תורת הכאוס

תורת הכאוס (או התוהו) היא ענף במתמטיקה, בחיזוי מזג אוויר, בפיזיקה, בכלכלה, ובפילוסופיה, המתארת מערכות רבות, שגם כאשר ידועים כל החוקים השולטים בהן, לא ניתן לחזות את התפתחותן לטווח ארוך. מערכות אלו מכונות מערכות דינמיות עם רגישות גבוהה לשינויים מזעריים בתנאי ההתחלה. 
החידוש הגדול בתורת הכאוס היה שהיא הראתה שגם במערכות פשוטות ודטרמיניסטיות יש מצבים בהן התנהגות המערכת אינה ניתנת לחיזוי באופן אפקטיבי, כי לשם כך יש צורך בידיעת התנאים ההתחלתיים בדיוק אינסופי - שאינו אפשרי. תופעה זו מכונה בלשון ציורית "אפקט הפרפר". דוגמאות למערכות כאלה הן האטמוספירה ומערכות כלכליות מסוימות.
בניגוד למה שהשם מרמז, התנהגות כאוטית אינה התנהגות שיש בה אי סדר מוחלט. התנהגות כאוטית היא התנהגות חסומה; כלומר, מוגבלת לאירועים מסוימים, והמערכת שואפת למושך – אוסף יציב של מצבים. עד פיתוח תורת הכאוס המושכים היחידים הידועים היו התכנסות לנקודת שיווי משקל, התכנסות למסלול מחזורי, והתכנסות למסלול כמעט מחזורי. תורת הכאוס הוסיפה גם מושך מוזר, שהוא מסלול שהמערכת מתכנסת אליו, ואשר יש לו אופי פרקטלי.  
מערכות שבהן מתקיימת התנהגות כאוטית חייבות להיות לא ליניאריות. עבור משוואות הפרש התנהגות כאוטית יכולה להופיע כבר במשוואה יחידה, כמו ההעתקה הלוגיסטית. עבור משוואות דיפרנציאליות רגילות התנהגות כאוטית יכולה להופיע רק ממערכת בת לפחות שלוש משוואות אוטונומיות מסדר ראשון, כמו משוואות לורנץ, או מערכת של שתי משוואות עם תלות ישירה בזמן.

מושכים

צורה אחרת לדמיין את התנועה הכאוטית, ובעצם כל סוג של תנועה, היא על ידי דיאגרמת פאזה של התנועה. בדיאגרמה כזו, כל אחד מצירי גרף הפונקציה מייצג ממד אחד של המצב, והזמן אינו מיוצג בו. לדוגמה, אפשר לצייר את המיקום של מטוטלת כנגד המהירות שלה. מטוטלת במנוחה תצויר כנקודה, בעוד שמטוטלת בתנועה מחזורית תצויר כעקומה סגורה פשוטה. כאשר ציור כזה יוצר עקומה סגורה, העקומה קרויה מסלול. למטוטלת שבדוגמה כאן ישנו מספר אינסופי של מסלולים כאלה, הנבדלים זה מזה באנרגיה שלהם.
לעיתים קרובות, דיאגרמות פאזה מראות כי רוב המצבים מתקרבים לגבול מסוים. המערכת בסופו של דבר נעה באותה צורה עבור כל התנאים ההתחלתיים בתחום מסוים, כמעט כאילו המערכת נמשכת לתנועה הזו. תנועה "מושכת" כזו קרויה המושך של המערכת, והיא נפוצה מאד. 
לדוגמה, אם נחבר למטוטלת משהו שיאט אותה, המטוטלת תמיד תגיע למנוחה בסופו של דבר, וללא תלות במצב ההתחלתי שלה, או ליתר דיוק - היא תגיע למנוחה בגבול. בדיאגרמת פאזה הדבר ייראה כקווים היוצרים ספירלה לכיוון האמצע, במקום סדרות של אליפסות, כפי שהיה במטוטלת חופשית. הנקודה הזו באמצע - המצב שבו המטוטלת נמצאת במנוחה - קרויה המושך. מושכים משויכים לעיתים קרובות למערכות כמו המטוטלת, שבהן אלמנט מסוים מוריד בהדרגה את האנרגיה של המערכת.
במערכות פשוטות לניתוח, המושך הוא לרוב נקודתי. אבל לא כל המושכים הם כאלה. ישנן גם לולאות פשוטות, או לולאות כפולות מורכבות יותר (שבהן צריך יותר משתי דרגות חופש). ויש כאלה שהן למעשה פרקטלים: ה"מושכים המוזרים". מערכות עם מושכים לולאתיים מציגים תנועה מחזורית. אלה עם הלולאות המורכבות יותר מציגים לרוב תנועה מחזורית-למחצה. ומערכות עם "מושכים מוזרים" מציגים התנהגות כאוטית. 
בכל נקודה של דיאגרמת הפאזה, המערכת תיטה להתפתח למצב שכן בצורה דטרמניסטית (ניתנת לחיזוי) כלשהי. אם המטוטלת שלנו נמצאת בנקודה מסוימת ויש לה מהירות מסוימת, אנו יכולים לחשב את הנקודה הבאה שלה ואת המהירות שלה שם. כלומר, אנו יכולים להתייחס לדיאגרמת הפאזה שלנו כשדה וקטורים, ולהבין אותה באמצעות אנליזה וקטורית.

