Konstruoituva luku

Tason piste on konstruoituva, jos se voidaan konstruoida geometrisesti käyttäen harppia ja viivainta. Luvun sanotaan olevan konstruoituva luku, jos sitä vastaava piste tavanomaisessa euklidisessa koordinaatistossa on konstruoituva.
Geometristen konstruktiotehtävien suorittaminen koordinaatistossa mahdollistaa myös analyyttisen geometrian hyödyntämisen konstruktiotehtävien tutkimiseen. Lisäksi 1800-luvulla keksittiin soveltaa konstruktiotehtäviin kuntien teoriaa, jolloin käyttöön saatiin algebran työvälineitä. Näin voitiin todistaa mahdottomiksi ongelmia, joita oli menestyksettömästi yritetty ratkaista yli kahden vuosituhannen ajan.

Aritmeettiset operaatiot

Harppia ja viivainta käyttämällä aritmeettiset operaatiot muuttuvat visuaalisiksi. Jo pelkän viivaimen avulla voidaan suorittaa neljä peruslaskutoimitusta: summa, erotus, tulo ja osamäärä. Voidaan osoittaa, että näiden operaatioiden avulla voidaan konstruoida koko rationaalilukujen joukko \Q, kun annettuna on jana, jonka pituus on 1.
Konstruoituvien lukujen määrä kasvaa entisestään, kun viivaimen avuksi otetaan harppi: tällöin voidaan laskea myös annetun luvun neliöjuuri. Huomattavaa on, että näin päästään myös rationaalilukujen ulkopuolelle: esimerkiksi luvun 2 neliöjuuri ei ole rationaalinen, vaikka se on konstruoituva (ks. kuva). Jokainen rationaaliluku on siis konstruoituva, mutta kaikki konstruoituvat luvut eivät ole rationaalilukuja.
Harpin ja viivaimen avulla suoritetuissa operaatioissa kukin luku esitetään sitä vastaavan mittaisen janan avulla.

Summa

Kahden luvun x ja y summa x + y lasketaan asettamalla lukujen x ja y mittaiset janat peräkkäin. Summa x + y on näin syntyvän yhteisjanan pituus.

Erotus

Lukujen x ja y erotus x - y lasketaan asettamalla lukujen x ja y mittaiset janat sisäkkäin niin, että janojen päätepisteet ovat samat. Erotus x - y on janoista pidemmän se jäljelle jäävä osa, jota lyhyempi jana ei yllä peittämään (kuvassa merkitty sinisellä).

Tulo

Lukujen x ja y tulo xy lasketaan hyödyntämällä yhdenmuotoisia kolmioita. Piirretään kaksi suoraa, jotka leikkaavat toisiaan, ja asetetaan luvun x mittainen jana ensimmäiselle suoralle ja lukua y vastaava jana toiselle. Asetetaan seuraavaksi luvun 1 mittainen jana toiselle suoralle niin, että sen alkupiste on suorien leikkauspisteessä. Piirretään suora, joka yhdistää lukua 1 vastaavan janan päätepisteen lukua x vastaavan janan päätepisteeseen. Kun lopuksi piirretään tämän äsken piirretyn suoran kanssa yhdensuuntainen suora lukua y vastaavan janan päätepisteen kautta, se leikkaa toista alussa piirretyistä suorista kohdassa, jota voidaan merkitä vaikkapa kirjaimella z. Tällöin syntyy kaksi yhdenmuotoista kolmiota, joiden vastinsivujen suhteista nähdään, että 1/x=y/z, joten z = xy (kuvassa sinisellä).

Osamäärä

Osamäärän x / y laskeminen muistuttaa tulon laskemista. Piirretään jälleen kaksi toisiaan leikkaavaa suoraa, joista toiselle asetetaan luvun x mittainen jana, ja toiselle luvun y mittainen jana. Asetetaan toiselle suoralle luvun 1 mittainen jana. Piirretään nyt suora lukua y vastaavan janan päätepisteestä lukua x vastaavan janan päätepisteeseen (tuloa laskettaessa suora piirrettiin lukua 1 vastaavan janan päätepisteestä lukua x vastaavan janan päätepisteeseen). Kun lopuksi piirretään äsken piirretyn suoran kanssa yhdensuuntainen suora lukua 1 vastaavan janan päätepisteen kautta, se leikkaa toista alkuperäisistä suorista kohdassa z. Syntyy kaksi yhdenmuotoista kolmiota, joiden vastinsivujen suhteista nähdään, että z/1 = x/y, eli z = x/y.

Neliöjuuri

Luvun x neliöjuuren konstruoimiseen vaaditaan viivaimen lisäksi myös harppia. Asetetaan lukua x vastaavan janan alkuun (tai loppuun) luvun 1 mittainen jana, ja piirretään ympyrä, jonka halkaisija on äsken saatu jana 1 + x. Piirretään lisäksi jana z lukuja x ja 1 vastaavien janojen kohtauspisteestä ympyrän kehälle, ja yhdistetään tämä kehän piste janan 1 + x päätepisteisiin. Muodostuu kolmio, joka on Thaleen lauseen mukaan suorakulmainen. Ennen kaikkea muodostuu kaksi yhdenmuotoista kolmiota, joiden vastinsivujen suhteista saadaan z/1 = x/z, joten z^2 = x, ja edelleen z = \sqrt{x}.

Kuntateoreettinen lähestymistapa

Geometriset konstruktiot voidaan ilmaista kuntateorian kielellä varsin luontevasti. Tarkasteluun nostetaan konstruoitujen pisteiden koordinaatit, ja eritysesti ne kunnat, joihin koordinaatit kuuluvat. Tyypillisesti geometrisissa konstruktioissa lähtöpisteiksi ja rakennusalustaksi otetaan rationaalilukujen kunta \Q.
Suoritettaessa konstruktioita harpin ja viivaimen avulla syntyy uusia pisteitä, ja kuten edellä nähtiin, niiden koordinaatit eivät välttämättä ole enää rationaalisia. Liitetään siis jokaiseen uuteen konstruoituun pisteeseen P = (a,b) algebrallinen kuntalaajennus \Q\left(a,b\right), joka on pienin mahdollinen kunta, joka sisältää sekä rationaaliluvut että juuri konstruoidut luvut a ja b.
Kuntalaajennuksen asteella tarkoitetaan laajennuksen dimensiota vektoriavaruutena. Voidaan osoittaa, että tämä aste on aina yhtä suuri kuin laajennuksen minimipolynomin aste.
Esimerkkinä voidaan tarkastella laajennuksen \Q(\sqrt{2}) astetta. Jos luvun \sqrt{2} minipolynomi joukossa \Q olisi astetta 1, minimipolynomin olisi oltava x - \sqrt{2}. Tämä polynomi ei kuitenkaan ole rationaalikertoiminen, joten laajennuksen asteen on oltava suurempi kuin 1. Toisaalta \sqrt{2} on toisen asteen polynomin x^2 - 2 juuri, joten se on luvun 2 neliöjuuren minimipolynomi joukossa \Q. Laajennuksen \Q(\sqrt{2}) aste on siis 2, ja merkitään [\Q(\sqrt{2})\colon \Q] = 2.
Erityisesti voidaan osoittaa, että mikäli piste on konstruoituva, niin sitä vastaavan kuntalaajennoksen asteen on aina oltava jokin luvun 2 potenssi, eli jos piste (a,b) on konstruoituva, niin \left[\Q\left(a,b\right)\colon \Q\right] = 2^n jollain n\in\N. Tätä erittäin tärkeää tietoa voidaan hyödyntää menestyksekkäästi tutkittaessa onko jokin konstruktio mahdollista suorittaa harpin ja viivaimen avulla.