Geometri diferensial

Geometri diferensial adalah sebuah disiplin matematika yang menggunakan teknik-teknik kalkulus diferensial dan kalkulus integral, juga aljabar linear dan aljabar multilinear, hingga masalah-masalah kajian dalam geometri. Teori kurva ruang dan bidang dalam ruang euklides tiga dimensi membentuk basis untuk pengembangan geometri diferensial pada abad ke-18 dan abad ke-19. Sejak akhir abad ke-19, geometri diferensial telah berkembang menjadi sebuah lapangan yang memperhatikan secara lebih umum dengan struktur geometri pada lipatan terdiferensialkan. Geometri diferensial berhubungan dekat dengan topologi diferensial, dan dengan aspek-aspek geometri pada teori persamaan diferensial. Geometri diferensial permukaan menangkap banyak gagasan penting dan karakteristik teknik pada lapangan ini.

Geometri Riemannian

Geometri Riemannian mengkaji lipatan Riemannian, lipatan mulus dengan metrik Riemannian. Ini adalah sebuah konsep tentang jarak yang disajikan dalam artian bentuk bilinear simetris definit positif mulus yang terdefinisi pada ruang tangen pada tiap-tiap titik. Geometri Riemannian memperumum geometri euklides kepada ruang-ruang yang tidak harus datar/rata (flat), meskipun mereka masih menyerupai ruang euklides pada tiap-tiap titik secara infinitesimal, yaitu dalam hampiran orde satu. Berbagai konsep yang didasarkan pada panjang, seperti panjang lengkungan suatu kurva, luas suatu bidang, dan volume suatu padatan; semuanya memiliki analogi natural dalam geometri Riemannian. Gagasan tentang turunan berarah suatu fungsi dari kalkulus peubah banyak diperluas dalam geometri Riemannian menjadi gagasan turunan kovarian suatu tensor. Ada banyak konsep dan teknik analisis dan persamaan diferensial yang telah diperumum untuk berurusan dengan lipatan Riemannian.
Difeomorfisma yang mengawetkan jarak antara lipatan-lipatan Riemannian disebut isometri. Gagasan ini dapat pula didefinisikan secara lokal, yaitu untuk lingkungan titik-titik yang kecil. Dua kurva beraturan sembarang adalah isometris secara lokal. Tetapi, Theorema Egregium yang diajukan Carl Friedrich Gauss menunjukkan bahwa untuk permukaan, keujudan suatu isometri lokal memaksakan kondisi-kondisi kompatibilitas yang kuat pada metrik-metrik mereka: kurvatur Gaussian pada titik-titik yang bersesuaian pastilah sama. Dalam dimensi yang lebih tinggi, tensor kurvatur Riemann adalah suatu invarian titik-demi-titik yang penting yang berasosiasi dengan lipatan Riemannian yang mengukur seberapa dekat ia untuk dikatakan datar/rata. Sebuah kelas penting lipatan Riemannian adalah ruang simetris Riemannian, yang kurvaturnya tidak harus konstan. Hal ini adalah analog terdekat dengan bidang dan ruang "biasa" yang diperhatikan dalam geometri euklides dan non-euklides.

Geometri Riemaniann semu

Geometri Riemannian semu memperumum geometri Riemannian kepada kasus di mana tensor metrik tidak harus definit positif. Sebuah kasus khusus hal ini adalah "Lipatan Lorentzian", yakni basis matematika untuk teori relativitas umum tentang gravitasi-nya Einstein.

Geometri simplektis

Geometri simplektis adalah kajian tentang lipatan simplektis. Lipatan yang hampir simplektis adalah lipatan terdiferensialkan yang diperlengkapi dengan bentuk bilinear matriks asimetris non-degenerat bervariasi mulus pada tiap-tiap ruang tangen, yaitu bentuk-2 ω non-degenerat, yang disebut bentuk simplektis. Lipatan simplektis adalah lipatan yang hampir simplektis di mana bentuk simplektis ω adalah tertutup: dω = 0.
Difeomorfisma antara dua lipatan simplektis yang mengawetkan bentuk symplektis disebut simplektomorfisma. Bentuk bilinear asimetris non-degenerat hanya dapat ujud pada ruang vektor berdimensi genap, sehingga lipatan simplektis haruslah berdimensi genap. Dalam dimensi 2, lipatan simplektis hanyalah permukaan yang disertai dengan sebentuk luasan, dan simplektomorfisma adalah difeomorfisma yang mengawetkan luas. Ruang fasa suatu sistem mekanik adalah lipatan simplektis dan mereka hadir secara tersirat dalam karya Joseph Louis Lagrange tentang mekanika analitik dan kemudian dalam mekanika Hamiltonian karya Carl Gustav Jacobi dan William Rowan Hamilton.
Berbeda dengan geometri Riemannian, di mana kurvatur menyediakan invarian lokal dari lipatan Riemannian, teorema Darboux menyatakan bahwa semua lipatan simplektis adalah isomorfik secara lokal. Invarian-invarian suatu lipatan simplektis adalah global pada sifatnya dan aspek-aspek topologi menainkan peran yang penting dalam geometri simplektis. Hasil pertama dalam topologi simplektis adalah (barangkali) teorema Poincaré-Birkhoff, yang diperdugakan oleh Henri Poincaré dan kemudian dibuktikan oleh G.D. Birkhoff pada tahun 1912. Teorema ini mendaku bahwa jika suatu luasan yang mengawetkan peta dari suatu anulus melilit tiap-tiap komponen perbatasan dalam arah yang bertentangan, maka peta tersebut memiliki paling sedikit dua titik tetap.

Geometri CR

Geometri CR adalah kajian geometri intrinsik dari batas-batas domain di dalam lipatan kompleks.

Topologi diferensial

Topologi diferensial adalah kajian invarian geometris (global) tanpa bentuk metrik atau simplektis. Topologi diferensial bermula dari operasi-operasi natural, seperti turunan Lie dari bundel vektor natural dan diferensial de Rham dari bentuk diferensial. Selain algebroid Lie, juga algebroid Courant mulai memainkan peran yang lebih penting.

Grup Lie

Grup Lie adalah grup di dalam kategori lipatan mulus. Di samping sifat-sifat aljabar, grup Lie juga memanfaatkan sifat-sifat geometri diferensial. Konstruksi yang paling jelas adalah bahwa aljabar Lie yakni ruang tangen pada unit yang diperlengkapi dengan kurung Lie di antara lapangan-lapangan vektor invarian-kiri. Di samping teori struktur, terdapat juga lapangan luas teori representasi.