אינטגרל קווי

אינטגרל קווי מסוג שני

אינטגרל קווי מסוג שני מתבצע על שדה וקטורי. סימון:  – זוהי פונקציה במרחב בעל n ממדים עליה מבוצעת האינטגרציה. ניתן לחשוב על פונקציה זו כעל אוסף של n פונקציות סקלריות. תחת ההנחה כי פונקציה זו רציפה, כאמור לעיל, נניח כי המסילה  היא מסילה חלקה למקוטעין המוגדרת בקטע . כיוון הסכימה חיובי מוגדר מ-  עד .

אינטגרל קווי מסוג ראשון

יש לחשב את האינטגרל  כאשר המסלול  מתואר על ידי . לפי הנוסחה לחישוב מפורש, ניתן לחשב אינטגרל זה על ידי חישוב האינטגרל המסוים . התקבל אינטגרל מסוים אשר ניתן לחשב על ידי החלפת  במשתנה אחר. התוצאה המתקבלת היא .

אינטגרל קווי מסוג שני

יש לחשב את האינטגרל  כאשר  הוא העקום  עבור . ניתן לכתוב הצגה זו גם בצורה . בצורה זו, הפרמטר אשר על פיו מבוצעת האינטגרציה הוא  (באותה המידה, ניתן היה גם לכתוב  במקומו, או כל אות אחרת – לשמו של משתנה האינטגרציה אין כל משמעות מתמטית). על פי הנוסחה לחישוב ישיר, מתקבל האינטגרל המסוים . זהו אינטגרל מיידי שלאחר חישובו מתקבל .

תכונות

האינטגרל הקווי מקיים תכונות של אדיטיביות וליניאריות כמו האינטגרל המסוים, זאת ניתן לראות מהגדרתו של כסכום. להרחבה ראו ערך אינטגרל.
בהינתן פונקציה חיובית, האינטגרל הקווי מהסוג הראשון איננו תלוי בכיוון ביצוע הסכימה כך שסכימה "מההתחלה אל הסוף" ו"מהסוף אל ההתחלה" תניב תוצאות זהות. ניתן לתת לדבר אינטואיציה פיזיקלית בדמות העובדה שאורך או מסה של עקום אינם תלויים בכיוון מהם אנו "מרכיבים" אותם. בנוסחת החישוב המפורשת, הדבר מתבטא בכך שהסכום המופיע בה הוא של שלושה גורמים חיוביים: פונקציה חיובית, שורש ריבועי (חיובי בהכרח כאשר השדה מעליו עובדים הוא שדה המספרים הממשיים) והערך המוחלט של .
לעומת כך, בהינתן אינטגרל קווי מסוג שני, החלפת סדר הסכימה תגרור החלפת סימן של האינטגרל. לכך ניתן לתת אינטואיציה פיזיקלית בדמות העובדה כי עבודה של כוח, למשל, תהיה שלילית אם הוא נע בכיוון הפוך לכיוון לכיוון המוגדר כ"חיובי". בנוסחה הדבר מתבטא בהחלפת הסימן של .
באופן כללי, ערכו של אינטגרל קווי הוא תלוי מסלול, כך שעבור מסלולים שונים יתקבלו ערכי אינטגרל שונים. אינטואיציה פיזיקלית לכך ניתנת, עבור אינטגרל מסוג ראשון, למשל, בדמות העובדה כי עבור צפיפות נתונה, גוף ארוך ישקול יותר מגוף קצר. עבור אינטגרל קווי מסוג שני ניתן לתת אינטואיציה על סמך העובדה, למשל, שעבודתו של כוח החיכוך גדולה יותר בערכה המוחלט ככל שהמסלול ארוך יותר. ייתכן מקרה מיוחד בו ערכו של אינטגרל מסוג שני לא יהיה תלוי בצורת מסלול האינטגרציה אלא בקצוות הקטע בלבד. נושא זה נדון בהרחבה בפרק קשר בין אינטגרל קווי לשדה משמר בהמשך ערך זה.

החלפת פרמטריזציה באינטגרל קווי

בהינתן פרמטריזציה מסוימת המתארת את העקום שעל פניו מתבצעת האינטגרציה, ניתן לכתוב את האינטגרל הקווי גם על ידי פרמטריזציה אחרת המתארת גם היא את העקום הנתון, בלא שינוי בתוצאה המתקבלת. באופן מעשי, כאמור, חישוב האינטגרל הקווי מתבצע על ידי החלפתו באינטגרל מסוים. בהינתן שתי פרמטריזציות המתארות את אותו העקום, ניתן להחליף את הפרמטריזציות שעל פי הן נעשה החישוב על ידי הכללים המקובלים להחלפת משתנה בשלב חישוב האינטגרל המסוים. ראו שיטת ההצבה להרחבה.
כיוון שאינטגרל מסילתי מסוג שני הוא תלוי כיוון, ישנה חשיבות לכיוון שבו תתבצע האינטגרציה בעזרת הפרמטריזציה החדשה. פרמטריזציה אשר שומרת על כיוון האינטגרציה המקורי נקראת "פרמטריזציה שומרת כיוון". פרמטריזציה היא שומרת כיוון אם ורק אם מתוארת על ידי פונקציה מונוטונית עולה. אם הפונקציה מונוטונית יורדת, אזי לאחר ביצוע האינטגרציה תתקבל תוצאה הפוכת סימן. במקרים אחרים, מקובל לחלק את העקומה שעל פיה מתבצעת האינטגרציה למספר חלקים שבכל אחד מהם הפרמטריזציה מתוארת על ידי פונקציה מונוטונית.

