Algebrallinen geometria

Polynomien yhteiset nollakohdat

Klassisessa algebrallisessa geometriassa päämielenkiinto kohdistuu polynomien yhteisten nollakohtien tutkimiseen. Esimerkiksi jos taso leikkaa palloa, tuloksena syntyy ympyrä.

Säännölliset funktiot

Kuten jatkuvat funktiot ovat topologiassa usein käytettyjä kuvauksia topologisten avaruuksien välillä ja sileät funktiot ovat vastaavasti kuvauksia differentioituvien monistojen välillä, on olemassa myös algebrallisten joukkojen välillä funktioita, säännöllisiä funktioita. Algebrallisen joukon  säännöllinen funktio määritellään joukon  rajoittumaksi V:hen. Voi näyttää epäluonnolliselta rajoitukselta vaatia säännöllinen funktion määrittelyjoukoksi myös alkuperäisen funktion määrittelyjoukkoa laajempi avaruus, mutta tilanne on analoginen normaalien topologisten avaruuksien kohdalla, missä Tietzen jatkolause takaa että suljetun joukon jatkuva funktio voidaan aina jatkaa jatkuvaksi funktioksi ympäröivään avaruuteen.
Kuten säännöllisen funktio affiinissa avaruudessa, säännölliset funktiot V:ssä muodostavat renkaan, jota merkitään k[V]. Tämä rengas on nimeltään V:n koordinaattirengas.
Koska V:n säännölliset funktiot saadaan :n säännöllisistä funktioista, niillä on yhteys niiden koordinaattirenkaaseen. Erityisesti, saadakseen funktion k[V]:ssä otamme funktion :sta ja sanomme että kaksi funktiota ovat samat jos ne ovat samat V:ssä. Tämä tarkoittaa että funktioiden erotus häviää V:ssä. Tästä nähdään, että k[V] on tekijäjoukko .

Projektiivinen avaruus

Tarkastellaan varistoa V(y=x²). Sen kuvaaja on paraabeli. Kun x kasvaa, suoran, joka kulkee origon ja pisteen (x,x²) kautta, kulmakerroin kasvaa. Kun x vähenee, saman suoran kulmakerron pienenee ja pienenee.
Verrataan tätä varistoon V(y=x³). Tämä on kolmannen asteen yhtälö. Kun x kasvaa, origon ja pisteen  (x,x³) kautta kulkevan suoran kulmakerroin kasvaa rajatta kuten ennenkin. Mutta toisin kuin ennen, kun x pienenee rajatta, kulmakerroin kasvaa edelleen rajatta. Siten varistojen V(y=x²) ja V(y=x³) käyttäytyminen äärettömyydessä on erilaista. Affiinissa avaruudessa on kuitenkin vaikeaa määritellä käsite "äärettömyydessä".
Ratkaistakseen ongelman on työskenneltävä niin sanotussa projektiivisessa avaruudessa. Projektiivisen avaruuden ominaisuudet ovat samat kuin kompaktin Hausdorffin avaruuden. Projektiivinen avaruus saadaan siis lisäämällä avaruuteen äärettömyyspisteitä ja määrittelemällä äärettömille topologiset ympäristöt. Tätä kutsutaan prosessia topologiassa nimellä Aleksandrovin kompaktisointi. Varistojen käyttäytyminen äärettömyydessä antaa lisätietoa varistoista. Osoittautuu, että V(y=x³):lla on singulariteetti yhdessä lisätyssä pisteessä, mutta V(y=x²) on sileä varisto.
Vaikka projektiivinen geometria löydettiin alun perin synteettisen geometrian kautta, homogeeninen koordinaatisto mahdollisti algebrallisten tekniikoiden käytön algebrallisen geometrian tutkimisessa. Edelleen projektiivisten tekniikoiden käyttö yksinkertaisti ja tiukensi monia algebrallisen geometrian tuloksia. Esimerkiksi tunnettu Bezout'n lause kahden variston leikkauspisteiden lukumäärästä voidaan esittää tiukimmassa muodossaan ainoastaan projektiivisessa avaruudessa. Tämän takia projektiivinen avaruus näyttelee keskeistä roolia algebrallisessa geometriassa.