低次元トポロジー

歴史

1960年代に始まった多くの位相幾何学の発展は、位相幾何学が低次元で重要であることを示した。1961年のスティーヴン・スメイルによる高次元でのポアンカレ予想の解決は、3次元と 4次元が最も難しい問題であると思わせるに充分であった。実際、3次元や 4次元では、新しい方法が要求され、一方、高次元での自由度は手術理論を計算機的な方法で（低次元へ）還元することができることを意味した。後日、1970年代にウィリアム・サーストンにより定式化された幾何化予想では、低次元では幾何学とトポロジーが密接に関係することを示唆するフレームワークが提供され、サーストンのハーケン多様体についての幾何化予想の証明は、以前は関連の薄かった数学分野からくる多様体のツールが用られた。1980年代初期のヴォーン・ジョーンズによるジョーンズ多項式の発見は、結び目理論に新しい方向性をもたらしたのみならず、低次元トポロジーと数理物理学の間のミステリアスな関係性を呼び起こした。2002年のグレゴリー・ペレルマンは、リチャード・S・ハミルトンのリッチフローという幾何解析分野のアイデアを使い、3次元ポアンカレ予想の証明を言明した。
すべてのこれらの前進は、残りの他の数学の分野へより良い影響をもたらした。

二次元

曲面は 2次元の位相多様体である。最も馴染みのある例は、通常の三次元ユークリッド空間 R³ 内の立体図形の境界として現れるもの、例えば球体の境界面としての球面である。他方、クラインの壷のように、特異点や自己交叉を持つことなしに 3次元ユークリッド空間へ埋め込むことができない曲面もある。

タイヒミューラー空間

数学において、（実）位相空間 X のタイヒミューラー空間 TX は、恒等写像と同位な同相写像の作用を除いて X 上の複素構造をパラメータ付ける空間である。TX 上の各点は、「印」をつけたリーマン面の同型類とみなすことができる。ただし、「印」とは X から自分自身への同相写像の同位類である。タイヒミューラー空間は、（リーマン）モジュライ空間の普遍被覆軌道体である。
タイヒミューラー空間は、標準的な複素多様体の構造と豊かな自然計量を持っている。タイヒミューラー空間の台となる位相空間は、フリッケ(Fricke)により研究され、その上のタイヒミュラー計量は Oswald Teichmüller (1940) で導入された。

一意化定理

一意化定理は、すべての単連結なリーマン面は、次の 3つのうちのどれかひとつと共形同値であるという定理である。単連結リーマン面は、開単位円板、複素数平面、リーマン球面のいづれかであり、特に、定曲率のリーマン計量をもっている。これはリーマン面を、普遍被覆に従い、楕円型（正の曲率をもつ、正の定数曲率をもつ）と放物型（平坦）と双曲型（負の定数曲率）へと分類する。
一意化定理は、リーマン写像定理を、平面の単連結な開部分集合から任意の単連結なリーマン面へ一般化した定理である。

三次元

位相空間 X のすべての点が 3次元ユークリッド空間と同相な近傍を持つとき、X を 3次元多様体と呼ぶ。
位相多様体、区分線型多様体（PL多様体）、滑らかな多様体の圏は、すべて 3次元の場合には同値であるので、3次元では、位相多様体と滑らかな多様体の差異はほとんどない。
3次元での現象は、他の次元での現象とは非常に異なっていて、3よりも大きな次元へは一般化できない非常に特別なテクニックが普及している。この特別なテクニックの役割は、他の分野の多様性との密接な関係をもたらした。たとえば、結び目理論, 幾何学的群論、双曲幾何学、数論、タイヒミューラー空間、位相的場の理論、ゲージ理論、フレアーホモロジー、や偏微分方程式がある。3次元多様体論は、低次元位相幾何学や幾何学的位相幾何学の一部と考えられる。

双曲3次元多様体

双曲3次元多様体は、完備な定断面曲率 -1 のリーマン計量を持つ3次元多様体である。言い換えると、双曲3次元多様体は、3次元双曲空間を、それに自由かつ固有不連続に作用する双曲的等距離写像の成す適当な部分群で割った商である。クライン模型の項を参照。
その thick-thin 分解は、thin 成分として、閉測地線からなる管状近傍およびまたはユークリッド曲面と閉半直線の積となる端点をもつ。多様体が有限体積となるための必要十分条件は、thick 成分がコンパクトになることである。この場合、終点はトーラスと閉じた半直線との交差の形をしていて、尖点と呼ばれる。結び目補空間は最もよく研究されている尖点を持つ多様体である。

ポアンカレ予想と幾何化予想

サーストンの幾何化予想は、3次元位相空間は関連付けることのできる一意な幾何学構造を持っているという予想である。幾何化予想は、2次元曲面の一意化定理の類似であり、一意化定理はすべての単連結なリーマン面は 3つの幾何学（ユークリッド幾何学、球面幾何学、双曲幾何学）のうちのひとつとなるという定理である。
3次元では、位相空間全体をひとつの幾何学に関連付けることが常にできるとは限らない。代わって、幾何化予想はすべての閉 3次元多様体は、標準的な方法でそれぞれのピースが 8つのタイプのうちのひとつの幾何学構造を持つようなピースへと分解することができるという予想である。この予想は、ポアンカレ予想やサーストンの楕円化予想など、いくつかの他の予想を含む予想として、William Thurston (1982) で提出された。

4次元

4次元多様体は、4次元の位相多様体である。滑らかな 4次元多様体は、滑らかな構造を持つ 4次元多様体である。4次元では、低次元での注目すべ対照として、位相多様体と滑らかな多様体では大きな差異があるということがある。滑らかな構造を持たない 4次元位相多様体が存在し、たとえ滑らかな構造があったとしても一意に決まるとは限らない（すなわち、同相であるが微分同相ではない 4次元位相多様体が存在する）。
物理学では、4次元多様体は重要である。一般相対論において、時空は擬リーマン的なな 4次元多様体であるからである。

異種 R4

エキゾチック R⁴ はユークリッド空間 R⁴ と同相であるが、微分同相ではない可微分多様体を言う。最初の例は、1980年代始めにマイケル・フリードマンにより、位相 4次元多様体についてのフリードマンの定理と滑らかな 4次元多様体についてのサイモン・ドナルドソンの定理を対比することで発見された 。R⁴ の微分同相ではない可微分構造が非可算個存在する。このことは、最初にクリフォード・タウベスにより、で示された。
球面上の微分同相ではない可微分構造— 異種球面— は存在が知られていたが、この構成により、そのような構造の存在が 4-球面のこの特別な場合のみ存在するのかどうかという問題は未解決である（2014年段階では）。4 以外の正の整数 n に対し、Rⁿ 上には異種可微分構造が存在しない。言い換えると、n ≠ 4 ならば、Rⁿ に同相な任意の滑らかな多様体は、Rⁿ に微分同相である。

低次元トポロジーを識別する典型的な定理

高次元多様体の研究に有効な使われるツールであっても、低次元多様体へ適用できない定理があり、そのいくつかを挙げる。たとえば、
スティーンロッドの定理は、向きつけられた 3次元多様体は自明な接バンドルを持つという定理である。他の言い方では、3次元多様体の唯一の特性類は向き付け可能性の障害であるということもできる。
任意の閉 3次元多様体は、4次元多様体の境界である。この定理は何人かの人により独立に示された。この定理は、Dehn–Lickorishの定理と呼ばれる 3次元多様体のヘーガード分解を通して得られる。また、閉多様体のコボルディズム環のルネ・トムの計算からも得られる。
R⁴ 上の異種可微分構造の存在は、元々は、サイモン・ドナルドソンとアンドレイ・キャッソンの仕事に基づき、マイケル・フリードマンにより得られた。以来、フリードマン、ロバート・ゴンフ、クリフォード・タウベスやローレンス・テイラーにより、R⁴ 上には微分同相でない滑らか構造が連続して存在することが示された。一方、n ≠ 4 として、Rⁿ は微分同相を除くと滑らか構造はひとつしか存在しないことが知られている。