משפט בל

אי-שוויון בל

אי-שוויון בל מתייחס למתאמים (קורלציות) בין תכונות השייכות לאובייקטים. התרחיש במאמר של בל מבוסס על תרחיש דומה לזה המופיע ב-EPR ובו בודקים את ערכי הספין של זוג אלקטרונים שזורים הנמצאים בשני מקומות מרוחקים ואי-השוויון מתייחס להתאמת הספין בכיוונים שונים. בניסוחו המקורי נכתב האי שוויון כך:
כאשר b,a ו-c הם כיוונים שונים שעבורם נמדד הספין של האלקטרונים, ו- היא ההתאמה בין ערכי הספין בכיוון x בגלאי אחד ובכיוון y בגלאי השני. 
לצורך ההסבר כאן נשתמש באי שוויון אחר ששקול לאי השוויון הזה (ראה גרסאות של אי שוויון בל בהמשך).

הסבר

ניקח קבוצה של אובייקטים שלכל אחד מהם יכולות להיות או לא להיות כל אחת משלוש התכונות B, A ו-C. נסמן את קיומה של תכונה A ב-, את העדרה ב-, ובאופן דומה את קיומן או העדרן של התכונות האחרות. מספר האובייקטים בקבוצה שיש להם, למשל, התכונות A ו-B אבל לא C יהיה .
כיוון שמספר החברים בקבוצה שלהם צירוף כלשהו של תכונות יכול להיות 0 או יותר, נוכל לרשום את אי השוויון הבא:
נוסיף שני איברים לשני הצדדים של אי השוויון:
כיוון שמספר האובייקטים שיש להם תכונה מסוימת ועוד מספר האובייקטים שאין להם אותה תכונה הוא מספר כל האובייקטים, נוכל לחבר זוגות איברים ולרשום:
(2)                  
אי שוויון זה שקול לאי השוויון של בל.
הספין של אלקטרון יכול לקבל אחד משני ערכים – up או down, או בסימון אחר 1/2 או 1/2- בכל כיוון מרחבי. על פי עקרון אי הוודאות של הייזנברג, לא ניתן למדוד את ערך הספין של אלקטרון מסוים ביותר מכיוון אחד. אבל עבור זוג אלקטרונים במצב שזירות, אם נמדוד את הספין של כל אחד מהם בכיוון מסוים נקבל תמיד ערכים הפוכים. אם לאחד מהם יהיה הספין בכיוון מסוים 1/2, הספין של השני באותו כיוון יהיה תמיד 1/2- . לכן, אם נמדוד את הספין של אחד מזוג אלקטרונים במצב שזירות בכיוון אחד ואת הספין של השני בכיוון אחר, נוכל לכאורה לדעת את הספין של כל אחד מהם בשני כיוונים שונים. יותר נכון, נוכל לדעת מה היה הספין של האלקטרון בכיוון שלא נמדד לו היינו מודדים אותו.
אם נמדוד באחד מזוג אלקטרונים ספין 1/2 בכיוון a ובשני ספין 1/2 בכיוון b, יהיה זה כאילו לאלקטרון הראשון יש ספין 1/2 בכיוון a וספין 1/2- בכיוון b. אם נמדוד מספר גדול מאד של אלקטרונים בצורה דומה, נוכל לסמן ב- את מספר המדידות שבהן התקבלה תוצאה כזאת. באופן דומה נמדוד מספר זהה של מדידות גם בכיוונים a ו-c ובכיוונים b ו-c.
נוכל עכשיו לרשום עבור הניסוי את אי השוויון שלמעלה באופן כזה:
(3)                  
על פי תורת הקוונטים, אם מודדים את הספין של כל אחד מזוג אלקטרונים שזורים בשני כיוונים שונים שהזווית ביניהם θ, החלק של האלקטרונים שיהיה להם ספין 1/2 בגלאי אחד מתוך סך כל האלקטרונים שיש להם ספין 1/2 בגלאי השני נתון על ידי:
(4)                  
אם שני הגלאים מודדים ספין באותו הכיוון (θ=0) הערך יהיה 0 – לאף אלקטרון שלבן הזוג שלו יהיה ספין 1/2 לא יהיה ספין 1/2.

אם שני הגלאים מודדים בכיוונים ניצבים (θ=90ᵒ) הערך יהיה 0.5 – למחצית מן האלקטרונים שלבן הזוג שלהם ספין 1/2 יהיה ספין 1.

