Jatkuva satunnaismuuttuja

Jatkuva satunnaismuuttuja  eli jatkuva stokastinen muuttuja  on todennäköisyyslaskennassa satunnaismuuttuja, jolla on vain ei-negatiivisia arvoja saava tiheysfunktio. Satunnaismuuttuja tarkoittaa satunnaisilmiön määräämää lukua, joka saadaan ilmiön alkeistapauksista mitallisen funktion kuvauksena. Tyypillisesti jatkuva satunnaismuuttuja voi saada tietyn reaalilukuvälin arvot ja joskus aivan kaikki realiluvut. Jatkuvan satunnaismuuttujan jakaumafunktio eli kertymäfunktio on jatkuva.
Satunnaismuuttuja voi olla tyypiltään diskreettinen, jatkuva tai näiden yhdistelmä. Diskreetti satunnaismuuttuja saa vain erillisiä arvoja (nopanheitto), kun taas jatkuva voi saada arvoja hyvinkin läheltä toisiaan (reaaliluvut). Esimerkiksi pilkkikilpailun tulos riippuu onnesta ja "Ahdin" tarjoamat kalat voidaan ilmaista lukumääränä (diskreettinen) tai painona (jatkuva). Painot mieletään reaaliluvuiksi ja kahden kalan painot voivat olla kuinka lähellä toisiaan hyvänsä. Siksi jatkuvan satunnaismuuttujan arvot muodostavat realilukujen joukon, joka on hyvin "tiheä". Diskreettiset arvot, jotka ovat tässä lukumääriä, sijaitsevat kokonaislukujen tapaan lukusuoralla hyppäyksen päässä toisistaan. Lukujen väliin jää siten "raot" eikä arvojoukko ole "tiheä". Esimerkiksi ihmisen pituus on tällainen satunnaismuuttuja, mikäli pituudet pyöristetään senttimetrin tarkkuuteen. Pyöristämättömät luvut olisivat jatkuvan satunnaismuuttujan arvoja. Siis satunnaismuuttujan mittaamistavan valinta ratkaisee sen numeerisen esitystavan.
Satunnaismuuttujan saamat kaikki lukuarvot muodostavat perusjoukon (myös otosjoukko, otosavaruus), jossa kaikki arvot eivät aina esiinny symmetrisesti yhtä yleisesti. Arvon yleisyys ilmaistaan todennäköisyydellä ja kaikkien arvojen todennäköisyydet muodostavat todennäköisyysjakauman. Jakauma määrittää satunnaismuuttujan täysin, joten satunnaisumuuttujat luokitellaankin jakaumiensa perusteella. Jatkuvan satunnaismuuttujan jakuma voidaan kuvata todennäköisyysfunktiolla eli tiheysfunktiolla tai jakauma- eli kertymäfunktioilla.

Matemaattiset määritelmät

Satunnaismuuttuja  on mitallisen funktion kuvaus , missä määrittelyjoukko  on todennäköisyysilmiön alkeistapauksien  muodostana perusjoukko  eli otosavaruus, ja arvojoukkona ovat reaaliluvut. Perusjoukko sisältää kaikki satunnaisilmiön mahdolliset alkeistapaukset, mikä merkitään joukko-opissa  Silloin alkeistapaukset ovat satunnaismuuttujan argumenttina, mikä on tapana merkitä . Todennäköisyyslaskennassa argumentit jätetään aina pois.
Samoin kuin klassisessa todennäköyyslaskennassakin, alkeistapauksien yhdisteet muodostavat perusjoukon osajoukkoja, joita kutsutaan tapahtumiksi. Tapahtuma  on siis joukko-opillinen käsite  Myös satunnaismuuttujille määritellään tapahtuma  samalla idealla eli  eli lyhyemmin kirjoitettuna , kun on huomioitu satunnaismuuttujan määrittelemä kuvaus . Kun todennäköisyyslaskennassa määritellään todennäköisyydet kaikille perusjoukon  alkeistapauksien joukoille, jotka kuuluvat perusjoukon osajoukkojen sigma-algebraan (-algebra) . Vain osajoukot  ovat tapahtumia. Tästä muodostuukin satunnaismuuttujan määritelmä:  on satunnaismuuttuja, jos  on tapaus (eli ) kaikilla Borel-joukoilla  Kun satunnaismuuttuja määritellään näin, täyttää se mittateoreettiset kriteerit. On varsin helppo osoittaa tapauskohtaisestikin, että äärellinen eli yksinkertainen satunnaismuuttuja voidaan saada toteuttamaan mittateoreettiset kriteerit aina.
Yksinkertaisille diskreeteille satunnaismuuttujille edelliset ehdot on helppo täyttää. Jatkuvan satunnaismuuttujan tilanteessa olisi muutoin määritettävä ylinumeroituvan suuruinen määrä todennäköisyyksiä, mutta Borel-joukoilla määrittely jää numeroituvan suuruiseksi. Satunnaismuuttujan määrittelevä funktio tulee olla mitallinen funktio. Nimitys juontuu siitä, että käänteiskuvalle  voidaan liittää tietty mitta eli tässä tapahuksessa todennäköisyys.