Puikkolaskenta

Puikkolaskenta on kiinalainen menetelmä, jossa tehtiin laskutoimituksia puikkojen avulla Kiinassa ja sen lähialueilla. Sitä käytettiin taistelevien läänitysvaltioiden aikakaudelta (476–221 eaa.) Ming-dynastiaan (1368–1644 jaa.) asti, jolloin puikkolaskenta korvattiin nopeammalla helmitaululla. Helmitaulu on nopeampi peruslaskutoimitusten suorittamiseen, mutta se on rajoitetumpi: sillä ei voi hyvin hahmottaa yhtälöitä eikä varsinkaan yhtälöryhmiä. Tämä varmasti osaltaan vaikutti siihen, että matriisilaskennan kehitys taantui useiksi vuosisadoiksi.

Välineet

Puikkolaskentaan tarvittavat välineet ovat kimppu laskentapuikkoja ja laskentapöytä. Laskentapuikot olivat yleensä bambusta tehtyjä, noin 12–15 cm pitkiä ja 2–4 mm paksuja, joskus eläintenluista tai norsunluusta ja jadesta (hyvin varakkailla kauppiailla). Laskentapöytä voi olla pöytälevy, puinen levy, jossa voi olla ristikko ja jota pidettiin pöydällä tai hiekalla. Vuonna 1971 kiinalaiset arkeologit saivat kaivettua esiin Xinjiangin maakunnasta löydetystä haudasta kimpun hyvin säilyneitä eläintenluista valmistettuja laskentapuikkoja, jotka olivat säilytettynä silkkipussissa. Näiden arvioidaan olevan peräisin Han-dynastian ajalta (206 eaa. — 8 jaa). Vuonna 1975 löydettiin kimppu bambuisia laskentapuikkoja.

”Ohjelmisto”

Tärkein tarvittava ”ohjelmisto” puikkolaskimen käyttöön oli 45-lauseinen kertotaulu, jota Kiinassa on käytetty ammoisista ajoista asti, nimeltään yhdeksän-yhdeksän taulu, jonka opettelivat ulkoa niin koululaiset kuin kauppiaat, virkamiehet ja matemaatikot. Muu tarvittava ohjelmisto on alla esitellyt algoritmit.

Numeroiden esittäminen

Puikkonumerot ovat ainoa järjestelmä, joka käyttää yhtä ainoaa merkkiä eri paikoissa osoittamaan mitä tahansa numeroa tai desimaalilukua. Ykkösten kohdalla ollessaan jokainen pystysuora puikko vastaa aina yhtä lisäkappaletta. Kaksi pystysuoraa tarkoittaa 2 näin aina lukuun 5 asti. Numerot 6-9 ilmoitetaan numeroa 5 edustavan vaakasuoran puikon ja pystysuorien puikkojen summana. Luvut, jotka ovat suurempia kuin 9 ilmoitetaan käyttäen kymmenjärjestelmään pohjautuvaa positiojärjestelmää. Luvut, jotka ovat itseisarvoltaan ykköstä pienempiä, ilmoitetaan desimaalilukuina. Parittomia kymmenenpotensseja (kymmenet, tuhannet, ... kymmenesosat jne.) ilmaisevat luvut laitetaan vaakasuoraan sekaantumisen välttämiseksi. Laskutoimituksia suoritettaessa ei yleensä käytetty apuviivoja tai ruudukkoa. Kuvassa on havainnollistettu sekaantumisen mahdollisuuksia: lukua 231 voisi luulla luvuiksi 51 tai 24.

Nollien esittäminen

Puikkolaskennassa nollaa edusti aukko, joka toimi sekä numerona että paikan osoittajana. Kirjoitettaessa puikkonumeroita käytettiin samanlaista nollaa kuin arabialaisissa numeroissa. Oikealla olevassa kuvassa nollaa edustaa vain aukko.

Negatiiviset ja positiiviset numerot

Song matemaatikot käyttivät punaisia puikkoja positiivisille luvuille ja mustia negatiivisille luvuille. Toinen tapa on laittaa ykkösten päälle vinoon puikko kuvastamaan negatiivisuutta.

Ilman lainausta

Esimerkkinä ohessa esitetty 54-23 = 31

Murtoluvut

Mikäli jakolaskusta jää jäännös, sekä jakaja että jakojäännös on jätettävä paikoilleen toistensa päälle. Liu Huin kommenteissa kirjaan Jiǔzhāng Suànshù (100-luku eaa.) eli Matemaattisen taiteen 9 kappaletta ylälukua kutsuttiin sanalla shi ja alalukua sanalla fa. Sun Zin laskemisklassikossa ylhäällä olevaa lukua kutsuttiin nimellä zi tai fenzi (kirjaimellisesti jakolaskun poika), ja alla olevaa kutsuttiin nimellä mu tai fenmu (kirjaimellisesti jakolaskun äiti). Fenzi ja Fenmu ovat osoittajan ja nimittäjän nykytermit. Kuvassa osoittaja 1 on edellisen tehtävän jakojäännös; 7 on jakaja, nimittäjä. Yhdessä ne muodostavat murtoluvun \tfrac{1}{7}.

Korkein yhteinen tekijä ja supistaminen

Kirjassa Matemaattisen taiteen 9 kappaletta kuvataan algoritmi korkeimman yhteisen tekijän löytämiseksi ja supistaminen. Korkein yhteinen nimittäjä löytyy Eukleideen menetelmällä vähentämällä iteratiivisesti aina isommasta luvusta pienempi kunnes erotus on yhtä suuri kuin vähentäjä. Oheinen animaatio kuvaa luvun \frac{32450625}{59056400} supistamista. Tässä tapauksessa korkein yhteinen nimittäjä on 25. Kun nimittäjän ja osoittajan jakaa luvulla 25 tulee \frac{1298205}{2362256}

Interpolaatio

Kalenterin laatija ja matemaatikko He Chengtian käytti murtoluvun interpolointimenetelmää, jota hän kutsui ”päivä jakajan harmonisoinniksi” parantaakseen vanhaa likiarvoa iteroivasti lisäämällä ”heikompaan” murtolukuun vahvemman murtoluvun. Zu Chongzin arvo \pi:lle \frac{355}{113} on saatettu löytää He Chengtianin menetelmällä.