ज्यामिति का इतिहास

प्रारंभिक ज्यामिति

ज्यामिति की सबसे पहले दर्ज की गयी शुरुआत का पता आदिकालीन लोगों - जिन्होंने प्राचीन सिंधु घाटी (देखें हड़प्पाई गणित) में नोकरहित त्रिकोणों की खोज की थी और 3000 ईसा पूर्व के आस-पास प्राचीन बेबिलोनिया (देखें बेबिलोनियाई गणित) - के समय तक जाकर लगाया जा सकता है। प्रारंभिक ज्यामिति लंबाइयों, कोणों, क्षेत्रफलों और आयतनों से संबंधित आनुभविक रूप से आविष्कृत सिद्धांतों का एक संग्रह था जिन्हें सर्वेक्षण, निर्माण, खगोल विद्या और विभिन्न शिल्पों में कुछ व्यावहारिक जरूरतों को पूरा करने के लिए विकसित किया गया था। इनमें से कुछ सिद्धांत आश्चर्यजनक रूप से जटिल थे और एक आधुनिक गणितज्ञ के लिए कैलकुलस के प्रयोग के बिना उनमें से कुछ सिद्धांतो का उपयोग करना मुश्किल साबित हो सकता है। उदाहरण के लिए, मिस्रवासी और बेबिलोनियाई दोनों पाइथागोरस प्रमेय के संस्करणों से पाइथागोरस से लगभग 1500 साल पहले से ही परिचित थे; मिस्त्र वासियों के पास एक वर्गाकार पिरामिड के फ्रस्टम के आयतन के लिए एक सही फॉर्मूला मौजूद था; बेबिलोनियाई लोगों के पास एक त्रिकोणमिति की तालिका मौजूद थी।

बेबीलोन की ज्यामिति

बेबीलोन के लोग संभवतः क्षेत्रफलों और आयतनों की माप के लिए सामान्य नियमों को जानते थे। उन्होंने एक वृत्त की परिधि की माप को व्यास के तीन गुना के रूप में और क्षेत्रफल को परिधि के वर्ग के बारहवें हिस्से के रूप में मापा था जो उस स्थिति में सही होता जब π का मान 3 माना जाता. एक सिलेंडर के आयतन को आधार और उंचाई के एक प्रोडक्ट के रूप में लिया गया था, हालांकि एक शंकु के फ्रस्टम (छित्रक) का आयतन या एक पिरामिड के वर्ग को गलत तरीके से उंचाई और आधारों के जोड़ के आधे के प्रोडक्ट के रूप में लिया गया था। पाइथागोरस प्रमेय के बारे में बेबीलोन के लोगों को भी जानकारी थी। इसके अलावा हाल ही की एक खोज में एक टेबलेट में π के मान को 3 और 1/8 के रूप में उपयोग किया गया था। बेबीलोन के लोग बेबिलोनियाई मील के लिए भी जाने जाते हैं जो आज के लगभग सात मील की दूरी के बराबर दूरी की एक माप थी। दूरियों के लिए इस माप को अंततः सूर्य की यात्रा को मापने के लिए टाइम-माइल में बदल दिया गया था और इसलिए यह समय का प्रतिनिधित्व करता है।

पारंपरिक यूनानी ज्यामिति

प्राचीन यूनानी गणितज्ञों के लिए ज्यामिति उनके विज्ञानों के मुकुट का मोती था, जो पद्धति की एक ऐसी पूर्णता और सटीकता तक पहुंच गया था जिसे उनके ज्ञान की किसी भी अन्य शाखा ने हासिल नहीं किया था। उन्होंने ज्यामिति की श्रृंखला को कई नए प्रकार के आंकड़ों, मोड़ों, सतहों और ठोसों में विस्तारित किया; उन्होंने इसकी प्रणाली को ट्रायल-एंड-एरर से तार्किक कटौती में बदल दिया; उन्होंने यह स्वीकार किया कि ज्यामिति "अपरिवर्तनशील स्वरूपों" या अमूर्तता का अध्ययन करती है जिसके लिए भौतिक वस्तुएं केवल अनुमान हैं; और उन्होंने "स्वयंसिद्ध विधि" के विचार को विकसित किया जो आज भी उपयोग में है।

