מתמטיקה טהורה

מתמטיקה טהורה היא ענף של המתמטיקה שעוסק בחקר ישויות ערטילאיות. מן המאה ה-18 ואילך, התחום הוכר כפעילות מתמטית אשר אופיינה תדירות כספקולטיבית, ולחלופין שויכה למגמות מתחלפות במטרה לשרת צרכים קונקרטיים של ניווט, אסטרונומיה, פיזיקה, הנדסה ועוד.
השקפה נוספת גורסת שניתן לראות במתמטיקה הטהורה כ"מתמטיקה לא בהכרח שימושית", כלומר זה אפשרי לחקור ישויות ערטילאיות בכפיפה לאופיין המושרש, מבלי להתייחס לצורה בה הן מובעות בעולם האמיתי. אף על פי שההשקפה הטהורה וההשקפה השימושית הן שתי עמדות פילוסופיות שונות, בפועל ישנה חפיפה רבתי בפעילות של המתמטיקה הטהורה והמתמטיקה השימושית: על-מנת לפתח מודלים מדויקים לתיאור העולם החיצוני, רבים מן המתמטיקאים של הזרם השימושי שואלים כלים וטכניקות הנחשבים ל"טהורים", ומאידך רבים מן המתמטיקאים הטהורים נשענים בעבודותיהם על מושגים טבעיים וחברתיים כגון השראה בשביל מחקרם המופשט.

יוון העתיקה

מתמטיקאים יוונים מהעת העתיקה היו מהראשונים להבחין בין מתמטיקה טהורה לשימושית. אפלטון סייע ליצור את ההבחנה בין "אריתמטי", שנקרא תורת המספרים כיום, לבין "לוגיסטי" שבימינו נודע כאריתמטיקה. אפלטון התייחס לפן הלוגיסטי כיאה לאנשי עסקים ומלחמה אשר "חייבים ללמוד את אמנות המספרים שמא לא יידעו לארגן את חייליהם" ולפן האריתמטי (תורת המספרים) כיאה לפילוסופים "כי עליהם לעלות ממימי השינוי ולהשיג אחיזה בהוויה אמיתית". כאשר נשאל אאוקלידס מאלכסנדריה על ידי אחד מתלמידיו מהו השימוש ללימוד הגאומטריה, ביקש הלה באירוניה מעבדו לשלם מטבע כסף לתלמיד "כי הוא חייב ליצור רווח מידיעותיו". המתמטיקאי היווני אפולוניוס מפרגה שנשאל לגבי השימושיות של חלק מהתיאורמות בספרו הרביעי לחתכים חרוטיים הצהיר:
"הן ראויות מעצם ההוכחה עצמה, באותו אופן שאנו מקבלים דברים רבים אחרים במתמטיקה - מסיבה זו ולא אחרת".
ומכיוון שרבות מתוצאותיו לא היו ברות יישום למדע או ההנדסה של ימיו, המשיך לדרוש בחשיבותן בהקדמה לספרו החמישי לחתכים חרוטיים בטוענו שהנושא הוא מאותם ה"ראויים ללמידה מעצם היותם ברי קיימא"

המאה התשע-עשרה

המונח הונצח אחת ולתמיד עם הקמת כיסא הפרופסור למתמטיקה טהורה (Sadleirian Chair) שיוסד באמצע המאה ה-19. ייתכן והרעיון לדיסציפלינה נפרדת למתמטיקה טהורה עלה באותה תקופה. דורו של המתמטיקאי גאוס לא עשה הבחנה בולטת בין המתמטיקה השימושית למתמטיקה טהורה. מאוחר יותר, גם התמחות ופרופסורה בענף הטהור (במיוחד לאור גישתו של קארל ויירשטראס לאנליזה מתמטית), נתנו משנה תוקף ללגיטימיות של המתמטיקה הטהורה.

המאה העשרים

עם תחילת המאה העשרים אימצו מתמטיקאים את המתודה האקסיומטית במיוחד לאחר ניסיון האקסיומטיזציה של הגאומטריה אוקלידית על ידי דויד הילברט. הניסוח הלוגי של המתמטיקה הטהורה שהוצע על ידי ברטראנד ראסל באמצעים של מבנה כימות של טענות לוגיות נראה יותר ויותר בר תוקף, שכן חלקים נרחבים של המתמטיקה יוצגו בעזרת המערכת האקסיומטית מה שהקל את המשימה למציאת קריטריונים להוכחה ריגורוזית.
למעשה, במערכת אקסיומטית, הריגורוזיות לא תורמת במאומה לרעיון ההוכחה. לפי השקפתם של חברי ניקולא בורבאקי, המתמטיקה הטהורה היא בפני עצמה ההוכחה.

