Projektiivinen geometria

Projektiivinen geo­metria on geometrian ala, joka tutkii ominaisuuksia, jotka säilyvät keskeisprojektioissa tasolta tasolle.  Projektiivisessa geo­metriassa pisteiden oletetaan sijaitsevan projek­tiivisessa avaruudessa, jossa voidaan intui­tiivisesti ajatella olevan enemmän pisteitä kuin yhtä moni­ulotteisessa euklidisessa avaruudessa, ja näiden "yli­määräisten" pisteiden eli ideaalipisteiden voidaan ajatella olevan äärettömän kaukana. Projek­tiivisessa geo­metriassa sallitaan myös sellaiset geo­metriset muunnokset, joissa nämä ideaali­pisteet kuvautuvat tavan­omaisen avaruuden pisteille tai päin­vastoin.
Projek­tiivisen geo­metrian geo­metrian yhtenä virikkeenä on ollut perspektiivioppi. Perspek­tiivisesti sellaisetkin suorat, jotka todellisuudessa ovat yhden­suuntaisia, esimerkiksi rata­kiskot, näyttävät kaukana kohtaavan toisensa. Tämän vuoksi niiden voidaan ajatella leikkaavan toisensa "äärettömän kaukana". projek­tiivisessa geo­metriassa tavan­omaiseen avaruuteen lisätäänkin kutakin yhden­suuntaisten suorien ekvivalenssiluokkaa kohti yksi "äärettömän kaukainen" piste.  Kun tasoon lisätään tällaiset äärettömän kaukaiset pisteet, saadaan projektiivinen taso, ja vastaavasti kun kolmi­ulotteiseen avaruuteen lisätään tällaiset pisteet, saadaan kolmi­ulotteinen projektiivinen avaruus.
Projek­tiivisessa geo­metriassa merki­tyk­selli­siä ovat vain sellaiset ominaisuudet, jotka säilyvät projek­tiivisissa muunnoksissa. Esimerkiksi kulmilla ei projek­tiivisessa geo­metriassa ole merkitystä, koska ne eivät tällaisissa muunnoksissa säily, mikä perspektiivi­piirustuksessa hyvin käy ilmi.
Ala sai alkunsa 1600-luvulla Girard Desarguesin tutkimuksista, mutta se jäi syrjään geo­metrisen tutkimuksen valta­virrasta 1800-luvun alkuun asti, jolloin Jean-Victor Poncelet julkaisi järjes­telmälli­sen esityksen projek­tiivisesta geo­metriasta.
Tämän jälkeen projek­tiivista geo­metriaa alettiin tutkia niin vilkkaasti, että siitä tuli aika­kauden geometrian tärkein tutkimusalue. Tällöin kehitettiin myös kompleksisen projek­tiivisen avaruuden teoria, jossa koordinaatit ovat kompleksilukuja. Projek­tiiviseen geo­metriaan perustuivat myös monet muut samoihin aikoihin kehitetyt abstraktin matematiikan haarat kuten invarianttiteoria, italialainen algebrallisen geo­metrian koulukunta, Felix Kleinin Erlangenin ohjelma, joka johti klassisten Lien ryhmien teoriaan, sekä äärellinen geometria. 
Projek­tiivinen geo­metria itsekin jakaantuu nykyisin moniin tutkimus­aloihin, joista esi­merkkeinä voidaan mainita projek­tiivinen algeb­rallinen geo­metria eli projek­tiivisten varistojen tutkimus sekä projek­tiivinen differentiaaligeometria eli projek­tiivisten muunnosten differenti­aalisten invarianttien tutkimus.

