Funktsioon (matemaatika)

Definitsioon

Funktsioon on "masin", mis teisendab mis tahes korrektse sisendi üheksainsaks väljundiks. Näiteks f(x)=x⁻¹ teisendab iga arvu, mis ei võrdu nulliga, selle arvu pöördarvuks. Selles näites ei ole arv 0 korrektne sisend.

Ajalugu

Matemaatikas võttis termini "funktsioon" kasutusele Leibniz (aastal 1694), et rääkida kõveraga seotud suurustest, näiteks kõvera tõusust. Tänapäeva matemaatilises kõnepruugis öeldakse, et funktsioonid, mida Leibniz vaatles, on diferentseeruvad. Mittematemaatikud puutuvad kõige sagedamini kokku just selliste funktsioonidega. Sääraste funktsioonide puhul saab rääkida piirväärtustest ja tuletistest. Mõlemad mõõdavad sisendväärtuste muutusega kaasnevat väljundväärtuste muutust. Need konstruktsioonid on aluseks matemaatilisele analüüsile.
Sõna "funktsioon" kasutas hiljem (18. sajandi keskel) Leonhard Euler argumentidega avaldiste ja valemite kohta, näiteks f(x) = sin(x) + x³.
19. sajandil hakkasid matemaatikud kõiki matemaatikaharusid formaliseerima. Karl Weierstrass pooldas matemaatilise analüüsi rajamist aritmeetikale, mitte geomeetriale, mistõttu Euleri definitsiooni eelistati Leibnizi omale (vaata matemaatilise analüüsi aritmetiseerumine).
Funktsiooni mõiste laiendamine võimaldas matemaatikutel uurida sääraseid veidraid matemaatilisi objekte nagu pidevaid funktsioone, mis ei ole kuskil diferentseeruvad. Algul peeti neid lihtsalt teoreetilisteks kurioosumiteks ning veel 19. ja 20. sajandi vahetusel nimetati neid monstrumiteks. Hiljem leiti, et sellised funktsioonid on kasulikud Browni liikumise taoliste füüsikaliste nähtuste modelleerimisel.
19. sajandi lõpupoole hakkasid matemaatikud katsuma formaliseerida kogu matemaatikat hulgateooria abil ning püüdsid iga matemaatilist objekti defineerida hulgana. Tänapäeval kasutatava formaalse definitsiooni andis funktsioonile Peter Gustav Lejeune Dirichlet.
Dirichlet' definitsiooni järgi on funktsioon seose erijuht. Enamiku praktiliste rakenduste puhul ei mängi erinevused Euleri ja Dirichlet' definitsiooni vahel peaaegu mingit rolli.

Pöördfunktsioon

Pöördfunktsiooni saame, kui vaatleme funktsiooni  muutujat  muutuja  funktsioonina . Pöördfunktsiooni  graafiku saame funktsiooni  graafiku peegeldamise teel sirge  suhtes. Kõigil funktsioonidel ei leidu pöördfunktsiooni.

Liitfunktsioon

Kui kõigepealt rakendada argumendile x funktsiooni f: X → Y ja seejärel rakendada tulemile funktsiooni g: Y → Z, saame liitfunktsiooni, mida nimetame funktsioonide f ja g kompositsiooniks ja märgitakse nii: g o f: X → Z. See funktsioon on defineeritud järgmiselt: (g o f)(x) := g(f(x)) mis tahes x korral hulgast X.
Oletame näiteks, et lennuki kõrgus ajahetkel t on antud funktsiooniga h(t) ning et hapniku kontsentratsioon kõrgusel x on antud funktsiooniga c(x).
Siis (c o h)(t) on funktsioon, mis kirjeldab hapniku kontsentratsiooni lennuki ümber ajahetkel t.
Kui
Y⊂X, 
siis saab rääkida funktsiooni 
f kompositsioonist iseendaga; mõnikord märgitakse seda nii: 
f ². (Sel juhul ei peeta silmas funktsiooni väärtuse korrutist iseendaga nagu näiteks avaldises cos² x.)

Määramispiirkond ja muutumispiirkond

Funktsiooni f sisendväärtuste hulka X nimetatakse funktsiooni f määramispiirkonnaks. Funktsiooni f muutumispiirkond on tegelike väljundite hulk {f(x) : x on määramispiirkonna element}.
Informaatikas määravad funktsiooni (alamprogrammi) määramispiirkonna argumentide andmetüübid ning võimalike väärtuste hulga tagastusväärtuse andmetüüp. Seega on muutumispiirkond ja võimalike väärtuste hulk piirangud, mis funktsiooniga algusest peale seostatakse.

Funktsiooni graafik

Funktsiooni f graafik on kõikide järjestatud paaride (x, f(x)) hulk, kus x on määramispiirkonna X element.
On teoreeme, mida on kõige lihtsam sõnastada ja tõestada graafiku mõiste kaudu, näiteks kinnise graafiku teoreem.
Kui X ja Y on reaalsirged, siis see definitsioon vastab tavalisele funktsiooni graafiku mõistele.

Mitme muutuja funktsioonid

Rakendustes on sageli tarvis mitme muutuja funktsioone: nende väärtused sõltuvad mitmest eri tegurist. Matemaatika nõuab, et funktsionaalses seoses (funktsionaalses sõltuvuses) oleksid kõik sõltumatud muutujad välja toodud: "varjatud" tegurid ei ole lubatud.
Matemaatika seisukohast ei ole ühe ja mitme muutuja funktsioonidel põhimõttelist erinevust: näiteks kolme reaalarvulise muutuja funktsiooni saab vaadelda reaalarvude järjestatud kolmikute funktsioonina. Järgmises lõigus öeldakse sedasama formaalsemas keeles.
Kui funktsiooni määramispiirkond on n hulga otsekorrutise alamhulk, siis nimetatakse seda funktsiooni n-aarseks funktsiooniks ehk n muutuja funktsiooniks.
Näiteks seose dist määramispiirkond on R × R ning seetõttu ta kujutab endast binaarset funktsiooni (2-aarset funktsiooni ehk kahe muutuja funktsiooni).
Sellistel juhtudel ei kirjutata tavaliselt mitte dist((x,y)), vaid lihtsalt dist(x,y).
Mõnda liiki mitme muutuja funktsioone nimetatakse teheteks. Abstraktses algebras väljendatakse binaarseid funktsioone tehtemärkide (näiteks "*" abil). Näiteks avaldis x*y märgib õigupoolest funktsiooni *(x,y), kuid teeb seda mugavamal viisil (infiksnotatsioonis). Ka näiteks tavaline liitmistehe arvudega kujutab endast funktsiooni: me võiksime kirjutada "2+3" asemel +(2,3), kus + on funktsioon.