قضیه آخر فرما

منشأ فیثاغورثی

معادله فیثاغورثی  بی نهایت جواب صحیح مثبت برای  و  دارد. این جواب ها را سه تایی های فیثاغورثی گویند (کوچکترین آن‌ها ۳، ۴، ۵ است). در حدود ۱۶۳۷، فرما در حاشیه کتابش نوشت که معادله  برای  های بزرگتر از ۲ هیچ جواب صحیح مثبتی ندارد. گرچه که او ادعا کرد که اثبات عمومی برای حدسش دارد، ولی جزئیاتی از آن بعد از مرگش باقی نگذاشت. این ادعا به عنوان قضیه آخر فرما شناخته می شود و برای سه و نیم قرن حل نشده باقی ماند. این ادعا در نهایت تبدیل به یکی از معروف ترین مسائل حل نشده ریاضیات شد. تلاش ها برای اثبات آن موجب پیشرفت های اساسی در نظریه جبری اعداد گشت و در طی زمان، قضیه آخر فرما به عنوان مسئله حل نشده ریاضیات معروف شد.

پیشرفت های پی در پی تا حل کامل

بررسی و اثبات حالت خاص  توسط خود فرما، کافی بود تا مشخص شود که اگر حدس او برای یک توان مثل  غلط باشد آنگاه برای یک  کوچکتر هم غلط خواهد بود، لذا تنها مقادیر اول  نیاز به بررسی بیشتر داشتند.  در طی دو قرن بعد (۱۶۳۷-۱۸۳۹)، این حدس تنها برای اعداد اول ۳، ۵ و ۷ اثبات شد، اگرچه که سوفی جرمن رهیافتی را ابداع و اثبات کرد که به کلاس عمده ای از اعداد اول مرتبط می شد، ارنست کومر رهیافت سوفی جرمن را توسعه داد تا شامل کل اعداد اول منظم شد، او اعداد اول غیر منظم را از تحلیل خود خارج کرد. دیگر ریاضیدانان براساس کار های کومر و با استفاده از مطالعات محاسباتی پیشرفته با کمک رایانه‌ها، توانستند اثبات مورد نظر را به توان‌های تمام اعداد اول کوچکتر از ۴ میلیون بسط دهند، اما اثباتی برای تمام توان ها دست نیافتنی می نمود (یعنی ریاضیدانان عموماً اثبات حالت کلی را غیر ممکن، بسیار سخت، یا بر اساس دانش موجود دست نیافتنی می شمردند).
حدود ۱۹۵۵، ریاضیدانان ژاپنی گورو شیمورا و یوتاکا تانیاما احتمال دادند که ارتباطی بین خم های بیضوی و فرم های مدولار، دو قلمرو کاملاً متفاوت ریاضیات، وجود داشته باشد. در آن زمان حدس این دو، به نام حدس تانیاما-شیمورا شناخته می شد (در نهایت به نام قضیه مدولاریتی شناخته شد)، این حدس خود هویتی مستقل داشت و ظاهراً هیچ ارتباطی هم با قضیه آخر فرما پیدا نمی کرد. حدس تانیاما-شیمورا به خودی خود طور گسترده مهم تلقی می شد اما (همچون قضیه آخر فرما) اثبات آن عمدتاً کاملاً دست نیافتنی می نمود. 
در ۱۹۸۴، گرهارد فری متوجه یک ارتباط ظاهری بین این دو مسئله شد، مسائلی که پیش از آن غیر مرتبط و حل نشده بودند. فری به طور اجمالی نشان داد که می توان این ارتباط را اثبات نمود. اثبات کامل ارتباط نزدیک این دو مسئله در ۱۹۸۶ توسط کن ریبت، بر اساس اثباتی جزئی از ژان پیر سره انجام شده بود. او (ژان پیر سره)  تمام قسمت ها به جز قسمتی که به نام "حدس اپسیلون" شناخته می شد را اثبات کرده بود (مقالات مربوط به قضیه ریبت و خم فری را ببینید). مقالات فری، سره و ریبت نشان دادند که اگر  بتوان قضیه مدولاریتی را حداقل برای دسته نیمه-پایا از خم‌های بیضوی اثبات کرد، آنگاه به طور خودکار اثباتی برای قضیه آخر فرما نیز حاصل خواهد شد. این ارتباط بدین صورت توصیف گشت: هر راه حلی که با قضیه آخر فرما تناقض داشته باشد، می تواند با قضیه مدولاریتی هم دچار تناقض شود. بنابراین اگر قضیه مدولاریتی درست باشد، آنگاه طبق تعریف هیچ راه حلی که با قضیه آخر فرما در تناقض باشد وجود نخواهد داشت، لذا قضیه آخر فرما هم درست خواهد بود. 

گرچه که هردو مسئله هولناک بودند و در آن زمان به طور گسترده اثباتشان به عنوان "کاملاً دست نیافتنی" تلقی می شد، این ارتباط اولین مسیری بود که توسط آن، قضیه آخر فرما می توانست توسعه یافته و برای تمام اعداد، نه فقط بخش خاصی از اعداد، اثبات شود. همچنین چیزی که در انتخاب یک موضوع تحقیقاتی برای محققان مهم بود، این حقیقت بود که برعکس قضیه آخر فرما، قضیه مدولاریتی یک حوزه فعال تحقیقاتی بود که همگان طالب اثباتی از آن بودند، نه فقط به خاطر جنبه تاریخی اش، لذا این نکته وقت گذاشتن روی قضیه مدولاریتی را برای محققان از نظر حرفه ای توجیه می نمود. با این حال، عقیده عموم این بود که چنین ارتباطی نشان دهنده ی غیر عملی بودن اثبات حدس تانیاما-شیمورا نیز می باشد. یکی از صحبت هایی که اغلب شنیده می شد، چیزی بود شبیه صحبت ریاضیدانی به نام جان کوتس:
"من خودم خیلی بد بین بودم که ارتباط زیبایی بین قضیه آخر فرما و حدس تانیاما-شیمورا عملاً منجر به چیزی شود، چون باید اعتراف کنم که فکر نمی کردم حدس تانیاما شیمورا برای اثبات دست یافتنی باشد. گرچه که این مسئله زیبا بود، اما به نظر می رسید که اثبات آن در عمل غیر ممکن باشد. باید اقرار کنم که احتمالاً فکر می کردم در طول زندگانی ام اثبات نمی شود."
زمانی که شنیده شد ریبت، درستی ارتباط فری را اثبات کرده، ریاضیدان انگلیسی اندرو وایلز که از زمان بچگی افسون قضیه آخر فرما بود و پشتوانه ای از کار با خم های بیضوی و زمینه های مرتبط داشت، تصمیم گرفت تا سعی بر اثبات حدس تانیاما-شیمورا به عنوان راهی برای اثبات قضیه آخر فرما کند. در ۱۹۹۳، بعد از شش سال کار مخفی بر روی مسئله، وایلز در اثبات آن به اندازه کافی موفق شد. مقاله وایلز از نظر اندازه و حیطه موضوعی وسیع بود. یک نقص در بخشی از مقاله اصلی او طی اولین داوری همتای مقاله اش، موجب شد اندرو وایلز یک سال دیگر با شاگرد قدیمی اش ریچارد تیلور برای حل آن تلاش کند. در نتیجه، اثبات نهایی در ۱۹۹۵ همراه با مقاله ای ضمیمه ای منتشر شد، مقاله ضمیمه ای نشان می داد که گام های اصلاحی معتبراند. دستاورد وایلز به طور گسترده در رسانه های عمومی گزارش شد و در کتاب ها و برنامه های تلویزیونی معروف شد. بخش های باقیمانده ی حدس تانیاما-شیمورا اکنون اثبات شده و به قضیه مدولاریتی معروف است که پس از مقاله وایلز توسط دیگر ریاضیدانان براساس کار وایلز بین سال های ۱۹۹۶ تا ۲۰۰۱ اثبات شد. از وایلز به خاطر اثباتش قدردانی شد و جوایز متعددی از جمله جایزه ۲۰۱۶ آبل را نصیبش کرد.