רדיקל (תורת החוגים)

בתורת החוגים, הרדיקל של חוג הוא אידיאל מיוחד, המכיל בתוכו את כל האידיאלים ה"בעייתיים" של החוג. הרדיקל שווה לאפס בדיוק כאשר החוג נקי מן הבעיות שהרדיקל אמור למדוד. לרדיקלים השונים יש תפקיד מרכזי בארגז הכלים של חוקר החוגים והמודולים.
הרדיקל של חוג מוגדר תמיד ביחס למשפחה מסוימת של חוגים או אידיאלים: אם  היא משפחה של חוגים הכוללת עם כל חוג גם את חוגי המנה שלו, אידיאל P בעל התכונה  נקרא -רדיקל של החוג R, אם הוא מכיל כל אידיאל בעל התכונה הזו, ובחוג המנה  אין אידיאלים לא-טריוויאליים בעלי התכונה. הרדיקל ביחס למשפחה נתונה אינו בהכרח קיים בכל חוג, ולכן אחד הצעדים הראשונים בבניה מועילה של רדיקל צריכה להיות אפיון החוגים שבהם הוא קיים. בהכללה אפשר לומר שהרדיקל שימושי ומועיל יותר ככל שהוא מוגדר עבור חוגים כלליים יותר.
את הרדיקל אפשר להגדיר כאידיאל הגדול ביותר השייך למשפחה מסוימת, כחיתוך כל האידיאלים מסוג מסוים, וכדומה. פעמים רבות, כמו ברדיקל של ג'ייקובסון מתלכדות כמה הגדרות לכלי רב עוצמה יחיד. במקרה היסודי של אלגברות אסוציאטיביות מממד סופי, כל הרדיקלים החשובים שווים זה לזה.

תאוריה כללית של רדיקלים

בשנות החמשים של המאה ה-20 פיתחו שמשון עמיצור ואלכסנדר קורוש  תאוריה כללית של רדיקלים, היוצקת תשתית פורמלית לגישה הרואה ברדיקל של חוג אידיאל "בעייתי" שיש לסלק. לפי תאוריה זו, מחלקה רדיקלית היא מחלקה  של חוגים בלי יחידה, הסגורה תחת המעבר לתמונות הומומורפיות, תחת איחוד של שרשראות, ותחת הרחבות (אם  אז ). בהינתן מחלקה רדיקלית , אפשר להגדיר את ה--רדיקל  של חוג R להיות סכום כל האידיאלים של R השייכים למחלקה. המחלקה מאפיינת שתי תכונות מנוגדות: חוג R הוא -רדיקלי אם , ו--פשוט-למחצה אם  (את קבוצת החוגים הפשוטים למחצה ביחס ל- מסמנים ב-; מחלקה כזו נקראת מחלקה פשוטה למחצה). את הרדיקל  אפשר גם לאפיין כחיתוך כל האידיאלים I שעבורם , והמנה  היא תמיד -פשוטה-למחצה. לכל מחלקה רדיקלית, אם  אידיאל של חוג R, אז גם  אידיאל של R (זהו משפט Anderson-Divinsky-Sulinski). 
מחלקה של חוגים הכוללת מנה שונה מאפס של כל חוג (בלי יחידה), נקראת מחלקה רגולרית; בפרט, כל מחלקה פשוטה למחצה היא רגולרית. בכיוון ההפוך, אם  מחלקה רגולרית, אז המחלקה  של חוגים שאין להם אף תמונה הומומורפית ב- היא רדיקלית (זוהי המחלקה הרדיקלית הגדולה ביותר שאין לה אף חוג שונה מאפס משותף עם ). לכל מחלקה רדיקלית  מתקיים , כך שהמחלקות הרדיקליות מתאימות למחלקות הפשוטות-למחצה. את המחלקות הפשוטות-למחצה אפשר לאפיין ישירות, באופן הבא: מחלקה של חוגים היא פשוטה למחצה אם ורק אם היא תורשתית (אידיאל של חוג במחלקה שייך גם הוא למחלקה), קו-אינדוקטיבית (אם המנה של R ביחס לכל אחד מהאידיאלים בשרשרת יורדת שחיתוכה 0 היא במחלקה, אז גם R במחלקה), וסגורה להרחבות.

רדיקל של מודול

הרדיקל  של מודול M שווה לחיתוך תת-המודולים המקסימליים של M. הרדיקל מתאפס אם ורק אם המודול הוא מודול פשוט למחצה (כלומר סכום ישר סופי של מודולים פשוטים). הרדיקל של המנה  הוא תמיד אפס. הרדיקל של סכום ישר שווה לסכום ישר של הרדיקלים המתאימים. כל הומומורפיזם של מודולים  משרה הומומורפיזם , שהוא על אם ורק אם ההומומורפיזם המקורי הוא על (זו הלמה של נקיימה למודולים). 
מושג הרדיקל של מודול מכליל את רדיקל ג'ייקובסון: אם R הוא חוג, הרדיקל שלו כמודול מעל עצמו שווה ל-. תורת המודולים הפשוטים למחצה היא למעשה תורה של מודולים מעל חוגים פרימיטיביים למחצה, משום שכל מודול פשוט למחצה מעל חוג R מהווה מודול גם מעל המנה .

