بهینه‌سازی (اقتصاد)

در ریاضیات، علوم کامپیوتر و اقتصاد، بهینه‌سازی یا برنامه‌ریزی ریاضی، به انتخاب عناصر بهینه از یک مجموعه از آلترناتیوهای قابل‌دستیابی می‌پردازد. به عبارت بهتر، به دنبال یافتن بهترین مقدار قابل دستیابی از یک تابع هدف تعریف شده بر یک دامنه معین از مقادیر است. در ساده‌ترین حالت، هدف، حداقل یا حداکثرسازی یک تابع حقیقی، با انتخاب نظام‌مند مقادیر حقیقی یا اعداد صحیح از یک مجموعه از مقادیر ممکن است. ساده‌ترین مثال، استفاده از یک تابع هدف حقیقی مقدار است.
تعمیم تئوری بهینه‌سازی و تکنیک‌های فرمول‌بندی بخش بزرگی از ریاضیات کاربردی را شکل می‌دهد. تحقیق در عملیات، برنامه‌ریزی با اعداد صحیح و مختلط، مدل‌های شبکه‌ای، تئوری کنترل، برنامه‌ریزی غیرخطی، نظریه صف و برنامه‌ریزی پویا برخی شاخه‌های ریاضیات کاربردی مرتبط با بهینه‌سازی هستند که امروزه در مدیریت و اقتصاد کاربرد وسیعی دارند.

بهینه‌سازی تک بعدی و بهینه‌سازی چند بعدی

اگر تنها یک متغیر در مسئله بهینه‌سازی وجود داشته باشد، مسئله بهینه‌سازی تک بعدی و در غیر این صورت چند بعدی خوانده می‌شود.

بهینه‌سازی پویا و بهینه‌سازی ایستا

اگر تابع هزینه مسئله بهینه‌سازی تابعی از زمان نباشد، با یک مسئله بهینه‌سازی ایستا سر و کار داریم؛ ولی اگر زمان نیز وارد تابع هزینه شود مسئله بهینه‌سازی پویا می‌شود.

بهینه‌سازی مقید و نا مقید

اگر متغیرهای مسئله بهینه‌سازی به مجموعه یا قید خاصی محدود شده باشند، با یک مسئله بهینه‌سازی مقید Constrained Optimization سروکار داریم و در غیر این صورت مسئله بهینه‌سازی نامقید است.

بهینه‌سازی پیوسته و بهینه‌سازی گسسته

یک مسئله بهینه‌سازی گسسته مسئله‌ای است که در آن مقادیر متغیرهای مسئله از یک مجموعه معین گسسته هستند. در حالی که، در یک مسئله پیوسته، مقادیر متغیرها از یک مجموعه پیوسته هستند.

بهینه‌سازی تک معیاره و چند معیاره

یک مسئله بهینه‌سازی تک معیاره (Single Objective)، دارای تنها یک تابع هدف می‌باشد. اما در یک مسئله چند معیاره (Multi Objective)، تعداد تابع هدف‌هایی که به‌طور هم‌زمان بهینه می‌شوند بیش از یکی است. معمولاً در یک مسئله بهینه‌سازی چند معیاره، با دادن اهمیتی (وزنی) به هر یک از توابع هدف و جمع بستن آنها، مسئله را تبدیل به یک مسئله تک معیاره می‌کنند. حل مسائل بهینه‌سازی چند هدفه، به تنهایی مبحث مستقل و مهمی از حوزه بهینه‌سازی است.

