קיומם של אינסוף מספרים ראשוניים

את עובדת קיומם של אינסוף מספרים ראשוניים הוכיח לראשונה המתמטיקאי היווני אוקלידס (יסודות, ספר IX). בשל חשיבותם המרכזית של המספרים הראשוניים בתורת המספרים, מתמטיקאים רבים השתעשעו במציאת הוכחות נוספות לאותה תוצאה.

הוכחתו של אוקלידס

משפט: בין המספרים הטבעיים ישנם אינסוף ראשוניים.
הוכחה: באינדוקציה, אפשר לראות שכל מספר טבעי גדול מ-1 מתחלק במספר ראשוני.
נניח בשלילה שיש רק מספר סופי של ראשוניים: . נסתכל במספר . ברור שמספר זה לא מתחלק באף pᵢ כי לכל חלוקה כזאת השארית היא 1. על-כן, N אינו מתחלק באף מספר ראשוני, בסתירה לכך ש- N>1.
הוכחה זו מציעה אלגוריתם לבניית סדרה של מספרים ראשוניים: בהינתן הראשוניים , הראשוני הבא, , מוגדר בתור הגורם הראשוני הקטן ביותר של . הסדרה המתקבלת, שאבריה הראשונים הם 2, 3, 7, 43, 13, 53, 5 ו- 6221671, נקראת סדרת אוקלידס-מולין.
מההוכחה אפשר להסיק שקיימים לפחות  ראשוניים הקטנים מ-. חסמים טובים יותר, כמו זה המתקבל ממשפט המספרים הראשוניים, דורשים מאמץ גדול בהרבה.

הוכחתם של אוילר וקרונקר

ב-1737 ניסח אוילר את השוויון (הבעייתי, כפי שיוסבר מיד)
. באגף שמאל מופיע הטור ההרמוני, המתבדר לאינסוף; לכן המכפלה באגף ימין (העוברת על כל הראשוניים) מוכרחה להיות אינסופית – ומכאן שיש אינסוף ראשוניים.
בקורס שהעביר קרונקר בשנים 1876-1875, הוא הצביע על הבעייתיות שבהשוואת שני ביטויים אינסופיים, והחליף את הנוסחה במכפלת אוילר של פונקציית זטא:
,
המתארת שוויון בין שני ביטויים מוגדרים היטב כאשר  הוא פרמטר ממשי. כעת הראה קרונקר שהגבול באגף שמאל, כאשר  שואף ל-1 מלמעלה, הוא אינסופי - אבל אילו היה מספר הראשוניים סופי, הגבול באגף ימין היה צריך להיות סופי. זוהי הדרך להפוך את טיעונו של אוילר להוכחה קבילה.
ב-1899 הציע המתמטיקאי J. Braun הוכחה אחרת המבוססת על מכפלת אוילר: אם מציבים בשוויון לעיל , מתקבל באגף שמאל  (ראו בעיית בזל), ומכיוון שפאי בריבוע אינו רציונלי, המכפלה באגף ימין מוכרחה להיות אינסופית.

ההוכחה הטופולוגית של פורסטנברג

ב-1952, בהיותו סטודנט בישיבה יוניברסיטי, מצא הלל פורסטנברג הוכחה הנעזרת במושגים בסיסיים בטופולוגיה.
נתבונן בקבוצת המספרים השלמים  עם הטופולוגיה הפרו-סופית: הקבוצה הופכת למרחב טופולוגי על ידי בחירת הבסיס הכולל את כל הסדרות החשבוניות,  (זהו בסיס, מכיוון שהחיתוך של שתי סדרות חשבוניות הוא סדרה חשבונית). המשלים של כל סדרה חשבונית הוא איחוד של מספר סופי של סדרות חשבוניות (בעלות אותו הפרש), ולכן כל סדרה חשבונית מהווה גם קבוצה סגורה.
מכיוון שלכל מספר שלם, פרט ל- , יש גורם ראשוני, האיחוד  העובר על כל הראשוניים, שווה לקבוצה . אם מספר הראשוניים היה סופי, זה היה איחוד של מספר סופי של קבוצות סגורות, ולכן הוא קבוצה סגורה; ואם כך, המשלים שלה, , הוא קבוצה פתוחה. אבל זו קבוצה סופית, שהיא קטנה מכדי להכיל סדרה חשבונית, ולכן אינה יכולה להיות פתוחה - בסתירה להנחה.

הכללות

ב-1737 הציג אוילר לראשונה הוכחה לכך שטור ההופכיים של המספרים הראשוניים מתבדר. ההוכחה של אוילר הייתה בעייתית מאותה סיבה שהוכחתו הישירה הייתה בעייתית. גם במקרה הזה זכתה הוכחתו לטיפול קפדני שמנע את הבעייתיות בה. תוצאה זו גוררת את קיומם של אינסוף מספרים ראשוניים, שכן טור עם מספר סופי של איברים לא יכול להתבדר.
את ההוכחה של אוקלידס אפשר לשנות בקלות יחסית, כדי להראות שקיימים אינסוף ראשוניים בסדרות חשבוניות מסוימות. כך למשל, אם מתבוננים במספר  אפשר להוכיח שקיימים אינסוף ראשוניים המשאירים שארית 3 בחלוקה ל-4. הוכחות אלמנטריות מטיפוס זה מאפשרות לטפל בעיקר בסדרות מהצורה  או  (אדוארד לוקאס נעזר בסדרות לוקאס כדי להוכיח שיש אינסוף מספרים ראשוניים מהצורה  ומהצורה ). שיטות אלה אינן די חזקות להוכיח שקיימים אינסוף ראשוניים בכל סדרה חשבונית בה האיבר הראשון והפרש הסדרה הם מספרים טבעיים זרים. תוצאה זו הושגה על ידי דיריכלה ב-1837, ונקראת משפט דיריכלה.
ב-1896 הוכיחו אדמר וואלה פוסן (באופן בלתי תלוי) את משפט המספרים הראשוניים הקובע כי מספר הראשוניים הקטנים מ-n אסימפטוטי ל-. המשפט קובע את קצב בו עולה מספר הראשוניים לאינסוף.
השערת ברטראן קובעת שלכל n טבעי ישנו מספר ראשוני בין n ל-2n. את ההשערה הוכיח פפנוטי צ'בישב בשנת 1850.