Bayesiläinen tilastotiede

Bayesiläinen tilastotiede eli Bayes-tilastotiede on frekventistisen (eli klassisen) tilastotieteen ohella tilastotieteen toinen suuri paradigma. Bayesiläinen tilastotiede perustuu Bayesin kaavan soveltamiseen. Bayesiläisessa tilastotieteessä ajatellaan, että havainnot tunnetaan, joten ne ovat kiinteitä, ja todellisuus on tuntematon, johon liittyy epävarmuutta. Tarkoituksena on laskea posterioritodennäköisyyksiä siten, että otetaan huomioon sekä ennakkotieto että havaintoaineiston informaatio. Bayesiläinen tilastotiede on jo vanha keksintö, mutta vasta tietokoneiden kehityttyä riittävästi sen käyttö alkoi yleistyä 1900-luvun lopussa. Sitä mukaa myös itse ajattelutapa ja sovellukset ovat kehittyneet. Sekä Bayes-tilastotiede että Bayesin kaava ovat saaneet nimensä englantilaiselta harrastelijamatemaatikko ja presbyteeripappi Thomas Bayesiltä, jota pidetään Bayes-päättelyn esi-isänä.

Peruskäsitteet

Bayesiläisessä tilastotieteessä käytetään usein Bayesin kaavasta johdettua kaavaa p(x|y) = p(y|x)p(x) / p(y). Tämä kaava on voimassa tietyt säännöllisyysehdot toteuttavilla satunnaismuuttujilla x ja y. Kaavassa p on geneerinen jakaumasymboli, joka voidaan tulkita esimerkiksi tiheysfunktioksi tai pistetodennäköisyysfunktioksi.
Edellisen kaavan avulla pyritään tekemään tilastollisia päätelmiä ei-havaittavasta muuttujasta x havaittavan muuttujan y perusteella. Ehdollistettua jakaumasymbolia p(x|y) sanotaan x:n posterioriksi. Jakaumasymboli p(y|x) on likelihood (joskus myös otantajakauma, otantamalli), jota käytetään myös klassisen tilastotieteen uskottavuuspäättelyssä. Jakaumasymboli p(x) on puolestaan x:n priori. Tekijä 1/p(y) ei vaikuta x:ää koskevaan tilastolliseen päättelyyn, vaan se on luonteeltaan normitusvakio.

Konjugaattipriori

Jos priori valitaan siten, että se kuuluu samaan jakaumaperheeseen posteriorijakauman kanssa, sitä kutsutaan konjugaattiprioriksi. Tällöin syntyy myös laskennallisesti mukavampi tilanne. Jos havaintojen yhteisjakauma kuuluu eksponenttiseen perheeseen, aina on olemassa konjugaattipriori (Morris, 1983).

Prediktiivinen jakauma

Olkoon  uusi havainto, joka on riippumaton havainnoista . Prediktiivinen jakauma (ennustejakauma) :lle on :n ehdollinen jakauma ehdolla , ja se saadaan seuraavasti:

Paradigman edut ja haitat

Käytettäessä ei-havaittavalle muuttujalle niin sanottua laakeaa prioria p(x) ~ 1 (engl. uniform prior, tulkitaan singulaarisesti jatkuvana mittana, joka saa saman arvon kaikilla x), posteriori p(x|y) on vakiokerrointa vaille sama kuin klassisessa tilastotieteessä käytettävä uskottavuusfunktio. Tällöin bayesiläiset menetelmät antavat samoja numeerisia tuloksia, kuin maximum likelihood -päättely, joskin tulosten käsitteellinen tulkinta on erilainen.
Jos käytetään jotakin muuta kuin laakeaa prioria, posteriorin arvot muuttuvat. Tästä syystä priorin valinta saattaa vaikuttaa bayesiläisen tilastollisen päättelyn tuloksiin. Bayesiläiset tilastotieteilijät jakautuvat niin sanottuihin subjektiivisiin bayesiläisiin, jotka korostavat priorin merkitystä tilastollisen päättelyn hyödyllisenä apuvälineenä, ja objektiivisiin bayesiläisiin, jotka suhtautuvat varauksellisesti prioriin sisältyvään informaatioon.
Jotkut tilastotieteen klassisen paradigman kannattajat ovat esittäneet, että priorin ja posteriorin käsitteet ovat ontologisesti ongelmallisia, tai peräti kokonaan virheellisiä. Toisaalta bayesiläistä paradigmaa on puolustettu informaatio- ja päätösteoreettisilla perusteluilla. Monien kannattajiensa mielestä bayesiläinen paradigma antaa tilastotieteelle teoreettisen perustan, joka on yhtenäisempi ja helpommin omaksuttava, kuin klassisen paradigman antama perusta.

Bayesiläinen tilastotiede Suomessa

Suomessa bayesiläisen tilastotieteen edelläkävijöitä ovat olleet Elja Arjas ja Antti Penttinen.