Fermat’n suuri lause

Fermat’n suuri lause, Fermat’n viimeinen teoreema tai lyhyesti Fermat’n lause on matemaatikko Pierre de Fermat’n 1600-luvulla esittämä lukuteoreettinen väite:
Väite pitää paikkansa, mutta tämän todisti vasta Andrew Wiles 1900-luvulla. Väite pysyi siis yli 300 vuotta todistamattomana. Lausetta kutsutaan suureksi erotukseksi Fermat’n pienestä lauseesta, joka käsittelee kokonaan eri asiaa.

Todistus pääpiirteissään

Englantilainen Andrew Wiles todisti Fermat’n suuren lauseen vuonna 1995 työskenneltyään todistuksen parissa seitsemän vuotta. Toisin kuin Fermat kuuluisassa marginaalissaan kirjoitti, hän ei todennäköisesti ollut löytänyt virheetöntä todistusta: Wiles käytti todistuksessaan modernia matematiikkaa – erityisesti algebrallisessa geometriassa esiintyviä modulimuotoja ja elliptisiä käyriä – mikä oli 1600-luvun matemaatikkojen tavoittamattomissa.
Wilesin todistus teoreemalle perustui monilta osin muiden matemaatikkojen pohjustukseen. Todistuksen kulku on pääpiirteissään seuraava: Fermat’n suuri lause on voimassa eksponenteilla  ja . On riittävää osoittaa, että lause on voimassa alkulukueksponenteilla . On myös riittävää olettaa, että ,  ja  on parillinen. Tarkastellaan elliptistä käyrää , jonka määrittelee yhtälö . Nyt on voimassa lause: Jos  on puolivakaa elliptinen käyrä yli rationaalilukujen ja  on :n konduktori, on  modulimuoto ja tasoa . Tämän mukaan  on modulimuoto. Mutta tällöin :n -torsiopisteiden muodostama ryhmä olisi tasoa kaksi oleva modulimuoto. Kuitenkaan ei ole olemassa nollasta poikkeavaa modulimuotoa, jonka taso on yksi tai kaksi.
Loppuvaiheessa myös Nick Katz ja Richard Taylor auttoivat Wilesiä viimeistelemään todistuksen.
Todistukseen siis käytettiin monia vasta 1900-luvulla kehitettyjä matematiikan menetelmiä, eivätkä useimmat matemaatikot ja tiedehistorioitsijat enää usko, että Fermat'lla olisi ollut pitävää todistusta lauseelle kaikilla eksponenteilla .
Todistuksen tarina on lähes yhtä erikoinen kuin itse lause. Wiles työskenteli seitsemän vuotta yksinomaan itse vihjaamatta edistyksestään kenellekään. Vasta loppuvaiheessa Katz Princetonin yliopistosta auttoi Wilesiä. Kun hän julkisti todistuksensa pitämällä kolme luentoa Cambridgen yliopistossa 21.–23. kesäkuuta 1993, hän hämmästytti yleisöä lukuisilla uusilla ideoilla ja konstruktioilla. Luennon jälkeen matemaatikot tutkivat todistusta tarkemmin ja löysivätkin päättelyssä olleen aukon. Wiles ja Taylor miettivät noin vuoden yrittäessään korjata todistusta. Syyskuussa 1994 he saivat lopulta aukon paikatuksi käyttämällä hyväkseen niin sanottua Iwasawan teoriaa.

Fermat’n suuren lauseen tapaus 
  
    
      
        n
        =
        2
      
    
    {\displaystyle n=2}

Tässä osiossa esitetään matemaattinen todistus Fermat’n suurelle lauseelle tapauksessa  Todistuksessa tarvitaan seuraavia matemaattisia käsitteitä: suurin yhteinen tekijä (syt), jaollisuus ja kongruenssi. Huomaa yhteys Pythagoraan lauseeseen.
 

Olkoon
 ja 
Tällöin yleinen ratkaisu yhtälölle
      
on
  ja 
missä  ja  ovat eri pariteettia olevia luonnollisia lukuja. Lisäksi  ja .
Edelleen jokaista tällaista paria  vastaa tarkalleen yksi kolmikko , joka toteuttaa ehdot (1) ja (2).
Todistus: Oletetaan, että yhtälö (2) pätee ehdoilla (1). Edellä nähtiin, että  on pariton, ja selvästi myös  on pariton ja .
Näin ollen  ja  ovat kokonaislukuja ja
.
Muutoin olisi olemassa  siten että  ja ,
jolloin  eli  ja , ja seuraisi ristiriita.
Yhtälön (2) nojalla
ja molempien puolten alkulukuhajotelmia tarkastelemalla huomataan, että yhtälön oikeanpuoleisten tekijöiden on oltava neliöitä, koska niiden suurin yhteinen tekijä on 1.Täten
joillekin
  joille  ja 
On myös voimassa kongruenssi
 (mod 2)

mistä nähdään, että alkiot  ja  ovat eri pariteettia. Kongruenssin  (mod 2) näkee todeksi sijoittamalla alkioiden  ja  tilalle luvut 0 ja 1 eri kombinaatioina.
Täten kaikki yhtälön (2) ratkaisut, jotka toteuttavat ehdot (1), ovat muotoa
  ja 
missä  ja  ovat eri pariteettia ja toteuttavat ehdot
 ja 
Ratkaisu (6) nähdään todeksi yhtälöiden (4) ja (5) avulla.
Oletetaan toisaalta, että  ja  ovat eri pariteettia ja toteuttavat ehdot (7), ja että kaavat (3) ovat voimassa. Silloin
missä
   ja 
Edelleen, jos , niin
Vähentämällä ja summaamalla edelliset toisistaan saadaan  ja .
Koska , niin  tai . Koska muuttuja  on pariton, on luvun  oltava . Näin ollen .
Täten jos ratkaisu  tunnetaan, niin sitä vastaavat yksikäsitteiset  ja , jotka saadaan yhtälöistä (5). Toisaalta jokaista ehdot (7) toteuttavaa eri pariteettista paria  vastaa yksikäsitteinen yhtälön (2) ratkaisu , joka saadaan yhtälöistä (3).
Tästä seuraa, että jokaista paria  vastaa tarkalleen yksi kolmikko .