دایره

تاریخچه

تاریخچهٔ مطالعهٔ دایره به پیش از آغاز تاریخ بازمی‌گردد؛ چنان‌که اختراع چرخ در هزارهٔ چهارم پیش از میلاد در میانرودان نشان از کشف ویژگی‌های بنیادی دایره دارد.
در مصر نیز احمس، نویسندهٔ پاپیروس ریاضی ریند، قانونی برای محاسبهٔ مساحت دایره به دست می‌دهد که با  مطابق است.
در کتیبه‌ای بابلی متعلق به ۱۹۰۰-۱۶۰۰ پ.م. هم رابطهٔ بین مساحت و پیرامون دایره بررسی و عدد پی به‌شکلی ضمنی 
 تعریف شده‌است.

تاریخ باستان

نخستین قضایای مربوط به دایره دو قضیه از چهار قضیهٔ منسوب به تالس (ح. ۶۵۰ پ.م) هستند. او ثابت کرد که قطر دایره آن را به دو کمان مساوی تقسیم می‌کند و زاویهٔ محاطی‌ای که دایره را در دو سرِ یک قطرش قطع کند قائمه است.
فیثاغوری‌ها باور داشتند که زمین کره‌ای است در مرکز هستی و ماه و خورشید و سیاره‌ها در دایره‌هایی هم‌مرکز روی یک صفحهٔ چرخ‌مانند به‌دور زمین در گردشند.
این نظریهٔ زمین‌مرکزی، باور غالب یونانیان باستان بود. بااین‌همه آریستارخوس ساموسی‌ (ح. ۳۱۰ – 
ح. ۲۳۰ پ.م) نظریهٔ خورشیدمرکزی را مطرح کرد که در آن خورشید ثابت است و زمین در دایره‌ای به مرکزیت خورشید در حرکت.
همچنین فیلسوف یونانی افلاطون (۴۲۸/۴۲۷ – ۳۴۸/۳۴۷ پ.م) باور داشت که زمین کره‌ای بی‌نقص است و همهٔ حرکت‌های سماواتی در دایره‌هایی کامل و با سرعت یکسان به گرد آن صورت می‌گیرد.
این باور افلاطون به اصلی جزم‌اندیشانه در آکادمی افلاطون و بعدها در میان ستاره‌شناسان یونان باستان بدل شد.
یکی از مسائل هندسی که یونانیان به‌شدت با آن درگیر بودند مسئلهٔ یافتن مربعی با مساحت مساوی دایره (اصطلاحاً تربیع دایره) بود. آناکساگوراس (ح. ۴۵۰ پ.م) نخستین ریاضی‌دان شناخته‌شده‌ای است که این مسئله را مطالعه کرده‌است.بقراط خیوسی (۴۷۰ – ۴۱۰ پ.م) در تلاش برای حل تربیع دایره توانست ثابت کند که مساحت هلال کوچکتر ایجاد شده از برخورد دو دایره، برابر با مساحت مثلث قائم‌الزاویهٔ متساوی‌الساقینی است که وترش برابر وتر دایرهٔ کوچکتر و اضلاعش برابر شعاع دایرهٔ بزرگتر است. هلال بقراط نخستین منحنی‌ای بود که مساحت دقیق آن از طریق ریاضی محاسبه شد.آریستوفان (ح. ۴۴۶ – ۳۸۶ پ.م) در نمایشنامهٔ پرنده‌ها «تربیع‌کنندگان دایره‌ها» را به سخره می‌گیرد.
دیگر مسائل بزرگی که ریاضی‌دانان یونانی را درگیر خود کرده بود تثلیث زاویه (تقسیم زاویه به سه قسمت مساوی) و تضعیف مکعب (دو برابر کردن حجم مکعب) با استفاده از پرگار و خط‌کش بود.
کتاب سوم اصول اقلیدس (ح. ۳۶۵  – ۲۷۵ پ.م) نیز تماماً به ویژگی‌های دایره و مسائل مربوط به محیط و محاط کردن آن نسبت به چندضلعی‌ها اختصاص دارد. همچنین سومین اصل از اصول موضوعه اقلیدس بیان می‌دارد که
«برای هر پاره خط دلخواه می‌توان دایره‌ای به شعاع آن پاره خط و به مرکز یک سر آن رسم کرد.»
ارشمیدس (۲۸۷ – ۲۱۲ پ.م) هم در اندازه‌های دایره برای اولین بار فرمول مساحت دایره را اثبات کرد و با چندضلعی‌های منتظم محیطی و محاطی ۹۶‌ضلعی، عدد پی  را به صورت  (یعنی ۳٫۱۴۰۸ <  < ۳٫۱۴۲۹) تعریف و محاسبه کرد؛ ازین‌رو عدد پی در برخی منابع «عدد ارشمیدس» نامیده شده‌است.
آپولونیوس (ح. ۲۴۰ پ.م) به‌شکل ضمنی نشان داد که معادلهٔ دوقطبی  با تغییر  نظامی از دایره‌های هم‌محور را می‌سازد.
او همچنین  در اثر مهمش با عنوان مخروطات، دایره را به عنوان حالت خاص بیضی و یکی از مقاطع مخروطی مطالعه، خط مماس بر منحنی (که بعدها موضوع اصلی حساب دیفرانسیل شد) را تعریف، و عدد پی را با دقتی بیشتر از ارشمیدس محاسبه کرد. او همچنین مسئله‌های آپولونیوس را مطرح و حل کرد و تعریفی متفاوت از دایره (به عنوان مکان هندسی نقاطی که نسبت فواصلشان از دو نقطه ثابت است) ارائه کرد.
بطلمیوس (ح. ۱۰۰ – ۱۶۸ میلادی) با ترکیب آرای ستاره‌شناسان پیشین در در المجسطی، نظام زمین‌مرکزی‌اش را به‌گونه‌ای تعریف می‌کند که تمام ساختار هستی بر اساس شکل دایره توجیه شود.
به گفتهٔ بطلمیوس زمین و «افلاک» (به ترتیب ماه، عطارد، زهره، خورشید، مریخ، مشتری، و زحل) کاملا کروی‌اند و زمین در مرکز گیتی ثابت و مستحکم شده‌است. به باور او افلاک با سرعت یکنواخت بر دایره‌ای کوچک به نام فلک تدویر در حرکتند و مرکز هر فلک تدویر با سرعتی یکنواخت بر دایره‌ای بزرگ به نام فلک حامل به مرکزیت زمین حرکت می کند. همهٔ این‌ها در داخل منطقه‌البروج قرار دارند که کره‌ای است ثابت و ستارگان روی آن استقرار یافته‌اند.
مدل بطلمیوس از جهان هستی تا زمان کوپرنیک و تیکو براهه فصل‌الخطاب اخترشناسی باقی ماند.
در روم باستان، «سولکوس پریمیجنیوس» آیینی بود مبنی بر این‌که پیش از بنانهادن هر شهر، پیشوایان مذهبی با هدایت خیشی بسته به دو گاو به دور محوطهٔ آن شیاری به شکل دایره رسم می‌کردند و باور بر این بود که این عمل از شهر حفاظت خواهد کرد. در اساطیر رومی نیز رومولوس به دور شهر رم شیاری دایره‌ای می‌کِشد و برادرش رموس را به علت ورود به این دایره می‌کُشد.
در امپراتوری اشکانی نیز پایتخت‌ها و شهرهای مهم به شکل دایره ساخته می‌شدند؛ از جملهٔ این شهرها می‌توان از نسا، شهر گور، صددروازه، هترا، و تیسفون پارتی یاد کرد. به گفتهٔ گیرشمن، «طرح این شهرها، عدم امنیت دائمی را که در ایران عهد پارتیان حکفرما بود، عدم ثبات سیاست خارجی و اغتشاشات داخلی را آشکار می‌سازد… طرح عمومی آن‌ها عبارت است از دایره‌ای که از اصول شهرسازی قدیم آسیای غربی اقتباس شده و نیز طرح اردوگاه‌های نظامی قدیم را که در قشون آشوری متداول بوده‌است به خاطر می‌آورد.»
همچنین در چین باستان لیو هوی (متولد ح. ۲۲۵ میلادی در کائو وی) با محاط کردن چندضلعی در دایره عدد پی را محاسبه کرد. تسو چونگچی (۴۲۹ – ۵۰۰ میلادی) نیز در رسالهٔ شیوهٔ الحاق مقدار عدد پی را مستقل از لیو هوی ولی به شیوه‌ای مشابه برابر  محاسبه کرد.