थेल्स और पाइथागोरस

मिलेटस (जो अब दक्षिण-पश्चिमी तुर्की में है) के थेल्स (635-543 ईसा पूर्व) पहले व्यक्ति थे जिन्हें गणित में घटाव (कटौती) के लिए जिम्मेदार ठहराया गया है। ऐसे पाँच ज्यामितीय प्रस्ताव हैं जिसके लिए उन्होंने घटाव संबंधी प्रमाण दिए, हालांकि उनके प्रमाण बच नहीं पाए. आयोनिया और बाद में इटली, जहाँ उस समय यूनानी लोग बसे हुए थे, वहाँ के पाइथागोरस (582-496 ई.पू.) संभवतः थेल्स के एक छात्र थे और उन्होंने बेबीलोन एवं इजिप्त (मिस्र) की यात्रा की थी। वह प्रमेय जो उनके नाम से है संभवतः यह उनकी खोज नहीं रही होगी, लेकिन शायद वे इसके लिए घटाव संबंधी प्रमाण देने वाले पहले व्यक्ति थे। उन्होंने गणित, संगीत और दर्शन का अध्ययन करने के लिए अपने आस-पास छात्रों के एक समूह को एकत्र किया और एक साथ मिलकर उन्होंने उनमें से ज्यादातर चीजों की खोज की, जिन्हें आज हाई स्कूल के छात्र अपने ज्यामिति के पाठ्यक्रमों में पढ़ते हैं। इसके अलावा उन्होंने अतुलनीय लंबाइयों और अतार्किक संख्याओं की गहन खोज की। (इसका कोई प्रमाण नहीं है कि थेल्स ने कोई निगमनात्मक (डिडक्टिव) प्रमाण प्रस्तुत किये थे और वास्तव में निगमनात्मक गणितीय साक्ष्य पार्मेमाइड्स के बाद तक दिखाई नहीं दिए थे। सबसे बड़ी बात है कि थेल्स के बारे में हम कुल मिलाकर यही कह सकते हैं कि उन्होंने यूनानियों के सामने विभिन्न ज्यामितीय प्रमेयों की शुरुआत की। यह विचार कि गणित अपनी शुरुआत के समय से ही निगमनात्मक (डिडक्टिव) था, यह गलत है। थेल्स के समय गणित विवेचनात्मक था। इसका मतलब यह है कि थेल्स ने अनुभवजन्य और प्रत्यक्ष प्रमाण "प्रस्तुत" किया होगा, लेकिन निगमनात्मक प्रमाण नहीं)।

प्लेटो

दार्शनिक प्लेटो (427-347 ई.पू.) यूनानियों के लिए सबसे सम्मानित हस्ती थे जिन्होंने अपने सुप्रसिद्ध स्कूल के प्रवेश द्वार के ऊपर लिखा था, "यहाँ आकर कोई भी ज्यामिति से अनभिज्ञ नहीं रहेगा." हालांकि वे स्वयं एक गणितज्ञ नहीं थे लेकिन गणित के बारे में उनके विचारों का काफी प्रभाव था। इसलिए गणितज्ञों ने उनकी इस धारणा को स्वीकार किया कि ज्यामिति को कम्पास और स्ट्रेटएज के अतिरिक्त किसी भी उपकरण का इस्तेमाल नहीं करना चाहिए - मापक उपकरणों जैसे कि एक चिह्नित रूलर या एक कोणमापक का कभी नहीं, क्योंकि ये कर्मकारों के उपकरण होते हैं, किसी विद्वान के लायक नहीं। यह उक्ति संभावित कम्पास और स्ट्रेटएज निर्माणों और तीन परंपरागत निर्माण संबंधी समस्याओं के गहन अध्ययन का कारण बनी: किसी कोण को तीन भागों में बांटने, किसी दिए गए घन के आयतन का दोगुना घन का निर्माण करने और किसी दिए गए वृत्त के क्षेत्रफल के बराबर एक वर्ग का निर्माण करने में इन उपकरणों का उपयोग कैसे करें। इन निर्माणों की असंभवता के प्रमाणों को अंततः 19वीं सदी में हासिल कर लिया गया जिससे वास्तविक संख्या प्रणाली की गहरी संरचना के संदर्भ में महत्वपूर्ण सिद्धांतों का विकास हुआ। प्लेटो के सबसे बड़े शिष्य अरस्तू (384-322 ई.पू.) ने उन निगमनात्मक प्रमाणों में उपयोग किये गए तर्क के तरीकों पर एक ग्रंथ लिखा था (देखें लॉजिक) जिनमें 19वीं सदी तक काफी सुधार नहीं किया गया था।

