קבוצה קומפקטית

בטופולוגיה, קבוצה קומפקטית היא תת-קבוצה של מרחב טופולוגי, המקיימת את התכונה הבאה: מכל כיסוי פתוח של הקבוצה, אפשר לשלוף תת-כיסוי סופי (ראו ההגדרות להלן). אם המרחב הטופולוגי כולו מקיים את התכונה הזו, הוא נקרא מרחב קומפקטי, ולעיתים קומפקט. 
אינטואיטיבית, ניתן להבין את מושג הקומפקטיות כיכולת למדוד קבוצה בעזרת קבוצות פתוחות. על מנת שקבוצה תהיה ניתנת למדידה, צריך לכסות אותה בעזרת מספר סופי של בדידים בדיוק כמו שמודדים מרחק ע״י חישוב מספר הבדידים באורך מטר שנכנסים בתוך הקטע הנמדד. לכל כיסוי יש אין סוף בדידים או קבוצות פתוחות, על מנת להצליח למדוד את הקבוצה עלינו לבחור מתוכם מספר סופי של בדידים ולכסות את הקבוצה. יכולת המדידה נבחנת ביכולת לכסות את הקבוצה לכל אין סוף סוגים של בדידים נתונים במספר סופי של בדידים.
מושג הקומפקטיות מכליל תכונות טובות של קטעים סגורים וחסומים על הישר הממשי, כדוגמת הקטע . כדי להגדיר במלואו את מושג ה'קטע' מן הישר הממשי למרחבים כלליים יותר, נזקקים למבנה העדין של הישר הממשי, המתבטא ביחס הסדר ובמטריקה, ואלו בדרך כלל אינם זמינים. עם זאת, מתברר שתכונות רבות של הקטעים הסגורים נובעות ישירות מכך שאם מכסים קטע סגור בקטעים פתוחים, אפשר להסתפק במספר סופי של קטעים מבין אלה המשתתפים בכיסוי. לקטעים פתוחים יש אפיון טופולוגי פשוט: הם מהווים קבוצות פתוחות, ולכן אפשר להכליל את תכונת הכיסויים בקלות.
קומפקטיות היא תכונה בעלת חשיבות יסודית באנליזה מתמטית, משום שמשפטים חשובים הנוגעים לפונקציות רציפות בקטע סגור, כגון משפט קנטור על רציפות במידה שווה ומשפטי ויירשטראס, תקפים גם עבור פונקציות ממשיות שהן רציפות בקבוצה קומפקטית. 
במרחב מטרי, כל קבוצה קומפקטית היא סגורה וחסומה. משפט היינה-בורל קובע שבמרחבים האוקלידיים , גם ההפך נכון: כל קבוצה סגורה וחסומה במרחב כזה היא קומפקטית.

היסטוריה

מושג הקומפקטיות הופיע בצורה מפורשת רק בתחילת המאה העשרים, אך ניצניו מצויים בהתפתחויות עיקריות באנליזה המתמטית מתחילת הרבע האחרון של המאה התשע-עשרה. ב-1817 אפיין בולצאנו את תכונת החסם העליון של הממשיים, שעל בסיסה הוכיח ויירשטראס ב-1877 את משפט בולצאנו-ויירשטראס: קבוצה בממשיים כוללת גבול לכל סדרה אם ורק אם היא סגורה וחסומה. במקביל לגישה זו שחקרה את הממשיים באמצעות סדרות, התפתחה גישה הלומדת אותם באמצעות קטעים פתוחים. ב-1872 הוכיח אדוארד היינה (1821-1881) שפונקציה רציפה בקטע סגור היא רציפה במידה שווה (דיריכלה הוכיח זאת כבר ב-1852, אלא שהגרסה שלו לא פורסמה עד 1904). בהמשך לעבודתו של היינה, הראה ארמנד בורל בעבודת הדוקטורט שלו ב-1894 שקטע סגור בממשיים הוא, במונחים מודרניים, קומפקטי. מושג הרציפות במידה שווה עמד ביסוד משפט ארצלה-אסקולי (1883 ו-1893) על התכנסות במידה שווה של סדרות של פונקציות רציפות.
מוריס פרשה היה זה שזיהה את החשיבות של הקומפקטיות כמושג עצמאי, ואף טבע את המונח ב-1906, כשהוא מגדיר מה שידוע היום כקומפקטיות יחסית (לקבוצה יש סגור קומפקטי). את ההגדרה המקובלת היום טבעו פבל אלכסנדרוב ופבל סמואילוביץ' אוריסון ב-1923 (בתחילה בשם "בי-קומפקטיות"). בורבקי (בשנות הארבעים) כינה מרחבים קומפקטיים בשם קוואזי-קומפקטיים, כשהוא שומר את המונח עצמו למרחבים קומפקטיים האוסדורף.

