וקטור לפלס-רונגה-לנץ

מבוא

בכל בעיית תנועה של גוף בהשפעת כוח מרכזי משמר, קיימים לפחות 4 קבועי תנועה: האנרגיה E ושלושת רכיבי וקטור התנע הזוויתי L. תנועת הגוף מוגבלת למישור הניצב לווקטור התנע הזוויתי. וקטור התנע p והווקטור המחבר בין הגוף ומרכז הכוח r נמצאים תמיד במישור זה.
גם וקטור לנץ, מוכל תמיד במישור התנועה, וזאת לכל כוח מרכזי. אולם, ברוב המקרים וקטור זה אינו קבוע. וקטור לנץ הוא קבוע אך ורק עבור כוח ריבועי הפוך (כוח שעוצמתו יורדת לפי ריבוע המרחק), ועבור כוחות אחרים הן גודלו של הווקטור והן כיוונו משתנים עם הזמן. עבור כוח שהוא בקירוב כוח ריבועי הפוך, גודלו של וקטור לנץ בקירוב נשמר והוא מסתובב באיטיות. ניתן להכליל את הגדרת וקטור לנץ על מנת לקבל וקטור שמור עבור כוחות מרכזיים אחרים, אולם וקטורים מוכללים אלו הם מסובכים ביותר ולרוב לא ניתן לכותבם בצורה מפורשת.

היסטוריה

למרות היותו של וקטור לנץ שימושי בבעיית קפלר, הוא היה פחות מוכר בקרב פיזיקאים יחסית לווקטורים שמשמעותם אינטואיטיבית יותר, כגון וקטור המיקום r או התנע p. כתוצאה מכך הוא "התגלה" מספר פעמים על ידי פיזיקאים שונים באופן בלתי תלוי.
הראשון שהראה שגודלו של הווקטור A נשמר עבור בעיית קפלר היה המתמטיקאי יאקוב הרמן (1710). הוא אף קישר בין גודל זה לבין אקסצנטריות המסלול. מאוחר יותר באותה שנה, הכליל יוהאן ברנולי את עבודתו של הרמן והראה כי גם כיוונו של הווקטור נשמר. בסוף המאה ה-18 (1799) גילה מחדש לפלס כי A נשמר. לפלס עשה זאת תוך שימוש בשיטות אנליטיות, להבדיל משיטות גאומטריות בהן השתמשו הרמן וברנולי. באמצע המאה ה-19 (1847) פיתח המילטון את וקטור האקסצנטריות (השקול לווקטור A), והראה בעזרתו כי בבעיית קפלר וקטור התנע p נע על פני מעגל. בתחילת המאה ה-20 (1901) קיבל גיבס את אותו וקטור על ידי שימוש באנליזה וקטורית. פיתוח זה של גיבס הופיע כדוגמה בספר לימוד בנושא אנליזה וקטורית של רונגה (1919).
הספר של רונגה צוטט על ידי לנץ במאמר שעסק בניתוח אטום המימן במסגרת "תורת הקוונטים הישנה" (1924). מעט מאוחר יותר (1926) השתמש פאולי בווקטור על מנת לקבל את ספקטרום האנרגיה של אטום המימן במסגרת "תורת הקוונטים החדשה". פאולי עשה זאת תוך שימוש בשיטות אלגבריות ולא הסתמך על משוואת שרדינגר. בעקבות המאמרים הנ"ל, נכנס הווקטור לתודעת קהיליית הפיזיקאים כ"וקטור רונגה-לנץ". בשנות ה-70, בעקבות מחקריו של הרברט גולדשטיין על ההיסטוריה של הווקטור, הוסף גם שמו של לפלס לשם הווקטור.

פתרון בעיית קפלר בעזרת וקטור לנץ

בעזרת שימוש בווקטור לנץ ניתן לקבל את צורת המסלול בבעיית קפלר באופן הבא. נתבונן במכפלה הסקלרית  (θ היא הזווית בין הווקטורים A  ו-r [ציור 2]). מתקיים:

חישוב המכפלה המשולשת נותן:
כלומר קיבלנו כי:

ולאחר ארגון מחדש של האיברים, נקבל משוואה עבור המסלול  :
זו משוואה של חתך קוני עם אקסצנטריות .
את A ניתן להביע בעזרת האנרגיה  והתנע הזוויתי L. על ידי חישוב המכפלה הסקלרית של A עם עצמו מתקבל:
וכך ניתן להביע את פתרון בעיית קפלר בעזרת תנאי ההתחלה (האנרגיה והתנע הזוויתי)

לניתוח הפתרון שהתקבל ראו בעיית קפלר וחוקי קפלר.

התנהגות וקטור התנע בבעיית קפלר

על ידי שימוש בעובדה כי וקטור לנץ ווקטור התנע הזוויתי נשמרים בבעיית קפלר, ניתן להראות כי וקטור התנע (או לחלופין וקטור המהירות) נע על גבי מעגל. חישוב המכפלה הווקטורית של L ו-A מניב משוואה עבור וקטור התנע:
נקבע מערכת צירים בה ציר z בכיוון L וציר x  בכיוון A, ונקבל כי מתקיים:
כלומר וקטור התנע נע על פני מעגל ברדיוס mk/L שמרכזו ב-(0, A/L) [ציור 3].

קבועי תנועה וסופראינטגביליות בבעיית קפלר

בבעיית קפלר קיימים שבעה קבועי תנועה (גדלים שמורים): האנרגיה E, שלושת רכיבי התנע הזוויתי L ושלושת רכיבי וקטור לנץ A. קיימים שני קשרים בין הגדלים הנ"ל -  A · L = 0 ו- A² = m²k² + 2 m E L², כך שבסך הכל ישנם חמישה קבועי תנועה בלתי תלויים.