आर्किमिडीज

साइराक्यूज, सिसिली, जब यह एक ग्रीक शहर-राज्य था, यहाँ के निवासी आर्किमिडीज (287-212 ईसा पूर्व) को अक्सर यूनानी गणितज्ञों में सबसे महान माना जाता है और यहाँ तक कि कभी-कभी उन्हें अभी तक के तीन सबसे महान गणितज्ञों में से एक (आइजैक न्यूटन और कार्ल फ्रेडरिक गॉस के साथ) कहा जाता है। अगर वे एक गणितज्ञ नहीं होते, फिर भी उन्हें एक महान भौतिक विज्ञानी, इंजीनियर और आविष्कारक के रूप में याद किया जाता. अपने गणित में उन्होंने विश्लेषणात्मक ज्यामिति की समन्वय प्रणालियों के काफी समान विधियों और इंटीग्रल कैलकुलस की प्रतिबंधक प्रक्रिया को विकसित किया था। इन क्षेत्रों की रचना में केवल एक ही तत्त्व की कमी, एक प्रभावी बीजगणितीय संकेत की थी, जिसमें उनकी अवधारणाओं को व्यक्त किया जा सकता था।

आर्किमिडीज के बाद

आर्किमिडीज के बाद हेलेनिस्टिक गणित में गिरावट आनी शुरू हो गयी। हालांकि कुछ छोटी हस्तियों का आना अभी बाकी था लेकिन ज्यामिति का स्वर्ण युग समाप्त हो गया था। कमेंट्री ऑन द फर्स्ट बुक ऑफ यूक्लिड के लेखक (प्रोक्लस (410-485) हेलेनिस्टिक ज्यामिति की अंतिम महत्वपूर्ण हस्तियों में से एक थे। वे एक निपुण ज्यामितिकार थे लेकिन इससे भी अधिक महत्वपूर्ण बात यह है कि वे अपने से पहले किये गए कार्यों के बेहतरीन टीकाकार थे। उन कार्यों में से ज्यादातर आधुनिक समय तक अस्तित्व में नहीं बचे हैं और उनके बारे में जानकारी हमें इनकी टिप्पणी के माध्यम से मिलती है। ग्रीक शहर-राज्यों के उत्तराधिकारी और इन पर अधिपत्य कायम करने वाले रोमन गणराज्य और साम्राज्य ने उत्कृष्ट इंजीनियरों को तैयार किया लेकिन इनमें से कोई भी उल्लेखनीय गणितज्ञ नहीं थे।
एलेग्जेंड्रिया के विशाल पुस्तकालय को बाद में जला दिया गया था। इतिहासकारों के बीच एक आम सहमति बढ़ रही है कि एलेक्जेंड्रिया के पुस्तकालय को संभवतः कई विनाशकारी घटनाओं का सामना करना पड़ा था, लेकिन यह कि चौथी सदी में एलेक्जेंड्रिया के पगान (मूर्तिपूजक) मंदिरों को नष्ट किया जाना शायद सबसे विनाशकारी और अंतिम घटना थी। उस विनाश के प्रमाण सबसे अधिक निश्चित और सुरक्षित हैं। कैसर का आक्रमण भी बंदरगाह से सटे एक गोदाम में मौजूद तकरीबन 40,000-70,000 स्क्रॉलों के नष्ट होने का कारण बना था (जैसा कि ल्युसियानो कैनाफोरा का तर्क है, ये निर्यात के इरादे से पुस्तकालय द्वारा तैयार की गयी संभावित प्रतियां थीं) लेकिन यह संभव नहीं है कि उन्होंने पुस्तकालय या संग्रहालय को प्रभावित किया था, यह देखते हुए कि दोनों के बाद में अस्तित्व में होने के पर्याप्त सबूत मौजूद हैं।
गृह युद्ध, रख-रखाव में घटता निवेश और नए स्क्रॉलों का अधिग्रहण और गैर-धार्मिक गतिविधियों में आम तौर पर कम होती दिलचस्पी ने संभवतः पुस्तकालय में, विशेष तौर पर चौथी सदी में उपलब्ध सामग्री के ढांचे में गिरावट में योगदान दिया था। सिरेपियम को निश्चित रूप से थियोफिलस द्वारा वर्ष 391 में नष्ट कर दिया गया था और संग्रहालय एवं पुस्तकालय भी संभवतः उसी अभियान का शिकार बन गया था।

