Homografia

Homografia eli projektiivinen muunnos on projek­tiivisessa geo­metriassa projek­tiivisten avaruuksien välinen isomorfismi, jonka indusoivat niiden vektori­avaruuksien välinen isomorfismi, josta ne on johdettu. Se on bijektio, jossa suorat kuvautuvat suoriksi ja näin ollen kollineaatio. Joissakin projek­tiivisissa avaruuksissa voi olla myös kolline­aatioita, jotka eivät ole homo­grafioita, mutta projek­tiivisen geo­metrian perus­lauseen mukaan vähintään kaksi­ulotteisissa reaali­sissa projek­tiivisissa avaruuksissa jokainen kolli­neaatio on samalla homo­grafia. Joskus homo­grafioista käytetään myös nimityksiä projektivi­teetti tai projek­tiivinen kolline­aatio.
Historiallisesti homografiat samoin kuin projek­tiiviset avaruudetkin on otettu käyttöön perspektiiviopin ja euklidisen geo­metrian projektioiden yhteydessä. Tähän viittaa myös nimitys homo­grafia, joka etymo­logisesti merkitsee suunnilleen "saman­laista piirtämistä". Myöhemmin 1800-luvun lopulla otettiin käyttöön muodolliset projek­tiivisten avaruuksien määritelmät, joiden mukaan nämä avaruudet erosivat euklidisista ja affiineista avaruuksista siinä, että niihin oli lisätty äärettö­myydessä olevia pisteitä. Näiden abstraktien kon­struk­ti­oi­den myötä otettiin käyttöön termi "projek­tiivinen muunnos". Nämä kon­struk­tiot jakautuvat kahteen luokkaan, jotka on osoitettu ekvi­valenteiksi. Projek­tiivinen avaruus voidaan konstruoida suorien joukkona jonkin kunnan yli muodostetussa vektori­avaruudessa; tähän kon­struk­tioon perustuen voidaan määritellä projektiiviset koordinaatit, ja homo­grafioiden tutkimukseen voidaan soveltaa lineaarialgebraa. Vaihtoehtoinen lähestymistapa perustuu siihen, että projektiivinen avaruus määritellään aksiooma­ryhmän avulla, jossa ei ekspli­siittisesti viitata mihinkään kuntaan (insidenssigeometria). Tältä pohjalta kollineaatio on helpompi määritellä kuin homo­grafia, ja homo­grafia määritellään tietyntyyppisenä kolline­aationa, minkä vuoksi sitä sanotaankin myös "projek­tiiviseksi kolline­aatioksi".
Yksin­kertaisuuden vuoksi jäljempänä tässä artikkelissa oletetaan, paitsi milloin toisin mainitaan, että projek­tiiviset avaruudet on määritelty jonkin (kommuta­tiivisen) kunnan yli. Oletetaan myös, että Pappuksen kuusikulmiolause ja Desarguesin lause pätevät. Suuri osa tuloksista kuitenkin pätee tai voidaan yleistää myös sellaisiin projek­tiivisiin geo­metrioihin, joissa nämä lauseet eivät päde.

