رویه ریمانی

سطوح ریمانی به‌طور عام، مجموعه اشیایی در ریاضی است که در آن‌ها امکان تعریف و توسعه توابع مختلط (تحلیلی یا دارای تَکینی) و هارمونیک امکانپذیر است. به بیانی ساده‌تر، همانند فضاهای برداری که محلی برای تعریف و توسعه توابع و نگاشت‌های خطی هستند، سطوح ریمانی نیز محلی برای تعریف و توسعه آنالیز و توابع مختلط می‌باشند.

تعریف و تعاریف معادل

برای تعریف یک سطح ریمانی، یا سطوح ریمانی، راه‌های متفاوت و طبیعتاً معادلی وجود دارند. یکی از ساده‌ترین و در عین حال شهودی‌ترین شیوه تعریف یک سطح ریمانی به اینگونه است: یک سطح ریمانی یک منیفولد (چند تایی/خمینه) مختلط (Complex Manifold) از بعد یک است.
به بیان دقیق تر، یک سطح ریمانی، یک فضای توپولوژیک هاسدورف، جدایی پذیر و همبند است که موضعاً شبیه زیرمجموعه‌های باز، همبند و سَره (محض) در صفحه مختلط می‌باشد. بخش آخر تعریف به معنای این است که برای هر نقطه از فضا یک همسایگی وجود دارد که با یک زیرمجموعه‌های باز، همبند و سَره (محض) در صفحه مختلط همسان توپولوژیک یا همان همسان‌ریخت است.
شیوه دیگر تعریف یک سطح ریمانی این است: یک سطح ریمانی یک منیفولد دیفرانسیل پذیر حقیقی از بعد دو به همراه یک اطلس (خانواده ماکسیمال از کارت‌ها) است به گونه‌ای که هر عضو اطلس یک هومیومرفیسم بین یک زیرمجموعه باز از منیفولد و یک گوی باز در صفحه مختلط بوده و نگاشت‌های انتقالی بین دو عضو اطلس با اشتراک ناتهی یک تابع تحلیلی مختلط باشند.
با نمادهای ریاضی، اگر  نمایش یک سطح ریمانی باشد، نشان دهنده فضای توپولوژیک زمینه و  نشان دهنده اطلس با ویژگی ذکر شده‌است: هر  یک همیومرفیسم است و اگر آنگاه یک تابع هولومرفیک (بین دو زیر مجموعه از صفحه مختلط) است. برای راحتی، به مجموعه کارت‌ها یا همان اطلس  یک ساختار مختلط بر  می‌گویند.
کاملاً طبیعی است که بر یک فضای توپولوژیک ثابت زمینه، بتوان چندین ساختار مختلط متفاوت تعریف کرد. بررسی رابطه بین این ساختارها و چگونگی تبدیل آن‌ها به یکدیگر، به تنهایی شاخهٔ عمیق دیگری از ریاضیات نوین (قرن بیستم) می‌باشد که به‌طور عام نظریه تایکمولِر نامیده می‌شود.
اگرچه این سطوح موضعا، ساده به نظر می‌رسند ولی در نگاه کلی می‌توانند به لحاظ جبری (گروه اصلی، گروه‌های کوهومولوژی)، توپولوژیکی (تعداد دسته ها(genus) یا همان گونه، دگردیسی‌ها)، هندسی (خمیدگی یا همان انحنا، مساحت کل، فرم‌ها) و تحلیلی (تعریف توابع تحلیلی یا دارای تکینی بر یا بین آنها، تعمیم مشتق و انتگرال) بسیار بسیار پیچیده باشند و در واقع اینگونه هستند.
سطوح ریمانی به مجموعه اشیا هندسی با خواص ذکر شده، گفته می‌شود. همان‌طور که گفته شد این سطوح حالت خاصی از منیفولدهای مختلط می‌باشند بنابراین طبیعی است که این سطوح نه فقط دارای کاربردهای وسیعی در ریاضی که در فیزیک (به عنوان مثال نظریه ریسمان) نیز بسیار پرکاربرد می‌باشند.

