אוריינטציה (מתמטיקה)

מבוא אינטואיטיבי

מושג האוריינטציה הוא מופשט, וקשה באופן כללי לתיאור אינטואיטיבי, אולם במקרים פרטיים הדבר אפשרי.

אוריינטציה על עקום

בחירת אוריינטציה על עקום שקולה לבחירת כיוון התקדמות לאורך העקום. באופן גרפי מקובל לעשות זאת על ידי סימון חץ על העקום. אם העקום אינו קשיר, יש לשים חץ על כל רכיב קשירות.
מכאן אנו רואים שמספר האוריינטציות על עקום עם  רכיבי קשירות הוא . עובדה זו נכונה גם בממדים גבוהים יותר.
אם העקום נמצא במישור אז בחירת כיוון התקדמות לאורך העקום שקולה לבחירת צד של העקום באופן הבא: אנו מתאימים לכיוון התקדמות מסוים את הצד שנמצא לימיננו כאשר אנו מתקדמים לאורך העקום בכיוון הנבחר.

אוריינטציה על משטח במרחב

אמנם לא ברור מה המשמעות של "כיוון התקדמות לאורך משטח" אבל ניתן לבחור צד למשטח הנמצא במרחב,
בחירה כזאת מגדירה אוריינטציה על המשטח. בחירת צד של המשטח שקולה לבחירת שדה וקטורי נורמלי למשטח המכוון לעבר הצד הנבחר. הגדרה זו של אוריינטציה ניתנת להכללה לממדים גבוהים יותר, אולם היא תקפה רק למשטחי-על (Hypersurface), זאת אומרת ליריעות  ממדיות ב.
בחירת שדה נורמלי למשטח מגדירה, באמצעות כלל יד ימין, כיוון סיבוב במשטח. בחירה של כיוון כזה היא דרך נוספת להגדיר אוריינטציה על המשטח.

אוריינטציה על מרחב אוקלידי ומכפלה וקטורית

כדי להמחיש את מושג האוריינטציה על מרחב אוקלידי תלת-ממדי נשתמש במושג המכפלה הווקטורית. נשים לב כי מושג המכפלה הווקטורית מוגדר רק עבור מרחבים אוקלידיים ספציפיים, למשל  או המרחב הפיזי הסובב אותנו. לא ניתן להגדיר מכפלה וקטורית על מרחב אוקלידי תלת-ממדי מופשט. הסיבה לכך היא שלכלל יד ימין אין משמעות במרחב אוקלידי מופשט. ניתן להתייחס אל מושג האוריינטציה בתור המבנה שנדרש כדי שלכלל יד ימין תהיה משמעות.
על כל מרחב אוקלידי תלת-ממדי ניתן להגדיר מכפלה וקטורית (ולתת משמעות לכלל יד ימין) על ידי בחירת בסיס אורתונורמלי (סדור) למרחב. אולם בסיסים שונים עלולים לתת תוצאות מנוגדות. ניתן להראות שאם דטרמיננטת מטריצת המעבר בין שני בסיסים היא 1 אז הם יובילו לאותה תוצאה. אולם אם דטרמיננטה זו היא 1- אז התוצאות תהיינה מנוגדות. לאור אבחנה זו, ניתן להגדיר את מושג האוריינטציה על מרחב אוקלידי בתור מחלקת שקילות של בסיסים אורתונורמלים תחת יחס השקילות הבא: שני בסיסים אורתונורמלים שקולים אם דטרמיננטת מטריצת המעבר ביניהן היא 1. הגדרה זו תקפה לממדים גבוהים יותר, אולם מוגבלת למרחבים אוקלידיים.

