גוטפריד וילהלם לייבניץ

ראשית חייו

גוטפריד לייבניץ נולד ב-1 ביולי 1646, בשלהי מלחמת שלושים השנים, בלייפציג שבסקסוניה, לפרידריך לייבניץ וקתרינה שמוּק.
הוא הוטבל ב-3 ביולי בכנסיית ניקולאי הקדוש, וסנדקו היה התאולוג הלותרני מרטין גאייר. אביו מת כשהיה בן שש וחצי, ומאז גדל בחיק אמו. השיעורים שהעניקה לבנה השפיעו רבות על רוחו של לייבניץ הצעיר, וניתן למצוא להם הד בהגותו הפילוסופית בהמשך חייו].
אביו של לייבניץ, פרידריך, היה פרופסור ל"פילוסופיה של המוסר", כלומר אתיקה, באוניברסיטת לייפציג, והבן ירש מאוחר יותר את הספרייה של אביו עם מותו. בעוד שלימודי בית הספר שלו הוגבלו בעיקר ללימודים בסיסיים, הספרייה של אביו הייתה פתח למגוון רחב של טקסטים פילוסופיים ותאולוגיים - כאלה הנלמדים רק בשנות האוניברסיטה. לימודים אלה, היו גם המקור לשליטתו המוקדמת בלטינית, לשון ההגות אותם ימים, אותה השיג כבר בגיל 12. מתואר כי בגיל 13 חיבר במהלך בוקר אחד 300 הקסמטרים של שירה לטינית עבור אירוע מיוחד בבית ספר.
באפריל 1661, בגיל 15, החל לייבניץ, ללמוד משפטים באוניברסיטת לייפציג, בה השלים תואר ראשון בפילוסופיה בדצמבר 1662. ב-9 ביוני 1663, הגן על עבודתו "המחלוקת המטאפיזית בעקרון האינדיווידואציה" שדן באינדיווידואציה, וב-7 בפברואר 1664, השלים תואר שני בפילוסופיה. בדצמבר 1664, הגיש והגן על עבודת הדוקטורט שלו "חיבור אודות אוסף בעיות פילוסופיות אודות זכות", בו תיאר את הקשר התאורטי והפדגוגי בין פילוסופיה ומשפטים. ב-28 בספטמבר 1665, עם תום שנת לימודים אחת, קיבל תואר בוגר אוניברסיטה במשפטים בתומה הגיש הדיסרטציה "על התנאים".
בתחילת שנת 1666, בגיל 19, חיבר לייבניץ את ספרו הראשון, על אמנות הקומבינציה. חלקו הראשון הוא גם התזה שהגיש במסגרת התואר שלו בפילוסופיה, במרץ 1666.
יעדו הבא היה להשיג התמחות ודוקטורט במשפטים, דבר שבדרך כלל היה כרוך בשלוש שנות לימודים נוספות. ב-1666 סירבה אוניברסיטת לייפציג להעניק לו תואר דוקטור במשפטים בשל גילו הצעיר. בעקבות כך העתיק לימודיו לאוניברסיטת אלטדורף. לא זו בלבד שעבודת התזה שלו קנתה לו תואר דוקטור אלא אף משרת פרופסור. אולם לייבניץ דחה את ההצעה.
בשנות חייו הבוגרים, לייבניץ הציג את עצמו לעיתים קרובות כ"גוטפריד פון לייבניץ". כך בהרבה ממהדורות חיבוריו הוצג שמו בעמוד השער "פרייהר ג.ו. פון לייבניץ". אף על פי כן, מעולם לא אותר מסמך רשמי המייחס ללייבניץ תואר אצולה.

1674 - 1666

פרק זה דורש עריכה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולערוך אותו. 
ב-1666 ביקש ללמוד אלכימיה בקרב אגודת אלכימאים בנירנברג. תיאורו של לייבניץ למקרה, הוא שמבלי ידע מוקדם בתחום, ולאחר קריאה שטחית ניסח מכתב שכלל את כל המושגים הסתומים שבעצמו לא הבין וכך הצליח לשטות בחברי האגודה ולהציג עצמו כמלומד. לאחר זמן קצר פגש את יוהאן כריסטיאן פון בואנבורג , שבאותה עת פוטר מתפקיד השר הראשי ל"ארכיבישוף הבוחר" של מיינץ יוהאן פיליפ פון שנבורן. פון בואנבורג שכר את לייבניץ כעוזרו, וזמן קצר לאחר מכן השלים עם הארכיבישוף והציג את לייבניץ בפניו. לייבניץ הקדיש לפון שנבורן חיבור במשפטים בתקווה שיעניק לו משרה, וכך היה, הארכיבישוף ביקש מלייבניץ לעזור בכתיבת הקוד החוקתי החדש של נסיכות הבוחר, ועם השלמת המטלה רכש את אמונו. ב-1669 מונה ליועץ של בית הדין לערעורים במיינץ.
פון בואנבורג פעל רבות כדי לקדם את המוניטין של לייבניץ. אחרי שרכש את אמונו של הארכיבישוף זכה במשרה דיפלומטית. תוך כדי כך, שלח לייבניץ את ידו בפוליטיקה בינלאומית. הוא פרסם חיבור, תחת שם העט של "אציל פולני" אלמוני, המצדד (לא בהצלחה) במועמד הגרמני לכתר הפולני. השחקן בעל ההשפעה הרבה ביותר בזירה הבינלאומית של אירופה במהלך חייו הבוגרים של לייבניץ היה מלך צרפת לואי ה-14. אותם ימים הותירה מלחמת 30 השנים את נסיכויות הבוחר באימפריה הרומית הקדושה חבולות וכשהן חוששות מעוצמתה של האימפריה הצרפתית העולה. לייבניץ הציע להגן על חלקיה "דוברי הגרמנית" של "הקיסרות הרומית הקדושה" באמצעות הסטת מוקד העניין של הכס הצרפתי להולנד והגשת מושבותיה כאתנן- הוא שכנע את פון שנבורן המסתייג לנסוע לפריז ולהציע ליועציו של לואי ה-14 לפלוש למצרים, כצעד מפתח במהלך לכיבוש המושבות ההולנדיות שבאינדונזיה, וגדיעת העליונות ההולנדית במסחר הימי. בשנת 1672 הוזמן לייבניץ על ידי הממשלה הצרפתית לפריז לדון בהצעתו, אך התוכנית נגנזה בחטף עם פרוץ מלחמת הולנד.
פון בואנבורג נפטר ב-1672, אך לייבניץ הועסק על ידי אלמנתו עד שנת 1674.
פריז הייתה אז אחד ממרכזי המדע והפילוסופיה, ולייבניץ נשאר בה במשך מספר שנים. זמן קצר לאחר שהגיע לשם, הוא פגש את המתמטיקאי והפיזיקאי ההולנדי כריסטיאן הויגנס, ונוכח לדעת שהידע שלו במתמטיקה ופיזיקה היה קטן ולא שיטתי. עם הויגנס כמנטור החל בתוכנית של לימוד עצמי שתוך זמן קצר הביאה אותו לתרומות משמעותיות לשני התחומים, ובהן הגילוי את הגרסה שלו של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי. הוא פגש גם את ניקולאס מלברנש (Nicolas Malebranche) ואת אנטואן ארנו (Antoine Arnauld), הפילוסופים הצרפתית המובילים באותה עת, ולמד את עבודותיהם של דקארט ופסקל, כולל את הכתבים הלא מפורסמים שלהם. הוא רקם חברות קרובה עם המתמטיקאי הגרמני טשירנהאוסן (Ehrenfried Walther von Tschirnhaus); הם התכתבו במשך שארית חייהם. ב-1675 מונה לחבר של כבוד מטעם האקדמיה הצרפתית למדעים.
כאשר התבהר שצרפת לא תממש את חלקה בתוכנית הפלישה למצרים של לייבניץ, האלקטור שלח מוקדם ב-1673 את אחיינו, בליווי של לייבניץ, לפגישה עם הממשלה האנגלית בלונדון, לצורך משימה הקשורה לתוכניתו של לייבניץ. שם לייבניץ ערך הכרות עם הנרי אולדנבורג וג'ון קולינס. הוא נפגש עם החברה המלכותית, בפניה הדגים מכונת חישוב שתכנן ובנה מאז 1670. המכונה הייתה מסוגלת לבצע את כל ארבע הפעולות החשבוניות הבסיסיות (חיבור, חיסור, כפל וחילוק), והחברה הפכה אותו עד מהרה לחבר חיצוני.
המשימה נסתיימה בפתאומיות כאשר חדשות על מותו של האלקטור (12 בפברואר 1673) הגיעו אליהם. לייבניץ חזר מיד לפריז ולא, כפי שתוכנן, למיינץ. מותם הפתאומי של שני הפטרונים שלו באותו החורף אותת שלייבניץ היה חייב למצוא בסיס חדש לקריירה שלו.
בעניין זה, ההזמנה שקיבל לייבניץ ב-1669 מיוהאן פרידריך, דוכס בראונשווייג-לינבורג לבקר בהנובר, הוכחה בדיעבד כגורלית. לייבניץ דחה את ההזמנה, אבל החל להתכתב עם הדוכס מאז 1671. ב-1673, הדוכס הציע ללייבניץ משרה של יועץ. לייבניץ קיבל את ההצעה שנתיים מאוחר יותר, מאוד בחוסר רצון, ורק אחרי שנעשה ברור שאין לו תעסוקה אפשרית בפריז, אשר מהגירוי האינטלקטואלי שלה הוא נהנה מאוד.

