היסטוריה של המתמטיקה

התקופה הפרהיסטורית

ניתן להניח כי פעולת הכימות של עצמים מוחשיים קדמה בהרבה להתפתחות תפיסתה של המתמטיקה כרעיון מופשט, ויכולת בסיסית להבחין בין כמויות נמצאה אפילו אצל בעלי חיים.
ב-1937 גילה הארכאולוג קארל אבסולום ממצא שתוארך לכ-30,000 לפני הספירה - עצם שועל שעליה חמישים וחמישה חריצים מסודרים בחמישיות, בה עשרים וחמישה חריצים מופרדים מהשלושים הנותרים על ידי חריץ שאורכו כפול. ייתכן שהחריצים מסמלים איברי קבוצה, ונועדו לשמש כעזר למנייה של האדם. בדיעבד, ניתן לקשר בין עצם השועל למושגים המודרניים התאמה חד חד ערכית ובסיס ספירה (5). ממצא נוסף, שתוארך ל-25,000 לפני הספירה פחות או יותר, היו מערות בצרפת ובספרד שעליהן צורות גאומטריות.
ישנו מספר מוגבל של ממצאים מהתקופה הפרהיסטורית שמראים תפישה ברורה של פעולות החשבון, אך הממצא הברור ביותר מהתקופה הוא עצם האישנגו מאפריקה, שמתוארך לבין השנים 20,000-18,000 לפנה"ס, שעל פי אחת הפרשנויות מראה על היכרות עם פעולות החשבון, הבחנה בין מספרים זוגיים לאי-זוגיים ואף על הבנה בסיסית של מושג המספרים הראשוניים.

בבל

בסביבות שנת 3500 לפנה"ס שלטו באזור מסופוטמיה האשורים, שעשו שימוש בכתב יתדות וערכו את חישוביהם בבסיס 60. בין השנים 2300 ל-2100 לפנה"ס שלטו באזור זה האכדים, שהשפיעו על התרבות האשורית. הם הביאו עמם, בין היתר, את הגרסה שלהם לכלי המוכר לנו כיום כחשבונייה. בשנת 1900 לפנה"ס, אחרי שפלשו למסופוטמיה, קבעו הבבלים את בירתם בבבל. סביר להניח כי הבבלים ירשו את שיטת הספירה שלהם מן האשורים והאכדים משום נוחות השימוש בה (להשערות בדבר בחירת המספר 60 כבסיס ראו: בסיס סקסגסימלי).
שיטת הספירה הבבלית הביאה עמה חידוש משמעותי ביחס לשיטות הקודמות לה: הבבלים קישרו בין מיקומה של הספרה לבין הגודל שהיא מייצגת (שיטה פוזיציונלית), בדומה לשיטה העשרונית בימינו, אם כי בסיס הספירה היא, כאמור, 60. כדי למנוע את הצרך ביצירת 60 סימנים מוסכמים שונים, השתמשו הבבלים בספירת משנה קיבוצית (ראו תמונה). למספר 0 לא יוחד סימן משלו עד לתקופה מאוחרת יחסית (300 לפנה"ס לערך), ופעמים רבות ניתן היה להבדיל בין 10X לבין X, למשל, רק בעזרת ההקשר.
בטבלאות אשר נמצאו על הפרת ומתוארכות לשנת 2000 לפנה"ס נמצאו ריבועי המספרים עד 59 וחזקותיהם השלישיות של המספרים עד 32. הבבלים עשו שימוש בזהויות:  או  ובטבלאות המתוארות לעיל, כדי לפשט את חישוביהם. לבבלים לא היה אלגוריתם לחילוק ארוך, לכן השתמשו בעובדה שמתקיים  ובטבלה של מספרים הופכיים לחילוק.
פלימפטון 322 הוא לוח חרסית שמקורו בבבל, והוא מתוארך לשנים 1900 לפנה"ס עד 1600 לפנה"ס. הפרשנויות באשר ללוח זה חלוקות. על פי חלק מהפרשנויות, הלוח שימש לייצור שלשות פיתגוריות או לחישוב ערכה של פונקציה טריגונומטרית, ובכך הוא מעיד על רמה מתמטית גבוהה של התרבות הבבלית, ומתבלט ביחס לשאר הממצאים מסוגו. על פי פרשנות אחרת, הלוח שימש ככלי עזר בהוראת חשבון, ואין בו ייחוד רב ביחס לממצאים הדומים לו. בכל אופן, סביר להניח כי העדויות על פתרון בעיות מתמטיות מורכבות יחסית אינם מעידים על קיומם של אלגוריתמים אלגבריים מגובשים, וכי פתרונם של אלה נעשה על ידי התבוננות בטבלאות.
ובכל זאת, יש הרואים בבבל את ראשית האלגברה. אכן, הבבלים הציגו חישובים שדומים לאלגברה המודרנית בחלק מעקרונותיה, וחלק מהבעיות יכלו להיפתר בעזרת משוואה ממעלה שנייה. התגלתה, לדוגמה, טבלה המציגה את ערכי  בעבור כל n טבעי עד 30. כמו כן נמצאה על אחת מלוחיות החימר מהתקופה הבבלית בעיה שניסוחה הוא: "החסרתי את הצלע של הריבוע מהשטח, וזה 870", ופתרונה הוא שצלע הריבוע היא 30. את המשוואה אפשר לתרגם בכתיב מודרני ל-. יש ויכוח בקרב החוקרים אם אכן הבבלים חשבו על המספרים בצורה מתמטית מופשטת, או שה"אלגברה" שלהם הייתה מבוססת על הסתכלות בטבלאות ותו לא, ושראייתה כאלגברה היא אנכרוניסטית.
לבבלים היו גם מספר הישגים בגאומטריה. הקירוב לפאי שהוזכר לרוב בכתביהם היה אמנם 3, פחות מדויק מהקירוב המצרי, אך הם מצאו קירוב טוב ביותר לשורש ריבועי של 2, שהוא היחס בין צלע של ריבוע לאלכסון שלו:

קירוב בדיוק של ארבע ספרות סקסגסימליות, שהן כשש ספרות דצימליות (עשרוניות). מכיוון שהשורש הריבועי של 2 מקבל את משמעותו הגאומטרית על פי משפט פיתגורס, ובשל ממצאי לוח פלימפטון - ייתכן מאד שהבבלים הכירו את המשפט, אך לא סביר שהם ידעו להוכיחו (או להוכיח כל משפט אחר). הגאומטריה הבבלית הייתה יישומית ולא מופשטת, וודאי שלא דדוקטיבית. בכל אופן, יש ראיות לכך שהם ידעו לחשב את שטחיהם של מצולעים משוכללים בני שלוש עד שבע צלעות, וכן להשוות בין שטחם לשטח של מרובעים הבנויים על צלעותיהם.

