ציפה (פיזיקה)

כוחות ושיווי משקל

זוהי המשוואה לחישוב שיווי משקל הלחצים הזורם. המשוואה הבאה היא משוואת שיווי המשקל:

כאשר f הוא כוח כתוצאה מצפיפות שמתרחש כתוצאה לשדה חיצוני שפועל על הזורם, ו σ הוא טנזור המאמצים של קאוצ'י. במקרה הזה הטנזור פרופורציונלי לטנזור היחידה:

כאשר כאן, δ_ij הוא הדלתא של קרונקר. בהצבת ערכים אלו במשוואה הקודמת, מקבלים:

בהנחה שהשדה החיצוני הוא משמר, ניתן לכתוב בטא את הכוח בתור מינוס-גרדיאנט של איזשהי פונקציה סקלרית:

לכן, הצורה של משטח פתוח של גוף שווה למשט שווה פוטנציאל של השדה המשמר החיצוני. בהנחה שציר ה- z מצביע מטה. במקרה כזה השדה הוא שדה גרביטציה, ולכן  gz, כאשר g הוא תאוצת הגרביטציה,  הוא צפיפות הזורם. בהצבת הלחץ כאפס כאשר z=0, הקבוע יהיה אפס, ולכן הלחץ בתוך הזורם בהשפעת גרביטציה יהיה:

הלחץ גדל ביחד עם העומק מתחת למשטח הייחוס, כאשר z תורם את המרחק ממשטח זה. כל גוף בעל עומק אנכי לא אפסי מרגיש הפרש לחצים בין הלחץ העליון ללחץ התחתון, כאשר הלחץ התחתון גדול יותר. הפרש הלחצים הזה גורם לכוח הציפה כלפי מעלה.

כעת אפשר לחשב את כוח הציפה בצורה פשוטה, מפני שהלחץ על פני הגוף ידוע במלואו. אפשר למצוא כוח זה על ידי אינטגרציה של טנזור המאמצים על משטח הגוף שנמצא במגע עם הזורם.

האינטגרל המשטחי יכול להפוך לאינטגרל נפחי בעזרת משפט גאוס:

כאשר V הוא גודל הנפח שמוחלף על ידי הגוף. מפני שהזורם אינו מפעיל כוח על חלק הגוף שלא בא איתו במגע.

יהיה קל יותר להעריך את כוח הציפה לאחר הדיון הבא. ניקח חפץ כלשהו בעל צורה שרירותית ונפח V מוקף בזורם. הכוח שהזורם מפעיל על החפץ שנמצא בתוך הזורם, שווה למשקל הזורם בעל אותו נפח V. הכוח שמופעל בכיוון הפוך לכוח הגרביטציה, וגודלו:

כאשר  הוא צפיפות הנוזל,  הוא הנפח המוחלף על ידי החפץ, ו-g הוא התאוצה הגרביטציונית.

אם נפח הנוזל מוחלף בגוף מוצק בעל אותה צורה בדיוק הכוח שהזורם מפעיל עליו צריך להיות שווה לאותו כוח כמו הקודם. במילים אחרות, "כוח ציפה" על גוף מכוון בכיוון הפוך לכוח הגרביטציוני וגודלו:

במצב הסטטי הכוח הכולל על הגוף צריך להיות אפס, ובמצב כזה חוק ארכימדס מתאים.

אם כוח הציפה של גוף גדול מהמשקל שלו, הגוף נוטה לעלות. גוף שמשקלו גדול מכוח הציפה נוטה לשקוע. חישוב כוח ציפה על גוף בתאוצה לא יכול להיעשות בעזרת חוק ארכימדס לבדו. צריך להתייחס לדינמיקה של הגוף, הכוללת כוח ציפה. ברגע שהחפץ שקע לקרקעית או צף לפני השטח, חוק ארכימדס מתאים לבדו לחישוב. בשביל גוף צף, צריך להתייחס רק לנפח שנמצא בתוך הזורם. בשביל גוף שקוע מתייחסים לכל נפח הגוף, ואם הגוף נמצא בקרקעית צריך להתייחס לתגובה עם הקרקעית.

בשביל להשתמש בחוק ארכימדס לבדו, הגוף צריך להיות בשיווי משקל, כלומר:

ולכן:

נראה שהעומק אליו גוף ישקע, ונפח המים שהוא מחליף, לא תלויים בשדה הגרביטציה או מיקום גאוגרפי (הערה: אם הנוזל הוא מי ים, הצפיפות משתנה ממקום למקום, ולכן לאניות מציגים קו טעינה).

קיים מקרה כאשר כוחות שונים מכוח גרביטציה וציפה משפיעים. מקרה כזה קורה אם הגוף נלחץ או שוקע על קרקעית מוצקה. הכוח הנוסף יכול להיות מתיחות בקפיץ למדידת המשקל הגוף בתוך הזורם, וכך משקל מדומה נמדד.

אם הגוף נוטה לצוף, כוח המתיחות יהיה:

אם הגוף נוטה לשקוע, הגוף יחווה כוח נורמלי:

נהוג להגדיר מסת ציפה m_b שמבטאת את המסה האפקטיבית של גוף שיכולה להימדד בתוך זורם בעזרת שיטה גרביטציונית. אם גוף שנוטה לשקוע בזורם מסוים, מאוזן על ידי קפיץ כלשהו שיוכל למדוד את המסה השקועה שלו, נוכל לקבל:

כאשר  הוא מסת הגוף שנמדדת בריק, ו הם צפיפות הזורם והצפיפות הממוצעת של החפץ, בהתאמה. לכן, אם , החפץ הוא כביכול חסר משקל. והוא נקרא נייטרלי מבחינת ציפה. אם צפיפות הזורם גדולה מהצפיפות הממוצעת בחפץ החפץ יצוף, אם היא קטנה, החפץ ישקע.

משוואה נוספת שמתאימה לחישוב ציפה של חפץ היא מציאת המשקל המדומה של חפץ מסוים באוויר (מחושבת בניוטונים), ומציאת המשקל המדומה של החפץ בזורם (בניוטונים). על מנת למצוא את כוח הציפה שפועל על חפץ כשהוא באוויר, בשימוש במידע ספציפי, הנוסחה:

משקל מדומה בנוזל-משקל חפץ בריק=כוח צפיפות

צפיפות האוויר נמוכה מאוד ביחס לרוב הנוזלים והמוצקים, לכן משקל החפץ באוויר הוא בקירוב טוב משקלו בריק, כאשר נוצרת שגיאה זניחה.

מודל מופשט

הסבר מופשט לאינטגרציה של הלחץ סביב משטח המגע הוא:

נניח קובייה שקועה בזורם, כך שהפאה העליונה אופקית. כל שטחי הפאות הצדדיות שווים, ופילוג העומק שלהם שווה, לכן גם פילוג הלחצים שפועל עליהם שווה, וכתוצאה מכך גם כוחות הידרו-סטטיים שווים, שפועלים בניצב לכל פאה.

קיימים שני זוגות של פאות מקבילות והפוכות בכיוונן, לכן הכוחות האופקיים מבטלים אחד את השני.

הכוח שפונה כלפי מעלה נובע מאינטגרציה על השטח של התפלגות הלחץ על הפאה התחתונה. כל הפאה התחתונה באותו העומק, לכן הלחץ שפועל עליה קבוע. לכן האינטגרל של הלחץ על פני השטח שווה ללחץ בעומק של הפאה כפול שטח הפאה.

בצורה דומה, הכוח שפועל כלפי מטה הוא החלץ בעומק הפאה העליונה כפול שטחה.

מפני שמדובר בקובייה, לפאה העליונה והתחתונה צורה ושטח זהים, והפרש הלחצים ביניהן פרופורציונלי להפרש העומק בו הן נמצאות. הפרש הכוחות הזה שווה בדיוק למשקל הנוזל שמוחלף על ידי הקובייה.

כלומר, הכוח שפועל כלפי מעלה (כוח הציפה) שווה למשקל הזורם המוחלף, והכוח שפועל כלפי מטה (כוח הכבידה) הוא משקל הקובייה, כל זאת בהיעדר כוחות חיצוניים נוספים.

