0.999...

במתמטיקה, הסימון ...0.999 מציין את הפיתוח העשרוני האינסופי, שבו כל הספרות שאחרי הנקודה העשרונית הן 9. על-פי ההגדרה המקובלת לפיתוח העשרוני, המספר שווה ל- 1; כלומר, ...0.999 אינו "שואף ל-1", אלא שווה ל-1 בדיוק. השוויון ...0.999=1 אינו ייחודי; כל מספר ממשי בעל שבר עשרוני סופי אפשר לייצג גם באמצעות שבר עשרוני המסתיים בסדרה אינסופית של תשיעיות. כך למשל, המספר 13.412 ניתן לייצוג גם בתור המספר ...13.411999. תכונה זו בעצמה אינה ייחודית לכתיב העשרוני: לכל בסיס b, אפשר לייצג כל שבר סופי גם בעזרת רצף אינסופי שבו חוזרת הספרה b-1.
אף על פי שהשוויון מקובל ללא עוררין על הקהילה המדעית, הגדרת הפיתוח העשרוני מסתמכת על מושג הטור המתכנס מן האנליזה המתמטית. בקרב אלו שאינם מכירים או אינם מקבלים רעיונות אלה, שכיחה התייחסות אל הביטוי ...0.999 כאל "תהליך" של סיכום מתמשך, שאינו יכול לייצג את המספר 1 באופן מלא, ולכן אינו שווה לו. השקפה זו אינה מבחינה בין מרחב הייצוגים העשרוניים  (שהוא מרחב בלתי קשיר לחלוטין) לבין הקטע הממשי  (הקשיר).
העוסקים בחינוך מתמטי מכירים את הקושי שבקבלת השוויון של המספר שבכותרת ל-1. גם בקבוצת הדיון sci.math, נערכו דיונים רבים בנושא השוויון, ואלו הביאו בסופו של דבר להכללת הסברים עבורו בקובץ השאלות והתשובות של הקבוצה. לעומת זאת, בספר Mathematical Cranks של Underwood Dudley (משנת 1992), הכולל עשרות דוגמאות לטרחנות מתמטית, הנושא אינו מוזכר כלל.

פיתוח עשרוני אינסופי

בדיוק כפי שרצף ספרות סופי  מובן כסכום , שהוא לעולם מספר רציונלי, אפשר להבין את הרצף האינסופי  כסכום אינסופי, . לסכום כזה נקרא "טור עשרוני", המתאים לשבר העשרוני האינסופי .
בגישה זו (שהיא התפיסה המקובלת במתמטיקה, ללא עוררין), יש שתי בעיות. ראשית, מהי המשמעות של סכום אינסופי? מרגע שהוגדר הסכום של שני מספרים, אפשר להגדיר את הסכום של כל קבוצה סופית של מספרים באינדוקציה; אולם, הגדרה זו אינה מעניקה מובן לסכום של קבוצה אינסופית, ומושג זה דורש הגדרה חדשה. במהלך הטיפול במושג החדש מתברר עד מהרה שעדיף לטפל בסכום של קבוצה מסודרת (כזו שיש לה איבר ראשון, איבר שני, וכן הלאה), במקום בסכום של קבוצה שאינה מסודרת. לקבוצה מסודרת שאותה מבקשים לסכם, קוראים במתמטיקה טור; בסוגיית הסיכום של טורים עוסק החשבון האינפיניטסימלי (ראו גם גבול של סדרה). בכל הגדרה מתקבלת על הדעת לסכום של טור (בקורסי מבוא לתחום נלמדת שיטה אחת כזו, אבל מתמטיקאים מכירים רבות אחרות; ראו סומביליות), יש טורים שקיים להם סכום (אלו נקראים "טורים מתכנסים"), וטורים שלא קיים להם סכום (אלו נקראים "טורים מתבדרים"). ועם כל זאת, כל הטורים העשרוניים מתכנסים (אפילו לפי ההגדרה המקובלת, שהיא השמרנית ביותר).
כאן מתעוררת הבעיה השנייה - היכן מחשבים את הסכום? כל טור עשרוני מתכנס למספר ממשי, אבל מספרים אלה בדרך-כלל אינם רציונליים. במלים אחרות, יש טורים עשרוניים שאינם מתכנסים למספר רציונלי. עובדה זו ניתן לבטא בשתי דרכים: מנקודת המבט של המספרים הרציונליים, לטור כזה אין סכום; ומנקודת המבט של המספרים הממשיים, יש לו סכום, שאינו רציונלי.
יש דרך קלה להבחין בין הטורים העשרוניים שסכומם רציונלי, לאלו שסכומם אינו כזה. בשבר עשרוני מחזורי יש קבוצת ספרות החוזרת שוב ושוב ממקום מסוים והלאה. בשבר כזה מקובל לסמן את הקבוצה החוזרת בקו עילי או בנקודות עיליות, או להמשיך את השבר בשלוש נקודות, כאשר הקבוצה החוזרת מובנת מן ההקשר. כך למשל  מסמן את השבר שבו, לאחר הספרה 5, חוזרות הספרות 90 ללא גבול. באופן דומה, בפיתוח העשרוני ...0.333, שלוש הנקודות מציינות שהפיתוח אינו מסתיים, והספרה 3 מופיעה בו בכל מקום. מספר זה שונה, מן השבר הסופי 0.333. מתברר שלכל טור עשרוני מחזורי יש סכום רציונלי, ולכל טור עשרוני שאינו מחזורי יש סכום שאינו רציונלי.

הערך המספרי של ...0.999

אפשר לסכם את הנאמר עד כה בכמה גישות כלפי השבר העשרוני .

