google/wiki40b huggingface dataset:
וידקון קוויזלינג

ביוגרפיה

וידקון קוויזלינג היה בנו של יון לוריץ קוויזלינג, כומר לותרני שנודע כחוקר אילנות יוחסין, והיה בן לאחת המשפחות הוותיקות והמיוחסות ביותר בטלמרק שבנורווגיה.
קוויזלינג הגיע לדרגת רב-סרן בצבא הנורווגי, לאחר שהיה הצוער בעל הציונים הגבוהים ביותר אי פעם באקדמיה הצבאית. הוא עבד עם פריטיוף ננסן בברית המועצות בזמן הרעב הגדול של שנות ה-20 ושימש כשר ההגנה בממשלה האגררית של 1933-1931.
ב-17 במאי 1933, יום החוקה הנורווגי, קוויזלינג ופרקליט המדינה יוהאן ברנהרט היורט הקימו את ה"נאשונל סמלינג" (NS, Nasjonal Samling), המפלגה הנציונל-סוציאליסטית הנורווגית. מפלגה זו הייתה אנטי דמוקרטית ודגלה בדמות הפיהרר, הלא הוא קוויזלינג בנורווגיה, בדומה לאדולף היטלר בגרמניה. המפלגה זכתה להצלחה צנועה בבחירות 1933, שהתקיימו ארבעה חודשים לאחר הקמתה, וקיבלה 27,850 קולות, וגם זאת רק בעקבות תמיכת ארגוני החקלאים עמם היה קוויזלינג בקשרים טובים. מ-1935, הופסקה תמיכת הכנסייה במפלגה, בעקבות שינוי הקו המפלגתי מקו דתי שורשי לקו פרו-גרמני ואנטישמי יותר. מספר חברי המפלגה היה 2,000 בלבד עם תחילת הפלישה הנאצית לנורווגיה.
לאחר פרוץ מלחמת העולם השנייה, קוויזלינג ביקר בגרמניה ונפגש עם היטלר. בפגישה הבטיח קוויזלינג להיטלר שחלק גדול מהצבא הנורווגי נאמן לו ויהיה מוכן לשתף פעולה עם גרמניה במקרה של פלישה גרמנית. היטלר התרשם מקוויזלינג, אולם בשלב זה הסתפק בהעברת כספים למפלגתו כדי לחזק את התעמולה הפרו-גרמנית בנורווגיה.
כאשר פלשו הגרמנים לנורווגיה, ב-9 באפריל 1940, היה קוויזלינג לאדם הראשון בהיסטוריה שהכריז על הפיכה בשידור במהדורת החדשות. הוא ניצל את בלבול הפלישה ובריחת המלך והממשלה צפונה כדי להקים ממשלה אד הוק בתקווה שהגרמנים יכירו בה ובמנהיגותו. למרבה צערו, קוויזלינג לא נהנה מתמיכה ציבורית וממשלתו שרדה חמישה ימים בלבד עד שיוזף טרבופן הגרמני התמנה לרייכסקומיסר (ממונה מטעם הרייך), בעל הסמכות הגבוהה ביותר בנורווגיה וכפוף ישירות להיטלר.
היחסים בין טרבופן וקוויזלינג היו מתוחים, אך כפי הנראה טרבופן ראה יתרון במינוי נורווגי לעמדת כוח, על מנת להקטין את החיכוך עם האוכלוסייה הנורווגית הכבושה. לכן מינה את קוויזלינג לתפקיד ראש ממשלה (Ministerpraesident) ב-1942, תפקיד שקוויזלינג, "הפיהרר בעיני עצמו", קיבל על עצמו ב-1 בפברואר 1942.
וידקון קוויזלינג נשאר בעמדת כוח זו עד למעצרו ב-9 במאי 1945. הוא נעצר במשכנו באוסלו, אותו כינה "גימלה" על שם המקום במיתולוגיה הנורדית שבו חיו ניצולי הרגנארוק.
קוויזלינג ושני מנהיגים אחרים של הנאשונל סמלינג, אלברט ויליאם הגלין ורגנאר סקנקה, נשפטו על שורה של עבירות, בהן בגידה חמורה, ונמצאו אשמים. גזר הדין היה מוות בידי כיתת יורים. בשלב מאוחר יותר הפכו משפטים אלו שנויים במחלוקת, שכן עונש המוות הושב לחוק הנורווגי על ידי הממשלה הגולה רק לקראת סוף המלחמה, לצורך ענישת פושעי המלחמה.
מריה וסילייבנה, אשתו של קוויזלינג (ממוצא רוסי), חייתה באוסלו עד מותה ב-1980. לזוג לא היו ילדים.
המונח "קוויזלינג" הפך שם נרדף ל"בוגד" בשפות אירופיות רבות (בדומה ליהודה איש קריות בנצרות הקתולית, לאנדריי ולאסוב ברוסיה ולבנדיקט ארנולד בארצות הברית).
טארגה פלוריו

