משפטי סילו

משפטי סילו הם משפטים בתורת החבורות, העוסקים בתת-חבורות-p של חבורה סופית. הטענה המרכזית במשפטים אלה היא שאם  היא החזקה המרבית של p ראשוני המחלקת את הגודל של חבורה G, אז יש ל-G תת-חבורה מסדר . חבורות מסדר כזה נקראות חבורות p, ויש להן מבנה מיוחד מאד (למשל, הן נילפוטנטיות). משפטי סילו מאפשרים לחקור חבורות סופיות באמצעות תת-חבורות כאלה והפעולה שלה עליהן, ומכאן המעמד היסודי שלהן בתורת החבורות.
את המשפטים הוכיח המתמטיקאי הנורווגי לודוויג סילו בשנת 1872, והם מכלילים את משפט קושי שנוגע למקרה . 
במובן מסוים, משפטי סילו הפוכים למשפט לגראנז'. לפי משפט לגראנז', הסדר של תת-חבורה H של G חייב לחלק את הסדר של G. משפטי סילו מראים שאם נתון מחלק q של הסדר של G שהוא חזקת ראשוני, אז אפשר למצוא תת-חבורה מסדר q. משפטי סילו קובעים גם שכל תת-החבורות שסדרן הוא חזקת-p מקסימלית, צמודות זו לזו.

הגדרות

אם  הוא מספר ראשוני המחלק את הסדר של החבורה הסופית , אז קיימת חזקה מקסימלית של p המחלקת את הסדר. כלומר  מחלק, אבל  לא. לתת-חבורה של G שסדרה שווה ל- קוראים חבורת p-סילו של G. הגדרה שימושית אחרת לאותו מושג: חבורת p-סילו היא תת-חבורה של G שהיא חבורת-p, בעלת אינדקס זר ל-p.
לדוגמה, אם  אז תת-חבורה מסדר 3 היא חבורת 3-סילו של , ותת-חבורה מסדר 8 היא חבורת 2-סילו של .

ניסוח המשפטים

נניח ש-G חבורה סופית וש- היא חזקה מקסימלית של ראשוני p המחלקת את הסדר של G. נסמן ב- את מספרן של חבורות p-סילו השונות של G. נציין מיד שאם P חבורת סילו, אז תת-החבורות הצמודות לה גם הן חבורות p-סילו.

משפט סילו הראשון

לכל חבורה  קיימת חבורת p-סילו. (דהיינו ).
הכללה של משפט זה קובעת שלכל חזקת p המחלקת את הסדר של G, לאו דווקא החזקה המקסימלית, קיימת תת-חבורה בגודל זה.

משפט סילו השלישי

מספרן של חבורות p-סילו של  שקול לאחת מודולו p. כלומר

דוגמה

נראה שלכל חבורה G מסדר 105 מוכרחה להיות תת-חבורה נורמלית. , ולכן יש לחבורה תת-חבורות מסדר 3, 5 ו- 7. מספרן של החבורות מסדר 3 שקול ל-1 מודולו 3 ומחלק את 35 - ולכן הוא 1 או 7. באופן דומה מספרן של החבורות מסדר 5 הוא 1 או 21, ושל אלו מסדר 7 הוא 1 או 15. אם אחת מחבורות אלו היא יחידה מסדרה, אז היא נורמלית. נניח שאין כזו, אז יש 7 חבורות מסדר 3, שכולן ציקליות כמובן. חבורות מסדר ראשוני מוכרחות להיחתך זו עם זו באופן טריוויאלי, ולכן יש בהן  איברים מסדר 3. באופן דומה יש 84 איברים מסדר 5 ו- 90 מסדר 7. ביחד יותר מ-105, וזה בלתי אפשרי.

הוכחות

למשפטי סילו יש הוכחות רבות, למשל באינדוקציה על הסדר של G. ההוכחה שנציג כאן מבוססת על הפעולה של G על קבוצות מסוימות, והיא מיוחסת לנתן ג'ייקובסון. 
הוכחת המשפט הראשון. נסמן ב- X את אוסף כל תת-הקבוצות בגודל  של G. מכיוון ש- 
, קל לחשב ש- p אינו מחלק את העוצמה של X. החבורה פועלת על X על ידי כפל משמאל: . 
מכיוון שהגודל של X אינו מתחלק ב- p, מוכרח להיות מסלול תחת הפעולה של G, שגודלו אינו מתחלק ב- p. תהי  נקודה באותו מסלול; נבחר , אז גם  היא נקודה באותו המסלול, והיא מכילה את איבר היחידה של G. לכן אפשר להניח ש- . מצד אחד, המייצב של B מוכל ב- B (שהרי ), ולכן גודלו  לכל היותר. מצד שני, האינדקס של המייצב מחלק את , אבל הוא שווה לגודל המסלול, ולכן זר ל- p ומחלק את . יחד נובע מכאן שגודל המייצב שווה בדיוק ל- , ואם כך הוא שווה ל- B; אבל אז B היא חבורת p-סילו.
כעת נסמן ב- S את אוסף חבורות p-סילו של G; המשפט הראשון טוען ש- S אינה ריקה. החבורה G פועלת על S לפי הצמדה. 
טענה. אם תת-קבוצה T של S סגורה תחת הפעולה, אז גודלה שקול ל-1 מודולו p.
הוכחה. ברור שכל חבורת p-סילו היא תת-חבורת-p מקסימלית. לכן, אם P,Q שתיהן חבורות p-סילו, אז PQ אינה תת-חבורה של G (אחרת סדרה היה שווה ל- , וזו חזקת-p גדולה מדי). מכאן יוצא ש- Q אינה יכולה לנרמל את P (אחרת  היא תת-חבורה).
כעת תהי P חבורת p-סילו; בתור תת-חבורה של G, גם P פועלת על S בהצמדה, ולכן היא פועלת גם על T. גודלי המסלולים תחת הפעולה הזו מחלקים כמובן את הגודל של P, ולכן הם כולם חזקות של p. יש שני סוגים של מסלולים: אלה שגודלם 1, ואלה שגודלם מתחלק ב- p. אם Q היא נקודה יחידה במסלול, אז P מנרמלת את Q, וזה בלתי אפשרי - אלא אם Q=P. כלומר, יש רק מסלול אחד שגודלו 1, והוא המסלול המכיל את P בלבד. גודלי שאר המסלולים מתחלקים ב- p, ולכן סכום הגדלים של כל המסלולים (שהוא כמובן הגודל של T) שקול ל-1 מודולו p.
הוכחת המשפט השלישי. מספיק לבחור T=S בטענה. 
הוכחת המשפט השני. לפי הטענה, הגודל של כל מסלול שקול ל-1 מודולו p. אבל כך גם עבור האיחוד של שני מסלולים, אילו היו כאלה, וזה כמובן בלתי אפשרי. מכאן שיש בפעולה רק מסלול אחד, ובמלים אחרות זוהי פעולה טרנזיטיבית.