مسئله بهینه‌سازی

مدخل اصلی: مسئله بهینه‌سازی
مسئله بهینه‌سازی به شکل زیر می‌تواند ارائه می‌شود:
با مفروض گرفتن تابع f: A  R، که در آن R مجموعه اعداد حقیقی است. به دنبال یافتن عنصری از xₒₚₜ در A هستیم به شکلی که برای هر x متعلق به A داشته باشیم (f(xₒₚₜ) ≤ f(x یا آنکه برای هر x متعلق به A داشته باشیم (f(xₒₚₜ) ≥ f(x.
چنین فرمول‌بندی مسئله بهینه‌سازی یا مسئله برنامه‌ریزی ریاضی خوانده می‌شود. بسیاری از مسائل جهان واقع می‌تواند در این چهارچوب عمومی مدل شود. نوعاً، A زیرمجموعه‌ای از فضای اقلیدسی Rⁿ است که اغلب با مجموعه‌ای از قیود، یعنی معادلات و نامعادلاتی که اعضای A باید آن‌ها را ارضا کند، مشخص می‌شود. دامنه f مجموعه انتخاب یا فضای جستجو خوانده می‌شود، درحالیکه عناصر A، جواب‌های ممکن یا قابل دست‌یابی خوانده می‌شوند.
تابع f، عموماً تابع هدف خوانده می‌شود. جواب ممکنی که تابع هدف را ماکزیمم کند یا اگر هدف مینیمم‌سازی باشد، آن را مینیمم کند، جواب بهینه خوانده می‌شود.

قضایا

قضایای اصلی مسئله بهینه‌سازی را «قضایایی برای اثبات وجود نقاط بهینه»، «قضایایی برای یافتن این نقاط» و «قضایایی برای تحلیل حساسیت این نقاط نسبت به تغییر پارامترهای مسئله» تشکیل می‌دهند. در زیر به برخی از مهم‌ترین آن‌ها اشاره می‌شود.

وجود نقطه بهینه

قضیه مقدار بحرانی منتسب به کارل وایرشتراس شرایط وجود نقطه بهینه را بیان می‌کند.
اگر فضای جواب‌های ممکن، فشرده (ویا به‌طور هم ارز، در فضای اقلیدسی، بسته و کراندار باشد) و ناتهی باشد و از طرفی تابع هدف، پیوسته باشد، آنگاه برای تابع هدف، مقادیر ماکزیمم و مینیمم (بهینه)، در این مجموعه یافت خواهد شد.

طریقه یافتن نقطه بهینه

قضیه نقطه مانای فرما بیان می‌دارد که جواب بهینه مسائل غیرمقید، در نقاطی یافت می‌شود که مشتق اول یا گرادیان تابع هدف صفر باشد. پس گام اولیه در یافتن این جواب‌ها استفاده از آزمون مشتق اول است. یعنی عموماً باید به دنبال نقاط بحرانی بود، یعنی نقاطی که در آن مشتق یا گرادیان تابع هدف صفر باشد یا تعریف نشده باشد یا در مرز ناحیه جواب باشد. معادله‌ای که در آن مشتق اول، در نقاط درون ناحیه جواب، برابر صفر قرار داده شده‌است، اغلب «شرط مرتبه اول» خوانده می‌شود.
نقاط بهینه مسائل «بهینه‌سازی با وجود قیود نامساوی»، با استفاده از ضرایب لاگرانژ به دست می‌آید. این روش نیازمند محاسبه یک سیستم از نامعادلات است که شرایط کاروش-کان-تاکر خوانده می‌شود.
آزمون مشتق اول، نقاطی را که ممکن است بهینه باشد مشخص می‌کند، اما نمی‌تواند تمایزی بین نقاط ماکزیمم، مینیمم و دیگر نقاط بحرانی ایجاد کند. زمانی‌که تابع هدف دو بار مشتق‌پذیر است، این تمایز در مسائل غیرمقید، با توجه به مشتق دوم یا ماتریس مشتق‌های دوم (ماتریس هشین) حاصل می‌شود و در مسائل مقید، این تمایز، با ماتریس مشتق‌های مرتبه دوم تابع هدف و قیود (ماتریس هشین مرزدار) یه دست می‌آید. شرایطی که تمایز بین این نقاط ماکزیمم و مینیمم را نشان می‌دهد، اغلب «شرایط مرتبه دوم» خوانده می‌شود.

اگر مسئله تغییر کند، نقطه بهینه چه تغییری می‌کند؟

قضیه پوش چگونگی تغییر مقادیر جواب بهینه را در اثر تغییر پارامترها تشریح می‌کند.
کلاود برگ (۱۹۶۳) در قضیه‌ای موسوم به قضیه ماکزیمم به تشریح پیوستگی جواب بهینه به عنوان تابعی از پارامترها می‌پردازد.

