Ordinaalarv

Motivatsioon ja definitsioon

Ordinaalarvude teooria on abstraheeriv teooria, mis abstraheerub hulga elementide "tegelikust loomusest" ning uuritakse ainult niisuguseid omadusi, mida saab tuletada elementide järjestusest. Edasi defineeritakse: bijektsiooni  → täielikult järjestatud hulgalt  ≤ täielikult järjestatud hulgale  ≤ nimetatakse järjestusisomorfismiks ehk sarnaseks teisenduseks, kui  ≤  ja  ≤  on kõikide  korral ekvivalentsed. Öeldakse, et hulgad  ja  on järjestusisomorfsed (ehk sarnased) ja kirjutatakse   , kui  ja  vahel on järjestusisomorfism gibt. Kõigi omavahel järjestusisomorfsete hulkade kogum on ekvivalentsusklass, mida nimetatakse järjestustüübiks.
Saab näidata, et iga lõplik täielikult järjestaud hulk on järjestusisomorfne (täpselt) ühe naturaalarvuga. Peale selle on täiesti järjestatud hulga kohta kolm väidet ekvivalentsed: 1.) Ta on lõplik. 2.) Pöördjärjestus on täielik. 3.) Igal mittetühjal alamhulgal on suurim element.
See pakub aluse naturaalarvude üldistamiseks ordinaalarvudeks, mis valitakse spetsiaalsete täielikult järjestatud hulkadena nõnda, et iga täiesti järjestatud hulk on järjestusisomorfne täpselt ühe ordinaalarvuga. Niisiis on iga ordinaalarv ühe teatud järjestustüübi esindaja. Järgnev definitsioon parandab Cantori lähenemist ja selle andis esimesena John von Neumann:
Definitsioon I. (eeldab regulaarsuse aksioomi: Hulka  nimetatakse ordinaalarvuks, kui hulga  iga element on ka hulga  osahulk ning  on sisaldumisseose  suhtes täielikult järjestatud.
Niisugune hulk  on automaatselt täielikult järjestatud tulenevalt regulaarsuse aksioomist, mis ütleb: igal mittetühjal hulgal  on element , millel ei ole ühisosa hulgaga . Naturaalarvud on selle definitsiooni järgi ordinaalarvud. Näiteks on  arvu  element ja ühtlasi alamhulk.  on samuti ordinaalarv, vähim transfiniitne (igast naturaalarvust suurem) ordinaalarv. Neumanni definitsioonil on esimese definitsiooni ees see eelis, et ta määratleb aksiomaatilise hulgateooria raames laitmatult defineeritud hulgateoreetilise objekti. Iga täielikult järjestatud hulk  on järjestusisomorfne täpselt ühe ordinaalarvuga, mida enamasti tähistatakse .

