יריעה

במתמטיקה, יריעה היא מרחב מתמטי מופשט אשר במבט מקרוב (מבט מקומי) דומה למרחב בעל גאומטריה אוקלידית, אך במבט כולל הוא בעל תכונות מורכבות יותר.
שטח פני כדור הארץ הוא דוגמה ליריעה; מקרוב הוא נראה שטוח אך במבט כולל מתגלה צורתו הכדורית. היריעות מתאפיינות בעיקר בעובדה שניתן לפרק אותן למספר אזורים שכל אחד מהם הוא בעצם קבוצה במרחב האוקלידי שנמתחה או כווצה. אף על פי שבאופן מקומי היריעה דומה למרחב אוקלידי התכונות הכלליות שלה יכולות להיות מאוד מפתיעות. לדוגמה, בעוד שבמישור האוקלידי סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות, על פני כדור (שדומה למישור באופן מקומי) ניתן למצוא משולשים עם שלוש זוויות ישרות.

אטלסים ומפות

כאשר עוסקים במבנים טופולוגיים מורכבים, הרבה פעמים נוח לבחון רק חלקים קטנים שלהם, ששם מתקיימות תכונות מעניינות (קומפקטיות מקומית, קשירות מקומית ועוד), ומהסביבות האלו להסיק לגבי תכונות המרחב כולו. מקרה מיוחד, הוא כאשר הסביבות האלו נראות כמו מרחב טופולוגי מוכר אחר- מרחב וקטורי מעל הממשיים למשל. במקרה כזה אפשר "למפות" את המרחב על ידי קבוצה גדולה (ואפילו אינסופית) של חלקים ממנו שכל אחד מהם נראה כמו המרחב הטופולוגי המוכר (כלומר הומאומורפי אליו). כל אחד מהחלקים האלו, יחד עם ההומאומורפיזם שלו למרחב המדובר, נקרא מפה, ואוסף כל המפות נקרא אטלס. מקרה חשוב במיוחד הוא כאשר המרחב הטופולוגי שאליו משוים את החלקים של המרחב המקורי הוא המרחב האוקלידי מממד מסוים. במקרה הזה המבנה נקרא יריעה, וממד היריעה נקבע להיות ממד המרחב האוקלידי שאליו היריעה הומאומורפית באופן מקומי. כיוון ששני מרחבים אוקלידים הן הומאומורפיים אם ורק אם יש להם את אותו ממד- ממד היריעה נקבע באופן יחיד.
מקרה חשוב נוסף הוא כאשר המרחב הטופולוגי שאליו משווים חלקים של המרחב המקורי הוא מרחב וקטורי מממד סופי מעל שדה המספרים המרוכבים. במקרה הזה היריעה נקראת יריעה מרוכבת וממדה הוא ממד המרחב הווקטורי שאליו היא מושווית. כל יריעה מרוכבת מממד n היא גם יריעה ממשית רגילה מממד 2n.

הגדרה פורמלית

מרחב טופולוגי M נקרא יריעה טופולוגית אם הוא מרחב האוסדורף, מקיים את אקסיומת המנייה השנייה וקיים לו כיסוי פתוח 
 (כאשר  קבוצת אינדקסים) כך שכל  הומיאומורפי לקבוצה פתוחה , .
פונקציית ההומאומורפיזם בין  ל-  מסומנת ב- . 

קל לראות שלכל  הפונקציה
 שהיא פונקציה מ-  לעצמו היא פונקציה רציפה (בתחום שבו ההרכבה מוגדרת). הזוג  נקרא מפה ואוסף כל המפות נקרא אטלס. לכל ,  כאשר  היא פונקציה חד חד ערכית מ-M אל .
הפונקציות  נקראות קואורדינטות מקומיות של M. 
למעשה התנאי ההכרחי לגבי רציפות ההרכבות הוא כמעט מספיק. כלומר בהינתן קבוצה M שמכוסה על ידי אוסף  בן מנייה, כך שלכל  קיימת פונקציה חד-חד-ערכית ועל  שמעבירה את  לקבוצה פתוחה ב- , אז ניתן לבנות על M מבנה של יריעה טופולוגית אם כל הפונקציות  הן פונקציות רציפות (בתחום שבו ההרכבה מוגדרת), כפונקציות מ-  לעצמו. הבניה מתבצעת בשיטת הטופולוגיה החלשה על ידי הגדרת בסיס הטופולוגיה כאוסף כל ההעתקות ההפוכות של הקבוצות הפתוחות שחלקיות ל-, עבור  כלשהו.
כדי שהמרחב שמתקבל יהיה גם מרחב האוסדורף צריך לדרוש בנוסף שלכל שתי נקודות שונות קיימת קבוצה בכיסוי שמכילה את שתיהן, או שקיימות שתי קבוצות זרות בכיסוי כך שהקבוצה הראשונה מכילה את הנקודה הראשונה והקבוצה השנייה מכילה את הנקודה השנייה.
בעצם, המבנה של היריעה מוגדר על ידי אוסף הסביבות שמכסה אותו וההרכבות מהצורה . אם הפונקציות שמתקבלות מההרכבה הן רציפות אז ניתן להעביר (ברמה מסוימת) את המבנה הטופולוגי של  ולהגדיר בעזרתו מבנה טופולוגי על M. 

אם נדרוש מהפונקציות  להיות גם גזירות, חלקות או  אנליטיות אז הפונקציות  יגדירו מבנה דיפרנציאלי מסוים על M, בנוסף למבנה הטופולוגי.
כל קבוצה פתוחה (ולא ריקה) של היריעה מהווה יריעה בעצמה, שממדה הוא ממד היריעה המקורית. המפות של היריעה החדשה מתקבלות על ידי צמצום המפות המקוריות לאותה קבוצה פתוחה (כשמתייחסים למפות כפונקציות).

פונקציות חלקות על יריעות

התכונה החשובה ביותר של היריעות החלקות היא היכולת להגדיר עליהן מושגים של גזירות ו-חלקות בלי תלות במערכת הקואורדינטות המקומית, מה שלא ייתכן ביריעה טופולוגית כללית. 

פונקציה  נקראת פונקציה חלקה בנקודה p אם קיימת מפה  כך שהפונקציה  חלקה. כמו במרחב האוקלידי גם על יריעות קבוצת הפונקציות החלקות בנקודה מהווה חוג. אפשר לראות שכיוון שלכל זוג אינדקסים  היא פונקציה חלקה, אז גם כאשר על סביבה מסוימת מוגדרות מספר מפות, פונקציות שחלקות לפי מפה אחת יהיו חלקות גם לפי כל מפה אחרת (כי: 
, כלומר זו הרכבת פונקציות חלקות שהיא תמיד פונקציה חלקה). מהבחינה הזו המושג של פונקציה חלקה היא אינוורינטי ביחס לשינוי קואורדינטות.
לפי אותו רעיון פונקציה  היא פונקציה חלקה בין היריעות M ו-N אם לכל שתי מפות  הפונקציה  היא חלקה בתחום הגדרתה.
אם נתייחס לקטע הפתוח  כאל יריעה (עם המבנה הטבעי כקבוצה פתוחה במרחב האוקלידי- שהוא יריעה חלקה) אז העקומה  היא עקומה חלקה (או מסילה חלקה) אם היא פונקציה חלקה בין היריעות (a,b) ו-M.
אחת התכונות החשובות של יריעות חלקות היא האפשרות לבנות פונקציות חלקות ששוות ל-1 על קבוצה סגורה נתונה ומתאפסות מחוץ לקבוצה פתוחה שמכילה אותה (bump function). פונקציות אנליטיות כאלו לא קיימות כלל על יריעות אנליטיות, ואפילו לא במרחב האוקלידי, כי אם פונקציה אנליטית מתאפסת על קטע מסוים - היא מתאפסת על כל הישר.

יריעה אנליטית

בדומה להגדרת היריעה החלקה- יריעה אנליטית היא יריעה טופולוגית שהמפות שלה מתנגשות באופן שמהווה פונקציה אנליטית כלומר לכל זוג מפות הפונקציה  היא פונקציה אנליטית. על יריעות כאלו ניתן להגדיר אלו פונקציות הן פונקציות אנליטיות באופן שאינו תלוי במערכת הקואורדינטות.
השוני העיקרי בין היריעות החלקות והאנליטיות נובע מאי-קיומה של חלוקת יחידה אנליטית באופן כללי, בעוד שחלוקת יחידה חלקה תמיד קיימת.