تحلیل شبکه (مدارهای الکتریکی)

تابع شبکه یکی از مقولات مهم دانشگاهی در زمینه فیلتر و سنتز مدار است. این مقوله در رشته‌های مختلف ازجمله رشته برق (شاخه الکترونیک) کاربرد دارد. همچنین این مقوله یکی از مقوله‌های مهم در ایجاد شبکه‌های مدار و سنتز مدارها است.
تابع شبکه، تبدیل لاپلاس پاسخ ضربه بوده و نسبت دو چند جمله‌ای از فرکانس‌های مختلطs است. قبل از توضیح خواص توابع شبکه، چند خاصیت از چند جمله‌ای‌های متغیر مختلط s را در ارتباط با آن‌ها مرور می‌کنیم.

چند جمله‌ای‌های متغیر مختلط

چند جمله‌ای p₍ₛ₎ زوج است اگر مجموع توان‌هایش زوج بوده و فرد است اگر مجموع توان‌هایش فرد باشد. مثلاً p₁₍ₛ₎ و p₂₍ₛ₎ چند جمله ای‌های زوج و p₃₍ₛ₎ و p₄₍ₛ₎ چند جمله ای‌های فرد هستند:
P₁₍ₛ₎=as⁶+bs²+c
P₂₍ₛ₎=ds²⁰+e
P₃₍ₛ₎ = fs⁵+gs³+hs
P₄₍ₛ₎ = ks⁷+ls³
a,b,c,d,e,f,g,h,k,l، همگی ضرایب ثابت هستند. توجه شود که اگر M(S) چند جمله‌ای زوج و N(S) چند جمله‌ای فرد باشد داریم:
M₍ₛ₎ =M₍₋ₛ₎
N₍ₛ₎= -N₍₋ₛ₎
چند جمله‌ای P(S) را در نظر بگیرید:

  
P(S) = a₀ + a₁s¹ + a₂s² + a₃s³ + a₄s⁴ + a₅s⁵+...
همواره می‌توان چند جمله‌ای P(S) را به صورت مجموعی از چند جمله‌ای‌های زوج و فرد نوشت:
P(S) = (a₀ + a₂s² + a₄s⁴ + …) + (a₁s + a₃s³ + a₅s⁵ + …)
M(S)+N(S) (3)

