היסטוריה של החשבון האינפיניטסימלי

חשבון אינטגרלי

חישוב שטחים ונפחים, שהוא שימוש מרכזי של חשבון אינטגרלי, העסיק כבר את המצרים הקדמונים. דוגמה לכך היא פפירוס מוסקבה (משנת 1820 לפנה"ס בערך), שבו מחושב הנפח של פירמידה קטומה.
מתמטיקאים יוונים עשו שימוש באינפיניטסימלים - גדלים חיוביים קטנים לאין שיעור. דמוקריטוס עסק בחלוקה אינסופית של עצם באמצעות חיתוכו. זנון מאלאה ערער את הביטחון בשימוש באינפיניטסימלים באמצעות הפרדוקסים של זנון (הבעיות שהעלה זכו לפתרון רק כעבור יותר מאלפיים שנה, עם ביסוס מושג הגבול). לאנטיפון ואחריו לאאודוקסוס מקנידוס מיוחסת יצירתה של שיטת המיצוי, המאפשרת חישוב של שטחים ונפחים באמצעות חלוקת העצם למספר אינסופי של חלקים. ארכימדס המשיך בפיתוח שיטה זו, והשתמש בשיטות הקרובות לשיטות המודרניות (ראו תרבוע הפרבולה). רק בזמנו של ניוטון התבטל הצורך בשיטות אלה. 
לִיאוּ הוּאַי, המתמטיקאי הסיני בן המאה ה-3, בפרשנותו לספר "תשעת הפרקים של אמנות המתמטיקה", מצא נוסחה לחישוב נפח של גליל, בשיטות בסיסיות של החשבון האינפיניטסימלי.
השימוש באינפיניטסימלים לא זכה לביסוס בעת העתיקה, והוא שימש רק ככלי עזר - נכונות המשפט הוכרה רק כאשר נמצאה לו הוכחה גאומטרית.

חשבון דיפרנציאלי

ארכימדס היה הראשון שמצא דרך למציאת משיק לעקומה שאינה מעגל. בעת שחקר את הספירלה, הפריד תנועה של נקודה לשני רכיבים: תנועה לאורך הרדיוס ותנועה מעגלית. הוא חיבר את שתי התנועות יחדיו למציאת המשיק. 
המתמטיקאי ההודי אריאבהטה, בן המאה השישית, השתמש באינפיניטסימלים, והציג בעיה אסטרונומית כמשוואה דיפרנציאלית. משוואה זו הובילה במאה ה-12 את בהסקרה השני לפיתוח רעיון הנגזרת לשם ייצוג שינוי אינפיניטסימלי, ותיאר גרסה מוקדמת של משפט רול.

בימי הביניים

צעד נוסף בפיתוח החשבון האינפיניטסימלי נעשה במאה ה-11 בידי איבן אל-היית'ם, מתמטיקאי שחי במצרים העלה ב"ספר האופטיקה" שלו בעיות שלפתרונן יצר נוסחה לחישוב סכום של חזקות ממעלה רביעית, בשיטה שניתן להכלילה לסכום של חזקות שלמות ממעלה כלשהי. הוא חישב נפח של פרבולואיד, ויכול להכליל את שיטתו לאינטגרציה של פולינום עד למעלה רביעית. 
בהודו, בתקופה שבין המאה ה-12 עד המאה ה-16, אינפיניטסימלים נתגלו כבעלי שימוש בחשבון דיפרנציאלי על ידי המתמטיקאי ההודי בשקרה ומספר מתמטיקאים קראליים (מתמטיקאים הודים שלמדו בבית ספר למתמטיקה שבעיר קראלה בדרום הודו).

