Erityinen suhteellisuusteoria

Suppea suhteellisuusteoria eli erityinen suhteellisuusteoria tai erikoinen suhteellisuusteoria on fysiikassa yleisesti hyväksytty ja kokeellisesti hyvin tuettu tieteellinen teoria, jonka Albert Einstein julkaisi 1905. Se korvasi newtonilaisen eli klassisen mekaniikan käsityksen muuttumattomasta avaruudesta ja ajasta näiden yhtymäksi, aika-avaruudeksi, ja sisällytti itseensä sähkömagnetismin teorian, kuten Maxwellin yhtälöissä on esitetty.
Muuttumattomalla nopeudella liikkuvan kappaleen sanotaan olevan inertiaalikoordinaatistossa. Jos vakionopeuksisia kappaleita on monia ja ne liikkuvat samaan suuntaan, ovat ne samassa inertiaalikoordinaatistossa. Jos inertiaalikoordinaatistoja on monia, ovat niiden kappaleiden ominaisuudet suhteellisia toisiinsa, ja ominaisuuksia voidaan verrata suppean suhteellisuusteorian avulla, josta nimi suhteellisuusteoria tulee. Teoria on suppea, koska se pätee vain inertiaalikoordinaatistoille, eikä siinä voi siten suhteellistaa kiihtyviä tai hidastuvia liiketiloja. Suppeassa suhteellisuusteoriassa jätetään huomiotta kappaleiden painovoiman luonne, joka yleisen suhteellisuusteorian mukaan aiheutuu aika-avaruuden vääristymistä ja kaikki liike, myös kiihtyvä, on saatettu teoriassa silloin yleisesti suhteellistetuksi.
Suppeassa suhteellisuusteoriassa käytetään vertailemaan inertiaalikoordinaatistojen kappaleiden ominaisuuksia, kuten suhteellista sijaintia, nopeutta ja liike-energiaa, Lorentz-muunnoksilla. Nämä ottavat huomioon aika-avaruuden muuttumisen, joka on merkittävää eritoten tyhjiön valonnopeutta lähellä olevissa suhteellisissa nopeuksissa. Klassisessa mekaniikassa käytetään samankaltaisia Galilei-muunnoksia, jotka eivät ota huomioon aika-avaruuden muutoksia. Klassista mekaniikkaa voidaan pitää siksi nykyään enää vain suhteellisuusteorian approksimaationa, jota voidaan soveltaa valoa paljon hitaammissa nopeuksissa.
Suppean suhteellisuusteorian pääkohdat julkaistiin 1905 Annalen der Physik -tiedejulkaisun numerossa 10 Einsteinin artikkelissa Liikkuvien kappaleiden elektrodynamiikasta (saks. zur elektrodynamik bewegter körper). Samassa numerossa julkaistiin myös Einsteinin valokvantteja ja Brownin liikettä käsitelleet artikkelit.
Suppeasta suhteellisuusteoriasta seuraa myös massan ja energian välisen yhteyden osoittava yhtälö E=mc². Yhtälö julkaistiin myöhemmin 1905 Einsteinin kirjoittamassa Annalen der Physikin artikkelissa Riippuuko kappaleen hitaus sen energiasta? (saks. Ist die trägheit eines körpers von dessen energieinhalt abhängig?).
1915 Einstein julkaisi toistaiseksi epävarman yleisen suhteellisuusteorian. Se on suppean suhteellisuusteorian yleispätevämpi laajennos, josta teorian nimi yleinen johtuu. Teorian avulla voidaan tarkastella muun muassa kiihtyvää tai hidastuvaa liikettä, painovoimaa, mustia aukkoja, aika-avaruuden kaareutumista ja maailmankaikkeuden kehitystä.

