חוג פולינומים

בתורת החוגים, חוג הפולינומים מעל חוג נתון, הוא חוג המרחיב את החוג הנתון על ידי הוספת משתנה חופשי (בדרך כלל מתחלף) בלתי תלוי. בחוג זה נמצאים כל הפולינומים מכל הדרגות שמקדמיהם הם איברים של החוג הנתון. בהינתן חוג , בדרך כלל מסמנים את חוג הפולינומים שלו ב-. בין חוג לחוג הפולינומים שלו יש קשר הדוק, המהווה נושא בסיסי באלגברה מופשטת ובתורת החוגים.
חוג הפולינומים הוא כלי בסיסי בנושאים רבים במתמטיקה, בפרט באלגברה קומוטטיבית, גאומטריה אלגברית, תורת המספרים האלגברית ועוד.

הגדרה

יהי  חוג נתון. ניתן להגדיר את חוג הפולינומים  בשתי הגדרות שקולות:

שקילות ההגדרות

ניתן להראות כי שתי ההגדרות הנ"ל שקולות, על ידי איזומורפיזם בין שני המבנים, הנתון על ידי 
.

דרגה

בהינתן ההגדרות הנ"ל, נגדיר פונקציה מחוג הפולינומים לתוך המספרים הטבעיים, שתתאים לכל פולינום  את המספר הטבעי המקסימלי עבורו , שיקרא הדרגה או המעלה של הפולינום, ונסמנו . לעיתים מבחינים את המקרה של פולינום האפס, ומגדירים .
הדרגה מקיימת  לכל שני פולינומים שאינם אפס, ושוויון מתקיים בתחום שלמות.

שורשים של פולינומים

בהינתן פולינום    מתוך חוג פולינומים, נאמר כי איבר  הוא שורש של הפולינום, אם . איבר  הוא שורש של פולינום אם ורק אם הפולינום  מחלק את . בפרט, במקרה זה הפולינום הוא ודאי פריק. נובע כי פולינום מדרגה 2 או 3 הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש.
טענה שימושית בדבר קיומו של שורש לפולינום מעל חוג המספרים השלמים ושדה שברים שלו (המספרים הרציונליים) היא כלהלן - אם  שורש של פולינום, אזי .בפרט, כל שורש שלם של פולינום מתוקן מחלק את המקדם החופשי שלו.

הרחבות

ניתן להרחיב חוג פולינום, ולקבל מבנה עשיר יותר בכמה דרכים.

חוגי פולינומים במספר משתנים

בהינתן חוג כלשהו, כבר ראינו איך מוסיפים לו משתנה אחד. לחוג החדש שהתקבל, אפשר להוסיף עוד משתנה, וחוזר חלילה. כלומר, ניתן ליצור חוגים בכמה משתנים בלתי תלויים. מספר המשתנים יכול להיות סופי ואינסופי. למשל, חוג פולינומים בשני משתנים מסומנים בדרך כלל ב-.
נקודה מעניינת היא הישמרות התכונות מהחוג המקורי ועד לכל חוג פולינום במספר משתנים. מהתכונות לעיל, ניתן להסיק כי חוג הוא תחום שלמות/תחום פריקות יחידה/נותרי אם ורק אם חוג הפולינומים שלו במספר סופי של משתנים בלתי תלויים הוא מקיים את התכונה בהתאמה.
תוצאה מעניינת נוספת היא שחוג פולינומים ביותר משני משתנים לעולם לא חוג אוקלידי ולא תחום ראשי, שכן חוג הפולינומים במשתנה אחד פחות (כלומר לפחות במשתנה אחד) איננו שדה.

