מרחב-זמן

בפיזיקה, מרחב-זמן או רצף מרחב-זמן הוא המרחב הארבַּע-ממדי, שנהוג לייצגו על ידי מערכת של קואורדינטות מרחביות וקואורדינטת זמן, שכל נקודה בה מציינת אירוע המתרחש במקום ובזמן מסוימים. לעיתים נקרא גם מרחב מינקובסקי, על שם המתמטיקאי הרמן מינקובסקי, שהציע ב-1907 את הרעיון והמודל המתמטי הראשון של מרחב-זמן.
המרחב-זמן הוא אחד הביטויים הבולטים להבדל בין תפיסת המכניקה הקלאסית, הרואה בזמן ובמרחב ממדים נפרדים ובלתי תלויים, לבין התפיסה היחסותית, הרואה בזמן ובמרחב גדלים הקשורים זה בזה, ותלויים בתנועה היחסית של הצופה והאובייקט הנצפה, ובהשפעת שדות גרביטציה.
השימוש במודל המרחב-זמן איפשר את המעבר מהייצוג הסטטי והרגעי של אירועים, המאפיין את המרחב התלת-ממדי, לייצוג משוכלל יותר, המעניק תיאור רציף ושלם של היקום המתפתח. מעבר לכך, הגאומטריה והמטריקה של המרחב-זמן היוו כלי מרכזי להבנת, הפשטת והעברת רעיונות יסוד בתורת היחסות הפרטית והכללית, וכן לפיתוחם של הללו ושל תאוריות אחרות העוסקות ברמת המיקרו והמקרו של היקום. רעיון המרחב-זמן לא רק הצליח להמחיש את קביעותיה של תורת היחסות, ובייחוד את ההשקפה שמרחב וזמן הם שתי פנים של ישות אחת, אלא גם שינה את ההשקפה על היקום בהעניקו לזירת האירועים עצמה גוף ו'חיים'; תפיסה זו עולה מן המחקרים המוקדמים של המרחב-זמן, אך ביתר שאת ממודל המרחב-זמן הכבידתי שהציגה תורת היחסות הכללית. תחת מרחב סטטי, שהוא המקום בו דברים נמצאים ואשר 'אינו עושה כלום', נעשה מעבר לזירה דינמית יותר: מרחב-זמן המנחה את תנועת החומר והאנרגיה, שתצורתו נקבעת על ידי החומר והאנרגיה, ואשר לפי הקוסמולוגיה בת ימינו נוצר במפץ הגדול.
במהלך המאה העשרים, עם השתרשות תורת היחסות, חדר מושג המרחב-זמן לתחומים שונים של הפיזיקה, ואף החל לשמש כשם כללי למארג היקום או ה'עולם שלנו'.

