L (תורת הקבוצות)

בתורת הקבוצות, L או אוסף הקבוצות הניתנות לבנייה הוא מחלקה של קבוצות שבנויות באופן אינדוקטיבי בצורה מפורשת יחסית מתוך קבוצות פשוטות יותר. איברי L נקראים הקבוצות הניתנות לבנייה. L הוגדר על ידי קורט גדל בשנת 1935, שהוכיח כי הוא מודל של אקסיומת הבחירה והשערת הרצף‏.
האקסיומה V=L אומרת שכל קבוצה ניתנת לבנייה.

V=L

האקסיומה V=L או אקסיומת הבנייה, גורסת כי המחלקה L מכילה את כל הקבוצות. אקסיומה זו הוצעה על ידי גדל, שהראה גם כי היא עקבית מתוך ZF, כיוון שהמחלקה L עצמה מקיימת אותה. טענה זו משתמשת באבסולוטיות של השייכות ל-L (למשל במחלקה לא אבסולוטית כמו מחלקת הקבוצות הגדירות מתוך סודרים - OD, ייתכן שקבוצה תהיה גדירה מתוך סודרים בעולם V ולא גדירה מתוך סודרים במחלקה OD).
כמו שמתואר בסעיפים הבאים, אקסיומה זו גוררת את אקסיומת הבחירה במובן חזק (קיים סדר טוב גלובלי), ואת השערת הרצף המוכללת.

תכונות

אפשר להגדיר באינדוקציה התאמה חח"ע ועל בין L_\alpha ל-\alpha עבור כל סודר אינסופי, כלומר |L_\alpha| = |\alpha|.
הקבוצה L_\omega היא אוסף כל הקבוצות הסופיות תורשתית (כלומר הקבוצות הסופיות שגם איבריהן סופיים ואיברי-איבריהן סופיים וכו'), כלומר L_\omega = V_\omega. החל משם ההיררכיות מתפצלות (גם אם V=L), משיקולי עוצמה.

L הוא מודל של ZFC

כל סודר מקיים \alpha \in L_{\alpha + 1}, ולכן המחלקה L מכילה את כל הסודרים. בנוסף, אם המודל ההתחלתי V קיים את ZF אז גם L מקיים את ZF:
למשל, כדי להראות כי הוא מקיים את אקסיומת ההחלפה יש להשתמש בעקרון ההשתקפות (שנכון בכל בנייה מהצורה הזו): כל טענה (מסדר ראשון) שמתקיימת ב-L מתקיימת כבר ב-L_\alpha. לכן, אם נוסחה מגדירה פונקציה - עובדה זו מתקיימת כבר בתחילית כלשהי של L, ונוסיף את הקבוצה הרצויה ל-L בשלב הבא לאחר התחילית הזו.
הבנייה המפורשת של איברי L מאפשרת להגדיר סדר טוב על כל איבריו על ידי נוסחה קבועה (ראו בהמשך).
אפשר להוכיח כי L הוא אבסולוטי בין כל זוג מודלים של ZF בעלי אותם סודרים (כלומר כל קבוצה ששייכת ל-L במודל אחד בהכרח נמצאת גם במודל השני ושייכת ל-L שם). לכן, L הוא המודל המינימלי של תורת הקבוצות - כל מודל של ZF מכיל אותו. למעשה, שייכות ל-L והסדר הטוב עליו הם אבסולוטיים גם בין זוגות מודלים שמקיימים מעט מאוד אקסיומות של ZF, מה שמאפשר בניות קומבינטריות רבות ב-L.

השערת הרצף המוכללת ב-L

אם V=L, אז לכל סודר \alpha מתקיים כי קבוצת החזקה שלו נוצרת בשלב המינימלי האפשרי: \mathcal{P}(\alpha)\subset L_{\alpha^{+}}, כאשר \alpha^{+} הוא המונה הראשון שגדול ממש מ-\alpha.
ההוכחה לתכונה הזו משתמשת בעובדה שקיימת נוסחה בשפה של תורת הקבוצות שכל מודל שמקיים אותה איזומורפי ל-L_\gamma עבור סודר מסוים או שהוא שווה לכל L. נוסחה זו מורכבת מהטענה "כל קבוצה ניתנת לבנייה" יחד עם האקסיומות הנחוצות לאבסולוטיות של השייכות ל-L. נניח X \subset \alpha, X \in L_\eta, כאשר \alpha < \eta והנוסחה שתוארה קודם מתקיימת ב-L_\eta.
ניקח תת-מודל אלמנטרי של L_\eta, בשפה בגודל |\alpha| שמכילה קבוע עבור כל סודר קטן מ-\alpha וקבוע עבור X, בגודל |\alpha|. זה אפשרי לפי משפט סקולם-לוונהיים. מודל זה יהיה איזומורפי ל-L_\gamma, |\gamma| = |\alpha|, והאיזומורפיזם ישמר את כל הסודרים מתחת ל-\alpha. לכן X נמצאת כבר בשלב ה-\gamma של הבנייה של L.
בניות דומות ומורכבות יותר משמשות להוכחת תכונות קומבינטוריות רבות בתוך L.

קונסטרקטביליות יחסית

ניתן להכליל את ההגדרה של L כך שתכלול קבוצה לא ניתנת לבנייה ספציפית, או שמהלך הבנייה יושפע ממנה. הכללות אלו משמשות לבניית מודלים מינימליים (בדומה ל-L), שעדיין מכילים אובייקט מורכב יותר, לא ניתן לבנייה.
נניח כי אנחנו רוצים "להוסיף" את הקבוצה A לעולם L. יש לנו שתי אפשרויות:
האפשרות הראשונה היא להתחיל מ-L_0(A) = tr(A) \cup \{A\} - הסגור הטרנזיטיבי של A, יחד עם A כאיבר, ומשם להמשיך כמו קודם עם פעולת "קבוצת החזקה הגדירה". הסגור הטרנזיטיבי של A הוא קבוצת כל האיברים של A יחד עם קבוצת כל איברי האיברי של A וכו'. אנו צריכים להכליל אותה כדי שאקסיומת ההיקפיות תתקיים.
מודל זה, שמסומן ב-L(A)‎, יכול להיות שונה מאוד מ-L. למשל, ייתכן שלא מתקיימת בו אקסיומת הבחירה.
האפשרות השנייה היא להוסיף את A כסימן יחס (חד מקומי) לשפה שלנו, ובהתאם לשנות את מושג הגדירות לגדירות בשפה המורחבת. המודל המתקבל באופן הזה מסומן ב-L[A]‎. בניגוד לבנייה הקודמת, במודל הזה מתקיימת אקסיומת הבחירה, והחל ממונה מספיק גדול - גם השערת הרצף. מצד שני, ייתכן ש-A \notin L[A].
בנייה זו משמשת להגדרת המודל המינימלי של מונה מדיד - זהו L[U] כאשר U הוא על-המסנן המתאים למידה.