Lokaalisti yhtenäinen avaruus

Lokaalisti yhtenäinen avaruus on matematiikassa topologinen avaruus, jonka jokaisella pisteellä on pelkästään avoimista ja yhtenäisistä joukoista koostuva ympäristökanta.

Taustaa

Topologian koko historian ajan yhtenäisyys ja kompaktius ovat olleet eniten tutkitut topologiset ominaisuudet. Itse asiassa suurelta osin juuri näiden ominaisuuksien tutkiminen aluksi euklidisen avaruuden osajoukoilla ja sen oivaltaminen, etteivät ne riipu nimenomaisesta euklidisesta metriikasta, teki aikoinaan selväksi topologisen ominaisuuden ja siten myös topologisen avaruuden  käsitteet.  Sen sijaan, että euklidisen avaruuden kompaktien osajoukkojen rakenne ymmärrettiin varsin pian Heinen–Borelin lauseen perusteella, :n osajoukkojen yhtenäisyys (kun n > 1) osoittautui paljon vaikeammaksi kysymykseksi. Esimerkiksi vaikka jokainen kompakti Hausdorffin avaruus on myös lokaalisti kompakti, yhtenäinen avaruus tai edes euklidisen avaruuden yhtenäinen osajoukko ei välttämättä ole lokaalisti yhtenäinen, kuten jäljempänä osoitetaan.
Tämä johti siihen, että topologit tutkivat 1900-luvun alkupuolella ahkerasti lokaalia yhtenäisyyttä ja muita samantapaisia topologisia käsitteitä ja sitä, mitä näistä ominaisuuksista seuraa. Jäljempänä tässä artikkelissa käsitellään esimerkiksi heikon lokaalin yhtenäisyyden ja lokaalin yhtenäisyyden keskenäistä suhdetta.
1900-luvun loppupuolella tutkimus keskittyi entistä enemmän monistojen tutkimukseen. Ne ovat lokaalisti homeomorfisia euklidisen avaruuden kanssa, ja niiden lokaalit ominaisuudet tunnetaan hyvin, mutta niillä on monimutkaisia globaaleja oinaisuuksia. Tämä merkitsee, että vaikka monistojen pistejoukkotopologia on jokseenkin yksinkertaista, sillä käsitteen useimpien määritelmien mukaan monistot ovat metristyviä, niiden algebrallinen topologia on huomattavasti monimutkaisempaa. Tästä nykyaikaisesta näkökulmasta lokaali polkuyhtenäisyys on osoittautunut tärkeämmäksi käsitteeksi: esimerkiksi jotta avaruudella olisi universaalinen peite, sen on oltava yhtenäinen ja lokaalisti polkuyhtenäinen.
Avaruus on lokaalisti yhtenäinen, jos ja vain jos sen jokaisella avoimen joukon U yhtenäiset komponentit relatiivitopologiassa ovat avoimia. Siitä seuraa esimerkiksi, että jatkuva kuvaus lokaalisti yhtenäisestä avvaruudesta täysin epäyhtenäiseen avaruuteen voi olla vain vakiokuvaus. Itse asiassa komponenttien avoimuus on niin luonnollista, että on erityisesti palautettava mieliin, ettei se päde kaikissa topologisissa avaruuksissa: esimerkiksi Cantorin joukko on täysin epäyhtenäinen, mutta ei diskreetti avaruus.