העתקות שומרות אוריינטציה

ניתן לגשת למושג האוריינטציה דרך המושג של העתקות שומרת אוריינטציה. 
נתרכז תחילה במקרה הדו-ממדי. כל יריעה דו-ממדית נראית מקומית כקבוצה פתוחה במישור. ניתן לחשוב על קבוצה כזו כעל פיסת בד גמישה מאוד. נניח את היריעה על המישור ונצבע את צידה העליון של היריעה בשחור ואת התחתון בלבן. העתקה מהיריעה למישור היא תהליך שלוקח כל נקודה ביריעה לנקודה חדשה במישור. העתקה כזאת נקראת רציפה אם היא אינה קורעת את היריעה. ההעתקה נקראת שיכון אם נקודות שנות עוברות לנקודות שנות. שיכון רציף שומר אוריינטציה אם הצד השחור נשאר למעלה.
דרך אחרת להבין אם העתקה שומרת אוריינטציה היא להחליף את פיסת הבד בפיסה שקופה, לצייר עליה ציור של אדם העונד שעון על ידו השמאלית ולהפעיל את ההעתקה. האדם עלול להסתובב ולהתעוות. אולם אם עדיין השעון נמצא על ידו השמאלית אז ההעתקה שומרת אוריינטציה, אם השעון נראה על ידו הימנית אז ההעתקה הופכת אוריינטציה. תיאור זה מראה כי סיבובים שומרים אוריינטציה בעוד ששיקופים הופכים אותה.
באופן כללי העתקה ליניארית שומרת אוריינטציה אם ורק אם הדטרמיננטה שלה חיובית. העתקה חלקה שומרת אוריינטציה אם ורק אם הדיפרנציאל שלה בכל נקודה שומר אוריינטציה. עובדה זו תקפה לממדים גבוהים יותר.

טריאנגולציה של משטחים

טריאנגולציה היא חלוקה של משטח למשולשים באופן ששני משולשים יכולים לגעת אחד בשני רק לאורך צלע (מלאה) או קודקוד. לאחר שביצענו טריאנגולציה למשטח, ניתן להגדר אוריינטציה על המשטח בתור בחירת אוריינטציה על כל אחד מהמשולשים באופן תואם עבור משולשים שכנים.
אוריינטציה על משולש היא בחירה של סדר ציקלי (Cyclic order) על קודקודי המשולש. זאת אומרת כיוון התקדמות מחזורי בין הקודקודים שבו לא נקבע מי הקודקוד הראשון, אבל לכל קודקוד נקבע מי הבא אחריו.
שתי אוריינטציות על משולשים צמודם נקראות מתאימות אם שני הסדרים המושרים על הצלע המשותפת מנוגדים. זאת אומרת שאם BC היא הצלע המשותפת אז באחד המשולשים B יבוא (מיד) לפני C, ובאחר C יבוא (מיד) לפני B (ראה איור).
לאחר שקבענו אוריינטציה על משולש אחד. יש דרך יחידה לקבוע אוריינטציה על המשולשים השכנים, וכך הלאה. לכן על כל יריעה קשירה יש לא יותר משתי אוריינטציות. אולם לא תמיד ניתן לבחור אוריינטציה על כל המשולשים באופן מתאים. לכן חלק מהמשטחים אינם אוריינטבילים, כמו למשל טבעת מביוס או בקבוק קליין.

הגדרה באמצעות בסיסים

ניתן להגדיר את המושג האוריינטציה על  כך:
הגדרה:אוריינטציה על  היא מחלקת שקילות של בסיסים סדורים תחת יחס השקיליות הבא: שני בסיסים שקולים אם הדטרמיננטה של מטריצת המעבר ביניהן היא חיובית.
מהגדרה זו נובע, שעל כל מרחב ליניארי (לא טריוויאלי) יש בדיוק שתי אוריינטציות. בסיס במרחב ליניארי עליו נקבעה אוריינטציה נקרא חיובי אם הוא מגדיר את האוריינטציה שנקבעה ושלילי אם הוא מגדיר את האוריינטציה המנוגדת.