Inertiaalikoordinaatistot

Inertiaalikoordinaatistot ovat olennainen osa suppeaa suhteellisuusteoriaa.
Täysin muuttumattomalla nopeudella liikkuvan kappaleen sanotaan olevan inertiaalikoordinaatistossa. Jos vakionopeuksisia kappaleita on useita ja ne liikkuvat täysin samaan suuntaan, ovat ne samassa inertiaalikoordinaatistossa, vaikka kappaleiden välinen etäisyys olisi ääretön. Siten inertiaalikoordinaatistotkin ovat äärettömiä. Eri vakionopeudella tai eri suuntaan liikkuvat kappaleet ovat eri inertiaalikoordinaatistoissa. Inertiaalikoordinaatistot ovat ihanteellisia eli kuvitteellisia, eikä niitä oikeasti ole. Tämä johtuu siitä, että kaikkialla kappaleiden liikkeeseen vaikuttaa kaukaistenkin kappaleiden painovoima, jolloin minkään todellisen kappaleen nopeus ei voi olla täysin muuttumaton. Syvällä avaruudessa kaukana muista kappaleista oleva ja siten lähes vakionopeuksinen kappale on kuitenkin lähellä inertiaalikoordinaatistossa olevaa kappaletta.
Kahden samaan suuntaan nopeudella 50 km/h liikkuvan auton voidaan sanoa olevan likimain samassa inertiaalikoordinaatistossa, ja 60 km/h samaan suuntaan menevä auto on omassaan. Nopeudet ovat aina kuitenkin suhteellisia. 50 km/h autojen voidaan sanoa olevan paikallaan koordinaatistossaan ja 60 km/h auton liikkuvan suhteessa näihin vain nopeudella 10 km/h. Todellista nopeutta etsiessä voidaan lähteä autoja vertaamaan niiden liikkeeseen suhteessa maapallon pintaan. Kuitenkin näiden maapallolla olevien autojen nopeutta voidaan myös verrata suhteessa Aurinkoon maapallon pyöriessä sen ympäri, sitten autojen liikettä suhteessa Linnunrataan aurinkokunnan liikkuessa sen halki ja niin edelleen.
Todellista nopeutta ei siis ole olemassa ja kaikki nopeudet ovat suhteellisia sekä suhteellisuusteoriassa että klassisessa mekaniikassa, joissa molemmissa nopeus on suuntaa huomioimatta kuljettu matkan muutos Δx jaettuna ajan muutoksella Δt, joissa Δ on muutosta merkitsevä matemaattinen symboli. Matka täytyy aina suhteuttaa johonkin, mitä varten on luotu koordinaatistojen käsite. Saman inertiaalikoordinaatiston kappaleet eivät liiku suhteessa toisiinsa, eli ne ovat toisiinsa nähden levossa, mutta liikkuvat suhteessa toisiin koordinaatistoihin. Minkään koordinaatiston ei kuitenkaan voida sanoa olevan levossa, vain liikkeessä suhteessa toisiinsa.

Samanaikaisuuden suhteellisuus

Suppean suhteellisuusteorian mukaan aika on suhteellista, eikä se ole kaikissa inertiaalikoordinaatistoissa sama. Siksi myös yhdessä inertiaalikoordinaatistossa havaitut samanaikaiset tapahtumat eivät koskaan ole täysin samanaikaisia jossakin toisessa inertiaalikoordinaatistossa.
Einstein esitti tämän havainnollistamiseksi ajatuskokeen junavaunulla, joka on suunnilleen seuraavanlainen. Junavaunun molemmissa päissä on räjähde. Vaunun keskellä ja täysin samoilla etäisyyksillä räjähteistä on Jaana, jolla on räjähdysten valonvälähdyksen havaitseva laite. Laitteessa on merkkivalo, johon syttyy pysyvästi punainen valo, jos se havaitsee välähdyksen tulevan ensin junan menosuunnasta, ja vihreä valo, jos välähdys tulee molemmilta suunnilta samanaikaisesti. Junaradan vieressä seisoo Simo, jonka ohi junavaunu liikkuu vakionopeudella.
Ennen koetta Jaana ja Simo sopivat Simon räjäyttävän räjähteet samanaikaisesti kun Jaana ja Simo ovat kohdakkain junan liikkuessa Simon ohitse. Paikallaan seisova Simo olettaa siksi näkevänsä räjähdykset samaan aikaan ja laitteen valon muuntuvan punaiseksi, koska junassa oleva Jaana ehtii laitteineen siirtyä valon yhä liikkuessa sen verran eteenpäin että valo ehtii laitteelle ensin vain junan menosuunnasta.
Jaana on kuullut suhteellisuusteorian suhteellisuusperiaatteesta, jonka mukaan valo liikkuu kaikkien havaitsijoiden mukaan aina samalla nopeudella riippumatta heidän nopeudestaan suhteessa johonkuhun toiseen paikallaan seisovaan, kuten Simoon. Jaana olettaa siksi näkevänsä räjähdykset täysin samanaikaisesti. Siten niistä tuleva valon pitäisi tulla laitteeseen molemmista suunnista samanaikaisesti, ja valon muuttua vihreäksi. Vaunun pysähtyessä ja tuloksia vertailtaessa Simo ei voi nähdä punaista valoa ja Jaana vihreää valoa samanaikaisesti.
Kun koe suoritetaan käytännössä, valo muuttuu punaiseksi. Tämä johtuu siitä, että vaikka valonnopeus on molemmille havaitsijoille sama suhteellisuusperiaatteen mukaan, ei vaunussa oleva Jaana havaitsekaan räjähdyksiä samanaikaisesti toisin kuin hän oletti. Hän näkee räjähdyksen ensin menosuunnastaan ja vasta sitten tulosuunnastaan.
Molemmat havaitsijat ovat kuitenkin oikeassa räjähdysten samanaikaisuudesta. Kyse ei ole vain havaitsemisesta, vaan räjähdykset tapahtuvat Jaanan inertiaalikoordinaatistossa (junassa) eri aikaan kuin Simon inertiaalikoordinaatistossa (junaradan vieressä).

