Noetherin teoreema

Noetherin (ensimmäinen) teoreema sanoo, että jokaiseen fysikaalisen systeemin aktion differentioituvaan symmetriaan liittyy jokin sitä vastaava säilymislaki. Teoreeman todisti saksalainen matemaatikko Emmy Noether vuonna 1915, ja se julkaistiin vuonna 1918. Fysikaalisen systeemin aktio on jonkin sellaisen Langrangen funktion aikaintegraali, jonka avulla systeemin käyttäytyminen voidaan määrittää vähimmän vaikutuksen peri­aatteen avulla. Tällainen Lagrangen funktio itsessään voi olla jonkin Lagrangen tiheysfunktion integraali jonkin avaruuden alueen yli.
Noetherin teoreemasta on tullut perustava työväline nykyisessä teoreettisessa fysiikassa ja variaatiolaskennassa. Se on Lagrangen mekaniikan (vuodelta 1788) ja Hamiltonin mekaniikan (vuodelta 1833) liikevakioiden muotoilun yleistys, eikä se päde systeemeille, joita ei voida mallintaa pelkästään Lagrangen funktiolla, toisin sanoen systeemeillä, joihin liittyy Rayleighin dissipaatiofunktio. Erityisesti häviöllisiin systeemeihin, joilla on jatkuvia symmetrioita, ei välttämättä liity vastaavaa säilymis­lakia.

Esimerkkejä ja tausta

Noetherin teoreeman merkityksen selventämiseksi voidaan esimerkkinä mainita, että jos fysikaalinen systeemi käyttäytyy samalla tavalla riippumatta siitä, miten päin se on suunnattu avaruudessa, sen Lagrangen funktio on rotaatio­symmetrinen. Tästä symmetriasta seuraa Noetherin teoreeman mukaan, että systeemin liikelait ovat sellaiset, että liikemäärämomentti säilyy. Fysikaalisen systeemin itsessään ei tarvitse olla symmetrinen: epä­säännöllisenkin muotoisen asteroidin liike­määrä­momentti säilyy sen liikkuessa avaruudessa, vaikka se kappaleena ei ole symmetrinen — symmetrisiä ovat sen liikelait, ei itse kappale.
Toisena esimerkkinä voidaan mainita, että jos fysikaalisen prosessin tulokset ovat samat riippumatta sen paikasta ja ajasta, tapahtuipa se esimerkiksi Aasiassa tiistaina tai Amerikassa perjantaina, sen Lagrangen funktio on symmetrinen avaruudessa ja ajassa tapahtuvien siirtojen eli translaatioiden suhteen. Noetherin teoreeman mukaan näistä symmetrioista seuraavat vastaavasti liikemäärän säilymislaki ja energian säilymislaki.
Noetherin teoreema on merkittävä sekä sen näkemyksen vuoksi, jonka se antaa säilymislakeihin, että myös käytännöllisenä laskuvälineenä. Se tekee tutkijoille mahdolliseksi määrittää fysikaaliseen systeemiin liittyvät säilyvät suureet (invariantit) sen havaituista symmetrioista. Toisaalta se tekee myös mahdolliseksi käsitellä kokonaisia hypoteettisten Lagrangen funktioiden luokkaa annettujen invarianttien avulla fysikaalisen systeemin kuvaamiseksi. Kuvitellaan esimerkiksi, että löydettäisiin uusi kenttä, jossa jokin suure X säilyy. Noetherin teoreeman avulla voidaan määrittää, minkä tyyppisissä Lagrangen funktioissa X säilyy jatkuvassa symmetrisessä muunnoksessa, minkä niiden soveltuvuus voidaan arvioida muiden kriteerien perusteella.
Noetherin teoreemasta on olemassa monia versoita, joiden yleisyyden aste vaihtelee. Alkuperäinen versio koski vain tavallisia differentiaaliyhtälöitä (hiukkasia), ei osittaisdifferentiaaliyhtälöitä (kenttiä). Alkuperäisissä versioissa oletetaan myös, että Lagrangen funktio riippuu vain ensimmäisestä derivaatasta, kun taas myöhemmissä versioissa teoreema on yleistetty sellaisiinkin Lagrangen funktioihin, jotka riippuvat n:nnestä derivaatasta. Teoreemalle on olemassa luonnollisia kvantti­teoreettisia vastineita, jotka ilmaisee Ward-Takahashin identiteetti. On olemassa myös Noetherin teoreeman yleistyksiä super­avaruuteen.

Teoreeman epämuodollinen ilmaisu

Jättäen tekniset hienoudet sivuun Noetherin teoreema voidaan ilmaista epämuodollisesti.
»Jos systeemillä on jatkuva symmetriaominaisuus, on olemassa sitä vastaava suure, jonka arvo säilyy ajan kuluessa. »
Teoreeman täsmällisempi, kenttiin perustuva versio kuuluu:
»Jokaista differentiaalista, paikallisten vaikutusten generoimaa symmetriaa vastaa jokin säilyvä virta.»
Tässä sana "symmetria" viittaa täsmällisemmin sanottuna sen muodon kovarianssiin, jonka fysikaalinen laki saa tietyt tekniset kriteerit täyttävien muunnosten muodostamassa yksiulotteisessa Lien ryhmässä. Fysikaalisten suureiden säilymislait ilmaistaan tavallisesti jatkuvina yhtälöinä.
Teoreeman muodollisessa todistuksessa invarianssi­ehtoja käytetään lausekkeen muodostamiseksi virtaukselle, joka liittyy säilyvään fysikaaliseen suureeseen. Viime aikoina, suunnilleen vuodesta 1980 lähtien  on tullut tavaksi nimittää säilyvää suuretta "Noetherin varaukseksi" ja sitä kuljettavaa virtausta "Noetherin virraksi". Noetherin virta määritellään solenoidiseksi vektorikentäksi, jonka divergenssi on 0.
Gravitaation tapauksessa Felix Klein on ilmaissut Noetherin teoreeman aktiolle I invarianttien avulla seuraavasti: 
»Jos integraali I on invariantti jatkuvan ryhmän Gρ suhteen ρ parametrilla, Lagrangen lausekkeella on ρ lineaarisesti riippumatonta komponenttia, jotka ovat divergenssejä.»