Reaalarv

Reaalarvude konstruktsioonid

Reaalarvude konstruktsioonid ehk konstruktiivsed definitsioonid on sellised reaalarvude defineerimise viisid, mille korral võetakse aluseks ratsionaalarvud või muud matemaatilised objektid, mis loetakse antuks. Neist konstrueeritakse uued objektid, mis vastavad meie intuitiivsele arusaamale irratsionaalarvudest ja mida nimetatakse irratsionaalarvudeks, ja lisatakse need ratsionaalarvudele. Ratsionaalarvud ja irratsionaalarvud kokku moodustavad reaalarvud. 
Ajalooliselt esimesed reaalarvude ranged definitsioonid olidki konstruktiivsed. Aastal 1872 avaldati üheaegselt kolm tööd – Georg Cantori fundamentaaljadade teooria, Karl Weierstrassi teooria (tänapäevases variandis lõpmatute kümnendmurdude teooria) ning Richard Dedekindi lõigete teooria ratsionaalarvude vallas.

Cantori fundamentaaljadade teooria

Allpool esitatud lähenemise reaalarvude defineerimisele esitas Georg Cantor 1872. aastal avaldatud artiklis. Sarnaseid ideid väljendasid Eduard Heine ja Charles Merais.

Kokkuvõte

Selles lähenemises defineeritakse arv ratsionaalarvude jada piirväärtusena. Et ratsionaalarvude jada koonduks, asetatakse sellele Cauchy tingimus: 
Selle tingimuse mõte seisneb selles, et jada liikmed on alates teatud numbrist üksteisele kui tahes lähedal. Jadasid, mis seda tingimust rahuldavad, nimetatakse fundamentaaljadadeks. .
Reaalarvu, mille defineerib ratsionaalarvude fundamentaaljada , tähistame .
Kaht reaalarvu
mis on defineeritud vastavalt fundamentaaljadadele  ja , nimetatakse võrdseteks, kui 
Kui on antud kaks reaalarvu  ja , siis nende summaks ja korrutiseks nimetatakse arve, mis on defineeritud vastavalt jadade  и :
summa ja korrutisena.
Järjestusseos reaalarvude hulgal kehtestatakse kokkuleppega, mille järgi arv  on definitsiooni kohaselt suurem arvust  ehk , kui
Reaalarvude hulga konstrueeriine fundamentaaljadade kaudu on mis tahes meetrilise ruumi täielikustamise konstruktsioon. Nagu ka üldjuhul, on täielikustamise tulemuseks saadud reaalarvude hulk ise juba täielik, st temasse kuuluvad kõigi tema elementide fundamentaaljadade piirväärtused.

