نظریه اعداد

نظریه اعداد (در گذشته به آن حساب یا حساب پیشرفته می گفتند) شاخه ای از ریاضیات محض است که خود را عمدتاً وقف مطالعه اعداد صحیح نموده است. ریاضیدان آلمانی، کارل فردریش گاوس (1777-1855) گفت: "ریاضیات ملکه علوم است، و نظریه اعداد ملکه ریاضیات." نظریه اعداد دانان به مطالعه اعداد اول و همچنین خواص اشیائی که از اعداد ساخته می شوند می پردازند (به عنوان مثال اعداد گویا) یا تعمیم هایی از اعداد تعریف می کنند (مثل اعداد صحیح جبری).
اعداد صحیح را می توان به خودی یا به عنوان جواب معادلات (در هندسه سیاله ای) در نظر گرفت. سوالات حوزه ی نظریه اعداد اغلب از طریق مطالعه بر روی اشیاء تحلیلی (به عنوان مثال تابع زتای ریمان) بهتر فهمیده می شوند. می توان اعداد حقیقی را با کمک اعداد گویا مطالعه کرد، به عنوان مثال با تقریب زدن به کمک اعداد گویا (تقریب سیاله ای).
اصطلاح قدیمی برای نظریه اعداد حساب بود. اوایل قرن بیستم، عبارت "نظریه اعداد" جایگزین آن شد. (کلمه ی "حساب" نزد عوام به عنوان "محاسبات مقدماتی" پنداشته می شود. همچنین این اصطلاح در منطق ریاضیات به معنای حساب پئانو و در علوم رایانه به معنای حساب ممیز شناور می باشد.) استفاده از اصطلاح حساب برای نظریه اعداد در نیمه دوم قرن بیستم رواج پیدا کرد، ادعا می شود که تترویج آن تحت تأثیر فرانسوی ها بوده است. بخصوص، اصطلاح حسابی به عنوان یک صفت نسبت به نظریه اعدادی ترجیح داده می شود.

حساب در قرون وسطای شرق

کمال‌الدین فارسی ریاضی‌دان و فیزیکدان برجسته ایرانی سهم عمده‌ای در گسترش نظریه اعداد داشته است.

نظریه تحلیلی اعداد

در نظریه تحلیلی اعداد از حسابان و آنالیز مختلط برای بررسی سؤالاتی در مورد اعداد صحیح استفاه می‌شود. مثال‌هایی در این مورد قضیه اعداد اول و فرض ریمان هستند. مسئله وارینگ (یعنی نمایش هر عدد صحیح به صورت جمع چند مربع یا مکعب)، حدس اعداد اول تؤامان (یافتن بینهایت عدد اول با اختلاف ۲)، و حدس گلدباخ (نمایش هر عدد زوج به‌صورت مجموع دو عدد اول) نیز با روشهای تحلیلی مورد حمله قرار گرفته‌اند. اثبات متعالی (ترافرازنده) بودن ثابت‌های ریاضی مانند π و e نیز در بخش نظریه تحلیلی اعداد قرار دارند. اگرچه حکم‌هایی در مورد اعداد ترافرازنده خارج از محدوده مطالعات اعداد صحیح به نظر می‌آید، در واقع مقادیر ممکن برای چندجمله‌ای‌ها با ضریب‌های صحیح مانند e را بررسی می‌کنند. همچنین این‌گونه مسائل با مبحث تقریب دیوفانتین نیز ارتباط نزدیک دارند که موضوع آن این است که چگونه می‌توان یک عدد حقیقی داده شده را با یک عدد گویا تقریب زد؟

نظریه جبری اعداد

در نظریه جبری اعداد، مفهوم عدد به اعداد جبری، که همان ریشه‌های چندجمله‌ای‌هائی با ضریب گویا هستند، گسترش می‌یابد. در این حوزه اعدادی مشابه اعداد صحیح با نام اعداد صحیح جبری وجود دارد. در این عرصه لازم نیست ویژگی‌های آشنای اعداد صحیح (مانند تجزیه یگانه) برقرار باشد. مزیت روش‌های استفاده شده در این رشته (مثل نظریه گالوا، میدان همانستگی field cohomology، نظریه رده میدان class field theory، نمایش‌های گروه‌ها و توابع-L) این است که برای این رده از اعداد، نظم را تا حدودی تأمین می‌کند.

نظریه هندسی اعداد

نظریه هندسی اعداد (که قبلاً به آن هندسه اعداد می‌گفتند) جنبه‌هایی از هندسه را به نظریه اعداد پیوند می‌دهد؛ و از قضیه مینکوفسکی در ارتباط با نقاط توری در مجموعه‌های محدب و تحقیق در مورد چپاندن کره‌ها (sphere packings) در فضای Rⁿ شروع می‌شود.

نظریه ترکیبیاتی اعداد

نظریه ترکیبیاتی اعداد به مسائلی در نظریه اعداد می‌پردازد که با روش‌های ترکیبیاتی بررسی می‌شوند. پل اردوش بنیان‌گذار اصلی این شاخه از نظریه اعداد بود. الگوریتم‌های سریع برای امتحان اعداد اول و تجزیه اعداد صحیح در رمزنگاری کاربردهای مهمی دارند.