אינטואיציוניזם

בפילוסופיה של המתמטיקה, אינטואיציוניזם היא גישה הרואה במתמטיקה תוצאה של פעילות אנושית של בניות מנטליות. כך, בהינתן אוסף אקסיומות (באינטואיציוניזם: אריתמטיקה של מספרים טבעיים), הטענות היחידות שנחשבות "לגיטימיות" הן אלו שנבנו, בעקיפין או שלא בעקיפין, על ידי האקסיומות. במילים אחרות, טענה ניתן להוכיח או להפריך רק באמצעות שיטות הוכחה קונסטרוקטיביות. לכן פוסלים האינטואיציוניסטים הוכחות על דרך השלילה ולמעשה את כלל השלישי מן הנמנע. אבי האסכולה הוא המתמטיקאי ההולנדי ל.א.י בראואר. מתמטיקאים נוספים שעסקו בתחום הם ארנד הייטינג, אנדריי קולמוגורוב והרמן וייל.

קונסטרוקטיביזם ומספרים טבעיים

על פי האינטואיציוניסטים, הגילוי המוקדם הראשון של חשיבה אינטואיציוניטית מקורו בהגותו של הפילוסוף הפרוסי עמנואל קאנט. כחלק מהחקירה האפיסטמולוגית שלו, ראה קאנט במתמטיקה את "צורת החושניות הקודמת להופעתם הממשית של המושאים". כלומר, המתמטיקה היא הבסיס המושגי עליו מתבססת צורת ההכרה הבסיסית שלנו את העולם החיצון. כך חשב קאנט כי מושגי החלל והזמן עומדים בבסיס ההכרה שלנו יחד עם הגאומטריה האוקלידית והאריתמטיקה בהתאמה. הגאומטריה היא חקר מושג החלל ואריתמטיקה את מושג הזמן הנמצאים שניהם בבסיס הכרתנו עצמה. כלומר, בפילוסופיה של קאנט למתמטיקה יש תפקיד מנטלי לחלוטין. הנכונות המתמטית היא נכונות סובייקטיבית הקשורה לפעולות המנטליות שאני עושה בראשי.
מאז תקופתו של קאנט התגלו הגאומטריות הלא-אוקלידיות ואיתן אבד מקומו היסודי של מושג החלל. לכן כשהגיע בראואר, מייסד הגישה האינטואיציוניסטית, לבחור אילו אבני בניין להעמיד בבסיס תורתו, הוא בחר במספרים הטבעיים לבדם. כמו קאנט, גם הוא טען כי המתמטיקה היא אך ורק מנטלית אך הוסיף כי היא מבוססת אך ורק על מושג המספר, הנובע (בהמשך לקאנט) ממושג הזמן עצמו הטבוע בנו באופן בסיסי.
בניגוד לקאנט, שטענתו כי "המתמטיקה מוכרחה לגלם את מושגיה בהסתכלות. היינו לבנות אותם" הייתה חסרת משמעות (לפחות בתקופתו) מבחינה מתמטית, בראואר לוקח את טענותיו צעד קדימה. אם באמת המתמטיקה היא בנייה של מבנים בראשנו עלינו להתייחס אליה מתמטית כאל כזו. מתוך נקודה זו מגיע יחסם המיוחד של האינטואיציוניזם אל מושג האמת המתמטית עצמו. יחס ששינה גם את המתמטיקה שהם בנו בסופו של דבר.

