משפט תאלס

המשפט הראשון

בגאומטריה אוקלידית, משפט תאלס קובע שישרים מקבילים חותכים משתי שוקי זווית קטעים בעלי יחסים שווים.
למשל, בציור שמשמאל, אם 

, אז
על פי ערך משולש ניתן להגיע לשוויונות נוספים, כמו

הרחבה ראשונה

ההרחבה הראשונה קובעת שגם היחס בין הקטעים שהזווית חותכת מהישרים המקבילים, שווה ליחס בין החלקים שהישרים המקבילים חותכים משוקי הזווית. למשל, בציור שמשמאל, אם
, אז

הרחבה שנייה

משפט תאלס הפשוט מתייחס רק למקרה שבו הישרים המקבילים נמצאים מאותו צד של קודקוד הזווית. ההרחבה השנייה קובעת שמשפט תאלס נכון גם אם הישרים אינם מאותו צד של קודקוד הזווית. למשל, בציור שמשמאל, אם , אז

המשפט עצמו

מעבירים את  ואת .
בוחנים את המשולש  ואת המשולש .
בשני משולשים אלו,  צלע, והגובה מ- ל- שווה לגובה מ- ל-. (כי )
לכן, שטחי משולשים אלו שווים, כלומר 
אם מוסיפים לשני האגפים את שטח המשולש , מקבלים 
מורידים גובה  מ- ל-, וגובה  מ- ל-.
מכיוון ששטח משולש שווה למחצית מכפלת צלע בגובה לה, נקבל:
סידור מחדש יוביל אותנו לתוצאה הבאה: 
כעת מתבוננים במשולשים ו-
גם שטחי משולשים אלה שווים, מכיוון שהם בעלי בסיס משותף וגובהם הוא המרחק בין המקבילים
נשתמש בגבהים שהורדנו על מנת לבטא את שטחי המשולשים ו-:
סידור מחדש יוביל לתוצאה הבאה: 
נשווה את היחסים ונקבל: 
לאחר החלפת מקומות על האלכסון, מקבלים:

הרחבה ראשונה

מעבירים את  ואת .
בוחנים את המשולש  ואת המשולש .
בשני משולשים אלו,  צלע, והגובה מ- ל- שווה לגובה מ- ל-. (כי )
לכן, שטחי משולשים אלו שווים, כלומר 
אם מוסיפים לשני האגפים את שטח המשולש , מקבלים 
מחלקים את שני האגפים בשטח המשולש , ונקבל 
מורידים גובה  מ- ל-, וגובה  מ- ל-.
מכיוון ששטח משולש שווה למחצית מכפלת צלע בגובה לה, מקבלים:
לאחר צמצום, מקבלים:

הרחבה שנייה

על הקטע , מסמנים נקודה , כך ש-.
מכיוון ש- וש-,‏  מקבילית, ולכן 
לכן, על פי משפט תאלס, (כאשר מתייחסים לזווית )
נציב, ונקבל

המשפט השני

בגאומטריה האוקלידית, משפט תאלס קובע שהזווית המונחת על קוטר במעגל היא זווית ישרה: אם הנקודות  , ו- מונחות על מעגל והקו  עובר דרך מרכז המעגל, אז הזווית  שווה לתשעים מעלות.
משפט זה היה ידוע ככל הנראה באופן אמפירי כבר למצרים והבבלים, אבל הם לא עסקו בהוכחות גאומטריות, וממילא לא סיפקו הוכחה גם למשפט זה. ההוכחה הראשונה מיוחסת לפילוסוף והגאומטרן היווני תאלס ממילטוס, שעל-שמו קרוי המשפט.

מקור השם

השם לשני המשפטים ניתן במחצית השנייה של המאה ה-19 בצרפת ובאיטליה מחד ובגרמניה מאידך. באותה עת גברה ההתעניינות בהיסטוריה של המתמטיקה והתחקות אחר מקורותיה. לכך התחבר צורך דידאקטי: לתת שמות למשפטים שנחשבו מרכזיים בספרי הלימוד. בחירת שמות מתמטיקאים מהעת העתיקה ובפרט מיוון, ערש התרבות המערבית, עשוי היה להקנות ערכים של חשיבות ומסורת. שני משפטים אלה (או הקרובים להם מאוד) הם מבין חמשת המשפטים הידועים כהשגיו של תאלס, אך אין עדויות לכך שהוכיח אותם.
הבחירת במשפטים שונים בצרפת ובגרמניה היא עדות לשוני בשתי המדינות בגישה לגאומטריה. הצרפתים הושפעו מספרו של אדריאן-מארי לז'נדר "יסודות בגאומטריה". לז'נדר הקדים את חקירת המעגל (פרק שלישי בספר יסודות של אוקלידס) לחקירת המשולש והמקבילית (פרקים ראשון ושני). הגאומטריה האפינית והגאומטריה הפרויקטיבית שהתפתחו באותה תקופה העמידו במרכז את היחסים בין קטעים בעוד שאצל אוקלידס הם מופיעים בפרק שש כדמיון משולשים. הפיכת סדר הפרקים הצביעה על שינוי מהותי בתפישה. לפיכך בחרו הצרפתים במשפט שדן ביחסים בין קטעים. הגרמנים דגלו בגאומטריה האוקלידית, הקפידו על הסדר שבספרו ומרכזיות משפט פיתגורס ולכן בחרו במשפט שמתחבר לנושא המשולש (משולש התחום במעגל).
מדינות שהושפעו מהגישה הצרפתית היו: ספרד, בלגיה ורוסיה. מדינות שהושפעו מהגישה הגרמנית היו: אוסטריה, הונגריה וצ'כוסלובקיה. עד שנות העשרים של המאה ה-20 ספרי הלימוד ביוון בחרו בגישה הגרמנית ואז זו הוחלפה בגישה הצרפתית. באנגליה וארצות-הברית לא נעשה שימוש בשמו של תאלס למשפטים אלה באותה תקופה.