معادلات ماکسول

معادلات ماکسول

معادلات ماکسول به افتخار فیزیکدان و ریاضیدان اسکاتلندی جیمز کلارک ماکسوِل نامگذاری شده است، زیرا در شکل اولیه، آن‌ها همگی در مقاله ای چهار بخشی از سوی او در میان سال‌های 1861 و 1862 منتشر شده‌است . فرم ریاضی قانون نیروی لورنتس نیز در این مقاله ظاهر شد . این معادلات انتشار امواج در خلاء با یک سرعت ثابت را توصیف می‌کنند. ماکسول همچنین نشان داد که این سرعت  هم اندازه سرعت نور است و به درستی حدس زد که نور مانند امواج رادیویی و اشعه X، گونه ای از تابش الکترومغناطیسی و در محدوده طول موج های خاص است. معادلات ماکسول توصیف می‌کنند که میدان‌های الکتریکی و مغناطیسی چگونه تولید می‌شوند و با بار و جریان در تغییر هستند. نوشتن معادلات ماکسول به اشکال دیگر که هنوز هم "معادلات ماکسول" نامیده می‌شوند اغلب مفید است. در مکانیک کوانتوم، نسخه ای که بر اساس پتانسیل‌های الکتریکی و مغناطیسی هستند ترجیح داده می‌شود. از آنجا که معادلات ماکسول دلالت بر سرعت ثابت نور دارند، آن‌ها مدت‌ها معتقد بودند که فقط برای یک ناظر ساکن با توجه به فرض "اِتِر" معتبرند. اینشتین، در تئوری نسبیت خاص خود نظریه‌ای به جای معادلات ماکسول داد که برای ناظر دلخواه (ساکن و متحرک) معتبر بود ، و نشان داد که این مفاهیم از نظر فیزیکی مستقل از فضا و زمان ناظر است.  با این حال، از اواسط قرن 20 مشخص شده بود که معادلات ماکسول قوانین دقیق جهانی نیستند اما تقریب دقیق تر از نظریه اساسی الکترودینامیک کوانتومی هستند.

توضیح مفهومی

به صورت مفهومی، معادلات ماکسول توصیف می‌کنند که چگونه بارها و جریان‌های الکتریکی به عنوان منابع برای میدان‌های الکتریکی و مغناطیسی عمل می‌کنند . علاوه بر این، توضیح می‌دهند که چگونه یک میدان الکتریکی متغیر با زمان یک میدان مغناطیسی متغیر با زمان تولید می‌کند و برعکس. (برای توصیف ریاضی این قوانین پایین را ببینید.) دو تا از این معادلات، قانون گاوس و قانون گاوس در مغناطیس، توصیف می کنند که چگونه میدان‌ها از بارها سرچشمه می‌گیرند. (برای میدان مغناطیسی، بار مغناطیسی وجود ندارد.). دو معادله دیگر توصیف می‌کنند که چگونه میدان به دور منابع خود در گردش است؛ میدان مغناطیسی در اطراف جریان‌های الکتریکی در قانون آمپر اصلاح شده توسط ماکسول، و میدان الکتریکی در اطراف میدان‌های مغناطیسی در قانون فارادی می‌گردد.

قانون گاوس

قانون گاوس ارتباط میدان الکتریکی و بارهای الکتریکی را توصیف می‌کند که به موجب آن خطوط میدان الکتریکی از بار مثبت به سوی بار منفی است. خطوط میدان الکتریکی از بار الکتریکی مثبت شروع شده و به بار منفی می رسند. تعداد خطوط میدان گذرنده از یک سطح بسته مانند یک پوسته کروی، بیانگر کل بار داخل توسط آن سطح بسته است.

قانون مغناطیسی گاوس

قانون مغناطیسی گاوس بیان می‌کند که هیچ بار مغناطیسی (تک قطبی مغناطیسی) وجود ندارد. به جای آن، میدان مغناطیسی ناشی از چیزی به نام دو قطبی مغناطیسی پدید می آید. دو قطبی های مغناطیسی به عنوان حلقه‌های جریان فرض شده، اما جداناپذیر به یکدیگر متصل می‌شوند، و هیچ بار مغناطیسی خالصی وجود ندارد. این قانون (معادله) می‌گوید که خطوط میدان مغناطیسی نه شروع می‌شوند و نه پایان می پذیرند. به عبارت دیگر، هر خط میدان مغناطیسی که وارد یک حجم می‌شوند باید در جایی از آن خارج شوند. معادل فنی جملات این است که مجموع شار مغناطیسی در هر سطح گاوسی، صفر است، یا این که میدان مغناطیسی یک میدان برداری سُلِنوئیدی است.

قانون فارادی

قانون فارادی توصیف می‌کند که چگونه میدان مغناطیسی متغیر با زمان یک میدان الکتریکی تولید (القاء) میکند. القای الکترومغناطیسی اساس کار ژنراتورهای الکتریکی است. به عنوان مثال، چرخش  یک آهنربا باعث ایجاد تغییر میدان مغناطیسی و باعث تولید میدان الکتریکی در نزدیکی یک سیم می شود.

