תוכנית הילברט

תוכנית הילברט הייתה תוכנית שנהגתה בשנות העשרים של המאה ה-20 על ידי דויד הילברט במטרה לבסס באופן ריגורוזי ופורמלי את כל ענפי המתמטיקה.

רקע

במהלך רוב ההיסטוריה של המתמטיקה העניין בה היה ככלי עזר במגוון תחומים. ככזו הייתה המתמטיקה כלי יעיל שאפשר לחקור שאלות סבוכות ולקבל תשובות מדויקות. אולם כבר בעת העתיקה ניתן למצוא התייחסות למתמטיקה כנושא הראוי למחקר בפני עצמו. שיאה של גישה זו היא בספרו של אוקלידס יסודות שהוא התיעוד המוקדם ביותר לעיסוק טהור בניסוח משפטים והוכחתם מתוך מערכת הנחות ראשונית הנקראות אקסיומות או פוסטולטים. השימוש באקסיומות הגאומטריות של אוקלידס נמשך למעלה מאלפיים שנים. במהלך המאה ה-19 התגבשה ההבנה שניתן להתייחס למתמטיקה כעולם בפני עצמו שאינו תלוי במציאות. בעולם שכזה האקסיומות אינן מתארות הנחות ברורות שלא ניתן להוכיח, אלא הנחות מעניינות שנבחרות כנקודת ההתחלה למשחק המתמטי. כך נולדו הגאומטריות הלא אוקלידיות שאינן קשורות למציאות הפיזיקלית כפי שהיא נתפסת על ידי האדם.
המתמטיקאים של המאה ה-19 החלו לסלק מתוך המתמטיקה הנחות אינטואיטיביות ועמלו על ביסוסה על הגדרות מדויקות. קושי וויירשטראס ביססו באופן מדויק את החשבון האינפיניטסימלי והוציאו ממנו את המושג הפרדוקסלי אינפיניטסימל ובמקום הכניסו מושגים מוגדרים היטב כגון גבול. תחילה ספגו לעג על שסיבכו את התורה שלא לצורך, אולם מאוחר יותר התברר שמאמצם היה הכרחי. כך לדוגמה הצליח ויירשטראס בעזרת קפדנותו להפריך את הטענה האינטואיטיבית שכל פונקציה רציפה היא גזירה כמעט בכל נקודה.
בתקופה זו מושגים בסיסיים ביותר זכו להגדרה. לראשונה הוצגו הגדרות למערכות המספרים השונות. חתכי דדקינד שימשו להגדרת המספרים הממשיים ואפילו המספרים הטבעיים שנחשבו ליסודיים ביותר זכו להגדרה במונחים בסיסיים יותר במסגרת מערכת פאנו.
בשנות השבעים של המאה החל גאורג קנטור לפתח ענף חדש במתמטיקה, תורת הקבוצות. תחילה הייתה התורה שנויה במחלוקת, אך בשלהי המאה ה-19 כבר הבשילה הגרסה הנאיבית שלה, ויחד עם הלוגיקה המתמטית שפותחה במקביל על ידי גוטלוב פרגה, התברר כוחה הרב של התורה כבסיס לשאר התורות המתמטיות. אולם במהרה התברר שתורת הקבוצות סובלת ממספר פרדוקסים, האסורים בתורה מתמטית נאותה, כשהמפורסם שבהם הוא הפרדוקס של ראסל שנתגלה ב-1901 על ידי ברטראנד ראסל.
בעקבות הפרדוקס של ראסל ותוצאות נוספות החלו בתחילת המאה ה-20 פילוסופים ומתמטיקאים לפקפק בהנחה המקובלת שקיימים בכלל יסודות מוצקים למתמטיקה. בפרט עלה ספק האם ניתן להראות מתוך המתמטיקה עצמה שהיא עקבית, כלומר להראות שהיא חסרת סתירות. כדי להתגבר על הסתירות פותחו בשנים אלו פתרונות לפרדוקסים כגון תורת הטיפוסים ותורת הקבוצות האקסיומטית.

דויד הילברט

הילברט נולד ב-1862. עבודותיו המתמטיות החל משנות השמונים של המאה ה-19 הקנו לו תהילה, ובסוף המאה נחשב לאחד מגדולי המתמטיקאים של התקופה. עבודתו של הילברט לביסוס המתמטיקה החלה בשנות התשעים של המאה. ב-1899 פרסם הילברט את מערכת האקסיומות שלו לגאומטריה האוקלידית התלת ממדית שהיו תחליף לאקסיומות המיושנות של אוקלידס.

