अपरिमेय संख्या

गणित में, अपरिमेय संख्या (irrational number) वह वास्तविक संख्या है जो परिमेय नहीं है, अर्थात् जिसे भिन्न p /q के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है, जहां p और q पूर्णांक हैं, जिसमें q गैर-शून्य है और इसलिए परिमेय संख्या नहीं है। अनौपचारिक रूप से, इसका मतलब है कि एक अपरिमेय संख्या को एक सरल भिन्न के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता। उदाहरण के लिये २ का वर्गमूल, और पाई अपरिमेय संख्याएँ हैं। 
यह साबित हो सकता है कि अपरिमेय संख्याएं विशिष्ट रूप से ऐसी वास्तविक संख्याएं हैं जिन्हें समापक या सतत दशमलव के रूप में नहीं दर्शाया जा सकता है, हालांकि गणितज्ञ इसे परिभाषा के रूप में नहीं लेते हैं। कैंटर प्रमाण के परिणामस्वरूप कि वास्तविक संख्याएं अगणनीय हैं (और परिमेय गणनीय) यह मानता है कि लगभग सभी वास्तविक संख्याएं अपरिमेय हैं। शायद, सर्वाधिक प्रसिद्ध अपरिमेय संख्याएं हैं π, e और √२.
जब दो रेखा खंडों की लंबाई का अनुपात अपरिमेय है, तो रेखा खण्डों को भी तारतम्यहीन के रूप में वर्णित किया जाता है, वे किसी माप को आम रूप से साझा नहीं करते. इस अर्थ में एक रेखा खंड l का माप एक रेखा खंड J है जिसका "माप" इस अर्थ में l है कि एक छोर से दूसरे छोर तक J की सभी प्रतियों की संख्या l के समान ही लंबाई हासिल करती है।

मध्य युग

मध्य युग में, अरब गणितज्ञों द्वारा बीजगणित के विकास ने अपरिमेय संख्याओं को "बीजीय वस्तुओं" के रूप में प्रयोग करने की अनुमति दी।  अरब गणितज्ञों ने, "संख्या" और "परिमाण" की अवधारणा को "वास्तविक संख्या" की एक अधिक सामान्य धारणा में विलय भी किया, यूक्लिड के अनुपात की अवधारणा की आलोचना की, समग्र अनुपात के सिद्धांत का विकास किया और संख्या की अवधारणा को सतत परिमाण के अनुपात तक विस्तारित किया। एलिमेंट्स की पुस्तक 10 पर अपनी टिप्पणी में फारसी गणितज्ञ अल महनी (d. 874/884) ने द्विघात अपरिमेय और घन अपरिमेय की जांच की और उनका वर्गीकरण किया। उसने परिमेय और अपरिमेय परिमाण के लिए परिभाषा प्रदान की, जिसे वह अपरिमेय संख्या के रूप में मानता था। उसने उनका इस्तेमाल मुक्त रूप से किया लेकिन उनकी व्याख्या ज्यामितीय शब्दों में की जो निम्नानुसार है:
"It will be a rational (magnitude) when we, for instance, say 10, 12, 3%, 6%, etc., because its value is pronounced and expressed quantitatively. What is not rational is irrational and it is impossible to pronounce and represent its value quantitatively. For example: the roots of numbers such as 10, 15, 20 which are not squares, the sides of numbers which are not cubes etc."
रेखाओं के रूप में परिमाण की यूक्लिड की अवधारणा के विपरीत, अल-महनी ने पूर्णांक और भिन्न को परिमेय परिमाण के रूप में माना और वर्ग मूल और घन मूल को अपरिमेय परिमाण के रूप में. उसने अपरिमेयता की अवधारणा के लिए एक अंकगणितीय दृष्टिकोण भी पेश किया, जैसा की वह निम्नलिखित का श्रेय अपरिमेय परिमाण को देता है:
"their sums or differences, or results of their addition to a rational magnitude, or results of subtracting a magnitude of this kind from an irrational one, or of a rational magnitude from it."
मिस्र का गणितज्ञ अबू कामिल शुजा इब्न असलम (c. 850-930) प्रथम व्यक्ति था जिसने अपरिमेय संख्याओं को द्विघात समीकरण के समाधान के रूप में या एक समीकरण में गुणांक के रूप में स्वीकार किया, जो अक्सर वर्ग मूल, घन मूल और चौथे मूल के स्वरूप में होता था। दसवीं शताब्दी में, इराकी गणितज्ञ अल-हाशिमी ने गुणन, भाग और अन्य अंकगणितीय क्रियाओं पर विचार करने की प्रक्रिया में अपरिमेय संख्याओं के लिए सामान्य (ज्यामितीय प्रदर्शनों के बजाय) सबूत प्रदान किये।  अबू ज़फर अल खज़ीन (900-971), परिमेय और अपरिमेय परिमाण परिभाषा प्रदान करता है, यह कहते हुए कि यदि एक निश्चित राशि है:
"contained in a certain given magnitude once or many times, then this (given) magnitude corresponds to a rational number. . . . Each time when this (latter) magnitude comprises a half, or a third, or a quarter of the given magnitude (of the unit), or, compared with (the unit), comprises three, five, or three fifths, it is a rational magnitude. And, in general, each magnitude that corresponds to this magnitude (i.e. to the unit), as one number to another, is rational. If, however, a magnitude cannot be represented as a multiple, a part (l/n), or parts (m/n) of a given magnitude, it is irrational, i.e. it cannot be expressed other than by means of roots."
इन अवधारणाओं को फलस्वरूप 12वीं सदी के लैटिन अनुवाद के कुछ समय बाद यूरोपीय गणितज्ञों द्वारा स्वीकार कर लिया गया। 12वीं सदी के दौरान मघरेब (उत्तरी अफ्रीका) का एक अरबी गणितज्ञ, अल हस्सार जो इस्लामिक उत्तराधिकार न्यायशास्त्र में विशेषज्ञ था, उसने भिन्न के लिए आधुनिक प्रतीकात्मक गणितीय अंकन विकसित किया, जहां गणक और हर को एक क्षैतिज रोध द्वारा पृथक किया जाता है। यही समान भिन्नात्मक संकेतन शीघ्र ही 13वीं सदी में फिबोनैकी के कार्यों में प्रकट होता है। 14वीं से 16वीं शताब्दी के दौरान, संगमग्राम के माधव और खगोल विज्ञान और गणित के केरल स्कूल ने अपरिमेय संख्याओं के लिए अनंत श्रृंखला की खोज की जैसे pi और त्रिकोणमितीय क्रियाओं के कुछ विशिष्ट अपरिमेय मानों की। ज्येष्ठदेव ने युक्तिभाषा में इन अनंत श्रृंखलाओं के लिए प्रमाण उपलब्ध कराए हैं।

