قضیه هیلز–جووت

در ریاضیات قضیهٔ هیلز-جووت یکی از نتایج اصلی نظریه رمزی می‌باشد، اسم این قضیه برگرفته از اسم دو شخص به نام‌های Alfred W. Hales و R. I. Jewett می‌باشد. این دو نفر می‌خواستند نشان دهند که اشیاء با ابعاد بالا، باید ساختار ترکیبیاتی قانونمندی داشته باشند و ممکن نیست که خواص چنین اشیائی به‌طور کامل رندوم و تصادفی باشد.
یک توصیف نادقیق هندسی از قضیه این است که برای هر دو عدد صحیح مثبت مانند  و  عددی مانند  وجود دارد که، اگر خانه‌های یک شبکهٔ مکعبی  بعدی ، با  رنگ، رنگ شوند، باید سطر، ستون یا قطری وجود داشته باشد که همهٔ خانه‌های آن یکرنگ هستند. به بیانی دیگر، برای نسخهٔ تعمیم یافته از بازی ایکس-او  تایی، عدد  وجود دارد که اگر این بازی در مکعب  بعدی  انجام شود، بازی هرگز مساوی نخواهد شد! مهم نیست که  چقدر بزرگ باشد یا این که چند بازیکن در بازی شرکت می‌کنند و کدام یک از در کدام نوبت بازی خواهد کرد! فقط کافی است که بازی در یک صفحه با بعد  مناسب انجام شود. با استفاده از استدلال استراتژی دزدی، شاید کسی فکر کند که اگر دو بازیکن یکی درمیان بازی کنند، آنگاه نفر اول برای های به اندازهٔ کافی بزرگ، استراتژی برد خواهد داشت، با این حال تا به الان الگوریتمی عملی برای اجرای این استراتژی شناخته نشده‌است!
برای توصیف دقیق تر،  را مجموعهٔ کلمات به طول  روی یک الفبای  حرفی تعریف می‌کنیم که این الفبا همان مجموعهٔ  می‌باشد، و با این تعریف تمام کلمات  حرفی این الفبا عضو  هستند! این مجموعه، ابرمکعبی که موضوع قضیه است را شکل می‌دهد .(در واقع اینطور تصور می‌کنیم که هر کلمه آدرس یک خانه از این ابر مکعب است) یک کلمهٔ متغیر مانند روی  کلمه‌ای است که در جای حداقل یکی از حروف آن متغیر  قرار دارد. به‌طور مثال  کلمه‌ای با ۴ حرف است! کلمات  یک خط ترکیبیاتی را در فضای  تشکیل می‌دهند، خطوط ترکیبیاتی شامل سطرها، ستون‌ها و بعضی از اقطار ابرمکعب می‌باشند، قضیه هیلز جووت بیان می‌کند که برای اعداد داده شدهٔ  و ، عدد مثبت وصحیح  وجود دارد که وابسته به  و  است و برای هر افراز  به  دسته، حداقل یک دسته وجود دارد که یک خط ترکیبیاتی به‌طور کامل عضو آن دسته است!
برای مثال قرار می‌دهیم: n=3, c=2,H=۳، ابر مکعب  به دست آمده در این حالت خاص، در واقع همان صفحهٔ بازی معروف ایکس-او است!
۱۱ ۱۲ ۱۳
۲۱ ۲۲ ۲۳
۳۱ ۳۲ ۳۳
به‌طور مثال کلمهٔ  را در نظر بگیرید، با قرار دادن ۱٬۲،۳ به جای متغیر  خط ۲۱ ۲۲ ۲۳ به دست می‌آید. یا برای مثال کلمهٔ متغیر  را در نظر بگیرید، به قرار دادن ۱٬۲،۳ به جای ، خط ترکیبیاتی یا همان قطر ۱۱ ۲۲ ۳۳ به دست می‌آید.(توجه کنید که در بازی ایکس-او، اگر تمام قطر ۱۳ ۲۲ ۳۱ توسط یکی از بازیکنان علامت گذاری شود، آن بازیکن برنده می‌شود، اما این خط، یک خط ترکیبیاتی نیست. در این حالت خاص ، قضیه هیلز–جووت برقرار نیست. در این حالت امکان‌پذیر است که خانه‌ها را به دو دسته افراز کنیم (به‌طور مثال {۱۱٬۲۲٬۲۳٬۳۱} و {۱۲٬۱۳٬۲۱٬۳۲٬۳۳}) که هیچکدام از دسته‌ها شامل یک خط ترکیبیاتی نباشند.(در واقع در این حالت بازی مساوی می‌شود!) از طرف دیگر اگر H را به عدد ۸ افزایش دهیم ،(دقت کنید که تعداد خانه‌های زمین بازی در این حالت برابر با ۳۸ = ۶۵۶۱ می‌شود!) و این زمین بازی را به دو دسته تقسیم کنیم (همان "ضربدر" و" دایره"های مشهور که در بازی استفاده می‌شود!)، یکی از دسته‌ها حتماً شامل یک خط ترکیبیاتی است .(یا به عبارتی بازی مساوی نمی‌شود!) برای اثبات پایین را نگاه کنید.

ارتباط با دیگر قضایا

دقت کنید که استدلال بالا نتیجهٔ روبه رو را نیز می‌دهد :اگر فرض کنیم که  مجموعه تمام اعداد ۸ رقمی با ارقام ۱٬۲،۳ باشد،(برای مثال A شامل ۱۱۳۳۳۲۳۳ نیز می‌باشد) اگر مجموعهٔ  را با دو رنگ، رنگ کنیم، دنباله‌ای حسابی به طول ۳ وجود دارد که همهٔ اعضای آن یک رنگ هستند، چرا که تمام خطوط ترکیبیاتی که در اثبات قضیه هیلز–جووت ظاهر می‌شوند، دنبالهٔ حسابی نیز هستند. با حالت کلی تر این استدلال، می‌توان نشان داد که قضیه هیلز–جووت ،قضیهٔ ون در واردن را تعمیم می‌دهد! در واقع، قضیهٔ هیلز-جووت ذاتاً قضیه‌ای قوی تر است!
همچنین قضیهٔ هیلز-جووت نسخهٔ قوی تری نیز در مبحث چگالی دارد که درقضیهٔ سمردی مطرح می‌شود، در این نسخهٔ قوی تر شده، به جای رنگ کردن ابر مکعب با  رنگ، ابر مکعب  و زیر مجموعه‌ای از آن به اسم  با چگالی δ بین صفر و یک داده شده‌است، این قضیه می‌گوید که برای  به اندازهٔ کافی بزرگ، که وابسته به  وδ است، مجموعهٔ  باید شامل یک خط ترکیبیاتی باشد به طوری که کل اعضای این خط در  قرار دارند.
شماره‌ای از مجلهٔ نیویورک تایمز که در تاریخ ۱۳ دسامبر ۲۰۰۹ منتشر شد از پروژه‌ای گزارش داد که توسط آقای Timothy Gowers، استاد دانشگاه کمبریج و دارندهٔ مدال فیلدز، انجام شد. این پروژه شامل اثبات آسان تری از قضیه هیلز–جووت در صورت چگالی این قضیه بود. این مقاله با نام مستعار D.H.J. Polymath منتشر شد.(اینجا را ببینید: http://arxiv.org/abs/0910.3926)