Teorema keunikan Alexandrov

Pernyataan teorema

Permukaan polihedron cembung di ruang Euklides membentuk ruang metrik, di mana jarak antara dua titik diukur dengan panjang jalur terpendek dari satu titik ke titik lainnya di sepanjang permukaan. Jalur ini dikenal sebagai geodetik, dan bersifat isometrik ke ruas garis. Sebuah ruang di mana setiap pasang titik dihubungkan oleh geodetik disebut "ruang geodetik". Ruang metrik yang dibentuk dari polihedron dengan cara ini disebut sebagai pengembangannya.
Polihedron dapat dianggap sebagai sesuatu yang dilipat dari selembar kertas (jaring untuk polihedron) dan mewarisi geometri yang sama dengan kertas: untuk setiap titik  di dalam sisi polihedron, lingkungan  terbuka yang cukup kecil akan memiliki jarak yang sama dengan subset dari bidang Euklides. Hal yang sama juga berlaku untuk titik-titik pada tepi polihedron: mereka dapat dimodelkan secara lokal sebagai bidang Euklides yang dilipat sepanjang garis dan disematkan ke dalam ruang tiga dimensi, tetapi lipatannya tidak mengubah struktur jalur terpendek di sepanjang permukaan. Namun, simpul dari polihedron memiliki struktur jarak yang berbeda: geometri lokal dari simpul polihedron sama dengan geometri lokal pada puncak kerucut. Setiap kerucut dapat dibentuk dari selembar kertas datar dengan pasak yang dikeluarkan darinya dengan menempelkan ujung-ujung yang terpotong ke tempat dimana irisannya dilepas. Sudut pasak yang dilepas disebut sebagai cacat sudut pada simpul; ini merupakan angka positif dalam interval terbuka dari 0 sampai 2π. Cacat simpul polihedron dapat diukur dengan mengurangkan sudut pandang pada titik dari 2π. Misalnya, dalam tetrahedron biasa, setiap sudut sisi adalah π/3, dan pada masing-masing simpul ada tiga, sehingga jika dikurangi dari 2π, akan meninggalkan cacat π pada masing-masing simpul yang berjumlah empat. Demikian pula, sebuah kubus memiliki cacat π/2 pada masing-masing dari delapan simpulnya. Teorema Descartes tentang cacat sudut total (sebuah versi lain dari teorema Gauss-Bonnet) menyatakan bahwa jumlah cacat sudut dari semua simpul selalu tepat 4π. Singkatnya, pengembangan polihedron cembung bersifat geodetik, homeomorfisma (setara secara topologi) hingga menjadi bulatan, dan pada umumnya bersifat Euklides, kecuali sejumlah titik kerucut terbatas yang cacat sudutnya mencapai 4π.
Teorema Alexandrov memberi gambaran umum tentang deskripsi ini. Teorema ini menyatakan bahwa jika sebuah ruang metrik (X,d) bersifat geodetik, homeomorfik menjadi bulatan, dan pada umumnya bersifat Euklides kecuali sejumlah titik kerucut dari cacat sudut positif yang disimpulkan menjadi 4π, maka ada polihedron cembung yang perkembangannya (X,d). Selain itu, polihedron ini didefinisikan secara unik dari metrik: dua polihedra cembung dengan metrik permukaan yang sama harus sama dan sebangun antara satu sama lain sebagai set tiga dimensi.

Keterbatasan

Polihedron yang mewakili ruang metrik yang diberikan dapat mengalami degenerasi: polihedron tersebut bisa saja membentuk poligon cembung dua dimensi yang tertutup ganda (dihedron) dan bukan polihedron tiga dimensi utuh. Dalam kasus ini, metrik permukaannya terdiri dari dua salinan poligon (dua sisinya) yang direkatkan di sepanjang tepi yang sesuai.
Meskipun teorema Alexandrov menyatakan bahwa ada polihedron cembung yang unik yang permukaannya memiliki metrik yang diberikan, mungkin juga ada polihedra yang tidak mengandung cembung dengan metrik yang sama. Contohnya diberikan oleh ikosahedron reguler: jika lima segitiganya dilepas, dan digantikan oleh lima segitiga kongruen yang membentuk lekukan ke dalam polihedron, metrik permukaan yang dihasilkan tetap tidak berubah.
Perkembangan polihedron apapun dapat digambarkan secara konkret oleh kumpulan poligon dua dimensi bersamaan dengan instruksi untuk menempelkannya bersama di sepanjang tepinya untuk membentuk ruang metrik, dan kondisi teorema Alexandrov untuk ruang yang dijelaskan dengan cara ini dapat dengan mudah diperiksa. Namun, ujung-ujungnya di mana dua poligon terpaku bersama bisa menjadi datar dan terbaring di bagian dalam sisi dari polihedron yang dihasilkan, bukannya menjadi sayap polihedron tersebut. Oleh karena itu, bahkan ketika perkembangannya dijelaskan dengan cara ini, mungkin tidak jelas polihedron berbentuk apa yang akan dihasilkan, bentuk sisi seperti apa yang dimilikinya, atau bahkan berapa banyak sisi yang dimilikinya. Hasil percobaan asli Alexandrov tidak mengarah pada algoritme untuk membangun polihedron (misalnya dengan memberikan koordinat untuk simpulnya) mewujudkan ruang metrik yang diberikan. Pada tahun 2008, Bobenko dan Izmestiev menyediakan algoritme semacam itu. Algoritme mereka dapat mendekati koordinat dengan semaunya secara akurat, dalam waktu semu-polinomial.

Hasil terkait

Salah satu teorema pertama yang ada dan memiliki keunikan terkait polihedra cembung adalah teorema Cauchy, yang menyatakan bahwa polihedron cembung secara unik ditentukan oleh bentuk dan konektifitas sisinya. Teorema Alexandrov memperkuat pernyataan ini, menunjukkan bahwa bahkan jika sisinya dibiarkan membungkuk atau melipat, tanpa peregangan atau penyusutan, maka konektivitas sisi tersebut tetap menentukan bentuk polihedron. Pada gilirannya, pembuktian Alexandrov tentang bagian eksistensi dari teoremanya menggunakan teorema Cauchy oleh Max Dehn dan juga menggunakan teorema kekakuan struktural.
Hasil yang serupa dengan pendapat Alexandrov untuk permukaan cembung yang halus: sebuah manifold halus dua dimensi yang total kurva Gauss-nya adalah 4π, dapat diwakili secara unik seperti permukaan badan cembung halus dalam tiga dimensi. Ini adalah hasil percobaan Stephan Cohn-Vossen pada tahun 1927. Aleksei Pogorelov menyamaratakan kedua hasil uji coba ini, dan menggambarkan perkembangan badan cembung acak dalam tiga dimensi.
Hasil lain dari Pogorelov pada ruang metrik geodetik yang berasal dari polihedra cembung merupakan salah satu versi dari teorema tiga geodetik: setiap polioklas cembung setidaknya memiliki tiga kuasigeodetik tertutup yang sederhana. Ini adalah kurva yang pada dasarnya merupakan garis lurus lokal kecuali bila melewati titik, di mana kurva-kurva ini harus memiliki sudut kurang dari π pada kedua sisinya.