תוכנית לנגלנדס

תוכנית לנגלנדס היא מארג של משפטים והשערות מרחיקות לכת המקשרות תחומים מרכזיים בתורת המספרים האלגברית ובתורת ההצגות. את התוכנית הציע רוברט לנגלנדס ב-1967, במכתב לאנדרה וייל, והיא מהווה מסגרת לחלק נכבד מן המחקר המודרני בתורת המספרים. על יצירת התוכנית זכה רוברט לנגלנדס בפרס וולף למתמטיקה ב-1996, בפרס נמרס למתמטיקה ב-2006 ואף בפרס אבל היוקרתי למתמטיקה ב-2018. 
הרעיון המרכזי של תוכנית לנגלנדס הוא לשייך יצירים אנליטיים (פונקציות L, שכמו אחותן המוכרת פונקציית זטא של רימן, הן טורי דיריכלה עם מכפלת אוילר מתאימה), לעצמים האלגבריים שאותם חוקרים.

חבורת גלואה האבסולוטית

התוכנית סובבת סביב חבורות גלואה האבסולוטיות של השדות ה"אריתמטיים": השדות המקומיים והשדות הגלובליים. חבורת גלואה האבסולוטית  של שדה  מקודדת בתוכה את כל ההרחבות הסופיות של , וקושרת את המושגים הבסיסיים של תורת המספרים: אידיאלים ראשוניים, הערכות, פונקציות L, תבניות מודולריות, ועוד. לכל אלה יש מבנה פנימי חבוי, הנחשף כאשר מתבוננים בהם מנקודת המבט של חבורת גלואה האבסולוטית.
אחת המטרות של תורת המספרים המודרנית, ואפשר שהמרכזית שבהן, היא להבין את המבנה של חבורות גלואה האבסולוטיות. אלו חבורות פרו-סופיות, ולכן אפשר לפענח אותן באופן מלא דרך ההצגות מממד סופי - ההומומורפיזמים . אם  הוא שדה מספרים, אפשר להצמיד לכל הצגה כזו פונקציית L של ארטין, , כאשר s הוא משתנה מרוכב.

תורת שדות המחלקה

ההישג העיקרי של תורת שדות המחלקה, שייסד הילברט, הוא התיאור של המנה האבלית המקסימלית של חבורת גלואה האבסולוטית - האבליזציה שלה,  (כאשר  היא תת-חבורת הקומוטטורים של ). מסמנים ב- את "הסגור האבלי" של : זהו השדה הגדול ביותר שחבורת גלואה שלו מעל  היא אבלית; כך יוצא שחבורת גלואה של ההרחבה  היא האבליזציה של .
אם  שדה מקומי, חבורת גלואה  איזומורפית באופן קנוני להשלמה הפרו-סופית של החבורה הכפלית . אם  שדה גלובלי, חבורת גלואה של הסגור האבלי איזומורפית ל-, כאשר  הוא חוג האדלים של  (החוג הזה אורז יחד את כל ההשלמות  של השדה k).

פונקציות L

כנקודת המוצא של התוכנית אפשר לראות את חוק ההדדיות של אמיל ארטין, המכליל את חוק ההדדיות של גאוס על שאריות ריבועיות. החוק של ארטין חל על הרחבות גלואה אבליות של שדות מספרים, ומתאים פונקציות מיוחדות הנקראת "פונקציות L של ארטין" להצגות חד-ממדיות של חבורת גלואה של ההרחבה. בנוסף לזה, החוק מציג התאמה בין פונקציות L אלה, לפונקציות L אחרות הקרויות "פונקציות L של דיריכלה".
ההתאמה של ארטין עוסקת, כאמור, דווקא בהרחבות עם חבורת גלואה אבלית. עם זאת, את פונקציות ה-L של ארטין אפשר להגדיר גם כאשר החבורה אינה אבלית, לכל הצגה אי-פריקה של החבורה.
באותו אופן, להצגות אוטומורפיות  של , מתאימות פונקציות L משלהן, ; בזכות הפירוק של פונקציות אלה למרכיבים מקומיים (המתאימים להשלמות של k לשדות מקומיים), התכונות האנליטיות שלהן מובנות היטב.

הצגות אוטומורפיות

הרעיון המרכזי שהציע לנגלדס הוא למצוא את ההכללה המתאימה לפונקציות L של דיריכלה, באופן שאפשר יהיה להשוות אותן לפונקציות L של ארטין לכל הרחבת גלואה, לאו דווקא אבלית.
זמן רב קודם לכן, הצליח אריך הקה לשייך פונקציית L של דיריכלה לכל תבנית אוטומורפית (שהיא פונקציה חלקה על חצי המישור העליון, המקיימת משוואות פונקציונליות מסוימות). לנגלנדס הכליל את הבניה הזו להצגות אוטומורפיות קספידליות, שהן הצגות אי-פריקות מסוימות מממד אינסופי של החבורה הליניארית הכללית  מעל חוג האדלים  של הרציונליים.
לנגלנדס הצמיד פונקציות L להצגות האוטומורפיות האלה, ושיער שכל פונקציית L של ארטין המתאימה להצגה מממד סופי של חבורת גלואה האבסולוטית של שדה מספרים - שווה לפונקציית L המתאימה להצגה אוטומורפית קספידלית. זוהי "השערת ההיפוך" של לנגלנדס.

