הילוך מקרי

הילוך מקרי בזמן בדיד

תהי  סדרה של משתנים מקריים, בלתי תלויים ושווי-התפלגות. לכל  נגדיר . אז סדרת המשתנים המקריים  היא הילוך מקרי בזמן בדיד.

הילוך מקרי בזמן רציף

יהי  משתנה מקרי כלשהו. עבור כל  נגדיר
כאשר  סדרה של משתנים מקריים בלתי-תלויים ושווי-התפלגות המייצגים את ה"קפיצות", וכאשר  זהו מספר הצעדים בקטע , כלומר מספר הצעדים שהתרחשו עד לזמן .
משפחת המשתנים המקריים  היא הילוך מקרי בזמן רציף. באופן מדויק יותר, הילוך מקרי רציף בו הקפיצות בלתי-תלויות, מכונה ספרבילי. ישנה גם הגדרה להילוך מקרי בזמן רציף שאינו ספרבילי דווקא.
נשים לב כי פונקציית הצפיפות של ההילוך בזמן  עבור ערך  כלשהו, היא סכום על כל , של האפשרות לקבל ב- צעדים את הערך , בהינתן שהתבצעו  צעדים אחרי זמן . כלומר, מתקבלת הנוסחה

הילוך מקרי בסריג

מודל פופולרי הוא של הילוך מקרי על סריג, בו בכל שלב המיקום קופץ לאתר אחר לפי התפלגות כלשהי. במקרה של הילוך מקרי פשוט, המיקום יכול לקפוץ רק לאתרים שכנים על הסריג. במקרה פשוט של הילוך מקרי סימטרי על סריג בו מספר השכנים של כל קודקוד סופי, ההסתברות זהה לקפיצת המיקום לכל אחד מהשכנים המידיים. כלומר, בכל קודקוד, הצעד הבא מפולג אחיד על פני הקודקודים השכנים. הדוגמה היסודית ביותר היא של הילוך מקרי על הסריג השלם ה-d-ממדי (המכונה לעיתים סריג היפרקובי) .

שרשרת מרקוב

הילוך מקרי חד-ממדי הוא גם מודל של שרשרת מרקוב, אשר מרחב המצבים שלה ניתן על ידי השלמים  עבור מספר כלשהו p אשר מקיים , הסתברויות המעבר (ההסתברות של Pi,j לעבור ממצב i למצב j) נתון בתור: .

בממדים גבוהים יותר

ניתן לחשוב על שיכור שהולך בצורה אקראית בעיר. העיר היא בגודל אינסופי ומסודרת ברשת ריבועית, ובכל צומת השיכור בוחר אחד מארבעת המסלולים האפשריים (כולל האחד שממנו בא) בהסתברות שווה.
האם השיכור יחזור לביתו מהבר? זו מקבילה בשני ממדים של הבעיה שדנו בה לעיל. במקרה של הילוך מקרי 2-ממדי, התשובה היא כמעט בוודאות כן. אבל עבור 3 ממדים או גבוהים יותר, ההסתברות של חזרה למקור יורדת ככל שגדל מספר הממדים. בשלושה ממדים, ההסתברות יורדת לכ-34%.
המסלול של הילוך מקרי הוא אוסף האתרים שבהם הוא ביקר, האתרים נחשבים כסט עם התעלמות ל"מתי" ההילוך הגיע לנקודה. בממד אחד, המסלול הוא פשוט כל הנקודות בין הגובה המינימלי והמקסימום שההילוך השיג (שניהם בממוצע מסדר גודל של √n).בממדים גבוהים יותר לסט יש מאפיינים גאומטריים מעניינים. למעשה מקבלים פרקטל דיסקרטי.

