תורת החבורות

תורת החבורות היא ענף של המתמטיקה (במסגרת האלגברה) העוסק בחקר המבנה האלגברי הקרוי חבורה ובפונקציות משמרות המבנה שמוגדרות עליו, הנקראות הומומורפיזמים.
חבורה היא מבנה אלגברי הכולל אוסף של איברים ופעולה מוגדרת ביניהם המקיימת מספר כללים מתמטיים.
תורת החבורות פותחה כתורה מתמטית, כזו שיש בה חשיבות לענפי מתמטיקה אחרים וכתורה העומדת בפני עצמה. במאה העשרים נמצאו לתורת החבורות שימושים נרחבים בפיזיקה ובמדעי המחשב.

היסטוריה

לתורת החבורות שלושה שורשים: חקר משוואות אלגבריות, תורת המספרים וגאומטריה. המתמטיקאים הראשונים שעסקו בתחום זה הם אוילר, גאוס, לגראנז', אבל ובפרט אווריסט גלואה. גלואה הוא הראשון שיצר זיקה בין תורת החבורות לתורת השדות, באמצעות תורה הקרויה היום תורת גלואה.
אחת הבעיות הראשונות שהובילו לתורת החבורות היא זו של יצירת משוואה ממעלה m ששורשיה הם ביטויים סימטריים בשורשים ידועים של משוואה נתונה ממעלה n (כאשר m < n). מקרים פשוטים של בעיה זו נחקרו כבר במאה ה-17. ז'וזף לואי לגרנז' למד ב-1770 את ההתנהגות של פונקציות בשורשים (כגון ) תחת החלפת שורשים זה בזה. על הקרקע הזו צמחו רעיונותיו של גלואה, יותר מ-60 שנה אחר-כך.
בשנת 1831 היה גלואה הראשון שהבין שפתרונה של משוואה אלגברית קשור למבנה של חבורת התמורות של הפתרונות של אותה משוואה. גלואה עסק כאמור בקבוצות (להן קרא "חבורות") של תמורות של שורשים של פולינום נתון. במאמר שהגיש גלואה לאקדמיה הצרפתית למדעים בתחילת 1831, ונדחה באמצע אותה שנה, הוא מגדיר חבורה כאוסף של הצבות, כלומר, החלפות של השורשים זה עם זה. זהו, בתיארוך מדויק להפליא, רגע לידתה של תורת החבורות (מעריכים שגלואה המציא את המושג, והחל לפתח את התאוריה שסביבו, במאי 1829). עבודתו של גלואה לא זכתה להכרה בחייו, והיו אלה רק ז'וזף ליוביל וקאמי ז'ורדן שהביאו את עקרונותיו למרכז הבמה המתמטית. בשנת 1846, 14 שנים לאחר מותו של גלואה, פרסם ליוביל את כתביו האניגמטיים לאחר שהשקיע חודשים אחדים בבדיקתם ופענוחם. בגרסה זו כבר נמצאת הגדרה מפורשת יותר שבה גלואה מזהה תמורות עם הצבות, וקובע במפורש את דרישת הסגירות, המאפשרת לטפל בהרכבה של תמורות. אוגוסטין לואי קושי המציא את החבורות סמוך לזמן פרסומם של הרעיונות של גלואה, בספטמבר 1845, אלא שהגרסה שלו לא הייתה בשלה.
בשנות החמישים של המאה ה-19 פיתחו את רעיונותיו של גלואה אנריקו בטי (1851) וארתור קיילי, שנתן ב-1854 את ההגדרה האקסיומטית שהפכה לסטנדרטית, והוכיח (במשפט קיילי) שהיא אינה שונה מן ההגדרה של גלואה. בשנים 1856–1858 כבר נתן ריכארד דדקינד סדרה של הרצאות על חבורות ותורת גלואה בגטינגן. ב-1870 פרסם ז'ורדן ספרו Traité des Substitutions et des Équations Algébriques, שבו סיכם את מחקריו בתחום, המבוססים על המאמרים של גלואה, ואלו היוו את היסודות לחקר תורת החבורות בעשורים הבאים.

תרומת תורת החבורות בעבר

אחד היישומים הרציניים הראשונים של תורת החבורות למדעים היה בסיווג כל המבנים האפשריים של גבישים. האטומים של גביש יוצרים שריג תלת-ממידי אחיד, והעניין המתמטי המרכזי הוא לרשום את כל חבורות הסימטריה של שריגים כאלה, כי הן מראות את הסימטריות של הגביש ביעילות. בשנת 1891, המתמטיקאי הרוסי יבגראף פיודורוב (Fedorov) והמתמטיקאי הגרמני ארתור שניפליס הוכיחו שקיימות בדיוק 230 חבורות סימטריה של גבישים במרחב. חוקר אנגלי נוסף בשם ויליאם בארלו (Barlow) הכין רשימה דומה, אך לא מלאה. שיטה מודרנית לאיתור המבנה של מולקולות ביולוגיות כגון חלבונים, נשענת על העברת קרני-X דרך הגביש הנוצר על ידי המולקולה והתבוננות בדפוסי השבירה של הקרניים. חשוב לדעת את הסימטריות של הגביש כדי להסיק מהן על מבנה המולקולה הנחקרת. אותו דבר נכון לגבי ניתוח פורייה.

תחומי המחקר

במסגרת תורת החבורות נחקרים חבורות למחצה וגרופואידים; חבורות סופיות (ראו לדוגמה משפט המיון), ובפרט חבורות תמורות וחבורות p; תורת ההצגות (בעיקר של חבורות סופיות או של חבורות קומפקטיות מקומית); חבורות אבליות אינסופיות (במסגרת תורת המודולים); חבורות ליניאריות, ובפרט חבורות לי והסריגים שלהן, ובכללם חבורות אריתמטיות. יוצרים ויחסים נחקרים במסגרת תורת החבורות הקומבינטורית. בתורת החבורות הגאומטרית הרעיון המרכזי הוא המרת חבורה נוצרת סופית בגרף קיילי שלה (ביחס לקבוצת יוצרים סופית כלשהי), שעליו מוגדרת מטריקה טבעית, וחקירת התכונות בקנה-מידה גדול של מרחב זה, שהן התכונות שאינן תלויות בבחירת קבוצת היוצרים.
לתורת החבורות קשרים הדוקים עם תחומים מרכזיים אחרים במתמטיקה, וביניהם גאומטריה (ראו פעולת חבורה על קבוצה וריצוף), טופולוגיה אלגברית, קומבינטוריקה ואריתמטיקה, וגם עם ענפים שונים של הפיזיקה והכימיה.