התאמת לנגלנדס

התיאור שניתן לעיל לחבורת המנה האבלית המקסימלית  שקול להבנת ההצגות האבליות של החבורה  עצמה, כלומר, ההצגות החד-ממדיות שלה. לנגלנדס הציע את ההמשך הטבעי לגישה זו, היינו, ניסיון לתאר את ההצגות ה-n ממדיות, עבור . באופן תמציתי ולא מדויק, השערות לנגלנדס מציעות התאמה טבעית בין ההצגות ה-n-ממדיות של  לבין הצגות אוטומורפיות (מממד אינסופי) של החבורה הליניארית הכללית  במקרה המקומי, ושל  במקרה הגלובלי. בנוסף לכך, ההתאמה אמורה לשמור על פונקציות L, דהיינו (על-פי ההשערה), פונקציית L המתאימה להצגה של חבורה גלואה, תהיה שווה לפונקציית L המתאימה להצגות האדליות של החבורה הליניארית הכללית. 
מבין פונקציות L האחרונות, כל אלו המוכרות למתמטיקאים נבנות כטרנספורמי מלין של תבניות מודולריות, המתארות אספקט מסוים של קוהומולוגיית דה-רם של מרחבים מודולריים מסוימים; באותה עת, הצגות גלואה מקודדות את ה-etale cohomology של אותם מרחבים.
במקרה החד-ממדי, n=1, תיאור זה הוא הבסיס לגישה האנליטית אל תורת שדות המחלקה, הידועה בשם "התזה של טייט". לכן אפשר לראות בהתאמת לנגלנדס, מחד, תורת שדות מחלקה לא אבלית, ומאידך, פרמטריזציה אריתמטית של הצגות אדמיסיביליות (במקרה המקומי) או אוטומורפיות (במקרה הגלובלי).

חבורת וייל-דלין

נניח ש-F הוא שדה מקומי. בהמשך לתיאור הקודם על ההצגות המרוכבות של , כלומר, ההומומורפיזמים , אפשר ללמוד את החבורה גם דרך הצגות אל הסגור האלגברי של שדה המספרים ה--אדיים, כאשר  שונה מן המאפיין של שדה השאריות של F. לצורך כך הציג אנדרה וייל חבורה  עם הומומורפיזם  שיש לו תמונה צפופה, ובאופן כזה כל הצגה (רציפה) של  היא גם הצגה של . כדי להתאים את התמונה גם להתנהגות של שדות מקומיים ארכימדיים, פייר דלין (Pierre Deligne) הגדיר את "חבורת וייל-דלין" , שחבורת וייל היא חבורת מנה שלה. 
השערת לנגלנדס המקומית עוסקת בהצגות של .

מעמדה של ההשערה המקומית

מאז הועלתה על ידי לנגלנדס ב-1970, נפתרה השערה זו לחלוטין.
את המקרה הראשון, הקל ביותר, פתר לנגלנדס עצמו ב-1973. מדובר בשדות המקומיים הארכימדיים, שדה הממשיים  ושדה המספרים המרוכבים , שעבורם חבורת גלואה האבסולוטית היא מסדר 1 או 2. במקרה זה צד אחד של השקילות (זה העוסק בהצגות של חבורת גלואה האבסולוטית) מובן לחלוטין, והבעיה הייתה להוכיח שהצד השני שלה מתנהג בהתאם. 
את המקרה של שדות לא ארכימדיים במאפיין חיובי פתרו ז'ראר לומון , אולריך שטולר  ומיכאל רפפורט  בראשית שנות ה-90, ואת המקרה הנותר, של שדות לא ארכימדיים במאפיין 0, פתרו מייקל האריס  וריצ'רד טיילור בשנת 2001; גי אניאר  פתר את המקרה בצורה שונה בשנת 2000.

ההשערה הגלובלית

ההשערה הגלובלית עוסקת, כאמור, בהתאמה בין הצגות של , כאשר k שדה גלובלי, לבין הצגות אוטומורפיות של חבורת המטריצות . פייר דלין זכה במדליית פילדס לשנת 1978 עבור פתרון חלקי של ההשערה עבור החבורה  עבור שדות גלובליים ממאפיין אפס, שכלל את פענוח ההצגות של חבורה זו באופן שיישב את השערת רמנוג'ן. ולדימיר דרינפלד הוכיח חלקים מן ההשערה עבור החבורה  עבור שדות גלובליים ממאפיין חיובי, וזכה במדליית פילדס לשנת 1990. הרחבה משמעותית של עבודה זו, לכל החבורות  (במאפיין חיובי), זיכתה את לורן לפורג (Laurent Lafforgue) במדליית פילדס לשנת 2002.

