טריגונומטריה

טריגונומטריה (מיוונית τρίγωνον "משולש" + μέτρον "מדידה") היא ענף במתמטיקה העוסק בחקר המשולשים והקשר שבין צלעותיהם וזוויותיהם. קשר זה מבוטא בעזרת פונקציות טריגונומטריות, שהמוכרות שבהן הן סינוס, קוסינוס וטנגנס. הטריגונומטריה התפתחה במאה ה-3 לפני הספירה כענף של גאומטריה עבור שימושים באסטרונומיה. כיום לטריגונומטריה יישומים רבים מעבר לאסטרונומיה, למשל עבור ניווט, אופטיקה ובתורת המוזיקה.

היסטוריה


תכונות של יחסים בין חלקי משולש היו ידועות כבר במצרים העתיקה, אך הרעיון של מדידת הזוויות הומצא רק מאוחר יותר, על ידי היוונים הקדמונים, ולכן מקובל לראות את תחילת הטריגונומטריה באותה תקופה. בתקופה זו, מתמטיקאים כגון אוקלידס וארכימדס הוכיחו משפטים גאומטריים בעזרת זוויות.
פונקציית הסינוס המודרנית הוגדרה לראשונה במאה ה-5 על ידי המתמטיקאי והאסטרונום ההודי אריאבהטה (Aryabhata).
למרות זאת, ענף הטריגונומטריה עדיין לא היה מפותח באירופה של המאה ה-16. ניקולאוס קופרניקוס נאלץ להקדיש שני פרקים בספרו Coelestium Orbium De Revolutionibus כדי להסביר מושגים בסיסיים שלה. הענף קבל תנופה במדידות כוכבים שבוצעו על ידי ספנים על מנת לקבוע מסלולי שיט.
בספרות רבנית מימי הביניים כונה הסינוס - "בקע", והקוסינוס - "תשלום הבקע". את המונח "בקע" טבע רבי יצחק הישראלי, בעל הספר "יסוד עולם".

הפונקציות הטריגונומטריות על מעגל היחידה

הסינוס והקוסינוס מורחבות גם לזוויות שאינן יכולות להופיע במשולש ישר-זווית, בהן  או , על ידי הגדרתן באמצעות הקואורדינטות של מעגל היחידה, שמרכזו בראשית הצירים ורדיוסו 1. לפי הגדרה זו, הסינוס של הזווית α הוא קואורדינטת ה-y של הנקודה הנוצרת על היקף מעגל היחידה עם "סיבוב" הרדיוס נגד כיוון השעון החל מקרן המספרים החיוביים בציר ה-X לאורך זווית α, וקוסינוס הזווית הוא קואורדינטת ה-x של אותה נקודה. לפי הגדרה זו, עבור זוויות כלליות ייתכן שהסינוס או הקוסינוס יהיו שליליים (מה שלא אפשרי עבור זוויות שבין 0⁰ ל-90⁰, שם הפונקציות מייצגות יחס בין אורכים), אך סכום הריבועים שלהם הוא לעולם אחד. מסיבה זו, ערכם המוחלט חסום על ידי 1.

יישומי הטריגונומטריה

ישנם שימושים רבים לטריגונומטריה ולפונקציות טריגונומטריות. לדוגמה, טכניקת הטריאנגולציה משומשת באסטרונומיה למדידת המרחק של כוכבים סמוכים, בגאוגרפיה למדידת המרחק בין עצמים שונים במרחב ובתקשורת לזהוי מקור האות של הטלפון הסלולרי. פונקציות הסינוס והקוסינוס הן עקרונות בסיסיים בתאוריית הפונקציה המחזורית, כגון אלו המתארות את התנהגות גלי האור והקול. תחומים נוספים בהם עושים שימוש בטריגונומטריה כוללים פיזיקה, סיסמולוגיה, ארכיטקטורה, פונטיקה, כלכלה, קריסטלוגרפיה ופיתוח משחקי מחשב.

שימושים בכרטוגרפיה

השימוש בטריגונומטריה נמצא ביסודה של כל מדידת שטח-ממגרש לבנייה ועד ליבשות. זוויות קל יחסית למדוד בדייקנות, אבל יותר קשה למדוד מרחקים, במיוחד במקומות שבהם פני הקרקע הם בעייתיים. משום כך, מודדים מתחילים בדרך כלל ממדידה מדויקת של אורך אחד, קו הבסיס, שהוא המרחק בין שתי נקודות ציון מסוימת. אחר כך הם יוצרים רשת של משולשים ומשתמשים בזוויות שנמדדו ובטריגונומטריה לחישוב צלעותיהם של המשולשים האלה. באופן כזה אפשר לבנות מפה מדויקת של אזור שלם. התהליך ידוע בשם טריאנגולציה. על מנת לבדוק את הדיוק בתוצאות, אפשר לבצע מדידה שנייה של מרחק, אחרי שהטריאנגולציה הושלמה. בשנת 1751 ערכו סקר מדידות בדרום אפריקה על ידי האסטרונום אבה ניקולה לואי דה לאקאי. מטרתו העיקרית הייתה לערוך קטלוג על כוכבים בשמי חצי הכדור הדרומי, אבל כדי לעשות זאת בדייקנות היה עליו למדוד תחילה את הקשת של קו אורך מתאים. לשם כך הוא פיתח טריאנגולציה של האזור עד צפונה לקייפטאון. התוצאות שלו הצביעו על כך שהעקמומיות של כדור הארץ בקווי הרוחב הדרומיים יותר קטנה מזו שבקווי הרוחב הצפוניים - תוצאה מפתיעה שאושרה במדידות מאוחרות יותר. כדור הארץ הוא במובן מסוים דמוי אגס. הצלחתו בעבודת הקיטלוג הייתה רבה מאוד: הוא נתן שמות ל-15 מתוך 88 קבוצות הכוכבים המוכרות היום, צפה בלמעלה מ-10,000 כוכבים, תוך שימוש בטלסקופ שבירת אור קטן.