Lihtne teist järku diferentsiaalvõrrand

Teist järku tuletise avaldamine diferentsiaali kaudu

Et diferentsiaalvõrrandi lahendamiseks on vaja võtta võrrandi mõlemast poolest integraal peab tuletised kuidagi avaldama diferentsiaalide kaudu.
Funktsiooni y=f(x) diferentsiaal on dy=y'dx, mis kujutab endast argumendi x funktsiooni, seepärast võime leida ka dy diferentsiaali, mida nimetatakse teist järku diferentsiaaliks. sel puhul kirjutatakse d(dy) ehk lühidalt d²y ja loetakse "de kaks igrek".
Avaldame funktsiooni teist järku diferentsiaali funktsiooni tuletise kaudu. Selleks diferentseerime x järgi võrdust dy=y'dx, kusjuures dx loeme konstandiks, kuna dx ei sõltu x-ist:
d²=d(y'dx)=d(y')dx, kuid vastavalt diferentsiaali mõistele saame d(y')=(y')'dx=ydx. Seepärast d^2y=y''dx \cdot dx=y''dx^2 \frac{}{}, kus dx^2 \frac{}{} tähendab diferentsiaali dx ruutu (loetakse "de iks ruut"). jagades saadud valemit astmega dx^2 \frac{}{}, leiame y''= \frac{d^2y}{dx^2}. Tähendab siis, funktsiooni y=f(x) teist järku tuletis avaldub selle funktsiooni teist järku diferentsiaali ja argumendi diferentsiaali ruudu jagatisena.
Seega saame võrrandi y=f(x) esitada kujul: \frac{d^2y}{dx^2}=f(x). Kui selles võrrandis asendada \frac{dy}{dx}=p, siis teisendub võrrand muutuja p suhtes esimest järku diferentsiaalvõrrandiks.

Näide 1

Lahendada võrrand \frac{d^2y}{dx^2}=4x+3
Lahendus: Tähistame \frac{dy}{dx}=p, siis \frac{d^2y}{dx^2}= \frac{dp}{dx}. Antud võrrandi võime kirjutada järgmiselt: \frac{dp}{dx}=4x+3 \ / \cdot dx \Rightarrow dp=(4x+3)dx. Järgnevalt integreerime vasakut poolt muutuja p, paremat poolt muutuja x järgi ehk võtame võrrandi mõlemast poolest integraali.
\int dp= \int (4x+3)dx \Rightarrow p= 2x^2+3x+C_1 , kuid kuna p= \frac{dy}{dx} siis võime kirjutada  \frac{dy}{dx}=2x^2+3x+C_1 . Saime eralduvate muutujatega esimest järku diferentsiaalvõrrandi. Järgnevalt eraldame muutujad korrutades võrrandi mõlemat poolt läbi dx-iga.
\frac{dy}{dx} \ / \cdot dx=2x^2+3x+C_1 \ / \cdot dx \Rightarrow dy=(2x^2+3x+C_1)dx. Integreerides veelkord saame:
y= \int (2x^2+3x+C_1)dx= \frac{2}{3} x^3+ \frac{3}{2} x^2 +C_1x+C_2 . See on antud võrrandi üldlahend. Et leida erilahendit peame teadma vähemalt kahte punkti mida see funktsiooni graafik läbib.
Vastus: Võrrandi üldlahend on y= \frac{2}{3} x^3+ \frac{3}{2} x^2 +C_1x+C_2

Näide 2

Lahendada eelnev diferentsiaalvõrrand \frac{d^2y}{dx^2}=4x+3 eeldades, et funktsiooni graafik läbib punkte (0;6) ja (1; 1/6).
Lahendus: Kõigepealt on vaja leida võrrandi üldlahend. Üldlahendi leidmist siinkohal kordama ei hakka kuna see on esitatud eelmises näites.
Lahendamiseks asendame vastavad x ja y väärtused üldlahendisse, saame C₁ ja C₂ määramiseks järgmise võrrandisüsteemi:
\left\{\begin{matrix} 6= \frac{2}{3} \cdot 0 + \frac{3}{2} \cdot 0 +C_1 +C_2 \\ \frac{1}{6} = \frac{2}{3} \cdot 1 + \frac{3}{2} \cdot 1 + C_1 \cdot 1 + C_2 \end{matrix}\right.. Lahendades antud lineaarvõrrandisüsteemi saame lahenditeks C_1=-8 \frac{}{} ja C_2=6 \frac{}{}.
Antud tingimustele vastav erilahend on seega y= \frac{2}{3} x^3 + \frac{3}{2} x^2 - 8x +6
Kontroll: Lahendi õigsuse kontrollimiseks leiame selle funktsiooni teise tuletise:
\frac{dy}{dx}=( \frac{2}{3}x^3+ \frac{3}{2} x^2 -8x +6)'=2x^2+3x-8, järgnevalt võtame tuletise teistkordselt.
\frac{d^2}{dx^2}=(2x^2+3x-8)'=4x+3, kuna saime lähtevõrrandi võime arvata, et ülesanne on õigesti lahendatud.
Vastus: y= \frac{2}{3}x^3+ \frac{3}{2}x^2-8x+6