Ruang (matematika)

Sebelum zaman keemasan geometri

Di dalam matematika kuno, "ruang" adalah abstraksi geometri ruang berdimensi-tiga yang dapat diamati dalam kehidupan sehari-hari. Metode aksiomatik telah menjadi alat penelitian utama sejak Euklides (kira-kira 300 SM). Metode koordinat (geometri analitik) diangkat oleh René Descartes pada tahun 1637. Pada masa itu, teorema-teorema geometri diperlakukan sebagai kebenaran objektif mutlak yang dapat diketahui melalui intuisi dan nalar, serupa dengan objek-objek pada ilmu alam; dan aksioma-aksioma diperlakukan sebagai implikasi yang jelas dari definisi yang ada.
Dua relasi ekivalen (atau hubungan kesetaraan) antar-gambar geometri digunakan: kongruensi dan keserupaan. Translasi (pergeseran), rotasi (bukan "spin", bukan pula "revolusi"), dan refleksi (pencerminan) mentransformasi sebuah gambar menjadi gambar yang kongruen; homotetis — ke dalam gambar yang serupa. Misalnya, semua lingkaran adalah saling-serupa, tetapi elips tidak serupa dengan lingkaran. Hubungan kesetaraan yang ketiga, diperkenalkan oleh geometri projektif (Gaspard Monge, 1795), berkorespondensi dengan transformasi projektif. Tidak hanya elips, tetapi juga parabola dan hiperbola berubah menjadi lingkaran di bawah transformasi projektif yang bersesuaian; mereka semua adalah gambar-gambar yang setara secara projektif.
Hubungan antar-dua-geometri, euklidean dan projektif, menunjukkan bahwa objek-objek matematika tidaklah diberikan kepada kita disertai dengan struktur mereka. Melainkan, tiap-tiap teori matematika menjelaskan objek-objeknya oleh beberapa sifat mereka, tepatnya sifat-sifat yang diletakkan sebagai kumpulan aksioma pada dasar-dasar teori yang berkenaan.
Jarak dan sudut tidak pernah disebutkan dalam aksioma-aksioma geometri projektif, dan oleh karenanya tidak dapat muncul di dalam teorema-teoremanya. Pertanyaan tentang "berapakah jumlah dari tiga sudut suatu segitiga" sangatlah berarti di dalam geometri euklidean tetapi tidak bermakna apa-apa dalam geometri projektif.
Situasi yang berbeda terjadi pada abad ke-19: dalam beberapa geometri jumlah dari tiga sudut suatu segitiga telah terdefinisi dengan baik tetapi berbeda bila dibandingkan dengan nilai klasik (180 derajat). Geometri hiperbola non-euklidean, diperkenalkan oleh Nikolai Lobachevsky pada tahun 1829 dan János Bolyai pada tahun 1832 (dan Carl Gauss pada tahun 1816, tidak diterbitkan) yang menyatakan bahwa jumlah yang dimaksud adalah bergantung kepada bentuk segitiga dan selalu lebih kecil daripada 180 derajat. Eugenio Beltrami pada tahun 1868 dan Felix Klein pada tahun 1871 memperoleh "model-model" euklidean dari geometri hiperbola non-euklidean, dan dengan demikian lengkaplah justifikasi akan teori ini.
Temuan ini memaksa pembebasan diri akan segala pretensi terhadap kebenaran mutlak geometri euklidean. Temuan ini menunjukkan bahwa aksioma-aksioma yang telah ada tidaklah "jelas", tidak pula "implikasi dari definisi-definisi". Melainkan, mereka hanyalah hipotesis. Kepada perluasan yang manakah mereka akan berkorespondensi dengan realitas eksperimental? Masalah fisis penting ini tidak lagi berkaitan dengan matematika. Bahkan jika suatu "geometri" tidak berkoresponden dengan suatu realitas eksperimental, maka teorema-teoremanya sekadar menyatakan "kebenaran matematika".
Sebuah model euklidean dari geometri non-euklidean adalah pilihan yang cerdas dari beberapa objek yang hadir dalam ruang euklidean dan beberapa hubungan di antara objek-objek ini yang memenuhi semua aksioma (oleh karenanya pula, semua teorema) geometri non-euklidean. Objek-objek dan hubungan euklidean ini "memainkan" geometri non-euklidean seperti aktor kontemporer yang memainkan peran kuno. Hubungan-hubungan antar para aktor hanya menirukan hubungan-hubungan di antara para tokoh dalam peran. Demikian juga, hubungan-hubungan terpilih di antara objek-objek terpilih dari model euklidean hanya menirukan hubungan-hubungan non-euklidean. Ia menunjukkan bahwa hubungan-hubungan di antara objek-objek adalah penting di dalam matematika, sementara sifat objek-objek itu tidaklah penting.

