זרימה טורבולנטית

ערכים ממוצעים

עקב אי-הסדר בזרימה טורבולנטית, מקובל להסתכל במקרים רבים על הערכים הממוצעים של המהירות. 
כך למשל, אם נגדיר את u כרכיב המהירות הרגעית בכיוון x, נקבל שהמהירות הממוצעת  מקיימת את המשוואה: . הערך הרגעי u מורכב משני רכיבים, ערך ממוצע וערך תונד: .
כאשר ממוצע התנודות מתאפס . ניתן למדוד את עוצמת הטורבולנטיות בעזרת שורש ממוצע הריבועים של המהירות: 

ניתן לעשות ניתוח דומה עבור מהירות v בכיוון y ומהירות w בכיוון z.

משוואת ריינולדס הממוצעות

אם ניקח זמן T מספיק גדול כך שיכיל הרבה מערבולות אך קטן מהזמן האופייני של המערכת, נוכל לפתח את משוואת הרציפות הממוצעת: 
ומכך נובע עבור החלק התונד: .
וממשוואות נאוויה-סטוקס בכיוון x נקבל את הקשר: 
כאשר האיבר  נקרא איבר מאמצי ריינולדס.
באופן כללי נקבל מטריצת מאמצי ריינולדס: 
בסך הכל יש לנו 6 נעלמים עם 4 משוואות (3 משוואות נאוויה-סטוקס ו-1 משוואה של משוואת הרציפות), לכן מקובל לפתור את משוואות אלו בעזרת הנחות שונות, בהתאם למקרה הנחקר.

השפעת מספר ריינולדס

מעבר למספר ריינולדס מסוים זרימה למינרית נהיית לא יציבה. הערך של מספר ריינולדס בו מעבר זה קורה תלוי בתדירות ההפרעה, הערך ההתחלי של ההפרעה, סוג גרדיאנט הלחץ, צורת וחספוס שכבת הגבול וכו'.
כאשר הזרימה טורבולנטית, קשה להבדיל בסקאלת המאקרו בין זרימה עם מספרי ריינולדס אחד למספר ריינולדס אחר (בתנאי שהזרימות כולן טורבולנטיות והגאומטריה דומה). עם זאת, בסקאלת המיקרו, ניתן לראות כי המערבולות יותר קטנות ככל שמספר ריינולדס גדל. תופעה זו נובעת מכך שאפילו במספרי ריינולדס גבוהים (בהן כוחות הצמיגות קטנות יחסית לכוחות האינרציה), כוחות הצמיגות גורמות למערבולות הגדולות להתפצל למערבולות קטנות יותר עד שמגיעים לגדלים שבהן הצמיגות שולטת.

מערבולות

היווצרותן של מערבולות גדולות נוצרת בעקבות תנודתיות אקראית של התנועה הטורבולנטית בסקאלת המיקרו שמוגברת בנוכחות גרדיאנטי מהירות ממוצעת. המערבולות הגדולות הללו נוצרות מאי-יציבות פרופילי המהירות הממוצעת להפרעות בקנה מידה קטן של הזרימה הטורבולנטית. המערבולות הגדולות סופגות את האנרגיה של הזרימה הממוצעת. הן אחראיות בעיקרן על תהליכי דיפוזיה וערבוב ומעבירות טורבולנציה, תנע, ערבוליות, חום, חומר וחלקיקים בדידים. מערבולות גדולות אינן בעלות תכונות קבועות, אלא הן מתארכות ונמתחות בעקבות אינטראקציה אינרציאלית עם מערבולות שכנות. כאשר הן נמתחות ומתפתלות, ישנה היווצרות של צווארים צרים והן מתפצלות למערבולות קטנות. למערבולות הקטנות אנרגיה טורבולנטית ועוצמה ערבולית גבוהה יותר. כך, יש מעבר אנרגיה מהמערבולות הגדולות לקטנות. עם זאת, ישנו גבול שבו מערבולות עוד יותר קטנות כבר אינן יותר אנרגתיות מהמערבולות מהן נוצרו. כאשר המערבולות נהיות קטנות בהדרגתיות, גרדיאנט המהירות לאורך המערבולת מביא לדיסיפציה של אנרגיה טורבולנטית לחום בעזרת הצמיגות.

