רצועות ביוורס-ליפסון

רצועות ביוורס-ליפסון (באנגלית: Beevers-Lipson strips) היו כלי חישוב ששימשו במשך למעלה משני עשורים כאמצעי עזר חשוב בקריסטלוגרפיה לחישוב מידות תא היחידה של גבישים.

היסטוריה

קריסטלוגרפיה באמצעות קרני רנטגן, השיטה המקובלת גם כיום לפענוח מבנה של תא יחידה של גבישים, החלה ב-1912, כאשר ניסוי שיזם הפיזיקאי הגרמני מקס פון לאואה הצליח ליצור עקיפה של קרני רנטגן במעברם דרך גביש נחושת גופרתית (CuSO₄). שנה אחר כך הצליח ויליאם לורנס בראג בן ה-22 לקשור בנוסחה בין אורך הגל של קרני רנטגן למרווח שבין המישורים בסריג ולזווית הפגיעה. הנוסחה, הקרויה על שמו חוק בראג, אפשרה לראשונה לנסות לפענח מבנים של גבישים על ידי הקרנתם בקרני רנטגן וקבלת תבניות עקיפה. בהכרה על תרומתם למדע קיבלו פון לאואה ובראג את פרס נובל לפיזיקה.
אחרי מלחמת העולם הראשונה צצו מרכזים לשימוש בשיטה בגרמניה, בשווייץ, בצרפת, בארצות הברית, ובייחוד בבריטניה. ויליאם לורנס בראג הקים מרכז לקריסטלוגרפיה באוניברסיטת מנצ'סטר, אביו, ויליאם הנרי בראג, הקים מרכז במכון המלכותי בלונדון, ג'ון דזמונד ברנל - במעבדת קוונדיש, ובנוסף נעשו מחקרים בקריסטלוגרפיה באמצעות קרני רנטגן במרכזים משניים. אחד מהם הוקם ב-1934 באוניברסיטת ליברפול, שם עסקו בתחום שני חוקרים שקיבלו תואר דוקטור זמן קצר קודם כן, הנרי ליפסון וארנולד ביוורס. מכיוון שלא היה באוניברסיטה בעל ידע בתחום הם פנו תחילה לספרות מקצועית, ואחר כך נסעו למנצ'סטר על מנת להיוועץ בוויליאם לורנס בראג. בראג, ועוזרו, ו. ה. טיילור (W. H. Taylor), סייעו לשניים בידע ובעידוד.
בעודם בליברפול, ובלא מימון משמעותי, יצרו ליפסון וביוורס בעצמם את רוב ציוד המחקר שלהם. תחילה פענחו השניים את המבנים הסימטריים הפשוטים של כמה מינרלים באמצעות ניסוי וטעייה, וב-1936 ניסו לפענח את המבנה של תצורת הפנטהידריד של נחושת גופרתית (CuSO₄), שבמקרה היה אותו גביש שעבורו השיג פון לאואה את תבנית העקיפה הראשונה. אף על פי שעברו כמעט 20 מאז שהתקבלה תבנית העקיפה, לא פוענח מבנה הגביש. ראשית, הגביש היה במבנה בעל הסימטריה הנמוכה ביותר (טריקליני), ושנית, באופן יוצא דופן, כלל תא היחידה חמש מולקולות של מים (מכאן הכינוי פנטהידריד). הציוד שהיה בידם, שפופרת קרני רנטגן שייצרו בעצמם, היה פשוט, ולכן מידת הדיוק שאליו יכלו להגיע הייתה מינימלית. בכל זאת הצליחו השניים במאמץ לאתר את מיקומם של אטומי הנחושת והגופרית. להשלמת התמונה הם היו צריכים למצוא את מיקומם של אטומי החמצן.
על פי הצעתו של ביוורס נסעו השניים שוב למנצ'סטר, ותוך שימוש בספקטרומטר של בראג וביצוע חישובים מייגעים על פי טרנספורם פורייה, הצליחו השניים לחשב נקודה אחת בתא היחידה. אקסטרפולציה מהירה הראתה שיידרשו 9 חודשים לאתר את כל הנקודות. במהלך ביצוע החישובים המייגעים גילו השניים כי הם מבזבזים ימים שלמים כשהם מכפילים ערכי סינוס וקוסינוס בגורם המשרעת. בסופו של דבר הבינו השניים כי עדיף לשמור על רצועות נייר את כל טורי החישובים. תוך שימוש ברצועות שהכינו צומצם הזמן הדרוש ותוך ארבעה שבועת חישבו השניים את מיקומם כל תשעת אטומי החמצן. היה ברור שהשיטה שהכינו טובה לחישוב תא היחידה של כל סוג של גביש, ולכן דאג לורנס בראג לסדר הלוואה של 200 ליש"ט לליפסון וביוורס על מנת שידפיסו את רצועות החישובים שלהם כשהן ארוזות בקופסה. השניים הצליחו להחזיר את סכום ההלוואה במהירות מכיוון שבמהרה הפכה קופסת רצועות ביוורס-ליפסון לציוד חובה בכל מעבדת קריסטלוגרפיה. דורותי קרופוט הודג'קין סיפרה בנאום קבלת פרס נובל לכימיה כיצד רכשה ב-5 ליש"ט קופסה לאחר שקיבלה הצעה בכתב מהשניים.
בין 1948 ל-1970 נמכרו כ-500 קופסאות של רצועות ביוורס-ליפסון, כאשר במהדורה האחרונה היו בקופסה כ-4,000 רצועות. הופעת המחשב שאפשר ביצע חישובים מדויקים במהירות הבזק הפכה את רצועות ביוורס-ליפסון למיותרות.

הסבר מתמטי

חישוב ידני של טרנספורם פורייה, למשל לשם סיכום דו ממדי של 500 פריטי מידע ל-2,000 נקודות של 

דורש 10⁶ סיכומים, וזה בנוסף לחישוב הפונקציות הטריגונומטריות. תרומתם של ביוורס וליפסון לייעול התהליך הייתה כפולה. תחילה בהפשטה גדולה של החישובים על ידי פירוק לגורמים של הביטויים הטריגונומטריים, ובכך לצמצם את החישובים הדו ממדיים להרבה פחות חישובים חד ממדיים, ולספק טכניקה נוחה לביצוע החישובים – הרצועות. הפירוק לגורמים נותן 
. תוצאה זו נראית במבט ראשון כהכבדה גדולה על החישובים, אבל בקבוצת המישור הממורכזת סימטריות p2mm למשל, עם שיקופים זהים (F(h,k) = F(-h,-k) = F(-h,k) = F(h,-k, וללא הסטה של הפאזה בין פריטי מידע דומים, הצירופים של שיקופים אלו גורמים לכל הביטויים המכילים סינוס להתבטל ולהותיר: . המידע מויין על מנת לצמצם את מספר השינויים ב-h. ולכן אחרי כל קבוצה של חישובים עבור כל ky היה צריך לבצע סיכום בודד ל-hx.