بازی مجموع-صفر

در نظریه بازیها و علم اقتصاد، یک بازی مجموع-صفر، یک مدل ریاضی از وضعیتی است که سود (یا زیان) یک شرکت کننده، دقیقاً متعادل با زیان‌های (یا سودهای) شرکت‌کننده (های) دیگر است. اگر مجموع سودهای شرکت کننده‌ها با هم جمع شود و مجموع زیان‌ها از آن کم شود، حاصل برابر صفر خواهد بود. در نتیجه، بریدن یک کیک (که برداشتن یک قطعه بزرگتر مقدارِ کیک موجود برای بقیه را کم می‌کند) اگر همهٔ شرکت کننده‌ها ارزش مساوی برای هر واحد از کیک قائل باشند، یک بازی مجموع-صفر است (مطلوبیت نهایی را ببینید) در مقابل، مجموع-ناصفر وضعیتی را توصیف می‌کند که مجموع سودها و زیان‌های طرف‌های درگیر، کمتر یا بیشتر از صفر باشد. یک بازی مجموع-صفر، یک بازی به رقابتی اکید هم نامیده می‌شود؛ در حالی که بازی‌های مجموع-ناصفر می‌توانند رقابتی یا غیر رقابتی باشند. بازی‌های مجموع-صفر بیشتر مواقع با نظریه مینیماکس که رابطه تنگاتنگی با دوگانگی برنامه‌ریزی خطی یا تعادل نش دارد.

تعریف

خاصیت مجموع صفر (اگر در یک بازی، فردی چیزی به دست آورد، دیگری چیزی از دست می‌دهد) به این معنی است که نتیجه هر موقعیت مجموع صفر، بهینه پارتو است؛ مفهوم کارایی یا بهینگی در یک سیستم اقتصادی، به وضعیت رفاهی حاصل از این سیستم اقتصادی اشاره دارد؛ به نحوی که تخصیص منابع در فرایندهای تولید و مصرف در این سیستم اقتصادی به گونه‌ای است که نمی‌توان هیچ‌نوع تخصیص مجددی از منابع را یافت به نحوی که وضعیت رفاهی حداقل یک نفر بهبود یابد، بدون اینکه وضعیت رفاهی فردی در سیستم اقتصادی بدتر شود. این مفهوم کارایی در نظریه اقتصاد رفاه به وضعیت بهینه پارتو موسوم است. به‌طور کلی، هر بازی ای که همهٔ استراتژی‌ها در آن بهینهٔ پارتو باشند، بازی کشمکشی نامیده می‌شود.
بازی‌های مجموع-صفر، مثال خاصی از بازی‌های مجموع-ثابت هستند. در بازی‌های مجموع-صفر، مجموع هر برآمد همیشه صفر است. چنین بازی‌هایی توزیعی هستند؛ نه یکپارچه. یعنی سهم کل که در ابتدای بازی وجود دارد (که اصطلاحاً به آن کیک می‌گویند) نمی‌تواند بزرگ شود.
موقعیت‌هایی که در آن همهٔ شرکت کنندگان می‌توانند با هم چیزی به دست آورند یا همه با هم می‌توانند چیزی از دست بدهند، بازی‌های مجموع-ناصفر نامیده می‌شوند؛ بنابراین، اگر کشوری که مقداری موز اضافی دارد با کشوری که مقداری سیب اضافی دارد وارد تجارت شود و هر دو از این مبادله سود کنند، در واقع در موقعیت مجموع-ناصفر هستند. بازی‌های مجموع-ناصفر دیگر، بازی‌هایی هستند که مجموع سودها و ضررها (مجموع چیزهایی که افراد به دست آورده‌اند و از دست داده‌اند) در برخی موارد زیادتر یا کمتر از سهم کل (یا کیکی) است که بازی با آن شروع شده‌است.

راهکار

در یک بازی دونفره مجموع-صفر متناهی راه حل‌های متفاوت تعادل نش، مینیماکس و ماکسیمین راه حل یکسان به دست می‌دهند. در همه راه حل‌ها، بازیکنان بر اساس یک استراتژی ترکیبی بازی می‌کنند.

روش حل

تعادل نش برای یک بازی مجموع-صفر دونفره، با حل یک مسئله برنامه ریزی خطی به دست می‌آید. فرض کنید M ماتریس نتایج یک بازی مجموع-صفر است که در آن عنصر  نتیجه حاصل از حالتی است که بازیکن کمینه‌کننده از استراتژی  و بازیکن بیشینه‌کننده از استراتژی  استفاده کند (به عبارت دیگر بازیکنی که تلاش می‌کند نتیجه نهایی کمینه شود سطر را انتخاب می‌کند و بازیکنی که تلاش می‌کند نتیجه نهایی بیشینه شود ستون را انتخاب می‌کند) فرض کنید هر عنصر  مثبت باشد. بازی، حداقل یک تعادل نش دارد. تعادل نش با حل کردن برنامهٔ خطی زیر برای یافتن بردار  به دست می‌آید:
عبارت  را با در نظر گرفتن محدودیت‌های  و  کمینه کنید.
محدودیت اول می‌گوید هر عنصر بردار  باید نامنفی باشد و محدودیت دوم می‌گوید هر عنصر بردار  باید حداقل  باشد. برای بردار  حاصل معکوس مجموع عناصر آن ارزش بازی است. حاصل ضرب  در ارزش بازی، یک بردار احتمال به دست می‌دهد که شامل احتمال این است که بازیکن بیشینه‌کننده هر کدام از استراتژی‌های ممکن را برگزیند.
اگر در ماتریس بازی، همه عناصر مثبت نباشند، باید یک عدد ثابت به هر کدام از عناصر افزود؛ به طوری که آن قدر بزرگ باشد که همه عناصر مثبت شوند. این کار ارزش بازی را به اندازه آن مقدار ثابت افزایش خواهد داد و تأثیری روی استراتژی‌های ترکیبی تعادل نخواهد داشت. استراتژی ترکیبی تعادل برای بازیکن کمینه‌کننده را با حل دوگان برنامهٔ خطی داده شده می‌توان یافت. یا می‌توان از روش بالا استفاده کرد و با حل ماتریس نتایجِ اصلاح شده (ترانهاده و منفی کردن ماتریس  و افزودن یک عدد ثابت برای مثبت کردن مقادیر) یک بازی جدید به دست آورد و آن را حل کرد.
اگر همهٔ جواب‌های برنامهٔ خطی پیدا شوند، شامل همه تعادل‌های نش برای بازی خواهند بود. بالعکس، هر برنامهٔ خطی می‌تواند با استفاده از تغییر متغیری که فرمِ آن را شبیه معادلات بالا کند، تبدیل به یک بازی مجموع-صفر دونفره کرد. در نتیجه چنین بازی‌هایی به‌طور کلی معادل برنامه‌های خطی هستند.

روانشناسی

رایج‌ترین و ساده‌ترین مثال در زمینهٔ روان‌شناسی اجتماعی، مفهوم تله‌های اجتماعی است. برخی اوقات، افراد با دنبال کردن منافع شخصی خود، رفاه شخصیشان را افزایش می‌دهند. اما این اعمال در مورد منافع دیگران، رفتاری مخرب محسوب می‌گردد؛ یعنی در واقع با افزایش رفاه یک شخص، رفاه فرد دیگر کم می‌شود.

پیچیدگی

رابرت رایت در کتاب Nonzero:_The_Logic_of_Human_Destiny این تئوری را مطرح کرده که هر چه یک جامعه پیچیدگی و مهارت بیشتری داشته باشد و استقلال جامعه کم شود (یعنی برای تأمین نیازهای خود، با دیگران به تجارت بپردازد و صرفاً متکی به خود نباشد)، بیشتر به سمت مجموع مثبت پیش می‌رود. در واقع این تئوری بیان می‌کند که مهارت، پیچیدگی و تجارت، باعث افزایش سطح رفاه جامعه می‌شود.

بسط و تعمیم

در سال ۱۹۹۴، جان فون نویمان و اسکار مورگنشترن ثابت کردند که هر بازی مجموع-صفر با n بازیکن، حالت کلی تر یک بازی مجموع-صفر با ۲ بازیکن است و همچنین هر بازی مجموع-ناصفر برای n بازیکن می‌تواند به یک بازی مجموع-صفر برای n+1 بازیکن تبدیل شود.

اشتباهات مفهومی

بازی‌های مجموع-صفر و راه حل‌های آن‌ها معمولاً توسط کارشناسان نظریه بازی‌ها اشتباه برداشت می‌شود. اکثر این اشتباهات نیز با توجه به مفاهیمی مانند استقلال و رفتار عقلایی بازیکنان رخ می‌دهند. همچنین کلمهٔ بازی به این معنی نیست که مدل ارائه شده فقط برای بازی‌های تفریحی مورد استفاده قرار می‌گیرد.