Harmoninen funktio

Huomautuksia

Annetussa avoimessa joukossa U määriteltyjen harmonisten funktioiden joukkoa voidaan pitää Laplacen operaattorin Δ ytimenä tässä joukossa, ja näin ollen se muodostaa vektoriavaruuden, jonka kerroinrenkaana on . Toisin sanoen harmonisia funktioita lasketaan yhteen, vähennetään toisistaan tai kerrotaan vakiolla, saadaan jälleen harmonisia funktioita.
Jos f on harmoninen funktio alueessa U, myös f:n kaikki osoittaisderivaatat ovat harmonisia funktioita alueessa U. Laplacen operaattori Δ ja osittaisderivaattaoperaattori kommutoivat tässä funktioluokassa.
Harmoniset funktiot muistuttavat monessa suhteessa kompleksilukujen holomorfisia funktioita. Kaikki harmoniset funktiot ovat analyyttisiä, toisin sanoen ne voidaan lokaalisti ilmaista potenssisarjana. Tämä pätee yleensäkin kaikille elliptisille operaattoreille, joista Laplacen operaattori on tärkeä esimerkki.
Harmonisten funktioiden tasaisesti suppenevan jonon raja-arvo on myös harmoninen funktio. Tämä seuraa siitä, että jokainen jatkuva funktio, joka toteuttaa keskiarvoperiaatteen, on harmoninen. Käsitellään esimerkkinä alueessa
(−∞, 0) ×  määriteltyä funktiojonoa . Sarjan funktiot ovat harmonisia, ja se suppenee tasaisesti  on harmoninen ja suppenee tasaisesti kohti nollafunktiota. Kuitenkaan sen osittaisderivaatat eivät suppene tasaisesti kohti nollafunktiota. Tämä esimerkki osoittaa, että todistettaessa, että jokin raja-arvo on harmoninen, on viitattava keskiarvo-ominaisuuteen ja jatkuvuuteen.

Harmoniset funktiot ja kompleksifunktioiden teoria

Jokaisen holomorfisen funktion reaali- ja imaginaariosa tasossa  eli  ovat harmonisia funktioita. Näiden sanotaan muodostavan parin harmonisia konjugaatti­funktiota. Kääntäen jokainen funktio u, joka on harmoninen jossakin tason  avoimessa osajoukossa  Ω, on lokaalisti jonkin holomorfisen funktion reaaliosa. Tämä seuraa siitä, että kun kompleksiluku kirjoitetaan muodossa z = x + iy, kompleksinen funktio g(z)  := uₓ − i uy on holomorfinen Ω:ssa, koska se toteuttaa Cauchyn–Riemannin yhtälöt. Sen vuoksi g:llä on lokaalinen primitiivi f, ja u on f:n reaaliosa tiettyyn vakioon saakka, sillä uₓ on :n reaaliosa.
Vaikka tämä yhteys harmonisten ja holomorfisten funktioiden välillä pätee vain kahden reaalimuuttujan tapauksessa, useammankin muuttujan harmonisilla funktioilla on holomorfisten funktioiden kanssa monia yhteisiä ominaisuuksia. Ne ovat reaalimuuttujien funktioina analyyttisiä, niitä koskee maksimiperiaate ja keskiarvoperiaate. Myös singulariteettien poistuvuutta koskeva tulos ja Liouvillen lause pätevät niille vastaavalla tavalla kuin kompleksitason holomorfisille funktioille.

Harmonisten funktioiden ominaisuuksia

Laplacen yhtälöstä seuraa harmonisille funktioille useita merkittäviä ominaisuuksia.
Harmoniset funktiot ovat äärettömän monta kertaa differentoituvia. Samalla ne ovat reaalianalyysin mielessä analyyttisia funktioita.

