هرم پاسکال

در ریاضیات هرم پاسکال (انگلیسی: Pascal's pyramid) آرایش سه بعدی از اعداد سه جزیی است؛ که ضرایب بسط سه جمله‌ای و توزیع آن می‌باشد. هرم پاسکال نظیر سه بعدی از مثلث پاسکال دو بعدی، که شامل اعداد دو جمله‌ای و مربوط به بسط دو جمله‌ای و توزیع دو جمله‌ای آن می‌باشد. اعداد دو جمله‌ای و سه جمله‌ای، ضرایب، بسط‌ها، توزیع‌ها، زیر مجموعه‌های ساخت‌های چند جمله‌ای با اسم‌های یکسان می‌باشند. هرم پاسکال با نام دقیق تر «چهار وجهی پاسکال» می‌باشد، زیرا دارای چهار سطح مثلثی است. (اهرام مصر باستان دارای پنج سطح بود: یک پایه مربعی و چهار مثلث اطراف آن)

ارتباط با بسط ۳ جمله‌ای

اعداد چهار وجهی از بسط سه جمله‌ای مشتق شده‌است. nامین لایه، ماتریسی با ضرایب مجزا[ماتریس ضرایب] (بدون متغیر یا نماها) از عبارت سه جمله‌ای (به عنوان مثال A + B + C) وجود دارد. عبارت سه جمله‌ای، با ضرب خود بسط داده می‌شود.
هر جمله در عبارت اول را در هر جمله در عبارت دوم ضرب می‌شود؛ و سپس ضرایب جملات یکسان (متغیر و نماهای مشابه) را با هم جمع می‌کنیم. در این جا بسط
A + B + C)⁴):
نوشتن بسط بدین صورت آن را قابل فهم تر می‌کند. هم چنین ارتباط بین چهار وجهی را نمایش می‌دهد که با ضرایب لایه چهارم برابر است.
توان‌ها، متغیرها و ضرایب اشاره شده که نوشته نشدند، ارتباط دیگری بین چهار وجهی را نمایش می‌دهد. (معمولاً "B¹" برابر B و "1A" برابر A و "C⁰" برابر ۱ می‌باشد. مجموع نماهای هرجمله برابر شماره(n) لایه بوده(۴ در این مثال). به‌طور عمده، ضرایب را متوان از روی توان‌ها به‌طور مستقیم محاسبه نمود. فرمول مورد نظر
((!x + y + z)! / (x! × y! × z می‌باشد که به ترتیب x,y,z توان‌های A, B, C می‌باشند. برای لایه ۴ام داریم:
توان‌های هر جملهٔ بسط به خوبی دیده می‌شود و این فرمول‌ها، ضرایب بسط (با انحصار به هر جمله) و ضرایب چهاروجهی لایه چهارم ساده می‌کنند.

ارتباط توزیع چند جمله‌ای

تعداد چهار وجهی‌ها را همچنین می‌توان در توزیع سه جمله‌ای یافت. این یک توزیع احتمال گسسته است که برای تعیین شانس ترکیبی از وقایع با توجه به سه پیش آمد ممکن
که رخ می‌دهد؛ تعداد راه‌هایی که وقایع می‌توانند رخ بدهند ضربدر احتمالاتی است که روی می‌دهد. فرمول توزیع سه جمله‌ای به صورت زیر است:
که x, y, z تعداد دفعاتی است هریک از این سه پیش آمد رخ می‌دهد. n تعداد از آزمایش‌های است و برابر است با مجموع x+y+z PA, PB, PC احتمالاتی است که هریک از این سه پیش آمد ممکن است رخ دهد.
به عنوان مثال، در یک انتخابات سه جانبه، نامزدها این رای‌ها را اخذ کردند: A, 16%; B, 30%; C, 54%. شانس این که گروهی چهار نفره شامل رأی دهندگانی باشد به شرطی که ۱ رأی به Aو ۱ رأی به B و ۲ رأی به c داده باشند، چقدر است؟ جواب به شرح زیر است:
عدد ۱۲ ضریب این احتمال است و این تعداد ترکیباتی است که این گروه "۱۱۲" می‌توانند پر کنند. ۱۵ مدل مختلف، این گروه چهار نفره می‌توانند رأی بدهند. عبارات برای همهٔ ۱۵ تای این ضرایب بدین سان است:
صورت کسر (بالای خط) این کسرها برای همه عبارات یکسان است. این گروه، با حجم نمونه چهار نفره، نشان می‌دهد که ضرایب این ترتیب‌ها را می‌توان در لایه ۴ از چهار وجهی یافت.
سه عدد در مخرج (زیر خط) تعدادی از اعضای گروه می‌باشد که به ترتیب به A، B، C رأی دادند.
معمولاً برای بیان توابع ترکیبی، از مختصرنویسی به شکل «انتخاب» استفاده می‌شود. (بخوانید انتخاب ۰و۰و۴ از ۴)
که مقادیر این عبارات، برابر ضرایب لایه چهارم چهاروجهی است؛ که می‌توان آن را به هر لایه با تغییر اندازه نمونه به n تعمیم داد.
شکل زیر بیان مجموع همه ضرایب لایه nام را ساده‌تر می‌کند.

روابط در مثلث پاسکال

می‌دانید که اعداد روی سه یال بیرونی لایه nام چهاروجهی، همانند اعداد سطر nام مثلث پاسکال می‌باشد. با این حال، روابط بین اعداد، بیش از یک نوار عددی می‌باشد. این روابط با مقایسه لایه چهارم چهاروجهی و خط چهارم مثلث پاسکال به خوبی نشان داده خواهد شد.
با ضرب کردن سطر nام مثلث پاسکال در همهٔ سطرهای خود به‌طوری‌که به ترتیب هرسطر یکی از اعداد را ضریب بگیرد،n امین لایهٔ چهار وجهی به دست می‌آید. درمثال زیر، اعداد مثلث پاسکال، مایل، و اعداد هرم درشت‌نویس هستند.
ضرایب (۱ ۴ ۶ ۴ ۱) خط چهارم مثلث خیام-پاسکال را تشکیل می‌دهند.
این رابطه، راحت‌ترین و سریع‌ترین راه محاسبهٔ هر لایه از چهاروجهی می‌باشد بدون نیاز به محاسبهٔ فاکتوریل که به سرعت اعداد بزرگی را تولید می‌کند. (ماشین حساب‌های اعداد بزرگ و دقیق در محاسبهٔ لایه‌های بزرگتر از ۲۰۰ بسیار کند عمل می‌کنند)
اگر ضرایب مثلث خیام-پاسکال با نماد C(i,j) بیان شود و ضرایب چندوجهی با نماد C(n,i،j) که n لایه چندوجهی، i شماره ردیف و j ستون باشد، آنگاه رابطه نمادین به صورت زیر است:
(که i, j, n در اینجا توان‌ها نیستند و فقط شاخص برچسبی متوالی هستند)

کاربرد

در ژنتیک، معمولاً از هرم پاسکال برای پیدا کردن نسبت بین ژنوتیپ‌های مختلف در یک عبور مشابه استفاده می‌شود که توسط بررسی خطی که معادل تعداد فنوتیپ (ژنوتیپ + ۱) است انجام می‌شود. این خط همان نسبت خواهد بود. [جزئیات بیشتر مورد نیاز است]