עקרון הויגנס

עקרון הויגנס (ידוע גם כעקרון הויגנס-פרנל) קובע כי ניתן להתייחס לכל נקודה בחזית גל כמקור נקודתי של גל חדש: כל נקודה שמופרעת על ידי מעבר של גל דרכה הופכת למקור של גל כדורי, וההתאבכות של כל הגלים הכדוריים היא הגל הכולל המתקדם במרחב.
העקרון נוסח על ידי כריסטיאן הויגנס ואוגוסטן ז'אן פרנל. על עקרון זה מבוסס הניתוח המתמטי של תופעת העקיפה כמו בניסוי שני הסדקים של תומאס יאנג. באמצעות עקרון זה ניתן גם להסביר תופעות התאבכות נוספות ושבירה.

היסטוריה

ב-1678, הויגנס הציע כי כל נקודה אליה מגיעה הפרעה אורית הופכת למקור של גלים כדוריים; הסיכום של כל הגלים המשניים האלו קובע את צורת הגל בכל רגע נתון. הוא הניח שהגלים המשניים נעים פחות או יותר רק בכיוון "חזיתי", אולם לא הסביר לפי התאוריה שלו מדוע זה כך. הוא היה מסוגל לתת הסבר איכותי להתקדמות גלים קווית וכדורית, ולגזור את חוקי ההחזרה והשבירה באמצעות העיקרון הזה, אבל לא יכל להסביר את הסטיות מתנועה ישרה המתרחשות כאשר אור פוגש בפינות, מפתחים ומסכים, אפקטים שזכו לשם "תופעות עקיפה". את הסיבה לשגיאה הזאת שלו הסביר David A.B. Miller ב-1991; הפתרון הוא שמקור הגלים הוא דיפול (ולא המונופול שהויגנס הניח), אשר מתקזז בכיוון המוחזר.
ב-1818, פרנל הראה שעקרון הויגנס יחד עם עקרון ההתאבכות שלו יכולים להסביר הן את ההתקדמות הקווית של אור והן את תופעות העקיפה. כדי להשיג התאמה עם תוצאות ניסוייות, הוא היה חייב לכלול בתאוריה שלו הנחות שרירותיות נוספות על הפאזה והמשרעת של הגלים המשניים, כמו גם גורם הטיה (obliquity factor). להנחות הללו לא היה בסיס פיזיקלי מוצק אולם הן הובילו לתחזיות שהסכימו עם תצפיות ניסוייות, כמו כתם אראגו (Arago spot).
פואסון היה חבר באקדמיה הצרפתית, אשר בחנה את עבודתו של פרנל. הוא נעזר בתאוריה של פרנל כדי להסיק שאמור להופיע כתם בהיר במרכז הצל של דיסקה קטנה, והסיק מכך שזה לא נצפה שהתאוריה הייתה שגויה. מאוחר יותר, אראגו, חבר אחר בוועד השופטים, ערך את הניסוי והראה שהתחזית נכונה. זו הייתה אחת החקירות שהובילו לניצחון התאוריה הגלית על פני התאוריה החלקיקית של האור, שהייתה דומיננטית במאה שעברה.
נוסחת העקיפה של קירכהוף סיפקה מסגרת מתמטית ריגורוזי לעקיפה, המתבססת על משוואת הגלים. ההנחות השרירותיות אותן עשה פרנל כדי להגיע לניסוח המתמטי של עקרון הויגנס צצות באופן טבעי מהמתמטיקה של תורת העקיפה של קירכהוף.

הניסוח המתמטי של העקרון

נתייחס למקרה של מקור נקודתי הממוקם בנקודה P₀, המייצר גלים בתדירות f. את ההפרעה ניתן לתאר על ידי המשתנה המרוכב U₀, הנקרא גם משרעת מרוכבת. הוא מפיק גלים כדוריים עם אורך גל λ ומספר גל k = 2π/λ. המשרעת המרוכבת של הגל הראשי בנקודה Q הממוקמת במרחק r₀ מהנקודה P₀ ניתנת בביטוי:
מכיוון שהמשרעת קטנה ביחס הפוך למרחק ממקור הגל, והפאזה משתנה לפי מכפלת מספר הגל k במרחק מהמקור.
באמצעות התאוריה של הויגנס ועקרון הסופרפוזיציה של גלים, המשרעת המרוכבת בנקודה מרוחקת יותר P נמדדת על פי סיכום התרומות מכל נקודה על פני הכדור ברדיוס r₀. כדי להשיג התאמה עם תצפיות ניסוייות, פרנל מצא שהתרומות מהגלים המשניים שנוצרים מנקודות על פני הכדור חייבים להיות מוכפלים בקבוע  (כאשר ), ובפקטור הטיה נוסף (K(χ. ההנחה הראשונה פירושה שהגלים המשניים נמצאים ברבע מחזור גל "מחוץ לפאזה" ביחס לגל הראשי, ושהמשרעת של הגלים המשניים היא ביחס של  עם משרעת הגל הראשי. הוא הניח גם של-(K(χ יש ערך מרבי כאשר χ = 0, וערך מאופס כאשר χ = π/2. המשרעת המרוכבת ב-P ניתנת על כן בנוסחה:
כאשר S מתאר את פני השטח של הכדור, ו-s הוא המרחק בין Q ל-P.
ההנחות השונות שעשה פרנל צצות אוטומטית בנוסחת העקיפה של קירכהוף, אשר ניתן לראות את עקרון הויגנס-פרנל כקירוב לה. עם זאת, התוצאה של קירכהוף נבדלת מזו של פרנל בפקטור ההטיה (K(χ:
ל-K יש מקסימום ב-χ = 0 כמו בעקרון הויגנס-פרנל; אף על פי כן, K לא שווה לאפס כאשר χ = π/2. נוסחת קירכהוף מסבירה מדוע בכלל גלים מתקדמים בכיוון מוגדר מסוים - כאשר χ = π מקבלים
0 = (K(χ, כלומר הגלים המשניים כלל לא מועברים לאחור.

עקיפה

בניסויי עקיפה, גל מישורי פוגע במחסום בעל מיפתח בצורה כלשהי, ונמדדת תבנית הגל על מסך שנמצא בעברו השני של המחסום. לפי עקרון הויגנס, התבנית המתקבלת זהה לזו שמתקבלת מאוסף של מקורות נקודתיים הממלאים את המפתח. כתוצאה מכך מגיע הגל גם לאזורים שמעבר למחסום, אזורים שבהם לפי אופטיקה גאומטרית לא מגיעות קרניים הנעות בקווים ישרים.

שבירה

כאשר גל מישורי פוגע במישור הפרדה בין שני חומרים, הוא מעורר אוסף של גלים כדוריים ממקורות נקודתיים שממלאים את מישור ההפרדה. מהירות האור בחומר דיאלקטרי יחסית למקדם השבירה שלו. לכן, אם שני החומרים הם בעלי מקדמי שבירה שונים חצי הכדור המתפשט לעבר החומר האחד יתקדם במהירות שונה מאשר חצי הכדור המתפשט לעבר החומר האחר. כתוצאה מכך תיווצר זווית בין הכיוון המאונך לחזית הגל הפוגע לבין זה של הגל הנשבר, אותה ניתן לחשב משיקולים גאומטריים ולקבל את חוק סנל.