חוג עם חילוק

במתמטיקה, חוג עם חילוק הוא חוג (אסוציאטיבי) עם יחידה, שבו כל איבר שונה מאפס הוא הפיך. חוג קומוטטיבי (לא טריוויאלי) עם חילוק אינו אלא שדה. הדוגמה הראשונה והמוכרת ביותר לחוג עם חילוק שאינו שדה היא אלגברת הקווטרניונים של המילטון.
חוגים עם חילוק מופיעים באופן טבעי באלגברה (האסוציאטיבית) בזכות הלמה של שור: חוג האנדומורפיזמים של מודול פשוט הוא חוג עם חילוק. תוצאה זו היא המפתח לתורת המבנה של ארטין-ודרברן, המוכיחה בין השאר שכל חוג ארטיני פשוט הוא חוג של מטריצות מעל חוג עם חילוק (משפט ודרברן-ארטין).
בחקירת המבנה של חוגים עם חילוק, נקודת המוצא היא העובדה שהמרכז של חוג עם חילוק הוא שדה, ולכן החוג מהווה אלגברה מעל המרכז שלו. חוגים עם חילוק בעלי ממד סופי מעל המרכז, שהוא שדה F, נלמדים יחד עם שאר האלגברות הפשוטות המרכזיות מעל אותו שדה. לחוג עם חילוק אין אידיאלים חד-צדדיים. לפי משפט Cartan-Brauer-Hua, אין לחוג עם חילוק תת-חוגים הנשמרים תחת הצמדה (פרט לחוג עצמו, ולתת-החוגים המוכלים במרכז שלו).
גם בתאוריה של אלגברות לא אסוציאטיביות, המיון של אלגברות עם חילוק תופס מקום יסודי בתורת המבנה של כל מחלקה חשובה. תיאור מלא של אלגברות עם חילוק מממד סופי ידוע עבור אלגברות אלטרנטיביות, אלגברות ז'ורדן ואלגברות ריבועיות.

הקשר למחלקות אחרות של חוגים

בחוג עם חילוק אין אידיאלים חד-צדדיים, ולכן כל חוג כזה הוא פשוט (ולכן פרימיטיבי, ולכן ראשוני). ההפך אינו נכון: החוגים , כאשר D חוג עם חילוק, הם פשוטים, אבל יש בהם מחלקי אפס. כל תת-חוג של חוג עם חילוק הוא ראשוני (משום שאין בו מחלקי אפס). במקרה הקומוטטיבי, כל חוג ללא מחלקי אפס מוכל בשדה. טענה זו אינה נכונה במקרה הלא-קומוטטיבי: יש חוגים ללא מחלקי אפס, שאינם ניתנים לשיכון בחוג עם חילוק (Malcev, 1938).
מנקודת מבט נאיבית אפשר לראות בחוגים עם חילוק הכללה של שדות למקרה הלא קומוטטיבי, שהרי כל חוג קומוטטיבי עם חילוק הוא שדה. ואכן, חוג עם חילוק נקרא גם "שדה מעוות" (skew field) או אפילו סתם "שדה". עם זאת, יש מחלקות אחרות שאפשר לראות בהן הכללה לא קומוטטיבית של שדות באותה מידה של הצדקה: חוגים פשוטים, חוגים קומוטטיביים, ואף חוגים רגולריים שאינם מכפלה ישרה. לכל חוג קומוטטיבי (עם יחידה) יש חוגי מנה שהם שדות, ובאופן אנלוגי לזה, לכל חוג יש חוגי מנה פשוטים, אבל לאו דווקא מנות עם חילוק. לחוג אידיאלים חופשיים למחצה יש "שדה אוניברסלי", שהוא חוג מנה, עם חילוק, שיש הצבה (specialization; הצבה היא הטלה מתת-חוג מקומי שהגרעין שלה הוא האידיאל המקסימלי שלו) ממנו לכל מנה אחרת עם חילוק. בפרט, כאשר בונים באופן כזה את השדה האוניברסלי של אלגברה חופשית (לא קומוטטיבית), מתקבלת אלגברת חילוק גנרית, שאותה בנה שמשון עמיצור ב-1966, באמצעים אחרים. מאחר שהאלגברה החופשית הקומוטטיבית היא חוג פולינומים, אלגברה זו היא האנלוג הלא קומוטטיבי לשדה הפונקציות הרציונליות. עם זאת, לא כל איבר באלגברת החילוק הגנרית הוא מהצורה , והצורה הכללית של איברים באלגברה הגנרית היא מסובכת בהרבה. (רק לחוגים המקיימים את תנאי אור יש שיכון בחוג חילוק, שבו כל איבר הוא מנה של איברים מן החוג המקורי).

אלגברה ליניארית מעל חוגים עם חילוק

חוגים עם חילוק קרובים לשדות במידה כזו שאפשר לפתח מעליהם חלקים גדולים של האלגברה הליניארית, לרבות המושגים מרחב וקטורי, מטריצה והעתקה ליניארית. כל המודולים מעל חוג עם חילוק הם חופשיים, ויש להם דרגה מוגדרת היטב (בדומה לממד של מרחבים וקטוריים). יוצא דופן חשוב הוא הדטרמיננטה - לא קיימת העתקה כפלית מן המטריצות מעל חוג עם חילוק אל החוג עצמו (אבל ראו דטרמיננטת דודונה). מטריצה בגודל n נקראת "מלאה" אם אי אפשר לפרק אותה למכפלה PQ שבה מספר העמודות ב-P קטן מ-m. מעל חוג עם חילוק מטריצה היא מלאה אם ורק אם היא הפיכה (אבל מעל תחומי שלמות שאינם שדות ייתכן שמטריצה תהיה מלאה אף על פי שאינה הפיכה אפילו מעל שדה השברים).

חוגים לא אסוציאטיביים עם חילוק

סעיף זה מטפל באלגברות לא אסוציאטיביות. חוג עם חילוק הוא חוג שבו כל אופרטור כפל מימין או משמאל הוא הפיך (כאופרטור), כלומר, לכל משוואה ax=b או xa=b (עם a שונה מאפס) יש פתרון יחיד. כמו במקרה האסוציאטיבי, המרכז הוא שדה, וכל חוג עם חילוק הוא אלגברה (מעל המרכז שלו). בניגוד למקרה האסוציאטיבי, לחוג עם חילוק שאינו אסוציאטיבי לא מוכרח להיות איבר יחידה (באלגברת חילוק מממד סופי שהיא בעלת חזקה אסוציאטיבית בהחלט, יש איבר יחידה). כל חוג עם חילוק הוא פשוט. אם A אלגברה מממד סופי, אז היא אלגברה עם חילוק אם ורק אם אין לה מחלקי אפס; לכן, בממד סופי, אם כל אופרטורי הכפל משמאל הפיכים, אז A חוג עם חילוק.
בחוג עם חילוק (עם יחידה) כל האיברים הפיכים מימין ומשמאל. איבר x הוא הפיך אם יש y כך ש-xy=yx=1. ההנחה ש-x הפיך אינה שקולה לכך שאופרטורי הכפל מימין או משמאל ב-x יהיו הפיכים. עם זאת, באלגברה אלטרנטיבית התכונות כן שקולות זו לזו, ואלגברה אלטרנטיבית שבה כל האיברים הפיכים היא אלגברה עם חילוק.
חוג עם חילוק סופי שהוא בעל חזקה אסוציאטיבית בהחלט, ממאפיין שונה מ-2, הוא שדה (זוהי הכללה של המשפט הקטן של ודרברן).

מעל הממשיים

תשומת לב מיוחדת הוקדשה לאלגברות חילוק מממד סופי מעל הממשיים, משום שחבורת האוטומורפיזמים של אלגברה כזו היא חבורת לי (שאלגברת לי הצמודה לה היא אלגברת הנגזרות של האלגברה המקורית).
באופן כללי הממד של אלגברה עם חילוק מממד סופי מעל שדה נתון אינו חסום (יש אלגברות חילוק מעל הרציונליים מכל ממד ריבועי). מעל הממשיים, לעומת זאת, המצב שונה בתכלית. פרובניוס הוכיח ב-1878 שיש רק שלוש אלגברות אסוציאטיביות עם חילוק בעלות ממד סופי מעל הממשיים: הממשיים עצמם, המרוכבים ואלגברת הקווטרניונים של המילטון. מקס צורן הראה ב-1931 שיש רק ארבע אלגברות אלטרנטיביות עם חילוק בעלות ממד סופי מעל הממשיים: שלוש האלגברות האסוציאטיביות, ואלגברת האוקטוניונים ; כל אלה הן אלגברות קיילי-דיקסון 
. לבסוף הוכיח היינץ הופף, בעזרת שיטות מתחום הטופולוגיה האלגברית, שהממדים המותרים לאלגברת חילוק (לא אסוציאטיבית) מעל הממשיים הם אך ורק 1,2,4,8. לפי משפט גלפנד-מזור, אלגברות בנך שהן אלגברות חילוק מוכרחות להיות ממד סופי (ולכן 1,2,4 או 8).