Integrointi moniulotteisessa avaruudessa

Integrointi moniulotteisessa avaruudessa tarkoittaa kahden tai useamman muuttujan reaaliarvoisten funktioiden määrätyn integraalin selvittämistä. Moniulotteisen avaruuden määrättyjä integraaleja kutsutaan moninkertaisiksi integraaleiksi, ja niiden määrittäminen perustuu yhden muuttujan määrättyjen integraalien määrittämiseen toistuvasti.
Kaksiulotteisen avaruuden  osajoukoissa määriteltyjen funktioiden  integraaleja kutsutaan kaksinkertaisiksi integraaleiksi ja kolmiulotteisen avaruuden  osajoukoissa määriteltyjen funktioiden  integraaleja vastaavasti kolminkertaisiksi integraaleiksi. Yksinkertaisin moniulotteisessa avaruudessa integroinnin sovellus on kolmiulotteisen alueen tilavuuden määrittäminen kaksinkertaisen integraalin avulla.

Merkintätavoista

Tavanomaista, välillä  määritellyn, yhden muuttujan funktion määrättyä integraalia merkitään yleisesti:
.
Moniulotteisten avaruuksien integraaleissa merkinnät ovat samankaltaisia. Toisaalta eri lähteissä moninkertaisia integraaleja merkitään eri tavoin. Kahden muuttujan funktion  integraalia yli tason  (merkinnästä  ks. karteesinen tulo) merkitään kaksinkertaisella integraalimerkillä:
.
Vastaavasti kolmen muuttujan funktion  integraalia yli avaruuden  merkitään kolminkertaisella integraalimerkillä:
.
Useamman kuin kolmen muuttujan funktion integraaleille toistuvia integraalimerkkejä ei enää tilan säästämisen vuoksi käytetä (vrt. moninkertaisten derivaattojen merkintä). Sen sijaan avaruudessa , missä , , määritellyn funktion  integraalissa käytetään eri lyhennysmerkintöjä:
,
.
Joskus kaksin-, kolmin- tai useammankertaista integraalia merkitään myös yksinkertaisella integraalimerkillä (jolloin integraalissa esiintyvän avaruuden ulottuvuus on selvitettävä kontekstista):
,  tai , 
missä kahdessa viimeisessä käytetään merkintää . Kummallakin merkintätavalla on omat hyvät ja huonot puolensa, ja kumpaankin käytetään yleisesti.

Määritelmä

Kaksinkertaisen integraalin määritelmä esitetään (yksinkertaisuutensa ja helpommin hahmotettavuutensa takia) siten, kuin se on esitetty lähteessä . Useamman muuttujan funktioiden integrointi määritellään yleisemmin, kuten se on tehty lähteessä . Nämä kaksi määritelmää eivät ole ristiriidassa keskenään.

Integrointi yleisen joukon yli

Yleisesti ottaen joukko, jonka yli integrointi suoritetaan, ei välttämättä ole suorakulmio (tai hypersuorakulmio). Tällöin integrointialuetta voidaan yksinkertaistaa laajentamalla sitä siten, että uusi integrointialue on sellainen (hyper-)suorakulmio, joka sisältää alkuperäisen integrointialueen sekä määrittelemällä integroitava funktio paloittain. Oletetaan nyt, että  on hypersuorakulmio. Olkoon lisäksi integrointialue  ja funktio  rajoitettu. Määritellään funktio  siten, että:
  
Jos  on integroituva yli :n, niin myös funktio  on integroituva yli :n ja:  
.
Integraalin arvo ei riipu joukon  valinnasta, kunhan .

Symmetrioiden käyttö

Kaksin- ja kolminkertaisia integraaleja voidaan käyttää erityisesti pinta-alojen ja tilavuuksien määrittämiseen. Tätä ominaisuutta voidaan käyttää myös toisin päin: jos tiedetään integrointialueen pinta-ala tai tilavuus, voidaan integrointia helpottaa tai jopa jättää kokonaan pois. Vastaavasti voidaan käyttää integroitavan funktion symmetriaominaisuuksia, kuten parillisuutta ja parittomuutta.

