פאי

מקור השם

האות היוונית  משמשת כסמל שבו משתמשים לייצוג היחס בין היקף המעגל לקוטרו משום שזו האות הראשונה במילה היוונית "περίμετρος" (פרימטרוס) שמשמעותה היקף. השימוש המתועד הראשון של השימוש בסימון זה נמצא בספר "Synopsis Palmariorum Matheseos" (או "תצפית הישגי המתמטיקה") של המתמטיקאי הוולשי ויליאם ג'ונס מ-1706. בשימוש מתמטי, האות הקטנה  מובדלת מהאות הגדולה , שמשמשת לציון מכפלה.

תכונות

הוא מספר אי-רציונלי, כלומר אינו ניתן לכתיבה כיחס בין שני מספרים שלמים. תכונה זו הוכחה בשנת 1761 על ידי יוהאן היינריך למברט.
בשנת 1882 הוכיח פרדיננד לינדמן את משפט לינדמן-ויירשטראס ממנו נובע ישירות ש־ הוא מספר טרנסצנדנטי. מהוכחה זו נובע ש־ אינו ניתן להצגה באמצעות שימוש במספר סופי של מספרים שלמים, שברים או שורשים שלהם יחד עם ארבע פעולות החשבון. כתוצאה מהוכחה זו נובע שלא ניתן, באמצעות בנייה בסרגל ובמחוגה, לבנות ריבוע השווה בשטחו לעיגול נתון – אחת הבעיות הגאומטריות של ימי קדם.

חישוב פאי

חישוב ערך מדויק יותר ויותר של  היווה אתגר במשך מאות שנים.
קירובים ל- היו ידועים עוד בבבל ובמצרים העתיקה, אך ארכימדס הציג לראשונה שיטה המאפשרת לחשב את  בכל רמת דיוק שתידרש (שיטת המיצוי). השיטה מתבססת על כך שהיקף המעגל קטן מהיקפו של מצולע החוסם את המעגל וגדול מהיקפו של מצולע החסום במעגל. באמצעות חישוב ההיקף של מצולע חוסם ומצולע חסום בעלי מספר הולך וגדל של צלעות נשיג דיוק גדל והולך של היקף המעגל, ובהתאם לכך דיוק גדל והולך של . ארכימדס הפעיל את שיטתו על משושה, ובהדרגה הכפיל את מספר הצלעות (תוך שימוש במצולעים משוכללים). מצולע בן 96 צלעות הביא את ארכימדס לתוצאה הבאה

(המופיעה בספר על המדידה של המעגל):
בתחילת המאה ה-15 חישב ג'אמשיד אל-קאשי, מתמטיקאי ואסטרונום פרסי, את  בדיוק של 9 ספרות בבסיס סקסגסימלי, דיוק השקול ל־16 ספרות בבסיס עשרוני.
ההולנדי אדריאן אנטוניזון השיג במאה ה־16 דיוק בן שש ספרות אחרי הנקודה. הוא הציג את  באמצעות השבר .
בשנת 1596 השתמש ההולנדי לודולף ואן צאולן בשיטתו של ארכימדס, וחישב את  בדיוק של 20 ספרות, וכעבור שנים אחדות הגיע לדיוק של 35 ספרות. הוא היה כל כך גאה בהישג זה, עד שציווה לכתוב ספרות אלה על מצבתו. גם הגרמנים התרשמו מאוד מהישג זה, וקראו ל־ בשם מספר לודולף.
התפתחות החשבון האינפיניטסימלי במאה ה־17 הביאה שיטות חדשות לחישובו של . שיטות אלו מתבססות על ייצוגו של  כסכום של טור אינסופי.
טכניקה לא שגרתית לחישובו של  היא "שיטת מונטה־קרלו": על לוח עץ נצייר ריבוע שאורך צלעו שתי יחידות. נצייר מעגל חסום בריבוע זה (זהו מעגל שרדיוסו שווה ליחידה אחת), ונתחיל להטיל חיצים אל הריבוע (לא נכוון את החץ למרכז הריבוע, אלא אל הריבוע כולו, באופן אקראי). לאחר מספר רב של הטלות, היחס, בין מספר הפעמים שהחצים פגעו בתוך המעגל למספר הפעמים שבהם פגעו בתוך הריבוע, שואף ליחס שבין שטחי שתי הצורות, שהוא .
הדוגמה הראשונה לרעיון זה היא שיטת המחט של בופון: כאשר מטילים מחט על משטח שמצוירים עליו קווים ישרים מקבילים שהמרחק ביניהם שווה לאורך המחט, הסיכוי שהמחט תגע בקווים שווה ל־. ב־1777 ז'ורז' לואי לה קלרק, הרוזן בופון, ביצע את הניסוי כדי להעריך את ערכו של . הניסוי עורר את עניינם של המתמטיקאים בני התקופה, והביא לדיון ער בהבנת מושג ההסתברות.
בשנת 1789 חישב הסלובני יורי וגה (Jurij Vega) את 140 הספרות הראשונות של  (רק 127 מתוכן היו נכונות).
השתכללות המחשבים ומציאת אלגוריתמים יעילים יותר לחישובו של  מאפשרים דיוק של מספר רב של ספרות. האלגוריתם המוביל הוא אלגוריתם צ'ודנובסקי. סיבוכיות האלגוריתם כדי לחשב  ספרות היא . בנוסף נעזרים לבדיקת התוצאות באלגוריתמים המאפשרים חישוב ספרה מסוימת ללא צורך בפיתוח כל הספרות (נוסחת BBP). השיא העולמי בחישוב הספרות של  (מרץ 2019) הוא מציאת למעלה מ-  ספרות. תוצאות כאלו מפגינות את יעילותם של האלגוריתמים ושל מערכות המחשוב.

