Neliöjuuri

Neliöjuuren poistaminen nimittäjästä

Suomen kouluissa on opetettu pitkään, että lausekkeessa oleva neliöjuuri tulee laventaa pois nimittäjästä. Tähän oli syynä se, että ennen taskulaskinten aikakautta mahdollinen likiarvon laskeminen oli helpompaa, jos monidesimaalinen juuren likiarvo oli jaettavana eikä jakajana. Laskinten yleistyttyä tämä perustelu on menettänyt merkityksensä, mutta neliöjuuren laventamista osoittajaan vaaditaan usein edelleen.

Neliö ja kolmio

Neliön lävistäjän ja sivun pituuksien suhde on . Jos neliön sivut ovat , on lävistäjä suoraan . Kuution, jonka sivut ovat 1, avaruuslävistäjä on . 
Neliön pinta-alan  avulla saadaan neliön sivun  pituudeksi . 
Pythagoraan lauseen mukaan jos suorakulmaisen kolmion kateettien pituudet ovat a ja b, sen hypotenuusan pituus on . 
Tasasivuisen kolmion korkeus on sen sivun pituus kerrottuna luvulla , ja sen pinta-ala on sen sivun neliö kerrottuna luvulla .

Historiaa

Neliöjuuri tunnettiin laskuoperaationa muinaisissa sivilisaatioissa, joissa käytiin kauppaa ja rakennettiin runsaasti. Tällaisia seutuja olivat Kaksoisvirran maan niin sanotut babylonialaiset valtakunnat, jossa opetettiin neliöjuuren laskemista ainakin 2000 eaa. – 600 eaa. Näiden nuolenpääkirjoitusta sisältäneitä savitauluja opittiin lukemaan vasta 1930-luvulla. Eräässä savitaulusta vuodelta 1800 eaa. – 1600 eaa., joka on Yalen yliopiston kokoelman taulu numero 7289, on merkitty :n likiarvoksi 1;24,51,10 (seksagesimaalijärjestelmä) eli 1,414222 (desimaalijärjestelmä). Tämä arvo poikkeaa tarkasta arvosta 0,000 008. Babylonialainen algoritmi neliöjuuren ratkaisemiseksi oli varsin moderni, ja se on selostettu alempana. Edellä mainittu tulos on saatu alkuarvauksella 1;30, jolla on sitten iteroitu kahdesti. 
Kaksoivirran maan naapurikansoja idässä ja pohjoisessa olivat persialaiset, elamilaiset ja induslaiset. Vaikka he kaikki oppivat kirjoittamaan hyvin varhain, ei kahdelta ensin mainitulta ole jäänyt vanhoja matematiikkaa esittelevia kirjoituksia. Induskulttuuri ilmeisesti säilyttivät babylonialaisten matematiikan taitoja, mutta vasta 500-luvulta jaa. on säilynyt tekstejä. Vaikka vaikutteita oli haettu Välimereltä, ja annettukin sinne, on intialaisten matematiikassa ollut omaperäisiä piirteitä. Aryabhata kirjoitti tehtäväkokoelmia, joissa hän tarjosi matemaattisia pähkinöitä ja esitteli laskualgoritmeja runollisesti esitettynä monelta eri alalta. Näiden joukossa olivat tavat laskea neliöjuuri ja kuutiojuuri eri kokonaisluvuille. 
Ennen Kaksoisvartain maan kansojen savitaulujen tulkintaa oletettiin vasta antiikin kreikkalaisten keksineen neliöjuuren laskemiseen käytettävän algoritmin. Kunnia neliöjuuren laskemiseen keksimisestä on annettu Heronille (100 jaa.) tai Arkhytaalle (428–365 eaa.). Vaikka kreikkalaisten muistiinpanoissa viitattiin muinaiseen Egyptiin matematiikan keksimisen kehtona, eivät egyptiläiset tunteneet löydettyjen papyruksien valossa Pythagoraan lausetta eivätkä liioin neliöjuurten laskualgoritmia. 
Arabit valloittivat laajat alueet 600-luvulta lähtien ja he omaksuivat nopeasti valloittamiensa kulttuurien hedelmiä. He hankkivat käsiinsä muun muassa helleenien ja hellenistien käsikirjoituksia ja käänsivät niitä arabiaksi. Pian tämän jälkeen he antoivat voimakkaan panoksensa matematiikan edelleen kehittämiseksi. Euroopassakin varsin kuuluisaksi tullut Muhammad ibn-Musa al-Khwarizmi kirjoitti useita teoksia. Näissä hän esitteli intialaiset numerot, hellenistien unohtuneet geometrian taidot ja tietenkin juuren käyttö algebran laskuissa. 
Myös kiinalainen matematiikka on hyvin vanhaa. Sitä esitellään 300–200 eaa. kirjoitetuissa kahdessa opuksessa, joiden sisältöä on säilynyt nykypäiviin asti. Toisessa, nimeltään Tšiu-tšang suan-su eli Yhdeksän matematiikan taitoja käsittelevää lukua, on nykyihmisellekin tuttuja neliö- ja kuutiojuuren laskusääntöjä. Siinä merkittiin juuret desimaalijärjestelmän avulla kaavojen    ja    mukaisesti, jotta laskut olisivat helpompia suorittaa. 
Neliöjuuren symbolia  käytettiin ensimmäisen kerran 1525 Christoph Rudolff'in kirjassa Coss. Se on oletettavasti muotoutunut pienestä r-kirjaimesta. Latinan sana radix tarkoittaa juurta.

Miten lasketaan neliöjuuren arvo?

Neliöjuurelle voi saada likiarvoja erilaisten kaavojen ja algoritmien avulla.

Kaavalla arvioiminen

Neliöjuurta voi arvioida algebrallisella kaavalla.
Tiedetään, että (a+ (b/2a))² = a² + b + (b²/4a²). Kun a >0 ja b>0 ja c = a² + b, saadaan luvun c neliöjuurelle arvion .
Kaava (1) √(a² + b) ≈ a + (b/2a)

Esimerkiksi: √7 = √(2²+3) ≈ 2 + 3/(2*2) = 11/4 = 2,75.
Toinen kaava (2) √(a² - b) ≈ a - (b/2a).
Toistamalla tätä menettelyä ja valitsemalla kaava (1) (jos saatu juuri on liian pieni) ja kaava (2) (jos liian suuri) saadaan parempia ja parempia rationaalisia likiarvoja neliöjuuren arvolle.
Esimerkin jatkoa:

Koska (2,75)² > (2,7)² = 7,29 > 7, valitsemme kaava (2).
√7 = √((11/4)² - (9/16)) ≈ (11/4) - (9/16) / (22/4) = 233/88 ≈ 2,648.
Ja niin edelleen.
(laskin)  ≈ ...