Zaman keemasan dan sesudahnya: perubahan dramatis

Menurut Nicolas Bourbaki, periode antara tahun 1795 ("Geometrie descriptive" karya Monge) sampai tahun 1872 ("program Erlangen" karya Klein) dapat disebut sebagai zaman keemasan geometri. Geometri analitik membuat kemajuan yang besar dan berjaya menggantikan teorema-teorema geometri klasik dengan komputasi melalui invarian grup-grup transformasi. Sejak periode itulah teorema-teorema baru geometri klasik berhasil menarik minat para amatir dibanding matematikawan profesional.
Tetapi, bukan berarti bahwa pusaka geometri klasik hilang begitu saja. Menurut Bourbaki, "berlalu di dalam perannya sebagai sebuah sains yang mandiri dan tetap hidup, geometri klasik dengan demikian ditransfigurasi (dialihgambarkan) menjadi bahasa universal dari matematika kontemporer".
Menurut kuliah perdana yang terkenal yang dibawakan oleh Bernhard Riemann pada tahun 1854, setiap objek matematika yang diparametrisasi oleh bilangan real  dapat diperlakukan sebagai titik pada ruang berdimensi- dari objek-objek itu. Kini para matematikawan mengikuti gagasan ini secara rutin dan menemukannya sangat sugestif untuk menggunakan terminologi geometri klasik hampir di semua tempat.
Untuk mengapresiasi keumuman pendekatan ini seseorang harus mengetahui bahwa matematika adalah "teori murni tentang bentuk, yang memiliki tujuan, bukan kombinasi kuantitas-kuantitas, atau gambar-gambar mereka, bilangan-bilangannya, melainkan objek-objek pemikiran" (Hermann Hankel, 1867).
Fungsi adalah objek matematika yang penting. Biasanya fungsi itu membentuk ruang berdimensi tak-hingga, seperti yang sudah dinyatakan oleh Riemann dan dielaborasi pada abad ke-20 oleh analisis fungsional.
Suatu objek yang diparametrisasi oleh  bilangan kompleks dapat diperlakukan sebagai sebuah titik pada sebuah ruang kompleks berdimensi-. Tetapi, objek yang sama adalah juga diparametrisasi oleh bilangan real  (bagian real dan bagian imajiner adalah unsur-unsur bilangan kompleks), dengan demikian, sebuah titik pada ruang real berdimensi-. Dimensi kompleks berbeda dengan dimensi real. Ini hanyalah puncak gunung es. Konsep "aljabar" tentang dimensi yang berlaku pada ruang linear. Konsep "topologi" tentang dimensi berlaku pada ruang topologi. Juga terdapat dimensi Hausdorff untuk ruang metrik; yang ini dibolehkan untuk yang bukan bilangan bulat (khususnya untuk fraktal). Beberapa jenis ruang (misalnya, ruang ukuran) tidak menerima konsep dimensi sama sekali.
Ruang asli yang diselidiki oleh Euklides adalah kini dikenal sebagai "ruang euklides berdimensi-tiga". Aksiomatisasinya, dimulai oleh Euklides 23 abad lalu, dan dilengkapkan pada abad ke-20 oleh David Hilbert, Alfred Tarski, dan George Birkhoff. Pendekatan ini menjelaskan ruang melalui primitif-primitif yang tidak terdefinisi (seperti "titik", "antara", "kongruen") yang dibatasi oleh sejumlah aksioma. Definisi yang "berasal dari corat-coret" ini kini jarang digunakan, karena tidak menyibak hubungan ruang yang satu dengan ruang lainnya. Pendekatan modern mendefinisikan ruang euklidean berdimensi-tiga secara lebih aljabaris, melalui ruang linear dan bentuk kuadratik, yakni, sebagai ruang afin yang ruang selisihnya adalah ruang hasil kali dalam berdimensi-tiga.
Juga ruang projektif berdimensi-tiga adalah kini didefinisikan secara tak-klasik, sebagai ruang dari semua subruang berdimensi-satu (yaitu, garis-garis lurus yang melalui titik asal/titik nol) pada ruang linear berdimensi-empat.
Suatu ruang kini terdiri dari objek-objek matematika terpilih (misalnya, fungsi-fungsi pada ruang lainnya, atau subruang-subruang pada ruang lainnya, atau hanya unsur-unsur suatu himpunan) yang diperlakukan sebagai titik, dan hubungan terpilih antara titik-titik ini. Hal ini menunjukkan bahwa ruang hanyalah struktur matematika. Seseorang dapat mengharapkan bahwa struktur yang disebut "ruang" adalah lebih geometris daripada yang lainnya, tetapi tidak selalu demikian. Misalnya, lipatan terdiferensialkan (yang disebut lipatan halus/licin) adalah lebih geometris daripada ruang terukur, tetapi tidak seorangpun dapat menyebutnya sebagai "ruang terdiferensialkan" ("ruang halus/licin").

