Muutkond

Sissejuhatus

Heaks näiteks muutkondade mõistmisel on raskused, mis tekivad Maa pinna kujutamisel tasandil. Sellepärast ongi muutkondadega seotud terminoloogiasse laenatud kartograafia valdkonna sõnu.

Kaardid

Maapinnal orienteerumiseks kasutatakse kaarte, millest on kokku pandud atlased. Kaardi äärel on järgmise kaardiga mõtteliseks kokkukleepimiseks vajalik info. Selliseks kokkukleepimiseks on tarvis teatud liiasust: näiteks võib Moskva figureerida nii Euroopa kui ka Aasia kaardil. Samamoodi saab muutkonna kirjeldamiseks kasutada matemaatilist kaardi ja atlase mõistet: kaardid on kogutud atlasesse, näidates, kuidas ühelt kaardilt teisele üle minna (kaarti vahetada). Gloobus annab tüüpilise muutkonna näite, sest teda saab kujutada kartograafiliste kaartide kogumi abil.
  
Kaart on muutkonna osa, mis on analoogne vektorruumi osaga; kaartide vahetused näitavad, kuidas need muutkondade osad omavahel koos käivad. Nii võib ringjoone kirjeldamisel võtta kaartideks kaared, mis osalt kattuvad; kaartide vahetus annab teada, kuidas toimub kattumise piirkonnas kokkukleepimine. 
Muutkonda ei ole üldjuhul võimalik kirjeldada üheainsa kaardi abil, sest muutkonna globaalne ehitus erineb eeskujuks oleva ruumi ehitusest. Näiteks ei saa ükski "lame" kaart kogu Maad adekvaatselt kirjeldada. 
Muutkonnad on topoloogilised ruumid ja nende topoloogia on üheselt määratud vastavate atlastega.
Olenevalt kaartide vahetuse rakendustest on muutkonnal tugevam või nõrgem struktuur, näiteks topoloogiline muutkond, diferentseeruv muutkond, sümplektiline muutkond, lokaalselt lame muutkond. Topoloogilise muutkonna puhul tähendab atlase defineerimine lihtsalt niisuguse topoloogia defineerimist, milles piisavalt väikesed lahtised hulgad langevad kokku. Mainitud peenemate struktuuride puhul ei ole defineerimine ilma kaartide kasutamiseta võimalik.

Abstraktne muutkond ja alammuutkond

Paljud tasandi või kolmemõõtmelise ruumi alamhulgad saab loomulikul moel varustada muutkonna struktuuriga: ringjoon, silinder, kerapind, Möbiuse leht jne. Neid nimetatakse alammuutkondadeks ehk sisestatud muutkondadeks. Peale selle räägitakse abstraktsetest muutkondadest, mis konstrueeritakse ilma, et neid vaadeldaks alammuutkondadena. Kõige lihtsam näide on n-mõõtmeline projektiivne ruum: see on lihtsalt kõigi selliste sirgete hulk, mis läbivad koordinaatide alguspunkti vektorruumis mõõtmega n + 1. Teine näide on Kleini pudel, mis on joonisel kujutatud ebatäielikul kujul. Näitlikustamiseks tuleb ette kujutada, et klaassepp võtab tavalise pudeli, teeb põhja sisse augu, pikendab pudeli kaela, teeb selle kõveraks, ajab selle maagiliselt pudeli külje seest läbi ning ühendab augu kohast põhjaga. Kleini pudelit saab kirjeldada kaartide ja koordinaatide süsteemi abil, mida siin on kujutatud meridiaanide ja paralleelide võrgustikuna (tegu on kahemõõtmelise muutkonnaga). 
Whitney sisestamisteoreem näitab, et iga n-mõõtmelist abstraktset muutkonda saab esitada piisavalt suure mõõtmega (nimelt 2n) muutkonna alammuutkonnana. Nii näiteks ei saa (2-mõõtmelist) Kleini pudelit sisestada 3-mõõtmelisse ruumi, küll aga moodustab ta 4-mõõtmelise ruumi alammuutkonna.
Abstraktsed muutkonnad võivad algul tunduda ülearustena, kuid "ümbritseva ruumiga" mittearvestamisel on oma eelised. Näiteks ei nõua paljud uute muutkondade konstrueerimise viisid (näiteks faktormuutkondade moodustamine ja muutkondade kokkukleepimine) ümbritseva ruumiga arvestamist. Kuigi teoreetiliselt on konstrueeritud muutkondi võimalik esitada mõne vektorruumi alammuutkondadena, ei ole praktikas otstarbekas seda teha ja see ei pakuks mingit huvi.