לייבניץ וניוטון

ניוטון פיתח את התאוריה שלו בין חורף 1664 לאוקטובר 1666, והפקיד סיכום של עבודתו בידי ג'ון קולינס, יועצו של מזכיר החברה המלכותית הבריטית. לייבניץ החל לעבוד בנושא ב-1673. ניוטון פרסם מעט מאוד משיטותיו בתחום זה עד 1693, ולא סיפק הסבר מלא עד 1704. מאוחר יותר טען ניוטון כי התעכב בפרסום רשימותיו מחשש שילעגו לו. לייבניץ, לעומת זאת, פרסם הסבר מלא של השיטות שלו כבר ב-1684. הרשימות של לייבניץ היו מפורטות ביותר לגבי הפיתוחים שלו לעומת רשימותיו של ניוטון שהציגו פיתוחים סופיים בלבד. 
הסימון של ניוטון לנגזרת היה "סימון הנקודה של ניוטון" ואילו לייבניץ הסתמך על "סימון דיפרנציאלי" והאחרון הוא שאומץ בקרב מתמטיקאים רבים יותר. לפי סימונים אלה  כאשר אגף ימין הוא הסימון של לייבניץ לנגזרת ואילו אגף שמאל הוא הסימון של ניוטון. אף הסימונים האחרים של לייבניץ בחשבון האינפיניטסימלי נחשבו למקובלים יותר מאשר אלו של ניוטון. בסימוניו של לייבניץ: סימן האינטגרל, המסמל S לטינית מוארכת, מהמילה "סומא" (summa), וה-d המשמשת לדיפרנציאל מהמילה הלטינית "דיפרנטייה" (differentia).
ב-1699 החלו ניוטון ולייבניץ בעימות ארוך שנים לגבי זכות הראשונים על המצאת החדו"א. כל אחד מן השניים טען שהוא זה שגילה את החדו"א והאחר העתיק ממנו, ומכיוון שהאנגלים תמכו בניוטון ואילו המתמטיקאים בשאר מדינות אירופה תמכו בלייבניץ, נוצרה הפרדה בין הפעילות המתמטית באנגליה לזו של שאר אירופה (כתוצאה מכך התעכבה ההתפתחות של החשבון האינפיניטסימלי בממלכה המאוחדת, ורק בתחילת המאה ה-19 אימצו הבריטים את מערכת המושגים והסימונים האירופית).  ניוטון אף גייס את החברה המלכותית, שהוא היה מזכירה, וב-1712 פורסם מסמך מטעמה שטען כי זכויות הגילוי הן של ניוטון וכי לייבניץ הוא רמאי. אמינותו של המסמך הוטלה בספק כאשר התברר מאוחר יותר כי ניוטון עצמו הוא שכתב חלקים ממנו. העימות וההפרדה שנוצרה השפיעו לרעה על התפתחות המתמטיקה באירופה במשך מאה שלמה. חלפו למעלה מ-200 שנה עד שהמצב התברר לאשורו וכיום ניתן הקרדיט על המצאת החדו"א הן לניוטון והן ללייבניץ, והמשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי נקרא גם משפט ניוטון-לייבניץ.
לייבניץ וניוטון ביססו את החדו"א על מושג האינפיניטסימל שהוא מספר "קטן באופן אינסופי", ובאופן יותר מדויק, מספר אינפיניטסימלי הוא מספר שקטן בערכו המוחלט מכל מספר ממשי חיובי. במערכת המספרים הממשיים, האינפיניטסימל היחיד הוא אפס, אך במערכות מספרים אחרות קיימים אינפיניטסימלים רבים. טענה טיפוסית עשויה להתנהל כך:
כדי למצוא את הנגזרת  של הפונקציה , יהי  אינפיניטסימל שאיננו 0. לכן, 
כיוון ש- קטן לאין שיעור. בשפה מודרנית ניתן לומר שהזנחת המספר האיניפיניטסימלי בסוף החישוב נובעת מהגדרת הנגזרת כחלק הסטנדרטי של השיפוע שחושב לעיל.
השימוש באינפיניטסימלים הותקף ונטען נגדו שהוא שגוי  על ידי הבישוף ג'ורג' ברקלי בחיבורו "האנליסט". הבעיה הבסיסית, לפי ברקלי, היא שבהתחלה מתייחסים ל- כמספר שונה מאפס ומחלקים בו, אבל מאוחר יותר מתעלמים ממנו כאילו הוא היה אפס. גם דייוויד יום תקף את היסודות הלוגיים של החשבון האינפיניסטימלי.
הנוסחה המעשית יותר לחישוב נגזרות של פולינומים לא משתמשת בגבול והיא f(x) = ax^n + b, f'(x) = anx^(n-1) + 0
ניוטון נעזר בחדו"א כדי לפתור מגוון רחב של בעיות: מציאת שטחים, שיפועי משיקים, אורך של עקומות ומינימום ומקסימום של פונקציה. הוא הפנה את החשבון האינפיניטסימלי לפתרון בעיות פיזיקליות של כמויות משתנות והגיע למגוון תוצאות. הוא ביצע עבודה חלוצית בתחום הטורים אינסופיים כשמצא טורים אינסופיים לביטוי פונקציות שונות ואת שיטת הקירוב של טורים אינסופיים, והוא אף התקרב מאוד למושג הגבול. ניוטון הציג לראשונה את משפט הבינום המוכלל (אשר נקרא על שמו - הבינום של ניוטון), המתאר את טור טיילור של הפונקציה  גם כאשר  אינו שלם. הוא ביצע קירוב של סכומים חלקיים של הסדרה ההרמונית באמצעות לוגריתמים (בכך הקדים את נוסחת הסכום של אוילר) ותרם רבות לתחום של טורי חזקות. כמו כן גילה נוסחה חדשה לחישוב π.

ביסוס מושגים

במאה ה-19 הצליח המתמטיקאי הצרפתי אוגוסטין לואי קושי לבסס את מושג הגבול באמצעות גדלים ממשיים וסופיים בלבד. ההגדרות של קושי החליפו את השימוש במושג האינפיניטסימל בשימוש במספרים ממשיים שיכולים להיות "קטנים כרצוננו" או "גדולים כרצוננו". הגדרת הגבול של קושי נהפכה לאבן היסוד של התחום בצורתו המודרנית. את ביסוס תורת הגבולות והטופולוגיה של הישר הממשי ביצעו בנוסף לקושי גם קארל ויירשטראס (שבין השאר הנהיג את ההגדרות המודרניות של מושגים יסודיים כמו גבול ונגזרת, במונחי  ו- ) ובולצאנו. תרמו גם לגראנז', דארבו ורימן. 
בצורתו החדשה, החשבון האינפיניטסימלי היה אמין יותר אך היה מבוסס כולו על תכונות המספרים הממשיים, מושג שהוגדר אז באופן גאומטרי. בסוף המאה ה-19, המתמטיקאים גאורג קנטור ודדקינד בנו ייצוגים קונקרטיים למספרים הממשיים, שהתבססו על תורת הקבוצות, במטרה לבסס את המושגים האנליטיים על מושג הקבוצה. הבנייה של קנטור הסתמכה על השלמה של שדה המספרים הרציונליים באמצעות סדרות קושי, ואילו הבנייה של דדקינד התבססה על חתכי דדקינד.
בתחילת המאה ה-20, נעשו מספר ניסיונות על ידי כמה מתמטיקאים להכליל את מושג האינטגרל. וזאת מכיוון שהאינטגרל של רימן לוקה בכמה חסרונות. לדוגמה, אוסף הפונקציות שעליהן ניתן לבצע אינטגרציה לפי רימן אינו שלם לפי מספר נורמות טבעיות. ההכללה הטובה ביותר הייתה זו של אנרי לבג, הנקראת אינטגרל לבג, אשר מבוססת על תורת המידה (שבמרכזה מידת לבג שהיא מידה המכלילה את מושג האורך).