Tiga jenjang tata nama

Ruang diklasifikasi pada tiga jenjang. Diberikan bahwa tiap-tiap teori matematika menjelaskan objek-objeknya dengan bantuan beberapa dari sifat-sifat mereka, pertanyaan pertama: sifat yang mana?
Misalnya, klasifikasi jenjang-atas membedakan ruang euklidean dan ruang projektif, karena jarak antara dua titik terdefinisi dalam ruang euklides, tetapi tidak terdefinisi dalam ruang projektif. Kedua-dua ruang ini berbeda jenis.
Contoh lainnya. Pertanyaan "berapakah jumlah dari tiga sudut suatu segitiga" dapat dipahami dalam ruang euklidean, tetapi tidak halnya dalam ruang projektif; kedua-dua ruang ini berbeda jenis. Di dalam ruang non-euklidean pertanyaan ini masuk akal tetapi dijawab dengan cara yang berbeda, yang mana bukan sebuah perbedaan jenjang-atas.
Juga perbedaan antara bidang euklidean dan ruang euklidean berdimensi-tiga bukanlah perbedaan jenjang-atas; pertanyaan "apakah yang dimaksud dengan dimensi" masuk akal dalam kedua-dua kasus.
Dalam suku-suku Bourbaki klasifikasi jenjang-atas adalah berkaitan dengan "karakterisasi khusus"/typical characterization (atau "pengkhususan"/typification). Tetapi, ia tidaklah sama (karena dua struktur ekivalen mungkin saja berbeda dalam pengkhususannya).
Pada klasifikasi jenjang kedua seseorang memperhitungkan jawaban, terkhusus untuk pertanyaan-pertanyaan penting (di antara pertanyaan-pertanyaan yang masuk akal bagi jenjang pertama). Misalnya, jenjang ini membedakan antara ruang euklidean dan ruang non-euklidean; antara ruang berdimensi-hingga dan ruang berdimensi-takhingga; antara ruang padat dan ruang takpadat, dll.
Dalam suku-suku Bourbaki klasifikasi jenjang-kedua adalah diklasifikasi oleh "spesies". Tidak seperti tata nama biologi, ruang mungkin saja dimiliki oleh beberapa spesies.
Pada klasifikasi jenjang ketiga, seseorang memperhitungkan jawaban bagi semua pertanyaan yang mungkin (yang masuk akal menurut jenjang pertama). Misalnya, jenjang ini membedakan antara ruang-ruang yang berbeda dimensi, tetapi tidak membedakan antara bidang pada ruang euklidean berdimensi-tiga, diperlakukan sebagai ruang euklidean berdimensi-dua, dan himpunan semua pasangan bilangan real, juga diperlakukan sebagai ruang euklidean berdimensi-dua. Demikian juga, ia tidak membedakan antara model-model euklidean yang berbeda-beda pada ruang non-euklidean yang sama.
Lebih formalnya, jenjang ketiga mengklasifikasi ruang sampai pada isomorfisma. Suatu isomorfisma antara dua ruang adalah didefinisikan sebagai korespondensi satu-satu antara titik-titik pada ruang pertama dan titik-titik pada ruang kedua, yang mengawetkan hubungan antara suatu titik dengan titik lain, ditetapkan oleh "tipifikasi"/"pengkhususan" yang diberikan. Ruang-ruang yang saling isomorfik dipikirkan sebagai salinan dari ruang tunggal. Jika salah satu dari mereka menjadi milik bagi ruang yang diberikan, maka berlaku pula bagi semuanya.
Gagasan isomorfisma memberikan pencerahan bagi klasifikasi jenjang-atas. Diberikan korespondensi satu-satu antara dua ruang berjenis sama, seseorang mungkin bertanya apakah ia isomorfisma ataukah bukan. Pertanyaan ini tidak masuk akal bagi dua ruang yang berbeda dimensi.
Isomorfisma kepada diri sendiri disebut automorfisma. Automorfisma dari sebuah ruang euklidean adalah gerakan (motion) dan pencerminan (reflection). Ruang euklidean adalah homogen ketika setiap titik dapat ditransformasi ke dalam setiap titik lain oleh beberapa automorfisma.

