חישוב בעל-פה

חישוב בראש או חישוב ללא מחשבון הוא עריכת חישובים מתמטיים באמצעות המוח בלבד, ללא הסתייעות בכלי עזר כמחשבונים או עט ונייר. השימוש בחישוב בראש נעשה במצבים שבהם אין כלי חישוב בסביבה או כשיותר מהיר וקל לחשב באופן זה. לרוב, החישוב מתבצע בעזרת שיטות ספציפיות המותאמות לכל בעיה בנפרד.
היכולת לחישוב בראש שונה מאדם לאדם. יש שיעדיפו כלי עזר כבר בחישובים פשוטים למדי, ולעומתם יש שנודעו ביכולתם לערוך בראש חישובים מורכבים. במחצית המאה ה-20 פיתח המתמטיקאי היהודי יעקב טרכטנברג את "שיטת טרכטנברג" לחישובים בראש.

חישוב ריבוע של מספר דו-ספרתי

החישוב הפשוט של כל מספר בריבוע הוא:a²=(a+d) (a-d)+ d² 
כאשר d הוא המספר הכי קטן שמאפשר להפוך את a לכפולה שלמה של 10. ננסה את השיטה עם המספר 63. ננסה להגיע מ-63 למספר שהוא כפולה של 10. במקרה שלנו 60 (ולא 70 כי המרחק הקצר יותר הוא 3.) אם כן, d אצלנו הוא 3. נחשב את המשוואה הבאה:
63² =(63+3)(63-3)+3² =60*66+ 9
כעת נותר לחשב 66*60:
60*66=3600+360=3960=63² =3960+9=3969
והתוצאה היא 3969.

הערכה בקירוב

כאשר ברצוננו לבדוק חישוב שבוצע בראש, לרוב כדאי לבצע זאת בעזרת שימוש בקנה מידה קרוב. לדוגמה, כאשר מדובר במספרים גדולים, למשל 1531 × 19625, ההערכה תאפשר לך לדעת מהו מספר הספרות הצפוי לתוצאה הסופית. דרך יעילה לבצע זאת היא לעגל את המספרים. המספר 1531 קרוב ל-1500, והמספר 19625 קרוב ל-20000, ולכן תוצאה בסביבות 20000 × 1500 (30000000) תהיה אומדן טוב לתוצאה האמיתית (30045875). אם בתוצאה שקיבלתם יש יותר מדי ספרות, תוכלו לדעת שעשיתם טעות בחישוב.

גורמים

כאשר כופלים בין שני מספרים (גורמים), כדאי לזכור שהגורמים של המכפלה מוכרחים להתקיים בתוכה. לדוגמה, הטענה שתוצאת המכפלה 14 × 15 היא 211 אינה סבירה. מכיוון שהמספר 15 מורכב מ-5, הוא חייב להיכנס בתוצאה בשלמותו. התשובה הנכונה היא 210.

חישוב ישיר

כאשר כל הספרות של "b" קטנות מהספרות המקבילות של "a", החישוב יכול להתבצע ספרה אחר ספרה. לדוגמה, ניתן לחשב את ההפרש 872 − 41 פשוט על ידי חיסור 1 מ-2 במיקום ספרת האחדות, וחיסור של 4 מ-7 במיקום ספרת העשרות: 831.

שיטת ההסתכלות קדימה

ניתן להיעזר בשיטה זו כדי לחסר מספרים משמאל לימין. כדי לבצע זאת בראש יש צורך להיטיב בזיכרון המספרים.
בכל פעם מחשבים מיקום ספרה אחד, משמאל לימין.
לדוגמה:
4075
− 1844
------
אלפים: 4 - 1 = 3, הסתכלו ימינה, 075 < 844, יש צורך "לשאול" מספרים.
3 - 1 = 2, תוצאה למיקום זה: "אלפיים".
אנחנו מחשבים 3 - 1 במקום 4 - 1 מכיוון שהטור מצד ימין
צדריך לשאול ערך מספרת האלפים.
מאות: 0 − 8 = מספרים שליליים אינם לרוחנו. 
עלינו להגדיל את הערך בעזרת המספר ששאלנו מהטור השמאלי (מספרת האלפים). ולכן:
10 - 8 = 2. השתמשנו ב-10 במקום ב-0, מכיוון ששאלנו מספרת האלפים.
75 > 44 ולכן אין צורך לשאול. תוצאה למיקום זה: "מאתיים".
עשרות: 7 - 4 = 3. מכיוון ש- 5 > 4 אין צורך לשאול.
תוצאה למיקום זה: "שלושים".
אחדות: 5 - 4 = 1. תוצאה למיקום זה: "אחת".

חישוב מכפלה: a × b

כדאי להכיר כי רבות מדרכי הפתרון מתקיימות ונעזרות בחוק הפילוג.

הכפלה פי 2 ומספרים קטנים יותר

כאשר מכפילים מספר כלשהו פי מספר בעל ספרה אחת יהיה קל להכפיל ספרה אחר ספרה מימין לשמאל. פעולה זו קלה במיוחד עבור הכפלה פי 2 מכיוון שמספר הספרות הנותרות של התוצאה לא יהיה גדול מ-1.
לדוגמה, כדי לחשב 2 × 167:
נחשב 2×7=14, כך שהספרה האחרונה היא 4, עם 1 נותר שנוסף לחישוב של 2×6=12 ויניב 13, כך שהספרה האחרונה היא 3 עם 1 נותר שנוסף לחישוב של 2×1=2 ומניב 3. לפיכך, התוצאה היא 334.

