Kolmion sisään ja viereen piirretyt ympyrät

Kolmion sisään- ja viereen piirretyt ympyrät ovat geometriassa kolmion sivuja, tai niiden jatkeita, sivuavien ympyröiden lyhennetyt nimitykset. Sisään piirretyllä ympyrällä (joskus myös sisäympyrä) tarkoitetaan ympyrää, joka sivuaa kaikkia kolmion sivuja yhdessä pisteessä. Viereen piirretyllä ympyrällä (joskus myös vierusympyrä) tarkoitetaan ympyrää, joka sivuaa kolmion yhtä sivua ulkoisesti yhdessä pisteessä ja tämän sivun viereisten kummankin sivujen jatketta yhdessä pisteessä. Asetelmasta johtuu, että sisäympyröitä on vain yksi ja vierusympyröitä on aina kolme. Huomaa, että kolmion ympäri piirrettyä ympyrää voidaan kutsua myös ulkoympyräksi.
Näitä nimityksiä käytetään suomalaisessa kirjallisuudessa vain satunnaisesti, koska niiden käyttö ei ole vakiintunutta. Sisäympyrällä on muissa kielissä monia samantapaisia vastineita engl. incircle, saks. Inkreis ja ital. incerchio. Sisään piirretyllä ympyrällä on vastaavasti vastineita tansk. indskriven cirkel, ruots. inskriven circel , esp. circunferencia insctita, ransk. cercle inscrit ja holl. ingeschreven circle. Viereen piirretylle ympyrälle on engl. excircle, esp. circulos exinscritos, saks. Ankreis, holl. aangeschreven circel, ven. Вневписанная окружность ja ruots. vidskriven circel. Suomalaiset vastineet voivat olla näiden suoria käännöksiä tai omia kuvailevia nimityksiä.

Kulmanpuolittajat

Viereen piirretyn ympyrän keskipiste (kuvassa EA), jota voidaan kutsua ulkokeskukseksi , sijaitsee kolmion vastaisen kulman A kulmanpuolittajalla. Myös kolmion ulkokulmien B ja C kulmanpuolittajat kulkevat ulkokeskuksen kautta.
Kolmion sisäympyrän sivuamispiste ei välttämättä ole viereisen ympyrän sivumaispisteessä.

Mittenpunkt

Mittenpunkt  on geometriassa kolmioon ja sitä sivuaviin ympyröihin liittyvä merkillinen piste. Sitä kutsutaan yleisesti eri kielissä nimellä Mittenpunkt, koska se merkitsee saksankielessä keskipistettä, mikä on liian tavallinen termin käytettäväksi geometriassa. Termillä ei ole suomalaista vastinetta, joten sen nimenä on jouduttu käyttämään samaa nimeä Mittenpunkt. Mittenpunkt merkitään piirroksissa tunnuksella D tai M tai lyhennetään Kimberlingin merkinnöin .
Kolme suoraa, jotka leikkaavat toisensa Mittenpunktissa, kulkevat kukin ympyränsä ulkokeskuksen (viereen piirretyn ympyrän keskipiste, engl. excentral) ja sen sivuaman kolmion sivun keskipisteen kautta.

Huomattavaa

Mittenpunkt on pisteen  isogonaalinen konjugaatti.

Yhdeksän pisteen ympyrä

Feuerbach todisti, että yhdeksän pisteen ympyrällä on enemmän erikoispisteitä kuin vain yhdeksän. Neljä lisäpistettä saadaan siitä ominaisuudesta, että yhdeksän pisteen ympyrä sivuaa kaikkia konstruktion ympyröitä kerran.

Historia

Mainittu geometrinen konstruktio oli mielenkiinnon alla 1800-luvulla kolmion geometrian uuden tulemisen aikoihin. Silloin keksittiin muun muassa lukuisia uusia kolmion merkillisiä pisteitä, kehitettiin tasogeometriassa käytettävät trilineaariset koordinaatit ja barysentriset koordinaatit ja luotiin muutenkin uusia menetelmiä geometrian algebralliseen laskentaan. Näiden sovellukset ovat nykyään tietoneanimaation ja 3D-grafiikan alalla. Christian von Nagel Saksasta, Ulmin kaupungista, tutki kolmion vierus- ja sisäympyröitä vuonna 1836 löytäen Nagelin pisteen lisäksi Mittenpunktina tunnetun pisteen. Hän esitti erässä julkaisussa todistukset Nagelin-, Gergonnen- ja Mittenpunktin pisteiden olemassaolosta.