Dua hubungan antar-ruang, dan sifat ruang

Istilah-istilah topologi (kontinuitas, konvergensi, himpunan terbuka, himpunan tertutup, dll.) terdefinisi alami di semua ruang euklidean. Dengan perkataan lain, setiap ruang euklidean adalah juga ruang topologi. Setiap isomorfisma antara dua ruang euklidean adalah juga isomorfisma antara ruang-ruang topologi yang berkorespondensi (disebut "homeomorfisma"), tetapi kebalikannya adalah salah: suatu homeomorfisma dapat mengubah jarak. Dalam suku-suku Bourbaki, "ruang topologi" adalah suatu struktur yang mendasari struktur "ruang euklidean". Gagasan-gagasan serupa yang muncul dalam teori kategori: kategori ruang euklidean adalah suatu kategori konkret pada kategori ruang topologi; pemfungsi buta (atau "stripping") memetakan kategori sebelumnya kepada kategori berikutnya.
Suatu ruang euklidean berdimensi-tiga adalah kasus khusus dari ruang euklidean. Dalam suku-suku Bourbaki, spesies ruang euklidean berdimensi-tiga adalah lebih kaya daripada spesies ruang euklidean. Demikian juga, spesies ruang topologi padat adalah lebih kaya daripada ruang topologi.
Aksioma-aksioma euklidean tidak meninggalkan kebebasan, mereka menentukan secara unik semua sifat geometri dari ruang. Lebih tepatnya: semua ruang euklidean berdimensi-tiga adalah saling isomorfik. Dalam hal ini kita memiliki ruang euklidean berdimensi-tiga "tertentu". Dalam suku-suku Bourbaki, teori yang berkorespondensi dengannya adalah univalen. Sebaliknya, ruang-ruang topologi pada umumnya non-isomorfik, teori mereka adalah multivalen. Gagasan yang serupa muncul dalam logika matematika: suatu teori dikatakan "kategoris" jika semua modelnya yang berkardinalitas sama adalah saling isomorfik. Menurut Bourbaki, kajian teori-teori multivalen adalah fitur yang paling mencolok yang membedakan matematika modern dari matematika klasik.

