משפט ניוטון על מסלולים סובבים

משפט ניוטון על מסלולים סובבים (באנגלית: Newton's theorem of revolving orbits) במכניקה קלאסית מזהה את סוג הכוח המרכזי הדרוש כדי להכפיל את המהירות הזוויתית של חלקיק בתנועה מסלולית בפקטור k מבלי להשפיע על התנועה הרדיאלית שלו (איורים 1 ו-2). ניוטון יישם את המשפט הזה כדי להשיג הבנה של הרוטציה הכוללת של מסלולים (פרצסיה אפסידית, איור 3) שנצפית אצל תנועת הירח וכוכבי הלכת. המונח "תנועה רדיאלית" מתייחס לתנועה פנימה או החוצה ממרכז הכוח, בעוד התנועה הזוויתית היא מאונכת לתנועה הרדיאלית.
אייזק ניוטון גזר את המשפט הזה בטענות 43–45 של הספר הראשון של עבודתו "עקרונות מתמטיים של פילוסופיית הטבע", שפורסמה ב-1687. בטענה 43, הוא הראה שהכוח שצריך להוסיף חייב להיות כוח מרכזי, כלומר כוח שגודלו תלוי אך ורק במרחק r בין החלקיק ונקודה קבועה במרחב (מרכז הכוח). בטענה 44, הוא גזר את הנוסחה לכוח, והראה שזהו כוח היפוך-מעוקב, היינו כוח שמשתנה כמו ההופכי לחזקה השלישית של r. בטענה 45, ניוטון הרחיב את המשפט שלו לחוקי כוח שרירותיים תחת ההנחה של מסלולים קרובים למעגליים (בעלי אקסצנטריות נמוכה).
כפי שהאסטרופיזיקאי סוברהמניאן צ'נדראסקאר הבחין בסיכום שכתב ב-1995 על הפרינקיפיה של ניוטון, המשפט הזה נותר לא ידוע למרבית הקהילה המדעית ולא מפותח במשך יותר משלוש מאות שנה. מאז 1997, המשפט נלמד על ידי דונלד לינדן בל ושותפיו למחקר, וההכללה המדויקת הראשונה שלו ניתנה בשנת 2000 בעבודתם של Mahomed ו- Vawda.

