ארכימדס

ביוגרפיה

ארכימדס נולד בשנת 287 לפנה"ס בעיר הנמל סירקוסאי שבסיציליה. תאריך מותו המשוער בשנת 212 לפנה"ס מבוסס על טיעוניהם של היסטוריונים שהוא חי 75 שנה. בחיבורו מחשב החול, מזכיר ארכימדס את שם אביו פידיאס, אסטרונום שלא ידוע עליו דבר. פלוטארכוס כתב בחיבורו שארכימדס היה קרוב משפחה של היירון השני, טיראן סירקוסאי. הביוגרפיה של ארכימדס נכתבה על ידי חברו היריקלידס אבל החיבור הזה אבד, ופרטי חייו נותרו מעורפלים. לא ידוע אם הוא נישא ואם היו לו ילדים. ארכימדס חי חלק משנות חייו המוקדמות באלכסנדריה שבמצרים, שהייתה אז מרכז חשוב של התרבות הלניסטית, שם הוא למד אצל ממשיכיו של אוקלידס.
ממצרים שב לסירקוסאי ופעל בה שנים רבות, ובה גם מצא את מותו, בעת כיבוש העיר על ידי הרומאים. לפי המסופר הורה מרקוס קלאודיוס מרקלוס, מפקד הכוחות הרומאים, שלא לפגוע בארכימדס. אחד מחייליו של מרקלוס נתקל בארכימדס, שהיה עסוק בפתרון בעיה גאומטרית ששרטט בחול. "אל תמחק את המעגלים שלי" (ביוונית: μή μου τούς κύκλους τάραττε; בלטינית: nuli turbare circulos meos), אמר ארכימדס לחייל, אבל החייל לא ידע לפני מי הוא עומד והרג אותו. לפי תיאורו של קיקרו, שביקר בקברו כ-150 שנה לאחר מותו, על מצבתו של ארכימדס היה חרות אחד מהישגיו המתמטיים של ארכימדס - כדור חסום בגליל, שארכימדס הוכיח שנפחו ושטח פניו שווים ל-2/3 מאלו של הגליל (כולל הבסיסים שלו).
מחקריו הביאו אותו עד סף החשבון האינטגרלי, ענף מתמטיקה שפותח רק כעבור 1800 שנה בידי ניוטון ולייבניץ.
עם מותו נשכח גאון המתמטיקה היווני, ורק בתקופת המאה ה-16 שב לתודעת העולם המדעי.