אמת והוכחה

הייחוד העיקרי של האסכולה האינטואיציוניסטית הוא באופן שבו הם מפרשים את הרעיון של אמת מתמטית. באינטואיציוניזם המקורי של בראואר הנכונות של אמירה מתמטית היא סובייקטיבית לחלוטין וקאנטיאנית באופייה: אמירה מתמטית משמעה בנייה מנטלית. המתמטיקאי יכול לבדוק את אמיתות המשפט על ידי בנייתו בהסתכלות:
"האינטואיציוניסט מציע לבצע מתמטיקה כתוצאה טבעית של האינטלקט, כפעולה חופשית של המחשבה. עבורו, מתמטיקה היא תוצר של המוח האנושי. הוא משתמש בשפה, הן טבעית והן פורמלית, רק לשם העברת מחשבות. כלומר, כדי לאפשר לאחרים או לעצמו לעקוב אחר רעיונותיו המתמטיים."
עבור אינטואיציוניסט, הטענה כי אובייקט עם תכונות מסוימות "קיים", משמעה שהאובייקט הזה עם התכונות הללו נבנה. לכן אינטואיציוניזם הוא סוג של קונסטרוקטיביזם מתמטי, אך איננו הסוג היחיד. כפי שניתן לראות, היחס האינטואיציוניסטי למושג האמת מגביל יותר מזה הקלאסי. לכן דוחה האינטואיציוניסט חלק משיטות ההוכחה והבניה של המתמטיקה הקלאסית על מנת להבטיח שיהיה ניתן להסיק רק מה שאינטואיציוניסטית "לגיטימי". התוצאה של  תהליך זה הוא הלוגיקה אינטואיציוניסטית.
גם מושג השלילה שונה בין אינטואיציוניזם לבין לוגיקה קלאסית. בלוגיקה קלאסית, שלילה של טענה היא להראות כי הטענה לא נכונה. באינטואיציוניזם, להוכיח את "לא P" משמעו להראות שניתן להפוך כל הוכחה ל-P לסתירה. לכן ישנה אסימטריה בין טענות חיוביות ושליליות באינטואיציוניזם. אם טענה P ניתנת להוכחה, אזי בהכרח לא ניתן להראות כי הוכחה ל-P גוררת לסתירה. לכן נוכל להסיק כי הטענה "P לא נכון", לא נכונה (כלומר "לא לא P" הוכח). אך מהצד השני, גם אם נראה כי כל הוכחה ל-"לא P" בלתי אפשרית (גוררת לסתירה) זה איננו גורס עדיין את היכולת לבנות את P. כלומר לטעון P חזק יותר מלטעון "לא לא P".
באופן דומה, כדי להראות שא' או ב' נכונים, אינטואיציוניסט צריך להראות הוכחה ל-א' או להביא הוכחה ל-ב'. בפרט, כלל השלישי מן הנמנע, "א' או לא א'", איננו נכון בהכרח (בניגוד ללוגיקה קלאסית). אם א' היא טענה מתמטית שהאינטואיציוניסט עדיין לא הוכיח או הפריך, אזי האינטואיציוניסט לא יוכל להראות את "א' או לא א'". מאותה סיבה, הקשרים "וגם" ו-"או", לא מקיימים את כללי דה-מורגן באותו אופן כמו בלוגיקה קלאסית.
הלוגיקה האינטואיציוניסטית מחליפה את מושג האמת-המופשטת ביחס קונסטרוקטיבי לאמת. כלומר, היא רואה באמת עצמה משהו מנטלי בעיקרו שלאו-דווקא קשור לעולם החיצון. התייחסות כזו לאמת נותנת חיזוק לכמה אסכולות בפילוסופיה, בראשם לאנטי-ריאליזם של מייקל דאמט.

