Hulk

Ajalugu

Hulgateooria rajas ja hulga mõistele andis esimesena range väljenduse Georg Cantor 19. sajandi lõpus. Pärast Cantori naiivse hulgateooria paradokside (näiteks Russelli paradoks või Cantori paradoks) avastamist, loodi mitmeid aksiomaatilisi hulgateooriaid, millest levinuim on Zermelo-Faenkeli hulgateooria koos valikuaksioomiga. Arvatakse, et viimases paradokse ei esine.
Tänapäeval põhineb peaaegu kogu matemaatika mõistestik hulgateoorial. 20. sajandi lõpupoole hakati hulga mõistet kasutama alushariduses.

Konkreetse hulga määratlemine

Et hulk oleks määratletud, peab iga objekti puhul olema võimalik üheselt otsustada, kas see sellesse hulka kuulub või mitte. Järgnevalt kirjeldatakse erinevaid võimalusi hulkade määratlemiseks.

Määratlemine tavakeele väljendiga

Mõnda hulka saab määratleda tavakeele väljendiga, näiteks "Eesti Vabariigi presidendid 20. sajandil" või "kõik paarisarvud 1 ja 191 vahel".

Määratlemine loetlemise abil

Üks viis hulga määratlemiseks on hulga elementide loetlemine.
Matemaatikas tähistatakse loeteluga määratletud hulka avaldisega, milles loetelu esitatakse looksulgude vahel ning loetletavad elemendid on eraldatud komadega, näiteks: {Konstantin Päts, Lennart Meri}. Pikemate loetelude korral on kombeks loetleda esimesed kaks või kolm elementi, kirjutada kolm punkti ning lõpuks tuua ära üks või kaks viimast elementi: näiteks 1-st suuremate ja 191-st väiksemate paarisarvude hulk on {2, 4, 6, ..., 188, 190}. Loomulikult on täies mahus loetletavad vaid lõplikud hulgad. Lõputute hulkade puhul lõpetatakse loetelu kolme punktiga, mis tähistab asjaolu, et loetelu ei lõppegi. Näiteks täisarvude hulka võib tähistada järgmiselt: {..., –2, –1, 0, 1, 2, ...}. Mõttepunktide kasutamine on õigustatud vaid juhul, kui loetelu täiendamise reegel on kontekstist kergesti leitav. Viimase asjaolu tõttu ei kasutata loetlemist keerukate lõpmatute hulkade defineerimisel.
Hulga määratlemisel on ebaoluline, millises järjekorras elemendid loetletud on. Näiteks {1, 2, 3} ja {3, 2, 1} tähistavad üht ja sama hulka. Mõnikord eelistatakse hulga elemente kirjutada teatud kindlas järjekorras, sest selline esitus võib olla ülevaatlikum. Näiteks reaalarvudest moodustatud hulga elemente esitatakse tihti kasvavas järjekorras.
Hulk sisaldab identseid elemente vaid üks kord. Seega pole tähtis, mitu korda mõni objekt loetelus esineb. Kui loetelus peaks mõni objekt esinema mitu korda, siis on määratletud sama hulk nagu selle objekti ühekordsel loetlemiselgi. Näiteks {1, 2, 3, 1, 2, 3} on sama hulk  mis {1, 2, 3}.
Loetlemisel võib kasutada ka hulga elemente määravaid kirjeldusi. Sel juhul muutub küll hulga elemendi esitusviis, kuid element ise jääb samaks. Näiteks on {taasiseseisvunud Eesti Vabariigi esimene president, 71+71} sama hulk mis {Lennart Meri, 142). Kui soovitakse loetleda väljendeid endid, siis tähistatakse need vastavalt kokkulepitud tähistusviisile, näiteks jutumärkide abil: {"Lennart Meri", "142"} pole sama hulk mis {Lennart Meri, 142}, sest viimasesse kuulub üks inimene ja üks arv, esimesse aga kaks väljendit.

