Pallotrigonometria

Pallotrigonometria tarkoittaa kolmiomittausta pallon pintaa pitkin. Koska pallopinta eroaa kaarevuutensa vuoksi tasosta, myös pallotrigonometrialla on eroja koulusta tuttuun tason trigonometriaan verrattuna.  Pallotrigonometrialla on perinteisesti ollut erityisen suuri merkitys tähtitieteessä sekä navigoinnissa.

Pallokolmio

Pallotrigonometrian perusobjekti on pallokolmio. Pallokolmio muodostuu kolmen pallon keskipisteen kautta kulkevan tason ja pallon pinnan leikkauksena syntyvistä pallon isoympyrän kaarista. Pallokolmion kulmat ovat näiden tasojen väliset kulmat eli diedrikulmat. Koska isoympyrän kaarien suuruus ilmaistaan niitä vastaavien keskuskulmien suuruutena, pallokolmion sivut ja kulmat ilmoitetaan molemmat kulmamitoin. Pallotrigonometrian sovelluksissa käytetään lähes yksinomaan kulman mittayksikkönä astetta, mutta joissakin teoreettisissa tarkasteluissa on hyödyllisempää käyttää radiaaniyksikköä.  
Olkoon  pallon keskipiste. Pallokolmion  napakolmio on , missä  on tason  normaali ja  on se normaalin ja pallon leikkauspiste, josta tarkasteltuna kaari  kuljetaan positiiviseen kiertosuuntaan ja ,  määritellään analogisesti. Napakolmion sivuille  pätee ,  ja . Osoittautuu, että kolmion  napakolmio on . Siis ,  ja .

Pallotrigonometrian kaavoja

Pallokolmioiden tuntemattomien osien laskeminen tunnettujen osien avulla perustuu pallotrigonometrian sini- ja kosinilauseisiin. Jos pallokolmion kulmat ovat ,  ja  (pallokolmion kulmia ja sen kärkiä on tapana merkitä samalla symbolilla) ja niiden vastaiset sivut ,  ja , niin pallotrigonometrian sinilauseen ilmaisevat yhtälöt 
Pallotrigonometrian (ensimmäinen) kosinilause puolestaan sisältyy yhtälöön
(ja siitä symbolien kiertovaihteluilla muodostettuihin yhtälöihin). 
Pallotrigonometrian toinen kosinilause puolestaan sisältyy yhtälöön 
(ja siitä symbolien kiertovaihteluilla muodostettuihin yhtälöihin).
Pallotrigonometrian ensimmäisen kosinilauseen todistamiseksi oletetaan pallon säteeksi 1. Merkitään pallokolmion kärkipisteitä samoilla kirjaimilla kuin sen kulmia ja pallon keskipistettä :lla. Tason  normaalivektori on  ja tason  normaalivektori on . Kerrottavien vektorien pituus on 1, joten ristitulojen pituudet ovat  ja . Lisäksi ,  ja . Normaalivektorien pistetulon avulla voidaan ilmaista tasojen  ja  välisen kulman kosini eli :
 Edellä käytettiin tietoa kertomisjärjestyksen vaihtamismahdollisuudesta skalaarikolmitulossa ja vektorikolmitulon laskukaavaa.
Pallotrigonometrian sinilause voidaan johtaa kosinilauseesta trigonometrian peruskaavojen avulla ja toinen kosinilause on ensimmäinen kosinilause sovellettuna :n napakolmioon .

Pallokolmion palloylijäämä

Tasogeometrian kolmion kulmasummalause ei päde pallokolmioille. Pallokolmion kulmien summa on aina suurempi kuin . Tämän todistamiseksi tarkastellaan ensin pallokolmiota , missä  on pisteen  antipodipiste eli :stä piirretyn pallon halkaisijan toinen päätepiste. Tämän kolmion sivut ovat . Koska isoympyrän kaari  on pallon geodeettinen viiva eli lyhin tie pisteestä  pisteeseen , on  eli . Pallokolmion sivujen pituus on siis enintään . Kun tämä relaatio sovitetaan napakolmioon ja otetaan huomioon napakolmion sivujen ja alkuperäisen kolmion kulmien välinen yhteys, saadaan  eli . Pallokolmion ja tasokolmion kulmien summien erotusta  kutsutaan palloylijäämäksi tai pallokolmioylijäämäksi (engl. spherical excess). Jos pallokolmion kulmien ,  ja  suuruudet on ilmoitettu  radiaaneissa, palloylijäämä on
Pallokolmion pinta-ala  on suorassa yhteydessä sen palloylijäämään. Jos kulmayksikkönä käytetään radiaania, on
missä  on pallon säde. On nimittäin helppo nähdä, että pallokaksikulmiot, joiden kärjet ovat pallokolmion kärkiä ja sivut pallokolmion jatkeita, peittävät yhteensä puolipallon pinnan ja sen lisäksi kahdesti pallokolmion . Koska pallokaksikolmioiden alat ovat (jos kulmat ilmaistaan radiaaneina) ,  ja  koko pallon pallon pinta-alasta eli ,  ja , saadaan yhtälö , mistä .
Täten palloylijäämä ilmoittaa (steradiaaneissa) sen avaruuskulman, jossa pallokolmio näkyy pallon keskipisteestä katsottuna.

Isoympyräetäisyys

Pallotrigonometrian ensimmäisen kosinilauseen avulla voidaan määrittää kahden maapallon pinnan pisteen  ja  lyhin etäisyys, kun pisteiden maantieteelliset koordinaatit tunnetaan. Muodostetaan pallokolmio, jonka yksi kärki () on pohjoisnapa ja toiset kärjet  ja . Tällöin  (tai  ) on joko  pisteen leveyskoordinaatti (jos piste on pohjoisella pallonpuoliskolla) tai  pisteen leveyskoordinaatti (jos piste on eteläisellä pallonpuoliskolla). Kulma  on joko pisteiden  ja  pituuskoordinaattien erotus (jos pisteet ovat molemmat itäisellä tai molemmat läntisellä pallonpuoliskolla) tai pienempi luvuista pituuskoordinaattien summa ja  pituuskoordinaattien summa (jos toinen piste on läntisellä ja toinen itäisellä pallonpuoliskolla). Ensimmäinen kosinilause kertoo pisteitä  ja  yhdistävän ispoympyräkaaren kosinin; kun tästä määritetään kulma  ja otetaan huomioon maapallon ympärysmitta noin 40000 km, saadaan isoympyräkaaren  pituus  km.