Kontiinumi hüpotees

Kontiinumi hüpoteesi tõesuse või vääruse tõestamise võimatus ZFC-s

Cantor uskus, et kontiinumi hüpotees on tõene, ning püüdis aastaid asjatult seda tõestada. See oli esimene nn Hilberti probleemidest, mille David Hilbert rahvusvahelisel matemaatikute kongressil Pariisis 1900 esitas. Aksiomaatiline hulgateooria ei olnud sel ajal veel sõnastatud.
Kurt Gödel näitas 1940 avaldatud töös, et kontiinumi hüpoteesi ei saa ümber lükata standardses Zermelo-Fraenkeli hulgateoorias (ei versioonis ZF ega valikuaksioomiga versioonis ZFC). Paul Cohen näitas 1963, et samadest aksiomaatikatest lähtudes ei saa kontiinumi hüpoteesi ka tõestada. Seega on kontiinumi hüpotees ZFC-st sõltumatu. Mõlemad tulemused on saadud eeldusel, et Zermelo-Fraenkeli aksiomaatika ise sisaldab vastuolu; üldiselt arvatakse, et see eeldus on tõene.
Kontiinumi hüpotees ei olnud esimene väide, mille sõltumatust ZFC-st on näidatud. Üks vahetu järeldus Gödeli mittetäielikkuse teoreemist, mis avaldati 1931, et on olemas ZFC kooskõlalisust väljendav formaalne lause (üks iga sobiva Gödeli numeratsiooni korral), mis on ZFC-st sõltumatu. Kontiinumi hüpotees ja valikuaksioom olid esimeste matemaatiliste väidete seas, mille sõltumatust aksiomaatikast ZF näidati. Need sõltumatuse tõestused viidi lõpuni alles siis, kui Paul Cohen 1960ndatel töötas välja forsseerimise meetodi. 
Kontiinumi hüpotees on lähedalt seotud paljude väidetega matemaatilises analüüsis, punktihulkade topoloogias ja mõõduteoorias. Kontiinumi hüpoteesi sõltumatusest järeldub, et ka mitmed olulised olutised nois valdkondades on sõltumatud. 
Seni teadaolevalt paistab kontiinumi hüpotees olevat sõltumatu kõigist teadaolevatest suure kardinaalarvu aksioomidest ZFC kontekstis.
Gödeli ja Coheni negatiivsed tulemused ei ole lahendusena üldtunnustatud ning asja uuritakse edasi (vaata Woodin 2001a). Ka Koellner (2011a) on kirjutanud ülevaate viimase aja uurimustest kontiinumi hüpoteesi kohta.

Argumendid kontiinumi hüpoteesi poolt ja vastu

Gödel uskus, et kontiinumi hüpotees on väär ning tema tõestus, et kontiinumi hüpotees on ZFC-ga kooskõlas, tõestab ainult, et Zermelo-Fraenkeli aksiomaatika ei kirjelda hulkade universumit adekvaatselt. Gödel oli platonist ning seetõttu võis ta probleemideta väita väidete tõesust või väärust sõltumatult nende tõestatavusest. Kuigi Cohen oli formalist, kaldus ka tema kontiinumi hüpoteesi vääraks pidama.
Ajaloolaselt on matemaatikud, kes pooldasid "rikast" ja "suurt" hulkade universumit, kontiinumi hüpoteesi vastu, need aga, kes pooldasid "puhast" ja "kontrollitavat" universumit, on olnud kontiinumi hüpoteesi poolt. Rööbiti on esitatud argumente konstrueeritavuse aksioomi poolt ja vastu (konstrueeritavuse aksioomist järeldub kontiinumi hüpotees). Hiljem on Matthew Foreman osutanud sellele, et ontoloogilist maksimalismi saab tegelikult kasutada argumentides kontiinumi hüpoteesi kasuks, sest mudelite seas, milles on samad reaalarvud, on "rohkemate" reaalarvude hulkadega mudelitel on suuremad šansid rahuldada kontiinumi hüpoteesi (Maddy 1988:500).
Teise vaatenurga järgi ei ole hulga mõiste piisavalt konkreetne, et kindlaks teha, kas kontiinumi hüpotees on tõene või väär. Selle ütles välja juba 1923 Thoralf Skolem, juba enne Gödeli esimest mittetäielikkuse teoreemi.
Skolemi argument viitas nn Skolemi paradoksile, ja hiljem sai see seisukoht kinnitust CH sõltumatuselt ZFC-st, sest ZFC aksiomaatika piisav hulkade ja võimsuste elementaarsete omaduste tõestamiseks. Selle seisukoha lükkaks ümber tõestus, et mingid uued aksioomid, mis on intuitsiooniga kooskõlas, võimaldavad tuletada kontiinumi hüpoteesi või selle eituse. Kuigi konstrueeritavuse aksioom võimaldab kontiinumi hüpoteesi tõestada, ei ole see aksioom üldtunnustatult intuitiivselt tõene (Kunen 1980:171).
On välja pakutud veel kaks aksioomi, mis kontiinumi hüpoteesi tõesust mõjutavad, ei ole aga leidnud matemaatikute seas laia heakskiitu. Aastal 1986 pakkus  Chris Freiling välja kontiinumi hüpoteesi vastase argumendi, mis näitab, et kontiinumi hüpoteesi eitus on samaväärne Freilingi sümmeetriaaksioomiga. Freiling peab seda aksioomi intuitiivselt tõeseks, kuid teised pole sellega nõustunud. Keerulise argumendi kontiinumi hüpoteesi vastu on esitanud W. Hugh Woodin (2001a, 2001b); see on 2000. aastast saadik küllaltki palju tähelepanu äratanud. Foreman (2003) ei lükka Woodini argumenti tagasi, kuid manitseb ettevaatusele.
Solomon Feferman (2011) esitas keeruka filosoofilise argumendi selle kasuks, et kontiinumi hüpotees ei ole määratletud matemaatiline probleem. Ta pakub välja "määratletuse" teooria, kasutades aksiomaatika ZF poolintuitsionistlikku alamsüsteemi, mis aktsepteerib klassikalist loogikat seotud kvantorite juures, kuid kasutab intuitsionistlikku loogikat on sidumata kvantorite juures, ning nimetab propositsiooni  matemaatiliselt "määratletuks", kui poolintuitsionistlikus teoorias saab tõestada propositsiooni . Ta oletab, et kontiinumi hüpotees ei ole selles mõttes määratletud, ning leiab, et kontiinumi hüpoteesile ei tuleks omistada tõeväärtust. Koellner (2011b) kirjutas Fefermani artiklile kriitilise kommentaari.