משפט האפסים של הילברט

במתמטיקה, ובמיוחד באלגברה ובגאומטריה אלגברית, משפט האפסים של הילברט (בגרמנית: Nullstellensatz – "משפט מקומות האפסים") הוא משפט המקשר בין יריעות אלגבריות לבין אידיאלים בשדות סגורים אלגברית. הוא הוכח לראשונה על ידי דויד הילברט.
נניח כי K הוא שדה סגור אלגברית (למשל, שדה המספרים המרוכבים), ונניח כי I הוא אידיאל בחוג הפולינומים ב-n משתנים מעל K – .
היריעה האפינית (V(I מוגדרת להיות אוסף כל הנקודות  כך שלכל f ב-I מתקיים .
משפט האפסים של הילברט קובע כי אם p הוא פולינום כלשהו המקיים שלכל  מתקיים  (כלומר p מתאפס על היריעה (V(I) אז קיים מספר טבעי r כך ש .
מסקנה מיידית ממשפט זה היא משפט האפסים החלש הקובע כי אם I הוא אידיאל ממש (כלומר אינו שווה לחוג כולו), אז הקבוצה  אינה ריקה, כלומר קיימת נקודה x שהיא אפס משותף לכל הפולינומים בI. מסקנה זו היא במובן מסוים הכללה של המשפט היסודי של האלגברה: בשדה סגור אלגברית, לא זו בלבד שלכל פולינום יש לפחות שורש אחד, אלא גם לכל קבוצת פולינומים שאינה יוצרת (כאידיאל) את החוג כולו יש לפחות אפס משותף אחד.
בסימונים המקובלים בגאומטריה האלגברית, נהוג לכתוב את משפט האפסים של הילברט כך:

לכל אידיאל J. הסימון  הוא הרדיקל של J המוגדר להיות אוסף האיברים בחוג שחזקה חיובית כלשהי שלהם שייכת ל-J, ו-(I(Z הוא אידיאל כל הפולינומים שמתאפסים על הקבוצה  .

גרסאות שונות של המשפט

הניסוח הנפוץ למשפט האפסים של הילברט הוא זה המופיע בהקדמה. יחד עם זאת, יש למשפט גרסאות נוספות אשר שימושיות בהקשרים שונים. ניתן לחלק את הגרסאות השונות לגרסאות "שקולות" ולגרסאות "חלשות". את הסוג הראשון ניתן להסיק יחסית בקלות  מהנוסח המקורי של המשפט, וניתן גם להסיק את המשפט המקורי מהניסוח - ולכן מכונות שקולות. את הגרסאות החלשות, לעומת זאת, ניתן להסיק מהנוסח המקורי, אך יחסית קשה יותר להסיק את המשפט מהן. אחת מהדרכים להסיק את הגרסה המקורית של המשפט מתוך הגרסאות החלשות היא הטריק של רבינוביץ', אשר מנוסח בהמשך.

מערכת שיוויונות ואי-שוויון

גרסה שקולה למשפט האפסים של הילברט היא כלהלן. נניח כי K הוא שדה סגור אלגברית ויהיו  פולינומים כך שמערכת המשוואות  פתירה מעל K. יהיה g פולינום כך שלמערכת הבאה אין פתרון ב-K:
 אזי, קיימים פולינומים  ומספר טבעי r, כך ש-. זאת אומרת, קיים עד לכך שהמערכת הנתונה אינה פתירה.
ניתן להראות כי גרסה זו שקולה לניסוח המקורי של המשפט בצורה הבאה: נשים לב שהתנאי על הפולינום g שקול לכך שלכל  מתקיים . בנוסף, קיים מספר טבעי r כך ש  אם ורק אם קיימים פולינומים , כך ש-. לכן, גרסה זו שקולה למשפט האפסים עבור אידיאלים מהצורה . ממשפט הבסיס של הילברט, לכל אידיאל   קיימים פולינומים   כך ש- ולכן הגרסאות שקולות.

גרסאות חלשות

הגרסאות הבאות מכונות "חלשות" כיוון שניתן להסיק אותן בקלות מהנוסח המקורי של המשפט, אך לא להפך. אף על פי כן, גרסאות אלו מספיקות לשימושים רבים.