היסטוריה

מרוץ הטארגה פלוריו נוסד בשנת 1906 על ידי התעשיין האיטלקי האמיד וינצ'נצו פלוריו. המרוץ נחשב לאחד הקשים ביותר באירופה כאשר בגרסתו המקורית כלל 3 הקפות באורך 148 ק"מ כל אחת ומרחק כולל באורך 446 ק"מ של מסלול המורכב מכבישים הרריים תלולים הכוללים עליות רבות ועקומות חדות, ובגבהים בהם נעשו לעיתים קרובות שינויים קיצוניים באקלים. את המרוץ הראשון אשר נערך בשנת 1906 ניצח הנהג אלסנדרו קניו במהלך מרוץ שארך 9 שעות ומהירות ממוצעת של 50 קמ"ש.
עד לשנות ה-20 הפך מרוץ הטארגה פלוריו לאחד מן מרוצי המכוניות החשובים ביותר באירופה, כאשר בשנים אלו עדיין לא נוסד מרוץ 24 השעות של לה מאן.
בשנת 1953 נוסדה תחרות אליפות העולם למכוניות ספורט של הפדרציה הבינלאומית לרכב (FIA) כאשר החל משנת 1955 ועד לשנת 1973 היווה מרוץ הטארגה פלוריו חלק מרכזי באליפות העולם. את מרוץ 1955 ניצחה קבוצת מרצדס בנץ לאחר שזכתה בשני המקומות הראשונים, הצוות הראשון כלל את הנהגים סטירלינג מוס ופיטר קולינס, והצוות השני כלל את הנהגים חואן מנואל פנג'יו וקרל קלינג.

גרסאות המסלול

במהלך שנות קיומו של המרוץ נעשה שימוש במספר גרסאות של מסלולים. מסלול הגרנדה (Grande) המקורי כלל הקפה אחת באורך 148 ק"מ, בגרסה זו נעשה שימוש בין השנים 1906-1911 ועוד פעם אחת נוספת בשנת 1931. בין השנים 1912-1914 המרוץ נערך על פני הקפה אחת במסלול באורך 975 ק"מ מסביב לסיציליה, אשר התארך ל-1,080 ק"מ בשנים 1948-1950. מסלול הגרנדה המקורי בן 148 הק"מ קוצר פעמיים: פעם אחת ל-108 ק"מ תחת השם מדיו (Medio) כאשר בגרסה זו נעשה שימוש בין השנים 1919-1930, ופעם נוספת קוצר למסלול בן 72 ק"מ תחת השם פיקולו (Piccolo) כאשר בגרסה זו נעשה שימוש בין השנים 1932-1936 ובין השנים 1951-1958.
נקודת הזינוק והסיום של המרוץ הייתה בקומונה צ'רדה. הקפת המסלול נערכה נגד כיוון השעון וכללה שינויי גובה של החל מ-600 מטרים ועד לירידה לגובה פני הים מהעיירה קלטבוטורו לעיירה קולסאנו.
נהגים רבים העידו כי רמת הקושי של מסלול מרוץ הטארגה פלוריו הייתה חסרת תקדים וחווית הנהיגה האתגרית לא דמתה לאף מסלול אחר בעולם מלבד הנורבורגרינג, מסלול המרוצים הארוך ביותר בעולם (22.8 ק"מ) אשר תוכנן ונבנה לשם כך במיוחד. לשם השוואה רוב מסלולי המרוצים שנבנו מכילים עד כ-20 פניות כאשר הנורבורגרינג בתצורתו המלאה מורכב מ-174 פניות ואילו מסלול הטארגה פלוריו מורכב מ-2000 פניות בתצורת הגרנדה, 1300 פניות בתצורת מסלול מדיאו ו-800 פניות בתצורת פיקולו.
ק

ייצוג האות ק'

בקוד ASCII מיוצגת האות ק' בערך F7, ובקוד Unicode היא מיוצגת בערך 05E7.
בקוד מורס מיוצגת האות ק' באמצעות הרצף (משמאל לימין): -.-- (קו קו נקודה קו).
הוא ייצוגה של האות ק' בכתב ברייל.
באלפבית צלילי מיוצגת האות ק' באמצעות המילה "קורח".
באיתות בדגלי סמפור ק' מיוצגת על ידי דגל אחד הפונה צפונה (כלפי מעלה) ודגל שני הפונה צפון-מערבה.
מינטקה

תכונות

מינטקה נראה לעין ככוכב כחול עם בהירות מדרגה 2.2, אך למעשה זו מערכת מורכבת של 4 כוכבים במרחק של כ-900 שנות אור. שני הכוכבים הבהירים מבין הארבעה מהווים כוכב משתנה לוקה, כך שמינטקה הוא גם כוכב משתנה.

