سالیتون

سالیتون در ریاضیات و فیزیک، یک موج منزوی خود-تقویت‌کننده (یک بسته موج یا پالس) است که وقتی با سرعت ثابت حرکت می‌کند شکلش را حفظ می‌کند. سالیتون‌ها در نتیجهٔ خنثی‌سازی آثار غیرخطی و پاشندگی در محیط حاصل می‌شوند. «آثار پاشندگی» به رابطه پراش بین فرکانس و سرعت امواج برمی‌گردند. سالیتون‌ها به عنوان جوابهای دستهٔ گسترده‌ای از معادلات دیفرانسیل جزئی بطور ضعیف غیرخطی پاشنده ناشی می‌شوند که سیستم‌های فیزیکی را توصیف می‌کنند. پدیدهٔ سالیتونی اولین بار توسط جان اسکات راسل (۱۸۸۲–۱۸۰۸م) توصیف شد. او یک موج سالیتوری را در کانال مشترک در اسکاتلند مشاهده کرد. او این پدیده را در یک مخزن موج بازسازی کرد و آن را موج انتقال نامید.
به‌دیگر سخن، سالیتون به دسته خاصی از جوابهای موضعی یک معادله غیرخطی موج گفته می‌شود که با شکل، ارتفاع، و سرعت ثابت به پیشروی و انتشار در محیط ادامه می‌دهند. البته توافق عام بر سر تعریف سالیتون وجود ندارد و درمنابع مختلف سالیتون را به صورت‌های متفاوت تعریف می‌کنند.

تعریف در فیزیک کلاسیک

برخی از جوابهای معادله‌موجی که غیر خطی و پاشنده باشد می‌توانند خاصیتهای زیر را داشته باشند:
۱- با حرکت بسته موج شکل و سرعت آن تغییر نکند.
۲- بقای شکل و سرعت مجانبی حتی پس از برخورد چند بسته موج با هم برقرار باشد.
در فیزیک کلاسیک به جوابهایی که خاصیت ۱ را داشته باشند موج انفرادی می‌گویند.
اگر جواب علاوه بر خاصیت ۱ خاصیت ۲ را نیز دارا باشد آن را سالیتون می‌نامند.

بیان بر حسب چگالی انرژی

جوابی از معادله میدان را موضعی می‌نامیم که: چگالی انرژی آن در در هر زمان محدود t در منطقه محدودی از فضا مقدار غیربی‌نهایت و در بی‌نهایت به سمت صفر حرکت کند و در آن ناحیه انتگرال‌پذیر باشد.

موج انفرادی

حال به جوابی از معادله میدان غیر خطی که موضعی بوده و خاصیت زیر را داشته باشد موج انفرادی می‌گوییم:
به بیان دیگر چگالی انرژی با سرعت ثابت بی‌تغییر بماند.

روابط

یک یا چند معادله غیر خطی که جواب موج انفرادی آن‌ها باشدرا در نظر بگیریم.

اگر N موج انفرادی این جواب با سرعت‌ها و محل‌های دلخواه یک موج با انرژی  تشکیل بدهد، آن‌گاه: 
حال اگر رابطه:
برقرار باشد این موج انفرادی را سالیتون می‌گوییم.

