけ算の順序問題

学習指導要領・学習指導要領解説の記述

学習指導要領では、乗法の記号「×」は乗法の意味などとともに第2学年で学習することとなっている。
小学校学習指導要領解説算数編では、× の左側に一つ分の数（かけられる数、被乗数）、右側にいくつ分にあたる数（かける数、乗数）を書いている式が多く見られる。いくつか例を示す。
第2学年では、「乗数が1増えれば積は被乗数分だけ増えること」を活用して、4 × 9 = 36から、4 × 10 = 40（36より4だけ増える）などを求める。数学的には「被乗数が1増えれば積は乗数分だけ増えること」も言えるが、4 × 9 = 36から5 × 9 = 45を求めるといった事例は書かれていない。第2学年ではこのほか、乗法の式から場面や問題をつくる活動において、3 × 4の式に対し、「プリンが3個ずつ入ったパックが4パックあります。プリンは全部で幾つありますか。」という問題を例示している。「プリンが4個ずつ入ったパックが3パックあります。プリンは全部で幾つありますか。」というような問題をつくる子どもへの指導については、規定されていない。
第3学年では、筆算において被乗数と乗数が区別される。23 × 45だと45が乗数であり、これを45 = 40 + 5とみて、23 × 40と23 × 5に分けて計算する。また同じく第3学年で除法が導入されるが、その際に除法の「意味」には「等分除と包含除」（#等分除と包含除を参照）があるとして、それと乗法を、包含除は3 × □ = 12、等分除は□ × 3 = 12である、などと関連付けさせている。
高学年では小数の乗法を学習するが、第4学年では乗数が整数である場合に限られる。0.1 × 3ならば、0.1 + 0.1 + 0.1の意味である。第5学年では乗数が小数となる乗法を学習し、「1mの長さが80円の布を2.5m買ったときの代金」は、80 × 2.5で表される。
言葉の式についても、「1mの重さ × 棒の長さ = 棒の重さ」「（単価）×（個数）=（代金）」と一貫している。なお中学校学習指導要領解説数学編では、いくつかの言葉の式と並んで「（値段）=（単価）×（個数）」が記されている。
しかし、場面に対応するかけ算の式は、常に一つというわけではない。第2学年では、「12個のおはじきを工夫して並べる」という活動において、次のようにおはじきを並べ、複数の式を記載している。これは「一つの数をほかの数の積としてみる」ことを意図したものである。
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2×6 または6×2

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3×4 または4×3
第4学年の長方形の面積の公式では、「（長方形の面積）=（縦）×（横）（もしくは（横）×（縦））」とある。
学習指導要領は「教育課程の標準」「各教科で教える内容」を定めたものであり、例示として片方の順序を示しているところはあっても、その片方の順序でのみ式を書くことを要請する文は存在せず、他方の順序を不正解とすることもない。学習指導要領・学習指導要領解説に基づき教材や授業、テストとして具体化されていく中で、特定の順序が選択される。そのとき、逆の順序に書かれた式を正解とするか不正解とするかは様々である。
文部科学省初等中等教育局教育課程課は中日新聞の取材に答えて「かけ算の意味を理解させるよう定めているが、順序については国が定めるものではない」と述べるとともに、指導要領解説の「10 × 4は、10が四つあることから、40になる」を根拠に「順序に意味がある」とする解釈については「深く考えすぎだと思う」と否定している。

交換法則を満たすので、どの順序で書いても不正解にすべきでない

答案に6×4=24という式を書いてぺけをつけられたある児童の父兄は、「6×4=4×6というのは一般的な常識であるし、数学上、交換法則にもとづく真理でもある」と指摘した。
 — 朝日新聞、1972年1月26日
「6人のこどもに、1人4こずつみかんをあたえたい」というかけ算の問題において、交換法則から6×4は4×6は同じ値になるため、不正解にすべきでないという主張がある。
このかけ算の問題には交換法則が適用できる。理由の１つは、この問題を解こうとしたときにイメージをするために表形式（アレイ図）に並べて描いた場合、縦から始める式（6×4）も横から始める式（4×6）も図から読み取れ、この縦と横の対等性は交換法則の前提であるからである。

１つぶんの数を決めつけるのはよくない

みかんを配るのに，トランプを配るときのやり方で配ると，1回分が6こ，それを4回くばるのだから，それを思い浮かべる子どもは，むしろ，6×4=24 という方式をたてるほうが合理的だといえる。
 — 遠山啓、量とは何か I, p116
「6人のこどもに、1人4こずつみかんをあたえたい」というかけ算の問題において、「1つぶんの数」が1人に配る4こであるとは限らない。
トランプ配りのように6人に1こずつみかんを配る場合、1巡で配る6こを「1つぶんの数」と考えてもおかしくない。 それを 4巡するという式「6×4=24」は、1つぶんの数 × いくつ分 = ぜんぶの数という数学的思考に基づいたかけ算になる。
出題者が恣意的に想定する「1つぶんの数」は、むしろ正しい数学的思考に対する阻害要因ともなりうることから、解答の正不正に影響すべきではない。

