חבורה טופולוגית

בתורת החבורות, חבורה טופולוגית היא חבורה המהווה גם מרחב טופולוגי, ובה פעולות הכפל וההיפוך הן פונקציות רציפות. בזכות הופעתן של חבורות אלה בתחומים רבים כל-כך במתמטיקה, חבורות טופולוגיות הן הסוג החשוב ביותר של חבורות אינסופיות. 
כל חבורה אפשר להפוך לחבורה טופולוגית על ידי בחירת הטופולוגיה הדיסקרטית; במובן זה, החבורות הדיסקרטיות הן החבורות הטופולוגיות הטריוויאליות.

תת-חבורות

כל תת-חבורה H של חבורה טופולוגית G יורשת ממנה גם את המבנה האלגברי וגם את המבנה הטופולוגי, וכך היא מהווה חבורה טופולוגית בעצמה. גם מרחב המנה  הוא מרחב טופולוגי, עם טופולוגיית המנה, וההטלה  היא פתוחה. עם זאת, כדי שיהיו למרחב המנה תכונות מוצלחות, תת-החבורה חייבת לקיים תנאים טופולוגיים:  הוא מרחב האוסדורף אם ורק אם H סגורה, ו-  מרחב דיסקרטי אם ורק אם H פתוחה. מכאן נובעת עובדה חשובה: כל תת-חבורה פתוחה היא גם סגורה (ולכן לחבורה טופולוגית קשירה לא יכולות להיות תת-חבורות פתוחות כלל). מאידך, כל תת-חבורה סגורה מאינדקס סופי היא פתוחה.
הסגור הטופולוגי של תת-חבורה מהווה תת-חבורה סגורה; והסגור הטופולוגי של תת-חבורה נורמלית הוא תת-חבורה נורמלית סגורה. לדוגמה, הסגור של תת-החבורה הטריוויאלית מהווה תת-חבורה נורמלית סגורה.
אם H תת-חבורה נורמלית, אז חבורת המנה היא בעצמה חבורה טופולוגית. 
למרכיב הקשירות של היחידה יש תפקיד מיוחד: זוהי תת-חבורה נורמלית , ומרחב המנה  הוא מרחב לא קשיר לחלוטין.

סוגים חשובים של חבורות טופולוגיות

ישנן שלוש משפחות של חבורות טופולוגיות, זו למעלה מזו.

חבורות עם תכונת האוסדורף

המשפחה החשובה הראשונה כוללת את החבורות הטופולוגיות המקיימות את תכונת האוסדורף. חבורה טופולוגית היא כזו אם ורק אם תת-החבורה  היא סגורה. כל חבורה טופולוגית היא רגולרית לחלוטין, וכל חבורה טופולוגית האוסדורף היא מרחב טיכונוף. בחבורת האוסדורף ההעתקה  היא סגורה, והמכפלה של כל תת-קבוצה סגורה בקבוצה קומפקטית היא סגורה. למעשה, תכונת T0 מספיקה כדי להבטיח שהחבורה תקיים את תכונת האוסדורף. 
ה"מאפיין" של חבורה טופולוגית הוא העוצמה הקטנה ביותר של בסיס מקומי לטופולוגיה בנקודת הראשית. משפט Birkhoff-Kakutani (1936) קובע שהטופולוגיה היא מטריזבילית אם ורק אם המאפיין בן מניה לכל היותר.
ב-1941 בנה אנדריי מרקוב חבורות טופולוגיות אבליות חופשיות; בטרמינולוגיה מודרנית, הוא הראה שלכל מרחב טופולוגי X יש איבר חופשי בקטגוריה של החבורות הטופולוגיות האבליות הנוצרות על ידי אברי X.

