हेमचन्द्र श्रेणी

प्रमाण

हमें सिद्ध करना होगा कि ऊपर प्रस्तुत संयोजक व्याख्या द्वारा निरूपित संख्याओं का अनुक्रम, फाइबोनैचि संख्याओं जैसे ही एकसमान आवर्तन संबंध की पूर्ति करते हैं (और इसलिए वे फाइबोनैचि संख्याओं के समान ही हैं).
F (n + 1) तरीकों से n योगफल सहित 1 और 2 के क्रमित योग बनाने वाला समुच्चय, दो ग़ैर परस्परव्यापी समुच्चयों में विभाजित किया जाए. पहले समुच्चय में वे योगफल हैं, जिनका पहला योज्य 1 है; शेष का योग n − 1 बनता है, अतः पहले समुच्चय में F (n) योगफल हैं.दूसरे समुच्चय में वे योगफल हैं जिनका पहला योज्य 2 है; शेष का योग n − 2 बनता है, अतः दूसरे समुच्चय में F (n − 1) योगफल हैं.पहला योज्य केवल 1 या 2 हो सकता है, अतः ये दोनों समुच्चय, मूल समुच्चय को निःशेष कर देते हैं. इस प्रकार F (n + 1) = F (n) + F (n −1).

प्रमाण

हम 1 और 2 को n + 1 योगफल देने के तरीक़े से कुछ इस प्रकार गिनते हैं कि कम से कम एक योज्य 2 हो.
पहले जैसे, जब n ≥ 0 हो, तो 1 और 2 को n + 1 में जोड़ने के F (n + 2) तरीक़े हैं.
चूंकि केवल एक योगफल n + 1 मौजूद है जो किसी 2 का उपयोग नहीं करता, अर्थात् 1 + ... + 1 (n + 1 पद), हम 1 से F (n + 2) घटाते हैं.
इसी के बराबर, हम योज्य के रूप में 2 की पहली उपस्थिति पर विचार कर सकते हैं.
यदि एक योग में, पहला योज्य 2 है, तो n − 1 की गिनती को पूरा करने के लिए वहां F (n) तरीक़े मौजूद हैं.
यदि दूसरा योज्य 2 है, लेकिन पहला 1 है, तो n − 2 की गिनती को पूरा करने के लिए वहां F (n − 1) तरीक़े मौजूद हैं.
इसी ढंग से आगे बढ़ें.
अंततः हम (n + 1) वें योज्य पर विचार करेंगे.
यदि यह 2 है लेकिन पिछले सभी योज्य n हैं, तो 0 की गिनती को पूरा करने के लिए F (0) तरीक़े मौजूद हैं.
अगर किसी योग में योज्य के रूप में 2 शामिल है, तो ऐसे योज्य की पहली उपस्थिति पहले और (n + 1) वें स्थान के बीच होनी चाहिए.
इस प्रकार F (n) + F (n − 1) + ... + F (0) वांछित गिनती देता है.

11 से विभाज्यता

उदाहरण के लिए, let n = 1:
F ₁ + F ₂ + ... + F ₁₀ = 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55 = 143 = 11×13
n = 2:

F₂+F₃+...+F₁₁ = 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55 + 89 = 231 = 11×21
n = 3:

F₃+F₄+...+F₁₂ = 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55 + 89 + 144= 374 = 11×34
वस्तुतः, समानिका न केवल धनात्मक, बल्कि सभी n पूर्णांकों के लिए सही है:
n = 0:

F₀+F₁+...+F₉ = 0 + 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 = 88 = 11×8
n = −1:

F−1+F₀+...+F₈ = 1 + 0 + 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 = 55 = 11×5
n = −2:

F−2+F−1+F₀+...+F₇ = −1 + 1 + 0 + 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 = 33 = 11×3

आवर्तक सापेक्ष n

यह आसानी से देखा जा सकता है कि अगर फाइबोनैचि अनुक्रम की इकाइयों ने mod n लिया है, तो अधिक से अधिक n ² आवर्तन सहित परिणामी अनुक्रम आवर्तक होनी चाहिए. विभिन्न n सूत्र, तथाकथित पिसानो आवर्तन के लिए आवर्तनों की विस्तार(sequence A001175 in OEIS). सामान्य तौर पर पिसानो आवर्तनों का निर्धारण एक खुली समस्या है, हालांकि किसी विशेष n के लिए इसे चक्र संसूचन के उदाहरण के रूप में हल किया जा सकता.

फाइबोनैचि संख्याओं का परिमाण

चूंकि  के लिए  उपगामी है,  में अंकों की संख्या  के प्रति उपगामी है.परिणामतः, प्रत्येक  पूर्णांक के लिए, d दशमलव अंकों के साथ 4 या 5 फाइबोनैचि संख्याएं मौजूद हैं.
और सामान्यतः, आधार  निरूपण में,  में अंकों की संख्या  के प्रति उपगामी है.

