גאומטריה לא-אוקלידית

גאומטריה לא־אוקלידית היא תורה גאומטרית, שבה מתקבלות תוצאות שונות מהגאומטריה של אוקלידס, על ידי שינוי חלק מהאקסיומות שבבסיסה.
הגאומטריה האוקלידית, המוגדרת על ידי האקסיומות שתיאר אוקלידס ביסודות, נחשבה מאות בשנים לגאומטריה המתארת את הטבע. עם זאת, האקסיומה החמישית של אוקלידס, אקסיומת המקבילים, מורכבת ביחס לשאר האקסיומות, והיא נתפסה כפחות טבעית. לפיכך נעשו מאמצים רבים להוכיח שאקסיומה זו נובעת מהאקסיומות האחרות, כלומר – אינה אקסיומה אלא משפט. מאמצים אלה עלו בתוהו במשך מאות שנים, עד שבראשית המאה ה-19 הבינו מתמטיקאים אחדים שנדרש כיוון שונה.
לרעיון שניתן להחליף את אקסיומת המקבילים באקסיומה אחרת, ובכך לקבל גאומטריה שונה מהגאומטריה האוקלידית אך תקפה באותה מידה, הגיע לראשונה גאוס, שחשש לפרסם רעיון כה חדשני. גאוס גילה רבות מהתכונות היסודיות של הגאומטריה הלא אוקלידית (או, באופן ספציפי יותר, של הגאומטריה ההיפרבולית): אי-האפשרות של צורות דומות, קיומו של אורך אבסולוטי א-פריורי (absolute length), גילה והוכיח את הקשר בין האינטגרל על עקמומיות המשטח לגירעון הזוויתי של משולש על פניו (ההפרש בין סכום זוויותיו ל-180 מעלות), מצא נוסחה לשטח המקסימלי של משולש בגאומטריה היפרבולית, וכן נוסחה להיקף מעגל בגאומטריה היפרבולית. אחריו, בשנות העשרים של המאה ה-19,  הגיעו לרעיון באופן בלתי תלוי המתמטיקאי הרוסי ניקולאי איוונוביץ' לובצ'בסקי וקצין הצבא ההונגרי יאנוש בויאי. אחת הגרסאות הלא־אוקלידיות, הגאומטריה ההיפרבולית, אומרת שדרך נקודה מחוץ לישר עוברים אינסוף ישרים מקבילים לישר זה (ולא אחד בלבד כבגאומטריה האוקלידית). בגרסה אחרת של גאומטריה לא־אוקלידית, הגאומטריה הפרויקטיבית והגאומטריה הכדורית, שאותן פיתח ברנרד רימן, תלמידו של גאוס, אומרת האקסיומה שכל שני קווים ישרים - נפגשים. בגאומטריה זו לא קיימים ישרים מקבילים.
מאוחר יותר פיתח רימן את הגאומטריה הרימנית שמכלילה את כל הגאומטריות הנ"ל והניחה את היסודות לתחום הנקרא גאומטריה דיפרנציאלית, המטפל בין השאר ביריעות בעלות עקמומיות משתנה. ב-1868 נעזר אוגניו בלטרמי בשיטה הכללית של רימן כדי לבנות מודלים לגאומטריה ההיפרבולית. בשנות השבעים של המאה ה-19 חיבר אנרי פואנקרה את הרעיונות האלה אל הנושאים המרכזיים במתמטיקה של תקופתו, והפך אותם לכלי חיוני בתורת המספרים האנליטית.
עד סוף המאה ה-19 התברר שהגאומטריות הלא־אוקלידיות אינן רק תרגיל ביסודות האקסיומטיים של הגאומטריה: כשם שהגאומטריה האוקלידית מהווה בסיס למכניקה של אייזק ניוטון, כך מהווה הגאומטריה הדיפרנציאלית (שמאפשרת מרחב לא-אוקלידי) המיושמת על יריעה פסאודו-רימנית (כלומר: יריעה בה הטנזור המטרי לא חיובי לחלוטין) בסיס לתורת היחסות הכללית, והיא הגאומטריה שמתארת נאמנה את המרחב-זמן.

עקביות הגאומטריה הלא-אוקלידית

הדרך הטובה ביותר להשתכנע שהתורה החדשה עקבית, כלומר, שאין בה סתירות, היא לבנות מודל שלה במסגרת תאוריה אחרת, מקובלת יותר. פירושו של דבר הוא שבמסגרת התאוריה הוותיקה, בוחרים קבוצה שתייצג את המישור בגאומטריה הלא-אוקלידית, ומאפיינים את הנקודות ואת הקווים הישרים במישור זה. כל שנדרש מן המודל הוא שהקווים והנקודות שלו יקיימו את האקסיומות של התורה החדשה. אם קיים מודל כזה, אז העקביות של התאוריה החדשה נובעת מזו של התאוריה הישנה. 
באופן צפוי (אך אירוני), המודלים המקובלים לגאומטריה לא-אוקלידית הם במסגרת הגאומטריה האוקלידית. יש להבין שקיומם של מודלים כאלה מוכיח כי אם הגאומטריה האוקלידית עקבית, הרי שבהכרח תכונה זו חלה על הגאומטריה הלא-אוקלידית. זו כשלעצמה הוכחה שאקסיומת המקבילים (האוקלידית) בלתי תלויה באקסיומות הגאומטריות האחרות (העקביות של הגאומטריה האוקלידית עצמה נשענת על העקביות של תורת הקבוצות, דרך המודל הסטנדרטי של המרחב האוקלידי).
ניתן לפרש חלק מהגאומטריות הלא־אוקלידיות כגאומטריה של פני משטח עקום במרחב אוקלידי תלת־ממדי. בפירושים אלה הגאומטריה ההיפרבולית היא הגאומטריה על פני אוכף ואילו הגאומטריה של רימן היא גאומטריה על פני כדור.