Yhtenäisyys

Yhtenäiset komponentit

Seuraavassa järjestysrelaationa käytetään joukkojen inkluusiota, toisin sanoen joukon A sanotaan olevan "suurempi" kuin B, jos B on A:n osajoukko. Ei-tyhjän joukon edellä sanotussa mielessä suurimpia yhtenäisiä osajoukkoja (jotka siis eivät ole minkään yhtenäisen joukon aitoja osajoukkoja) sanotaan avaruuden yhtenäisiksi komponenteiksi tai lyhemmin komponenteiksi.
Jokaisen topologisen avaruuden X komponentit muodostavat X:n osituksen: ne ovat erillisiä ja ei-tyhjiä, ja niiden unioni on koko avaruus.
Jokainen komponentti on alku­peräisen avaruuden suljettu osajoukko. Tästä seuraa, että jos niiden lukumäärä on äärellinen, ne kaikki ovat myös avoimia joukkoja. Jos komponentteja on äärettömän monta, asia ei kuitenkaan välttämättä ole näin; esimerkiksi rationaalilukujen joukon komponentit käsittävät kukin vain yhden pisteen (yhden luvun) eivätkä ole avoimia.
Olkoon  se topologisen avaruuden X komponentti, johon piste x kuuluu, ja  kaikkien sellaisten joukkojen leikkaus, joihin x kuuluu ja jotka ovat sekä avoimia että suljettuja. Sitä sanotaan x:n kvasi­komponentiksi. Silloin . Pisteen x kvasi­komponentti sisältyy siis kokonaisuudessaan samaan avaruuden komponenttiin. Jos avaruus on kompakti Hausdorff-avaruus tai lokaalisti yhtenäinen, kaikkien pisteiden kvasi­komponentit ovat samalla myös avaruuden komponentteja.

Epäyhtenäiset avaruudet

Jos avaruuden kaikki komponentit käsittävät kukin vain yhden pisteen, sitä sanotaan täysin epä­yhtenäiseksi.
Tälle sukua on käsite täydellinen separaatio. Avaruudella X sanotaan olevan täydellinen separaatio, jos sen mille tahansa kahdelle pisteelle x ja y voidaan valita erilliset avoimet ympäristöt U ja V, niin että ,  ja . Jos avaruudella on täydellinen separaatio, se on selvästikin täysin epäyhtenäinen, mutta ei välttämättä päin vastoin. Esimerkkinä voidaan käsitellä avaruutta, joka saadaan muodostamalla  rationaalilukujen joukosta   kaksi kopiota ja yhdistämällä ne samastamalla kummankin muun joukon kaikki toisiaan vastaavat pisteet nollaa lukuun ottamatta. Tuloksena saatu avaruus varustettuna tekijätopologialla on täysin epäyhtenäinen. Tarkastelemalla kahta nollapisteen kopiota voidaan kuitenkin todeta, että kyseessä ei ole täydellinen separaatio. Itse asiassa tämä avaruus ei ole edes Hausdorff-avaruus, ja avaruudella voi olla täydellinen separaatio vain, jos se on Hausdorff-avaruus.

Kaariyhtenäisyys

Avaruutta X sanotaan kaariyhtenäiseksi, jos sen mitkä tahansa kaksi pistettä voidaan yhdistää kaarella, toisin sanoen sellaisella polulla f joka on homeomorfismi yksikkövälin [0, 1] ja sen kuvan f([{0, 1] välillä. Voidaan osoittaa, että jokainen Hausdorff-avaruus, joka on polku­yhtenäinen, on myös kaariyhtenäinen. Esimerkki avaruudesta, joka on polku­yhtenäinen mutta ei kaariyhtenäinen, saadaan lisäämällä ei-negatiivisten reaalilukujen joukkoon [0, ∞) toinen nollapiste 0'. Tässä avaruudessa voidaan määritellä osittainen järjestysrelaatio määrittämällä, että 0'<a kaikilla positiviivisilla luvuilla a, mutta että luvuista 0 ja 0' kumpikaan ei ole toista suurempi tai pienempi. Sen jälkeen tämä joukko voidaan varustaa järjestystopologialla, joka saadaan asettamalla avoimet välit (a, b) = {x | a < x < b}  ja puoliavoimet välit [0, a) = {x | 0 ≤ x < a}, [0', a) = {x | 0' ≤ x < a} topologian kannaksi. Näin saatu avaruus on T₁-avaruus, mutta ei Hausdorff-avaruus. Selvästikin tämän avaruuden pisteet 0 ja 0' voidaan yhdistää polulla, mutta ei kaarella.

Graafit

Graafeilla on lokaalisti polku­yhtenäisiä osajoukkoja, nimittäin ne osajoukot, joiden sisällä mitkä tahansa kaksi pistettä voidaan yhdistää sen kaarista muodostuvalla polulla. Mutta aina ei ole mahdollista muodostaa pisteiden joukolle topologiaa, jossa samat joukot olisivat yhtenäisiä. Esimerkiksi 5-syklissä se ei käy päinsä, kuten ei missään muussakaan n-syklissä, kun n on pariton ja suurempi kuin 3.
Näin ollen yhtenäisyyden käsite voidaan muotoilla riippumatta avaruuden topologiasta. Tämän ymmärtämiseksi tarkastellaan niiden konnektiivisten avaruuksien kategoriaa, jotka muodostuvat konnektiivisuus­aksioomat toteuttavien yhtenäisten osajoukkojen kokoelmien joukoista; niiden morfismeja ovat ne funktiot, jotka kuvaavat yhtenäiset joukot yhtenäisiksi joukoiksi. Topologiset avaruudet ja graafit ovat tällöin molemmat erikois­tapauksia konnektiivisista avaruuksista; itse asiassa äärellisiä konnektiivisia avaruuksia ovat äärelliset graafit ja vain ne.
Toisaalta jokainen graafi voidaan yksikäsitteisellä tavalla muuntaa topologiseksi avaruudeksi käsittelemällä sen solmuja pisteinä ja kaaria yksikkövälin kopioina. Tällöin voidaan osoittaa, että graafi on yhtenäinen (graafi­teoreettisessa mielessä), jos ja vain jos se on yhtenäinen topologisenä avaruutena.