ベイジアンゲーム

シグナリング

シグナリングゲームはベイジアンゲームの一例である．このようなゲームで，情報をもったがわの参加者 (「エージェント」) は自分のタイプを知っており，そうでないほうの参加者 (「プリンシパル」) はエージェントのタイプを知らない．こうしたゲームにおいては，「分離均衡」として知られる均衡において，プリンシパルがエージェントのタイプを，エージェントがとる行動 (プリンシパルに送るシグナルという形をとる) にもとづいて推論することができる場合がある．
シグナリングゲームの特別の例が労働市場のモデルである．プレーヤーは求職者 (エージェント) と雇用者 (プリンシパル) である．求職者には 2 つのタイプがあり，有能と無能とする．雇用者は求職者がそのどちらであるのかを知らないが，求職者の 90 % は無能であり 10 % が有能であることは知っているとする (「有能」タイプの確率が 0.1 で，「無能」タイプの確率が 0.9)．
雇用者の行動空間は自然数の集合とし，これは賃金を表すものとする．賃金は，求職者がどの程度有能と期待されるかにもとづき，契約をするさいに用いられる．有能な労働者により大きな賃金を支払うことは，雇用者により大きな利得をもたらすだろうが，無能な労働者に賃金が支払われてしまうと，あまり成果は上がらないであろう．したがって雇用者の利得は，(もし契約が引きうけられるならば) 求職者の能力と，支払う賃金とによって決定される．重要なこととして，雇用者は，求職者がどの程度有能かに関する自分の信念に従って行動 (提示する賃金) を選択するのだが，この信念は求職者から送られるシグナルを通して大部分決定されるということである．
求職者の行動空間は，大学教育を受けるか大学に行かないかの 2 つの行動からなるものとする．有能な労働者にとっては，奨学金を受けられるからとか，授業があまり苦でないとかの理由で，大学教育を受けることのコストが低いとしよう．こうして大学教育が，求職者が雇用者に対して自分が実際に有能であるということを伝えうる手段，「シグナル」になる．
雇用者がとるかもしれないひとつの戦略は，有能な求職者ならば (その教育を受けるコストの低さのために) 大学に行くに足るけれども無能な求職者にとっては十分でないような賃金を，全求職者に与えるというものである．これは分離均衡 (separating equilibrium) を生みだす：このとき有能な求職者は大学に行くことで自分の能力を示すことができ，無能な求職者はそうしない．雇用者は，どの労働者が大学に行けるかを観察でき，それゆえ有能な労働者に高い賃金，無能な労働者に低い賃金を支払うことで，自分の利得を最大化することができる．

ベイジアン・ナッシュ均衡

ベイジアンでないゲームにおいて，戦略プロファイルがナッシュ均衡であるとは，その戦略プロファイルにおける各人の戦略が，他のプレーヤーたちの戦略に対して最適反応になっている，すなわち，他のプレーヤーの戦略を所与としてさらに高い利得をあげうる戦略が存在しないことをいう．ベイジアンゲームにおいては (プレーヤーたちはリスク中立的であるとされており)，合理的なプレーヤーは，他のプレーヤに関する自分の信念を所与として，自分の期待利得を最大化しようとする (プレーヤーがリスク回避的ないしリスク愛好的であるような一般のケースでは，仮定は，プレーヤーは期待効用最大化主体であるというものである)．
ベイジアン・ナッシュ均衡は，戦略プロファイルと，各プレーヤーにとっての他のプレーヤーのタイプに関する信念であって，他のプレーヤーのタイプに関する信念と他のプレーヤーの戦略とを所与として期待利得を最大化するものとして定義される．
この解概念は，プレーヤーたちの信念についてさらなる制約が課されないかぎり，動学ゲームにおいては多数の均衡を生みだす．このために，不完備情報の動学ゲームを分析するにあたってはベイジアン・ナッシュ均衡は不完全な道具になっている．

