משפטי האי-שלמות של גדל

משפטי האי-שלמות של קורט גדל הם צמד משפטים יסודיים בלוגיקה מתמטית, הענף החוקר את יסודות הלוגיקה בכלים מתמטיים.
במשפט הראשון, גדל הראה שכל מערכת אקסיומות אפקטיבית ועשירה מספיק (כזו המכילה חלק מספיק גדול מאקסיומות האריתמטיקה) שהיא עקבית, היא בהכרח לא שלמה, משמע שקיימות טענות שלא ניתנות להכרעה, כלומר שלא ניתן להוכיחן או להפריכן. בכך גדל שם קץ לניסיונות רבים לבנות מערכת אקסיומטית כוללת שממנה תנבע כל המתמטיקה.
ואילו במשפט השני הראה גדל תוצאה עוד יותר חזקה, והיא, שאף אם  המערכת עקבית, לא ניתן להוכיח את עקביותה מתוך המערכת.
המשפטים מצוטטים בתרבות הפופולרית בצורות שונות, לעיתים שגויות, ובפרט יש בלבול סביב השאלה האם המשפטים טוענים ש־"קיימות טענות אמיתיות שלא ניתן להוכיח". המשפטים מוכיחים שעבור כל מערכת כמתואר לעיל קיימת טענה על מספרים טבעיים שהיא אמיתית אך אינה ניתנת להוכחה במערכת. עם זאת, קיים גם משפט לכאורה הפוך, משפט השלמות של גדל, שקדם למשפטי האי־שלמות, שטוען שבכל מערכת כזו אפשר להוכיח כל טענה הנכונה בכל מודל המתאים למערכת (כלומר בכל פרשנות אפשרית של המערכת). משילוב שני המשפטים נובע שכל מערכת עקבית לתיאור המספרים הטבעיים אפשר לפרש בצורות שונות, שחלקן שונות מהדרך הרגילה בה אנו תופסים את המספרים הטבעיים. כלומר אפשר להתאים להן מודל שאינו מודל המספרים הטבעיים הסטנדרטי. הטענות שאינן ניתנות להכרעה יהיו אמיתיות בחלק מהמודלים הללו, ושקריות באחרים.

מבוא לא פורמלי

מראשית ימי המתמטיקה ועד למאה העשרים פעלו המתמטיקאים מתוך הנחה שבטיפול בכל טענה מתמטית ייתכנו רק שני כיוונים: ניתן להוכיח את הטענה, או לחלופין ניתן להפריכה (כלומר להוכיח שהטענה אינה נכונה). גם אם קשה מאוד לפתור בעיה מסוימת, הרי אם יושקעו בה מאמץ וכשרון במידה מספקת - תימצא לה הוכחה נאותה. דויד הילברט, גדול המתמטיקאים בתחילת המאה העשרים, ידע שזו הנחה שלא זכתה להוכחה, אך הוא היטיב לתארה באומרו: "ההכרה ביכולת לפתור כל בעיה מתמטית היא תמריץ עז לכל מי שטורח על הפתרון. אנו שומעים בתוכנו את הקריאה המתמדת: הנה הבעיה, מצא את פתרונה, אתה יכול לעשות זאת בכוח המחשבה בלבד, כי במתמטיקה לא ניתקל בחוסר יכולת לדעת".
בשנת 1931 הוכיח הלוגיקן קורט גדל (Gödel), במאמרו "על טענות שאינן ניתנות להוכחה בפרינקיפיה מתמטיקה ובמערכות דומות", שהנחה זו שגויה.
משפט האי-שלמות הראשון של גדל, שהפך לאבן פינה בלוגיקה המתמטית, הוסיף אפשרות שלישית לגורל הצפוי לטענה מתמטית. המשפט קובע כי בכל מערכת לוגית מקיפה, ניתן לבנות באמצעות אלגוריתם טענות שמחד אינן ניתנות להוכחה ומאידך אינן ניתנות להפרכה מתוך אותה קבוצת אקסיומות. הטענות הנבנות דומות מאוד לפרדוקס השקרן (פרדוקס שבו אדם מסוים אומר "אני עכשיו משקר"), אך שונות ממנו, שכן לא נטען בהן שהן אינן נכונות. ההוכחה הפורמלית של המשפט מראה בצורה קונסטרוקטיבית כיצד ניתן לבנות טענה פורמלית האומרת "לא ניתן להוכיח אותי".
במשך שנים לאחר פרסום המשפטים רווחה ההנחה שאמנם קיימות טענות שלא ניתן להוכיח או להפריך אך הן "לא טבעיות", כלומר לא סביר שבמהלך פיתוח סטנדרטי של תורה מתמטית ניתקל במשפטים כאלו. ההנחה הזו התבררה כשגויה באופן קיצוני בעקבות הוכחת העצמאות של השערת הרצף. השערת הרצף שהוצעה על ידי גאורג קנטור, טוענת כי לא קיימת קבוצה שעוצמתה גדולה מזו של המספרים הטבעיים וקטנה מזו של המספרים הממשיים. השערה זו נחשבה לאחת מהבעיות הפתוחות המרכזיות במתמטיקה בתחילת המאה ה-20 (זו הבעיה הראשונה ברשימת 23 הבעיות של הילברט). בשנת 1937 הוכיח גדל כי לא ניתן להפריך השערה זו במסגרת  אקסיומות ZFC ובשנת 1963 הוכיח פול כהן כי לא ניתן להוכיח השערה זו במסגרת ZFC. 
במשפט האי-שלמות השני הוכיח גדל כי תורה עקבית שהיא מספיק חזקה לקיים את אקסיומות פיאנו (שהאריתמטיקה הרגילה מכילה אותה) ובפרט כזאת שמקיימת את האקסיומות של תורת הקבוצות (ZF) לא יכולה להוכיח את העקביות של עצמה. משמעות הדבר היא שאין אפשרות להוכיח בתוך המערכת כי האקסיומות הן עקביות. מזה נובע שלעולם לא נוכל להיות בטוחים לחלוטין שהמערכת עקבית ולא כוללת סתירות נסתרות - כי או שהיא אינה עקבית, או שהיא עקבית אך לא נוכל להוכיח זאת. אולם, האפשרות שאי אפשר להפריך את העקביות של עצמה תלויה במערכת האקסיומות שלה (יכול להיות שטענה זאת בלתי תלויה במערכת האקסיומות שלך ויכול להיות שהיא לא נכונה).
תנאי המשפט אינם מחייבים מספר סופי של אקסיומות. כלומר, גם אילו היו בידינו אינסוף אקסיומות של תורת המספרים, היה המשפט מתקיים בתנאי הרגיל, שניתן יהיה לזהות בקלות האם טענה נתונה היא אקסיומה של המערכת (תכונה זו נקראת אפקטיביות).
רעיון זה הופיע עוד קודם לכן בכתביו של אחד מצמד מחברי "פרינקיפיה מתמטיקה", אלפרד נורת' וייטהד. וייטהד טען טענה דומה בספרו "המדע והעולם המודרני" (1925), על כך שכל מערכת טענות תהא פתוחה, כך שיוותרו בה טענות שלא יהיו ניתנות לאישוש או להפרכה. רעיונות דומים הופיעו זמן רב לפני כן. בספר השישי לפוליטאה, למשל, מתאר אפלטון את המתמטיקה ואת כל מדעי הדיאנויה (מחשבה), כמדעים היפותטיים, בהם יש טענות שניתן להניחן אך לא להוכיחן או להפריכן מתוך המערכת עצמה (בדומה לאקסיומות של הגאומטריה).

