Pi

Nama

Simbol yang digunakan oleh para matematikawan untuk mewakilkan rasio keliling suatu lingkaran terhadap diameternya adalah huruf Yunani "π". Huruf tersebut dapat dituliskan sebagi pi menggunakan huruf latin. Huruf kecil π (atau π dalam gaya huruf sans-serif) berbeda dengan huruf besar π, yang mewakili perkalian barisan.
Pemilihan simbol π didiskusikan pada bagian Penggunaan simbol π

Ciri-ciri

π adalah bilangan irasional, yang berarti bahwa ia tidak dapat ditulis sebagai rasio dua bilangan bulat. Karena π irasional, maka ia memiliki digit bilangan desimal yang tak terhingga banyaknya. Terdapat beberapa bukti bahwa π irasional. Umumnya pembuktian ini memerlukan kalkulus dan bergantung pada teknik reductio ad absurdum. Sejauh mana bilangan π dapat didekati menggunakan bilangan rasional tidaklah diketahui.
π adalah bilangan transendental, yang berarti bahwa ia bukanlah penyelesaian dari polinom non-konstan berkoefisien rasional manapun seperti  Transendensi π mempunyai dua konsekuensi penting. Pertama, π tidak dapat diekspresikan menggunakan kombinasi bilangan rasional dan akar kuadrat ataupun akar pangkat ke-n manapun seperti  atau  Kedua, oleh karena tiada bilangan transendental apapun yang dapat dikonstruksikan menggunakan jangka dan penggaris, tidaklah dimungkinkan untuk "mempersegikan lingkaran". Dengan kata lain, tidaklah mungkin untuk mengkonstruksi persegi yang luasnya sama dengan luas lingkaran tertentu hanya dengan menggunakan jangka dan penggaris. Pemersegian lingkaran merupakan salah satu teka-teki geometri yang penting pada zaman era klasik. Matematikawan amatiran pada zaman modern kadang-kadang masih berusaha mempersegikan lingkaran dan mengklaim berhasil menyelesaikannya, walaupun telah diketahui hal ini tidak mungkin dilakukan.
Digit-digit π tidak memiliki pola apapun dan telah melewati uji keacakan statistis meliputi uji normalitas; sebuah bilangan dengan panjang tak terhingga dikatakan normal apabila keseluruhan barisan digitnya muncul sama banyaknya. Hipotesis bahwa π adalah normal belum berhasil dibuktikan maupun dibantah. Sejak ditemukannya komputer, sejumlah besar digit π telah berhasil dikomputasi untuk dianalisis secara statistik. Yasumasa Kanada telah menganalisis secara detail digit-digit desimal π dan menemukannya konsisten dengan normalitas. Tiada bukti sepuluh digit 0 sampai dengan 9 yang ditemukan memiliki pola-pola apapun. Walaupun digit-digit π telah melewati uji keacakan statistik, π mengandung beberapa barisan digit yang tampaknya tidak acak, misalnya titik Feynman, yang merupakan barisan enam angka 9 secara beruruan yang dimulai dari desimal ke-762 π.

Zaman kuno

Piramida Giza Mesir yang dibangun pada tahun 2589–2566 SM, dibangun dengan kelilingnya sekitar 1760 kubit dan tinggi sekitar 280 kubit. Perbandingan antara keliling dengan tinggi piramida ini adalah ​¹⁷⁶⁰⁄₂₈₀ ≈ 6,2857. Nilai ini mendekati 2π ≈ 6,2832. Berdasarkan rasio ini, beberapa ahli Mesir kuno menyimpulkan bahwa pendiri bangunan piramida ini memiliki pengetahuan akan π dan dengan sengaja mendesain piramida dengan rasio seperti ini. Beberapa ahli menyanggah hal tersebut dan menyimpulkan hal ini hanyalah kebetulan belaka karena tiada butki lain apapun yang mendukungnya.
Pendekatan tertulis terhadap nilai π paling awal ditemukan di Mesir dan Babilonia, dengan nilai pendekatan berselisih lebih kurang 1 persen dari nilai sebenarnya. Sebuah lempeng liat dari Babilonia tahun 1900-1600 SM memuat penyataan mengenai geometri yang mengasumsikan π sebagai 25/8 = 3,1250. Di Mesir, Papirus Rhind yang berasal dari tahun 1650 SM (papirus ini sendiri merupakan salinan dari dokumen tahun 1850 SM) memiliki rumus luas lingkaran yang mengasumsikan nilai π sebagai (​¹⁶⁄₉)² ≈ 3,1605.
Di India sekitar tahun 600 SM, catatan Sutra Shulba dalam bahasa Sanskerta memuat nilai π sebesar (​⁹⁷⁸⁵⁄₅₅₆₈)² ≈ 3,088. Pada tahun 150 SM, sumber-sumber catatan dari India memperlakukan π sama dengan  ≈ 3,1622.
Dua ayat dalam alkitab Ibrani (yang ditulis antara abad ke-8 dan ke-3 SM) medeskripsikan sebuah kolam seremonial dalam Bait Salomo yang berdiameter 10 kubit dan kelilingnya 30 kubit; ayat ini menyiratkan bahwa π adalah sekitar tiga apabila kolam tersebut berbentuk lingkaran. Rabbi Nehemiah menjelaskan bahwa diskrepansi ini diakibatkan oleh ketebalan pinggiran kolam. Hasil kerja paling awal Rabbi Nehemiah Mishnat ha-Middot yang ditulis sekitar tahun 150 mengambil nilai π sebesar tiga dan sepertujuh.

