גאומטריית חילה

גאומטריית חילה היא תחום בגאומטריה שבו חוקרים מבנים גאומטריים כלליים בגישה קומבינטורית-מופשטת. את מקומן של הנקודות והישרים, המשחקים בגאומטריה בדרך כלל תפקיד מרכזי, תופס בגאומטריית החילה היחס בין נקודות וישרים הקובע איזו נקודה נמצאת על איזה ישר.

מושגי היסוד

קדם-גאומטריה היא קבוצת איברים שלכל אחד מהם טיפוס מוגדר (כגון: "נקודות", "ישרים" ו"מישורים"), עם יחס חילה שהוא יחס רפלקסיבי וסימטרי המוגדר כך שעצמים שונים מאותו טיפוס אינם חלים זה בזה. קבוצה של עצמים החלים זה בזה נקראת דגל; לדוגמה, דגל עשוי להיות מורכב ממישור, ישר במישור ונקודה על הישר; או ממישור ונקודה עליו; וכדומה. דגל שיש בו נציג לכל טיפוס נקרא חדר (chamber). מספר הטיפוסים הוא הדרגה של הקדם-גאומטריה. קדם-גאומטריה היא גאומטריה אם אפשר להשלים כל דגל לחדר. גאומטריה קבוצתית היא גאומטריה עם הטיפוסים  (איברים מטיפוס 0 נקראים "נקודות"), שבה איברים A,a חלים זה בזה אם הטיפוס של a קטן משל A וכל נקודה החלה ב-a חלה גם ב-A. בגאומטריה כזו אפשר לראות כל אובייקט כאילו הוא מורכב מקבוצת הנקודות החלות בו, וכך להמיר את יחס החילה בהכלה בין הקבוצות.

מישורים

המישור האפיני והמישור הפרויקטיבי הם מן הדוגמאות הבסיסיות בגאומטריה. הגישה האקסיומטית של גאומטריית חילה מטפלת במקרים אלו באופן הבא. במקום לומר על נקודה וישר שהם "מקיימים את יחס החילה", אומרים שהנקודה נמצאת על הישר, והישר עובר דרך הנקודה.
גאומטריה עם הטיפוסים "נקודה" ו"ישר" נקראת מרחב ליניארי אם דרך כל שתי נקודות x,y עובר ישר יחיד xy, ויש לפחות שתי נקודות על כל ישר ולפחות שני ישרים. קבוצת נקודות במרחב ליניארי היא תת-מרחב אם לכל שתי נקודות x,y בקבוצה, כל הנקודות על הישר xy נמצאות בה. חיתוך כל תת-המרחבים המכילים קבוצת נקודות S הוא תת-המרחב הנוצר על ידי S. תת-המרחב הנוצר על ידי שלוש נקודות x,y,z שאינן על ישר אחד נקרא מישור. מרחב ליניארי נקרא מישור פרויקטיבי אם על כל ישר יש לפחות שלוש נקודות, וכל שני ישרים נפגשים בנקודה. כל מישור פרויקטיבי הוא מישור. מרחב ליניארי המקיים את אקסיומת המקבילים (דרך כל נקודה שאינה על ישר t, עובר ישר יחיד שאינו נחתך עם t) נקרא מישור אפיני. אם יש במישור האפיני A ישר בן שלוש נקודות, אז הוא מישור. המישור האפיני היחיד שאינו מישור הוא בן 4 נקודות. 
סילוק ישר אחד ממישור פרויקטיבי מניב מישור אפיני, ולהפך, כל מישור אפיני אפשר לשכן במישור פרויקטיבי על ידי הוספת ישר אחד (המכונה "הישר באינסוף") והרחבה מתאימה של יחס החילה.