Märkused ja teised definitsioonid

Kõikide hulkade ekvivalentsusklassid järjestusisomorfismi suhtes on tänapäeva matemaatika seisukohast problemaatilised, sest nad on "haaramatult suured objektid", mis erinevalt von Neumanni ordinaalarvudest on defineeritud geneetiliselt, mitte substantsiaalselt. Nende olemasolu eeldatakse naiivses hulgateoorias ilma eksplitsiitse põhjenduseta ja Zermelo-Fraenkeli hulgateooria raames ei saa seda ordinaalarve kasutamata põhjendada.
Igas hulgateoorias nimetatakse ordinaalarvudeks niisuguseid objekte, mis rahuldavad ordinaalarvu aksioomi. See ütleb: igale täielikult järjestatud hulgale (või ka muule täielikult järjestatud struktuurile) saab omistada ordinaalarvu nõnda, et suvalised kahele eri hulgale omistatud ordinaalarvud on võrdsed täpselt siis, kui need kaks hulka on omavahel järjestusisomorfsed. Kõikides aksiomaatilistes hulgateooriates püütakse uute fundamentaalobjektide sissetoomise vältimiseks leida sobivaid teooriaga ette antud objekte, mis rahuldavasd ordinaalarvu aksioomi. Üks võimalus selleks seisneb spetsiaalsete hulkade hierarhiate (näiteks von Neumanni arvude hierarhia) ehitamises.
Milliste raskustega sellistest hierarhiatest loobumine võib seotud olla, on näha üldiste lineaarsete järjestuste pealt, mille jaoks sobivat hulkade hierarhiat pole teada (2004). Järjestustüüpide eksisteerimise postuleerimist saab sel juhtumil vältida ainult järgu- ja astmetüüpide abil. Kui spetsiaalsed objektid, mis oleksid ordinaalarvude sissetoomiseks sobivad, on juba nimetatud, siis ordinaalarvu aksioom elimineeritakse (kui see on üldse võimalik), st taandatakse teoreemi staatusesse. ZFC puhul kasutatakse selleks Adolf Abraham Halevi Fraenkeli poolt 1922 Zermelo aksiomaatikale spetsiaalselt lisatud asendamisaksioomi.
Kui suur on ordinaalarvu aksioomi hulgateoreetiline tugevus, seda näitab tõsiasi, et "paljude" von Neumanni ordinaalarvude olemasolu tõestamiseks tuleb appi võtta lõpmatuse aksioom, asendamise aksioom ning mõnel juhtumil koguni valikuaksioom. Von Neumanni ordinaalarvude definitsioon on tänapäeval kõige kasutatavam. Ent ka aksiomaatilistes hulgateooriates leidub ordinaalarvude definitsioone, mis põhinevad ekvivalentsusklasside moodustamisel. Vastuolude vältimiseks moodustatakse need ekvivalentsusklassid aga teatud kitsendustega. Nii näiteks konstrueeritakse loenduvate ordinaalarvude hulk  Friedrich Moritz Hartogsi järgi nii: see defineeritakse ekvivalentsusklasside hulgana hulga  täielikult järjestatud elementide alamhulgas, kui . Seejuures on kaks alamhulka ekvivalentsed, kui nad on järjestusisomorfselt teineteisele kujutatavad.  on järjestuse  suhtes täielikult järjestatud hulk. Seda hierarhiat saab jätkata, postuleerides  ning moodustades hulgad , kus . Hartogsi definitsioon ei kasuta esindajate valikut ning on piisav paljudeks ordinaalarvude rakendusteks analüüsis ja topoloogias. Järjestusisomorfsete hulkade ekvivalentsusklasid moodustatakse ka astmeteoreetilise ülesehitusega hulgateooriates (Bertrand Russell, Willard Van Orman Quine, Dana Scott, Dieter Klaua jt). Näiteks Klaua üldises hulgateoorias on kõik hulgad universaalhulkade elemendid. Täielikult järjestatud hulga  ordinaalarv on siis kõikide hulgaga  järjestusisomorfsete elementide ekvivalentsusklass vähimas universaalhulgas, mis sisaldab hulgaga  järjestusisomorfseid hulki. Scotti-Potteri hulgateoorias, mis on ilma asendusaksioomita hulgateooria näide, nimetatakse von Neumanni ordinaalarve pseudoordinaalarvudeks.  Ordinaalarvud selles hulgateoorias defineeritakse iga täielikult järjestatud kollektsiooni  jaoks kui  ning täielikult järjestatud hulkade ordinaalarve nimetatakse väikesteks ordinaalarvudeks.  on väikeste ordinaalarvude kollektsioon ja  on vähim suur ordinaalarv. Kõikide ordinaalarvude kollektsiooni Scotti-Potteri hulgateoorias ei ole.
On juba mainitud, et ordinaalarvude täieliku järjestatuse saab ZF-is tuletada regulaarsuse aksioomist. Aga hulgateoreetilises kirjanduses on tavaks sõnastada definitsioone aksioomidest võimalikult sõltumatult.