完全ベイズ均衡

プレーヤーたちが同時でなく逐次的に手番をもつ動学的なゲームでは，ベイジアン・ナッシュ均衡はもっともらしくない均衡を生むこともある．同様に，もっともらしくない均衡は，情報が完全で完備なゲームにおいて信用できない脅しや約束のようにもっともらしくないナッシュ均衡が起こるのと同じようにして生じるかもしれない．そのような均衡は，完全・完備情報のゲームにおいては，部分ゲーム完全均衡を導入することで排除されえた．しかしながら，不完備情報のゲームにおいては，この解概念を活用することはかならずしも可能ではない．なぜならば，こうしたゲームでは，1 点集合でない情報集合を含んでおり，部分ゲームというのは情報集合の全体を包含していなければならないのであったから，時としてゲームが 1 つしか部分ゲームをもたず (全体ゲームが唯一の部分ゲームになり)，すべてのナッシュ均衡が自明に部分ゲーム完全となってしまうということがあるからである．サブゲーム完全化では情報集合を切ることができないということのために，ゲームが 2 つ以上の部分ゲームをもつ場合でさえも，もっともらしくない均衡が排除されずに残ってしまうということがありうる．
ベイジアン・ナッシュ均衡概念やサブゲーム完全化によって生みだされる均衡を精緻化するには，完全ベイズ均衡の概念が使えるかもしれない．完全ベイズ均衡には，続きプレーが最適であるべしというサブゲーム完全化の精神がある．しかし，1 点集合でない情報集合における手番では，より満足のゆく扱いがなされるように，決定節に関するプレーヤーの信念を定める．
これまでベイジアンゲームについて議論してきたところでは，情報は完全である (あるいは不完全のときは手番は同時的である) と仮定してきた．しかし，動学的なゲームを調べるにあたっては，不完備情報をモデル化する手段が必要になる．完全ベイズ均衡はこの手段を提供する：プレーヤーたちは，自分の情報集合において生起するノードに信念を定める．このことは，情報集合が自然 (不完備情報の場合) または他のプレーヤー (不完全情報の場合) によって生成されうることを意味する．

信念の体系

ベイジアンゲームにおいて各プレーヤーがもつ信念は，完全ベイズ均衡においてはより厳密に計算される．信念の体系は，任意の情報集合においてそのなかでの確率の和が 1 になるように，ゲームの各ノードに確率を割りあてるものである．プレーヤーの信念は，そのプレーヤーが手番をもつすべての情報集合において，ノードの上のこうした確率分布である (プレーヤーの信念は，そのプレーヤーの情報集合の和集合から [0, 1] への関数として書かれることもある)．信念の体系が所与の戦略プロファイルと整合的であるとは，その体系によって各ノードに割りあてられる確率が，その戦略プロファイルを所与としてそのノードに到達する確率としてベイズルールを用いて計算されたものになっているときをいう．

逐次合理性

逐次合理性の概念は，完全ベイズ均衡における続きプレーの最適性を決定するものである．戦略プロファイルが，特定の信念の体系に対して，ある特定の情報集合において逐次合理的であるとは，その情報集合において手番をもつプレーヤーの期待利得が，他のプレーヤーの戦略を所与として最大であることをいう．すべての情報集合について前記が成りたつとき，その戦略プロファイルは，この特定の信念の体系に対して逐次合理的であるという．

定義

完全ベイズ均衡とは，戦略プロファイルと信念の体系であって，戦略が信念の体系を所与として逐次合理的であり，信念の体系が戦略プロファイルを所与として到達しうるすべての部分で整合的であるものをいう．
「到達しうるすべての部分で」という句を明記することは必要である．なぜならば，戦略プロファイルを所与としたときある情報集合は到達不可能かもしれないが，そのときにはその集合のなかの点について確率を計算するさいにベイズルールを用いることができないからである．このような情報集合は均衡経路外 (off the equilibrium path) といわれ，どんな信念も割りあてうる．より強い整合性の概念では，経路外の情報集合についても「合理的」であるようにさらなる制約が課される．