קירובים של פאי

קירוב מקובל של  כמספר עשרוני הוא 3.14. צורת שבר פשוטה המקרבת את , היא  או . קירובים אלה מתלכדים עם ערכו האמיתי של  בדיוק של שתי ספרות בלבד מימין לנקודה.
ההצגה של  כשבר משולב פותחת ב־.
הצגה זו מספקת סדרה של קירובים, שהראשון מביניהם הוא הערך השלם 3, ואחריו באים:
(כדרכם של שברים משולבים, אלו קירובים אופטימליים, במובן הבא: מבין כל השברים בעלי מכנה שאינו עולה על 7, הקרוב ביותר ל- הוא ; מבין כל השברים בעלי מכנה שאינו עולה על 106, הקרוב ביותר ל- הוא ; וכן הלאה.)
רמנוג'אן הציע קירוב מסוג אחר ל-:‏ . קירוב זה סוטה מערכו האמיתי של  רק בספרה התשיעית מימין לנקודה העשרונית.
קירוב נוסף הוא , השווה בערך ל-3.146. קירוב זה סוטה מערך  רק בספרה השלישית אחרי הנקודה העשרונית.
קירוב נוסף הוא  השווה בערך ל-3.1418. קירוב זה סוטה מערך  רק בספרה הרביעית אחרי הנקודה העשרונית.
קירוב נוסף הוא , השווה בערך ל-3.1413. קירוב זה סוטה מערך  רק בספרה הרביעית אחרי הנקודה העשרונית.

במקורות היהדות

במקרא בספר מלכים א' (פרק ז', פסוק כ"ג) (מתוארך למאה השישית לפנה"ס) יש התייחסות (לא מדויקת) להיקף המעגל, לפיה היחס הוא אחד לשלושה, "ויעש את הים מוצק עשר באמה משפתו עד שפתו עגול סביב וחמש באמה קומתו וקוה (קרי: וקו) שלושים באמה יסוב אותו סביב". ההסבר הרווח לאי-הדיוק הניכר הוא שדרכו של המקרא היא לעגל מספרים, כך שאין ללמוד מכך על תפיסת הערך המדויק של  בזמנם, או בהסבר שמדובר בקוטר חיצוני ובהיקף פנימי. בנוסף, יש המסבירים זאת בכך שכלי זה לא היה עיגול מושלם עקב העדר טכנולוגיה מתאימה לביצוע מדויק, כלומר ים הנחושת היה אליפטי.]
אולם יש שאינם מסתפקים בהסברים אלו - הגאון מווילנא טען שרמז ליחס בין הקבוע  ובין המספר 3 המובא בפסוק – יחס השווה בקירוב למספר 1.04719, נמצא בקרי וכתיב של המילה שנכתבת קוה ונקראת קו; היחס בין הגימטריה של המילה קוה (111) לשל המילה קו (106) הוא בקירוב ...1.04716, שנותן תוצאה נכונה עד כדי 4 ספרות אחר הנקודה. הדבר הנרמז כאן הוא שעל אף שלמעשה היה ראוי לכתוב את המספר המלא של הקבוע , לצורך נוחות הקריאה נכתב רק העיגול של המספר. בנוסף, היו שניסו לתת פרשנויות אחרות.
במשנה במסכת עירובין (פ"א מ"ה) נשנה הכלל: "כל שיש בהקיפו שלשה טפחים יש בו רוחב טפח", כלומר היקף המעגל הוא פי שלושה מהקוטר (3=). כלל זה בא לידי ביטוי גם במסכת סוכה (דף ז'-ח') שם עוסקת הגמרא בממדיה של סוכה עגולה, ומביאה קירובים שונים להיקף המעגל ואורך האלכסון של ריבוע. גם התוספות במסכת סוכה (ח, א) מתייחסים אל  כשווה ל-3. באופן זה במסכת בבא בתרא (י"ג: – ט"ו.) מחושב היחס בין היקפו של האורך של ספר התורה לבין רוחבו, וגם שם הגמרא מתייחסת ל- כשווה ל-3. מפרשים שונים עמדו על הפער בין ה- כפי שהוא מנוסח בימינו, לבין שיעור חכמים, וניתנו לכך הסברים שונים
בעלי התוספות, ראב"ע וראשונים נוספים מפנים לברייתא של מ"ט מידות שבה נמצא ערך מדויק יותר ל-. בברייתא ההיא נאמר בין היתר "...לפי שאמרו בני ארץ, בעגולה שהסביבה (ההיקף) מחזקת שלוש פעמים ושביע בחוט (ביחס לקוטר)". הרי שאף על פי שייתכן והיה ידוע ערך טוב יותר ל-, לא ראו החכמים צורך להתייחס אליו מבחינה הלכתית.
הרמב"ם, בן המאה ה-12, הביא, בפירושו למשנה, דברי מומחי ההנדסה בתקופתו, כי "צריך אתה לדעת שיחס קוטר העיגול להיקפו בלתי ידוע, ואי אפשר לדבר עליו לעולם בדיוק, ואין זה חסרון ידיעה מצדנו כמו שחושבים הסכלים, אלא שדבר זה מצד טבעו בלתי נודע ואין במציאותו שייוודע. אבל אפשר לשערו בקירוב". בשפת ימינו ניתן להבין את דבריו של הרמב"ם כמשקפים את הטענה ש־ הוא מספר אי־רציונלי.

נוסחאות הקשורות בפאי

מופיע בנוסחאות מתמטיות רבות. ניתן לצפות שיופיע בנוסחאות הקשורות לשטחי ונפחי צורות מעגליות, שכן הוא מוגדר באמצעות מעגל, אך לעיתים הוא מתגלה גם בתחומים שלכאורה אין בינם ובין גאומטריה או מעגלים קשר ישיר.

בעיות פתוחות

בחקר מאפייניו של  ישנן בעיות פתוחות אחדות. הבולטת שבהן היא השאלה האם  הוא מספר נורמלי – מספר ממשי שהספרות שלו מתנהגות כאילו הוגרלו באקראי, כאשר לכל ספרה יש הסתברות שווה להופיע. הידע בסוגיה זו מצומצם ביותר, ובין השאר לא ידוע האם בייצוג העשרוני של  כל אחת מהספרות 0,…,9 מופיעה אינסוף פעמים. בשנת 2000 הראו דייוויד ביילי וריצ'רד קרנדל ששאלת הנורמליות של  בבסיס בינארי שקולה להשערה ידועה בתורת הכאוס.
בעיה פתוחה נוספת היא השאלה האם הקבוצה  תלויה אלגברית מעל המספרים הרציונליים.
ב-1996 הוכיח יורי נסטרנקו כי הקבוצה  היא בלתי תלויה אלגברית מעל .

הצעות לסימון חלופי

מתמטיקאים ומדענים שונים סברו שבמקום להשתמש ב-  כקבוע המעגל היסודי, יש להעדיף למטרה זו את  כדי לפשט ביטויים מתמטיים ואת השימוש ברדיאנים. המתמטיקאי הצרפתי ארמן לורן נהג לכתוב משוואות בהן  משמש כסמל אחד. בשנת 2001 המתמטיקאי האמריקאי רוברט פלאיס הציע להשתמש בסימן  לייצוג סיבוב אחד. תחת זאת, בשנת 2010 הציע הפיזיקאי מייקל הארטל את האות היוונית  (לציון Turn)‏. וראו גם סרטון של וי הארט בנושא.

