Geostatistiikka

Geostatistiikka (ruots. geostatistik, engl. Geostatistics, ransk. Géostatistique) on tilastotieteeseen kuuluva, alkujaan kaivosteollisuudessa malminarviointiin kehitetty, ja pitkälle kehittynyt tilastollinen analysointimenetelmä, jolla mahdollistetaan avaruudellisesti (myös aika-avaruus) levittäytyneen otoksen hyödyntämistä tilastollisessa analyysissä. Geostatistiikan sovellusalueita ovat esimerkiksi kaivosteollisuus, öljygeologia, maaperätiede, hydrologia, geohydrologia, meteorologia, geokemia, maantiede, metsänhoito, ekologia, populaatiogenetiikka ja maanviljely. Se tarvitsee pohjakseen paikkatietojärjestelmän ja tutkittavilla suureilla on oltava merkittävä spatiaalinen autokorrelaatio, jotta tilaan levittäytyneen suureen sijaintitietoa voidaan hyödyntää tehokkaasti.
Analyysitekniikan matemaattisen pohjan kehitti ranskalainen geologi ja matemaatikko Georges Matheron tutustuttuaan Danie G. Krigen työhön ja julkaistuihin papereihin Witwatersrandin yliopistossa 1950-luvun alussa. Krige toimi 1940-luvulla Etelä-Afrikassa kultakentillä kaivosinsinöörinä yrittäen parantaa kultamalmin määrän arviointitapoja. Geostatistisen menetelmän kehitystyö alkoi 1950-luvun alussa. Kehitystyön jatkuvuus turvattiin liittämällä se keskuksen Centre de Morphologie Mathématique Fontainebleau'n tieteelliseen ohjelmaan.

Interpolointia historian näkökulmasta

Maastosta otettujen näytteiden suureiden analysointia perusteltiin usein sillä, että niiden avulla voitiin halvalla määrittää alueen suureen kumulatiivinen arvo. Silloin laskettiin näytteiden arvojen keskiarvo tai, jos tavoitteena oli kartoittaa suureen arvojen vaihtelu alueella, laskettiin eri kohteisiin suuren arvot käyttämällä lineaarista interpolaatiota, käänteisen etäisyyden menetelmää, suuren arvoa kuvaavan pinnan sovittamista (regressiomallit) tai käyttämällä hyväksi jotain muuta estimointimenetelmää. Näiden menetelmien edut ja haita ohjasivat valintaa suuresti. Eräs haitta oli, ettei ilmiön olemusta käytetty hyväksi estimoinnissa ja suureen arvojen pienet vaihtelut jäivät huomiotta. Puute voitiin korjata ottamalla näytteitä riittävän tiheästi.
Kaivosteollisuudessa näytteiden ottaminen oli hyvin kallista, koska jouduttiin kairaamaan kalliota hyvinkin syvältä. Näytteitä kertyi siten vähän ja tämä asetti paineita menetelmän ominaisuuksille. Niihin tuli lisätä tieto kalliossa olevan mineraalin pitoisuuksien vaihteluista ja niiden leviämismekanismista. Geostatistiikassa on juuri tähän pyrittykin. Siinä käytettiin hyväksi tietoa kalliosta louhittavan mineraalin pitoisuuksista, näytteiden sijoittumisesta estimoitavan kohdan ympärillä sekä näytteiden ja estimoitavan kohteen muodosta ja koosta. Nämä parannukset menetelmässä tarkensivat estimointia, mikä lisäsi tuotannon kustannustehokkuutta.
Jotta kohteiden geometristen muotojen ja koon vaikutukset tutkittavan muuttujan keskipitoisuuksiin voitiin arvioida, kehitti Georges Matheron alueellistettujen muuttujien teorian. Sen pääasiallinen anti oli, että käytettävä suure muuttui, mikäli määrittämisessä käytetyn näytteen muoto tai koko muuttui. Näiden ominaisuuksien vaikutus varianssiin pystyttiin nyt määrittämään myös teoreettisesti, mikä auttoi malmiarvioinnin käytännön ongelmien ratkaisuissa. Myös näytteiden otoksen sijaintiin perustuvassa estimoinnissa saatiin arvio otoksen toimivuudessa. Näytteiden arvoja käytettiin painotetussa keskiarvossa, jolla määritettiin kohteen suure kuin se olisi keskipitoisuus. Kun aikaisemmissa menetelmissä painokertoimet määritettiin riippumattoman menetelmän avulla, voitiin nyt huomioida painokertoimien valinnassa malmin rakenteen ominaisuuksia laskemalla estimaatille arviovarianssi. Geostatistiikassa pyritään aina pienimpään arviovarianssiin, jotta estimoitava suure olisi mahdollisimman luotettava.

Kytkentä todennäköisyyslaskentaan

Alueellistettujen muuttujien teoriassa huomioitiin sekä malmin pitoisuuden satunnaisuus että sen rakenteelliset muutokset erottamalla ne toisistaan ja käsittelemällä niitä erillään toisistaan. Satunnaisuuden komponentin huomioiminen edellytti todennäköisyyslaskentaan perustuvaa lähestymistapaa. Rakenteellisten muutosten komponenttia käsiteltiin sovittamalla aineistoon trendikäyriä tai -pintoja. Geostatistiikassa paneuduttiin aluksi juuri satunnaisen komponentin analyysiin ja myöhemmin siihen yhdistettiin rakenteellisen komponentin analyysi. Stokastisista prosesseista otettiin kaikki irti, kun ajateltiin alueen olevan satunnaiskenttä. Siinä alueen jokaisessa pisteessä (eli paikassa) sijaitsi satunnaismuuttuja, jonka arvo oli mineraalin pitoisuus tai muu tarkasteltava suure. Pisteen satunnaismuuttujasta voidaan tuntea jakauma, eräät momentit tai vain realisoitunut arvo.
Eri pisteissä olevat satunnaismuuttujan voivat olla riippuvaisia toisistaan ja riippuvuuden suuruutta mitataan yleensä korrelaatiolla. Ellei satunnaiskentän satunnaismuuttujien välillä ole riippuvuutta, ei geostatistiikkaa kannata käyttää vaan muita yksinkertaisempia menetelmiä. Jos riippuvuutta on, selvitetään riippuvuuden määrä etäisyyden ja suunnan funktiona. Riippuvuusfunktion antamalla tiedolla voidaan muodostaa yleiselle estimaatille arviovarianssi, jota optimoimalla parannetaan estimoinnin tulosta.
Riippuvuusfunktion muodostaminen satunnaiskentässä eroaa suuresti siitä, miten se muodostetaan esimerkiksi kallion malmiosta. Satunnaiskentän yleisiä ominaisuuksia yksinkertaistetaan suuresti rajoittumalla erilaisiin stationäärisiin satunnaiskenttiin. Tämä on käytännön työssä välttämätöntä, sillä tutkittavasta alueesta tiedetään yleensä kovin vähän. Siksi myös riippuvuusfunktio itsekin on satunnaiskentän riippuvuusfunktion estimaatti. Se lasketaan maastosta otettujen näytteiden avulla ja on siten pelkkä tilastollisesti arvio todellisesta riippuvuusfunktiosta. Käytetyimpiä riippuvuusfunktioita ovat kovarianssifunktio ja variogrammi.