אוריינטציה סטנדרטית

על מרחבים ליניאריים מסוימים מוגדר בסיס סטנדרטי.
אוריינטציה שבסיס זה מגדיר נקראת האוריינטציה הסטנדרטית על המרחב. לדוגמה על המרחב 
האוריינטציה המוגדרת על ידי הבסיס הסטנדרטי:
נקראת האוריינטציה הסטנדרטית.
באופן דומה, על המרחב הפיזיקאלי הסובב אותנו, כלל יד ימין מגדיר את האוריינטציה הסטנדרטית. במילים אחרות, כל בסיס מהצורה  נקרא חיובי ביחס לאוריינטציה הסטנדרטית. 
כמו כן, 
במישור שנמצא מולנו (כמו מישור הלוח או מישור דף הניר) מוגדרת אוריינטציה סטנדרטית על ידי בסיס בו הווקטור הראשון מופנה ימינה והשני למעלה.

אוריינטציה על נקודה

ההגדרות האלו לא ברורות במקרה ש . במקרה זה המוסכמה היא שיש שתי אוריינטציות אחת מסומנת בסימן + או במספר 1 ונקראת חיובית והשנייה בסימן - או במספר 1- ונקראת שלילית.

משיכה ודחיפה של אוריינטציה (תחת איזומורפיזם)

יהי  איזומורפיזם של מרחבים ליניאריים. כל תבנית  על  מגדירה תבנית  על  באופן הבא: 
בצורה זו ניתן להגדיר אוריינטציה  עבור כל אוריינטציה  על 
תהליך זה נקרא משיכה לאחור (Pullback) של אוריינטציה.

ניתן גם להגדיר דחיפה קדימה (Pushforward) של אוריינטציה על ידי

אוריינטציה על יריעה חלקה

תהי  יריעה חלקה מממד .

הגדרה

אוריינטציה  על  היא התאמה של אוריינטציה  על המרחב המשיק לכל נקודה  "התלויה באופן רציף" בנקודה .

הגדרה באמצעות תבניות

אפשר להגדיר את המשמעות של "תלויה באופן רציף" בעזרת תבניות דיפרנציאליות (Differential form). 
תבנית דיפרנציאלית ממעלה  (להלן תבנית דיפרנציאלית) היא התאמה חלקה של -תבניות אנטי-סימטריות על המרחב המשיק  עבור כל .
תבנית דיפרנציאלית נקראת הפיכה אם היא אינה מתאפסת באף נקודה.
כעת ניתן להגדיר
הגדרה:  נקראת אוריינטבילית אם קיימת עליה תבנית הפיכה. אוריינטציה על  היא מחלקת שקילות של תבניות דיפרנציאליות הפיכות תחת יחס השקילות הבא: שתי תבניות הפיכות שקולות אם המנה שלהן היא פונקציה חיובית.
נשים לב שבהגדרה זו לא ניתן להשתמש בבסיסים במקום בתבניות, מכיוון שקימות יריעות אוריינטביליות שאינן ניתנות למיקבול (Parallelizable manifold) (זאת אומרת יריעות שאי-אפשר לבחור עבור כל נקודה  שלהן בסיס למרחב המשיק  בצורה שתלויה באופן חלק ב-).

הגדרה באמצעות אטלסים ומפות

דרך נוספת להגדיר אוריינטציה על  היא לחזור על ההגדרה של יריעה חלקה אך להחליף את ההעתקות החלקות בהעתקות שומרות אוריינטציה.
הגדרה: תהיינה  קבוצות פתוחות. דיפאומורפיזם  נקרא שומר אוריינטציה אם הדיפרנציאל שלו בכל נקודה שומר אוריינטציה (זאת אומרת בעל דטרמיננטה חיובית). אטלס חלק על  נקרא אוריינטבילי אם העתקות המעבר שלו הן שומרות אוריינטציה. אוריינטציה על  היא אטלס חלק אוריינטבילי מקסימלי.
ניתן להראות בעזרת חלוקת היחידה שהגדרה זו שקולה להגדרה באמצעות תבניות.