Ajalugu

Siin on visandatud muutkonna mõiste tekkelugu. Selle mõiste rakendamise ajaloost matemaatika eri harudes (näiteks Riemanni geomeetria, sümplektiline geomeetria) on üksikasjalisemalt juttu nendele harudele pühendatud artiklites.

Sisegeomeetria esimesed tulemused

Raske on öelda, millal geomeetrid hakkasid sisegeomeetria vastu spetsiaalset huvi tundma. Vana-Kreekas püstitati ülesandeid, mis puudutasid mõne tasandil või ruumis defineeritud ja paigutatud punktihulga omadusi. Seega oli küsimuseasetus eksplitsiitselt välisgeomeetriline. 
Traditsiooniliselt omistatakse Leonhard Eulerile ühe kumerate hulktahukate omaduse avastamine. Tähistame kumera hulktahuka tippude, servade ja tahkude arvu vastavalt P, V ja K; Euleri teoreem hulknurkadest (Euleri valem) ütleb, et P – V + K = 2. See tulemus on seda üllatavam, et pole tarvis arvestada ei pikkuste ega pindaladega. See valem kehtib ka kerapinna triangulatsiooni puhul. See on pinna Euleri karakteristiku arvutamise esimene näide. 
Aastal 1813 leidis Simon Antoine Jean L'Huilier, et mittekumera hulktahuka puhul (millel on näiteks augud, nagu näiteks tooril on üks auk) kehtib modifitseeritud Euleri valem P – V + K= 2 – 2g, kus g on aukude arv. See oli esimene kord, kui arvutati topoloogiline invariant, mis võimaldab ruumi pindu klassifitseerida. Vaateviis jääb siiski välisgeomeetriliseks, sest auke vaadatakse väljastpoolt. Kuidas saab rehvis kõndiv sipelgas kujutleda auku? 
Carl Friedrich Gauss tõestas "märkimisväärse tulemuse" (theorema egregium): ruumi pinna Gaussi kõverus ei sõltu viisist, kuidas pind on ümbritsevasse ruumi sisestatud.
Gaussi-Bonnet' valem, mille formuleeris Gauss ja mille tõestas 1848 Pierre-Ossian Bonnet, väljendas Euleri karakteristiku kõveruse kaudu; see näitab, et geomeetrilised ja topoloogilised kaalutlused käivad käsikäes.

Veidrate omadustega uued ruumid

Mitteeukleidiline geomeetria sündis võimatusest tõestada paralleelide aksioomi ehk Eukleidese viiendat postulaati. Selle esimene jälg leidub Giovanni Gerolamo Saccheri vastuväitelise tõestuse katses 1733. Carl Friedrich Gauss oli esimene, kes taipas, et võivad eksisteerida Eukleidese geomeetriale alternatiivsed geomeetriad. Sellised geomeetriad arendasid välja Nikolaï Lobatševski ja János Bolyai. 
Möbiuse lehe konstrueerisid 1858 peaaegu üheaegselt August Ferdinand Möbius ja Johann Benedict Listing. See on ruumi pind, mida on kerge esitada pabeririba abil ning millel on ainult üks tahk ja üks serv. See on esimene mitteorienteeritava pinna näide.