順序では文章題の意味を理解しているかを判別できない

かけ算の順序で「読み取り」が正しくできているかあるいは「文章題の意味を理解しているか」を判定するという考え方は不合理である。
伊藤宏の報告のように絵を描かせた場合、絵を見ることによって児童が正しく問題文を読み取っているか判断できる。その結果、小学3年生において、順序の読み取りが適切にできていても問題に登場した順に書く児童のほうが多いし、「正しい順序」でない式を書いた児童でも適切に読み取りができていることが報告されている。
また、円 × 冊 = 円 のようにサンドイッチの形にするのが正しいなどと指導すれば、数値と単位（助数詞）を見れば機械的に「正しい立式」ができてしまうことになる。問題文を正しく読み取らせるという当初の目的に逆行するものである。
このように、かけ算の順序で「読み取り」が正しくできているか判定するという考え方は不合理であり、説得力をもたない。

テストは教育の一手段であり、不正解にして終わらせるべきではない

これ（朝日新聞、1972年1月26日）を読んでまず感じたことは、（中略）テストは教育の一手段であって、その目的ではない。（中略）６×４と書いた子どもがいたら、バツをつけるまえに（中略）いいかわるいかを討議させるといいだろう。そうすると、その討議の過程で、その子がまちがっていたら、なぜ誤りとされたかを納得するだろう。また、４×６と書いた子どもも、その子の説明をきいて６×４の考え方がわかって、賛成するかもしれない。（中略）バツをつけて終わりにしたら、せっかくのチャンスをのがすことになってしまう。
 — 遠山啓、量とは何か I, p114
一見正解と異なる解答を挙げて討議させれば、なぜ誤りかを知ることや、正しい考え方をいろいろ知ることができ、教育の1つの手段になるので、かけ算の順序が異なっていても正解の可能性があるテストは、すぐに不正解にして終わらせるべきではないという主張である。
この主張では、正解かどうかは討議の後で明らかになるのだが、討議に入るまでの採点方法や、正しく理解しているかどうかを調べる目的のテストの扱いについては言及されていない。（テストは点を取ることが目的ではないことは言及されている。） しかし、解答に書かれたかけ算の順序が異なるかどうかだけで、かけ算の理解が正しいかどうかを調べることができないことは示されている。

多面的にものを見る力や論理的に考える力を育てることに悪影響

必ずしも「1つぶんの数 × いくつ分 = ぜんぶの数」というパターンにあてはめて考えなければならないわけではない。
「3人にそれぞれ4個ずつミカンを配った。ミカンは全部で何個か」という問題は、長方形の形に並べて置いてあるミカンの数を求める問題と同じものであるとみなせる。このように考えた場合、「3 × 4」「4 × 3」いずれも正しいことは自明である。また、かけ算の式を「1つぶんの数 × いくつ分 = ぜんぶの数」ではなく「いくつ分 × 1つぶんの数 = ぜんぶの数」と解釈することもできる。
「3 × 2 で3本耳のウサギが2羽、2 × 8 で2本足のタコが8匹という意味になります。」という解釈は不適切である。

「1つ分の数」×「いくつ分」の順序で書く約束になっている

かけ算の式は「1つ分の数」×「いくつ分」の順に書く約束になっているので、問題文から正しく読み取って、そのとおりに式に書けるようにしましょう。
 —  Benesse 小学生の学習Ｑ＆Ａ 
かけ算の式は「1つ分の数」×「いくつ分」であると教えているからその順序に書く約束になっているので、×の左右の数が逆になった式は意味が異なり、不正解であるという主張である。
「1つ分の数」×「いくつ分」の順序で書く約束があれば、1つ分の数といくつ分がそれぞれ正しく読み取れているかどうかを、問題文と式の順序をあえて逆にした問題によって確認できる。
 「一冊５円のノートを，６冊買ったら，いくら支払えばよいでしょう。」という問題を解くときには，「５円×６」として，その結果を求めるのが普通である。ところが，この問題を，「ノートを６冊買いました。どれも１冊５円でした。ぜんぶでいくら支払ったらよいでしょう。」とすると，「６×５＝30(円)」として結果を求めるこどもがでてくるであろう。
こどもが，このような誤った解決をするのは，（以下略）
 — 文部省、1951年
田中博史は、式を「1つ分の数」×「いくつ分」の順序で書き、逆の順序の式は意味が異なることを明確にした、九九カルタ という算数教材を開発した。
「5 × 8」

