שרשרת פולימר אידיאלית

בפיזיקה, המושג שרשרת פולימר אידיאלית, מתייחס למודל פשוט לתיאור תרמודינמי של פולימרים. בדומה למושג גז אידיאלי, שהוא מודל פשוט לתיאור תרמודינמי של זורמים. במודל שרשרת הפולימר האידיאלית נניח כי לא קיימות אינטראקציות בין המונומרים המרכיבים את השרשרת מלבד הגבלות פיזיות שונות המתוארות על ידי תת-המודלים של השרשרת.
המודל מציג תיאור פשוט של פולימר כשרשרת של אובייקטים זהים בעלי אורך סופי l המתחברים זה לזה בקצותיהם בקונפורמציות זוויתיות שונות (ראה איור 1).

רלוונטיות המודל במציאות והכללה של המודל


על אף שהמודל הפשוט שמתואר לעיל לא מניב תוצאות מדויקות כלל עבור פולימרים מציאותיים ברמה המיקרוסקופית, הוא מתאר במידה יחסית מדויקת התנהגות פיזיקלית של פולימר בתמיסה שהמונומרים שלו מומסים בצורה אידיאלית עם הממס. במצב כזה האינטראקציות בין מונומר למונומר ובין מולקולת ממס למולקולת ממס ובין מונומר למולקולת ממס הן זהות ולכן ניתן להתייחס לאנרגיה של המערכת כקבועה. (אחת ההנחות המרכזיות של מודל זה).
אמנם, הרלוונטיות של מודל זה פוחתת משמעותית בתמיסות בהן יש חשיבות לנפח של הפולימר.
ישנם מודלים אחרים המתארים שרשרת פולימרית אידיאלית תוך כדי הזנחת אינטראקציות בין המונומרים המרכיבים אותו המנבאים תוצאות נסיוניות מדויקות יותר, הנפוץ ביותר בניהם הוא מודל התולעת (באנגלית: Worm-like Chain).

דרגות חופש של פולימר

באיור 2 (משמאל) מוצג שרטוט של פולימר המורכב משלושה מונומרים, נקודת המוצא של כל מונומר i מסומנת ב .

לפי הגדרת הפולימר כל המונומרים זהים כלומר . 
שתי דרגות החופש של כל מונומר הן:
 הזווית בין שני מונומרים
ו- זווית הסיבוב

תרמודינמיקה של פולימר

פונקציית החלוקה : 
האנרגיה החופשית : 
כדי להסתכל על התרמודינמיקה של הפולימר נגדיר שני משתנים חשובים:
 הוא המרחק מקצה לקצה של הפולימר ומוגדר על ידי  
והזווית בין מונומר i למונומר i+1 תוגדר על ידי (ראה איור 2) 
נזכיר כי ממוצע תרמי מוגדר ע"פ  
עבור מודל זה: ההמילטוניאן יהיה תלוי בזוויות בלבד :  ובהתאם גם פונקציית החלוקה.

היחס האופייני של פלורי

אידיאליות השרשרת תבוא לידי ביטוי על ידי חוסר קורלציה (מתאם) בין זוויות שונות המופרדות על ידי מרחקים גדולים כלומר 
 
אך שימו לב שהסכום על כל מיצועי הזוויות לא בהכרח מתאפס אלא שואף לקבוע
וסה"כ נקבל את "היחס האופייני של פלורי"

אורך קהן

גודל בעל חשיבות נוסף במערכת הוא אורך קהן (Kuhn length). ניתן להגדירו באמצעות היחס האופייני של פלורי: .
יש הקוראים לו האורך האפקטיבי של המערכת  ובספרים שונים הוא יכול להופיע בסימנים שונים.
למעשה, באמצעות גודל אופייני זה ניתן לתאר שרשראות מורכבות, בעלות קורלציה (נמוכה!) בין זוויות של מונומרים קרובים, כשרשרת אידיאלית פשוטה עם אורך "מונומר" אפקטיבי b.

האורך האופייני של השרשרת

במערכת ישנם שני אורכים חשובים: האורך האופייני של השרשרת  ורדיוס ההתמדה , את הראשון קל לחשב משיקולים תרמודינמיים ואת השני קל למדוד בניסויי פיזור. בין שני הגדלים קיים יחס ליניארי :  ,כך שע"י הצבת אחד הגדלים ניתן למצוא את השני.

מציאת האורך האופייני של השרשרת 
  
    
      
        
          R
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle R_{0}}
  
 משיקולים תרמודינמיים

משיקולי סימטריה ברור כי הממוצע  . זאת מכיוון שאנו סוכמים על כל הקונפיגורציות האפשריות בבעיה ומאחר ו- הוא וקטור, נוכל למצוא עבור כל  וקטור השווה לו בגודלו והפוך בכיוונו . 
אך השונות לא מתאפסת: 
 
ובגבול  נקבל: 
מאחר שהממוצע על  מתאפס, השונות :  
נגדיר את האורך האופייני של השרשרת כסטיית התקן :

מודלים לתיאור שרשרת פולימר אידיאלית

במודלים הבאים נחשב את  תחת מגבלות שונות על הזוויות  בין המונומרים.

שרשרת חופשית :Freely Joint Chain

במודל זה נניח כי אין הגבלות על בחירת הזוויות לאורך השרשרת.
 מתפלגת אחיד (התפלגות אחידה) בין 0 ל- :  
 מתפלגת אחיד (התפלגות אחידה) בין  ל- :  
ולכן : 
כאשר  היא הדלתא של קרוניקר.
כלומר היחס האופייני של פלורי הוא: , ואורך קהן הוא: 
והאורך קצה-קצה האופייני של השרשרת :

שרשרת מסתובבת מוגבלת: Hindered Rotation

במודל זה נניח כי אחת הזווית קבועה:
 
 מתפלגת ע"פ פוטנציאל  בין  ל , וההסתברות לקבלת זווית מסוימת מתפלגת ע"פ התפלגות בולצמן 
ובגבול  נקבל פשוט
אורך קורלציה : , היחס האופייני של פלורי , ואורך קהן  
והאורך קצה-קצה האופייני של השרשרת :