תבנית מודולרית

במתמטיקה, תבנית מודולרית היא פונקציה אנליטית (מרוכבת), המוגדרת על חצי המישור העליון, ומקיימת משוואות פונקציונליות ותנאי גידול מסוימים. מעיקר הדין שייכות התבניות המודולריות לאנליזה המרוכבת, אבל המחקר הקשור בהן מהווה באופן מסורתי חלק מרכזי בתורת המספרים האנליטית. תבניות מודולריות מופיעות, בין השאר, גם בטופולוגיה אלגברית ובתורת המיתרים.
לכל תבנית מודולרית יש משקל, שהוא מספר שלם. תבניות ממשקל 0 הן פונקציות מודולריות. פונקציות כאלה אינן משתנות תחת הפעולה של החבורה המודולרית  (ולכן הן מוגדרות על התחום היסודי שלה בפעולה על חצי המישור העליון), בעוד שהתבניות ממשקל שאינו אפס מותמרות על ידי איברי החבורה באופן מסוים, התלוי במשקל. באופן כללי יותר, אפשר להגדיר פונקציות מודולריות לכל סריג של .
תבניות מודולריות הן מקרה פרטי של תאוריה מורכבת יותר, העוסקת בתבניות אוטומורפיות.

היסטוריה

ראשיתה של התאוריה של תבניות מודולריות בארבעה מקורות: הכללת המשוואות המתארות פונקציות אליפטיות בראשית המאה ה-19; פיתוח התבניות האוטומורפיות (במשתנה אחד), כפי שהבינו אותם פליקס קליין ואחרים, בסוף המאה ה-19; עבודתו של אריך הקה בסביבות 1925; וההתקדמות בתורת המספרים בשנות ה-60, שהצביעה על יותר ויותר קשרים מעניינים של התאוריה עם תחומים אחרים. בשנות ה-90 ניתנה לתחום דחיפה משמעותית נוספת, כאשר הוכיחו ויילס וטיילור את משפט המודולריות, המוכר גם כמשפט טניאמה-שימורה.
המונח "תבנית מודולרית" מיוחס ל-Hecke; ג'. ה. הארדי הסתייג מבחירה זו, והוא אכן אינו מופיע בעבודות של תלמידו ועמיתו סריניווסה רמנוג'ן, שתרם לתחום הרבה מן התובנות הראשוניות.

חצי המישור העליון

המונח חצי המישור העליון מתייחס למחצית העליונה של המישור המרוכב, כלומר לקבוצה . על חצי המישור העליון מוגדרת מטריקה לפי תבנית האורך , ההופכת אותו למרחב היפרבולי (בעל עקמומיות שלילית קבועה), שבו העקומים הגאודזיים הם מעגלים וישרים המאונכים לציר ה-x. זהו מרחב היפרבולי חשוב ביותר, מכיוון שכמרחב פשוט קשר, זהו מרחב הכיסוי האוניברסלי של כל משטחי רימן מגנוס גדול מ-1.
חבורת האיזומטריות שומרות הכיוון של חצי המישור העליון היא חבורת המטריצות , הפועלת עליה (טרנזיטיבית) לפי טרנספורמציות מביוס: 
.
ל"נקודה באינסוף",  (הנמצאת באינסופו של הכיוון החיובי של הציר המדומה) יש תפקיד מיוחד בפעולה הזו: כאשר , , וכך אפשר להגיע לכל נקודה על הציר הממשי. מכיוון שכך, נקודות השפה (היינו: הנקודות על הציר הממשי, והנקודה באינסוף) כולן שקולות זו לזו.
מרחבי המנה של H מתקבלים מקיפול המרחב לפי תת חבורה דיסקרטית של , והדוגמה החשובה ביותר מאלה היא החבורה המודולרית . התחום היסודי שלה, , הוא דוגמה טיפוסית למשטח רימן בעל שטח סופי שאינו קומפקטי - בדיוק בגלל הנקודה באינסוף, הנקראת "חוד" (cusp). במרחב המנה, החוד הזה נמצא לא רק אי-שם במעלה הציר המדומה, אלא גם בכל נקודה רציונלית של הציר הממשי, ובכל המקרים מדובר באותו חוד ממש (משום שהנקודות שקולות זו לזו תחת פעולת החבורה המודולרית).

הגדרות

יהי k מספר חיובי. תבנית מודולרית ממשקל k ומרמה N היא פונקציה הולומורפית על חצי המישור העליון, שהיא מרומורפית כאשר  (הכיוון הזה הוא החוד של חצי המישור העליון), ומקיימת את המשוואה הפונקציונלית  לכל . התבניות מרמה 1 הן אלו שהוגדרו קודם לכן.

פיתוח q

מן המשוואה הפונקציונלית נובע בפרט ש- , כלומר, f מחזורית, ולכן יש לה פיתוח פורייה.
פיתוח q של תבנית מודולרית הוא הטור לורן שלה בחוד, כלומר, טור פורייה, כשהוא כתוב כטור לורן במונחי הפרמטר  (המשתנה הזה מקודד את המחזוריות).
מכיוון שפונקציית האקספוננט אינה מתאפסת,  על המישור המרוכב, אבל בגבול , 
. לכן הפיתוח סביב q=0 הוא פיתוח סביב החוד במרחב של z.
פירושה של המרומורפיות בחוד הוא שיש רק מספר סופי של מקדמי פורייה שליליים, ולכן הפיתוח במונחי q "חסום מלמטה", ויש לו הצורה 
. המקדמים  הם "מקדמי פורייה" של f, והמספר m (המינימלי) הוא סדר הקוטב של f בחוד.