کاربرد بهینه‌سازی در اقتصاد

اقتصاد، در بسیاری مسائل، برنامه‌ریزی ریاضی را به کار می‌گیرد. در اقتصاد خرد، مسئله حداکثرسازی مطلوبیت و مسئله دوگان آن یعنی مسئله حداقل‌سازی مخارج، مسائل بهینه‌سازی هستند. فرض بر آن است که مصرف‌کنندهها مطلوبیت خود را و بنگاهها سود خود را حداکثر می‌کنند. قیمت دارایی نیز، بر پایه تئوری قیمت‌گذاری دارایی، با بهینه‌سازی توضیح داده می‌شود. برای توضیح تجارت بین کشورها نیز بهینه‌سازی به کار می‌رود.
مسئله اقتصاد به یک تعبیر عبارت است از تخصیص بهینه منابع محدود (کمیاب) به نیازهای نامحدود. از نظر ریاضی این یک مسئله بهینه‌سازی است. چنانکه در اقتصاد خرد معمول است، اگر این مسئله ایستا در نظر گرفته شود، می‌تواند به عنوان یک مسئله بهینه‌سازی مقید در نظر گرفته شود که تابع هدف آن مطلوبیت (نیازهای نامحدود) و قیود هم منابع محدود هستند. دوآل این مسئله نیز مینیمم‌سازی هزینه‌های مصرف‌کننده است که در اقتصاد خرد به آن پرداخته می‌شود. معمول‌ترین روش برای حل چنین مسائلی استفاده از شرایط کان-تاکر است. اما چنانچه، این مسئله پویا در نظر گرفته شود، به مسئله ریاضی تعیین مسیرهای زمانی برای تخصیص عوامل می‌رسیم که در ذات خود یک مسئله کنترل است و با استفاده از تکنیک‌های کنترل بهینه از جمله هامیلتونین می‌توان آن را حل کرد. اقتصاد کلان بیشتر با چنین مسائلی سر و کار دارد.

روش ضرایب لاگرانژ

هنگامیکه با قیود به شکل معادله (تساوی) سر و کار داریم، این روش بهینه‌سازی بسیار کارا خواهد بود. به‌علاوه، هنگامیکه مقادیر ثابت قیود تغییر می‌کند، اطلاعات با ارزشی از مقدار بهینه تابع هدف در اختیار می‌گذارد.
ابتدا، تابع هدف F را در نظر بگیرید که بر زیرمجموعه‌ای چون X از فضای اقلیدسی تعریف شده‌است (پس عناصر X می‌توانند بردار باشند)؛ که این زیرمجموعه، توسط قیود به شکل g(x)=b تعریف می‌شود. تابع لاگرانژ در این حالت عبارت خواهد بود از
((L(x,y)=F(x)+y.(b-g(x
شرایط لازم را می‌توان، از طریق یافتن نقاط بحرانی تابع لاگرانژ (ماکزیمم‌سازی بدون قید)، به دست آورد. به علاوه ضرایب y که به ضرایب لاگرانژ موسومند، تفسیر مهمی دارند که در زیر، همراه با مثالی توضیح داده خواهد شد.

شرایط کافی

اگر مجموعه جواب‌های ممکن، مجموعه‌ای ناتهی و فشرده و ضمناً محدب باشد، و تابع هدف بر این مجموعه، پیوسته و مقعر باشد؛ در این صورت، ماکزیمم موضعی، ماکزیمم مطلق است. بعلاوه، اگر تابع هدف اکیدا مقعر باشد، در این صورت جواب یکتاست، یعنی یک ماکزیمم مطلق یکتا وجود دارد. پس یک راه اطمینان حاصل کردن از اینکه، جواب‌های حاصل از شرایط مرتبه اول کان-تاکر، ماکزیمم هستند، بررسی شرایط یادشده‌است.
هرگاه تابع هدف  و قیود نامساوی  به‌طور پیوسته مشتق‌پذیر و محدب باشند و قیود تساوی  توابع آفین باشند؛ شرایط لازم، کافی نیز خواهند بود.
مارتین ۱۹۸۵ (Martin 1985)، دسته‌ای از توابع را مشخص کرد که در آن‌ها شرایط کان-تاکر، وجود بهینه سرتاسری را تضمین می‌کند، که توابع invex خوانده می‌شوند. اگر قیود تساوی، توابع آفین باشند، قیود نامساوی و تابع هدف به‌طور پیوسته مشتق‌پذیر و invex باشند، شرایط کان-تاکر برای بهینه سرتاسری، کافی نیز خواهد بود.

