عدد اول

یک عدد اول، عددی طبیعی بزرگتر از 1 است که نتوان آن را به صورت ضرب دو عدد طبیعی بزرگتر از یک نوشت. عدد طبیعی بزرگتر از 1 که اول نباشد را عدد مرکب گویند. به عنوان مثال 5 یک عدد اول است، چون تنها روشی که می توان آن را به صورت ضرب دو عدد طبیعی نوشت به صورت  یا  است که شامل خود 5 می شود (دو عددی که در ضرب می آیند باید از خود 5 کوچکتر باشند.). اما به عنوان مثال 6 یک عدد مرکب است، چرا که می توان آن را به صورت  نوشت که هردوی آن ها از 6 کوچکترند. اعداد اول در نظریه اعداد به دلیل قضیه اساسی حساب نقش محوری دارند، این قضیه می گوید: هر عدد طبیعی بزرگتر از 1 یا اول است یا می توان آن را به ضرب اعداد اول تجزیه کرد، که این تجزیه در حد ترتیب یگانه است.
خاصیت اعداد اول را اول بودن می گویند. یک روش کند برای چک کردن اول بودن یک عدد مثل ، آزمون تقسیم است. این آزمون بخش پذیر بودن  بر هر عدد صحیح بین  2 و  را چک می کند. الگوریتم های سریع تری نیز وجود دارند، مثل آزمون اول بودن میلر-رابین که سریع است اما احتمال رخ دادن درصدی خطا نیز در آن وجود دارد. آزمون دیگر، آزمون اول بودن AKS است، که همیشه جواب صحیح بدست می دهد، اما مرتبه زمانی آن چند جمله ای است و برای کاربرد های عملی بسیار کند می باشد. روش های بسیار سریعی برای آزمون اول بودن اعداد خاصی مثل اعداد مرسن نیز وجود دارد. تا دسامبر 2018 بزرگترین عدد اول شناخته شده در سیستم ده-دهی 24,862,048 رقم دارد. 
اقلیدس حدود 300 قبل از میلاد اثبات کرد که بی نهایت عدد اول وجود دارد. با این حال، توزیع اعداد اول در میان اعداد طبیعی را می توان از نظر آماری مدلسازی کرد. اولین نتیجه ای که در این جهت حاصل شد قضیه اعداد اول بود که در انتهای قرن نوزدهم بدست آمد. این قضیه می گوید که احتمال اول بودن یک عدد طبیعی تصادفی با تعداد ارقام آن (یعنی لگاریتم آن عدد) رابطه عکس دارد.
چندین سؤال تاریخی در ارتباط با اعداد اول هنوز لاینحل مانده اند. این سوالات شامل حدس گلدباخ می شود، این حدس می گوید که هر عدد صحیح زوج بزرگتر از 2 را می توان به صورت جمع دو عدد اول بیان کرد. یکی دیگر از این سؤالات حدس اعداد اول دوقلو است، که می گوید تعداد اعداد اولی که تفاضلشان فقط 2 باشد بی نهایت است. چنین سؤالاتی موجب پیشرفت شاخه های مختلف نظریه اعداد گشتند که در این مسیر بر روی جنبه های تحلیلی و جبری اعداد تمرکز شده است. اعداد اول در چندین مسیر فناوری اطلاعات استفاده شده اند مثل رمزنگاری کلید عمومی که به سخت بودن تجزیه اعداد بزرگ به عوامل اولشان تکیه می کند. در جبر مجرد، اشیائی وجود دارند که به صورت تعمیم یافته شبیه اعداد اول عمل می کنند، مثل عناصر اول و ایده آل های اول.

تعریف و مثال ها

عدد اول عددی طبیعی بزرگ‌تر از ۱ است که بر هیچ عددی به جز خودش و ۱ بخش‌پذیر نباشد. تنها استثنا عدد ۱ است که جزو این اعداد قرار نمی‌گیرد. اگر عددی طبیعی و بزرگتر از ۱ اول نباشد مرکب است. 
پیدا کردن رابطه‌ای جبری برای اعداد اول جزء یکی از معماهای ریاضی باقی مانده‌است و هنوز کسی به فرمولی برای آنها دست نیافته‌است.
دنبالهٔ اعداد اول به این صورت شروع می‌شود:
۲، ۳، ۵، ۷، ۱۱، ۱۳، ۱۷، ۱۹، ۲۳، ۲۹، ۳۱، ۳۷، ۴۱، ۴۳، ۴۷، ۵۳، ۵۹، ۶۱، ۶۷، ۷۱، ۷۳، ۷۹، ۸۳، ۸۹، ۹۷، ۱۰۱، ۱۰۳، ۱۰۷، ۱۰۹، ۱۱۳، ۱۲۷، ۱۳۱، ۱۳۷، ۱۳۹، ...

قضایای اعداد اول

حدس گلدباخ (تاکنون اثبات نشده): هر عدد زوج را می‌توان به شکل جمع دو عدد اول نوشت.
مثال:
۲. حدس قوی گلدباخ : هر عدد فرد بزرگتر از ۵ را می توان به صورت مجموع ۳ عدد اول نوشت.

