Käänteishila

Käänteishila on kiinteän olomuodon fysiikassa ja kristallografiassa käytetty matemaattinen konstruktio, joka saadaan toisen hilan, useimmiten Bravais'n hilan Fourier’n-muunnoksena. Tavallisimmin alkuperäisen hilan eli suoran hilan hilapisteet tarkoittavat atomien sijaintia jonkin kiinteän aineen kidehilassa. 
Sen sijaan että suora hila on todellisessa avaruudessa ja vastaa sitä, mikä yleensä ymmärretään fysikaaliseksi hilaksi, käänteishila on abstraktimpi konstruktio, jonka voidaan ajatella sijaitsevan käänteis­avaruudessa, toisin sanoen avaruudessa, jossa pituus­yksiköt ovat tavan­omaisten pituus­yksiköiden käänteis­arvoja kuten m⁻¹ tai cm⁻¹.  Käänteis­avaruutta sanotaan myös k-avaruudeksi, koska tavallisimmissa sovelluksissa sen pisteet tarkoittavat kidehilassa esiintyvien aalto­liikkeiden aaltovektorin arvoja, ja aaltovektorille käytetään fysiikan yhtälöissä tunnusta k. Paikan ja liikemäärän välillä vallitsevan Pointryagin dualiteetin vuoksi käänteis­hilaa sanotaan myös liike­määrä­avaruudeksi. Jos jonkin hilan käänteis­hilalle muodostetaan vastaavalla tavalla edelleen käänteis­hila, saadaan jälleen alku­peräinen suora hila, sillä suora ja käänteis­hila ovat toistensa Fourier’n muunnoksia.
Käänteis­hilalla on perustava merkitys jaksollisten rakenteiden analyyttisessä tutkimuksessa, varsinkin diffraktioteoriassa. Lauen ehtojen vuoksi neutroni- ja röntgendiffaktiossa kiteeseen saapuvan ja diffraktioituneen neutronin tai röntgen­säteen aalto­vektorien erotus vastaa jotakin käänteis­hilan hilapistettä. Kiteen diffraktio­kuvan avulla voidaan myös määrittää käänteishilan vektorit. Tästä voidaan edelleen päätellä, miten kiteen atomit sijaitsevat toisiinsa nähden.
Käänteishilan Wigner–Seitzin koppia sanotaan Brillouinin vyöhykkeeksi.

Yksinkertainen kuutiollinen hila

Yksinkertaisen kuutiollisen Bravais'n hilan, jonka kuutiollisen alkeis­kopin särmän pituus on , käänteishila on yksin­kertainen kuutiollinen hila, jonka kuutiollisen alkeiskopin särmän pituus on  (tai kristallo­grafin määritelmän mukaan ). Kuutiollista hilaa sanotaan itse­duaaliseksi, koska sen käänteis­hilalla on samat symmetria­ominaisuudet kuin suoralla hilalla.

Pintakeskeinen kuutiollinen hila

Pintakeskeisen kuutiollisen hilan eli FCC-hilan käänteis­hila on tilakeskeinen kuutiollinen eli BCC-hila.
Tarkastellaan FCC-hilan yksikkö­koppia. Valitaan hilasta alkeiskoppi, toisin sanoen yksikkökoppi, jossa on yksi hilapiste. Valitaan edelleen yksi tämän alkeiskopin kärjistä origoksi. Suoran hilan kantavektorit ovat edellä sanotun mukaiset.  Esitetyn kaavan avulla voidaan laskea käänteis­hilan kanta­vektorit. Nämä FCC-hilan käänteis­hilan vektorit vastaavat BCC-hilan kanta­vektoreita. Huomattava on, että suoran BCC-hilan ja FCC-hilan käänteis­hilan kanta­vektorit ovat saman­suuntaisia mutta eivät saman­pituisia.

Tilakeskeinen kuutiollinen hila

Tilakeskeisen kuutiollisen hilan eli BCC-hilan käänteishila on pintakeskeinen kuutiollinen eli FCC-hila.
Voidaan helposti todistaa, että vain niitä Bravais'n hiloja, joilla :n, :n ja :n väliset kulmat ovat 90 astetta, toisin sanoen kuutiollista, tetragonista ja ortorombista hilaa vastaavien käänteishilojen kantavektorit  ovat yhdensuuntaisia suoran hilan vektorien kanssa.