वैदिक काल

शतपथ ब्राह्मण (9वीं शताब्दी ईसा पूर्व) में सुल्ब सूत्र की तरह धार्मिक ज्यामितीय निर्माण के लिए नियमों को शामिल किया गया है।
सुल्ब सूत्र (वैदिक संस्कृत में शाब्दिक रूप से, "स्वरों की सूक्तियां - एफोरिज्म्स ऑफ द कॉर्ड") (सी. 700-400 ईसा पूर्व) में यज्ञाग्नि की वेदियों के निर्माण के नियमों की सूची दी गयी है। सुल्ब सूत्र में शामिल ज्यादातर गणितीय समस्याएं "एक एकल धार्मिक आवश्यकता" से निकली हैं जो विभिन्न आकार की लेकिन एक सामान स्थान लेने वाली अग्नि की वेदियों के निर्माण से संबंधित हैं। वेदियों को पकी हुई ईंट की पाँच परतों में बनाए जाने की आवश्यकता थी, जिसमें आगे यह शर्त थी कि प्रत्येक परत 200 ईंटों की हो और किसी भी दो सटी हुई परतों में 
ईंटों की समनुरूप व्यवस्था नहीं की गयी हो। 

(Hayashi 2005, p. 363) के अनुसार, सुल्ब सूत्र में "दुनिया में पाइथागोरस के प्रमेय की सबसे प्रारंभिक प्रचलित मौखिक व्याख्या शामिल है, हालांकि इसके बारे में प्राचीन बेबीलोन वासियों को पहले से ही जानकारी थी।" 
किसी अंडाकार (आयताकार) आकृति का कोणीय (विकर्ण) सूत्र (akṣṇayā-rajju) उन दोनों को उत्पन्न करता है जो किनारे (पार्श्वमनी) (pārśvamāni) वाले और क्षैतिज (tiryaṇmānī) <सूत्र> अलग-अलग उत्पन्न करते हैं।"
 चूंकि कथन एक सूत्र (sūtra) है, यह आवश्यक रूप से संपीड़ित है और सूत्रों (रस्सी) द्वारा जो प्राप्त होता है उसकी व्याख्या नहीं की गयी है, लेकिन संदर्भ स्पष्ट रूप से उनकी लंबाइयों पर निर्मित वर्ग क्षेत्र को बताता है और इसे संभवतः एक शिक्षक द्वारा छात्र को समझाया गया होगा। 
इनमें पाइथागोरस के ट्रिपल्स की सूचियां शामिल हैं जो डायोफेंटाइन समीकरणों के विशेष मामले हैं। 
इनमें वृत्त को वर्ग में बदलने और "वर्ग को वृत्त में बदलने" के बारे में कथन (जिनके लगभग होने के बारे में हम परोक्ष रूप से जानते हैं) भी मौजूद हैं।
बौधायन (सी. 8वीं सदी ईसा पूर्व) ने सबसे प्रसिद्ध सुल्ब सूत्र, बौधायन सुल्ब सूत्र की रचना की थी जिसमें सरल पाइथागोरस संबंधी ट्रिपल्स के उदाहरण जैसे कि: , , ,  और  शामिल हैं, इसके साथ-साथ एक वर्ग के किनारों के लिए पाइथागोरस संबंधी प्रमेय का एक कथन भी है: "वह डोरी जो एक वर्ग के विकर्ण के साथ-साथ खींची जाती है वह वास्तविक वर्ग के आकार का दोगुना क्षेत्रफल देती है।" इसमें पाइथागोरस प्रमेय (आयत के किनारों के लिए) का सामान्य कथन भी शामिल है: "एक आयत के विकर्ण की लम्बाई के साथ-साथ खींची गयी डोरी वह क्षेत्रफल बनाती है जो ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज किनारे साथ मिलकर बनाते हैं।"
गणितज्ञ एस.जी. डानी के अनुसार सीए. 1850 ईसा पूर्व में लिखे गए बेबीलोनियाई क्यूनीफॉर्म टेबलेट प्लिम्पटन 322 में 1850 बीसीई (BCE) में कुछ बड़ी प्रविष्टियों के साथ (13500, 12709, 18541), जो एक आदिकालिक ट्रिपल है, पंद्रह पाइथागोरस ट्रिपल्स शामिल हैं जो विशेष रूप से यह संकेत देते हैं कि इस विषय पर 1850 बीसीई (BCE) में मेसोपोटामिया में एक परिष्कृत समझ कायम थी।"चूंकि ये टेबलेट सुल्ब सूत्र काल से कई सदियों पहले के हैं, कुछ ट्रिपल्स के प्रासंगिक स्वरूप को ध्यान में रखकर यह उम्मीद करना जायज है कि इसी तरह की समझ भारत में भी रही होगी. डानी इससे आगे कहते हैं:
 "चूंकि सुल्वसूत्र का मुख्य उद्देश्य वेदियों की संरचना और उनमें शामिल ज्यामितीय सिद्धांतों का वर्णन करना था, पाइथागोरस के ट्रिपल्स का विषय, यहाँ तक कि अगर इसे अच्छी तरह समझ लिया जाता, शायद फिर भी इसे सुल्वसूत्र में नहीं बताया गया होता. सुल्वसूत्रों में ट्रिपल्स की मौजूदगी की तुलना उस गणित से की जा सकती है जिसे कोई भी वास्तुकला या अन्य संबंधित व्यावहारिक क्षेत्र पर लिखी एक परिचयात्मक पुस्तक में देख सकता है और 
इसका संबंध सीधे तौर पर उस समय उस विषय के संपूर्ण ज्ञान से नहीं होगा. क्योंकि दुर्भाग्य से कोई अन्य समकालीन स्रोत नहीं पाया गया है इसलिए इस समस्या का समाधान संतुष्टि पूर्ण ढंग से खोज पाना कभी भी संभव नहीं हो सकता है।
कुल मिलाकर तीन सुल्ब सूत्रों की रचना की गयी थी। मानव (एफएल. 750-650 ईसा पूर्व) द्वारा रचित शेष दो मानव सुल्ब सूत्र और अपस्तंब (सी. 600 ईसा पूर्व) द्वारा रचित अपस्तंब सुल्ब सूत्र में बौधायन सूत्र सुल्ब के समान परिणाम .

