Piilomuuttujateoria

Piilomuuttujateoriat ovat fysikaalisia teorioita, joiden mukaan fysikaalisen systeemin kvanttitila,
sellaisena kuin se kvantti­mekaniikassa esitetään, ei kuvaa systeemiä täydellisesti. Toisin sanoen
piilo­muuttuja­teorioiden kannattajien mukaan kvantti­mekaniikka on lopulta epä­täydellinen, ja täydellisen teorian tulisi kuvata kaikkea
systeemin käyttäytymistä ja välttää täten kvantti­mekaniikalle ominainen indeterminismi. Tiettyjen mittausten epä­tarkkuus
on kvantti­mekaniikan vallitseville tulkinnoille ominainen piirre, ja mittaustarkkuuden rajan osoittaa kvantita­tiivisesti
Heisenbergin epätarkkuusperiaate.
Piilomuuttujateorioiden kuuluisin puolesta­puhuja oli Albert Einstein, joka esitti vasta­väitteitä kvantti­mekaniikan
perustavalle toden­näköisyys­luonteelle ja ilmaisi ajatuksensa tunnetulla lauseella: "Olen vakuuttunut siitä, että Jumala ei heitä arpaa." Einstein, Podolsky ja Rosen väittivät, että kvantti­mekaniikkaan oli lisättävä "todellisuuden elementit", toisin sanoen piilo­muuttujat, jotta lomittumiset voitaisiin selittää ilman kauko­vaikutuksia. Myöhemmin Bellin teoreema osoitti, että tietyn tyyppiset lokaalit piilomuuttujateoriat ovat mahdottomia, tai tapahtumien on kehityttävä epälokaalisti. Muuan kuuluisa ei-lokaali teoria on de Broglien-Bohmin teoria.

Motivaatio

Yleisesti hyväksytyn Kööpen­haminan tulkinnan mukaan kvantti­mekaniikka on ei-deterministinen, mikä
merkitsee, että se ei yleensä ennusta mittausten tuloksia varmuudella. Sen sijaan se osoittaa, millä toden­näköisyydellä saadaan mikäkin tulos, ja havaittavien suureiden mittaus­tarkkutta rajoittaa epätarkkuusperiaate. Herää kysymys, onko kvantti­mekaniikan taustalla kenties jokin syvempi todellisuus, joka olisi kuvattava perustavammalla teorialla, joka aina ennustaisi mittausten tulokset varmasti: jos jokaisen atomaarisen hiukkasen ominaisuudet tunnettaisiin tarkasti, koko systeemin kehitystä voitaisiin kuvata deterministi­sellä mallilla samaan tapaan kuin klassisessa fysiikassa.
Toisin sanoen on ajateltavissa, että kvantti­mekaniikan tavan­omainen tulkinta on epä­täydellinen luonnon kuvaus. Se, mitkä
muuttujat on käsitettävä taustalla oleviksi "piilo­muuttujiksi", riippuu fysikaalisen kuvauksen tasosta. Esimerkiksi jos kaasua kuvataan lämpötilan, paineen ja tilavuuden käsittein, yksittäisten atomien nopeudet jäävät piilo­muuttujiksi.). De Broglien–Bohmin teoriaa kannattavat fyysikot väittävät, että maailman­kaikkeuden havaitun toden­näköisyys­luonteen taustalla on deterministinen, objektiivinen perustava taso, piilo­muuttujat. Toiset sen sijaan uskovat, ettei kvantti­mekaniikan taustalla ole mitään syvempää determinististä tasoa — kokeet ovat osoittaneet suuren joukon piilo­muuttuja­teorioita yhteen­sopimattomiksi havaintojen kanssa.
Kööpenhaminan tulkinta ei ole filosofisessa mielessä realistinen, toisin sanoen sen mukaan fysikaaliset suureet kuten
hiukkasen sijainti ja liike­määrä eivät ole sellaisenaan olemassa ja kehity mittaus­prosessista riippumatta. Realistiset tulkinnat,
jotka tietyssä määrin sisältyivät jo Feynmanin fysiikkaan, olettavat, että hiukkasilla on tietyt liike­radat.
(Feynmanin diagrammit jakautuvat usein useampaan haaraan, joita ei sellaisenaan havaita; vain diagrammi kokonaisuudessaan
esittää havaittavaa tapahtumaa.)  Tällaisen näkemyksen mukaan nämä radat ovat melkein aina jatkuvia, mikä
seuraa toisaalta valon­nopeuden äärellisyydestä ja toisaalta, mikä vielä merkittävämpää, vähimmän vaikutuksen peri­aatteesta, jonka Dirac on tuonut kvantti­mekaniikkaan. Mutta jatkuva liike jo matemaattisen määritelmänsä mukaan edellyttää determinististä liikettä ainakin tietyllä aika­välillä ja niinpä realismi on modernissa fysiikassa sekin yksi syy etsiä ainakin rajoitetusta determinismiä ja näin ollen piilo­muuttuja­teoriaa, mikäli sellainen on olemassa.
Vaikka determinismi oli alkujaan merkittävimpiä motiiveja, jotka saivat fyysikot etsimään piilo­muuttuja­teorioita, on yritetty laatia myös ei-deterministisiä piilo­muuttuja­teorioita, jotka nekin yrittävät selittää kvantti­mekaniikan formalismin taustalla piilevää oletettua todellisuutta. Sellainen on esimerkiksi Edward Nelsonin stokastinen mekaniikka.

