אלגברה לא אסוציאטיבית

אלגברה לא אסוציאטיבית היא מבנה אלגברי המכליל אלגבראות אסוציאטיביות, בו לא נדרשת אקסיומת האסוציאטיביות. במילים אחרות, אלגברה לא אסוציאטיבית היא חוג לא אסוציאטיבי  שבמרכזו חוג קומוטטיבי . אלגבראות אלו נקראות לעיתים גם אלגבראות דיסטריביוטיביות, שכן זוהי התכונה היחידה שנדרשת מפעולת הכפל באלגברה.
באלגבראות אלו, תכונת האסוציאטיביות עשויה להתקיים גם כאשר היא אינה נדרשת על-פי האקסיומות, ולכן כל אלגברה אסוציאטיבית היא סוג של "אלגברה לא אסוציאטיבית". תכונות והגדרות בסיסיות רבות של אלגבראות אסוציאטיביות נשמרות גם במקרה הלא-אסוציאטיבי (כדוגמת הגדרת תת-אלגבראות, אידיאלים, אלגבראות פשוטות, משפטי האיזומורפיזם). עם זאת, תורת המבנה של אלגבראות לא אסוציאטיביות עשירה יותר מזו של האלגבראות האסוציאטיביות, ובאותו הזמן גם מסובכת יותר. תכונות מבנה בסיסיות של אלגבראות אלו ידועות, אך משפטי מבנה ומיון חזקים כבתורה האסוציאטיבית אינם בנמצא בתורה הלא אסוציאטיבית הכללית.
אלגבראות לי, אלגבראות ז'ורדן, אלגבראות אלטרנטיביות ואלגבראות מלצב כולן משפחות חשובות של אלגבראות לא אסוציאטיביות, שנחקרו רבות לאורך השנים. בכל אחד מן המקרים האלה מניחים אקסיומות אחרות במקום אקסיומת האסוציאטיביות, המזכות משפחות אלגבראות אלו בשם "אלגבראות כמעט אסוציאטיביות". במשפחות מוכרות רבות, ישנם משפטי מבנה בעלי אופי דומה לאלו שבתורה האסוציאטיבית.

הגרעין והמרכז

הגרעין (nucleus) של אלגברה לא אסוציאטיבית A כולל את כל האיברים g המקיימים  לכל x,y, כאשר  הוא האסוציאטור; זוהי תת-אלגברה אסוציאטיבית של A. המרכז מוגדר כאוסף האיברים של הגרעין, המתחלפים עם כל האיברים ב-A.
אלגברת הפעולות של A היא תת-האלגברה  הנוצרות על ידי ההעתקות  לכל , כאשר  מקיימות  ו-. אלגברה זו פועלת על A, ויתרה מכך על כל אידיאל של A. אם A היא סוף-ממדית ופשוטה למחצה או פשוטה, אז גם אלגברת הפעולות מקיימת תכונה זו.
ה-centroid של A הוא המֵרָכֶז של  ב- ; כאשר לאלגברה יש יחידה, המרכז איזומורפי ל-centroid, על ידי ההעתקה . עם זאת, באלגבראות פשוטות כלליות ללא יחידה, ה-centroid הוא מונח כללי יותר (שכן המרכז הוא אפס במקרה זה), והאלגברה נלמדת לעיתים כאלגברה מעל מבנה זה.
אידיאל האסוציאטור הוא האידיאל הנוצר על ידי האיברים , כלומר . זהויות המתקיימות בכל אלגברה לא אסוציאטיבית מבטיחות שהאידיאל שווה ל- .