פוריזם

אחד הביטויים המובהקים למחלוקת המתמדת בין המתמטיקה הטהורה לזו השימושית ניתן למצוא במסתו השנויה במחלוקת של המתמטיקאי ג. ה. הארדי "התנצלותו של מתמטיקאי". 
נהוג לחשוב שהארדי החשיב את המתמטיקה השימושית כמכוערת ומשעממת. אולם, גם אם אין עוררין שהארדי העדיף את המתמטיקה הטהורה, שתדירות הוא השווה לציור או שירה, הוא פשוט ראה את ההבדל בין שתי הגישות בכך שמתמטיקה שימושית ביקשה להביע אמת פיזית באמצעות מתווה מתמטי, בעוד שמתמטיקאים טהורים הביעו אמיתות בלתי תלויות בעולם האמיתי. הארדי ניסח דיכוטומיה בין מה שהוא קרא מתמטיקה "אמיתית" דהיינו כזאת ש"יש לה ערך אסתטי קבוע" לבין "החלקים הבנאליים והמשעממים של המתמטיקה" להם שימושים פרקטיים בחיי היומיום.
הארדי התייחס גם לפיזיקאים מסוימים, כגון איינשטיין ודיראק, כמתמטיקאים "אמיתיים", אך בזמן כתיבתו את "ההתנצלות" הוא החשיב את תורת היחסות הכללית ומכניקת הקוואנטים כחסרי תועלת, מה שהתיר לו להמשיך להחזיק בדעה שרק מתמטיקה "בנאלית" היא שימושית. יתר על כן, כאשר החל במפתיע יישומן של תורת המטריצות ותורת הקבוצות לענפי פיזיקה שונים, הודה הארדי שיום יבוא בו תיתכן מתמטיקה יפה ו"אמיתית" שתוכל להיות מיושמת.
תובנה מעניינת נוספת על הנושא הוצעה על ידי אנדי מאגיד:
"תמיד חשבתי שמודל מוצלח לאנלוגיה כאן יכול להילקח מתורת החוגים. בנושא זה, תת-שדות קומוטטיבים (חילופיים) ולא-קומוטטביים יפורשו על ידי צופה הדיוט כדיכוטומיה בעוד שלמעשה האחרון מכיל את הראשון: חוג לא קומוטטיבי הוא חוג-לא-בהכרח-קומוטטיבי. אם נרחיב את מוסכמה זו לנושא המתמטיקה השימושית וה"לא-שימושית", נוכל להגדיר את המתמטיקה הטהורה כ"מתמטיקה לא-בהכרח-שימושית"."

תחומים במתמטיקה הטהורה

אנליזה מתמטית עוסקת בתכונות הפונקציה. היא כוללת מושגים כגון רציפות, גבול של פונקציה, נגזרת, ואינטגרלים, ובכך מספקת יסוד קפדני לחשבון אינפיטסימלי (נקרא גם קלקולוס או חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי) כפי שהוצג על-יד אייזק ניוטון וגוטפריד לייבניץ במאה ה-17. אנליזה ממשית חוקרת פונקציות של מספרים ממשיים, בעוד שאנליזה מרוכבת מרחיבה את המחקר גם לתחום המספרים המרוכבים. אנליזה פונקציונלית היא ענף של האנליזה שחוקרת מרחבים וקטוריים ממימד אינסופי, ושרואה בפונקציות כנקודות במרחבים הללו.
אלגברה מופשטת חוקרת קבוצות בצוותא עם הפעולות הבינאריות שהן מגדירות. קבוצות ופעולותיהן הבינאריות ניתנות לסיווג על-פי תכונותיהן: לדוגמה, אם מופעלת פעולה אסוציאטיבית על קבוצה שמכילה איבר יחידה ואיברים הופכיים עבור כל יחס של הקבוצה, אז הקבוצה והפעולה נחשבים להיות חבורה. מבנים נוספים כוללים חוגים, שדות, ומרחבים וקטוריים.
גאומטריה היא חקר צורות ומרחב, ובפרט חקר קבוצות של טרנספורמציות של המרחב. לדוגמה, גאומטריה פרויקטיבית עוסקת בטרנספורמציות היטליות שפועלות על המישור ההיטלי האמיתי בעוד שאינוורסיה עוסקת בקבוצה של טרנספורמציות היפוכיות הפועלות על המישור המורכב. הגאומטריה התרחבה וכיום כוללת גם את ענף הטופולוגיה אשר עוסק באובייקטים הקרויים מרחבים טופולוגיים ומפות רציפות ביניהם. עיקר עניינה של הטופולוגיה הוא באופן בו מרחבים מתחברים ומתעלמת מחישובים מדוקדקים של מרחק וזוויות.
תורת המספרים היא התאוריה של המספרים השלמים החיוביים. היא מבוססת על רעיונות דוגמת התחלקות וקונגרואנציה (יחס שקילות). המשפט היסודי של האריתמטיקה מציין שכל שלם חיובי ניתן לפירוק לגורמיו הראשוניים ושאותה פקטוריזציה ראשונית היא ייחודית רק לו. מבחינות מסוימות, תורת המספרים הוא הענף הכי נגיש מבין תחומי המתמטיקה הטהורה: לדוגמה, השערת גולדבך ניתנת להבנה בקלות (גם אם טרם הוכחה או הופרכה). מאידך, במובנים מסוימים תורת המספרים היא הדיסציפלינה הכי פחות נגישה לציבור הרחב; לדוגמה הוכחתו של אנדרו וויילס (שאורכה כמאה עמודים) שלמשוואתו של פרמה אין פתרונות לא-טריוויאלים דורשת הבנה בתבניות אוטומורפיות, שעל-אף זיקתן לטבע, טרם נמצא להן יישום בפיזיקה.