Vuo

Vuo on fysiikassa ja vektorianalyysissä käsite, jolla ilmaistaan vektorikentän (esimerkiksi sähkökenttä tai gravitaatiokenttä) kulkeutumista tietyn (avaruus-)pinnan läpi. Yksinkertaistetusti vektorikentän vuo tietyn pinnan läpi voidaan käsittää pinnan läpäisevien kuvitteellisten kenttäviivojen lukumääränä. Koska vektorikentän voimakkuutta voidaan graafisesti kuvata kenttäviivojen tiheydellä, on tämä yksinkertaistus jokseenkin toimiva. Vuo kuitenkin riippuu vektorikentän lisäksi myös pinnan alasta, muodosta ja suunnasta.
Suureena vuota merkitään :llä (kreikkalainen iso Fii). Tarvittaessa sen yhteyteen voidaan laittaa alaindeksi viittaamaan tarkasteltavaan vektorikenttään tai muuhun siihen liittyvään käsitteeseen. Esimerkiksi sähkökentän vuota voidaan merkitä :llä englannin kielen sanaan electric viitaten. Vuo on skalaarisuure. 
Vuolla ei ole yhtä mittayksikköä, sillä se riippuu tarkasteltavan vektorikentän yksiköstä. Dimensioanalyyttisesti tarkasteltuna vuon dimensio on , missä  on vuohon liittyvän vektorikentän dimensio ja  on neliömetri.

Ilmavirta silmukan läpi

Vuon käsitettä voidaan havainnollistaa esimerkiksi tuulettimen ja oheisessa kuvassa näkyvän suorakulmion muotoisen silmukan avulla. Silmukka asetetaan tuulettimen eteen, jolloin ilma virtaa silmukan läpi vauhdilla . Vuo on tässä tapauksessa silmukan läpi kulkevan ilman tilavuus aikayksikössä (ks. tilavuusvirtanopeus). Jos silmukka on kohtisuorassa ilmavirtaa vastaan, on vuo suurimmillaan. Jos taas silmukka on ilmavirran suuntainen, ei ilmaa kulkeudu sen läpi yhtään. Tällöin vuo on nolla. Jos taas silmukka ripustetaan tuulettimen eteen siten, että se ilmavirta läpäisee sen kulmassa , niin silmukan läpäisevän ilman tilavuus yhden sekunnin aikana on
,
missä 
 on ilman vauhti (oletetaan vakioksi silmukan kohdalla),
 on silmukan pinta-ala ja
 on silmukkaa vastaan kohtisuoran nopeuskomponentin suuruus (vauhti).
Merkinnällä  tarkoitetaan tässä vektorin  normia eli pituutta (eli suuruutta).

Vakiovektorikentän vuo

Korvataan nyt havainnollistuksessa käytetty ilmavirran nopeus yleisellä vektorikentällä  ja silmukka tasopinnalla, jonka pinta-ala on . Oletetaan myös vielä, että vektorikenttä on vakio, eli kaikissa määrittelyavaruutensa pisteissä yhtä suuri ja samansuuntainen. Vaikka vektorit eivät voi ''virrata'' havainnollistuksessa käytetyn ilmavirran tapaan, voidaan samaa ideaa vuosta käyttää myös vektorikentille.
Tasolle voidaan määritellä pinta-alavektori käyttäen tason yksikkönormaali(-vektoria), joka on kaikkialla kohtisuorassa tasoa vastaan oleva, tasosta ulospäin osoittava yksikkövektori. Pinta-alavektori on sellainen vektori, joka on samansuuntainen tason yksikkönormaalin kanssa ja sen pituus on yhtä suuri kuin tason pinta-ala:
.
Koska tasolla on aina kaksi puolta, on jokaisella tasolla myös kaksi vastakkaissuuntaista yksikkönormaalia. Ts. jos  ja  ovat tason eri puolten yksikkönormaalit, niin . Mikäli yksikkönormaalin suuntaa ei ole erikseen määritelty, on yhdentekevää, kumpaa suuntaa käyttää. On kuitenkin pidettävä huolta, että esimerkiksi laskettaessa eri kenttien voita saman tason läpi yksikkönormaali pidetään aina samana. Jos yksikkönormaalin suunta vaihdetaan vastakkaiseksi, vuo muuttuu vastaluvukseen, mutta sen itseisarvo ei muutu (todistus kappaleen lopussa). 
Tason normaalivektoria käyttämällä vektori  voidaan jakaa tason suuntaiseen komponenttiin  ja tasoa vastaan kohtisuoraan komponenttiin  (ts. ). Näistä kahdesta komponentista ainoastaan  läpäisee tason, joten vain sen pituus vaikuttaa vuohon. Vastaavasti, kuten ilmavirran tapauksessa, vektorikentän  vuo tason läpi (merkitään ) on: 
, 
missä 
, 
 on :n ja :n välinen kulma sekä 
.  
Tästä määritelmästä huomataan, että vuo voidaan laskea myös pistetulon avulla: 
. 
Lisäksi huomataan, että käyttämällä tason toisen puolen yksikkönormaalia , vuo muuttuu vastaluvukseen: 
.

