מודול פרויקטיבי

באלגברה הומולוגית, מודול פרויקטיבי מעל חוג R הוא מודול P בעל התכונה הבאה: כל הומומורפיזם  מתפצל דרך כל הטלה ; כלומר - במקרה כזה תמיד קיים הומומורפיזם  כך ש- .
מודולים פרויקטיביים מהווים הכללה של המודולים החופשיים (אלו שיש להם בסיס): כל מודול חופשי הוא פרויקטיבי. ההגדרה של מודולים פרויקטיביים בשפה של מורפיזמים מאפשרת גמישות רבה, והופכת אותם למרכיב יסודי באלגברה הומולוגית. מנקודת המבט הזו, התכונה המרכזית היא שמודול P הוא פרויקטיבי אם ורק אם הפונקטור  הוא מדויק.
חוג הוא פשוט למחצה אם ורק אם כל המודולים שלו פרויקטיביים. כל מודול חסר פיתול מעל חוג דדקינד הוא פרויקטיבי.

תכונות בסיסיות

אם  הוא מודול חופשי, אז P פרויקטיבי, ולהפך - כל מודול פרויקטיבי הוא מחובר ישר של מודול חופשי (וכל מודול פרויקטיבי נוצר סופית הוא מחובר ישר של מודול חופשי נוצר סופית). מכאן נובע שסכום ישר של מודולים הוא פרויקטיבי, אם ורק אם כל אחד מן המחוברים פרויקטיבי. כמו כן נובע מכך שכל מחובר ישר של מודול פרויקטיבי הוא בעצמו פרויקטיבי.
מודול P הוא פרויקטיבי אם ורק אם כל סדרה מדויקת קצרה  מתפצלת. כלומר, אם P מופיע כמנה של B, אז הוא מחובר ישר שלו. 
חופשיות מוגדרת לפי בסיס. יש הגדרה דומה למודולים פרויקטיביים: מודול P הוא פרויקטיבי אם ורק אם יש איברים  והומומורפיזמים  כך שלכל  מתקיים .

תת-מודולים

חוג שמעליו פרויקטיביות עוברת בתורשה לתת-מודולים, נקרא חוג תורשתי. אם התורשה פועלת רק על תת-מודולים נוצרים סופית, החוג הוא תורשתי למחצה. קפלנסקי הוכיח שכל מודול פרויקטיבי אפשר לפרק לסכום ישר של מודולים נוצרים-מנייתית. מעל חוג תורשתי למחצה (ואפילו תורשתי למחצה חלש), מודול פרויקטיבי הוא סכום ישר של מודולים נוצרים סופית
.

החבורה K0

את אוסף המודולים הפרויקטיביים של חוג R אפשר ללמוד באמצעות החבורה , המוגדרת באמצעות הפונקטור K₀: זוהי חבורת גרותנדיק של מונואיד המודולים הפרויקטיביים הנוצרים סופית, ביחס לפעולת הסכום הישר.
מעל חוג עם חילוק (לרבות שדה), חוג מקומי (גם אם אינו קומוטטיבי), או חוג שבו כל אידיאל שמאלי הוא ראשי (לרבות תחום ראשי), כל מודול פרויקטיבי נוצר סופית הוא חופשי. במקרים כאלה . 
"הטריק של איילנברג" מראה מדוע מוכרחים להגביל הגדרה זו למודולים נוצרים סופית: אם P פרויקטיבי, אז  חופשי עבור מודול (פרויקטיבי) מתאים Q, ולכן ; לכן P שקול לאפס בחבורת גרותנדיק של כל המודולים הפרויקטיביים מעל R. 
אם R חוג קומוטטיבי עם ספקטרום קשיר, אז כל מודול פרויקטיבי מעל R שאינו נוצר סופית, הוא חופשי.

מכפלה טנזורית

המכפלה הטנזורית  של שני מודולים פרויקטיביים  מעל החוג הקומוטטיבי , היא מודול פרויקטיבי. פרויקטיביות נשמרת תחת הרחבת סקלרים, במובן הבא: אם  מודול פרויקטיבי מעל החוג הקומוטטיבי , ו- אלגברה מעל , אז  הוא מודול פרויקטיבי מעל .

השערת סר

"השערת סר" (Serre), שאותה הוכיחו Quillen ו- Suslin (בנפרד, ב-1976), קובעת שכל מודול פרויקטיבי מעל חוג הפולינומים בכמה משתנים מעל שדה הוא חופשי. ההשערה הייתה אחד הגורמים החשובים בהתפתחות תורת המודולים מעל חוגים קומוטטיביים. אם מחליפים את השדה בחוג עם חילוק, התוצאה אינה נכונה.

כיסוי פרויקטיבי

מודול פרויקטיבי P עם העתקה מ-P למודול M שהגרעין שלה הוא תת-מודול קטן נקרא כיסוי פרויקטיבי של M. לא תמיד קיים כיסוי כזה, אבל אם קיים אז הוא יחיד (עד כדי איזומורפיזם). חוג שמעליו לכל מודול (נוצר סופית) יש כיסוי פרויקטיבי נקרא מושלם (למחצה).

קוואזי-פרויקטיביות

מודול נקרא קוואזי-פרויקטיבי אם כל הומומורפיזם מתת-מודול שלו אל עצמו, ניתן להרחבה לאנדומורפיזם מן המודול כולו. כל מודול פרויקטיבי הוא קוואזי-פרויקטיבי, אבל המשפחה האחרונה כוללת גם את כל המודולים הפשוטים למחצה. כל סכום ישר סופי של עותקים איזומורפיים של מודול קוואזי-פרויקטיביים, הוא קוואזי-פרויקטיבי. 
מודול שאפשר להרים אליו כל אנדומורפיזם של מודול מנה, נקרא דמוי-פרויקטיבי . כל מודול קוואזי-פרויקטיבי הוא דמוי-פרויקטיבי. 
מודול M הוא -פרויקטיבי, אם לכל פירוק  (הסכום לאו-דווקא ישר), יש אנדומורפיזם f כך ש- ו-. כל מודול דמוי-פרויקטיבי הוא כזה, וכך גם כל מודול יוניסריאלי (מודול שבין כל שני תת-מודולים שלו אחד מכיל את השני). מעל חוג השלמים, -פרויקטיביות שקולה לדמוי-פרויקטיביות. חוג שמעליו כל מודול הנוצר על ידי שני איברים הוא -פרויקטיבי, הוא פשוט למחצה.

פרויקטיביות נאמנה

מודול פרויקטיבי P מעל R הוא "פרויקטיבי נאמנה" (faithfully projective) אם  לכל אידיאל I של R (השווה למודול נאמן). תכונה זו מועילה למשל כאשר P הוא בעצמו חוג: אם R הוא תת-חוג של P, ו-P הוא פרויקטיבי בנאמנות מעל R, אז R הוא מחובר ישר ב-T
.