נילפוטנטיות, פתירות ורדיקלים

בדומה לתורה האסוציאטיבית, גם במקרה הלא אסוציאטיבי מוגדרים מונחי הנילפוטנטיות והפתירות, באופן המכליל את התורה המוכרת. בהינתן אלגברה לא אסוציאטיבית A, מגדירים באינדוקציה , ו- . ההגדרה של  "תופסת" את כל סידורי הסוגריים האפשריים.
האלגברה נקראת נילפוטנטית אם קיים  עבורו , ופתירה אם . המספר המינימלי המקיים את התכונה נקרא אינדקס הנילפוטניות ואינדקס הפתירות, בהתאמה. כל אלגברה נילפוטנטית היא ודאי פתירה. סכום של כל שני אידיאלים פתירים (בתור אלגבראות בפני עצמם) גם הוא אידיאל פתיר; כאשר האלגברה סוף ממדית, מוגדר הרדיקל הפתיר  של A, בתור האידיאל הפתיר המקסימלי שלה. אלגברת המנה  לא מכילה אידיאלים פתירים אמיתיים.
כמו בתורה האסוציאטיבית, הרדיקלים מהווים כלי מחקר של האלגבראות - ברגע שנמצא רדיקל מתאים  למחלקת האלגבראות, נחקרות האלגבראות הרדיקליות - המקיימות , והאלגברואת הפשוטות למחצה, המקיימות . הגדרת רדיקל כזה איננה פשוטה במקרה הכללי; כך למשל, הרדיקל הנילי לא מוגדר היטב באלגבראות לי (בהן תופס את תפקיד הרדיקל החשוב ). רדיקל חשוב נוסף הוא רדיקל הפשטות, המוגדר בתור האידיאל המינימלי , כך שהאלגברה  מתפרקת לסכום ישר של אלגבראות פשוטות. רדיקל זה מוגדר לכל אלגברה סוף-ממדית, ומתלכד עם רדיקל הפתירות במשפחות שצוינו לעיל.

תבניות ביליניאריות

כמו בתורה האסוציאטיבית, גם במקרה זה מעניין לחקור תבניות ביליניאריות של האלגברה, כדי להבין טוב יותר את המבנה שלהן. תבנית עקבה (trace form) של F-אלגברה לא אסוציאטיבית A היא תבנית ביליניארית סימטרית , המקיימת . עבור כל תבנית עקבה כלעיל, וכל אידיאל B של A, מוגדר האידיאל האנכי ל-B מוגדר בתור , גם הוא אידיאל. הרדיקל של התבנית מוגדר בתור האידיאל ; התבנית נקראת רגולרית אם הרדיקל שלה אפס.
המשפט המרכזי בהקשר זה הוא כלהלן: תהי A אלגברה לא אסוציאטיבית סוף-ממדית, בעלת תבנית עקבה רגולרית. עוד נניח כי  לכל אידיאל . אזי A היא פשוטה למחצה, כלומר מתפרקת לסכום ישר (יחיד עד כדי סדר) של אידיאלים פשוטים.
שימוש נפוץ בתבנית עקבה הוא באלגבראות לי, עליהן מוגדרת תבנית קילינג, אשר מהווה תבנית עקבה של האלגברה, בעזרתה חוקרים תכונות מבנה של האלגברה.

אלגברת הנגזרות

את האלגברה של הנגזרות הפורמליות של A, היינו אוסף ההעתקות שומרות החיבור  המקיימות את הזהות  (כלל לייבניץ), מסמנים ב-. זוהי תת-אלגברת לי של , היינו סגורה גם לקומוטטורים.
נגזרת נקראת פנימית, אם היא שייכת לאלגברת-לי הנוצרת על ידי הפעולות ; זהו אידיאל של . ידוע שבמאפיין אפס, כל נגזרת של אלגברה פשוטה למחצה מממד סופי, עם יחידה ימנית או שמאלית, היא פנימית.

חוגים סופיים

המשפט הקטן של ודרברן נשאר נכון גם עבור מספר נרחב של מחלקות נפוצות של אלגבראות לא אסוציאטיביות - כל אלגברה חילוק סופית אלטרנטיבית/עם חזקה אסוציאטיבית (ממאפיין לא 2) היא שדה. את הטענה האחרונה הוכיח לראשונה אלברט תוך שהוא עובר על כל המקרים ממשפט המיון של אלגבראות ז'ורדן; McCrimmon הציג מאוחר יותר הוכחה יונפירומית.

מכפלה טנזורית

אפשר להגדיר מכפלה טנזורית של שתי אלגבראות לא אסוציאטיביות - התוצאה היא תמיד אלגברה לא אסוציאטיבית, אבל לא בהכרח מאותה משפחה. לדוגמה, המכפלה של שתי אלגבראות אסוציאטיביות היא אלגברה אסוציאטיבית, אבל המכפלה של שתי אלגבראות ז'ורדן בדרך כלל אינה אלגברת ז'ורדן.
כמו במקרה האסוציאטיבי, המכפלה הטנזורית של אלגבראות לא אסוציאטיביות פשוטות מרכזיות גם היא פשוטה מרכזית.