תורת הערך

רקע

לפי תאוריית תוחלת התועלת (להלן), אשר פותחה על ידי ג'ון פון נוימן ואוסקר מורגנשטרן, אנשים רציונליים אמורים בעת קבלת החלטות תחת סיכון, לבחור את החלופה בעלת התוחלת הגבוהה ביותר. כך למשל, כאשר הם צריכים לבחור בין קבלת מתנה בשווי 4,000 שקלים בהסתברות 75% לבין קבלת מתנה בשווי 3,000 בוודאות, הם אמורים לבחור בשתי האופציות באותה מידה, כיוון שהתועלת של שתי החלופות שווה. תאוריה זו שלטה באנליזה של קבלת החלטות תחת אי ודאות והייתה מקובלת כמודל הנורמטיבי לבחירה בין חלופות וכמודל תיאורי להתנהגות כלכלית. לכן היה נהוג לחשוב שאנשים הגיוניים יפעלו לפי אקסיומות התאוריה.
כהנמן וטברסקי ביצעו ניסויים אשר הראו שאנשים לא מתנהגים בהכרח לפי תאוריה זו, והבחירות שלהם אינן בהכרח רציונליות. תורת הערך נועדה להסביר את הסטיות מההתנהגות המתבקשת לפי תיאורית תוחלת התועלת. על פי תורת הערך, אנשים נוהגים לתת משקלים שגויים להחלטות תחת אי ודאות ביחס להחלטות תחת ודאות. אפקט הוודאות מטה את החלטת מקבל ההחלטות אם יש וודאות. אף על פי שאין תצוגת ההחלטה אמורה להשפיע על מקבל ההחלטה, אנשים נוטים לשנות החלטתם לפי תצוגת האפשרויות. בתורת הערך, ניתנו משקלים שונים כדי לשחזר החלטות אלו ולמדל את ההחלטות שמקבלים אנשים, לפי תפישתם.

תורת הערך

הראשון שניסה לשנות את תאוריית תוחלת התועלת היה מרקוביץ' (1952). מרקוביץ' הגדיר רווחים והפסדים במקום מצב כספי סופי, דבר שנמצא נכון במחקרים אמפיריים לאחר מכן. פונקציית התועלת שהגדיר הייתה קמורה וקעורה בשני המקרים, רווחים והפסדים. למרות זאת, נמצאו סתירות לתאוריה זו.
ניסיון אחר היה שינוי ההסתברויות למשקלים כלליים יותר אשר הוצע על ידי אדוארדס (1962). גם לשינוי זה הורצו מחקרים אמפיריים. מודלים דומים פותחו על ידי פלנר (1965), שהציע רעיון משקול החלטה כדי למנוע עמימות, ועל ידי ואן-דאם (1975) שניסה למדוד משקלי החלטות. אנליזות נוספות של תאוריית תוחלת התועלת ומודלים אלטרנטיביים להחלטות, נעשו על ידי אליאס, קומבס, הנסון, ופישבורן.
בעקבות המחקרים האמפיריים שגילו סתירות הוצעה תיאורית הסיכוי (prospect) - תורת הערך. בתאוריה זו, ישנה הבחנה בין שני שלבים שבתהליך בחירת החלופה: שלב מקדים של עריכה ושלב לאחר מכן שלב הערכה. שלב העריכה כולל אנליזה מקדימה של ההסתברויות הנתונות, שלעיתים מניבה תצוגה פשוטה יותר של אותם סיכויים. בשלב השני, ההסתברויות שעברו עריכה עוברות הערכה והסיכוי של הערך הגבוה ביותר נבחר. 
המשוואה של תורת הערך משמרת את הצורה הליניארית של תיאורית תוחלת הערך. כדי להתגבר על הסתירות השונות בתיאורית תוחלת הערך, יש להתייחס לשינוי מהמצב הנוכחי ולא למצב הכספי הסופי, וכן משקול ההחלטות לא חופף להסתברויות הנתונות. המטרה- להצליח למדל אי התאמות לתיאורית תוחלת התועלת. אי התאמות שלעיתים מתוקנות על ידי מקבל ההחלטות הרציונלי, ומתרחשות כאשר למקבל ההחלטות אין את ההזדמנות לגלות שהעדפותיו סותרות את תאוריית תוחלת התועלת.