Cauchy koonduvuskriteerium ja selle kasutamine Cantoril

Cantori teooria lähtekoht oli järgmine idee. Iga reaalarvu saab esitada ratsionaalarvude lõpmatu jada
abil, mille liikmed on selle reaalarvu lähendid kasvava täpsusastmega, nii et see jada koondub selleks arvuks. 
Mõistame nüüd reaalarvu all mingit objekti , mille defineerib ratsionaalarvude koonduv jada .
Ent siin peitub vigane ring. Koonduva jada definitsioonis figureerib reaalarv, mis on selle jada piirväärtus – seesama mõiste, mille me koonduvate jadade abil tahame defineerida:
Et vigast ringi ei tekiks, on tarvis leida mingi tunnus, mis võimaldab väljendada jada koonduvuse tingimust selle jada liikmete terminites, see tähendab mainimata jada piirväärtuse väärtust ennast. 
Cantori ajaks oli niisugune tingimus juba leitud. Selle tegi üldisel kujul kindlaks prantsuse matemaatik Augustin Louis Cauchy.
Cauchy kriteeriumi järgi koondub jada  siis ja ainult siis, kui
Kujundlikult öeldes seisneb jada koonduvuse tingimus Cauchy kriteeriumis selles, et jada liikmed on mingist numbrist alates üksteisele kui tahes lähedal. 
Cauchy ei saanud seda kriteeriumi kuigivõrd rangelt põhjendada, sest puudus reaalarvu teooria. 
Cantor pööras tähelepanu sellele, et see kriteerium iseenesest iseloomustab koonduva jada sisemisi omadusi: teda saab formuleerida ja kontrollida, ilma et oleks juttu selle jada piirväärtuseks olevast reaalarvust endast. Ja sellepärast saab seda tunnust kasutada selleks, et tuua välja jadade klass, mille abil saab reaalarve defineerida.   
Nii et põhiline samm, mille tegi Cantor reaalarvu teooria rajamisel, seisnes selles, et ta vaatles iga ratsionaalarvude jada , mis rahuldab Cauchy tingimust, mingit (ratsionaalset või irratsionaalset) reaalarvu defineerivana. "Kui ma räägin arvsuurusest üldistatud mõttes, toimub see eelkõige juhtumil, mil on ette pandud ratsionaalarvude lõpmatu jada
mis on antud mingi seaduse abil ning millel on see omadus, et vahe  saab -i kasvades lõpmata väikeseks, olgu positiivne täisarv  milline tahes, ehk teiste sõnadega, suvaliselt valitud (positiivse ratsionaalarvu)  korral leidub selline täisarv , et , ja  on mis tahes positiivne täisarv." 
Tänapäeva terminoloogias nimetatakse Cauchy tingimust rahuldavat jada Cauchy jadaks ehk fundamentaaljadaks.

Reaalarvude konstruktsioon Cantori järgi

Kaks fundamentaaljada  ja  võivad defineerida üht ja sedasama reaalarvu. See on nii tingimusel 
Niisiis tekib ratsionaalarvude kõigi fundamentaaljadade hulgal ekvivalentsusseos, ja üldise printsiibi järgi jagunevad kõik fundamentaaljadad ekvivalentsusklassideks. Selle klassijaotuse mõte seisneb selles, et ühte klassi kuuluvad jadad defineerivad ühe ja sellesama reaalarvu ning eri klassidesse kuuluvad jadad erinevad. Niisiis on olemas üksühene vastavus realarvude ning ratsionaalarvude fundamentaaljadade klasside vahel. 
Nüüd saame sõnastada Cantori reaalarvude teooria põhidefinitsiooni. 
Definitsioon. Reaalarv on ratsionaalarvude fundamentaaljadade ekvivalentsusklass.
Realarvu (ekvivalentsusklassi), mille defineerib ratsionaalarvude fundamentaaljada , tähistame .
Aritmeetilised tehted reaalarvudega defineeritakse nii. Kui on antud kaks realarvu  ja , mis on defineeritud fundamentaaljadadega  ja , nii et
siis  ja  summaks nimetatakse reaalarvu, mis on defineeritud jadaga , see on ekvivalentsusklassi, milesse see jada kuulub:
Pole raske kontrollida, et see definitsioon on korrektne, st ei sõltu konkreetsete jadade  klassist  ja  klassist  valikust.
Analoogselt defineeritakse reaalarvude vahe, korrutis ja jagatis.
Reaalarv  on definitsiooni järgi suurem kui arv , see tähendab , kui 
See definitsioon ei sõltu jadade  klassist  ja  klassist  valikust.
Ratsionaalarvude süsteem sisestatakse reaalarvude süsteemi täiendava kokkuleppe abil, mille järgi jada
mille kõik liikmed on võrdsed ühe ja sellesama ratsionaalarvuga , defineerib sellesama arvu, nii et . Teiste sõnadega, iga klass , mis sisaldab statsionaarset jada , samastatakse arvuga . Niisiis, reaalarvude hulk, mille konstrueerisime, on ratsionaalarvude hulga laiend. 
Sellega on reaalarvude hulga konstrueerimine lõpule viidud. 
Edasi saab toodud definitsioonide abil tõestada reaalarvude teadaolevad omadused.

Reaalarvude hulga täielikkus

Definitsioonist järeldub, et iga ratsionaalarvude fundamentaaljada koondub mingiks reaalarvuks. See printsiip oli reaalarvu definitsiooni aluseks. Tänu sellele lisandusid ratsionaalarvudele irratsionaalarvud – ratsionaalarvude nende fundamentaaljadade piirväärtused, millel ratsionaalarvude seas piirväärtust ei olnud. 
Tekib õigustatud küsimus, kas analoogset täielikustamise protseduuri ei või läbi viia veel kord, juba konstrueeritud reaalarvude hulgal. Osutub, et see protseduur ei anna uut tulemust, sest igal reaalarvude fundamentaaljadal on piirväärtus reaalarvude seas. Seda reaalarvude hulga omadust nimetatakse täielikkuseks. Ja väide, et iga reaalarvude fundamentaaljada koondub, ongi Cauchy koonduvuskriteeriumi põhisisu. 
Sama ideed kasutas hiljem Felix Hausdorff, kui ta tõestas Hausdorffi teoreemi meetrilise ruumi täielikustamisest.

Lõpmatute kümnendmurdude teooria konstruktsioon

Definitsioon. Reaalarv on lõpmatu kümnendmurd, see on avaldis kujul
kus  on üks sümbolitest  või , mida nimetame arvu märgiks,  on mittenegatiivne täisarv,  on kümnendnumbrimärkide (mida võib tõlgendada arvuhulga  elementidena) jada.
Seejuures samastame definitsiooni kohaselt kümnendmurrud  ja , samuti kümnendmurrud kujul  ja . Selle kokkuleppe mõte on ilmne, sest neile kümnendmurdudele vastavad ratsionaalarvud langevad kokku.
Loomulik on kohe kokku leppida, et perioodilised lõpmatud kümnendmurrud kujutavad neile vastavaid ratsionaalarve. Teiste sõnadega, me samastame perioodilised kümnendmurrud ratsionaalarvudega. Sellise kokkuleppe puhul on ratsionaalarvude hulk kõikide reaalarvude hulga alamhulk.
Järgneb lõpmatute kümnendmurdude teooria konstruktsiooni visand. 
Kõigepealt defineeritakse järjestus kõigi lõpmatute kümnendmurdude hulgal. Aluseks võetakse arvude kümnendjärkude järjestikune võrdlemine suurematest väiksemateni. Olgu näiteks antud kaks mittenegatiivset arvu
Olgu  ja  esimesed mittekokkulangevad numbrimärgid  ja  üleskirjutustes. Kui nüüd , siis definitsiooni kohaselt , ja kui , siis . Kahe mittenegatiivse arvu võrdluse alusel defineeritakse mis tahes kahe reaalarvu võrreldavus.  
Saab näidata, et defineeritud võrdlusseos  annab lõpmatute kümnendmurdude hulgal lineaarselt järjestatud hulga struktuuri. Samuti saab näidata, et perioodiliste kümnendmurdude korral langeb kehtestatud järjestussuhe kokku juba olemasoleva võrreldavusseosega ratsionaalarvude seas.    
Pärast lõpmatute kümnendmurdude hulgal järjestusseose defineerimist tõestatakse reaalarvu teooria jaoks põhimõtteline teoreem täpsest ülemrajast. See teoreem väljendab asjaolu, et reaalarvude järjestatud kogumil on pidevuse (Dedekindi täielikkuse) omadus. 
Nüüd laiendatakse aritmeetilised tehted, mis on juba defineeritud ratsionaalarvude seas, pidevuse alusel kõigile reaalarvudele.
Nimelt, olgu  ja  kaks reaalarvu. Nende summaks nimetatakse reaalarvu , mis rahuldab järgmist tingimust:
Saab näidata, et seda tingimust rahuldav reaalarv eksisteerib ja on ainuke.
Analoogselt defineeritakse realarvude korrutamine. Kahe positiivse reaalarvu  ja korrutiseks nimetatakse reaalarvu , mis rahuldab järgmist tingimust:
Nagu ka liitmise puhul, seda tingimust rahuldav arv eksisteerib ja on ainuke. Pärast seda on lihtne defineerida kahe suvalise märgiga reaalarvu korrutis.
Saab kontrollida, et reaalarvude hulgal defineeritud liitmise ja korrutamise tehe langevad kokku ratsionaalarvude liitmise ja korrutamise tehtega.
Sellega on lõpmatute kümnendmurdude teooria konstruktsioon lõpule viidud. Edasi saab antud definitsioonide põhjal tõestada reaalarvude teadaolevad omadused, mis puudutavad aritmeetilisi tehteid ja järjestust. 
Lõpuks olgu märgitud, et pärast reaalarvude jada piirväärtuse ja rea summa defineerimist saab tõestada, et iga reaalarv on oma kümnendlahutuse rea summa. See tähendab, kui
siis

