Graafide identifitseerimine

Graafi identifitseerimine tipupaaride baasil

Graafi  põhiline omadus on tema struktuur, organiseeritus, mis rajaneb elementidevahelistele suhetele. Struktuur ise on kujutatav graafina  kusjuures isomorfsed graafid omavad ühesugust struktuuri. Struktuuri põhilisteks karakteristikuteks on tema sümmeetriaomadused, mis avalduvad sarnaste elementide (tippude ja tipupaaride) näol, mida rühmateooria aspektist nimetatakse graafi orbiitideks (või transitiivsuspiirkondadeks, ekvivalentsusklassideks).
Graafi elementaarosised on tipupaarid (mitte tipud) ja selle elementaarsed sümmeetriaosised on tipupaariorbiidid . Tipupaare (st tipupaaride vahelisi suhteid) on püütud identifitseerida nende ümbruste ühisosa iseloomustavate invariantide abil struktuurimudeli  näol .
Efektiivsemaks on osutunud graafi seosmaatriksi astendamine (korrutamine iseendaga). Kui algses seosmaatriksis  on vaid kaks tipupaaride ekvivalentsusklassi: servad ja mitteservad, siis algse maatriksi korrutamisel iseendaga  suureneb klasside arv , mis toimub teatud astmeni ,  ja siis seiskub .
Seega, iga astme  korral suureneb tipupaare iseloomustavate astmeelementide  erinevate väärtuste arv . Moodustada nende erinevate väärtuste jada  …  . 
Kui astme  korral erinevate väärtuste arv  enam ei suurene, siis peatada korrutamine ja moodustada väärtuste jada  baasil igale reale  vastav väärtuste sagedusvektor .
Järjestada (transponeerida) saadud maatriksastme  read  ja veerud  leksikograafiliselt vastavalt nende sagedusvektoritele . Saame korrastatud maatriksastme .
Salvestada maatriksaste  ja selle korrastatud maatriksaste .
Nii struktuurimudel  kui ka maatriksaste  on võrdväärsed, teineteist täiendavad graafide identifitseerimise atribuudid. Kuigi  eristab ja esitab tippudevahelisi suhteid küllaltki täpselt, võivad need osutuda vahest mittetäielikeks invariantideks.  elemendid on küll täielikud invariandid, kuid ei erista omavahel graafi servi ega nende puudumist.

Orbiitide (positsiooniklasside) põhiomadused

1. Kui graafi  tipud   kuuluvad samasse positsiooni (orbiiti)  siis on alamgraafid      isomorfsed, st omavad ühesugust struktuuri.
2. Kui graafi  servad   kuuluvad samasse positsiooni (orbiiti)  siis on alamgraafid      isomorfsed, st omavad ühesugust struktuuri.
3. Kui graafi  mitteservad    kuuluvad samasse positsiooni (orbiiti)  siis on ülemgraafid      isomorfsed, st omavad ühesugust struktuuri.
4. Tipupaari-orbiitide  baasil saadud isomorfsed alamgraafid kujutavad endast graafi  naaber-alamstruktuuri ja/või naaber-ülemstruktuuri, mida üldistatult lihtsalt naaberstruktuuriks  nimetame.
5. Iga naaberstruktuur  omab nö reversiivset orbiiti  millele rakendatud servaoperatsioon taastab lähtestruktuuri . Seda struktuuridevahelist seost nimetame mofisdmiks.
6. Kõikide n tipuliste naaberstruktuuride jadade parv tühistruktuuri ja täisstruktuuri vahel moodustab n-tipuliste graafide süsteemi. Selle süsteemi graafe võime omakorda kujutada tippudena ja nendevahelisi naabrusi ehk morfisme servadena.
Näiteks: neljatipuliste graafide süsteem kujutab endast 11 elemendilist võre millel on 14 serva; viietipuliste süsteem koosneb 34 struktuurist ja 72 morfismist nende vahel; kuuetipuliste süsteem koosneb 156 struktuurist ja 572 morfismist nende vahel, jne. Kõik see on seotud üleminekutõenäosuste ja ka Ulami hüpoteesiga serva-eralduste aspektist.
7. Graaf, mis koosneb orbiiti  kuuluvatest servadest nimetatakse orbiitgraafiks .

Orbiitgraafide omadusi

1. Orbiitgraaf on tippudest, servadest ja "mitteservadest" sümmeetriline, st omab ühte tipu-, ühr serva- ja ühte "mitteserva" orbiiti.
2. Orbiitgraafid on graafi  lõikumatud osised (alamgraafid).
3. Mõned orbiitgraafid  võivad olla isomorfsed oma lähtegraafiga  (näiteks, kuubi üks orbiitgraafidest on kuup)..
4. Erinevate graafide orbiitgraafid  võivad olla isomorfsed või kattuda.
5. Orbiitgraaf omab oma orbiitgraafi mis kujutab endast teist järku orbiitgraafi, neid järkusi võib olla rohkemgi.
6. Kõrgemat järku orbiitgraafid võivad olla isomorfsed või kattuda oma alamat järku orbiitgraafiga või ka lähtegraafiga . Nende moodustumine on koonduv protsess.
Orbiitgraahid avavad lähtegraafi varjatud külgi. Näiteks Folkmani graafi üks orbiitgraaf on Peterseni graaf. Orbiitgraafid avavad erinavate graafide ühesuguseid osiseid. Hüperkuup ja Möbius-Kantori graaf omavad ühesuguseid orbiitgraafe, jne. Orbiitgraafid on olulised vahendid graafi struktuuri ja sümmaatriaomaduste tuvastamisel.

Tulemuste tähendusest

Graafi täielikku identifikaatorit või -invarianti, st identifikaatorit mis eristab graafi selle isomorfismi ja sümmeetriaomaduste täpsusega on otsitud aastakümneid, kuid need ei ole andnud soovitud tulemusi ning huvi nende vastu on raugenud. Lahendusi on püütud leida ka graafi kanoonilise esituse pinnal. Paraku ei sisalda niisugused esitused teavet graafi struktuuri ega selle sümmeetriaomaduste kohta.
Graafe osutus võimalikuks identifitseerida ja esitada nende elementaarsete sümmeetriaomaduste tuvastamise teel saadud struktuurimudeli 
või graafi seosmaatriksi astendamise  näol, mis tuvastavad graafi struktuuri isomorfismi täpsusega. Graafide identifitseerimine on struktuurisemiootika üks põhiprobleeme.
Maksimaalne arv  ühesuguste väärtustega astmeelemendid  moodustavad tipupaaride ekvivalentsusklassi, mida rühmateooria aspektist graafi orbbiidiks või transitiivsuspiirkonnaks nimetatakse. Sagedusvektorite  baasil korrastatud maatriksaste  tuvastab ka tipuorbiidid. Struktuurses aspektist nimetatakse orbiite positsiooniklassideks ehk positsioonideks.
Rühmateoreetilisest aspektist on graafi struktuuri ja sümmeetriaomadusi teadaolevalt varem uurinud tipuorbiitide tasemel vaid B. Weisfeiler .
Oluline on, et rühmateoreetilise ja maatriksastme lähenemiste teel saadud tulemused langevad kokku. Selline graafide identifitseerimise viis viib isomorfismiprobleemi ja Ulami hüpoteesi selgitamiseni ning on seotud graafide süsteemide moodustamisega.