Hyperreaaliluku

Historiallinen johdanto hyperreaalilukuihin

Differentiaali- ja integraalilaskentaa eli infinitesimaalilaskentaa enteilivät jo Arkhimedeen (noin 250 eaa.) käyttämät menetelmät (esimerkiksi tyhjennysmenetelmä) antiikin Kreikan aikana. Infinitesimaalin idealla, mutta myös epäilyllä infinitesimaaleihin liittyvien argumenttien luotettavuudesta, on pitkä historia alkaen jo antiikin Kreikan matemaatikoista. Infinitesimaalin tunsi jo Arkhimedes, mutta infinitesimaalin käsite oli hänen mielestään siinä määrin epätyydyttävä, että hän korvasi infinitesimaalin käytön matemaattisissa todistuksissa muilla menetelmillä kuten ekshaustio- eli tyhjennysmenetelmällä, jolla voidaan muodostaa täsmällisiä todistuksia ja määrittää pinta-aloja ja tilavuuksia tarvitsematta mennä varsinaisesti infinitesimaaleihin, raja-arvoihin tai muihin äärettömyyttä käyttäviin prosesseihin.
Historiallisesti differentiaali- ja integraalilaskennan katsotaan kehittäneen Gottfried Leibniz ja Isaac Newton toisistaan riippumatta 1600-luvun lopulla. Molempien käyttämät päättelyt perustuivat infintesimaalin käsitteeseen, joka esiteltiin suuruutena, joka on pienempi kuin mikä tahansa positiivinen luku olematta silti nolla. Funktion  derivaatta määriteltiin tuolloin seuraavasti:
. (*)
Isaac Newton puhui derivaatan eli hänen terminologiansa mukaan fluksionin ideasta lopullisena yhteytenä häviävien osien välillä. Infinitesimaali oli kuitenkin käsitteenä epäselvä eikä sitä ei ollut määritelty täsmällisesti, minkä vuoksi eri matemaatikot ymmärsivät infinitesimaalin käsitteen eri tavoin.
Tästä huolimatta markiisi Guillaume de l’Hôpital otti infinitesimaalin kuitenkin täyteen käyttöön ja julkaisi ensimmäisen infinitesimaalilaskennan oppikirjan. 
Infinitesimaalin käsitteen epätäsmällisyyteen kohdistettiin kuitenkin kritiikkiä, ja se huipentui piispa George Berkeleyn kritiikkiin, jonka hän esitti kirjansa The Analyst (1734) loppusanoissa:
"And what are these Fluxions? The Velocities of evanescent Increments? And what are these same evanescent Increments? They are neither finite Quantities nor Quantities infinitely small, nor yet nothing. May we not call them the Ghosts of departed Quantities?" eli suomeksi
"Ja mitä ovat nämä fluksiot? Kadonneiden lisäysten nopeuksia? Ja mitä ovat nämä samat kadonneet lisäykset?
Ne eivät ole äärellisiä kvantiteetteja, eivät äärettömän pieniä kvantiteetteja, eivät vielä mitään.
Eikö meidän pitäisi kutsua niitä menneiden kvantiteettien haamuiksi?".
Berkeleyn mielestä sama kritiikki, joka kohdistetaan teologeihin, jotka pohdiskelevat epätäsmällisiä ja määrittelemättömiä asioita kuten enkeleitä tulisi kohdistaa infinitesimaalin takia myös matemaatikoihin, joiden pitäisi edustaa eksaktia tiedettä. Piispa Berkeley ja infinitesimaalin epätäsmällisyyden vastustajat olivat oikeassa eli infinitesimaalin käsitettä ei oltu hyvin määritelty ja siinä oli ristiriitoja. Otetaan näistä ristiriidoista esimerkiksi funktion  derivaatan laskeminen:
Käytetään derivaatan laskemiseksi Leibnizin ja Newtonin aikaista derivaatan määritelmää (*):
 ja funktion  derivaatta on tunnetusti  nykyaikaisten menetelmien pohjalta.
Eli siis , joka on ristiriita (  on infinitesimaali, joka on pienempi kuin mikä tahansa positiivinen luku, mutta ei ole nolla). Tämä tarkoittaisi sitä, että infinitesimaaleilla ei voitaisi laskea samalla tavoin kuin tavallisilla äärellisillä luvuilla.
Näiden ristiriitojen vuoksi infinitesimaalin käsitettä yritettiin määritellä täsmällisesti, jota yritti muun muassa A. L. Cauchy siinä onnistumatta. Mutta Cauchy kuitenkin väitti, että infinitesimaalin avulla voitaisiin todistaa, että jos  on jono jatkuvia funktioita sellaisia, että  kaikilla  niin silloin funktio  olisi jatkuva. Tämä ei kuitenkaan pitäisi paikkaansa, vaan todellisuudessa tulokseen vaadittaisiin, että  suppenee tasaisesti. Tämä sekaannus antaa aiheen ajatella, että infinitesimaaleja ei tarkkaan ottaen pitäisi käyttää ollenkaan.
Myöhemmin 1800-luvulla muun muassa Karl Weierstrass määritteli differentiaali- ja integraalilaskennan käsitteet kuten raja-arvo ja reaaliluku täsmällisesti. Kun raja-arvo oli määritelty täsmällisesti, derivaatta voitiin määritellä  sen avulla tarkasti käyttämättä infinitesimaaleja.
Tämän analyysin aritmetisoinniksi kutsutun historiallisen vaiheen myötä infinitesimaalin käsite poistuikin tarkasta teoreettisesta käytöstä turhana ja sekavana. Tästä huolimatta infinitesimaalia käytettiin kuitenkin tehokkaana ajattelun työvälineenä sen intuitiivisuuden vuoksi esimerkiksi hahmotettaessa mielessä miten koulusta tuttu pyörähdyskappale lasketaan. Tällaiseen tarkoitukseen infinitesimaalin käsite oli sopiva, joten mitä väliä vaikka se oli epätäsmällinen. Ankaran täsmälliseen teoreettiseen käyttöön se ei kuitenkaan enää kelvannut, vaan infinitesimaalien käytön oli korvannut raja-arvon täsmällinen -määritelmä.
Infinitesimaali teki kuitenkin paluun täsmälliseen matematiikkaan 1960-luvulla, jolloin Abraham Robinson julkaisi kirjansa Non-standard analysis, jossa hän osoitti, että infinitesimaali voitiin sittenkin määritellä täsmällisesti ja on olemassa tavallisten eli standardien äärellisten reaalilukujen laajennus, jossa on äärettömän pieniä lukuja eli infinitesimaaleja ja äärettömän suuria lukuja ja tämä reaalilukujen laajennus noudattaa lisäksi tavallisia reaalilukujen laskulakeja. Aksiomatisoimalla infinitesimaalit Robinson antoi oikeutuksen niiden täysimittaiselle käytölle matematiikassa ja toteutti samalla Leibnizin vanhan idean. Robinsonin määrittelemä infinitesimaali oli sopusoinnussa myös Karl Weierstrassin raja-arvon -määritelmän kanssa. Tätä Robinsonin konstruoimaa reaalilukujen joukon laajennusta kutsutaan hyperreaalilukujen joukoksi.