מרחבים פרויקטיביים

מושגים אלו ניתנים להכללה לממד גבוה. מרחב פרויקטיבי מוגדר כמרחב ליניארי המקיים את אקסיומת ובלן-יאנג: אם הישרים ab ו-cd נחתכים, אז גם ac ו-bd נחתכים. אם U הוא תת-מרחב של מרחב פרויקטיבי שיש בו לפחות שני ישרים, אז U מרחב פרויקטיבי בעצמו. אם U תת-מרחב של מרחב פרויקטיבי P ו-p נקודה מחוץ לו, אז איחוד הישרים pu (עבור הנקודות u על U) הוא תת-המרחב הנוצר על ידי U ו-p; תת-המרחב הזה נוצר על ידי U וכל נקודה שלו שמחוץ ל-U. מרחב ליניארי הוא מרחב פרויקטיבי אם ורק אם כל מישור שלו הוא מישור פרויקטיבי.
בדומה להגדרות באלגברה ליניארית, המבנה האקסיומטי שתואר עד כה מאפשר להגדיר בסיס של מרחב פרויקטיבי P כקבוצה S שהיא פורשׂת (כלומר S יוצרת את P) ובלתי תלויה (אף תת-קבוצה אמיתית של S אינה פורשת את P). קבוצה היא בסיס אם ורק אם היא פורשת מינימלית, אם ורק אם היא בלתי תלויה מקסימלית. לכל מרחב פרויקטיבי יש בסיס (עובדה זו מצריכה את הלמה של צורן). הבסיסים של מרחב פרויקטיבי P מקיימים את למת ההחלפה של שטייניץ, וכתוצאה מכך לכל הבסיסים אותו גודל - וזהו, על-פי ההגדרה, הממד של P. הממד מקיים את נוסחת הממדים .
בגאומטריה הפרויקטיבית (מממד d) שהוגדרה לעיל יש רק שני טיפוסים: נקודה וישר. מושג הממד מאפשר לספח לה אובייקטים נוספים, מממדים שונים: אם מגדירים את הטיפוס של תת-מרחב להיות הממד שלו, אז אוסף כל תת-המרחבים של P מהווה גאומטריה קבוצתית מדרגה d.
לכל חוג עם חילוק D ולכל מרחב וקטורי שמאלי V מעל D, אפשר לבנות את המרחב הפרויקטיבי  באמצעות קואורדינטות הומוגניות, כאשר הנקודות הן המרחבים החד-ממדיים  והישרים הם המרחבים הדו-ממדיים . באופן כללי יותר, תת-מרחבים מממד i במובן של גאומטריה פרויקטיבית מתאימים לתת-מרחבים של V מממד i+1 במובן של אלגברה ליניארית. כל מרחב פרויקטיבי שנבנה באופן כזה מקיים את משפט דזרג.

מרחבים אפיניים

יחס הקבלה הוא יחס שקילות על הישרים של מרחב ליניארי, כך שלכל ישר g ולכל נקודה x, יש ישר יחיד הכולל את x ומתייחס ל-g. במרחב ליניארי L עם יחס הקבלה, תת-מרחב U הוא סגור להקבלה אם לכל ישר g ונקודה ב-U, הישר המקביל ל-g דרך הנקודה מוכל כולו ב-U. תת-מרחב של L נקרא תת-מרחב אפיני אם הוא סגור להקבלה. החיתוך של תת-מרחבים אפיניים הוא תת-מרחב אפיני, וכך מוגדר תת-המרחב האפיני הנוצר על ידי קבוצת נקודות S, כחיתוך כל תת-המרחבים האפיניים המכילים אותה. 
מרחב אפיני הוא מרחב ליניארי שיש עליו יחס הקבלה, כך שכל תת-מרחב אפיני הנוצר על ידי שלוש נקודות שאינן על ישר אחד, מהווה מישור אפיני. במרחב אפיני שבו יש שלוש נקודות על כל ישר, כל תת-מרחב הוא תת-מרחב אפיני (אבל יש מרחבים אפיניים שבהם שתי נקודות על כל ישר, ושם כל תת-קבוצה של הנקודות מהווה תת-מרחב, וחלק מאלו אינם אפיניים).
תת-מרחב מקסימלי (כזה שבהוספת נקודה אחת הוא יוצר את המרחב כולו) נקרא על-מישור. אם מסירים ממרחב פרויקטיבי את כל הנקודות בעל-מישור, מתקבל מרחב אפיני; וכל מרחב אפיני מתקבל כך, באופן יחיד (עד כדי איזומורפיזם). ההתאמה בין תת-מרחבים אפיניים לתת-מרחבים פרויקטיביים מאפשרת להגדיר במרחב האפיני L ממד. בדומה למקרה הפרויקטיבי, אם מגדירים את הטיפוס של תת-מרחב אפיני להיות הממד שלו, אוסף כל תת-המרחבים של L מהווה גאומטריה קבוצתית מדרגה השווה לממד של L.
כמו במקרה הפרויקטיבי, מרחב ליניארי שכל המישורים בו אפיניים מהווה מרחב אפיני, בתנאי שעל כל ישר יש לפחות ארבע נקודות (משפט Buekenhout).