Määratlemine tehete abil

Hulkadega on võimalik teha mitmeid tehteid. Hulk võidakse määratleda ka mõne niisuguse tehte tulemina.

Rekursiivne määratlemine

Hulki saab defineerida ka rekursiivselt. Seda võimalust kasutatakse eelkõige lõpmatute hulkade puhul. Näiteks Fibonacci arvude hulga kaks esimest elementi on arvud 0 ja 1 ning iga järgmine element on kahe eelmise summa.

Tühi hulk

Tühjas hulgas pole ühtki elementi. See mõiste on vajalik sellepärast, et hulk võib olla määratletud tingimusega, mida ükski objekt ei rahulda. Lisaks on tühja hulga mõiste abil võimalik hulkade kohta käivaid üldiseid väiteid lihtsamalt sõnastada.

Hulkade võrdsus ja hulga ekstensionaalsus

Kaht hulka loetakse võrdseks ehk identseks parajasti siis, kui mõlemasse hulka kuuluvad ühed ja samad elemendid. Hulkade A ja B võrdsust tähistatakse võrdusmärgiga: A=B.
Seda asjaolu nimetatakse hulga ekstensionaalsuseks.
Hulga ekstensionaalsusest järeldub muuseas, et leidub vaid üks tühi hulk. Tõepoolest, kui oletada, et leidub mõni muu hulk, millel ei ole ühtki elementi, siis ta peab olema tühja hulgaga võrdne, sest neil on "ühed ja samad elemendid".

Lõplikud ja lõpmatud hulgad

Hulka, milles on n elementi, kus n on naturaalarv, nimetatakse lõplikuks hulgaks võimsusega n. Hulka, mis pole tühihulk ja mille elementide arvu ei saa väljendada ühegi naturaalarvu abil, nimetatakse lõpmatuks hulgaks. Öeldakse, et sellel hulgal on lõputult palju elemente.
Lõpmatud hulgad erinevad lõplikest veel selle poolest, et nende võimsus ei muutu, kui neist lõplik arv elemente eemaldada: piltlikult öeldes jääb neisse pärast eemaldamist "sama palju" elemente. Kui näiteks eemaldada naturaalarvude hulgast arvud 1 kuni 1 000 000, siis jääb ikkagi alles naturaalarvude võimsusega hulk. Lõplikel hulkadel seda omadust pole: kui lõplikust hulgast eemaldada n elementi, siis hulga võimsus väheneb n võrra.
Võiks arvata, et lõpmatute hulkade võimsused on võrdsed (kõigil neil on "sama palju" elemente). Nii see siiski pole. Saab näidata, et näiteks naturaalarvude hulga võimsus erineb reaalarvude hulga võimsusest. Vaata ka artikleid Cantori teoreem ja Cantori diagonaaltõestus.

Märkused

Tänapäeval on arendatud ka aksiomaatilisi hulgateooriaid, kus antud väide ei kehti, st hulgad võivad olla iseenda elementideks. Samuti ei sisalda seda väidet Cantori naiivne hulgateooria. Lisaks tuleb märkida, et antud nõue pole postuleeritud vaid järeldub näiteks Zermelo-Fraenkeli aksiomaatikast. 
 Hulga üldistuseks on hägus hulk, milles iga objekti korral on määratud, mil määral ta antud hägusasse hulka kuulub; hulkade puhul objekt lihtsalt kuulub või ei kuulu antud hulka.
 Nimetatud asjaolu eristab hulka multihulgast, mille puhul on oluline ka elemendi esinemise kordade arv, kuid siiski mitte elementide järjekord.
 Nimetus tuleb sellest, et hulk on määratud oma ekstensiooniga, mis omakorda tuleneb tema elementide ekstensioonidest. Elemente võidakse küll nimetada intensiooni kaudu, s.o viidates elementide iseloomulikele omadustele, kuid hulga määrab ainult see, millistel elementidel need omadused on, mitte see, milliste omaduste kaudu elementidest räägitakse