Tekijäavaruus (topologia)

Topologiassa ja siihen liittyvillä matematiikan aloilla tekijäavaruus on, intuitiivisesti ilmaistuna tulos, joka saadaan samastamalla toisiinsa tai ”liimaamalla yhteen” jotkin annetut topologisen avaruuden  pisteet. Toisiinsa samastettavat tai ”yhteen liimattavat” pisteet määritellään ekvivalenssirelaatiolla. Tavallisimmin tämä tehdään uuden topologisen avaruuden konstruoimiseksi jonkin ennestään tunnetun avulla. Tekijätopologia käsittää ne joukot, joiden alkukuva siinä kanonisessa projektiossa, jolla jokainen lähtöavaruuden alkio kuvataan sitä vastaavalle ekvivalenssiluokalle, on avoin joukko.

Samastuskuvaus

Tekijäavaruuteen liittyy läheisesti myös samastuskuvauksen eli tekijäkuvauksen käsite. Sanotaan, että kuvaus  on samastuskuvaus, jos se on surjektio ja jos Yn osajoukoista U ovat avoimia ne ja vain ne, joiden alkukuva on avoin. Yhtäpitävästi voidaan määritellä, että  on samastuskuvaus, jos se on surjektio ja jos se koindusoi maaliavaruuteen Y sen alkuperäisen topologian.
Jos  on ekvivalenssirelaatio joukossa , kanoninen kuvaus  on samastuskuvaus.

Ominaisuuksia

Jokainen kompakti metristyvä avaruus voidaan esittää Cantorin joukon tekijäavaruutena.
Jokainen kompakti yhtenäinen n-monisto, kun n>0, voidaan esittää minkä tahansa muun kompaktin yhtenäisen n-moniston tekijäavaruutena, ja kuvaus tekijäavaruudesta f:X/~->Y on jatkuva, jos ja vain jos f⁰q:X->Y on jatkuva.
Topologisen avaruuden X surjektio q toiselle topologiselle avaruudelle Y on samaistuskuvaus, jos sillä on seuraava ominaisuus: jos Z on mikä tahansa topologinen avaruus ja  mikä tahansa kuvaus, f on jatkuva, jos ja vain jos yhdistetty kuvaus f ° q on jatkuva.
Tekijäavaruutta X/~ yhdessä samastuskuvauksen q : X -> X/~ kanssa luonnehtii seuraava universaaliominaisuus: Jos g : X -> Z on sellainen jatkuva kuvaus, että kaikilla samaan ekvivalenssiluokkaan kuuluvilla Xn alkioilla on sama kuvapiste Z:ssä, on olemassa yksi ja vain yksi sellainen jatkuva kuvaus f : X/~ -> Z, että g = f ° q.  Sanotaan, että g laskeutuu tekijäavaruuteen.
Tekijäavaruuden X/~ jatkuvia kuvauksia ovat siis ne ja vain ne kuvaukset, jotka saadaan X:ssä määritellyistä jatkuvista kuvauksista ja jotka ovat yhteensopivia ekvivalenssirelaation kanssa (siinä mielessä, että ekvivalenteilla alkioilla on sama kuva).  Tutkittaessa tekijäavaruuksia tätä kriteeriä käytetään paljon.
Usein on selvitettävä, onko jokin surjektio q : X -> Y samaistuskuvaus. Jos q on avoin tai suljettu kuvaus, se on samaistuskuvaus. Nämä ovat kuitenkin vain riittäviä, mutta eivät välttämättömiä ehtoja.  On helppo muodostaa esimerkkejä samaistuskuvauksista, jotka eivät ole avoimia eivätkä suljettuja. Topologisten ryhmien tapauksessa samaistuskuvaukset ovat avoimia.

Yhtenäisyys

Jos avaruus on yhtenäinen tai polkuyhtenäinen, samoin ovat sen kaikki tekijäavaruudet.
Yhdesti yhtenäisen tai kutistuvan avaruuden tekijäavaruus ei välttämättä ole yhdesti yhtenäinen eikä kutistuva.

Kompaktius

Kompaktin avaruuden kaikki tekijäavaruudet ovat kompakteja.  Sen sijaan lokaalisti kompaktin avaruuden tekijäavaruus ei välttämättä ole lokaalisti kompakti.

Ulottuvuus

Tekijäavaruuden topologinen ulottuvuus voi olla suurempi tai pienempi kuin alkuperäisen avaruuden. Avaruuden täyttävät käyrät tarjoavat tästä esimerkkejä.