Gottfried Leibniz

Lapsuus ja nuoruus

Leibnizin vanhemmat olivat Friedrich Leibnütz ja Catherina Schmuck. Hänen isänsä toimi Leipzigin yliopiston moraalifilosofian professorina. Hän alkoi kirjoittaa sukunimensä ”Leibniz” aikuistuttuaan, mutta muut viittasivat häneen usein kirjoitustavalla ”Leibnitz”, joka säilyi 1900-luvulle saakka. Myöhemmällä iällä hän käytti allekirjoituksissa usein nimeä ”von Leibniz”, ja monet kuoleman jälkeen julkaistut laitokset hänen teoksistaan kutsuivat häntä nimellä ”Freiherr [Baron] G. W. von Leibniz”. Mikään lähde ei kuitenkaan vahvista, että hänelle olisi koskaan myönnetty aatelisarvoa. 1600- ja 1700-luvulla sosiaalista nousua tavoittelevat lisäsivät usein keski-iässä liitteen ”de” tai ”von” sukunimiinsä vaikuttaakseen aatelisilta, mitä he eivät todellisuudessa olleet. Muita esimerkkejä ovat Voltaire, Pierre Beaumarchais ja Ludwig van Beethoven.
Kun Leibniz oli kahdeksanvuotias, hänen isänsä kuoli jättäen jälkeensä henkilökohtaisen kirjaston, johon Leibnizilla oli pääsy. 12-vuotiaana hän oli opiskellut latinan, kielen, jota käytti koko ikänsä, ja oli alkanut opetella kreikkaa. Hän aloitti isänsä yliopistossa 15-vuotiaana ja valmistui 20-vuotiaana erikoistuen lakiin ja halliten hyvin klassisen kirjallisuuden, logiikan, skolastisen filosofian ja teologian. Hänen matemaattinen koulutuksensa ei kuitenkaan vastannut ajan ranskalaisia ja brittiläisiä standardeja. Vuonna 1666 hän julkaisi ensimmäisen teoksensa De Arte Combinatoria (”Yhdistelmien taiteesta”).
Leipzigin yliopisto kuitenkin hylkäsi hänen väitöskirjansa ja kieltäytyi takaamasta hänelle lakitieteen opettajan virkaa. Leibniz lähetti sinne tarkoitetun väitöksensä Nürnbergin lähellä sijaitsevalle Altdorf bei Nürnbergin yliopistolle ja sai tohtoriuden viidessä kuukaudessa.

