Satunnaiskenttä

Satunnaiskenttä  (engl. random field ) tai satunnaisfunktio  (engl. random function) on todennäköisyyslaskennassa stokastisten prosessien yleistys, jossa satunaismuuttujien indeksoinnissa ei enää tarvitse rajoittua kokonaislukuihin eli "järjestysnumeroihin" (diskreetti stokastinen prosessi) tai reaalilukuarvoihin eli "aikaan" tai "matkaan" (jatkuva stokastinen prosessi). Satunnaiskentässä eri satunnaismuuttujat on indeksoitu ja järjestetty moniulotteisilla vektoreilla tai moniston pisteillä. Vetrorien tai moniston pisteiden laatu määrittää satunnaiskentän satunnaismuuttujien välisen metrisen rakenteen. Satunnaismuuttujien jakaumat ja satunnaismuuttujien väliset riippuvuudet määrittävät puolestaan satunnaiskentän arvojen sisäisen rakenteen. Satunnaiskenttien teoriassa voidaan soveltaa monimuuttujaista yhteisjakaumaa, mutta soveltamisessa käytäntöön tyydytään useimmiten huomioimaan jakaumien kahta ensimmäistä momenttia. Nämä ovat odotusarvo ja kovarianssi. Riippuvuuksien arvioinnissa kovarianssi korvataan joskus muilla satunnaisuutta ilmaisevilla funktioilla. Satunnaismuuttujien välisiä riippuvuuksia havainnollistetaan spatiaalisen autokorrelaation avulla.

Mittaustilanteita

Kahden muuttujan koordinaatistossa, eli kouluissa tuneetulla xy-koordinaatistossa, on jokaisen tason pisteessä satunnaismuuttuja. Eri satunnaismuuttujiin voidaan viitata koordinaateilla esimerkiksi merkinnällä S(x,y) tai niihin voidaan viitata pisteiden Pᵢ tunnuksilla SPᵢ tai numeroinnilla Sᵢ. Silloin voidaan tulkita, että koordinaatit x ja y ovat satunnaismuuttujien indeksit tai tason pisteet Pᵢ ovat satunnaismuuttujien indeksejä. Satunnaismuuttujien arvot vaihtelevat kunkin oman satunnaisjakaumansa mukaisesti. Satunnaismuuttujien arvot voivat lisäksi riippua toisitaan eri mekanismeilla. Riippuvuus voi heikentyä etäisyyden kasvaessa ja se saattaa loppua tietyn etäisyyden jälkeen. Satunnaismuuttuja voivat myös olla toisistaan riippumattomia.
Esimerkkejä tai ehdotuksia käytännön sovelluksista on runsaasti. Sattunaiskentällä voisi mallintaa alueen lumen syvyyttä lumimyrksyn jälkeen. Alueen paikkakoordinaatistona olisi sopivaan asentoon asetetun xy-koordinaatisto. Satunnaismuuttujien saamat arvot kussakin paikassa (x,y) olisivat lumen syvyys tai lumen vesipitoisuus. Eri pisteissä olevien lumen syvyyksien jakaumat ja niiden väliset korrelaatiot määritettäisiin tilastollisesti olettamalla jakaumien olevan samalaiset eri pisteissä. Vastaavia satunnaiskentän sovellusalueita ovat esimerkiksi valtameren vedenpinnan korkeus, aurinkoenergia määrä maastossa, maapallon pintalämpötilat, alueen pohjaveden korkeus, alueen asukastiheys ja viljelyalueen satoisuus.
Jos koodinaatisto olisi kolmeulotteinen eli tila-avaruus, jonka pisteiden esittämiseksi tarvitaan koordinaatit x, y ja z, voidaan käsitellä tilan satunnaisuuksia merkinnällä S(x,y,z). Tällä laajennuksella voidaan mallintaa esimerkiksi saasteiden leviäminen järveen tai mereen, malmipitoisuutta kalliossa, lämpötilan jakaantumista ilmakehässä tai aivoskannausta. Muuttamalla indeksointia sopivaksi, voidaan käsitellä satunnaiskentillä muita kuin spatiallisia kenttiä. Tällaisia mallinnettavia asioita olisivat esimerkiksi vakuutusseuraamukset tulipaloissa ja työttömyysaste valtion taloudessa.

Gaussiset satunnaiskentät

Monissa satunnaiskenttien sovelluksissa käytetään Gaussista satunnaiskenttää, jonka satunnaismuuttujat ovat kaikki normaalisti jakautuneita. Satunnaismuuttuja on Gaussinen, jos sen jakaumafunktio on Gaussin käyrä. Gaussin käyrän parametrejä ovat vain odotusarvo ja varianssi. Satunnaiskentän kaikilla satuunnaismuuttujilla voi olla identtiset jakaumat, mutta sellaisiakin kenttiä käytetään, jossa odotusarvo vaihtelee kentän eri osissa tai toisissa vastaavasti varianssi. Yleisin tapaus on sellainen kenttä, jossa mikään satunniasmuuttujan odotusarvo tai varianssi ei ole sama.

Stationäärisyys

Satunnaiskentän stationäärisyyden aste näyttelee merkittävää roolia tilastollisen soveltamisen kannalta. Satunnaiskentän yhteiset tai sännöllisesti muuttuvat ominaisuudet mahdollistavat laajempien päätelmien tekemisen eri pisteiden saamista arvoista. Satunnaismuuttujilla saattaa olla sama odotusarvo tai odotusarvot muodostavat erisuuntaisia trendejä. Autokorrelaation aste voi olla myös säännöllinen.