که 
M(S) = a₀ + a₂s² + a₄s⁴+...
 و
N(S) = a₁s +a₃s³ + a₅s⁵+...
به ترتیب قسمت‌های زوج و فرد P(S) نامیده می‌شوند. با توجه به (۱) و (۲) داریم:
(۴) P(-S) = M(-S) + N(-S) = M(S) - N(S)
در اینجا، تمامی ضرایب چند جمله‌ای مورد بحث، حقیقی هستند. با این شرط، خواص زیر را برای چند جمله ای‌های متغیر مختلط S داریم:
۱- اگرP(S) چند جمله‌ای از S باشد، آنگاه:
P(S) = P(S)
که ā به مزدوج مختلط a اشاره دارد.
۲- اگر M(S) چند جمله‌ای زوج باشد، با رابطهٔ (۱) و (۵) داریم:
(۶) M(jw) = M(jw) = M(-jw) = M(jw)
که تساوی اول رابطهٔ (۶)طبق (۵)و تساوی آخر (۶)براساس (۱)می‌باشد. با رابطهٔ (۶) می‌توان گفت M(jW) مقداری حقیقی برای تمام w هاست.
۳- اگرN₍ₛ₎ یک چند جمله‌ای فرد باشد، با رابطهٔ (۱) و (۵) داریم:
(۷) N(jw) = N(jw) = N(-jw) = -N(jw)
پس N(jw) مقدار موهومی خالص بوده و N(jw) را می‌توان به شکل زیر نوشت:
N(jw) = jX(w) (8)
که X(w) تابع حقیقی از متغیر حقیقی w است.
۴- اگر sk یک ریشهٔ P(S) باشد یعنی:
P(Sk) = M(Sk) = N(Sk) = ۰
که M(S) و N (S)به ترتیب بخش‌های زوج و فرد P(S) هستند، پس (Sₖ-)یک ریشهٔ P(-S)=M(S)-N(S) می‌باشد. واضح است که عکس آن نیز صادق می‌باشد. پس داریم:
قضیهٔ 1: Sₖ یک ریشهٔ [M(S)+N(S)] است اگر و تنها اگر (Sₖ-) ریشهٔ  [M(S)-N(S)] باشد، به‌طوری‌که M(S) چند جمله‌ای زوج و N(S) چند جمله‌ای فرد است.
۵- تابع مربع دامنه P(S)=M(S)+N(S) که M(S) بخش زوج و N₍ₛ₎ بخش فرد P₍ₛ₎ است، عبارتست از:
P(jw)|2 = P(S)P(-S)|s=jw
(<M(S) + N(S) M(S) - N(S)|s=jw
(<M2(jw) - N2(jw)= (M2(S) - N2(S)(jw)(jw)(jw) و N2(jw) حقیقی هستند و برای همه wها، M2(jw)≥۰و N2(jw)≤۰ می‌باشد. در نتیجه:
(۱۰) برای تمام wها P(jw)|2 ≥ ۰|
به علاوه می‌توانیم نتیجه بگیریم که |P(jw)|2 یک چند جمله‌ای از w2است؛ و این معادل با این است که |P(jw)|2 یک چند جمله‌ای زوج برای متغیر حقیقی w است.
۶- ریشه‌های M2(S) - N2(S) = f₍ₛ₎ = [P(S)P(-S)] تقارن چهار تایی دارند، یعنی:
الف- ریشه‌های روی محور حقیقی صفحه sبه صورت جفت ۱σ و)۱σ-) هستند.
ب- ریشه‌های روی محور موهومی صفحهٔ sبه صورت مضارب زوج از جفت مزدوج مختلط هستند.]یعنی اگر jw1 یک ریشهٔ f₍ₛ₎ باشد، آنگاه jw1 و(jw1) ریشه‌های دوتایی یا چهارتایی یا… f₍ₛ₎ هستند[
ج- ریشه‌های مختلط چهارتایی هستند. ]یعنی اگرjw1 +1σ یک ریشهٔ P(S)P(-S) و ۰≠۱σ و ۰≠w1، آنگاه jw1 -1σ ،jw1) +1σ-(، jw1) -1σ-(نیز ریشه‌های P(S)P(-S) هستند.
این خاصیت مکانی ریشه‌ها در شکل ۱ نشان داده شده‌است. خواص تقارن چهارتایی ریشه‌های P(S)P(-S) به کمک قضیهٔ ۱ اثبات می‌شود.

