Brakistokroni

Fysiikassa ja matematiikassa brakistokroni (kreikk. βράχιστος χρόνος (brákhistos khrónos), ''lyhyin aika'') on tason käyrä, jota pitkin liikkuva kappale kulkee kahden pisteen välisen matkan lyhyimmässä ajassa. Oletuksena on, että kappale joutuu kulkemaan tietyn voiman (esimerkiksi painovoima) vaikutuksessa.
Kysymystä siitä, minkä muotoista käyrää pitkin kappaleelta kuluu vähiten aikaa kahden pisteen välillä, sanotaan brakistokroniongelmaksi. Vakiovoiman vaikutuksessa liikkuvan kappaleen brakistokroniongelman ratkaisi ensimmäisenä Johann Bernoulli vuonna 1696.

Brakistokroniongelma gravitaatiokentässä

Tarkastellaan -massaista kappaletta, joka sijaitsee aloitushetkellä levossa pisteessä . Kappaleeseen vaikuttaa jokaisella ajanhetkellä gravitaatiovoima , missä  on gravitaatiokentän putoamiskiihtyvyys (vektori). Kaikki vastusvoimat oletetaan merkityksettömän pieniksi. Pyritään selvittämään, minkä muotoista käyrää pitkin kappaleella kuluu lyhyin aika päästä pisteeseen  (joka oletettavasti ei sijaitse suoraan pisteen  ''alla''). Ratkaisun saavuttaminen vaatii hiukan variaatiolaskentaa.
Kiinnitetään tarkastelua varten kaksiulotteinen koordinaatisto. Voidaan olettaa, että origo sijaitsee pisteessä  ja että gravitaatiovoima on -akselin suuntainen. Ts.
Koska gravitaatiokenttä on konservatiivinen, pätee jokaisella ajanhetkellä , missä  on kappaleen kineettinen energia ja  on potentiaalienergia. Määritellään potentiaalienergian nollatasoksi -akseli, ts. . Koska kappale lähtee levosta, on koko ajan . Kappaleen kineettinen energia on  ja potentiaalienergia on  (potentiaalienergia on negatiivinen, koska kappaleen lähtökorkeus valittiin nollatasoksi). Tällöin kappaleen nopeus on
.
Aika, joka kappaleelta kuluu kulkea pisteestä  pisteeseen  on:
missä käytettiin derivaattaa . Nyt pyritään minimoimaan muuttuja . Tähän tarkoitukseen käytetään Eulerin yhtälöä. Määritellään uusi funktio edellisen integraalin integrandina:
.
Eulerin yhtälö antaa välttämättömän ehdon sille, että ajalle  on olemassa ääriarvo:
Välttämätön ehto on, että yhtälö (1) toteutuu. Nyt, koska , niin yhtälö (1) sievenee muotoon:
,
mikä on derivaatan laskusääntöjen nojalla yhtäpitävää sen kanssa, että
,
missä  on uusi vakio. Toisaalta
Korotetaan tämä neliöön, jolloin
Yhtälö (2) on differentiaaliyhtälö, jonka ratkaisu on:
.
Integraali ratkeaa muuttujanvaihdolla: olkoon uusi muuttuja  siten, että
.
Tällöin  ja edelleen . Sijoitetaan tämä yhtälöön (3) ja ratkaistaan integraali:
missä  on integroimisvakio. Jos integrointivakio asetetaan nollaksi, on tuloksena parametrisoitu käyrä:
Tämä käyrä saadaan kulkemaan pisteen  kautta muokkaamalla vakiota . Lähtöpisteessä (origo) .
Eulerin yhtälö osoittaa, että tämä käyrä on :n ääriarvokohta. Kuten dynaamisten systeemien variaatiolaskennassa yleensä, löydettiin tässäkin minimikohta. Ongelmaa ajatellen on selvää, ettei kyseessä voi olla maksimikohta, sillä käyrä voisi olla myös äärettömän pitkä saavuttamatta koskaan pistettä . Näin ollen brakistokroniongelma on ratkaistu.

Sykloidi

Osoittautuu, että brakistokroniongelman ratkaisukäyrä on sykloidi:
joka syntyy, kun -säteisen ympyrän kehällä oleva piste piirtää ratakäyränsä -tasoon ympyrän vieriessä pitkin -akselia. Parametri  kuvaa tässä tapauksessa ympyrän kiertokulmaa lähtöhetkeen nähden. Sykloidi toistuu samanlaisena aina parametrin jaksolla  (radiaania).