हेक्साडेसिमल (षोडश आधारी)

गणित और कंप्यूटर विज्ञान में, हेक्साडेसिमल (आधारांक या हेक्स अर्थात् षोडश) एक स्थितीय अंक प्रणाली (पोजीशनल न्यूमरल सिस्टम) है जिसके एक मूलांक (रैडिक्स) या आधारांक (बेस) का मान 16 होता है। इसमें सोलह अलग-अलग प्रतीकों का इस्तेमाल होता है जिसमें 0 से 9 तक के प्रतीक शून्य से नौ तक के मानों को प्रदर्शित करते हैं और A, B, C, D, E, F (या वैकल्पिक रूप से a से f) तक के प्रतीक दस से पंद्रह तक के मानों को प्रदर्शित करते हैं। उदाहरण के लिए, हेक्साडेसिमल संख्या 2AF3 का मान दाशमिक संख्या प्रणाली में (2 × 16³) + (10 × 16²) + (15 × 16¹) + (3 × 16⁰) या 10,995 के बराबर होता है।
प्रत्‍येक हेक्साडेसिमल अंक, चार बाइनरी अंकों (बिट्स) (जिसे "निबल" (nibble) भी कहा जाता है) का प्रतिनिधित्व करता है और हेक्साडेसिमल नोटेशन का उपयोग, कंप्यूटिंग एवं डिजिटल इलेक्ट्रॉनिक्स में बाइनरी कोडित मानों के एक मानव-अनुकूल प्रदर्शन के रूप में किया जाता है। उदाहरण के लिए, बाईट के मान 0 से 255 (दशमलव अंक) तक हो सकता है लेकिन इसके मानों को और सुविधाजनक ढ़ंग से 00 से लेकर FF तक वाले दो हेक्साडेसिमल अकों के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है। हेक्साडेसिमल का इस्तेमाल आम तौर पर कंप्यूटर मेमोरी एड्रेसों को दर्शाने के लिए भी किया जाता है।

वर्बल और डिजिटल प्रदर्शन

दस से पंद्रह तक की मात्राओं को प्रदर्शित करने के लिए कोई पारंपरिक अंक उपलब्ध नहीं है—इनकी जगह अक्षरों का इस्तेमाल किया जाता है—और अधिकांश पश्चिमी यूरोपीय भाषाओं में दस से ऊपर के अंकों के लिए गैर-दशमलव नामों का अभाव है। अंग्रेजी में कई गैर-दशमलव घातों (प्रथम बाइनरी घात के लिए जोड़ा, प्रथम वाइजेसिमल घात के लिए स्कोर, प्रथम तीन द्विदशमलव घातों के लिए दर्जन, ग्रॉस (12 दर्जन) और ग्रेट ग्रॉस (144 दर्जन) के लिए नामों की सुलभता के बावजूद कोई भी अंग्रेजी नाम हेक्साडेसिमल घातों (दशमलव 16, 256, 4096, 65536, ...) का वर्णन नहीं करता है।   कुछ लोग हेक्साडेसिमल संख्याओं के एक-एक अंक को एक फोन नंबर की तरह पढ़ते हैं: 4DA को "फोर-डी-ए" पढ़ते हैं। हालांकि, A (ए) अक्षर "एट" (आठ) की तरह लगता है, C (सी) "थ्री" (तीन) की तरह लगता है और D (डी) बड़ी आसानी से "-ty" (टी) प्रत्यय की तरह लग सकता है: क्या यह 4D (4डी) है या forty (फोर्टी) ? अन्य लोग नाटो (NATO) फोनेटिक अल्फाबेट 
का इस्तेमाल करके भ्रमित होने से बच जाते हैं: 4DA "फोर-डेल्टा-अल्फ़ा" है; या ज्वाइंट आर्मी/नेवी फोनेटिक अल्फाबेट ("फोर-डॉग-एबल"); या इसी तरह की एक तदर्थ प्रणाली.
बाइनरी और हेक्साडेसिमल दोनों के लिए अंकों की गिनती करने की प्रणालियों की योजना बनाई गई है। 
आर्थर सी. क्लार्क ने दस अंगुलियों पर शून्य से लेकर 1023 तक गिनती करने के लिए अंगुली का इस्तेमाल करने की सुविधा प्रदान करके एक ऑन/ऑफ़ बिट के रूप में प्रत्येक अंगुली का इस्तेमाल करने का सुझाव दिया। FF (255) तक की गिनती करने के लिए इस्तेमाल होने वाली एक अन्य प्रणाली को दायीं तरफ दर्शाया गया है; यह बारह के गुणांकों (दर्जनों और ग्रॉस) में गिनती करने एक मौजूदा प्रणाली का एक विस्तृत रूप लगता है जिसका इस्तेमाल आम तौर पर दक्षिण एशिया और अन्य जगहों में किया जाता है।