Ajalooline kommentaar

Weierstrass ise vaatles pisut teistsugust konstruktsiooni.
Ülalesitatud teooriat võib lühidalt määratleda teooriana formaalsetest ridadest kujul 
kus  on mittenegatiivne täisarv ning  on – kümnendnumbrimärgid.
Weierstrass aga vaatles formaalseid ridasid üldisemal kujul:
kus  on suvalised mittenegatiivsed täisarvud.
On ilmne, et niisuguses konstruktsioonis saab reaalarvu kujutada lõpmata paljudel viisidel. Peale selle on selge, et kaugeltki mitte kõigile niisugustele ridadele ei saa omistada arvväärtust. Näiteks rida
hajub.
Sellepärast Weierstrass esiteks vaatleb ainult koonduvaid ridasid (ta defineerib need read tõkestatud osasummadega ridadena (vaata mittenegatiivsete liikmetega rea koonduvuse kriteeriumi) ning teiseks defineerib sellel hulgal ekvivalentsusseose. Reaalarv defineeritakse ekvivalentsete koonduvate ridade klassina.
Reaalarvude defineerimisiis kümnendmurdude abil, see tähendab lahutuse abil mitte kõikide alikvootsete murdude (see on murdude kujul ) kaupa, vaid ainult kümne astmete  kaupa on mugavam, sest sellega saavutatakse reaalarvu rea kujul kujutamise ühesus. Kui aga tulla tagasi Weierstrassi üldise viisi juurde, siis saab ilmsiks analoogia Weierstrassi lähenemise ja Cantori lähenemise vahel. Cantor defineeris reaalarvu ratsionaalarvude koonduvate jadade ekvivalentsusklassina, kusjuures jada koonduvuse määratlemiseks ta kasutas Cauchy kriteeriumi. Weierstrass tegi sedasama, ainult et koonduvate jadade asemel vaatles ta koonduvaid ridasid ning jada koonduvuse Cauchy kriteeriumi asemel kasutas ta mittenegatiivsete liikmetega rea koonduvuse tunnust (muide, ekvivalentne teoreem monotoonse jada piirväärtusest kannab Weierstrassi nime).

Ratsionaalarvude võrdlus sirge punktidega

Dedekind lähtub ratsionaalarvudest, mille omadused ta loeb teadaolevateks. Ratsionaalarvude süsteemi kõrvutab ta sirge  punktide kogumiga, et tuua välja viimase omadused.
Ratsionaalarvud  moodustavad kogumi, millel on antud aritmeetilised tehted liitmine ja korrutamine, millel on teatud omadused. Kogum  on lineaarselt järjestatud: mis tahes kahe erineva arvu  ja  korral võib öelda, et üks neist on teisest väiksem.
Sirge  punktide kogum on samuti lineaarselt järjestatud hulk. Kahe punkti  ja  vaheline järjestusseos väljendub siin selles, et üks punkt  asetseb teisest  vasakul.
Selle sarnasuse ratsionaalarvude ja punktide vahel saab välja arendada, seades nende vahele vastavuse. Nii saadakse arvsirge. Selleks valitakse sirgel kindel algpunkt, kindel pikkusühik ehk ühiklõik ehk skaala lõikude mõõtmiseks ning positiivne suund. Iga  jaoks saab konstrueerida vastava pikkuse, ning asetades selle algpunktist paremale või vasakule olenevalt sellest, kas arv  on positiivne või mitte, saame kindla punkti , mis vastab ratsionaalarvule .
Seega saab igale ratsionaalarvule  seada vastavusse kindla punkti . Seejuures vastavad eri arvudele eri punktid. Kui arv  on väiksem kui , siis punkt , mis vastab arvule , asetseb vasakul punktist , mis vastab arvule . Teiste sõnadega, kehtestatud vastavus säilitab järjestuse.