תכונות מינטקה Aa ו-Ab

מינטקה A הוא כוכב כפול ספקטרוסקופי לוקה המורכב מזוג ענקים כחולים בעלי סיווג ספקטרלי O9.5 ו-B0.5, המקיפים זה את זה במרחק של כעשירית יחידה אסטרונומית ובזמן הקפה של 5 ימים ו-17.5 שעות. במהלך ההקפה, מסתיר אחד הכוכבים באופן חלקי את בן זוגו וגורם לירידה של כחמישית דרגת בהירות.
בשל קרבתם הרבה של הכוכבים זה לזה, לא ניתן להפריד ביניהם בתצפית ישירה כך שהמידע עליהם מושג באמצעות מדידות ספקטרוסקופיות. לא ניתן לחשב בדיוק את המסות ואת הרדיוסים שלהם, אך המסה של כל אחד מהם היא לפחות 20 מסות שמש ורדיוסיהם גדולים לפחות פי 10 מרדיוס השמש. עוצמת ההארה של כל אחד מבני הזוג היא יותר מפי 3,000 מאשר עוצמת ההארה של השמש באור נראה, אך בשל טמפרטורת פני השטח העצומה שלהם - מעל 30,000 קלווין, הם מאירים לפחות פי 90,000 מהשמש בתוספת הקרינה העל-סגולה.
בשל מסותיהם הגדולות צפויים שני בני הזוג לסיים את חייהם בסופרנובה.

תכונות מינטקה B ו-C

מינטקה B נמצא במרחק זוויתי של כ-31 שניות קשת מבני הזוג מינטקה Aa ו-Ab. אם הוא אכן מקיף אותם, הוא עושה זאת במרחק של לפחות 8,500 יחידות אסטרונומיות (כ-0.14 שנות אור). בהירותו הנראית היא מדרגה 14 ובשל עמימותו ביחס למינטקה A, לא הצליחו עד כה לקבוע את סוגו הספקטרלי או כל תכונה אחרת שלו.
מינטקה C נמצא במרחק זוויתי של כ-52 שניות קשת ואם גם הוא חלק מהמערכת הוא מקיף את מינטקה A במרחק של למעלה מחמישית שנת אור. זהו כוכב הסדרה הראשית כחלחל מסוג ספקטרלי B2 שבהירותו הנראית היא מדרגה 6.85 וניתן להבחין בו באמצעות טלסקופ חובבים. הוא קורן בעוצמה של פי 140 מהשמש באור נראה, אך בשל טמפרטורת פני השטח הגבוהה שלו רוב הקרינה הנפלטת ממנו היא בתחום העל-סגול.
סמל העיר נתניה

סמל העיר נתניה הוא הסמל הרשמי של העירייה, שמשמש את המוסדות המוניציפליים בעיר. עד שנת 2015 שימש את העיר סמל משנת 1951 שעוצב על ידי יעקב צים, ובשנת 2015 עוצב סמל נוסף שהתגלה כהעתק ובוטל, ולאחר מכן הוחלט לחזור לסמל המקורי שונה במקצת ומותג מחדש תחת הסלוגן "הריביירה של ישראל".

הסמל המקורי

הסמל המקורי עוצב בשנת 1951 על ידי יעקב צים ושימש את העיר עד שנת 2015. צבעי הסמל הם כחול-לבן כצבעי דגל ישראל, וכתום כצבע התפוזים שגדלו בפרדסי נתניה. במרכז סמל העיר מופיע הפרח חבצלת השרון, הצומח לאורך המצוק החופי של נתניה. רקע הסמל מעוצב בצורת מגן, על מנת לסמל את ערכה הביטחוני של נתניה (שכן 15 ק"מ מפרידים בינה לבין טול-כרם, ובלעדיה היה נוצר רצף טריטוריאלי ערבי עד לים התיכון). בחלקו העליון של הסמל, מסמלות ארובות העשן את התעשייה המפותחת בעיר. גלי הים המופיעים בסמל מסמלים את הים שלחופיו שוכנת העיר, והיהלום במרכז מסמל את תעשיית היהלומים שהייתה מפותחת בעיר.

עיצוב סמל העיר מחדש וביטולו

ביולי 2015 המעצב דני זילברמן ממשרד WMbranding עיצב סמל חדש לעיר שהושק בטקס חגיגי לפתיחת אירועי קיץ 2015. "הייחוד של הלוגו הוא בחיבור בין לב ושמש הסובבים יחד בתנועה, ובונים סמל חדשני ותוסס, בשילוב צבעוניות סמלית. ירוק - שמורות טבע, צהוב – שמש, כחול – ים, ואדום – שמחת חיים", נאמר בעירייה. במסגרת עיצוב הסמל מחדש מותגה העיר באופן רשמי כעיר תיירות, "הריביירה של ישראל", עם זאת בתחתית הסמל נותר הסמל היישן שחודש מעט.

ביקורת על הסמל החדש

פרופסור אבי אברהם מהחוג לתקשורת באוניברסיטת חיפה כתב ב"ידיעות נתניה" כי-
"הלוגו לא ייחודי, אין בו זיהוי, הוא שבלוני ולא עושה לך את זה ולדעתי לא מרשים. הלוגו נראה לי נורא ילדותי, אפילו לא 'עיר הילדים' . אין בו השראה, הוא חסר מעוף וייעוד ויש בו בעיה, כי הוא בכללי מתמקד רק בתיירות"
ובנוסף, תושבים רבים ביקרו את הסמל ברשתות החברתיות.
חיים פרידריך יושב ראש סיעת הליכוד בנתניה טען כי מרים פיירברג איכר ניסתה להחליף את סמל העיר לכזה עם האות פ' (כשמה).