תיאורית הפרוספקט של כהנמן וטברסקי (1979)

כהמן וטברסקי הדגימו סדרה של הטיות שבחלקן גם מפרות את הניבויים של תיאורית תוחלת התועלת.
הם הציעו מודל אלטרנטיבי – תיאורית הפרוספקט. במודל הזה שילבו אינטואיציות מפסיכולוגיה ויצרו תחום חדש: כלכלה התנהגותית.
1. הפרדוקס של Allais) 1953) / אפקט הוודאות (כהמן וטברסקי 1979) - מי שהגה את הפרדוקס היה מוריס אלֶה ב-1953. כהמן וטברסקי לקחו את הרעיון שלו וקראו לו בשם חדש "אפקט הוודאות". הניסוי: קבלת החלטה ראשונה: מקבלים 3,000 ש"ח בוודאות או מקבלים 4,000 ש"ח בסיכוי של 0.8, כאשר הרוב מעדיפים את האופציה הראשונה. קבלת החלטה שנייה: מקבלים 3,000 ש"ח בהסתברות 0.25 או 4,000 ש"ח בהסתברות 0.2, כאשר הרוב מעדיפים את האופציה השנייה. אפקט זה מפר את הנחת אי התלות בבסיס.
הסבר לתופעה: אנשים נותנים משקל יתר בהחלטתם לתוצאה וודאית, בהשוואה לתוצאה שאינה וודאית (הסתברותית).
2. אפקט השיקוף (Reflection effect) - אנשים לא תמיד אוהבים וודאות. לפי אפקט השיקוף יש לנו העדפת סיכון מנוגדת לקבלת החלטה בתנאים של חוסר וודאות כתלות בשאלה האם אנו מצפים להרוויח או להפסיד. האפקט מראה שדו המשמעות וגם הימנעות מסיכונים הם אפקטים נכונים אבל רק במקרים בהם מדובר על רווח צפוי. לעומת זאת, ברגע שאנחנו צופים הפסד, אנחנו מעדיפים לקחת סיכונים שעלולים לצמצם את ההפסד (וע"י כך להפגין אהבת סיכון). אותם אנשים שישנאו סיכון בבחירה אחת יכולים לאהוב אותו בבחירה אחרת. אפקט זה של "היפוך" העדפות על ידי החלפת סימן + בסימן -, נקרא אפקט השיקוף.
ניסוי: קבלת החלטה: -3,000 ש"ח בוודאות או -4,000 ש"ח בהסתברות של 0.8, הרוב בוחרים באופציה השנייה. דווקא בעולם ההפסד אנשים לא אוהבים וודאות ומנסים לברוח ממנה.
הצגת אותה הבעיה במונחי רווח או במונחי הפסד גורמת להיפוך העדפה.
בתחום החיובי (רווח), אנשים מעדיפים וודאות (נמנעים מסיכון).
בתחום השלילי (הפסד) אנשים מעדיפים סיכון (נמנעים מוודאות).
לכן הטענה שאנשים תמיד מעדיפים וודאות לא נכונה.
3. משקל יתר להסתברויות קטנות (Overweighting of small probabilities) – אנשים נוטים לתת משקל יתר לאירועים המתרחשים בהסתברויות קטנות.
ניסוי: קבלת החלטה לקבל 6,000 ש"ח בהסתברות 0.45 או לקבל 3,000 ש"ח בהסתברות 0.9, הרוב מעדיפים את האופציה השנייה. קבלת החלטה לקבל 6,000 ש"ח בהסתברות 0.001 או לקבל 3,000 ש"ח בהסתברות 0.002, הרוב מעדיפים את האופציה הראשונה. בעצם ההסתברות של הבעיה הראשונה חולקה ב-450 אבל ההחלטה השתנתה.
זה מבטא את העובדה שאנשים נוטים לקחת סיכוי בהסתברות נמוכה מאוד, לדוגמה בלוטו. ההסבר הוא שאנשים לא יודעים מבחינה פסיכולוגית לעשות את ההבדל, הסכום מאוד גדול ואנשים בוחרים להמר למרות ההסתברות הנמוכה מאוד לזכייה.
זאת סתירה לאי תלות בבסיס. שיטה זאת מיושמת בביטוח ולוטו.
4. אפקט מסגרת ההתייחסות (Framing effect) - דמיינו שנותנים לכם 1,000 ש"ח ועכשיו אתם צריכים לבחור: ללכת עם 500 ש"ח בוודאות או ללכת עם 1,000 ש"ח בהסתברות 0.5, רוב האנשים מעדיפים את האופציה הראשונה. עכשיו נותנים לכם 2,000 ש"ח ואתם צריכים לבחור: לתת 500 ש"ח מה-2,000 ש"ח או לתת 1,000 ש"ח בהסתברות 0.5, רוב האנשים מעדיפים את האופציה השנייה.