Sirge pidevus

Ühtlasi osutub, et sirgel  on lõpmata palju arve, mis ei vasta mitte ühelegi ratsionaalarvule. See järeldub ühismõõdutute lõikude olemasolust, mis oli teada juba antiikajal (näiteks ruudu diagonaali ja külje ühismõõdutus, see tähendab arvu  (ruutjuur kahest) irratsionaalsus.
Piltlikult öeldes on sirge  täidetud punktidega tihedamalt kui ratsionaalarvude kogum  arvudega. Me näeme, et ratsionaalarvude hulga sees on tühjad kohad, mis vastavad neile sirge punktidele, millele ei leidunud vastavat ratsionaalarvu, sellal kui sirge kohta ütleme, et ta on "punktidega pidevalt täidetud". Dedekind ütleb: "Eelnev ratsionaalarvude valla võrdlus sirgega viis selleni, et esimeses avastati lünklikkus, mittetäielikkus ehk katkelisus, sellal kui sirgele me omistame täielikkuse, lünkade puudumise, pidevuse."
Milles see pidevus õigupoolest seisneb? Kuidas seda sirge omadust matemaatiliselt väljendada? 
Dedekind teeb järgmise tähelepaneku. Kui  on sirge kindel punkt, siis sirge kõik punktid jagunevad kaheks klassiks: need, mis asetsevad punktist  vasakul, ja need, mis asetsevad punktist  paremal; punkti  võib aga suvaliselt arvata kas esimesse või teise klassi. Ühtlasi kehtib sirge punktide kohta pöördprintsiip: "Kui sirge punktid jagunevad kaheks niisuguseks klassiks, et iga esimese klassi punkt asetseb igast teise klassi punktist vasakul, siis eksisteerib üks ja ainult üks punkt, mis tekitab sirge niisuguse jagunemise kaheks klassiks, sirge niisuguse lõigatuse kaheks tükiks."  
Geomeetriliselt tundub see väide ilmsena, kuid tõestada me seda ei suuda. Dedekind osutab, et tegelikult ei ole see printsiip midagi muud kui postulaat, milles väljendub sirge pidevuse olemus. Kui võtame selle postulaadi omaks, siis omistame sirgele selle omaduse, mida me nimetame tema pidevuseks. "Selle omaduse omaksvõtmine pole midagi muud kui aksioom, mille abil me alles mööname sirgele pidevuse, paigutame mõttes sirge sisse pidevuse."  
Selgitame Dedekindi printsiibi sisu ja geomeetrilist tõlgendust. Kujutame ette, et kõik sirge punktid on värvitud kahte värvi – roheliseks ja punasekd, nii et iga rohelist värvi punkt asetseb vasakul igast punast värvi punktist.
On geomeetriselt ilmne, et peab eksisteerima sirge niisugune punkt, milles värvid puutuvad kokku. See punkt jagabki sirge kaheks klassiks: kõik rohelist värvi punktid asetsevad temast vasakul ja kõik punast värvi punktid paremal. Selles seisnebki Dedekindi printsiip.
Sealjuures peab ka kokkupunktepunkt ise olema kindlat värvi, sest tingimuse kohaselt on värvitud eranditult kõik sirge punktid. See punkt peab olema kas roheline, olles sel juhul viimane roheline punkt, või punane, olles sel juhul esimene punane punkt. Nagu on kerge näha, need kaks varianti välistavad teineteist: esimesel juhtumil ei eksisteeri esimest punast punkti – eksisteerivad kokkupuutepunktile kui tahes lähedased punased punktid, kuid esimest nende seas ei ole, teisel juhtumil aga puudub analoogsetel põhjustel viimane roheline punkt. 
Nüüd pöörame tähelepanu sellele, millised loogilised võimalused me välistasime, apelleerides geomeetrilisele näitlikkusele. Kerge on näha, et neid on ainult kaks: esiteks võiks juhtuda, et üheaegselt eksisteerivad nii viimane roheline kui ka esimene punane punkt; teiseks võiks juhtuda, et pole ei viimast rohelist ega esimest punast punkti. 
Esimese olukorra kohta öeldakse, et leiab aset hüpe. Selline pilt on võimalik sirge korral, millest on välja visatud terve intervall vahepealseid punkte.
Teise olukorra kirjeldamiseks kasutatakse terminit "lünk". See pilt võib aset leida sirge korral, millest on eemaldatud terve lõik, kaasa arvatud selle otsad – sealhulgas juhtum, kui on eemaldatud üksainus punkt.
Seega tähendab sirge pidevus, et temas ei ole ei hüppeid ega lünki – lühidalt, ei ole tühje kohti. 
On märkimisväärne, et ülaltoodud pidevuse definitsioon on rakendatav mis tahes elementide järjestatud kogumile.

