Muuttuvamassainen systeemi

Virheellinen muoto

Yleinen liikeyhtälö muuttuvamassaiselle kappaleelle tai systeemille voidaan yrittää johtaa lähtien liikkeelle dynamiikan peruslaista ja kirjoittamalla liikemäärä massan ja nopeuden tulona:
.
Nyt on huomattava, että tässä  ei tarkoita yhden kappaleen nopeutta, vaan se riippuu systeemissä olevien massallisten kappaleiden nopeuksista. Tämän vuoksi tulon derivoimissäännön käyttäminen suoraan dynamiikan peruslakiin johtaa virheelliseen liikeyhtälöön:
Tämä liikeyhtälö on virheellinen, koska se ei ole Galilei-invariantti: Esimerkiksi, jos muuttuvamassaiseen kappaleeseen ei kohdistu ulkoisia voimia (), sen täytyy Newtonin 1. lain nojalla pysyä levossa koordinaatistossa, jossa kappale oli alun perinkin levossa. Toisaalta toisessa koordinaatistossa, josta katsottuna kappale liikkuu nopeudella , kappaleeseen näyttäisi kohdistuvan kiihdyttävä ''voima'' .

Oikea muoto

Tarkastellaan systeemiä, joka koostuu -massaisesta kappaleesta, joka ajanhetkellä  liikkuu ulkopuolisen tarkastelijan inertiaalikoordinaatistossa nopeudella  (ks. oheinen kuva). Ulkopuolisen tarkastelijan koordinaatistossa systeemin liikemäärä on tällöin
.
Ajanhetkellä  kappaleesta irtoaa infinitesimaalisen pieni osanen, jonka massa on . Olkoon irtoavan osan nopeus ulkopuolisen tarkastelijan koordinaatistossa . Irtoamisen jälkeen alkuperäisen kappaleen massa on  ja nopeus on . Toisaalta alkuperäisen kappaleen massan muutos on
,
sillä sen massa pienenee. Irtoamisen jälkeen systeemin liikemäärä on liikemäärän säilymislain nojalla kappaleen ja irronneen osan liikemäärien summa:
Termi  on kahden infinitesimaalisen muutoksen tulona hyvin pieni, joten se voidaan jättää pois. Liikemäärän infinitesimaalinen muutos on
Seuraavaksi käytetään dynamiikan peruslakia, jonka mukaan kappaleeseen kohdistuva kokonaisvoima on yhtä suuri kuin kappaleen liikemäärän aikaderivaatta:
.
Termi  on irronneen kappaleen nopeus suuremman kappaleen koordinaatistosta tarkasteltuna. Merkitään , jolloin saadaan lopullinen liikeyhtälö:
.
Sama yhtälö voidaan johtaa myös tarkastelemalla tilannetta, jossa alkuperäisen kappaleen massa kasvaa, kun siihen kiinnittyy pieni -massainen kappale. Tällöin .

Tsiolkovskin laki

Tarkastellaan avaruusrakettia, joka liikkuu rakettimoottorinsa avulla tyhjässä avaruudessa siten, että siihen ei kodistu ulkoisia voimia. Oletetaan raketin liike yksiuloitteiseksi, jolloin nopeusvektorit voidaan korvata skalaareilla (vauhti). Olkoon raketin ja kyydissä olevan polttoaineen yhteismassa aluksi  ja raketin vauhti aluksi . Oletetaan, että raketin palokaasujen vauhti (rakettiin nähden) on koko ajan vakio  (vauhti on negatiivinen, koska palokaasut liikkuvat raketista katsottuna eri suuntaan). Raketin liikeyhtälö on tällöin
,
missä  on raketin ja sen sisältämän polttoaineen massa ja  raketin vauhti ajanhetkellä . Poistetaan aikariippuvuus kertomalla liikeyhtälön kumpikin puoli :llä:
.
Järjestellään termejä ja integroidaan yhtälö puolittain integrointirajoina alkuhetki (massa , nopeus ) ja mielivaltainen ajanhetki (massa , nopeus ):
Tästä saadaan kaava raketin nopeudelle sen kokonaismassan funktiona:
.
Tämä tunnetaan myös Tsiolkovskin lakina.

Raketin nousunopeus

Tarkastellaan rakettia, joka lähtee avaruuteen maanpinnalta. Oletetaan raketin nousevan koko ajan pystysuoraan, jolloin nopeusvektorit voidaan edellisen esimerkin tavoin korvata vauhdeilla. Yksinkertaisuuden vuoksi oletetaan, että laukaisun jälkeen raketti polttaa polttoainettaan muuttumattomalla nopeudella  (kilogrammaa sekunnissa) ja että pakokaasujen vauhti rakettiin nähden on koko ajan vakio . Olkoon raketin massa ennen lähtöä .
Nousun aikana rakettiin vaikuttaa koko ajan maapallon gravitaatio, ja oletetaan, että rakettiin ei kohdistu muita ulkoisia voimia, jolloin
,
missä  on raketin massa ja  on maapallon putoamiskiihtyvyys (miinusmerkki, koska positiivinen -suunta valitaan positiiviseksi). Raketin liikeyhtälö on tällöin 
, 
missä  on raketin vauhti ajanhetkellä . Järjestellään termejä uudelleen: 
. 
Yhtälössä on nyt liikaa muuttujia ratkaisua ajatellen, joten poistetaan aikariippuvuus käyttämällä tietoa : 
. 
Integroidaan saatu yhtälö puolittain integrointirajoina alkuhetki (massa , nopeus 0) ja mielivaltainen ajanhetki (massa , nopeus ): 
 
Aikariippuvuus saadaan sijoittamalla saatuun yhtälöön raketin massa ajan funktiona (kun  on laukaisusta kulunut aika): 
.
Raketin nopeus ajan funktiona on tällöin
.