Schläflin symboli

Schläflin symboli on geometriassa muotoa {p,q,r,...} oleva merkintä, joka määrittää säännöllisen monikulmion, monitahokkaan tai korkeampiulotteisen polytoopin taikka tessellaation.
Schläflin symoli on saanut nimensä sveitsiläisen matemaatikko Ludwig Schläflin (1814–1895) mukaan, joka tutki ansiokkaasti geometriaa ja muita matematiikan aloja.

Rekursiivinen määritelmä

Schläflin symboli määritellään rekursiivisesti aloittamalla symbolista {p}, joka tarkoittaa kuperaa säännöllistä p-kulmiota.  Esimerkiksi {3} tarkoittaa tasasivuista kolmiota, {4} neliötä, {5} säännöllistä viisikulmiota ja niin edelleen. Säännölliset tähtimonikulmiot eivät ole kuperia, ja niiden Schläflin symbolit ovat muotoa {p/q}, missä p/q on supistumaton murtoluku ja p kuvion kärkien lukumäärä. Esimerkiksi {5/2} tarkoittaa viisikantaa eli pentagrammia.
Säännöllinen monitahokas, jonka jokaisen kärjen ympärillä on q kappaletta säännöllisiä p-kulmiota monitahokkaan sivutahkoina, merkitään {p, q}. Esimerkiksi kuutiolla on sivutahkoina kolme neliötä jokaisen kärjen ympärillä, joten se merkitään {4,3}.
Schläflin symboli voidaan yleistää myös neljään tai useampaan ulottuvuuteen. Säännöllinen 4-ulotteinen polytooppi, jonka sivuina sen jokaisen särmän ympärillä on r sellaista monitahokasta, joiden Schläflin symboli on {p,q}, merkitään {p,q,r}. Esimerkiksi tesseraktilla, {4,3,3}, on sen jokaisen kärjen ympärillä sivuina kolme kuutiota, {4,3},
Yleisesti jokaisella säännöllisellä polytoopilla {p,q,r,...,y,z} on z {p,q,r,...,y} sivua sen jokaisen huipun ympärillä. Huiput ovat 4-polytoopin tapauksessa särmiä, 5-polytoopin tapauksessa tasopintoja, 6-polytoopin tapauksessa kolmiulotteisia soluja ja yleensä jokaisella n-polytoopilla n-3 -ulotteisia sivuja.
Säännöllisellä polytoopilla on säännöllinen kärkikuvio, jonka voidaan ajatella muodostuvan leikkaamalla sen kärjen ympäriltä pala pois. Säännöllisen polytoopin {p,q,r,...y,z} kärkikuvio on {q,r,...y,z}.
Säännöllinen polytooppi voi koostua kokonaan tai osittain tähtimonikulmioista. Sellainen on esimerkiksi pentagrammi, jonka Schläflin symboli on {5/2}. Sen kärjet ovat samat kuin säännöllisen viisikulmion, mutta ne on yhdistetty toisiinsa eri tavalla.
Schläflin symboli voi esittää äärellistä kuperaa monitahokasta taikka ääretöntä tessellaatiota euklidisessa tai hyperbolisessa avaruudessa riippuen konstruktion kulmadefektistä, eli siitä, minkä verran samassa kärjessä toisensa kohtaavien sivujen kärkikulmien summa poikkeaa 360 asteesta. Positiivinen kulmadefekti merkitsee sitä, että kärkikulmio taipuu seuraavaan ulottuvuuteen, jolloin kuvio kiertyy takaisin itseensä muodostaen polytppion. Jos kulmadefektio on nolla, kyseessä on tessellaatio, jonka ulottuvuus on sama kuin sivujen. Negatiivista kulmadefektia ei tavallisessa euklidisessa avaruudessa esiinny, mutta hyperbolisessa avaruudessa se saattaa esiintyä. 
Tavallisesti sivujen oletetaan olevan äärellisiä polytooppeja, mutta toisinaan nekin voidaan käsittää tessellaatioiksi.
Säännöllisellä polytoopilla on myös duaalipolytooppi, jonka Schläflin symboli saadaan alkuperäisen polytoopin symbolista kääntämällä siinä esiintyvät luvut päinvastaiseen järjestykseen. Itseduaalisen säännöllisen polytoopin Schläflin symboli on symmetrinen.

