بیضی

در یونان باستان

بنابر تقریظی از اراتوستن، نخستین‌بار بیضی را منایخموس (۳۸۰ – ۳۲۰ پ.م.)، دوست نزدیک افلاطون، در تلاش برای حل تضعیف مکعب کشف کرد.
آپولونیوس برای اولین بار نام «الپسیس» (یونانی: ἔλλειψις، به معنای «کمتر بودن») را بر روی بیضی گذاشت و اقلیدس (حدود ۳۶۵–۲۷۵ پ.م.) بررسی دقیقی از ویژگی‌های بیضی ارائه کرد.
کانون‌های بیضی و خط‌های هادی را نخستین بار پاپوس اسکندرانی (حدود ۳۵۰ –  ۲۹۰  پ.م.) بررسی کرد.
او همچنین روشی برای تعریف یک بیضی با داشتن پنج نقطه ابداع کرد.ارشمیدس (۲۸۷ – ۲۱۲ پ.م.) در گزاره‌های ۷ و ۸ رسالهٔ «در باب مخروط‌گون‌ها و گوی‌گون‌ها» طریقهٔ جا دادن یک مخروط را در بیضی مرتبطش بررسی می‌کند. ارشمیدس آگاه بود که با داشتن یک مخروط با مقطع دایره‌ای می‌توان هر بیضی‌ای را ساخت، و می‌دانست که می‌توان بیضی را با برش استوانه‌ای با مقطع دایره‌ای به دست آورد، و اینکه نسبت قطر عرضی بیضی به شعاع دایرهٔ مماس بر آن ثابت است و به مساحت بیضی مربوط می‌شود. در گزاره‌های ۲۷ تا ۳۲ در باب مخروط‌گون‌ها و گوی‌گون‌ها نیز ویژگی‌ها و قضایای مربوط به گوی‌گون‌ها بررسی شده‌است.
نام آپولونیوس (اواخر قرن سوم – اوایل قرن دوم پیش از میلاد) برای قرن‌ها پس از مرگ او با مطالعهٔ مقاطع مخروطی گره خورده بود. آپولونیوس اثر مهمش «مخروطات» را، که مشتمل بر هشت مقاله است، با مطالعهٔ مخروط آغاز می‌کند و پس از تعریف سه مقطع مخروطی (سهمی، هذلولی، و بیضی)، به تعریف خط مماس آن‌ها می‌پردازد و سپس ثابت می‌کند که فاصلهٔ کانونی برای همهٔ نقاط روی یک بیضی ثابت است.
آپولونیوس همچنین خط مماس بر منحنی (که بعدها موضوع اصلی حساب دیفرانسیل شد) را تعریف و عدد پی (ثابتی لازم برای یافتن طول‌ها و مساحت دایره و بیضی) را محاسبه کرد.