تابع شبکه

فرض کنید F(s) یک تابع شبکه باشد که می‌تواند تابع نقطه تحریک(DP)امپدانس یا ادمیتانس یک المان ۱ پورتی یا تابع انتقال بین ورودی و خروجی یک شیکه ۲ پورتی باشد. سپس F(s) یک تابع کسری از s با ضرایب حقیقی بوده و می‌تواند به صورت نسبت دو چند جمله‌ای به صورت زیر نوشته می‌شود:
(۱۱)
F(s)=A(s)/B(s) = (∑_(i=0)^n▒〖s^i a〗_(i))/(∑_(i=0)^m▒s^i b_i)= (M_(1(s)) 〖+N〗_1(s))/(M_(2(s)) 〖+N〗_2(s))
که A(S) و B(S)  به ترتیب چند جمله ای‌های صورت و مخرج F(s); M₁(s) و N₁(s) به ترتیب بخش‌های زوج و فرد A(s); M₂(s) و N₂(s) به ترتیب بخش‌های زوج و فرد B(S) هستند.
با ضرب F(s) در B(-s)/B(-s) داریم:
(۱۲)
F(s)=(A(s)B(-s))/(B(s)B(-s))=(M_1(s) 〖+N〗_1(s) 〖M〗_2(s) -N_2(s))/(M_(2(s))^2-N_(2(s))^۲)
F(s)= (M_(1(s)) M_(2(s))- N_(1(s)) N_(2(s)))/(M_(2(s))^2-N_(2(s))^2)+(N_(1(s)) M_(2(s))- N_(2(s)) M_1(s))/(M_(2(s))^2-N_(2(s))^2)
توجه شود که بخش اول(۱۲)یک تابه زوج است.
M(s)≜ (M_(1(s)) M_(2(s))- N_(1(s)) N_(2(s)))/(M_(2(s))^2-N_(2(s))^2)
(۱۳)
M(s)≜ (M_(1(-s)) M_(2(-s))- N_(1(-s)) N_(2(-s)))/(M_(2(-s))^2-N_(2(-s))^2)
و بخش دوم، تابع فرد است،
N(s)≜(N_(1(s)) M_(2(s))- N_(2(s)) M_1(s))/(M_(2(s))^2-N_(2(s))^2)
(۱۴
N(s)≜(〖-N〗_(1(-s)) M_(2(-s))+ N_(2(-s)) M_1(-s))/(M_(2(-s))^2-N_(2(-s))^۲)
به این ترتیب، M(S) و N(S) به ترتیب به عنوان بخش‌های زوج و فرد تابع کسری F(S) رابطهٔ (۱۱) نامیده می‌شود. با قرار دادن S=jw، روابط (۱۳) و (۱۴) نشان می‌دهد که M(jw) حقیقی و N(jw) موهومی خالص است. در نتیجه:
M(jw) = Re [F(jw)] , N(jw) = j Im [F(jw)] (15)
از رابطه(۱۵)در می‌یابیم که با داشتن بخش حقیقی{موهومی}F(S)می توان بخش زوج {فرد}F(S)را به دست آورد و برعکس

