טופולוגיה

טופולוגיה היא ענף במתמטיקה העוסק בחקר התכונות של המרחב הנשמרות תחת דפורמציות רציפות (עיוותי צורה כמו כיווץ, מתיחה, ניפוח). הטופולוגיה התפתחה מהגאומטריה, אבל שלא כמו גאומטריה אוקלידית, עניינה של הטופולוגיה אינו בחקר תכונות של המרחב שמקורן במושג המטריקה כגון המרחק בין נקודות. במקום זאת, טופולוגיה מעורבת במחקר של אותן תכונות של המרחב המתארות את האופן שבו הוא מקובץ יחדיו, כגון קשירות ואוריינטביליות.
המילה טופולוגיה פירושה גם תחום של מחקר וגם משפחה של קבוצות בעלות תכונות מסוימות המגדירות מרחב טופולוגי, האובייקט הבסיסי ביותר הנחקר בטופולוגיה. בעלות חשיבות בטופולוגיה הן אותן הדפורמציות הנקראות הומיאומורפיזם. בצורה לא פורמלית, ניתן לומר שהומיאומורפיזמים הם פונקציות המעוותות את המרחב, מותחות או מכווצות אותו, אך לא קורעות אותו או מחברות חלקים מנוגדים יחדיו. 
רעיון מרכזי ומופשט יותר הקשור בדפורמציות הוא שקילות הומוטופית, שגם לו תפקיד מרכזי בטופולוגיה. 
כאשר הדסיצפלינה הובחנה לראשונה כיאות, לקראת סוף המאה ה-19, היא נקראה "geometria situs" (לטינית: גאומטריה של המקום) ו-"analysis situs" (לטינית: אנליזה של המקום). משנת 1925 עד שנת 1975 היא הייתה תחום מתפתח חשוב בתוך המתמטיקה.
טופולוגיה היא ענף רחב של המתמטיקה שיש לו תתי-תחומים רבים. החלוקה הבסיסית והמסורתית ביותר של טופולוגיה היא: טופולוגיה קבוצתית שמתבססת על ההיבטים היסודיים של הטופולוגיה וחוקרת מושגים כגון קומפקטיות וקשירות, טופולוגיה אלגברית, שבאופן כללי מנסה למדוד דרגות של קשירות באמצעות בניות אלגבריות כגון חבורות ההומוטופיה והומולוגיה, וטופולוגיה גאומטרית, שחוקרת בעיקר יריעות ואת השיכונים שלהן ביריעות אחרות.

היסטוריה

הענף של מתמטיקה שכעת נקרא טופולוגיה התפתח מחיפוש אחר פתרון של בעיות מסוימות בגאומטריה. מאמרו של לאונרד אוילר משנת 1736 על שבעת הגשרים של קניגסברג נחשב לאחת התוצאות הטופולוגיות הראשונות.
המונח "topologie" הוצג לראשונה בגרמניה על ידי יוהאן בנדיקט ליסטינג. למעשה, הוא השתמש במונח הזה כבר עשר שנים קודם בהתכתבות."topology", הגרסה האנגלית של המילה, הוצגה בשנת 1883 בג'ורנל Nature על מנת להבדיל "גאומטריה איכותית מגאומטריה סטנדרטית בה מטפלים בעיקר ביחסים כמותיים". המונח טופולוגיסט במובן של מתמטיקאי המתמחה בטופולוגיה הוצג לראשונה ב-1905 במגזין ספקטייטור.
טופולוגיה מודרנית ביותר מתבססת מאוד על רעיונות מתורת הקבוצות, שפותחו על ידי גאורג קנטור בחלקה המאוחר של המאה ה-19. קנטור, בנוסף להנחת היסודות הרעיוניים של תורת הקבוצות, החשיב קבוצות של נקודות במרחב אוקלידי, כחלק מן המחקר שלו של טורי פורייה.
אנרי פואנקרה פרסם את המאמר analysis situs ב-1895, המציג את הרעיונות של הומוטופיה והומולוגיה, שכעת נחשבים חלק מטופולוגיה אלגברית. 
מוריס פרשה, בעבודתו המאחדת את עבודתם על מרחבי פונקציות של קנטור, וולטרה, ארזלה, הדמר, אסקולי ואחרים, הציג את המרחב המטרי ב-1906. מרחב מטרי כעת נחשב מקרה פרטי של מרחב טופולוגי כללי. ב-1914, פליקס האוסדורף טבע את המונח מרחב טופולוגי, ונתן את ההגדרה למה שכעת נקרא מרחב האוסדורף. בשימוש העכשווי, מרחב טופולוגי הוא אובייקט מעט כללי יותר ממרחב האוסדורף, שהגדרתו ניתנה לראשונה ב-1922. 
להתפתחויות מאוחרות יותר, ראו טופולוגיה קבוצתית וטופולוגיה אלגברית.

