פרקטל

פְרַקטָל הוא צורה גאומטרית המורכבת מעותקים מוקטנים של עצמה. לכן אם נבחן חלק של פרקטל תחת הגדלה, המראה שייתגלה יהיה זהה בצורתו לפרקטל המקורי, וכך גם אם נבחן חלק מתוך החלק הזה, וכך הלאה ללא גבול ובכל רמת פירוט. לדוגמה משולש שרפינסקי המופיע באיור, מורכב משלושה העתקים מוקטנים של עצמו, וככל שמגדילים אותו כך מוצאים בתוכו עוד ועוד עותקים שלו. לפרקטלים תכונות מתמטיות לא שגרתיות ייחודיות, המאפיינות אותם: הממד של פרקטל אינו בהכרח מספר שלם, ההיקף של פרקטל בעל שטח סופי יכול להיות אינסופי, ועוד. ניתן למצוא מבנים דמויי פרקטלים רבים בטבע כגון במבנה עורקיו של עלה, כרובית, כלי הדם בגוף, הריאות של יונקים, צורת קו חוף (ראו פרדוקס קו החוף), צורת כפור או פתית שלג (ראו פתית השלג של קוך), בכולם ניתן לרדת לפרטים הקטנים ולהרגיש כאילו אנו מתבוננים עדיין בתמונה השלמה.
לפרקטלים יש גם שימוש רב בגרפיקה ממוחשבת מכיוון שהם מאפשרים ליצור בפשטות תמונות הנראות כמו יצירי טבע כגון עלים, עצים, הרים, וכו'. לפרקטלים יש תפקיד גם בכלכלה (לגרפים המתארים מחירי מניות יש תכונות פרקטליות - לכן כאשר צופים בגרף כזה קשה להבחין אם הוא מתאר מסחר במשך יום אחד, חודש, שנה, או יותר) וגם בפיזיקה ובמיוחד בתורת הכאוס.

דוגמאות לפרקטלים

פרקטלים נוצרים בתמטיקה על-פי רוב בשיטות המבוססות על רקורסיה, כלומר על חזרה על אותה פעולה מספר רב (בגבול מספר אין-סופי) של פעמים. לדוגמה ניתן ליצור את משולש שרפינסקי באופן הבא: מתחילים ממשולש שווה-צלעות, ומסירים ממנו את המשולש המרכזי, כמו שנראה באיור השני משמאל. עתה נוצרו שלושה משולשים שחורים קטנים. בשלב הבא מכל אחד מהם מסירים את המשולש האמצעי. כל שלב נקרא איטרציה ולאחר אין-סוף איטרציות נוצר משולש שרפינסקי.
דוגמה נוספת היא בניית פתית השלג של קוך. בבנייה מתחילים מקו אחד, ובכל איטרציה מחליפים את החלק האמצעי בקו, בשני קווים היוצרים פינה. ארבע האיטרציות הראשונות מתוארות באיור:
עוד שיטה רקורסיבית ליצירת פרקטלים היא על ידי העתקה וכיווץ: מתחילים מצורה מסוימת, ואז בכל שלב מעתיקים מספר עותקים מוקטנים של התמונה. את התמונה המתקבלת שוב מעתיקים באופן מוקטן, וכך ממשיכים עד אינסוף. את הפעולה המעשית של ציור פרקטל בדרך זו ניתן לבצע גם בעזרת מכונת צילום או תוכנה לעיבוד תמונה: מזינים תמונה כלשהי לתוך מכונת צילום, והמכונה מדפיסה על אותו דף שלושה עותקים מוקטנים של התמונה המקורית. עתה את התמונה המתקבלת מחזירים כקלט לתוך המכונה, וחוזרים על הפעולה הזאת אין סוף פעמים.
הפרקטל שנראה בתמונה דמוית העלה מתקבל בשיטה זאת, והוא אכן דומה מאוד לעלה.
באופן מתמטי ניתן להוכיח כי ההעתקה המכווצת של התמונה היא העתקה ליניארית במרחב האוסדורף, והפרקטל הוא נקודת השבת של ההעתקה.

היסטוריה

הפרקטלים הראשונים החלו להתגלות החל מסוף המאה ה-19, ונחקרו בתור קוריוזים מתמטיים, או דוגמאות נגד לרעיונות שונים. בשנת 1872 מצא המתמטיקאי קארל ויירשטראס פונקציה שהיא רציפה בכל נקודה, אך אין נקודה שהיא גזירה בה, הנקראת פונקציית ויירשטראס על שמו. במושגי ימינו פונקציה זו היא פרקטל. בשנת 1904 יצר המתמטיקאי השוודי הֶלגֵה פון קוך את פתית השלג של קוך, צורה פרקטלית מובהקת.
גאורג קנטור נתן דוגמה נוספת לקבוצה בעלת אופי פרקטלי, קבוצת קנטור. בניסיון להבין את משמעותם של עצמים מסוג זה, מתמטיקאים כקונסטנטין קרתיאודורי ופליקס האוסדורף הכלילו את מושג הממד, כך שיוכל לקבל גם ערכים שאינם מספרים טבעיים (ראו ממד האוסדורף).
תנופה משמעותית לחקר הפרקטלים ניתנה בתחילת שנות השישים על ידי המתמטיקאי האמריקאי בנואה מנדלברוט, שעבד במעבדות המחקר של IBM, והתבסס על עבודתו של המתמטיקאי בן זמנו גסטון ג'וליה. בשנת 1975 טבע מנדלברוט את המונח "פרקטל" לציון עצמים הדומים לעצמם. מנדלברוט חקר סדרות של מספרים מרוכבים מהצורה . קבוצת מנדלברוט, הקרויה על-שמו, כוללת את המספרים  שעבורם הסדרה  חסומה.

ממדים שבריים

בדוגמאות שהובאו קודם לכן ניתן לקבל תחושה מדוע יש בעיה להגדיר מהו הממד של פרקטל. לדוגמה, בבנייה של משולש שרפינסקי התחלנו ממשולשים מלאים שהם צורות דו-ממדיות ולכן ניתן לצפות שמשולש שרפינסקי הוא דו-ממדי. מצד שני, אם היינו משרטטים רק את קווי המתאר של המשולשים, היינו מקבלים את אותה תוצאה סופית בדיוק, אלא שבמקרה זה הבנייה הייתה מסתמכת על קווים בלבד ולכן ניתן היה לצפות שמשולש שרפינסקי יהיה חד-ממדי.
בשיטת הבנייה של פתית השלג של קוך, ניתן ליצור פרקטלים כגון עקומת הילברט ועקום פאנו, שממלאים ריבוע שלם. מכיוון שהבנייה כולה מתבססת על קווים, היינו מצפים שהתוצאה תהיה חד-ממדית, איך ייתכן שמקבלים צורה דו-ממדית?
כדי להחיל את מושג הממד על צורות פרקטליות היה צורך לתת הגדרות מדויקות יותר למושג הממד, שניתן יהיה להשתמש בהם גם עבור פרקטלים.