בעיית הטנק הגרמני

באמידה, הבעיה של אמידת המקסימום של התפלגות אחידה בדידה ממדגם ללא החזרה ידועה באנגלית כבעיית הטנק הגרמני (German tank problem), בשל השימוש בה בהקשר של מלחמת העולם השנייה על מנת להעריך את מספר הטנקים הגרמניים. בעיה זו מדגימה את ההבדל בין הסקה שכיחותנית (Frequentist) לבין הסקה בייסיאנית.

הבעיה ההיסטורית

במהלך מלחמת העולם השנייה נעשו מאמצים ממושכים על ידי בעלות הברית כדי לקבוע את היקף הייצור הגרמני, וניסו לפתור זאת בשתי גישות: באמצעות איסוף מודיעין בצורה קונבנציונלית ובאמצעות אמידה סטטיסטית. במקרים רבים הניתוח הסטטיסטי עלה באיכותו על המודיעין הקונבנציונלי. במקרים מסוימים נעשה שימוש במודיעין קונבנציונלי בצירוף ניתוח סטטיסטי, כמו במקרה של הערכת ייצור טנקי הפנתר לפני הפלישה לנורמנדי.
הפיקוד של בעלות הברית סבר כי טנקי פנצר סימן 5 (פנתר) שנצפו באיטליה, שלהם מהירות גבוהה ותותחי 75 מ"מ/L70, הם טנקים כבדים נדירים במיוחד, ויהיו רק במספר קטן בצפון צרפת, באופן דומה לטנקי הטיגר I שנצפו בתוניסיה. צבא ארצות הברית היה משוכנע כי טנקי שרמן ימשיכו לתפקד היטב, כפי שתפקדו נגד טנקי פנצר סימן 3 ופנצר סימן 4 בצפון אפריקה ובסיציליה.
זמן קצר לפני הפלישה לנורמנדי הגיעו שמועות על כך שהגרמנים עושים שימוש במספר גדול של טנקים מסוג פנצר סימן 5. כדי לברר את נכונות השמועות, ניסו בעלות הברית להעריך את מספר הטנקים שיוצרו. הם ביססו את הערכותיהם על בסיס המספרים הסידוריים של טנקים שנתפסו או נהרסו. המספרים העיקריים ששימשו לניתוח זה היו מספרים סידוריים של תיבות ההילוכים, מאחר שאלו פוצחו על ידי בעלות הברית. מספרי השלדה והמנוע שימשו אף הם לניתוח, אך השימוש בהם היה מסובך יותר. מידע מרכיבים נוספים שימש לביסוס נוסף של הניתוח. ניתוח דומה נעשה גם על פי מספרים סידוריים של גלגלי מרכוב, שלהם ניתנו מספרים ברצף (1, 2, ...N).
ניתוח גלגלי הטנקים הניב ההערכה של מספר סוגי הגלגלים שהיו בשימוש. בדיקות שנעשו יחד עם מומחים בריטיים לייצור גלגלים העריכו את מספר הגלגלים שניתן היה לייצר מסוגים אלו, וכך את מספר הטנקים המיוצרים מדי חודש. ניתוח של גלגלים משני טנקים (בכל אחד מהם 32 גלגלים) הוביל להערכה של 270 טנקים שיוצרו בפברואר 1944.
ממסמכים גרמניים שנתפסו לאחר המלחמה התברר כי מספר הטנקים שיוצרו בפברואר 1944 היה 276 טנקים. הניתוח הסטטיסטי התברר כמוצלח יותר מהערכות המודיעין הקונבנציונליות, ו"בעיית הטנק הגרמני" הפך לשם שגור לתיאור בעיות מסוג זה.
השימוש במספרים סידוריים ובניתוחים סטטיסטים לא היה מוגבל רק להערכת מספר הטנקים, ושימש את בעלות הברית גם להערכת הייצור הגרמני באופן כללי, ובפרט מספר המפעלים וחשיבותם, אורך שרשרת האספקה (הזמן מהייצור ועד הכנסה לשימוש), שינויים בייצור ושימוש במשאבים כדוגמת גומי.

