متغیر ابزاری

متغیر ابزاری (به انگلیسی: Instrumental variable) برای تخمین اثر تصادفی تعدادی از متغیرهای x روی متغیر دیگری مثل y, یک ابزار متغیر سومی است مانند z است که y را فقط از طریق اثر خودش روی x تحت تأثیر قرار می‌دهد.
برای مثال فرض کنید که یک پژوهشگر تمایل دارد اثر تصادفی سیگار کشیدن را روی سلامت عمومی بررسی می‌کند. همبستگی بین سلامتی و سیگار کشیدن نشان می‌دهد که اثر تصادفی سیگار کشیدن روی سلامتی ضعیف نیست. دیگر متغیرها ممکن است هر دو تندرستی و سیگار کشیدن را تحت تأثیر قرار دهد. کنترل کردن آزمایش‌ها روی سیگار کشیدن در جمعیت عمومی بسیار پرهزینه است. محقق ممکن است که برای تخمین اثر تصادفی سیگار کشیدن روی سلامتی از طریق داده‌های مشاهده شده با استفاده از نرخ مالیات بر روی محصولات توتون به‌عنوان ابزاری برای سیگار کشیدن در یک رگرسیون سلامتی تخمین بزند.
ازآنجایی که مالیات بر توتون روی سیگار کشیدن اثرگذار است بنابراین روی سلامتی نیز اثر دارد، همبستگی بین مالیات بر توتون و سلامتی نشان می‌دهد که عوامل مؤثر بر سیگار کشیدن تغییر می‌یابد یک تخمین از اثر سیگار کشیدن روی سلامتی ممکن است از طریق همبستگی بین پارامترهای سیگار کشیدن و مالیات ایجاد شده باشد.

کاربردها

معمولاٌ روش IV برای تخمین اثر تصادفی متغیرهایی که در آزمایش‌های کنترل شده در دسترس نیستند استفاده می‌شود که اعتبار تخمین‌ها اشاره‌ای بر مجموعه ابزارهای مناسب است. اغلب ابزارهای مناسب از طریق تغییرات سیاسی ایجاد شده‌اند، برای مثال لغو برنامه‌های کمک هزینه تحصیلی و اعطای بورس فدرال به دانشجویان ممکن است اثرش در کمک به درآمد تعدادی از دانشجویان آشکار شود. آزمایش‌های طبیعی و نیمه‌طبیعی از انواع متفاوت به کار رفته‌اند برای مثال، که از شوک‌ها به منظور تععین اثرتغغیرات در رشد درآمدی شهروندان استفاده می‌کنند. مقاله‌ای در مورد تاریخچه و تکنیک‌های استفاده از متغیرهای ابزاری ارائه داده‌اند.

تعریف

در رگرسیون متغیر ابزاری اگر ما چند رگرسور برونزا  و چند ابزار   و ضرایب مربوط به رگرسیون‌های برونزا که   هستند را در نظر بگیریم گفته می‌شود:
Exactly identified if m = k.
Overidentified if m > k.
Underidentified if m < k.
پارامترها تعریف نشده‌اند اگر تعداد ابزارها کمتر از متغیرهای کمی‌باشند.

تفسیری بر برآوردهای متغیر ابزاری

اثرات تصادفی مورد نظر روی مشاهدات یکسان است و β ثابت است. موضوعات متفاوت به تغییرات رویه‌ای واکنش نشان می‌دهند. ممکن است که تأثیر تغییرات ناشی از یک واحد X بر روی Y در جامعه متفاوت با زیرجامعه باشد. برای مثال میانگین اثرات ناشی آموزش شغلی به گروهی که این آموزش را دریافت می‌کنند و گروهی که آن را دریافت نمی‌کنند متفاوت است7.
تخمین زن IV می‌تواند رویه میانگین تأثیرات موضعی LATE را بهبود می‌بخشد بیش از آنکه بتواند رویه میانگین تأثیرات ATE را بهبود می‌بخشد توضیح می‌دهد که تخمین خطی IV می‌تواند تحت شروط ضعیفی به عنوان میانگین وزنی از میانگین رویه تأثیرات  موضعی باشد. به طوری که وزن‌ها به کشش رگرسور برونزا برای تغغیر در متغیرهای ابزاری بستگی دارد. این بدان معنی است تأثیر یک متغیر فقط برای زیر مجموعه‌ای متاثر از تغییرات مشاهدهشده در ابزارها آشکار شده‌است وزیر مجموعه‌ای که بیشترین واکنش را به تغییرات در ابزارها نشان می‌دهد بیشترین اثر را بر روی اندازه برآورد IV خواهد داشت.

مشکلات بالقوه

به  طور کلی اگر ابزارها با جزء خطا در معادله هدف همبستگی داشته باشند در این صورت تخمین‌های آن‌ها ناسازگار خواهد بود. مشکل دیگر مربوط به ابزارهای ضعیف است که پیش‌بینی خوبی ارائه نمی‌دهند. در این صورت مقادیر پیش‌بینی شده تا حد کمی متفاوت هستد. در نتیجه وقتی آن‌ها را در معادله دوم جایگزین می‌کنیم احتمال کمی وجود دارد که بتوان نتیجه نهایی را با موفقیت پیش‌بینی کنیم.

ویژگی‌های نمونه‌گیری و آزمون فرضیه

زمانی که متغیرهای کمی برونزا باشند در این صورت می‌توانیم ویژگی‌های نمونه کوچک را می‌توان از تخمین زن OLS به‌طور مستقیم از طریق محاسبه گشتاورهای تخمین زن شرطی روی X به دست آوریم. زمانی که تعدادی از متغیرهای کمی برونزا هستند از تخمین متغیرهای ابزاری استفاده می‌شود وتفسیری که برای گشتاورها ی تخمینزن وجود دارد ساده نیست. به‌طور کلی تخمین زن متغیرهای ابزاری در صورتی که نمونه محدود نباشد دارای مجانب مطلوبی هستند که بر اساس تقریب مجانبی در توزیع نمونه‌گیری تخمین زن را به دست می‌آوریم. حتی زمانی که ابزارها با جزء خطا در معادله هدف همبستگی ندارند و ابزارها نیز ضعیف نیستند ممکن است خصوصیات تخمین زن متغیر ابزاری در یک نمونه کوچک ضعیف باشد. برای مثال اگر نمونه کوچک باشد در این صورت آرمون‌های آماری مربوط به نرمالیزه کردن با اختلال مواجه می‌شود وتخمین‌های به دست آمده با مقدار واقعی پارامترها متفاوت خواهد بود.

آزمون قدرت ابزار و محدودیت‌های بیش از حد تعیین شده

قدرت ابزارها می‌تواند مستقیماٌ ارزیابی شود زیرا متغیرهای کمی برونزا  وابزارها هر دو قابل مشاهده‌اند. یک قانون شست برای مدلهایی که یک رگرسور درونزا دارند استفاده از آماره F است. این فرض که ابزارها با جزء خطا در معادله هدف مرتبط نیستند در مدل‌های به‌طور دقیق تعریف شده قابل آزمون نیست. اگر مدل بیش از حد تعریف شده باشد در این صورت اطلاعاتی موجود است که می‌توان با استفاده از آن این فرض را آزمون کرد. که رایج‌ترین آزمون‌های مربوط به محدودیت‌های بیش از حد تعین شده Sargan test  است که بر اساس مشاهداتی است که در آن باید باقیمانده‌ها با مجموعه متغیرهای برونزا هم بستگی نداشته باشند اگر ابزارها واقعاٌ برونزا باشند. آماره آزمون Sargan می‌تواند به صورت  (تعداد مشاهدات ضرب در دترمینان ضرایب) که از رگرسیون OLS باقیمانده‌ها بر روی مجموعه‌ای از متغیرهای برونرا به دست می‌آید. این آماره مشابه چی اسکور با درجه آزادی  m-k    است. وتحت فرض صفر در آن ابزارها با جزء خطا هم بستگی ندارند.