Pinta-alavektori

Pinta-alavektori tai suunnattu pinta-ala on rajoitetulle tasopinnalle määriteltävä vektorisuure, jonka suunta on pintaa vastaan kohtisuorassa ja jonka suuruus on pinnan pinta-ala. Jos tasopinnan pinta-ala on  ja sillä on yksikkönormaali (pintaa vastaan kohtisuora yksikkövektori) , niin sen pinta-alavektori on

Suunnistuvan pinnan yksikkönormaalit

Pinta-alavektori voidaan määritellä myös muille kuin tasomaisille pinnoille. Jos pinta  on sileä, sille voidaan määrittää jokaisessa pisteessä kaksi yksikkönormaalia,  ja , jotka ovat toistensa vastavektorit (). Pinta on suunnistettu, kun yksikkönormaaliksi valitaan toinen näistä vektorikentistä  tai . Tällöin pinnalle kiinnittyy myös positiivinen kiertosuunta: jos pinnan reunakäyrää pitkin kulkemalla pinta on koko ajan vasemmalla puolella, on kyseinen puoli pinnan positiivinen puoli.
Jos on avoin joukko ja pinnalla  on parametriesitys  jokaisessa pisteessä , niin pinnan yksikkönormaalit ovat
.
Mikäli pinta  voidaan esittää funktion  kuvaajan avulla, ovat yksikkönormaalit
.
Etumerkki  vastaa suunnistetun pinnan positiivisen puolen yksikkönormaalia.
Myös paloittain sileät rajoitetut pinnat voidaan suunnistaa edellä esitettyjen yksikkönormaalien avulla. Tällöin pinnan  pitää olla muotoa
,
missä joukot  ovat keskenään pistevieraita ja  sisältyy äärellisen monen sileän Jordanin käyrän yhdisteeseen. Pinta  on tällöin suunnistuva, jos jokaisen osan  reuna on paloittain sileä umpinainen Jordanin käyrä. Tällöin pinta  on suunnistettu, jos osat  suunnistetaan siten, että kahden eri osan positiiviset kiertosuunnat ovat vastakkaiset niiden yhteisellä reunakäyrällä.
Möbiuksen nauha on hyvä esimerkki pinnasta, joka ei ole suunnistuva, koska sillä on vain yksi puoli.

Pintaelementtivektori

Jos  on avoin joukko ja  on suunnistuva pinta, joka voidaan esittää parametrien  ja  avulla , niin pinnalle  voidaan määritellä jokaisessa sen pisteessä differentiaalinen pintaelementtivektori
missä   tai  riippuen pinnan suunnistuksessa tehdystä valinnasta.  on pinnan differentiaalinen pinta-ala-alkio.
Mikäli pinta  voidaan esittää implisiittisesti funktion  kuvaajana, voidaan pintaelementtivektori kirjoittaa
,
missä  on vektorin  -komponentti. Ts. . Etumerkki  valitaan siten, että pinnan  suunnistus on haluttu. Esimerkiksi jos  ja pinnan positiivisen puolen halutaan olevan positiivisen -akselin suuntaan, valitaan etumerkki .
Mikäli pinta  voidaan esittää funktion  kuvaajana, voidaan pintaelementtivektori kirjoittaa
,
missä etumerkki  valitaan kuten edellä.

Suorakulmion muotoisen tasopinnan pinta-alavektori

Suorakulmio makaa -tasossa siten, että sitä rajoittavat suorat  , ,  ja  (). Suorakulmio on taso, jota kuvaa funktio . Näin ollen sen yksikkönormaalit ovat
.
Jos valitaan pinnan positiiviseksi puoleksi positiivisen -akselin puoli, on suunnistetun pinnan yksikkönormaali . Pinta-alavektori on tällöin
.

Pinta-alavektori ristitulon avulla

Tarkastellaan :n vektoreita  ja . Mikäli nämä vektorit ovat lineaarisesti riippumattomia (eli ei-yhdensuuntaisia), ne virittävät suunnikkaan, jonka sivujen pituudet ovat  ja . Vektorien välillä on mitattavissa kulma . Suunnikkas on pinta, jolla on parametriesitys , missä  ja . Suunnikkaan yksikkönormaalit ovat tällöin
.
Positiivisen puolen valinnasta riippuen suunnikkaan pinta-alavektori on
.
Toisaalta ristitulon määritelmän mukaan , joten
.
Suunnistus määrää lopulta yksikkönormaalin suunnan, mutta valitsemalla ristitulovektorin suunta positiiviseksi puoleksi saadaan
.

Pallopinnan pintaelementtivektori

-säteisen, origokeskisen pallon pintaa kuvaa karteesisissa koordinaateissa yhtälö . Muodostetaan pallopinta  siten, että se koostuu kahdesta puolikkaasta, avoimesta puolipallon pinnasta  (yläpuoli, jossa ) ja (alapuoli, jossa ) sekä näitä yhdistävästä -säteisestä ympyrärenkaasta . Tällöin  ja se on paloittain sileänä pintana suunnistuva. Kiinnitetään pinnan positiivinen puoli pallon ulkopuolelle.
Geometrian kannalta on hyödyllistä parametrisoida pinta käyttäen pallokoordinaattikuvausta
missä  ja .
Pinnan  parametriesitys on
.
Pintaelementtivektori on tällöin
Koska , niin vektori  kelpaa yksikkönormaaliksi. Valitsemalla positiivinen etumerkki saadaan pinnan ulkopuolelle osoittava yksikkönormaali. Siis pallopinnan  pintaelementtivektori jokaisessa pinnan pisteessä on
.