משפט המספרים הראשוניים

בתורת המספרים, משפט המספרים הראשוניים מתאר את הצפיפות האסימפטוטית של מספר המספרים הראשוניים. לכל מספר ממשי חיובי מסמנים ב-  את מספר המספרים הראשוניים שאינם עולים על  (פונקציית המספרים הראשוניים).
משפט המספרים הראשוניים קובע ש-  (כאשר  הוא הלוגריתם הטבעי, והטילדה היא  סימון אסימפטוטי), כלומר, כאשר x גדול, מספרם של הראשוניים שאינם עולים על x הוא (בקירוב סביר) . את המשפט שיערו קרל פרידריך גאוס (ב-1795) ואדריאן-מארי לז'נדר (ב-1808), מתוך התבוננות ברשימות של מספרים ראשוניים. הוכיחו אותו באופן בלתי תלוי אדמר וואלה פוסן ב-1896, והוא נחשב לאחד ההישגים המרכזיים של המתמטיקה במאה ה-19. ההוכחה מבוססת על חקירת תכונות של פונקציית זטא של רימן באמצעות אנליזה מרוכבת.
גרסאות חלשות יותר של המשפט היו ידועות קודם לכן. לא קשה להוכיח שהיחס בין  ו- חסום בין  ל-. צ'בישב הראה באמצע המאה ה-19 שהיחס חסום בין שבע שמיניות לתשע שמיניות, ואפילו שאם היחס שואף לגבול, אז הגבול חייב להיות שווה ל-1 (מנקודת מבט זו, הדמר ופוסן היו צריכים רק להוכיח שהגבול קיים; אלא שההוכחה שהם מצאו מוכיחה גם את התוצאה של צ'בישב, כבדרך אגב).

הכללות

מסמנים ב-  את מספרם של המספרים הקטנים מ-x, שיש להם בדיוק k גורמים ראשוניים. גאוס שיער ש-: . השערה זו הוכחה על ידי לנדאו ב-1900
. 
על הפונקציה  הסופרת כמה גורמים ראשוניים שונים יש למספר n, ידוע שליחס  יש התפלגות נורמלית סטנדרטית כאשר n נבחר באקראי מהמספרים הקטנים מ-N, ו-N שואף לאינסוף (זהו משפט של ארדש ו-Kac מ-1940; הארדי ורמנוג'אן הוכיחו שהיחס חסום).
משפט המספרים הראשוניים סופר את הראשוניים בין 1 ל-x. בדומה לזה אפשר לנסות להעריך את מספר הראשוניים בקטע שאורכו x ומתחיל ב-y, כלומר את , במיוחד כאשר x אינו גדול ביחס ל-y. האתגר הוא להוכיח את הקירוב  כאשר x קטן יחסית. אם  תוצאה זו נובעת מן המשפט. השערת רימן, השקולה לקירוב משופר במשפט המספרים הראשוניים, מאפשרת להוכיח את אותה תוצאה גם עבור . ללא השערת רימן, Heath-Brown הוכיח את הקירוב עבור . סלברג הוכיח את הקירוב עבור  לכמעט כל y, אבל ידוע שקירוב זה אינו נכון לכל y.

קירובים עבור המספר הראשוני ה-n-י

כתוצאה ממשפט המספרים הראשוניים, מתקבל ביטוי אסימפטוטי עבור המספר הראשוני ה-n-י, שאותו מקובל לסמן ב- :  (היחס בין הביטויים שואף ל-1). את הקירוב אפשר לשפר ל- .
לפי משפט רוסר (Rosser),  לכל n; למעשה מתקיים (עבור ) אי-השוויון

על ההוכחה האלמנטרית

אף על פי שמשפט המספרים הראשוניים הוכח בסוף המאה ה-19, היו מתמטיקאים שחשו חוסר נחת לגבי ההוכחה, שהשתמשה בכלים מתורת הפונקציות המרוכבות - שממבט ראשון אינה שייכת לעניין - וחיפשו הוכחה ישירה יותר.
ב-1948 הצליח אטלה סלברג להוכיח את הקירוב . תוך זמן קצר מצאו סלברג ופול ארדש  דרך להוכיח מאי-השוויון הזה את משפט המספרים הראשוניים, באופן אלמנטרי (כלומר, כזה שאינו משתמש בתורת הפונקציות המרוכבות). אף על פי שהוכחה זו מסתפקת בכלים פשוטים יותר, היא נחשבת ליותר מסובכת וקשה.
שני המתמטיקאים היו שונים זה מזה באופיים באופן כמעט קיצוני: ארדש ראה במתמטיקה פעילות קהילתית, וכתב בימי חייו עם כ-500 מחברים-שותפים. סלברג, שהעדיף בניית תאוריה על פתרון בעיות, 
כתב את כל מאמריו לבדו (למעט אחד, שנכתב עם Sarvadaman Chowla וביוזמתו). ארדש, שהיה מבוגר בכמה שנים והידוע יותר מבין השניים, ראה בהוכחה הישג משותף, והציע לפרסם ב-Annals of Mathematics שני מאמרים: בראשון יתאר סלברג את אי-השוויון שלו, ובשני יסבירו שניהם כיצד אפשר להסיק ממנו שהיחס בין שני ראשוניים עוקבים שואף ל-1, וכיצד אפשר להסיק מטענה זו את משפט המספרים הראשוניים. הרמן וייל, שהעדיף את סגנונו התאורטי של סלברג, מנע את קבלת המאמר המשותף ל-Annals, שפרסם בסופו של דבר הוכחה שכתב סלברג ועקפה את תרומתו של ארדש. המחלוקת בשאלה מי אחראי להוכחה האלמנטרית - סלברג לבדו או סלברג וארדש - לא שככה עוד זמן רב אחר-כך.