טנזור

רקע

המילה טנזור הוצגה לראשונה על ידי ויליאם רואן המילטון בשנת 1846, אך הוא השתמש במילה על מנת לבטא את המונח שנקרא מאוחר יותר מודולוס. המילה טנזור קיבלה את מובנה הנוכחי מוולדמאר וויגט בשנת 1899.
צורת הסימון פותחה בסביבות 1890 על ידי ג'ורג'ו ריצ'י-קורבסטרו תחת הכותרת "גאומטריה דיפרנציאלית אבסולוטית"
ונעשתה נגישה למתמטיקאים רבים הודות לפרסום הטקסט הקלאסי "החשבון הדיפרנציאלי האבסולוטי" של טוליו לוי-צ'יויטה בשנת 1900. החשבון הטנזורי השיג הכרה רחבה יותר עם הופעתה של תורת היחסות הכללית של אלברט איינשטיין, בסביבות שנת 1915. היחסות הכללית מנוסחת כולה בשפה טנזורית אותה למד איינשטיין מלוי-צ'יויטה עצמו. טנזורים משמשים בשדות נוספים בפיזיקה, כמו טנזור המאמצים במכניקת הרצף או טנזור האינרציה במכניקה, למשל.
נשים לב כי המילה "טנזור" לעיתים מופיעה כקיצור לשדה טנזורי, שהוא ערך טנזורי המוגדר בכל נקודה ביריעה. על מנת להבין שדות טנזוריים, יש להבין קודם לכן את העקרונות הבסיסיים של טנזורים.

הגישות השונות

פיזיקאים ומהנדסים הם מהראשונים להכיר בכך שלטנזורים חשיבות פיזיקלית כגדלים בעלי משמעות רבה יותר ממערכת הקואורדינטות (השרירותית לעיתים קרובות) בה רכיביהם ממוספרים. באופן דומה, מתמטיקאים מוצאים כי יש יחסים טנזוריים הנגזרים ביתר קלות באמצעות סימוני הקואורדינטות.
קיימות גישות שקולות להבין ולעבוד עם טנזורים; רק בהכרה מסוימת של החומר ניתן להבחין בכך שאכן קיימת שקילות.

הגישה הקלאסית

הגישה הפיזיקלית הרגילה להגדרת טנזורים, כעצמים אשר רכיביהם מתפתחים לפי חוקים מסוימים. גישה זו מציגה את הרעיונות של התמרות קו-וריאנטיות או קונטרה-וריאנטיות. באופן גס, ניתן לראות את תאוריית השדות הטנזוריים, בגישה זו, כהכללה של רעיון היעקוביאן.
הגישה הקלאסית רואה את הטנזורים כמערכים רב-ממדיים המהווים הרחבה n-ממדית של סקלרים, וקטורים חד-ממדיים ומטריצות דו-ממדיות. ה"רכיבים" של הטנזור הם האינדקסים של המערך. רעיון זה ניתן להכללה נוספת, שדות טנזוריים, רכיבי הטנזור הם פונקציות, או אף דיפרנציאלים.

הגישה המודרנית

זוהי הגישה המתמטית הרגילה, הכוללת הגדרת מרחבים וקטוריים מסוימים ללא קביעת כל מערכת קואורדינטות עד להצגת הבסיסים כשנידרש. וקטורים קו-וריאנטיים, למשל, ניתנים לתיאור גם כאלמנטים במרחב הדואלי (זהו מרחב הפונקציונלים הליניאריים מעל המרחב הווקטורי) לווקטורים הקונטרה-וריאנטיים.
הגישה המודרנית מתייחסת לטנזורים בראש ובראשונה כעצמים מופשטים, המבטאים סוג מוגדר של מושג מולטי-ליניארי. תכונותיהם המדויקות ניתנות לגזירה מהגדרותיהם, כהעתקות ליניאריות וכללי העבודה עם טנזורים עולים כהרחבה מאלגברה ליניארית לאלגברה מולטי-ליניארית. טיפול זה החליף באופן גורף את הגישה הקלאסית לאחר שזו סיפקה מניע בסיסי למושג וקטור. ניתן לומר כי 'טנזורים הם רכיבים של מרחב טנזורי כלשהו'.

