Riemannin integraali

Riemannin integraali on sovellettu integraali, joka on mittaintegraaleihin verrattuna helpommin määriteltävissä. Sen avulla voi määrittää pituuksia, pinta-aloja, tilavuuksia sekä pyörähdyskappaleiden tilavuuksia ja pinta-aloja.
Riemannin integraali perustuu integroitavan funktion alle jäävän pinta-alan jakamiseen äärettömän pieniin paloihin. Sillä on teoreettisia rajoituksia, jotka voidaan ohittaa käyttämällä esimerkiksi Lebesguen integraalia, joka saa Riemann-integroituvilla funktioilla samat arvot. On olemassa funktioita, jotka ovat Lebesgue-integroituvia mutta eivät ole Riemann-integroituvia.
Riemannin integraali oli ensimmäinen funktiolle reaaliakselin välin yli muodollisesti määritelty integraali. Se on nimetty kehittäjänsä Bernhard Riemannin mukaan.
Integrointi on derivoinnin käänteisoperaatio.

Riemannin integraalin määrittely

Riemannin integraalin määrittelyn tavoitteena on löytää yksiselitteinen pinta-ala reaalilukujen tason kuviolle, jonka rajaavat koordinaatistossa suorat ,  ja , sekä käyrä , missä  on funktio . Tutkittavat pinta-alat ovat etumerkillisiä. Toisin sanoen, jos  saa negatiivisia arvoja, ovat pinta-alat negatiivisia. Tason kuvaamiseen käytetään merkintää:
Funktion  halutaan sallia olevan mahdollisimman yleinen, toisin sanoen tässä ei rajoituta integroitaviin funktioihin, jotka ovat jossakin mielessä sopivan sileitä. Tämän vuoksi tässä esiteltävä määritelmä saattaa olla monimutkaisempi kuin joissakin oppikirjoissa.
Tämä määrittely tehdään jakamalla väli  osaväleihin, joita sitten tihennetään äärettömästi. Jokaisella osavälillä suoran  ja käyrän  väliin jäävää pinta-alaa approksimoidaan suorakulmioilla. Jaon tihentyessä suorakaiteiden pinta-alojen summan pitäisi supeta kohti kysyttyä pinta-alaa. Riemannin integraalissa suorakaiteen korkeudeksi valitaan funktion  arvo osavälin mielivaltaisessa pisteessä, jolloin jokaista jakoa vastaavan kuvion pinta-ala on niin kutsuttu Riemannin summa. Tässä annetaan kuitenkin myös Darboux'n integraalin määritelmä, missä valitaan kaksi suorakaiteen korkeutta, jotka ovat funktion  maksimi ja minimi kullakin osavälillä, ja sen jälkeen tutkitaan, suppenevatko kyseiset pinta-alat, niin kutsutut Darboux'n ylä- ja alasumma, toisiinsa.
Annetaan nyt muutama määritelmä, joilla saadaan muotoiltua vaadittava osavälien tihentäminen teknisesti. Olkoon  ja . Välin  -välinen jako on lukujono 
 
jolle pätee  kaikilla ,  ja . Tällöin välit , missä , muodostavat yhteisiä päätepisteitä lukuun ottamatta välin  osituksen. 
Jatkossa jaon merkitsemiseen käytetään symbolia , ja lisäksi oletetaan, että  on -jakoinen, missä siis  on luonnollisten lukujen jono. Jaon  jakopisteitä merkitään symbolilla , missä , eli toisin sanoen
 
Jaon  pisin jakoväli on luku
Jako  on jaon  tihennys, jos , eli jaossa  on vähintään samat jakopisteet kuin jaossa . Jakojen jono  on tihenevä, jos jokainen jako  on sitä edeltävän jaon  tihennys.

Riemannin summa ja integraali

Olkoon  välin  jako, ja jono 
sellainen, että  kaikilla .
Olkoon  funktio . Funktion  jakoa  pisteissä  vastaava Riemannin summa on
Riemannin summan jokainen termi vastaa siis sellaisen suorakaiteen etumerkillistä pinta-alaa, jonka kanta on  ja korkeus . Se voidaan täten mieltää etsityn pinta-alan likiarvoksi. Likiarvon voisi olettaa tarkentuvan, kun jakoa tihennetään, mutta näin ei välttämättä ole. Esimerkiksi rationaalilukujen joukon indikaattorifunktiolle  voidaan kaikille tiheneville jakojonoille  valita pisteet  siten, että vastaava Riemannin summien jono  ei suppene.
Riemannin integraali määritellään seuraavaksi tihenevän jaon Riemannin summien raja-arvona. Koska raja-arvo ei välttämättä ole olemassa, sanotaan Riemann-integroituviksi niitä funktioita, joilla raja-arvo on olemassa riippumatta pisteiden  valinnasta.
Olkoon jakojen jono  tihenevä ja , kun . Tämän voi tulkita niin, että jaot hienonevat äärettömän tiheiksi koko välillä . Sanotaan, että funktion  Riemannin summilla on raja-arvo , jos jokaiselle luvulle  on olemassa luvut  ja  siten, että
ja  on yksikäsitteinen kaikilla jonolla . Jos Riemannin summilla on raja-arvo , niin funktio  on Riemann-integroituva välillä  ja sen Riemannin integraali on luku . Tällöin merkitään
Tässä merkintätavassa funktiota  kutsutaan integrandiksi.
Tämä määritelmä saattaa olla vaikeaselkoinen ja sen käyttäminen monimutkaista. Seuraavaksi määritellään Darboux'n integraali, jonka määritelmä lienee intuitiivisempi ja joka on ominaisuuksiltaan olennaisin osin sama kuin Riemannin integraali.

