عمل دوتایی

عمل دوتایی (نام علمی: Binary operation) از مهم‌ترین و پرکاربردترین مفاهیم در جبر مجرد است.

آشنایی

شاید تا به حال فرایندهای زیادی را دیده باشید که طی آن دو چیز با هم ترکیب می‌شوند و شی سوم متمایزی را حاصل می‌دهند.
مثلاً تصور کنید در یک کلاس درس معلم کلاس می‌گوید «ب»، «آ» و دانش‌آموزان با هم فریاد می‌زنند «با». این بار معلم می‌گوید «ب»، «و» و این‌بار دانش‌آموزان فریاد می‌زنند «بو» یا در مثالی دیگر در طبیعت مولکول‌های هیدروژن و اکسیژن با هم ترکیب شده و ماده سومی چون آب را پدید می‌آورد.
این‌ها همگی نمونه‌هایی از اعمالی دوتایی هستند که در طی آن‌ها دو عنصر شرکت‌کننده عنصر سومی را پدید می‌آورند.
اعمال دوتایی و به دنبال آن ساختارهای جبری از مهم‌ترین و مقدماتی‌ترین مفاهیم در جبر مجرد هستند. در ادامه به تعریف دقیق یک عمل دوتایی در جبر می‌پردازیم و ویژگی‌های آن‌ها را بررسی می‌کنیم.

بسته بودن نسبت به یک عمل

تعریف کلی :
اگر در یک مجموعه دو عضو a وb انتخاب کنیم و عمل مربوطه ( ضرب و جمع و تفریق و تقسیم ) را روی آن دو عضو انجام دهیم و حاصل در مجموعه مورد نظر ما وجود داشته باشد در اینصورت میگوییم دو عضو a و b نسبت به عمل مربوطه بسته است . توجه داشته باشید که لزومی ندارد عضوهای انتخابی متمایز باشند یعنی می‌توانند هر دو یکی باشند . به‌طور مثال در مجموعه {1,2} اگر  عضو 1  را انتخاب کنیم می‌توانیم 1 را با 1 در نظر بگیریم ( هر دو عضو انتخابی یکی باشند) و بعد با هم جمع کنیم که حاصل برابر 2 است و در مجموعه مورد نظر وجود دارد اما اگر 2 و یک را در نظر بگیریم در اینصورت 2 +1 = 3 و داخل مجموعه وجود ندارد پس مجموعه فرض شده نسبت به عمل جمع بسته نیست . مجموعه {1و0و1-} نسبت به عمل جمع و ضرب بسته است. میبینید که باید حتماً دو تمام حالات را بررسی کنید چرا که در تعریف گفته شده دو عضو a و b، به این معنی است که هر عضوی می‌تواند باشد و نباید فقط از روی دو عدد در مورد بسته بودن مجموعه نسبت به اعمال اصلی قضاوت کنیم.
مجموعه اعداد صحیح و عمل جمع اعداد را در نظر بگیرید. عمل جمع اعداد یک عمل دوتایی روی مجموعه اعداد صحیح است و بدیهی است که با توجه به تعریف عمل دوتایی روی  برای هر دو عدد صحیح a و b عدد a+b نیز عددی صحیح است.
حال مجموعه اعداد صحیح زوج  که زیرمجموعه‌ای از  است را در نظر بگیرید. برای هر دو عضو این مجموعه چون m و n چون مجموع دو عدد زوج، عددی زوج است عدد m+n زوج است پس متعلق به مجموعه اعداد صحیح زوج است.
به عبارت برای هر  داریم 
در این حالت اصطلاحاً می‌گوییم مجموعه اعداد صحیح زوج تحت عمل جمع بسته است.
اما همواره برای هر زیرمجموعه Z چنین نیست. مثلاً مجموعه اعداد صحیح فرد  را در نظر بگیرید. مجموع دو عدد صحیح فرد عددی زوج است که دیگر به مجموعه اعداد صحیح فرد تعلق ندارد پس برای هر  داریم  در این حالت می‌گوییم مجموعه اعداد صحیح فرد تحت عمل جمع بسته نمی‌باشد.
اگر G یک مجموعه ناتهی و * یک عمل دوتایی تعریف شده روی G باشد و E زیرمجموعه‌ای ناتهی از G باشد، می‌گوییم E تحت عمل G بسته است در صورتی‌که به ازای هر a،b∈E داشته باشیم a*b∈E.

ویژگی‌های اعمال دوتایی

یک عمل دوتایی روی یک مجموعه می‌تواند دارای برخی ویژگی‌های خاص باشد.

جابجایی

فرض کنید G مجموعه‌ای ناتهی و * یک عمل دوتایی روی G باشد. در این صورت عمل * را روی G جابجایی می‌گوییم هرگاه برای هر دو عضو a و b متعلق به مجموعه G داشته باشیم a*b=b*a.
به عنوان مثال عمل جمع اعداد روی اعداد طبیعی عملی جابجایی است و عمل تفریق روی مجموعه اعداد حقیقی دارای خاصیت جاجایی نمی‌باشد.

عضو معکوس

فرض کنید G یک مجموعه ناتهی و * یک عمل دوتایی روی G باشد و e عضو خنثی G نسبت به عمل * باشد. در این صورت عضو a متعلق به G را نسبت به عمل * وارون پذیر (معکوس پذیر) می‌نامیم هرگاه عضوی چون b موجود باشد که a*b=b*a=e.
همچنین اگر b چنان موجود باشد که a*b=e گوییم b معکوس راست a است و اگر bچنان باشد که b*a=e آنگاه b را معکوس چپ a مِی‌نامیم.