گراف مسطح

نظریه‌های کوراتوسکی و واگنر

ریاضی دان لهستانی کازیمیر کوراتوسکی (Kazimierz Kuratowski) توصیفی از گراف‌های مسطح را تحت عنوان گراف‌های ممنوعه ارائه کرده‌است که امروزه تحت عنوان نظریه کوراتوسکی شناخته می‌شود.
یک گراف متناهی، مسطح است اگر و تنها اگر شامل زیرگرافی نباشد که آن زیرگراف، زیر بخشی از گراف K₅ (گراف کامل با ۵ راس) یا K3,3 (گراف کامل دوبخشی با ۶ راس که ۳ راس از آن در یک طرف به ۳ راس دیگر در طرف مقابل متصل اند) باشد.
یک زیر بخش از یک گراف نتیجه قراردادن رئوسی در میان یال‌هاست(برای مثال یال •——• به یال •—•—• تغییر یابد.) بدین ترتیب که این روند صفر مرتبه یا بیشتر تکرار شود. قواعد معادل این نظریه که تحت عنوان "نظریهٔ P" نیز شناخته می‌شوند می‌گویند: یک گراف متناهی مسطح است اگر و تنها اگر شامل زیر گرافی هم ریخت با K₅ یا K3,3 نباشند.
در شوروی نظریه کوراتوسکی تحت عنوان نظریهٔ Pontryagin-Kuratowski شناخته می‌شود زیرا گفته می‌شود که اثبات آن نخستین بار در دست نوشته‌های منتشر نشده Pontryagin بوده‌است. بنابر فهم‌های رایج آکادمیک چنین منابعی در اولویت قرار ندارند. از این رو نام روسی این نظریه به‌طور بین‌المللی مورد تأیید نیست.
به جای در نظر گرفتن زیربخش‌ها نظریهٔ واگنر با کهادها سر و کار دارد:
یک گراف مسطح است اگر و تنها اگر دارای K₅ یا K3,3 به عنوان کهاد نباشد.
واگنر به‌طور عمومی تری بیان کرد که هر دسته‌ای از بسته‌های کهاد با مجموعه‌ای محدود از کهادهای ممنوعه مشخص می‌شوند.این مسئله امروزه نظریه Robertson-Seymour نامیده می‌شود که در صفحات فراوانی این نظریه به اثبات رسیده‌است. در ادبیات این نظریه K₅ و K3,3 فرزندان ممنوعه‌ای برای دستهٔ گراف‌های مسطح متناهی هستند.

سایر ضوابط مسطح بودن

در عمل استفاده از معیارهای کوراتوسکی برای تشخیص سریع مسطح بودن یک گراف مشکل است. هر چند که الگوریتم‌های سریعی برای حل این مشکل وجود دارد: برای گرافی با n یال می‌توان در زمان O(n) (زمان خطی) تشخیص داد که آیا گراف مورد نظر مسطح است یا نه.
به عنوان یک مثال ساده یک گراف همبند مسطح با v راس وe یال قاعدهٔ سادهٔ زیر برای مسطح بودن گراف به کار گرفته می‌شود:
نظریه 1. اگر v ≥ 3 آن گاه e ≤ 3v-6
نظریه2. اگر  و هیچ دوری به طول 3 وجود نداشته باشد آن گاه e ≤ 2v-4
از این جهت گراف‌های مسطح گراف‌های پراکنده(کم پشت) هستند چرا که آن‌ها تنها دارای  یال هستند که بسیار کوچکتر از O(v²) است. برای مثال گراف K3,3 دارای 6 راس، 9 یال است و دوری به طول 3 ندارد. بنابراین طبق نظریهٔ 2 نمی‌تواند مسطح باشد. لازم به توجه‌است که این نظریه‌ها شرط‌های لازم برای مسطح بودن را بیان می‌کند نه شرط‌های کافی و به همین دلیل تنها می‌تواند برای اثبات مسطح نبودن یک گراف به کار گرفته شود و نه اثبات مسطح بودن آن. اگر هر دو نظریهٔ یک و دو شکست بخورند ممکن است روش‌های دیگری به کار گرفته شود.
برای دو گراف با v راس می‌توان در زمان  تشخیص داد که آیا آن دو هم ریخت هستند یا نه.

گراف‌های مسطح بیرونی

یک گراف، مسطح بیرونی نامیده می‌شود اگر در صفحه محاط شده باشد به گونه‌ای که رأس‌ها بر روی یک دایره قرار گرفته باشند و یال‌ها داخل قرصی از دایره قرار گرفته باشند و یکدیگر را قطع نکنند. به‌طور مشابه وجوهی وجود دارند که هر یک از رأس‌ها را دربرمی گیرند.هر گراف مسطح بیرونی یک گراف مسطح نیز هست اما عکس این مطلب درست نیست: گراف دومی که در مثال‌های بالا نشان داده شده‌است (K₄) یک گراف مسطح است اما گراف مسطح بیرونی نیست. این گراف کوچکترین گرافی است که مسطح بیرونی نیست. نظریه‌ای مشابه با نظریهٔ کوراتوسکی بیان می‌دارد که یک گراف متناهی، مسطح بیرونی است اگر و تنها اگر شامل زیرگرافی نباشد که بسطی از K₄ (گراف کامل با ۴ راس) یا K2,3 (گراف دوبخشی کامل با ۵ راس و ۶ یال)

ویژگی‌های گراف‌های مسطح بیرونی

تمام درخت‌ها متناهی یا نامتناهی شمارش پذیر، گراف مسطح بیرونی و از این رو گراف مسطح هستند.
یک گراف مسطح بیرونی بدون حلقه دارای یک راس با درجه حداکثر ۲ است.
تمامی گراف‌های مسطح بیرونی بدون حلقه را می‌توان با ۳ رنگ، رنگ آمیزی کرد. این حقیقت به‌طور برجسته‌ای در اثبات ساده شده نظریه Chvátal's art gallery توسط فیسک نشان داده شد. یک روش برای رنگ کردن گراف با سه رنگ می‌تواند به سادگی با برداشتن راس درجه ۲ و رنگ کردن باقی گراف به صورت بازگشتی و سپس اضافه کردن راس برداشته شده و رنگ کردن آن با رنگی متفاوت از دو راس همسایه‌اش صورت پذیرد.