מכניקת הרצף

הסבר

מידול אובייקט/רכיב כחומר רציף מניח כי החומר ממלא לחלוטין את המרחב בו הוא קיים. מידול אובייקטים באופן הנ"ל מתעלם מהעובדה כי החומר מורכב מאטומים ולכן אינו רציף; אולם בממדים הגדולים בהרבה מהממדים הבין-אטומים, מודלים אלו מדויקים מאוד. חוקי פיזיקה יסודיים כמו שימור מסה, שימור תנע ושימור אנרגיה משמשים במודלים אלו כך שניתן להפיק מהם משוואות דיפרנציאליות המתארות את התנהגות האובייקטים ויעניקו מידע בנוגע לחומרים ומשוואות קונסטיטיביות [אנ'] בין הגדלים הפיזיקליים השונים.
מכניקת הרצף עוסקת במאפיינים פיזיקליים של מוצקים וזורמים שאינם תלויים במערכת הקואורדינטות שבה הם נצפים. התכונות הפיזיקליות הללו מיוצגות על ידי טנזורים, שהם אובייקטים מתמטיים בעלי מאפיינים הדרושים לכך שהם בלתי תלויים במערכת הקואורדינטות. טנזורים אלו יכולים לבוא לידי ביטוי והצגה במערכת קואורדינטות כך שיהיו נוחים וקלים לחישוב.

מושג הרצף

חומרים, כמו מוצקים, זורמים וגזים מורכבים ממולקלות כך שקיימים מרווחים ביניהן. בקנה מידה מיקרוסקופי, בחומרים ישנם סדקים ואי רציפויות. אולם תופעות פיזיקליות מסוימות ניתן למדל בהנחה שהחומר רציף, זאת אומרת שהחומר המרכיב את החלק/גוף כלשהו רציף וממלא את כל השטח המרחבי (אם זה נפח ואם זה שטח מסוים) שבו הוא קיים. אלמנט רציף הוא אלמנט שניתן לחלוקה לאלמנטים אינפיניטסימליים קטנים כרצוננו, אך עם אותן תכונות המאפיינות את החלק בשלמותו.
תוקף הנחה הרצף יכול להתאמת על ידי ניתוח תאורטי, שבה מזוהה מחזוריות ברורה או אחידות סטטיסטית וארוגודיות של המיקרו מבנים הקיימים. באופן ספציפי יותר, הנחת הרצף מבוססת על ייצוג אלמנטים נפחיים והפרדה של קנה המידה המבוסס ועל מצב היל-מנדל. מצב היל-מנדל מספק קשר בין נקודת המבט הניסויית לבין נקודת המבט התאורטית (קשרים ליניארים ולא ליניארים של אלסטיות או משוואות מצומדות) וכן בין הצורה המרחבית לבין המבנה הסטטיסטי הממוצע של מבנים מיקרוסקופיים.
כאשר לא ניתן להבחין בין סדרי הגודל או כאשר רוצים ליצור רצף הנוגע לרזולוציה עדינה יותר של האלמנט הייצוגי (RVE= representative volume element), יש צורך להשתמש בגישה סטטיסטית (SVE= statistical volume element) אשר בתורו מוביל לשדות רציפים אקראיים. שדות אלו גורמים לבסס מיקרו-מכניקה של אלמנטים סופיים סטוכסטי (SFE=stochastic finite elements). רמות האקראיות (SFE) והייצוגיות (RVE) מקשרות בין מכניקת הרצף לבין מכניקה סטטיסטית. את הייצוגיות ניתן להעריך באמצעים מוגבלים על ידי ניסויים, כאשר התגובה הקונסטיטיבית עוברת למרחב הומוגני. 
באופן ספציפי עבור זורמים מספר קנודסון משמש כדי להעריך את עד כמה ההמשכיות קיימת בזורם ועד כמה ניתן לנתח אותו במבט-על.

בעיית תנועה כדוגמה מייצגת

נביט בתנועת כלי רכב המתקדמים בכביש מהיר, בעל נתיב יחיד עבור פישוט הבעיה. באופן מפתיע וביעילות רבה, מכניקת הרצף מתארת את תנועת כלי הרכב באמצעות משוואה דיפרנציאלית חלקית (מד"ח) עבור צפיפות הרכבים. ההיכרות של הסיטואציה הנ"ל מאפשרת להבין במעט את הדיכוטומיה בין הרציפות לבדידות ואת המידול הרציף באופן כללי. במכניקת הרצף אנו מעוניינים להביט על תנועת כלי הרכב בכללותה ולא על תנועת כלי רכב בודד. 
עבור מודל זה נגדיר, כך שימדוד מרחק (ק"מ) לאורך הכביש המהיר. - זמן (בדקות). יסמן את צפיפות כלי הרכב בכביש המהיר, (מכוניות לקילומטר לאורך נתיב יחיד).  - מהירות הזרימה (מהירות ממוצעת), של המכוניות במיקום .