Määritelmiä ja esimerkkejä

Olkoon X topologinen avaruus ja x piste avaruudessa X.
Sanotaan, että X on lokaalisti yhtenäinen pisteessä x, jos jokaista avointa joukkoa V kohti, johon x kuuluu, on olemassa yhtenäinen avoin joukko U siten, että .  Avaruus X on lokaalisti yhtenäinen, jos se on lokaalisti yhtenäinen kaikissa pisteissä.
On huomattava, että lokaali yhtenäisyys ei ole sama asia kuin yhtenäisyys: avaruus voi olla yhtenäinen olematta lokaalisti yhtenäinen tai myös lokaalisti yhtenäinen olematta yhtenäinen. Molemmista tapauksista annetaan jäljempänä esimerkki.
Sanotaan, että X on heikosti lokaalisti yhtenäinen pisteessä x (eli  yhtenäinen im kleinen pisteessä x), jos jokaista avointa joukkoa V kohti, johon piste x kuuluu, on olemassa sellainen V:n yhtenäinen osajoukko N, että x on X:n sisäpiste. Yhtäpitävä vaihtoehtoinen määritelmä kuuluu: jokainen avoin joukko V, joho piste x kuuluu, sisältää x:n sellaisen avoimen ympäristön Y, ett' mitä tahansa kahta  U:n pistettä kohti voidaan valita jokin V:n yhtenäinen osajoukko, johon molemmat pisteet kuuluvat. Avaruutta X sanotaan heikosti lokaalisti yhtenäiseksi, jos se on heikosti lokaalisti yhtenäinen jokaisessa pisteessään.
Toisin sanoen ainoa ero lokaalin yhtenäisyyden ja heikon lokaalin yhtenäisyyden välillä on, että lokaali yhtenäisyys edellyttää, että pisteellä x on avoimista joukoista koostuva ympäristökanta, kun taas heikko lokaali yhtenäisyys edellyttää vain, että pisteellä x on yhtenäisistä joukoista koostuva ympäristökanta.
Selvästi jokainen avaruus, joka on lokaalisti yhtenäinen pisteessä x, on tässä pisteessä myös heikosti lokaalisti yhtenäinen. Kääntäen ei välttämättä ole, mistä jäljempänä annetaan esimerkki. Toisaalta on yhtä selvää, että lokaalisti yhtenäinen avaruus on heikosti lokaalisti yhtenäinen, mutta ei välttämättä kääntäen: avaruus, joka on kaikissa pisteissään heikosti lokaalisti yhtenäinen, ei välttämättä ole kaikissa pisteissään lokaalisti yhtenäinen. Tämä todistetaan jäljempänä.
Sanotaan, että x on lokaalisti polkuyhtenäinen pisteessä x, jos jokaista avointa joukkoa V kohti, johon piste x kuuluu, on olemassa polkuyhtenäinen avoin joukko U siten, että .  Avaruus X on lokaalisti polkuyhtenäinen, jos se on lokaalisti polkuyhtenäinen jokaisessa pisteessään.
Koska jokainen polkuyhtenäinen avaruus on myös yhtenäinen, jokainen polkuyhtenäinen avaruus on myös lokaalisti yhtenäinen. Jäljempänä esimerkki 6 osoittaa, että lokaalisti yhtenäinen avaruus ei kuitenkaan ole välttämättä lokaalisti polkuyhtenäinen.

Lisää lokaalista yhtenäisyydestä ja heikosta lokaalista yhtenäisyydestä

Lause 
Jos X on heikosti lokaalisti yhtenäinen avaruus, se on lokaalisti yhtenäinen.
Todistus
Riittää osoittaa, että avoimien joukkojen komponentit ovat avoimia. Olkoon U avoin X:ssä ja C yksi U:n komponenteista. Olkoon x komponenttiin C kuuluva piste. Silloin x kuuluu myös joukkoon U, ja  niinpä on olemassa X:n yhtenäinen aliavaruus A, johon U sisältyy ja johon sisältyy myös jokin x:n ympäristö V. Koska A on yhtenäinen ja siihen kuuluu piste x, a:n on oltava C:n osajoukko, sillä C on se komponentti, johon a kuuluu. Niinpä myös x:n ympäristö V on C:n osajoukko.  Koska x oli mielivaltainen, olemme osoittaneet, että jokaisella C:n pisteellä x on ympäristö V, joka sisältyy komponenttiin C. Tämä osoittaa, että C on avoin joukko U:ssa. Niinpä x on lokaalisti yhtenäinen.
Esimerkkinä avaruudesta, joka on heikosti lokaalisti yhtenäinen tietyissä pisteissä, joissa se ei ole lokaalisti yhtenäinen, voidaan mainita eräs laskeva luuta-avaruuksien ääretön yhdiste.