Teori grup

Teori Grup merupakan cabang matematika yang khusus membahas tentang grup.
Silakan melihat Glosari Teori Grup untuk melihat berbagai definisi yang digunakan dalam Teori Grup. Lihat pula Daftar topik Teori Grup.

Sejarah

Ada tiga akar sejarah teori grup: teori persamaaan aljabar, teori bilangan dan geometri. Euler, Gauss, Lagrange, Abel, dan Galois merupakan para peneliti awal dalam bidang teori grup. Galois dihormati sebagai ahli matematika pertama yang mengaitkan teori grup dan teori medan, dengan teorinya yang sekarang disebut teori Galois.
Sumber pertama muncul dalam hal cara membuat suatu persamaan tingkat ke-m yang memiliki akar m seperti akar dari suatu persamaan tingkat ke-n (m<n). Untuk sederhananya, persoalan itu dikembalikan pada Hudde(1659). Saunderson(1740) menyatakan bahwa penentuan faktor kuadratik dari peernyataan bikuadratik biasanya menghasilkan suatu persamaan sektik, dan Le Soeur (1748) dan Waring (1762 sampai 1782) masih menganalisi data lebih lanjut.
Fondasi umum yang digunakan dalam teori persamaan dasar dari permutasi grup ditemukan oleh Lagrange(1770, 1771), dan berhasil merumuskan teori substitusi. Lagrange menemukan bahwa akan dari seluruh resolvent yang dia periksa merupakan fungsi rasional dari akar persamaan yang bersangkutan. Untuk mempelajari sifat-sifat dari fungsi-fungsi ini, Lagrange mengusulkan suatu Calcul des Combinaisons. Hasil kerja dari Vandermonde (1770) juga turut mewarnai teori-teori berikutnya. Ruffini (1799) berusaha membuktikan kemungkinan untuk menyelesaikan persamaan quintic dan persamaan lain dengan tingkat lebih tinggi.
Ruffini (1799) membedakan intransitif dan transitif, dan grup imprimitif dan primitif, dan (1801) menggunakan grup dari suatu persamaan yang disebut l'assieme della permutazioni. Dia juga mempublikasikan sebuah surat dari Abbati untuk dirinya sendiri, yang di dalamnya berisi tentang ide tentang grup.
Galois menemukan bahwa jika r_1, r_2, \Idots r_n merupakan akar-akar n dari suatu persamaan, maka selalu ada suatu grup permutasi dari r yang (1) setiap fungsi akar yang bersifat invariabel dengan cara substitusi grup diketahui secara rasional, dan (2), kebalikannya, setiap fungsi akar yang dapat ditentukan secara rasioanl bersifat invarian dalam proses substitusi grup. Galois juga merumuskan teori persamaan modular dan fungsi eliptik. Punlikasi pertama Galois dalam bidang teori grup diluncurkan saat usianya mencapai 18 tahun (1829), namun kontribusinya tidak begitu menarik perhatian sebelum publikasi paper-paper koleksinya pada tahun 1846 (Liouville, Vol. XI).
Arthur Cayley dan Augustin Louis Cauchy merupakan orang-oarang pertama yang menghargai pentingnya teori itu, yang selanjutnya secara khusu berhubungan dengan teori-teori penting yang lain. Materi ini turut dipopulerkan oleh Serret, yang merelakan bagian VI dari aljabarnya untuk teori itu; oleh Camille Jordan, yang Traité des Substitutions bersifat klasik; dan kepada Netto (1882), yang kemudian diterjemahkan ke dalam bahasa Inggris oleh Cole (1892). Ahli-ahli teori grup yang lain dari abad ke-19 adalah Bertrand, Charles Hermite, Frobenius, Leopold Kronecker, dan Mathieu.
Pada tahun 1882, Walther von Dyck berhasil merumuskan definisi modern dari suatu grup.
Pembahasan mengenai grup Lie, dan subgrup diskrit, sebagai grup transformasi, mulai secara sistematis pada tahun 1884 oleh Sophus Lie; diikuti oleh Killing, Study, Schur, dan Maurer. Teori diskontinu (grup diskrit) dicetuskan oleh Felix Klein, Lie, Poincaré, and Charles Emile Picard, dihubungkan dengan bentuk modular dan monodromi.
Ahli matematika lainnya yang turut berkecimpung dalam masalah ini adalah Emil Artin, Emmy Noether, Sylow dan masih banyak lagi.