थाबित परिवार और अन्य प्रारंभिक ज्यामितिकार

थाबित इब्न कुर्रा (जिन्हें लैटिन में थेबिट के रूप में जाना जाता है) जन्म (836) ने गणित के कई क्षेत्रों में योगदान दिया है जहाँ उन्होंने संख्या को (सकारात्मक) वास्तविक संख्याओं में विस्तार की अवधारणा, अभिन्न कलन (इंटीग्रल कैलकुलस), गोलीय त्रिकोणमिति के प्रमेयों, विश्लेषणात्मक ज्यामिति और गैर-इयूक्लिडियन ज्यामिति जैसे महत्वपूर्ण गणितीय खोजों के लिए मार्ग तैयार करने में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाई है। खगोल विज्ञान में थाबित टोलेमाइक प्रणाली के पहले सुधारकों में से एक थे और यांत्रिकी में वे स्टैटिक्स के एक संस्थापक थे। थाबित की रचनाओं का एक महत्वपूर्ण ज्यामितीय पहलू अनुपातों की संरचना पर उनकी पुस्तक के रूप में था। इस पुस्तक में थाबित ज्यामितीय मात्राओं के अनुपातों के लिए प्रयोग किये गए अंकगणितीय ऑपरेशनों के बारे में बताते हैं। यूनानियों ने ज्यामितीय मात्राओं के साथ काम किया था लेकिन उन्होंने इनके बारे में उसे तरीके से नहीं सोचा था जैसा कि अंकगणित के सामान्य नियमों को लागू करने में किया जा सकता था। पहले ज्यामितीय और गैर-संख्यात्मक मानी जाने वाली मात्राओं पर अंकगणितीय ऑपरेशनों की शुरुआत कर थाबित ने एक ऐसी प्रवृत्ति शुरू की थी जिससे अंततः संख्या की अवधारणा का सामान्यीकरण संभव हुआ।
कुछ मामलों में, विशेष रूप से गति के संदर्भ में थाबित प्लेटो और अरस्तू के विचारों के आलोचक हैं। ऐसा प्रतीत होता है कि यहाँ उनके विचार उनके ज्यामितीय तर्कों में गति के संदर्भ में तर्कों के उपयोग की स्वीकृति पर आधारित हैं। ज्यामिति के लिए थाबित का एक अन्य महत्वपूर्ण योगदान उनके द्वारा पाइथागोरस प्रमेय का सामान्यीकरण है, जिसमें उन्होंने एक सामान्य प्रमाण के साथ विशेष समकोणों को आम तौर पर सभी त्रिकोणों में विस्तारित किया था।
इब्राहीम इब्न सिनान इब्न थाबित (जन्म 908), जिन्होंने आर्किमिडीज की तुलना में कहीं अधिक सामान्य इंटीग्रेशन की एक विधि पेश की थी और अल कूही (जन्म 940) इस्लामिक जगत में यूनानी उच्च-स्तरीय ज्यामिति के पुनरोद्धार और इसकी निरंतरता में अग्रणी चेहरे थे। इन गणितज्ञों और विशेष रूप से इब्न अल-हेथाम ने ऑप्टिक्स का अध्ययन किया और शंक्वाकार भागों से बने दर्पणों के ऑप्टिकल गुणों की जाँच की।
खगोल विज्ञान, टाइम-कीपिंग और भूगोल ने ज्यामितीय और त्रिकोणमितीय अनुसंधान के लिए अन्य प्रेरणाएं प्रदान की। उदाहरण के लिए इब्राहीम इब्न सिनान और उनके दादा थाबित इब्न कुर्रा दोनों ने धूप-घड़ियों के निर्माण में आवश्यक वक्रताओं का अध्ययन किया। अबू अल-वफा और अबू नस्र मंसूर दोनों ने खगोल विज्ञान में गोलीय ज्यामिति का प्रयोग किया।