در قرون وسطی

همزمان با حکومت مأمون در خراسان (در قرن سوم هجری)، اخوان ثلاثهٔ بنوموسی دست به ترجمهٔ مخروطات آپولونیوس از یونانی به عربی زدند. بنوموسی فقط نسخه‌ای ناقص از مخروطات را در اختیار داشتند و مقاطع مخروطی در زمان ایشان به دست فراموشی سپرده شده بود، بنابراین در فهم متن دچار مشکل بودند. اندکی بعد، یکی از اخوان ثلاثه به نام حسن نظریهٔ مقاطع استوانه‌ای را ابداع کرد که می‌توان آن را مقدمه‌ای ساده بر مقاطع مخروطی دانست. پس از درگذشت حسن، برادرش احمد در شام نسخه‌ای کامل‌تر از چهار فصل اول مخروطات را با شرح اوتوکیوس پیدا کرد و به کمک برادر دیگرش، محمد، و با استفاده از دو نسخهٔ موجود و نظریهٔ حسن، موفق شد نظریات آپولونیوس را دریابد. احمد و محمد ترجمهٔ مقالهٔ اول تا چهارم مخروطات را به هلال حمصی و مقالهٔ پنجم تا هفتم آن را به ثابت بن قره سپردند و خود بازنگری نهایی ترجمه را عهده‌دار شدند. ترجمهٔ برادران بنوموسی از مقالات پنجم تا هفتم مخروطات تنها نسخهٔ باقی ماندهٔ این اثر است.
ترجمهٔ آثار علمی به عربی اغلب نیازمند ابداع اصطلاحات فنی تازه بود و مترجمان آن‌ها، بر خلاف مترجمان لاتین، به ترانویسی عبارات یونانی اکتفا نکردند و برای واژهٔ «الپسیس» اصطلاح «قطع ناقص» را در نظر گرفتند که معنای آن را حفظ می‌کند و هنوز در زبان عربی به بیضی «قطع ناقص» گفته می‌شود.
کتاب مفقودشدهٔ الشکل المدور المستطیل هم که به حسن بنی موسی منسوب شده‌است در مورد ترسیم بیضی بوده و به نظر می‌رسد بر اساس روش «ترسیم بیضی به روش باغبانی» (رسم بیضی با داشتن مجموع فواصل یک نقطه روی بیضی از دو کانون) باشد. دراین‌صورت ممکن است این اثر اولین جایی باشد که ترسیم بیضی به این روش در آن بحث شده‌است.ثابت بن قره نیز (که ترجمهٔ مقالات پنجم تا هفتم مخروطات را برای برادران بنوموسی انجام داده بود) در کتاب في قطوع الاستوانة و بسيطها نگاشتی را مطالعه می‌کند که بیضی با نیم‌قطرهای  و  را به دایره‌ای با شعاع  انتقال می‌دهد.
معماران و بنّاهای دورهٔ اسلامی هم، که به دلایل عملی نیاز به ترسیم بیضی داشته‌اند، ابزاری موسوم به پرگار تام ابداع کردند که با آن می‌توان مقاطع مخروطی را با حرکت اتصالی رسم کرد. ابوسهل بیژن کوهی در قرن چهارم هجری رساله‌ای به نام رسالة في البرکار التام و العمل به دربارهٔ این ابزار نوشته‌است.

پس از نیوتن

در دو قرن پس از نیوتن، عمدهٔ پیشرفت‌های مرتبط با مقاطع مخروطی در زمینهٔ هندسه تصویری صورت گرفت.
ژان ویکتور پونسله در سال ۱۸۱۳ در جریان جنگ‌های ناپلئونی در روسیه اسیر جنگی بود و در زندان رساله‌ای با عنوان «خواص و ویژگی‌های تصاویر اشکال» نوشت و در آن برای اولین بار بین ویژگی‌های تصویری (ویژگی‌هایی که پس از تصویر کردن شکل در صفحه‌ای دیگر حفظ می‌شوند) و غیرتصویری تمایز قائل شد.
در ۱۸۲۲ ریاضی‌دان بلژیکی جرمینال پیر دندلین با ابداع کره‌های دندلین اثبات کرد که بیضی ساخته‌شده با استفاده از تعریف کانونی و بیضی ساخته‌شده با برخورد صفحه و مخروط یکی‌اند.
در ۱۸۲۹ نیز پیرس مورتون با استفاده از کره‌های دندلین ثابت کرد که بیضی ساخته‌شده با تعریف کانون و خط هادی هم با بیضی ساخته شده در تقاطع صفحه و مخروط یکی است.
یاکوب اشتاینر (۱۷۹۶ - ۱۸۶۳) نیز مقاطع مخروطی و رویه‌های درجه دوم مرتبط را به‌عنوان اشکالی صرفاً تصویری تعریف کرد و نشان داد که این برخورد به اثبات سریع‌تر و مستقیم‌تر ویژگی‌های آن‌ها می‌انجامد.کارل گئورگ کریستیان فان اشتات (۱۷۹۸  -  ۱۸۶۷) هم نشان داد که رابطه‌ای که یک مقطع مخروطی بین قطب و خط قطبی ایجاد می‌کند از خود منحنی بنیادی‌تر است و می‌تواند برای تعریف این منحنی‌ها به شکلی متقارن و برگشتی (به عنوان مکان هندسی نقاطی که روی خط قطبی خودشانند، یا منحنی محاطی خطوطی که از قطب خودشان می‌گذرند) به‌کار رود.