בית הנובר, 1716 - 1676

לייבניץ החליט לדחות את הגעתו להנובר עד סוך 1676 לטובת ביקור נוסף ללונדון, שם ניוטון האשים אותו שעיין באחד מכתביו הלא מפורסמים על החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי. זה היה כביכול עדות שתמכה בהאשמה, עשורים רבים לאחר מכן, שלייבניץ גנב את החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי מניוטון. במסעו חזרה מלונדון להנובר, לייבניץ עצר בהאג, שם הוא פגש את אנטוני ואן לוונהוק, המגלה של מיקרואורגניזמים. הוא גם בילה מספר ימים בדיון סוער עם שפינוזה, אשר זמן קצר לפני כן השלים את יצירת המופת שלו, האתיקה.
ב-1677, הוא קודם, בבקשתו, ליועץ בסוד לענייני צדק, משרה בה החזיק למשך שארית חייו. לייבניץ שירת שלושה שליטים עוקבים של בית בראונשוויג כהיסטוריון, יועץ פוליטי, ובאופן בולט מכל, כספרן של ספריית הדוכסות. הוא לפיכך התערב בכל העניינים הפוליטיים, היסטוריים ותאולוגיים הקשורים בבית ברונסוויק; המסמכים שנכתבו בתקופה זו מהווים חלק רב ערך של התיעוד ההיסטורי של תקופה זו.
בין האנשים היחידים בצפון גרמניה שקיבלו את לייבניץ הייתה האלקטורית סופיה מהנובר (1714 - 1630), ובתה סופיה שרלוטה מהנובר (1705 - 1668), מלכת פרוסיה ותלמידה המושבע, וקרולינה, מרקיזת ברנדנבורג-אנסבך, סבתו של מלך בריטניה לעתיד ג'ורג' השני. בעבור כל אחד מהנשים האלו הוא היה מכותב, יועץ, וחבר, ובתמורה, הן כולן תמכו בלייבניץ יותר מאשר בני זוגם ומלך בריטניה לעתיד ג'ורג' הראשון.
האוכלוסייה של הנובר באותה עת מנתה בערך רק 10,000 איש, והפרובינציאליות שלה בסופו של דבר הפריעה ללייבניץ. אף על פי כן, להיות חצרן מרכזי בבית בראונשוויג היה כבוד של ממש, במיוחד לאור הצמיחה המטאורית ביוקרה של הבית במהלך שירותו של לייבניץ שם. ב-1692, הדוכס מ בראונשוויג הפך לאלקטור היורש של האימפריה הרומית הקדושה. חוק ההסדר הבריטי מ-1701 הועיד את האלקטורית סופיה וצאצאה כמשפחה המלכותית של אנגליה, לאחר גם שגם המלך ויליאם השלישי ואחותו בחוק ויורשתו, המלכה אן, נפטרו. לייבניץ מילא תפקיד מרכזי ביוזמות ובמשא ומתן שהוביל לפעולה הזו, אך לא תמיד פעל באופן אפקטיבי. לדוגמה, משהו שהוא פרסם באופן אנונימי באנגליה, במטרה לקדם את מטרות בית בראונשוויג, צונזר באופן רשמי על ידי הפרלמנט הבריטי.
בני בית בראונשוויג התייחסו בסבלנות למאמצים האינטלקטואליים האדירים שלייבניץ הקדיש לחקירות אינטלקטואליות שלא קשורות לחובותיו כחצרן, חקירות כגון ליטוש לכדי שלמות של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי, כתיבה על נושאים מתמטיים אחרים, לוגיקה, פיזיקה ופילוסופיה, ושמירה על תכתובת ענפה. הוא החל לעבוד על הקלקולוס ב-1674; העדות המוקדמת ביותר לשימוש בו במחברותיו ששרדו היא מ-1675. ב-1677 כבר הייתה ברשותו מערכת קוהרנטית, אך הוא לא פרסם אותה עד 1684. מאמריו המתמטיים החשובים ביותר של לייבניץ פורסמו בין השנים 1682 ו-1692, בדרך כלל בכתב עת אשר הוא ואוטו מנק ייסדו ב-1682, Acta Eruditorum. כתב עת זה שיחק תפקיד מפתח בקידום המוניטין המתמטי והמדעי של לייבניץ, אשר בתורו הגביר את הבולטות שלו בדיפלומטיה, היסטוריה, תאולוגיה ופילוסופיה.
האלקטור ארנסט אוגוסטוס הפקיד בידי לייבניץ את המשימה לכתוב היסטוריה של בית בראונשוויג, שתתחיל מזמנו של קרל הגדול או מוקדם יותר, בתקווה שהספר שייכתב יקדם את שאיפותיו השושלתיות. בשנים 1691 -1717 לייבניץ עבד בספריית הדוכס אוגוסט. מ-1687 ל-1690, לייבניץ נסע רבות ברחבי גרמניה, אוסטריה ואיטליה, כשהוא מחפש ומוצא חומרי ארכיב הקשורים לפרויקט הזה. עשורים חלפו אך שום ספר היסטוריה לא הופיע; האלקטור הבא הפך נרגז מאוד מהשיהוי לכאורה של לייבניץ. לייבניץ מעולם לא סיים את הפרויקט, במידה מסוימת בגלל התפוקה האדירה שלו בחזיתות רבות אחרות, אבל גם מפני שהוא התעקש על כתיבה קפדנית של ספר מחקרי ומלומד בהתבסס על מקורות ארכיוניים, בעוד שפטרוניו היו שמחים אילו היה נכתב ספר פופולרי קצר - משהו שהוא קצת יותר מגנאלוגיה והערות עליה, שיושלם תוך שלוש שנים או פחות. הם מעולם לא ידעו שהוא למעשה לקח על עצמו חלק נכבד במשימה שרצו שתבוצע; כאשר החומרים שלייבניץ כתב ואסף על ההיסטוריה של ברונסוויק פורסמו בסופו של דבר במאה ה-19, הם מילאו שלושה כרכים.
ב-1708, ג'ון קייל, שכתב בכתב העת של החברה המלכותית ועם ברכתו של ניוטון, האשים את לייבניץ בגניבה ספרותית של הקלקולוס של ניוטון. כך החלה מחלוקת הקדימות על גילוי הקלקולוס אשר העיבה מאוד על המשך חייו של לייבניץ. חקירה רשמית שנערכה על ידי החברה המלכותית, שנעשתה בדרישתו של לייבניץ להכחשה רשמית מצדה, העלתה את חמתו של קייל. ועידה זו פסקה לטובת ניוטון, אך את הדוח המסכם של הוועדה כתב ניוטון עצמו. היסטוריונים של המתמטיקה שכתבו החל מ-1900 נטו לתמוך בלייבניץ, תוך הצבעה על ההבדלים בין הגרסאות של לייבניץ וניוטון לקלקולוס.
ב-1711, במהלך מסעותיו באירופה הצפונית, הצאר הרוסי פטר הגדול עצר בהנובר ופגש את לייבניץ, אשר כתוצאה לקח עניין מסוים בעניינים רוסיים במשך שארית חייו. ב-1712, לייבניץ החל במגורים במשך שנתיים בווינה, שם הוא מונה ליועץ הקיסרי המשפטי של בני הבסבורג. בעקבות מותה של המלכה אן ב-1714, האלקטור גאורג לודוויג הפך למלך בריטניה ג'ורג' הראשון, תחת התנאים של חוק ההסכמה 1701. אף על פי שלייבניץ עשה רבות למען התרחשותו של האירוע המשמח הזה, זאת לא הייתה שעת התהילה שלו. על אף השתדלותה של נסיכת ויילס, קרולין מאנסבך, ג'ורג' הראשון אסר על לייבניץ להצטרף אליו בלונדון עד שהוא ישלים לפחות כרך אחד על ההיסטוריה של בית ברונסוויק אשר אביו הפקיד בידיו לכתוב כשלושים שנה מוקדם יותר. יותר מכך, בעבור ג'ורג' הראשון, לכלול את לייבניץ במסעו ללונדון יהווה עלבון עבור ניוטון, שנתפס כמי שניצח בעימות הקדימות על הקלקולוס ושמעמדו בקרב מעגלים בריטיים רשמיים לא יכול היה להיות גבוה יותר. בסופו של דבר, חברתו ומגנתו האלקטורית האלמנה סופיה, נפטרה ב-1714.

מותו

לייבניץ נפטר בהנובר ב-1716; באותו זמן, הוא היה כל כך "מחוץ לאופנה" שלא ג'ורג' הראשון (שהזדמן לו להיות ליד הנובר באותו זמן) ושום חצרן אחר של בית ברונסוויק מלבד המזכיר שלו, נכחו בהלוויה. אף על פי שלייבניץ היה חבר בחברה המלכותית והאקדמיה למדעים בברלין, שני הארגונים לא ראו את זה כהולם מספיק לציין את מותו. קברו נותר לא מסומן במשך יותר מ-50 שנה. לייבניץ זכה להספד מצד פונטנל בפני האקדמיה למדעים בפריז, אשר מינתה אותו לחבר זר מטעמה ב-1700. ההספד נכתב בנוכחותה של דוכסית אורלינס, אחייניתה של האלקטורית סופיה.

חיים אישיים

לייבניץ מעולם לא נישא. הוא התלונן בהזדמנות מסוימת על מחסור בכסף, אך הסכום הנכבד שהוא הוריש ליורשו הבלעדי, בנה החורג של אחותו, הוכיח שבני בית ברונסוויק שילמו לו היטב. בשליחויותיו הדיפלומטיות הוא לעיתים קרובות התנהג בחוסר מצפון, התנהגות שהייתה נפוצה בקרב דיפלומטים מקצועיים בתקופתו. בהזדמנויות אחדות, לייבניץ תארך לאחור והחליף כתבי יד אישיים, פעולות שהציבו אותו באור שלילי במהלך עימות הקדימות על גילוי הקלקולוס. מאידך, הוא היה מקסים, אדיב מאוד, ולא בלי חוש הומור ודמיון. היו לו חברים ומעריצים רבים ברחבי אירופה. על השקפותיו הדתיות של לייבניץ, אף על פי שהוא נחשב על ידי ביוגרפים אחדים לדאיסט, נטען לעיתים קרובות שהוא היה גם תאיסט פילוסופי.

מתמטיקה

נוסף על תרומתו לאנליזה, תרם לייבניץ תרומות חשובות גם לענפים מתמטיים אחרים: קומבינטוריקה, אלגברה, גאומטריה, ותורת המספרים. באלגברה, הוא היה הראשון שהשתמש ברעיון של דטרמיננטה של מערכת משוואות ליניאריות, וגילה כמה מעקרונות היסוד של תורת הדטרמיננטים, כגון התוצאות הידועות בשם נוסחת לייבניץ לדטרמיננטות וכלל קרמר (האחרון התגלה על ידו ב-1684). בשנים 1681 - 1679 טבע את המונח המתמטי "רזולטנט" של זוג פולינומים וגילה תוצאות חשובות הקשורות בו. מאמציו של לייבניץ לבסס את תורת הדטרמיננטים למעשה כוננו את התאוריה שלהן באירופה (המושג הומצא במקביל ובאופן בלתי תלוי בלייבניץ על ידי המתמטיקאי היפני Seki Takakazu). הוא חקר רבות גם את התכונות של פולינומים סימטריים; מאמציו אלו היו קשורים באופן הדוק לניסיונו לפתור את המשוואה ממעלה חמש ומעלה בצורה אלגוריתמית, ובמסגרתם הגיע לממצאים חשובים - בהם "המשפט היסודי של פונקציות סימטריות" ומספר הדגמות שלו (תוצאות אליהן הגיע קודם אייזק ניוטון). תרומות אלו שלו לאלגברה מפוזרות על פני למעלה מ-100 כתבי יד בלתי מפורסמים, ורבות מהן הקדימו את הולדת האלגברה הליניארית בלמעלה ממאה שנים. בגאומטריה הניח ב-1686 את היסודות לתאוריה של contiguity of curves, וביחד עם הויגנס פיתח את התאוריה של מעטפות של משפחת עקומים (בשנים 1692–1694).
בתורת המספרים, הוכיח לייבניץ לראשונה תוצאה יסודית חשובה בתורת המספרים: המשפט הקטן של פרמה, ומאוחר יותר גילה גם את משפט וילסון, אך כתבי היד האלה נותרו לא מפורסמים, כך שלאונרד אוילר וז'וזף לואי לגראנז' הוכיחו את התוצאות האלה באופן בלתי תלוי. בקומבינטוריקה, היה לייבניץ הראשון שחקר והגיע למספר תוצאות על חלוקות של מספרים, בהם: הנוסחה הרקורסיבית של אוילר לחלוקה של מספר n ל-k חלקים, ומספר מקרים פרטיים של הנוסחה הכללית לחלוקות שהתגלתה על ידי Stern ב-1840. כמו כן גילה את מספרי סטירלינג ואת התכונות הקומבינטוריות שלהן. לייבניץ ניסה לבסס את היסודות הלוגיים של החשבון האינפיניטסימלי, חקר את ההתכנסות של סכומים אינסופיים, והגדיר קריטריון להתכנסות טורים שנקרא כיום בשם מבחן לייבניץ. הוא טבע מונחים מתמטיים רבים, בהם: "דיפרנציאל", "פונקציה", "קואורדינטה", "אבסקיצה (abscissa)", "עקומים אלגבריים וטרנסצנדנטיים", ו"אלגוריתם". לייבניץ היה גם הראשון שגילה, באמצעות מניפולציות מתמטיות חדשניות לזמנו, את הזהות הבאה לקבוע המתמטי פאי (טור לייבניץ-גרגורי):
לייבניץ בנה את המחשב המכני הראשון שהיה מסוגל להכפיל ולחלק מספרים אלה באלה, ועמל על פיתוח מחשב מכני שיוכל לחשב שורש ריבועי. הוא גם פיתח את הצורה המודרנית של השיטה הבינארית, שבה משתמשים מחשבים דיגיטליים בני ימינו.

Analysis situs - טופולוגיה

לייבניץ היה הראשון שהשתמש במונח analysis situs, אשר מאוחר יותר במאה ה-19 השתמשו בו כדי להתייחס למה שכיום נקרא טופולוגיה. ישנן שתי עמדות לגבי המידה בה לייבניץ חזה את התחום. עמדה אחת מבוטאת על ידי החוקר Mates בצטטו מאמר בגרמנית מ-1954 של יאקוב פרוידנטל, שטוען:
על אף שעבור לייבניץ המצב של סדרה של נקודות נקבע לחלוטין לפי המרחק ביניהן ומוחלף אם המרחק ביניהם מוחלף, תומכו אוילר, במאמרו המפורסם מ-1736 המציג את הפתרון לבעיית הגשרים של קניגסברג והכללותיה, השתמש במונח geometria situs כדי להתייחס לתכונה שהמצב של הנקודות לא משתנה תחת דפורמציות טופולוגיות. הוא, באופן מוטעה, זוקף לזכות לייבניץ את הצגת המונח... זה לעתים קרובות לא נהיר שלייבניץ השתמש במונח במובן שונה לחלוטין ולכן לא ניתן לייחס לו תרומה ראשונית לייסוד הענף.
מאידך, Hideaki Hirano טוען אחרת, ומצטט את מנדלברוט:
לחקור את עבודותיו המדעיות של לייבניץ זוהי חוויה מפכחת. מלבד החשבון האינפיניטסימלי, ומחשבות אחרות שלו שהובאו לידי שלמות, המספר והמגוון של תגליות מזהירות בכתביו הוא מדהים. ניתן למצוא דוגמאות ב-"אריזות" שהוא תיאר... שגעון לייבניץ שלי מתחזק שוב לנוכח העובדה שהגיבור שלו ייחס משמעות רבה לסקלה גאומטרית. בעבודתו "Euclidis Prota"..., שהיא נסיון לחזק את האקסיומות של אוקלידס, הוא קובע...:"יש לי מגוון הגדרות לקו הישר. הקו הישר הוא עקום, שכל חלק שלו דומה לכללותו, ולו בלבד יש את התכונה הזו, לא רק בין עקומים אלא גם בין קבוצות". את הטיעון הזה ניתן להוכיח בימינו אנו.
הגאומטריה הפרקטלית שקידם מנדלברוט התבססה על רעיון הדמיון-העצמי של לייבניץ ועל עקרון הרציפות שלו - "Natura non facit saltus". ניתן לראות שכאשר לייבניץ כתב, בנימה מטאפיזית: "הקו הישר הוא עקום, אשר כל חלק שלו דומה לשלם", הוא הקדים את זמנו בשתי מאות, וניבא במידת מה את הטופולוגיה המודרנית. בנוגע ל-"אריזות", לייבניץ כתב לחברו ועמיתו Des Bosses לדמיין מעגל, ואז לחסום בו שלושה מעגלים זהים עם רדיוס מקסימלי; לאחר מכן את הרווחים בין המעגלים הקטנים יותר ניתן למלא בשלושה מעגלים קטנים עוד יותר באמצעות אותו תהליך. את התהליך הזה ניתן להמשיך עד לאינסוף, וממנו ניתן לקבל רעיון טוב לגבי מהו דמיון-עצמי. השיפור של לייבניץ את האקסיומה של אוקלידס מכיל את אותו הרעיון.

מדע והנדסה

כתביו של לייבניץ נידונים בימינו, ובמיוחד בעשורים האחרונים, לא רק בשל החיזויים שלהם ותגליות אפשריות שעדיין לא זוהו, אלא גם כדרכים לקדם את הידע הנוכחי. רבים מכתביו על פיזיקה נכללים בספרו של גרהרדט "Mathematical Writings".

פיזיקה

לייבניץ תרם תרומה רבה לסטטיקה ולדינמיקה המתפתחת בתקופה, לעיתים קרובות תוך יציאה נגד ההשקפות של דקארט וניוטון. בכתביו תיאר לייבניץ תאוריה של תנועה המבוססת על אנרגיה קינטית ואנרגיה פוטנציאלית, אשר תיארה את המרחב כיחסי, בעוד שניוטון אחז בדעה איתנה שהמרחב הוא אבסולוטי. דוגמה חשובה לחשיבה הפיזיקלית המתקדמת של לייבניץ מופיעה בחיבורו
Specimen Dynamicum מ-1695.
עד הגילוי של החלקיקים התת-אטומיים ומכניקת הקוונטים המושלת בהם, רבים מרעיונותיו הספקולטיביים של לייבניץ על היבטים של הטבע שאינם ניתנים לרדוקציה לסטטיקה ודינמיקה השפיעו במידה מועטה. לדוגמה, השערתו כי המרחב, הזמן והתנועה הם יחסיים ולא מוחלטים, היא כיום אבן יסוד בקוסמולוגיה המודרנית, ולייבניץ כתב: "לגבי דעתי, אני טענתי יותר מפעם אחת, שאני סובר כי המרחב הוא משהו יחסי בטבעו, כלומר שהוא דרגה של קיום סימולטני של ישויות, באותו אופן שהזמן מיוצג על ידי רצף של אירועים".
הדעות של לייבניץ עמדו בניגוד להשקפותיו של ניוטון. לפי התורה של ניוטון, מרחב וזמן קיימים בזכות עצמם, כישויות נפרדות. היחסיות של לייבניץ לעומת זאת, מתארת את המרחב והזמן כמערכת של יחסים שקיימים בין עצמים. עלייתה של תורת היחסות הכללית וההתפתחויות שלאחריה בהיסטוריה של הפיזיקה הציבו את השקפותיו של לייבניץ באור חיובי יותר.
אחד הפרויקטים המרכזיים של לייבניץ היה להחיות מחדש את תורת הכבידה של ניוטון כתאוריית מערבולות. מכתביו וממכתביו של לייבניץ ידוע כי התנגד לרעיונותיו של ניוטון בדבר הכבידה, וטען כי לשום כוח אין לייחס סגולות נסתרות, כמו משיכה בין גופים ללא מגע. אף על פי כן, הפרויקט של לייבניץ התקדם מעבר לניסיון זה, שכן בלבו עמד הניסיון להסביר את אחת הבעיות הקשות ביותר בפיזיקה, זו של הקוהזיה של החומר. לייבניץ דחה חלקית את ההשקפות האטומיסטית על מבנה החומר - הוא טען כי ההנחה שהאטומים בלתי חדירים וקשיחים במידה אינסופית (תכונה שנקראת Impenetrability) עומדת בסתירה לעקרון הרציפות - שכן קשיחות אינסופית משמעה התנגשויות אלסטיות מיידיות (שאורכות אפס זמן) ואילו "הטבע לא עושה קפיצות".
בהקשר זה, לייבניץ יצא במאמרו "היפותזה פיזיקלית חדשה" מ-1670 נגד תמונת "החומר הפסיבי" המרכזית להשקפת העולם הקרטזית ותמך בתמונה דינמית של מבנה החומר כהסבר ל"תאחיזת החומר". במאמרו הציע לייבניץ לחקור את המבנה הנסתר, ה-"בלתי חדיר" והבלתי נדלה של החומר כאמצעי לגלות את המקור האמיתי לתופעות השונות. שאיפותיהם של פיזיקאים בני המאה ה-20 לפצח את המבנה התת-אטומי של החומר עלו בקנה אחד עם השקפה זו, וחשפו את האמת הדינמית (עם חלקיקים תת-אטומיים ונשאי כוח המעבירים את האינטראקציות) הבסיסית העומד ביסוד מבנה החומר.
כלל לייבניץ לנגזרות של מכפלות משמש כצעד חשוב בהוכחות רבות בתחומים מגוונים בפיזיקה. עקרון זהות הסמויים במכניקת הקוונטים. אלו שתומכים בפילוסופיה דיגיטלית, כיוון חדש יחסית בקוסמולוגיה, גם רואים בלייבניץ מעיין אב מייסד של הפילוסופיה.
ה-vis viva
"הכח החי" (בלטינית: vis viva) הוא mv², פעמיים האנרגיה הקינטית של הגוף. לייבניץ סבר כי האנרגיה הכוללת נשמרת במערכות מכניות מסוימות, ועל כן החשיב את האנרגיה כמוטיב פנימי "מולד" של החומר. טענה זו נתפסה כמתחרה בהשקפה על מרכזיות חוק שימור התנע שהחזיקו בה ניוטון באנגליה ודקארט בצרפת, ועל כן נדחתה. כיום ברור שגם התנע וגם האנרגיה נשמרים, ושתי הגישות משלימות זו את זו.
תרומות אחרות לפיזיקה
לייבניץ פרסם מאמרים חשובים במכניקה. בהמשך לעבודתו החלוצית של גלילאו גליליי על חוזק קורות מספרו "שני המדעים החדשים", פרסם לייבניץ מספר מאמרים מאירי עיניים בתורת האלסטיות שעסקו בכפיפתן של קורות אופקיות שעל הקצה החופשי שלהם תלויה משקולת. תוך שהוא מיישם את הכלים החדשים של האנליזה, לייבניץ תיקן במאמרים אלו מספר היבטים בטיפולו המקורי של גלילאו בבעיה, במיוחד אלו שלא עלו בקנה אחד עם תוצאות ניסוייו של אדם מריוט. בתחום האופטיקה, במחקר המודרני נמצא כי הוא גילה את עקרון מאופרטיוס (מקרה פרטי של עקרון הפעולה המינימלית) ותוצאות שונות הקשורות בו בסביבות 1707, כ-37 שנים לפני עבודתם של מאופרטיוס ואוילר בתחום.

מדעי טבע אחרים

לייבניץ הציע כי לכדור הארץ יש ליבה מותכת, טענה שהוכחה מאוחר יותר כנכונה בגאולוגיה המודרנית. באמבריולוגיה הציע שאורגניזמים הם שילוב אינסופי של מבנים פנימיים. במדעי החיים ובפלאונטולוגיה הוא ביצע מחקר על אנטומיה השוואתית ומאובנים. אחת העבודות המרכזיות שלו בנושא, "Protogaea", פורסמה רק לאחר מותו, ותורגמה לאחרונה לאנגלית. עבודה זו מילאה תפקיד מפתח בהתפתחות מדעי כדור הארץ במאה ה-18. "Protogaea" היא ניסיון שאפתני לתאר את התהליכים שעיצבו את כדור הארץ, ולייבניץ קיבץ בה תצפיות והשערות רבות על היווצרות כדור הארץ ותוואי הקרקע, על פעולת האש והמים, היווצרות סלעים ומינרלים, מקורם של מלחים, היווצרות של מאובנים וזיהויים כשאריות של יצורים חיים. לייבניץ כתב בעבודה זו על הצורך בפרשנות מדעית ל"מבול" התנ"כי ולאירועים אחרים המופיעים בתנ"ך. הוא גם תיאר בה תאוריה אורגניזמית ראשונית, המזכירה את התאוריות בנות ימינו על תחילת התפתחות החיים בכדור הארץ.
ברפואה, הוא האיץ בפיזיולוגים של התקופה - באמצעות מספר תוצאות - לבסס את התאוריות שלהם על תצפיות השוואתיות מפורטות ועל ניסויים, ולהבדיל בין אמיתות מדעיות רפואיות מבוססת היטב לנקודות מבט מטאפיזיות. בהקשר זה ידועה הבחנתו החדה בין גופים הבנויים מחומר אורגני - או בשפתו שלו מכונות של הטבע (machines of nature - divine machines), ומכונות מלאכותיות (artificial machines), הבחנה שהיא פילוסופית במהותה, אך שיש בה לחזות התפתחויות ותגליות רבות בביולוגיה ובחקר מבנה האורגניזם. למשל, לייבניץ כתב כי הגוף הטבעי הוא אוטומט שברא אלוהים ושהוא שונה מכל מכונה שיצר האדם, וזאת בכך שלכל חלק זעיר בגוף האנושי יכולת עצמית משלו, מורכבת לאין שעור ואינו מהווה חלק מוגבל במכונה גדולה. לטענתו, כל חלק זעיר בגוף מכיל את המרשם של הגוף השלם - הבחנה שניתן לראות אותה כחיזוי של גילוי הדנ"א, המצוי בכל תא ומכיל את המידע על הגוף כולו. גם התאוריה שלו על אינדיווידואליות מקוננת (באנגלית: Nested Individuality) רלוונטית לביולוגיה, והיא רלוונטית אף יותר לתחום הפסיכולוגיה.

