פונקציה הולומורפית

פונקציה הולומורפית היא פונקציה מרוכבת של משתנה מרוכב אחד או יותר, הגזירה במובן המרוכב בסביבת כל נקודה בתחומה. אלו הן הפונקציות המרכזיות שנחקרות בתורה של האנליזה המרוכבת.
ביתר פירוט, פונקציה הולומורפית  היא פונקציה בין קבוצות קשירות ופתוחות במישור המרוכב, שקיימת לה נגזרת מרוכבת בסביבת כל נקודה בתחומה.

מבוא

מכיוון שכל מספר מרוכב מזוהה עם זוג סדור של מספרים ממשיים, ניתן לראות בפונקציה מרוכבת פונקציה בין זוגות של מספרים ממשיים, או באופן שקול כפונקציה בין זוגות של משתנים ממשיים לבין המספרים מרוכבים. מזווית הראייה הזו, התכונה המהותית של גזירות מרוכבת, או הולומורפיות, היא שהנגזרת הכיוונית בנקודה כלשהי בתחום איננה תלויה במסלול שאותו עושה המשתנה במישור המרוכב בדרכו לנקודה; עבור כל המסלולים שבהם יכול לנוע המשתנה המרוכב בדרך אל הנקודה, נגזרת הפונקציה בנקודה זהה (ובאופן כללי תהיה מספר מרוכב). לכן, הולומורפיות היא תכונה שונה מקיומן של נגזרות חלקיות עבור 2 המשתנים הממשיים - משמעותה לא רק שהנגזרות החלקיות הללו קיימות, אלא גם שהן קשורות זו לזו באופן הדוק: קשר המבוטא במשוואות קושי רימן.
האנליזה המרוכבת היא תורה פשוטה יותר, ובמובנים רבים שלמה יותר, מן האנליזה הממשית. פונקציה ממשית יכולה להיות גזירה, אבל הנגזרת שלה עלולה שלא להיות גזירה. היא עשויה להיות גזירה 18 פעמים, אבל לא 19. היא עשויה להיות גזירה כל מספר פעמים שהוא, מבלי שיהיה לה יצוג כטור חזקות. אף אחד מן ה"חסרונות" הללו אינו קיים באנליזה המרוכבת. אם פונקציה היא הולומורפיות, גם הנגזרת שלה היא פונקציה הולומורפית (ולכן היא גם גזירה אינסוף פעמים). יתרה מזאת - יש לה יצוג כטור חזקות; לכן כל פונקציה הולומורפית היא אנליטית. גם המשפט ההפוך נכון - כל פונקציה אנליטית מרוכבת היא הולומורפית, ובמסגרת האנליזה המרוכבת משתמשים בשני המושגים באותה משמעות. יש לציין אמנם, שלא היה מלכתחילה ברור שכך המצב, והתגלית ששתי התכונות הללו אכן שקולות הייתה תגלית מרכזית בהיסטוריה של האנליזה המרוכבת.
חשיבותן של הפונקציות ההולומורפיות במתמטיקה נובעת מכך שרבות מהפונקציות המרוכבות בעלות החשיבות בענפי המתמטיקה השונים, הן הולומורפיות. כך למשל פולינומים, הסינוס, האקספוננט, פונקציית הזטא של רימן, ואף העתקות קונפורמיות (משמרות זווית) במישור - כולן פונקציות הולומורפיות. משפט ההעתקה של רימן מראה במובן מסוים עד כמה רחב המגוון האפשרי של פונקציות הולומורפיות, שעשוי להראות דל בתחילה. התורה של הפונקציות ההולומורפיות היא תורה מפותחת היטב, וטבען המופשט של פונקציות כאלו מובן בצורה טובה יחסית.
לעיתים קוראים לפונקציות הולומורפיות בשם פונקציות רגולריות.
פונקציה שהיא הולומורפית בכל המישור המרוכב קרויה פונקציה שלמה. כאשר אומרים על פונקציה שהיא "הולומורפית בנקודה", הכוונה לכך שהיא גזירה בסביבה כלשהי של הנקודה.