قرون وسطی

همزمان با حکومت مأمون در خراسان (در قرن سوم هجری)، اخوان ثلاثهٔ بنوموسی دست به ترجمهٔ مخروطات آپولونیوس از یونانی به عربی زدند. بنوموسی فقط نسخه‌ای ناقص از مخروطات را در اختیار داشتند و مقاطع مخروطی در زمان ایشان به دست فراموشی سپرده شده بود، بنابراین در فهم متن دچار مشکل بودند. اندکی بعد، یکی از اخوان ثلاثه به نام حسن، نظریهٔ مقاطع استوانه‌ای را ابداع کرد که می‌توان آن را مقدمه‌ای ساده بر مقاطع مخروطی دانست. پس از درگذشت حسن، برادرش احمد در شام نسخه‌ای کامل‌تر از چهار فصل اول مخروطات را با شرح اوتوکیوس پیدا کرد و به کمک برادر دیگرش، محمد، و با استفاده از دو نسخهٔ موجود و نظریهٔ حسن، موفق شد نظریات آپولونیوس را دریابد. احمد و محمد ترجمهٔ مقالهٔ اول تا چهارم مخروطات را به هلال حمصی و مقالهٔ پنجم تا هفتم آن را به ثابت بن قره سپردند و خود بازنگری نهایی ترجمه را عهده‌دار شدند. ترجمهٔ برادران بنوموسی از مقالات پنجم تا هفتم مخروطات تنها نسخهٔ باقی ماندهٔ این اثر است.
بنوموسی در باب مسئلهٔ تثلیث زاویه (تقسیم یک زاویه به سه قسمت مساوی با استفاده از پرگار) نیز راه حلی با استفاده از مقاطع مخروطی پیشنهاد کردند. ابوجعفر خازن خراسانی (؟ – ۳۶۰ ه‍.ق)، ابوسهل بیژن کوهی (؟ – ۴۰۵ ه‍.ق) و ابوسعید سجزی (ح. ۳۳۰ – ح. ۴۱۵ ه‍.ق) نیز راه‌حل‌هایی در مورد این قضیه ارائه کردند. ابوریحان بیرونی (۳۶۲ – ۴۴۲ ه‍.ق) هم ۱۲ مسأله طرح کرد و نشان داد با حل شدن هر کدام، مسئلهٔ تثلیث زاویه هم حل می‌شود.
عبدالرحمن صوفی (۲۹۱ – ۳۷۶ ه‍.ق) به درخواست عضدالدولهٔ دیلمی (۳۲۴ – ۳۷۲ ه‍.ق) کتابی با عنوان رسالة فی عمل المتساویة الاضلاع کلها بفتحة واحدة نوشت و در آن ترسیم چندضلعی‌های منتظم را با خط‌کش و پرگاری با دهانهٔ ثابت مطالعه کرد.ابوالوفا محمد بوزجانی (۳۲۸ – ۳۸۸ ه‍.ق) هم در کتاب فیما یحتاج الیه الصانع من الاعمال الهندسه یا اعمال هندسی در مورد ترسیم اشکال هندسی با پرگاری با دهانهٔ ثابت بحث کرده‌است.
غیاث‌الدین جمشید کاشانی (۷۵۸ – ۸۰۸ ه‍.ق) در الرِسالةُ المُحیطیة نسبت محیط دایره به قطر آن (عدد پی) را با ۱۶ رقم اعشار محاسبه کرد. کاشانی این محاسبات را به کمک دو ۳ × ۲۲۸ضلعی انجام داد که یکی محاط در و دیگری محیط بر دایره بودند.
او همچنین در مقدمهٔ مفتاح الحساب می‌نویسد که در رسالهٔ وتر و جیب، که امروز گمشده است، با استفاده از حل جبری معادلات درجهٔ سوم راه حلی برای تثلیث زاویه ارائه کرده بود.

رنسانس و قرون جدید

در دههٔ ۱۵۴۰، کوپرنیک نظریه خورشیدمرکزی‌اش را ارائه کرد. در مدل خورشید‌مرکزی کوپرنیک مسیر حرکت سیارات به دور خورشید به شکل دایره‌هایی به دور دایره (مشابه فلک‌های تدویر و فلک حامل در مدل بطلمیوسی) است. در مدل کوپرنیک:
عطارد در نهایت بر روی هفت دایره می‌چرخد، زهره بر پنج، زمین بر سه، و به دور آن ماه بر چهار، و در نهایت مریخ و مشتری و زحل هر کدام بر پنج. یعنی در کل ۳۴ دایره کافی است تا بتوان همهٔ ساختار گیتی و رقص سیارات را توصیف کرد.
— 
کوپرنیک خود می‌دانست که پیچیدگی دایره‌هایی به دور دایره دقیقا با داده‌های ریاضی نمی‌خواند، با این حال به باور او مدل خودش از مدل بطلمیوسی (که از ۴۰ دایره برای توصیف جهان هستی استفاده می‌کرد) ساده‌تر و دقیق‌تر بود.
کوپرنیک در ویرایش‌های بعدی مدلش و برای تطبیق با داده‌های موجود مجبور شد تعداد دایره‌ها را به ۴۸ افزایش دهد. به نوشتهٔ آرتور کستلر در خوابگردها، «وسواس و خیال‌پردازی کوپرنیک نسبت به دایره‌ها و کره‌ها باعث شد مدل او به جای نظام ساده و هماهنگی که می‌توانست باشد به کابوسی دردناک و سردرگم بدل شود.»
در ۱۶۰۲ میلادی، کپلر در پی رفع نارسایی‌هایی مدل کوپرنیک و با بیان این نکته که هر دایره را با داشتن سه نقطه روی محیط آن می‌توان تعریف کرد و اینکه مکان مریخ در فصل‌های مختلف در صورت سه نقطه‌ای دایره قرار نمی‌گیرد، دایره بودن مدار سیارات را رد کرد.
او به این نتیجه رسید که مسیر حرکت سیارات به شکل تخم‌مرغ (خاگی) است و فواصل بین آنها بر اساس اجسام افلاطونی تعیین می‌شود.
تیکو براهه (۱۵۴۶–۱۶۰۱ م.) با تکیه بر مشاهدات ۳۵ ساله‌اش از حرکت مریخ، نظریات کپلر را دربارهٔ شکل منظومهٔ شمسی رد کرد.
براهه خود در ۱۵۸۸ نظامی از جهان هستی ارائه کرده بود تا «مزیت‌های فیزیکی مدل بطلمیوسی را با مزیت‌های ریاضیاتی مدل کوپرنیکی» ترکیب کند. در نظام براهه‌ای زمین در مرکز جهان قرار دارد و ماه و خورشید در دایره‌هایی به دور آن می‌گردند، ولی مدار دیگر سیارات (عطارد، زهره، مریخ، مشتری، و زحل) دایره‌هایی است به دور خورشید.
براهه همچنین کپلر را دعوت کرد که به رصدخانهٔ او در پراگ — که آن زمان پایتخت امپراتوری مقدس روم بود — برود. کپلر، در تلاش برای حل ناهماهنگی بین مدلش از هستی و مشاهدات براهه، به این کشف مهم نایل شد که سیارات در مداری بیضوی (برون‌مرکزی‌دار) و نه مدور به دور خورشید می‌گردند.
کپلر همچنین در کتاب هارمونی جهان (۱۶۱۸) مفهوم هارمونی و هم‌نهشتی را به صورت هندسی در ریاضیات، موسیقی، اختربینی، و اخترشناسی مطالعه می‌کند و فواصل مطبوع موسیقی را با شکل دایره متناظر می‌داند. برای مثل به باور کپلر علت اینکه فاصله‌هایی با نسبت ۳:۵ (فاصلهٔ ششم بزرگ در نظام کوک خالص) مطبوعند و فاصله‌هایی با نسبت ۳:۷ نامطبوع این است که پنج‌ضلعی منتظم را می‌توان را با خط‌کش و پرگار رسم کرد ولی هفت‌ضلعی منتظم را نمی‌توان.
نیوتن (۱۶۴۲–۱۷۲۷) در اصول ریاضی فلسفه طبیعی از دایره با عنوان «مسیر» یاد می‌کند. نیوتن، بیست سال پیش از نگارش اصول، حرکت دایره‌ای را (که در زمان تعادل کامل گرانش و مرکزگریزی روی می‌دهد) مطالعه و قوانین آن را کشف کرده بود. طبق محاسبات او، در صورت عدم تعادل کامل بین گرانش و مرکزگریزی، برون‌مرکزیِ مسیرِ حرکت از صفر بیشتر می‌شود و مدار به یکی دیگر از مقاطع مخروطی (بیضی، سهمی، یا هذلولی) بدل می‌گردد.
همچنین مبحث خط مماس بر منحنی، راهنمای هر دوی نیوتن و لایبنیتس در ابداع مستقل حساب دیفرانسیل و انتگرال (انتشار در ۱۶۸۴ میلادی) بود.انتگرال‌گیری (یافتن مساحت زیر یک تابع) در واقع تعریف مدرن مسئلهٔ تربیع دایره (یافتن مستطیلی با مساحت مساوی دایره) است و نیوتن خود به جای لفظ «انتگرال‌گیری» (که از تعاریف لایبنیتس گرفته‌شده است) از عبارت «تربیع منحنی» استفاده می‌کرد.

