חבורה נילפוטנטית

בתורת החבורות, חבורה נילפוטנטית היא חבורה שבה כל הקומוטטורים ממשקל קבוע כלשהו הם טריוויאליים, כלומר, חבורה שבה מתקיימת הזהות  עבור k כלשהו. לדוגמה, כל חבורה אבלית היא נילפוטנטית, ובמובנים רבים, חבורות נילפוטנטיות הן "כמעט" אבליות.
כל החבורות הנילפוטנטיות הן פתירות. החבורה הקטנה ביותר שאינה נילפוטנטית היא החבורה הסימטרית , חבורה פתירה בת ששה איברים. חבורה פתירה מאקספוננט ראשוני היא נילפוטנטית (Tobin, 1956).
בין החבורות הסופיות, החבורות הנילפוטנטיות הן אלו השוות למכפלה ישרה פנימית של חבורות סילו השונות. בפרט, חבורות p (כדוגמת החבורה הדיהדרלית מסדר 8 או חבורת הקווטרניונים) הן נילפוטנטיות. כל תת חבורה וכל חבורת מנה של חבורה נילפוטנטית, גם הן נילפוטנטיות.

הגדרה

בכל חבורה G, אפשר להגדיר את הסדרה המרכזית היורדת על-פי הכלל , כאשר ; כלומר,  היא תת-החבורה של G, הנוצרת על ידי הקומוטטורים . על-פי כתיב זה, חבורה אבלית היא כזו שבה . כהכללה של אותו רעיון, חבורה נילפוטנטית ממחלקה k היא חבורה שבה . 
לדוגמה, חבורה נילפוטנטית ממחלקה 1 אינה אלא חבורה אבלית, בעוד שחבורה נילפוטנטית ממחלקה 3 היא כזו שבה  לכל ארבעה איברים . תכונות יסוד של קומוטטורים מראות שבחבורה כזו מתקיים גם . באופן כללי יותר, אם כל הקומוטטורים מן הצורה  שווים לאיבר הנייטרלי, אז כל הקומוטטורים מאותו משקל (אלו המתקבלים מחישוב קומוטטור k פעמים, בסדר כלשהו), שווים לאיבר הנייטרלי. 
כאשר G נילפוטנטית ממחלקה k, אפשר להציג אותה כהרחבה , שבה המנה  נילפוטנטית ממחלקה k-1, ותת-החבורה  מוכלת במרכז (שהרי ). הרחבה שבה הגרעין מרכזי קרויה הרחבה מרכזית: בעוד שהרחבה של חבורה פתירה בחבורה פתירה נותנת חבורה פתירה, ההרחבה של חבורה נילפוטנטית בחבורה נילפוטנטית אינה בהכרח נילפוטנטית - אלא אם ההרחבה מרכזית.

מבנה

מחלקת החבורות הנילפוטנטיות היא האוסף הקטן ביותר של חבורות, הכולל את החבורה הציקלית האינסופית, וסגור תחת הפעולות של מעבר לתת-חבורה או לחבורת מנה, ותחת הרחבות מרכזיות. 
כל תת-חבורה מקסימלית של חבורה נילפוטנטית היא נורמלית.

זהויות

אם G חבורה ו- x איבר שלה, אפשר להגדיר פונקציה  על-פי הנוסחה . הפעלה חוזרת של הפונקציה תחזיר קומוטטורים ממשקל גבוה יותר: . על-פי ההגדרה, בחבורה נילפוטנטית ממחלקה k, כל פונקציה מסוג זה מוכרחה 'להתאפס':  (מכאן השם Nil-potent). הזהות  נקראת זהות אנגל. 
משפט ידוע של מקס צורן קובע שגם ההפך נכון: אם קיים k שעבורו  לכל x ו- y (כאשר x מופיע בביטוי k פעמים), אז כל קומוטטור ממשקל גדול מספיק יהיה מוכרח להתאפס (אפילו אם מופיעים בו איברים שונים); במלים אחרות, החבורה נילפוטנטית. ממשפט זה נובעת תוצאה חשובה: חבורה היא נילפוטנטית אם ורק אם כל תת-חבורה שלה, הנוצרת על ידי שני איברים, היא נילפוטנטית.
מלצב (1953) הראה שיש זהות של חבורות למחצה, המתארת חבורות נילפוטנטיות מדרגה n; זאת על אף שהזהות המגדירה נילפוטנטיות כרוכה בהיפוך של איברים, ואינה זהות של חבורות למחצה.

חבורות נילפוטנטיות אינסופיות

בחבורה נילפוטנטית G, אוסף האיברים מסדר סופי הוא תת-חבורה נורמלית , השווה למכפלה ישרה (מוגבלת) של תת-חבורות סילו של G. המנה  חסרת פיתול. חבורות נילפוטנטיות נוצרות סופית מקיימות את תנאי השרשרת העולה (כל שרשרת עולה של תת-חבורות מוכרחה לעצור). כל חבורת נילפוטנטית נוצרת סופית מקיימת את תכונת הופף.

נילפוטנטיות וגידול

פונקציית הגידול של חבורה הנוצרת על ידי קבוצה סופית S הוא הפונקציה הסופרת, לכל n, כמה איברים של החבורה הם מכפלה של n איברים מן הקבוצה S. שתי פונקציות כאלה, f ו- g, נחשבות שקולות אם  עבור קבועים מתאימים  ו- , וכן להפך, כאשר f ו-g מתחלפות בתפקידים. פונקציית הגידול של חבורה תלוי אמנם בקבוצת היוצרים, אבל כל שתי פונקציות כאלה הן שקולות זו לזו, ומחלקת השקילות נקראת קצב הגידול של החבורה.
בפרט, אם פונקציית גידול אחת של החבורה חסומה על ידי פולינום ממעלה d, אז קצב הגידול הוא פולינומי ממעלה d לכל היותר. לדוגמה, קצב הגידול של החבורה  הוא פולינומי ממעלה d. קצב הגידול אינו מושפע מן המעבר לתת-חבורה בעלת אינדקס סופי.
לכל חבורה נילפוטנטית (ולכן גם לכל חבורה המכילה תת-חבורה נילפוטנטית מאינדקס סופי) קצב גידול פולינומי. משפט מרכזי שהוכיח מיכאיל גרומוב ב-1981 קובע כי גם הכיוון ההפוך נכון: כל חבורה בעלת קצב גידול פולינומי מכילה תת-חבורה נילפוטנטית מאינדקס סופי.