Mainzissa ja Pariisissa 1666–1674

Väiteltyään tohtoriksi Nürnbergistä Leibnitz kieltäytyi akateemisesta virasta Altdorfissa ja vietti lopun elämäänsä kahden merkittävän saksalaisen aatelissuvun palveluksessa. Leibnizin ensimmäinen toimi oli palkattuna alkemistina Nürnbergissä, vaikkei hän tiennyt mitään aiheesta. Pian hän tapasi Johann Christian von Boineburgin, Mainzin vaaliruhtinaan Johann Philipp von Schönbornin pääministerin. Von Boineburg palkkasi Leibnizin apulaisekseen ja esitteli hänet pian vaaliruhtinaalle. Leibniz omisti tälle lakioppia käsittelevän esseen toivossa saada työpaikka. Suunnitelma toimi, ja vaaliruhtinas nimitti Leibnizin vuonna 1669 lakien tarkistuskomissioon. Vaikka von Boineburg kuoli loppuvuodesta 1672, Leibniz pysyi tämän lesken palveluksessa vuoteen 1674 saakka.
Von Boineburg auttoi Leibnizin maineen levittämisessä, ja Leibnizin kirjoittamat muistiot ja kirjeet alkoivat saada osakseen myönteistä huomiota. Leibnizin tehtävä vaaliruhtinaan palveluksessa sai pian diplomaattisen luonteen. Hän julkaisi kuvitteellisen puolalaisen aatelismiehen salanimellä esseen, jossa esitti epäonnistuneesti saksalaista kruununtavoittelijaa Puolan valtaistuimelle.
Leibnizin aikuisiällä Euroopan politiikka pyöri pitkälti Ranskan Ludvig XIV:n ympärillä Ranskan sotilas- ja talousmahdin tukemana. Samaan aikaan kolmikymmenvuotinen sota oli jättänyt saksankielisen Euroopan hajanaiseksi, nääntyneeksi ja taloudellisesti taantuneeksi. Ranskan suorittama väkivaltainen valtaus Elsassissa vuonna 1670 aiheutti Saksassa huolta Ludvig XIV:n suunnitelmista. Leibniz suunnitteli suojelevansa saksankielisiä maita kääntämällä Ranskan huomio toisaalle seuraavasti. Ranska kutsuttaisiin valtaamaan Egypti, joka toimisi astinlautana Alankomaiden Itä-Intian valtaamiseksi. Vastapalveluksena Ranska lupaisi jättää Saksan ja Alankomaat rauhaan. Tämä suunnitelma sai vaaliruhtinaan tuen. Vuonna 1672 Ranskan hallitus kutsui Leibnizin Pariisiin, mutta suunnitelma jäi pian todellisten tapahtumien jalkoihin. Napoleonin epäonnistunut Egyptin sotaretki vuonna 1798 voidaan nähdä Leibnizin suunnitelman tahattomana toteutumana.
Leibniz vietti kuitenkin useita vuosia Pariisissa ja laajensi tuona aikana tietojaan matematiikan ja fysiikan aloilla, koska oli maahan saavuttuaan huomannut tietonsa noilta aloilta epätasaisiksi. Hän tapasi Nicolas Malebranchen ja Antoine Arnauldin, tuon ajan johtavat ranskalaiset filosofit, ja opiskeli René Descartesin ja Blaise Pascalin sekä julkaistuja että vielä julkaisemattomia teoksia. Hän ystävystyi saksalaisen matemaatikko Ehrenfried Walther von Tschirnhausin sekä tuolloin Pariisissa toimineen hollantilaisen fyysikon ja matemaatikon Christiaan Huygensin kanssa. Huygens oli esisijaisesti fyysikko, mutta esitteli Leibnitzille heilurin matemaattisen mallinnuksen, mikä innoitti tätä soveltamaan matemaattisia menetelmiä. Leibniz ja von Tschirnhaus olivat kirjeenvaihdossa loppuikänsä. Huygensin luona Leibniz asui ja aloitti tämän opastuksella matematiikan ja fysiikan tutkimuksensa, jotka johtivat pian Leibnizin keksintöihin differentiaali- ja integraalilaskennan aloilla. Leibniz sanoi geometrian avanneen uuden maailman hänelle huolimatta siitä, että hän oli aiemmin kirjoittanut muutamia pieniä matematiikkaa koskevia kirjoituksia. Tärkeimmät tuotokset olivat kombinaatioita koskeva kirjoitus vuonna 1668 sekä uuden laskukoneen kuvailu.
Kun kävi ilmi, ettei Ranska osallistuisi Leibnizin Egyptin suunnitelmaan, vaaliruhtinas lähetti vuonna 1673 veljenpoikansa Leibnizin seurassa Lontooseen tapaamaan Britannian hallitusta. Lontoossa Leibniz tutustui Henry Oldenburgiin ja John Collinsiin. Royal Society otti Leibnizin ulkojäsenekseen tämän esiteltyä vuodesta 1670 suunnittelemansa ja rakentamansa laskukoneen, joka kykeni suorittamaan kaikki neljä peruslaskutoimitusta. Matka päättyi kuitenkin kesken vaaliruhtinaan kuoltua. Tämän jälkeen Leibniz palasi Pariisiin, eikä Mainziin, niin kuin oli suunniteltu.
Myös von Boineburg oli kuollut samana talvena. Leibnizin kahden suojelijan kuoltua hänen täytyi löytää uusi pohja uralleen. Tässä Braunschweigin herttuan Johann Friedrichin vuonna 1669 tekemä kutsu Hannoveriin osoittautui kohtalokkaaksi. Leibniz oli kieltäytynyt kutsusta, mutta aloittanut kirjeenvaihdon herttuan kanssa vuonna 1671. Vuonna 1673 herttua tarjosi neuvonantajan tointa. Leibniz hyväksyi tämän vastahakoisesti kaksi vuotta myöhemmin, kun hänelle oli tullut selväksi, ettei hänelle ollut töitä Pariisissa, jonka älylliseen ilmapiiriin hän oli viehtynyt, eikä myöskään Habsburgien keisarillisessa hovissa.

Hannoverin hovissa 1676–1716

Leibniz onnistui viivyttämään saapumistaan Hannoveriin vuoden 1676 loppuun käytyään vielä kerran pikaisesti Lontoossa, missä hän pääsi mahdollisesti tutustumaan joihinkin Newtonin vielä julkaisemattomiin teoksiin. Tätä käytettiin todistusaineistona, kun vuosikymmeniä myöhemmin Leibniziä syytettiin Newtonin ajatusten varastamisesta, vaikka tosiasiassa Newton oli plagioinut Leibniziä, minkä johdosta saksalaisen ja brittiläisen tiedeyhteisön välit tulehtuivat pitkäksi aikaa. Matkalla Lontoosta Hannoveriin Leibniz pysähtyi Haagissa ja tapasi siellä Anton van Leeuwenhoekin, pieneliöiden keksijän. Hän keskusteli myös useita päiviä Baruch Spinozan kanssa. Spinoza oli juuri saanut teoksensa Etiikka valmiiksi. Leibniz kunnioitti Spinozan älyä, mutta oli tyrmistynyt tämän tekemistä johtopäätöksistä, jotka olivat ristiriidassa kristinuskon opetusten kanssa.
Vuonna 1677 Leibniz ylennettiin omasta pyynnöstään oikeusneuvokseksi, jossa virassa hän toimi loppuikänsä. Hän palveli Braunschweigien hovissa kolmea perättäistä hallitsijaa historioitsijana, poliittisena neuvonantajana ja hovin kirjaston hoitajana. Seurauksena hän kirjoitti laajalti kaikista niistä poliittisista, historiallisista ja teologisista kysymyksistä, jotka koskivat herttuakuntaa. Hänen kirjoituksensa ovat arvokkaita tuon ajan historiantutkimuksen kannalta.
Leibnizilla oli lämpimät välit vaaliruhtinatar Sophie von der Pfalzin, hänen tyttärensä Preussin kuningattaren Sophie Charlotte von Hannoverin, sekä Yrjö II:n tulevan puolison Caroline von Ansbachin kanssa. Hän oli näiden kaikkien ystävä ja neuvonantaja ja kävi heidän kanssaan kirjeenvaihtoa. 
Hannoverin väkiluku oli vain noin 10 000 henkeä, ja sen eristynyt ilmapiiri kävi lopulta Leibnizin hermoille. Hovissa toimiminen oli kuitenkin suuri kunnia, ja hovin arvostus nousi sinä aikana kun Leibniz vaikutti siellä. Vuonna 1692 Braunschweigin herttuasta tuli Pyhän saksalais-roomalaisen keisarikunnan vaaliruhtinas. Ison-Britannian vallanperimyslain mukaisesti valta Isossa-Britanniassa Vilhelm III:n ja sisarpuolensa Annan kuoltua siirtyi vaaliruhtinatar Sophielle ja tämän jälkeläisille. Leibnizillä oli osa sopimusta koskevissa neuvotteluissa, vaikka Ison-Britannian parlamentti sensuroikin osan hänen Braunschweigien asiaa ajaneista kirjoituksistaan. 
Braunschweigit suvaitsivat Leibnizin hoitaa varsinaisten tehtäviensä ulkopuolisia tieteellisiä hankkeita. Hän aloitti työnsä kalkyylin parissa vuonna 1674; varhaisin maininta sen käytöstä löytyy hänen muistikirjoistaan vuodelta 1675. Vuoteen 1677 mennessä hänellä oli valmiina melko yhtenäinen järjestelmä, mutta hän julkaisi sen vasta vuonna 1684. Leibnizin merkittävimmät matemaattiset teokset julkaistiin vuosien 1682 ja 1692 välillä, enimmäkseen hänen ja Otto Mencken vuonna 1682 perustamassa julkaisussa Acta Eruditorum. Julkaisulla oli merkittävä rooli Leibnizin matemaattisen ja tieteellisen maineen levittämisessä, mikä edelleen laajensi hänen vaikutusvaltaansa diplomatiassa, filosofiassa ja muilla aloilla.
