מבחני התכנסות לסדרות

במתמטיקה, מבחני התכנסות לסדרות מהווים כלים לבדיקה אם סדרה מתכנסת או מתבדרת. סדרות, והתכנסות סדרות בפרט, מהווים בסיס וכלים לנושאים רבים במתמטיקה, במיוחד בחשבון אינפיניטסימלי.

הגדרת התכנסות

תהא  סדרה של מספרים ממשיים. נאמר על הסדרה שהיא מתכנסת למספר הממשי  (או ש- הוא הגבול של הסדרה) אם לכל מספר ממשי  (קטן כרצוננו) קיים מספר טבעי  כך שלכל  המקיים  מתקיים .
ובאופן פורמלי:   
הערה: סדרה מתכנסת אם ורק אם  ומתבדרת אם ורק אם .

משפט קושי לסדרות

משפט: הסדרה הממשית  מתכנסת (לגבול סופי) אם ורק אם היא סדרת קושי. כלומר, היא מתכנסת אם ורק אם לכל  קיים  כך שלכל  מתקיים .
הוכחה:
נוכיח את הכיוון הראשון. נניח כי  מתכנסת לגבול . יהי  נתון. אזי, קיים  כך שלכל , מתקיים . נבחר מספרים  המקיימים  ונקבל כי:
המעבר השני הוא שימוש באי-שוויון המשולש. אזי, הסדרה היא סדרת קושי. מ.ש.ל.
נוכיח את הכיוון השני. נניח כי  היא סדרת קושי. ראשית, נוכיח כי היא חסומה. כיוון שהיא סדרת קושי, קיים  כך שלכל  מתקיים . אזי, לכל  מתקיים  אז הסדרה חסומה בקטע . בקטע  יש לסדרה רק מספר סופי של איברים ולכן היא חסומה שם. לפיכך, הסדרה חסומה על כל הישר הממשי.
על פי משפט בולצאנו-ויירשטראס, לכל סדרה חסומה יש תת-סדרה מתכנסת לכן לסדרה  יש תת-סדרה שמתכנסת לגבול שנסמנו . נוכיח כי זהו למעשה הגבול של הסדרה. נסמן את תת-הסדרה . יהי  נתון. מהיות הסדרה סדרת קושי, נקבל כי קיים  כך שלכל  מתקיים . מהתכנסות תת-הסדרה, נקבל כי לכל  מתקיים . אזי, לכל  מתקיים:
המעבר השני הוא שימוש באי-שוויון המשולש. אזי, . מ.ש.ל.

הגדרת תת-סדרה

תהא  סדרה כלשהי, ותהא  סדרה עולה ממש של מספרים טבעיים. אז הסדרה  נקראת תת-סדרה של .

התכנסות סדרה לפי תתי סדרות

משפט:
תהי  סדרה.  אם"ם כל תת-סדרה של  מתכנסת ל- .
הוכחה:
נניח כי . אזי, לפי הגדרת הגבול, לכל , קיים  כך שלכל  מתקיים . ניקח תת-סדרה שרירותית  ונראה כי היא מתכנסת ל- . מתקיים  (הוכחה לכך מובאת בסוף העמוד), אזי עבור  מתקיים כי  ולכן נקבל כי . לכן, . מ.ש.ל.
כדי להוכיח את הכיוון ההפוך, נשים לב כי  היא תת-סדרה של עצמה שמתכנסת ל-  ולכן זה טריוויאלי שמתקיים . מ.ש.ל.
למת עזר:
תהי  תת-סדרה של . אזי,  לכל .
הוכחה:
נוכיח באינדוקציה. בבירור . נניח כי  ונוכיח כי . נשים לב כי  סדרה מונוטונית עולה ממש (בבניית תת-סדרה, אנו לא לוקחים איברים מהסדרה המקורית בסדר הפוך לסדר בו הם הופיעו ואנו לא לוקחים איבר כלשהו יותר מפעם אחת), לכן . כלומר,  ולכן, . מ.ש.ל.

