Nashi tasakaal

Nashi tasakaal on mänguteoorias kasutatav lahenduse leidmise kontseptsioon, mis on oma nime saanud USA matemaatiku John Forbes Nash Juniori järgi. Mittekooperatiivses mängus, kus osaleb vähemalt kaks mängijat ning iga mängija teab teiste mängijate strateegiaid, esineb Nashi tasakaal juhul, kui ükski mängija ei soovi muuta oma strateegiat, arvestades teiste osalejate strateegiavalikuid.
Juhul kui kõik mängijad on valinud strateegia ja keegi neist ei saaks mõne muu strateegia kasutamisel paremat tulemust, eeldusel et teised mängijad oma strateegiat ei muuda, moodustavadki selline strateegiate hulk ning neile vastavad tasud Nashi tasakaalu.
Kahe mängija kohta lihtsustatult väljendudes on Mari ja Jüri saavutanud Nashi tasakaalu siis, kui Mari teeb enda jaoks parima võimaliku otsuse, võttes arvesse ka Jüri otsust ja eeldades, et see parajasti ei muutu, ning kui Jüri teeb endale parima võimaliku otsuse, võttes arvesse Mari otsust ja eeldades, et see parajasti ei muutu.

Rakendusi

Mänguteoreetikud kasutavad Nashi tasakaalu mõistet, et ennustada tulemust olukorras, kus mitu inimest või institutsiooni teevad samal ajal strateegilisi valikuid ning iga osaleja tulemus sõltub nii tema enda kui ka teiste valikutest. John Nashi idee seisneb lihtsas põhimõttes, et mitme otsustaja valikute tulemust ei saa ennustada, kui võimalikke otsuseid analüüsitakse isoleeritult.
Nashi tasakaalu on kasutatud vaenulike situatsioonide analüüsiks, nt sõda ja võidurelvastumine. Samuti on seda kasutatud eesmärgiga uurida eri eelistustega inimeste koostöövalmidust, valuutakriise, mitme osalise hariduslike püüdluste tulemusi, õigusakte, nt keskkonnamäärusi, loodusressursside haldamist, turundusstrateegiaid ja isegi penaltite löömist jalgpallis.

Ajalugu

Nashi tasakaal on oma nime saanud USA matemaatiku John Forbes Nash Juniori järgi. Nashi tasakaalu erijuhtumit on teadaolevalt esimesena käsitlenud 1838. aastal Antoine Augustin Cournot, kes rakendas seda oligopolide puhul. Cournot' teoorias valivad ettevõtted oma tootmismahu kasumi maksimeerimise järgi. Samal ajal sõltub optimaalne tootmismaht ka sellest, kui palju teised turuosalised toodavad. Cournot' tasakaal ilmneb juhul, kui iga ettevõte maksimeerib oma kasumi, arvestades ka teiste ettevõtete tootmismahtusid. Sel juhul on tegemist Nashi tasakaalu puhta strateegiaga. Seevastu Nashi tasakaal on laiem mõiste kui Cournot' tasakaal või Pareto-efektiivne tasakaal, sest Nashi definitsioon ei sisalda hinnangut tekkinud tasakaalu optimaalsusele.
Tänapäevases mänguteoorias kasutatav Nashi tasakaalu kontseptsioon on defineeritud segastrateegiate kaudu, kus mängijad valivad tõenäosusjaotuse, arvestades võimalikke valikuid. Segastrateegilise Nashi tasakaalu ideed tutvustasid John von Neumann ja Oskar Morgenstern oma 1944. aastal ilmunud raamatus "Mänguteooria ja majanduslik käitumine" ("The Theory of Games and Economic Behavior"). Siiski oli nende analüüs piiratud nullsummamängudega. Nad näitasid, et igas lõpliku valikute hulgaga nullsummamängus on segastrateegiaga Nashi tasakaal.
Nashi 1951. aastal avaldatud artikli "Mittekooperatiivsed mängud" ("Non-Cooperative Games") tähtsus seisnes selles, et segastrateegiaga Nashi tasakaal defineeriti iga mängu jaoks, milles on lõplik arv valikuid, ning tõestati, et sellises mängus peab olema vähemalt üks (segastrateegiaga) Nashi tasakaal. Von Neumanniga võrreldes esitab Nash oluliselt üldisema tõestuse tasakaalu olemasolu kohta. Nashi definitsiooni kohaselt on "tasakaalupunkt n osalejaga mängus n elementi nii, et iga mängija segastrateegia maksimeerib tema tasu, kui teiste strateegiad hoida püsivana. Seega on iga mängija strateegia teiste suhtes optimaalne". Sellise raamistiku andmine probleemile võimaldas Nashil oma 1950. aasta artiklis kasutada Kakutani püsipunkti teoreemi. 1951. aastal avaldatud lisaartiklis tõestas Nash Brouweri püsipunkti teoreemi abil väite, et igas lõpliku mängijate arvuga mängus (mitte üksnes nullsummamängus) peab olema vähemalt üks segastrateegiaprofiil, mis seab mängija vastavusse iseendaga, st strateegiaprofiil, mis ei tingi strateegia muutmist suurema tasu nimel.
Alates Nashi tasakaalu kontseptsiooni kasutuselevõtust on mänguteoreetikud tuvastanud mõningaid tingimusi, mille korral viib Nashi tasakaal valede ennustusteni. Selliste tingimuste kõrvaldamiseks on välja pakutud mitmeid lahenduste kontseptsioone või täiendusi. Näiteks võib Nashi tasakaal tekkida olukorras, kus strateegia põhineb ebausutaval ähvardusel. 1965. aastal pakkus Reinhard Selten välja tasakaalu alamhulga, mille ta nimetas ideaalseks tasakaaluks. Tema täiendus seisneski ebausutavatel ähvardustel põhinevate strateegiate välistamises. Teised Nashi tasakaalu täiendused on seotud olukordadega, kus mängu korratakse või kus kõigil mängijatel ei ole kogu asjakohast informatsiooni teiste osalejate kohta. Mistahes täiendusi ja laiendusi iseloomustab aga lähtumine Nashi tasakaalu aluspõhimõttest, et kõik tasakaalukontseptsioonid analüüsivad, mis valikuid tehakse, kui võetakse arvesse teiste mängijate valikuid.

