Geometri aritmetik

Dalam matematika, geometri aritmetik, secara kasar, adalah penerapan teknik dari geometri aljabar terhadap permasalahan pada teori bilangan. Geometri aritmetik berpusat di sekitar geometri Diophantus, ilmu yang mempelajari titik rasional dari varietas aljabar.
Dalam istilah yang lebih abstrak, geometri aritmetik dapat didefinisikan sebagai ilmu yang mempelajari skema tipe hingga di atas spektrum gelanggang bilangan bulat.

Tinjauan luas

Objek klasik yang menarik pada geometri aritmetik adalah titik rasional: himpunan penyelesaian sistem persamaan polinomial di atas medan bilangan, medan hingga, medan p-adic, atau medan fungsi, dengan kata lain adalah medan yang tidak tertutup secara aljabar kecuali bilangan real. Titik rasional dapat secara langsung dicirikan oleh fungsi tinggi yang mengukur kekompleksan aritmetik mereka.
Struktur varietas aljabar terdefinisi di atas medan tertutup tak secara aljabar telah menjadi pusat ketertarikan yang muncul dengan perkembangan abstrak modern dari geometri aljabar. Di atas bidang hingga, kohomologi étale menyediakan invarian topologis yang berkaitan dengan varietas aljabar. Teori p-adic Hodge memberikan sarana untuk memeriksa kapan sifat varietas kohomologis di atas bilangan kompleks meluas ke atas medan p-adic.

Abad ke-19: awal geometri aritmetik

Pada awal abad ke-19, Carl Friedrich Gauss mengamati bahwa solusi bilangan bulat tak nol pada persamaan polinomial homogen dengan koefisien rasional ada jika solusi rasional tak nol ada.
Pada 1850-an, Leopold Kronecker merumuskan teorema Kronecker–Weber, memperkenalkan teori pembagi, dan membuat banyak hubungan lainnya antara teori bilangan dan aljabar. Ia kemudian mengonjekturkan "liebster Jugendtraum"-nya ("mimpi muda yang tersayang"), sebuah generalisasi yang kemudian diajukan Hilbert dalam bentuk termodifikasi sebagai masalah keduabelasnya, yang menguraikan tujuan memiliki teori bilangan yang beroperasi hanya dengan gelanggang yang merupakan hasil bagi gelanggang polinomial di atas bilangan bulat.

Awal hingga pertengahan abad ke-20: perkembangan aljabar dan konjektur Weil

Pada akhir 1920-an, André Weil mendemonstrasikan hubungan mendalam antara geometri aljabar dan teori bilangan dengan penelitian doktoralnya mengarah ke teorema Mordell–Weil yang mendemonstrasikan himpunan titik rasional dari varietas abel merupakan grup abel terbangkit hingga.
Dasar modern dari geometri aljabar dikembangkan berdasarkan pada aljabar komutatif kontemporer, termasuk teori penilaian dan teori ideal oleh Oscar Zariski dan matematikawan lainnya pada 1930-an hingga 1940-an.
Pada 1949, André Weil mengemukakan konjektur Weil mengenai fungsi zeta lokal dari varietas aljabar di atas medan hingga. Konjektur ini menawarkan kerangka antara geometri aljabar dan teori bilangan yang mendorong Alexander Grothendieck menyusun ulang dasar pembuatan penggunaan teori gemal (bersama dengan Jean-Pierre Serre), dan kemudian teori skema, pada 1950-an hingga 1960-an. Bernard Dwork membuktikan satu dari empat konjektur Weil (kerasionalan fungsi zeta lokal) pada 1960. Grothendieck mengembangkan teori kohomologi étale untuk membuktikan dua konjektur Weil (bersama dengan Michael Artin dan Jean-Louis Verdier) pada 1965. Konjektur Weil terakhir (analog dari hipotesis Riemann) akhirnya terbukti pada 1974 oleh Pierre Deligne.

Pertengahan hingga akhir abad ke-20: perkembangan dalam modularitas, metode p-adic, dan seterusnya

Antara 1956 dan 1957, Yutaka Taniyama dan Goro Shimura mengemukakan konjektur Taniyama–Shimura (sekarang dikenal sebagai teorema modularitas) mengaitkan kurva eliptik dengan bentuk modular. Hubungan ini pada akhirnya mengarah ke pembuktian pertama Teorema Terakhir Fermat dalam teori bilangan melalui teknik geometri aljabar pengangkatan modularitas yang dikembangkan oleh Andrew Wiles pada 1995.
Pada 1960-an, Goro Shimura memperkenalkan varietas Shimura sebagai generalisasi kurva modular. Sejak 1979, varietas Shimura memainkan peran penting pada program Langlands sebagai dunai alami contoh untuk pengujian konjektur.
Pada makalah tahun 1977 dan 1978, Barry Mazur membuktikan konjektur torsi dengan memberikan daftar lengkap torsi subgrup kurva eliptik yang mungkin di atas bilangan rasional. Pembuktian pertama Mazur dari teorema ini bergantung pada analisis lengkap titik rasional pada sejumlah kurva modular. Pada 1996, pembuktian konjektur torsi diperluas ke semua medan bilangan oleh Loïc Merel.
Pada 1983, Gerd Faltings membuktikan konjektur Mordell, mendemonstrasikan kurva bergenus lebih besar dari 1 hanya memiliki banyak titik rasional hingga (teorema Mordell–Weil hanya mendemonstrasikan pembangkitan hingga himpunan titik rasional sebagai lawan keterhinggaan).
Pada 2001, pembuktian konjektur Langlands lokal untuk GLₙ berdasarkan pada geometri sejumlah varietas Shimura.
Pada 2010-an, Peter Scholze mengembangkan ruang perfektoid dan teori kohomologi baru pada geometri aritmetik di atas bidang p-adic dengan penerapan wakilan Galois dan sejumlah kasus konjektur bobot-monodromi.