היחס לתהליך וינר

תהליך וינר הוא תהליך סטוכסטי עם התנהגות דומה לזו תנועה בראונית. (לפעמים תהליך וינר נקרא "תנועה בראונית", אם כי מדובר בבלבול בין תופעה למודל המתאר אותה)
תהליך וינר הוא גבול הסקאלה של הילוך מקרי בממד 1. זה אומר שאם לוקחים הילוך מקרי עם צעדים קטנים מאוד, מתקבל קירוב לתהליך וינר (ופחות מדויק, לתנועה בראונית). לייתר דיוק, אם גודל הצעד הוא ε, צריך לבצע הילוך באורך L/ε² לעורך וינר משוער של  L . ככל שגודל הצעד נוטה ל-0 (ומספר הצעדים גדל באופן יחסי) הילוך מקרי מתכנס לתהליך וינר. באופן פורמלי, אם  B  הוא המרחב של כל הנתיבים באורך  L  עם הטופולוגיה המרבית, ואם  M  הוא המרחב של המדידה מעל B עם טופולוגיה הנורמה, אז ההתכנסות היא במרחב  M . באופן דומה, תהליך וינר בכמה ממדים הוא גבול קנה המידה של הילוך מקרי באותו מספר הממדים.
הילוך מקרי הוא פרקטל בדיד (פונקציה עם ממדים שלמים; 1,2,...), אבל מסלול תהליך וינר הוא פרקטל אמיתי, ויש קשר בין שניהם. לדוגמה, ביצוע צעדים מהילוך מקרי עד אשר המסלול עושה מעגל ברדיוס r·l (כאשר l הוא אורך הצעד). המספר הממוצע של צעדים אשר הוא מבצע הוא r². עובדה זו היא גרסה דיסקרטית של העובדה שתהליך וינר הוא פרקטל של ממד האוסדורף.
בשני ממדים, המספר הממוצע של הנקודות אשר לאותו ההילוך יש על השפה של מסלולו הוא r4/3. זה מתאים לעובדה שהגבול של המסלול בתהליך וינר הוא פרקטל של ממד 4/3, עובדה שחזה בנואה מנדלברוט בעזרת שימוש בסימולציות אבל הוכח רק בשנת 2000 על ידי ג'ורג לורל, עודד שרם, וונדלין ורנר.
תהליך וינר נהנה מהרבה סימטריות על פני הילוך מקרי. לדוגמה, תהליך וינר הוא אינווריאנטי לסיבובים, בעוד הילוך מקרי לא, שכן הרשת הבסיסית היא לא (הילוך מקרי הוא אינווריאנטי לסיבובים ב-90 מעלות, אבל תהליכי וינר הם בלתי משתנה לסיבובים כללים, למשל, 17 מעלות). משמעות הדבר היא כי במקרים רבים, בעיות של הילוך מקרי קלות יותר לפתור על ידי תרגומם לתהליך וינר, לפתור את הבעיה שם, ולאחר מכן לתרגום בחזרה. מצד השני, כמה בעיות קלות יותר לפתור עם הילוכים מקריים בשל אופייה הבדיד.
הילוך מקרי ותהליך וינר יכולים להיות מצומדים, זה בא לידי ביטוי כאשר שניהם באותו מרחב ההסתברות באופן תלוי שמאלץ אותם להיות די קרובים. הצימוד הפשוט ביותר הוא הטבעת Skorokhod, אבל צימודים אחרים, מדויקים יותר קיימים גם כן.
ההתכנסות של הילוך מקרי כלפי תהליך וינר נשלטת על ידי משפט הגבול המרכזי. לחלקיק במיקום ידוע בt = 0, המשפט אומר לנו כי לאחר מספר רב של צעדים בהילוך מקרי עם עצמאות סטטיסטית, העמדה של ווקר מתפלגת לפי התפלגות נורמלית עם שונות:
כאשר t הוא הזמן שחלף מאז תחילת ההילוך המקרי,  הוא גודל הצעד של ההילוך המקרי, ו הוא הזמן שחלף בין שני שלבים רצופים.
זה מתאים לפונקציית גרין של משוואת דיפוזיה אשר שולטת בתהליך וינר, מה שמוכיח כי, לאחר מספר רב של צעדים, מרחק ההילוך המקרי מתכנס לתהליך וינר.
בשלושה ממדים, השונות המקבילה לפונקציית גרין של משוואת דיפוזיה היא:
על ידי השוואת כמות זו עם השונות הקשורה למצב של הילוך מקרי, מקבלים את מקדם הדיפוזיה אשר מתאים לתהליך וינר אסימפטוטי אשר עבורו ההילוך המקרי מתכנס לאחר מספר רב של צעדים:
נשים לב כי בשני הביטויים של השונות מעל מתאימים להתפלגות הקשורה לווקטור  המקשר את שני קצוות של ההילוך המקרי, בתלת ממד. השונות הקשורה לכל רכיב ,  or  היא רק שליש מערך זה (עדיין בתלת ממד). 
לכן עבור דו-ממד:
ועבור חד-ממד:

הילוך מקרי גאוסיאני

הילוך מקרי אשר גודל הצעד בו משתנה כתלות בהתפלגות נורמלית, משמש כמודל לנתונים בזמן אמת כגון שווקים פיננסיים. מודל בלק ושולס למשל, מציג נוסחה לאפיון מחירי אופציות המשתמשת בהילוך מקרי גאוסיאנית כהנחת בסיס.
כאן, גודל הצעד היא ההתפלגות נורמלית מצטברת ההפוכה  כאשר 0 ≤ z ≤ 1 הוא מספר אקראי מפוזר באופן אחיד, וμ וσ הם הסטיות הממוצעת והסטנדרטיות של ההתפלגות הנורמלית, בהתאמה.
אם μ אינו אפס, ההילוך המקרי ישתנה בצורה ליניארית. אם vₛ הוא הערך ההתחלתי של ההילוך המקרי, הערך הצפוי לאחר n צעדים יהיו vₛ + nμ.
למקרה המיוחד שבו μ שווה לאפס, אחרי n צעדים, התפלגות ההסתברות של מרחק ההזזה ניתנת על ידי N(0, nσ²), שכאשר N() הוא הסימון בהתפלגות הנורמלית,  n  הוא מספר הצעדים, וσ הוא משתנה של ההתפלגות הנורמלית המצטברת ההפוכה כמו שניתן לעיל.
הוכחה: הילוך מקרי גאוסיאני יכולה להיות מיוצג כסכום של סדרה של משתנים מקריים בלתי תלויים ואשר מתפלגים באופן זהה, Xᵢ מההתפלגות הנורמלית המצטברת ההפוכה עם תוחלת ששווה לאפס ו-σ של הפוך המקורי מצטברים התפלגות נורמלית:

אבל יש לנו את התפלגות עבור הסכום של שני משתנים בלתי תלויים אשר מתפלגים נורמלית, Z = X + Y, והוא ניתן על ידי:
במקרה שלנו, μX = μY = 0 ו σ²X = σ²Y = σ² נקבל:
ולכן עבור n צעדים יש לנו:
לצעדים שהתפלגו על פי כל ההתפלגות עם תוחלת אפס ושונות סופיות (לא בהכרח רק התפלגות נורמלית), שורש ממוצע הריבועים עבור מרחק ההזזה לאחר  n  צעדים מתקבל כ:
אבל להילוך מקרי גאוסיאני, זה רק סטיית התקן של ההתפלגות של מרחק ההזזה לאחר  n  צעדים. לפיכך, אם μ שווה לאפס, ומאחר ושורש ממוצע ריבועים (RMS) מרחק ההזזה הוא סטיית תקן אחת, יש הסתברות 68.27% שהמרחק ההזזה rms אחרי  n  צעדים ייפלו בין ± σ. כמו כן, יש הסתברות של 50% שהמרחק ההזזה לאחר  n  צעדים ייפלו בין .

דיפוזיה אנומלית

במערכות בעלות חוסר סדר כגון פרקטלים  לא יכולה להיות פרופורציונלית ל אלא ל. המעריך  נקרא מעריך הדיפוזיה האנומלית ויכול להיות גדול יותר או קטן יותר מ-2. 
 דיפוזיה אנומלית יכולה גם לבוא לידי ביטוי כ-σᵣ² ~ Dtα כאשר α הוא פרמטר אנומליה.

מספר אתרים שונים

מספר האתרים השונים אשר ביקר בהם מהלך בודד  נחקר בהרחבה עבור סריג מממדים 2 ו-3, כמו כן עבור פרקטלים. 
כמות זו שימושית לניתוח של בעיות של מילכוד ותגובות קינטית. כמו כן כמות זו קשורה גם לצפיפות הרטט של המצבים
, תהליכי תגובה דיפוזיונית

והתפשטות של אוכלוסיות באקולוגיה.
ההכללה של הבעיה הזו למספר האתרים השונים בהם ביקרו  הילוכים, , לאחרונה נלמדה עבור d ממדים בסריג אוקלידי.
מספר האתרים השונים בהם ביקרו N הולכים אקראיים לא קשור בצורה פשוטה למספר האתרים השונים אשר ביקר בהם כל אחד מההולכים.

