معیار کلی

معیار کِلی، استراتژی کِلی، فرمول کِلی، یا شرط کِلی فرمولی است در نظریهٔ احتمالات و انتخاب سرمایه‌گذاری میان‌مدت، که برای تعیین کردن اندازهٔ بهینهٔ شرط‌ها جهت بیشینه ساختن لگاریتم ثروت استفاده می‌شود. در اکثر سناریوهای شرط‌بندی، و بعضی سناریوهای سرمایه‌گذاری با ساده‌سازی مفروضات، استراتژی کِلی در بلندمدت از هر استراتژی اساساً متفاوتی بهتر عمل می‌کند. (منظور از بلندمدت، هر بازهٔ زمانی است که در آن تعداد شرط‌بندی‌های موفق به روی تعداد کل شرط‌بندی‌ها، برابر با احتمال آن است که هر شرط‌بندی داده‌شده موفق خواهد شد)
معیار کِلی برای شرط‌بندی روی یک مقدار از پیش تعیین‌شدهٔ دارایی‌ها است و می‌تواند برخلاف غریزه باشد. در یک مطالعه، به هر شرکت‌کننده ۲۵ دلار داده و از آن‌ها خواسته‌شد که روی یک سکه که در ۶۰ درصد مواقع شیر می‌آید، شرط‌بندی کنند. شرکت‌کننده‌ها ۳۰ دقیقه زمان داشتند؛ بنابراین، می‌توانستند حدوداً ۳۰۰ بار شرط‌بندی کنند؛ و جوایز تا محدودهٔ ۲۵۰ دلار بود. رفتار شرکت‌کننده‌ها از حالت بهینه بسیار دور بود. «به طرز قابل توجهی، ۲۸ درصد از شرکت‌کنندگان ورشکست شدند؛ و میانگین پرداخت‌ها تنها ۹۱ دلار بود. تنها ۲۱ درصد از شرکت‌کنندگان به بیشینهٔ جوایز رسیدند. ۱۸ نفر از ۶۱ شرکت‌کننده همهٔ دارایی خود را روی یک پرتاب سرمایه‌گذاری کردند، در حالی که دو سوم شرکت‌کنندگان در مواقعی از آزمایش، روی خط شرط‌بندی کردند.» با اسفاده از معیار کِلی و بر اساس شانس‌های آزمایش، بهترین رویکرد این است که ۲۰ درصد از دارایی را روی هر پرتاب شرط‌بندی کنیم؛ در صورت باخت، میزان شرط‌بندی را کاهش و در صورت برد، آن را افزایش دهیم.

پیشینه

جان کِلی، کسی که در آزمایشگاه بِل شرکت AT&T کار می‌کرد، در اصل معیار کِلی را برای کمک کردن به AT&T در مسائلی راجع‌به اختلالات سیگنال‌های تلفن از راه دور ابداع کرد. کمی بعد از آن‌که روش کِلی تحت عنوان «یک تفسیر جدید از نرخ اطلاعات» منتشر شد، جامعهٔ شرط‌بندی از آن مطلع شد و پتانسیل آن را برای ایجاد یک سیستم شرط‌بندی بهینه درک کرد. این سیستم به قماربازان امکان این را می‌داد که سرمایهٔ بانکی خود را در طول زمان بیشینه کنند. امروزه، خیلی از مردم از آن به عنوان یک سیستم مدیریت مالی کُلی در نه تنها شرط‌بندی، بلکه سرمایه‌گذاری استفاده می‌کنند.

اثبات

معیار کِلی، امید ریاضیلگاریتم دارایی را بیشینه می‌کند. ما با واحد سرمایه شروع می‌کنیم و کسر روی یک خروجی که با احتمال رخ می‌دهد و به ما واحد سود می‌دهد، شرط‌بندی می‌کنیم. احتمال بردن برابر با است؛ و در صورت برد، دارایی با برابر می‌شود. احتمال باختن برابر با است؛ و در صورت باخت، دارایی با برابر می‌شود؛ بنابراین، امید ریاضی لگاریتم دارایی() برابر است با:
برای پیدا کردن که امید ریاضی برای آن بیشینه باشد، از معادلهٔ بالا مشتق می‌گیریم و حاصل را برابر صفر قرار می‌دهیم:
از مرتب کردن معادلهٔ بالا، معیار کِلی به دست می‌آید:
برای اثبات کامل و دقیق،‌ به مقاله‌ی اصلی کلی مراجعه کنید.

معیار کِلی در عمل

معیار کِلی بر پایهٔ ریاضیات خالص بنا شده‌است؛ با این حال، عده‌ای از مردم می‌خواهند بدانند آیا سیستمی که در اصل برای تلفن‌ها ابداع شده در عمل در بازار بورس یا عرصهٔ شرط‌بندی مؤثر عمل می‌کند؟
با نشان دادن رشد شبیه‌سازی شدهٔ یک حساب تجاری بر مبنای ریاضیات خالص، یک نمودار سهام می‌تواند تأثیر این سیستم را اثبات کند. به عبارت دیگر، دو متغیر باید درست وارد شوند و باید فرض شود که سرمایه‌گذار قادر است این عملکرد را حفظ کند. به مثال زیر توجه کنید:
تصویر فوق فعالیت ۵۰ حساب تجاری شبیه‌سازی شده را به وسیلهٔ یک منحنی صوری نشان می‌دهد. میانگین مقدار برنده‌شده با میانگین مقدار از دست‌داده برابر است؛ با این حال، مردم قادر بودند که در ۶۰ درصد مواقع برنده شوند. معیار کِلی سپس به آن‌ها پیشنهاد می‌کند که ۱۹ درصد از کل دارایی خود را به هر سهم اختصاص دهند (حدود ۵ سهم در اختیار آن‌ها قرار می‌دهد). نتیجهٔ بازگشت سرمایه در بلندمدت برای همهٔ سرمایه‌گذاران مثبت بوده‌است (گرچه در کوتاه‌مدت بازه‌هایی مشاهده می‌شود که سرمایه در آن‌ها افت کرده‌است). بیش‌ترین نرخ بازگشت سرمایه ۱۴۰ درصد در طول ۴۵۳ واحد زمانی بوده‌است (از ۱۰۰ شروع شده و تا ۲۴۰ بالا رفته‌است). هر واحد زمانی نشان‌دهندهٔ مدت زمان بین معاملات یا خروجی‌های سیستم تجاری است.