Kulman kolmiajako

Kulman kolmiajako on jo antiikin kreikkalaisten matemaatikkojen pohtima geometrinen konstruktiotehtävä, jossa mieli­valtainen kulma on jaettava kolmeen yhtä suureen osaan. Ranska­lainen mate­maatikko François Viète todisti 1500-luvun lopulla, että tehtävä ei voida ratkaista pelkästään harpin ja merkitsemättömän viivoittimen avulla.
Uudemman todistuksen asian mahdotto­muudelle esitti Pierre Wantzel vuonna 1937. Wantzelin todistus perustuu Galois’n teoriaan. Kulman kolmia­jako vastaa tietynlaisen kolmannen asteen yhtälön ratkaisemista, mikä ei ole mahdollista käyttämällä yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolaskun lisäksi pelkästään neliö­juuren ottoa.
Vaikka ei olekaan keinoa, jolla mikä tahansa kulma voitaisiin jakaa harpilla ja viivoittimella kolmeen yhtä suureen osaan, jotkut tietyt kulmat kyllä voidaan. Esimerkiksi suora eli 90 asteen kulma voidaan siten jakaa, sillä 30 asteen kulma voidaan kyllä piirtää harpilla ja viivoittimella.
Jos sallitaan harpin ja viivoittimen lisäksi muidenkin välineiden käyttö, kulman kolmiajako on kyllä mahdollista. Esimerkiksi neusis-konstruktiot tunnettiin nekin jo antiikin Kreikassa. Ne suoritetaan liu’uttamalla ja kiertämällä samanaikaisesti mitta-asteikolla varustettua viivoitinta. Aikojen kuluessa matemaatikot ovat keksineet muitakin menetelmiä.
Koska tehtävä on helposti esitetty mutta vaikeasti todistettavissa mahdottomaksi, monet pseudomatemaatikot ovat väittäneet ratkaisseensa sen. Näissä ”ratkaisuissa” on usein turvauduttu keinoihin, joita klassisissa geometrisissa konstruktiotehtävissä ei sallita, tai ne ovat täysin väärin.

Tausta ja tehtävän asettelu

Kreikkalaiset matemaatikot keksivät jo varhain keinot, joilla pelkästään merkitsemättömän viivoittimen ja harpin avulla voitiin jakaa jana mielivaltaiseen määrään yhtä pitkiä osia, piirtää yhdensuuntaisia suoria, jakaa mielivaltainen kulma kahtia, piirtää monia säännöllisiä monikulmioita tai piirtää neliö, jonka pinta-ala on yhtä suuri tai kaksi kertaa niin suuri kuin annetun monikulmion.
Kolme paljon pohdittua tehtävää jäi kuitenkin ratkaisematta: kulman kolmiajako, kuution kahdentaminen ja ympyrän neliöiminen. Paljon myöhemmin on todistettu, että näitä ei voikaan ratkaista pelkästään harpin ja viivoittimen avulla.

Kulmat, jotka voidaan jakaa kolmia

Jotkin tietyt kulmat kuitenkin voidaan jakaa harpilla ja viivoittimella kolmeen yhtä suureen osaan. Esimerkiksi aina, jos jokin kulma  on täten piirrettävissä, kulma  voidaan tietenkin jakaa kolmia piirtämällä kulma . On kuitenkin myös kulmia, joita itsessään ei täten voi konstruoida, mutta jos ne on annettu, ne voidaan jakaa kolmeen yhtä suureen osaan. Sellainen kulma on esimerkiksi : viisi sellaista kulmaa yhdessä muodostaa kulman , joka käsittää täyden kierroksen sekä siihen lisätyn, vaaditun kulman . Yleisesti jos N on mieli­valtainen positiivinen kokonaisluku, kulma  voidaan jakaa kolmia, jos ja vain jos N ei ole jaollinen kolmella.

Kolmiajako muilla menetelmillä

Vaikka mielivaltaista kulmaa ei voida jakaa kolmia pelkästään klassisilla kreikkalaisilla harppi- ja viivoitin­konstruktioilla, muilla keinoilla tehtävä on kyllä ratkaistavissa.

Kahtiajaon loputon toisto

Kulman kolmiajako saadaan raja-arvona toistamalla tietyt harppi- ja viivoitin­konstruktiot lukemattomia kertoja ja käyttämällä hyväksi luvun 1/3 esitystä binäärilukuna, joka on 0,01010101... Jaetaan kulma ensin kahtia, minkä jälkeen jompikumpi saaduista kulmista jaetaan edelleen kahtia sen mukaan, milloin tässä binäärikehitelmässä on 0, milloin 1. Mitä useampia kertoja tämä toistetaan, sitä lähemmäs päästään sellaista kulmaa, joka on alkuperäisen kulman kolmasosa. Tämä algoritmi muistuttaa tietojenkäsittelyssä käytettävää binäärihakua, ja vastaavalla tavalla kulma voidaan jakaa kuinka moneen yhtä­suureen osaan tahansa.

Origamit

Kulman kolmiajako, kuten monet muutkin harpilla ja viivoittimella ratkaisemattomat tehtävät, voidaan helposti suorittaa käyttämällä vahvempia, mutta fyysisesti helppoja paperin taivutus­menetelmiä eli origameja. Näihin perustuvien Huzitan aksioomien avulla voidaan annettu jana lähtökohtana konstruoida sellainen jana, jonka pituus on alkuperäisen janan pituus kerrottuna jonkin kokonaisluvun kuutio­juurella, kun taas harppi- ja viivoitin­konstruktoilla voidaan saada enintään neliöjuuria.

Muiden käyrien avulla

On olemassa nimellä trisectrix tunnettuja käyriä, joita ei voida piirtää harpilla ja viivoittimella, mutta jos ne voidaan muilla keinoilla piirtää, niiden avulla voidaan mikä tahansa kulma jakaa kolmeen yhtä suureen osaan..