Pii (vakio)

Luku pii, jota merkitään pienellä kreikkalaisella π-kirjaimella, on matemaattinen vakio, joka esiintyy monilla matematiikan ja fysiikan alueilla. Se tunnetaan myös nimillä Arkhimedeen vakio ja (erityisesti saksankielisellä alueella) Ludolfin luku. 
Piin likiarvo katkaistuna 100 desimaalin jälkeen on
3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679.
Määritelmän mukaan pii on yhtä kuin ympyrän kehän suhde halkaisijaan (euklidisessa geometriassa). Vaihtoehtoisesti pii voidaan määritellä r-säteisen ympyrän pinta-alan suhteena r-sivuisen neliön pinta-alaan: . Joissain analyysin kirjoissa pii määritellään pienimmäksi positiiviseksi luvuksi , jolle .
Eukleideen Alkeet-teoksen luvussa XII todistetaan, että kahden ympyrän alan suhde on sama kuin niiden halkaisijoiden neliöiden suhde. Tästä seuraa, että ympyrän pinta-ala on vakio (= π / 4) kertaa sen halkaisijan neliö. Pii on irrationaaliluku eli luku, jonka desimaalikehitelmä on päättymätön ja jaksoton. Ferdinand Lindemann todisti vuonna 1882 piin olevan transsendenttiluku, eli luku, joka ei ole minkään rationaalilukukertoimisen polynomin nollakohta.

Piin historia

Koska pii on transsendenttiluku, sitä ei voi esittää päättyvänä lausekkeena peruslaskutoimituksia, potenssiinkorotusta ja juurenottoa käyttäen. Sitä on kuitenkin kauan arvioitu likimääräisesti. Vanhan testamentin Ensimmäisessä kuninkaiden kirjassa  on 3: ”Hiram valoi myös pyöreän altaan, jota kutsuttiin mereksi. Se oli reunasta reunaan kymmenen kyynärän levyinen, korkeutta sillä oli viisi kyynärää, ja vasta kolmenkymmenen kyynärän pituinen mittanuora ulottui sen ympäri”.
Ensimmäisiä säällisiä säilyneitä :n likiarvoja on egyptiläisen matemaatikko Ahmosen käyttämä. Se on säilynyt laskutehtävissä, jotka sisältyvät niin sanottuun Rhindin papyrukseen. Sen mukaan ympyrän pinta-ala on yhtä suuri kuin sellaisen neliön, jonka sivu on 8/9 ympyrän halkaisijasta. Tämä vastaa :n likiarvoa 256/81 eli noin 3,16. Noin 2 000 vuotta ennen ajanlaskun alkua babylonialaiset otaksuivat, että  on joko 3 tai  (yksi desimaali oikein). Myös likiarvo  (kaksi des. oik.) on tiedetty pitkään.
Kreikkalainen filosofi ja matemaatikko Arkhimedes todisti ympyrän sisään ja ympärille piirrettyjen monikulmioiden avulla, että ympyrän kehän ja halkaisijan suhde on lukujen  ja  välillä. Ptolemaios käytti :n arvoa  (kolme des. oik.). Kiinalainen Tsi Ch'ung-Chi löysi 400-luvulla :lle arvon  (kuusi des. oik.), jota parempi murtolukuarvio on vasta  (yhdeksän des. oik.). 
Luku  todistettiin irrationaaliluvuksi 1700-luvulla.

Piin desimaalien laskeminen

Englantilainen matemaatikko William Shanks laski 20 vuoden ajan piin desimaaleja käsin ja ratkaisi luvun 707 desimaalin tarkkuudella. Vuonna 1945 kuitenkin huomattiin, että laskun 528. desimaali oli laskettu virheellisesti.
Nykyään piin desimaaleja lasketaan tietokoneilla.
1900-luvulla pii tunnettiin jo yli miljardin desimaalin tarkkuudella, ja nykyään (maaliskuu 2019) siitä tiedetään ensimmäiset noin 31,4 biljoonaa desimaalia. 1990-luvulla kehitettiin tapoja laskea piin heksadesimaaliesityksen numeroita mistä tahansa kohdasta ilman, että aiempia numeroita tarvitsee tietää.

Muita esimerkkejä

Kun kolikko heitetään satunnaisesti neliöruudukolle, jossa kunkin neliön sivun pituus on sama kuin kolikon halkaisija (eli kaksi kertaa säde r), niin todennäköisyys, että kolikko peittää neliöiden risteyskohdan kuvassa esitetyllä tavalla, on π/4. Toistamalla koe lukuisia kertoja saadaan piille kokeellinen likiarvo.