עצמות נפייר

עצמות נפייר הוא כינוי לחשבונייה אשר הומצאה על ידי ג'ון נפייר על מנת לחשב מכפלות ומנות של מספרים. כינוי נוסף לחשבוניה הוא רבדולוגיה (ביוונית ραβδoς רבדוס הוא מוט והמשמעות של λóγoς היא מילה). נפייר פרסם את המצאתו בעבודה שהודפסה באדינבורו שבסקוטלנד בסוף שנת 1617. במוטות הוטבעו טבלאות כפל אשר צמצמו פעולות כפל לפעולות חיבור ופעולות חילוק לפעולות חיסור. המוטות מאפשרים גם חישוב שורש ריבועי. ראוי להדגיש שהמונח עצמות נפייר אינו זהה למונח לוגריתם, למרות העובדה ששמו של נפייר נקשר גם בו.
החשבונייה מורכבת מלוח התחום במסגרת. המשתמש מניח את מוטות נפייר בתוך המסגרת על מנת לבצע כפל או חילוק. הקצה השמאלי של הלוח מחולק ל-9 ריבועים הממוספרים מ-1 עד 9. מוטות נפייר מורכבים מרצועות עץ או מתכת. עצמות נפייר הם ריבוע תלת ממדי. אוסף של "עצמות" כאלו עשוי להיטמן באריזה נוחה לנשיאה.
המשטח של מוט מורכב מ-9 ריבועים. כל ריבוע מורכב משני חצאים המופרדים בקו אלכסוני. הריבוע הראשון של כל מוט מחזיק ספרה יחידה. הריבועים הנותרים מחזיקים מספרים שהם פי 2, 3, ועד 9 מהמספר המקורי. הספרות של כל מכפלה כתובות בכל צד של האלכסון. מספרים קטנים מ-10 תופסים את המשולש התחתון ואפס תופס את המשולש העליון.
אוסף מורכב מ-9 מוטות הממוספרים מ-1 עד 9. האיור מראה גם את מוט 0 אולם מוט זה אינו הכרחי לביצוע חישובים.

כפל

בהינתן האוסף המתואר של המוטות. נניח שברצוננו לחשב את מכפלת 46,785,399 ב-7. יש להניח על הלוח את המוטות שמתייחסים ל-46,785,399 כפי שניתן לראות באיור ולקרוא את התוצאה מהרצועה האופקית בשורה 7 שמספרה מופיע בצד הלוח. על מנת להפיק את המכפלה, יש לשים לב, עבור כל מקום מימין לשמאל, אילו מספרים נמצאו על ידי הוספת ספרות בחלקים האלכסוניים של הרצועה (תוך שימוש בנשא היכן שהסכום הוא 10 או יותר).
 
אם נתבונן באיור מימין לשמאל, ספרת האחדות היא (3) (האלכסון הראשון מכיל 3 בלבד), ספרת העשרות היא (6+3=9) (שכן האלכסון השני מכיל את הספרות 6 ו-3), ספרת המאות היא (6+1=7) וכך הלאה. יש לשים לב שבמיקום של ספרת המאות אלפים, היכן ש-5+9=14 אנו מותירים את הספרה 4 ואת הנשא 1 אנו מעבירים לחיבור הבא (נבצע דבר דומה עבור ספרת העשרה מיליון עבורה מתקיים 4+8=12).
עבור מקרים בהם אחד הגורמים בכפל הוא 0, מותירים רווח בין המוטות במקום שבו היה צריך להיות מונח מוט מספר 0. נניח לעת עתה שאנו מעוניינים להכפיל את המספר 46,785,399 ב-96,431. כמו במקרה שהוצג לעיל נכפול את המספר 46,785,399 קודם ב-9 אחר כך ב-6, 4, 3 ו-1. לאחר מכן נמקם את המכפלות במקומות מתאימים ונסכם אותן ב"שיטת נייר ועפרון" רגילה.
שיטה זו יכולה לשמש גם בכפל של מספרים עשרוניים. עבור ערך עשרוני המוכפל בשלם יש לוודא שהערך העשרוני יכתב לאורך החלק העליון של השבכה. ממיקום זה הנקודה העשרונית פשוט "נופלת" לאורך הקו האנכי לתוך התשובה.
כאשר כופלים שני מספרים עשרוניים זה בזה, הנקודות העשרוניות נעות אופקית ואנכית עד שנפגשות בקו אלכסוני. הנקודה אז נעה החוצה מהשבכה ושוב "נופלת" לתוך התשובה.

