Pintagravitaatio

Pintagravitaatio eli painovoima taivaankappaleen pinnalla, g, on se kiihtyvyys, jonka gravitaatio saa aikaan taivaan­kappaleen pinnalla. Se voidaan ajatella kiihtyvyydeksi, jonka koe­kappale saisi hyvin lähellä kohteen pintaa, edellyttäen että koe­kappaleen massa on paljon pienempi kuin itse taivaan­kappaleen, niin, ettei se itse aiheuta häiriötä.
Pinta­gravitaatio mitataan kiihtyvyyden yksiköillä, jollainen SI-järjestelmäsä on metri sekunnin neliötä kohti, m/s².  Usein se kuitenkin ilmaistaan Maan pinnalla vaikuttavan paino­voiman kiihtyvyyden, g = 9.80665 m/s², moni­kertana. Astro­fysiikassa sille käytetään usein loga­ritmista asteikkoa, jolloin käytetty mittaluku, log g, on  cgs-yksiköissä (cm/s²) ilmaistun kiihtyvyyden 10-kantainen eli Briggsin logaritmi. Koska gravitaatio aiheuttaa kaikille kappaleille yhtä suuren kiihtyvyyden ja koska 1 m/s² = 100 cm/s², on paino­voiman kiihtyvyys Maan pinnalla cgs-yksiköissä 980,665 cm², jonka 10-kantainen logaritmi log g = 2,992.
Valkoisen kääpiön pinta­gravitaatio on hyvin suuri, neutroni­tähden vielä suurempi. Neutroni­tähden suuren tiheyden vuoksi sen pinta­gravitaatio voi olla jopa 7·10¹² m/s², yli 7·10¹¹ kertaa suurempi kuin Maassa. Yksi seuraus tästä suuresta paino­voimasta on sekin, että pakonopeus neutroni­tähden pinnalta voi olla jopa luokkaa 100 000 km/s, eli noin kolmasosa valon nopeudesta.

Ei-pallosymmetriset kappaleet

Useimmat todelliset taivaankappaleet eivät ole tarkalleen pallomaisia. Yksi syy tähän on, että monet niistä pyörivät, minkä vuoksi niihin vaikuttavat painovoiman ja keskipakoisvoima yhdessä. Tämän vuoksi tähdet ja planeetat ovat navoiltaan litistyneitä, ja pintagravitaatio on päiväntasaajalla pienempi kuin navoilla. Hal Clement kuvittelikin tieteisromaanissaan Mission of Gravity hyvin nopeasti pyörivän suuri­massaisen planeetan, jonka pinnalla gravitaatio oli navoilla paljon suurempi kuin päivän­tasaajalla.
Siinä määrin kuin kappaleen sisäinen tiheysjakauma poikkeaa symmetrisestä mallista, mitatun pintagravitaation perusteella voidaan tehdä päätelmiä kappaleen sisäisestä rakenteesta. Tätä on käytetty käytännössä hyväksi vuosista 1915-1916 lähtien, jolloin Loránd Eötvösin torsiovaakaa käytettiin öljyn etsimiseen läheltä Egbelliä (nyk. Gbelyä) Slovakiassa., p. 1663;, p. 223. Vuonna 1924 torsiovaa'an avulla paikannettiin Nash Domen öljykentät Texasissa., p. 223.
Jos kappale olisi muodoltaan esimerkiksi laaja taso, putkimainen, viiva, ontto kuori, kartio tai muu eri tavoin symmetrinen kappale, painovoima sen pinnalla olisi eri kohdissa hyvin eri suuri, mutta laskettavissa. Tällaisia taivaankappaleita ei tosin ole olemassa, mutta tällaisiakin tapauksia voidaan käyttää laskuesimerkkeinä, jotka havainnollistavat myös todellisten kappaleiden käyttäytymistä.

Tähden pintagravitaatio ja luminositeetti

Tähtien läpimittaa ei voida mitata suoraan havaintojen perusteella, koska ne näyttävät pistemäisiltä suurimmillakin kaukoputkilla. Niiden pintagravitaatio, ja sen avulla myös säde, voidaan kuitenkin arvioida niiden luminositeettiluokan perusteella. Tämä perustuu siihen, että tähden spektriviivat riippuvat voimakkaasti tähden pintagravitaatiosta, johon myös tähden luminositeetti on tiukasti sidoksissa. 
Esimerkiksi jättiläis- ja kääpiötähtien massat voivat olla samaa luokkaa, mutta niiden läpimitat ja sen mukaisesti pintagravitaatio ovat hyvin eri suuret, sillä jättiläistähden tiheys on paljon pienempi. Jättiläis- ja kääpiötähdet voidaankin erottaa toisistaan luminositeettiefektien avulla.
Esimerkiksi spektriluokissa B, A ja F vedyn spekrtiviivat ovat sitä kapeammat, mitä suurempi on tähden luminositeetti. Tämä johtuu Starkin ilmiöstä: metalli-ionit aiheuttavat vetyatomien kohdalle sitä voimakkaamman sähkökentän, mitä suurempi on tähden tiheys ja samalla gravitaatio. Tämä saa vedyn energiatasot jakautumaan ja spektriviitat levenemään. Tämän vuoksi viivat ovat kirkkaimmilla tähdillä kapeat mutta pääsarjan tähdillä ja varsinkin valkoisilla kääpiöillä levenneet. 
Auringon tyyppisten G-spektriluokan tähtien luminositteeti ja samalla painovoima mitataan neutraalin raudan ja ionisoituneen strontiumin spektriviivojen Fe I ja Sr II avulla. Molemmat viivat muuttuvat lämpötilasta riippuen suunnilleen samoin, mutta Sr II -viivat voimistuvat luminositeetin kasvaessa (ja pintagravitaation samalla pienentyessä) paljon enemmän kuin Fe I -viivat.
Saman spektriluokan jättiläinen on punaisempi kuin pääsarjan tähti. Spektriluokkien G ja K jättiläisten spektreissä on voimakas syaanin absorptiovyö, joka on hyvin heikko pääsarjan tähdillä. Samanlaisia viivoja vastaa viileä jättiläinen ja kuuma pääsarjan tähti.

Schwarzschildin ratkaisu

Koska  on Killingin vektori, yhtälöstä  seuraa, että . Jos käytetään napakoordinaateissa , se on . Jos koordinaatit muunnetaan Eddingtonin-Finkelsteinin koordinaateiksi , metriikka saa muodon 
Yleisessä koordinaattimuunnoksessa Killingin vektori muuttuu kuin  , jolloin saadaan vektorit  ja 
Jos tähän sijoitetaan b=v, yhtälö  johtaa differentiaaliyhtälöön 
Tämän vuoksi Schwarzschildin ratkaisuksi saadaan mustan aukon pintagravitaatioksi , missä  on sen massa.

Dynaamiset mustat aukot

Stationaarisen mustan aukon pintagravitaatio on hyvin määritelty, koska kaikilla stationaarisilla mustilla aukoilla on Killingin mukainen tapahtumahorisontti. Viime aikoina on pyritty määrittelemään pintagravitaatio myös dynaamisille mustille aukoille, joissa aika-avaruudelle ei voida esittää Killingin vektorikenttää. Eri kirjoittajat ovat vuosien kuluessa esittäneet erilaisia määritelmiä. Vielä ei ole päästy yksimielisyyteen siitä, mikä määritelmä, jos mikään, on oikea.