Tason yhtenevyyskuvaus

Tason yhtenevyyskuvaus eli tason isometria on geometriassa euklidisen tason yhtenevyyskuvaus itselleen eli kuvaus, jossa taso­kuvioiden geometriset ominaisuudet kuten janojen pituus ja kulmat säilyvät. Tason yhtenevyys­kuvauksia on neljää tyyppiä: yhden­suuntais­siirto eli translaatio, kierto eli rotaatio (geometria), peilaus suoran suhteen sekä peilauksen ja translaation yhdistettynä kuvauksena muodostettu liukupeilaus. Joskus mainitaan yhtenä yhtenevyys­kuvauksen tyyppinä myös peilaus pisteen suuntaan, joka kuitenkin on sama kuin 90 asteen kierto.
Euklidisen tason yhtenevyys­kuvaukset muodostavat ryhmän, kaksi­ulotteisen euklidisen ryhmän, jossa lasku­toimituksena on kuvausten yhdistäminen. Jokainen tason yhtenevyys­kuvaus voidaan muodostaa yhdistettynä kuvauksena enintään kolmesta peilauksesta suorien suhteen.
Translaatiossa ja rotaatiossa säilyy myös kätisyys, peilauksessa ja liuku­peilauksessa sen sijaan ei, vaan niissä kuvio muuttuu peilikuvakseen tai sen kaltaiseksi.

Kuvausten yhdistäminen

Yhtenevyys­kuvausten yhdistäminen muuttaa niiden tyyppejä usein eri tavoin. Identtistä kuvausta voidaan pitää joko kahden peilauksen yhdistettynä kuvauksena tai ei yhdenkään; kummassakaan tapauksessa se ei muuta muiden kuvausten tyyppiä. Kahden peilauksen yhdistäminen antaa tulokseksi trans­laation tai rotaation, tai erikois­tapauksessa identtisen kuvauksen, joka kuuluu triviaalilla tavalla molempiin ryhmiin. Peilaus yhdistettynä jompaan­kumpaan näistä voi palautua yhdeksi peilaukseksi, mutta ellei niin tapahdu, tuloksena on ainoa kolmesta peilauksesta yhdistetty kuvaus, liukupeilaus. Kahden translaation yhdistäminen johtaa aina kuvaukseen, joka itsekin on translaatio. Moni­mutkaisempia ovat tapaukset, joissa ainakin toinen kuvauksista on rotaatio. Tiedämme, että rotaation yhdistäminen joko toiseen rotaatioon tai translaatioon on aina parillinen yhtenevyys­kuvaus. Translaation ja rotaation yhdistettynä kuvauksena saadaan toinen rotaatio, jossa kiertokulma on sama mutta kiinto­piste toinen. Sen sijaan kahden rotaation yhdistetty kuvaus voi olla joko rotaatio tai trans­laatio. Usein sanotaan, että kahden rotaation yhdistetty kuvaus johtaa rotaatioon, ja Euler todisti tätä koskevan teoreeman kolmi­ulotteisessa avaruudessa; tämä kuitenkin pätee vain rotaatioille, joilla on yhteinen kiinto­piste.

Diskreetit aliryhmät

Tähän saakka käsitellyt ali­ryhmät ovat kaikki olleet, paitsi äärettömiä, myös jatkuvia, Lien ryhmiä. Jokainen ali­ryhmä, johon kuuluu ainakin yksi ei-triviaali translaatio, on ääretön, mutta orto­gonaalisella ryhmällä on myös äärellisiä ali­ryhmiä. Esimerkiksi säännöllisen viisikulmion symmetrioita ovat rotaatiot sellaisten kulmien verran, jotka ovat 72°:n (360° / 5) moni­kertoja sekä peilaukset sen sivujen keskinormaalien suhteen. Nämä muodostavat ryhmän D₅, jossa on 10 alkiota. Sillä on aliryhmä, C₅, johon kuuluu viisi rotaatiota mutta eivät peilaukset. Nämä ryhmät kuuluvat kahteen perheeseen, Dₙ ja Cₙ, jotka voidaan muodostaa jokaiselle kokonais­luvulle n > 1. Yhdessä nämä perheet muodostavat kaksi­ulotteiset pisteryhmät.
Translaatio ei itsensä kanssa yhdistettynä johda identtiseen kuvaukseen, suoritet­tiinpa se kuinka monta kertaa tahansa, mutta erään yhtenevyys­kuvausten ali­ryhmän muodostavat kaikki translaatiot, jotka saadaan suorittamalla annettu translaatio tai sen käänteiskuvaus mieli­valtaisen monta kertaa. Tämä ryhmä on iso­morfinen kokonaislukujen ryhmän kanssa. Ali­ryhmiä saadaan myös niistä kuvauksista, jotka saadaan toistamalla kahta trans­laatiota, kumpaakin toisistaan riippumatta mieli­valtaisen monta kertaa. Nämä muodostavat tason hilaryhmän.
Näitä kahden­laisia diskreettejä ryhmiä voidaan myös yhdistellä. Diskreetit rotaatiot ja peilaukset annetun pisteen ympäri ja diskreetit trans­laatiot yhdessä muodostavat niin sanottuja friisi­ryhmiä (engl. frieze group) ja tapetti­ryhmiä (engl. wallpaper group). Mielenkiintoista kylläkin, vain pieni osa ryhmistä, jotka liittyvät kiinteisiin pisteisiin, ovat yhteen­sopivia diskreettien trans­laatioiden kanssa. Itse asiassa tämä yhteen­sopivuus asettaa siinä määrin rajoittavia ehtoja, aina iso­morfis­meja myöten, että on olemassa vain seitsemän erilaista friisi­ryhmää ja 17 erilaista tapetti­ryhmää. Esimerkiksi viisikulmion symmetriat, D₅, eivät ole yhteen­sopivia trans­laatioiden diskreetin ryhmän kanssa. (Missä tahansa useampi­ulotteisessa avaruudessa on niin ikään vain äärellinen määrä tällaisia kristallo­grafisia ryhmiä, mutta niiden luku­määrä kasvaa nopeasti; esimerkiksi kolmessa ulottuvuudessa on 320 ja neljässä ulottuvuudessa 4783 ryhmää.)