על פתית השלג המשושה

פתיחה והצגת השאלה

קפלר יודע כמה ידידו חובב את ה"אין" (כלומר את ה-"לא כלום") ובכל מקרה שכרו של קפלר (הוא עבד כמתמטיקאי חצר של הקיסר רודולף השני) לא מאפשר לו להעניק מתנה גדולה יותר ולכן הוא מחפש שי הקרוב ביותר ל"אין". הוא בודק את ארבעת היסודות (אבק, אש, אוויר, ומים) אך חושב שבכולם יש "משהו". לבסוף בעודו חוצה את גשר קארל בפראג נופל פתית שלג על מעילו והוא נראה לו נושא מתאים לשי לעונת החגים כיוון שירד מהשמיים בצורת כוכב. יש כאן גם משחק מילים כיוון שהמילה Nix משמעה שלג בלטינית (שפת המאמר) ומשמעה גם "לא כלום" בגרמנית עממית של אז. קפלר מציע לברר "למה פתיתי השלג בראשית נפילתם, ולפני שהם מסתבכים זה בזה לגושים, הם תמיד בעלי ששה קודקודים עם ששה מקלות דמויי נוצה".

סקירת רעיונות הקשורים לשאלה

בהמשך המאמר סוקר קפלר הסברים אפשריים לצורת פתית השלג (שאת כולם הוא לבסוף דוחה בעצמו). הסבר אפשרי הוא שניתן לרצף את המישור על ידי משושים. אבל בעצם אפשר גם עם רבועים ומשולשים. כדי להכיר טוב יותר את הבעיה הוא חוקר כמה מקרים של דברים משושים בטבע ומנסה להגיע לסיבת צורתם. הוא בוחן את תאי הדונג בחלת הדבש של הדבורים. הוא שם לב שבעוד שלפתח התא יש צורת משושה הרי שחלקו האחורי נסגר על ידי שלושה מעוינים (כל מעוין נשען על שתים מצלעות המשושה וכולם נפגשים בקודקוד אחד - ראו איור). קפלר תוהה אם קיים פֵּאוֹן דומה לפאון הארכימדי או לאפלטוני המורכב רק ממעוינים. הוא מצהיר שמצא שניים כאלה, כשאחד מהם, הדודקהדרון-המעוין המוקף ב-12 מעוינים, יכול לרצף את המרחב התלת-ממדי ללא רווחים, כמו שהמשושה יכול לרצף את המרחב הדו-ממדי. הוא העלה כמה סיבות אפשריות לצורת המשושה של תאי הכוורת: המשושה הוא המרווח ביותר בין הפאונים המרצפים את המישור, הוא המותאם ביותר למבנה גופם הרך של הדבורים, וניתן לחסוך בעבודה כשכל קיר משרת שני תאים, במקום למשל תאים עגולים שהיו מותירים רווחים מבוזבזים.
מכאן קפלר עובר לתהות בסיבה לצורת גרעיני הרימון דמויי ה-דודקהדרון-המעוין הממלאים את חלל הפרי. הגרעינים קטנים בתחילה ועגולים כל עוד יש להם מקום. אבל כשקרום הרימון מתקשה והגרעינים מתמלאים בעסיס הם מסתדרים ומתכווצים זה לצד זה כך שכל גרעין מתיישב בין שלושה גרעינים של השכבה הבאה. קפלר טוען שאם יושמו כדורים רכים באופן חופשי בתוך כלי שאחר כך יכווץ מכל עבריו אזי הכדורים יקבלו את צורת הדודקהדרון-המעוין. אם לעומת זאת הם יסודרו בזוויות ישרות וזה מעל זה אזי הלחץ יגרום להם לקבל צורת קוביות.

