השיטה של משפטים מכניים

השיטה של משפטים מכניים (באנגלית: The Method of Mechanical Theorems), שלעיתים נקרא גם השיטה, הוא אחת מעבודותיו המרכזיות של ארכימדס ששרדו. הספר ערוך בצורה של מכתב מארכימדס לארתוסטנס, הספרן הראשי בספריית אלכסנדריה, ומכיל את השימוש המפורש בשיטת הגדלים הבלתי ניתנים לחלוקה (אינפיניטסימלים). הספר נחשב לעבודה אבודה עד שנת 1906 עם הגילוי מחדש של הפלימפססט של ארכימדס. הספר מכיל את "השיטה המכנית" של ארכימדס, שנקראת כך משום שהיא מתבססת על חוק המנוף, שנקבע לראשונה על ידי ארכימדס, ועל מושג מרכז הכובד, אשר הוא מצא את מיקומו במקרים פרטיים רבים (צורות ספציפיות).

רקע היסטורי; חשיבות גילוי הספר "השיטה"

בעבודותיו האחרות, ארכימדס לעיתים קרובות מוכיח את השוויון בין שני שטחים או נפחים בעזרת שיטת המיצוי של אאודוקסוס, גרסה יוונית עתיקה לשיטת הגבולות של ימינו. כיוון שהיוונים היו מודעים לכך שמספרים מסוימים אינם רציונליים, ההגדרה שלהם למספר ממשי שרירותי הייתה כמות Q שמקרבים אותה על ידי שתי סדרות, אחת מספקת חסם עליון והשנייה מספקת חסם תחתון. אם מוצאים שתי סדרות אינסופיות U ו-L, כאשר U תמיד גדולה יותר מ-Q, ו-L תמיד קטנה יותר מ-Q, ושתי הסדרות מתקרבות ל-Q מרחק קטן יותר מכל כמות ספציפית, אז נאמר ש-Q נמצא, או ממוצה במונחים של U ו-L.
ארכימדס נעזר במיצוי כדי להוכיח את המשפטים שלו. ארכימדס קירב את הצורה שאת שטחה הוא רוצה לחשב באמצעות חלוקה שלה לחלקים בעלי שטח ידוע, אשר מספקת חסם עליון וחסם תחתון לערך השטח של הצורה. ארכימדס לאחר מכן מוכיח ששני החסמים נעשים שווים לערך השטח של הצורה שהוא הצהיר מראש כאשר חלוקת הצורה נעשית לאינסוף חלקים. ההוכחות האלו, שעדיין נחשבות לריגורוזיות ונכונות, עשו שימוש בגאומטריה בדרך מבריקה. מתמטיקאים מאוחרים יותר לעיתים קרובות הלינו על כך שארכימדס לא הסביר כיצד הוא הגיע לתוצאותיו בראשונה. הסבר זה סופק לראשונה עם הגילוי של המתודה.
השיטה שמתאר ארכימדס, שתוצג בהמשך, מבוססת על החקירות שלו בפיזיקה על מרכז הכובד ועקרון המנוף.
באמצעות השיטה שלו, ארכימדס היה מסוגל לפתור בעיות שכעת שייכות לחשבון אינטגרלי, תחום שצורתו המודרנית ניתנה לו בעבודתם של אייזק ניוטון וגוטפריד לייבניץ. בין התוצאות שלו ישנו חישוב מיקום מרכז הכובד של המיספירה (חצי כדור), חישוב מיקום מרכז הכובד של frustrum של פרבולואיד (frustrum הוא פרוסה שנחתכת מגוף תלת ממדי על ידי שני מישורים מקבילים), וחישוב השטח התחום בין פרבולה וקו ישר.
בעיה שנפתרת באופן בלעדי במתודה היא חישוב הנפח של cylindrical wedge, תוצאה שמופיעה מחדש כמשפט 17 בעבודתו של קפלר Stereometria.
במספר דפים של המתודה לא נעשה שימוש על ידי המחבר של הפלימפססט ולכן הם עדיין אבודים. מרפרנסים לספר של מתמטיקאים אחרים עולה, כי בין הדפים האבודים הללו ישנה תוצאה על הנפח של הגוף שנוצר על ידי החיתוך של שני גלילים.

