תורת המודלים

תורת המודלים היא תחום במתמטיקה העוסק בחקר מודלים של תורות מתמטיות, תוך שימוש בכלים מלוגיקה מתמטית. מושאי המחקר העיקריים בתחום זה הם מבנים בשפות פורמליות, לרוב בלוגיקה מסדר ראשון. כיום מקובלת חלוקה של תורת המודלים לתורת המודלים הקלאסית (ובפרט classification theory), ליישומים של תורת המודלים באלגברה ולתורת המודלים הגאומטרית.

ניתוח מודלים על סמך עושרם המתמטי

הכלים המודרניים המאפשרים לסווג מודלים כ'עשירים' הם טיפוסים - קבוצות עקביות של נוסחאות מסדר ראשון, המאפשרות להציג תכונה כלשהי של המשתנים בהם הן מנוסחות.
כל טיפוס מגלם בתוכו "תכונה" מסוימת, שיכולה להתקיים או לא להתקיים במודל. מודלים שמקיימים את התכונה הם מודלים שמממשים את הטיפוס; השאר משמיטים אותו.
באופן טבעי, מודלים שמממשים כמות טיפוסים גדולה נחשבים לעשירים - המודלים האלה נקראים מודלים רוויים. מודלים שמשמיטים טיפוסים רבים הם דלים; למשל, מודלים אטומיים, שמממשים את הכמות הקטנה ביותר של טיפוסים (מממשים אך ורק טיפוסים מבודדים).
לכל אחד מסוגי המודלים האלו קיימות תכונות רבות ומיוחדות, היוצרות תאוריה עשירה. תאוריה זו אפשרה, בין השאר, להוכיח משפטי מבנה רבים בתורת המודלים, בהם משפט הקטגוריות של מורלי, משפט "לעולם לא 2" של ווט ומשפט Ryll Nardzewsky.

קיום מודלים רוויים

לא לכל התורות קיימים מודלים רוויים, ולעיתים הקיום מותנה בהנחות תורת-קבוצתיות; למשל, מהשערת הרצף המוכללת נובע כי בהינתן מונה אינסופי , לכל תורה שעוצמתה קטנה ממנו, קיים מודל רווי מעוצמה .
עבור תורות "טובות" מספיק לא קיים צורך בהנחות תורת קבוצתיות על מנת להוכיח קיומו של מודל רווי אינסופי. למשל, לכל תורה w-יציבה קיים מודל רווי מעוצמה k לכל מונה אינסופי k.

תכונות

כשקיימים מודלים רוויים, השימושים לכך רבים; למשל, קבוצות הן גדירות מעל קבוצת פרמטרים אם ורק אם הן מקובעות קבוצתית תחת אוטומורפיזמים המשמרים את הפרמטרים (באלגברה, למשל, כל שורש של פולינום גדיר מעל קבוצת המקדמים שלו. לכן, בהרחבת שדות אלגברית, אוטומורפיזמים אינם אלא תמורות על השורשים).
כל מודל רווי הוא אוניברסלי - מודל המשכן בתוכו אלמנטרית כל מודל מעוצמה הקטנה מעוצמתו. השימוש המקובל ביותר במודלים רוויים הוא ביצירת מה שמכונה "מודל מפלצת" - Monster Model - מודל רווי לתורה T מעוצמה , שהיא מונה אינסופי גדול ככל שנרצה. בכל פעם שדנים במודלים של תורה שלמה T, ניתן להניח שהם מעוצמה הקטנה מ- ולכן הם מהווים תתי מבנים אלמנטריים שלו - קיימת תועלת רבה בהתבוננות בכל המודלים כתתי מבנים של מודל עצום ומורכב אחד.
כל שני מודלים רוויים שווי עוצמה השקולים אלמנטרית הם איזומורפיים - כלומר, לכל תורה שלמה T קיים מודל רווי יחיד לכל היותר מכל עוצמה אינסופית - תכונה זו מאפשרת להוכיח את משפט קייזלר-שלח, לפיו שני מבנים הם שקולים אלמנטרית אם ורק אם יש להם על חזקות איזומורפיות.

