Ydin (algebra)

Ydin liittyy matematiikassa hyvin moniin eri osa-aloihin ja siksi sen määritelmä vaihtelee tapauksen mukaan. Kuva liittyy oleellisesti siihen, miten kuvaus, relaatio tai muu yhteys käsitellään. Kuvauksia tarkastellessa ydin on niiden alkukuvien joukko, jotka kuvautuvat nollaksi. Nollalla on usein erityinen merkitys, se voi kuvata muun muassa nolla-avaruutta tai laskutoimituksen neutraalialkiota.
Lineaarialgebrassa kuvaus vektoriavaruuksien välillä voidaan kuvata matriisien avulla ja muunnoksen kuva ja ydin liittyvät muunnosyhtälöryhmien ratkeavuuteen ja dimensioihin.  Lineaarisilla kuvauksilla on suuri merkitys jo siksi, että analyysin perusoperaatiot derivaatta ja integraali ovat lineaarisia kuvauksia. Myös lineaarisia yhtälöryhmiä voidaan käsitellä lineaarisina kuvauksina.
Algebran kannalta lineaarikuvaus vektoriavaruuksien välillä liittyy laskutoimituksiin yhteen- ja kertolasku, sekä niiden neutraalialkioihin. Ne muodostavat ryhmähomomorfismin, tällöin ydin on niiden alkioiden kuva, jotka kuvautuvat neutraalialkiolle.

Kuvaus ja ydin

Kuvaus liittää joukon alkiot toisen joukon alkioihin yksikäsitteisesti. Joukkoja merkitään isoilla kirjaimilla, esim. A, B, U, V jne. Kuvausta merkitään yleensä f:llä (tai F:llä). Lähtöjoukon alkio x liittyy maalijoukon alkioksi f(x) , merkitään x→ f(x), jota voidaan myös merkitä y:ksi. x:ää kutsutaan alkukuvaksi ja maalijoukon alkioista muodostuu kuvajoukko, jota merkitään Im(f) tai Im f. Alkukuvaa voidaan merkitä f ⁻¹(y)=x. Ydin on niiden lähtöjoukon pisteiden joukko, jotka kuvautuvat maalijoukon nollaan ja sitä merkitään Ker(f)  tai Ker f. Voidaan käyttää myös merkintää N(f) .

Joukko-oppia ja ydin

Kuvausta kutsutaan surjektioksi, kun lähtöavaruuden kuva on koko maalijoukko. Kuvaus on injektio, kun jokainen kuva-alkio on sama kuin toinen kuva vain, kun alkukuvat ovat samat. Jos kuvaus on sekä surjektio että injektio, se on bijektio. Lineaarinen kuvaus, joka on bijektio on isomorfismi, jonka lähtö- ja kuva-avaruuksien dimensiot ovat samat. Lineaarikuvaus on injektio silloin ja vain silloin, kun Ker (f)  on nolla-alkio.

Lineaarikuvaus ja ydin

Lineaarikuvaus kahden vektoriavaruuden välillä (alkiot vektoreita) välittää alkukuvan kertomisen vakiolla maalijoukon alkioon, joka saadaan samalla vakiolla kertomalla. Alkukuvien summa kuvautuu maalijoukossa kuvien summaksi. Yhdistettynä voidaan kirjoittaa L( t₁ x₁ + t₂ x₂ ) = t₁ L(x₁) + t₂ L(x₂), jossa L antaa kuvauksen lain, t₁ ja t₂ ovat reaalilukuja ja x₁ ja x₂ ovat vektoreita.
Lineaarikuvauksessa nimitetään ytimeksi kaikkien niiden lähtöjoukon pisteiden joukkoa, jotka kuvautuvat maalijoukon origolle. Ydintä merkitään Ker (L)=L⁻¹ (0).
Kun vektoriavaruudet ovat äärellisiä, lineaarikuvausta voidaan kuvata käyttämällä yhtälöryhmiä, jossa kuvaus L : Rⁿ → Rᵐ kuvaa n-ulotteisen vektorin m-ulotteiseksi vektoriksi:
yᵢ = aᵢⱼ xⱼ,  i = 1, … , m.
Muuttujat x₁ , ... , xₙ  ovat riippumattomia muuttujia ja y₁ , ... , yₘ ovat riippuvia muuttujia, luvut aᵢⱼ ovat kertoimia. Vektoriavaruus voi olla laajemmin rationaalinen, reaalinen tai kompleksinen, riippuen kertoimista aᵢⱼ. Muunnos voidaan esittää myös tauluesityksen avulla ja kirjoittaa matriisiesityksen avulla, y=Ax, jossa A on kertoimien muodostama matriisi. Sitä voidaan kutsua myös tensoriksi. Muunnos voidaan kirjoittaa auki:
 =
.
Ytimen etsiminen vastaa tällaisen yhtälöryhmän ratkaisemista ja kuvan etsiminen niiden pisteiden etsimistä, joilla yhtälöryhmä ratkeaa. Ratkaisu voidaan käyttää täysin vaihdettua taulua eli ratkaistaan, miten riippumattomat muuttujat voidaan lausua riippuvien avulla. Tällöin saadaan ratkaisuna ytimelle ja kuvalle joko nolla, asteluvultaan pienempi aliavaruus tai koko avaruus. Ytimen ja kuvan asteluvun summa on lähtöavaruuden asteluku. Kuva-avaruuden dimensio eli ulottuvuus on A:n aste.
Lineaarista yhtälöryhmää vastaa homogeeninen lineaarinen yhtälöryhmä
aᵢⱼ xⱼ=0,  i = 1, … , m.
Sen ratkaisu on N(A) eli A:n ydin. Jono (0, ... ,0) on homogeenisen yhtälön banaali ratkaisu ja se voi olla ainoa ratkaisu, näin on kun A on injektio.
Kun lähtöavaruuden dimensio on n ja maalijoukon p, kuvausmatriisin A aste on r, muodostavat homogeenisen yhtälön ratkaisut  (n-r) -ulotteisen vektoriavaruuden ja vastaavan transponoidun homogenisen yhtälöryhmän  (p-r) -ulotteisen vektoriavaruuden. Tärkeä erikoistapaus on n=p, jolloin A on säännöllinen, sen determinantti on nollasta eroava ja ydin on banaaliratkaisu eli nolla-alkio.
Mikäli banaali ratkaisu ei ole ainoa homogeenisen yhtälön ratkaisu, tulee ortogonaalisuusehdon täyttyä, eli kaikki transponoidun homogeenisen yhtälön ratkaisuvektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Vektoreita sanotaankin lineaarisesti riippuviksi, mikäli ne voi lausua toistensa lineaarikombinaationa.
Lineaarimuunnosta muistuttaa affiini kuvaus, jossa lisätään vielä vektori b: y=Ax+b. Affiini kuvaus kuvaa suorat suoriksi, tasot tasoiksi jne.

Algebra ja lineaarikuvaus

Ryhmän alkiot ovat liitännäisiä eli assosiatiivisia laskutoimituksen τ suhteen, kun (xτy)τz=xτ(yτz). Alkion neutraalialkiolle e pätee x=xτe ja käänteisalkiolle y pätee xτy = yτx = e. Abelin ryhmälle pätee lisäksi vaihdannaisuus xτy=yτx eli kommutatiivisuus. Kun f:E→E'  on kuvaus algebrallisten struktuurien (E,τ) ja (E',τ') välillä s.e. f(xτy)=f(x)τ'f(y), on se homomorfismi. Bijektiivinen homomorfismi on isomorfismi. Jos lisäksi E=E', se on automorfismi. Kun f(xτy)=f(x)τf(y) on kuvaus f ryhmähomomorfismi. Kun e on neutraalialkio E:ssä ja e’ E’:ssa, on Ker f =f⁻¹(e’) ja Im f = f E.
Vektorialkioiden välillä voidaan laskea summa ja tulo, se on siis näiden alkioiden suhteen rengas, jonka ykköselementti on identtinen kuvaus. Summan suhteen kuvaus on myös Abelin ryhmä. Kun kuvauksella on vektoriavaruuden ja renkaan struktuuri, se on algebra.
Renkaan elementeille voidaan määritellä potenssit. Jos sen arvo on nollavektori, on se nilpotentti. Vektoriavaruuden alkioille voidaan määritellä potenssilausekekehitelmiä, projektioita, ominaisarvoja ja -vektoreita sekä kantoja. Tärkeä tapaus ovat ortogonaaliset eli kohtisuorat kannat. Jos lisäksi kannan alkioille on määritetty normi (kuvaa pituutta), joka on 1 kaikille kannan alkioille, on kanta ortonormaali. Yksi tärkeä erikoistapaus ovat Fourier’n sarjat (funktio esitetään ortonormaalin kannan ja Fourier-kertoimien avulla).

Ytimestä lisäksi muilla matematiikan aloilla

Ytimen käsite voidaan liittää myös laajempiin tapauksiin, joissa neutraalialkiota ei ole tai integraalilaskentaan, jossa kahden muuttujan muodostama integraalin ydin määrittelee muunnoksen, kuten esimerkiksi Greenin funktio lämmönjohtumiselle. Tärkeä erikoistapaus on konvoluutio ja sen ydin, jossa integraalimuunnoksen ydin riippuu muuttujien differenssistä.
Todennäköisyysteoriassa ja tilastotieteessä ydin on stokastisen prosessin siirtymäfunktio. Sitä käytetään muun muassa signaalinkäsittelyssä. Ytimen avulla voidaan epälineaarinen operaattori muuntaa lineaariseksi. Diskreetti funktio (esimerkiksi mittaustulos) voidaan muuntaa konvoluution avulla sarjaksi. Funktioita voidaan käsitellä esittämällä ne kompleksilukusarjoina, jota käytetään funktioiden analyyttisyyttä tutkittaessa.