חילוק

חילוק יכול להתבצע באותו אופן. נחלק 46,785,399 ב־96,431. נניח את המוטות של המחלק (96431) על הלוח כפי שמומחש באיור שלהלן. באמצעות החשבונייה, נמצא את כל המכפלות של המחלק עם הספרות 1 עד 9 על ידי קריאת המספרים המוצגים. יש לשים לב שהמחולק בעל 8 ספרות בעוד שלמכפלות שהתקבלו על ידי כפל בספרות 1 עד 9 יש תמיד 6 ספרות (למעט המכפלה הראשונה בספרה 1). זו הסיבה שיש באופן זמני לקטום את הספרות "99" שב-46,785,399 כך שיוותר המספר 467853. כעת, יש למצוא את אחת מ־9 המכפלות הגדולה ביותר שהיא קטנה מהמחלק הקטום. במקרה זה, המכפלה היא 385,724. כפי שניתן להבחין באיור שלהלן: מאחר ש־385,724 מצוי בשורה 4 של החשבונייה, נסמן "4" כספרה השמאלית ביותר של המנה. בנוסף יש לרשום את המכפלה שנבחרה (385,724), בישור לשמאל, מתחת למחלק המקורי ואז לחסר את שני הגורמים. ההפרש המתקבל הוא 8,212,999. יש לחזור על הצעדים שלעיל: קטימת המספר ל-6 ספרות, בחירת מכפלה גדולה ביותר קטנה מהמספר הקטום, כתיבת ספרת השורה כספרה הבאה של המנה ולבסוף הפחתת המכפלה הנבחרת מההפרש שנמצא בצעד הראשון. מעקב אחר האיור יבהיר את הצעדים המתבקשים. יש לחזור על הצעדים עד אשר תוצאת ההפרש קטנה מהמחלק.
המספר הנותר הוא השארית.
בדוגמה שלעיל התקבלה המנה 485 (שכן נעשה שימוש במכפלות של שורות 4,8,5) ושארית 16,364. ניתן לעצור כאן ולהשתמש בצורה השברית של התשובה .

שינויים

במהלך המאה ה-19, עצמות נפייר עברו שינוי על מנת שיהיו קלים לקריאה. המוטות החלו להיבנות בזווית של 65° כך שהמשולשים שאותם היה צורך לחבר היו מיושרים אנכית. במקרה זה, בכל ריבוע במוט, ספרת האחדות ממוקמת מימין וספרת העשרות (או ספרת האפס) ממוקמת משמאל. המוטות נבנו כך שהקווים האנכיים והאופקיים היו גלויים יותר מקו המפגש של המוטות. כך שני הרכיבים של כל ספרה בתוצאה היו קריאים יותר. ניתן להיווכח באיור עד כמה ברור ש:
987654321 כפול 5 = 4938271605.

חשבונייה העושה שימוש בכרטיסים

בנוסף לחשבוניית ה"עצמות" שתוארה לעיל, נפייר גם בנה חשבוניית כרטיסים. חשבוניות אלו מקובצות בהתקן שמצוי במוזיאון הארכאולוגיה הלאומי של ספרד.
ההתקן הוא קופסה מהודרת עשויה עץ משובץ בעצם. באזור העליון ההתקן מכיל חשבוניית "עצמות" ובחלק התחתון מצויה חשבוניית הכרטיסים. החשבונייה האחרונה מכילה 300 כרטיסים ב-30 מגירות. 100 כרטיסים מוטבעים במספרים. ה-200 הנותרים מאפשרים למשתמש לראות רק מספרים מסוימים. על ידי סידור הכרטיסים ניתן לבצע הכפלות אפילו למספרים באורך 100 ספרות עם מספרים בני 200 ספרות.
בנוסף, דלתות הקופסה מכילות את החזקות הראשונות של הספרות, המקדמים של מקדמי החזקות הראשונות של הבינום ואת הנתונים המספריים של הפאון הרגולרי.
לא ברור מי היה יוצר הקופסה ואם היא ממקור ספרדי או שהגיעה ממקום אחר. סביר שבמקור היא השתייכה לאקדמיה הספרדית למתמטיקה או שהייתה מתנה מהנסיך מוויילס. הדבר היחיד שוודאי הוא שהקופסה נשמרה בארמון. משם היא הועברה לספריה הלאומית של ספרד ומאוחר יותר למוזיאון הארכאולוגיה הלאומי שם היא שמורה עד היום.
בשנת 1876, הממשלה הספרדית שלחה את ההתקן לתערוכה של התקנים מדעיים, שנערכה בקנסינגטון, שם עוררה הקופסה תשומת לב רבה.