Tensor

Tensor on lineaaralgebras matemaatiline objekt, mis üldistab skalaari, vektori, maatriksi ja bilineaarse vormi mõistet. 
Paljusid füüsikalisi suurusi on loomulik vaadelda kahe vektorihulga vaheliste vastavustena. Näiteks pingetensor väljendab sisend- ja väljundvektorite vahelist seost.  
Tensori mõiste võtsid kasutusele Bernhard Riemann ja Elwin Bruno Christoffel ning seda arendasid edasi Tullio Levi-Civita ja Gregorio Ricci-Curbastro. Nende eesmärk oli formuleerida diferentsiaalmuutkonna diferentsiaalgeomeetrilised omadused Riemanni kõverustensori abil. 
Et tensorid väljendavad vektoritevahelist seost, on nad sõltumatud koordinaadistiku valikust. Tensorit on võimalik esitada selle järgi, mida ta teeb vektorruumi baasiga või taustsüsteemiga. Saadakse suurus, mis korrastatakse mitmemõõtmeliseks massiiviks. Tensori sõltumatus koordinaatidest avaldub siis kovariantse teisendusena, mis seob ühes koordinaadistikus arvutatud massiivi teises koordinaadistikus arvutatud massiiviga. Tensori järk on selle esitamiseks vajaliku massiivi mõõde. Skalaar on 0-järku tensor, sest tema suurus on ainus komponent, nii et teda saab esitada 0-mõõtmelise arvusüsteemina. Vektor on esimest järku tensor, sest teda saab koordinaatide abil esitada komponentide ühemõõtmelise massiivina. Maatriks on teist järku tensor, sest teda saab esitada kahemõõtmelise massiivina. Ja nii edasi: k-järku tensor on esitatav komponentide k-mõõtmelise massiivina. Tensori järk on tema komponendi spetsifitseerimiseks vajalike indeksite arv.

Terminoloogia

Termin "tensor" ei ole päris ühemõtteline; matemaatikas ja füüsikas mõistetakse seda erinevalt. "Matemaatikaentsüklopeedia" järgi on "tensorarvutusel" kaks tähendust: see on "tensoreid ja tensorvälju uuriva matemaatikaharu traditsiooniline nimetus (...). Tensorarvutus jaguneb tensoralgebraks (mis on multilineaarse algebra põhiosa) ja tensoranalüüsiks, mis uurib diferentsiaaloperaatoreid tensorväljade algebral."  
Multilineaarses algebras ja diferentsiaalgeomeetrias mõistetakse tensori all eelkõige vektorruumide tensorkorrutist. Füüsikas mõeldakse tensori all sageli seda, mida matemaatik nimetaks tensorväljaks: see seab ruumi igale punktile vastavusse teatud matemaatilise tensori, nii et tensor on punkti pidev funktsioon.

Klassikalisest definitsioonist

Füüsikakirjanduses levinum klassikaline lähenemine tensori defineerimisele alustab tensori esitamisest komponentide kaudu. 
Tensorit defineeritakse geomeetrilise objektina, mida kirjeldatakse mitmemõõtmelise massiivina, st mitme indeksiga nummerdatud arvude komplektina, ehk teiste sõnadega tabelina (üldjuhul -mõõtmelisena, kus  on tensori järk. 
Nii on vektor (esimest järku tensor) määratletud ühemõõtmelise massiivina (reana või õigemini tulbana), näiteks lineaarne operaator ja ruutvorm aga kahemõõtmelise massiivina ehk maatriksina. Skalaar (0-järku tensor) on määratud ühe arvuga (mida võib vaadelda 0-mõõtmelise massiivina), mis sisaldab ainult ühe elemendi. (Skalaare ja vektoreid on mugav vaadelda tensorite erijuhtudena, sest kõik definitsioonid ja teoreemid tensorite kohta käivad ka nende kohta ning skalaare ja vektoreid ei ole üldises arutluses tarvis eraldi mainida.)  
Defineeritakse tehted tensoritega, mida võib pidada maatriksitehete (näiteks maatriksite korrutamine ja maatriksi korrutamine vektoriga) ning vektoritehete (näiteks skalaarkorrutis) otseseks üldistuseks. Kui lähtuda tänapäevasest (aksiomaatilisest) definitsioonist, siis need tulenevad otseselt tensorite (multi)lineaarsusest selles definitsioonis.

