השערת ארדש-שטראוס

זהויות מודולריות

עקרון הסה לפתירת משוואות דיופנטיות מספר לנו שכדי לפתור משוואה דיופנטית ממין זה מעל השלמים, עלינו לאחד את הפתרונות המתקבלים מודולו כל מספר ראשוני אפשרי. על-פניו, עקרון זה לא נראה מתאים להשערת ארדש-שטראוס, שכן המשוואה הדיופנטית  יכולה להיפתר בקלות מודולו כל מספר ראשוני שהוא. אף-על-פי-כן, שימוש בזהויות מודולריות הוכיח את עצמו ככלי חשוב בעבודה על ההשערה.
עבור ערכים של n המקיימים יחסי שקילות מודולרית מסוימים ניתן למצוא הרחבה ל-‎4/n באופן אוטומטי, כתוצאה ישירה לזהויות פולינומיות. לדוגמה, כש- המשוואה פתירה, מכיוון שמתקיים
 עבור כל x, ועבור  מתקבל הפיתוח הרצוי ל-‎4/n. אלגוריתם חמדן לשברים מצריים יכול למצוא פתרון בשלושה או פחות איברים כל-עוד n שונה מ-1 או מ-17 מודולו 24. אך המקרה  כבר מכוסה על ידי היחס , כך שהערכים היחידים של n עבורם שתי השיטות נכשלות במציאת פיתוח עם שלושה או פחות איברים הם אלה הקונגרואנטים ל-1 מודולו 24.
אם היינו יכולים למצוא מספר גדול מספיק של יחסי שקילות מודולרית כאלה כדי לכסות את כל הערכים האפשריים של n, הבעיה הייתה נפתרת. לרוע המזל, כפי שהראה לואי מורדל, זהות מסוג זה עבור ערכי n קונגרואנטים ל-r mod p יכולה להתקיים רק כאשר r אינו שארית ריבועית מודולו p . מורדל רשם זהויות מהצורה הזו עבור כל n שהוא 2 מוד 3 (ראה למעלה), 3 מוד 4, 5 מוד 8, 2 או 3 מוד 5, או 3, 5, או 6 מוד 7, ובכך מכסה את כל המספרים שאינם שאריות ריבועיות עבור הבסיסים הללו. אך, עבור בסיסים גדולים יותר, לא כל המספרים שאינם שאריות ריבועיות מכוסים באמצעות זהויות כאלה.
מהזהויות של מורדל ניתן להסיק שפתרונות קיימים עבור כל הערכים של n למעט אולי אלה השקולים ל-1, 121, 169, 289, 361, או 529 מודולו 840. המספר הראשוני הקטן ביותר מהצורה הזו הוא 1801. באמצעות איחוד מחלקות שקילות מודלורית גדולות יותר, וובּ (Webb) ואחרים הראו שהשבר של n בקטע [‎1,N] היכול לשמש כדוגמה נגדית להשערה, שואף לאפס בגבול כש-N שואף לאינסוף .
אף על פי שהתוצאות של מורדל מגבילות את הצורות השונות של הזהויות הקונגרואנטיות, ישנה עדיין תקווה להשתמש בזהויות מודולריות כדי להוכיח את השערת ארדש-שטראוס. באופן מידי מהגדרתו, שום מספר ראשוני אינו יכול להיות מספר ריבועי, כך שלפי משפט הסה-מינקובסקי (המשפט בוויקיפדיה האנגלית), עבור כל p ראשוני קיים מספר ראשוני גדול יותר q, כך ש-p אינו שארית ריבועית מודולו q. אם-כן, גישה אפשרית להוכחת המשפט תהיה: עבור כל מספר ראשוני p, מציאה של מספר ראשוני גדול יותר q וקונגרואנציה הפותרת את משוואת ‎4/n עבור n  p (mod q)‎; אם ניתן לעשות את הדבר, שום מספר ראשוני p לא יוכל להיות דוגמה נגדית להשערה - כלומר, ההשערה תוכח.

אימותים חישוביים

אנשים רבים נעזרו במחשבים כדי לחפש דוגמה נגדית להשערה באמצעות שימוש בכוח גס. ניתן להאיץ חיפושים ממין זה אם נתבונן רק במספרים ראשוניים שאינם שייכים ליחסים קונגרואנטים ידועים. נכון לאוקטובר 1999, חיפושים של אלאן סווט מהסוג הזה, אימתו את ההשערה עבור כל n טבעי עד ל-. אלן סווט הוא פרופסור למתמטיקה באוניברסיטה של אינדיאנפוליס החוקר את השערת ארדש-שטראוס.
הנושא של כמה פתרונות שונים יש למשוואה עבור כל n נחקר גם הוא. גם כאן נעזרו במחשבים כדי למצוא את הערכים עבור n קטנים. אך שום חוקיות לא נמצאה עד-כה, המספרים מפגינים התנהגות בלתי-רגילה עבור ערכים גדלים של n. החל מ, מספר הפתרונות השונים הוא:
1, 1, 2, 5, 5, 6, 4, 9, 7, 15, 4, 14, 33, 22, 4, 21, 9, ... (סדרה A073101 ב-OEIS).
אך גם עבור ערכים גדולים של n עשויים להיות רק מעט פתרונות, למשל יש רק שבעה פתרונות שונים עבור .

הכללות

המתמטיקאי הפולני ואצלב שרפינסקי הציע גרסה מוכללת להשערה: עבור כל k קיים N כך שעבור כל  קיים פתרון למשוואה , כאשר k, ‏N, ‏n, ‏x, ‏y, ‏z, כולם מספרים טבעיים. 
בשנת 2000 הוכיח תומאס האגדרון השערה דומה של ר"ה הארדין וניל סלואן. הם שיערו שעבור מספר טבעי ואי-זוגי, n, המשוואה  תמיד פתירה, ו-x, ‏y ו-z הם טבעיים, אי-זוגיים ושונים בזוגות.