Yleiskuvaus

Projek­tiivinen geo­metria on geo­metrian ei-metrinen muoto, mikä tarkoittaa, että se ei perustu etäisyyden käsitteeseen. Kahdessa ulottuvuudessa se alkaa opilla tietyn­laisista pisteiden ja suorien muodostamista kuvioista. Kun Desargues ja muut kehittivät perspektiivioppia matemaattisesti selvittäessään projek­tiivisen geo­metrian, he osoittivat, että näinkin pienellä määrällä käsitteillä saatiin geo­metrisesti mielen­kiintoisia tuloksia. Useampi­ulotteisissa avaruuksissa käsitellään hypertasoja, jotka aina kohtaavat, ja muita lineaarisia ali­avaruuksia, joille on ominaista duaalisuusperiaate. Yksin­kertai­simmassa muodossaan duaalisuus ilmenee projek­tiivisella tasolla, jossa lauseet "kaksi eri pistettä määrittävät yksi­käsitteisesti suoran" (nimittäin molempien kautta kulkevan suoran) ja "kaksi eri suoraa määrittävät yksi­käsitteisesti pisteen" (nimittäin niiden leikkaus­pisteen) osoittautuvat rakenteeltaan saman­laisiksi. Projek­tiivinen geo­metria voidaan myös käsittää opiksi sellaisista geo­metrisista kon­strukti­oista, jotka voidaan suorittaa pelkän viivoittimen avulla. Koska harpin käyttöä ei sallita, eivät projek­tiiviseen geo­metriaan kuulu ympyrät, kulmat, etäisyyksien mittaus, suorien yhdensuuntaisuus eikä pisteen sijainti kahden muun pisteen välissä. Osoittautui, että teoreemat, jotka pätevät projek­tiivisessa geo­metriassa, ovat yksin­kertaisia lauseita. Esimerkiksi kaikki erilaiset kartio­leikkaukset ovat ekvi­valentteja kompleksisessa projek­tiivisessa geo­metriassa, ja jotkut ympyröitä koskevat teoreemat voidaan käsittää näiden yleisten teoreemojen erikois­tapauksiksi.
1800-luvun alussa muun muassa Jean-Victor Poncelet'n ja Lazare Carnot'n tutkimukset tekivät projek­tiivisesta geo­metriasta itsenäisen matematiikan haaran. Sen perusteita tarkensi Karl von Staudt, ja 1800-luvun lopulla italialaiset Giuseppe Peano, Mario Pieri, Alessandro Padoa ja Gino Fano kehittivät ne täydelliseen muotoon.  Affiinisen ja euklidisen geo­metrian tavoin myös projek­tiivinen geo­metria voidaan muotoilla Felix Kleinin Erlangenin ohjelman avulla: projek­tiivista geo­metriaa luonnehtivat projek­tiivisen ryhmän muunnosten invariantit.
Projek­tiivisen geo­metrian perusteet tulivat ymmärretyiksi, kun alalta oli runsaan tutkimuksen avulla saatu johdetuksi erittäin monia teoreemoja. Perustavia invariantteja projek­tiivisessa geo­metriassa ovat insidenssistruktuuri ja kaksoissuhde. Projek­tiivista geo­metriaa voidaan mallintaa affiinisella tasolla (tai affiinisella avaruudella), johon lisätään "äärettömyydessä" oleva suora (tai hypertaso) ja käsittelmällä tätä suoraa (tai hypertasoa) "tavallisten" suorien (tai tasojen) tavoin. Homo­geeniset koordinaatit tarjoavat algerallisen mallin, jolla projek­tiivista geo­metriaa voidaan tutkia analyyttisen geo­metrian tapaan.
 Toisaalta aksioomien tutkimus paljasti, että on olemassa ei-desarguesilaisia tasoja, jotka ovat esimerkkejä siitä, että kahdessa ulottuvuudessa insidenssi­aksioomat voidaan muotoilla sellaistenkin struktuurien avulla, joita ei voida johtaa homogeenisesta koordinaatti­järjestelmästä.  
Projek­tiivinen geo­metria ja järjestetty geometria ovat perustavalla tavalla yksin­kertaisimpia, sillä niissä on pienin määrä aksioomia, ja kumpaakin voidaan käyttää affiinin ja euklidisen geo­metrian perustana. projek­tiivinen geo­metria ei ole "järjestetty", ja näin ollen se muodostaa oman perustansa geo­metrialle.

