פרדוקס השקרן

בפילוסופיה ובלוגיקה, פרדוקס השקרן הוא פרדוקס המיוצג במשפטים "אני משקר עכשיו" או  "המשפט הזה הוא שקר" ודומים להם, המכילים התייחסות עצמית המובילה לסתירה פנימית, שאינה מאפשרת לקבוע האם המשפט הוא אמת או שקר.
אם הטענה "טענה זו היא שקרית" היא אמיתית, אז אמיתות זו פירושה שהטענה נכונה, והיא שקרית; ואם היא שקרית, שקריות זו פירושה שהטענה אינה נכונה, ולכן הטענה אמיתית. מהפרדוקס לא ניתן להימנע על ידי איסור פשוט על התייחסות המשפט לעצמו, משום שקל לבנות גם מעגלים לוגיים המביאים לסתירה, כגון צמד המשפטים "המשפט הבא הוא אמת. המשפט הקודם הוא שקר".
מפסוקים כגון זה שמביע פרדוקס השקרן נובע שלא לכל משפט תקני בשפה הטבעית אפשר לשייך ערך אמת.

פרדוקס אפימנידס

באיגרת אל טיטוס, המהווה אחד מספרי הברית החדשה - חלק מכתבי הקודש הנוצריים מסופר על השליח טיטוס, שנשלח על ידי פאולוס אל האי כרתים, כדי להפיץ את הנצרות בקרב הכופרים. משימתו של טיטוס הייתה קשה, כיוון שאנשי כרתים סבלו מפגמים מוסריים. על-פי הכתוב, הזהיר פאולוס את טיטוס ואמר: "וכבר אמר אחד מהם, נביאם אשר בתוכם, בני כרתים כזבים הם מעולם וחיות רעות וכרשים עצלים. והעדות הזאת אמת היא..." (אגרת פאולוס אל טיטוס א', 12-13)
סיפור זה, הידוע יותר בשמו פרדוקס השקרן (או פרדוקס אפימנידס, על שם הפילוסוף הכרתי אפימנידס מקנוסוס), התפרסם במשך הדורות בגרסאות ובגלגולים שונים, והטריד את מנוחתם של רבים. מה יש בו, בסיפור, שעושה אותו לפרדוקסלי?
האיש מכרתים מספר לנו: "כל אנשי כרתים שקרנים (כזבים)". אם האיש מכרתים דובר אמת, וכל אנשי כרתים אכן שקרנים - משמע שגם הדובר (ככל אנשי כרתים) - משקר. ואם הוא שקרן (ככל אנשי כרתים), גם טענתו שכל אנשים כרתים שקרנים (משקרים תמיד) - היא שקר. ואם זה שקר (כלומר - אין זה נכון שכל אנשי כרתים שקרנים), הרי יש ביניהם גם דוברי אמת. ברור שאין זה האיש מכרתים, גיבור סיפורנו, שהסתירה בדבריו מוכיחה שהוא משקר. משפט שיש בו סתירה אינו פרדוקס, אך קל לחדד אותו לניסוח שיש בו פרדוקס, וזו הגרסה המודרנית של פרדוקס השקרן, שהיא המשפט: "מה שאני אומר עכשיו הוא שקר!" האם טענה זו היא אמת או שקר?
אם מה שאני אומר הוא אמת, ואני אומר שאני משקר - אזי מה שאני אומר הוא שקר.
ואם מה שאני אומר הוא שקר - אזי אני משקר, כשאני טוען שאני אומר שקר, או, במילים אחרות: אני דובר אמת. הנחת השקר מובילה לאמת, והנחת האמת - לשקר.

משפטים עם התייחסות עצמית

אפשר לטעון שהפרדוקס במשפט זה נובע מכך שמדובר במשפט יחיד המתייחס אל עצמו, ומשפטים כאלה מועדים לפורענות. קל לתקן עניין זה באמצעות צמד משפטים: "המשפט הבא הוא שקר. המשפט הקודם הוא אמת". אך גם במקרה זה הפרדוקס יתקיים. המושגים המשפט הבא והמשפט הקודם מצביעים [denote] אל עבר טענה אחרת, המתייחסת לטענה הראשונה וכוללת את הטענה בתוכם. בלא הצבעה [denoting], המשפטים ייראו כך: "המשפט אשר טוען שמשפט זה הוא אמת הוא שקר. המשפט אשר טוען שמשפט זה הוא שקר הוא אמת". ההתייחסות העצמית נותרת.
לפרדוקס השקרן יש וריאציות רבות, וכמעט כל פרדוקס שסיבתו הפניה-עצמית מבוסס עליו. לדוגמה, "במשפת זה יש שלוש שגיעות!" - במשפט יש שתי שגיאות כתיב (במלים "משפת" ו"שגיעות"); אבל אם המשפט נכון, אלו הן שתי השגיאות היחידות, ולכן המשפט אינו נכון. ואם אינו נכון, אז הוא עצמו מהווה שגיאה שלישית, ולכן המשפט נכון. אך במשפט זה חוסר המיקוד בשפה הוא גורם הפרדוקס, שאם נמקד את המשפט בשפה שמחלקת שבין שגיאות כתיב לשאר דברים לא נכונים יבוטל הפרדוקס, כגון "במשפת זה יש שלוש שגיעות כתיב", שהוא משפט שאינו נכון ללא כל פרדוקס.

מיקוד הפרדוקס ופתרונו

יש הרואים את הבעיה בפרדוקס בכך שהמילה "זה" לא מוגדרת בו היטב. המילה "זה", היא מאזכר, ומכיוון שהיא מתייחס לאותו משפט, משמעות המשפט היא למעשה "המשפט 'המשפט הזה הוא שקר' הוא שקר", ולפיכך "המשפט 'המשפט "המשפט הזה הוא שקר" הוא משפט שקר' הוא משפט שקר", וכן הלאה עד אינסוף.
יש הטוענים כי הפרדוקס "לא קיים במציאות", אלא קיים אך ורק באופן הצגת הדברים, ובדומה לפרדוקס של זנון בה אין מונע אמיתי מאכילס לחלוף על פני הצב, כך כאן אין מונע אמיתי מהבנת הפסוק באופן חד ערכי, ועל פיו לקבוע את אמיתות או שקריות המשפט. 
על מנת להבין סוג פתרון זה ניתן להראות משפט "כמעט" פרדוקסלי, ולפתור באופן דומה את הפרדוקס. לדוגמה: ראובן טוען בבוקרו של יום, שבמקום בו הוא עומד כעת חצות לילה. לא נוכל לקבל את טענתו, כי אנו יודעים שהיא שקרית, "ואילו ניסינו לקבל את דבריו כאמת" היינו נתקלים במידע הקובע שאין לקבל את טענתו. לעומת זאת, כשנבוא לדחות את דבריו, אין סתירה בין החלטתינו ובין הפסוק שנדחה, שכן הוא נדחה, ואין מה לעיין בדבריו. 
מקרה יותר קרוב לפרדוקסלי הוא כאשר שמעון טוען שהוא משקר תמיד. לא נוכל לקבל את טענתו, ונקבע שהוא משקר לעיתים - בטענת ממה נפשך: אנו חייבים לדחות את דבריו, שכן אם נרצה לקבל אותם, אנו מניחים כי טענתו היא אמת, טענה הסותרת את טענתנו.  וכאשר אנו באים לדחות את דבריו, דחיית דבריו הפעם תקֵיפה, כי ייתכן שלעיתים שמעון משקר, אך לא תמיד כדבריו. 
לאור התבוננות זו, ובאופן דומה, אם נביט בפסוק: משפט זה הוא שקר - ובמידה שיש לפסוק כזה משמעות יותר מאשר לפסוק: משפט זה הוא מלפפון כחול - עלינו לשלול את הטענה של הפסוק, בטענת ממה נפשך: אנו חייבים לדחות את דברי התוכן של המשפט, כי תוכנו סותר את אמיתות הפסוק עצמו. אבל כאשר אנו באים לקבוע את דחיית תוכן הפסוק לקבוע שהפסוק אינו בעל "אמת" אנו קובעים שהוא - והפעם אנו מדברים על הפסוק ולא על תוכנו, נדחה בלא סתירה, מכיוון שבשקר יש מידה מסוימת של אמת, אבל לא כולה אמת. כלומר אמת, היא רק אמת מוחלטת, אבל שקר הוא כל מה שאינו אמת מוחלטת, ויכול להכיל גם חלקים שהם אמת. בדרך זו, על פי ההבנה האנושית (הסמנטיקה), גם מבחן רב-ברירתי שבו אחת האפשרויות היא אף תשובה אינה נכונה - אינה פרדוקסלית, מכיוון שברור לעונה על השאלון (אלא אם הוא או היא מעוניינים לקבל ציון נמוך) שכוונת השואל או הבוחנת אינה כוללת את התשובה הזו עצמה.  
לחלופין, דרך נוספת לדחות את המשפט היא לקבוע שהפסוק הוא "אינו אמת" בבחינת חוסר המשמעות שלו. באופן זה בדומה לדוגמה עם שמעון וחצות לילה - אין צורך להתבונן בתוכן המשפט מרגע שדחינו אותו, מכיוון שאין לו משמעות, ומשמעות זו הייתה מושגת רק אם הטענה הייתה מתייחסת למשהו שאפשר לאמת או להכחיש.
אם נחזור לדוגמה הראשונה בערך זה, בו אדם אומר: אני משקר עכשיו, ניתן לאמת את דבריו ולהגיד: נכון, אתה משקר עכשיו. שקר זה כולל מידה מעטה של אמת, שאינה מורידה מערך השקר הכללי. אמת זו היא שהוא אכן משקר (באופן כולל ובדבר שאין אפשרות לבדוק אותו, כי לא ברור מה משמעות השקר ומהו הדבר שאותו ניתן לאמת או להכחיש). 
לעומת זאת אם בדוגמה, האדם היה אומר: אין במה שאני אומר ולו מידה זעירה של אמת, היינו בוחרים להבין את דבריו כויתור על משמעות, כאילו אמר הריני מוותר לכם על המשך בחינת הדברים שאני אומר, והיינו משווים זאת לאדם האומר: משפט זה הוא מלפפון כחול, שגם אותו אנו דוחים, ללא כל חשש לפרדוקס.