הקשר היסטורי

התנועה של גרמי השמיים נחקרה בשיטתיות וקפדנות במשך אלפי שנים. התצפיות הראשונות ביותר הראו שהכוכבים סובבים באחידות, ותמיד משמרים את אותם מיקומים יחסיים אחד לשני. אף על פי כן, גופים אחרים שנצפו נדמו כנודדים למול הרקע הנצחי של הכוכבים הקבועים; רוב הגופים האלו נקראו פלנטות על שם המילה היוונית "πλανήτοι" ("נודדים"). אף על פי שבדרך כלל הם נעים באותו הכיוון במסלול לאורך השמיים (מישור המילקה), כוכבי לכת אינדיווידואלים לפעמים משנים לקצרה את כיוון התנועה שלהם, ומפגינים תנועה אחורית (retrograde motion).
כדי לתאר את התנועה קדימה-ואחורה הזו, אפולוניוס מפרגה (262 לפנה"ס - 190 לפנה"ס), פיתח את המושג של אפיציקלים ו- deferents, שלפיו כוכבי הלכת נישאים על מעגלים מושלמים מסתחררים אשר הם עצמם נישאים על מעגלים מסתחררים אחרים, וכך הלאה. כל מסלול ניתן לתיאור על ידי בחירה שקולה של מספיק אפיציקלים – גישה הזאת שקולה לטרנספורם פורייה המודרני. בערך 350 שנה מאוחר יותר, תלמי פרסם את ספרו אלמגסט, בו הוא פיתח את המערכת הזאת כך שתתאים לתצפיות האסטרונומיות המדויקות ביותר של העידן שלו. כדי להסביר את האפיציקלים, תלמי אימץ את המודל הגאוצנטרי של אריסטו, לפיו כוכבי הלכת היו מקובעים בתנועתם לכדורים מושלמים וקונצנטריים שמסתובבים. מודל זה של היקום היה המודל השלט במשך 1500 שנה.
ההבנה המודרנית של התנועה הפלנטרית נוצרה בעקבות מאמציהם המשולבים של האסטרונום טיכו ברהה והפיזיקאי יוהאנס קפלר במאה ה-16. לטיכו נזקף הקרדיט על תצפיות מדויקות במיוחד של התנועות הפלנטריות, ומהם קפלר היה מסוגל להסיק להסיק את החוקים שלו על תנועת כוכבי הלכת. לפי החוקים האלו, כוכבי הלכת נעים באליפסות (לא אפיציקלים) מסביב לשמש (לא כדור הארץ). החוק השני והחוק השלישי של קפלר מנבאים תחזיות כמותיות ספציפיות: כוכבי הלכת מכסים שטחים שווים בזמנים שווים (כלומר הרדיוס ווקטור), והריבוע של זמן המחזור המסלולי שלהם שווה לקבוע מסוים כפול החזקה השלישית של חצי הציר הראשי של המסלול האליפטי שלהם. תצפיות מאוחרות יותר על מסלולי כוכבי הלכת הראו שהציר הארוך של האליפסה (הנקרא גם קו האפסיד) גם מסתובב בהדרגה בזמן; הסיבוב הזה ידוע גם כפרצסיה אפסידית. האפסידים של מסלול הם הנקודות בהם הגוף הסובב הוא קרוב ביותר או רחוק ביותר ממרכז הכוח המושך; בעבור כוכבי לכת שמקיפים את השמש, האפסידים תואמים לפריהליון (הנקודה הקרובה ביותר) והאפהליון (הנקודה הרחוקה ביותר).
עם הפרסום של הפרינקיפיה שלו בערך שמונים שנה מאוחר יותר (1687), אייזק ניוטון סיפק תאוריה פיזיקלית שנתנה הסבר לכל שלושת חוקי קפלר, תאוריה שהתבססה על חוקי התנועה של ניוטון וחוק הכבידה העולמי שלו. ניוטון הציע שהכוח הכבידתי בין כל שני גופים הוא כוח מרכזי שמשתנה לפי היפוך הריבוע של המרחק r ביניהם. בהתבסס על חוקי התנועה שלו, ניוטון הראה כי המסלול של כל חלקיק שפועל עליו כוח כזה הוא תמיד חתך חרוט, גם כאשר האליפסה לא נמשכת לאינסוף. אף על פי כן, המסקנה הזאת תופסת רק כאשר שני גופים קיימים (הבעיה הדו-גופית); התנועה של שלושה גופים או יותר תחת ההשפעה הכבידתית ההדדית שלהם (בעיית n הגופים) נשארה לא פתורה במשך מאות שנים אחרי ניוטון, אף על פי שפתרונות למספר מקרים מיוחדים נתגלו. ניוטון הציע כי המסלולים של כוכבי הלכת