مشتق

نمادهای مشتق

لایبنیتس، نیوتون، لاگرانژ، آربوگاست و اویلر هر یک نماد جداگانه‌ای را برای نمایش مشتق بکار می‌بردند؛ اما در میان پیشگامان اولیهٔ آنالیز ریاضی، لایبنیتس بیش از هر کس دیگری به اهمیت علامات مناسب پی برده بود. او علامات را با حوصلهٔ زیادی آزمایش می‌کرد و با سایر ریاضی‌دانان مکاتبات بسیاری داشت و از این طریق معایب و محاسن نمادهای مختلف را برای آن‌ها مطرح می‌ساخت. پیشرفت حساب دیفرانسیل و انتگرال و گسترش ریاضیات نوین تا حدود زیادی بواسطهٔ علامت‌های پیشرفته‌ای است که بسیاری از آن‌ها توسط لایبنیتس ابداع شده‌اند.
لایبنیتس در سال ۱۶۷۵ میلادی با استفاده از عملگر تفاضلی  خارج قسمت تفاضلی  را به شکل  نوشت و برای مشتق تابع  در  نماد  را معرفی کرد که به صورت  نیز نوشته می‌شود. این نماد که نمایش دیفرانسیلی مشتق نامیده می‌شود، برای نمایش مشتق مراتب بالاتر به شکل  نوشته می‌شود. با استفاده از این نماد تعریف مشتق به صورت  در می‌آید.
نیوتون برای نشان دادن مشتق اول از  و برای مشتق دوم از  استفاده می‌کرد. نمادهای نقطه‌دار نیوتون در برخی مسائل فیزیکی مانند سرعت و شتاب بکار می‌روند.
مشتق تابع  را با  نیز می‌توان نشان داد. این نماد بر آن تأکید دارد که  تابع جدیدی است که با مشتق‌گیری از تابع  بدست آمده‌است و مقدارش در  با  نموده می‌شود. مختصات  و  واقع بر نمودار  با معادلهٔ  به هم مربوط می‌شوند، و علامت  نیز برای نمایش  بکار می‌رود که مقدارش در  به صورت  نوشته می‌شود. این نماد در سال ۱۷۷۰ میلادی توسط ژوزف لویی لاگرانژ مورد استفاده قرار گرفت و مشتق مراتب بالاتر را به صورت  (مشتق اول)،  (مشتق دوم)،  (مشتق سوم)،  (مشتق چهارم) ...  (مشتق ام) نشان می‌دهد.
در سال ۱۸۰۰ میلادی نماد دیگری توسط لوییس آربوگاست معرفی شد و توسط لئونارد اویلر مورد استفاده قرار گرفت. این نماد مشتق  را به شکل  نشان می‌دهد. علامت  یک عملگر دیفرانسیلی است و این فکر را القا می‌کند که  تابع جدیدی است که با مشتق‌گیری از  بدست آمده‌است. مشتق مراتب بالاتر به صورت  و مقدار آن در  به صورت  نوشته می‌شود.

مشتق‌پذیری

تابع  در  مشتق‌پذیر است هرگاه در این نقطه پیوسته باشد و مشتق چپ و راست تابع با هم برابر و مساوی یک عدد حقیقی معین باشد.
تعبیر هندسی مشتق‌پذیری: تابع  در  مشتق‌پذیر است هرگاه بتوان در این نقطه یک خط کامل مماس و غیر موازی با محور yها بر منحنی رسم کرد.
اگر تابع  در نقطهٔ  مشتق‌پذیر باشد، آنگاه در آن نقطه پیوسته نیز هست.
ولی عکس قضیهٔ فوق صحیح نمی‌باشد یعنی ممکن است تابع پیوسته باشد اما مشتق‌پذیر نباشد؛ به عبارت دیگر، پیوستگی تابع در  شرط لازم برای مشتق‌پذیری تابع است، نه شرط کافی. پس اگر تابع  در  ناپیوسته باشد، آنگاه در  مشتق‌پذیر نیست.

قضیهٔ رول

اگر تابع  روی  پیوسته، روی بازهٔ  مشتق‌پذیر و  باشد آنگاه حداقل یک نقطهٔ  در بازهٔ  وجود دارد که در آن  است. عدد  با خاصیت فوق منحصر به فرد نیست و باید یک نقطهٔ درونی بازهٔ  باشد.
نقاط  در قضیهٔ رول نقاطی هستند که مماس بر نمودار در آن‌ها خطوط افقی است، یعنی قضیهٔ رول شرایط وجود مماس افقی را برآورد می‌کند.
نتیجهٔ قضیهٔ رول: اگر تابع  روی  پیوسته باشد و  آنگاه حداقل یک نقطهٔ اکسترمم نسبی در بازهٔ  وجود دارد.
حالت خاص قضیهٔ رول: اگر فرض کنیم  با استفاده از قضیهٔ رول می‌توان گفت که بین هر دو ریشهٔ تابع مشتق‌پذیر  مشتقِ تابع یعنی  حداقل یک ریشه دارد.

آهنگ تغییر

نسبت تغییرات دو کمیت را آهنگ تغییر یکی نسبت به دیگری می‌گویند.

