मानक विचलन

प्रायिकता सिद्धांत और सांख्यिकी में, किसी सांख्यिकीय जनसंख्या, डाटा सेट या प्रायिकता वितरण के प्रसरण के वर्गमूल को मानक विचलन (स्टैण्डर्ड देविएशन) कहते हैं। मानक विचलन, व्यापक रूप से प्रयोग होने वाला एक मापदंड है प्रकीर्णन की माप करता है कि आंकड़े कितने 'फैले हुए' हैं। मानक विचलन बीजगणित की दृष्टि से अधिक सुविधाजनक है यद्यपि व्यावहारिक रूप से प्रत्याशित विचलन या औसत निरपेक्ष विचलन की तुलना में यह कम सुदृढ़ होता है। 
इससे पता चलता है कि यहां "औसत" (मध्यमान) से कितनी भिन्नता है। इसे वितरण के मध्यमान से अंकों के औसत अंतर के रूप में माना जा सकता है कि वे मध्यमान से कितनी दूर हैं। एक निम्न मानक विचलन इंगित करता है कि डाटा के अंक मध्यमान के बहुत समीप होते हैं जबकि उच्च मानक विचलन इंगित करता है कि डाटा, मानों की एक बहुत बड़ी श्रेणी पर फैला हुआ है।
उदाहरण के लिए, संयुक्त राज्य अमेरिका में वयस्क पुरुषों की औसत ऊंचाई 70 इंच (178 से॰मी॰) है और इसके साथ ही साथ इनका मानक विचलन लगभग 3 इंच (8 से॰मी॰) है। इसका मतलब है कि अधिकांश पुरुषों (एक सामान्य वितरण की कल्पना के आधार पर लगभग 68 प्रतिशत) की ऊंचाई मध्यमान (67–73 इंच (170–185 से॰मी॰)) के 3 इंच (8 से॰मी॰) के भीतर – एक मानक विचलन है जबकि लगभग सभी पुरुषों (लगभग 95%) की ऊंचाई मध्यमान (64–76 इंच (163–193 से॰मी॰)) के 6 इंच (15 से॰मी॰) के भीतर – 2 मानक विचलन है। यदि मानक विचलन शून्य होता, तो सभी पुरुष वास्तव में 70 इंच (178 से॰मी॰) ऊंचे होते. यदि मानक विचलन 20 इंच (51 से॰मी॰) होता, तो पुरुषों की ऊंचाइयों में बहुत ज्यादा अंतर, विशेष रूप से लगभग 50 से 90 इंच (127 से 229 से॰मी॰) होता. तीन मानक विचलन के तहत वितरण को सामान्य (घंटाकार) मानकर जनसंख्या के नमूने के 99% जनसंख्या के विवरणों का अध्ययन किया गया।
जनसंख्या की परिवर्तनीयता को व्यक्त करने के अलावा, मानक विचलन को आम तौर पर सांख्यिकीय निष्कर्ष के विश्वास को मापने के लिए प्रयोग में लाया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि एक ही चुनाव को कई बार आयोजित किया गया हो तो मतदान डाटा की त्रुटि सीमा को परिणाम के प्रत्याशित मानक विचलन की गणना द्वारा निर्धारित किया जाता है। सूचित त्रुटि सीमा विशिष रूप से मानक विचल का लगभग दोगुना – 95% आत्मविश्वास अंतराल की त्रिज्या के बराबर होती है। विज्ञान में, शोधकर्ता आमतौर पर प्रयोगात्मक डाटा के मानक विचलन की सूचना देते हैं और मानक विचलन की सीमा से बिलकुल परे एकमात्र प्रभाव को सांख्यिकी की दृष्टि से महत्वपूर्ण माना जाता है—सामान्य यादृच्छिक त्रुटि या मापन भिन्नता को इस तरह से कारणात्मक भिन्नता से अलग कर दिया जाता है। मानक विचलन, वित्त में भी महत्वपूर्ण है, जहां किसी निवेश के प्रतिफल दर का मानक विचलन, निवेश की अस्थिरता का एक माप है।
मानक विचलन संज्ञा का सबसे पहला प्रयोग 1894 में कार्ल पीयरसन के लेखन में किया गया और उसके बाद उनके व्याख्यानों में इसका प्रयोग किया गया। इसे एक ही विचार को व्यक्त करने वाले आरंभिक वैकल्पिक नामों के बदले प्रयोग किया गया: उदाहरण के तौर पर गॉस ने "मध्यमान त्रुटि" का प्रयोग किया। मानक विचलन की एक उपयोगी विशेषता यह है कि प्रसरण के विपरीत, इसे डाटा के रूप में एक ही इकाइयों में व्यक्त किया जाता है। ध्यान दें, तथापि, कि इकाई के रूप में प्रतिशत युक्त मापन के लिए, मानक विचलन में इकाई के रूप में प्रतिशत अंक होगा.
जब जनसंख्या से आंकड़ों का केवल एक नमूना उपलब्ध हो, तो जनसंख्या के मानक विचलन का आकलन, नमूना मानक विचलन कहलाने वाले एक संशोधित मात्रा द्वारा किया जा सकता है जिसकी व्याख्या नीचे दी गई है.

जनसंख्या के मानक विचलन का आकलन

कुछ परिस्थितियों (जैसे मानकीकृत परीक्षण) में व्यक्त सम्पूर्ण जनसंख्या के मानक विचलन को ज्ञात कर सकते हैं जहां जनसंख्या के प्रत्येक सदस्य का नमूना उपलब्ध हो. ऐसे मामलों में जहां ऐसा नहीं किया जा सकता है, वहां मानक विचलन σ का आकलन जनसंख्या से लिए गए एक यादृच्छिक नमूने का परीक्षण करके किया जाता है। कुछ आकलनकर्ता नीचे दिए गए हैं:

अन्य आकलनकर्ता

हालांकि σ के लिए एक निष्पक्ष आकलनकर्ता को ज्ञात किया जाता है जब यादृच्छिक परिवर्तनीय को सामान्य रूप से वितरित किया जाता है, सूत्र जटिल होता है और एक मामूली संशुद्धि की फलगणना करता है: अधिक जानकारी के लिए मानक विचलन का निष्पक्ष आकलन देखें. इसके अलावा, निष्पक्षता (शब्द के इस अर्थ में) हमेशा वांछनीय नहीं होता है: एक आकलनकर्ता का पक्षपात देखें.

व्याख्या और अनुप्रयोग

एक बड़ा मानक विचलन इंगित करता है कि डाटा अंक मध्यमान से दूर होते हैं और एक लघु मानक विचलन इंगित करता है कि वे मध्यमान के चारों-तरफ़ काफी नज़दीकी से समूहीकृत होते हैं।
उदाहरण के लिए, तीन जनसंख्या {0, 0, 14, 14}, {0, 6, 8, 14} and {6, 6, 8, 8} में से प्रत्येक का मध्यमान 7 है। उनके मानक विचलन क्रमशः 7, 5 और 1 हैं। तीसरी जनसंख्या का मानक विचलन अन्य दो विचलनों की अपेक्षा कम होता है क्योंकि इनके सभी मान 7 के करीब हैं। एक अस्पष्ट अर्थ में, मानक विचलन हमें यह बताता है कि डाटा के अंक माध्यम से कितिनी दूर होने चाहिए. इसमें उतनी ही इकाइयां होगी जितनी स्वयं डाटा अंकों में होते हैं। उदाहरण के लिए, यदि डाटा सेट {0, 6, 8, 14} चार भाई-बहनों की की एक संख्या की आयु को वर्ष में प्रदर्शित करता है तो मानक विचलन 5 वर्ष होता है।
एक दूसरे उदाहरण के तौर पर, जनसंख्या {1000, 1006, 1008, 1014} चार एथलीटों द्वारा तय की गई दूरियों को मीटर में व्यक्त करता है। इसका मध्यमान 1007 मीटर है और मानक विचलन 5 मीटर है।
मानक विचलन, अनिश्चितता की एक माप के रूप में कार्य कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, भौतिक विज्ञान में दोहराए गए मापन के एक समूह के प्रतिवेदित मानक विचलन को उन मापनों की सुस्पष्टता प्रदान करनी चाहिए. जब यह निश्चय किया जाता है कि क्या मापन, सैद्धांतिक भविष्यवाणी से सहमत है तब उन मापनों का मानक विचलन महत्त्व निर्णायक होता है: यदि मापन का मध्यमान भविष्यवाणी से बहुत दूर हो, तो परीक्षणमूलक सिद्धांत को संभवतः परिशोधित करने की आवश्यकता है। इससे यह अर्थ निकलता है कि वे मानों की श्रेणी से बाहर चले जाते हैं जिसके होने की उचित उम्मीद की जा सके यदि भविष्यवाणी सही होती और मानक विचलन मात्र को उचित ढंग से निर्धारित किया जाता. भविष्यवाणी अंतराल देखें.