חבורות קומפקטיות מקומית

במחלקה הבאה נמצאות חבורות האוסדורף קומפקטיות מקומית (המונח "חבורה קומפקטית מקומית" כולל, כעניין של הגדרה, גם את תכונת האוסדורף). אם G חבורה שמוגדרת עליה טופולוגיה כך שהכפל מימין ומשמאל בכל איבר הם רציפים, אז G חבורה טופולוגית (משפט Ellis). כל תת-חבורה קומפקטית מקומית של חבורה קומפקטית מקומית היא סגורה. התכונה החשובה ביותר של חבורות כאלה הוא קיום של מידת האר יחידה: זוהי מידת בורל ממשית רגולרית (מבפנים על קבוצות פתוחות, ומבחוץ על קבוצות בורל) , שהיא סופית על קבוצות קומפקטיות, ואינווריאנטית משמאל - . היחידות היא עד-כדי כפל בקבוע חיובי. באותו אופן קיימת גם מידת האר יחידה שהיא אינווריאנטית מימין. חבורה קומפקטית מקומית שיש לה אופרטור מיצוע אינווריאנטי משמאל היא אמנבילית.
הדוגמה הטיפוסית לחבורה קומפקטית מקומית היא חבורת לי, למשל חבורת המטריצות . בכל חבורה קומפקטית מקומית G, מרכיב הקשירות של איבר היחידה  הוא גבול הפוך של חבורות לי, והמנה  בלתי קשירה לחלוטין.
חבורת הקרקטרים של חבורה טופולוגית אבלית A היא החבורה של כל ההומומורפיזמים מ-A אל מעגל היחידה  (עם פעולת הכפל של מספרים מרוכבים); את החבורה הזו, שגם היא חבורה טופולוגית ביחס לטופולוגיה המתאימה, מסמנים ב-. לדוגמה, חבורת הקרקטרים של  היא , ולהפך. חבורת הקרקטרים של המספרים הממשיים (ביחס לחיבור, עם הטופולוגיה הרגילה) איזומורפית לחבורה עצמה. לפי דואליות פונטריאגין,  לכל חבורה קומפקטית; van Kampen הכליל את המשפט לחבורות קומפקטיות מקומית.
בחבורה קומפקטית האוסדורף, תת-חבורה היא פתוחה אם ורק אם היא סגורה ובעלת אינדקס סופי.

חבורות פרו-סופיות

המשפחה השלישית היא של חבורות פרו-סופיות, שהן חבורות המהוות גבול הפוך של חבורות סופיות (דיסקרטיות). הדוגמה הפשוטה ביותר לחבורה אינסופית כזו היא חבורת השלמים ה-p-אדיים, , שאפשר להציג כגבול של החבורות הציקליות .
חבורה טופולוגית היא פרו-סופית אם ורק אם היא האוסדורף, קומפקטית ולא-קשירה לחלוטין. תת-חבורה H היא פתוחה אם ורק אם היא סגורה ובעלת אינדקס סופי. תת-חבורה H היא סגורה (ונורמלית), אם ורק אם היא מהווה חיתוך של חבורות פתוחות (ונורמליות); תכונה שקולה לכך היא שהטופולוגיה המושרית מ- G ל- H תהיה בעצמה פרו-סופית. אם H סגורה ונורמלית, אז חבורת המנה  היא פרו-סופית בעצמה.
לכל חבורה G יש טופולוגיה פרו-סופית (שהבסיס המקומי שלה ביחידה כולל את כל תת-החבורות מאינדקס סופי); והשלמה פרו-סופית,  (כאשר הגבול הוא על כל תת-החבורות מאינדקס סופי של G), שהיא חבורה פרו-סופית. אם G חבורה פרו-סופית, הטופולוגיה הפרו-סופית שלה עשויה להיות עדינה יותר מן הטופולוגיה הנתונה (משום שכל תת-חבורה פתוחה היא מאינדקס סופי, אבל ההפך אינו תמיד נכון). חבורה פרו-סופית נקראת קשיחה (rigid, או strongly complete) אם הטופולוגיה הפרו-סופית שלה שווה לטופולוגיה הטבעית; זה קורה אם ורק אם החבורה שווה להשלמה הפרו-סופית שלה.

חוגים ושדות טופולוגיים

באופן דומה להגדרת המושג חבורה טופולוגית ניתן להגדיר חוג טופולוגי באופן הבא: נניח כי R הוא חוג שהוא גם מרחב טופולוגי. נאמר שR הוא חוג טופולוגי אם פעולות החיבור והכפל בחוג הן פונקציות רציפות. אם R הוא שדה, נאמר שR הוא שדה טופולוגי אם גם פעולת ההופכי לכפל (המוגדרת על תת-המרחב ) היא פונקציה רציפה.