Irratsionaalarvude konstrueerimine

Seega ratsionaalarvude kogum ei ole pidev: selles on lüngad. Et konstrueerida reaalarvude hulk, mille elemendid assotsieeruvad reaalarvudega, tuleb täita kõik lüngad ratsionaalarvude kogumis.
Ratsionaalarvude hulga iga lüngatüüpi lõike 
 korral lisame kogumile  uue elemendi (irratsionaalarvu) , mis definitsiooni kohaselt on suurem igast alumisse klassi kuuluvast arvust  ning väiksem igast ülemisse klassi kuuluvast arvust . Sellega täidamegi lõike klasside vahelise tühja koha. Me ütleme, et lõige  defineerib irratsionaalarvu  ehk irratsionaalarv  tekitab lõike .
Ühendades kõik võimalikud juhtumid, võime öelda, et iga lõige ratsionaalarvude vallas defineerib mingi ratsionaal- või irratsionaalarvu, mis selle lõike tekitab. 
Definitsioon.  nimetatakse iga lõiget ratsionaalarvude hulgas, mille alumises klassis ei ole suurimat elementi ja mille ülemises klassis ei ole vähimat elementi.
Definitsioon.  nimetatakse ratsionaal- ja irratsionaalarvude hulga ühendit. Reaalarvude hulga iga elementi nimetatakse .
Reaalarvude hulk on defineeritud järjestusseose suhtes lineaarselt järjestatud.
 Reaalarvude hulk on pidev Dedekindi järgi.
See lause vajab tõestust. 
Liitmis- ja korrutamistehe defineeritakse reaalarvude hulgal pidevuse järgi (nagu ka lõpmatute kümnendmurdude teoorias). Nimelt, kahe reaalarvu  ja  summaks nimetatakse reaalarvu , mis rahuldab järgmist tingimust:
Reaalarvude hulga pidevusest järeldub, et niisugune reaalarv  on olemas ja on ainus. Peale selle, kui  ja  on ratsionaalarvud, siis see definitsioon langeb kokku tavalise kahe ratsionaalarvu summa definitsiooniga. Analoogselt defineeritakse korrutamine ja tõestatakse tehete ning järjestusseose omadused.

Kokkuvõte ja definitsioon

Neist aksioomidest piisab, et rangelt järeldada reaalarvude kõik teadaolevad omadused.
Tänapäeva algebra keeles tähendavad esimese rühma aksioomid, et hulk  on korpus. Teise rühma aksioomid tähendavad, et hulk  on lineaarselt järjestatud hulk ( – ), kusjuures järjestusseos on kooskõlas korpuse struktuuriga ( – . Hulki, mis rahuldavad esimese ja teise rühma aksioome, nimetatakse järjestatud korpusteks. Lõpuks, viimane rühm, mis koosneb ühest aksioomist, väidab, et reaalarvude hulgal on pidevuse omadus, mida nimetatakse ka täielikkuseks.  
Kokkuvõttes võib anda realarvude hulga definitsiooni: 
Definitsioon. Reaalarvude hulgaks nimetatakse pidevat järjestatud korpust.

