Suurten lukujen laki

Suurten lukujen laki on toden­näköisyys­laskennan tulos, joiden mukaan sellaisten satunnais­muuttujien jonon keski­arvo, joilla on sama odotusarvo, voidaan tietyin edellytyksin ja tietyssä mielessä sanoa suppe­ne­van kohti niiden odotus­arvoa, kun satunnais­muuttujien luku­määrä kasvaa rajatta. Erityisesti toisto­kokeessa, jossa tietty tulos saadaan joka kerta yhtä suurella toden­näköisyydellä, tällaisten tulosten suhteellinen osuus kaikista koe­tuloksista lähestyy tämän toden­näköi­syyden osoittamaa lukua, kun toistojen luku­määrä kasvaa.
Suurten lukujen lailla on suuri käytännöllinen merkitys, koska se käytännössä "takaa", että satunnaisten ilmiöiden esiintymis­tiheys pitkällä aikavälillä voidaan ennustaa. Esimerkiksi vaikka pelikasino voikin menettää rahaa jollakin kerralla, kun rulettia pelataan, suurella määrällä pelikertoja sen kokonais­voitto voidaan kutakuinkin varmasti ennustaa. Niinpä jollekulle pelaajalle maksettavan voiton korvaavat kasinon pitäjän kannalta käytännössä varmuudella muiden pelaajien maksamat pelimaksut. Yhdessä keskeisen raja-arvolauseen kanssa suurten lukujen laki muodostaakin perustan koko matemaattiselle tilastotieteelle.
Nimensä mukaisesti suurten lukujen laki kuitenkin pätee vasta, kun käsitellään suurta määrää havaintoja. Ei ole olemassa sellaista säännön­mukaisuutta, jonka mukaan jo pienellä määrällä havaintoja tulosten keskiarvon pitäisi vastata kunkin kerran odotus­arvoa tai että satunnaista poikkeamaa keskiarvosta pitäisi välittömästi seuraavan kerran tuloksen "tasa­painottaa". Virheellistä kuvitelmaa, että sellainen säännön­mukaisuus olisi olemassa, sanotaan pelurin virhepäätelmäksi.

Historia

Italialainen matemaatikko Gerolamo Cardano (1501–1576) väitti ilman todistusta, että empiiristen tilastojen pätevyydellä on taipumus kasvaa otoskoon kasvaessa. Tämä väite muotoiltiin sittemmin suurten lukujen laiksi. Jakob Bernoulli todisti suurten lukujen lain erikois­tapauksessa, joka koskee kaksiarvoisia satunnais­muuttujia.  Häneltä kesti yli 20 vuotta kehittää väitteelle riittävän täsmällinen matemaattinen todistus, jonka hän julkaisi teoksessaan Ars Conjectandi vuonna 1713. Hän nimitti sitä "kultaiseksi teoreemaksi", mutta nykyisin se tunnetaan Bernoullin lauseena. (Sitä ei pidä sekoittaa Jakob Bernoullin veljenpojan, Daniel Bernoullin mukaan nimettyyn Bernoullin lakiin fysiikassa.)  Vuonna 1837 S. D. Poisson kuvaili tulosta tarkemmin ja antoi sille nimen "suurten lukujen laki" (ransk. Loi des grands nombres). Tämän jälkeen tulos tunnettiin molemmilla nimillä, mutta "suurten lukujen laki" on yleisemmin käytetty.
Bernoullin ja Poissonin todistettua tuloksensa muut matemaatikot kuten Pafnuti Tšebyšov, Markov, Borel, Cantelli ja Kolmogorov kehittivät vahvempia tuloksia, kunnes lopulta Aleksandr Khintšin lopulta esitti suurten lukujen laille todistuksen, joka pätee mielivaltaisille satunnaismuuttujille. Nämä myöhemmät tutkimukset ovat johtaneet ennen kaikkea kahteen huomattavaan suurten lukujen lain muotoiluun. Toista sanotaan "heikoksi", toista "vahvaksi" laiksi, mitkä viittaavat kahteen erilaiseen tilastollisen suppenemisen muotoon. Kuten jäljempänä osoitetaan, heikko laki on samalla vahvan lain looginen seuraus.