פסיכולוגיה

בפסיכולוגיה, לייבניץ הציג את הרעיון של תת-מודע, ועשה את ההבחנה היסודית בין מצבים מודעים ומצבים לא מודעים. פסיכולוגיה הייתה מוקד עניין מרכזי של לייבניץ, ולחלק ניכר מהעבודה של לייבניץ היה השפעה רבה על התפתחות התחום. הוא כתב על נושאים פסיכולוגיים מגוונים: קשב ומודעות, זיכרון, למידה (אסוציאציה), אינדיווידואליות נוצרת והדינמיקה הכללית של אבולוציה. הדיונים שלו ב"מאמרים חדשים על התבונה האנושית" ו"המונאדולוגיה" לעיתים קרובות נשענים על תצפיות מחיי היום יום כמו התנהגותו של כלב או הרעש של הים, או על אנלוגיות אינטואיטיביות לתהליכים פיזיים ונפשיים (כמו הפעולה המסונכרנת של שעונים או גלגל האיזון של שעון). הוא גם פיתח פוסטולטים ועקרונות פסיכולוגיים: מהרצף של התפיסות הבלתי מובחנות ועד לאפרספציה (Apperception), והקבלה פסיכופיזית מנקודת המבט של סיבתיות ותכליתיות: "נשמות פועלות לפי חוקי התכליות, דרך שאיפות, קצוות ומשמעויות. גופים חומריים מצייתים לחוקי הנסיבתיות האפקטיבית, דהיינו חוקי תנועה. ושני התחומים הללו, זה של סיבות יעילות וזה של תכליות, מתקיימים בהרמוניה אחד עם השני". העמדה האפיסטמולוגית של לייבניץ - כנגד ג'ון לוק והאמפיריציזם האנגלי, בולטת במיוחד בהקשר של עבודתו על פסיכולוגיה - "דבר אינו נמצא באינטלקט שלא היה קודם בחושים, מלבד האינטלקט עצמו". לשיטתו, עקרונות שאינם נוכחים ברשמים החושיים וניתנים לזיהוי מהתבוננות מעמיקה בתפיסה והמודעות האנושית כוללים היסקים לוגיים, קטגוריות של המחשבה, את עקרון הסיבתיות ועקרון התכליתיות (טלאולוגיה).
אף על פי שהוגים שקדמו לו (כדוגמת אוגוסטינוס, מישל דה מונטן ודקארט) שיערו השערות על זכרונות לא נגישים ופעולות שנעשות בהיעדר מודעות, מעולם לפניו לא זכה נושא התהליכים הלא מודעים לדיון כה מעמיק ומפורט. אמונתו החדשנית של לייבניץ כי תהליכים לא מודעים יכולים להטות את תהליך קבלת ההחלטות של בני אדם, השיפוט שלהם ואף את התגבשות הרעיונות במוח, עמדה בניגוד גמור לעמדה הרווחת בתקופה, וזכתה לאשרור מלא במחקרים מודרניים. את העבודה שלו על התאמת תאוריית התודעה לעקרון הרציפות, כמו גם את הבחנותיו בנוגע לשינה, ניתן לראות כתאוריה מוקדמת של שלבי השינה. הוא האמין שעל פי העקרון שתופעות בטבע הן רציפות, זה קרוב לוודאי שלמעבר בין מצבים מודעים למצבים לא מודעים יש שלבי ביניים. אף על פי שרעיונותיו של לייבניץ בנוגע ל-"הרמוניה הקבועה מראש" נדחו על ידי רבים, פסיכולוגים רבים אימצו את רעיונותיו על הקבלה פסיכופיזית (psychophysical parallelism). הרעיונות האלה מתייחסים לבעיית הגוף ונפש, וקובעים כי התודעה והמוח לא משפיעים זה על זה, אלא חיים מראש בהרמוניה.
בפילוסופיה של התודעה, לייבניץ חזה רבים מההיבטים של הוויכוח המודרני הנוקב סביב הבעייתיות של התאמת מצבים תודעתיים למצבים פיזיקליים של המוח. הוא היטיב לתאר את מה שמכונה כיום בקרב חוקרי מוח ובינה מלאכותית "הבעיה הקשה של התודעה", הנוגעת במישרין לחווייתנו הסובייקטיבית את המידע המתקבל מחושינו על העולם הסובב אותנו - הקווליה. לייבניץ סבר, בטיעון שמכונה "פער לייבניץ", כי אילו היינו יצורים זעירים שיכולים לטייל בנפתולי המוח, לא היינו מוצאים דבר שהיה מעיד על קיומה של תודעה. אחת ההמחשות המפורסמות שלו להשקפה זו היא אנלוגיית טחנת הרוח (Leibniz's windmill argument), שקובעת בקצרה כי חווית התפיסה לא יכולה להיות מוסברת באמצעות כל מנגנון שהוא, מורכב ככל שיהיה, וזאת עקב היעדר נקודת מבט (viewpoint) שמעניקה צביון אחדותי למנגנוני התפיסה המכניים. נקודת מבט זו היא זו שאחראית לסובייקטיביות החוויה התפיסתית של המתבונן.
לייבניץ האמין כי לתודעה יש תפקיד פעיל ביותר בתפיסה, ושהיא משחקת תפקיד גדול מרכזי הרבה יותר בקלט החושי. הוא התמקד במיוחד בתפיסה, והבחין בין סוג התפיסה שאנו מודעים לה כגירוי, והסוג השני שאנו מודעים לו כתפיסה זרה. הוא טען שיש הרבה "petites perceptions" - תפיסות זעירות שאנו קולטים אך לא מודעים להן. לדוגמה, כאשר שק של אורז נקרע, אנו רואים את גרגרי האורז הנופלים אך לא בהכרח מודעים לכמה גרגרי אורז נצברים בערימה. לפי העקרון הזה, יש מספר אינסופי של תפיסות בתוכנו בכל זמן נתון אשר אנו לא מודעים אליהן. כדי שזה יהיה נכון, חייב להיות חלק של התודעה אשר אנו לא מודעים לו בזמן נתון. במקרה של שק האורז, איננו מסוגלים להיות מודעים במקביל לתהליך הנפילה של כל גרגר אורז, כך שהתודעה מצליחה "להתייחס" רק לשבריר מתוך כל גרגרי האורז. באופן הזה, את תאוריית התפיסה של לייבניץ ניתן לראות כאחת מני תאוריות רבות המובילות לרעיון הלא מודע. בנוסף, לרעיון של גירוי תת-ספי (subliminal stimuli) יש גם זרעים בתאוריה של לייבניץ על תפיסות קטנות. כמו כן, כשלייבניץ כתב בכתבים מסוימים על ה-"פריפריה של התודעה" (Periphery of consciousness), הוא גילה הבנה על האופן שבו החשיבה מאורגנת במוח וייתכן שאף (הדבר נתון לפרשנות) על המבנה הארגוני של המוח וחלוקת התפקידים של החלקים השונים בו.
רעיונותיו של לייבניץ בנוגע למוזיקה ותפיסה טונאלית השפיעו על הפסיכולוגיה הניסויית של וילהלם וונדט.

מדעי החברה

בתחום של בריאות ציבורית, הוא תמך בהקמת רשות רפואית אדמיניסטרטיבית עם אחיזה באפידמיולוגיה ורפואה וטרינרית. הוא עמל רבות כדי לקדם תוכנית אימון רפואית עם אוריינטציה על בריאות ציבורית ואמצעי מניעת מחלות. בכלכלה, הוא הציע רפורמות מס וסכמת ביטוח לאומי ודן באיזון המסחר (Balance of Trade). הוא היה אחד החלוצים המוקדמים במדע אקטוארי, וחישב את מחיר הרכישה של קצבאות חיים ואת הנזילות של חוב כספי של מדינה. הוא אף תיאר בכתביו משהו שמזכיר את תורת המשחקים. בסוציולוגיה הוא הניח את היסודות לתורת התקשורת.

