فرمول‌بندی ریاضی مکانیک کوانتم

«نظریه کوانتمی قدیمی» و نیاز به ریاضی جدید

در دهه ۱۸۹۰ ماکس پلانک قادر بود تابش جسم سیاه را که بعداً برای جلوگیزی از فاجعه فرابنفش به کار برده‌شد توضیح دهد و برای اینکار از فرض نامعمولی برای برهم‌کنش تابش الکترومغناطیسی و ماده بهره برد و آن این بود که انرژی در بسته‌های گسسته کوانتومی می‌تواند منتقل شود. پلانک فرض کرد که رابطه خطی بین فرکانس یک طول موج و واحد انرژی که در آن طول موج می‌تواند حمل شود وجود دارد. ضریب تناسب آن اکنون h و به افتخار پلانک، ثابت پلانک نامیده می‌شود.
در ۱۹۰۵, آلبرت اینشتین بخشی از خصوصیات اثر فوتوالکتریک را با استفاده از این فرض توضیح که این بخش‌های انرژی نور در واقع ذره هستند که بعدتر فوتون نام گرفتند.
همه این توسعه‌ها پدیدارشناختی بودند و فیزیک کلاسیک را مورد چالش قرار دادند. بور مکانیک کلاسیک را به نحوی تغییر داد که بتواند مدل بور را از آن بسازد. وی پیشنهاد داد که یک مدار بسته در فضای فاز فقط مدارهایی که محیطش مضربی از عدد پلانک باشند مجاز است که کوانتش سامرفلد-ویلسن-ایشی‌وارا نامیده شد. این مدل قادر به توضیح اتم هیدروژن بود اما طیف اتم هلیوم (یک مسئله سه جسم لاینحل کلاسیک) قابل استفاده نبود.
در ۱۹۲۳ لویی دو بروی دوگانگی موج و ذره را پیشنهاد داد که نه تنها برای فوتون‌ها بلکه برای همه سیستم‌های فیزیکی صحیح بود.
در سال‌های بعد و ۱۹۲۵–۱۹۳۰ وضعیت سریعاً تغییر کرد و بنیادهای مکانیک کوانتم در کارهای اروین شرودینگر، ورنر هایزنبرگ، ماکس برن، پاسکوال جردن، و کارهای زیربنایی جان فون نویمان، هرمان ویل و پل دیراک ساخته شد و وحدت چندین رویه با استفاده از ایده‌های جدید ممکن شد. تفسیر فیزیکی نظریه در سال‌های بعد از طریق کشف روابط عدم قطعیت توسط ورنر هایزنبرگ و معرفی ایده اصل مکملیت نیلز بور انجام شد.

«نظریه کوانتمی جدید»

