זרימה פוטנציאלית

בדינמיקת זורמים , זרימה פוטנציאלית מתארת את שדה המהירות  כגרדיאנט של שדה סקלרי המתארת את פוטנציאל מהירות .
בגלל הגדרה זו לפוטנציאל המהירות מתקבל שזרימה פוטנציאלית מאופיינת בשדה מהירות אי-רוטציוני , שמשמש כקירוב טוב ליישומים רבים.
אי הרוטציוניות של זרימה פוטנציאלית נובע מכך שהרוטור של הגרדיאנט של פונקציית הפוטנציאל תמיד שווה לאפס.
עבור זרימה בלתי דחיסה, פוטנציאל המהירות מקיים את משוואת לפלס, ועבור מקרים אלו התאוריה הפוטנציאלית  תקפה.
אף על פי כן, זרימה פוטנציאלית יכולה לשמש לעיתים גם כדי לתאר זרימה דחיסה.
הגישה הפוטנציאלית מיושמת במידול של זרימות נייחות כמו גם במידול של זרימות לא נייחות.
יישומים של זרימה פוטנציאלית:
שדה זרימה סביב כנף דקה, גלי מים, זרימה אלקטרו-אוסמוטית ועוד.
היא לא תקפה לעומת זאת עבור זרימה (או מקרים מסוימים בתוך זרימה) שיש בה אפקטים ערבוליים חזקים.
כמו כן, שימוש בזרימה פוטנציאלית נעשה בעיקר בזרימות המאופיינות במספרי ריינולדס גבוהים () כלומר, זרימה פוטנציאלית מזניחה השפעות של חיכוך שנגרמת כתוצאה מצמיגות הזורם.

תיאור ומאפיינים

בדינמיקת זורמים זרימה פוטנציאלית מתוארת על ידי פונקציית פוטנציאל φ שבמקרה הכללי היא פונקציה של המרחב והזמן.
מהירות הזרימה מתוארת על ידי השדה הווקטורי v ששווה לגרדיאנט של פונקציית הפוטנציאל:

מחשבון וקטורי ניתן לקבל שהרוטור של הגרדיאנט שווה לאפס

וכתוצאה מכך מתקבל שהערבוליות (שהיא הרוטור של שדה המהירות שווה לאפס גם כן:

משתמע מכך שזרימה פוטנציאלית היא זרימה אי-רוטציונית .
לתוצאה זו יש השלכות ישירות עבור המקרים שבהם ניתן (או לא ניתן) ליישם זרימה פוטנציאלית.
באזורים בזרימה שבהם ידוע שהערבוליות חשובה, כמו שבלים במים או שכבות גבול, הזרימה הפוטנציאלית לא מצליחה לספק תחזיות סבירות על הזרימה.
עם זאת, ישנם אזורים רבים בשדה זרימה שבהם ההנחה של זרימה אי רוטציונית תקפה, ובשל כך נעשה שימוש בזרימה פוטנציאלית ביישומים רבים,
למשל: בזרימות מסביב כנף דקה, בעיות אקוסטיות, גלי מים ובזרימה אלקטרו-אוסמוטית.

זרימה בלתי דחיסה

עבור המקרה של זרימה בלתי דחיסה - למשל עבור נוזל, או גז במספרי מאך נמוכים, אבל לא עבור גלי קול - דיברגנץ המהירות שווה לאפס
כתוצאה מכך מתקבל שפונקציית פוטנציאל המהירות צריכה לקיים את משוואת לפלס
כאשר  הוא הלפלסיאן (לעיתים מסומן ב-).
במקרה זה הזרימה נקבעת באופן מוחלט מהקינמטיקה שלה, כלומר מההנחות של שדה אי רוטציוני ושהדיברגנץ של המהירות הוא אפס.
הדינמיקה של הבעיה יכולה להיות מחושבת לאחר מכן אם אנו מעוניינים בחישוב לחצים, לדוגמה עבור זרימה מסביב לכנף דקה (ואגב כך חישוב כח העילוי, למשל שיעבוד על הכנף) על ידי שימוש בעקרון ברנולי.
עבור המקרה הדו-ממדי, הבעיה של זרימה פוטנציאלית מצטמצמת לבעיה מאד פשוטה שמנותחת על ידי שימוש באנליזה מרוכבת (פירוט בהמשך הערך).

זרימה תמידית

זרימה פוטנציאלית יכולה לשמש על מנת למדל זרימה דחיסה אי רוטציונית.
פונקציית הפוטנציאל המלאה המתארת זרימה במצב מתמיד נתונה ע"י:
כאשר רכיבי מספר מאך הם:
, , 
ו- היא מהירות הקול הלוקאלית.
מהירות הזורם במקרה זה גם כן שווה ל-, כאשר Φ היא פונקציית פוטנציאל המהירות.
פונקציית הפוטנציאל המלאה תקפה עבור זרימה תת-קולית, קולית, ועל קולית, בזווית התקפה כלשהי, כל עוד שההנחה של זרימה אי רוטציונית נשמרת.
עבור המקרה של זרימה תת-קולית או על-קולית בזוויות התקפה קטנות ועבור גופים דקים, ניתן להניח הנחה נוספת:
ניתן לפצל את פוטנציאל המהירות לזרימה מציפה בלתי מופרעת בכיוון X: , ומהירות מופרעת קטנה  לכן:
עבור מקרה זה המשוואה הליניארית (שעברה ליניאריזציה) עבור הפרעות קטנות של הפוטנציאל - שהיא קירוב למשוואה הפוטנציאלית המלאה - ניתנת לכתיבה:
כאשר  הוא מספר המאך של הזרימה המציפה.
המשוואה הליניארית הרבה יותר פשוטה למימוש וניתן לצמצמה למשוות לפלס על ידי הנחנה שהגודל האופייני בכיוון X גדול בהרבה יותר מאשר בכיוונים האחרים.

יישומיות ומגבלות

זרימה פוטנציאלית לא כוללת בתוכה את כל המאפיינים שזרימות שונות כוללות בתוכן בעולם האמיתי.
למשל, זרימה פוטנציאלית לא כוללת בתוכה טורבולנציה , שהיא צורה שכיחה של זרימה בטבע.
בנוסף, זרימה פוטנציאלית לא יכולה לתאר זרימות פנימיות צמיגות.
מזרימה פוטנציאלית גם מתקבלות כמה תחזיות שלא תואמות את המציאות, כמו פרדוקס ד'אלמבר , שאומר שכח הגרר שפועל על גוף נח בשדה זרימה אינסופי הוא אפס. (פרדוקס זה ייושב על ידי הצגת הרעיון של שכבות גבול).
או אם נדייק, זרימה פוטנציאלית לא לוקחת בחשבון התנהגות של זרימות שכוללות בתוכן שכבות גבול.
למרות זאת, הבנה של זרימה פוטנציאלית חשובה בהרבה ענפים של מכניקת זורמים. במיוחד זרימות פוטנציאליות פשוטות (נקראות זרימות אלמנטריות) כמו, ערבול או מקור\בור אשר קיים עבורם פתרון אנליטי סגור.
את הפתרונות הללו ניתן לשלב על ידי עקרון הסופרפוזיציה על מנת ליצור זרימות יותר מסובכות אשר מקיימות מגוון של תנאי שפה שונים (כמו למשל מידול של השפעת פיצוץ על קיר ועוד).
בנוסף, זרימות אלו תואמות (אף על פי שלעיתים לא במדויק) זרימות בחיים האמיתיים בכל התחומים של מכניקת זורמים; בנוסף, ניתן לקבל תובנות רבות וחשובות כאשר מתחשבים בסטייה (שלפעמים יכולה להיות קטנה מאד) בין תצפיות של זרימה והזרימה הפוטנציאלית התואמת.
ישנם יישומים רבים של זרימה פוטנציאלית למשל בעיצוב מטוסים.
לדוגמה, בדינמיקת זורמים חישובית , טכניקה אחת היא לחבר פתרון של זרימה פוטנציאלית מחוץ לשכבת הגבול לפתרון לשדה הזרימה בתוך שכבת הגבול.
התוצאה של היעדר שכבות גבול היא שניתן להחליף כל קו זרם בקו של חומר לכאורה ללא הפרעה לשדה הזרימה, וזאת מכיוון שהתאוריה הפוטנציאלית מזניחה את השפעות החיכוך (שנגרם עקב צמיגותו של הזורם) מה שמתברר כהנחנה טובה לרוב שדה הזרימה חוץ מבתוך שכבת הגבול.

הערות כלליות

ניתן להציב ב-f כל פונקציה דיפרנציאבילית.
בדוגמאות הבאות נשתמש במגוון של פונקציות אלמנטריות; ניתן להתמש גם בפונקציות מיוחדות.
נשים לב כי פונקציות שאינן חד-חד-ערכיות כמו הלוגריתם הטבעי גם כן ניתנות למימוש, אבל צריכים להגביל אותן למשטח רימן אחד.

התנהגות חזקות עבור n = 1 זרימה מציפה

אם  כלומר, n=1, קווי הזרם (כלומר הקווים שעליהם ) מהווים מערכת של קווים ישרים המקבילים לציר x.
קל לראות זאת על ידי פירוק לרכיבים ממשיים ומדומים:
מכאן שמתקיים  ו-, זרימה זו נקראת זרימה מציפה בכיוון x.

התנהגות חזקות עבור n = 2

אם  אז  וקווי הזרם המתאימים לערך קבוע מסוים של  מקיימים את המשוואה:
אשר מתארת מערכת של קווים היפרבולים.
ניתן להראות זאת על ידי פירוק לרכיבים (ממשיים ומרוכבים), נשים לב כי  ובהצבה של  ו- ניתן להראות (אחרי פישוט) שהמשוואה המתארת את קווי הזרם היא:
שדה המהירות נתון על ידי  או:
בדינמיקת זורמים שדה הזרימה ליד מקור תואם זרימה ליד נקודת סטגנציה.
נשים לב שהזורם במקור נמצא במנוחה (מתקבל מההגדרה שהנגזרת של  ב  ).
קו הזרם שבו  מעניין במיוחד מכיוון שיש לו שני (או ארבעה) ענפים אשר עוקבים אחרי הצירים כלומר  ו-.
מכיוון ששום זורם לא זורם על ציר x, נוכל להתייחס אליו כאל גבול מוצק.
ולכן אפשר להתעלם המזרימה בחצי המישור השלילי  ולהתרכז בזרימה בחצי המישור העליון.
עם תובנה זו ניתן לדמות את זרימה זו לזרימה שנוצרת כתוצאה מהטזת סילון מים אנכי על מישור אופקי.
ניתן גם לדמות את הזרימה כזרימה ליד פינה ישרה () אם מסתכלים על האזור בו  וגם .

התנהגות חזקות עבור n = 3

אם n = 3 הזרימה המתקבלת דומה לזרימה עבור n = 2 רק שכאן הזווית של הפינה שווה ל-.
קווי הזרם:

התנהגות חזקות עם n = -1 (זוגן)

אם n = -1 קווי הזרם נתונים על ידי:
ובפירוק לרכיבים:
ולכן קווי הזרם הם מעגלים אשר ניצבים לציר ה- בגובה של המקור.
המעגלים בחצי המישור העליון זורמים בכיוון השעון והמעגלים בחצי המישור התחתון נגד כיוון השעון.
נשים לב שרכיבי המהירות פרופורציונלים ל- ושהערכים שלהם במקור הם אינסופיים.
לצורת הזרימה קוראים זוגן (דובלט), וניתן לדמות זוגן על ידי מקור ובור בעוצמה מסוימת אשר ממוקמים במרחק קטן מאד (או אפילו אינפינטיסימלי) זה מזה.
שדה המהירות נתון על ידי:
ובקואורדינטות פולריות:

התנהגות חזקות עם n = -2 (קוואדרופול)

אם n = -2 קווי הזרם הם:
זרימה זו נקראת זרימה קוואדרופולית.