Darboux'n integraali

Olkoon  reaalifunktio . Funktion  Darboux'n yläsumma jaolla  on
Vastaava Darboux'n alasumma on
Olkoon jakojen jono  tihenevä ja , kun . Jaon ollessa tihenevä, ovat sekä Darboux'n ylä- että alasummien arvot, eli jonot  ja , monotonisia. Darboux'n yläintegraali on yläsummien vähenevän jonon infimum, eli luku
Darboux'n alaintegraali on puolestaan alasummien kasvavan jonon supremum, eli luku
Funktio  on Darboux-integroituva, jos edellä mainitut raja-arvot ovat yhtäläiset eli
Tällöin kyseistä raja-arvoa kutsutaan funktion  Darboux'n integraaliksi yli välin .
Funktio on Darboux-integroituva jos ja vain jos se on Riemann-integroituva. Yleinen tapa tarkastaa, onko funktio Riemann-integroituva, onkin verrata sen Darboux'n ylä- ja alaintegraalin arvoja. Lisäksi Darboux'n integraalin arvo on sama kuin Riemannin integraalin, toisin sanoen jos  on Darboux- eli Riemann-integroituva, niin
Näistä syistä johtuen Riemannin integraali voidaan periaatteessa määritellä kuten Darboux'n integraali. Joissakin oppikirjoissa esitelläänkin Darboux'n integraali Riemannin integraalina.
Darboux'n ylä- ja alasummat voidaan merkitä myös  ja , joissa P on välin jako.

Riemannin integraalin määritelmän yleistäminen

Riemannin integraali yleistetään mielivaltaiselle integrandin lähtöjoukolle seuraavasti. Olkoon joukko  sellainen, että ,  reaalifunktio  ja  sen rajoittuma välille . Jos  on Riemann-integroituva, niin sanotaan, että  on Riemann-integroituva välillä , ja funktion  Riemannin integraaliksi yli välin  määritellään
Lisäksi määritellään
ja

Epäoleellinen integraali

Epäoleellinen integraali on Riemannin integraalien raja-arvo, jossa väli, jonka yli integroidaan, lähestyy joukkoa jossa Riemannin integraali ei ole edellä olevan määritelmän mukaan määritelty. Epäoleellinen integraali voidaan tulkita Riemannin integraalin laajennukseksi, eikä merkinnöissä näille tehdä yleensä eroa.
Ensiksi määritellään epäoleellinen integraali rajoitetulle suljetulle välille tapauksessa, jossa integrandi ei ole määritelty toisessa välin päätepisteessä. Toiseksi määritellään epäoleellinen integraali rajoittamattomalle välille.
Olkoon funktio  Riemann-integroituva kaikilla väleillä . Jos vasemmanpuoleinen raja-arvo
on olemassa eli reaaliluku, ääretön tai miinus ääretön, niin funktion  epäoleellinen integraali yli välin  on
Funktiolle  epäoleellinen integraali määritellään samoin oikeanpuoleisen raja-arvon kautta.
Olkoon funktio  Riemann-integroituva kaikilla väleillä . Jos raja-arvo
on olemassa, niin funktion  epäoleellinen integraali yli välin  on
Samoin määritellään funktiolle

Riemannin integraalin ominaisuuksia

Koska Riemannin integraali on määritelty mittateoriasta riippumattomasti, ei se peri kaikkia yleisiä mittaintegraalin ominaisuuksia, vaan ne on johdettava sen määritelmästä analyysin menetelmin. Useimmat niistä ovat johdettavissa, mutta erityisesti konvergenssilauseita ei pysty Riemannin integraalille todistamaan ilman mittateoriaa. Ne ja kaikki muutkin mittaintegraalin ominaisuudet kuitenkin ovat voimassa, sillä Riemannin integraali yhtenee Riemann-integroituville funktioille joidenkin mittaintegraalien kanssa, esimerkiksi Lebesguen integraalin ja Riemann–Stieltjes-integraalin, jonka integraattori on identtinen kuvaus.

Riemann-integroituvia funktioita

Suljetulla välillä jatkuvat funktiot ovat Riemann-integroituvia. Riemann-integroituvien funktioiden summa ja tulo on Riemann-integroituva.

Integraalilaskennan väliarvolauseita

Jos funktio  on Riemann-integroituva välillä , niin
Jos  on jatkuva välillä , niin on olemassa sellainen , että
Edellä olleita tuloksia kutsutaan integraalilaskennan väliarvolauseiksi. Seuraavia kutsutaan (integraalilaskennan) yleistetyiksi väliarvolauseiksi.
Jos funktiot  ja  ovat Riemann-integroituvia välillä ,  ja
niin
Jos  on jatkuva välillä , niin on olemassa sellainen , että

Riemann-integroituvien funktioiden jonojen ominaisuuksia

Nimenomaan funktiojonoja tutkittaessa Riemannin integraalin tekniset puutteet tulevat esiin. Mittateoriassa on käytännöllisiä ja vahvoja konvergenssilauseita, joiden todistaminen on Riemannin integraalille mahdotonta pelkästään analyysin keinoin. Ne pätevät myös Riemannin integraalille, mutta tässä annetaan kaksi ilman mittateoriaa johdettavissa olevaa kaavaa integroimisen ja funktiojonon raja-arvon oton järjestyksen vaihtamiselle. Ne vaativat tasaisen suppenemisen ehdon, mikä on vaativampi ja monimutkaisempi kuin konvergenssilauseiden ehdot, jotka ovat funktiojonon monotonisuus tai funktiojonon rajoittuneisuus. Pelkkä pisteittäinen suppeneminen ei takaa integroimisen ja raja-arvon oton järjestyksen vaihdettavuutta.
Olkoon  jono Riemann-integroituvia funktioita .
Jos  suppenee tasaisesti kohti Riemann-integroituvaa funktiota, niin raja-arvon ja integroimisen järjestys voidaan vaihtaa, eli pätee kaava
Jos sarja
 suppenee tasaisesti kohti Riemann-integroituvaa funktiota, niin summan raja-arvon ja integroimisen järjestys voidaan vaihtaa, eli pätee kaava

Riemannin integraalin arvon määrääminen

Riemannin integraalin arvo voidaan laskea integraalifunktion avulla. Muita yleisiä apukeinoja ovat sijoittaminen eli muuttujanvaihto ja osittaisintegrointi.

Analyysin ensimmäinen peruslause

Analyysin ensimmäinen peruslause antaa yhteyden integraalifunktion ja Riemannin integraalin välille sekä hyvin käytännöllisen tavan Riemannin integraalien laskemiseen. Sen mukaan, jos  on välillä  jatkuva funktio ja  jokin sen integraalifunktio, niin pätee yhtälö

Integrointi sijoittamalla

Olkoon  jatkuva funktio reaalivälillä . Jos  funktio , jonka derivaatta on jatkuva ja jolle  ja , niin
Tässä siis muuttujan  tilalle sijoitetaan muuttujan  kuvaus , eli identtisen kuvauksen  tilalle sijoitetaan kuvaus . Tätä kutsutaan Riemannin integraalin muuttujanvaihtokaavaksi. Laskua, jossa etsitään kuvaus  ja sijoitetaan se muuttujanvaihtokaavaan, kutsutaan sijoittamalla integroimiseksi.

Osittaisintegrointi

Osittaisintegrointi on operaatio, jonka merkitys riippuu asiayhteydestä, mutta osittaisintegrointikaava Riemannin integraalille pätee seuraavassa muodossa. Olkoon  ja  derivoituvia sekä derivaatat  ja  Riemann-integroituvia välillä . Tällöin

Riemannin integraalin sovelluksia

Riemannin integraali soveltuu määritelmänsä kautta luonnollisesti tasokuvioiden pinta-alojen laskemiseen.

Tasokuvion pinta-ala

Tasokuvion, joka jää suorien  ja  sekä x-akselin ja jatkuvan funktion  kuvaajan  sisäpuolelle, pinta-ala on
Yleisemmin, jos  ja  ovat jatkuvia funktioita  ja , niin niiden kuvaajien sekä suorien  ja  väliin jäävän tasokuvion pinta-ala on

Käyrän pyörähdyskappaleen tilavuus

Jos  on jatkuva funktio, niin suorien  ja  ja käyrän  x-akselin pyörähdyskappaleen tilavuus on

Käyrän pyörähdyskappaleen pinnan ala

Jos  on funktio , joka on positiivinen välillä  ja jonka derivaatta on jatkuva välillä , niin käyrän  pyörähtäessä x-akselin ympäri syntyvän kappaleen pinnan ala on