וריאציות של הילוכים מקריים

מספר סוגים של תהליכים סטוכסטיים אשר דומים להילוכים מקריים טהורים כבר נידונו, אבל במקרים של מבנה פשוט מותר להיות כלליים יותר. המבנה הטהור יכול להיות מאופיין על ידי צעדים אשר מתפלגים בצורה עצמאית וזהה.

הילוך מקרי בגרפים

הילוך מקרי באורך K על גרף אינסופי G עם שורש  0  היא תהליך סטוכסטי עם משתנים מקריים  כך ש  כך ש ו- הוא קודקוד הנבחר באקראי באופן מהשכנים של .
לאחר מכן המספר  הוא ההסתברות שהילוך באורך k המתחילה מv' מסתיימת בW.

בפרט, אם G הוא גרף עם שורש  0 ,  היא ההסתברות שלאחר  צעדים ההילוך המקרי יחזור ל0.
נניח כעת שהעיר שלנו היא כבר לא רשת ריבוע מושלמת. כאשר השיכור שלנו מגיע לצומת מסוימת הוא בוחר בין הכבישים הזמינים השונים בהסתברות שווה. לכן, אם יש לצומת שבע יציאות השיכור יבחר בכל אחת עם הסתברות של שביעית. זהו הילוך מקרי בגרף. האם השיכור שלנו יגיע לביתו? מתברר שבתנאים לא כל כך קשים, התשובה היא עדיין כן. לדוגמה, אם באורכים של כל אבני הם בין a ו b (כאשר a ו b הם כל שני מספרים חיוביים סופיים), אז השיכור כמעט בוודאות יגיע לביתו. נשים לב שאין הנחה שהגרף הוא גרף מישורי, כלומר העיר עשויה להכיל מנהרות וגשרים. דרך אחת להוכיח תוצאה זו היא באמצעות הקשר לרשתות חשמל. ניקח מפה של העיר ונמקם נגד אחד של 0 אוהם בכל אזור. עכשיו נמדוד את "ההתנגדות בין נקודה ואינסוף". במילים אחרות, נבחר מספר R וניקח את כל הנקודות ברשת החשמל עם מרחק גדול יותר מ-R מהנקודה שלנו ונחבר בניהם. זוהי עכשיו רשת חשמל סופית ואנו יכולים למדוד את ההתנגדות מהנקודה שבחרנו לנקודות המקושרות אם ניקח את  R  עד אינסוף. המגבלה נקראת "ההתנגדות בין נקודה ואינסוף". מתברר שהנ"ל הוא אמיתי (ניתן למצוא הוכחה יסודית בספרו של דויל וסנל - Doyle and Snell):
משפט: גרף הוא בתנועה (לש"מ), אם ורק אם ההתנגדות בין נקודה ואינסוף היא סופית. זה לא חשוב שהנקודה נבחרה אם הגרף מחובר.
במילים אחרות, מערכת בתנועה (לש"מ), צריך רק להתגבר על התנגדות סופית להגיע לאינסוף מכל נקודה. במערכת חוזרת ונשנית, ההתנגדות מכל נקודה לאינסוף היא אינסופית.
אפיון זה של מערכת חוזרת ונשנית ומערכת בתנועה הוא מאוד שימושי, ובמיוחד זה מאפשר לנו לנתח את המקרה של עיר אשר משורטטת במישור עם מרחקים מוגבלים.
הילוך מקרי על גרף הוא מקרה מיוחד של שרשרת מרקוב. שלא כמו שרשרת מרקוב כללית, הילוך מקרי בגרף מקיים סימטרית זמן או הפיכות. באופן כללי, התכונה הזו המכונה גם "תנאי איזון מפורט", משמעותן היא כי ההסתברויות לעבור דרך בכיוון אחד או אחר מקיימת קשר פשוט מאוד בין השניים (אם הגרף הוא גרף רגיל, ההסתברויות שוות). יש למאפיין זה השלכות חשובות.
החל בשנת 1980, מחקר רב הושקע בחיבור תכונות של הגרף להילוכים מקריים. בנוסף לחיבור לרשת החשמל שתואר לעיל, יש קשרים חשובים לאי-שוויון איזופרימטרי, אי-שוויון פונקציונלי כגון סובולב (סובולב אי שוויון) ופואנקרה (אי שוויון פואנקרה) והמאפיינים של הפתרונות של המשוואה לפלס. חלק משמעותי של מחקר זה התמקד בגרף קיילי. לדוגמה, ההוכחה דייב באייר ו פרסי דיאקוניס כי 7 עירבובי ריפל שאפל מספיקים כדי לערבב חפיסת הקלפים היא תוצאה על הילוך מקרי על חבורת הסימטריות , ההוכחה משתמשת במבנה הקבוצה באופן מהותי. במקרים רבים תוצאות בדידות אלה נגזרות מהיריעה וחבורת לי.