در تاریخ معاصر

در سال ۱۷۸۶ کارل فریدریش گاوس ثابت کرد که هفده‌ضلعی منتظم را می‌توان با پرگار و خط‌کش ترسیم کرد. پنج سال بعد نیز شرایط قابل رسم بودن چندضلعی منتظم با پرگار و خط‌کش را تدوین کرد و نشان داد که بیشتر چندضلعی‌ها را نمی‌توان با خط‌کش و پرگار ترسیم کرد.
گابریل لامه (۱۸۷۰–۱۷۹۵) با تعمیم معادلهٔ بیضی، دایره را به همراه مربع در ردهٔ ابربیضی‌ها یا «منحنی‌های لامه» دسته‌بندی کرد.
در ۱۸۳۷ نیز پیر ونزل با استفاده از نظریهٔ میدان ثابت کرد تثلیث زاویه (تقسیم یک زاویه به سه قسمت مساوی با استفاده از خط‌کش و پرگار) و تضعیف مکعب (ساخت مکعبی با دوبرابر حجم مکعب اولیه با استفاده از خط‌کش و پرگار) مسائلی غیر ممکنند. از همین رو آگوست دمورگان (۱۸۰۶ – ۱۸۷۱) در کتاب خلاصه‌ای از تناقض‌ها «ابلهان تناقض‌کار» یعنی «تربیع‌کنان دایره»، «تثلیث‌کنان زاویه»، و «تضعیف‌کنان مکعب» را نقد می‌کند.
در ۱۸۸۰ جان ون با ترکیب دیاگرام اویلر و آرای جرج بول، نمودار ون را ابداع کرد که در آن مجموعه‌ها به صورت دایره‌های همپوشان تصویر می‌شوند.
در ۱۸۸۲ فردیناند فون لیندمن نشان داد که پی عددی متعالی است، و بنابراین ثابت کرد که تربیع دایره (رسم مربعی با مساحت برابر دایره) مسئله‌ای غیرممکن است.
پیت هاین (۱۹۰۵–۱۹۹۶) نیز ابرمعادلهٔ ابربیضی‌ها را به‌دست آورد و از آن‌ها در طراحی‌های خود استفاده کرد.

کاربرد

دایره کامل‌ترین شکل ریاضیاتی دانسته می‌شود و در تاریخ تمدن بشری اهمیتی عمده داشته است.
تقریبا همهٔ وسایل نقلیه بر اساس چرخش چرخ کار می‌کنند که وسیله‌ای دایره‌شکل است.
اغلب ابزار مکانیکی و الکترومکانیکی نیز برای انتقال توان از چرخ‌دنده بهره می‌برند که معمولاً به شکل دایره است.مولدهای الکتریکی هم بر اساس چرخش دوّار هادی در میدانی مغناطیسی عمل می‌کنند.
مثلث رولو (اشتراک سه دایره با شعاع مساوی که مرکز هر کدام در تقاطع دو تای دیگر واقع شده‌است) می‌تواند در داخل یک مربع بچرخد.
این ویژگی بنیاد سازوکار متهٔ واتز است.
روتور موتور وانکل نیز به شکل مثلث رولو است.
در دین‌ها و فرهنگ‌های مختلف، دایره نماد تکامل، بی‌نهایتی، و الوهیت است.
در دین هندو و آیین بودا، ماندالا یا دوایر کیهان‌نما طرح‌هایی پیچیده‌اند که رابطهٔ جهان اصغر و جهان اکبر به تصویر می‌کشند.
در اسلام، دایره نماد «جلال خداوندی» است و در مسیحیت پرگار بیانگر «ابتکار آفرینش» از سوی خدای پدر است.
در عرفان یهودی هم درخت زندگی دیاگرامی با ده دایره به نام سفیروت است که هرکدام نماد صورتی از هستی‌اند.
پرگار و گونیا نماد اصلی انجمن برادری فراماسونری است و نشان ماسونی نقطه‌ای درون دایره نیز به عنوان نماد جهان هستی به کار می‌رود.
در علوم خفیه دایره شکلی بنیادی است و آیین کشیدن «دایره تعویذ» به دور فرد او را از ارواح خبیث و خطرهای روحانی محافظت می‌کند و برای تبدیل مکان به «حرم غصب‌ناکردنی» به کار می‌رود.صوفی‌ها هم روی زمین دایره‌ای موسوم به «خط عزیمت» می‌کشیدند و درون آن نماز‌هایی با سوره سجده‌دار می‌خواندند.
در روانشناسی تحلیلی نیز یونگی‌ها دایره را نماد «خود» می‌دانند.حلقه‌ هم در فرهنگ‌های مختلف به‌عنوان نماد اتحاد، یگانگی، موقعیت اجتماعی، و اقتدار به‌کار می‌رود.
از آغاز معماری در دوران نوسنگی، دایره به دلایل کاربردی و نمادین نقشی بنیادی در ساخت‌وساز بوده‌است.
استون‌هنج، شناخته‌شده‌ترین اثر دوران نوسنگی، به شکل دایره است.
ردپای مسئلهٔ تربیع دایره را هم می‌توان در تاریخ معماری دید؛ چنان که محیط مقطع هرم بزرگ جیزه برابر است با محیط دایره‌ای به شعاع ارتفاع هرم.
همچنین مفهوم مرد ویترویوسی، که بنیان معماری غربی از دوران روم تا دوران مدرن بوده، بر اساس تربیع دایره شکل گرفته‌است.
به باور پال کلتر، از آنجا که مربع نماد زمین است و دایره نماد تکامل و الوهیت، تربیع دایره نماد جهانی ایجاد تعادل بین دنیای دنی و عالی است.
به گفتهٔ هانری استیرلن هم عمدهٔ تلاش‌ها و نوآوری‌های معماران ایرانی بعد از دوران اشکانی معطوف به ایجاد ارتباط بین پلان مربعی ابنیه و مقطع دایره‌ای پایهٔ گنبد بوده‌است.
از دیگر الگوهای دایره‌ای در تاریخ معماری می‌توان به معابد گرد و روتونداها در معماری رومی، رمانسک و رنسانس، معابد آسمان و خانه‌های فوجیان تالو در چین، و پنجره‌ها در معماری گوتیک اشاره کرد.
از آنجا که پرگار از ابزار اصلی سازندگان و معماران در طول تاریخ بوده‌است، اشکالی که می‌توان آن‌ها را با پرگار کشید (مانند چهارضلعی، پنج‌ضلعی، و شش‌ضلعی) در آثار معماری نقش عمده‌تری دارند و اشکالی که نمی‌توان با پرگار ترسیمشان کرد (مانند هفت‌ضلعی) نادرند.
در نقاشی‌های مذهبی، قدیسان غالبا با هالهٔ نوری دایره‌ای شکل به گرد سرشان به تصویر کشیده می‌شوند.
در تئوری موسیقی غربی، برای نمایش هندسی اعتدال مساوی دوازده‌نتی گام کروماتیک غالبا از دیاگرامی دایره‌شکل (از جمله دایره پنجم‌ها، که قدمت آن به فیثاغورث می‌رسد، و دایره کروماتیک) استفاده می‌شود.
در تئوری موسیقی قدیم ایران و کشورهای دیگر جهان اسلام هم نظریهٔ ادوار دستان‌بندی سازها (نحوهٔ کوک ساز و موقعیت پرده‌های آن) را با کمک مجموعه‌ای از دایره‌ها توصیف می‌کرده‌است.

