ریاضیات

ریاضیات به مطالعه مباحثی چون کمیت (نظریه اعداد)،  ساختار (جبر)، فضا (هندسه)، و تغییرات (آنالیز ریاضی) می پردازد. در حقیقت تعریفی جهان شمول که همه بر سر آن توافق داشته باشند برای ریاضیات وجود ندارد.
ریاضیدانان به دنبال الگوهایی هستند که بتوان از آن ها استفاده کرده و حدس های جدیدی را فرموله کرد؛ آن ها درستی یا غلطی حدس ها را توسط اثبات ریاضیاتی نشان می دهند. هرگاه ساختار های ریاضی مدل های خوبی از پدیده های جهان واقعی باشند، استدلال ریاضی می تواند بینش یا پیشبینی هایی برای طبعیت ارائه کند. علم ریاضیات با استفاده از تجرید و منطق از مفاهیمی چون شمردن، محاسبه و اندازه گیری و مطالعه ی نظام مند اشکال و حرکات اشیاء فیزیکی بوجود آمد. ریاضیات کاربردی از زمانی که انسان نوشتن را آموخت، به عنوان فعالیتی بشری وجود داشته است. تحقیقات مورد نیاز برای حل مسائل ریاضی ممکن است سال ها یا حتی قرن ها به درازا بینجامد. 
استدلال های استوار ابتدا در ریاضیات یونان باستان ظاهر شدند، بخصوص در اثر عناصر اقلیدس. از زمان کار های تحقیقاتی جوزپه پئانو (۱۸۵۸-۱۹۳۲)، دیوید هیلبرت (۱۸۶۲-۱۹۴۳) و دیگران بر روی دستگاه اصول موضوعه ای در پایان قرن نوزدهم میلادی، روش تحقیقاتی ریاضیدانان به این شکل درآمده که آن ها حقایق را با استدلال استوار از مجموعه منتخبی از اصول موضوعه و تعاریف بدست می آورند. روند پیشرفت ریاضیات تا زمان رنسانس سرعت نسبتاً آرامی داشت، تا زمانی نوآوری های ریاضیاتی با کشفیات علمی برهمکنش کرده و منجر به افزایش سریع نرخ اکتشافات ریاضی گشت که تا به امروز نیز ادامه دارد . 
ریاضیات در بسیاری از زمینه ها مثل علوم طبیعی، مهندسی، پزشکی، اقتصاد و علوم اجتماعی یک علم ضروری می باشد. شاخه های کاملاً جدیدی در ریاضیات بوجود آمده اند مثل نظریهٔ بازی ها. ریاضیدانان در ریاضیات محض (مطالعه ریاضی به هدف کشف هرچه بیشتر راز های خود آن) بدون این که هیچ گونه هدف کاربردی در ذهن داشته باشند به تحقیقات می پردازند، در حالی که کاربرد های عملی یافته های آن ها معمولاً بعد ها کشف می شود.

