Hädavajalikkusargument

Hädavajalikkusargument (inglise keeles indispensability argument) on argument, mis esitab seda, et matemaatika on loodusteaduse teooriate formuleerimiseks ja ennustuste tegemiseks hädavajalik, tõendina platonismi kasuks (või mõne muu metafüüsilise väite) kasuks. Üldisemalt on see mis tahes argument, mis viitab millegi hädavajalikkusele millegi jaoks.  
Willard Van Orman Quine'ile ja Hilary Putnamile omistatakse järgmine argument (Quine'i-Putnami hädavajalikkusargument matemaatilise realismi kasuks). Osutamine matemaatilistele entiteetidele või kvantifitseerimine üle nende on meie parimates loodusteaduslikes teooriates hädavajalik, järelikult peab meil olema nende olemasolu sidumus. Matemaatilised entiteedid on ühe pulga peal teiste loodusteaduse teoreetiliste entiteetidega, sest uskumust, et need on olemas, õigustavad samad tõendid, mis õigustavad uskumist teooria tõesusse. 
Kui hädavajalikkusargument viitab millegi hädavajalikkusele millegi   seletamiseks, siis on tegu seletava hädavajalikkusargumendiga. Sellise iseloomuga on parima seletuse järeldamine.

"Hädavajalikkuse" tähendus

Hädavajalikkus ei ole sama mis mittekõrvaldatavus. Craigi teoreemi järgi saab iga aksiomatiseeritava teooria niimoodi ümber aksiomatiseerida, et osutamine teoreetilistele entiteetidele on kõrvaldatud, kuid teooria järeldused on samad. Selleks, et entiteet oleks mittehädavajalik, peab ta olema kõrvaldatav nii, et tulemuseks oleks ligitõmbav, võib-olla isegi ligitõmbavam teooria. Ligitõmbavuse alla käivad näiteks empiiriline edukus, ühtsustusjõud, lihtsus, seletusjõud ja viljakus.  
Tundub, et hädavajalikkusargument õigustab matemaatikasse uskumist ainult selles ulatuses, milles loodusteadus seda vajab. Võidakse siiski väita, et matemaatika osadel, milles füüsikas rakendusi pole, on ontoloogiline sidumus, sest neil on rakendused matemaatikas.

Naturalism ja holism

Quine õigustas esimest eeldust naturalismi ja holismiga.  
Naturalismiks nimetatakse tavaliselt Quine'i eeskujul seisukohta, et esimest filosoofiat ei ole ja filosoofia on loodusteaduse jätk, ta ei ole loodusteadusele eelnev ja tal pole privilegeeritud staatust loodusteaduse suhtes. Loodusteadus koos filosoofiaga kui oma jätkuga on kõik, mis maailma kohta öelda on. Parimad loodusteaduslikud teooriad ütlevadki metafüüsikule, mille olemasolusse tuleks uskuda. (Näiteks Penelope Maddy (1988) mõistab naturalismi sellisena, et see ei toeta Quine'i-Putnami argumenti.) Igasugune naturalism ei pruugi siiski õigustada uskumist parimate teooriate kõigisse entiteetidesse.
Kinnitusholism on seisukoht, mille järgi teooriaid kinnitatakse või jäetakse kinnitamata tervikuna. Kinnitus hõlmab ka teoorias  kasutatavat matemaatikat. Teooria matemaatilist komponenti õigustavad samad tõendid nagu teisi komponente. Naturalism ja kinnitusholism koos  õigustavad esimest eeldust.   
Peale kinnitusholismi ehk Quine'i-Duhemi teesi pooldas Quine ka semantilist holismi, mille järgi tähenduse ühik ei ole mitte üksik lause, vaid lausete süsteemid või koguni kogu keel. Kuid kinnitusholism ei eelda semantilist holismi. Kuigi Quine ise toetus semantilisele holismile, leiab enamik kommentaatoreid, et see pole hädavajalikkusargumendi õigustamiseks hädavajalik.