אינטואיציוניזם והאינסוף

אחד ההבדלים העיקריים המבדילים את המתמטיקה האינטואיציוניסטית לזו הקלאסית הוא ביחס למושג האינסוף.
המושג אינסוף פוטנציאלי מתייחס לפרוצדורה מתמטית הכוללת כמות לא נגמרת של צעדים. לאחר ששלב אחד עבר, תמיד יבוא אחריו צעד נוסף שיש לבצע. לדוגמה, תהליך לא נגמר של ספירה הוא כזה: . אינסוף שכזה נקרא פוטנציאלי כי ההתייחסות היחידה ל-"אינסופיות" שלו היא באופן פוטנציאלי: לכל שלב יהי שלב אחריו. איננו מתייחסים למלוא הצעדים כשאנו נדרשים לתאר את הפרוצדורה.
הביטוי אינסוף אקטואלי מתייחס למושג מתמטי שלם הכולל בתוכו מספר אינסופי של איברים. כך לדוגמה קבוצת המספרים הטבעיים,  שקיומה נובע מאקסיומת הקבוצה האינסופית.
בתורת הקבוצות של קנטור קיימים סוגים שונים של אינסוף. לדוגמה קבוצת כל המספרים הממשיים  גדולה בעצמתה מקבוצת הטבעיים . ניתן להראות כי כל ניסיון ליצור קשר חד-חד-ערכי בין שתי הקבוצות מביא לסתירה. כל קבוצה שניתנת להתאמה חד-חד-ערכית עם הטבעיים נקראת "בת מנייה". תורת הקבוצות של קנטור הובילה בסופו של דבר לפיתוח תורת הקבוצות האקסיומטית (ZFC), שנחשבת הבסיס למתמטיקה המודרנית הקלאסית.
באופן גס אפשר לומר כי בעוד שהמתמטיקה הקלאסית מאפשרת במסגרת תורת הקבוצות התייחסות לקבוצות בעלות אינסוף איברים - אינסוף אקטואלי, האינטואיציוניזם התיר במסגרתו רק התייחסות פוטנציאלית למושג האינסוף. בראיה האינטואיציוניסטית של בראואר למשל, האינסוף האקטואלי הוא מושג שלא ניתן באמת לבנות אותו בראש כי הוא אינו ניתן להשגה באופן אלגוריתמי. לעומתו, בראואר כן התיר התייחסות אינדוקטיבית - של אינסוף פוטנציאלי. הסיבה הבסיסית לכך היא בעוד שהמתמטיקה הקלאסית מעמידה ביסודה את מושג הקבוצה, האינטואיציוניסטים יוצאים ממושג המספר הטבעי. אם הפעולה המתמטית הבסיסית היא ספירה של מספרים טבעיים () הרי שקיימת בהסתכלות שלי התייחסות אינדוקטיבית: אני יודע שלאחר כל מספר שאספור אוכל לספור את המספר העוקב שלו.
מהבחינה החיובית מתירים האינטואיציוניסטים שיטות אינדוקטיביות לבנייה. לדוגמה, באופן שדומה לסדרות קושי, מגדירים האינטואיציוניסטים מהו מספר ממשי בעזרת המספרים הטבעיים. דוגמה נוספת היא הקבלה של האינטואיציוניסטים את ההוכחה באינדוקציה. בשני המקרים הסיבה לקבלה היא האבחנה כי בניות המבוססות על אינסוף פוטנציאלי הם בהכרח קונסטרוקטיבות (או אלגוריתמיות) במובן שנראה לאינטואיוניסטים תקין. מהצד השלילי האינטואיציוניסטים לא מקבלים בתורתם כל התייחסות לאינסוף כמושג שלם. כך לדוגמה האינטואיציוניסט לא יוכל עקרונית לדבר על "קבוצת הממשיים בין 0 ל-1". מבחינת האינטואיציוניסט התייחסות כזו מתייחסת לאוסף של מבנים שרובם לא נבנו מעולם במוחי ולכן אין משמעות למשפט אודותיהם.
פיניטיזם היא גרסה קיצונית של אינטואיציוניזם שאיננה מוכנה לקבל אפילו את המושג של אינסוף פוטנציאלי. על פי הפיניטיסטים, אובייקט מתמטי לא קיים אלא אם הוא נבנה מתוך מספרים טבעיים ועל ידי כמות סופית של פעולות.

מתמטיקה

כפי שנכתב מעלה, ההבדלים הפילוסופיים בין המתמטיקאים הקלאסיים השונים לבין האינטואיציוניסטים התגלו ברבות השנים כבעלי השפעה מכרעת על המתמטיקות השונות היוצאות מהן. ההבדל הראשון הנגלה לעין הוא העובדה שהאינטואיציוניזם דוחה הוכחות על דרך השלילה. עם עלייתו, נדמה היה שהמתמטיקה האינטואיציוניסטית תהיה רק מוגבלת יותר מבחינת המשפטים שהיא מצליחה להראות את נכונותם. עם זאת, ככל שעבר הזמן התגלו ההבדלים העקרוניים בין שני התורות עד כדי משפטים הנכונים במתמטיקה אינטואיציוניסטית אינם נכונים מבחינה קלאסית, והפוך.

מספרים טבעיים

קיומם של מספרים טבעיים (בניגוד למתמטיקה קלאסית) מונח ביסוד האינטואיציוניזם כאקסיומה. כפי שנכתב מעלה, האינטואיציוניזם מתייחס רק לאינסוף פוטנציאלי, ולכן טענות על כל המספרים הטבעיים צריכות להיבדק בזהירות. מהצד השני, האינטואיציוניזם מקבל לחלוטין שיקולים אינדוקטיביים. בגרסאותיו המאוחרות יותר (כמו זו של הייטינג) האריתמטיקה האינטואיציוניסטית זהה לחלוטין מבחינת האקסיומות שלה עם זו של אריתמטיקת פאנו.
בגלל הפשטות היחסית של המספרים הטבעיים (ביחס למספרים הממשיים נניח), רוב המשפטים הקלאסיים נכונים גם פה. כך לדוגמה, הוכח כי כל מספר טבעי ניתן לפירוק של מספרים ראשוניים. בטענות מורכבות יותר המצב מסובך יותר, אך באופן כללי לשתי המערכות יש דמיון רב.

הישר הממשי

על מנת להכניס את הישר הממשי לאינטואיציוניזם, הוסיף בראואר מבנה חדש למתמטיקה האינטואיציוניסטית: סדרות בחירה (choice sequence). לטענתו, מוחנו מסוגל להחזיק מבנה של סדרה בת מניה: לכל איבר בסדרה יהיה איבר הבא אחריו. המספרים בסדרה יכולים לעמוד בכלל מסוים או להיות מונעים אך ורק מתוך בחירה חופשית. בכלל, בראואר טען שקיומם של הסדרות הללו במוחנו נובע מתוך הבחירה החופשית הטבועה בנו. בעזרת מושג זה יכל בראואר להגדיר מספרים ממשיים כסדרות של מספרים רציונליים המקיימים כלל (בדומה לחתכי דדקינד או לסדרות קושי). הייטינג הרחיב ופישט את מושג סדרת-בחירה למושג האוסף (spread) המתאר מעין עץ של בחירות אפשריות המוגדרות על ידי כלל.
בעזרת כלים אלו יכלו האינטואיציוניסטים להגדיר מהו מספר ממשי מבלי להתייחס אל מושג כמו "קבוצת כל הממשיים" (התייחסות אקטואלית לאינסוף). במתמטיקה אינטואיציוניסטית, מספרים ממשיים הם מעין סדרות המכילות מידע בעל דיוק הולך וגדל פוטנציאלית. לכן, ניתן עקרונית לבנות מספרים ממשיים על ידי כלל המונע את היכולת שלנו לדעת מידע מסוים על מספר ועם זאת לדעת שהוא אכן מספר. כך לדוגמה ניתן לבנות מספר שאיננו יודעים האם הוא קטן או גדול מ-0.5, כל עוד משפט מתמטי מסוים עדיין לא הוכח או הופרך. לכן הטענה כי לכל שני מספרים x,y או שהם שווים, או ש־ או  לא נכון במתמטיקה אינטואיציוניסטית. הסיבה לכך היא שלא לכל שתי סדרות-בחירה שניתן להראות שהן מספרים ממשיים, נוכל להראות מה יחס הסדר ביניהם.
מסיבה זו, הצליח בראואר להוכיח את הטענה המפתיעה כי כל פונקציה  (פונקציה שניתן להראות כי היא מוגדרת בקטע ) בהכרח גם רציפה בקטע . משפט זה כמובן לא נכון במתמטיקה קלאסית. על מנת לשלול את הטענה באופן קלאסי היינו יכולים לתת את הדוגמה הנגדית הבאה:
הפונקציה אמנם לא רציפה, אך לא ניתן להראות שהיא מוגדרת על הישר, ולכן היא איננה עומדת בתנאי המשפט. כפי שאמרנו, קיימים מספרים שלא ניתן להראות כי הפונקציה נותנת להם ערך ולכן לא ניתן להראות כי היא מוגדרת על כל הישר. יש לציין שמבחינה לוגית עדיין לא הראנו את נכונות המשפט עצמו. בראואר עצמו הוכיח את המשפט ב-1923 על ידי שימוש באופי האלגוריתמי שחייבת להיות לפונקציה אם באמת ניתן להראות כי היא מוגדרת בקטע על הישר.