Geometrinen tausta

Historiallisesti homografian käsite on otettu käyttöön visuaalisen perspektiivin ymmärtämiseksi, selittämiseksi ja tutkimiseksi ja erityisesti sen selvittämiseksi, millä tavoin kaksi tasokuviota näyttävät erilaisilta eri näkökulmista katsottuina.
Kolmiulotteisessa euklidisessa avaruudessa keskeisprojektio pisteestä O (keskuksesta) tasolle P, johon piste O ei sisälly, on kuvaus, jolla piste A kuvataan tason P ja suoran OA leikkaus­pisteeseen, jos sellainen on olemassa. Projektio ei ole määritelty, jos piste A sijaitsee O:n kautta kulkevalla, P:n kanssa yhden­suuntaisella tasolla. Projek­tiivisen avaruuden käsite otettiin alun perin käyttöön euklidisen avaruuden laajennuksena lisäämällä siihen äärettö­myydessä olevat pisteet, jotta projektio voidaan määritellä kaikille muille pisteille paitsi O:lle.
Jos on annettu toinen taso Q, johon piste O ei sisälly, Q:n rajoittumaa edellä mainitussa projektiossa sanotaan per­spek­tivi­teetiksi.
Näin määriteltynä per­spek­tivi­teetti on vain osittaisfunktio, mutta projek­tiivi­siin avaruuksiin laajennettuna siitä tulee bijektio. Siksi tämä käsite määritellään tavallisimmin projek­tiivi­sille avaruuksille. Käsite voidaan seuraavasti myös helposti yleistää jokaiselle projektiiviselle avaruudelle, olipa sen ulottuvuus mikä tahansa tai olipa se muodostettu minkä tahansa kunnan yli: jos on annettu kaksi n-ulotteista projek­tiivista avaruutta P ja Q, per­spek­tivi­teetti on bijektio P:stä Q:lle, joka saadaan upottamalla P ja Q n+1 -ulotteiseen projek­tiivi­seen avaruuteen R ja rajoittamalla P:hen jokin keskeis­projektio Q:hun.
Jos f on perspektiviteetti P:stä Q:hun ja g perspektiiviteetti Q:sta P:hen, niin yhdistetty kuvaus g°f on homografia P:stä itseensä. Sitä sanotaan keskeiskollineaatioksi, kun P on vähintään kaksiulotteinen.
Alun perin homografia määriteltiin yhdistelmäksi äärellisestä määrästä perspektivi­teettejä.  Projektiivisen geometrian peruslauseesta seuraa, että tämä määritelmä on yhtäpitävä johdannossa esitetyn ja jäljempänä yksityis­kohtaisemmin käsitellyn algebrallisemman määritelmän kanssa.

Keskeiskollineaatiot

Edellä homo­grafiat on määritelty lineaari­algebran avulla. Synteetti­sessä geometriassa ne on vanhastaan määritelty tiettyjen keskeis­kollineaatioiksi nimitettyjen homo­grafioiden yhdistetyiksi kuvauksiksi. Projektiivisen geometrian perus­lauseen yksi osa on se, että nämä määritelmät ovat yhtä­pitävät.
Projektiivisessa avaruudessa P, jonka ulottuvuus on n = 2, P:n kollineaatio on sellainen bijektio P:stä itselleen, jossa suorat kuvautuvat suoriksi. Keskeis­kollineaatio, jota ainakin aikaisemmin on sanottu myös perspek­tivi­teetiksi, on sellainen bijektio a P:stä itselleen, että on olemassa hypertaso H, jonka kaikki pisteet kuvautuvat itselleen (tätä hypertasoa sanotaan a:n akseliksi) ja piste O (jota sanotaan a:n keskukseksi), jonka kautta kulkevat suorat kuvautuvat kaikki itselleen (mikä ei kuitenkaan edellytä, että näiden suorien jokainen pistekin kuvautuisi itselleen.) Keskeisollineaatioita on kahta tyyppiä. Elaatiot ovat keskeis­kollinaatioita, joiden keskus sijaitsee akselilla, ja homologiat sellaisia, joiden keskus ei ole akselilla. Keskeis­kollinaation määräävät yksi­käsitteisesti keskus, akseli, yksi piste ja sen kuvapiste.
Keskeiskollineaatio on homogragia, joka määrittelee (n+1) × (n+1) -matriisi (homografiamatriisi), jolla on n-ulotteinen ominaisavaruus. Se on homologia, jos matriisilla on toinenkin ominaisarvo, jolloin se on dia­gonali­soituva. Se on elaatio, jos kaikki ominais­arvot ovat yhtä suuret eikä matriisi ole dia­gonali­soituva.
Keskeis­kollineaatioihin liittyvä geometrinen mieli­kuva on helpoin hahmottaa projek­tiivisen tason tapauksessa. Jos on annettu keskeis­kollineaatio a, tarkastellaan suoraa , joka ei kulje keskuksen O kautta, ja suoraa , jolle a sen kuvaa. Jos asetetaan , a on jokin R:n kautta kulkeva suora M. Jokaisen suoralla  oleva piste kuvautuu OA:n ja :n leikkaus­pisteeseen. Jos piste B ei ole suoralla , sen kuvapiste saadaan seuraavasti: jos , niin 
Vaikka kahden keskeis­kollineaation yhdistetty kuvaus on edelleen homo­grafia, se ei yleensä ole keskeis­kollinaatio. Itse asiassa jokainen homografia saadaan yhdistettynä kuvauksesta äärellisestä määrästä keskeis­kollinaatioita. Synteettisessä geometriassa tätä ominaisuutta, joka on osa projektiivisen geometrian perus­lauseesta, pidetään homo­grafian määritelmänä.