Kaavan johtaminen

Aikavenymän kaava voidaan johtaa ajatuskokeellisella valokellolla, jossa on kaksi peiliä toisistaan korkeudella L tyhjiön erottamana, joiden välissä on edestakaisin heijastuva ja laitteesta häviämätön fotoni. Kello havaitsee fotonin heijastumisen alemmasta peilistä, jolloin kellon viisari liikahtaa aina yhden pykälän eteenpäin mitaten siten aikaa.
Fotonin täytyy kahden viisarin liikkeen välissä edetä matka 2L, sillä se liikkuu alemmasta peilistä matkan L ylempään peiliin ja takaisin, eli kaksinkertaisen matkan. Fotoni liikkuu tyhjiön valonnopeudella c, joten viisarin liikkeiden välissä kulunut aika on Δt = 2L/c.
Suhteellisuusperiaatteen mukaan valo liikkuu kaikissa inertiaalikoordinaatistoissa näissä olevien havainnoijien mittaamana tyhjiön valonnopeudella. Siksi kellon liikkuessa jostakin havainnoitsijasta sivuttain muuttumattomalla ja valoa hitaammalla nopeudella v fotonin ylös-alas etenevään liikkeeseen nähden, on fotonin kulkema matka alapeililtä yläpeilille kellon suhteen mukana liikkumattomalle suurempi kuin kellon mukana liikkuvan havaitsema liike.
Suhteellisuusperiaatteen vuoksi kellon mukana liikkuva näkee fotonin liikkuvan suoraan ylös ja alas tyhjiön valonnopeudella eli se kulkee matkan ajassa Δt = 2L/c.
Suhteellisuusperiaatteen vuoksi kellon mukana liikkumaton näkee fotonin liikkuvan siksaksakkia peilien välissä tyhjiön valonnopeudella valokellon peilien siirtyessä hänestä poispäin. Havaitsijan mukaan fotonilta kuluu aikaa Δt' verran kuljettuaan alapeililtä yläpeilille ja takaisin. Matkaan alapeililtä yläpeilille kuluu siten puolet tästä ajasta eli ½Δt'. Koska nopeus on matka jaettuna ajalla, on fotonin liikkeen aikana alapeililtä yläpeilille liikkuma matka nopeus kertaa aika eli ½c Δt'. Kun fotoni alapeililtä tullessaan osuu yläpeiliin, on nopeudella v liikkuva valokello nopeuden kaavalla laskettuna siirtynyt matkan ½v Δt'.
Valokellon mukana liikkumattoman havaitsijan mukaan fotoni on yläpeilille saapuessa muodostanut liikeradan, joka on suorakulmainen kolmio suhteessa peileihin. Kolmion hypotenuusan pituus on ½c Δt', viereinen kateetti on ½v Δt' ja vastainen kateetti on valokellon korkeus h. Kolmio on suorakulmainen, joten siihen pätee Pythagoraan lause ja tiedot voidaan esittää kaavana
h² + (½v Δt')² = (½c Δt')²
Kun kaavasta ratkaistaan valokellon mukana liikkumattoman havaitsijan fotonin siksakkiliikkeeseensä kuluttama aika Δt' kahden viisarin liikkeen välillä, saadaan yhtälö
Δt on 2L/c. Se on myös tosiaika Δτ, koska se on valokellon mukana liikkuvan havainnoima aika. β on kellon nopeuden ja tyhjiön valonnopeuden suhde v/c, joten v²/c² on β². Koska 2L/c = Δτ ja v²/c² = β², on lopullinen kaava

Kaavan johtaminen

Pisteiden välillä liikkuvan kappaleen inertiaalikoordinaatistosta mitattuna sen matkaan käyttämä aika Δt on lyhyempi kuin pisteisiin nähden paikallaan olevasta Δt' mittaavasta inertiaalikoordinaatistosta. Kappaleen nopeuden v kuitenkin täytyy olla molemmista koordinaatistoista laskettuna sama. Siten pisteiden välillä liikkuvan kappaleen kulkema matkan L tulee olla myös lyhyempi kuin pisteisiin nähden liikkumattomasta koordinaatistosta mitattu matka L'. Kaavana tämä on
 
Δt on tosiaika Δτ, jonka kaava johdettiin aikavenymä-osiossa. Siten kaava on
Δt' sulkee itsensä pois kaavasta ja saadaan pituuspuristuman kaava, jossa L' on tosipituus l

Kaavan johtaminen

Kuvitellaan olevan xy-koordinaatisto ja tämän suhteen johonkin kulmaan käännetty x'y'-koordinaatisto. Koordinaatistojen asteikkovälit ovat samat. Päällekkäin ollessaan koordinaatistot voivat mitata koordinaatistoissa olevan viivan pituuden d sen toisessa päässä olevan pisteen 1 koordinaatteina ja toisessa päässä olevan pisteen 2 koordinaatteina. Koordinaatit eivät kuitenkaan ole pisteille samat eli x₁ ≠ x₁' jne. Intervalliksi kutsutaan esimerkiksi xy-koordinaatistossa arvojen x₁ ja x₂ välistä eroa Δx. Intervallitkaan koordinaatistojen välillä eivät ole samat, eli Δx ≠ Δx' ja Δy ≠ Δy'. Koordinaatistojen mittaama pituus d on kuitenkin sama. Kaavana tämä on
Aikavenymä-osion valokellon kohdalla tyhjiön valonnopeuden lisäksi valokellon korkeus L on ainoa tekijä, joka on kellon mukana liikkuvalle ja kellon mukana liikkuvalle sama. Kaavana tämä on
½ sulkevat toisensa pois ja kaava muuntuu muotoon
Aika-avaruusintervalli on siten

Kaavojen johtaminen

Aika-avaruusintervallin kaava johdettiin sen omassa osiossa. Aika-avaruusintervalli massallisen hiukkasen inertiaalikoordinaatistolle, joka liikkuu vakionopeudella ajassa Δt matkan Δx, on
Hiukkanen liikkuu matkan suhteessa toiseen inertiaalikoordinaatistoon, josta käsin mitattuna tämän koordinaatiston kappaleet ovat levossa inertiaalikoordinaatiston määritelmän mukaisesti. Intervalli on invariantti, eli molemmille koordinaatistoille sama. Aika-avaruusintervallin kaava voidaan muuntaa liikemäärän p sisältäväksi yhtälöksi kertomalla yhtälö arvolla m / Δτ², jossa Δτ on tosiaika, eli liikkuvan hiukkasen itsensä mittaama matkaansa käyttämä aika, joka ei aikavenymän vuoksi ole sama kuin Δt. Saadaan
p = m(Δx/Δτ), joten yllä oleva kaava pätee. Δτ voidaan muuntaa Δt arvoksi ja päinvastoin Lorentz-kertoimella γₚ eli Δτ = γₚ Δt. Saadaan
Yhtälö kerrotaan arvolla c², jotta hieman edempänä saadaan oikeanlaisia yksiköitä
Jos liikkuva kappale onkin levossa suhteessa sitä mittaavaan inertiaalikoordinaatistoon, on kappale samassa koordinaatistossa. Tällöin myös p = 0 ja γₚ = 1, joten (pc)² sulkeutuu nollalla kerrottaessa pois, mutta yhdellä kerrottu (mc²)² jää invariantiksi eli kaikissa koordinaatistoissa yhteneväksi arvoksi. Saadaan siis
Otettaessa neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta, havaitaan että mc² on myös invariantti arvo. Kahden inertiaalikoordinaatiston S ja S' vertailijat mittaavat häiriöttä vakionopeudella liikkuvalle kappaleelle eri liikemäärän, mutta molempien mittausten mukaan kappaleen liikemäärä konservoituu eli pysyy koordinaatistoissa muuttumattomana. Kahden ylemmän yhtälön mukaan γₚmc² on myös säilyvä ominaisuus. Yksikköinä γₚ on yksikötön, m on kg ja c² on m²/s². kg*m²/s² on joule, joka on energian yksikkö. Oletetaan että kappaleen nopeus on paljon pienempi kuin tyhjiön valonnopeus, eli v ≪ c. Tällöin binomiaali approksimaatiota käyttäen saadaan kaava
½mv² on klassisen fysiikan liike-energian kaava, eli yhtälö antaa tyhjiön valonnopeutta paljon pienemmillä nopeuksilla samoja tuloksia kuin klassinen fysiikka. mc² yhtälössä kertoo että massa sisältäisi energiaa.
Massallisen kappaleen ollessa levossa eli kun v=0, saadaan yhtälöstä kappaleen lepoenergia E₀ eli
Liike-energia kappaleelle olisi siten

Massan ja energian yhtäläisyys

Kahdella samamassaisella ja samalla nopeudella törmäävällä kappaleella on liike-energia K. Koska kappaleita on kaksi, on niiden liike-energia yhteensä 2K. Kappaleet törmäävät toisiinsa kohtisuoraan ja tarttuvat tai sulautuvat toisiinsa pysyvästi eli tapahtuu epäkimmoinen törmäys. Klassisessa fysiikassa 2K energian sanotaan muuttuvan kappaleiden atomien lämpöliikkeeksi, joka kohottaa kappaleiden lämpötilaa. Suhteellisuusteorian yhtälöön E = E₀ + K ei kuitenkaan sisälly lämpöenergiaa. Törmäyksen energia on Eₜ = 2mc² + 2K. Kappaleet eivät liiku törmäyksen jälkeen, joten 2K = 0, ja kaava on siten
Kaavassa M on yhteen sulautuneiden kappaleiden kokonaismassa. Energian on monesti osoitettu kokeellisesti olevan pysyvää, eli kappaleiden kokonaisenergia Eₖₒₖ ei voi kadota törmäyksen jälkeenkään. Valonnopeus tyhjiössä on vakio, joten ainoa mahdollinen muuttuja on M.
Massa ei siis säily eli se voi muuntua energiaksi. Vastavuoroisesti massaa voi muodostua energiasta. Tämän vastoin klassisen fysiikan perusperiaatteisiin kuuluvaa massan säilymislakia. On kuitenkin hyvä ymmärtää, että energiaa itsessään ei ole missään puhtaassa muodossa, vaan se on täysin kuvitteellinen käsite, jolla voidaan vertailla eri asioita kuten liikettä ja kemiallisia reaktioita keskenään. Energia on siis verrannollisuuskerroin.
Suhteellisuusteorian massan ja energian yhtäläisyys on kuitenkin todistettu kokeellisesti monesti ja nimenomaan siihen perustuvat muun muassa ydinvoima ja ydinaseet, joissa pieni määrä massaa muuntuu valtavaksi määräksi energiaa. Kyseessä ei kuitenkaan ole ydinreaktioihin rajoittunut tapahtuma: massan muuntumista energiaksi ja päinvastoin tapahtuu esimerkiksi kaikissa kemiallisissa reaktioissa kaikkialla koko ajan, mutta näiden energiat ovat pieniä suhteessa ydinreaktioihin ja massan muutokset ovat niin pieniä että ne ovat käytännössä merkityksettömiä. Kemiallisessa reaktiossa vapautunut energia myös usein muuntuu nopeasti ympäristön massaksi.
Esimerkiksi kun hiukkaskiihdyttimessä kiihdytetään elektroni hyvin lähelle tyhjiön valonnopeutta ja törmäytetään se atomiin, voi elektroni irrottaa atomista elektronin. Klassisen fysiikan olettamusten pohjalta havaittaisiin kahden elektronin sinkoavan poispäin atomista, yhden irronneen ja yhden törmänneen. Oikeasti kuitenkin havaitaan sinkoavan atomista poispäin kolmen elektronin ja positronin, joka elektronin positiivisen omaava antimateriahiukkanen. Systeemin kokonaissähkövaraus pysyy muuttumattomana koska positroni ja elektroni sulkevat pois toistensa varaukset, mutta massan omaavat elektroni ja positroni ovat siis muodostuneet energiasta. Jokin elektroneista tosin annihiloituu erittäin nopeasti positronin kanssa, koska materia ja antimateria reagoivat keskenään kiivaasti, jolloin nämä kaksi hiukkasta katoavat ja muuntuvat kahdeksi vastakkaisiin suuntiin eteneväksi ja massattomaksi fotoniksi. Fotonit varastoivat elektronin ja positronin liike-energian ja massan energian taajuuteensa.