הופעת המושג

בקוסמולוגיה של בני האינקה, כמו גם בזו של ילידי האנדים שתרבותם הושפעה מזו של בני האינקה, הזמן והמרחב נתפסים כישות אחת המכונה פאצ'ה (בשפת קצ'ואה ושפת איימרה), כאשר המושג משמש הן להתייחסות ליקום כולו, הנתפס כמערכת מאוחדת אחת, והן להתייחסות לרגע במציאות - 'אירוע עולמי'. ככל הידוע זוהי התפיסה הרעיונית המוקדמת ביותר של המרחב והזמן כאחדות. אזכורים מוכרים של רעיונות משיקים, בתרבות המערב, החלו להופיע רק למן המאה ה-18, כאשר המוקדמים שבהם נעשו במסגרת מדעית. בכתבים פילוסופיים ובדיוניים מערביים קיימות כמה התייחסויות לרעיון זה, מן המאה ה-19, שהרקע להן הוא העיסוק בסובייקטיביות למול ממשות, בגבולי ההכרה ומעמדן המעורער של קטגוריות התבונה האופייני לתקופה. ההתייחסות המוכרת הראשונה מופיעה במאמר של הפילוסוף הגרמני ארתור שופנהאואר, מ-1813, הנושא את השם "על השורש הארבע-ראשי של עקרון הטעם המספיק". מאמרו של שופנהאואר מהווה מעין המשך לוויכוח הפילוסופי המוכר שהתנהל בין גוטפריד וילהלם לייבניץ לסמואל קלארק לגבי מוחלטות המרחב והזמן, אף שמסקנותיו שונות. במאמר טוען שופנהאואר כי יש לשלב את מושגי הזמן והמרחב, כדי לייצג באופן שלם את העולם: "לא ניתן לייצג את הקיום המאוחד רק באמצעות הזמן; מאחר שבזמן לבדו כלל הדברים עוקבים, ובמרחב לבדו כלל הדברים מצויים זה לצד זה; מכך נגזר כי רק משילוב הזמן והמרחב עולה האפשרות לייצוג הקיום המאוחד". התייחסות מוקדמת אחרת לרעיון המרחב-זמן הופיעה בשנת 1848, במאמר "אאורקה", משל אדגר אלן פו, העוסק בקוסמולוגיה; במאמר טוען פו לאחדות המרחב והזמן, בקבעו כי "מרחב ומשך חד הם".
ההתייחסות המוקדמת ביותר לרעיונות דומים, במסגרת הספרות הבדיונית, הופיעה בשנת 1895, בספר מדע בדיוני של הרברט ג'ורג' ולס, מכונת הזמן: "אין כל הבדל בין הזמן וכל אחד משלושת מממדי המרחב, למעט זאת שההכרה שלנו נעה לאורכו," קובע הנוסע בזמן בספרו של ולס, ומוסיף, "לכל גוף ממשי חייבת להיות הרחבה בארבעה כיוונים: חייב להיות לו אורך, רוחב, עובי, ומשך".
במהלך המאה העשרים, עם הפיתוח הפיזיקלי והמתמטי של המרחב-זמן (ראו סקירה להלן), נפוצו בשדה הפילוסופיה והאומנות, יותר ויותר התייחסויות למושג זה ולהשלכותיו, כאשר אלו תואמים יותר ויותר את המהפכה בתפיסה המדעית אשר הולידה אותו.

מרחב-זמן כמושג מתמטי ופיזיקלי

בשלהי המאה התשע עשרה ובתחילת המאה העשרים, החלה להתערער התפיסה הפיזיקלית הקלאסית-מודרנית של הזמן והמרחב כשני גדלים נפרדים, ומושגי המרחב והזמן החלו לאבד את מוחלטותם. תורת היחסות, תאוריית הדגל של מהפכה מדעית זו, לא רק הצביעה על כך שגדלים אלה אינם מוחלטים, תלויים בצופה המודד אותם ומשתנים ממערכת ייחוס אחת לאחרת, אלא גם על כך שהם שרוגים ותלויים זה בזה. המרחב-זמן כמושג, רעיון וכלי מתמטי-מדעי, פותח במסגרת חקירתה וגיבושה של תפיסה מדעית זו, אך להופעתו בזירה המדעית קדמו כמה מחקרים ואירועים מקדימים. ההתייחסות הראשונה לרעיון המרחב-זמן כמושג מתמטי הופיעה בשנת 1754, בערך "ממד" מן האנציקלופדיה הגדולה, שנכתב על ידי ז'אן לה רון ד'אלמבר. התייחסות מוקדמת אחרת נמצאת בכתבים של ז'וזף לואי לגראנז' העוסקים במכניקה אנליטית ומציגים את הרעיון כי "ניתן להתבונן במכניקה כבגאומטריה של ארבעה ממדים, ובמכניקה אנליטית כבהרחבה של גאומטריה אנליטית". את הקווטרניונים, מערכות המספרים שהמציא ויליאם רואן המילטון בשנת 1843, ראה המילטון ממציאם כיישויות המאופיינות בממדים מעורבים של מרחב וזמן. אלגברת הקווטרניונים של המילטון, שמאפייניה האלגבריים מספיקים לבניית מודל מרחב-זמן ולאיפיון הסימטריה שלו, הופיעה בזירה המדעית כמחצית המאה לפני הניסוח הפורמלי של תורת היחסות, ופיתוחים שלה משמשים עד היום בתחשיבים ותיאורים מדעיים שונים. עם זאת, בתקופתו של המילטון, נותרו הקווטרניונים בגדר כלי פיזיקלי-מתמטי שנוי במחלוקת שמשמעותו לא הובנה לעומקה. תקדים חשוב אחר לשילוב ממדי המרחב והזמן מופיע במחקר של ג'יימס קלרק מקסוול, משלהי המאה ה-19, העושה שימוש במשוואות דיפרנציאליות חלקיות לפיתוח אלקטרודינמיקה המתייחסת לארבעת הממדים. הישגיו של מקסוול בתחום היוו השראה להתפתחויות המדעיות הבאות ולהתגבשותה המואצת של תפיסה חדשה של המרחב והזמן, ולידת מושג המרחב-זמן המוכר לנו.
כהמשך לעבודתו של מקסוול, גילה הנדריק לורנץ מספר אינווריאנטים (גדלים הנשמרים תחת טרנספורמציות) של משוואות מקסוול, שלימים הפכו לבסיס תורת היחסות הפרטית של איינשטיין. עבודתם של לורנץ ושל אנרי פואנקרה ממשיכו, הייתה קרובה מאוד לגילוי תורת היחסות הפרטית, אך הקושי שלהם לקבל את יחסיות הזמן (לוותר על הבו-זמניות במערכות ייחוס), מנע מהם את פיתוחה. תורת היחסות הפרטית הוצעה בסופו של דבר ב-1905 על ידי אלברט איינשטיין, אך על אף שהמרחב-זמן מצטייר לא-פעם כחלק ממנה, הוא למעשה תולדה מעט מאוחרת שלה.