ההסבר לתופעה הוא: במקרה של ה-1,000 ש"ח נקודת מוצא היא נמוכה וההימור נראה כרווח (מוביל להימנעות מסיכון לפי אפקט הוודאות), במקרה של 2,000 ש"ח נקודת מוצא היא גבוהה וההימור נראה כהפסד (מוביל ללקיחת סיכון לפי אפקט השיקוף). לא המצב הסופי הוא הקובע אלא התהליך או סוג השינוי מנקודת ההתחלה: עליה או ירידה.
5. שנאת הפסד (Loss aversion) – אחת הטענות החשובות והבעייתיות ביותר של כהנמן וטברסקי. הבעיה לא הוצגה כניסוי אלה בצורה היפותטית כניסוי מחשבה. בחרו אחת משתי האלטרנטיבות הבאות: 0 בוודאות או רווח של 10 בהסתברות 0.5 והפסד של 10 בהסתברות 0.5, רוב האנשים (60%) בוחרים באופציה השנייה, אבל כהנמן וטברסקי טענו ההפך. סתירה זאת מוסברת על ידי אפקט שנאת ההפסד. כהנמן וטברסקי טענו שבבעיה זו, רוב האנשים מעדיפים להימנע מההימור בגלל שנאת ההפסד: היות שמשקל הסובייקטיבי של הפסדים גדול משל הרווחים.
אחד המחקרים המפורסמים ביותר שבוצעו על ידי כהנמן וטברסקי בתחום תורת ההחלטות הוא מחקר על המגפה האסייתית. המחקר לא עסק במגפה עצמה, אלא באופן שבו אנשים מתייחסים לבעיה כאשר היא מוצגת באור חיובי או באור שלילי.
שוו בנפשכם שארצות הברית נערכת לקראת התפרצות של מחלה אסייתית יוצאת דופן, והתחזיות הן ש-600 איש ימותו ממנה. הוצעו שתי תוכניות היערכות לקראת המחלה. נניח שהאומדנים המדעיים המדויקים של התוכניות הם כדלקמן:
אם תאומץ תוכנית א' 200 אנשים יינצלו. אם תאומץ תוכנית ב' יש סיכוי של 1/3 ש 600 איש יינצלו, וסיכוי של 2/3 שאיש לא יינצל. מה תעדיפו? את תוכנית א' או את תוכנית ב'?
72% מהנשאלים במחקר המקורי העדיפו את תוכנית א'.
החלק השני של המחקר כלל את אותה השאלה אך בניסוח אחר:
שוו בנפשכם שארצות הברית נערכת לקראת התפרצות של מחלה אסייתית יוצאת דופן, והתחזית הן ש-600 איש ימותו ממנה. הוצעו שתי תוכניות היערכות לקראת המחלה. נניח שהאומדנים המדעיים המדייקים של התוכניות הם כדלקמן:
אם תאומץ תוכנית א', ימותו 400 אנשים. אם תאומץ תוכנית ב', יש סיכוי של 1/3 שלא ימות איש, וסיכוי של 2/3 שימותו 600 אנשים. מה תעדיפו? את תוכנית א' או את תוכנית ב'?
78% מהנשאלים במחקר המקורי העדיפו את תוכנית ב'. 
אף על פי שהנתונים היבשים זהים בשתי השאלות. התוצאות היו הפוכות לחלוטין. בשאלה הראשונה שבה הוצגו הנתונים באור חיובי (הצלת נפשות) הייתה העדה ברורה לוודאות ולאי לקיחת סיכונים. אנשים כנראה אמרו לעצמם: אם אני יכול להציל 200 אנשים, אני לא אהמר ולא אשחק בחיי אדם. בשאלה השנייה, שבה הוצגו הנתונים באור שלילי, הייתה העדפה ברורה לאי ודאות וללקיחת סיכונים. אנשים כנראה אמרו לעצמם: אני לא רוצה להרוג 400 אנשים. אם ימותו כל ה-600, זה לא יהיה בגללי.
הדוגמה שלעיל ממחישה היטב את התלות באפקט מסגרת ההתייחסות, כלומר את העובדה שהצגה שונה של נתונים בשאלה יכולה להביא להחלטות שונות ביותר זו מזו. זוהי גם דוגמה לאפקט השיקוף: שתי השאלות הן מעין תמונת ראי זו של זו. שאלה אחת משתקפת בשאלה השנייה לא שבתחום החיובי למשל כשמדובר בהצלת נפשות, ברווחים כספיים או בציונים גבוהים, אנחנו מעדיפים וודאות על פני אי וודאות ונוטים להימנע מלקיחת סיכונים, ואילו בתחום השלילי, כשמדובר במוות, בהפסדים כספיים או בכישלונות, אנחנו מעדיפים אי וודאות על פני וודאות ונוטים לקחת סיכונים.