به عنوان مقطع مخروطی

دایره «حالت خاص تبهگون» از بیضی‌ است که در آن نیم‌قطر بزرگ و نیم‌قطر کوچک مساوی‌اند (برون‌مرکزی آن صفر است). ازین رو دایره یکی از مقاطع مخروطی است، به این مفهوم که در محل برخورد مخروطی قائم و صفحه‌ای که با قاعدهٔ آن مخروط موازی باشد دایره پدید می‌آید.
در هندسه تصویری، اشتقاق دایره از مخروط معادل تصویر مرکزی مقطع مخروط روی صفحه‌ای است که با قاعدهٔ مخروط موازی است.

شعاع، قطر، و وتر

پاره‌خطی که مرکز دایره را به یکی از نقاط روی محیط دایره وصل می‌کند شعاع نام دارد و می‌توان آن را «بردار شعاع» آن نقطه دانست. شعاع معمولا با حرف لاتین  نشان داده می‌شود.
قطر دایره حداکثر فاصلهٔ بین دو نقطه روی محیط دایره است و اندازهٔ آن دو برابر شعاع دایره است. هر قطر دایره از مرکز دایره می‌گذرد و دایره را به دو کمان مساوی تقسیم می‌کند. این کمان‌ها نیم‌دایره نامیده می‌شوند. خود قطر هم توسط مرکز دایره به دو پاره‌خط مساوی تقسیم می‌شود.
قطر دایره معمولا با حرف لاتین  نشان داده می‌شود.
پاره‌خطی که دو نقطهٔ متمایز از یک دایره را به هم پیوند می‌دهد، وتر یا زِه آن دایره نامیده می‌شود. هر وتری که از مرکز دایره بگذرد حداکثر اندازهٔ ممکن برای وتر یک دایره را دارد و همان قطر دایره است.

