גאומטריה פרויקטיבית

גאומטריה פרויקטיבית היא גאומטריה לא אוקלידית, שבה אקסיומת המקבילים מוחלפת באקסיומה אחרת: כל שני ישרים במישור נפגשים בנקודה. 
באיור שמשמאל מתוארות הנחות היסוד לציור בפרספקטיבה. הצייר ניצב מול בד ציור, ומצייר את הנראה לו מאחורי הבד. כדי לצייר עצם בעולם, יש למתוח קו ישר מהעצם אל עין הצייר, ולחתוך את הקו ישר עם מישור הבד. נקודת החיתוך זו היא המקום על הבד בו צריכה להיות מצוירת הנקודה המקורית. בגישה זו אין התייחסות להשפעה של שתי העיניים על הראייה.
צייר הניצב מול מושא הציור שלו יכול, כמובן, לצייר בדיוק יחסי גם בלא צורך בתאוריה מתמטית מורכבת. הצייר יכול, למשל, למדוד בעין מרחקים במושא הציור שלו בעזרת סרגל המוחזק בידו הפשוטה קדימה, ולהעתיק מרחקים אלו אל הדף. עם זאת, ציירי הרנסאנס ציירו תכופות את התמונות מדמיונם. בפרסקו של מזאצ'ו "השילוש הקדוש" (משמאל) מתואר ישו הצלוב בחזיתו של מבנה בעל עיצוב מורכב (קמרון חבית שתקרתו מרוצפת בתיבות). על מנת לצייר מבנה כגון זה בדיוק הנדרש היה על הצייר (כפי הנראה) לשרטט מראש מבנה כזה בתרשימי צד ובסיס. לאחר מכן בנה הצייר תמונה של המבנה התלת-ממדי, בעזרת התרשימים הנ"ל, על ידי חישובים מתמטיים.

תולדות הענף

הגאומטריה הפרויקטיבית נולדה מתוך הצרכים המעשיים של אמני הציור. בימי הביניים היה הציור רוחני וסמלי. לקראת הרנסאנס עלתה קרנו של הציור המדויק – הדומה לנראה בעין. החייאת הכתבים הקלאסיים והאמונה שבבסיס הטבע עומדים עקרונות מתמטיים, הובילה את הציירים והמתמטיקאים בני התקופה לנסות ולמצוא שיטה סדורה לציור העולם התלת-ממדי על בד ציור דו-ממדי.
האמנים הראשונים בתחום זה שמשנתם ידועה לנו היו פיליפו ברונלסקי ולאונה בטיסטה אלברטי, שחיבר את הטקסט הראשון (הידוע כיום) בנושא, שכותרתו "על הציור" – De pictura. אנשי מפתח מאוחרים יותר בתחום זה הם פיירו דלה פרנצ'סקה, לאונרדו דה וינצ'י, אלברכט דירר ואחרים. 
המתמטיקאי ז'ראר דזארג (Gérard Desargues) היה ממניחי היסודות התאורטיים לגאומטריה הפרויקטיבית, ועסק בה יחד עם בלז פסקל. באחד מחיבוריו מתאר דזרג מתכון שלם לציור עצם בפרספקטיבה מנקודת מבט מסוימת, מתוך תרשימי הבסיס והצד שלו. הענף נזנח במשך כמאתיים שנים, בין היתר עקב ההתפתחויות המטאוריות של הגאומטריה האנליטית והחשבון האינפיניטסימלי באותה התקופה. כתביהם של דזרג ושל פסקל אבדו. ז'אן-ויקטור פונסלה (Jean-Victor Poncelet) נחשב למחיה הגאומטריה הפרויקטיבית. הוא שרת כקצין בצבא נפוליאון, ונפל בשבי בזמן הפלישה לרוסיה. בזמן שהותו בשבי, בשנים 1813–1814, שחזר פונסלה את אשר למד בתחום הגאומטריה ממורו גספאר מוֹנז' (Gaspard Monge), והצליח לפתח תוצאות חדשות בגאומטריה פרויקטיבית. מחקריו של פונסלה הובילו לחקר מחדש של הנושא, וממשיכיו העמיקו חקר מעבר לתוצאות של דזרג ופסקל.
בשנת 1845 נתקל המתמטיקאי הצרפתי מישֵל שָל (Michel Chales) בעותק שכוח בכתב יד של מאמר של דזרג בנושא (שעסק בחתכי חרוט). כך נודע היקף עבודתו של דזרג בנושא. בזמן זה שוחזרו כבר רוב תוצאותיו של דזרג בידי מתמטיקאים בני התקופה. באותה עת תרמו לגאומטריה הפרויקטיבית גם יעקב שטיינר וארתור קיילי. גישתו של פליקס קליין לגאומטריה דרך סימטריות חיברה את הגאומטריה הפרויקטיבית לאלגברה. בסוף המאה ה-19 ותחילת המאה ה-20 תרמו לתחום גם דויד הילברט, אוסוולד ובלן וג'ון וסלי יאנג , שפיתחו את הגישה האקסיומטית.

עקרון הדואליות

הדואליות בגאומטריה פרויקטיבית מתייחסת להחלפה של נקודות וישרים, תוך שמירה על יחס החילה (נקודה על ישר הופכת לישר שעליו נקודה). המבנה הדואלי לישר שעליו ארבע נקודות הוא נקודה שדרכה עוברים ארבעה ישרים, וכן הלאה. לדוגמה, אם נגדיר "משולש" כשלשה של נקודות שאינן על ישר אחד עם הישרים העוברים דרכן, נגלה שהמבנה הדואלי כולל שלושה ישרים שאינם נפגשים בנקודה, עם נקודות החיתוך שלהם - דהיינו, אותו משולש בדיוק. לכן המשולש הוא דואלי לעצמו.
חשיבותה של הדואליות בגאומטריה פרויקטיבית נובעת מכך שמערכת האקסיומות (יחד עם שלוש הטענות שנוסחו לעיל) היא דואלית. הווה אומר, אם נחליף את כל הישרים בנקודות, ואת הנקודות בישרים, נקבל סידור מחדש של שמונה הפסוקים. משתמע מכך, שהמושגים נקודה וישר הם דואליים בגאומטריה פרויקטיבית. מכאן נובע שלכל משפט שניתן להוכיח בגאומטריה פרויקטיבית, נכון גם המשפט הדואלי (המתקבל מהחלפת ישרים ונקודות).

משפטים מרכזיים

משפט דזרג קובע שאם שני משולשים פרספקטיבים ביחס לנקודה, אז הם פרספקטיבים גם ביחס לישר. המשפט הזה חל בכל מרחב פרויקטיבי מממד 3 או יותר, אבל הוא אינו מתקיים בכל מישור פרויקטיבי. 
בהינתן זוג ישרים  הנחתכים ב-O. וכן תהינה הנקודות , כשכל הנקודות שונות מ-O. אזי, שלושת החיתוכים , , , הם על ישר אחד. 
גם משפט פאפוס אינו נובע מהאכסיומות של הגאומטריה הפרויקטיבית. יתרה מזאת, משפט פאפוס אינו נובע גם משילובם של משפט דזרג והאכסיומות, אך לפי משפט של גרהרד הסנברג, ניתן להוכיח את משפט דזארג באמצעות משפט פאפוס.