שטח של פרבולה

כדי להסביר את השיטה של ארכימדס במונחים של ימינו, נוח לעשות שימוש במעט גאומטריה קרטזית, אף על פי שזאת לא הייתה קיימת בזמנו של ארכימדס. הרעיון של ארכימדס הוא להיעזר בחוק המנוף כדי לקבוע את השטחים של צורות ממרכזי המסה הידועים של צורות אחרות. הדוגמה הפשוטה ביותר להדגמה בשפה מודרנית היא זו של שטח הפרבולה. ארכימדס נעזר בשיטה אלגנטית יותר, אך בשפה מודרנית, מטרת השיטה שלו היא לחשב את האינטגרל:
תוצאה שניתן לבדוק בקלות בעזרת חשבון אינטגרלי אלמנטרי.
הרעיון של ארכימדס הוא לאזן מכנית את הפרבולה (האזור בעל השפה העקומה עליו עושים אינטגרציה) עם משולש מסוים שעשוי מאותו חומר. הפרבולה היא האזור במישור x-y בין ציר ה-x והעקום y = x² כש-x משתנה בין 0 ל-1. המשולש הוא האזור במישור x-y בין ציר ה-x והקו y = x, גם כאשר x משתנה בין 0 ל-1.
כעת נחתוך את הפרבולה והמשולש לפרוסות אנכיות, אחת לכל ערך של x. נדמיין כעת שציר ה-x הוא מנוף, עם נקודת משען ב-x =0. חוק המנוף קובע ששני עצמים בצדדים מנוגדים של נקודת המשען יימצאו בשיווי משקל אם כל אחד מפעיל אותו מומנט על המנוף, כאשר המומנט שמפעיל עצם שווה למסתו המוכפלת במרחק של העצם מנקודת המשען. בעבור כל ערך של x, לפרוסה של המשולש במיקום x יש מסה ששווה לגובהה x, והיא בעלת מרחק x מנקודת המשען; לכן היא תאזן את הפרוסה המתאימה של הפרבולה (בעלת גובה x²) אם זו תוזז לנקודה x = −1, כלומר למרחק 1 מצדה השני של נקודת המשען.
כיוון שכל זוג כזה של פרוסות נמצא בשיווי משקל, הזזת הפרבולה כולה ל-x = −1 תאזן באופן מושלם את המשולש. זה אומר שאם הפרבולה המקורית נתלית על ידי חבל על נקודה x = −1 (כך שכל המסה של הפרבולה נשענת על נקודה זאת), היא תאזן את המשולש היושב בין x = 0 ו- x = 1.
מרכז המסה של משולש ניתן לקביעה בקלות באמצעות השיטה הבאה, שגם היא הודות לארכימדס. אם קו תיכון משורטט מכל קודקוד של המשולש לצלע שמולו E, המשולש יתאזן על נקודת מפגש התיכונים, אם מתייחסים אליה כנקודת משען. הסיבה לכך היא שאם המשולש מחולק לפרוסות קוויות אינפיניטסימליות המקבילות ל-E, אזי לכל פרוסה יש אורכים שווים משני צידי התיכון, כך שהאיזון נובע מהסימטריה. ניתן להכיל את הטיעון הזה על כל אחד מהתיכונים ולקבל שמרכז הכובד של המשולש חייב להימצא על כל התיכונים - כלומר בנקודת המפגש שלהם. ניתן להפוך את הטיעון הזה לריגורוזי על ידי שיטת המיצוי באמצעות התייחסות למלבנים אינפיניטסימלים, וזה מה שארכימדס עושה בעל שיווי משקל של שטחים מישוריים.
לכן מרכז המסה של המשולש הוא בנקודת מפגש התיכונים. בעבור המשולש שבשאלה, תיכון אחד הוא הקו y = x/2, בעוד התיכון השני הוא הקו y = 1 − x. באמצעות פתירת המשוואות האלו, ניתן לראות שנקודת החיתוך של התיכונים היא בעלת שיעור x ששווה x = 2/3, כך שהאפקט הכולל של המשולש על המנוף הוא כאילו המסה כולה של המשולש הייתה מושכת מטה (או נתלית על) בנקודה זו. המומנט הכולל שיוצר המשולש הוא שטחו, 1/2, כפול המרחק 2/3 של מרכז המסה שלו מנקודת המשען ב-x = 0. מומנט זה של 1/3 מאזן את הפרבולה, שהיא במרחק 1 (בצד השני) מנקודת המשען. לכן, השטח של הפרבולה חייב להיות שווה  1/3 כדי ליצור את המומנט המנוגד.
ניתן להיעזר בסוג זה של שיטה כדי למצוא את השטח של מקטע שרירותי של פרבולה, ובטיעונים דומים ניתן לעשות שימוש כדי למצוא האינטגרל של כל חזקה של x, אף על פי שחישוב זה בעבור חזקות גבוהות יותר הופך למסובך ללא רישום אלגברי. ארכימדס הרחיק לכת עד חישוב האינטגרל של x³, בו הוא נעזר כדי למצוא את מרכז המסה של ההמיספירה (חצי כדור), ובעבודה אחרת, את מרכז המסה של הפרבולה.