ज्यामितीय वास्तुकला

हाल के खोजों से पता चला है कि ज्यामितीय कवासीक्रिस्टल पद्धतियों को सबसे पहले पाँच सदियों से भी अधिक समय पहले की मध्ययुगीन इस्लामी वास्तुकला में पाए जाने वाले गिरिह टाइलों में प्रयोग किया गया था। 2007 में हार्वर्ड विश्वविद्यालय के प्रोफेसर पीटर लू और प्रिंसटन विश्वविद्यालय के प्रोफेसर पॉल स्टेनहार्ड्ट ने साइंस पत्रिका में इस सुझाव के साथ एक दस्तावेज प्रकाशित किया था कि गिरिह टाइलिंग में मौजूद विशेषताएं स्वतः-समान आंशिक क्वासीक्रिस्टलाइन टाइलिंग की निरंतरता में थी जैसे कि पेनरोज टाइलिंग, जिसका संबंध उनसे पाँच सदियों पहले से था।

17वीं सदी

जब यूरोप ने अपने अंध युग (डार्क एजेज) से निकलना शुरू किया, इस्लामी पुस्तकालयों में मौजूद ज्यामिति के हेलेनिस्टिक और इस्लामी ग्रंथों का अरबी से लैटिन में अनुवाद किया गया। यूक्लिड की एलिमेंट्स ऑफ ज्योमेट्री में मिले ज्यामिति के कठोर निगमनात्मक तरीकों का फिर से अध्ययन किया गया और इससे आगे यूक्लिड (इयूक्लिडियन ज्यामिति) एवं खय्याम (बीजगणितीय ज्यामिति) दोनों की शैलियों में ज्यामिति के विकास का क्रम जारी रहा जिसके परिणाम स्वरूप नए प्रमेयों और सिद्धांतों की एक बहुआयत हो गयी जिनमें से कई बहुत ही गहन और सहज थे।
17वीं सदी की शुरुआत में ज्यामिति में दो महत्वपूर्ण घटनाएं हुईं. पहली और सबसे महत्वपूर्ण घटना रेने डेस्क्रेट्स (1596-1650) और पियरे डी फर्मेट (1601-1665) द्वारा विश्लेषणात्मक ज्यामिति या समन्वयों और समीकरणों वाली ज्यामिति की रचना थी। यह कैलकुलस और भौतिकी के सटीक मात्रात्मक विज्ञान के विकास के लिए एक आवश्यक अग्रदूत साबित हुआ। इस अवधि की दूसरी ज्यामितीय प्रगति गिरार्ड डेसार्गेस (1591-1661) द्वारा प्रोजेक्टिव ज्यामिति के सिलसिलेवार अध्ययन के रूप में थी। प्रोजेक्टिव ज्यामिति माप के बगैर ज्यामिति का अध्ययन है यानी सिर्फ यह अध्ययन कि किस तरह बिंदुएं एक दूसरे से तालमेल बनाती हैं। इस क्षेत्र में हेलेनिस्टिक ज्यामितिकारों, उल्लेखनीय रूप से पैपस (सी. 340) द्वारा कुछ शुरूआती कार्य किये गए थे। महानतम फ्लावरिंग ऑफ द फील्ड का संबंध जीन विक्टर पोंसिलेट (1788-1867) के साथ था।
17वीं सदी के उत्तरार्द्ध में कैलकुलस को आइजैक न्यूटन (1642-1727) और गॉटफ्रेड विल्हेम वॉन लाइबनिज (1646-1716) द्वारा स्वतंत्र रूप से और लगभग एक साथ विकसित किया गया था। यह गणित के एक नए क्षेत्र की शुरुआत थी जिसे अब विश्लेषण (एनालिसिस) कहा जाता है। हालांकि यह स्वयं ज्यामिति की एक शाखा नहीं है, फिर भी ज्यामिति में इसका प्रयोग होता है और इसने समस्याओं के दो परिवारों का हल किया था जो काफी समय से लगभग अड़ियल बनी हुई थी: विषम वक्रों में स्पर्श रेखाओं का पता लगाना और उन वक्रों से घिरे क्षेत्रफलों का पता लगाना. कैलकुलस की विधि ने गणना के ज्यादातर सीधे मामलों में इन समस्याओं को कम कर दिया।

