משפט החיתוך של קנטור

נוסח פורמלי

סדרה יורדת של קבוצות היא סדרת קבוצות מהצורה . קוטר של קבוצה  במרחב מטרי  הוא .
המשפט קובע כי מרחב מטרי הוא שלם אם ורק אם לכל סדרה יורדת של קבוצות סגורות ולא ריקות במרחב בעלות קוטר ששואף לאפס, חיתוך כל קבוצות הסדרה אינו ריק. קל לראות שבמקרה כזה, החיתוך מכיל נקודה יחידה.
דוגמה לשימוש במשפט זה היא העובדה שכל קבוצה סגורה ובת מניה של מספרים ממשיים, מכילה נקודה מבודדת. זאת כי אם  קבוצה כזאת, באינדוקציה ניתן להראות שיש סדרה יורדת של קטעים סגורים , כך שהקטע  נחתך עם  אך לא מכיל את הנקודה . ממשפט החיתוך של קנטור עבור  יש נקודה של  בחיתוך, מה שמוביל לסתירה.

חיתוך של סדרות יורדות במרחב שלם

יהי X מרחב שלם. משפט החיתוך קובע שאם הקבוצות הסגורות  מהוות סדרה יורדת שבה הקוטר שואף לאפס, אז יש נקודה משותפת לכולן. ממבט ראשון נראה שהדרישה על הקוטר מיותרת, שהרי אם מרשים לקבוצות להיות 'גדולות יותר', יהיה קל להן יותר להחזיק נקודה משותפת. אכן, זה המצב אם מניחים שהקבוצות קומפקטיות: אם נבחר נקודה מכל קבוצה, תהיה לסדרה הנוצרת תת-סדרה מתכנסת בגלל הקומפקטיות, ונקודת הגבול משותפת לכל הקבוצות. במקרה זה אין צורך להניח שהקוטר שואף לאפס. אגב, מספיק להניח שהקבוצה הראשונה בסדרה היא קומפקטית, משום שקבוצות סגורות יורשות תכונה זו מן המרחב העוטף אותן. גם ההנחה שהקבוצות חסומות כליל תספיק, משום שהמרחב X שלם על-פי ההנחה.
מאידך, לסתם סדרה יורדת של קבוצות סגורות יכול להיות חיתוך ריק. לדוגמה, הקטעים  על הישר הממשי. אפילו אם הקבוצות חסומות, החיתוך יכול להיות ריק; לדוגמה, הקבוצות  במרחב בנך , כאשר  הם אברי הבסיס הסטנדרטי - זו סדרה יורדת של קבוצות סגורות וחסומות, שאין להן אף נקודה משותפת.

תקציר

כאשר המרחב שלם ו-  היא סדרה יורדת של קבוצות סגורות, אפשר לבחור נקודה  בכל קבוצה. מכך שקוטר הקבוצות שואף לאפס נובע שהסדרה היא סדרת קושי, ולכן מתכנסת. מכיוון שכל הקבוצות סגורות, נקודת הגבול שייכת לכולן ולכן לחיתוך שלהן.
בכיוון ההפוך, תהי  סדרת קושי נתונה. לכל  קיים מקום שממנו והלאה המרחק בין שני איברים בסדרה אינו עולה על ; נבחר את הקבוצה  להיות הכדור הסגור ברדיוס  סביב נקודה רחוקה מספיק. קל להיווכח שסדרת הכדורים יורדת, ולפי ההנחה יש נקודה משותפת לכולם. זוהי נקודת גבול של הסדרה.

כיוון אחד

נניח כי  מרחב מטרי שלם, ותהא  סדרת קבוצות המקיימת את התנאים של המשפט. נבנה את הסדרה  על ידי זה שנבחר מכל  איבר  כלשהו. נראה כי זוהי סדרת קושי: יהא  כלשהו. בגלל שמתקיים  קיים  כך שהחל ממנו לכל  מתקיים .
כעת יהיו  כלשהם, ונניח ללא הגבלת הכלליות שמתקיים . אז  ולכן . על כן  וזאת לכל , ולכן הסדרה היא סדרת קושי, ומכיוון שהמרחב  שלם היא מתכנסת. נסמן .
נראה כי  שייך לכל הקבוצות. תהא  כלשהי, אז לכל  מתקיים , כלומר הזנב של הסדרה , החל מהאיבר , שייך לקבוצה . על כן, האיבר  הוא נקודת גבול של  (כי הוא הגבול של סדרה המוכלת החל ממקום מסוים בקבוצה ). מכיוון ש היא קבוצה סגורה, הרי שהיא מכילה את כל נקודות הגבול שלה, ולכן , וזאת לכל , ולכן .
נראה כעת כי בחיתוך יש בדיוק איבר יחיד: נניח כי ,אז לכל  מתקיים . יהא  כלשהו, אז קיים  כלשהו כך ש, ומכיוון ש, ולכן . כלומר  לכל  ולכן בהכרח  ומכאן, על פי תכונות המטריקה, .

כיוון שני

נניח כי  הוא מרחב המקיים את התכונה שלכל סדרת קבוצות שעונה על הקריטריונים שלעיל יש חיתוך לא ריק, ונוכיח כי המרחב שלם (ההוכחה שונה מעט מזו שניתנה לעיל). תהא  סדרת קושי במרחב, ונוכיח שהיא מתכנסת.

לכל איבר  בסדרה נגדיר את הקבוצה הבאה:  - הסגור של הזנב של סדרת הקושי שמתחיל באיבר . זוהי קבוצה סגורה (שכן סגור הוא תמיד קבוצה סגורה), ובבירור מתקיים  וזאת על פי דרך הגדרת הקבוצות.
אנו רוצים להוכיח כי . לשם כך נוכיח קודם כל כי לכל קבוצה  מתקיים . ברור כי  (כי  מכילה את ).
יהיו , אז קיימות סדרות  שכל אבריהן שייכים לקבוצה  כך ש זאת מהגדרת הסגור (נשים לב שהסדרות יכולות להיות קבועות). מכיוון שאברי הסדרות שייכים כולם ל, מתקיים  לכל . לכן נקבל , וזאת לכל , כלומר , וקיבלנו משני אי השוויונות את השוויון  המבוקש.
כעת, מכיוון ש סדרת קושי, הרי שלכל  קיים  כך שלכל  מתקיים . לכן , ולכן , וקיבלנו .
כעת הראינו כי הסדרה  מקיימת את כל התכונות הדרושות, ולכן . יהא , אז לכל  מתקיים , ולכן , כלומר , והראינו שסדרת קושי הנ"ל מתכנסת.