"Jumala ei heitä arpaa"

Kesäkuussa 1926 Max Born julkaisi Zeitschrift für Physikissä artikkelin "Zur Quantenmechanik der Stoßvorgänge" 
("Törmäysilmiöiden kvanttimekaniikka"), jossa hän ensimmäisenä selvästi esitteli toden­näköisyys­tulkinnan Erwin Schrödingerin saman vuoden alussa käyttöön ottamalle aaltofunktiolle. Born päätti artikkelinsa toteamukseen:
Tässä tulee esiin koko kysymys determinismistä. Kvantti­mekaniikassa ei ole sellaista suuretta, joka jokaisessa yksittäisessä tapauksessa kausaalisesti määrittäisi törmäyksen seuraukset; mutta myöskään koe­tulosten perusteella ei toistaiseksi ole mitään syytä uskoa, että atomilla olisi joitakin sisäisiä ominaisuuksia, jotka määrittäisivät törmäyksen tuloksen yksi­selitteisesti. Pitäisikö meidän toivoa myöhemmin löytävämme sellaiset ominaisuudet ... ja määrittää ne yksittäisissä tapauksissa. Vai pitäisikö meidän uskoa, että teorian ja koetulosten yhteen­sopivuus — myös mahdottomuus esittää ehdot kausaaliselle kehitykselle — on ennalta määrätty sopu­sointu, joka perustuu siihen, ettei sellaisia ehtoja ole? Olen itse taipuvainen hylkäämään determinismin atomien maailmassa. Mutta tämä on filosofinen kysymys, johon nähden fysikaaliset perustelut yksinään eivät ole riittäviä.
Einstein vastasi tähän:
Kvanttimekaniikka on hyvinkin huomion arvoinen. Mutta sisäinen ääni kertoo minulle, että se ei vielä ole oikeilla raiteilla. Teoria antaa paljon, mutta se tuskin johtaa meitä lähemmäksi Sen Vanhan salaisuuksia. Itse olen joka tapauksessa vakuuttunut siitä, että Hän ei pelaa arpapeliä.

