אינטגרל

האינטגרל המסוים

כאמור לעיל, האינטגרל המסוים של פונקציה ממשית, מעל קטע סגור, שווה לשטח שמתחת לגרף הפונקציה ומעל ציר ה־ (כאשר השטח שמתחת לציר ה־ מוגדר כשטח שלילי). כדי לקבל הגדרה מסודרת של האינטגרל, יש לבחון את המשמעות המדויקת של המושג "שטח", במיוחד כאשר הגרף אינו ישר, ואף אינו בהכרח רציף. השטח של מלבן מובן היטב, ואחת הדרכים להגדיר את השטח שמתחת לגרף היא לקרב את הצורה שמתחת לגרף באמצעות מלבנים זרים (ומקבילים לצירים). בהגדרה זו יש בעיה עקרונית: כל עוד מספר המלבנים סופי, והפונקציה אינה מלבנית, השטח הכולל שלהם אינו אלא קירוב של השטח האמיתי, וניתן לשפר את הקירוב על ידי הקטנת המלבנים והגדלת מספרם.
ברנרד רימן הפך את הבעיה הזו להגדרה של ערך האינטגרל: במקום לחפש את הקירוב הטוב ביותר, שלרוב אינו קיים, מסכמים מלבנים קטנים ורבים יותר, כך שהקירוב ילך וישתפר. בסופו של דבר בוחרים את הגבול של סדרת הסכומים המתקבלת מסדרת הקירובים. גישה דומה, המגיעה לאותן תוצאות, מבוססת על סכומי דארבו: כאן מקרבים את הצורה החוסמת מלמטה ומלמעלה באמצעות מלבנים הכלואים מתחת לגרף ומלבנים הכולאים אותו מלמעלה.
הראשון שהגדיר את האינטגרל המסוים במדויק היה רימן. בעקבותיו הוצעו הכללות רבות: בתחום ההגדרה של הפונקציה (העשוי להיות הישר הממשי כולו, קובייה במרחב האוקלידי ה־n־ממדי, או כל מרחב קומפקטי מקומית), בערכים שהפונקציה עשויה לקבל (מספרים ממשיים או מרוכבים, מספרים p־אדיים, או וקטורים שאלו רכיביהם), ובאופי הפונקציות שעבורן מחושב האינטגרל.

חלוקה של קטע

סדרה (סופית) של נקודות  נקראת חלוקה של הקטע . את הסדרה אפשר לפרש כאילו היא שוברת את הקטע ל־n "תת־קטעים" , החותכים זה את זה רק בנקודות הקצה שלהם. לכל חלוקה  אפשר להגדיר את קוטר החלוקה (או פרמטר החלוקה) - . מכיוון שסכום אורכי הקטעים הוא , הקוטר של חלוקה בת n קטעים הוא לפחות . מכאן שכדי לקרב את קוטר החלוקה לאפס, יש להגדיל את מספר הנקודות באופן שאינו חסום.
חלוקה  היא עידון של חלוקה , אם החלוקה הראשונה כוללת את כל הנקודות המופיעות בחלוקה השנייה. לדוגמה,  מעדנת את . ברור שבמקרה כזה, .

הגדרת האינטגרל המסוים באמצעות סכומי רימן

בחלוקה נתונה , אפשר לבחור נקודה  מכל תת-קטע. חלוקה כזו, יחד עם הנקודות שנבחרו מתת־הקטעים, נקראת חלוקה מסומנת. לחלוקה כזו אפשר להגדיר את סכום רימן . זהו השטח הכולל של המלבנים שבסיסם הוא הקטע  וגובהם  (עבור ), כאשר השטח הוא "שטח מכוון" (העשוי להיות חיובי או שלילי, בהתאם לסימן של הפונקציה בנקודה ). כל סכום רימן מהווה קירוב לשטח שמתחת לגרף הפונקציה, בקטע המדובר .
פונקציה , המוגדרת בקטע , היא אינטגרבילית לפי רימן, אם לכל בחירה של סדרת חלוקות מסומנות  בעלות גדלים  השואפים לאפס, הגבול  קיים (היינו, הסדרה מתכנסת). במקרה כזה, כל הגבולות  שווים זה לזה, והאינטגרל המסוים מוגדר כערך (המשותף) של כל הגבולות; ערך זה הוא השטח שבין גרף הפונקציה לציר ה-x. אם לא כל הגבולות האלה קיימים, הפונקציה אינה אינטגרבילית לפי רימן, ואז אין לאינטגרל המסוים כל משמעות. 
את ערך האינטגרל מסמנים כך: . הביטוי שבתוך האינטגרל, , נקרא אינטגרנד. המשתנה  בביטוי זה הוא "משתנה האינטגרציה", והוא קשור לתחום האינטגרציה - המשמעות היא שהנקודה השמאלית בתחום היא  והנקודה הימנית היא . אם מחליפים את משתנה האינטגרציה, כדי לשמור על ערך האינטגרל יש לשנות את תחום האינטגרציה בהתאמה. לדוגמה, אם  אז
.

