نظریه ارگودیک

در ریاضیات، به یک تبدیل اندازه‌نگهدار T در فضای احتمال، ارگودیک گفته می‌شود اگر تمام مجموعه‌های اندازه‌پذیر ثابت تحت T دارای اندازه‌های ۰ یا ۱ باشند. یک عبارت قدیمی‌تر برای این خاصیت تراگذری متریک بوده‌است. نظریهٔ ارگادیک و مطالعات تبدیلات ارگادیک، در کنار تلاش‌های صورت گرفته برای اثبات فرضیه ارگادیک از فیزیک آماری به وجود آمده‌است.
نظریه ارگودیک مربوط به شاخه‌ای از علم ریاضیات است که سیستم‌های پویا با یک معیار ثابت ومسائل مربوط به آن‌ها را بررسی می‌کند. این نظریه در ابتدا توسط مسائل مربوط به فیزیک آماری توسعه یافت. یک جنبه اصلی نظریه ارگودیک مربوط به رفتار سیستم‌های پویا در بلند مدت است. اولین نتایجی که در این زمینه به دست آمد مربوط به نظریه بازگشتی Poincaré است. تئوری که ادعا دارد اغلب نقاط در هر زیر مجموعه‌ای از فضای حالت سرانجام دوباره به مجموعه بازمی‌یابد. بیشتر اطلاعات دقیق از طریق نظریات متنوع ارگودیک فراهم شده‌است. این نظریات بیان می‌کنند که تحت شرایط خاص میانگین زمانی یک تابع در طول مسیرهایی که تقریباً در همه جا وجود دارند و مر بوط به میانگین فضایی است. از مهم‌ترین مثال‌های مربوط به نظریه ارگودیک به Birkhoff و von Neumann برای انواع خاصی از سیستم‌های ارگودیک، میانگین زمانی تقریباً برای تمام نقاط ابتدایی یکی است: از لحاظ آماری می‌توان گفت سیستمی که شامل یک روند بلند مدت است حالات ابتدایی اش را فراموش می‌کند. مسئله مربوط به اندازه‌گیری در طبقه‌بندی کردن سیستم‌ها بخش مهمی از نظریه ارگودیک است. نقش برجسته نظریه ارگودیک وکاربرد آن در فرایندهای تصادفی از طریق مفاهیم متنوعی از واحد اندازه‌گیری ترمودینامیک در سیستم‌های پویا ارائه می‌شود. مفاهیم ergodicity و فرضیات ارگودیک از مفاهیم اصلی کاربردی نظریه ارگودیک هستند. ایده تحت بررسی این است که در سیستم‌های خاص میانگین زمانی به‌طور متوسط در طول تمام فضا یکسان است. کاربرد نظریه ارگودیک در دیگر شاخه‌های علوم ریاضی معمولاً سیستم‌هایی با ویژگی‌های خاص ایجاد کرده‌است.

ریشه لغت ارگودیک

کلمه ارگودیک از کلمه یونانی έργον and όδος مشتق شده‌است. Boltzmann زمانی که روی یک مسئله در زمینه مکانیزم‌های آماری کار می‌کرد این کلمه را انتخاب کرد.

همگرایی میانگین‌های ارگودیک در مقیاس‌های 
  
    
      
        
          L
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle L^{p}}

فرض کنید که  به عنوان فضای احتمالی بالا با تبدیل حفظ کننوه اندازه‌گیری T باشد وفرض کنید که . میانگین شرطی نسبت به مجموع جبری σ،  از T مجموعه نا متغیر یک تصویرگر خطی  با اندازه ۱ از فضای Banach  به زیر فضای بسته  است؛ که بعداً ممکن است به عنوان فضایی از همه Tهای نا متغیر توابع  روی X طبقه‌بندی شود. همچنین میانگین‌های ارگودیک به عنوان اپراتورهای خطی روی  دارای یک اپراتور با اندازه واحد است. به عنوان یک تنیجه‌گیری ساده از قضیه Birkhoff–Khinchin همگرایی به تصویر گر  در توپولوژی اپراتور قوی   است اگر  و در توپولوژی اپراتور ضعیف است اگر  باشد.
اغلب این درست است که داشته باشیم:  قضیه حالت‌های همگرایی تسلطی ارگودیک مربوط به Wiener–Yoshida–Kakutani بیان می‌کند که میانگین‌های ارگودیک از   در مسلط شده‌است. به هر حال اگر  باشد ممکن است میانگین‌های ارگودیک از  مسلط نشده باشد.
سرانجام اگر فرض شود که f در طبقه Zygmund است یعنی  انتگرال پذیر باشد در این صورت حد متوسط ارگودیک حتی در  تسلط یافته‌است.

زنجیر ه‌های Markov

در یک زنجیر ه Markov یک عبارت  به صورت ارگودیک است اگر نا دوره‌ای وبر گردنده مثبت باشد. اگر تمام عبارات در زنجیره Markov
به صورت ارگودیک باشند در این صورت زنجیره ارگودیک است.

تجزیه ارگودیک

متعقابا اینکه ergodicity یک سیستم پویا یک ویژگی خاص تحویل نا پذیر است وابسته به مفهوم نمایش غیرقابل تقلیل جبری وعدد اول در ریاضیات است. یک تبدیل حفظ‌کننده اندازه‌گیری یا جریانی روی فضای ergodicity مطابق با یک تجزیه متعارف به اجزای ارگودیک آن است یعنی به هر کدام از اجزایی که ارگودیک هستند.