לאונרד אוילר

ביוגרפיה

לאונרד אוילר נולד בבזל לפאול אוילר, כומר של הכנסייה המתוקנת, ולמרגרט ברוקר, שהייתה אף היא בת למשפחת כמרים. לאוילר היו שתי אחיות צעירות ממנו בשם אנה מריה ומריה מגדלנה. זמן קצר לאחר הולדתו היגרה משפחת אוילר מבזל לעיר ריהן, בה בילה אוילר את רוב ילדותו. פאול אוילר היה חבר של משפחת ברנולי ושל יוהאן ברנולי, שנחשב אז לאחד המתמטיקאים החשובים באירופה, ואשר השפיע רבות על אוילר הצעיר. את חינוכו המוקדם רכש אוילר בבזל, שם נשלח לגור עם סבתו. בגיל 13 נרשם ללימודי פילוסופיה באוניברסיטת בזל, וב-1723, והוא בן 16 בלבד, הוענק לו תואר שני בפילוסופיה, על תזה שהשוותה בין הפילוסופיה של דקארט לזו של אייזק ניוטון. באותה התקופה הוא קיבל שיעורי אחר-הצהריים במתמטיקה מיוהאן ברנולי, שעמד במהרה על כשרונו המתמטי יוצא הדופן של תלמידו החדש.
בהשפעת אביו, למד אוילר בתקופה זו תאולוגיה, יוונית ועברית, במטרה ללכת בדרכיו ולהיות כומר. לאחר שיוהאן ברנולי שכנע את פאול אוילר כי לאונרד נועד להיות מתמטיקאי דגול, התיר האב לבנו ללמוד מתמטיקה. ב-1726 השלים אוילר את עבודת הדוקטורט שלו על מהירות הקול, שכותרתה הייתה "De Sono". ב-1727 הוא נרשם לתחרות של האקדמיה הצרפתית למדעים, שעסקה באותה השנה במציאת המיקום האופטימלי של התרנים באוניה. הוא זכה במקום השני, והפסיד רק לפייר בוגה, המוכר כיום כ"אבי האדריכלות הימית". במהלך הקריירה שלו עתיד היה אוילר לזכות בפרס האקדמיה הצרפתית 12 פעמים.

