שיטות אנליטיות לחישוב אינטגרלים מסוימים

לחלק מהאינטגרלים לא ניתן מצד אחד לקבל פתרון עבור האינטגרל הלא מסוים אולם מהצד השני ניתן לקבל פתרונות אנליטיים (כלומר כאלו שאינם מצריכים אנליזה נומרית) עבור גבולות מסוימים של אינטגרל מסוים.
להלן רשימה חלקית של שיטות לביצוע תהליך האינטגרציה כזה:

זוגיות ואי זוגיות

כאשר יש פונקציות שהיא אי זוגית ביחס לנקודה a, כלומר מתקיים \ f(a+x)=-f(a-x) והאינטגרל סימטרי סביב הנקודה a, כלומר הגבולות הם מהצורה \ (a-b, a+b) אזי האינטגרל הוא אפס; למשל: \int _{\pi} ^{3 \pi} \sin x dx = 0.
פונקציה זוגית סביב הנקודה a ניתנת לחישוב רק בחצי מהתחום (מעל או מתחת לנקודה a) תוך הכפלה בשניים. למשל:
\int _{-8} ^{8} \left| x \right| dx= 2\int _0 ^{8} x dx =2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^8 =\left[x^2 \right]_0^8 = \left( 64-0 \right)=64

חישוב במסלול סגור במישור המרוכב

כאשר מבצעים המשכה אנליטית של פונקציה ממשית למישור המרוכב, ניתן להשלים את מסלול האינטגרציה במישור המרוכב כך שיווצר מסלול סגור שניתן לחשב אותו באמצעות משפטים המתאימים לאינטגרל קווי במישור המרוכב כמו משפט אינטגרל קושי, נוסחת אינטגרל קושי, ובעיקר משפט השאריות. השיטה מתבססת על יצירת מסלול סגור C המכיל את הקטע \ (a, b) המופיע באינטגרל המקורי (אותו נסמן ב-I), וחישוב האינטגרל במסלול C (אותו נסמן ב-IC) ובקטעים האחרים המופיעים במסלול. כך מגיעים למשוואה מהצורה: \ f(I)=I_C כאשר f היא פונקציה הפיכה בתחום המתאים ל-I (בפרט אינטגרל של פונקציה ממשית הוא תמיד ממשי).

דוגמה

\begin{align}
\int ^{2 \pi} _{0} \frac{1}{1+ \sin x} dx &=
\\
&= \left[\begin{matrix} \sin x = \frac{z - z^{-1}}{2} \\ dx = \frac{dz}{iz} \end{matrix}\right] =
\\
&= \oint _{|z|=1} \frac{ \frac{dz}{iz}}{1+  \frac{z - z^{-1}}{2}}=-\frac{i}{2} \oint _{|z|=1} \frac{dz}{2z+z^2-1}=
\\
&= -\frac{i}{2} \oint _{|z|=1} \frac{\frac{dz}{z+1+\sqrt{2}}}{z+1-\sqrt{2}}=-\frac{i}{2} \cdot 2 \pi i \left[ \frac{1}{z+1+\sqrt{2}} \right] _{z=-1+\sqrt{2}}=
\\
&= \frac {\pi} {-1+\sqrt{2}+1+\sqrt{2}}=\frac {\pi} {2 \sqrt{2}}
\end{align}
את האינטגרל  \int\limits_{ - \infty }^\infty  {dx\frac{{\exp \left( {\frac{{ipx}}
{\hbar }} \right)}}
{{x^2  + a^2 }}}  , כאשר \hbar>0,p,a, ניתן לחשב על ידי סגירת המסלול הסגור המצויר בצד שמאל והשאפת R לאינסוף.
תחילה נפתח אותו לצורה נוחה יותר:

\int\limits_{ - \infty }^\infty  {dx\frac{{\exp \left( {\frac{{ipx}}
{\hbar }} \right)}}
{{x^2  + a^2 }}}  = \int\limits_{ - R}^R {dz\frac{{\exp \left( {\frac{{ipz}}
{\hbar }} \right)}}
{{\left( {z + \left| a \right|i} \right)\left( {z - \left| a \right|i} \right)}}}
על פי נוסחת אינטגרל קושי על המסלול הסגור מקבלים כי:
\begin{align}
\int\limits_{ - R}^R {dz\frac{{\exp \left( {\frac{{ipz}}
{\hbar }} \right)}}
{{\left( {z + \left| a \right|i} \right)\left( {z - \left| a \right|i} \right)}}} &+ \int\limits_{C_R } {dz\frac{{\exp \left( {\frac{{ipz}}
{\hbar }} \right)}}
{{\left( {z + \left| a \right|i} \right)\left( {z - \left| a \right|i} \right)}}}=
\\
&= \oint\limits_C {dz\frac{{\exp \left( {\frac{{ipz}}
{\hbar }} \right)}}
{{\left( {z + \left| a \right|i} \right)\left( {z - \left| a \right|i} \right)}}}=
\\
&=  2\pi i\left. {\frac{{\exp \left( {\frac{{ipz}}
{\hbar }} \right)}}
{{z + \left| a \right|i}}} \right|_{z = \left| a \right|i}=
\\
&= 2\pi i\frac{{\exp \left( {\frac{{ip\left| a \right|i}}
{\hbar }} \right)}}
{{\left| a \right|i + \left| a \right|i}} = \pi \frac{{\exp \left( { - \frac{{p\left| a \right|}}
{\hbar }} \right)}}
{{\left| a \right|}}
\end{align} 
על פי למת ז'ורדן  מקבלים כי: \lim _{R \to 0} \int_{C_R } {dz\frac{{\exp \left( {\frac{{ipz}}
{\hbar }} \right)}}
{{\left( {z + \left| a \right|i} \right)\left( {z - \left| a \right|i} \right)}}}  = 0
,
ועל ידי הצבה מקבלים:
\begin{align}
\int\limits_{ - \infty }^\infty  {dz\frac{{\exp \left( {\frac{{ipz}}
{\hbar }} \right)}}
{{\left( {z + \left| a \right|i} \right)\left( {z - \left| a \right|i} \right)}}} &=
\\
&= \int\limits_{ - \infty }^\infty  {dz\frac{{\exp \left( {\frac{{ipz}}
{\hbar }} \right)}}
{{\left( {z + \left| a \right|i} \right)\left( {z - \left| a \right|i} \right)}}}  + 0 =
\\
&= \lim_{R \to \infty } \int_{ - R}^R {dz\frac{{\exp \left( {\frac{{ipz}}
{\hbar }} \right)}}
{{\left( {z + \left| a \right|i} \right)\left( {z - \left| a \right|i} \right)}}}  + \lim _{R \to \infty } \int_{C_R } {dz\frac{{\exp \left( {\frac{{ipz}}
{\hbar }} \right)}}
{{\left( {z + \left| a \right|i} \right)\left( {z - \left| a \right|i} \right)}}}=
\\
&= \lim _{R \to \infty } \left(  \int _{- R}^R dz \frac{\exp \left( \frac{ipz}{\hbar } \right)}{\left( z + \left| a \right|i \right)  \left( z - \left| a \right|i \right)}  +
\int_{C_R } dz\frac{\exp \left( \frac{ipz}{\hbar } \right)}{\left( z + \left| a \right|i \right) \left( z - \left| a \right|i \right)} \right) =
\\
&= \lim _{R \to \infty } \oint_C {dz\frac{{\exp \left( {\frac{{ipz}}
{\hbar }} \right)}}
{{\left( {z + \left| a \right|i} \right)\left( {z - \left| a \right|i} \right)}}} = \lim _{R \to \infty } \pi \frac{{\exp \left( { - \frac{{p\left| a \right|}}
{\hbar }} \right)}}
{{\left| a \right|}} =
\\
&= \frac{\pi }
{{\left| a \right|}}\exp \left( { - \frac{{p\left| a \right|}}
{\hbar }} \right)
\end{align} 
ובסה"כ מתקיים:

מעבר למערכת קואורדינטות אחרת

כאשר לאינטגרל יש סימטריה כלשהי, ניתן לעבור למערכת קואורדינטות אחרת שבה הוא מופיע בצורה פשוטה יותר. מעבר כזה מהווה למעשה מקרה פרטי של שיטת ההצבה.
דוגמה – חישוב שטח עיגול (בעל רדיוס R):

עוברים ממערכת קואורדינטות קרטזיות למערכת קואורדינטות פולריות ומקבלים אינטגרל פשוט הרבה יותר:
דוגמה נוספת:
חישוב האינגרל הבא:  I=\int ^\infty_{-\infty} e^{-x^2} dx \! .
 \begin{align}
I^2=\int ^\infty_{-\infty} e^{-x^2} dx \int ^\infty_{-\infty} e^{-y^2} dy &=
\\
&= \int ^\infty_{-\infty} \int ^\infty_{-\infty} e^{-(x^2+y^2)} dx dy &=
\\
&= \int ^{2\pi}_0 \int ^\infty_0 r e^{-r^2} dr d\phi =\pi\!
\end{align} 
לכן:  I=\sqrt\pi\! .

שימוש בהתמרות

יש מקרים בהם ניתן להציג את האינטגרל המסוים בעזרת התמרה מסוימת (למשל התמרת פורייה) ולהשתמש בתכונות שלה.
לדוגמה, נחשב את \int^{\infty}_0{\frac{\sin{x}}{x}dx}.
נגדיר פונקציה f(t) = \frac{1}{\sin{t}} - \frac{1}{t}. קל לבדוק ש-\ f  בעלת נקודת אי-רציפות סליקה בנקודה 0, ולכן נוכל להתייחס אל \ f  כאל פונקציה הרציפה בקטע \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] .
לכן \ g = f\left(\frac{t}{2}\right)  רציפה בקטע  \ [-\pi,\pi] .
מהלמה של רימן-לבג אפשר לראות שמתקיים:
כאשר: \hat{g}({n}) = \frac{1}{2\pi}{\int_{-\pi}^{\pi}{g\left({t}\right)e^{-i n t}dt}} מקדמי הפורייה של \ g.
לכן:
בפרט, גם:
ולכן:
כי מנוסחת אוילר: \sin({t}) = \frac{e^{it} - e^{-it}}{2i}
כלומר:
נחלק לשני אינטגרלים, ונקבל:
האינטגרל השמאלי הוא אינטגרל של גרעין דיריכלה, ולכן שווה 1 לכל n טבעי.
האינטגרל שנותר הוא של פונקציה זוגית, ולכן ניתן להחליף את התחום ב-\left[0,\pi\right] ולהכפיל ב-2:
כלומר:
על ידי הצבה: s = \left({n +\frac{1}{2}}\right)t, נקבל:
ומכיוון שהאינטגרל מתכנס (ממבחן דיריכלה), מתקיים:כנדרש.