Gottlob Frege

Friedrich Ludwig Gottlob Frege (8. november 1848 Wismar – 26. juuli 1925 Bad Kleinen) oli saksa matemaatik, loogik ja filosoof, keda peetakse tänapäeva matemaatilise loogika rajajaks.
Frege teos "Mõistekiri" oli suurim läbimurre loogika ajaloos pärast Aristotelest. Teda peetakse ka analüütilise filosoofia üheks rajajaks: tema tähendusteooria oli semantikas teedrajav ning sellest sai alguse analüütiline keelefilosoofia. Frege tööd leidsid tema eluajal vähe tunnustust.

Elu ja loomingu ülevaade

Frege vanemad Karl Alexander Frege ja Auguste Frege (neiuna Bialloblotzsky) töötasid tütarlaste erakoolis, mille kaasrajaja oli isa. Isa oli kooli direktor kuni oma surmani 1866, seejärel juhtis kooli ema kuni  oma surmani 1878. Nad kasvatasid poega luterluse vaimus. Arvatakse, et kirjanik Arnold Frege, kes sündis Wismaris 1852, oli Frege noorem vend. Aastani 1869 õppis Frege Wismari gümnaasiumis.
Kevadest 1869 õppis ta Jena Ülikoolis keemiat, filosoofiat ja matemaatikat. Ernst Abbest sai tema toetaja. 1871. aastast õppis ta Göttingeni ülikoolis matemaatikat ja füüsikat ning Hermann Lotze käe all religioonifilosoofiat. On arvatud, et Lotze avaldas Frege filosoofiale olulist mõju. 1873. aasta lõpul valmis  Fregel Ernst Scheringi juhendamisel doktoritöö "Über eine geometrische Darstellung der imaginären Gebilde in der Ebene" ("Imaginaarsete kujundite geomeetrilisest kujutamisest tasandil") ning ta sai doktorikraadi.
Aastal 1874 sai Frege Ernst Abbe soovitusel matemaatika eradotsendi koha Jena Ülikoolis, kuhu ta jäigi õppejõuks. Habilitatsioonitöö (1874), mida ametikoha saamine eeldas, kandis pealkirja "Rechnungsmethoden, die auf eine Erweiterung des Grössenbegriffes gründen" ("Arvutusmeetodid, mis põhinevad suurusemõiste laiendamisel"). Seoses kompleksarvude kasutamisega tuleb suuruse mõiste vabastada seosest geomeetrilise intuitsiooniga; seostamatus geomeetrilise intuitsiooniga on aritmeetikale üldse omane. See idee iseloomustab ka Frege hilisemat loomingut matemaatika aluste vallas ning mõjutas ka tema loogikat. Sellest tööst saab alguse ka Frege huvi mõistete ja definitsioonide käitumise vastu ülekandmisel ühest valdkonnast teise.
Esimesel viiel aastal teda ei tasustatud ning teda pidas ülal ema.  Ta luges muu hulgas analüütilist geomeetriat, elliptilisi ja Abeli funktsioone, algebralist analüüsi ja kompleksmuutuja funktsioonide teooriat. Hoolimata suurest õpetamiskoormusest ilmus tal 1879 esimene oluline töö loogikast "Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens" ("Mõistekiri", puhta mõtlemise valemikeel aritmeetika valemikeele eeskujul"), milles ta esimest korda esitas oma  uue meetodi loogikakeele konstrueerimiseks. Siis edutati ta matemaatika erakorraliseks professoriks, mis oli tema esimene tasustatav ametikoht. Kaasaegsed ei võtnud raamatut hästi vastu; põhjuseks on peetud seda, et tema kahemõõtmelist notatsiooni peeti liiga keeruliseks ning alahinnates tema lähenemise eeliseid näiteks George Boole'i lähenemise ees (Frege ei lähtunud olemasolevast, vaid esitas täiesti uue notatsiooni).
Fregel oli kavas näidata "Mõistekirja" loogikakeele abil, et kõik aritmeetika põhitõed on tuletatavad puhtloogilistest aksioomidest. Et aga "Mõistekirja" ei võetud hästi vastu, otsustas ta Carl Stumpfi nõuandel kaista oma logitsistlikke vaateid loomulikus keeles ning rünnata oponente. Ilmus teos "Die Grundlagen der Arithmetik: eine logisch-mathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl" ("Aritmeetika alused: loogilis-matemaatiline uurimus arvu mõistest"; 1884). Frege kritiseerib seal varasemaid katseid arvu defineerida ning esitab siis oma lähenemesi. Raamatus on hulk olulisi ideid, sealhulgas väide, et arvuväide (näiteks "on olemas 8 planeeti") on kõrgemat järku väide mõiste kohta, kontekstiprintsiip (sõna tähendusest on mõtet rääkida ainult propositsiooni kontekstis) ja Hume'i printsiip, mille järgi "F-ide arv võrdub G-de arvuga" tähendab sama mis "on olemas üksühene vastavus F-ide ja G-de vahel".  See teos jäi kaasaegsete poolt praktiliselt tähelepanuta.