מסביב לשמש הם בעיקרם אליפטיים מכיוון שהכבידה של השמש היא דומיננטית; כקירוב ראשון, הנוכחות של כוכבי הלכת האחרים ניתנת להזנחה. באנלוגיה לכך, המסלול האליפטי של הירח מסביב לכדור הארץ נשלט על ידי הכבידה של כדור הארץ; בקירוב ראשון, הכבידה של השמש וזאת של גופים אחרים במערכת השמש ניתנת להזנחה. למרות זאת, ניוטון טען שהפרצסיה האפסידית ההדרגתית של מסלולי כוכבי הלכת ומסלול הירח היא אודות לאפקט של האינטראקציות הכבידתיות הזניחות האלו; באופן ספציפי הוא טען שהפרצסיה של מסלול הירח היא אודות לאפקטים הפרטורבציוניים של האינטראקציות הכבידתיות עם השמש.
משפט ניוטון על מסלולים סובבים היה הניסיון הראשון שלו להבין את הפרצסיה האפסידית באופן כמותי. לפי משפט זה, ההוספה של סוג מסוים של כוח מרכזי - כוח היפוך מעוקב - יכולה להפיק מסלול מסתובב; המהירות הזוויתית מוכפלת בפקטור k, בעוד התנועה הרדיאלית נותרת ללא שינוי. אף על פי כן, המשפט הזה מוגבל לסוג מסוים של כוח שעשוי לא להיות רלוונטי; נדמה כי ההשפעה של מספר אינטראקציות כבידתיות היפוך ריבועיות (כמו אלו של כוכבי לכת אחרים) לא מסתכמת במדויק לכוח היפוך מעוקב. כדי להפוך את המשפט שלו לבר-יישום לסוגים אחרים של כוח, ניוטון מצא את הקירוב הטוב ביותר של כוח מרכזי שרירותי (F(r שצריך להוסיף לכוח היפוך מעוקב בגבול של מסלולים קרובים למעגליים, כלומר מסלולים עם אקסצנטריות נמוכה, קירוב הנכון למרבית המסלולים הפלנטריים במערכת השמש. כדי למצוא את הקירוב הזה, ניוטון פיתח טור אינסופי שניתן לראות אותו כמבשר של השיטה של טור טיילור. קירוב זה אפשר לניוטון להעריך את קצב הפרצסיה בעבור חוקי כוח שרירותיים. ניוטון יישם את הקירוב שלו כדי לבחון מודלים שונים של הכוח שגורם לפרצסיה האפסידית של מסלול הירח. עם הזאת, הבעיה של תנועת הירח היא מורכבת ביותר, וניוטון מעולם לא פרסם מודל גרביטציוני מדויק של הפרצסיה האפסידית של הירח. אחרי מודל מדויק יותר של קלרו ב-1747, מודלים אנליטיים של תנועת הירח פותחו בשלהי המאה ה-19 על ידי Hill, Brown ו- Delaunay.
המשפט של ניוטון הוא יותר כללי מאשר משפט שרק מסביר את תופעת הפרצסיה האפסידית. הוא מתאר את האפקטים של הוספת כוח היפוך מעוקב לכל כוח מרכזי (F(r, לא רק לכוחות היפוך ריבועיים כמו אלו שבחוק הכבידה העולמי של ניוטון או בחוק קולון. המשפט של ניוטון מפשט בעיות מסלוליות במכניקה קלאסית בכך שהוא מביא תוצאה מיידית לאפקט של כוחות היפוך מעוקבים. בערך 230 שנים אחרי פרסום הפרינקיפיה של ניוטון, אלברט איינשטיין נעזר במשפט ניוטון על מסלולים סובבים כדי להסביר את הפרצסיה של מסלול כוכב הלכת חמה. במקרה זה, איינשטיין הראה כי האפקטים היחסותיים שפועלים על מסלול כוכב הלכת חמה שקולים מתמטית לתוספת של כוח מרכזי שמשתנה לפי היפוך החזקה הרביעית של המרחק r מהשמש - F = C/r⁴, כלומר תוספת של כוח מרכזי כזה נוסף על הכוח ההיפוך ריבועי הניוטוני. עקרונות תורת היחסות הכללית שלו אפשרו לו לחשב במדויק את ערך הקבוע C, והוא לאחר מכן נעזר במשפט של ניוטון כדי לחשב את קצב הפרצסיה הצפוי של מסלול חמה, והראה שהניבוי של התאוריה תואם את התצפיות. זהו היה אחד האישושים הראשונים של תורת הכבידה החדשה של איינשטיין, והוא הדגים את הכוח של המשפט של ניוטון, גם בבעיות שלא נחשבות חלק מהמכניקה הקלאסית.