טכנולוגיה

ב-1906, גרלנד פרסם כרך של כתבי לייבניץ בנוגע להמצאות הפרקטיות הרבות שלו ולעבודתו ההנדסית. נכון לעכשיו, מעט מאוד מבין הכתבים האלו תורגמו לאנגלית. מכתביו, עולה כי לייבניץ היה ממציא רציני, עם כבוד רב להבטים הפרקטיים של החיים. כשהוא מיישם את המוטו שלו theoria cum praxi - "תאוריה הופכת למעשה", לייבניץ טען שתאוריה חייבת להיות משולבת עם התנסות ביישומים פרקטיים, ולכן הועלה על נס לפעמים כאבי המדע היישומי. הוא תכנן מדחפים מונעי רוח, משאבות מים, מכונות כרייה כדי להוציא שמן, מכבשים הידראוליים, מנורות, צוללות, אמצעי ניווט ימי, שעונים ועוד. הוא אף הציע שיטה להוצאת המליחות מן המים (התפלת מים). בהתכתבות עם דני פפן, השניים הגו את הרעיונות התאורטיים העומדים בבסיס מנוע הקיטור, ויחדיו תכננו את מנוע הקיטור הראשון. אף שהיה זה אב טיפוס פשוט למדי למנוע הקיטור, הרעיונות שהדגים היו בין הגורמים שהתניעו את תחילת המהפכה התעשייתית.
בין השנים 1680 ל-1685 נאבק לייבניץ להתגבר על השטפונות הכרוניים באזור הרי הארץ, אך לא הצליח. לייבניץ ניסה לרתום את אנרגיית הרוח לכדי שימוש מעשי במכרות הרי ההארץ, וקיימים מתווים תכנוניים רבים שלו שנועדו לממש חזון זה (על אף שמבחינת לייבניץ, פרויקט הכרייה הזה הסתיים בכישלון). הוא תכנן אוטומציות רבות כדי לייעל את תהליך הכרייה, אך רבות מההמצאות האלה לא היו יכולות לבוא לידי מימוש בזמנו. בין התכנונים והתרשימים הרבים שלו שתי דוגמאות מהתחום של בקרה אוטומטית בולטות במיוחד: אלו הם התרשים שלו למכונה שתפנה באופן אוטומטי את המפרשים של טחנת רוח לכיוון הרוח, והקונספציה שלו של מנגנון בלימה אוטומטי כדי לשלוט במהירות הסיבוב של המפרשים של טחנת רוח.
במאמר "Leibniz's "inventum memorabile" :the conception of speed control from march 1686", סיפק המחבר פרטים רבים על המאפיינים הפונקציונליים של מנגנון הבלימה של לייבניץ, והראה שמנגנון ויסות המהירות הזה הוא למעשה מנגנון מכני מבוסס משוב במובן המודרני, אשר על אף שלא התניע את תורת הבקרה, הקדים באופן מובהק התקדמויות רבות מאוחרות יותר.
תורת החישוב
לייבניץ עשוי להיות מדען המחשב ותאורטיקן המידע הראשון. מוקדם בחייו, הוא המציא את מערכת המספרים הבינארית. הוא חזה את האינטרפולציה הלגרנז'יאנית ותורת המידע האלגוריתמית. לקלקולוס רציונליזטור שלו יש מאפיינים דומים לאלו של מכונת טיורינג אוניברסלית. ב-1934, נורברט וינר טען שהוא מצא בין כתבי לייבניץ תיאור של מושג המשוב, המרכזי לתאוריית הקיברנטיקה של וינר.
ב-1671, לייבניץ התחיל להמציא מכונה שתוכל לבצע את כל 4 הפעולות האריתמטיות, ובהדרגה שיפר אותה לאורך מספר שנים. מכונת החישוב שפיתח, מחשב הפסיעות (ה-stepped reckoner), משכה תשומת לב רבה והייתה הבסיס לבחירתו לחברה המלכותית ב-1673. מספר מכונות כאלה נעשו במהלך השנים שעשה בהנובר, בידי איש מלאכה שעבד תחת השגחתו של לייבניץ. זאת לא הייתה הצלחה מיידית כי לייבניץ לא הצליח להפוך למכני באופן מלא את פעולת הנשיאה (carry operation). ב-1674 לייבניץ עמל רבות כדי לבנות דגם "אנליטי" של מכונת החישוב שלו - מכשיר לקביעת הפתרונות של משוואות, ולמעשה הצליח לעשות זאת. אכן, חוקר בשם Couturat דיווח כי מצא כתב יד של לייבניץ משנת 1674 המתאר מכונה שמסוגלת אף לבצע מספיק פעולות אלגבריות כדי לפתור משוואות (מכונה שנקראת Compas d'equation). מכונה זו הייתה מעיין מחשב אנלוגי שפתר משוואות באמצעות שרטוט עקומים אלגבריים וחיתוך שלהם אחד עם השני, כך שנקודות החיתוך יהיו פתרונות המשוואה.
לייבניץ גם תכנן מכונת הצפנה (שכעת שוחזרה), שנתגלתה על ידי ניקולאס רשר ב-2010. עוד בטרם בנה את המכונה, לייבניץ פיתח רעיונות קריפטוגרפיים שהנחו אותו בבנייתה. לייבניץ ראה שצפני ההזזה הפשוטים בהם נעשה שימוש נרחב באותה תקופה הם קלים מדי לפריצה, ועל כן פיתח מכונה מורכבת בהרבה, כזו המבוססת על הצפנה פוליאלפביתית. מכונת ההצפנה שלו ראויה לציון גם בשל העובדה שהייתה אחת המכונות הראשונות ששילבו מנגנון הזנת קלט דמוי מקלדת מחשב. הסבר מקיף על אופן הפעולה שלה ניתן במאמר העדכני "Leibniz and cryptography" של ניקולאס רשר.
לייבניץ הלך וחתר בהדרגה לקראת מושגים של תוכנה וחומרה אשר פותחו רק הרבה יותר מאוחר על ידי צ'ארלס בבג' ועדה לאבלייס. כתביו מעידים כי הבין היטב את החשיבות הייחודית שיש לחישובים בבסיס בינארי (כלומר בספרות של 0 ו-1) לצורך מימוש פעולות בוליאניות (פעולות לוגיות), והוא אף הותיר אחריו מתווה תכנוני למכונת חישוב בינארית - ב-1679, בזמן שהרהר על האריתמטיקה הבינארית שלו, לייבניץ דמיין מכונה שבה מספרים בינאריים יהיו מיוצגים באמצעות גולות, הנשלטות באמצעות מיון ראשוני של כרטיסים מנוקבים. המכונה המופשטת שתיאר (בחיבורו De progressione Dyadica) עבדה ללא שימוש בגלגלי שיניים או גלילים - אלא רק באמצעות גולות, חורים (שלפי תיאורו יכולים להיות במצב "סגור" או "פתוח", באנלוגיה למעגל חשמלי שיכול להיות דלוק או כבוי), מקלות ותעלות להובלה של הגולות. המחשבים האלקטרוניים הדיגיטליים המודרניים מחליפים את הגולות של לייבניץ המונעות בידי הכבידה באוגרי הזזה, הפרשי מתח ופולסים של אלקטרונים, אבל המבנה הבסיסי ועקרון העבודה שלהם הוא בדיוק כפי שלייבניץ תיאר ב-1679.

ספרנות

במהלך שירותו כספרן בספריות הדוכסות שבהנובר ובוולפנבוטל, לייבניץ הפך לאחד המייסדים של מדעי המידע. הספרייה שבוולפנבוטל הייתה עצומה יחסית לתקופתה, שכן היא הכילה יותר מ-100,000 כרכים, ולייבניץ עזר לתכנן בניין חדש עבורה, אשר מאמינים כי הוא הבניין החדש שתוכנן במפורש להיות ספרייה. הוא גם תכנן מערכת סידורית (indexing system) חדשה לספריות, לכאורה ללא שידע על קיומה של מערכת אחרת כזאת בספרייה הבודליינית שבאוקספורד. הוא גם קרא למוציאים לאור לערוך תקצירים של כל הכותרים החדשים שהם הפיקו בכל שנה בצורה סטנדרטית מסוימת שתקל על מלאכת הסידור. הוא קיווה שפרויקט התקצור הזה יכלול בסופו של דבר כל מה שהודפס מתקופתו של גוטנברג ועד לימיו שלו. אף אחת מההצעות שלו לא השיגה הצלחה בתקופתו, אך משהו דומה להן הפך לפרקטיקה סטנדרטית בקרב מוציאים לאור בשפה האנגלית במהלך המאה ה-20, תחת חסותן של ספריית הקונגרס והספרייה הבריטית.
הוא קרא לייסוד של בסיס נתונים אמפירי כדרך לקדם את כל המדעים. רעיונות שלו כמו השפה האוניברסלית, הקלקולוס רציוסינטור, ו-"קהילת התודעות" - נועדו, בין היתר, להביא אחדות פוליטית ודתית לאירופה. ניתן לראות בהם גם חיזוי לא מכוון של שפות מלאכותיות (כמו אספרנטו והמתחרות שלה), לוגיקה סימבולית, ואף הרשת הכלל עולמית.

קידום חברות מדעיות

לייבניץ הדגיש שמחקר הוא משימה שיתופית. לכן הוא תמך בהתלהבות בהקמה של חברות מדעיות לאומיות לפי קווים דומים לזה של החברה המלכותית הבריטית והאקדמיה הצרפתית המלכותית למדעים. באופן יותר ספציפי, בהתכתבויותיו ומסעותיו הוא דחף להקמת חברות כאלה בדרזדן, סנט פטרסבורג, וינה וברלין. רק פרויקט אחד מבין אלה הגיע לשלב המעשה: ב-1700, האקדמיה למדעים בברלין הוקמה. לייבניץ היה אחראי על הקמת האקדמיה, ושירת כנשיא שלה במשך שארית חייו. אקדמיה זו הפכה מאוחר יותר לאקדמיה הגרמנית למדעים, המוציאה לאור של המהדורה הקריטית של כתביו.

משפטים ומוסר

פרט למקרים החריגים של מרקוס אורליוס וניקולו מקיאוולי, קרוב לוודאי שלאף פילוסוף אחר לא היה ניסיון מעשי בעניינים הקשורים למדיניות ולפוליטיקה כמו ללייבניץ. כתביו של לייבניץ על משפטים, אתיקה ופוליטיקה לא זכו תקופה ארוכה לתשומת לבם של מלומדים דוברי אנגלית, אך מצב זה השתנה לאחרונה.
לייבניץ לא תמך במונרכיה אבסולוטית כמו שהובס תמך בה, או בעריצות בכל צורה שהיא. הוא גם לא דגל בהשקפותיו של בן תקופתו ג'ון לוק בנושאים פוליטיים וחוקתיים, שתמך בדמוקרטיה באמריקה של המאה ה-18 ומאוחר יותר בכל מקום אחר. קטע ממכתב מ-1695 לפיליפ, בנו של הברון בוינבורג, מבטא את השקפתו הפוליטית של לייבניץ:
"ולגבי ... השאלה הגדולה בעניין כוחם של שליטים והצייתנות הנדרשת מעמם, אני בדרך כלל מצדד בכך שיש לשכנע את השליטים שלעם ישנה זכות להתנגד להם, ומאידך יש לשכנע את העם לציית לשלטון באופן פסיבי. למרות זאת, אני תומך בדעתו של גרוטיוס, שאדם ככלל צריך לציית לשלטון, ושהרע במהפכה גדול באופן ניכר מהעוולות שמהם נגרמת המהפכה (כלומר מהרע שנובע מעוולות השלטון). עדיין אני מכיר בכך ששליט יכול לעבור סף ולהגזים בעוולות שלטונו, ובכך להציב את המדינה בסכנה כזאת שתחייב את העם לעצור אותו. מצב זה הוא אומנם נדיר מאוד, אך תאולוגים שמתירים התנגדות אלימה בסיטואציה כזאת חייבים להישמר מאיבוד שליטה ומאיבוד הסדר הציבורי. הפעלה של כוח התנגדות בעוצמה חריגה מסוכנת הרבה יותר מאי פעולה."
ב-1677, קרא לייבניץ להקמתה של קונפדרציה אירופית, שתנוהל בידי מועצה או סנאט, שחבריו ייצגו אומות שלמות ויהיו חופשיים להצביע על-פי מצפונם. קריאה זו נחשבת לעיתים לחיזוי של האיחוד האירופי. לייבניץ האמין שאירופה תאמץ דת אחידה. הוא חזר על הצעות אלה ב-1715.
אך בה בעת הוא הציע להתחיל פרויקט בין-דתי ורב-תרבותי ליצירת מערכת אוניברסלית של ערכי צדק ומוסר, הצעה שדרשה ממנו הסתכלות אינטרדיסציפלינרית רחבה. כדי לגבש הצעה זו, הוא שילב בין רעיונות בלשניים, פילוסופיה של המוסר, פילוסופיה של המשפט, כלכלה ופוליטיקה.

אקומניזם

לייבניץ השקיע מאמץ אינטלקטואלי ודיפלומטי רב במה שנקרא שליחות אקומניסטית - ניסיון לקרב בין כתות או זרמים שונים בנצרות במטרה להביא את הנצרות לאחדות. במסגרת שליחות זו לייבניץ ניסה תחילה ליישב את המחלוקות בין הכנסייה הקתולית והכנסייה הלותרנית, ומאוחר יותר לקרב בין הכנסייה הלותרנית והרפורמית. מבחינה זו, הוא המשיך את דרכם של הפטרונים הראשונים שלו, הברון פון בוינבורג וג'ון פרדריק - שניהם לותרנים מעריסתם שהמירו דתם לקתולית כמבוגרים - ושעשו מה שיכלו כדי לאחד מחדש את שתי האמונות, ושבירכו על שליחויות כאלה מצד אחרים (בית ברונסוויק נשאר לותרני מפני שילדיו של הדוכס לא המירו דתם כמו אביהם). המאמצים האלו כללו תיאום פעולה עם הבישוף הצרפתי ז'אק-בנין בוסואה, ועירבו את לייבניץ במחלוקת תאולוגית מסוימת. קרוב מאוד לוודאי שלייבניץ סבר שיישום יסודי של ההגיון למחלוקות תאולוגיות יוכל לרפא את הפילוג שנוצר ברפורמציה.

