מרכבה המצביעה דרומה

מרכבה המצביעה דרומה (באנגלית: South-pointing chariot) הייתה מרכבה סינית עתיקה בעלת שני גלגלים שכללה מחוון כיוון שהצביע תמיד על כיוון הדרום, לא משנה כיצד המרכבה נעה. בדרך כלל, מחוון הכיוון היה בעל צורה של בובה או דמות עם זרוע שנמתחת כלפי חוץ. במרכבה נעשה שימוש כסוג של מצפן לצורך ניווט, וייתכן כי היו לה גם שימושים אחרים.
הסינים העתיקים המציאו כרכרה משוריינת וניידת שנעשה בה שימוש במאה ה-5 לפנה"ס ונקראה Dongwu Che. בכרכרה נעשה שימוש לצורך הגנה על לוחמים בשדה הקרב. כרכרת המלחמה הסינית תוכננה כסוג של כרכרה הגנתית ניידת עם גג דמוי-סככה. היא שימשה במתקפות על ביצורי ערים כדי לספק הגנה לחבלנים החופרים מתחת לחומה במטרה להחליש את יסודותיה. כרכרות המלחמה הסיניות המוקדמות שימשו פלטפורמת בסיס לטכנולוגיות של המרכבה המצביעה דרומה.
קרוב לוודאי שהיו מספר סוגים של מרכבות המצביעות דרומה, אשר פעלו לפי עקרונות שונים. במרביתן, גלגלי המרכבה המסתובבים הפעילו מכנית מנגנון גלגלי שיניים אשר שמר על מחוון הכיוון מצביע דרומה. למנגנון הזה לא היה מגנטים, ונדרש לכוונו ידנית בתחילת המסע לכיוון דרום. מרגע שהחל לפעול, כל רגע שהמרכבה הסתובבה (שינתה את כיוון תנועתה), המנגנון סובב את מחוון הכיוון בזווית שקיזזה במדויק את סיבוב המרכבה (כלומר במגמה הפוכה למגמת סיבוב המרכבה, ובזווית שווה), מה שגרם למחוון הכיוון להצביע בכיוון קבוע.

רקע והסברים

המרכבה המצביעה דרומה הינה אחד היישומים הידועים הראשונים בגלגלי שיניים דיפרנציאליים, ובכך היא מהווה אבן דרך בהתפתחויות טכנולוגיות מוקדמות - הן משום שהיא מתעדת למעשה את ההמצאה של העקרון של גלגלי שיניים דיפרנציאליים, והן משום שהיא מהווה יישום מרהיב של העקרון הזה לצורך פתירת בעיה טכנולוגית תחבורתית. להלן מובא רקע רעיוני קצר על גלגלי שיניים דיפרנציאליים.

גלגלי שיניים דיפרנציאליים

ישנה השערה נפוצה שרבות מהמרכבות המצביעות דרומה, אם לא כולן, פעלו באמצעים של גלגלי שיניים דיפרנציאליים. דיפרנציאל הוא מערך של גלגלי שיניים, שבימינו נעשה בו שימוש בכל כלי התחבורה (למעט כלי תחבורה חשמליים והיברידים), אשר לו שלושה צירים שמחברים אותו לעולם החיצון. הצירים מתויגים באופן מוסכם באותיות A,B ו-C. מערך גלגלי השיניים גורם למהירות הסיבוב של הציר A להיות פרופורציונלי לסכום מהירויות הסיבוב של הצירים B ו-C.
ייחודו של המערך הדיפרנציאלי הוא שמאפשר לממש פעולות בינאריות על מהירויות זוויתיות של שני גלגלי שיניים; הווה אומר, אם המהירויות הזוויתיות של שני גלגלי השיניים הם , הדיפרנציאל מאפשר, תוך שימוש בתמסורת מתאימה, לייצר מהירות זוויתית שהיא צירוף ליניארי שלהן: . לכן הוא שונה מרכבת גלגלי שיניים רגילה, אשר מסוגלת לפעול רק על קלט אחד (מהירות זוויתית אחת) ולכפול אותו בסקלר מסוים. בכך הוא מעניק מנעד ביטוי רחב בהרבה למנגנונים מכניים מבוססי גלגלי שיניים. 
 
