توابع مثلثاتی

تاریخچه

شواهد به کارگیری توابع مثلثاتی در زمینه‌های گوناگون، به ویژه در نجوم، در بسیاری از متون به جا مانده از دوران پیش از میلاد از جمله در یونان و مصر وجود دارد. یکی از کهن‌ترین مطالب مرتبط با مثلثات که در متون تاریخی بیان شده، قضیه تالس است. تالس که در سده ششم پیش از میلاد در مصر تحصیل می‌کرد، برای حل مسئلهٔ محاسبهٔ ارتفاع هرم خئوپس، روشی تازه را ارائه نمود که بعداً با عنوان قضیه تالس شناخته شد. می‌توان قضیهٔ فیثاغورس را سنگ بنای مثلثات دانست. در بسیاری از متون یونان باستان، کاربردهای مثلثات مورد توجه قرار گرفته‌اند. ابرخس، نخستین جدول مثلثاتی را ایجاد نمود و به همین دلیل، او را پدر مثلثات می‌نامند. منلائوس مثلثات کروی را پایه‌گذاری کرد. بطلمیوس در المجسطی، رابطهٔ سینوس و کسینوس مجموع و تفاضل دو زاویه را بیان کرد.
مطالعه در زمینهٔ توابع مثلثاتی در هند نیز رواج داشته‌است. از جمله، در کتاب سوریا سیدهانتا در سدهٔ چهارم میلادی از جدول سینوس به جای جدول وتری در نجوم استفاده شده‌است. هم‌چنین به نظر می‌رسد که نام‌های سینوس و کسینوس، تغییر یافتهٔ توابع جیا و کوتیجیا در نجوم دوره گوپتای هند باشند. مدهاوه در سدهٔ چهاردهم سری تیلور تابع‌های سینوس، کسینوس و تانژانت را به دست آورد.
دوران طلایی اسلام، تأثیر قابل توجهی بر پیشرفت علوم ریاضی و از جملهٔ آن‌ها مثلثات داشت. خوارزمی، جدول‌های نجومی و مثلثاتی (مربوط به سینوس و تانژانت) را تهیه کرد. مروزی جدول کتانژانت را تهیه کرد. در آثار بتانی در سدهٔ سوم شمسی (سدهٔ نهم میلادی)، مثلثات به‌طور وسیعی به کار رفته‌است که از جمله می‌توان به جدول کسکانت اشاره کرد. ابوالوفا محمد بوزجانی در سدهٔ چهارم شمسی (سدهٔ دهم میلادی)، قانون سینوس‌ها را به دست آورد. ابوریحان بیرونی مثلث‌سازی را برای تهیهٔ نقشه به کار گرفت. در پایان سدهٔ یازدهم، عمر خیام معادلات درجهٔ سوم را با حل عددی تقریبی که از درونیابی جداول مثلثاتی به دست می‌آمد، حل کرد. هم‌چنین غیاث‌الدین جمشید کاشانی در سدهٔ پانزدهم میلادی، سینوس زاویهٔ °۱ را با حل معادلهٔ درجهٔ ۳ برحسب زاویهٔ °۳ تا ۱۷ رقم اعشار محاسبه کرد.
دانشمندان چینی چندان به مطالعهٔ مثلثات نمی‌پرداختند. دو ریاضی‌دان چینی با نام شن کو و گو شوجینگ مطالعاتی را در زمینه توابع مثلثاتی انجام دادند. برای نمونه، شن کو یک رابطهٔ تقریبی برای محاسبهٔ طول کمان برحسب قطر دایره، زه و طول وتر به دست آورد.
احتمالاً رتیکوس نخستین شخص اروپایی بود که در سدهٔ شانزدهم میلادی، توابع مثلثاتی را به جای دایره برحسب زاویهٔ قائمه تعریف کرد و جدول‌های هر شش تابع را تهیه نمود. مقالهٔ اویلر در ۱۷۴۸ میلادی به عنوان پایه‌گذار اصلی رفتار تحلیلی با توابع مثلثاتی در اروپا دانسته می‌شود. اویلر توابع مثلثاتی را به صورت سری نامتناهی تعریف کرد و فرمول اویلر را ارائه نمود.

تعریف بر پایهٔ انتگرال

تعریف تابع سینوس توسط مثلث قائم الزاویه از نظر ریاضی دقیق نیست، چرا که مفهوم زاویه (یا همان طول کمان در دایرهٔ واحد) به صورت دقیق بیان نشده‌است. تعریف دیگری را می‌توان براساس طول دقیق کمان یک دایره به دست آورد. با در نظر گرفتن معادلهٔ دایره  و پیدا کردن طول قوس، می‌توان رابطهٔ بین یک زاویه  و  را برحسب معادلهٔ ضمنی زیر نوشت:
که در آن θ زاویه‌ای در محدودهٔ  است.