הרדיקל הפתיר

אידיאל A של חוג הוא אידיאל פתיר אם קיים  כך ש-, כשמגדירים  ו- . מכיוון שהסכום של שני אידיאלים פתירים הוא אידיאל פתיר, לכל אלגברה מממד סופי (גם אם אינה אסוציאטיבית) יש אידיאל פתיר מקסימלי יחיד, הנקרא הרדיקל הפתיר של האלגברה. רדיקל זה מכיל את כל האידיאלים הפתירים, ובחוג המנה ביחס אליו אין אידיאלים פתירים. לרדיקל הפתיר תפקיד מרכזי בתורת המבנה של אלגברות לי מממד סופי וממאפיין אפס (או, באופן כללי יותר, בתורת המבנה של אלגברות מלצב מאותו סוג), משום שהמנה ביחס אליו היא, כפי שקורה במחלקות רבות אחרות (אבל לא תמיד), אלגברה פשוטה למחצה.
גם בחבורות אפשר להגדיר רדיקלים שונים; מביניהם, הרדיקל הפתיר, שהוא תת-החבורה הנורמלית הפתירה הגדולה ביותר, הוא כנראה המשמעותי מכולם. סוזוקי הראה שאת הרדיקל הפתיר של חבורה סופית אפשר לזהות מתוך סריג תת-החבורות של החבורה.

הרדיקל של פשטות-למחצה

הרדיקל של פשטות-למחצה מוגדר כאידיאל הקטן ביותר  שהמנה ביחס אליו מתפרקת לסכום ישר של חוגים פשוטים. הרדיקל הזה קיים בכל אלגברה (לא אסוציאטיבית) מממד סופי, והוא תמיד מכיל את הרדיקל הפתיר, גם אם אינו פתיר בעצמו. בכל המחלקות החשובות של אלגברות לא אסוציאטיביות (אלגברות אלטרנטיביות, אלגברות ז'ורדן ואלגברות מלצב, ובכלל זה אלגברות אסוציאטיביות ואלגברות לי) הרדיקל של הפשטות-למחצה שווה לרדיקל הפתיר.

הרדיקל הנילפוטנטי

הרדיקל הנילפוטנטי הוא הרדיקל שהגדיר ג'וזף ודרברן כשייסד את תורת המבנה של החוגים (ראו המשפט הראשי של ודרברן). עם זאת חשיבותו משנית, משום שהוא אינו קיים בחוגים אסוציאטיביים כלליים, או אפילו באלגברות לא אסוציאטיביות מסוימות מממד סופי. 
אידיאל A של חוג הוא אידיאל נילפוטנטי אם קיים  כך ש-, כשמגדירים  ו-  (במקרה האסוציאטיבי די כמובן בהגדרה ). בחוג אסוציאטיבי, הסכום של שני אידיאלים נילפוטנטיים הוא נילפוטנטי, ולכן לאלגברה אסוציאטיבית מממד סופי יש אידיאל נילפוטנטי מקסימלי יחיד, שהוא הרדיקל הנילפוטנטי; כך גם באלגברות ז'ורדן ובאלגברות אלטרנטיביות מממד סופי. הרדיקל הנילפוטנטי של אלגברות ז'ורדן ואלגברות אלטרנטיביות מתלכד עם הרדיקל הפתיר.
באלגברות שאינן אסוציאטיביות, ייתכן שהאידיאל I של A ואלגברת המנה  יהיו שניהם נילפוטנטים, אף על פי ש-A עצמה אינה נילפוטנטית; לכן הרדיקל הנילפוטנטי אינו קיים באלגברה לא אסוציאטיבית כללית. אכן, באלגברה לא אסוציאטיבית (ואפילו אם היא קומוטטיבית) יכולים להיות כמה אידיאלים נילפוטנטים מקסימליים שונים זה מזה.

הרדיקל הנילי

הרדיקל הנילי, שהוא האידיאל הגדול ביותר שכל אבריו נילפוטנטים, קיים בכל אלגברה עם חזקות אסוציאטיביות. הרדיקל הזה מכיל את הרדיקל הפתיר (אבל אינו בהכרח שווה לו: באלגברות לי, הרדיקל הנילי שווה לאלגברה כולה). באלגברות אלטרנטיביות ובאלגברות ז'ורדן מממד סופי, הרדיקל הנילי הוא נילפוטנטי, ובמקרים אלה הוא שווה לרדיקל הנילפוטנטי.
בעיית אלברט (שהציע אדריאן אלברט) שואלת האם הרדיקל הנילי שווה לרדיקל הפתיר בכל אלגברה קומוטטיבית עם חזקות אסוציאטיביות.