مؤلفه دوهمبند

در ریاضیات و علوم کامپیوتر، راس برشی (به انگلیسی: Cut Vertex یا Articulation Point) راسی از گراف است که حذف آن باعث افزایش تعداد مولفه‌های همبندی گراف می‌شود. اگر گراف قبل از حذف آن راس همبند باشد، بعد از حذف ناهمبند می‌شود. راس برشی در شبکه‌های کامپیوتری (به عنوان گره) اهمیت ویژه‌ای دارد.
به‌طور کلی یک گراف غیر جهت دار همبند با n راس، حداکثر n - 2 راس برشی دارد (حالت زنجیر مانند که دقیقا n - 2 راس برشی دارد).
طبیعتا ممکن است گرافی راس برشی نداشته باشد.
رئوسی که دارای راس مجاوری از درجهٔ 1 باشند برشی هستند (بجز در گراف با 2 راس).
یال برشی نیز مشابه راس برشی است، به‌طوری‌که حذف آن باعث افزایش تعداد مؤلفه‌های همبندی گراف می‌شود.

الگوریتم بدیهی

یک الگوریتم بدیهی از مرتبهٔ :
 1  C = empty set (at the end of the algorithm it will contain the cut vertices)
 2  a = number of components in G (found using DFS/BFS)
 3  for each i in V with incident edges
 4      b = number of components in G with i removed
 5      if b> a
 6          i is a cut vertex
 7          C = C + {i}
 8      endif
 9  endfor

راه حل بهینه

این راه حل از مرتبهٔ  می‌باشد (برای گراف همبند). بدیهتا در صورتی که گراف ناهمبند باشد الگوریتم را برای تک تک مؤلفه‌ها جداگانه به کار می بریم.
نخست با شروع از یک راس دلخواه، الگوریتم Depth-first search (جستجوی اول عمق) را اعمال می کنیم. از آنجا که ترتیب پیمایش در اینجا مهم است، برای یال‌های درخت حاصل از جستجو جهت تعیین می کنیم. در هنگام اعمال الگوریتم اگر به راسی رسیدیم که قبلاً ملاقات شده از یال جهت دار نقطه چین شده‌استفاده می کنیم (به آن‌ها یال برگشت - Back Edge - می گوییم).
با رسیدن به هر راس، آن را شماره‌گذاری کنید (شماره هر راس = (Num(v )، برای هر راس، (Low(v را به صورت زیر تعریف می کنیم:
 Low(v) = min{ Num(v) (Rule 1), lowest Num(w) among all back edges (v,w) (Rule 2), lowest Low(w) among all tree edges (v,w) (Rule 3)}
توجه کنید که (Low(v از سه مقدار ممکن کمترین را به خود اختصاص می‌دهد.
برای گراف سادهٔ زیر با شروع از راس A درخت جستجوی ذیل بدست می‌آید:

چگونگی مقدار دهی رأس‌ها

کلید: B 2/1 نشان دهندهٔ Low(B) = 1 و Num(B) = 2 است.
همان طور که در تعریف (Low(v آمد برای هر راس با توجه به اینکه کدام یک از سه شرط کمینه است (Low(v را تعیین می کنیم.
ابتدا به راس A، مقدار Low(A) = Num(A) = 1 می دهیم- طبق (Rule 1) - (طبیعتا ریشه همیشه 1 می‌گیرد). از آنجا بنا بر قانون دوم، 
Low(D) = Num(A) = 1 (چون از راس  D به A یک بال برگشت وجود دارد).
حال برای راس C با توجه به قانون سوم، Low(C) = Low(D) = 1 و از آنجا طبق همان قانون Low(B) = Low(C) = 1.
از راس F به راس D یال برگشت وجود دارد پس طبق قانون دوم، Low(F) = Num(D) = 4 در نتیجه Low(E) = Low(F) = 4.
و در آخر چون G هیج یال برگشتی ندارد پس Low(G) = Num(G) = 1.

مثالی دیگر

درخت شکل مقابل پیمایش همان گراف این بار با شروع از راس C است که نشان می‌دهد راس شروع‌کنندهٔ پیمایش تأثیری در نتیجهٔ نهایی ندارد(البته اعداد بدست آمده برای رأس‌ها تغییر می‌کند).
مشاهده می کنیم که:
برای راس Low(G) = 7 ≥ 1 = Num(C) ،C و برای راس Low(E) = 2 ≥ 2 = Num(D) ،D، که نشان می‌دهد C و D رئوس برشی هستند.

الگوریتم

با فرض اینکه درخت پیمایش (که یالهای برگشتش نیز رسم شده)داده شده‌است.

شماره‌گذاری و تعیین والدین

1  // Assign Num and compute parents
2  Void Graph::assignNum(Vertex v)
3  {
4  v.Num = counter++;
5  V.visited = true;
6  for each Vertex w is adjacent to v
7  if(!w.visited)
8  {
9  w.parent = v;
10  assignNum(w);
11  }
12  }

تعیین Low و چاپ رأس‌های برشی

1  //Assign Low and check for cut vertex
2  //Check for Root omitted
3  void Graph::assignLow(Vertex v)
4  {
5  v.Low = v.Num; // Rule 1
6  for each Vertex w adjacent to v
7  {
8  if( w.Num> v.Num) // Forward edge
9  {
10  assignLow(w);
11  if(w.Low>= v.Num)
12  cout <<v <<” is a cut vertex” <<endl;
13  v.Low = min(v.Low, w.Low);
14  }
15  else
16  if(v.parent != w) // Back edge
17  v.Low = min(v.Low, w.Num); // Rule 2
18  }
19  }

رأس‌های برشی در درخت‌ها

در هر درخت، همهٔ رأس‌ها به جز برگ‌ها راس برشی هستند، چون در درخت دور وجود ندارد.