आधुनिक काल

17वीं सदी ने, अब्राहम डे मूवर और विशेष रूप से लिओनार्ड युलर के हाथों में काल्पनिक संख्याओं को एक शक्तिशाली उपकरण बनते देखा. उन्नीसवीं शताब्दी में जटिल संख्याओं के सिद्धांत के पूर्ण होने के लिए अपरिमेय का बीजीय और अबीजीय संख्या में विभेदन, अबीजीय संख्या के अस्तित्व का सबूत और अपरिमेय सिद्धांत के वैज्ञानिक अध्ययन का पुनरुत्थान आवश्यक था जिसकी यूक्लिड के बाद से बड़े पैमाने पर उपेक्षा की गई। वर्ष 1872 में कई लोगों ने सिद्धांतों का प्रकाशन किया जिनमें शामिल थे कार्ल विअरस्ट्रास (उनके छात्र कोज़ाक द्वारा), हेन (क्रेल, 74), जोर्ज कैंटर (अन्नालेन, 5) और रिचर्ड डेडेकिंड. 1869 में मेराय ने हेन के समान ही प्रस्थान के समान बिंदु को लिया, लेकिन इस सिद्धांत को आमतौर पर वर्ष 1872 से उद्धृत किया जाता है। विअरस्ट्रास की विधि को 1880 में पूरी तरह से सेल्वाटोर पिंचरले द्वारा आगे बढ़ाया गया, और डेडेकिंड की विधि को लेखक के बाद के कार्यों (1888) और पॉल टेनरी (1894) के समर्थन के माध्यम से अतिरिक्त महत्व प्राप्त हुआ। विअरस्ट्रास, कैंटर और हेन ने अपने सिद्धांतों को अनंत शृंखला पर आधारित किया, जबकि डेडेकिंड ने अपने आधारों को वास्तविक संख्या की प्रणाली में एक कटौती (श्निट) की धारणा पर रखा, जिसके तहत उसने सभी परिमेय संख्याओं को विशेष गुणों के आधार पर दो समूहों में विभाजित किया। इस विषय के विकास में बाद में विअरस्ट्रास, क्रोनेकर (क्रेल, 101) और मेराय ने योगदान दिया।
सतत भिन्न, जो अपरिमेय संख्याओं (और केटाल्डी, 1613 के कारण) से नज़दीकी रूप से सम्बंधित हैं उसे युलर के हाथों प्रचार प्राप्त हुआ और उन्नीसवीं शताब्दी की शुरुआत में लग्रांग के लेखन के माध्यम से अधिक उभरा. डिरीचलेट ने भी सामान्य सिद्धांत में अपना योगदान दिया, जैसा कि कई अन्य योगदानकर्ताओं ने इस विषय के अनुप्रयोग के लिए दिया।
लैम्बर्ट (1761) ने साबित किया कि π परिमेय नहीं हो सकता और कहा कि e ⁿ  तब अपरिमेय होगा जब यदि n परिमेय है (जब तक कि n = 0 ना हो). जबकि लैम्बर्ट के सबूत को अक्सर अधूरा कहा जाता है, आधुनिक आकलन इसे संतोषजनक कह कर समर्थन देता है और वास्तव में अपने समय के लिए यह असामान्य रूप से कठोर है। लीजेंडर (1794) ने, बेसेल-क्लिफर्ड क्रिया पेश करने के बाद, यह दर्शाने के लिए सबूत प्रदान किया π² अपरिमेय है, जिस कारण से तुरंत यह बात आती है कि π भी अपरिमेय है। अबीजीय संख्या का अस्तित्व सर्वप्रथम लिओविले द्वारा स्थापित किया गया था (1844, 1851). बाद में, जोर्ज कैंटर (1873) ने एक भिन्न तरीके से उनके अस्तित्व को साबित कर दिया, जिसमें दर्शाया गया कि वास्तविक में हर अंतराल में अबीजीय संख्या शामिल होती है। चार्ल्स हर्मिट (1873) ने सबसे पहले e अबीजीय को साबित किया और फर्डिनेंड वॉन लिंडेमन (1882) ने हर्मिट के निष्कर्ष से शुरू करते हुए, π के लिए यही दर्शाया. लिंडेमन का सबूत विअरस्ट्रास (1885) द्वारा काफी सरलीकृत किया गया, बाद में डेविड हिल्बर्ट (1893) द्वारा और अंत में एडॉल्फ हुर्वित्ज़ और पॉल अल्बर्ट गोर्डन द्वारा प्राथमिक बनाया गया।