کاربرد

با استفاده از ویژگی «نیمساز عمود زاویه بین دو خط کانونی» می‌توان نورپردازی و طراحی آکوستیک ساختمان‌ها را بهینه کرد.منطقه فرنل نیز با همین ویژگی بیضی به شکل کره‌گون ایجاد می‌شود و درک آن برای طراحی شبکه‌های بی‌سیم ضروری است.
از آینه‌های بیضوی نیز برای تمرکز نور یک منبع در کانونی معین استفاده می‌شود.
مدار بیضی در اخترپویاشناسی مداری کپلری است که برون‌مرکزی آن کمتر از ۱ باشد. نمونه‌های مدار بیضی، از جمله مدار هوهمان، در محاسبات پیش‌رانش فضاپیماها و مدار ماهواره‌ها اهمیت زیادی دارد.
جواب عام نوسانگر هماهنگ در دو بعد یا بیشتر هم بیضی است.
می‌توان چرخ‌دنده‌هایی به شکل بیضی ساخت که هر یک به محور یکی از کانون‌هایشان به‌نرمی مماس یکدیگر بچرخند.
چرخ‌دنده‌های بیضوی معمولا زمانی به‌کار می‌روند که سرعت متغیر حرکت چرخ‌دنده مطلوب باشد.
در سیاست بین‌الملل، عبارت بیضی استراتژیک اشاره به منطقه‌ای در غرب آسیا دارد که دربرگیرندهٔ بیش از ۷۰ درصد ذخایر اثبات‌شدهٔ نفت و بیش از ۶۵ درصد ذخایر اثبات‌شدهٔ گاز طبیعی جهان است.
نقشهٔ دفتر اصلی رئیس جمهور آمریکا در کاخ سفید به شکل بیضی است. به نوشتهٔ کریسچن ساینس مانیتور، وجود دو کانون در دفتر بیضی نماد دو کانون وظیفه در تصمیم‌گیری‌های سیاسی (سیاستمداران و مردم) است.

تعریف بیضی با اعمال تجانس بر دایره

بیضی را می‌توان به عنوان نتیجهٔ اعمال یک نگاشت خطی (تبدیل آفین) بر دایره‌ای به شعاع یک تعریف کرد. اگر  و  اعدادی بزرگتر از صفر باشند، ماتریس این نگاشت عبارت است از:

‍
اگر  کمتر از ۱ باشد، بیضی حاصل از این نگاشت دایره در راستای محور xها فشرده می‌شود و اگر  بیشتر از ۱ باشد بیضی در این راستا کشیده می‌شود. همین‌طور اگر  کمتر از ۱ باشد، بیضی حاصل از این نگاشت دایره در راستای محور yها فشرده می‌شود و اگر  بیشتر از ۱ باشد بیضی در این راستا کشیده می‌شود. قطر بزرگ بیضی دو برابر هر کدام از  یا  است که بزرگتر باشد و قطر کوچک بیضی دو برابر آنی که کوچکتر باشد. مساحت بیضی هم برابر است با .
از سوی دیگر، با اعمال تجانس  هم، که در آن رأس‌های بزرگ ثابت می‌مانند و رأس‌های کوچک به  و  منتقل می‌شوند، می‌توان بیضی را به دایره‌ای با شعاع  تبدیل کرد.

