Reaalinen projektiivinen taso

Reaalinen projektiivinen taso on eräs ei-orientoituva pinta eli kaksi­ulotteinen monisto, jolla on keskeinen merkitys varsinkin projektiivisessa geometriassa, mutta myös muilla matematiikan aloilla. Tällaista pintaa ei voi tehdä tavallisessa kolmi­ulotteisessa avaruudessa, ellei sen sallita leikkaavan itseään. Sillä on kuitenkin keskeisiä sovelluksia geometriassa, sillä eräs tapa konstruoida reaalinen projektiivinen taso on määritellä se :n origon kautta kulkevien suorien joukkona.

Eri tapoja reaalisen projektiivisen tason konstruoimiseksi

Reaalinen konstruktiivinen taso voidaan määritellä tai konstruoida useilla eri tavoilla, mutta kaikissa tapauksissa sille voidaan määritellä yhtäläinen geometrinen tai topologinen struktuuri.
Reaalista projektiivista tasoa ei kuitenkaan voida upottaa kolmi­ulotteiseen avaruuteen , minkä vuoksi sen kaltaista pintaa ei voida tehdä konkreettisesti esimerkiksi paperista taivuttamalla, leikkaamalla ja liimaamalla. Yleistetyn Jordanin käyrälauseen mukaan nimittäin jokainen :n umpinainen pinta jakaa avaruuden kahteen osaan, sisä- ja ulko­puoleen, mutta ei-orientoituvana, yksi­puolisena pintana reaalinen projektiivinen taso ei tällä tavoin jaa avaruutta. Näin ollen jokainen jatkuva kuvaus reaaliselta projektiiviselta tasolta avaruuteen  "leikkaa itsensä", toisin sanoen projektiivisella tasolla on toisistaan erillisiä pisteitä, joita tässä kuvauksessa kuitenkin vastaa sama piste.

Laajennettu euklidinen taso

Alun perin reaalinen projektiivinen taso on muodostettu lisäämällä tavalliseen euklidiseen tasoon joukko "äärettömän kaukaisia" pisteitä, joissa yhden­suuntaiset suorat leikkaavat toisensa. Jokaista keskenään yhden­suuntaisten suorien joukkoa kohti tasoon lisätään yksi tällainen "äärettömän kaukainen" eli ideaalipiste, jossa suorien ajatellaan kohtaavan. Toisaalta kunkin suoran ajatellaan johtavan kummassakin suunnassa samaan ideaalipisteeseen, minkä vuoksi niitä lisätään kutakin yhden­suuntaisten suorien joukkoa kohti vain yksi, ei kaksi.  Jos suoraa pitkin kuvitellaan kuljettavan ideaali­pisteeseen saakka ja jatketaan sieltä edelleen eteen­päin, päädytään lopulta vastakkaisesta suunnasta takaisin lähtö­pisteeseen.
Tämän konstruktion vuoksi reaalista projektiivista tasoa sanotaan usein myös laajennetuksi euklidiseksi tasoksi.  Sitä ei kuitenkaan pidä sekoittaa funktioteoriassa paljon käytettyyn laajennettuun kompleksi­tasoon, josta se eroaa oleellisesti monessa suhteessa. Laajennetussa kompleksi­tasossa on normaaliin tasoon lisätty vain yksi piste, reaalisessa projektiivisessa tasossa sen sijaan äärettömän monta. Reaalinen projektiivinen taso ei myöskään ole homeo­morfinen pallopinnan kanssa, laajennettu kompleksi­taso sen sijaan on.
Projektiivisen avaruuden Eulerin karakteristika on 1, minkä vuoksi myös sen demigenus (ei-orientoituva genus eli Eulerin genus) on 1.

Boyn pinta – immersio

Vaikka reaalista projektiivista tasoa ei voida upottaa kolmi­ulotteiseen avaruuteen, voidaan se kuitenkin immersioida. Immersio on jatkuva kuvaus, jossa lähtö­avaruuden, tässä tapauksessa projek­tiivisen tason, jokaisella pisteellä on ympäristö, johon rajoitettuna kuvaus on upotus. Boyn pinta on eräs sellainen immersio.
Jos Boyn pintaa kuvataan monitahokkaalla, siinä on aina vähintään yhdeksän sivu­tahkoa.

Roomalainen pinta

Jakob Steinerin roomalainen pinta on eräs projektiivisen tason havainnollistus kolmi­ulotteisessa avaruudessa. Siinä se leikkaa itsensä, toisin sanoen on olemassa pisteitä, jotka projektiivisella tasolla ovat erillisiä mutta joita roomalaisella tasolla vastaa sama piste.
Tetrahemiheksaedri on projektiivista tasoa kuvaava monitahokas, 
jolla on sama perus­rakenne kuin Steinerin roomalaisella pinnalla.