מרחב-זמן יחסותי

מודל המרחב-זמן היחסותי הוצע במפורש רק ב-1908, במאמר המפתח ומרחיב את עבודתו של איינשטיין, שנכתב על ידי מורו, המתמטיקאי הרמן מינקובסקי. המודל המתמטי שהציע ובחן מינקובסקי ב-1908 הוא המחקר המפורש המוקדם ביותר העוסק בממדי המרחב והזמן כאספקטים של שלם אחדותי. את המודל הציע מינקובסקי בתחילה כניסוח מחודש למשוואות מקסוול ומאוחר יותר מתוך התייחסות לתורת היחסות הפרטית.
המודל המתמטי-גאומטרי של מינקובסקי מבטא את הקישוריות בין ממדי המרחב והזמן בשלבו אותם למערכת אחת. זהו מרחב מתמטי הנפרש על ידי קואורדינטות שקולות של מרחב וזמן כאחת, בו כל נקודה מייצגת אירוע מרחבי-זמני מסוים, וכל קו מייצג השתלשלות אירועים אפשרית. מאחר שקל ויעיל לאפיין אירוע פיזיקלי במונחים של מקום וזמן, זהו כלי נוח להצגה וחקירה של אירועים, וכן של מרחב האירועים עצמו. באמצעות דיאגרמות שונות של מרחב-זמן הצליח מינקובסקי לבחון ולהמחיש אספקטים יחסותיים שונים. הרעיון של מינקובסקי הוביל בעצם לתפיסת תורת היחסות הפרטית בצורה גאומטרית יותר, ובכך העניק מובן גאומטרי לממצאים אמפיריים ותאורטיים שונים, כגון טרנספורמציות לורנץ, והשפיע לא מעט על התפתחות המדע. למעשה, ניתן לומר כי גאומטריית המרחב-זמן שהציע מינקובסקי תרמה משמעותית לפיתוח תורת היחסות הכללית, מאחר שאת התיאור המדויק של השפעת הגרביטציה על המרחב ועל הזמן - נושא המחקר המרכזי של תורת היחסות הכללית - פשוט יותר להמחיש ולהציג כ'עיקום' או כ'עיוות' במארג הגאומטרי של המרחב-זמן. ככלל, ניתן לראות בתורת היחסות הכללית מחקר מעמיק של המרחב-זמן. מודל המרחב-זמן שהציגה תורת היחסות הכללית מהווה שכלול של מרחב-זמן מינקובסקי; זהו מרחב לא-שטוח ודינמי, המתאפיין בעקמומיות ועיוותים שהם תוצא של פיזור המסה והאנרגיה בו. מודל מתמטי זה מעמיד 'עולם' בו הממדים ארוגים זה בזה לרצף יחיד, ובו לא רק הממדים מהווים רצף, אלא גם עולם התופעות הפיזיקליות עצמו מהווה רצף. זוהי יריעה דינמית, רציפה ושלמה של אירועים, בלא 'חורים', שבה כל אירוע מוקף באופן מלא באירועים 'שכנים', ממומשים או לפחות אפשריים - מארג עולם אחד, שבמובן מסוים ארבעת הממדים אינם אלא היטלים שלו.

