کدگذاری هافمن

تاریخچه

در سال ۱۹۵۱ "David.A.Huffman" و هم شاگردی‌هایش در کلاس «تئوری اطلاعات» دانشگاه MIT، حق انتخاب بین تحقیق در مورد یک مفهوم یا دادن امتحان پایانی را داشتند. استاد "Robert M. Fano" موضوع تحقیق را مسئلهٔ پیدا کردن کارآمدترین کد دودویی تعیین کرد.
هافمن ناتوان در پیدا کردن کارآمد ترین، تصمیم گرفته بود خودش را برای امتحان پایانی آماده کندکه ایده‌ای به ذهنش رسید.
ایدهٔ استفاده از درخت دودیی مرتب شده بر حسب تکرار(frequency) وتوانست اثبات کند که این کارآمدترین روش است.
در انجام این کار، شاگرد از استادش که با مبدع تئوری اطلاعات، کلود شانون برای ساختن کدی مشابه کار کرده بود، پیشی گرفت.
هافمن از مشکل اصلی روش کدگذاری نیم بهینهٔ رمزگذاری شانون-فانو جلوگیری کرده، درخت را به جای ساختن از بالا به پایین، از پایین به بالا ساخت.

توضیح غیررسمی

داریم: مجموعه‌ای از نمادها و وزن هایشان (معمولا متناسب با احتمال‌ها یشان)
پیدا کنید: کد دودویی بدون پیشوند، (مجموعه‌ای از کدها) با کمترین امید ریاضی برای طول کد.(به‌طور معادل، درختی با کمترین مسیر وزن دار)
تاریخچه
در سال ۱۹۵۱ (میلادی)، David.A.Huffman و هم شاگردی‌هایش در کلاس «تئوری اطلاعات» دانشگاه ام‌آی‌تی، حق انتخاب بین تحقیق در مورد یک مفهوم یا دادن امتحان پایانی را داشتند. استاد Robert M. Fano موضوع تحقیق را مسئلهٔ پیدا کردن کارآمدترین کد دودویی تعیین کرد. هافمن ناتوان در پیدا کردن کارآمد ترین، تصمیم گرفته بود خودش را برای امتحان پایانی آماده کندکه ایده‌ای به ذهنش رسید. ایدهٔ استفاده از درخت دودیی مرتب شده بر حسب تکرار (frequency) توانست اثبات کند که این کارآمدترین روش است. در انجام این کار، شاگرد از استادش که با مبدع تئوری اطلاعات، Claude Shannon برای ساختن کدی مشابه کار کرده بود، پیشی گرفت. هافمن از مشکل اصلی روش کدگذاری نیم بهینهٔ Shannon-Fano coding جلوگیری کرده، درخت را به جای ساختن از بالا به پایین، از پایین به بالا ساخت.

انواع

انواع مختلفی از کد گذاری هافمن وجود دارد، که بعضی از آن‌ها از الگوریتم‌هایی شبیه الگوریتم هافمن و بعضی دیگر از کدهای بهینهٔ پیشوندی (با محدودیت‌های خاص برای خروجی)استفاه می‌کنند.
در حالت اخیر، نیاز نیست که روش، شبیه روش هافمن باشد و حتی ممکن است زمان اجرایی چندجمله‌ای هم نداشته باشد.
لیست کاملی از مقالات مربوط به انواع مختلف کد گذاری هافمن، در «درخت‌های کد و تجزیه برای کد کردن بی زیان اطلاعات»  داده شده‌است.

کد هافمن n تایی

الگوریتم کد هافمن n تایی از الفبای {۰، ۱،... ، n − ۱} برای کد کردن پیام‌ها و ساختن درخت n تایی استفاده می‌کند. این روش دسترسی بوسیلهٔ هافمن و در مقاله اش بررسی شده بود.

کد هافمن انطباقی

نوع دیگری به نام کد هافمن انطباقی، احتمالاتی را که به صورت پویا و بر اساس تکرار واقعی در منبع اصلی است، محاسبه می‌کند. این به گونه‌ای مربوط به خانوادهٔ الگوریتم‌های LZ است.