תבניות שלמות, תבניות קספידליות

אם f הולומורפית בחוד (אין לה קוטב ב- q=0), היא נקראת תבנית מודולרית שלמה. אם f מרומורפית אבל לא הולומורפית שם, היא תבנית מודולרית לא שלמה. לדוגמה, האינווריאנט j הוא תבנית מודולרית לא שלמה ממשקל 0, ויש לו קוטב פשוט ב- .
אם f שלמה ומתאפסת ב- q=0 (כלומר, ), אז התבנית היא תבנית חוד. המספר n הקטן ביותר שעבורו  הוא "סדר האפס של f" בחוד.

גורמים אוטומורפיים והכללות אחרות

במשוואה הפונקציונלית היסודית, אפשר לוותר על הדרישה ש- k יהיה שלם, ולהוסיף כופל  בעל ערך מוחלט 1, כך שמתקיימת המשוואה .
פונקציות מהצורה  ידועות כגורמים אוטומורפיים.
בכך שמרשים גורמים אוטומורפיים, אפשר לכלול בתאוריה גם פונקציות כמו פונקציית אטה של דדקינד (שהיא תבנית מודולרית ממשקל 1/2). כך, למשל, יהי  קרקטר דיריכלה מודולו N. תבנית מודולרית ממשקל k ומרמה N ובעלת עיוות   היא פונקציה הולומורפית על חצי המישור העליון, המקיימת את המשוואה הפונקציונלית  
לכל z ולכל , ושהיא הולומורפית בחוד.

דוגמאות

הדוגמה הפשוטה ביותר היא זו של סדרות אייזנשטיין. לכל שלם זוגי , מגדירים את הפונקציה  .  התנאי k>2 מבטיח את התכנסות הטור; הגדרה דומה עבור k איזוגי תתן תמיד 0, משום שהווקטורים  ו-  יבטלו זה את זה.
סריג יונימודולרי זוגי L ב-  הוא סריג הנוצר על ידי וקטורי העמודה במטריצה ממשית שהדטרמיננטה שלה 1, וכך שהאורך של כל וקטור הוא שלם זוגי. אם L סריג כזה, אז כמסקנה מנוסחת הסיכום של פואסון, פונקציית תטא 

היא תבנית מודולרית ממשקל .
לא פשוט לבנות סריגים יונימודולריים זוגיים, להלן דוגמה: יהי n שלם המתחלק ב-8, ונתבונן בכל הווקטורים  כך שהקואורדינטות של  שלמים, וכולם זוגיים או כולם אי-זוגיים, וכך שסכום הקואורדינטות של v הוא שלם זוגי. הסריג הזה נקרא . כאשר n=8, זהו הסריג הנוצר על ידי השורשים במערכת השורשים 
E₈. יש רק תבנית מודולרית אחת מממד 8 (עד-כדי כפל בסקלר), ולכן 
.
עם זאת, הסריגים  ו-  אינם דומים. ג'ון מילנור הבחין ששני הטורוסים ה-16-ממדיים המתקבלים מחלוקת המרחב   בשני הסריגים, הם דוגמאות ליריעות רימן קומפקטיות, שהם איזוספקטרליים אבל לא איזומטריים (ולכן אי-אפשר לשמוע את צורת התוף).
פונקציית אטה של דדקינד מוגדרת כמכפלה . "הדיסקרימיננטה המודולרית"  היא תבנית מודולרית ממשקל 12. רמנוג'ן הוכיח שהמקדמים  מקיימים זהויות מודולריות, כגון . השערה מפורסמת שלו קובעת שהמקדמים מקיימים . את ההשערה הזו יישב פייר דלין, כתוצאה של עבודתו על השערות וייל. את השערת רמנוג'ן  אפשר לתרגם לשפה של הצגות של החבורות , כאשר K שדה גלובלי. דלין פתר את ההשערה עבור שדות ממאפיין אפס, בעוד שאת המקרה של מאפיין ראשוני פתר ולדימיר דרינפלד.
הדוגמאות השנייה והשלישית רומזות אל הקשר בין תבניות מודולריות ושאלות קלאסיות בתורת המספרים, כגון ההצגות של מספרים שלמים באמצעות תבניות ריבועיות, ופונקציית החלוקה. הקשרים בין תורת התבניות המודולריות לשאר ענפי תורת המספרים מחוזקים על ידי אופרטורי הקה, המציגים תכונות חשובות של תבניות מודולריות בשפה של תורת ההצגות.

הכללות

כרגיל במתמטיקה, אפשר להשמיט חלק מן האקסיומות שצריכה לקיים תבנית מודולרית, ולקבל מבנים כלליים יותר. אם מוותרים על ההנחה שהפונקציות אנליטיות, מתקבלות תבניות Maass, שהן פונקציות עצמיות של הלפלסיאן, אבל אינן הולומרפיות.
אפשר להחליף את החבורה המודולרית בחבורות אחרות.
פונקציות מודולריות של הילברט הן פונקציות ב-n משתנים שכל אחד מהם מקבל ערכים בחצי המישור העליון, המקיימות תנאי מודולריות עבור מטריצות 
 שהמקדמים שלהן מגיעים מחוג השלמים של שדה מספרים ממשי לחלוטין.
התבניות המודולריות של Siegel קשורות לחבורה הסימפלקטית באותו אופן שבו הפונקציות שתוארו כאן קשורות ל- 
, במלים אחרות, הן מתייחסות ליריעות אבליות באותו יחס שבו הפונקציות שלנו מתייחסות לעקומים אליפטיים.
תבניות אוטומורפיות מכלילות את המושג תבנית מודולרית לחבורות לי.