بیضی به عنوان مقطع مخروطی

بیضی خمی بسته است که از برخورد مخروطی قائم با قاعدهٔ دایره‌ای و صفحه‌ای حاصل می‌شود که با ارتفاع و هر کدام از وترهای مخروط موازی نباشد.
اگر این صفحه با قاعدهٔ مخروط موازی باشد حاصل دایره (حالت خاص بیضی)، اگر با ارتفاع مخروط موازی باشد حاصل هذلولی، و اگر با یکی از وترهای مخروط موازی باشد حاصل سهمی خواهد بود.
در هندسه تصویری، اشتقاق بیضی از مخروط معادل تصویر مرکزی یک دایره (مقطع مخروط) روی صفحه‌ای است که با صفحهٔ دایره زاویه‌ای تند دارد. می‌توان نشان داد که تصویر کردن دایره روی بیضی همان تعریف بیضی با اعمال تجانس آفین بر دایره است.

معادله متعارف بیضی

هر معادله درجه دو با فرمول  معرف یک بیضی است که مرکزش روی مبدأ مختصاتی، قطر بزرگش روی محور ها، و قطر کوچکش روی محور ها جای دارد. مقادیر  و  فاصلهٔ چهار رأس بیضی را از مرکز آن مشخص می‌کنند، به گونه‌ای که مختصات رأس‌های بزرگ  و  و مختصات راس‌های کوچک  و  است. مقدار  به «نیم‌قطر کوچک» و مقدار  به «نیم‌قطر بزرگ» موسوم است.
این معادله غالباً به شکل  نوشته می‌شود. فاصلهٔ مرکز بیضی از هر کدام از کانون‌ها  و مختصات کانونها  است.
اگر مرکز بیضی از مبدأ مختصاتی به نقطهٔ  انتقال یابد معادلهٔ بیضی برابر  خواهد بود.

برون‌مرکزی

نسبت فاصلهٔ هر کانون از مرکز بیضی () به اندازه نیم‌قطر بزرگ بیضی () برون‌مرکزی بیضی نامیده می‌شود و آن را با حرف  نشان می‌دهند (). به‌این‌ترتیب برون‌مرکزی را می‌توان جای کانون در نیم‌قطر بزرگ دانست. برون‌مرکزی یک بیضیِ معین همواره مقداری ثابت و بین صفر و یک است  و به‌صورتی یکتا شکل آن را مشخص می‌کند، به این مفهوم که دو بیضی متشابهند اگر و تنها اگر برون‌مرکزی‌شان با هم برابر باشد. زمانی که برون‌مرکزی  صفر باشد، کانون روی مرکز می‌افتد و منحنی به‌شکل دایره درمی‌آید. اگر برون‌مرکزی به یک نزدیک شود (فاصلهٔ کانون از مرکز به بی‌نهایت میل کند)، بیضی حالتی کشیده پیدا می‌کند.
برون‌مرکزی بیضی برابر وارون ضربی برون مرکزی هذلولی‌ای با نیم‌قطر بزرگ و کوچک برابر است.

قطر مزدوج یک وتر

به موازات هر وتر  که از مرکز بیضی بگذرد، مجموعه‌ای از وترها هست که شامل خط مماس بر بیضی با شیب مساوی  می‌شود. با وصل کردن نقطهٔ وسط همهٔ این وترها به هم  حاصل می‌شود که قطر بیضی است و با عنوان «مزدوج»  شناخته می‌شود. با استفاده از قطرهای مزدوج بر وتر می‌توان خطوط مماس بر بیضی را ترسیم کرد. خطوط مماس بر نقاط، ، ، و  بیضی را در یک متوازی‌الاضلاع محاط می‌کنند. اگر وتر  همنهشت بر یکی از قطرهای بیضی شود، شکل محاط‌کنندهٔ بیضی مستطیل خواهد بود.

نیمساز عمود زاویه بین دو خط کانونی

نیمساز زاویهٔ بین دو پاره‌خط  و  همواره بر خط مماس بیضی در نقطهٔ  عمود است.
از این ویژگی نتیجه می‌شود اگر اشعه‌ای از یکی از کانون‌ها به هر نقطه‌ای روی محیط بیضی بتابد به‌سوی کانون دیگر بازتاب می‌شود. این امر در نورپردازی و طراحی آکوستیک ساختمان‌ها کاربرد دارد.

