יריעה אלגברית

מגבלות של יריעות קווזי פרויקטיביות

למרות המגוון הרחב של יריעות קווזי פרויקטיביות יש להן מגבלות רבות. ראשית, הצורך לקבוע שיכון למרחב פרויקטיבי על מנת לדבר על היריעה איננו טבעי. ברמה היותר פרקטית, מסובך לבצע בניות גאומטריות בסיסיות עם יריעות קווזי פרויקטיביות, ולעיתים אף בלתי אפשרי. לדוגמה לא ברור איך להגדיר מבנה של יריעה (קווזי) פרויקטיבית על מכפלה קרטזית של יריעות (קווזי) פרויקטיביות. הדבר ניתן לביצוע על ידי שיכון של מכפלה של מרחבים פרויקטיבים למרחב פרויקטיבי, הנקרא שיכון סגרה, אך פתרון זה איננו טריוויאלי, ומעלה משמעותית את ממד המרחב הפרויקטיבי אליו משוכנת היריעה. דוגמה נוספת היא פעולת ההדבקה. בהינתן שני מרחבים טופולוגיים  ו-  ושיכונים פתוחים  ו  ניתן להגדיר את ההדבקה  לאורך  בתור האיחוד הלא קשיר  מודולו יחס השקילות . פעולה זאת אינה ניתנת לביצוע ליריעות קווזי פרויקטיביות. הצורך בביצוע פעולה זאת מהווה את המוטיבציה המרכזית להגדרה המודרנית של יריעה אלגברית.

הגדרה פורמלית באמצעות אלומת פונקציות

באופן אינטואיטיבי, ניתן להגדיר יריעה אלגברית כללית בתור "תוצר ההדבקה של מספר יריעות אפיניות". ברמה הפורמלית יש להגדיר מחלקה רחבה יותר של אובייקטים גאומטריים שיריעות אלגבריות מהוות חלק ממנה, ולהגדיר את ההדבקה במחלקה זאת. ישנן מספר מחלקות כאלה. אחת הפופולרית בהן היא "אוסף המרחבים הטופולוגיים עם אלומות פונקציות".

הגדרה של יריעה אלגברית

מרחב עם אלומת פונקציות  נקרא יריעה אלגברית אם קיים כיסוי פתוח סופי 
 כך ש:  איזומורפי (כמרחב עם אלומת פונקציות) ליריעה אלגברית אפינית. מורפיזם של יריעות מוגדר להיות מורפיזם של מרחבים עם אלומות פונקציות. הטופולוגיה על יריעה נקראת הטופולוגיה של זריצקי.

מורפיזם בין יריעות אלגבריות

מורפיזם של יריעות מוגדר בתור מורפיזם בין מרחבים עם אלומת פונקציות. במילים אחרות קטגורית היריעות האלגבריות מוגדרת להיות התת-קטגוריה המלאה של קטגורית המרחבים עם אלומות פונקציות, שהאובייקטים שלה הם יריעות אלגבריות.

בניות אינפיניטסימליות

בנוסף ניתן להגדיר בניות רבות המוגדרות עבור יריעות חלקות בטופולוגיה דיפרנציאלית וגאומטריה דיפרנציאלית עבור יריעות אלגבריות. לדוגמה עבור יריעה אלגבריות  ונקודה  ניתן להגדיר את המרחב המשיק  ל- ב-. מושג המרחב המשיק הוא מקומי. לכן די להגדירו עבור יריעה אפינית. במקרה זה  הוא המרחב הדואלי ל-, כאשר  הוא אידיאל הפונקציות שמתאפסות ב-.

