Penrosen portaat

Penrosen portaikko eli Penrosen portaat, joita sanotaan myös mahdottomaksi portaikoksi, on mahdoton kuvio, jonka Lionel Penrose ja hänen poikansa Roger Penrose laativat vuonna 1958. Sitä voidaan pitää muunnelmana Penrosen kolmiosta, ja se on kaksiulotteinen kuva portaikosta, jossa kierreportaat tekevät neljä 90 asteen mutkaa ja näyttävät myötäpäivään kierrettäessä koko ajan nousevan, mutta joissa kierros kuitenkin päättyy samalle tasolle kuin mistä alkaakin, niin että niitä pitkin voitaisiin nousta loppumattomiin eikä kuitenkaan koskaan päästäisi korkeammalle. Tämä on kolmessa ulottuvuudessa selvästi mahdotonta.
Pian Penrosen alkuperäisen artikkelin julkaisemisen jälkeen M. C. Escher kiinnitti siihen huomiota, ja maaliskuussa 1960 hän julkaisi kuuluisaksi tulleen litografiansa Nousevat ja laskeutuvat (holl. Klimmen en dalen, engl. Ascending and Descending), joka jo samana vuonna tuli myös Penrosen tietoon.Escher kehitti teemaa edelleen huhtikuussa 1961 valmistuneessa teoksessaan Waterval (Vesiputous).
Alkuperäisessä artikkelissaan Penroset totesivat, että rakennelman jokainen osa on sellaisenaan hyväksyttävissä kuvaksi portaikon osasta, mutta ne on yhdistetty toisiinsa siten, että kuva kokonaisuutena on mahdoton: vastapäivään kierrettäessä portaat laskeutuvat koko ajan.

Penroset

Roomassa vuonna 1965 pidetyussä Escher-konferenssissa Penrose kertoi, että Escherin aikaisemmat teokset olivat toimineet suurena innoituksen lähteenä hänelle ja hänen isälleen, kun he keksivät Penrosen kolmion ja päättymättömät portaat. Escher ei kuitenkaan vielä 1950-luvulla ollut käyttänyt teoksissaan niitä eikä muitakaan mahdottomia kuvioita eikä edes ollut tietoinen niiden olemassaolosta. Roger Penroselle Escherin työt oli esitelty kansainvälisessä matemaatikkokongressissa Amsterdamissa vuonna 1954. Hän oli tulloin "täysin lumoutunut" Escherin teoksista, ja paluumatkallaan Englantiin hän päätti laatia itse jotakin "mahdotonta". Kokeiltuaan useita tapoja, joilla tangot voisivat kuvassa olla toistensa päällä, hän sai lopulta kehitetyksi mahdottoman kolmion. Hän näytti piirroksiaan isälleen, joka heti laati niistä muunnelmia, muun muassa mahdottomat portaat. He halusivat saada löytönsä julkaistuksi, mutta heille ei ollut lainkaan selvää, mihin alaan aihe kuuluisi. Koska Lionel Penrose tunsi British Journal of Psychology -julkaisun toimittajan ja sai hänet taivutelluksi julkaisemaan heidän lyhyen käsikirjoituksensa, löytöä alettiin pitää psykologian alaan kuuluvana. Kun artikkeli oli julkaistu, Penroset lähettivät siitä kopion Escherille osoittaakseen hänelle kunnioituksensa.
Tammikuussa 1960 Escher vuorostaan kirjoitti kirjeessään pojalleen, että hänellä oli
tekeillä uusi kuva, joka esitti portaikkoa, joka vain nousi tai laski riippuen siitä, miten sitä katsotaan. Siinä portaat muodostivat suljetun, kehämäisen rakennelman, ikään kuin käärmeen, joka puree omaa häntäänsä]]. Kuitenkin se voidaan piirtää oikeassa perspektiivissä: jokainen porras ylempänä (tai alempana) kuin edellinen. [...] Löysin periaatteen eräästä minulle lähetetystä artikkelista, jossa minut itseni mainittiin useiden 'mahdottomien esineiden tekijänä. Mutta en ollut tutustunut jatkuviin portaisiin, joista kirjoittaja oli liittänyt artikkeliinsa selvän, joskin pintapuolisen kaavion, vaikkakin olin käyttänyt joitakin hänen uista esimerkeistään.
Päättymättömät portaat tekivät suuren vaikutuksen Escheriin, ja maaliskuussa 1960 hän kirjoitti Penroseille lähettämässään kirjeessä:
Muutama kuukausi sitten eräs ystäväni lähetti minulle valokuvan artikkelistanne... Kuvanne 3 ja 4, 'jatkuva portaikko, oli minulle täysin uusi, ja olin siinä määrin otettu ideasta, että ne äskettäin innoittivat minut laatimaan uuden kuvan, jonka haluaisin lähettää teille kunnianosoitiuksena. Mikäli julkaisette lisää artikkeleja mahdottomista esineistä tai niihin liittyvistä artikkeleista tai jos tiedätte muita sellaisia artikkeleja, olisin mitä kiitollisin, jos voisitte lähettää minulle tarkempia yksityiskohtia.

Oscar Reutersvärd

Päättymättömän portaikon oli jo aikaisemmin keksinyt ruotsalainen taiteilija Oscar Reutersvärd, mutta sen enempää Penrose kuin Escherkään eivät tienneet hänen teoksistaan. Hänen innoituksensa lähteenä toimi radio-ohjelma, jossa kerrottiin Mozartin "luovaksi automatismiksi" nimitetystä sävellysmenetelmästä: jokainen muistiin merkitty luova idea toimi innoituksen lähteenä uudelle idealle. Samaan "tiedostamattomaan, automaattiseen" tapaan Reutersvärd alkoi vuonna 1950 matkalla Tukholmasta Pariisiin piirtää sarjan mahdottomia esineitä. Piirtäessään hän ei tajunnut, että tekeillä oleva kuva esitti päättymätöntä portaikkoa, mutta prosessi teki hänelle mahdolliseksi piierää yhä monimutkaisempia kuvioita askel askelelta. Kun M. C. Escherin Nousevat ja laskeutuvat vuonna 1961 lähetettiin Reutersvärdille, se teki häneen vaikutuksen, mutta hän ei pitänyt siinä esiintyvän portaikon epäsäännöllisyyksistä; siinä oli kaikkiaan 2 · 15 + 2 &middot 9 porrasta. Reutersvärd lähetti 1960-luvulla Escherille useita kirjeitä, joissa hän ilmaisi ihailevansa tämän töitä, mutta Escher ei vastannut niihin. Roger Penrose sai tietää Reutersvärdin teoksista vasta vuonna 1984.

Sovituksia ja vastineita

1960-luvulla kehitetty Shepardin asteikko on samantapainen illuusio kuuloaistin alalla.
Penrosen portaikko on esiintynyt ainakin kahdessa elokuvassa: Jim Hensonin ohjaamassa fantasiaelokuvassa Labyrintti vuodelta 1986 sekä Christopher Nolanin tieteiselokuvassa Inception vuodelta 2010.