Ruang linear dan ruang topologi

Dua ruang dasar adalah ruang linear (disebut juga ruang vektor) dan ruang topologi.
Ruang linear adalah memiliki sifat-sifat aljabar; terdapat ruang linear real (pada lapangan bilangan real), ruang linear kompleks (pada lapangan bilangan kompleks), dan lebih umumnya, ruang linear pada sembarang lapangan. Setiap ruang linear kompleks adalah juga ruang linear real (yang ditulis terakhir mendasari yang ditulis lebih awal), karena tiap-tiap bilangan real adalah juga bilangan kompleks. Operasi linear, yang diberikan dalam ruang linear berdasarkan definisi, mengarah kepada gagasan sebagai garis lurus (dan bidang, dan subruang-subruang linear lainnya); garis-garis sejajar; elips (dan elipsoida). Tetapi, garis-garis ortogonal (tegak lurus) tidak dapat didefinisikan, dan lingkaran tidak dapat dikhususkan di antara semua elips. Dimensi suatu ruang linear didefinisikan sebagai bilangan terbesar dari vektor-vektor yang bebas linear atau, secara ekivalen, sebagai bilangan terkecil dari vektor-vektor yang merentang ruang tersebut; bilangan yang dimaksud boleh saja berhingga, boleh juga tak-hingga. Dua ruang linear pada lapangan yang sama adalah isomorfik jika dan hanya jika mereka berdimensi sama.
Ruang topologi adalah memiliki sifat-sifat analitik. Ruang terbuka, diberikan dalam ruang topologi berdasarkan definisi, mengarah kepada gagasan sebagai fungsi kontinu, lintasan, peta; barisan konvergen, limit; interior, batas, eksterior. Tetapi, kontinuitas seragam, himpunan terbatas, barisan cauchy, fungsi terdiferensialkan (lintasan, peta) masih saja tak terdefinisi. Isomorfisma antara ruang-ruang topologi secara tradisional disebut homeomorfisma; kedua-duanya merupakan korespondensi satu-satu yang kontinu pada masing-masing arah. Interval terbuka  adalah homeomorfik bagi keseluruhan garis real  tetapi tidak homeomorfik bagi interval tertutup , tidak pula bagi lingkaran. Permukaan kubus adalah homeomorfik bagi bola (permukaan bola) tetapi tidak homeomorfik bagi torus. Dua ruang euklidean yang berbeda dimensi tidaklah saling homeomorfik, yang sepintas menjadi bukti, tetapi sebenarnya tidak mudah untuk membuktikan ini. Dimensi suatu ruang topologi adalah sukar dibuktikan; "dimensi induktif" dan "dimensi selimut Lebesgue" adalah digunakan. Setiap subhimpunan suatu ruang topologi adalah ruang topologi juga (sebaliknya, hanya subhimpunan linear dari suatu ruang linear adalah ruang-ruang linear). Sembarang ruang topologi, diselidiki oleh topologi umum (disebut pula sebagai topologi himpunan-titik) adalah terlalu beranekaragam untuk suatu klasifikasi lengkap (hingga homeomorfisma). Mereka tak-homogen (pada umumnya). Ruang topologi padat adalah sebuah kelas penting dari ruang topologi ("spesies" dari "jenis" ini). Setiap fungsi kontinu adalah terbatas pada ruang yang bersangkutan. Interval tertutup  dan garis real yang diperpanjang  adalah padat; sedangkan interval terbuka  dan garis  tidaklah padat. Topologi geometri menyelidiki lipatan ("spesies" lain dari "jenis" ini); yang ini adalah ruang topologi yang homeomorfik secara lokal terhadap ruang euklidean. Lipatan berdimensi-rendah adalah terklasifikasi sepenuhnya (hingga homeomorfisma).
Dua struktur yang dibahas di atas (linear dan topologi) mendasari struktur-struktur dari struktur "ruang topologi linear". Ia adalah sebuah ruang topologi linear, baik itu ruang linear (real atau kompleks) dan ruang topologi (homogen, faktanya demikian). Bagaimanapun, sebuah kombinasi sembarang dari kedua-dua struktur ini pada umumnya bukanlah ruang topologi linear; kedua-dua struktur tersebut haruslah sesuai, yakni, operasi linear yang terlibat haruslah kontinu.
Semua ruang linear (real ataupun kompleks) yang berdimensi-hingga adalah ruang topologi linear dalam artian bahwa ia hanya hanya memuat satu dan hanya satu topologi yang menjadikannya ruang topologi linear. Kedua-dua struktur itu, "ruang linear (real dan kompleks) yang berdimensi-hingga" dan "ruang topologi berdimensi-hingga", adalah dengan demikian ekivalen, yakni, saling mendasari. Kemudian dari fakta ini, diperoleh bahwa setiap transformasi linear yang memiliki invers/balikan dari suatu ruang topologi linear berdimensi-hingga adalah sebuah homeomorfisma. Meskipun demikian, dalam topologi-topologi berdimensi-hingga yang berbeda adalah konform/bersesuaian dengan struktur linear yang diberikan, dan transformasi-transformasi linear yang terinverskan pada umumnya bukanlah homeomorfisma.