مثال

تابع کاب-داگلاس U را برای مطلوبیت مصرف‌کننده که از مصرف دو کالای x و y حاصل می‌کند، در نظر بگیرید. مصرف‌کننده در پی حداکثرسازی مطلوبیت خود است که با حداکثرسازی عبارت زیر هم ارز است:
ln U = a ln x + (۱-a) ln y
که در آن a<۱ ثابت معین می‌باشد. اما مصرف‌کننده با قید محدودیت منابع خود هم روبروست. یعنی چنانچه ثروت وی برابر w و قیمت کالاها در بازار به تر تیب برابر p و q، همگی داده شده و معین باشند؛ قیدی را که مصرف‌کننده با آن مواجه است می‌توان به شکل زیر نوشت:
px+qy≤w
با تشکیل تابع (L = a ln x + (۱-a) ln y + M(w-px-qy و نوشتن شرایط کان-تاکر داریم:
a=pMx , (۱-a)=qMy , M>۰ , px+qy≤w , M(w-px-qy)=۰
پس اولاً از ترکیب شرط میانی و شرط آخر داریم: w-px-qy=۰
(البته چون تابع هدف در هرد متغیر افزایشی است، قید همواره به صورت تساوی برقرار می‌شود)
و ثانیاً از ترکیب سه شرط اول داریم: aqy = (۱-a)px
از حل دستگاه دو معادله و دو مجهولی که توسط این دو معادله آخر ساخته می‌شود، مقادیر حداکثرساز x و y برحسب پارامترهای a,p,q,w به دست خواهد آمد که همان تقاضای مصرف‌کننده از این دو کالا را نشان می‌دهد.

کنترل بهینه

نظریه کنترل بهینه، یک روش بهینه‌سازی ریاضی است برای به دست آوردن سیاست‌گذاری‌های کنترلی و تعمیمی است بر حساب تغییرات. این روش به وسیلهٔ لو پنتریاگین و همقطارانش در شوروی و نیز ریچارد بلمن در آمریکا ابداع شد.

روش عمومی

نظریه کنترل بهینه در پی یافتن قانون کنترل برای یک سیستم معین است به شکلی که ضابطه بهینگی خاصی به دست آید. مسئله کنترل، تابعی از متغیرهای کنترل و متغیرهای وضعیت است . کنترل بهینه، در واقع مجموعه‌ای از معادلات دیفرانسیل است که «مسیری» از متغیرهای کنترل که تابع هزینه را مینیمم می‌کند، نشان می‌دهند. کنترل بهینه می‌تواند با استفاده از اصل حداکثرسازی پنتریاگین (شرط لازم)، یا حل معادله همیلتن-ژاکوبی-بلمن (شرط کافی) به دست آید.

مفاهیم کنترل بهینه به همراه مثالی ساده

اتومبیلی را در نظر بگیرید که بر خط مستقیمی روی تپه ماهور به پیش می‌رود. مسئله آن است که راننده چطور پدال گاز را بفشارد که کل زمان مسافرت وی حداقل شود؟ قانون کنترل، در این مثال، به طریقی که راننده گاز را می‌فشارد و دنده عوض می‌کند برمی‌گردد. سیستم، در این مثال، شامل جاده و اتومبیل است، ضابطه بهینگی، در این مثال، حداقل‌سازی زمان مسافرت است. مسائل کنترل معمولاً شامل قیود فرعی است. قیود فرعی در این مثال، می‌تواند شامل حداکثر سوخت قابل دسترس، حداکثر سرعت و... باشد. «تابع هزینه»، در این مثال عبارتی ریاضی است که زمان را به عنوان تابعی از سرعت، ملاحظات جغرافیایی و شرایط اولیه سیستم می‌دهد.