Sähkömagnetismi suhteellisuusteoriassa

Sähkömagnetismi suhteellisuusteoriassa käsittelee kysymystä siitä, miten erityinen suhteellisuusteoria vaikutti nykyiseen teoriaan sähkömagnetismista ja elektro­dynamiikasta. Suhteellisuusteoria osoitti ensinnäkin, miten sähkö­magneettiset, erityisesti sähkö- ja magneetti­kenttiä kuvaavat suureet riippuvat havaitsijan liiketilasta Lorentz-muunnoksen mukaisella tavalla. Toiseksi se johti entistä syvälli­sempään käsitykseen siitä, miten sähkö ja magnetismi liittyvät toisiinsa ja osoitti, millä tavoin käytetty vertailu­järjestelmä vaikuttaa siihen, mitkä ilmiöt oli käsitetty sähköisiksi, mitkä magneettisiksi. Jo aikaisemmin oli esimerkiksi tiedetty, että johteeseen syntyi yhtä suuri virta, liikkuipa johde magneetin läheisyydessä tai magneetti yhtä suurella nopeudella johteen läheisyydessä, mutta näitä pidettiin kahtena eri ilmiönä, kun taas suhteellisuus­teoria osoitti, että kysymys on samasta ilmiöstä. Kolmanneksi se tarjosi mahdolliseksi ilmaista sähkö­magnetismin lait lyhemmässä muodossa kovarianttien tensorien avulla.
Suhteellisuus­teoria saikin alkunsa sähkö­magnetismin lakien luonnetta koskeneesta pohdinnasta. Vuonna 1865 James Clerk Maxwell oli jo tiivistänyt sähkö­magnetismin teorian neljäksi yhtälöksi, Maxwellin yhtälöiksi. Ennen suhteellisuus­teoriaa vallitseva käsitys kuitenkin oli, että nämä yhtälöt pätevät sellaisenaan vain maailmaneetterin koordinaatistossa, joka myös samastettiin Newtonin olettaman absoluuttinen avaruuden kanssa. Tässä suhteessa sähkö­magnetismin lait olisivat kuitenkin selvästi poikenneet klassisen mekaniikan laeista, jotka olivat samat kaikissa tasaisessa liikkeessä olevissa inertiaali­järjestelmissä. Erityinen suhteellisuus­teoria sitä vastoin osoitti, että myös sähkö­magnetismin lait ovat samat kaikissa inertiaali­järjestelmissä. Itse asiassa Einsteinin ensimmäisen suhteellisuusteoriaa koskeneen, vuonna 1905 julkaistun artikkelin otsikkona olikin Liikkuvien kappaleiden elektro­dynamiikasta (saks. Zur Elektro­dynamik bewegter Körper), ja yli puolet artikkelista käsittelee artikkelista käsitteli kysymystä siitä, miten Maxwellin yhtälöt muuntuvat siirryttäessä vertailu­järjestelmästä toiseen.

Sähkön ja magnetismin yhteys

»Yhtä osaa liikkuvien varausten välisestä voimasta sanotaan magneettiseksi voimaksi. Todellisuudessa se on yksi näkökulma sähköiseen ilmiöön.»
(Richard Feynman)

Magnetismin johto sähköstatiikasta

Riippuu valitusta vertailu­järjestelmästä, onko jokin sähkö­magneettinen ilmiö katsottava sähkö­staattiseksi vai magneettiseksi.
Kuten edellä osoitettiin, magnetismi voidaankin johtaa sähkö­statiikasta, kun erityinen suhteellisuus­teoria ja varauksen invarianssi otetaan huomioon. Esimerkiksi Richard Feynmanin teoksessa The Feynman Lectures on Physics on tällä tavoin johdettu lauseke sille magneettiselle voimalle, jonka liikkuva varaus kohdistaa lähellä olevaan virta­johtimeen.

Kenttät eri vertailujärjestelmissä

Edellä esitetyt muunnokset osoittavat, että mikä yhdessä vertailu­järjestelmässä havaitaan sähkö­kenttänä, saatetaan toisessa vertailu­järjestelmässä havaita magneetti­kenttänä, ja päin­vastoin.. Tämä ilmaistaan usein sanomalla, että sähkö- ja magneettikentät ovat saman perusilmiön, sähkö­magneettisen kentän, eri puolia. Itse asiassa koko sähkö­magneettinen kenttä voidaan jäljempänä selitetyllä tavalla ilmaista yhdellä toisen kerta­luvun tensorilla, jota sanotaan sähkö­magneettiseksi tensoriksi.

Liikkuvan magneetin ja johteen ongelma

Kuuluisa esimerkki siitä, miten sähköiset ja magneettiset ilmiöt liittyvät toisiinsa eri vertailu­järjestelmistä, on "liikkuvan magneetin ja johteen ongelma", johon Einstein vuonna 1905 viittasi erityistä suhteellisuus­teoriaa käsitelleessä artikkelissaan.
Jos johde liikkuu tasaisella nopeudella paikoillaan olevan magneetin kentässä, siihen syntyy pyörre­virtoja, jotka saa aikaan johteen elektronei­hin kohdistuva magneettinen voima. Jos taas johde on levossa ja magneetti liikkuu, klassisen sähkö­magneettisen teorian mukaan johteeseen syntyvät täsmälleen samat pyörre­virrat, mutta nyt ne saakin aikaan muuttuvan magneetti­kentän indusoima sähkö­kenttä ja sen aiheuttama sähköinen voima. Vasta suhteellisuus­teoria osoitti, että kysymys on kummassakin tapauksessa todellisuudessa samasta ilmiöstä.

Kovariantti muotoilu tyhjiössä

Klassisen elektro­dynamiikan lait voidaan matemaattisesti kirjoittaa täysin kovariantissa muodossa. Seuraavassa se tehdään ainoastaan siinä muodossa, jossa lait pätevät tyhjiössä. Käytetään siis Maxwellin yhtälöiden mikro­skooppista muotoilua, jossa ei esiinny materiaalien makro­skooppisia ominaisuuksia kuten permit­tiivi­syyttä, ja lait ilmaistaan tässä SI-yksiköissä.
Tässä käytetään Einsteinin notaatiota ja Einsteinin summaussääntöä. Minkowskin metriselle tensorille η käytetään metrisiä etu­merkkejä (+ − − −).