שבר משולב

היסטוריה

נטען שכבר ארכימדס עשה שימוש בשיטת השברים המשולבים, במסגרת עבודתו על שיטה לחישוב , שבמהלכה היה צריך לבצע קירובים רציונליים לשורשים ריבועיים של מספרים שאינם ריבועים (ראו גם "על המדידה של המעגל"). מאוחר יותר, גם אריהאבטה ולאונרדו פיבונאצ'י חקרו את השימוש בשברים משולבים. המונח "שבר משולב" נטבע ב-1653 על ידי ג'ון ואליס בחיבורו "Arithmetica infinitorum". בערך באותו זמן, המדען ההולנדי המפורסם כריסטיאן הויגנס  עשה שימוש פרקטי ראשון בשברים משולבים, כשהשתמש בהם לצורך בניית מכשירים מדעיים המורכבים מגלגלי שיניים.
את הטיפול השיטתי הראשון בשברים משולבים סיפק לאונרד אוילר במאמריו De fractionibus continuis dissertatio ו- Introductio in analysin infinitorum, בהם ניתח באופן מעמיק את התכונות של שברים משולבים, הוכיח שכל מספר רציונלי ניתן להצגה כשבר משולב סופי, הוכיח את השקילות של טורים אינסופיים מסוימים עם שברים משולבים (נוסחת אוילר לשברים משולבים), ומצא הצגה של הקבוע המתמטי e כשבר משולב אינסופי, ממנה נבע ש-e הוא אי רציונלי. הוא גם עשה שימוש בהם לצורך פתרון משוואת פל. ב-1761, יוהאן היינריך למברט סיפק את ההוכחה הראשונה ש- אי רציונלי באמצעות הצגה של  כשבר משולב. ההוכחה שלו הייתה חריגה בנוף המתמטי של התקופה כיוון שלא רק שהפיתוח לשבר משולב נרשם נכונה לראשונה, אלא שלמברט גם נתן הוכחה של ההתכנסות שלו.
ב-1813, קרל פרידריך גאוס גזר תבנית כללית ביותר של שברים משולבים עם ערכים מרוכבים באמצעות זהות שקשרה בינם לטור ההיפרגאומטרי. גאוס גם חקר לפני כן, ב-1800, את ההתנהגות של שברים משולבים של מספרים ממשיים אקראים וניסח והוכיח מספר חוקים לגבי ההתנהגות שלהם. רק ב-1928, Kuzmin בנה מחדש את ההוכחה של גאוס.

סימונים והכללות

לשם הקיצור, מקובל לסמן את השבר המשולב המופיע במבוא בסימון . שבר כזה, שבו כל המונים שווים ל-1, קרוי לפעמים שבר משולב פשוט, בעוד ששבר משולב מוכלל הוא ביטוי כללי יותר, מן הצורה . שברים משולבים כאלה כותבים לפעמים כ- .

הצגה של מספרים ממשיים

הדיון לעיל מראה שאם המספרים  טבעיים, אז הביטוי  הוא תמיד מספר ממשי מוגדר היטב (דהיינו, סדרת המספרים  מתכנסת). מן האלגוריתם של אוקלידס (או באינדוקציה) נובע שלכל מספר רציונלי יש הצגה כשבר משולב סופי. מאידך, אפשר להוכיח שלכל מספר ממשי שאינו רציונלי קיימת הצגה (יחידה) כשבר משולב אינסופי.
את ההצגה של x כשבר משולב אפשר לחשב על ידי הגדרת סדרת עזר, באופן הבא: , ולכל , מגדירים  (החלק השלם) ו- . השבר המשולב  שווה במקרה זה ל- x.
משפט. ההצגה של מספר ממשי כשבר משולב היא מחזורית, אם ורק אם המספר הוא שורש למשוואה ריבועית בעלת מקדמים שלמים.
לדוגמה, השבר המשולב  מייצג את יחס הזהב , משום שלפי ההגדרה . בדומה לזה, , כי מ-  מתקבלת המשוואה . הפיתוח של  לשבר משולב מחזורי מאפשר לפתור את משוואת פל .
ישנם מספרים אי-רציונליים יוצאי דופן, עבורם הייצוג כשבר משולב ידוע, אף על פי שאינו מחזורי. למשל, עבור הקבוע  ניתן להוכיח כי . אם נתיר לחבר אפסים במכנה, נקבל את הייצוג  (שכן ) בו החוקיות יותר ניכרת.

התנהגות כמעט תמיד

כאשר מתאימים מספר ממשי x לפיתוח , אפשר לבחון את התנהגות הסדרה  עבור ערכים שונים של x. למשל, ידוע שכמעט לכל x, הסדרה אינה חסומה; ליתר דיוק, קבוצת הערכים  שעבורם הסדרה חסומה היא קבוצה ממידה אפס. המתמטיקאי הרוסי אלכסנדר חינצ'ין (Александр Хинчин) הוכיח בספרו תוצאות רבות מסוג זה, העוסקות בערכים  ו-  המתקבלים מהצגת מספר ממשי שנבחר באקראי (בין היתר עשה התקדמות אל הוכחה של השערה מיומנו של גאוס). להלן כמה מן המשפטים החשובים שהוכיח חינצ'ין.
משפט. תהי  סדרה כלשהי. אם הטור  מתבדר, אז כמעט תמיד מתקיים אי-השוויון  עבור אינסוף ערכי n; ואם הטור מתכנס, אז כמעט תמיד מתקיים אי-שוויון זה רק עבור מספר סופי של ערכי n.
(לדוגמה, כמעט לכל x הסדרה  אינה חסומה).
משפט. כמעט לכל x, מתקיים . בפרט, הסדרה  גדלה במהירות אקספוננציאלית (למעשה, קל לראות מן ההגדרה שהסדרה גדלה מהר לפחות כמו סדרת פיבונאצ'י).
חינצ'ין חקר גם את ההתפלגות של המקדמים  (עבור x בעל התפלגות אחידה בקטע (0,1)), והראה שלכל פונקציה f שאינה גדלה מהר מדי ( עבור קבוע מתאים C ו- ), הערך הממוצע  של המספרים  שווה, בהסתברות 1, ל- . בפרט, שכיחות ההופעה של קבוע N בסדרה היא . תוצאה זו מכלילה את מידת גאוס, שהיא המידה על קטע היחידה האינווריאנטית להעתקה .