Yleistetty lineaarinen malli

Linkkifunktion valinta

Linkkifunktion valintaan vaikuttaa vastemuuttujan tyyppi ja jakauma. Linkkifunktio valitaan siis aineistoon sopivaksi. Sellaista linkkifunktiota, jolle pätee ηᵢ = g(µᵢ) = θᵢ, kutsutaan kanoniseksi linkkifunktioksi ja sen käyttö helpottaa laskemista. Tämä on kätevää, jos kanoninen linkkifunktio sopii aineistoon riittävän hyvin, mutta linkkifunktion kanonisuus ei ole perustelu sen sopivuudelle. Normaalijakaumaan lineaarisella mallilla kanoninen linkkifunktio on identtinen eli g(µᵢ) = µᵢ. Binomijakauman kanoninen linkkifunktio on logistinen g(µᵢ) = log[µᵢ/(1- µᵢ)].

Mallintaminen ja mallin sopivuuden tarkastelu

Mallintamisen prosessi alkaa jo tutkimusasetelman muodostamisesta ja otoksen poimimisesta. Suunnittelu on erityisen tärkeä vaihe, koska se määrää pitkälti sen, millainen ja kuinka hyvä malli aineiston pohjalta voidaan muodostaa. Aineiston keruun jälkeen valitaan mallityyppi, estimoidaan se ja tarkastellaan vielä mallin sopivuutta. Lopuksi tehdään johtopäätökset ja kirjoitetaan aiheesta raportti.
Lähtökohtaisesti on tärkeää, että malliin on valittu vastemuuttujan tyypille sopiva linkkifunktio. Huolellisenkin mallin valinnan jälkeen voi kuitenkin käydä niin, että malli istuu huonosti aineistoon. Mallin sopivuutta aineistoon voidaan tutkia erilaisilla kriteereillä. Erityisesti kannattaa kiinnittää huomiota, mallin jäännösten vaihteluun, ylihajontaan, poikkeaviin ja puuttuviin havaintoihin sekä selittäjien kykyyn selittää vastemuuttujan vaihtelua. Jos mukana on useampia kilpailevia malleja, kannattaa lisäksi vertailla näiden mallien niin sanottuja informaatiokriteereitä (AIC ja BIC).

Ylihajonta

Devianssi on luonnollinen mittari mallin sopivuuden tarkastelulle. Kun malli sopii täydellisesti aineistoon, sen devianssi on nolla. Eli mitä pienempi on devianssi, sitä paremmin malli toimii aineistoissa. Kun hajontaparametri Ф on tunnettu (binomi- ja Poisson-mallit), voidaan skaalatun devianssin avulla tutkia onko Ф:n arvo aineistossa oikea. Ylihajonnalla tarkoitetaan sitä, että aineistosta estimoitu hajontaparametri on suurempi kuin oletettu. Binomi- ja Poisson-malleille reilusti vapausasteita (n-p) suuremmat devianssiarvot viittaavat ylihajontaan.

Poikkeavat ja puuttuvat havainnot

Poikkeavat ja puuttuvat havainnot saattavat vaikuttaa huomattavasti mallin sopivuuteen. Poikkeavat havainnot voivat huonontaa mallin sopivuutta kahdella tavalla; ne ”vääntävät” mallin sovitetta ja vaikuttavat regressiokertoimiin tai niiden jäännökset ovat selkeästi muita suurempia. Poikkeavia havaintoja voidaan tutkia muun muassa Cookin mitan tai vipuvoiman avulla.
Puuttuvat tiedot ovat ongelma, jos niitä on paljon ja etenkin, jos kadon ja vastemuuttujan Y välillä on yhteys (MNAR). Puuttuvien tietojen käsittelemättä jättäminen on hyväksyttävää, jos kato on satunnaista ja sitä on vain vähän. Muussa tapauksessa puuttuvat havainnot kannattaa joko asianmukaisesti imputoida tai mallintaa aineisto erikseen puuttuvien ja havaittujen havaintojen kesken.

AIC ja BIC

Akaiken informaatiokriteerin (AIC) ja Bayesilaisen informaatiokriteerin (BIC) avulla voidaan vartailla kilpailevia malleja. Mallia, jolla on pienin AIC (tai BIC), pidetään parhaana.

Mallin soveltaminen eri tilanteissa

Vastemuuttujan jakauma mallia varten ja mallin linkkifunktio pitää valita aina aineistoon sopivaksi. Koska yleistetyt lineaariset mallit ovat laaja malliperhe, eri tilanteisiin sopivat erilaisen mallit jakaumineen ja linkkifunktioineen.

Esimerkki mallin soveltamisesta R:ssä

R-ohjelmistolla voidaan helposti estimoida erilaisia yleistettyjä lineaarisia malleja. Mallissa pitää määritellä vastemuuttuja ja selittävät muuttujat, eksponenttiperheen muoto, linkkifunktio ja käytetty aineisto. Jos linkkifunktio jätetään ilmoittamatta, ohjelmisto käyttää automaattisesti kanonista linkkiä.
Esimerkki mallin estimoimisesta:
 glm(y~x1+x2, family=poisson(link=”log”), data = aineisto)
Lisätietoa yleistetyn lineaarisen mallin sovittamiseen R:ssä saa komennolla:
 ?’glm’