（読み札）1はこに5こ入りのチョコレートが8はこあります。

「8 × 5」

（読み札）チョコレートが5はこあります。1はこは8こ入りです。

カードの答えの数を見て5 × 8の答えを取ろうとすると、これまでは40の答えが2まいあって、どちらの式かわかりませんでした。このカードなら数の横に文章題も書いてありますので、それを読み取ることにより、判別することができます。
 — 田中博史、2011年
「1つ分の数」×「いくつ分」の順序で書く約束があるという擁護派の主張は、戦後すぐの算数指導から見られ、現在においても根強い。 1951年 小学校学習指導要領算数科編(試案)、数学教育協議会、1972年 大阪府の小学校、1977年 森毅、1993年 伊藤武広、萩上紘一、原田実、2008年 田中耕治、2011年 守屋誠司、田中博史、2014年 坪田耕三。 詳しくは『#かけ算の順序問題の経緯』の章を参照のこと。

「1つ分の数」×「いくつ分」の順序で書く方が合理的である

日本は「４の６倍」式に４×６と書くが，欧米では「６倍の４」式に６×４と書く．これは（中略）言語習慣から来ている．ただし，日本式の方が合理的というのが世界の相場（中略）「４の６倍」式に操作をあとから書く日本式が便利になる．最近のコンピューター言語はこちらが便利だし，欧米語でヨコ書きを左から右に書いているときも，6xと逆行するよりも，x6と続ける方がやりやすい．
 —  森毅 、 数の現象学 p67,p76
かけ算は、「1つ分の数」×「いくつ分」のように、操作内容である乗数を後に書く方が合理的であるとの判断が世界的に見て多い。 なお、乗算 における被乗数の定義は掛けられる方の数（１つ分の数）、乗数の定義は掛ける方の数（いくつ分）である。
乗数を右に書くと、四則演算のすべてが 操作される数、操作する数 の順に統一でき合理的である。
欧米では「６×」の書き方も普及しているが、２を引くひき算は「－２」のように書き、演算によって数字と記号の位置関係が逆である。
電卓で４を６倍する場合、４、×、６、＝ の順に押しても、６、×、４、＝ の順に押しても正しい計算結果は表示されるが、６倍した後に更に２倍する場合、続けて ×、２、＝ の順に押すしかない。 逆ポーランド記法で行う一部の電卓（HP-15Cなど）では、４、Enter、６、× の順に押した後、２、× の順に押すことができるが、四則演算すべてが逆ポーランド記法になるため、更に３を引く場合、３、－ の順に押さなければならない。 四則演算のうちかけ算だけ押す順序が変わる電卓は存在しない。
プログラミング言語は、被乗数と乗数の順序にこだわりはない。 変数 a を６倍した値を表す式は、a * 6 でも 6 * a でも記述できる。 変数 a は数値だけでなく文字列にできる言語（Pythonなど）もあり、たとえば "W"*3 や 3*"W" の評価結果は "WWW" になる。 World Wide Web Consortium の略称である W3C は乗数が右にある。 Rubyは 3*"W" と書けないが、これは文字列のクラスに * 演算のメソッドがあり、数値のクラスに文字列の引数を持つ * 演算のメソッドがないためである。 クラス（オブジェクト）を被乗数、メソッドを乗数と見た場合、被乗数→乗数の順序があると見ることもできる。 変数 a を６倍する（その結果をまた変数 a に戻す）式は、a *= 6 のように乗数を右に記述することになる。

海外でのかけ算の導入

中国では、かけ算の導入時から、因子 × 因子 = 積と、左右が対等な形で教え、両方の順序を示している。
アメリカでは、「一般的に指導されているかけ算の意味は、（いくつ分）×（ひとつ分） = （全部の数）であり、日本のそれとは順序が逆である」とされる。しかし、数学教育において、式の順序は重視されていないようである。
例えば、私が黒板に自転車が3台並んでいる絵を書いて、タイヤの数を求める式は、2 × 3か、それとも3 × 2か、と問うと、教員養成課程の学生ばかりでなく、現場で算数を教えている先生も、ほとんどが、どちらでもかまわないという。その理由は、「どっちでも答えは6だから」というのである。驚くなかれ、大学で数学教育を教えている人の中にもこのような人は少なくないのである。
 — 高橋昭彦、東洋館出版 筑波大学附属小学校算数研究部 企画・編集 算数授業論究 2012年（平成24年） 論究II かけ算を究める p54 「小学校でかけ算を教えるのは何のためか」