רדיקל ג'ייקובסון

רדיקל ג'ייקובסון של חוג הוא אידיאל השווה לחיתוך כל האידיאלים השמאליים המקסימליים של החוג. ההגדרות השקולות הרבות הופכות את רדיקל ג'ייקובסון לרדיקל החשוב ביותר בתורת החוגים. כמו ברדיקלים אחרים, תפקידו של רדיקל ג'ייקובסון לתפוס את כל האיברים ה"קרובים" לאיבר האפס. לדוגמה, בחוג קומוטטיבי, כל האיברים הנילפוטנטים שייכים לרדיקל, ואם החוג גם נוצר סופית, הרדיקל עצמו נילפוטנטי.
חוג שרדיקל ג'ייקובסון שלו הוא אפס נקרא פרימיטיבי למחצה, והמנה ביחס לרדיקל היא תמיד כזו. כל חוג פרימיטיבי הוא פרימיטיבי למחצה, וכל חוג פרימיטיבי למחצה הוא ראשוני למחצה.
נקרא על שם המתמטיקאי האמריקאי נתן ג'ייקובסון.

הגדרה באמצעות מאפסים של מודולים פשוטים

מודול M מעל חוג R הוא פשוט אם אין לו תת-מודולים אמיתיים. המאפס של M (מסומן ב-(ann(M) הוא אוסף האיברים ב-R המאפסים את M, כלומר ; המאפס של כל מודול הוא אידיאל שמאלי.
רדיקל ג'ייקובסון של R (המסומן ב-(J(R, ולפעמים ב-(rad(R) שווה לחיתוך המאפסים של המודולים הפשוטים מעל R. במילים אחרות, לרדיקל שייכים האיברים של R המאפסים את כל המודולים הפשוטים.

הגדרה באמצעות אידיאלים שמאליים מקסימלים

כל מודול פשוט M מעל חוג R הוא מהצורה  כאשר m הוא אידיאל שמאלי מקסימלי, וגם ההפך נכון. המאפס של מודול מהצורה  שווה ל-m, ולכן קבוצת המאפסים של כל המודולים הפשוטים מעל חוג R שווה בדיוק לאוסף כל האידיאלים המקסימלים השמאליים בחוג. לכן הרדיקל שהוגדר לעיל שווה גם לחיתוך כל האידיאלים המקסימלים השמאליים בחוג. 
יתרונה של ההגדרה הזו בכך שהיא "פנימית": היא תלויה רק במבנה של R עצמו, ואינה דורשת בניה של מודולים מעל R. בנוסף, על אף שההגדרה אינה סימטרית, בכך שהיא מתמקדת באידיאלים מקסימלים שמאליים ולא ימניים, ניתן להוכיח כי שחיתוך האידיאלים השמאליים המקסימלים שווה לחיתוך האידיאלים הימניים המקסימלים. בפרט, רדיקל ג'ייקובסון של חוג הוא תמיד אידיאל דו-צדדי.

הגדרה באמצעות אידיאלים פרימיטיביים

אידיאל של חוג הוא פרימיטיבי אם חוג המנה פרימיטיבי, כלומר יש לו מודול פשוט נאמן. רדיקל ג'ייקובסון שווה לחיתוך על האידיאלים הפרימיטיביים (ומכאן שאם החוג פרימיטיבי, הרדיקל שלו מתאפס).

הגדרה באמצעות איברים לא-יוצרים

איבר x של R הוא לא-יוצר אם אין אידיאל שמאלי אמיתי  כך ש-  (במלים אחרות, x יוצר תת-מודול קטן של R, כמודול מעל עצמו). אוסף האיברים הלא יוצרים (שהוא סכום תת-המודולים הקטנים) שווה לרדיקל ג'ייקובסון של החוג.

הגדרה באמצעות איברים קוואזי-הפיכים

אם  הפיך משמאל בחוג, אומרים ש-z קוואזי-הפיך (משמאל). אידיאל קוואזי-הפיך הוא אידיאל שכל האיברים שלו קוואזי-הפיכים. 
רדיקל ג'ייקובסון הוא האידיאל הקוואזי-הפיך הגדול ביותר. (הוכחה: אם y איבר של הרדיקל אז הוא שייך לכל אידיאל שמאלי מקסימלי, ולכן  אינו שייך לאף אידיאל מקסימלי, ומכאן שהוא הפיך משמאל. כלומר, הרדיקל קוואזי-הפיך. מאידך, יהי L אידיאל שמאלי קוואזי-הפיך, אז הוא מוכל בכל אידיאל שמאלי מקסימלי, משום שאחרת יש  שאינו ב-m, ואז , כלומר  עבור y מתאים, בסתירה לכך ש- הפיך משמאל.)
בחוג עם יחידה, האיבר x הוא קוואזי-הפיך משמאל אם יש איבר y כך ש-, כלומר . אפשר לאמץ הגדרה זו גם אם בחוג אין יחידה: x הוא קוואזי-הפיך אם יש איבר y כך ש-. משום כך, גם בחוג שאין בו יחידה, רדיקל ג'ייקובסון מוגדר כאידיאל השמאלי הקוואזי-הפיך הגדול ביותר. חוג נקרא "רדיקל ג'ייקובסון" אם הוא שווה לרדיקל של עצמו.

