חבורה (מבנה אלגברי)

תת-חבורות

תת-קבוצה של חבורה  המהווה בעצמה חבורה (ביחס לאותה פעולה בינארית אסוציאטיבית ולאותו איבר יחידה), נקראת תת-חבורה. כל תת-קבוצה הכוללת יחד עם כל איבר את ההפכי שלו, ויחד עם כל שני איברים את מכפלתם, היא תת-חבורה. החיתוך של תת-חבורות הוא תמיד תת-חבורה. כל תת-חבורה H מחלקת את החבורה למחלקות שקילות, הנקראות קוסטים, בשני אופנים: מימין, המחלקות הן מהצורה , ומשמאל, המחלקות הן מהצורה . מספר האיברים בכל מחלקה (ימנית או שמאלית) שווה למספר האיברים בתת-החבורה, ומכאן נובע משפט לגראנז': הסדר של תת-חבורה של חבורה סופית, מחלק את הסדר של החבורה. מספר המחלקות (השמאליות או הימניות) של תת-חבורה נקרא האינדקס של תת-החבורה ומסומן . כאשר החבורות סופיות מתקיים .
מהסדר של חבורה (סופית) אפשר להסיק רבות על המבנה שלה. בין המשפטים הבסיסיים בכיוון זה אפשר למנות את משפט קושי על קיומם של איברים בעלי סדר ראשוני, ואת משפטי סילו על קיומן של תת-חבורות שסדרן הוא חזקה של ראשוני.
בין תת-החבורות, חשובות במיוחד תת-החבורות הנורמליות, שהן תת-חבורות הכוללות, יחד עם כל איבר, את כל האיברים הצמודים לו. במלים אחרות, תת-חבורה H היא תת-חבורה נורמלית של G אם לכל  מתקיים ; לכן  לכל g. מכאן נובע שהמחלקות הימניות והשמאליות של תת-חבורה נורמלית שוות זו לזו. על אוסף המחלקות ביחס לתת-חבורה נורמלית H אפשר להגדיר פעולת כפל, ההופכת אותו לחבורה; חבורה זו נקראת חבורת המנה של G ביחס ל- H, וגודלה הוא האינדקס של H ב G. החבורה עצמה, ותת-החבורה הכוללת את איבר היחידה בלבד, הן תמיד נורמליות. חבורה שאין לה תת-חבורות נורמליות אחרות נקראת חבורה פשוטה. חבורה שאינה פשוטה אפשר לבנות מתת-חבורה נורמלית ומחבורת המנה, באמצעות תהליך הקרוי הרחבה של חבורות. נורמליות אינה עוברת בתורשה (כלומר, ייתכן ש- N תת-חבורה נורמלית של H, ו- H תת-חבורה נורמלית של G, בעוד ש- N אינה נורמלית ב- G).
המכפלה של תת-חבורות מוגדרת לפי הכפלת האיברים, . זוהי תת-חבורה אם ורק אם . מכיוון שתת-חבורה נורמלית N מקיימת את הזהות , המכפלה שלה עם כל תת-חבורה מהווה תת-חבורה. בפרט, המכפלה של שתי תת-חבורות נורמליות היא תת-חבורה (נורמלית).

תת-חבורות מיוחדות

אומרים שאיברים a,b בחבורה מתחלפים, אם ab=ba. אוסף האיברים המתחלפים עם כל אברי החבורה הוא תת-חבורה שלה, הנקראת מֶרְכָּז  החבורה; את המרכז של G מקובל לסמן ב- , על-פי המלה הגרמנית למרכז, Zentrum. המרכז הוא תת-חבורה נורמלית, ובחבורה אבלית הוא שווה לחבורה כולה. יש חבורות, כגון החבורה הסימטרית, שבהן המרכז כולל רק את איבר היחידה. המרכז מוכל בכל תת-חבורה אבלית מקסימלית של החבורה.
באופן כללי יותר, לכל תת-חבורה H של חבורה G מסמנים ב-  את אוסף האיברים של G, המתחלפים עם כל אברי H. תת-חבורה זו נקראת המְרַכֵּז  של H. בפרט, . אם  שתי תת-חבורות של G, אז . לכל תת-חבורה מתקיים , ו- .
באופן דומה, מגדירים את המנרמל של H, כתת-החבורה . תת-חבורה זו מכילה את H, והיא תת-החבורה הגדולה ביותר של G שבה H נורמלית.
ראו גם: תת חבורת הקומוטטורים, סדרת הרכב.

פעולות יסודיות ואיברים צמודים

לחבורות יש מעמד מרכזי במתמטיקה בגלל היכולת שלהן לפעול על קבוצות שונות. כמעט בכל מקרה, אוסף הפונקציות ההפיכות ממרחב נתון אל עצמו, השומרות על תכונות מסוימות של המרחב, מהווה חבורה. פעולה של חבורה על קבוצה X מציגה את אברי החבורה כפונקציות הפיכות מן הקבוצה X לעצמה, וכך מאפשרת לחקור תכונות מעניינות של X מחד, ולנתח ביתר קלות את המבנה של החבורה, מאידך.
כל חבורה פועלת על עצמה בשתי דרכים חשובות: על ידי פעולת הכפל (משמאל או מימין), ועל ידי פעולת ההצמדה. פעולת הכפל משמאל מוגדרת באופן שאיבר x שולח את האיבר y לאיבר xy. בדרך זו הופך האיבר x לתמורה על אברי החבורה, וכך מתקבלת הוכחה של משפט קיילי: כל חבורה היא תת-חבורה של חבורת תמורות. בפעולת ההצמדה, האיבר x שולח את y ל- ; פעולה זו מחלקת את החבורה G למחלקות שקילות מן הצורה , הקרויות "מחלקות צמידות". פעולת ההצמדה היא גם אוטומורפיזם של החבורה עצמה, ולכן היא יוצרת הצגה של החבורה, כתת-חבורה של חבורת האוטומורפיזמים של עצמה. הצגה זו היא נאמנה אם ורק אם לחבורה יש מרכז טריוויאלי.