वर्ग मूल

2 का वर्ग मूल वह पहली संख्या थी जिसे अपरिमेय साबित किया गया और उस लेख में कई सबूत शामिल हैं। सुनहरा अनुपात, अगला सबसे प्रसिद्ध द्विघात अपरिमेय है और उसके लेख में उसकी अपरिमेयता का एक सरल सबूत है। सभी गैर-वर्ग प्राकृतिक संख्या का वर्ग मूल, अपरिमेय है और द्विघात अपरिमेय में एक प्रमाण देखा जा सकता है।
2 के वर्गमूल की अपरिमेयता उसे परिमेय मानते हुए और एक विरोधाभास का निष्कर्ष निकालते हुए सिद्ध की जा सकती है, जिसे रिडक्शियो एड एब्सर्डम द्वारा एक तर्क कहा जाता है। निम्नलिखित तर्क इस तथ्य से दो बार अपील करता है कि एक विषम पूर्णांक का वर्ग हमेशा विषम होता है।
यदि √2 परिमेय है, तो पूर्णांक m,n के लिए इसका रूप m/n है, जहां दोनों सम नहीं हैं। फिर m ² = 2n ², इसलिए m सम है, कह लीजिये कि m = 2p . इस प्रकार 4p ² = 2n ² इसलिए 2p ² = n ² इसलिए n भी सम है, जो एक विरोधाभास है।

सामान्य वर्ग

दो के वर्गमूल के लिए उपर्युक्त सबूत को अंकगणित के मौलिक प्रमेय के उपयोग द्वारा सामान्यीकृत किया जा सकता है, जिसे 1798 में गॉस द्वारा साबित किया गया था। इससे यह बल मिलता है कि हर पूर्णांक का अभाज्य में अद्वितीय गुणनखंडन होता है। इसका इस्तेमाल करते हुए हम यह दिखा सकते हैं कि यदि एक परिमेय संख्या एक पूर्णांक नहीं है तो उसका कोई अभिन्न घात एक पूर्णांक नहीं हो सकता है, क्योंकि अपने न्यूनतम पद में हर में एक गुणनखंड होना चाहिए जो गणक से विभाजित नहीं होता चाहे दोनों ही किसी भी घात तक बढ़ा दिए जाएं. इसलिए अगर एक पूर्णांक, एक अन्य पूर्णांक का सटीक k वां घात नहीं है तो उसका k वां वर्ग अपरिमेय है।

विविध

यहां एक प्रसिद्ध शुद्ध अस्तित्व या गैर-रचनात्मक प्रमाण है:
वहां दो अपरिमेय संख्याएं a और b मौजूद हैं, इस प्रकार कि a ᵇ  परिमेय है। वास्तव में, अगर √2√2 परिमेय है, तब मानिये कि a = b = √2. अन्यथा, मान लीजिये कि a अपरिमेय संख्या √2√2 है और b = √2. तो फिर a ᵇ  = (√2√2)√2 = 2√2·√2 = √2² =
2 जो परिमेय है।
हालांकि उपर्युक्त दलील दोनों मामलों के बीच निर्णय नहीं करती, गेल्फोंड-श्नाईडर प्रमेय का तात्पर्य है कि √2√² अबीजीय है, इसलिए अपरिमेय है।

मुक्त प्रश्न

यह ज्ञात नहीं है कि क्या π + e अथवा π - e अपरिमेय है या नहीं। वास्तव में, वहां गैर-शून्य पूर्णांक m और n का कोई युग्म नहीं है जिसके बारे में यह ज्ञात हो कि क्या m π + ne अपरिमेय है या नहीं। इसके अलावा, यह ज्ञात नहीं है कि सेट (π, e) Q पर बीजगणित के अनुसार स्वतंत्र है या नहीं।
यह ज्ञात नहीं है कि क्या 2ᵉ , πᵉ , π√2, कातालान निरंतर, या युलर-मेश्चेरोनी गामा निरंतर γ अपरिमेय हैं या नहीं।