Ristitulo

Ristitulo eli vektoritulo on kolmi­ulotteisessa euklidisessa avaruudessa  määritelty kahden vektorin välinen laskutoimitus, jonka merkkinä käytetään vino­ristiä ×. Jos a ja b ovat kaksi eri­suuntaista vektoria, niiden ristitulo a × b on vektori, joka on molempia vastaan kohtisuorassa ja näin ollen kohti­suorassa niiden määrittämään tasoon nähden.  Risti­tulolla on monia sovelluksia matematiikassa, fysiikassa, tekniikassa ja tietokoneohjelmoinnissa. Se on erotettava vektorien pistetulosta eli skalaari­tulosta.
Jos vektorit ovat saman- tai vastakkaissuuntaisia, toisin sanoen ne eivät ole lineaarisesti riippumattomia, tai jompikumpi niistä on nollavektori, ristitulo on nollavektori. Muussa tapauksessa vektorien ristitulo on itseisarvoltaan yhtä suuri kuin sen suunnikkaan pinta-ala, jonka sivuina nämä vektorit ovat; erityisesti toistensa nähden kohti­suorien vektorien ristitulo on niiden pituuksien tulo. Ristitulo on anti­kommuta­tiivinen, toisin sanoen  a × b = -b × a), ja se noudattaa osittelulakia vektorien yhteenlaskun suhteen, toisin sanoen a × (b + c) = a × b + a × c). Avaruus  varustettuna ristitulolla on algebra reaalilukujen kunnan yli. Se ei ole vaihdannainen eikä liitännäinen, mutta se on Lien algebra.
Pistetulon tavoin ristitulo riippuu euklidisen avaruuden metriikasta, mutta toisin kuin pistetulo, se riippuu myös avaruuden orientaatiosta eli kätisyydestä. Risti­tulon käsitettä voidaan yleistää monin tavoin; se voidaan tehdä kätisyydestä riippumattomaksi tulkitsemalla tulos pseudovektoriksi, tai kuinka monessa ulottuvuudessa tahansa voidaan vektorien ulkoista tuloa käyttää niin, että tuloksena on bivektori tai 2-muoto. Käyttämällä orientaatiota ja metristä struktuuria aivan samoin kuin tavan­omaisessa kolmi­ulotteisessa risti­tulossa voidaan n ulottuvuudessa muodostaa n - 1 vektorin tulo niin, että se on kohti­suorassa niitä kaikkia vastaan. Kuitenkin vain kolmessa tai seitsemässä ulottuvuudessa  voidaan kahden vektorin ei-triviaali tulo määritellä niin, että tuloksena on vektori. Niistäkin vain kolmi­ulotteisessa avaruudessa
ristitulo on yksikäsitteinen.

Nimet

Vuonna 1881 Josiah Willard Gibbs ja hänestä riippumatta Oliver Heaviside, ottivat käyttöön sekä pistetulon että ristitulon käyttämällä edellisen merkkeinä pistettä, (a . b), jälkimmäisen merkkinä vinoristiä ("x") (a x b).
Vastaavia laskutoimituksia oli jo vuonna 1877 käyttänyt William Kingdon Clifford. Korostaakseen sitä, että toinen niistä antaa tuloksena skalaarin, toinen vektorin, hän antoi niille nimet skalaaritulo ja vektoritulo, joita edelleenkin yleisesti käytetään nimitysten pistetulo ja ristitulo ohella.
Siihen, että vektori­tulon merkiksi valittiin vinoristi (a × b) ja sitä alettiin nimittää ristituloksi, vaikutti toden­näköisesti se, että ristitulon a × b jokaista skalaarista komponenttia laskettaessa kerrotaan keskenään a:n ja b:n ne komponentit, jotka eivät vastaa toisiaan. Sitä vastoin pistetuloa a · b laskettaessa kerrotaan vektorien toisiaan vastaavat, yhden­suuntaiset komponentit. Kuten jäljempänä selitetään, risti­tulo voidaan esittää tietyn­laisen 3×3 -matriisin muodossa. Sarrus'n säännön mukaisesti tämä merkitsee, että matriisin lävistäjien suunnassa toisiaan seuraavat luvut kerrotaan keskenään.