تاریخچه

مقاله اصلی: تاریخ ریاضیات
تاریخ ریاضیات را می توان به عنوان دنباله ای از تجرید سازی های فزاینده دید. اولین قابلیت تجرید سازی که در بسیاری از حیوانات مشترک است، احتمالاً مفهوم عدد می باشد: فهم این مطلب که مجموعه دو سیب و مجموعه دو پرتقال (به عنوان مثال) با هم اشتراکی دارند، و آن کمیت تعدادشان است.
همانطور که شواهد بر روی چوب‎خط نشان می دهد، مردم پیشاتاریخ می توانستند اشیاء فیزیکی را بشمرند و توانایی شمردن اشیاء تجریدی مثل روز، فصل و سال را نیز داشتند.
شواهد مربوط به ریاضیات پیچیده تر تا ۳۰۰۰ قبل میلاد مشاهده نشده، زمانی که بابلی ها و مصری ها شروع به استفاده از حساب، جبر و هندسه برای محاسبات مربوط به مالیات و دیگر مفاهیم اقتصادی، و ساخت و ساز یا نجوم کردند. قدیمی ترین متون ریاضیاتی مربوط به میان‎رودان و مصر می شود که به ۲۰۰۰-۱۸۰۰ قبل از میلاد باز می گردد. بسیاری از متون اولیه سه تایی های فیثاغورثی را ذکر کرده و لذا به نظر می رسد که قضیه فیثاغورث کهن ترین و گسترده ترین توسعه ریاضیاتی بعد از حساب مقدماتی و هندسه باشد. در اسناد تاریخی، در ریاضیات بابلی ها بود که حساب مقدماتی (جمع، تفریق، ضرب و تقسیم) ابتدا پدیدار گشت. بابلی ها همچنین از یک دستگاه مکان-ارزشی بهره می جستند که در آن دستگاه اعداد پایه ۶۰ پیاده سازی شده بود، ازین دستگاه عددی هنوز هم برای اندازه گیری زاویه و زمان استفاده می شود.
با آغاز قرن ششم قبل از میلاد، ریاضیات یونانی ها با فیثاغورسی ها مطالعه ی نظام مندی را در ریاضیات، به هدف شناخت بیشتر خود ریاضیات آغاز نمودند که سرآغاز ریاضیات یونانی ها بود. حدود ۳۰۰ قبل از میلاد، اقلیدس روش اصول موضوعه ای را که هنوز هم در ریاضیات به کار می رود را معرفی کرد که شامل تعاریف، اصول، قضیه و اثبات بود. کتاب مرجع او که به عناصر معروف است به طور گسترده به عنوان موفق ترین و تأثیر گذار ترین کتب مرجع همه زمان ها شناخته می شود. بزرگترین ریاضیدانان باستان را اغلب ارشمیدس (۲۸۷ تا ۲۱۲ قبل از میلاد) اهل سیراکوز می دانند. او فرمول هایی برای محاسبه ی مساحت و حجم اجسام در حال دوران پیدا کرد و از روش افنا برای محاسبه مساحت زیر منحنی سهمی با استفاده از جمع یک سری بی نهایت استفاده کرد به گونه ای که بی شباهت با حساب دیفرانسیل و انتگرال مدرن نمی‌باشد. دیگر دستاورد های قابل توجه در ریاضیات یونان مقاطع مخروطی (آپولونیوس اهل پرگا، قرن سوم قبل از میلاد)، مثلثات (هیپارکوس اهل نیکا (قرن دوم قبل از میلاد))، و آغاز جبر (دیوفانتوس، قرن سوم پس از میلاد) بود.
سیستم عددی هندو-عربی و قواعد استفاده از عملیاتش که امروزه در سراسر جهان استفاده می شود، در طی هزاره ی اول میلادی در هند توسعه یافت و سپس از طریق ریاضیات اسلامی به جهان غرب انتقال یافت. دیگر پیشرفت های مربوط به ریاضیات هندی ها شامل تعریف مدرن سینوس و کسینوس و فرم اولیه سری های بی نهایتی می باشد.
در طی عصر طلایی اسلام، که در قرن نهم و دهم شکل گرفت، ریاضیات نوآوری های مهمی را به خود دید که بر اساس ریاضیات یونانی ها پایه ریزی شده بود . مهم ترین دستآورد های ریاضیات اسلامی توسعه ی جبر بود. دیگر دستاورد های مهم ریاضیات دوره ی اسلامی پیشرفت در مثلثات کروی و اضافه شدن اعشار به سیستم عددی عربی بود. بسیاری از ریاضیدانان این دوره فارس زبان بودند مثل الخوارزمی، عمر خیام و شرف الدین توسی.
در طی اوایل عصر مدرن، ریاضیات شروع به توسعه شتابداری در غرب اروپا کرد. توسعه حساب دیفرانسیل و انتگرال توسط نیوتون و لایبنیز در قرن هفدهم ریاضیات را متحول کرد. لئونارد اویلر مهم ترین ریاضیدان قرن هجدهم بود که چندین قضیه و کشفیات را به ریاضیات افزود. شاید مهم ترین ریاضیدانان قرن نوزدهم ریاضیدان آلمانی کارل فردریش گاوس بود که خدمات متعددی به شاخه های مختلف ریاضیات چون جبر، آنالیز، هندسه دیفرانسیل، نظریه ماتریس، نظریه اعداد و آمار کرد. در اوایل قرن بیستم، کورت گودل، ریاضیات را با انتشار قضایای ناتمامیت خویش دچار تغییر کرد. این قضایا نشان دادند که هر سیستم اصول موضوعه سازگاری شامل گزاره های غیر قابل اثبات اند. 
ریاضیات از آن زمان به طور گسترده ای توسعه یافته است و کنش و واکنش های ثمربخشی بین ریاضیات و علوم ایجاد شده که به نفع هردو می باشد. کشفیات ریاضیات تا به امروز نیز ادامه دارد. بر اساس نظر میخائیل سوریوک، که در ژانویه ۲۰۰۶ در بولتن انجمن ریاضی امریکا منتشر شد، "تعداد مقالات و کتب پایگاه اطلاعاتی ژورنال Mathematical Review از سال ۱۹۴۰ (اولین سال عملیاتی شدن MR) اکنون به ۱٫۹ میلیون می رسد که سالانه بیش از ۷۵ هزار مورد به این پایگاه افزوده می شود. اکثریت کار های گسترده ای که در این اقیانوس وجود دارد شامل قضایای جدید ریاضیاتی و اثبات هایشان است.

