بازی هماهنگی

تعادل نش همراه با استراتژی ترکیبی

بازی‌های هماهنگی همچنین تعادل نش همراه با استراتژی‌ترکیبی دارند. در مسئلهٔ بازی هماهنگی بالا، یک تعادل نش ترکیبی با احتمال p یعنی (d-b)/(a+d-b-c) برای بازی کردن به بالا و با احتمال ۱-p برای بازی کردن به پایین برای بازیکن ۱ داده شده‌است؛ همچنین برای بازیکن ۲، احتمال q یعنی (D-C)/(A+D-B-C) برای بازی کردن به چپ و احتمال ۱-q برای بازی کردن به راست داده شده‌است. با توجه به اینکه d>b و d-b<a+d-b-c می‌باشد، پس p همواره بین صفر و یک است؛ بنابراین وجود آن تضمین می‌شود (به‌طور مشابه برای q)
ارتباط متناظر برای بازی هماهنگی ۲*۲، در شکل ۶ نمایش داده شده‌است.
تعادل نش خالص، نقطه‌هایی در گوشه‌های پایین سمت چپ و بالا سمت راست از فضای راهبردی هستند، در حالیکه تعادل نش ترکیبی، در وسط، جایی که خطوط تیره تقاطع دارند، قرار گرفته‌است.
برخلاف تعادل نش خالص، تعادل ترکیبی، یک استراتژی پایدار تکاملی نیست. تعادل نش ترکیبی نیز، کارآمدی پارتوی دو تعادل نش خالص است (زمانی که بازیکنان با احتمال ناصفر در هماهنگی شکست می‌خورند.) این معمایی است که رابرت اومان را به پیشنهاد پالایشِ تعادل وابسته (همبسته) سوق داد.
بازی‌هایی مانند مسئله رانندگی بالا، نیاز برای حل مسائل هماهنگی را نشان می‌دهند. اغلب اوقات، ما با برخی پیشامدها روبرو می‌شویم، وقتی که باید مسائل هماهنگی را بدون توانایی ارتباط برقرار کردن با شریکمان حل کنیم. نویسنده‌های بسیاری پیشنهاد می‌دهند که تعادل‌های خاص، برای هدفی خاص متمرکز شوند. به عنوان نمونه، برخی تعادل‌ها ممکن است که هزینه بالاتری داشته باشند، چشمگیرتر باشند، ممکن است که عادلانه‌تر یا امن تر باشند. گاهی، رفع این ناسازگاریها، ممکن است منجر به ساختن بازی‌های هماهنگی مشخصی شود که معمولاً پیچیده و جذاب هستند؛ برای مثال، در مسئله شکار گوزن،{گوزن، گوزن} هزینه بیشتری دارد ولی {خرگوش، خرگوش} امن‌تر است.

بازی‌های دیگر با اثرات جانبی

بازی‌های هماهنگی به مفهوم اقتصادی ِ اثرات جانبی، مرتبط و نزدیک هستند و همچنین به منافعی که از بودن در شبکه‌های یکسان همانند دیگر نماینده‌ها، در اثرات جانبی با شبکه‌های مثبت خاص، حاصل می‌شوند. به‌طور عکس، بعضی نظریه‌های بازی تحت اثرات جانبی منفی، مدل می‌شوند؛ وقتی که اعمال یکسان، به جای نفع، هزینه داشته‌باشند. اسم عمومی و کلی ِ این دسته از بازی‌ها، بازی‌های ضد هماهنگی است. بهترین مثال برای بازی دونفره ضد هماهنگی، بازی جوجه می‌باشد (به عنوان بازی شاهین-قمری هم شناخته می‌شود.) با استفاده از ماتریس هزینه در شکل ۱، یک بازی، زمانی بازی ِ ضدهماهنگی است، اگر برای بازیکن ردیفیِ ۱ (با حروف کوچک، مشابه بازیکن ستونی ۲) {A>B و C>D } باشند. {پایین، چپ} و {بالا، راست} دو حالت تعادل نش خالص هستند. مسئلهٔ جوجه، همچنین نیاز به A>C دارد، بنابراین یک تغییر از {بالا، چپ} به {بالا، راست}، هزینهٔ بازیکن دوم را بهبود می‌بخشد؛ اما هزینهٔ بازیکن یک را کاهش می‌دهد، هرچند منجر به ناسازگاری می‌شود. این، راه‌اندازی ِ بازی هماهنگی استاندارد را پاسخ می‌دهد، وقتی‌که در آن تمام تغییرات یک طرفه در یک استراتژی منجر به منافع یا ضرر مشترک می‌شود.
مفهوم بازی ضد هماهنگی به وضعیت چند بازیکن تعمیم یافته‌است. یک بازی شلوغی، به معنی یک بازی است که هزینه هر بازیکن با توجه به تعداد بازیکنانی که همان استراتژی را انتخاب می‌کنند، افزایش پیدا نمی‌کند (برای مثال یک بازی با اثرات جانبی منفی شبکه‌ای.) برای نمونه، راننده‌ای که مسیری از سان فرانسیسکو به سن‌خوزه را از دو راه مختلف می‌رود؛ در حالیکه راه اول کوتاه تر است، راه دوم خوش منظره‌تر می‌باشد؛ بنابراین، راننده می‌تواند اولویت‌های مختلفی را بین دو جریان ترافیک مستقل، داشته باشد؛ اما هر ماشین اضافه شده بر روی هر مسیر، به آرامی زمان رانندگی روی مسیر را افزایش می‌دهد؛ بنابراین ترافیک اضافه باعث ایجاد اثرات جانبی منفی شبکه‌ای می‌شود و حتی ممکن است رانندگان منظره پسند، مسیر اول را انتخاب کنند، اگر مسیر دوم خیلی شلوغ شود!
یک بازی ازدحامی نوعی از بازی شلوغی در شبکه هاست. بازی اقلیت، یک نوع بازی است که تنها هدف برای همهٔ بازیکنان این است که عضو کوچکتر دو گروه باشند. یک مثال شناخته شده از بازی اقلیت، مسئلهٔ ال-فارول-بار است که توسط برایان آرتور مطرح شد.
یک فرم پیوندی (دوگانه) از بازی هماهنگی و ضد هماهنگی، بازی غیر هماهنگی است؛ وقتی‌که انگیزهٔ یک بازیکن، هماهنگ‌کردن است، در حالیکه بازیکن دیگر برای پرهیز از آن تلاش‌کند. بازی‌های غیر هماهنگی، نش تعادلی خالص ندارند. در شکل۱، انتخاب هزینه‌ها برای اینکه{A>B و C>D} در حالی‌که {b>a و c>d}منجر به خلق بازی غیرهماهنگی می‌شود. در هر چهار حالت ممکن، بازیکن یک یا دو، با تعویض استراتژی خود، وضع بهتری خواهند داشت؛ بنابراین فقط تعادل نش، ترکیبی است. مثال متعارف از بازی غیرهماهنگی بازی سکه‌های مطابق است.