הגדרה באמצעות סכומי דארבו

נניח ש־  חסומה בקטע הסגור . לכל חלוקה , אפשר לחשב בנפרד את השטח שהחלוקה מאתרת מתחת לגרף, ואת השטח שהחלוקה מאתרת מעל לגרף. לצורך כך נסמן בכל תת-קטע  של החלוקה, את החסם העליון של הפונקציה ב־ , ואת החסם התחתון ב־  (אם לפונקציה יש בתת-הקטע הזה ערך מינימלי או מקסימלי, אלו יהיו הערכים של  ושל  בהתאמה). באופן הזה, מובטח ש־  לכל  בתת-הקטע. משום כך סביר לקבוע ששטחו של התחום המישורי המוגבל על ידי ציר ה־x, גרף הפונקציה, והישרים  ו־ ,
גדול או שווה לשטח המלבן , וקטן (או שווה) לשטח המלבן .
אם נסכם את כל המלבנים, הסכום  נקרא הסכום התחתון של החלוקה, ואילו
 הוא הסכום העליון שלה. קל להוכיח שאם  מהווה עידון של , אז , ולכן, כאשר מעדנים את החלוקה, המרחק בין הסכום העליון לתחתון מצטמצם.
החסם התחתון של כל הסכומים העליונים , עבור כל החלוקות האפשריות, הוא האינטגרל העליון. החסם העליון של כל הסכומים התחתונים  הוא האינטגרל התחתון. הפונקציה אינטגרבילית לפי דארבו, אם שני ערכים אלו שווים זה לזה (פירושו של השוויון הוא שקיימת סדרה של חלוקות  המעדנות זו את זו, כך שההפרש  שואף לאפס).
אפשר להוכיח שהגדרת אינטגרביליות של פונקציה חסומה באמצעות סכומי רימן שקולה להגדרה באמצעות סכומי דארבו, ושהאינטגרל המתקבל בשני המקרים שווה.
ההגדרה שנתנה לעיל מתאימה לפונקציות חסומות, ולחישוב מעל קטע סגור. עם זאת, אפשר להרחיב את ההגדרה גם למקרים כלליים יותר – ראו אינטגרל לא אמיתי.

מרחב הפונקציות האינטגרביליות

הסכום של פונקציות אינטגרביליות (לפי רימן) והכפולה של פונקציה אינטגרבילית בסקלר נותנים פונקציות אינטגרביליות; לכן אוסף הפונקציות האינטגרביליות מעל קטע קבוע  מהווה מרחב וקטורי מעל שדה המספרים הממשיים.
משפט לבג מאפיין אינטגרביליות באופן הבא: פונקציה חסומה היא אינטגרבילית במובן רימן, אם ורק אם קבוצת נקודות אי־הרציפות שלה היא בעלת מידה אפס.
לדוגמה, כל פונקציה רציפה וכל פונקציה מונוטונית בקטע סגור, היא אינטגרבילית. גם פונקציית רימן אינטגרבילית (והאינטגרל שלה הוא אפס). לעומת זאת, פונקציית דיריכלה אינה אינטגרבילית לפי רימן.
ההתאמה  היא פונקציונל ליניארי המוגדר על המרחב הזה, משום שהאינטגרל של פונקציות מקיים את התכונה . האינטגרל מונוטוני, במובן הבא: אם  אינטגרביליות בקטע , ולכל  מתקיים , אז  ואם  לכל  אז מתקיים אי השוויון החזק .

חישוב האינטגרל המסוים

הנוסחה היסודית של החשבון האינפיניטסימלי מחשבת את האינטגרל המסוים, אם ידוע האינטגרל הלא־מסוים (ראו להלן). במקרים אחרים יש להפעיל שיטות אנליטיות מיוחדות, או שיטות נומריות.

דוגמה

ידוע כי הנגזרת של  היא ‏. על כן כל פונקציה קדומה של  נבדלת מ- בקבוע, ונכתוב:

מציאת האינטגרל הלא מסוים

בניגוד לפעולת הגזירה, שהיא טכנית בעיקרה ומבוססת על כמה כללים ברורים היטב, אין "מתכון" בטוח למציאת אינטגרל לא מסוים של פונקציה. באמצעות נוסחאות הגזירה ניתן למצוא מיידית אינטגרלים לפונקציות האלמנטריות הבסיסיות, ועל מנת לבצע אינטגרציה לפונקציות מסובכות יותר ישנן שיטות אינטגרציה (החלפת משתנים, אינטגרציה בחלקים ועוד) שמאפשרות לפשט את הפונקציה ולהפוך אותה לפונקציה אחרת, שעבורה קל יותר למצוא את האינטגרל.
גם אם לא ניתן לבטא את האינטגרל הלא מסוים באמצעות פונקציה אנליטית, אין זה אומר שהאינטגרל המסוים אינו קיים. בהרבה מקרים (למשל במשוואות דיפרנציאליות) ביטויים מהצורה   נחשבים לפתרון קביל.