פרינקיפיה מתמטיקה (ראסל)

היקף היסודות שהונחו

הפרינקיפיה מתמטיקה כיסתה רק את תורת הקבוצות, מספרים קרדינליים, מספרים סודרים ומספרים ממשיים. משפטים מאנליזה ממשית לא נכללו, אבל לקראת סוף הכרך השלישי היה ברור למומחים שחלקים ניכרים מהתחומים שלא כוסו יכולים באופן עקרוני להתפתח על ידי הנוסחאות שאומצו. היה ברור גם כמה מורכב ומסובך יהיה פיתוח מלא מסוג זה. 
כרך רביעי אודות היסודות של הגאומטריה תוכנן לצאת לאור, אך המחברים הודו בתשישות אינטלקטואלית עם השלמתו של הכרך השלישי.

בסיס תאורטי

כפי שצוין בביקורת של קורט גדל, שלא כמו תאוריית הפורמליזם, התאוריה ה"לוגית" של הפרינקיפיה חסרה את התחביר המדויק של הפורמליזם. הערה נוספת היא שכמעט מיד מוצגים פירושים (במובן של תורת המודלים) כמונחים של ערכי אמת עבור ההתנהגות של הסמל"⊢" (טענות נכונות), "~" (לא) ו "V" (או).
ערכי אמת: הפרינקיפיה מטמיעה את המושגים של "אמת" (truth) ו"שקר" (falsity) במושג של "טענה פרימיטיבית" (primitive proposition). תאוריה פורמליסטית גולמית (טהורה) לא תספק את המשמעות של הסמלים אשר יוצרים טענות פרימיטיביות - הסמלים עצמם יכולים להיות שרירותיים ובלתי מוכרים לחלוטין. התאוריה תציין רק איך הסמלים מתנהגים בהתבסס על התחביר של התאוריה. לאחר מכך, על ידי הקצאה של "ערכים", מודל יכול לספק פירוש של מה הנוסחאות מביעות. על כן, במערכת הסמלים של Kleene, ה"פירוש" של המשמעות הנפוצה של הסמלים, ואופן השימוש המשתמע ממנה, ניתנת בסוגריים. למשל: "¬ (לא)". אבל, אין זו תאוריה פורמליסטית טהורה.

טענות פרמיטיביות

המהדורה הראשונה (ראה את הדיון על המהדורה השנייה בהמשך) מתחילה עם הגדרת הסימן "⊃"
✸1.01. p ⊃ q .=. ~ p ∨ q. Df.
✸1.1. כל מה שנגרר או מרומז (implied) על ידי טענה אמיתית בסיסית הוא אמת. Pp מודוס פונס
(✸1.11 ניטש במהדורה השנייה.)
✸1.2. ⊦: p ∨ p .⊃. p. Pp עיקרון של טאוטולוגיה
✸1.3. ⊦: q .⊃. p ∨ q. Pp עקרון החיבור
✸1.4. ⊦: p ∨ q .⊃. q ∨ p. Pp עיקרון החילוף
✸1.5. ⊦: p ∨ ( q ∨ r ) .⊃. q ∨ ( p ∨ r ). Pp עקרון הקיבוץ
✸1.6. ⊦:. q ⊃ r .⊃: p ∨ q .⊃. p ∨ r. Pp עקרון החיבור
✸1.7. אם p היא תענה בסיסית, ~p היא נענה בסיסית. Pp
✸1.71. אם p ו- q הן טענות בסיסיות, p ∨ q i היא טענה בסיסית. Pp
✸1.72. אם φp ו- ψp הן טענות בסיסיות פונקציונאלית (elementary propositional functions) functions שמשתמשות בטענות בסיסיות כארגומנטים (arguments), φp ∨ ψp היא טענה בסיסית. Pp
יחד עם ה"הקדמה למהדורה השנייה", נספח A של המהדורה השנייה זונח את כל סעיף ✸9. זה כולל שיש טענות פרימיטיביות ✸9 עד ✸9.15 יחד עם אקסיומות הפריקות (reducibility)
התאוריה המחודשת (revised theory) נהיית קשה יותר עקב ההצגה של קו שֶׁפֶר ("|") לסימול "אי התאמה" (למשל, אם שתי הטענות הבסיסיות p ו- q אמיתיות, ה"קו" שלהן p | q הוא שקרי), התואם ל"לא-וגם" הלוגי ( NAND: not-AND). בתאוריה המחודשת, ההקדמה מציגה את המושג של "טענות אטומיות" (atomic proposition), "נתון" אשר "מקושר לחלק הפילוסופי של הלוגיקה". אין להן חלקים שהם טענות והם לא מכילים את המושגים "הכל" או "חלק". לדוגמה: "זה אדום", או "זה מוקדם יותר ממנו". דברים כאלו יכולים להתקיים כ- ad finitum, למשל גם "מנייה אין סופית" (infinite eunumeration) שלהם להחלפת ה"הכללה" (generality). כמו למשל המושג "לכל". הפרינקיפיה "מתקדמת לטענות מולקולריות" המקושרות על ידי קו שפר. הגדרות נותנות שקילות עבור "~", "∨", "⊃", ן- ".". 
ההקדמה החדשה מגדירה "טענות בסיסיות" כטענות אטומיות ומולקולריות ביחד. או אז היא מחליפה את כל הטענות הפרמיטיביות ✸1.2 עד ✸1.72 עם טענה פרמיטיבית בודד,  המבוססת על המושגים של קו שפר:
"אם p, q, r הן טענות בסיסיות, בהינתן p ו- p|(q|r), אנו יכולים להסיק את r. זוהי טענה בסיסית."
ההקדמה החדשה משמרת את המושג של "קיימות" (there exists) אשר עוצבה מחדש כ"אמיתי לפעמים" ו"לכל" אשר שעוצבה מחדש כ"תמיד אמיתי". נספח A מחזק את המושג של "מטריצה" או "פונקציית ניבוי" (predicative function) (טענה בסיסית, PM 1962:164) ומציגה ארבע טענות פריטיביות חדשות כ ✸8.1–✸8.13.
✸88. אקסיומת הכפל  
✸120. אקסיומה של אין סוף

חלק I לוגיקה מתמטית. כרך I מ-1✸ עד 43✸

חלק זה מתאר את תחשיב הפסוקים ותחשיב הפרדיקטים, ונותן את התכונות הבסיסיות של מחלקות, יחסים וטיפוסים. 

חלק II דיון מקדים לתחשיב העוצמות. כרך I מ-50✸ עד 97✸ 

חלק זה מקיף תכונות מגוונות של יחסים, במיוחד אלו שנדרשות לאריתמטיקה של עוצמות.

חלק III תחשיב העוצמות. כרך II מ-100✸ עד 126✸ 

חלק זה מכסה את ההגדרה והתכונות הבסיסיות של עוצמות. לכל טיפוס יש את אוסף הקרדינלים המיוחסים לו וישנו צורך בניהול חשבונות משמעותי להשוואה בין קרדינלים מסוגים שונים. הפרינקיפיה הגדירה את החיבור, כפל והעלאה לחזקה של קרדינלים, והשוותה הגדרות שונות של עוצמות סופיות ואינסופיות. 120.03✸ היא האקסיומה של אין סוף.

חלק V סדרות. כרך II מ-200✸ עד 234✸ וכרך III מ-250✸ עד 276✸

חלק זה מכסה את נושא הסדרות.

חלק VI כמות. כרך III מ-300✸ עד 375✸

חלק זה בונה את מושג השלמים, שדה המספרים הרציונלים ושדה המספרים הממשיים, ומשפחות וקטורים, שמקושרות למה שמכונה היום טורסורים מעל חבורות אבליות.