Muuttuvan vektorikentän vuo

Edellä määriteltiin vuo tapauksessa, jossa vektorikenttä on kaikkialla yhtä suuri ja samansuuntainen sekä tarkasteltavana pintana käytettiin tasoa. Tämä on kuitenkin vain erikoistapaus, sillä vektorikenttä voi muuttua avaruuden eri pisteissä ja pinta voi olla kaareva tai jopa suljettu.

Vuo tasopinnan läpi

Olkoon nyt  vektorikenttä, joka riippuu avaruuden pisteestä. Käytetään tarkasteltavana pintana vielä tasoa, jonka pinta-ala on . Jaetaan tämä taso pieniin palasiin, joista jokaisen pinta-ala on . Jokaisen pienen palan pinta-alavektori  on tasoa vastaan kohtisuorassa, kuten perusmääritelmässäkin. Oheisessa kuvassa on esitetty kaksi tällaista palaa, järjestysluvuiltaan  ja . Tarkastellaan palaa , jonka kohdalla vektorikenttä saa arvon . Tämän palasen läpäisevä pieni vuo on perusmääritelmään nojaten
.
Vuo muiden palasten kohdalla saadaan vastaavasti. Kokonaisvuo tason läpi saadaan laskemalla yhteen kaikki pienet vuot koko tason alueelta:
.
Vuon laskeminen tällä tavoin saattaa kariutua pinta-alaan .  kun ei välttämättä ole vakio minkään äärellisen kokoisen pinnan kohdalla. Jos  on integroituva, niin ongelma ratkeaa viemällä palojen pinta-alat infinitesimaalisen pieniksi (), niiden lukumäärän lähestyessä ääretöntä. Tällöin summa voidaan korvata integraalilla:
. 
Kaksinkertainen integraalimerkki painottaa sitä, että tässä integroidaan (vektori-)funktiota kaksiulotteisen pinnan yli. Joissain teksteissä (esim. ) saatetaan käyttää tavanomaista yksinkertaista integraalimerkkiä.
Integraalimääritelmästä päästään kääntäen takaisin perusmääritelmään. Jos  on vakio koko tason alueella, niin integroinnin laskusääntöjen nojalla:
Integraali  saattaa olla monimutkaisuudessaan harhaanjohtava merkintä, mutta lopulta se tarkoittaa vain infinitesimaalisten pinta-alojen summaa koko tason yli, eli tason kokonaispinta-alaa.

Vuo kaarevan pinnan läpi

Vektorikentän  vuo kaarevan pinnan läpi ei eroa tasopinnan tapauksesta. Merkitään pintaa nyt lyhennyssyistä :llä. Tehdään, kuten tason tapauksessa, ja jaetaan pinta useaan pieneen palaseen, joiden pinta-ala on . Jokaisen pienen palan pinta-alavektori  on pintaa vastaan kohtisuorassa jokaisessa pisteessä. Ainoa ero tason tilanteeseen on nyt se, etteivät pinta-alavektorit  ole enää samansuuntaisia kaikkialla pinnalla. Edelleen palan  läpäisevä pieni vuo on  ja kokonaisvuo näiden pienten voitten summa. Jos  on integroituva, niin kokonaisvuo pinnan  läpi saadaan tutulla integraalilla:
. 
Kaarevaan pintaan liittyy joitain ominaisuuksia, joita tason tapauksessa ei välttämättä ole. Pinatelementtivektorin  ja :n välinen kulma pinnan  eri pisteissä on ratkaisevassa asemassa vuon kannalta. Tarkastellaan tilanteita, joissa vektorikenttä on kaikkialla pinnan tangenttitason suuntainen tai pintaa vastaan kohtisuorassa (ks. kuva alla). Ensimmäisessä tilanteessa  kaikkialla pinnalla , joten pistetulon ominaisuuksien nojalla . Tällöin kokonaisvuokin on nolla. Toisessa tilanteessa  (voidaan olettaa, että ) kaikkialla pinnalla , joten pistetulon ominaisuuksien nojalla . Jos :n pituus on lisäksi vakio kaikkialla pinnalla , niin kokonaisvuo on:
,
missä  on pinnan  pinta-ala. 
Huom! Jos pinnan  yksikkönormaali onkin määritelty pinnan toiselle puolelle, niin  ja .