אנליזות דומות

ניתוחים סטטיסטיים דומים נעשו על פי מספרים סידוריים גם בהקשר לציוד צבאי אחר במלחמת העולם השנייה, ובפרט לטילי V-2. במהלך מלחמת העולם השנייה העריך הצבא הגרמני את היקף הייצור הצבאי הסובייטי, ובמהלך מלחמת קוריאה, נעשה ניתוח של מספרים סידוריים של ציוד סובייטי. גם ברית המועצות העריכה את ייצור הטנקים הגרמניים באופן דומה במהלך מלחמת העולם השנייה.
בשנות ה-80 מספר אמריקאים קיבלו גישה לקווי הייצור של טנקי מרכבה. היקף הייצור סודי, אך לטנקים היו מספרים סידוריים, שאפשרו להעריך את היקף הייצור שלהם.

אמצעי הגנה

על מנת להגן מפני ניתוח המבוסס על מספרים סידוריים ניתן להימנע מציונם, או להעניק מספרי ייצור מוצפנים או כאלו שאינם קשורים למספרים המיוצרים בפועל.

אומד חסר הטיה בעל שונות מינימלית

עבור אמידה נקודתית (אמידת נקודה יחידה מסה"כ ), אומד חסר הטיה בעל שונות מינימלית (minimum-variance unbiased estimator; MVUE) ניתן באמצעות:

כאשר m הוא המספר הסידורי הגבוה ביותר שנצפה ו-k הוא מספר התצפיות. כאשר מרגע שנצפה מספר סידורי מסוים, הוא לא יצפה בשנית. לכך יש שונות:
כך שסטיית התקן היא בערך N/k, הגודל הממוצע (של האוכלוסייה) של ההפרש בין הדוגמאות; בהשוואה ל m/k לעיל.

ניתוח בייסיאני

הגישה הבייסיאנית לבעיית הטנק הגרמני היא לבחון את ההסתברות של  כך שמספר הטנקים של האויב N שווה ל־n, מספר הטנקים שנצפו K שווה ל־k והמספר הסידורי הגבוה ביותר שנצפה M הוא m. לשם הקיצור נשתמש ב־ לציון .
מכללים של הסתברות מותנת מקבלים: 
הנוסחה  היא ההסתברות המותנית שהמספר הסידורי הגבוה ביותר שנצפה הוא  כאשר ידוע שמספר הטנקים של האויב הוא  ו־ טנקים נצפו:

כאשר המקדם הבינומי  הוא מספר הקבוצות של דוגמאות בגודל  מאוכלוסייה של .
הביטוי  הוא ההסתברות שהמספר הסידורי המרבי הוא m כאשר k טנקים נצפו, אך לפני שנצפו המספרים הסידוריים. את  ניתן לכתוב מחדש במונחים של יתר הנתונים באמצעות סכימה באמצעות האפשרויות השונות של :
הביטוי  מתאר את ההסתברות לכך שמספר הטנקים הכולל הוא n כאשר k טנקים נצפו אך לפני צפייה במספרים הסידוריים. בהנחה שההתפלגות היא התפלגות אחידה (בדידה):
החסם העליון  חייב להיות סופי כיוון שהפונקציה:  תקבל  ואינה פונקציית הסתברות. לכן:
אם  אז המשתנה  מוסר מהנוסחה.
עבור  השכיח של ההתפלגות של מספר הטנקים של האויב הוא m.
עבור  ההסתברות שמספר הטנקים שווה ל־n היא: 
וההסתברות שמספר הטנקים של האויב, , הוא גדול מ־, היא: 
עבור , מספר הטנקים  הוא בעל ערך תוחלת סופי: 
עבור , מספר הטנקים  הוא בעל סטיית תקן סופית של: 
נוסחאות אלו מפותחות להלן.