عایق توپولوژیک

ناوردای TKNN

در سال ۱۹۸۲ مقاله‌ای توسط  به چاپ رسید و در این مقاله توپولوژی اثر کوانتومی هال مورد مطالعه قرار گرفت.

یک ساختار نواری دو بعدی (مثل ساختار نواری یک کریستال که در فضای k تعریف می‌شود) را در نظر بگیرید که هامیلتونی سیستم، هامیلتونی بلوخ خواهد بود (پتانسیل دوره‌ای در نظر گرفته می‌شود). حال می‌توان ساختار نواری را به صورت توپولوژیکی دسته بندی کرد آنهم با در نظر گرفتن گروهی از هامیلتونی‌هایی که می‌توانند به صورت پیوسته به شکل دیگری تغییر کنند بدون اینکه گاف انرژی بسته شود و از بین برود .این گروه‌ها از طریق ناوردای توپولوژیکی  مشخص می‌شود که اعداد ، ناوردای Chern نامیده می‌شوند.
ناوردای Chern می‌تواند به صورت فیزیکی بر حسب فاز بری (Berry phase) که مرتبط با تابع موج بلوخ است، فهمیده شود .

زمانی که بردار موج  حول یک حلقه بسته انتقال یابد، تابع موج بلوخ، یک فاز بری خوش تعریف را که از طریق انتگرال خطی زیر بدست می‌آید، کسب می‌کند:
شار بری هم به این صورت تعریف می‌شود :
ناوردای chern، شار بری کل در منطقه اول بریلوءن (فضای محبوس شده در سلول ویگنر - سایتز) است :
، عدد صحیح کوانتیزه شده‌است. حال اگر اعداد chern را روی تمام نوارهای اشغال شده جمع ببندیم :
مقدار  ناورداست .

(TKNN) نشان دادند که در رابطه چگالی که برای اثر کوانتومی هال بدست آوردیم  همان  رابطهٔ بالا است.

عدد chern یک ثابت توپولوژیکی است و هنگامی که هامیلتونی سیستم تغییر کند، این عدد نمی‌تواند تغییر کند و ناوردا باقی می‌ماند.

به همین دلیل چگالی بار کوانتیزه است.
در مطالب یاد شده گاز الکترونی را بدون اسپین در نظر گرفتیم و اگر اسپین را نیز در نظر بگیریم اثر کوانتومی هال به اثر کوانتومی اسپینی هال تبدیل می‌شود.
مادهٔ قرارگرفته در حالت کوانتومی اسپین هال  یک عایق توپولوژیک است .
تفاوت حالت‌های کوانتومی هال با حالت‌های اسپینی کوانتومی هال در این است که حالت‌های کوانتومی هال نیاز به یک میدان مغناطیس خارجی دارند که در
این شرایط تقارن وارون زمانی شکسته می‌شود اما حالت‌های اسپینی کوانتومی هال نسبت به تقارن وارون زمانی ناوردا هستند و نیاز به میدان خارجی ندارند.

پیش‌بینی و کشف عایق توپولوژیک

حالت‌های لبه‌ای که توسط تقارن وارون زمانی محافظت می‌شوند، پیش‌بینی شده‌است که در چاه کوانتومی HgTe ای که میان CdTe قرار گرفته‌است رخ دهد.

(وارونگی نواری در CdTe برای اولین بار در سال ۱۹۸۶ توسط Pankratov در سال ۲۰۰۷ پیش‌بینی شد که در

ترکیبات دوتایی که شامل بیسموت در سه بعد روی حجم است رخ دهد).

اولین عایق توپولوژیکی سه بعدی در bismuth antimonide کشف شد.

مدتی بعد از این واقعه، حالت سطحی که تقارن را حفظ می‌کنند در مواد خالصی از قبیل:
antimony, bismuth selenide,bismuth tellride و antimony tellurid
با استفاده از ARPES کشف شد.
تعداد زیادی از نیمه رساناهایی که دارای موادی از خانوادهٔ Heusler هستند، حالت‌های سطحی توپولوژیکی از خود نشان می‌دهند .

در بعضی از این مواد به دلیل نقص‌های طبیعی سطح فرمی میان نوار رسانش و ظرفیت قرار می‌گیرد که می‌توان از طریق روش‌های شیمیایی مثل doping یا gating سطح فرمی را به سمت گاف انرژی بالا برد.

حالت‌های سطحی یک عایق توپولوژیکی سه بعدی، یک نمونه جدیدی از گاز الکترونی دوبعدی است که اسپین الکترون‌ها به تکانه خطی‌شان قفل شده‌است.

در سال ۲۰۱۲ از طریق چندین مقاله پیشنهاد شد که samarium hexaboride ویژگی‌های یک عایق توپولوژیکی را داراست.

از آنجایی که این ماده یک عایق Kondo است، وجود حالت‌های سطحی توپولوژیکی در این مواد منجر به یک عایق توپولوژیک قوی‌الکترونی می‌شود.
Stanene یک عایق توپولوژیک نظری است که در لبه‌های خود خاصیت ابر رسانایی در دمایی بالاتر از دمای اتاق نشان می‌دهد.

خاصیت‌ها و کاربردها

اگر ابر رسانایی به دلیل اثر مجاورت ایجاد شود، قفل شدگی اسپین – تکانه در عایق‌های توپولوژیک اجازه می‌دهد که حالت‌های سطحی دارای تقارن، میزبان ذرات مایورانا باشد. 
(توجه داریم که مدهای صفر مایورانا می‌توانند بدون عایق‌های سه بعدی توپولوژیکی نیز ظاهر شوند).

الکترون‌ها در عایق‌های توپولوژیکی می‌توانند همانند گاز فرمیونی دیراک رفتار کنند. فرمیون‌های دیراک همانند ذرات نسبیتی بدون جرم رفتار می‌کنند و در عایق‌های توپولوژیکی سه بعدی مشاهده شده‌اند.
عایق‌های توپولوژیک و ابررساناهای توپولوژیک و حالت‌های مربوط به آن‌ها مشخصات ویژه‌ای دارند که کاربردهای مفیدی دراسپینترونیک و محاسبات کوانتومی دارد. 
(توجه داشته باشید که عبارت Z نیز همچنین برای توصیف مرتبه توپولوژیکی نظریهٔ پیمانه‌ای Z2 که در سال ۱۹۹۱ کشف شد، مورد استفاده قرار گرفته‌است).