Pentagrammi

Sumerit

Tiettävästi ensimmäisenä pentagrammi esiintyi sumereilla noin 3000 eaa. Sumerien kuvakirjoituksessa pentagrammi tarkoitti sanaa ”UB”, joka tarkoittaa kärkeä, kulmaa, pientä huonetta tai rakoa. René Labat’n laatimassa sumerilaisten piktogrammien luettelossa siinä on kaksi kärkeä ylöspäin.
Babylonialaisille pentagrammin kärjet merkitsivät todennäköisesti eri suuntia: eteenpäin, taaksepäin, vasemmalle, oikealle ja ylös. Näillä suunnilla oli merkitystä myös astrologiassa, ja ne vastasivat myös viittä tunnettua planeettaa: Jupiteria, Merkuriusta, Marsia ja Saturnusta sekä ylös osoittava sakara ”taivaan kuningattarena” pidettyä Venusta (Ishtaria).

Kristinusko

Pentagrammia käytetään kristillisenä viiden aistin symbolina, ja jos sen kärkiin merkitään latinan salus-sanan (terveys) kirjaimet S, A, L, V, ja S, sitä voidaan pitää terveyden symbolina.
Keskiajan kristityille pentagrammi symboloi Kristuksen viittä haavaa. Pentagrammin uskottiin suojaavan noidilta ja pahoilta hengiltä.
Pentagrammilla on suuri merkitys kuningas Arthurista kertovissa taruissa: se esiintyy Sir Gawainin kilvessä eräässä 1300-luvulla kirjoitetussa runossa. Runossa selitetään sen jokaisella viidellä kärjellä olevan viisi merkitystä: ne tarkoittavat viittä aistia, viittä sormea, Kristuksen viittä haavaa, Neitsyt Marian viittä ilonaihetta (Marian ilmestys, Jeesuksen syntymä, ylösnousemus, taivaaseenastuminen ja Marian taivaaseenottaminen) sekä niitä viittä ritarihyvettä, joiden ruumiillistumana Gawain toivoi voivansa itseään pitää: jalomielistä anteliaisuutta, toveruutta, puhtautta, kohteliaisuutta ja myötätuntoa.
Myöhemmin monet kristityt ovat kuitenkin tottuneet pitämään pentagrammia satanismin symbolina, mikä mahdollisesti johtuu seremoniallisten taikurien käyttämien symbolien väärästä tulkinnasta ja on johtanut siihen, että symbolia on lakattu käyttämättä kristillisissä yhteyksissä.

Mormonismi

Myöhempien aikojen pyhien Jeesuksen Kristuksen kirkko on käyttänyt pentagrammia ja viisikärkistä tähteä temppeliarkkitehtuurissaan, varsinkin Nauvoo Illinois Temple.  Tähän yhteyteen symboli on omaksuttu perinteistä kristillisestä symboliikasta, jossa sitä ei kuitenkaan enää yleisesti käytetä.

Juutalaisuus

Pentagrammi oli aikoinaan Jerusalemin kaupungin virallisessa sinetissä. Sellaisena sitä ei kuitenkaan tule sekoittaa kuusisakaraiseen Daavidin tähteen.

Uuspakanuus

Monet uuspakanalliset ryhmät, erityisesti Wicca, käyttävät pentagrammia uskonnollisena symbolina, jonka voidaan katsoa vastaavan kristinuskon ristiä tai juutalaisuuden Daavidin tähteä. Sen uskonnollisen symboliikan on selitetty johtuvan uuspythagoralaisuudesta, jossa pentagrammin viisi kärkeä esittivät neljää klassista alkuainetta sekä ylin kärki Henkeä. 
Pentagrammia ympäröivän ympyrän on toisinaan katsottu sitovan alkuaineet yhteen tai merkitsevän niiden välistä sopusointua. Uuspakanallinen pentagrammi kuvataan tavallisimmin yksi kärki ylöspäin, osittain siksi, koska päinvastaisessa asennossa sen on katsottu tuovan mieleen satanismin.

Bahailaisuus

Pentagrammi on bahailaisuuden virallinen symboli, joka tunnetaan nimellä Haykal (temppeli). Sellaisena sen otti käyttöön Báb.  Sekä Báb että Bahá'u'lláh kirjoittivat useita teoksia pentagrammista.

Taolaisuus

Taolaisuuteen liittyy nimellä Wu Xing tunnettu oppi viidestä luontoa hallitsevasta alkuaineesta. Toisin kuin Kreikassa, jossa alkuaineina pidettiin maata, ilmaa, tulta ja vettä, tässä kiinalaisessa järjestelmässä sellaisina pidettiin tulta, maata, metallia, vettä ja puuta. Tämän viiden alkuaineen järjestelmän symbolina on usein käytetty ympyrän sisään piirrettyä pentagrammia. Ympyrän taas on kuvattu esittävän kiertokulkua, jossa puu ylläpitää tulta, tuli synnyttää maata (tuhkaa), maasta saadaan metalleja, metalliastioilla kannetaan vettä ja vesi ravitsee puuta. Sen sijaan pentagrammi esittää tuhon kiertoa, jossa puu imee maata ja maa vettä, vesi sammuttaa tulen, tuli sulattaa metallin ja metalli pilkkoo puun, tai toista kiertoa, jossa puu imee veden, vesi ruostuttaa metallin, metalli rikkoo maan, maa tukahduttaa tulen ja tuli polttaa puun. Tätä järjestelmää käytetään perinteisessä lääketieteessä (ICM) nykyäänkin. Koska Wu Xing on hyvin vanha ja silkkitien välityksellä Kiinalla on ollut yhteyksiä Eurooppaan roomalaisajoista lähtien, on todennäköistä, että jokin käsitys tästä on jo varhain välittynyt Eurooppaankin ja tullut virheellisesti tulkituksi eksoottiseksi henkiparannukseksi (Shen).

