השערת פואנקרה

במתמטיקה, השערת פואנקרה היא משפט המאפיין את הספירה התלת-ממדית מבין כל היריעות מאותו ממד. ההשערה, שהציע אנרי פואנקרה בשנת 1904, נחשבה במשך שנים לאחת הבעיות הפתוחות החשובות ביותר בטופולוגיה. ההשערה קובעת: 
נניח שיריעה טופולוגית תלת-ממדית היא סגורה (כלומר קומפקטית וללא שפה), ופשוטת קשר. אזי היריעה הומיאומורפית לספירה התלת-ממדית.
בסדרה של מאמרים שכתב בשנים 2002 ו-2003, הציג המתמטיקאי היהודי גריגורי פרלמן את קווי המתאר של הוכחה להשערה. ההוכחה לא הייתה שלמה, ומתמטיקאים רבים בעולם החלו ללמוד את הרעיונות החדשים ולהשלים את הפרטים החסרים. עד אמצע 2006 התגבשה הסכמה שהוכחתו של פרלמן הביאה את הבעיה אל סיומה, והוא נבחר לקבל את מדליית פילדס, אך דחה אותה. 
ההשערה נבחרה על ידי מכון קליי כאחת משבע בעיות המילניום, שעבור פתרון מלא של אחת מהן מציע המכון פרס כספי בסך מיליון דולר. ב-18 במרץ 2010 הכריז מכון קליי על זכאותו של פרלמן לפרס, אך פרלמן סירב לקבלו. בספטמבר 2011 החליט המכון לתרום את הסכום כמלגות.

יריעות

אחת הבעיות השכיחות בטופולוגיה היא הניסיון לתאר את המבנה של מרחב, באופן מלא, תוך שימוש בתמונה הנראית במרחקים קצרים. ניסיונם של פיזיקאים לפענח את מבנה היקום, הוא דוגמה לבעיה כזו: מוסכם שהיקום שסביבנו הוא תלת-ממדי (אם אין מחשיבים את ממד הזמן), ובקירוב טוב אפשר לתאר אותו כמרחב אוקלידי תלת-ממדי; זהו תיאור מדויק יותר מן הממד כשלעצמו, משום שהוא מביא בחשבון גם מרחקים וזוויות. לכאורה, נראה שהמרחב הוא אכן מרחב אוקלידי ותו לא, כפי שצייר אותו ניוטון. אלא שעבודותיהם של איינשטיין ומינקובסקי הראו שנכון יותר לראות את המרחב כחתך חרוט מסוים. בין שתי התאוריות אין (ולא יכולה להיות) סתירה באשר למבנה המקומי של המרחב, אלא שהן שונות זו מזו בתכונות אחרות, השייכות לקנה מידה אחר. תורת המיתרים עוסקת באותה שאלה, ומציעה תשובות מורכבות אף יותר.
כדוגמה נוספת, אפשר לתאר נמלה המשוטטת על מעטפת של בלון. תמונת העולם של הנמלה היא דו-ממדית, ולכן היא אינה יכולה לדעת האם העולם שלה הוא אכן בצורת כדור, או שאולי מדובר במישור המתמשך לאינסוף, או בבקבוק קליין. מרחבים כאלה, שבאופן מקומי נראים כמרחב אוקלידי בעל ממד קבוע, נקראים בטופולוגיה יריעות. 
בשם "הספירה התלת-ממדית" (3-sphere) מתכוונים המתמטיקאים לשפתו התלת-ממדית של כדור במרחב האוקלידי הארבע-ממדי, כלומר לקבוצה מהצורה . באופן דומה, "הספירה הדו-ממדית" היא שטח הפנים של כדור תלת-ממדי, כגון פני כדור הארץ, ו"הספירה החד-ממדית" היא מעגל. הראשונה היא יריעה דו-ממדית, והשנייה, יריעה חד-ממדית.

ההשערה

פואנקרה, שהיה שותף מוביל בבניית הטופולוגיה האלגברית, תהה אילו תכונות מתחום זה דרושות כדי לאפיין גופים טופולוגיים פשוטים, כמו הספירה התלת-ממדית. אחד הכלים הראשונים שפותחו במסגרת הטופולוגיה האלגברית היא ההומולוגיה, שבה מצמידים לכל מרחב טופולוגי סדרה של חבורות אבליות. למרחבים שקולים ("הומיאומורפיים", בלשונם של הטופולוגים) יש אותן חבורות הומולוגיה. פואנקרה חשב בתחילה שתכונות אלה מספיקות כדי לתאר את הספירה, דהיינו, שגוף תלת-ממדי שיש לו אותה הומולוגיה כמו לספירה, מוכרח להיות ספירה בעצמו, והוא אף העלה טענה זו על הכתב ב-1900. כמה שנים אחר-כך, ב-1904, מצא פואנקרה דוגמה נגדית להשערה זו: הוא גילה מרחב (הקרוי ספירת פואנקרה), שיש לו ההומולוגיה של ספירה, אך הם אינם שקולים זה לזה. 
בטופולוגיה האלגברית ידועה שיטה נוספת, שהיא במובנים ידועים עדינה יותר מן ההומולוגיה. התבוננות בלולאות העוברות במרחב נתון מאפשרת להצמיד לו חבורה נוספת, הקרויה החבורה היסודית, שאינה חייבת להיות אבלית. חבורה זו היא טריוויאלית (כלומר, יש בה רק איבר אחד), אם כל לולאה סגורה העוברת במרחב אפשר לכווץ בהדרגה לנקודה, בלי לצאת מגבולות המרחב. מרחב שיש לו תכונה זו נקרא מרחב פשוט קשר. הספירה היא פשוטת קשר, בעוד שלספירת פואנקרה יש חבורה יסודית מסדר 120 ולכן הם אינם יכולים להיות שקולים זה לזה. 
בעקבות הבחנה זו, העלה פואנקרה את ההשערה שבמידה וליריעה תלת-ממדית סגורה יש אותה חבורה יסודית כמו לספירה, אזי היא הומיאומורפית אליה. למעשה, ידוע כיום שטענה זאת נכונה בכל ממד .