توان (ریاضی)

توان با نماهای صحیح

عمل توان با نماهای صحیح تنها نیازمند جبر پایه‌است.

نماهای صحیح مثبت

ساده‌ترین نوع توان، با نماهای صحیح مثبت است. نما بیانگر این است که پایه چند بار باید در خود ضرب شود. برای مثال سه به توان پنج = ۳ × ۳ × ۳ × ۳ × ۳ = ۲۴۳. در اینجا ۳ پایه و ۵ نما است، و ۲۴۳ باب است با ۳ به توان ۵. عدد ۳، ۵ بار در عمل ضرب نشان داده می‌شود چون نما برابر ۵ است.
به طور قراردادی، a² = a×a را مربع، a³ = a×a×a را مکعب می‌نامیم. 3² «مربع سه» و 3³ «مکعب سه» خوانده می‌شوند.
اولین توان را می‌توانیم به صورت a⁰ = ۱ و سایر توان‌ها را به صورت aⁿ⁺¹ = a·aⁿ بنویسیم.

نماهای صحیح منفی

اگر عددی غیرمنفی را به توان -۱ برسانیم، حاصل برابر معکوس آن عدد است.
a⁻¹ = 1/a
در نتیجه:
a⁻ⁿ = (aⁿ)⁻¹ = 1/aⁿ
اگر صفر را به توان عددی منفی برسانیم، حاصل در مخرج صفر دارد و تعریف نشده‌است.
توان منفی را می‌توان به صورت تقسیم مکرر پایه هم نشان داد. یعنی 3⁻⁵ = ۱ ÷ ۳ ÷ ۳ ÷ ۳ ÷ ۳ ÷ ۳ = ۱/۲۴۳ = 1/3⁵.

خواص

مهم‌ترین خاصیت توان با نماهای صحیح عبارتست از:
که از آن می‌توان عبارات زیر را نتیجه گرفت:
از آنجایی که جمع و ضرب خاصیت جابجایی دارند (برای مثال ۲+۳ = ۵ = ۳+۲ و
۲×۳ = ۶ = ۳×۲) توان دارای خاصیت جابجایی نیست: 2³ = ۸ است در حالی که 3² = ۹. همچنین جمع و ضرب دارای خاصیت انجمنی هستند (برای مثال (۲+۳)+۴ = ۹ = ۲+(۳+۴) و
(۲×۳)×۴ = ۲۴ = ۲×(۳×۴)) توان باز هم دارای این خاصیت نیست: 2³ به توان چهار برابر است با 8⁴ یا ۴۰۹۶، در حالی که ۲ به توان 3⁴ برابر است با 2⁸¹ یا ۲٬۴۱۷٬۸۵۱٬۶۳۹٬۲۲۹٬۲۵۸٬۳۴۹٬۴۱۲٬۳۵۲.
البته اعداد ۲ و ۴ در توان خاصیت جابجایی دارند
چون (۱۶=۲^۴=۴^۲)

توان‌های ده

در سیستم مبنای ده، محاسبه توان‌های ده بسیار راحت است: برای مثال 10⁶ برابر است با یک میلیون، که با قرار دادن ۶ صفر در جلوی یک به دست می‌آید. توان با نمای ده بیشتر در علم فیزیک برای نشان دادن اعداد بسیار بزرگ یا بسیار کوچک به صورت نماد علمی کاربرد دارد؛ نمونه را، ۲۹۹۷۹۲۴۵۸ (سرعت نور با یکای متر بر ثانیه) را می‌توان به صورت ۲٫۹۹۷۹۲۴۵۸ × 10⁸ نوشت و به صورت تخمینی به شکل ۲٫۹۹۸ × 10⁸. پیشوندهای سیستم متریک هم برای نشان دادن اعداد بزرگ و کوچک استفاده می‌شوند و اصل این‌ها هم بر توان ۱۰ استوار است. نمونه را پیشوند کیلو یعنی 10³ = ۱۰۰۰، پس یک کیلومتر برابر ۱۰۰۰ متر است.

توان‌های عدد دو

توان‌های عدد دو نقش بسیار مهمی در علم رایانه دارند چون در کامپیوتر مقادیر  را می‌توان برای یک متغیر هر عدد بیتی  درنظر گرفت.
توان‌های منفی دو هم استفاده می‌شوند، و به دو توان اول نصف و ربع می‌گویند.

توان‌های عدد صفر (۰)

اگر توان صفر مثبت باشد، حاصل عبارت برابر خود صفر است:.
اگر توان صفر منفی باشد، حاصل عبارت  تعریف نشده‌است، زیرا تقسیم بر صفر وجود ندارد.
اگر توان یک عدد صفر باشد، حاصل عبارت برابر یک است:.
(بعضی از نویسندگان می‌گویند که  تعریف نشده‌است)

توان‌های منفی یک

توان‌های منفیِ یک بیشتر در دنباله‌های تناوبی کاربرد دارد.
اگر نمای عددِ منفیِ یک، فرد باشد، حاصل آن برابر خودش است: 
اگر نمای عددِ منفیِ یک، زوج باشد، حاصل آن برابر یک است:

توان‌های 
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}

توان‌های  در دنباله‌های با دورهٔ ۴ کاربرد دارند.

توان‌هایEعدد eEحد دنباله‌ای با توان صحیح است

.
و تقریباً داریم:
.
یک توان صحیح غیر صفر e برابر است با:
x می‌تواند عددی مانند صفر، کسر، عدد مرکب، یا یک ماتریس مربع باشد.

توان‌های کسری

در یک توان، با معکوس کردن نما ریشه آن بدست می‌آید.
اگر  عدد حقیقی مثبت و n عددی صحیح مثبتی باشد، داریم:
و ریشه nام  نامیده می‌شود:
برای مثال: 81/3 = ۲.
حالا می‌توانیم توان  را به صورت زیر تعریف کنیم:
aبه توان n/m مساوی است با ریشه ی a بافرجهm به توان 
برای مثال: 82/3 = ۴.

خلاصه

توان‌های صحیح اعداد مرکب به صورت بازگستی تعریف می‌شود:
z⁰ = 1
zⁿ⁺¹ = z·zⁿz⁻ⁿ = 1/zⁿ (برای z ≠ 0)
توان‌های مرکب عدد e به صورت زیر تعریف می‌شود:
و توان مرکب یک عدد مرکب برابر است با:
aᶻ = eᵇᶻ
اگر:
a = eᵇ

مثلثات

توان‌های مبهم یک تابع مثلثاتی سینوس و کسینوس برابر است با:
مانند:

معادله لگاریتم

عدد حقیقی مثبت π وجود دارد که با استفاده از آن می‌توان معادله eᶻ = ۱ را به صورت z = ۲πi·n حل نمود.

حالت قطبی

هر عدد مرکب به شکل  را می‌توان به این صورت نوشت:
برای یک مقدار حقیقی مثبت  و یک کمان  می‌توانیم از فرمول اویلر برای  استفاده کنیم:
حال می‌توانیم یک بار دیگر از فرمول اویلر استفاده کنیم، در این صورت به جای e می‌نویسیم: . در نتیجه داریم:
حال اگر از  استفاده کنیم می‌توانیم بنویسیم:

مثال

این مقدار اصلی  اما می‌توانیم برای هر عدد صحیح n آن را به صورت  بنویسیم، که نتیجه به صورت زیر است: