לוגיקה עמומה

לוגיקה עמומה, או לוגיקה מעורפלת (באנגלית: Fuzzy Logic), הוא שם כללי לתורות לוגיות המנסות להחיל את עקרונות החשיבה הרציונלית על תחומים שבהם נראה כי שני חוקי היסוד של הלוגיקה הקלאסית אינם מתאימים. בעיקר מדובר על תחומים שבהם יש צורך להתבסס על הערכות סובייקטיביות או רב-משמעיות (בתחומים הקשורים למדעי החברה או לכלכלה, כמו שיווק למשל).
במשך השנים נעשו מספר ניסיונות לבסס תורות של לוגיקה עמומה שיעמדו במבחן החשיבה הלוגית הרציונלית, וניתן גם לומר כי פילוסופיות שמקורן מהמזרח הרחוק, ובעיקר הטאואיזם הסיני, עשו זאת במידה רבה של הצלחה. אולם התורה הנחשבת למוצלחת והיישומית ביותר, פותחה החל מאמצע שנות ה-60 של המאה ה-20, על ידי פרופסור לוטפי זאדה מאוניברסיטת קליפורניה בברקלי. זאדה הצליח לבסס תורה מתמטית המהווה הרחבה של הלוגיקה הקלאסית באמצעות מספר שינויים קטן יחסית, כך שניתן להעתיק את עקרונות הלוגיקה העמומה וכל המשתמע מהם (כמו למשל תורת הקבוצות ותורת ההוכחה), באופן כמעט מידי מעקרונות הלוגיקה הקלאסית.
האלגנטיות המתמטית של תורתו של זאדה מאפשרת שימוש בה ליישומים אלגוריתמיים, בעיקר בתחום האוטומציה של מערכות בקרה (מה שמכונה "בקרה עמומה" - fuzzy control). השימוש בלוגיקה העמומה זוכה לפופולריות רבה בעיקר ביפן.

ערך האמת

בעוד שבלוגיקה הקלאסית נקוט כלל השלישי מן הנמנע, כלומר כל היגד לוגי הוא או נכון או בלתי נכון, בלוגיקה העמומה אנו מדברים על "נכונות במידה מסוימת" המיוצגת על ידי מספר בקטע הסגור [0,1] - כל המספרים בין 0 ל-1, כולל הקצוות. כמובן שהאמת והשקר המוחלטים של הלוגיקה הקלאסית, יכולים להחשב כמקרה פרטי של האמת והשקר העמומים, כאשר "אמת מוחלטת" מיוצגת על ידי 1, ו-"שקר מוחלט" מיוצג על ידי 0.
בהתאם, אנחנו יכולים להגדיר קבוצות עמומות תחת קבוצה אוניברסלית כלשהי, על פי מידת השייכות של איבר כלשהו אליהן. למשל, אם U מייצגת גבהים של אנשים, ו- H היא קבוצת האנשים הגבוהים, אז מידת השייכות של אדם שגובהו 1.60 מטר ל-H היא 0, ומידת השייכות של אדם שגובהו 2.0 מטר ל-H היא 1, אבל מידת השייכות של אדם שגובהו הוא 1.85 מטר ל-H היא 0.6.
אחד החסרונות הבולטים של המודל של זאדה, הן מהבחינה התאורטית והן מהבחינה המעשית, היא שאין דרך חד משמעית לבחור את פונקציות השייכות לקבוצה עמומה. ישנן מספר דרכים מקובלות לעשות זאת אבל אין כל סיבה מתמטית להעדיף אותן על אחרות. יוצא מכך שההגדרה של מידת השייכות של איבר לקבוצה מסוימת (ומכאן כל הגדרת הקבוצה) היא שרירותית וסובייקטיבית. מסיבה זו, יש הפוסלים את הלוגיקה העמומה כתורה מתמטית.

אלגברה בוליאנית מורחבת

ניתן להרחיב את האופרנדים הלוגיים הבסיסיים, AND, OR ו- NOT, לאופרנדים לוגיים עמומים. ישנן מספר דרכים מקובלות לעשות זאת (ושוב, אין לכך כללים מוסכמים), באופן שישמור על האופרנדיים הקלאסיים כמקרה פרטי ועל קיום כללי דה מורגן, ומספר דרישות נוספות מאופרנדים כאלה. המקובל ביותר הוא להשתמש בפונקציית מינימום ל-AND, פונקציית מקסימום ל- OR והמשלים ל-1 ל- NOT (בצורה זו כללי דה-מורגן ותכונות נוספות מוסיפים להתקיים). כל בחירה נכונה של אופרנדים לוגיים מאפשרת להגדיר את כל שאר המושגים של תורת הקבוצות וגם של תורת ההוכחה.

הסק לוגי עמום

בלוגיקה הקלאסית אנו אומרים, "אם יורד גשם, סימן שמעונן". בלוגיקה העמומה אנו אומרים, "אם גשום במידה x, סימן שמעונן לפחות במידה y". כלומר, חשבו על מצב שבו אנו יושבים בחדר ללא חלון ומקשיבים לרעש הגשם היורד על הגג. אם יורד גשם חזק מאוד, אנחנו יכולים להסיק מכך שהשמיים מאוד מעוננים. אבל אם לא יורד גשם בכלל, איננו יכולים לדעת עד כמה השמיים מעוננים. ייתכן שהם מאוד מעוננים אבל לא יורד גשם, וייתכן שהם אינם מעוננים בכלל, וכמובן שייתכן כל מצב באמצע. בהתאם, אם יורד גשם חלש, אנחנו יודעים שהשמיים לא יכולים להיות בהירים לחלוטין.