Potenssi

Potenssi on matemaattinen lyhennysmerkintä, jolla esitetään saman luvun toistuva kertolasku. Esimerkiksi kolmen 2:n tulo  lyhennetään . Toistuvaa lukua kutsutaan kantaluvuksi ja toiston lukumäärää eksponentiksi, jolloin merkinnässä  luku 2 on kantaluku ja luku 3 on eksponentti. Tällöin sanotaan, että luku 2 korotetaan potenssiin 3. Arkipäiväisemmin sanotaan myös "kaksi potenssiin kolme", "kaksi kolmanteen potenssiin" tai lyhyemmin "kaksi kolmanteen".
Yleisesti voidaan merkitä kantaluvun  korottamista potenssiin : . Merkintää voidaan lukea myös "a potenssiin n", "a n:nteen potenssiin" tai "a:n n:s potenssi".

Käsitteitä ja merkintätapoja

Luvun  toista potenssia eli  kutsutaan usein luvun  neliöksi ja vastaava kolmatta potenssia  kuutioksi. Siten merkintä  voidaan lausua "luvun neljä neliö" eli "neljän neliö" ja  "luvun neljä kuutio" eli "neljän kuutio".
Erityisesti laskimissa käytetään luvun kymmenen potensseille erityistä merkintäänsä. Esimerkiksi  merkitään 1E+2, joka tarkoittaa . Luku 1 on siis kerroin, kirjain E ilmoittaa, että on kyse kymmenen potensseista, ja +2 tarkoittaa kymmenen positiivista eksponenttia kaksi. Vastaavasti merkittäisiin esimerkiksi  muodossa 2,3E+6.

Eksponenttina nolla

Potenssin tulkinta kertolaskun kautta ei kerro, mitä luvun nollas potenssi olisi: eihän ole olemassa tuloa, jossa on 0 tulon tekijää. Mikäli halutaan, että luku voidaan korottaa myös nollanteen potenssiin, täytyy sopia, mitä nollannella potenssilla tarkoitetaan. 
Periaatteessa tämä sopimus voitaisiin tehdä täysin mielivaltaisesti, mutta useimmissa tapauksissa edellä esitetyt potenssin laskusäännöt eivät pätisi nollansilla potensseilla. Kun sovelletaan toista laskusääntöä potenssiin , jossa  on nollasta eroava reaaliluku, saadaan
Siis luvun nollannen potenssin on oltava aina 1, mikäli halutaan laskusäännön  pätevän myös tapauksessa . Siksi määritellään
kaikilla nollasta eroavilla reaaliluvuilla . Näin määritellen myös muut potenssin laskusäännöt ovat voimassa nollansille potensseille.
Luvun nolla nollannelle potenssille laskusäännöt eivät kuitenkaan anna vastaavia rajoitteita. Siksi  onkin epämääräinen muoto eli se jätetään yleisesti määrittelemättä. Joissain erikoistapauksissa kuten binomikaavan ja potenssisarjojen yhteydessä määritellään kuitenkin toisinaan .

Negatiivinen eksponentti

Samoin kuin nollas potenssi määritellään myös negatiiviset kokonaislukupotenssit pyrkimällä säilyttämään potenssin laskusäännöt. Olkoon  positiivinen kokonaisluku ja  nollasta eroava. Jotta sääntö  pätisi myös, kun , tulee olla
Toisin sanoen määritellään luvun  :s negatiivinen kokonaislukupotenssi luvun  käänteisluvuksi. Näin määritellen ovat muutkin potenssin laskusäännöt voimassa negatiivisen kokonaislukueksponentin tapauksessa.

Eksponenttina rationaaliluku

Seuraavaksi yleistetään potenssin käsite kaikille rationaalisille eksponenteille, jotta voidaan puhua esimerkiksi potensseista  ja . Vaaditaan yhä, että edellä esitellyt potenssin laskusäännöt säilyvät voimassa. 
Olkoon  positiivinen kokonaisluku ja  positiivinen reaaliluku. Laskusäännön  nojalla on määriteltävä siten, että
Siis  on se luku, jonka :s potenssi on  itse. Tällaista lukua kutsutaan luvun  :nneksi juureksi. Määritellään sen tähden
Olkoon sitten  mikä tahansa kokonaisluku. Vaatimalla, että potenssin potenssia koskeva laskusääntö pätee myös potenssille , saadaan
Tämän mukaisesti määritellään siis  kaikilla . Myös kaikki muut potenssin laskusäännöt ovat voimassa tällaisella rationaalisen eksponentin määrittelyllä.

Miksi kantaluvun on oltava positiivinen?

Rationaalisen eksponentin tapauksessa on esitetty rajoitus . Siis esimerkiksi  ja  eivät ole määriteltyjä lausekkeita. Jos kantaluvulle  sallittaisiin negatiivisia arvoja, jouduttaisiin seuraavanlaiseen ristiriitaan:
 
Koska , on joko kiellettävä murtolukueksponenttien laventaminen (ja myös supistaminen) tai sitten rajoituttava vain ei-negatiivisiin kantalukuihin. Jälkimmäinen valinta on luonnollisempi.
Myöskään nolla ei ole sovelias arvo rationaalipotenssin kantaluvulle. Jos nimittäin eksponentti on negatiivinen, päädytään jakamaan nollalla.

Eksponenttina irrationaalinen luku

Potenssiinkorotus on edellä määritelty siten, että eksponentti voi olla mikä rationaaliluku hyvänsä. Voidaan osoittaa, että mitä tahansa irrationaalilukua voidaan arvioida mielivaltaisen tarkasti rationaaliluvuilla. Siksi jokaista irrationaalilukua  kohden on olemassa rationaalilukujen jono  siten, että jono suppenee kohti lukua . Tällöin myös jono  suppenee riippumatta positiivisesta reaaliluvusta . Irrationaalinen potenssi voidaan täten määritellä raja-arvona
Voidaan osoittaa, että potenssin laskusäännöt ovat voimassa myös irrationaalisen eksponentin tapauksessa. Näin on potenssiinkorotus määritelty kaikilla eksponentin reaalisilla arvoilla. Irrationaalinen eksponentti voidaan määritellä myös infimumin ja supremumin avulla seuraavasti. Olkoon  irrationaaliluku.
Kun , määritellään
Kun , määritellään

Potenssiin perustuvia funktioita

Potenssifunktiossa potenssimerkinnän kantaluku on muuttuja ja eksponentti vakio. Potenssifunktiot ovat yksinkertaisia funktioita, joilla on kuitenkin lukuisia sovelluksia mallinnuksessa. Eksponenttifunktiossa potenssimerkinnän eksponentti on muuttuja ja kantaluku vakio. Myös eksponenttifunktiolla on monia sovelluksia, minkä takia näitä funktioita voidaan pitää tärkeimpinä yleisfunktioina matematiikassa.