דיפוזיה כהילוך מקרי

נניח כי חלקיק מוכנס למערכת חד-ממדית, כך שברגע t=0 הוא נמצא ב-x=0. כל חלקיק בתורו עושה צעד ימינה או שמאלה, כאשר אורך הצעד הוא δ, ובכל צעד החלקיק יכול לצעוד ימינה בהסתברות 1/2 או שמאלה בהסתברות 1/2. נסמן ב-  את מקומו של החלקיק ה-i לאחר n צעדים (שימו לב ש-x יכול להיות גם שלילי, אם החלקיק עשה יותר צעדים שמאלה מאשר ימינה.)
אם נחזור על הניסוי עם עוד חלקיקים, N בסה"כ. מה נוכל לומר על ההתפלגות של של החלקיקי השונים?

ראשית, לכל חלקיק בנפרד ברור כי מיקומו אחרי הצעד ה-n יהיה במרחק δ+ או δ– ממיקומו אחרי הצעד ה-(n-1), כלומר: 

כאשר אנו מצפים כי עבור מספר גדול של חלקיקים, לכחצי מהם יתאים סימן + ולכחצי סימן - .עכשיו נמצע על כל החלקיקים:
ניתן לראות שהממוצע על δ± נותן אפס, כי לחצי מהחלקיקים יש + ולחצי יש -. המיקום הממוצע של החלקיקים איננו משתנה עם התקדמות הצעדים, והוא כמובן שווה לאפס, כי הבעיה סימטרית לגמרי. כלומר:
אך מה לגבי הממוצע של ריבוע המרחק מהראשית? שוב נבדוק את הקשר בין המצב אחרי הצעד ה-n למצב אחרי הצעד ה-(n-1):
לכן בממוצע:
ניתן לראות כי  מטעמי סימטריה, אולם כעת האיבר השלישי באגף השמאלי  אינו 0. ולכן נקבל:
הממוצע של המרחק בריבוע מהמרכז גדל בכל צעד ב-. מאחר שאחרי אפס צעדים , נוכל לקבל כי .
המסקנה הזו מעניינת מאוד: בערך מוחלט, המרחק הממוצע מהראשית שחלקיק מגיע אליו ב-n צעדים הוא:
מעניין לראות כי חלקיק שעושה n צעדים שכולם באותו כיוון היה מגיע למרחק n·δ מהראשית. משמעות הדבר שהיעילות של הילוך מקרי בהרחקת חלקיקים מהראשית מדוכאת פי  יחסית לתנועה חופשית.

הילוך מקרי בכלכלה

נבדק במקור על ידי מוריס קנדל (Maurice Kendall) בשנת 1953, התאוריה קובעת כי תנודות במחיר המניה אינן תלויות זה בזה להן את אותה התפלגות הסתברות, אבל על פני תקופה של זמן, המחירים ישמרו על מגמת עלייה. כלומר, התייחסות של הילוך מקרי למחירי מניות, אומרת כי הסיכוי של המחיר העתידי של המניה לעלות זהה לסיכוי שלה לרדת.

השערת ההילוך המקרי

השערת ההילוך המקרי היא תאוריה פיננסית, לפיה מחירי המניות בשוק מתפתחים בהתאם להילוך מקרי ולכן לא ניתן לחזות אותם. זה עולה בקנה אחד עם תאוריית השוק היעיל.
את המושג ניתן לייחס לברוקר הצרפתי ז'ול ראגנלוט (Jules Regnault) שפרסם ספר בשנת 1863, ולאחר מכן למתמטיקאי הצרפתי לואיס באכליאר (Louis Bachelier) דוקטורנט אשר עבודתו שכותרתה "התאוריה של ספקולציה" (1900) כללה כמה תובנות ופרשנות ראויות לציון. אותם הרעיונות פותחו מאוחר יותר על ידי בית הספר סלואן MIT של פרופסור פול קוטנר (Paul Cootner) בספר 1964 הוא "התווים אקראיים של מחירי שוק המניות". המונח הפך לפופולרי בעקבות הספר, "הילוך מקרי בוול סטריט", 1973 על ידי ברטון מלכיאל (Burton Malkiel), פרופסור לכלכלה באוניברסיטת פרינסטון, והיה בשימוש קודם לכן במאמר של יוג'ין פאמה ( Eugene Fama) ב-1965 "הילוך מקרי במחירי שוק המניות", שהיה גרסה פחות טכנית של תזת הדוקטורט. התאוריה שמחירי המניות נעים באופן אקראי הוצעה קודם לכן על ידי מוריס קנדל (Maurice Kendall) במאמר ב-1953, "ניתוח של כלכלת סדרת הזמן, חלק 1: מחירים".

