त्रिभुज

कुछ परिभाषाएँ

समबाहु त्रिभुज: वह त्रिभुज जिसमें तीनों भुजाएं समान होती हैं और प्रत्येक कोण 60° का होता है।
अभिलम्ब: किसी त्रिभुज में एक भुजा के विपरीत शीर्ष से भुजा पर डाला गया लम्ब अभिलम्ब कहलाता है।
माध्यिका: शीर्ष के सामने वाली भुजा के मध्य बिन्दु से मिलाने वाली रेखा मध्यिका कहलाती है।
न्यूनकोण त्रिभुज: वह त्रिभुज जिसमें प्रत्येक कोण 90 डिग्री से कम होता है।
समकोण त्रिभुज: एक कोण 90 डिग्री शेष दोनों कोण एक दूसरे के पूरक होते हैं।
अधिककोण त्रिभुज: कोई भी एक कोण 90 डिग्री से अधिक का होता है।
विषमबाहु त्रिभुज: सभी भुजाएं आपस में असमान होती हैं।
समद्विबाहु त्रिभुज: कोई दो भुजाएं आपस में समान होती हैं। समान भुजाओं के सामने के कोण भी समान होते हैं।
कोण समद्विभाजक: वह रेखाखंड, जो त्रिभुज के शीर्ष से प्रारंभ होता है एवं कोण को दो समान भागों में बांटता है।
भुजा का लम्ब समद्विभाजक: रेखाखण्ड, जो त्रिभुज की भुजा के साथ समकोण बनाते हुए उसे दो समान भागों में बांटता है।
लम्ब केन्द्र: वह बिन्दु जहाँ किसी त्रिभुज के तीनों अभिलम्ब मिलते है।
केन्द्रक: त्रिभुज की तीनों मध्यिकायें जिस बिंदु पर मिलती हैं वह बिन्दु केंद्रक (सेन्ट्रॉड) कहलाता है। केंद्रक प्रत्येक
मध्यिका को 2:1 में विभाजित करता है।
अंतःकेन्द्र: त्रिभुज के कोण समद्विभाजक जिस बिन्दु पर मिलते हैं, वह बिन्दु अंतःकेन्द्र कहलाता है।
परिकेन्द्र: वह बिन्दु जहाँ भुजाओं के लम्ब समद्विभाजक मिलते हैं परिकेंद्र कहलाता है। परिकेंद्र हमेशा तीनों शीर्षो से समान दूरी पर होता है।

समकोण त्रिभुज

समकोण त्रिभुज (जिसे एक आयताकार त्रिभुज भी कहा जाता है) में आंतरिक कोणों में से एक 90° (समकोण) होता है। ऐसे त्रिभुज में, समकोण के सामने की भुजा को कर्ण कहते हैं, जो त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा होती है। अन्य दो भुजाओं को त्रिभुज के पाद (legs) या भुज (cathetus) कहा जाता है। पाइथागोरियन प्रमेय एक केंद्रीय प्रमेय है, जो कि किसी भी समकोण त्रिभुज में लागू हो सकती है: कर्ण की लंबाई का वर्ग,अन्य दो भुजाओं की लंबाई के वर्गों के योग के बराबर होता है। यदि कर्ण की लंबाई c, और भुजों की लंबाइयाँ a और b है, तो प्रमेय के अनुसार-
अर्थात यदि त्रिभुज की भुजाओं की लम्बाई उपरोक्त समीकरण को संतुष्ट करती हैं, तो त्रिभुज में एक समकोण है जो भुजा c के सम्मुख है।
समकोण त्रिभुजों के बारे में कुछ अन्य तथ्य:
एक समकोण त्रिभुज के न्यूनकोण पूरक होते हैं।
यदि समकोण त्रिभुज के भुजों (कर्ण के अलावा अन्य दो भुजाएँ) की लंबाई समान है, तो उन भुजों के विपरीत (या सम्मुख) कोण समान होते हैं। चूंकि ये कोण पूरक होते हैं, अतः प्रत्येक कोण 45 अंश का होता है। पाइथागोरियन प्रमेय द्वारा, कर्ण की लंबाई, एक भुज की लंबाई की √2 गुनी होती है।
30 और 60 अंश के न्यूनकोण वाले समकोण त्रिभुज में, कर्ण की लंबाई, छोटी भुजा की लंबाई की दोगुनी होती है, और बड़ी भुजा की लंबाई छोटी भुजा की लंबाई की √3 गुना होती है:
सभी त्रिभुजों के लिए कोण और भुजाएँ, ज्या(Sine) और कोज्या(Cosine) के नियमों द्वारा संबंधित हैं।