Vaaliruhtinas Ernst August antoi Leibnizin tehtäväksi Braunschweigin suvun historiikin kirjoittamisen, ulottuen taaksepäin aina Kaarle Suureen saakka tai kauemmaksikin. Ruhtinas toivoi teoksen edistävän dynastiansa rakentamista. Vuosien 1687 ja 1690 välillä Leibniz matkusteli laajalti Saksassa, Itävallassa ja Italiassa etsien materiaalia tätä hanketta varten. Vuosikymmenet kuluivat, mutta teos ei valmistunut. Seuraava vaaliruhtinas oli melko tuskastunut Leibnizin viivyttelyyn. Leibniz ei koskaan saanut teosta valmiiksi, osittain muun kirjallisen toimintansa vuoksi, mutta osittain myös siksi, että hän halusi välttämättä kirjoittaa laajaan tutkimukseen perustuvan teoksen, vaikka hänen suojelijansa olisivat olleet tyytyväisiä pieneen mutta suosittuun sukupuun ja selitykset sisältävään kirjaan, joka olisi valmistunut muutamassa vuodessa. Leibniz kuitenkin suoritti suuren osan tilatusta työstä: kun hänen kokoamansa materiaali Braunschweigin suvusta lopulta julkaistiin 1800-luvulla, se täytti kolme osaa.
Vuonna 1711 John Keill kirjoitti Royal Societyn julkaisuun Newtonin oletetulla siunauksella ja syytti Leibnizia Newtonin ajatusten varastamisesta. Tämä pani alulle Leibnizin loppuelämää varjostaneen kiistan kalkyylin keksimisestä. Royal Societyn suorittamat viralliset tutkimukset, joissa Newton oli taustavaikuttajana ja jotka Leibniz vaati käynnistettäväksi maineensa palauttamiseksi, yhtyivät Keillin syytöksiin. 1900-luvulla matematiikan historian tutkijat ovat olleet taipuvaisia vapauttamaan Leibnizin syytöksistä, huomauttaen Leibnizin ja Newtonin järjestelmissä olevista merkittävistä eroista.
Venäjän tsaari Pietari Suuri pysähtyi matkallaan Hannoverissa ja tapasi Leibnizin, joka säilytti kiinnostuksen Venäjän asioihin kuolemaansa saakka. Vuonna 1712 Leibniz siirtyi kahdeksi vuodeksi Wieniin ja toimi Habsburgien hovineuvoksena. Kuningatar Annan kuoltua vuonna 1714 vaaliruhtinas Georg Ludwigista tuli vallanperimyslain mukaisesti Englannin kuningas Yrjö I. Vaikka Leibniz oli tehnyt työtä tämän eteen, se ei ollut hänen kunnianhetkiään. Caroline von Ansbachin väliintulosta huolimatta Yrjö I kielsi Leibniziä tulemasta Lontooseen ennen kuin edes yksi osa Braunschweigien suvun historiasta, jonka Yrjön isä oli toimeksiantanut lähes 30 vuotta aikaisemmin, valmistuisi. Leibnizin lukeminen osaksi Lontoon hovia olisi myös loukannut Newtonia, jolla oli brittiläisissä piireissä hyvin korkea asema, ja jonka katsottiin voittaneen kalkyylikiistan. Viimeinen niitti oli Leibnizin ystävän ja puolestapuhujan Sophien kuolema vuonna 1714.
Leibniz kuoli Hannoverissa vuonna 1716. Tuolloin hän oli niin epäsuosiossa, ettei sen enempää Yrjö I (joka sattui juuri tuolloin olemaan lähellä Hannoveria) kuin kukaan mukaan hovista Leibnizin henkilökohtaista sihteeriä lukuun ottamatta osallistunut hautajaisiin. Vaikka Leibniz oli Royal Societyn ja Berliinin tiedeakatemian elinikäinen jäsen, kumpikaan instituutio ei kunnioittanut hänen kuolemaansa. Hänen hautansa oli merkitsemättömänä yli 50 vuotta. Bernard de Fontenelle kirjoitti Leibnizistä ylistävästi Elisabeth Charlotte von der Pfalzin, vaaliruhtinatar Sophien veljentyttären, kehotuksesta.
Leibniz ei koskaan mennyt naimisiin. Hän oli silloin tällöin valittanut rahanpuutetta, mutta hänen ainoalle perilliselleen, sisarensa ottopojalle, jättämänsä omaisuus todisti, että Braunschweigit olivat maksaneet hänelle hyvin. Diplomaattisessa toiminnassaan hän oli välillä ajan tavan mukaan häikäilemätön, ja silloin tällöin hän muutti jälkeenpäin kirjoituksiensa sisältöä ja niihin merkittyjä ajoituksia, mikä saattoi hänet huonoon valoon kalkyylikiistassa. Muuten hänet tunnettiin hyväkäytöksisenä seuramiehenä, jolla oli paljon ystäviä ja ihailijoita ympäri Eurooppaa.