פילוסופיה

המחשבה וההגות הפילוסופית של לייבניץ נראית מקוטעת, וזאת מכיוון שהכתבים הפילוסופיים שלו מורכבים בעיקר מהמוני מאמרים קצרים: מאמרים בכתבי עת, כתבי יד שפורסמו זמן רב לאחר מותו, ומכתבים רבים לנמענים רבים. הוא כתב רק שני חיבורים פילוסופיים באורך של ספר, שמהם רק התאודיציה מ-1710 פורסמה במהלך חייו.
לייבניץ תארך את ראשית דרכו כפילוסוף לפרסום חיבורו "מאמר על מטאפיזיקה", אשר הוא חיבר ב-1686 כפרשנות לנושא סביבו הייתה מחלוקת בין מלברנש וארנו. פרסום זה הוביל לתכתובת ענפה ורבת ערך עם ארנו; היא וחיבורו מאמר על המטאפיזיקה לא פורסמו עד המאה ה-19. ב-1695, לייבניץ עשה את כניסתו הציבורית לעולם הפילוסופיה האירופי עם מאמר בכתב עת שכותרתו - "מערכת חדשה של הטבע ותקשורת של אלמנטים פשוטים". בין 1695 ו-1705, הוא חיבר את "מאמרים חדשים על התבונה האנושית", פרשנות ארוכה לחיבורו של ג'ון לוק מ-1690 "חיבור בנוגע לתבונה האנושית", אבל לאחר ששמע על מותו של לוק ב-1704, הוא איבד את התשוקה לפרסמו, כך שהחיבור פורסם רק ב-1765. ה-"מונאדולוגיה", שחובר ב-1714 ופורסם לאחר מותו, מורכב מ-90 אפוריזמים.
לייבניץ פגש את שפינוזה ב-1676, קרא כמה ממאמריו הלא מפורסמים, ומאז העריך מאוד את רעיונותיו של שפינוזה. אף שלייבניץ העריך את האינטלקט העוצמתי של שפינוזה, הוא גם מאוד התאכזב מכמה ממסקנותיו של שפינוזה, במיוחד כשאלו היו לא עקביות עם האורתודוקסיות הנוצרית.
שלא כמו דקארט ושפינוזה, לייבניץ רכש ידע מקיף ויסודי בפילוסופיה באוניברסיטה. הוא הושפע מהפרופסור לפילוסופיה בלייפציג יאקוב תומאסיוס, אשר גם הנחה אותו בכתיבת תזת ה-BA שלו בפילוסופיה. הוא גם קרא בלהט את פרנסיסקו סוארץ, ישועי ספרדי שזכה לכבוד רב באוניברסיטאות לותרניות. לייבניץ גילה עניין רב בשיטות והמסקנות החדשות של דקארט, הויגנס, ניוטון, ובויל, אבל ראה את עבודתם דרך עדשות סכולסטיות כבדות, כלומר בצורת ראייה כבדה המערבת רעיונות פילוסופיים וסכולסטיים רבים, ולא בצורת ראייה מתמטית גרידא. עם זאת, השיטות ותחומי העניין של לייבניץ לעיתים קרובות חוזות את הלוגיקה, והפילוסופיה האנליטית והלינגוויסטית של המאה ה-20.

תורת ה"מונאדות"

התרומה הפילוסופית של לייבניץ למטאפיזיקה מבוססת על מונאדולוגיה, שמנהיגה את המונאדות (ששמן נגזר מן המילה היוונית "monas" - יחידה) כ"צורות משמעותיות של קיום", הדומות לאטומים רוחניים, אלמותיים, שאינם ניתנים לפירוק, נפרדים, ושנשמעים לחוקים מיוחדים משלהם. צורות אלו הן "היחידות האולטימטיביות של הקיום בטבע", וניתן להשוות אותן לקורפוסקולים בפילוסופיה המכניסטית של רנה דקארט ואחרים. למרות קווי הדמיון לאטומים חומריים, כל אחת מהמונאדות היא ייחודית, והן אינן משתנות עם הזמן אלא יכולות רק להיווצר ולהישמד. מונאדות אינן מכילות חלקים אך עם זאת עדיין קיימות בזכות האיכויות המיוחסות להן. לפי לייבניץ, מונאדות הן ישויות אלמנטריות עם תפיסה מטושטשת וחלקית אחת של השנייה. הן אינן באות במגע זו עם זו ("חסרות חלונות"), אך הן משקפות את כל היקום בהרמוניה שניטעה בהם מראש. מונאדות הן מרכז של כוח, בעוד שמרחב, חומר ותנועה הם לגמרי פנומנליים. לייבניץ ניסה לפתור כך את בעיית גוף ונפש שעולה בשיטה שבנה דקארט, וכן את בעיית הפרטנות בשיטתו של ברוך שפינוזה, שאומר כי היצורים הנפרדים הם רק תוצרים מקריים של יסוד אחד ויחיד.
הוכחתו של לייבניץ לקיום האלוהים מופיעה בתאודיציאה. ההיגיון והתבונה נשלטים על ידי עקרון הסתירה ועקרון הסיבה המספקת, ולייבניץ הסיק באמצעות העקרון השני שהסיבה הראשונית של כל הדברים חייבת להיות האל. כל מה שאנו רואים או חווים נתון לשינוי, והעובדה שהעולם הזה מהווה אמת קונטינגנטית (ולא אנליטית) נגזרת מהאפשרות שהוא היה מאורגן אחרת במרחב ובזמן. העולם הקונטינגנטי חייב להיות בעל סיבה מספקת לקיומו. לייבניץ נעזר בספר גאומטריה כדי להדגים את תהליך החשיבה שלו. אם ספר זה הוא פרט בשרשרת אינסופית של עותקים, חייבת להיות סיבה ראשונית מסוימת לתוכן של הספר. לייבניץ הסיק מכך שחייבת להיות "מונאדה ראשית" ("monas monadum") בהיררכיה של מונאדות, אותה הוא מזהה עם האלוהים.
לפי תורת המונאדות, העולם כולו בנוי מאינסוף חלקיקים קטנים לאין שיעור, לא מוחשיים, שמרכיבים את הכול. המהות האונטולוגית של המונאדה היא הפשטות הבלתי ניתנת לרדוקציה שלה. שלא כמו חומר, מונאדות אינן בעלות שום סממן חומרי או מרחבי. ההוכחה המרכזית שלו לתפיסה זו, היא ניסוי מחשבתי שבו מפרקים בכל-פעם עצם לעוד ועוד חלקים. לייבניץ טען שנהייה חייבים, בסופו של דבר, להגיע למרכיבים הבסיסיים ביותר של העצם, אחרת לא ניתן להסביר ממה הוא בנוי (אם חלקיקים מהם הוא בנוי גם הם בנויים ממשהו), שזו הרי טענה אבסורדית. החלקיקים אליהם נגיע בסוף לא יכולים להיות חומריים, ובכלל לא להימצא במרחב, שהרי המרחב תמיד ניתן לחלוקה (אם נמצא אובייקט כלשהו התופס חלק במרחב, נוכל להסתכל כעת על חצי מהאובייקט, ולאחר-מכן על חצי מהחצי של האובייקט, וכך הלאה) וכך הגיע למסקנה שהעולם מורכב מאינסוף ישויות קטנות ו"רוחניות" (לא חומריות), להן קרא "מונאדות", וכל אובייקט בנוי מאינסוף מונאדות שכאלו. הוא הבהיר שלא כל המונאדות יכולות להיות מודעות לעולם החיצוני או לעצמן.
בכך פתר את הבעיה הפסיכופיזית שהעלה דקארט, המנסה לברר איך העולם החומרי משפיע על העולם הרוחני (למשל: אם אני יודע על מקרה שקרה, המקרה החומרי משפיע על התודעה שלי, שהיא, לפי תפיסתו של דקארט, רוחנית). לייבניץ טוען שמכיוון שהכול בנוי ממונאדות שכאלה, למעשה כל העולם רוחני, והימצאות העולם החומרי אינו אלא אשליה, וכך מראש לא קיימת בעיה של קשר בין העולם הרוחני לעולם החומרי.
אך בפתרון זה מתעוררת בעיה חדשה: אם כל העולם הוא רוחני, גם התהליכים הנצפים של סיבה-ותוצאה הם למעשה רוחניים, וכך לייבניץ נצרך להסביר איך הישים הרוחניים משפיעים זה על זה. את הבעיה הזו הוא פתר בעזרת רעיון האלוהים: הוא טען, למעשה, שגופים לא משפיעים זה על זה, אלא חיים מראש בהרמוניה. הוא טוען שמה שאנו תופסים כסיבתיות, למעשה מקרה יחיד אותו כל גוף תופס מזווית אחרת באופן הרמוני תואם, שהאחראי להרמוניה זו הוא אלוהים. נראה שהרמוניה זו היא אחת מכוונותיו של לייבניץ בטענה "זה הטוב שבעולמות האפשריים".
מונאדות שונות מאטומים גם בעצמאותן ההדדית המוחלטת, כך שאינטראקציות בין מונאדות הן רק למראית עין. למעשה, מכורח העקרון של ההרמוניה שניטעה מראש, כל מונאדה מתנהגת בהתאם לאוסף מתוכנת של "הוראות" (לכל מונאדה תוכנית משלה), כך שמונאדה "יודעת" מה לעשות בכל רגע. כלומר, לפי תורה זו, לכל מונאדה יש זהות שלמה משלה, המכילה בתוכה את כל התכונות של המונאדה, ובהן את כל מה שהמונאדה חוותה או תחווה. אלוהים משתיל במונאדות מראש תכונות תואמות. למשל: אם מונאדה A מכילה בתוכה את התכונה שבזמן X תהיה מתחת למונאדה B, אז מונאדה B מכילה בתוכה את התכונה שבזמן X תהיה מעל מונאדה A. וכן, אם מונאדה A מיועדת להתנגש במונאדה B, אז מונאדה B גם מיועדת לזוז ברגע שלאחר ההתנגשות (מה שאנחנו תופסים כסיבתיות). מכוח ההוראות המובנות האלו נובע כדבריו של לייבניץ כי: "כל מונאדה היא כמו מראה קטנה של היקום כולו". מונאדות לא חייבות להיות "קטנות"; כל בן אנוש מרכיב מונאדה.
לפי השיטה הפילוסופית הזו, לא תיתכן בחירה חופשית (שהרי המעשים אותם תבצע כבר כלולים בתכונות שאלוהים השתיל בך מראש), אלא רק "בחירה מתוך עצמך", בה דגל לייבניץ ואפילו ראה בה סוג של בחירה חופשית: אמנם לא "תבחר" איך לפעול, אבל תפעל לפי התכונות שנקבעו לך מראש, כלומר שלפי התכונות שלך, לפי עצמך בלבד, שום גורם חיצוני לא ישפיע עליך (הרי לייבניץ לא האמין בסיבתיות).

בחירה חופשית

כמו שפינוזה ופילוסופים נוספים רבים בתקופתו, לייבניץ הציע פתרון משלו לשאלת הבחירה החופשית. למעשה, תורת המונאדות שלו העירה מחדש את הבעיה כאשר נטען כי כל מונאדה מקיימת את כל התכונות, ובניהן כל רצף-ההתרחשות, שאלוהים ייעד לה. משתמע מכך שלא קיימת בחירה חופשית, שהרי אלוהים קבע מראש את גורלו של כל אשר קיים, ומצד שני לייבניץ, כמו רוב ההוגים הנוצריים בתקופתו, טען לקיומה של בחירה חופשית.
לפי לייבניץ, בכלל לא קיים שום מושג שנוכל לומר שהוא עונה על תואר הבחירה החופשית, מלבד פעולה אשר נעשית ללא השפעה חיצונית. כך, למעשה, טען שכל מונאדה פועלת באופן חופשי מעצם העובדה ששום מונאדה אחרת לא יכולה להשפיע עליה, אלא היא מקיימת את הקיום ורצף ההתרחשויות שאלוהים ייעד לה מראש. זה, לדעתו של לייבניץ, מהות הבחירה החופשית: פעולה מתוך ייעודך האלוהי הפנימי ללא כל השפעה חיצונית. לא נוכל למצוא שום הגדרה אחרת לבחירה חופשית שתהיה בעלת משמעות.

