فیلتر غیرخطی

در پردازش سیگنال، فیلتر غیرخطی، فیلتری است که خروجی آن تابعی خطی از ورودی اش نیست؛ یعنی اگر سیگنال‌های خروجی فیلتر برای دو سیگنال ورودی r و s به‌طور جداگانه، سیگنال‌های R و S باشد،خروجی زمانی‌که ورودی یک ترکیب خطی αR + β است، همیشه αR + βS نمی‌شود.
فیلترهای حوزه پیوسته و فیلترهای حوزه گسسته، هر دو ممکن است غیر خطی باشند. یک مثال ساده از اولی (حوزه پیوسته) یک دستگاه الکتریکی می‌تواند باشد که ولتاژ خروجی آن در هر لحظه (R(t، مجذوری از ولتاژ ورودی(r(t است؛ یا یک ورودی محصور شده به یک محدوده ثابت [a , b] است، یعنی
((((R(t)=max(a , min(b, (r(t یک مثال مهم از دومی (حوزه گسسته) فیلتر میانه است؛ به طوری که هر نمونه خروجی R ᵢ میانهای از سه نمونه آخر ورودی r ᵢ، r ᵢ − 1، r ᵢ − 2 است. همانند فیلترهای خطی، فیلترهای غیرخطی ممکن است غیرقابل تغییر باشند یا خیر.
فیلترهای غیرخطی کاربردهای فراوانی دارند؛ به خصوص در رفع نوع خاصی از نویز که افزایشی نیستند. به عنوان مثال، فیلتر میانه به‌طور گسترده‌ای برای حذف نویز اسپایک استفاده می‌شود که تنها درصد کمی از نمونه‌ها را احتمالاً به میزان بسیار زیاد تحت تأثیر قرار می‌دهد. در واقع، تمام گیرنده‌های رادیو از فیلترهای غیرخطی برای تبدیل سیگنال‌های کیلو تا گیگاهرتز به محدوده فرکانس‌های صوتی استفاده می‌کنند؛ و تمام پردازش سیگنال دیجیتال به فیلترهای غیرخطی (مبدل سیگنال‌های آنالوگ به دیجیتال) بستگی دارد تاسیگنال‌های آنالوگ را به اعداد دودویی تبدیل کند.
با این حال، استفاده و طراحی فیلترهای غیرخطی نسبت به نوع خطی به‌طور قابل ملاحظه ای دشوارتر است، زیرا قدرتمندترین ابزارهای ریاضی تحلیل سیگنال (مانند پاسخ ضربه و پاسخ فرکانسی) بر روی آنها قابل استفاده نیست؛ بنابراین، به عنوان مثال، فیلترهای خطی اغلب برای حذف صدا و اعوجاجی که توسط فرایندهای غیرخطی ایجاد شده‌است، به کار می‌روند؛ صرفاً به این دلیل که طراحی و ساخت فیلتر غیرخطی مناسب، دشوار خواهد بود.
از موارد فوق، می‌توانیم بفهمیم که فیلترهای غیرخطی در مقایسه با فیلترهای خطی رفتار کاملاً متفاوتی دارند. مهم‌ترین مشخصه این است که برای فیلترهای غیرخطی، خروجی فیلتر یا پاسخ فیلتر از اصولی که قبلاً ذکر شده‌است، مخصوصاً مقیاس پذیری و تغییرناپذیری با انتقال تبعیت نمی‌کند. علاوه بر این، یک فیلتر غیرخطی می‌تواند نتایجی را ایجاد کند که در یک روش غیر شهودی تغییر کند.
به‌طور خلاصه، یک فیلتر غیرخطی فیلتری است که خروجی‌اش تابعی خطی از ورودی آن نیست. یعنی اگر سیگنال‌های خروجی فیلتر برای دو سیگنال ورودی r و s به‌طور جداگانه R و S باشد، اما خروجی زمانی که ورودی یک ترکیب خطی a * r + b * s است، همیشه a * R + b * Sنمی‌شود.

فیلتر کوشنر-استراتونوییچ

مشکل فیلترینگ غیرخطی بهینه در اواخر دهه ۱۹۵۰ و اوایل دهه ۱۹۶۰ توسط روسلان استراتونوویچ و هارولد جی کوشنر حل شد.
راه حل کوشنر-استراتونوییچ یک معادله دیفرانسیل تقسیم‌بندی تصادفی است. در سال ۱۹۶۹ موشه زاکای پویایی ساده‌ای را برای قانون شرطی نابهنجار فیلتر معرفی کرد که به عنوان معادله زاکای شناخته می‌شود. موری چلیت مورل و دومینیو میشل اثبات کرده‌اند که این راه حل به‌طور کلی در ابعادی بی‌نهایت است و به همین ترتیب نیازمند تقریب‌های بعدی محدود است. این ممکن است مانند فیلتر کلمن تعمیم یافته مبتنی بر روش‌های اکتشافی باشد یا فیلترهای تراکم فرضی که توسط پیتر میبک توصیف شدند، یا فیلترهای تصویر که توسط دامیانو بریگو، برنارد هانزون و فرانسوا گلند معرفی شدند. بعضی از زیرمجموعه‌های آنها نشان می‌دهد که با فیلترهای تراکم فرضی مطابقت دارد.

فیلترهای انتقال انرژی

فیلترهای انتقال انرژی یک نوع از فیلترهای پویا غیرخطی است که می‌توانند برای انتقال انرژی به شیوه‌ای طراحی شده مورد استفاده قرار گیرند. انرژی می‌تواند به باندهای فرکانس بالاتر یا پایین‌تر حرکت کند، بر روی یک محدوده طراحی شده منتشر یا متمرکز شود. بسیاری از طراحی‌های فیلتر انتقال انرژی امکان‌پذیر است، و این‌ها درجه آزادی بیشتری را در طراحی فیلتر فراهم می‌کند که فقط با استفاده از طراحی‌های خطی امکان‌پذیر نیست.