מודול (מבנה אלגברי)

במתמטיקה, מודול הוא מבנה אלגברי הכולל חבורה אבלית, שעליה פועל חוג באמצעות כפל בסקלר, באותו אופן שבו שדה פועל על מרחב וקטורי. 
המודולים מהווים "מגרש משחקים" כללי ביותר, שבו יכול החוג לפעול ולהפגין את תכונותיו האלגבריות. משום כך מהווים מודולים כלי עבודה מרכזי בתורת החוגים, ובפרט באלגברה הומולוגית, ובכל היישומים של תחומים אלה במתמטיקה.

פעולות בין מודולים

אם M הוא מודול שמאלי מעל חוג R, תת-חבורה N של M היא תת-מודול אם N מהווה מודול מעל R ביחס לאותה פעולה של כפל בסקלר, כלומר, אם  לכל  ולכל . החיתוך של שני תת-מודולים הוא תת-מודול, והסכום של שני תת-מודולים הוא תת-מודול. כמו במרחבים וקטוריים, יש חשיבות מיוחדת לסכום ישר, שהוא סכום של תת-מודולים, שבו יש דרך יחידה להציג כל וקטור כסכום משני המרכיבים.
אם  שני מודולים, מודול המנה  מוגדר כמרחב הקוסטים , עם פעולת הכפל בסקלר . פונקציה שומרת חיבור f ממודול M מעל R למשנהו היא הומומורפיזם של מודולים, אם היא שומרת על הכפל בסקלר: . כרגיל, איזומורפיזם של מודולים הוא הומומורפיזם שהוא חד-חד-ערכי ועל. תת-מודולים מקיימים את משפטי האיזומורפיזם של נתר.
ה"סכום הישר החיצוני" (הקרוי גם "מכפלה ישרה"), מוגדר בדומה למרחבים וקטוריים או חבורות, עם הכפל בסקלר לפי רכיבים: . מגדירים גם סכום ישר חיצוני ומכפלה ישרה של מספר אינסופי של מודולים (שני המבנים המתקבלים שונים זה מזה).

הכפל בסקלר כפעולה

אם M היא חבורה אבלית, אוסף האנדומורפיזמים  (אלו הן הפונקציות המקיימות ) מהווה חוג, ביחס לפעולות של חיבור נקודתי  והרכבה. את החוג הזה מקובל לסמן ב- . אם M הוא מודול מעל חוג R, אז לכל  הפונקציה  היא אנדומורפיזם (לזה דואג תנאי הדיסטריבוטיביות מימין), והפונקציה השולחת את r אל  היא הומומורפיזם של חוגים (בזכות שלוש האקסיומות האחרות). אפשר להפוך את כיוון הבניה, וכך מתקבלת התאמה בין הדרכים לחשוב על M כמודול, לבין ההומומורפיזמים מחוגים כלשהם אל .

תורת מבנה

מודול פשוט הוא מודול שאין לו תת-מודולים לא טריוויאליים (דהיינו שונים מאפס ומהמודול עצמו). כל מודול פשוט הוא ציקלי (כלומר, מודול מהצורה ); כל מודול ציקלי איזומורפי למודול מהצורה  כאשר  אידיאל שמאלי של . מודול שהוא סכום של תת-מודולים פשוטים נקרא מודול פריק לחלוטין. מודול שאי-אפשר להציג כסכום ישר של תת-מודולים הוא אי-פריד. כל מודול ארטיני או מודול נתרי הוא סכום ישר סופי של מודולים אי-פרידים.
מודול M הוא נאמן אם לא קיים איבר  של החוג כך ש- . אוסף המודולים מעל חוג נתון  מהווה קטגוריה. אפשר ללמוד על המבנה של  מתוך התכונות של מודולים מעליו. אחת הדוגמאות החשובות בעניין זה: חוג שיש לו מודול פשוט ונאמן נקרא חוג פרימיטיבי; כל חוג פשוט הוא פרימיטיבי, וכל חוג פרימיטיבי הוא חוג ראשוני.
המבנה של מודולים מעל תחומים ראשיים מהווה דוגמה חשובה. כל מודול נוצר סופית מעל תחום ראשי  אפשר לכתוב באופן יחיד כסכום ישר של מודולים ציקליים , כאשר . ממשפט זה אפשר לקבל כמקרים פרטיים את המשפט היסודי על מיון של חבורות אבליות נוצרות סופית, וגם את פירוק ז'ורדן של מטריצות.

המעבר ממודול שמאלי לימני

בדרך כלל, אם M הוא מודול שמאלי מעל R, אז הפעולה של כפל בסקלר מימין אינה הופכת את M למודול ימני מעל אותו חוג, משום שתנאי האסוציאטיביות אינו מתקיים. אם R חוג קומוטטיבי, בעיה זו נעלמת: מעל חוגים כאלה, כל מודול שמאלי הוא גם ימני (ולהפך); למעשה, כל מודול שמאלי או ימני הוא בימודול מעל R. במקרה הכללי, המעבר בין מודולים שמאליים וימניים מערב את החוג המנוגד  של R, שהוא בעל אותו מבנה חיבורי, עם הכפל ההפוך . אם M הוא מודול שמאלי מעל R, אז הוא גם מודול ימני מעל , אם מגדירים את הפעולה החדשה לפי הנוסחה . עם זאת, M איננו בימודול מעל הזוג .

קטגוריות של מודולים

הקטגוריה של מודולים מעל חוג R היא אחת הדוגמאות החשובות לקטגוריה. קטגוריות מסוג זה פותחו במסגרת תורת ההצגות ותורת ההומולוגיה האלגברית, והכניסו מושגים בסיסיים רבים לתורת הקטגוריות עצמה.
מסמנים ב- את הקטגוריה של קומפלקסי השרשרת החסומים של מודולים מעל R. זוהי קטגוריה אבלית. העתקה בין קומפלקסים המגדירה איזומורפיזם של כל ההומולוגיות בשרשרת, נקראת קאווזי-איזומורפיזם. הצורך ללמוד את המודולים מעבר למבנה ההומולוגי שלהם מביא להגדרת הקטגוריה הנגזרת, , הנבנית מן הקטגוריה של קומפלקסי השרשרת החסומים, על ידי היפוך פורמלי של כל הקוואזי-איזומורפיזמים. (קטגוריה זו אינה עוד אבלית, אבל היא משולשית ).