Vastuväited

Charles Parsons (1980) toob esile, et Quine'i pilt ei seleta fundamentaalsete matemaatikaväidete ilmsust. Philip Kitcher (1984: 104–105) toob esile, et hädavajalikkusargument ei seleta matemaatika hädavajalikkust loodusteadusele. 
Hartry Field (1980) lükkab tagasi Quine'i-Putnami argumendi teise eelduse. Ta väidab esiteks, et sellest, et matemaatikateooriad oleksid rakendustes kasulikud, ei pea nad olema tõesed, vaid piisab konservatiivsusest. Viimane tähendab, et kui nominalistlikule loodusteaduslikule teooriale lisatakse matemaatiline teooria, siis ei tulene nominalistlikke järeldusi, mis ei tulene nominalistlikust teooriast eraldi võetuna. See seletab, miks matemaatikat saab kasutada, kuid ei seleta, miks matemaatikat kasutataks. Asi on Fieldi järgi nimelt selles, et matemaatika teeb paljudes teooriates arvutuse ja formuleeringud palju lihtsamaks. Matemaatika ei ole hädavajalik, vaid lihtsalt pragmaatiliselt kasulik. Field püüab ka tõestada, et meie parimad loodusteaduslikud teooriad on nominaliseeritavad: mõistlikult ligitõmbavad teooriad on võimalikud ka ilma kvantifitseerimiseta üle matemaatiliste entiteetide. Ta nominaliseeris suure osa Newtoni gravitatsiooniteooriast. On vaieldud selle üle, kas on tõenäoline, et kõiki füüsikateooriaid saab nominaliseerida, kuid Fieldi programmi olulisuses on vähesed kahelnud. 
Penelope Maddy (1992; 1995; 1997) on juhtinud tähelepanu sellele, et kui esimene eeldus on väär, siis Fieldi programmil pole matemaatilise realismi küsimuses tähtsust. Maddy leiab, et meil ei pea olema kõigi hädavajalike entiteetide  ontoloogilist sidumust.  Kinnitusholismil on Maddy järgi raske seletada teatud loodusteaduslike ja matemaatiliste praktikate legitiimsust, naturalism aga nõuab nende praktikate austamist. Tegelikult on loodusteadlastel kinnitatud teooria eri koostisosade suhtes erinev hoiak (uskumine, sallimine või tagailükkamine). Maddy eelistab siin holismile naturalismi ning ütleb, et esimene eeldus tuleb tagasi lükata. Edasi tekib küsimus, kas teooria matemaatilised osad on selle tõesed või idealiseeritud koostisosad. Maddy eelistab viimast vastust, sest see tundub olevat teadlaste eneste vaade. Näiteks tehakse veelainete uurimisel sageli väär eeldus, et vesi on lõpmatult sügav, ja fluidumidünaamikas tehakse tavaliselt eeldus, et  aine on pidev (Maddy 1992: 281–282). See näitab, et teadlasi huvitab ainult see, et matemaatika töötaks, mitte matemaatilise teooria tõesus (Maddy 1995: 255). Ka siin tundub kinnitusholism olevat loodusteadlaste praktikaga ning seega naturalismiga konfliktis ning Maddy eelistab naturalismi. Esimene eeldus tuleb tagasi lükata. Maddy kolmas vastuväide on see, et on raske aru saada, mida matemaatikud teevad, kui nad püüavad lahendada küsimusi, mis on hulgateooria standardsest aksiomaatikast (ZFC) sõltumatud. Esitatakse uusi aksioomikandidaate ning argumente nende kasuks. Need argumendid on matemaatikasisesed ning paistab, et neil pole mingit pistmist rakendustega füüsikas. Aga hädavajalikkusteooria järgi peaks uusi aksioome hindama selle järgi, kuidas need praeguste parimate loodusteaduslike argumentidega kokku sobivad. Sellepärast tundub, et kinnitusholism pooldab standardse matemaatilise praktika revideerimist, mis on jällegi naturalismiga konfliktis (Maddy 1992: 286–289). See vastuväide seab esimese eelduse kaudselt kahtluse alla, sest eeldus toetub nii naturalismile kui ka holismile. 
Elliott Sober (1993) ründab väidet, et empiirilised tõendid meie parimate loodusteaduslike teooriate kasuks toetavad ka matemaatilisi teooriaid. Matemaatikateooriaid testitakse teistmoodi kui loodusteaduse teooriaid. Hüpoteese kinnitatakse võistlevate hüpoteeside suhtes. Kui kinnitatakse ka matemaatikat, nagu hädavajalkkusteooria väidab, siis peavad olema matemaatikavabad võistlejad. Aga kõik võistlevad loodusteaduslikud teooriad kasutavad ühist matemaatilist tuuma. See ei ole vastuväide esimesele eeldusele ega hädavajalikkusargumendile (Sober 1993: 53), küll aga Quine'i seisukohale, et matemaatika on empiirilise teaduse osa. Siin on argument kinnitusholismi vastu, ning see, kui palju see mõjutab esimest eeldust, oleneb sellest, kui palju see eeldus kinnitusholismile toetub.    
Soberi ja Maddy vastuväiteid arvestades eeldab hädavajalikkusargumendi järelduse omaksvõtmine, et peetakse vähemalt lubatavaks niisuguste entiteetide ontoloogilist sidumust, millel empiirilist toetust ei ole. See aga ei ole algse hädavajalikkusargumendi vaimus.