תכונות מקומיות

התכונה המקומית הבסיסית של יריעות אלגבריות היא חלקות. יריעה אלגברית  נקראת חלקה בנקודה  אם ממד המרחב המשיק  ל  בנקודה  שווה לממד היריעה  בנקודה . יריעות אלגבריות חלקות דומות מאוד למרחב אפיני באופן מקומי, אף על פי שאין איזומורפיזם בין סביבת זריצקי של נקודה חלקה לקבוצה פתוחה במרחב אפיני. לכן כאשר חוקרים את המבנה המקומי של יריעה אלגברית מתעניינים בדרך כלל ביריעות סינגולריות (זאת-אומרת לא חלקות) ומחקר זה נקרא תורת הסינגולריות. בין התכונות השונות של סינגולריות אפשר למנות: נורמליות, כהן-מקולי, גורנשטין, חיתוך מלא, מחלק עם חיתוך נורמלי, סינגולריות רציונלית, סינגולריות (לוג) קנונית, סינגולריות (לוג) טרמינאלית, סינגולריות סמפלקטית ועוד.

מונחים שונים

מבחינה היסטורית נלמדו תחילה יריעות אפיניות אז יריעות פרויקטיביות אחריהן יריעות קווזי פרויקטיביות ולבסוף יריעות כללית, שהוגדרו זמן קצר לפני סכמות שהן הכללה מרחיקת לכת של יריעות. לפני שנוסחה ההגדרה המודרנית של יריעה, המלה יריעה התייחסה רק ליריעות קווזי-פרויקטיביות, עד היום ישנם ספרים שמשתמשים בשם יריעות רק עבור יריעות קוזי-פרויקטיביות ודנים בשאר היריעות במסגרת דיון כללי יותר על סכמות. רוב המקורות משתמשים במילה יריעות במובן רחב יתר אך לפעמים מוסיפים מגבלות מסוימות. במקרים רבים דורשים מיריעה להיות פרידה ולעיתים גם בלתי פריקה.
מאידך לעיתים המושג יריעות אלגבריות כולל גם יריעות מעל שדות לא סגורים אלגברית. במקרה כזה ההגדרה למעלה לא תקפה כיוון שיש מערכות משוואות פולינומיות ללא פתרונות מעל שדה לא סגור אלגברית  שהיריעה שהם מגדירים אינה ריקה. לדוגמה המשוואה  מגדירה יריעה לא ריקה מעל  אולם אין לה פתרונות מעל . יש מספר הגדרות אלטרנטיביות שתקפות לשדות לא סגורים אלגברית (ראה להלן) אך בדרך כלל מטפלים במקרה זה במסגרת כללית יתר של סכמות.

מונחים בשפות שונות

באנגלית יריעה אלגברית נקראת "algebraic variety". בעברית וגם ברוסית, המילה "יריעה" משמשת גם לתיאור יריעה טופולוגית ובפרט יריעה חלקה, שבאנגלית נקראת "manifold". במקרים רבים יריעה אלגברית היא גם יריעה חלקה, אך יש לזכור שמדובר בשתי קטגוריות שונות זו מזו.

נקודות של יריעה

לפי ההגדרה שמופיעה למעלה יריעה אלגברית היא קבוצה עם מספר מבנים נוספים (טופולוגיה ואלומת פונקציות). לקבוצה זאת קראים לעיתים קבוצת ה-נקודות של היריעה, כאשר  הוא השדה מעליו מוגדרת היריעה. מסמנים קבוצה זאת .
הצורך להפריד בין יריעה  לקבוצה  מגיע מהמקרה של יריעות המוגדרות מעל שדות לא סגורים אלגברית (או באופן כללי יתר סכמות), במקרה זה ההגדרה של יריעה אלגברית שונה, והקשר בין היריעה לקבוצת הנקודות שלה חלש יותר. לדוגמה היריעה המוגדרת על ידי המשוואה  לא ריקה אך קבוצת ה -נקודות שלה ריקה.
בנוסף, הפרדה זאת מאפשרת להגדיר מבנים נוספים על הקבוצה  שאינם מתואמים עם המבנים על היריעה  (הטופולוגיה ואלומת הפונקציות). למשל, אם השדה  הוא שדה טופולוגי אז ניתן להגדיר טופולוגיה מתאימה על קבוצת ה-נקודות של היריעה. טופולוגיה זאת תהיה בדרך כלל חזקה יותר מהטופולגיה של זריצקי. במקרה שהיריעה היא אפינית טופולוגיה זאת מוגדרת להיות הטופולוגיה המושרת מ  (קל לראות שהטופולוגיה לא תלויה בצורה שאנו מציגים את היריעה בתור קבוצה סגורה זריצקי ב-). ליריעה כללית  קבוצה  נקראת פתוחה אם לכל קבוצה פתוחה אפינית  הקבוצה  פתוחה ב .

