冪乗

歴史

歴史上に冪が現れたのは非常に古くB.C.16世紀頃に作成された粘土板には平方数表、平方根表、立方根表や三平方の定理について書かれておりエジプトやインド、ギリシャなどでも冪の概念は明示されている。一方で指数法則に言明する文献は見当たらず「指数概念」には未だ到達していないと考えるべきであるが、冪を意味する用語 "power" はギリシアの数学者エウクレイデス（ユークリッド）が直線の平方を表すのに用いた語に起源がある。また「原論」において指数法則 aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ に相当する命題に言及しているが、この時代には算式は発明されておらずすべて言葉で表現していた。

記法について

アルキメデスは 10 の冪を扱うために必要となる指数法則 10ᵃ • 10ᵇ = 10ᵃ⁺ᵇ を発見し証明した。9世紀、ペルシアの数学者アル゠フワーリズミは平方を mal, 立方を kab で表した。これを後に中世イスラムの数学者がそれぞれ m, k で表す記法として用いていることが、15世紀ごろのアル゠カラサディの仕事に見ることができる。
16世紀後半、ヨスト・ビュルギは冪指数をローマ数字を用いて表した。
17世紀初頭、今日用いられる現代的な冪記法の最初の形はルネ・デカルトが著書 La Géométrie の一巻において導入した。
アイザック・ニュートンなど一部の数学者は冪指数は二乗よりも大きな冪に対してのみ用い、平方は反復積として書き表した。これは例えば ax + bxx + cx³ + d のように多項式を書くということである。

用語について

15世紀にニコラ・ショケは冪記法の一種を用い、それは後の16世紀にハインリヒ・シュライベルおよびミハエル・スティーフェルが用いている。
16世紀にロバート・レコードは square（二次）, cube（三次）, zenzizenzic（四次）, sursolid（五次）, zenzicube（六次）, second sursolid（七次）, zenzizenzizenzic（八次）の語を用いた。四乗については Biquadrate（複二次）の語も用いられた。
歴史的には "involution" が冪の同義語として用いられていたが現在では稀であり、現在別の意味で用いられているので混同すべきではない。

冪指数について

冪指数を意味する用語として、英語ではしばしば exponent と index が同義語として用いられる。この用語選定は18世紀、19世紀を通じて極めて曖昧で個人の嗜好に委ねられていた。しかし、ガウスはその著書 Disquisitiones Arithmeticae において通常の冪指数と数論的な指数を峻別する必要性から exponens は通常の冪指数、index は数論的な指数を表すものとして明確に区別し使い分けて解説に使用しており、この使い分けはディリクレ、デデキント、ヒルベルトを通じて数論の世界での標準となった。
もとをたどれば、1544年にミハエル・スティーフェルがラテン語: "exponens" を造語し、対して1586年にラザルス・シェーナーが数学者ペトルス・ラムスの書籍への補注としてラテン語: "index" を（シュテイフェルが exponens と呼んだものと同じものを指す意味で）用いたのがそれぞれの語源と考えられる。exponent と index はこれらの英語翻訳で、例えば index はサミュエル・ジークが1696年に導入した。
exponentとindexの微妙な使い分けと併用の時代はここから始まるのであるが、その併用のされ方は国と時代のみならず個人によっても異なり、イギリスは当初indexが優勢でこれは聖バーソロミューの大虐殺で殉死したラムスの著作がプロテスタント諸国で非常に人気を集めたためとの指摘がある。

日本語「冪」について

『冪』の字義は「覆う、覆うもの」で、『冖』と同音同義である。江戸時代の和算家は冪の略字として「巾」を用いていた。
第二次世界大戦後の漢字制限政策のもと、これらの字は常用漢字・当用漢字に含まれず、1950年代以降の学習参考書などの出版物では仮名書きまたは「累乗」への書き換えが進められ、結果として初等数学の教科書ではもっぱら「累乗」が用いられた。「累乗」の字義は「重ね掛けた乗算」であり、自然数乗以外の冪に対して用いることは字義からすればあまり自然でない。
「冪剰余」「冪集合」「冪級数」などの高等学校以下で扱われない多くの概念に対しては、「冪」の部分が置き換えられることはなく、例えば「べき乗集合」や「累乗集合」などといった表現は生じていない。

有限体における冪

体は、四則演算が矛盾なく定義されそれらの馴染み深い性質が満足されるような代数的構造である。例えば実数全体は体を成す。複素数の全体、有理数の全体などもそうである。これら馴染み深い例が全て無限集合であるのと異なり、有限個の元しか持たない体も存在する。そのもっとも簡単な例が二元体 F₂ = {0,1} で、加法は  0 + 1 = 1 + 0 = 1, 0 + 0 = 1 + 1 = 0 および乗法は 0  •  0 = 1  •  0 = 0  •  1 = 0, 1  •  1 = 1 で与えられる。
有限体における冪演算は公開鍵暗号に応用を持つ。例えばディフィー・ヘルマン鍵交換は、有限体における冪は計算量的にコストが掛からないのに対し、冪の逆である離散対数は計算量的にコストが掛かるという事実を用いている。
任意の有限体 F は、素数 p がただ一つ存在して、任意の x ∈ F に対して px = 0 が成り立つ（x を p 個加えれば零になる）という性質を持つ。例えば二元体 F₂ では p = 2 である。この素数 p はその体の標数と呼ばれる。F を標数 p の体として F の各元を p-乗する写像 f(x) = xᵖ を考える。これは F のフロベニュース自己準同型と呼ばれる。新入生の夢（幼稚な二項定理）とも呼ばれる等式 (x + y)ᵖ = xᵖ + yᵖ がこの体においては成り立つため、フロベニュース自己準同型が実際に体の自己準同型を与えるものであることが確認できる。フロベニュース自己準同型は F の素体上のガロワ群の生成元であるため数論において重要である。

