נקודות קרדינליות

מידול מערכות אופטיות בתור טרנספורמציות מתמטיות

באופטיקה גאומטרית כל קרן שנכנסת למערכת תהיה נקודת יציאה יחידה ובודדת. במונחים מתמטיים, מערכת אופטית מעברת העתקה שמעבירה כל קרן מהעצם לקרן בדמות. קרן מהעצם וקרן מהדמות המתאימה לה נקראים צמודים; ניתן לומר שקרן הדמות היא צמודה לקרן המתאימה בעצם או להפך. ניתן להשתמש במונח זה עבור זוגות של נקודות ומישורים בעצם ובדמות.

מרחבים אופטיים

מרחבים אופטיים מאפשרים מידול של מערכות אופטיות כהעתקות מתמטיות. מרחב אופטי הוא מרחב קואורדינטות מתמטי כגון מערכת קרטזית שקשורה למקדם השבירה. הניתוח של מערכת אופטית הוא נעשה פשוט יותר על ידי שימוש במרחבים אופטיים שמאפשרים למתכננים למקם את הראשית של מערכת הצירים בכמה מקומות נוחים. בתכנון של מערכת אופטית בעלת שני ממדים אופטיים, מרחב העצם ומרחב הדמות תמיד בשימוש. בנוסף מרחבים אמצעיים נמצאים בשימוש לעיתים קרובות.
ניתן להרחיב מרחבים אופטיים לאינסוף בכל הכיוונים. מרחב העצם לא נמצא רק בצד הכניסה של המערכת, וכן מרחב הדמות אינו נמצא רק במוצא של המערכת. כל המרחבים האופטיים חופפים לחלוטין. בדרך כלל, המקור ולפחות חלק מהקורדינטות על הצירים של כל מרחב שונות. זה אולי לא יהיה אפשרי להבחין בציור לאיזה מרחה שייכת כל נקודה, קרן או מישור אלא אם כן איזו מוסכמה מונהגת. מוסכמה נפוצה משתמשת באותיות גדולות כדי לסמן נקודות, ואותיות קטנות כדי לציין מרחקים. 
מסמנים בעזרת אות זהה את הצמוד בין עבור מרחקים ובין עבור נקודות. יוצאת הדופן היחידה היא האות F ו'F שמסמנות בהתאמה את מוקד העצם ומוקד הדמות (שאינם צמודים). הביטוי "נקודת עצם" לא מתייחס בהכרח לנקודה ספציפית בעצם אלא לנקודה במרחב העצם, וכן לגבי "נקודת דמות".
אפשר לתהות כיצד נקודת עצם יכולה להיות בצד היציאה של מערכת אופטית או לחלופין כיצד נקודת דמות יכולה להיות ממוקמת בצד הכניסה של מערכת אופטית. התשובה לשאלות אלו היא שנקודות אלו הם וירטואליות. מרחבים אופטיים מחולקים לחלק ממשי וחלק מדומה. לכן, נקודת עצם ביציאה מהמערכת היא החלק המדומה של מרחב העצם ונחשבת כנקודת עצם מדומה. נקודת עצם בצד הכניסה נמצאים בחלק הממשי של מרחב העצם והם נקודות ממשיות. אותו המצב קיים גם ביחס לנקודות הדמות.
זהו מנהג נפוץ לקבוע את הציר האופקי של המרחב האופטי כציר Z עם הכיון החיובי מימין לשמאל. באופן דומה, ציר הY הוא הציר האנכי כלפי מעלה כחיובי.

הסבר מפורט

הנקודות הקרדינליות ממוקמות על הציר האופטי של המערכת האופטית. כל נקודה מוגדרת על ידי השפעה של המערכת אופטית על קרניים העוברות בנקודה זו, על-פי הקירוב הפרקסיאלי. הקירוב הפרקסיאלי מניח שכל הקרניים נעות בזווית קטנה ביחס לציר האופטי, כך ו  וכן  השפעות הצמצם מוזנחות. קרניים שאינן עוברות את הצמצם של המערכת אינן מחושבות בדיון להלן.

