Projektiivinen taso

Projektiivinen taso on geometrinen struktuuri, joka laajentaa tason käsitettä. Tavallisella euklidisella tasolla kaksi suoraa tavallisimmin leikkaa toisensa yhdessä pisteessä, mutta on myös suoria, yhden­suuntaisia suoria, jotka eivät leikkaa. Projek­tiivinen taso voidaan käsittää tavalliseksi tasoksi, johon on lisätty "äärettömän kaukaisia" pisteitä, joissa yhden­suuntaiset suorat leikkaavat. Täten mitkä tahansa kaksi suoraa leikkavat toisensa aina yhdessä ja vain yhdessä pisteessä.
Tämän matematiikan haaran kehityksen panivat alulle renessanssiajan kuva­taiteilijat kehittäessään perspektiivipiirustuksen tekniikkaa.
Tavallisimmin projektiivisella tasolla tarkoitetaan reaalista projektiivista tasoa, jota sanotaan myös laajennetuksi euklidiseksi tasoksi.  Sillä on huomattava merkitys, paitsi projek­tiivisessa geometriassa, myös algebrallisessa geometriassa ja topologiassa. Sille käytetään eri yhteyksissä muun muassa merkintöjä PG(2, R),  RP² tai P₂(R).  Yleisemmässä merkityksessä projektiivisella tasolla tarkoitetaan mitä tahansa struktuuria, joka toteuttaa jäljempänä esitetyssä määritelmässä asetetut ehdot. Sellaisia on reaalisen projektiivisen tason lisäksi useita muitakin, sekä äärettömiä kuten kompleksinen projektiivinen taso että äärellisiä kuten Fanon taso.
Projektiivinen taso on kaksi­ulotteinen projektiivinen avaruus, mutta kaikkia projektiivisia tasoja ei voida upottaa kolmi­ulotteiseen projektiiviseen avaruuteen. Tämä upotusominaisuus seuraa Desarguesin lauseesta.

Fanon taso

Yksin­kertaisin projektiivinen taso on Fanon taso, jossa on vain seitsemän pistettä ja seitsemän suoraa. Sitä esittää oheinen kaavio, jossa mustat kiekot tarkoittavat tason seitsemää pisteitä, kuusi janaa ja ympyrä tason seitsemää suoraa.

Klassisia esimerkkejä

Reaalinen projektiivinen taso P² saadaan, kun jakorenkaaksi K valitaan reaalilukujen kunta . Suljettuna, epäorientoituvana 2-monistona sitä käytetään topologiassa perustavana esimerkkinä.
Tarkastellaan tässä konstruktiossa origo­keskeistä yksikkö­palloa kolmi­ulotteisessa avaruudessa :ssa. Tässä konstruktiossa jokainen avaruuden  suora leikkaa pallo­pinnan kahdessa vastakkaisessa pisteessä, jotka ovat toistensa antipodeja. Koska avaruuden  suora vastaa projektiivisen tason P² pistettä, saadaan P²:lle sama malli samastamalla pallo­pinnan anti­podiset pisteet keskenään. P²:n suoria ovat pallopinnan isoympyrät, joissa vastakkaiset pisteet on samastettu. Tämä kuvaus on samalla elliptisen geometrian standardi malli.
Kompleksinen projektiivinen taso P² saadaan, kun jako­renkaaksi K valitaan kompleksilukujen kunta . Se on suljettu kompleksinen 2-monisto ja näin ollen suljettu, orientoituva 4-monisto. Se samoin kuin muita kuntia vastaavat projektiiviset tasot ovat perustavia esimerkkejä algebrallisessa geo­metriassa.
Myös kvaternioiden jakorenkaan  yli voidaan vastaavalla tavalla muodostaa projektiivinen taso P².

Tasot äärellitsen renkaiden yli

Wedderburnin lauseen mukaan äärelliset jakorenkaat ovat kommutatiivisia ja näin ollen kuntia. Niinpä äärellisten jako­renkaiden yli muodostettuja projektiivisia tasoja sanotaan "kuntatasoiksi".  Jos K on äärellinen kunta, jossa on q = pⁿ alkiota, missä p on alkuluku, saadussa projektiivisessa tasossa on q² + q + 1 pistettä. Näille kunta­tasoille käytetään yleensä merkintää PG(2,q), missä PG tulee sanoista projektiivinen taso, 2 on ulottuvuus ja q tason kerta­luku, joka on yhtä pienempi kuin pisteiden lukumäärä millä tahansa suoralla. Edellä mainittua Fanon tasoa merkitään täten PG(2,2), kun taas ylempänä mainittu 13 pisteen taso on PG(2,3).

Desarguesin lause ja Desarguesin tasot

Desarguesin lause pätee projektiivisilla tasoilla, jos ja vain jos taso voidaan konstruoida kolmi­ulotteisena vektori­avaruutena jonkin jakorenkaan eli vinokunnan yli. Näitä tasoja sanotaan Desarguesin tasoiksi Girard Desarguesin mukaan. Reaalinen ja kompeksinen projektiivinen taso sekä edellä mainittu kertaluvun 3 projektiivinen taso ovat Desarguesin tasoja.  On kuitenkin myös projektiivisia tasoja, joita ei voida näin konstruoida ja jotka näin ollen eivät ole Desarguesin tasoja. Sellainen on esimerkiksi Moultonin taso. Merkintä PG(2,K) on varattu Desarguesin tasoille.