טור (מתמטיקה)

טורים סופיים

טורים סופיים אינם אלא דרך מקוצרת לרשום בה חיבור של איברים רבים. באופן כללי, הסימון המקוצר עבור הסכום  הוא באמצעות האות היוונית סיגמא, בסימון זה:  כאשר  הוא מספר האיברים, ו- הוא אינדקס העובר על הערכים .
ישנם כמה סוגי טורים הראויים להתייחסות מיוחדת:

טור חשבוני

טור חשבוני הוא סכומה של סדרה חשבונית. סכום זה שווה למכפלת חצי מספר האיברים בסכום האיבר הראשון והאחרון:  (ראו בעניין זה "אנקדוטה אודות קרל פרידריך גאוס").

טור טלסקופי

טור טלסקופי הוא כינוי לכל טור בו מצטמצמים כל האיברים למעט האיבר הראשון והאחרון, עובדה המקלה על חישוב סכומם. נסתכל למשל בטור , שבו האיבר ה- הוא . מכיוון ש- , סכום n האיברים הראשונים הוא . 
שינוי סדר הפעולות מראה שהסכום הזה שווה ל-
.
(ראו גם "חישוב סכום של טור טלסקופי אינסופי")

טורים אינסופיים

כאשר אין סוף למספר האיברים בטור, נהוג לסמן אותו כך: . גם במקרה כזה ניתן להכליל את מושג הסכום באופן שניתן יהיה להגדיר את סכומם של כל איברי הטור, אך לא תמיד. נסתכל ראשית בדוגמה:
נניח כי  כאשר  מספר ממשי כלשהו. כעת נכפיל את הטור כולו ב-2 ונקבל:  ומכאן כי  וקיבלנו . מכאן שניתן להשתמש באריתמטיקה של טורים רק אם הטור מתכנס (אבל ראו "טור המספרים הטבעיים").
כשאנו באים לבדוק התכנסות של טור, בצורה אינטואיטיבית, הרעיון הוא כזה: כשאנו מסכמים את אברי הטור, "נעצור ונבדוק" כל הזמן את הסכום שלנו עד עכשיו. אם נראה שהסכום "הולך ומתקרב" למספר סופי כלשהו, זה אומר שהטור מתכנס, ואילו אם אנחנו רואים שהטור לא מתקרב לאף מספר (גדל/קטן כל הזמן, או "מתנדנד" בין כמה ערכים) הרי שהטור אינו מתכנס.
בניגוד לסכומים סופיים שמקיימים את תכונת הקומוטטיביות והאסוציאטיביות, טורים אינסופיים על-אף שמהווים הכללה של מושג הסכום, לא תמיד מקיימים תכונות אלה.

התכנסות של טור אינסופי

יהי  טור. נגדיר סכום חלקי  בתור סכום  האיברים הראשונים של הטור, כלומר . הטור מתכנס למספר ממשי , אם סדרת הסכומים החלקיים  מתכנסת למספר זה. אם טור לא מתכנס, אומרים שהוא מתבדר.
תנאי הכרחי (אך לא מספיק) להתכנסות טור הוא: האיבר הכללי של הסדרה שואף לאפס. ישנם מבחני התכנסות שבעזרתם אפשר להוכיח שטור מסוים מתכנס. אולם, מבחנים אלה בדרך כלל אינם נותנים דרך לחישוב הסכום. חישוב סכום של טורים הוא לרוב משימה קשה למדי.

התכנסות בהחלט

הטור  מתכנס בהחלט אם טור הערכים המוחלטים  מתכנס (במובן הרגיל).
טור מתכנס שאינו מתכנס בהחלט, נקרא טור מתכנס בתנאי. לטור המתכנס בתנאי יש תכונה מעניינת: לכל מספר , אפשר לסדר מחדש את אברי הטור כך שהטור יתכנס וסכומו יהיה . תוצאה זו נקראת משפט רימן. לעומת זאת, בטור מתכנס בהחלט אפשר לשנות את סדר האיברים, ותמיד יתקבל אותו סכום.

טורים בני-סיכום ותורת טאובר

מבחינה תאורטית אפשר לחשוב על המושג 'סכום של טור' שהגדרנו להלן, כעל פונקציונל מתת-המרחב של טורים מתכנסים במרחב הטורים  לשדה המספרים הממשיים . בהינתן טור מתכנס, הפונקציונל הזה מחזיר את סכומו של הטור.
מנקודת מבט זו, אפשר להכליל את מושג הסכום, כך שיכסה כל פונקציונל העונה על הדרישות שציינו. היתרון הוא שכעת נוכל 'להרוויח' טורים חדשים, שאינם מתכנסים במובן הרגיל, אבל פונקציונל הסיכום החדש שלנו יודע לטפל בהם בכל זאת. תחום זה של האנליזה נקרא summability (סכימות).
על ידי ניתוח מדויק של פונקציונל הסכימות, ושיטות מאנליזת פורייה, ניתן להציג אותו בצורה אינטגרלית, ולבנות עבורו פונקציה הנקראת "גרעין", ההבדל בין מושגי ההתכנסות השונים, ניתן על ידי שינוי הגרעין המתאים.
השאלה המעניינת בתחום זה היא בהינתן טור כללי, שידוע כי הוא מתכנס בשיטת סכימות כלשהי, האם הוא מתכנס גם באופן רגיל? מתברר כי ניתן לענות על שאלות אלה בעזרת תורת טאובר.
תורת טאובר היא שם כללי למספר משפטי טאובר, שהם משפטים המאפשרים להוכיח התכנסות של טור ע"ס התכנסותו בשיטת סכימות ספציפית, יחד עם הנחות נוספות.
הטיפול הכללי ביותר בנושא ניתן במסגרת תורת Weiner-Pitt, המאפיינת לגמרי גרעינים.

