Arithmetica Universalis

Arithmetica Universalis (英: Universal Arithmetic, 普遍算術、ふへんさんじゅつ) はアイザック・ニュートンによる数学書。原文はニュートンの講義ノートを基にラテン語で書かれ、ウィリアム・ホイストン (William Whiston) によって編集、出版された。ホイストンはニュートンからケンブリッジ大学のルーカス教授職を継いだ人である。
ホイストンによる初版は1707年に出版され、ジョセフ・ラフソン (Joseph Raphson) によって翻訳された英語版は Universal Arithmetick の題で1720年に出版された。また、ラテン語第二版はジョン・マチン (John Machin) によって1722年に出版されている。
ニュートン自身は Arithmetica の出版に不満を持っており、彼の名前が記されることを頑なに拒否したため、これらの版のいずれもニュートンの名は著者として記されていない。 実際、ホイストンによる初版が出版されたときニュートンは非常に狼狽し、刊行されたものすべてを買い占め、処分することを考えたという。
Arithmetica には代数における記法、算術、幾何学と代数学の関係、方程式の解についてが記されている。ニュートンはデカルトの符号律を複素数根について適用し、代数方程式の複素数根の個数が符号律から決まることを、証明なしに要請している。150 年間、このニュートンの方法に厳密な証明が与えられることはなかった (ジェームズ・ジョセフ・シルベスター (James Joseph Sylvester) による証明は1865年。On the real and imaginary roots of algebraical equations: A Trilogy のことか)。

