Painopiste (geometria)

Geometrisellä painopisteellä tarkoitetaan tasokuvion tai avaruuskappaleen tasapainokohtaa, jossa se olisi fysikaalisena esineenä tasapainossa fysikaalisen painopisteensä suhteen. Luonnollisten kappaleiden painopisteiden määritykseen käytetään kokeellisia menetelmiä, kuten esimerkiksi painopistevaakaa, mutta yksinkertaisten ja säännöllisten kuvioiden painopisteen etsimiseen käytetään geometrian keinoja. Perusajatus on, että geometriset kuviot ovat ideaaleja ja muistuttavat todellisia materiaaliltaan homogeenisia kappaleita.
Tasainen painovoima vaikuttaa painopisteeseen kuin sen koko massa olisi keskittynyt siihen, mistä syystä sitä kutsutaan myös massakeskipisteeksi. Mikäli painovoimakenttä vaihtelee kappaleen kohdalla, voi painopiste sijaita eri kohdassa kuin massakeskipiste.
Levymäisen kappaleen painopiste voidaan määrittää ripustamalla se jostakin kohtaan lankaan, jolloin painopiste sijaitsee langan jatkeella. Jos langan asento piirretään levylle ja ripustetaan levy toisesta kohtaa langalla, saadaan langan ja viivan leikkauspisteestä selville levyn painopiste. Kolmiulotteisen kappaleen painopiste löydetään kolmen leikkaavan tason leikkauspisteessä.

Fysikaalinen ja matemaattinen perusta

Painopisteen koordinaatit määritetään mekaniikassa tasapainoyhtälöillä. Niissä huomioidaan kappaleen geometrian lisäksi myös aineen tiheysvaihtelut. Geometrisissä menetelmissä oletetaan kappale olevan homogeeninen eli että sen tiheys ei vaihtele kappaleen eri osissa. Silloin painopisteen paikka riippuu vain kappaleen geometriasta.

Kolmen samamassaisen pisteen painopiste

Kolme pistettä sijaitsevat aina samalla tasolla muodostaen kolmion kärkipisteet (tai kollineaarisina janan). Kolmen pisteen painopiste voidaan päätellä käyttäen myöhemmin kuvattua Archimedeen lemmaa. Kahden samamassaisen pisteen painopiste sijaitsee pisteiden keskipisteessä. Keskipisteen ja kolmannen pisteen painopiste sijaitsee niitä yhdistävällä janalla . Valitsemalla kaksi pistettä ja yhdistämällä niiden painopiste kolmannen pisteen kanssa janalla , leikkaavat janat  ja  pisteessä . Myös kolmas tällä tavalla muodostettu jana  leikkaa kaksi muuta samassa pisteessä . Janat ovat "kolmion" keskijanoja ja ne leikkaavat toisensa kolmion painopisteessä, joka on eräs kolmion merkillinen piste. Siis kolmiolevyn ja kolmion kärkien massan painopisteet ovat samassa paikassa.

Painopisteen etsiminen vektorisumman avulla

Pistejoukon painopisteen etsimiseen voidaan käyttää vektorimatematiikkaa. Arvataan ensin painopisteen likimääräinen paikka  ja piirretään siitä vektorit ympäröiviin pisteisiin. Lasketaan vektorien vektorisumma ja jos se on nolla, on painopiste oikealla paikalla . Ellei se ole vielä nolla, siirretään piste  uuteen paikkaan ja tarkistetaan vektorisumma. Näin jatketaan kunnes painopiste saavutetaan riittävällä tarkkuudella.

Kahden janan painopiste

Yhdistetään kaksi yhtäpitkää janaa toisiinsa toisesta päätepisteestään. Riippumatta janojen välisestä kulmasta, janat muodostavat symmetrisen kuvion. Painopiste sijaitsee tällä symmetria-akselilla. Toisaalta, Arkhimedeen lemmasta seuraa uusi jana, jossa janojen painopisteinä olevat keskipisteet yhdistetään toisiinsa. Yhdysjana ja symmetria-akseli leikkaavat kuvion painopisteessä.
Kahden eripitkän janan kuviolla ei ole symmetria-akselia. Janojen keskipisteet voidaan kuitenkin yhdistää janalla. Painopiste sijaitsee yhdysjanalla. Jakamalla pitempi jana lyhyemmän janan kanssa yhtäpitkään osaan ja loppupätkään, voidaan painopiste löytää. Katkaistulla kuviolla on nyt symmetria-akseli ja sen painopiste löydetään edellisen esimerkin mukaisesti. Koska loppupätkä on jana, on sen painopiste pätkän keskipisteessä. Yhdistämällä keskipiste ja symmetrisen kuvion painopiste janalla, leikkaa jana yhdysjanan kuvion painopisteessä.

Kolmioksi yhdistettyjen kolmen janan painopiste

Yhdistetään kolme janaa kolmion muotoon, jolloin koko kuvion massa sijaitsee vain kolmion reunassa. Tällaisen kehikon painopiste sijaitsee kolmion Spiekerin pisteessä. Spiekerin piste on eräs kolmion merkillinen piste.

Nelikulmio

Neliöllä, jonka sivun pituus on , on neljä symmetria-akselia, jotka leikkaavat neliön keskipisteessä. Keskipiste onkin neliön painopiste (ed. symmetriasääntö S1), jonka koordinaatit ovat neliö vasemmasta kulmasta lukien . Keskipisteen löytää piirtämällä viivaimella neliölle molemmat lävistäjät, joiden leikkauspisteessä se on.
Suorakulmiolla, jonka leveys on  ja korkeus , on kaksi symmetria-akselia, joten sen painopiste sijaitsee niiden leikkauspisteessä eli keskipisteessä (symmetriasääntö S1). Painopiste koordinaatit ovat vasemmasta kulmasta lukien . Keskipisteen löytää piirtämällä viivaimella suorakulmiolle molemmat lävistäjät, joiden leikkauspisteessä se on.
Suunnikkaan painopiste on molempien lävistäjien puolessa välissä sijaitsevassa leikkauspisteessä. Jos vaakasivun pituus on  ja toisen sivun pituus  ja joiden välinen terävä kulma on , ovat painopisteen koordinaatit  
Puolisuunnikkaassa on kaksi yhdensuuntaista sivua  ja  ehdolla , joiden korkeusero on . Mikäli kyljet ovat yhtä pitkät, puhutaan tasakylkisestä puolisuunnikkaasta. Tasakylkisellä puolisuunnikkaalla on vain yksi symmetria-akseli, joka yhdistää yhdesuuntaisten sivujen keskipisteet. Painopiste sijaitsee tällä akselilla kohdassa  Yleisessä puolisuunnikkaassa painopiste sijaitsee pisteessä  missä sivut  ja  ovat puolisuunnikkaan kyljet. Lävistäjien leikkauspiste tulee liian ylös ollakseen painopisteessä.
Konveksissa nelikulmiossa lävistäjät leikkaavat toisensa nelikulmion sisällä.Sen painopiste voidaan löytää jakamalla se kolmioiksi kadella tavalla. Ernsimmäisen jaon kolmioiden painopisteet yhdistetään janalla, jolla leikataan toisen jaon vastaavalla janalla. Arkhimedeen lemman mukaan, painopiste sijaitsee leikkauskohdassa.