Brillouinin vyöhyke

Brillouinin vyöhyke on matematiikassa ja varsinkin kiinteän olomuodon fysiikassa käänteishilan alkeiskoppi. Samaan tapaan kuin suoraa hilaa esittävä Bravais'n hila todellisessa avaruudessa voidaan jakaa Wigner–Seitzin soluihin, voidaan käänteishila jakaa Brillouinin vyöhykkeisiin. Niiden väliset rajat ovat käänteishilan läpi kulkevia tasoja. Brillouinin vyöhykkeillä on keskeinen merkitys kiinteän olomuodon fysiikassa erityisesti siitä syystä, koska jaksollisessa väliaineessa etelevät aallot voidaan kuvata Blochin aaltoina, ja tällöin osoittautuu, että ratkaisuja luonnehtii täydellisesti se, miten ne käyttäytyvät yhdessä ainoassa Brillouinin vyöhykkeessä.
Tärkein hilan Brillouinin vyöhykkeistä on ensimmäinen Brillouinin vyöhyke.  Se määritellään niiden käänteis­avaruuden pisteiden joukoksi, jotka ovat lähempänä käänteis­hilan origoa kuin mitään muuta käänteis­hilan hila­pistettä. Yhtäpitävästi se voidaan määritellä niiden k-avaruuden pisteiden joukoksi, joihin voidaan päästä origosta leikkaamatta yhtäkään Braggin tasoa. Samalla se on origoa ympäröivä Voronoin solu käänteishilassa.
On olemassa myös toinen ja kolmas Brillouinin vyöhyke ja niin edelleen. Ne vastaavat sarjaa erillisiä, tilavuudeltaan yhtä suuria alueita kasvavilla etäisyyksillä origosta, mutta niitä käytetään harvemmin. Ensimmäistä Brillouinin vyöhykettä sanotaankin usein yksin­kertaisesti Brillouinin vyöhykkeeksi. Yleisesti n:s Brillouinin vyöhyke käsittää ne käänteis­avaruuden pisteet, joihin pääsee origosta leikkaamalla täsmälleen n − 1 eri Braggin tasoa.
Brillouinin vyöhykkeeseen läheisesti liittyvä käsite on redusoitumaton Brillouinin vyöhyke. Koska ensimmäisellä Brillouinin vyöhykkeellä yleensä on symmetriaominaisuuksia, se voidaan jakaa keskenään yhteneviin alueisiin. Redusoitumaton Brillouinin vyöhyke saadaan tällä tavoin ottamalla huomioon ensimmäisen Brillouinin vyöhykkeen kaikki symmetriat.
Brillouinin vyöhykkeen käsitteen kehitti ranskalainen fyysikko Léon Brillouin (1889–1969).

Esimerkkejä

Koska pintakeskisen kuutiollisen (FCC) hilan käänteishila on tilakeskinen kuutiollinen (BCC), on pintakeskisen kuutiollisen hilan Brillouinin vyöhyke saman muotoinen kuin tila­keskisen kuutiollisen hilan Wigner–Seitzin solu, katkaistu oktaedri. Vastaavasti tila­keskisen kuutiollisen hilan Brillouinin vyöhyke on saman muotoinen kuin pinta­keskisen kuutiollisen hilan Wigner–Seitzin solu,  rombidodekaedri.

Fysikaalinen merkitys

Fysikaaliselta merkitykseltään käänteishilan pisteet vastaavat kiteessä etenevien aaltojen mahdollisia aaltovektoreita. Käänteishila ja siihen liittyvä Brillouinin vyöhyke on kiinteän olomuodon fysiikan keskeisimpiä käsitteitä. Niiden merkitys kiinteiden aineiden teoriassa on niin perustava, että niitä on verrattu Maxwellin yhtälöihin, sillä niistä voidaan johtaa suuri osa koko teoriasta, samoin kuin koko sähkömagnetismin teoria voidaan johtaa Maxwellin yhtälöistä.

Kiteen atomien värähtelyt

Tutkittaessa kidehilassa esiintyviä, atomien värähtelystä aiheutuvia kimmoaaltoja voidaan yleensä rajoittua käsittelemään aaltoja, joiden aaltovektori sisältyy ensimmäiseen Brillouinin vyöhykkeeseen, sillä aallot, joiden aaltovektori on tämän ulkopuolella, voidaan käsittää ekvivalenteiksi jonkin Brillouinin vyöhykkeessä olevan aallon kanssa.  Tämä on ehkä helpoimmin ymmärrettävissä tarkasteltaessa yksiulotteista atomiketjua.
Olkoon ketjussa atomien välimatka vakio r.  Sen suoran hilan pisteitä ovat tällöin suoran pisteet nr, missä n on mielivaltainen kokonaisluku. Ketjun käänteishilan muodostavat k-avaruuden pisteet  Näin ollen sen ensimmäisen Brillouinin vyöhykkeen muodostaa väli 
Tarkastellaan kahta tällaisessa ketjussa etenevää aaltoa, joiden aaltovektorit ovat  ja  ja joilla on sama amplitudi A. Tällöin näistä ensimmäinen on ensimmäisellä Brillouinin vyöhykkeellä, jälkimmäinen sen ulkopuolella. Näiden aaltojen aallonpituudet ovat  ja   Olkoon m mielivaltainen kokonaisluku, jolloin mr on jokin ketjuun kuuluva hilapiste, toisin sanoen jonkin atomin sijaintipaikka. 
Jos kiteessä etenee aalto, jonka aaltovektori on  ja jos sen vaihekulma origossa jollakin hetkellä on , pisteessä mr olevan atomin poikkeama tasapainopisteestä samalla hetkellä on . Jos aallon aaltovektori onkin , saman atomin poikkeama tasapainopisteestä samalla hetkellä onkin  =   Tämä on kuitenkin sama kuin ensimmäisenkin aallon tapauksessa, koska n on kokonaisluku ja sinifunktio saa saman arvon, kun sen argumenttiin lisätään  kerrottuna millä tahansa kokonaisluvulla. Nämä aallot ovat siis aina samassa vaiheessa jokaisen hilapisteen eli atomin kohdalla, eikä sillä, missä vaiheessa ne ovat hilapisteiden välissä, ole fysikaalista merkitystä. Jälkimmäinen aalto on siis ekvivalentti edellisen kanssa, jonka aaltovektori on ensimmäisellä Brillouinin vyöhykkeellä.