במקרה של שתי קוביות שמגיעות למגע אחת עם השנייה הלחץ וכתוצאה מכך הכוח על הפאות שנמצאות במגע מאוזן על ידי הקובייה השנייה. ולכן כוח הציפה שיפעל על שתי הקוביות שווה לסכום כוחות הציפה על כל אחת מהן. אנלוגיה זו מתאימה לכל מספר שרירותי של קוביות.

כל גוף יכול להיות מקורב למספר גדול של קוביות, ככל שהקוביות קטנות יותר, כך הקירוב טוב יותר, ואפשר להשתמש באנלוגיה.

משטח משופע לא סותר את האנלוגיה, מפני שאפשר להתייחס לרכיבי הכוחות הניצבים ולהתמודד איתם בהתאם.

יציבות

גוף צף נחשב יציב אם הוא נוטה לחזור למצב יציב אחרי שינוי קטן במיקום. לדוגמה, לגוף צף תהיה באופן כללי יציבות אנכית. כלומר, אם הגוף יידחף אנכית מטה ייווצר כוח ציפה גדול יותר שמפני שאינו מאוזן על ידי המשקל ידחוף את הגוף חזרה כלפי מעלה.

ליציבות סיבובית יש חשיבות גדולה עבור כלי שיט. בהינתן תזוזה זוויתית קטנה כלי-השיט עשוי לחזור למיקומו המקורי (יציב), להתרחק ממיקומו המקורי (לא יציב), או להישאר במיקומו הנוכחי (נייטרלי).

יציבות סיבובית בקווים היחסיים של כוחות הפועלים על החפץ. כוח הציפה שפועל כלפי מעלה עובר דרך מרכז הציפה, שהוא המרכז הגאומטרי של הנפח השקוע. כוח הכובד עובד דרך מרכז המסה של הגוף. גוף צף יהיה יציב אם מרכז המסה נמצא מתחת למרכז הציפה, וכך כל תזוזה סיבובית תיצור "מומנט מחזיר".

היציבות של גוף צף ביחס למשטח הנוזל היא יותר מורכבת. גוף יכול להיות יציב גם אם מרכז הציפה נמצא מתחת למרכז המסה. כל עוד הם מיקומם מבטיח שעבור תזוזה קטנה ייווצר מומנט מחזיר. יכול להיווצר מצב בו המומנט המחזיר הוא שלילי, ולכן הגוף יהיה לא יציב. במהלך תמרון גוף יכול לעבור ממצב יציב ללא יציב מספר פעמים, לצורה מסוימת של גוף יכולים להיות מספר מיקומים יציבים.

זורם דחיס וגופים דחיסים

צפיפות האטמוספירה תלויה בגובה. כאשר ספינת אוויר עולה לאוויר, כוח הציפה שפועל עליה קטן ביחד עם הצפיפות האטמוספירה שסביבה שקטנה. לעומת זאת, אם צוללת פולטת מים ממכלי הציפה שלה, היא תעלה מפני שהנפח שלה נשאר קבוע בעוד שהמסה שלה קטנה.

גופים דחיסים

כאשר גוף צף, כלפי מעלה או כלפי מטה, הכוח החיצוני שפועל עליו משתנה. מפני שכל הגופים דחיסים במידה כזו או אחרת, כך גם נפח הגוף. מפני שציפה תלויה בנפח הגוף, כוח הציפה שפועל על גוף יקטן אם הוא נדחס ויגדל אם הוא מתפשט.

אם גוף מסוים, שנמצא בשיווי משקל, דחיס פחות מהסביבה, הוא יהיה בשיווי משקל יציב. לעומת זאת, אם הגוף דחיס יותר מהסביבה שלו הוא נמצא בשיווי משקל לא יציב. במצב כזה הוא יעלה כלפי מעלה או ירד כלפי מטה.

