Thaleen lause

Thaleen lause on geometrian lause, jonka mukaan puoliympyrän sisältämä kehäkulma on suora. Sama voidaan sanoa toisinkin. Jos kolmion yksi sivu on ympyrän halkaisijalla ja yksi kärjistä ympyrän kehällä, on tämä kulma aina suora. Thaleen lause on kehäkulmalauseen erikoistapaus, kun keskuskulmaksi valitaan oikokulma eli 180°, jolloin kehäkulmaksi tulee 90°.

Ympyrän keskipiste pedaalipisteenä

Käyttämällä kolmion sivuja suuntana, voidaan kolmio jakaa janoilla osiin (kuva vasemmalla). Koska kehäpisteessä kulma on suora, syntyy erikoinen tilanne. Halkaisijan keskipisteestä, joka on samalla ympyrän keskipiste, vedetään sivuja vasten normaalit, jotka osuvat sivujen keskipisteisiin. Tämä vastaa tilannetta, jossa pedaalipistettä O vastaavat kolmion sivujen kantapisteet ovat kolmion keskinormaaleina. Kuviosta erottuu suorakulmio ja kaksi kolmiota. Kolmiot ovat referenssikolmion kanssa yhdenmuotoiset, mutta kooltaan puolet pienempiä.

Kolmion kulmat

Kolmio  on tasakylkinen kolmio, sillä sivut OA ja OB ovat ympyrän säteitä ja siksi yhtäpitkät (kuva oikealla). Silloin kantakulmat  ja  ovat yhtäsuuret. Merkitään ne α. Samasta syystä kolmio  on tasakylkinen, joten merkitään samansuuruiset kulmat  ja  luvulla β. Kulma  tiedetään suoraksi kulmaksi, joten sen jakavat kulmat ovat komplementtikulmia eli α + β = 90°. Vaikuttaa siltä, että kehäpisteen eri asemat ympyrän kehällä, antavat kaikki molemmille kulmille kaikki kulmamitat 0°−90°.

Tangentin sivuamispiste

Ympyrän ulkopuolisesta pisteestä P vedetään ympyrälle kaksi tangenttia, jotka sivuavat sitä pisteissä T ja T'. Thaleen lauseella voidaan löytää sivuamispisteet, kun tiedetään kulmien  ja  olevan suoria. Etsitään (harpilla ja viivaimella) janan OP keskipiste H, josta mitataan ympyrän säteeksi HP tai HO. Piirretään ympyrä, joka leikkaa alkuperäistä ympyrää kahdessa pisteessä T ja T'. Näissä pisteissä kulmat ovat suoria, koska ne ovat ympyrän kehällä (Thaleen lause), joten näissä pisteissä sivuavat myös tangentit. Tangentithan ovat kohtisuorassa säteitä vastaan.

Todistus

Seuraavassa todistetaan sekä Thaleen lause että käänteisen Thaleen lauseen tulos.

Puoliympyrän kolmio on suorakulmainen

Thaleen lause: Jos kolmion kaksi kärkeä ovat ympyrän halkaisijan päätepisteet ja kolmas kärki on ympyrän kehällä, on viimeinen kulma suorakulma.
Olkoon  ympyrän sisään piirretty kolmio, missä AC on ympyrän halkaisija. Olkoon O tämän ympyrän keskipiste. Piirretään ympyrän säde OB. Nyt kolmiot  ja  ovat tasakylkisiä, sillä kummassakin kolmiossa on sivuinaan kaksi ympyrän sädettä. Siten pätee ,  ja . Toisaalta , joten .

Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on ympyrän halkaisija

Käänteinen Thaleen lause: Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on kolmion ympäri piirretyn ympyrän halkaisijalla.
Piirretään suorakulmaisen kolmion  viereen sen kanssa yhtenevä kolmio  siten, että hypotenuusat AC sivuavat toisensa ja että vastinsivut (AB ja CD sekä BC ja AD) tulevat toistensa vastakkaisille sivuille. Koska vastinsivut ovat nelikulmiossa toisiaan vastapäätä, on muodostunut nelikulmio suunnikas.
Suunnikkaassa vastakkaiset kulmat ovat yhtäsuuret ja viereiset kulmat toistensa komplementtikulmat. Suunnikas muodostettiin suorakulmaisista kolmioista, joten yhdet kulmat ( ja ) ovat suoria kulmia. Koska suoran kulman supplementtikulma on myös suora kulma, on suunnikas lisäksi suorakulmio.
Suunnikkaassa lävistäjät AC ja BD puolittavat toisensa ja suorakulmiossa lävistäjät ovat yhtä pitkät. Silloin lävistäjien puolikkaat ovat kaikki yhtäpitkät. Jos nimitetään lävistäjien leikkauspisteeksi O ja kaikki neljä lävistäjän puolikasta (OA, OB, OC ja OD) säteiksi, voidaan piirtää ympyrä, joka ympäröi nelikulmion.

Tämän nelikulmion lävistäjä AC on myös kolmion hypotenuusa, jolla sijaitsee kaksi kehäpistettä A ja C ja ympyrän keskipiste O. Koska hypotenuusa AOC on suora jana, on se samalla ympyrän halkaisija.

Thaleen yhdistetty lause

Edelliset kaksi todistusta riittävät perusteluiksi seuraavaan Thaleen ja sen käänteiseen lauseeseen:
Kolmion ympäri piirretyn ympyrän halkaisija on yksi kolmion sivuista 
jos ja vain jos kolmio on suorakulmainen kolmio.

Historia

Thaleen lause liitetään antiikin kreikkalaisen mytologian mukaan Thaleen (noin 625 − noin 547 eaa.), joka eli Miletoksessa kauppiaana. Hän on ilmeisesti matkustanut Kaksoisvirran maassa kaldealaisen hallitsijan Nebukadnessarin aikana ja on tutustunut sikäläiseen tähtitieteen taulukoihin ja instrumentteihin. Hän on hämmästyttänyt maanmiehiään esittämällä erilaisia teoreemoja, jotka hän on perustellut pätevästi. Teoreemojen joukossa on perimätiedon mukaan ollut myös puoliympyrän sisään muodostuva suora kulma.
Tämä tieto ei kuitenkaan keksitty esihelleenisessä Kreikassa, vaan se tunnettiin yli 1 000 vuotta aikaisemmin babylonialaisessa matematiikassa. Heidän savitauluistaan, joita kirjoitettiin nuolenpäämerkeillä, on löydetty tästä aiheesta laskutehtäviä. Intialaiset omaksuivat Thaleen lauseen heiltä. Egyptiläisten jäljelle jääneistä papyruksista tätä ongelmaa ei ole löydetty. Eukleides käsitteli lausetta kirjassaan Alkeet (III kirja, 31. väite).