Liput

Vaikka monissa lipuissa esiintyy yhtenäinen viisisakarainen tähti, pelkistä viivoista koostuva pentagrammi on melko harvinainen. Se esiintyy vain Marokon ja Etiopian lipuissa sekä muutamissa vaakunoissa.
Ivan Sachen mukaan Marokon lipussa oleva pentagrammi symboli Jumalan ja kansakunnan välistä yhteyttä. On myös mahdollista, että molemmissa lipuissa pentagrammi viittaa alkujaan Salomoon (Salomon sinettiin), sillä Salomoa on pidetty viisaan kuninkaan perikuvana sekä juutalaisten, kristittyjen että muslimien keskuudessa.

Geometriset ominaisuudet

Geometriassa pentagrammi luokitellaan säännölliseksi  tähtimonikulmioksi, koska kaikki sen sivut ovat yhtä pitkät ja kulmat yhtä suuret. Se on siten tasasivuinen ja tasakulmainen sekä vielä itseään leikkaava monikulmio. Sitä voidaan säännöllisyyden vuoksi kutsua myös tähdeksi. Jokaisen säännöllisen monikulmion, kuten myös pentagrammin, sisä- ja ulkopuolelle voidaan piirtää ympyrät, jossa ulkoympyrän kehällä ovat kaikki kärjet ja sisäympyrää sivuavat kaikki pentagrammin sivut.

Muodostuminen

Kun ympyrän kehältä merkitään tasavälein viisi pistettä, joiden välisten kaarten keskuskulmat ovat  täydestä kierroksesta eli 72°, saadaan pentagrammin piirtämiseen tarvittavat kiintopisteet. Kahden pisteen yhdistäminen janalla muodostaa yhden monikulmion sivun. Kun vierekkäiset pisteet yhdistetään janoilla, saadaan säännöllinen viisikulmio, ja kun joka toinen piste yhdistetään, saadaan pentagrammi. Piirtämällä molemmat samaan kuvioon, toistetaan antiikin kreikassa paljon käytettyä tapaa. Kuitenkin pythagoralaiset pitivät pentagrammia itseään ”pyhänä” kuviona, joka ilmensi heidän geometriansa monia löytöjä.
Se voidaan myös ajatella syntyvän murtoviivasta, jossa on viisi yhtä pitkää janaa, yhdistämällä sen vapaat päätepisteet ja taivuttamalla sen kulmat yhtä suuriksi. Tämä voidaan toteuttaa ajattelemalla, että murtoviiva asetetaan ympyrän kehälle niin, että sivujen keskikohdat koskettavat ympyrää tangentiaalisesti. Pienentämällä sisäympyrän sädettä, liikkuvat murtoviivan päätepisteet lähemmäksi toisiaan ja kun ne koskettavat toisiaan ensimmäisen kerran, syntyy viisikulmio, ja kun ne koskettavat toisen kerran, syntyy pentagrammi (katso oheinen animaatio).

Kulmia ja kolmioita

Pentagrammin sivut yhditävät toisiinsa joka toisen kehäpisteen ja sivua vastaava kehäkulma silloin on 144°. Pentagrammia piirtäessä joutuu kiertämään ympyrän keskipistettä 5 · 144° = 720° = 2 · 360° eli kaksi kierrosta. Pentagrammin ulkokulma on (2 · 360°) / 5 = 144° ja sen sisäkulma on 36°.
Pentagrammilla ei ole lävistäjiä tavallisessa mielessä, jolloin lävistäjät kulkevat monikulmion sisäosassa. Pentagrammin ”lävistäjät”, jotka yhdistävät vierekkäiset kärjet toisiinsa ja joita on viisi, kulkevat pentagrammin ulkopuolella.
Molempien viisikulmioiden kärjet sijaitsevat ulkoympyrän (violetti) kehällä kohdissa, joissa keskuskulma on 72°. Pentagrammin muodostaneen murtoviivan kärjet sijaitsevat joka toisessa kohdassa, joten peräkkäisten kärkien keskuskulma on 144°. Tämän takia sivut leikaavat toisiaan kahdesti symmetrisissä kohdissa ja nämä viisi leikkauskohtaa muodostavat sisäympyrää (oranssi) hieman suuremman ympyrän (punainen). Kaikki kolme mainittua ympyrää ovat samankeskisiä.
Pentagrammiin sisältyy kymmenen tasakylkistä kolmiota, joista viidessä kaikki kulmat ovat teräviä, viidessä taas yksi tylppä. Niissä kaikissa pidemmän sivun suhde lyhyempään on φ eli kultainen leikkaus. Ne tasakylkiset kolmiot, joissa kaikki kulmat ovat teräviä ja jotka muodostavat tähden kärjet, ovat kultaisia kolmioita, joissa kulmat ovat 36°, 72° ja 72°.  Tylppäkulmaisissa tasakylkisissä kolmioissa kulmat ovat 144°, 36° ja 36°. Sen kantana on pentagrammin sivu ja kyljet ovat janat, jotka lähtevät kärjistä ja päättyvät sakaroiden takimmaiseen leikkauspisteeseen, ja ne on merkitty oheiseen kuvioon värillisillä viivoilla.
Pentagrammin sakarat ovat tasakylkisiä kolmioita, jonka kehäkulma on 36° ja kantakulmat 72°. Tähden sisäosa on säännöllinen konveksi viisikulmio, jonka sisäkulma on 108°. Pentagrammin sakaraa kutsutaan kultaiseksi kolmioksi, sillä sen kyljen suhde kantaan on kultainen leikkaus. Pentagrammista löytyy toinenkin tasakylkinen kolmio.