تابع شمارش اعداد اول

در ریاضیات تابع شمارش اعداد اول تابعی است که برای بیان تعداد اعداد اول به کار می‌رود و آن را با نماد   نمایش می‌دهند.
ریاضیدان فرانسوی پیر دوسارارت ثابت کرد که برای x ≥ ۵۹۹ رابطه زیر برقرار است:
همچنین ثابت کرد که برای هر x ≥ ۳۵۵۹۹۱:
بعدها ثابت شد که برای هر ε>۰ وجود دارد عددی طبیعی ماننده s که برای هر x>s رابطه زیر برقرار است:

قضیه ویلسون راهی برای تشخیص اعداد اول

قضیه ویلسون راهی برای تشخیص اعداد اول است.
این قضیه بیان می‌کند به ازای هر عدد اول مانند  داریم 
این قضیه دوشرطی است بنابراین راهی برای تشخیص اعداد اول از مرکب است یعنی:
برای هر عدد صحیح x اگر رابطه زیر برقرار باشد آنگاه x عددی اول است در غیر این صورت x عددی مرکب است.
 
این قضیه تعمیم‌هایی به شکل زیر دارد:
تعمیم گاوس: کارل فریدریش گاوس ریاضیدان آلمانی در سال ۱۸۰۰ میلادی ثابت کرده که برای هر عدد طبیعی m>۲ عدد اول p
در اینجا  عددی صحیح و مثبت است.

بزرگترین عدد اول کشف شده

بزرگ‌ترین عدد اول کشف شده تا (۲۰۱۶) برابر دو به توان ۷۴ میلیون و ۲۰۷ هزار و ۲۸۱ منهای یک است. این عدد ۲۲٬۳۳۸٬۶۱۸ رقم دارد و یک عدد مرسن است. عدد مرسن عددی است که برابر ۲ به توان n منهای یک است.
در سال ۲۰۱۸، طولانی‌ترین عدد اول که دارای ۲۳ میلیون رقم است؛ کشف شد. این عدد اول نیز یک عدد مرسن است که در جریان محاسبات در رایانه یک مهندس برق به نام جاناتان پیس در آمریکا در جریان پروژه‌ای برای کشف اعداد اول به نام «تحقیق اینترنتی بزرگ عدد مرسن» (GIMPS) کشف شد. این عدد را به اختصار و به‌طور قراردادی، M77232917 نامیده‌اند. پژوهش‌ها برای یافتن عددهای اول بزرگ دشوار و نیازمند نرم‌افزارهای خاص و همکاری علمی پژوهشگران هستند.

جایزه‌ها برای پیدا کردن اعداد اول

مؤسسه Electronic Frontier Foundation جایزه‌ای به مبلغ صدهزار دلار برای اولین کسی که یک عدد اول با حداقل ۱۰ میلیون رقم پیدا کند در نظر گرفته‌است. همچنین مبلغ ۱۵۰ هزار دلار برای کسی که یک عدد اول با ۱۰۰ میلیون رقم و ۲۵۰ هزار دلار برای ۱ میلیارد رقم در نظر گرفته شده‌است. این مؤسسه ممکن است مبلغ ۱۰۰ هزار دلار برای دپارتمان ریاضی دانشگاه UCLA که موفق به کشف یک عدد اول ۱۳ میلیون رقمی شدند پرداخت کند.

الگوهای توزیع اعداد اول

یکی از مسائل مورد توجه ریاضی‌دانان، چگونگی توزیع و ترتیب قرارگرفتن اعداد اول درون رشته اعداد طبیعی است. این چگونگی دارای الگوهایی است که یکی از آنها به «الگوی پیشرفت عددی» معروف است.

مثلاً اگر به عدد ۵ که عددی اول است، ۶ واحد اضافه کنیم به ۱۱ و اگر به ۱۱، ۶ واحد اضافه کنیم به ۱۷ و اگر دوباره اضافه کنیم، به ۲۳ و ۲۹ می‌رسیم که همگی اعدادی اولند. اما با اضافه کردن ۶ واحد دیگر به ۳۵ می‌رسیم که عددی اول نیست و الگو متوقف می‌گردد.
مسئله مورد توجه اینست که در هر الگوی پیشرفت چند عدد اول پیش از رسیدن به اولین عدد غیر اول، بدست می‌آیند؟ طولانی‌ترین رشته‌ای که تاکنون بدست آمده، ۲۲ عدد اول را شامل است. اولین عدد اول این رشته ۱۱۴۱۰۳۳۷۸۵۰۵۵۳ بوده که اگر عدد ۴۶۰۹۰۹۸۶۹۴۲۰۰ به آن اضافه شود عدد اول بعدی بوجود می‌آید و می‌توان ۲۲ بار عدد مذکور را به اعداد اول مرحله قبل افزود و عدد اولی جدید بدست آورد. دو ریاضی‌دان اثبات کرده‌اند برای هر رشته از اعداد اول می‌توان به یک رشته عددی رسید.