גילוי ההעתקה

כמה ימים לאחר ההשקה התגלה כי בסיס הסמל דומה מאוד ללוגו מסעדת "קוקוהאט" שבטבריה. העירייה זימנה לבירור את המעצב דני זילברמן ולאחר מכן החליטה לגנוז את הלוגו ולהפסיק את ההתקשרות עמו. בעקבות כך נגרם לעירייה נזק כלכלי.
מאוחר יותר התברר שהמסעדה ומעצב הסמל השתמשו שניהם באתר שאטרסטוק באופן חוקי, אולם לא הולם עיצוב סמל רשמי לעירייה.
עיריית נתניה החליטה לחזור לסמל המקורי, אך עם שינויים שיגרמו לו להיראות מודרני יותר ובצירוף הסלוגן החדש.
בוריסוב (מחוז משנה)

דמוגרפיה

בתקופת עריכת מפקד האוכלוסין של בלארוס (2009) , מנתה אוכלוסיית מחוז המשנה בוריסוב 188,142 בני אדם. ההרכב האתני של האוכלוסייה במחוז היה: 84.79% בלארוסים, 11.12% רוסים, ו-1.76% אוקראינים. שפות הדיבור הנפוצות: בלארוסית (51.57%) ורוסית (45.49%).
זפ הרברגר

ביוגרפיה

זפ הרברגר נולד במרץ 1897 בעיר מנהיים. כשהיה בן 14 נפטר אביו, והרברגר נשלח לעבוד באתרי בנייה ובמפעל מתכות על מנת לעזור בפרנסת המשפחה. במרץ 1916, קצת לפני יום הולדתו ה-19, גויס הרברגר לצבא הגרמני. הוא שירת בצבא כמעט שלוש שנים, ובינואר 1919 השתחרר. לאחר שהשתחרר, המשיך לשחק בקבוצת ואלדהוף מנהיים, בה שיחק מאז 1914. במהלך שנותיו ככדורגלן, הוא שיחק שלוש פעמים בנבחרת גרמניה וכבש שני שערים לטובתה.
ב-1930, לאחר ארבע שנים בקבוצת טניס בורוסיה ברלין, הודיע הרברגר על פרישתו ועל מעבר למשרת מאמן הקבוצה. הוא אימן בקבוצה שנתיים, וב-1932, התמנה לעוזרו של דוקטור אוטו נרץ באימון נבחרת גרמניה. שנה לאחר מכן, הפך הרברגר לחבר במפלגה הנאצית, שהחלה לצבור כוח בפוליטיקה הגרמנית. 
ב-1936, לאחר שגרמניה הודחה במפתיע ברבע גמר הטורניר האולימפי על ידי נבחרת נורווגיה, התפטר נרץ והרברגר מונה למאמן הנבחרת במקומו. מרגע מינויו, החל הרברגר להקדיש את כל כולו לנבחרת הגרמנית. המבחן הראשון של הרברגר היה מונדיאל 1938, שאליו הגיעה גרמניה כאחת המועמדות לזכייה. למרות הציפיות המוקדמות, הפסידה גרמניה כבר בסיבוב הראשון לשווייץ והודחה מהטורניר. הרברגר טען שההדחה המוקדמת נבעה מכך שהשלטונות בברלין הכריחו אותו לשתף שחקנים מאוסטריה, שבאותו הזמן כבר הייתה תחת שליטה גרמנית.
למרות ההדחה המבישה, נשאר הרברגר בתפקידו, אך מלחמת העולם השנייה שיבשה את תוכניותיו וגרמה להפסקת פעילות הכדורגל בכל אירופה. למרות זאת, המשיך הרברגר לעקוב אחר שחקני הנבחרת, שרבים מהם נשלחו להילחם ברחבי היבשת. הוא ניסה למנוע מהצבא לסכן את שחקניו יתר על המידה, ודוגמה לכך היא פריץ ואלטר - אותו דאג לשלוח לבסיס חיל האוויר שם הכיר את אחד מהקצינים הבכירים, כדי שזה ישמור עליו. עם סיום המלחמה, הוגדר הרברגר על ידי וועדה מיוחדת כחבר לשעבר במפלגה הנאצית, אבל כיוון שלא נטל חלק פעיל בפעולותיה, הוא לא יישלח למחנה עצורים בברית המועצות. 
ב-1950, לאחר מסע יחסי ציבור רחב היקף, הוחזר הרברגר למשרת מאמן הנבחרת בה החזיק לפני המלחמה. באותה שנה, הוחרמו שני חלקיה של גרמניה מהשתתפות בגביע העולם, והרברגר החל להכין את נבחרתו לגביע העולם שייערך ארבע שנים לאחר מכן. גרמניה בראשות הרברגר אכן העפילה למונדיאל 1954 שנערך בשווייץ, ורשמה את אחת ההפתעות הגדולות בתולדות גביע העולם, כאשר זכתה בתואר על חשבון הונגריה החזקה שהייתה המועמדת הבולטת לזכייה. בשלב הבתים המוקדם נפגשו שתי הנבחרות, ונבחרת גרמניה הובסה בתוצאה 8-3. שני ניצחונות על טורקיה העלו את גרמניה לרבע הגמר. בשלב רבע הגמר ניצחה גרמניה את יוגוסלביה 0-2, ובחצי הגמר ניצחה את אוסטריה 1-6. במשחק הגמר שוב פגשה גרמניה את הונגריה, שלא נוצחה ב-32 משחקיה הקודמים. ההונגרים עלו ליתרון 2-0 בתוך שמונה דקות, אך שער של מקס מורלוק וצמד שערים של הלמוט ראן, האחרון שבהם שש דקות לסיום המשחק, קבעו מהפך 2-3 והכתירו את הגרמנים לאלופי עולם בפעם הראשונה. ההצלחה בטורניר נקראה "הנס של ברן" ויצרה תחושת אוטופיה בגרמניה שלאחר המלחמה. 
תחת שרביטו של הרברגר, המשיכה גרמניה המערבית להתבסס בצמרת העולמית של עולם הכדורגל. במונדיאל 1958 העפילה אלופת העולם לחצי הגמר, אך הפסידה לשוודיה ולצרפת וסיימה במקום הרביעי. ארבע שנים לאחר מכן, במונדיאל 1962, הודחה גרמניה ברבע הגמר על ידי יוגוסלביה. משחקו האחרון של הרברגר כמאמן הנבחרת היה ב-7 ביוני 1964, בניצחון על נבחרת פינלנד, כשאחריו העביר את שרביט המאמן לעוזרו, הלמוט שן.
הרברגר נפטר מדלקת ריאות באפריל 1977 בוויינהיים הסמוכה לעיר הולדתו מנהיים.
צפיפות שנירלמן