قانون آمپر با تصحیح ماکسول

قانون آمپر تصحیح شده توسط ماکسول بیان می‌کند که میدان مغناطیسی را می‌توان به دو روش تولید کرد؛ با جریان الکتریکی (قانون آمپر) و با تغییر میدان الکتریکی با زمان (این تصحیح ماکسول بود). تصحیح ماکسول در قانون آمپر بسیار مهم است و نشان می دهد که نه تنها نتیجه تغییر میدان مغناطیسی القای میدان الکتریکی است، بلکه تغییر الکتریکی نیز موجب القای میدان مغناطیسی است. بنابراین، این معادلات به امواج الکترومغناطیسی اجازه می‌دهد در فضا منتشر شود. سرعت محاسبه شده برای امواج الکترومغناطیسی، دقیقاً منطبق با سرعت نور و در واقع، نور یک شکل از امواج الکترومغناطیسی است. ماکسول ارتباط بین امواج الکترومغناطیس و نور را در سال 1861 دریافت. و به دنبال آن الکترومغناطیس و اپتیک یکپارچه

ارتباط فرمول‌های دیفرانسیلی و انتگرالی

فرمولهای معادلات دیفرانسیل و انتگرال ازنظر ریاضی معادل هستند. با قضیه دیورژانس در مورد قانون گوس و قانون گاوس برای مغناطیس، و توسط قضیه استوکس در مورد قانون فارادی و قانون آمپر. هر دو فرمول دیفرانسیلی و انتگرالی مفید هستند. فرمول انتگرالی اغلب می‌تواند به سادگی و به‌طور مستقیم محاسبه میدان از توزیع متقارن بارها و جریان مورد استفاده قرار گیرد. از سوی دیگر، فرمول دیفرانسیلی نقطه شروع طبیعی تر برای محاسبه میدان در موقعیت‌های پیچیده تر (کمتر متقارن) است، مثلاً با استفاده از تجزیه و تحلیل اِلِمان‌های محدود.

میکروسکوپی در مقابل ماکروسکوپی

نوع میکروسکوپی معادله ماکسول بیان‌گر میدان الکتریکی E و میدان مغناطیسی B در بار کل و جریان کل حاضر (شامل بارها و جریان‌ها در سطح اتمی) است و صورت عمومی معادلات ماکسول و یا "معادلات ماکسول در خلاء "نامیده می‌شود. نوع ماکروسکوپی معادله ماکسول به همان اندازه عمومی است. بر خلاف معادلات "میکروسکوپی"، آن عامل به بار و جریان محدود برای به دست آوردن معادله‌ای که فقط به بار و جریان آزاد بستگی دارد است. هزینه این فاکتور این است که زمینه‌های اضافی، جابجایی میدان D و میدان مغناطیسی H، تعریف می‌شوند که نیاز به تعیین دارند. معادلات تشکیل دهنده پدیدارشناسانه به زمینه‌های اضافی میدان الکتریکی E و میدان مغناطیسی B، اغلب از طریق یک رابطه خطی ساده مرتبط هستند.

روابط ساختاری

به منظور اعمال معادلات ماکروسکوپی ماکسول، مشخص کردن روابط میان جابجایی میدان D و E میدان الکتریکی، و همچنین به عنوان میدان مغناطیسی H و B لازم است. همچنین، ما باید وابستگی قطبش P (افزایش شار محدود) و M خاصیت مغناطیسی (افزایش جریان محدود) در اعمال میدان الکتریکی و مغناطیسی را تعیین کنیم. معادلات تعیین شده به این روش، روابط ساختاری نامیده می‌شوند. دردنیای واقعی مواد، روابط ساختاری به ندرت ساده هستند، به جز در حدود، و معمولا آنهایی که از طریق آزمایش تعیین شده‌است. برای توضیحات کاملتر مقاله اصلی را ببینید.
اشکال ماکروسکوپی معادلات ماکسول برای مواد مختلف در زیر ارائه شده‌است. در هر صورت، قانون فارادی از القاء و قانون گاوس برای مغناطیس همیشه یکسان است.

مواد بدون قطبش و خاصیت مغناطیسی (خلاء)

روابط ساختاری عبارتند از :
برای مقادیر ثابت و چون هیچ بار مقیدی وجود ندارد بار کل آزاد و جریان با هم برابرند
قانون گاوس تبدیل می‌شود به :
قانون مداری آمپر تبدیل می‌شود به :
یک بخش کلیدی از محتوای فیزیکی معادله ماکسول این است که خلاء (به عنوان مثال در فضای بین ستاره‌ای ، و در داخل خود اتم‌ها یافت می‌شود) ساده‌ترین ارتباطات خطی سازنده دارد. در بازرسی نزدیکتر این سادگی به ساختار متریک فضا بستگی دارد. در واقع، در 4 بعدی فرمول نسبیت، رابطه ساختاری از خلاء فضای متریک فضا-خلا لورنتز از زمان تا مقیاس مشخص می‌کند. (یعنی هندسه فضا زمان همشکل) یا به‌طور برابر، مخروط‌های نور.

مواد غیرخطی

در مورد مواد غیر خطی (برای مثال به اپتیک غیر خطی نگاه کنید)، D و P به E الزاماً مرتبط نیست، به‌طور مشابه B الزاماً مرتبط نیست با H یا M. به‌طور کلی یک رابطه وجود دارد D = D (E، B، X، T) و 
H = H (E، B، X، T) که پاسخ مواد فیزیکی راتوصیف می‌کند. برای یک شرح کامل نیز باید چگونگی رفتار جریان و چگالی بار در شرایط استفاده از E و B توصیف شود که احتمالاً با دیگر مقادیر فیزیکی مانند جرم، چگالی، فشار و سرعت حمل ذرات بار همراه تزویج شده‌است.
فرمول‌های متغیر