ניסוח מתמטי

נתייחס לחלקיק הנע בהשפעת כוח מרכזי שרירותי (F₁(r אשר גודלו תלוי רק במרחק r בין החלקיק ונקודה קבועה. כיוון שהתנועה של החלקיק תחת הכוח המרכזי נחה במישור, המיקום של החלקיק ניתן לתיאור על ידי קואורדינטות פולריות (r, θ₁), הרדיוס והזווית של החלקיק יחסית למרכז הכוח. שתי הקואורדינטות האלו, (r(t ו-(θ₁(t, משתנות בזמן t כאשר החלקיק נע.
נדמיין כעת חלקיק שני עם אותה המסה m ועם אותה התנועה הרדיאלית (r(t, אבל שהמהירות הזוויתית שלו היא k פעמים מהירה יותר מזה של החלקיק הראשון. במילים אחרות, הזוויות האזימוטליות של שני החלקיקים קשורות זו לזו בקשר המתמטי (θ₂(t) = k θ₁(t. ניוטון הראה כי ניתן ליצור את התנועה של החלקיק השני על ידי הוספת כוח היפוך - מעוקב לכל כוח (F₁(r שפועל על החלקיק הראשון:
כאשר L₁ הוא הגודל של התנע הזוויתי של החלקיק הראשון, שהוא קבוע תנועה (גודל שמור) בעבור כוחות מרכזיים. ניוטון הראה לפיכך כי הכוח ההיפוך המעוקב הוא המפתח להבנת בעיות הקשורות בפרצסיה של מסלולים. התוצאה הזו נובעת ישירות מהתייחסות אל הכוח הצנטריפוגלי (בתנועה מעגלית, הכוח הצנטריפוגלי שווה בגודלו והפוך בכיוונו מהכוח הצנטריפטלי, כלומר הוא מכוון החוצה ממרכז המעגל) ככוח דחייה "אפקטיבי" שמשתנה לפי היפוך החזקה השלישית של המרחק ממוקד הכוח (ראו גם גזירת המשפט בסוף הערך).
אם k² גדול יותר מאחד, F₂  −  F₁ הוא מספר שלילי; לכן, הכוח ההיפוך מעוקב שמתווסף צריך להיות כוח משיכה, כפי שניתן לראות בתנועת הכוכב הירוק באיורים 4 - 1 ו-9. בניגוד לכך, אם k² קטן מאחד, F₂ − F₁ הוא מספר חיובי; הכוח ההיפוך מעוקב שצריך להוסיף הוא כוח דחייה, כפי שניתן לראות בתנועת הכוכב הירוק באיורים 5 ו-10, וזו של הכוכב האדום באיורים 4 ו-5.

פרצסיה מסלולית

אם k קרוב, אבל לא שווה, לאחד, המסלול השני דומה מאוד לראשון, אבל סובב בהדרגה מסביב למרכז הכוח; תכונה זו נקראת פרצסיה מסלולית (איור 3). אם k גדול יותר מאחד, המסלול מבצע פרצסיה באותו כיוון כמו כיוון התנועה של הכוכב (איור 3); אם k קטן מאחד, המסלול יבצע פרצסיה במגמה הפוכה למגמת הסיבוב של הכוכב.
אף על פי שהמסלול באיור 3 נראה כאילו הוא סובב במהירות אחידה, כלומר במהירות זוויתית קבועה, תנועה אחידה כזאת נכונה רק למסלולים מעגליים. אם המסלול סובב במהירות זוויתית Ω, המהירות הזוויתית של החלקיק השני מהירה יותר או נמוכה יותר מזה של החלקיק הראשון ב-Ω; במילים אחרות, המהירויות הזוויתיות יקיימו את הקשר: . בנוסף, משפט ניוטון על מסלולים סובבים קובע שהמהירויות הזוויתיות קשורות זו לזו על ידי יחס ההכפלה:, כאשר k הוא קבוע. שילוב שתי המשוואות האלו מניב את התוצאה שהמהירות הזוויתית של הפרצסיה שווה ל-: . מכך נובע גם ש-Ω קבוע רק אם  קבוע. לפי חוק שימור התנע הזוויתי  משתנה עם הרדיוס r לפי:
כאשר m ו-L₁ הם המסה והתנע הזוויתי של החלקיק הראשון, בהתאמה, ושניהם קבועים. מכך נובע איפוא, ש-ω₁ הוא קבוע אם ורק אם הרדיוסr, כלומר כאשר המסלול הוא מעגל. במקרה זה, המסלול לא משתנה כאשר הוא מבצע פרצסיה.

דוגמה להמחשה: ספירלות קוטס

ההמחשה הפשוטה ביותר למשפט של ניוטון מתרחשת כאשר אין כוח מרכזי התחלתי, כלומר כאשר F₁(r) = 0. במקרה זה החלקיק הראשון נמצא במנוחה או נע בקו ישר. אם הוא נע בקו ישר שלא עובר דרך ראשית הצירים (מרכז הכוח), המשוואה של ישר כזה ניתנת לכתיבה בקואורדינטות פולריות (r, θ₁) כך:
כאשר θ₀ היא הזווית בה המרחק ממרכז הכוח מגיע למינימום. המרחק r מתחיל באינסוף 
(כאשר θ₁ – θ₀ = −90°) ויורד בהדרגה עד ש-θ₁ – θ₀ = 0°, כאשר המרחק מגיע למינימום, ואז גדל בהדרגה שוב לאינסוף כאשר θ₁ – θ₀ = 90°. המרחק המינימלי נקרא פרמטר פגיעה (Impact parameter), שמוגדר גם כאורך האנך המורד מהמרכז הקבוע לקו של התנועה. ניתן להפיק את אותה התנועה הרדיאלית כאשר מוסיפים כוח היפוך מעוקב.
לכוח היפוך מעוקב (F₂(r יש את הצורה:
כאשר המונה μ עשוי להיות חיובי (כוח דחייה) או שלילי (כוח משיכה). אם כזה כוח היפוך מעוקב מוסף, המשפט של ניוטון קובע שלפתרונות המתאימים תהיה צורה שנקראת ספירלת קוטס (כלומר הפתרון למסלול שמתקבל כאשר פועל על חלקיק אך ורק כוח היפוך מעוקב הוא ספירלת קוטס). ספירלות אלו הם עקומים המוגדרים על ידי המשוואה:
כאשר הקבוע k שווה:
.
כאשר החלק הימני באגף ימין של המשוואה האחרונה הוא מספר חיובי, הפתרון שמתארת המשוואה נקרא אפיספירלה. כאשר הארגומנט θ₁ – θ₀ שווה ±90°×k, הקוסינוס שואף לאפס והרדיוס שואף לאינסוף. לכן, כאשר k הוא פחות מאחד, הטווח של זוויות אפשריות הוא קטן והכוח הוא דחייתי (העקום האדום שבצד ימין באיור 7). מצד שני, כאשר k גדול יותר מאחד, טווח הזוויות האפשריות גדל, ומתאים לכוח משיכה (העקום הירוק, ציאן וכחול שבצד שמאל באיור 7); המסלול יכול להקיף את המרכז מספר פעמים. הערכים האפשריים של הפרמטר k נעים בין אפס לאינסוף, והם מתאימים לערכים של μ שנעים מאינסוף שלילי עד לגבול החיובי העליון, שהוא L₁²/m. לכן, לכל הכוחות ההיפוך מעוקבים המשיכתיים (μ שלילי), יש אפיספירלה מתאימה, כמו גם לכמה כוחות דחייתיים (μ < L₁²/m), כמומחש באיור 7. כוחות דחייתיים חזקים יותר מתבטאים בתנועה ליניארית מהירה יותר.
אחד מהסוגים האחרים של הפתרונות ניתן במונחים של קוסינוס היפרבולי:
כאשר הקבוע λ מקיים:
.
צורה זאת של ספירלות קוטס מתאימה לאחת משתי ספירלות פוינסוט (איור 8). הערכים האפשריים של λ נעים בין אפס לאינסוף, מה שמתאים לערכים של μ הגדולים יותר מהמספר החיובי L₁²/m. לכן, תנועה דמוית ספירלת פוינסוט מתרחשת במקרה של כוחות היפוך מעוקבים דחייתיים, ונכונה במקרה ש-L לא גדול מדי לערך נתון של μ.
אם ניקח את הגבול של k או λ כאפס נקבל כפתרון את הצורה השלישית של ספירלת קוטס, זו הנקראת ספירלה הופכית או ספירלה היפרבולית:
כאשר A ו-ε הם קבועים שרירותיים. עקומים כאלה נוצרים כאשר החוזק μ של כוח הדחייה מאזן במדויק את איבר התנע זוויתי - מסה:
.

מסלולים סגורים וכוחות מרכזיים היפוך מעוקבים

לשני סוגים של כוחות מרכזיים - אלו שגדלים באופן ליניארי עם המרחק F = Cr, כמו בחוק הוק, וכוחות היפוך ריבועיים F = C/r², כמו בחוק הכבידה העולמי של ניוטון וחוק קולון, יש תכונה מאוד מיוחדת. חלקיק הנע תחת השפעת כל אחד מהכוחות האלה תמיד חוזר למיקום ההתחלתי שלו עם המהירות ההתחלתית שלו, בתנאי שאין לו מספיק אנרגיה כדי לנוע לאינסוף. במילים אחרות, המסלול של חלקיק הוא תמיד סגור והתנועה שלו חוזרת על עצמה אינסוף פעמים, לא משנה מה המיקום או המהירות ההתחלתית שלו. כפי שמראה משפט ברטרנד, תכונה זאת לא מתקיימת כאשר מניחים סוגים אחרים של כוח; באופן כללי, חלקיק לא יחזור לנקודת ההתחלה שלו עם אותה מהירות.
אף על פי כן, המשפט של ניוטון מראה שניתן להוסיף כוח היפוך מעוקב ניתן לכוח ליניארי או היפוך ריבועי באופן כזה שמסלול החלקיק יישאר סגור, בהינתן ש-k שווה למספר רציונלי (מספר נקרא "רציונלי" אם הוא ניתן לכתיבה כשבר m/n, כאשר m ו-n שניהם מספרים טבעיים). במקרים כאלה, ההוספה של כוח היפוך מעוקב תגרום לחלקיק להשלים m סיבובים בזמן שהוא משלים 
n תנודות רדיאליות. השיטה הזאת להפקת מסלולים סגורים כאלו לא מפרה את משפט ברטרנד, כיוון שהכוח ההיפוך מעוקב שמוסיפים תלוי במהירות ההתחלתית של החלקיק.
מסלולים הרמוניים ותת-הרמוניים הם סוגים מיוחדים של מסלולים סגורים כאלו. מסלול סגור ייקרא מסלול הרמוני אם k הוא מספר טבעי, כלומר כאשר n = 1 בנוסחה 
k = m/n. לדוגמה, אם k = 3 (הכוכב הירוק באיורים 1 ו-4, והמסלול הירוק באיור 9). המסלול שנוצר הוא ההרמוניה השלישית של המסלול המקורי. בשונה מכך, מסלול סגור ייקרא מסלול תת-הרמוני אם k הוא ההופכי של מספר טבעי, כלומר כאשר m = 1 בנוסחה k = m/n. לדוגמה, אם k = 1/3 (הכוכב הירוק באיור 5, והמסלול הירוק באיור 10), המסלול שנוצר הוא התת-הרמוניה השלישית של המסלול המקורי. אף על פי שקרוב לוודאי שמסלולים כאלה לא יופיעו בטבע, הם שימושיים להדגמת המשפט של ניוטון.

גבול של מסלולים כמעט מעגליים

בטענה 45 של הפרינקיפיה, ניוטון מיישם את המשפט שלו על מסלולים סובבים כדי לפתח שיטה כללית למצוא את חוקי הכוח ששולטים בתנועה של כוכבי הלכת. יוהנס קפלר הבחין שהמסלולים של מרבית כוכבי הלכת ושל הירח הם אליפסות, ושהציר הארוך של האליפסות האלה ניתן לחישוב באופן מדויק מתצפיות אסטרונומיות. הציר הארוך מוגדר כקו שמחבר את המיקומים במסלול בעלי המרחק המינימלי והמקסימלי מהנקודה המרכזית, כלומר הקו שמחבר את שני האפסידים. לצורך ההדגמה, הציר הארוך של מסלול כוכב הלכת חמה מוגדר כקו שמחבר את מיקומי הפריהליון והאפהליון העוקבים שלו. במהלך הזמן, הציר הארוך של מרבית הגופים במסלול סובב בהדרגה, באופן כללי לא יותר מכמה מעלות לסיבוב שלם אחד, וזאת בגלל משיכות כבידתיות מגופים אחרים, פחיסות בגוף המושך, אפקטים יחסותיים, ואפקטים אחרים. השיטה של ניוטון נעזרת בפרצסיה האפסידית הזאת כמבדק רגיש לסוג הכוח שפועל על כוכבי הלכת.
המשפט של ניוטון תיאר עד כה רק את האפקט של הוספת כוח היפוך מעוקב. עם זאת, בטענה 45 ניוטון מרחיב את המשפט שלו לכוחות מרכזיים שרירותיים (F(r באמצעות התמקדות במסלולים שהם כמעט מעגליים, כמו אליפסות עם אקסצנטריות נמוכה (ε ≤ 0.1), תנאי שהוא נכון לשבע מתוך שמונה מסלולי כוכבי הלכת במערכת השמש. ניוטון גם יישם את המשפט שלו למסלול כוכב הלכת חמה, שיש לו אקסצנטריות ε  של בערך 0.21, והציע שהוא עשוי להשפיע על השביט של האלי, אשר למסלולו יש אקסצנטריות של בערך 0.97.