זמן

לייבניץ הוא מדוגלי הגישה הסובייקטיבית למושג הזמן. על פי גישה זו, הזמן הוא נגזרת של התודעה ולא להפך, כלומר - הזמן הוא ביטוי של יכולת התודעה להבחין בשינויים ולחוות אותם, ואין לו משמעות בזכות עצמו. כאשר הכל קפוא ואין שום שינוי - הזמן אינו עובר. לכן גם אין משמעות לתאוריות אודות מסע לאחור בזמן.
גישה זו מבטלת את מושג הזמן כמושג מוחלט, ורואה בזמן עיקרון יחסי ליכולת התפיסה האנושית. יחידות הזמן, על-פי גישה זו, אינן קבועות בפועל (אף על פי שהגדרתן קבועה).
דוגמה: פרק הזמן הכלול ביממה הוא תחושת הזמן הסובייקטיבית של כל אדם, בה הוא חש כי כדור הארץ השלים מחזור שלם. אם האדם חש כי עבר זמן רב (דוגמה: בעקבות יום מלא בהתרחשויות נפשיות), אזי היממה הייתה ארוכה יותר מאשר אילו חלף זמן מועט יותר.

תאודיציה ואופטימליות

ה"תאודיציה" מנסה להצדיק את חוסר השלמות-לכאורה של העולם, כשהיא טוענת כי העולם הוא הטוב והאופטימלי מבין כל העולמות האפשריים. העולם חייב להיות העולם הטוב ביותר והמאוזן ביותר שבאפשר, מכיוון שהוא נוצר על ידי אל כל יכול ויודע כל, אשר לא היה בוחר ליצור עולם לא מושלם אם עולם טוב יותר בר-קיום היה ידוע לו. למעשה, פגמים הניתנים לזיהוי בעולם היו חייבים להתקיים בכל עולם אפשרי אחר, שאחרת האל היה בוחר ליצור את העולם ללא פגמים אלו. הקטע הבא, הלקוח מתוך חיבור משנת 1714 של לייבניץ, מתאר היטב את השקפתו האופטימית:
מתוך שלמותו העליונה של האל מתחייב שבבראו את העולם בחר בתוכנית הטובה ביותר (האופטימלית) שאפשר. …השטח, המקום והזמן ערוכים באופן הטוב ביותר. היצורים יש בהם המידה הגדולה ביותר של יכולת, ידיעה, אושר וטוב שהעולם היה יכול להכיל. העולם כמו שהוא בפועל הוא השלם ביותר שבאפשר.
— עקרונות הטבע והחסד המיוסדים בשכל, 1714
הקביעה "אנחנו חיים בעולם המושלם ביותר" נחשבה כמגוחכת אצל בני זמנו של לייבניץ, ובמיוחד אצל וולטר שמצא את הקביעה כה אבסורדית עד שהוא כתב עליה פרודיה בספרו הסאטירי "קנדיד", שם לייבניץ מופיע כ"ד"ר פנגלוס". פרודיה זו היא המקור למונח "פנגלוסיאניזם", שמתייחס לאנשים שחושבים כי אנו חיים בעולם הטוב ביותר האפשרי. עם זאת, אין להבין את אמירתו של לייבניץ כי אנו חיים בטוב בכל העולמות האפשריים בצורה פשטנית, שכן קריאה מעמיקה יותר בכתביו מגלה שלייבניץ לא טען כך במובן הפשטני.
לייבניץ טען שהאמיתות של התאולוגיה (הדת) והפילוסופיה אינן יכולות לסתור אלו את אלו, מכיוון שהגיון ואמונה שניהם "מתנות אל", כך שקונפליקט ביניהן משול לאל הנאבק נגד עצמו. "תאודיציה" היא ניסיונו של לייבניץ ליישב את המערכת הפילוסופית האישית שלו עם הפרשנות שלו לעקרונות האמונה הנוצרית. הפרויקט הונע בחלקו מאמונתו של לייבניץ, שבה נקטו גם פילוסופים ותאולוגים שמרנים רבים בתקופת הנאורות, בטבעה הרציונלי וההגיוני של הדת הנוצרית בהשוואה לדתות הלא-מערביות הפחות מתקדמות לכאורה. הוא גם עוצב על ידי אמונתו של לייבניץ בשלמותו של הטבע האנושי (אם האנושות הייתה נסמכת על הפילוסופיה והדת הנכונה כמדריך), ועל ידי אמונתו שלהכרח מטאפיזי חייב להיות בסיס רציונלי או לוגי, גם אם הסיבתיות המטאפיזית נראית בלתי ניתנת להסבר במונחים של הכרח פיזי (כלומר של חוקי הטבע שהתגלו על ידי המדע).
כיוון שהיגיון ואמונה חייבים להיות מיושבים כליל ונטולי סתירות, כל עיקרון אמוני שלא יכול להיות מוסבר על ידי ההיגיון חייב להידחות. לאורך קו מחשבה זה הגיע לייבניץ לאחת הביקורות המרכזיות של התאיזם הנוצרי: אם אלוהים הוא טוב אינסופי, ידע אינסופי, וכוח אינסופי, כיצד בא הרוע לעולם? התשובה היא (לפי לייבניץ), שבעוד שהאל אינו מוגבל בחוכמתו ובכוחו, ברואיו האנושיים, יצירי כפיו, אינם מושלמים, והם מוגבלים הן במידת חוכמתם והן בכוח הרצון שלהם (כוחם לפעול). אי שלמות זאת היא שמטה מראש בני אדם לאמונות שגויות, להחלטות לא נכונות, ולעשיית פעולות לא אפקטיביות, כל זאת תוך שימוש בבחירה החופשית שלהם. האל אינו ממטיר כאב וסבל על בני האדם באופן שרירותי; אלא הוא מתיר הן רוע מוסרי (חטא) והן רוע פיזי (כאב וסבל) כתולדות הכרחיות של הרוע המטאפיזי (חוסר השלמות), וזאת כאמצעי שבעזרתו בני האדם יוכלו לזהות ולתקן את ההחלטות השגויות שלהם, וכניגוד לטוב האמיתי.
יתרה מכך, אף שפעולות בני האדם נובעות מסיבות ראשוניות שמקורן באל עצמו ולפיכך הן ידועות לאל, השימוש שהאדם עושה בבחירה חופשית במסגרת חוקי הטבע, שבהם רק לעיתים אכן נדרשת בחירה, ההחלטה לבחור מספקת לבני האדם סיכוי מסוים להימלט מגורלה הקשה של הגזירה הקדומה.

מחשבה סימבולית

לייבניץ האמין כי את רבות מצורות החשיבה וההסקה האנושיות ניתן לצמצם לחישובים מסוג מסוים, ושכאלה חישובים יוכלו לגשר על הפערים בין דעות שונות:
 "הדרך היחידה לתקן את דרכי המחשבה שלנו היא להפוך את צורות הכתיבה שלהן לגמישות כמו אלו של המתמטיקאים, כך שנוכל למצוא את השגיאות שלנו במבט חטוף, וכך שכאשר יש חילוקי דעות בין אנשים, נוכל פשוט לומר: בואו נחשב, מבלי לעשות שום דבר נוסף, כדי לראות מי צודק". 
את ה-"קלקולוס רציוסינטור" של לייבניץ, אשר מזכיר במאפייניו את הלוגיקה הסימבולית המודרנית, ניתן לראות כדרך להפוך חישובים כאלה לאפשריים. לייבניץ כתב ממוראנדה, אשר כללה ניסיונות גישוש ראשונים בדרך לבניית הלוגיקה הסימבולית שלו - וכך גם את הקלקולוס שלו. שני החוקרים Gerhard ו- Couturat לא פרסמו את הכתבים שלו עד שהלוגיקה הפורמלית המודרנית הופיעה בכתב מושגים של גוטלוב פרגה ובכתבים של צ'ארלס פרס ותלמידיו בשנות ה-80 של המאה ה-19, כלומר זמן רב לאחר שבול ודה מורגן החלו את חקר הנושא ב-1847.
לייבניץ האמין כי סמלים חשובים להבנת דברים. הוא ניסה לפתח אלפבית של המחשבה האנושית, שבו ניסה לסמל את כל המושגים הבסיסיים בכמה סמלים, ולהרכיב יחד את הסמלים האלה כדי לסמל מחשבות מורכבות יותר, אך מעולם לא עלה בידו לסיים את הרעיון הזה. רעיון דומה שלו הוא "מתסיס יונברסליס". למעשה, הוא ייחס חשיבות כה גדולה להמצאת הסמלים הנכונים, שהוא ייחס את כל המצאותיו במתמטיקה לסמלים אלו. החשבון האינפיניטסימלי הוא דוגמה מבריקה לחשיבות של סימול נכון, ולכשרונו של לייבניץ בהמצאת סימול כזה. C.S. Peirce, חלוץ של המאה ה-19 בסמיוטיקה, חלק את התשוקה של לייבניץ לסמלים ולסימון נכון, ואת האמונה שלו שאלו חיוניים ללוגיקה עובדת-היטב ולמתמטיקה.
לייבניץ לקח את הספקולציות שלו למקום מרחיק לכת בהרבה. אותיות, היו לדעתו של לייבניץ, כל סימן כתוב, ואותיות "אמיתיות" הן אלה שמייצגות רעיונות בצורה ישירה, כפי שהוא חשב שהאלפבית הסיני מייצג אותם, ולא רק את המלים לרעיונות אלה. מבין האותיות האמיתיות, יש שמייצגות רעיונות, ויש שמייצגות חשיבה והגיון. לדעתו של לייבניץ, סמלים רבים שהיו קיימים בתקופתו, וביניהם ההירוגליפים המצריים, האותיות הסיניות, והסמלים של האסטרונומיה והכימיה, אינם "אמיתיים". לייבניץ הציע ליצור סוג של שפת סימנים אוניברסלית, שהוא קרא לה "האות האוניברסלית", שתיבנה על "אלפבית של המחשבה האנושית" ושבה כל מושג יסודי ייוצג על ידי אות "אמיתית" אחת ויחידה. הציטוט הבא מתאר חלק מרעיונותיו של לייבניץ בתחום:
"זה ברור שאם נצליח למצוא אותיות או סימנים המתאימים כדי לבטא את כל המחשבות שלנו באופן ברור ובאופן מדויק כמו שאריתמטיקה מבטאת מספרים וגאומטריה מבטאת קווים, נוכל להצליח לעשות בכל הנושאים, וזאת כל עוד הם כפופים להגיון, כל מה שיכולנו לעשות באריתמטיקה וגאומטריה. בדרך זו כל החקירות התלויות בהגיון שלנו יוכלו להתבצע באמצעות כתיבת הסימנים הללו ובאמצעות סוג מתאים מסוים של קלקולוס".
לפי גישתו של לייבניץ, מחשבות מורכבות יהיו מיוצגות באמצעות הרכבת הסמלים של מחשבות פשוטות יותר. לייבניץ טען כי יחידות הפירוק לגורמים ראשוניים מראה כי למספרים ראשוניים יש תפקיד מרכזי בקרקטריסטיקה האוניברסלית - חיזוי קולע של קידוד גדל (Gödel numbering). כלומר, כוונתו של לייבניץ היא שניתן להבטיח, שאין שום דרך אינטואיטיבית או מנמוניקה כלשהי באמצעותה ניתן למספר כל אוסף של מושגים אלמנטריים באמצעות מספרים ראשוניים. בכתביו ניסה לייבניץ "להצמיד" מספרים ראשוניים למושגי יסוד, ולאחר מכן להמיר פסוקים לוגיים במכפלות מתאימות שלהם; שיטת המספרים האופייניים (characteristic numbers) שהגה ב-1679 מהווה אריתמטיזציה של הלוגיקה האריסטוטלית. רעיונו של לייבניץ על הסקה לוגית דרך שפה אוניברסלית של סמלים וחישובים מבשר באופן מובהק התפתחויות משמעותיות בתחום של מערכות פורמליות במאה ה-20, כמו שלמות טיורינג, בה תהליך חישובי משמש להגדיר שפות אוניברסליות אקוויוולנטיות.
כיוון שלייבניץ היה אז עדיין רק מתחיל במתמטיקה, הוא לא חשב על האות כעל סוג של אלגברה, אלא כסוג של שפה או כתב אוניברסלי. אולם, ב-1676 חלם לייבניץ לראשונה על סוג של "אלגברה של המחשבה", וחשב להשתמש באלגברה ובסימול האלגברי הרגיל לצורך האותיות שלו. לפי לייבניץ, האות האוניברסלית שתיבנה בסופו של דבר תהיה חייבת להתבסס על תחשיב לוגי מסוים, מעט קומבינטוריקה, אלגברה, ה- analysis situs (רעיונות טופולוגיים) שלו, שפת מושגים אוניברסלית, ועוד.
לייבניץ יצר פרויקטים להמצאתם של שיטת כתיבה אוניברסלית וללוגיקה סימבולית. המטרה של מחקריו של לייבניץ הייתה, כפי שהוסבר מקודם, ליצור (כדבריו) "סוג של מערכת כללית של כתיבה שבו כל האמיתות של ההיגיון יצומצמו לחשבון. זה יכול להיות, באותו זמן, סוג של שפה כתובה אוניברסלית, שונה מאוד מכל אלה שדובר עליהם עד כה; כי האותיות ואף המלים ינחו את ההיגיון, והטעויות – חוץ מהעובדתיות – יהיו רק טעויות חישוביות. יהיה מאוד קשה להמציא את השפה הזו, אך מאוד קל ללמוד אותה ללא מילונים". הוא קבע מה כמות הזמן שהוא יצטרך כדי להמציא אותה: "אני חושב שכמה אנשים מובחרים יוכלו לסיימה תוך חמש שנים", ולבסוף חווה דעתו על רמת החשיבות של המשימה הזו: "אני חוזר, על מה שכבר אמרתי פעמים רבות, כי אדם שהוא לא נביא או נסיך לא יכול להחל במשימה יותר מועילה למין האנושי ולתהילתו של האל".
מה שלייבניץ התכוון אליו כשהוא כתב על "האות האוניברסלית" ו-"הקלקולוס רציוסינטור", עשוי לעולם לא להיות מובן במדויק.

