הזוגיות של אפס

אפס הוא מספר זוגי, משום שהוא שווה לפעמיים אפס, וכל מספר השווה לפעמיים מספר שלם הוא זוגי לפי ההגדרה.
כיוון שאפס זוגי, הוא מקיים את כל התכונות של המספרים הזוגיים: הוא ניתן לחלוקה ב-2 בלי שארית והקבוצה שבה 0 איברים (הקבוצה הריקה) היא איחוד של שתי קבוצות זרות שלהן אותו גודל (שתי קבוצות ריקות).
על אף ההגדרה המקובלת, יש שגיאה רווחת כי הזוגיות של אפס אינה מוגדרת. בניסויי זמן תגובה, רוב האנשים מזהים את 0 כזוגי לאט מאשר את 2, 4, 6 או 8.
חוקרים להוראת מתמטיקה מעלים את האפשרות שתפיסות שגויות אלו יכולות להוות הזדמנויות ללמידה. פעילות ללימוד שוויונות כמו 0 × 2 = 0 מאפשר לפתור ספקות לגבי היותו של 0 מספר, ולגרום להשתמש בו באריתמטיקה ולהעריך את חשיבות ההגדרות. הבנת תכונת הזוגיות של מספר יוצא דופן שכזה היא דוגמה מוקדמת לנושא נפוץ במתמטיקה: הפשטה של עקרון מוכר למצב לא מוכר. שאלת הזוגיות של אפס עולה בפורומים באינטרנט ואתרי "הכה את המומחה".

המחשת הזוגיות של אפס

ניתן גם להסביר למה אפס הוא זוגי בלי לעשות שימוש בהגדרות רשמיות. ההסברים שלהלן מנסים לגרום להבנה לגבי הסיבה שאפס הוא מספר זוגי במובנים של עקרונות בסיסיים במספרים. מיסודות אלו ניתן לספק הסבר הגיוני להגדרה עצמה - והחלתה עבור המספר אפס.
מספרים משמשים אותנו לצורכי ספירה: בהינתן קבוצת עצמים, משתמשים במספרים על מנת לתאר כמה עצמים נמצאים בקבוצה. אפס הוא המונח המשמש אותנו להגיד שאין עצמים; או במינוח רשמי יותר, אפס הוא מספר העצמים בקבוצה ריקה. הרעיון של הזוגיות נוצר על מנת לאגד קבוצות של שני עצמים. אם ניתן לחלק את העצמים בקבוצה לקבוצות של 2, אז מספר העצמים בקבוצה זוגי. אם ישנו עצם שנשאר ללא בן זוג, אז מספר העצמים בקבוצה אי-זוגי. הקבוצה הריקה כוללת אפס קבוצות של שני עצמים, ואין עצם שנשאר לא מצוות, ולכן מספר איבריה הוא זוגי, היינו אפס הוא זוגי.
רעיונות אלו יכולים להיות מומחשים על ידי שרטוט עצמים בזוגות. קשה לנסות לתאר אפס קבוצות של שתיים, או להדגיש את חוסר הקיום של עצם שנשאר, כך שנוח לצייר קבוצות אחרות ולהשוות אותן לקבוצה של אפס. לדוגמה, בקבוצה של חמישה עצמים יש שני זוגות. חשוב מכך, יש שם עצם שנשאר, ולכן 5 זה מספר אי-זוגי. בקבוצה של ארבעה עצמים אין עצמים שנשארו, ולכן 4 הוא זוגי. בקבוצה של עצם אחד יש עצם אחד שנשאר, ולכן 1 הוא אי-זוגי. בקבוצה של אפס עצמים אין עצמים שנשארו, ולכן 0 הוא זוגי.
ישנה הגדרה נוספת לזוגיות: אם העצמים בקבוצה יכולים להיות מונחים בשתי קבוצות בגודל שווה, אז מספר העצמים זהה. הגדרה זו זהה להגדרה הראשונה. שוב, אפס זוגי מכיוון שהקבוצה הריקה יכולה להיות מחולקת לשתי קבוצות של אפס עצמים כל אחת.
מספרים יכולים להיות מצוירים כנקודות על ציר המספרים. כאשר מספר זוגי ומספר אי-זוגי נבדלים זה מזה, התבנית נהפכת לברורה, במיוחד אם כוללים את המספרים השליליים:
לא משנה מאיזה מספר זוגי נתחיל, אם נספור לכיוון מעלה או למטה בקפיצות של שתיים נגיע למספר זוגי. אין סיבה לדלג על אפס.
נוכל גם להוכיח את הזוגיות של אפס בדרך קצת יותר רשמית בעזרת כפל וביטויים אריתמטיים. כל מספר שלם יכול להבנות בעזרת התבנית (2 × ▢) + 0 או בעזרת התבנית (2 × ▢) + 1 התבנית הראשונה יוצרת מספרים זוגיים, והתבנית השנייה יוצרת מספרים אי-זוגיים. לדוגמה, המספר 1 הוא אי-זוגי כיוון ש-1 = (2 × 0) + 1 והמספר 0 הוא זוגי כיוון ש-0 = (2 × 0) + 0. בניית טבלה של העובדות הללו תחזק את הטענה של תמונת ציר המספרים המופיעה מעלה.

הקשרים מתמטיים

אינספור תוצאות בתורת המספרים משתמשות במשפט היסודי של האריתמטיקה ובתכונות האלגבריות של מספרים זוגיים, כך שיש לבחירות שכתובות למעלה השלכות מרחיקות לכת. לדוגמה, העובדה שניתן לפרק לגורמים מספרים שלמים חיוביים בדרך אחת בלבד משמעה שניתן להכריע האם למספר כלשהו יש מספר מחלקים זוגי או אי-זוגי. מכיוון ש-1 אינו מספר ראשוני ואין לו מחלקים, הוא מכפלה של אפס מספרים ראשוניים שונים. מכיוון ש-0 הוא מספר זוגי, ל-1 יש מספר זוגי של מחלקים שונים. מכאן ניתן להגיד שפונקציית מביוס יכולה לקבל את הערך μ(1) = 1, דבר שהכרחי עבורה כדי להיות פונקציה כפלית ודבר הכרחי על מנת שנוסחת ההיפוך של מביוס תעבוד.

לא אי-זוגי

המספר n הוא אי-זוגי אם יש מספר שלם k כך ש- n = 2k + 1. דרך אחת להוכיח שאפס אינו אי-זוגי היא על דרך השלילה: אם 0 = 2k + 1 אזי k = −1/2, שהוא אינו מספר שלם. כיוון שאפס הוא לא אי-זוגי, אם מוכח שמספר כלשהו הוא אי-זוגי, מספר זה אינו יכול להיות אפס. בדיקה פשוטה זו יכולה לספק הוכחה משכנעת למדוע מספר כלשהו אינו אפס.
טענה מוכרת בתורת הגרפים היא שלגרף מסדר אי-זוגי (בעל מספר אי-זוגי של צמתים) תמיד יהיה לפחות צומת אחד בדרגה זוגית. על מנת שהטענה תתקיים, אפס חייב להיות זוגי: גרף ריק הוא מסדר זוגי, ולצמתים מבודדים יש דרגה זוגית. על מנת להוכיח את הטענה, קל יותר להוכיח טענה חזקה יותר: לכל גרף מסדר אי-זוגי יש מספר אי-זוגי של צמתים בדרגה זוגית. ההסבר לתופעה זו מונח בטענה כללית אפילו יותר, הידועה גם כלמת לחיצות הידיים: לכל גרף יש מספר זוגי של צמתים מדרגה אי-זוגית. ניתן להסביר את המספר הזוגי של צמתים מדרגה אי-זוגיים בעזרת נוסחת סכום הדרגות

בחינוך

הנושא של הזוגיות של אפס מטופל לרוב בשנתיים-שלוש הראשונות של חינוך יסודי, ומוצג כחלק מהעקרון ופיתוח ההבנה של מספרים זוגיים ואי-זוגיים.

בקיאות מורים

חוקרים להוראת המתמטיקה באוניברסיטת מישיגן כללו את פסוקית האמת או שקר "0 הוא מספר זוגי" בקבוצה של מעל 250 שאלות שעוצבו על מנת למדוד את הידע של המורים בתוכן של המלמדים. עבורם, השאלה הדגימה "עובדה ידועה ... שכל מבוגר משכיל צריך לדעת", ושמדובר ב"שאלה נייטרלית מבחינה אידאולוגית" שהתשובה לא משתנה בין שיטות לימוד שונות של מתמטיקה. במחקר שנערך בשנים 2000–2004 שכלל 700 מורי יסודי בארצות הברית, ביצועיהם של המורים חזו בצורה ברורה שיפור במבחנים פסיכומטריים של תלמידים שלקחו שיעורים ממורים אלו. במחקר מעמיק יותר שנעשה בשנת 2008, החוקרים מצאו בתי ספר שבהם כל המורים חשבו שאפס הוא לא מספר זוגי ולא מספר אי-זוגי, כולל מורה שהיה מופתי בכל המדדים האחרים. התפיסה המוטעית הופצה על ידי מורה למתמטיקה בבניין שלהם.
לא ידוע כמה מורים מחזיקים בתפיסות מוטעות לגבי אפס. המחקרים במישיגן לא פרסמו מידע עבור שאלות ספציפיות. בטי ליכטנברג, פרופסור לחינוך מתמטי באוניברסיטת דרום פלורידה, דיווחה במחקר מ-1972 שכאשר קבוצה של מורים קיבלו מבחן של אמת-או-שקר כולל הסעיף "אפס הוא מספר זוגי", הם מצאו אותו כ"שאלה מכשילה", כאשר שני שלישים מתוכם ענו "שקר".

השלכות בהוראה

מבחינה מתמטית, הוכחת העובדה שאפס הוא זוגי היא עניין פשוט של החלת ההגדרה, אך הסברים נוספים דרושים בהקשרי הוראה. אחת הבעיות נוגעת לבסיסה של ההוכחה; ההגדרה עבור "זוגי" כ"מספר שלם שהוא כפולה של 2" לא תמיד מתאימה לצורכי ההוראה. תלמידים בשנים הראשונות ללימודיהם לא תמיד ידעו מה ההגדרה של "מספר שלם" או של "כפולה", ואפילו רבים יותר לא ידעו כיצד לכפול ב-0. בנוסף, הצהרה של הגדרת הזוגיות עבור כל המספרים השלמים יכולה להראות מעט כמו קיצור עקרוני שרירותי אם המספרים הזוגיים שנבחנו עד כה היו רק חיוביים. דבר שיכול לעזור הוא הכרה בכך שכפי שהעקרון של מספרים מורחב ממספרים חיוביים שלמים לכך שיכלול גם את אפס והמספרים השליליים, תכונות של אותם מספרים כמו זוגיות יכולים להיות מורחבים בצורות שאינן מובנות מאליהן.

הקשרים יומיומיים

הסכמה שאפס הוא מספר זוגי נכללת גם בקיצוב לפי זוגיות שנהוג בעתות מחסור, למשל קביעה שמכוניות יוכלו לנהוג או לתדלק רק כל יום שני, בתלות במספר האחרון על לוחית הרישוי של הרכב. חצי מהמספרים בטווח מסתיימים ב-0, 2, 4, 6 ו-8, והחצי האחר ב-1, 3, 5, 7, 9, ולכן זה הגיוני לכלול את 0 בקבוצת המספרים הזוגיים. למרות זאת, ב-1977, מערכת הקיצוב בפריז הביאה לבלבול: בימים עבור מספרים אי-זוגיים בלבד, המשטרה נמנעה מלקנוס כלי רכב שלוחות הרישוי שלהם הסתיימו ב-0 מכיוון שהם לא ידעו ש-0 הוא מספר זוגי. על מנת למנוע בלבול שכזה, המחוקק הרלוונטי לעיתים קובע ש-0 הוא מספר זוגי; חוקים כאלו כבר עברו בניו סאות' ויילס ובמרילנד.
בכלי שיט של חיל הים האמריקאי, תאים זוגיים נמצאים תמיד בצד השמאלי, אך המספר אפס שמור לתא הנמצא באמצע. משמע, מספרי התאים משמאל לימין הם: 6-4-2-0-1-3-5. במשחק רולטה, המספר אפס לא נחשב כזוגי או כאי-זוגי, מה שנותן לקזינו יתרון במקרי הימור על זוגיות התוצאה.
המשחק זוג או פרט מושפע גם הוא: אם שני השחקנים בוחרים אפס אצבעות, סך כל האצבעות הוא אפס, אז השחקן של זוג מנצח. חלק מהמדריכים למורים מציעים ללמד ילדים את המשחק על מנת להכיר להם את הרעיון ש-0 ניתן לחלוקה ב-2.