Teoreem

Teoreem (kreeka sõnast θεώρημα) on propositsioon, mille tõesus tõestatakse tuginedes aksioomidele ja teistele tõestatud teoreemidele. Teoreem on loogiline järeldus aksioomidest. Matemaatilise teoreemi tõestus on loogiline põhjendus teoreemi väitele, mis on antud kooskõlas deduktiivse süsteemi reeglitega. Teoreemi tõestust tõlgendatakse tihti kui teoreemi väite tõesuse põhjendust. Teoreem on üldjoontes deduktiivne tingimusel, et teoreeme tõestatakse – erinevalt loodusseadustest, mis on eksperimenteerimise ja mõõtmiste abil tõestatavad. 
Mitmed teoreemid on tingimuslikud väited. Sel juhul jõutakse tõestuses kokkuvõtteni järelduste kaudu, mis kasutavad tingimusi, mida nimetatakse eeldusteks. Kuna tõestust tõlgendatakse kui tõe põhjendust, vaadeldakse järeldust tihti kui eeldustest tulenevat tarvilikku tagajärge. See tähendab, et järeldus on tõene, kui eeldused on tõesed, ilma rohkemat eeldamata. Siiski, eeldusi võidakse teatud deduktiivsetes süsteemides interpreteerida eri moodi olenevalt sellest, millised tähendused on seatud tuletisreeglitele ja tingimussümbolitele.
Kuigi teoreeme võib kirja panna täielikult sümbolkujul, näiteks lausearvutuskujul, on need enamastu esitatud harilikus tavakeeles, nagu inglise või eesti keel. Sama kehtib ka tõestuste puhul, mis on enamasti väljendatud kui loogiliselt üles seatud ja selgelt sõnastatud mitteformaalses keeles argumendid, mille eesmärk on veenda lugejaid teoreemi väite tõesuses. Nendest on võimalik üles ehitada ametlik sümbolkujuline tõestus. Tavaliselt on selliseid arutluskäike lihtsam kontrollida kui puhtalt sümbolkujul kirja pandud tõestusi. Paljud matemaatikud eelistavad tõestust, mis mitte ainult ei näita teoreemi õigsust, vaid ka selgitab, miks selle tõesus ilmne võib olla. Mõnel juhul võib teoreemi tõestamiseks piisata ka ainult pildist või visuaalsest joonisest.

Teoreemitüübid

Loogikas esitatakse paljud teoreemid kujul: kui A, siis B. Selline teoreem ei kinnita B tõesust, vaid näitab ainult seda, et B on A tarvilik tagajärg. Sel juhul on A teoreemi eeldus ja B on väide. Teoreem "Kui n on paarisarvuline naturaalarv, siis ka n/2 on naturaalarv." on tüüpiline näide teoreemist, kus eeldus on "n on paarisarvuline naturaalarv" ja väide on "n/2 on naturaalarv". Et teoreem oleks tõestatav, peab see olema väljendatud täpse formaalse lausena. Sellegi poolest pannakse teoreemid enamasti kirja pigem tavalises kirjakeeles, kui täielikult sümbolkujul, eeldades, et lugeja on ise võimeline tuletama kirjakeelest formaalse lause. Matemaatikas on tavaks valida antud keeles kindlad eeldused ning kinnitada, et teoreem koosneb kõigist nendest eeldustest saadavatest väidetest. Need eeldused moodustavad teooriale fundamentaalse aluse ning neid nimetatakse aksioomideks või postulaatideks. Matemaatika haru, mis uurib formaalseid keeli, aksioome ja tõestuste struktuuri, nimetatakse tõestuste teooriaks.
Mõned teoreemid on triviaalsed, tähendades seda, et nende tulenemine definitsioonidest, aksioomidest ja teistest teoreemidest on ilmne. Teised teoreemid on aga "sügavad", mis vajavad süvitsi analüüsimist, kuna nende tõestused võivad olla pikad ja keerulised, hõlmates paljusid matemaatika valdkondi ja sisaldades raskesti nähtavaid seoseid mitmesuguste matemaatiliste valdkondade vahel. Teoreemi sõnastus võib olla lihtne, kuid tõestus võib osutuda sügavaks. Sellise teoreemi hea näide on Fermat’ suur teoreem, mis väidab, et võrrandil xⁿ + yⁿ = zⁿ ei ole n > 2 korral positiivseid täisarvulisi lahendeid.
Teistel teoreemidel on teadaolev tõestus, mida ei ole kerge üles kirjutada. Sellise teoreemi näiteks sobib neljavärviprobleem ja Kepleri väide. Mõlema teoreemi puhul on nende tõesus teada ainult seetõttu, et need tõestati arvutiotsingute ja programmide abil. Esialgu ei võtnud paljud sellist tõestusviisi omaks, kuid nüüdseks on see laiemat tunnustust saanud. Matemaatik Doron Zeilberger on väitnud, et need on ainsad mittetriviaalsed tulemused, mida matemaatikud on suutnud tõestada. Mitmeid matemaatilisi teoreeme on võimalik taandada selgemale ja lihtsamale arvutuskäigule.

Esitatavus

Matemaatilise lause teoreemina esitamiseks on tarvis tõestust, st antud väitele tuleb esitada arutluskäik, mis on tuletatud aksioomidest (ja teistest juba tõestatud teoreemidest). Siiski käsitletakse tõestust teoreemi väitest eraldi. Ühele teoreemile võib olla võimalik esitada mitu erinevat tõestust, aga väite teoreemina käsitlemiseks on piisav, kui on esitatud ka vaid üks. Pythagorase teoreemi tõestus ja biruutvastavuse seaduse tõestus on ühed tuntumad suure tõestusarvuga teoreemidest.