Säännöllinen kuusikulmio

Säännöllinen kuusikulmio eli kuusio on geometriassa säännöllinen monikulmio, jonka kaikki kulmat ja sivut ovat yhtä suuria.
Kirjallisuudessa säännöllinen kuusikulmio tarkoittaa säännöllistä  konveksia  kuusikulmiota. Sana kuusikulmio voidaan suomeksi kirjoittaa myös 6-kulmio. Se on yksinkertainen monikulmio, koska sillä on vain yksi sisäosa. Koska sivut ovat saman pituiset, on se tasasivuinen, ja koska kulmat ovat yhtä suuria, on se myös tasakulmainen monikulmio. Tämä tekee siitä säännöllisen monikulmion. Jokaisen säännöllisen monikulmion ulkopuolelle voidaan piirtää ympyrä, jonka kehällä ovat kaikki monikulmien kärjet. Sen vuoksi sitä kutsutaan sykliseksi kuusikulmioksi. Sen sisäpuolelle voidaan piirtää ympyrä niin, että jokainen sivu sivuaa ympyrää ulkopuolelta, ja siksi sitä voidan kutsua tangentiaaliseksi kuusikulmioksi.

Muodostuminen

Antiikin Kreikassa se piirrettiin ympyrän sisälle jakamalla ensin sen kehä kuuteen yhtä pitkään kaareen ja yhdistämällä näin saadut kaarten välipisteet janoilla. Samalla menetelmällä voitiin piirtää myös heksagrammi.
Säännöllinen kuusikulmio voi syntyä myös murtoviivasta, jossa on kuusi yhtä pitkää janaa. Kun se asetetaan ympyrän kehälle niin, että sivujen keskikohdat koskettavat ympyrää tangentiaalisesti (katso viereinen animaatio). Pienentämällä sisäympyrän sädettä, liikkuvat murtoviivan päätepisteet lähemmäksi toisiaan ja lopulta ne koskettavat toisiaan. Kosketuksessa syntyy suljettu murtoviiva, joka on muodoltaan säännöllinen kuusikulmio (kierroksia k = 1). Pienentämällä ympyrää edelleen kiertyvät murtoviivan janat toista kierrosta ympyrän ympäri ja kun ne koskettavat toisiaan toisen kerran, syntyy tasasivuinen kolmio (k = 2). Kolmioita on tällöin kaksi päällekkäin, mutta kuviota voidaan pitää myös yhtenä kuviona. Jos toinen kolmioista käännetää 60° keskipisteensä ympäri, osoittavat kolmioiden sakarat eri suuntiin ja saadaan heksagrammi. Säännöllisiä monikulmioita voidaan merkitä käyttäen Schläflin symboleja {n/k}. Säännöllinen kuusikulmio merkitään symbolilla {6} eli murtoluvulla {6/1}. Heksagrammi mekitään symbolilla {6/2}.

Sivut ja kulmat

Vastakkaiset sivut ovat säännöllisessä kuusikulmiossa yhdensuuntaiset. Sen sisäkulmien summa on (n-2)•180° =(6-2)•180° = 720°. Koska säännöllisellä monikulmiolla kaikki kulmat ovat yhtä suuria, saadaan yksittäisen sisäkulman suuruudeksi 720° / 6 = 120°. Kutakin sivua vastaavat keskuskolmion keskuskulma on 1/6-osa täydestä kierroksesta eli 360° / 6 = 60°. Symmetriasta johtuen keskuskolmio on tasasivuinen kolmio, jonka omat sisäkulmat ovat kaikki 60° ja sen sivut ovat yhtä pitkät kuin kuusikulmion sivu a. Koska kolmion muut sivut ovat kuusikulmiota ympäröivän ympyrän säteitä, on sädekin sivun mittainen eli R = a.  Kulmion ulkokulma on 60°, koska se on sisäkulman komplementtikulma. Ulkokulmien summa on siten täysikulma eli 60° × 6 = 360°.
Säännöllisen kuusikulmion sivu on yhtä pitkä kuin sen ulkoympyrän säde, toisin sanoen ympyrän sisään piirretyn säännöllisen kuusikulmion sivu on ympyrän säteen pituinen.

Konstruktio

Jo antiikin Kreikan ajoista on pidetty arvossa kuvioiden piirtämistä vain viivainta ja harppia käyttämällä. Tätä piirrostapaa kutsutaan geometriseksi konstruktioksi. Säännöllisen kuusikulmion konstuktio syntyy muita säännöllisiä monikulmioita paljon helpommalla.
Mitataan aluksi kuusikulmion sivun pituus harpilla ja piirretään sen avulla merkityn pisteen O ympärille ympyrä. Merkitään ympyrän kehältä piste, josta mitataan harpin mitta säilyttäen sivun pituuden mittainen matka ja merkitään se kehälle. Uudesta kehäpisteestä mitataan seuraava mitta, ja niin edelleen, kunnes kehältä on erotettu kuusi yhtämittaista kaarta. Tällöin kuudes kaari päättyy ensimmäisen kaaren alkupisteen kohdalle. Yhdistetään nämä kehäpisteet viivaimella kuusikulmion sivuiksi.
Toisessa tavassa aloitetaan edelliseen tapaan O-keskisellä ympyrällä. Merkitystä kehäpisteestä piirretään samansäteiset ympyrän kaaret kummallekin puolelle kehäpistettä. Keskipisteen O ja kahden vierekkäisen kehäpisteen välille syntyy tasasivuinen kolmio. Syntyneiden tasasivuisten kolmioiden viereen tehdään harpilla uudet kaaret ja muodostetaan niihin uudet tasasivuiset kolmiot vielä kahdesti. Syntyneiden kolmioiden avulla voidaan muodostaa kuusikulmio ja osoitta useita sen ominaisuuksia.
Koska kuusikulmio on helppo piirtää, käytetään sitä alkuna piirrettäessä muitakin säännöllisiä monikulmioita. Tasasivuinen kolmio saadaan yhdistämällä kuusikulmion jokatoiset kehäpisteet. Säännöllinen 12-kulmio syntyy kuusikulmiosta, kun jokainen sivu puolitetaan ja uudet pisteet yhdistetään kuusikulmion kärkiin.