פאי בתרבות

קיימים משפטים שונים המשתמשים כעזרי זיכרון עבור ערכו של , בכך שמספר האותיות בכל מילה שלהם שווה לספרה המתאימה של , למשל זה של המדען האנגלי ג'יימס ג'ינס:
How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics!
— Pi Wordplay, באתר mathworld.wolfram.com
(מילולית: כמה אני רוצה משקה, אלכוהולי כמובן, אחרי ההרצאות המתישות על מכניקת קוונטים).
יש החוגגים את 14 במרץ (שנרשם בצורת כתיבת התאריכים הנהוגה בארצות הברית כ־3.14) כ"יום פאי", ואחרים חוגגים ביום קירוב  ב-22 ביולי (מכיוון שתוצאת החילוק של 22 ב-7 היא בקירוב 3.1429, מעט קרובה יותר ל- מאשר 3.14). מהדרי החג חוגגים אותו בדרך כלל בשעה 1:59 אחר הצהריים (3.14159).
ביום פאי בשנת 2004, קבע הגאון האוטיסט דניאל טאמט שיא אירופי בדקלום המספר, כאשר דקלם אותו עד הספרה ה־22,514 שלו. שיא גינס בדקלום  שייך לרג'וויר מינה מהודו שב-21 במרץ 2015 דקלם ללא שגיאה 70,000 ספרות במשך 9 שעות ו-27 דקות.
חמשירים אחדים חוברו לכבודו של , להלן אחד מהם:

'Tis a favorite project of mine

A new value of pi to assign.

I would fix it at 3;

For it's simpler, you see,

Than 3 point 1 4 1 5 9 !
ב־1998 הופק סרט בשם "Pi", שגיבורו הוא מתמטיקאי.
דונלד קנות, מדען המחשב הנודע, ממספר את הגרסאות של תוכנת TeX כך שיילכו ויתקרבו ל־: גרסה 3, גרסה 3.1, גרסה 3.14 וכו'. הגרסה הנוכחית היא 3.14159265.
"נקודת פיינמן" הוא כינוי למקומות מספר 763 עד 768 בפיתוח העשרוני של . כל המקומות האלו מכילים את הספרה 9. משערים ש- הוא מספר נורמלי (דהיינו, הספרות בפיתוח העשרוני שלו מופיעות באופן אקראי כביכול), ואם כך אז הפיתוח העשרוני שלו כולל כל רצף ספרות סופי. עם זאת, מפתיע למצוא שש ספרות זהות רצופות בשלב כה מוקדם של הפיתוח. לשם השוואה, הרצף הדומה הבא, ששה מופעים רצופים של הספרה 8, מתחיל בספרה ה־222,299. השם "נקודת פיינמן" ניתן בעקבות משאלה של הפיזיקאי ריצ'רד פיינמן, לזכור בעל־פה את הפיתוח העשרוני של  עד לשלב שבו יוכל לומר "... תשע, תשע, תשע, תשע, תשע, תשע, וכן הלאה", ובכך לרמוז באופן היתולי ש- הוא מספר רציונלי.
הזמרת קייט בוש הוציאה שיר בשם "" כחלק מהתקליט "אריאל". בשיר היא מונה את הספרות מהספרה הראשונה ועד הספרה ה־137, אך מדלגת על הספרות במקומות 79–100.
בספר הבדיוני "מגע" שכתב קרל סייגן מוזכרת עובדה בדויה שבבסיס 11, הספרות של  (החל ממקום מרוחק מאד) מתארות מעגל גדול הנתפס כמסר מבורא העולם.
באוקטובר 2014 פורסם סרטון בערוץ יוטיוב "Numberphile" עם שבירת שיא העולם בהדפסת ספרותיו של  על נייר באורך 1,688 מטרים (שקול בערך למייל אחד). כמות הספרות עמדה על 1,000,000 ספרות שהודפסו בעזרת 8 מיליליטר של דיו בלבד ושתי ספרות נוספות שנכתבו בעט. לשיא אין משמעות מתמטית.