תגליות והמצאות

הסיפור המוזכר למעלה על כתר הזהב אינו מופיע בעבודותיו הידועות של ארכימדס, אבל בחיבורו "על גופים צפים" הוא תיאר את החוק הידוע בהידרוסטטיקה כחוק ארכימדס. חוק זה קובע שעל גוף השקוע בנוזל פועל כוח ציפה השווה למשקל הנוזל הנדחה על ידי הגוף.
אף על פי שארכימדס לא המציא את המנוף, הוא רשם את ההסבר הידוע המוקדם ביותר של החוק המעורב בתהליכי מנוף, כמו גם את התיאור המוקדם ביותר של המושג מרכז כובד. לפי פאפוס מאלכסנדריה, עבודתו על מנופים גרמה לו לקבוע: "תנו לי נקודת משען ואניף את העולם". פלוטארכוס מתאר כיצד ארכימדס תיכנן מערכות משיכה המורכבות מגלגלות, אשר איפשרו למלחים להיעזר בעוצמתם של מנופים כדי להרים דברים שהיו כבדים מדי להרמה.
חלק נכבד מיצירותיו ההנדסיות של ארכימדס מוקדש היה לצרכיה של עיר הולדתו סירקוסאי. הסופר היווני אתנוס תיאר איך הפקיד הירון השני בידי ארכימדס את תכנונה של הספינה סירקוסיה, שיעשה בה שימוש לטיולי מותרות, הובלת אספקות של צרכים שונים, וכספינת מלחמה ימית. ארכימדס נענה לבקשתו, וזו הפכה לספינה הגדולה ביותר שנבנתה בתקופת העת העתיקה. לפי אתנוס, הספינה הייתה מסוגלת להוביל 600 אנשים וכללה קישוטי גינה, גימנסיון ומקדש שהוקדש לאלילה אפרודיטה. לתחזוקת הספינה תכנן אמצעי לשאיבת מים שהמציא: בורג ארכימדס - התקן מכני המורכב מלהב בורגי המסתובב בתוך גליל, אשר מטרתו הייתה לשאוב את המים הרבים שדלפו לתוך הספינה. עקרון הפעולה הגאוני העומד מאחורי המצאת הבורג הוא המרת תנועה סיבובית לתנועה ליניארית בנצילות אנרגטית גבוהה. אף על פי כן, במחקר המודרני הוערך כי נעשה שימוש בבורג עוד לפני ארכימדס, למשל כאמצעי להשקיית הגנים התלויים בבבל. בכל אופן, ארכימדס המציא מחדש את הבורג או שיפר משמעותית את הבורג והציג אותו לראשונה בעולם היווני, והשיפורים שהכניס בפרופורציות של הבורג מעידים שהוא היה גם הראשון לנתח באופן תאורטי את הקינמטיקה של הבורג (כפי הנראה הוא עסק בעקרונות התיאורטים של פעולת הבורג באחת מעבודותיו האבודות). מתקנים על בסיס בורג ארכימדס משמשים עד היום להובלת נוזלים, גרעינים ואבקות.
כושר ההמצאה של ארכימדס ויכולתו ההנדסית באו לידי ביטוי באופן מיוחד בפעולותיו לשם הגנת סירקוסאי מפני הרומאים במלחמה הפונית השנייה. פלוטארכוס העיד, שהמצאותיו הצבאיות של ארכימדס מנעו את נחיתת הצי הרומי, בפיקודו של מרקלוס. ארכימדס שיפר את העוצמה והדיוק של הקטפולטה, המציא בליסטראות שהמטירו על הרומאים סלעים שמשקלם רבע טון לפחות, ומכונות אימתניות ששלחו "מקלות וציפורניים" מברזל אל מעבר לחומות העיר, תפסו את הספינות וסחררו אותן אל הסלעים. הסופר בן המאה ה-2 לספירה לוציאן כתב כי במהלך המצור על סירקוסאי ארכימדס הרס ספינות אויב באש. מספר מאות מאוחר יותר יש אזכור בספרות כי ארכימדס השתמש במראות קעורות ענקיות כדי למקד את קרני השמש על ספינות בים כדי להביא להתחממותן עד לנקודת שריפה. האמינות ההיסטורית של קיום המכשיר היוותה נושא לדיון מתמשך מאז ימי הרנסאנס, ובניסויים בני ימינו הוכח כי כפי הנראה המראות שימשו יותר כדי לסנוור ולהרתיע את צוותי ספינות האויב. אחרי כשלונו הראשון לכבוש את סירקוסאי כינה מרקלוס את ארכימדס: "בריארוס (מפלצת מיתולוגית בעלת 100 זרועות) הנדסי, המשתמש בספינותיו כתרווד לשאיבת מי הים".
