משפט פיתגורס

היסטוריה של משפט פיתגורס

את המשפט עצמו הכירו בתרבויות עתיקות זמן רב לפני פיתגורס. בקרב חוקרי ההיסטוריה של המתמטיקה אין הסכמה לגבי השאלה האם משפט פיתגורס התגלה פעם אחת, ונדד בין התרבויות השונות בעת העתיקה, או שמא התגלה בכמה מקומות באופן עצמאי.
המתמטיקאי ההולנדי ברטל לינדרט ואן-דר-ורדן סבר כי המשפט התגלה בבריטניה הנאוליתית ומשם הופץ הידע על אודותיו למצרים ולמסופוטמיה. בהמשך הועבר הידע להודו, לסין וליוון. השערה זו מבוססת על גילויים של מבנים פרהיסטוריים באיים הבריטים, הבנויים בזוויות ישרות וצלעות שהיחסים בין אורכיהן הם מספרים שלמים. מבנים אלו מתוארכים למאה ה-25 לפנה"ס.

הוכחות מפורסמות

למשפט פיתגורס התפרסמו הוכחות רבות. למעשה, ייתכן שמשפט פיתגורס הוא המשפט המתמטי בעל המספר הרב ביותר של הוכחות (ראו בהמשך קישור ל-367 הוכחות).
עם האנשים שמצאו הוכחות חדשות למשפט נמנים לאונרדו דה וינצ'י והנשיא ה-20 של ארצות הברית, ג'יימס גרפילד.

לאונרדו דה וינצ'י

הסבר להוכחתו של לאונרדו דה וינצ'י, המתוארת בסקיצה משמאל:
המרובעים האפורים AJIC ו-ABGD חופפים ולכן שטחם שווה. כך גם לגבי המרובעים הלבנים DGFE ו-CIHB. מתקבל כי שטח המשושים AJIHBC ו-ABGFED שווה.
שטח המשושה AJIHBC שווה ל- 
שטח המשושה ABGFED שווה ל- 
מהשוואת שני הביטויים שהתקבלו, המייצגים את אותו השטח, מתקבל משפט פיתגורס.

הנשיא גרפילד

ג'יימס גרפילד, שכיהן כנשיא ארצות הברית במחצית השנייה של המאה ה-19, חיבר בשנת 1876 (טרם בחירתו לנשיא) הוכחה יפה למשפט פיתגורס, ולפיה ניתן מכל משולש ישר-זווית ליצור טרפז כמודגם בציור משמאל, שאת שטחו ניתן לחשב בשני אופנים:
מצד אחד, שטחו שווה ל-, כיוון ששטח טרפז שווה למכפלת גובהו במחצית סכום בסיסיו.
מצד שני, שווה שטחו ל- כי הוא שווה לסכום שטחם של שני המשולשים האפורים והמשולש הלבן שביניהם.
מהשוואת שני הביטויים, המייצגים את אותו שטח, מתקבל משפט פיתגורס.

שיטות הוכחה נוספות

כאמור, למשפט פיתגורס התפרסמו עשרות רבות של הוכחות המבוססות על שיטות שונות. רובן הגדול של ההוכחות מבוסס על גאומטריה: חישוב של אותו שטח בשתי דרכים שונות, בחלקן תוך סידור מחדש של השטח; שימוש במשולשים דומים ובמשולשים חופפים; שימוש בקווים מיוחדים במעגל: רדיוס ומשיק.
הוכחות פחות שגרתיות מתבססות על כלים מתמטיים מתקדמים יותר, כמו חשבון דיפרנציאלי ואנליזה ממדית.

השוואת שטחים

דרך אחת להוכחת המשפט היא חישוב שטח של צורה נתונה בשתי דרכים שונות, שההשוואה ביניהן נותנת את משפט פיתגורס. דוגמה להוכחה בדרך זו, היא הוכחתו של הנשיא גרפילד שהוצגה לעיל.
וריאציה אחרת של שיטה זו, היא חישוב שטח של צורה מסוימת, סידור מחדש של השטח על ידי חיתוך והרכבה, חישוב מחדש של השטח, וכמו קודם, מהשוואת השטחים מתקבל משפט פיתגורס.
דוגמה להוכחה בשיטה זו, היא הוכחתו של לאונרדו דה וינצ'י. דוגמאות נוספות לגישה זו, בהנפשות הבאות:

חפיפה ודמיון משולשים

אחת הדרכים הנפוצות להוכחת המשפט היא שימוש בחפיפת משולשים, כמו בהוכחתו של אוקלידס, או שימוש בדמיון משולשים, כמו בדוגמה הבאה:
נתון משולש ישר-זווית ABC, כאשר  היא הזווית הישרה.
מהקודקוד C מורידים גובה לצלע AB ומקבלים שלושה משולשים דומים: ACB, ADC, CDB.
את המשך ההוכחה ניתן לראות בציור משמאל.
פרשנים טוענים שההוכחה הייתה ידועה לאוקלידס כאשר כתב את "יסודות", אך כיוון שרצה לכלול את משפט פיתגורס כבר בכרך הראשון של ספריו, לפני המשפטים שעוסקים בדמיון משולשים, הוא השתמש בהוכחה מורכבת יותר.

שימוש בחשבון דיפרנציאלי

בגישה זו, אורך אחד הניצבים  הוא קבוע ובודקים כיצד משתנה אורך היתר  בהתאם לשינוי באורך הניצב השני , כפי שניתן לראות בדיאגרמה משמאל.
באמצעות דמיון משולשים מקבלים את המשוואה: .
ואחרי העברת אגפים, מתקבלת המשוואה הדיפרנציאלית: .
התרתה של משוואה זו (באמצעות אינטגרציה של שני האגפים) מביאה לפתרון:
.
מכיוון שעבור המקרה שבו  מתקבל כי , אזי הקבוע בפתרון הוא בדיוק . 

הצבתו של הקבוע במשוואה מביאה לתוצאה הדרושה: .

שימוש באנליזה ממדית

את משפט פיתגורס ניתן להוכיח גם משיקולים של אנליזה ממדית. זוויות המשולש הן חסרות ממד; אורכיהן של צלעות המשולש הן מממד L; שטח המשולש הוא מממד L².
את שטח המשולש ניתן להביע כפונקציה של היתר ושל אחת מהזוויות החדות במשולש שתסומן באות היוונית .
מכיוון ש- חסר ממד, c מממד L והשטח מממד L² הרי ששטח המשולש ABC שווה ל- .
הגובה מקודקוד C פוגש את הצלע AB בנקודה D.
מאותם שיקולי ממד מקבלים ששטח המשולש ACD שווה ל-  ואילו שטח המשולש BCD שווה ל- .
מכיוון ש- הרי ש-.
לאחר צמצום בגורם  מתקבל משפט פיתגורס.

שימושים

שימושים יומיומיים במשפט פיתגורס יושמו עוד לפני שפיתגורס ניסח אותו.

הוכחות גאומטריות למשפטים מתמטיים שונים

משפט פיתגורס משמש בהוכחת משפטים רבים מתחום הגאומטריה, למשל נוסחת הירון או המשפט ההפוך למשפט פיתגורס.

בטריגונומטריה, משפט פיתגורס מהווה כלי חשוב בהוכחתן של זהויות. למשל: במשולש ישר-זווית שאורך היתר שלו הוא 1, ואחת מזוויותיו החדות היא x, אורכי הניצבים הם .
ממשפט פיתגורס מקבלים את הזהות .

כמו כן, ניתן להשתמש במשפט פיתגורס כדי לתת הוכחה גאומטרית למשפטים מתחומים אחרים במתמטיקה, כמו המקרה  של אי שוויון הממוצעים.

מרחק במרחב האוקלידי

במרחב האוקלידי מגדירים את המרחק במערכת הקואורדינטות הקרטזיות באמצעות משפט פיתגורס:
בהינתן שתי נקודות (x₁, y₁), (x₀, y₀) ב-, המרחק האוקלידי ביניהן נתון על ידי הנוסחה: 
את הנוסחה הנ"ל ניתן להרחיב גם למרחב האוקלידי ה-n ממדי באופן הבא:
בהינתן הנקודות ,  ב- , המרחק האוקלידי ביניהן נתון על ידי הנוסחה: 
ציוד המרחב האוקלידי בפונקציית מרחק לפי משפט פיתגורס הופכת אותו למרחב מטרי שהמטריקה שלו קרויה "המטריקה האוקלידית".
מושג קרוב למרחק הוא אורך. במרחב האוקלידי הסטנדרטי האורך מוגדר בדומה למרחק לפי משפט פיתגורס. האורך האוקלידי של וקטור  הוא . זוהי הנורמה הסטנדרטית המושרת על המרחב האוקלידי כמרחב מכפלה פנימית עם מכפלה סקלרית.
הגדרה בסיסית זו של אורך של וקטור (שהוא קו ישר) מאפשר להגדיר אורך של כל עקומה בעלת אורך. האורך של עקומה מתקבל על ידי חלוקת העקומה למקטעים ישרים, שאורך כל אחד מהם קטן מ , סכימת האורכים של המקטעים (המחושבים לפי פיתגורס) ולבסוף חישוב הגבול של אורך זה כאשר ערכו של  שואף ל-0.
הערך המוחלט של מספר מרוכב מתקבל גם הוא ממשפט פיתגורס. זהו האורך של המספר כווקטור במישור המרוכב.

בניית שורשים של שלמים בעזרת סרגל ומחוגה

לכל מספר טבעי n, משפט פיתגורס מאפשר לבנות קטע באורך  בעזרת סרגל ומחוגה. כדי לבנות את  בונים את היתר של משולש ישר-זווית עם ניצבים באורך 1. כדי לבנות  בונים את היתר של משולש יש זווית עם ניצב באורך 1 וניצב באורך  וכן הלאה.
באופן כללי, נבנה את השורש של n באינדוקציה. בהינתן שבנינו כבר את , אז נבנה משולש ישר-זווית עם ניצב באורך זה וניצב באורך 1, ולפי משפט פיתגורס נקבל יתר שאורכו: .
בנייה זו מעידה שהשורשים הריבועיים של המספרים הטבעיים נמצאים בשדה המספרים הניתנים לבנייה.

חישוב ערכים של הפונקציות הטריגונומטריות

משפט פיתגורס מאפשר למצוא ערכים פשוטים של פונקציות טריגונומטריות.
הערכים של קוסינוס וסינוס (ולכן גם טנגנס) בזוויות 30°,45°,60° מתקבלים ממשפט פיתגורס בקלות.
כדי למצוא את ערכי הפונקציות בזווית 45° בונים משולש ישר-זווית שהוא גם שווה-שוקיים. לשם הפשטות קובעים כי אורכי הניצבים הם 1. זוויות הבסיס במשולש שוות ולכן הן 45° (כי סכום הזוויות במשולש הוא 180°). לפי משפט פיתגורס אורך היתר הוא , ולכן מהגדרת הפונקציות הטריגונומטריות במשולש נובע ש-
כדי למצוא את ערכי הפונקציה בזוויות 30° ו-60° מתחילים ממשולש שווה-צלעות שכל צלעותיו הן באורך 2. מכיוון שהמשולש שווה-צלעות כל זוויותיו הן בנות 60°. כעת מורידים גובה מאחד הקודקודים. הגובה הוא גם חוצה זווית ולכן מתקבל משולש שזוויותיו הן 90°-60°-30°. הגובה הוא גם תיכון ולכן למשולש שהתקבל ניצב באורך 1 (מול הזווית 30°) ויתר באורך 2. לפי משפט פיתגורס אורך הניצב השני (מול הזווית 60°) הוא . לכן מקבלים ש- וכן .

משפט התיכון

התיכון מהקודקוד A במשולש ABC חוצה את הצלע BC בנקודה D.
משפט התיכון קובע כי .
במקרה הפרטי שבו המשולש הוא שווה-שוקיים :
, , 
מתקבל משפט פיתגורס.

הכללת אבן קורה

הכללה נוספת למשולש כללי, נתונה במשפט הבא המיוחס למתמטיקאי הערבי ת'אבת אבן קורה בן המאה התשיעית:
נתון משולש ABC . מקודקוד A יוצאים שני ישרים החותכים את הצלע BC בנקודות g, h, כך ש
 

(בציור משמאל, דוגמה עבור המקרה הפרטי שבו  היא זווית קהה).
אזי .
במקרה הפרטי, שבו הזווית  היא זווית ישרה, הנקודות g, h מתלכדות, ואז  ומתקבל משפט פיתגורס.

מתוך ה"יסודות" של אוקלידס

הכללה למשפט פיתגורס, ניתן למצוא כבר ב"יסודות" של אוקלידס:
אם על צלעותיו של משולש ישר-זווית מונחות צורות דומות, אזי סכומם של שני השטחים הקטנים, שווה לשטח הגדול.
בצורה פורמלית יותר: אם על צלעות משולש ישר-זווית שאורכי צלעותיו הן  בונים צורות ששטחיהן A,B,C כך ש , אזי .

משפט תלמי

משפט תלמי בגאומטריה קובע שאם מרובע ABCD הוא ציקלי, כלומר ניתן לחסום אותו במעגל,
כלומר: ,
אז .
במקרה הפרטי שבו המרובע הנדון הוא מלבן שאורכי צלעותיו ואלכסוניו הם:
 , 
, , 
מתקבל משפט פיתגורס.

