Pita Möbius

Strip Möbius atau Pita Möbius (/ˈmɜːrbiəs/ (non-rhotic), US /ˈmeɪ-, ˈmoʊ-/; bahasa Jerman: [ˈmøːbi̯ʊs]), juga dieja Mobius atau Moebius adalah sebuah permukaan topologis dengan satu sisi permukaan (bila dilekatkan dalam ruang tiga dimensi Euclidean) yang hanya memiliki satu batas. Pita Möbius memiliki properti matematis yang tak berorientasi. Hal ini juga dapat disadari sebagai sebuah permukaan teratur. Pita ini ditemukan secara independen oleh dua matematikawan Jerman, yaitu August Ferdinand Möbius dan Johann Benedict Listing pada tahun 1858.
Contoh pita Möbius dapat dibuat dari kertas stip dengan setengah putaran, dan kemudian digabung pada ujung pita-nya dan membentuk satu lingkaran. Namun, pita Möbius bukan merupakan permukaan yang hanya dengan satu ukuran dan bentuk yang tepat, seperti strip kertas setengah bengkok yang digambarkan dalam ilustrasi. Sebaliknya, matematikawan merujuk pada pita Möbius yang tertutup sebagai permukaan yang berbentuk homeomorfis. Batasannya merupakan kurva tertutup sederhana, yaitu homeomorfis ke lingkaran. Hal ini memungkinkan adanya versi geometri pita Möbius yang sangat beragam pada masing-masing permukaan dengan ukuran dan bentuk yang pasti. Misalnya, setiap persegi panjang dapat direkatkan pada dirinya sendiri (dengan mengidentifikasi satu sisi dengan tepi yang berlawanan setelah pembalikan orientasi) dalam membuat pita Möbius. Beberapa di antaranya dapat dimodelkan pada ruang euklides, sedangkan yang lainnya tidak dapat.
Setengah putaran arah jarum jam memberikan pelekatan pita Möbius yang berbeda dibandingkan setengah putaran yang berlawanan arah jarum jam di mana sebagai objek yang dilekatkan pada ruang euklides, pita Möbius merupakan objek kiral baik bagi yang kidal maupun non-kidal. Namun, ruang topologi yang mendasari pita Möbius bersifat homeomorfis pada setiap kasus. Sejumlah emblem topologi yang berbeda dari ruang topologi yang sama ke dalam ruang tiga dimensi yang ada, karena pita Möbius juga dapat dibentuk dengan memutar garis ganjil beberapa kali lebih dari satu kali, atau dengan membuat simpul dan memutar pita, sebelum digabung pada ujungnya. Pita Möbius yang terbuka secara lengkap merupakan contoh permukaan topologi yang terkait erat dengan pita Möbius standar, tetapi tidak berbentuk homeomorfis.
Menemukan persamaan aljabar sangat mudah, di mana solusi ditemukan dengan menggunakan topologi pita Möbius. Persamaan ini secara umum tidak menggambarkan bentuk geometris yang sama dengan yang diperoleh dari model kertas yang memutar seperti yang dijelaskan di atas. Secara khusus, model kertas bengkok merupakan permukaan yang dapat dikembangkan, dengan nilai nol dalam kelengkungan Gaussian. Sebuah sistem persamaan diferensial aljabar menggambarkan model jenis ini yang diterbitkan pada tahun 2007 bersama dengan solusi numeriknya.
Karakter Euler dari pita Möbius adalah nol.

Karakteristik

Pita Möbius memiliki beberapa karakteristik misterius. Sebuah garis yang ditarik dari sambungan pada titik temu bagian tengahnya bertemu kembali pada titik temunya, tetapi pada sisi lainnya. Jika dilanjutkan, garis tersebut bertemu pada titik awal, dan akan berukuran lebih panjang dibandingkan ukuran pita aslinya. Kurva kontinu tunggal ini menunjukkan bahwa pita Möbius hanya memiliki satu batas.
Pemotongan pita Möbius di sepanjang garis tengah dengan sepasang gunting menghasilkan satu pita yang memiliki dua tikungan penuh di dalamnya, yang bukan dua pita terpisah; yang tidak menghasilkan pita Möbius. Hal ini terjadi karena pita aslinya hanya memiliki satu sisi yang panjangnya dua kali pita aslinya. Pemotongan ini menciptakan tepian mandiri kedua, yang setengahnya berada di setiap sisi gunting. Pemotongan bagian baru ini, akan menghasilkan pita yang lebih panjang, di mana lipatan ke bawah ini membuat dua pita saling melintang, yang masing-masingnya memiliki dua tikungan penuh.
Jika pita digunting di sepanjang sepertiga jalan dari tepinya, maka akan menghasilkan dua pita: Salah satunya adalah pita Möbius yang lebih tipis - yang merupakan pusat ketiga dari pita asli, yang lebarnya sepertiga dari pita aslinya, tetapi panjangnya sama.
Pita lainnya akan lebih panjang, tetapi tipis dengan dua tikungan penuh di dalamnya - hal ini merupakan tepi lingkungan dalam matematika dari tepi pita aslinya, yang lebarnya sepertiga dan panjangnya dua kali lebih panjang dari pita aslinya.
Pita analog lainnya dapat diperoleh dengan menggabungkan pita dengan dua atau lebih dari setengah tikungan di dalamnya, bukan hanya satu. Misalnya, pita dengan tiga setengah tikungan, saat dibagi memanjang, akan menjadi pita terpilin yang terikat pada simpul trefoil. (Jika simpul ini terurai, maka pita akan memiliki delapan setengah tikungan). Sebuah pita dengan jumlah tikungan N, ketika dibelah dua, menjadi pita dengan N + 1 tikungan penuh, dan memberikan tikungan ekstra dan menghubungkan kembali ujung-ujungnya, dan menghasilkan bentuk yang disebut cincin paradromik