בעיה דו-גופית

בעיה דו-גופית היא בעיה פיזיקלית העוסקת בתיאור תנועתם של שני גופים המפעילים כוח כלשהו זה על זה וללא כוחות חיצוניים. בעיה זו היא אחת הבעיות המרכזיות בפיזיקה, בגלל היישומים החשובים שלה וגם מכיוון שהיא אחת הבעיות היחידות הניתנת לפתרון אנליטי (עבור כוחות מסוימים), במכניקה קלאסית, בתורת הקוונטים, ולפתרון מקורב בתורת היחסות. דוגמאות ליישומים של הבעיה הדו-גופית הם בתיאור תנועת כוכבים מסביב לשמש, בתיאור תנועת האלקטרון סביב הפרוטון באטום המימן, תנועת מולקולה דו אטומית ועוד. 
דוגמאות נוספות כוללות מקרים בהן התנועה אינה חסומה (הגופים מתרחקים למרחק אינסופי זה מזה) כגון אסטרואיד העובר סמוך לשמש, מוסט על ידיה, וממשיך במסלולו מבלי לחזור. מקרים אלו נקראים התנגשויות אלסטיות, והחקר שלהם הוא הבסיס לתורת הפיזורים (scattering theory). להתנגשויות אלסטיות שימושים רבים, החל בתנועת גופים שמימיים, המשך בתיאור תנועת כדורים בביליארד, וכלה בניסויים המנגשים חלקיקים אלמנטריים במאיצים.
יש לציין כי בפועל הבעיה הדו-גופית משמשת קירוב למציאות, כיוון שמוזנחים כוחות חיצוניים (לדוגמה השפעת מאדים על תנועת כדור-הארץ סביב השמש), והמבנה הפנימי של שני הגופים (כגון גאות ושפל על פני כדור הארץ, התנגשויות פלסטיות).

היסטוריה

הבעיה הדו-גופית במכניקה קלאסית עבור כח הכבידה נפתרה לראשונה בצורה אנליטית על ידי אייזק ניוטון, ואפשרה לתת הסבר תאורטי לחוקי קפלר שתיארו את תנועת הכוכבים סביב השמש. השג זה היווה את גולת הכותרת של המכניקה הניוטונית. 
הבעיה הדו-גופית באלקטרודינמיקה, תנועת האלקטרון סביב הפרוטון באטום המימן שיחקה תפקיד חשוב בהתפתחות תורת הקוונטים: ניתוח ספקטרום הפליטה של אטום המימן הוביל למודל האטום של בוהר, ומאוחר יותר למשוואת שרדינגר.
תורת הפיזורים שימשה את ארנסט רתרפורד, להסיק את מבנה האטום, מתוך פיזורים של קרינת אלפא על אטומי זהב, ובכך הוליד את הפיזיקה הגרעינית. מאז הניסוי של רתרפורד ניסויי התנגשויות הפכו לכלי מרכזי בפיזיקה גרעינית ובפיזיקה של חלקיקים אלמנטריים. פיזורים משחקים תפקיד רב גם בהתפתחות האסטרופיזיקה. בשנת 1977, הצליחה נאס"א למצוא שימוש מקורי בפיזורים: היא הצליחה לשלוח שתי חלליות, וויאג'ר 1 ווויאג'ר 2, אל כוכבי הלכת הרחוקים ביותר של מערכת השמש באמצעות פיזור של החללית מכוכב אחד לכוכב הבא אחריו בתהליך שנקרא מקלעת כבידתית.

מבעיה דו-גופית לשתי בעיות חד-גופיות

נסמן את מסת הגופים ב- ואת מיקומם ב-. 
משוואות התנועה הכלליות עבור שני גופים הן:
כאשר  הוא הכוח שגוף i מפעיל על גוף j, ו- הוא כוח חיצוני שפועל על גוף i. על פי החוק השלישי של ניוטון  ועבור בעיה דו-גופית מניחים שאין כוחות חיצוניים, כלומר עבור בעיה דו-גופית ניתן לכתוב:
על ידי חיבור וחיסור המשוואות הנ"ל ניתן לקבל משוואות המתארות את תנועת מרכז המסה ואת התנועה היחסית בין הגופים:

תנועת מרכז המסה

על ידי חיבור המשוואות מקבלים:

משוואה זו היא משוואת תנועה עבור מרכז המסה, אשר הקואורדינטות שלו נתונות על ידי  (כאשר  היא המסה הכוללת). כלומר את המשוואה האחרונה ניתן לכתוב כ: . על מרכז המסה לא פועלים כוחות (כיוון שאין כוחות חיצוניים) ולכן על פי החוק הראשון של ניוטון הוא נע במהירות קבועה.

הבעיה הדו-גופית בתורת הקוונטים

כאמור בפתיחה הבעיה הדו-גופית שיחקה תפקיד חשוב בהתפתחות תורת הקוונטים, תוך הניסיון להבין את תנועת האלקטרון סביב הפרוטון באטום המימן. ניסויים ספקטרוסקופיים הראו שאטום המימן בולע ופולט אור רק בסדרה של אורכי גל מאוד מסוימים. בניסיון להסביר תופעה זאת, נילס בוהר הציג מודל לאטום, לפיו האלקטרון נע בתנועה קפלריאנית קלאסית סביב הגרעין, אבל רק באותם מסלולים שעבורם התנע הזוויתי הוא כפולה שלמה של קבוע פלאנק. אורכי הגל שבהם האטום בולע ופולט אור הם מתאימים למעברים בין המסלולים. הרעיון הבסיסי מאחורי המודל היה שהאלקטרון מתנהג באופן דומה לגלים עומדים במיתר. המודל של בוהר לא התקבל על כלל הקהילה המדעית מכיוון שאלקטרון הנע בתנועה מעגלית אמור לשדר קרינה ולכן לקרוס לכיוון הגרעין. 
בתורת הקוונטים המקובלת היום, לפי הניסוח שלה על ידי משוואת שרדינגר (או משוואת הייזנברג), ניתן לפתור את הבעיה הדו-גופית באופן דומה לאופן שבה היא נפתרת במכניקה הקלאסית: פירוק הבעיה לשתי בעיות חד-גופיות, צמצום הבעיה למימד אחד, ולבסוף פתרון משוואת הגל במימד הנותר.