מערכת האקסיומות של הילברט

מערכת האקסיומות של הילברט היא מערכת בת 20 אקסיומות שהציע דויד הילברט ב-1899, כבסיס תאורטי לגאומטריה האוקלידית.
האקסיומות, המחליפות את חמש האקסיומות וחמש ההנחות שקבע אוקלידס בספרו "יסודות", פטורות מאי-הדיוקים שנמצאו בהן. הילברט הֶחְֶיָה את המסורת שקבע אוקלידס, ופתח מאה שבה נארגו לתוך יסודות המתמטיקה מערכות פורמליות של אקסיומות כמעט בכל תחום. עם זאת, המערכת של הילברט אינה נטולת חסרונות, וזו של טרסקי עדיפה עליה, בהיותה מנוסחת במסגרת שפה מסדר ראשון.
עבודתו של הילברט מבוססת על עבודתם של אחרים שתרמו לביסוס האקסיומטי של הגאומטריה, ובראשם: מוריץ פש, מריו פיירי, אוסוולד ובלן, אדוארד ורמיל האנטינגטון, גילברט רובינסון והנרי ג'ורג' פורדר.

רשימת האקסיומות

לשם נוחות הקריאה, נעשה שימוש במושגים נרדפים ל-"הנקודה a שייכת לישר L", כגון "הישר L עובר דרך הנקודה a" או "הישר L כולל את הנקודה a"; וכן לגבי ישרים ומישורים, ונקודות ומישורים.

I. שייכות

I.1. לכל שתי נקודות, קיים ישר העובר דרך שתיהן.
I.2. לכל שתי נקודות שונות, יש לכל היותר ישר אחד העובר דרך שתיהן.
I.3. כל ישר כולל לפחות שתי נקודות, ולכל ישר יש נקודה מחוץ לו.
I.4. לכל שלוש נקודות שאינן על ישר אחד, יש מישור העובר דרך כולן. כל מישור כולל נקודה אחת לפחות.
I.5. לכל שלוש נקודות שאינן על ישר אחד, יש רק מישור אחד העובר דרך כולן.
I.6. אם שתי נקודות a ו-b שייכות לישר L ולמישור A, אז A כולל כל נקודה של L.
I.7. אם המישורים A ו-B כוללים נקודה a, אז הם כוללים לפחות עוד נקודה אחת.
I.8. יש לפחות ארבע נקודות שאינן שייכות לאותו מישור.

II. סדר

II.1. אם הנקודה b נמצאת בין הנקודות a ו-c, אז היא נמצאת גם בין הנקודות c ו-a, ושלוש הנקודות מונחות על אותו ישר.
II.2. לכל שתי נקודות שונות a ו-c, קיימת נקודה b הנמצאת בין a ו-c (קבוצה סדורה צפופה).
II.3. לכל שלוש נקודות על אותו ישר, בדיוק אחת מהן נמצאת בין שתי האחרות.
II.4 לכל שלוש נקודות a,b,c שאינן על ישר אחד, ולכל ישר L המוכל במישור הכולל אותן ושאינו עובר דרך אף אחת מן הנקודות, מתקיים כי: אם L כולל נקודה של הקטע ab, אז L כולל גם נקודה של הקטע ac או של הקטע bc (אקסיומת פש).

III. חפיפה

III.1. לכל שתי נקודות a ו-b, ונקודה c על ישר L, יש בדיוק שתי נקודות, d ו-e, על L, כך ש-c נמצאת בין d ו-e, והקטעים ab,‏ cd ו-ce חופפים זה לזה (שווים באורכם) (הקצאת קטע על ישר).
III.2. אם ab חופף ל-cd ול-ef, אז cd חופף ל-ef (טרנזיטיביות של חפיפת קטעים).
III.3. נניח שהקטעים ab ו-bc מונחים על הישר L באופן שהנקודה המשותפת היחידה להם היא b; וכן שהקטעים de ו-ef מונחים על הישר M באופן שהנקודה המשותפת היחידה להם היא e. אם ab חופף ל-de ו-bc חופף ל-ef, אז ac חופף ל-df (אדיטיביות).
III.4. לכל זווית abc וקרן de, קיימות בדיוק שתי קרניים dx ו-dy, כך שהזוויות xde ו-yde חופפות (שוות) ל-abc (הקצאת זווית על קרן).
III.5. אם הקטעים ab ו-xy חופפים, הקטעים ac ו-xz חופפים, והזוויות bac ו-yxz חופפות, אז המשולשים abc ו-xyz חופפים (חפיפת משולשים לפי "צלע-זווית-צלע").

IV. הקבלה

IV.1 . לכל ישר L ונקודה a שמחוץ לו, ומישור הכולל את a ואת L, קיים לכל היותר ישר אחד במישור הכולל את a ואינו כולל אף נקודה של L (אקסיומת המקבילים).

V. רציפות

V.1 לכל קטע cd וקרן ab, קיים מספר טבעי n ונקודות  שעל הקרן, כך שהקטעים  כולם חופפים ל-cd, וכך ש-b נמצאת בין a ו- (תכונת ארכימדס).
V.2 כל הוספה של נקודות לישר, מפירה (סותרת) לפחות אחת מחמש האקסיומות: I,‏ II,‏ III.1,‏ III.2,‏ V.1 ("שלמות הישרים").

תחולה והערות

מערכת האקסיומות שהוצגה לעיל מתארת את גאומטריית המרחב; דהיינו, הגאומטריה של המרחב האוקלידי התלת-ממדי. אם מסירים את חמש האקסיומות I.4-8 העוסקות במישורים שונים, ומסירים את האזכור למישור מאקסיומה IV.1, מתקבל תיאור אקסיומטי של גאומטריית המישור האוקלידית.
במקור, הילברט כלל אקסיומה נוספת – "לכל ארבע נקודות על ישר, ניתן לבחור את השמות a,b,c,d כך ש-b בין a ו-c, וגם בין a ו-d; וכן c בין a ו-d ובין b ו-d"; אולם E.H.Moore הראה (ב-1902) שניתן להסיק אקסיומה זו כמשפט משאר המערכת.
האקסיומות של הילברט אינן מהוות תורה מסדר ראשון, משום שהאקסיומות בקבוצה V לא ניתנות לתיאור במסגרת של שפה מסדר ראשון. משום כך, חשיבותה העיקרית של המערכת היא מתודולוגית, בתרומתה לתוכנית הילברט לבסס את כל המתמטיקה על תורת הקבוצות (האקסיומטית).
גאומטריה המניחה את כל האקסיומות של הילברט, למעט אקסיומת המקבילים, נקראת גאומטריה אבסולוטית.
גאומטריה המניחה את אקסיומות השייכות והסדר נקראת גאומטריית הסדר.