۰٫۹۹۹…

در ریاضیات، ۰٫۹۹۹‎…‎ (که با علامت‌هایی مانند  یا  نیز نمایش می‌یابد) یک عدد اعشاری متناوب از نوع ساده متشکل از تعداد بی‌نهایت ۹ بعد از ممیز را نشان می‌دهد. این عدد برابر با عدد یک است. به عبارتی دیگر، "۰٫۹۹۹‎…‎" و "۱" عددی یکسان را نشان می‌دهند. شیوه‌های متنوعی برای اثبات این برابری با درجات مختلفی از دقت ریاضی وجود دارد.
هر عدد اعشاری مختوم غیر صفر، با یک عدد اعشاری متناوب دوقلوی خود برابر است که می‌توان آن را با بی‌نهایت ۹ نشان داد (برای مثال ۸٫۳۲ برابر است با ۸٫۳۱۹۹۹‎…‎). تقریبا، همواره عدد اعشاری مختوم ترجیح داده می‌شود، که این موضوع به افزایش این تصور غلط که تنها شکل نمایش همان عدد مختوم است، دامن می‌زند. چنین مفهومی در تمام مبناهای دیگر (با بزرگترین عدد ممکن)، یا اعداد حقیقی مشابه وجود دارد.
تساوی ۰٫۹۹۹‎…‎ و عدد ۱ به نبود مقادیر غیر صفر بی‌نهایت کوچک در سیستم اعداد حقیقی مربوط می‌شود؛ این سیستم رایج‌ترین سیستم در آنالیز ریاضی است. برخی سیستم اعداد جایگزین، مانند اعداد فراحقیقی شامل مقادیر بسیار کوچک غیر صفر نیز می‌باشند. در بسیاری از این سیستم‌ها، مفهوم ۰٫۹۹۹‎…‎ معادل عدد یک است، اما در برخی از این سیستم‌ها، حتی بی‌نهایت ۹ نیز همواره اندکی کوچک‌تر از مقدار ۱ می‌باشد.
معادله ۰٫۹۹۹‎…‎=۱ مدت‌هاست که توسط ریاضی‌دانان پذیرفته و به بخشی از دانش ریاضی تبدیل شده‌است. با این وجود، برخی افراد آن را غیرعادی می‌یابند، دربارهٔ آن سؤال می‌پرسند و حتی آن را رد می‌کنند. این مسئله موجب انجام برخی پژوهش‌ها در آموزش ریاضی پیرامون این موضوع شده‌است.

اثبات جبری

اثبات جبری، برای نشان دادن تساوی ۰٫۹۹۹‎…‎ و ۱، از مفاهیمی مانند کسر، تقسیم زیرهم و دستکاری عددی استفاده می‌کند تا تغییراتی ایجاد کند که تساوی ۰٫۹۹۹ و ۱ دست‌نخورده باقی بماند. با این وجود، این اثبات خیلی دقیق نیست، زیرا شامل توصیف تحلیلی دقیق ۰٫۹۹۹‎…‎ نمی‌باشد.

بحث

اگرچه این اثبات‌ها نشان می‌دهند که ۰٫۹۹۹‎…‎=۱ است، اندازه این برابری به درک مخاطب بستگی دارد. در حساب مقدماتی، این اثبات‌ها به توضیح اینکه چرا ۰٫۹۹۹‎…‎=۱ ولی ۰٫۳۳۳‎…‎<0.۴، کمک می‌کند. در جبر مقدماتی، این اثبات به توصیف علت جواب‌دادن روش عمومی تبدیل کسر به عدد اعشاری متناوب و برعکس، کمک می‌کند. این اثبات به درک ارتباط اساسی اعداد اعشاری و ارقامی که نشان می‌دهند، کمک می‌کند، تا پاسخ این سؤال که دو عدد مختلف چگونه می‌توانند یکسان باشند، یافته شود.
زمانی که یک طرح نشان‌دادن توصیف می‌شود، می‌توان برای توجیه قوانین حساب اعشاری استفاده شده در اثبات‌های بالا، از آن استفاده کرد. به علاوه، می‌توان به‌طور مستقیم نشان داد که اعداد اعشاری ۰٫۹۹۹‎…‎ و ۱٫۰۰۰‎…‎ یک عدد حقیقی یکسان را نمایش می‌دهند؛ این در تعریف نیز وارد شده‌است. در پایین می‌توان آن را مشاهده کرد