Peagi hakkas Frege tuletama aritmeetika põhiseadusi oma loogikakeeles. Ent 1880ndate lõpus ja 1890ndate alguses nihkus tema tähelepanu uutele ideedele keelefilosoofia ja filosoofilise loogika vallas (sealhulgas uus tähendusteooria, mis põhineb tähenduse ja osutuse eristusele. Need ideed avaldas ta artiklites "Funktion und Begriff" ("Funktsioon ja mõiste"; 1891), "Über Sinn und Bedeutung" ("Tähendusest ja mõistest"; 1892) ja "Über Begriff und Gegenstand" ("Mõistest ja objektist"; 1892). Uued vaated sundisid Freget oma loogikakeelt muutma, nii et ta pidi peaaegu valmis käsikirja hülgama. Aastal 1893 sai valmis muudetud loogikakeelt kasutava teose "Grundgesetze der Arithmetik" ("Aritmeetika põhiseadused") I köide, milles ta tutvustas oma loogikakeelt ning defineeris selle abiga naturaalarvud ja tõestas nende omadused. II ja III köites oli plaanis defineerida reaalarvud ja tõestada nende omadused. Ka seda tööd ei võetud hästi vastu.
Aastal 1894 või 1896 edutati Frege matemaatika korraliseks auprofessoriks. See oli tasustamata auamet, mille ta arvatavasti võttis vastu sellepärast, et ta ei tahtnud enda peale võtta professori ametikohaga kaasnevat administratiivtööd. Ta elatus Carl Zeissi Fondi stipendiumist.
Et Frege varasemad tööd polnud saanud head vastukaja, oli Frege sunnitud avaldama "Aritmeetika põhiseaduste" II köite omal kulul. Ta sai seda korraldada alles 1902. aastal. Ent kui ta luges juba korrektuurpoognaid, sai ta Bertrand Russellilt 16. juunil 1902 kirja, milles Russell teatas, et esimese köite loogikasüsteemis süsteemis on võimalik tõestada vastuolu (Russelli paradoks). Russell mainis nii predikaati, mida ei saa selle enda kohta preditseerida, kui ka nende klasside klassi, mis ei ole iseenda liikmed. Frege oli rabatud ja lisas raamatule kiiruga lisa, milles ta formuleeris selle paradoksi oma loogikakeeles.
Aastatel 1903–1906 avaldas ta artiklisarja "Über die Grundlagen der Geometrie" ("Geomeetria alustest"), milles ta polemiseeris David Hilbertiga geomeetria loomuse üle ning aksiomaatiliste süsteemide koha üle matemaatikas (Frege ja Hilberti vaidlus). Aastal 1904 ilmus "Mis on funktsioon?". 
Umbes 1906. aastast kuni ülikoolis töötamise lõpuni oli Frege väheviljakas. Aastatel 1903–1917 avaldas ta kokku 6 artiklit. Põhjuseks olid tõenäoliselt abikaasa kaotus 1905, frustratsioon võimetuse tõttu lahendada Russelli paradoksi (ta püüdis selleks oma V põhiseadust kitsendada) ja pettumus tema tööde halva vastuvõtu pärast. Ent ta oli selleks ajaks saanud tuntumaks, sest Russelli raamatus "Principles of Mathematics" (1903) oli lisa Russelli kohta. Ludwig Wittgenstein uuris Frege ja Russelli töid põhjalikult ning kirjutas 1911 mõlemale oma lahendusest Russelli paradoksile. Frege kutsus Wittgensteini Jenasse asja arutama. 1911. aasta lõpus läkski ta Jenasse.  Wittgenstein jäi vaidluses Fregega kohe alla, kuid Frege soovitas tal minna Cambridge'i Russelli juurde õppima. Aastatel  1910–1913 oli Frege üliõpilaste seas Rudolf Carnap, keda Frege tugevasti mõjutas. On säilinud ja avaldatud Carnapi konspektid kahest Frege kursusest.
Ülikoolis töötas Frege 1917. või 1918. aastani. Aastal 1918 asus ta elama Wismari lähedale Bad Kleinenisse. Ta avaldas artiklid  "Der Gedanke" ("Mõte: üks loogiline uurimus"; 1918), "Die Verneinung" ("Eitus"; 1918), ja "Gedankengefüge" ("Liitmõtted"; 1923), mida ta oli alustanud 1890ndatel. Aastal 1924 pöördus Frege tagasi aritmeetika aluste juurde. Hulgateooria paradokside tõttu oli ta logitsismist loobunud. Nüüd toetus ta Immanuel Kanti puhastele ruumikaemustele. Selle kohta ta ei jõudnud kuigi palju kirjutada ega midagi avaldada.
Frege pärandas oma käsikirjalise pärandi lapsendatud pojale Alfredile, kes andis need hiljem üle Heinrich Scholzile, et need jääksid hoiule Münsteri Ülikooli. Seal need hävisid 25. märtsil 1945 pommitabamuse tõttu.  Säilisid vaid Scholzi tehtud koopiad mõnedest tähtsamatest töödest.

