複素数

数学における複素数（ふくそすう、英: complex number）は、実数の対 a, b と 1 と線型独立な（実数ではない）要素 i の線型結合 a + bi の形に表される数（二元数: 実数体上の二次拡大環の元）で、基底元 i はその平方が −1 になるという特別な性質を持ち虚数単位と呼ばれる。
複素数全体の成す集合を太字の C あるいは黒板太字で ℂ と表す。C は、実数全体の成す集合 R と同様に、可換体の構造を持ち、とくに R を含む代数閉体を成す。複素数体はケイリー–ディクソン代数（四元数、八元数、十六元数など）の基点となる体系であり、またさまざまな超複素数系の中で最もよく知られた例である。
複素数の概念は、一次元の実数直線を二次元の複素数平面に拡張する。複素数は自然に二次元平面上に存在すると考えることができるから、複素数全体の成す集合上に自然な大小関係（つまり全順序）をいれることはできない。すなわち C は順序体でない。
ある数学的な主題や概念あるいは構成において、それが複素数体を基本の体構造として考えられているとき、そのことはしばしばそれら概念等の名称に（おおくは接頭辞「複素-」を付けることで）反映される。例えば、複素解析、複素行列、複素（係数）多項式、複素リー代数など。

複素数球面

複素関数論においては、複素平面 C を考えるよりも、無限遠点を付け加えて1点コンパクト化した C ∪ {∞} を考える方が自然であり、議論が透明になることもある。複素数球面またはリーマン球面と呼ばれ、以下に示すように2次元球面 S² と同相である。無限遠点にも幾何的な意味を与えることができる。
複素数平面 C を、xyz-座標空間内の xy-平面とみなし、z ≥ 0 に含まれ xy-平面に原点で接する球面 x² + y² + (z − 1)² = 1 を考える。この球における原点の対蹠点 (0, 0, 2) を北極と呼ぶことにする。任意の複素数 w に対し w と北極を結んだ線分はこの球面と、両端以外の一点で必ず交わり、それを f(w) と書けば f は単射である。f の像は、全球面から射影の中心である北極を除いた部分である。そこで、北極は無限遠点に対応すると定めることにすると、この球面は C ∪ {∞} と一対一対応する。
この関数 f は、複素平面上の円を円に写し、複素平面上の直線を、無限遠点を通る円に写す。このことは、複素平面上の直線と円はほぼ同等であることを表している。

極形式

x-軸および y-軸をそれぞれ実軸および虚軸ととるのとは別の仕方で、複素数を複素数平面上の点 P として定義する方法として、原点 O: (0,0) からの距離と、正の実軸と線分 OP の見込む角を反時計回りに測ったものの対（P の極座標）を考えることが挙げられる。これにより、複素数の極形式の概念が導入される。

剰余環としての構成

C の代数的な姿をより明確にする特徴付けは、体および多項式の概念に基づく構成によって示される。体とは有理数全体の成す集合のように四則演算ができてよく知られたいくつかの性質を満たすものである。実数全体の成す集合 R が体であり、また R に係数を持つ多項式全体の成す集合 R[X] が通常の多項式の和および積に関して多項式環と呼ばれる環を成すことに注意する。
剰余環 R[X]/(X² + 1) が R を含む体となることは示すことができる。この拡大体は X および −X（の属する剰余類）を −1 の二つの平方根として含む。この剰余環の任意の元は a + bX (a, b は実数) の形の多項式を代表元に持ち、多項式の除法の原理によってこのような多項式は一意的に決まるから、1 および X の属する剰余類は実ベクトル空間としての R[X]/(X² + 1) の基底である。
さらに言えば、このような元（剰余類）を（その代表元となる上記の一次式の係数によって）実数の順序対 (a, b) によって表すならば、この体における（抽象代数学的に与えられた）加法および乗法は前節で述べた（形式的に与えられた）加法と乗法の定義式に整合する。すなわち、二つのやり方で得られた体 C は体として同型である。

歴史

負の数の平方根について、いささかなりとも言及している最も古い文献は、数学者で発明家のアレクサンドリアのヘロンによる『測量術』(Stereometrica) である。そこで彼は、現実には不可能なピラミッドの錐台について考察しているものの、計算を誤り、不可能であることを見逃している。
16世紀にイタリアの数学者カルダノやボンベリによって三次方程式の解の公式が考察され、特に 3 つの異なる実数を解に持つ場合において解の公式を用いると、負の数の平方根を取ることが必要になることが分かった。当時は、まだ、負の数でさえあまり認められておらず、回避しようと努力したが、それは不可能なことであった。
17世紀になりルネ・デカルトによって、虚 (imaginary) という言葉が用いられ、虚数と呼ばれるようになった。デカルトは作図の不可能性と結び付けて論じ、虚数に対して否定的な見方を強くさせた。
その後、ウォリスにより幾何学的な解釈が試みられ、ヨハン・ベルヌーイやオイラー、ダランベールらにより、虚数を用いた解析学、物理学に関する研究が多くなされた。
複素平面が世に出たのは、1797年にノルウェーの数学者カスパー・ベッセル (Caspar Wessel) によって提出された論文が最初とされている。しかしこの論文はデンマーク語で書かれ、デンマーク以外では読まれずに1895年に発見されるまで日の目を見ることはなかった。1806年にジャン＝ロベール・アルガン (Jean-Robert Argand) によって出版された複素平面に関するパンフレットは、ルジャンドルを通して広まったものの、その後、特に進展は無く忘れられていった。
1814年にコーシーが複素関数論を始め、複素数を変数に取る解析関数や複素積分が論じられるようになった。
1831年に、機は熟したと見たガウスが、複素平面を論じ、複素平面は複素平面として知られるようになった。ここに、虚数に対する否定的な視点は完全に取り除かれ、複素数が受け入れられていくようになる。実は、ガウスはベッセル（1797年）より前の1796年以前にすでに複素平面の考えに到達していた。1799年に提出されたガウスの学位論文は、今日、代数学の基本定理と呼ばれる定理の証明であり、複素数の重要な特徴付けを行うものだが、複素数の概念を表に出さずに巧妙に隠して論じている。

他分野における複素数の利用

複素数 A と実数 ω により定まる、一変数 t の関数 Aeiωt は時間 t に対して周期的に変化する量を表していると見なすことができる。周期的に変化し、ある種の微分方程式を満たすような量を示すこのような表示はフェーザ表示と呼ばれ、電気・電子工学における回路解析や、機械工学・ロボティクスにおける制御理論、土木・建築系における震動解析で用いられている。なお電気回路上では電流（の密度）「i」と混同を避けるため、虚数単位は「j」を用いることが多い。
物理における振動や波動など、互いに関係の深い2つの実数の物理量を複素数の形に組み合わせて表現すると便利な場面が多いため、よく用いられる。
量子力学の数学的な定式化には複素数の体系が本質的な形で用いられている。ものの位置と運動量とはフーリエ変換を介して同等の扱いがなされ、波動関数たちのなす複素ヒルベルト空間とその上の作用素たちが理論の枠組みを与える。