אלגברה בסיסית

"אלגברה בסיסית" הוא שמו המודרני של הענף המתמטי מתחום האלגברה העוסק בביטויים מתמטיים שבהם מיוצגות כמויות שערכן המספרי אינו ידוע באמצעות סמלים, ובביצוע מניפולציות אלגבריות של ביטויים כאלה. הביטויים האמורים מורכבים בעזרת פעולות מתמטיות כמו ארבע פעולות החשבון, חזקה, שורש ולוגריתם ומסמלי היסוד, שהם "משתנים" ו"פרמטרים". תכליתן של המניפולציות האלגבריות עשויה להיות העברת ביטוי לצורה פשוטה יותר, או פתרון משוואות העשויות לייצג בעיות תאורטיות או מעשיות.
בימינו, האלגברה הבסיסית נלמדת בחטיבת ביניים או סמוך לכך, מיד לאחר שהתלמידים רוכשים מיומנות מסוימת באריתמטיקה. עם זאת, התפתחותו ההיסטורית של התחום התעכבה למשך מאות רבות, בעיקר משום הזמן שחלף עד שהוכרה האפשרות לבצע פעולות במשתנים במקום במספרים מסוימים.

היסטוריה

עוד בימי הקדמונים, נפתרו בעיות שונות מן התחום שנקרא היום "אלגברה". הבבלים הקדומים פתרו בעיות מספריות שונות שבכלים מודרניים נפתרות באמצעות משוואה ריבועית, הגם שעקרון המשוואה היה זר להם. אוקלידס, שרעיונות המשוואה והנעלמים היו זרים אף לו, פתר בעיות ממעלה שנייה באמצעות כלים גאומטריים, זאת כחלק מהמגמה השלטת במתמטיקה היוונית דאז, ששמה דגש רב על יסודות גאומטריים.
דיופנטוס בחיבוריו היה הראשון לעסוק במשוואות ובסימונים מייצגים בצורה הקרובה רעיונית לזו בה נעשה שימוש כיום ועל כך הוא מכונה לעיתים "אבי האלגברה". בספרו "אריתמטיקה" ניתח משוואות דיופנטיות ומערכות משוואות, כאשר בכתביו מופיעים אזכורים לניתוח של משוואות פשוטות עד מעלה שישית.
בימיו של בראהמגופטה שוכללו השיטות הבבליות וכללו אף אזכור למספרים שליליים.
ראשיתה של האלגברה, כפי שהיא מוכרת היום, בפעולותיו של המתמטיקאי המוסלמי אל ח'ואריזמי. המילה "אלגברה" עצמה נגזרת משמו של אחד מספריו: "הספר התמציתי לחישוב על ידי השלמה ואיזון", בערבית: الكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة ובתעתיק לעברית: "חיסאב אל-ג'אבר ואל-מוקאבלה". בספר מתוארות באופן רטורי וללא שימוש בסימונים מתמטיים בעיות הניתנות לפתרון בעזרת כלים של משוואות ממעלה ראשונה ושנייה. הספר בנוי משני חלקים: בראשון ניתנים הסברים טכניים-פרקטיים לפתרון בעיות מסוגים שונים, ובחלק השני מופיעות הוכחות לשיטות אלו המבוססות על עקרונות גאומטריים.
ניתוחים של בעיות הקשורות להתרת משוואות ממעלה שלישית ומעלות גבוהות יותר ניתנו אף הם על ידי מתמטיקאים מוסלמים, כשבפרט ידועות תרומותיהם של עומר ח'יאם ושל איבן אל-היית'ם שעשו שימוש בכלים גאומטריים של חיתוך עקומות.
אנשי המאה ה-13, פיבונאצ'י וכן יורדנוס נמוראיוס, תרמו תרומה מכרעת לשימוש באותיות לצורך סימונן של כמויות. "ספר החשבונייה" של לאונרדו מפיזה תרם רבות לאלגברה ואף פרץ דרך בכך שהביא לאירופה את השימוש בשיטה העשרונית, הנוחה יותר לביצוע חישובים מאשר השיטה הרומית שהייתה מקובלת באותה התקופה.
שיפיונה דל פרו, ראש המחלקה לאריתמטיקה וגאומטריה באוניברסיטת בולוניה, ידוע בהיותו הראשון למצוא דרכים אלגבריות לפתרונן של משוואות ממעלה שלישית. סביב עבודותיו ועבודות ממשיכיו התעוררו סכסוכים בנוגע לזכויות הראשונים עליהם כשבפרט ידוע המאבק בין ניקולו טרטליה לג'ירולמו קרדאנו. בספרו "האמנות הגדולה" (Ars magna), שפורסם ב-1545, סיכם קרדאנו את עבודתו באלגברה, והוא כלל בה לא רק תוצאות שהגיע אליהן בעצמו, אלא גם את שיטת הפתרון של טרטליה למשוואה מעוקבת ואת פתרונו של משרתו שהפך לתלמיד המבריק ביותר שלו, לודוביקו פרארי, למשוואה ממעלה רביעית. כשניסה קרדאנו לפתור את המשוואה , הגיע לביטוי שכלל את המספר . בספרו לעיל פרסם פתרון הכולל התייחסות ראשונה לרעיון כי ייתכן מספר שהוא שורש ריבועי של מספר שלילי, אך קרדאנו לא הבין את גודל תגליתו וראה במספרים אלו "מספרים חסרי תועלת".
מתמטיקאים, וביניהם פרנסואה וייט, לאונרד אוילר, תומאס הריוט ורנה דקארט, המשיכו לחקור משוואות ממעלה גבוהה. הריוט גילה כי הפולינום שפתרונותיו הם b,a ו- c, הוא . רפאל בומבלי פרסם בשנת 1572 סדרת כללים לעבודה עם מספרים מרוכבים. בשנת 1637 קבע דקארט כי לכל פולינום ניתן "לדמיין", כלשונו, שורשים שמספרם כמעלת הפולינום, אך אינם מהווים גדלים כמותיים בעלי משמעות.
אלברט ג'ירארד, בהסתמך על עבודות קודמיו, היה הראשון לנסח את עקרונות המשפט היסודי של האלגברה הקובע כי לכל פולינום נתון קיימים מספר שורשים כמעלתו. לייבניץ, ד'אלמבר, אוילר, לגראנז' ולפלס ניסו להוכיח את המשפט. חלקם הצליחו בכך חלקית, אך הוכחה מלאה ומפורטת שלו ניתנה לבסוף על ידי גאוס.