Historia

Ensimmäiset luonteeltaan projek­tiiviset geo­metriset ominaisuudet löysi 200-luvulla Pappos Aleksandrialainen. Filippo Brunelleschi (1404–1472) aloitti perspektiivin geo­metrian tutkimisen vuonna 1425.
 Johannes Kepler (1571–1630) ja Girard Desargues (1591–1661) kehittivät toisistaan riippumatta keskeisen "äärettömyydessä olevan pisteen" käsitteen. Desargues kehitti perspektiivi­piirustukseen vaihto­ehtoisen menetelmän yleistämällä pakopisteiden käsittelyä siten, että ne voivat olla myös äärettömän kaukana. Hän teki euklidisesta geo­metriasta, jossa yhden­suuntaiset suorat todella ovat yhden­suuntaisia, erikois­tapauksen kaikenkattavasta geo­metrisesta järjestelmästä. Desargues tutki myös kartio­leikkauksia, ja hänen tällä alaltaan tekemiin tutkimuksiin kiinnitti huomiota 16-vuotias Blaise Pascal, joka niiden avulla onnistui muotoilemaan Pascalin lauseen. Gaspard Mongen tutkimukset 1700- ja 1800-lukujen vaihteessa olivat projek­tiivisen geo­metrian myöhemmän kehityksen kannalta tärkeitä. Desarguesin saavutuksia ei juuri tunnettu, ennen kuin Michel Chasles sai vuonna 1845 hankituksi hänen tutkielmistaan käsin tehdyn jäljennöksen. Sillä välin Jean-Victor Poncelet oli laatinut vuonna 1822 julkaistun projek­tiivisen geo­metrian perus­teoksen. Poncelet erotti kohteiden projek­tiiviset ominaisuudet omaksi luokakseen ja selvitti, miten metriset ja projek­tiiviset ominaisuudet liittyivät toisiinsa. Kun vähän myöhemmin keksittiin epä­euklidiset geo­metriat, osoittautui, että nekin voitiin mallintaa projek­tiivisen geo­metrian avulla, esimerkiksi hyper­boliselle avaruudelle voitiin muodostaa Kleinin malli.
Tämä 1800-luvun varhainen projek­tiivinen geo­metria oli tärkeä askel ana­lyytti­sestä geo­metriasta kohti algeb­rallista geo­metriaa. Homo­geenisilla koordi­naateilla käsiteltynä projek­tiivinen geo­metria näyttää koordi­naattien käytön laajennukselta tai tekniseltä parannukselta, jolla geo­metriset probleemat voidaan palauttaa algebraan ja jossa erikoistapausten lukumäärää saadaan vähennetyksi. Toisen asteen pintojen yksityiskohtainen tutkimus ja Julius Plúckerin "viivageo­metria" ovat esi­merkkejä monista yleisempien geo­metristen käsitteiden tutkimuksesta.
Poncelet'n, Steinerin ja muiden suorittaman työn tarkoituksena ei ollut laajentaa analyyttista geometriaa. He olettivat käyttämiensä menetelmien olevan "synteettisiä"; itse asiassa projektiivinen avaruus sellaisena kuin se nykyisin käsitettiin kohdettiin aksiomaattisesti. Sen vuoksi projektiivisen geometrian varhaisten tulosten uudelleenmuotoilu siten, että ne vastaavat nykyisiä tarkkuuden vaatimuksia, voi olla jokseenkin vaikeaa. Jo projektiivisen tason tapauksessa aksiomaattinen lähestymistapa voi johtaa malleihin, joita ei voida esittää lineaarialgebran avulla.
Myöhemmin projektiivisen geometrian kehitykseen vaikuttivat huomattavasti muun muassa Clebschin, Riemannin ja Max Noetherin algebrallisia käyriä koskeneet tutkimukset sekä invarianttiteoria. Vuosisadan lopulla italialainen algebrallisen geometrian koulukunta, johon kuuluivat Federigo Enriques, Corrado Segre ja Francesco Severi, kehitti alaa edelleen niin, että tarvittiin syvällisempiä menetelmiä.
Aivan 1800-luvun lopulla projektiivisen geometrian yksityis­kohtainen tutkimus alkoi jo hiipua, mutta alan kirjallisuus oli jo hyvin laaja. Varsinkin Schubert suoritti vielä merkittävää tutkimusta enumeratiivisen geometrian alalla, jonka nykyisin katsotaan ennakoineen Chernin luokkien teoriaa ja algebralliseen topologiaan kuuluvaa Grasmannin monistojen teoriaa.
Paul Dirac tutki projektiivista geometriaa ja käytti sitä kehittämiensä kvantti­mekaanisten käsitteiden pohjana, joskin hän julkaisi tuloksensa aina algebrallisessa muodossa.

Projektiivisen geometrian aksioomat

Jokainen geometria voidaan johtaa asianmukaisesta joukosta aksioomeja. Projektiivisille geometrioille tyypillinen on "elliptinen paralleeliaksiooma": mitkä tahansa kaksi tasoa leikkaavat toisensa yhdellä suoralla, tai tasolla: "mitkä tahansa kaksi suoraa leikkaavat toisensa yhdessä pisteessä. Toisin sanoen projektiivisessa geometriassa ei ole yhdensuuntaisia suoria tai yhdensuuntaisia tasoja. Projektiiviselle geometrialle on esitetty monia vaihtoehtoisia aksioomajärjestelmiä.