Avoin ja suljettu kuvaus

Esimerkkejä

Jokainen homeomorfismi on sekä avoin että suljettu ja lisäksi jatkuva kuvaus. Itse asiassa bijektiivinen jatkuva kuvaus on homeomorfismi, jos ja vain jos se on avoin, ja niin ikään, jos ja vain jos se on suljettu.
Jos avaruudella Y on diskreetti topologia eli sen kaikki osajoukot ovat avoimia ja samalla suljettuja, jokainen kuvaus f : X → Y on sekä avoin että suljettu, olipa X mikä avaruus tahansa. Jokainen kuvaus tällaiseen avaruuteen ei kuitenkaan ole jatkuva. Esimerkiksi lattiafunktio reaalilukujen joukosta  kokonaislukujen joukkoon  on avoin ja suljettu, mutta ei jatkuva kuvaus. Tämä esimerkki osoittaa, että yhtenäisen joukon kuva avoimessa tai suljetussa kuvauksessa ei aina ole yhtenäinen.
Jos muodostetaan topologisten avaruuksien X=ΠXᵢ karteesinen tulo ja varustetaan se tulotopologialla, luonnolliset projektiot pᵢ : X → Xᵢ ovat avoimia ja samalla jatkuvia kuvauksia. Koska peitekuvaukset ovat lokaalisti tuloavaruuksien luonnollisia projektioita, ne ovat myös avoimia kuvauksia. Sen sijaan suljettuja projektiot eivät välttämättä ole. Esimerkkinä voidaan tarkastella projektiota p₁ :  →  ensimmäistä komponenttia: A = {(x,1/x) : x≠0} on suljettu joukossa , mutta p₁(A) =  − {0} joka ei ole suljettu.  Jos kuitenkin Y on kompakti, projektio X × Y → X on suljettu. Tämä on oleellisesti sama asia kuin putkilemma.
Jokaiseen yksikköympyrän pisteeseen voidaan liittää positiivisen x-akselin sekä origosta kyseiseen pisteeseen johtavan janan välinen kulma. Tällä tavoin saadaan kuvaus yksikköympyrältä puoliavoimelle välille [0,2π). Kuvaus on bijektio ja sekä avoin että suljettu, mutta ei jatkuva. Tämä esimerkki osoittaa, että kompaktin avaruuden kuva avoimessa tai suljetussa kuvauksessa ei välttämättä ole kompakti. Jos kuitenkin tämän kuvauksen maaliksi käsitetään koko , kuvaus ei ole surjektio eikä myöskään avoin eikä suljettu. Oleellista avoinen ja suljetun kuvauksen käsitteille onkin, mikä avaruus katsotaan kuvauksen maaliavaruudeksi.
Reaalifunktio f:  → , missä f(x) = x², on jatkuva ja suljettu, mutta ei avoin kuvaus. Samoin on laita muidenkin funktioiden f, missä f(x) = xⁿ, kun n on parillinen. Sen sijaan kun n on pariton, kyseinen funktio on :n homeomorfismi itselleen ja näin ollen myös avoin kuvaus. Yleensäkään mikään jatkuva reaalifunktio, jolla on ääriarvoja, ei ole avoin kuvaus, eivät siis myöskään esimerkiksi sin x ja cos x.
Jokainen vakiokuvaus on suljettu kuvaus.

Avoimia ja suljettuja funktioita koskevia lauseita

Tunnetaan useita lauseita, joiden nojalla eräissä tapauksissa voidaan päätellä, että kuvaus on avoin tai suljettu. Seuraavassa esitetään joitakin sellaisia.
Suljetun kuvauksen lemma sanoo, että jokainen jatkuva kuvaus f : X → Y kompaktista avaruudesta x Hausdorff-avaruuteen Y on suljettu ja lisäksi ankara kuvaus, toisin sanoen siinä jokaisen kompaktin joukon alkukuva on kompakti. Eräs tämän tuloksen muunnelma sanoo, että jos kahden lokaalisti kompaktin Hausdorff-avaruuden välinen kuvaus on ankara, se on myös suljettu.
Funktionaalianalyysissä avoimen kuvauksen lause sanoo, että jokainen Banach-avaruuksien vlinen surjektiivinen jatkuva lineaarioperaattori on avoin kuvaus.
Myös kompleksianalyysissä on tulos, joka tunnetaan nimellä avoimen joukon lause. Sen mukaan jokainen ei-vakio holomorfinen funktio, joka on määritelty kompleksitason jollakin yhtenäisellä avoimella osajoukolla, on avoin kuvaus. 
Alueen invarianssilause sanoo, että jatkuva ja lokaalisti injektiivinen kuvaus kahden n-ulotteisen moniston välillä on avoin kuvaus.