デカルト冪

自然数 n と任意の集合 A に対して、式 Aⁿ はしばしば A の元からなる順序 n-組全体の成す集合を表すのに用いられる。これは Aⁿ は集合 {0, 1, 2, …, n−1} から集合 A への写像全体の成す集合であると言っても同じことである（n-組 (a₀, a₁, a₂, …, aₙ−1) は i を aᵢ へ送る写像を表す）。
無限基数 κ と集合 A に対しても、記号 Aκ は濃度 κ の集合から A への写像全体の成す集合を表すのに用いられる。基数の冪との区別のために κA と書くこともある。

圏論における冪対象

デカルト閉圏において、任意の対象に対して別の任意の対象を冪指数とする冪演算を冪対象によって与えることができる。集合の圏における冪対象は配置集合であるから、これはその一般化になっている。考えている圏に始対象 0 が存在するならば、冪対象 0⁰ は任意の終対象 1 に同型である。

順序数・基数の冪

集合論では基数や順序数の冪演算も定義される。
基数 κ, λ に対して冪 κλ は基数 λ の任意の集合から基数 κ の任意の集合への写像全体の成す集合の基数を表す。κ, λ がともに有限ならばこれは通常の算術的な（つまり自然数の）冪演算と一致する（たとえば、二元集合から元を取って得られる三つ組全体の成す集合の基数は 8 = 2³ で与えられる）。基数の算術において κ⁰ は常に（特に κ が無限基数や 0 であるときでさえ）1 である。
基数の冪は順序数の冪とは異なる。後者は超限帰納法を含む過程の極限として定義される。

反復冪

自然数冪が乗法の反復として考えられたことと同様に、冪演算を繰り返す演算というものを定義することもできる。それをまた反復すれば別の演算が定義され、同様に繰り返してハイパー演算の概念を得る。このようにして得られるハイパー演算の列において、次の演算は前の演算に対して急速に増大する。

合成冪

写像の冪乗となるべきものとして、写像を表す符牒の直後に整数の上付き添字を添えたとき、それは（反復乗法ではなくて）反復合成冪の意味で用いることがよく行われる。つまり例えば f³(x) は f(f(f(x))) の意味であり、また特に f⁻¹(x) は f の逆写像を意味するのが普通である。反復合成写像はフラクタルや力学系の研究において興味を持たれる。チャールズ・バベッジは写像の平方根 f 1/2(x) を求める問題を研究した最初の人であった。

値ごとの冪

しかし歴史的経緯により、三角函数の場合には、函数の略号に正の冪指数を添えたときは函数の値に対して冪を取ることを意味する一方で、−1 を冪指数としたときは逆函数を意味するという特別な文法が適用される。つまり、 sin² x は (sin x)² を括弧を用いずに略記する方法に過ぎない一方、sin⁻¹ x は逆正弦函数 arcsin x を意味するのである。三角函数の逆数函数は（例えば 1/(sin x) = (sin x)⁻¹ = csc x のように）それぞれ固有の名前と略号が与えられているから、三角函数の逆数の略記法は無用である。同様の規約は対数函数にも適用され、log² x はふつう (log x)² の意味であって log log x の意味でない。

上付き添字

添字付けられた変数を考えるとき、その変数の添字を上付きにする場合があり、それはあたかも冪であるかのような印象を受けるかもしれないが混同するべきではない。これは特にテンソル解析においてベクトル場の座標表示などで現れる。あるいはまた数列の列のような、既にそれ自身添字付けられているような量に対してさらに添字付けを行う場合にもしばしば用いられる。

高階導函数

函数 f の n-階導函数はふつう f と書かれるように、冪記法は冪指数を括弧で囲んで書くこともある。

効率的な演算法

コンピュータ上で冪乗演算を行なう効率的な演算方法としてバイナリ法（二進数法; en:Exponentiation by squaring) とも呼ばれる演算方法を示す。
RSA暗号や確率的素数判定法であるフェルマーテストなどによって、指数として巨大な自然数を扱うことが多くなった。この方法を使うと、指数となる自然数がいかに巨大であっても高々そのビット数の2倍の回数の乗算で算出することが可能になり、繰り返し掛けるよりも大幅に効率がよくなる。特にRSA暗号やフェルマーテストなどにおいて各演算後に必要となる剰余演算（一般に最も計算時間がかかる）の回数を減らす効果がある。
一般に、コンピュータにとって標準的な（32bitsコンピュータならば約4億までの）自然数や浮動小数点数を扱う場合は下位桁から計算する方式を、前述のような巨大な自然数を扱う場合には上位桁から計算する方式を用いると効率が良い。