מושגי יסוד

באופן כללי המרחב-זמן הוא המרחב הארבע-ממדי, המהווה את זירת ההתרחשות של אירועים פיזיקליים. בדומה לתפיסת קו כאוסף כל הנקודות המאורגנות ברצף פורמלי מסוים ליצירתו, ניתן לראות במרחב-זמן כאוסף כל האירועים הפיזיקליים, ממשיים או אפשריים, המאורגן בצורה פורמלית ליריעה אחת - מרחב שלם ורציף, שכל נקודה בו מציינת אירוע מרחבי-זמני מסוים, ואשר ברמות מקומיות ניתן לתארו באמצעות מערכת קואורדינטות.
המרחב-זמן עצמו אינו תלוי בנקודת המבט של הצופה, אך ייצוגו נתון לבחירתו. לכן, לשם ייצוג או חקירה של התרחשות פיזיקלית, נוכל לבחור במודל המרחב-זמן הנוח לנו - מודל המיוצג על ידי מערכת הקואורדינטות המרחבית-זמנית הנוחה לנו, ואשר מייצג את מערכת הייחוס הנוחה לנו.
הגאומטריה של המרחב-זמן משתנה בנוכחות מסה ותחת השפעת תאוצה וסיבוב, לכן, כדי להבין את מבנהו ותכונותיו של מרחב-הזמן, מוטב תחילה להתייחס למרחב-זמן שנהוג לראותו כמרחב תורת היחסות הפרטית - המרחב-זמן המצטייר מתוך התייחסות למערכות אינרציאליות בלבד (תנועות במהירויות קבועות). רכיבי המרחב-זמן של תורת היחסות הפרטית קבועים בכל מערכת ייחוס; אין זה מרחב אוקלידי, אך ציריו נותרים ישרים, ועל כן הוא מהווה מרחב שטוח, הומוגני ואיזוטרופי (כל הכיוונים בו שווי ערך). נהוג לכנות מרחב זה בשם מרחב פסאודו-אוקלידי או מרחב מינקובסקי. כדי להמחיש את תכונותיו של המרחב-זמן הארבע-ממדי נהוג להשתמש בתרשימים בהם צירי המרחב מיוצגים על ידי שני צירים או ציר יחיד. דיאגרמות מעין אלו שימשו את מינקובסקי במחקרו ומכונות דיאגרמות מינקובסקי או דיאגרמות מרחב-זמן.