סנקט פטרבורג

באותה תקופה שני בניו של יוהאן ברנולי, דניאל ברנולי וניקולס ברנולי, עבדו באקדמיה למדעים של האימפריה הרוסית, בסנקט פטרבורג. ב-1726, נפטר ניקולס מדלקת התוספתן אחרי שעברה עליו שנה ברוסיה וכאשר דניאל קיבל על עצמו את משרת אחיו בחלוקה של מתמטיקה/פיזיקה, הוא המליץ שאת המשרה שפינה בפיזיולוגיה יתפוס חברו אוילר. בנובמבר 1726, אוילר קיבל בלהיטות את ההצעה, אבל דחה את ההגעה לסנקט פטרבורג. עוד בזמן שהותו בבזל הוא ניסה, ללא הצלחה, להתמחות כפרופסור לפיזיקה באוניברסיטת בזל. 
אוילר הגיע לבירת רוסיה ב-17 במאי 1727, שם הוא קודם ממשרתו הקודמת במחלקת הרפואה של האקדמיה למחלקת המתמטיקה. הוא התגורר באותה דירה יחד עם דניאל ברנולי ושיתף אתו פעולה בעבודתו. אוילר למד היטב את השפה הרוסית והחליט להתיישב בסנקט פטרבורג. הוא גם לקח על עצמו עבודה נוספת כקצין רפואה בצי הרוסי.
האקדמיה בסנקט פטרבורג, שיוסדה על ידי פיוטר הגדול, יועדה לשפר את החינוך ברוסיה ולאחות את הנתק המדעי בין רוסיה לאירופה המערבית. כתוצאה מכך, הפכה האקדמיה מושכת במיוחד עבור מלומדים זרים כגון אוילר: האקדמיה שלטה במשאבים פיננסיים שופעים וכללה ספרייה מקיפה שנלקחה מן הספריות הפרטיות של פטר עצמו ושל האצולה. תלמידים מעטים נרשמו לאקדמיה, כך שעומס ההוראה הופחת והאקדמיה העניקה לחברי הסגל הן את הזמן והן את החופש לשקוד על מחקר מדעי.
התורמת של האקדמיה, יקתרינה הראשונה, שהתאמצה להמשיך את מדיניות בעלה המנוח פטר, נפטרה ביום הגעתו של אוילר. האצולה הרוסית שאבה כוח רב מעלייתו של פיוטר השני בן ה-12. האצולה הייתה חשדנית מאוד כלפי המדענים הזרים שהגיעו לרוסיה ולכן החליטה להפסיק את המימון ובכך גרמה נזק רב לאוילר ועמיתיו.
התנאים השתפרו במקצת לאחר מותו של פיוטר השני ב-1730 ואוילר התקדם במהירות רבה במעלה הדרגות האקדמיות והפך לפרופסור לפיזיקה ב-1731. שנתיים מאוחר יותר, דניאל ברנולי, שנפגע קשות מן הביקורת ומן העוינות שהפנו כלפיו עמיתיו בסנקט פטרבורג, שב לבזל ואוילר החליף אותו בהצלחה כראש המחלקה למתמטיקה.
ב-7 בינואר 1734, נישא אוילר לקתרינה גיסל, בת של אומן מן האקדמיה גימנזיום. הזוג הצעיר קנה בית ליד נהר נייבה. מבין 13 הצאצאים שהביאו לעולם שרדו רק 5.

ברלין

מודאג מהמהפכה המתמשכת ברוסיה, התלבט אוילר לגבי המשך שהייתו בסנקט פטרבורג. לבסוף הציע לו פרידריך הגדול מפרוסיה משרה באקדמיה של ברלין, אותה החליט לקבל. הוא עזב את סנקט פטרבורג ב-19 ביוני 1741 וחי את 25 השנים הבאות בברלין, בה כתב למעלה מ-380 מאמרים. בברלין הוא פרסם את שתי היצירות אשר הביאו לו את הפרסום הרב מכול: "Introductio in analysin infinitorum" (מבוא לניתוח האינסוף), חיבור קלאסי וחשוב על פונקציות ועל טריגונומטריה גבוהה שפורסם ב-1748 והניח את יסודות האנליזה המתמטית ו-"institutiones calculi differentialis", חיבור בחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, בו פיתח את מושג הפונקציה במתמטיקה אנליטית על ידי כך שהמשתנים היו מקושרים אחד לשני, וקידם את השימוש של כמויות זעירות ואינסופיות.
בנוסף, התבקש אוילר להדריך את הנסיכה של אנהלט-דסאו, אחייניתו של פרידריך. הוא כתב למעלה מ-200 מכתבים אליה, אשר מאוחר יותר קובצו לכרך רב-מכר שכותרתו "מכתבים של אוילר לגבי נושאים שונים בפילוסופית הטבע שנשלחו לנסיכת גרמניה", או בקיצור, "מכתבים לנסיכת גרמניה". הכרך ביטא את השקפותיו של אוילר על תחומים שונים בפיזיקה ובמתמטיקה, והעניק הזדמנות נדירה לצפות באישיותו ובאמונותיו הדתיות. כרך זה זכה לפופולריות רבה יותר מאשר כל אחת מעבודותיו במתמטיקה, ופורסם בכל אירופה וכן בארצות הברית. הצלחת המכתבים העידה על יכולתו של אוילר להציג נושאים מדעיים בצורה נהירה לציבור הרחב, יכולת נדירה יחסית לחוקר מדעי מסור.
על אף תרומתו העצומה של אוילר ליוקרתה של האקדמיה, הוא נאלץ לעזוב את ברלין, בעיקר בגלל עימות אישי עם פרידריך. פרידריך החשיב את אוילר לחסר תחכום בהשוואה לפילוסופים שהמלוכה הגרמנית הביאה לאקדמיה. וולטר הועסק אף הוא על ידי המלך, ונהנה ממקום מועדף במעגל החברתי של המלך. אוילר, איש דתי פשוט ועובד מסור, היה שגרתי מאוד באמונותיו, בדעותיו ובטעמיו. במובנים רבים הוא היה ההפך מוולטר. לאוילר היה ניסיון מוגבל בלבד ברטוריקה, והוא נטה לדון בדברים עליהם ידע מעט, וכך הפך את עצמו תדיר למטרה ישירה לשנינותו של וולטר. פרידריך התאכזב גם מיכולתו ההנדסית של אוילר, וכאשר ביקש ממנו לבצע חישוב הנדרש לבניית מזרקה בגני המלך, שגה אוילר בחישוביו והבנייה נכשלה בצורה מחפירה.

בעיות ראייה

ראייתו של אוילר הידרדרה במהלך חייו. שלוש שנים לאחר שסבל מקדחת כמעט קטלנית ב-1735, הוא כמעט והתעוור בעינו הימנית. הוא תלה את הסיבה לכך בתנאים הקשים בהם עבד בסנקט פטרבורג במחקר בקרטוגרפיה. ראייתו של אוילר בעין ימין הידרדרה כל כך במהלך שהותו בגרמניה, עד שפרידריך התייחס אליו כאל "קיקלופ". ב-1766 החל אוילר לסבול מקטרקט בעינו השמאלית, שהותיר אותו עיוור לגמרי תוך שבועות ספורים. ברם, ראייתו המשובשת לא פגמה ביכולת היצירה שלו, וב-17 שנותיו האחרונות הוא יצר כמעט מחצית מעבודתו, הישג נדיר גם בקרב פיקחים. הוא פיצה על עוורונו ביכולת חישובית יוצאת דופן ובזיכרון מצוין. לדוגמה, הוא היה מסוגל לדקלם בעל פה את האינאיס של ורגיליוס מבלי לטעות, ומאוחר יותר גם היה יכול לצטט מזכרונו את המשפט הראשון והאחרון בכל עמוד מעמודי יצירה זו. עד ראייה שהתבונן בו עובד פעם העיד: "אוילר עורך חישובים מסובכים ללא כל מאמץ ניכר, ממש כשם שאנשים אחרים נושמים או כשם שנשרים נושאים עצמם באוויר".

בחזרה לרוסיה

המצב ברוסיה השתפר משמעותית לאחר שקתרינה הגדולה עלתה לשלטון. ב-1766 נענה אוילר להצעתה, וחזר לאקדמיה של סנקט פטרבורג, בה התגורר למשך שארית חייו. על שהותו השנייה בסנקט פטרבורג העיבה טרגדיה; שריפה שפרצה ב-1771 בעיר החריבה את ביתו וכמעט שגרמה למותו. ב-1773 הוא איבד את אשתו, לה היה נשוי 40 שנה. אוילר הושפע קשות משתי הטרגדיות, אולם נישא מחדש שלוש שנים מאוחר יותר.
ב-18 בספטמבר 1783, נפטר אוילר בסנקט פטרבורג משבץ מוחי ונקבר בבית העלמין טיחבין. הפילוסוף והמתמטיקאי הצרפתי, המרקיז דה קונדורסה, אמר עליו:
"il cessa de calculer et de vivre... - ... הוא הפסיק לחשב ולחיות"

פועלו של אוילר

עבודתו של אוילר הקיפה כמעט כל תחום אפשרי במתמטיקה: גאומטריה, אנליזה מתמטית, תורת הגרפים, אלגברה, תורת המספרים ועוד. תרומותיו בפיזיקה עוסקות בתנועת הירח ובתחומים נוספים. לפוריותו של אוילר אין שני בתולדות המתמטיקה; רק פאול ארדש, המתמטיקאי בן המאה ה-20, הגיע לתפוקה קרובה.