כיסויים וקומפקטיות

כיסוי פתוח של קבוצה K במרחב טופולוגי הוא אוסף של קבוצות פתוחות, שהקבוצה K מוכלת באיחוד שלהן. במלים אחרות, כל נקודה של K שייכת לאחת הקבוצות באוסף. אם אוסף קטן יותר מהווה כיסוי של אותה קבוצה K, הוא נקרא תת כיסוי. 
קבוצה קומפקטית היא קבוצה בעלת התכונה הבאה: לכל כיסוי פתוח של הקבוצה, קיים תת-כיסוי סופי. לדוגמה, כל קבוצה סופית היא קומפקטית, ובמידת מה אפשר לחשוב על הקומפקטיות כעל הכללה טופולוגית של מושג הסופיות; הקבוצות הקומפקטיות הן 'הקבוצות הקטנות' של המרחב הטופולוגי. אם המרחב הטופולוגי כולו מקיים את התכונה הזו, הוא נקרא מרחב קומפקטי. 
בעזרת הדואליות בין קבוצות פתוחות וקבוצות סגורות, אפשר לנסח את תכונת הקומפקטיות גם באופן הבא: במרחב קומפקטי, אם אוסף של קבוצות סגורות מקיים את תכונת החיתוך הסופי (החיתוך של כל מספר סופי של קבוצות מהמשפחה אינו ריק), אז גם החיתוך של המשפחה כולה אינו ריק.
בספרים אחדים (במיוחד בתחום הגאומטריה האלגברית) מייעדים את התואר 'קומפקטי' רק למרחבי האוסדורף, אולם זוהי הגדרה פחות מקובלת של המושג. בספרים אלו מרחב שהוא קומפקטי ואינו האוסדורף נקרא קוואזי-קומפקטי.

תכונת לינדלוף וקומפקטיות מנייתית

אפשר לפרק את תכונת הקומפקטיות לשני מרכיבים חלשים יותר. קבוצה מקיימת את תכונת לינדלוף אם לכל כיסוי אינסופי שלה יש תת-כיסוי בן מנייה; וקבוצה נקראת קומפקטית מנייתית אם לכל כיסוי בן מנייה שלה, יש תת-כיסוי סופי. כמובן, קבוצה קומפקטית מקיימת את שתי התכונות האלה. באופן יותר כללי, בהינתן מונה k, נאמר שמרחב טופולוגי הוא k-קומפקטי אם לכל כיסוי פתוח שלו יש תת-כיסוי שעוצמתו קטנה ממש מ k.

קומפקטיות סדרתית

אחת התכונות החשובות של קבוצות קומפקטיות במרחבים מטריים מתוארת במשפט בולצאנו-ויירשטראס: לכל סדרה בקבוצה קומפקטית יש תת-סדרה מתכנסת המתכנסת לנקודה בקבוצה. קבוצה המקיימת תכונה זו היא קומפקטית סדרתית. במרחב מטרי התכונה שקולה לקומפקטיות, אבל במרחבים טופולוגיים כלליים אלו שתי תכונות שונות, שאינן בהכרח גוררות זו את זו. במרחבים המקיימים את תכונת המניה הראשונה, קומפקטיות סדרתית שקולה לקומפקטיות מנייתית.
מכיוון שמרחב מטרי קומפקטי הוא קומפקטי סדרתית, כל מרחב כזה הוא שלם (שהרי סדרת קושי שיש לה תת-סדרה מתכנסת, היא בעצמה סדרה מתכנסת).

סיגמא-קומפקטיות

מרחב שהוא איחוד סדרה בת מניה של קבוצות קומפקטיות נקרא סיגמא-קומפקטי. מרחב מקיים את תכונת מנגר אם לכל סדרה של כיסויים פתוחים שלו, אפשר לבחור תת-קבוצה סופית מכל כיסוי, כך שאיחוד כל הקבוצות שנבחרו מכסה את המרחב. עבור מרחבים מטריים, תכונה זו שקולה לכך שלכל בסיס של המרחב יש תת-כיסוי בן-מניה עם קוטר השואף לאפס. מרחב מקיים את תכונת הורביץ' אם לכל סדרה של כיסויים פתוחים שלו אפשר לבחור תת-קבוצה סופית F_n מכל כיסוי, כך שכל נקודה במרחב מכוסה על ידי איחוד הקבוצות בכמעט כל F_n.
כל מרחב סיגמא-קומפקטי מקיים את תכונת הורביץ'; כל מרחב הורביץ' מקיים את תכונת מנגר (ההפך אינו נכון אפילו בישר הממשי - חבר ופול, 2002); כל מרחב מנגר הוא בפרט לינדלוף. מרחב בייר הוא לינדלוף אבל אינו מנגר. כל "קבוצת לוזין" היא מנגר אבל לא סיגמא-קומפקטית, וקבוצות לוזין קיימות תחת השערת הרצף. (קבוצת לוזין היא תת-קבוצה של הישר הממשי, שאינה בת-מניה, אבל החיתוך שלה עם כל קבוצה דקה הוא בן-מניה לכל היותר).

תכונות שקולות לקומפקטיות

מרחב  הוא קומפקטי אם ורק אם לכל חיתוך כלשהו של סגורות  קיים חיתוך סופי שהוא ריק. עובדה זו נובעת מן ההגדרה.
שקילות להתכנסות על מסננים. תחת אקסיומת הבחירה קיימים  על מסננים, ואז מתקיים כי המרחב  קומפקטי אם ורק אם כל על מסנן  מתכנס.
הוכחה. בכיוון אחד, נניח כי X קומפקטי ויהא F על מסנן. נסמן ב S את החיתוך של כל הקבוצות הסגורות ב F. בגלל קומפקטיות S אינו ריק (שהרי אם היה ריק אזי היה חיתוך סופי ריק                     בסתירה להגדרת מסנן). ולכן קיים איבר x בחיתוך. כעת ברור כי x הוא גבול של F כי כל סביבה פתוחה שלו שייכת ל F (שאם לא כך, יש סביבה U פתוחה שלא ב F אבל אז המשלים שלה ב F כי F על מסנן והמשלים שלה סגור ולכן x שייך אליו בסתירה לכך שהוא ב U).
בכיוון שני, נניח כי כל על מסנן מתכנס ונוכיח כי המרחב קומפקטי. יהיו  סגורות כך שכל חיתוך סופי שלהם לא ריק ונראה שהחיתוך של כולם גם לא ריק. אכן, כיוון שכל חיתוך סופי שלהם לא ריק אזי קיים מסנן ולכן על מסנן F שמכיל את  שלפי הנתון קיים לו גבול x. כעת, x בחיתוך של כולם כי אחרת קיימת  ש x לא שייך אליה אזי המשלים של  שנסמנו U הוא סביבה פתוחה של x שינו מכיל באף קבוצה של F  (שהרי החיתוך עם  ריק + תכונת מסנן). סתירה.