شاخه های ریاضیات

ریاضیات را می توان به طور خیلی کلی به چند قسمت تقسیم کرد: مطالعه کمیت، ساختار، فضا و تغییرات (یعنی حساب، جبر، هندسه و آنالیز). علاوه بر این ها که دغدغه های اصلی ریاضیات هستند، گرایش های دیگری نیز وجوددارند که خود را وقف کاوش ارتباطات بین قلب ریاضیات با دیگر زمینه های ریاضیات کرده اند، مثل ارتباطش با منطق، نظریه مجموعه ها (شالوده های ریاضی)، یا دیگر شاخه های تجربی تر ریاضیات که در علوم مختلف کاربرد دارند (ریاضیات کاربردی)، و اخیراً مطالعه عدم قطعیت. در حالی که برخی از این قلمرو ها ممکن است به ظاهر غیر مرتبط به نظر برسند، برنامه لانگلند ارتباطاتی بین شاخه هایی را یافته است که پیش از این غیر مرتبط تلقی می شدند، مثل گروه های گالوا، رویه های ریمانی و نظریه اعداد.

جوایز ریاضیاتی

می توان مدعی شد که مهم ترین جایزه ریاضیاتی جایزه ی فیلدز است، که در سال ۱۹۳۶ تأسیس شد و در این سال ها، هر چهار سال یک بار (به جز حدود جنگ جهانی دوم) به حداکثر ۴ ریاضیدان تعلق گرفته است. مدال فیلدز اغلب به عنوان معادلی برای نوبل در ریاضیات در نظر گرفته شده.
جایزه ی وولف در ریاضیات، در ۱۹۷۸ تأسیس شد و به هدف قدردانی از دستاورد هایی است که یک ریاضیدان در عمر خویش بدان ها نایل گشته. جایزه ی آبل در ۲۰۰۳ تأسیس شد. مدال چرن در ۲۰۱۰ معرفی شد برای قدردانی از دستاورد های یک عمر. این جوایز برای اهمیت دادن به برخی کار های نوآورانه، یا برای پیدا کردن راه حل برای مسائل مهم در یک شاخه خاص در نظر گرفته شده اند. 
لیستی از ۲۳ مسئله باز که به آن ها "مسائل هیلبرت" می گویند در سال ۱۹۰۰ توسط ریاضیدان آلمانی دیوید هیلبرت معرفی شد. این لیست به معروفیت زیادی بین ریاضیدانان دست یافت. حداقل نه تا از این مسائل اکنون حل شده اند. لیست جدیدی از هفت مسئله مهم به نام "مسائل جایزه هزاره" نیز در سال ۲۰۰۰ منتشر شد. تنها یکی از آن ها با لیست مسائل هیلبرت اشتراک دارد. جایزه حل هر مسئله در لیست جایزه هزاره ۱ میلیون دلار می باشد.