त्रिभुज का अस्तित्व

भुजाओं की शर्तें
त्रिभुज असमिका(Triangle Inequality) बताती है कि त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं की लम्बाइयों का योग, तीसरी भुजा की लंबाई से अधिक या बराबर होना चाहिए। केवल एक पतित त्रिभुज में, किन्हीं दो भुजाओं की लम्बाइयों का योग, तीसरी भुजा की लंबाई के बराबर होता है, जिसमें तीनों शीर्ष संरेखीय होते हैं। त्रिभुज की दो भुजाओं की लम्बाइयों के योग का, तीसरी भुजा की लंबाई से कम होना संभव नहीं है। तीन दी गईं सकारात्मक भुजाओं वाला त्रिभुज बनेगा यदि वे भुजाएँ, त्रिभुज असमिका को संतुष्ट करती हैं।
कोणों पर शर्तें
तीन दिए गए कोण एक अपतित त्रिभुज बनाते हैं यदि वे इन दोनों शर्तों का पालन करते हैं: (a) कोणों में से प्रत्येक सकारात्मक हो, और (b) कोणों का योग 180° के बराबर है। पतित त्रिभुजों के लिए कोण 0° का हो सकता है।
त्रिकोणमितीय शर्तें
तीन सकारात्मक(Positive) कोण α, β, और γ (इनमें से प्रत्येक 180° से कम है), एक त्रिभुज के कोण होंगे यदि वे निम्न शर्तों में से किसी एक का पालन करें:
अंतिम समानता केवल तभी लागू होती है जब कोणों में से कोई भी 90° का न हो (इसलिए स्पर्शज्या फलन का मान हमेशा सीमित होता है)।

त्रिभुज से संबन्धित बिन्दु, रेखाएं, और वृत्त

एक त्रिभुज की किसी भुजा का लंब समद्विभाजक (Perpendicula Bisector), उस भुजा के मध्यबिन्दु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है जो भुजा के लम्बवत होती है, यानी भुजा के साथ समकोण बनाती है। त्रिभुज के तीन लंब समद्विभाजक होते हैं, जो एक ही बिंदु पर मिलते हैं (या प्रतिच्छेद करते हैं)। यह बिन्दु त्रिभुज का 'परिकेन्द्र (Circumcenter)' कहलाता है, इसे आमतौर पर O द्वारा दर्शाया जाता है; यह बिंदु त्रिभुज के परिवृत्त(Circumcircle) का केंद्र होता है (यह वृत्त त्रिभुज के तीनों शीर्षों से होकर गुजरता है)। इस वृत्त का व्यास, जिसे परिव्यास (Circumdiameter) कहा जाता है, उपरोक्त ज्या के नियम द्वारा ज्ञात किया जा सकता है। परिवृत्त की त्रिज्या को परित्रिज्या (Circumradius) कहा जाता है।
थाल्स प्रमेय से पता चलता है कि यदि परिकेन्द्र, त्रिभुज की किसी भुजा पर स्थित है, तो वह त्रिभुज समकोण त्रिभुज है और उस भुजा के सामने का कोण समकोण है। यदि परिकेन्द्र, त्रिभुज के अंदर स्थित है, तो त्रिभुज न्यूनकोण त्रिभुज है; यदि परिकेन्द्र, त्रिभुज के बाहर स्थित है, तो त्रिभुज अधिककोण त्रिभुज है।
त्रिभुज का शीर्षलंब (Altitude), एक शीर्ष से होकर जाने वाली एक सीधी रेखा है, जो उस शीर्ष के सामने की भुजा पर लंब होती है। इस सामने की भुजा को, शीर्षलंब का आधार (Base of the altitude) कहा जाता है, और वह बिंदु जहां शीर्षलंब, आधार को प्रतिच्छेद करता है, शीर्षलंब का पाद (Foot of the altitude) कहलाता है। शीर्षलंब की लंबाई, आधार और शीर्ष के बीच की दूरी है। त्रिभुज के तीन शीर्षलंब होते हैं, जो एक ही बिंदु पर मिलते हैं (या प्रतिच्छेद करते हैं)। यह बिन्दु त्रिभुज का 'लंबकेंद्र (Orthocenter)' कहलाता है, जो H द्वारा दर्शाया जाता है। केवल न्यूनकोण त्रिभुजों में, लंबकेंद्र त्रिभुज के अंदर स्थित होता है।
त्रिभुज का कोण समद्विभाजक (Angle Bisector), शीर्ष से होकर जाने वाली एक सीधी रेखा है, जो उस शीर्ष के कोण को दो समान भागों में बाँटती है। त्रिभुज के तीन कोण समद्विभाजक होते हैं, जो एक ही बिंदु पर मिलते हैं (या प्रतिच्छेद करते हैं)। यह बिन्दु त्रिभुज का 'अन्तःकेंद्र (Incenter)' कहलाता है, इसे आमतौर पर I द्वारा दर्शाया जाता है; यह बिंदु त्रिभुज के अन्तःवृत्त (Incircle) का केंद्र होता है (यह वृत्त त्रिभुज के अंदर स्थित होता है और उसकी तीनों भुजाओं को स्पर्श करता है)। अन्तःवृत्त की त्रिज्या को अन्तःत्रिज्या (Inradius) कहा जाता है। किसी त्रिभुज के तीन बहिर्वृत्त (excircle या escribed circle) होते हैं। ये तीनों वृत्त उस त्रिभुज के बाहर होते हैं। इनमें से प्रत्येक वृत्त, त्रिभुज की किसी एक भुजा को तथा शेष दो भुजाओं को आगे बढाने से बनी दो रेखाओं को स्पर्श करता है।
त्रिभुज की माध्यिका (Median), एक शीर्ष और उस शीर्ष के सामने की भुजा के मध्यबिंदु से होकर जाने वाली एक सीधी रेखा है। माध्यिका, त्रिभुज को दो बराबर क्षेत्रों में विभाजित करती है। त्रिभुज की तीन माध्यिकाएँ होती हैं, जो एक ही बिंदु पर मिलती हैं (या प्रतिच्छेद करती हैं)। यह बिन्दु त्रिभुज का 'केंद्रक (Centroid)' कहलाता है, जो G द्वारा दर्शाया जाता है। एक दृढ़ त्रिभुजाकार वस्तु (जो एकसमान घनत्व की पतली शीट से काटा गया है) का केंद्र, उसका द्रव्यमान केंद्र (Center of Mass) भी होता है: एकसमान गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में, वस्तु अपने केंद्रक पर संतुलित रह सकती है। केंद्रक, प्रत्येक माध्यिका को 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है, यानी एक शीर्ष और केंद्रक के बीच की दूरी, केंद्रक और सामने की भुजा के मध्यबिंदु के बीच की दूरी से दोगुनी होती है।
तीनों भुजाओं के मध्य बिंदु और तीनों शीर्षलम्बों के पाद, सभी एक ही वृत्त पर होते हैं, जिसे त्रिभुज का नवबिन्दु वृत्त (Nine-point Circle) कहते हैं। शेष तीन बिंदु जिनके लिए इसका नाम नवबिन्दु (नौ बिन्दु) वृत्त है, वे शीर्ष और लंबकेन्द्र के बीच, शीर्षलंब के हिस्से के मध्यबिंदु हैं। नवबिन्दु वृत्त की त्रिज्या, परिवृत्त की त्रिज्या की आधी होती है। यह अन्तःवृत्त और तीनों बहिर्वृत्तों को स्पर्श करता है।
केंद्रक (पीला), लंबकेन्द्र (नीला), परिकेन्द्र (हरा) और नवबिन्दु वृत्त का केंद्र (लाल बिंदु), सभी एक एकल रेखा पर होते हैं, जिसे यूलर की रेखा (लाल रेखा) कहा जाता है। नवबिन्दु वृत्त का केंद्र, लंबकेन्द्र और परिकेन्द्र के बीच के मध्यबिंदु पर स्थित होता है, और केंद्रक और परिकेन्द्र के बीच की दूरी, केंद्रक और लंबकेन्द्र के बीच की दूरी की आधी होती है।
अन्तःवृत्त का केंद्र, सामान्य रूप से यूलर की रेखा पर स्थित नहीं होता है।