מישור המוקד

לנקודת המוקד הקדמית של מערכת אופטית, מעצם הגדרתה, יש את התכונה שכל קרן שעוברת דרכה תצא במקביל לציר המערכת האופטית. נקודת המוקד האחורית של המערכת מתאפיינת להפך: קרניים שנכנסות למערכת במקביל לציר האופטי ממוקדות כך שהם עוברים דרך נקודת המוקד האחורי.
מישורי המוקד הקדמי והאחורי מוגדרים כמישורים שניצבים לציר האופטי שעוברים דרך נקודות המוקד הקדמי והאחורי בהתאמה. עצם שמגיע מהאינסוף ביחס למערכת האופטית יוצר דמות במישור המוקד האחורי. עבור עצמים במרחק סופי, הדמות נוצרת בכל מיקום אחר, אולם קרניים שיוצאות במקביל מהמערכת יחצו את מישור המוקד האחורי.
הדיאפרגמה או "צמצם" במישור המוקד האחורי מאפשרים לסנן לפי קרניים ע"פ הזווית, שכן:
זה מאפשר מעבר רק לקרניים שחולפים בזווית (יחסית לציר האופטי) קטנה מספיק. (צמצם קטן באופן אינפיטיסימלי מאפשר רק לקרניים המקבילות לציר האופטי לעבור.)
לא משנה מהיכן הקרן בעצם מגיעה, הקרן תעבור את המפתח, כל עוד הזווית שבה הוא פוגע מספיק קטנה.
ראוי לציין, כי חובה למקם את הצמצם במרכז הציר אופטי על מנת שהנאמר לעיל יתקיים. שימוש בצמצם קטן מספיק במישור המוקד יהפוך את העדשה לעדשה טלנטית.
באותו אופן, ניתן לסנן את טווח הזויות המותרות במוצא של העדשה על ידי הצבת צמצם במישור המוקד הקדמי של העדשה (או קבוצת עדשות בתוך המכלול). דבר זה חשוב עבור מצלמת רפלקס בעלי חיישני CCD. הפיקסלים בחיישנים אלו רגישים יותר לקרניים שפוגעים בהם בזווית ישרה מאשר אלה שפוגעים בזווית. עדשה שלא תשלוט בזווית הפגיעה של הגלאי יגרמו להאפלה של פיקסלים בדמות.

נקודות ומישורים עיקריים

לשני המישורים העיקריים יש את התכונה שקרן הנכנסת למערכת חוצה את המישור העיקרי האחורי באותו מרחק מהציר שהקרן חצתה את המישור העיקרי הקדמי, כפי שנראה מחלקה הקדמי של העדשה. משמעות הדבר היא כי ניתן להתייחס כאילו כל השבירות התרחשו במישורים העיקריים. המישורים העיקריים הם בעלי חשיבות קריטית בקביעת התכונות האופטיות של המערכת, שכן המרחק של העצם והדמות מן המישורים העיקריים הקדמי והאחורי קובעים את ההגדלה של המערכת. הנקודות העיקריות הן הנקודות שבהן המישורים העיקריים חוצים את הציר האופטי.
אם לתווך המקיף את המערכת האופטית יש מקדם השבירה של 1 (למשל, אוויר או ואקום), אז המרחק בין המישורים העיקריים לבין נקודות המוקד המתאימות הוא אורך המוקד של המערכת. באופן כללי, המרחק למוקד הוא אורך המוקד מוכפל במדד השבירה של התווך.
עבור עדשה דקה באוויר, המישורים העיקריים נמצאים על העדשה. לנקודה שבה הם חוצים את הציר אופטי הנקרא לפעמים בטעות המרכז האופטי של העדשה. שים לב, כי עבור עדשה אמיתית המישורים העיקריים לא בהכרח עוברים דרך מרכז העדשה, ובאופן כללי ייתכן ולא יהיו כלל בתוך העדשה.

קודקודי המשטחים

קודקודי המשטחים הם הנקודות שבו כל מישור חוצה את הציר האופטי. הם חשובים בעיקר משום שהם פרמטרים מדידים פיזית למיקום אלמנטים אופטיים, וכן מיקומם של הנקודות הקרדינליות האחרות חייב להיות ידוע ביחס לקודקודים כדי לתאר את מערכת פיזית.