Luonnollinen luku

Luonnolliset luvut muodostavat lukujoukon , mutta joskus mukaan otetaan pienimmäksi luvuksi nolla eli . 
Luonnollisia lukuja ovat tavalliset arkipäiväiset luvut, joilla ilmaistaan lukumäärää ("minulla on kuusi omenaa") tai sijoittumista ("tulin kolmantena maaliin"). Nykyään on tavallista nimittää eli nominalisoida kohteita numeroilla ("tulin ensin bussilla 32 ja vaihdoin sitten 6:een"). Positiivisten kokonaislukujen yhteenlaskeminen perustuu luonnollisiin lukuihin, josta matematiikan moninaisuus on alkujaan lähtöisin.

Käyttö

Luonnollisilla luvuilla on kolme päätarkoitusta. Niillä ilmaistaan kohteiden lukumääriä eli kardinaalia sanomalla esimerkiksi "pöydällä on kolme omenaa". Luvuilla voidaan nimetä asioita kuten esimerkiksi bussilinjat numeroilla ("linja 32"). Vielä luvuilla voidaan ilmaista järjestystä eli ordinaalia. Esimerkiksi urheilussa ilmaistaan maalintulojärjestys kirjaamalla nopeimmalle numero yksi, toiseksi nopeimmalle numero 2 ja niin edelleen. Myös asioimisen vuoronumerot ovat ordinaalilukuja.

Lukujen ilmaiseminen ja laskeminen

Kielissä on erilliset nimet eli lukusanat pienille luvuille. Suomen kielessä nämä kardinaalilukusanat ovat yksi, kaksi, kolme, ..., yhdeksän ja kymmenen. Järjestysluvuilla on monissa kielissä eri nimet. Suomessa nämä ordinaalilukusanat ovat ensimmäinen, toinen, kolmas, ..., yhdeksäs ja kymmenes. Suuremmat kymmenjärjestelmän luvut ilmaistaan yhdistelemällä kymmenluvut ja yksikköluvut toisiinsa. Esimerkiksi luku 23 sanotaan kaksikymmentä kolme. Suuremmissa luvuissa otetaan käyttöön omat lukusanat, vaikka lukujen numeraaliset merkinnät säilyttävät yksinkertaisuutensa.
Muinoin, mikä lukujen historiassa tarkoittaa kivikautta, kun eri ihmisryhmät puhuivat tuhansia erilaisia kieliä, kaupankäynnissä lukumäärien ilmaisemiseen on varmasti käytetty erilaisia universaaleja tapoja. Vieläkin eri kansat ilmaisevat sormillaan, käsillään ja muilla viittomilla numeroita ja lukumääriä. Helpompia ymmärtää ovat sormimerkit, mutta käytössä on edelleen lukusanojen viittomia, joilla voi ilmaista tuhansia ellei suurempiakin lukuja.
Sormilla myös lasketaan, sillä luvun muistaminen sormien asennoista on kätevää. Sormet ja maahan piirretyt apuviivat auttavat suurtenkin lukujen yhteenlaskemisessa. Tiedetään kuitenkin, että laskemisessa on käytetty runsaasti erilaisia apuvälineitä. Yleisin apuväline ovat olleet pussillinen pikkukiviä tai siemeniä, joilla lukumäärät tai laskettavat luvut muistetaan laskuoperaation aikana. Antiikin kreikkalaiset käyttivät laskutauluja, kiinalaiset helmitauluja ja laskusauvoja ja niin edelleen. Myös mekaanisia koneita on käytetty laskutoimituksien apuna. Nykyiset elektroniset laskimet ovat kuitenkin syrjäyttäneet edellä mainitut menetelmät.

Lukujen ominaisuuksia

Lukuteoria tutkii luonnollisten lukujen syvällisempiä ominaisuuksia kuten esimerkiksi alkulukujen jakaumaa. Nämä ominaisuudet ovat perusteltavissa logiikan avulla. 
Lukuihin liitetään myös muita ominaisuuksia. Muinaiset kreikkalaiset pythagoralaiset kirjoittivat perinteitään muistiin ja uskoivat itsekin luvuilla oleviin mystisiin ja kosmisiin ominaisuuksiin. Taikauskon lisäksi monet pääuskonnoista sisältävät erilaisia lukuihin perustuvia rituaaleja. Tiedetään myös, että luvut ovat olleet osana uskonnollisten menojen harjoittamisessa useissa luonnonuskonnoissa.