דוגמאות

אומרים שהטור  מתכנס לערך  במובן של אבל, אם הגבול של  כאשר  שואף ל-1 מלמטה, שווה ל-. כל טור מתכנס (במובן הרגיל) מתכנס לאותו ערך גם במובן של אבל; לעומת זאת, הטור  אינו מתכנס במובן הרגיל, וסכומו במובן של אבל הוא רבע.
שיטת סיכום אחרת מיוחסת לצ'זרו (Cesàro). נסמן ב-  את סדרת הסכומים החלקיים של טור נתון. הטור מתכנס במובן הרגיל אם הסדרה  מתכנסת. אומרים שהטור "מתכנס במובן של צ'זרו" או שהוא "טור מטיפוס C-1", אם הסדרה 
 מתכנסת. למשל, הטור  אינו מתכנס במובן הרגיל, אבל סכומו במובן צ'זרו הוא חצי. אם טור אינו מתכנס במובן C-1 אבל הממוצעים של  כן מתכנסים, אז הטור הוא מטיפוס C-2, וכן הלאה.
ישנן עוד שיטות סיכום, כגון התכנסות למברט שהיא בעלת שימושים בתורת המספרים להוכחת משפט המספרים הראשוניים.
כמו כן ישנה גם שיטת סכימות חשובה שנקראת סכימות בורל.

דוגמאות לתורת טאובר

אם הטור  מתכנס לערך  במובן של אבל, וכן 
 שואף לאפס, אז הטור מתכנס גם במובן רגיל.
אם הטור  מתכנס לערך  במובן של צ'זרו, וכן 
 אז הטור מתכנס גם במובן רגיל. זהו משפט לנדאו.
ישנו משפט של הארדי, החלש יותר ממשפט לנדאו, שקובע כי אם הטור מתכנס צ'זרו, ורק , אז הטור מתכנס.

חישוב סכום של טורים אינסופיים

ברוב המקרים חישוב סכום של טור אינסופי איננו עניין פשוט. ובכל זאת, קיימות מספר שיטות:

מניפולציות אנליטיות

נראה כאן כיצד ניתן לחשב את סכום הטור ההרמוני המתחלף . זהו טור מתכנס, בניגוד לטור ההרמוני, ונחשב את סכומו באמצעות תכונות של טורי חזקות.
ראשית נביט בטור ההנדסי  שמתכנס עבור . ידוע כי סכום טור זה הוא . נציב  ונקבל: . מכיוון שזהו טור חזקות בעל רדיוס התכנסות 1 ניתן לבצע אינטגרציה איבר איבר, ולכן נקבל: 
, כלומר .
קיבלנו כעת טור חדש בעל רדיוס התכנסות זהה לזה של הטור המקורי - 1. אנו יודעים שטור זה מתכנס בנקודה  (למשל, בעזרת מבחן לייבניץ), ולכן נציב  ונקבל: . והרי , ולכן הגענו לתוצאה המבוקשת: .

חישוב סכום של טור טיילור

לעיתים, טור אינסופי מסוים הוא פשוט טור טיילור של פונקציה מסוימת בנקודה מסוימת. למשל, בדוגמה לעיל השתמשנו בטור טיילור של  על מנת לחשב את סכום הטור ההרמוני המתחלף, השווה ל-.

חישוב סכום של טור פורייה

טור פורייה הוא הצגה של פונקציה כטור אינסופי של סינוסים וקוסינוסים. באמצעות הצבה בתוך הטור או על ידי שימוש בזהות פרסבל אפשר לחשב באמצעותו טורים שונים, למשל ערכים שונים של פונקציית זטא של רימן. לדוגמה:
טור פורייה של  בקטע  הוא
ומזהות פרסבל 
ולכן הערך של פונקציית זטא של רימן בנקודה  (הנקרא גם טור אוילר, על שם המתמטיקאי שחישב אותו לראשונה) הוא

חישוב סכום של טור טלסקופי

טור טלסקופי הוא טור מהצורה (או  -a₁ הראשון ו-aₙ₊₁ האחרון).
קל לחשב את סכומו שכן
לעיתים, יש טורים שניתן להציגם בצורה זו, (הפעם: ). למשל: