למניסקטה

בגאומטריה אלגברית, למניסקטה (באנגלית: Lemniscate) היא עקומה שמזכירה בצורתה את הספרה שמונה או את סימן האינסוף ∞. המושג בא מהמילה הלטינית "lēmniscātus" שפירושה "מעוטרת עם סרטים".

מקורות מוקדמים

את העיסוק הראשוני בעקומות בעלות צורה כשל הספרה שמונה ניתן לייחס לפרוקלוס, פילוסוף ומתמטיקאי יווני נאופלטוניסטי מהמאה ה-5 לספירה. פרוקלוס התייחס לחיתוכים של טורוס על ידי מישור שמקביל לציר הטורוס. רוב החתכים האפשריים מורכבים מעקום או שני עקומים אובליים נפרדים; עם זאת, הוא הבחין שבמקרה הגבולי, כאשר המישור החותך משיק למשטח הפנימי של הטורוס, אז החתך מקבל את הצורה של הספרה שמונה, אשר לה פרוקלוס קרא "אזיקי סוס" (אמצעי להחזקת שתי הרגליים של הסוס יחדיו). המונח "למניסקטה" הופיע לראשונה במאה ה-17.
הבנייה של עקומים כחיתוך של הטורוס על ידי מישור שמקביל לציר הטורוס מובילה ישירות להגדרה האלגברית שלהם כאוסף האפסים של הפולינום ממעלה רביעית:
 כאשר המקדם d שלילי, והמקדמים c,d,e נקבעים על ידי המידות של הטורוס ומרחק המישור מצירו a.

הלמניסקטה של ברנולי

ב-1680, חקר קאסיני משפחה של עקומים, שכעת נקראים האובלים של קאסיני, אותה הוא הגדיר כך: המקום הגאומטרי של כל הנקודות, אשר מכפלת מרחקיהן משתי נקודות קבועות, שהן המוקדים של העקום, קבועה. תחת נסיבות מאוד מסוימות (כאשר מחצית המרחק בין הנקודות משתווה לשורש הריבועי של הקבוע), האובל של קאסיני הופך ללמניסקטה.
ב-1694, יוהאן ברנולי חקר את המקרה שבו האובל של קאסיני הופך ללמניסקטה (שכעת נקראת הלמניסקטה של ברנולי) בהקשר של "בעיית האיזוכרונות" שהוצעה קודם על ידי לייבניץ. עקומה זאת ניתנת לתיאור אנליטית על ידי המשוואה הפולינומית . אחיו של יוהאן, יאקוב ברנולי, חקר גם הוא את העקומה באותה שנה, והוא היה זה שהעניק לה לראשונה את השם "למניסקטה". זוהי מקרה פרטי של העקום שנוצר על ידי חיתוך של מישור בטורוס כאשר , מצב שקורה כאשר הלמניסקטה היא חתך של טורוס אשר החור הפנימי שלו והחתך המעגלי שלו (כלומר חתך ה"צינור" שכופף לכדי טורוס) הם בעלי אותו קוטר. פונקציות אליפטיות למניסקטיות הן אנלוגיות לפונקציות הטריגונומטריות בעבור הלמניסקטה של ברנולי, וקבועי הלמניסקטה צצים באופן טבעי בחישוב אורך הקשת של עקומה זאת.

הקשר בין הלמניסקטה של ברנולי לאינטגרלים אליפטיים

הקביעה של אורך הקשת של הלמניסקטה של ברנולי מובילה לאינטגרלים אליפטיים, כפי שנתגלה במאה ה-18. בקואורדינטות גליליות ניתן לרשום את משוואת הלמניסקטה של ברנולי בצורה: , וניתן להניח בלי הגבלת הכלליות שמשוואה זו היא: . גזירה של הפונקציה הסתומה  נותנת: 
, או: . הנוסחה לאורך עקומה בקואודינטות גליליות היא: , ולכן נקבל שבמקרה זה אורך קשת הלמניסקטה בין r = 0 ל-r = s הוא: .
כלומר קיבלנו שכדי לחשב את אורך קשת הלמניסקטה יש לחשב אינטגרל אליפטי. בסביבות 1800, הפונקציות האליפטיות שהופכות את האינטגרלים הללו נחקרו על ידי קרל פרידריך גאוס (עבודותיו כמעט ולא פורסמו בזמנו, אולם רמזים לה ניתנו בספרו מחקרים אריתמטיים). סריג המחזורים של פונקציות אלו הוא בעל צורה מיוחדת מאוד, שכן נקודות הסריג הן השלמים הגאוסיים, עד כדי כפל בקבוע ממשי.
פונקציית אורך הקשת   מגדירה את הסינוס הלמניסקטי כפונקציה ההפוכה  עם מחזור . בדומה לזה מוגדר הקוסינוס הלמניסקטי . פונקציות אלה מקיימות את היחס . הן מקיימות גם נוסחאות חיבור וחיסור:  ו-.

חלוקת הלמניסקטה בעזרת סרגל ומחוגה

בעבור חלוקת עקומת הלמניסקטה לחלקים שווים קיים קריטריון אנלוגי לזה של חלוקת המעגל בעזרת סרגל ומחוגה. במקרה של חלוקת המעגל לקשתות שוות, גאוס הוכיח שניתן לחלק את המעגל ל-n קשתות שוות אם ורק אם n הוא מכפלה של חזקה של 2 וראשוני פרמה שונים. בהקדמה לפרק השביעי של מחקרים אריתמטיים שלו (מאמר 335), גאוס כתב:
"את עקרונות התאוריה אותה אנו נסביר ניתן להרחיב למעשה הרבה מעבר למה שנציין. זאת מכיוון שהם ניתנים ליישום לא רק לפונקציות המעגליות אלא גם לפונקציות טרנסצנדנטיות אחרות, בין היתר לאלו שתלויות באינטגרל ."
בכתביו של גאוס שלא פורסמו מופיעה חלוקה אלגברית מפורשת של הלמניסקטה לחמישה חלקים שווים. עם זאת, דבר בכתביו שנותרו לא כולל תוצאה מקיפה כמו התוצאה שלו בנוגע למעגל. הראשון שפתר את הבעיה של חלוקת הלמניסקטה ל-n חלקים שווים באופן מלא היה נילס הנריק אבל ב-1827, בהשראת ספרו של גאוס, שמצא שהלמניסקטה ניתנת לחלוקה לחלקים שווים בדיוק עבור אותם ערכים של n כמו במקרה של המעגל, דהיינו:  כאשר כל  הוא מהצורה . תוצאה נפלאה זאת שימשה, אולי יותר מכל תוצאה אחרת, כדי להדגים את התפקיד המאחד שיש לפונקציות אליפטיות בגאומטריה, אלגברה ותורת המספרים.
חלוקת הלמניסקטה ל-n חלקים שווים שקולה לבניית שורשי היחידה הלמניסקטיים , שהם מספרים אלגבריים. נוסחאות החיבור מטילות על קבוצת השורשים  פעולה ההופכת אותה לחבורה הציקלית מסדר n. בדומה למקרה של סיפוח שורשי יחידה רגילים, הרחבת השדות  היא הרחבת גלואה, שחבורת גלואה שלה איזומורפית לחבורת אוילר של n. התוצאה של אבל נובעת מעובדות אלה, בדומה למיון המצולעים המשוכללים הניתנים לבניה.