מרחב פרויקטיבי

הגדרה

מנקודת המבט של גאומטריית חילה, מרחב פרויקטיבי הוא גאומטריה שיש בה שני טיפוסים, נקודות וישרים, עם יחס חילה ביניהם. מערכת של נקודות וישרים נקראת מרחב פרויקטיבי אם דרך כל שתי נקודות x,y עובר ישר יחיד xy, יש לפחות שתי נקודות על כל ישר ולפחות שני ישרים, ומתקיימת אקסיומת ובלן-יאנג: אם הישרים ab ו-cd נחתכים, אז גם ac ו-bd נחתכים. מרחב פרויקטיבי הוא מרחב דזרגי אם הוא מקיים את משפט דזרג.

תת-מרחבים

במרחב פרויקטיבי נתון, קבוצת נקודות הכוללת יחד עם כל שתי נקודות x,y את כל הנקודות על הישר xy נקראת תת-מרחב. תת-מרחב שאינו מוכל כולו בישר אחד מהווה מרחב פרויקטיבי בעצמו. אם U תת-מרחב של מרחב פרויקטיבי P ו-p נקודה מחוץ לו, אז איחוד הישרים pu (עבור הנקודות u על U) הוא תת-המרחב הנוצר על ידי U ו-p; תת-המרחב הזה נוצר על ידי U וכל נקודה שלו שמחוץ ל-U. תת-המרחב הנוצר על ידי שלוש נקודות x,y,z שאינן על ישר אחד נקרא מישור.
בדומה להגדרות באלגברה ליניארית, אפשר להגדיר בסיס של מרחב פרויקטיבי P כקבוצה S שהיא פורשׂת (כלומר S יוצרת את P) ובלתי תלויה (S אינה נפרשת על ידי אף תת-קבוצה אמיתית שלה). קבוצה היא בסיס אם ורק אם היא פורשת מינימלית, אם ורק אם היא בלתי תלויה מקסימלית. לכל מרחב פרויקטיבי יש בסיס (עובדה זו מצריכה את הלמה של צורן). הבסיסים של מרחב פרויקטיבי P מקיימים את למת ההחלפה של שטייניץ, וכתוצאה מכך לכל הבסיסים אותו גודל - וזהו, על-פי ההגדרה, הממד של P. הממד מקיים את נוסחת הממדים . תת-מרחב מקסימלי (כזה שבהוספת נקודה אחת פורש את המרחב כולו) נקרא על-מישור.

טרנספורמציות

העתקה חד-חד-ערכית ועל מקבוצת הנקודות של מרחב פרויקטיבי לקבוצת הנקודות של מרחב פרויקטיבי נקראת קולינאציה אם לכל x,y,z על ישר אחד, גם התמונות נמצאות על ישר אחד. כל קולינאציה משרה העתקה חד-חד-ערכית ועל בין קבוצות הישרים של המרחבים, ומעבירה תת-מרחבים לתת-מרחבים. קולינאציה שומרת על בסיסים וממדים. מרחבים פרויקטיביים שיש ביניהם קולינאציה הם איזומורפיים. 
קולינאציה a ממרחב פרויקטיבי לעצמו היא מרכזית אם יש לה נקודת מרכז (נקודה שכל ישר העובר דרכה נשמר תחת a). תכונה זו שקולה לקיומו של ציר (על-מישור שכל נקודותיו נשמרות). קולינאציה מרכזית שנקודת המרכז שלה אינה שייכת לציר נקראת הומולוגיה. אוסף הקולינאציות  עם מרכז נתון p וציר נתון H מהווה חבורה. קולינאציה ב- נקבעת באופן יחיד על ידי התמונה של נקודה כלשהי שאינה ב-; אם המרחב דסרגי, אז החבורה פועלת טרנזיטיבית על החלק שמחוץ ל- של כל ישר דרך p. 
(על הקולינאציות של המישור הפרויקטיבי הקלאסי, ראה מישור פרויקטיבי).

