Helilainevõrrand

Helilainevõrrand on füüsikas võrrand, mis kirjeldab helilaine levi keskkonnas. Helilainevõrrand on lainevõrrand ja seega on samuti teist järku osatuletistega diferentsiaalvõrrand. Helilainevõrrand võib kirjeldada helirõhu , osakese kiiruse u, kiiruste potentsiaali  või siirete potentsiaali  muutusi sõltuvana asukohast x ja ajast .

Lineaarse homogeense helilainevõrrandi tuletamine

Helilainevõrrandi saab tuletada lineariseeritud olekuvõrrandist, pidevuse võrrandist ja lineariseeritud Newtoni teisest seadusest pideva keskkonna jaoks ehk lineariseeritud Euleri võrrandist.

Akustilised suurused helirõhk ja surutavus

Vaatleme keskkonna ühte osakest. Antud osake hõlmab keskkonna piisavalt suurt ruumala sisaldamaks miljoneid molekule, kuid on piisavalt väike, et tema piires kõik akustilised muutujad (näiteks rõhk, tihedus, osakese siire) on ühtlase suurusega. Antud osakesel on tasakaaluolek ja sellele taskaaluolekule vastab häirimata osakese tihedus ja häirimata osakese rõhk . Helilaine keskkonnas levimisel muutub osakese rõhk ja tihedus ajas (osakese piires igal ajahetkel sama väärtusega). helilaine levimise ajal saab nende ajas muutuvate suuruste juures tähistada osakese hetkelist tihedust ja osakesele mõjuvat hetkelist rõhku . Helirõhk on vastavalt definitsioonile hetkelise-  ja häirimata rõhu vahe ehk 
. 
Akustiline tihedus on analoogselt defineeritud hetkelise tiheduse  ja häirimata tiheduse vahena. Viimasest olulisema suurusena defineeritakse surutavus , mis on akustilise tiheduse ja häirimata tiheduse suhe ehk

Olekuvõrrand akustikas

Reaalseid gaase ja vedelikke ei saa enamasti lähendada ideaalse gaasiga ja seetõttu määratakse nende puhul mõõtmiste abiga isentroopsed seosed rõhu ja tiheduse muutuste vahel. Viimaseid seoseid saab esitada Taylori reana
kus häirimata oleku voolise isoentroopse kokkusurumise ja paisumise osatuletiste  väärtused määratakse katseliselt. Kui häirituse suurus on piisavalt väikese amplituudiga, võib kõrgemat järku Taylori rea liikmed hüljata. Sedasi toimides saame rõhu fluktuatsioonide ja tiheduse muutuse vahel kirja panna lineaarse seose
kus suurust , nimetatakse adiabaatiliseks mahtelastsusmooduliks. Kasutade akustilise rõhu ja surutavuse definitsioone saame lineariseeritud olekuvõrrandi kirja panna seosena, mis sarnaneb Hooke'i seadusele ehk

Keskkonna pidevuse võrrand

Oletades, et vaadeldava osakese ruumala on  ja pindala . Osakese pinna kuju võib olla määratud vektorfunktsiooniga , mis on defineeritav kõikides pinna punktides olevate pinnanormaalide  ja elementaarpindade  korrutisega . Osakese massi juurdekasv ruumalas  võrdub osakese pinda  läbiva massi voo suurusega:
Kasutades Gauss-Ostrogradski teoreemi, mis seob vektorvälja voo läbi pinna ja pinna sisese tensorvälja  saame pidevusvõrrandi parema poole kirjutada kujule
Vastavalt eeldustele võib osakese piires osakese kiiruse ja tiheduse korrutise gradienti pidada konstantseks, ning seega võib kirjutada: 
Asendades viimase algsesse pidevuse võrrandisse ja jagades mõlemat poolt läbi osakese ruumalaga saame keskkonna pidevuse võrrandi kujul
Asendades hetkelise tihedused  surutavuse definitsioonist ja arvestades, et häirimata tihedus  muutub võrreldes surutavusega ajas aeglaselt ja surutavus osakese piires peab samuti vähe muutuma saame lineariseeritud keskkonna pidevuse võrrandi

Euleri võrrand

Pidevate keskkondade jaoks on Newtoni teine seadus kirja pandav tavapärasest teistsuguse kujul. Osakese pinnale mõjuva rõhu resultandi muutus on võrdne jõuga, mis paneb osakese massiga  liikuma vastava kiirendusega  ehk
Kasutades jällegi Gauss-Ostrogradski teoreemi saame Euleri võrrandi parema poole kirjutada
Vastavalt eeldustele võib pideva keskkonnas osakese piires lugega gradienti rõhust konstantseks ja seega
mida asendades algsesse Euleri võrrandisse ja jagades mõlemaid pooli ruumalaga saame Euleri võrrandi viia kujule
Viimases on  materiaalne tuletis kiirusest:
Tavaliselt on helilainete amplituudid väikesed. Olgu  ja  helilainele iseloomulikud suurused (harmoonilise laine korral periood ja lainepikkus)

Viimases on  osakese siire. Kui osakese siire on lainepikkusega võrreldes väike on konvektiivne kiirendus võrreldes lokaalse kiirendusega samuti väike suurus ja Euleri võrrand lihtsustub kujule

Lineaarne helilainevõrrand

Võttes divergentsi lineaarsest Euleri võrrandist saame
kus  on Laplace'i operaator. Järgnevalt võtame aja järgi tuletise lineaarsest pidevuse võrrandist  ja arvestame, et  on ajas vähe muutuv,
lineaarne olekuvõrrand lubab surutavust esitada, kui  ja kuna  on ajas vähe muutuv saame

kus  on helikiirus, mis on defineeritud kui