قضیه کانتور

در نظریه ابتدایی مجموعه ها، قضیه کاتیون بیان می‌دارد که مجموعه توانی(مجموعه تمام زیرمجموعه ها) مجموعه A، کاردینالیتی(اندازه) اکیداً بزرگتری از خود مجموعه A دارد. قضیه کانتور برای مجموعه‌های متناهی صادق است، اما به‌طور خیلی جالب برای مجموعه‌های نامتناهی نیز صادق است. این نظریه به نام جرج کانتور، کسی که آن را اثبات کرده‌است، به ثبت رسیده‌است.

اثبات

f یک تابع از A به مجموعه توانی A است. برای برقراری نظریه کانتور باید اثبات شود که f الزاماً پوشا نیست. برای انجام این امر، کافی است یک عنصر مجموعه توانی از A که یک زیرمجموعه از A است ارائه کرده و اثبات کنیم که در برد f وجود ندارد. چنین زیرمجموعه‌ای می‌تواند به صورت زیر ساخته شود.

این بدین معنی است که بنا بر تعریف، برای هر x عضو x، A عضو B است اگر و و فقط اگر x عضو f نباشد. پس به ازای تمام xها مجموعه‌های B و(f(x فرق می‌کنند. هیچ x ای یافت نمی‌شود که f(x)=B به عبارت دیگر B در برد f نیست.
به خاطر اینکه x دو بار در عبارت بالا حضور پیدا کرده،((x عضو f(x) این یک عبارت قطری است

توضیح دقیقی از اثبات زمانی که X، یک نامتناهی قابل شمارش است

برای یافتن تصوری از اثبات، آن را برای مورد خاص زمانی که X یک نامتناهی قابل شمارش است امتحان می‌کنیم. بدون از دست دادن کلیت، X را مساوی مجموعه اعداد طبیعی میگیریم.
فرض کنید N با مجموعه توانی خود(P(N هم ارز است. یک مثال از شمایل(P(N ببینید:

(P(Nشامل بینهایت زیرمجموعه از N است. برای مثال مجموعه تمام اعداد زوج، همچنین مجموعه تهی.
حال که درکی از شمایل عناصر عضو(P(N داریم، تصمیم به این میگیریم که تک تک یک عنصر از N را با یک عنصر از(P(N جفت کنیم و به این ترتیب نشان دهیم که این دو مجموعه هم ارز هستند. به عیارت دیگر هر عنصر از N را با یک عنصر از مجموعه نامتناهی(P(N جفت می‌کنیم به‌طوری‌که هیچ عنصری از هیچ‌کدام از دو مجموعه جفت ناشده باقی نماند. چنین جفت کردنی که توضیح داده شد، به صورت زیر خواهد بود:

با چنین جفت کردنی. برخی اعداد طبیعی با زیرمجموعه‌هایی جفت می‌شوند که همان عدد را شامل می‌شوند. برای مثال در نمونه‌ای که ذکر شد، ۲ با مجموعه ۱و۲و۳ جفت شده‌است، که ۲ را به عنوان یک عضو در بر دارد. این اعداد را خودخواه مینامیم. سایر اعداد طبیعی با زیرمجموعه‌هایی جفت می‌شوند که شامل آن عدد نیستند. این اعداد را غیر خودپسند مینامیم. برای مثال در مثال بالا ۳ و ۴ غیر خودخواه هستند.

با بهره‌گیری از این ایده، یک مجموعه خاص از اعداد طبیعی میسازیم. این مجموعه تناقضی که به دنبال آن هستیم را فراهم میسازد. D را مجموعه تمام اعداد غیر خودخواه طبیعی در نظر میگیریم. طبق تعریف مجموعه توانی((P(N)) شامل تمام محموعه‌های اعداد طبیعی هست و طبق این، مجموعه D را هم شامل می‌شود. در نتیجه D باید با یک عدد طبیعی جفت شده باشد(آن را d در نظر میگیریم.) در هر صورت این یک مشکل به بار می‌آورد. اگر d خودخواه باشد، آنگاه d نمی‌تواند عضوی از D باشد چرا که D جوری طراحی شده بود که تنها شامل اعداد غیر خودخواه باشد. اما در این صورت d غیر خودخواه خواهد بود. چون عضوی از D نیست. از سوی دیگر اگر d غیر خودخواه باشد، آنگاه... خوب آنگاه d باید در D موجود باشد(دوباره طبق تعریف D).
این یک تناقض است. چون یک عدد طبیعی نمی‌تواند در آن واحد در مجموعه D موجود باشد و در آن موجود نباشد. در نتیجه هیچ عدد طبیعی یافت نمی‌شود که با d جفت شود پس ما به تناقض با فرض اولیه خود مبنی بر این که می‌تواند یه تناظر یک به یک بین N و(P(N برقرار کرد رسیدیم.

به وسیله این اثبات، به کمک تناقض اثبات کردیم که کاردینالیتی N و(P(N نمی‌تواند مساوی باشد.همچنین میدانیم که کاردینالیتی(P(N نمی‌تواند از کاردینالیتی N کمتر باشد چرا که(P(N تمام مجموعه‌های تک عضوی را شامل می‌شود یعنی(P(N یک کپی از N در خود دارد.در نتیجه تنها امکانی که باقی میماند این است که کاردینالیتی (P(N از کاردینالیتی N اکیداً بزرگتر باشد. این، نظریه کانتور را اثبات می‌کند.

توجه کنید که مجموعه D شاید تهی باشد. این بدان معناست که هر عدد طبیعی x به یک مجموعه اعداد طبیعی که x را شامل می‌شود نظیر می‌شود. سپس هر عدد به یک مجموعه غیر تهی نظیر می‌شود و هیچ عددی به تهی نظیر نمی‌شود. اما تهی عضوی از (P(N است، پس عملیات نظیر سازی، همچنان (P(N را نمی‌پوشاند.