משפט ארו

משפט האי-אפשרות של ארו (או פרדוקס ארו) הוא משפט מתמטי בתחום הבחירה החברתית (שמהווה חלק מתורת המשחקים) שהוכח על ידי הכלכלן קנת' ג'וזף ארו במסגרת עבודת הדוקטורט. לפי המשפט, לא קיימת שיטה הוגנת לשקלול בחירתם של מספר מצביעים הבוחרים בין שלוש אפשרויות או יותר.

הוכחת המשפט

נניח כי אנו משתמשים בשיטה לשקלול העדפות שעומדת בשני התנאים הראשונים, ונוכיח כי קיים בה דיקטטור. את המשפט נוכיח באמצעות שני משפטי עזר.

משפט העזר השני

המשפט: קיים פרט  שבחתך מסוים יכול לשנות את הצבעתו כך שאפשרות  תעלה מתחתית סדר ההעדפות החברתי לראש סדר ההעדפות החברתי.
הוכחה: נבנה חתך העדפות שבו כל פרט מציב את אפשרות  בתחתית סדר ההעדפות. נמספר את הפרטים בקבוצה. כעת נבחן את המצבים שמתקבלים כאשר כל אחד מהפרטים מעביר את  לראש סדר ההעדפות, לפי הסדר. לפני שהפרט הראשון יעשה זאת, לפי כלל הקונצנזוס,  יהיה בתחתית סדר ההעדפות החברתי. לעומת זאת, לאחר שהאחרון יעשה זאת,  יהיה בראש סדר ההעדפות החברתי. בכל שלב,  יהיה בראש או בתחתית סדר ההעדפות החברתי. לכן קיים פרט  שכאשר הוא זה שיבצע את ההעברה, הוא ישנה את מקומו של .
בהמשך ההוכחה, נקרא לחתך ההעדפות שהיה לפני ההעברה של  בשם חתך I, ולחתך ההעדפות שנוצר בעקבות ההעברה - חתך II.

השלמת ההוכחה

ראשית, נראה שעבור שתי אפשרויות שונות  שאף אחת מהן איננה , אם בסדר ההעדפות של  מתקיים  - כך גם בסדר ההעדפות החברתי. לפי כלל האי-תלות, הדירוג היחסי של שתי האפשרויות בסדר ההעדפות החברתי תלוי אך ורק בדירוג היחסי שלהן אצל כל פרט. לכן, דירוג זה לא ישתנה גם אם נניח ש- נמצא בראש סדר ההעדפות של כל פרט לפני , בתחתית סדר ההעדפות של כל פרט אחרי , ואצלו עצמו נמצא בין  ל-, כלומר: .
אם נבחן את הדירוג היחסי של , נראה שאצל כל פרט הוא זהה לדירוג היחסי ביניהם בחתך I, ולכן בסדר ההעדפות החברתי , כפי שקורה בחתך I.
אם נבחן את הדירוג היחסי של , נראה שאצל כל פרט הוא זהה לדירוג היחסי ביניהם בחתך II, ולכן בסדר ההעדפות החברתי , כפי שקורה בחתך II.
מכאן, .
כעת, נראה שעבור כל אפשרות  שאיננה , הדירוג היחסי בינה לבין  בסדר ההעדפות החברתי זהה לדירוג היחסי ביניהן בסדר ההעדפות של . על פי משפט העזר השני, נמצא את , עבור  כלשהו שאיננו  או . הוא קובע לבדו את הדירוג היחסי של כל שתי אפשרויות  שאף אחת מהן איננה , לרבות האפשרויות . אך מכיוון שבהוכחת משפט העזר השני ראינו כיצד בחתך מסוים הדירוג היחסי בין שתי אפשרויות אלה משתנה כאשר רק  משנה את העדפותיו, נובע מכך: .
מכאן נובע, כי  הוא דיקטטור.

מגבלות המשפט

על אף ניסוחו הקיצוני של המשפט, יש לשים לב למגבלותיו. המגבלה העיקרית של המשפט היא שההגדרה הפורמלית ל"הוגנות" שבה משתמש המשפט, לא מתלכדת עם מה שמקובל להגדיר כ"הוגן" בשפה הטבעית. הסיבה העיקרית לכך היא ההגדרה של "שיטה לשקלול העדפות". על פי הגדרה זו, שיטה משקללת את סדר ההעדפות החברתי אך ורק על סמך סדר ההעדפות של כל פרט, ומתעלמת מפרמטרים נוספים. אחד הפרמטרים האלה, למשל, הוא מידת ההעדפה.
אם על שני חברים לבחור אם לקנות לארוחה גבינה או סלט, כאשר אחד מהם מעדיף לקנות גבינה בגלל טעמה (אך מוכן לאכול גם סלט), ואילו האחר אלרגי לחלב ולא יכול לאכול גבינה כלל, רובנו היינו מגדירים התחשבות יתרה בחבר האלרגי כהוגנת. עם זאת, שיטה שמתחשבת במידה שבה הוא מעדיף סלט על גבינה לא עונה על ההגדרה הפורמלית של "שיטה הוגנת", ולמעשה איננה נחשבת כלל לשיטה לשקלול העדפות.
באופן דומה, שיטה לשקלול העדפות של פרט עשויה להתחשב בסדר העדפותיו לפי כל קריטריון, אך לא במידת ההעדפה. בדוגמה שהוצגה לעיל - קניית מכונית - השיטה יכולה להתחשב בכך שמכונית אחת יקרה יותר מחברתה, אך לא בהפרש בין המחירים. מאחר שכל שיטה מעשית לשקלול הנתונים כן תתחשב במחירים עצמם ובהפרש ביניהם, למשפט אין בהקשר זה השלכות מעשיות.
שיטות שקלול שמתבססות על מתן נקודות לאפשרויות ייחשבו לרוב כשיטות הוגנות, אף על פי שאינן עונות להגדרה של "שיטה הוגנת". על כן, משפט ארו לא חל לגביהן.