הקשר למרחבים אפיניים

אם מסירים ממרחב פרויקטיבי את כל הנקודות בעל-מישור, מתקבל מרחב אפיני; וכל מרחב אפיני מתקבל כך, באופן יחיד (עד כדי איזומורפיזם). קולינאציה בין מרחבים פרויקטיביים משרה קולינאציה בין המרחבים האפיניים המתקבלים מהם, ולהפך, קולינאציה בין מרחבים אפיניים משרה קולינאציה בין המרחבים הפרויקטיביים שהם מגדירים.

דואליות ופולריות

יהי P מרחב פרויקטיבי. המרחב הדואלי  הוא הגאומטריה שהנקודות והישרים שלה הן תת-המרחבים מקו-ממד 1 ו-2 של P, בהתאמה. זהו מרחב פרויקטיבי, מאותו ממד כמו P. קולינאציה מ-P למרחב הדואלי (שהיא התאמה בין נקודות לתת-מרחבים מממד d-1, המעבירה שלוש נקודות על ישר לשלושה מרחבים הנחתכים במימד d-2) נקראת דואליות של P. אם  היא דואליות, אז לכל תת-מרחב U של P מתקיים .
דואליות היא פולריות, אם  אם ורק אם ; פולריות אינה אלא דואליות מסדר 2. תת-מרחב U של P הוא מוחלט ביחס לפולריות , אם . אם לפולריות יש לפחות ישר מוחלט אחד, אז הנקודות והישרים המוחלטים מהווים מרחב פולרי. 
אם P מוגדר בקואורדינטות הומוגניות, אפשר לתאר את הדואליות והפולריות שלו באמצעות תבניות ביליניאריות; ראו להלן.

בניה בקואורדינטות הומוגניות

קואורדינטות הומוגניות מספקות דרך נוחה לבנות מרחב פרויקטיבי.
יהי F שדה ויהי  מרחב וקטורי. מ-V מסלקים את נקודת הראשית (שתשמש עוגן לפרספקטיבה), ועל הנקודות הנותרות מגדירים יחס שקילות באופן הבא: הנקודות  שקולות אם קיים סקלר , כך ש- . 
הנקודות של המרחב הפרויקטיבי  הן, על-פי ההגדרה, מחלקות השקילות , המייצגות ישרים מנוקבים (בלא הראשית) במרחב המקורי. לכל תת-מרחב ליניארי , המרחב הפרויקטיבי המתאים כולל את הנקודות  עבור . הממד הפרויקטיבי תמיד קטן ב-1 מן הממד באלגברה ליניארית: מרחבים חד-ממדיים מתאימים לנקודות, מרחבים דו-ממדיים לישרים, וכן הלאה.
אם  הוא מרחב וקטורי מממד סופי, אפשר לתאר כל וקטור שלו על ידי קואורדינטות באמצעות הבסיס הסטנדרטי: . יחס השקילות מוגדר על  באופן הבא: , כלומר: קיים סקלר שונה מאפס כך ששתי ה-n+1-יות פרופורציוניות זו לזו על ידי סקלר זה. זהו יחס שקילות על V. את מחלקת השקילות של וקטור תחת היחס הזה נסמן    כאשר סימון הנקודתיים בא להזכיר שמה שרק היחסים בין הקואורדינטות משמעותיים. הקואורדינטות המתארות את מחלקת השקילות  נקראות "קואורדינטות הומוגניות". המרחב הפרויקטיבי מוגדר להיות המרחב של כל מחלקות השקילות הללו, כלומר: .

שדה הסקלרים

בבניה שתוארה לעיל אפשר להחליף את שדה הסקלרים F בכל חוג עם חילוק (אסוציאטיבי) D, כאשר המרחב הווקטורי V מוחלף במרחב וקטורי שמאלי מעל D (לאו דווקא מממד סופי). כל מרחב פרויקטיבי מממד 3 ואילך נבנה באופן הזה, וכל מרחב פרויקטיבי הנבנה באופן זה הוא דזרגי. לפי המשפט היסודי הראשון של הגאומטריה הפרויקטיבית, כל מרחב פרויקטיבי דזרגי הוא מהצורה  עבור מרחב וקטורי שמאלי V מעל חוג עם חילוק. ההוכחה של המשפט היסודי אינה קלה, אבל הרעיון המרכזי פשוט למדי. בהינתן המרחב הפרויקטיבי P, מסירים ממנו על-מישור כדי לקבל מרחב אפיני A, בו בוחרים נקודת אפס ומגדירים פעולת חיבור על ידי פעולות ההזזה (המתחלפות זו עם זו). אוסף ההומולוגיות של A, ביחס לנקודת המרכז 0, ויחד עם העתקת האפס (המכווצת את המרחב לנקודה), מהווה חוג עם חילוק D ש-A מרחב וקטורי מעליו.
המרחב הפרויקטיבי , כאשר V מרחב וקטורי מעל שדה הסקלרים D (חוג עם חילוק, כאמור), מקיים את משפט פפוס אם ורק אם D הוא שדה (קומוטטיבי). התאמה זו בין תכונה אלגברית של שדה הסקלרים לבין התכונות הגאומטריות של המרחב הווקטורי, הייתה אחד הגורמים הראשונים לפיתוחה של תורת הזהויות של חוגים.

טרנספורמציות

יהי V מרחב וקטורי מעל חוג עם חילוק D. כל העתקה ליניארית הפיכה  משרה קולינאציה של  (קולינאציה היא העתקה הפיכה של הנקודות, המעבירה ישר לישר). שתי העתקות ליניאריות משרות את אותה קולינאציה אם ורק אם אחת מהן מתקבלת מהשנייה על ידי כפל משמאל באיבר מרכזי של D. את חבורת ההעתקות המתקבלות באופן הזה מסמנים ב- (אם D הוא שדה, הסימון מתלכד עם הסימון המקובל לחבורה הליניארית הפרויקטיבית). 
אם , כך ש- הוא מרחב פרויקטיבי d-ממדי, אז חבורת הקולינאציות  פועלת טרנזיטיבית על החדרים של המרחב (חדר הוא דגל מקסימלי, כלומר שרשרת של תת-מרחבים בממדים ). בדומה לזה, החבורה  פועלת טרנזיטיבית על התבניות של המרחב (תבנית, frame, היא קבוצה של d+2 נקודות שכל d+1 מהן מהוות בסיס למרחב הפרויקטיבי); ואם D שדה (קומוטטיבי), אז הפעולה הזו היא חדה.
כדי לקבל את כל הקולינאציות של , יש להכליל את חבורת ההעתקות הליניאריות להעתקות ליניאריות למחצה: העתקה אדיטיבית  היא ליניארית למחצה אם יש אוטומורפיזם  כך ש-. את חבורת ההעתקות הליניאריות למחצה מסמנים ב-, וכמו במקרה של העתקות ליניאריות, . המשפט היסודי השני של הגאומטריה הפרויקטיבית קובע שחבורת הקולינאציות של  היא .

דואליות ופולריות

אם P הוא מרחב פרויקטיבי מהצורה , כאשר V מרחב וקטורי שמאלי מעל חוג עם חילוק D, אז המרחב הדואלי של P הוא המרחב הפרויקטיבי , כאשר  הוא המרחב הדואלי של V, המהווה מודול שמאלי מעל החוג המנוגד .
במרחבים פרויקטיביים המתוארים על ידי קואורדינטות הומוגניות, אפשר לתאר את כל הדואליוֹת והפולריוֹת באמצעות תבניות ביליניאריות והכללות שלהן, באופן הבא. תבנית ססקווילינארית של V היא פונקציה בי-אדיטיבית  המקיימת  ו-, כאשר  הוא אנטי-אוטומורפיזם. כל תבנית כזו מגדירה דואליות על המרחב , לפי . כל דואליות של  מוגדרת באופן כזה.
לפי משפט בירקהוף--פון נוימן, כל פולריות של  מוגדרת כמתואר לעיל, כאשר התבנית f היא סימטרית, או אנטי-סימטרית, או הרמיטית או אנטי-הרמיטית ביחס ל- שהיא אינוולוציה של D.