अनुप्रयोग के उदाहरण

मानों के एक समूह के मानक विचलन को समझने का व्यवहारिक मान निर्धारण के अधीन है कि "औसत" (मध्यमान) से कितनी भिन्नता है।

मौसम

एक साधारण उदाहरण के रूप में, शहरों के औसत तापमान पर विचार करें. जबकि दो शहरों का औसत तापमान 15 °C हो सकता है, यह समझने में सहायक है कि समुद्र तट के पास के शहर की सीमा अंतर्देशीय शहरों की तुलना में छोटी है जो यह स्पष्ट करता है कि जबकि औसत समान है लेकिन समुद्र तट के समीप की अपेक्षा अंतर्देशीय भिन्नता के होने की अधिक सम्भावना है।
तो, एक शहर का औसत तापमान 15 होता है जिसका अधिकतम तापमान 25 °C और निम्न तापमान 
5 °C हो और ऐसा दूसरे शहर के साथ भी होता है जिसका अधिकतम तापमान 18 और निम्न तापमान 12 हो. मानक विचलन हमें पहचानने की अनुमति प्रदान करता है कि व्यापक भिन्नता वाले शहर का औसत और इस प्रकार एक उच्च मानक विचलन तापमान का उतना विश्वसनीय भविष्यवाणी प्रदान नहीं करेगा जितना कम भिन्नता वाला और निम्न मानक विचलन वाला शहर का औसत प्रदान करेगा.

खेल

इसे समझने का एक दूसरा तरीका है कि हम खेल की टीमों पर विचार करें. किसी भी श्रेणी समूह में, ऐसे टीम होंगे जो कभी उच्च दर प्राप्त करेंगे तो कभी खराब। इसकी संभावना है कि जो टीम स्टैंडिंग में नेतृत्व करते हैं, वे ऐसी विपरीतता का प्रदर्शन नहीं करेंगे लेकिन अधिकांश श्रेणियों में वे अच्छा प्रदर्शन करेंगे. प्रत्येक श्रेणी में उनकी रेटिंग का मानक विचलन जितना कम होगा, वे उतना ही अधिक संतुलित और सुसंगत होंगे. जबकि उच्च मानक विचलन वाले टीम अधिक अपूर्वानुमेय होंगे. उदाहरण के लिए, एक टीम जो अधिकांश श्रेणियों में लगातार खराब है, उसमें निम्न मानक विचलन होगा. एक टीम जो ज्यादातर श्रेणियों में लगातार अच्छा है, उसमें भी निम्न मानक विचलन होगा. हालांकि, एक उच्च मानक विचलन वाला टीम उस प्रकार टीम हो सकता है जो बहुत स्कोर (सशक्त आक्रमण) बनाता है लेकिन बहुत छूट (कमज़ोर सुरक्षा) भी देते हैं, या एक दूसरे के विपरीत, जिसका आक्रमण ख़राब हो सकता है लेकिन स्कोर करने में मुश्किलें पैदा कर इसकी क्षतिपूर्ति करता है।
यह भविष्यवाणी करने की कोशिश करना कि किसी भी निर्धारित दिन को कौन सी टीम जीतेगी, इसके लिए टीम के विभिन्न "आंकड़ों" की रेटिंग के मानक विचलन पर ध्यान देना होगा जिसके अंतर्गत असंगति यह समझने की कोशिश में शक्ति बनाम कमजोरी का मिलान कर सकता है कि कौन से कारक अंतिम स्कोरिंग परिणाम के सशक्त संकेतकों के रूप में अभिभावी हो सकते हैं।
रेसिंग में, एक चालक को लगातार चक्कर लगाने के लिए समय प्रदान किया जाता है। चक्कर की संख्या के निम्न मानक विचलन वाला चालक, उच्च मानक विचलन वाले चालक की अपेक्षा अधिक अनुकूल होता है। इस जानकारी को यह समझने में मदद करने के लिए प्रयोग में लाया जा सकता है कि चक्करों की संख्या को घटाने के लिए अवसर कहां प्राप्त हो सकते हैं।