הודו

פרק זה דורש עריכה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולערוך אותו. הסיבה לכך: ניסוחים מעט מרושלים.
למתמטיקה בהודו היו מספר פיתוחים חשובים, אך המפורסם והחשוב שבהם הוא השיטה העשרונית הפוזיציונלית (מיקומית) ומושג ה-0. עם זאת, במובן מסוים הייתה המתמטיקה ההודית חזרה אחורה ביחס למתמטיקה היוונית, כיוון שהייתה פחות ריגורוזית ויוחס לה פחות ערך פילוסופי. המתמטיקה ההודית נכתבה ברובה בחרוזים ובסגנון מיסטי.
בין השנים 2500 לפנה"ס ל-1700 לפנה"ס לערך התקיימה בהודו תרבות עמק האינדוס. אנשי תרבות זו אימצו מערכת של מידות ומשקולות המבוססת על חלוקה עשרונית של "מידות טבעיות". בחפירות ארכאולוגיות נמצאו שרידים המראים על שימוש ביחידת מידה של 3.35 ס"מ אשר מהווה באורכה עשירית מיחידת הרגל, וכן ביחידת מידה אחרת שאורכה 0.932 ס"מ ומהווה מאית מיחידת הפסע.
כשירדה קרנם של תושבי עמק האינדוס, תפסו את מקומם ההינדו-אריאנים. ספרי הקודש שלהם, הודה, כללו בין השאר את ה"שולבה סוטרא" - ספר קודש העוסק בבניית מזבחות לשם הקרבת קורבנות. ספר זה הוא דתי בעיקרו, אך מציג מתמטיקה מתקדמת. בין השאר נמצאים בו נוסח של משפט פיתגורס ("האלכסון במלבן יוצר שטח השווה לסכום השטחים ששתי צלעות המלבן יוצרות בנפרד"), בעיית בניית מזבח מרובע ששטחו שווה למעגל נתון (בעיה מקבילה לבעיית "תרבוע העיגול" של היוונים), וקירוב מדויק מאד לשורש הריבועי של 2: , מדויק עד הספרה החמישית אחרי הנקודה. אין זכר להוכחות בטקסט זה.
בסביבות המאה ה-3 לפנה"ס הופיעו הספרות הברהאמיניות. במובן מסוים הן המקור לשיטה העשרונית המודרנית, אך הן אינן מפותחות כמו שיטת הספירה ההודית המאוחרת יותר.
עם שקיעתה של הדת ההודית, החלו להתבסס דתות אחרות. הג'ייניזם שהתפתחה במאה השישית לפני הספירה על בסיס ההינדואיזם, הייתה אחת מהן. הקוסמולוגיה הג'יינית והצורך בתחזיות אסטרונומיות (למשל, לכתיבת לוחות שנה) היוו כוח מניע להתפתחויות מתמטיות רבות. עם זאת, המתמטיקה נתפסה עדיין כמדע שימושי או ככלי יישומי. כך, למשל, הביאו סוגיות בקוסמולוגיה לפיתוח רעיונות בנושא האינסוף, שלא נשקלו בשנית עד לעבודותיו של גאורג קנטור.
במאות ה-5 עד ה-7 לספירה חיו שני מתמטיקאים חשובים במיוחד: אריאבהטה ובראהמגופטה.
אריאבהטה (476-550 לספירה) הוא אחד מגדולי המתמטיקאים ההודים. הוא נחשב לאבי השיטה העשרונית. עבודתו ה"אריאבהטיה" שפרסם בגיל 23 השפיעה רבות על המתמטיקה ההודית. בין השאר נמצאים בחיבור: אלגוריתם להוצאת שורש ריבועי ושלישי, הנוסחה לאורך צלע משושה משוכלל, רעיון הרדיאן, הוכחה בעזרת דמיון משולשים, משפט פיתגורס, והנוסחאות לחישוב סכום האיברים בסדרה חשבונית, או לחלופין מספר האיברים, אם ידועים סכום הסדרה והאיבר הראשון. הקירוב המוצג ל-π הוא "חבר ארבע למאה אחת, הכפל בשמונה, והוסף שוב ששים ושניים אלף, התוצאה היא ערכו בקירוב של π כאשר הקוטר הוא עשרים אלף", כלומר בדיוק 3.1416, שהוא קירוב בדיוק של אלפית. תוצאות אלו מראות על הבנה מתמטית מרשימה לתקופתו. עם זאת, במדידת הנפחים נפלו כמה טעויות. נראה שהוא הושפע מהמתמטיקה יוונית. פרשן בולט שלו הוא בהסקרה הראשון (600-660 בקירוב).
בשנים 598–668 חי המתמטיקאי והאסטרונום החשוב בראהמגופטה. הוא עבד כאסטרונום הראשי של מצפה הכוכבים בעיר אואז'ין. עבודתו החשובה, "המערכת המתוקנת של ברהמה" (Brahmasphutasiddhanta), עוסקת בעיקרה באסטרונומיה ובחישובים אסטרונומיים (ככל הידוע לנו הוא החוקר ההודי הראשון שהשתמש באלגברה לצרכים אסטרונומיים), אך כוללת ארבעה פרקים (מתוך עשרים ושלושה) של מתמטיקה טהורה, שהם הפרקים המשפיעים ביותר בספר. הוא מושפע רבות ממתמטיקאים ואסטרונומים הודים קודמים, כמו וורהמירה ואריאבהטה, ולרוב מגיע להישגים טובים משלהם. הוא עסק במשוואות (לדוגמה משוואות פל), בכדוריות, במדידת נפחים (בנושא זה היו לו טעויות לא זניחות) ועוד. למרות הגיוון בנושאיו, החידוש הגדול בספר הוא שבו הופיע לראשונה האפס כמספר בפני עצמו, ולא רק כמציין מקום חסר, ואף הגדיר אותו כתוצאת חיסור מספר מעצמו. הוא ניסח את כללי הפעולות עם אפס: "אם מוסיפים או מורידים ממספר אפס הוא נשאר ללא שינוי, אם מכפילים מספר באפס התוצאה היא אפס". כמו כן, בספרו התקיימו המספרים השליליים ("חוב") וההפרדה בינם לבין החיוביים ("הון"), נרשמו כללים לפעולות במספרים חיוביים, שליליים ובאפס המזכירים את אלו המודרניים, והוא אף הכליל פתרונות שליליים כפתרונות קבילים למשוואותיו. עבודתו של בראהמגופטה היוותה הבסיס לשני תחומים מרכזיים, אם לא שני התחומים המרכזיים, במתמטיקה ההודית, "מתמטיקה של אלגוריתמים" המקבילה בקירוב לאריתמטיקה, ו"מתמטיקה של משוואות" המקבילה בקירוב לאלגברה.
בראהמגופטה השפיע רבות על המתמטיקה ההודית. מהווירה, בן המאה התשיעית, פיתח את רעיונותיו. במאות ה-9 עד ה-11, בכל אופן, לא היו תרומות מתמטיות רבות מלבד פרשנויות לספרים מוקדמים יותר וחישובים אסטרונומיים למיניהם. במאה ה-12 הייתה התקדמות מה במתמטיקה ההודית, ובעיקר השפיע ספרו של בהסקרה השני "כתר השיטה האסטרונומית", שבו נכללו גם כללי כפל וחילוק למספרים חיוביים ושליליים. ספר זה נחשב לשיא הרמה אליה הגיעה המתמטיקה ההודית.
בכל אופן, תרומה משמעותית כזו של אריאבהטה ובראהמגופטה לא חזרה על עצמה מעולם בספר בודד.

המאיה

המאיה היא תרבות אינדיאנית שפרחה באמריקה המרכזית במאות ה-3 עד ה-16 לספירה, ובמיוחד במאות ה-8 וה-9. תרבותם המפותחת ועניינם הרב באסטרונומיה היוו כר פורה לפיתוח שיטת ספירה מתקדמת ביותר לתקופתה.
תרבות המאיה פיתחה, כשש מאות שנה לפני השיטה העשרונית ההודית, שיטה פוזיציונלית משלה. בסיס השיטה הוא 20, ויש רק 3 סימני ספרות: 0, 1 ו-5, בעזרתן ניתן לבטא כל מספר. בכתבי המאיה התגלו מספרים בסדר גודל של מיליונים הכתובים בשיטה זו.
מאפיין מעניין במיוחד של שיטת הספירה הזו הוא, שבעוד שרוב הספרות ייצגו כמות גדולה פי 20 מהספרה שקדמה להן - הספרה השלישית ייצגה כמות גדולה פי 18 מהשנייה. כך, הספרה הראשונה מודדת אחדות, השנייה מודדת "עשרימיות", השלישית "שלוש מאות ושישימיות" (20*18), הרביעית "שבעת אלפים מאתימיות" (20*18*20), וכך הלאה. תכונה זו נגזרה, כמעט בוודאות, מלוח השנה "האב", שבו יש 18 חודשים בני 20 יום כל אחד, ועוד חודש אחד בן חמישה ימים שנחשב למביא מזל רע.
מעבר לכך, ככל הידוע, לא הגיעה המתמטיקה של המאיה להישגים של ממש. שיטת הספירה סייעה בידם של האסטרונומים, שלהם היו הצלחות מרשימות ביחס לתקופתם, וכן לחישובים הקשורים ללוח השנה המקומי המתוחכם והמתקדם.

בעולם המוסלמי

דת האסלאם נולדה במאה השביעית. ב-732 כבר שלטו המוסלמים על שטח רחב ממדים שכלל בין השאר את מסופוטמיה, מצרים, פרס, ספרד וצפון אפריקה. השפה הערבית והשלטון המוסלמי נכפו על השטחים הכבושים, אולם התרבויות השונות לא נטמעו לחלוטין בתוך האסלאם והמשיכו להתקיים, לעיתים בצורה נוחה יותר מאשר בזמן שנשלטו בידי יוון או רומא. בזמן שבאירופה, בתקופה המכונה "ימי הביניים", כוחה הרב של הכנסייה הקתולית מנע כמעט כל פעילות מדעית או תרבותית יצרנית - המדע והתרבות התפתחו בארצות האסלאם והגיעו להישגים רבים ומרשימים. המוסלמים ספגו רבות מהמדע ביוון העתיקה, הרבו לתרגם טקסטים יווניים ולמדו אותם תוך פירושם והרחבות לתוכנם. כך היה גם במתמטיקה, שהייתה אחד התחומים בהם המוסלמים הקפידו במיוחד על שמירת המורשת היוונית ואף התקדמו מעבר לה במקרים לא מעטים. בין המאה ה-8 למאה ה-15 גדלה מאד השפעתה של המתמטיקה המוסלמית.
המתמטיקה המוסלמית זכורה גם כזו שדרכה עברה השיטה ההודית-ערבית, כולל הרעיונות החדשים שהתלוו לה: השיטה הפוזיציונלית והאפס כמסמן מקום וכמספר, מהודו לאירופה (את רעיון האפס הם אף פיתחו). לימים טען המלומד והפילוסוף המוסלמי אל-בירוני (973–1048), שביקר למשך מספר שנים בהודו, שבני עמו הכירו מספר שיטות ספירה הודיות, ובחרו את זו שנראתה להם היעילה ביותר. למעשה, ההיסטוריה של שיטת הספירה המוסלמית סבוכה ביותר, ואינה מסתכמת רק בהחלטה מושכלת קולקטיבית שכזו. לפני מוחמד, הערבים סימנו מספרים במילים בלבד. הניהול הכספי של הארצות הכבושות עודדו שימוש בספרות. תחילה היה שימוש בכל ארץ כבושה בספרותיהם של הנכבשים, ואולם בהמשך במשך תקופות ארוכות התקיימו באימפריה המוסלמית, במקביל, לפחות 3 בסיסי ספירה: בסיס אונרי, או בסיס 1, שכלל סימון עבור כל יחידה והיה נפוץ בשימוש עסקי; בסיס סקסגסימלי, או בסיס 60, שהיה נפוץ בחישובים אסטרונומיים, והשיטה העשרונית שמכונה השיטה ההודית ערבים. הגיוון שרד זמן רב לאחר שהשיטה העשרונית הייתה ידועה מסיבות שונות; ידוע למשל שאיש העסקים אבו אל-וואפה כתב כי "לא מצאתי לה שימוש בקרב חוגי אנשי העסקים והאוכלוסייה של הח'ליפות המזרחית במשך זמן רב." סימני הספרות עצמם השתנו משמעותית מאז ועד היום, אך העקרון נשאר זהה. רעיון אחר שהעבירו ההודים למוסלמים הוא רעיון השבר, והם ממציאיו של קו השבר.
בתקופת שלטון בית אומיה באימפריה המוסלמית (661-750) לא התפתחה המתמטיקה, סביר להניח שבשל הזמן הקצר מאז הפך האסלאם מקבוצת תומכים במוחמד לתרבות מגובשת של ממש. מרבית ההתפתחות המתמטית נעשתה בתקופת בית עבאס, שעודד את המדעים ובראשם האסטרונומיה, הרפואה וגם המתמטיקה, והזמין לחצר המלך מומחים ממקומות שונים.
הח'ליפה השני לבית עבאס, אל-מנצור (שלט 754-775), נחשב למייסד תקופת השגשוג בתרבות ובמדע המוסלמיים, שכונתה "תור הזהב של האסלאם". מלומדים ממקומות רחוקות הגיעו כולם אל חצרו של אל-מנצור. בחיבור שנכתב סביב סוף המאה ה-12, אך נשען על מקורות עתיקים יותר, מתואר מלומד הודי שהפגין יכולת מרשימה מול אל-מנצור, והאחרון הורה לתרגם לערבית את הספר עליו התבסס. בהתאם לתיאור, סביר להניח שמדובר ב"המערכת המתוקנת של ברהמה" (Brahmasphutasiddhanta) של בראהמגופטה, אבל בכל אופן הדבר מבטיח שבידי הערבים היה עוד אז ספר שבו ספרות הודיות.
11 שנים לאחר מותו של אל-מנצור, ב-763, עלה לשלטון הארון א-רשיד. הוא זכור, כמו אל-מנצור לפניו, בין היתר ככזה שפריחה התרבותית התרחשה בזמן שלטונו, ובכלל זה פריחה מדעית. א-רשיד עודד את העיסוק במדע, ובכלל זה במתמטיקה.
במאה התשיעית הח'ליפה אל-מאמון הקים את "בית החוכמה" בבגדאד. היה זה מכון לתרגום ולמחקר וכן ספרייה. כתבי יד מדעיים רבים נלקחו, במאמץ לא מבוטל, מכל רחבי האימפריה, ותורגמו לערבית. בשליטת המוסלמים היו שטחים שהיו שייכים למעצמות המתמטיות יוון העתיקה והודו, ורבים מהחיבורים המתמטיים החשובים של תרבויות אלו תורגמו. כך ידוע שתורגמו, בין השאר, הטקסטים היווניים הבאים: חמש מעבודותיו של אוקלידס (כולל "יסודות"), שתיים של ארכימדס, כל כתבי אפולוניוס מפרגה ו"האריתמטיקה" מאת דיופנטוס, וכן תרגומים של טקסטים מתרבויות אחרות. התרגומים לא הוגבלו למתמטיקה טהורה; כך תורגם, למשל, הטקסט האסטרונומי "אלמגסט" שכתב תלמי.
"בית החוכמה" היה גם מקור של מחקר מקורי. ייתכן מאוד שמלומדים הודיים ששכנו שם העבירו למוסלמים את רעיון האפס. בכל אופן, גדול החוקרים שהניב מוסד זה הוא גם אחד המתמטיקאים הערבים החשובים ביותר בכל הזמנים: אבו ג'עפר מוחמד אל-ח'ואריזמי. הוא חי בסביבות השנים 780–845. הוא כתב מספר חיבורים שמהם ידועים שניים. האחד הוא "Algoritmi de numero Indorum" ("אלגוריתמי על אמנות החישוב ההודית"). בתרגום ללטינית מן המאה ה-12, שהוא המהדורה היחידה ששרדה (אפילו השם המקורי בערבית לא שרד), שובש שמו של אל-ח'ואריזמי לאלגוריתמי, מה שיצר את המונח אלגוריתם. אך תרומה לשונית זו אינה תרומתו העיקרית של ספר זה, כי אם הצגה מתקדמת מאוד של שיטת הספירה ההודית, כולל האפס, וכללים אריתמטיים שונים. יצירתו הבולטת השנייה, "חיסאב אל-ג'אבר ואל-מוקאבלה" ("חשבון ההשלמה וההקבלה"), חשובה אף יותר ונתנה לו מוניטין של מייסד האלגברה.
"חיסאב אל-ג'אבר ואל-מוקאבלה" נחשב לספר מכונן בתולדות האלגברה, והייתה לו השפעה מאות שנים לאחר כתיבתו. הספר מחולק לשני חלקים, שרק את הראשון אפשר לכנות "אלגברי" במובנה המודרני של האלגברה, והשני כולל הצדקות גאומטריות לחישובים מהחלק הראשון. הוא כולו כולל תיאורים רטוריים, ללא שמץ של סימון מתמטי, וניכר כי כותבו מעדיף את שיטות ההסקה ההודיות הגמישות מאשר ההוכחות הקפדניות של היוונים, אף כי ברור שהוא מושפע מהישגי שתי התרבויות. ובכל זאת אין להמעיט בחשיבותו של הספר. בתחילתו נכלל הסבר כיצד לכתוב מספרים בבסיס 10. ניתנים כללים לביצוע פעולות החשבון - הן בשלמים והן בשברים. לעומת זאת, המספרים השליליים לא אומצו לא כביטויים ולא כפתרונות למשוואות. מפני שנמנע השימוש במספרים שליליים, נאלץ הכותב לחלק את המשוואה שידועה היום כמשוואה ריבועית ל-6 קטגוריות שונות, בשעה שלמעשה מדובר בייצוגים שונים של אותה משוואה. הדוגמאות המובאות לכך הן אלגוריתמיות, כלומר "מתכוניות", מכילות סדרת צעדים מספריים המובילים לתוצאה, בלי התייחסות למקרה הכללי. אותן דוגמאות בדיוק הוא מראה גם בייצוג גאומטרי. גם ספר זה תרם תרומה משמעותית גם ללשון המתמטית - המילה אלגברה נגזרה מ"אל-ג'אבר".