روش‌های محاسبه

محاسبهٔ مقدار توابع مثلثاتی به صورت دستی، پیچیده‌است؛ ولی امروزه به دلیل در دسترس بودن رایانه‌ها و ماشین حساب‌های مهندسی، که مقدار مورد نیاز را برای هر زاویه‌ای به سادگی به دست می‌آورند، پیچیدگی آن از بین رفته‌است. سه روش متداول برای محاسبهٔ مقدار توابع مثلثاتی مورد استفاده است که عبارتند از بهره‌گیری از مقدارهای دقیق، روش سنتی جدول‌های مثلثاتی و روش نوین بهره‌گیری از رایانه.
برای بعضی از زاویه‌ها می‌توان مقدار دقیق توابع مثلثاتی را به دست آورد. برای نمونه، برای همه زاویه‌های ضریب °۳ مقدار توابع سینوس، کسینوس و تانژانت به صورت دقیق وجود دارد. نسبت‌های مثلثاتی زاویه °۳ با اعمال رابطه تفاضل دو زاویه برای زاویه‌های °۱۸ و °۱۵ محاسبه می‌شوند (۳=۱۵–۱۸). نسبت‌های مثلثاتی °۱۸ درجه با بهره‌گیری از پنج‌ضلعی منتظم به دست می‌آیند. برای محاسبه نسبت‌های مثلثاتی °۱۵ نیز می‌توان از اعمال رابطه نصف زاویه برای زاویه °۳۰ استفاده کرد. پس از محاسبه نسبت‌های مثلثاتی زاویه °۳، می‌توان مقادیر مربوط به زاویه‌هایی که ضریب آن هستند را با استفاده از روابط جمع دو زاویه و زاویه دو برابر، به دست آورد.
برای محاسبهٔ مقدار تابع برای هر زاویه‌ای، نخست باید زاویه را به یک بازه مشخص (مثلاً صفر تا π/۲) کاهش داد. این کار با استفاده از خاصیت تناوب و تقارن توابع مثلثاتی انجام می‌شود.
پیش از رایانه‌ها، مردم عموماً مقدار توابع مثلثاتی را با درون‌یابی از داده‌های موجود در جدول‌های مثلثاتی به دست می‌آوردند. این جدول‌ها پیشینه‌ای به دیرینگی تاریخ مثلثات دارند. معمولاً مقدارهای موجود در جدول‌ها با استفادهٔ پیاپی از اتحادهای نصف زاویه و مجموع دو زاویه، با آغاز از یک مقدار معلوم (مانند sin(π/۲) = ۱) به دست می‌آمدند. برای نمونه، می‌توان جداول مثلثاتی سینوس و کسینوس خوارزمی را نام برد.
رایانه‌های نوین، شیوه‌های گوناگونی را به کار می‌گیرند. یک روش متداول، به ویژه روی پردازنده‌های سطح بالا، ترکیب یک تقریب چندجمله‌ای یا کسری (مانند تقریب چبیشف، تقریب پد و معمولاً برای دقت‌های بالاتر، سری تیلور و مکلورن) با کاهش بازه و نگاه به جدول است. (با استفاده از جدول، نزدیک‌ترین زاویه انتخاب می‌شود، سپس تصحیح با بهره‌گیری از چندجمله‌ای انجام می‌شود) دستگاه‌های دارای دقت پایین‌تر، معمولاً از الگوریتم CORDIC سود می‌برند که تنها از جمع، تفریق، شیفت بیتی و نگاه به جدول استفاده می‌کند.
برای محاسبات بسیار دقیق، که سری‌ها به کندی همگرا می‌شوند، می‌توان از میانگین حسابی-هندسی برای تقریب استفاده کرد که تابع مثلثاتی را با انتگرال بیضوی تقریب می‌زند.

کاربرد

توابع مثلثاتی کاربردهای قابل توجهی در بسیاری از علوم پایه و مهندسی دارند.

