משטח רימן

במתמטיקה, ובמיוחד בגאומטריה ובאנליזה מרוכבת, משטח רימן הוא יריעה מרוכבת חד-ממדית, כלומר, אובייקט טופולוגי שהמבנה המקומי שלו הוא כזה של קבוצה פתוחה במישור המרוכב. אף על פי שלכל משטחי רימן אותו מבנה כשמתבוננים בסביבה הקרובה של נקודה, המבנה הטופולוגי הכללי יכול להיות מגוון מאוד. לדוגמה, משטח רימן יכול להיראות כמו ספירה או טורוס. המשטחים קרויים על-שמו של המתמטיקאי ברנרד רימן.
הרעיון המרכזי של התורה של משטחי רימן הוא שניתן להגדיר פונקציות הולומורפיות (או אנליטיות) בין שני משטחי רימן נתונים.
משטחי רימן נחשבים כיום ל"מקום הטבעי" לחקר התכונות הגלובליות של פונקציות הולומורפיות, במיוחד פונקציות רב ערכיות, כמו פונקציית השורש, שאינה ניתנת להגדרה כפונקציה חד ערכית הולומורפית על המישור המרוכב כולו, אך ניתנת להגדרה כפונקציה רב ערכית.
כל משטח רימן הוא יריעה אנליטית דו-ממדית, אך הוא מכיל מבנה נוסף (אטלס הולומורפי). ניתן להוכיח שניתן להפוך יריעה אנליטית דו-ממדית למשטח רימן אם ורק אם היא אורינטבילית.
לכן לדוגמה, הספירה והטורוס הם משטחי רימן, אך טבעת מביוס ובקבוק קליין אינם משטחי רימן.

ביהולומורפיות

פונקציה מרוכבת  תיקרא ביהולומורפית אם היא הולומורפית, חד חד ערכית, והפונקציה ההפוכה  אף היא הולומורפית. ניתן להוכיח שאם  היא הולומורפית וחד חד ערכית אז היא ביהולומורפית.

מפה ואטלס

יהי  מרחב האוסדורף קשיר.
מפה (chart) היא הומיאומורפיזם מקבוצה פתוחה כלשהי  לתת קבוצה פתוחה של המישור המרוכב .
אטלס הוא אוסף של מפות על תת-קבוצות שונות של X, כך שהאיחוד של תת-הקבוצות הללו הוא המרחב כולו, כלומר כל נקודה במרחב מוכלת במפה אחת לפחות. אם המרחב X הוא שטח הפנים של כדור הארץ, אז המילה "אטלס" מקבלת את המשמעות הרגילה שלה בשפת הדיבור: אוסף של מפות, כך שכל מפה מתארת חלק אחד מפני כדור הארץ, והאיחוד של כל החלקים הללו הוא פני כדור הארץ כולו.
נניח שיש שתי מפות, אשר ממפות קבוצות חופפות חלקית (לדוגמה, מפה של אירופה ומפה של אסיה, ששתיהן כוללות את רוסיה). ניתן להגדיר העתקת-מעבר (transition map) בין שתי הקבוצות הללו, כהרכבה של מפה אחת עם ההיפוך של המפה השנייה. באופן פורמלי, נניח כי  קבוצות פתוחות, וכי נתונות שתי מפות  ו- . העתקת המעבר היא הפונקציה .
שתי מפות  ו- ייקראו תואמות הולומורפית, אם מפת המעבר שלהם היא ביהולומורפית.
אטלס ייקרא אטלס הולומורפי, אם כל המפות בו תואמות הולומורפית.

משטח רימן

אם X הוא מרחב האוסדורף קשיר, ו-A הוא אטלס הולומורפי, אז הזוג  יקרא משטח רימן. בדרך כלל נשמיט את סימון האטלס ונסמן את המשטח פשוט ב-.

פונקציות הולומורפיות

בהינתן משטח רימן , פונקציה הולומרפית  (מהמשטח  למשטח ) תיקרא פונקציה הולומורפית על  (מבלי לציין את הטווח). 
ניתן להראות שמשפט ליוביל תקף גם עבור פונקציות הולומורפיות על משטחי רימן, ולפיכך כל פונקציה הולומורפית על משטח רימן קומפקטי היא קבועה.
לעומת זאת, על כל משטח רימן לא קומפקטי יש פונקציות הולומורפיות לא קבועות. אם  משטח רימן שאינו קומפקטי ו- שתי נקודות שונות, אז קיימת פונקציה הולומורפית  על  כך ש-. יריעה אנליטית שמקיימת תנאי זה נקראת יריעת סטיין. משפט השיכון ליריעות סטיין קובע שכל יריעת סטיין ממימד  ניתנת לשיכון ביהולומורפי כתת-קבוצה של , ולפיכך כל משטח רימן לא קומפקטי ניתן לשיכון ביהולומורפי כתת-קבוצה של .