زاویهٔ بین دو منحنی

برای یافتن زاویهٔ بین دو منحنی، ابتدا آن‌ها را با هم تلاقی داده و طول نقطهٔ تلاقی را می‌یابیم. سپس از دو منحنی مشتق گرفته و ضریب زاویه‌های بدست آمده را در رابطهٔ  قرار می‌دهیم تا زاویهٔ بین دو منحنی بدست آید.

نقاط بحرانی

نقطهٔ درونی  را نقطهٔ بحرانی تابع  گویند هرگاه  یا  موجود نباشد. ریشه‌های مشتق، نقاط بازگشتی، زاویه‌دار، ناپیوستگی و عطف قائم، همگی جزو نقاط بحرانی تابع محسوب می‌شوند و نقاط ابتدا و انتها بازه به دلیل اینکه نقاط درونی بازه نیستند جزو نقاط بحرانی محسوب نمی‌شوند.
در ضمن، اگر تابع  روی  تعریف شده باشد و نقطهٔ  درون این بازه، اکسترمم مطلق تابع روی این بازه باشد، آنگاه  نقطهٔ بحرانی  است. هر نقطهٔ اکسترمم نسبی  نقطهٔ بحرانی  نیز هست، در صورتی‌که یک نقطهٔ بحرانی ممکن است نقطهٔ اکسترمم نسبی نباشد.
اگر تابع  روی بازهٔ  پیوسته باشد برای بدست آوردن مقادیر  و  مطلق ابتدا نقاط بحرانی را در بازه مشخص کرده و در تابع اصلی قرار می‌دهیم سپس  و  را نیز بدست می‌آوریم و با مقایسهٔ اعداد بدست آمده، اگر کم‌ترین یا بیش‌ترین مقدار مربوط به حدهای فوق باشد تابع فاقد  یا  مطلق است. در غیر این صورت  یا  مطلق را مشخص می‌کنیم.
اگر در بازهٔ فوق نقطه‌ای مثل  وجود داشته باشد که تابع در آن نقطه ناپیوسته باشد، می‌بایست  و  را نیز بدست آورد و مانند موارد بالا وجود  یا  را بررسی کرد.

تشخیص یکنوایی تابع

در تابع پیوستهٔ ، برای هر  اگر  آنگاه  روی  صعودی اکید است و اگر  آنگاه  روی  نزولی اکید است؛ ولی اگر  باشد، تابع  ممکن است صعودی غیر اکید یا صعودی اکید باشد و اگر  باشد، تابع  ممکن است نزولی غیر اکید یا نزولی اکید باشد.
در این حالت برای تشخیص اکید یا غیر اکید بودن تابع  ریشه‌های مشتق را بدست می‌آوریم، اگر ریشه‌های مشتق، تمام نقاط روی یک بازه باشند، تابع صعودی غیر اکید است و در غیر این حالت صعودی اکید است.
اگر تابع  پیوسته نباشد، دامنهٔ تابع را به فاصله‌هایی که تابع در آن‌ها پیوسته است، تقسیم می‌کنیم و به کمک مشتق وضعیت یکنوایی تابع را در هر بازه مشخص می‌کنیم. سپس نقاط انتهایی هر بازه (یا حد انتهایی هر بازه) را با نقاط ابتدایی بازهٔ بعد (یا حد ابتدایی بازهٔ بعد) مقایسه می‌کنیم.

جهت تقعر و نقطهٔ عطف

اگر نمودار تابعی به صورت  باشد، تقعر آن به سمت بالاست. در این حالت منحنی بالای هر خطی که بر آن مماس شود، قرار می‌گیرد. به عبارت دیگر اگر  صعودی اکید باشد یا  روی بازهٔ  موجود و همواره مثبت باشد، آنگاه جهت تقعر نمودار  روی این بازه رو به بالاست.
اگر نمودار تابعی به صورت  باشد، تقعر آن به سمت پایین است. در این حالت منحنی پایین هر خطی که بر آن مماس شود، قرار می‌گیرد. به عبارت دیگر اگر  نزولی اکید باشد یا  روی بازهٔ  موجود و همواره منفی باشد، آنگاه جهت تقعر نمودار  روی این بازه رو به پایین است.

بهینه‌سازی

بسیاری از مسائلی که در علوم تجربی و ریاضیات مطرح می‌شوند، در جستجوی یافتن مقادیر ماکزیمم و مینیممی هستند که یک تابع مشتق‌پذیر می‌تواند در دامنهٔ خاص اختیار کند و مشتق ابزار مناسبی برای یافتن این مقادیر است.
برای حل مسائل بهینه‌سازی لازم است ابتدا کمیت‌هایی مانند حجم، مساحت، فاصله و... که بیشترین یا کمترین مقدار آن مورد نیاز است، به صورت تابعی از متغیرهای دیگر نوشته شود و چنانچه معادلهٔ حاصل بیش از یک متغیر داشت با استفاده از فرضیات مسئله و ارتباط متغیرها با هم، معادله را به معادله‌ای با یک متغیر مستقل تبدیل کرد و در انتها به کمک مشتق، نقاط بحرانی را یافت، تا بتوان ماکزیمم و مینیمم مطلق تابع را مشخص کرد.

قواعد مشتق‌گیری

در روابط زیر ، و  اعداد ثابت، ،،،، متغیر و  عدد نپر است.