منیفلد (هندسه)

خمینه یا منیفلد (انگلیسی: Manifold، فرانسوی: Variété و آلمانی: Mannigfaltigkeit)؛ فضای توپولوژی است که در هر نقطه به صورت موضعی شبیه فضای اقلیدسی است. به طور دقیق تر، هر نقطه از فضای n-بعدی دارای همسایگی هومئومورف با فضای اقلیدسی n بعدی است. لذا اگر بخواهیم دقیق تر بگوییم یک منیفلد بر اساس توصیف فوق یک n-منیفلد است. 
یک منیفلد یک بعدی شامل خطوط و دوایر است، اما شکل عدد هشت انگلیسی منیفلد یک بعدی نیست (چرا که در مرکز عدد هشت انگلیسی دو خم با هم برخورد کرده‌اند و هیچ همسایگی آن با فضای اقلیدسی یک بعدی هومئومورف نیست). منیفلد های دو بعدی را رویه می نامند. به عنوان مثالی از منیفلد های دو بعدی می توان به صفحه، کره، چنبره اشاره کرد که تمام آن ها را می توان در فضای سه بعدی نشاند (بدون این که از خودشان عبور کنند) اما بطری کلاین و صفحه تصویری حقیقی هم منیفلد دو بعدی هستند که نمی توانند برعکس مثال های قبلی در فضای سه بعدی بنشینند (immersion) چون در این صورت الزاماً خودشان را قطع خواهند کرد. 
گرچه که یک منیفلد به صورت موضعی شباهت به فضای اقلیدسی دارد، یعنی هر نقطه از آن همسایگی ای دارد که با یک زیرمجموعه باز از فضای اقلیدسی هومئومورف است، اما به طور سراسری ممکن است با فضای اقلیدسی هومئومورف نباشد. به عنوان مثال، رویه کره با صفحه اقلیدسی هومئومورف نیست، چرا که (علاوه بر خواص دیگر) خاصیت توپولوژیکی سرتاسری فشردگی را داشته در حالی که فضای اقلیدسی متناظر با آن فشرده نیست، اما در یک ناحیه از کره می توان بوسیله ی نگاشت های تصویری چارت هایی ساخت بین آن ناحیه از کره و صفحه دو بعدی اقلیدسی. زمانی که یک ناحیه در دو چارت همسایه پدیدار گردند، آن دو نمایش به طور دقیق با هم یکی نمی شوند و تبدیلی بینشان نیاز است که به آن نگاشت انتقال می گویند. 
مفهوم منیفلد در بسیاری از بخش های هندسه و ریاضی-فیزیک مدرن نقش محوری دارد، چرا که امکان توصیف و فهم ساختار های پیچیده تر را به وسیله خواص توپولوژیکی موضعی ساده تر هندسۀ اقلیدسی را می دهد. منیفلد ها به طور طبیعی در حل مجموعه دستگاه های معادلاتی و نمودار توابع ظاهر می شوند. 
منیفلد ها را می توان با ساختار های اضافی مجهز کرد. یک دسته منیفلد های مهم، منیفلد های دیفرانسیل پذیر می باشند؛ این ساختار دیفرانسیل پذیر امکان انجام حساب دیفرانسیل و انتگرال را بر روی منیفلد ها می دهد. یک متر ریمانی روی منیفلد امکان می دهد تا فواصل و زاویه ها را اندازه گیری کرد. منیفلد های سیمپلکتیک به عنوان فضای فازی در فرمالیسم همیلتونی مکانیک کلاسیک عمل می کنند، در حالی که منیفلد های لورنتزی فضازمان را در نسبیت عام مدل می کنند.

مثال های انگیزشی

یک رویه، منیفلدی دو بعدی است، به این معنا که به صورت موضعی در همسایگی هر نقطه مشابه یک صفحه اقلیدسی می باشد. به عنوان مثال، سطح یک کره را می توان به صورت مجموعه ای از نگاشت ها (که به آن ها چارت می گویند) توصیف کرد، که این چارت ها به کمک هم دیگر اطلسی را برای آن کره تشکیل می دهند. گرچه که هیچ تک نگاشتی  کل یک کره را پوشش نمی دهد، هر نقطه از کره با حداقل یک چارت پوشش داده می شود. 
بسیاری از مکان‌های کره در بیش از یک چارت ظاهر می شوند. به عنوان مثال، نگاشت امریکای شمالی احتمالاً بخش هایی از امریکای جنوبی و قطب شمال را شامل می شود. این نواحی از کره، توسط چارت های جداگانه ای که آن ها نیز بخش هایی از امریکای شمالی را در بر می گیرند، به طور کامل توصیف می شوند. نگاشتی بین چارت های مجاور وجود دارد که به آن نگاشت گذار می گویند. نگاشت گذار امکان چسباندن چارت های مختلف را به شکل مناسب می دهد، به گونه ای که چارت ها با هم سازگاری داشته باشند و کل کره را پوشش دهند. 
توصیف چارت های مختصاتی روی رویه ها، نیازمند دانش توابع دو متغیره است، چرا که این توابع باید ناحیه ای از صفحه را به ناحیه دیگری از صفحه بچسبانند. با این حال، مثال های یک بعدی منیفلد ها (یا همان خم ها) را می توان تنها با توابع تک متغیره توصیف کرد. 
منیفلد ها کاربرد هایی در گرافیک رایانه ای و واقعیت افزوده دارند، مثل تعریف کردن مختصات بر روی تصاویر (بافت ها) در تصاویر سی تی اسکن. در واقعیت افزوده، یک تصویر (صفحه مماس) را می توان به صورت یک شیء مختصات دار دید و با استفاده از سنسور ها و تشخیص حرکت و دوران، می توان موقعیت تصویر در فضا را تشخیص داد.