Aaltofunktio

Aaltofunktio  on kvanttimekaniikan tapa kuvata hiukkasta. Aaltofunktio on yleisesti kompleksinen suure, jonka itseisarvon neliö, todennäköisyysamplitudi (tarkasti ottaen tulo kompleksikonjugaattinsa kanssa ) kuvaa hiukkasen esiintymisen todennäköisyystiheyttä tiettynä hetkenä tietyssä pisteessä:  (tässä  ei ole ajan funktio).

Klassinen hiukkanen vs. kvanttimekaniikan aaltofunktio

Klassisen fysiikan mukaan hiukkanen on paikallistunut tiettyyn pisteeseen tietyllä hetkellä, ja sen paikka ja nopeus voidaan tietää äärettömän tarkasti samanaikaisesti. Kvanttimekaniikassa hiukkanen ei kuitenkaan esiinny paikallistuneena tiettyyn pisteeseen, vaan sen paikan ja liikemäärän määrityksessä on aina tietty epävarmuus (ks. Heisenbergin epätarkkuusperiaate). Tämä ajattelutapa on seurausta kokeista, joissa hiukkaset ilmentävät itseään aaltoina (Thompsonin elektronidiffraktio, esimerkiksi).
Tulosta voidaan havainnollistaa seuraavan yksiulotteisen esimerkin avulla. Tiedetään, että hiukkanen on paikallistunut avaruudessa ja tarvitaan myös sitä kuvaava aaltofunktio  noudattamaan edellä mainittua todennäköisyystiheysominaisuutta. Kvanttimekaanisesti ajatellaan siis paikallistunutta aaltofunktiota hiukkasena. Lähdetään liikkeelle täysin paikallistumattomasta aaltofunktiosta, eli jonka paikkaa ei tiedetä lainkaan: kosiniaallosta , jossa . Kosiniaalto on muodoltaan samankaltainen kuin siniaalto, ja sellaisenaan se on määritelty negatiivisesta äärettömästä positiiviseen äärettömään. Kun laitetaan päällekkäin useampia kosiniaaltoja (eli rakennetaan :n Fourier-sarjalla), joiden aaltoluvut k eroavat hieman toisistaan, jossain kohdissa aaltofunktiot kumoavat toisensa, kun taas jossain kohdissa ne vahvistavat toisiaan. Valitsemalla k:t sopivasti voidaan luoda lokalisoitunut aaltopaketti. Tässä käytetään binomijakaumaa kertoimille, jotta saadaan suurin piirtein Gaussin käyrän rajaama paketti (ks. kuva):  (normalisoi jakamalla ). Mitä paikallistuneempi paketti halutaan, eli mitä tarkemmin halutaan tietää sen paikka, sitä suurempi jakauma tarvitaan :ssa. Täten paikallistunut aaltofunktio hiukkaselle tarvitsee jakauman liikemäärässä, koska . Täten mitä pienemmäksi epävarmuus paikassa vähenee, sitä suuremmaksi epävarmuus liikemäärässä kasvaa.

Aaltofunktion sovellukset

Aaltofunktioille pätee Schrödingerin aaltoyhtälö, jonka avulla voimme laskea aaltofunktion muodon esimerkiksi vetyatomin 1s-elektronille. Kvanttimekaanisesti yksielektronisen vetyatomin 1s-elektronin aaltofunktio on pallomainen, eli elektroni ei kierrä ydintä millään ellipsiradalla vaan sen aaltofunktio on levinnyt pallomaiseksi, pienentyen mitä kauempana ytimestä elektronia tarkastelemme.
Koska todennäköisyys sille, että hiukkanen ylipäänsä on jossain, on yksi, on toteuduttava normittumisehto  . Niin sanotuissa sirontatiloissa tällainen normittaminen ei kuitenkaan yleensä onnistu. Aaltofunktion ja sen derivaatan on oltava jatkuvia. Jos potentiaali on epäjatkuva, voi aaltofunktion derivaatassa esiintyä epäjatkuvuus.
Aaltofunktiolla voimme myös selittää havainnon, että yksittäiset fotonit noudattavat tuttua diffraktiokuviota Youngin kaksoisrakokokeessa. Klassisesti tämä on mahdotonta, koska fotonihiukkasen on mentävä jommastakummasta raosta eikä se voi diffraktoida toisen fotonin kanssa. Kuitenkin fotonit ovat ”tietoisia” toisestakin raosta ja luovat diffraktiokuvion. Kvanttimekaniikassa ongelmaa ei ole, sillä fotonille voidaan löytää aaltofunktioratkaisuja, joiden mukaan se ”kulkee” molempien rakojen läpi samanaikaisesti diffraktoiden itsensä kanssa.