Loogika

Freget peetakse suurimaks loogikuks pärast Aristotelest.
Tema "Mõistekirjaga" (Begriffsschrift) algas uus ajastu loogika ajaloos pärast traditsioonilist loogikat, mis oli Aristotelesest saadik peaaegu muutumatuna püsinud.
"Mõistekirjas" võttis Frege kasutusele põhjapaneva uuenduse kvantorite näol, mille abil oli võimalik lahendada keskaegne mitmese üldisuse probleem.
Frege andis esimesena lauseloogika ja predikaatloogika (viimane on tema leiutis) aksiomaatika.
Frege huvi loogika vastu kasvas välja tema huvist aritmeetika aluste vastu. Tal tekkis varakult veendumus, et aritmeetika tõed on loogilised tõed ehk analüütilised tõed; ta nõustus Gottfried Wilhelm Leibniziga ja mitte Immanuel Kantiga, kelle järgi aritmeetikateadmine põhineb puhtal kaemusel, ega John Stuart Milliga, kelle meelest aritmeetika rajaneb vaatlusel. Frege logitsism piirdus siiski aritmeetikaga; ta ei laiendanud seda geomeetriale nagu Bertrand Russsell. Frege uskus, et kõiki aritmeetika tõdesid saab deduktiivselt tõestada piiratud arvust loogika aksioomidest. Ta püüdiski seda teha. Nagu Leibnizki, pidas ta loomulikku keelt selleks ebasobivaks ning püüdis luua loogiliselt läbipaistvat keelt, milles loogika seosed ja võimalikud järeldamised oleksid selged ja ühemõttelised. Ta nimwtas selle mõistekirjaks. Tõenäoliselt võttis ta selle nimetuse ühest Adolf Trendelenburgi artiklist Leibnizi ideede kohta. Kuigi George Boole jt olid püüdnud sellist keelt põhijoontes välja töötada, ei jäänud Frege nende katsetega rahule. Boole'i loogika kasutas matenaatilisi märke teises tähenduses, aga see tekitas kahemõttelisuse. Boole'i loogika jagunes primaarseks ja sekundaarseks loogikaks (arvutuseks propositsioonide ja kategooriatega), mis ei võimaldanud mitmeseid üldisusi adekvaatselt arvestada. Ka propositsioonide analüüs subjekti ja predikaadi mõiste abil oli Frege meelest ebatäpne ja vananenud.
Frege  võttis eeskujuks matemaatika valemid. Subjekti ja predikaadi asendas ta funktsiooni ja argumendiga. Ta laiendas funktsiooni mõistet nii, et selle argumendi ja funktsiooni väärtusteks saaks olla teisedki asjad peale arvude. Mõiste defineeris ta funktsioonina, mille argumendi väärtused on mis tahes objektid ning mille väärtused on tõeväärtused, s.o abstraktsed objektid "tõene" ja "väär". Objekti, mille korral mõiste kui funktsiooni väärtus on tõene, nimetas Frege selle mõiste alla käivaks objektiks. Tõeväärtused võisid omakorda olla funktsioonide argumendi väärtused. Ta kasutas eituse ja implikatsiooni märki. Näiteks implikatsiooni funktsiooni  "→" (Frege ise kasutas teistsugust, kahemõõtmelist notatsiooni) väärtus on "väär", kui selle esimene argument on "tõene" ja teine argument ei ole "tõene", ning muudel juhtudel "väär". Olgu näiteks I mõiste 'inimene', a Aristoteles ja b Tallinn. Siis I (b) → I (a) on "tõene",  I (a) → I (b) aga tõene. Eituse märk "~" tähistab funktsiooni, mille väärtus on "tõene", kui argumendi väärtus ei ole "tõene", ja "väär", kui argumendi väärtus on "tõene". Konjunktsiooni- ja disjunktsioonimärgi saab defineerida eituse- ja implikatsioonimärgi kaudu. Frege defineeris ka võrdusmärgi, mis tähistab funktsiooni, mille väärtus on "tõene", kui argumentide väärtused on identsed, ning vastasel korral "väär", ja märgi "—" ("horisontaal"), mis tähistab funktsiooni, mille väärtus on "tõene", kui argumendi väärtus on "tõene", ja vastasel korral "väär".
