Masalah Milenium

P versus NP

Pertanyaannya adalah apakah, untuk semua masalah algoritme dapat memverifikasi sebuah solusi yang diberikan cepat (yaitu, dalam waktu polinomial), algoritme juga dapat menemukan solusi yang cepat. Yang pertama menggambarkan kelas masalah disebut NP, sedangkan yang kedua menggambarkan P. Pertanyaannya adalah apakah atau tidak semua masalah di NP juga di P. Ini umumnya dianggap salah satu pertanyaan terbuka yang paling penting dalam matematika dan ilmu komputer teoretis karena memiliki konsekuensi yang luas dengan masalah lain dalam matematika, biologi, filsafat, dan kriptografi.
"Jika P = NP, maka dunia akan menjadi tempat yang sangat berbeda dari biasanya yang kita anggap hal itu terjadi. Tidak akan ada nilai khusus dalam 'lompatan kreatif', ada kesenjangan mendasar antara pemecahan masalah dan mengakui solusi setelah hal itu ditemukan. Setiap orang akan bisa menghargai simfoni karya Mozart, setiap orang akan bisa mengikuti argumen Gauss langkah demi langkah ... "
— Scott Aaronson, MIT
Matematikawan dan ilmuwan komputer berharap bahwa P ≠ NP.
Pernyataan resmi dari masalah ini diberikan oleh Stephen Cook.

Konjektur Hodge

Konjektur Hodge menyatakan bahwa untuk proyektif varietas aljabar, siklus Hodge adalah kombinasi linear rasional dari siklus aljabar.
Pernyataan resmi dari masalah diberikan oleh Pierre Deligne.

Konjektur Poincaré (terpecahkan)

Dalam topologi, sebuah bola dengan permukaan dua dimensi pada dasarnya ditandai oleh kenyataan bahwa bangun tersebut bersifat kompak dan terhubung sederhana. Juga benar bahwa setiap permukaan dua dimensi yang keduanya padat dan terhubung sederhana adalah topologi bola. Konjektur Poincaré mempermasalahkan bahwa ini juga berlaku untuk bidang dengan permukaan tiga dimensi. Pertanyaannya sudah lama diselesaikan untuk semua dimensi di atas tiga. Pemecahan tiga dimensi adalah pusat masalah mengklasifikasikan 3-manifold.
Pernyataan resmi dari masalah ini diberikan oleh John Milnor.
Sebuah bukti konjektur ini diberikan oleh Grigori Perelman pada tahun 2003; peninjauannya selesai pada Agustus 2006, Perelman terpilih untuk menerima Medali Fields atas solusinya. Perelman menolak penghargaan itu. Perelman secara resmi dianugerahi Penghargaan Milenium pada tanggal 18 Maret 2010. Kantor berita Interfax mewawancarai Perelman yang mengatakan bahwa ia yakin penghargaan itu tidak adil. Perelman mengatakan kepada Interfax ia menganggap kontribusinya untuk memecahkan Konjektur Poincare tidak lebih besar dari matematikawan Universitas Columbia Richard Hamilton.

Hipotesis Riemann

Hipotesis Riemann adalah bahwa semua nol nontrivial dari kelanjutan analitis dari fungsi zeta Riemann memiliki bagian nyata dari ¹/₂. Sebuah bukti atau pembantahan ini akan memiliki implikasi yang luas di teori bilangan, khususnya untuk distribusi bilangan prima. Hipotesis ini merupakan masalah kedelapan Hilbert, dan masih dianggap masalah terbuka yang penting pada abad kemudian.
Pernyataan resmi dari masalah ini diberikan oleh Enrico Bombieri.

Eksistensi Yang-Mills dan selisih massa

Dalam fisika, teori Yang-Mills klasik adalah generalisasi dari teori elektromagnetisme Maxwell dimana medan elektromagnetik khrom itu sendiri membawa dugaan. Sebagai teori medan klasik memiliki solusi perjalanan dengan kecepatan cahaya sehingga versi kuantum harus menjelaskan partikel tak bermassa (gluon). Namun, fenomena didalilkan dari keelutan pengungkungan warna hanya menyatakan terikat gluon, membentuk partikel masif. Fenomena ini merupakan kesenjangan massa. Aspek lain dari pengungkungan adalah kebebasan asimtotik yang membuatnya dibayangkan bahwa teori kuantum Yang-Mills ada tanpa pembatasan untuk skala energi rendah. Masalahnya adalah untuk menetapkan bukti cermat keberadaan teori kuantum Yang-Mills dan selisih massa.
Pernyataan resmi dari masalah ini diberikan oleh Arthur Jaffe dan Edward Witten.
Sebuah solusi diklaim oleh peneliti Korea Selatan pada tahun 2013 dianggap tidak cukup.

Eksistensi Navier-Stokes dan kelicinan

Persamaan Navier-Stokes menjelaskan gerak fluida. Meskipun masalah ini ditemukan pada abad ke-19, mereka masih tidak dipahami dengan baik. Masalahnya adalah untuk membuat kemajuan menuju teori matematika yang akan memberikan wawasan tentang persamaan ini.
Pernyataan resmi dari masalah ini diberikan oleh Charles Fefferman.

Konjektur Birch dan Swinnerton-Dyer

Konjektur Birch dan Swinnerton-Dyer menawarkan jenis tertentu dari persamaan, mendefinisikan kurva eliptik atas bilangan rasional. Konjektur ini mempermasalahkan bahwa ada cara sederhana untuk mengetahui apakah persamaan tersebut memiliki jumlah terbatas atau tak terbatas dari solusi rasional. Masalah Hilbert kesepuluh ditangani dengan jenis yang lebih umum dari persamaan, dan dalam hal itu terbukti bahwa tidak ada cara untuk memutuskan apakah suatu persamaan yang diberikan bahkan mempunyai solusi.
Pernyataan resmi dari masalah ini diberikan oleh Andrew Wiles.