אלגברת הרכבה

באלגברה מופשטת, אלגברת הרכבה היא מבנה אלגברי הכולל אלגברה, שאינה בהכרח אסוציאטיבית מעל שדה F, עם תבנית ריבועית לא מנוונת N, המקיימת את תנאי ההרכבה . בגלל תכונת הכפל, התבנית N נקראת גם נורמה.
הדוגמה המוכרת ביותר לאלגברה כזו היא שדה המספרים המרוכבים, כאלגברה מעל הממשיים, שם התבנית היא .
ידוע שהממדים האפשריים לאלגברת הרכב, בין אם יש לה איבר יחידה ובין אם אין איבר כזה, הם 1, 2, 4 או 8. (זוהי תוצאה של משפט הורוויץ על תבניות ריבועיות כפליות). יתרה מזו, ידוע שכל אלגברת הרכבה עם איבר יחידה היא אחד מן הבאים: שדה הבסיס, סכום ישר של שני עותקים שלו, הרחבה ריבועית של שדה הבסיס, אלגברת קווטרניונים, או אלגברת קיילי. בפרט, כולן אלטרנטיביות ריבועיות.
מן התבנית הריבועית N אפשר לחשב תבנית בי-ליניארית סימטרית , הנקראת התבנית הפולרית של N. במאפיין שונה מ-2 אפשר לשחזר את N מתוך B, באמצעות הנוסחה .

תבנית הנורמה

אלגברת הרכבה היא אלגברת חילוק אם ורק אם תבנית הנורמה שלה אנאיזוטרופית. תבנית הנורמה של אלגברת הורוויץ היא תבנית פיסטר, כלומר, תבנית ריבועית עם מקדמים  בממד 2, מקדמים  בממד 4, ומקדמים  בממד 8. אם תבנית כזו היא איזוטרופית (היינו, מייצגת את 0 באופן לא טריוויאלי), אז היא תבנית ריבועית היפרבולית. שתי אלגברות הורוויץ הן איזומורפיות אם ורק אם יש איזומטריה בין תבניות הנורמה שלהן. מכאן נובע שיש בדיוק אלגברת קווטרניונים אחת שאינה אלגברת חילוק - הלוא היא אלגברת המטריצות ; כמו כן, יש בדיוק אלגברת אוקטוניונים אחת שאינה אלגברת חילוק - אלגברת האוקטוניונים המפוצלת.

אלגברות הרכבה בלי יחידה

כרגיל בתורת החוגים, "אלגברה הרכבה בלי יחידה" היא מערכת המקיימת את כל האקסיומות שהוזכרו במבוא, למעט הדרישה לקיום איבר יחידה. בסעיף זה נכתוב "אלגברת הרכבה", ונתכוון לכאלו שבהן אין מניחים קיומו של איבר יחידה.

איזוטופית לאלגברה עם יחידה

כל אלגברת הרכבה איזוטופית לאלגברת הרכבה עם יחידה, במובן הבא: אם M אלגברת הרכבה עם תבנית ריבועית N, אז קיים איבר  כך ש- ; אז פעולות הכפל מימין ומשמאל  ו-  הפיכות, והפעולה  הופכת את M לאלגברת הרכבה עם יחידה (ביחס לאותה נורמה N). מכאן נובע שהממד של אלגברת הרכבה (גם ללא איבר יחידה) הוא 1, 2, 4 או 8. כל איזומורפיזם בין אלגברות הרכבה עם יחידה הוא גם איזומטריה של תבניות הנורמה, ומכאן נובע שכל אלגברות ההרכבה עם יחידה הדומות ל-M, איזומורפיות זו לזו.

אלגברות הרכבה סימטריות

אלגברת הרכבה (בלי יחידה) היא סימטרית, אם התבנית  היא אסוציאטיבית, כלומר, . תכונה זו מתקיימת אם ורק אם האלגברה מקיימת את האקסיומה  (השוויון באגף שמאל הוא הזהות הגמישה).
כל אלגברת הרכבה המקיימת את הזהות הגמישה היא סימטרית או בעלת איבר יחידה. מעל שדה בן יותר מ-2 איברים, אפילו האקסיומה  מספיקה לשם כך. אלגברות הרכבה סימטריות כמעט לעולם אינן בעלות חזקה אסוציאטיבית (פרט לשדה F עצמו, הדוגמה היחידה היא מממד 2 מעל השדה הסופי ). למעשה, באלגברת הרכבה סימטרית מממד 2 ומעלה אין איבר יחידה.

אלגברות פרה-הורוויץ ואלגברות Petersson

אם C אלגברת הורוויץ עם אינוולוציה , אפשר להגדיר עליה פעולת כפל חדשה . ביחס לפעולה זו, C הופכת להיות אלגברת הרכבה סימטרית (ומאבדת את איבר היחידה שלה). האלגברה המתקבלת באופן זה נקראת אלגברת פָּרה-הורוויץ (וכך מוגדרות, בפרט, אלגברות פרה-קווטרניונים ואלגברות פרה-קיילי). אלגברת הרכבה סימטרית היא אלגברת פרה-הורוויץ אם ורק אם יש בה אידמפוטנט e המקיים  לכל איבר x כך ש- .
כהכללה של הבניה הקודמת, אם  הוא אוטומורפיזם של אלגברת הורוויץ C המקיים , אז אפשר להגדיר פעולת כפל חדשה לפי  (אם , מתקבלת אלגברת פרה-הורוויץ). גם אלו אלגברות הרכבה סימטריות, הנקראות אלגברות Petersson. אלגברת הרכבה סימטרית היא אלגברת Petersson אם ורק אם יש בה אידמפוטנט. בכל אלגברת הרכבה סימטרית אפשר למצוא אידמפוטנט לאחר הרחבת סקלרים מממד 3.