Paikkamerkintä

Paikkamerkintä eli positiojärjestelmä on tapa kirjoittaa luku niin, että sen arvo riippuu käytettävien numeromerkkien arvoista ja niiden keskinäisestä järjestyksestä. Paikkamerkintä seuraa lukujen esitystapojen evoluutiossa additiivista merkintää, jossa merkkejä vastaavat luvut lasketaan yhteen, ja moninkertaistavaa merkintää. Luvun kirjaamiseen tarvitaan paikkamerkinnällä usein vähemmän merkkejä kuin muilla tavoilla. Tämä korostuu suurien lukujen kanssa.
Lisäetuna on myös luvun suuruuden helpompi silmämääräinen arviointi sekä lukujen käyttö laskemisessa. Paikkamerkintä on perustana nykyaikaiselle 10-kantalukujärjestelmälle eli desimaalijärjestelmälle, jossa luvun kokonais- ja murto-osat esitetään saman merkinnän sisällä.

Vaihtelevat kantaluvut

Monet mitattavat suureet, kuten aika, päiväys, kulma, hinta, pituus, pinta-ala ja tilavuus, esitetään käyttäen sekamerkintää eli sovellettua paikkamerkintää. Anglikaanisissa maissa ihmisen pituus ilmaistaan jalkoina ja tuumina. Esimerkiksi pituus 175 cm ilmoitetaan 5 jalkaa ja 10 tuumaa ("five and ten"). Yksi jalka on 12 tuumaa, jolloin 12 on pituusmerkinnän kantaluku, ja siten 175 cm on 5 • 12 + 10 = 70 tuumaa. Aikaa voidaan ilmaista kahdella eri tavalla 3791 s tai 1 h 3 min 11 s, jolloin jälkimmäinen merkintä voidaan tulkita paikkamerkinnäksi 1:3:11 (h:min:s). Toisaalta 7256 s = 2 h 56 s voidaan esittää paikkamerkintänä 2:0:56, missä puuttuva luku ilmaistaan nollalla. Yleisesti ottaen, kun sekamerkintää käytetään yhteenlaskuissa, joudutaan eri numeroille soveltamaan eri "kantalukuja".
Väli-Amerikassa Mayojen kulttuurin (400 eaa. - 900 jaa.) lukujärjestelmässä oli kantalukuina 18 ja 20. Merkinnän ensimmäistä paikkaa voitiin kasvattaa 20:een, mutta toista vain 18:aan. Lukujärjestelmä perustui siten kahteen kantalukuun. Tavan syntyyn saattoi vaikuttaa heidän käyttämä 20 päivän kuukausi, joita mahtui yhteen vuoteen 18.
Mayojen luku 3;17 tarkoitti lukua 3•20 + 17 = 77 ja luku 17;19 lukua 17•20 + 19 = 259. Lukua 17;20 ei käytetty, koska numeroa 20 ei käytetty paikkamerkkinä. Se muuntui siten muotoon 18;0, mutta hyvä laskija huomasi, että toinen paikka oli numeron 18 myötä täyttynyt. Se kasvatti siksi kolmannen paikan numeroa 1:ksi eli saatiin 1;0;0, mikä tarkoitti lukua 360 (joka oli samalla vuoden pituus päivinä). Kolminumeroinen luku 10;3;17 tarkoitti lukua 10•18•20 + 3•20 + 17 = 3677.

Yhteinen kantaluku

Kaikissa luvun tai suureen esittämisessä alettiin Ranskan vallankumouksen jälkeen käyttämään samaa kantalukua kaikissa numeerisissa merkinnöissä. Pohjaksi otettiin desimaalijärjestelmä, jonka seurauksena myös kaikki mittayksikköjärjestelmät muutettiin 10-kantaisiksi. Esimerkiksi 1 litra tarkoitti 10 desilitraa ja 100 senttilitraa ja 1000 millilitraa. Siten 1,234 litraa tarkoitti 1 litraa, 2 dl, 3 cl ja 4 ml. Mitattavan suureen sekamerkintä ja sitä vastaavan yhden yksikön desimaalinen paikkamerkintä olivat käytännössä sama asia. Tämän takia keskitasoinen laskija kykeni omaksumaan yhdellä oivalluksella varsin laajan asiakokonaisuuden.
Yleisin paikkamerkintää hyödyntävä lukumerkintä on tieteessä ja taloudessa käytettävä sekä kouluissa opetettava kantalukujärjestelmä, jossa kantaluku on 10. Tätä kutsutaan myös kymmenjärjestelmäksi tai desimaalijärjestelmäksi. Laskemisessa hyödyllisimmät paikkamerkinnät eroavat toisistaan vain kantaluvultaan. Joihinkin erityistilanteisiin sopivat muun muassa binäärijärjestelmä, oktaalijärjestelmä, heksadesimaalijärjestelmä ja seksagesimaalijärjestelmä.

Historia

Lukujen kirjoittaminen merkeillä on ollut sidoksissa kirjoitustaidon keksimiseen. Sumerit alkoivat käyttää kuvakirjoitusta noin 3200 eaa., joka muuttui noin 3000 eaa. savitauluissa nuolenpääkirjoitukseksi. Numeromerkkejä kirjoitettiin jo 3500 eaa. alkaen ja erilaisia laskutauluja tehtiin yleisesti 3500 - 3200 eaa.