Vuo suljetun pinnan läpi

Vektorikenttä voi läpäistä myös suljetun pinnan, kuten laatikon, sylinterin, pallon tai muun mielivaltaisen muotoisen pinnan. Koska mikä tahansa pinta voidaan konstruoida kaarevista pinnoista ja/tai tasoista, ei vuon laskeminen suljetun pinnan läpi eroa mitenkään edellisistä tapauksista. Ainoastaan merkinnät muuttuvat hieman. Jos  on integroituva vektorikenttä ja  on suljettu pinta, niin :n vuota pinnan  läpi merkitään lisäämällä integraalimerkkiin pieni ovaali: 
   
Integraalimerkkiin lisätty ovaali korostaa vain sitä, että integrointi suoritetaan suljetun pinnan yli. Laskuteknisesti integraali on vain tavanomainen vuointegraali. 
Suljetun pinnan yksikkönormaalin  suunta on huomionarvoinen seikka. Toisin kuin avoimella pinnalla, suljetulle pinnalle voidaan yksiselitteisesti osoittaa sisä- ja ulkopuoli. Jos yksikkönormaali osoittaa pinnan  sisäpuolelle, sitä sanotaan sisäyksikkönormaaliksi ja jos yksikkönormaali osoittaa pinnan  ulkopuolelle, sitä sanotaan ulkoyksikkönormaaliksi. Käytännön sovelluksissa on mielekkäämpää käyttää pinnalle ulkoyksikkönormaalia, sillä siten voidaan saada tietoa suljetun pinnan sisäisestä vektorikentästä ''kurkistamatta'' itse pinnan sisään. Kuten ei-suljetun pinnan tapauksessa, yksikkönormaalin vaihtaminen ulkoa sisälle tai toisin päin muuttaa vuon vastaluvukseen. Ts. .

Vuon tiheys

Jos vektorikentän vuo tietyn pinnan läpi tiedetään, voidaan tietyissä erikoistapauksissa ratkaista pinnan kohtisuorasti läpäisevä vektorikentän komponentti. Olkoon  tuntematon, integroituva vektorikenttä,  pinta, jonka ala on  ja  vektorikentän vuo pinnan läpi. Määritellään suure
vektorikentän  vuon tiheydeksi (joskus myös yhteenkirjoitettuna vuontiheys). Yksinkertaistetusti vektorikentän vuon tiheys voidaan käsittää tietyn pinnan läpäisevien vektorikentän kenttäviivojen lukumääränä pinta-alayksikköä kohti.
Jos :n pinnan  kohtisuorasti läpäisevä komponentti on suuruudeltaan , niin :n vuon tiheys on:
Lisäksi, jos  on vakio kaikkialla pinnalla , niin
Tässä erikoistapauksessa vuon tiheys on siis yksinkertaisesti pinnan kohtisuorasti läpäisevän komponentin pituus. Vuon tiheydestä puhuttaessa on kuitenkin oltava varovainen, sillä vuon tiheys on myös vektorisuure. Edellä määritelty vuon tiheys on skalaari (koska vuo on skalaari), mutta vuon tiheydelle voidaan asettaa myös suunta. Esimerkiksi magneettivuon tiheys  on vektorisuure, jonka avulla voidaan määritellä silmukan läpäisevä magneettivuo:
.

Esimerkki 1

Laske vektorikentän  vuo pinnan , läpi, kun  on pinta rajoitettuna kolmiulotteisen karteesisen koordinaatiston ensimmäiseen kahdeksasosaan (,  ja ).
Ratkaisu:
Funktio  kuvaa alaspäin aukeavaa pyörähdysparaboloidia, jonka pyörähdysakseli on -akseli. Koska  on sileä funktio, on sen pintaelementtivektori:
.
Etumerkki  viittaa siihen, että yksikkönormaaleja on kaksi vastakkaissuuntaista. Jos nyt valitaan pinnan  yksikkönormaali siten, että se osoittaa pinnasta positiivisen -akselin puoleiseen suuntaan, niin:
Pinnan  projektio -tasolle on neljännesympyrä ,  ja  (ymprän kehän saa sijoittamalla  yhtälöön ). Integrointirajoiksi saadaan tällöin esimerkiksi  ja . Vektorikentän  vuo pinnan  läpi on tällöin:
Huom! Jos oltaisiin valittu pinnan yksikkönormaali toisin päin, olisi vastaus .
Huom! Napakoordinaatteja käyttämällä integrointi olisi sujunut helpommin, mutta esimerkin oli tarkoitus olla hivenen abstrakti.

Esimerkki 3

Laske vektorikentän
,
missä  ja  ovat vakioita ja  on pallokoordinaatiston radiaalinen kantavektori, vuo -säteisen, origokeskisen pallopinnan  läpi (sisältä ulos).
Ratkaisu:
Tehtävä on helpointa ratkaista pallokoordinaateissa. Pinnan  ulkoyksikkönormaali on tällöin aina . Ratkaistaan vuo:
Sijoittamalla  päädytään Gaussin lakiin, joka kertoo suljetun pinnan sisällä olevan sähkövarauksen  aiheuttaman sähkökentän vuon suljetun pinnan läpi tyhjiössä. Tässä  tarkoittaa sähkökentän voimakkuutta ja  tyhjiön permittiivisyyttä.