خط مماس

خط‌ها یا با دایره در دو نقطه برخورد می‌کنند، یا در یک نقطه، و یا با دایره برخورد نمی‌کنند. هر خطی که با دایره تنها در یک نقطه برخورد کند (آن را در یک نقطه لمس کند) به خط مماس بر دایره در آن موسوم است. خط‌هایی که دایره را در دو نقطه قطع می‌کنند هم خط سکانت نامیده می‌شوند و خطوطی که با دایره برخورد نمی‌کنند «خط پاسان» نام دارند.
از هر نقطهٔ بیرون دایره، دو خط مماس بر آن دایره می‌توان رسم کرد. این دو مماس طول یکسانی دارند. همچنین اگر از نقطهٔ  بیرون دایره‌ای به مرکزیت  بتوان دو مماس بر نقاط  و  روی محیط دایره رسم کرد، زاویه‌های  و   مکملند.
شعاع دایره نیز در نقطهٔ تماس بر خط مماس عمود است.

زاویه مرکزی و زاویه محاطی

زاویه‌ای که از برخورد دو شعاع یک دایره پدید می‌آید زاویهٔ مرکزی نام دارد. رأس زوایای مرکزی در مرکز دایره قرار دارد. هر زاویهٔ مرکزی از قرص دایره یک قطاع جدا می‌کند. همچنین هر زاویهٔ مرکزی از محیط دایره یک کمان جدا می‌کند، که به آن کمان نظیر آن زاویهٔ مرکزی گفته می‌شود. طول کمان نظیر هر زاویهٔ مرکزی  برابر حاصلضرب شعاع دایره  در اندازهٔ آن زاویه مرکزی بر حسب رادیان  است . اگر اندازهٔ زاویهٔ مرکزی  بر حسب درجه نوشته شود، طول کمان نظیر آن برابر است با .
از برخورد دو خط سکانت روی محیط دایره زاویهٔ محاطی پدید می‌آید. رأس زوایای محاطی روی محیط دایره قرار دارد.
هر زاویهٔ محاطی یک کمان از دایره جدا می‌کند که به آن کمان نظیر آن زاویهٔ محاطی گفته می‌شود.
اندازه کمان نظیر هر زاویهٔ محاطی در دایره نصف اندازهٔ زاویهٔ محاطی روبروی آن کمان است.
حالت تبهگون زاویهٔ محاطی زمانی رخ می‌دهد که یکی از اضلاع زاویه بر دایره مماس باشد، و به زاویهٔ مماسی موسوم است.

کمان، قطاع، و قطعه

هر دو نقطه A و B روی محیط دایره آن را به دو کمان تقسیم می‌کنند. برحسب عرف، کمان کوچکتر روی دایره (کمانی که زاویهٔ مرکزی متناظر آن کمتر از ۱۸۰° باشد) با نقاط دو سر آن  و کمان بزرگتر (کمانی که زاویهٔ مرکزی متناظر آن بیشتر از ۱۸۰° باشد) با نقاط دو سر آن و نقطه‌ای در میان آن دو  مشخص می‌گردد. کمانی که زاویهٔ مرکزی متناظر آن مساوی ۱۸۰° باشد نیم‌دایره نام دارد.
مجموع زوایای متناظر دو کمان حاصل از دو نقطه روی دایره همواره برابر ۳۶۰° است.
قطاع بخشی از قرص دایره است که با دو شعاع (یک زاویهٔ مرکزی) و یک کمان محدود شده‌است. قطعه دایره نیز بخشی از قطاع است که بین کمان و وتر بین دو سر شعاع‌های زاویهٔ مرکزی قرار دارد.

مراکز و دوایر تشابه

نقاط تقاطع مماس‌های مشترک دو دایره به «مراکز تشابه» آن دو دایره موسومند. مرکز تشابهی که از برخورد مماس‌های مستقیم (خط‌هایی که هر دو دایره را در یک سمت لمس می‌کنند) ایجاد می‌شود «مرکز تشابه بیرونی» و مرکز تشابهی که از برخورد مماس‌های اریب (خط‌هایی که دو دایره را در دو سمت مقابل لمس می‌کنند) «مرکز تشابه درونی» نامیده می‌شود. می‌توان ثابت کرد که مراکز تشابه دایره روی خطی قرار دارند که از مراکز دو دایره می‌گذرد و این خط و امتداد آن را به نسبت شعاع‌های دو دایره تقسیم می‌کنند.
همچنین دایره‌ای که مرکزش روی این خط باشد و از هر دو مرکز تشابه بگذرد (قطر آن برابر فاصلهٔ بین دو مرکز تشابه باشد) به «دایرهٔ تشابه» موسوم است. می‌توان ثابت کرد که این دایره مکان هندسی همهٔ مراکز تشابه داخلی و خارجی ممکن است.
در دستگاه سه زاویه‌ای شش مرکز تشابه (دو تا — یکی بیرونی و یکی درونی — برای هر جفت دایره) وجود دارد. می‌توان ثابت کرد که سه مرکز تشابه بیرونی روی یک خط قرار دارند و هر دو مرکز تشابه درونی با مرکز تشابه بیرونی سوم روی یک خطند.