Lukujoukkojen intuitiivinen perusta

Luonnollisia lukuja käsitetään intuitiivisesti lukumääriä ilmaisevaksi lukujoukoksi. Se, kuuluuko luku nolla luonnollisiin lukuihin, vaihtelee tämän takia tarpeen mukaan. Nollan puuttuminen joukosta yksinkertaistaa joitakin laskulakeja, toisinaan sitä tarvitaan joskus yksinkertaistamaan niitä. Jos nolla kuuluu joukkoon, merkitään joukkoa, ja ellei, sitä merkitään tai. Joukkoa on kutsuttu myös käsitteellä epänegatiiviset kokonaisluvut.

Järjestetty joukko

Koska luonnolliset luvut edustavat määrää, on se luonnostaan järjestetty joukko, jossa järjestysrelaatiolla voidaan ilmaista luonnollisten lukujen kaksi tärkeintä ominaisuutta. Kun kaksi lukua verrataan, saadaan aina joko tai tai. Tätä ominaisuutta kutsutaan trikotomiaksi. Jos tarkastellaan kolmea luonnollista lukua, joille pätee ensin ja, niin silloin voidaan päätellä myös, että. Tätä ominaisuutta kutsutaan transitiivisuudeksi. Järjestysrelaation toiminnasta johtuu se, että luonnolliset luvut, ja kaikki sen osajoukot, ovat hyvinjärjestetty lukujoukko.

Mahtavuus

Käytännön laskemisessa luonnollisia lukuja käytetään asioiden luettelointiin ja määrien ilmaisemiseen. On siis olemassa suurin luku, jota tähän tarvitaan. Matematiikassa kuitenkin oletetaan, että luku voi olla kuinka suuri hyvänsä, sillä jo yhteenlasku summaa suuret luvut suuremmiksi luvuiksi. Filosofiselta kannalta onkin järkevää sallia lukujen lukumäärän äärettömyys, koska näin lukuteoria yksinkertaistuu. 
Joukko-opin luoja Georg Cantor tutki lukujoukkojen lukumääriä ja huomasi lukujoukkojen olevan "eri kokoisia". Esimerkiksi luonnollisia lukuja oli vähemmän kuin reaalilukuja, vaikka molempia on ääretön määrä. Syy tähän eroon on se, että reaalilukuja on runsaasti luonnollisten lukujen välissäkin. Cantor kutsui lukujoukon kokoa sanalla mahtavuus. Hän vertasi muiden lukujoukkojen mahtavuutta luonnollisten lukujen mahtavuuteen, jonka hän nimesi .
Luonnollisten lukujen lisäksi löytyy lukuisia joukkoja, joiden mahtavuus on sama . Tällaisia ovat esimerkiksi kokonaisluvut ja rationaaliluvut. Myös parilliset luvut on yhtä mahtava joukko, kuin kaikki luonnolliset luvut.
Mahtavuuksia verrataan luettelemalla luonnollisten lukujen rinnalle vertailujoukon lukuja pareiksi. Jos havaitaan, että luettelointia voi jatkaa kummankin joukon avulla äärettömän monta kertaa, ovat lukujoukot yhtä mahtavia. Esimerkiksi parillisia lukuja verrataan siten, että sen pienin luku 2 kytketään luonnollisten lukujen pienimpään lukuun 1, parillisten seuraava 4 kytketään luonnollisten 2:een, parillisten 6 kytketään luonnollisten 3:een, ja niin edelleen. Tätä jatketaan äärettömän monta kertaa, mikä on mahdollista, koska kumpaakin lukujoukkoa on ääretön määrä. Tämän jälkeen todetaan vain, että kumpikin joukko on yhtä mahtava. Vertailua kutsutaan lukujoukon numeroimiseksi ja parillisia lukuja on numeroituvasti ääretön määrä.