در هندسه فضایی

با چرخاندن بیضی به دور هر یک از قطرهایش، سطحی حاصل می‌شود که به کره‌گون موسوم است.
کره‌گونی که از چرخش بیضی به دور قطر بزرگش حاصل شود «کره‌گون کشیده» و کره‌گونی که از چرخش بیضی به دور قطر کوچکش حاصل شود «کره‌گون پَخ» نام دارد.
با اکستروژن موازی بیضی «استوانهٔ بیضوی» و با اکستروژن مرکزی آن «مخروط بیضوی» ساخته می‌شود.
حجم‌هایی که همهٔ سطوح مقاطعشان به شکل بیضی باشد به بیضی‌گون موسومند. بیضی‌گونی که در دو محورِ دستگاه مختصات دکارتی طولی مساوی داشته باشد کره‌گون و بیضی‌گونی که در هر سه محور طول مساوی داشته باشد کره است.

روش باغبانی

ترسیم بیضی با ویژگی کانون آن به «روش باغبانی» موسوم است. در این روش دو قطعه چوب در دو نقطه از زمین (کانون‌ها) کوبیده می‌شود. حلقه طنابی به طول  که در نقطه‌ای از آن یک میله گره خورده‌است به دور دو قطعه چوب انداخته می‌شود و سپس میله جابجا می‌شود تا طناب کشیده شود. همهٔ نقاطی که میله را بتوان روی قرار داد به‌شکلی که طناب شل نباشد روی بیضی هستند.

روش خاگار (ترامل)

اگر دو رأس یک پاره‌خط را در راستای دو خط متقاطع حرکت دهیم، هر نقطهٔ ثابت روی آن پاره‌خط (یا امتداد آن) مکان هندسی کمانی از یک بیضی خواهد بود. ترسیم بیضی با این روش به «روش خاگار (ترامل)» موسوم است. در گذشته نیز ابزاری با نام «ترامل» برای ترسیم فنی و همچنین به‌عنوان اسباب‌بازی تولید می‌شد که دو پین قابل تنظیم و یک گیره (برای اتصال قلم) داشت و با استفاده از آن می‌شد بیضی رسم کرد.

روش متوازی‌الاضلاع

روش متوازی الاضلاع یا تولید مخروطی اشتاینر را می‌توان زمان داشتن قطرهای بیضی یا یک وتر و قطر مزدوج آن به کار برد. در این روش یک متوازی‌الاضلاع (در تصویر مجاور ) به مرکزیت نقطهٔ  در نظر گرفته می‌شود به صورتی که هر کدام از اضلاع آن مساوی و موازی یکی از قطرهای بیضی (یا یک وتر و قطر مزدوجش) باشند. ضلع‌های  و  به  پاره‌خط مساوی تقسیم می‌شوند. سپس از رأس  به سر هر کدام از پاره‌خط‌های روی ضلع  و از رأس  به سر هر کدام از پاره‌خط‌های روی ضلع  پاره‌خطی کشیده می‌شود. نقطهٔ تقاطع پاره‌خط‌های  و   روی بیضی قرار دارد.

ترسیم تقریبی از بیضی با چهار مرکز

می‌توان با داشتن دو قطر بیضی، و با استفاده از پرگار شکلی تقریبی از بیضی ترسیم کرد. برای این منظور روی پاره‌خط AD، که انتهای قطرهای کوچک و بزرگ را به هم وصل می‌کند، نقطهٔ F در فاصله DF = b - a (تفاضل نیم‌قطرها) قرار داده می‌شود. از وسط AF خطی عمود خارج می‌شود که قطر بزرگ را در نقطهٔ  و قطر کوچک (یا امتداد آن را) در  قطع می‌کند. سپس با استفاده از تقارن (بازتاب  و  روی قطرها) نقاط  و  مشخص می‌شوند. با زدن کمان‌هایی متصل به مرکز هر کدام از نقاط  و  و  و  شکل تقریبی بیضی را مشخص کرد.