אם שני הגלאים מודדים כיוונים הפוכים (θ=180ᵒ) הערך יהיה 1 – לכל האלקטרונים שלבן הזוג שלהם ספין 1/2 יהיה ספין 1/2.
נניח ששלושת הכיוונים שלנו הם:

a=0ᵒ

b=30ᵒ

c=60ᵒ

ואנחנו בודקים עבור כל זוג זוויות N זוגות אלקטרונים שהספין שלהם בגלאי הראשון הוא 1/2.
לפי (4) יהיה:
כלומר, התחזית של תורת הקוונטים (4) לא מקיימת תמיד את אי השוויון (3).
ניסויים שונים שנערכו כדי לבדוק את משפט בל, איששו את תחזיות תורת הקוונטים וסתרו את אי השווין של בל.

ההשלכות הפילוסופיות של משפט בל

על החלק התיאורי של תורת הקוונטים אין כמעט חילוקי דעות. התחזיות והנוסחאות הסטטיסטיות שכלולות בה נבדקו בניסויים רבים ותוצאות הניסויים תואמות את התחזיות. לעומת זאת, על הפרשנות של תורת הקוונטים ניטש ויכוח ארוך שנים. תורת הקוונטים אומרת שלא ניתן לחזות מראש את תכונותיו הקוונטיות של חלקיק מסוים, אלא רק את הסיכוי למציאת כל אחד מהערכים האפשריים אם וכאשר נמדוד אותם. על פי פרשנות קופנהגן – ממשנתו של נילס בוהר – לחלקיק אין כלל ערך מסוים לתכונה עד למדידתה, אלא הוא נמצא במצב של סופרפוזיציה קוונטית שמשלב את כל הערכים האפשריים. רק בזמן המדידה עצמה הוא מקבל את אחד הערכים האפשריים. פרשנות זו סותרת את אחת מהנחות היסוד של הפיזיקה הקלאסית – ההנחה שהמציאות היא דטרמיניסטית ובכל נקודת זמן יש לה תכונות מוגדרות וחד משמעיות שיקבעו את כל המצבים הבאים שלה. איינשטיין התנגד לפרשנות זו וידועה אמירתו "אלוהים אינו משחק בקוביות" שהופיעה במכתב לפיזיקאי מקס בורן.

פרשנות זו נעשית עוד יותר בעייתית כאשר מדובר על זוגות חלקיקים במצב של שזירות קוונטית. במצב כזה, בכל מדידה נקבל תמיד ערכים משלימים לשני החלקיקים. אם למשל יהיה לאחד מהם ספין 1+ לשני יהיה בהכרח ספין 1-. אם החלקיק מקבל את כיוון הספין רק בזמן המדידה, הוא צריך להשפיע באופן מיידי גם על הספין של בן זוגו – גם אם זה נמצא במרחק רב. את האפשרות להשפעה כזאת כינה איינשטיין: "Spooky action at a distance" (פעולה מוזרה ממרחק).

איינשטיין גרס, שלכל חלקיק ישנן תכונות קבועות מראש – משתנים סמויים - שקובעות מה יהיה הערך של כל תכונה קוונטית, גם אם איננו יכולים לדעת מראש מה הן.

הוויכוח בין תומכי פרשנות קופנהגן לבין תומכי תאוריית המשתנים הסמויים נמשך עד היום.
עד לפרסום משפט בל, הוויכוח הזה התנהל ברמה הפילוסופית בלבד. מכיוון שאין כל דרך לדעת מה מצבו של חלקיק שאיננו מודדים אותו באופן כלשהו, כל אחת משתי הפרשנויות האלה עשויה להיות נכונה באותה המידה והבחירה ביניהן תלויה בהשקפה הפילוסופית של כל אחד.
פרסום משפט בל, שהראה שיש סתירה בין תחזיות תורת הקוונטים לבין כל תאוריית משתנים סמויים לוקאליים אפשרית, נתן אפשרות להעמיד לבחינה בניסויים את היתכנותה של תאוריה כזאת. כאמור, תוצאות הניסויים שנערכו לבדיקת משפט בל, תמכו בתחזיות תורת הקוונטים והיטו את הכף כנגד תאוריית משתנים סמויים לוקאליים.

