E (קבוע מתמטי)

היסטוריה

האזכור הראשון לקבוע זה פורסם ב-1618 בטבלה בסוף עבודה על לוגריתמים מאת ג'ון נפייר. אולם, הטבלה לא כללה את המספר עצמו אלא רק רשימת לוגריתמים שחושבו על פי הקבוע. ההנחה הרווחת היא שהטבלה נכתבה על ידי ויליאם אוטרד. ההתייחסות הראשונה למספר בתור קבוע הייתה של יאקוב ברנולי, כשניסה למצוא את הערך של הביטוי:

השימוש הראשון לקבוע, שסומן אז בתור b, הוא במכתב ששלח גוטפריד לייבניץ אל כריסטיאן הויגנס ב-1690. לאונרד אוילר סימן לראשונה את הקבוע כ-e ב-1727, והפרסום הראשון שעשה שימוש בסימון זה היה ספרו של אוילר "מכניקה" מ-1736. אף על פי שבשנים הראשונות חלק מן החוקרים השתמשו באות c, האות e הייתה נפוצה יותר ולבסוף הפכה לסטנדרט המדעי.
הסיבה לשימוש דווקא באות זו אינה ידועה, אבל סביר שזה בגלל היותה האות הראשונה במילה הלטינית אקספוננט. אפשרות נוספת היא שאוילר בחר אות זו היא, כי זוהי התנועה הראשונה אחרי האות a, שכבר הייתה בשימוש. לא ברור, על פי אפשרות זו, למה אוילר בחר דווקא תנועות ולא עיצורים.
אפשרות נוספת היא שאוילר בחר באות זאת כי זאת האות הראשונה בשם משפחתו (euler).

הוכחת טרנסצנדנטיות

העובדה שהקבוע e הוא מספר טרנסצנדנטי, מספר שאין אפשרות להגדיר אותו באמצעות פעולות אלגבריות של חיבור, חיסור, כפל, חילוק והעלאה בחזקה, נתגלתה בידי שארל הרמיט. בהמשך המתמטיקאי פרדיננד לינדמן השתמש בעובדת היותו של e מספר טרנסצנדנטי ובאמצעות נוסחת אוילר הקושרת את הקבוע e עם הקבוע פאי, הוכיח שגם פאי הוא מספר טרנסצנדנטי.

שימושים

הקבוע e מופיע בניתוחים ומשמש בחישובים של בעיות מתחומים שונים, בעיקר מתחום הניתוח ההסתברותי, הכלכלה ומדעי החיים והטבע, הקשורים בגידול המשכי.

ריבית דריבית

בחישובי ריבית דריבית e מהווה קבוע לחישוב החוב כעבור זמן מסוים או כעבור מספר מחזורים מסוים. הקבוע e נתגלה בידי יעקב ברנולי בעת ניתוח חישובי ריבית דריבית.
לדוגמה, אם אדם מפקיד בבנק סכום של שקל אחד (הקרן היא שקל אחד) ומקבל ריבית של 100% המחושבת אחת לשנה, הוא יצבור סכום של שני שקלים בסוף השנה. אם הבנק יחשב את הריבית מדי חצי שנה בריבית דריבית, כלומר ריבית של 50% בחצי הראשון של השנה שלאחריו יהיה בבנק שקל וחצי, וחישוב ריבית של 50% בחצי השני של השנה, הפעם 50% על שקל וחצי, שהם 50% על הקרן - השקל, ועוד 50% על הריבית שנצברה - חצי השקל שהתקבל בחלק הראשון של השנה. בתום החצי השני של השנה יהיו ברשותו 2.25 שקלים. אם חישוב הריבית יבוצע מדי רבע שנה, יסיים עם 2.44 שקלים. אם חישובי הריבית יבוצעו במרווחי זמן קטנים ביותר הסכום שיתקבל יתקרב ל-e כפול הקרן. בדוגמה שלנו הקרן הוא שקל אחד, ולכן בסוף השנה המפקיד יקבל מהבנק e שקלים לפי הנוסחה:  שהם בקירוב 2 שקלים ו-72 אגורות.

התפלגות נורמלית

בתורת ההסתברות, פונקציית צפיפות ההסתברות של התפלגות נורמלית נתונה על ידי
 פונקציה זו נקראת "פעמון גאוס" או "גאוסיאן" על שם המתמטיקאי הנודע קארל פרידריך גאוס. פונקציה זו שימושית ביותר - הן לצורכי תאוריה והן לצרכים ניסיוניים, שכן לפי משפט הגבול המרכזי הממוצע של מספר גורמים אקראיים, בלתי תלויים ובעלי אותה התפלגות, שואף לאחר נירמול מתאים להתפלגות נורמלית.
הקבוע e משמש גם כאן, כתוצאה מ'גידול המשכי' בהגדרת פעמון גאוס, כאשר הצמיחה הולכת וקטנה בתלות בצמיחה הקודמת, ובכך מגדירה את צורת העקומה.

