משוואה ממעלה שלישית

משוואה ממעלה שלישית או משוואה מעוקבת היא משוואה מהצורה:
כאשר  הם מקדמים בשדה נתון (למשל, המספרים הרציונליים). אם השדה ממאפיין שונה מ-3, אפשר להציב  ולקבל משוואה ממעלה שלישית שבה המקדם של  הוא אפס.

דוגמה ראשונה

נפתור את המשוואה:
.
כדי להיפטר מן המקדם של , נציב , כלומר . המשוואה הופכת להיות:
.
נכתוב , כאשר , והמשוואה תהפוך ל-
זוהי משוואה ריבועית, שהפתרונות שלה הם .
למעשה, כיוון שהתפקידים של  ו-  סימטריים מלכתחילה, אפשר לבחור אחד מן השורשים ולהניח ש- 
(ואז ).
כעת, לכל אחד משלושת הערכים (המרוכבים) של  
יש לחשב את ,
ומתקבל פתרון  של המשוואה.
הביטויים המתקבלים אמנם מסובכים למדי; על ידי השוואת נורמות, אפשר לגלות שעד-כדי כפל בשורש שלישי של היחידה, . מכאן יוצא ששלושת הפתרונות למשוואה שלנו הם  (ולמשוואה המקורית ).

דוגמה שנייה

מצא את שורשי המשוואה:
 .
פתרון:
כזכור, משוואה כללית ממעלה שלישית מוגדרת באופן הבא (משוואה מספר (1)) :
(1)  .
מקדמי המשוואה הזו הם:
 .
משוואה (1) מצטמצמת לכדי משוואה (2) (משוואה מְנוּוֵנֶת ממעלה שלישית) :
(2)  . כעת עלינו למצוא את המקדמים  ו- :
, על כן: 
 ,
ו- , על כן:
 .
כעת, המשוואה נראית כך:
, כאשר: 
 .
מכיוון שהגדרנו:  (משוואה (12)), נקבל: 
 .
נציב במשוואה (10), המוגדרת, כזכור, באופן כללי כך:  את ערכיהם של  ושל :
 .
כעת, נפתור את המשוואה הריבועית הזו:
 .
כלומר: 
 .
לצורך מציאת שורשי המשוואה המקורית (שורשי ), נבחר, באופן שרירותי לחלוטין, את השורש  . בחירת השורש השני, , תניב שורשים זהים  של  - לאלו של השורש הראשון שבחרנו- , כאמור לעיל. ניתן לבדוק נכונות טענה זו, באמצעות ביצוע תהליך זהה עבור השורש השני,  (התהליך יודגם רק על שורש אחד, , כאמור). 
קודם לכן הגדרנו את הקשר:  . 
מכיוון שכאמור, נפתור את המשוואה הזו, באופן שרירותי, עבור , נקבל:  . מהות השוויון האחרון תוסבר כעת:
כעת, נפתור את המשוואה הזו בצורתה הפולרית. 
לשם מעבר לצורה הפולרית של המשוואה, נעזר בנוסחת אוילר, אשר צורתה הפשוטה הנה:
לכל  ממשי, כאשר  הוא בסיס הלוגריתם הטבעי ו- הוא היחידה המדומה.
 
צורתה הכללית של המשוואה כוללת גם מקדם הכפלה, אשר כופל את צורתה הפשוטה של המשוואה: 
(3)  .
(4)  .
יש לשים לב, כי  מבוטא ביחידות של  ו-  מבוטא ביחידות של  .כזכור, אנו נשאף לעבור מהמערכת המבוטאת ב-  לזו המבוטאת ב- . 
()
(משוואה (11) בפתרון המלא של משוואה ממעלה שלישית, בסעיף הקודם).
כעת, נשווה בין משוואות (3) ו-(4) :
השוואה בין צד שמאל של משוואות (3) ו- (4):
 .
השוואה בין צד ימין של משוואות (3) ו- (4):
 .
נקבל: 
(5)  .

(6)  .

(7)  .
כיוון ש:  הן פונקציות מחזוריות, בעלות מחזור של , נוכל לכתוב את הקשר הבא:
(9) , כאשר:  .
 