תכונות של הרדיקל

הרדיקל תורשתי: לכל אידיאל I של חוג R מתקיים . 
רדיקל ג'ייקובסון מכיל כל אידיאל שמאלי נילי (משום שאיברים ניליים הם קוואזי-הפיכים), ולכן גם את הרדיקל הנילי העליון של החוג. אחת השאלות העיקריות באשר לרדיקל ג'ייקובסון היא מתי הוא בעצמו נילי (וטוב יותר - נילפוטנטי). הרדיקל אינו מוכרח להיות נילי (למשל, הרדיקל של תחום שלמות מקומי שווה לאידיאל המקסימלי שלו, ואין בו מחלקי אפס). 
בהקשר זה הוכיח שמשון עמיצור שאם R הוא אלגברה מעל שדה k שעוצמתו גדולה מן המימד של R מעליו, אז הרדיקל נילי, וכן שרדיקל ג'ייקובסון של חוג פולינומים  הוא תמיד מהצורה  כאשר I אידיאל נילי של R.
רדיקל ג'ייקובסון אינו מכיל אידמפוטנטים (פרט כמובן לאפס). אם R הוא אלגברה מעל שדה, האיברים האלגבריים ברדיקל הם כולם נילפוטנטים.
אחד השימושים הראשונים לרדיקל היה תנאי הקומוטטיביות של ג'ייקובסון (1945): חוג שבו לכל איבר a יש n כך ש-, הוא קומוטטיבי.
באלגברות מדורגות, רדיקל ג'ייקובסון הוא הומוגני ומדורג-נילי (כלומר, כל אבר הומוגני ברדיקל הוא נילפוטנטי). ההפך אינו נכון: קיימת אלגברה נוצרת סופית, פרימיטיבית למחצה ומדורגת-נילית.
אם אלגברה ראשונית מדורגת על ידי חבורת המספרים השלמים, ונוצרת על ידי איברים מדרגות 0,1 ו-1- אז רדיקל ג'ייקובסון שלה הוא אפס.

חוגי הילברט

חוג קומוטטיבי R נקרא חוג הילברט (או חוג ג'ייקובסון) אם כל אידיאל ראשוני ב-R שווה לחיתוך של קבוצה כלשהי (לא דווקא סופית) של אידיאלים מקסימלים ב-R. במקרה כזה, חיתוך כל האידיאלים המקסימלים בחוג שווה לחיתוך כל האידיאלים הראשוניים בו. אך חיתוך כל האידיאלים הראשוניים בחוג חילופי שווה לאוסף האיברים הנילפוטנטים בחוג, ולכן רדיקל ג'ייקובסון של חוג הילברט שווה לאוסף האיברים הנילפוטנטים שבו.
למשל, אם k הוא שדה אז חוג הפולינומים ב-n משתנים מעל k -  הוא חוג הילברט (במקרה שk שדה סגור אלגברית, עובדה זו נובעת ישירות ממשפט האפסים של הילברט, ומשמעותה הגאומטרית היא שיריעה אלגברית אי פריקה שווה לאוסף הנקודות שעליה). לפיכך, כיוון שחוג זה הוא תחום שלמות, הרי ש-.
מנה של חוג הילברט היא חוג הילברט, ולפיכך רדיקל ג'ייקובסון של כל אלגברה אפינית (שהיא תחום שלמות) שווה ל-0. חוג קומוטטיבי R הוא חוג הילברט אם ורק אם כל המנות הראשוניות שלו הן פרימיטיביות למחצה. עובדה זו נובעת ישירות מההתאמה בין אידיאלים מקסימלים בחוג המנה R/P לאידיאלים מקסימלים ב-R המכילים את P.

השערת קתה

להשערת קתה ניסוחים רבים, מהם הקשורים ברדיקל של ג'ייקובסון. למשל, הבעיה שקולה לכך שחוג הפולינומים מעל חוג נילי יהיה תמיד רדיקל ג'ייקבסון (של עצמו); וגם לכך שאם חוג הפולינומים מעל R פרימיטיבי למחצה, אז הרדיקל הנילי העליון של R הוא אפס.

השערת ג'ייקובסון

ג'ייקובסון שער שאם R נתרי שמאלי אז הרדיקל  מקיים . לטענה זו, כלשונה, הובאה דוגמה נגדית (הרשטיין, 1965) ולכן השערת ג'ייקובסון מנוסחת עבור חוגים נתריים מימין ומשמאל. ההשערה בנוסח זה הוכחה עבור מחלקות שונות של חוגים, אך היא איננה ידועה באופן כללי.

רדיקל ג'ייקובסון של אלגברות חבורה

אחת הבעיות המרכזיות לגבי המבנה של אלגברות חבורה (של חבורות אינסופיות) היא השאלה האם האלגברה פרימיטיבית למחצה. המתמטיקאי הישראלי שמשון עמיצור הראה שהתשובה חיובית אם k ממאפיין אפס ואינו אלגברי. במקרה ש-k הוא שדה אלגברי מעל הרציונליים, הבעיה עדיין פתוחה. אם השדה ממאפיין p ואין לחבורה איברים מסדר p, אז אלגברת החבורה פרימיטיבית למחצה אם השדה אינו אלגברי מעל תת-השדה הראשוני, וגם אם החבורה פתירה.