Diferentsiaalarvutus

Diferentsiaalarvutus on üks matemaatilise analüüsi põhikomponente integraalarvutuse kõrval (et nad on omavahel tihedalt seotud, siis nimetatakse neid koos diferentsiaal- ja integraalarvutuseks). Diferentsiaalarvutuse keskne teema on funktsiooni lokaalne muutumine.
Selleks kasutatakse funktsiooni tuletise mõistet, mis on diferentsiaalarvutuse põhimõiste. Selle geomeetriline vaste on funktsiooni graafiku puutuja tõus. Tuletis on (Leibnizi ettekujutuse järgi) võrdelisustegur argumendi väärtuse lõpmata väikeste muutude ja funktsiooni väärtuse lõpmata väikeste muutude vahel. Kui niisugune võrdelisustegur (mingil kohal) eksisteerib, siis nimetatakse funktsiooni (sellel kohal) diferentseeruvaks funktsiooniks. Samaväärselt võib tuletist mingil kohal defineerida selle lineaarfunktsioonina, mis lähendab funktsiooni lokaalselt teistest lineaarfunktsioonidest paremini. Sellepärast nimetatakse tuletist ka funktsiooni linearisatsiooniks.
Paljudel juhtudel on diferentsiaalarvutuse kasutamine tegelikkust võimalikult täpselt kujutavate matemaatiliste mudelite konstrueerimisel ja järgneval analüüsimisel möödapääsmatu. Sageli vastab tuletisele tegelikkuses muutumise hetkkiirus, majandusteaduses ka näiteks piirkulud ja piirtootlikkus.
Geomeetria seisukohast on tuletis tõusu üldistus. Tõus on algselt defineeritud ainult lineaarfunktsioonide jaoks (nende graafik on sirge). Suvalise funktsiooni tuletist kohal  defineeritakse funktsiooni  graafiku puutuja tõusuna punktis .
Aritmeetika seisukohast ütleb funktsiooni  tuletis iga koha  kohta, kui suur on funktsiooni  muudu lineaarosa (1. järku muut), kui argumendi  väärtuse muut  on kui tahes väike. Selle asjaolu täpseks formuleerimiseks kasutatakse piirväärtuse mõistet.
Klassikalises füüsikalises rakenduses näitab ajast sõltuva koha- või teepikkusefunktsiooni tuletis osakese hetkkiirust. Hetkkiiruse tuletis aja järgi näitab hetkkiirendust.

Tuletiste arvutamine

Funktsiooni tuletise arvutamist nimetatakse funktsiooni diferentseerimiseks
Elementaarfunktsioonide (näiteks , ) arvutamiseks juhindutakse ülal esitatud definitsioonist, arvutatakse muutud suhe ning leitakse piirväärtus, kus  läheneb nullile. Koolimatemaatikas nimetatakse seda h-meetodiks. Tüüpiline matemaatika rakendaja teeb selle arvutuse läbi ainult mõned korrad elus. Hiljem ta teab tähtsamate elementaarfunktsioonide tuletisi peast ning harvem esinevate funktsioonide tuletisi vaatab tabelitest (näiteks Bronštein-Semendjajevist või meie tuletiste ja algfunktsioonide tabelist ja arvutab liitfunktsioonide tuletised diferentseerimisreeglite abil.

Mittediferentseeruvad funktsioonid

Iga diferentseeruv funktsioon on pidev, ümberpöördu aga ei kehti. Veel 19. sajandi alguses oldi veendunud, et pidev funktsioon saab olla mittediferentseeruv mitte rohkem kui vähestel kohtadel (nagu absoluutväärtuse funktsioon). Bernard Bolzano konstrueeris esimesena funktsiooni, mis on kõikjal pidev, aga ei ole kuskil diferentseeruv, aga see ei saanud teistele matemaatikutele teatavaks. 1860ndatel leidis sellise funktsiooni ka Karl Weierstraß (Weierstraßi funktsioon) ja see lõi matemaatikute seas laineid. Pideva mittediferentseeruva funktsiooni tuntud mitmemõõtmeline näide on Kochi kõver, mille esitas 1904 Helge von Koch.

