אקסיומת הבחירה

אקסיומת הבחירה היא אחת האקסיומות של תורת הקבוצות האקסיומטית, שנוסחה לראשונה על ידי ארנסט צרמלו. בניגוד לכל שאר האקסיומות האחרות במערכת האקסיומות של צרמלו-פרנקל (למעט אולי אקסיומת האינסוף), אקסיומה זו אינה נחשבת 'מובנת מאליה', וניתן לפתח את תורת הקבוצות במידה רבה גם בלעדיה. לאקסיומה יש כמה מסקנות שימושיות ביותר (ובראשן הלמה של צורן, משפט הסדר הטוב ועקרון המקסימום של האוסדורף), ולכן היא מקובלת כמעט על כל המתמטיקאים, אך בה במידה יש לה מסקנות העשויות להראות מופרכות (כגון פרדוקס בנך-טרסקי).
בשפה לא פורמלית, אקסיומת הבחירה קובעת שבהינתן אוסף של קבוצות לא ריקות, ניתן לבחור איבר אחד מכל קבוצה. הפילוסוף והמתמטיקאי ברטרנד ראסל הדגים זאת בדוגמה הבאה: אם נתונה סדרה של זוגות נעליים, אפשר לבחור נעל אחת מכל זוג גם ללא אקסיומת הבחירה, לפי הכלל "בחר את הנעל השמאלית בכל זוג". לעומת זאת, כדי לבחור גרב אחד מכל זוג גרביים (שבהם אין הבחנה בין ימין לשמאל), יש להשתמש באקסיומת הבחירה.
לאחר שמעמדה של אקסיומת המקבילים יושב בראשית המאה ה-19, אקסיומת הבחירה שהוצעה בסוף אותה מאה עוררה מחקר, עניין ואף מחלוקות בהיקף שאף אקסיומה אחרת לא התקרבה אליו. תפקידה במסגרת תורת הקבוצות, שאותו חזה דויד הילברט כשהקדיש לה (ולהשערת הרצף) את הבעיה הראשונה שלו, הוביל להתפתחות עמוקה של יסודות המתמטיקה לאורך כל המאה ה-20. בתחילת דרכה היו הדעות באשר לה חלוקות. האינטואיציוניסטים דחו אותה, אבל כמותם היו גם רבים אחרים. עם זאת, הגרסאות השימושיות של אקסיומת הבחירה, ובראשן משפט הסדר הטוב והלמה של צורן, הביאו את מרבית המתמטיקאים לקבל אותה. מעמדה התחזק כשקורט גדל הוכיח (1938) שהוספת אקסיומת הבחירה אינה פוגעת בעקביות של אקסיומות צרמלו-פרנקל. עם זאת נותרו כיסי התנגדות. למשל המתמטיקאי ואן דר ורדן, שכתב את הספר המשפיע "אלגברה מודרנית", כלל אותה במהדורה הראשונה (1930), השמיט אותה מן המהדורה השנייה (1937) בהשפעתם של עמיתיו לאסכולה הגרמנית, וחזר וכלל אותה במהדורה השלישית (1950), בלחצם של עמיתיו חוקרי האלגברה (דרושה הלמה של צורן כדי להוכיח שלכל שדה יש סגור אלגברי, או שלכל חוג יש אידיאל מקסימלי). רק כשפול כהן הוכיח ב-1963 ששלילתה של אקסיומת הבחירה, גם היא אינה פוגעת בעקביות של מערכת צרמלו-פרנקל, בשלה ההכרה באקסיומה זו כאובייקט למחקר עצמאי. רוב המתמטיקאים המודרניים מניחים את אקסיומת הבחירה, וחוקרי תורת הקבוצות ויסודות המתמטיקה מתעמקים בגרסאות חלשות שלה ובהשלכותיהן.

אקסיומת הבחירה

במערכת הלוגית של תורת הקבוצות האקסיומטית יש רק סוג אחד של אובייקטים - קבוצות, ויחס אחד - שייכות. לאקסיומות יש אופי של בניה: כל אקסיומה מוסיפה, בתנאים מסוימים, עוד קבוצה למאגר הקבוצות הקיימות. אקסיומת הבחירה מספקת, בתנאים מסוימים פונקציה, שגם היא סוג של קבוצה (קבוצת הזוגות הסדורים מן הצורה ; גם זוגות סדורים הם קבוצות).
אם  היא משפחה של קבוצות, פונקציה  נקראת פונקציית בחירה אם היא מקיימת את התנאי .
האקסיומה קובעת כך: לכל משפחה של קבוצות לא ריקות קיימת פונקציית בחירה.
המכפלה הקרטזית של אוסף קבוצות מוגדרת כקבוצת פונקציות הבחירה מקבוצות אלה. אקסיומת הבחירה שקולה, אם כך, לטענה שהמכפלה הקרטזית של קבוצות לא ריקות, אינה ריקה.
ניסוח שקול: לכל קבוצה  יש פונקציה  כך ש- לכל  .