הכפלה פי 5

כדי להכפיל מספר פי 5,
1. תחילה יש להכפיל את המספר פי 10, ולאחר מכן לחלקו ב-2.
האלגוריתם הבא הוא דרך מהירה להשגת התוצאה:
2. הוסף את הספרה 0 מצדו הימני של המספר. (א.)
3. לאחר מכן, החל מהספרה השמאלית ביותר, חלק ב-2 (ב.)
וצרף כל תוצאה בסדר המתאים כדי ליצור את המספר החדש;(תוצאות שהתקבלו בצורת שבר יש לעגל כלפי מטה למספר השלם הקרוב ביותר).
לדוגמה: הכפלת 176 פי 5.
א. הוספת אפס מצדו הימני של 176 כדי לקבל 1760.
ב. חלוקה ב-2 החל מהספרה השמאלית ביותר.
1. חלוקת 1 ב-2 כדי לקבל 0.5, יעוגל כלפי מטה לכדי 0.
2. חלוקת 7 ב-2 כדי לקבל 3.5, יעוגל כלפי מטה לכדי 3.
3. חלוקת 6 ב-2 כדי לקבל 3. חלוקת 0 ב-2 היא פשוט 0.
התוצאה שהתקבלה היא 0330. זוהי לא התוצאה הסופית, אבל התקרבות ראשונית שתשופר בצעד הבא:
ג. הוספת 5 לספרה העוקבת של כל ספרה במספר החדש שהמקבילה שלה
במספר המקורי הניבה תוצאת שבר בחלוקה ב-2.
לדוגמה: 176 (בספרת האחדות, העשרות והמאות):
1. הספרה הימנית ביותר (ספרת המאות) היא 1, שהניבה תוצאת שבר (0.5).
יש להוסיף 5 לספרה העוקבת במספר החדש (0330),
כלומר לספרה 3; באופן הבא: 3+5=8.
2. הספרה הבאה של 176 היא 7, וגם היא הניבה תוצאת שבר. הספרה העוקבת
במספר החדש (0830) תגדל גם היא ב-5; באופן הבא: 3+5=8.
3. הספרה הבאה של 176 היא 6, מקבילתה בתוצאה היא 0, מספר שלא הניב שבר.
התוצאה הסופית היא 0880.
ניתן להשמיט את ה-0 השמאלי ביותר, ונותרנו עם 880.
לפיכך, המכפלה של 176 ב-5 תניב את התוצאה 880.

הכפלה פי 9

ידוע כי 9 = 10 − 1, ולכן כדי להכפיל פי 9 יש להכפיל פי 10 ולאחר מכן לחסר פעם אחת את המספר המקורי מהתוצאה. לדוגמה, 9 × 27 = 270 − 27 = 243. ניתן להיעזר בדרך זו גם עבור הכפלה פי שמונה, אך יהיה צורך לחסר פעמיים את המספר.

שימוש באצבעות הידיים: הכפלת 1–10 פי 9

פשטו את כפות הידיים שלכם מול עיניכם. התייחסו לאגודל השמאלי כ- 1, כך שהאצבע הבאה אחריו תייצג 2, וכן הלאה עד לאגודל הימני שייצג 10. כל "|" מייצג אצבע מורמת וכל "−" מייצג אצבע כפופה.
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
| | | | |  | | | | |
יד ימין יד שמאל
כופפו את האצבע שמייצגת את המספר שתרצו להכפיל פי 9.
לדוגמה: 6 × 9 יהיה:   | | -  | | | | |
הזרת של יד ימין כופפה. קחו את מספר האצבעות שנשארו מורמות מצד שמאל של האצבע המכופפת וצרפו אותו למספר האצבעות המורמות מצד ימין.
בדוגמה שלנו: ישנן חמש אצבעות מורמות משמאל לזרת שכופפה, וארבעה מימין לה. לפיכך, 6 × 9 = 54.
4 5
| | | | −  | | | | |

הכפלה פי 10 (ופי חזקות של 10)

כדי להכפיל מספר שלם פי 10, פשוט מוסיפים 0 מצדו הימני של המספר.
כדי להכפיל מספר שאינו שלם פי 10, יש להזיז את הנקודה העשרונית ספרה אחת ימינה.
באופן כללי עבור חזקות של עשר, כדי להכפיל פי 10ⁿ (כאשר n הוא מספר שלם), יש להזיז את הנקודה העשרונית n ספרות ימינה. אם n הוא שלילי, יש להזיז את הנקודה העשרונית |n| ספרות שמאלה.

הכפלת מספרים בעלי שתי ספרות בין 11 ל-19

ישנו אלגוריתם פשוט כדי להכפיל בפשטות בין שני מספרים בעלי שתי ספרות בין 11 ל-19 כמתואר (כאשר a הוא ספרת האחדות של המספר הראשון ו- b הוא ספרת האחדות של המספר השני). 
(10+a) x (10+b)

100 + 10*(a + b) + a*b
ניתן להציג זאת כשלושה חלקים שצריך להוסיף:

1
xx
 yy

לדוגמה:

17 * 16

1 = 100
13 (7+6) = 10*(a+b)
 42 (7*6) = a*b

 272 (סך הכל)