כיסוי האוריינטציות

בטופולוגיה, כיסוי האוריינטציות של יריעה הוא מרחב כיסוי של היריעה שאפשר להפוך גם לאגד או לאלומה. באמצעות כיסוי האוריינטציות ניתן להגדיר קרקטר כפלי של החבורה היסודית  המודד באיזו מידה היריעה אינה אוריינטבילית. קרקטר זה נקרא קרקטר האוריינטציות. אפשר לזהות דרך כיסוי האוריינטציות את כל האוריינטציות האפשריות של היריעה. ניתן להתייחס אל כיסוי האוריינטציות כאל תחליף אוריאנטבילי עבור יריעה לא אוריאנטבילית.

אוריינטציה בנקודה

כיסוי האוריינטציות מבוסס על מושג האוריינטציה בנקודה. תהיא  יריעה חלקה. ו נקודה עליה. אוריינטציה של  ב מוגדרת בתור אוריינטציה על המרחב המשיק  באופן כללי יותר אם  יריעה טופולוגית אז אוריינטציה של  ב מוגדרת בתור יוצר של חבורת ההומולוגיה היחסית

כיסוי האוריינטציות

נסמן את קבוצת האוריינטציות בנקודה  ב  (זו קבוצה בת שני איברים). ניתן לאגד קבוצות אלו למרחב כיסוי  באופן הבא: 
כאשר הטופולוגיה על  מוגדרת מקומית על ידי זיהוי של סביבה פתוחה  עם , ודרכה זיהוי של  עם . קל לראות שהטופולוגיה המתקבלת על  אינה תלויה בזיהוי.

המרחב  מצייד בהעתקה טבעית 
 ולפי הבנייה, העתקה זו היא כיסוי. הזוג  נקרא כיסוי האוריינטציות, זהו כיסוי דו-יריעתי.
כיסוי האוריינטציות הוא טריוויאלי (זאת אומרת איזומורפי ל) אם ורק אם  אוריינטבילית. אם  קשירה אז כיסוי האוריינטציות קשיר אם ורק אם  לא אוריינטבילית. ניתן להראת כי בחירת חתך (Section) רציף של כיסוי האוריינטציות שקול לבחירת אוריינטציה.
החבורה  פועלת על הסיבים (Fiber) של כיסוי האוריינטציות באופן חופשי וטרנזיטיבי. כיסוי עם פעולה כזאת נקרא -טורסור.

איפיון של כיסוי האוריינטציות

המרחב המכסה  הוא תמיד אוריינטבילי. יתר על כן, מרחב זה מצויד באוריינטציה טבעית
מאידך, אם  יריעה קשירה לא אוריינטבלית ו- כיסוי דו-יריעתי אוריינטבילי שלה, אז הכיסוי  איזומורפי לכיסוי האוריינטציות.

אגד האוריינטציות

את כיסוי האוריינטציות  ניתן להפוך לאגד האוריינטציות . באופן אינטואיטיבי הסיב של  בנקודה  הוא ישר העובר דרך שתי הנקודות של  באופן פורמלי  מוגדר להיות מרחב המנה של  תחת יחס השקילות הבא:  זהו אגד קווי.
קיים איזומורפיזם קנוני בין  לאגד הטריוויאלי. במילים אחרות . 
לבניה זאת יש גם גרסה ליניארית: עבור מרחב ליניארי  ניתן להגדיר את ישר האוריינטציות עליו . זהו מרחב ליניארי חד ממדי שקבוצת האוריינטציות על  היא תת-קבוצה בתוכו. התכונות של אגד האוריינטציות מתקיימות גם עבור ישר האוריינטציות.

אגד הצפיפויות

באופן אינטואיטיבי אפשר לחשוב על תבנית בתור נפח מכוון (זאת אומרת נפח עם סימן). לדוגמה אם  היא התבנית הסטנדרטית על  אז  הוא הנפח של המקבילון הנפרס על ידי  אולם  לאו דווקא חיובי. אפשר לחשוב על אוריינטציה בתור זיקוק הסימן מהתבנית. באופן דומה אפשר להגדיר את מושג הצפיפות שהוא זיקוק הנפח מהתבנית.
את אגד הצפיפויות ניתן להגדיר בעזרת אגד האוריינטציות:
כאשר  הוא אגד התבניות הדיפרנציאליות.
מכאן אנו מקבלים את הפירוק:
ניתן להפוך את הפירוק הזה למפורש יותר באופן הבא: תהי  תבנית דיפרנציאלית הפיכה. נסמן ב  את האוריינטציה המתאימה. ניתן לחשוב על  כעל חתך של  או לחלופין של . נסמן 
אנו מקבלים 
במילים אחרות, ניתן לחשוב על תבנית דיפרנציאלית הפיכה בתור שילוב של האוריינטציה (הסימן של התבנית) וצפיפות (הערך המוחלט של התבנית). אינטואיטיבית, צפיפות היא אפשרות להגדיר נפח. להבדיל מתבניות דיפרנציאליות, ניתן להגדיר אינטגרל של צפיפות גם ללא בחירת אוריינטציה. מכאן, צפיפות מגדירה מידה (לאו-דווקא חיובית). למעשה מושגים אלה כמעט שקולים.

אלומת האוריינטציות

את כיסוי האוריינטציות  ניתן גם להפוך לאלומת האוריינטציות  באופן דומה לבניית אגד האוריינטציות. עבור קבוצה פתוחה קשירה  נגדיר 
כאשר  היא קבוצת האוריינטציות על  והפעולה של  היא אלכסונית. בעזרת אקסיומות האלומה ניתן להכליל הגדרה זאת לקבוצות פתוחות כלליות.
אלומת האוריינטציות היא אלומה קבועה מקומית (Local property). הרחבת סקלרים (Extension of scalars) של אלומה זו ל  היא אלומה קבועה מקומית של מרחבים ליניאריים, במילים אחרות מערכת מקומית (Local system). הגדרה שקולה של מערכת מקומית היא – אגד עם קישוריות (Connection) שטוחה. כך אנו מקבלים אגד עם קישוריות שמתאים לאלומת האוריינטציות. אגד זה איזומורפי קנונית לאגד האוריינטציות. מכאן שקיבלנו קישוריות שטוחה על אגד האוריינטציות.
אלומת האוריינטציות היא מקרה פרטי של מושג הקומפלקס המדאל (dualizing complex). לכל מרחב טופולוגי  (קומפקטי מקומית) ניתן להגדיר את הקומפלקס המדאל. זהו אובייקט בקטגוריה הנגזרת (Derived category)
של האלומות על  אם  היא יריעה אז האובייקט המדאל הוא אלומת האוריינטציות מוזזת למקום ה