חבורה למחצה

באלגברה מופשטת, חבורה למחצה (נקראת גם: אגודה) היא מבנה אלגברי הכולל קבוצה ופעולה בינארית אסוציאטיבית. חבורה למחצה שיש לה, בנוסף, איבר יחידה, היא מונואיד.  העבודות הראשונות על חבורות למחצה הן של P. Hoyer ב-1902 ו-J.A. de Seguier ב-1904

דוגמאות

חבורות למחצה מסתתרות בתוך מבנים אלגבריים מסוגים שונים: כל מונואיד הוא חבורה למחצה, ובפרט, כל חבורה היא חבורה למחצה. אוסף האיברים בחוג הוא חבורה למחצה (ביחס לפעולת הכפל), גם כאשר זהו חוג בלי יחידה. כל אידיאל בחוג הוא חבורה למחצה (ביחס לכפל).
יש 5 חבורות למחצה (עד כדי איזומורפיזם) מסדר 2, 24 מסדר 3, 188 מסדר 4 ו-1915 מסדר 5 .

איברים מיוחדים

בחבורה למחצה אפשר להגדיר איבר יחידה מימין (איבר e המקיים את היחס xe=x לכל x) ואיבר יחידה משמאל (איבר המקיים את היחס ex=x לכל x). בחבורה למחצה יכולים להיות כמה איברי יחידה מימין, או כמה איברי יחידה משמאל, אבל אם יש בה איבר יחידה מימין ואיבר יחידה משמאל, אז הם מוכרחים להיות שווים זה לזה. חבורה למחצה שיש בה איבר יחידה נקראת מונואיד. במונואיד אפשר למיין איברים לפי תכונות חד-צדדיות. איבר b הוא ההפכי מימין של a אם ab=1, והוא ההפכי משמאל של a אם ba=1. יחסים אלה אינם נובעים זה מזה באופן כללי, ובמונואידים מסוימים יש איברים הפיכים מימין (או משמאל), שאינם הפיכים. מאידך, אם יש לאיבר a גם הפכי מימין וגם הפכי משמאל, אז הם שווים זה לזה, והאיבר הפיך; במקרה כזה, מסמנים את ההפכי ב- . אוסף האיברים ההפיכים במונואיד סגור לכפל (בגלל התכונה ), והוא מהווה לכן חבורה. איבר z המקיים xz = zx = z לכל x, נקרא איבר אפס.
יחסי גרין מוליכים למיון של אברי החבורה לפי האידיאלים (הימניים, השמאליים והדו-צדדיים) שהם יוצרים. שלא כמו בחבורות או חוגים, המנה של חבורה למחצה מעל אידיאל (דו-צדדי) מתקבלת מכיווץ האידיאל לאיבר אחד, כששאר האיברים נשארים נבדלים כשהיו.

אידמפוטנטים

איבר  בחבורה למחצה, המקיים את הזהות , נקרא אידמפוטנט. בחבורה יש רק אידמפוטנט אחד (הלא הוא איבר היחידה), אבל בחבורות למחצה יש בדרך כלל אידמפוטנטים רבים, ואפשר ללמוד מהם רבות על המבנה שלה. את אוסף האידמפוטנטים בחבורה-למחצה S מקובל לסמן ב- . בין האידמפוטנטים מוגדר יחס שקילות:  אם קיימים x,y כך ש-  ו-  (היחס טרנזיטיבי משום שאם e=xy, f=yx=zu ו-g=uz, אז xzuy=xyxy=xy=e ו-uyxz=uzuz=uz). 
אחת הדרכים לפענח את המבנה של חבורה למחצה היא דרך תת-החבורות שלהן, שהן חבורות-למחצה המוכלות במבנה המקורי, ומהוות, כשלעצמן, חבורות. איבר היחידה של כל תת-חבורה כזו הוא אידמפוטנט.
כל חבורה למחצה בת-מניה אפשר לשכן בחבורה למחצה הנוצרת על ידי שלושה אידמפוטנטים. אם הראשונה סופית, אפשר להניח שגם האחרונה כזו.

הפכיים

במונואיד, אוסף האיברים ההפיכים מהווה חבורה. בחבורה למחצה, בהיעדר איבר יחידה, לא ניתן אפילו להגדיר את המושג 'איבר הפיך' - ועל-כן מסתפקים במושג חלש יותר: y הוא הפכי (או הפכי חלש) של x אם  ו-  (זהו כמובן יחס סימטרי). ייתכן שלאותו איבר יהיו הפכיים רבים. אם y הפכי של x, אז  ו-  שניהם אידמפוטנטים. אידמפוטנטים הפוכים זה לזה הם שקולים.

חבורות למחצה רגולריות

חבורה למחצה היא רגולרית, אם לכל איבר a קיים איבר b, שעבורו  (ראו גם חוג רגולרי פון-נוימן). במקרה כזה האיבר  הוא הפכי של , ולכן אפשר גם להגדיר: חבורה למחצה היא רגולרית, אם כל האיברים בה הפיכים.
לדוגמה, אלגברת המטריצות , מעל כל שדה, היא חבורה-למחצה רגולרית. אם A אלגברה ממימד סופי, אז החבורה-למחצה של כל האיברים (ביחס לכפל) היא רגולרית אם ורק אם האלגברה פשוטה למחצה.  אם  חבורה אלגברית מעל שדה סגור אלגברית F, אז סגור זריצקי שלה, שהוא תת-חבורה-למחצה של , הוא רגולרי אם ורק אם החבורה רדוקטיבית.

רצועות

חבורה-למחצה המקיימת את הזהויות  ו-  נקראת "רצועה רגולרית משמאל" (left-regular band). הזהות האידמפוטנטית לבדה מבטיחה רגולריות (כל איבר הפכי לעצמו). לרצועות רגולריות יש שימושים בחקירת הילוכים על מבנים גאומטריים כגון אוסף התאים הנוצר מחלוקת המרחב באמצעות על-מישורים.

חבורה למחצה הפיכה

חבורה למחצה שבה לכל איבר יש הפכי יחיד (במובן שהוגדר לעיל), נקראת חבורה למחצה הפיכה (inverse semi-group). בחבורה-למחצה כזו מקובל לסמן את ההפכי של x בסימון . אם שני אידמפוטנטים e,f בחבורה-למחצה כזו הם שקולים, אז קיים איבר x כך ש-  ו- . 
משפט. חבורה למחצה היא הפיכה אם ורק אם היא רגולרית, וכל האידמפוטנטים מתחלפים זה עם זה.
יש גרסה של משפט קיילי מתורת החבורות, עבור חבורות-למחצה הפיכות: כל חבורה למחצה הפיכה ניתנת לשיכון באוסף הפונקציות החלקיות החד-חד-ערכיות  של קבוצה כלשהי, X.
בחבורה למחצה הפיכה S שהיא סופית, אם e הוא אידמפוטנט אז  היא תת-חבורה מקסימלית של S (ואיבר היחידה שלה הוא e). את תורת ההצגות של חבורה-למחצה הפיכה אפשר לתרגם לשפה של גרופואידים: לכל חבורה-למחצה הפיכה S, קיים גרופואיד , ולכל שדה F, האלגברות  ו-  איזומורפיות.