נוסחה כמותית

הגישה בה ניוטון נעזר כדי לחשב את האפקט של חוקי כוח שרירותיים בגבול של מסלול כמעט מעגליים היא להסתכל על האפקט של תנודות קטנות במרחק הרדיאלי של הכוכב ממרכז הכוח, ולהשוות עם האפקט של כוח היפוך מעוקב על פרצסיית המסלול של הכוכב. כיוון שניוטון הראה שהוספת כוח היפוך מעוקב היא המפתח להבנת הפרצסיה של מסלולים, ושכל פרצסיה ניתנת למידול על ידי הוספת כוח כזה, השוואה בין האפקט של השינוי הקטן בכוח שמפעיל מרכז הכוח (הנגזר מחוק הכוח הכללי) לאפקט של כוח היפוך מעוקב, איפשרה לו לגזור נוסחה כללית להשפעה של חוק כוח כללי על מסלול כוכב הלכת. להלן מובא הפיתוח של ניוטון.
כדי לפשט את המשוואות, ניוטון כותב את הכוח המרכזי (F(r במונחים של פונקציה חדשה (C(r:
כאשר R הוא הרדיוס הממוצע של המסלול הכמעט מעגלי. ניוטון מפתח את (C(r בטור שכעת נקרא טור טיילור - הוא מפתח את הפונקציה בטור חזקות של המרחק r סביב הנקודה 
r = R, באחת ההופעות הראשונות של טור כזה. באמצעות השוואת האיבר ההיפוך מעוקב בטור עם האיבר ההיפוך מעוקב שנגזר מהמשפט הקודם שלו (טענה 44), ניוטון גוזר פקטור סקלה זוויתי אקוויוולנטי בעבור מסלולים כמעט מעגליים:
במילים אחרות, ההפעלה של כוח מרכזי שרירותי (F(r על מסלול אליפטי כמעט מעגלי יכולה להאיץ את התנועה הזוויתית בפקטור k מבלי להשפיע על התנועה הרדיאלית באופן משמעותי. אם מסלול אליפטי הוא סטציונרי, החלקיק מסתובב משביב למרכז הכוח ב-180° כשהוא נע מקצה אחד של הציר הארוך לשני (שני האפסידים). לכן, הזווית האפסידית המתאימה α בעבור כוח מרכזי כללי שווה k×180°, מסקנה אליה מגיעים באמצעות שימוש בחוק הכללי θ₂ = k θ₁.

דוגמאות

דוגמה 1
נניח שהכוח המרכזי (F(r הוא מונום, כלומר ש-(C(r הוא מהצורה:
אז מהנוסחה האחרונה נקבל:
מה שנותן זווית פרצסיה להקפה שלמה ששווה ל-:
.
הנוסחה מראה בבירור שחוקי חזקה גבוהים יותר גורמים לפרצסיה מסלולית גבוהה יותר.
בפרינקיפיה ניוטון מביא מספר ניבויים ספציפיים של הנוסחה. האחד הוא בעבור כוח היפוך ריבועי, שם מקבלים ש- n = 1 ושזווית הפרצסיה היא אפס, כלומר שמתקבל מסלול סגור, בהתאמה מושלמת עם פתרון בעיית קפלר. השני הוא בקשר למקרה של מתנד הרמוני, שם n = 4 ומקבלים זווית פרצסיה של 180 מעלות בדיוק. במקרה זה המסלול עדיין נשאר סגור.
הניבוי השלישי הוא זה של כוח רדיאלי קבוע, שם n = 3 ומקבלים זווית פרצסיה ששווה ל- מעלות. ישנן דוגמאות ספציפיות להתנהגות כזאת, הפשוטה שבהן היא הבעיה של חלקיק הנופל במורד חרוט עם ציר אנכי. בבעיה זו החרוט נמצא בשדה כובד אחיד ומוצב כך שצירו מקביל לכיוון שדה הכובד, ומניחים בו חלקיק לו מקנים מהירות התחלתית שונה מאפס בכיוון כלשהו כך שהחלקיק מקובע לחרוט כל משך תנועתו. הדרישות הן שהחלקיק מצד אחד לא יימצא במסלול מעגלי יציב, ומצד שני ינוע עדיין במסלול כמעט מעגלי, אז מקבלים התנהגות מעניינת כזאת של ההיטל של החלקיק על מישור שניצב לציר החרוט.
דוגמה 2 
כהדגמה מסכמת ואחרונה, ניוטון מחשיב כעת סכום של שני חוקי חזקות:
הנוסחה לחישוב הפרצסיה (שהשתמשנו בה בדוגמה הראשונה) מראה כי כעת המהירות הזוויתית תוכפל ב-:
ניוטון מיישם את שתי הנוסחאות האלו (בעבור חוק החזקה וסכום של שני חוקי חזקה) כדי לבחון את הפרצסיה האפסידית של מסלול הירח.

הגזירה של ניוטון

הגזירה של ניוטון מופיעה בחלק התשיעי של הספר הראשון של הפרינקיפיה, בטענות 43–45. הגזירות ששלו את הטענות האלה מתבססת בעיקר על גאומטריה.
טענה 43; בעיה 30:
 
הגזירה של ניוטון את טענה 43 מתבססת על טענה 2, שנגזרה מוקדם יותר בפרינקיפיה. טענה 2 מספקת מבחן גאומטרי באשר האם הכוח הכולל שפועל על נקודת מסה (חלקיק) הוא כוח מרכזי. ניוטון הראה שכוח הוא מרכזי אם ורק אם הרדיוס ווקטור של החלקיק מכסה שטחים שווים בזמנים שווים. כיוון שההנחה שהמסלול מבצע פרצסיה בקצב קבוע מביאה לכך שהרדיוס ווקטור החדש גם יכסה שטחים שווים בזמנים שווים, חלק ה-"רק אם" של טענה 2 מבטיח שהכוח הוא מרכזי.
טענה 44
ההבדל בין הכוחות, שכתוצאה מהם שני גופים ינועו בצורה שווה, אחד במסלול נייח, והשני במסלול זהה אך סובב, משתנה באופן הפוך לחזקה השלישית של המרחקים המשותפים שלהם.
תוצאה זו נובעת מהמשוואה הדיפרנציאלית למרחק הרדיאלי ממרכז הכוח:
.
הכוח הצנטריפוגלי משתנה לפי ההופכי לחזקה השלישית של המרחק מהמרכז, על כן כדי לקבל את אותה נגזרת שנייה של המרחק הרדיאלי (ולכן את אותה משוואה דיפרנציאלית ואותה תנועה רדיאלית) עבור חלקיק שנע זוויתית מהר יותר יש פשוט להוסיף איבר לכוח המרכזי ששווה:
טענה 45; בעיה 31
למצוא את התנועה של האפסידים במסלולים קרובים מאוד למעגליים.
בטענה זאת, ניוטון גוזר את ההשלכות למשפט שלו על מסלולים סובבים בגבול של מסלולים קרובים למעגליים. קירוב זה תקף באופן כללי למסלולי כוכבי הלכת ולמסלול הירח סביב כדור הארץ. קירוב זה מאפשר לניוטון להחשיב מגוון רחב של חוקי כוח מרכזי, לא רק כוח היפוך ריבועי או כוח היפוך מעוקב.