בתורת המספרים, צפיפות שנירלמן היא מדד לצפיפות של קבוצת מספרים בתוך קבוצת המספרים הטבעיים. זהו מדד מרכזי בתורת המספרים האדיטיבית, העוסקת בשאלות כמו השערת גולדבך, בעיית וארינג ומשפט ארבעת הריבועים, המבקשות להציג מספר כסכום של מספרים מקבוצה נתונה.

הגדרה ודוגמאות

אם  קבוצה של מספרים, אפשר לסמן ב- 
 את הרישא המתאימה של A. הצפיפות של A קשורה, באופן אינטואיטיבי, בקצב הגידול של הקבוצות . ב-1931 הציע מתמטיקאי רוסי בשם לב שנירלמן לבחון את מידת הצפיפות , כלומר, המספר הגדול ביותר המקיים את התנאי  לכל . מדד זה נקרא "צפיפות שנירלמן" של הקבוצה A. 
דוגמאות. לכל קבוצה . הצפיפות שווה ל-1 אם ורק אם A כוללת את כל המספרים הטבעיים (מאחד ואילך). הצפיפות של כל קבוצה סופית היא 0, אבל זוהי גם הצפיפות של קבוצות גדולות כמו קבוצת כל הריבועים או הראשוניים. לכל קבוצה שאינה כוללת את המספר 1 יש צפיפות 0. הצפיפות של הסדרה האריתמטית  היא .

תכונות ושימושים

בניגוד למדדים אחרים, המדד של שנירלמן רגיש מאוד לערכים ההתחלתיים של A. לדוגמה, מדדים כמו  או  (ראו גבול תחתון וגבול עליון) אינם משתנים כאשר מסירים קבוצה סופית מ-A, או כאשר מוסיפים קבוצה כזו, ואף לא כאשר מזיזים את הקבוצה כולה בהפרש קבוע. צפיפות שנירלמן עשויה להשתנות בכל המקרים האלה. 
למרות חסרונות תאורטיים אלה, ואולי דווקא בשלהם, הפך המדד שהציע שנירלמן לכלי מרכזי בתורת המספרים האדיטיבית. שנירלמן הצליח להראות, בעזרת שיטת הנפה, שלקבוצה  יש צפיפות חיובית, כאשר P היא קבוצת המספרים הראשוניים (יחד עם 0 ו- 1) (הסכום  מהווה סימון מקובל לאוסף כל הסכומים  כאשר a ו- b הם איברים של A ו- B, בהתאמה). כתוצאה מכך הוא יכול היה להסיק שכל מספר שלם אפשר להציג כסכום של עד 300,000 ראשוניים, או פחות. התוצאה רחוקה מאוד מזו שקיווה לה גולדבך, ובכל זאת זה היה הצעד המשמעותי הראשון לפתרון השערת גולדבך, מאז הועלתה ההשערה, כמעט 200 שנה קודם לכן.

