תחום שלמות

באלגברה מופשטת, תחום שלמות הוא חוג חילופי עם יחידה כפלית שאין בו מחלקי אפס (כלומר: אם , אז בהכרח  או ). בין הדוגמאות החשובות ניתן למצוא כל חוג שאיבריו הם מספרים ממשיים, ומכאן חשיבותה של המשפחה הזו בתורת המספרים האלגברית.

דוגמאות

כל שדה הוא תחום שלמות, כי הכפל בו קומוטטיבי וכל האיברים הפיכים- ובפרט הם אינם מחלקי אפס. הכיוון ההפוך לא נכון- לא כל תחום שלמות הוא שדה. לדוגמה חוג המספרים השלמים הוא תחום שלמות, כי אין בו מחלקי אפס והכפל בו הוא קומוטטיבי, אבל למשל למספר 2 אין הפכי בחוג השלמים.
דוגמה חשובה נוספת היא חוג הפולינומים עם מקדמים משדה , אותו מסמנים ב- . זהו תחום שלמות שאינו שדה.

תכונות בסיסיות של תחומי שלמות

בכל חוג, איבר הפיך לעולם אינו מחלק אפס. הסיבה היא שאם האיבר  הפיך, ומתקיים , אז אפשר לכפול את המשוואה הזו ב משמאל ולקבל ש־. תכונה זו נכונה גם כשעוברים לחוג גדול יותר: אם  הם חוגים ו-  הוא איבר הפיך דו-צדדי ב- , אז הוא אינו יכול להיות מחלק אפס ב- .
בתחום שלמות ניתן לצמצם שיוויונות מימין ומשמאל: אם ac=bc או ca=cb ו- , אז , כפי שאפשר לראות על ידי העברת אגפים.

הקשר בין תחומי שלמות לשדות

מכיוון שכל האיברים בשדה הם הפיכים, הם לא מחלקי אפס ולכן כל תת-חוג של שדה שמכיל את היחידה הכפלית מהווה תחום שלמות.
גם ההפך נכון: כל תחום שלמות מהווה תת-חוג של שדה, הנקרא "שדה השברים" של התחום. שדה השברים כולל את כל המנות  של איברים בחוג שבהן המכנה אינו אפס. למשל, שדה השברים של  הוא שדה המספרים הרציונליים , בעוד ששדה השברים של חוג הפולינומים הוא שדה הפונקציות הרציונליות . הבניה של שדה השברים מתוך התחום הנתון היא דוגמה למיקום (לוקליזציה).
בתחום שלמות, אוסף האיברים שאינם אפס סגור לכפל, ולכן מהווה מונואיד עם צמצום: אם  אז . כל מונואיד סופי עם צמצום הוא חבורה, ולכן תחום שלמות סופי הוא שדה.

חלוקה בתחומי שלמות

עבור תחום שלמות קבוע D, אומרים שאיבר a מחלק את האיבר b אם קיים איבר c כך ש- (זוהי הכללה של ההגדרה הרגילה במספרים שלמים). כל איבר מחלק את 0, ו-1 מחלק כל איבר. איבר המחלק את 1 נקרא איבר הפיך (למשל: בחוג השלמים האיברים ההפיכים הם . בשדה, כל האיברים הם הפיכים פרט לאפס). איברים המחלקים זה את זה נקראים ידידים.
איבר של החוג נקרא אי-פריק, אם לא ניתן לכתוב אותו בצורה  כאשר a ו- b אינם הפיכים. ישנו סוג מיוחד של איברים אי-פריקים, הנקראים ראשוניים. איבר ראשוני הוא איבר שאינו יכול לחלק מכפלה  בחוג, מבלי לחלק לפחות את אחד הגורמים שלה. ראשוני מוכרח להיות אי-פריק (אם אפשר לפרק את הראשוני p בצורה  אז p מוכרח לחלק את אחד הגורמים, למשל את a, ואז יוצא ש-b הפיך), אבל ישנם איברים אי-פריקים שאינם ראשוניים (ראה דוגמאות בהמשך). 
שתי ההגדרות מכלילות את ההגדרה הרגילה למספרים ראשוניים (לפי הלמה של אוקלידס, בחוג המספרים השלמים איבר הוא ראשוני אם ורק אם הוא אי-פריק, והמספרים בעלי תכונה זו הם המספרים הראשוניים הרגילים).
דוגמה: בתחום-השלמות , האיבר  אי-פריק, אבל אינו ראשוני (הוא מחלק את 10 אבל לא את הגורמים 2 או 5).