מערכת קואורדינטות ארבע-ממדית

בניית מודל גאומטרי ארבע-ממדי של מרחב-זמן, באמצעות מערכת קואורדינטות קרטזיות (ניתן לבחור במערכת קואורדינטות אחרת), נעשית על ידי הוספה של ציר זמן לשלושת הצירים המרחביים. כדי שהיחס בין הצירים השונים יהיה פשוט וסימטרי (מרחק זהה על כל ציר ייצג גודל זהה) וכך גם הגדלים במרחב, מוטב לבחור בקואורדינטות בעלות אותם ממדים. אם בחרנו ביחידות אורך (הבחירה הפשוטה יותר), נאחד את כלל הצירים על ידי שימוש באותה יחידת מרחק, גם בציר הזמן.
ההמרה של יחידות זמן למרחק נעשית על ידי הכפלה של יחידות הזמן במהירות; מאחר שמהירות האור היא גודל קבוע בכל מערכת, משתמשים בה להמרה, ומציגים את יחידות הציר הרביעי (ציר הזמן) כיחידות ct, כאשר c היא מהירות האור בריק. כעת, להשלמת ההאחדה, נותר רק להתאים ספציפית את יחידות ct ליחידת המרחק המסוימת בה בחרנו. לדוגמה, אם בחרנו ביחידת מרחק שהיא קילומטר, כל יחידת ct תייצג גם היא קילומטר, כאשר כיחידת זמן (t) ישמש הזמן שהאור עובר מרחק של קילומטר. במצב זה, יחידות ציר ct עשויות עדיין להיקרא יחידות זמן, מאחר שניתן להתבונן בהן כיחידות זמן שהוכפלו בסקלר. עם זאת במרחב-זמן ניתן למצוא גם קריאה רעיונית להסתפק ביחידת מידה אחת, של מרחק או של זמן, ולבטא מרחקים וזמנים באמצעות הגודל המשותף לכלל הצופים, הוא מהירות האור בריק.

מרחב-זמן בתורת היחסות הכללית

מאחר שבטבע גופים נעים בתנועה משתנה, מסתובבים, מאיצים ומאיטים ונתונים להשפעת כוחות כבידה, ניתן לראות במרחב-זמן של תורת היחסות הפרטית מרחב תאורטי, שאינו מתאר את המרחב-זמן הכללי בו אנו חיים, ויעיל רק למקרים בהם השפעת גורמים אלו זניחה. מרחב-זמן המתייחס לגורמים השונים הללו הוא מורכב ושונה ממרחב-הזמן של תורת היחסות הפרטית. למעשה, עד לפיתוח תורת היחסות הכללית נדמה היה כי בכל הנוגע לתאוצות ולסיבובים, עקרון היחסות אינו תקף. החיפוש אחר הכללה של עקרון היחסות, לכל סוגי התנועה, הוא שהוביל את איינשטיין לפיתוח תורת היחסות הכללית. תורה זו איגדה תופעות הקשורות בגרביטציה, במערכות ייחוס מואצות, ובתיאור גאומטרי של מרחבים עקומים, וניתן לראותה כתורה שבמרכזה עומד התיאור של שינוי הגאומטריה של המרחב-זמן בהשפעת כבידה ותאוצה, כמו גם של השפעת שינויים גאומטריים אלו על התנהגותם של גופים במרחב-זמן.
המרחב-זמן של תורת היחסות הכללית הוא מרחב אירועים שמבנהו מוגבל ומעוצב על ידי תנועת הגופים והכוחות הפועלים בו, ובה בעת מכפיף או כופה אילוצים על תנועתם. מרחב זה אינו אוקלידי, ואף לא פסוודו-אוקלידי; מבנהו נקבע על ידי פיזור המסה והאנרגיה בו, ולכן עקמומיותו עשויה להשתנות מאזור לאזור באופן משמעותי. בשונה מהמרחב-זמן של תורת היחסות הפרטית, שאופיו הכללי נותר מוגדר וקבוע, המרחב-זמן בתורת היחסות הכללית עשוי להיות לא-שטוח - ציריו אינם בהכרח ישרים, או ניצבים זה לזה, ועשויים להתעקם. כמו כן, מרחב זה אינו בהכרח הומוגני ואיזוטרופי, שכן תכונותיו עשויות להיות שונות, בנקודות שונות, ואף להשתנות במשך הזמן, כתלות במתרחש בו. 

המרחב-זמן הכללי (המבנה הגאומטרי של היקום) מהווה על כן, לפי תורת היחסות, יריעת אירועים דינמית, אך שלמה ורציפה, ששינויים אזוריים בתכונותיה מהווים כעין 'עיקום' או 'מתיחה' במארגה, המתפלגים מנקודה לנקודה בצורה חלקה ורציפה. מבנה מרחב כללי זה נקבע על ידי כלל החומר והאנרגיה ביקום.

