Tilastotiede

Tilastotiede on todennäköisyyslaskentaan perustuva tieteenala, joka tutkii tilastollisten aineistojen keräämistä, käsittelyä ja tältä pohjalta tehtävää päättelyä. Tilastotieteen avulla voidaan mitata havaintoja ja käsitellä mittausten muodostamia aineistoja, ja tilastotiede tuo siten empiriaa erilaisiin tutkimuksiin. Tilastotieteen tulosten pohjalta tehtävä päättely on induktiivista päättelyä eli aineiston pohjalta pyritään yleistämään asioita yksittäisestä yleiseen. Havaintoaineistoja voidaan myös hankkia tietyllä aikavälillä eli tuottaa aikasarja. Tilastotiede voidaan jakaa teoreettiseen ja soveltavaan tilastotieteeseen. Tilastotiedettä käytetään tilastollisten tutkimusten tekemiseen ja nämä jaetaan määrällisiin (kvantitatiivisiin) ja laadullisiin (kvalitatiivisiin) tutkimuksiin. Tilastotieteen harjoittajaa kutsutaan tilastotieteilijäksi.
Tilastotiedettä sovelletaan monilla tutkimusaloilla, joihin kuuluvat esimerkiksi luonnon-, yhteiskunta- ja humanistiset tieteet. Tilastollisella päättelyllä on tärkeä osuus tieteellisessä hypoteesin testauksessa. Tilastotiedettä käytetään myös teollisuudessa. Tilastotiedettä hyödynnetään myös valtion ja kuntien virallisissa tilastoissa sekä kansantalouden tilan selvittämisessä, ja historiallisesti julkinen valta oli ensimmäinen tilastojen hyödyntäjä. Vuonna 1749 laadittiin Suomen ensimmäinen väestötilasto. Suomessa Tilastokeskus tuottaa valtaosan Suomen virallisista tilastoista. Muita tilastoviranomaisia Suomessa ovat Terveyden ja hyvinvoinnin laitos, Luonnonvarakeskus sekä Tulli. Myös Suomen Pankki tuottaa merkittävän määrän virallisia tilastoja.
Kun tilastotieteen menetelmiä käytetään havaitun aineiston esittämiseen, on kyse kuvailevasta tilastotieteestä. Kun kuvailusta siirrytään aineiston tarkasteluun tai mallinnukseen siten, että aineiston epävarmuus ja havaintojen satunnaisuus otetaan huomioon, puhutaan tilastollisesta päättelystä. Näissä molemmissa tapauksissa on kyse soveltavasta tilastotieteestä. Matemaattinen tilastotiede keskittyy puolestaan tarkastelemaan tilastotieteen teoreettista perustaa. Tilastotieteessä keskeisiä asioita ovat otantamenetelmät, mitta-asteikot, keskiluvut sekä vaihtelun ja riippuvuuden tunnusluvut. Tilastollisten tutkimusten tekeminen edellyttää suunnitelmallisuutta tutkimussuunnitelman muodossa, koska se luo pohjan sille, mitä kerätystä aineistoista voidaan lopulta saada irti.

Lähestymistapa

Tilastotieteen soveltaminen tarkasteltavaan tieteelliseen, teolliseen tai yhteiskunnalliseen ongelmaan alkaa populaation  määrittelyllä. Kyseessä voi olla jonkin maan väestö tai tehtaan valmistamat tuotteet. Toisaalta voidaan havainnoida aineistoa tuottava prosessi eri ajankohtina, jolloin kyseessä on aikasarja.
Aineistoa on tavallisesti mahdollista kerätä vain populaation osajoukosta, jolloin tutkimuksen kohteena on otos. Otoksesta voidaan kerätä aineistoa joko havainnoiden tai kokeellisessa asetelmassa. Kun aineisto on kerätty, siitä tehtävä analyysi voidaan jakaa kuvailuun ja päättelyyn, jotka tosin liittyvät usein toisiinsa läheisesti.