שלב ההערכה

לאחר שלב העריכה אמור מקבל ההחלטות להעריך כל חלופה ולבחור בזו בעלת הציון הגבוה ביותר. הציון הכולל של החלופה מסומן ב-V, ונובע משני מדדים π ו-ν. המדד הראשון, π, קשור למשקל ההסתברות p של החלטה (π(p, אשר משפיע על תרומת p לציון הכולל של החלופה (prospect). π איננו מדד להסתברות ומופיע כ- (π(p)+π(1-p אשר קטן מ-1 שמוכיח כי איננו הסתברות. בנוסף ישנו המדד ν, אשר נותן לכל תוצאה x את הערך (ν(x, אשר משקף את הערך שנתפש. התאוריה מבוססת על נקודת התייחסות, והערך ש-ν מודד מציין רווח או הפסד ביחס לנקודת ההתייחסות.
השימוש בתאוריה מתבצע על פי הנוסחה:  כאשר π(0)=0, ν(0)=0, ו- π(1)=1. הסימון V מיצג את תפישת הערך, כאשר ν מיצג את התוצאות. (V(x,1)=V(x)=ν(x.

פונקציית הערך

מקבלי החלטות אינם פועלים לפי סכום כסף מסוים סופי אלא על פי השינוי בהון. כל נתון שנמצא בסביבתנו תמיד משווה בתפישה לניסיון העבר - נקודת התייחסות. כך למשל, טמפרטורה מסוימת תחשב חמה או קרה ביחס למה שאדם התרגל אליו. דוגמה נוספת, מיליון שקלים יכולים להיתפש בעיני אדם מסוים כהמון כסף ובעיני אחר כמעט, תלוי בנקודת ההתייחסות. היא לא בהכרח 0 אלא יכולה להיות המצב הנוכחי של אדם וממנו אפשר לעלות או לרדת.
פונקציית הערך צריכה להיות תלויה בשני ערכים- נקודת ההתייחסות וגודל השינוי (רווח או הפסד) מנקודת ההתייחסות. ישנם פונקציות ערך רבות, מה שמשותף להן הוא שהפונקציה הופכת ליניארית ככל שהערכים של השינוי גדלים, וככל שהשינוי קטן, ההבדל בערך קטן. אבל הקירוב מספיק טוב.
בתורת הערך, השינוי הוא זה שנלקח בחשבון, כך למשל שינוי מ-3 מעלות ל-6 מעלות מורגש יותר משינוי מ-13 מעלות ל-16 מעלות שונה או למשל תוספת של שקל ל-2 קיימים, לעומת למשל תוספת של שקל למיליון שכבר יש לי, התוספת שונה, תכונת התועלת השולית הפוחתת. לכן, ההשערה שעלתה היא שפונקציית הערך עבור השינוי בעושר היא קעורה כאשר מדובר ברווח (v′′(x)<0,x>0) וקמורה (v′′(x)>0, x<0) כשמדובר בהפסדים. לפי השערה זו ההבדלים קטנים ככל שמדובר במספרים הרחוקים יותר על ציר המספרים מנקודת ההתייחסות. השערה זו אומתה במחקרם של גלנטר ופלינר (1974).
נראה כי ערך הפונקציה לסכום מסוים תהיה קטנה מסכום הערכים של המרכיבים של אותו הסכום. במקרה של שליליים ערך הסכום גדול מסכום המרכיבים. ההעדפה הזו מתאימה להשערה שעלתה שפונקציית הערך קעורה ברווחים וקמורה בהפסדים. לכן למשל, עדיף לתת הטבות במנות ועונשים בבת אחת.
בנוסף, פונקציית הערך איננה קבועה המתארת התייחסות "טהורה" לכסף, אלא יכולה להשתנות ולהיות מושפעת מגורמים נוספים. כך למשל, אדם החוסך לקניית בית מגורים יכול להיות רגיש יותר להפסדים שימנעו ממנו לרכוש את הבית שהוא רוצה.
באופן כללי ההשפעה של רווח של סכום כסף קטנה מאשר ההשפעה של הפסד אותו סכום כסף (Pliner & Galanter, 1974). כך למשל ההצעה הסימטרית (x, .5; -x, .5), איננה אטרקטיבית. כמו כן, עבור x>y>=0 אזי ההצעה (y, .5; -y, .5) עדיפה על (x, .5; -x, .5).

פונקציית המשקלים

בתורת הערך, כל תוצאה בכל חלופה מוכפלת במשקל ההחלטה ספציפית לה התלויה בהסתברות שנקבעה לאותה תוצאה בהחלטה. משקלי ההחלטה אינם הסתברויות, הם לא מקיימים את האקסיומות שקיימות בהסתברויות ולא צריכים להיתפס כמדדים של רמה או אמונה.
משקל ההחלטה מודד את מידת ההשפעה על כדאיות ההחלטה. כך למשל במקרה שבו יש סיכוי של 0.5 לזכות ב-1,000 או כלום. ערך הפונקציה (π(0.5 לא תהיה 0.5 אלא פחות, זאת לעומת אדם רציונלי שמבחינתו הסיכויים של עץ או פאלי זהים והם 0.5.
פונקציה זו מקשרת בין משקל החלטה לבין ההסתברות שלה עולה ככל שההסתברות p גדלה, וכן, π(0)=0 ו-π(1)=1. כאשר עבור ערכי p קטנים התועלת השולית פוחחת, כלומר (π(rp)>rπ(p עבור r בין 0 ל-1. לעומת זאת, עבור ערכי p גדולים התועלת השולית עולה, כלומר (π(rp)<rπ(p עבור r בין 0 ל-1.
כך למשל- אם (x,p) שווה ל- (y,pq) אזי (x,pr) פחות עדיפה מאשר (y,pqr) עבור p,q,r בין 0 ל-1. כך (π(p)ν(x)=π(pq)ν(y הופך להיות (π(pr)ν(x)<=π(pqr)ν(y. כי (π(pq)/π(p)≤π(pqr)/π(pr. מעבר לכך, להסתברויות מאוד קטנות יש הערכת יתר של המשקל, כך π(p)>p.
עקרון מעניין שקשור לפונקציית המשקלים הוא שאף על פי שידוע כי π(p)>p עבור הסתברויות קטנות, הוכח כי עבור p בין 0 ל-1, מתרחש π(p)+π(1-p)<1.
גרף הפונקציה של המשקלים רדודה במרכזה ומשתנה בפתאומיות בחלקים הקיצוניים להיות π(0)=0 וכן π(1)=1. בקצוות הפונקציה מקוטעת שכן ישנו גבול לכמה ש-p יכול להיות קטן, אם בכלל יש לו משקל, אותו הדבר לקרבה של הפונקציה ל-1. אלו הם המעברים בין אי וודאות לוודאות.