משפטים מרכזיים בתחום

כדי להוכיח תוצאה זו, חקר שנירלמן כמה תכונות כלליות של מדד הצפיפות שלו, עבור קבוצות המכילות את המספר 0. הוא הוכיח שאם A ו- B קבוצות המקיימות את התנאי , אז הסכום  מכיל את כל המספרים הטבעיים. בנוסף הראה שנירלמן שלכל שתי קבוצות (המכילות את 0), מתקיים . אם נסמן  (כל הסכומים של m ערכים מ- A), אז מהטענה האחרונה נובע ש- , כלומר, אם A קבוצה בעלת צפיפות חיובית, אז הצפיפות של mA עולה על חצי עבור m גדול מספיק. בשילוב עם הטענה הראשונה, נובע מכאן שכל מספר טבעי ניתן להצגה כסכום של 2m איברים של A, לכל היותר. נכון שבדרך כלל החסם המתקבל הוא הערכה גרועה, ואפשר להציג כל מספר טבעי כסכום של מספר קטן יותר של איברים. ובכל זאת, זוהי ההוכחה הקלה ביותר לכך שבקבוצה בעלת צפיפות חיובית אפשר לכסות, בסופו של דבר, את כל המספרים הטבעיים (קבוצות בעלות התכונה האחרונה נקראות בתורת המספרים האדיטיבית "בסיסים").
שנירלמן ואדמונד לנדאו שיערו כבר ב-1931 שאפשר להוכיח  לכל שתי קבוצות שסכום צפיפויותיהן קטן מ-1 (והמכילות את 0). חוקרים רבים ניסו כוחם בפתרון השערה זו, עד ש- H.B.Mann, שלמד את תורת המספרים האדיטיבית אצל אלפרד בראוור, מצא לה הוכחה ב- 1941, ועל כך זכה בפרס קול של החברה האמריקאית למתמטיקה ב- 1946.
צפיפות שנירלמן ממשיכה להוות כלי חשוב בתורת המספרים האדיטיבית, ואף בתחומים רחבים יותר של האריתמטיקה. בין התוצאות הידועות מצוי לדוגמה משפט של ארדש ו- van der Corput, שלפיו ישנם אינסוף מספרים איזוגיים שאינם ניתנים להצגה כסכום של מספר ראשוני וריבוע; הם הראו שלקבוצת המספרים האלה יש צפיפות חיובית.
משה תקו

רבי משה בן חסדאי מתקוּ, מחכמי בוהמיה בשנות ד'תתק"פ (1220) בערך. מושבו היה בעיר תקוּ בבוהמיה, הנקראת כיום טאחוב, והוא קבור בעיר וינר נוישטאדט הסמוכה לווינה (שו"ת מהר"י ברונא סימן כד).
מתלמידיו נודע חכם אחד בשם רבי יונה בן שמואל מחכמי אשכנז. רבו היה רבי דוד בן קלונימוס ממינצבורג. ורבי יהודה החסיד

חיבוריו

חיבר ספרים רבים, בהם פירוש על סדרים זרעים וטהרות מן המשנה, הדומה לפירושי רבי שמשון משאנץ, ותוספות על הש"ס. קטעים מפירושים אלה הובאו בדברי ראשונים אחרים. הרמב"ן למשל, מזכירו בחידושיו למסכת גיטין (דף ז'). כמו כן חיבר פירוש לתורת כהנים שנדפס בטעות על שם רבי שמשון משאנץ.
חיבר גם פיוטים וסליחות, ואחת מהן, המתחילה במילים "אביוני מלך נאקת עמך", התפרסמה. כמו כן השיב תשובות רבות בהלכה שהובאו בספרי הראשונים.
פרנסס המילטון ארנולד

ביוגרפיה

פרנסס המילטון ארנולד נולדה וגדלה באדג'ווד, פרוור קטן בפיטסבורג שבפנסילבניה. אביה, ויליאם הווארד ארנולד, הוא פיזיקאי גרעין מוכר בארצות הברית. עוד בצעירותה הייתה פעילה בתחומים חברתיים ופוליטיים. בהיותה נערה השתתפה במחאה נגד המלחמה בווייטנאם, ונסעה מביתה שבפיטסבורג עד וושינגטון בטרמפים כדי לקדם את דעותיה.
בשנות ה-20 לחייה החלה לעבוד על פרויקט סולארי באמריקה הדרומית, שם למדה להסתדר עם כדולר ליום ובאזור מוכה פשפשים. לדבריה, במבט לאחור זה היה הדבר הנכון לעשות כדי לחקור את זהותה. בסיום הפרויקט קיבלה משרת פוסט-דוקטורט באוניברסיטת קליפורניה בברקלי.
את התואר הראשון עשתה במכניקה ובאווירונאוטיקה באוניברסיטת פרינסטון בשנת 1979. את הדוקטורט קיבלה מאוניברסיטת קליפורניה בברקלי בתחום ההנדסה הכימית, שם גם עשתה את עבודת הפוסט-דוקטורט בכימיה ביופיזיקלית.

פעילותה המחקרית

תחום המחקר העיקרי של ארנולד הוא האבולוציה המכוונת. זהו תחום העוסק בשיפור תהליכים בגוף בעזרת הבנת פעולות של חלבונים.
אחד ממחקריה של ארנולד בנושא האבולוציה המכוונת הוא התפתחות מכוונת של אסטראז. היא בחנה את הקשר בין יציבות ופעילות אסטראז מסופילי בתוך מבחנה. מחקרים קודמים בחומרים אלו הראו כי אנזימים הומולוגיים התפתחו לתפקד בטמפרטורות שונות, וכי יציבות בטמפרטורות גבוהות אינה עולה בקנה אחד עם פעילות קטליטית גבוהה בטמפרטורות נמוכות, באמצעות דרישות סותרות על גמישות אנזים. יתר על כן, ניתוח של היציבות ופעילויות של מספר רב של מוטציות אקראיות עולה, כי חומרים אלה אינם בקורלציה הפוכה. האסטרז ששימש לניסוי הוא בעל תכונה של שימור תכונותיו בחשיפה לחום (thermostability).  חלק מן המוטציות שנוצרו עקב ההקרנות היו בעלות תכונה זאת באופן מוגבר, ואף בעלי יכולת תפקוד בטמפרטורה נמוכה, שהיא תופעה נדירה.
ארנולד פיתחה שיטה בתחום זה, התורמת ליצירת מערכות ביולוגיות שימושיות כגון אנזימים, מסלולים מטבוליים, מעגלי ויסות גנטיים, ואורגניזמים. שיטתה של ארנולד תרמה לחוקרים רבים במחקריהם, ואף בזכות השיטה שלה, חברת התרופות "מרק" (Merck) פיתחה את התרופה "Januvia" לטיפול בסוכרת סוג 2.
יצחק ימין