संकेत

हेक्साडेसिमल प्रणाली में ऋणात्मक संख्याओं को दशमलव प्रणाली की तरह ही व्यक्त किया जा सकता है: -42 को प्रदर्शित करने के लिए –2A और इसी तरह अन्य.
हालांकि, इसके बजाय कुछ लोग प्रोसेसर में इस्तेमाल किए जाने वाले सटीक बिट पैटर्न को व्यक्त करना पसंद करते हैं और हेक्साडेसिमल मानों को संकेतित मानों के रूप में ही सबसे अच्छी तरह संभाले जाने का विचार रखते हैं। इस तरह, ऋणात्मक संख्या -42 को एक 32-बिट सीपीयू (CPU) रजिस्टर में FFFF FFD6 के रूप में लिखा जा सकता है जिस प्रकार एक 32-बिट एफपीयू (FPU) रजिस्टर में C228 0000 के रूप में, या एक 64-बिट एफपीयू रजिस्टर में C045 0000 0000 0000 के रूप में लिखा जा सकता है (कुछ प्रदर्शन योजनाओं, 32-बिट गैर-एफपीयू उदाहरण में दो-दो-पूरक और एफपीयू उदाहरणों में संकेत-परिमाण को मान लेते हैं).

जोड़ और गुणा

स्रोत आधारांक में प्रत्येक स्थान को इसके स्थान मान का हेक्साडेसिमल प्रदर्शन प्रदान करके और उसके बाद अंतिम प्रदर्शन प्राप्त करने के लिए जोड़ और गुणा करके भी रूपांतरण कार्य किया जा सकता है। 
अर्थात् B3AD संख्या को दशमलव संख्या में रूपांतरित करने के लिए कोई भी इस रूपांतरण को D (13₁₀), A (10₁₀), 3 (3₁₀) और B (11₁₀) में विभाजित कर सकता है और उसके 
बाद प्रत्येक दशमलव प्रदर्शन को 16ᵖ से गुणा करके अंतिम परिणाम प्राप्त कर सकता है, जहां 'p' दाएं से बाएं अनुकूल स्थिति है जो 0 से शुरू होता है। इस स्थिति में हमें 13*(16⁰) + 10*(16¹) + 3*(16²) + 11*(16³) प्राप्त होता है जो दशमलव प्रणाली में 45997 के बराबर है।

रूपांतरण के साधन

ग्राफिकल यूजर इंटरफेस वाली सबसे आधुनिक कंप्यूटर प्रणालियां एक अंतर्निर्मित कैलकुलेटर यूटिलिटी प्रदान करती हैं जिसमें विभिन्न मूलांकों के बीच रूपांतरण करने की क्षमता होती है जिसमें आम तौर पर हेक्साडेसिमल भी शामिल होता है।
माइक्रोसॉफ्ट (Microsoft) विंडोज (Windows) में, कैलकुलेटर यूटिलिटी को वैज्ञानिक कैलकुलेटर मोड में सेट किया जा सकता है, जो मूलांक 16 (हेक्साडेसिमल), 10 (डेसिमल), 8 (ऑक्टल) और 2 (बाइनरी) के बीच रूपांतरण की अनुमति देता है; सबसे ज्यादा आम तौर पर प्रोग्रामरों द्वारा प्रयुक्त आधारांक. वैज्ञानिक मोड में, ऑन-स्क्रीन संख्यात्मक कीपैड में A से लेकर F तक हेक्साडेसिमल अंक शामिल होते हैं जो "हेक्स" का चयन करने पर सक्रिय हो जाते हैं। हेक्स मोड में, तथापि, विंडोज कैलकुलेटर केवल पूर्णांकों का समर्थन करता है।