अनुप्रयोग

यूक्लिड एल्गोरिदम के चालू समय विश्लेषण में, दो पूर्णांकों के महत्तम उभयनिष्ठ भाजक के निर्धारण के लिए फाइबोनैचि संख्याएं महत्वपूर्ण हैं: इस एल्गोरिदम के लिए सबसे ख़राब समस्या का निवेश क्रमिक फाइबोनैचि संख्याओं की जोड़ी है.
यूरी मतियासेविच यह दर्शा सके कि फाइबोनैचि संख्याओं को डायो फंटाइन समीकरण से परिभाषित किया जा सकता है, जिसने हिल्बर्ट की दसवीं समस्या के उनके मूल समाधान को प्रेरित किया.
फाइबोनैचि संख्याएं, पास्कल त्रिकोण और लोज़ानिक त्रिकोण में "उथले" विकर्णों के योग में होती हैं. (देखें "द्विपद गुणांक"). (वे अधिक स्पष्ट रूप से होसोया त्रिकोण में होती हैं).
हर धनात्मक पूर्णांक को इस तरह से एक या अधिक पृथक् फाइबोनैचि संख्याओं के योग के रूप में एक अनोखे तरीक़े से लिखा जा सकता है, कि योग में कोई दो क्रमिक फाइबोनैचि संख्याएं शामिल ना हों. यह ज़ेकेनडोर्फ़ प्रमेय के रूप में जाना जाता है और फाइबोनैचि संख्याओं का योग जो इन नियमों की पूर्ति करता है, ज़ेकेनडोर्फ़ निरूपण कहलाता है.
वित्तीय बाज़ारों में भी फाइबोनैचि संख्याओं और सिद्धांत का प्रयोग किया जाता है. यह व्यापार एल्गोरिदम, अनुप्रयोगों और योजनाओं में प्रयुक्त होता है. कुछ विशिष्ट प्रकारों में शामिल हैं: फाइबोनैचि फैन, फाइबोनैचि आर्क, फाइबोनैचि रिट्रेसमेंट और फाइबोनैचि टाइम एक्सटेंशन.
फाइबोनैचि संख्या कुछ कृत्रिम-यादृच्छिक संख्या जनित्रों द्वारा प्रयुक्त होता है.
फाइबोनैचि संख्याओं को मर्ज सॉर्ट एल्गोरिदम के बहुकलीय संस्करण में प्रयुक्त किया जाता है, जिसमें एक ना छांटी गई सूची को दो सूचियों में विभाजित किया जाता है, जिनकी लंबाई अनुक्रमिक फाइबोनैचि संख्याओं के अनुरूप है - जहां सूची को ऐसे विभाजित किया जाता है कि दोनों भागों की लंबाई समुचित अनुपात φ में हैं. द आर्ट ऑफ़ कम्प्यूटर प्रोग्रामिंग में बहुकलीय मर्ज सार्ट के एक टेप-ड्राइव कार्यान्वयन को वर्णित किया गया है.
फाइबोनैचि संख्याएं, फाइबोनैचि ढेर डाटा संरचना के विश्लेषण में आती हैं.
फाइबोनैचि घन, फाइबोनैचि संख्याओं के कटान-बिंदुओं सहित अनिर्दिष्ट ग्राफ़ है, जिसे समानांतर कंप्यूटिंग के लिए नेटवर्क टोपॉलोजी के रूप में प्रस्तावित किया गया है.
फाइबोनैचि खोज तकनीक नामक एकविमितीय अनुकूलन पद्धति फाइबोनैचि संख्याओं का उपयोग करती है.
फाइबोनैचि संख्या अनुक्रम का उपयोग, अमिगा कंप्यूटरों पर प्रयुक्त IFF 8SVX ऑडियो फ़ाइल फ़ार्मेट में वैकल्पिक ह्रासमान संपीड़न के लिए होता है.संख्या अनुक्रम, लॉगरिदमिक पद्धतियों के समान ही मूल ऑडियो तरंग से शोर को कम करती है जैसे μ-नियम.
संगीत में, कभी-कभी फाइबोनैचि संख्याओं का प्रयोग समस्वर निर्धारित करने के लिए होता हैं और दृश्य कला के समान, सामग्री या आवश्यक तत्वों की लंबाई या आकार के निर्धारण के लिए होता है. आम तौर पर यह माना गया है कि बेला बारतोक के म्यूज़िक फ़ॉर स्ट्रिंग्स, परकशन, एंड सेलेस्टा की प्रथम लय फाइबोनैचि संख्याओं के उपयोग से संरचित थी.
चूंकि मील से किलोमीटर के रूपांतरण कारक में 1.609344 सुनहरे अनुपात (φ चिह्नित) के क़रीब है, फाइबोनैचि संख्या के योग में मील की दूरी का अपघटन, लगभग किलोमीटर योग बन जाता है जब फाइबोनैचि संख्याओं को उनके उत्तरवर्तियों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है.इस विधि से सुनहरे अनुपात के आधार φ के स्थानांतरण में मूलांक 2 संख्या सूचक के बराबर होता है.किलोमीटर से मील में बदलने के लिए, इसके बदले फाइबोनैचि अनुक्रम के नीचे सूचक को खिसकाएं.