טרמינולוגיה

המונח "הולומורפית" הוצג על ידי תלמידיו של אוגוסטן לואי קושי,  בריו (1817–1882) וז'אן-קלוד בוקה (1819–1885), ומקורו במילה היוונית ὅλος (הולוס) שפירושה שָׁלֵם או מלא וב μορφή (מורפי) שמשמעותה צורה או מראה. כיום, לעיתים המושגים פונקציה הולומורפית ופונקציה אנליטית משמשים במשמעות זהה, אף על פי שהאחרון הוא מושג כללי יותר.

הגדרה פורמלית

תהא  קבוצה קשירה ופתוחה במישור המרוכב. תהא  פונקציה מרוכבת. נאמר ש- גזירה במובן המרוכב בנקודה  אם הגבול (1)   קיים. הנקודה החשובה בהגדרה הזו היא שהגבול (1) חופשי מבחירת המסלול שיעשה המשתנה  בדרכו לנקודה  - דהיינו שהגבול (1) אכן קיים כאשר  שואף לאפס.
קיום הגבול (1) הוא מצב שקול לקיום קשר, שניתן לתאר באמצעות משוואה דיפרנציאלית חלקית, בין הנגזרות החלקיות של הפונקציות הממשיות המרכיבות את   - אלו הן משוואות קושי רימן - ועל ידי תכונת הדיפרנציאביליות של הפונקציות הממשיות שמרכיבות את .
אם הפונקציה  גזירה בכל נקודה , נאמר עליה שהיא הולומורפית בקבוצה . ניסוח נקודתי שקול להולומורפיות הוא:  היא הולומורפית בנקודה  אם היא גזירה ב- ובסביבה של . שקילות שני הניסוחים נובעת ממשמעות מושג הקבוצה הפתוחה: קבוצה פתוחה היא קבוצה בה לכל נקודה קיימת סביבה המוכלת באותה קבוצה.

דוגמאות

כל פולינום במספרים מרוכבים הוא פונקציה הולומורפית בכל המישור המרוכב, וכך גם פונקציית האקספוננט , ופונקציות הסינוס והקוסינוס המרוכבות (הניתנות להגדרה באמצעות האקספוננט). הפולינומים ופונקציית האקספוננט הן פונקציות שלמות. דוגמאות פחות טריביאליות לפונקציות הולומורפיות הן פונקציית זטא של רימן, או פונקציית גמא. בניגוד לפולינומים ולאקספוננט, פונקציות אלה אינן שלמות, ויש להן קטבים.
כיוון שהתנאי לגזירות במובן המרוכב חזק יותר מגזירות במובן הממשי, קיימות פונקציות "יפות" שאינן הולומורפיות, בניגוד לאינטואיציה הממשית. דוגמאות בולטות הן  ו- כאשר Arg היא פונקציית הארגומנט הראשי.
דוגמה נוספת היא הפונקציה . פונקציה זו הולומורפית בכל תחום הגדרתה, אך היא אינה הולמורפית בנקודה , (וגם אינה מוגדרת בה). בכל נקודה אחרת היא גזירה, ולכן היא הולומורפית בקבוצה . עם זאת, קיים הגבול  ולכן הפונקציה מתנהגת יפה, במובן מסוים. נקודה שבה הגבול הוא אינסוף נקראת קוטב. פונקציה, אשר הולומורפית בכל נקודה שאיננה קוטב בתחום כלשהו, קרויה פונקציה מרומורפית באותו התחום.
קיימות גם פונקציות שאינן גזירות במובן חזק יותר. לדוגמה, לפונקציה  אין כלל גבול בנקודה . נקודה כזו נקראת סינגולריות עיקרית, והיא מקיימת תכונה מעניינת - לפי המשפט הגדול של פיקארד, אם  פונקציה הולומורפית בתחום, ו  סינגולריות עיקרית בתחום, אזי התמונה של כל סביבה של  היא  כולה, למעט אולי נקודה אחת.

הערה

באופן אנלוגי לאמור לעיל, פונקציה מרוכבת בכמה משתנים ההולומורפית ביחס לכל משתנה בנפרד נקראת גם היא פונקציה הולומורפית. גם במקרה זה ניתן להוכיח שפונקציה הולומורפית בכמה משתנים היא אנליטית (משפט הארטוגס).