Ruang afin dan ruang projektif

Adalah cukup untuk memperkenalkan ruang afin dan ruang projektif melalui pemahaman ruang linear, sebagai berikut ini. Suatu subruang linear berdimensi- dari suatu ruang linear berdimensi-, dirinya sendiri adalah ruang linear berdimensi-, tidak homogen; ia memuat sebuah titik spesial, yakni titik asal. Dengan menggesernya menggunakan sebuah vektor eksternal kepadanya, seseorang memperoleh sebuah ruang afin berdimensi-. Ia homogen. Dalam perkataan John Baez, "ruang afin adalah ruang vektor yang melupakan titik asalnya". Garis lurus dalam ruang afin, menurut definisi, adalah perpotongannya dengan dengan suatu subruang linear berdimensi-dua (bidang yang melalui titik asal) dari ruang linear berdimensi-. Semua ruang linear adalah juga ruang afin.
Setiap titik pada ruang afin adalah perpotongannya dengan suatu subruang linear berdimensi-satu (garis yang melalui titik asal) dari ruang linear berdimensi . Bagaimanapun, beberapa subruang berdimensi-satu adalah sejajar dengan ruang afin; dalam beberapa pengertian, mereka memotongnya di ketakhinggaan. Himpunan semua subruang linear berdimensi-satu dari suatu ruang linear berdimensi-, menurut definisi, adalah suatu ruang projektif berdimensi-. Dengan memilih ruang afin berdimensi- seperti sebelumnya, seseorang melihat bahwa ruang afin tersebut terlekat sebagai subhimpunan wajar ke dalam ruang projektif. Tetapi, ruang projektif itu sendiri homogen. Suatu garis lurus dalam ruang projektif, menurut definisi, berkorespondensi dengan subruang linear berdimensi-dua dari ruang linear berdimensi-.
Dengan pendefinisian ini, ruang afin dan ruang projektif adalah bersifat aljabaris; mereka dapat saja real, kompleks, dan lebih umumnya, pada sembarang lapangan.
Setiap ruang afin atau ruang projektif real (atau juga kompleks) adalah juga ruang topologi. Ruang afin adalah lipatan tak-padat; sedangkan ruang projektif adalah lipatan padat.

Ruang metrik dan ruang seragam

Jarak antar-titik terdefinisi dalam ruang metrik. Setiap ruang metrik adalah juga ruang topologi. Himpunan terbatas dan barisan cauchy terdefinisi dalam ruang metrik (tetapi tidak dalam ruang topologi). Isomorfisma antara ruang-ruang metrik disebut isometri. Ruang metrik disebut lengkap jika semua barisan cauchy konvergen. Setiap ruang tak-lengkap adalah melekat secara isometris ke dalam komplesinya (pelengkapnya). Setiap ruang metrik padat adalah lengkap; garis real adalah padat tetapi lengkap; interval terbuka  adalah tidak lengkap.
Ruang topologi disebut terukur (metrizable) jika ia mendasari ruang metrik. Semua lipatan adalah terukur (metrizable).
Setiap ruang euklidean adalah juga ruang metrik lengkap. Lebih jauhnya, semua pengertian geometris yang tetap melekat pada ruang euklidean dapat dikarakterisasi dalam suku-suku metriknya. Misalnya, ruas-ruas lurus yang menghubungkan dua titik yang diberikan  dan  memuat semua titik  sehingga jarak antara  dan  adalah sama dengan jumlah dua jarak, antara  dan  dan antara  dan .
Ruang seragam tidak memperkenalkan jarak, tetapi masih mengizinkan seseorang untuk menggunakan kontinuitas seragam, barisan cauchy, kelengkapan dan komplesi. Setiap ruang seragam adalah ruang topologi. Setiap ruang topologi linear (terukur atau tidak) adalah juga ruang seragam. Lebih umumnya, setiap grup topologi komutatif adalah juga ruang seragam. Tetapi, grup topologi non-komutatif memuat dua struktur seragam, yang satu invarian-kiri, yang lainnya invarian-kanan. Ruang topologi linear adalah lengkap dalam dimensi-berhingga tetapi secara umum tak-lengkap dalam dimensi-takhingga.

