מסה אפקטיבית

בפיזיקה של מצב מוצק, המסה האפקטיבית של חלקיק במוצק, שלרוב מסומנת ב-, היא המסה שנדמה שיש לחלקיק כאשר מפעילים עליו כוחות. כלומר, אם יופעלו אותם כוחות על חלקיק חופשי בעל מסה ששווה למסה האפקטיבית, הוא ינוע באותו אופן.
אחת התוצאות של תורת הפסים היא שתנועתם של חלקיקים בתוך מוצק יכולה להיות מאוד שונה מתנועתם בוואקום. המסה האפקטיבית היא פרמטר שמקשר בין מכניקת הקוונטים לבין המכניקה הקלאסית. היא מאפשרת, בהרבה מקרים, לפשט את מורכבותה של תורת הפסים ושל מכניקת הקוונטים ולהתייחס אל החלקיקים בתור חלקיקים קלאסיים שתנועתם מתוארת על ידי חוקי התנועה של ניוטון, כאשר כל הכוחות הפנימיים והמאפיינים הקוונטים מגולמים על ידי המסה האפקטיבית. המסה האפקטיבית היא פישוט שנועד לאפשר התייחסות לחלקיקים הנ"ל בתור חלקיקים חופשיים הנמצאים בוואקום, אך בעלי מסה שונה ממסתם האמיתית.
עבור אלקטרונים וחורים במוצקים, המסה האפקטיבית לרוב נמדדת ביחידות של המסה האמיתית של האלקטרון , והיא לרוב נעה בין  ל-, אך יכולה גם לחרוג מערכים אלו בחומרים אקזוטיים שונים. על אף שהיא לרוב נחשבת קבוע של החומר, המסה האפקטיבית של החלקיק יכולה לקבל מספר ערכים תלוי בהגדרתה ובשימושה.
כיוון שהיא מפשטת את תורת הפסים ומכניסה את השפעתה לקבוע אחד, המסה האפקטיבית הפכה להיות קבוע בסיסי וחשוב שמשפיע על מספר רב של מאפיינים מדידים של המוצק, מיעילותם של תאים סולרים ועד מהירות פעולתם של מעגלים משולבים.

מסה אפקטיבית שלילית

בכל המקרים לעיל ההתייחסות הייתה לגודלו של הכוח המופעל אך לא לכיוונו, המסה האפקטיבית תצא שלילית אם כיוונו של הכוח שהאלקטרון חווה מנוגד לכיוונו של הכוח החיצוני.
דבר זה קורה בקצהו העליון של פס הערכיות במוליכים למחצה. בנקודה זאת ניתן לומר שהסריג מעביר לאלקטרון תנע שהפוך בכיוונו לכוח החיצוני ועל כן האלקטרונים יאיצו בכיוון שהפוך לאינטואיציה. מכיוון שפס הערכיות כמעט מלא באלקטרונים, התנהגות לא אינטואיטיבית זאת הולידה את המונח חורים, ולכן בפס הערכיות לא מדברים על תנועתם של אלקטרונים אלא על תנועתם של החורים, בצורה מקבילה להתייחסות לבועת אוויר במיכל מים כמעט מלא, שגם הוא בעל "מסה שלילית" במובן שהוא נע הפוך לכוח החיצוני שפועל עליו (כוח הכבידה, לדוגמה).

הקירוב הפראבולי

בצורתה הפשוטה ביותר, המסה האפקטיבית מוגדרת בתנאי שיווי משקל במוליכים למחצה, במצב זה האלקטרונים החופשיים במוליכים למחצה ישאפו לתחתית פס ההולכה בזמן שהחורים החופשיים ישאפו לקצהו העליון של פס הערכיות, ולכן נרצה לנתח את תנועתם והתנהגותם של החורים והאלקטרונים סביב נקודות אלו.

המקרה האיזוטרופי

לרוב הביטוי המדויק עבור צורת הפס הוא מסובך, אך תמיד ניתן לפתחו בטור טיילור סביב נקודות הקצה הנ"ל. מכיוון שזהו פיתוח סביב נקודות הקיצון, הסדר הראשון יתאפס ובסדר המוביל נקבל
כאשר  היא האנרגיה בקצה הפס,  קבוע התלוי בתכונות החומר ו הוא וקטור הגל בתוך הפס.
נרצה ליצור אנלוגיה לתנועתו של חלקיק חופשי, עבור חלקיק חופשי האנרגיה הקינטית נתונה על ידי , וכיוון שעל פי תורת הקוונטים  אזי ניתן לרשום מחדש את הביטוי למעלה בתור
כאשר  הוא קבוע פלאנק המצומצם והחלפנו את המסה האמיתית בקבוע , שנקרא המסה האפקטיבית.
השימוש במסה האפקטיבית הוא קירוב שנובע מהפיתוח לטור טיילור, ועל כן תקפות הקירוב היא כל עוד התקפות לקירוב של צורת הפס לטור טיילור תקפה, אך ברוב המקרים אפשר להתייחס לאלקטרון בתחתית בור או לחור בקצהו העילון של הבור בתור חלקיקים קלאסים שנשלטים על ידי משוואות התנועה הקלאסיות.

