Matriisi

Matriisi on matematiikassa suorakulmainen riveihin ja sarakkeisiin jaettu taulukko, jonka alkiot ovat lukuja (usein reaali- tai kompleksilukuja) tai lausekkeita. Matriiseja käytetään yleisesti kaksiulotteisen tiedon havainnollistamiseen sekä lineaaristen yhtälöryhmien käsittelyyn ja ratkaisemiseen.

Transpoosi ja symmetrisyys

Matriisin A transpoosi (merk. Aᵀ) saadaan, kun matriisin sarakkeet vaihdetaan riveiksi tai vastaavasti rivit vaihdetaan sarakkeiksi. Esimerkiksi:
Matriisi on symmetrinen jos se on sama kuin transpoosinsa, eli .

Yhteenlasku

Yhteenlaskussa matriisien vastinalkiot lasketaan yhteen. Matriisien tulee olla saman muotoisia, jotta yhteenlasku on mahdollista.
Matriisien  ja  summa on

Kertolasku

Tulomatriisi muodostuu ensimmäisen matriisin vaakarivien ja toisen matriisin pystyrivien pistetuloista. Olkoon matriisi A kokoa  ja B kokoa . Tällöin matriisien A ja B tulo AB on kokoa . Nyt 

missä kukin  on matriisin A vaakavektori, ja  matriisin B pystyvektori. On tärkeää huomata, että matriisin A sarakkeiden määrän täytyy olla sama kuin matriisin B vaakarivien määrä. Muussa tapauksessa laskutoimitus ei ole määritelty.

Matriisit ja lineaarikuvaukset

Jokaista äärellis­ulotteista lineaarikuvausta  vastaa tietty   kokoinen matriisi. Matriisin sarakkeiden lukumäärä on lähtö­avaruuden vektorien ulottuvuus ja rivien lukumäärä vastaavasti kuvaus­avaruuden vektorien ulottuvuus. Matriisin kukin sarake osoittaa sen kuvaus­avaruuden vektorin, joksi jokin lähtö­avaruuden kanta­vektoreista kuvautuu. Muut vektorit kuvataan kuvaus­avaruuteen kertomalla se kaikkien matriisin rivien kanssa sisätulolla.
Jos lähtö- ja kuvausavaruuden ulottuvuus on sama, matriisi on neliömatriisi. Jos lineaari­kuvauksen matriisi on kääntyvä neliömatriisi, lineaarikuvaukselle on olemassa käänteisfunktio. Käänteiskuvaus on matriisin käänteismatriisi.

Matriisin singulaarisuus ja säännöllisyys

Neliömatriisi  on säännöllinen eli kääntyvä mikäli on olemassa matriisi  siten että  ja . Muussa tapauksessa matriisi  on singulaarinen. Matriisia  kutsutaan matriisin  käänteismatriisiksi, ja sitä merkitään symbolilla . Säännölliset -matriisit yhdessä skalaarilla kertomisen kanssa muodostavat renkaan yhteen- ja kertolaskun suhteen jota merkitään . Neliömatriisi voidaan kääntää esimerkiksi Gaussin algoritmilla.
Oletetaan että lineaarisessa yhtälöryhmässä  on  ehtoa ja tuntematonta muuttujaa, eli siis  on  neliömatriisi. Matriisin  säännöllisyys tai singulaarisuus kertoo oleellisia asioita yhtälöryhmän mahdollisista ratkaisuista. Mikäli  on säännöllinen, on yhtälöryhmällä täsmälleen 1 vastaus, olipa vektori  mikä hyvänsä. Mikäli  on singulaarinen, on yhtälöryhmällä joko äärettömän monta ratkaisua tai ei yhtään, riippuen vektorin  arvosta.
Hyödyllinen tulos neliömatriiseille on että matriisi  on säännöllinen jos ja vain jos .

Historia

Englanninkielisen sanan Matrix tässä merkityksessä otti tiettävästi käyttöön matemaatikko James Joseph Sylvester vuonna 1850: 

»For this purpose we must commence, not with a square, but with an oblong arrangement of terms consisting, suppose, of m lines and n columns. This will not in itself represent a determinant, but is, as it were, a Matrix out of which we may form various systems of determinants ...» 
Sana (lat. matrix ’kohtu’ < mater ’äiti’ ) viittaa siihen, että matriisista voi muodostaa erilaisia determinantteja ”kuin saman vanhemman kohdusta” (”as from the womb of a common parent”).