Monte Carlo meetodid

Ajalugu

Monte Carlo meetodi algset varianti võib näha Buffoni nõela eksperimendis, kus saab leida π ligikaudse väärtuse, pillates nõelu paralleelsete puitplaatidega põrandale. 1930-ndatel eksperimenteeris Enrico Fermi Monte Carlo meetodiga, esimest korda neutronite difusiooniga katsetades, kuid ei avaldanud midagi sellekohast.
Aastal 1946 uurisid füüsikud Los Alamose teaduslaboratooriumis radioaktiivse kiirguse varjestust ja distantsi, mida neutronid tõenäoliselt eri materjalides läbiksid. Kuigi oli olemas enamik vajalikke andmeid, nagu keskmine vaba tee pikkus, mida neutron tõenäoliselt aines läbiks enne aatomituumaga kokkupõrkamist, ja kui palju energiat neutron tõenäoliselt kokkupõrke järel välja annaks, ei suutnud füüsikud lahendada probleemi traditsiooniliste deterministlike matemaatiliste meetodite abil. Poola-ameerika matemaatikul Stanisław Ulamil tekkis idee kasutada juhuslikke eksperimente. Ta kirjeldas oma inspiratsiooni tekkimist järgmiselt:
 
„Esimesed ideed ja katsed Monte Carlo meetodi praktiseerimiseks ilmnesid mulle aastal 1946 haigusest toibudes ja pasjanssi mängides ühe küsimuse näol. See küsimus on järgmine: "Mis on tõenäosus 52 kaardi väljaladumisel Canfieldi pasjanss edukalt lõpetada?" Kui ma olin juba kulutanud tükk aega, proovides arvutada tõenäosust puhtalt kombinatoorsete kalkulatsioonide kaudu, murdsin ma pead, üritades otsustada, kas poleks näiteks kaartide 100-kordne väljaladumine ja tulemuste jälgimine praktilisem meetod kui puhas abstraktne mõtlemine. Katse ja eksituse meetodit oli kerge ette kujutada tänu kiirete arvutite ajastu algusele ning ma hakkasin kohe mõtlema probleemidest füüsika valdkonnas, näiteks neutronite hajumisele ja teistele küsimustele matemaatilises füüsikas, ning üldisemalt: kuidas muuta diferentsiaalvõrrandite kirjeldatud protsesse niisugusse vormi, mida saaks tõlgendada juhuslike operatsioonide järgnevusena. Hiljem [aastal 1946] kirjeldasin ma oma ideed John von Neumannile ja me hakkasime kavandama tegelikke arvutusi.“
 – Stanisław Ulam
Kuna von Neumanni ja Ulami töö oli salajane, vajas see varjunime, milleks von Neumann valis Monte Carlo. Nimi viitab Monte Carlo kasiinole Monacos, kus Ulami onu laenas raha õnnemängude jaoks. Von Neumann arendas meetodi pseudojuhuslike arvude kalkuleerimiseks, kasutades ruutkeskmise meetodit, kuna tõeliselt juhuslike numbrite loendi kasutamine oli väga aeglane. Kuigi seda meetodit peeti algeliseks, oli von Neumann sellest teadlik. Ta õigustas selle kasutamist, kuna see oli kiirem kui kõik teised tema käsutuses olevad meetodid, ja väärtulemused olid ilmselged, erinevalt teistest meetoditest, mille tulemused võisid olla märkamatult väärad.
Monte Carlo meetodid olid Manhattani projekti simulatsioonide keskmeks, kuigi piiratud tollaste arvutusvahendite poolt. 1950. aastatel kasutati neid Los Alamosel vesinikupommi arenduse varastes arengustaadiumides ning need muutusid populaarseks füüsika, füüsikalise keemia ja tegevusanalüüsi valdkonnas. Sellel ajal vastutasid Monte Carlo meetodite rahastamise ja leviku eest ettevõte RAND ja Ameerika Ühendriikide Õhujõud ning nende rakendus hakkas levima järjest kiiremini ja järjest rohkematesse valdkondadesse.
Monte Carlo meetodite kasutamine vajab suurtes kogustes juhuarve ja nende kasutuselevõtt ergutas pseudojuhuslike arvude generaatorite arendust, mis omakorda olid mitu korda kiiremad kui juhuarvude tabelid, mida varem statistikas kasutati.

Rakendused matemaatikas

Monte Carlo meetodeid kasutatakse matemaatikas mitmesuguste ülesannete lahendamiseks. Genereeritakse sobilikke juhuslikke arve ja jälgitakse seda arvude osa, mis käitub mingile omadusele kohaselt. Meetod on kasulik arvuliste lahendite leidmiseks probleemidele, mida on liiga keeruline analüütiliselt lahendada. Kõige kasutatum Monte Carlo meetod on Monte Carlo integreerimine.

Integreerimine

Monte Carlo integreerimine on meetod, millega arvutatakse määratud integraalidele arvulisi lahendeid, kasutades juhuslikke arve. Monte Carlo algoritmid valivad suvalise punkti, kus integraali arvutatakse. See meetod on eriti kasulik kordsete integraalide lahendamiseks.