تاریخچه

این سطوح برای اولین بار، به‌طور مدون، در رساله دکترای ریاضی‌دان بزرگ آلمانی برنهارت ریمان، در سال ۱۸۵۱ کشف/ابداع و سپس توسط خود ریمان و بسیاری دیگر از ریاضی دانان قرن بیستم گسترش و تعمیم پیدا کرد. اگرچه ایده اولیه آن به سالهای قبل تری برمی گردد (به ویژه کارهای عمیق ریاضی دانانی چون کوشی، آبِل، گائوس، یاکوبی) ولی ریمان اولین فردی بود که آن‌ها را به‌طور حرفه‌ای تعریف و به کار برد. ریمان متوجه این مطلب شده بود که توابعی مانند  یا ، زمانی که  یک متغیر مختلط است، بر صفحه مختلط خوش تعریف نمی‌باشند و برای تعریف آن‌ها به صورت تابعی خوش تعریف نیاز به گسترش صفحه مختلط، به حالت عام تری است.

مثال‌هایی مقدماتی از سطوح ریمانی

صفحه مختلط، هر زیر مجموعه باز (نه الزاماً همبند) از صفحه مختلط مانند دیسک (گوی باز) یا دیسک محذوف (گوی باز بدون مرکز)، کره ریمان، تویوپ (چمبره یا تورس) با ساختار مختلط (البته کمی نیاز به توضیح دارد).
دیگر مثال‌ها را می‌توان با چسباندن چند (متناهی یا نا متناهی) صفحه مختلط به یکدیگر به دست آورد. مانند صفحه‌ای که برای تعریف توابع  یا  به کار می‌روند. به تصویرها مراجعه شود.

توابع بر سطوح ریمانی

به‌طور کلی توابع خوش رفتار با برد مختلط بر این سطوح را می‌توان به دو دسته تقسیم کرد: توابع تحلیلی یا همان هولومرف  و توابع دارای تکینی یا همان مرومورف.
لازم است ذکر شود که مانند صفحه مختلط، بر این سطوح توابع ِ هارمُنیک با برد حقیقی نیز تعریف شده و دارای کاربردهای وسیعی می‌باشد.

سطوح ریمانی و هندسه ریمانی

در ترجمه به زبان فارسی، توجه شود که سطوح ریمانی ترجمه Riemann Surfaces است و با Riemannian Geometry که هندسه ریمانی می‌باشد تفاوت زیاد و بنیادینی دارد. به‌طور خاص، به معنای ریاضی چیزی به نام Riemannian Surfaces تا به الان وجود نداشته و بی‌معنی است.
لازم است ذکر شود که همواره می‌توان بر یک سطح ریمانی (اگر آنرا فقط یک منیفلد ببینیم) یک هندسه ریمانی قرار داد، به بیان دقیقتر یک متریک ریمانی کامل با انحنا ثابت، ولی در آنالیز مختلط توجه و تمرکز، بیشتر بر بررسی ساختار مختلط این سطوح است.
همچنین تفاوت یک سطح ریمانی با فضای توپولوژیک زمینه اش را نمی‌توان به‌طور شهودی تشخیص داد! به‌طور مثال نمی‌توان با نگاه کردن به دو کره گفت که کدام یک، یک سطح ریمانی و کدام یک صرفاً یک کره (به عنوان یک فضای توپولوژیک) است. یک سطح ریمانی به‌طور مشترک با ساختار توپولوژیک آن و ساختار مختلط آن (اطلس‌ها یا همان کارت‌ها به صفحه مختلط) شناخته می‌شود. به همین علت در تصاویر و شکل‌ها فقط می‌توان طرح گونه‌ای از آن را برای تصور بهتر به تصویر کشید.