Teorema Terakhir Fermat

Untuk bilangan pangkat 4

Kasus untuk bilangan pangkat  dibuktikan oleh Fermat sendiri. Ia menggunakan teknik infinite descent untuk membuktikan bahwa persamaan  tidak memiliki solusi primitif (solusi dengan  tiap pasangnya relatif prima). Hal tersebut mengakibatkan Teorema Fermat Terakhir berlaku untuk , karena persamaan  bisa ditulis .

Bilangan pangkat lain

Setelah Fermat membuktikan kasus , tersisa untuk membuktikan kasus bahwa  prima ganjil. Dengan kata lain, tersisa untuk membuktikan bahwa persamaan  tidak memiliki solusi bulat  jika  bilangan prima yang ganjil. Hal ini karena jika ada suatu solusi  untuk pangkat , maka ada solusi untuk pangkat semua faktor positif .
Sebagai contoh, misalkan , dengan  dan  faktor . Maka,  ekuivalen dengan . Jadi, ada solusi untuk pangkat  yang merupakan faktor .
Jadi, untuk membuktikan bahwa persamaan Fermat tidak memiliki solusi untuk , cukup untuk membuktikan bahwa tidak ada solusi untuk faktor prima manapun dari setiap . Setiap bilangan bulat  habis dibagi  atau bilangan prima ganjil (atau keduanya). Jadi, Teorema Terakhir Fermat bisa dibuktikan untuk semua  jika bisa dibuktikan untuk  dan semua  dengan  prima ganjil.

Hubungan dengan kurva eliptik

Strategi yang pada akhirnya menghasilkan bukti Teorema Terakhir Fermat muncul dari Konjektur Taniyama-Shimura-Weil (sekarang bernama teorema modularitas (Inggris: modularity theorem)), yang dicetuskan sekitar 1955. Pada tahun 1980-an, Gerhard Frey, Jean-Pierre Serre, dan Ken Ribet menghubungkan konjektur tersebut dengan persamaan yang dicetuskan Fermat. Dengan menemukan bukti sebagian dari konjektur tersebut pada 1994, Andrew Wiles akhirnya berhasil membuktikan Teorema Terakhir Fermat.

Konjektur Taniyama-Shimura-Weil

Sekitar 1955, matematikawan Jepang Goro Shimura dan Yutaka Taniyama mengamati kemungkinan hubungan antara dua bidang berbeda dalam matematika, yaitu kurva eliptik dan bentuk modular. Mereka mencetuskan suatu konjektur yang disebut Konjektur Taniyama-Shimura-Weil, yang menyatakan bahwa setiap kurva eliptik bersifat modular, yang berarti ia bisa dihubungkan dengan tepat satu bentuk modular.

Teorema Ribet untuk kurva Frey

Dalam 1984, Gerhard Frey mengamati suatu hubungan antara persamaan Fermat dan Konjektur Taniyama-Shimura-Weil (sekarang bernama teorema modularitas). Jika persamaan Fermat memiliki solusi  untuk pangkat , maka dapat ditunjukkan bahwa kurva eliptik semistabil
 (yang sekarang disebut kurva Frey)
memiliki sifat-sifat yang tidak biasa, sehingga Frey menduga bahwa kurva eliptik tersebut tidak modular. Hal ini berlawanan dengan teorema modularitas yang menyatakan bahwa semua kurva eliptik bersifat modular. Oleh karena itu, jika teorema modularitas berhasil dibuktikan, maka Teorema Terakhir Fermat mungkin juga terbukti.
Mengikuti strategi ini, sebuah bukti Teorema Terakhir Fermat membutuhkan dua langkah. Pertama, membuktikan teorema modularitas, setidaknya untuk kurva eliptik semistabil. Kedua, menunjukkan bahwa dugaan Frey benar: jika suatu kurva eliptik dibuat dengan cara ini, dengan bilangan-bilangan yang merupakan solusi persamaan Fermat, maka kurva eliptik yang dihasilkan tidak modular. Hal ini disebut konjektur epsilon (Inggris: epsilon conjecture). Pada 1986, konjektur ini dibuktikan oleh Ken Ribet, dan sekarang disebut sebagai Teorema Ribet (Inggris: Ribet's theorem).

Bukti umum oleh Wiles

Setelah mendengar keberhasilan Ribet membuktikan Teorema Ribet, Andrew Wiles, seorang matemtikawan Inggris, memutuskan untuk menyelesaikan langkah berikutnya: membuktikan teorema modularitas untuk kurva eliptik semistabil.
Pada tahun 1993, Wiles merasa telah meyelesaikan bukti Teorema Terakhir Fermat. Namun, kemudian ditemukan suatu kesalahan dalam bukti Wiles. Sekitar satu tahun kemudian, pada 1994 Wiles berhasil memperbaiki buktinya. Pada akhirnya, Teorema Terakhir Fermat terbukti, 357 tahun setelah dicetuskan.