درخت کی‌دی

در علوم رایانه، درخت کی‌دی (کوتاه شده درخت K بعدی) یک ساختمان داده برای سازماندهی نقاط در فضای k-بعدی است.
در واقع این درخت، داده ساختاری است برای ذخیره‌سازی مجموعه متناهی از یک فضای K بعدی.
این درخت، یک داده ساختار مفید برای بسیاری از برنامه‌های کاربردی است، مانند جستجوهایی که شامل کلید واژه‌های جستجوی چند بعدی هستند.

مشخصات کلی

درخت کی‌دی یک نوع درخت دودویی از نوع BSP ( کوتاه شده Binary space partitioning ) است . 
هر گرهٔ آن یک نقطهٔ K بعدی است و هر گره غیر برگ را می‌توان به عنوان یک مولد جداکننده ابر صفحه، که فضا را به دو قسمت، که به عنوان زیر فضا شناخته می‌شوند، تقسیم می‌کند دانست .
نقاط سمت چپ ابرصفحه، در زیر درخت سمت چپ آن گره و نقاط سمت راست ابرصفحه، در زیر درخت راست نمایش داده می‌شوند .
هر گره در درخت با یکی از K بعد مرتبط است، به همراه ابرصفحه‌ای که بر محور آن بعد عمود است . بنابر این، به عنوان مثال، اگر برای یک جداسازی مشخص، محور X انتخاب شده باشد، تمام نقاط در زیر درخت که مقدار X کوچکتری از آن گره دارند در زیر درخت سمت چپ و تمام نقاط با مقدار X بزرگتر، در زیر درخت سمت راست ظاهر می‌شوند . در چنین حالتی، ابر صفحه با مقدار X معین می‌شود و بردار نرمال آن محور X خواهد بود .

تنوع در نوع داده‌ها

در این داده ساختار علاوه بر نقاط چند بعدی می‌توان انواع دیگری از متغیرها را نیز ذخیره نمود . به عنوان مثال یک درخت کی دی می‌تواند دربر دارنده مستطیلهای دو یا چند بعدی باشد .
یک مستطیل دوبعدی نمایانگر یک شئ ۴ مؤلفه‌ای است ( ۴ نقطه مشخص‌کننده مستطیل ).
در چنین نمونه‌ای مسئله جستجو تبدیل به یافتن مستطیل‌هایی متقاطع با مستطیل مرجع خواهد شد .

ساخت درخت کی دی

درخت کی دی بر اساس یک مجموعه نمونه داده شده E با الگوریتم زیر ایجاد می‌شود :
Algorithm:         Constructing a KD-tree                   

Input:             exset,of type exemplar-set               

Output:            kd , of type kd tree                     

Pre:               None                                     

Post:              exset=exset-rep(kd) ^ ls-legal-kdtree(kd)

if exset is empty then return the empty kdtree                    

call pivot-choosing procedure.which returns two values:           

ex := a member of exset                              
split := the splitting dimention                     

d := domain vector of ex                                          

exset' := exset with ex removed                                   

r := range vector of ex                                           

exsetleft := { ( d' , r') member of exset'|d'split ≤ d split }    

exsetright := { ( d' , r') member of exset'|d'split> d split}    

kdleft := recursively construct kd-tree from exsetleft            

kdright := recursively construct kd-tree from exsetright          

kd := <d.r.split.kdleft.kdright>

افزودن یک عنصر

افزودن یک نقطه به درخت کی دی، همانند افزودن یک عنصر به هر درخت جستجوی دیگر است .
ابتدا درخت را به این صورت پیمایش می‌کنیم که از ریشهٔ درخت شروع کرده و سپس با توجه به این که نقطه‌ای که میخواهیم درج کنیم در سمت راست صفحه جداکننده قرار دارد یا در سمت چپ به فرزند راست یا چپ می رویم ، 
این کار را تا رسیدن به گره‌ای که این نقطه باید به عنوان فرزند آن درج شود ادامه داده و در آخر با توجه به این که نقطه مورد نظر در سمت راست صفحه جداکننده گره قرار دارد یا در سمت چپ، به عنوان فرزند راست یا چپ آن درج می‌شود.
البته افزودن نقاط با این روش ممکن است موجب شود درخت نامتوازن شود و این امر کارآیی را کاهش می‌دهد.

حذف یک عنصر

برای حذف یک عنصر از درخت کی دی بهترین و ساده‌ترین روش آن است که مجموعه فرزندان گره هدف را مشخص کرده و پس از حذف آن گره، با توجه به مجموعه ذخیره شده مجدداً این بخش از درخت را ساخت.