הגרסה החלשה של השערת גולדבך

קשר להשערות אחרות

הגרסה החלשה של השערת גולדבך נובעת מהשערת גולדבך הרגילה, האומרת שכל מספר זוגי גדול מ-2 הוא סכום של שני ראשוניים. ואומנם אם  מספר אי-זוגי גדול מחמש אז  הוא מספר זוגי גדול מ-2 ולכן אם השערת גולדבך תקפה אז  עבור  ו- ראשוניים ומכאן ש .
באופן דומה קל להראות שהגרסה החלשה של השערת גולדבך גוררת שכל מספר זוגי גדול מ-6 הוא סכום של ארבעה ראשוניים.
הן הגרסה החלשה והן הגרסה החזקה של השערת גולדבך קשורות לקבוע שנירלמן, שהוא המספר  הקטן ביותר כך שכל מספר טבעי גדול מ-1 הוא סכום של לא יותר מ- ראשוניים. הקבוע נקרא על שם שנירלמן, שהוכיח (באמצעות צפיפות שנירלמן) שקיים קבוע כזה. לאחר הוכחתו של שנירלמן מתמטיקאים רבים שיפרו את הקבוע. הגרסה החלשה של השערת גולדבך גוררת שקבוע שנירלמן לא עולה על 4. עד הוכחתו של הלפגוט החסם הטוב ביותר על קבוע שנירלמן היה 6 (טאו 2012) השערת גולדבך עצמה גוררת שקבוע שנירלמן שווה ל-3. ברור שקבוע שנירלמן לא יכול להיות קטן מ-3.
ישנה גרסה מעט חזקה יותר של הגרסה החלשה של השערת גולדבך, הטוענת כי כל מספר אי-זוגי גדול מ-7 הוא סכום של 3 מספרים ראשוניים אי-זוגיים. הוכחתו של הלפגוט תקפה גם עבור גרסה זו.

היסטוריה

מקור הטענה במכתב ששלח כריסטיאן גולדבך ללאונרד אוילר ב-1742, ובו הועלתה האפשרות שניתן לכתוב כל מספר שלם כסכום של שלושה מספרים ראשוניים (לרבות, במשתמע, המספר 1, שבדרך כלל אינו נחשב ראשוני). במכתב התשובה ציטט אוילר השערה אחרת של גולדבך, שעל-פי ניסוחה המקובל היום, ניתן להציג כל מספר זוגי כסכום של שני מספרים ראשוניים אי-זוגיים. הגרסה החלשה נובעת מהשערת גולדבך, משום שאפשר לכתוב כל מספר אי-זוגי כסכום של הראשוני 3 ועוד מספר זוגי.
הבעיה תוארה על ידי אדמונד לנדאו ב-1912 כ"בלתי ניתנת להשגה".
ב-1925 נשא לנדאו בירושלים הרצאה תמציתית בנושא זה לרגל פתיחת מכון איינשטיין למתמטיקה באוניברסיטה העברית.
ב-1922 הוכיחו הארדי וליטלווד שאם מניחים את השערת רימן המוכללת, אפשר להציג כל מספר אי-זוגי גדול מספיק כסכום של שלושה ראשוניים.
איוואן וינוגרדוב הצליח להסיר את ההנחה ב-1937. ההוכחה של וינוגראדוב לא נתנה חסם לערך שאחריו ההשערה נכונה. תלמידו של וינוגרדוב, Borodzin, הצליך לתת כזה חסם ב-1939. החסם עמד על . ב-1956 שיפר Borodzin את ערך ל . החסם שופר ל-‏ (Chen-Wang, 1989) ושוב ל-‏ (Chen-Wang, 1996).
 ב-2002 שופר החסם ל-‏ על ידי Liu-Wang, אולם הפער בין מספר זה לבין המספר הגדול ביותר שנבדק עד כה נותר גדול.
בשנת ב-1997 הצליחו דשוילארס, אפינגר, רילה וזינוביב לסגור את הפער אם מניחים את השערת רימן המוכללת: זינוביב הוריד את החסם ל (בהנחת השערת רימן).
 לאחר מכן דשוילארס ורילה בדקו בעזרת מחשב את השערת גולדבך הרגילה עד  וארבעתם הסיקו ממנה (שוב בהנחת השערת רימן) את נכונות השערת גולדבך החלשה עד . בשנת 1998 חזר Yannick Saouter על הסקה זאת ללא שימוש בהשערת רימן.
בשנים 2012 ו-2013 הוכיח הראלד הלפגוט (Harald Andrés Helfgott) את הגרסה החלשה של השערת גולדבך בשלושה מאמרים. ההוכחה התבססה בין היתר על חישוב שביצע יחד עם פלאט באותו הזמן.
שני המאמרים הראשונים הוקדשו לשיפור החסמים הנחוצים להוכחה. מאמרים אלו לא התבססו על השערת רימן. שיפור החסמים התאפשר בין היתר בזכות בדיקה ממוחשבת של השערת רימן המוכללת (עבור מספר סופי של פונקציות זטא) עד לגובה מסוים במישור המרוכב.
בשנת 2013 בדקו הלפגוט ופלאט את תקפותה של השערת גולדבך החלשה עד .
הם השתמשו בשיטה דומה לשיטתו של Saouter לבדיקה של השערת גולדבך החלשה עד . במאמר האחרון הוכיח הלפגוט את ההשערה למספרים הגדולים מ- ללא הנחת השערת רימן המוכללת, ובכך סגר את ההשערה באופן מלא. בניספח למאמר זה מתאר הלפגוט שיטה נוספת לבדיקת ההשערה עד . שיטה זו התבססה על מאמר חישובי אחר של פלאט שנכתב באותו הזמן.