הרעיון מאחורי פעולת הדיפרנציאל מבוסס עקרונית על מתן חופש סיבוב לציר הסיבוב עצמו של גלגל שיניים מסוים. כלומר אחד מגלגלי השיניים רשאי להסתובב סביב ציר מסוים, בעוד שציר זה חופשי להסתובב סביב ציר סיבוב נוסף. ציר הסיבוב של ציר גלגל השיניים מחובר ל"בית" של הדיפרנציאל, בעוד גלגל השיניים, שהוא מסוג עטרת (Crown), נושק לשני גלגלי שיניים זהים, כמוראה באיור משמאל. אילו שני גלגלי השיניים אליהם הוא נושק סובבים במהירות זוויתית זהה, גלגל השיניים האמצעי לא יסתובב סביב צירו, והתנועה תועבר לציר הסיבוב של גלגל שיניים זה, כך שבית הדיפרנציאל ינוע כולו כמקשה אחת. במערך גלגלי שיניים "רגיל", כלומר אילו ציר הסיבוב של גלגל השיניים האמצעי לא יכל להסתובב, הגלגל הזה היה "תוקע" את המערכת כולה ומונע כל תנועה סיבובית. 
כעת נניח כי שני הגלגלים הצידיים נעים במהירויות זוויתיות שונות. במצב זה, מתמטיקה פשוטה מראה שהמהירות הזוויתית של בית הדיפרנציאל תהיה ממוצע המהירויות, כלומר , בעוד גלגל השיניים האמצעי, "המתווך" ביניהם, ינוע במהירות זוויתית , כלומר מחצית ההפרש ביניהם. אילו היינו מוסיפים גלגל שיניים הופך כיוון כתמסורת בין אחד מהגלגלים הצידיים לגלגל האמצעי, אז הסיטואציה תתהפך - הבית ינוע במהירות זוויתית שהיא מחצית הפרש המהירויות ואילו גלגל השיניים האמצעי ינוע במהירות זוויתית שהיא הממוצע שלהן.

המימוש הקינמטי של עקרון הדיפרנציאל

במכונית, ציר A מחובר למנוע (דרך התמסורת), בעוד צירים B ו-C מחוברים לשני הגלגלים הצמודים לכביש, משני צדדיו. כאשר כלי הרכב מסתובב, הגלגל שנמצא בחלקו החיצוני של עקום הפנייה חייב לגמוע מרחק רב יותר ולכן להסתובב מה יותר מהגלגל הפנימי. הדיפרנציאל מאפשר לזה לקרות בעוד ששני הגלגלים מונעים בידי המנוע. אם סכום מהירויות הסיבוב של הגלגלים קבוע, מהירות הפעולה של המנוע לא משתנה.
במרכבה המצביעה דרומה, ציר B היה מחובר לגלגל אחד בעוד ציר C היה מחובר דרך גלגל שיניים הופך כיוון לגלגל האחר. זה גרם לציר A להסתובב בקצב שפרופורציונלי להפרש בין מהירויות הסיבוב של שני הגלגלים. הבובה המצביעה הייתה מחוברת (ייתכן שדרך גלגלי ביניים) לציר A. כאשר המרכבה נעה בקו ישר, שני הגלגלים סבבו בקצב זהה, והבובה לא הסתובבה כלל. כאשר המרכבה הסתובבה, הגלגלים הסתובבו בקצב שונה, כך שהדיפרנציאל גרם לבובה להסתובב במגמה הפוכה למגמת סיבוב המרכבה, תוך פיצוי על סיבוב המרכבה עצמה.
אף על פי שמוערך שגם מנגנון אנטיקיתרה עשה שימוש בגלגלי שיניים דיפרנציאליים, הראשון שהגדיר במדויק את התפקיד הפונקציונלי שלהם ועשה בהם שימוש היה ז'וזף ויליאמסון ב-1720. הוא השתמש בגלגלי שיניים דיפרנציאליים כדי לממש את משוואת הזמן בשעון מכני שהציג הן זמן שמשי והן זמן מקומי ממוצע.

