Duaalikappale

Duaalikappale eli duaali­moni­tahokas on avaruusgeometriassa moni­tahokkaaseen liittyvä toinen moni­tahokas, jonka kärjet vastaavat alku­peräisen moni­tahokkaan tahkoja ja jonka kärkiä toisiinsa yhdistävät särmät vastaavat toisen tahkoja toisistaan erottavia särmiä. Jokaisen moni­tahokkaan duaali­kappaleen duaali­kappale on yhden­muotoinen alku­peräisen moni­tahokkaan kanssa.
Duaalisuudessa moni­tahokkaan symmetria säilyy. Niinpä monilla moni­tahokkaiden luokilla, jotka on määritelty symmetria­ominaisuuksiensa avulla, on duaali­kappaleet, jotka myös kuuluvat samaan symmetria­luokkaan. Niinpä esimerkiksi jokaisen säännöllisen Platonin kappaleen duaali­kappale on toinen Platonin kappale, ja myös tähden­muotoisten Keplerin–Poinsot’n kappaleen duaali­kappale on toinen Keplerin–Poinsot’n kappale. Platonin kappaleista yksin­kertaisin, säännöllinen tetraedri, on itse itsensä duaali­kappale. Jos moni­tahokas on isogonaalinen eli sen kaikki kärjet ovat yhteneviä, sen duaali on isoedrinen, eli sen kaikki tahkot ovat yhteneviä. Jos monitahokas on isotoksinen eli sen kaikki särmät ovat yhtä pitkät, sen duaali on myös isotoksinen.
Duaalisuus liittyy läheisesti resiprositeettiin ja polaarisuuteen. Nämä ovat geometrisia muunnoksia, jotka kuperaan monotahokkaaseen sovellettuina antavat tulokseksi sen duaalikappaleen toisena kuperana monitahokkaana.

Duaalisuuden laadut

Duaalisuutta on monta tyyppiä. Yksin­kertaisimpien moni­tahokkaiden kannalta tär­keim­mät ovat polaarinen kään­teisyys eli resi­prosi­teetti ja topo­loginen eli abstrakti duaalisuus.

Kanoniset duaalit

Jokaista kuperaa monitahokasta vastaa kanoninen muoto, jolla on midsfääri eli intersfääri, toisin sanoen pallo, jonka tangentteja tämän kanonisen muodon kaikki särmät ovat. Tämä kanoninen muoto on sikäli yksikäsitteinen, että kaikki samaa monitahokasta vastaavat kanoniset muodot kappaleina ovat yhtenevät.
Jos tälle kanoniselle monitahokkaalle muodostetaan polaarisesti käänteinen duaalikappale, sen särmät ovat saman pallon tangentteja ja sivuavat sitä samoissa pisteissä, joten se on myös kanoninen. Sitä sanotaan kanoniseksi duaaliksi, ja nämä kaksi kappaletta yhdessä muodostavat kanonisen duaaliparin.

