Syllogismi

Syllogismi (kreik. συλλογισμό, syllogismos ’johtopäätös, päätelmä’) on loogisen argumentin tyyppi, jossa kahdesta tai useammasta, todeksi oletetusta lauseesta johdetaan deduktiivisen päättelyn avulla niistä loogisesti seuraava johto­päätös.
Varhaisimmassa muodossaan, jonka määritteli Aristoteles, syllogismissa oli lähtö­kohtana yleinen lause (pääpremissi) ja merkitykseltään suppeampi lause (alipremissi), joista tehtiin päätelmä. Esimerkiksi kun tiedetään, että kaikki ihmiset ovat kuolevaisia (pääpremissi) ja että Sokrates on ihminen (alipremissi), voidaan pätevästi päätellä, että Sokrates on kuolevainen. Syllo­gisti­set päätelmät on tapana esittää kolmella allek­kai­sella rivillä seuraavaan tapaan; lauseiden lopusta jätetään tällöin usein pisteet pois:
Kaikki ihmiset ovat kuolevaisia
Sokrates on ihminen

Siis Sokrates on kuolevainen

Varhaishistoria

Antiikin aikana oli kaksi kilpailevaa syllogismien teoriaa: aristotelinen syllogis­tiikka ja stoalainen syllogis­tiikka. Aristoteles määritteli syllogismin "... päätelmäksi, jossa joistakin asetetuista väittämistä seuraa jotakin muuta kuin ne, koska ne ovat nämä."
Tästä hyvin yleisestä määritelmästä huolimatta Aristoteles rajoittuu teoksessaan Ensimmäinen analytiikka kategorisiin syllogismeihin, jotka muodostuvat kolmesta kategorisesta väittämästä. Näihin sisältyvät kategoriset modaaliset syllogismit.
Keskiajalta lähtien termejä kategorinen syllogismi ja syllogismi käytettiin yleensä samassa merkityksessä. Tämä artikkeli käsittelee syllogismeja vain tässä perinteisessä merkityksessä. Syllogismit muodostivat perinteisen
deduk­tiivisen päättelyn ytimen, jossa tosi­asiat määritellään yhdistämällä jo olemassa olevia lauseita, päin­vastoin kuin induk­tiivisessa päättelyssä, jossa tosiasiat määritellään toistuvien havaintojen avulla.
Akateemisissa yhteyksissä syllogismin syrjäytti ensimmäisen asteen predikaatti­logiikka, jonka kehitti Gottlob Frege varsinkin teoksessaan Begriffsschrift (1879), mutta syllogismit ovat yhä hyödyllisiä joissakin yhteyksissä, ja niitä käytetään edelleen myös yleis­tajuisissa johdatuksissa logiikkaan.

Boethius

Boethius (noin 475–526) yritti saattaa Aristoteleen logiikan laajempien piirien ulottuville. Hän käänsi Ensimmäisen analytiikan latinaksi, mutta tämä käännös jäi lähes tunte­matto­maksi 1100-luvulle saakka. Sen sijaan hänen omilla teoksillaan kategorisista syllogismeista oli keskeinen osuus aihetta käsittelevän keskustelun laajenemiseen. Boethiuksen merkitys logiikan alalla ei niinkään perustu hänen omiin tutkimuksiinsa vaan siihen, että hän tehokkaasti välitti varhaisemmat teoriat myöhemmille logiikoille sekä siihen, että hän hyvin selvästi ja oikein esitti Aristoteleen tulokset.

Peter Abelard

Toinen keskiaikaisen logiikan varhainen edustaja latinalaisessa lännessä oli Peter Abelard (1079–1142). Hän tutki syllogismin käsitettä ja siihen liittyvää teoriaa perusteellisesti teoksessaan Dialectica, minkä lisäksi hän käsitteli aihetta muissakin teoksissaan kuten Logica Ingredientibus. Abelard jakoi modaaliset lauseet de dicto- ja de re -tyyppisiin, mikä teki keskiajan loogikoille mahdolliseksi kehittää modaalisille syllogismeille parempi teoria kuin mihin Aristoteles oli päässyt.

Jean Buridan

Jean Buridan (noin 1300–1361), jota monet pitävät myöhäis­keski­ajan suurimpana loogikkona, laati kaksi merkittävää teosta: Tractatus de consequentiis ja Summulae de Dialectica, joissa hän käsitteli syllogismin käsitettä, sen komponentteja, tyyppejä ja tapoja, joilla sen loogista käyttö­mahdollisuutta voitaisiin laajentaa. Buridanin jälkeen syllogistiseen logiikkaan ei kahteen­sataan vuoteen lisätty juuri mitään. Logiikan historioitsijat ovat väittäneet, että keski­ajan jälkeisinä vuosi­satoina alalla ei tapahtunut muita muutoksia kuin että alku­peräis­lähteet tulivat laajemman yleisön ulottuville, logiikan hienouksia arvostettiin entistä vähemmän ja alaa tunnettiin yleisesti yhä huonommin, mille 1900-luvun alun loogikot usein naureskelivat.

Esimerkkejä

Seuraavassa taulukossa on lueteltu pätevien syllogismien eri tyypit esimerkkeineen. Jotkin näistäkin ovat keskenään yhtäpitäviä siinä mielessä, että niiden premissit ilmaisevat saman asian eri tavoin. Niinpä esimerkiksi lause "Jotkut lemmikit ovat kissanpoikia" (SiM Darii-syllogismissa AII-1) merkitsee itse asiassa samaa kuin "Jotkut kissanpojat ovat lemmikkejä" (MiS Datisi-syllogismissa AII-3).
Jokaisen premissin ja johtopäätöksen yhteydessä on lyhyt kuvaus lauseesta. Esimerkiksi syllogismissa AAI-3 premissi "Kaikki neliöt ovat suorakulmioita" on muotoa "MaP"; symbolit tarkoittavat, että ensimmäinen termi ("neliö") on välitermi, toinen termi ("suorakulmio") johtopäätöksen predikaatti ja näiden välistä suhdetta merkitään kirjaimella "a" (kaikki M:t ovat P).
Taulukossa eri syllogismeja myös havainnollistetaan Venn-diagrammeilla. Niissä on mustalla merkitty alueet, joihin kuuluvia kohteita ei premissien tai johto­päätöksen mukaan ole, punaisella alueet, joihin nimenomaan väitetään kuuluvan jotakin. Valkoisella merkityistä alueista nämä lauseet eivät sano mitään. Ylä­vasemmalla ja ylä­oikealla olevat, toisensa leikkaavat ympyrät tarkoittavat premissejä, alhaalla olevat johto­päätöstä. Niiden syllogismien kohdalla, joihin eksistentiaalisen virhe­päätelmän mahdollisuus liittyy, on lisäksi merkitty punainen ympyrä osoittamaan, että tarkoitettuja kohteita oletetaan olevan olemassa.

Yleiset ja erityiset termit, kategoriset syllogismit

Aristoteleen tavoin voidaan erottaa toisistaan erityiset termit kuten Sokrates ja yleiset termit kuten kreikkalaiset. Kieliopillisesti edelliset ovat yleensä erisnimiä. Aristoteles erotti lisäksi (a) termit, jotka voivat esiintyä vain subjekteina, ja (b) termit, jotka voivat esiintyä muuhun subjektiin kopulan on välityksellä liittyvänä predikaattina. Tällaista predikaattia sanotaan distributiiviseksi erotukseksi ei-distributiivisesta kuten kreikkalaiset ovat runsas­lukuisia. On selvää, että Aristoteleen syllogismit edellyttävät predikaattien olevan distribu­tiivisia, sillä esimerkiksi seuraava päätelmä ei ole pätevä: Kaikki kreikkalaiset ovat ihmisiä, ihmiset ovat runsas­lukuisia, siis kaikki kreikkalaiset ovat runsas­lukuisia. Aristoteleen mukaan erityiset termit ovat tyyppiä (a) ja yleiset termit tyyppiä (b). Siksi sana "ihminen" voi olla nimen "Sokrates" predikaattina ("Sokrates on ihminen"), mutta "Sokrates" ei voi olla minkään predikaattina. Sen vuoksi termit ovat vaihdettavissa keskenään vain, jos ne ovat yleisiä, niin sanottuja kategorisia termejä. Siksi syllogismeissa esiintyvien lauseiden olisi oltava kategorisia lauseita, joissa molemmat termit ovat yeisiä, ja ainoastaan kategorisia termeja sisältäviä syllogismia alettiin kutsua kategorisiksi syllogismeiksi.
On kuitenkin ilmeistä, ettei mikään estä erityistä termiä, siis erisnimeä esiintymästä syllogismissa, kunhan se on aina subjektin asemassa. Sellainen syllogismi ei kuitenkaan ole kategorinen, vaikka olisikin pätevä. Esimerkikkinä voidaan mainta: "Sokrates on ihminen, kaikki ihmiset ovat kuolevaisia, siis Sokrates on kuolevainen." Intui­tiivi­sesti tämä on yhtä ilmeisen pätevä kuin "Kaikki kreikkalaiset ovat ihmisiä, kaikki ihmiset ovat kuolevaisia, siis kaikki kreikkalaiset ovat kuolevaisia." Aristoteles käsittikin muotoa "Sokrates on ihminen" olevat lauseet erikois­tapauksiksi muotoa "kaikki A:t ovat B" (AaB) olevista lauseista, missä tapauksessa edellä mainittu syllogismi kuuluisi Barbara-tyyppiin. Myöhemmät tutkijat kuten Bertrand Russell ovat kuitenkin pitäneet näitä oleellisesti erilaisina ja väittäneet, että niiden samastaminen on aikojen kuluessa aiheuttanut filosofiassa paljon sekaannusta, vaikka tämä syllogismi sinänsä onkin pätevä. Nykyaikaisen joukko-opin kannalta sen sijaan oleellinen ero näiden lauseiden välillä on siinä, että Sokrates on kaikkien ihmisten joukon alkio, kaikkien kreikkalaisten joukko taas saman joukon osajoukko.