בעיית הדוור

בעיה דומה לבעיה הקודמת, נתגלתה בידי פייר ריימונד דה מונטמורט יחד עם ברנולי, ונקראת בעיית הדוור, או בעיית 'בדיקת הכובעים':
דוור מבולבל מחלק באקראי n מכתבים ל- תיבות. הקבוע e משמש לחישוב ההסתברות שאף מכתב לא יגיע ליעדו.
את חישוב ההסתברות ניתן למצוא באמצעות עקרון ההכלה וההפרדה. מקבלים כי ההסתברות שווה לסכום הטור:
טור זה הוא טור טיילור של הפונקציה  בנקודה 1 (או טור טיילור של הפונקציה  בנקודה ). על כן, כאשר  שואף לאינסוף, שואף סכום הטור ל-.

בפיזיקה

קבוע e משמש לחישוב דעיכת מהירות חלקיק בזמן, בעקבות חיכוך המשכי, על פי חוקי ניוטון.
לפי החוק השני של ניוטון, התאוטה (כלומר השינוי במהירות) של חלקיק הנע בהשפעת כוח חיכוך המתכונתי למהירותו (כלומר כאשר כוח החיכוך תלוי במהירות הנוכחית), נקבע לפי:
כאשר  מהירות החלקיק,  המסה שלו ו-
מקדם החיכוך. המהירות החדשה, בהנחה שהמהירות ההתחלתית של החלקיק היא  הוא:
כלומר, המספר  משמש לתיאור דעיכת מהירות החלקיק בזמן.
כמו כן, הקבוע משמש למדידת הדעיכה של זרם כפונקציה של זמן במעגל חשמלי במהלך טעינה או פריקה של קבל לפי נוסחה דומה:
 כאשר  הוא הזרם ההתחלתי ו- הוא קבוע הזמן ששווה ל- - הנגד השקול במעגל כפול הקיבול של הקבל השקול.

במתמטיקה

כאמור, הקבוע e הוא המספר היחיד שאם מציבים אותו במקום  בפונקציה  וגוזרים את הפונקציה לפי , תתקבל אותה פונקציה עצמה. במילים אחרות, השיפוע של הגרף של  בכל נקודה נתונה שווה בערכו לגובה הגרף באותה נקודה. בשל כך, הוגדר הלוגריתם הטבעי להיות לוגריתם בבסיס e, והוא בעל חשיבות גדולה בענפי מתמטיקה רבים, בהם חשבון אינפיניטסימלי, ובמיוחד לגבי מספרים מרוכבים - הצגת המספרים המרוכבים באופן גאומטרי, וחישובי פונקציות עם מספרים מרוכבים.

נוסחת אוילר וזהות אוילר

באמצעות הגדרתו במשפט טיילור של הקבוע e, ניתן להסיק את משפט אוילר הקובע כי  לכל x שהוא.
המקרה הפרטי בו  נקרא זהות אוילר, הקובעת כי , וקושרת חמישה קבועים חשובים במתמטיקה: היחידה (המספר אחד), אפס, קבוע אוילר, פאי (היחס בין הקוטר להיקף המעגל) והיחידה המדומה (המספר ).

קוריוזים מתמטיים

e בחזקת מספר כלשהו גדול מערך המספר בחזקת e (פרט למקרה בו המספר הוא e עצמו). כלומר:  זהו המספר היחיד המקיים זאת לגבי כל x שהוא.

e בפולקלור

אף ש-e הוא קבוע חשוב למדי, הוא כמעט ואינו מוכר יחסית לקבוע π (פאי), המופיע רבות בפולקלור המתמטי. זריקת עידוד לפרסומו של e ניתנה על ידי חברת גוגל שבבעלותה מנוע החיפוש גוגל, שבבקשתה הראשונה להנפקת ניירות ערך ציינה את סכום ההנפקה כ-$2,718,281,828, כלומר e מיליארד דולר. שימוש נוסף שגוגל עשו במספר הוא פרסום מודעה גדולה בלב עמק הסיליקון הקוראת לגלוש לאתר שכתובתו "עשר הספרות הרצופות הראשונות במספר e היוצרות יחדיו מספר ראשוני" (התשובה מגיעה רק בספרה ה-101: 7427466391). מי שפתר את החידה נשלח לפתור חידה קשה יותר, ורק אז הגיע לאתר של Google Labs שם הוזמן לשלוח קורות חיים כדי להתקבל לעבודה אצלם.
מדען המחשב דונלד קנות' ממספר את הגרסאות של תוכנת Metafont כך שיילכו ויתקרבו ל-e: גרסה 2, גרסה 2.7, גרסה 2.71, וכו'. הגרסה הנוכחית היא 2.718281.