مربع جادویی

مربع جادویی یا وفقی جدولی است، n * n خانه، که خانه‌های آن با عددهای مثبت از ۱ تا  n² به ترتیبی پر شده‌است که مجموع عددهای هر ردیف افقی یا هر ستون عمودی یا هر قطر آن، عددی ثابت را نشان دهد. شکل رایج آن شامل اعداد ۱ تا  n² است ولی گاهی برای کلمات نیز استفاده می‌شود.
این عدد ثابت بدین طریق بدست می‌آید و به آن ثابت جادویی یا جمع جادویی می‌گویند:
n(n²+۱)/۲
مثلاً ثابت جادویی برای nهای ۳و۴و۵و۶ برابر است با:
۱۱۱٬۶۵٬۳۴٬۱۵
ساخت مربع جادویی در هر ابعادی بزرگتر از ۲ ممکن است زیرا این مسئله در ابعاد ۲ قابل حل نیست. کوچکترین مربع جادویی قابل ساخت ۳*۳ است.

در بین ایرانیان

با اینکه تاریخ استفاده از مربع جادویی در سرزمین ایران مشخص نیست ولیکن تصور می‌شود ایرانیان پیش از اسلام نیز با آن آشنا بوده‌اند. ولیکن این امر مشخص است که در ایران پس از اسلام استفاده از مربع جادویی رواج داشته‌است و این رواج بعد از رواج بازی شطرنج نیز بیشتر گردید. ریاضیدان ایران بوزجانی در کتاب خود تعداد زیادی مربع جادویی و طرز تهیه آن‌ها را به یادگار گذاشته است.

در بین اعراب

مربع‌های جادویی برای ریاضیدانان عرب نیز شناخته شده بودند. این شناخت ممکن است در اثر تجارت به هندیان به دست آمده باشد. اولین مربع‌های جادویی در بین متون عربی در کتاب رسائل الاخوان الصفا به چشم می‌خورد. ریاضیدان عرب احمد البونی در کتاب خود شمس المعارف الکبری در مورد مربع‌های جادویی صحبت زیادی کرده‌است و خواص سحر آمیز خاصی به هریک از آنان نسبت داده است.

در اروپا

در حدود سال ۱۳۰۰ میلادی و با ترجمه کتاب شمس المعارف به اروپا کتاب‌های زیادی در زمینه مربع‌های جادویی نوشته شد. مانوئل موخوپولوس که یک یونانی بود جزو اولین کسانی است که بر روی ترجمه کتاب البونی کار کرده‌است. در متون اسپانیایی نیز مسائلی مرتبط با مربع‌های جادویی از سال ۱۲۸۰ میلادی وجود دارند. مربع‌های جادویی در ایتالیا در قرون وسطی نیز رایج بودند. لوکا پاکیولی بر روی مربع‌های جادویی در ابعاد ۳ تا ۹ کار زیادی انجام داده است.

روش ساخت مربع‌های جادویی

برای ساخت مربع‌های جادویی روش‌های گوناگونی وجود دارد که به بخشی از آن‌ها در زیر اشاره می‌کنیم، برای تمامی مقادیر n مربع جادویی وجود دارد فقط برای n=۲ مربع جادویی نداریم، مربع‌های جادویی را به ۳ دسته تقسیم می‌کنیم مربع‌های جادویی با n فرد،n=4kوn=4k+۲
که ما در اینجا طریقهٔ ساختن مربع جادویی فرد و مضرب ۴را بیان می‌کنیم، برای n>۵ تعداد مربع‌های جادویی درجه n از سوالات حل نشده در ریاضیات است مثلاً تعداد مربع‌های جادویی n×n برای n=۱٬۲٬۳،... برابر است با
۱٬۰٬۱٬۸۸۰٬۲۷۵۳۰۵۲۲۴،....

روش اول برای ساختن مربع‌های جادویی درجه فرد

ابتدا خانه وسط مربع را مشخص کرده و یک خانه زیر آن را با عدد ۱ پر میکنیم.پس از آن به صورت
قطر پایین سمت راست حرکت کرده و اعداد را جایگذاری میکنیم.هرگاه به خانه ای که وجود ندارد برخوردیم به بالا تربن خانه خالی همان سطر یا ستون مراجعه میکنیم و آن را پرمیکنیم و به همین ترتیب.اگر به یک مربع پر برخورد کردیم جهت حرکت خود را تا رسیدن به یک مربع پر دیگر به پایین سمت چپ تغییر میدهیم و ادامه میدهیم تا تمام مربع ها پر شوند.

روشی دیگر برای ساختن مربع‌های جادویی درجه فرد

اگر مربع شما از درجه n است (n فرد است) ٍ به هر ضلع مربع از هر طرف یک ضلع دیگر به اندازهٔ n-2 تا مربع (از وسط) اضافه کنید و این کار را آنقدر ادامه دهید که آخرین ضلع به اندازهٔ ۱ مربع باشد.
سپس مربع‌ها را به صورتی که در شکل نمایش داده شده پر می‌کنیم و سپس اعدادی را که خارج از مربع n*n قرار دارند را روی سطر یا ستونی که قرار گرفته‌اند به تعداد خانه‌هایی برابر با رتبه مربع وفقی (در این مثال ۳) انتقال می‌دهیم، مربع وفقی تنظیم می‌شود.

یک روش برای بدست آوردن مربع جادویی مضرب های زوج

ابتدا اقطار مربع را به صورت ۴در ۴ در نظر می‌گیریم اول همه اعداد تا توان دوی n به ترتیب در سطر هااز یکی از گوشه‌ها نوشته می‌شوند طوری‌که فقط روی قطرها را پر می‌کنیم و بقیه را خالی می‌گذاریم و سپس از انتها دوباره اعداد شروع به نوشتن می‌شود اما این بار در جاهای خالی عدد می‌نویسیم.