חוקי שימור עבור משוואות דיפרנציאליות חלקיות (מד"ח)

מכונות לא יכולות להופיע או להיעלם. נביט בכל קבוצה של מכוניות: מהמכונית הממוקמת בחלק האחורי של הקבוצה בעד המכונית הספציפית הנמצאת בחלק הקדמי של הקבוצה ב. הכמות הכוללת של המכוניות בקבוצה היא: . כיוון שתמיד יהיו מכונית ראשונה ואחרונה (גם במקרה של עקיפה, אז המכונית הקדמית או האחורית מתחלפת) ניתן לומר כי: , נשתמש בכלל לייבניץ עבור אינטגרלים [אנ']: 
האינטגרל מתאפס לכל קבוצת מכוניות, עבור כל האינטרוואלים . האפשרות היחידה שתוצאת אינטגרל שווה זהותית לאפס לכל אינטרוול היא שהאינטגראד שווה לאפס לכל . כתוצאה מכך, נוצר שימור של מד"ח לא-ליניארית מסדר ראשון. 
עבור כל הנקודות לאורך הכביש המהיר.
חוק השימור עבור מד"ח חל לא רק על תנועת כלי-רכב אלא גם על זורמים, מוצקים, קהלים, בעלי חיים, סוחרים פיננסיים וכו'.

תצפית הסוגרת את הבעיה

המד"ח הקודמת היא משוואה אחת עם שני נעלמים, יש צורך במשוואה נוספת על מנת שהבעיה תהיה 'מוצגת היטב' [אנ']. משוואה נוספת כזו נדרשת על פי רוב במכניקת הרצף, משוואה כזו מופקת בדרך כלל מניסויים. במקרה תנועת כלי רכב ניתן לקבוע כי מכוניות בדרך כלל נוסעות בהתאם לצפיפות, . במספר ניסויים נמצא כי הפונקציה היא פונקציה של צמצום הצפיפות. לדוגמה, ניסויים במנהרת לינקולן מצאו כי ישנה הלימה (חוץ מבמקרים של צפיפות נמוכה) טובה עבור המשוואה הבאה:  (ק"מ לשעה יחסית ל מכוניות/ק"מ).
לפיכך, המודל הרציף הבסיסי עבור תנועת כלי רכב הוא המד"ח הבאה: 
עבור צפיפות כלי רכב בכביש מהיר.

כוחות שטח

כוחות שטח או כוחות מגע, מיוצגים ככח ליחיד שטח, יכולים לפעול על משטחי הגבול של הגוף, כתוצאה מקשר מכני עם גופים אחרים, או על משטחים פנימיים דמיוניים שגובלים חלק מהגוף, כתוצאה מאינטראקציה מכנית בין חלקי הגוף לבין צדדים אחרים של המשטח (עיקרון המאמצים של אוילר וקושי). כאשר מופעל על גוף כוח חיצוני, כוחות מגע פנימיים נוצרים בפנים הגוף מנקודה לנקודה על מנת לאזן את הכח, ע"פ חוק התנועה השלישי של ניוטון כך שמתקיים שימור תנע קווי ותנע זוויתי (עבור גופים רציפים, חוק זה נכלל תחת משוואות התנועה של אוילר). הכוחות הפנימיים בגוף מיוחסים למעוותי גוף ע"פ המשוואות קונסטיטוטיביות. ניתן לתאר את כוחות המגע הפנימיים באופן מתמטי והקשר ביניהם לבין תנועת הגוף, בלי תלות במאפיינים החומריים של הגוף.
פילוג כוחות המגע הפנימיים בכל נפח הגוף מניח שהוא רציף, לכן גם קיימת צפיפות כוח מגע או שדה הטרחה של קושי אשר מציג את פילוג הכוחות והמאמצים בכיוון, במיקום ובזמן מסוימים. זהו אינו שדה וקטורי כיוון שהוא לא תלוי רק במיקום של נקודה חומרית מסוימת, אלא גם בכיוון המקומי של אלמנט השטח כפי שהוגדר על ידי הווקטור הנורמלי שלו . 
כל שטח דיפרנציאלי  בעל וקטור נורמלי  עבור שטח פנימי נתון , הגובל עם חלק מהגוף, חווה כוחות מגע  הנובע מהמגע בין שני חלקי הגוף מכל צד של השטח , וניתן לידי ביטוי ע"י:
כאשר הוא וקטור ההטרחה (וקטור מאמץ שטחי), או וקטור המאמצים. וקטור המאמצים הוא וקטור אשר לא תלוי במערכות הייחוס (עקרון המאמצים של אוילר וקושי). 
כלל כוחות המגע הפועלים על משטח פנימי מסוים באים לידי ביטוי על ידי סכום (אינטגרל משטחי) של כוחות המגע על פני שטח המגע הדיפרנציאלי  : 
במכניקת הרצף, גוף נחשב כגוף חופשי אם הכוחות היחידים הפועלים עליו הם כוחות בין אטומיים (כוחות יוניים, מתכתיים וואן דר ואלס) הנדרשים עבור גיבוש הגוף כמקשה אחת ושמירה על צורתו בהיעדר השפעות חיצוניות (כולל כוח משיכה). מאמצים הנוצרים במהלך ייצור הגוף לתצורתו הדרושה/רצויה, אינם נכללים בחישובי מאמצים מאוחרים יותר שמתבצעים על גוף כלשהו. לכן המאמצים שנלקחים בחשבון במכניקת הרצף הם אך ורק המאמצים שנוצרים על ידי עיוות של הגוף. זאת אומרת רק שינויים יחסיים שנוצרים על הגוף נחשבים, ולא הערכים המוחלטים של אותם מאמצים.