( משלים מעגל שלם של , ותוצאותיו של  תחזורנה על עצמן).
נקבל:
(10.1)  .
() עבור .
(10.2)  .
() עבור .
(10.3)  .
() עבור .
נמצא את המודול של  :
(נכון לגבי כל שלושת שורשי , כלומר: ,, ) :
ממשוואה (3) נקבל את הקשר:
  .
ממשוואה (5) נקבל את הקשר:
  .
לקבלת הפתרון הכללי של , נחלץ את  ממשוואה (4) :
(4)  . השוויון האחרון נכון, בזכות משפט דה מואבר.
אבל קיבלנו קודם לכן ש:
  .
ואז: 
(10.1)  עבור 
(10.2)  עבור 
(10.3)  עבור 
מכאן ניתן לקבל את שלושת הפתרונות של  :
(11.1) 
(11.2) 
(11.3) 
המעבר הראשון  הושלם. כעת נבצע את המעבר השני .
זהו הקשר בין  (כלומר, נקודת המוצא: השורשים שקיבלנו זה עתה, במונחי ) ובין השורשים אותם אנו חפצים לקבל (נקודת היעד), במונחי  .
קיבלנו קודם לכן את הקשר:  . 
כיוון שמצאנו קודם לכן כי: , נקבל:
(12)  .
בעזרת קשר זה, נמצא כעת את ,, :
(12.1)  .
נפשט את השורש שהתקבל:
(12.2)  .
נפשט את השורש שהתקבל:
(12.3)  .
המעבר השני  הושלם. כעת נבצע את המעבר השלישי והאחרון:  :
ממשוואה (2) בסעיף הקודם ("פתרון מלא של משוואה כללית ממעלה שלישית"), נקבל את הקשר: 
(13)  .
תזכורת:  .
לכן:
(14)  .
בעזרת קשר זה, נמצא כעת את ,, :
(14.1)  .
(14.2)  .
(14.3)  .
אלו הם שלושת שורשי המשוואה המקורית, שהיה עלינו למצאם () .
בדיקת נכונות הפתרונות (שורשים) שקיבלנו:
על השורשים לקיים את התנאי הבא, זוהי האינדיקציה לנכונות הפתרון:
(15)  .
כלומר, אם נציב את ,, שקיבלנו- בצדה השמאלי של משוואה (15) - נקבל את המשוואה המקורית, הנמצאת בצדה הימני של משוואה (15) :
       (לאחר פתיחת הסוגריים ופישוט המשוואה).
מ.ש.ל.
תזכורת: הפתרון הסתמך על בחירה שרירותית של השורש:  . בחירת השורש השני,  - תניב שורשים זהים לחלוטין של  בסופו של התהליך- לאלו שקיבלנו זה עתה.

הרחבת שדות על ידי פולינום ממעלה שלישית

חבורת גלואה של פולינום אי-פריק ממעלה שלישית היא תת-חבורה טרנזיטיבית של החבורה הסימטרית על שלושת השורשים, ולכן היא שווה לתת-החבורה  של התמורות הזוגיות, או לחבורה הסימטרית כולה. במקרה הראשון, למשוואה הריבועית שהוזכרה להלן יש שורשים בשדה (ואז נסמן K=F), ובמקרה השני פתרון המשוואה הריבועית מצריך הרחבה ריבועית K של F. בשני המקרים, הפולינום מתפרק לגורמים ליניאריים אחרי הרחבה רדיקלית מסדר 3 של השדה K.
אפשר להפריד בין שני המקרים בעזרת הדיסקרימיננטה של הפולינום, שאותה אפשר לחשב באמצעות הנוסחה . כאשר הפולינום f אי-פריק, הדיסקרימיננטה שלו היא ריבוע בשדה הבסיס, אם ורק אם ההרחבה  היא הרחבת גלואה. לעומת זאת, הדיסקרימיננטה של פולינום פריק ממעלה 3 היא ריבועית אם ורק אם הוא מתפצל לגורמים ליניאריים (משום ש-

).
בפרט, הדיסקרימיננטה קובעת כמה פתרונות יש למשוואה ממעלה שלישית מעל הממשיים: אם הדיסקרימיננטה חיובית יש שלושה פתרונות ממשיים, ואם היא שלילית יש למשוואה פתרון אחד ממשי ושניים מרוכבים (צמודים זה לזה).