Varhaisia yrityksiä piilomuuttujateorioiksi

Pian lausuttuaan kuuluisan kommenttinsa "Jumala ei pelaa arpapeliä" Einstein yritti muotoilla determinstisen vasta­ehdotuksen
kvanttimekaniikalle. Preussin tiedeakatemian kokouksessa Berliinissä 5. toukokuuta 1927 hän esitteli teoriaansa käsittelevän artikkelin "Bestimmt Schrödinger's Wellenmechanik die Bewegung eines Systems vollständig oder nur im Sinne der Statistik?" 
(“Määrittääkö Schrödingerin aaltomekaniikka systeemin liikkeen täydellisesti vai ainoastaan tilastollisessa mielessä?”).
  Kun artikkeli aiottiin julkaista akatemian lehdessä, Einstein päätti kuitenkin vetää sen takaisin, mahdollisesti koska hän huomasi, että sen mukaan lomittuneiden systeemien separoitumattomuudesta ei voitu päästä eroon niin kuin hän oli toivonut.
Viidennessä Solvay-konferenssissa Belgiassa lokakuussa 1927, missä olivat läsnä ajan kaikki huomattavimmat teoreettiset fyysikot, Louis de Broglie esitteli oman versionsa deterministiseksi piilo­muuttuja­teoriaksi, ilmeisesti tietämättömänä siitä, että Einstein oli aiemmin samana vuonna yrittänyt vastaavaa. De Broglien teorian mukaan jokaiseen hiukkaseen liittyi kätketty pilottiaalto, joka ohjaa sen liike­rataa avaruudessa. Konferenssissa erityisesti Wolfgang Pauli arvosteli teoriaa tavalla, johon de Broglie ei kyennyt asian­mukaisesti vastaamaan. De Broglie hylkäsikin pian teoriansa.

Kvanttimekaniikan julistaminen täydelliseksi

Samassa viidennessä Solvay-konferenssissa Max Born ja Werner Heisenberg pitivät esitelmän, jossa he tekivät yhteen­vedon aiheen muutaman edellisen vuoden aikana tapahtuneesta suunnattomasta kehityksestä. Esitelmänsä loppu­päätelmänä he julisivat:
[V]aikka emme pidäkään .. sähkö­magneettisen kentän kvantti­mekaanista käsittelyä ... vielä loppuun saakka kehitettynä, pidämme kvantt­imekanikkaa suljettuna teoriana, jonka perustavia fysikaalisia ja matemaattisia oletuksia ei enää voida muuttaa . ... Kysymyksestä 'kausaalilain pätevyydestä' meillä on tämä mielipide: niin kauan kuin otetaan huomioon vain kokeet, joka voidaan suorittaa tähän mennessä saadun fysikaalisen ja kvantti­mekaanisen kokemuksen perusteella, oletus peri­aatteellisesta indeterminismistä, jota tässä pidetään perustavana, on sopusoinnussa koetulosten kanssa.

Bohrin ja Einsteinin väittelyt

Vaikka Einsteinin viidennessä Solvay-konferenssissa Bornille ja Heisenbergille esittämät vastaukset eivät ole säilyneet kirjallisessa muodossa, hänen tiedetään haastaneen kvantti­mekaniikan täydellisyyden epä­­virallisissa keskusteluissa aterioiden aikana. Tällöin hän esitti ajatuskokeita, joiden oli määrä osoittaa, ettei kvanttimekaniikka voinut olla täydellisesti oikeassa. Samoin hän teki kuudennessa Solvay-konferenssissa vuonna 1930. Kummallakin kerralla Niels Bohrin katsotaan yleensä onnistuneesti puolustaneen kvanttimekaniikkaa löytämällä virheitä Einsteinin todisteluissa.

Bellin teoreema

Vuonna 1964 John Bell todisti kuuluisan teoreemansa, joka osoittaa, että jos lokaaleja piilo­muuttujia on olemassa, tiettyjen lomittumista koskevien kokeiden tulokset toteuttavat Bellin epäyhtälön. Jos sen sijaan lomittumisesta aiheutuvia tilastollisia korrelaatioita ei voi selittää lokaaleilla piilo­muuttujilla, Bellin epäyhtälö ei toteudu. Toinen vastaavan­laisen tuloksen, jonka perusteella piilo­muuttujien olemassa­olo voidaan kokeellisesti selvittää, antaa Kochenin-Speckerin teoreema.
Alain Aspect, Paul Kwiat ja muutamat muut fyysikot ovat suorittaneet kokeita, jotka osoittivat, että nämä epäyhtälöt rikkoutuvat aina 242 standardipoikkeaman tasolle saakka, mikä merkitsee erin­omaista tieteellistä varmuutta. Täten kaikki lokaalit piilo­muuttuja­teoriat on osoitettu vääriksi, mutta ei-lokaalit piilo­muuttuja­teoriat ovat edelleen mahdollisia. Teoreettisesti voisi tosin olla kokeellisia ongelmia, jotka vaikuttavat tuloksen pätevyyteen. 
Gerard 't Hooft on kyseen­alaistanut Bellin teoreeman pätevyyden superdeterminismin perusteella ja esittänyt ehdotuksia lokaaleiksi deterministisiksi malleiksi.

Viimeaikainen kehitys

Huhtikuussa 2011 Manuel S. Morales esitti American Physical Societyn kokouksessa tutkimus­tuloksensa, jotka hän oli jo julkaissut saman vuoden tammikuussa. Hänen mukaansa oli olemassa yksi­selitteisiä kokeellisia todisteita absoluuttisesta determinismistä. Kaksitoista vuotta kestäneessä kokeessa, joka päättyi vuonna 2012 Morales osoitti epäilyksettömästi, että kokeen tekijä ei voi vapaasti valita mittauksen asetuksia, koska ei ole ennalta olemassa sellaisia alku­ehtoja, jotka tekisivät mahdollista valita, suoritetaanko jokin koe suoraan yhdellä potentiaalilla vai epä­suorasti useammalla potentiaalilla. Kokeita käsittelevällä verkko­sivulla Morales totesi: "Valintatapahtumat voivat vain tulla olemaan, ja jotta se voisi tapahtua, niiden rakenteen on oltava luonnon sisäisten mekanismien ennalta määräämä. Tämä merkitsee, että kaksi toisensa pois­sulkevaa ja yhdessä kaiken kattavaa valinta­tekoa olisivat lokaaleja piilomuuttujia, ja niinpä nämä muuttujat eivät voi olla olemassa lokaalisti havaittavina tai mitattavina fysikaalisina tiloina. Toisin sanoen, miten teko tulee suoritetuksi, on ennalta määrätty. Sen sijaan teon olemassa­olo sinänsä ei ole ennalta määrätty. Osoittautuu, että Albert Einstein oli itse asiassa oikeassa käsityksessään piilomuuttujista, jotka tarjoisivat todellisuuden täsmällisemmän kuvauksen. Sen sijaan hän oli väärässä käsityksessään siitä, miten ne voitaisiin löytää."
Elokuussa 2011 Roger Colbeck ja Renato Renner julkaisivat todistuksen, että mikään kvantti­mekaniikan laajennus, käyttipä se piilo­muuttujia tai ei, ei voi antaa tarkempia ennusteita kokeiden tuloksille, edellyttäen että havaintojen tekijä voi vapaasti valita mittaus­menetelmät. Heidän mukaansa, mikäli mittausmenetelmät voidaan vapaasti valita, kvantti­teoria todella on täydellinen.
Tammikuussa 2013 Giancarlo Ghirardi ja Raffaele Romano julkaisivat mallin, joka olettamalla toisen­laisen käsityksen vapaasta valinnasta johtui tulokseen, joka kumosi Colbeckin ja Rennerin väitteen lähes kaikkien kaksi­jakoisten kaksi­tasoisten systeemien tilojen osalta tavalla, joka mahdollisesti on kokeellisesti osoitettavissa.