מורפיזמים

העתקה חד-חד-ערכית ועל מקבוצת הנקודות של מרחב ליניארי לקבוצת הנקודות של מרחב ליניארי נקראת קולינאציה אם היא משרה העתקה (חד-חד-ערכית ועל) בין קבוצות הישרים. קולינאציה מעבירה תת-מרחבים לתת-מרחבים. אם על כל ישר יש לפחות שלוש נקודות, אז קולינאציה שומרת גם על הקבלה, על תת-מרחבים אפיניים, על בסיסים וממדים. מרחבים פרויקטיביים או אפיניים שיש ביניהם קולינאציה הם איזומורפיים. קולינאציה בין מרחבים פרויקטיביים משרה קולינאציה בין מרחבים אפיניים המתקבלים מהם על ידי הסרת על-מישור, ולהפך, קולינאציה בין מרחבים אפיניים משרה קולינאציה בין המרחבים הפרויקטיביים שהם מגדירים.
אם p נקודת שבת של קולינאציה a, אז a מהווה קולינאציה של הגאומטריה השאריתית ב-p. קולינאציה a ממרחב פרויקטיבי לעצמו היא מרכזית אם יש לה נקודת מרכז (נקודה שכל ישר העובר דרכה נשמר תחת a; במקרה זה הקולינאציה של הגאומטריה השאריתית היא טריוויאלית). תכונה זו שקולה לקיומו של ציר (על-מישור שכל נקודותיו נשמרות).  מבדילים בין שני טיפוסי קולינאציות, לפי שייכותה או אי-שייכותה של נקודת המרכז לציר. אוסף הקולינאציות  עם מרכז נתון p וציר נתון H מהווה חבורה. קולינאציה ב- נקבעת על ידי התמונה של כל נקודה שאינה ב-; אם המרחב דסרגי, אז החבורה פועלת טרנזיטיבית על החלק שמחוץ ל- של כל ישר דרך p. 
(ראה מישור פרויקטיבי לדיון בקולינאציות של המישור הפרויקטיבי הקלאסי).