Aritmeettinen tiheys

Vaikka parilliset luvut ovat yhtä mahtava lukujoukko kuin kaikki luonnolliset luvut, on niitä kuitenkin "vähemmän". Tämä voidaan havainnollistaa aritmeettisellä tiheydellä. Koska joka toinen luku on parillinen luku, on niiden tiheys 0,5.

Historiallisesti merkittäviä osajoukkoja

Lukujen mystiikka on maailmanlaajuinen ja ikiaikainen ilmiö, jonka puitteissa luonnolliset luvut olivat osana riittejä ja uskonnollista palvontaa sekä elementtinä taikauskossa. Ehkäpä näistä perinteistä juontaa juurensa esimerkiksi helleenisten kreikkalaisten kiinnostus numerologiaan, joita muun muassa pythagoralaiset tutkivat. Näistä perinteistä kertyi riittävästi tietoa lukujen ominaisuuksista, johon lukuteoria perustuu.
Lukujen jako parillisiin- ja parittomiin lukuihin on varmasti ikivanha. Parillisuuden määritelmä on Euklideen mukaan "... jos se voidaan puolittaa. Pariton luku ei voida puolittaa tai se eroaa yhdellä parillisesta luvusta".
Kuvioluvut on muodostavat ryhmän figuratiivisia lukuja. Jos lukua vataava määrä kiviä voidaan asettaa kolmioksi (Kolmioluku), neliöksi (Neliöluku), viisikulmioksi (Viisikulmioluku) ja niin edelleen, on kyseessä kuvioluku.
Alkuluvut ovat lukuja, jotka ovat jaollisia vain itsellään tai ykkösellä. Jokainen luonnollinen luku voidaan esittää tekijöiden tulona ja erityisesti jokainen luku voidaan esittää alkulukujen tulona. Myös näitä pythagoralaiset tutkivat jo varhain.
Paljon on tutkittu myös ystävällisiä-, täydellisiä-, runsaita- ja vajaita lukuja sekä taikaneliöitä ja Pythagoraan kolmikoita.

Luvut ihmisten historiassa

Luonnolliset luvut ovat helppoutensa vuoksi ensimmäiset koululaisille opetettavat luvut. Kun niillä on opittu operoimaan ja sitten tulkitsemaan operaatioiden antamia vastauksia, laajennetaan lukukäsitystä myös negatiivisiin lukuihin. Osalle oppilaista luonnolliset luvut ovat jo kouluun tullessa tuttuja, joten laskeminen saattaa ihmisellä olla synnynnäinen taito. Havainnot eläimillä antavat olettaa, että lukumäärien havaitseminen on evoluutiossa vanha ilmiö. Apinoilla on havaittu varsin hyvä lukumäärien arviointikyky, joka liittyy ainakin näköaistiin. Myös mehiläiset osaavat laskea jopa viiteen.
Vanhojen kirjoitusten perusteella, kielitieteilijöiden havaintojen mukaan ja laskemistapojen levinneisyydestä on vedetty johtopäätös, että laskeminen on ollut vanha yhteisöllinen tapa. Aluksi ihmiset laskivat kaksijärjestelmää käyttäen. Kaksijärjestelmässä esineitä laskettiin tarttumalla kahteen esineeseen molemmilla käsillä. Siirtämällä parit syrjään, käytiin joukko läpi ja samalla toistettiin lukusanoja. Taustalla on saattanut olla rituaali, jonka päätteeksi molemmat osapuolet tunnustivat laskennan tuloksen. Myöhemmin laskeminen laajentui 5-järjestelmään, missä täysi määrä vastaa yhden käden sormia. Kaupankäynnissä käsimerkit saattoivat olla eri kieltä puhuvien kansojen lingua franca. Monissa kirjoitusjärjestelmissä lukuja merkittiin pisteillä (1) ja viivoilla (5). Tämä lienee jäänne kivillä ja tikuilla laskemisesta mutta myös sormilla laskemisesta.
Eri puolilla maailmaa jatkettiin lukujärjestelmän laajentamista 5-10- tai 5-20-järjestelmiksi. Edellisessä mahdollisesti kaksi kättä (5) vastasi kymmentä ja jälkimmäisessä kaksi kättä ja kaksi jalkaa vastasi kahtakymmentä. Näiden tapojen leviäminen maailmassa on nykyään pirstaloitunutta, joten tavat ovat ilmeisesti tuhansia vuosia vanhoja. Muitakin laskentajärjestelmiä on, esimerkiksi eurooppalainen (perustuu lukuun 12) ja babylonialainen (lukuun 60), mutta ne ovat harvinaisempia. Mitään tietoa kivikauden aritmetiikasta, eli luvuilla laskemisesta, ei ole säilynyt tunnistettavassa muodossa.
Kymmenjärjestelmä levisi ilmeisesti Eurooppaan indoeurooppalaisten mukana ja on siksi täällä käytössä kaikkialla. Siihen on toki sulautunut mukaan edeltäviä paikallisia lukujärjestelmiä, minkä kieliä opiskelevat voivat havaita nykyäänkin.
Muun muassa Abraham Seidenberg on esittänyt, laskeminen on voinut saada alkuunsa tarkkaan harkituista heimorituaaleista, missä suuren ihmisjoukon hallinta olisi vaatinut osanottajien laajempaa roolitusta. Melko pitkälle kehittyneiden seremonioiden hallinta on vaatinut osanottajien numerointia. Tiedetään, että muun muassa mayaintiaanien ja babylonialaisilla oli numeroiden jumalatkin.