ארכימדס גם המציא "מד מרחק" (odometer) המבוסס על נפילת כדור בכל מיל נסיעה של עגלה. מד המרחק של ארכימדס תואר כמכניזם גלגלי שיניים מורכב המפיל כדור לתוך מיכל בכל מיל נסיעה של עגלה. בהקשר זה, ארכימדס גם המציא שעון מים מתוחכם - המבוסס על מנגנון מורכב לויסות של זרימת המים לצורך מדידה מדויקת של זמן. ארכימדס כתב חיבור שכותרתו על שעוני מים (On Water Clocks) על הבנייה של מנגנונים כאלה.
ישנם המייחסים היום לארכימדס את התחלתה של מסורת של בניית מנגנונים מכניים ששיאה בתכנון ובניית מנגנון אנטיקיתרה - מחשב אנלוגי מכני קדום שהקדים את זמנו ב-1,500 שנה לערך, אשר שימש לצורך חישוב מועדם של ליקויי ירח וליקויי חמה עתידיים, ושבבנייתו נעשה שימוש במיטב הידע האסטרונומי של אותה עת. הראיות ההיסטוריות לכך מתבססות על דבריו של קיקרו אשר מזכיר את ארכימדס בדיאלוג שלו הרפובליקה. לפי קיקרו, הגנרל מרקוס קלאודיוס מרקלוס הביא איתו לרומא שתי מכונות שנבנו על ידי ארכימדס, שנעשה בהם שימוש לצורך הדגמות אסטרונומיות, ואשר הראו את תנועת השמש, הירח וחמש פלנטות נוספות. המכונה שהביא איתו מרקלוס, הודגמה, לפי דבריו של קיקרו, בידי גאיוס סולפיציוס גאלוס ללוציוס פוריוס פילוס, אשר תיאר אותה כך:
Hanc sphaeram Gallus cum moveret, fiebat ut soli luna totidem conversionibus in aere illo quot diebus in ipso"
caelo succederet, ex quo et in caelo sphaera solis fieret eadem illa defectio, et incideret luna tum in eam metam quae esset umbra terrae, cum sol e regione. — כאשר גאלוס הניע את הגלובוס, התרחשה תנועה של השמש והירח על ההתקן מברונזה שתאמה במדויק את תנועותיהם בשמיים, כך שכאשר בשמיים היה אמור להתרחש ליקוי חמה, הירח נע כך שיעמוד במקום שבו הוא יעמוד בקו אחד עם השמש וכדור הארץ, וכך הטיל את צילו על הארץ."
זהו תיאור של פלנטריום. לפי פאפוס מאלכסנדריה, ארכימדס כתב חיבור (שכעת אבוד) על הבנייה של מכניזמים כאלה תחת הכותרת על הכנת כדור (On Sphere-Making). קיקרו אף מוסיף ומציין כי מכונות דומות נבנו בעבר על ידי תאלס איש מילטוס ואאודוקסוס מקנידוס, אך לפי קיקרו, מכונתו של ארכימדס הצטיינה בכך שהוא תכנן דרך להניע את הפלנטות במדויק, ועל ידי מכשיר יחיד, בהתאם למסלוליהם השונים וקצבי המהירות המשתנים שלהם, ובכך זכתה להערכה מיוחדת. מבין המצאותיו של ארכימדס, הקדמונים העריכו במיוחד את המצאת הפלנטריום (שנראתה פלאית באותה עת), ומצבור הראיות ההולך וגדל מעיד שהייתה מסורת יוונית של בניית התקנים מכניים מורכבים שראשיתה בארכימדס.

מתמטיקה

נוסף לפרסומו כמתכנן של מכשירים מכניים, נודע ארכימדס גם בזכות הישגיו במתמטיקה. הישגים אלה מעידים על יצירתיות וחזון. פלוטארכוס כתב עליו: "הוא הפנה את מלוא החיבה והשאיפה שלו לתחומים הטהורים הללו אשר אין להם קשר לצרכים הרגילים של החיים".
ארכימדס היה הראשון שהשתמש בגדלים אינפיניטסימלים. באמצעות חלוקת קבוצה לאינסוף תת-קבוצות השואפות בגודלן לאפס, הוא הגיע לדיוק המרבי האפשרי לגבי גודל הקבוצה. שיטה זו ידועה בשם "שיטת המיצוי", והיא מהווה צעד ראשון לקראת החשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי. ארכימדס נעזר בשיטה זו כדי לחשב את שטחו של עיגול, בכך גילה את הנוסחה המפורסמת לשטח מעגל המיוחסת לו  כאשר
S הוא שטח המעגל,  הוא היחס בין היקף המעגל לקוטרו ו-R הוא רדיוס המעגל. הוא אף הציג שיטה לחישוב  בכל דיוק רצוי, וחישב את ערכו בין הסכום  לסכום . ב-"על הכדור והגליל", ארכימדס קובע שכל גודל כאשר הוא מתווסף לעצמו מספיק פעמים יעבור כל גודל נתון. זה ידוע כתכונה הארכימדית של המספרים הממשיים.
ארכימדס לא הסתפק בחישוב שטחו של עיגול. הוא נעזר שוב בשיטת המיצוי והמציא שיטות לחישוב שטחים ונפחים, חישב שטחים החסומים בפרבולות ובספירלות, נפחי גלילים, פרבולואידים ומקטעים כדוריים. הוא מצא את מרכזי הכובד של ההמיספירה (חצי ספירה), ושל טריז גלילי, ובכך חזה שוב את החשבון האינטגרלי. הוא הוכיח ששטחו ונפחו של כדור הם ביחס של  לשטחו ונפחו של גליל החוסם כדור זה. כיוון שנוסחאות לחישוב שטח ונפח של גליל היו ידועות, הוכחתו של ארכימדס סיפקה לראשונה נוסחאות לחישוב שטח ונפח של כדור.
ארכימדס היה הראשון, ואולי אף היחיד, מבין המתמטיקאים היוונים שעסק בעקומים מכניים (כאלה שנוצרים על ידי נקודה נעה), בראותו עקומים אלה כנושא ראוי לחקירה, בניגוד לדבקותם של המתמטיקאים היוונים בבנייה בסרגל ומחוגה בלבד. במסגרת חקירתו זו השתמש בספירלת ארכימדס לשם תרבוע העיגול, ולשם שילוש הזווית (בחיבורו "על ספירלות"). ב-"על ספירלות" ארכימדס גם פיתח טכניקות למציאת משיקים לספירלות, ובכך היה הראשון שמצא דרך למציאת משיק לעקומה שאינה מעגל.
למרות שעיקר הישגיו היו בגאומטריה ומכניקה, ארכימדס עשה גם התקדמויות משמעותיות בחישוב נומרי; בחיבורו "המדידה של המעגל", מצא ארכימדס את השורש הריבועי של 3 כגדול מ- וקטן מ-. לפי אומדן זה הספרות הראשונות של שורש 3 בשבר עשרוני הן 1.7320508, ולכן אומדן זה מדויק מאוד. ככל הנראה הוא הגיע להערכה זאת באמצעות שיטות חדשות למציאת שורשים שפיתח, אך הוא לא תיאר ולא הסביר את שיטותיו. מנקודת מבט מתמטית מודרנית, החסמים שנתן הם ערכי ביניים בפיתוח לשבר משולב של , מה שהוביל לספקולציות רבות לגבי התקדמויות מסוימות בתורת המספרים שייתכן שעשה.
בחיבורו "תרבוע הפרבולה", הוכיח ארכימדס שהשטח הכלוא על ידי פרבולה וקו ישר שווה ל-4/3 
כפול שטחו של המשולש בעל גובה ובסיס שווים. במהלך הפתרון הוא סיכם לראשונה את הטור הגאומטרי האינסופי בעל מנה 1/4:
.
ב"מחשב החול", ניסה ארכימדס לחשב את מספר גרגירי החול שהיקום עשוי להכיל. במטרה להראות שמספר גרגירי החול ביקום אמנם גדול מאוד אבל סופי. כדי לספור את גרגירי החול, ארכימדס המציא שיטה חדשה שהתבססה על הסמל היווני לרבבה (10,000) לרישום מספרים גדולים עד  .
כתבים חדשים שנכתבו על ידי ארכימדס ונתגלו בזמננו חשפו במידה מסוימת את הרקע הרעיוני לכתיבת חיבוריו, שהתבסס על הבנה עמוקה של האינסוף. נתגלו בהם תובנות של המושגים של אינסוף וקבוצה בת מנייה, תובנות אשר לא הושגו עד לזמנו של גאורג קנטור, שחי כ-2,000 שנה אחרי ארכימדס (ארכימדס התחבט בגרסה של פרדוקס גלילאו). בכתבים הללו, ובמיוחד בספר "השיטה" של ארכימדס, מופיעות שיטות אחרות לקבלת התוצאות של ארכימדס שהופיעו בכתבים אחרים שלו. רעיונות ייחודיים לחיבור זה הם שימוש בגרסה מוקדמת של סכומי רימן ואינטגרציית רימן, כמו גם חישובי נפחים של צורות אחדות אשר לא מופיעים בשום מקום אחר בכתביו. כמו כן, בעקבות עבודות שחזור ומחקר שנעשו על הפלימפססט של ארכימדס הועלתה ההשערה, שארכימדס עסק בשאלות קומבינטוריות, יותר מאלפיים שנה לפני המצאת מדע הקומבינטוריקה.

חיבורים אבודים של ארכימדס

פאפוס מאלכסנדריה מציין עבודה על פאונים (פאונים ארכימדיים) שנכתבה על ידי ארכימדס ואבדה. פאפוס מציין כי ארכימדס מנה 13 פאונים כאלה, אך לא ידוע אם הוכיח כי אלו היחידים (יוהאנס קפלר היה הראשון להוכיח כי יש רק 13 פאונים ארכימדיים). תיאון מאלכסנדריה מצטט הערה על שבירה של אור מהעבודה, שכעת אבודה, Catoptrica. ספר הלמות מיוחס לארכימדס על פי ת'אבת אבן קורה אף כי האותנטיות שלו מוטלת בספק. מקורות ערבים מייחסים לו חיבור שכותרתו "על בניית המשובע המשוכלל" (On the construction of the heptagon), בו תיאר ארכימדס שיטה לבנות את הזווית  (הבנייה אינה אפשרית בסרגל ומחוגה, וארכימדס נעזר בסוג של neusis construction כדי לבנות את הזווית). מוערך שארכימדס אף גילה והוכיח את נוסחת הירון לחישוב שטח משולש מאורכי צלעותיו, מקרה פרטי של נוסחת ברהמגופטה.