שדה הפונקציות המרומורפיות

אוסף הפונקציות המרומורפיות על משטח רימן מהווה שדה, המסומן ב-. נשים לב שכל פונקציה קבועה היא בוודאי מרומורפית, ולכן  הוא שדה הרחבה של .
אם  משטח רימן קומפקטי, ניתן להוכיח ש- הוא הרחבה של  ממעלה טרנסצנדנטית 1. שדה הפונקציות הרציונליות של משטח רימן קומפקטי קובע את המשטח עד כדי איזומורפיזם, כלומר אם  ו- הם שני משטחי רימן קומפקטים אז  (X איזומורפי ל Y) אם ורק אם . במונחים של תורת הקטגוריות ניתן להראות שהקטגוריה של משטחי רימן קומפקטים (כאשר המורפיזמים הם פונקציות הולומורפיות) שקולה לקטגוריה של הרחבות שדה ממעלה טרנסצנדנטית 1 של שדה המספרים המרוכבים.

הגנוס של משטח

ניתן להוכיח שכל משטח אוריינטבילי קומפקטי הומיאומורפי לספירה אשר מחוברות אליה "ידיות". לפיכך, כל משטח רימן קומפקטי נראה מבחינה טופולוגית כמו ספירה עם ידיות. מספר ה"ידיות" נקרא הגנוס של המשטח ומסומן באות g. הגנוס של משטח רימן קומפקטי הוא תמיד סופי. נניח כעת כי X משטח רימן קומפקטי. נסמן ב את אלומת הפונקציות המרומורפיות של X. ניתן להראות כי המימד של המרחב הווקטורי  (קוהומולוגיית צ'ך של אלומה זו) שווה לגנוס של המשטח, כלומר . משטח רימן הוא אליפטי (כלומר איזומורפי לספירה של רימן) אם ורק אם הגנוס שלו הוא 0. הוא פרבולי אם ורק אם הגנוס שלו הוא 1. משטח רימן עם גנוס 1 מהווה עקום אליפטי. כל משטח רימן עם גנוס גדול מ1 הוא היפרבולי.

מחלקים על משטח רימן

יהי  משטח רימן. פונקציה  (כאשר  - המספרים השלמים) תיקרא מחלק אם הקבוצה  (נקראת התומך של D) היא קבוצה בדידה. בפרט, מחלק על משטח רימן קומפקטי ניתן לייצוג על ידי סכום סופי  כאשר  הוא מספר שלם ו. 
לדוגמה, אם  הוא הספירה של רימן אז הסכום  הוא המחלק על  המתאים לנקודה 0 את הערך 3, לנקודת האינסוף את הערך 2, ולכל נקודה אחרת את הערך 0.
ניתן לחבר שני מחלקים (על ידי חיבור הפונקציות המתאימות), ולפיכך אוסף המחלקים על משטח רימן מהווה חבורה אבלית. חבורת המחלקים על משטח רימן קומפקטי היא בדיוק החבורה האבלית החופשית הנוצרת על ידי הנקודות של .
מחלק נקרא אפקטיבי אם הוא אי שלילי.

מחלק של פונקציה מרומורפית

תהי  פונקציה מרומורפית שאינה הפונקציה הקבועה  על משטח רימן . ניתן להוכיח שלכל נקודה  קיים מספר שלם יחיד - , ומפה  (כאשר  סביבה של ), כך ש 
וכך שמתקיים . אם  הולומורפית ב- אז , ו-  אם ורק אם . אם  נאמר של  יש קוטב ב- מסדר .
לכל פונקציה מרומורפית  ניתן להגדיר מחלק  באופן הבא: אם  הולומורפית ב  נגדיר , כאשר  הוא הסדר של  בנקודה . אחרת, אם ל  יש קוטב ב  מסדר , נגדיר .
את המחלק של פונקציה מרומורפית נהוג לסמן ב .
מההגדרה נובע שפונקציה מרומורפית היא הולומורפית אם ורק אם המחלק שלה הוא אפקטיבי.
מחלק  שקיימת פונקציה מרומורפית  שהוא המחלק שלה נקרא מחלק ראשי. מכיוון ש -  ו-  הרי שאוסף המחלקים הראשיים מהווה תת-חבורה של חבורת המחלקים.