Kirjoitetut luvut ja luvuilla laskeminen

Vaikka laskeminen oli edennyt jopa kymmenjärjestelmään asti, ei lukuja kirjoitettu muistiin ennen kirjoitustaidon kehittymistä. Vanhimmat tekstit, joissa on kirjattu määriä ja jopa tilastoja numeraaleilla, löytyivät eri kulttuureista eri aikoina. 
Varhaisin kirjoitusjärjestelmä tunnetaan Mesopotamiasta, jossa sumerilaiset keksivät kuvakirjoituksen 3200 – 3100 eaa. Teksteissä käytettiin heti kehittynyttä 5-10-20-60-järjestelmää, jossa oli piirteitä 5-, 10-, 20- ja 60-järjestelmästä. Suuria lukuja muodostettiin muutamia merkkejä toistamalla. Teksteissä esiintyi heti suuria lukuja, jotka olivat työläitä kirjoittaa. Seuraava askel oli, että akkadilaiset ottivat käyttöön paikkajärjestelmän noin 2000 eaa. Jos paikkajärjestelmän luvusta puuttui kymmenet, jätettiin siihen "nollaksi" tyhjä kohta. Nollamerkkiä ei siten vielä käytetty.
On huomattava, että vaikka kirjoitusjärjestelmä tuli huomatuksi arkeologisissa tutkimuksissa 5000 vuotta sitten, oli lukujärjestelmän kehitys jo varsin pitkällä. Laskutaidon syntyä joudutaan etsimään paleoliittiselta kivikaudelta asti. Noin 30 000 vuoden takaa on entisestä Tšekkoslovakiasta löydetty suden luu, jossa lukumäärä 55 on kuvattu kahdella 25 ja 30 viirun vedolla, jotka oli ryhmitelty viiden vedon sarjoihin. Tämä saattaa tarkoittaa sitä, että laskemisessa käytettiin jo silloin 5-järjestelmää lukumäärien hahmottamisessa ja ehkä myös ääneen laskemisessa.
Egyptin tunnetut tekstit ovat saman ikäisiä sumerilaisten tekstien kanssa. Heidän lukujärjestelmänsä oli tuolloin jo 10-järjestelmä, jossa halutut luvut muodostettiin toistamalla eri lukumerkkejä. Myöhemmin lukujen merkintä kehittyi ja toistoja vähennettiin lisämerkkien avulla. Oxfordissa säilytetään kuninkaan nuijaa ajalta noin 3000 eaa., johon on kaiverrettu sotaretken saalis: 120 000 vankia ja 1 422 000 vuohta. Myöhemmissä kehitetyissä hieraattisissa ja demonisissa kirjoitusjärjestelmissä, jotka otettiin käyttöön noin 2000 – 1800 eaa., toteutettiin monia uudennoksia merkitsemistavoissa.
Mesopotamiassa kehitys jatkui siten, että babylonialaiset ja assyrialaiset opettelivat sumerilaisten ja akkadilaisten lukujärjestelmät 1800 eaa. Seudun heettiläiset kehittivät siitä 10-järjestelmän samoihin aikoihin ja joka siirtyi myös kreikankielisille 1200 eaa. Kreikkalaiset korvasivat nuolenpäillä tehdyt numeraalit aakkosillaan ja lisäsivät niihin nollaa merkitsevän merkin, jolloin lukujen kirjaaminen paikkamerkinnällä tuli yksikäsitteiseksi. Myös Dareioksen persialaiset kirjoittivat 10-järjestelmällä 500 eaa.
