Polynomi

Matematiikassa polynomi on lauseke, joka saadaan yhdestä tai useammasta muuttujasta ja vakioista yhteen-, vähennys- ja kertolaskulla, sekä positiiviseen kokonaislukueksponentin osoittamaan potenssiin korottamisella. Esimerkiksi lauseke  on polynomi. Lausekkeet, joissa on muuttujia myös jakajassa, eivät ole polynomeja. Polynomit ovat samalla yksi laji matemaattisia funktioita.
Polynomi koostuu yhdestä tai useammasta termistä, joiden sisällä ei esiinny muita laskutoimituksia kuin kertolaskua sekä potenssiin korotusta. Jos termejä on vain yksi, on kyseessä monomi. Jos niitä on kaksi, sanotaan polynomia binomiksi ja jos niitä on kolme, trinomiksi.  Edellä esitetty polynomi on siis trinomi, jonka termit ovat x², -4x ja 7.
Koulumatematiikassa polynomeja käytetään etenkin seuraavankaltaisissa tehtävissä: Ratkaise x yhtälöstä x² + 2x = 4. Tällöin on kyse analyysissä  käsitellyistä polynomifunktioista. Polynomeja esiintyy kuitenkin matematiikassa hyvin laajalti, eikä niiden funktiotulkinta suinkaan ole aina oleellinen. Esimerkiksi generoivia funktioita esitetään polynomeilla, mutta ne eivät nimestään huolimatta ole funktioita lainkaan.
Polynomin p(x) nollakohdat saadaan selville ratkaisemalla yhtälö p(x) = 0. Yllä esitetyssä kuvassa polynomilla on kolme nollakohtaa.

Reaali- ja kompleksipolynomit

Analyysissä käsitellyt polynomifunktiot yli :n ja :n ovat tärkeä sileiden funktioiden aliluokka. Sileät funktiot ovat funktioita, joilla on kaikkien kertalukujen derivaatat.
Polynomien arvoja on helppo määrittää johtuen polynomien yksinkertaisesta rakenteesta. Polynomeja käytetäänkin paljon numeerisessa analyysissä, jossa polynomeilla voidaan approksimoida funktioita ja siten funktioille voidaan määrittää vaikkapa numeerisia integraaleja.
Tietokoneiden numeerisessa laskennassa polynomifunktiot on usein korvattu kehittyneemmillä splineillä. Splinit ovat paloittain määriteltyjä polynomeja ja ne tarjoavat joustavamman tavan approksimoida sileitä funktioita kuin polynomit. Splinejä käytetään splini-interpoloinnissa ja tietokonegrafiikassa.

Polynomeja matematiikan eri aloilta

Lineaarialgebrassa neliömatriisin karakteristinen polynomi sisältää useita tärkeitä matriisin ominaisuuksia.
Verkkoteoriassa verkon muuttujan x kromaattiset polynomit kertovat kuinka monella tavalla verkko voidaan värittää x värillä.
Kombinatoriikassa käytetään generoivia funktioita, joita käyttäen monet kombinatoriset tarkastelut voidaan palauttaa polynomien käsittelyksi. Tarkastellaan esimerkin vuoksi vaaleja, jossa erässä vaalipiirissä on ehdolla kaksi vasemmiston ehdokasta. Tällöin vaaleja edustaa generoiva funktio f(x) = 1 + 2x + x², jossa siis  xᵏ:n kerroin kertoo, kuinka monella tavalla k vasemmistolaista voidaan valita. Jos jossain toisessa vaalipiirissä on myös ehdolla kaksi ehdokasta, tässä vaalipiirissä vaaleja edustaa myös f(x). Vastaus kysymykseen, kuinka monella tavalla näissä kahdessa vaalipiirissä yhdessä voidaan valita s vasemmistolaista saadaan tulopolynomin astetta s olevan termin kertoimesta.

Polynomien yleistyksiä

Yllä polynomi määriteltiin siten, että alin esiintyvä x:n eksponentti on 0. Joissain tilanteissa on kätevää ottaa mukaan myös negatiiviset eksponentit, jolloin saadaan muotoa  olevia lausekkeita. Tällaisia yleistettyjä polynomeja kutsutaan Laurentin polynomeiksi.
Toinen mahdollinen yleistys ovat usean muuttujan polynomit, joiden yleinen muoto on . Hyväksymällä summauksen aloittaminen negatiivisesta luvusta saadaan usean muuttujan Laurentin polynomit.
Jos hyväksytään myös äärettömän monitermiset polynomit, johdutaan analyysissä keskeisiin potenssisarjoihin.

Polynomit koulumatematiikassa

Polynomi koostuu yhdestä tai useammasta monomista. Monomia sanotaan myös termiksi.
Esim. 1.  on polynomi, joka koostuu kolmesta monomista.
Merkitään  ja .
Polynomeja voidaan laskea yhteen ja vähentää. Täytyy muistaa, että vain ne monomit, joissa on sama muuttujaosa, voidaan yhdistää.
Esim. 2. Lasketaan yhteen polynomit  ja ,
. Sulkeet voidaan poistaa, koska niiden edessä on plus-merkki. Lasketaan yhteen monomit, joissa on sama muuttujaosa.
Saadaan .
Polynomin kertominen vakiolla tapahtuu siten, että jokainen termi kerrotaan vakiolla erikseen. Katso esim. 3. 
Jos vakio, jolla kerrotaan on  riittää, kun polynomista vaihdetaan kaikki etumerkit.
Esim. 4. . Huom. Tätä merkitään myös .
Nyt siis osaamme poistaa sulkeet, kun niiden edessä on miinus-merkki.
Esim. 5. Lasketaan polynomien erotus .
Polynomin kertominen monomilla tapahtuu samoin kuin polynomin kertominen vakiolla. Katso esim. 6. 
Polynomien kertolasku on sitten jo monimutkaisempi juttu. Se selviää parhaiten esimerkin avulla. Katso esim. 7. Täytyy muistaa, että "kaikki kerrotaan kaikilla."