אוריינטציה מושרית על היפר-משטח ועל שפה של יריעה

נקבע אוריינטציה  על 
יהי  משטח-על (Hypersurface) ב- (זאת אומרת תת-יריעה (Submanifold)  ממדית).
שדה טרנסברסלי (transverse)  על  הוא התאמה של ווקטור משיק  ל  בכל נקודה  כך ש

בהינתן שדה טרנסברסלי  על , האוריינטציה  משרה אוריינטציה  על  באופן הבא: תהי  תבנית המייצגת את . נגדיר תבנית  על  על ידי 
 נגדיר את  להיות מחלקת השקילות של 
במקום שדה טרנסברסלי ניתן להשתמש בשדה נורמלי לא מתאפס. שדה נורמלי הוא חתך חלק של האגד הנורמלי (Normal bundle)  במילים אחרות שדה נורמלי הוא התאמה חלקה של ווקטור במרחב המנה  לכל נקודה 
שני שדות נורמליים יגדירו את אותה אוריינטציה אם המנה ביניהם היא פונקציה חיובית. 
במקרה שעל  נתונה מטריקה רימנית בנוסף לאוריינטציה , אנו מקבלים התאמה חד-חד-ערכית ועל בין אוריינטציות על  ושדות נורמלים באורך יחידה על . 
כיוון שעל  יש אוריינטציה ומטריקה רימנית סטנדרטית, בחירה של שדה נורמלי על היפר-משטח  ב- שקולה לבחירת שדה נורמלי באורך יחידה על  בדומה למוסבר במבוא.

יריעה עם שפה

אם  היא יריעה עם שפה (Manifold with boundary) אז השפה  של  היא היפר-משטח ב-. ניתן (בעזרת חלוקת היחידה) לבחור שדה טרנסברסלי חיצוני על  זאת אומרת שדה טרנסברסלי על  אשר לא נמצא בחצי-מרחב המשיק ל  באף נקודה  האוריינטציה ששדה זה מגדיר נקראת האוריינטציה המושרית על 
קל לראות שאוריינטציה זו לא תלויה בבחירת השדה הטרנסברסלי החיצוני.
הערה: למרות שהבניות בפרק זה מוגדרות היטב הן תלוית במוסכמות סימן שרירותיות למדי: האוריינטציה הסטנדרטית על , העדפת הנורמל החיצוני על הפנימי והצבת השדה הנורמלי בתור המשתנה הראשון ולא האחרון.

שימושים

בעזרת משפט ז'ורדן (Jordan curve theorem) ניתן להסיק מתהליך השראת האוריינטציה על שפה של יריעה את הקריטריון הבא עבור אוריינטביליות:
טענה: היפר-משטח סגור (Closed Hypersurface) (במרחב ליניארי) תמיד אוריינטבילי.

משיכה של אוריינטציה (תחת דיפאומורפיזם מקומי)

העתקה חלקה  נקראת דיפאומורפיזם מקומי (או העתקת אטאל (Étale morphism)) אם הדיפרנציאל  שלה בכל  הוא איזומורפיזם. לפי משפט הפונקציה הסתומה תנאי זה שקול לכך שלכל  קיימת סביבה פתוחה  כך ש  היא קבוצה פתוחה והצמצום (Restriction)  הוא דיפאומורפיזם.
בהינתן אוריינטציה  על  ניתן להגדיר את המשכיה לאחור שלה  על ידי  
במילים אחרות יש לבחור תבנית דיפרנציאלית  המייצגת את , ולהגדיר את  להיות מחלקת השקילות של  
העתקת אטאל  בין יריעות מכוונות (יריעות שנקבעה עליהן אוריינטציה) נקראת שומרת אוריינטציה אם המשיכה לאחור של האוריינטציה על  שווה לאוריינטציה

אוריינטציה ואינטגרציה

אחת המוטיבציות להגדרת מושג התבניות הדיפרנציאליות היא האפשרות להגדיר אינטגרל של תבנית דיפרנציאלית. אפשרות זו מותנית בקביעת אוריינטציה על היריעה 
נקבע אוריינטציה על  