Topologinen duaalisuus

Siinäkin tapauksessa, että monitahokkaista ei voida muodostaa toistaan edellä kuvatulla polaarisella käänteisyydellä, niitä voidaan sanoa toistensa duaali­kappaleiksi, mikäli toisen särmät vastaavat toisen tahkoja ja kummankin särmät toisiaan siten, että samassa kärjessä kohtaavia särmiä vastaavat duaalikappaleessa samaa tahkoa rajoittavat särmät ja päinvastoin. Tällaisia moni­tahokas­pareja sanotaan toistensa topologisiksi eli abstrakteiksi duaaleiksi.
Kuperan monitahokkaan kärjet ja särmät muodostavat graafin, joka voidaan upottaa topologiselle pallopinnalle, joka on homeomorfinen monitahokkaan pinnan kanssa.
Sama graafi voidaan projisoida tasolle niin, että siitä muodostuu Schlegelin diagrammi. Monitahokkaan duaalikappaleesta samalla tavalla muodostettu graafi on tämän graafin duaaligraafi. Yleensäkin jokaisella monitahokkaalla, jonka tahkot muodostavat suljetun pinnan, sen kärjet ja räsmät muodostavat graafin, joka voidaan upottaa tälle pinnalle, ja tämän monitahokkaan abstraktin duaalikappaleen kärjet ja särmät muodostavat sen duaaligraafin.
Abstrakti monitahokas on eräänlainen osittain järjestetty joukko, jonka alkiot vastaavat monitahokkaan kärkiä, särmiä ja tahkoja ja jonka alkioiden väliset yhteydet vastaavat monitahokkaan tahkojen tai särmien välisiä yhteyksiä. Jokaisella tällaisella osittain järjestetyllä joukolla on duaalijoukko, joka myös on osittain järjestetty ja joka saadaan kääntämällä kaikki järjestysrelaatiot. Jos tämä joukko visualisoidaan Hassen diagrammilla, sen duaalijoukko voidaan visualisoida yksinkertaisesti kääntämällä Hassen diagrammi ylösalaisin.
Jokainen geometrinen monitahokas vastaa tällä tavoin jotakin abstraktia monitahokasta, ja sillä on abstrakti duaalimonitahokas. Joidenkin ei-kuperien geometristen monitahokkaiden tapauksessa tätä duaalimonitahokasta ei kuitenkaan voida toteuttaa geometrisesti.

Esimerkkejä

Viidestä Platonin kappaleesta tetraedrin duaalikappale on toinen tetraedri. Kuutio ja säännöllinen oktaedri ovat toistensa duaalikappaleita, samoin säännöllinen dodekaedri ja ikosaedri.

Itseduaaliset yhdistetyt monitahokkaat

Mistä tahansa monitahokkaasta ja sen duaalikappaleesta yhdistämällä saatu kappale on selvästi itseduaalinen.
Jos monitahokas on itseduaalinen, sen ja sen duaalikappaleen yhdistelmä koostuu kahdesta yhtenevästä monitahokkaasta. Tällaisesta ainoa säännöllinen kappale on kahden tetraedrin yhdistelmä, joka tunnetaan nimellä Stella octangula.

Duaaliset polytoopit ja tessellaatiot

Duaalisuus voidaan yleistää mihin tahansa n-ulotteiseen avaruuteen, jolloin puhutaan duaalisista polytoopeista. Kahdessa ulottuvuudessa niitä sanotaan duaalisiksi monikulmioiksi.
Kahdessa ulottuvuudessa jokainen monikulmio on topologisesti itseduaalinen, sillä jokaisella monikulmiolla on yhtä monta sivua kuin kärkeä, ja sivut ja kärjet vastaavat duaalissa toisiaan. Useimmat monikulmiot eivät kuitenkaan ole geometrisesti itseduaalisia. Säännölliset monikulmiot kuitenkin ovat geometrisesti itseduaalisia sisään piirretyn ympyränsä suhteen: kaikki kulmat ovat yhtä suuria, samoin kaikki sivut, ja duaalisuudessa kulmat ja sivut vastaavat toisiaan.
Duaalisuudessa toisen polytoopin kärjet vastaavat toisen (n − 1) -ulotteisia elementtejä, ja ne j pistettä, jotka määrittävät (j − 1)-ulotteisen elementin, vastaavat j hypertasoa, jotka leikkaavat toisensa muodostaen (n − j) -ulotteisen elementin. Samaan tapaan voidaan määrittää n-ulotteinen tessellaatio.
Yleisesti polytoopin duaalin sivut vastaavat alkuperäisen polytoopin kärkikuvuiota. Säännöllisten ja uniformisten polytooppien polaaristen käänteispolytooppien sivut ovat alkuperäisen polytoopin kärkikuvion polaarisia käänteiskuvuioita. Esimerkiksi neljässä ulottuvuudessa 600-solun kärkikuvio on säännöllinen ikosaedri; 600-solun duaalikappale on 120-solu, jonka sivut ovat dodekaedreja, ja dodekaedri on ikosaedrin duaalikappale.