بخش‌های زوج و فرد

با فرض تحلیلی بودن F(s) در RH صفحهٔ s، چنانچه بخش حقیقی یا موهومی تابع F(s) معلوم باشد، به کمک تبدیل هیلبرت می‌توان کل تابع را مشخص نمود. به علاوه اگر F(s) مینیمم فاز باشد، به کمک تبدیل هیلبرت با داشتن تابع دامنه یا تأخیر گروه (فاز) می‌توان به F(s) دست یافت. در هر صورت مشکلات محاسبهٔ انتگرال‌های تبدیل هیلبرت، کاربرد آن را کم می‌کند. در این بخش روش‌های جایگزین برای به دست آوردن تابع شبکه با در دست داشتن یکی از دو بخش حقیقی (زوج) یا موهومی (فرد) آن توضیح داده می‌شود. حالت دوم که با داشتن تابع دامنه و فاز است، در قسمت بعدی توضیح داده خواهد شد. فرض کنید F(s) یک تابع شبکه به شکل زیر نوشته شود:
(۱۶)
F(s)=A(s)/B(s) = (∑_(i=0)^m▒〖s^i a〗_(i))/(∑_(i=0)^n▒s^i b_i)= (M_(1(s)) 〖+N〗_1(s))/(M_(2(s)) 〖+N〗_2(s))= M_((s)) 〖+N〗_((s))
که
(۱۷)
M(s)=(M_(1(s)) M_(2(s))- N_(1(s)) N_(2(s)))/(M_(2(s))^2-N_(2(s))^2)
و
(۱۸)
N(s)=(N_(1(s)) M_(2(s))- N_(2(s)) M_(1(s)))/(M_(2(s))^2-N_(2(s))^2)
فرض کنید که M(S) بخش زوج تابع شبکه F(s) به شکل زیر داده شده باشد:
(۱۹)
M_((s))=C_((s))/D_((s))
بدون از دست دادن عمومیت قضیه، فرض کنید D(S) یک چند جمله‌ای زوج با تقارن چهار تایی ریشه‌ها باشد.
(۲۰)
D(s) = M²(s) - N²(s)
D(s) = [M₂(s) + N₂(s)] [M₂(s) - N₂(s)]
D(s) = [M₂(s) + N₂(s)] [M₂(-s) + N₂(-s)]
D(s) = B(s) B(-s)
پس می‌توان محور موهومی صفحه sرا به عنوان مرز تقسیم‌کننده قطب هایLH یا RH در نظر گرفت که نیمی به B(s) و نیم دیگر به B(-s) نسبت داده می‌شود. از نظر ریاضیاتی، مهم نیست کدام ریشه‌ها به B(s) نسبت داده می‌شوند. از نظر مهندسی، ترجیح داده می‌شود که با توابع شبکه پایدار (که هیچ قطبی در RH صفحه s ندارد) کار شود. در نتیجه، قطب‌های LH صفحه s مربوط به D(s) را به B(s) و قطب‌های RH صفحه s آن را به B(-s) نسبت می‌دهیم. از D(s) که مخرج M(s) است در یافتن مخرج تابع شبکه مورد نظر F(s) استفاده می‌شود.
با دانستنM₂(s) + N₂(s)  = B(s)، چند جمله‌ای صورت یعنی
با مجموعه‌ای از ضرایب نامعلوم aᵢ با i=۰٬۱٬۲,…,m را در نظر می‌گیریم تا
(۲۱)
F(s)= (∑_(i=0)^m▒〖s^i a〗_(i))/(M_(2(s)) 〖+N〗_2(s))
را تشکیل می‌دهیم. با مقایسهٔ صورت بخش زوج رابطهٔ فوق و C(s) صورت تابع داده شده M(s)، یک سیستم از معادلات هم‌زمان با m+1 مجهول (شامل aᵢ‌ها) را تشکیل می‌دهیم. با حل این سیستم، مقادیر aᵢ‌ها به دست می‌آید و F(s) به‌طور کامل مشخص می‌شود.
چنانچه N(s) بخش فرد یک تابع شبکه F(s) داده شده باشد، با استفاده از رابطهٔ ۱۸ به جای ۱۷، می‌توانیم یک F(s) پایدار به روش مشابه حالتی که M(s)معلوم باشد، را بدست می‌آوریم. اکنون روال ساخت را به صورت زیر خلاصه می‌کنیم:

روال ساخت ۱

۰- بخش فرد{زوج} تابع داده شده F(s) را به صورت زیر در نظر بگیرید:
〖N_((s)) M〗_((s))=C_((s))/D_((s))
که D(s) با ریشه‌های متقارن چهار تایی فرض می‌شود.
۱- ریشه هایM²(s) - N²(s) 'را از روی چند جمله‌ای D(s)به دست آورید.
۲- ریشه‌های LH صفحه s را بهM₂(s) + N₂(s)  = B(s) نسبت دهید. با ضرب همهٔ فاکتورهای ریشه‌ها در یکدیگر، چند جمله‌ای B(s) به شکل زیر حاصل می‌شود:
B(s)=∑_(i=0)^n▒s^i b_i
پسM₂(s) وN₂(s) که به ترتیب بخش‌های زوج و فرد B(s) هستند، مشخص می‌شوند.
۱- فرض کنید که aᵢ‌ها ضرایب مجهول هستند. M₁(s) و N₁(s) را از رویA(s) تشکیل دهید. توجه کنید که درجه mاز مقایسه C(s)، که صورت N(s) {M(s)} است با رابطهٔ (۱۸){(۱۷)} به دست می‌آید.
۲- چند جمله‌ای {[M₁(s)M₂(s)-N₁(s)N₂(s)]} [N₁(s)M₂(s)-N₂(s)M₁(s)] را تشکیل دهید. این چند جمله‌ای را باC(s) مساوی قرار دهید. حاصل این تساوی مجموعه k معادله هم‌زمان با m+1 مجهول می‌باشد که 1<<k<<m+۱ است. مجهولات ضرایب A(s) هستند.
۳- دستگاه معادلات مرحله ۴ را برای aᵢ‌ها (i=۰٬۱٬۲,…,m) حل کنید و سپس F_((s))=A_((s))/B_((s))
را تشکیل دهید.

توابع فاز و دامنه

روال ساخت شرح داده شده در بخش قبل روشی برای به دست آوردن F(S)با معلوم بودن بخش زوج و فرد آن را ارائه می‌دهد. این روش مشابه تبدیل هیلبرت در ایجاد ارتباط بین بخش‌های حقیقی و موهومی F(S)می‌باشد. چون تبدیل هیلبرت این مطلب را بیان می‌کند که چنانچه تابع زاویه فاز یا تابع تلفات معلوم باشد (البته وقتی F(S)مینیمم فاز باشد)، F(S) کاملاً معین می‌شود. یک سؤال در اینجا پیش می‌آید. چنانچه تابع فاز یا تابع تلفات یک شبکه مینیمم فاز F(S)معلوم باشد، آیا F(S)می‌تواند بدون استفاده از انتگرال‌های هیلبرت به‌طور یکتا ساخته شود؟ پاسخ مثبت است. روال ساخت هر یک از این‌ها کاملاً با یکدیگر متفاوت است که هرکدام را جداگانه بررسی می‌کنیم.
تابع شبکه روابط (۱۶) تا (۱۸) را در نظر بگیرید. به کمک رابطهٔ (۱۵) داریم:
〖φ(w)=-tan〗^(-1) (ImF(jw))/(ReF(jw))
〖φ(w)=-tan〗^(-1) N(jw)/jM(jw)
〖φ(w)=-tan〗^(-1) (N_(1(jw)) M_(2(jw))- N_(2(jw)) M_(1(jw)))/(M_(1(jw)) M_(2(jw))- N_(1(jw)) N_(2(jw)))
(۲۲)
〖φ(w)≜-tan〗^(-۱) φ_(0(s))/〖jφ〗_(e(s)) _(s=jw)
که
(۲۳)
φ_(0(s))≜N_(1(s)) M_(2(s))- N_(2(s)) M_(1(s))
و
(۲۴)
φ_(e(s))≜M_(1(s)) M_(2(s))- N_(1(s)) N_(2(s))
توجه شود که یک چند جمله‌ای زوج و چند جمله‌ای فرد می‌باشد. چنانچه این دو را با هم جمع کنیم داریم:
φ_0(s) 〖+φ〗_(e(s))=M_(1(s)) M_(2(s))+N_(1(s)) M_(2(s))- N_(1(s)) N_(2(s))- N_(2(s)) M_1(s)
φ_0(s) 〖+φ〗_(e(s))=M_1(s) 〖+N〗_1(s) 〖M〗_2(s) -N_2(s)
(۲۵)
φ_0(s) 〖+φ〗_(e(s))=A_((s)) B_((-s))
رابطهٔ فوق کلید ساخت F(S)است. اگر فرض شود که F(S)مینیمم فاز می‌باشد، یعنی همه صفرها و قطب‌های F(S)در LH صفحه s هستند. یعنی:
۱- همه ریشه‌های چند جمله‌ای A(S)درLH صفحه s واقع‌اند.
۱- همه ریشه‌های چند جمله‌ای B(S)در LH صفحه s قرار دارند. طبق قضیهٔ ۱، همه ریشه‌های چند جمله‌ای B(-S) در RH صفحه s واقع خواهند بود.
از این رو، معادله (۳–۶۳)روال ساخت F(S)(مینیمم فاز) را به شکل زیر ارائه می‌کند: