ריצוף של המישור

ריצוף הוא כיסוי של משטח או קבוצה כללית יותר באריחים מאותו סוג.  
מעבר לשימוש החשוב של ריצופים בבניית רצפה, ריצופים הם נושא שנחקר רבות באמנות ובמתמטיקה. כמו כן ריצופים מסוגים שונים מופיעים רבות בטבע הצומח והחי (דוגמה בולטת היא כוורת דבורים המבוססת על ריצוף של משושים), וכן בתופעות פיזיקליות רבות.

ריצופים באמנות

השימוש בצורות גאומטריות, בסימטריות, ובריצופים הוא עתיק מאוד באמנות. בהמשך הערך יובאו דוגמאות לשימושים בריצופים בקישוטים סיניים, בציורי קיר מצריים, בקישוט כל חרס וברונזה באשור, ועוד.  מכיוון שביהדות ובאסלאם נאסר לתלות תמונות של בני אדם, הגיעה האמנות של השימוש בצורות גאומטריות למידת שכלול גדולה. את השיא של השימוש בריצופים נהוג לראות במסגדים ומבנים מוסלמים מתקופת ימי הביניים באלהמברה שבספרד.  
במאה ה-20 מאוריץ קורנליס אשר, חקר לעומק סוגים שונים של ריצופים ביצירותיו. אשר חקר את כל הסימטריות הבסיסיות של ריצופים ויצר ריצופים שבהם אריח אחד הופך בהדרגה לאריח אחר, תמונות שבהם אריחים יוצאים בהדרגתיות מתוך הדף והופכים לגופים תלת ממדיים, ועוד. אשר חקר גם ריצופים מוכללים. כך, לדוגמה, הציור "מלאכים ושטנים" הוא למעשה ריצוף של כדור פואנקרה (ריצוף של משטח לא אוקלידי).

ריצופים בטבע

ניתן למצוא ריצופים במקומות רבים בטבע. כך, לדוגמה, הסידור של התאים בכוורת דבורים הוא על בסיס של ריצוף בעזרת משושים. בדינמיקה לא ליניארית ניתן למצוא מערבולות היוצרות מבנים של ריצופים. כך, מערבולות של זרמי לבה יוצרות ריצופים על בסיס משושים, כמו זו אשר ניתן למצוא, לדוגמה, בבריכת המשושים.
בגבישים, האטומים מסתדרים במבנה מחזורי תלת-ממדי כך שחתך של גביש מהווה ריצוף. אחת מהשיטות המחקריות לחקר מבנה גבישי זה הנה שיטת הקריסטלוגרפיה בקרני רנטגן. בשיטה זו, הגביש מוקרן בקרני רנטגן ונמדדת תבנית ההתאבכות המתקבלת. התמונה הנמדדת מהווה למעשה התמרת פורייה של הגביש, ומקיימת את אותן הסימטריות של השריג המואר. מסיבה זאת עבודות רבות, כולל מציאת 17 חבורות הסימטריה של ריצופים, מקורם במדענים שעסקו בקריסטלוגרפיה.

יצירת ריצופים מורכבים על בסיס ריצופים פשוטים

בתמונה מופיע הסבר כיצד על בסיס של ריצופים פשוטים ניתן לבנות ריצופים מסובכים יותר, כגון אלו שאשר השתמש בהם בציוריו. ההתחלה היא מאריח פשוט המרצף את המישור, לדוגמה: ריבוע (משבצת 1). עתה גוזרים מהצלע העליונה שלו צורה כלשהי (משבצת 2), ומדביקים אותה על הצלע התחתונה (משבצת 3). מבצעים אותה פעולה על הצלעות הימנית והשמאלית (משבצות 4,5), ולבסוף מתקבל באופן זה האריח הנראה במשבצת 6. באותו אופן ניתן לבנות ריצוף מורכב יותר באמצעות האריח החדש (משבצת 7). ניתן להשיג גם סימטריה שונה על ידי סיבוב והדבקה על הצלע הימנית.

ריצופים בעזרת מצולעים משוכללים

הריצופים הפשוטים והמוכרים ביותר הם אלו הנעשים בעזרת מצולעים משוכללים. מבין הריצופים הנעשים בעזרת צורות משוכללות בלבד ניתן למצוא מספר תתי קבוצות:

ריצופים משוכללים

ריצופים משוכללים הם ריצופים הבנויים מאריח מסוג אחד המהווה מצולע משוכלל. דרישה נוספת היא שהריצוף יהיה צלע-לצלע. מכיוון שסכום הזויות בכל קודקוד חייב להיות 360 מעלות, קל לראות שקיימים רק 3 ריצופים כאלו:

ריצופים אוניפורמיים

ריצופים אוניפורמיים הם ריצופים בהם כל הקודקודים זהים. כל הריצופים המשוכללים הם מסוג זה, ובנוסף על כך ישנם שמונה סוגים נוספים של ריצופים המבוססים על שילוב של מצולעים משוכללים יחד. ריצופים אלו נקראים גם ריצופים סמי-משוכללים או ריצופים ארכימדיים.

סימטריות של ריצופים

כל הריצופים שהוצגו עד כה הם ריצופים מחזוריים, כלומר, ריצופים שסימטריים תחת פעולת הזזה, בשני כיוונים שונים. בנוסף לסימטריה להזזות, לריצוף עשויות להיות סימטריות נוספות. לדוגמה, הריצוף מריבועים (לוח משבצות) סימטרי גם לסיבובים ב-90 מעלות וכמו כן לשיקופים בארבעה כיוונים שונים: שיקוף אנכי דרך מרכז המרובע, שיקוף אופקי וכן שיקופים דרך שני האלכסונים של המרובע.  
ניתן לסווג ריצופים לפי הסימטריות שהם מקיימים, הארוזות בחבורת הסימטריות. לפעולות היוצרות סימטריות קוראים איזומטריות. פעולות אלו ניתנות להגדרה על ידי פונקציה הפועלת על כל הנקודות במישור תוך שמירת מרחק כך שהמרחק בין שתי נקודות יהיה שווה למרחק של התמונות של שתי הנקודות. ישנם ארבעה סוגים של איזומטריות: הזזות, סיבובים, שיקופים וכן שיקוף גלישה - פעולה המשלבת שיקוף וגלישה. ניתן להוכיח כי ריצופים מחזוריים יכולים להיות סימטריים לסיבוב רק בסיבובים שהם כפולות של 90 מעלות או של 60 מעלות.
קבוצת כל הסימטריות של ריצוף מהווה חבורה. ניתן להוכיח שישנן רק 17 חבורות שריצוף מחזורי יכול לקיים (הנקראות wallpaper group). בתמונות להלן ניתן לראות דוגמאות לכל אחת מ-17 חבורות הסימטריה, וכן את השם הקריסטלוגרפי שלהן. ראו גם חבורת סימטריות נקודתית.

בעיות החלטה ואריחי ואנג

השאלה האם יש קבוצה של אריחים בעזרתם ניתן לרצף את המישור, אך לא ניתן לרצפו בצורה מחזורית התעוררה לראשונה בהמשך לבעיה ה-18 מ-23 הבעיות של הילברט, ופעם נוספת בשנת 1961 כאשר הלוגיקאי האו ואנג (Hao Wang) עסק בבעיית הדומינו. בעיית הדומינו היא בעיית הכרעה, הדורשת לזהות האם סט נתון של אריחים יכול לרצף את המישור או לא. ואנג הראה כי ישנו אלגוריתם הפותר בעיה זו, בתנאי שכל סט סופי של אריחים המרצף את המישור יכול לרצף אותו בצורה מחזורית. החל משנת 1966 החלו להתגלות סטים של אריחים שמהווים דוגמאות נגדיות: הם מסוגלים לרצף את המישור רק בצורה לא מחזורית, ואלו נקראים על שמו אריחי ואנג. קרובה לזה בעיית הגרעין, השואלת אם אפשר לרצף את המישור בסט נתון של אריחים, כשמתחילים מתצורה מסוימת של האריחים.
בשנת 1966 הצליח רוברט ברגר (Robert Berger) למצוא סט שמכיל 20,426 אריחי ואנג. בהמשך הצליח ברגר לצמצם את מספר האריחים ל-104, והנס לוֹיכלי (Hans Läuchli) הצליח להוריד את המספר ל-40. בשנת 1971 הצליח רפאל רובינסון (Raphael M. Robinson) ליצור סט אריחי ואנג המכיל רק 6 אריחים. פרט להפרכת השערתו של ואנג, ברגר ורובינסון גם הציגו הוכחה לכך שלא קיים אלגוריתם מהסוג המבוקש - כלומר, בעיית הדומינו היא בעיה לא כריעה. ההוכחה מתבססת על ביצוע סימולציה של ריצת מכונת טיורינג באמצעות אריחי ואנג והתבססות על אי כריעות בעיית העצירה. בכך מודגם שבעיות ריצוף "מסתירות" בתוכן מודל חישובי לא טריוויאלי. בשנת 1973 חלה התקדמות גדולה כאשר הפיזיקאי רוג'ר פנרוז מצא 3 סטים נוספים של אריחים כאלו, כך שבכל סט ישנם שני אריחים בלבד. בשנת 1977 פרסם רוברט אמן (Robert Ammann) כמה סטים נוספים.

ריצוף פנרוז וגבישים כמו-מחזוריים

כאמור, ריצופי פנרוז (Penrose tiling) התגלו על ידי רוג'ר פנרוז בשנת 1973, ולמעשה הוא גילה מספר זוגות של אריחים כאלו בעזרתם ניתן לרצף את המישור אך לא בצורה מחזורית. בתמונות למטה ניתן למצוא את שני הזוגות המפורסמים ביותר, זוג המעוינים והזוג הקרוי "העפיפון והחץ". פנרוז סיפר שההשראה לריצופים האלו באה מתוך קריאת הספר Harmonis Mondis של יוהנס קפלר, שעסק בין היתר גם בריצופים.  
ריצוף הכוכב מראה כמה מהתכונות המרתקות של ריצופי פנרוז. ראשית ניתן לראות שלריצוף יש תכונה של "דמיון עצמי" - ניתן לבנות בעזרתו עותקים גדולים יותר ויותר של הכוכב. בנוסף לריצוף יש סימטריה לסיבובים מסדר חמישי, סיבובים ב 360/5=72 מעלות.  
ריצופי פנרוז זכו לפרסום גדול בעקבות כתבה שפרסם עליהם מרטין גרדנר בטורו, אך זכו לתהודה גדולה בהרבה בזכות הגילוי של גבישים כמו-מחזוריים (Quasicrystals) בשנת 1982. בשנת 1982 גילה פרופ' דן שכטמן מהטכניון בישראל גביש בעל סימטריה איקוסהדרלית, כלומר בעל סימטריה לסיבובים ב-72 מעלות. שכטמן מדד תמונות רנטגן של גבישים המציגות סימטריה זו בצורה ברורה. בתחילה, נתקלה התגלית בחוסר אמון של הקהילה המדעית, כיוון שהאמונה הרווחת הייתה כי גבישים מחזוריים אינם יכולים להיות בעלי סימטריה מסוג זה. התגלית התפרסמה רק שנתיים מאוחר יותר, ב-1984. כחודש לאחר הפרסום, הוצעה תאוריה לפיה אפשר להסביר את התוצאות של שכטמן בעזרת ריצופי פנרוז. תגלית זאת חוללה סערה גדולה ומהפכה מחשבתית בתחום המצב המעובה. אחריה התגלו גבישים כמו-מחזוריים רבים נוספים. על תגלית זו זכה שכטמן בפרס נובל לכימיה לשנת 2011.