עיקום המרחב-זמן במערכות מואצות

כאמור, קודם לניסוח תורת היחסות הכללית, בכל הנוגע לתאוצה וכבידה, נדמה היה כי עקרון היחסות אינו פועל, ואת השינויים במרחב ובזמן המופיעים במערכות הנעות בתאוצה, או הנתונות להשפעת שדות כבידה, לא ניתן היה להסביר במסגרת תורת היחסות הפרטית. אם בהתייחס למערכות הנעות זו ביחס לזו במהירות קבועה, נמצא כי אופיו של המרחב-זמן אינו משתנה, למעט זאת שצירי המערכת האחת מוטים ביחס לצירי המערכת השנייה בפסדו-סיבוב, בהתבוננות במערכות הנעות בתאוצה נמצא כי המרחב-זמן אינו משמר את אופיו, והמערכת המואצת אינה נוהגת כמערכת אחידה, אלא מתגלים בתוכה הבדלים בתפיסת המרחב והזמן. תופעות אלו הן שהובילו לשינוי תפיסת המרחב-זמן בתורת היחסות הכללית. כדי להבין את השינויים המתחוללים במרחב-זמן בהשפעת תאוצה, ניתן להתבונן במקרה מבחן של מערכת הנעה בתאוצה רדיאלית קבועה בגודלה.

תאוצה, גרביטציה ועקמומיות

ראינו כי צירי מערכות ייחוס אינרציאליות מוטים בפסדו-סיבוב זו ביחס לזו, בזווית התואמת את יחס המהירויות ביניהן. בתאוצה ניתן להתבונן כבשינוי מהירות, ומכאן שתצטייר אף היא כסיבוב יחסי של צירי המרחב-זמן של מערכת, אלא שבמקרה זה הסיבוב יהווה משתנה תלוי קואורדינטות, דבר המאפיין מרחב עקום. מבחינה זו, מערכת הנעה בתאוצה ישרה דומה למערכת המסתובבת במהירות קבועה. כפי שראינו, במערכת הנעה בתאוצה רדיאלית קבועה, רכיבי הטנזור תלויים במרחק מראשית צירי המערכת ובמהירות הזוויתית - המשתנים המגדירים את התאוצה הרדיאלית (). במערכת הנעה בתאוצה ישרה יופיעו מאפיינים דומים, שימצאו גם הם את ביטויים בריבוע האינטרוול - כרכיבים תלויי קואורדינטות.
השפעת כבידה דומה במידה מסוימת להשפעת תאוצה, מאחר שהיא פועלת באופן דומה לכוחות המדומים המופיעים במערכות מואצות ומקנה לגופים עליהם היא פועלת תאוצה שאינה תלויה במסתם. מדמיון זה נגזר כי השפעת כבידה על המרחב-זמן תהא דומה להשפעת תאוצה ותתבטא אף היא בסיבוב צירי המרחב-זמן, אלא שהפעם, בשל חוסר אחידות שדות כבידה, כיוון ומידת הסיבוב - העקמומיות - עשויים להשתנות מאזור לאזור בצורה משמעותית ולייצר במרחב-זמן עיוותים.
איינשטיין זיהה את הדמיון בין התופעות המתגלות במערכות מואצות ומערכות הנתונות להשפעת כבידה, ומחקירתו אותו מכיוונים שונים גזר את עקרון השקילות בין מסה אינרציאלית ומסה גרביטציונית, הגורס כי התופעות הנצפות במערכות מואצות ואלו הנובעות משדה כבידה הומוגני שקולות מבחינה פיזיקלית ולא ניתן יהיה להבחין בניהן. רעיון זה היווה אחד מאבני הדרך המשמעותיות בפיתוח תורת היחסות הכללית, שאיפשרו לאיינשטיין לאגד ולקשור את מכלול התופעות הקשורות באינטראקציות בין מסות ותנועת גופים ואנרגיה, לכלל תאוריה חדשה, המעמידה תיאור והגדרה פורמלית של הקשר בין המרחב-זמן לבין תנועת החומר והאנרגיה בו, התקפים לכלל מערכות הייחוס. התאוריה שפיתח איינשטיין מציגה גישה שונה למרחב-זמן, ובשל עיסוקה במרחבים לא הומוגניים, שעקמומיותם עשויה להשתנות בצורה דרסטית, היא מתייחסת למרחבים שרכיבי הטנזור שלהם אינם קבועים.

