مجموعه کانتور

ساختار و فرمول مجموعه سه تایی

مجموعه کانتور سه تایی به این صورت ساخته می‌شود که به‌طور مداوم پاره خط را به سه قسمت تقسیم کرده و قسمت وسط را برداریم. مثلاً درفاصلهٔ [۰٬۱] مرحلهٔ اول برداشتن بازهٔ (۲⁄۳، ۱⁄۳) است که در این صورت
[۱⁄۳، 0] ∪ [1, ۲⁄۳] باقی می‌ماند. در مرحلهٔ بعد این کار بر روی بازه‌های باقی‌مانده تکرار می‌شود. در این جا داریم:

[۱⁄۹، 0] ∪ [۱⁄۳، ۲⁄۹] ∪ [۷⁄۹، ۲⁄۳] ∪ [1, ۸⁄۹]. این روند تا بی‌نهایت ادامه پیدا می‌کند و مجموعهٔ nام برابر می‌شود با:

مجموعه کانتور سه تایی تمام نقاط بازهٔ [۰٬۱] که در این روند حذف نشده‌اند را داراست.

۶ مرحلهٔ اول این روند در زیر نشان داده شده‌است:

فرمول دقیق مجموعه کانتور برابر است با:

ترکیب

چون مجموعه کانتور مجموعه‌ای از نقاط تعریف می‌شود مقدار فاصلهٔ واحد باقی‌مانده را می‌توان با کم کردن طول کل پیدا کرد. مجموع یک تصاعد هندسی است.
بنابراین مقدار باقی‌مانده برابر است با: 1 – 1 = ۰
این محاسبه نشان می‌دهد که مجموعه کانتور نمی‌تواند هیچ بازه‌ای با طول غیر صفر را در بر بگیرد. در واقع ممکن است عجیب به نظر برسد که چیزی باقی بماند چون مجموع طول بازه‌های حذف شده برابر با طول بازهٔ اصلی است. با این وجود نگاه دقیق تر به روند نشان می‌دهد که باید چیزی باقی‌مانده باشد. از ان جا که برداشتن وسط سه قسمت از مجموعه‌های باز(مجموعه‌ای که نقاط پایانی ان مشخص نیست) انجام می‌گیرد بنابراین با برداشتن پاره خط (۲⁄۳، ۱⁄۳) از بازهٔ [۰٬۱] دو نقطهٔ ۱/۳ و ۲/۳ باقی می‌مانند. باقی مراحل این نقاط پایانی را خارج نمی‌کنند. از انجا که بازه‌های حذف شده همیشه برای بازه‌های باقی‌مانده داخلی هستند بنابراین مجموعه کانتور تهی نیست و در واقع شامل تعداد نامحدود از نقاط است.

ممکن است این‌طور به نظر برسد که فقط نقاط پایانی باقی می‌مانند اما این گونه نیست. برای مثال نقطهٔ ۱/۴ در یک سوم ابتدایی قرار دارد و در مرحلهٔ اول حذف نمی‌شود. در مرحله دوم در یک سوم انتهایی، سپس در یک سوم ابتدایی و به همین ترتیب این روند تا بی‌نهایت بین یک سوم ابتدایی و انتهایی ادامه دارد. از انجا که این عدد هیچ گاه در یک سوم وسط قرار نمی‌گیرد، هیچ وقت حذف نمی‌شود و همچنین هیچ یک از نقاط پایانی یک سوم وسط هم نیست. عدد۳/۱۰ نیز به همین شکل در مجموعه کانتور قرار دارد و جز نقاط پایانی هم نیست.

در کاردینال بیشتر اعضای مجموعه کانتور نقاط پایانی بازه‌های حذف شده نیستند.

خودمتشابه

مجموعه کانتور نمونه‌ای فرکتال است. این مجموعه خودهمانند است چون با دو کپی از خود یکسان است . به‌طور دقیقتر دو تابع وجود دارد , تغییر دهندهٔ چپ و راست.  و  , که باعث می‌شود مجموعه کانتور ویژگی هم‌ریختی
داشته باشد  .
تکرار  و  می‌تواند به شکل درخت دودویی نامحدود مشاهده شود. هر گرهٔ درخت می‌تواند به عنوان زیر درخت برای یک گرهٔ چپ یا راست در نظر گرفته شود. مجموعه  با هم با ترکیب تابع به شکل یک مونوئید دوتایی است. automorphisms درخت دودویی چرخش‌های یایپربولیک ان است. بنابراین مجموعه کانتور یک فضای همگن است به این معنا که برای هر دو نقطهٔ  و  در مجموعه کانتور  یک هم ریختی  with  وجود دارد. بعد هاسدورف مجموعه کانتور برابر با (ln(2)/ln(3) = log₃(2 است.

خواص توپولوژیکی و تحلیلی

با توجه به گفته‌های بالا مجموعه کانتور غیرقابل شمارش است اما اندازه لبسگ ۰ دارد. از آنجا که مجموعه کانتور مکمل اجتماع از مجموعه‌های باز است، خودش یک زیر مجموعه بسته از حقیقی‌ها و در نتیجه یک فضای متریک کامل است. همچنین از انجا که کاملاً محدود به فضاست طبق  قضیه هاینه بورل یک مجموعه فشرده است.
برای هر نقطه در مجموعه کانتور و هر همسایگی دلخواه نقطه، اعداد دیگری در مبنای ۳ وجود دارند. از این رو هر نقطه در مجموعه کانتور یک نقطهٔ حدی (یا نقطهٔ تجمعی) است، اما هیچ‌یک نقطهٔ داخلی نیستند. مجموعهٔ بسته‌ای که تمام نقاط ان نقطهٔ حدی است در توپولوژی مجموعهٔ کامل نامیده می‌شود و زیر مجموعه‌ای بسته از یک بازه بدون هیچ نقطهٔ داخلی در هیچ جای مجموعه چگال نیست.
هر نقطه در مجموعهٔ کانتور یک نقطهٔ حدی در مکمل مجموعهٔ کانتور است.