כוחות גוף

כוחות גוף הם כוחות שמקורם נובע במקורות מחוץ לגוף, שפועלים על נפח (או מסה) של גוף מסוים. ניתן לומר כי כאשר קיימים כוחות גוף הנובעים ממקורות חיצוניים, האינטראקציה בין חלקים שונים בגוף (כוחות פנימיים) באה לידי ביטוי באמצעות כוחות המגע בלבד. כוחות אלו נובעים מעצם היותו של הגוף נתון לשדות כח, למשל: שדה כבידה (כוחות כבידה), שדה אלקטרומגנטי (כוחות אלקטרומגנטים) או מכוחות אינרציה הנובעים כאשר הגוף בתנועה. כאשר ניתן להניח כי מסה של גוף רציף מפוזרת בצורה אחידה/רציפה, כל כוח שמקורו נובע מעצם המסה מופץ גם הוא ברציפות. לכן, כוחות גוף מוגדרים על ידי שדות וקטוריים אשר מניחים כי הם רציפים עבור נפח הגוף כולו, כלומר פועלים על כל נקודה בו. כוחות הגוף מיוצגים על ידי צפיפות כוח הגוף  (עבור יחידת מסה) שהוא שדה וקטורי אדיש למערכות ייחוס (frame-indifferent). 
במקרה של כוחות כבידה, עוצמת כוח הכבידה תלויה או פרופציונלית לצפיפות המסה של החומר, והוא מוגדר במונחים של כח ליחידת מסה () או ליחידת נפח (). לשתי הגדרות יש מקדם פרופורציה בדמות צפיפות החומר כך שניתן לקשר בין שתיהן על ידי המשוואה הבאה: . באופן דומה עוצמת הכוחות האלקטרומגנטים תלויה בעוצמת (מטען חשמלי) השדה האלקטרומגנטי. 
כלל כוחות הגוף הפועלים על גוף רציף מיוצגים על ידי המשוואה הבאה: 
 
כוחות גוף וכוחות מגע הפועלים על הגוף, מובילים למומנטי כוח תואמים יחסית לנקודה נתונה. לפיכך המומנט הכולל  המופעל על גוף כלשהו נובע ממונטי מגע ומומנטי גוף:
במצבים מסוימים, שאינם נכללים בדרך כלל בניתוח התנהגות מכנית של חומרים. יש הכרח לכלול שני סוגים נוספים של כוחות: צמדי מאמצים (צמדים משטחיים, מומנטי מגע) ומומנטי גוף. צמדי מאמצים (Couple stresses) הם מומנטים ליחידת שטח הפועלים על משטח. מומנטי גוף או צמדי גוף (body couples) הם מומנטים ליחידת נפח או יחידת מסה הפועלת על נפח גוף. שני הסוגים חשובים בניתוח מאמצים בגופים מקוטבים דיאלקטרים (polarized dielectric) תחת השפעת שדה חשמלי, חומרים שיש צורך להתחשב במבנה המולקולרי שלהם, למשל: עצמות. כמו כן מוצקים/גופים תחת השפעת שדה מגנטי חיצוני ומתכות המושפעות מתורת הנקעים.
חומרים המציגים צמדי גוף או צמדי מאמצים בנוסף למומנטים הנוצרים על ידי כוחות חיצוניים נקראים חומרים קוטביים. חומרים לא קוטביים הם חומרים עם מומנטי כח בלבד. בענפים הקלאסיים של מכניקת הרצף פיתוח תאוריות עבור מאמצים נעשים על בסיס חומרים לא-קוטביים בלבד.
לפיכך, סכום הכוחות והמומנטים (ביחס לראשית מערכת הצירים) הפועלים על גוף הם:

קינמטיקה: תנועה ומעוותים

שינוי תצורה של גוף רציף מוביל לתזוזה.