Formuleering

Tensoreid on palju liike, ja konkreetset tüüpi tensori kirjeldamiseks on tarvis spetsiaalset terminoloogiat. Kui tensorite esitamiseks komponentide kaupa kasutatakse indeksnotatsiooni, on tarvis teada, milliseid piirkondi indeksid hõlmavad. Asja algseks mõistmiseks on kasulik lähtuda arusaamast, et tensori T saab moodustada vektorite korrutamise teel (kuigi nõnda pole võimalik saada kõiki tensoreid, vaid tuleb veel kasutada lineaarkombinatsioone). Korrutatud vektorite arv annab tensori T järgu, kuna indeksnotatsioon nõuab massiivi, mille komponentide koguarv saadakse vektorite komponentide arvude korrutamisel. Teiste sõnadega, tensori järk ütleb, mitmemõõtmeline see massiiv on, kuna tema suurus sõltub geomeetrilisest rakendusest. Kõige tavalisemat tüüpi tensorid vastavad ruutmaatriksile, kuupmassiivile jne, kusjuures kõigil indeksitel on sama piirkond, kuid see ei kitsenda matemaatilisi võimalusi.

Tensorid tänapäeva matemaatikas

Kuna tensoreid saab esitada komponentide mitmemõõtmeliste massiividena, käituvad nad koordinaatide teisenduste korral spetsiifilisel moel. Tensorite abstraktne teooria on lineaaralgebra haru, mida nüüd nimetatakse multilineaarseks algebraks. Teisendustega seotud omadus antakse tensoritele aksiomaatilise definitsiooniga. Tensorite loomus on see, et nad on bilineaarsed, trineaarsed, ..., n-lineaarsed, kus n on tensori järk; ühesõnaga multilineaarsed. Tavaliselt defineeritakse matemaatikas teatud vektorruumid; koordinaadistikud jäetakse fikseerimata, kuni vajaduse korral võetakse kasutusele baasid. Näiteks saab kontravariantseid vektoreid kirjeldada ka 1-vormidena ehk kovariantsete vektoritega duaalse ruumi elementidena.

Ajalugu

Karin Reich on kirjutanud tensorite päritolu üksikasjaliku ajaloo. Selle uurimuse järgi on tensoranalüüs välja kasvanud Carl Friedrich Gaussi diferentsiaalgeomeetria alastest töödest ning formuleeringut on palju mõjutanud 19. sajandi keskel arendatud algebraliste vormide ja invariantide teooria.   
Sõna "tensor" võttis 1846 kasutusele William Rowan Hamilton, kuid ta ei kasutanud seda tänapäevases tähenduses, vaid mõistis selle all Cliffordi algebra normioperatsiooni. Tänapäevases tähenduses võttis sõna "tensor" kasutusele Woldemar Voigt 1898. 
Tensorarvutuse töötas 1890. aasta paiku absoluutse diferentsiaalarvutuse nime all välja Gregorio Ricci-Curbastro; ta avaldas selle esmakordselt 1892 . Paljudele matemaatikutele tegi selle kättesaadavaks Ricci ja Tullio Levi-Civita klassikaline õpik Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications ("Absoluutse diferentsiaalarvutuse meetodid ja nende rakendused"; 1900; hiljem tõlgiti see teistesse keeltesse). 
20. sajandil hakati seda valdkonda nimetama tensoranalüüsiks. 1915. aasta paiku formuleeris Albert Einstein seda kasutades üldrelatiivsusteooria. Einstein õppis selle meetodi suurte raskustega geomeeter Marcel Grossmannilt. Levi-Civita algatas siis Einsteiniga kirjavahetuse, et parandada vigu, mis Einstein oli tensoranalüüsi rakendades teinud. Kirjavahetus leidis aset 1915–1917. Seda kirjavahetust iseloomustas vastastikune austus. Kord kirjutas Einstein: "Ma imetlen teie arvutusmeetodi elegantsust; oleks tore ratsutada läbi nende valdkondade tõelise matemaatika hobusel, kuna meietaolised peavad oma teekonna vaevaliselt jalgsi läbi tegema."  
Tensorid osutusid kasulikuks ka teistes valdkondades, näiteks pideva keskkonna mehaanikas. Mõned tuntud tensorite näited diferentsiaalgeomeetrias on ruutvormid, näiteks meetriline tensor ja kõverustensor. Hermann Grassmanni välisalgebra 19. sajandi keskpaigast on väga geomeetriline tensorite teooria, kuid alles mõne aja pärast avastati, et nii välisalgebra kui ka diferentsiaalvormide teooria kuuluvad loomulikul moel tensorarvutuse juurde. Élie Cartani tööd tegid diferentsiaalvormid ühtedeks põhilisteks matemaatikas rakendatavatest tensorväljadest. 
1920. aastatel hakati taipama, et tensoritel on fundamentaalne roll algebralises topoloogias (näiteks Künnethi teoreemi puhul). Tensoreid kasutatakse ka paljudes üldalgebra harudes, sealhulgas homoloogilises algebras ja esituste teoorias. Multilineaarset algebrat saab üldistada korpustest võetud skalaaridelt üldisematele juhtudele, kuid saadav teooria on vähem geomeetriline ja arvutused keerukamad. Tensorid on 1960. aastatel üldistatud ka kategooriateooriasse, kasutades monoidaalse kategooria mõistet.