חוג טורי טיילור

בהגדרה השנייה של חוג פולינומים דובר על סדרות עם תומך סופי, כלומר הפולינומים הם סופיים בלבד. אם נשמיט דרישה זו, נקבל את חוג טורי טיילור מעל חוג נתון, שמסומן בדרך כלל על ידי
בחוג זה ישנו עולם עשיר יותר של איברים הפיכים - כך למשל  הפיך וההפכי שלו הוא . באופן כללי, כל איבר בעל מקדם חופשי הפיך הוא הפיך.
בפרט, אם  שדה, כל איבר עם מקדם חופשי הוא הפיך, ולכן האידיאלים של החוג  הם  בלבד, ובפרט הוא תחום ראשי.

חוג טורי לורן

חוג זה מכליל אף את חוגי טורי טיילור שהוצג לעיל, ומאפשר לכלול טורים עם חזקות שליליות, כלומר מהצורה . נהוג לסמן חוג זה על ידי:
במבנה זה ניתן להגדיר פונקציה דומה לפונקציה הדרגה שהוגדרה לעיל, על ידי , כלומר זהו האיבר בעל החזקה הנמוכה ביותר שעבורו המקדם אינו אפס. פונקציה זו מקיימת תכונות דומות לאלו של הדרגה.
התכונה החשובה של חוג זה היא, שבהינתן שדה , אזי  אף הוא שדה. כלומר, זהו שדה שמכיל את חוג הפולינומים.

שדה השברים

בהינתן תחום שלמות , גם חוג הפולינומים שלו במספר סופי של משתנים הוא תחום שלמות. לכן, בהתאם לבנייה של שדה שברים של תחום שלמות, שדה השברים של חוג הפולינומים הוא
לשדה זה קוראים שדה הפונקציות הרציונליות ב- משתנים.

חוגי מנה

לחוגי מנה של חוגי פולינומים יש חשיבות רבה.
במשתנה אחד, כאמור, תחום שלמות הוא שדה אם ורק אם חוג הפולינומים שלו הוא תחום ראשי. במקרה זה, כל חוג מנה מקבל את הצורה . חוג זה הוא שדה אם ורק אם הפולינום  היוצר את האידיאל הוא אי-פריק. כך אפשר לייצר את השדות סופיים מכל סדר (שהוא חזקת ראשוני) -- אם בוחרים   שדה השאריות מודולו p, מספיק למצוא פולינום אי-פריק מסדר מסוים k, ואז חוג המנה יהיה שדה מסדר . פולינום כזה אכן קיים לכל ראשוני ולכל סדר שהוא.
בנוסף, חוגי מנה כנ"ל מהווים הרחבת שדות בה לפולינום יש שורש, והוא .
באופן כללי יותר, חוגי פולינומים במספר סופי של משתנים מעל חוג נתון הם אלגבראות.
יותר מכך, חוגי המנה שלהם כוללים את אוסף כל האלגבראות האפיניות -- בהינתן אלגברה אפינית , ההעתקה q שנתונה על ידי  היא אפימורפיזם מחוג הפולינומים ב-n משתנים לאלגברה, ולכן לפי משפט האיזומורפיזם הראשון.

מבנה כאלגברה

למבנה אלגברת הפולינומים יש תפקיד מכריע באלגברה קומוטטיבית ובגאומטריה אלגברית.
כאמור, כל אלגברה אפינית היא מנה של אלגברת פולינום. בפועל, ניתן לטעון הרבה יותר. לפי משפט הנורמליזציה של נתר, בכל אלגברה אפינית , ניתן לחלץ איברים  כך שהאיברים  מהווים בסיס טרנסצנדנטי, ו- שלם מעל , שהיא למעשה אלגברת פולינומים ב- משתנים.
אם כן, מתכונות של אלגברות פולינומים ניתן להסיק תכונות של אלגברות אפיניות. כך למשל, ניתן להוכיח שכל אידיאל מקסימלי באלגברה אפינית הוא בעל גובה כדרגת הטרנסצנדנטיות . ניתן גם להוכיח בעזרת ההבחנה הנ"ל שלכל אלגברה אפינית דרגת הטרנסצנדנטיות שווה לממד קרול שלה. לכן, הממד של יריעה אלגברית אפינית שווה לדרגת הטרנסצנדנטיות של חוג הקורדינאטות שלה.