רבים נוהגים להסיק מכך שהמציאות, לפחות ברמת החלקיקים התת-אטומיים, איננה לוקאלית ושפרשנות קופנהגן היא הפרשנות הנכונה לתורת הקוונטים. אבל האמת היא, כפי שנאמר קודם, שמה שמראים הניסויים הוא שאיננו יכולים לדבוק בכל ארבע ההנחות המופיעות למעלה. ויתור על אחת או יותר מההנחות הללו, יפתור את הסתירה בין תוצאות הניסויים לאי השוויון של בל. השאלה על איזו מן ההנחות הללו לוותר מחזירה אותנו – לפחות בינתיים - למגרש של הפילוסופיה.

גרסאות של אי השוויון של בל

היום ידועות מספר גרסאות של אי השוויון של בל. במאמר המקורי של ג'ון בל מופיע אי השוויון בצורה הבאה:
(4)                  
ניתן לפשט ביטוי זה לצורה של (1) למעלה:
                 
נראה תחילה שאי השוויון (3) שבו השתמשנו להסבר שלמעלה שקול לאי השוויון (1):

ניתן לכתוב את אי השוויון שהשתמשנו בו (3) גם כך:
(6)                  
מכיוון שאפשר לבחור במקום כל תכונה את התכונה ההפוכה לה, נוכל לרשום גם:
(7)                  
אם נחבר את (6) ו-(7) נקבל:
נכפיל את שני צידי אי השוויון ב-2/N ונוסיף ונחסר 1 בכל צד שלו ונקבל:
(8)                  
אפשר להראות שעבור שתי תכונות שכל אחת מהן יכולה לקבל שני ערכים בהסתברות שווה, הקורלציה ביניהן שווה לביטוי:
(9)                  
אם נציב את (9) ב-(8) נקבל:
                  
אבל בשל הסימטריה בין זוגות הזויות נוכל להחליף ביניהן ולכתוב גם:
                  
אם נאחד את שתי המשוואות נקבל:
                  
או:
                

אי השוויון CHSH

גרסה נוספת ידועה של אי השוויון היא זו של ג'ון קלאוסטר, מיכאל הורן, אבנר שמעוני וריצ'רד הולט (CHSH) שפורסמה במאמר בשנת 1969. אי השוויון מתייחס לקורלציה הקוונטית של זוגות זוויות בניסוי דומה לזה המתואר ב-EPR: כל גלאי בכל אחד מהצדדים מכוון לשתי זוויות שונות, ובארבע בדיקות נפרדות בודקים את ארבעת הצירופים האפשריים של זוויות הגלאים.
אי השוויון נרשם כך:
                 
כאשר (x,y)‏E מוגדר כממוצע המשוקלל של המכפלה (x)‏B•‏(x)‏A. אם מגדירים את ערכי הספין 1 ו-1-, (x,y)‏E נתון על ידי מספר המקרים בהם הערכים ב A ו-B היו שווים, פחות מספר המקרים שהערכים היו שונים חלקי סך-הכל המקרים שנבדקו:
                 

ניסויים לבדיקת משפט בל

מאז פרסום משפט בל נערכו מספר גדול של ניסויים לבדיקת קיומו או אי קיומו של אי השוויון של בל. רוב הניסויים נערכו על אור מקוטב ולא על הספין של אלקטרונים כפי שמוצע במסמכים המקוריים, מכיוון שניסויים באור מקוטב קלים יותר ליישום. תכונת הקיטוב של האור דומה במובנים רבים לתכונת הספין של אלקטרונים, כאשר הזויות של המקטבים הן מחצית הזויות המקבילות של גלאי הספין.

ישנם ניסויים בעלי ערוץ אחד שבו יש גלאי אחד בכל צד. בניסוי כזה מניחים שלכל פוטון או אלקטרון שלא נקלט בגלאי ישנו הערך הקוונטי ההפוך מזה של אלה שנקלטים בגלאי. הנחה כזאת יכולה להכניס אי דיוקים לניסוי.

אפשרות אחרת, קצת מורכבת יותר, היא ניסוי עם שני ערוצים שבו ישנם שני גלאים בכל צד שמודדים את שני הערכים הקוונטיים האפשריים.

הבעיה העיקרית בניסויים האלה היא היעילות הנמוכה של הגלאים, שכאשר מכניסים אותה לחישובים הסטטיסטיים מורידה באופן משמעותי את אמינות התוצאות.