Jälkimaine

Kun Leibniz kuoli vuonna 1716, hänen maineensa oli alamaissa. Hänet muistettiin ainoastaan teoksestaan Théodicée. Voltairen romaani Candide vuodelta 1759 sisältää polemiikkia Leibnizin metafyysistä optimismia vastaan; Leibniz katsoi maailmamme olevan paras mahdollinen maailma. Leibnizilla oli innokas oppilas, Christian Wolff, jonka dogmaattinen ajattelutapa teki Leibnizin maineelle paljon hallaa. Filosofiset virtaukset olivat siirtymässä pois 1600-luvun rationalismista ja filosofisista järjestelmistä, joita Leibniz oli innokkaasti kannattanut. Monet alkoivat epäillä, ettei hän olisi keksinyt kalkyyliä itsenäisesti Newtoniin nähden, ja siksi kaikki hänen matematiikkaa ja fysiikkaa käsittelevät teoksensa jäivät syrjemmälle. Samoin hänen lakitieteen, diplomatian ja historian teoksensa nähtiin kiinnostavina vain lyhyen aikaa. 
Leibnizin hidas nousu nykyiseen maineeseen alkoi vuonna 1765 julkaistulla teoksella Nouveaux Essais, jonka Immanuel Kant luki tarkoin. Vuonna 1768 Dutens toimitti ensimmäisen moniosaisen laitoksen Leibnizin teoksista, ja sitä seurasi 1800-luvulla useita laitoksia. Myös Leibnizin huomattavien henkilöiden, kuten Antoine Arnauld, Samuel Clarke ja Sophia van Hannoverin sekä tämän tyttären Sophia Charlotte van Hannoverin kanssa käymän kirjeenvaihdon julkaisu alkoi.
Vuonna 1900 Bertrand Russell julkaisi tutkielman Leibnizin metafysiikasta. Pian tämän jälkeen Louis Couturat julkaisi merkittävän tutkielman Leibnizista ja toimitti painoksen hänen ennen julkaisemattomista teoksistaan koskien pääasiassa logiikkaa. Vaikka Russellin ja Couturat'n tekemistä johtopäätöksistä on keskusteltu, he kuitenkin jossain määrin edesauttoivat Leibnizin arvostuksen nousua 1900-luvun analyyttisten ja lingvististen filosofien parissa. Leibnizin käyttämä fraasi salva veritate (”totuus säilyen” eli sitä muuttamatta) esiintyy W. V. O. Quinen teoksissa. Leibnizin töitä käsittelevää kirjallisuutta alkoi kuitenkin syntyä laajemmin vasta toisen maailmansodan jälkeen. Tämä pätee erityisesti englanninkielisiin maihin.
Leibnizin ajatuksista on 2000-luvulla kiinnostuttu monella taholla. Nicholas Jolleyn mukaan tämä johtuu muun muassa siitä, että aatehistoriallinen tutkimus 1600- ja 1700-lukuja koskien on antanut paremman kuvan siitä 1600-luvun henkisen vallankumouksen ajattelusta, joka edelsi paremmin tunnettuja 1700- ja 1800-luvun teollisia ja kaupallisia vallankumouksia. Lisäksi analyyttisessa filosofiassa on käsitelty aiheita, jotka sivuavat Leibnizin identiteettiä, yksilöä ja mahdollisia maailmoja koskevia ajatuksia.

