Nopeuspotentiaali

Nopeuspotentiaali on virtaavan fluidin nopeutta kuvaava potentiaalifunktio. Nopeuspotentiaalin avulla voidaan ratkaista fluidin virtausnopeuden vektorikomponentit, mutta toisaalta se myös yksinkertaistaa joitain virtausmekaniikan ongelmia.
Jos kolmiulotteinen vektorikenttä  on pyörteetön, ts.
,
niin on olemassa skalaarifunktio  siten, että
.
Funktiota  kutsutaan nopeuspotentiaalifunktioksi. Merkintä  tarkoittaa osittaisdifferentiaalioperaattoria (''nabla'').

Virtauksen nopeusvektorikenttä

Pyörteettömän virtauksen nopeuspotentiaalin  tunteminen antaa oitis nopeusvektorin komponentit. Koska
,
missä ,  ja  ovat karteesisen koordinaatiston kantavektorit, niin virtausnopeuden komponentit ovat:
.
Nopeuspotentiaalifunktion  ekvipotentiaaleja (virtausalueessa määritellyt käyrät, joille ) sanotaan virtauksen potentiaaliviivoiksi. Todellisuudessa kolmiulotteisen virtauksen ekvipotentiaalit ovat avaruuden pintoja, mutta kaksiulotteisessa virtauksessa ekvipotentiaalit ovat viivoja.

Eräitä nopeuspotentiaaleja

Esitetään esimerkkeinä joitain yksinkertaisia virtaustilanteita ja niiden nopeuspotentiaalit. Yksinkertaisuuden vuoksi käytetään vain kaksiulotteisia virtauksia, jolloin nopeusvektori on aina muotoa .

Tasainen, yksiulotteinen virtaus

Tarkastellaan virtausta, jossa fluidi liikkuu tasaisella nopeudella positiivisen -akselin suuntaan. Virtauksen nopeus on tällöin kaikkialla
,
missä  on vakio (virtauksen vauhti). Nopeuspotentiaalin osittaisderivaatat ovat tällöin:
Tämä 1. kertaluvun osittaisdifferentiaaliyhtälöpari ratkeaa melko helposti:
,
missä  on vakio. Tärkeintä on havaita, että nopeuspotentiaali ei riipu millään tavoin :stä. Potentiaaliviivojen yhtälö saadaan asettamalla , josta seuraa, että . Virtauksen potentiaaliviivoja ovat siis kaikki -akselin suuntaiset suorat.

Pistemäinen lähde tai nielu origossa

Olkoon koordinaatiston origossa pistemäinen lähde, josta ''pulppuavan'' fluidin tilavuusvirta on  (Seuraavat päätelmät pätevät myös, jos . Tällöin kyseessä on lähteen sijaan nielu). Olkoon lähteen virtaus puhtaasti säteittäistä, eli jokainen virtaviiva osoittaa lähteestä suoraan poispäin. Jos tarkastellaan origon ympärillä virtausaluetta, jonka paksuus -suunnassa on , niin tilavuusvirta jokaisen origokeskisen, -säteisen ympyrän läpi on:
,
missä  on virtauksen säteittäinen vauhti. Tilavuusvirta on vakio säteestä riippumatta, sillä kokoonpuristumattoman fluidin kokonaistilavuus ei voi muuttua sen liikkuessa kauemmas lähteestä (tai nielusta). Ts. fluidia ei voi syntyä tai kadota muualla kuin lähteessä tai nielussa. Näin ollen fluidin vauhti kaikkialla -tasossa on:
.
Viimeistään tässä vaiheessa kannattaa siirtyä osittain napakoordinaatteihin, sillä kaikki ilmiöt tähän mennessä ovat puhtaasti säteittäisiä. Näin ollen lähteen (tai nielun) virtauksen nopeus on (karteesisissa koordinaateissa ja napakoordinaateissa):
missä  on napakoordinaatiston säteittäinen kantavektori. Tästä saadaan virtauksen nopeuspotentiaalin osittaisderivaatat (kun ):

Ylemmän osittaisdifferentiaaliyhtälön ratkaisu on:
missä  on mikä tahansa vain muuttujasta  riippuva derivoituva funktio. Vastaavasti alemman osittaisdifferentiaaliyhtälön ratkaisu on:
missä  on mikä tahansa vain muuttujasta  riippuva derivoituva funktio. Koska kummankin yhtälön ratkaisujen tulee toteutua yhtäaikaa, on ainoa mahdollisuus, että
.
Siispä nopeuspotentiaali on:
Asetetaan , josta seuraa välttämättä, että  (tai karteesisissa koordinaateissa ). Virtauksen potentiaaliviivoja ovat siis kaikki origokeskeiset ympyrät.

Vorteksi

Vorteksi on virtaus, jossa fluidi kiertää origoa (tai muuta kiinteää pistettä) ympyränmuotoisella radalla. Napakoordinaateissa vorteksin virtauksen nopeus on:
,
missä  ja  kuvaa virtauksen vauhtia vorteksin keskeltä mitatun etäisyyden funktiona. Valitsemalla , missä , saadaan virtaus, jota kutsutaan vapaaksi vorteksiksi:
Vaikka vorteksi on helppo mieltää pyörteelliseksi virtaukseksi, ei vapaa vorteksi kuitenkaan sitä ole. On melko yksinkertaista osoittaa, että vapaalle vorteksille pätee  (kun ), joten nopeuspotentiaali on olemassa. Tällöin:
Ylemmän osittaisdifferentiaaliyhtälön ratkaisu on:
missä  on mikä tahansa vain muuttujasta  riippuva derivoituva funktio. Alemman osittaisdifferentiaaliyhtälön ratkaisu on:
missä  on mikä tahansa vain muuttujasta  riippuva derivoituva funktio. Kummankin yhtälön tulee toteutua yhtä aikaa, mikä on mahdollista esimerkiksi, jos
.
Siispä nopeuspotentiaali on:
Asetetaan , josta seuraa välttämättä, että  (tai karteesisissa koordinaateissa ). Virtauksen potentiaaliviivoja ovat siis kaikki origon kautta kulkevat suorat.