الگوریتم *A

توضیح

از جستجوی ابتدا بهترین استفاده می‌کند و کوتاه‌ترین مسیر را بین دو گره مبدأ و مقصد داده شده به وسیله گره‌های دیگر می‌یابد. این روش با ترکیب  هزینه رسیدن به گره  و  هیوریستیک یا تخمین هزینه رسیدن از گره م تا هدف گره‌ها را ارزیابی می‌کند:
از آنجایی که  هزینه مسیر از گره شروع به گره  و  هزینه تخمینی ارزان‌ترین مسیر از  به هدف است، داریم:
 = هزینه برآورد ارزان‌ترین راه حل از طریق n
بنابراین اگر به دنبال ارزان‌ترین راه حل هستیم، اولین کار معقول امتحان گره‌ای است که کمترین مقدار  را داراست. مشخص می‌شود که این راهبرد کاملاً معقولانه‌است. اگر تابع آروین  شرایط خاصی داشته باشد. جستجوی A* هم کامل و هم بهینه‌است.
اگر A* همراه با الگوریتم جستجوی درخت استفاده شود، آنگاه تحلیل بهینگی آن بسیار ساده و سر راست می‌شود. A* بهینه‌است اگر  یک آروین قابل قبول باشد. یعنی  هرگز هزینه رسیدن به هدف را بیش از اندازه واقعی برآورد نکند. این آروین‌ها ذاتاً بهینه هستند زیرا آن‌ها فکر می‌کنند که هزینه راه حل مسئله کمتر از مقدار واقعی آن است. از آنجا که  هزینه رسیدن به  را به‌طور دقیق نشان می‌دهد، می‌توان بلافاصله نتیجه گرفت که  هرگز هزینه واقعی راه حلی که از  می‌گذرد را اضافه برآورد نمی‌کند.  شبه کد زیر الگوریتم را توصیف می‌کند:
 1  function A*(start,goal) 2      closedset:= the empty set  // The set of nodes already evaluated. 3      openset:= {start}    // The set of tentative nodes to be evaluated, 4                           // initially containing the start node 5      came_from:= the empty map // The map of navigated nodes. 6  7      g_score[start]:= 0 // Cost from start along best known path. 8      h_score[start]:= heuristic_cost_estimate(start, goal) 9      f_score[start]:= g_score[start] + h_score[start] // Estimated total cost10                                                       // from start to goal through y.11 12      while openset is not empty13          x:= the node in openset having the lowest f_score[] value14          if x = goal15              return reconstruct_path(came_from, came_from[goal])16 17          remove x from openset18          add x to closedset19          foreach y in neighbor_nodes(x)20              if y in closedset21                  continue22              tentative_g_score:= g_score[x] + dist_between(x,y)23 24              if y not in openset25                  add y to openset26                  tentative_is_better:= true27              else if tentative_g_score <g_score[y]28                  tentative_is_better:= true29              else30                  tentative_is_better:= false31 32              if tentative_is_better = true33                  came_from[y]:= x34                  g_score[y]:= tentative_g_score35                  h_score[y]:= heuristic_cost_estimate(y, goal)36                  f_score[y]:= g_score[y] + h_score[y]37 38      return failure39 40  function reconstruct_path(came_from, current_node)41      if came_from[current_node] is set42          p:= reconstruct_path(came_from, came_from[current_node])43          return (p + current_node)44      else45          return current_node

مثال

یک مثال از الگوریتم A* در عمل این است که گره‌ها را شهرهایی فرض کنیم که با جاده‌هایی به هم وصل شده‌اند و h(x) فاصله مستقیم تا نقطه هدف باشد:
کلید: سبز:شروع؛ آبی: هدف؛ نارنجی: گره ملاقات شده.

پیچیدگی زمانی

پیچیدگی زمان الگوریتم A* به آرگومان آن بستگی دارد. در بدترین حالت، تعداد گره‌های فضای جستجوی درون تراز هدف، نسبت به طول راه حل، نمایی می‌باشد. در صورتی که خطای تابع آروین سریع تر از لگاریتم هزینه واقعی رشد کند رشد نمایی اتفاق می‌افتد. به عبارت دیگر شرط رشد به صورت نمایی جزئی به این صورت است که:
که در آن  هزینه واقعی رسیدن از گره  به هدف است.
زمان محاسبه، نقطه ضعف اصلی A* نیست. از آنجا که این الگوریتم، تمامی گره‌های تولید شده را در حافظه نگهداری می‌کند معمولاً بیشتر از آنکه وقت کم بیاورد، حافظه کم می‌آورد. به همین دلیل A* در مورد بسیاری از مسائل بزرگ، عملی نیست.