Filosofia

Leibnizin filosofian hahmottaminen on melko vaikeaa, koska hänen filosofiset kirjoituksensa koostuvat pääasiassa monista lyhyistä kirjoituksista: artikkeleista, kauan kuoleman jälkeen julkaistuista käsikirjoituksista ja useista kirjeistä useille eri vastaanottajille. Hän kirjoitti ainoastaan kaksi laajempaa filosofista tutkielmaa, ja niistä ainoa hänen eläessään julkaistu, Théodicée vuodelta 1710, on yhtä lailla teologinen kuin filosofinen. Leibniz itse katsoi filosofin uransa alkaneen julkaisusta Metafysiikan esitys, jonka hän kirjoitti kommentaarioksi käynnissä olleesta erimielisyydestä Nicolas Malebranchen ja Antoine Arnauldin välillä. Se johti laajaan kirjeenvaihtoon Arnauldin kanssa. Kirjeenvaihto ja Discours de métaphysique julkaistiin vasta 1800-luvulla. Vuonna 1695 Leibniz astui julkisesti eurooppalaisen filosofian toimijaksi artikkelillaan ”Système nouveau de la nature et de la communication des substances” (”Uusi luonnon ja substanssien kommunikaation järjestelmä”). Vuosina 1695–1705 hän kirjoitti kirjoituksen Nouveaux essais sur l'entendement humain (”Uusia esseitä inhimillisestä ymmärryksestä”), joka oli pitkä kommentaario John Locken vuonna 1690 kirjoittamasta teoksesta An Essay Concerning Human Understanding, joka julkaistiin Locken kuoleman johdosta kuitenkin vasta vuonna 1765. Vuonna 1714 kirjoitettu ja kuoleman jälkeen julkaistu Monadologia koostuu yhdeksästäkymmenestä aforismista.
Leibniz tapasi Spinozan vuonna 1676 ja luki joitakin tämän julkaisemattomia kirjoituksia. Siitä saakka häntä on epäilty joidenkin Spinozan ajatusten omimisesta. Vaikka Leibniz ihailikin Spinozan älyä, hän kuitenkin kammosi joitakin tämän ajatuksia suorasukaisesti, erityisesti silloin kun ne olivat ristiriidassa oikeaoppisen kristinuskon opetusten kanssa.
Päinvastoin kuin Descartesilla ja Spinozalla Leibnizillä oli läpikotainen filosofinen yliopistokoulutus. Hänen skolastinen ja aristotelinen taustansa näyttää, että Leibniz on saanut paljon vaikutteita yhdeltä Leipzigin professoriltaan, Jakob Thomasiukselta, joka myös valvoi hänen kandidaatintyötään filosofiasta. Leibniz luki innokkaasti myös Francisco Suárezia, myös luterilaisissa yliopistoissa arvostettua espanjalaista jesuiittaa. Leibniz oli kiinnostunut Descartesin, Huygensin, Newtonin ja Boylen uusista menetelmistä ja johtopäätöksistä, mutta katseli heidän töitään silti vahvojen skolastisten silmälasien läpi. Silti Leibnizin menetelmät ja tutkimuskohteet ennakoivat usein 1900-luvun logiikkaa sekä analyyttistä ja kielifilosofiaa.

Monadologia

Leibnizin merkittävin panos metafysiikkaan on hänen teoriansa monadeista. Tämä 1600-luvun rationalismia edustanut järjestelmä on esitelty muutaman kymmenen sivun mittaisessa teoksessa nimeltä Monadologia. Leibniz ei kuitenkaan julkaissut teosta elinaikanaan, eikä hän myöskään käyttänyt itse 'monadologia'-sanaa, vaan se on keksitty myöhemmin.
Leibnizin järjestelmässä kaikki olevainen on kokoonpantu jakamattomista, häviämättömistä alkuosasista, monadeista. Monadit olivat ”substantiaalisia olemusmuotoja”, sielullisia ja tajuavia olentoja, sekä aistimisen kohteita. Niillä oli seuraavat ominaisuudet: ne ovat ikuisia, jakamattomia, yksilöllisiä, omien lakiensa alaisia, eivät vuorovaikutuksessa toistensa kanssa, ja kukin heijastaa koko muuta kaikkeutta ennalta säädetyn harmonian mukaisesti. Monadit olivat voimapisteitä: substanssi oli voimaa, kun taas avaruus, aine ja liike olivat olemassa vain ilmiömaailmassa.
Leibnizin mukaan aineelliset kappaleet ovat monadikokoelmia. Monadien ei tarvinnut olla pieniä: esimerkiksi ihminen oli monadi, samoin Jumala. Jumalan olemassaolo voidaan johtaa kaikkien muiden monadien keskuudessa vallitsevasta harmoniasta – se oli Jumalan tahtomaa. Sielullista elämää on Leibnizille lukemattomissa eri selvyydenasteissa. Monadeista ovat täydellisimpiä ihmissielut, joilla on itsetajuntaa ja järkeä, eli kykyä käsittää yleisiä totuuksia ja Jumalaa.
Leibniz katsoi monadien ratkaisevan toisaalta mielen ja aineen vuorovaikutuksen ongelman, joka seurasi Descartesin kartesiolaisesta dualismista, ja toisaalta yksilöllisyyden puutteen, joka seurasi Spinozan järjestelmästä, jossa yksilöoliot olivat pelkästään aksidensseja.

Teodikea ja optimismi

Théodicée esitteli termin teodikea ja pyrki oikeuttamaan maailman epätäydellisyydet selittämällä, että maailmamme on kuitenkin paras mahdollinen kaikista maailmoista. Maailman täytyy olla paras mahdollinen ja tasapainoisin, koska sen oli luonut täydellinen Jumala. 
Leibnizin lausuma ”elämme parhaassa kaikista mahdollisista maailmoista” veti puoleensa paljon pilkkaa, erityisesti Voltairelta, joka pilkkasi ajatusta koomisessa romaanissaan Candide laittamalla Leibniziä parodioineen Tohtori Panglossin toistamaan. Tästä syntyi adjektiivi ”panglossilainen”, joka kuvasi henkilöä joka oli niin naiivi, että uskoi maailman olevan paras mahdollinen. 
Matemaatikko Paul du Bois-Reymond kirjoitti teoksessaan Leibnizian Thoughts in Modern Science, että Leibniz ajatteli Jumalan olevan suuri matemaatikko:

»Kuten hyvin tiedetään, funktion maksimien ja minimien teoria oli velkaa hänelle suurimmasta edistysaskeleesta tangenttien menetelmän keksimisen kautta. Yhtä lailla hän kuvittelee Jumalan maailmaa luodessaan matemaatikoksi joka on ratkaisemassa minimin ongelmaa, tai pikemminkin modernissa kielenkäytössä variaatiolaskentaa – kysymyksenä määrittää rajattomasta joukosta mahdollisia maailmoja se, jossa välttämättömän pahan summa on minimissään.»

Symbolinen ajattelu

Leibnizillä oli luja usko siihen, että iso osa inhimillisestä ajattelusta voitiin palauttaa jonkin sortin laskutoimituksiin, ja että tällaiset laskutoimitukset saattoivat ratkaista monia erimielisyyksiä:

»Ainoa tapa korjata päättelymme on tehdä niistä yhtä kouriintuntuvia kuin matemaatikkojen päättelyistä, niin että voimme löytää virheemme yhdellä vilkaisulla, ja kun henkilöiden välillä on erimielisyyksiä, voimme yksinkertaisesti sanoa: laskekaamme [calculemus], pitemmittä puheitta, katsoaksemme kuka on oikeassa.» 
(”Keksimisen taide” 1685, W 51)
Leibnizin calculus ratiocinator, joka tuo mieleen symbolisen logiikan, voidaan nähdä tapana mahdollistaa tämänkaltaiset laskutoimitukset. Leibniz kirjoitti muistioita, jotka voidaan nähdä tämän symbolisen logiikan perustavina kirjoituksina, mutta ne julkaistiin vasta kun nykyaikainen logiikka oli jo noussut Gottlob Fregen teoksen Begriffsschrift sekä Charles S. Peircen ja hänen oppilaidensa kirjoitusten myötä 1880-luvulla. Näin niiden julkaisu tapahtui paljon sen jälkeen kun George Boole ja Augustus De Morgan olivat jo laittaneet tällaisen logiikan alulle 1840-luvulla.

Matematiikka

Matematiikan alalla Leibniz kehitti differentiaalilaskennan jokseenkin samaan aikaan kuin Isaac Newton. Leibniz julkaisi menetelmän ensimmäisenä – ajatuksen isyydestä syntyi ankara riita, ja jälkikäteen voidaan todeta, että Newton oli Leibnizia ajallisesti edellä, mutta Leibnizin käyttämä merkintätapa jäi kuitenkin myöhempien matemaatikkojen käyttöön. Nykyään on tapana antaa kunnia keksinnöstä molemmille. Leibniz loi myös binäärisen lukujärjestelmän ja rakensi ensimmäisen käyttökelpoisen mekaanisen laskukoneen, joka kykeni kerto- ja jakolaskuihin. Matemaatikko Gregory Chaitin pitää Leibniziä myös ensimmäisten algoritmista informaatioteoriaa sivuavien ajatusten esittäjänä. Bertrand Russell taas on sanonut Leibnizin kehittäneen logiikan 1800-luvun tasolle julkaisematta jääneissä tutkimuksissaan. Leibnizin kirjeenvaihdosta käy ilmi, että hän käytti yhtälöryhmien ratkaisemisessa menetelmää, joka ennakoi puoli vuosisataa hänen jälkeensä keksittyjä determinantteja.

Differentiaali- ja integraalilaskenta

Leibnizia pidetään Isaac Newtonin ohella infinitesimaalilaskennan keksijänä. Leibnizin omien muistiinpanojen mukaan läpimurto tapahtui 11. marraskuuta 1675, kun hän käytti ensimmäisen kerran integraalilaskentaa funktion y = x kuvaajan kattaman pinta-alan laskemiseen. Hän määritteli useita merkintätapoja, jotka ovat edelleen käytössä, kuten esimerkiksi integraalimerkin ∫, joka esittää venytettyä S-kirjainta, latinan kielen sanasta summa; sekä differentiaalilaskennassa merkintätapana d-kirjaimen, latinan sanasta differentia. Leibniz ei julkaissut mitään tutkimustuloksiaan ennen vuotta 1684.

Fysiikka

Fysiikassa kehitti statiikkaa ja dynamiikkaa ja esitti usein Descartesista, Newtonista ja heidän seuraajistaan poikkeavia näkemyksiä. Hän esitti uuden liiketeorian, joka perustui kinetiikkaan ja potentiaaliseen energiaan. Vaikka Leibniz oli Newtonin linjoilla kalkyylin suhteen, fysiikassa hän ei ollut samaa sarjaa Newtonin kanssa, ja hänet voidaan arvioida tällä alalla jopa opettajaansa Huygensiä heikommaksi. Leibnizin kypsän vaiheen fysiikasta hyvä esimerkki on teos Specimen Dynamicum vuodelta 1695.

Vis viva

Leibnizin vis viva (latinaa: elämänvoima) on tiettyjen mekaanisten järjestelmien muuttumaton matemaattinen ominaispiirre. Se voidaan nähdä energiaperiaatteen erityistapauksena. Teoria nähtiin Newtonin ja Descartesin kannattaman liike-energian säilymisen ajatuksen kilpailijana. Siksi tutkijat Englannissa ja Ranskassa olivat taipuvaisia hylkäämään Leibnizin ajatukset. Insinöörit kuitenkin havaitsivat vis vivan lopulta hyödylliseksi tiettyjen laskutoimitusten tekemisessä, joten lopulta nämä kaksi lähestymistapaa alettiin nähdä toisiaan täydentävinä.

Muut luonnontieteet

Leibniz esitti, että maalla on sula ydin, ja oli näin myös nykyaikaisen geologian edelläkävijä. Embryologiassa hän oli preformationisti, mutta katsoi myös, että organismit syntyvät, kun loputon määrä mahdollisia mikrorakenteita yhdistyy kertautuvasti. Biologiassa ja paleontologiassa hän tutki anatomiaa ja fossiileita tehden vertailevia tutkimuksia. Lääketieteessä hän kehotti aikansa lääkäreitä perustamaan teoriansa yksityiskohtaisiin vertaileviin havaintoihin ja kokeisiin ja erottamaan tiukasti tieteelliset näkemykset metafyysisistä.