מסלולי תנועה גיאודזיים

לפי תורת היחסות הכללית נוכחות ותנועת מסה מעוותת את המרחב-זמן ויוצרת בו עקמומיות. עקרון ההתמדה קובע כי גופים ישאפו להתמיד בתנועתם, ולכן, כמנוסח בחוק הראשון של ניוטון, במצב של תנועה במהירות קבועה ובהיעדר השפעת כוחות נוספים, גופים ינועו בקו ישר. עקרונות תנועה אלו נשמרים בתורת היחסות הכללית: גופים חופשיים ינועו "תמיד בקווים ישרים במרחב-זמן ארבע-ממדי," אך בשל עקמומיות המרחב יראו לנו "כאילו הם [נעים] בקווים עקומים במרחב התלת-ממדי שלנו". תנועת גופים במרחב-זמן של תורת היחסות מתוארת לפיכך באמצעות מסלולים גיאודזים: קו גיאודזי או מסילה גאודזית הוא המסלול הקצר ביותר בין שתי נקודות במרחב עקום; במרחב שטוח קו גיאודזי הוא ישר, ובמרחב תלת-ממדי עקום זהו מסלול גאודזי. למשל, על פני כדור, המסילות הגאודזיות הן המעגלים הגדולים שהרדיוס שלהם שווה לרדיוס הכדור.
לפי תורת היחסות במרחב-זמן הארבע-ממדי, גוף ינסה להתמיד בתנועה ישרה, אך נתיב תנועתו יוכפף ויתעקם בשל עקמומיות המרחב, והוא ינוע במסלול הקצר ביותר האפשרי לו - כלומר, במסילה גיאודזית. מבחינה זו עקמומיות המרחב מייצגת למעשה את האילוצים הנכפים על גופים על ידי שדות הכבידה הכלליים. לכן, בהינתן הגאומטריה של המרחב ועקמומיותו, ניתן לחשב את מסלולי התנועה של גופים בו. ניבויים אלו של תורת היחסות הוכחו כמה שנים אחר ניסוח תורת היחסות הכללית. משוואות התנועה הקו-ואריאנטיות של איינשטיין מאפשרות חישוב מסלולים שכאלה. כמשוואת השדה גם משוואות אלו הן משוואות דיפרנציאליות סבוכות, העושות שימוש בחשבון טנזורים ואנליזה על יריעות.

תורת המיתרים

תורות המיתרים גורסות כי בצד שלושת ממדי המרחב המוכרים לנו קיימים ממדי מרחב נוספים, מכורבלים (קומפקטיים), כאשר מספר הממדים משתנה מתאוריה לתאוריה. באופן כללי תורות המיתרים השונות אינן מציעות מודל של מרחב-זמן קוונטי אלא מניחות את קיום המרחב-זמן כרקע להתרחשות התופעות ברמה הקוונטית; לתפיסתן, תנודת המיתרים או הממברנות (צורות היסוד של החלקיקים), אינה משפיעה על עקמומיות המרחב ומהווה הפרעה זניחה לגביו (ראו תורת ההפרעות). מרחב הרקע, לפי תורות המיתרים, מתעקם רק תחת השפעת אירועים מסקלה גדולה או בהשפעת אפקטים הפרעתיים (אוסף גדול של מיתרים או חלקיקים ייחודיים). פתרון משוואות תורת המיתרים נעשה על כן בשני חלקים; חלק בו נכתבות משוואות תורת המיתרים המתייחסות לתנודות המיתרים, וחלק בו מטריקת המרחב מחושבת לפי משוואות תורת היחסות. בחיבור שני חלקים אלו, הנחת ההפרעות על גבי הרקע, מתקבל הפתרון השלם. בהנחת קיומו של מרחב-זמן המהווה רקע - כלומר, מרחב קלאסי, לא קוונטי, וקבוע מראש - בעצם מציגה תורת המיתרים סתירה לתורת היחסות הכללית, הגורסת כי המרחב-זמן מהווה ישות דינמית, שהמטריקה שלו (עקמומיותו) היא תוצר של תנועת החומר-אנרגיה. למרות זאת, תורת המיתרים מרמזת כי המרחב-זמן אף הוא בדיד, בעצם כך שעולה ממנה כי למיתרים ישנם גודלי יסוד מזעריים שהם גבוליים - כלומר, בדידים.

