אנליזה פונקציונלית

אָנָלִיזָה פוּנְקְצְיוֹנָלִית הוא ענף של אנליזה מתמטית העוסק בחקר התכונות של וקטורים, פונקציונלים ואופרטורים הפועלים במרחבים ליניאריים בעלי מושג של אורך (נורמה) של וקטור. מרחבים כאלה נקראים מרחבים נורמיים. אנליזה פונקציונלית עוסקת בעיקר במרחבים נורמיים שלמים שהם מרחבים ליניאריים מעל המספרים הממשיים או המספרים המרוכבים. מרחבים אלה נקראים מרחבי בנך. דוגמה חשובה ומיוחדת של מרחבי בנך אלו הם המרחבים בהם הנורמה נובעת ממכפלה פנימית. מרחבים אלו נקראים מרחבי הילברט. כמו כן עוסקת האנליזה הפונקציונלית בתורת האופרטורים על מרחבים אלו. יתרה מכך, האנליזה הפונקציונלית מרבה לחקור את הפונקציונלים המוגדרים על מרחב נורמי X, מרחב זה נקרא "המרחב הדואלי של X". באמצעות הפונקציונלים הליניאריים אפשר גם להגדיר טופולוגיה חלשה על X ואף טופולוגיה דואלית על המרחב הדואלי. בחקר המרחבים הדואלים, חוקרים גם את המרחב הדואלי של המרחב הדואלי (שהוא לא תמיד שווה בחזרה ל X). 
תרומה מרכזית לפיתוחה של האנליזה הפונקציונלית נעשתה על ידי אסכולת לבוב במתמטיקה בראשות סטפן בנך.

מרחב וקטורי מממד אינסופי

באלגברה ליניארית, וקטור הוא מושג מתמטי מופשט. כדי לתאר אותו בצורה נוחה, מציגים אותו כצירוף של וקטורים בסיסיים, שצירוף שלהם מסוגל לתת כל וקטור במרחב שבו עובדים. קבוצה כזו נקראת בסיס. כאשר יש בסיס נתון (יכולים להיות מספר בסיסים שונים לאותו מרחב), ניתן לראות וקטור בתור אוסף של סקלרים (לעיתים קרובות אלו הם מספרים, בהתאם לשדה שמעליו מוגדר המרחב הווקטורי), כאשר כל אחד מהסקלרים מציין את המידה שבה בא לידי ביטוי אחד מאברי הבסיס בתוך האיבר שאנו מציגים בעזרתם.
כאשר יש לנו רק מספר סופי של אברי בסיס, ניתן לראות כל וקטור בתור אוסף סופי של סקלרים המסודרים לפי אינדקסים. את הגודל של האוסף נכנה הממד של הווקטור. לדוגמה: מיקום של חפץ בחדר יכול להיות מתואר על ידי וקטור תלת ממדי המתאים שלושה מספרים המתארים את האורך, הרוחב והגובה של החפץ ביחס לנקודה מסוימת בחדר (למשל הפינה).
גודל הממד מוכתב על ידי מספר אברי הבסיס שבו משתמשים. מתברר כי לכל מרחב וקטורי, בכל בסיס יש את אותו מספר איברים. לכן ממד הוא תכונה של המרחב כולו, בלי תלות בבסיס שבו משתמשים או בוקטורים הספציפיים אותם רוצים להציג.
האלגברה הליניארית עוסקת בהכללה של חוקי האלגברה המוכרים מהמרחב התלת ממדי גם למרחב בעל ממד שהוא מספר סופי או אינסופי כלשהו. מסתבר שכל מרחב מממד סופי n ניתן לייצוג באופן סטנדרטי או קנוני: וקטורים מוצגים כעמודות בעלות n רכיבים ואילו טרנספורמציות ליניאריות מוצגות כמטריצות (בלוקים מרובעים של מספרים). באופן פורמלי, הצגה זו היא בעצם וקטורי הקואורדינטות בבסיס הסטנדרטי.
נשאלת השאלה מה יקרה כאשר הממד לא יהיה סופי, כלומר יהיה צורך בקבוצה בעלת אינסוף וקטורים כדי לתאר את אברי המרחב (מתברר כי גם כאשר ישנם אינסוף איברים, יכולות להיות קבוצות גדולות יותר או פחות של וקטורים, כפי שעולה ממושג העוצמה). מתברר כי השינוי מבחינת הייצוג אינו גדול. אם מספר אברי הבסיס הוא בן מנייה ניתן להציג כל וקטור בתור סדרה אינסופית של סקלרים, ובמקרה שמספר האינדקסים הוא מעוצמת הרצף או גדול יותר ניתן להשתמש בפונקציה שמתאימה לאינדקס של כל איבר בסיס את הסקלר המתאים לו.
עם זאת, תכונות רבות שמתקיימות עבור מרחבים מממד סופי לא נשמרות בממד אינסופי. האנליזה הפונקציונלית עוסקת במרחבים שמקיימים תכונות שמבטיחות שההתנהגות של המרחב האינסופי תקיים חלק מהתכונות שמתקיימות במקרה הסופי, וחוקרת תכונות נוספות שמתקיימות בהם. דרישה בסיסית שדורשת האנליזה הפונקציונלית היא שיהיה מושג כלשהו של אורך לוקטורים שבמרחב (מה שנקרא נורמה). מרגע שבו קיים אורך לוקטורים ניתן למדוד גם מרחק ביניהם (זהו האורך של וקטור ההפרש שלהם), וקיום פונקציית מרחק (מטריקה) מאפשר לשאול שאלות על התכנסות של סדרות בתוך המרחבים. דרישה נוספת שדורשת האנליזה הפונקציונלית היא שסדרה שאבריה הולכים ומתקרבים זה לזה תמיד תמצא נקודה במרחב כדי להתכנס אליה. תכונה זו מכונה שלמות של המרחב.
מכיוון שניתן להכליל את מבנה המרחב גם למרחבים בעלי אינסוף ממדים, מתבקש לנסות ולהכליל גם את המושגים העוסקים בפעולות על המרחב - טרנספורמציות ליניאריות. באלגברה ליניארית סוף ממדית ניתן לייצג כל טרנספורמציה ליניארית באמצעות מטריצה סופית. במקרה של אינסוף ממדים הדבר מסובך יותר - נזדקק למטריצות אינסופיות או שלא נוכל כלל לתאר את הטרנספורמציות באמצעות מטריצות, ולכן מתבוננים בטרנספורמציות בצורה יותר מופשטת. מכנים טרנספורמציה ממרחב כלשהו לעצמו בשם אופרטור. דוגמה קלאסית לאופרטור הוא הנגזרת, הפועל על מרחב וקטורי שאיבריו הן פונקציות: הוא לוקח פונקציה אחת ומחזיר פונקציה שנייה.