חוקי פרנל

חוקי פרנל הם כללים פיזיקליים המתארים כיצד גל אלקטרומגנטי ובפרט אור, מוחזר ונשבר במפגש בין שני חומרים בעלי תכונות אופטיות שונות, כגון זכוכית ואוויר. החוקים נקראים על שם אוגוסטן ז'אן פרנל אשר הגה אותם ברבע הראשון של המאה ה-19. חוקים אלו הם מעמודי התווך של האופטיקה ומשמשים כבסיס להסבר תופעות אופטיות רבות כגון, החזרה פנימית מלאה, זווית ברוסטר, התאבכות משכבות והקיטובים של אופנים מולכים.

היסטוריה

חוקי פרנל באו כ-200 שנה אחרי שהריוט, סנל ודקארט גילו את חוקי ההחזרה והשבירה לעולם האירופאי. פרנל עשה את הצעד הבא כאשר בעזרת חוקיו, תיאר לא רק את הכיוון אליו האור יוחזר ויישבר, אלא גם את חלוקת העוצמה של הגל הפוגע בין הגל הנשבר והמוחזר. המרכיבים החסרים ב-200 שנה אלו היו הבנת הקיטוב של האור, ותכונותיו הגליות. אף על פי שבעזרת גבישי קלציט איסלנדי כבר בשנות ה-70 של המאה ה-17 ידעו הויגנס וברתולין שלאור השמש קיימת תכונה חבויה לה קראו קיטוב, אף אחד לא ידע לתאר פיזיקלית את מקור תכונת הקיטוב. בנוסף לכך העולם המדעי במאה ה-18 קבל כמעט באופן מוחלט את תפיסתו של ניוטון בה האור הוא זרם חלקיקים, על פני התפיסה הגלית של הויגנס. פרנל ויאנג גילו באופן בלתי תלוי גם את תכונותיו הגליות של האור בניסויים שונים של התאבכות, וגם את קיטובו הרוחבי של אור השמש ,. חוקי פרנל הם תלויים בכיוון התנודות של הגל האלקטרומגנטי (דהיינו הקיטוב), לתנודות אלו אין מקום בתורה החלקיקית של ניוטון. פרנל בחייו הקצרים הבין את תכונותיו הגליות של האור ביניהן הקיטוב, ועם הבנה זאת ידע לפתח את חוקי פרנל מתאוריה מכנית של ויברציות בחומר. כיום מקובל להוכיח את חוקי פרנל תאורטית ממשוואות מקסוול אשר נולדו לעולם רק כמחצית המאה לאחר מכן.

זווית ברוסטר

ניתן להראות ממשוואות פרנל עבור מקדם ההחזרה של הקיטוב המקביל () שבכל מעבר תווך דיאלקטרי חייב המקדם להתאפס בזווית כלשהי. זווית זו נקראת זווית ברוסטר על שם הפיזיקאי דייוויד ברוסטר שגילה אותה, האור המוחזר במקרה זה יהיה מקוטב בקיטוב מאונך () ועל כן ברוסטר קרא לזווית, זווית הקיטוב. ברוסטר גילה את זווית הקיטוב באופן ניסיוני כעשור לפני שפרנל פיתח את משוואותיו . קיימים חומרים כיראלים (לא ניתן לתארם רק בעזרת אינדקס שבירה) בהם קיימת זווית קיטוב אך עוצמת ההחזר () אינו יורד לאפס.

המשוואות (סימונים שונים)

קיימות גרסאות רבות למשוואות פרנל. נביא כאן כמה מהגישות מספרי אופטיקה נפוצים המתארים את מקדמי ההחזרה והעברה של השדה החשמלי (למשל Born & Wolf), העוצמה () ושטף העוצמה (למשל Siegmann). כל המשוואות הן עבור חומרים ליניארים איזוטרופים ללא תגובה מגנטית.

שטף האנרגיה

בבעיות פיזור של אור קיים חוק שימור של שטף העוצמה. כלומר שטף האנרגיה הנכנס שווה לשטף האנרגיה היוצא. במקרה של חוקי פרנל פיזור במפגש של שני תווכים אחידים אופטית, השטף היוצא הוא סכום שטף האנרגיה המוחזר והנשבר. מתמטית הדבר זהה לחוק שימור זרם ההסתברות במכניקת הקוונטים. שטף האנרגיה תלוי בעוצמה אך גם תלוי במהירות הגל בחומר ובזווית התקדמותו יחסית למפזר.
שטף העוצמה החשמלית היא האנרגיה ליחידת זמן החוצה במאונך את המפגש בין שני התווכים  ולכן מוגדר כ:
, ולכן המשוואות עבור מקדמי ההחזריות והמעבריות הם:
 ו . 
על פי חוק שימור שטף העוצמה .

פיתוח

פרנל פיתח את חוקיו ממודל מכני של תגובת החומר לאור, אך כיום מקובל לפתח את החוקים ישירות ממשוואות מקסוול תחת ההנחה של תגובה ליניארית ותווך ללא זרמים ומטענים חופשיים.

הרחבה לחומרים אחרים


בנוסף למעבר בין שני תווכים דיאלקטרים איזוטרופים, ללא תגובה מגנטית, ניתן להרחיב את חוקי פרנל לתווכים אחרים, כאשר ההתייחסות תמיד היא למעבר מחומר דיאלקטרי כגון אוויר לתווך בעל החומר המדובר.

תגובה מגנטית

המשוואות ניתנו עבור חומרים ללא תגובה מגנטית ().

גבישי שבירה כפולה

פרנל עצמו כמו חוקרים רבים בזמנו חקרו את תכונת הקיטוב של האור בגבישי שבירה כפולה, בפרט קלציט. באופן כללי גבישים אשר אינדקס השבירה שלהם אינו אחיד לכיוון ההתקדמות של הגל האלקטרומגנטי אינם מקיימים את תכונת הקיטוב העצמי של קיטובי s ו p, וזאת משום שהקיטוב הרגיל והבלתי רגיל נעים בכיוונים שונים בתוך הגביש.