Ruang norma, ruang Banach, ruang hasil kali dalam, dan ruang Hilbert

Vektor-vektor di dalam ruang euklidean adalah ruang linear, tetapi tiap-tiap vektor  juga memiliki panjang, dalam perkataan lain, norma, . Sebuah ruang linear (real ataupun kompleks) yang diberkati dengan sebuah norma adalah ruang vektor bernorma. Setiap ruang bernorma adalah ruang topologi linear dan juga ruang metrik. Suatu ruang banach adalah ruang bernorma lengkap. Banyak ruang barisan atau ruang fungsi adalah ruang banach berdimensi-takhingga.
Himpunan semua vektor yang memiliki norma kurang dari satu disebut bola satuan dari ruang bernorma. Ia adalah himpunan yang konveks, simetrik di pusat, pada umumnya bukan elipsoid; misalnya, ia boleh jadi poligon/segibanyak (pada bidang). Hukum jajar genjang (juga disebut identitas jajar genjang)  pada umumnya gagal dalam ruang bernorma, tetapi berlaku untuk vektor-vektor di dalam ruang euklidean, yang mengikuti fakta bahwa norma euklidean kuadrat dari suatu vektor adalah hasil kali dalam terhadap dirinya sendiri.
Suatu ruang hasil kali dalam adalah ruang linear (real ataupun kompleks) yang diberkati dengan suatu bentuk bilinear (atau seskuilinear) yang memenuhi beberapa syarat dan disebut hasil kali dalam. Setiap ruang hasil kali dalam adalah juga ruang vektor bernorma. Suatu ruang bernorma mendasari ruang hasil kali dalam jika dan hanya jika ia memenuhi hukum jajar genjang, atau ekivalennya, jika bola satuannya berupa elipsoid. Sudut-sudut antara vektor-vektor terdefinisi dalam ruang hasil kali dalam. Sebuah ruang hilbert terdefinisi sebagai ruang hasil kali dalam lengkap. (Beberapa penulis bersikeras bahwa ia mestilah kompleks, yang lainnya juga menerima ruang hilbert real.) Banyak ruang barisan atau ruang fungsi adalah ruang hilbert berdimensi-takhingga. Ruang hilbert adalah sangat penting bagi teori kuantum.
Semua hasil kali dalam real berdimensi- adalah saling isomorfik. Seseorang boleh mengatakan bahwa ruang euklidean berdimensi- adalah ruang hasil kali dalam real berdimensi- yang melupakan titik asalnya.

Lipatan halus dan lipatan Riemannian (ruang)

Lipatan terdiferensialkan tidak disebut "ruang", tetapi mungkin saja demikian. Fungsi, lintasan, dan peta yang terdiferensialkan (halus), yang diberikan dalam lipatan halus, menyebabkan ruang tangen. Setiap lipatan halus adalah lipatan (topologis). Permukaan halus (terdiferensialkan) di dalam ruang linear berdimensi-hingga (seperti permukaan elipsoid, bukan politop) adalah lipatan halus. Setiap lipatan halus dapat dilekatkan kepada ruang linear berdimensi-hingga. Sebuah lintasan halus di dalam lipatan halus memiliki vektor tangen (pada setiap titik), menjadi milik bagi ruang tangen (melekat pada titik ini). Ruang tangen bagi lipatan halus berdimensi  adalah ruang linear berdimensi-. Sebuah fungsi halus memiliki diferensial (di setiap titik), – fungsional linear pada ruang tangen. Ruang-ruang projektif, afin, dan linear berdimensi-hingga real (ataupun kompleks) adalah juga lipatan halus.
Lipatan riemannian, atau ruang riemann, adalah lipatan halus yang ruang tangennya diberkati dengan hasil kali dalam (memenuhi beberapa syarat). Ruang euklidean adalah juga ruang riemann. Permukaan halus (terdiferensialkan) di dalam ruang euklidean adalah ruang riemann. Ruang no-euklidean hiperbolik adalah juga ruang riemann. Kurva di dalam ruang riemann memiliki panjang. Ruang riemann merupakan lipatan halus dan ruang metrik; panjang kurva terpendek adalah jarak. Sudut antara dua kurva yang berpotongan pada suatu titik adalah sudut antara garis-garis tangennya.
Dengan mengecualikan kepositifan hasil kali dalam pada ruang tangen, seseorang memperoleh ruang riemann-semu (khususnya, lorentzian) yang sangat penting bagi relativitas umum.

