יציבות במובן ליאפונוב

יציבות במובן ליאפונוב מתייחסת ליציבות של משוואות דיפרנציאליות עבור מערכת דינמיות. התאוריה הבסיסית מתייחסת ליציבות של נקודת שיווי משקל (נש"מ) של המערכת , כלומר מערכת ללא כניסה חיצונית. ניתוח היציבות מבוסס על "פונקציית אנרגיה" חיובית של המערכת , אשר ערכה יורד עם הזמן לאורך מסלולי המערכת. פונקציה כזאת תקרא "פונקציית ליאפונוב".

היסטוריה

המונח יציבות במובן ליאפונוב נקראת על שמו של המתמטיקאי הרוסי אלכסנדר ליאפונוב אשר פרסם את ספרו הבעיה הכללית של יציבות בתנועה בשנת 1892. ליאפונוב היה הראשון שלקח בחשבון את כך שדרושה התאמה מסוימת עבור מערכת לא ליניארית על מנת שיהיה ניתן להשתמש בתאורית היציבות של מערכות ליניאריות עבורה. דבר זה נעשה על ידי ליניאריזציה של המערכת בסביבת הנש"מ. עבודתו שתחילה פורסמה ברוסית ולאחר מכן תורגמה לצרפתית זכתה למעט תשומת לב לאורך שנים רבות. השינוי החל בתקופת המלחמה הקרה כאשר השיטה המכונה "השיטה העקיפה של ליאפונוב" נמצאה בעלת ערך רב עבור יציבות של מערכות ניווט אוויריות אשר בדרך כלל אינן ליניאריות בצורה חזקה ולא ניתנות לפתרון באמצעות שיטות אחרות.

אגן משיכה

גם במקרה בו הנש"מ של המערכת אינה יציבה באופן גלובאלי ישנה חשיבות להערכת "אגן המשיכה" שלה. כלומר מהן אוסף הנקודות במרחב מהן קיימת התכנסות לנש"מ זו. 
הגדרה: תהי  נש"מ. אגן המשיכה של  היא הקבוצה המקסימלית  כך ש:
 גוררת  כל תת-קבוצה של  תקרא אגן משיכה של .
משפט: אגן משיכה של נש"מ יציבה
נניח כי בסביבה כלשהי של הראשית  מתקיימים תנאי משפט ליאפונוב ליציבות אסימפטוטית (מקומית).
יהי  (רצוי גדול ככל האפשר) כך שמתקיים: 
אזי  היא אגן המשיכה של הנש"מ .
דוגמה:
ניקח את הדוגמה שהוצגה קודם:
פונקציית ליאפונוב היא  כאשר הנגזרת היא .
תנאי המשפט מתקיימים עבור  ולכן זהו תחום המשיכה של הנש"מ .

פונקציית ליאפונוב למערכות ליניאריות

ניקח את המערכת הליניארית . נניח שהמערכת בראשית יציבה אסימפטוטית, כלומר . 
עבור המערכת הנ"ל קיימות מספר שיטות למציאת פונקציית ליאפונוב.

תבניות ריבועיות ומטריצות חיוביות

תהי  מטריצה סימטרית בגודל 
המטריצה  מגדירה תבנית ריבועית בוקטור המשתנים - , כלומר  . כל תבנית ריבועית ניתן להגדיר באמצעות מטריצה סימטרית .
ננסה למצוא את פונקציית ליאפונוב עבור המערכת הליניארית  באמצעות הפונקציה הבאה . עבור קבלת  נדרוש שמטריצת  תהיה מוגדרת כסימטרית וחיובית .
עבור התנאי השני נחשב את .
.
נסמן  אזי  ועל מנת לקיים את התנאי  נדרוש . ניתן לראות שהמטרה היא מציאת  שיבטיח .

מציאת פונקציית ליאפונוב עבור מערכות לא-ליניאריות

כנכתב מקודם הקושי העיקרי הוא מציאת פונקציית ליאפונוב עבור המערכת הלא ליניארית . יש לציין שלא קיימת שיטה כללית שהצלחתה מובטחת. בפרק זה יתוארו מספר שיטות אפשריות.

פונקציות ריבועיות - quadratic Lyapunov function

נקודת התחלה אפשרית היא התבנית הריבועית  כאשר  (מוגדרת כמטריצה חיובית). בפרט ניתן להתחיל מהמקרה האלכסוני: . דרוש לבדוק האם  מקיימת את האילוץ הבא . דרך אחת למציאת  מתאימה היא באמצעות לינארזיציה. עבור 
נגדיר  ונבחר  כך ש .
גישה זו תצליח תמיד כאשר יציבה (כלומר שהמערכת יציבה אסימפטוטית בסביבת הנש"מ) אולם היא אינה בהכרח מביאה לאגן משיכה מיטבי.

שיטת קרקובסקי - Krasovskii method

בגרסה הבסיסית הפונקציה המוצעת היt . נגדיר 
הטענה הבסיסית היא כי אם  בסביבת הראשית, אזי  היא פונקציית ליאפונוב ו היא יציבה אסימפטוטית.
יתרה מזאת, אם  ב"כדור" המקיף את הראשית, אזי כדור זה הוא אגן המשיכה של הראשית.
בכלליות יותר ניתן להשתמש גם במטריצה  כך ש  בסביבת הראשית.

הסתמכות על שיקולים פיסקאליים

לעיתים ניתן לגזור פונקציית ליאפונוב מתוך "הבנה פיזיקלית" של הבעיה, דוגמה בולטת היא פונקציית אנרגיה במערכות מכניות.
דוגמה: מערכת מטוטלת
ניקח בתור דוגמה מטוטלת בעלת חיכוך ויסקוזי  . הפרמטרים  מתארים את אורך הזרוע והמסה בהתאמה והפרמטר  מתאר את כוח המשיכה.
משוואות התנועה של המערכת הן:
את פונקציית ליאפונוב נבחר משיקולים פיזיקליים כפונקציית האנרגיה (המנורמלת):
מכאן נקבל ש:
ניתן לראות שהמערכת יציבה במובן ליאפונוב.