نمونه

خواص پاشندگی و غیرخطیت می‌توانند برهمکنش داشته و اشکال موجی موضعی و پایدار تولید کنند. یک پالس نوری را که در یک شیشه حرکت می‌کند در نظر بگیرید. این پالس را می‌توان نوری از چندین فرکانس مختلف در نظر گرفت. چون شیشه موجب پاشندگی می‌شود، این فرکانس‌های مختلف با سرعت‌های متفاوتی حرکت خواهند کرد و شکل پالس در طول زمان تغییر خواهد کرد. با این حال، اثر کرغیرخطی وجود دارد: نمار شکست یک ماده در یک فرکانس مفروض به دامنه یا قدرت نور بستگی دارد. اگر پالس تنها شکل صحیح داشته باشد، اثر کر کاملاً اثر پاشندگی را حذف خواهد کرد، و شکل پالس در طول زمان تغییر نخواهد کرد: یک سالیتون. برای توصیف جزئیتر سالیتون (اپتیک) را ببینید.
خیلی از مدل‌های قابل حل دارای جوابهای سالیتونی هستند، از جمله معادله کورتوگ-د وریز، معادله غیرخطی شرودینگر، معادله غیرخطی شرودینگر تزویج شده، و معادله ساین-گوردن. جوابهای سالیتونی معمولاً بوسیلهٔ تبدیل پراکندگی معکوس و پایداریشان به انتگرالپذیری معادلات میدان حاصل می‌شود. نظریهٔ ریاضیاتی این معادلات شاخه‌ای وسیع و فعال از تحقیقات ریاضیات است.
بعضی از انواع حفره کشنده، پدیدهی موجی تعدادی از رودخانه‌ها شامل شکلهای سالیتونی دارند: یک جبهه موج با قطاری از سالیتونها می‌آید. دیگر سالیتونها به صورت امواج درونی زیر دریا رخ می‌دهند، از بستر اقیانوس نشأت می‌گیرند. همچنین سالیتونهای جوی وجود دارد، نظیر ابر درخشان صبحگاهی در خلیج کارپنتاریا، جایی که سالیتونهای فشاری در یک لایهٔ وارونی دما ابرهای پیچشی خطی وسیع تولید می‌کنند. مدل سالیتونی اخیر که بطور گسترده پذیرفته نشده‌است در دانش اعصاب ارائه شده‌است تا جریان سیگنال در عصب‌ها را به صورت سالیتونهای فشاری توصیف کند.
یک سالیتون توپولوژیک، یا نقص توپولوژیک، جواب دسته‌ای از معادلات دیفرانسیل جزئی است که در مقابل واپاشی به «جواب جزئی» پایدار و مقاوم است. پایداری سالیتونی بواسطهٔ قیود توپولوژیک است، تا مشتق پذیری معادلات میدان. از آنجا که معادلات دیفرانسیلی باید از دسته‌ای از شرایط مرزی تبعیت کنند قیود تقریباً همیشه برآورده می‌شوند، و مرز یک گروه هوموتوپی غیر-جزئی دارد که با معادلات دیفرانسیل حفظ می‌شوند. از اینرو، جوابهای معادله دیفرانسیل را می‌توان به رده‌های هوموتوپی دسته‌بندی کرد. تبدیل پیوسته‌ای وجود ندارد که جوابی در یک رده هوموتوپی را به ردهٔ دیگری هدایت کند. جوابها کاملاً مجزا هستند، و حتی در مواجه با نیروهای بینهایت قوی تمامیتشان را حفظ می‌کنند. مثال‌هایی از سالیتونهای توپولوژیک شامل در رفتگی پیچشی دریک شبکه کریستالی، رشته دیراک و تک قطبی مغناطیسی در الکترومغناطیس، اسکای میون و مدل وس-زومینو-ویتن در نظریه میدان کوانتومی، و رشته کیهانی در دیوارهای حوزه در کیهان شناسی است.

سالیتون‌ها در فیبر نوری

«همچنین سالیتون (اپتیک) را ببینید»
بسیاری از آزمایش‌های با استفاده از سالیتون‌ها در کاربردهای فیبر نوری انجام شده‌اند. پایداری ذاتی سالیتون‌ها امکان ارسال به فواصل طولانی را بدون استفاده از تکرارکننده‌ها مقدور می‌سازد، و می‌تواند بطور بالقوه ظرفیت ارسال را دوبرابر سازد.
در ۱۹۷۳، آکیرا هاسوگاوا از آزمایشگاه بل AT&T اولین کسی بود که پیشنهاد داد که سالیتون‌ها می‌توانند در فیبر نوری بواسطهٔ موازنهٔ بین مدولاسیون خود-فاز و پاشندگی غیرعادی حضور داشته باشند. همچنین در ۱۹۷۳ رابین بلاخ اولین گزارش ریاضیاتی را مبنی بر وجود سالیتون‌های نوری ارائه کرد. او همچنین ایدهٔ سیستم ارسال برپایهٔ سالیتون را ارائه داد تا عملکرد مخابرات نوری افزایش یابد.
سالیتون‌ها در سیستم فیبر نوری با معادلات موناکو توصیف می‌شوند.
در ۱۹۸۷، پی، املیت، جی.پی. هاماید، اف. رینود، سی. فرولی و ای. بارثلمی، از دانشگاه بروکسل و لیموژ، اولین مشاهدهٔ عملی از انتشار سالیتون تاریک در یک فیبر نوری داشتند.
در ۱۹۸۸، لین مولنور و تیم‌اش پالس‌های سالیتونی را تا فاصلهٔ ۴۰۰۰ کیلومتری با استفاده از پدیدهٔ اثر رامان، به نام دانشمند هندی سر سی.وی. رامان، کسی که اولین بار در دههٔ ۱۹۲۰ این اثر را توصیف کرد، تا بهره نوری در فیبر را ثابت کند، ارسال کردند.
در ۱۹۹۱، یک تیم تحقیقاتی از آزمایشگاه بل سالیتون‌ها را با ۵ر۲ گیگابایت بر ثانیه تا فاصلهٔ بیشتر از ۱۴۰۰۰ کیلومتری بدون خطا ارسال کردند، با استفاده از تقویت‌کننده‌های فیبر نوری اربیوم (در بخش‌هایی از فیبر نوری شامل عنصر نادر اربیوم). لیزرهای پمپی، به تقویت‌کنندهای نوری تزویج شده، اربیوم را فعال کرده، که پالس‌های نوری را تقویت می‌کنند.
در ۱۹۹۸، تری جورجز و تیمش در مرکز R&D فرانس تله‌کام با ترکیب سالیتون‌های نوری با طول‌موجهای متفاوت (تسهیم تقسیم طول‌موج)، انتقال دادهٔ ۱ ترابیت بر ثانیه (۱٬۰۰۰٬۰۰۰٬۰۰۰٬۰۰۰ واحد اطلاعات در ثانیه) را نمایش دادند.
بنا به دلایلی، امکان مشاهدهٔ هر دوی سالیتون‌های مثبت و منفی در فیبر نوری هست. با این حال، معمولاً برای امواج آب تنها سالیتون‌های مثبت دیده شده‌اند چون هر تلاشی برای ساخت موجی با تورفتگی منجر به قطاری از امواج نوسانی می‌شود. (یک سالیتون مثبت مربوط به نیمرخ (پروفایل) مثبت sech۲ است و یک سالیتون منفی به نیمرخی به شکل sech²- مربوط می‌شود)
در سال ۲۰۰۰، کاندیف حضور سالیتون برداری در کاواک فیبر دوشکستی را به صورت مُد قفل شده در SESAM پیش‌بینی کرد. حالت قطبش چنین سالیتون برداری می‌توانست بسته به پارامترهای کاواک بچرخد یا قفل شود.
در سال ۲۰۰۸، دی. وای. تانگ و همکارنش شکل نویی از سالیتون برداری مرتبه بالا را در آزمایش‌های و شبیه‌سازی‌های عددی مشاهده کردند. انواع مختلفی از سالیتون‌های برداری و حالت قطبش سالیتون‌های برداری در گروه او مورد مطالعه قرار گرفتند.

سالیتون‌ها در آهنرباها

در آهنرباها، همچنین انواع مختلفی از سالیتون‌ها و دیگر امواج غیرخطی وجود دارد. این سالیتون‌های مغناطیسی جوابهای دقیق معادلات دیفرانسیل غیرخطی کلاسیک هستند — معادلات مغناطیس، مثلاً معادله لاندو-لیفشیتز، زنجیره مُدهای هایزنبرگ، معادله شیموری، معادله غیرخطی شرودینگر و نظیر آن هستند.

بایون‌ها

حالت مرزی دو سالیتون به عنوان «بایون» شناخته می‌شود.
در نظریهٔ میدان معمولاً بایون به جواب مدل بورن-اینفلد ارجاع داده می‌شود. نام بایون توسط جی. دابلیو. گیبسون انتخاب شد تا این جواب را از سالیتون مرسوم تمیز دهد، به صورت یک جواب «منظم»، با انرژی محدود (و معمولاً پایدار) یک معادله دیفرانسیل توصیف‌کنندهٔ بعضی سیستم‌های فیزیکی فهمیده شد. کلمه «منظم» یعنی یک جواب سلیس که هیچ منبعی را حمل نمی‌کند. با این حال، جواب مدل بورن-اینفلد هنوز یک منبع به شکل تابع دلتای دیراک در مبدأ حمل می‌کند. در نتیجه این جواب یک تکینگی در این نقطه نشان می‌دهد (با این حال میدان الکتریکی همه جا منظم است). در بعضی متون فیزیکی (برای مثال نظریهٔ ریسمان) این امکان می‌تواند مهم باشد، که معرفی یک نام خاص برای کلاسی از سالیتون‌ها را برانگیخته‌است.
از طرف دیگر، زمانی‌که گرانش اضافه شود (برای مثال، زمانی‌که تزویج مدل بورن-اینفلد به نسبیت عام فرض شود) جواب مربوطه «ایبایون» (EBIon) نامیده می‌شود، که «ای» (E) معرف «اینشتین» (Einstein) است.