הקדמה אלמנטרית

מרחבים טופולוגיים מופיעים כמעט בכל ענפי המתמטיקה, ומכאן חשיבותה הרבה של הטופולוגיה.
התובנה שסיפקה תמריץ  להתפתחות הטופולוגיה היא שכמה בעיות גאומטריות תלויות לא במבנה המדויק של העצמים המעורבים, אלא בדרך שבה הם מקובצים יחדיו. לדוגמה, לריבוע ולמעגל יש תכונות רבות במשותף (מנקודת מבט טופולוגית): שניהם עצמים חד-ממדיים ושניהם מחלקים את המישור לשני חלקים - בתוכם ומחוץ להם.
אחת הבעיות הראשונות בטופולוגיה הייתה שאלת הגשרים של קניגסברג, שנפתרה בידי לאונרד אוילר, במסגרתה נקבע כי בלתי אפשרי למצוא מסלול שעובר דרך העיר  קניגסברג שיחצה כל אחד משבעת הגשרים שלה בדיוק פעם אחת. תוצאה זו לא התבססה על אורך הגשרים, וגם לא על מרחקם אחד מהשני, אלא על תכונות הקשירות שלהם: אילו גשרים מחוברים לאילו איים או גדות נהר. בעיה זו, שבעת הגשרים של קניגסברג, היא כעת בעיה מפורסמת המוצגת רבות בהקדמות לקורסים במתמטיקה, והיא הוליכה לענף המתמטיקה הקרוי תורת הגרפים.
באופן דומה, משפט הכדור השעיר בטופולוגיה אלגברית טוען כי "לא ניתן לסרק את השיער שעל פני כדור כך שהשיער לא יבלוט, מבלי להשאיר קרחת". טענה זו מתקבלת על ידי רוב האנשים באופן אינטואיטיבי, אף על פי שהם עשויים לא לזהות את הניסוח המתמטי המדויק של המשפט, שאין שדה וקטורים משיקים רציף על הספירה שאינו מתאפס בנקודה אחת לפחות. כמו במקרה של הגשרים של קניגסברג, התוצאה לא מתבססת על גודלה המדויק של הספירה, היא נכונה גם עבור אגסים ולמעשה כל סוג של צורה חלקה, כל עוד אין לה חורים.
במטרה לעסוק בבעיות הללו שאינן מסתמכות על הצורה המדויקת של העצמים, נדרש להבהיר על אילו תכונות הבעיות הללו כן מסתמכות. מצורך זה נוצר המושג של הומיאומורפיזם. אי האפשרות לחצות כל גשר פעם אחת בדיוק מתקיים בכל סידור של הגשרים שהומיאומורפי לזה שבקניגסברג, ואת משפט הכדור השעיר ניתן ליישם לכל מרחב שהומיאומורפי לספירה. 
באופן אינטואיטיבי, שני מרחבים הם הומיאומורפיים אם ניתן לעוות אחד מהשנים לצורה של השני מבלי לחתוך אותו או להדביק חלקים מנוגדים יחדיו. בדיחה ידועה מספרת כי טופולוגיסט אינו מבדיל בין ספל קפה לדונאט (טורוס), ומכיוון שטורוס גמיש מספיק ניתן לעיוות לצורתו של ספל קפה (כפי שנראה באנימציה), באמצעות יצירת גומה והרחבה מתמשכת שלו, שבמהלכה מכווצים את החור לידית.  
הומיאומורפיזם יכול להיחשב לשקילות הטופולוגית הבסיסית ביותר. שקילות טופולוגית אחרת היא שקילות הומוטופיה. קשה יותר לתאר את המושג הזה מבלי להיכנס לפרטים הטכניים, אך התנאי ההכרחי הוא ששני עצמים "X" ו-"Y" הם שקולים הומוטופית אם קיים עצם נוסף "Z" כך ש-"Z" מכיל גם את "X" וגם את "Y" והוא ניתן לכיווץ בדרכים שונות ל-X ו-Y. מקרה חלקי ופשוט הוא כאשר אנו לוקחים את Z כאחד מ-X ו-Y, נניח X. במקרה זה, Y מוכל ב-X ו-X ניתן לכיווץ ל-Y.
ענף נוסף של הטופולוגיה, הנקרא "טופולוגיה קבוצתית" עוסק בחקירת מרחבים טופולוגיים באמצעות אוסף הקבוצות הפתוחות שלהם. למעשה, אוסף הקבוצות הפתוחות של מרחב מסוים הוא מה שמגדיר את הטופולוגיה של אותו מרחב. הטופולוגיה הקבוצתית החלה כהכללה של האנליזה על הישר הממשי, בה הקבוצות הפתוחות מוגדרות כקבוצות המכילות סביבות פתוחות לכל נקודה בקבוצה. הסביבות הבסיסיות הן "הכדורים הפתוחים" . ההכללה הראשונה של הישר הממשי היא מרחב מטרי, כלומר: מרחב המצויד במטריקה המודדת מרחק בין כל שתי נקודות. בשלב הבא נחקרו מחקרים טופולוגיים שהם לא בהכרח מטרים. במרחבים אלה הטופולוגיה הוגדרה באמצעות קבוצות פתוחות, וכך גם רציפות של פונקציה בין מרחבים טופולוגיים. נושא מרכזי במרחבים אלה הם אקסיומות ההפרדה: באיזה מידה ניתן להפריד נקודות או קבוצות זרות באמצעות עטיפתן בקבוצות פתוחות זרות. מרחבים בהם ניתן להפריד שתי נקודות נקראים מרחבי האוסדורף. תוצאות חשובות בנושא זה הם הלמה של אוריסון ומשפט טיטצה. מבחינה זו, המרחב שבו תכונות ההפרדה הן החזקות ביותר הוא המרחב המטרי. נושא נוסף של מחקר בטופולוגיה קבוצתית הוא קומפקטיות. בישר הממשי קבוצה היא קומפקטית אם ורק אם היא קבוצה סגורה וחסומה. הטופולוגיה הקבוצתית מכלילה מושג זה למרחב טופולוגי כלשהו באמצעות שימוש במושג כיסוי פתוח - כלומר: כיסוי הקבוצה באוסף של קבוצות סופיות. נושא מחקר נוסף הוא קשירות של מרחבים טופולוגיים. דוגמה לקבוצה מעניינת שנחקרה במסגרת הטופולוגיה הקבוצתית היא קבוצת קנטור.

רציפות והומיאומורפיזמים

פונקציה ממרחב טופולוגי אחד לאחר נקראת רציפה אם הדמות ההופכית של כל קבוצה פתוחה היא גם פתוחה. אם הפונקציה ממפה את המספרים הממשיים למספרים הממשיים (שניהם מרחב עם טופולוגיה סטנדרטית), אז הגדרה זו של רציפות זהה להגדרה של רציפות שניתנת בחשבון אינפיניטסימלי. אם פונקציה רציפה היא חד חד ערכית ועל והפונקציה ההופכית לפונקציה גם היא רציפה, אז היא נקראת הומיאומורפיזם והתחום של הפונקציה הומיאומורפי לטווח. דרך אחרת לחשוב על זה היא שלפונקציה יש הרחבה טבעית אל הטופולוגיה. אם שני מרחבים הם הומיאומורפיים, אז יש להם תכונות טופולוגיות זהות, והם נחשבים זהים מבחינה טופולוגית. הקובייה והספירה הם הומיאומורפיים, כמו גם ספל קפה והבייגלה (טורוס). אך המעגל אינו הומיאומורפי לטבעת.