Üldisuse väljendamiseks kasutas Frege  muutujaid ja kvantoreid. Kvantoreid mõistis ta teise tasandi mõistetena. Tasandite erinevus tuleb sellest, mis laadi objektid on funktsioonide argumentide väärtused. Funktsioonid on (erinevalt objektidest) "küllastamata", sest neil pole väärtust ilma argumentide väärtusteta. Aga eri tüüpi funktsioonid nõuavad  argumentide väärtustena eri tüüpi objekte. Funktsioonid, mille argumentide väärtusteks on objektid, nagu näiteks  ( ) + ( ) ja I ( ) on esimese tasandi funktsioonid. Funktsioonid, mille argumentide väärtused on esimese tasandi funktsioonid, on teise tasandi funktsioonid. Üldisuskvantor "∀x(...x...)" tähistab funktsiooni, mille argumendi väärtused on esimese tasandi funktsioonid  ja mille väärtus on "tõene", kui argumendi väärtuseks oleva funktsiooni väärtus on muutuja x kõigi väärtuste korral "tõene", ning "väär" vastasel juhumil. Näiteks ∀xI(x) on "väär" ja ∀x[I(x) → I(x)] on "tõene". Olemasolukvantor, mida praegu märgitakse  "∃x(...x...)", defineeritakse kui "~∀x~(...x...)".
Fregey nimetatakse sageli predikaatloogika rajajaks, kuid tema loogika on tänapäeva predikaatloogikast mõnevõrra erinev. Näiteks märk  "I( )" ning implikatsiooni- ja eitusemärk tähistavad otseselt funktsioone. Frege konnektorite vahendusel ei saada mitte  väidetest väited, vaid tõeväärtustest tõeväärtused. Frege "I(b) → I(a)" ei väida midagi, vaid on lihtsalt tõeväärtuse "tõene" nimi. Sellepärast võtab Frege kasutusele otsustuskriipsu ⊢, mille abil väidetakse, et järgnev tähistab tõeväärtust "tõene". Frege loogikasüsteem on teist järku: lisaks kvantoritele, mille muutujate väärtused on objektid, on seal kvantorid, mille muutujate väärtused on esimese taseme funktsioonid. Näiteks "⊢∀x∃F[F(x)]" väidab, et iga objekt käib vähemalt ühe mõiste alla.
Frege loogika moodustab aksiomaatilise süsteemi. Frege lähenes esimesena loogikale täiesti aksiomaatiliselt ning formuleeris esimesena järeldamisreeglid ning eristas need esimesena aksioomidest. "Mõistekirjas" oli 9 aksioomi, millest üks ei olnud teistest sõltumatu, üks eksplitsiitne järeldamisreegel ning veel kaks implitsiitset järeldamisreeglit.  See oli esimene loogika aksiomatisatsioon. Nii lauseloogika kui ka  esimest järku predikaatloogika seisukohast oli see täielik.  Erinevalt Frege hilisemast süsteemist on see kooskõlaline. (Hiljem on tõestatud, et ei saa olla kõrgemat järku predikaatloogika täielikku ja kooskõlalist  lõpliku arvu aksioomidega aksiomaatilist süsteemi.)
Et dedutseerimist lihtsustada, kasutas Frege "Aritmeetika põhiseaduste" süsteemis 7 aksioomi ja 12 järeldamisreeglit, jätmata seekord ühtki viimastest implitsiitseks. "Mõistekirja" süsteemile lisas Frege aksioomid, funktsioonide "väärtuskulgude" (kõigile argumendi väärtuse ja funktsiooni väärtuse paaridele vastav objekt) kohta. Mõiste korral samastati väärtuskulgu mõiste mahuga. Kuigi Frege nimetas mõistete mahtusid mõnikord klassideks, ei käsitanud ta neid kogumitena. Frege esitas väärtuskulgude kohta kaks aksioomi. Väärtuskulgude põhiseadus ehk V põhiseadus väidab, et kui funktsioonide F ja G väärtuskulgude tõeväärtused langevad kokku, siis neil funktsioonidel on kokkulangev väärtus argumendi iga väärtuse korral. Kui käsitada väärtuskulge kujutistena argumendi väärtustelt funktsiooni väärtustele, siis see tundub usutava hüpoteesina. Selle alusel saab aga tõestada, et iga objekti x korral on see objekt mõiste F mahus siis ja ainult siis, kui funktsiooni F väärtus argumendi väärtuse x korral on "tõene".  Aga väärtuskulge endid võetakse objektidena, nii et kui see mõiste on enesesse mitte kuuluva  mõiste mahu olemine, siis saab järeldada, et selle mõiste maht on iseendas parajasti siis, kui ta ei ole iseendas. Selle pärast on "Aritmeetika põhiseaduste" loogiline süsteem Russelli paradoksi tõttu mittekooskõlaline. Kui aga väärtuskulgude kohta käivad aksoomid välja jätta, siis on see süsteem kooskõlaline ning lauseloogika ja esimest järku predikaatloogika suhtes täielik.

