Sorites-paradoksi

Sorites-paradoksi (< kreik. σωρός, sōros, kasa, pino; adj. σωρίτης, sōritēs) tai Eubulideen paradoksi on kielellinen paradoksi, joka syntyy monien predikaattien epämääräisyydestä: emme osaa sanoa täsmällisesti missä vaiheessa jokin pienistä eroista kasautuva ominaisuus muuttuu toiseksi tai lakkaa olemasta.
Paradoksia kuvataan yleensä hiekkakasalla; paradoksi rakentuu siitä, mikä on hiekkakasa; kun meillä on olemassa hiekkakasa, ja otamme siitä yhden hiekanjyvän pois, se on yhä hiekkakasa, josta voimme ottaa hiekanjyvän ilman että se lakkaa olemasta hiekkakasa. Tätä jatkettaessa loputtomiin törmätään kuitenkin ristiriitaan, koska hiekkakasassa ei ole ääretöntä määrää hiekanjyväsiä. Pinoparadoksin voi rakentaa myös toiseen suuntaan; yksi hiekanjyvä ei ole hiekkakasa. Jos lisätään yhteen toinen jyvä, saadaan kaksi jyvää, mutta tämäkään ei ole vielä kasa. Jossain vaiheessa hiekanjyvät kuitenkin muodostavat kasan.
Sorites-paradoksi ei ole looginen paradoksi, siinä ei ole sisäistä ristiriitaa. Tämä paradoksi ratkeaa kielen tulkitsemisen kautta. Paradoksissa viitataan kielen ilmaisujen "hiekkakasa" eri sisältöihin. Emme voi eksaktisti määrittää missä vaiheessa kasa muuttuu yksittäisten hiekanjyvien joukoksi. Tämän vuoksi jos päättelyketju osoittaa jotain asiaa ristiriitaiseksi ja joutuu pinoparadoksiin, ei asia ole virheellinen, vaan sen sijaan itse päättelyketju on virheellinen.
Paradoksin ensimmäinen muotoilu on laitettu Eubulideen nimiin.

Kaljun miehen paradoksi

Soritesparadoksia voidaan kuvata myös siten, että kun poistamme tukasta hiuksen, pysyy tukka tukkana; samalla kuitenkin jossain vaiheessa nypintää henkilö muuttuu kaljuksi.
Eubulides esitti tämän niin päin, että yksihiuksinen mies on kalju, samoin kaksihiuksinen, mutta mihin vedetään raja, kuinka monta hiusta miehellä tulee olla, ettei hän enää ole kalju? Paradoksin nimi oli falakros eli kaljun miehen paradoksi.

Muita

Paradoksi voidaan esittää myös monilla muilla ominaisuuksilla, kuten ”pituus”, ”rikkaus”, ”vanhuus”, ”sininen” ja niin edelleen. Bertrand Russell on esittänyt artikkelissaan ”Vagueness” kaiken luonnollisen kielemme ja jopa loogisten konnektiivien olevan samalla tavalla epämääräisiä.

Supervaluationismi

Supervaluationismi on semantiikka, joka on tarkoitettu viittauksen kohdetta vailla olevien singulaaristen termien ja epämääräisyyden käsittelyyn. Ajatellaan esimerkiksi lausetta ”Pegasos pitää lakritsista”, jossa Pegasoksella ei ole viittauksen kohdetta. Mikä lauseen totuusarvo olisi? Pegasos-myyttikään ei tarjoa mitään ratkaisua. Toisaalta voimme ajatella lausetta ”Pegasos pitää lakritsista tai Pegasos ei pidä lakritsista”, joka on muotoa  (eli Lp tai ei-Lp). Eikö jälkimmäinen lause olisi aina tosi, riippumatta lauseen muusta sisällöstä? Supervaluationismin mukaan sen tulisi olla.
Rosanna Keefen mukaan muotoa ”jokin on F” oleva väittämä voi olla tosi vaikkakaan mikään sen substitutionaalinen instanssi ei ole tosi. Esimerkiksi, vaikka ei ole olemassa mitään sellaista pituutta h, jolla väittämä ”ihmiset joiden pituus on h ovat pitkiä, mutta ihmiset joiden pituus on h - 0,1 mm eivät ole pitkiä” olisi tosi, sen eksistenssikvantifioitu muoto ”on olemassa pituus x niin, että ihmiset joiden pituus on x ovat pitkiä, kun taas ihmiset, joiden pituus on x - 0,1 mm eivät ole pitkiä” on tosi. Vastaavasti universaalikvantifioitu väittämä voi olla epätosi ilman, että mikään sen substitutionaalinen instanssi on epätosi.
Kun Sorites-paradoksi esitetään joukkona ehtolauseita, joku lauseista on aina epätosi, ja muiden joukossa voi olla lauseita, jotka eivät ole enempää tosia kuin epätosiakaan. Keefen mukaan Sorites-paradoksin tapauksessa supervaluationismi välttää paradoksin, koska sen ei tarvitse hyväksyä kaikkia premissejä.

Moniarvoiset logiikat

Toinen lähestymistapa on käyttää moniarvoista logiikkaa. Kahden loogisen tilan, ”kasa” ja ”ei-kasa”, sijasta voidaan käyttää kolmiarvoista järjestelmää, esimerkiksi ”kasa”, ”epävarma” ja ”ei-kasa”. Kolmiarvoinen järjestelmä ei kuitenkaan ratkaise varsinaista ongelmaa täysin, koska tällöin seuraa kysymys, mihin vedetään raja toisaalta ”kasan” ja ”epävarman” välille, ja toisaalta ”epävarman” ja ”ei-kasan” välille. Kolmas totuusarvo voidaan ymmärtää esimerkiksi ”totuusaukkona” (truth gap).
Sumea logiikka mahdollistaa loogisten tilojen jatkumon, jossa on äärettömän monta totuusarvoa. Jatkumo voidaan jakaa alueisiin, jotka vastaavat esimerkiksi sellaisia luokkia kuin ”varmuudella kasa”, ”enimmäkseen kasa”, ”osittain kasa”, ”hieman kasa” ja ”ei kasa”.

Hysteresis

Eräs lähestymistapa on käyttää hystereesiä. Se voidaan määritellä muistin omaavaksi järjestelmäksi, joka voi olla miten monessa tilassa tahansa. Järjestelmällä voi olla tieto siitä, minkälaisesta tilasta hiekkakasa lähti. Samansuuruisia hiekkamääriä voidaan tällöin pitää kasoina tai ei, riippuen siitä, mikä niiden historia on. Jos suuri hiekkakasa (joka on eittämättä kasa) pienenee vähitellen, se säilyttää asemansa kasana silloinkin, kun sen tämänhetkinen hiekan määrä on vain muutamia hiekanjyviä. Jos tämä tila kuitenkin jatkuu pitkään, se voi menettää kasan asemansa.