Noetheri teoreem

Noetheri teoreemi järgi vastab igale mõju sümmeetriale mingi jäävusseadus. Teoreemi tõestas matemaatik Emmy Noether 1915. aastal  Mõju on lagranžiaani integraal üle aja, üldisemal juhul lagranžiaani tiheduse integraal üle aegruumi. Süsteemi liikumisvõrrandid saab tuletada mõjust vähima mõju printsiibi abil.
Noetheri teoreemi kasutatakse laialdaselt teoreetilises füüsikas. See üldistab mehaanikast tuntud jäävaid suurusi ja võimaldab neid tuletada üldisematest printsiipidest, üldiselt sümmeetriatest. Kui süsteem ei ole täielikult kirjeldatud lagranžiaaniga, siis ei saa sellele Noetheri teoreemi rakendada. Näiteks kadudega süsteemides võivad olla erinevad sümmeetriad, aga jäävusseadused ei pruugi kehtida.

Sissejuhatavad näited

Lagranžiaani abil kirjeldatakse paljusid süsteeme. Näiteks mehaanilise süsteemi liikumist või elementaarseid välju teoreetilises füüsikas. Noetheri teoreemi saab rakendada üldiste lagranžiaanide kohta, mis iganes konkreetset süsteemi kirjeldatakse.
Kui lagranžiaan on sümmeetriline pöörete suhtes, siis vastavalt Noetheri teoreemile kehtib impulsimomendi jäävus. Sümmeetrilisus pöörete suhtes tähendab, et süsteemi areng ei sõltu sellest, mis nurga all ta on ümbritseva maailma suhtes. Teisiti öeldes: lagranžiaan ei muutu pöördele vastava koordinaatteisendusega. Pöördsümmeetriline ei pea olema mitte füüsiline süsteem ise, vaid süsteemi arengut kirjeldav lagranžiaan. Sõltumatus orientatsioonist tähendab, et võime süsteemi keerata ümbritsevate kehade suhtes, ja süsteemi käitumist kirjeldavad võrrandid jäävad samale kujule. Sisuliselt võimaldab Noetheri teoreem tuletada impulsimomendi jäävuse omadusest, et süsteemi pöörates jäävad võrrandid samale kujule.
Kui süsteemi areng ei sõltu ruumi ja aja siiretest, siis Noetheri teoreemi järgi peavad kehtima vastavalt energia- ja impulsijäävus. Sõltumatus aja ja ruumi nihetest tähendab, et näiteks pendli liikumine ei sõltu sellest, kas me liigutame kogu süsteemi teatud vahemaa võrra edasi mingis suunas ja paneme ta seal liikuma, või paneme pendli liikuma mõnel teisel ajahetkel, aga samas algseisundis. Noetheri teoreem nihetele rakendatuna võimaldab järeldada energia- ja impulsijäävuse küllaltki mõistlikust eeldusest, et süsteemi käitumine ei sõltu sellest, et me seda liigutame näiteks mõned meetrid edasi või teeme sellega katseid mõnel teisel päeval.
Noetheri teoreem võimaldab süstematiseeritult jäävusseadusi tuletada. Teistpidi võimaldab ta leida antud jäävusseadustele vastavaid lagranžiaane. Näiteks oletame, et on teooria, mille järgi on teatud suurus konstantne. Selle konstantse suuruse ja Noetheri teoreemi abil saab uurida, millist tüüpi lagranžiaanid võiksid sobida seda konkreetset teooriat kirjeldama.
Noetheri teoreemist on eri versioone ja neid saab erinevalt kirja panna.

Teoreemi mitteformaalne sõnastus

Noetheri teoreemi võib sõnastada järgnevalt:
 
„Igale süsteemi pidevale sümmeetriale vastab jääv suurus.“
Teoreemi tõestuses kasutatakse vähima mõju printsiipi. Sisuliselt võetakse mingi teisendus, arvutatakse lagranžiaani muutus selle teisenduse mõjul ja kasutades süsteemi liikumisvõrrandeid, on võimalik avaldada suurus, mille täisdivergents on null (kasutusel väljateoorias) või mille ajaline tuletis on null (kasutusel analüütilises mehaanikas). Mitmedimensionaalse juhu korral kutsutakse tänapäeva terminoloogias jäävat suurust Noetheri laenguks ja laengut kannab Noetheri vool. See on analoogne näiteks elektrilaengu jäävusega, laengu muutust mingis punktis peab põhjustama vool, mis kannab laengut ümbritsevatesse punktidesse.