اثبات از طریق ساختار اعداد حقیقی

برخی روش‌ها به صراحت توصیف می‌کنند که اعداد حقیقی با توجه به نظریه مجموعه‌ها ساختمان‌هایی ویژ] بر اساس اعداد گویا هستند. اعداد طبیعی (شامل ا، ۲، ۳، و ...) از یک شروع می‌شوند و ادامه می‌یابند، لذا هر عددی یک جفت مخالف دارد. اگر به همراه هر عدد طبیعی، عدد منفی آن را نیز بیاوریم، با در نظر گرفتن صفر، می‌توان مجموعه اعداد صحیح را تعریف کرد. با تقسیم این مقادیر به مقادیر صحیح دیگر، می‌توان اعداد گویا را معرفی نمود. این اعداد را می‌توان با ۴ عمل اصلی جمع، تفریق، ضرب و تقسیم همراهی کرد. به‌طور علمی‌تر، این‌ها دارای نظم هستند، لذا می‌توان اعداد را به یکدیگر مقایسه کرد و مشخص نمود که بزرگتر، کوچکتر و هم اندازه همند.
قدم‌گذاری از اعداد گویا به حقیقی توسعه‌ای اصلی است. حداقل دو راه مشهور برای رسیدن به قدم وجود دارد که هر دو در سال۱۸۷۲ چاپشده‌اند: برش ددکیند و دنباله کوشی. اثبات‌های ۰٫۹۹۹‎…‎=۱ از این ساختارها استفاده می‌کند، در کتاب‌های آنالیز حقیقی یافت نمی‌شود، درحالی که تمایل مدرن در دهه‌های اخیر به استفاده از آنالیز بدیهی بوده‌است. حتی زمانی که ساختاری پیشنهاد می‌شود، اغلب برای بدیهی بودن اعداد حقیقی به کار می‌رود، که سپس اثبات بالا را پشتیبانی می‌کند. اما، برخی نویسندگان بیان می‌کنند که شروع با یک ساختار، متناسب است، و اثبات‌های حاصل خودکفایند.

نمایش اعشاری نامتناهی

معمولا در آموزش متوسطه ریاضیات، یک عدد حقیقی را به صورت ترکیبی از یک عدد صحیح، علامت ممیز، و یک دنباله نامتناهی نشان می‌دهند که این بخش، قسمت اعشاری آن را نمایان می‌سازد. در این ساختار، مجموعه اعداد صحیح بعد ممیز مجموعه از اعداد حقیقی‌اند. این ساختار می‌تواند بعد از بیان یک رابطه هم‌ارزی برای مجموعه‌ای که نشان می‌دهد ۰٫۹۹۹‎…‎=۱، به شکل دقیقی مخاطب را راضی کند.

در فرهنگ عامه

با توسعه اینترنت، بحث دربارهٔ ۰٫۹۹۹‎…‎ از کلاس‌های درس خارج شده و به‌طور رایج در گروه‌های خبری و تالارهای گفت‌وگومطرح گشته است، که بیشتر آن‌ها ارتباط چندانی با ریاضیات ندارند. در گروه خبری sci.math بحث پیرامون ۰٫۹۹۹‎…‎ با عنوان «ورزش محبوب» مطرح شده‌است، و یکی از سؤالاتی است که در پرسشگان بدان پاسخ داده‌اند. پرسشگان به‌طور خلاصه ¹⁄₃، ضرب در ۱۰، حدها و اشاره به دنباله کوشی را به خوبی پوشش داده است.
ویرایش ۲۰۰۳ مجله عمومی استرایت دوپ، با استفاده از ¹⁄₃ و مفهوم حد دنباله، پیرامون ۰٫۹۹۹‎…‎ بحث می‌کند و تصورات نادرست را بیان می‌کند،
مهمل.
استرایت دوپ، در تالار گفت‌وگوی خود بحثی را قرار داده است که از یک «تالار گفت‌وگوی ناشناس دیگر... احتمالا درباره بازی‌های رایانه‌ای» ایجاد شده‌است. در آن‌جا نیز سؤال ۰٫۹۹۹‎…‎ محبوبیت این موضوع را در ۷ سال اول فروم battle.net بلیزارد انترتینمنت نشان می‌دهد که شرکت در روز دروغ اول آوریل سال ۲۰۰۴ بیان کرد که آن ۱ است:
ما خوش‌حال می‌شویم این بحث را یک‌بار و برای همیشه به پایان برسانیم. ما ناراحتی و نگرانی‌ها را درباره این‌که آیا ۰٫۹۹۹‎…‎ با ۱ برابر است یا نه، مشاهده نموده‌ایم و مفتخریم که این اثبات نهایتاً و به‌طور قطع، مشکل مشتریانمان را حل کرده‌است.
سپس ئو اثبات بر اساس مفهوم حد دنباله و ضرب در ۱۰ بیان شد.
ویژگی‌های ۰٫۹۹۹‎…‎ نیز به فرهنگ عامه ریاضایات تبدیل شده‌است، به خصوص در لطیفه‌ها:
سؤال: چند ریاضی‌دان لازم است تا یک لامپ برق را بچرخانند؟
پاسخ: ۰٫۹۹۹۹۹۹‎…‎