סימונים

אוילר המציא סימנים מתמטיים שהפכו לנחלת הכלל. עמם נמנים:
 - היחידה המדומה,  - בסיס הלוגריתם הטבעי, אשר אוילר הוכיח שהוא מספר אי-רציונלי (למעשה אוילר הוכיח שגם  אי-רציונלי),  כצורת סימון לפונקציה של המשתנה x (במקום לרשום את הפונקציה בצורה ישירה), הסימן  כיחס בין היקף המעגל לקוטרו,  כסכום, הסימונים המודרניים לפונקציות הטריגונומטריות, ועוד. הוא גם הגדיר את הקבוע המסומן באות גמא  הקרוי קבוע אוילר.

תורת המספרים

אוילר החל להתעניין בתורת המספרים בהשפעת חברו, כריסטיאן גולדבך. חלק נכבד מעבודתו המוקדמת של אוילר מבוסס על עבודתו של פייר דה פרמה. מאז פרמה ועד הופעתו של אוילר לא קם מתמטיקאי מוכשר דיו כדי להוכיח את השערותיו הבלתי מוכחות של הראשון, ושיכול היה לפרוץ דרך בהבנת הרעיונות שמאחורי המשפטים בתורת המספרים. אוילר הוכיח רבות מהשערותיו של פרמה, פיתח את רעיונותיו (הסמויים), גילה תוצאות רבות חדשות והוסיף השערות משלו. מכלול העבודות שלו העשירו רבות את התחום, והוא היה הדמות המרכזית בהתפתחות תורת המספרים במאה ה-18.
אוילר הוכיח את זהויות ניוטון, את המשפט הקטן של פרמה ואת משפט פרמה על סכום של שני ריבועים, ותרם תרומה מכרעת להוכחת משפט ארבעת הריבועים של לגראנז'. הוא המציא את פונקציית אוילר (φ(n, שהיא מספר המספרים הטבעיים הקטנים או שווים ל-n שזרים לו. באמצעות תכונות הפונקציה הזו הוא הכליל את המשפט הקטן של פרמה למה שכעת ידוע בתור משפט אוילר. הוא תרם משמעותית לתאוריה של מספרים מושלמים, אשר ריתקו מתמטיקאים עוד מאז ימי אוקלידס. הוא סיפק הוכחה ראשונה למקרה n = 3  של המשפט הגדול של פרמה. ב-1783, שנת מותו, הוא שיער את משפט ההדדיות הריבועית, משפט מפתח בנוגע לשאריות ריבועיות, המאפשר לקבוע את פתירותה או אי פתירותה של כל משוואה ריבועית בחשבון מודולרי.
אוילר נעזר בשיקולים אנליטיים עמוקים כדי להשיג הבנה כיצד מתפלגים המספרים הראשוניים בקרב המספרים הטבעיים, ובכך הוא חזה את תורת המספרים האנליטית. הוא הוכיח את התבדרות סכום הערכים ההופכיים של המספרים הראשוניים. בעשותו כך, הוא חשף את הקשר העמוק בין פונקציית זטא של רימן והמספרים הראשוניים. קשר זה ידוע בתור מכפלת אוילר לפונקציית זטא של רימן.
באמצעות מניפולציות על פונקציות יוצרות, שיטה חדשנית לזמנו, הגיע לתוצאות רבות על חלוקות של מספרים. בין השאר הוכיח את משפט החלוקה של אוילר ואת משפט המספרים המחומשים.
בשנת 1772 הוכיח אוילר כי המספר 2,147,483,647 הוא מספר מרסן ראשוני. מספר זה נשאר המספר הראשוני הידוע הגדול ביותר עד שנת 1876.

