פולינום מינימלי

באלגברה מופשטת, פולינום מינימלי של איבר באלגברה הוא הפולינום בעל המעלה הקטנה ביותר שאם נציב בו את האיבר נקבל אפס. איבר שיש לו פולינום כזה נקרא איבר אלגברי, ואיבר שאינו מאפס אף פולינום נקרא "איבר טרנסצנדנטי".
לדוגמה הפולינום המינימלי של  (מעל שדה המספרים הרציונליים) הוא  כי  ואין פולינום ממעלה שנייה או ראשונה עם מקדמים רציונליים שמתאפס על . הפולינום המינימלי של המטריצה הריבועית  הוא , משום ש-  (כאשר  היא מטריצת היחידה מסדר 2), ואין פולינום ממעלה ראשונה המאפס את המטריצה A.

הגדרה כללית

אם  הוא חוג (אסוציאטיבי, או אפילו בעל חזקה אסוציאטיבית) מעל חוג S, אז בכל פולינום  אפשר להציב איברים של R באופן הבא: 
אם , 
אז .
פולינום מינימלי של  מעל S הוא פולינום f בעל מעלה קטנה ביותר כך ש-  (בתנאי שיש פולינום כזה). אם S הוא שדה, מקובל להניח שהפולינום מתוקן, וניתן להוכיח שקיים פולינום מינימלי יחיד ל- a שכזה. אבל במקרה הכללי (למשל, אם S הוא חוג המספרים השלמים), ייתכן שלא יהיה קיים פולינום מינימלי מתוקן. בכל זאת, אם S הוא תחום פריקות יחידה, קיים פולינום מינימלי יחיד ל- a שהוא גם פרימיטיבי, כלומר כך שהמקדמים שלו זרים במידה גלובלית.     
על-מנת לאפיין את הפולינום, יש לציין את חוג הבסיס או השדה שמעליו האלגברה מוגדרת: זהו החוג שממנו מותר לבחור את מקדמי הפולינום. לדוגמה, הפולינום המינימלי של המספר המרוכב  מעל לשדה המספרים הממשיים הוא , אבל הפולינום המינימלי מעל שדה המספרים הרציונליים הוא , ומעל המרוכבים הוא פשוט הפולינום הליניארי: .

פולינום מינימלי באלגברה ליניארית

לפי משפט קיילי-המילטון, הפולינום המינימלי של מטריצה ריבועית מחלק את הפולינום האופייני שלה. ידוע גם שלשני הפולינומים יש בדיוק אותם גורמים אי-פריקים. לפולינום המינימלי חשיבות מרכזית כאשר מבקשים להעביר את המטריצה לצורה רציונלית קנונית או צורת ז'ורדן. הריבוי של שורש מסוים של הפולינום המינימלי הוא הגודל של בלוק הז'ורדן הגדול ביותר שמתאים לו.

פולינום מינימלי של איברים בתחום שלמות שהוא גם אלגברה מעל שדה

אם A הוא תחום שלמות המהווה אלגברה מעל שדה F (ובפרט, אם A הוא שדה המכיל את F), אז הפולינום המינימלי f של איבר a הוא אי-פריק (כלומר, לא ניתן לכתוב אותו כמכפלה של שני פולינומים), והוא מינימלי גם לגבי יחס החלוקה, במובן הבא: אם , אז f מחלק את h. יתרה מזו, תת-החוג  מהווה תת-שדה של A, שממדו מעל F שווה למעלה של f.

פולינים מינימלי של איבר בתחום פריקות יחידה

אם A הוא תחום פריקות יחידה, ו- a הוא אלגברי מעל שדה השברים של A, אז ל- a פולינום מינימלי יחיד P שהוא גם פרימיטיבי (ראה לעיל). בנוסף ניתן להוכיח שכל פולינום אחר שמאפס את a נחלק ב P.
מסקנה פשוטה היא זו: אם  הומומורפיזם של חוגים, אם  מסמן תמונתו של  ב- , ו-  הוא שורש של  בהרחבה אלגברית של שדה השברים של , אז ניתן להרחיב את  להומומרפיזם  על ידי . 
מסקנה אחרת היא שכל תחום פריקות יחדה סגור בשלמות.

הפולינום הגנרי

הפולינום המינימלי מאפשר להגדיר אינווראנטים חשובים של אלגברות מממד סופי. תהי A אלגברה (אסוציאטיבית, או לכל הפחות אלגברה לא אסוציאטיבית שהיא בעלת חזקה אסוציאטיבית בהחלט), מממד סופי מעל שדה F. נבחר בסיס , ונתבונן באיבר  של האלגברה  המתקבלת מהרחבת סקלרים מ-F לשדה הפונקציות . במקרה כזה, קיים פולינום מינימלי מתוקן P המאפס את X, והוא נקרא הפולינום המינימלי הגנרי של A. המעלה m של P נקראת גם הדרגה של A.
אם כותבים , אז המקדמים  הם פולינומים הומוגניים במשתנים . 
על ידי הצבה אפשר לחשב מ-P פולינום המאפס כל איבר נתון של האלגברה (אם כי זה אינו בהכרח פולינום מינימלי). המקדם , המקיים את תנאי האדיטיביות , נקרא העקבה הגנרית (ראו עקבה), והמקדם האחרון  הוא הנורמה הגנרית (ראו נורמה). 
לדוגמה, עבור אלגברת המטריצות , העקבה הגנרית מתלכדת עם העקבה הרגילה, והנורמה הגנרית מתלכדת עם הדטרמיננטה. בין השימושים הרבים של הפונקציות הללו אפשר למנות את העובדה הבאה: נניח ש- ו-  (כאשר  ו-  הם הקומוטטור והאסוציאטור, בהתאמה; הנחות אלה מתקיימות ממילא בכל אלגברה אסוציאטיבית). אם  אינה מנוונת (במובן הבא: אם  לכל b, אז ), אז A ספרבילית.