در سیستم‌های عددی جایگزین

اگرچه اعداد حقیقی یک سیستمعددی بسیار سودمند را ایجاد می‌کنند، تصمیم به درک مفهوم "۰٫۹۹۹‎…‎" به عنوان نام‌گذاری یک عدد حقیقی در نهایت یک قرارداد است، و تیم گورز، در کتاب خود به نام «ریاضیات: یک معرفی بسیار کوتاه» بیان می‌کند که نتیجه ۰٫۹۹۹‎…‎=۱ یک قرارداد است.
با این وجود این به معنای قراردادی دلخواه است، زیرا اتخاذ نکردن آن مجبور به اختراع موضوعات تازه عجیب می‌کند یا سبب رها کردن برخی قوانین آشکار حساب می‌گردد.
می‌توان با استفاده از موضوعات جدید و قوانین مختلف، سیستم‌های عددی تازه‌ای را ایجاد کرد؛ در برخی از این سیستم‌ها نیاز است که اثبات‌های بالا دوباره تفسیر شوند و باید بدان نتیجه رسید که در یک سیستم عددی مفروض، ۰٫۹۹۹‎…‎ و ۱ نباید برابر باشند. با این‌حال بسیاری از سیستم‌های عددی نوع گسترده (نه مستقل جایگزین) سیستم اعداد حقیقی‌اند، لذا ۰٫۹۹۹‎…‎=۱ آن‌جا نیز برقرار است. حتی در چنین سیسیتم‌های عددی اگرچه، آزمایش سیستم‌های عددی جایگزین ارزشمند است، و این موضوع نه تنها برای چگونگی رفتار ۰٫۹۹۹‎…‎ صدق می‌کند (اگر) بلکه نحوه رفتار مفاهیم مرتبط را نیز در بر می‌گیرد.

هاکنبوش

نظریه بازی ترکیبی اعداد حقیقی را فراهم می‌کند، که بازی آبی قرمز هاکنبوش یک مثال مرتبط است. در سال ۱۹۷۴، الوین برلکمپ ارتباطی بین رشته‌های هاکینپوش و بسط دوتایی اعداد حقیقی توصیف می‌کند، که از ایده فشرده‌سازی داده‌ها شکل گرفته‌است. برای مثال، مقدار رشته هاکنبوش LRRLRLRL‎…‎ برابر 0.010101₂‎…‎=¹⁄₃ می‌باشد. اما مقدار LRLLL‎…‎ به اندازه بی‌نهایت کوچک، از ۱ کمتر است. تفاوت این‌دو عدد سورئال می‌باشد، ¹⁄ ω  که ω اولین عدد ترتیبی بینهایت است؛ بازی مربوط LRRRR‎…‎ یا 0.000...₂ می‌باشد.

بازنگری تفریق

یکی دیگر از روش‌هایی که اثبات‌ها را زیر سؤال می‌برد، این است که آیا ۱-۰٫۹۹۹‎…‎ وجود دارد، زیرا همیشه تفریق امکان‌پذیر نیست. ساختارهای ریاضی با عملگرد جمع، نه تفریق، شامل خاصیت جابجایی و جابجایی مونوئیدها می‌باشد. ریچمن دو سیستم این‌چنینی را در نظر می‌گیرد، لذا ۰٫۹۹۹‎…‎<1 است.
او ابتدا یک عدد اعشاری غیر منفی را به عنوان بسط اعشاری در نظر می‌گیرد. او بیان می‌کند که ۰٫۹۹۹‎…‎<1 است زیرا ۰<1 می‌باشد، ولی برای هر x بدون واحد، داریم x+1=x+0.999.... لذا یکی از خاصیت‌های اعداد اعشاری اینست که جمع همواره متوقف نمی‌شود؛ خاصیت بعدی اینست که عدد اعشاری با ¹⁄₃ مرتبط است. بعد از تعریف ضرب، اعداد اعشاری یک نیم‌حلقه جابجایی‌پذیر، کاملاً مرتب و مثبت را شکل می‌دهد.
ریچمن در فرایند معرفی ضرب، یک سیستم دیگر به نام «برش دی» را معرفی می‌کند که مجموعه‌ای از برش‌های ددکیند برای کسرهای اعشاری است. معمولاً این تعریف به یک عدد حقیقی می‌انجامد، اما برای یک کسر اعشاری d، او اجازه ایجاد برش‌های (−∞, d) و (−∞, d] فراهم می‌کند. نتیجه اینست که اعداد حقیقی با کسرهای اعشاری به سختی با یکدیگر کنار می‌آیند. دوباره ۰٫۹۹۹‎…‎<1 است. در برش D هیچ مقدار بسیار کوچک مثبتی وجود ندارد، اما نوعی مقدار بی‌نهایت کوچک منفی موجود است، 0⁻، که هیچ بسط حقیقی ندارد. او می‌گوید ۰٫۹۹۹‎…‎=1+0⁻، درحالی که معادله "۰٫۹۹۹‎…‎+1=x  پاسخی ندارد.