Joukko

Joukko on matematiikassa joukko-oppiin kuuluva peruskäsite. Periaatteessa joukko on kokoelma olioita eli alkioita, joiksi joukon jäseniä kutsutaan. Joukko voi myös olla tyhjä alkioista, jolloin sitä kutsutaan tyhjäksi joukoksi.

Taskun sisältö

Naiivi esimerkki joukosta voisi olla taskun sisältö. Taskussa on kolikko, avain, noppa ja tulitikkulaatikko, jolloin joukossa on neljä alkiota. Alkioiden suhde toisiinsa on tasa-arvoinen siinä mielessä, että jokainen esine on taskun jäsen. Tulitikkuaskissa on polttamattomia tikkuja, joten sitä voidaan pitää siinä mielessä osajoukkona, vaikka kokonaisuutena se on myös alkio. Tyhjää joukkoa voisi esittää tyhjä tasku, joka laitetaan taskuun muiden esineiden sekaan. Jos taskussa oleva kolikko luiskahtaa tyhjään taskuun, muuttuu se sisemmän taskun alkioksi ja kuuluu siten joukkoon ja sen osajoukkoon samanaikaisesti.

Lukujoukko

Matematiikassa lukujoukoilla on erityisasema. Suurin osa matematiikasta käsittelee lukuja ja niiden muodostamat joukot ovat analyysin perusta. Tarkastelun kohteeksi voidaan valita tunnettujen lukujen osajoukko, esimerkiksi alle 100 olevien parillisten lukujen joukkoa. Tämän joukon koko on 50 alkiota ja joukkoa kutsutaan äärelliseksi joukoksi.
Koska tunnettuja lukuja on määrättömästi, sanotaan lukujoukon alkioita olevan äärettömän monta. Tällaiseen epäkäytännölliseen tilanteeseen on jouduttu, koska laskulait ovat voimassa yksinkertaisessa muodossaan vain, jos oletetaan lukuja olevan kuinka paljon tahansa. Esimerkiksi lukumääriä tai järjestystä ilmaisevat luvut eli luonnolliset luvut muodostavat tällaisen kompaktin kokonaisuuden. Tässä joukossa yhteen- ja kertolaskutoimitukset onnistuvat niin, että myös tulos kuuluu samaan lukujoukkoon. Tällaista joukkoa kutsutaan äärettömäksi joukoksi.
Myös kokonaisluvut, rationaaliluvut, irrationaaliluvut reaaliluvut ovat perinteisiä matematiikassa käytettyjä lukuja. Niitä voidaan kuvata havainnollisesti lukusuoralla. Nämäkin ovat äärettömiä joukkoja.

Funktiot

Joukkojen alkioita voivat olla myös funktiot. Kaikkien funktioiden joukossa polynomit ovat sen osajoukko ja polynomeissa potenssifunktiot ovat polynomijoukon osajoukko. Funktioilla voi olla yhteisiä ominaisuuksia, jotka sopivat tarkasteltavaan tehtävään. Tällaisia funktioiden joukkoja ovat esimerkiksi alkeisfunktiot, lineaariset funktiot tai algebralliset funktiot.

Alkioiden lukumäärä

Joukon alkioiden lukumäärä on äärellisen joukon tapauksessa selvä. Taskussa olevien esineiden lukumäärä selviää laskemalla esineet, joita taskussa on. Joukon koko on tällöin saatu lukumäärä.
Luonnollisten lukujen joukko on sen sijaan ääretön. Jos luetteloidaan lukujoukon lukuja lähtien liikkeelle sen pienimmästä luvuta 1, jatkaen seuraavaksi suurimmasta luvusta 2 ja näin edetään seuraavaksi suurimpaan lukuun jatkuvasti, on aloitettu laskemisprosessi, jonka loppumista ei voi odottaa. Lukujoukon tärkeä ominaisuus nimittäin on, että jokaisella luvulla n on myös seuraajana sellainen luku, joka on lukua yksi suurempi (n + 1). Luetteloon on siten mahdollista löytää aina vain yksi luku lisää eikä luettelointi siksi lopu milloinkaan. Lukujoukko on siten ääretön. 
Rationaalilukujen joukko on myös ääretön, koska se sisältää kaikki luonnolliset luvut ja puuttuvat murtoluvut vielä niiden lisäksi. Kumpi on siten suurempi joukko: luonnolliset luvut vai rationaalit luvut? Arkinen järki sanoo rationaalilukujen joukkoa suuremmaksi, mutta matematiikassa voidaan esittää joukkojen vertailutilanne, jossa huomataan niillä olevan yhtä monta alkiota. Alkioita on molemmissa ääretön määrä. Erotukseksi äärelliselle lukumäärälle käytetään äärettömille joukoille lukumäärän mittana mahtavuutta. Sanotaan, että luonnolliset luvut, kokonaisluvut ja rationaaliluvut ovat yhtä mahtavat.
Irrationaaliluvut ja reaaliluvut sen sijaan ovat lukujoukkona edellisiä joukkoja vielä mahtavampia. Kun edellisien joukkojen mahtavuus on  (lue: alef-0), on jälkimmäisillä mahtavuus jo . Reaalilukujen rakenne on sellainen, että jokaisessa lukuvälissä on "yhtä paljon alkioita" kuin koko reaalilukujen joukossa. Reaaliluvut ovat irrationaalisten lukujen tavoin äärettömän tiheä. Tilanne ei muutu oleellisesti, jos tarkastellaan karteesia tuloa , sillä jokaiselle reaalilukujoukon  alkiolle voidaan osoittaa yksi  alkio.