ביוגרפיה

ימין נולד בעיראק, וב-1951 עלה לישראל במסגרת מבצע עזרא ונחמיה. כעולה חדש התגורר עם הוריו ואחד-עשר אחיו ואחיותיו במעברה בקסטל. בגיל שש-עשרה עזב את ביתו לטובת יצירה ולימודי אמנות, ובשנת 1961 סיים את לימודיו כבוגר בית הספר לאמנות בצלאל.
באמצע שנות השישים זכה יצחק ימין במלגה מקרן שרת לאמנים צעירים ולמד תחת הדרכתו של ארנסט פוקס מאסכולת וינה.
במשך השנים התרכז בפיסול ובציור בטכניקות מגוונות; רישום פחם, אקוורל, ציורי טמפרה ושמן. כמו כן, התמקד בשנים האחרונות בפיסול ברונזה, עץ ואבן. במקביל עיצב שטיחי קיר גדולי ממדים: שטיח "ירושלים של מעלה" מוצג באוסף רקנאטי בבנק דיסקונט ברחוב יהודה הלוי בתל אביב, שטיח נוסף בחברת "ערים" בירושלים ואחר בחדר זיכרון של סיירת חרוב בבקעה.
שנים רבות עסק בהוראת האמנות בבתי ספר יסודיים, תיכוניים ובתי נוער, ובשנת 1970 פתח בחוגי לימוד פרטיים אשר נמשכים עד היום, והעמיד דור שלם של אמנים.
בשנת 1980 עיצב את אנדרטת האבן לזכר כובשי הקסטל, האנדרטה מוצבת למרגלות מבצר הקסטל.
בשנת 1990 הוזמן לעצב את חדר הזיכרון לחללי סיירת חרוב המוצב בבקעה ליד מושב פצאל. פסלי אבן נוספים מוצגים בחצר ביתו שבירושלים.
במהלך שנות היצירה, ערך יצחק ימין מספר רב של תערוכות יחיד ותערוכות קבוצתיות. ציוריו ופסליו מוצגים באוספים פרטיים, מוסדות ציבור וגלריות ברחבי הארץ והעולם. בשנות היצירה צייר ציורי דיוקן שהוזמנו אצלו לדמויות ידועות, ביניהן הרב עובדיה יוסף, ראש הממשלה מנחם בגין ונשיא מצרים אנוואר סאדאת. עד היום ממשיך האמן ליצור במגוון חומרים ובמקביל ללמד תלמידים, ביניהם אומנים שיצירות משלהם מוצגות ברבים.
סאמי שידיאק