Homogeeniset koordinaatit

Reaalisen projektiivisen tason pisteet voidaan esittää homogeenisilla koordinaateilla. Pisteellä on homogeeniset koordinaatit [x : y : z], missä koordinaattien 
[x : y : z] and [tx : ty : tz] katsotaan tarkoittavan samaa pistettä, olipa t mikä luku tahansa, ei kuitenkaan nolla. Pisteet, joiden koordinaatit voidaan esittää muodossa [x : y : 1], muodostavat tavanomaisen tason , jota sanotaan projektiivisen tason äärellisen osan, kun taas pisteet, joiden koordinaatit ovat  [x : y : 0], ovat niin sanottuja äärettömyydessä olevia pisteitä eli ideaalipisteitä, jotka muodostavat äärettömyydessä olevan suoran. Homogeeniset koordinaatit [0 : 0 : 0] eivät vastaa mitään pistettä.
Myös tason suorat voidaan esittää homogeenisilla koordinaateilla. Projektiivisella suoralla, joka vastaa avaruudessa  tasoa ax + by + cx = 0, on homogeeniset koordinaatit (a : b : c). Täten koordinaatit (a : b : c) ja (da : db : dc) vastaavat samaa suoraa eli ovat ekvivalentit, olipa d mikä luku tahansa, ei kuitenkaan nolla. Niinpä saman suoran eri yhtälöt, jotka ovat muotoa dax + dby + dcz = 0, antavat samat homogeeniset koordinaatit.
Piste [x : y : z] on suoralla (a : b : c), jos ax + by + cz = 0.  Niinpä suorat, joiden koordinaatit ovat (a : b : c), missä a ja b eivät molemmat ole nollia, vastaavat tavan­omaisen tason suoria, koska niihin kuuluu pisteitä, jotka eivät ole äärettömyydessä. Koordinaatteja (0 : 0 : 1) vastaa äärettömyydessä oleva suora, sillä siihen kuuluvat vain ne pisteet, joilla z = 0.

Ideaalipisteet

Projektiivisella tasolla P² suoran yhtälö on ax + by + c = 0, ja kertomalla tämä yhtälö jollakin vakiolla k voidaan siitä muodostaa minkä tahansa tason yhtälö, joka on kohtisuorassa x, y -tason kanssa.
Normalisoidut homogeeniset koordinaatit saadaan valitsemalla z = 1. Kaikki pisteet, joilla z = 1, muodostavat tason. Kuvitellaan, että tätä tasoa katsotaan pisteestä käsin, joka on kauempana origosta z-akselilla ja että sinne on merkitty kaksi yhden­suuntaista suoraa. Siitä pisteestä käsin, jossa katsoja on, katsoja voi (näkökyvystään riippuen) nähdä tasosta vain rajallisen alueen, jonka rajat oheisessa kaaviossa on merkitty punaisella. Jos katsoja etääntyy kyseisestä tasosta z-akselia pitkin mutta katsoo koko ajan origoon päin, hän näkee tasosta suuremman osan. Katsojan näkökentässä alkuperäiset pisteet ovat siirtyneet. Tätä siirtymää voidaan kuvata jakamalla homogeeniset koordinaatit jollakin vakiolla. Oikella olevassa kuvassa ne on jaettu kahdella, joten z:n arvoksi saadaan 0,5.  Jos katsoja menee tarpeeksi kauas, se alue, johon hän on kiinnittänyt katseensa, näyttää lopulta kaukaisuudessa olevalta pisteeltä. Samalla kuitenkin yhden­suuntaisista suorista näkyy yhä suurempi osa. Nämä suorat kohtaavat äärettömyydessä olevalla suoralla (suoralla, joka kulkee origon kautta tasossa z = 0). Tason z suorat ovat ideaalisia pisteitä. Taso z = 0 on äärettömyyessä oleva suora.
Homogeeninen piste (0, 0, 0) on siellä, minne kaikki todelliset pisteet päätyvät, kun tasoa katsotaan äärettömän kaukaa. Se on tasolla z = 0  oleva suora, jossa yhden­suuntaiset suorat kohtaavat.

Duaalisuus

Yhtälössä  xᵀℓ = 0 on kaksi pystyvektoria. Kumpi tahansa niistä voidaan pitää vakiona ja antaa toiselle eri arvoja. Jos piste x pidetään vakiona ja kertoimelle ℓ annetaan eri arvoja, saadaan muita saman pisteen kautta kulkevia suoria.  Jos taas kerroin pidetään vakiona ja vaihdetaan pistettä x, saadaan muut samalla suoralla olevat pisteet. Vektori x vastaa pistettä, koska käytettävät akselit ovat x-, y- ja z-akseli. Jos sen sijaan kertoimia kuvattaisiin akseleilla, joille käytettäisiin merkintää a, b ja c,  pisteistä tulisi suoria ja suorista pisteitä. Jos todistetaan jotakin käyttämällä akseleja x, y ja z, sama argumentti pätee myös akseleille a, b ja c. Tätä ominaisuutta sanotaan projektiivisen tason duaalisuudeksi.

Pisteitä yhdistävät suorat ja suorien leikkaus duaalisuuden avulla

Yhtälöllä xᵀℓ = 0 lasketaan kahden pysty­vektorin sisätulo. Kahden vektorin sisä­tulo on nolla, jos vektorit ovat orto­gonaaliset. Projektiivisella tasolla P² pitseiden x₁ ja x₂ kautta kulkeva suora voidaan esittää pysty­vektorina ℓ, joka toteuttaa yhtälöt x₁ᵀℓ = 0 ja x₂ᵀℓ = 0, toisin sanoen pysty­vektorina ℓ, joka on orto­gonaalinen x₁:n ja x₂:n kanssa. Sellainen vektori saadaan ristitulolla: näiden pisteiden kautta kulkevan suoran homo­geeniset koordinaatit saadaan yhtälöstä x₁ × x₂.  Kahden suoran leikkaus­piste löydetään duaalisuus­periaatetta käyttämällä samaan tapaan, suoria kuvaavien vektorien risti­tulolla ℓ₁ × ℓ₂.

Korkeammat ei-orientoituvat pinnat

Liimaamalla yhteen projektiivisia tasoja perä­jälkeen saadaan ei-orientoituvia pintoja, joilla on korkeampi demigenus. Liimaaminen suoritetaan leikkaamalla jokaisesta pinnasta pieni kiekko ja samastamalla ("liimaamalla") niitä rajoittavat ympyrän­kehät. Liimaamalla täten kaksi projek­tiivista tasoa yhteen saadaan Kleinin pullo.