מודל הודג'קין-האקסלי

רקע

דחף עצבי הוא פעימה של מתח חשמלי המתקדמת לאורך הסיב העצבי. בסוף המאה ה-18 זיהה גלווני לראשונה כי מדובר בתופעה חשמלית. בשנת 1872 זיהה לודימר הרמן (Ludimar Hermann) כי פעימת המתח החשמלי לאורך הסיב העצבי מלווה במעבר זרם חשמלי דרך הרקמה שתיוודע לימים בשם קרום הסיב. בשנת 1905 הציע הרמן כי הדחף העצבי מתקדם בסיב באופן סביל, כמו אות טלגרף בכבל תת-ימי. 'תורת הכבל' של הרמן', המנתחת את אופן התפשטותו של אות חשמלי בסיב המבודד חשמלית על ידי ציפויו, עדיין נמצאת בשימוש בימינו. עם זאת, עד שנות ה-30 של המאה ה-20 נתקלה הצעתו בספקנות מצד פיזיולוגים עמיתים, שהציעו מנגנונים אחרים להולכת הדחף העצבי ואף ראו בזרמים החשמליים תוצר לוואי של התפשטות כימיקלים הנושאים את המידע העצבי. למעשה, היו שחלקו על עצם קיומו של קרום התא, שהוצע על ידי יוליוס ברנשטיין (Julius Bernstein) בשנת 1901.
בשנת 1923 החל הביופיזיקאי האמריקני קנת' ס. קול (Kenneth_S._Cole) לנתח את התכונות החשמליות של קרום התא, על ידי מדידת העכבה החשמלית של תאים בודדים. התאים הושמו בין שני הדקיו של גשר ויטסטון והעכבות שנמדדו שימשו לבניית מעגל תמורה חשמלי המורכב מנגדים וקבלים, המייצגים את הקרום והתמיסות התוך-תאית והחוץ-תאית.
בשנת 1935 החל הודג'קין לחקור את התכונות החשמליות של עצב השת של צפרדעים. 
תכונותיו החשמליות של סיב עצבי ענק של דיונון ממין Loligo pealeii.

הבסיס הפיזיולוגי של המודל

כל תעלת יונים היא תצמיד של  מספר תת-יחידות חלבוניות הטבולות בקרום התא וביניהן נִקבה חלולה, דרכה מסוגלים יונים לעבור. הניקבה בנויה כך שהולכה של יונים מסוג מסוים (למשל אשלגן, נתרן, כלור או סידן) מתבצעת ביעילות גבוהה הרבה יותר מאשר יונים אחרים. כל אחת מתת-היחידות המרכיבות את התעלה מצוידת במחוש רגיש למתח, המצומד מכנית לקצה התוך-תאי של תת-היחידה. שינוי הממתח החשמלי על פני קרום התא מביא לתזוזה של המחוש, המביאה בתורה לשינוי הסידור המרחבי של הקצה התוך-תאי של תת-היחידה, המכונה בהתאם שער. התעלה פתוחה להולכת יונים רק כשכל השערים עליה עוברים למצב פתוח, כלומר מפנים את הכניסה לנקבה.
זרם היונים דרך תעלת יונים בודדת תלוי במוליכותה ובממתח החשמלי על פניה. מוליכות קרום התא ליונים אלה תתקבל כמכפלה (או אינטגרל) של מוליכות התעלה הבודדת בצפיפות התעלות הפתוחות:

משוואות המודל

הנגזרת הזמנית של ממתח הקרום מתכונתית לזרם הכולל דרך קרום התא, בהתאם למשוואה הבאה:
כאשר Iᵢ מסמל את מרכיבי הזרם השונים. בקירוב טוב ניתן להתחשב בזרמים העיקריים - זרמי יוני נתרן ואשלגן - אליהם נוסיף זרם זליגה קטן IL:
כל אחד מזרמי היונים תלוי במוליכות הקרום לאותו יון ובממתח החשמלי Vₘ על פני הקרום:
כאשר Vᵢ הוא מתח נרנסט לאותו יון. באופן פרטני לכל אחד מהזרמים:
הודג'קין והקסלי מדדו את זרמי הנתרן והאשלגן המתקבלים עבור ממתחים שונים על הקרום וכך חישבו את המוליכויות כפונקציות של המתח. הם ניסו למצוא פונקציות פשוטות ככל הניתן שיתאימו לעקומי המוליכות שמדדו באופן נסיוני. הוצעה פונקציה מהתבנית הבאה:
כאן  הוא מקדם קבוע, k ו-l הם מספרים שלמים ו- הם משתנים שערכם נע בין אפס לאחד כפונקציה של מתח הקרום. משתנים אלה מכונים משתני מיתוג (gating variables). עבור תעלות אשלגן די במשתנה מיתוג יחיד n המועלה לחזקה רביעית:
פתיחת תעלות נתרן תוארה באמצעות שני משתני מיתוג, m ו-h:
ניתן לטפל בכל שער כמכונת מצבים עם שני מצבים: פתוח וסגור. תהי  ההסתברות לפתיחת שער סגור ו- ההסתברות לסגירת שער פתוח. מערכת המשוואות הבאה מתארת את הדינמיקה של משתני המיתוג:
הוצעו פונקציות  מהצורה:
הפרמטרים במשוואות אלה נקבעו באופן אמפירי. עבור הסיב העצבי הענק של הדיונונים שבחנו הודג'קין והקסלי הותאמו הערכים הבאים:
מערכת המשוואות הלא-ליניאריות היא לרוב סבוכה מכדי לפתור אותה באופן אנליטי, למעט מקרי קצה מופשטים. הפתרון נמצא בדרך כלל באמצעות שיטות מספריות. עבור תאי עצב בודדים די בעוצמת החישוב של מחשב ביתי, אך להדמיית רשתות עצביות נדרשת עוצמת חישוב ניכרת ופישוט מקורב של מערכת המשוואות.

תקפות המודל

המודל מבוסס על מערכת משוואות דיפרנציאליות רגילות לא-ליניאריות, המקרבות את התכונות החשמליות של קרומי תאים הניתנים לעירור, כדוגמת תאי עצב וסיבי שריר מיוגניים בלב.