מודל אורך הערבוב של פרנדטל

התאוריה של פרנדטל מציגה ביטויים ל  ול  בעזרת אורך ערבוב l וגרדיאנט מהירות  כאשר y זה המרחק הנורמלי ל u שנמדד לרוב מהגבול. פרנדטל הניח, שבדומה לגז, בו מולקולה אחת עוברת מהלך חופשי ממוצע לפני שמתנגשת בשניה; כך גם חלקיק בזורם עובר מרחק l לפני שהתנע שלו משנה בסביבה החדשה. בעזרת שימוש בהשוואה הזו ובמשוואת הרציפות, הוא קיבל כי הקשר בין התנודתיות  ו  לאורך l הוא: 
. 
כלומר, השינוי במהירות תלוי בשינויים בממוצע בזמן של המהירות בשתי נקודות במרחק l אחד מהשני בכיוון y. 
המשוואה השולטת לאורך הערבוב שהוא קיבל היא:
כאשר  גורם לפילוג המהירות להפוך ליותר אחיד. 
היחס בין l למרחק לקיר y לא ניתן בפיתוח של פרנדטל. תיאודור פון קרמן הציע את הקשר:  כאשר  הוא קבוע אוניברסלי לזרימה טורבולנטית, שאינו תלוי בתנאי השפה או במספר ריינולדס.

משוואות ריינולדס הממוצעות לשכבת גבול טורבולנטית

למקרה דו-ממדי, בלתי דחיס ותמידי:
לא קיים פתרון מדויק לנוסחאות אלו, אך בעזרת אנליזה ממדית ניתן לפשט את הבעיה ולמצוא דמיות בין מקרים שונים. האנליזה הממדית מבוססת על הגדרת מהירות חיכוך , מהירות מנורמלת , ומרחק מנורמל .

המודל הלוגריתמי של פון קרמן

תיאודור פון קרמן הציע מודל: 

כאשר הקבועים  נקבעים על ידי ניסויים ונכונים עבור גאומטריות ומספרי ריינולדס קרובים לאלו שהיו בניסוי. בצינורות חלקים, קרוב לגבול  (קבוע פון קרמן) נמצא להיות בקירוב 0.4, והערך C נמצא להיות 5.5.
ובצורה ממדית המשוואה היא מהצורה:

שכבות בשכבת הגבול

באזור הטורבולנטי של שכבת הגבול, ישנה חלוקה לתתי שכבות - אזור טורבולנטי, אזור מעבר ואזור למינרי. זאת, כיוון שממש צמוד לקיר נקבל מהירויות אפסיות ובהגדלה מספיק משמעותית, כל ערבול מורכב מקווי זרם למינריים. עבור לוח שטוח מעבר לשכבת גבול טורבולנטית מתרחשת במספרי ריינולדס של . תת-שכבת הגבול הלמינרית מוגבלת לאזור . בתוך תת-שכבת הגבול הלמינרית, הצמיגות היא האיבר המשמעותי ביותר המכתיב את הזרימה ולכן משוואת נאוויה סטוקס המתקבלת באזור זה היא: 

אזור המעבר מוגדר לפי: 
שכבת הגבול הטורבולנטית מוגדרת כאשר:

קירוב חזקות

עבור לוח שטוח שמבחוץ זורם זרם בזווית אפס מעלות ביחס ללוח, מתקבל הקשר: 
כאשר  זה מאמץ הגזירה,  זה עובי תנע שהלך לשכבת הגבול, ו זה המהירות רחוק מהלוח.
עבור לוח חלק, בלאסיוס פיתוח נוסחא אמפירית למאמץ הגזירה: 
כמו כן, חוק פילוג החזקות של פרנדטל אומר: 
ולכן נקבל את הקשרים הבאים לעובי ההזזה, תנע, ואנרגיה בהתאמה: 
כאשר הערך של  תלוי במספר ריינולדס.