Mitte kuskil diferentseeruva pideva funktsiooni näide

Mitte kuskil diferentseeruvaid pidevaid funktsioone on esialgu raske ette kujutada, kuid nende näideteks on peaaegu kõik Wieneri protsessi (Browni liikumise) trajektoorid. Wieneri protsessi kasutatakse näiteks aktsiakursside graafikute modelleerimiseks.

Ajalugu

Diferentsiaalarvutuse ülesandepüstitus oli antiigist saadik tuntud puutujaprobleemina. Üks lahenduskava nägi kõverjoone puutuja lähendamist joone lõikajaga lõplikult, aga suvaliselt väikeses vahemikus. Tuli ületada lõpmatu väikesele vahemikule ülemineku tehniline raskus.
Diferentsiaalarvutuse algmed pärinevad Pierre de Fermat'lt, kes töötas umbes 1628 välja meetodi algebraliste avaldiste ekstreemumite määramiseks ning koonuselõigete ja teiste kõverate puutujate arvutamiseks. Tema meetod oli puhtalgebraline, ta ei vaadelnud piirprotsesse ega tuletisi. Siiski saab tema meetodit tõlgendada matemaatilise analüüsi vahenditega ning on teada, et ta mõjutas Isaac Newtonit ja Gottfried Wilhelm Leibnizit.
Mõni aasta hiljem valis René Descartes teise algebralise meetodi, asetades kõvera juurde ringjoone, mis lõikab kõverat kahes lähestikku asetsevas punktis või puutub kõverat. See lähenemine võimaldas tal määrata teatud kõverate tõusud.
17. sajandi lõpus õnnestus Isaac Newtonil ja Gottfried Wilhelm Leibnizil töötada teineteisest sõltumatult välja vastuoludeta diferentsiaal- ja integraalarvutuse. Newton lähenes probleemile füüsikaliselt hetkkiiruse probleemi kaudu, Leibniz aga geomeetriliselt puutujaprobleemi kaudu. Nende tööd võimaldasid abstraheeruda puhtgeomeetrilisest esitusest ja seetõttu peetakse neid matemaatilise analüüsi alguseks.
Tuntuks said need eelkõige Guillaume François Antoine, markii de L'Hôpitali raamatu kaudu. De L'Hôpital õppis eraviisiliselt Johann Bernoulli juures ja avaldas tema matemaatilise analüüsi alased uurimused.
Tänapäeval tuntud diferentseerimisreeglid põhinevad eelkõige Leonhard Eulerilt, kes võttis kasutusele funktsiooni mõiste.
Newton ja Leibniz töötasid kui tahes väikeste positiivsete arvudega. Seda kritiseerisid ebaloogilisuse tõttu juba kaasaegsed, näiteks George Berkeley vaidluskirjas "The analyst; or, a discourse addressed to an infidel mathematician". Hoolimata valitsevast ebakindlusest arendati diferentsiaalarvutust järjekindlalt edasi, esmajoones selle arvukate rakenduste tõttu teistes matemaatika harudes ja füüsikas. Tollele ajale sümptomaatiline oli Kuningliku Preisi Teaduste Akadeemia auhinnatöö teema: "Kõrgem geomeetria kasutab sageli lõpmata suuri ja lõpmata väikesi suurusi; ometi vältisid antiikõpetlased hoolega lõpmatust, ja mõned meie aja kuulsad analüütikud tunnistavad, et sõnad "lõpmatu suurus" on vastuolulised. Akadeemia nõuab niisiis, et selgitataks, kuidas on vastuolulisest eeldusest tekkinud nii palju õigeid lauseid, ning et antaks kindel ja selge alusmõiste, mis võiks lõpmatuse asendada, tegemata arvutust liiga raskeks ega liiga pikaks; ..."
Alles 19. sajandi alguses õnnestus Augustin-Louis Cauchyl anda diferentsiaalarvutusele tänapäevase ranguse, loobudes lõpmatu väikestest ja lõpmata suurtest suurustest ning defineerida tuletise lõikaja tõusude (muutude suhete) piirväärtusena. Tänapäeval kasutatava piirväärtuse definitsiooni võttis lõpuks kasutusele Karl Weierstraß 19. sajandi lõpus.