ביוגרפיה

שידיאק נולד בשנת 1938 בצפון לבנון והוא קרוב משפחה של כמיל שמעון. בשנת 1963 סיים את האקדמיה הצבאית של צבא לבנון ומרץ 1977, במלחמת האזרחים הלבנונית, מונה למפקד אזור בדרום לבנון. יחידתו, המורכבת מחיילים נוצרים, התפרסה במובלעת הנוצרית באזור העיירה השיעית בינת ג'בייל, בין הכפרים המארוניים רמיש ודבל. היא פעלה במקביל ליחידת "אל-קליעה" של סעד חדאד אשר התפרסה באזור מרג' עיון והכפר קליעה. מטרת שתי היחידות הייתה להגן על הכפרים הנוצריים מפני התקפות של גורמי טרור מוסלמים ופלסטינים ולמנוע מעשי טבח כפי שאירעו בכפרים נוצריים בלבנון, דוגמת טבח דאמור וטבח עישייה. שידיאק וחדאד ניצלו את אפיק התקשורת שנוצר בין תושביה הנוצרים של הדרום למדינת ישראל שכלל סיוע אזרחי לנוצרים ופתיחתה של הגדר הטובה לתנועת הנוצרים בין הגבולות. שניהם גם קיבלו סיוע צבאי ותחמושת מצה"ל ולוחמיהם אף אומנו במדינת ישראל. במהלך מבצע ליטני עלו טענות על טבח שביצעו חייליו במארון א-ראס במספר שיעים. עניין זה הביא קרע בין שידיאק לחדאד, שפעל ביחד עם השיעים ודרש להעניש את שידיאק על הטבח.
עם פינוי צה"ל מדרום לבנון לאחר מבצע ליטני נמסרו השטחים לכוחות של חדד ושידיאק. כוחותיו של שידיאק פעלו לאחר הנסיגה של צה"ל, למנוע התפרסות של כוחות או"ם וכן כוחות של צבא לבנון בקרבת המובלעת הנוצרית שבשליטתו בגזרה המרכזית. אולם בסוף אוגוסט 1978, בלחץ ישראל, הושג הסכם על הצבת כוחות או"ם באזור.
לאחר שחדאד הכריז על "מדינת לבנון החופשית" באזור שבשליטתו, הודיעה ממשלת לבנון בתחילת ספטמבר 1978 שלחדאד ושידיאק אין זכות לשאת ולתת עם האו"ם. בהמשך פיטר ראש ממשלת לבנון סלים אל-חוס את חדאד ושידיאק מצבא לבנון, והפסיק את תשלום משכורותיהם של חייליו. באוקטובר 1978 הכריזה ממשלת לבנון על העמדתם לדין של חדאד ושידיאק בעוון בגידה.
שידיאק האמין שיכולתו לעמוד תלויה בתפקוד בני בריתו הנוצרים בביירות, ולא ראה טעם בהמשך הלחימה במנותק מהנוצרים בביירות. במסיבת עיתונאים בסוף אוקטובר 1978 הביע שידיאק פסימיות מסיכויי הנוצרים לשרוד ללא סיוע חיצוני, דבר שהרגיז מאוד את חדאד. שידיאק התחתן עם יהודייה, החל משנת 1977 התגורר בפועל בנהריה והגיש בקשה לקבלת אזרחות ישראלית. בסוף 1978 עזב שידיאק את גזרתו בדרום לבנון ולאחר מספר חודשים היגר לקנדה.
שידיאק נודע כתומך של הכוחות הלבנוניים והפלנגות הנוצריות בפרט. בשנת 1981 מונה למפקד הדיוויזיה השנייה של הכוחות הלבנוניים. לאחר רציחתו של בשיר ג'ומאייל ב-14 בספטמבר 1982 התפטר שידיאק מהצבא אך המשיך לפקד בכוחות הלבנוניים, ובשנת 1983 קיבל את הפיקוד על החטיבה החמישית של המיליציה.
בשנת 1990 יצא לטייל בצרפת והשתקע בפריז, שם התגורר עד למותו באפריל 2005 מאי ספיקת לב. גופתו הועברה ללבנון והוא נקבר בביירות.
קווין ויליס

קריירה כשחקן

ויליס נבחר בבחירה ה-11 בדראפט ה-NBA לשנת 1984 על ידי אטלנטה הוקס, ושיחק בקבוצה ב-9 עונותיו הראשונות בליגה. לצד דומיניק וילקינס ודוק ריברס, עזר ויליס לאטלנטה להפוך לאחת הקבוצות הטובות והיציבות באזור המזרחי; לאורך תקופתו באטלנטה העפילה הקבוצה למעמד הפלייאוף שבע פעמים, אך באף אחת מהן לא צלחה את הסיבוב השני. עונת השיא שלו בקריירה הייתה 1991/1992, בה השתתף לראשונה במשחק האולסטאר ונבחר לחמישייה השלישית של העונה לאחר שהעמיד ממוצעים של 18.3 נקודות ו-15.5 ריבאונדים למשחק (שני ב-NBA לדניס רודמן). ב-19 בפברואר 1992 הוריד שיא קריירה של 33 ריבאונדים בהפסד קבוצתו לוושינגטון בולטס.
בתחילת עונת 1994/1995 נשלח בטרייד למיאמי היט, בה שיחק במשך עונה וחצי, וב-6 השנים הבאות שיחק עבור גולדן סטייט ווריורס, יוסטון רוקטס, טורונטו ראפטורס ודנוור נאגטס. בעונת 2002/2003 חתם בסן אנטוניו ספרס כמחליפם של צמד הגבוהים טים דאנקן ודייוויד רובינסון, וזכה עם הקבוצה באליפות ה-NBA תוך שהוא קולע 4.4 נקודות למשחק לאורך סדרת הגמר מול ניו ג'רזי נטס.
בעונת 2004/2005 חזר לשחק באטלנטה הוקס, והיה השחקן המבוגר בליגה, בגיל 42. בסיום אותה עונה הודיע על פרישה ממשחק, אך חזר בו בעונת 2006/2007 כשחתם על חוזה בדאלאס מאבריקס. בכך הפך ויליס לשחקן המבוגר ביותר ששיחק בליגת ה-NBA מאז עונת 1947/1948, במהלכה שיתף עצמו מאמן קבוצת פרובידנס סטימרולרס, נאט היקי בן ה-46, לשני משחקים. בסיום העונה פרש ויליס ממשחק באופן סופי, בגיל 44.
ממוצעיו של ויליס לאורך הקריירה עומדים על 12.1 נקודות ו-8.4 ריבאונדים למשחק ב-1,424 משחקי עונה סדירה. נכון ל-2016, חמישה שחקנים בלבד השתתפו לאורך הקריירה ביותר משחקים מאשר ויליס - רוברט פאריש (1,611), כרים עבדול-ג'באר (1,560), ג'ון סטוקטון (1,504), קארל מלון (1,476) וקווין גארנט (1,462). כמו כן שיחק ויליס במספר העונות הרב בתולדות ה-NBA‏, 21, כמו פאריש וגארנט.