第一種過誤と第二種過誤

第一種過誤（だいいっしゅかご、英: Type I error）または偽陽性（ぎようせい、英: False positive）と第二種過誤（だいにしゅかご、英: Type II error）または偽陰性（ぎいんせい、英: False negative）は、仮説検定において過誤を表す用語である。第一種過誤をα過誤（α error）やあわてものの誤り、第二種過誤をβ過誤（β error）やぼんやりものの誤りとも呼ぶ。なお「過誤」とは、誤差によって二項分類などの分類を間違うことを意味する。

統計的過誤: 第一種と第二種

統計学において、証拠を無に帰するような「帰無仮説」がある。
例えば、個人が病気ではないとか、被告人が無実であるとか、潜在的なログイン対象が認可されていないことなどを表す。
一方で、帰無仮説と全く逆の状況に対応する「対立仮説」がある。
すなわち、個人が病気にかかっているとか、被告人が有罪であるとか、ログイン対象が許可されたユーザであるといったことを表す。
目標は、偽である仮説が棄却されて真である仮説が採用されるようにすることである。ある種のテスト(血液検査、裁判、ログイン試み)を実施し、データを得る。
テストの結果は、陰性かもしれない（つまり、病気でない、有罪でない、ログインが許されない）。
一方、それは陽性かもしれない（つまり、病気、有罪、ログイン成功）。
テストの結果と実際の状態が一致していないなら過誤が発生したことになる。
テストの結果と実際の状態が一致しているなら、判断は正しいことになる。
どちらの仮説を誤って採用してしまったかによって、過誤を「第一種過誤」と「第二種過誤」に分類する。

第一種過誤

第一種過誤（α過誤、偽陽性）は、帰無仮説が実際には真であるのに棄却してしまう過誤である。つまり、偽がヒットすることによるエラーである。

第二種過誤

第二種過誤（β過誤、偽陰性）は、対立仮説が実際には真であるのに帰無仮説を採用してしまう過誤である。つまり、真が抜け落ちることによるエラーである。
対立仮説が正しい時に対立仮説を採択しない誤りのこと。

過誤の具体例

「真犯人を逮捕すること」を「帰無仮説を棄却すること」に例える。
第一種過誤は「一般市民を冤罪で逮捕してしまうこと」である。
第二種過誤は「真犯人を取り逃がすこと」を意味している。
刑事訴訟法336条で、「被告事件が罪とならないとき、又は被告事件について犯罪の証明がないときは、判決で無罪の言渡をしなければならない」と定めている。これは疑わしきは罰せずとも言う。
第一種過誤を避けるような手法を採用することを推奨している。他の分類については後述の過誤種別拡張の提案を参照されたい。

解説

仮説検定は、2つの標本の分布の違いが無作為な偶然性で説明できるかどうかを判定する技法である。2つの分布に有意な差があると結論付ける場合、その差異が無作為な偶然性では説明できないことを十分注意して判断する必要がある。真ではない仮説を採用する可能性をなるべく小さくするよう注意を払わなければならない。一般に第一種過誤となる確率を .05 か .01 に設定する。これはつまり100例のうち5例か1例で過誤が発生することを意味する。これを「有意水準」と呼ぶ。100例のうち5例というのが十分かどうかは一概には言えないため、有意水準の選択には細心の注意が必要である。例えば、シックス・シグマの品質管理を採用する工場では標準偏差の6倍の幅（±6σ）を管理限界とする（これを外れるのは極めて珍しい）。
統計的手法の利点は無作為な標本抽出にある。つまり、2つの分布の差が治療の前後でどう変化するかを無作為抽出で追跡可能である。しかし、現実がそれほど単純でないのは明らかである。無作為標本を取り出したとき、全く同じ分布となる可能性は極めて小さい。たとえ同じ分布であったとしても、それが偶然の産物なのか、それとも常にそうなるのかは判断できない。

過誤種別拡張の提案

ネイマンとピアソンが提唱した第一種過誤（偽陽性）と第二種過誤（偽陰性）は広く採用されているが、それら以外の過誤（「第三種過誤」や「第四種過誤」）を定義しようという試みがいくつかなされてきた。
これらは広く受け入れられるには至っていない。以下では、主なものを紹介する。

David

ユニヴァーシティ・カレッジ・ロンドンでネイマンやピアソンと同僚だったこともある Florence Nightingale David (1909-1993)は、冗談交じりに 1947年の論文で、自身の研究結果についてネイマンとピアソンの「過誤の2種類の源泉」を三番目に拡張する可能性について触れている。
私は、この理論の基本的考え方を説明するにあたって、私が（第三種の）過誤に陥っているという批判、標本に対して間違った検査法を選んでいるという批判を受けるのではないかと心配してきた 。

Kaiser

Henry F. Kaiser（1927年 - 1992年）は1966年の論文でMostellerの分類を拡張し、「第三種過誤」を棄却された仮説に基づいて間違った判断をすることを指すとした。また、Kaiserはこれをγ過誤（γ errors）と呼んでいる。

Kimball

1957年、Allyn W. Kimball（オークリッジ国立研究所の統計学者）は、第一種過誤と第二種過誤に続く新たな種類の過誤を提案した。Kimballの定義した「第三種過誤」とは「間違った問題に正しい答を与えることによる過誤」である。
数学者リチャード・ハミング（1915年 - 1998年）は「間違った問題に正しい解法を与えるよりも、正しい問題に間違った解法を与える方が望ましい」と述べている。
ハーバード大学の経済学者Howard Raiffaも「間違った問題を解く破目に陥った」経験を述べている。

MitroffとFeatheringham

1974年、Ian MitroffとTom FeatheringhamはKimballの分類を拡張し、「問題の解法を考える際の最重要な要素は、その問題がまずどのように説明され、公式化されているかである」とした。
彼らは、第三種過誤を「正しい問題を解くべきときに間違った問題を解く過誤」あるいは「問題を正しく表現すべきときに間違った表現を選択する過誤」とした。

Raiffa

1969年、ハーバード大学の経済学者Howard Raiffaは冗談として「第四種過誤の候補: 正しい問題を解くのに時間が掛かりすぎること」とした。

MarascuiloとLevin

1970年、MarascuiloとLevinは第四種過誤を提案した。これはMosteller的な定義であり「正しく棄却された仮説の不適切な解釈」による過誤である。彼らは、この例として「医師の病気の診断が正しいのに、その後の医薬の処方箋が間違っている場合」を挙げている。

臨床検査

妊娠検査薬、健康診断では「偽陰性」が大きな問題となる。「偽陰性」の場合、患者に対して本当は病気にかかっているのにかかっていないという誤ったメッセージを伝えてしまう。このため、その後の治療方針が誤った前提の下に立てられてしまう。例えば、冠動脈の動脈硬化症を検出する心臓ストレステストで偽陰性があることが知られている。
特に症状がありきたりの病気の場合に「偽陰性」は深刻な問題を生じる。集団の中の患者数が非常に少ない場合には「偽陽性」が問題となる。詳しくはベイズ推定を参照されたい。

超常現象の調査

偽陽性という用語は超常現象や心霊の調査において、誤って証拠として採用される写真などを意味する。つまり、証明されていないが霊などが写っているとされる媒体（画像、動画、音声録音など）を指す。