نقشه‌برداری

مثلثات، پایهٔ بیشتر شیوه‌های نقشه‌برداری است. زاویه‌یابی با دستگاه یا بدون دستگاه، امتدادیابی با روش ژیزمان، سیستم تصویر برای تبدیل تصویر از سطح بیضوی به سطح مستوی، ارتفاع‌یابی با دستگاه ترازیاب، پیمایش باز و بسته، طراحی قوس‌ها در راهسازی و تبدیل‌های دوبعدی در نقشه‌برداری هوایی، بخشی از کاربردهای توابع مثلثاتی در نقشه‌برداری هستند.
برای نمونه، در مثلث‌سازی که یکی از روش‌های قدیمی نقشه‌برداری است، با استفاده از اندازه‌گیری زاویهٔ یک نقطه نسبت به دو نقطه معین، مختصات آن نقطه را محاسبه می‌کنند که امروزه از این روش برای اندازه‌گیری سه‌بعدی نوری استفاده می‌شود. در مثلث‌سازی از قانون کسینوس‌ها و قانون سینوس‌ها برای محاسبهٔ زاویهٔ مثلث‌ها و تعیین دقیق موقعیت هر نقطه استفاده می‌شود.
پیمایش روشی برای نقشه‌برداری یک محدودهٔ باز یا بسته با استفاده از اندازه‌گیری زاویه‌ها و فاصله‌ها است. از توابع مثلثاتی برای محاسبهٔ موقعیت ایستگاه‌ها استفاده می‌شود.

برق و مخابرات

امروزه جریان‌های متناوب در صنعت برق کاربرد گسترده‌ای دارند و شکل رایج آن‌ها به صورت موج سینوسی است. از دلایل اصلی محبوبیت جریان‌های متناوب نسبت به جریان مستقیم در صنعت بر می‌توان به امکان تبدیل سطح ولتاژِ جریان‌های متناوب با استفاده از ترانسفورماتورها که به واسطهٔ آن می‌توان تلفات را برای انتقال در مسافت‌های طولانی کاهش داد و نیز عدم نیاز به استفاده از کموتاتور در ژنراتورهای القایی اشاره کرد.
نیروگاه‌ها اغلب توان را در به صورت سه‌فاز (سه ولتاژ سینوسی با اختلاف زاویهٔ ‎۱۲۰°) تولید می‌کنند. شکل موج‌های ولتاژ و جریان به منظور سادگی اغلب ایدئال و به صورت  و  فرض می‌شوند و به تبع آن روابط مختلف، مثل توان لحظه‌ای، توان اکتیو، توان راکتیو، و… یا مفاهیمی مانند پیش‌فازی، پس‌فازی، زاویهٔ توان و ضریب قدرت و … با تحلیل توابع مثلثاتی محاسبه و تعریف می‌شوند. برق ارائه‌شده به مشترکان خانگی با شکل موج سینوسی و عموماً در فرکانس‌های ۵۰ یا ۶۰ هرتز ارائه می‌شود.
در مدل‌سازی خطوط بلند انتقال نیرو، پارامترهای خط را توابع هذلولی مثلثاتی مدل‌سازی می‌کنند.
کاربرد موج‌های سینوسی در برق به قدری گسترده‌است که برای تحلیل آن‌ها روش‌های خاصی که مؤثرتر هستند ابداع شده‌است. تحلیل فازور روشی است که در آن با استفاده از این خاصیت که مجموع جبری هر تعداد موج سینوسی با فرکانس زاویه‌ای یکسان و مشتق‌های مرتبه‌های مختلف آن‌ها همواره یک موج سینوسی با همان فرکانس زاویه‌ای خواهد بود، برای نمایش و تحلیل موج سینوسی تنها از دامنه و فاز آن استفاده می‌شود. با این کار برای به دست آوردن پاسخ حالت دائمی سینوسی، به جای حل معادلهٔ دیفرانسیل، تنها به حل معادلات جبری ساده نیاز خواهد بود. با استفاده از این مفهوم می‌توان پاسخ حالت دائمی سینوسی یک مدار خطی تغییرناپذیر با زمان را مستقیماً با حل شبکهٔ معادلی که بر حسب فازورهای ورودی، خروجی و فازور متغیرهای دیگر بیان شده‌است با استفاده از روش‌های جبری به دست آورد.
در سیستم‌های مخابراتی، معمولاً کانال ارتباطی تنها در یک گسترهٔ فرکانسی خاص سیگنال‌ها را به خوبی منتقل می‌کند که در خارج از این گستره انتقال سیگنال ناممکن یا همراه با افت شدید کیفیت است. به همین دلیل برای فرستادن یک سیگنال در مسافت‌های طولانی معمولاً آن را روی یک سیگنال فرکانس بالای دیگر سوار می‌کنند که به این کار مدولاسیون گفته می‌شود. سیگنال حامل در روش‌های مختلف مدولاسیون اغلب ذاتاً یک موج سینوسی است. برای مثال در مدولاسیون دامنهٔ سینوسی، سیگنال حاوی اطلاعات در سیگنال حامل سینوسی ضرب (مدوله) می‌شود.