שימוש וביקורת

בעולם המניות ישנה ההחלטה האם להחזיק מניה שמפסידה או בסיכון להפסיד. בעקבות תורת הערך נוצר פער בין ערך המניה לשיווי המשקל שלה ולכן אדם עלול למכור מניה מפסידה מאוחר מדי או מוקדם מדי מניה מוצלחת. זאת בעקבות ההבדלים בתפישת הערכים והסיכונים כפי שמוצגות בתורת הערך ובעקבות חוסר התייחסות לאינטראקציות בין מניות שונות.
בתחום מערכות המידע שימשה התאוריה לבדוק את ההבדל במתן העדיפות לטכנולוגיות המידע (IT). נראה כי אוהבי סיכון דרגו את ההשקעות ב-IT גבוה יותר מאשר שונאי הסיכון. לרווחים והפסדים החלטה מכרעת בהערכת החלטות בנושא IT כאשר ההחלטות הן תחת סיכון (מתן הסתברויות). הממצאים מראים שכאשר המידע מושלם היה שינוי בהערכה. תהליך ההערכה נבדק באמצעות תורת הערך.
למרות יתרונותיה הרבים של התאוריה, לתאוריה גם חסרונות מסוימים. על פי קושרן (2001) התאוריה פותחה להחלטות חד פעמיות ולא למצבים דינאמיים, המעבר למצבים דינאמיים דרש מחקר נוסף שנעשה על ידי טלר וג'ונסון ב-1990 ועל ידי לינויל ופישר ב-1991. טעות בשלב הקידוד יכולה לגרום לבעיה בכל ההחלטה. שלב הקידוד שנמצא בשלב העריכה, הוא שלב מאוד רגיש שיכול להטות את כל ההחלטה. ישנם מחקרים הסותרים את התאוריה. התאוריה כפי שהוצגה על ידי טברסקי וכהנמן יכולה לחזות באופן לא מדויק את התוצאות מכיוון שבתאוריה לא נלקחו בחשבון מספר גורמים כמו הקשר ההחלטה, מאפייני הנבדקים, טווח דגימה וכו'.
ביקורת נוספת שהועלה כנגד תורת הערך היא ששנאת הפסדים אינה מתממשת. כלומר, ההשפעה של רווח של סכום כסף מסוים לאו דווקא קטנה מההשפעה של הפסד אותו סכום כסף. יחיעם והוכמן (2013) הציגו במאמרם סקירה של מחקרים העוסקים בקבלת החלטות בתנאי רווח והפסד סימטריים מהעשורים האחרונים. השניים מצאו כי קיימת עדות לשנאת הפסד רק כאשר ההחלטה נגעה לסכומי כסף גדולים, ובסכומים קטנים לא נמצאה עדות לכך. ההסבר החלופי שניתן לתופעה זו הוא שנאת סיכון.
בהמשך לממצאים אלו, חקרו יחיעם והוכמן את נושא ההפסדים ומצאו כי מטלה אשר כוללת הפסדים מגדילה את העוררות המוחית והקשב, וכי להפסדים ישנה השפעה על ביצועים וקבלת החלטות. על מנת להסביר דפוס זה הציעו השניים את המודל הקשבי של ההפסדים.