תכונות גאומטריות של פעולת המרכבה

אפילו אם המרכבה המצביעה דרומה הייתה נבנית באופן מושלם, באמצעות גלגל דיפרנציאלי, והייתה נעה על כדור ארץ שהיה חלק באופן מושלם, היא לא יכלה לשמש עקרונית לניווט מדויק לטווחים ארוכים (מאות קילומטרים ומעלה). המרכבה היא סוג של מצפן מכני שמעתיק כיוון, המצוין על ידי אמצעי ההצבעה, לאורך המסלול בו היא נעה. מתמטית, המרכבה מבצעת העתקה מקבילה לאורך המסלול בו היא נעה. ניתן להיעזר במרכבה כדי לזהות קווים ישרים או גיאודזות. נתיב על משטח בו המרכבה נעה הוא מסילה גיאודזית אם ורק אם אמצעי ההצבעה לא מסתובב ביחס לבסיס המרכבה.
בגלל העקמומיות של פני כדור הארץ, המרכבה לא תמשיך באופן כללי להצביע דרומה (לכיוון הקוטב הדרומי) כאשר היא נעה. לדוגמה, אם המרכבה נעה לאורך מסילה גאודזית (מעגל גדול), אמצעי ההצבעה יישאר בזווית קבועה ביחס למסלולה. כמו כן, אם שתי מרכבות ינועו במסלולים שונים בין אותה נקודת התחלה ואותה נקודת סיום, אמצעי ההצבעה שלהן, אשר כוונו לאותו כיוון בהתחלה, לא יצביעו לרוב באותו באותו כיוון בסיום. בדומה לכך, אם מרכבה כלשהי תנוע לאורך לולאה סגורה, כלומר כך שמסלולה יתחיל ויסתיים באותה נקודה על פני כדור הארץ, אמצעי ההצבעה שלה לא יצביע בנקודת הסיום לאותו כיוון כמו בהתחלה. ההבדל הוא ההולונומיה של המסלול, והוא יחסי לשטח התחום בלולאה. אם המסעות קצרים בהשוואה לרדיוס כדור הארץ, הסטיות הללו קטנות ואין להן חשיבות מעשית. עם זאת, הן מראות שעקרונית, סוג זה של מרכבה יהיה מצפן לא מושלם אפילו אם היו נבנות במדויק והיו משמשות בתנאים אידיאלים.

שגיאות ייצור, והשלכותיהן

מכונות אמיתיות לעולם אינן נבנות בדיוק מושלם. גאומטריה פשוטה מראה שאם המנגנון של המרכבה מבוסס על גלגל דיפרנציאלי, ורוחב העגלה (המרחק בין שני גלגליה) הוא, למשל, שלושה מטרים, ואם הגלגלים תוכננו כך שיהיו בעלי גדלים זהים אבל בפועל היחס בין הקטרים יסטה מ-1 באלפית, אז אם המרכבה תנוע לאורך קילומטר בקו ישר, הדמות "המצביעה דרומה" תסתובב בערך ב-20 מעלות. אם בתחילה הדמות מצביעה דרומה, אז לאחר הטיול באורך קילומטר היא תצביע כמעט דרומה-דרום מזרחה או דרומה-דרום מערבה, תלוי איזה גלגל גדול יותר. אם המרכבה תנוע תשעה קילומטרים, הדמות תצביע בסיום המסע כמעט צפונה. פגמים אלו מצביעים בבירור שמצפן מכני כזה יהיה חסר שימוש כמצפן המצביע דרומה. כדי שיהיה שימושי כאמצעי ניווט, הדמות תצטרך להסתובב בלא יותר ממעלות בודדות לאורך מסע בן מאה קילומטרים, אולם זה יצריך ששני הגלגלים יהיו זהים עד כדי מיליונית הקוטר שלהם. אפילו אם תהליך ייצור הגלגלים היה מסוגל להגיע לרמת דיוק כזו (רמת דיוק שבוודאות לא הייתה בהישג ידיהם של הסינים הקדמונים), זה מוטל בספק ששוויון הגדלים של הגלגלים יישמר לאורך מרחק רב כאשר הם נתונים לשחיקה הרבה שמסע במדינה גורם. אי סדירויות בקרקע יכולות להוות גורם שגיאה נוסף.
דרך אחת להתמודד עם בעיות אלו היא חיבור הבובה המצביעה לדיפרנציאל רק כאשר נהג המרכבה יודע שעליו לבצע פנייה. כלומר מפעילי המרכבה יכלו לנתק את הבובה מהדיפרנציאל כל עוד הם נעים בקו ישר, תנועה שמהווה את מרבית הדרך, ולחבר אותה קצת לפני שהם מבצעים פנייה. אם הפניות היו קצרות ונדירות, טכניקה זאת תפחית בכמה סדרי גודל את שגיאות ההצבעה, שכן השגיאות יצטברו רק במשכי הזמן הקצרים שבהם הבובה והדיפרנציאל היו מחוברים. עם זאת, הדבר מעלה את הבעיה כיצד ניתן יהיה לדעת שהמרכבה נעה בקו ישר לאורך מרחק רב מבלי להשתמש בבובה המצביעה (דבר שהמפעילים היו צריכים להרגיש בעצמם).
אם תכליתה האמיתית של המרכבה הייתה יותר שעשוע והרשמת מבקרים זרים, מאשר לשמש לניווט למרחקים גדולים, אז חוסר הדיוק שלה לא אמור להוות בעיה חשובה.