ריצוף ספירלי

ספירלה יכולה לרצף את המישור, עם חלקים אשר זהים זה לזה או עם חלקים הולכים 
וגדלים. 
המקרה הראשון מודגם באמצעות ריצוף וודרברג, שגילה האנס וודרברג (Voderberg) בשנת 1936, וניתן גם למצוא דוגמאות שלו בטבע, באבקני פרחים למשל.
המקרה השני של ריצוף ספירלי הוא חלקים דומים זה לזה אך הולכים וגדלים, ריצוף מסוג זה נקרא ריצוף ספירלי לוגריתמי. דוגמאות לריצוף לוגריתמי ניתן למצוא בטבע, בקונכיית הנאוטילוס, כמו גם בריצופים מעשה אדם. הגודל של כל אריח גדול מקודמו פי מספר קבוע, כך שהגדלים נתונים על סולם לוגריתמי ומכאן השם. ניתן להחשיב ריצוף ספירלי לוגריתמי גם כסוג של ריצוף בעל דמיון עצמי.

דמיון עצמי, פרקטלים וריצופים

מרטין גרדנר נתן את השם רפטיל (Reptile) לצורות שניתן לבנות עותק מוגדל שלהן בעזרת מספר עותקים קטנים.  דוגמה פשוטה לכך היא הריבוע; בעזרת 4 ריבועים קטנים זהים ניתן לבנות ריבוע גדול יותר. כל צורה מהסוג הזה יכולה לשמש גם לריצוף של המישור כולו, על ידי חזרה על הפעולה מספר גדול של פעמים. באיור ניתן לראות כיצד באמצעות צורה הנקראת L טרומינו ניתן לבנות ריצוף של המישור בשלבים.
כמו בדוגמה של ה- L טרומינו ניתן לראות שריצופים הנבנים בשיטה זאת אינם בהכרח מחזוריים. בשיטה זאת ניתן לבנות ריצופים של המישור גם מפרקטלים. לדוגמה, משולש שרפינסקי הוא רפטיל ולכן ניתן לרצף את המישור כולו בעזרת משולשי שרפינסקי.

הכללות

אומרים שקבוצה חסומה ומדידה X מרצפת בהזזות את המרחב האוקלידי, אם קיימת קבוצה (דיסקרטית) L כך שכמעט כל נקודה מופיעה בדיוק באחת ההזזות  (עבור ). לתכונה זו יש קשר חזק לקיומו של בסיס אורתונורמלי של פונקציות אקספוננציאליות למרחב הפונקציות , שהוביל להשערת פוגליד , לפיה קבוצה X מרצפת את המרחב האוקלידי (בהזזות) אם ורק אם יש למרחב הפונקציות שלה בסיס כנ"ל. השערה זו הופרכה ב-2004 על ידי טרנס טאו בממד 5 ומעלה (ואחר-כך גם בממדים 3 ו-4). כל גוף קמור המרצף את המרחב האוקלידי הוא פאון. אומרים שפאון הוא סימטרי לשיקוף אם הוא סימטרי ביחס לשיקוף סביב מרכז הכובד שלו. פאון קמור מרצף את המרחב (בהזזות) אם ורק אם (1) הוא סימטרי לשיקוף, (2) כל דופן שלו (כלומר פאה מקו-ממד 1) סימטרית לשיקוף, ו-(3) בכל מחלקת הזזה של פאה מקו-ממד 2 יש בדיוק 4 או 6 פאות (McMullen, 1980). בפרט, הפאונים הקמורים המרצפים (בהזזות) את המישור הם (עד כדי העתקה אפינית) המקבילית והמשושה הסימטרי בלבד; יש 5 פאונים קמורים המרצפים (בהזזות) את המרחב התלת-ממדי; ו-52 המרצפים (בהזזות) את המרחב ה-4 ממדי.
לריצופים יש חשיבות רבה בגאומטריה (ובטופולוגיה אלגברית), בכך שהם מאפשרים ללמוד את הקבוצה המכוסה X על ידי תכונות של הכיסוי. לכיסוי משויכת חבורה G. במקרה שהחבורה פועלת באופן טרנזיטיבי, האריחים בהכרח חופפים זה לזה, ואפשר להתאים ביניהם לבין מרחב המנה . קשרים אלה הם נקודת המוצא של תוכניתו של פליקס קליין מסוף המאה ה-19, ללמוד מרחבים גאומטריים דרך החבורות הפועלות עליהם, ולהפך.