Mittaintegraali

Mittaintegraali on matemaattisessa analyysissa eräs integraali. Mittaintegraalin tavoitteena on luoda mitta-avaruuteen eräänlainen lineaarinen kuvaus, joka liittää jokaiseen mitalliseen funktioon jonkin luvun väliltä . Tämä integraalityyppi on alun perin matemaatikko Henri Lebesguen kehittämä. Tunnettu Lebesguen integraali on mittaintegraali, jonka mittana on Lebesguen mitta.

Määritelmä

Olkoon  mitta-avaruus. Integraali määritellään yksinkertaisten kuvausten kautta.
Kuvaus  on yksinkertainen, jos
missä ;  ja joukot  ovat perusjoukon  ositus ja  on indikaattorifunktio.
Yksinkertaisen funktion  integraali on
Olkoon  kuvaus, joka on -mitallinen. Kuvauksen  integraali on
Tätä esitysmuotoa kutsutaan mittaintegraaliksi. Yleensä mitta  on yhteydestä selvä, jolloin sitä ei merkitä näkyviin, vaan käytetään lyhyempää tapaa
Kuvauksen  integraali yli joukon  on
Kuvaus  on integroituva, jos pätee ehto
 on integroituva yli joukon , jos pätee
 on kvasi-integroituva, jos se ei ole integroituva, mutta pätee

Hölderin epäyhtälö

Jos  ja  siten, että
sekä  ja , niin Hölderin epäyhtälö on
Jos  ja , niin epäyhtälö pätee muodossa
Lukuja  ja  kutsutaan toistensa Hölderin konjugaateiksi tai konjugoiduiksi eksponenteiksi.

Minkowskin epäyhtälö

Jos , niin
. Minkowskin epäyhtälö voidaan yleistää useammalle kuin kahdelle -funktiolle matemaattisen induktion avulla tai huomaamalla että avaruus  on vakaa yhteenlaskun suhteen.

Fatoun lemma

Olkoon joukko  ja  jono -mitallisia kuvauksia . Tällöin
ja

Konvergenssilauseet

Olkoon joukko  ja  jono -mitallisia kuvauksia  siten, että jonon raja-arvo
on olemassa. Konvergenssilauseiksi kutsutaan ehtoja, joista seuraa, että
Toisin sanoen raja-arvon ja integraalin järjestys voidaan vaihtaa.

Monotonisen konvergenssin lause

Jos pätee , niin raja-arvon ja integraalin järjestys voidaan vaihtaa.

Dominoidun konvergenssin lause

Jos on olemassa integroituva kuvaus  siten, että  kaikilla  melkein kaikkialla joukolla , niin jonon raja-arvo on integroituva ja raja-arvon ja integraalin järjestys voidaan vaihtaa.
Kutsutaan myös Lebesguen dominoidun konvergenssin lauseeksi.

Rajoitetun konvergenssin lause

Jos  ja  kaikilla , niin jonon raja-arvo on integroituva ja raja-arvon ja integraalin järjestys voidaan vaihtaa.

Integraalimitta

Jokaiseen mitta-avaruuden  mitalliseen kuvaukseen  voidaan liittää mittaintegraali  yli jokaisen joukon . Voidaan osoittaa, että tämä kuvaus 
 on itse asiassa mitta X:ssä. Tämä ns. integraalimitta on joskus hyödyllinen sovelluksissa, sillä siihen voidaan soveltaa kaikkia mitan ominaisuuksia.

Daniellin integraali

Mittaintegraalille on olemassa myös vaihtoehtoinen määrittelytapa ns. Daniellin integraali, jossa integraali ensin määritellään niin yksinkertaisille funktioille ettei mittateoriaa tarvitse lainkaan ja sitten rajankäynnillä laajennetaan integraalin määritelmä yleisille funktioille. Mitta-avaruuteen määritelty Daniellin integraali johtaa samoihin tuloksiin kuin edellä määritelty mittaintegraali. Kuitenkin tietyissä yleistyksissä Daniellin integraalilla näyttää olevan etuja (kts. esimerkiksi Integral, measure and derivative: a unified approach. G.E.Shilov/B.L.Gurevich – Prentice-Hall 1966).