دیوید هیلبرت

زندگی‌نامه

دیوید هیلبرت در ۲۳ ژانویهٔ ۱۸۶۲ در شهر کونیگسبرگ، شهری در روسیهٔ فعلی، متولد شد و در ۱۴ فوریهٔ سال ۱۹۴۳ در شهر گوتینگن آلمان چشم از جهان فروبست. وی از سال ۱۸۸۶ تا ۱۸۹۵ به تدریس ریاضیات در ٔدانشگاهِ آلبرتوس-کُنیگسبِرگ اشتغال داشت و ما بقی عمر پربار علمی خود را در فاصلهٔ سال‌های ۱۸۹۵ تا ۱۹۳۰ در دانشگاه گوتینگن سپری کرد. هیلبرت را می‌توان یکی از بزرگ‌ترین ریاضی دانان در تمامی عصرها دانست. هیلبرت فرزند اول و تنها فرزند از اتو و ماریا هیلبرت می‌باشد. او در پاییز ۱۸۷۲ وارد مدرسه Friedrichskolley، همان مدرسه‌ای که ایمانوئل کانت ۱۴۰ سال پیش در آن تحصیل داشت، شد. اما پس از مدتی به دلیل نارضایتی نقل مکان می‌کند. او در پاییز ۱۸۷۹ بیش از پاییز ۱۸۸۰ در دانشگاه ویلهم فارغ‌التحصیل شد. پس از فارغ‌التحصیلی او در پاییز ۱۸۸۰ در دانشگاه کنیگسبرگ ثبت نام کرد. از بهار سال ۱۸۸۲ با دوستان با استعداد خود یعنی هرمان مینکوفسکی و آدولف هورویتس (دانشیار در گُتینگِن) که با آن‌ها تبادل شدید علمی و ثمربخشی داشت آشنا شد.
هیلبرت در ۱۸۸۵ دکتری خود را با یک پایان‌نامه تحت فردیناند فون لیندمن با عنوان خواص ثابت ویژه شکل دودویی، توابع هارمونیک به پایان رساند. او به عنوان استاد کنیگسبرگ در سال‌های ۱۸۹۵–۱۸۸۶ باقی ماند. در سال ۱۸۹۲ با کِته یِرُش، دختر یک تاجر در همان شهر، ازدواج کرد. این زوج اعلام کردند می‌خواهند با استقلال نسبت به ثروت پدرش زندگی کنند. در سال ۱۸۹۵ با ارتباط از طرف فلیکس کلاین از موضع رئیس ریاضی در دانشگاه گوتینگن بهره برد، همان جایی که در آن زمان بهترین مرکز تحقیقات ریاضیات در جهان بود. هیلبرت کتاب «مبانی هندسه» را در سال ۱۸۹۹ منتشر کرد که هدف آن مربوط کردن اصل‌های موضوعهٔ هندسه به اصل حساب بود. وی در این کتاب به شرح نتیجه‌های مطالعات خود در این زمینه پرداخته‌است.

اصول موضوعه هندسه

یکی از مهم‌ترین کارهای وی در صورت بندی اصل‌های هندسهٔ اقلیدسی (و به‌طور کلی هندسهٔ اصل موضوعی) است.
هیلبرت بنیان‌گذار یکی از مکاتب اصلی فلسفهٔ ریاضی با نام «صورت‌گرائی»، در اوایل قرن ۲۰ بوده‌است؛ در حقیقت این مکتب بعد از اتمام مطالعات وی در بررسی اصل موضوعی هندسه بنیان گذاشته شد. هیلبرت در کشف و توسعه گسترده دامنه اساسی از ایده‌ها و نظریه‌های ثابت و اصول در حوزه‌های مختلف هندسه نقش داشته‌است.
اصل توازی هیلبرت (یا اصل توازی هیلبرت برای هندسهٔ اقلیدسی) چنین است: «هر چه باشد خط L و هر چه باشد نقطهٔ A غیر واقع بر خط L و P صفحهٔ شامل A و L باشد. آن گاه حداکثر یک خط در صفحهٔ P، گذرا از A موجوداست که شامل هیچ نقطه‌ای از L نیست.»
به بیانی ساده‌تر:
تعریف (توازی):
دو خط با هم موازی اند هرگاه همدیگر را نبرند، یعنی نقطه‌ای پیدا نشود که بر هر دو خط واقع باشد.
اصل توازی: به ازای هر خط و هر نقطه غیر واقع برآن یک و تنها یک خط به موازات خط مذکور وجود دارد که از نقطه مورد نظر می‌گذرد .

