Pencacahan

Pencacahan, seringkali dianggap sama dengan penghitungan, adalah tindakan matematika yang melibatkan perjumlahan (atau pula pengurangan) yang sinambung sesuatu pada waktu tertentu, biasanya untuk mencari tahu seberapa banyak benda yang ada di suatu tempat untuk menentukan jumlah benda yang diharapkan (dimulai dengan benda pertama dan dilanjutkan dengan suatu fungsi injektif dari benda yang tersisa terhadap bilangan asli mulai dari 2 (dua)), atau untuk benda yang terurut, untuk menentukan bilangan ordinal benda tertentu, atau untuk menentukan benda dengan bilangan ordinal tertentu. Pencacahan juga digunakan (terutama oleh kanak-kanak) untuk memeragakan pengetahuan nama-nama bilangan dan sistem bilangan. Terkadang istilah pencacahan digunakan untuk enumerasi, yaitu proses pendaftaran atau penyajian semua unsur suatu himpunan, di mana perulangan diizinkan, dengan tujuan menemukan bilangan unsur himpunan hingga.
Pencacahan kadang-kadang melibatkan bilangan-bilangan selain 1 (satu); misalnya, ketika mencacah uang, mencacah uang kembalian, ketika "pencacahan berkelipatan dua" (2, 4, 6, 8, 10, 12…) atau "pencacahan berkelipatan lima" (5, 10, 15, 20, 25, ...).
Terdapat bukti arkeologis yang memberikan dugaan bahwa manusia telah melakukan pencacahan sejak 50.000 tahun lalu. Pencacahan lazimnya digunakan oleh budaya kuno untuk memelihara jejak data ekonomis, semisal utang dan modal (yakni, akuntansi). Pengembangan pencacahan mengarah kepada pengembangan notasi matematika dan sistem bilangan.

Bentuk

Pencacahan dapat muncul di dalam bentuk yang beraneka ragam.
Pencacahan dapat berupa verbal; yaitu, penuturan tiap-tiap bilangan (secara nyaring atau di dalam hati) untuk memelihara jejak perkembangan suatu kejadian atau tahapan perubahan. Ini kerap juga digunakan untuk mencacah benda yang baru saja terperhatikan, sebagai ganti untuk pencacahan benda-benda yang berbeda-beda seiring waktu.
Pencacahan dapat juga di dalam bentuk batang lidi, yaitu menggoreskan tanda bagi tiap-tiap bilangan dan kemudian mencacah semua tanda itu pada saat pelidian rampung. Cara ini berguna manakala mencacah benda yang memerlukan waktu banyak, misalnya banyaknya waktu di mana sesuatu muncul pada periode satu hari.
Pencacahan dapat pula menggunakan jari-jemari, terkhusus ketika mencacah bilangan yang sedikit. Ini sering dipakai oleh kanak-kanak untuk mempermudah pencacahan dan operasi matematika sederhana. Pencacahan jemari yang paling bersahaja adalah menggunakan notasi uner (satu jari = satu satuan), dan oleh karenanya terbatas sampai bilangan 10. Sistem gerak-gerik tangan lainnya juga digunakan, misalnya sistem Cina di mana seseorang dapat mencacah 10 hanya menggunakan gerak-gerik satu tangan. Dengan menggunakan biner jemari (notasi nilai-tempat berbasis 2), dimungkinkan untuk memelihara cacahan jemari sampai 1.023 = 2¹⁰-1.
Beraneka alat dapat pula digunakan untuk memudahkan pencacahan, semisal pencacah lidi tangan dan sempoa.
Beberapa bentuk pencacahan yang berbeda-beda dapat dijelaskan melalui contoh. Terkadang pencacahan muncul di dalam bentuk "pencacahan mundur"; misalnya, "cacah mundur" banyaknya kartu tertentu, atau paling sedikit jumlah tertentu kartu, untuk memberikan kepada seseorang di dalam permainan kartu. Di dalam pencacahan mundur kartu, tidak ada kartu tertentu yang telah diberikan, karena pencacah dapat mencacah mundur sembarang kartu semau yang dikehendaki.

Pencacahan inklusif

Pencacahan inklusif biasanya dihadapi ketika mencacah hari di dalam kalender/almanak. Biasanya ketika mencacah 8 hari mulai hari Minggu, hari Senin akan menjadi hari ke-1, Selasa hari ke-2, dan hari Senin berikutnya adalah hari ke-8. Ketika mencacah secara inklusif, hari Minggu (hari permulaan) adalah hari ke-1 dan oleh karena itu hari Minggu berikutnya adalah hari ke-8. Misalnya, frasa bahasa Prancis untuk "dua pekan" adalah quinze jours (15 hari), dan kata-kata yang sama muncul di dalam bahasa Yunani (δεκαπενθήμερο), bahasa Spanyol (quincena), dan bahasa Portugis (quinzena). Praktik ini muncul juga di dalam kalender lain; di dalam kalender Romawi nones (berarti sembilan) adalah 8 hari sebelum ides; dan di dalam kalender Kristiani Quinquagesima (berarti 50) adalah 49 hari sebelum Paskah.

Matematika

Di dalam matematika, pengkajian pencacahan per definisinya adalah pengkajian tentang tambah-menambah sesuatu pada suatu waktu tertentu, (di mana "sesuatu" itu sembarang). Di dalam peristilahan matematika, himpunan-himpunan yang memiliki sifat-sifat matematika perjumlahan, dimulai dari nol (demikianlah setiap sifat matematika pencacahan) disebut "hingga" dan himpunan-himpunan ini terdiri dari pokok persoalan cabang matematika yang dikenal sebagai kombinatorika. Dengan demikian kita dapat mengkaji pencacahan di satu pihak, dan pengkajian matematika himpunan berhingga sembarang di pihak lain. Yang terkemudian adalah sama dengan yang dituliskan terdahulu, kecuali ia dikemas di dalam bahasa matematika.