مسیر همیلتونی

در نظریه گراف، مسیر همیلتونی مسیری در یک گراف غیرجهت‌دار است که هر راس را دقیقاً یک بار مشاهده می‌کند. مدار همیلتونی (یا دور همیلتونی) مداری در یک گراف جهت‌دار است که دقیقاً یک بار هر راس را مشاهده کرده و همچنین به راس آغازین برمی گردد.در این گراف بر خلاف گراف اویلری نیازی نیست که از همه یال‌ها عبور کنیم.
مسیر و مدار همیلتونی به نام ویلیام رومن همیلتون نام گذاری شده‌اند. ویلیام همیلتون بازی ایکوسیان را، که امروزه به نام پازل همیلتون معروف است اختراع کرد. این بازی شامل یافتن یک مدار همیلتونی در گراف یالی یک دوازده سطحی است. با وجود اینکه دور همیلتونی به اسم ویلیام همیلتون نامگذاری شده است، دورهای همیلتونی در چندضلعی‌ها حدود یک سال پیش توسط توماس کرکمن مورد بررسی قرار گرفته بود، وی بطور اخص نمونه ای از یک چند ضلعی بدون دور همیلتونی را ارائه داده بود. حتی قبل از آن، دورهای و مسیرهای همیلتونی در مسئله گراف اسب در شطرنج، که به سفر اسب‌ها نیز شهرت دارد در قرن نهم میلادی توسط روداتا، ریاضیدان هندی و العدلی الرومی، ریاضیدان مسلمان مورد مطالعه قرار گرفته بود. در قرن هجدهم مسئله سفر اسب‌ها توسط لئونارد اویلر و ابراهام دو مواور منتشر شد.

مسیر همیلتونی

یک مسیر همیلتونی یا مسیر قابل تعقیب، مسیری است که هر راس را دقیقاً یک بار مشاهده کند. گرافی را که دارای مسیر همیلتنی باشد، گراف قابل تعقیب یا نیمه همیلتنی می‌نامند. هم چنین گرافی همیلتن-متصل است اگر برای هر زوج از رئوس آن، مسیری همیلتونی بین آن دو راس وجود داشته باشد.

مدار همیلتونی

مدار همیلتونی یا دور همیلتونی، مداری است که هر راس را دقیقاً یک بار مشاهده می‌کند.(به جز راسی که هم به عنوان آغاز و هم پایان می‌باشد. در نتیجه این راس دو بار دیده می‌شود.) به‌طور قراردادی، گرافی کوچک شامل یک گره، دارای مدار همیلتونی است، ولی گراف متصلی دارای دو گره، شامل مدار همیلتونی نیست.

گراف همیلتونی

گرافی که دارای مدار همیلتونی باشد، گراف همیلتونی نامیده می‌شود. هر گراف کامل که بیشتر از دو راس داشته باشد، همیلتونی است.

گرافی با نام گراف همیلتون وجود دارد که یک دوازده وجهی منتظم است و دارای دورهای همیلتونی زیبا می‌باشد.(شکل(۳))

مدار همیلتونی مسئله‌ای از نوع NP

مسئله فروشنده دوره‌گرد برای دانشمندانی که روی مسائل NP کار می‌کنند، بسیار آشناست. صورت این مسئله به این گونه‌است که فرض کنید فروشنده دوره گردی داریم که می‌خواهد برای فروش کالاهای خود، به چند شهر سفر کند. فرض کنید بین این چند شهر راه‌های مختلفی با طول مسیرهای مختلفی وجود دارد. حال این فروشنده دوره گرد از چه راه‌هایی برود تا همه شهرها را یکبار بپیماید، و در کوتاه‌ترین مسیر حرکت کرده و در کمترین زمان به شهر اولی که از آن شروع کرده بود برسد. این مسئله ابتدا به صورت ریاضی مدل می‌شود و تبدیل به مسئله مدار همیلتونی در علم ریاضی و نظریه گراف‌ها می‌شود و سپس برای حل آماده می‌گردد. بسیاری از دانشمندان برای حل مسائل NP بیشتر روی مسئله فروشنده دوره گرد کار می‌کنند.
تعیین شرط یا شروط لازم و کافی برای وجود داشتن مسیر یا دور همیلتونی در یک گراف هنوز به عنوان یک مسئله لاینحل باقی‌مانده‌است، ولی شروط لازم خوبی وجود دارند که به صورت قضیه مطرح شده‌اند. همچنین الگوریتمی احتمالی که توسط آقای ویلف (۱۹۹۴) شرح داده شده‌است، می‌تواند برای یافتن مسیر و مدار همیلتنی مفید باشد.

خواص و قضایا

هر مدار همیلتونی می‌تواند با حذف یکی از یال‌هایش به یک مسیر همیلتونی تبدیل شود. اما یک مسیر همیلتونی زمانی می‌تواند به یک مدار همیلتونی توسعه یابد که نقاط انتهایی آن مجاور و همسایه باشند.
گراف خط یک گراف همیلتونی، خود همیلتونی است. همچنین گراف خط یک گراف اویلری نیز همیلتونی است.
همه گراف‌های همیلتونی گراف دوهمبند هستند، ولی هر گراف دوهمبندی مانند گراف پترسن ضرورتاً همیلتونی نیست.
همان طور که ذکر شد شرط لازم و کافی برای گفتن همیلتونی بودن یک گراف هنوز یافت نشده‌است. ولی دو قضیه زیر شرظ خوبی برای همیلتونی بودن یک گراف هستند.
قضیه : اگر G یک گراف ساده با ۳<=n راس باشد و اگر برای هر دو راس نا مجاور u,v داشته باشیم deg(u) + deg(v) => n، آنگاه گراف G هامیلتونی است.
قضیه دیراک: اگر در گراف ساده و همبند G با ۳=<n راس داشته باشیم d|v| => n/۲ (که V راس دلخواه از G است.) آنگاه گراف G همیلتونی است.