حلقه (ریاضیات)

در ریاضیات، حلقه ساختار بنیادین جبری در جبر مجرد است. این ساختار شامل مجموعه ای مجهز به عمل دوتایی بوده که تعمیم دهنده عملیات حسابی جمع و ضرب است. از طریق این تعمیم، قضیه های حساب به اشیاء غیر عددی چون چند جمله ای ها، سری ها، ماتریس ها و توابع تعمیم پیدا می کند. 
یک حلقه گروهی آبلی است به همراه عملگر دوتایی ثانویه ای که خاصیت شرکت پذیری داشته و روی عملگر گروهی آبلی توزیع پذیر است و دارای عنصر همانیست (این خاصیت اخیر نزد برخی از مؤلفین الزامی نیست،  § یادداشت های مربوط به تعاریف را ببینید). پیرو تعمیم اعداد صحیح، به عملیات گروهی آبلی حلقه ها، جمع و به عملگر ثانویه آن ضرب گویند. 
این که آیا یک حلقه جابجایی است یا خیر (یعنی این که آیا ترتیب ضرب دو عنصر حلقه بر نتیجه ضربشان اثرگذار است یا نه؟)، اثرات ژرفی بر روی رفتار یک شیء جبری دارد. در نتیجه، نظریه حلقه های جابجایی را اغلب جبر جابجایی گویند، که مبحث کلیدی در نظریه حلقه هاست. توسعه جبرجابجایی به میزان چشمگیری از مسائل و ایده هایی که به طور طبیعی در نظریه جبری اعداد و هندسه جبری وجود دارند وام گرفته است. مثال هایی از حلقه های جابجایی شامل این موارد می شود: اعداد صحیح مجهز به عملیات جمع و ضرب، مجموعه چند جمله ای ها به همراه جمع و ضرب بینشان، حلقه مختصاتی یک واریته جبری آفینی و حلقه اعداد یک میدان عددی.  مثال هایی از حلقه های ناجابجایی شامل حلقه ماتریس های حقیقی مربعی  که در آن ، حلقه گروه ها در نظریه نمایش، جبر عملگرها در آنالیز تابعی، حلقه عملگر های دیفرانسیلی در نظریه عملگر های دیفرانسیل و حلقه کوهمولوژی یک فضای توپولوژیکی در توپولوژی. 
مفهوم سازی برای حلقه ها در دهه ۱۸۷۰ شروع شد و در دهه ی ۱۹۲۰ تکمیل شد. افرادی که نقش کلیدی در این فرایند داشتند شامل ددکیند، هیلبرت، فرانکل و نوتر بودند حلقه ها را اولین بار به عنوان تعمیم هایی از دامنه های ددکیند، که در نظریه اعداد، حلقه های چند جمله ای و پایا هایی که در هندسه جبری و نظریه پایا ظاهر می شوند، به صورت صوری و رسمی در آوردند. سپس، مشخص شد که مفهوم حلقه ها در دیگر شاخه های ریاضیاتی چون هندسه و آنالیز ریاضی نیز مفیدند.

تعریف و مثال

آشناترین مثال یک حلقه، مجموعه اعداد صحیح،  شامل اعداد زیر است:
خواص آشنای جمع و ضرب اعداد صحیح، مدلی برای اصول موضوعه حلقه هاست.

یادداشتی در مورد تعریف

همانطور که در بخش تاریخچه در قسمت پایین توضیح داده شده، بسیاری از مؤلفان از قرارداد دیگری استفاده می کنند که در آن برای یک حلقه وجود عنصر همانی ضربی الزامی نیست. در این مقاله از این قرارداد استفاده شده که وجود عنصر همانی ضربی الزامی است، مگر خلاف آن ذکر شود. مؤلفانی که از قرارداد اخیر (وجود عنصر همانی ضربی) پیروی می کنند، به حلقه هایی که در آن ها عنصر همانی تعریف نشده rng (به صورت rung یا رانگ تلفظ می شود) گویند و برخی مواقع به آن حلقه کاذب (pseudo-ring) هم گفته می شود. به عنوان مثال، مجموعه اعداد زوج تحت جمع و ضرب معمولی یک rng (رانگ) است اما حلقه نیست.
عملیات + و . را به ترتیب جمع و ضرب گویند. معمولاً نماد ضرب یعنی . حذف می شود، لذا کنار هم قرار گرفتن عناصر به صورت ضرب تعبیر می شود. به عنوان مثال  معنی  می دهد. 
گرچه جمع در حلقه جابجاییست، ضرب حلقه لزوماً جابجایی نیست:  لزوماً برابر با   نیست. حلقه هایی که شرط جابجایی ضربی را ارضاء می کنند (مثل حلقه اعداد صحیح) را حلقه جابجایی گویند. کتاب های جبر جابجایی یا هندسه جبری اغلب برای ساده سازی اینگونه قرارداد می کنند که حلقه به معنای حلقه جابجایی است.
در یک حلقه، نیاز نیست که عناصر دارای معکوس ضربی باشند. یک حلقه جابجایی (نابدیهی) که در آن هر عنصر ناصفر معکوس ضربی داشته باشد را میدان گویند. 
گروه جمعی یک حلقه صرفاً مجهز به جمع است. گرچه که تعریف حلقه فرض را بر این می گیرد که گروه جمعی آبلی است، اما این مسئله (آبلی بودن گروه جمعی) را می توان از دیگر اصول موضوعه های حلقه استنباط کرد (یعنی یک اصول موضوعه ی مستقل نیست). اثبات نکته اخیر از طریق فرض وجود عنصر "" است، پس اثبات آن در rng قابل استفاده نیست (در مورد رانگ ها، حذف فرض جابجایی بودن جمع، باعث می شود که جابجایی بودن ضرب عناصر، یعنی  را بتوان از بقیه اصول موضعه استنباط کرد).
برخی از مؤلفین حلقه را بدون فرض شرکت پذیری ضربی تعریف می کنند. این تعریف کلی یک حلقه (که لزوماً شرکت پذیر نباشد، و لزوماً یک دار نباشد) هنگامی مفید است که بخواهیم هر جبر را یک حلقه در نظر بگیریم.

یادداشت ها

 a: برخی مؤلفان تنها نیم گروه بودن حلقه تحت ضرب را الزامی می دانند؛ یعنی نیاز نیست حلقه عنصر همانی ضربی داشته باشد (۱).
 b: عناصری که معکوس ضربی داشته باشند را یکال گویند., این مرجع را ببینید: Lang 2002, §II.1, p. 84.
 c: اصل موضوع بسته بودن پیش از این در تعریف دوتایی بودن عملیات +/• لحاظ شده است. لذا برخی مؤلفین این اصل را حذف می کنند Lang ۲۰۰۲
 d: انتقال از اعداد صحیح به اعداد گویا با اضافه نمودن کسر ها توسط مفهوم "میدان کسرها" تعمیم پیدا می کند.
 e: بسیاری از مؤلفان جابجا بودن حلقه را در "اصول موضوعه" حلقه می گنجانند و لذا به چنین حلقه هایی "حلقه های جابجایی"، یا فقط "حلقه" گویند.