אריתמטיקה

אָריתמֶטיקה (מהמילה היוונית αριθμός, אריתמוֹס, שפירושה מספר), הידועה גם בשם חשבון, היא הענף העתיק והבסיסי ביותר במתמטיקה. זהו החלק היסודי בלימוד המתמטיקה, הוא משתלב ביתר ענפי המתמטיקה וחיוני להבנתם. עקרונות האריתמטיקה הבסיסיים, המבוססים על ארבע פעולות החשבון וסדר בין מספרים, משמשים כל אדם מודרני לצורך ביצוען של משימות יום-יומיות פשוטות כגון הכנת מזון ותכנון כלכלת הבית. לאריתמטיקה המתקדמת ולתחומים הקרובים אליה, הכוללים פעולות מתמטיות מורכבות יותר, יש שימוש רב בתחומי המדע, ההנדסה והטכנולוגיה השונים.
גבולותיו של ענף מתמטי זה אינם תחומים באופן חד, והם השתנו במרוצת השנים. במובנה המצומצם, המילה מתייחסת לענף במתמטיקה העוסק במספרים שלמים ובתכונותיהם, כמו ראשוניות וכדומה. מתמטיקאים משתמשים לעיתים במונח 'אריתמטיקה'
כתחליף לתורת המספרים, גם במובנה הרחב.

חוקי חשבון

חוקי החשבון הם כללים יסודיים שאותן מקיימות ארבע פעולות החשבון, וניתן להיעזר בהם לפישוט תהליך החישוב. הראשון שכתב את חוקי החשבון כפי שהם ידועים לנו כיום היה המתמטיקאי ההודי בראהמגופטה, ב-625 לספירה לערך.
חוקים חשובים אלה הופכים את פעולות החשבון לפעולות שימושיות ורבות יישומים. באופן מוכלל, מבנה עשיר כדוגמת המספרים הרציונליים והממשיים המאפשר את פעולות החשבון ומקיים את כלליהן נקרא שדה.
להלן פירוט הכללים האריתמטים היסודיים.

חוק הפילוג (דיסטריבוטיביות)

החוק הקושר את פעולות החיבור והכפל. הוא קובע שלכל שלושה מספרים  מתקיים:
.

קיום איבר יחידה ואיברים נגדיים

לפעולת החיבור ולפעולת הכפל קיימים איברי יחידה תואמים שאינם משנים את תוצאת החישוב לאחר הפעלתם. המספר 0 הוא איבר היחידה של חיבור - תוצאת חיבור מספר עם אפס היא המספר עצמו: . בצורה דומה 1 הוא איבר היחידה של כפל: . לחיסור ולחילוק אין איברי יחידה.
בנוסף לכל מספר יש איבר נגדי שתוצאת הפעלתו עם המספר נותנת את איבר היחידה. המספר הנגדי למספר  ביחס לחיבור מסומן  והוא מקיים: . האיבר הנגדי ביחס לכפל נקרא גם מספר הופכי ומסמנים אותו  והוא שווה ל- . ההופכי מקיים: .

חזקות

במספרים שלמים, פעולת החזקה אינה אלא שם מקוצר לפעולת כפל חוזרת של מספר בעצמו: המכפלה של a בעצמו b פעמים נקראת "a בחזקת b", ומקובל לסמן אותה בסימון . כאשר b מספר קטן, מקצרים בעברית וקוראים ל- "a בריבוע" ל-
"a בשלישית", ל-  "a ברביעית", וכדומה. a נקרא "בסיס החזקה" ו- b ה"מעריך".
שורש היא פעולה הפוכה לחזקה; עונה על השאלה "מהו המספר שאם נעלה אותו בחזקה מסוימת יתן לנו תוצאה נתונה?" שורש מסדר a של b מסומן . קרי: שורש מסדר a של b.
לוגריתם היא פעולה נוספת ההפוכה לפעולת החזקה. פעולה זו מוצאת את החזקה בהינתן בסיס ותוצאה; עונה על השאלה "באיזה חזקה נצטרך להעלות מספר נתון כדי לקבל מספר נתון אחר?". לוגריתם של a לפי בסיס b נכתב .

אריתמטיקה מודרנית

במתמטיקה המודרנית, המונח "אריתמטיקה" משמש, בהכללה, לתחום העוסק בקיום פתרונות למשוואות, או מערכות של משוואות, מעל השדות של תורת המספרים, ובמיוחד שדות מקומיים וגלובליים. תחום זה, הנקרא לפעמים גם אריתמטיקה גאומטרית, עוסק למשל בקיום פתרונות למשוואות כמו  (כאשר n הוא מספר טבעי), כאשר המשתנים x,y,z צריכים להיות מספרים רציונליים.
אחת השאלות המרכזיות בתחום קשורה בהיקף התחולה של עקרון הסה, הקובע שבמקרים מסוימים, קיומו של פתרון למשוואה מעל כל השלמה של השדה K, מבטיח שקיים פתרון גם בשדה K עצמו. עקרון הסה חל על תבניות ריבועיות, אבל הוא נכשל, לדוגמה, עבור עקומים אליפטיים. פירושו של דבר הוא שלמשוואה מהצורה  (עם מקדמים רציונליים) יכולים להיות פתרונות מעל הממשיים ומעל כל שדה של מספרים p-אדיים, בשעה שאין לה פתרונות מעל הרציונליים. את המידה שבה נכשל עקרון הסה ניתן לכמת באמצעות חבורה הנקראת חבורת שפרביץ', שאותה מגדירים בכלים קוהומולוגיים. משערים שחבורה זו סופית, אך לעת עתה לא נמצאה לכך הוכחה.
האריתמטיקה נושקת גם לתורת השדות, בה מביאות שאלות אריתמטיות למחקר ענֵף של תכונות של שדות. כך למשל נחקרים "שדות Cn", שבהם מובטח פתרון למשוואות הומוגניות מסוימות, ושדות פסאודו-סגורים אלגברית, המחקים היבטים מסוימים של השדות הסגורים אלגברית.

יחס החברה לאריתמטיקה

חיי היום-יום דורשים מהאדם לבצע פעילויות אריתמטיות פשוטות כחלק מהתנהלותו השגרתית. כך, למשל, שימוש בפעולות אריתמטיות פשוטות נעשה בבישול, בנהיגה, בקריאת שעון, בתכנון כלכלת הבית ולצרכים רבים נוספים. כלים בסיסיים מתחום האריתמטיקה נחשבים לחלק בלתי נפרד מן האוריינות. נוסף על כך, האריתמטיקה היסודית מהווה את הבסיס ההכרחי לרכישת ידע מתקדם יותר במתמטיקה, כאשר המתמטיקה בכללותה נחשבת כדיסציפלינת מדע מרכזית; הידע המתמטי בכללותו מהווה לא אחת מדד מרכזי בקביעת השכלתו הפורמלית של אדם (למשל, במבחן הפסיכומטרי או ה-SAT לצורך קבלה ללימודים אקדמאיים). לפיכך, מקנה החברה חשיבות רבה לרכישת מיומנויות אריתמטיות כבר בגיל צעיר.