Tarski reaalarvude aksiomaatika

Aastal 1936 esitas Alfred Tarski reaalarvude aksiomaatika, mis koosneb ainult 8 aksioomist ja 4 algmõistest: reaalarvude hulk R, a binaarne seos täielik järjestus hulgal R, mida tähistab <, binaarne tehe liitmine hulgal R, mida tähistab +, ja konstant 1.
Seda aksiomaatikat kirjanduses mõnikord mainitakse, kuid üksikasju kunagi ei esitata, kuigi ta on ökonoomne ning tal on elegantsed metamatemaatilisi omadusi. See aksiomaatika on vähe tuntud, võib-olla sellepärast, et ta on teist järku. Tarski aksiomaatikat võib vaadelda versioonina tavalisest reaalarvude definitsioonist ainsa Dedekindi mõttes täieliku järjestatud korpusena; ent ta on muudetud tunduvalt lühemaks (näiteks aksioomid 4 ja 5 võtavad kokku tavalised neli Abeli rühma aksioomi).

Kuidas need aksioomid toovad kaasa korpuse

Tarski visandas (mittetriviaalse) tõestuse, kuidas nendest aksioomidest ja algmõistetest tuleneb binaarne tehe korrutamine, millel on oodatavad omadused, nõnda et R on täielik järjestatud korpus.

Reaalarvude korpus

Reaalarvude hulk  moodustab oma aritmeetiliste tehetega "+" ja "·" korpuse (reaalarvude korpuse), mis on kompleksarvude korpuse  alamkorpus.

Ajalugu

Reaalarvu mõiste tekkis ratsionaalarvu mõiste laiendamisel. Vajaduse selleks tingis vajadus väljendada mis tahes suuruse väärtust arvuna ning püüd laiendada tehete rakendatavust (juurimine, logaritmimine, algebraliste võrrandite lahendamine).