ההשפעה של המשפט

ההשפעה של המשפט על התפתחות המתמטיקה הייתה רבה. משפט האי-שלמות למעשה ייתר את תוכנית הילברט ובכך פגע אנושות בניסיון לבצע אקסיומטיזציה של המתמטיקה. לאחר ההוכחה, חדלו המתמטיקאים בהדרגה לעסוק בנושא בניית יסודות המתמטיקה שהעסיקם רבות בראשית המאה ה-20 עקב תחושה של יאוש מהנושא.
משפט גדל היווה גם, על פי תפיסות מסוימות, הפרכה לתפיסה הפורמליסטית של המתמטיקה כאוסף כללים חסרי משמעות מחוץ למערכת או שמשמעותם מחוץ למערכת אינה עניין מתמטי. חוסר היכולת לקבוע פורמלית את נכונותם של משפטים אלו ואחרים שימש כראייה לכך שהאדם לא מסוגל לתפוס כל אמת, שהרי כל הוכחה הידועה לאדם מבוססת על מערכת אקסיומות סופית. 
טענה אחרת דווקא מסיקה מהמשפט את עליונותו של האדם. על פי טענה זו, ישנן אמיתות שאף מחשב תאורטי לא יכול להכילן (מדובר על מודל של מחשב, בלי תלות בקיומו הממשי, ראו מדעי המחשב ומכונת טיורינג), כיוון שעל פי תזת צ'רץ'-טיורינג כל ההוכחות האפשריות של המחשב המושלם (מכונת טיורינג) יכולות להיות מאורגנות בצורת מערכת פורמלית. ואולם, האדם יהיה מסוגל לדעת גם טענות שלא כלולות במערכת זו (דוגמה המובאת לטענה זו היא עקביות המערכת הפורמלית בה משתמש המחשב). הפיזיקאי רוג'ר פנרוז התבסס על משפטי האי-שלמות של גדל בהעלותו את ההשערה כי האינטליגנציה האנושית ניתנת להסבר רק על ידי קיומן ההיפותטי של אינטראקציות קוונטיות במוח. אף לא אחת מטענות אלו מוסכמת על כלל הפילוסופים, ובוודאי ששתיהן אינן עומדות בדרישות הריגורוזיות המתמטית. 
ההשפעה מחוץ לתחומי המתמטיקה הייתה רבה אף היא. משפט האי-שלמות משמש את חסידי העידן החדש על מנת לנגח את יומרתו כביכול של המדע לדעת הכל. לטענתם, אם אפילו המערכות המתמטיות הבסיסיות ביותר אינן ניתנות להוכחה, אזי ישנה בעייתיות בגישה על פיה מסוגל המדע להבין את העולם. משפט זה נכרך לעיתים קרובות יחד עם מכניקת הקוונטים בידי גורמים עוינים למדע על מנת להוכיח את אי היכולת של המדע לדעת הכול. אך גדל עצמו לא היה מסכים לכך. כי הפוסטמודרניזם עמד בניגוד מוחלט לגדל, שהיה פלטוניסט.
בספרו שלוש מהפכות קופרניקניות הציג הפרופסור זאב בכלר את משפטי האי-שלמות של גדל כהפרכה אחת מני רבות לתפיסה אותה הוא מכנה "אקטואליזם". במקרה זה, טענתו היא שהמתמטיקה מכילה תוכן ולא רק צורה, בניגוד לתפיסות אקטואליסטיות שטוענות להפך. זאת, בהתאם להתמקדותם הכללית (על פי המתואר בספר) בצורניות ובשפה ולא בעולם, מתוך ההנחה ש"אין משמעות למושג האמת"- פילוסופיה שתקפה הן לגבי המוסר והן לגבי המדע והמתמטיקה. בכך הולך בכלר בדרכו של גדל עצמו במידת מה, בניגוד לתפיסות הפוסטמודרניות, שכן גדל האמין באמת אחת והתכוון שמשפטו יהווה הפרכה לפורמליזם שראה כמרוקן את המתמטיקה מתוכנה.