Titik (geometri)

Di dalam geometri, topologi, dan cabang-cabang matematika yang saling berkaitan, sebuah titik spasial menggambarkan objek yang spesifik di dalam ruang yang diberikan, yang tidak melibatkan volume, luas, panjang, atau analog-analog lainnya pada dimensi yang lebih tinggi. Dengan demikian, titik adalah objek 0-dimensi. Karena sifatnya sebagai salah satu konsep geometri paling sederhana, ia sering digunakan di dalam satu bentuk atau bentuk lain sebagai konstituen dasar geometri, fisika, gambar vektor, dan banyak lapangan lainnya.

Titik di dalam geometri Euclidean

Titik sering dipandang di dalam kerangka kerja geometri Euklides, di mana ia adalah salah satu objek yang mendasar. Euclid mulanya mendefinisikan titik secara kabur, sebagai "yang tak memiliki bagian". Di dalam ruang Euclidean dua dimensi, titik dinyatakan oleh pasangan terurut, , bilangan, di mana bilangan pertama yang menurut konvensi menyatakan horizontal dan sering dituliskan sebagai , dan bilangan kedua secara konvensi menyatakan vertikal dan sering dituliskan sebagai . Gagasan ini mudah diperumum ke dalam ruang Euclid tiga dimensi, di mana titik dinyatakan oleh pasangan terurut ganda-tiga, , dengan bilangan tambahan ketiga menyatakan kedalaman dan diwakili oleh z. Perumumuman lebih lanjut dinyatakan oleh pasangan terurut ganda-n, di mana n adalah dimensi ruang tempat titik berada.
Banyak objek yang dibangun di dalam geometri Euclid terdiri dari tak hingga banyaknya kumpulan titik-titik yang sesuai dengan aksioma-aksioma tertentu. Hal ini biasanya dinyatakan oleh himpunan titik-titik; misalnya, garis adalah himpunan tak hingga banyaknya titik-titik yang berbentuk , di mana  melalui  dan  adalah konstanta dan n adalah dimensi ruang. Juga terdapat konstruksi-konstruksi serupa yang mendefinisikan bidang, ruas garis, dan konsep-konsep lainnya yang saling berkaitan.
Selain mendefinisikan titik dan konstruksi yang berkaitan dengan titik, Euclid juga mempostulatkan gagasan kunci tentang titik; dia mengaku bahwa dua titik sembarang dapat dihubungkan oleh sebuah garis lurus. Ini dapat dengan mudah diperiksa di bawah perluasan modern geometri Euklides, dan menyisakan dampak-dampak pada introduksinya, mengizinkan konstruksi hampir semua konsep geometri tentang waktu. Tetapi, postulat Euclid tentang titik tidak pernah lengkap, tidak pula definitif, karena dia kadang-kadang mengasumsikan fakta tentang titik yang tidak mengikuti secara langsung aksioma-aksiomanya, misalnya pengurutan titik-titik pada garis atau keujudan titik-titik tertentu. Meskipun demikian, perluasan modern sistem ini berhasil menghilangkan anggapan-anggapan ini.

Titik di dalam cabang-cabang matematika

Suatu titik di dalam topologi umum didefinisikan sebagai anggota dari himpunan bagian dari ruang topologi.
Meskipun gagasan tentang titik secara umum dipandang fundamental di dalam geometri dan topologi arus utama, tetapi terdapat beberapa sistem yang mendahuluinya, misalnya geometri nonkomutatif dan topologi bebas titik. “Ruang bebas titik” (atau ruang tanpa titik) didefinisikan bukan sebagai himpunan, tetapi masing-masing melalui beberapa struktur (aljabar atau logika) yang seperti ruang fungsi yang familiar pada himpunan itu: masing-masing sebuah aljabar dari fungsi kontinu atau aljabar himpunan. Lebih persisnya, struktur yang memperumum ruang familiar dari fungsi menurut suatu cara di mana operasi “mengambil nilai pada titik ini” dapat didefinisikan.