חוק גאוס

חוק גאוס הוא חוק יסודי באלקטרוסטטיקה, המבטא את הקשר בין שדות חשמליים והתפלגות מטענים חשמליים. החוק מוכל במשוואות מקסוול, המהוות את התשתית לתורת החשמל והמגנטיות הקלאסית.
חוק גאוס קובע כי סך השטף החשמלי דרך מעטפת סגורה נמצא ביחס ישר למטען החשמלי הכלוא בתוך המעטפת.
החוק נוסח לראשונה על ידי ז'וזף לואי לגראנז' בשנת 1773, ובעקבותיו נוסח על ידי קרל פרידריך גאוס בשנת 1813, שניהם בהקשר לעבודתם על כוחות משיכה בין אליפסואידים. החוק נגזר מחוק קולון, חוק ניסיוני המתאר את המשיכה בין מטענים חשמליים נקודתיים. ניסוחו המתמטי של החוק מופיע גם בצורה דיפרנציאלית, וגם בצורה אינטגרלית. שתי הצורות מקושרות על ידי משפט גאוס, משפט מתמטי מתחום האנליזה הווקטורית. כמו כן לחוק גאוס ישנן מקבילות בחוקי פיזיקה של כוחות השונים מהכוח החשמלי, זאת כיוון שמבחינה מתמטית ניתן לנסח חוק המקביל לחוק גאוס לכל כוח ריבועי הפוך כגון: כבידה או מגנטיות.

מבוא אינטואיטיבי

שטף הוא רעיון מתמטי תאורטי המגדיר באופן כמותי תכונה חדשה לגורם בעל כיוון העובר דרך משטח. דוגמה לגורם כזה יכולה להיות מהירות מים, קרינה היוצאת ממנורה או חום המתפשט מתגובה כימית. הביטוי המתמטי לתכונה הוא מכפלה סקלרית בין גודל הווקטור המייצג את הגורם, לבין וקטור המייצג משטח בו הגורם פוגע. השטף יכול ללבוש משמעויות  פיזיקליות שונות, בהתאם לגורם עליו  הוא מוגדר. לדוג' במקרה של זרם מים חישוב השטף, מייצג את כמות המים העוברים דרך המשטח ליחידת זמן. במקרה של חוק גאוס השטף מתייחס למכפלה בין וקטור השדה החשמלי הפועל על משטח מסוים, לבין הווקטור המייצג את המשטח. תכונה של השטף הוא שכאשר הוא מחושב על מעטפת סגורה ומקור השטף חיצוני למעטפת אזי גודלו יהיה אפס. אינטואיציה לדבר ניתן לדמיין את השטף כמחושב על מהירות זרם של מים העוברים דרך מסגרת (שלד) של תיבה. אם מגדירים את כמות המים שיוצאים מתוך המסגרת כשלילית, ואת כמות המים הנכנסים למסגרת כחיובית, ונתון כי ספיקת זרימת המים אחידה, אז כמות המים שתעבור דרך המסגרת ביחידת זמן תהיה שווה לכמות המים שתספיק לצאת מהמסגרת. לכן השטף הכולל בתיבה, כאשר הזרימה חיצונית לה, הוא אפס. תכונה זו אינה תלויה בגודל התיבה, צורתה, עיוותה של המסגרת במרחב וכדומה. הדרך היחידה בה כמות המים הנכנסים והיוצאים לא תשתווה לאפס היא כאשר זרם המים מתחיל בתוך התיבה, או ששואבים מים מהתיבה בקצב שונה מקצב זרימת המים.
חוק גאוס קובע כי השטף של שדה חשמלי העובר דרך מעטפת סגורה, הוא פרופורציוני למטען בתוך המעטפת. על כן שימוש במושג השטף יכול לעזור לחשב את השדה החשמלי בפשטות יחסית. במיוחד כאשר השאלה מכילה צורות סימטריות שמהן נוצר השדה החשמלי.

פיתוח מתמטי

חוק גאוס פותח מתוך חוק קולון, חוק ניסיוני המנסח את גודל הכוח החשמלי הפועל בין מטענים.

הגדרת השטף והשטף החשמלי

השטף (Flux) על משטח הוא תכונה של כל שדה וקטורי, אשר מספק מידה לעוצמת השדה החודר משטח הנמצא בשדה. מבחינה פורמלית השטף מוגדר כמכפלה סקלרית בין השדה הווקטורי (שמייצג את הגורם שעובר דרך המשטח) לבין וקטור השטח עצמו. וקטור השטח הוא וקטור הניצב למשטח גודלו כגודל המשטח .
מושג יסודי המשמש בחישובים הנעזרים בחוק גאוס הוא משטח גאוסי, משטח זה הוא מעטפת סגורה במרחב כך שאי אפשר להיכנס לתוכה בלי לחדור אותה. על מנת לשמור על פורמליזם הוגדר השטף הנכנס למשט גאוסי כשטף חיובי, והשטף היוצא הוגדר כשלילי. כתוצאה מכך מתחייב כי כיוון וקטור המשטח הוא כזה הפונה החוצה מן המשטח הגאוסי. תכונה של משטח גאוסי היא כאשר אין מקור המשרה שדה וקטורי מצוי בתוך המשטח הגאוסי, השטף הכולל העובר בתוך המשטח הגאוסי יהיה שווה לאפס. זאת כיוון שכל קו מן השדה הווקטורי, או במקרה זה החשמלי, שנכנס למשטח הוא גם יוצא ממנו ולכן התרומה הנקייה לשטף היא אפס' אחרת היו קווי שדה שנקטעים בתוך המשטח, מה שסותר את תכונת הרציפות של השדה.

