اصل موضوع انتخاب

بحث غیررسمی

فرض کنید وارد یک مغازه میوه فروشی می‌شوید و در مقابل شما تعدادی جعبه میوه(که البته خالی نمی‌باشند!) وجود دارد. شما می‌تونید از هر جعبه یک میوه را انتخاب کنید و آن‌ها را در جعبه‌ای دیگر جمع‌آوری کنید. حال بیاید کمی دقیق‌تر شویم و مثالی تاحدی مشابه را در ریاضیات بررسی کنیم.
فرض کنید A۱,A۲,A۳,... ,Aₙ مجموعه‌های ناتهی باشند. در این صورت همانند مثال قبل در مورد مغازه میوه فروشی، شما می‌توانید از هر یک از این مجموعه‌ها یک عضو را به دلخواه انتخاب کنید و آن‌ها را در مجموعه‌ای چون R جمع‌آوری کنید. مهم نیست تعداد مجموعه‌ها یعنی عدد n تا چه حد بزرگ است، چرا مطمئناً بعد از انجام دقیقاً n بار انتخاب(تعداد متناهی عمل انتخاب) می‌توان کار را به پایان رساند و به این ترتیب عمل شما بدون هیچ ابهامی قابل انجام است(هر چند ممکن است تعداد انتخاب‌ها زیاد باشد ولی به هر حال عملی است). همچنین اعضایی هم که انتخاب می‌شوند از دیدگاه اصل موضوعی تشکیل یک مجموعه می‌دهند. چرا که اگر a۱∈A۱,a۲∈A۲,a۳∈A۳,... ,aₙ∈Aₙ عناصر انتخاب شده باشند، در این صورت بنا به اصل موضوع تصریح، هر یک از {a۱},{a۲},{a۳},... ,{aₙ} تشکیل یک مجموعه می‌دهند و در نتیجه اجتماع آن‌ها بنابر اصل موضوع اجتماع یعنی همان مجموعه {R={a۱,a۲,a۳,... ,aₙ تشکیل یک مجموعه می‌دهد.
در حقیقت تاجایی که با تعداد متناهی مجموعه ناتهی روبه رو هستیم انجام چنین عمل انتخابی به خوبی از نظر ریاضی قابل تعریف و دقیق است. مشکل زمانی بروز می‌کند که با تعداد نامتناهی مجموعه رو به رو باشیم. آیا در مورد تعداد نامتناهی مجموعه نیز می‌توان عمل انتخاب را همانند گذشته انجام داد؟ وضوحاً در این مورد با این تفاوت روبرو هستیم که باید تعدادی نامتناهی و بی‌پایان عمل انتخاب انجام دهیم حال آنکه چنین کاری عملاً برای ما ممکن نیست!
ممکن است این سؤال نیز پیش بیاید که آیا واقعاً نیاز به فرمول بندی چنین چیزی خواهد بود یا اصلاً چه لزومی به انجام تعداد نامتناهی عمل انتخاب خواهد بود؟
پاسخ در این است که اثبات بسیاری از قضایای مهم نظریه مجموعه‌ها بخصوص قضیه خوشترتیبی، لم زرن، اصل ماکسیمال هاوسدورف ومواردی دیگر به انجام چنین انتخاب‌هایی بستگی دارد. نمونه‌ای خیلی ساده این قضیه‌است که هر مجموعه نامتناهی دارای زیرمجموعه‌ای شمارای نامتناهی است. فرض کنید X چنین مجموعه‌ای باشد در این صورت به ویژه X ناتهی است و لذا می‌توان عضوی چون x۰ را از X انتخاب کرد. اما چون X نامتناهی است پس {X-{x۰ نیز ناتهی است و لذا می‌توان عضو x۱ را از آن انتخاب کرد. همین استدلال را به همین صورت تکرار کنید مثلاً قدم بعدی انتخاب x۲ از مجوعه {X-{x۰,x۱ خواهد بود، حاصل این تکرار دنباله‌ای نامتناهی از اعضای X چون {xₙ} است که وضوحاً مجموعه‌ای شمارای نامتناهی است(چون با اعداد طبیعی همتوان است). اما مشکل اصلی دقیقاً بر سر همین انتخاب‌های نامتناهی است که در این استدلال انجام می‌دهیم، بی‌آنکه مطمئن باشیم مجاز به این کار هستیم با نه یا بیان اینکه چگونه می‌توان این تکرارها را تا بینهایت انجام داد.
حال که لزوم تعریف چنین عملی نیز بر ما معلوم شد، می‌توان به دنبال راه حلی معقول برای رفع مشکل گشت و اولین قدم طرح سؤال به زبان دقیق و ریاضی است. در این مورد می‌توان به روش‌های مختلف عمل کرد.
آنچه در پی آن هستیم پاسخی برای این پرسش است که آیا اگر
Aᵢ}i∈I} خانواده‌ای ناتهی از مجموعه‌های ناتهی باشد آنگاه خانواده xᵢ}i∈I} وجود دارد که برای هر xᵢ∈Xᵢ ,i∈I؟
این سؤال هم ارز با این است که آیا اگر xᵢ}i∈I} خانواده‌ای ناتهی از مجموعه‌های ناتهی باشد، تابعی چون  وجود دارد که برای هر i∈I داشته باشیم f(i)∈Aᵢ؟ این تابع برای ما عمل انتخاب هم‌زمان یک عضو از بین مجموعه‌ها را انجام می‌دهد و در صورت وجود عمل انتخاب را برای ما فرمول بندی می‌کند.
این تنها راه طرح مسئله به بیان ریاضی نیست. این سؤال را با کمی تغییر می‌توان به این صورت نیز مطح کرد که اگر S دسته‌ای از مجموعه‌های دو به دو جدا از هم باشد، آنگاه آیا مجموعه‌ای چون R وجود دارد که اشتراکش با هر مجموعه متعلق به دسته S یک مجموعه تک عضوی باشد؟
به هرحال اینها انبوهی از سؤالاتی هستند که با هم هم ارز هستند و پاسخ به یکی از آن‌ها پاسخ به دیگری خواهد بود و بیان آن‌ها تنها ذهن خواننده را آماده پذیرفتن صورت‌های مختلف بیان اصل موضوع انتخاب می‌کند.
قطعاً اولین کوشش ما این است که چنین مجموعه‌ای را بر اساس اصول موضوع پیشین در نظریه مجموعه‌ها معرفی کنیم. اما کوشش‌های ارنست تسرملو و دیگران در اوایل قرن بیستم برای پاسخ به این پرسش به‌وسیله سایر اصول نظریه مجموعه‌ها به نتیجه نرسید و خواهید دید که چنین امری در حقیقت امکان ناپذیر است.(بخش سازگاری را مطالعه کنید). حال که نمی‌توان وجود چنین مجموعه‌ای را به عنوان یک قضیه به اثبات رساند شاید بتوان وجود آن را به عنوان یک اصل موضوع پذیرفت. این کار توسط تسرملو در قرن بیستم انجام شد، او احساس کرد این سؤال احتمالاً حل ناشدنی است و تنها راه رهایی از مشکل، مسلم دانست وجود چنین مجموعه‌ای در قالب یک اصل موضوع جدید است که او آن را اصل موضوع انتخاب نامید که وجه تسمیه آن نیز واضح است.
به نظر می‌رسد تنها مسئله‌ای که باقی می‌ماند، مربوط به سازگاری این اصل موضوع جدید با سایر اصول موضوع نظریه مجموعه‌ها است در ادامه به این مسئله نیز پرداخته می‌شود.