Muita paikkamerkinnän esimuotojen käyttäjiä

Muinaiset kiinalaiset käyttivät 10- eli desimaalijärjestelmää. Heillä oli käytössään ainakin kaksi erilaista additiivisia merkintätapaa. Sauvaluvut esittivät additiivisella tavalla luvut 1-9, joita voitiin kirjoittaa peräkkäin sauvojen asentoa muuttaen. Sauvanumeroiden asento ja paikka määrittivät luvun numeroiden paikan, joten merkintä oli melkein puhdas paikkamerkintä. Ensimmäinen paikkamerkintä tavataan kiinalaisesta kolikosta noin 600 - 500 eaa. Nolla liitettiin paikkamerkintään vasta 700 jaa., kun sen idea saatiin intialaisilta. Paikkamerkintä juurtui kiinalaisille hyvin varhain, koska he käyttivät laskutauluja.
Antiikin kreikkalaiset tutustuivat mesopotamialaisten eli babylonialaisten matematiikkaan ainakin 500 eaa. ja olivat sen jälkeen jatkuvassa vuorovaikutuksessa egyptiläisten, syyrialaisten, babylonialaisten ja intialaisten kanssa. Joonialainen lukumerkintä käytti kirjaimia  numeroille 1-9,  kymmenluvuille 10, 20,..., 90 sekä  sataluvuille 100, 200,... ja niin edelleen. Tuhatluvuille 1000, 2000,..., 9000 tulivat taas käyttöön kirjaimet . Jotta kirjainmerkintä tiedettiin luvuksi, sipaistiin sen eteen tai taakse pilkku.
Luku 8888 merkittiin . Merkintä oli additiivinen lukuun ottamatta kahta -merkkiä, joiden arvo riippui niiden paikasta. Isot luvut saatiin M-merkillä, joka kertoi seuranneen luvun 10000:lla. Siten luku 88 880 000 merkittiin  ja luku 88 888 888 merkittiin . Kun myöhemmin sadat ja tuhannet merkittiin samoilla merkeillä kuin numerot 1-9 ja käyttöön otettiin intialaisten esimerkin mukaan nolla, päästiin puhtaan paikkamerkinnän käyttämiseen.
Joonialaiset murtoluvut seurasivat egyptiläisten kömpelöä yksikkömurtolukumerkintää, jossa osoittajana oli aina 1 ja nimittäjässä muu luku. Joonialainen merkintä käytti heittomerkkiä numeroesityksen yläkulmassa, jotta murtoluku erottuisi muista luvuista ja kirjoitetusta tekstistä ylipäätään. Tällainen merkintä oli , joka luettiin  tai  riippuen tilanteesta.
Arabit opiskelivat intialaista matematiikkaa ja alkoivat käyttää paikkamerkintää 600-800-luvuilla nimenomaan intialaisilla numeromerkeillä.

Intialaisten paikkamerkintä

Intialaisten lukujen merkintätavat lienevät peräisin babylonialaisilta tai persialaisilta, mutta vaikutteita otettiin myös 300 eaa. alkaen myös kreikkalaisilta. Alkujaan käytettiin vain additiivista merkintää, mutta erityisesti brahmi-kirjoituksissa kymmenien ja satojen merkit karsittiin lopulta pois 595 jaa. mennessä, jolloin jäljelle jäivät vain numerot 1-9. Paikkamerkinnässä tarvittava nolla on havaittu jo 876 jaa. olevassa tekstissä.
Intialaiset kehittivät merkintää niin, ettei siihen jäänyt yhtään additiivisuusmerkinnän piirteitä. Jokaiselle luvulle 1 - 9 kirjoitettiin erilaisella merkillä ja nollaa merkittiin pisteellä tai ympyrällä. Nollan käyttöönotto teki luvun numeromerkinnästä yksikäsitteisen. Muut luvut muodostettiin samalla tavalla kuin me teemme nykyään käyttämässämme arabialais-intialaisessa merkinnässä.
Intialaiset kulttuurit kehittivät siten ensimmäisenä puhtaan positiojärjestelmän, joka on tehokkain käytössä oleva paikkamerkintä. Se kehittyi mahdollisesti jo noin 500 jaa. alkaen ja levisi länteen Lähi-Itään ja Eurooppaan. Nollan käyttö levisi myös itään Kiinaan ja Kauko-Itään.

Intialainen järjestelmä Euroopassa

Rooman valtakunnan aikana olivat käytössä roomalaiset numerot ja sen additiivinen merintätapa. Kun Rooman valtakunta hajosi kansainvaellusajalla, jäi Eurooppa kulttuurillisesti pysähtyneisyyden tilaan. Vasta arabien kulttuurin omaksuminen mahdollisti hitaan kehityksen alkamisen. Vaikka tiedetään joitakin yrityksiä omaksua intialalais-arabialaisia numeroita noin 1000-luvulla, pitivät roomalaiset numerot pintansa Bysantissa 1400-luvulle asti. Mutta vasta 1600-luku oli arabialaisten numeroiden lopullinen läpilyönti sekä taloudellisissa että hallinnollisissa piireissä eri puolilla Eurooppaa.