शब्द व्युत्पत्ति

हेक्साडेसिमल शब्द हेक्सा- और -डेसिमल शब्दों से मिलकर बना है जिसमें से हेक्सा- शब्द को यूनानी शब्द έξ (हेक्स) से लिया गया है जिसका इस्तेमाल "छः" के लिए किया जाता है और -डेसिमल शब्द "दसवां" के लिए इस्तेमाल होने वाले लैटिन शब्द से लिया गया है। वेबस्टर (Webster) का तीसरा नया अंतर्राष्ट्रीय ऑनलाइन "हेक्साडेसिमल" को सभी लैटिन "सेक्साडेसिमल" (जो आरंभिक बेंडिक्स प्रलेखन में देखने को मिलता है) के एक परिवर्तन के रूप में प्राप्त करता है। मेरियम-वेबस्टर कॉलेजिएट ऑनलाइन में "हेक्साडेसिमल" के लिए साक्ष्यांकित सबसे आरंभिक तिथि 1954 है जिसे अंतर्राष्ट्रीय वैज्ञानिक शब्दावली (आईएसवी (ISV)) सुरक्षित ढ़ंग से रख दिया गया है। यह मुक्त रूप से यूनानी और लैटिन संयोजन रूपों को समीश्रित करने के लिए आईएसवी (ISV) में आम है। "सेक्साजेसिमल" शब्द (आधारांक 60 के लिए) में लैटिन उपसर्ग रह जाता है। डोनाल्ड नुथ ने कहा है कि शब्द व्युत्पत्ति की दृष्टि से सही शब्द "सेनिडेनरी" है, जो "16 द्वारा समूहीकृत" के लिए इस्तेमाल होने वाले लैटिन शब्द से लिया गया है। ("बाइनरी", "टर्नरी" और "क्वाटर्नरी" शब्दों एक ही लैटिन रचना से लिया गया है और शब्द व्युत्पत्ति की दृष्टि से "दशमलव" अंकगणित के लिए सही शब्द "डर्नरी" है। ) श्वार्ट्जमैन के अनुसार सामान्य लाइटिंग वाक्यांशों से लिया गया प्रत्याशित रूप "सेक्साडेसिमल" होगा, लेकिन कंप्यूटर हैकर उस शब्द को छोटा करके "सेक्स" करने का प्रयत्न करेंगे।  शब्द व्युत्पत्ति की दृष्टि से उचित यूनानी शब्द हेक्साडेकाडिक (हालांकि आधुनिक यूनानी भाषा में ज्यादातर डेका-हेक्साडिक (δεκαεξαδικός) का इस्तेमाल किया जाता है) होगा।

प्राथमिक अंक प्रणाली

दर्जन के समर्थन की तरह,
हेक्साडेसिमल को वरीयताप्राप्त अंक प्रणाली के रूप में प्रोत्साहित करने के लिए सामयिक प्रयास किए गए हैं। ये प्रयास आमतौर पर 
उच्चारण और/या प्रतीकविद्या को प्रस्तावित करते हैं।  कभी कभी प्रस्ताव मानक उपायों को एक कर देता है
जिससे वे 16 के गुणक हो जाते हैं। 
मानक उपायों को एकीकृत करने का एक उदाहरण हेक्साडेसिमल समय है जो एक दिन को 16 से उपविभाजित कर देता है जिससे एक दिन में 16 "हेक्स घंटे" हो जाते हैं।