הנחיית Q

הנחיית Q היא שיטת הנחיה שנעשה בה שימוש בטילים בליסטיים, שמסלולם מורכב מפאזה ממונעת קצרה יחסית, שבה מערכת ההנעה של הטיל פועלת, ולאחריה פאזה בליסטית אשר במהלכה הטיל מתכוון אל המטרה בהשפעת הכבידה (טילי שיוט משתמשים בשיטות הנחיה שונות). היעד של הנחיית Q הוא לפגוע במטרה ספציפית בזמן מסוים, שכן בגלל סיבוב כדור הארץ פגיעה במטרה בעלת קואורדינטות מסוימות פירושה פגיעה בה במיקום ובזמן מסוים.
השיטה פותחה במקור על ידי ד"ר הלקומב לנינג וד"ר ריכרד בטין במעבדת המכשור של המכון הטכנולוגי של מסצ'וסטס כשיטת הנחיה מדויקת לטילים בליסטיים אמריקניים.

יישומים מוקדמים

בזמן שהנחיית Q פותחה השיטה המתחרה העיקרית נקראה הנחיית דלתא. לפי מקנזי, הטילים טיטאן, מספר גרסאות של אטלס, ומיניוטמן 1 ו-2 השתמשו בהנחיית דלתא, בעוד שבהנחיית Q נעשה שימוש בת'ור ופולריס. מניתוח סרטוני שיגור, עולה, כי מספר טילים בליסטיים בין יבשתיים סובייטים מוקדמים השתמשו בהנחיית דלתא.

רקע: הנחיית דלתא

הנחיית דלתא מבוססת על הצמדות למסלול מתוכנן מראש, שמפותח לפני השיגור באמצעות מחשבים קרקעיים ונשמר במערכת ההנחיה של הטיל. במהלך המעוף, מערכת ההנחיה של הטיל מנטרת סטיות מן מסלול הייחוס, והמסלול האמיתי ממודל מתמטית כפיתוח טור טיילור מסביב למסלול הייחוס. בניסוח מתמטי, מערכת ההנחיה דלתא עושה שימוש בקשר פונקציונלי מסוים מהצורה  (הקשר הפונקציונלי מתאפס על מסלול הייחוס). היעדר פרמטר זמן (זמן מוגדר לפגיעת הטיל) הוא מאפיין אינהרנטי של מערכת ההנחיה דלתא (קיימים מסלולי ייחוס אפשריים רבים). רגע כיבוי המנוע ( cut-off moment) מתוכנן להיות הרגע בו מסלול הטיל חותך את מסלול הייחוס. מערכת הבקרה של הטיל מנסה לאפס את סכום האיברים הליניאריים של הביטוי הזה, כלומר להביא את הטיל לקונפיגורצית מיקום-מהירות כזאת שמסלול הטיל החל מנקודת החיתוך יעבור דרך המטרה (האיברים מסדרים גבוהים יותר זניחים). מסיבה זו, להנחיית דלתא לעיתים מתייחסים כ-"לעוף לאורך הכבל" כאשר הכבל (הדמיוני) מתייחס למסלול הייחוס.
בניגוד להנחיית דלתא, הנחיית Q היא שיטה דינמית, תזכורת לתאוריה של תכנון דינמי. במהותה, גישת הנחיית Q גורסת כי "לא משנה היכן היינו אמורים להיות, בהינתן היכן אנו נמצאים השאלה היא מה אנו צריכים לעשות כדי להתקדם אל היעד של הגעה אל המטרה הדרושה בזמן הדרוש". כדי לבצע זאת השיטה מתבססת על קונספט המהירות הדרושה להשגה.

המהירות הדרושה להשגה (Velocity to be gained)

בזמן נתון t ובעבור מיקום נתון r של כלי הרכב, וקטור המהירות המתאים Vc מוגדר כדלהלן: אם לכלי הרכב הייתה המהירות Vc ומערכת ההנעה הייתה נכבית, אז הטיל יגיע למטרה הרצויה בזמן הרצוי תחת השפעת הכבידה.
המהירות האמיתית מסומנת ב-Vₘ והטיל נתון לתאוצה בהשפעת הכבידה g ובהשפעת המנועים aₜ. המהירות הדרושה להשגה המתאימה מוגדרת כהפרש בין Vc ו- Vₘ:
ממערכת הייחוס העצמית של הטיל, המהירות הדרושה להשגה היא אפוא המהירות אליה יש לשאוף.
אסטרטגיית הנחיה פשוטה היא להפעיל תאוצה (דחף מנוע) תמיד בכיוון של VTBG. לזה יהיה את האפקט של קירוב המהירות האמיתית ל- Vc. כאשר שתי המהירויות נעשות שוות (ו- VTBG שווה לאפס), זה הזמן לכבות את המנועים, מכיוון שהטיל לפי ההגדרה מסוגל להגיע למטרה הרצויה בזמן הרצוי לבדו.
מה שנותר הוא איך לחשב את VTBG בקלות מהמידע על הטיל הנגיש למחשב ההנחיה (מיקומו, מהירותו ותאוצתו).

הוכחת המשוואה הדיפרנציאלית

ראשית נרשום . תחילה נוכיח את המקרה בו , כלומר שהתאוצה הקווית המורגשת על ידי מדי התאוצה היא 0 (נפילה חופשית בשדה כבידה). נפרק את הנגזרת :
.
במעבר האחרון השתמשנו בהגדרה של מטריצת Q ובעובדה ש- שווה לוקטור תאוצת הכובד הרגעית g. מן ההגדרה של מטריצת Q נובעת הזהות : . לכן:
.
במקרה שהתאוצה הנמדדת שונה מאפס יש פשוט להוסיף רכיב ל- נוסף ל-g וכך מתקבלת המשוואה הדיפרניצאלית לעיל.

חישוב מטריצת Q עבור תנועה פרבולית דו ממדית

לאחר סיום השלב הממונע המהירות בציר x קבועה לכן ברור ש-  כאשר X הוא המרחק האופקי למטרה ומכאן  שווה ל- . התנועות בציר x וציר y בלתי תלויות ולפיכך האיברים לאורך האלכסון במקומות (1,2) ו- (2,1) הם 0. לצורך חישוב האיבר dVy/dy נבצע את הניסוי המחשבתי הבא: נניח כי משחררים ממנוחה כדור מגובה y אל הרצפה והוא נוחת על הרצפה כעבור זמן  . כעת נניח כי לוקחים כדור נוסף ומשחררים אותו בגובה נמוך יותר ב- ∆y ומשחררים אותו בו זמנית ביחד עם הכדור הראשון. ברור כי יש לשחרר אותו עם מעט מהירות אנכית מעלה (או מטה ∆y שלילי) אם על מנת ששניהם יפגעו בקרקע באותו זמן. מרגע שחרורם על שני הכדורים פועלת תאוצה אנכית זהה מטה g ולכן הפרש המהירויות או המהירות היחסית שלהם נותר קבוע. לפיכך על מנת ששניהם ינחתו באותו זמן צריך להתקיים ש- Vy או Vy ∆ יקיים 
∆y = tf Vy*. לפיכך האיבר (2,2) במטריצה גם הוא 1/tf. לפיכך מטריצת Q המתאימה היא: 
 כאשר tf = T-t ׁׁ(T הוא הזמן בו הטיל יגיע אל המטרה ו-t הוא הזמן הנוכחי)
והמשוואה הדיפרנציאלית המתארת את השתנות המהירות הדרושה להשגה היא:
.