שורת סתירה

גרסה חלשה למשפט האפסים של הילברט, המוכרת גם כמשפט האפסים החלש היא כלהלן:
משפט- יהיה K שדה סגור אלגברית, ויהי  כך ש-. אזי,  .
כלומר, בשדה סגור אלגברית, לכל מערכת משוואות פולינומית בכל כמות סופית של משתנים יש פתרון כאשר אין שורת סתירה (כאשר  איננו צירוף של איברי ). כאמור לעיל, זוהי הכללה של המשפט היסודי של האלגברה.
ניתן להסיק גרסה זו מהנוסח המקורי באופן הבא: יהי אידיאל J כך שמתקיים , אזי מתקיים גם כי . ממשפט האפסים, , ובפרט קיים r טבעי כך ש-, ולכן .

אידיאלים מקסימליים

גרסה חלשה נוספת מאפיינת את האידיאלים המקסימליים בשדות סגורים אלגברית.
משפט - נניח כי K הוא שדה סגור אלגברית, אזי האידיאלים המקסימלים של החוג  הם בדיוק האידיאלים: . 
במילים אחרות, ישנה התאמה חד-חד-ערכית ועל בין קבוצת האידיאלים המקסימליים של חוג זה לבין קבוצות הנקודות של המרחב האפיני ה-n-ממדי.
ניסוח זה נובע מהניסוח הקודם. אכן, יהיה J אידיאל מקסימלי ובפרט . מהניסוח הקודם קיים . נגדיר הומומורפיזם  על ידי הצבה בנקודה a, זאת אומרת . מתקיים כי , ולכן, ממשפט האיזומורפיזם, . כיוון ש-K הוא שדה, אזי  הוא אידיאל מקסימלי, וממקסימליות J נסיק כי .
הניסוח שורת סתירה נובע מניסוח זה באופן הבא: יהי  אידיאל ויהי  אידיאל מקסימלי המכיל אותו. מהניסוח עבור אידיאלים מקסימליים נסיק כי  ולכן , ובפרט .

פתרון למערכות פולינומים בהרחבת שדות

ניסוח חלש נוסף הוא הניסוח הבא, אשר מאפיין פתרונות למערכות פולינומים: 
משפט - יהיה K שדה ויהיו  פולינומים. נניח כי קיימת הרחבת שדות L/K, כך שקיימים איברים ,  עבורם  לכל . אזי קיימת הרחבת שדות סופית K'/K ואיברים  כך ש- לכל . 
במילים אחרות, אם קיים פתרון למערכת בהרחבת שדות כלשהי, אז קיים פתרון בהרחבה סופית. בפרט, אם השדה K סגור אלגברית, נקבל כי קיום פתרון בהרחבה כלשהי גורר קיום פתרון בשדה K. 
ניסוח זה נובע משורת סתירה, נראה זאת עבור המקרה בו השדה K סגור אלגברית: נניח כי לא קיים שורש משותף למערכת הפולינומים . משורת סתירה, נקבל כי  הוא צירוף של הפולינומים , ולכן לא קיים פתרון באף הרחבת שדות. 
ניתן גם להסיק את שורת סתירה ממשפט זה: יהי J אידיאל ויהיו  פולינומים כך ש-. באופן מידי נקבל שקיים פתרון למערכת הפולינומים באלגברה . יהיה  אידיאל מקסימלי, אז קיים גם פתרון במנה . ממקסימליות m נקבל כי F שדה, ובנוסף הוא נוצר סופית כאלגברה, כיוון שממשפט הבסיס של הילברט  מקיים תכונה זו. מהמשפט, כיוון ש-K סגור אלגברית, נקבל כי קיים פתרון למערכת הפולינומים בשדה K.

הלמה של זריצקי

הלמה הבאה, הידועה כלמה של זריצקי, שקולה לגרסאות החלשות למשפט האפסים.
למה - יהיה  שדה, לא בהכרח סגור אלגברית, ותהי  הרחבת שדות של K. נניח כי  נוצר סופית כאלגברה מעל K, אזי F נוצר סופית כשדה הרחבה של K.

הטריק של רבינוביץ'

הטריק של רבינוביץ' הוא הוכחה עבור הגרסה המקורית של משפט האפסים של הילברט מתוך הגרסה החלשה - שורת סתירה.
יהי K שדה סגור אלגברית, יהי  אידיאל ויהי g פולינום המתאפס בכל . ממשפט הבסיס של הילברט, קיימים  כך ש-. נרצה להראות כי . אם g = 0, אזי התנאי מתקיים. אחרת, נוסיף משתנה חדש y, ונשים לב שלפולינומים , אין שורש משותף. זאת אומרת, . ממשפט האפסים החלש, נקבל כי , ובפרט,
עבור פולינומים   כלשהם. נתבונן בשוויון המתקבל בחוג המנה . כיוון שבחוג זה y = 1/g, נקבל כי 
כיוון שבביטוי שבאגף ימין רק g מופיע במכנה, אזי עבור r טבעי ופולינומים  כלשהם מתקיים
ולכן בחוג R, . זאת אומרת, קיים פולינום , כך שמתקיים השוויון
כיוון שבאגף שמאל, המקדם של המשתנה y הוא אפס, אזי q = 0, ולכן . זאת אומרת, , כרצוי.

שוויון רדיקלים

אחת מהמסקנות הנובעות ממשפט האפסים של הליברט היא כי רדיקל ג'ייקובסון של אלגברה נוצרת סופית שווה לרדיקל הנילפוטנטי. רדיקל ג'ייקובסון של אלגברה A, אשר מסומן על ידי , או לעיתים , מוגדר להיות החיתוך של כל האידיאליים המקסימליים ב-A.  לעומת זאת, הרדיקל הנילפוטנטי, אשר מסומן על ידי , או , מוגדר כחיתוך של כל האידיאליים הראשוניים ב-A. כיוון שכל אידיאל מקסימלי הוא גם אידיאל ראשוני, אזי רדיקל ג'ייקובסון תמיד מוכל ברדיקל הנילפוטנטי. המסקנה מראה כי אם האלגברה A נוצרת סופית, אזי למעשה יש שוויון.

שדות סופיים

על אף שמשפט האפסים של הילברט מנוסח עבור שדות סגורים אלגברית, ובפרט אינסופיים, ניתן להסיק ממנו את הגרסה הבאה עבור שדות סופיים:
משפט - יהיו  פולינומים, אזי קיים להם שורש משותף בשדה , אם ורק אם קיים פתרון בשדה סופי  ממאפיין p, עבור כמעט כל ראשוני p. 
המשפט מקשר, בצורה אשר אינה משתמעת באופן מידי, בין שדות ממאפיין אפס לכאלו עם מאפיין חיובי.

הוכחה

למשפט האפסים יש הוכחות רבות, מתוכן נציין שתי הוכחות. הראשונה היא עבור שדות גדולים, והיא קצרה יחסית; השנייה מוכיחה את המקרה הכללי ומופיעה בהמשך. בשתי ההוכחות, נוכיח את משפט האפסים של הילברט על ידי כך שנוכיח את הגרסה החלשה - פתרון למערכות פולינומים בהרחבת שדות. ניתן להסיק את הגרסה המלאה בהינתן החלשה על ידי הטריק של רבינוביץ' אשר מנוסח למעלה. שתי ההוכחות מתבססות  הטיעון הבא:
יהיה K שדה ויהיו  פולינומים. נניח כי קיימת הרחבת שדות L/K, כך שקיימים איברים ,  עבורם  לכל . נסמן ב- את הסגור האלגברי של K. מספיק להראות שקיים פתרון , כך ש- לכל . אכן, אם ישנו כזה פתרון, אזי קיים פתרון בשדה , ובנוסף ההרחבה K'/K סופית, כיוון שהאיברים  אלגבריים מעל K. לכן, נניח מעתה שהשדה K סגור אלגברית.

הוכחה עבור שדות גדולים

נוכיח תחילה עבור המקרה , שלו יש הוכחות קצרות רבות. נציג כאן את אחת מהן: נסמן ב- את מקדמי הפולינום  לכל . מתקיים שישנו פתרון למערכת המשוואות בשדה . כיוון ש-, וכיוון שהשדה K סגור אלגברית, ניתן לשכן את 'L ב-K ולכן קיים פתרון ב-K.

הוכחה עבור המקרה הכללי

נוכיח עתה את המקרה הכללי. נניח, בלי הגבלת הכלליות, כי ההרחבה L/K היא נוצרת סופית, אחרת נבחר את ההרחבה הנוצרת סופית  , אשר מכילה גם היא פתרון. נסדר את איברי הפתרון  כך שיתקיים התנאי הבא: האיבר  טרנסצנדנטי מעל , האיבר  טרנסצנדנטי מעל , ובאופן כללי האיבר   טרנסצנדנטי מעל  לכל , עבור . יתר האיברים, , הם אלגבריים מעל . נסמן  ונשים לב כי ההרחבה  היא סופית, מאופן בחירת k. כיוון ש-  טרנסצנדנטי מעל  לכל , אזי מתקיים כי , זאת אומרת, L' הוא שדה הפונקציות הרציונליות עם k איברים ומקדמים ב-K. 
יהי  בסיס ל- ונניח  נניח כי , אחרת נוסיף אותו לבסיס. יהיו  איברים כך ש- לכל , ו- לכל .בחירה זאת מאפשרת לנו להציג את המשוואות  כמנה של פונקציות ליניאריות באיברי הבסיס עם מקדמים ב-. נרצה למצוא איברים  אשר לא יאפסו את המכנה. כדי לעשות זאת, נבחר  ככה שכל האפסים של המכנה יהיו אפסים של הפולינום  ונבחר  כך ש-. בצורה פורמלית, נבחר  כך ש- לכל  ו- לכל  ולכל . כיוון ש-, אזי קיים  כך ש-. מתקבל כי , ובפרט , לכל .
נגדיר K-אלגברה A באופן הבא: מוגדרת על ידי הבסיס  כך שמתקיים  לכל . במילים אחרות, A היא האלגברה הנוצרת על ידי הצבת  בבסיס e. נגדיר  על ידי . באופן זה מתקיים כי  לכל . לבסוף, יהיה  אידיאל מקסימלי ולכן  הוא שדה. בנוסף הוא הרחבה סופית של K. כיוון ש-K סגור אלגברית, אזי . נסמן  ההטלה לשדה המנה, לכל , ונקבל כי  לכל . זאת אומרת,  הוא פתרון למערכת הפולינומים , כרצוי.

גרסה פרויקטיבית

בגאומטריה פרויקטיבית ניתן לנסח משפט מקביל אך מעט שונה.
ראשית, במקרה הפרויקטיבי יריעה פרויקטיבית היא אוסף פתרונות של פולינומים מאידיאל הומוגני  (אידיאל שלכל איבר בו, גם החלקים המונומיים שלו שייכים אליו), אותה נסמן גם כן .
בכיוון ההפוך, כל תת-קבוצה  במרחב פרויקטיבי שולחים לאידיאל שנוצר על ידי הפולינום ההומוגניים שמאפסים את כל הנקודות בה, אותו נסמן .
נקבל טענה דומה לגרסה החלשה על שורת סתירה כלעיל:
משפט - עבור אידיאל הומוגני , מתקיים  אם ורק אם  מכיל אידיאל הומוגני , בו כל מונום של כל פולינום הוא ממעלה  לפחות.
וכעת נקבל את ההתאמה:
משפט האפסים בגרסה הפרויקטיבית- לכל אידיאל  עבורו מתקיים  (כלומר הוא לא מכיל אידיאל  כנ"ל), מתקיים .

תוצאות קשורות

למשפט האפסים של הילברט יש מספר תוצאות דומות מתחומים שונים במתמטיקה. נציין כאן כמה מהן.

משפט האפסים הקומבינטורי

משפט בקומבינטוריקה, המוכר בשם "משפט האפסים הקומבינטורי", משמש להוכחת תוצאות שונות מתורת המספרים האדיטיבית, תורת הגרפים וקומבינטוריקה, ומנוסח כלהלן: יהיה K שדה ויהי  פולינום ממעלה d. יהיו  שלמים כך שהמקדם של המונום  ב-f אינו אפס, וכן כי .  אזי, לכל תתי קבוצות  המקיימות , לכל , קיימים , כך ש-.
השימוש במשפט מוכר לעיתים גם כשיטה הפולינומית שמקורה במאמר של נוגה אלון ומיכאל טרסי. השיטה פותחה לאחר מכן על ידי אלון, נתנסון ורוזה בשנים 1996-1995 ונוסחה מחדש על ידי אלון בשנת 1999. המשפט קיבל את שמו כיוון שניתן לראות בו כמקרה פרטי של משפט האפסים של הילברט. דוגמאות לשימושים של המשפט הן הוכחות פשוטות למשפט שבלי-וורנינג על אפסים של מערכות של פולינומים, ומשפט קושי-דוונפורט בקומבינטוריקה אדיטיבית.

משפט גלפנד מזור

באנליזה פונקציונלית, משפט גלפנד מזור, הקרוי על שם המתמטיקאים ישראל גלפנד וסטניסלב מזור, הוא המשפט הבא: תהי A אלגברת בנך מרוכבת עם יחידה וחלוקה. אזי A איזומטרית לשדה המספרים המרוכבים. במילים אחרות, שדה המספרים המרוכבים הוא האלגברת בנך המרוכבת היחידה בה כל איבר לא אפס הוא הפיך, כאשר היחידות היא עד כדי איזומטריה.