Zaman pendekatan poligon

Algoritme paling awal yang tercatat secara cermat menghitung nilai π adalah pendekatan geometri menggunakan poligon. Algoritme ini ditemukan sekitar 250 SM oleh matematikawan Yunani Archimedes. Algoritme poligon ini mendominasi selama 1.000 tahun, dan karenanya π kadang-kadang dirujuk juga sebagai "konstanta Archimedes". Archimedes menghitung batas atas dan bawah π dengan menggambar poligon di luar dan di dalam sebuah lingkaran, dan secara perlahan melipatgandakan sisi-sisi poligon tersebut hingga mencapai 96-gon. Dengan menghitung keliling poligon-poligon tersebut, Archimedes membuktikan bahwa ​²²³⁄₇₁ < π < ​²²⁄₇ (3,1408 < π < 3,1429). Batas atas Archimedes sekitar ​²²⁄₇ membuat banyak orang percaya bahwa π sama dengan ​²²⁄₇. Sekitar tahun 150, Ptolemaeus dalam Almagest-nya, memberikan nilai π sebesar 3,1416. Hasil ini kemungkinan dia dapatkan dari Archimedes ataupun dari Apollonius dari Perga. Para matematikawan kemudian menggunakan algoritme ini dan mencapai rekor 39 digit π pada tahun 1630 sebelum dipecahkan pada tahun 1699 menggunakan deret tak terhingga.
Pada zaman Cina kuno, nilai π adalah 3,1547 (sekitar tahun 1 Masehi),  (tahun 100, sekitar 3,1623), dan 142/45 (abad ke-3, sekitar 3,1556). Sekitar tahun 265, matematikawan dari Kerajaan Wei, Liu Hui, menemukan algoritme iteratif berbasis poligon yang digunakan dengan 3072-gon untuk menghasilkan nilai π sebesar 3,1416. Liu kemudian menciptakan metode yang lebih cepat dan mendapatkan nilai 3,14 dengan menggunakan 96-gon. Matematikawan Cina Zu Chongzhi sekitar tahun 480 menghitung bahwa π ≈ ​³⁵⁵⁄₁₁₃ (pecahan ini dinamakan pecahan Milü dalam bahasa Cina) dengan menggunakan algoritme Liu Hui dan menerapkannya menggunakan 12.288-gon. Nilai yang didapatkannya adalah 3,141592920... dan akurat sebanyak tujuh digit. Nilai pendekatan ini merupakan nilai yang paling akurat selama 800 tahun ke depan.
Astronom India Aryabhata menggunakan nilai 3,1416 dalam Āryabhaṭīya (tahun 499). Fibonacci pada tahun  1220 menghitung nilai π dan mendapatkan hasil 3,1418 menggunakan metode poligon.
Astronom Persia Jamshīd al-Kāshī menghasilkan 16 digit nilai π pada tahun 1424 menggunakan poligon bersisi 3×2²⁸,. Ini kemudian menciptakan rekor untuk 180 tahun. Matematikawan Prancis François Viète pada tahun 1579 mencapai 9 digit menggunakan poligon bersisi 3×2¹⁷. Matematikawan Flandria mencapai 15 digit desimal pada tahun 1593. Pada tahun 1596, matematikawan Belanda Ludolph van Ceulen mencapai 20 digit, dan rekor ini dipecahkan oleh dirinya sendiri mencapai 35 digit. Ilmuwan Belanda Willebrord Snellius mencapai 34 digit pada tahun 1621, dan astronom Austria Christoph Grienberger mencapai 38 digit pada tahun 1630, adalah nilai terakurat yang didapatkan secara perhitungan manual menggunakan pendekatan poligon.