Teened

Frege oli esimene, kes püüdis kategoorilise loogika vanad väited ümber formuleerida muutujate, kvantorite ja tõefunktsioonide abil. See võimaldas esimest korda siduda omavahel "kõik õpilased on usinad ja kõik õpilased on targad" ning "kõik õpilased on usinad või targad" (Boole'i süsteem seda ei võimaldanud). Frege süsteem võimaldas ka esimest korda haarata selliseid väiteid nagu "iga inimene armastab mõnda linna".  Ta andis esimesena lauseloogika ja esimest järku predikaatloogika täieliku aksiomaatika, leiutas predikaatloogika, püüdis esimesena formuleerida kõrgema järku loogikat, analüüsis esimesena sidusalt ja täielikult muutujaid ja funktsioone, näitas esimesena, kuidas taandada kõik tõefunktsioonid eitusele ja implikatsioonile ning tegi esimesena formaalses süsteemis vahet aksioomidel ja järeldamisreeglitel.

Loogikafilosoofia

Frege loogikafilosoofias teeb loogika tõeseks loogiliste entiteetide vald. loogilisi funktsioone, väärtuskulge ja tõeväärtusi mõeldakse objektiivselt reaalsete entiteetidena, mis ei kuulu ei materiaalsesse ega mentaalsesse maailma.  Loogika aksioomide tõesus tuleb sellest, et nad väljendavad tõeseid mõtteid nende entiteetide kohta. Seega on loogikal  sisu ja metafüüsilised sidumused.  Frege  kritiseeris psühhologismi, mille järgi loogika tõed käivad psühholoogia kohta. See, mis on tõene või väär, kehtiv või kehtetu, ei sõltu kellegi psühholoogiast ega uskumustest.

Matemaatikafilosoofia

Frege peahuvi filosoofias oli matemaatika aluste probleem. Ta püüdis näidata, et matemaatika (eelkõige aritmeetika) on taandatav loogikale (nn logitsism), ning kritiseeris psühhologismi ja formalismi. Selle tõestuses ilmnes Russelli paradoks, mis pani Frege logitsismist loobuma.

Keelefilosoofia

Frege on üks analüütilise filosoofia rajajaid, sest ta andis sügavalt süstemaatilise panuse analüütilisse keelefilosoofiasse. Tema tähendusteooria, eriti eristus väljendite tähenduse ja osutuse vahel, oli semantikas teedrajav.

Mõju

Frege predikaatloogika võimaldas 
Bertrand Russellil oma kirjelduste teoorias tarvitusele võtta määrava kirjelduse mõiste ning koos  Alfred North Whiteheadiga välja töötada "Principia Mathematica" süsteemi.
Frege tööd jäid tema eluajal põhiliselt tunnustuseta. Tema ideed levisid peamiselt Giuseppe Peano ja Russelli kaudu, kes need üles korjasid ja neid edasi arendasid.
Tuntud filosoofidest on Frege tugevasti mõjutanud ka  Ludwig Wittgensteini, Rudolf Carnapit ja Edmund Husserlit.

Isiklikku

Millalgi pärast 1879. aastat abiellus Frege Margaret Lieseburgiga (1856–1905). Neil sündis vähemalt kaks last, kes surid noorelt. Vanemas eas lapsendasid nad poisi, kelle nimi oli Alfred.
Kuigi Frege polemiseeris ägedalt, mõnikord satiiriliselt, oli ta rahulik ja vaoshoitud. Tal olid konservatiivsed poliitilised vaated, välismaalaste vastu umbusklik ning antisemiitlik. Ta oleks tahtnud, et kõik juudid Saksamaalt pagendataks või vähemalt mõnedest poliitilistest  õigustest ilma jäetaks. See ilmneb tema 1924. aasta päevikust.