خود اقلیدس اصل توازی را این‌گونه بیان کرده‌است:
هرگاه خط راستی دو خط راست دیگر را ببرد و مجموع زوایای درونی یک طرف آن خط از دو قائمه کمتر باشد اگر این خط را امتداد دهیم سر انجام در همان طرفی که مجموع زوایا کمتر از دو قائمه است یکدیگر را می‌برند.
هیلبرت هم چنین علاقهٔ مخصوصی به برخی زمینه‌های فیزیک داشت و کارهای مهمی نیز در این زمینه‌ها انجام داده‌است. این علاقه به‌طور خاص در تعامل‌های وی با اینشتین و در راستای صورت بندی «نسبیت عام» نمود پیدا کرده‌است. هیلبرت را اغلب به عنوان ریاضی‌دانی مطلقاً محض می‌شناسند. اما او رئیس سمینار فیزیک اتمی مشهور گوتینگن بود که تأثیر عظیمی بر توسعهٔ نظریهٔ کوانتوم داشت.
متن derGeometric Grudlagen در سال ۱۸۹۹ توسط هیلبرت در پیشنهاد مجموعه‌ای به نام اصول موضوعه هیلبرت که جایگزین اصول موضوعه از اقلیدس که جنبه سنتی داشت و با اجتناب از نقاط ضعف آن که در آن زمان هنوز در کتاب‌های درسی استفاده می‌شد. در همین حال و به‌طور مستقل با او ۱۹ دانشجوی آمریکایی رابرت لی مور به چاپ مجموعه‌ای از اصول موضوعه پرداخته بودند که برخی از این اصول همزمان، در سیستم مور و هیلبرت بودند و بالعکس. رویکرد هیلبرت روزنه‌هایی از تغییر جهت به سمت مدرن شدن در اصول موضوعه را ایجاد کرد در این کار هیلبرت ابتدا مفاهیم تعریف نشده مانند نقطه، خط، تجانس جفت از نقاط، تجانس زاویه‌ها و خط و فضا را برشمرد و سپس هر دو هندسه یعنی هندسه مسطحه اقلیدس و هندسه فضایی را در یک سیستم واحد متحد کرده بود.
در سال ۱۹۰۰ و در کنگرهٔ بین‌المللی ریاضی دانان، هیلبرت فهرستی از ۲۳ مسئله را ارائه کرد که با جرات می‌توان گفت که با قرار گرفتن «حل این مسئله‌ها» در صدر هدف‌های ریاضی‌دان‌ها، عملاً خط مشی پیشرفت ریاضیات در قرن بیستم تعیین شد، که در ادامه به بیان این مسائل می‌پردازیم.
از بین مسئله‌های معروف هیلبرت تاکنون ۱۸ سؤال به‌طور کامل حل شده‌است! از ۵ سؤال دیگر: یک سؤال به‌طور موضعی حل شده‌است، ۲ سؤال حل نشده باقیمانده‌اند، صورت یک سؤال مبهم است و یک سؤال هم به زمینه‌ای غیر از ریاضیات –فیزیک- اختصاص دارد.

نتایج و دستاوردها

هیلبرت یکی از مؤسسان ریاضیات قرن بیستم و در بسیاری جهات، به‌وجود آورنده مکتب صورتگرایی ریاضیات است که در ریاضیات محض این قرن نفوذ زیادی داشته‌است. یکی از دستاوردهای اساسی او در صورتگرایی و در مبانیِ هندسه است، که برخلاف مبانی اصل موضوعی نسبتاً شهودی‌تر اقلیدس، در بنا کردن هندسه بر مبنای اصلِ موضوعیِ محض مطرح شده‌است. کارهای ریاضی او بسیار عمیق و متنوع است. از جمله می‌توان نظریّه ناورداها، نظریه میدان‌های جبری و تحقیق در مبانی هندسه و در مبانی ریاضیات، و معادلات انتگرالی و فیزیکی را ذکر کرد. او سهم عظیمی در آنالیز ریاضی داشت. فضاهای برداری بی‌نهایت بعدی ابداعی او که به فضاهای هیلبرت مشهور اند راه را برای بنیانگذاری آنالیز تابعی گشود.