מאפיינים פיזיים של גופים המיוצגים על ידי עקומה

מהתבוננות בהגדרת האינטגרל הקווי מסוג ראשון, ניתן לראות כי בבחירת פונקציה השווה זהותית לאחד, מתקבל הסכום . משמעותו של סכום זה היא אורך העקומה עליה מתבצעת האינטגרציה. כך, בהינתן עקום ניתן לחשב את אורכו בעזרת אינטגרל קווי. בהינתן הגדרה אקסיומטית של מושג האורך של קו ישר, ניתן להשתמש בסכום זה על מנת להגדיר את המושג "אורך של עקום".
בהינתן פונקציה המבטאת צפיפות של גודל פיזיקלי כלשהו כפי שהיא משתנה לאורך העקום, כאשר העקום הוא מודל לגוף כלשהו (למשל, חוט) ניתן לחשב את כמות הגודל הכוללת לאורך אותו גוף על ידי אינטגרל קווי מסוג ראשון. כך, למשל, בהינתן צפיפות מסה קוית, ניתן לחשב את מסתו של גוף ובהינתן צפיפות מטען קווית, ניתן לחשב את המטען המפוזר לאורכו של גוף.

עבודה

אחת הדוגמאות הבולטות לשימוש באינטגרל קווי מסוג שני היא חישוב עבודה. עבודתו של כוח קבוע המניע מסה לאורך קו ישר מוגדרת כמכפלת היטלו של הכוח לאורך ציר התנועה במרחק שגרם למסה לנוע. בכתיב מתמטי, מיוצגת העבודה לפי הנוסחה  כאשר  הוא הכוח המניע ו- הוא וקטור ההעתק. במקרה הכללי ביותר, כאשר הכוח הוא כוח משתנה והמסלול איננו בהכרח קו ישר, ניתן לקרב את המסלול על ידי חלוקתו לחלקים קטנים בהם המסלול הוא בקירוב ישר והכוח הוא בקירוב קבוע, לחשב את העבודה בכל אחד מהם ולסכום את סך כל העבודות המתבצעות בקטעים לעיל. בכך, מתקבלת העבודה הכוללת. הלכה למעשה, חישוב זה זהה במהותו לחישובו של אינטגרל קווי מסוג שני ולכן, בהינתן מסילה , מוגדרת העבודה לאורכה על ידי הנוסחה .
כיוון שאינטגרל של שדה משמר לאורך מסילה סגורה הוא אפסי, עולה מכך שתנועתו של גוף הנע במסלול סגור תחת השפעת כוח משמר, איננה משנה את הפוטנציאל שלו, כאשר המשמעות הפיזיקלית של פוטנציאל זה היא אנרגיה. קרי – אנרגיה של גוף לא משתנה כאשר הוא נע במסלול סגור תחת השפעת כוח משמר. למשפט זה חשיבות פיזיקלית רבה.

שימושים נוספים

אינטגרלים קוויים מופיעים, בין היתר, במקומות בהם מערכות פיזיקליות נידונות מתוארות על ידי פונקציות שדה. אינטגרלים מסוג זה משמשים בתורה האלקטרומגנטית ומופיעים בניסוחים האינטגרליים של משוואות מקסוול, שם הם מתארים את הקפת השדה המגנטי והחשמלי. חוק ביו-סבר, המהווה גרסה של חוק אמפר, מאפשר חישוב של שדות מגנטיים על ידי שימוש באינטגרל קווי. מכניקת הזורמים, אשר בחלק מענפיה מתקיימת סימטריה מסוימת בין הניסוחים המתמטיים המתארים אותה לבין אלו של התורה האלקטרומגנטית, היא ענף פיזיקלי נוסף בו נעשה שימוש באינטגרלים קוויים. כדוגמה, לחוק ביו-סבר שהוזכר לעיל, שימושים גם באווירודינמיקה, שם הוא משמש לחישובים של מהירות המושרית מקווי מערבולת. כדוגמה נוספת, משפט קוטה-ז'וקובסקי  קושר בין הקפת שדה המהירות של נוזל לבין כוח העילוי שהוא מפעיל.

פישוט חישובים

על ידי שימוש במשפטי סטוקס, ובפרט במשפט גרין ובמשפט סטוקס במרחב, ניתן להחליף את חישוביהם של אינטגרלים משטחיים באינטגרלים קוויים על שפתם ולהפך. כך, ניתן לפשט מספר חישובים.
כך, למשל, על סמך משפט גרין, עבור זוג פונקציות  ו-  המקיימות , האינטגרל הקווי  נותן את השטח שכולאת העקומה . לעיתים, חישוב זה נוח יותר מחישוב השטח באמצעות כלים אחרים (למשל, אינטגרל כפול).
כאמור, לאינטגרלים קוויים שימושים רבים גם באנליזה מרוכבת.