תהי  קבוצה פתוחה דיפאומורפית ל  ניתן להגדיר את האינטגרל של תבנית דיפרנציאלית  על  באופן הבא: 
 כאן  הוא דיפאומורפיזם שומר אוריינטציה ואינטגרל של תבנית דיפרנציאלית על  מוגדר על ידי הזיהוי הסטנדרטי בין תבניות דיפרנציאלית לפונקציות.
הגדרה זו לא תלויה בבחירת הדיפאומורפיזם  ובלבד שהוא שומר אוריינטציה, אולם אילו  היה הופך אורנטצייה אז התוצאה המתקבלת הייתה מנוגדת.
ניתן להכליל הגדרה זו עבור קבוצה פתוחה כללית  על ידי חלוקת היחידה.
כמו כן ניתן להגדיר אינטגרלים של k-תבניות דיפרנציאליות לאורך תת-יריעות מכוונות k ממדיות.
אם  תבנית הפיכה על  אז היא מגדירה אוריינטציה, ולכן ניתן להגדיר את האינטגרל שלה ביחס לאוריינטציה שהיא עצמה מגדירה גם אם לא נקבע אוריינטציה על  אינטגרל זה תמיד חיובי, ומסמנים אותו ב
ניתן להכליל הגדרה זאת גם לתבניות לא הפיכות (ואף למקרה ש  לא אוריינטבילית) ע"י:
כאשר

אוריינטציה על יריעה טופולוגית

תהי  יריעה טופולוגית -ממדית. על מנת להגדיר את מושג האוריינטציה על  נגדיר תחילה את כיסוי האוריינטציות . כמו במקרה החלק, אוריינטציה על  תהיה חתך (Section) של כיסוי האוריינטציות.

ספירת נקודות מכוונת

לאורינטציה תפקיד בבניות רובות בטופולוגיה דיפרנציאלית. צורת שימוש אחת באורינטציה, היא בהרחבת מושג הספירה. 
יסוד השימוש טמון בניתוח של יריעות קומפקטיות מממד אפס, דהיינו קבוצות דיסקרטיות סופיות. יריעות אלה ממוינות על פי מספר הנקודות בהן. מספר הנקודות הוא מספר טבעי והוא למעשה האינווריאנט היחיד שניתן להגדיר עבור יריעות אלה. אולם, אם נתבונן ביריעה קומפקטית מממד אפס מכוונת, נראה כי ניתן להגדיר אינווריאנט נוסף: "המספר המכוון" של הנקודות ביריעה. כלומר מספר הנקודות בעלות אורינטציה "+" פחות מספר הנקודות בעלות אורינטציה "-". מתברר כי אינווריאנט זה יציב יותר ובעל שימושים רבים יותר.
ניתן להגדיר אינווריאנטים רבים של אובייקטים שונים בטופולוגיה דיפרנציאלית לפי הסכמה הכללית הבאה: לבנות יריעה מממד אפס המבוססת על האובייקט הנמלד (בדרך כלל בנייה זאת תלויה בבחירות מסוימות), להתבונן במספר המכוון של הנקודות שלה ולהוכיח כי התוצאה לא תלויה בבחירות. בדרך כלל לאינווריאנטים אלה יש גרסה עבור אובייקטים לא מכוונים, אולם אז צריך להחליף את המספר המכוון של הנקודות במספר הנקודות מודולו 2 (מספר הנקודות עצמו יהיה תלוי בדרך כלל בבחירות), מכאן שבמקום לקבל אינווריאנט עם ערכים ב- אנו מקבלים אינווריאנט עם ערכים ב, מה שהופך אותו לחלש יותר.
להלן מספר דוגמאות של אינווריאנטים כאלה.

מעלה של העתקה

תהי  העתקה חלקה של יריעות חלקות מכוונות מממד  . לפי הלמה של סארד יש להעתקה זאת ערך רגולרי . הסיב  של הנקודה  הוא יריעה מממד אפס. המעלה של  מוגדרת להיות המספר המכוון של נקודות היריעה .