תורת הגרפים

ב-1735 פתר אוילר בעיה הידועה כבעיית הגשרים של קניגסברג. פתרונו זה של אוילר הניח את היסודות לתורת הגרפים, והיה המשפט הראשון שנוסח בתחום זה. העיר קניגסברג שבפרוסיה משתרעת על שני עברי נהר הפרגוליה, ובה שני איים גדולים המחוברים אחד לשני וליבשה המרכזית באמצעות חמישה גשרים, שני גשרים נוספים עברו מעל שתי שלוחות של הנהר. הבעיה הייתה לקבוע האם אדם יכול להתחיל ללכת מנקודה כלשהי בעיר ולעבור על כל גשר בדיוק פעם אחת. לצורך פתרון הבעיה אוילר חקר את תכונותיו של גרף שקיים בו מסלול כזה (אשר לימים נודע כמסלול אוילר) והוכיח שמסלול כזה קיים אם ורק אם הגרף לא מכיל אף צומת מדרגה אי זוגית, או שהוא מכיל שני צמתים כאלה בדיוק. אם נתייחס לכל אחד מארבעת גושי היבשה בעיר כצומת ולכל גשר כקשת בין שני צמתים ניתן לראות בנקל שכל הצמתים הם מדרגה אי-זוגית ועל כן מסלול כזה לא קיים. תוצאה זו פתחה פתח לתחום מחקר בשם תורת הגרפים אשר נותר פורה עד היום.
בהקשר זה ראוי לציין את פתרונו של אוילר לחידת מסע הפרש; החידה מהווה מקרה פרטי של בעיה חשובה בתורת הגרפים - מציאת מסלול המילטוני בגרף.
אוילר גם גילה את הנוסחה V − E + F = 2, שמקשרת בין מספר הקודקודים, הצלעות, והפאות של פאון קמור, ולחלופין של גרף מישורי. הקבוע בנוסחה זו ידוע כעת כמאפיין אוילר של הגרף (או של אובייקט מתמטי אחר), והוא קשור לגנוס של האובייקט. יתרה מכך, אוילר נעזר בנוסחה הזו כדי להוכיח מחדש את התוצאה העתיקה שישנם רק 5 פאונים אפלטוניים, ובכך הדגים הוכחה מנקודת מבט שונה לחלוטין מאילו שנראו עד אז. המחקר המתמטי שנערך במאה ה-19 על הנוסחה הזו, במיוחד על ידי קושי ואחרים, הוא מקורו של ענף המתמטיקה הקרוי טופולוגיה.

גאומטריה

אוילר לא פעל הרבה בתחום הגאומטריה. אף על פי כן הוא גילה מספר משפטים ועובדות חשובות בגאומטריה, בהם: משפט אוילר לגבי מעגל חוסם ומעגל חסום במשולש, גילה את ישר אוילר ומעגל אוילר ואת תכונותיהם, ועוד. במסגרת עבודתו המכנית על תיאור התנועה של גופים קשיחים, אוילר עשה תרומה חשובה לגאומטריה, כשגילה והוכיח את משפט הסיבובים שלו, שהינו הבסיס למושג של חבורת הסיבובים התלת-ממדיים (3)SO, המרכזית לענפי מתמטיקה ופיזיקה רבים. ההוכחה הקונסטרוקטיבית שנתן לה ניחנה באלגנטיות רבה. מחקרו המתמטי של אוילר נגע גם בגאומטריה דיפרנציאלית. אוילר חקר רבות את התאוריה של משטחים והעקמומיות של משטחים, והגיע לתוצאות ניכרות. בין השאר הכליל את הנוסחה לעקמומיות בנקודה ממישור למשטח כלשהו במרחב. אף כי מחקרו של אוילר עסק בעיקר בשימוש בכלים אנליטיים כדי לבחון את הגאומטריה החיצונית (extrinsic geometry) של משטחים (בין גילוייו נמנים משפט אוילר (גאומטריה דיפרנציאלית)), הוא גילה] גם כמה תוצאות על הגאומטריה הפנימית של משטחים (intrinsic geometry), על כן לעיתים רואים בו את המתמטיקאי החשוב ביותר לתחום הגאומטריה הדיפרנציאלית לפני גאוס.