דוגמאות

בטבע יחסים אינם תמיד ליניארים, אך רובם גזירים ולכן ניתנים לקירוב כסכום של העתקות מולטיליניאריות. לכן ניתן להציג ביעילות את רוב הגדלים בפיזיקה כטנזורים.
כדוגמה פשוטה, ניתן לחשוב על ספינה במים. נרצה לתאר את תגובתה לכוח. כוח הוא וקטור, והספינה תגיב בתאוצה, שגם היא וקטור. התאוצה לא תהיה בהכרח בכיוון הכוח, מפאת צורתה המסוימת של הספינה. למרות זאת, מסתבר כי היחס בין כוח לתאוצה הוא ליניארי. יחס כזה ניתן לתיאור כטנזור-(1,1), כלומר טנזור שהופך וקטור (טנזור מדרגה 1) לווקטור אחר (שגם הוא טנזור מדרגה 1). טנזור זה ניתן להצגה כמטריצה שהכפלתה בווקטור מניבה וקטור אחר. כפי שהמספרים המתארים את הווקטור ישתנו עם שינוי מערכת הצירים, כך המספרים במטריצה המיצגת את הטנזור ישתנו גם כן עם שינוי מערכת הצירים.
בהנדסה, המאמצים בגוף צפיד או בנוזל מתוארים גם-כן באמצעות טנזור; למעשה, משמעות המילה "טנזור" בלטינית משמעותה שריר המכווץ או מותח איבר זה או אחר, כלומר משרה מתח (tension).
אם נבודד אלמנט שטח, החומר בצד אחד של המשטח יפעיל כוח על הצד השני. באופן כללי, כוח זה לא יהיה דווקא ניצב למשטח, אלא יהיה תלוי ליניארית בנטיית המשטח. ניתן לתאר זאת כטנזור-(2,0), או, ליתר דיוק, כשדה טנזורי מסוג-(2,0) משום שהמאמצים עשויים להשתנות מנקודה לנקודה.
כמה דוגמאות ידועות של טנזורים הן טנזור העקמומיות, טנזור תנע-אנרגיה, טנזור השדה האלקטרומגנטי, טנזור התמד, וטנזור הקיטוב.
גדלים פיזיקליים וגאומטריים ניתנים לסיווג לפי דרגות החופש הטבועות בתיאורם. הגדלים הסקלריים הם אלו שניתנים לייצוג על ידי מספר בודד, לדוגמה: מסה או טמפרטורה. ישנן גם גדלים וקטוריים, כגון כוח או מהירות, שלתיאורם נדרשת רשימת מספרים. לבסוף, הצגת גדלים כגון צורות קוואדרטיות (ריבועיות) דורשת מערך המסומן במספר אינדקסים. הסוג האחרון של גדלים ניתן להבנה רק כטנזורים.
למעשה, מושג הטנזור הוא די כללי, ומוחל לגבי כל הדוגמאות הנ"ל; סקלרים ווקטורים הם סוגים מיוחדים של טנזורים. התכונה המבדילה בין סקלר לווקטור, ואת שניהם מגדלים טנזוריים כלליים נוספים הוא מספר האינדקסים הנדרשים לייצוג. מספר זה קרוי הדרגה או הסדר של הטנזור. לכן, סקלרים הם טנזורים מדרגה אפס (ללא כל אינדקסים), וקטורים הם טנזורים מדרגה אחד ומטריצות מדרגה שתיים.
דוגמה נוספת של טנזור היא טנזור העקמומיות של רימן המשמש בתורת היחסות הכללית. זהו טנזור מדרגה 4 הפועל במרחב 4 ממדי (3 מרחביים + 1 זמני). כיוון שהוא ממימד ודרגה 4, ניתן להתייחס אליו כמטריצה בעלת 256 רכיבים (256=4⁴). רק 20 מתוך רכיבים אלו הם בלתי תלויים, ובכך המטריצה הופכת לפשוטה הרבה יותר.