ニュートン算

ニュートン算 (Newton's pasturage problem) と呼ばれる算術問題は、Arithmetica に収録されている問題に由来する。 問題文は次の通りである。
原文 (英語) :
 PROBLEM XI. If the Number of Oxen a eat up the Meadow b in the Time c; and the Number of Oxen d eat up as good a Piece of Pasture e in the Time f, and the Grass grows uniformly; to find how many Oxen will eat up the like Pasture g in the Time h.
— Sir Isaac Newton, Edmond Halley、 Universal Arithmetick, How a Question may be brought to an Æquation, 1720.
日本語訳 :
　問十一. a 頭の牛は b の牧草地を c の時間のうちに食べ尽くし、d 頭の牛は e の牧草地を f の時間のうちに食べ尽くす。また牧草は一様に育つものとする。牛が g の牧草地を h の時間のうちに食べ尽くすには何頭いればよいか求めよ。
この直後には、ニュートンによる問題の解説と例題が書かれている。内容は次の通りである。
解説文原文 (英語) :
 If the Oxen a in the Time c eat up the Pasture b; then by Proportion, the Oxen a in the same Time c, or the Oxen a in the Time f, or the Oxen a in the Time h will eat up the Pasture e; supposing the Grass did not grow [at all] after the Time c. But since, by reason of the Growth of the Grass, all the Oxen d in the Time f can eat up only the Meadow e, wherefore that Growth of the Grass in the Meadow e, in the Time f − c, will be so much as alone would be. sufficient to feed the Oxen d −  the Time f, that is as much as would suffice to feed the Oxen  −  in the Time h. And in the Time h − c, by Proportion, so much would be the Growth of the Grass as would be sufficient to feed the Oxen  into  −  or . Add this Increment to the Oxen , and there will come out , the Number of Oxen which the Pasture e will suffice to feed in the Time h. And so by [in] Proportion the Meadow g will suffice to feed the Oxen  during the same Time h.
— Sir Isaac Newton, Edmond Halley、 Universal Arithmetick, How a Question may be brought to an Æquation, 1720.
日本語訳 :
　a 頭の牛が c の時間のうちに b の牧草地を食べ尽くすなら、それぞれの数の比から、牧草が時間 c の後には少しも成長しないとして、a 頭の牛は同じく c の時間のうちに、a 頭の牛は f の時間のうちに、また a 頭の牛は h の時間のうちに、e の牧草地を食べ尽くすだろう。しかし牧草が育つことによって、d 頭の牛だけが f の時間のうちに e の牧草地を食べ尽くすことができて、e の牧草地の牧草が、時間 f − c の間に育つことにより、d −  頭の牛が f の時間のうちに食べ尽くせる分だけが育ち、それは  −  頭の牛が h の時間のうちに食べ尽くせるだけと同じ量である。更に比の関係から、h − c の時間に  −  割る  つまり  頭の牛が食べ尽くせるだけの牧草が育つ。この増加分を  頭の牛に加えると、 が e の牧草地を h の時間のうちに食べ尽くす牛の頭数である。 そして比から g の牧草地を同じ時間 h の間に食べ尽くす牛の数は  であることが求まる。
例題原文 (英語版) :
EXAMPLE. If 12 Oxen eat up 3 Acres of Pasture in 4 Weeks, and 21 Oxen eat up 10 Acres of like Pasture in 9 Weeks; to find how many Oxen will eat up 36 Acres in 18 Weeks? Answer 36; for that Number will be found substituting in  the Numbers 12, 3, 4, 21, 10, 9, 36, and 18 for the Letters a, b, c, d, e, f, g, and h respectively; but the Solution, perhaps, will be no less expedite, if it be brought out from the first Principles, in Form of the precedent literal Solution. As if 12 Oxen in 4 Weeks eat up 3 Acres, then by Proportion 36 Oxen in 4 Weeks, or 16 Oxen in 9 Weeks, or 8 Oxen in 18 Weeks, will eat up 10 Acres, on Supposition that the Grass did not grow. But since by reason of the Growth of the Grass 21 Oxen in 9 Weeks can eat up only 10 Acres, that Growth of the Grass in 10 Acres for the last 5 Weeks will be as much as would be sufficient to feed 5 Oxen, that is the Excess of 21 above 16 for 9 Weeks, or, what is the same Thing, to feed  Oxen for 18 Weeks. And in 14 Weeks (the Excess of 18 above the first 4) the Increase of the Grass, by Analogy, will be such, as to be sufficent to feed 7 Oxen for 18 Weeks: Add these 7 Oxen, which the Growth of the Grass alone would suffice to feed, to the 8, which the Grass without Growth after 4 Weeks would feed, and the Sum will be 15 Oxen. And, lastly, if 10 Acres suffice to feed 15 Oxen for 18 Weeks, then, in Proportion, 24 Acres would suffice 36 Oxen for the same Time.
— Sir Isaac Newton, Edmond Halley、 Universal Arithmetick, How a Question may be brought to an Æquation, 1720.
日本語訳 :
例題. 12 頭の牛は 3 と  エーカーの牧草地を 4 週間で食べ尽くし、21 頭の牛は 10 エーカーの牧草地を 9 週間で食べ尽くすとする。36 エーカーの牧草地を 18 週間で食べ尽くす牛の頭数はいくらか。 　答え 36 頭。求める数は  の a, b, c, d, e, f, g, h をそれぞれ 12, 3, 4, 21, 10, 9, 36, 18 に置き換えることで得られるだろうが、しかし、前述の文字式の解を求めるのとおそらくは同様の手間で、第一原理から解を導くこともできるだろう。12 頭の牛が 4 週間で 3 と  エーカーの牧草地を食べ尽くすなら、牧草が育たないことを仮定すれば、数の比から 36 頭の牛が 4 週間で、16 頭の牛が 9 週間で、8 頭の牛が 18 週間で、10 エーカーの牧草地を食べ尽くすことになる。しかし牧草が育つことにより、21 頭の牛だけが 9 週間で 10 エーカーの牧草地を食べ尽くすことができ、5 週間で 10 エーカーの牧草地に育つ牧草は 5 頭の牛が食べ尽くす分、つまり 21 頭の内の 16 頭が 9 週間に食べる分を除いた余りと同じだけあり、また同じことだが、 頭の牛が 18 週間で食べる分と同じである。更に 14 週間（18 週間から初めの 4 週間を除いた余り）に増える牧草の量は、7 頭の牛が 18 週間に食べるだけと同じであることも推察できる。7 頭の牛は牧草の育った分だけを食べ、8 頭の牛が 4 週間以降に育った牧草以外を食べ、これらを合わせると牛の頭数は 15 になる。そして最後に、10 エーカーの牧草地を 15 頭の牛が 18 週間で食べ尽くすなら、比によって、24 エーカーの牧草地を 36 頭の牛は同じ時間で食べ尽くすことが分かる。