Variogrammi

Variogrammi eli variogrammifunktio on stokastiikassa ja tilastotieteessä käytettävä riippuvuuden määrän ilmaisemiseen käytettävä mitta. Stokastisissa prosesseissa, jotka muistuttavat esimerkiksi aikasarjoja, käytetään autokorrelaatiota prosessin sisäisen riippuvuuden mittaamiseksi. Satunnaiskentissä, jotka muodostetaan moniston \mathbb{R}^n avulla, satunnaismuuttujien väliset riippuvuus ilmaistaan spatiaalisen autokorrelaation avulla. Korrelaatiota ilmaisevan variogrammin rinnalla käytetään myös korrelogrammia ja kovarianssifunktiota.
Kovarianssia käytetään sellaisten satunnaiskenttien yhteydessä, joilla on olemassa äärelliset odotusarvot ja toiset momentit. Jos toiset momentit ovat äärettömät, voidaan vielä käyttää variogrammia riippuvuuden määrän ilmaisemiseen. Variogrammeja käytettiin aluksi kaivosteollisuuden parissa geostatistiikassa, jonka puitteissa havaittiin, kuinka satunnaiskentän toinen momentti kasvoi kaivosalueen laajetessa liikaa. Variogrammien käyttö mahdollisti erityisesti kriging-estimoinnin, jolla suunniteltiin kaivoksen tuotantoa, mutta sen käyttö on levinnyt muillekin ympäristön suureita estimoiville aloille.
Semivariogrammi on variogrammin puolikas, vaikka joissakin teksteissä nämä kaksi sekoitetaan toisiinsa. Tässä artikkelissa variogrammia merkitään 2\gamma ja semivariogrammia \gamma (lue: "gamma"). Vaikka variogrammilla on tärkeä asema geostatistiikan teoriassa, käytetään kuitenkin sovelluksissa lähinnä semivariogrammia.

Stationääriset satunnaiskentät

Näin määriteltynä huomioidaan se mahdollisuus, että variogrammilla voi olla eri arvoja jokaisen lähiympäristön pisteparin välillä. Käytännön sovellutuksissa tällainen teoreettinen variogrammi ei ole käyttökelpoinen, sillä sen selville saaminen näytteitä tutkimalla on epätodennäköistä. Optimaalinen toive on, että satunnaiskenttä on jossakin määrin stationäärinen.
On olemassa tilastollisia testejä riippuvuuksien paljastamiseksi. Eräs sellainen on Mantelin testi.

Variogrammin tulkinta

Variogrammi antaa tavallisesti pienimmän arvon satunnaismuuttujille, jotka sijaitsevat lähellä toisiaan. Niiden riippuvuus on suurta ja sen vuoksi niiden saamat arvot ovat lähellä toisiaan. Silloin satunnaismuuttujien erotuksen varianssi on myös pieni. Riippuvuus vähenee, kun satunnaismuuttujat etääntyvät toisistaan, jolloin variogrammin arvot suurenevat. Variogrammin arvo origossa onkin nolla ja se kasvaakin varsin yleisesti etäisyyden kasvaessa.

Variogrammin estimaattori

Variogrammin arvojen estimointi suoritetaan laskemalla sen arvoja näytteistä suoritetulla otoksella. Otos muodostetaan valikoimalla sopivan etäisyyden päässä toisistaan olevia näytteitä. Jos mitattava suure ei toista itseään (temperospatiaaliset satunnaismuuttujat) vaan se esiintyy pitkän aikaa samanlaisena, sanotaan sillä olevan vain yksi käytettävissä oleva reaalisaatio eli ulostulo. Silloin tulee satunnaiskentän olla stationäärinen ja kaikki näytteet edustavat tulkinnan mukaan samalla tavalla jakautuvia satunnaismuuttujia. Silloin näistä muodostettu variogrammi on luotettava riippuvuuden mitta. Satunnaismuuttujien Z(x) reaalisaatioita merkitään tässä z(x).

Esimerkki

Eräs varhaisia krigingin sovelluskohteita oli geologinen malminarviointi. Siinä kallioon kairataan syviä reikiä, joiden kiviytimet nostetaan maanpinnalle analysoitavaksi. Tutkimuksissa kairauksia on voitu tehdä satoja ja niiden analysoitujen ytimien osat muodostavat tuhansien näytteiden tietokannan. Koska kunkin näytteen sijainti kalliossa tunnetaan, voidaan niiden arvot hyödyntää riippuvuusanalyysissä ja krigingestimoinnissa. Näytteistä lasketaankin estimointia varten semivariogrammit, joista tutkitaan riippuvuuden laatu ja vaikutusala.