מתמטיקה שימושית

כמה מהצלחותיו הגדולות ביותר של אוילר היו ביישום שיטות אנליטיות לפתרון בעיות שימושיות. אוילר הוכיח מספר תוצאות בנוגע למספרי ברנולי, לטורי פורייה ולדיאגרמות ון, הגדיר את מספרי אוילר, והשתמש בחשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי של ניוטון ושל לייבניץ לפתרון בעיות פיזיקליות. הוא תרם תרומות מכרעות לתחום האינטגרציה והמשוואות דיפרנציאליות, ביניהן שיטת אוילר לפתרון משוואה דיפרנציאלית ליניארית. כשהוא חקר את הבעיה של ממברנות רועדות, הוא פיתח את משוואת בסל ופתר אותה באמצעות ההצגה של פונקציות בסל. הוא הגדיר את קבוע אוילר: .
בהקשר של קבוע זה, ניסח אוילר את נוסחת אוילר-מקלורן, או נוסחת הסכום של אוילר.
אחד מתחומי העניין מעט יוצאי הדופן של אוילר היה היישום של רעיונות מתמטיים במוזיקה. 
ב-1739 הוא פרסם את "Tentamen novae theoriae musicae", וקיווה להפוך את המוזיקה לחלק מן המתמטיקה. עבודתו זו לא זכתה להכרה רבה, ותוארה כמתמטית מדי בשביל מוזיקאים ומוזיקלית מדי בשביל מתמטיקאים.

