Alueellistettujen muuttujien teoria

Alueellistettujen muuttujien teoria (engl. Regionalized variable theory) esittää erään lähestymistavan käsitellä avaruudellisesti levittäytyvää tietoa ja suorittaa kerättyjen näytteiden perusteella estimointia tila-avaruudessa. Alueellistettujen muuttujien teoriaa sovellettiin ensimmäiseksi kaivosteollisuudessa mallintamaan malmioiden keskipitoisuuksia, jota tarvittiin louhinnan ja tuotannon suunnittelussa. Menetelmä, jonka nimeksi on jäänyt geostatistiikka, sopii kuitenkin monenlaiseen maantieteellisen ja geologisen tiedon käsittelyyn. Menetelmää on käytetty malminarviointiin, sademäärien arviointiin, maaperän vedenläpäisevyyden tai maaperän kemiallisten pitoisuuksien arviointiin, kasvipeitteen, eläin- ja ihmispopulaatioiden ominaisuuksiin.

Perusteet

Alueellisettu muuttuja (engl. regionalized variable) on lukuarvolla ilmaistava suure, joka on paikkaan sidottu ja ympäristönsä synnyttämä. Sellainen voi olla kalliossa olevan mineraalin pitoisuus, sillä sen arvot vaihtelevat eri alueilla ja se sai nykyisen pitoisuutensa kuumassa magmassa tapahtuneessa syntyprosessissa ympäristönsä mineraalien sekoittuessa toisiinsa lähialueella. Alueellistumisessa on oleellista juuri kohteen arvon riippuvuus ympäristönsä pisteiden arvoista. Riippuvuus heikkenee etäisyyden kasvaessa ja on lopulta nolla. Alueellistettujen muuttujien teoria pyrkii hyödyntämään tällaisten suureiden riippuvuuvaikutusta laskennassa.
Alueellisettu muuttuja voi olla esimerkiksi tutkimusalueen korkeuden eli z-koordinaatin arvo tietyssä paikassa. Maaston korkeudet ovat alueellistuneita, koska maaston epätasaisuudet syntyvät eroosion erilaisten prosessien kautta. Rapautunut kiinteä aines liikkuu roudan työntämänä, kulkeutuu sadeveden mukana, lentää tuulessa, muokkaantuu eläinten kaimamisesta ja kasvien juurten työntäminä eri suuntiin. Lopulta maa-aines on asettunut satunnaisesti, mutta silti enneustettavasti tuntemaamme pinnanmuotoihin. Yksittäisen pisteen korkeus riippuu prosessissa ympäröivien muinaisten kohteiden korkeuseroista, mutta on itsekin ollut vaikuttamassa ympäristönsä pisteissä oleviin korkeusarvoihin. Näin on helppo nähdä, että alueellistunut muuttujia voi esiintyä yksi-, kaksi- tai kolmeulotteisissa ympäristöissä. Syntyprosessit vaikuttavat eri kohdissa oleviin arvoihin niin, että kohteiden välillä on selvä riippuvuus. Riippuvuuden avulla voidaan arvojen vaihtelun rakenteet selvittää ja hyödyntää tietoa esimerkiksi esimoinnissa.

Tilastollinen lähestymistapa

Matemaattisesti ajateltuna alueellistettu muuttuja on kohdassa  olevan tutkittavan suureen arvo, joka on paikan funktio . Funktio on käytännön kokemusten mukaisesti varsin epäsäännöllinen. Sen arvot vaihtelevat sattumanvaraisesti, mutta mikäli siitä voidaan erottaa rakenteellisia piirteitä, voidaan sitä analysoida tiettyyn rajaan asti tilastollisesti. Alueellistettujen muuttujien teoriassa kiinnitetään huomiota muuttujan kahteen ominaispiirteeseen: satunnaisen käyttäytymiseen ja rakenteelliseen vaihteluihin. Muuttujasta yritetään selvittää mahdollisimman paljon rakenteellisen piirteen ominaisuuksia ja ilmaista ne matemaattisessa muodossa. Sitten yritetään löytää muuttujan arvojen riippuvuuksia autokorrelaation muodossa ja erottaa siitä puhdas satunnainen elementti (kohina). Lopuksi valitaan estimointiin liittyviä menetelmiä, joissa rakenteelliset piirteiden tuntemus ja korrelaation määrä voidaan hyöndyntää tilastollisesti hyväksyttävällä tavalla.
Tutkittava alue voidaan ajatella olevan spatiaallisen ja stokastisen prosessin satunnaiskenttä. Alueellistetut muuttujat olisivat silloin satunnaiskentässä hetkellä "nyt" olevien arvojen realisaatio. Satunnaiskentän  eri pisteiden satunnaismuuttujat riippuvat toisistaan ja niiden realisaatiosta voidaan mitata riippuvuuden suuruus estimoimalla satunnaiskentän kovarianssin suuruudet. Yhden realisaation käyttäminen edellyttää kuitenkin, että satunnaiskenttä on jossakin määrin stationäärinen laajalta alueelta niin, että riippuvuudet saadaan selville tutkimalla kerättyjä näytteitä tilastollisesti.
Valittu suure tulee voida määrittää pienistä ja suurista näytteistä niiden keskiarvoina. Esimerkiksi malmiarvioinnissa keskiarvo tarkoittaa näytteen keskipitoisuutta. Näytteiden koko ja muoto vaikuttavat siten näytteiden arvoihin ja arvojen varianssiin. Näytteiden välimatkat ja suunnat vaikuttavat tulee suunnitella näytteiden arvojen välisen riippuvuuden selvittämiseksi. Autokorrelaation vaikutusmatka ja suuntaus määrää näytetiheyden eri tarkastelusuunnissa. Alueellistettujen muuttujien teoriassa on menetelmä huomioida näytteiden koon ja estimoitavien lohkojen kokoero.