פילולוגיה

לייבניץ הפילולוג היה חוקר נלהב של שפות, והיה להוט ללקט כל מידע על אוצר מילים ודקדוק שנקרה בדרכו. הוא הפריך את האמונה, אשר הייתה נפוצה בקרב מלומדים נוצרים בתקופתו, שעברית הייתה השפה הראשונית של האנושות. הוא גם הפריך את האמונה, שפותחה על ידי מלומדים שוודים בתקופתו, שצורה של פרוטו-שוודית הייתה האב הקדמון של השפות הגרמניות. הוא תהה על המקורות של השפות הסלאביות, היה מודע לקיום של שפת הסנסקריט, והיה מוקסם מסינית קלאסית.

סינופיל

לייבניץ היה אולי האינטלקטואל האירופי המשמעותי הראשון שגילה עניין רב בציוויליזציה הסינית, אשר אותה הוא הכיר באמצעות התכתבויותיו, וקריאת העבודות של מיסיונרים נוצרים אירופאים שהוצבו בסין. לאחר שקרא את Confucius Sinarum Philosophus ("חייו ועבודותיו של קונפוציוס"), מאת האב פיליפ קוּפְּלֵה (Philippe Couplet) והאב פְּרוֹסְפֶּרוֹ אינטוֹרְצֶ'טַה (Prospero Intorcetta), משנת 1687 בשנה הראשונה לפרסומו, הוא הסיק שהאירופאים יוכלו ללמוד רבות מהמסורת האתית הקונפוציאנית. הוא הרהר על האפשרות שהכתבים הסיניים היו צורה לא מכוונת של הקרקטריסטיקה האוניברסלית. הוא הוקסם מהבחנתו שלו שהקסגרמות האי צ'ינג תואמות למספרים הבינאריים מ-000000 ל-111111, והסיק שהמיפוי הזה היה עדות להישגים מתמטיים סיניים משמעותיים בתחום של הפילוסופיה המתמטית שהוא כה העריך.
משיכתו של לייבניץ לפילוסופיה סינית נבעה מהתפיסה שלו שהפילוסופיה הסינית דמתה לשלו. ההיסטוריון E.R. Hughes הציע שרעיונותיו של לייבניץ על "חומר פשוט" ו-"ההרמוניה שנקבעה מראש" הושפעו ישירות מקונפוציאניזם, והצביע על העובדה שרבים מהרעיונות האלו נהגו בתקופה שבה קרא את החיבור Confucius Sinarum Philosophus.

איש אשכולות

במהלך סיורו הארוך בארכיבים אירופיים, שנועד לתעד את ההיסטוריה של משפחת ברונסוויק (משימה שהוא מעולם לא השלים), הוא עצר בווינה בין מאי 1688 לפברואר 1689, שם הוא עשה עבודה דיפלומטית ומשפטית רבה בעבור בני בית ברונסוויק. הוא ביקר במכרות, דיבר עם מהנדסי מכרות, וניסה לשאת ולתת על חוזי ייצוא עופרת ממכרות הדוכס שבהרי ההארץ. הצעתו שרחובות וינה יוארו במנורות השורפות שמן לפתית יושמה. לייבניץ מילא תפקיד מרכזי בפוליטיקה והדיפלומטיה האירופאית של תקופתו. בשירותו של הנסיך של מיינץ חיבר כמה חיבורים משפטיים חשובים, ביניהם "ההצעה לרפורמה של לימודי המשפטים" ו"יסודות של משפט אזרחי". במהלך פגישתו עם הקיסר האוסטרי ובמזכרים שלאחר מכן, לייבניץ הציע לארגן מחדש את הכלכלה האוסטרית, לערוך רפורמה בשיטת המטבע של חלקים ניכרים במרכז אירופה, לשאת ולתת על קונקורדט בין בני הבסבורג והותיקן, וליצור ספריית מחקר אימפריאלית, ארכיון רשמי, וקרן ביטוח ציבורי. הוא כתב ופרסם מאמר חשוב על מכניקה.
לייבניץ גם כתב מאמר קצר, Primae veritates, שפורסם לראשונה בידי Louis Couturat ב-1903, המסכם את השקפותיו על מטאפיזיקה. המאמר לא מתוארך; השאלה אם כתב את המאמר בווינה ב-1689 הוכרעה רק ב-1999, כאשר המהדורה הקריטית שיצאה פרסמה בסופו של דבר רק את הכתבים הפילוסופיים שלו מהשנים 1690 - 1677. קריאתו של Couturat הייתה נקודת ההתחלה של רבים מזרמי המחשבה על לייבניץ במאה ה-20, במיוחד בקרב פילוסופים אנליטיים. עם זאת, אחרי מחקר קפדני של כל כתביו הפילוסופיים של לייבניץ עד ל-1688 - מחקר שהתאפשר אודות לפרסום המהדורות האחרונות של כתביו - Mercer (ב-2001) פירש בצורה מעט שונה את כתביו של לייבניץ.

כמתמטיקאי וכפילוסוף

כשלייבניץ נפטר, המוניטין שלו היה בדעיכה. הוא היה זכור רק בשל ספר אחד, התאודיציאה, אשר הטיעון המרכזי שלו הפך למושא ללעג על ידי וולטר בספרו הפופולרי קנדיד, אשר מסתיים בכך שהדמות קנדיד אומרת, "Non liquet" (אין זה ברור), מונח שנעשה בו שימוש במהלך תקופת הרפובליקה הרומית לציון פסק דין חוקי של "לא מוכח". התיאור של וולטר את הרעיונות של לייבניץ היה כה משפיע שרבים האמינו שהוא תיאור מדויק. על כן וולטר וקנדיד שלו נושאים באשמה לכישלון המתמהמה להבין ולהעריך את הרעיונות של לייבניץ. ללייבניץ היה תלמיד נלהב, כריסטיאן וולף, אשר השקפתו הדוגמתית והקלה גרמה למוניטין של לייבניץ נזק רב. הוא גם השפיע על דייוויד יום שקרא את תאודיציאה והשתמש בכמה מרעיונותיו. בכל מקרה, האופנה הפילוסופית נעה הרחק מהרציונליזם והלוגיקה השיטתית של המאה ה-17, אשר לייבניץ היה מייצג כה בולט שלה. עבודתו על משפט, דיפלומטיה והיסטוריה נתפסה כמעוררת עניין בר חלוף. ההיקף והעושר של ההתכתבות שלו לא זוהה.
בחלקים ניכרים מאירופה הוטל ספק בכך שלייבניץ גילה את הקלקולוס באופן בלתי תלוי בניוטון, ולכן עבודתו כולה במתמטיקה ופיזיקה נזנחה. וולטר, שהיה מעריץ של ניוטון, כתב את קנדיד גם מסיבה נוספת, והיא כדי לפגוע באמינות טענתו של לייבניץ לכך שגילה את הקלקולוס ובטענתו שהיסודות של תורת הכבידה העולמית של ניוטון אינם נכונים.
מצעדו הארוך של לייבניץ לתהילתו הנוכחית החל בפרסום משנת 1765 של חיבורו Nouveaux Essais, אשר קאנט קרא לעומק. ב-1768, Louis Dutens ערך את המהדורה רבת הכרכים הראשונה של כתבי לייבניץ, אשר לאחריה הופיעו במאה ה-19 מספר רב של מהדורות, כולל אלו שנערכו על ידי Erdmann, Foucher de Careil, Gerhardt, Gerland, Klopp, ו- Mollat.
פרסום של ההתכתבות של לייבניץ עם דמויות ראויות לציון כמו אנטואן ארנולד, סמואל קלארק, סופיה מהנובר ובתה, החל.
ב-1900, ברטראנד ראסל פרסם מחקר קריטי של המטאפיזיקה של לייבניץ. זמן קצר לאחר מכן, Louis Couturat פרסם מחקר חשוב על לייבניץ, וערך גם כרך של כמה מכתביו הלא מפורסמים של לייבניץ, בעיקר אלו שעוסקים בלוגיקה. כתבים אלו הקנו ללייבניץ מעמד של כבוד בקרב הפילוסופים האנליטיים והלינגוויסטיים בעולם דובר האנגלית (לייבניץ כבר היה בעל השפעה רבה על גרמנים רבים, כולל ברנהרד רימן). לדוגמה, הביטוי שלייבניץ טבע salva veritate, שמשמעותו ניתנות להמרה מבלי לשנות את ערך האמת, מופיע בכתביו של וילארד קווין. אף על פי כן, הספרות המשנית על לייבניץ לא פרחה באמת עד אחרי מלחמת העולם השנייה.
Nicholas Jolley שיער שהמוניטין של לייבניץ כפילוסוף הוא כעת אולי גבוה יותר מאשר בכל תקופה שהיא מאז שלייבניץ חי. פילוסופיה אנליטית ועכשווית ממשיכה להחיות את הרעיונות שלו על זהות, אינדיווידואליות, ועולמות אפשריים. עבודה שנעשתה על תולדות הרעיונות במאות ה-17 וה-18 חשפה יותר בבירור את "המהפכה האינטלקטואלית" שקדמה למהפכות התעשייתיות והמסחריות הידועות יותר של המאות ה-18 וה-19, אשר לייבניץ מילא תפקיד מרכזי בה.
ב-1985, הממשלה הגרמנית יצרה את פרס לייבניץ, שמציע פרס כספי שנתי של 1.55 מיליון יורו לתוצאות ניסוייות ו-770,000 יורו לתוצאות תאורטיות. זהו הפרס הגבוה בשוויו בעולם להישגים מדעיים.

הנצחה

על שמו של לייבניץ נקרא ביסקוויט לייבניץ, אף על פי שהקשר היחיד בין השניים הוא העיר הנובר, שבה ממוקמים מפעלי החברה ושלייבניץ הוא אחד מבניה המפורסמים ביותר.