Supremum

Reaalilukujoukon supremum

Ylärajan määritelmä. Olkoon .
Reaaliluku E on joukon S yläraja , jos ja vain jos kaikille  pätee x ≤ E.
Joukko S on ylhäältä rajoitettu jos ja vain jos jokin reaaliluku on sen yläraja.
Supremumin määritelmä. Olkoon edelleen .
Luku E   on joukon S supremum eli pienin yläraja,
jos ja vain jos se on pienin joukon S ylärajoista eikä mikään pienempi reaaliluku ole joukon S yläraja.
Tällöin merkitään E = sup(S). Siis joukolla S on supremum ja kyseinen supremum on E.
E = sup(S) 
1) E  ≥  x kaikilla x   S eli E on joukon S yläraja.
2) E ≤ M kaikilla joukon S ylärajoilla M.
Siis vielä sanallisesti: Reaaliluku E on joukon S supremum jos ja vain jos E on suurempi tai yhtäsuuri kaikkia joukon S alkioita ja E on pienempi tai yhtäsuuri kaikkia muita joukon S ylärajoja.
Jos epätyhjällä joukolla S on olemassa supremum, se on yksikäsitteinen. Joukolla voi siis olla enintään yksi supremum.
Todistus. Olkoon sup(S) = E ja sup(S) = E2. Siis E2 on joukon S eräs yläraja. Tällöin supremumin määritelmän nojalla E ≤ E2. Samoin saadaan E2 ≤ E. Siis E = E2.

Täydellisyysaksiooma

Reaalilukujen joukossa on voimassa täydellisyysaksiooma: 
Jos joukko  on epätyhjä ja se on ylhäältä rajoitettu, on joukolla S supremum eli pienin yläraja joukossa . Epätyhjä tarkoittaa, että joukon S täytyy sisältää ainakin yksi reaaliluku.  Siis jos joukko S on ylhäältä rajoitettu, niin sup(S) on olemassa.
Jos joukko S sisältää suurimman alkion eli maksimin, on se joukon S supremum.
Rationaalilukujen joukossa täydellisyysaksiooma ei ole voimassa. Esimerkiksi joukko
 

on ylhäältä rajoitettu, mutta sillä ei ole rationaalilukujen joukossa pienintä ylärajaa. Sen sijaan reaalilukujen joukossa sen pienin yläraja eli supremum on .

Joukon maksimi

Joukon suurimman alkion eli maksimin on kuuluttava joukkoon kun taas supremumin ei tarvitse kuulua joukkoon. Siis jos supremum on olemassa, se ei välttämättä kuulu joukkoon S. Jos joukko S sisältää suurimman alkion eli maksimin, on se joukon S supremum.
Jos  ja maxS on olemassa niin maxS = sup(S).
Todistus. Olkoon olemassa maxS = E.
1)E on joukon S yläraja eli kaikilla x  S pätee x ≤ E.
2)Koska E  S niin E ≤ sup(S). Toisaalta 1):n nojalla E on joukon S yläraja. Siis E ≥ sup(S). Siis E = sup(S).
Ajatellaan negatiivisten reaalilukujen joukkoa, johon nolla ei kuulu. Kyseisellä joukolla ei ole suurinta alkiota sillä jokaiselle osajoukon alkiolle on aina olemassa toinen, suurempi alkio. Siis jokaiselle x   on olemassa x/2 , jolle  x < x/2. Jokainen reaaliluku joka on suurempi tai yhtäsuuri kuin nolla on yläraja negatiivisten reaalilukujen joukolle. Siis nolla on negatiivisten reaalilukujen joukon pienin yläraja eli supremum. Siis negatiivisten reaalilukujen joukolla on supremum mutta ei suurinta alkiota eli maksimia.

Supremumin osoittaminen

Yksinkertaisessakin tapauksessa supremumin määritelmän soveltaminen on melko työlästä. Seuraavien lauseiden avulla supremumia voidaan tutkia yksinkertaisemmalla tavalla.
Lause 1. Olkoon E = sup(S) ja   > 0. Tällöin on olemassa x  S, jolle x >  E - 
Lause 2. Olkoon S  ja E . Tällöin E = sup(S) jos ja vain jos
1) E on joukon S yläraja. Siis x ≤ E kaikilla x  S.
2) Kaikille  > 0  x    S, jolle x > E - 

Supremum osoitetaan jollakin seuraavista tavoista tilanteesta riippuen:
a) Jos joukossa S näyttäisi olevan suurin alkio E, osoitetaan kohdat:
1) E   S.
2) x ≤ E  kaikille x  S.
Tällöin  maxS = sup(S).
b) Jos joukko S on ylhäältä rajoitettu, mutta joukossa ei ole suurinta alkiota, osoitetaan kohdat:
1) x ≤ E kaikille x  S, jolloin E on S:n eräs yläraja.
2) E -  ei ole S:n yläraja. Siis E on ylärajoista pienin.
Tällöin E = sup(S).
c) Osoitetaan, että joukko ei ole ylhäältä rajoitettu näyttämällä, että joukossa on mielivaltaisen suuria lukuja. Siis joukosta löytyy mielivaltaisesti valittua rajaa suurempia lukuja.