Yksinkertainen heksagonaalinen hila

Yksinkertaiselle heksagonaaliselle Bravais'n hilalle, jonka hilavakiot ovat c ja a, saadaan käänteishilaksi heksagonaalinen hila, jonka hilavakiot ovat   ja . Niiden suunnat poikkeavat suoran hilan hilavektorien suunnista 30 astetta. Yksinkertaista heksagonaalista hilaa sanotaan sen vuoksi itse­duaaliseksi, koska sen käänteis­hilalla on samat symmetria­ominaisuudet kuin suoralla hilalla.

Fysikaalinen merkitys

Käänteishila on kiinteän olomuodon fysiikan keskeisimpiä käsitteitä. Sen ja siihen liittyvien Brillouinin vyöhykkeiden merkitys kiinteiden aineiden teoriassa on niin keskeinen, että niitä on verrattu Maxwellin yhtälöihin, sillä niistä voidaan johtaa suuri osa koko teoriasta, samoin kuin koko sähkömagnetismin teoria voidaan johtaa Maxwellin yhtälöistä.

Röntgensäteilyn diffraktio

Kiderakennetta tutkitaan tavallisimmin sellaisen röntgensäteilyn avulla, jonka aallonpituuson samaa suuruusluokkaa kuin kiteen atomien välinen etäisyys. Saadusta diffraktiokuviosta voidaan päätellä hilan muoto ja siten kiteen rakenne.
Käytetään kiteeseen saapuvan säteilyn aaltovektorille merkintää , annettuun suuntaan diffusioituneen säteilyn aaltovektorille merkintää  ja niiden erotuksena saatavalle diffuusiovektorille merkintää .  Tällöin Blochin teoreemasta seuraa, että diffraktio esiintyy, kun  on jokin käänteishilan pisteistä.

Hilavärähtelyt ja Brillouinin vyöhyke

Käänteishilan yksikkökoppia eli Wigner–Seitzin koppia sanotaan Brillouinin vyöhykkeeksi.
Tutkittaessa kidehilassa esiintyviä kimmoaaltoja voidaan yleensä rajoittua käsittelemään aaltoja, joiden aaltovektori sisältyy ensimmäiseen Brillouinin vyöhykkeeseen, sillä aallot, joiden aaltovektori on tämän ulkopuolella, voidaan käsittää ekvivalenteiksi jonkin Brillouinin vyöhykkeessä olevan aallon kanssa.  Tämä on ehkä helpoimmin ymmärrettävissä tarkasteltaessa yksiulotteista atomiketjua.
Olkoon ketjussa atomien välimatka vakio r.  Sen suoran hilan pisteitä ovat tällöin suoran pisteet nr, missä n on mielivaltainen kokonaisluku. Ketjun käänteishilan muodostavat k-avaruuden pisteet  Näin ollen sen ensimmäisen Brillouinin vyöhykkeen muodostaa väli 
Tarkastellaan kahta tällaisessa ketjussa etenevää aaltoa, joiden aaltovektorit ovat  ja  ja joilla on sama amplitudi A. Tällöin näistä ensimmäinen on ensimmäisellä Brillouinin vyöhykkeellä, jälkimmäinen sen ulkopuolella. Näiden aaltojen aallonpituudet ovat  ja   Olkoon m mielivaltainen kokonaisluku, jolloin mr on jokin ketjuun kuuluva hilapiste, toisin sanoen jonkin atomin sijaintipaikka. 
Jos kiteessä etenee aalto, jonka aaltovektori on  ja jos sen vaihekulma origossa jollakin hetkellä on , pisteessä mr olevan atomin poikkeama tasapainopisteestä samalla hetkellä on . Jos aallon aaltovektori onkin , saman atomin poikkeama tasapainopisteestä samalla hetkellä onkin  =   Tämä on kuitenkin sama kuin ensimmäisenkin aallon tapauksessa, koska n on kokonaisluku ja sinifunktio saa saman arvon, kun sen argumenttiin lisätään  kerrottuna millä tahansa kokonaisluvulla. Nämä aallot ovat siis aina samassa vaiheessa jokaisen hilapisteen eli atomin kohdalla, eikä sillä, missä vaiheessa ne ovat hilapisteiden välissä, ole fysikaalista merkitystä. Jälkimmäinen aalto on siis ekvivalentti edellisen kanssa, jonka aaltovektori on ensimmäisellä Brillouinin vyöhykkeellä.

Duaalihilan yleistys

Abstraktin duaalihilan käsitteestä on matematiikassa kaksi versiota, jotka molemmat voidaan liittää äärellisulotteisessa vektoriavaruudessa V olevaan hilaan L.
Ensimmäinen versio on suora yleistys käänteishilan konstruktiolle, ja siinä käytetään Fourier-analyysia. Se voidaan esittää yksinkertaisesti Pontryaginin dualiteetin termein. Ryhmän V duaaliryhmä V^ on sekin vektoriavaruus, ja osoittautuu, että sen suljettu aliryhmä L^, joka on L:n duaali, on hila V^:ssä. Siksi L^ on luonnollinen ehdokas duaalihilaksi toisessa vektoriavaruudessa, jolla on sama ulottuvuus.
Toisen näkökulman antavat V:n neliömuodot Q. Jos V ei ole degeneroitunut, ne mahdollistavat V:n ja sen duaaliavaruuden  V* samastaminen. V*:n ja V välinen yhteys ei ole yksiselitteinen, vaan riippuu V:n Haarin mitan eli tilavuusalkion valinnasta. Jos kuitenkin on tehty jokin samastus, joka on jotakin skalaaria vaille hyvin määritelty, Q:n mukanaolo tekee mahdollisesti puhua L:n duaalihilasta, vaikka pysytään avaruudessa V.
Matematiikassa annetun hilan L duaalihila lokaalisti kompaktissa topologisessa Abelin ryhmässä G on G:n duaaliryhmän aliryhmä L∗, johon kuuluvat kaikki jatkuvat funktiot, jotka jokaisessa L:n pisteessä saavat arvon 1.
Diskreetissä matematiikassa hila määritellään valitsemalla n-ulotteisesesta avaruudesta  n lineaarisesti riippumatonta vektoria. Hila on tällöin lokaalisti diskreetti pistejoukko, jonka muodostavat kaikki näiden vektorien lineaarikombinaatiot. Tämän hilan duaalihila on tällöin niiden avaruuden  pisteiden joukko, joiden sisätulo jokaisen alkuperäisen hilan pisteen kanssa on kokonaisluku. Tästä seuraa, että duaalihilan duaalihila on sama kuin alkuperäinen hila.
Jos lisäksi matriisin B sarakkeet tarkoittavat hilan määritteleviä lineaarisesti riippumattomia vektoreita, matriisin 

sarakkeina ovat ne vektorit, jotka määrittelevät sen duaalihilan.

Käänteisavaruus

Käänteisavaruus eli "k-avaruus" on avaruus, jossa avaruudellisten funktioiden Fourier’n muunnokset esitetään, samaan tapaan kuin ajasta riippuvien funktioiden Fourier’n muunnokset voidaan esittää taajuusavaruudessa.  Fourier’n muunnos merkitsee siirtymistä "todellisesta avaruudesta" käänteisavaruuteen tai päinvastoin. Käänteisavaruudella on suuri merkitys aaltomekaniikassa. Tasoaalto voidaan nimittäin kirjoittaa värähtelyterminä , jossa aaltovektori  ja kulmataajuus , joten se on sekä aaltovektorin () että paikan () funktio, kun taas sen spektroskooppinen osuus on kulmataajuuden () että ajan () funktio. Sen avaruudelliset värähtelyt ovat muotoa , ja niinpä aallon ollessa tietyssä vaiheessa sen  ja  ovat kääntäen verrannollisia:  ja .
Käänteishila on käänteisavaruuden jaksollinen pistejoukko, johon kuuluvat ne pisteet ,, jotka muodostavat jaksollisen avaruushilan Fourier’n muunnoksen. Brillouinin vyöhyke on tämän avaruuden alue, joka käsittää ne yksikäsitteiset k-vectorit, jotka esittävät jaksollisessa rakenteessa mahdollisia klassisia tai kvanttiaaltoja.