מקביליות הבנויות על צלעות משולש כללי

על הצלעות AC ו-BC של משולש ABC, בונים מקביליות ACED ו-BCGF בהתאמה.
הקרנות DE ו-FG נחתכות בנקודה H.

על הצלע AB בונים מקבילית ABJI שצלעותיה AI, BJ, מקבילות לקטע CH ושוות לו באורכן.
אזי .
הוכחה זו מופיעה בספר הרביעי בסדרת האסיף המתמטי של פאפוס מאלכסנדריה.
במקרה הפרטי, בו המשולש הוא ישר-זווית, והמקביליות הן ריבועים, מתקבל משפט פיתגורס.

הכללת ויליאם האזרד

המתמטיקאי האמריקאי ויליאם האזארד פרסם בשנת 1929 הכללה להוכחתו של המתמטיקאי ההודי אריאבהטה למשפט פיתגורס.
בנייה:
המקבילית ABCD חסומה במקבילית PNMQ, כלומר על כל אחת מצלעות המקבילית PNMQ מונח קודקוד של המקבילית ABCD.
מקודקוד A מעבירים ישר מקביל לקטעים MN, QP החותך את הצלע QM בנקודה S.
מקודקוד B מעבירים ישר מקביל לקטעים MQ, NP החותך את הצלע PQ בנקודה K.
הישרים AS, BK נחתכים בנקודה Y.
אזי: .
כאשר שתי המקביליות הן ריבועים, מתקבל משפט פיתגורס (כמו בהוכחתו של אריאבהטה).

משפט דה גוּאַה

משפט דה גואה, על שמו של המתמטיקאי הצרפתי ז'אן דה-גואה דה-מלבס, הוא הכללה של משפט פיתגורס לשלושה ממדים. המשפט קובע שאם לפירמידה משולשת יש פינה ישרה, כלומר:
,
אז סכום ריבועי השטחים של הפאות היוצרות את הפינה הישרה, שווה לריבוע הפאה הרביעית, כלומר:
משפט אנלוגי קיים גם בממד רביעי ומעלה.

משפט פיתגורס במרחב מכפלה פנימית

אם u ו-v הם וקטורים אורתוגונליים (מאונכים) במרחב מכפלה פנימית, אזי  

באמצעות אינדוקציה מתמטית, ניתן להרחיב את הכלל למספר סופי כלשהו של וקטורים, כך שכל שניים מהם מאונכים זה לזה:
יהיו v₁, v₂,…, vₙ וקטורים במרחב מכפלה פנימית כך ש
 לכל i<j, אזי:

משפט פיתגורס בגאומטריה לא אוקלידית

הגאומטריה האוקלידית מבוססת על מספר אקסיומות (שנוסחו תחילה על ידי אוקלידס ותוקנו בהמשך על ידי דויד הילברט), בהן אקסיומת המקבילים, לפיה בהינתן ישר  ונקודה P שאיננה על הישר, ניתן להעביר דרך P ישר אחד בלבד המקביל ל- .
משפט פיתגורס נובע מהאקסיומות של הגאומטריה האוקלידית. למעשה, בגאומטריה האוקלידית, משפט פיתגורס שקול לאקסיומת המקבילים, כלומר: בהינתן האקסיומות של הגאומטריה האוקלידית ללא אקסיומת המקבילים ובתוספת משפט פיתגורס, ניתן להוכיח את אקסיומת המקבילים, ומכאן, גם את כל שאר המשפטים של הגאומטריה האוקלידית.
משפט פיתגורס, בניסוחו המוכר, לא תקף בגאומטריות שאינן אוקלידיות, אך יש לו גרסאות שמותאמות לגאומטריות אלו.

משפט פיתגורס בגאומטריה ההיפרבולית

בגאומטריה ההיפרבולית, את אקסיומת המקבילים מחליפה האקסיומה: בהינתן ישר  ונקודה P שאיננה על הישר, ניתן להעביר דרך P לפחות שני ישרים המקבילים ל- .

במישור היפרבולי בעל עקמומיות 1-, ניתן לנסח את משפט פיתגורס באופן הבא:  כאשר cosh הוא הקוסינוס ההיפרבולי.
גם כאן, על ידי שימוש בטור מקלורן, כאשר  מקבלים את משפט פיתגורס בגרסתו האוקלידית.