Maksimiperiaate

Harmonisille funktioille pätee seuraava maksimiperiaate: jos K on U:n kompakti osajoukko, funktion f rajoittumalla K:hon saa suurimman ja pienimmän arvonsa K:n reunalla. Jos U on yhtenäinen, tästä seuraa, ettei funktiolla f voi olla lokaalista maksimia tai minimiä, ellei se ole vakio. Vastaava ominaisuus on subharmonisilla funktioilla.

Singulariteettien poistuvuus

Singulariteetti eli erikoispiste on piste, jossa funktio ei ole määritelty. Singulariteetti on poistuva, jos funktiolla on raja-arvo kyseisessä pisteessä, muussa tapauksessa se on oleellinen.
Samoin kuin analyyttisille, myös harmonisille funktioille pätee seuraava tulos singulariteettien poistuvuudesta.
Jos harmoninen funktio f on määritelty alueessa Ω yhtä pistettä x₀ lukuun ottamatta, toisin sanoen alueessa  of Rⁿ , ja jos funktio lisäksi on rajoitettu, sillä on raja-arvo pisteessä x₀ Jos lisäksi funktion määrittelyalue laajennetaan käsittämään myös piste x₀ ja sen arvoksi tässä pisteessä määritellään sen raja-arvo, funktio on harmoninen myös tässä pisteessä ja siten koko alueessa Ω.

Liouvillen lause

Jos koko :ssa määritelty harmoninen funktio f on joko ylhäältä tai alhaalta rajoitettu, se on vakio. Vastaava Liouvillen lause pätee myös kompleksi­muuttujien analyyttisille funktioille.
Edward Nelson esitti tälle erityisen lyhyen todistuksen, joka perustuu edellä mainittuun keskiarvo-ominaisuuteen.  
Olkoon annettu kaksi pistettä. Valitaan kaksi kuula, joiden keskipisteinä ne ovat ja joilla on yhtä suuri säde. Jos säde on tarpeeksi suuri, kuulat ovat suurelta osin päällekkäin, ja toisesta kuulasta toisen ulkopuolella olevan osan tilavuuden suhteellinen osuus koko kuulan tilavuudesta voi olla kuinka pieni tahansa. Koska f on rajoitettu, sen keskiarvot kummassakin kuulassa voivat olla kuinka lähellä toisiaan tahansa, kunhan vain niiden säde valitaan tarpeeksi suureksi, ja täten f:llä on sama arvo missä tahansa kahdessa pisteessä.

Subharmoniset funktiot

Kaksi kertaa jatkuvasti differentioituvia funktioita, jolle pätee Δf ≥ 0, sanotaan subharmonisiksi. Maksimiperiaate pätee myös
subharmonisille funktioille, monet muut harmonisia funktioita koskevat tulokset sen sijaan eivät. Voidaan osoittaa, että funktio f on
subharmoninen, jos ja vain jos alueella, jossa se on määritelty, jokaisen pallopinnalle on olemassa sellainen harmoninen funktio g, 
että f(x) = g(x) jokaisessa pisteessä x, joka sijaitsee pallon pinnalla, mutta f(x) <= g(x)
jokaisessa pisteessä x, joka sijaitsee pallon sisällä.

Harmoniset muodot

Muuan harmonisten funktioiden teorian yleistys on Riemannin monistoilla määriteltyjen harmonisten muotojen teoria, joka liittyy kohomologian. Harmonisten funktioiden yleistyksiä ovat myös vektoriarvoiset harmoniset funktiot, jotka ovat harmonisia kuvauksia yhdeltä Riemannin monistolta toiselle. Ne ovat samalla Dirichletin yleistetyn energiafunktionaalin kriittisiä pisteitä. Niihin kuuluvat erikois­tapauksena myös harmoniset funktiot, mikä tulos tunnetaan Dirichletin periaatteena. Tällaiset harmoniset kuvaukset esiintyvät minimaalisten pintojen teoriassa. Esimerkiksi Riemannin monistolla käyrät voidaan määritellä kuvauksina joltakin :n väliltä monistolle, ja tällöin kyseessä on harmoninen kuvaus, jos ja vain jos käyrä on geodeettinen viiva.