Pengenalan Elementer

Grup digunakan dalam dunia matematika dan ilmu pengetahuan alam, di antaranya untuk menemukan simetri internal dari struktur lain, dalam bentuk grup automorfis. Sebuah simetri internal dari suatu struktur biasanya diasosiasikan dengan satu sifat invarian, dan berbagai macam transformasi yang mengubah sifat invarian ini, bersama dengan oprasi komposisi suatu transformasi, dari sebuah grup yang disebut grup simetri.
Dalam teori Galois, yang merupakan origin sejarah konsep grup, seseorang menggunakan grup untuk menggambarkan simetri persamaan yang diselesaikan dengan suatu persamaan polinom. Grup yang dapat diselesaikan dinamai seperti itu karena sifat-sifatnya yang tetap dalam teori ini.
Grup Abelian mencakup beberapa struktur yang dipelajari dalam aljabar abstark, seperti sinsin, medan, dan modul.
Dalam topologi aljabar, grup digunakan untuk menggambarkan sifat invarian dari ruang topologi (nama torsi subgrup dari suatu grup infinitif yang menunjukkan dalam medan). Disebut ‘invarian’ karena mereka didefinisikan melalui suatu cara yang mana mereka tidak berubah jika ruangnya dideformasi. Contohnya termasuk grup fundamental, grop homolog, dan grup co-homolog.
Konsep grup Lie( yang dinamai sesuai ahli matematika Sophus Lie) bersifat penting untuk mempelajari persamaan diferensial dan manifolds; teori ini menggambungkan analisi dan teori grup serta objek yang tepat untuk menggambarkan simetri dari struktur yang dianalisis. Analisis yang dilakukan pada suatu grup dengan cara tersebut dinamakan analisis harmonik.
Dalam kombinatorik, grup permutasi dan konsep aksi grup sering digunakan untuk menyederhanakan perhitungan satu set objek; lihat Burnside's lemma.
Pemahaman terhadap teori grup juga sangat penting dalam ilmu-ilmu fisik. Dalam kimia, grup digunakan untuk mengklasifikasikan struktur kristal, polihedra reguler, dan simetri molekul. Dalam fisika, grup bersifat penting karena dapat menggambarkan simetri yang bisasanya ada dalam fisika. Para ahli fisika sangat tertarik pada representasi grup, terutama grup Lie, karena representasinya sering kali membuka celah munculnya teori fisika baru.
Contoh dalam fisika: Model Standar, Teori Gauge.

Beberapa teori yang Bermanfaat

·Beberapa hasil dasar dalam teori grup elementer
·Butterfly lemma
·Teorema fundamental homomorfik
·Teorema Jordan-Hölder
·Teorema Krull-Schmidt
·Teorema Lagrange
·Teorema Sylow

Hal-hal umum

Dalam aljabar abstrak, kita mendapatkan beberapa struktur yang mirip dengan suatu grup dengan melonggarkan beberapa aksioma yang diberikan di awal artikel ini.
·Jika kita eliminasi persyaratan yang menyebutkan bahwa setiap unsur memiliki invers, maka kita akan mendapatkan sebuah monoid
·Jika kita juga tidak melibatkan identitas, maka kita dapatkan suatu semigrup
·Oleh karena itu, jika kita melonggarkan persyaratan yang menyebutkan bahwa operasi bersifat asosiatif sementara masih mensyaratkan kemungkinan suatu divisi, maka kita dapatkan sebuah loop.
·Jika kita juga mengabaikan identitas, maka kita dapatkan suatu quasigrup
·Jika kita abaikan seluruh aksioma operasi biner, maka kita mendapatkan suatu magma
Grupoid, yang bersifat mirip dengan grup kecuali dalam hal komposisi a*b tidak perlu didefinisikan untuk semua a dan b, muncul sebgai suatu studi dari berbagai macam simetri terkait, terutama dalam hal topologi dan analisis struktur. Groupoid merupakan bagian khusus kategori.
Supergrup dan aljabar Hopf merupakan hal umum lainnya.
Grup Lie, grup aljabar, dan grup topologis merupakan contoh grup objek: struktur seperti grup yang menempati kategori selain kategori yang lumrah.
Grup Abelian membentuk prorotip untuk konsep suatu kategori Abelian, yang diaplikasikan dalam ruang vektor.
Hukum grup formal merupakan seri kekuatan formal yang memiliki sifat seperti operasi grup.

Lain-lain

James Newman merumuskan teori grup sebgai berikut:
Teori grup merupakan cabang matematik di mana seseorang melakukan sesuatu terhadap sesuatu dan kemudian membandingkan hasilnya dengan hasil pekerjaan yang sama dari objek yang berbeda, atau pekerjaan yang beda pada objek yang sama.
Salah satu aplikasi teori grup adalah dalam teori set musik.