Lissajous’n käyrät

Lissajous'n käyrien tuottaminen ja sovelluksia

Ennen nykyaikaisten elektronisten laitteiden kehittymistä Lissajous'n kuviot saatiin helpoimmin aikaan mekaanisesti harmonografin avulla.
Lissajous'n kuvioita voidaan myös saada aikaan optisesti kahden ääniraudan avulla, joihin on kiinnitetty peilit ja joista toinen on kiinnitetty telineeseen  värähtelemään vaaka­suorassa, toinen pysty­suorassa suunnassa. Jos valo saapuu pienestä valolähteestä, Lissajous'n komparaattorista, kohti­suorasti ensin vaaka­suoraan äänirautaan, jossa olevasta peilistä se heijastuu pysty­suorassa ääniraudassa olevaan peiliin ja sieltä edelleen varjostimelle, tälle varjostimelle muodostuu Lissajous'n käyrän muotoinen valokuvio, jonka muoto riippuu äänirautojen värähtely­taajuuksien suhteesta.

Lissajous'n käyrät oskilloskoopilla

Lissajous'n kuvioita saadaan helposti aikaan myös oskilloskoopilla ohjaamalla sen x- ja y-akselien suuntaisille poikkeutuslevyille eritaajuiset vaihto­jännitteet. Käyrän muodosta voidaan tällöin päätellä myös niiden taajuuksien suhde.
Äänentoistotekniikassa tätä menetelmää käytetään stereolaitteiden vasemman- ja oikean­puoleisen kanavan välisen vaihe-eron reaali­aikaiseen tutkimiseen. Tähän tarkoitukseen rakennettu myös tavallista oskilloskooppia kehittyneempiä konsoleja.
Oletetaan, että kanava CH1 on kytketty oskillo­skoopin x-akselin ja CH2 y-akselin suuntaiseen poikkeutus­levyyn.  Jos kanavalla CH1 esiintyvän signaalin amplitudi on A ja taajuus a, kun taas kanavalla CH2 esiintyvän signaalin amplitudi on B ja taajuus b, oskillo­skoopin näyttö­ruudulle saadaan Lissajous'n käyrä, joka vastaa suhdetta a:b, ja sen määrittelevässä yhtälössä esiintyvä termi δ osoittaa kanavien välisen vaihe-eron.

LTI-systeemit

Kun LTI-systeemiin (lineaariseen ajan suhteen invarianttiin systeemiin) syötettävä signaali on sinimuotoinen, myös ulos tuleva signaali on sinimuotoinen, mutta sillä saattaa olla eri amplitudi ja vaihesiirto. Koska oskillo­skoopin avulla voidaan esittää jännitteen vaihtelut, paitsi ajan, myös toisen jännitteen funktiona, sen avulla voidaan myös näyttää LTI-systeemin tuottama signaali sisään menevän signaalin funktiona, jolloin tuloksena saadaan sellainen Lissajous'n kuvio, jolle a = b, toisin sanoen yleensä ellipsi (erikoistapauksissa ympyrä tai jana).  Tämän ellipsin aspektisuhde eli sen iso- ja pikkuakselin suhde riippuu vain sisäänmenevän ja ulostulevan signaalin välisestä vaihe-erosta. Jos vaihe-ero on ±90°, aspektisuhde on 1 ja kuvio on ympyrä. Jos taas vaihe-ero on 0° tai 180°, aspektisuhde on ∞ ja kuvio on jana.
Alla oleva kuvio sisältää yhteenvodon siitä, millainen Lissajous'n kuvio saadaan milläkin vaihe-erolla. Nuolet osoittavat Lissajous'n kuvion kiertosuuntaa.  Kaaviossa esitetyt vaihe-erot ovat kaikki negatiivisia, mutta samat kuviot saadaan myös positiivisilla vaihe-eroilla; esimerkiksi vaihe-ero +90° tuottaa saman kuvion kuin −270°.

Elektroniikassa

Lissajous'n käyrän avulla voidaan kokeellisesti selvittää, onko tutkittava komponentti kelvollinen memristori.

Elokuvissa

Oskilloskoopin näytöllä esiintyvät Lissajous'n kuviot esiintyivät toisinaan 1960- ja 1970-luvuilla tieteiselokuvissa ja televisio-ohjelmissa eräänlaisina korkean teknologian symboleina.
Lissajous'n kuvioihin perustuu myös John Whitneyn laatima alkukuva Alfred Hitchcockin elokuvassa Vertigo – punainen kyynel vuodelta 1958.

Modernissa taiteessa

Dadaistinen taiteilija Max Ernest on eräissä maalauksissaan maalannut Lissajous'n kuvioita keinuttamalla kankaan yllä maalipurkkia, jonka pohjaan oli puhkaistu reikä.