תורת החוגים

תורת החוגים היא ענף של האלגברה המופשטת העוסק בחקר חוגים - מבנה אלגברי בעל שתי פעולות בינאריות, המכלילות דוגמאות יסודיות כמו חוג המספרים השלמים וחוג המטריצות מעל שדה. באמצעות הכללה זו, משפטים מהאריתמטיקה מורחבים לעצמים שאינם מספרים, כגון פולינומים, מטריצות ופונקציות. 
תורת החוגים עוסקת במבנה של חוגים, באידיאלים והמודולים שלהם, במחלקות מיוחדות של חוגים (כגון חוגי חבורה וחוג עם חילוק), ובשלל תכונות של חוגים, מהן המעוררות עניין במסגרת תורת החוגים עצמה, ומהם הרלוונטיות ליישומי תורת החוגים.
גאומטריה אלגברית ותורת המספרים האלגברית, המכילות דוגמאות רבות לחוגים חילופיים (קומוטטיביים), הניעו חלק נכבד מחקר החוגים החילופיים, הידוע כעת כאלגברה קומוטטיבית. כיוון ששלושה ענפים אלה כל כך קשורים זה בזה, קשה לפעמים לשייך תוצאה מסוימת דווקא לאחד מהם. משפט האפסים של הילברט, למשל, הוא משפט יסודי בגאומטריה אלגברית, אך הוכחתו נעשית בכלים של אלגברה קומוטטיבית. דוגמה נוספת היא המשפט האחרון של פרמה, שמנוסח במונחים של אריתמטיקה אלמנטרית, שהיא חלק מהאלגברה הקומוטטיבית, והוכחתו כוללת תוצאות עמוקות מתורת המספרים האלגברית וגאומטריה אלגברית.
חוגים לא חילופיים הם בעלי אופי שונה. המגמה הנוכחית בחקירתם החלה בשנות ה-80, עם פיתוחה של גאומטריה לא קומוטטיבית ועם גילויין של חבורות קוונטיות, שהובילו להבנה טובה יותר של חוגים לא חילופיים, ובפרט חוגים נתריים לא חילופיים.

היסטוריה

שורשיה של תורת החוגים החילופיים נמצאים בתורת המספרים האלגברית, בגאומטריה אלגברית ובתורת השמורות הפולינומיות. מקום מרכזי בהתפתחותם של ענפים אלה תפסו חוגי שלמים בשדות מספרים אלגבריים ובשדות פונקציות אלגבריות וחוגים של פולינומים בשני משתנים או יותר. תורת החוגים הלא חילופיים החלה בניסיונות להרחיב את המספרים המרוכבים למערכות של מספרים היפר-מרוכבים. ראשיתן של תורות אלה בתחילת המאה ה-19, והן הגיעו לבשלות רק ברבע השלישי של המאה העשרים. 
ויליאם רואן המילטון הניח את היסודות לאלגברת הקווטרניונים בשנת 1843. חוקרים נוספים עסקו במאה ה-19 במבנים אלגבריים נוספים, קודם שהנושא נעטף במסגרת הכללית של מבנים אלגבריים. מספרים היפר-מרוכבים שונים זוהו עם חוגי מטריצות בידי ג'וזף ודרברן (1908) ואמיל ארטין (1928). הגדרה אקסיומטית ראשונה של חוג ניתנה בשנת 1914 על ידי אברהם הלוי פרנקל, בהשפעת הגישה האקסיומטית של שטייניץ לשדות, האסכולה האמריקאית של א.ה. מור, ובעיקר עבודתו תחת קורט הנזל על שדה המספרים ה-p-אדיים. האקסיומות של פרנקל תארו מה שמוכר היום כחוג עם יחידה, שבו כל איבר רגולרי הוא הפיך ("חוג קלאסי"), וכך שלכל שני איברים a,b יש איברים רגולריים u,v כך ש-ab=bau=vba. ב-1920 פרסמה אמי נתר, יחד עם ו. שמיידלר, מאמר שעסק בתורת האידיאלים, שבו הגדירו אידיאל ימני ואידיאל שמאלי בחוג. כעבור שנה פרסמה נתר מאמר פורץ דרך בדבר תנאי שרשרת בהקשר של אידיאלים. מאמר זה הביא ליצירת המושג חוג נתרי, ובו נתנה נתר את ההגדרה המקובלת כיום לחוג חילופי.

חוגים חילופיים

חוג קרוי חילופי אם פעולת הכפל המוגדרת בו היא חילופית. חוגים חילופיים מדמים מערכות מספרים מוכרות, ומאפיינים שונים של חוג חילופי בודקים עד כמה הוא דומה למספרים השלמים. בתורת החוגים החילופיים מספרים מוחלפים לעיתים קרובות באידיאלים, ואידיאל ראשוני מכליל את המספר הראשוני בחוג המספרים השלמים. חוגים חילופיים הם גם בעלי חשיבות בגאומטריה אלגברית - בעזרתם ניתן לחקור מאפיינים של עצמים גאומטריים, כמו חוגי קואורדינטות וממד.
תחום שלמות, שהוא חוג חילופי עם יחידה כפלית שאין בו מחלקי אפס (כלומר: אם , אז בהכרח  או ), מכליל תכונה נוספת של השלמים. תחום ראשי (או "תחום אידיאלים ראשיים") הוא תחום שלמות שכל האידיאלים שלו הם ראשיים, כלומר מהצורה . תחומים ראשיים מקיימים תכונה של חוג המספרים השלמים שהיא מהותית לתורת המספרים האלמנטרית: לכל זוג איברים מחלק משותף מקסימלי שאפשר להציג כצירוף שלהם.
חוג אוקלידי הוא חוג חילופי שבו אפשר לבצע חילוק עם שארית, וכך לממש את האלגוריתם של אוקלידס לחישוב מחלק משותף מקסימלי. הדוגמאות המוכרות ביותר לחוג כזה הן חוג המספרים השלמים וחוג פולינומים מעל שדה, וההגדרה מכלילה ואורגת את התכונות המשותפות לשתיהן. לתכונת האוקלידיות יש גם השלכות חישוביות, בפרט בתורת המספרים האלגברית, וגם לבעיות הקשורות ביצירה של חבורות אלגבריות. כל חוג אוקלידי הוא תחום ראשי. 
חוג בזו הוא חוג בו כל אידיאל נוצר סופית נוצר על ידי איבר אחד, כלומר ראשי. חוג ראשי מיוחד הוא חוג בזו מקומי וארטיני. לחוגים אלו מבנה נוח למדי - יש להם רק מספר סופי של אידיאלים, כולם חזקות של האידיאל המקסימלי היחיד. משפט זריצקי-סמואל קובע כי כל חוג בזו ניתן לכתוב כמכפלה של תחומים ראשיים וחוגים ראשיים מיוחדים.

חוגים לא חילופיים

חוג לא חילופי הוא חוג בו פעולת הכפל איננה חילופית. לחוגים לא חילופיים תורת מבנה עשירה ומסובכת יותר מזו של חוגים חילופיים. אובייקט המרכזי בתורה זו הוא חוגי מטריצות. חוגים לא חילופיים המקיימים תנאי שרשרת על האידיאלים השמאליים שלהם, כמו חוגים ארטיניים ונתריים, מהווים נושא חשוב למחקר. למשל, משפט הופקינס-לויצקי קובע כי כל חוג ארטיני שמאלי הוא נתרי שמאלי.
חוגים לא חילופיים נחקרים גם על ידי המודולים שלהם, וטענות רבות קושרות בין חוג למודולים מעליו, כמו הלמה של נקאימה.