משפט שטולץ לסדרות

משפט (משפט שטולץ / משפט שטולץ-צז'רו): תהא  סדרה כלשהי, ותהא  סדרה חיובית, מונוטונית עולה ממש ומקיימת . אזי, אם הסדרה  מתכנסת במובן הרחב, כלומר , כאשר  סופי או אינסופי, אז גם הסדרה  מתכנסת לאותו הגבול, כלומר  .
הוכחה: לפי הגדרת הגבול, לכל  קיים  כך שלכל  מתקיים:
 או 
כיון ש-  סדרה מונוטונית עולה ממש, , כלומר  וניתן להכפיל בו את אי-השוויון. נקבל:
יהי  המקיים . סכימת אי-השוויון לעיל תיתן לנו את אי-השוויון הבא:
 
נחלק את אי-השוויון ב-  ונקבל:
כיון ש- , קיים  המקיים  כך שיתקיים:
לפיכך, . מ.ש.ל.
הערה: כפי שניתן לראות בבירור מההוכחה, מספיק שהסדרה  תהיה חיובית ומונוטונית רק החל ממקום מסוים בסדרה ולאו דווקא החל מתחילתה.

התכנסות סדרת הממוצעים

משפט: תהי  סדרה המתכנסת לגבול סופי . אזי, גם הסדרות הבאות מתכנסות לגבול :
1) סדרת הממוצעים החשבונית: 
2) סדרת הממוצעים ההנדסית:  אם  לכל 
3) סדרת הממוצעים ההרמונית: 
 אלא אם כן  והסדרה אינה שוות סימן
הוכחה: תחילה נוכיח את הטענה הראשונה. נשתמש במשפט שטולץ (ניתן למצוא בסוף העמוד הוכחה ישירות באמצעות הגדרת הגבול) כדי להוכיח התכנסות של הסדרה  לגבול  כאשר .
ברור כי  היא סדרה חיובית, מונוטונית עולה ממש ומתכנסת במובן הרחב לאינסוף. מתקיים:
אזי, לפי המשפט, , כדרוש. מ.ש.ל.
כעת נוכיח את הטענה השלישית.
אם  אז הטענה נכונה טריוויאלית על פי מה שהרגע הוכחנו. אם  נקבל כי  ואז כיון ש-  ובתוך הסוגריים סדרת הממוצעים החשבונית של  נקבל מהטענה הראשונה כי . מ.ש.ל.
המקרה הפרטי  הוא בעייתי. עבורו, הטענה אינה נכונה באופן כללי ודוגמה פשוטה לכך היא הסדרה המוגדרת לפי . עבור סדרות שוות סימן (כלומר, סדרות שבהן קיים  כך שלכל  איברי הסדרה הם כולם בעלי אותו הסימן), מובטח כי  מתכנסת לאינסוף או למינוס אינסוף. עובדה זו מאפשרת להראות את נכונות הטענה על פי נימוק דומה למקרה בו .
נותר לנו כעת רק להוכיח כי  אם  לכל . זאת ניתן להוכיח ישירות באמצעות שימוש בטענות שהוכחנו עד כה ואי-שוויון הממוצעים אשר נכון עבור סדרות חיוביות:
לכן, על פי כלל הסנדוויץ', גם  ובזאת הושלמה ההוכחה. מ.ש.ל.
הערה: נזכיר כי הטענה על הממוצע ההרמוני אינה נכונה באופן כללי עבור  אך כאן  לכל , לכן הטענה נכונה במקרה זה כיון שהסדרה שוות סימן.

הוכחה חלופית עבור התכנסות סדרת הממוצעים החשבונית

ההוכחה הבאה מראה כי סדרת הממוצעים החשבונית מתכנסת לגבול הסדרה המקורית באמצעות הגדרת הגבול בלבד.
יהי  נתון. , לכן לפי הגדרת הגבול, קיים  כך שלכל  מתקיים .
כעת נסתכל על תת-סדרת האיברים עד , כלומר: . כיון ש-  הוא מספר קבוע (ערכו נקבע על פי אפסילון), תת-סדרה זו היא סופית ולכן סכום איבריה הוא מספר סופי ולכן מתקיים: . אזי, לפי הגדרת הגבול, קיים  כך שלכל  מתקיים .
כעת ניגש לטפל באיברים שנמצאים אחרי , כלומר  (נשים לב שזהו אינו מספר סופי של איברים). כל אחד מאיברים אלו מקיים  לכל  טבעי. נסמן  ונשים לב שהדבר גורר כי לכל  מתקיים . אזי,
נסכם: נסמן  ונקבל כי לכל  מתקיים:
אזי, , כדרוש. מ.ש.ל.