Mitteametlik definitsioon

Mittematemaatiliselt väljendudes on strateegiaprofiil Nashi tasakaal, kui ükski mängija ei saa oma strateegiat muutes suuremat tasu. Et mõista, mida see tähendab, tuleb kujutleda olukorda, kus igale mängijale tehakse teatavaks teiste strateegia. Järgmiseks küsib iga mängija endalt: "Teades teiste mängijate strateegiaid ja oletades, et need ei muutu, kas ma saaksin enda strateegia muutmisest kasu?" Kui vähemalt üks mängija saab vastata sellele küsimusele jaatavalt, siis selline strateegiate hulk ei ole Nashi tasakaal. Kui iga mängija eelistab jätta oma strateegia samaks või ei huvitu strateegia muutmisest, sest tema tasu jääks strateegia muutmisel samaks, siis selline strateegiaprofiil on Nashi tasakaal. Seega, iga strateegia Nashi tasakaalus on parimal viisil vastavuses kõigi teiste mängijate strateegiatega.
Nashi tasakaal võib vahel paista ebaratsionaalne, kui jälgida süsteemi väljastpoolt, sest Nashi tasakaal ei pruugi olla Pareto-efektiivne. Samuti võib Nashi tasakaal tekitada mitteratsionaalseid tulemusi järjestikustes mängudes, sest mängijad võivad teineteist n-ö ähvardada ebaratsionaalsete otsustega. Selliste mängude analüüsimiseks võib sobida paremini ideaalne Nashi tasakaal kui Nashi tasakaalu alamhulk.

Nashi olemasoluteoreem

Nash tõestab, et kui lubada segastrateegiaid, siis igal lõpliku mängijate arvuga mängul, kus valida on lõpliku arvu puhaste strateegiate vahel, on olemas vähemalt üks Nashi tasakaal.
Nashi tasakaalu ei pruugi olemas olla, kui valikute hulk on lõpmatu ja mittekompaktne. Siia alla kuulub olukord, kus kaks mängijat nimetavad samal ajal naturaalarvu ning suurema arvu nimetaja võidab. Nashi tasakaal on aga olemas siis, kui valikute hulk on kompaktne ning pideva tasufunktsiooniga.  See esineb olukorras, kus tasakaal on pidev segu puhastest strateegiatest, ehk mängus, kus kaks mängijat valivad reaalarvude 0 ja 1 vahel ning ühe mängija tasu (mille maksab teine mängija) võrdub ruutjuurega kahe valitud arvu vahest.

Tingimused on täidetud

Doktoriväitekirjas pakkus John Nash välja kaks tõlgendust oma tasakaalukontseptsioonile, et näidata, kuidas saab tema tasakaalupunktid viia vaadeldavate nähtustega vastavusse. Üks tõlgendus on ratsionalistlik: "Kui eeldada, et mängijad on ratsionaalsed, teavad mängu struktuuri, mängitakse vaid ühe korra ning mängus on vaid üks Nashi tasakaal, siis mängijad mängivad sellesse tasakaalupunkti jõudmiseni." Selle idee formaliseerisid 1995. aastal R. Aumann ja A. Brandenburger artiklis "Epistemic conditions for Nash equilibrium" (Econometrica, 63, 1161–1180). Nad tõlgendasid iga mängija segastrateegiat kui hüpoteesi teiste mängijate käitumise kohta ning näitasid, et kui mäng ja mängijate ratsionaalsus on vastastikku teada, siis selline hüpotees peab olema Nashi tasakaal.
Teine tõlgendus on mängijate jaoks väiksemate piirangutega: "Ei ole tarvilik eeldada, et mängijatel on täielik teadmine mängu struktuuri kohta ning mängijatel ei pea olema võimekust ja vajadust läbida keerulist loogilist arutlusprotsessi. Eeldatakse, et on olemas mängijate kogum igale positsioonile mängus, mida mängivad kogumist juhuslikult valitud mängijad ajas pidevalt. Kui on olemas stabiilne keskmine sagedus, millega kogumi "keskmine mängija" kasutab mõnda puhast strateegiat, siis see stabiilne keskmine sagedus ongi segastrateegia Nashi tasakaal." (Vt H. Kuhn jt 1996, "The work of John Nash in game theory", Journal of Economic Theory, 69, 153–185.)
Kuivõrd tingimused, millal saab Nashi tasakaalu reaalselt mingis olukorras jälgida, on võrdlemisi piiratud, on see kontseptsioon üsna harva teejuhiks igapäevaste olukordade lahendamisel. Siiski on Nashi tasakaalul kui majandusteaduse ja evolutsioonibioloogia teoreetilisel kontseptsioonil selgitav jõud. Majandusteaduses on mängu tasuks üldjuhul varad (raha) vm, evolutsioonibioloogias geenide edasikandumine – mõlemad on tarvilikud tingimused elamiseks ja elu edasikandumiseks vastavates distsipliinides. Uurijad, kes neis valdkondades mänguteooriat rakendavad, väidavad, et strateegiad, mis ei tule toime eeltoodud hüvede maksimeerimisega mistahes põhjustel, surutakse turult või keskkonnast välja. Sellistes situatsioonides kasvab eeldus, et jälgitav strateegia on Nashi tasakaal, enamasti välja uurimusest.

Nashi tasakaalu arvutamine

Kui mängijal A on domineeriv strateegia , siis eksisteerib Nashi tasakaal, milles A mängib välja . Mängijate A ja B puhul eksisteerib Nashi tasakaal, kus A mängib välja  ja B mängib parima vastuse -le. Kui  on rangelt domineeriv strateegia, siis A mängib  kõigis võimalikes Nashi tasakaalu punktides. Kui nii A-l kui ka B-l on rangelt domineerivad strateegiad, siis eksisteerib unikaalne Nashi tasakaal, milles mõlemad mängivad oma rangelt domineerivat strateegiat.
Segastrateegia Nashi tasakaalu punktidega mängus arvutatakse konkreetse strateegia valik nii, et iga strateegiaga viiakse vastavusse muutuja, mis kirjeldab selle strateegia valimise fikseeritud tõenäosust. Et mängija nõustuks juhuvalikuga, peaks eeldatav tasu iga strateegia jaoks olema sama. Lisaks peab kõigi strateegiate valikute tõenäosuste summa olema 1. See tekitab võrrandisüsteemi, millest saab tuletada iga strateegia valimise tõenäosuse.