טור טיילור

אינטואיציה

טור טיילור מאפשר לחשב פונקציה על פי התנהגות הפונקציה בנקודה מסוימת. 
נביט, לדוגמה, בפונקציה  המתארת את מיקומה של מכונית כפונקציה של הזמן, t. אם ידוע המיקום של המכונית בזמן מסוים, כלומר אם אנחנו יודעים את הערך של , אז הקרוב הבסיסי ביותר הוא שזהו המיקום של המכונית בכל זמן שהוא, כלומר . הקרוב הזה מדויק אם המכונית חונה, כלומר אם המהירות שלה היא אפס, והתאוצה שלה אפס. 
הקירוב הבא למיקומה של המכונית הוא זה שמתחשב במהירות המכונית. הביטוי המתמטי למהירות הוא הנגזרת של פונקציית המיקום בזמן: , ואם מתחשבים במהירות המכונית מקבלים קירוב מסדר ראשון למיקום המכונית: . קירוב זה הוא מדויק כאשר המהירות של המכונית קבועה, כלומר התאוצה שלה היא אפס. באופן מתמטי פירושו של דבר שהנגזרות מסדרים גבוהים מאחד (הנגזרת מסדר אחד היא המהירות) מתאפסות כולן. 
באופן דומה אפשר להמשיך ולהכניס תיקונים לפונקציית המיקום של המכונית המתחשבים בסדרים גבוהים יותר: התיקון מסדר שני מתייחס לתאוצה של המכונית, התיקון מסדר שלישי מתייחס לקצב שבו התאוצה משתנה וכך הלאה. 
מבחינה מתמטית, המשמעות של טור טיילור היא שניתן לשחזר באופן מלא התנהגות של פונקציה אם יש לנו מידע מלא על ההתנהגות שלה בנקודה מסוימת - כלומר אם ידועות לנו הנגזרות של הפונקציה מכל סדר שהוא בנקודה. 
בבעיות פיזיקליות לעיתים קרובות התרומה העיקרית להתנהגות פונקציה מגיעה מהאיברים הראשונים בטור - ולכן אפשר להזניח איברים הגבוהים יותר. כך לדוגמה חוק הוק הקובע שהכח שמפעיל קפיץ פרופורציונלי לאורך המתיחה של הקפיץ, למעשה איננו מתאר במדויק את התנהגותם של קפיצים אמיתיים, הוא רק קירוב מסדר ראשון, קירוב ליניארי להתנהגות זו, אך במקרים רבים קירוב זה טוב מספיק. הקירוב מסדר שני, שגם בו נעשה שימוש רב בפיזיקה, נקרא הקירוב ההרמוני.

הגדרה

טור טיילור של פונקציה ממשית במשתנה יחיד , הגזירה אינסוף פעמים סביב הנקודה , הוא טור החזקות
 
ובקצרה 

כאשר  ואנו מסכימים שעבור  מתקבל .
הסכומים החלקיים של טור טיילור נקראים פולינומי טיילור ובפרט הסכום החלקי

נקרא פולינום טיילור מסדר  של  סביב הנקודה .
טור טיילור מוגדר, כאמור, כאשר הפונקציה גזירה אינסוף פעמים בנקודה. עבור הפונקציות האלמנטריות אקספוננט, סינוס וקוסינוס, הטור מתכנס בכל הישר. מאידך, ייתכן שהטור יתכנס רק בקטע מסוים (עם או בלי קצות הקטע). אם הטור מתכנס אל הפונקציה בקטע פתוח כלשהו, היא נקראת אנליטית. 
לא תמיד טור טיילור של פונקציה מתכנס אליה, גם אם היא גזירה אינסוף פעמים. קושי הציע את הדוגמה הבאה: הפונקציה  (עם , כמובן), שהגרף שלה מוצג משמאל, גזירה אינסוף פעמים על כל הישר, וערכי הנגזרות באפס הם אפס, כך שטור טיילור שלה מתכנס זהותית לאפס, למרות שהפונקציה מקבלת ערך זה רק בנקודה אחת.

שימושים

הטור מהווה כלי חשוב באנליזה נומרית על מנת להעריך את ערכה הנומרי של פונקציה על ידי חישוב סדרת חזקות בלבד. שימוש בטור טיילור הוא אחת הדרכים בה יכולים מחשבים להחזיר ערכים מספרים של פונקציות דוגמת סינוס, אם כי ישנן שיטות קירוב נוספות, שחלקן יעילות יותר במקרים מסוימים. עם זאת, לטור טיילור, פרט לחשיבותו בחישובים מספריים יש גם חשיבות תאורטית רבה בזכות העובדה שהוא מתאר פונקציה שיכולה להיות מסובכת באמצעות טור של פונקציות פשוטות. נוסחת אוילר, לדוגמה, מוכחת באמצעות פיתוח טיילור של פונקציית האקספוננט.
אם טור טיילור של פונקציה מתכנס בכל הישר הממשי, הוא מאפשר להרחיב את ההגדרה של הפונקציה לכל אלגברת סי כוכב. למשל באופן זה ניתן להגדיר את האקספוננט של מטריצה ממשית או מרוכבת.

דוגמה

הפיתוח הלא טריוויאלי הפשוט ביותר של טור טיילור הוא של פונקציית האקספוננט,  סביב הנקודה . פשטות הפיתוח נובעת מכך שנגזרת האקספוננט היא הפונקציה עצמה, ולכן כל הנגזרות בנקודה  הן . על ידי הצבה בנוסחה מקבלים מיידית את הטור הבא: . את השוויון ניתן לכתוב משום שפונקציית האקספוננט היא אנליטית, ולכן טור טיילור שלה מתכנס אליה.

טור לורן באנליזה מרוכבת

באנליזה מרוכבת, טור לורן (Laurent) הוא הכללה של טור טיילור מהצורה, כלומר הוא טור חזקות שבו מופיעות גם חזקות שליליות. הטור נקרא על שם המתמטיקאי פייר אלפונס לורן.