מושכים מוזרים

בעוד שרוב אופני התנועה שמוזכרים למעלה יוצרים מושכים פשוטים, כמו נקודות או עקומות בצורת עיגול, תנועה כאוטית מתכנסת למושכים מוזרים, שהם בעלי מורכבות ופירוט גדולים מאד. לדוגמה, מודל תלת ממדי של מערכת מזג האוויר של לורנץ יוצר את "מושך לורנץ" המפורסם. הדיאגרמה של מושך זה היא אחת הדיאגרמות הידועות ביותר במערכות הכאוטיות, הן משום שהייתה מהראשונות שהתפרסמו, והן בשל צורתה האלגנטית, המזכירה כנפי פרפר. 
מושכים מוזרים קיימים במערכות דינמיות רציפות (כמו מערכת לורנץ) ובמערכות דיסקרטיות, בדידות (כמו מפת הנון). למערכות דינמיות דיסקרטיות אחרות יש מבנה דוחה שקרוי קבוצת ג'וליה, שנוצר בגבול בין אזורי משיכה בנקודות קבועות - אפשר לחשוב על קבוצת ג'וליה כ"דוחה מוזר". למושכים ולדוחים המוזרים יש מבנה פרקטלי. 
משפט פואנקרה-בנדיקסון מראה כי מושך מוזר יכול להווצר במערכת דינאמית רציפה רק אם יש לו שלושה או יותר ממדים. אולם, מגבלה זו אינה קיימת במערכות דיסקרטיות, שמציגות מושכים מוזרים במערכות בעלות שני ממדים או אפילו ממד אחד.
הדפוס של מערכת עם "מושך מוזר" הוא שונה. מערכות עם "מושכים מוזרים" מציגות התנהגות כאוטית. מיפוי המושך המוזר מראה שהתנהגות המערכת בלתי צפויה ולא מכנית, נראית "משונה" או "מוזרה" ואינה עקבית וסדירה כמו ה"מושך". מכיוון שהמערכת פתוחה לסביבה החיצונית שלה, היא מסוגלת להפגין גוונים רבים של תנועה. באופן כללי, בכל אורגניזם בריא קיים "מושך מוזר", והוא עצמו "מושך מוזר" המתפתל, מתנועע, משתנה, מלא מעגלי משוב חיוביים הדוחפים את המערכת לכיוונים חדשים, ומעגלי משוב שליליים הדואגים לכך שהתהליך לא יגלוש לאקראיות צרופה, שתהרוס אותו.

היסטוריה

שורשיה של תאוריית הכאוס בערך בשנת 1900, במחקריו של אנרי פואנקרה על בעיית שלושת הגופים, העוסקת בתנועה של שלושה גופים בחלל, בהשפעת הכבידה. פואנקרה גילה שיכולים להיות מסלולים לא-מחזוריים, שאינם מתרחקים או מתקרבים לנקודה קבועה. מחקרים מאוחרים יותר, גם בנושא של משוואות דיפרנציאליות לא ליניאריות, נעשו על ידי ג.ד. בירקהוף, א. נ. קולמוגורוב, מ. ל. קרטוויט, ג'. א. ליטלווד וסטפן סמייל. חוץ מסמייל, שהיה אולי המתמטיקאי הטהור הראשון שחקר את הדינמיקה הא-ליניארית, מחקרים אלה כולם היו בהשראת הפיזיקה: בעיית שלושת הגופים במקרה של בירקהוף, מערבולות ובעיות אסטרונומיות במקרה של קולמוגורוב, והנדסת רדיו במקרה של קרטוויט וליטלווד. אם כי תנועה כאוטית של כוכבי-לכת לא נצפתה, לא הייתה בנמצא תאוריה שיכלה להסביר את חוסר הסדר בתנועת נוזלים ואת השינוי הלא-מחזורי במעגלי רדיו. 
תאוריית הכאוס התקדמה מהר יותר לאחר אמצע המאה, כאשר מדענים החלו להבין שתורת המערכות הליניאריות, התאוריה המערכתית המובילה באותו זמן, לא יכולה להסביר את התנהגותם של ניסויים מסוימים כמו ההעתקה הלוגיסטית. הקטליזטור העיקרי להתפתחות של תאוריית הכאוס היה המחשב האלקטרוני. חלק גדול מהמתמטיקה של תאוריית הכאוס כוללת ביצוע של נוסחאות מתמטיות פשוטות פעמים רבות, דבר שלא היה אפשרי ללא המחשב. באחד מהמחשבים האלקטרוניים הראשונים, ה-ENIAC, השתמשו לערוך מודלים פשוטים של מזג האוויר. 
חלוץ מוקדם של התאוריה היה אדוארד לורנץ, שהתעניינותו בכאוס באה במקרה דרך מחקריו על חיזוי מזג אוויר ב-1961. לורנץ השתמש במחשב בסיסי שעליו הריץ את הסימולציה האקלימית שלו. הוא רצה לראות שוב כמה נתונים שראה קודם, ועל מנת לחסוך זמן הוא הזין את הנתונים שהתקבלו באמצע סימולציה קודמת. 
להפתעתו, המחשב חזה כעת מזג אוויר שונה לחלוטין. לורנץ הבין שהשינוי נובע מכך שהנתונים החדשים שהשתמש בהם היו בעלי 3 ספרות לאחר הנקודה, ואילו המחשב קודם לכן עבד עם 5 ספרות לאחר הנקודה. השינוי הזה קטן מאד, ובאותו זמן היה קונצנזוס ששינוי כזה לא יכול להשפיע בכלל. אך לורנץ גילה ששינויים קטנים בתנאים ההתחלתיים יכולים להביא לשינויים גדולים בסופו של דבר. 
המונח כאוס במתמטיקה נטבע על ידי המתמטיקאי ג'יימס א. יורק. 
זמינותם של מחשבים חזקים יותר מאפשרים התפתחות בבדיקה ויישום רחב יותר של תאוריית הכאוס. כיום תאוריית הכאוס היא תחום מחקר פעיל ביותר.