بازی هم‌دستی

نظریه بازی‌ها به دو شاخه تقسیم می‌شود: بازی‌های هم‌دستی (با همکاری، تعاونی) و بازی‌های بدون همکاری. تفاوت این دو شاخه در وابستگی متقابل بازیکنان است. بازی‌های بدون همکاری مدلی با جزییات بسیار است که حرکات مجاز برای بازیکنان، استراتژی و سود و هزینه آن‌ها را تحلیل می‌کند. در این نوع بازی، بازیکنان امکان اتحاد و رفتار مشترک ندارند یا این امکان را دارند اما به شرطی که این رفتار مشترک و معاهده منعقد شده بین آن‌ها اثر خارجی بر بازیگران ثالث نداشته باشد.
در حالی که در بازی‌های هم‌دستی این سطح از جزییات وجود ندارد و بازی‌هایی هستند میان گروهی از بازیکنان که در آن به اثرات خارجی رفتار مشترکی که آن‌ها در نظر دارند و روادیدی که منجر به این رفتار مشترک شده توجه می‌شود.
در نظریه بازی‌های هم‌دستی، به کلیت استراتژی‌های انتخاب هر بازیکن دقت می‌شود و بیشتر تمرکز معطوف به تحلیل ائتلاف‌هایی که بازیکنان باهم به وجود می‌آورند استراتژی‌های آنان در این ائتلاف است. به این صورت که سود به‌دست آمده پس از ایجاد هر ائتلاف و تأثیر آن بررسی می‌شود و با توجه به نتایج به‌دست آمده در مورد امکان ایجاد یا عدم ایجاد این ائتلاف‌ها تصمیم گرفته می‌شود. در این بازی‌ها آنچه به‌صورت دقیق مشخص نمی‌شود این موضوع است که در فرایند تشکیل این ائتلاف‌ها چه کنش‌هایی میان بازیکنان مختلف رخ می‌دهد.
برای مثال، فرض کنید که بازیکنان ما احزاب مختلف راه‌یافته به مجلس نمایندگان هستند و هر یک از این احزاب قدرت مشخصی دارد. این قدرت با توجه به تعداد صندلی اشغال شده توسط آن‌ها در مجلس نمایندگان بررسی می‌شود. در نظریه بازی‌های هم‌دستی ائتلاف‌های مختلف و چگونگی در اختیار گرفتن اکثریت توسط آن‌ها مشخص می‌شود، اما به فرایند تشکیل این ائتلاف‌ها و بحث‌ها و مذاکرات لازم توجه نمی‌شود و در اندازه‌گیری‌های ما این مقادیر دخیل نیستند.

مفاهیم ریاضی

نشان‌دهنده مجموعه بازیکنان است. هر زیرمجموعه ناتهی از  یک ائتلاف یا اتحاد نامیده می‌شود. برای مثال اعضای مشغول در یک تیم کاری می‌تواند یک ائتلاف باشد. به کل مجموعه  نیز ائتلاف بزرگ گفته می‌شود. همچنین ائتلاف تهی با علامت ∅ نشان داده می‌شود و مجموعه تمام ائتلاف‌ها با مجموعه توانی  برابر است که آن را با  نمایش می‌دهیم. هر ائتلاف را می‌توان یکی از اجزای این مجموعه برشمرد.

تابع مشخصه

تابع مشخصه یک بازی  نفره تابعی است که یک مقدار را به هر زیرمجموعه از بازیکن‌ها نسبت می‌دهد.
مقدار   میزان بیشینه سود زیرمجموعه  از بازیکنان را نشان می‌دهد در صورتی که این بازیکنان یک ائتلاف را تشکیل دهند. این میزان با صفر در نظر گرفتن اثر خارجی احتمالی ائتلاف‌های دیگر روی این ائتلاف بررسی می‌شود. در بعضی‌اوقات این مقدار، ماکسمین هزینه در نظر گرفته می‌شود به این صورت که همه  بازیکن دیگر هم به عنوان یک ائتلاف در نظر گرفته می‌شوند.
().
به ، ارزش ائتلاف  نیز گفته می‌شود.
همچنین  برابر صفر در نظر گرفته می‌شود.

زبرجمعی

توابع مشخصه در این قسمت غالباً به صورت توابع زبرجمع در نظر گرفته می‌شوند. یک تابع زبرجمع است اگر شرط زیر روی آن برقرار باشد.
(v(S ∪ T) ≥ v(S) + v(T
البته این تعریف زمانی برقرار است که S ∩ T = ∅ هم برقرار باشد. یعنی عبارت دوم شرط عبارت اول است.

تقسیم پذیری پایان ناپذیر

میزان سود ناشی از هر بازی را تقسیم پذیر پایان ناپذیر می‌نامیم اگر بتوان این میزان را بین بازیکنان مشخص به هر صورت ممکن تقسیم نمود.

نسبت

یک نسبت به میزان سهمی گفته می‌شود که یک بازیگر مشخص از سود کلی بدست آمده از آن خود می‌کند. برای یک بازی با n بازیگر مجموعه نسبت‌ها به این صورت نوشته می‌شود.

غلبه

نسبت x به نسبت y، روی فضای s غلبه دارد اگر و تنها اگر دو شرط زیر برقرار باشد

راه حل یا نتیجه یک بازی باهمکاری

شامل:
۱- تجزیه  به ائتلاف هاست که این تجزیه، ساختار ائتلاف نامیده می‌شود.
ساختار ائتلاف  در مجموعه  یک مجموعه‌ای ناتهی از زیر مجموعه‌های ناتهی از  که شرایط زیر را داشته باشد:
 برابراست با  .
۲- یک بردار سود یا هزینه است که ارزش هر ائتلاف را بین بازیکنانش تقسیم می‌کند.
بردار  بردار سود یا هزینه برای یک ساختار ائتلاف   روی  است اگر:
نتیجه یک زوج  است که  سود یا هزینه ائتلاف  تحت بردار  است.  در  کارآمد است اگر : 
این بردار برای ساختار ائتلاف  یک نسبت دادن است اگر کارآمد و تک به تک عاقلانه باشد.