Klassiset Lien ryhmät

Matematiikassa klassiset Lien ryhmät ovat neljä ääretöntä perhettä Lien ryhmiä, jotka liittyvät läheisesti euklidisen avaruuden symmetrioihin. Näiden äärelliset analogiset ryhmät ovat klassisia Lien tyyppisiä ryhmiä. Käsitteen esitteli Hermann Weyl otsikossaan hänen vuoden 1939 monograafissa The Classical Groups).
Toisinaan klassisia ryhmiä tarkastellaan kompakteista ryhmistä rajoitetussa asetuksessa. Tästä seuraa se, että niiden esitysteoria ja 
algebrallinen topologia on helpommin käsiteltävissä. Tämä ei kuitenkaan sisällä yleisen lineaarisen ryhmän
tapausta.

Klassiset ryhmät yleisten kuntien tai renkaitten suhteen

Klassiset ryhmät, joita tarkastellaan laajemmin algebrassa, ovat kiinnostava esimerkki matriisiryhmistä. Kun
matriisinryhmän kertoimien muodostama rengas on reaali- ja kompleksilukujen muodostama kunta, nämä ryhmät ovat klassisia Lien ryhmiä.
Kun klassisia ryhmiä tarkastellaan äärellisen kunnan suhteen, on klassiset ryhmät Lien tyyppisiä ryhmiä.
Näillä ryhmillä on tärkeä merkitys äärellisten yksinkertaisten ryhmien luokittelussa.
Tarkastelemalla ryhmäteoriaa nähdään, että monilla lineaarisilla ryhmillä on "erityinen" aliryhmä, joka koostuu usein determinanttia yksi olevista alkioista
(ortogonaalisille karakteristikaa kaksi oleville ryhmille se sisältää alkoit, joiden Dicksonin inveriantti on nolla, ja useimpiin näistä on liittynyt
"projektiiviset" tekijät, jotka ovat ryhmän keskustan tekijöitä.
Sana "yleinen" ryhmän edessä tarkoittaa yleensä, että ryhmää voidaan kertoa jonkuntyyppisellä vakiolla toisin kuin jättää se kiinteäksi.
Alaindeksi n tarkoittaa yleensä sen modulin dimensiota, missä ryhmä toimii. Varoitus: tämä merkintä kalskahtaa hieman jos n:ää käytetään
Dynkinin kaavioiden yhteydessä, koska notaatio voi myös tarkoittaa rankkia.

Yleiset ja erityiset lineaariset ryhmät

Yleinen lineaarinen ryhmä GLₙ(R) on kaikkien Rⁿ:n R-lineaaristen automorfismien muodostama ryhmä.
Tämän aliryhmänä saadaan erityinen lineaarinen ryhmä SLₙ(R) ja tekijäryhmäksi saadaan projektiivinen yleinen lineaarinen ryhmäPGLₙ(R) = GLₙ(R)/Z(GLₙ(R)) ja projektiivinen erityinen lineaarinen ryhmä 
PSLₙ(R) = SLₙ(R)/Z(SLₙ(R)). Projektiivinen erityinen lineaarinen ryhmä
PSLₙ(R) reaalilukujen kunnan suhteen on yksinkertainen kun n ≥ 2, lukuun ottamatta tapauksia n = 2
ja kun kunnan kertaluku on kaksi tai kolme.

Unitaariset ryhmät

Unitaarinen ryhmä Uₙ(R) on ryhmä joka säilyttää modulin seskvilineaarisen muodon. Näillä on 
aliryhmämä erityinen unitaarinen ryhmä SUₙ(R) ja niiden tekijänä saadaan projektiivinen unitaarinen ryhmäPUₙ(R) = Uₙ(R)/Z(Uₙ(R)) ja projektiivinen erityinen unitaarinen ryhmä 
PSUₙ(R) = SUₙ(R)/Z(SUₙ(R))

Symplektiset ryhmät

Symplektinen ryhmä Sp₂ₙ(R) säilyttää modulin vinosymmetrisen muodon. Sillä on tekijänä 
projektiviinen symplektinen ryhmä PSp₂ₙ(R). Yleinen symplektinen ryhmä GSp₂ₙ(R) sisältää
modulien automorfismit, joissa vinosymmetrinen muoto on kerrottu jollain kääntyvällä skalaarilla. Projektiivinen symplektinen ryhmä PSp₂ₙ(R)
äärellisen kunnan R suhteen on yksinkertainen kun n ≥ 1, lukuun ottamatta tapauksia, missä n = 1 ja kunnan kertaluku on 2 tai 3.

Ortogonaaliset ryhmät

Ortogonaalinen ryhmä Oₙ(R) säilyttää modulin ei-degeneroidun kvadraattisen muodon. Tämän aliryhmä on
erityinen ortogonaalinen ryhmä SOₙ(R) ja tekijöinä projektiivinen ortogonaalinen ryhmä POₙ(R)
ja projektiivinen erityinen ortogonaalinen ryhmä PSOₙ(R) (Kun karakteristika on kaksi, on determinantti aina yksi, joten
ortogonaalinen ryhmä määritellään usein niiden alkioiden muodostamana ryhmänä, joiden Dicksonin invariantti on yksi.)
On olemassa nimetön ryhmä, jota merkitään usein Ωₙ(R). Se koostuu ortogonaalisen ryhmän alkioista, joiden spinor normi on yksi
ja vastaavan ali- ja tekijäryhmät ovat SΩₙ(R),  PΩₙ(R),  PSΩₙ(R).
(Positiivisesti definiitille neliömudoille reaalilukujen suhteen ryhmä Ω on sama kuin ortogonaalinen ryhmä, mutta yleisessä tapauksessa se on pienempi.
On olemassa myös ryhmän Ωₙ(R) kaksoispeite, jota kutsutaan pin-ryhmäksi, Pinₙ(R), ja sen aliryhmä on
spin-ryhmä Spinₙ(R). Yleinen ortogonaalinen ryhmä GOₙ(R) sisältää automorfismit, jotka saadaan
ottamalla moduli, joka saadaan kertomalla neliömuoto jollain kääntyvällä skalaarilla.

Vastakohta poikkeuksellisiin Lien ryhmiin

Vastakohtana klassisiin Lien ryhmiin ovat poikkeukselliset Lien ryhmät G₂,  F₄,  E₆,  
E₇,  E₈, jotka ovat vähemmän tunnettuja. Nämä löydettiin noin vuonna 1890 kun Wilhelm Killing ja Élie Cartan
luokitteli yksinkertaiset Lien algebrat kompleksilukujen suhteen.