אי-שוויון איזופרימטרי

אי-שוויון אִיזוֹפֶּרִימֶטְרִי הכרוך בבעיה אִיזוֹפֶּרִימֶטְרִית (בעיה שומרת-היקף), הוא תואר שניתן בשימוש מודרני למספר אי-שוויונות העוסקים ביחס המקסימלי בין שטח קבוצה לאורך מעטפתה. בשימוש המקורי של המונח, במישור, הייתה הבעיה קביעת השטח המרבי שניתן לתחום במישור בצורה סגורה בעלת היקף נתון, והיא שקולה לבעיית קביעת ההיקף המינימלי של צורה בעלת שטח נתון. ניתן להכליל את הבעיה גם לממדים נוספים ולקבוצות שאינן מרחבים אוקלידיים.

הבעיה האיזופרימטרית על המישור

הבעיה האיזופרימטרית על המישור היא מציאת עקומה, מבין כל העקומות הסגורות בעלות אורך נתון, שממקסמת את השטח שהיא תוחמת (אם יש כזו), או, לחלופין, מציאת עקומה בעלת אורך מינימלי שתוחמת שטח נתון (אם יש כזו). פתרון הבעיה הוא שיש בדיוק עקומה אחת כזו, והיא מעגל. מהבעיה נגזר אי-השוויון האיזופרימטרי על המישור, לפיו אם L אורך עקומה סגורה, ו-A השטח התחום על ידיה, הרי ש:
שוויון מתקבל רק כאשר העקומה היא מעגל.
עבור כל עקומה סגורה, המקדם האיזופרימטרי הוא היחס בין השטח התחום בתוכה לשטח מעגל שהיקפו זהה. כלומר, אם Q הוא המקדם האיזופרימטרי,

ואי-השוויון האיזופרימטרי אומר ש .
משפט דומה אומר שמבין כל המצולעים בעלי היקף נתון ו-n צלעות, השטח שמקיף המצולע המשוכלל הוא הגדול ביותר. המקדם האיזופרימטרי של מצולע משוכלל שכזה הוא:

רקע היסטורי

הבעיה האיזופרימטרית ופתרונה היו ידועים כבר ליוונים הקדמונים. פאפוס ותיאון מאלכסנדריה, מתמטיקאים יוונים שחיו במאה הרביעית לספירה, הזכירו את הבעיה בכתביהם וייחסו את התוצאות לזנודורוס, מתמטיקאי שחי במאה השנייה לפנה"ס ושכתביו אבדו. הוכחת זנודורוס (כפי שהובאה בידי פאפוס) אינה שוקלת במקרי קצה, ואין בה כדי לשכנע מתמטיקאי מודרני. גם ארכימדס חקר את הבעיה, אך עבודתו אבדה.
בתקופת הרנסאנס ובעת החדשה שב והתחדש העניין בבעיה. קפלר התייחס לבעיה בחוקרו את צורת מערכת השמש. יאקוב ברנולי היה הראשון שנתן לה ניסוח מודרני, ולאונרד אוילר חקר אותה. בשנת 1842 פרסם המתמטיקאי השווייצרי יאקוב שטיינר הוכחה גאומטרית טהורה לבעיה, אולם דיריכלה הצביע על שגיאה: שטיינר הראה שאם קיימת עקומה הממקסמת את השטח, היא חוסמת מעגל; עדיין ייתכן שיש סדרה של עקומות באותו אורך, החוסמות שטחים הולכים וגדלים, אף על פי שאף אחת מהן אינה חוסמת מעגל. ויירשטראס הוא שסיפק את ההוכחה המלאה הראשונה במקרה הדו ממדי. ההוכחה הראשונה למקרה התלת-ממדי (ראו למטה) ניתנה בידי המתמטיקאי הגרמני הרמן שוורץ (Hermann Schwarz) ב-1890. ב-1902 פרסם אדולף הורוויץ (Adolf Hurwitz) הוכחה כללית שהסתמכה על טורי פורייה.
הבעיה האיזופרימטרית ידועה גם כ"הבעיה של דידו", על שם דידו, מייסדת קרתגו ומלכתה הראשונה. לפי האגדה, דידו, שנחתה בחופי צפון אפריקה אחרי שברחה מצור, ביקשה מבני המקום רשות להקים עיר על השטח שתוכל לכסות בעורו של פר. היא גזרה את עור הפר לרצועות והקיפה בהן גבעה שלמה, שהספיקה לה לבניית קרתגו. הסיפור מופיע באניאס של ורגיליוס, שנכתב במאה הראשונה לפנה"ס:
Devenere locos, ubi nunc ingentia cernis
moenia surgentemque novae Karthaginis arcem,
mercatique solum, facti de nomine Byrsam,
taurino quantum possent circumdare tergo.
— Aeneis I, 365-369
לפי גרסאות אחרות של הסיפור, דידו רצתה כי עירה תפנה אל הים, והקיפה רק חצי עיגול, כשקו החוף משלים את החסר. אם מניחים כי קו החוף ישר, הרי שזו אותה בעיית מקסימיזציה.

הבעיה האיזופרימטרית על הספֵירה

תהי C עקומה סגורה על ספירה ברדיוס 1, ויהי A השטח התחום בתוכה. אי-השוויון האיזופרימטרי על הספירה אומר כי:
וכי שוויון מתקבל רק אם העקומה היא מעגל. משפט זה הוכח ב-1919 בידי המתמטיקאי הצרפתי פאול לוי.

הבעיה האיזופרימטרית במרחבים אוקלידיים ממימד שרירותי

ניתן להכליל את הבעיה האיזופרימטרית למרחבים אוקלידיים מכל מימד: במרחב ממימד n, השטח המינימלי של צורה המכילה נפח נתון הוא שטח הפנים של ספירה ממימד n-1. עבור מרחבים בני שלושה ממדים, הצורה המתקבלת היא כדור, ואי השוויון הוא:

כאשר V נפח החלל התחום ו-A שטח הפנים של המעטפת.
ככלל, לכל קבוצה  שלסגור שלה מידת לבג סופית,

כאשר  היא תכולת מינקובסקי  ה-n-1-ממדית,  היא מידת לבג ה-n-ממדית, ו- הוא נפח כדור היחידה ב-.

הבעיה האיזופרימטרית על קוביות-על

תהי G קוביית-על (hypercube) ממימד n. נראה את פתרון הבעיה האיזופרימטרית עבור גבולות צמתים.
נגדיר כדור המינג מסביב לצומת v כך:
נגדיר קבוצה כ"כמעט כדור המינג" אם היא כדור המינג שחסרים בו צמתים רק, אולי, בשכבה החיצונית. עם הגדרה זו ניתן לתת ערך מדויק לפונקציה f לעיל:

הבעיה האיזופרימטרית על רשתות

יהי G גרף רשת (grid) בן n ממדים בו על כל צלע k נקודות (כלומר, גודל הגרף הוא ). אם נבחר תת-קבוצה של הצמתים A כך ש- 
, נקבל כי גודל גבול הקשתות (כלומר, מספר הקשתות בין תת-הקבוצה למשלים שלה) הוא לפחות  (בולובס ולידר, 1991).