הרקע להשערה והוכחתה

את בעיית דחיסת הכדורים קיבל קפלר במהלך התכתבות שערך ב-1606 עם המתמטיקאי האנגלי תומאס הריוט, שבתורו עסק בשאלה שהציג לו וולטר ראלי בהקשר של מציאת הדרך היעילה ביותר לסדר כדורי תותח על סיפון הספינה. אחרי פרסום ההשערה על ידי קפלר ניסו רבים להוכיחה. בשנת 1831 הוכיח קרל פרידריך גאוס את ההשערה למקרים בהם הכדורים מסודרים בסריג סדור. אחרי גאוס לא הייתה עוד התקדמות במאה ה-19 וב-1900 דויד הילברט כלל את ההשערה כאחת מ-23 הבעיות הפתוחות במתמטיקה. בשנת 1953 הראה המתמטיקאי ההונגרי László Fejes Tóth שניתן להכריע את השאלה בעזרת מספר גדול אך סופי של חישובים. בשנת 1992 פתח תומאס קליסטר האלס (מאוניברסיטת מישיגן באותם ימים) בתוכנית מחקר שבה הראה בעזרת מחשב שכ-5000 סידורים מייצגים הם בעלי צפיפות שאינה גבוהה מהגבול של קפלר. ב-1998 הסתיימו החישובים, והוכחה הארוכה התקבלה על ידי ועדת מומחים ב"99%" ודאות. בשנת 2015 האלס שיפר את הפתרון כשפרסם הוכחה פורמלית שיכלה הפעם בעצמה לעבור בדיקת נכונות על ידי מחשב ובכך להסיר כל ספק בנכונותה.

סיום המאמר

קפלר ממשיך לסקור צורות נוספות בטבע כמו החלוקה המחומשת של הפרחים, הפירות, וגם תאי הזרעים בכמה צמחים. כאן הוא חושב שה"מניע נותן הצורה" (facultas formatrix) קשור איכשהו באסתטיקה. המחומש עצמו ניתן לבנייה בעזרת יחס הזהב הקשור גם הוא באסתטיקה ובצמחים. אך מה המניע לגבי פתית השלג המשושה? השלג נוצר מאדים המתקררים לפתיתים (בניגוד לקרח הנוצר ממים שקפאו). מדוע אבל פתיתי השלג הם שטוחים ולא בעלי נפח ככדורים? אולי כיוון שהמשושה הוא מישורי במהותו כיוון שהוא המצולע המשוכלל הראשון שאינו מרכיב לבדו פאונים תלת ממדיים? או מפני שהמאבק בין קור לחום מתרחש קודם כל במשטחים? בכל אופן כדי לכסות את המישור במשושים יש צורך שיהיו באותו גודל, והרי פתיתי השלג הם בגדלים שונים. מכאן שהם נוצרים לא בבת אחת אלא כהרכבה והרחבה של יחידות קטנות יותר. לסיום, לגבישים במכרות יש צורות שונות ולא רק משושות, מכאן שהמשושה לא הכרחי אלא מאפיין את החומר. אולי יש במים מעין מלח המתגבש במשושים? בנקודה זאת קפלר סוגר את הדיון ומעביר את השאלה אל הכימאים, ואל ידידו ווקאר.

ההסבר המודרני לצורה המשושה של פתיתי השלג

קפלר כאמור לא הגיע לפתרון מספק לשאלה שהגדיר. אף על פי שהבין שצורת הגביש נובעת מהרכבה והרחבה של צורות בסיסיות דומות, הוא לא תמך בתורה האטומית של החומר, ולמשל בפתיחת המאמר כשחיפש נושא "קרוב לאין" הוא פסל את האטום כיוון שהוא שווה ממש לאין ולא סתם קרוב אליו. בכל זאת, ההסבר המקובל כיום לצורת הגבישים, ופתיתי השלג ביניהם, הוא במבנה האטומי של המולקולות המרכיבות את הגביש. בקריסטלוגרפיה המערכת הגבישית ההקסגונלית (מיוונית הקסגון – משושה) או גם המערכת הגבישית המשושה היא אחת משבע המערכות הגבישיות. במקרה של מים H₂O שני אטומי המימן יוצרים זווית של כ-104.45° סביב גרעין החמצן. מולקולת מים היא קוטבית עם קטבים חיוביים באטומי המימן ושליליים בחמצן כך שמימן של מולקולת מים אחת נמשך לחמצן של מולקולה שכנה (קשר מימן). סידור יציב מתקבל כששישיית מולקולות נקשרות בקשרי מימן זו לזו במעגל (כלומר במשושה) כמו גם למולקולות מים שכנות. פתית השלג נוצר מהצטברות של עוד ועוד מולקולות מים סביב הגרעין המשושה המקורי. ההסתברות של מולקולות להצטבר בפינות גדולה מאשר בשאר האזורים. הצורה שבה המולקולות הנוספות מצטברות תלויה בתנאי מזג אוויר מקומיים. למשל, ב.ג. מייסון מראה אילו סוגי משושים מתקבלים בכל תחום טמפרטורות. תנאי מזג האוויר זהים בכל פינות הגביש ולכן צורתן זהה. הפתיתים אבל שונים זה מזה ועדיין אין הסבר מלא לצורתם.