חישוב השטף החשמלי הפועל על משטח גיאוסי

כיוון שכיוונו של ווקטור המשטח משתנה עם כתלות במיקום על המשטח הגיאוסי, לא ניתן להתייחס למשטח כולו כאל יחידה אחת. כמו כן גם וקטור הכוח יכול להשתנות כתלות במיקום. על כן, כדי לחשב את השטף נחלק את המשטח לפיסות קטנות כרצוננו עד אשר כיפופו יהיה ניתן להזנחה, והשינוי בשדה הווקטורי עליו יהיה גם הוא זניח. לבסוף, נבצע סכימה של המכפלות הסקלריות בין כל פיסה אינפיניטסימלית לבין השדה. בהשאפה של גודל חתיכות המשטח לאפס, כך שההבדל בין התוצאה המוזנחת לזאת שלא מוזנחת תצטמצם לאפס, הסכום הופך לאינטגרל משטחי כדלהלן:

חישוב שטף לפי הגדרה דרך מעטפת המקיפה מטען

משימוש בחוק קולון ניתן לחשב את השטף החשמלי סביב מעטפת כדורית היפותטית העוטפת מטען.  עבור כל נקודה במרחק שווה מן המטען החשמלי, השדה החשמלי הוא באותו גודל קבוע וכיוונו רדיאלי כלפי חוץ. לכן הזווית בינו לבין וקטור המשטח היא אפס. מכאן: . סכום כל חלקיקי השטח הוא שטח כלל המעטפת בגודל R והיא:  מכאן:. זהו גודל קבוע אשר תכונה מהותית בו היא שהוא לא תלוי כלל בגודל המעטפת.

גזירת החוק

הודות לתכונה שהוכחה לעיל ניתן לומר שללא תלות בגודל המעטפת כאשר מדובר במשטח גיאוסי השטף של מטען בודד דרכו הוא פרופורציוני למטען שבתוכו. משימוש בעקרון הסופרפוזיציה של הכוח החשמלי ניתן להפריד כל סט של מטענים למטענים בדידים ולהכיל עליהם את המשפט הנ"ל. מכאן שהשטף הכולל יהיה סכום השדות הפועלים על אותם פיסות המשטח. לכן ניתן לומר כי השטף הכולל הוא סכום כלל השטפים החלקיים, ואם כל שטף חלקי פרופרציוני למטען המשרה אותו משמע שהשטף הכולל פרופרציוני גם הוא למטענים המשרים אותו, וזהו החוק של גאוס לשטף חשמלי. כאשר בניסוח המקובל נעשה שימוש במקדם דיאלקטיות הריק תוך המרת הקבועים שהוצגו לעיל כך:

חוק גאוס בניסוח אינטגרלי

הניסוח המתמטי של החוק בצורתו האינטגרלית הוא: 
כאשר  הוא השטף החשמלי,  הוא השדה החשמלי,  הוא אלמנט שטח אינפיניטסימלי על המשטח הסגור , אשר כיוונו מוגדר כניצב למשטח, כלפי חוץ,  הוא המטען הכלוא בתוך המשטח,  הוא צפיפות המטען החשמלי בנקודה ,  הוא קבוע דיאלקטריות הריק ו-  הוא אינטגרל על המשטח הגיאוסי  התוחם נפח .
יש לשים לב כי הווקטור  מכוון במאונך למעטפת, והשדה החשמלי מוכפל סקלרית בווקטור זה; ככל שקווי השדה מאונכים יותר למעטפת, כך השטף החשמלי גדול יותר.

חוק גאוס עבור שדה מגנטי

בנוסף לחוק גאוס עבור השדה החשמלי, קיים גם חוק גאוס עבור השדה המגנטי. בניסוח האינטגרלי החוק נכתב כך:
 .
פירוש נוסחה זו הוא כי סך השטף המגנטי דרך כל מעטפת סגורה שווה ל-0. גם כאן ניתן להשתמש במשפט גאוס על מנת לעבור לצורה הדיפרנציאלית של החוק:
 .
המשמעות של חוק זה היא שאין לשדה המגנטי מקורות - כלומר קווי השדה אינם יוצאים או נכנסים לנקודה כלשהי במרחב, אלא יוצרים לולאות סגורות. תכונה זאת קשורה לכך שלפי כל התצפיות שנעשו עד כה, לא קיימים בטבע מונופולים מגנטיים - לצד כל קוטב מגנטי צפוני קיים קוטב דרומי (ולהפך), והם אינם ניתנים להפרדה.
שני החוקים מהווים חלק ממשוואות מקסוול.