גאומטריה שאריתית

נניח ש-F הוא דגל בגאומטריה, וחסרים בו אובייקטים מקבוצת הטיפוסים J (כלומר, יש ב-F אובייקט מכל טיפוס שאינו ב-J). הגאומטריה השאריתית של F כוללת את האובייקטים שהוספתם ל-F יוצרת דגל. לדוגמה, בגאומטריה שיש בה נקודות, ישרים, מישורים ומרחבים, אם F כולל ישר t ומרחב w (המכיל את t), אז הגאומטריה השאריתית שלו כוללת את כל הנקודות המוכלות ב-t והמישורים המכילים את t ומוכלים ב-w. לדוגמה, בגאומטריה פרויקטיבית d-ממדית, הגאומטריה השאריתית של נקודה היא פרויקטיבית d-1-ממדית, וכזו היא גם הגאומטריה השאריתית של כל תת-מרחב מממד d-1. לעומת זאת, בגאומטריה אפינית d-ממדית, הגאומטריה השאריתית של נקודה היא (שוב) פרויקטיבית d-1-ממדית, והגאומטריה השאריתית של תת-מרחב מממד d-1 היא אפינית מממד זה.
חשיבות מיוחדת יש לגאומטריה השאריתית של דגל שחסרים בו רק שני טיפוסים, וזאת משום שאם יש בגאומטריה אובייקטים משלושה טיפוסים או יותר, אפשר לתאר אותה, ולו באופן חלקי, באמצעות המבנה ההדדי של האובייקטים מכל שני טיפוסים בנפרד. נאמר שלטיפוסים i,j יש גאומטריה מסוימת X (בת שני טיפוסים), אם *כל* גאומטריה שאריתית של דגל שחסרים בו בדיוק שני הטיפוסים האלה עונה לקריטריונים המגדירים את X (ייתכן כמובן שהגאומטריה השאריתית של חלק מהדגלים מקיימת אקסיומות מסוימות, ואילו הגאומטריה השאריתית של דגלים עם אותם טיפוסים אינה מקיימת אותן). כאן יש שלוש דוגמאות חשובות: המישור הפרויקטיבי, המישור האפיני, ו"הגאומטריה המלאה" שבה כל אובייקט מטיפוס i חל בכל אובייקט מטיפוס j. למשל, בדוגמה שנתנו קודם לכן הגאומטריה השאריתית של F הייתה מלאה, משום שכל מישור המכיל את הישר t מכיל גם כל נקודה השייכת ל-t.

הדיאגרמה של גאומטריה

באמצעות הגאומטריות השאריתיות המתארות כל שני טיפוסים, אפשר לבנות לגאומטריה מרובת טיפוסים את הדיאגרמה שלה, שהיא גרף שקודקודיו הם הטיפוסים השונים. בדיאגרמה, *אין* מחברים שני טיפוסים i,j בקו, רק כאשר יש להם הגאומטריה המלאה. גאומטריה קווית היא גאומטריה שהדיאגרמה המתאימה לה היא מסלול (כלומר, יש לה טיפוסים 0,1,...,d, ולכל שני טיפוסים שאינם סמוכים יש הגאומטריה המלאה). נניח שבגאומטריה יש הטיפוס "נקודה"; אומרים שהיא מופרדת על ידי נקודות אם לכל שני אובייקטים, יש באחד מהם נקודה שאין בשני, וכאשר האובייקטים אינם חלים זה בזה, יש גם נקודה בשני שאינה בראשון. כל גאומטריה קבוצתית היא קווית, וכל גאומטריה קווית המופרדת על ידי נקודות היא קבוצתית.
למשל, גאומטריה פרויקטיבית d-ממדית היא קווית, ויתרה מכך, לכל שני טיפוסים סמוכים יש הגאומטריה של המישור הפרויקטיבי. גאומטריה אפינית d-ממדית היא קווית, ויתרה מכך, לכל שני טיפוסים סמוכים יש הגאומטריה של המישור הפרויקטיבי, פרט לטיפוסים 0,1 שלהם יש הגאומטריה של המישור האפיני. בגאומטריה קשירה-שאריתית שבה על כל ישר יש לפחות שלוש נקודות, אם יש לה הדיאגרמה של גאומטריה פרויקטיבית d-ממדית, אז היא כזו. בגאומטריה קשירה-שאריתית שבה על כל ישר יש לפחות ארבע נקודות, אם יש לה הדיאגרמה של גאומטריה אפינית d-ממדית, אז היא כזו. (גאומטריה היא קשירה אם כל אובייקט מחובר לכל אובייקט אחר בשרשרת של אובייקטים שבה כל שני איברים סמוכים חלים זה בזה; וקשירה-שאריתית אם כל גאומטריה שאריתית של דגל החסר לפחות שני טיפוסים, היא קשירה).