קשר לאגדים

אלומות קוהרנטיות משמשות גם למחקר של משפחות מרחבים ליניאריים בעלות פרמטר שנע ביריעה אלגברית. בהינתן אלומה קוהרנטית  על יריעה אלגברית  ניתן להגדיר את הסיב  של  בנקודה  על ידי
כאשר  היא סביבה פתוחה אפינית של , ו  הוא האידיאל המקסימלי שמתאים לנקודה .
אם האלומה  היא חופשית מקומית, זאת אומרת שקיים כיסוי אפיני פתוח  כך ש  הוא מודיל חופשי מעל , אז על מערכת המרחבים  יש מבנה טבעי של אגד. זאת אומרת שקיים אגד  כך שהסיבים שלו איוזומורפיים קנונית לסיבי האלומה . יתר על כן ההתאמה  מדירה שקילות קטגורית בין קטגוריית האלומות החופשיות על  מקומית וקטגוריית האגדים על .
לאור האמור למעלה, לעיתים מגדירים אגד וקטורי על יריעה אלגברית בתור אלומה קוהרנטית חופשית מקומית. כמו כן ניתן לחשוב על אלומות קוהרנטיות בתור הכללת המושג אגד. הכללה זאת מאפשרת להגדיר גרסאות של האגדים הסטנדרטיים מטופולוגיה דיפרנציאלית גם עבור יריעות לא חלקות. לדוגמה, אף על פי שעל יריעה אלגברית לא חלקה לא ניתן להגדיר את האגד הקו-משיק (זאת אומרת אגד שסיביו הם המרחבים הקו משיקים), ניתן להגדיר את האלומה הקו-משיקה (אלומה שסיביה הם המרחבים הקו משיקים).

קטגורית האלומות הקוהרנטיות

קטגורית האלומות ה (קווזי-)קוהרנטיות היא קטגוריה אבלית. שתי הקטגוריות כמו גם הקטגוריות הנגזרות שלהן הן אינווריאנטים חשובים של יריעה אלגברית. חקר היחסים בין קטגורית אלה עבור יריעות שונות מתואר בספר Residues and duality. חקר זה מכיל בין היתר את דואליות גרותנדיק שהיא הכללה של דואליות סר.

הגדרות אלטרנטיביות

פרק זה דורש עריכה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולערוך אותו. הסיבה לכך: עלול להכיל שגעות כתיב רבות.
בספרות קיימות מספר דרכים נוספות להגדיר יריעה אלגברית.

אטלסים ומפות

ניתן להגדיר יריעה אלגברית בצורה דומה לזו המקובלת בטופולוגיה דיפרנציאלית עבור יריעות חלקות. גם בצורה זאת יריעה תהיה מרחב טופולוגי עם מבנה נוסף, רק שמבנה זה יהיה אטלס במקום אלומת פונקציות.
כל מפה באטלס תתאים לקבוצה פתוחה אפינית.
דרך זאת מעלה מספר קשיים מכיוון שחיתוך של שתי קבוצות אפיניות איננה בהכרח אפיניות, פונקציות המעבר הן בין קבוצות לא אפיניות. לכן יש צורך להגדיר מורפיזמים של קבוצות קווזי אפיניות לפני שמגדירים יריעה כללית. מסיבה זאת ומסיבות היסטוריות דרך הגדרה זאת איננה פופולרית.

