Modulaarinen aritmetiikka

Modulaarinen aritmetiikka (lyhyemmin modulaariaritmetiikka, joskus myös kello­taulu­aritmetiikka), on kokonaislukuja käsittelevä matemaattisen lukuteorian haara, jossa luvut korvataan niillä jako­jäännöksillä (oikeastaan residyillä), jotka saadaan jaettaessa luku tietyllä vakiolla, moduluksella. Täten luvut ikään "kiertävät kehää" määrä­välein, saavuttaessaan tämä vakion.
Nykyaikaisen lähestymis­tavan modulaariselle aritmetiikalle kehitti Carl Friedrich Gauss teoksessaan Disquisitiones Arithmeticae, joka julkaistiin vuonna 1801.
Tutun esi­merkin modu­laari­sen aritme­tiikan käyttö­yhteydestä muodostavat kello­ajat. Kun käytetään 12 tunnin kello­aika­järjestelmää, johon tavalliset kellotaulut yhä perustuvat, kuusi tuntia kello 9:n jälkeen kello on 3. Tavallisessa yhteenlaskussa tosin saataisiin tulokseksi 9 + 6 = 15, mutta kello 12:n jälkeen kello­ajat alkavat uudestaan alusta, sillä vuorokausi on jaettu kahteen 12 tunnin jaksoon. Näin ollen tunnit noudattavat modu­laarista aritme­tiikkaa modulo 12. Nykyisin useimmissa maissa käytetään kuitenkin viralli­sesti 24 tunnin järjes­telmää, jossa kello­ajat alkavat uudestaan alusta vasta klo 24:n jälkeen. Jos kello on nyt 12, se on 3 tunnin kuluttua 15, mutta 21 tunnin kuluttua 9 seuraavana päivänä. Tällöin on siis kyseessä modu­laari­nen aritme­tiikka modulo 24.

Jakojäännökset

Modulaarisen aritme­tiikan käsite liittyy läheisesti jakoyhtälöön ja siinä esiintyvään jako­jäännökseen.  Jako­jäännöksen määrittä­mistä nimite­täänkin joskus modulo-operaatioksi, ja joskus näkee käytet­tävän sellaistakin merkintää kuin  2 = 14 (mod 12). Erona jako­yhtälöön verrattuna on kongruenssin käsite, jolle käytetään merkintää "≡" yhtäläisyys­merkin "=" asemesta. Lukujen kongruenssi on ekvivalenssirelaatio, johon liittyviä ekvivalenssi­luokkia sanotaan jäännös­luokiksi. Kunkin jäännös­luokan edustajaksi valitaan tavallisesti sen pienin ei-nega­tiivinen luku, esimerkiksi  38 ≡ 2 (mod 12). Tätä sanotaan myös residyksi. Tästä seuraa, että vaikka on oikein merkitä   38 ≡ 14 (mod 12), ja 2 ≡ 14 (mod 12), on väärin merkitä 38 = 14 (mod 12) (missä "=" esiintyy "≡" -merkin sijasta).
Jokainen positiivinen kokonais­luku kuuluu kongruenssi­relaatiossa siihen jäännös­luokkaan, jonka edustajana on sen jako­jäännös moduluksella jaettaessa. Tällöin siis residy on sama kuin jako­jäännös. Nega­tiivisten kokonais­lukujen tapauksessa asia on kuitenkin toisin, koska jako­jäännös tavalliseen tapaan laskettuna on tällöin nega­tiivinen. Niinpä esi­merkiksi luvun -17 jako­jäännös 12:lla jaettaessa on -5 (sillä −5 ≡ −17 (mod 12)), 
mutta kongruenssi­relaatiossa luvut -17 ja -5 kuuluvat ekvi­valenssi­luokkaan, jota edustamaan valitaan luku 7. Tämä on siis luvun -17 residy 12:lla jaettaessa.
Tietokoneiden ohjelmointikielissä jako­jäännös­operaatiolel käytetään yleensä merkintää "%" (esi­merkiksi
C:ssä, Javassa, Perlissä ja Pythonissa) tai "mod"
(esimerkiksi Pascalissa, BASICissa, SQL;ssä ja Haskellissa), poikkeuksena muun muassa Excel. Nämä antavat tulokseksi jako­jäännöksen sillä tavoin, että esimerkiksi C++:ssa tulos on negatiivinen, jos ensimmäinen argumentti (jaettava) on negatiivinen, ja Pythonissa, jos toinen argumentti (jakaja) on nega­tiivinen.  Joissakin ohjelmointi­kielissä, esimerkiksi Rubyssa, on lisäksi erikseen funktio "modulo", joka palauttaa residyn jako­jäännöksen sijasta.
Sulku­merkit jätetään joskus merkinnästä pois, esimerkiksi 38 ≡ 14 mod 12 tai 2 = 14 mod 12, tai ne merkitään moduluksen ympärille, esimerkiksi or 38 ≡ 14 mod (12).  Sellaistakin merkintää kuin 38(mod 12) näkee joskus käytettävän, mutta se ei ole yksi­selitteinen, ellei sen merkitys ilmene asia­yhteydestä.

Redusoidut jäännösluokkasysteemit

Jokainen kokonais­lukujen φ(n) joukko, missä φ(n) tarkoittaa Eulerin φ-funktiota ja missä nämä luvut ovat 
suhteellisia alku­lukuja n:n kanssa ja joista mitkään kaksi eivät ole kongruentteja modulo n, on redusoitu jäännös­luokka­systeemi modulo n. Edellä mainittu esimerkki,  {5,15}, on redusoitu jäännös­luokka­systeemi modulo 4.

Jäännösluokat

Kongruenssi modulo n on ekvivalenssirelaatio, ja ekvivalenssiluokkaa, johon kokonais­luku a kuuluu, merkitään 
.  Siihen kuuluvat luvut . 
Tätä joukkoa, johon kuuluvat a:n kanssa kongruentit luvut modulo n, sanotaan a:n kongruenssi­luokaksi tai jäännös­luokaksi modulo n. Jos modulus n tunnetaan asia­yhteydestä, sille voidaan käyttää myös merkintää .