Funktio

Funktio eli kuvaus kertoo olioiden välisistä riippuvuussuhteista. 
Formaalisti funktio  joukolta  joukkoon  on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon  alkioon täsmälleen yhden joukon  alkion. Funktiota merkitään yleensä symbolilla .
Funktioon  liittyviä joukkoja kutsutaan :n  lähtö- eli määrittelyjoukoksi () ja maalijoukoksi (). Jos , niin sanotaan, että  on joukon  funktio. Määrittelyjoukon alkioita kutsutaan usein funktion argumenteiksi. Sitä, että :n argumenttiin  liittämä arvo on , merkitään yleensä , eli funktion  kuva-alkio. Esimerkiksi asetetaan kuvitellussa tilanteessa :n määrittelyjoukoksi  nelihenkinen perhe.  on nyt siis ihminen-tyyppisistä alkioista koostuva joukko, jossa on neljä alkiota. Asetetaan sitten maalijoukoksi  kaikkien mahdollisten suomalaisten etunimien joukko. Koska jokaiseen ihmiseen voimme liittää jonkin yksikäsitteisen etunimen, niin voimme muodostaa funktion  nelihenkisen perheen ja kaikkien etunimien joukon välille. Tämän funktion argumentit ovat perheenjäseniä ja arvot perheenjäsenten etunimet.
Matematiikassa ja sen sovelluksissa tavallisin funktiotyyppi on sellainen, jossa lähtö- ja maalijoukot ovat lukujoukkoja ja funktion määrittelevä vastaavuus voidaan ilmaista laskutoimituksin. Tällöin on tavallista, joskin muodollisesti epäkorrektia, nimetä funktio määrittelyjoukon yleiseen alkioon kohdistuvan laskutoimituksen osoittavalla kaavalla, esimerkiksi "funktio ".

Esimerkkejä yleisestä määritelmästä

, jolla , on funktio reaalilukujen joukossa. Tässä funktio  liittää jokaiseen reaalilukuun luvun itsensä, ks. Identtinen funktio.
, jolla . Nyt funktio  liittää jokaiseen reaalilukuun tämän luvun neliön.
, jolla , on kahden muuttujan funktio (ks. alla). Funktio  liittää jokaiseen reaalilukupariin lukujen neliöiden summan.

Eksakti määritelmä

Yleensä edellä annettu määritelmä riittää pitkällekin menevissä matematiikan tutkimuksissa ja sovelluksissa. Kuitenkin on tarpeellista joskus määritellä funktio täsmällisemmin kuin lausein ja sanoin. Olkoot jälleen  ja  joukkoja. Tällöin näiden karteesisen tulon osajoukko  on funktio, jos sille pätevät ehdot
ja
Toisin sanoen pari  on funktion  alkio, jos ja vain jos jokaisella kuva-alkiosta  poikkeavilla alkioilla  pari  ei ole funktion  alkio. Siispä funktiossa kukin :n alkio esiintyy tarkalleen kerran :n parin ensimmäisenä alkiona. Funktio on siis erikoistapaus yleisemmistä kaksipaikkaisista relaatioista. Eksaktin määritelmän avulla funktiot  ja  ovat samat, kun ne ovat sama joukko, eli pätee .

Funktion kuvaaja

Funktiota on yleensä tapana mahdollisuuksien puitteissa kuvata myös visuaalisesti. Tämän mahdollistaa funktion kuvaajan käsite. Täsmällisesti jos  on funktio, niin sen kuvaaja on karteesisen tulon  osajoukko
Funktion kuvaaja koostuu siis määrittelyjoukon alkion ja vastaavan arvojoukon alkion muodostamista pareista. Funktion kuvaajan määritelmä on identtinen yllä esitetyn funktion eksaktin määritelmän kanssa.
Esimerkiksi funktion , kuvaaja on määritelmän mukaan karteesisen tulon  osajoukko
Tässä tapauksessa koska joukko  on tavallinen 2-ulotteinen euklidinen avaruus , niin voidaan funktion  kuvaajaa hahmottaa visuaalisesti sijoittamalla tasoon kuvaaja-joukon pisteet kuten oheisessa kuvassa näkyy.

Yhdistetty funktio

Jos ,  ja , niin on määriteltävissä funktio  siten, että . Funktio  on funktioista  ja  yhdistetty funktio ja sitä merkitään .
Jos esimerkiksi ,  ja , niin  ja .

Vektorimuuttujan funktiot ja vektoriarvoiset funktiot

Kun funktion lähtöjoukko on hahmotettavissa useamman joukon karteesiseksi tuloksi, on usein tapana puhua usean muuttujan funktiosta tai vektorimuuttujan funktiosta. Jos , niin funktion  alkioon  liittämää kuva-alkiota  merkitään yleensä . Esimerkiksi ilmanpaine  tietyssä paikassa  ja tietyllä hetkellä on neljän muuttujan (kolme paikkakoordinaattia ja aika) reaaliarvoinen funktio . Tutumpi esimerkki on yhteenlaskufunktio : lukuparin  yksikäsitteinen kuva-alkio  on lukujen  ja  summa, ja sitä merkitään yksinkertaisemmin  (ks. Laskutoimitus).

Vastaavasti funktion palauttama arvo voi olla usean joukon karteesisen tulon alkio. Tällöin on tapana puhua vektoriarvoisesta funktiosta. Esimerkiksi joen virtaussuunta tasokartalla ja nopeus (kaksi arvoa) voidaan ilmoittaa joen suulta mitatun etäisyyden funktiona , missä  on jokin vakio . Erityisesti fysiikassa vektoriarvoisen funktion sijasta puhutaan yleensä vektorikentästä. Esimerkiksi sähkökenttää voi kuvata funktio, joka liittää tiettyyn paikka- ja aika-avaruuden pisteeseen kentän suunnan, eli kyseessä on kuvaus .

Alkeisfunktiot

Matematiikassa ja sen sovelluksissa tavallisimpia reaalimuuttujan  funktioita kutsutaan alkeisfunktioiksi. Alkeisfunktioita ovat ensinnäkin polynomit eli funktiot, jotka määritellään muuttujasta ja vakioista yhteen- ja kestolaskun avulla muodostetuilla laskulausekkeilla. Polynomifunktion  yleinen muoto on 
Polynomifunktioiden erikoistapauksia ovat vakiofunktiot , missä  on jokin vakio, ja identtinen (reaalimuuttujan) funktio . Rationaalifunktiot  määritellään lausekkein, joissa voi esiintyä yhteen- ja kertolaskun lisäksi myös jakolaskuja. Rationaalifunktion laskulauseke voidaan aina saattaa muotoon
eli kahden polynomifunktion osamaaräksi. Koska nimittäjä voi olla nolla, rationaalifunktion määrittelyjoukko ei yleensä voi olla koko reaalilukujen joukko. Kun funktion lausekkeen muodostamisessa saa käyttää myös juurenottoja, funktio on algebrallinen funktio.
Algebrallisten funktioiden lisäksi alkeisfunktioihin luetaan eksponenttifunktiot, logaritmifunktiot, trigonometriset funktiot käänteisfunktioineen ja kaikki näistä yhdistämällä muodostetut funktiot.

Funktiokäsitteen historiaa

Sanan funktio etymologia perustuu latinan verbiin fungi, 'tehdä, toimia, toimittaa'. Sanaa sen matemaattisessa merkityksessä käytti ensimmäisenä saksalainen G. W. Leibniz vuonna 1694. Sveitsiläinen Johann Bernoulli käytti vuonna 1718 merkintää . Merkintää  käyttivät ensi kerran ranskalainen Alexis Claude Clairaut (1713–1765) ja sveitsiläinen Euler vuonna 1734. Funktiolla ymmärrettiin pitkään laskulausekkeen tulosta, mutta jo Eulerilla esiintyy ajatus funktiosta minä hyvänsä lukujen välisenä yhteytenä. Saksalainen Dirichlet esitti vuonna 1837 olennaisesti nykyisen funktion määritelmän, joka ei sido funktiota lukujen laskutoimituksiin.
Erityisesti Cauchyn, Riemannin ja Weierstrassin havainnot kompleksilukumuuttujan kompleksilukuarvoisista funktioista synnyttivät 1800-luvulla funktioteoriaksi kutsutun matematiikan osa-alueen. Sen tutkimus on ollut elinvoimaista Suomessa 1900-luvulla.