Naiivne reaalarvude teooria

Esimeses arenenud arvusüsteemis, mis konstrueeriti vanakreeka matemaatikas, olid ainult naturaalarvud ja nendes suhted (proportsioonid), tänapäeva mõistes ratsionaalarvud. End peagi selgus, et geomeetrias ja astronoomias sellest ei piisa: näiteks ruudu diagonaali ja külje suhe ei ole esitatav ei naturaal- ega ratsionaalarvuna.
Olukorra lahendamiseks võttis Eudoxos kasutusele lisaks arvu mõistele geomeetrilise suuruse (lõigu pikkuse, pindala või ruumala) mõiste. Eudoxose teooria on meieni jõudnud Eukleidese esituses ("Elemendid", 5. raamat). Eudoxose teooria on oma olemuselt reaalarvude geomeetriline mudel. Tänapäeva seisukohast on arv niisuguse lähenemise puhul kahe homogeense suuruse (näiteks uuritava suuruse ja ühiksuuruse; ühiksuurused võisid olla omavahel ühismõõduta) suhe. Eudoxos jäi siiski ustavaks varasemale traditsioonile: ta ei vaadelnud sellist suhet arvuna; sellepärast tõestatakse "Elementides" paljud teoreemid arvude omaduste kohta uuesti suuruste jaoks. Dedekindi klassikaline reaalarvude konstruktsioon on oma põhimõtetelt väga lähedane Eudoxose esitusele. Ent Eudoxose mudel on mitmes suhtes ebatäielik: näiteks ei sisalda ta pidevuse aksioomi, puudub suuruste või nende suhete aritmeetiliste tehete üldine teooria. 
Olukord hakkas muutuma esimestel sajanditel pKr. Juba Diophantos Aleksandriast vaatles erinevalt varasemast traditsioonist murde samamoodi nagu naturaalarve, ning oma "Aritmeetika" 4. raamatus ta isegi kirjutas ühe tulemuse kohta: "Arv osutub mitteratsionaalseks." Pärast antiikteaduse lõppu nihkusid esiplaanile India ja islami matemaatikud, kes pidasid iga mõõtmistulemust arvuks. Tasapisi said sellised vaated valdavaks ka keskaegses Euroopas, kus esialgu eristati ratsionaalarve ja irratsionaalarve (sõna-sõnalt "mittemõistuspäraseid" arve), mida nimetati ka kujuteldavateks, absurdseteks, kurtideks jne. Irratsionaalarvude saamine täieõiguslikeks on seotud Simon Stevini töödega. Stevin kuulutas: "Jõuame järeldusele, et pole olemas mingeid absurdseid, irratsionaalseid, ebaõigeid, seletamatuid ega kurte arve, vaid arvude seas valitseb niisugune täius ja kooskõla, et meil tuleb ööd ja päevad mõtiskleda nende hämmastava lõpetatuse üle." Tema legaliseeris teatud reservatsioonidega ka negatiivsed arvud ning töötas välja ka kümnendmurdude teooria ja sümboolika; sellest ajast hakkasid need välja tõrjuma ebamugavaid kuuekümnendmurde.
Saja aasta pärast andis Isaac Newton oma "Universaalses aritmeetikas" (1707) (reaal)arvu klassikalise definitsiooni mõõtmistulemusena ühiketaloni suhtes: "Arv ei ole mitte niivõrd mitme ühiku kogum kui mingi suuruse abstraktne suhe teisesse temaga homogeensesse, mis on ühikuks võetud." Kaua aega peeti seda rakenduslikku definitsiooni piisavaks, nii et reaalarvude ja reaalarvuliste funktsioonide praktika seisukohast tähtsaid omadusi ei tõestatud, vaid neid peeti intuitiivselt ilmseteks (geomeetrilistel või kinemaatilistel kaalutlustel). Näiteks peeti ilmseks asjaolu, et pidev kõver, mille punktid asetsevad eri pooltel teatud sirgest, lõikab seda sirget. Puudus ka pidevuse range definitsioon. Sellepärast oli paljudes definitsioonides vigu või ebamääraseid või liiga laiu formuleeringuid. 
Isegi veel siis, kui Augustin Louis Cauchy oli välja töötanud matemaatilise analüüsi range aluse, olukord ei muutunud, sest puudus reaalarvude teooria, millele matemaatiline analüüs oleks saanud tugineda. Sellepärast tegi Cauchy vigu, toetudes intuitsioonile seal, kus see viis vääradele järeldustele: ta eeldas näiteks et pidevate funktsioonide rea summa on alati pidev.

Range teooria loomine

Esimese katse täita lünk matemaatika alustes tegi Bernard Bolzano oma artiklis "Puhtanalüütiline tõestus teoreemile, et mis tahes kahe väärtuse vahel, mis annavad vastupidise märgiga tulemid, on vähemalt üks võrrandi reaalarvuline juur" (1817). Selles teedrajavas töös ei ole veel reaalarvude terviklikku süsteemi, kuid juba esitatakse pidevuse tänapäevane definitsioon ja näidatakse, et sel alusel saab pealkirjas mainitud teoreemi rangelt tõestada. Hilisemas töös "Lõpmatuse paradoksid" esitas Bolzano reaalarvude üldise teooria visandi, mis on ideede poolest lähedane Georg Cantori hulgateooriale, kuid see tema töö jäi autori eluajal avaldamata ja ilmus alles 1851. Bolzano vaated olid ajast tunduvalt ees ega äratanud matemaatilises üldsuses tähelepanu.
Reaalarvu ranged teooriad rajasid 19. sajandi lõpus Georg Cantor, Richard Dedekind ja Karl Weierstrass, samuti Eduard Heine ja Charles Meray. Weierstrass, Dedekind ja Cantor esitasid erinevad, kuid ekvivalentsed reaalarvude konstruktsioonid.