ציפה באוויר

בדומה לחפצים שנמצאים בתחתית האוקיינוס שמסתכלים ורואים חפצים שצפים במים. אנו נמצאים בתחתית אוקיינוס אוויר ורואים חפצים שצפים באוויר, כמו בלונים. בלון צף, כמו גם מדוזה מאותה סיבה: כל אחד מהם צף כתוצאה מכוח ציפה ששווה למשקל הזורם אותו הם מחליפים. כאשר כוח הציפה שווה למשקל הגוף, הגוף צף. פעם אחת הזורם הוא אוויר ובפעם השנייה הזורם הוא מים. גופים צפים במים מפני שהלחץ שפועל על תחתית הגוף גדול מהלחץ שפועל על אזורו העליון, כך גם גוף באוויר, הלחץ באוויר מתחת לגוף גדול מלחץ האוויר מעל הגוף. בשני המקרים הציפה בהתאם לחוק ארכימדס.

למטר קובי של אוויר בלחץ אטמוספירי סטנדרטי וטמפרטורת חדר יש מסה של בערך 1.2 קילוגרם, לכן הוא שוקל בערך 12 ניוטונים. לכן על כל מטר קובי של אוויר פועל כוח ציפה בגודל של 12 ניוטונים. אם מסה של מטר קובי של חפץ גדולה מ-1.2 קילוגרם (לכן משקלו גדול מ12 ניוטנים), החפץ ייפול לאדמה מעליה שוחרר. אם למטר קובי של חפץ מסה קטנה מ 1.2 קילוגרם, הוא עולה כלפי מעלה. כל גוף בעל מסה קטנה ממסת האוויר באותו נפח יעלה מעלה. במילים אחרות, כל חפץ צפוף פחות מאוויר יעלה מעלה. הגזים בהם ממלאים בלונים ש"מרחפים" באוויר צפופים פחות מאוויר.

ציפה גדולה יותר יכולה להיות מושגת אם הבלון היה מרוקן מחומר. משקל המבנה שתחזיק בלון מרוקן מלקרוס תעלה על כוח הציפה שנוסף. לכן ממלאים כדורים פורחים בגזים צפופים פחות מאוויר רגיל, מה שמונע מהכדור לקרוס ושומר עליהם קלים. בבלונים שאמורים להגיע לגבהים גבוהים או אמורים להישאר גבוהים לזמן ארוך, משתמשים בדרך כלל בהליום. הצפיפות של הליום קטנה מספיק כך שמשקל הכולל של ההליום, הבלון ומה שיחובר אליו יהיו קטנים ממשקל האוויר אותו הם מחליפים. מימן הוא הגז הכי פחות צפוף, אבל הוא נפיץ, ולכן כמעט שלא בשימוש. גז בעל צפיפות נמוכה משמשים למילוי בלונים מאותה סיבה מחומרים בעלי צפיפות נמוכה משמשים לחגורות הצלה., הם פשוט קלים מספיק וגורמים לכוח הציפה לגדול על כוח הכבידה.

להבדיל ממים, לאטמוספירה אין פני שטח (אין "תקרה"). בנוסף לזאת, להבדיל ממים האטמוספירה נהיית פחות צפופה באופן משמעותי עם הגובה. בעוד מצוף יצוף לפני המים, בלון הליום לא עולה לאיזשהו פני שטח של האטמוספירה. אוויר נהיה פחות צפוף עם הגובה, כך שכאשר משקל האוויר המוחלף יהיה שווה למשקל הבלון, התאוצה כלפי מעלה תיפסק. אפשר לומר גם שכאשר כוח ציפה על בלון שווה למשקל הבלון, הבלון יפסיק לעלות. בצורה זהה כאשר הצפיפות הממוצעת של הבלון שווה לצפיפות האוויר שמקיף אותו הבלון יפסיק לעלות. בלוני צעצוע שמלאים בהליום בדרך כלל מתפוצץ כשהם משוחררים לאוויר, מפני שכאשר הבלון עולה ומגיע לאזור בעל לחץ נמוך יותר, ההליום שבבלון מתפשט, מה שמגדיל את נפח הבלון עד שהוא נקרע ומתפוצץ.