Aritmetiikan peruslause

Aritmetiikan peruslause on lukuteorian perustulos. Sen mukaan jokainen ykköstä suurempi kokonaisluku voidaan esittää alkulukujen tulona, esimerkiksi , ja kullekin luvulle on olemassa vain yksi tällainen esitys, tekijöiden järjestystä lukuunottamatta. Tällaista tuloesitystä kutsutaan luvun alkutekijähajotelmaksi.
”Tekijöiden järjestystä lukuunottamatta” tarkoittaa, että tekijät voidaan kertolaskun vaihdannaisuuden vuoksi vaihtaa eri järjestykseen, mutta näitä pidetään silti samana tuloesityksenä. Esimerkiksi esityksiä  pidetään samoina, koska niissä on samat alkutekijät yhtä monta kertaa, vaikka eri järjestyksessä. Usein järjestys kiinnitetään niin, että alkuluvut luetellaan pienimmästä suurimpaan: . Toistuva tekijä voidaan myös esittää potenssina: .
Aritmetiikan peruslause pätee silloinkin, kun esitettävä luku itse on alkuluku. Tällöin alkutekijähajotelmassa on vain yksi tekijä. Esimerkiksi luvun 7 alkutekijähajotelma on 7.
Aritmetiikan peruslause voidaan helposti laajentaa myös tapaukseen, jossa esitettävä luku on 1, mikäli sallitaan tyhjä tulo eli tulo, jossa ei ole yhtään tekijää. Tyhjän tulon arvoksi määritellään 1. Tällöin myös luvulla 1 on yksikäsitteinen alkutekijähajotelma, nimittäin tyhjä tulo.

Ykkönen tekijänä

Aritmetiikan peruslauseen muotoilu on yksi syistä, miksi lukua 1 ei nykyään yleensä määritellä alkuluvuksi. Eri aikoina on ykkösen asema vaihdellut: joskus sitä ei ole pidetty lukuna lainkaan, joskus se taas on määritelty yhdeksi alkuluvuista. Nykyinen määritelmä sopii hyvin aritmetiikan peruslauseen muotoiluun. Jos ykkönen otettaisiin mukaan alkulukuihin, eivät alkutekijähajotelmat enää olisi yksikäsitteisiä, sillä tuloon voisi ottaa mukaan mielivaltaisen määrän ykkösiä: esimerkiksi

Todistus

Aritmetiikan peruslauseessa on olennaisesti kaksi väitettä: alkutekijähajotelman olemassaolo ja sen yksikäsitteisyys.

Alkutekijähajotelman olemassaolo

Alkutekijähajotelman olemassaolo voidaan todistaa melko suoraviivaisesti induktiolla. Todetaan aluksi, että luvulla 2 on olemassa alkutekijähajotelma 2. Oletetaan sitten, että kaikille kokonaisluvuille  on olemassa alkutekijähajotelma, ja tutkitaan seuraavaa kokonaislukua . Jos  on alkuluku, niin se on oma alkutekijähajotelmansa. Jos taas  on yhdistetty luku, niin se voidaan hajottaa tuloksi , missä  ja  ovat kokonaislukuja ja . Induktio-oletuksen nojalla  ja  voidaan kumpikin esittää alkulukujen tuloina; kertomalla nämä tulot keskenään saadaan  alkulukujen tulona.

Historia

Kokonaislukujen jakaminen alkutekijöihin oli tuttua jo antiikin kreikkalaisille. Eukleideen Alkeissa on useita tähän liittyviä tuloksia, mutta ei kuitenkaan aritmetiikan peruslausetta sen nykyisessä muodossa.
Persialainen matemaatikko Kamāl al-Dīn al-Fārisī (k. noin 1320) esitti lauseen olemassaolopuolen yleisessä muodossa.
Carl Friedrich Gauss huomautti vuonna 1801 teoksessaan Disquisitiones arithmeticae, että alkutekijähajotelman olemassaolo on kyllä ilmeistä, mutta sen yksikäsitteisyys yleensä vain oletetaan ilman kunnollista todistusta. Gauss esitti ja todisti ilmeisesti ensimmäistä kertaa aritmetiikan peruslauseen jokseenkin nykymuodossaan, siis myös hajotelman yksikäsitteisyyden.
Theorema. Numerus compositus quicunque unico tantum modo in factores primos resolvi potest.

Yleistyksiä

Aritmetiikan peruslauseen kaltainen tulos pätee myös joissakin muissa lukujoukoissa, mutta ei kaikissa. Kokonaisaluetta, jossa jokaisella alkiolla on (järjestystä ja yksiköitä vaille) yksikäsitteinen jako alkualkioiden tuloksi, kutsutaan yksikäsitteisen tekijöihinjaon alueeksi (engl. unique factorization domain, UFD).
Gaussin luvuiksi kutsutaan lukujoukkoa  eli kompleksilukuja, joiden reaali- ja imaginaariosat ovat kokonaisia. Gaussin lukujen joukossa voidaan määritellä alkulukua vastaava käsite, joskin esimerkiksi 5 ei nyt ole alkuluku, sillä . Gaussin lukujen joukossa jokaisella luvulla on (järjestystä ja etumerkkejä vaille) yksikäsitteinen jako alkulukujen tuloksi, eli aritmetiikan peruslausetta vastaava tulos pätee.
Toisaalta lukujoukossa  luvulla 6 on kaksi eri hajotelmaa jaottomien alkioiden tuloksi: . Tässä joukossa alkutekijöihin jako ei siis ole yksikäsitteinen.