חוג חבורה

באלגברה, חוג חבורה הוא מודול חופשי מעל חוג R יחד עם פעולת כפל המתאימה לחבורה G. 
לחוג החבורה חשיבות רבה בתחום תורת ההצגות.

הגדרה

יהא R חוג ו G חבורה, אז חוג החבורה  מוגדר להיות המודול החופשי מעל R ש-G הוא בסיס שלו, עם הכפל המושרה מ-G.

חוג החבורה בתורת ההצגות

הצגה של חבורה  היא מרחב וקטורי  (מעל שדה  כלשהו) יחד עם הומומורפיזם . על כל הצגה של  יש מבנה טבעי של מודול מעל . בניה זאת  מגדירה שקילות קטגורית בין קטגוריית ההצגות של  וקטגוריית המודולים מעל .
חוג החבורה מהווה בפני עצמו הצגה של  בשתי צורות שונות: פעולה על ידי כפל משמאל, ופעולה על ידי כפל מימין (כדי שזאת תהיה הצגה יש להפוך תחילה את האיבר הפועל). הצגות אלה נקראות "ההצגה הרגולרית השמאלית" ו"ההצגה הרגולרת הימנית" בהתאמה. יחד הן מגדירות את ההצגה הרגולרית הדו-צדדית, שהיא הצגה של .
אם  סופית ו  סגור אלגברית ממציין 0, אז קיים  איזומורפיזם: 
 
כאשר  היא קבוצת ההצגות האי-פריקות של . האיזומורפיזם הוא גם של אלגבראות וגם של הצגות של .

המבנה של חוג החבורה

בעוד שבחקר חוגי החבורה (ובפרט אלגברות החבורה) של חבורות סופיות ישנם כלים כמו משפט משקה, המאפשרים לפענח את מבנה החוג (ודרכו, יש לקוות, את מבנה החבורות), במקרה בו החבורה  אינסופית, חוג החבורה יכול להיות בעל מבנה מסובך ביותר. 
אם שדה הבסיס הוא שדה ממאפיין אפס, חוג החבורה ראשוני למחצה לכל חבורה. חוג החבורה הוא ראשוני אם ורק אם חוג הבסיס,  ראשוני וגם לחבורה  אין תת-חבורות נורמליות סופיות (לא טריוויאליות). הדבר מתיישב עם הידוע מן המקרה הסופי, שם אלגברת החבורה לעולם איננה ראשונית (מכיוון שהחבורה כולה נורמלית סופית, ואמנם בכל חבורה יש לפחות שתי מחלקות צמידות ומכאן שהאלגברה מתפרקת למכפלה של חוגים). אלגברת החבורה (מעל שדה) היא תחום אם החבורה היא הרחבה חסרת פיתול של חבורה פתירה בחבורה סופית. אלגברת החבורה מעל שדה הוא פרימרי אם ורק אם אין בחבורה איברים מסדר סופי שמחלקת הצמידות שלהם סופית. פורמנק הוכיח שעבור חבורה שהיא מכפלה חופשית של חבורות גדולות דיין, אלגברת החבורה פרימיטיבית; אלגברת החבורה היא פרימיטיבית למחצה מעל כל שדה שאינו אלגברי מעל תת-השדה הראשוני שלו. 
חוג חבורה מקיים זהויות פולינומיות אם ורק אם החבורה מכילה תת-חבורה אבלית מאינדקס סופי (virtually abelian).

"חוג החבורה" של מונויד

את החוג  אפשר להגדיר גם כאשר M מונויד, ולאו דווקא חבורה. אחד ההישגים היפים של תורת ההצגות של מונוידים הוא המשפט הבא (Kovacs, Okninski-Putcha, 1990): אם q חזקה של ראשוני ו-K שדה ממאפיין זר ל-p, אז  כאשר  הוא מספר תת-המרחבים מממד r של F_q^n. בפרט, האלגברה פשוטה למחצה.

חבורות טופולוגיות

אחת השיטות העיקריות לחקר חבורות אינסופיות הוא באמצעות ציודן בטופולוגיה מתאימה. חבורה שהיא גם מרחב טופולוגי (כך שפעולת הכפל היא העתקה רציפה) נקראת חבורה טופולוגית. לרוב המושגים של תורת החבורות (למשל: הומומורפיזם או הצגה) יש גרסה טופולוגית, בה אנו דורשים מההעתקות להיות רציפות. אם המושג מערב שדה אז יש להגדיר טופולוגיה עליו. 
ניתן אמנם להשתמש בהגדרה הכללית של אלגברת החבורה גם עבור חבורה טופולוגית, אבל היא איננה מתייחסת לטופולוגיה, ולכן אינה מתאימה לחקר החבורה כחבורה טופולוגית. קשה לתת הגדרה כללית של אלגברת החבורה של חבורה טופולוגית שתקח בחשבון את הטופולוגיה. הסיבה לכך היא שמושג הקונבולוציה הוא בעייתי עבור חבורה טופולוגית כללית. 
עבור סוגים מסוימים של חבורות טופולוגיות ניתן להגדיר את חוג החבורה בכמה אופנים. לצורך הפשטות נניח מעתה כי חוג המקדמים  הוא שדה המרוכבים .

חבורות קומפקטיות


מקרה בו נוח להגדיר את אלגברת החבורה הוא כאשר החבורה קומפקטית. במקרה כזה קיימת מידת הסתברות  יחידה על החבורה שהיא אינווריאנטית לגבי כפל משמאל או מימין באיברי החבורה. מידה זאת נקראת מידת האר. אלגברת  החבורה של  חבורה קומפקטית מוגדרת בדרך כלל כאלגברת הפונקציות הרציפות
 על . כאשר הכפל מוגדר ע"י
בשונה מהמקרה הדיסקרטי, לאלגברת חבורה של חבורה קומפקטית כללית אין יחידה.
עם זאת, רוב התכונות של חבורות סופיות תקפות גם לחבורות קומפקטיות, עם שינויים קלים.