אי-הגדרה

אפשרות אחת היא לטעון שהביטוי הזה כלל אינו מוגדר. גישה כזו היא עקבית מבחינה לוגית, אבל כנגדה אפשר להציג את ההגדרות שהובאו לעיל, ולטעון שללא שברים עשרוניים אינסופיים, אנו מסוגלים להציג כשבר עשרוני רק מקצת המספרים הרציונליים, ואף לא מספר אי-רציונלי אחד. לעומת זאת, אם מוכנים לקבל את השוויון , כפל ב-3 יביא למסקנה שגם
.

בנייה אלטרנטיבית של הממשיים

האפשרות השנייה היא להתייחס לביטוי  כאל תהליך - כאילו היה זה כתיב מקוצר של הסדרה המורכבת מן המספרים 0.9, 0.99, 0.999, וכן הלאה. לפי גישה זו, הביטוי  יתאר את הסדרה המורכבת מן המספרים 1.0, 1.00, 1.000, וכן הלאה (שכולם שווים כמובן ל-1). שתי הסדרות ללא ספק שונות זו מזו, ולפיכך יביא פירוש כזה למסקנה הבלתי נמנעת, ש- .
לפי השקפה זו, הטור אינו מסתכם למספר הממשי המייצג אותו אלא רק "מתקרב" אליו. הד להתנגדות זאת ניתן למצוא בספרו של זאב בכלר, "שלוש מהפכות קופרניקניות", בו מובעת התנגדות לפתרון הפרדוקסים של זנון באמצעות הטיפול שהעניק אוגוסטין לואי קושי למושג הסכום האינסופי.
הפרשנות הזו מתקשה למצוא את ההתאמה המדויקת בין מספר ממשי, לבין הסדרה המתקבלת מן הביטוי העשרוני שלו: אם נאמר שהסדרה עומדת בפני עצמה, אנחנו נותרים ללא דרך להציג מספר ממשי, בדיוק כאילו לא היינו מעניקים כל פירוש לשבר אינסופי. יש שתי דרכים להציג את המספר באמצעות הסדרה שלו. הדרך המקובלת מזהה את המספר כגבולה של הסדרה - שהוא סכומו של הטור העשרוני. ואכן, סדרות שונות עשויות להתכנס לאותו גבול, ושתי הסדרות שבתחילת הפסקה מתכנסות שתיהן למספר 1, כפי שיוסבר בהמשך. כנגד דרך זו אפשר לטעון שהיא "מאבדת אינפורמציה" - הסדרה נושאת יותר מידע מן הגבול שלה, דווקא משום שיש שתי סדרות שונות המסתכמות לאותו מספר; ולכן, עדיף, לכאורה, לחשוב על הסדרה עצמה בתור מספר ממשי.
מגישה זו, המבקשת לשמור על מלוא התוכן של הסדרה, נובעת בנייה אלטרנטיבית של המספרים הממשיים - כסדרות (עשרוניות, מתכנסות), שכל אחת מהן היא "מספר ממשי" נפרד. למרות קשיים טכניים מסוימים, אפשר להגדיר בין הסדרות האלה פעולות חיבור וכפל, באופן שהופך את אוסף הסדרות לחוג למחצה עם סדר (לעומת המספרים הממשיים הרגילים המהווים שדה, מבנה מוצלח יותר). אולם, בבנייה זו יש כמה חסרונות חמורים, המונעים ממנה להיות מתחרה ראויה להגדרה המקובלת של המספרים הממשיים: למשל, מתקיים בה השוויון  לכל , ומכאן שלא ניתן לצמצם איברים שווים בחיבור; הרי זה כאילו הורידו משני קטעים שווים חלקים שווים, והתקבלו קטעים באורכים שונים.

הגדרת הסכום

ייתכן, אולי, לקבל את ההגדרה של  כסכומו של הטור ההנדסי , ולטעון שסכום אינסופי זה אינו שווה ל-1. אם מסתפקים בזיהוי השבר העשרוני עם הטור חסר הפירוש, הרי שזוהי חזרה על הפרשנות הסדרתית שנדונה לעיל. לפיכך, יש להניח את ההגדרה המקובלת לסכום של טור, כמספר שהסכומים החלקיים הולכים ומתקרבים אליו. לפי המקובל, מספר זה שווה ל-1, משום שההפרש בין 1 לבין הסכום החלקי 
(n תשיעיות), 
(n אפסים), הולך וקטן. אם כך, אפשר לתהות, אולי ההפרש הוא מספר ממשי קטן ביותר, קטן מכל החזקות השליליות של 10, שהוא עדיין גדול מאפס? השקפה זו נוגדת תכונה יסודית של המספרים הממשיים - תכונת ארכימדס, הקובעת שעבור כל שני מספרים ממשיים חיוביים, יש מספר טבעי גדול כל-כך, עד שהכפלתו בממשי הראשון תהיה גדולה יותר מן הממשי השני.
כאן אפשר לתהות מדוע המספרים הממשיים "מוכרחים" להיות שדה סדור ארכימדי דווקא. התשובה לכך תלויה במיסוד הגאומטרי של מערכת המספרים הממשיים - המספרים האלה אמורים לייצג אורכים של קטעים על-פני קו ישר (ציר המספרים), ולקטעים כאלה, על-פי האינטואיציה הגאומטרית שלנו, יש תכונת ארכימדס. אפשר לתכנן מערכות מתמטיות אחרות, שבהן תכונת ארכימדס אינה מתקיימת, עם אנליזה אחרת, שבה ההגדרה לטורים מתכנסים תובענית יותר. במערכות כאלה ייתכן ש- , אף על פי שטענה זו שגויה אם מפרשים את שני האגפים כמספרים ממשיים.