הטענה הראשונה בפלימפססט

נתייחס אל הפרבולה שבאיור משמאל. ניקח שתי נקודות על הפרבולה ונקרא להם A ו- B.
נניח הקטע הישר AC מקביל לציר הסימטריה של הפרבולה. לאחר מכן נניח שהקטע הישר BC נח על ישר שמשיק לפרבולה בנקודה B.
הטענה הראשונה קובעת:
שטח המשולש ABC הוא בדיוק שלוש פעמים השטח החתום על ידי הפרבולה והמיתר AB.
הוכחה
תהי D נקודת האמצע של AC. נבנה קטע ישר JB דרך D, כך שהמרחק מ-J ל-D שווה למרחק מ-B ל-D. נחשוב על הקטע JB כ-"מנוף" ועל D כנקודת המשען שלו. כפי שארכימדס הראה מקודם, מרכז הכובד של המשולש הוא בנקודה I על ה-"מנוף" כך ש-DI :DB = 1:3. לפיכך, מספיק להראות שאם כל השקל של המשולש היה נח על I והמשקל כולו של המקטע הפרבולי היה נח על J, המנוף היה בשיווי משקל.
נתייחס כעת לפרוסה אינפיניטסימלית של המשולש הניתנת על ידי הקטע הישר HE, כאשר הנקודה H נחה על BC, הנקודה E נחה על AB, ו-HE מקביל לציר הסימטריה של הפרבולה. נקרא לנקודת החיתוך של HE והפרבולה F ולנקודת החיתוך של HE והמנוף G. כדי להוכיח את הטענה יש להראות שאם המשקל של החתך HE נח ב-G והמשקל של החתך EF של המקטע הפרבולי נח ב-J, אז המנוף נמצא בשיווי משקל. במילים אחרות, מספיק להראות ש-EF :GD = EH :JD. פרופורציה גאומטרית זו של הפרבולה מוכחת ריגורוזית על ידי ארכימדס בהתבסס על ההגדרה הגאומטרית של הפרבולה, וניתן לקבל אותה בצורה מודרנית גם כהשלכה של משוואת הפרבולה.
מ.ש.ל

