גאורג קנטור

ביוגרפיה

גאורג קנטור נולד בסנקט פטרבורג, בירת האימפריה הרוסית, כבן בכור מבין 6 ילדים. אביו, גאורג ווֹלדמר קנטור, היה אזרח דני, בן של הסוחר יעקב אברהם קנטור מהקהילה היהודית פורטוגזית בקופנהגן שהמיר את דתו לפרוטסטנטיות לותרנית. אמו, מריה אנה בוהם, הייתה מוזיקאית קתולית ששורשיה מצד אביה במשפחה יהודית מהונגריה. סבו של קנטור מצד האם היה הכנר יליד הונגריה פרנץ לודוויג בהם ודודה של אמו היה יוזף בהם, גם כן כנר ומנהל הקונסרבטוריון למוזיקה בווינה. עד גיל 11 התגוררה משפחת קנטור בסנקט פטרבורג בה היה האב סוחר ואחר כך ברוקר מצליח וגאורג גודל על ברכי הדת הלותרנית. עקב בעיות בריאות של אביו, עברה המשפחה ב-1856 לגרמניה, בהתחלה לויסבאדן ומאוחר יותר לפרנקפורט ולדרמשטאדט. בשנות לימודיו בבית הספר הריאלי ואחר כך בבית הספר למסחר בדרמשטאדט הצטיין קנטור במתמטיקה, במיוחד בטריגונומטריה, אך גם גילה עניין בתאולוגיה ובפילוסופיה. ב-1862 סיים בהצטיינות את בית הספר. לאור בקשת אביו שילמד הנדסה הוא החל ללמוד בפוליטכניקום של ציריך. אולם, לאחר סמסטר אחד הוא החל ללמוד מתמטיקה באוניברסיטת ברלין, שם למד, בין השאר, אצל קארל ויירשטראס, אצל ארנסט קומר ואצל לאופולד קרונקר. במשך סמסטר אחד בקיץ 1866 למד באוניברסיטת גטינגן. הוא השלים דוקטורט בתורת המספרים ב-1867. ב-1869 הצטרף לסגל אוניברסיטת הַאלֶה (Halle) בגרמניה שם עבד עד שנת 1913.
ב-9 באוגוסט 1874 נישא לוואלי גוטמן, ידידה יהודיה של אחותו, ולזוג נולדו שישה ילדים.
קנטור סבל מאפיזודות של אופוריה ודיכאון. התקפי הדיכאון שהיו משמעותיים יותר, היו פורצים בדרך כלל בסתיו ומסתיימים באביב או בקיץ. קרוב לוודאי הוא סבל מסוג של הפרעה דו-קוטבית.
ב-1884 חווה התקף דיכאון, התקף מתועד ראשון בסדרה של התקפי דיכאון שימשיכו לייסרו במשך שארית חייו. בין התקף אחד למשנהו המשיך לפתח תאוריות מתמטיות מזהירות. עם זאת, הדיכאונות פגעו בעבודתו המתמטית. ב-1894 פרסם מאמר מוזר למדי, בו וידא את נכונותה של השערת גולדבך עבור המספרים הזוגיים הקטנים מ-1,000. היות שכארבעים שנה קודם לכן ההשערה כבר נבדקה עבור המספרים הזוגיים הקטנים מ-10,000, עבודה זו מעידה כפי הנראה על מצבו הנפשי של קנטור באותה תקופה.
בשנותיו האחרונות הידרדרה בריאותו הנפשית של קנטור, והוא אושפז מדי פעם בבתי חולים לחולי נפש. עבודתו המתמטית כמעט ופסקה, והוא עסק בעיקר בפילוסופיה, בתאולוגיה ובספרות. בין השאר, ניסה להוכיח כי מחזותיו של ויליאם שייקספיר נכתבו למעשה על ידי פרנסיס בייקון (ראו שאלת זהותו של מחבר מחזות שייקספיר). הוא פרש ממשרתו ב-1913, ונפטר מהתקף לב בעת שהיה מאושפז בבית חולים בהאלה בשנת 1918.

עבודתו המתמטית

בתחילה, התמקד מחקרו של קנטור בסדרות טריגונומטריות. ב-1872 פרסם מאמר בו הגדיר את המספרים הממשיים באמצעות סדרות קושי של מספרים רציונליים; הגדרתו (השקולה) של ריכרד דדקינד את המספרים הממשיים באמצעות "חתכי דדקינד" פורסמה מעט מאוחר יותר באותה שנה, ובמאמר המתאר אותה מוזכר מאמרו של קנטור.
ב-1873 הוכיח קנטור כי הן המספרים הרציונליים והן המספרים האלגבריים הם בני-מנייה, דהיינו, קיימת התאמה חד-חד ערכית ועל ביניהם לבין המספרים הטבעיים. בדצמבר 1873 הוכיח שהמספרים הממשיים אינם בני-מנייה, ופרסם את תגליתו ב-1874. משתי הוכחות אלה נובע כי כמעט כל המספרים הם מספרים טרנסצנדנטיים, שעצם קיומם הוכח רק כעשרים שנה קודם לכן. כמו כן הוכיח כי מספר הנקודות על קו ישר "גדול" מאשר מספרם של המספרים הטבעיים, שהוא המספר האינסופי ה"קטן" ביותר.
ב-1877 הוכיח את התוצאה נוגדת-האינטואיציה, כי קיימת התאמה חד-חד ערכית בין קבוצת המספרים שבקטע [0,1] לבין המרחב ה-n ממדי. על כך הוא אמר: "אני רואה זאת, אך איני מאמין!".
ב-1891 פרסם לראשונה את הוכחת האלכסון של קנטור ואת משפט קנטור. השיטה אותה הגה לשם ההוכחות קרויה לכסון, ונעשה בה שימוש מרובה מאז, בעיקר במדעי המחשב (למשל להוכחת אי-כריעות בעיית העצירה).
ב-1895 וב-1897 פרסם את שני מאמריו החשובים האחרונים. אף על פי שחלפו רק שישה חדשים בין זמני כתיבתם של מאמרים אלה, קנטור עיכב את פרסום המאמר השני משום שקיווה לכלול בו הוכחה של השערת הרצף עליה עבד, ללא הצלחה, במשך שנים רבות. הוא לא מצא הוכחה זו (כיום ידוע כי השערת הרצף היא עצמאית ביחס למערכת שבה עבד קנטור, ולכן לא קיימת לה הוכחה במסגרתה), אך המאמר השני תיאר את תורתו בדבר קבוצות סדורות היטב ומספרים סודרים. בשנת 1897 פרסם את ספרו החשוב ביותר אודות קבוצות המספרים האינסופיים. הוא פיתח חשבון של מספרים אינסופיים בדומה לחשבון הקיים בקבוצות של מספרים סופיים. את העוצמה של המספרים הטבעיים סימן באות העברית  (קרי: אָלֶף אֶפֶס), ואת עוצמת הרצף סימן באות , שהם הסימונים המקובלים בקרב המתמטיקאים עד היום.