Isomorfismiprobleem

Isomorfismiprobleemiks nimetatakse ülesannet konstrueerida efektiivne algoritm, mis antud klassi kahe suvalise algebralise süsteemi korral selgitab, kas nad on isomorfsed või mitte.
Isomorfismiprobleemi on rühmateooria seisukohalt käsitlenud C. Hoffman  väites, et rühmade "struktuur" sarnanevat isomorfismiprobleemiga. Paraku jääb see sarnasus kõrvaltvaatajale raskelt tabatavaks. See probleem on seni lahendamata paljude oluliste algebra klasside puhul.

Graafide isomorfismi probleem

Eriline roll on isomorfismiprobleemil graafide vallas. Selle põhimõtteline teoreetiline algoritm täiesti olemas – see seisneb graafi H seosmaatriksi ridade ja nendele vastavate veergude ümberpaigutamises (permuteerimises, ümberjärjestamises, ümbervahetamises) niikaua, kui see ei lange kokku graafi G seosmaatriksiga. Sellel on üks oluline puudus – see on väga mahukas (keeruline), selle sammude arv läheneb n! (n-faktoriaalini). Omal ajal arvati, et 16! permutatsiooni arvutamine võtaks aega kuni 40 aastat.
Hakati otsima teisi teid graafide isomorfismi tuvastamiseks, mis oli aastail 1970–1980 väga populaarne. Näiteks, S. Toida  pakkus selleks tõsimeeli välja "kauguste maatriksi". Tõepoolest on graafi kaugustemaatriksid omavahel kergemini eristatavad kui seosmaatriksid. Graafide mitteisomorfismi võib nende abil tuvastada "peaaegu alati", ka isomorfismi tuvastamine võib vahel korda minna.
Selle perioodi algoritme on kriitiliselt analüüsinud R. C. Read ja D. G. Corneil  ning G. Gati , kes tituleerisid isomorfismiharrastuse "isomorfismihaiguseks". Isomorfismiprobleem muutus vahepeal koguni tabuks. Selle probleemi sisulist käsitlemist väldivad oma graafiõpikutes paljud. Näiteks B. Bollobasi "Modern Graph Theory" on isomorfismi-probleemile pühendanud vaid kaks sõna, selles käsitletakse peamiselt "praktilisi" probleeme nagu vooge võrkudes jne. Siiski tuuakse graafide isomorfismi visuaalne näide ära peaaegu kõikides graafiõpikutes – ja sellega enamasti piirdutaksegi.
Mõned algoritmilist graafiteooriat esitavad oopused, nagu N. Chistofiedese  oma, ei sisalda mitte midagi isomorfismiga seonduvat. Kuid tegijaid leidub. Näiteks, seda on lahanud Netšepurenko jt  ning esitanud ka sellega seotud algoritme ja arvutiprogramme. L. Babai  leiab selleks Monte-Carlo algoritmi sobiva olevat. G. Tinhofer, M. Lödecke, S. Bauman ja L. Babel  , väidavad, et isomorfismi probleem on lahendatav Weisfeiler-Lehmani algoritmi abil. C. V. Raj ja M. S. Shivakumar loendavad mitmesuguseid spetsiifilisi atribuute selle probleemi lahendamiseks. Tuleb ära märkida G. Kobleri, H. Schöningi ja J. Torani monogaafiat , kus käsitletakse seda ajalise keerukuse aspektist. Ka K. Thulasirman ja M. N. S. Swamy  ning S. Pemmaraju, S. Sciena  piirduvad isomorfismi puhul vaid keerukuseprobleemi esile toomisega.

Probleemi ajaline keerukus

Aktuaalne ongi isomorfismiprobleemi käsitlemine ajalise keerukuse (inglise time complexity) seisukohalt. Levinud on arvamus, et see on mitte-polünomiaalne NP (inglise non-polynomial) ning praeguse aja "ametlik arvamus" peab parimaks E. Luksi (1983) algoritmi ajalise keerukusega 2 n-tipulise graafi puhul . Kuid neid on konstrueeritud ja tõestatud ka polünomiaalsetena P nagu seda on A. Dharwadkeri jt  oma. Paljudel juhtudel pole see aga tõestatud. Diskussioonid keerukuse teemal kestavad.

Süstematiseerimine

Isomorfismi tuvastamise meetodite süstematiseerimine on viinud lihtsa skeemini: a) sorteerimise ja mittesorteerimise meetodid; b) lokaalsete ja globaalsete invariantide kasutamise meetodid.
Invariantidele rajatud meetodid on viinud isomorfismi tuvastamise graafide kanoonilise esituse tasemele, mis tähendab graafi kujutamist mingil selle struktuuri esitaval kujul, soovitavalt isomorfismi täpsusega. Kanoonilise esituse probleemi püstitas arvatavasti Lazlo Babai  1977. aastal.
Frank Harary  järgi on isomorfismiprobleem lahendatav globaalinvariantide (polünoomid, spektrid jt) täieliku süsteemi baasil. S. Locke (http://www.math.fau.edu/locke/isotest) leiab, et isomorfismi testimiseks sobivad hästi kahendsüsteemis esitatud ülipikad 3-kuup-koodid. A. Zõkov  on arvamusel, et see on lahendatav graafi tihedust, tsükleid, klikke jne iseloomustavate lokaalsete invariantide baasil.
Samas on isomorfismi mõiste ise sama hajuvaks muutunud nagu on juhtunud struktuuri mõistega. Klassikaliselt on isomorfism defineeritud kui "bijektsioon, mis säilitab naabrused". Hassler Whitney (1907–1989) leidis juba 1932. aastal, et "range isomorfism" on "bijektsioon, mis säilitab naabrused + veel midagi" . Ülo Kaasik defineerib: "bijektsioon, mis säilitab struktuuri", mis on täiesti arusaadav, kuigi ta ei ole struktuuri määratlenud. Peale selle on isomorfism seotud ka struktuursete ekvivalentsusklasside ehk orbiitidega.

Isomorfismiklassid ja kanooniline esitus

Isomorfismiklassid on graafiteoorias hästi rakendatavad. Isomorfismiklassi kuuluvatel graafidel on üks ja seesama struktuur. Seda struktuuri on võimalik kanooniliselt esitada spetsiaalse semiootilise mudeli  abil .
Erinevad graafid  ja  omavad ühesuguseid ehk ekvivalentseid struktuurseid mudeleid  ja  ! See tähendab, et graafid on isomorfsed  ehk nende struktuurid on ekvivalentsed. On tõestatud, et struktuursete mudelite moodustamise ja nende ekvivalentsuse fikseerimise ajaline keerukus on  .