כבידה קוונטית לולאתית

תורת הלולאות הקוונטיות נוקטת גישה שונה וגורסת כי יש לבצע קוונטיזציה של הכבידה באופן חסר-רקע - כלומר, לתאר את הכבידה, עיקום המרחב, כפועל יוצא של מבנה קוונטי יסודי, חסר רקע (המתקיים על יריעה עירומה). מאחר שהמטריקה - עקמומיות המרחב - מהווה חלק יסודי בחישובים של תורת השדות הקוונטיים, תורת הלולאות נדרשה לנסח מחדש את תורת השדות הקוונטיים עבור יריעה עירומה - ללא רקע.
באופן כללי, תורת הלולאות מניחה כבסיס שהמרחב אינו רציף, ותחת הצגת פתרון למשוואות תורת היחסות הכללית עבור כל נקודה ונקודה במרחב, היא מציגה פתרון רק לאורך לולאות במרחב. לפי תורת הלולאות הקוונטית, הלולאות עצמן הן הישויות היסודיות שיחסיהן קובעים את עקמומיות המרחב. המבנה המתמטי באמצעותו מיוצגות הלולאות נקרא רשת ספין - מבנה שהוצע על ידי המתמטיקאי רוג'ר פנרוז, כבסיס לתאוריה של כבידה קוונטית. מבנה זה מהווה למעשה שיטה גרפית לרישום כלל המצבים הקוואנטים השונים במרחב. בתורת הלולאות, רשת הספין מורכבת מצמתים וקשתות, כאשר הצמתים ברשת תואמים יחידות נפח ואילו הקשתות המחברות אותן תואמות יחידות שטח. המרחב לפי תורת הלולאות הקוונטית מחולק ליחידות בדידות של נפח ושטח, כאשר רשת הלולאות מהווה את המרקם הדינאמי ממנו הוא מורכב. לפי תורה זו, חלקיקים קוונטיים, או שדות אלקטרומגנטיים, יכולים להתקיים רק בצמתים, כאשר תנועתם במרחב מתבצעת בצעדים בדידים - מצומת לצומת, לאורך הקשתות - ובזמן בדיד. תכונות הרשת – מצבי התקשורת בין הצמתים - מגדירים את המצבים הקוונטים השונים ואת יחסיהם. בהינתן רשת ספין ישנה אפשרות לחשב את עקמומיות המרחב, ועל כן את הכבידה שעיקום זה יוצר. שינוי במרחב, אירוע, משמעו שינוי רשת הספין. תנועת החלקיקים והשדות הקוונטים במרחב כרוכה בסחרורם; תנועה זו משנה את תכונותיהם הקוונטיות, כמו גם את הגאומטריה של המרחב - כלומר, משנה את מערך רשת הספין ויחסי המרחק. בהוספת מימד הזמן - השינויים במרחב - מתקבלת תמונת המרחב-זמן, המרחב הארבע-ממדי, המבוטא באמצעות 'קצף הספין'. קצף הספין מייצג את המעברים בהם משתנות רשתות ספין - שינוי הקישוריות של רשתות הספין המרחביות -, ומיוצג על ידי צמתים שקשתותיהם נפגשות בקצף. לשיטת תורת הלולאות, כל חתך במרחב-זמן, הוא רגע בקצף ספין ומהווה רשת ספין. המרחב-זמן הקוונטי, לפי תורת הלולאות, הוא לפיכך לא חלק ולא רציף. זהו מבנה מורכב, שיסודותיו בדידים, המתואר באמצעות רשתות הספין וקצף הספין- מערכי רשתות הספין ודרכי שינויים.