המקרה האנאיזוטרופי

ברוב המקרים (לדוגמה, בסיליקון) מבנה הפסים אינו סימטרי באופן כללי, ובפרט ליד נקודות הקיצון, מסיבה זאת הפיתוח ליד נקודות אלו יהיה:
כאשר  הם המסות האפקטיביות לאורך הצירים השונים.
עכשיו כבר תנועת חלקיק בודד אינה ברת השוואה לחלקיק חופשי, מכיוון שהוא יגיב לכוחות בצורה שונה בהתאם לכיוון הכוח.

המקרה הכללי

ניתן להכליל את הגדרת המסה האפקטיבית שתהיה תקפה מחוץ לנקודות הקיצון, הגדרה זאת תהיה תקפה גם מחוץ לתנאי שיווי משקל וכמו כן גם במוצקים אחרים שאינם בהכרח מוליכים למחצה.

המקרה הווקטורי

בהתאם לפיתוחים שנראו לעיל, ניתן להגדיר את המסה האפקטיבית מתוך פס האנרגיה בתור
כאשר  יכול להיות כל אחד מהכיוונים , המסה האפקטיבית המתקבלת היא וקטור.
כפי שנאמר, הגדרה זאת תקפה בכל מקום בפס האנרגיה וגם מחוץ לנקודות הקיצון, אך חשוב לשים לב שבנקודות אלו המסה האפקטיבית כבר מאבדת ממשמעותה המקורית שכן קיימים עוד איברים בטור הטיילור, ביניהם האיבר הליניארי. התייחסות למסה האפקטיבית באותו אופן, כפישוט של תורת הקוונטים והקבלתה לפיזיקה קלאסית, גורר תופעות לא אינטואיטיביות כגון תלות מסת החלקיק בווקטור הגל  (התנע הגבישי) ועל כן מסתו של החלקיק תשתנה כאשר יופעל עליו כוח.

המקרה הטנזורי

ניתן אף להכליל את המסה האפקטיבית להיות טנזור מדרגה 2 שמוגדר על ידי
כאשר הצירים מתאימים לצירים קריסטלוגרפיים ואנחנו מסתכלים סביב נקודות הקיצון, האיברים הלא אלכסונים תמיד יתאפסו ונחזור למקרה הווקטורי.

גרפן ומקרים לא פארבולים

ההגדרה הכללית למסה האפקטיבית היא ההגדרה הנפוצה ביותר, אך היא בעייתית במקרים שבהם לא ניתן לקרב את צורת פס האנרגיה לפרבולה, במקרים אלו הנגזרת השנייה של האנרגיה מתאפסת והביטוי למסה האפקטיבית מתבדר. דוגמה מובהקת לתופעה מתרחשת בגרפן, שם יחס הדיספרסיה קרוב לנקודות הקיצון הוא ליניארי (לפעמים נאמר שלאלקטרונים אלו מסה 0, אך הכוונה למסת מנוחה, מושג שונה ממסה אפקטיבית).
כפתרון לבעיה, ניתן להגדיר את המסה האפקטיבית בצורה נוספת, שלעיתים נקראת המסה האפקטיבית האופטית, דרך הנוסחה
כאשר  זהו התנע הגבישי ו-  זוהי מהירות החבורה של פונקציית הגל.
ניתן להראות, שכאשר החומר איזוטרופי, הגדרה זאת מתלכדת עם ההגדרה הכללית ועם ההגדרה של מסה אפקטיבית של ציקלוטרון.
מדידות של המסה האפקטיבית בגרפן מאששות את היחס הנ"ל.
יש לשים לב שבשתי ההגדרות המסה האפקטיבית לא תהיה מוגדרת היטב בנקודת הקיצון עצמה, שכן יחס הדיספרסיה שם אינו חלק.

מדידת המסה האפקטיבית

המסה האפקטיבית היא פרמטר שניתן למדידה ישירה בעזרת ניסוי רסונס של ציקלוטרון.
כאשר מפעילים שדה מגנטי אחיד מוצק, האלקטרונים והחורים יתחילו לנוע בצורה ספירלית בתדירות שניתנת על ידי
כאשר  הוא מטען האלקטרון, ו- זהו גודל השדה המגנטי.
כאשר משדרים גלי רדיו על הדוגמה בתדר הנ"ל ניתן להבחין בבליעה חזקה, רסונס, בעזרת ניסוי זה אפשר לחלץ את המסה האפקטיבית. על ידי שינוי הכיוון של השדה המגנטי ניתן למדוד את המסה האפקטיבית בכיוונים שונים.
מלבד דרך זאת ישנן מספר דרכים עקיפות למדידת המסה האפקטיבית.