Symmetriaryhmät

Schläflin symbolit liittyvät läheisesti äärellisiin peilaussymmetriaryhmiin, jotka vastaavat tarkalleen äärellisiä Coexterin ryhmiä ja merkitään samoilla luvuilla kuin Schäflin symbolissakin, mutta hakasulkujen välissä. Sellaiset ryhmät nimetään usein niiden generoimien säännöllisten polytooppien mukaan. Esimerkiksi [3,3] on reflektiivisen tetraedrisen symmetrian Coezterin ryhmä, [3,4] reflektiivinen oktaedrinen symmetria ja [3,5] reflektiivinen ikosaedrinen symmetria.

Säännölliset monikulmiot tasossa

Kuperan säännöllisen p-kulmion Schläflin symboli on {p}. Esimerkiksi säännöllinen viisikulmio merkitään {5}.
Ei-kuperille tähtimonikulmioille käytetään konstruktiivista merkintä p/s, missä p on kärkien lukumäärä ja s-1 on niiden kärkien lukumäärä, jotka sivuutetaan piirrettäessä mikä tahansa tähtimonikulmion sivu. Esimerkiksi {5/2} esittää pentagrammia.

Säännölliset 4-polytoopit

Säännöllisen 4-polytoopin Schläflin symboli on muotoa {p,q,r}. Sen kaksiulotteiset sivutahkot ovat säännöllisiä p-kulmioita ({p}), solut säännöllisiä monitahokkaita tyyppiä {p,q}, kärkikuviot säännöllisiä monitahokkaita tyyppiä {q,r} ja särmäkuviot säännöllisiä r-kulmioita (tyyppiä {r}).
On olemassa neljä säännöllistä kuperaa 4-polytooppia sekä 10 ei-kuperaa säännöllistä tähtimäistä 4-polytooppia. Esimerkiksi 120-soluisen polytoopin Scläflin symboli on {5,3,3}. Sen solut ovat dodekaedreja ({5,3}), ja kunkin särmän ympärillä on kolme solua.
Kolmiulotteisella euklidisella avaruudella on vain yksi säännöllinen tessellaatio, avaruuden jakaminen kuutioiksi. Tämän tessellaation Schläflin symboli on {4,3,4}, ja siinä jokainen särmä on yhteinen neljälle kuutiolle.
On myös neljä säännöllistä kompaktia hyperbolista tessellaatiota. Esimerkiksi Schläflin symboli {5,3,4} tarkoittaa pientä hyperbolista dodekaedristä hunajakennoa, joka täyttää avaruuden dodekaedrin muotoisilla soluilla.

Säännölliset n-polytoopit

Korkeampiulotteisten säännöllisten polytooppien Schläflin symbolit määritellään rekursiivisesti. Ne ovat muotoa {p₁, p₂, ..., pₙ - 1}, kun n-polytoopin n-1 -ulotteisen sivun Schäflin symboli on {p₁,p₂, ..., pₙ - 2} ja särmäkuvion {p₂,p₃, ..., pₙ - 1}.
Polytoopin sivun särmäkuvio ja saman polytoopin särmäkuvion sivu ovat samat:{p₂,p₃, ..., pₙ - 2}.
Viidessä tai useammassa ulottuvuudessa on vain kolme säännöllistä polytooppia: simpleksi {3,3,3,...,3}, ristipolytooppi {3,3, ..., 3,4}; and the hyperkuutio, {4,3,3,...,3}. Ne voidaan käsittää tetraedrin, oktaedrin ja kuution korkeampiulotteisiksi vastineiksi. Ei-kuperia säännöllisiä polytooppeja ei useammassa kuin neljässä ulottuvuudessa ole.

Duaalipolytoopit

Jos vähintään kaksiulotteisen polytoopin Scläflin symboli on {p₁,p₂, ..., pₙ - 1}, sen duaalipolytoopin Schläflin symbolissa ovat samat luvut takaperoisessa järjestyksessä: {pₙ - 1, ..., p₂,p₁}.
Jos lukujono on palindrominen eli sama etuperin ja takaperin, polytooppi on itseduaalinen. Jokainen säännöllinen kaksiulotteinen polytooppi eli monikulmio on itseduaalinen.