כמקרה פרטי של סכמות

מנקודת מבט מודרנית ניתן לראות ביריעות אלגבריות מקרה פרטי של סכמות. נקודת מבט זאת מולידה הגדרה אלטרנטיבית של יריעות אלגבריות: יריעה אלגברית היא סכמה המקיימת תכונות מסוימות (מצומצמת ומטיפוס סופי מעל ). מצב זה עלול ליצור בלבול, מכיוון שההגדרה המקובלת של סכמה גם כן מבוססת על מושג המרחב הטופולוגי: סכמה היא מרחב טופולוגי עם מבנה נוסף. אולם המרחב הטופולוגי המתאים ליריעה  שונה מהמרחב הטופולוגי המתאים ל כאשר חושבים עליה כעל סכמה. לדוגמה אם  איננה מממד  אז המרחב הטופולוגי המתאים אליה כסכמה אינו מקיים את אקסיומת ההפרדה .
בלבול זה גורם בתורו לבלבול בהגדרת מושג הספקטרום. עבור כל -אלגברה קומוטטיבית עם יחידה נוצרת סופית וללא נילפוטנטים  קיימת ויחידה (עד כדי איזומורפיזם קנוני) יריעה אלגברית אפינית כך ש: . יריעה זאת נקראת . כאמור המרחב הטופולוגי המתאים ליריעה זאת תלוי בשאלה האם אנו חושבים עליה כעל יריעה או סכמה. לכן כדי למנוע בלבול זה, אם רוצים לחשוב עליה כעל יריעה מסמנים את המרחב הטופולוגי המתאים ב  ואם רוצים לחשוב עליה כעל סכמה מסמנים . האות  באה מהעוֹבדה שיש התאמה בין הנקודות של  לאידיאלים מקסימליים ב  והאות  באה מהעוֹבדה שיש התאמה בין הנקודות של  לאידיאלים ראשוניים ב . בדרך כלל הסימון  מסמן את .

כפונקטורים מיוצגים

עבור יריעה אלגברית  מעל , ו -אלגברה קמוטטיבית עם יחידה נוצרת סופית וללא נילפוטנטים , ניתן להגדיר את קבוצת הנקודות של  מעל  על ידי , כאשר  מסמן את קבוצת המורפיזמיום בין שתי יריעות. כאשר  יריעה אפינית אז  היא קבוצת הפתרונות של מערכת המשוואות המגדירה את  כאשר המשתנים רצים ב במקום ב .
הפנקטור  נקרא פנקטור הנקודות של . ניתן לשחזר את היריעה  מפנקטור הנקודות שלה. טענה זאת היא מעין גרסה חזקה של הלמה של יונדה. לכן נתן להגדיר יריעה אלגברית בתור פנקטור מקטגורית ה-אלגבראות קמוטטיביות עם יחידה הנוצרות סופית וללא נילפוטנטים לקבוצות המקיימים תנאים מסוימים.
גישה זאת אבסטרקטית למדי ולכן אינה פופולרית עבור יריעות אלגבריות. אם זאת היא משמשת לעיתים כדי להגדיר סכמות, והיא הגישה המקובלת כדי להגדיר הכללות של מושג הסכמה כמו מרחב אלגברי וסטקים אלגבריים.

עבור שדות לא סגורים אלגברית

פרק זה דורש עריכה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולערוך אותו. הסיבה לכך: עלול להכיל שגעות כתיב רבות.
ניתן להגדיר יריעה אלגברית מעל שדה  גם כאשר  אינו סגור אלגברית.

עבור שדות כללים

כאשר  אינו מושלם הגדרה זאת איננה מספקת. לדוגמה אם  סגור ספרבילית אז  טריוויאלית, אך אין זה הגיוני להגדיר יריעה אלגברית מעל  כמושג המתלכד עם יריעה אלגברית מעל . יש מספר דרכים להגדיר יריעה אלגברית גם במקרה זה. אולם בדרך כלל נהוג לטפל במקרה זה כמקרה פרטי של סכמות.