Sisä-, reuna- ja ulkopiste

Sisäpiste

Olkoon X avaruus. Jaamme X:n pisteet kolmeen erilaiseen joukkoon sen mukaan, miten ne suhtautuvat A:han, joka on X:n osajoukko. Olkoon . Tällöin x on A:n sisäpiste, jos x:llä on ympäristö U, joka kuuluu A:han. Eli voidaan intuitiivisesti sanoa, että ne pisteet, jotka ovat sisällä joukossa. Jos X on samalla metrinen avaruus, jossa on määritelty metriikka d, tämä voidaan yhtäpitävästi määritellä niinkin, että x on A:n sisäpiste, jos on olemassa sellainen positiivinen luku r, että jokainen piste y, jonka etäisyys x:stä on pienempi kuin r, kuuluu myös A:han.
Esimerkki:

Olkoon X =  ja A= {x : }. Nyt voidaan tutkia, onko jokin annettu piste joukon A sisäpiste. Valitaan tutkittavaksi piste a = 3. Helposti huomataan, että 3>0 ja 3<5. Nyt pitää vain löytää pisteelle a ympäristö, joka sisältyy joukkoon A. Kokeillaan ympäristön joukoksi U = ]2,5; 3,5[ eli nyt r = 0,5. Huomataan, että tämä ympäristö kuuluu joukkoon A, joten piste a on joukon A sisäpiste.

Ulkopiste

Jos x:llä on olemassa ympäristö U, joka ei kohtaa A:ta eli joka kokonaisuudessaan sisältyy A:n komplementtiin (), niin x on A:n ulkopiste. Voidaan siis sanoa, että ulkopiste on täysin vastakkainen asia sisäpisteelle. Muuten ulkopisteelle pätee samat säännöt ja laskemismahdollisuudet, mutta vain A:n paikalla on .
Esimerkki:

Olkoon X =  ja A= {x : }. Nyt voidaan tutkia, onko jokin annettu piste joukon A ulkopiste. Valitaan tutkittavaksi piste a = –1. Helposti huomataan, että –1<0 ja valitsemalla ympäristön r:ksi puolikkaan, niin a on A:n ulkopiste.

Reunapiste

Joukon reunapiste on piste, joka ei ole sen sisä- eikä ulkopiste.  Tämä on yhtäpitävää sen kanssa, että x:n jokainen ympäristö kohtaa sekä A:n että komplementti A:n. Joukon reunapisteet muodostavat joukon reunan.
Esimerkki:

Olkoon X =  ja A= {x : }. Nyt voidaan tutkia, onko jokin annettu piste joukon A ulkopiste. Valitaan tarkasteltavaksi piste a = 5. Intuitiivisesti piste on joukon reunalla, joten se ehkä olisi. Nyt pitää vain kaikkien a:n ympäristöjen U kohdata niin A kuin A:n komplementti. Valitaan ympäristön säteeksi positiivinen r. huomataan, että kaikilla positiivisilla ympäristön säteillä U kohtaa A:n ja A:n komplementin. Nyt a on A:n reunapiste. Tässä tapauksessa reunapiste myös kuului joukkoon A.
Vastaavalla tavalla origokeskeisen yksikkökiekon sisäpisteitä ovat pisteet, jotka ovat kiekon sisällä eli joiden etäisyys origosta on pienempi kuin 1, ulkopisteitä ne, joiden etäisyys on suurempi kuin 1 ja reunapisteitä yksikköympyrän kehällä olevat pisteet, joiden etäisyys origosta on tasan 1.

Ominaisuuksia

Minkä tahansa joukon A jokainen sisäpiste kuuluu myös joukkoon A, kun taas mikään sen ulkopiste ei siihen kuulu. Sen sijaan reunapiste voi joko kuulua tai olla kuulumatta joukkoon A. 
Vastaaville pistejoukoille käytetään merkintöjä
int A = { : x on A:n sisäpiste},
ext A = { : x on A:n ulkopiste},
∂ A = { : x on A:n reunapiste}.

Nämä joukot ovat keskenään erilliset, ja niiden yhdiste on X, eli
X = int A ∪ ext A ∪ ∂ A

Seuraavaksi kootaan yllä määriteltyjen joukkojen erilaisia perusominaisuuksia. Näissä kohdissa esiintyvä B on A:n sulkeuma eli pienin suljettu joukko, johon A sisältyy.
(1) int A  A, ext A . 
(2) A on avoin, jos ja vain jos int A = A eli yksikään A:n reunapiste ei kuulu A:han
(3) ext A = int , int A = .
(4) ext A =  , int A =  komplementti,  = int A ∪ ∂ A' = A ∪ ∂ A'.
(5) ∂ A = B ∩  =  \ int A, ja ∂ A on aina suljettu.
(6) ∂ A = ∂ 
(7) Jos A on avoin, niin ∂ A =  \ A. 
(8) int A on X:n laajin avoin osajoukko, joka sisältyy A:han.