هندسه جبری

قبل از قرن شانزدهم

برخی از ریشه های هندسه جبری به قبل از کار های یونانیان هلنی قرن پنجم قبل از میلاد می رسد. به عنوان مثال مسئله ی تضعیف مکعب این بود که چگونه می توان پاره خطی به طول x ساخت به گونه ای که حجم مکعبی به ضلع x برابر مکعب مستطیلی به ابعاد a²b باشد که در آن a و b به ما داده شده اند. منایخموس (حدود ۳۵۰ قبل از میلاد) این مسئله را به صورت هندسی، با بررسی دو مخروط ay = x² و xy = ab مورد بررسی قرار داد. اتفاق بعدی، در قرن سوم قبل از میلاد، مطالعۀ ی نظام مند ارشمیدس و آپولونیوس بر روی مسائل مقاطع مخروطی بود که در آن از مفهوم مختصات استفاده شد. ریاضیدانان عرب قادر بودند برخی معادلات مکعبی را صرفاً با روش های خالص جبری حل کرده، سپس نتایج را به وسیله ی هندسه تفسیر کنند. این کار توسط ابن هیثم نیز در قرن ۱۰ بعد از میلاد انجام شد. سپس ریاضیدان فارسی زبان، عمرخیام (متولد ۱۰۴۸ پس از میلاد) روشی برای حل معادلات مکعبی با استفاده از تقاطع یک دایره و سهمی کشف کرد و به نظر می رسد که اولین شخصی بود که نظریه عمومی معادلات درجه سوم را درک کرده باشد. چند سال پس از عمر خیام، کتاب شرف الدین توسی به عنوان المعادلات به عنوان "آغاز راه هندسه جبری" توصیف گشت.

رنسانس

چنین تکنیک هایی از کاربرد ساختارهای هندسه در مسائل جبری توسط برخی ریاضیدانان عصر رنسانس نیز چون جرلامو کاردانو و نیکلو تارتالیا نیز در مطالعاتشان بر روی معادلات مکعبی به کار گرفته شد. ریاضیدانان قرن شانزدهم و هفدهم رهیافت هندسی برای ساخت مسائل را در مقابل روش های جبری ترجیح می دادند، بخصوص بلیز پاسکال که در مقابل استفاده از روش های جبری و تحلیلی در هندسه موضع می گرفت. ریاضیدانان فرانسوی چون فرانسوا ویت و سپس رنه دکارت و پیر دو فرما انقلابی در روش قراردادی تفکر در مورد ساخت مسائل از طریق هندسه تحلیلی بوجود آوردند. آن ها ابتداءً علاقه مند به خواص خم های جبری، مانند آن خم هایی که در معادلات سیاله ای (در مورد فرما) تعریف می شوند و همچنین به فرمول بندی جبری کار های یونانیان در مقاطع مخروطی و درجه سه (در مورد دکارت) علاقه نشان می دادند.
در همین دوره بود که بلیز پاسکال و ژرارد دوسارگ به هندسه از رهیافت دیگری وارد شده و به توسعه ی مفاهیم هندسۀ تصویری پرداختند. پاسکال و دزارگ نیز به مطالعه خم ها پرداختند، اما از دیدگاه صرفاً هندسی آن، یعنی مشابه روش یونانیان ساخت (رسم) با خط کش و پرگار. در نهایت، هندسه تحلیلی دکارت و فرما ازین نبرد پیروز درآمد، چرا که برای ریاضیدانان قرن هجدهم ابزارهای کمی ملموس مورد نیاز آن ها را برای مطالعه مسائل فیزیکی با استفاده از حسابان نیوتون و لایبنیز فراهم نمود. با این حال، در پایان قرن هجدهم، اکثر جنبۀ جبری هندسه تحلیلی (هندسه مختصاتی) توسط لاگرانژ و اویلر تحت عنوان حساب بی نهایت کوچک ها طبقه بندی شد.

قرن نوزدهم و اوایل قرن بیستم

دو رده تحقیقات همزمان بر روی هندسه نااقلیدسی و انتگرال های آبلی در قرن نوزدهم موجب شدند تا ایده های جبری این دفعه به سوی هندسی خود بازگردند. اولین تلاش ها توسط ادموند لاگر و آرتور کیلی صورت گرفت که تلاش کردند تا خواص متری تعمیم یافتۀ فضای تصویری را تعیین کنند. کیلی ایده ی فرم های چند جمله ای همگن را معرفی کرد، بالاخص فرم های درجه دو بر روی فضای تصویری. سپس فلیکس کلاین هندسۀ تصویری (به همراه انواع دیگر هندسه) را از این نقطه نظر مورد مطالعه قرار داد که اطلاعات هندسه روی یک فضا در تبدیل های آن فضا کد گذاری شده اند. در پایان قرن نوزدهم، هندسه دانان تصویری انواع عمومی تری از تبدیل ها را روی اشکال فضای تصویری مطالعه می کردند. به جای تبدیل های خطی تصویری که معمولا به عنوان ایجاد کنندۀ هندسه کلاینی بنیادی روی فضای تصویری در نظر گرفته می شدند، آن ها خود را درگیر تبدیلات دوسرگویا (birational) ی درجه بالاتر نیز کردند. این مفهوم تناسب ضعیف تر بعد ها در قرن بیستم موجب شد که اعضای مکتب هندسه جبری ایتالیایی رویه های جبری را درحد یکریختی دوسرگویا (birational isomorphism) طبقه بندی کنند.
پیشرفت های اوایل قرن نوزدهم، یعنی انتگرال های آبلی منجر شد که برنهارت ریمان رویه های ریمانی را توسعه دهد. 
در همان دوره، جبری سازی هندسه جبری از طریق جبر جابجایی صورت گرفت. نتایج عمده ی این جهتگیری قضیۀ پایه هیلبرت و قضیه صفرهای هیلبرت بود که پایه ی ارتباط بین هندسه جبری و جبر جابجایی بوده، و همچنین برآیند های (resultants) چند متغیره که پایه ی نظریۀ حذف (elimination) می باشد. احتمالاً به علت حجم محاسباتی که برآیند های چند متغیره طلب می کنند، نظریۀ حذف در طی قرن بیستم به فراموشی سپرده شد تا این که توسط نظریۀ تکینگی و هندسۀ جبری محاسباتی مجدداً احیاء گشت.

قرن بیستم

ون در واردن، اسکار زاریسکی و آندره ویل بنیان هندسه جبری را بر اساس جبر جابجایی معاصر بنا نهادند که شامل نظریه ارزیافت و نظریه ایده آل ها می شد. یکی از اهدافشان ارائه چارچوبی محکم برای اثبات نتایج مکتب ایتالیایی هندسه جبری بود. بخصوص این که این مکتب به طور نظام مند از مفهوم نقطه جنریک استفاده کرد در حالی که هیچ تعریف دقیقی برای آن ارائه ندادند، آن ها اولین تعریفی که برای این گونه نقاط ارائه دادند در طی دهه ۱۹۳۰ بود. 
در دهه ی ۵۰ و ۶۰ میلادی، ژان پیر سر و الکساندر گروتندیک بنیان ها را مجدداً قالب بندی کردند و در این مسیر از نظریه شیف استفاده کردند. سپس، از حدود ۱۹۶۰ همراه با دستگاه ابزار های پالوده شدۀ تکنیک های هومولوژی، روی ایده ی اسکیم ها کار شد، که بیشتر این تلاش ها به رهبری گروتندیک بود. پس از یک دهه پیشرفت سریع، این شاخه در دهه ۱۹۷۰ پایدار گشت، و کاربرد های جدیدی ایجاد شد، هم در نظریه اعداد و هم در سوالات کلاسیک تری که در هندسه در مورد واریته های جبری، تکینگی ها، فضاهای مدولی، و فضاهای مدولی فرمال وجود داشت. 
یک دسته مهم از واریته ها، که به راحتی مستقیماً از معادلاتی که آن ها را تعریف می کنند شناخته نمی شوند، واریته های آبلی هستند، که واریته های تصویری هستند که نقاطشان یک گروه آبلی تشکیل می دهند. مثال های نوعی اینگونه واریته های خم های بیضوی می باشند که برای خود نظریه ی غنی ای دارند. این واریته ها در اثبات آخرین قضیه فرما نقش کلیدی داشته و همچنین در رمزنگاری با خم های بیضوی مورد استفاده قرار گرفته اند. 
موازی با روند مجرد هندسه جبری که به دنبال احکام عمومی واریته هاست، روش های محاسباتی مؤثری برای واریته های ملموس نیز توسعه یافته اند که منجر به عصر جدیدی از هندسه جبری محاسباتی می گردد. یکی از روش های بنیادی این قلمرو نظریه پایه های گروبنر است که توسط برونو بوچبرگر در ۱۹۶۵ معرفی گشت. یکی دیگر از روش های پایه ای، به طور خاص به هندسه جبری حقیقی اختصاص دارد، این روش تجزیه جبری استوانه ای می باشد که توسط جورج ای. کالینز در ۱۹۷۳ معرفی شده است.

توابع منظم

مقاله اصلی: تابع منظم
درست همانگونه که توابع پیوسته نگاشت های طبیعی روی فضاهای توپولوژی و توابع هموار نگاشت های طبیعی روی منیفلدهای دیفرانسیل‌پذیر اند، دسته ای طبیعی از توابع روی یک مجموعه جبری نیز وجود دارند که به آن ها توابع منظم یا توابع چندجمله ای گویند. یک تابع منظم روی مجموعه ای جبری چون  در ، تحدید توابع منظم روی  به مجموعه جبری  است. برای یک مجموعه جبری که روی میدان اعداد مختلط تعریف شده باشد، توابع منظم هموار و حتی تحلیلی اند. 
ممکن است الزام توسعه پذیر بودن یک تابع منظم به کل فضای پیرامونی (ambient) به طور غیر طبیعی محدود کننده به نظر آید، اما این کار شباهت بسیاری به شرایط فضای توپولوژیکی نرمال دارد که در آن قضیه توسعه تیتز تضمین می کند که یک تابع پیوسته روی یک مجموعه بسته همیشه به فضای توپولوژیکی پیرامونی توسعه یابد. 
توابع منظم روی ، درست همانند توابع منظم روی فضای آفینی، تشکیل یک حلقه می دهند که با  نمایش داده می شود. این حلقه را حلقه مختصاتی روی  می نامند. 
از آنجا که توابع منظم روی  از توابع منظم روی  نشأت می گیرند، رابطه ای بین حلقه های مختصاتیشان وجود دارد. بخصوص، اگر یک تابع منظم روی V تحدید دو تابع  و  در  باشد، آنگاه  هم یک تابع چند جمله ای خواهد بود که روی  ناپدید شده و لذا به  تعلق خواهد داشت. ازین‌رو،  را می توان با  یکی گرفت.