נפח הכדור

שוב, כדי לשפוך אור על השיטה המכנית של ארכימדס, נוח לעשות שימוש במעט גאומטריה קרטזית. אם כדור ברדיוס 1 ממוקם כך שמרכזו בנקודה x = 1, רדיוס החתך הרוחבי  של הכדור עבור כל x בין 0 ל-2 ניתן בנוסחה הבאה (שניתן לקבלה על ידי משפט פיתגורס):
המסה של חתך הרוחב הזה היא (למטרת שקילה על מאוזני מנוף) פרופורציונלית לשטח שלו:
ארכימדס לאחר מכן סובב את התחום המישורי שבין y = 0 ל- y = x (על מישור ה-x-y) מסביב לציר ה-x, כך שנוצר חרוט. חתך הרחוב של החרוט הזה הוא מעגל ברדיוס :
והשטח של החתך הזה הוא:
כך שאם פרוסות של החרוט ושל הכדור נשקלות יחד, שטח החתך הכולל (וגם המשקל שלהם) שלהם שווה ל-:
אם שתי הפרוסות ממוקמות יחדיו במרחק 1 מנקודת המשען, המשקל הכולל שלהם יתאזן במדויק על ידי מעגל ששטחו  הממוקם במרחק x מנקודת המשען מצדה השני. זה אומר שהחרוט והכדור יחדיו יימצאו בשיווי משקל עם גליל מן הצד השני של נקודת המשען.
על מנת שהפרוסות יאזנו את זו של הגליל שהוגדר מקודם, כל פרוסה של הכדור והחרוט צריכה להיתלות במרחק 1 מנקודת המשען, כך שהמומנט שיווצר יהיה פרופורציונלי לשטחם המשותף (או לחלופין לסכום הנפחים של שתי הפרוסות האינפיניטסימליות), בעוד שכפי שהוסבר מקודם הפרוסה המתאימה של הגליל צריכה להיות במרחק x מנקודת המשען. כיוון ש-x נע בין 0 ל-2, מרכז הכובד של הגליל יהיה במרחק 1 מנקודת המשען, כך שניתן להתייחס לכל המשקל של הגליל כאילו הוא פועל בנקודה x = -1. תנאי שיווי המשקל מבטיח שנפח החרוט ועוד נפח הכדור שווה לנפח הגליל.
נפח הגליל שווה לשטח הבסיס שלו, , כפול הגובה, שהוא 2, שזה שווה . ארכימדס יכל למצוא גם את נפח החרוט באמצעות השיטה המכנית, כיוון שבמונחים מודרניים, האינטגרל שצריך לחשב הוא בדיוק כמו זה שצריך לחשב כדי למצוא את שטח הפרבולה. נפח החרוט הוא לכן 1/3 ממכפלת שטח הבסיס שלו בגובה שלו. בסיס החרוט הוא מעגל ברדיוס 2, ששטחו , בעוד הגובה הוא 2, כך שנפח החרוט הוא . החסרת נפח החרוט מנפח הגליל נותנת את נפח הכדור:
התלות של הנפח ברדיוס היא ברורה מאליו משיקולי סקלות, אף על פי שגם את זה לא היה קל להפוך לריגורוזי באותה תקופה. השיטה הזאת מניבה את הנוסחה המוכרת לנפח הכדור. באמצעות אנליזה ממדית ליניארית ארכימדס הרחיב בקלות את התוצאה לנפח לספרואידים.
הטיעון של ארכימדס כמעט זהה לטיעון לעיל, אבל לגליל שלו יש רדיוס גדול יותר, כך שהחרוט והכדור נתלים במרחק גדול יותר מנקודת המשען. הוא החשיב את הטיעון הזה להישגו הגדול ביותר, וביקש שאיור של כדור, חרוט וגליל בשיווי משקל ייחרט על מצבתו.

