Indianan pii-lakiehdotus

Indianan pii-lakiehdotus (engl. Indiana Pi Bill) on nimitys, jota on käytetty Yhdysvaltain Indianan osavaltion edustajainhuoneelle vuonna 1897 esitetystä lakialoitteesta nro 246. Ehdotuksen virallinen nimi oli Lakiehdotus uudeksi matemaattiseksi totuudeksi, ja se oli yksi huomattavimmista milloinkaan tehdyistä yrityksistä vahvistaa matemaattinen totuus lainsäädäntöteitse. Tästä nimityksestä huolimatta ehdotuksen tarkoituksena ei niinkään ollut vahvistaa virallisesti hyväksyttyä arvoa luvulle π (pii) vaan menetelmä ympyrän neliöimiseksi. Ehdotetun menetelmän voidaan kuitenkin katsoa merkitsevän, että samalla myös luvulle pii olisi tullut vahvistetuksi useitakin virallisia, joskin matemaattisesti virheellisiä arvoja. Toisinaan mainitaankin Indianan edustajainhuoneen päättäneen äänestyksellä, että piin arvo on de jure 4.
Ehdotusta ei koskaan vahvistettu laiksi, sillä asiaan puuttui Purduen yliopiston professori C. A. Waldo, joka sattui olemaan paikalla edustajainhuoneessa sinä päivänä, jolloin asiasta äänestettiin.
Ympyrän neliöimistä pelkästään harpin ja viivoittimen avulla epäiltiin mahdottomaksi jo antiikin aikana, ja vuonna 1882 Ferdinand von Lindemann lopullisesti todisti asian. Jo antiikin aikana piille myös tunnettiin tarkempia likiarvoja kuin lakiehdotuksesta on johdettavissa.

Ehdotuksen sisältö

Lakiehdotuksen sisältö oli seuraava:
Lakiehdotus, joka esittelee uuden matemaattisen totuuden, joka on tarkoitettu käytettäväksi opetuksessa. Se annetaan ilmaiseksi ainoastaan Indianan osavaltiolle, jolle muiden on maksettava korvaus, edellyttäen että edustajainhuone sen hyväksyy ja ottaa virallisesti käyttöön vuonna 1897.
Osa 1: Indianan osavaltion edustajainkokous on päättänyt: On havaittu, että ympyrän pinta-alan suhde sen kehän pituisen janan neliöön on sama kuin tasasivuisen suorakulmion pinta-alan suhde sen sivulle piirrettyyn neliöön. Nykyinen käytäntö pitää halkaisijaa yksikköpituutena ympyrän pinta-alaa laskettaessa on täysin väärä, koska sen mukaan ympyrän pinta-ala olisi 1 1/5 kertaa sen neliön pinta-ala, jonka ympärysmitta on yhtä suuri kuin ympyrän kehä. Näin on, koska halkaisijan viidesosa ei sisälly neljä kertaa ympyrän kehään. Esimerkiksi: jos kerromme neliön ympärysmitan neljäsosalla mistä tahansa viivasta, joka on viidenneksen suurempi kuin neliön sivu, voimme samaan tapaan saada neliön pinta-alan näyttämään viidesosan suuremmalta kuin se on, kuten onkin tehty käytettäessä halkaisijaa pituusyksikkönä ympyrän kehän neljäsosan sijasta.
Osa 2: On mahdotonta laskea ympyrän pinta-alaa käyttämällä halkaisijaa pituusyksikkönä menemättä ympyrän ulkopuoliselle alueelle siinä määrin, että mukaan tulee otetuksi alue, jonka pinta-ala on viidesosa ympyrän kehän sisäpuolisesta alueesta, koska halkaisijan neliö tuottaa sellaisen neliön sivun, jonka pituus on 9, kun 90 asteen kaaren pituus samoina yksikköinä on 8. Mikäli otamme ympyrän kehän neliön yksikköpituudeksi, täytämme sekä ympyrän neliöinnin että kehän suoristamisen vaatimukset. On lisäksi paljastunut, että 90 asteen kulman jänteen ja kaaren suhde on seitsemän suhde kahdeksaan, ja neliön halkaisijan ja sivun suhde on kymmenen suhde seitsemään. Tästä seuraa neljäs tärkeä seikka, että halkaisijan ja kehän suhde on viiden neljäsosan suhde neljään. Näistä seikoista sekä siitä, että nykyisin käytössä oleva sääntö ei matemaattisesti toimi, se pitäisi hylätä puutteellisena ja käytännön sovelluksissa harhaanjohtavana.
Osa 3: Lisätodisteena tekijän opetukselle tekemän lahjoituksen arvosta ja lahjaksi Indianan osavaltiolle tarkoitaan vielä seuraava seikka: American Mathematical Monthly, matemaattisen ajattelun johtava lehti, on jo hyväksynyt tekijän ratkaisut kulman kolmiajaolle, kuution kahdentamiselle ja ympyrän neliöimiselle. Muistettakoon, että tieteelliset tahot jo kauan sitten hylkäsivät mainitut ongelmat ratkaisemattomina mysteereinä, joita ihmismieli ei voi koskaan ymmärtää.

Ehdotuksen tausta ja käsittelyvaiheet

Vuonna 1894 indianalainen lääkäri ja harrastelijamatemaatikko Edward J. Goodwin (n. 1825–1902) uskoi keksineensä menetelmän ympyrän neliöimiseksi ja sai asiasta julkaistuksi artikkelin American Mathematical Monthly -lehdessä, tosin huomautuksella, että se julkaistiin kirjoittajan pyynnöstä. Indianan edustajainhuoneessa asia otettiin käsittelyyn Posey Countyn edustaja Taylor I. Recordin aloitteesta 18. tammikuuta 1897.
Kun asia esiteltiin edustajainhuoneelle, ehdotuksen kieliasu ja aihe hämmensivät sen jäseniä. Eräs Bloomingtonista valittu edustaja ehdotti, että siitä olisi kerrottava finanssivaliokunnalle, mutta muiden jäsenten ehdotuksesta se päätettiin lähettää kanavavaliokunnalle, jota nimitettiin myös suomaiden valiokunnaksi, mahdollisesti sen vuoksi, koska asian oletettiin liittyvän maanmittaukseen, tai toisten arvelujen mukaan siksi, että siellä ehdotus ”tulisi ansaitsemallaan tavalla haudatuksi”. Kanavavaliokunta kuitenkin siirsi asian opetusvaliokunnan käsiteltäväksi, ja tämä suositteli sitä hyväksyttäväksi ja palautti sen edustajainhuoneelle. Helmikuun 5. päivänä edustajainhuone hyväksyi ehdotuksen yksimielisesti äänin 67-0.
Indianapoliissa ilmestynyt saksankielinen lehti Der Tägliche Telegram julkaisi asiaa koskeneen uutisen ja siihen liittyneen hätääntyneen vastineen paljon kielteisempään sävyyn kuin paikalliset englanninkieliset lehdet.
Viisi päivää myöhemmin lakiehdotus tuli Indianan senaatin käsittelyyn. Tuntemattomaksi jääneestä syystä se lähetettiin raittiusvaliokuntaan, joka suositteli sitä hyväksyttäväksi. Ensimmäisessä käsittelyssä lakiehdotus meni senaatissa läpi ilman kommentteja. Mutta samaan Purduen yliopiston professori C. A. Waldo saapui Indianapolikseen vastaanottamaan vuotuisen apurahansa Indiana Academy of Scienceltä. Muuan edustajainhuoneen jäsen perehdytti hänet lakiehdotukseen ja lupasi esitellä hänelle sen neron, joka oli sen kirjoittanut. Professori kieltäytyi sanoen, että hän oli jo tavannut niin monta hullua ihmistä, ettei enemmistä olisi väliksi. Hän piti senaatin jäsenille aiheesta luennon, ja toisessa käsittelyssä 12. helmikuuta lakiehdotuksen käsittely päätettiin lykätä määräämättömäksi ajaksi. Muuan senaattori totesikin, ettei ollut edustajainhuoneen vallassa määritellä matemaattista totuutta. Sanomalehdet kuten Chicago Tribune ja Indianapolis News alkoivatkin kirjoitella asiasta pilkalliseen sävyyn.

Piin likiarvot

Vaikka lakiehdotus tuli tunnetuksi ”pii-lakiehdotuksena”, sen tekstissä ei termiä pii esiinny lainkaan, ja näyttääkin siltä, että Goodwin piti ympyrän kehän ja halkaisijan suhdetta päätavoitteeseensa, ympyrän neliöimiseen verrattuna toissijaisena kysymyksenä. Ehdotuksen toisen osan lopussa sanotaankin:
On lisäksi paljastunut, että 90 asteen kulman jänteen ja kaaren suhde on seitsemän suhde kahdeksaan, ja neliön halkaisijan ja sivun suhde on kymmenen suhde seitsemään. Tästä seuraa neljäs tärkeä seikka, että halkaisijan ja kehän suhde on viiden neljäsosan suhde neljään.
Tämä kuitenkin merkitsee käytännössä samaa kuin jos väitettäisiin, että  ja että neliön halkaisijan ja sivun suhde eli kakkosen neliöjuuri olisi .
Usein on sanottu, että Goodwinin väitteet olisivat ristiriidassa, paitsi alkeis­geometrian tosiasioiden, myös toistensa kanssa ja että niissä ei ole mitään järkeä. Tätä vastaan voidaan kuitenkin huomauttaa, että nämä kohdan 3 väitteet sopivat hyvin keskenään yhteen, vaikka ovatkin matemaattisesti virheellisiä. Ilmeisesti neliön lävistäjän ja sivun suhdetta koskeva väitteen on katsottava koskevan nimenomaan ympyrän sisään piirrettyä neliötä, jonka lävistäjänä on ympyrän halkaisija, ei sen säteelle piirrettyä neliötä, jonka halkaisijana on 90 asteen kaari. Ympyrä ja sen sisään piirretty neliö yhdessä muodostavat oheisen kuvion, jossa ympyrän halkaisija oli 10 ja sen kehän väitettiin olevan 32; 90 asteen jänteen taas väitettiin olevan 7. Nämä molemmat arvot, jänteen pituus 7 ja kehän pituus 32, poikkeavat kumpikin vain muutaman prosentin verran todellisista arvoistaan, kun ympyrän halkaisija on 10, mistä kuitenkaan ei seuraa, vaikka Goodwin niin väitti, että nämä arvot olisivat tarkkoja. Itse asiassa kehän pituus on tällöin noin 31,4159 ja lävistäjä luvun 50 (25+25) neliöjuuri, joka on noin 7,071.

Ympyrän pinta-ala

Goodwinin pääasiallinen tavoite ei ollut mitata ympyrän kehän tai jänteiden pituuksia vaan ympyrän neliöiminen, toisin sanoen sellaisen neliön löytäminen, joka olisi pinta-alaltaan yhtä suuri kuin annettu ympyrä. Hän tiesi, että Arkhimedeen lauseke ympyrän pinta-alalle, halkaisija kerrottuna kehän neljäsosalla, ei riittänyt ratkaisuksi tähän vanhaan probleemaan. Tehtävänä oli nimittäin konstruoida kyseinen neliö pelkästään harpilla ja viivoittimella, eikä Arkhimedes tarjonnut menetelmää sellaisen janan piirtämiseksi, joka olisi yhtä pitkä kuin annetun ympyrän kehä. Tästä keskeisestä vaatimuksesta Goodwin kuitenkin oli selvästi tietämätön; hän luuli, että vikana Arkhimedeen lausekkeessa olisi, että se antaisi tuloksena väärän lukuarvon ja että vanha probleema voitasiin ratkaista korvaamalla se ”oikealla” lausekkeella. Lakiehdotuksessaan hän esitti ilman perusteluja oman ehdotuksensa:
On havaittu, että ympyrän pinta-alan suhde sen kehän pituisen janan neliöön on sama kuin tasasivuisen suorakulmion pinta-alan suhde sen sivulle piirrettyyn neliöön.
Sanonta on ilmeisesti tarpeettoman mutkikas, koska ”tasasivuinen suorakulmio” on määritelmän mukaan neliö. Yksinkertaisemmin sanottuna tässä väitettiin, että ympyrän pinta-ala on yhtä suuri kuin sellaisen neliön, jonka ympärysmitta on sama. Tämä väite johti kuitenkin matemaattisiin ristiriitoihin, jotka Goodwin yritti ratkaista. Niinpä heti edellä mainitun osuuden jälkeen lakiehdotuksessa sanottiin:
Nykyinen käytäntö pitää halkaisijaa yksikköpituutena ympyrän pinta-alaa laskettaessa on täysin väärä, koska sen mukaan ympyrän pinta-ala olisi 1 1/5 kertaa sen neliön pinta-ala, jonka ympärysmitta on yhtä suuri kuin ympyrän kehä.
Jos Goodwinin arvot ympyrän kehälle ja halkaisijalle hyväksytään, yllä olevan malliympyrän pinta-alaksi saataisiin Arkhimedeen lausekkeen mukaan 80, mutta Goodwin väitti sen olevan 64. Luku 64 tosiaan on viidesosan pienempi kuin 80, ja Goodwin ilmeisesti päätteli virheellisesti, että koska 64 = 80 · (1-1/5), on 80 = 64 · (1+1/5); tällainen likiarvo kuitenkin pätee edes suunnilleen vain, jos käytetty murtoluku on paljon pienempi kuin 1/5.
Goodwinin säännöllä laskettu ympyrän pinta-ala on π/4 kertaa sen todellinen pinta-ala, minkä vuoksi pii-lakiehdotuksen on usein tulkittu merkitsevän, että π:lle olisi aiottu virallisesti hyväksyä arvo 4. Guinnessin ennätystenkirjan eräissä painoksissa tätä on sanottu ”π:n epätarkimmaksi likiarvoksi”. Goodwin ei kuitenkaan esittänyt sellaista väitettä; päin vastoin hän useita kertoja kiistää, että ympyrän pinta-alalla olisi mitään tekemistä sen halkaisijan kanssa.
Pinta-alan lausekkeen 1-π/4 suhteellinen virhe on noin 21 %, mikä on paljon suurempi kuin edellä mainittujen janojen ja kehän pituuksien suhteellinen virhe. Ei tiedetä, mikä sai Goodwinin uskomaan, että hänen sääntönsä olisi oikea. Yleensä kuviot, joilla on sama ympärysmitta, eivät ole pinta-alaltaan yhtä suuret. Tyypillisenä esimerkkinä voidaan mainita hyvin pitkä ja kapea suorakulmio, jota verrataan neliöön, jolla on sama ympärysmitta. Tällöin pitkän ja kapean suorakulmion pinta-ala lähestyy nollaa sen pituuden kasvaessa, vaikka ympärysmitta pysyy samana ja neliön pinta-ala on paljon suurempi.