התוכנית של הילברט

על רקע התקופה המהפכנית בהיסטוריה של המתמטיקה של תחילת המאה ה-20, הנהיג הילברט פילוסופיה מתמטית פופולרית באותה תקופה, הפורמליזם. ההשקפה של הילברט כי המתמטיקה עצמה היא אוסף המילים והנוסחאות שלה הכתובות בשפה הפנימית והמוגדרת שלה. הנוסחאות של הילברט המבטאות את המשפטיה השונים הן אמת מוחלטת מכוח הלוגיקה וכל תיאור אנושי שלהן הוא הצגה פרשנית לשם נוחות ולא המתמטיקה עצמה. בפורמליזם של הילברט אובייקט מוגדר רק על ידי האקסיומות העוסקות בו ואין לו שום תלות בדבר אחר למען קיומו (כך לדוגמה הפרדוקס של בנך-טרסקי אינו מהווה שום בעיה, כי הוא נכון לחלוטין במסגרת כללי המשחק הלוגיים והאקסיומות).
בעקבות השקפה זו התווה הילברט את התוכנית שלו. הילברט רצה ליצור מערכת אקסיומות והגדרות ראשונית למתמטיקה שתבסס את תורת הקבוצות, כך שכל שאר ענפי המתמטיקה יסתמכו על הגדרות ומשפטים הנובעים מתוך מערכת זאת. לפי תוכנית הילברט התוצאה שתתקבל היא שכל משפט מתמטי, מורכב ככל שיהיה, יהיה למעשה שרשרת ארוכה של גרירות וגזירות לוגיות שיבססו אותו לבסוף על המושגים הראשוניים של המערכת.
הילברט לא הסתפק בכך. ראשית, חשוב היה שיהיה מספר סופי של אקסיומות וכללי גזירה בסיסיים המבוססים על שפה פורמלית שיחדיו נקראים תורה. תנאי זה מבטיח שהתורה תהיה אפקטיבית, כלומר שתמיד ניתן לדעת אם טענה היא אקסיומה ותמיד תהיה דרך לבדוק שהוכחה מוצעת היא נכונה. שנית, חשוב היה שהתורה תהיה חזקה מספיק כדי לתאר את העולם המתמטי העשיר על שלל ענפיו. תנאי בסיסי הוא שעל התורה לתאר לפחות את האריתמטיקה הבסיסית. שלישית, התורה צריכה הייתה להיות עקבית, כלומר שלעולם לא ניתן יהיה להוכיח טענה והיפוכה. הילברט גם דרש שהעקביות של התורה תהיה ניתנת להוכחה, אחרת לא מן הנמנע שיום אחד ימצאו פרדוקסים במערכת והעבודה תרד לטמיון. רביעית, נדרש שכל אקסיומה תהיה עצמאית משאר האקסיומות. כלומר שאף אקסיומה לא תהיה מיותרת במובן שניתן לפתח את המתמטיקה בדרך זהה בלעדיה. ולבסוף, נדרש מהתורה להיות שלמה, כלומר שכל טענה שניתן לנסח ניתן גם להוכיח או להפריך. על כך התבטא הילברט:
ההכרה ביכולת לפתור כל בעיה מתמטית היא תמריץ עז לכל מי שטורח על הפתרון. אנו שומעים בתוכנו את הקריאה המתמדת: הנה הבעיה, מצא את פתרונה, אתה יכול לעשות זאת בכוח המחשבה בלבד, כי במתמטיקה לא ניתקל בחוסר יכולת לדעת
]
הגשמת תוכנית הילברט משמעה שניתן לפרמל את המתמטיקה לחלוטין. מכך נובע שישנו אלגוריתם שמאפשר למחשב באופן תאורטי לבצע כל משימה מתמטית שהיא, לרבות הוכחת או הפרכת כל טענה שתינתן לו (אין הכרח שיכולת זו תהיה מעשית, כלומר אפשרית במגבלות של זמן ריצה וגודל זיכרון).

ביצוע התוכנית


הילברט הכריז על התוכנית בשנת 1921, למרות שחקר הנושא החל כבר עם תחילת המאה.

משפטי האי שלמות של גדל

ב-1931 הוכיח קורט גדל את משפטי האי שלמות שלו, להם הייתה השפעה מכרעת על תוכנית הילברט. המשפט הראשון של גדל מראה שבכל תורה עקבית ואפקטיבית שמסוגלת לתאר את האריתמטיקה קיימות טענות בנות ניסוח שלא ניתן להוכיח או להפריך, כלומר תורה כזו לא יכולה להיות שלמה. בכך הוכיח גדל ששאיפתו של הילברט לבנות תורה שלמה שכזו שבמסגרתה ניתן להכריע לגבי כל טענה לא יכולה להתגשם. המשפט השני של גדל נובע מהמשפט הראשון וקובע שבתורה חזקה מספיק, כמו זו שנדרשת לפי התוכנית, לא ניתן להוכיח את העקביות של התורה מתוך האקסיומות וכללי ההיסק של התורה עצמה. בכך הוכיח גדל שגם שאיפתו של הילברט להוכיח את העקביות של האקסיומות ללא הנחות חיצוניות היא בלתי אפשרית.
על אף שמשפטי האי שלמות הראו שתוכנית הילברט במתכונתה השאפתנית אינה אפשרית, הם לא הרסו את התוכנית לחלוטין. אמנם לפי משפטי גדל אי אפשר ליצור תורה שתכריע לגבי כל טענה שהיא, אבל ניתן ליצור תורה שתכריע לגבי "כמעט כל טענה", כלומר כל טענה שמתמטיקאים אי פעם יתעניינו בה, וזאת משום שניתן פשוט להוסיף אקסיומות שיעסקו בטענות עצמאיות שנתקלים בהן. דוגמה מפורסמת היא השערת הרצף שגדל עצמו הוכיח כי היא בלתי ניתנת להפרכה במסגרת האקסיומות המקובלות, ופול כהן הוכיח כשלושים שנה מאוחר יותר שהיא גם בלתי ניתנת להוכחה, ובכך גם מצא את הדוגמה הקונקרטית הראשונה למשפט אי השלמות הראשון, וגם הוכיח שהשערת הרצף היא עצמאית. את הבעיה פותרים המתמטיקאים בכך שהם בוחרים להניח את השערת הרצף כאקסיומה, או להפך, להניח כאקסיומה שההשערה לא מתקיימת, בדומה לאופן בו מתייחסים לאקסיומת המקבילים של אוקלידס ("הפוסטולט החמישי"). למעשה, לאור התגליות של גדל וכהן יש לדבר על "אקסיומת הרצף" ולא "השערת הרצף", אך מסיבות היסטוריות עדיין נהוג השם השני.