גרסאות חזקות יותר של אקסיומת הבחירה

קיימות אקסיומות אחרות של תורת הקבוצות שגוררות את אקסיומת הבחירה: למשל אקסיומת הבנייה, שמגבילה את עולם הקבוצות לאוסף מינימלי של קבוצות, גוררת את אקסיומת הבחירה. אקסיומה זו גוררת את השערת הרצף המוכללת שגוררת בתורה את אקסיומת הבחירה.
למעשה, אקסיומת הבנייה גוררת תוצאה חזקה יותר ממה שמתקבלת רק מהתקיימות השערת הרצף המוכללת - היא גוררת שמתקיימת אקסיומת הבחירה הגלובלית: קיימת פונקציית בחירה על פני כל יקום הקבוצות שמוגדרת באמצעות נוסחה קבועה.
לא ניתן לנסח את אקסיומת הבחירה הגלובלית בשפה של ZFC, כיוון שלא ניתן לכמת על פני מחלקות (או נוסחאות) בשפה הזו. בשפות שמרחיבות את השפה של ZFC ושמתירות כימות של מחלקות, אקסיומה זו ניתנת לניסוח, ולעיתים היא אף נובעת מאקסיומות חזקות יותר.

שימושי אקסיומת הבחירה

אקסיומת הבחירה מופיעה בתחומים רבים במתמטיקה, וכמה משפטים חשובים שקולים לה, דוגמת משפט הסדר הטוב, הלמה של צורן ועקרון המקסימום של האוסדורף.
ללא אקסיומת הבחירה מספר תוצאות בסיסיות באלגברה לא מתקיימות. למשל, יש מרחב וקטורי ללא בסיס, יש חוג ללא אידיאל מקסימלי ועוד.
אקסיומת הבחירה נדרשת כדי להוכיח מספר תכונות בסיסיות בטופולוגיה של הישר הממשי, למשל את השקילות בין הגדרת מושג הרציפות של פונקציה באמצעות סדרות ובאמצעות סביבות. בטופולוגיה כללית - משפט טיכונוף דורש את אקסיומת הבחירה.
ללא אקסיומת הבחירה לא ניתן להוכיח כי איחוד בן מנייה של קבוצות בנות מנייה הוא בן מנייה. אכן, יש מודל של ZF בו אקסיומת הבחירה נכשלת והממשיים מתפצלים לאיחוד בן מנייה של קבוצות בנות מנייה. במודל כזה אין משמעות לתורת המידה הרגילה. מאידך, Solovay הראה שמן האקסיומה DC נובעת הסיגמא-אדיטיביות של מידת לבג, ותחת הנחות מעט יותר חזקות מ-ZFC (על מונים גדולים) קיים מודל (ללא אקסיומת הבחירה) בו כל קבוצה היא מדידה.
באנליזה פונקציונלית, משפט האן-בנך ומשפט בנך-אלאוגלו דורשים את אקסיומת הבחירה.
בתורת הקבוצות, אקסיומת הבחירה המלאה הכרחית כדי לטפל בהתנהגות העוצמות השונות. ללא אקסיומת הבחירה יש עוצמות שאינן ניתנות להשוואה, בעוד שעם אקסיומת הבחירה מחלקת כל העוצמות סדורה היטב. משפט טרסקי מדגים את ההשפעה של אקסיומת הבחירה על האריתמטיקה של העוצמות.
ללא אקסיומת הבחירה לא מובטח לנו כי המונים העוקבים הם סדירים. לדוגמה, יש מודל של ZF בו  (המונה שעוצמתו ) הוא חריג.
בדרך כלל, כאשר עוסקים במודלים של תורת הקבוצות ללא בחירה, מחליפים אותה באקסיומה חזקה אחרת. למשל, אקסיומת הכריעות (AD) שלא מתיישבת עם אקסיומת הבחירה, מספקת מודל בו הקבוצות של המספרים הממשיים מתנהגות באופן מאוד סדיר (למשל כל קבוצה מדידה לבג וכל קבוצה שאיננה בת מנייה מכילה קבוצה מושלמת).