בעיית קפלר

בעיית קפלר היא בעיה פיזיקלית המבקשת למצוא את המסלול שבו נעים שני גופים, כאשר פועל עליהם רק כוח אחד - כוח הדדי שעוצמתו יורדת עם ריבוע המרחק (כוח ריבועי הפוך), דוגמת כוח הכבידה או הכוח החשמלי.
בעיה זו, שהיא מקרה פרטי של בעיית שני הגופים, היא אחת הבעיות החשובות בפיזיקה. היא מופיעה למשל בתיאור התנועה של כוכב לכת יחיד סביב כוכב, או בתיאור תנועת האלקטרון והפרוטון באטום המימן לפי המודל הקלאסי. בעיית קפלר היא בין הבעיות הבודדות במכניקה הניתנות לפתרון באופן מדויק, וזאת במגוון דרכים.
הבעיה קרויה על שם האסטרונום הגרמני יוהנס קפלר, אשר 'גילה' את פתרון הבעיה בעזרת ניתוח תצפיות של תנועת גרמי השמים. מאוחר יותר ניסח אייזק ניוטון את חוקי ניוטון ואת חוק המשיכה האוניברסלי, בעזרתם ניתן לקבל את החוקים שניסח קפלר באופן תאורטי מעקרונות יסודיים יותר. ערך זה עוסק בניתוח מתמטי של בעיית קפלר במכניקה קלאסית וקבלת חוקי קפלר באופן תאורטי מתוך חוקי ניוטון. תיאור מפורט של חוקי קפלר מופיע בערך חוקי קפלר.

החוק השני של קפלר

החוק השני של קפלר גורס כי הקו המחבר בין השמש וכוכב הלכת (הווקטור ) מכסה שטחים שווים בפרקי זמן שווים.
חוק זה נובע באופן ישיר משימור התנע הזוויתי:
בפרק זמן קצר  הווקטור  עובר זווית  [ציור 1]. השטח שכיסה הווקטור בזמן זה הוא
 (שטח של גזרה ברדיוס  ובזווית ).
המהירות בה הווקטור מכסה שטח היא לפיכך:

כלומר מן העובדה שהתנע הזוויתי קבוע נובע כי המהירות בה הווקטור  מכסה שטחים קבועה ובפרקי זמן שווים הוא יכסה שטחים שווים.
יש לציין כי כיוון שהחוק השני של קפלר מסתמך אך ורק על שימור תנע זוויתי, הוא נכון לכל כוח מרכזי ולא ייחודי לבעיית קפלר.

זמן המחזור - החוק השלישי של קפלר

את זמן המחזור של המסלול ניתן לחשב בעזרת העובדה כי הווקטור  מכסה את שטח האליפסה במהירות שווה (החוק השני של קפלר): . כיוון ששטח האליפסה הוא , הזמן שיקח לווקטור  להשלים הקפה ולכסות את כל שטח האליפסה יהיה:

או לחלופין:

כלומר, ריבוע זמן המחזור פרופורציוני לחזקה השלישית של מחצית הציר הראשי של האליפסה. זהו החוק השלישי של קפלר.
יש לציין כי מקדם הפרופורציה, , תלוי במסה של שני הגופים. עבור כוח הגרביטציה  ומקדם הפרופורציה הוא . במקרה של תנועת כוכבי הלכת סביב השמש, מסת השמש גדולה בהרבה ממסת כוכבי הלכת, , ומקדם הפרופורציה יהיה בקירוב , שווה עבור כל כוכבי הלכת.

הייחוד של בעיית קפלר לעומת בעיה דו-גופית כללית

בעיית קפלר, בניגוד לבעיה דו-גופית כללית, ניתנת לפתרון מלא באופן אנליטי ופתרונה ניתן לביטוי על ידי פונקציות אלמנטריות. גם אופי המסלולים ייחודי ביחס לבעיה כללית, בכך שהמסלולים החסומים המתקבלים, שצורתם אליפסה, אף סגורים (מסלול ה'נסגר' על עצמו, בו הגוף חוזר על עקבותיו באופן מחזורי) עבור כל תנאי התחלה. על פי משפט ברטראן, תכונה זו ייחודית לכוח ריבועי הפוך, , ולכוח הרמוני מן הצורה . כל סטייה קלה של הכוח (או הפוטנציאל) מן הצורות הנ"ל, תגרום למסלול הגנרי לשנות את אופיו (ציור 7). כך לדוגמה הכוחות שמפעילים כוכבי הלכת השונים זה על זה ואפקטים יחסותים, גורמים שהכוח הפועל על כוכבי הלכת אינו באמת כוח ריבועי הפוך. עובדה זו גורמת לנקיפה של המסלולים האליפטיים של כוכבי הלכת.
תכונה זו של המסלולים בבעיית קפלר, קשורה קשר הדוק לגודל שמור נוסף הקיים עבור בעיה זו - וקטור לפלס-רונגה-לנץ. וקטור זה מוגדר על ידי: , וניתן להראות שהוא מכוון לאורך הציר הראשי של האליפסה. כיוון שהווקטור קבוע, גם כיוון הציר הראשי של האליפסה קבוע - היא אינה מבצעת נקיפה.
עובדת קיומו של גודל שמור נוסף בבעיית קפלר, מעידה על הסימטריה המיוחדת שיש לבעיה זו. בעיה דו-גופית כללית עם כוח מרכזי כללי, אינווריאנטית תחת טרנספורמציות סיבוב של המרחב התלת הממדי - חבורת הסימטריה . בעיית קפלר, לעומת זאת, אינווריאנטית תחת טרנספורמציות של חבורה גדולה יותר - .