Penggunaan simbol π

Huruf Yunani π paling awal diketahui digunakan untuk mewakili rasio keliling lingkaran dengan diameternya oleh matematikawan William Jones dalam karya tahun 1706 "Synopsis Palmariorum Matheseos; or, a New Introduction to the Mathematics". Huruf Yunani ini pertama kali muncul dalam frasa "1/2 Periphery π" (1/2 keliling π) dalam mendiskusikan suatu lingkaran berjari-jari satu. Jones mungkin memilih simbol π karena π adalah huruf pertama dari kata "keliling" dalam bahasa Yunani. Namun ia menulis bahwa persamaan untuk π tersebut berasal dari John Machin. Simbol ini sebenarnya pernah digunakan lebih awal sebagai konsep geometri. William Oughtred menggunakan π dan δ, huruf Yunani yang setara dengan p dan d, untuk mengekspresikan rasio keliling dengan diameter pada tahun 1647.
Setelah Jones memperkenalkan penggunaan huruf Yunani π ini pada tahun 1706, simbol ini tidak digunakan secara luas oleh matematikawan lain sampai dengan Euler yang mulai menggunakannya pada karya tahun 1736-nya, Mechanica. Sebelumnya, matematikawan kadang-kadang menggunakan simbol c atau p. Karena Euler memiliki banyak koneksi dengan matematikawan-matematikawan lainnya di Eropa, penggunakan huruf π meluas dengan cepat. Pada tahun 1748, Euler menggunakan simbol π dalam karyanya Introductio in analysin infinitorum (dia menulis: "untuk mempersingkat penulisan, kita akan menulis bilangan ini sebagai π; sehingga π sama dengan setengah keliling lingkaran berjari-jari 1"). Hal ini kemudian memicu penggunaan π yang universal di Barat.

Motivasi komputasi π

Dalam perhitungan numeris yang melibatkan π, biasanya kita hanya memerlukan beberapa digit desimal π untuk mencapai tingkat presisi yang cukup tinggi. Menurut Jörg Arndt dan Christoph Haenel, 39 digit π sudah mencukupi untuk menghitung kebanyakan perhitungan kosmologi, karena ini merupakan jumlah digit yang diperlukan untuk menghitung volume alam semesta sampai dengan satu atom. Walau demikian, banyak orang telah bekerja keras untuk mengkomputasi π sampai dengan ribuan dan jutaan digit. Usaha ini sebagian dikarenakan dorongan manusia untuk memecahkan rekor, dan biasanya pencapaian seperti ini sering masuk ke dalam tajuk berita seluruh dunia. Perhitungan seperti ini juga memiliki kegunaan praktisnya, yaitu untuk menguji superkomputer, menguji algoritme analisis numeris; dan dalam lingkup matematika murni sendiri, data yang dihasilkan dapat digunakan untuk mengevaluasi keacakan digit-digit π.

Kegunaan

Karena π berhubungan dekat dengan lingkaran, ia banyak ditemukan dalam rumus-rumus geometri dan trigonometri, utamanya yang menyangkut lingkaran, bola, dan elips. π juga ditemukan dalam berbagai cabang ilmu lainnya meliputi statistika, fraktal, termodinamika, mekanika, kosmologi, teori bilangan, dan elektromagnetisme.

Mengingat digit

Banyak orang telah mengingat sejumlah besar digit angka π, suatu praktik yang disebut pifilologi. Satu teknik umum untuk mengingat adalah melalui cerita atau puisi yang mana panjang kata-kata mewakili angka digit π: Kata pertama terdiri dari tiga huruf, kata kedua memiliki satu huruf, kata ketiga empat huruf, kata keempat satu huruf, kata kelima lima huruf, dan seterusnya. Contoh awal cara mengingat, diprakarsai oleh ilmuwan Inggris James Jeans, adalah How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics. Ketika sebuah puisi (poem) digunakan, itu terkadang dirujuk sebagai piem. Puisi untuk mengingat π telah digubah dalam beberapa bahasa selain bahasa Inggris.
Rekor mengingat digit π, yang dicatat oleh Guinness World Records, adalah 70.000 digit, dibacakan di India oleh Rajveer Meena selama 9 jam 27 menit pada tanggal 21 Maret 2015. Pada tahun 2006, Akira Haraguchi, seorang pensiunan insinyur Jepang, mengklaim telah membacakan 100.000 desimal π, tetapi klaim tersebut tidak diverifikasi oleh Guinness World Records. Peraturan rekor pengingat π biasanya tidak berdasarkan puisi, tetapi malahan menggunakan metode semacam mengingat pola angka dan metode loci.
Beberapa penulis telah menggunakan digit π sebagai dasar bentuk baru tulisan terbatas (bahasa Inggris: constrained writing), di mana diperlukan panjang kata yang mereprentasikan digit π. Cadaeic Cadenza mengandung 3.835 digit pertama π, dan satu buku penuh berjudul Not a Wake mengandung 10.000 kata, yang masing-masing mereprentasikan satu digit π.