شکل گسترده بازی

در نظریه بازی‌ها، شکل گسترده، توصیفی از یک بازی است. ویژگی‌های مهم این توصیف عبارتند از: ترتیب دهی حرکت‌های ممکن بازیکنان، تصمیمات آن‌ها در هر نقطهٔ تصمیم، اطلاعات (شاید اطلاعات ناکامل) هر بازیکن دربارهٔ حرکت‌های بازیکن دیگر در هنگام تصمیم و دستاوردهای بازیکن برای همهٔ پیامدهای ممکن بازی. شکل گسترده همچنین اجازه می‌دهد که اطلاعات ناکامل در قالب اتفاقات شانسی (احتمالی) ارائه شود که توسط طبیعت صورت می‌گیرد.

اطلاعات کامل و تمام

یک ارائه به شکل گسترده و کامل موارد زیر را تعریف می‌کند:
۱ بازیکنان یک بازی
۲ هر بازیکن در هر حرکت خود چه فرصت‌هایی برای حرکت دارد
۳ آنچه که هر بازیکن برای هر حرکت خود می‌داند
۴ دستاوردهای دریافتی توسط هر بازیکن برای هر ترکیب ممکنی از حرکت‌ها
بازی ترسیم شده در زیر دو بازیکن دارد: ۱ و ۲. اعداد هر گره غیر انتهایی نشان می‌دهد که آن گره تصمیم متعلق به کدام بازیکن است (یعنی نوبت حرکت کدام بازیکن است). اعداد در گره انتهایی، دستاوردها برای بازیکنان را به نمایش می‌گذارد. (مثلاً ۲ و ۱ نشانگر دستاورد ۲ برای بازیکن ۱ و دستاورد ۱ برای بازیکن ۲ است). برچسب متعلق به هر خروجی، نام اقدامی است که آن خروجی نشان می‌دهد. گره ابتدایی متعلق به بازیکن ۱ است که نشانگر آن است که بازیکن ۱ در ابتدا حرکت می‌کند. بازی طبق درخت بازی این گونه ادامه می‌یابد: بازیکن ۱ بین U و D انتخاب می‌کند، سپس بازیکن ۲ با مشاهدهٔ انتخاب بازیکن ۱ بین ’U و ’D اقدام به انتخاب می‌کند. دستاوردها در درخت بازی تعریف شده‌اند. ۴ پیامد توسط ۴ گره انتهایی درخت نمایندگی می‌شوند: (’D,D)، (’D,U)، (’U,D)و(’U,U). دستاوردهای مرتبط با هر نتیجه به ترتیب به صورت روبروست: (۳و۱)، (۲و۱)، (۱و۲)و(۰و۰). اگر بازیکن ۱، Dبازی کند، بازیکن ۲ برای حداکثر کردن دستاورد خود ’U را برمی‌گزیند بنابراین بازیکن ۱، تنها ۱ واحد دریافت می‌کند. گرچه اگر بازیکن ۱، U بازی کند، بازیکن ۲ برای حداکثر کردن دستاورد خود ’D را برمی‌گزیند و بازیکن ۱، ۲ واحد دریافت می‌کند؛ بنابراین چون بازیکن ۱، ۲ را به ۱ ترجیح می‌دهد، بازیکن 1 U بازی کرده و بازیکن ۲ ’D بازی خواهد کرد. این تعادل زیر بازی کامل است.

اطلاعات ناتمام

مواردی وجود دارد که بازیکن از دستاوردهای بازی به طور دقیق اطلاع ندارد یا نوع رقیب خود را نمی‌داند. این نوع بازی دارای اطلاعات ناتمام است. در شکل گسترده این بازی را به عنوان بازی تمام با اطلاعات ناکامل با استفاده از آنچه تبدیل جان هارسانی (به انگلیسی John Harsanyi) نامیده می‌شود، ارائه می‌دهند. این تبدیل مفهوم «انتخاب طبیعت» یا «انتخاب خدا» را به بازی می‌آورد. یک بازی متشکل از یک کارفرما را در نظر بگیرید که به دنبال استخدام فرد جویای کار است. توانایی فرد جویای کار می‌تواند یکی از دو مورد زیر باشد: بالا یا پایین. سطح توانایی این فرد تصادفی است. او با احتمال ۳/۱ توانایی پایین و با احتمال ۳/۲ توانایی بالا دارد. در این مورد مناسب است تا طبیعت را به عنوان بازیکن دیگری وارد مدل کنیم که توانایی فرد جویای کار را طبق احتمالات موجود انتخاب می‌کند. گرچه برای طبیعت هیچ گونه دستاوردی مد نظر نیست . انتخاب طبیعت در درخت بازی توسط یک گره خالی نمایش داده می‌شود.
بازی نمایش داده شده در زیر یکی از بازی‌های تمام (همهٔ بازیکنان و دستاوردها برای همه مشخص است) اما با اطلاعات ناکامل (کارفرما از انتخاب طبیعت اطلاعی ندارد) است. گره ابتدایی توخالی است، بنابراین طبیعت در ابتدا حرکت می‌کند. طبیعت با همان احتمال نوع باریکن ۱، حرکت اول را انجام می‌دهد t1 یا تی t2. بازیکن ۱، مجموعه‌های اطلاعاتی متمایزی دارد یعنی بازیکن ۱، نوع خود را می‌داند. با این حال بازیکن ۲ انتخاب طبیعت را مشاهده نمی‌کند. بازیکن ۲، نوع بازیکن ۱ را نمی‌داند. با این حال بازیکن ۲، اقدامات بازیکن ۱ را مشاهده می‌کند یعنی اطلاعات کامل وجود دارد. در واقع اکنون فرصت مناسبی است تا تعریف بالا از اطلاعات تمام را تغییر دهیم: در هر مرحله از بازی، هر بازیکن آنچه توسط بازیکنان دیگر انجام شده‌است را می‌داند. در مورد اطلاعات خصوصی، هر بازیکن آنچه توسط طبیعت صورت گرفته‌است را می‌داند. مجموعه‌های اطلاعات همانند قبل با خطوط خط چین نمایش داده می‌شوند. در این بازی اگر طبیعت t1 را به عنوان نوع بازیکن ۱ انتخاب کند، بازی شبیه بازی که در ابتدا توصیف شد، خواهد بود جز آنکه بازیکن ۲ اطلاعی از نوع بازیکن ۱ ندارد.
یک تعادل بیزی کامل جداگانه (به انگلیسی seperating) وجود دارد یعنی تعادلی که در آن انواع مختلف بازیکنان، اقدامات متفاوتی انتخاب می‌کنند. اگر هر دو نوع بازیکن، یک اقدام انتخاب کنند (تعادل درهم (به انگلیسی (pooling)) تعادل نمی‌تواند ایجاد شود.