Aineiston kuvailu

Kuvaileva tilastollinen analyysi on havaitun aineiston esittämistä joko numeerisesti tai graafisesti. Havaitusta aineistosta voidaan laskea tunnuslukuja, jotka kuvaavat muuttujien ominaisuuksia, kuten sijaintia, hajontaa, vinoutta tai huipukkuutta.
Tyypillisiä sijaintia kuvaavia tunnuslukuja ovat moodi, minimi, maksimi, mediaani, kvantiilit, sekä erilaiset keskiarvot. Usein käytettyjä vaihtelua kuvaavia tunnuslukuja ovat keskihajonta, varianssi, kvartiiliväli ja vaihteluväli. Yleinen tapa esittää aineistoa tiivistetysti on esittää kustakin muuttujasta minimi, maksimi, ala- ja yläkvartiilit sekä mediaani. Näistä viidestä tunnusluvusta piirrettyä kuvaajaa kutsutaan viiksilaatikkokuvaajaksi. Yksittäisen muuttujan jakaumaa voidaan kuvailla graafisesti esimerkiksi histogrammilla. Histogrammin sijasta voidaan käyttää myös ydinestimaattoria, joka voidaan nähdä histogrammin yleistyksenä.
Usein ollaan kiinnostuneita myös kahden tai useamman muuttujien välisistä riippuvuussuhteista. Lineaarista riippuvuutta voidaan mitata esimerkiksi kovarianssilla tai korrelaatiolla. Muita riippuvuutta kuvaavia tunnuslukuja ovat muun muassa Kendallin järjestyskorrelaatiokerroin ja Spearmanin järjestyskorrelaatiokerroin. Kahden muuttujan välistä riippuvuutta voidaan havainnollistaa graafisesti sirontakuviolla.

Tilastollinen päättely

Tilastollisessa päättelyssä pyritään yleistämään aineiston perusteella saatuja tuloksia koko perusjoukkoon. Havaintoihin liittyy usein satunnaisuutta ja tilastollisen päättelyn tavoitteena onkin selvittää, että voiko aineistossa havaittu ilmiö selittyä pelkällä satunnaisvaihtelulla. Päättelyyn voi kuulua esimerkiksi mallin parametrien estimointi sekä tunnuslukujen laskeminen ja niiden tilastollisen merkitsevyyden testaus.

Frekventistinen päättely

Frekventistisessä tilastotieteessä ajatellaan, että tapahtuman todennäköisyys on tapahtuman suhteellinen osuus, kun toistojen määrä lähestyy  ääretöntä. Näin ollen todennäköisyys on määritelty vain toistettavissa olevien tilanteiden mielessä. Esimerkiksi mallien parametrit ajatellaan kiinteiksi luvuiksi, joilla ei siis ole todennäköisyysjakaumaa. Sen sijaan frekventistisessä päättelyssä lasketaan usein, että kuinka todennäköistä on havaita havaitun kaltaisia tunnuslukujen arvoja jostain tietystä tilanteesta.
Suuri osa nykyään käytössä olevista tilastotieteen käsitteistä, kuten harha, tunnusluvun keskivirhe, p-arvo ja luottamusväli, on alun perin määritelty frekventistisessä tilastotieteessä.

Lotto

Lotossa pelaaja valitsee yhteen riviinsä seitsemän numeroa 39 vaihtoehdon joukosta. Arvonnassa 39 numeron joukosta valitaan 7 numeroa ja 3 lisänumeroa. Voittoluokat ovat 7 oikein, 6 oikein + lisänumero, 6 oikein, 5 oikein ja neljä oikein. Tarkasteltaessa sitä, kuinka monta erilasta lottoriviä on olemassa, on selvitettävä kuinka monella tavalla seitsemän numeroa voidaan valita 39 joukosta. 39 numerosta voidaan muodostaa 39*38*37*...*2*1 erilaista yhdistelmää. Lukusarjaa kutsutaan 39:n kertomaksi, 39!. Vastaavasti seitsemästä luvusta voidaan muodostaa 7! erilaista yhdistelmää. Riviin kuulumattomat 32 numeroa voidaan valita 32! eri tavalla. Erilaisten seitsemän numeroa sisältävien rivien määrä voidaan laskea seuraavasti: 39!/(7!*32!) = 15 380 937. Erilaisia lottorivejä on siis reilut 15 miljoonaa. Samalla laskukaavalla voidaan selvittää myös kuinka monta erilaista voittoyhdistelmää on. Erilaisia neljä oikein yhdistelmiä voidaan seitsemän oikean numeron joukosta muodostaa 7!/(4!*3!) = 35 kappaletta. Arpomatta jääneet kolme numeroa voidaan lisäksi valita 32!/(3!*29!) = 4 960 tavalla. Erilaisten neljä oikein rivien määrä saadaan näiden tulosten tulona eli 35*4 960 = 173 600. Samalla kombinaatioihin perustuvalla menetelmällä saadaan erilaisten voittoyhdistelmien lukumäärät:
7 oikein 1
6+1 oikein 21
6 oikein 203
5 oikein 10 416
4 oikein 173 600
Todennäköisyys sille, että yhdellä rivillä voittaa yhdellä kierroksella jotain voidaan laskea jakamalla kaikkien voittoyhdistelmien summa erilaisten rivien lukumäärällä eli (1 + 21 + 230 + 10 416+ 173 600) / 15 380 937 = 0.012 eli hieman yli 1%. Koska jokaisella rivillä tapahtuu varmasti jompikumpi tapahtuma, joko tulee voitto tai ei tule voittoa, on niiden yhteenlaskettu todennäköisyys yksi. Todennäköisyys olla voittamatta mitään voidaan laskea vähentämällä voittotodennäköisyys yhdestä. Yhden rivin todennäköisyys olla voittamatta on siis 1 - 0.012 = 0.988 eli 98.8%.

Tietokonetomografia

Lääketieteellisissä tutkimuksissa  käytetään (esim. syöpäkasvaimia  etsittäessä) apuna tietokonetomografiaa. Menetelmän avulla ihmisen kudoksista tai elimistä tuotetaan tomografi-nimisellä laitteella ns. viipale- tai tasokuvia. Kuvat perustuvat sähkömagneettisen tai hiukkassäteilyn mittaamiseen säteilyn kulkiessa kudosten tai elinten läpi. Kuvaa muodostettaessa tomografiin ohjelmoitu algoritmi ratkaisee inversio-ongelmaksi kutsutun matemaattisen ongelman, joka voidaan luontevimmin tulkita bayeslaisten tilastollisten menetelmien
muodostamassa kehikossa.

Kyselytutkimukset

Kyselytutkimusten suunnittelussa, toteutuksessa ja tulosten analysoinnissa sovelletaan tilastollisista menetelmistä mm. otantaa, estimointia ja testausta. Esimerkiksi ihmisten mielipiteitä erilaisiin yhteiskuntaa koskeviin kysymyksiin voidaan selvittää kyselytutkimuksilla. Kohteeksi poimitaan tyypillisesti 1000 – 2000 suomalaista, ja tavoitteena on tehdä kyselyn tulosten perusteella johtopäätöksiä mielipiteiden jakautumisesta kaikkien suomalaisten joukossa. Kyselyn tulokset voidaan yleistää koskemaan kaikkia suomalaisia, jos kyselyn kohteiksi poimittujen suomalaisten joukko muodostaa edustavan pienoiskuvan suomalaisista. Pienoiskuva on edustava, jos mielipiteet jakautuvat kyselyn kohteiksi poimittujen joukossa samalla tavalla kuin kaikkien suomalaisten muodostamassa perusjoukossa. Kyselyn kohteiden valinta arpomalla on ainoa menetelmä (satunnaisotanta), joka mahdollistaa edustavan pienoiskuvan saamisen. Arvonnan käyttö kyselyn kohteiden poiminnassa merkitsee sitä, että kyselyn tulokset ovat satunnaisia: Jos arvontaa toistettaisiin, kysely tuottaisi (suurella todennäköisyydellä) joka kerran erilaiset tulokset, koska eri arvonnoissa kyselyyn poimittaisiin (suurella todennäköisyydellä) eri henkilöt. Jos kyselyn kohteiden poiminnassa on käytetty satunnaisotantaa, kyselyn tuloksiin sisältyvälle epävarmuudelle ja satunnaisuudelle voidaan muodostaa tilastollinen malli, joka mahdollistaa sekä kyselyn tulosten yleistämisen että yleistyksen luotettavuuden arvioinnin.

Ajoneuvotilastot

Suomessa Trafi  ja Tilastokeskus muun muassa laativat ajoneuvo- ja ajokorttitilastoja. Ajoneuvoliikennerekisterin ajoneuvotietoja julkaistaan rekisterissä olevien ja liikennekäytössä olevien ajoneuvojen määrinä. Tilastojen perusteella tehdään erilaisia päätelmiä esimerkiksi kansantalouden tilasta. Taloustilanteen ollessa huono ajoneuvoja ei hankita tai uusita yhtä paljon kuin paremmassa taloustilanteessa.

Viralliset tilastot, väestötieteen perusteet, indeksit ja kansantalouden tilinpito

Tilastokeskuksen ja muiden tahojen tuottamat viralliset tilastot kuvaavat maan taloudellisia ja sosiaalisia oloja, kuten sekä tulonjakoa ja yritystoimintaa. Myös väestönkehitystä kuten syntyvyyttä, kuolevuutta ja muuttoliikettä sekä työmarkkinatilannetta kuvataan erilaisien tilastojen avulla. Tilastotieteen menetelmiä sovelletaan myös erilaisten indeksien, kuten hinta-, kustannus- ja määräindeksien, laskemisessa. Kansantalouden tilinpito on kansantalouden toimintaa  kuvaava tilastojärjestelmä, joka perustuu kansainvälisiin sopimuksiin. Sen avulla voidaan kuvata historiaa ja nykytilaa sekä tehdä erilaisia kansainvälisiä vertailuja.