עוד מתמטיקאי חשוב מ"בית החוכמה" הוא ת'אבת אבן קורה, שהיה גם אסטרונום בעל השפעה רבה למדי. הוא היה מתרגם נחשב, ותרגם את כתבי אוקלידס, ארכימדס, אפולוניוס מפרגה ותלמי. גם תרומותיו המקוריות הן בעלות חשיבות רבה. הוא המשיך במסורת ההודית, ועסק בריבועי קסם, נושא שהיה פופולרי בהודו ובסין אך לא זכה להתייחסות בארצות ערב. הוא מצא נוסחה לגילוי מספרים ידידים, אם כי לא את כולם. גילוי חשוב נוסף שלו היא הכללת אבן קורה למשפט פיתגורס עבור משולש כללי (ראו פירוט כאן).
אבו כאמל (בערך 850-בערך 930) הרחיב את הישגי אל-ח'ואריזמי. הוא השפיע על מתמטיקאים חשובים שבאו אחריו, כמו: לאונרדו מפיזה (פיבונאצ'י) האירופאי, ואל-קאראג'י המוסלמי.
אל-קאראג'י (953- בערך 1024) התרחק אף יותר מאל-ח'ואריזמי מהמסורת הגאומטרית. הוא הגדיר את הביטויים , ואף את , ונתן כללים להכפלתם זה בזה. בכלליו אלו כמעט וניסח גרסה שקולה ללנוסחה המודרנית , אך לא הגדיר את  כ-1. כל זאת עשה ללא שימוש בכללים גאומטרים. בנוסף, הוא ייסד מוסד לימודי שהתקיים מאות שנים לאחר מותו. אל-ח'ואריזמי ואל-קאראג'י הביאו את האלגברה לשלב התפתחות מתקדם במיוחד, וניכר כי הם היו קרובים יותר מכל קודמיהם לאלגברה המודרנית.
איבן אל-היית'ם (955-1040) נחשב לאחד ההוגים המשפיעים ביותר בהיסטוריה של המחשבה האנושית, ובפרט במדעי הטבע - גם בהישגיו הרבים וגם בגישתו המדעית המדוקדקת המקדימה את זמנה. נודע בעיקר כפיזיקאי ובייחוד כאופטיקן, אך תרומתו השתרעה על פני מגוון רחב של נושאים, בהם: פסיכולוגיה, פילוסופיה, אדריכלות, אסטרונומיה וגם מתמטיקה. הוא התעניין הן בגאומטריה והן בתורת המספרים, ובמיוחד בשילוב בין שני התחומים. הוא פיתח מעין גאומטריה אנליטית מוקדמת, והשפיע, אולי, על יסודות הגאומטריה האנליטית המודרנית של רנה דקארט ועל החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי של אייזק ניוטון שבאו לאחריו. בגאומטריה הוא ניסה להוכיח את אקסיומת המקבילים בעזרת הוכחה בדרך השלילה, ובעבודותיו נמצאו רעיונות שעתידים היו להפוך לחלק מהגאומטריה הלא אוקלידית. בתורת המספרים, הוא הבין כי למשפט שהוכיח אוקלידס, לפי כל מספר מהצורה , כאשר  הוא ראשוני הוא מספר משוכלל, יש גם משפט הפוך תקף: כל מספר משוכלל זוגי (לא ידוע כיום אם קיימים אי זוגיים) הוא מצורה זו - משפט שהוכח רק על ידי לאונרד אוילר.
עומר ח'יאם (1048-1131) מפרס נודע בעיקר כמשורר, במיוחד בגלל יצירתו המרובעים של עומר ח'יאם. יצירה זו היא אחת מהדוגמאות הידועות ביותר בכל הזמנים לכתיבה בסגנון "מרובעים", סגנון שמקורו ככל הנראה מפרס ובו נכתבים שירים בני ארבע שורות, שוות פחות או יותר, ובהן מסר פילוסופי קצר או רעיון הומוריסטי המתמצים לרוב בשורה האחרונה. הצלחת "המרובעים של עומר ח'יאם", שתורגם לשפות רבות שוב ושוב, עוררה שימוש בסגנון שירי זה הן בארצות ערב והן במערב (בתקופות שונות). תרומות ידועות פחות שלו, אך חשובות גם הן, נכללות בתחומי הפילוסופיה, האסטרונומיה ובעיקר המתמטיקה.
ח'יאם כתב ספר אלגברה שהושפע מאל-ח'ואריזמי, ובאופן מובהק לא פחות מהמסורת הגאומטרית היוונית. בספר זה הוא חידד את ההבחנה בין אריתמטיקה לאלגברה. הוא הוסיף לששת סוגי המשוואות שציין אל-ח'ואריזמי עוד 19 סוגים, מהן 14 סוגי משוואות ממעלה שלישית. הישגו הגדול הוא יצירת שיטה לסיווג ולפתירת משוואות ממעלה שלישית בעזרת חיתוכי חתכי חרוט שונים (מעגל, אליפסה, פרבולה, היפרבולה), הישג מרשים לאור העובדה שבאירופה הגיעו לאותו הישג בעזרת אלגברה "טהורה" (ללא גאומטריה) - רק במאה ה-16. הוא גם הכיר במספרים אי רציונליים כמספרים לכל דבר, על אף שהיו אלו פתרונות "גאומטריים", כהגדרתו, למשוואותיו (לעומת פתרונות "אריתמטיים", שהם חיוביים ורציונליים). אף על פי שהושפע מהמסורת האוקלידית, הוא לא חשש להצביע על בעיות שמצא ב"יסודות" של אוקלידס: כך החליף את תאוריית הפרופורציות של אוקלידס ואאודוקסוס מקנידוס בתאוריה מספרית ולא גאומטרית, וכך לא השתמש באקסיומת המקבילים, אלא בפוסטולאטים אחרים, והגיע, כמו איבן אל-היית'ם, לתובנות שהקדימו את זמנה של הגאומטריה הלא אוקלידית.
אל-סמוואל (נולד ב-1130), מתמטיקאי חשוב למדי ממוסד הלימוד של אל-קאראג'י, הגדיר את האלגברה כך: "... ביצוע פעולות על הלא ידוע תוך שימוש בכל הכלים האריתמטיים, באותה צורה בה מבוצעות פעולות על הידוע". זוהי ההגדרה המדויקת הראשונה לאלגברה במובנה המודרני. מתמטיקאי אחר בן אותו דור, שארף אל-דין אל-טוסי (1135 לערך - 1213), המשיך בדרכו של אל-ח'ואריזמי בנושא הקשר בין אלגברה לגאומטריה, וכתב חיבור בנושא משוואות ממעלה שלישית, שהחוקר המודרני ר. ראשד מייחס לתחילת הגאומטריה האלגברית.
באופן כללי, האסטרונומיה קיבלה דגש בארצות האסלאם מסיבות מגוונות, בהן מצוות האסלאם שדרשו שימוש יומיומי באסטרונומיה (קביעת הצד הפונה לכיוון מכה כדי להתפלל אליו בכל רחבי הממלכה, חישוב זמני התפילה והטבילה בדיוק רב, וכו'); אמונה בקשר בין ההתרחשויות בשמיים לאלו שעל האדמה; והדגש הכללי שניתן למדעים. חלק גדול מהמתמטיקאים החשובים ביותר בארצות האסלאם נודעו גם כאסטרונומים. תוך נסיונותיהם לשפר את צפייתם בגרמי השמיים ויכולת הניבוי שלהם הם פיתחו את יכולתם החישובית, והמציאו כלים מתמטיים לטיפול בכך. ת'אבת אבן קורה (826-901) ואל-בטאני (868-929) התחילו במגמה זו. הכלי החשוב ביותר לצורך חישובי אסטרונומיה היא הטריגונומטריה, ורק מחקרים שנעשו לאחר יצירתו הראשונית הפכו אותו לענף נפרד מהאסטרונומיה, אך עדיין קשור אליה בקשר הדוק. אולוג בג (1393-1449), נכדו של טימור לנג, שליט "טרנסוקסיאנה" (הנמצאת באזור אוזבקיסטן של היום) מ-1447 עד מותו ושליט העיר סמרקנד עוד לפני כן, היה גם אסטרונום מחונן. מלבד הפיכת סמרקנד למרכז אסטרונומי, הוא כתב את "קטלוג הכוכבים של הסולטאן" (1437), המכיל תצפיות מדויקות עד להדהים וגם טבלה טריגונומטרית של סינוסים וטנגנסים בהפרשים של מעלה ובדיוק שמונה ספרות לאחר הנקודה - טבלאות שככל הנראה נעשו על בסיס עבודותיו של אל-קאשי (1380-1429). אל-קאשי היה אסטרונום ומתמטיקאי חשוב אף יותר, שהגיע להישגיו הטובים ביותר בסמרקנד והוערך מאוד בידי בג, שלאחר מותו אמר שהוא היה: "מדען יוצא מן הכלל, אחד המפורסמים בעולם, שהייתה לו שליטה מושלמת במדע הקדמונים, שתרם לפיתוחם ושיכול היה לפתור את הבעיות הקשות ביותר".

