حساب تغییرات

حساب تغییرات یا حساب وردشی حوزه ای از آنالیز ریاضی است که از وردش (تغییرات) کوچک در توابع و تابعک ها برای یافتن ماکسیمم‌ها و مینیمم‌ها سود می جوید: نگاشت هایی از یک دسته تابع به اعداد حقیقی. تابعک ها اغلب به صورت انتگرال های معینی بیان می شوند که در آن توابع و مشتقاتشان ظاهر می شوند. توابعی که تابعک ها را ماکسیمم و مینیمم می کنند را می توان در حساب تغییرات توسط معادلات اویلر-لاگرانژ پیدا کرد.
مثالی ساده از چنین مسائلی یافتن خمی با کوتاه ترین طول بین دو نقطه است. اگر هیچ قیدی در کار نباشد، جواب این مسئله خط مستقیم بین آن دو نقطه خواهد بود. با این حال، اگر روی خمی قید بگذاریم که در رویه مورد نظر باقی بماند، آنگاه جواب کمی غیر بدیهی شده و ممکن است هم‌زمان چندین جواب وجود داشته باشد. به چنین راه حل هایی ژئودزی‌ها گویند. مسئله مرتبط دیگری توسط اصل فرما بیان می شود: نور کوتاه ترین مسیر بین دو نقطه را طی می کند، که طول مسیر آن به مواد فضای پیرامونی اش بستگی دارد. مفهوم مرتبط دیگر در مکانیک اصل کمترین کنش است.
بسیاری از مسائل مهم با توابع چند متغیره سروکار دارند. جواب های مسائل مقدار مرزی برای معادله لاپلاس در اصل دیریکله صدق می کنند. مسئله پلاتو، به دنبال یافتن رویه ای با مساحت مینیمال است به گونه ای که مرزهای آن از یک خم بسته مشخص در فضا عبور کند: راه حل آن اغلب با فرو بردن یک قاب در محلول آب صابون بدست می آید. گرچه چنین آزمایشی را می توان نسبتاً راحت انجام داد، اما تفسیر ریاضی آن ساده نیست: بیش از یک رویه وجود دارند که به طور موضعی کمینه هستند، و ممکن است این رویه ها توپولوژی نابدیهی داشته باشند.

تاریخچه

می توان گفت که حساب تغییرات از مسئله مقاومت کمینه نیوتون در ۱۶۸۷ آغاز گشت، که به دنبال آن مسئله خم براخیستوکرون (خم کوتاه‌ترین زمان) در ۱۶۹۶ توسط یوهان برنولی مطرح شد. بلافاصله پس از آن، توجه جیکوب برنولی و مارکوس دو هوپیتال هم جلب شد، اما اولین بار این لئونارد اویلر بود که مسئله را به دقت در ۱۷۳۳ شرح داد. لاگرانژ توسط خدمات قابل توجه اویلر به این مسئله تحت تأثیر قرار گرفت. بعد از این که اویلر کار ۱۷۵۵ لاگرانژ ۱۹ ساله را دید، رهیافت هندسی خود را رها کرده و به رهیافت آنالیز محض لاگرانژ پیوست و موضوع مورد مطالعه را در رساله ۱۷۵۶ خود (Elementa Calculi Variationum) به حساب تغییرات تغییر داد.
لژاندر در ۱۷۸۶ روشی را بنا نهاد که به منظور تمایز بین مینیمم ها و ماکسیمم ها کاملاً رضایت بخش عمل نمی کرد. از همان اوایل توجه اسحاق نیوتون و گتفرید لایبنیز هم به این موضوع جلب شد. در میان مشارکت کنندگان به بحث تمایز بین مینیمم ها و ماکسیمم ها این ریاضیدانان به چشم می خورند: وینچنزو بروناچی (۱۸۱۰)، کارل فردریش گاوس (۱۸۲۹)، سیمون پواسون (۱۸۳۱)، میخائیل اوسترگرادسکی (۱۸۳۴)  کارل جیکوبی (۱۸۳۷). یکی از کار های عمومی مهم مربوط به ساروس (۱۸۴۲) می شد که توسط کوشی (۱۸۴۴) خلاصه شده و ارتقاء یافت. رسالات و تاریخچه های با ارزشی توسط استراوچ (۱۸۴۹)، جلت (۱۸۵۰)، اتو هسه (۱۸۵۷)، آلفرد کلبش (۱۸۵۸) و کارل (۱۸۸۵) نوشته شده، اما شاید مهم ترین کار قرن نوزدهم مربوط به وایرشتراس باشد. تدریس مشهور او در ارتباط با این نظریه از نظر تاریخی اثرگذار بوده و ممکن است او اولین کسی باشد که این نظریه را بر شالوده ای محکم و غیر قابل انکاری قرار داده باشد. مسائل بیستم و بیست و سوم هیلبرت در ۱۹۰۰ میلادی منتشر شدند و توسعه حساب وردشی را تشویق نمودند.
در قرن بیستم دیوید هیلبرت، امی نوتر، لئونیدا تونلی، هنری لبگ و جکوئس هادامارد در میان دیگران سهم عمده ای داشتند. مارستون مورس حساب وردشی را در نظریه ای که اکنون به نام نظریه مورس معروف است به کار برد. لو پونتریجین، رالف رکافلار و اف. اچ. کلارک ابزار ریاضیاتی نوینی را برای به کار بردن حساب وردشی در نظریه کنترل بهینه توسعه دادند. برنامه نویسی پویای ریچارد بلمن راهکار جایگزینی برای حساب وردشی در نظریه کنترل است.