Liukuluku

Liukuluku on tietokoneissa käytetty esitystapa reaaliluvuille.

Liukulukulaskenta

Liukulukuun kuuluu neljä osaa: etumerkki (), mantissa (), kantaluku () ja eksponentti (). Etumerkki kertoo onko luku negatiivinen vai positiivinen. Mantissa kuvaa luvun merkitseviä numeroita. Kantaluku ja eksponentti määrittävät luvun suuruusluokan. Tällöin liukuluvun arvoksi  saadaan
Esitys ei kuitenkaan ole yksikäsitteinen lukunelikolle  ellei lukualueita rajata tarkasti. Yksikäsitteisyys voidaan saavuttaa sopimalla tietty kantaluku , ja sen jälkeen vaatimalla, että  ja . Tietokoneissa pätee yleensä , jolloin  ja .
Liukulukulaskenta voidaan toteuttaa ohjelmallisesti jos tietokoneen suoritin tukee vain kokonaislukujen laskutoimituksia, tai suoritin voi pystyä suoraan liukulukulaskentaan. Käyttäjälle tämä näkyy vain nopeuserona, ei tulosten erona. PC-yhteensopivat koneet ovat noin vuodesta 1995 saakka sisältäneet suorittimia, joissa liukulukulaskennan tekevä osa on samalla piisirulla. Tätä ennen PC-koneissa oli keskussuorittimen rinnalle ostettavissa erikseen matematiikkasuoritin.

Johdatteleva esimerkki

Oletetaan kantaluvun olevan 10, mantissan kolminumeroinen ja eksponentissa olevan etumerkin ja yhden numeron.
Tällöin suurin esitettävissä oleva luku on . Alempana selitettävistä normaaleista luvuista pienin nollaa suurempi on , pienin epänormaali luku . Tarkkuus riippuu suuruusluokasta: välillä 1–10 luvut esitetään tuhannesosan tarkkuudella, välillä 10–100 sadasosan tarkkuudella ja niin edelleen.
Kullekin luvulle on kolme eri esitystapaa: esimerkiksi  voidaan esittää ,  tai . Esitystavoista ensimmäinen on tarkin, ja tätä esitystapaa kutsutaan normaaliksi; siis normaalin luvun mantissa on aina vähintään  ja enintään .
Normaalit luvut muodostavat näin nollaa kohti tihentyvän parven, jossa kuitenkin nollan ympärillä on aukko: Pienin positiivinen luku on tuhat kertaa suurempi kuin sen erotus toiseksi pienimpään positiiviseen lukuun. Epänormaalit luvut täyttävät tämän aukon: tarkkuus pienenee, mutta laskenta ei "romahda" äkillisesti nollaan.

Normalisoidut luvut

Kun , luku on normalisoitu. Tällöin
yksikäsitteisyys saavutetaan sopimalla  ja . Tällöin liukuluvun arvoksi  saadaan
Lukua nolla ei voi esittää suoraan johtuen  määritelmästä, koska ylin bitti säädetään kiinteästi ykköseksi. Standardin mukaan luku on nolla kun . Tämän seurauksena luvun nolla esitys tietokoneen muistissa on kaikki bitit nollina, mikä nopeuttaa liukulukumuuttujien alustamista eräissä tietokonejärjestelmissä.
Normalisoidussa muodossa mantissan ensimmäinen luku on aika 1b, joten se jätetään pois ja siten saadaan käyttöön yksi numero enemmän tarkkuutta. Täten  
Koska yksi eksponentin arvo on varattu nollalle, ei eksponentteja voi esittää suoraan, vaan eksponentti on IEEE-liukuluvuissa tallennettu muodossa jota kutsutaan nimillä offset binary tai biased exponent. Tämä , missä  riippuu käytetystä tarkkuudesta. Perustarkkuudelle  ja kaksoistarkkuudella . Eksponentti voi täten esittää suuremman määrän positiivisia arvoja kuin negatiivisia arvoja.

Ei-normalisoidut arvot

Kun  ja , luku ei ole normalisoitu. Tällöin  ja , missä  riippuu käytetystä tarkkuudesta. Perustarkkuudelle  ja kaksoistarkkuudella .

Äärettömät: positiivinen ja negatiivinen

IEEE-745 määrittelee myös positiivisen ja negatiivisen äärettömän. Käsitteellisesti ne eivät vastaa niinkään matemaattista äärettömyyttä vaan mitä tahansa lukua, joka ylittää tai alittaa esitettävissä olevien lukujen alueen. Äärettömilläkin voidaan osittain laskea, esimerkiksi mikä tahansa positiivinen normaali luku jaettuna positiivisella äärettömällä antaa tulokseksi positiivisen nollan.

Nollat: positiivinen ja negatiivinen

Analogisesti äärettömien kanssa nollia on kaksi, positiivinen ja negatiivinen. Ne kuvaavat paitsi matemaattisen tarkkaa nollaa, myös lukuja joiden suuruus alittaa ei-normalisoitujen lukujenkin esitettävissä olevat arvot.

Epäluku ("Not-a-Number", NaN)

Lopuksi standardi määrittelee tuloksen laskutoimitukselle, jolle ei ole mielekästä vastausta edes äärettömien tai nollien avulla esitettynä. Esimerkiksi positiivisen ja negatiivisen äärettömän summa on tällainen: taustalla on ajatus, jonka mukaan emme tiedä kumpi ääretön on suurempi, joten mikään vastaus ei kelpaa. Jokaisen luvun jokainen laskutoimitus epäluvun kanssa tuottaa epäluvun: esimerkiksi epäluku kertaa nolla ei ole nolla vaan epäluku.
Epälukujen ja osittain myös äärettömien ja nollien avulla pitkä laskenta voidaan tehdä loppuun ja vasta lopuksi tutkia miltä osin saatiin mielekkäitä tuloksia ja milloin esimerkiksi jokin laskukaava ei toiminut.

Esimerkki

Luvun  esitys perustarkkuudella tarkoittaa lukua, jossa  ja , eli heksadesimaalijonona: 3f80 0000. Sama luku kaksoistarkkuudella saa esitysmuodon: 3ff0 0000 0000 0000. Luvun  esitysmuoto perus- ja kaksoistarkkuudella on bf80 0000 ja bff0 0000 0000 0000.

Epätarkkuuksia ja ongelmia

Kuten murtoluvut voidaan esittää päättyvinä kymmenkantaisina desimaalilukuina vain jos nimittäjä on kymmenen potenssi, voidaan luku esittää tarkasti liukulukuna vain, jos vastaavan murtolukuesityksen nimittäjä on kahden potenssi.
Siten esimerkiksi desimaalilukua 0,1 ei voi esittää tarkasti liukulukuna.
Esimerkiksi JavaScriptin vertailu 0.1 + 0.2 === 0.3 on epätosi, koska sitä evaluoitaessa luvut on pyöristetty kolme kertaa ja summalausekkeen tulos on eri kuin luvun 0,3 muunnos liukuluvuksi.
JavaScriptissa, jossa kaikki luvut tallennetaan kaksoistarkkuuden 64-bittisinä IEEE-liukulukuina, suurin turvallisesti esitettävä kokonaisluku on 9007199254740992 (Number.MAX_SAFE_INTEGER+1). Esimerkiksi vertailu 9007199254740991 + 1 === 9007199254740991 + 2 palauttaa toden, vaikka on matemaattisesti epätosi.