Sovelluksia

Ristituloa sovelletaan monissa yhteyksissä, esimerkiksi laskennallisessa geometriassa, fysiikassa ja insinööri­aloilla. Seuraavassa mainitaan joitakin esimerkkejä sovelluksista.

Laskennallinen geometria

Ristituloa voidaan käyttää laskettaessa kahden ristikkäisen suoran etäisyys, toisin sanoen sellaisten suorien etäisyys kolmiulotteisessa avaruudessa, jotka eivät ole samassa tasossa.
Ristitulolla voidaan laskea myös kolmion tai monikulmion normaali, mitä usein tarvitaan tietokone­grafiikassa. Esimerkiksi monikulmion kiertyminen myötä- tai vastapäivään jonkin sen sisällä olevan pisteen ympäri voidaan laskea jakamalla se kolmioihin hieman pyörän puolien tapaan ja laskemalla puolien väliset kulmat yhteen, jolloin ristitulon avulla saadaan selville kunkin kulman etumerkki.
Tason laskennallisessa geometriassa ristitulon avulla voidaan määrittää
kolmen pisteen ,  ja  määräämän kulman etumerkki. Se vastaa pisteparin  ja  määräämien, samassa talossa olevien vektorien ristitulon suuntaa, toisin sanoen lausekkeen  etumerkkiä. Jos ristitulo on nolla, pisteet ovat samalla suoralla. Käytettäessä "oikeakätisestä" koordinaatti­järjestelmää nämä kolme pistettä muodostavat positiivisen pyörähdys­kulman kierrossa pisteen  ympäri pisteestä  pisteeseen , mikäli lauseke on positiivinen, ja negatiivisen pyörähdys­kulman, jos lauseke on negatiivinen.
Ristitulon avulla voidaan laskea moni­tahokkaiden kuten tetraedrin tai suuntaissärmiön tilavuus.

Muita sovelluksia

Vektorianalyysissä vektorikentän roottori määritellään muodollisesti nablan ja vektori­kentän ristitulona.
Ristitulon kirjoittaminen matriisien kertolaskun muotoon on epipolaarisessa geometriassa paljon käytetty toimenpide.

Yleistyksiä

On olemassa useita tapoja yleistää ristitulon käsite useampaan ulottuvuuteen.

Kvaterniot

Ristitulo voidaan esittää myös kvaternioiden termein, ja tämä onkin syynä siihen, miksi kirjaimia
i, j ja k on alettu käyttää avaruuden  standardien
kantavektorien tunnuksina. Yksikkö­vektorit i, j ja k vastaavat "binäärisiä" (180 asteen)
kiertoja vastaavien akselien ympäri. Näitä rotaatiota vastaavat "puhtaat" kvaterniot, joiden
skalaari­osa on nolla ja joiden normi on 1.
Esimerkiksi edellä esitetyt yksikkö­vektorien i, j, and k ristitulot vastaavat
täysin kvaternioiden i, j ja k kertolaskua. Yleensäkin jos vektori
[a₁, a₂, a₃] esitetään kvaterniona
a₁i + a₂j + a₃k, 
kahden vektorin ristitulo saadaan laskemalla vastaavien kvaternioiden tulo ja poistamalla tuloksesta
reaaliosa. Tämä reaaliosa on toisaalta sama kuin samojen vektorien pistetulon vastavektori.
Samastamalla 'puhtaasti imaginaariset kvaterniot edellä selitetyllä tavalla:n vektorien kanssa osoittautuu toisalta, että vektorien ristitulo on puolet
vastaavien kvaternioiden kommutaattorin arvosta.

Oktoniot

Seitsenulotteisten vektorien ristitulo voidaan muodostaa samaan tapaan kuin kolmiulotteistenkin käyttämällä
oktonioita kvaternkioiden sijasta. Että muissa kuin kolmi- tai seitsenulotteisessa avaruudessa ei ole
ei-triviaalia vektoriarvoista ristituloa, seuraa Hurwitzin lauseesta, jonka mukaan ainoat 
normitetut jakoalgebrat ovat 1-, 2-, 4- ja 8-ulotteiset.