שטח הפנים של הכדור

כדי למצוא את שטח הפנים של הכדור, ארכימדס טען שבדיוק כשם שניתן לחשוב על שטח המעגל כעל סדרה של אינסוף משולשים ישרי זווית המתקדמים לאורך ההיקף (ראו המדידה של המעגל), אזי ניתן לחשוב על נפח הכדור כמחולק להרבה חרוטים עם גובה ששווה לרדיוסו ובסיס על פני השטח שלו. לכל החרוטים יש את אותו גובה, כך שנפחם הוא 1/3 שטח הבסיס שלהם כפול הגובה המשותף.
ארכימדס טוען שהנפח הכולל של הכדור שווה לנפחו של חרוט אשר לבסיס שלו יש אותו שטח כמו לפני הכדור וגובהו כאורך הרדיוס של הכדור. קו חשיבה זה מקביל לזה שהוא הציג ב-"מדידה של המעגל", בו הוא טוען ששטח המעגל שווה לזה של משולש ישר-זווית שניצב אחד שלו הוא רדיוס המעגל והניצב השני שלו הוא היקף המעגל. עם זאת, הכללת צורת החשיבה לתלת-ממד דורשת בסיס ריגורוזי חזק יותר, וארכימדס מוכיח שהקבלה זו תקפה בעל הכדור והגליל.
כיוון שארכימדס כבר הוכיח בעזרת שימוש במנופים שנפח הכדור הוא , וכיוון שנפח החרוט עם שטח בסיס S וגובה r הוא , נובע איפוא ששטח הפנים של הכדור חייב להיות שווה , או "ארבע פעמים שטח המעגל הגדול ביותר שלו".

צורות עקמומיות עם נפחים רציונליים

אחד הדברים המדהימים שארכימדס עושה בספרו השיטה הוא למצוא צורות המוגדרות על ידי חיתוכים של גלילים, אשר נפחם לא מערב את הקבוע  π, אף על פי שלצורות יש גבולות עקמומיים. זוהי נקודה מרכזית בחקירה; ניתן לרבע צורות עקמומיות מסוימות בעזרת סרגל ומחוגה, כך שיש יחסים רציונליים לא טריוויאליים בין הנפחים המוגדרים על ידי חיתוכים של גופים גאומטריים.
ארכימדס מביא כדוגמה את הבעיה של חישוב הנפח של הגוף הנוצר על ידי חיתוך שני גלילים עם אותו רדיוס המוצבים בזווית ישרה אחד יחסית לשני. זהו גוף מקורי שהתוצאה לחישוב נפחו לא מובאת באף אחד מהחיבורים האחרים של ארכימדס, ושמהווה דוגמה יפה לשילוב בין דמיון ויזואלי והכלים של החשבון האינטגרלי. הגוף כשלעצמו הוא מקרה פרטי של Steinmetz solid, שארכימדס מצא את נפחו במקרה הדו-גלילי.
הגוף שהוא מביא הוא למעשה החיתוך של שני גלילים בעלי רדיוס 1 שמשוואותיהם הן: , כך שהתחום (x, y, z) במרחב התלת ממדי שמוכל בו מקיים:
אם נחתוך מהגוף פרוסות שמקבילות למישור ה- x-z, המשוואות של הגלילים נותנות  ו-, מה שאומר שעבור כל שיעור y הפרוסה שתתקבל היא ריבוע במישור ה-x-z עם אורך צלע , על כן נפחו הכולל של הגוף הוא:
כאשר הנוסחה למקרה שרדיוסו של הגליל הוא r היא כמובן .

טענות אחרות בפלימפססט

סדרה של טענות גאומטריות מוכחות בפלימפססט באמצעות טיעונים דומים. משפט אחד קובע שמרכז הכובד של ההמיספירה (חצי כדור) ממוקם בנקודה הנמצאת 5/8 הדרך מהקוטב למרכז הכדור. בעיה זו ראויה לתשומת לב, שכן היא כרוכה בחישוב אינטגרל מעוקב. משפט חשוב אחר מספק תוצאה על הנפח הנחתך מגליל על ידי מישור מסוים (חישוב הנפח של cylindrical wedge), וקובע כי נפח החלק שנחתך הוא 1/6 מנפח המנסרה הריבועית החוסמת את הגליל.