Kiinalaiset ja intialaiset korkeakulttuurit ovat paljon kreikkalaisia ja roomalaisia kulttuureja vanhempia, mutta ne eivät ole vanhempia kuin mesopotamialaiset ja egyptiläiset kulttuurit. Intialaisia käsikirjoituksia on säilynyt vasta 300 – 500 jaa. ajalta ja sen jälkeen. Mitään niin alkeellista, kuin papyrusten ja savitaulujen laskuoppia, ei intialaisissa vanhoissa teksteissä käsitellä, vaan sisältö kuvaa jo kehittynyttä geometriaa ja neliöjuuren ottoa. Korkeampaa matematiikkaa on siten harrastettu jo kauan ennen näitä käsikirjoituksia. Lisäksi tiedetään, että esikristillisellä kaudella kiveen kaiverrettiin mesopotamialaisten tavoilla muodostettuja 10-järjestelmän lukuja. Myöhemmin intialaiset korvasivat lukumerkintänsä samaan aikaan kuin kreikkalaisetkin 1 – 9 merkitsevillä numeraaleilla ja käyttivät paikkajärjestelmää. Nollan he ottivat käyttöön omalla merkillä 600 jaa.. Kehitys oli ripeää, sillä noin 1100 jaa. he tutkivat jo nollalla jakamista tarkoituksenaan muodostaa ääretön.
Vanhoja kiinalaisia kirjoja ei ole säilynyt jälkipolville. Eikä ihme, sillä esimerkiksi vuonna 213 eaa. keisari määräsi polttamaan kaikki valtakunnan kirjat. Niitä tekstejä, joita sen jälkeen kirjoitettiin, käyttivät pääasiassa kymmenjärjestelmää, jota käytettiin yleisesti paljon aiemmin. On löydetty kolikko 600 – 500 eaa., jonka arvo kirjoitettiin 10-järjestelmällä käyttäen paikkajärjestelmää. Lukujen merkitsemiseen oli käytössä kaksi järjestelmää, josta toinen hyödynsi paikkajärjestelmää ja toinen perustui kertolaskun periaatteisiin. Nolla saatiin paikkajärjestelmän avuksi intialaisilta noin 700 jaa., joka selvensi lukumerkintää "tyhjien paikkojen" jäädessä pois. Erityinen sauvanumerojärjestelmä on ainakin 300-luvulta eaa. ja matki ilmeisesti sauvoilla laskemista.
Väli-Amerikan korkeakulttuurit jättivät jälkeensä paljon muun muassa kiveen hakattuja tekstejä, joissa esiintyy kehittynyt lukujärjestelmä. Valitettavasti Väli-Amerikan tekstejä on tuhottu ja mahdolliset maininnat matematiikan harjoittamisesta ovat tuhoutuneet. Mayoilla oli käytössään paikkamerkintä ainakin 400 eaa. ja se perustui 20-järjestelmään. Matematiikan huippuaika ajoittunee noin 300 – 900 jaa.