שימוש בהוכחות מתמטיות

הראשון לנצל את הסתירתיות בבסיס פרדוקס השקרן לשם הוכחה מתמטית היה גאורג קנטור. קנטור הוכיח את משפט קנטור על ידי כך שהניח שהמשפט שגוי, והסיק מכך כי קיימים קבוצה  ואיבר , כך שאם , אז , ואם , אז . סתירה זו הובילה אותו למסקנה כי משפט קנטור נכון.
קורט גדל עשה שימוש בגרסה של פרדוקס השקרן לשם הוכחת משפט האי שלמות הראשון המפורסם שלו. במהלך ההוכחה הוא הראה כיצד בתורות מסוימות ניתן לבנות טענה שמעידה על עצמה "טענה זו אינה ניתנת להוכחה", ולכן היא עצמאית. אלפרד טרסקי הראה כי לא ניתן לבנות בתורות כאלה טענה שאומרת "טענה זו שקרית".
אלן טיורינג הראה שבעיית העצירה היא לא-כריעה, על ידי הנחה שמכונה הפותרת את הבעיה קיימת - מקבלת קידוד של מכונה וקלט עבורה ומכריעה האם התוכנית תיעצר אחרי מספר סופי של צעדים. אם ניצור מכונה חדשה המקבלת קידוד של מכונה ותעביר אותו כשני הקלטים למכונה הפותרת את בעיית העצירה, ובהתאם לתוצאה שלה תתנהג - אם המכונה קבעה שתיעצר, היא תיכנס ללולאה אינסופית ואחרת תעצור. אם קלט המכונה הזו תהיה המכונה עצמה, אזי אם המכונה עוצרת - מכונת העצירה טענה שהיא לא תעצור ואם המכונה לא עוצרת, אזי מכונת העצירה טענה שהיא כן תיעצר.
פרדוקס הכל-יכול הוא פרדוקס בפילוסופיה של הדת וטענה כנגד קיומו של אלוהים. הפרדוקס טוען: האם ישות כל-יכולה יכולה ליצור אבן אותה אינה תוכל להרים. אם התשובה היא כן, אזי הישות אינה כל יכולה כי אינה תוכל להרים את האבן. אם התשובה היא לא, אזי קיים דבר שהישות אינה מסוגלת לעשות ולכן אינה כל-יכולה.