Logiikka

Logiikan lajeja

Logiikkaa on tutkittu historian saatossa erilaisissa muodoissa. Siinä missä aristoteelinen logiikka on ollut kiinnostunut lähinnä hyvästä argumentoinnista, matemaattinen logiikka ja analyyttinen filosofia ovat painottaneet enemmän logiikkaa itseään tutkimuskohteena, jolloin logiikkaa on tutkittu abstraktimmalla tasolla.

Filosofinen logiikka

Filosofinen logiikka käsittelee luonnollisen kielen formaaleja määrittelyjä. Useimmat filosofit olettavat, että logiikka voi kuvata ”normaalia” oikeaa päättelyä, jos voidaan löytää oikea menetelmä kääntää tavallista kieltä tälle logiikalle. Filosofinen logiikka jatkaa aikaisempaa ennen matemaattisen logiikan syntyä ”logiikaksi” kutsutun filosofian osa-alueen perinnettä. Se on matemaattista kiinnostuneempi luonnollisen kielen ja logiikan välisistä suhteista. Seurauksena filosofiset loogikot ovat vaikuttaneet paljon epästandardien logiikoiden (kuten vapaa logiikka, temporaalinen logiikka) sekä perinteisen logiikan laajennosten (kuten modaalilogiikka) sekä niiden epästandardien semantiikkojen kehitykseen.
Logiikka liittyy läheisesti kielifilosofiaan, joka tutkii, kuinka kielemme liittyy ajatteluumme. Logiikan sekä logiikan ja tavallisen puheen välisen suhteen tutkimus voi myös auttaa filosofia muotoilemaan omat argumenttinsa paremmin sekä arvostelemaan muiden argumentteja. Kielifilosofia koki 1900-luvulla mullistuksen Ludwig Wittgensteinin töiden myötä.

Logiikka tietojenkäsittelytieteessä

Logiikka tuli tietojenkäsittelytieteen keskiöön Alan Turingin töiden myötä. Turingin Entscheidungsproblem seurasi Gödelin epätäydellisyysteoreemaa, ja tästä kehittynyt ajatus yleisestä Turingin koneesta oli keskeinen 1940-luvun tietokonetekniikan kehitykselle.
1950- ja 1960-luvuilla tutkijat ennustivat, että kun inhimillinen tietämys olisi ilmaistavissa logiikalla ja matemaattisella notaatiolla, tämä mahdollistaisi ajattelevien koneiden eli tekoälyn kehittämisen. Tämä osoittautui odotettua vaikeammaksi, johtuen ajattelun monimutkaisuudesta. Logiikkaohjelmoinnissa (kuten Prolog-kielessä) tietokoneohjelma koostuu joukosta aksioomia ja sääntöjä, ja ohjelma laskee niiden seuraukset vastatakseen esitettyyn kysymykseen.
Nykyään logiikkaa käytetään laajalti tietojenkäsittelytieteessä ja tekoälytutkimuksessa, ja nämä alat tarjoavat formaalille ja epäformaalille logiikalle paljon uusia ongelmia. Formaalikielten analysointi on osa tietojenkäsittelyn teoriaa, ja se käsittää ohjelmointikielten formaalit semantiikat sekä menetelmät (kuten Hoaren logiikka). Boolen logiikka on keskeistä tietokoneiden laitteistojen kannalta. Tekoälytutkimuksessa hyödynnetään modaalilogiikkaa ja oletuslogiikkaa tietämyksen esittämisen formalismeissa ja menetelmissä, Hornin klausuulia logiikkaohjelmoinnissa, sekä kuvauslogiikkaa. Lisäksi intuitionistista logiikkaa hyödynnetään ohjelmointikielten tyyppijärjestelmissä.
Tietokoneet ovat myös hyödyllinen työväline loogikoille. Tietokoneita voidaan käyttää apuna muun muassa symbolisen ja matemaattisen logiikan todistuksissa. Koneet voivat löytää ja tarkistaa todistuksia käyttämällä teoreemojen automaattista todistamista, sekä käsitellä todistuksia, jotka ovat liian pitkiä kirjoitettaviksi auki käsin.

Perinteinen näkemys logiikasta argumenttien pätevyyttä tutkivana tieteenä

Logiikassa argumentit ovat lausejonoja, joiden viimeinen lause on johtopäätös edellisistä lauseista, alkuehdoista eli premisseistä. Perinteinen näkökulma keskittyy argumenttiskeemoihin. Argumenttiskeemat ovat käsitteellisiä rakenteita, joiden pätevyys perustuu niiden loogiseen muotoon.
Esimerkki 5

Jos , niin .
.

Siis: .
Esimerkissä 5 esitetty päättely on pätevä muotonsa perusteella. Johtopäätöksen  seuraaminen premisseistä ei perustu :n ja :n sisältöön, vaan muotojen ”Jos , niin .” ja ”.” yhteyteen.  Ensimmäisen premissin mukaan
 on :n riittävä edellytys, ja jälkimmäisen mukaan tämä riittävä edellytys  vallitsee.
Esimerkin 5 argumenttiskeemaa voidaan soveltaa sijoittamalla lausemuuttujien  ja  paikalle lauseita.
Esimerkki 6  Olkoon ”Esko ui” ja ”Esko kastuu”.

Jos Esko ui, niin Esko kastuu.

Esko ui.

Siis: Esko kastuu.
Se, että premissien itsensä totuus saattaa perustua niiden sisältöön, ei kuulu logiikkaan, koska argumenttiskeemat eivät väitä mitään premissien totuudesta. Ne vain toteavat, mitä seuraa loogisesti, jos tietyt premissit ovat tosia. Tämä selvenee, kun esimerkki 5 esitetään seuraavassa muodossa:
Esimerkki 7

Jos jos , niin  ja , niin .
Esimerkistä 7 huomataan helposti, että loogisesti monimutkaisemmat luonnollisen kielen ilmaisut ovat melko hankalia hahmottaa. Ensimmäinen jos-sana viittaa premissien mahdolliseen totuuteen, jälkimmäinen jos-sana on osa ensimmäistä premissiä. Ilmaisua voidaan selventää sulkeilla:
Esimerkki 8

Jos ([jos , niin ] ja ), niin .
Olkoon ”(jos , niin
)”. Argumentin premissit ovat nyt 
ja .  Päädytään seuraavaan muotoon:
Esimerkki 9

Jos ( ja ), niin .
Esimerkin 5 argumentti on siis jono .
Loogisen argumentin yleinen muoto on jono
, jossa 
 ovat premissejä ja
 johtopäätös.