مکانیک ماتریسی ورنر هایزنبرگ اولین تلاش موفق برای توضیح کوانتش در طیف‌بینی بود. بعدتر در همان سال شرودینگر معادله شرودینگر را ساخت. فرمول‌بندی شرودینگر قابل‌فهم‌تر بود و برای محاسبه و نمایش نیز ساده‌تر بود چرا که به شکل معادله دیفرانسیل بیان می‌شد که فیزیک‌دانان با حل آن آشنا بودند. در کمتر از یک سال نشان داده شد که این دو نظریه برابرند.
شرودینگر در ابتدا خودش زیرساخت احتمالی مکانیک کوانتم را نمی‌فهمید از آنجایی که وی تصور می‌کرد قدر مطلق تابع  موج یک الکترون باید به عنوان چگالی بار الکتریکی در یک فضای بزرگ و محدود تفسیر شود. ماکس برن بود که نشان داد قدر مطلق یک تابع موج باید به عنوان احتمال توزیع موقیت ذره‌مانند تفسیر شود.  ایده برن بعدتر توسط نیلز بور در کپنهاگ استفاده شد که بعدتر به عنوان پدر تفسیر کپنهاگی مکانیک کوانتم شناخته گردید. تابع موج شرودینگر به معادله کلاسیک معادله هامیلتون-ژاکوبی نزدیک است. پل دیراک‌ در تز دکترایش کشف کرد معادله عملگرها در تصویر هایزنبرگ وقتی از طریق کروشه پواسون بیان شود به معادلات کلاسیک برای دینامیک بعضی از کوانتش‌ها در فرمول‌بندی هامیلتونی  در مکانیک کلاسیک ترجمه می‌شود. اکنون به آن کوانتیزه‌کردن کانونیک می‌گویند.
قبل از شرودینگر، دانشجوی پسادکترا ورنر هایزنبرگ مکانیک ماتریسی را اختراع کرد که اولین مکانیک کوانتم صحیح بود. فرمول‌بندی مکانیک ماتریسی هایزنبرگ براساس جبر ماتریس‌هیا بی‌نهایت بعدی بود.
اگرچه خود شرودینگر بعد از یک‌سال برابری مکانیک موجی و مکانیک ماتریسی هایزنبرگ را نشان داد، وحدت این دو روحیه و انتزاع آن را به پل دیراک‌ نسبت می‌دهد که در سال ۱۹۳۰ کتاب معروف بنیادهای مکانیک کوانتم را نوشت. وی سومین و احتمالاً مهم‌ترین ستون این زمینه از فیزیک است. وی اولین شخصی بود که مکانیک کوانتم را طوری عمومی‌کرد که شامل نسبیت هم بشود. وی نشان‌گذاری برا-کت را به همراه فرمول‌بندی  انتزاعی در فضای هیلبرت معرفی کرد که در آنالیز تابعی استفاده شد. وی نشان داد که رویه شرودینگر و هایزنبرگ فقط دو بیان متفاوت از یک نظریه هستند و کار وی در عمومی‌کردن‌های بسیاری در مکانیک کوانتم مورد استفاده قرار گرفت.
اولین فرمول‌بندی کامل ریاضی این رویه که به نام اصول دیراک-فون نویمان معروف هستند معمولاً به جان فون نویمان و کتاب زیرساخت ریاضی مکانیک کوانتم از وی که در سال ۱۹۳۲ منتشر شد نسبت می‌دهند، اگرچه هرمان ویل به فضاهای هیلبرت در کتاب و مقاله معروفش که در سال ۱۹۲۷ اشاره کرده‌بود. این رویه به‌طور موازی با رویه‌ای جدید از نظریه طیفی‌ ریاضی که بر اساس نگاشت خطی به جای فرم درجه دوم کار می‌کرد (هیلبرت یک دهه قبلتر از فرم درجه دوم استفاده می‌کرد)، توسعه یافت. اگرچه بهبود بخش‌های ریاضی مکانیک کوانتم هنوز در حال انجام است ولی زیرساخت‌های ریاضی آن بر اساس کارهای فون نویمان و مفروضات وی است.

ساختار ریاضی مکانیک کوانتم

یک سامانه فیزیکی معمولاً با سه مشخصه توصیف می‌شود: حالت کوانتومی; مشاهده‌پذیرها، و دینامیک (یا قوانین تکامل زمانی) یا به‌طور عمومی‌تر گروهی از تقارن‌های فیزیکی. یک توصیف کلاسیک به‌طور ساده‌ای معمولاً از طریق مدل فضای فاز مکانیک آن قابل دریافت است: حالت‌ها نقاطی در منیفلد فضای فاز هستند، مشاهده‌پذیرها توابع با مقادیر حقیقی آن هستند. تکامل زمانی با یک گروه تبدیلی با یک پارامتر در فضای فاز توصیف می‌شوند. یک توصیف کوانتمی شامل یک فضای هیلبرت از حالت‌ها است، مشاهده‌پذیرها عملگرهای خودالحاقی در فضای حالت‌ها هستند، تکامل زمانی از طریق یک گروه یک پارامتری تبدیل یکانی در فضای هیلبرت حالت‌ها هستند.