טבלה עם תוצאות היסטוריות

פסקה זו נמצאת בשלבי עבודה: כדי למנוע התנגשויות עריכה ועבודה כפולה אתם מתבקשים שלא לערוך פסקה זו בטרם תוסר הודעה זו. אם הפסקה לא נערכה במשך שבוע ניתן להסיר את התבנית ולערוך אותה, אך רצוי לתת קודם תזכורת בדף שיחת הכותבים.
להלן טבלה המסכמת את התוצאות המיטביות הנגעות לבעיה במהלך השנים.

רעיון ההוכחה

ההוכחה של הלפגוט כמו גם כמעט כל ההוכחות החלקיות הקודמות מבססות על השיטה הבאה: בוחרים פונקציית משקל על הטבעיים  ומנסים לשערך את הסכום 
 
כאשר  ו- ראשוניים. כדי להראות ש  הוא סכום של 3 ראשוניים די להראות ש . שיטת השערוך מבוססת על התמרת פוריה. התוצאה המתקבלת היא מהצורה  כאשר  היא פונקציה מפורשת כלשהי ו- הוא איבר השגיאה החסום על ידי פונקציה מפורשת . מכאן שהשערת גולדבך נכונה כאשר . מוכיחים שזה קורה עבור  אי-זוגי כאשר  קבוע מסוים ואז בודקים את ההשערה עד .
החלק העמוק והמרכזי בהוכחה הוא החסמים על  בעוד שבדיקת ההשערה עד  היא משימה חישובית ביסודה. עם זאת שני החלקים דרשו הן רעיונות מתמטיים והן חישוב מסיבי בעזרת מחשב.

שיטות לבדיקת ההשערה למספרים קטנים

המספרים שעד אליהם צריך לבדוק את השערת גולדבך הם גדולים למדי ( בהוכחה של הלפגוט). לא ניתן לעבור על כמות כזאת של מספרים במחשב מודרני בהשקעה סבירה. קשה עוד יותר לבצע חישוב לא טריוויאלי כלשהו בשבילם. לכן אסטרטגיית הבדיקה צריכה להיות יותר מתוחכמת:
בשלב הראשון מבצעים בדיקה של השערת גולדבך הרגילה עד למספר גדול יחסית . בדיקה זאת מתבצעת על ידי גרסאות של נפת ארטוסתנס. השיא הנוכחי הושג ב-2013 על ידי אוליברה, סילבה הרצוג ופראד ועומד על .
כדי להסיק את השערת גולדבך החלשה עד קבוע  די להראות שההפרש המקסימלי בין שני ראשוניים עוקבים עד  קטן מ . אם מניחים את השערת רימן קל יחסית לקבל תוצאה כזאת עבור  מסדר גודל קרוב ל-. בשביל  ו- מסוימים די לבדוק את השערת רימן עד לגובה מסוים במישור המרוכב. עבור  ו-  בהוכחה של הלפגוט הגובה שעד אליו צריך לבדוק את השערת רימן הוא כ- ניתן לבצע זאת באמצעות מחשב וזאת הייתה אחת הדרכים בהן השתמש הלפגוט בהוכחתו.
דרך נוספת היא למצוא באופן מפורש סדרה של ראשוניים שההפרש בין שני איברים עוקבים שלה קטן מ-. בשביל זה ניתן להגריל מספרים בסדרי הגודל המבוקשים ולבדוק את ראשוניותם.
לפי משפט המספרים הראשוניים סביר להניח שמספר המספרים שצריך להגריל גדול רק פי  ממספר הראשוניים שצריך למצוא, כלומר בסך-הכל .
אמנם מאז 2002 ניתן, במבחן AKS לראשוניות, לבדוק את ראשוניותו של מספר בזמן פולינומי במספר הספרות, אך עדיין מדובר באלגוריתם איטי למדי ולא פרקטי במקרה זה. אולם ניתן להגריל מספרים מסוג מסוים שקל יותר לבדוק את ראשוניותם. הסוג שנבחר על ידי הלפגוט ופלאט הם מספרי פורת'. מספר פורת' הוא מספר מהסוג  כאשר . בזכות משפט פורת' קל מאוד לבדוק את הראשוניות של מספר כזה.
אם מניחים השערות חזקות בנוגע לפערים בין שני ראשוניים עוקבים אז ניתן להסתפק בערכים קטנים יותר של  כדי להבטיח את תקפות ההשערה עד קבוע מ- גדול בהרבה. לדוגמה השערה מרחיקת לכת של Firoozbakht גוררת שאם השערת גולדבך נכונה עד  אז השערת גולדבך החלשה נכונה עד . לכן כבר ב-1989 הערך שעד אליו נבדקה השערת גולדבך היה מספיק (בהנחת השערת Firoozbakht) כדי להבטיח את נכונותה של השערת גולדבך החלשה עד לערך ממנו הוכחה.