פיזיקה ואסטרונומיה

אוילר ערך עבודות חשובות רבות במכניקת הזורמים, בתורת התנודות, באקוסטיקה, בבליסטיקה, בתורת הטורבינות, בתורת בניית האוניות ובתחומי פיזיקה אחרים. מכלול העבודות שפרסם בתחומים אלה דיו להנחיל לו תהילת עולם. במכניקה, אוילר הציג בספרו "מכניקה" משנת 1735 לראשונה בהרחבה את חוקי ניוטון בצורה של משוואות דיפרנציאליות, וספרו "תאוריית התנועה של גופים קשיחים" משנת 1765 הניח את יסודות המכניקה האנליטית. בהנדסת בניין, אוילר פיתח מודל המתאר תהליך קריסת קורות (הנקרא תורת אוילר ברנולי), שהפך ברבות הימים לאבן בסיס בתחום. בספרו החשוב על חשבון הווריאציות עסק אוילר רבות בתורת האלסטיות, ופתר את הבעיה הכללית של צורתן של עקומות אלסטיות (תוך שהוא בונה על עבודותיהם הקודמות של ג'יימס ודניאל ברנולי בתחום). במכניקת הזורמים, אוילר פרסם ב-1757 מערכת של משוואות הנקראות משוואות אוילר, שמהוות את הבסיס להבנת זרימה לא צמיגה. בתורת בניית האוניות, אוילר פרסם שני כרכים בנושא, בהם הרחיב את הטיפול של ניוטון בצורות בעלות התנגדות הידרודינמית מינימלית ונעזר בעקרונות וריאציוניים כללים יותר כדי לגזור את התכנון האופטימלי הידרודינמית של אוניה, וכן עסק בהיבטים נוספים של תכנון אוניות. 
כדמות דומיננטית ביותר במפעל המדעי הפוסט-ניוטוני של המאה ה-18, אוילר תרם רבות לפתרון בעיות שטופלו בפרינקיפיה של ניוטון באופן לא מלא, ועבודתו הנרחבת בתחומים אלו זיכתה אותו בפרסים רבים. למשל, במקביל ובאופן בלתי תלוי בז'אן לה רון ד'אלמבר, אוילר היה הראשון שהצליח לתת הסבר כמותי מדויק לתופעת הפרצסיה של ציר כדור הארץ ולתופעה קשורה הנקראת נוטציה. לפניו, ניוטון נתן הסבר איכותי נכון לתופעה, אולם לא הצליח לספק תאוריה מתמטית בעלת ניבוי שתואם את התצפיות. על עבודתו המעמיקה על התיאור המתמטי של הגאות והשפל זכה בפרס של האקדמיה הצרפתית למדעים לשנת 1740, ובה אוילר הרחיב את הטיפול הכמותי של ניוטון בתופעה. בפרט, עבודתו סיפקה הסברים איכותיים לתופעות העיקריות הקשורות בגאות באוקיינוסים הפתוחים וליד איים. 
באסטרונומיה אוילר היה הראשון שפיתח שיטה מעשית לחישוב מסלול הירח, שיטה שהיוותה התקדמות משמעותית בהשגת פתרונות מקורבים לבעיית שלושת הגופים. הוא היה חלוץ בשימוש בכלים אנליטיים לניתוח האי רגולציות במסלול הירח (בניגוד לטיפול הגאומטרי המסורבל של ניוטון), ובמחקריו בתחום היה אחראי על גילוי קבוצה של פתרונות אפשריים לבעיית שלושת הגופים, כמו גם על גילוי נקודות לגראנז' (על שום הטיפול המתמטי המעמיק יותר של לגראנז' בנקודות הללו, הן נקראו על שמו). הישגיו הנוספים באסטרונומיה כללו קביעה בדיוק רב של מסלוליהם של שביטים וגופים שמימיים אחרים, הבנת הטבע של שביטים, וחישוב הפרלקסה של השמש. חישוביו תרמו רבות גם לפיתוח של טבלאות קווי אורך (longitude tables) מדויקות. 
בנוסף, אוילר תרם תרומות משמעותיות לאופטיקה. הוא לא קיבל את התאוריה החלקיקית של ניוטון שהופיעה בספרו אופטיקה (ספר), שהייתה אז התאוריה המקובלת. בסדרת מאמרים שפרסם בין השנים 1740 ו-1750 הוא פיתח את המודל הגלי של האור, שהוצע קודם על ידי כריסטיאן הויגנס, ובכך עזר להפכו למודל המקובל יותר של האור.

לוגיקה

אוילר נעזר בעקומות סגורות כדי להמחיש סיבתיות לוגית (1768). הדיאגרמות הללו נקראו מאז בשם דיאגרמות אוילר. למעשה אוילר היה הממציא האמיתי של שיטת ההצגה של סיבתיות באמצעת עקומות סגורות, ולא ג'ון ון שנודע כממציאה של דיאגרמת ון.

פילוסופיה ואמונות דתיות

אוילר וחברו דניאל ברנולי התנגדו למונדיזם של לייבניץ ולפילוסופיה של כריסטיאן וולף. אוילר התעקש שידע נמצא בחלקו בבסיס החוקים הכמותיים המדויקים, דעה אשר מונדיזם ומדע וולפאני לא היו מסוגלים לספק.
ניתן להסיק הרבה על האמונות הדתיות של אוילר מן "המכתבים עבור הנסיכה הגרמנית, בנושאים שונים בפיזיקה ובפילוסופיה" , כמו גם מעבודה מוקדמת יותר שלו: הגנה על ההתגלות האלוהית מפני ההתנגדות של המחשבות החופשיות, עבודה שהיוותה בראש ובראשונה פולמוס עם דעות כפרניות שהכחישו את המקור האלוהי של הביבליה. עבודותיו אלו מראות כי אוילר היה נוצרי אדוק שהאמין שכתבי הקודש מהווים מקור להשראה.