אלגברה (מבנה אלגברי)

במתמטיקה, אלגברה מעל חוג היא מודול מעל חוג חילופי ופעולה בינארית ("כפל") ביליניארית בין שני איברים שהופכת את המודול לחוג.

הגדרה פורמלית

אלגברה היא מבנה אלגברי הכולל חוג  ותת-חוג , כך ש-  מוכל במרכז של . הגדרה שקולה: כאשר  חוג קומוטטיבי, חוג  המהווה מודול מעל , ומקיים  לכל  וסקלר , נקרא "אלגברה מעל ".
הדוגמה החשובה ביותר היא כאשר  הוא שדה (ואז המודולים מעל  הם מרחבים וקטוריים); מרחב וקטורי מעל שדה  הוא אלגברה, אם מוגדרת בו פעולת כפל ההופכת אותו לחוג. במקרה כזה הממד של האלגברה הוא הממד שלה כמרחב וקטורי.
כפי שבאלגברה ליניארית נוח לחקור את המרחבים הווקטוריים מעל שדה קבוע ואת הקשרים ביניהם, כך האלגברה המודרנית עוסקת במידה רבה בחקר תכונות של האלגברות השונות מעל חוג בסיס קבוע, ואת הקשרים ביניהן.

אסוציאטיביות

בדומה להגדרה של חוג, האלגברה  היא 'אסוציאטיבית' אם  לכל. לרוב כוללים את דרישת האסוציאטיביות בהגדרה של אלגברה, ואז מגדירים בנפרד מבנה כללי יותר, אלגברה לא אסוציאטיבית, ללא האקסיומה הזו; כך אנו נוהגים בוויקיפדיה. מחברים אחרים אינם דורשים מאלגברה אסוציאטיביות, ואז משתמשים במונח 'אלגברה אסוציאטיבית' עבור אלגברות שכן מקיימות את תכונת האסוציאטיביות.
יש להדגיש שבלי שום קשר לאסוציאטיביות, ההגדרה של אלגברה  מעל  תמיד כוללת את הדרישה  לכל .

קבועי המבנה

נניח ש-  נפרשת כמודול על ידי איברים . אז כדי להגדיר את הכפל ב- , מספיק להגדיר את המכפלה  (כאשר ). הקבועים  נקראים קבועי המבנה של . אם  הוא מודול חופשי (וזה תמיד כך אם  שדה), אז אפשר לתרגם תכונות מסוימות של האלגברה (למשל: אסוציאטיביות) למשוואות על קבועי המבנה; כך אפשר לראות את כל האלגברות האסוציאטיביות מממד  מעל שדה נתון כיריעה אלגברית מעל השדה.

קבוצת יוצרים ואלגברות אפיניות

כל תת קבוצה  יוצרת את התת-אלגברה , שאבריה מתקבלים מאברי  על ידי חיבור, חיסור, כפל, וכפל בסקלרים מ- (זוהי תת-האלגברה הקטנה ביותר של  המכילה את ). אם קיימת קבוצה סופית  כך ש- , אז  נוצרת סופית או אפינית.

איברים אלגבריים ושלמים

כאשר  אלגברה קומוטטיבית, אפשר לחקור את המבנה של האלגברה על ידי סיווג האיברים בהתאם לתכונות שלהם מעל . כך איבר  הוא 'אלגברי' אם הוא מקיים משוואה פולינומית עם מקדמים מ-, ו'אלגברי שלם' (או סתם 'שלם') אם הוא מקיים משוואה כזו שהמקדם המוביל שלה הוא . איברים שאינם אלגבריים נקראים איברים טרנסצנדנטיים; הטרמינולוגיה הזו מכלילה את הדוגמה של המספרים המרוכבים כאלגברה מעל השלמים (ראו מספר טרנסצנדנטי). אם  אלגברה מעל  שכל איבריה שלמים, אומרים ש-  היא הרחבה שלמה.
משפט: אלגברה אפינית שהיא שדה מוכרחה להיות אלגברית (ואז היא בעלת ממד סופי).
משפט הנורמליזציה של נתר קובע שאם  אלגברה אפינית מעל שדה , אז קיימת תת-אלגברה  של  שהיא שלמה מעל , כך ש-  טרנסנצנדנטית מעליה (כלומר: האיברים היחידים של  שהם אלגבריים מעל  הם אברי  עצמם). מזה נובע שממד קרול של  שווה לדרגת הטרנסצנדנטיות שלה.

תורת המבנה

המרכז של חוג (אסוציאטיבי) פשוט (עם יחידה) הוא תמיד שדה, ואז אפשר לראות בו אלגברה מעל המרכז. אלגברות פשוטות שהמרכז שלהן הוא שדה קבוע  נקראות 'אלגברות פשוטות מרכזיות' מעל . אם הממד סופי, האלגברה היא אלגברת מטריצות מעל אלגברת חילוק. אם F סגור אלגברית, אז אין אלגברות חילוק מממד סופי שזה מרכזן, למעט F עצמו.
אם A אלגברה ארטינית, אז  (הרדיקל של ג'ייקובסון) הוא נילפוטנטי, וחוג המנה  הוא אלגברה פשוטה למחצה, שאפשר לכתוב כסכום ישר של מספר סופי של אלגברות פשוטות. כל אחת מאלה היא אלגברת מטריצות מעל חוג עם חילוק.
המשפט היסודי של ודרברן קובע שאם A אלגברה מממד סופי מעל שדה מושלם F (ובפרט, מעל שדה סגור אלגברית), אז יש ל- A תת-אלגברה  איזומורפית ל- , וקיים פירוק לסכום ישר של מרחבים וקטוריים (אבל לא של חוגים), .