אינדקס חיתוך

תהי  יריעה חלקה, קומפקטית ומכוונת מממד  ויהיו  תת-יריעות סגורות מכוונות. נניח כי 
 
במקרה כזה ניתן להגדיר את אינדקס החיתוך של  ו . לשם כך יש להשתמש בעיקרון הטרנסוורסליות (המבוסס על הלמה של סארד), שאומר שאפשר לשנות מעט את היריעות  כך שהחיתוך  יהיה טרנסבווסלי. מכאן שהחיתוך  הוא יריעה מממד 0. האורינטציות על  ו  מגדירות אוריינטציה על . אינדקס החיתוך של  ו  מוגדר להיות המספר המכוון של נקודות היריעה .

תורת מורס

מקרה נוסף בו משתמשים בספירה מכוונת הוא בתורת מורס. תורת מורס, או ליתר דיוק גרסתו של סמיל לתורה זאת מתאימה לשלשה 
 (במצב כללי) המורכבת מיריעה חלקה סגורה  פונקציית מורס  ומטריקה רימנית , קומפלקס שרשרת . החבורות האבליות  הן חבורת האבליות החופשיות הנפרסות על ידי הנקודות הקריטיות של  מאינדקס מורס . ה דיפרנציאל  מוגדר בעזרת ספירה מכוונת של מסלולים גרדיינטים בין שתי נקודות קריטיות בעלות אינדקס עוקב.
להבדיל מהמקרים הקודמים, תורת סמיל מורס תקפה גם כאשר  אינה אוריינטבילית, מבלי הצורך להחליף את חוג השלמים  בחבורה . לשם כך יש לבחור אוריינטציות מקומיות בסביבת כל נקודה קריטית, המתאימות אחת לשנייה במובן מסוים שלא מספיק חזק כדי לאפשר הרכבת אורינטציה אחת מכולם. תהליך זה מורכב, ולכן במקרים מסוימים מעדיפים להסתפק בתורת מורס עם מקדמים ב-. הדבר בולט עוד יותר בתורת פלויר, שהיא הכללה מרחיקת לכת של תורת מורס.

קובורדיזם

בטופולוגיה אלגברית, למחלקות רבות של יריעות אפשר להגדיר חבורת קובורדיזם מתאימה. לדוגמה חבורת הקובורדיזמים של היריעות הסגורות מוגדרת כאוסף כל היריעות הסגורות עד-כדי יחס השקילות הבא: שתי יריעות  ממדיות  שקולות אם האיחוד הזר  הוא שפה של יריעה  ממדית. האיחוד הזר מגדיר את הפעולה (החיבורית) על חבורה אבלית זאת.
קל לראות כי חבורת הקובורדיזם של יריעות מממד 0 היא החבורה .
באופן דומה ניתן להגדיר את חבורת הקיבורדיזם של היריעות הסגורות המכוונות כאוסף כל היריעות הסגורות עד-כדי יחס השקילות הבא: שתי יריעות מכוונות 
ממדיות  שקולות אם האיחוד הזר  הוא שפה של יריעה  ממדית. קל לראות כי חבורת הקובורדיזם של יריעות מכוונות מממד 0 היא החבורה .
באופן כללי יותר, חבורת הקובורדיזם של היריעות הסגורות היא תמיד מפיתול 2 (זאת אומרת מרחב ליניארי מעל השדה הסופי ) בעוד שחבורת הקובורדיזם של היריעות הסגורות המכוונות לעיתים חסרת פיתול כלל.
מדוגמאות אלה רואים כי חבורת הקובורדיזם של היריעות הסגורות המכוונות מכילה מידע שלא נמצא בחבורת הקיבורדיזם של היריעות הסגורות, ובמובנים מסוימים עשירה ממנה.
את האינווריאנטים שתוארו בפרק הקודם (מעלה, ואינדקס חיתוך) אפשר לראות כאינווריאנטים שערכיהם בחבורת הקיבורדיזם של יריעות מממד 0. אם היריעות המקוריות מכוונות, אז האינווריאנטים הם עם ערכים ב-, אם לא, אז הערכים ב-.

דואליות פואנקרה

בעזרת המחלקה היסודית ומכפלת הספל (Cup product) ניתן להגדיר את דואליות פואנקרה. תהי  יריעה סגורה מכוונת מממד . דואליות פואנקרה היא דואליות (זאת אומרת זיווג לא מנוון) בין הקו-הומולוגיה 
 והקו-הומולוגיה  כאשר  שדה ממציין 0. הזיווג מוגדר על ידי 
 
כאשר  היא מכפלת הספל,  והזיווג באגף שמאל הוא הזיווג הסטנדרתי בין הומולוגיה וקו-הומולוגיה.
זיווג זה מגדיר איזומורפיזם . בצורה זאת דואליות פואנקרה תקפה עבור הומולוגיות בכול חוג מקדמים.
לדואליות פואנקרה יש גם גרסאות עבור יריעות כלשהן, בדומה לגרסאות השונות של המחלקה היסודית. לדואליות פואנקרה הכללה מרחיקת לכת – דואליות ורדיה.

דואליות ורדיה

מושג האוריינטציה אינו מוגדר למרחבים טופולוגיים שאינם יריעות. אולם ניתן להכליל את אלומת האוריינטציות (ואת אלומת האוריינטציות היחסית) למרחבים טופולוגיים קומפקטיים מקומית. הדבר נעשה במסגרת דואליות ורדיה. דואליות ורדיה היא למעשה מימוש של פורמליזם ששת הפונקטורים של גרוטנדיק עבור מרחבים טופולוגיים. הפורמליזם כולל פנקטורים שונים בין קטגוריה הנגזרת של קטגוריות האלומות על מרחבים שונים. אחד מהפנקטורים האלה הוא  המוגדר עבור העתקה רציפה  כאשר  היא הקטגוריה הנגזרת של קטגורית האלומות על . פנקטור זה הוא הצמוד מימין של הפנקטור הניגזר של פנקטור התמונה הישרה עם תומך קומפקטי .
באמצעות הפנקטור  ניתן להגדיר את הקומפלקס המדאל היחסי על ידי  כאשר  היא האלומה הקבועה על . כאשר  הוא נקודה, אנו מקבלים את הקומפלקס המדאל . אלומת האוריינטציות ואלומת האוריינטציות היחסית הן מקרים פרטיים של הקומפלקס המדאל והקומפלקס המדאל היחסי. בהתבסס על הקומפלקס המדאל ניתן להגדיר את פנקטור הדואליות של ורדיה  על ידי . 
מנקודת המבט של דואליות ורדיה, דואליות פואנקרה היא מקרה פרטי של הטענה הבאה:

אוריינטציה על יריעות פסוודו-רימניות

מושג האוריינטציה על מרחב ליניארי מבוסס על כך שלחבורה  יש שני רכיבי קשירות. לכן על מרחב ליניארי יש שתי אוריינטציות. שני בסיסים מגדירים אותה אוריינטציה על מרחב אם מטריצת המעבר ביניהם נמצאת ברכיב הקשירות של היחידה ב, הם מגדירים אוריינטציות הפוכות אם המטריצה נמצת ברכיב השני.
המצב במרחבים עם מכפלה פנימית דומה מכיוון שלחבורה האורתוגונלית  יש גם כן שני רכיבי קשירות. עם זאת, אם מאפשרים למכפלה הפנימית לא להיות חיובית לחלוטין, ניתן לעדן את מושג האוריינטציה. הסיבה לכך היא שלחבורה  יש ארבעה רכיבי קשירות.
בהינתן תבנית ריבועית מסיגנטורה  על מרחב  וקרקטר כפלי  ניתן להגדיר יחס שקילות על קבוצת הבסיסים האורטונורמליים באופן הבא: שני בסיסים  ו שקולים אם . מכיוון של  יש שלושה קרקטרים לא טריוויאליים אנו מקבלים שלושה יחסי שקילות. לכל אחד מהיחסים האלה אפשר להתאים גרסה של מושג האוריינטציה. כך בנוסף לאוריינטציה נקבל שני מושגים נוספים הנקראים, בהשראת תורת היחסות, אוריינטצית מרחב ואוריינטצית זמן.
באופן דומה מגדירים מושגים אלה על יריעה פסוודו-רימנית.