Aljabar linear

Aljabar linear adalah bidang studi matematika yang mempelajari sistem persamaan linear dan solusinya, vektor, serta transformasi linear. Matriks dan operasinya juga merupakan hal yang berkaitan erat dengan bidang aljabar linear.

Matriks Diagonal

Sebuah matriks bujursangkar yang unsur-unsurnya berada di garis diagonal utama dari matriks bukan nol dan unsur lainnya adalah nol disebut dengan matriks diagonal.
Contoh:
secara umum matriks n x n bisa ditulis sebagai
Matriks diagonal dapat dibalik dengan menggunakan rumus berikut:
=
jika D adalah matriks diagonal dan k adalah angka yang positif maka
=
Contoh:
A=
maka
=

Euklidian dalam n-Ruang

Vektor di dalam n-Ruang
Definisi: Jika n adalah sebuah integer positif, sebuah n- grup topel adalah sekuens dari n bilangan real (a₁.a₂.....aₙ). Set dari semua grup yang terdiri dari n- grup topel dinamakan n-ruangdan dituliskan sebagai Rn.
Jika n = 2 atau 3, sudah menjadi kebiasaan untuk menggunakan istilah grup pasangan dan grup dari tiga secara respektif, daripada 2-grup topel atau 3- grup topel. Keitka n = 1, setiap n – grup topel terdiri dari satu bilangan real, sehingga R1 bisa dilihat sebagai set dari bilangan real. Kita akan menuliskan R daripada R1 pada set ini.
Mungkin kita telah mmepelajari dalam bahan 3-ruang symbol dari (a₁, a₂, a₃) mempunyai dua interpretasi geometris yang berbeda: ini bisa diinterpretasikan sebagai titik, yang dalam kasus ini a₂, a₂, a₃ merupakan koordinat, atau ini bisa diinterpretasikan sebagai vector, di mana a₁, a₂, a₃ merupakan komponen vector. Selanjutnya kita bisa melihat bahwa n – grup topel (a₁, a₂, ...., aₙ) bisa dilihat sebagai antara sebuah “poin umum” atau “vector umum”- perbedaan antara keduanya tidak penting secara matematis. Dan juga kita bisa menjelaskan 5- topel (-2, 4, 0,1,6) antara poin dalam R5 atau vektor pada R5.
Penjumlahan u + v didefinisikan oleh
Dan jika k adalah konstanta scalar, maka perkalian scalar ku didefinisikan oleh
Operasi dari pertambahan dan perkalian scalar dalam definisi ini disebut operasi standar untuk Rn
Vektor nol dalam Rn didenotasikan oleh 0 dan difenisikan ke vektor
Jika u = (u1, u2, ...., un) dalam setiap vector dalam Rn, maka negative (atau invers aditif) dari u dituliskan oleh –u dan dijelaskan oleh


Perbedaan dari vector dalam Rn dijelaskan oleh


atau, dalam istilah komponen,


Sifat-sifat dari vektor dalam 
jika , , dan  adalah vektor dalam  sedangkan k dan m adalah skalar, maka:
(a) u + v = v + u
(b) u + 0 = 0 + u = u
(c) u + (v + w) = (u + v) + w
(d) u + (-u) = 0 ; berarti, u - u = 0
(e) k (m u) = (k m) u
(f) k (u + v) = k u + k v
(g) (k + m) u = k u + m u
(h) 1u = u
Perkalian dot product  didefinisikan sebagai

Menemukan norm dan jarak

Menghitung Panjang vektor u dalam ruang 
jika u = 
Maka Panjang vektor u
dan Menghitung jarak antara vektor u dengan vektor v

Bentuk Newton

interpolasi polinominal p(x)=aₙxⁿ+aₙ₋₁xⁿ⁻¹+...+a₁x+a₀ adalah bentuk standar. Tetapi ada juga yang menggunakan bentuk lain . Contohnya, kita mencari interpolasi titik dari data (x₀,y₀),(x₁,y₁),(x₂,y₂),(x₃,y₃).
Jika kita tuliskan P(x)=a₃x³+a₂x²+a₁x+a₀
bentuk equivalentnya: p(x)=a₃(x-x₀)³+p(x)=a₂(x-x₀)²+p(x)=a₁(x-x₀)+a₀
dari kondisi interpolasi p(x₀)=yₒ maka didapatkan a₀=yₒ, sehingga dapat kita tuliskan menjadi
p(x)=b₃(x-x₀)(x-x₁)(x-x₂)+b₂(x-x₀)(x-x₁)+b₁(x-x₀)+b₀
inilah yang disebut newton form dari interpolasi, sehingga kita dapatkan:
p(x₀)=b₀
p(x₁)=b₁h₁+b₀
p(x₂)=b₂(h₁+h₂)h₂+b₁(h₁+h₂)+b₀
p(x₃)=b₃(h₁+h₂+h₃)(h₂+h₃)h₃+b₂(h₁+h₂+h₃)(h₂+h₃)+b₁(h₁+h₂+h₃)+b₀
sehingga jika kita tuliskan dalam bentuk matrix:

Operator Refleksi

Berdasarkan operator T:R² -> R² yang memetakan tiap vektor dalam gambaran simetris terhadap sumbu y, dimisalkan w=T(x), maka persamaan yang berhubungan dengan x dan w adalah:
x₁ = -x = -x + 0y
x₂ = y = 0x + y
atau dalam bentuk matrik:
Secara umum, operator pada R² dan R³ yang memetakan tiap vektor pada gambaran simetrinya terhadap beberapa garis atau bidang datar dinamakan operator refleksi. Operator ini bersifat linier.

Operator Proyeksi

Berdasarkan operator T:R² -> R² yang memetakan tiap vektor dalam proyeksi tegak lurus terhadap sumbu x, dimisalkan w=T(x), maka persamaan yang berhubungan dengan x dan w adalah:
x₁ = x = x + 0y
x₂ = 0 = 0x + 0y
atau dalam bentuk matrik:
Persamaan tersebut bersifat linier, maka T merupakan operator linier dan matrikx T adalah:
Secara umum, sebuah operator proyeksi pada R² dan R³ merupakan operator yang memetakan tiap vektor dalam proyeksi ortogonal pada sebuah garis atau bidang melalui asalnya.

Operator Rotasi

Sebuah operator yang merotasi tiap vektor dalam R² melalui sudut ɵ disebut operator rotasi pada R². Untuk melihat bagaimana asalnya adalah dengan melihat operator rotasi yang memutar tiap vektor searah jarum jam melalui sudut ɵ positif yang tetap. Unutk menemukan persamaan hubungan x dan w=T(x), dimisalkan ɵ adalah sudut dari sumbu x positif ke x dan r adalah jarak x dan w. Lalu, dari rumus trigonometri dasar x = r cos Θ ; y = r cos Θ dan w₁ = r cos (ɵ + ɸ) ; w₂= r sin (ɵ + ɸ)
Menggunakan identitas trigonometri didapat:
w₁ = r cos ɵ cos ɸ - r sin ɵ sin ɸ
w₂ = r sin ɵ cos ɸ + r cos ɵ sin ɸ
kemudian disubtitusi sehingga:
w₁ = x cos Θ - y sin Θ
w₂ = x sin Θ + y cos Θ
Persamaan di atas merupakan persamaan linier, maka T merupakan operator linier sehingga bentuk matrik dari persamaan di atas adalah: