Konformikuvaus

Konformikuvaus on matemaattinen kuvaus, jossa kulmat säilyvät ennallaan. 
Yleisimmin matematiikassa käsitellään konformi­kuvauksia, joiden lähtö- ja maalijoukko ovat kompleksitason alueita.

Riemannin geometria

Riemannin geometriassa kahta sileän moniston  Riemannin metriikkaa  ja   sanotaan konformiekvi­valenteiksi, jos  jollakin positiivisella funktiolla , joka on määritelty monistossa . Funktiota  sanotaan konformiseksi tekijäksi.
Kahden Riemanin moniston välistä diffeomorfismia sanotaan konformi­kuvaukseksi, jos metriikka, jonka sen käänteiskuvaus indusoi lähtö­avaruuteen, on konformisti ekvivalentti alku­peräisen kanssa. Esimerkiksi pallopinnan stereografinen projektio laajennetulle tasolle, johon on lisätty äärettömyys­piste, on konformi­kuvaus.
Sileällä monistolla voidaan myös määrätä konforminen rakenne konformisti ekvi­valenttien Riemannin metriikkojen luokkana.

Korkeampiulotteiset euklidiset avaruudet

Joseph Liouvillen todistama Liouvillen lause osoittaa, että korkeampiulotteisten avaruuksien ja niiden alueiden välillä on vähemmän erityyppisiä konformikuvauksia.
Jokainen kolmi- tai useampien euklidisen avaruuden alueen konformi­kuvaus voidaan muodostaa yhdistettynä kuvauksena kolmesta kuvauksesta, joista yksi on homotetia, toinen isometria eli yhtenevyys­kuvaus ja kolmas niin sanottu erityinen konforminen muunnos (engl. special conformal transformation) eli peilauksen ja pallopinnan suhteen suoritetun inversion yhdistetty kuvaus. Täten useampi­ulotteisten avaruuksien konformi­kuvaukset muodostavat paljon suppeamman ryhmän kuin tasossa, jossa Riemannin kuvauslause tarjoaa mahdollisen muodostaa laajan ryhmän konformi­kuvauksia.

Fysiikassa ja tekniikassa

Jos funktio on harmoninen eli toteuttaa Laplacen yhtälön  jossakin tasoalueessa, ja jos alue se kuvataan konformi­kuvauksella  jollekin toiselle tasoalueelle,  yhdistetty funktio  on myös harmoninen. Tämän vuoksi jokainen funktio, joka on määritelty jonkin potentiaalin avulla, voidaan muuntaa konformi­kuvauksella, minkä jälkeen sillä edelleen on potentiaali. Fysiikassa potentiaalin avulla on muodostettu esimerkiksi sähkömagneettisen kentän ja gravitaatiokentän yhtälöt sekä virtaus­dynamiikassa potentiaalivirta, nesteen tai kaasun virtauksen likimääräinen kuvailu olettamalla, että tiheys on vakio, viskositeetti nolla ja virtaus pyörteetöntä. Esimerkkinä konformi­kuvauksen sovelluksesta virtaus­dynamiikassa voidaan mainita aerodynamiikassa usein käytettävä Žukovskin muunnos eli Joukowskyn muunnos .
Konformikuvauksilla on suuri merkitys ratkaistaessa sellaisia fysiikan ja insinööri­tieteiden probleemoja, jotka voidaan esittää kompleksimuuttujien funktioina mutta joilla on epä­mukavia geo­metrisia ominaisuuksia. Valitsemalla sopiva muunnos voidaan epä­mukava geometria muuntaa helpommin käsiteltäväksi. Esimerkiksi voi olla tarpeen laskea piste­varauksen aiheuttaman sähkökentän voimakkuus, , kun varaus sijaitsee lähellä paikkaa, jossa kaksi johtavaa tasoa kohtaavat toisensa ja nämä ovat tietyssä kulmassa keskenään. Tehtävä on sellaisenaan sangen vaikea ratkaista suljetussa muodossa. Yksinkertaisella konformi­kuvauksella epä­mukava kulma voidaan kuitenkin kuvata toiselle, joka on tasan  radiaania (180 astetta), jolloin tuloksena on vain yksi taso. Tilanteessa, jossa varaus on lähellä yhtä johtavaa tasoa, sähkö­kentän voimakkuus on helppo laskea. Kun ratkaisu on saatu tällä tilanteessa, , joka sitten kuvataan takaisin alkuperäisen tehtävän mukaiseen tilanteeseen ottamalla huomioon, että  saatiin :n funktiona, :stä ja :stä yhdistettynä kuvauksena . Tämä sovellus ei ole ristiriidassa sen kanssa, että konformi­kuvauksissa kulmien suuruus säilyy, sillä näin on laita vain kuvattavan alueen sisällä, ei sen reunalla.
Ebenezer Cunningham tunnisti vuonna 1980 ja Harry Bateman vuonna 1910 laajan ryhmän konformi­kuvauksia Maxwellin yhtälöiden eri ratkaisujen välille, palloaaltojen muunnokset. Opiskellessaan Cambridgen yliopistosa he olivat tutustuneet peili­varaus­metodeihin ja niihin liittyviin, pallopintoja ja inversioita käyttäviin menetelmiin. Andrew Warwick totesi vuonna 2003 teoksessaan Masters of Theory:

»Jokainen neliulotteinen ratkaisu voitaisiin invertoida neli­ulotteisen hyperpallon suhteen, jonka pseudo­säde on , ja jolloin myös saadaan uusi ratkaisu.» 
Warwick korostaa tätä "uutta suhteellisuus­teoreemaa" Cambridgen vastauksena Einsteinille ja se perustuu inversioiden käyttöön, jota käsitellään esimerkiksi James Hopwood Jeansin laatimassa oppi­kirjassa Mathematical Theory of Electricity and Magnetism.
Yleisessä suhteellisuus­teoriassa konformi­kuvaukset ovat yksin­kertaisin ja sen vuoksi yleisin kausaalisten muunnosten tyyppi. Fysikaalisesti ne esittävät erilaisia maailman­kaikkeuksia, joissa samat tapahtumat ja vuoro­vaikutukset ovat yhä (kausaalisesti) mahdollisia, mutta joissa on oletettava jokin lisä­voima saamaan aikaan nämä tapahtumat. Toisin sanoen liike­radat voivat pysyvät samoina vain, jos liike ei ole geodeettista, koska metriikka on erilainen. On usein yritetty laatia malleja, joita voitaisiin laajentaa singulari­teetinkin ohi ja joilla voitaisiin kuvailla maailman­kaikkeutta jopa ennen alkuräjähdystä.

Karttaprojektiot

Muutamat yleisesti käytetyt olevat karttaprojektiot ovat oikea­kulmaisia, eli niissä kahden suunnan välinen suunta kartalla on kaikkialla yhtä suuri kuin maastossakin. Tällaiset projektiot ovat konformi­kuvauksia pallo­pinnalta jollekin taso­alueelle. Aiemmin mainitun, myös kartta­projektiona käytetyn stereo­grafisen projektion ohella oikea­kulmaisia ovat erityisesti
Mercatorin projektio ja sen muunnelma, Gaussin–Krügerin projektio ja Lambertin projektio.