מידול תנועה ביולוגית

סקאלם (Skellam) היה אחד הראשונים בספרות להשתמש בהילוכים מקריים למודל ספציפי של פיזור אוכלוסיות בעלי חיים.  סקאלם (Skellam) ולוין דנו בתוקף ובמגבלות של מודל ההילוך המקרי הפשוט והאיזוטרופיים, בפרט בבעיה של ריבוי אינסופי בסקלת זמן קטנה הנובעות מחוסר קורלציה, והעובדה שמודל זה לא יכול להסביר את אינטראקציה של יחידים או השתנות סביבה.
אוקובו (1980) דן במגוון רחב של בעיות דיפוזיה ביולוגית במגוון רחב של הגדרות, ומספק דיון מפורט בפיתוח והמגבלות של מודלים של הילוכים מקריים שונים.
מוריי (1993) נותן סקירה קצרה של כמה בעיות בדיפוזיה ביולוגית שיכולים למדל באמצעות מודלים של הילוך מקרי פשוט.
מילון מונחים שימושיים של מונחים הקשורים לתנועה מכוונת והילוכים מקריים על ידי טרנקוילו (Tranquillo) ואלט התפרסם בלט והופמן (1990),  אשר מכיל הרבה מודלים אחרים של תנועה ביולוגית וכולל דיונים על מגבלות ניסיוניות של התבוננות בתנועה בקני מידה שונה.

תנועה של בעלי חיים ומיקרו-אורגניזמים כהילוך מקרי

פאטלק (Patlak) פיתח גרסה מורחבת של מודל ההילוך המקרי, אשר כלל קורלציה בין פעולות רצופות, לא הומוגניות בסביבה ובכוחות חיצוניים, וכמו כן איפשר למהירות ומרווח זמן בין שלבים להשתנות. למרבה הצער, המודל הוא כלי כללי מדי ורק מעשי כאשר כמה הנחות מפשטות נעשות על התנועה. "Siniff & Jessen" היה אחד הראשונים בספרות לשימוש במודל סימולציה של הילוך מקרי מתואם, שכלל את חלוקת פון מיזס כהתפלגות ההסתברות לזווית המפנה בכל שלב.
המשימה לשפוט את הדיוק הסטטיסטי של התוצאות של סימולציות בהשוואה לנתונים של תנועת שועל אשר נצפתה קשה מפני שאין קריטריון של טיב התאמה - הבעיה היא אחת מבעיות זיהוי תבנית.
לאבלי ודלקוויסט (1975) השתמש במודל של הילוך מקרי כדי לתאר את התנועה של חיידק Escherichia כאשר אין כיוון מועדף והראה כיצד להפיק מקדם הדיפוזיה לשטף של חיידקים. הם דנו גם בכמה אמצעים סטטיסטיים בתפוצה רחבה כאשר יש כיוון מועדף, אבל לא קשר את זה למודל הילוך מקרי לתנועה של תאים בודדים. הילוכים מקריים עם קורלציה כבר היו בשימוש על ידי הול (1977) כאשר לומד את התנועה של אמבה, Kareiva & Shigesada מודל פרפרי כרוב המטילים ביצים או בחיפוש לאתרי צוף, ועוד רבים אחרים.
Bovet & Benhamou הגדירו עד מודל סימולציה של הילוך מקרי עם קורלציה והציעו פיתולים כאמצעי המרחבי של המסלול שאינו תלוי באורך הדגימה שהוטל. לאחרונה, באיירס (2000) השתמש בסימולציות של הילוכים מקריים מתואמים ללמוד פיזור חיפושיות קליפה ביערות, ובאיירס (2001) משתמש באותו מודל הסימולציה למצוא קורלציה בין שורש ממוצע הריבועים ומרחק פיזור.