गैर-इयूक्लिडियन ज्यामिति

यूक्लिड की चार अभिधारणाओं से उनकी पांचवीं अभिधारणा, "समानांतर अभिधारणा" को प्रमाणित करने की पुरानी समस्या को कभी भुलाया नहीं गया था। यूक्लिड के कुछ ही समय बाद प्रस्तुतियों के कई प्रयास किये गए लेकिन कुछ ऐसे सिद्धांतों को, जो तर्क में स्वीकृति के जरिये स्वयं पहली चार अभिधारणाओं से प्रमाणित नहीं हुए थे, बाद में भी दोषपूर्ण पाया गया। हालांकि उमर खय्याम भी समानांतर अवधारणा को साबित करने में असफल रहे थे, यूक्लिड के समानांतरों के सिद्धांतों की आलोचनाओं और गैर-इयूक्लिडियन ज्यामिति में संख्याओं के गुणों के उनके प्रमाण ने अंततः गैर-इयूक्लिडियन ज्यामिति के विकास में योगदान दिया था। सन 1700 में पहली चार अवधारणाओं को प्रमाणित करने और पांचवीं अवधारणा को प्रमाणित करने की कोशिश में सामने आने वाले कमियों के संदर्भ में एक बड़ी खोज की गयी। साचेरी, लाम्बर्ट और लेगेंद्रे तीनों ने इस समस्या पर 18वीं सदी में उत्कृष्ट कार्य किये, लेकिन लेकिन फिर भी सफलता उनसे दूर ही रही। 19वीं सदी की शुरुआत में गॉस, जोहान बोल्याई और लोबाचेव्स्की में से हर किसी ने स्वतंत्र रूप से एक अलग दृष्टिकोण लिया। इस संदेह के साथ शुरुआत करते हुए कि समानांतर अवधारणाओं को प्रमाणित करना असंभव था, उन्होंने एक आत्म-संगत (सेल्फ-कंसिस्टेंट) ज्यामिति के विकास पर काम किया जिसमें वह अवधारणा गलत थी। इसमें वे सफल रहे थे और इस प्रकार पहले गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति की रचना हुई। 1854 में गॉस के एक छात्र, बर्नहार्ड रीमैन ने समस्त चिकनी सतहों की आतंरिक (आत्म-संगत) ज्यामिति के एक जबरदस्त अध्ययन में कैलकुलस की विधि का प्रयोग किया था और इस प्रकार एक अलग गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति विकसित हुई थी। रीमैन के कार्य बाद में आइंस्टीन के सापेक्षता के सिद्धांत का आधार बन गए थे।
यह प्रमाणित करना बाकी रह गया था कि गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति एकदम उतनी ही आत्म-संगत थी जितना कि यूक्लिडियन ज्यामिति और इस कार्य को सबसे पहले बेल्ट्रामी द्वारा 1868 में पूरा किया गया था। इसी के साथ गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति, यूक्लिडियन ज्यामिति के साथ एक समान गणितीय स्तर पर स्थापित हो गयी थी।
हालांकि अब यह मालूम हो गया था कि विभिन्न ज्यामितीय सिद्धांत गणितीय तरीके से संभव थे, यह सवाल बाकी ही रह गया कि "इनमें से कौन सा सिद्धांत हमारे भौतिक जगत के लिए सही है?" गणितीय कार्य से यह पता चल गया कि इस सवाल का जवाब भौतिकीय प्रयोगों के जरिये दिया जाना चाहिए ना कि गणितीय तर्क से, साथ ही यह कारण भी उजागर हुआ कि इस प्रयोग में अनंत (सितारों की दूरियां, ना कि पृथ्वी-आधारित) दूरियों को अनिवार्य रूप से क्यों शामिल किया जाना चाहिए। भौतिकी में सापेक्षता के सिद्धांत के विकास के साथ यह सवाल बहुत अधिक जटिल हो गया।

