Piste (geometria)

Piste antiikin geometriassa

Antiikin aikana geometriaa harjoitettiin Välimeren kaupunkivaltioissa, Kaksoisvirran maissa ja Intian valtioissa. Näiden maiden tieteet vuorovaikuttivat keskenään kehittäen geometriasta sellaisen oppiaineen, joka opittiin tuntemaan Euroopassa keskiajan jälkeen. Eukleides määritteli pisteen kirjassaan Alkeet sanomalla, että ”piste on jotain, mitä ei voi jakaa” . Ajatus heijasteli Demokritoksen ajatusta atomista aineen pienimpänä osana, jota ei enää voitu jakaa.
Antiikin geometriassa mitattiin pisteiden etäisyyksiä eikä käytetty koordinaatteja pisteiden paikan ilmaisemiseksi. Pisteen paikka pidettiin yksikäsitteisenä vain, jos se voitiin kytkeä kiinteisiin pisteisiin riittävän monen etäisyyden avulla.

Piste analyyttisessa geometriassa

Analyyttisessa geometriassa on määritelty kaikki tarvittavat oliot pisteen käsitteen avulla ja numeerisia laskuja varten on luotu koordinaatiston käsite.

Jana, puolisuora ja suora

Jana alkaa yhdestä pisteestä ja päättyy toiseen pisteeseen. Jana koostuu pisteistä, joita on tiheästi alku- ja loppupisteen välissä. Määritelmässä tiheällä tarkoitetaan ominaisuutta, että kahden mielivaltaisen lähellä toisiaan olevan pisteen väliin voidaan aina lisätä ainakin yksi piste lisää. Tästä seuraa, että kahden pisteen välissä olevien pisteiden väliin mahtuu uusia pisteitä eikä minkään kahden pisteen väli täyty koskaan pisteistä. Siten pisteitä mahtuu välille aina äärettömästi. Tällä tavalla muodostetulla janalla on ominaisuus nimeltä pituus. Se ei kuitenkaan ole leveä, koska janalla olevilla ”peräkkäisillä” pisteillä ei ole itsessään leveyttä tai paksuutta. Janan ominaisuudet ovat seurausta pisteiden ominaisuuksista ja niiden äärettömästä lukumäärästä.
Kukin janalla oleva piste sijaitsee omassa paikassaan. Paikka voidaan määrittää numeerisesti määrittämällä pisteen paikan etäisyys janan alkupisteestä. Näin voidaan ilmoittaa pisteen koordinaatti. Edelliseen tapaan voidaan määritellä myös oliot puolisuora ja suora. Näiden pituus on ääretön. Puolisuoran pisteillä on myös koordinaatti, joka voidaan ilmoittaa etäisyytenä alkupisteestä. Suoran koordinaattia varten tulee ensin valita piste, josta etäisyydet mitataan. Tätä pistettä kutsutaan origoksi. Etäisyys origosta on pisteen koordinaatti. Koska suoran voidaan ajatella koostuvan origon molemmilla puolilla olevista kahdesta puolisuorasta, tulee koordinaattien olla positiivisia tai negatiivisia reaalilukuja.

Taso ja tilavuus

Taso voidaan määritellä suorien avulla. Aloitussuoran yhteen pisteeseen ajatellaan erisuuntainen suuntasuora, jonka rinnalle ajatellaan ääretön määrä suuntasuoran kanssa yhdensuuntaisia suoria. Suoria mahtuu samalla tavalla ääretön määrä kahden yhdensuuntaisen suoran väliin, joten tasosta tulee tiheä. Tasolla olevan pisteen voidaan ajatella kuuluvan yhdelle suoralle kohtaan, joka ilmoitetaan koordinaatilla. Itse suora sijaitsee aloitussuoralla kohdassa, joka voidaan myös ilmoittaa koordinaatilla. Nämä kaksi koordinaattia määrittävät pisteen sijainnin.
Avaruus eli tila määritellään analogisella tavalla. Aloitussuoralle ajatellaan erisuuntainen suuntataso. Aloitussuoran eri pisteisiin ajatellaan suuntatason kanssa yhdensuuntaisia tasoja, joita voidaan sijoittaa sille tiheästi. Tilan pisteen koordinaatit voidaan muodostaa mittaamalla sen sijainti suoralla, mittaamalla suoran sijainti tason aloitussuoralla ja mittaamalla tason sijainti tilan aloitussuoralla. Nämä kolme koordinaattia määrittelevät pisteen sijainnin.
Tasokuviot ovat tason sisältämien pisteiden osajoukkoja. Jos tasokuvion reunat muodostavat tietyllä tavalla säännöllisiä kuvioita, voidaan niitä käsitellä alkeisgeometrian käsitteillä. Tilan pisteiden osajoukko muodostaa avaruuskappaleita.

Dimensiot ja vektorit

Suoran muodostavat pisteet muodostavat pistejoukon, jonka dimensio on 1. Sanotaan myös, että jana, puolisuora ja suora ovat 1-ulotteisia olioita, koska pisteiden paikka voidaan ilmaista yhdellä koordinaatilla. Taso on tämän takia 2-ulotteinen olio, jonka dimensio on 2. Tason pisteiden vaatimat kaksi koordinaattia x ja y kirjoitetaan usein sulkuihin (x,y). Avaruuden dimensio on 3 eli sen geometria on 3-ulotteinen ja sen vaatimat kolme koordinaattia kirjoitetaan (x, y, z). 1-ulotteisen suoran pisteen koordinaatti on pelkkä luku. Edellisen perusteella määritellään pisteen dimensioksi 0.
Piste voi matematiikassa olla alkiona n-ulotteisessa avaruudessa, jolloin sen n kpl koordinaattia kirjoitetaan muodossa (x, y, z, u,..., w). Näitä useampi koodinaattisia esityksiä kutsutaan vektoreiksi.

Erityisiä pisteitä

Jotta pisteellä olisi nimi, tulee sen olla objektin tai pistejoukon osana. Origo on sellainen piste, joka sijaitsee suoralla, ja josta mitataan suoran muiden pisteiden etäisyyksiä. Keskipiste on kahden pisteen välissä oleva piste, jonka etäisyydet kummastakin pisteestä on sama. Jakopiste on kahden pisteen välissä oleva piste, joka jakaa pisteiden välin annetussa suhteessa. Ympyrän keskipiste sijaitsee tasolla niin, että ympyrän kehäpisteet ovat kaikki siitä yhtä kaukana. Janalla tai puolisuoralla on päätepiste.
Kahden suoran tai käyrän leikkaus voi olla piste. Koordinaattiakselien leikkauspiste on origo ja kahden suoran (janan tai puolisuoran) leikkaus on leikkauspiste. Käyrä voi leikata itseään pisteessä.
Tasokuvioiden reunat ovat janoja ja särmiä, joiden päätepisteet ovat kulmat ja kärjet. Kulmat ja särmät voidaan myös tulkita leikkauspisteiksi. Piste on yhteinen piste, jos se on samanaikaisesti kahden objektin piste.

Analyyttisen geometria perusta

Geometrian numeerinen matematiikka eli analyyttinen geometria perustuu koordinaatteihin, joiden avulla minkä tahansa pisteen sijainti voidaan ilmaista luvulla. Koska pisteitä voidaan sijoittaa ääretön määrä kahden erillään sijaitsevan pisteen väliin, tulee luvuilla olla sama ominaisuus eli kahden luvun välissä tulee olla ääretön määrä suuruusjärjestyksessä olevia lukuja. Tällainen ominaisuus on reaaliluvuilla, joita käytetään koordinaattien esittämiseen. Voidaan jopa sanoa, että pisteiden 1-ulotteiset sijainnit ja reaaliluvut vastaavat toisiaan täydellisesti.