הגדלים והכלים בהם נעשה שימוש בתורה

המשתנה והפרמטר, המציינים גדלים שערכם המספרי לא ידוע, עומדים בבסיס התורה האלגברית הבסיסית.
המשתנה הוא אחד המושגים הבסיסיים ביותר באלגברה הבסיסית. המשתנה הוא אובייקט מתמטי המבטא כמות כלשהי שערכה המספרי לא ידוע או איננו קבוע, ומכאן שמו. אחת ממטרות האלגברה הבסיסית היא מציאת ערכם של משתנים על סמך קשרים ידועים בינם לבינם ובינם לבין כמויות שערכן ידוע. המשתנים מיוצגים בכתיב המתמטי המקובל באופן סמלי על ידי אותיות, לעיתים בעלי אותיות הקשורות לאובייקט אותו המשתנה מכמת (כמו שימוש באות t לציון זמן בביטויים מתחום הפיזיקה). לרוב, כאשר המשתנים הם משתנים בעלי משמעות "כללית" ולא משמעות ספציפית חשובה (למשל, בביטויים אלגבריים המשמשים לצרכים לימודיים או לביטויים של אובייקטים מתמטיים כלליים) נעשה שימוש באותיות הלטיניות y,x ו-z לצורך סימונם של המשתנים.
מקובלת ההבחנה האלגברית בין שני סוגי משתנים: משתנה "תלוי" ומשתנה "בלתי-תלוי" או "חופשי". כאשר המשתנה
התלוי, כפי שרומז שמו, תלוי בערכו במשתנים החופשיים, שבין ערכיהם לא קיימת תלות. להתאמה חד-ערכית בין משתנה תלוי למספר משתנים בלתי-תלויים קוראים בשפה המתמטית "פונקציה".
הפרמטר, אובייקט אלגברי בסיסי נוסף, הוא ביטוי סמלי לכמות שגודלה איננו ידוע, אך איננה הכמות שנדרשת להמצא במסגרת הבעיה. אובייקטים אלו מסומנים אף הם על ידי אותיות. לרוב, כאשר הבעיה הנדרשת היא מציאת ערכו של משתנה, הערך הנמצא תלוי בפרמטרים המאפיינים את הבעיה. הקביעה איזה אובייקט אלגברי משתנה ואיזה הוא פרמטר היא תלוית בעיה.
גדלים אלה נקשרים, לעיתים עם גדלים ידועים, במסגרת הביטויים האלגבריים, המהווים רצפי סימנים הקושרים גדלים אלגבריים ואריתמטיים באמצעות אופרטורים וסוגריים שונים. מטרתה הבסיסית של האלגברה היא חקר, ניתוח ופישוט של ביטויים אלגבריים. בפרט, שני סוגי ביטויים שימושיים במיוחד הם המשוואה ואי השוויון.
משוואה היא פסוק מתמטי הקובע שוויון בין שני גדלים. משוואה המכילה משתנים ופרמטרים היא אובייקט מתמטי חשוב ושימושי. המשוואה האלגברית מהווה את אחד מהכלים הבסיסיים ביותר בכל המדעים המדויקים, ובמסגרת האלגברה נחקרות הדרכים לפשט ולפתור משוואות, קרי — למצוא את ערכי המשתנים שעבורם תהפוך המשוואה לפסוק אמת. פרט לכך, המשוואה מהווה כלי יעיל במיוחד לתיאורן של מערכות או אובייקטים באמצעות נוסחה.
אי-שוויון הוא פסוק מתמטי הקובע אי-שוויוניות בין שני גדלים. בפרט, במונח "אי-שיוויוניות" נכללים בהקשר זה היחסים "לא שווה", "גדול", "קטן", "גדול או שווה" או "קטן או שווה" בין גדלים שונים. האלגברה מטפלת אף בסוג זה של יחסים במטרה למצוא עבור איזה ערכי המשתנים יהפוך הפסוק לפסוק אמת.

תורות עוקבות

כפי שרומז שמה של התורה, האלגברה הבסיסית היא אך חלק קטן מתורה גדולה יותר, האלגברה, במסגרתה נחקרים מבנים מתמטיים כלליים ובעיות חישוביות שונות. אלגברה ליניארית חוקרת אף היא מערכות של משוואות ליניאריות כחלק מעיסוקה הכולל במבנים אלגבריים ליניאריים, הנחקרים במסגרת האלגברה המופשטת.
אלגברה בוליאנית, תחום נוסף הנחקר במסגרת הרחבה של האלגברה המופשטת, עוסק בין היתר (בפרט בתחומי הלוגיקה הבוליאנית) בכלים אלגבריים לטיפול במערכות העוסקות בשני סוגי נתונים בלבד: "אמת" ו"שקר".
החשבון האינפיניטסימלי, שהתפתח מהאלגברה הבסיסית ומגאומטריה, עוסק בחקר ההשתנות של פונקציות.

שימושי התורה

לאלגברה הבסיסית שימוש רב במתמטיקה ובכל יתר המדעים המדויקים. באמצעות הכלים שמספקת האלגברה הבסיסית, מתוארות מערכות מתמטיות וטבעיות רבות על ידי משתנים ופרמטרים המרכיבים משוואות המתארות את הקשרים הכמותיים המאפיינים את המערכות. לפיכך, נלמדת התורה בבתי הספר העל-יסודיים ככלי המתמטי העוקב לאריתמטיקה, שכן בלעדיה לא ניתן להתקדם ולהעמיק בלימודי המתמטיקה והמדעים המדויקים. המעבר בין לימודי האריתמטיקה העוסקים בכמויות "מוגדרות" לבין לימודי האלגברה העוסקים בכמויות "מופשטות" מהווה נקודה קריטית ברכישת הידע המתמטי שכן תלמידים רבים מתקשים בהבנת הרעיונות המופשטים לעיל, דבר המקשה עליהם במשך לימודים המתמטיים והמדעיים.