עקרון הפונקטוריאליות

בתורת החבורות האלגבריות מבינים את החבורות הליניאריות  כמקרים פרטיים של התאוריה הכללית של חבורות רדוקטיביות, ותוכנית לנגלנדס לוקחת נקודת מבט זו בחשבון. לכל חבורה רדוקטיבית קשירה G, לנגלנדס הצמיד את חבורת לנגלנדס . לנגלנדס מצא דרך להתאים לכל הצגה קספידלית אוטומורפית של G ולכל הצגה סוף-ממדית של , פונקציית L. על-פי ההשערה, פונקציות L אלה מקיימות משוואה פונקציונלית, המכלילה את אלו המוכרות מפונקציות L אחרות.
"עקרון הפונקטוריאליות" משדך את פונקציות L של החבורות הרדוקטיביות השונות. בהינתן שתי חבורות רדוקטיביות  ומורפיזם בין חבורות ה-L שלהן, ההשערה מתאימה בין ההצגות האוטומורפיות של שתי החבורות, בדרך המתיישבת עם פונקציות L המתאימות להן. זוהי השערה חזקה מאד, שממנה נובעות כל האחרות שהוצגו עד כאן. מטבען של ההצגות המושרות. ניסיונות להציע בנייה ישירה של הפונקטור הניבו עד כה רק תוצאות חלקיות ומותנות.

רקע היסטורי

תוכנית לנגלנדס לא צמחה בחלל ריק. בדיעבד, אפשר לזהות לה מקורות השראה אפשריים אחדים. 
אחד מאלה הוא הצעתם של המתמטיקאים האריש-צ'נדרה וישראל גלפנד שאפשר לבנות הצגות של חבורות לי באינדוקציה מהצגות קאספידליות של תת-חבורות פרבוליות, ברוח עבודותיו של האריש-צ'נדרה על חבורות לי פשוטות למחצה. מקור אחר הוא נוסחאות העקבה של סלברג ואחרים.
החידוש הגדול בתוכנית של לנגלנדס, מלבד העומק הטכני, הוא ההצעה לקשר ישיר בין תורת ההצגות לתורת המספרים, יחד עם ארגון עשיר בפרטים של ההשערות (ה"פונקטוריאליות"). 
לדוגמה, בעבודות של האריש-צ'נדרה אפשר למצוא את העיקרון שלפיו טכניקה שהצליחה עבור חבורת לי פשוטה למחצה (או אף חבורה רדוקטיבית) אחת, אמורה להצליח לכולן. לפיכך, ברגע שהובן התפקיד שממלאות כמה חבורות לי מדרגה נמוכה, כמו , בתאוריה של תבניות מודולריות (ובדיעבד אפשר לראות ב- את המקרה של תורת שדות המחלקה), הדרך הייתה פתוחה לפחות לשער כיצד נכנסת לתאוריה  ל-n כללי. 
הרעיון לבנות על תבניות חוד (cusp forms) הגיע מן התבניות האלה בעקומים מודולריים, אבל היה להן תפקיד מוחשי גם בתורה הספקטרלית, בתור "ספקטרום בדיד" של מרחב ההצגות, בהשוואה לספקטרום הרציף שאותו מסבירות סדרות אייזנשטיין. עבור חבורות לי מדרגה גבוהה יותר, המיון נעשה הרבה יותר מורכב, משום שיש יותר תת-חבורות פרבוליות שצריך לקחת בחשבון.
בכל הגישות האלה לא היה מחסור בשיטות טכניות, בדרך כלל אינדוקטיביות באופיין ומבוססות על פירוק לוי של חבורות לי, למשל, אבל התחום בכללו היה מאז ומעולם קשה ביותר, והוא עדיין נחשב לכזה.
בתבניות המודולריות אפשר לראות הכללות של התבניות המודולריות של הילברט, התבניות המודולריות של זיגל, ואף פונקציות תטא.

התוכנית הגאומטרית

"תוכנית לנגלנדס הגאומטרית", שהוצעה על ידי ז'ראר לומון בעקבות רעיונות של ולדימיר דרינפלד, עולה מניסוח גאומטרי של תוכנית לנגלנדס המקורית, האלגברית. במקרים פשוטים, היא מקשרת את ההצגות ה--אדיות של "חבורה יסודית etale-ית" של עקום אלגברי, לאובייקטים של הקטגוריה הנגזרת של אלומות -אדיות על ה-moduli stack של אגדים וקטוריים של היריעה. 
מדליית פילדס הוענקה ב-2010 לנגו באו צ'או על הוכחת "הלמה היסודית" של תוכנית לנגלנדס הגאומטרית.