هسته (نظریه بازی‌ها)

تاریخچه

مفهوم هسته در نظریهٔ بازی دارای تاریخچهٔ طولانی است. ایدهٔ اولیهٔ هسته سال ۱۸۸۱ توسط فرانسیس یسیدرو اجورث در مباحث روند تجارت میان افراد اقتصادی در محیط‌های تجاری غیر بازار مطرح شد.[۲] این فرایندهای تجاری بر اساس فرمول قرارداد تجاری مشترک بود. یک تخصیص کالاهای اقتصادی باید در برابر روندهای بازدارنده میان ائتلاف‌های چنین عوامل اقتصادی پایدار باشد. تخصیص‌هایی که این اصل ایمنی تجارت مجدد را برقرار می‌کنند، به عنوان تخصیص‌های تعادلی ادجورتین (Edgeworthian) شناخته می‌شوند. مجموعه‌ای از تخصیص‌های تعادلی ادجورتین توسط خودش «منحنی قرارداد» یا «هستهٔ یک اقتصاد» نام‌گذاری شده‌اند.[۳] جان فون نویمان و اسکار مورگنشترن نیز هسته را یک ایدهٔ جالب می‌پنداشتند، ولی آن‌ها فقط با بازی‌های مجموع-صفر که در آن‌ها هسته همیشه خالی است، کار می‌کردند. تعریف امروزی هسته توسط گیلیس (Gillies) سال ۱۹۹۶ معرفی شد.[۴] پس از توسعه نظریهٔ بازی، ایده بنیادی مسدود کردن توسط گیلیس، سال۱۹۵۳، در پایان‌نامه دکتری او مطرح شد. این ایده در ۱۹۵۹ با پیوند کارهای مرتبط گیلیس و ادجورت، توسط شوبیک (Shubik) توسعه یافت.[۳]

مثال ۱: معدنچی‌ها

گروهی از n معدنچی را در نظر بگیرید که تعدادی قطعه طلا پیدا کردند. اگر هر دو معدنچی بتوانند یک قطعه طلا را حمل کنند پس سود هر ائتلاف S برابر:
اگر تعداد معدنچی‌ها زوج و بیشتر از ۲ نفر باشند پس هسته شامل مجموعه‌ای می‌شود که هر معدنچی در آن ۱/۲ طلا به دست می‌آورد. اما اگر تعداد معدنچی‌ها فرد باشد هسته خالی می‌شود.

مثال ۲: دستکش‌ها

احمد و حسین هر دو دستکش می‌بافند. تمام دستکش‌ها یک اندازه هستند و هر دو دستکش که تشکیل یک جفت بدهند را می‌توان به ارزش ۵ تومان فروخت. اگر هر کس ۳ دستکش داشته باشد می‌خواهیم بدانیم چگونه درآمد حاصل از فروش را بین این دو نفر تقسیم کنیم؟
با توجه به اینکه آن‌ها روی هم ۳ جفت دستکش دارند پس روی هم ۱۵ تومان سود می‌کنند با توجه به اینکه هرکس به صورت جدا ۵ تومان سود می‌کند و حالت دیگری وجود ندارد پس هسته این بازی شامل (۷٫۵، ۷٫۵) می‌شود همچنین (۵، ۱۰) و یا (۹، ۶) هم شامل هسته می‌شوند.

مثال ۳: کفش‌ها

برای این بازی فرض کنید که اندازه تمام کفش‌ها یکسان هستند و هر لنگ چپ و راست کفش تشکیل یک جفت می‌دهند که ارزش آن ۱۰ تومان است. ۲۰۰۱ نفر بازیکن داریم که ۱۰۰۰ نفر آن‌ها لنگ چپ کفش را دارند و ۱۰۰۱ دیگر لنگ راست کفش را دارند. موضوع جالب این بازی هسته آن است:
هسته شامل یک مجموعه است که در آن بازیکنان که لنگ چپ کفش (کمیاب) را دارند ۱۰ تومان و بازیکنان با لنگ راست صفر تومان می‌گیرند هیچ تقسیم‌بندی دیگری هم نمی‌تواند این تقسیم‌بندی را مغلوب کند زیرا هیچ بازیکنی که لنگ چپ کفش را دارد زیر ۱۰ تومان را قبول نمی‌کند و هر تقسیم‌بندی که مقدار مثبتی به هر بازیکن با لنگ راست بدهد باید کمتر از ۱۰۰۰۰ تومان به سایر بازیکنان بدهد که همان بازیکنان به‌طور جدا می‌توانند ۱۰۰۰۰ تومان بدست آورند. پس فقط یک تقسیم‌بندی در هسته وجود دارد.

مثال۴:بازی سادهٔ ۳ نفره سود قابل انتقال

تابع مشخصهٔ یک بازی سه نفرهٔ سود قابل انتقال که در آن رأی حداقل دو نفر برندهٔ ائتلاف را تعیین می‌کند، به صورت زیر تعریف می‌کنیم:
۱=(v(S برای هر S حاوی حداقل دو عضو، v({i})=۰ برای همهٔ i ∈ N.
واضح است که ∅=(C(N,V می‌شود، زیرا هر توافقی از بازپرداخت‌های امکان‌پذیر که به ائتلاف بزرگ پیشنهاد شود، حداقل توسط یک ائتلاف مسدود می‌شود.[۹]

هسته در بازی‌های رأی‌گیری

بازی‌های رأی‌گیری نشان دهنده یک کلاس ویژه‌ای از بازی‌های تعاملی هستند؛ که در آن رأی‌دهندگانی از ائتلاف‌ها وجود دارند، که این قدرت را دارند که نظر خود را بدون در نظر گرفتن سایر رأی‌دهندگان اعمال کنند؛ این در حالی است که سایر رأی‌دهندگان قدرت تأثیرگذاری بر نتیجه را ندارند. مفهومی که می‌تواند نتیجهٔ رأی‌گیری را مشخص کند، هسته می‌باشد.
اگرچه بازی‌های رأی‌گیری نوع خاصی از بازی‌های تعاملی هستند، در عین حال ممکن است در ساختار بسیار پیچیده باشند. علاوه بر این، وجود یک راه حل مانند هسته، به هیچ وجه در این بازی‌ها تضمین شده نیست. در بسیاری از بازی‌های رأی‌گیری هسته خالی است، «پارادوکس رأی گیری» نمونه‌ای از بازی سه نفرهٔ ساده با این ویژگی است.[۱۰]

هسته در نظریه تعادل عمومی

تعادل والراسین (Walrasian equilibria) یک اقتصاد مبادله‌ای در مدل عمومی تعادل، درون هسته یک بازی همکاری بین شرکت‌کننده‌ها می‌اقتد.