שדה חשמלי

בפיזיקה, למרחב המקיף מטען חשמלי (או באזור בו יש שדה מגנטי המשתנה בזמן) יש תכונה הנקראת שדה חשמלי. שדה זה מפעיל כוח על גופים הטעונים חשמלית. הרעיון של שדה חשמלי הוצע על ידי מייקל פאראדיי.
השדה החשמלי הוא וקטור שנמדד על פי מערכת היחידות הבינלאומית ביחידות של ניוטון לקולון (N C⁻¹), או באופן שקול, ביחידות של וולט למטר (V m⁻¹) .

תיאור גרפי של השדה החשמלי

קיימות מספר דרכים לתיאור גרפי של שדה חשמלי. שדה חשמלי סטטי יתואר בדרך כלל על ידי קווי שדה. קווי שדה הם קווים שכיוונם מתאר את כיוון תנועתו של מטען חיובי מנקודה מסוימת, ואורכם מתאר את גודל הכוח שיפעל על אותו מטען. צפיפותם היחסית של קווי השדה בנקודה מסוימת, מלמדים על עוצמת השדה החשמלי באותה נקודה: ככול שקווי השדה צפופים יותר כך עוצמת השדה גבוהה יותר, ולהפך. שדה חשמלי חייב להיות סימטרי.
השדה החשמלי הנוצר על ידי מטען חיובי ידחה מטען בוחן חיובי, ולכן קווי השדה סביבו יתוארו על ידי חיצים הפונים החוצה. באופן דומה השדה הנוצר על ידי מטען שלילי ימשוך מטען בוחן חיובי, ולכן קווי השדה סביבו יתוארו על ידי חיצים הפונים פנימה.

נוסחה כללית לשדה אלקטרוסטטי

הפיתוח של נוסחת השדה החשמלי שיוצר מטען נקודתי, משמש בסיס למקרים כלליים ומורכבים יותר. בגלל עקרון הסופרפוזיציה, כאשר יש במרחב מספר מטענים נקודתיים סטטיים (שאינם נעים), מחשבים את השדה החשמלי שמפיק כל אחד מהם, והשדה הכללי המתקבל הוא סכום וקטורי של השדות של כל המטענים הנקודתיים. אם כל מטען  נמצא בנקודה , הנוסחה לשדה החשמלי הכולל שיתקבל בכל נקודה  היא לפיכך .
בגבול שבו המטען החשמלי אינו אוסף של מטענים בדידים אלא הוא התפלגות מטען רציפה, הסכום הופך לאינטגרל :. שלושת סימני האינטגרל מסמנים אינטגרציה בשלושת הממדים, כלומר האינטגרל סוכם את המטענים האינפיניטסימליים לאורך כל הנפח בו הם מפוזרים. כאשר מייצגת את פונקציית הצפיפות, פונקציה אשר מתאימה לכל נקודה במרחב את צפיפות המטען המצויה בו. במקרים שבהם פיזור המטען במרחב כפוף לסימטריה כלשהי (כגון תיל ארוך טעון או קליפה כדורית טעונה), ניתן לבחור מערכת קואורדינטות שמתאימה לסימטריה, ולהיעזר בחוק גאוס לחישוב השדה החשמלי השקול שנובע ממטען זה. כך למשל, אם נתונה התפלגות מטען בעלת סימטריה כדורית, כדאי לנתח את הבעיה כשהיא מנותחת בקואורדינטות כדוריות, כי אז, משיקולי סימטריה, הרכיבים הזוויתיים של השדה החשמלי חייבים להיות אפס, ורק הרכיב הרדיאלי אינו מתאפס.

שדה של כדור טעון

בהינתן כדור שסך המטען עליו הוא , ופיזור המטען עליו הינו אחיד.
שיקולי סימטריה מראים כי קווי השדה החשמלי שיווצרו מחוץ לכדור חייבים להיות מכוונים רדיאלית, כך שהם יהיו מאונכים לפני הכדור. את השדה שייווצר ניתן לחשב לפי חוק גאוס, תוך בחירת מעטפת כדורית שמרחקה ממרכז הכדור הוא . לפי החוק, עבור כל  גדול מרדיוס הכדור עצמו (כלומר, כל נקודה מחוץ לכדור): 
. מאחר ששטחה של קליפה כדורית הוא , מקבלים
 או
. כלומר, השדה החשמלי שיוצר כדור מוליך טעון, במרחב שמחוץ לו, הוא זהה לשדה שהיה יוצר מטען זהה שהוא נקודתי.
על מנת לחשב את השדה בתוכו תחילה יש לחשב את צפיפות המטען ליחידת נפח: , כעת על מנת לחשב את השדה בנקודה מסוימת ברדיוס r בתוך הכדור נבנה מעטפת גאוס כדורית כך שמרכז המעטפת נמצא במרכז הכדור והנקודה מוכלת בשפתו. נשתמש בחוק גאוס: . מכאן: 
נציב את הצפיפות הנפחית:
נבודד את השדה, את הכיוון אנחנו יודעים מפאת סימטריה ספריית שהוא רדיאלי.

בכדור מוליך

כאשר דנים בבעיות בהם החומר הוא מוליך, ידוע שהשדה בתוך התווך המוליך הוא שווה לאפס כל עוד אין המוליך מכיל מטענים מקובעים בתוכו. עוד ידוע כי כל המטענים מתרכזים על שפת המוליך. זאת כיוון שהאלקטרונים בתוך המוליך נעים לשפתו של המוליך תגובה לכל שדה חשמלי כך שהשדה הנוצר בין שפות המוליך מנוגד בכיוון לשדה המקורי ושווה לו בגודלו. כיוון שכמות האלקטרונים גדולה בכמה סדרי גודל מכל שדה סטנדרטי שנוצר, יכולים האלקטרונים לבטל כל שדה סטנדרטי. לכן בתוך הכדור דנידן, במידה וידוע שהוא מוליך, השדה הוא אפס.

שדה של תיל ארוך

בהינתן תיל שאורכו אינסופי, ושצפיפות המטען ליחידת אורך עליו היא , שיקולי סימטריה מראים כי קווי השדה החשמלי שייווצרו מחוץ לתיל חייבים להיות מאונכים לתיל. משיקולים דומים יהיה השדה החשמלי שהתיל מפעיל תלוי רק במרחק מהתיל. בגלל הסימטריה הגלילית מחשבים את השדה לפי חוק גאוס תוך שימוש במעטפת בצורת גליל, שמוצבת מסביב לתיל. מכיוון שהשדה מאונך לתיל (ולמעטפת הגליל), השטף שלו יהיה מקסימלי דרך מעטפת הגליל, ו-0 דרך בסיסי הגליל. השדה במרחק  מהתיל יהיה: 
 
 מציין יחידת אורך מסוימת - את אורך המוט המוגבל על ידי המעטפת הגלילית. אין זה משנה איזה אורך בוחרים, מאחר שהוא מצטמצם בחישוב:
תוצאה זו נכונה כל עוד המרחק מהמוט זניח ביחס לאורך המוט, שכן המודל מניח כאמור מוט שאורכו אינסופי.

שדה של לוח אינסופי

אם על פניו של לוח אינסופי מפוזר באופן אחיד מטען כלשהו, כך שצפיפותו ליחידת שטח היא , ניתן לראות, כתוצאה משיקולי סימטריה, שהשדה החשמלי שהוא מפעיל יהיה מאונך לפני הלוח. כמו כן אין זה משנה מול איזה חלק של הלוח יוצב המטען המושפע מהשדה (בהנחה שהלוח אינסופי או שהמרחקים קטנים מאוד), כי גודל עוצמת השדה יושפע רק ממרחק המטען מהלוח. המעטפת הגלילית שנבחר לצורך השימוש בחוק גאוס תהיה מאונכת ללוח, ואחד מבסיסי הגליל שלנו יעבור בדיוק באמצעו. אם מדובר בלוח מוליך, לא יהיה בתוכו שדה חשמלי. קווי השדה היוצאים מהלוח יהיו מאונכים לבסיס השני של הגליל ומקבילים למעטפת שלו, כך שרק דרך הבסיס האחד יעבור שטף חשמלי. עתה נחשב את השדה במרחק r מהלוח המוליך: 
בדומה למקרה הקודם, גם כאן, A מציינת יחידת שטח זמנית - את שטח בסיס הגליל שדרכו עובר השטף, ואת השטח על פני הלוח, שתופסים המטענים הכלואים במעטפת הגלילית. לפרמטר זה אין שום השפעה, כמו שניתן לראות, ובאופן פרדוקסלי גם למרחק מהלוח אין כל השפעה, והשדה תלוי אך ורק בצפיפות המטען. מובן שכל האמור נכון רק ללוח אינסופי או למרחק קטן מאוד מלוח טעון גדול מאד. 
השדה במקרה של קבל לוחות הוא סופרפוזיציה של השדות של שני הלוחות והוא:

בין הלוחות, ואפס מחוץ לקבל.