Logaritminen spiraali

Logaritminen spiraali eli tasakulmainen spiraali on itsesimilaarinen spiraalimainen käyrä, joka esiintyy usein luonnossa. Sen kuvasi ensimmäisenä Descartes, ja sen ominaisuuksia tutki myöhemmin tarkemmin Jakob Bernoulli, joka antoi sille nimen Spira mirabilis ’ihmeellinen spiraali’.

Spira mirabilis ja Jacob Bernoulli

Logaritmisesta spiraalista käytetään myös latinalaista nimeä Spira mirabilis, "ihmeellinen spiraali". Vaikka muut matemaatikot olivat tutkineet sitä jo aikaisemmin, tämän nimen käyrälle antoi Jacob Bernoulli, koska häntä kiehtoivat sen ainutlaatuiset matemaattiset ominaisuudet: jokaisella kierroksella keskuksen ympäri spiraalin koko kasvaa, mutta sen muoto pysyy samana. Tätä ominaisuutta sanotaan itse­similaari­suu­deksi. Mahdollisesti juuri tämän ainut­laatuisen ominaisuutensa vuoksi spira mirabilis esiintyy monessa yhteydessä elollisessa luonnossa, esimerkiksi nautilus-helmiveneiden kuorissa ja auringonkukan mykerössä. Jacob Bernoulli ilmoitti toivomuksenaan, että hänen hautakiveensä kaiverrettaisiin logaritminen spiraali ja lause Eadem mutata resurgo ("Nousen jälleen muuttuneena ja silti ennallani"), mutta väärin­käsityksen vuoksi siihen kaiverrettiinkin Arkhimedeen spiraali.

Ominaisuudet

Logaritminen spiraali eroaa Arkhimedeen spiraalista siinä, että käyrän ja sen keskuksesta lähtevän puolisuoran leikkauspisteiden väliset etäisyydet kasvavat keskuksesta etäännyttäessä geometrisen sarjan mukaan, kun taas Arkhimedeen spiraalissa tämä etäisyys on vakio. Jos sitä skaalataan origo skaalauskeskuksena tekijällä e^{2 \pi b}, missä b on kokonaisluku, se kuvautuu itselleen; jos skaalaustekijä on jokin muu, saadaan sama käyrä, joka saataisiin myös kiertämällä sitä origon ympäri jonkin kulman verran. Logaritminen spiraali on myös yhtenevä involuuttansa, evoluuttansa ja keskuksensa suhteen muodostetun pedaalikäyränsä kanssa.
Lähtemällä pisteestä p ja etenemällä spiraalia pitkin sisäänpäin sen keskus voidaan kiertää rajattoman monta kertaa ilman, että sitä koskaan saavutaan. Kutenkin tämän käyrän osan pituus on äärellinen, tai tarkemmin sanottuna sen pituuden raja-arvo, kun \theta -> -\infty, on äärellinen. Tämän totesi ensimmäisenä Evangelista Torricelli jo ennen kuin differentiaali- ja integraalilaskenta keksittiin. Tarkemmin sanottuna spiraalin tämän osan pituus on \textstyle\frac{r}{\cos(\phi)}, missä r on pisteen P etäisyys origosta suoraa pitkin mitattuna.
Kompleksitasossa eksponenttifunktio kuvaa kaikki suorat, jotka eivät ole reaali- eivätkä imaginaariakselin suuntaisia, logaritmisille spiraaleille, joiden keskus on origossa. Kääntäen jokainen tällainen logaritminen spiraali saadaan jonkin suoran kuvaksi eksponentti­funktiolla. Kuvana saatavan spiraalin kaltevuus­kulma on alku­peräisen suoran ja imaginaari­akselin välinen kulma.
Funktio x \mapsto x^k, missä k on kompleksiluku, jonka imaginaariosa ei ole nolla, kuvaa kompleksi­tason reali­akselin logaritmiselle spiraalille.
Kultainen spiraali on logaritminen spiraali, jonka pisteiden etäisyys kasvaa kultaisen leikkauksen suhteessa kierrettäessä origon ympäri 90 astetta. Sen kaltevuus­kulma on noin 13,03239 astetta. Sitä voidaan approksimoida "Fibonaccin spiraalilla", joka muodostuu sarjasta ympyrän kehän neljänneksiä, joiden säteet ovat verrannollisia Fibonaccin lukujonon lukuihin.