Esimerkki 1

Olkoon integrointialue  suorakulmio , . Tällöin

Esimerkki 2

Määritetään integraalin  arvo. Ensimmäiseksi havaitaan, että integrointialue on -tason origokeskinen yksikköympyrä (symmetrinen origon suhteen). Integraali voidaan jakaa kolmeksi eri integraaliksi:
Koska integrointialue on origon suhteen symmetrinen ja funktio  on pariton funktio, niin kuvaajan ja -tason väliin jäävä tilavuus on yhtä suuri alueissa  ja . Parittomuudesta johtuen nämä tilavuudet kumoavat toisensa, jolloin . Vastaavasti, funktio  on myös pariton, joten . Näin ollen

Esimerkki 3

on neliö, jonka määrittelevät rajat  ja . Määritetään neliön  ja tason  väliin jäävän avaruuden tilavuus. Integrointialue  on säännöllinen sekä - että -suunnissa, joten iterointi voidaan suorittaa kummassa järjestyksessä tahansa.

Esimerkki 3a:

Integroidaan ensin - ja sitten -suunnassa. Integroitaessa -suunnassa muuttujaa  kohdellaan kuten vakiota. Tason ja neliön  rajoittaman kappaleen tilavuus on:

Esimerki 3b:

Integroidaan ensin - ja sitten -suunnassa. Integroitaessa -suunnassa muuttujaa  kohdellaan kuten vakiota. Tason ja neliön  rajoittaman kappaleen tilavuus on:

Esimerkki 4

Ratkaistaan itegraali , missä aluetta  rajaavat suorat  ja  sekä käyrä  (tai ). Alue  on säännöllinen sekä - että -suunnissa. Koska funktiolle ,  ei voi kirjoittaa antiderivaattaa, täytyy iterointi suorittaa siten, että ensin integroidaan -suunnassa:

Esimerkki 5

Olkoon  suorakulmainen laatikko siten, että ,  ja , missä ,  ja  ovat positiivisia vakioita. Ratkaistaan integraali . Avaruus  ''viipaloidaan'' nyt (esimerkiksi) -tason suuntaisilla tasoilla, jolloin ensimmäisenä integroidaan muuttujan  suhteen. Nämä ''viipaleet'' ovat suorakulmioita, joten integrointi niiden yli voidaan myös suorittaa iteroimalla kummassa järjestyksessä tahansa:

Esimerkki 6

Eräs käytännöllinen koordinaatistomuunnos kahdessa ulottuvuudessa on vaihtaa karteesiset koordinaatit napakoordinaateiksi:
missä  ja  (radiaaneina). Tämän koordinaatistomuunnoksen Jacobin determinantti on
.
Koordinaatistomuunnos on siis injektio kaikkialla paitsi origossa.
Ratkaistaan integraali , missä integrointialue  on -akselin ja suoran  väliin jäävä osa ympyrärenkaasta . Muuttujanvaihdon jälkeen integrandi on:
Karteesisissa koordinaateissa integrointialue on osa origokeskistä ympyrärengasta, jonka sisäsäde on  ja ulkosäde  ja jota raoittavat suorat  ja . Napakoordinaateissa nämä rajat ovat vastaavasti  sekä  ja . Integraali on tällöin:
missä käytettiin tietoa .

Esimerkki 7

Määritetään ellipsoidin  tilavuus, kun :n määrittelee yhtälö
,
missä ,  ja  ovat vakioita. Käytetään muuttujanvaihtoa
jolloin ellipsoidi  kuvautuu yksikköpalloksi , jossa
.
Jacobin determinantti tälle koordinaatistomuunnokselle on:
Tällöin ellipsoidin  tilavuus on (ks. ellipsoidin tilavuus ja pallon tilavuus):
Tässä esimerkissä sovellettiin sekä symmetrioiden käyttöä, että muuttujanvaihtoa.