מרחב כיסוי

במתמטיקה ובמיוחד בטופולוגיה, מרחב כיסוי הוא מרחב טופולוגי C אשר "מכסה" מרחב טופולוגי אחר X באמצעות הומיאומורפיזם מקומי ועל  הנקרא העתקת כיסוי. מרחבי כיסוי נלמדים בטופולוגיה אלגברית, אך יש להם חשיבות גם בענפים נוספים במתמטיקה, כגון גאומטריה דיפרנציאלית, חבורות טופולוגיות ומשטחי רימן.
התורה של מרחבי כיסוי קשורה קשר הדוק לחבורה היסודית של מרחב.

הגדרה פורמלית

מרחב כיסוי של מרחב טופולוגי X הוא מרחב טופולוגי C ביחד עם פונקציה רציפה  על , כך שלכל נקודה  קיימת סביבה פתוחה U כך ש-  היא איחוד זר של קבוצות פתוחות ב-C, שכל אחת מהן הומיאומורפית ל-U באמצעות p. במילים אחרות, ניתן לרשום  כאשר לכל , הקבוצה  היא קבוצה פתוחה ב-C, והפונקציה  היא הומיאומורפיזם.
ההעתקה p נקראת העתקת כיסוי, והמרחב X נקרא לעיתים קרובות הבסיס של הכיסוי.
הקבוצות  נקראות סביבות המכוסות באופן אחיד. סביבות המכוסות באופן אחיד יוצרות כיסוי פתוח של X. העותקים ההומיאומורפים ב-C של סביבה המכוסה באופן אחיד U נקראים יריעות (Sheets) מעל U.
אפשר לדמיין את C כמרחב ה"מרחף" מעל X: היריעות נמצאות מעל U, והמקורות השונים של x נמצאים בקו אנכי מעל x, אחד מעל השני.

מבנה

למרחבי כיסוי מבנה חשוב ובסיסי בטופולוגיה אלגברית, הדומה במובן מסוים למבנה של התאמת גלואה. מושג חשוב נוסף הוא מושג ההרמה, שיתואר מיד.

התאמת מרחבי כיסוי ותתי חבורות

כעת נסקור תכונות של החבורה היסודית של מרחבי כיסוי של מרחב נתון.
משפט: נניח ש- קשירים מסילתית מקומית ופשוטי קשר מקומית, ו- העתקת כיסוי. אזי בהומומורפיזם החבורות המושרה ממנה, , הנתון על ידי , מהווה מונומורפיזם חבורות.
כלומר, כל החבורות היסודיות של כל מרחבי כיסוי הן תתי חבורות של החבורה היסודית של מרחב הבסיס. למעשה, ההתאמה מלאה:
משפט: לכל תת-חבורה של  מתאים מרחב כיסוי יחיד עד כדי איזומורפיזם. כלומר, לכל תת-חבורה  כנ"ל קיים מרחב כיסוי  עבורו
.
משפטים אלו נותנים התאמה מלאה בין מרחבי כיסוי של מרחב לבין תתי חבורות של החבורה היסודית שלו. זוהי התאמת גלואה - התאמה חד-חד-ערכית שהופכת סדר.

מרחב הכיסוי האוניברסלי

המרחב המתאים לחבורה הטריוויאלית נקרא מרחב כיסוי אוניברסלי של . בשקילות, ניתן להגדיר אותו כמרחב פשוט קשר המהווה מרחב כיסוי של . לפי האמור לעיל, הוא יחיד עד כדי איזומורפיזם.
שם זה איננו מקרי - מרחב הכיסוי האוניברסלי מקיים תכונה אוניברסלית, בדיוק לפי הבנייה - לכל מרחב כיסוי אחר  והעתקת כיסוי , יש העתקה יחידה , כך ש- . כלומר, זהו מרחב המכסה גם את כל המרחבים האחרים.
קיומו של מרחב כיסוי אוניברסלי לא מובטח תמיד. כאמור במשפט לעיל, אם המרחבים פשוטי קשר מקומית וקשירים מסילתית מקומית, מרחב כיסוי מתאים לכל חבורה, ובפרט קיים מרחב כיסוי אוניברסלי. כאשר המרחבים לא פשוטי קשר מקומית, לא בהכרח קיים מרחב כיסוי אוניברסלי - למשל, למכפלה אינסופית (בת מנייה) של מעגלים אין מרחב כיסוי אוניברסלי.
עם זאת, כאשר המרחבים לא פשוטי קשר מקומית ניתן לקבל תוצאה חלשה יותר - בהינתן מרחב כיסוי אוניברסלי, אז קיים מרחב כיסוי המתאים לכל תת-חבורה אחרת. לכן, למרחבי כיסוי אוניברסליים תפקיד מיוחד בתאוריה.

משפט ההרמה המוכלל

בהינתן כיסוי , והעתקה רציפה . נרצה להבין מתי יש העתקה רציפה  כך שמתקיים , כלומר מתי יש הרמה של ההעתקה  להעתקה שמסתדרת עם הכיסוי. התשובה נתונה במשפט הבא:
משפט: יהיו  מרחבים קשירים מסילתית, ו- קשיר מסילתית מקומית. נניח  כיסוי ו- העתקה רציפה. אזי קיימת הרמה  כך שמתקיים  אם ורק אם , (כאשר  הוגדר לעיל).
בפרט, כאשר  פשוט קשר, נקבל ש- ולכן הרמה כזו קיימת תמיד.

באנליזה מרוכבת

ניתן להשתמש במשפט ההרמה המוכלל לעיל כדי למצוא תנאי הכרחי ומספיק לקיומם של שורש -י אנליטי ו/או לוגריתם אנליטי של פונקציה הולומורפית באנליזה מרוכבת.
קיומו של לוגריתם אנליטי לפונקציה הולומורפית  שקול לכך שבדיאגרמה הבאה תהיה הרמה:
ולפי המשפט, זה שקול לכך ש-, כלומר קיומו של לוגריתם אנליטי שקול לכך ש-, וזה נכון אם ורק אם האינדקס של כל מסילה סגורה בתחום הוא אפס.
לסיכום, לפונקציה קיים לוגריתם טבעי אם ורק אם  לכל עקומה סגורה ורציפה  בתחום.
באופן דומה, לפונקציה קיים שורש -י אנליטי אם ורק אם  לכל עקומה סגורה ורציפה  בתחום (שכן כעת ).
בפועל, אין צורך לבדוק את נכונות התנאים לכל עקומה סגורה - מספיק למצוא מספר עקומות (לרוב סופי) היוצרות את החבורה, ולבדוק זאת עליהן.
אם לפונקציה יש אפסים המהווים קבוצה מבודדת, ניתן להשתמש בטענות הנ"ל כאשר כעת בוחרים את  להיות סביבה שלא מכילה אפסים. ניתן להסיק קיומו של שורש -י אנליטי על כל התחום מקיומו על הקבוצה ללא האפסים, אם ורק אם כל שורש של הפונקציה הוא מסדר המתחלק ב-.