دوایر هم‌محور

دستگاه دوایر به دایره‌هایی گفته می‌شود که مرکز آن‌ها روی یک خط قرار دارد و خط رادیکال (مکان هندسی  نقاطی که مماس‌های ترسیم شده به هر دایره طول مساوی داشته باشند) مشترکی داشته باشند.
مجموعهٔ همهٔ دوایر هم‌محور به «مدادِ دوایر هم‌محور» موسوم است.
اگر خط رادیکال یک مداد دوایر  (برابر محور ها) گرفته شود، معادلهٔ دستگاه برابر  خواهد بود که  مقداری ثابت است، و می‌توان نشان داد که طول مماس بر هر دایره از هر نقطه معین روی خط رادیکال  برابر   و مستقل از  و شعاع دایره‌ها است.

ترسیم با خط‌کش و پرگار

خط‌کش و پرگار تنها ابزارهای مجاز ترسیم در هندسه اقلیدسی هستند، تا جایی که هندسهٔ اقلیدسی گاه «هندسهٔ خط‌کش و پرگار» خوانده شده‌است. پرگار ابزاری برای کشیدن دایره بر اساس تعریف اقلیدسی آن است و با خط‌کشی با طول بی‌نهایت می‌توان خط راست کشید، و هدف ریاضی‌دانان اقلیدسی این بود که همهٔ اشکال را با این دو ابزار بسازند.
بنابراین در ترسیم با خط‌کش و پرگار تنها از سه اصل اول اصول موضوعه هندسه اقلیدسی می‌توان استفاده کرد.
بنابر اثبات گاوس، تنها شکل‌هایی را می‌توان با خط‌کش و پرگار رسم کرد که اندازه‌شان عدد ترسیم‌پذیر باشد. اعداد ترسیم‌پذیر اعدادی‌اند که بتوان آن‌ها را با اعمال چهار عمل اصلی و ریشه دوم بر یک عدد ترسیم‌پذیر دیگر به دست آورد (صفر و یک بنابر تعریف ترسیم‌پذیرند).

ترسیم‌های غیرممکن

یکی از مسائل کهن ریاضی که در طول تاریخ ریاضی‌دانان را درگیر خود کرده بود تربیع دایره است و مطلوب آن ترسیم مربعی با خط‌کش و پرگار است که مساحت آن با مساحت دایره‌ای مفروض برابر باشد. شکل دیگری از این مسئله ترسیم مربعی با خط‌کش و پرگار است که محیط آن با محیط دایرهٔ مفروض برابر باشد.
در ۱۸۸۲ فردیناند فون لیندمن نشان داد که پی عددی متعالی است، و تربیع دایره غیرممکن است. در زبان انگلیسی «تربیع دایره» (به انگلیسی: squaring the circle) وارد ادبیات شده‌است و همچنین ضرب‌المثلی به مفهوم «عمل غیرممکن» است.
تثلیث زاویه و تضعیف مکعب (یا «مسئلهٔ دلوسی») نیز دو مسئله کهن دیگر ترسیم با خط‌کش و پرگارند که هدف اولی تقسیم زاویه به سه قسمت مساوی است و هدف دومی ترسیم مکعبی که حجم آن دو برابر حجم مکعبی مفروض (هر ضلع آن  برابر ضلع مکعب مفروض) باشد.
ترسیم هفت‌ضلعی منتظم با استفاده از خط‌کش و پرگار (یا تقسیم دایره به هفت کمان مساوی، موسوم به تسبیع دایره هم از مسائلی است که به‌ویژه دانشمندان عصر طلایی اسلام را به خود مشغول داشته بود.
در سال ۱۷۸۶ کارل فریدریش گاوس گاوس نشان داد که هفت کوچکترین عدد ترسیم‌ناپذیر است و نمی‌توان هفت‌ضلعی منتظم را با پرگار و خط‌کش ترسیم کرد.

در بعدهای بالاتر

تعمیم دایره در فضای سه‌بعدی کره نام دارد. همهٔ نقاط روی سطح کره از مرکز آن به یک فاصله‌اند. همچنین تعمیم دایره در فضای بعدی به -کره موسوم است. -کره مجموعهٔ همهٔ نقاطی است که در فضای بعدی از یک نقطهٔ معین فاصلهٔ یکسانی داشته باشند.
به‌این‌ترتیب ۱-کره همان دایره و ۲-کره همان کره است.
همچنین حاصل اکستروژن موازی دایره استوانه و حاصل اکستروژن مرکزی آن مخروط است.