モンストラス・ムーンシャイン

量子重力との予想される関係

2007年、エドワード・ウィッテン(Edward Witten)は、AdS/CFT対応が (2+1)-次元の反ド・ジッター空間の純粋量子重力と、臨界で正則CFTの間の双対性を主張していると示唆した。(2+1)-次元の純粋重力は自由度を持たないが、しかし宇宙定数が負のときにBTZブラックホール解が存在するために非自明なことが起きる。ハーン(G. Höhn)により導入された臨界CFTは、低エネルギーではヴィラソロプライマリー場を持たないということにより特徴づけられ、ムーシャイン加群が一つの例となっている。
ウィッテンの提案（Witten (2007)）に従うと、AdS空間内の最大の負の宇宙定数を持つ重力は、中心電荷  でCFTの分配函数がちょうど  となる正則CFTのAdS/CFT双対である。この正則CFTは、ムーンシャイン加群の次数付き指標(character)である。フレンケル・レポウスキー・ミュールマンの予想であるムーンシャイン加群は、中心電荷が 24 で指標が  である唯一の正則頂点作用素代数(VOA)であるという予想を前提として、ウィッテンは最大の負の宇宙定数を持つ純粋重力は、モンスターCFTの双対であると結論づけた。ウィッテンの提案の一部として、ヴィラソロプライマリー場はブラックホールを生成する作用素の双対であり、整合性チェックとして、彼は大きな質量境界で与えられたブラックホールのベッケンシュタイン・ホーキングの準古典エントロピーの見積もりと、対応するムーンシャイン加群のヴィラソロプライマリーの多重度の対数が一致することを発見した。小さな質量領域では、エントロピーに対して小さな量子補正が存在し、最も小さなエネルギーのプライマリー場は、である。一方、ベッケンシュタイン・ホーキングの見積もりはである。
後日、ウィッテンは提案を精査した。ウィッテンは大きな宇宙定数をもつ臨界CFTは、ミニマルな場合のようなモンスター対称性を持つかもしれないとの見通しを与えた。しかし、ガイオット(Gaiotto)とハーン(Höhn)の独立した仕事によりすぐにこの提案は棄却された。マロニーとウィッテンの論文（Maloney & Witten (2007)）は、複雑な鞍点が微妙な性質があるうまい条件を満たすという微妙な性質を持たない限り、純粋重力は分配函数に関係する整合性チェックを満たさないかもしれないと示唆した。しかしながら、リ、ソン、ストロミンジャー（Li, Song & Strominger (2008)）は、モンスターCFTのカイラル部分の双対であること、つまり、モンスター頂点代数であるとき、マスコット(Maschot)により2007年に提案されたカイラル重力がより安定な性質をもつかもしれないことを示唆した。ダンカンとフレンケル（Duncan & Frenkel (2009)）は、ラーデマッハーの和を使い、この双対性の証拠をさらに加え、大域的トーラス同種(isogeny)幾何学上の正規化された和を使い、(2+1)-次元重力の分配函数としてマッカイ・トンプソン級数を再現した。さらに、彼らは、モンスターの元でパラメトライズされるツイストしたカイラル重力の族の存在を予想し、一般化されたムーンシャインや重力インスタントンとの関係を示唆した。現在のところ、これら全てのアイデアは、むしろ期待でしかなく、その理由の一つとしては、3-次元量子重力が厳密な数学的な基礎を持っていないことにある。

マチュームーンシャイン

2010年、江口徹、大栗博司、立川祐二は、K3曲面上の楕円種数が N=(4,4) 超共形代数の指標へ分解することができ、有質量状態の多重度がマチュー群 M24(Mathieu group M₂₄)の既約表現の単純な結合のように見えることを発見した。このことは、M₂₄ 対称性を持つ対象空間としてK3曲面を持つシグマモデルの共形場理論が存在することを示唆している。しかし、向井・近藤分類によると、シンプレクティック自己同型による任意のK3曲面の上のこの群には忠実表現がなく、ガバルディエール(Gaberdiel)、ホーエンネッガー(Hohenegger)、ボロパト(Volpato)によると、任意のK3シグマモデルの共形場理論には忠実表現が存在しないという議論があり、基礎となるヒルベルト空間上に作用が現れないことがいまだにミステリーになっている。
マッカイ・トンプソン級数の類似で、チェン(M. Cheng)は、多重乗法函数(multiplicity function)も M₂₄ の非自明元の次数付きトレースも両方とも、モックモジュラー形式(Mock modular form)を形成することを示唆している。2012年、ガノン(Gannon)は、多重度の最初のものだけは M₂₄の表現の非負な整数係数の線形結合であることを証明し、ガバルディエール(Gaberdiel)、パーソン(Persson)、ローネレンフィッチ(Ronellenfitsch)、ボロパト(Volpato)は、一般化されたムーンシャイン函数のすべての類似物を計算し、強くマチュー・ムーンシャインの背後に正則共形場理論の類似物が存在することを強く示唆した。2012年には、チェン(Cheng), ダンカン(Duncan), とハーヴィー(Harvey)は、アンブラル・ムーシャイン(umbral moonshine)現象の数値的な証拠を積み上げ、そこではモックモジュラ形式がナイエメイヤー格子(Niemeier lattice)に付随して現れることを示した。A₁²⁴ の特別な場合はマチュー・ムーンシャインであるが、一般的には、未だこの現象は幾何学的な解釈は持っていない。

何故「モンストラス・ムーンシャイン」なのか？

「モンストラス・ムーンシャイン(monstrous moonshine)」という言葉は、コンウェイにより命名された。彼は、1970年代にジョン・マッカイ(John McKay)から  の係数（つまり、196884）は、グライス代数(Griess algebra)の次元に正確に一致すると聞いた（従って、モンスター群の最小な忠実複素表現の次数よりも 1 だけ大きい）ときに、これは気が狂いじみていて、馬鹿げた考え方であるいう意味"moonshine"との返答をした。 このようにして、この言葉は、モンスター群 M を意味するだけではなく、M とモジュラ函数の間の本質的な関係の馬鹿馬鹿しく見えることをも意味している。
しかしながら、「ムーンシャイン」はアメリカにおける密造ウィスキーの俗語でもあり、事実、この意味から同じように説明される。モンスター群は、1970年代に数学者であるジャン＝ピエール・セール(Jean-Pierre Serre)やアンリュー・オッグ(Andrew Ogg)やジョン・G・トンプソン(John G. Thompson)により研究され、彼らは SL₂(R) の部分群による双曲平面の商として研究した。特に、SL(2,R) の中のモジュラ群 Γ₀(p) の正規化因子 Γ₀(p)⁺ を研究した。彼らは、リーマン面を双曲面を Γ₀(p)⁺ で割った商とみることにより、（リーマン面の）種数がゼロとなることと、p が 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 47, 59, 71 のいづれかであることと同値であることを発見した。オッグ(Ogg)が後日にモンスター群について聞いたときに、これらは M のサイズの第一因子になることに気付き、彼はこの事実を説明できた人がいれば、ジャックダニエルのボトルを進呈すると論文に記載した。Ogg (1974)