Diskreetne Fourier' teisendus

Kiire DFT

Kiire Fourier' teisendus (Fast Fourier Transform = FFT) põhineb teisendamiseks vajalike arvutuste mahu vähendamises teatud (korduvate) tulemuste (korduva) ärakasutamise teel või mõne spetsiifilise vaheteisenduse kasutamise teel. Seetõttu on FFT reeglina kasutatav vaid diskreeditud funktsioonide ja signaalide puhul. Siiski on ka analoogtehnikas mõned signaalitöötluse võtted vaadeldavad kui FFT teatud vormid.
FFT kasutatavusse ja FFT abil saadud tulemustesse tuleb seetõttu suhtuda vajaliku kriitilisusega, kuna lisaks diskreetmisest tulenevatele iseärasustele tuleb lisaks arvesse võtta veel ka FFT enda olemusest tulenevaid iseärasusi (lühike ajaintervall ja sellest tulenevalt nn. vaatluse akna(funktsiooni) kasutamine, sünkroonsuse probleemid).
FFT kasutatavus on praktikas laialdane (heli- ja sidetehnika, jm.), kuna paljudel juhtudel kõrget täpsust selle mõõtetehnilises mõttes ei nõuta (heli puhul loetakse piisavaks 1dB ehk ~10% täpsust). Arvutuse täpsuse probleemid on aga üldjuhul lahendatavad.
Kiire DFT arvutamiseks kasutatakse mitu algoritmi: Cooley-Tukey FFT, Prime-factor FFT, Bruun's FFT, Rader's FFT, ja Bluestein's FFT.

Rakendused

DFT on kasutatud paljudel aladel ja siin on näidatud ainult tähtsamad neist. Peaaegu kõik DFT rakendused otseselt põhinevad sellel põhimõttel, et DFT-d ja pöörd-DFT on võimalik efektiivselt arvutada Kiire Fourier' teisenduse abil .

Spektraalanalüüs

Kui DFT-d kasutatakse spektraalanalüüsiks, siis  jada tavaliselt kujutab piiratud koguse ühtlaste aja vahedega paigutatud mingi signaali proove , kus t on aeg. Üleminek pidevalt ajalt proovidele muudab  Fourier' teisendust Diskreetse aja Fourier teisenduseks (DTFT), mis tavaliselt tähendab deformeerimist (aliasing inglise keeles). Deformeerimise minimeerimiseks tuleb õigesti valida proovide võitmise sagedust, arvestades Nyquist-i sagedust. Samas, tuleb proovide jada konverteerida väga suurest(või lõpmatust) sobivaks, et vältida teist deformeerimist, nimetatud lekkimine, ehk resolutsiooni kaotamine DFT-s. Kui kättesaadav andmete hulk on liiga väike, või andmete töötlemiseks (vajaliku resolutsiooni leidmiseks) pole piisavalt aega, kasutatakse mitu DFT-d spektrogrammi tegemiseks. Tulemusena on võimsuse spekter kus esineb müra ja/või juhuslikud andmed, mida saab filtreerida mitu DFT tulemuste võrdlemisega. See protseduur vähendab spektri dispersiooni ja on nimetatud perioodgrammiks. Tuntud näited selle meetodi kasutamisest on Welchi ja Bartletti meetodid. Üldine meetod võimsuse spektri hindamiseks lärmaka signaali puhul on nimetatud spektraalne hindamine.
DFT ise on lõplik moonutamise allikas, sest DFT on ainult diskreetne proovide võtmine pidevast funktsioonist. Seda on võimalik leevendada DFT resolutsiooni suurendamisega.

Andmete pakkimine

Digitaalse signaalitöötluse valdkond põhineb sagedusdomeenis toimuvates operatsioonides (Fourier' teisenduse tulemustes). Näiteks andmekaostega piltide töötlus ja heli pakkimise meetodid kasutavad DFT-d: signaal on lõigatud lühikesteks segmentideks (proovide võtmine), iga lõik on transformeeritud, ja siis peaaegu märkamatu kõrgesageduslikud Fourier' koefitsiendid, kõrvaldatakse. Dekompressor arvutab pöördtransformatsiooni, mis põhineb uutel DFT väärtustel. Pakkimise rakendused kasutavad sageli spetsialiseeritud DFT vormi, diskreetse koosinus teisendust, või juba seda modifitseeritud versiooni. Mõned suhteliselt hiljutised kokkupakkimisalgoritmid kasutavad nn laineke teisendust, mis annab ühtlasema kompromissi aja ja sageduse domeenide vahel. JPEG2000 juhul, see väldib vigaste piltide tekkimist, mis ilmuvad, kui pildid on liiga palju tihendatud algse JPEG pakkimise tõttu.

Osatuletistega diferentsiaalvõrrandid

Diskreetne Fourier' teisendust kasutatakse sageli osatuletistega diferentsiaalvõrrandite ahendamisel, kus DFT-d kasutatakse Fourier' rea liigikaudseks arvutamiseks. Selle lähenemise eeliseks on see, et signaali laiendatakse kompleks eksponentideks , mis on diferentseerimise tulemuste funktsioonide hulk: . Seega Fourier' esindamises, diferentseerimine on lihtne – see on korrutamine väärtusega . Lineaarne diferentsiaalvõrrand konstantsete kordajatega muundub kergesti lahendatavaks algebraliseks võrrandiks. Tulemuse tagasi aja domeeni teisendamiseks tuleb kasutada pöörd teisendust. Seda ka nimetatakse spektraalmeetodiks ehk spektraalanalüüsiks.

Suurte täisarvude korrutamine

Kõige kiirem tuntud algoritmidest väga suurte täisarvude korrutamiseks on polünoomide korrutamise meetod. Täisarve võib käsitleda, kui polünoomide väärtused väärtustatud konkreetse arvu alusel, koos polünoomi koefitsientidega, mis on selle arvu numbrid. Pärast polünoomilist korrutamist lõpetab korrutamise suhteliselt madala keerukusega nn carry-paljundamine.

Konvolutsioon

Kuna konvolutsioon on sagedus domeenis lihtsalt korrutamine, siis palju lihtsam on teisendada sisendid DFT abil, järgmisena teha korrutist ja viimasena teisendada tulemust pöördteisendusega tagasi aja domeeni.

Esinduse teooria

DFT-d võib tõlgendada kui kompleksset piiratud tsüklilise rühma esinduse teooriat. Teisisõnu, n kompleksarvude jada võib olla tõlgendatud nägu n-mõõtmeline kompleksne ruum Cⁿ või lõplikku tsüklilise kompleksarvude rühma funktsioon f, Zₙ → C. f on tsükliline piiratud rühma klassi funktsioon, ning seda saab väljendada taandumatu tähemärkide lineaarse kombinatsioonina selles rühmas. Need märgid on ühe juured.

Muud valdkonnad

Palju DFT omadustest sõltuvad ainult sellest, et  on primitiivsed ühe juured. Need omadused on täielikkus, ortogonaalsus, Plancherel/Parseval, perioodilisus, nihe, konvolutsioon ja paljud kiire DFT algoritmid. Seetõttu DFT-d võib defineerida ühe juure mõiste kasutades ka muudes valdkondades. Neid üldistusi tavaliselt nimetatakse number-teoreetilised teisendused (number-theoretic transforms (NTT)).