Ystävällinen lukupari

Ystävällinen lukupari on kahden eri luvun (n ja m) lukupari, jossa n on m:n tekijöiden summa ja m n:n tekijöiden summa. Pari m = 284, n = 220 on esimerkki tällaisista luvuista, koska 284 = 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 ja 220 = 1+2+4+71+142. Se on samalla pienin mahdollinen ystävällinen lukupari.

Ystävälukujen ominaisuuksia

On olemassa erilaisia konstruktioita löytää ystävälukupareja. Yhden yksinkertaisen tavan kehitti Thabit ibn Qurrah (n. 836–901).

Thabitin menetelmä

Kun n ≥ 1 ja jos p, q, r ovat alkulukuja ja ne ovat muotoa
p = 3 · 2ⁿ − 1,   q = 3 · 2ⁿ⁻¹ − 1,  r = 3² · 2ⁿ⁻¹ − 1, niin luvut 2ⁿ pq ja 2ⁿ r ovat ystävällisiä.
Esimerkki: 
kun n = 2, saadaan että p = 3 · 2² − 1 = 11, q = 3 · 2²⁻¹ − 1 = 5 ja  r = 3² · 2²ⁿ⁻¹ − 1 = 71, mitkä kaikki ovat alkulukuja. 
Ja 2ⁿ pq = 2² · 11  · 5 = 220  ja 2ⁿ r = 2² · 71 = 284, mitkä ovat ystävälukupareja. Samalla tavalla saamme kun n = 4 parin (17296, 18416). 
Ongelma Thabit ibn Qurrah'n kaavassa on se, että se toimii vain kun n = 2, 4, 7. Ei voida sanoa, toimiiko se millään muilla n:n arvoilla, mutta ei ainakaan muilla n < 20 000.

Ystävälukujen historia

Ensimmäinen ystävälukupari (220, 284) on tunnettu jo antiikin ajoista saakka. Yleisen kaavan, jolla voi osan numeropareista selvittää, keksi Thabit ibn Qurrah vuoden 850 tienoilla. Samoja lukupareja tutki myös muita arabialaisia matemaatikoita, mm. Al-Baghdadi (980–1037), Kamal Al-Din Farisi (1260–1320) ja Ibn al-Banna al-Marrakushi al-Azdi (1256–1321).
Al Banna löysi seuraavan parin (17 296, 18 416) käyttämällä Thabitin teoreemaa (n = 4), joskin lukuparin löytäjiksi on merkitty Pierre de Fermat ja Marin Mersenne vuonna 1636. Al-Fārisī löysi seuraavan parin (9363584, 9437056) Thabit:n teoreeman mukaisen (n = 7). Iranilainen matemaatikko Muhammad Baqir Yazdi 1500-luvulla löysi saman parin, kuten myös Descartes 1638, jonka nimiin löytö yleisesti on merkitty. Kuten huomataan, monet itäeurooppalaisten matemaatikkojen työt tästä aiheesta on unohdettu.
Seuraavat 27 paria löysi Leonhard Euler 1747. Hän julkaisi pienen paperin, jossa oli 3 jo ennestään löytynyttä ja 27 uutta paria. Tosin yksi pari ei ollut ystävällinen. Myöhemmin Euler täydensi listaansa hämmästyttävällä 61 parilla, joista myöhemmin hylättiin 2 paria. Euler ei jättänyt jälkipolville paljoakaan tietoa siitä, kuinka hän löysi parit. Hän käytti samaa metodia kuin Descartes ja Fermat, jossa luvut ovat muotoa 2ⁿ xy ja 2ⁿ z, missä x, y ja z ovat kaikki alkulukuja. Jotta luvut muodostaisivat ystävällisen parin, pitäisi olla z = xy + x + y. Fermat ja Descartes olivat tutkineet alkulukuja x, y ja z nähdäkseen, mitkä niistä muodostavat ystävällisen lukuparin.
Tällä tavoin Euler ei voinut löytää kaikkia pareja, koska vain kolmella ensimmäisellä lukuparilla on tämä muoto. Yksitoista seuraavaa lukua ovat muotoa 2ⁿ xy ja 2ⁿ zw, missä x, y, z ja w ovat kaikki alkulukuja, mutta muut sisältävät niinkin monta kuin seitsemän erilaista alkutekijää, ja kymmenen pareista on parittomien lukujen pareja. B. Nicolò I. Paganini järisytti matematiikan maailmaa 16-vuotiaana löytämällä v. 1866 parin (1 184, 1 210), joka on toiseksi pienin ystävälukupari.
E. Escott julkaisi 1946 listan, jossa oli 390 paria. P. Poulet löysi 43 lukuparia jo vuonna 1941, mutta ne julkaistiin vasta 1948 postuumisti. Carcia ja hänen oppilaansa julkaisivat 160 uutta paria. Tietokoneiden kehittyessä löydettyjen parien lukumäärä on kasvanut huimasti.
Vuoteen 2010 mennessä on löydetty n. 11 994 387 ystävälukuparia. Ensimmäiset 13 lukuparia ovat:
(220, 284), (1184, 1210), (2620, 2924), (5020, 5564), (6232, 6368), (10774, 10856), (12285, 14595), (17296, 18416), (63020, 76084), (66928, 66992), (67095, 71145), (69615, 87633), (79750, 88730)