الگوریتم الگوی هافمن

بیشتر اوقات، وزن‌های مورد استفاده در اجرای کد هافمن، نمایانگر احتمالات عددی است ولی این الگوریتم چنین چیزی را نیاز ندارد بلکه فقط به راهی برای منظم کردن وزن‌ها و اضافه کردن آن‌ها نیازمند است.
الگوریتم الگو هافمن امکان استفاده از هر نوع وزنی را می‌دهد.(ارزش-تکرار-جفت وزن ها-وزن‌های غیر عددی) و هر کدام از روش‌های ترکیبی مختلف.
اینگونه الگوریتم‌ها می‌توانند مسائل فشرده سازی دیگر را نیز حل کنند.

کد هافمن با طول محدود

کد هافمن با طول محدود نوعی دیگر از کد هافمن است. این نوع هنگامی مورد استفاده قرار می‌گیرد که هدف هنوز بدست آوردن طول مسیر با کمترین وزن است اما یک شرط دیگر نیز وجود دارد و آن این است که اندازهٔ هر کد، باید کمتر از مقدار ثابت خاصی باشد.
الگوریتم بسته بندی-ادغام این مشکل را به‌وسیلهٔ یک الگوریتم حریصانه ساده شبیه به همانی که در الگوریتم هافمن بکار رفته بود، حل می‌کند.
پیچیدگی زمانی این الگوریتم ، که  ماکزیمم طول یک کدکلمه (codeword)است.
هیچ الگوریتمی شناخته نشده که این کا را در زمان linear or linearithmic انجام دهد، بر خلاف مسائل پیش مرتب شده و مرتب نشدهٔ هافمن.

کد هافمن با ارزش حرفی متفاوت

در کد گذاری استاندارد هافمن، فرض شده‌است که هر نماد در مجموعه‌ای که کدها از آن استخراج می‌شوند، ارزشی یکسان با بقیه دارد: کد کلمه‌ای که طول آن N است ارزشی برابر N خواهد داشت، مهم نیست که چند رقم آن ۱ و چند رقم آن ۰ است.
وقتی با این فرض کار می‌کنیم، کم کردن هزینهٔ کلی پیام، با کم کردن تعداد رقم‌های کل ۲ چیز یکسانند.
کد هافمن با ارزش حرفی متفاوت به نحوی عمومیت یافته که این فرض دیگر صحیح نیست:
حروف الفبای کدگذاری ممکن است طول‌های غیر همسانی داشته باشند، به خاطر خصوصیت‌های واسطهٔ انتقال.
مثالی بر این ادعا، الفبای کد گذاری کد مورس است، که در آن فرستادن یک 'خط تیره' بیشتر از فرستادن یک 'نقطه' طول می‌کشد، پس ارزش خط تیره در زمان انتقال بالاتر است.
درست است که هدف هنوز کم کردن میانگین طول وزنی کد است اما دیگر کم کردن تعداد نمادهای بکار برده شده در پیام، به تنهایی کافی نیست.
هیچ الگوریتمی شناخته نشده‌است که این را به همان روش و همان کارآیی کد قراردادی هافمن انجام دهد.

کد قانونی هافمن

اگر وزن‌های مربوط به ورودی‌های مرتب شده بر اساس الفبا، به ترتیب عددی باشند، کد هافمن طولی برابر طول کد الفبایی بهینه دارد که می‌تواند از طریق محاسبه بدست آید.
کد بدست آمده از ورودی‌های مرتب شده از نظر عددی،  کد قانونی هافمن  گفته می‌شود و کدی است که به خاطر سادگی رمز کردن و رمز گشایی، در عمل استفاده می‌شود.
تکنیک پیدا کردن این کد، اکثراً کد گذاری Huffman-Shannon-Fano  نامیده می‌شود.
و این به خاطر آن است که مانند کدگذاری هافمن بهینه، ولی در احتمال وزن‌ها مانند کد گذاری رمزگذاری شانون-فانو الفبایی است.
کد هافمن Shannon-Fano مربوط به این مثال  است که در آن طول کد کلمه‌ها، همان مقداری است که در حل اصلی آمده‌است.