Todennäköisyysfunktio

Todennäköisyysfunktio on todennäköisyyslaskennassa yleisnimitys funktiolle, jonka avulla voidaan määrittää satunnaismuuttujalle sen eri arvoille tai arvojoukoille niiden yleisyyttä vastaavat todennäköisyydet. Todennäköisyyksien määrittämiseen käytetään menetelmiä, joka tyydyttävät todennäköisyysmitan vaatimuksia. Sellaisia ovat klassisen todennäköisyyden, geometrisen todennäköisyyden, tilastollisen todennäköisyyden tai joidenkin muiden pätevien tapojen menetelmät.
Diskreetillä satunnaismuuttujalla todennäköisyysfunktiota kutsutaan pistetodennäköisyysfunktioksi tai vain pistetodennäköisyydeksi. Siinä kukin yksittäinen satunnaismuuttujan perusjoukon arvolla on ei-negatiivinen todennäköisyys.
Jatkuvalla satunnaismuuttujalla tiheysfunktiota saatetaan kutsua todennäköisyysfunktioksi, vaikka tiheysfunktion arvot eivät ole suoraan todennäköisyyksiä. Kukin tapahtuma on lukuväli, jonka todennäköisyys määräytyy tiheysfunktion määrätyllä integraalilla laskettavasta arvosta. Toisinaan todennäköisyysfunktioksi kutsutaan kertymäfunktiota, koska se arvot ovat todennäköisyyksiä. Yleisempää on käyttää näistä kahdesta todennäköisyysjakauman nimitystä. Nimityksien vakiintumattomuuden vuoksi jatkuvien satunnaisilmiöiden yhteydessä käytetäänkin mieluummin tiheys- ja kertymäfunktioiden käsitteitä todennäköisyysfunktion sijasta. Todennäköisyysfunktioksi voidaan määrittää jokin muu funktio, joka laskee todennäköisyydet toisen funktion avulla.
Diskreetillä ja jatkuvalla satunnaismuuttujalla nämä todennäköisyysfunktion määritelmät ovat varsin erilaiset. Muilla satunnaismuuttujilla, jotka ovat esimerkiksi näiden perustyyppien sekoituksia, todennäköisyysfunktiolla on kummankin funktion ominaisuuksia.

Esimerkkejä muodostamistavoista

Kun otetaan käsittelyyn uusi satunnaisilmiö, tulee ensimmäiseksi määritellä ilmiön perusjoukko eli mitä ulostuloja tai arvoja se tuottaa. Seuraavaksi yritetään arvioida tai laskea kunkin ulostulon tai arvon esiintymisen yleisyyttä eli todennäköisyyttä. Jatkuvassa tapauksessa tuloksena on tiheysfunktio ja diskreetissä tapauksessa se on pistetodennäköisyysfunktio. Sitä taulukkoa tai lauseketta, joka esittää kullekin tapaukselle sen todennäköisyyttä, kutsutaan todennäköisyysfunktioksi. Jatkuvalle tapaukselle tiheysfunktion määrittäminen on vaikeampaa kuin diskreetille tapaukselle.

Geometrinen todennäköisyys

Onnenpyörän reunaan on merkitty asteikko 60 minuutille. Kun sitä pyöritetään ympäri, pysähtyy se yhtä todennäköisesti mille minuutin kohdalle tahansa. Jos mitataan vielä tarkasti, mihin kohtaan minuuttia se pysähtyy, voidaan ilmoittaa pysähtymiskohta kuinka tarkasti hyvänsä. Pysähtymiskohta on siten satunnaismuuttuja, joka saa arvokseen pysähtymiskohdan mittaluvun, saa reaalilukuarvoja väliltä  Nämä arvot ovat tasan jakautuneet, kuten geometrisessä todennäköisyydessä aina oletetaan.
Onnenpyörään voidaan merkitä erilaisia voittosektoreita, joihin osutaan niiden leveyteen eli kaaren pituuteen verrannollisella todennäköisyydellä. Todennäköisyysfunktion arvot lasketaankin kaaren pituuden  ja ympyrän kehän pituuden suhteista
Jos kaarien määrä on äärellinen tai numeroituvasti ääretön lukumäärä, voidaan todennäköisyysfunktiota pitää pistetodennäköisyysfunktiona. Toisaalta, jos parametrit a ja b voidaan valita vapaasti reaalilukuina, tulee satunnaismuuttujaa kohdella jatkuvana tapauksena.