Ruang keterukuran, ruang ukuran, dan ruang peluang

Dengan mengecualikan jarak dan sudut, sambil mempertahankan volume (dari bangun geometris) seseorang bergerak menuju teori ukuran. Di samping volume, ukuran memperumum luas, panjang, sebaran massa (atau muatan), dan juga sebaran peluang, menurut pendekatan Andrey Kolmogorov terhadap teori peluang.
"Bangun geometris" matematika klasik jauh lebih teratur (regular) daripada sekadar himpunan titik. Batas suatu bangun adalah volume nol. Dengan demikian, volume bangun adalah volume bagian dalamnya, dan bagian dalam tersebut dapat diperkurus oleh sebarisan takhingga kubus. Sebaliknya, batas himpunan sembarang titik-titik boleh jadi volume tak-nol (misalnya: himpunan semua titik rasional di dalam kubus yang diberikan). Teori ukuran berjaya memperluas gagasan volume (atau ukuran lainnya) menjadi sebuah kelas himpunan yang luas/besar cakupannya, disebut pula himpunan terukur. Jelaslah, himpunan-himpunan takterukur tidak pernah muncul di dalam terapan, tetapi, teori ini harus membatasi dirinya sendiri hanya pada himpunan-himpunan (dan fungsi-fungsi) terukur.
Himpunan terukur, diberikan dalam ruang terukur menurut definisi, mengarah kepada peta dan fungsi terukur. Untuk mengubah ruang topologi menjadi ruang terukur, seseorang memberkatinya dengan aljabar-σ (baca: aljabar-sigma). Aljabar-σ dari himpunan borel adalah yang paling popular, tetapi bukan satu-satunya pilihan (himpunan baire, himpunan terukur semesta. kadang-kadang digunakan juga). Kemungkinan lain, aljabar-σ dapat dihasilkan oleh suatu kumpulan himpunan (atau fungsi) yang diberikan, tidak bergantung pada topologi manapun. Cukup sering, topologi-topologi yang berbeda mengarah kepada aljabar-σ (misalnya, topologi norma dan topologi lemah pada suatu ruang hilbert terpisahkan). Setiap subhimpunan dari suatu ruang terukur adalah juga ruang terukur.
Ruang terukur baku (disebut juga "ruang borel baku") adalah berguna secara khusus. Setiap himpunan borel (khususnya, setiap himpunan tertutup dan setiap himpunan terbuka) di dalam ruang euklidean (dan lebih umumnya, dalam ruang metrik terpisahkan lengkap) adalah ruang terukur baku. Semua ruang terukur baku yang takterhitung adalah saling isomorfik.
Ruang ukuran adalah ruang terukur yang diberkati dengan ukuran. Ruang euklidean dengan ukuran Lebesgue adalah ruang ukuran. Teori Integral mendefinisikan keterintegralan dan integral fungsi terukur pada ruang ukuran.
Himpunan ukuran 0, disebut himpunan nol, adalah dapat diabaikan. Oleh karena itu, ismorfisma  terdefinisi sebagai isomrfisma antara subhimpunan-subhimpunan berukuran penuh (yakni, dengan komplemen yang dapat diabaikan).
Ruang peluang adalah ruang ukuran, sedemikian sehingga ukuran keseluruhan ruang adalah sama dengan 1. Hasil kali sembarang keluarga (berhingga atau tidak) dari ruang-ruang peluang adalah juga ruang peluang. Sebaliknya, untuk ruang ukuran secara umum, hanya hasil kali ruang-ruang (terhingga banyaknya) yang terdefinisi. Oleh karena itu, ada banyak ukuran peluang berdimensi-takhingga (khususnya, ukuran gaussian), tetapi tidak ada ukuran lebesgue yang berdimensi-takhingga.
Ruang peluang baku adalah berguna secara khusus. Setiap ruang peluang pada ruang terukur baku mengarah kepada ruang peluang baku. Hasil kali sebarisan (berhingga ataupun tidak) dari ruang-ruang peluang baku adalah juga ruang peluang baku. Semua ruang peluang baku non-atomik adalah saling isomorfik  salah satu dari mereka adalah interval  dengan ukuran Lebesgue.
Ruang-ruang ini adalah tidak begitu geometris. Khususnya, gagasan tentang dimensi, terterapkan (dalam satu bentuk atau bentuk lainnya) terhadap semua ruang lainnya, tidak berlaku bagi ruang terukur, ruang ukuran, dan ruang peluang.