Todennäköisyysjakauma

Käsitteitä

Yhden muuttujan todennäköisyysjakaumassa tulee tuntea satunnaismuuttujan perusjoukko ja kunkin satunnaismuuttujan arvoa vastaavan todennäköisyyden määräytymistapa. Perusjoukko ja sen todennäköisyysfunktio muodostavat yhdessä todennäköisyysjakauman.

Todennäköisyysjakaumia

Suluissa annetaan esimerkki jakauman tulkinnasta.

Symmetrinen jakauma

Esimerkiksi jos satunnaismuuttuja on nopanheitto, se saa vain kuusi eri arvoa, nopan silmäluvut 1, 2,...,6. Koska säännölliselle nopalle jokaisen silmäluvun todennäköisyys on yhtä suuri, yksittäisen silmäluvun todennäköisyys saadaan jakamalla varman tapauksen todennäköisyys (joka on 1) kuudella. Siten vaikkapa silmäluvun 5 (kuten kaikkien muidenkin silmälukujen) todennäköisyys on 1/6. Tässä tapauksessa todennäköisyysjakauman sanotaan olevan tasainen. Jos diskreetin satunnaismuuttujan todennäköisyys on jakautunut tasaisesti, jakauman sanotaan olevan symmetrinen jakauma eli diskreetti tasainen jakauma.
Jos heitetään kahta noppaa joista ensimmäinen on vaikka sininen ja toinen punainen, voidaan tulos tulkita satunnaismuuttujaksi usealla tavalla. Voidaan pitää satunnaismuuttujana saatua lukuparia, esim. jos sinisellä tuli 2 ja punaisella 5, satunnaismuuttuja on (2,5). Myös voidaan ottaa satunnaismuuttujaksi suurempi saaduista nopan silmäluvuista, eli em. tapauksessa luku 5. Kolmas mahdollisuus on käyttää satunnaismuuttujana silmälukujen summaa, eli edellä tarkastellussa tapauksessa satunnaismuuttujan arvo on 7. Muitakin mahdollisuuksia satunnaismuuttujan valinnalle on löydettävissä.
Lukuparien tapauksessa kahden nopan heiton arvojoukko on kaikkien mahdollisten silmälukuparien joukko eli 6x6=36 lukuparia. On nähtävissä että kyseessä on symmetrinen todennäköisyysjakauma. 
Sen sijaan jos satunnaismuuttuja on suurempi silmäluvuista, esimerkiksi satunnaismuuttujan arvo 1 tulee vain lukuparista (1,1), kun taas arvo 6 tulee peräti yhdestätoista eri lukuparista (1,6),(6,1),(2,6),(6,2),...,(5,6),(6,5) ja (6,6). Kyseessä ei siis ole ollenkaan symmetrinen todennäköisyysjakauma.

Binomijakauma

Jos jokin koe suoritetaan määräluku kertoja (n), ja tietty tulos saadaan joka kerta vakiotodennäköisyydellä p, sellaisten tapausten lukumäärä, joissa tämä tulos on saatu, noudattaa binomijakaumaa parametreilla (n, p). Esimerkkinä voidaan mainita kuutosten lukumäärä heitettäessä noppaa useita kertoja.

Poissonin jakauma

Poissonin jakauma kuvaa tiettyjen tapahtumien lukumäärää kiinteällä aikavälillä, kun tapahtumien todennäköisyys on ajassa vakio ja seuraavan tapahtuminen ei riipu lainkaan edellisestä. Poissonin jakaumaa voidaan pitää binomijakauman rajatapauksena, kun toistojen lukumäärä n kasvaa rajatta, mutta todennäköisyys p pienenee samassa suhteessa. Jakauma on näin ollen diskreetti, mutta kiinteällä aikavälillä tapahtumien lukumäärää ei ole kuitenkaan mitenkään rajoitettu. Toisin sanoen satunnaismuuttujan mahdolliset arvot ovat kaikki ei-negatiiviset kokonaisluvut, siis numeroituva, ei-äärellinen joukko.

Geometrinen jakauma

Geometrinen jakauma on myös esimerkki diskreetistä jakaumasta, jossa mahdollisia arvoja ovat kaikki ei-negatiiviset kokonaisluvut. Siinä kahden peräkkäisen kokonaislukuarvon todennäköisyyksien suhde on vakio, ja mitä suurempi luku, sitä pienempi todennäköisyys.