מחלקות של תחומי שלמות

התכונות של איברים אי-פריקים וראשוניים באות לידי ביטוי כשבוחנים את תהליך הפירוק לגורמים של איבר נתון a. אם a אי-פריק, סיימנו לפרק אותו; אחרת, אפשר לכתוב את a כמכפלה של איברים אחרים, ולהמשיך לפרק כל אחד מהם. בחוגים מסוימים (בעיקר חוגים נותריים) מובטח שהתהליך יעצר, בדיוק כפי שהתהליך של פירוק מספר שלם לגורמיו חייב להעצר.
בסופו של פירוק כזה כתבנו את a כמכפלה של איברים אי-פריקים (חוג שבו תמיד קיים פירוק כזה נקרא אטומי). לרוע המזל, (ולא כמו במספרים השלמים), פירוק כזה אינו חייב להיות יחיד. (דוגמה: המספרים  בחוג  שהוגדר לעיל הם כולם אי-פריקים, והנה , שני פירוקים שונים לאותו מספר).
מתברר שאם הגורמים האי-פריקים בפירוק הם כולם ראשוניים, אז אין פירוקים אחרים (פרט לזה שאפשר להחליף גורם בידיד שלו, ולערבב את הגורמים ביניהם). תחום שלמות שבו כל איבר ניתן לפירוק כמכפלה של אי-פריקים, וזה ניתן להעשות באופן יחיד, נקרא תחום פריקות יחידה. בחוג כזה כל איבר אי-פריק הוא גם ראשוני.
ישנו תנאי המבטיח פריקות יחידה: תחום שלמות  שבו כל אידיאל הוא אידיאל ראשי (כלומר מהצורה ), נקרא תחום ראשי. כל תחום ראשי הוא תחום פריקות יחידה, אבל ההפך אינו נכון (דוגמה: חוג הפולינומים בשני משתנים מעל שדה הוא תחום פריקות יחידה שאינו ראשי). לתחום ראשי יש ממד קרול 1, כלומר, כל אידיאל ראשוני שונה מאפס הוא מקסימלי.
כל חוג אוקלידי הוא תחום ראשי, וכל תחום ראשי הוא חוג דדקינד. כל חוג דדקינד הוא תחום שלמות נותרי וכל תחום שלמות נותרי הוא אטומי. בדיאגרמה משמאל מוצג סריג של מחלקות חשובות של תחומי שלמות: תחומי דדקינד, תחומי פרופר, תחומים ראשיים, תחומי פריקות יחידה, תחומי בזו, תחומים אטומיים,  תחומים בעלי gcd, ועוד. השילוב של שתי תכונות הוא התכונה החלשה ביותר שחזקה משתיהן; כך למשל תחום פרופר נתרי הוא תחום דדקינד, תחום בזו אטומי הוא ראשי, וכן הלאה.

משפטי מבנה

חוג חילופי הוא ראשוני אם ורק אם הוא תחום שלמות. תחום שלמות פשוט הוא שדה. תחום שלמות שאינו שדה לא יכול להיות חוג ארטיני.
מעל תחום ראשי, כל מודול נוצר סופית הוא מכפלה ישרה של מודולים ציקליים. זוהי הכללה של משפט המיון לחבורות אבליות נוצרות סופית, ושל הפירוק של מטריצות לבלוקי ז'ורדן.
בדיאגרמה משמאל מוצגות כמה משפחות עיקריות של מודולים מעל תחום שלמות R: אידיאלים של R, אידיאלים שבריים (תת-קבוצות מהצורה  של שדה השברים, כאשר d איבר של החוג ו-I אידיאל שלו), ומודולים כלליים: חופשיים, פרויקטיביים, שטוחים וחסרי פיתול. החצים השחורים מסמנים גרירה לוגית של תכונה אחת לאחרת. החצים הצבעוניים מאפיינים מחלקה של תחומי שלמות: תחום שלמות מקיים את אחד החצים הכחולים אם ורק אם הוא דדקינד, ואז הוא מקיים את כולם; וכן לתחומי פרופר, בזו ולתחומי שלמות נתריים.

הכללות

חוג שאין בו מחלקי אפס, אבל הוא אינו בהכרח חילופי, נקרא תחום. הדוגמה הטיפוסית כאן היא תת-חוגים של חוגים עם חילוק, אבל יש דוגמאות לתחומים שאינם כאלה (הראשונה ניתנה על ידי Malc'ev). בתחום אין אידיאלים שמאליים מינימליים, ולכן תחום ארטיני מוכרח להיות חוג עם חילוק. חוג בעל התכונה החלשה יותר " לכל " נקרא חוג מצומצם; כל חוג מצומצם הוא מכפלה ישרה של תחומים.
חוג קומוטטיבי בלי יחידה שאין בו מחלקי אפס (כגון אוסף השלמים הזוגיים) אינו נחשב לתחום, משום שאין בו יחידה.