הרחבת שדות

באלגברה ובעיקר בתורת השדות, הרחבה של שדות מתארת מצב שבו שדה אחד מכיל שדה אחר, באופן שפעולות החיבור והכפל בשדה הגדול מסכימות עם אלו המוגדרות בשדה הקטן. השדה הקטן נקרא שדה הבסיס.
לאמירה שהשדה הקטן הוא תת שדה של השדה הגדול יש אותה משמעות; מתייחסים להכלה  של שדות כאל הרחבה כאשר הדגש הוא על האופן שבו נבנה השדה הגדול  מן השדה הקטן , וכאל תת שדה במקרה ההפוך, שבו רוצים להבדיל את אברי  משאר האיברים של . זוהי הבחנה מתודית בלבד, ואין לה משמעות מתמטית.
את ההרחבה  מסמנים לפעמים בסימון .
הרחבה היא בדרך כלל תהליך אלגברי, שבו מוסיפים לשדה הבסיס  איברים חדשים. יש דרכים אחרות לבנות הרחבות, כאשר שדה הבסיס מצויד במבנה נוסף, כגון סדר או הערכה - ראו השלמה של שדה.

יוצרים של הרחבה

לכל הרחבה יש קבוצת יוצרים: תת קבוצה  של  היא קבוצת יוצרים של ההרחבה , אם אפשר לקבל כל איבר של  באמצעות פעולות השדה (חיבור, חיסור, כפל וחילוק) מן האיברים ב- והמקדמים ב-. במקרה זה אין אף תת-שדה המכיל את  ואת , מלבד  עצמו, כלומר K הוא השדה המינימלי שמכיל גם את השדה F וגם את איברי S; כותבים , ואם  כותבים גם . אם  תת-שדה של שדה  המכיל גם קבוצת איברים , אז  הוא תת-השדה הקטן ביותר של  המכיל את  ואת .
מבחינים בין כמה סוגים של הרחבות. ראשית, ההרחבה נוצרת סופית אם יש לה קבוצת יוצרים סופית, ואינה נוצרת סופית אם אין לה קבוצת יוצרים כזו. אם  שדה אינסופי וההרחבה נוצרת סופית (או אפילו נוצרת על ידי קבוצה בת-מניה), אז העוצמה של  שווה לזו של . 
לדוגמה, כיוון שהעוצמה של שדה המספרים הממשיים  גדולה מזו של שדה המספרים הרציונליים , ההרחבה  אינה נוצרת סופית.

הרחבות פשוטות

הרחבה  היא הרחבה פשוטה אם היא נוצרת על ידי איבר אחד. הרחבות כאלה אפשר ללמוד באופן הבא, שמדגים את ההבדל בין הרחבות אלגבריות לשאינן כאלה.
נניח ש-, כלומר, תת-השדה הקטן ביותר של K המכיל את  ואת a הוא K עצמו. אפשר להגדיר הומומורפיזם מחוג הפולינומים  לשדה K, על ידי הצבה: . תמונת ההומומורפיזם היא תת-חוג של שדה, ולכן היא תחום שלמות. מכאן נובע שהגרעין של ההומומורפיזם הוא אידיאל ראשוני. יש שתי אפשרויות: ייתכן שהגרעין שווה לאפס; כלומר, הומומורפיזם ההצבה הוא שיכון, ואין פולינום המאפס את a; במלים אחרות, a טרנסצנדנטי, ואז התמונה של הומומורפיזם ההצבה היא חוג הפולינומים , שאינו שדה. האפשרות האחרת היא שהגרעין אינו אפס; במקרה זה, מכיוון שחוג הפולינומים הוא אוקלידי, האידיאל חייב להיות אידיאל מקסימלי, והתמונה שלו שווה ל-K. הגרעין נוצר על ידי פולינום אי-פריק f מעל , שהוא הפולינום המינימלי של a.
הרחבה ממימד סופי K/F היא פשוטה אם ורק אם יש לה מספר סופי של הרחבות ביניים (תת-שדות ).

אלגבריות וממד

שדה-הרחבה K הוא תמיד מרחב וקטורי מעל שדה הבסיס, כאשר פעולת הכפל בסקלר היא פעולת הכפל בשדה הגדול (מצומצמת מפעולה  לפעולה ). בפרט, יש להרחבה ממד , שהוא הממד של K כמרחב וקטורי מעל F. לממדים יש תכונת כפליות שימושית: אם , אז .
איבר a של K הוא איבר אלגברי אם קיים פולינום בעל מקדמים ב-, אשר a הוא שורש שלו. אם כל האיברים של K הם אלגבריים, אומרים שההרחבה היא הרחבה אלגברית. כל הרחבה אלגברית נוצרת סופית היא בעלת ממד סופי, וכל הרחבה בעלת ממד סופי היא הרחבה אלגברית נוצרת סופית. לעומת זאת, קיימות הרחבות אלגבריות שאינן נוצרות סופית, כמו זו של שדה המספרים הניתנים לבניה מעל הרציונליים, או של הסגור האלגברי של שדה סופי, מעל השדה.
אם  היא תת-קבוצה כלשהי, הסימון  מתאר את תת-החוג הקטן ביותר של K המכיל את F ואת S (בהשוואה ל- , שהוא תת-השדה הקטן ביותר; כמובן ). אם כל האיברים של הקבוצה S אלגבריים, אז  הוא שדה, ובמקרה זה .

פירוק למרכיב טרנסצנדנטי ומרכיב אלגברי

אוסף האיברים האלגבריים ב-K מהווה תת-שדה שלו, הנקרא הסגור האלגברי היחסי של  ב-K. בהרחבה אלגברית, כמו , הסגור הזה הוא K. אם אין ב- K אף איבר אלגברי פרט לאברי , (כלומר,  הוא הסגור האלגברי היחסי), אומרים ש- סגור אלגברית בהרחבה. (אין פירושו של דבר ש- הוא שדה סגור אלגברית, אלא רק שבמובן מסוים, החיתוך של K עם הסגור האלגברי של  שווה ל-). מקרה חשוב במיוחד של יחס זה בין השדות הוא הרחבה טרנסצנדנטית טהורה, שהיא הרחבה בה קיימת קבוצת יוצרים שאבריה אינם מקיימים אף יחס (כלומר, לא קיים פולינום בכמה משתנים, שאם מציבים בו יוצרים שונים מתקבל אפס).
כל הרחבה אפשר לפרק לשרשרת של הרחבות , כאשר  היא הרחבה טרנסצנדנטית טהורה, ואילו  אלגברית (Steinitz ,1948); אם ההרחבה המקורית נוצרת סופית, להרחבה האחרונה יהיה ממד סופי. למספר היוצרים הקטן ביותר האפשרי של  קוראים דרגת הטרנסצנדנטיות של ההרחבה . הפירוק אפשרי רק בסדר זה: בדרך כלל אי-אפשר לפרק הרחבות כך שקודם יבוא המרכיב האלגברי, ואז המרכיב הטרנסצנדנטי. אם ההרחבה  אלגברית, אז הפירוק יהיה , שהרי K אינו מכיל אף איבר טרנסצנדנטי מעל .
דוגמה: נסמן ב-  את השדה הסופי בן שני איברים, ונסמן ב- x,y שני משתנים מעל שדה זה, המקיימים את היחס , שאותו נסמן באות E. שדה הפונקציות של העקום האליפטי E הוא, על-פי ההגדרה, . השדה  סגור אלגברית ב-K, ועם זאת ההרחבה אינה טרנסצנדנטית טהורה (מפני שהיוצרים x,y קשורים זה בזה ביחס E). לשדה זה יש תת-שדה , שהוא הרחבה טרנסצנדנטית מדרגה 1 מעל , וההרחבה  בעלת ממד 2.

ספרביליות

בהרחבה אלגברית יש שני סוגים של איברים: אלו שהפולינום המינימלי שלהם ספרבילי, ואלו שאינם כאלה. איברים לא-ספרביליים יכולים להתקיים רק כאשר המאפיין של שני השדות הוא ראשוני, p. הרחבה שבה כל אברי K הם ספרביליים נקראת הרחבה ספרבילית של שדות; כל הרחבה במאפיין אפס היא ספרבילית, אבל יש גם הרחבות ספרביליות במאפיין . לדוגמה, כל הרחבה שבה השדה הגדול סופי היא ספרבילית. לפי משפט האיבר הפרימיטיבי, כל הרחבה ספרבילית נוצרת סופית היא הרחבה פשוטה (כלומר, אפשר להחליף מספר סופי של יוצרים ספרביליים ביוצר אחד).

פירוק למרכיב ספרבילי ומרכיב לא ספרבילי טהור

אוסף האיברים הספרביליים מהווה תת-שדה של K, הנקרא הסגור הספרבילי של  ב-K (ומוכל כמובן בסגור האלגברי היחסי). אם כל האיברים של K (פרט לאלו של ) אינם ספרביליים מעל , אז ההרחבה היא הרחבה לא ספרבילית טהורה.
בהמשך הסעיף נניח שהשדות ממאפיין p ראשוני. אוסף חזקות-p בשדה K מהווה תת-שדה שלו, אותו מסמנים ב- . באופן זה אפשר ליצור שרשרת יורדת של שדות, , שאת חיתוכה מסמנים ב- . אם הממד  סופי, הסדרה חייבת כמובן להתייצב. ההרחבה  היא הרחבה לא ספרבילית טהורה.
ההרחבה  היא ספרבילית אם ורק אם . מכיוון שהשדה  מקיים תכונה זו, ההרחבה  מוכרחה להיות ספרבילית. כך הוכחנו שכל הרחבה אלגברית אפשר לפרק לשרשרת של שתי הרחבות, הראשונה ספרבילית והשנייה לא ספרבילית טהורה.

חבורת האוטומורפיזמים

לכל הרחבה  אפשר להתאים את החבורה  של האוטומורפיזמים של K השומרים על אברי F. חבורה זו היא בעלת חשיבות עליונה בחקירת ההרחבה, והיא נקראת חבורת גלואה של ההרחבה (אם כי לעיתים שומרים מונח זה רק לחבורות האוטומורפיזמים של הרחבות גלואה).
דוגמה. חבורת האוטומורפיזמים של  היא טריוויאלית. הסיבה היא שכל אוטומורפיזם (של המבנה האלגברי) חייב לשמור על תת-הקבוצה של הריבועים, ולכן על הסדר של השדה. מכאן נובע שהוא רציף, ולכן שומר על גבולות. אבל המספרים הרציונליים צפופים בממשיים, ולכן כל פונקציה רציפה שלא מזיזה את המספרים הרציונליים בהכרח גם לא תזיז את המספרים הממשיים.