Venn-diagrammi

Venn-diagrammi on matematiikassa joukko-opissa käytettävä diagrammi. Sen kehitti filosofi ja matemaatikko John Venn vuonna 1881. Venn-diagrammi kuvaa matemaattiset tai loogiset suhteet joukkojen välillä, ja sillä voidaan esittää joukkojen väliset operaatiot. Normaalisti joukkoja kuvataan ympyröillä, jotka usein leikkaavat toisiaan. Jos joukkoja on enemmän kuin kolme, käytetään yleensä muitakin kuvioita kuin ympyröitä.
Venn-diagrammeja käytetään havainnollistamaan eri joukkojen tai käsitteiden välisiä suhteita, paitsi joukko-opin alkeiden opetuksessa, myös toden­näköisyys­laskennassa, logiikassa, tilasto­tieteessä, kieli­tieteessä ja tietojen­käsittely­opissa.

Esimerkki

Kuvan esimerkissä näkyy joukot A ja B värillisinä ympyröinä. Oranssi ympyrä, joukko A, voi käsittää esimerkiksi kaikki kaksijalkaiset elävät olennot, sininen ympyrä, joukko B taas kaikki lentävät eläimet. Jokaista elävää olento voidaan ajatella vastaavan piste jossakin kohdassa diagrammeja. Kaksi­jalkaiset lento­kykyiset eläimet, kuten useimmat linnut kuuluvat molempiin joukkoihin, joten niitä vastaavat pisteet sijaitsevat molempien ympyröiden yhteisellä alueella. Sinne sijoittuvat siis kaikki eläimet, joilla on kaksi jalkaa ja jotka voivat lentää, ja vain ne.
Ihmiset ja pingviinit ovat myös kaksijalkaisia ja kuuluvat näin ollen oranssiin ympyrään, mutta koska ne eivät voi lentää, ne sijoittuvat oranssin ympyrän vasemman­puoleiseen osaan, joka jää sinisen ympyrän ulkopuolelle. Sääsket lentävät, mutta niillä on kuusi jalkaa, joten niitä vastaavat pisteet sijoittuvat siihen osaan sinistä ympyrää, joka jää oranssin ympyrän ulko­puolelle. Eläimet, jotka eivät ole kaksi­jalkaisia eivätkä lennä, esimerkiksi valaat ja hämähäkit, sijoittuvat molempien ympyröiden ulkopuolelle.
Aluetta, jonka muodostavat joukot A ja B yhdessä, sanotaan näiden joukkojen unioniksi ja merkitään A ∪ B. Tässä tapauksessa joukkojen unioniin kuuluvat kaikki elävät olennot, jotka ovat kaksijalkaisia tai voivat lentää, mukaan luettuna nekin, jotka täyttävät molemmat ehdot.
Sitä aluetta, jossa joukot A ja B ovat päällekkäisiä, sanotaan näiden leikkaukseksi ja merkitään A ∩ B. Tässä tapauksessa leikkaus ei ole tyhjä joukko, koska on pisteitä, jotka kuuluvat molempiin joukkoihin.
Joskus diagrammin ympärille piirretään nelikulmio, joka kuvaa universaalia perusjoukkoa. Tähän joukkoon kuuluu joukkojen A ja B lisäksi kaikki muut objektit tai asiat. Niiden laajuus riippuu otosavaruuden määritelmästä kyseisessä diagrammissa.

Historia

Venn-diagrammit otti käyttöön John Venn (1834–1923) aikakauskirjassa Philosophical Magazine and Journal of Science vuonna 1880 julkaisemassaan tutkielmassa On the Diagrammatic and Mechanical Representation of Propositions and Reasonings.
Venn itse nimitti näitä kaavioita Eulerin ympyröiksi (engl. Euler’s circles) koska Leonhard Euler oli jo yli sata vuotta aikaisemmin havainnollistanut loogisia syllogismeja oleellisesti samankaltaisilla kaavioilla teoksessaan Kirjeitä saksalaiselle prinsessalle fysiikasta ja filosofiasta. Nimitystä Venn-diagrammi käytti ensimmäisenä Clarence Irving Lewis vuonna 1918 teoksessaan "A Survey of Symbolic Logic".
Myöhemmin Ruskey ja M. Weston ovat huomauttaneet, että näiden muodollisessa logiikassa käytettävien diagrammien alkuperä ei ole helposti jäljitettävissä, mutta on varmaa, että niitä on käytetty kauan ennen Venniä. Heidän mukaansa nimitys Venn-diagrammi on kuitenkin oikeutettu, koska Venn teki niistä laajan yleiskatsauksen, formalisoi niiden käytön ja käytti eräitä niiden yleistyksiä ensimmäisenä. M. E. Baron on todennut, että kauan ennen Euleria, jo 1200-luvulla, samantyyppisiä diagrammeja oli käyttänyt Ramon Llull sekä myöhemmin Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716), joskaan ei julkaisuissa teoksissaan.
Venn-diagrammeja kehitettiin edelleen 1900-luvulla. Vuonna 1963 D. W. Henderson osoitti, että n joukkoa kuvaava 
pyörähdyssymmetrinen Venn-diagrammi voi olla olemassa vain, jos n on alkuluku.  Hän osoitti myös, että sellaiset symmetriset Venn-diagrammit todella voidaan muodostaa 5 ja 7 joukolle. Vuonna 2001 Peter Hamburger löysi symmetrisen Venn-diagrammin 11 joukolle, ja vuonna 2003 Griggs, Killian ja Savage todistivat, että se on mahdollista aina, kun joukkojen lukumäärä n on alkuluku. Täten pyörähdyssymmetrinen Venn-diagrammi on olemassa, jos ja vain jos n on alkuluku.
Kouluopetuksessa Venn-diagrammit ja Eulerin diagrammit tulivat käyttöön uuden matematiikan yhteydessä 1960-luvulla, kun kouluissa alettiin opettaa joukko-oppia. Myöhemmin niitä on alettu käyttää muidenkin aineiden, myös lukemisen opettamisessa.

Edwardsin Venn-diagrammit

A. W. F. Edwards muodosti sarjan Venn-diagrammeja suuremmalle määrälle joukkoja jakamalla pallon pinnan segmentteihin. Esimerkiksi kolme aluetta voidaan helposti kuvata valitsemalla pallopinnalta kolme pallonpuoliskoa, joiden reunat leikkaavat toisensa kohtisuorasti (x = 0, y = 0 and z = 0). 
Neljäs joukko voidaan lisätä kaavioon käyttämällä käyrää, joka muistuttaa tennispallon saumaa leikaten päivän­tasaajan useita kertoja edeskaisin. Tuloksena saatavat joukot voidaan projisoida takaisn tasolle, jolloin saadaan yllä kuvatun kaltaiset, hammas­pyöriä muistuttavat kaaviot. Niissä on silloin sitä enemmän hampaita, mitä enemmän kuvattavia joukkoja on. Tällaiset diagrammit kehitettiin, kun Vennin muistoksi suunniteltiin lasi­maalauksella koristettua ikkunaa.

Venn-diagrammit ja totuustaulut

Venn-diagrammit vastaavat totuustauluja lauseille ,  jne. siinä mielessä, että jokaista Venn-diagrammin aluetta vastaa yksi totuustaulun rivi. Toisen tavan havainnollistaa joukkoja muodostavat Randolphin diagrammit.