אלסטיות

אלסטיות או גמישות היא תכונתו של חומר המתארת את התנגדותו למַעֲוַת (דפורמציה) חיצוני, ואת יכולתו של החומר לחזור לצורתו ולממדיו המקוריים לאחר הסרת הכוח המעוות. זוהי תורה מקרוסקופית, כלומר היא אינה מתחשבת במרכיביו המיקרוסקופיים של החומר. חקר האלסטיות מנסה ליצור מודל מתמטי המכמת את תגובת החומר למעוות המופעל עליו, במקרים בהם מתאפשרת הזנחת התהליכים המיקרוסקופיים המרכיבים את החומר.

מבוא איכותני

על מנת לתאר את האלסטיות של החומר מבחינה פיזיקלית הוגדרו שני פרמטרים הראשון נקרא 'סבילות לעיוות' או מודולוס, אשר מוגדר על ידי כמות הכוח שצריך להפעיל ליחידת שטח על מנת לגרום לעיוות, כלומר כמה קשה לעוות את החומר. הפרמטר השני הוא גבול המתיחה, אשר מוגדר כמתיחה המקסימלית שחומר יכול להכיל לפני שנגרם לו עיוות קבוע, כלומר כמה החומר מסוגל להימתח בלי להשתנות. יחידותיהם של שני הפרמטרים הן פסקל (pa).
שני הפרמטרים הם בלתי תלויים זה בזה, ויכולים להיות חומרים אשר הם בעלי מודולוס גבוה וגבול מתיחה נמוך כמו מתכות, או בעלי גבול מתיחה גבוה ומודולוס נמוך כמו גומיות. לרוב בשימוש היומיומי המונח אלסטיות משמש רק לגבול המתיחה.

חומר אלסטי מושלם

כאשר גבול המתיחה שואף לאינסוף ניתן להגיד על חומר כי הוא חומר אלסטי מושלם, לחומר שכזה כל הפעלת כח, ללא תלות בעוצמת הכח או בסוגו, לא תשנה את צורתו או את נפחו, חומר כזה הוא אידאה פיזיקלית אך כיום במדע החומרים ובפיזיקה של מצב מוצק מתקיימים מחקרים רבים השואפים לפתח חומרים המתקרבים כמה שיותר לחומר אלסטי מושלם כיוון שככל שחומר יותר אלסטי פחות תתבזבז אנרגיה עקב לחצים חיצוניים על המערכת.

תנועות אלסטודינמיות

לעיתים הפעלת כח על גוף תגרום להחלפה מתמדת בין אנרגיות פוטנציאליות, מה שיגרום לתנודות מחזוריות כיוון שאין נקודת שיווי משקל בה האנרגיה הפוטנציאלי מינימלית. תופעה זו נפוצה בטבע וניתן לראות אותה בין היתר בקפיצים, במיתרים רוטטים וברעידות אדמה. כתוצאה מהתנודות ניתן לכמת את תדר התנועה ואורך הגל שלה, והיא הבסיס לגלים מכניים. בפועל כתוצאה ישירה מהחוק השני של התרמודינמיקה המערכת בסופו של דבר תפסיק לנוע באופן הניתן למדידה בטכניקות מאקרוסקופיות, כיוון שאנרגיית המערכת תתפזר לחום. ניתוח של חומרים אלסטיים אידיאלים נלמד כבר במסגרות תיכוניות והוא זכה לכינוי תנועות הרמוניות.

ניתוח מתמטי

המודל הפשטני ביותר המציע ניתוח של אלסטיות החומר הוא מודל אשר הוצע על ידי החוקר רוברט הוק על סמך תצפיות אמפיריות על חומרים. הוק מצא כי חומרים ספציפים תחת לחצים בקנה מידה קטן מתארכים בעקבות מתיחה באופן הפרופורציונלי לכוח המותח. בעקבות כך הוא פיתח מערכת מכנית פשוטה למדידת קבוע הפרופורציה לחומרים שונים, קבוע זה מייצג בקירוב גס את מידת המודולוס של החומר הנמתח המאפיין חלק מהאלסטיות החומר. לאחר התפתחות המדע והכלים המתמטים וההנדסיים בהם המדע משתמש נוצרו שיטות מתמטיות מורכבות המשתמשות בתורת הטנזורים ואנליזה וקטורית מתקדמת על מנת לכמת את כמות המעוות גם לחומרים היוצאים מגדר ההגבלות של הוק ואף של נוזלים לא ניוטונים המציגים תכונות אלסטיות תחת לחצים גבוהים ומהירים. באופן מעשי משתמשים בהנדסה בשיטות קירובים נומריות ואת החישובים עושים אלגוריתמים ממחשבים.

אנליזה מודרנית

ניתוח מדויק לכלל החומרים ולכלל הכוחות המופעלים על גוף התפתח במאות האחרונות, והיכולת להשתמש במחשבים על מנת לבצע סימולציות תרמה רבות לעדכון השיטות. להלן יוצגו המשוואות המתמטיות העומדות בבסיס האנליזה.

אלסטיות ליניארית

כאשר  קטן יחסית ל- ניתן לקרב ליניארית את הנגזרות של s ולהזניח סדרים גבוהים מסדר ראשון. סך הכל מתקבל:
טנזור המעוות מוגדר ע״י:
וכדי לקבל את התאוריה לאלסטיות, ניתן להניח שהאנרגיה החופשית לביצוע דפורמציה הולכת כמו ריבוע טנזור המעוות, וזה כדי שכאשר  האנרגיה תהיה במינימום (מה שלא מתקבל באיבר ליניארי) – לא מבצעים דפורמציה. אם כך, נכתוב את האנרגיה החופשית (תוך הנחת לוקאליות של הבעיה):
כאשר אינדקסים חוזרים נסכמים.
בלי הגבלת הכלליות ניתן לבחור את C כך שהוא יהיה סימטרי בהחלפה של  כך שסה״כ נשאר עם 21 מקדמים בלתי תלויים. תחת סימטריות ניתן להוריד את מספר הקבועים הללו, לדוגמה בסימטריה קובית נישאר עם 3 מקדמים בת״ל בלבד.
נהוג לסמן את טנזור הלחץ:
ואז לקבל:

אלסטיות בסימטריה קובית

סימטריה קובית מוגדרת ככזאת שקיימות בה סימטריות תחת שיקופים בכל אחד מהצירים. ניתן להראות שבמקרה זה נשארים עם שלושה קבועים בלבד מתוך כל ה-21:  ו-.
נקבל את הביטוי לאנרגיה חופשית:
נהוג במקרה זה לסמן:
;
ובאותו אופן מגדירים את הגדלים . נקבל:
עתה ניתן מתוך האנרגיה החופשית לחשב את מודול הנפח על ידי:
ובמקרה של שריג קובי בו מופעל לחץ אחיד על כל הדפנות מתקבל:

אלסטיות בסימטריה איזוטרופית

בגוף בו קיימת סימטריה איזוטרופית, נוספת סימטריה נוספת לבעיית הסימטריה הקובית - סימטריית סיבוב. כלומר אם לכתוב:
כאשר R היא מטריצת סיבוב כלשהי. נרצה שתחת סיבוב כזה האנרגיה החופשית לא תשתנה.
ניתן על ידי בחירת מטריצת סיבוב המתאימה ל-45 מעלות ודרישה לשוויון באנרגיה החופשית בין המצב ההתחלתי למצב המסובב להראות שמשלושה קבועים בלתי תלויים, יורדים לשני קבועים בלבד. כאשר הקבוע השלישי ניתן על ידי:
במקרה זה נוכל לכתוב:
כאשר:
 נקראים קבועי לאמה.
ניתן לקבל אינטואיציה למשמעותם של הגדלים המופיעים בביטוי באנרגיה החופשית על ידי כתיבת משוואות התנועה של הגוף. נוסיף איבר קינטי סטנדרטי מהצורה:
 כאשר  צפיפות המסה.
באמצעות משוואות אוילר-לגראנז' מתקבלת משוואת התנועה:
על ידי אינטגרציה בשני הצדדים ניתן לראות את הדבר הבא:
צד שמאל מהווה על פי הגדרה את הכוח המופעל על הגוף. בצד ימין ניתן להפעיל את משפט גאוס ולקבל שהכוח הפועל על גוף ניתן ע״י החלק המתאים בטנור הלחץ. ומכאן שמו, שכן הוא באמת מתאר את הלחץ המופעל על גוף בכל אחת מפאותיו. נשים לב שכצפוי הכוח מגיע משפות הגוף בלבד. ניתן לראות באיור את חלקיו של הטנזור.
במקרה האיזוטרופי נוכל לכתוב:
וע״י הפיכת המטריצה מתקבל:
אם נפעיל על הגוף לחץ אחיד S בכיוון z נוכל לחשב את מודול יאנג: