पाइथागोरस प्रमेय

प्रमाण

यह एक ऐसा प्रमेय है जिसके अन्य प्रमेयों की तुलना में सम्भवतः सर्वाधिक प्रमाण ज्ञात हैं (द्विघाती पारस्परिकता का नियम भी इस गौरव के लिए प्रतियोगी रह चुका है)। एलीशा स्कॉट लूमिस द्वारा रचित पायथागॉरियन थिअरम किताब में, 367 प्रमाण दिए गए हैं।

व्यवकलन द्वारा प्रमाण

इस प्रमाण में, कर्ण पर वर्ग प्लस त्रिकोण की 4 प्रतियां को अन्य दो पार्श्वों में वर्गों के रूप में जोड़ सकते हैं प्लस त्रिकोण की 4 प्रतियां.यह प्रमाण चीन से दर्ज की गई है।

समानता प्रमाण

ऊपर यूक्लिड के प्रमाण के चित्र से, हम तीन समान आंकड़ों को देख सकते हैं, प्रत्येक में "एक वर्ग के ऊपर त्रिकोण" है। क्यूंकि बड़ा त्रिकोण दो छोटे त्रिकोण से बना है, उसका क्षेत्रफल इन दो छोटे का जोड़ है। समानता से, तीन वर्ग एक दूसरे के साथ उसी अनुपात में हैं जैसे वह तीन त्रिकोण और इसी तरह के बड़े वर्ग का क्षेत्रफल दो छोटे वर्गों के क्षेत्रफल का जोड़ है।

विपर्यय से प्रमाण

विपर्यय से प्रमाण को चित्रण और एनीमेशन के द्वारा दिया गया है। इस उदाहरण में, हर एक बड़े वर्ग का क्षेत्रफल (a + b)² है। दोनों में, चरों समान त्रिकोण का क्षेत्रफल हटा दिया गया है। शेष क्षेत्रों, a² + b² और c², बराबर हैं।Q.E.D
 यह प्रमाण वास्तव में बहुत आसान है, लेकिन यह प्रारंभिक नहीं है, इस अर्थ में कि यह केवल सबसे बुनियादी सिद्धांत और युक्लीडियन ज्यामिति के प्रमेयों पर निर्भर नहीं है। विशेष रूप से, जब त्रिकोण और वर्गों के क्षेत्रफल का सूत्र देना बहुत आसान है, यह साबित करने के लिए आसान नहीं है कि एक वर्ग का क्षेत्रफल उसके टुकडों के क्षेत्रों का जोड़ है। वास्तव में, आवश्यक गुण साबित करना पायथागॉरियन प्रमेय सिद्ध करने की तुलना में कठिन है (लेबेस्गु उपाय और बनाच-टार्स्कि विरोधाभास देखें).वास्तव में, यह कठिनाई सभी साधारण क्षेत्र शामिल युक्लीडियन प्रमाण को प्रभावित करता है; उदाहरण के लिए, एक समकोण त्रिकोण का क्षेत्र पाने के लिए एक धारणा शामिल है कि यह एक ही ऊंचाई और तल के एक आयत का आधा क्षेत्र है। इसी कारण से, ज्यामिति के लिए स्वयंसिद्ध परिचय आम तौर पर त्रिकोण की समानता के आधार पर एक और प्रमाण का प्रयोग करता है (ऊपर देखें).
इस पायथागॉरियन प्रमेय का तीसरा ग्राफिक चित्रण में (दाहिने में पीले और नीले रंग में) कर्ण का वर्ग पार्श्वों के वर्ग में फिट बैठता है। एक संबंधित प्रमाण यह दिखा सकता है की पुनः स्थापित भाग मूल के समान हैं और, क्यूंकि समान का जोड़ समान है, की उनके क्षेत्र भी समान हैं। यह दिखाने के लिए की एक वर्ग ही परिणाम है, हमे नए पार्श्वों की लंबाई को c के बराबर दिखाना पड़ेगा.ध्यान दें की इस प्रमाण के काम करने के लिए, हमे छोटे वर्ग को और अधिक हिस्सों में काटने के तरीके को संभालने के लिए रास्ता प्रदान करना होगा चूंकि पार्श्व और छोटे होते जाएँगे.[4]

पायथागॉरियन ट्रिपल

एक पायथागॉरियन ट्रिपल में तीन सकारात्मक पूर्णांक हैं a, b और c, जैसे की a² + b² = c².अन्य शब्दों में, एक पायथागॉरियन ट्रिपल एक समकोण के पार्श्वों की लंबाई का वर्णन करता है जहाँ तीनों पार्श्व की पूर्णांक लंबाई है। उत्तरी यूरोप के बड़े पत्थरों से बने स्मारकों से साक्ष्य यह दिखाते हैं कि ऐसे ट्रिपल लिखने की खोज से पहले से जाने जानते थे। इस तरह के ट्रिपल सामान्यतः से लिखे गए हैं (a, b, c).कुछ प्रसिद्ध उदाहरण हैं (3, 4, 5) और (5, 12, 13)

आदिम पायथागॉरियन के ट्रिपल की 100 तक की सूची

(3, 4, 5), (5, 12, 13), (6,8,10) (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12, 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29), (28, 45, 53), (33, 56, 65), (36, 77, 85), (39, 80, 89), (48, 55, 73), (65, 72, 97)

तर्कहीन संख्या का अस्तित्व

पायथागॉरियन प्रमेय के परिणामों में से एक है कि तारतम्यहीन लंबाई (ie. उनके अनुपात तर्कहीन संख्या में है), जैसे की 2 का वर्गमूल, बनाया जा सकता है। एक समकोण जिसके पैर दोनों एक इकाई के बराबर हैं उसके कर्ण की लंबाई 2 का वर्गमूल है। यह प्रमाण कि 2 का वर्गमूल तर्कहीन है लंबे समय से आयोजित विश्वास के विपरीत था कि सब कुछ तर्कसंगत था। पौराणिक कथा के अनुसार, हिप्पासुस, जिसने दो के वर्गमूल की तर्कशून्यता सबसे पहले साबित करी थी, उसे परिणाम के रूप में समुद्र में डूब गया था।

2 से अधिक आयामों में

3 आयामों में अंक { and { के बीच की दूरी √([√((a-d)²+(b-e)²)]²+(c-f)²) = √((a-d)²+(b-d)²+(c-f)²) है और इसी प्रकार 4 या अधिक आयामों के लिए.

जटिल अंकगणितीय में: मान्य नहीं

पायथागॉरस फार्मूला को कार्टीज़इयन निर्देशांक समतल में दो अंकों के बीच की दूरी पता करने के लिए प्रयोग किया जाता है और मान्य है अगर सब निर्देशांक असली हैं: अंक {2+(b-d)²).लेकिन जटिल निर्देशांक के साथ: उदाहरण, अंक { और {i,0} के बीच की दूरी शून्य बनेगी, जिसका परिणाम है रिडाक्शियो एड़ अब्सुर्डम.यह इसलिए है क्योंकि यह फार्मूला पायथागॉरस की प्रमेय पर निर्भर है, जो अपने हस प्रमाण में क्षेत्रफल पर निर्भर है और क्षेत्रफल त्रिकोण पर निर्भर है और अन्य ज्यामितीय आंकडों पर जो अंदर को बहार से अलग करती है, जो मुमकिन नहीं होता अगर निर्देशांक जटिल होते.