האינקה

החל מ-1200 לערך עד 1532, עת נכבשה בידי האימפריה הספרדית, התקיימה בדרום אמריקה אימפריה בשם "אינקה", שמו של העם שעמד בבסיס האימפריה אך התקיים עוד לפניה. במאה ה-15 הרחיבו הקיסר "פַּאצַ'אקוּטִי" ולאחריו בנו ויורשו טוֹפַּה אִינְקַה את תחומי האימפריה, והפכוה לגדולה שבאיפריות באמריקה בתקופה הפרה קולומביאנית, או במילים אחרות לפני הגעת האירופאים ליבשת. מאות שבטים, על מנהיגיהם ושפותיהם השונות, התאחדו ויצרו תרבות ענפה שאליה משתייכים כשישה מיליון בני אדם. תרבות זו כללה ממשל ציבורי, צבא, אדריכלות, דת (המיתולוגיה של האינקה), ועוד.
לאינקה, באופן יוצא דופן לאימפריה כה גדולה ומפותחת תרבותית, לא היה כתב. לשם שמירת המידע הכמותי, בני האינקה השתמשו במתקן הנקרא קיפו. מכשיר זה מכיל חבל ועליו תלויים חבלים קטנים ממנו. כמותם ומיקומם של קשרי החבלים ייצגו מספרים בשיטה עשרונית. צבעם ומיקומם של החבלים, וכן סוג הקשר ומבנה הקשרים, הפרידו בין המספרים השונים בקיפו אחד.
הכובשים הספרדים השאירו אחריהם שלל תיאורים ואיורים של הקיפו. גרסילסו דה לה וגה, בנם של אב ספרדי ואם בת האינקה, כתב:
בהתאם למיקומם, הקשרים סימנו יחידות, עשרות, מאות, אלפים, עשרות אלפים, ובאופן יוצא דופן מאות אלפים, וכולם ערוכים היטב על חבליהם השונים כספרות אותן מעלה רואה חשבון על הכתב, עמודה לאחר עמודה, בספר חשבונותיו.
ההנחה לפיה הקיפו שימש רק לתיעוד כמויות התערערה עם מחקרם של החוקרים רוברט ומרשיה אשר, ארכאולוג ומתמטיקאית, אשר שיערו שכ-20% מהקיפו שבידינו הם "בבירור לא מספריים". כיום יש מחלוקת בנושא זה.
הפרואני גואמן פומה כתב כרוניקה רחבת היקף, בה ניסה לסכם את ההיסטוריה של תרבות הרי האנדים, מהאנשים הראשונים עד לאינקה (שמוצאם מהאנדים) ולכיבוש הספרדי, ושלחה לפליפה השלישי, מלך ספרד. בכרוניקה נכללים איורים רבים, כולל כמה של קיפו, וכן של "לוח ספירה" שנקרא "יופאנה", מעין חשבונייה. היסטוריונים חלוקים בדעתם אכן האם מדובר במכשיר של האינקה, או שמא ייתכן כי הוא הגיע עם הכובשים הספרדים. כומר ספרדי שחי בקרב בני האינקה בשנים 1571–1586 כתב כי הם ביצעו חישובים מורכבים, ש"למחשב מוכשר יידרשו נייר ועט כדי לחשבם", בעזרת גרעינים.
אין הרבה עדויות על פיהן אפשר לקבוע את מידת העומק של חשיבתם המתמטית של בני האינקה. החוקר גרי אורטון, מומחה לתרבות האנדים, טען בספרו "חייהם החברתיים של המספרים: אונטלוגיה קצ'ואית של המספרים ופילוסופיה של האריתמטיקה" כי לאינקה לא היה מושג מספר מופשט הנפרד מעצמים מכומתים.

ימי הביניים


עם שקיעתה של רומא העתיקה נכנסה אירופה לתקופת ימי הביניים, היא התקופה שבין העת העתיקה לבין הרנסאנס. בתקופה זו, המתוארכת בצורות שונות אך לרוב בין המאות ה-5 או ה-6 לספירה עד המאות ה-15 או ה-16 לספירה, שלטה באירופה הנצרות בצורתה הקיצונית. בעולם הנוצרי הימי ביניימי לא היה מקום רב למדע, שקפא על שמריו ואף חזר לאחור, ואיתו המתמטיקה. הערכתה כתחום ידע מופשט בעל חשיבות עצמאית חלפה, כמו גם שימושה המדעי, והיא נדרשה עתה רק לצרכים יומיומיים.
דמות חשובה בהגות ימי הביניים הייתה דמותו של הפילוסוף בואתיוס (480-524 או 525). הוא חיבר ספרים בתחומים מתמטיים: על אריתמטיקה, גאומטריה, מוזיקה (שקושרה אז עם מתמטיקה) וחישובים אסטרונומיים. ספריו אינם מפותחים מהבחינה המתמטיקה כחיבוריהם של גדולי המתמטיקאים היוונים, והוא התעניין בעיקר בקשרה של המתמטיקה לפילוסופיה מצד אחד ולחיי היום יום מצד שני. לאחר מותו מעטים היו האינטלקטואלים במשך מאות בשנים; בין הבודדים ניתן למצוא את בדה ונרביליס ואת אלקואין, שלשניהם לא היו תרומות מתמטיות. אף שהכנסייה לא עודדה במיוחד את המחקר, דווקא מנזרים וכנסיות היו המוסדות היחידים בהם מעט לימודי רוח.
האפיפיור סילבסטר השני (950 לערך-1003, כיהן מ-999 עד מותו) היה יוצא דופן מבין האפיפיורים שכן נודע כאדם משכיל. שנים לפני מינויו לאפיפיור היא לימד נושאים כמתמטיקה ואסטרונומיה וכתב מספר חיבורים בנושאי הקואדריוויום (אריתמטיקה, גאומטריה, מוזיקה, אסטרונומיה) והטריוויום (דקדוק, רטוריקה, לוגיקה). למעשה הוא המדען והמתמטיקאי היחיד אי פעם, עד היום, שהתמנה לתפקיד. בהתאם לכך התאפיינה כהונתו בדגש על המתמטיקה והאסטרונומיה, ובפרט הכרת הידע הערבי בנושאים אלו לאירופאים (הוא למד בעברו בספרד המוסלמית וידע ערבית בעקבות זאת). הוא חידש את השימוש בחשבונייה והספירה הארמילרית (מודל של כיפת השמיים), שנזנחו מאז ימי יוון ורומא. הוא הציג בכתביו את השיטה ההודית ערבית, אולם היא לא חדרה, והמשיכו להשתמש בשיטה הרומית המסורבלת.
במאה ה-12 חיו באירופה שני מתרגמים חשובים ללטינית. האחד הוא ג'רארדו דה קרמונה (1114-1187) שתרגם מערבית ללטינית עשרות חיבורים. משפה זו הוא תרגם בין היתר, בתחומי המתמטיקה והאסטרונומיה, את האלמגסט של תלמי, את חיבורו של אפולוניוס מפרגה על חתכי חרוט וכן תרגום שאבד של יסודות של אוקלידס (ב-1901 נמצאו כרכים 5–8 בספריית הוותיקן). דרך תרגום עבודותיו של [[אריאבהט/math>, ונתן כללים להכפלתם זה בזה. בכלליו אלו כמעט וניסח גרסה שקולה ללנוסחה המודרנית ה]] מערבית ללטינית הגיעה לאירופה המילה סינוס. השני הוא אדלארד מבאת', שתרגם גם הוא מערבית חיבורים רבים, כולל תרגום חשובים של "יסודות", שהיה בשימוש למשך כ-150 שנים.
בשנים 1170–1250 בקירוב חי מתמטיקאי שנודע כאחד מגדולי המתמטיקאים של ימי הביניים. שמו לאונרדו פיזנו, או לאונרדו מפיזה, אך לאחר מותו ניתן לו הכינוי פיבונאצ'י, שמשמעותו בנו של בונאצ'י (כינויו של אביו). הוא הביא לאירופה חלק מהידע שהצטבר בארצות האסלאם, דרך כתבים יהודיים או ממקורות מוסלמיים. החשוב שבספריו הוא "ספר החשבונייה" (1209). הוא הכיל ידע עצום באלגברה, אך חשיבותו ופרסומו נעוצים בשני גורמים. האחד הוא בהפצת שיטת הספירה ההודית ערבית באירופה- קדם לו רק "ספר המספר" של רבי אברהם אבן עזרא, יהודי שנודע גם כמשורר, בלשן ואדם שנון במיוחד, אך כתביו של אבן עזרא היו שוליים לעין שיעור מאלו של פיבונאצ'י מבחינת השפעתם. פיבונאצ'י תיאר בו גם את האפס, אף שלא התייחס אליו כאחד המספרים. הגורם השני, שהביא לכך ששמו נחקק בזיכרון דורות של מתמטיקאים, הייתה בעיה מתמטית אחת מהספר:
אדם אחד שם שני ארנבים במקום המוקף חומה מכל צדדיו. כמה זוגות ארנבים יכול להוליד זוג זה בשנה אם נניח כי בכל חודש זוג מוליד זוג חדש שמסוגל להוליד בחודש השני?
פתרון החידה היא הסדרה 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 וכן הלאה. בסימון מודרני מוגדרת הסדרה על ידי הנוסחאות:  ,. כלומר, שני איברי הסדרה הראשונים הם 1, והאיברים שלאחריהם מהווים את סכום שני קודמיהם. סדרה זו נקראה על שמו בשם סדרת פיבונאצ'י, והיא אחת מן המפורסמות והחשובות שבסדרות המתמטיות. לסדרה זו תכונות רבות ומעניינות, בהן העובדה שהיחס בין איבריה שואף ליחס הזהב והתחלקותם של מספרים מהסדרה במספרים ראשוניים בצורה קבועה (כל מספר שלישי ב-2, רביעי ב-3, חמישי ב-5, שביעי ב-13 ועוד).
יורדאנוס נמוראסיוס (Jordanus Nemorarius), מתמטיקאי נוסף בן המאה ה-13, נודע פחות מפיבונאצ'י, אך גם לו תרומה משלו. בין היתר סימן מספרים בעזרת אותיות.

המאה ה-16


לאחר הקפאון הארוך של המתמטיקה האירופאית בימי הביניים, המתמטיקה פרחה מחדש על רקע תקופת הרנסאנס של איטליה. ב-1494 פרסם לוקה פאצ'ולי את החיבור המקיף "Summa de arithmetica, geometrica, proportioni et proportionalita" שהקיף את כל תחומי המתמטיקה של זמנו, ונחשב בין השאר לערש החשבונאות המודרנית. ב-1509 פרסם את ספרו המפורסם "De divina proportione".
אמנם פתרון כללי למשוואה ממעלה שנייה היה ידוע עוד מימי הבבלים, אולם פתרון כללי למשוואות ממעלה גבוהה יותר נותר תעלומה. במהלך המאה ה-16 התחרו ביניהם מתמטיקאים איטלקים בפתרון משוואות. שיפיונה דל פרו היה הראשון לגלות שיטה לפתרון משוואות ממעלה שלישית ב-1515, אך שמר על פתרונו בסוד. ניקולו טרטליה גילה בנפרד שיטה משלו בשנת 1535, וג'ירולמו קרדאנו ולודוביקו פרארי הרחיבו את פתרונו למקרים שלא טופלו על ידה. במהלך עבודתו על הפתרון של טרטליה גילה פרארי את הפתרון הכללי למשוואה ממעלה רביעית. השיטות לפתרון המשוואות פורסמו בספר "האומנות הגדולה" של קרדאנו, שהתפרסם ב-1545 (ראו היסטוריה של פתרון משוואות פולינומיות). בספר גם הוצגו לראשונה בהיסטוריה מספרים מדומים, משום שהם מופיעים במהלך פתרון משוואות ממעלה שלישית, גם במקרים בהם הפתרונות הסופיים ממשיים.
במאה ה-16 החל העיסוק בהסתברות, בעבודתו של המתמטיקאי האיטלקי ג'ירולמו קרדאנו, שהיה מהמר נלהב. עם זאת מקובל לראות את שנת 1654 כתאריך הלידה של תורת ההסתברות. בשנה זו התנהלה תכתובת בין פייר דה פרמה לבין בלז פסקל, בעניין הדרכים לחישוב ההסתברות במשחקי מזל מסוימים. הצעדים הבאים נעשו על ידי כריסטיאן הויגנס, יאקוב ברנולי, פואסון וגאוס. המשך ביסוסה של תורת ההסתברות נעשה בתחילת המאה ה-19.
במקביל להתפתחויות אלו במתמטיקה הטהורה, התרחשה המהפכה המדעית בכל תחומי המדע. זו בישרה את תחילת ביסוס המדעים המדויקים על מתמטיקה.

המאה ה-17


בראשית המאה ה-17 הגה ג'ון נפייר את הלוגריתמים. במהרה השימוש בהם חדר למתמטיקה ולתחומי המדע ועל בסיסם הומצאו עזרי חישוב רבים כגון עצמות נפייר, סרגל החישוב ולוח לוגריתמים. ב-1637 הגה רנה דקארט את מערכת הצירים הקרטזית, והעלה את הרעיון של המחשת פונקציות באמצעות גרף על מערכת הצירים, צעד שנחשב לראשית הגאומטריה האנליטית.
המתמטיקאי הצרפתי פייר דה פרמה שנולד ב-1601 נחשב לאבי תורת המספרים בתקופה המדורנית. אולם תרומתו הקיפה תחומים רבים נוספים. יחד עם בלז פסקל הוא הניח את יסודות תורת ההסתברות.
פרמה גם תרם להנחת יסודות החשבון האינפיניטסימלי, תורה שפותחה במחצית השנייה של המאה במקביל על ידי זוג היריבים, אייזק ניוטון וגוטפריד וילהלם לייבניץ. פיתוח החשבון האינפיניטסימלי הוליד את הענף המתמטי המרכזי – אנליזה מתמטית.
חלק ניכר מההתקדמות המתמטית במאה ה-17 התאפשרה בזכות הנזיר הצרפתי מרן מרסן. מרסן ניהל חלופות מכתבים עם מתמטיקאים ומדענים מרכזיים בכל רחבי אירופה, קישר ביניהם, הפיץ את תורותיהם ואירח מפגשים מדעיים ומתמטיים במנזרו.

המאה ה-18


לאונרד אוילר נחשב למתמטיקאי המוביל של המאה ה-18 ולאחד מהבולטים ביותר בכל הזמנים. הוא פרסם 886 ספרים ומאמרים בימי חייו, ונחשב ליותר פורה מאשר כל מתמטיקאי אחר בהיסטוריה. עבודתו של אוילר הקיפה כמעט כל תחום אפשרי במתמטיקה: גאומטריה, אנליזה מתמטית, תורת הגרפים, אלגברה, תורת המספרים ועוד. תרומותיו בפיזיקה עוסקות בתנועת הירח ובתחומים נוספים.

המאה ה-19


בשנת 1812 פרסם פייר סימון לפלס את ספרו "תאוריה אנליטית של ההסתברות", שהיווה ביסוס שיטתי ראשון של תורת ההסתברות. בשנת 1867 הוכיח צ'בישב את חוק המספרים הגדולים, ולאחר מכן הוכיח תלמידו ליאפונוב את משפט הגבול המרכזי - אלה שני משפטים חשובים של תורת ההסתברות. ביסוס אקסיומטי לתורה זו נעשה רק בשנת 1933, באמצעות האקסיומות של קולמוגורוב.
בחצי הראשון של המאה ה-19 הצליח המתמטיקאי הצרפתי אוגוסטין לואי קושי לבסס את מושג הגבול באמצעות גדלים ממשיים וסופיים בלבד. ההגדרות של קושי החליפו את השימוש במושג האינפיניסטימל בשימוש במספרים ממשיים שיכולים להיות "קטנים כרצוננו" או "גדולים כרצוננו". הגדרת הגבול של קושי נהפכה לאבן היסוד של התחום בצורתו המודרנית. את ביסוס תורת הגבולות והטופולוגיה של הישר הממשי ביצעו בנוסף לקושי גם קארל ויירשטראס (שבין השאר הנהיג את ההגדרות המודרניות של מושגים יסודיים כמו גבול ונגזרת, במונחי  ו- ) ובולצאנו. תרמו גם לגראנז', דארבו ורימן.
ברבע השני של המאה ה-19 נוצרה הגאומטריה הלא-אוקלידית כפתרון לבעיה שהעסיקה את המתמטיקאים במשך מאות שנים: הניסיון להוכיח את אקסיומת המקבילים. לאקסיומה זו, שהיא החמישית בין אקסיומות הגאומטריה שבספרו של אוקלידס, "יסודות", מבנה מורכב באופן חריג לעומת שאר האקסיומות. לפיכך נעשו מאמצים רבים להוכיח שאקסיומה זו נובעת מהאקסיומות האחרות, כלומר – אינה אקסיומה אלא משפט. מאמצים אלה עלו בתוהו במשך מאות שנים, עד שבראשית המאה ה-19 נעשתה פריצת דרך בנושא, כאשר מתמטיקאים אחדים הבינו שנדרש כיוון שונה.
לרעיון שניתן להחליף את אקסיומת המקבילים באקסיומה אחרת, ובכך לקבל גאומטריה שונה מהגאומטריה האוקלידית אך תקפה באותה מידה, הגיע לראשונה גאוס, שחשש לפרסם רעיון כה חדשני. אחריו הגיעו לרעיון, באופן בלתי תלוי, המתמטיקאי הרוסי ניקולאי איוונוביץ' לובצ'בסקי וקצין הצבא ההונגרי יאנוש בויאי. אחת הגרסאות הלא־אוקלידיות, הגאומטריה ההיפרבולית, אומרת שדרך נקודה מחוץ לישר עוברים אינסוף ישרים מקבילים לישר זה (ולא אחד בלבד כבגאומטריה האוקלידית). בגרסה אחרת של גאומטריה לא־אוקלידית, הגאומטריה הפרויקטיבית והגאומטריה הכדורית, שאותה פיתח ברנרד רימן, תלמידו של גאוס, אומרת האקסיומה שכל שני קווים ישרים - נפגשים. בגאומטריה זו לא קיימים ישרים מקבילים.
במאה התשע-עשרה הושם קץ לניסיונות לפתור את בעיות הבנייה שהעסיקו את היוונים הקדמונים ונודעו בשם הבעיות הגאומטריות של ימי קדם. בעזרת תורת גלואה הוכח שבעיות אלה אינן פתירות, כלומר אין דרך לבצע את הבניות הנדרשות. עד למועד זה תרמו הניסיונות לפתרון בעיות אלה להתפתחותה של הגאומטריה.
ב-1870 החל גאורג קנטור לפתח את תורת הקבוצות, בעקבות קשיים שהתעוררו בתורת הפונקציות הממשיות. קנטור חקר קבוצות של נקודות אי-רציפות, ואחר-כך קבוצות כלליות יותר. את מחקריו סיכם בשני מאמרים שפורסמו ב-1895 וב-1897 תחת הכותרת "תרומה ליסודות התאוריה של מספרים טרנספיניטים" (במקור - בגרמנית), בכתב-העת Mathematische Annalen. בתחילת המאה ה-20 התגלו בתורת הקבוצות פרדוקסים שנבעו מהיותה מתירנית מדי וחסרת ביסוס אקסיומטי נאות. לשם פתרון בעיות אלה פותחה תורת הקבוצות האקסיומטית.

המאה ה-20


מראשית ימי המתמטיקה ועד למאה העשרים פעלו המתמטיקאים מתוך הנחה שבטיפול בכל טענה מתמטית ייתכנו רק שני כיוונים: ניתן להוכיח את הטענה, או לחלופין ניתן להפריכה (כלומר להוכיח שהטענה אינה נכונה). גם אם קשה מאוד לפתור בעיה מסוימת, הרי אם יושקעו בה מאמץ וכשרון במידה מספקת - תימצא לה הוכחה נאותה. דויד הילברט, גדול המתמטיקאים בתחילת המאה העשרים, ידע שזו הנחה שלא זכתה להוכחה, אך הוא היטיב לתארה באומרו: "ההכרה ביכולת לפתור כל בעיה מתמטית היא תמריץ עז לכל מי שטורח על הפתרון. אנו שומעים בתוכנו את הקריאה המתמדת: היא הבעיה, מצא את פתרונה, אתה יכול לעשות זאת בכוח המחשבה בלבד, כי במתמטיקה לא ניתקל בחוסר יכולת לדעת".
בשנת 1931 הוכיח הלוגיקן קורט גדל (Gödel), במאמרו "על טענות שאינן ניתנות להוכחה בפרינקיפיה מתמטיקה ובמערכות דומות", שהנחה זו שגויה.
משפט האי שלמות הראשון של גדל, שהפך לאבן פינה בלוגיקה המתמטית, הוסיף אפשרות שלישית לגורל הצפוי לטענה מתמטית. המשפט קובע כי בכל מערכת לוגית מקיפה, ניתן לבנות באמצעות אלגוריתם טענות שמחד אינן ניתנות להוכחה ומאידך אינן ניתנות להפרכה מתוך אותה קבוצת אקסיומות.
במשפט האי שלמות השני הוכיח גדל כי תורה שהיא מספיק חזקה לקיים את אקסיומות פאנו (שהאריתמטיקה הרגילה מכילה אותה) ובפרט כזאת שמקיימת את האקסיומות של תורת הקבוצות (ZF) לא יכולה להוכיח את העקביות של עצמה. משמעות הדבר היא שאין אפשרות להוכיח בתוך המערכת כי האקסיומות הן עקביות.

המאה ה-21

בתחילת המאה, בשנת 2000, פרסם מכון קליי למתמטיקה את רשימת "בעיות המילניום של מכון קליי" והבטיח פרס בסך מיליון דולר למי שיפתור אחת מהבעיות. הרשימה מכילה שבע בעיות פתוחות מתחום המתמטיקה (ומעט גם מדעי המחשב והפיזיקה). השערת פואנקרה, שנכללה בבעיות אלה נפתרה על ידי גרגורי פרלמן.