התראה (משחק)

המשחק התראה ("משחק האולטימטום") הוא ניסוי כלכלי נפוץ בתורת המשחקים ובקבלת החלטות, בו שני צדדים אנונימיים משחקים פעם אחת בלבד (כך שאין אפשרות לתגמול). השחקן הראשון מציע דרך לחלוקת סכום כסף מסוים עם השחקן השני. בפני השחקן השני עומדות שתי אופציות: הסכמה או סירוב. אם יסכים - תבוצע הצעת השחקן הראשון. אם יסרב - שני השחקנים לא יקבלו דבר. חוקי המשחק ידועים לשחקנים, הם אינם מכירים זה את זה (ולפעמים גם לא רואים זה את זה), והם משחקים במשחק פעם אחת בלבד (כך שתגמול במשחקים עתידיים או אינטראקציה בעבר או בעתיד לא אמורים להוות שיקול לאדם רציונלי).

משחק לדוגמה

ישנם שני שחקנים, אבי ובני. החוקר מציע לאבי לחלק סכום של 100 ש"ח בינו לבין בני. אבי מחליט על החלוקה: 70 ש"ח עבורו, ו-30 ש"ח עבור בני, תוך שהוא מודע לכללי המשחק. בני מחליט האם להסכים לחלוקה זו או לא. אם בני מסכים לחלוקה הוא יקבל 30 ש"ח, ואבי יקבל 70 ש"ח. אם בני מסרב, הוא יקבל 0 ש"ח, ואבי יקבל 0 ש"ח.

ניתוח שיווי משקל פרפקטי

נניח, לצורך העניין, כי המינימום שניתן להציע לשני הוא שקל אחד מתוך סכום כסף של 100 שקלים. ננתח את האופציות העומדות בפני שני השחקנים:
השחקן הראשון יכול להציע את ההצעות האפשריות, כלומר כל המספרים בין ₪1.00 ל-₪100.00. לעומתו, השחקן השני הן כל הפונקציות המקבלות הצעה ומחזירות "מסכים" או "מסרב".
נניח שהשחקן הראשון הציע לשחקן השני  שקלים מתוך סך הכסף . אם השחקן השני יסכים להצעה - השחקן הראשון יקבל  שקלים, והשחקן השני יקבל  שקלים. אם יסרב- שני השחקנים לא יקבלו דבר.
כדי לפתור את שיווי המשקל הפרפקטי, יש לפתור לאחור (מהסוף להתחלה). כל הצעה מהשחקן הראשון בעצם פותחת תת-משחק אחר, המאופיין על ידי הסכום המוצע.
כל אחד מתתי-המשחק מכיל רק שחקן אחד - המקבל, ויש לו שתי אסטרטגיות: להסכים או לסרב. אם יסכים - התשלום של השחקן המקבל הוא הסכום המוצע. אם יסרב - התשלום שלו יהיה ₪0. לכן, בכל אחד מתתי-המשחקים בהם מוצע סכום חיובי ממש, שיווי המשקל היחיד הוא זה בו המקבל בוחר "לקבל". אם יסרב - יָרֵעַ את מצבו לעומת בחירה בקבלה. כעת, כשהשחקן המציע יודע כיצד יסתיים כל אחד מתתי-המשחקים - כולם יסתיימו בקבלה, שיווי המשקל היחיד הוא זה בו הוא מציע את הסכום המינימלי (₪1.00, במקרה הזה). כל סכום גבוה יותר יביא לתשלום נמוך יותר מבחינתו של המציע. התשלום של המציע הוא  שקלים, והוא פוחת ככל שההצעה "" עולה.

ניתוח שיווי משקל נאש

יש להבדיל את ניתוח שיווי המשקל של נאש (Nash Equilibrium) מניתוח שיווי המשקל הפרפקטי (Subgame Perfect Equilibrium). בעוד שהאחרון הוא מושג הלוקח בחשבון כיצד המשחק מתפתח - תחילה המציע בוחר סכום ורק אז המקבל, היודע את הסכום המוצע, מחליט אם לקבל או לא - הראשון לוקח בחשבון אך ורק את האסטרטגיות, ומתעלם משלבי המשחק. כל מה ששיווי משקל נאש מצריך הוא זיווג של אסטרטגיות (אחת של המציע ואחת של המקבל), כך שבהינתן האסטרטגיה של צד אחד, לצד האחר אין אינטרס לסטות ולהציע אסטרטגיה אחרת מזו של שיווי המשקל. 
מסתבר שמספר שיוויי המשקל נאש הוא רב  ורחוק מלהיות יחיד. לדוגמה, ניקח את זיווג האסטרטגיות הבא: המקבל מסכים אך ורק לסכום 50 ומסרב לכל סכום אחר. המציע מציע את הסכום 50. זהו שיווי משקל נאש! בהינתן האסטרטגיה של המציע, אין למקבל אינטרס לבחור אסטרטגיה אחרת. הוא אינו יכול לשפר את מצבו על ידי אסטרטגיה אחרת. הוא יכול לבחור אסטרטגיה אחרת שתרע את מצבו (כזו שבה הוא מסרב לסכום 50), או אסטרטגיה אחרת, שאינה משנה את תשלומו (כזו שבה הוא מסכים לסכום 50 או לסכום 300, ומסרב לכל סכום אחר). כמו כן, אם נקבע את האסטרטגיה של המקבל, למציע אין אסטרגיה שיכולה להשיג לו יותר מ-50. אם יציע 1 - המקבל יסרב להצעה, מכיוון שקיבענו את האסטרטגיה של המקבל. 
ניתן להבחין בחוסר יכולתו של שיווי משקל נאש לתת ביטוי לדינמיות של המשחק. במקרה של משחק ההתראה, מושג שיווי המשקל הפרפקטי מאפשר לפתור את המשחק בצורה הגיונית יותר – בהנחה שמטרתם היחידה של השחקנים היא לקבל את התשלום הגבוה ביותר.