אידמפוטנט

במתמטיקה, אידמפוטנט הוא איבר  של מבנה אלגברי המקיים את התכונה . ההגדרה חלה גם על פונקציות: פונקציה היא אידמפוטנטית אם הפעלתה פעמיים שווה להפעלתה פעם אחת. לדוגמה, פעולת ערך מוחלט היא אידמפוטנטית שכן: . באלגברה מופשטת מושג זה משמש בעיקר בחקר אופרטורים של הטלה וסגירות.
את המונח אידמפוטנטיות טבע במאה ה-19 בנג'מין פירס בהקשר של איברים באלגברה שאינם משתנים כאשר הם מועלים בחזקה של מספר שלם חיובי. מדובר בהלחם באנגלית (idem + potence שיש לו אותה חזקה) אך תחום השימוש במונח, כמו גם הגדרתו, התרחבו.

הגדרה

במאגמה (קבוצה עם פעולה בינארית יחידה) ( • ,M) איבר הוא אידמפוטנטי אם: x • x = x.

פונקציות אידמפוטנטיות - דוגמאות

הפונקציות הבאות הן אידמפוטנטיות: פונקציית הזהות, פונקציית הערך המוחלט, פונקציית הערך השלם, פונקציית תקרה, פונקציית קיטום.
בתורת החבורות: יוצרי החבורה, במרחב אפיני: הקְמוֹר, במרחב וקטורי: הטלה ובמרחב טופולוגי: הסְגוֹר והפְּנים הם אידמפוטנטים.
דוגמאות נוספות: כוכב קלין  ופלוס קלין  ( כוכב קלין ללא איבר האפס V₀).

אידמפוטנטים והמבנה של חוגים

באלגברה, אידמפוטנט הוא איבר e של חוג או של מבנה אלגברי אחר, המקיים את השוויון .
פרט ל-0 (איבר האפס), שאינו נחשב בדרך כלל לאידמפוטנט, איבר היחידה הוא אידמפוטנט טריוויאלי; ואכן, האידמפוטנטים קרובים להיות איברי יחידה, לפחות באופן מקומי, וזה תפקידם בתורת המבנה של חבורות למחצה ושל חוגים.
בחוג, אידמפוטנטים e ו- f המקיימים את התנאי ef=fe=0 נקראים אידמפוטנטים אורתוגונליים. לדוגמה, אם e הוא אידמפוטנט, אז גם  אידמפוטנט, והשניים אורתוגונליים זה לזה. אם אי-אפשר לפרק אידמפוטנט e לסכום  של אידמפוטנטים אורתוגונליים, אז e הוא אידמפוטנט פרימיטיבי.

אידמפוטנטים מרכזיים

אידמפוטנט המתחלף עם כל אברי החוג נקרא אידמפוטנט מרכזי. הדוגמה הטיפוסית מופיעה בחוגים המתפרקים לסכום ישר: אם , אז  הוא אידמפוטנט מרכזי. גם להפך, אם e אידמפוטנט מרכזי של R, אז אפשר לפרק , וזהו סכום ישר של תת-חוגים. (חוג שבו כל האידמפוטנטים מרכזיים נקרא חוג אבלי).

פירוק פירס

לכל אידמפוטנט e בחוג אסוציאטיבי R, גם אם אינו מרכזי,  הוא תת-חוג של R, עם יחידה משלו - e. פירוק פירס של החוג הוא הפירוק לסכום ישר של חבורות , שבו שני המרכיבים  ו-  הם תת-חוגים עם היחידות e ו- , ואילו שני האחרים הם בי-מודולים מעליהם (האחד ימני ושמאלי, והשני שמאלי וימני, בהתאמה).
הדוגמה הטיפוסית לאידמפוטנט שאינו מרכזי היא יחידת המטריצות  בחוג מטריצות. פירוק פירס של אלגברת המטריצות  נותן את ארבעת המרכיבים הטבעיים . באלגברת מטריצות , היחידות  הן אידמפוטנטים אורתוגונליים ופרימיטיביים שסכומם 1.
לפירוק פירס בכמה מחלקות לא אסוציאטיביות, ראו אלגברה אלטרנטיבית#הרחבות מרכזיות ופירוק פירס, אלגברת ז'ורדן#פירוק פירס, אלגברה עם חזקה אסוציאטיבית#פירוק פירס.

הרמת אידמפוטנטים

אם לכל איבר a של אידיאל A בחוג R, המשלים  הפיך, ובנוסף לזה כל אידפוטנט של חוג המנה  הוא מהצורה  כאשר e אידמפוטנט של R, אז A הוא אידיאל מרים אידמפוטנטים. אם A הוא אידיאל כזה, אז אפשר להרים כל מערכת סופית או בת-מניה של אידמפוטנטים אורתוגונליים בחוג המנה, למערכת מתאימה ב-R (טענה זו אינה נכונה למערכות שמספר איבריהן אינו בן-מניה). בנוסף לזה אפשר להרים גם מערכות של יחידות מטריצות, וכך, אם חוג המנה הוא חוג מטריצות, זהו גם המבנה של החוג R עצמו.
כל אידיאל נילי הוא מרים אידמפוטנטים. אם R סגור בטופולוגיה ה-A-אדית, אז A מרים אידמפוטנטים. באופן כללי, אידיאל A המוכל ברדיקל ג'ייקובסון של החוג הוא אידיאל מרים אידמפוטנטים, אם ורק אם לכל מחובר ישר של R/A (כמודול מעל R) יש כיסוי פרויקטיבי (כיסוי פרויקטיבי של מודול M הוא מודול פרויקטיבי P עם הטלה  שהגרעין שלה הוא תת-מודול קטן).
בחוג קומוטטיבי מקסימלי (נקרא גם קומפקטי ליניארית), רדיקל ג'ייקובסון מרים אידמפוטנטים; חוג מקסימלי הוא מכפלה סופית של חוגים מקסימליים מקומיים.

יחידות מטריצות

המטריצות  שיש להן 1 ברכיב ה-ij ואפס בכל מקום אחר, מהוות בסיס סטנדרטי של אלגברת המטריצות. מטריצות אלה מקיימות את היחסים  ו-. כל קבוצת איברים בחוג המקיימת את היחסים האלה נקראת מערכת של יחידות מטריצות. חוג שיש בו מערכת של יחידות מטריצות הוא בהכרח חוג מטריצות מעל חוג אחר. האיברים  הם אידמפוטנטים אורתוגונליים.

במדעי המחשב


משמעות המושג היא תלויית הקשר:
בתכנות אימפרטיבי שגרה היא אידמפוטנטית אם מצב המערכת נותר זהה ללא קשר למספר ההפעלות של שגרה זו. דוגמה: שגרה של חיפוש שם לקוח בבסיס נתונים תיתן תוצאה זהה ללא קשר למספר הקריאות. כך גם שגרת מיון נתונים - תוצאת המיון הראשון לא תשתנה. שגרה להוספת רשומת קנייה של סחורה אינה אידמפוטנטית (כל קריאה לה תוסיף עוד קנייה), אך שגרת ביטול קניה מסוימת היא אידמפוטנטית.