דוגמאות למודלים רוויים

1. מבנה המספרים הרציונליים Q ביחס לסדר הטבעי עליהם - קל לראות שמבנה זה מממש כל טיפוס שלם מעל קבוצה סופית של פרמטרים.
2. כל שדה סגור אלגברית שאינו בן מניה הוא רווי - ניתן להתאים לכל טיפוס אידיאל בחוג הפולינומים מעל השדה; זהו חוג ראשי, ולכן כל אידיאל כזה נוצר על ידי פולינום אחד f. אם הטיפוס הראשוני אינו מבודד, הטיפוס לא יכול להכיל את הנוסחה f(x)=0 (שכן אז הנוסחה הזו מבודדת אותו), ולכן הוא מכיל את שלילתה; כלומר טיפוסים לא מבודדים ניתנים למימוש על ידי איברים טרנסצנדנטיים, ואלה קיימים בכל שדה סגור אלגברית שאינו בן מניה (מעל כל קבוצת פרמטרים מעוצמה הקטנה מעוצמת השדה).
3. אם תורה היא k-קטגורית למונה k שאינו בן מניה, אז המודל היחיד שלה מעוצמה k הוא רווי.

מודלים ראשוניים ואטומיים

מודל של תורה T הוא ראשוני אם קיים שיכון אלמנטרי שלו בכל מודל אחר של T.
זהו המודל הפשוט ביותר של התורה - "המינימום האפשרי" שנדרש על מנת לקיים אותה - ולכן לרוב מודלים ראשוניים נחשבים למודלים דלים. מלוונהיים-סקולם נובע כי אם לתורה T קיים מודל ראשוני, אז עוצמתו היא .
בכל מודל ראשוני בן מניה, כל טיפוס ממומש הוא מבודד. מודל שמקיים שכל טיפוס ממומש הוא מבודד נקרא מודל אטומי, וזהו זן נוסף של מודלים דלים.
מודל ראשוני שאינו אטומי אפשרי רק בשפות שאינן בנות מניה. למעשה, בקרב תורות שלמות בנות מניה הקשר בין מודלים ראשוניים לאטומיים הוא אף עמוק יותר: מודל הוא ראשוני אם ורק אם הוא אטומי ובן מניה. מתברר שמודלים אטומיים שווי עוצמה של תורה T שמממשים את אותם טיפוסים מעליה הם איזומורפיים; מכאן שאם לתורה קיים מודל ראשוני, אז הוא המודל הראשוני היחיד עד כדי איזומורפיזם.

השערת ווט

שאלות רבות עולות בקשר למספר המודלים מעוצמה k, עד כדי איזומורפיזם, שיש לתורה T (לצורך הפשטות דנים בתורה שהיא בת מניה מסדר ראשון, ובעלת מודלים אינסופיים). 
נסמן מספר זה ב-.
בפרט נחקרה שאלה זו לגבי הערכים שיכול לקבל :
קל לראות שיש למונה זה חסם עליון, והוא . 
ממשפט "אף פעם לא 2" של ווט, מונה זה שונה מ-2. מצד שני, לכל מספר טבעי אחר n יש דוגמה לתורה T כך ש- =n. כך גם ל-.
השערת ווט (vaught's conjecture) היא ההשערה שאלו האפשרויות היחידות: אם  אינו בן מניה, אז עוצמתו היא כעוצמת הרצף. 
קל לראות שהיא נובעת בקלות מהשערת הרצף; אך ללא הנחת השערת הרצף מתקבלת בעיה קשה מאוד לפתרון.
משפט מורלי:
מורלי (Morley) הגיע לפתרון חלקי לבעיה זו. הוא הוכיח שללא השערת הרצף, אם מניחים כי  גדול מ- , אז עוצמתו היא בהכרח . הוכחת המשפט עושה שימוש כביר בלוגיקה אינסופית (אף על פי שניסוחו תקף ללוגיקה מסדר ראשון, ולכאורה לא מצריך מעבר כזה) ובתורת הקבוצות התיאורית.
אם כן, מחוזקים ממשפט מורלי, פתרון השערת ווט מצטמצם לשאלה האם קיימת תורה T עבורה  שווה ל - . להוכיח שלא תיתכן תורה כזו, או לחלופין לתת דוגמה לתורה כזו (בהנחת שלילת השערת הרצף), פירושו לפתור את השערת ווט.
בעשור הקודם מצא החוקר רובין נייט (Robin Knight) דוגמה נגדית להשערת ווט. השערת ווט הוכחה עבור מחלקות מרכזיות של תורות, בהן תורות -יציבות, תורות o-מינימליות, תורות של גרפים ומחלקות נוספות. לכן, עד העשור הקודם, הדעה הרווחת הייתה שהשערת ווט נכונה.