गणितीय कठोरता (रिगर) का परिचय

समानांतर अवधारणाओं से संबंधित सभी कार्यों से यह पता चला कि एक ज्यामितिकार के लिए अपने तार्किक आधार को भौतिक जगत के अपने अंतर्ज्ञान की समझ से अलग करना काफी मुश्किल था और इसके अलावा ऐसा करने के आलोचनात्मक महत्व का भी पता चला. सावधानीपूर्वक परीक्षण ने यूक्लिड की रीजनिंग में कुछ तार्किक खामियों और कुछ अनकहे ज्यामितिक सिद्धांतों का खुलासा किया था जिसके बारे में यूक्लिड कभी-कभी बताया करते थे। इस आलोचना ने कैलकुलस में आने वाली मुश्किलों और अनंत प्रक्रियाओं जैसे कि अभिसरण और निरंतरता के अर्थ के संदर्भ में विश्लेषण को समानांतर बना दिया। ज्यामिति में सूक्तियों (एग्जिओम्स) के एक नए सेट की स्पष्ट आवश्यकता थी जो पूरी हो सकती थी और जो हमारे द्वारा बनायी जाने वाली तस्वीरों या अंतरिक्ष के बारे में हमारे अंतर्ज्ञान पर किसी भी तरह से आधारित नहीं है। इस तरह की सूक्तियां 1894 में डेविड हिल्बर्ट द्वारा उनके शोध-निबंध ग्रंडलाजेन डर जियोमेट्री (फ़ाउंडेशंस ऑफ ज्योमेट्री) में दी गयी थीं। सूक्तियों के कुछ अन्य संपूर्ण सेट इससे कुछ वर्ष पहले दिए गए थे लेकिन ये अर्थव्यवस्था, लालित्य और यूक्लिड की सूक्तियों की समानता में मेल हिल्बर्ट की सूक्तियों से नहीं खाते थे।

एनालिसिस साइटस या टोपोलॉजी

18वीं सदी के मध्य में यह स्पष्ट हो गया कि गणितीय तर्क की कुछ ख़ास कड़ियां उस समय विकसित हुईं जब संख्या रेखा पर, दो आयामों में और तीन आयामों में इसी तरह के विचारों पर अध्ययन किया गया था। इस प्रकार एक मीट्रिक स्पेस की सामान्य अवधारणा बनी थी जिससे कि रीजनिंग कहीं अधिक व्यापकता में हो सके और इसके बाद विशेष मामलों में इनका प्रयोग किया जा सके। कैलकुलस के अध्ययन की यह विधि- और विश्लेषण संबंधी अवधारणाओं को एनालिसिस साइटस के रूप में और बाद में टोपोलॉजी के रूप में जाना गया। इस क्षेत्र में महत्वपूर्ण विषय थे कहीं अधिक सामान्य आंकड़ों के गुण जैसे कि सीधापन और लम्बाई एवं कोणीय मापों की सटीक गुणवत्ता जैसे गुणों की बजाय संयुक्तता और सीमाएं, जो यूक्लिडियन और गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति के केंद्र रहे थे। टोपोलॉजी जल्द ही ज्यामिति या विश्लेषण के एक उप-क्षेत्र की बजाय प्रमुख महत्व का एक अलग क्षेत्र बन गया।

20वीं सदी

बीजगणितीय ज्यामिति के विकास में परिमित क्षेत्रों पर वक्रों और सतहों के अध्ययन को शामिल किया गया था जैसा कि आंद्रे वील, एलेक्जेंडर ग्रोथेंडीक और जीन-पियरे सेरे सहित कई अन्य के कार्यों के साथ-साथ वास्तविक या जटिल संख्याओं पर किये गए कार्यों द्वारा प्रदर्शित किया गया था। परिमित ज्यामिति स्वयं केवल परिमित कई बिन्दुओं, कोडिंग के सिद्धांत और क्रिप्टोग्राफी में पाए गए अनुप्रयोगों सहित विभिन्न अंतरिक्षों का अध्ययन था। कंप्यूटर के आगमन के साथ नए विषय जैसे कि कम्प्यूटेशनल ज्यामिति या डिजिटल ज्यामिति ज्यामितीय एल्गोरिदम, ज्यामितीय आंकड़ों के असतत प्रतिनिधित्व और इसी तरह के क्षेत्रों पर कार्य करते हैं।