Masalah Monty Hall

Sumber kerancuan

Ketika masalah Monty Hall ini pertama kali dipaparkan, mayoritas orang akan berasumsi bahwa setiap pintu memiliki probabilitas yang sama dan berkesimpulan bahwa mengalihkan pilihan tidak akan ada bedanya (Mueser and Granberg, 1999). Dari 228 responden pada sebuah kajian, hanya 13% yang memilih untuk mengalihkan pilihan (Granberg and Brown, 1995:713). Dalam bukunya, Kekuatan Berpikir Secara Logika (The Power of Logical Thinking), vos Savant (1996:15) mengutip perkataan psikolog kognitif Massimo Piattelli-Palmarini, "... tidak ada teka-teki statistik lain yang begitu membodohi semua orang di setiap waktu" dan "[menyadari] bahwa bahkan fisikawan penerima hadiah Nobel pun secara sistematis memberikan jawaban yang salah, dan mereka bersikeras pada jawaban mereka yang salah itu, serta bersedia untuk mencacimaki siapapun yang memberikan jawaban yang benar."
Kebanyakan pernyataan masalah ini, terutama yang terdapat pada Majalah Parade tidak mengikuti peraturan acara kuis TV yang sebenarnya, dan tidak menjelaskan tingkah laku pembawa acara dan lokasi mobil yang acak secara jelas (Granberg and Brown, 1995:712). Krauss dan Wang (2003:10) memberikan konjektur bahwa orang akan membuat asumsi standar bahkan jika tidak diberitahukan secara eksplisit. Walaupun ketidakjelasan pernyataan ini merupakan masalah yang sangat signifikan dalam matematika, bahkan ketika kita mengatasi faktor-faktor ketidakjelasan ini hampir semua orang masih tetap berpikir bahwa masing-masing pintu yang tidak terbuka akan memiliki probabilitas yang sama dan berkesimpulan bahwa mengalihkan pilihan tidak ada bedanya. (Mueser and Granberg, 1999). Asumsi "probabilitas sama" ini berakar kuat pada intuisi seseorang (Falk 1992:202). Kebanyakan orang memiliki kecenderungan yang kuat untuk berpikir bahwa probabilitas akan terdistribusi secara seimbang di setiap anu (unknown) yang tersedia, baik itu benar maupun tidak. (Fox and Levav, 2004:637).
Intuisi lainnya yang juga bertanggung jawab atas kerancuan ini adalah keyakinan bahwa pemberitahukan informasi yang telah kita ketahui tidak akan memengaruhi probabilitas (Falk 1992:207). Intuisi ini adalah dasar penyelesaian dari masalah yang menegaskan bahwa pembawa acara yang membuka sebuah pintu tidak akan mengubah probabilitas pemain sebesar 1/3 untuk memilih mobil. Untuk masalah yang eksplisit, intuisi ini akan mengantarkan kita pada jawaban yang benar, yaitu 2/3 peluang menang jika mengalihkan pilihan, namun intuisi ini juga mengantarkan kita pada jawaban yang sama ketika diberikan variasi masalah yang berbeda, dan jawaban intuisi tersebut tidaklah benar (Falk 1992:207).
Sumber kerancuan lainnya terdapat pada susunan kata-kata dari penyataan masalah yang menanyakan probabilitas bersyarat kemenangan dengan memberitahukan pintu mana yang pembawa acara buka ketimbang probabilitas keseluruhan atau probabilitas takbersyarat. Kedua hal ini adalah pertanyaan yang berbeda secara matematika dan memiliki jawaban yang berbeda bergantung pada bagaimana pembawa acara memilih pintu yang dia buka apabila pilihan awal pemain adalah mobil (Morgan dkk., 1991; Gillman 1992). Sebagai contoh, jika pembawa acara sebisa mungkin berusaha membuka Pintu 3, maka probabilitas kemenangan pemain yang pada awalnya memilih Pintu 1 dan kemudian mengalihkan pilihan adalah 2/3, namun probabilitas ini akan menjadi 1/2 apabila pembawa acara telah membuka Pintu 3. Oleh karena itu, bentuk kalimat pernyataan yang tidak menjelaskan secara detail tingkah laku pembawa acara menjadikan jawaban probabilitas 2/3 tidak dibenarkan secara matematika. Kebanyakan penyelesaian yang diberikan mengalamatkan probabilitas takbersyarat dan menghiraukan pintu mana yang pembawa acara buka; Morgan dkk. menjulukinya sebagai "penyelesaian salah" (false solutions) (1991).

Meningkatkan jumlah pintu

Penyelesaian masalah ini akan lebih mudah dimengerti apabila jumlah pintu dalam permasalahan ini adalah 1.000.000 pintu daripada hanya 3 pintu saja (vos Savant 1990). Dalam kasus ini, pembawa acara membuka 999.998 pintu yang terdapat kambing dan hanya menyisakan pintu pilihan pemain dan satu pintu sisanya. Pembawa acara kemudian menawarkan pemain kesempatan untuk mengalihkan pilihan. Pintu yang tersisa akan memiliki probabilitas 999.999/1.000.0000 untuk terdapat mobil karena pintu yang dipilih pemain memiliki probabilitas 999.999/1.000.0000 untuk terdapat kambing. Pemain yang berpikiran rasional akan mengalihkan pilihannya.

Menggabungkan pintu

Daripada membuka salah satu pintu dan menunjukkan bahwa pintu tersebut terdapat kambing, kita dapat melakukan tindakan yang setara dengan menggabungkan dua pintu yang tidak dipilih pemain. Kedua tindakan tersebut adalah setara karena pemain tidak bisa dan tidak akan memilih pintu yang telah terbuka (Adams 1990; Devlin 2003; Williams 2004; Stibel dkk., 2008). Oleh karena itu pemain hanya memiliki dua pilihan, yaitu tetap pada pilihan semula dengan probabilitas kemenangan 1/3 atau mengubah pilihannya ke pintu lainnya yang memiliki probabilitas 2/3.
Asumsi permainan sangat penting dalam hal ini; tidakan mengalihkan pilihan setara dengan memilih dua pintu secara bersamaan jika dan hanya jika pembawa acara tahu apa yang ada di belakang pintu-pintu tersebut, membuka pintu yang terdapat kambing, dan memilih salah satu dari pintu yang terdapat kambing (jika pilihan pemain adalah pintu yang terdapat mobil) secara acak.