Αφελής συνολοθεωρία

Η Αφελής συνολοθεωρία είναι μία από τις αρκετές θεωρίες συνόλων που χρησιμοποιείται για τη συζήτηση των θεμελίων των μαθηματικών. Αντίθετα οι αξιωματικές θεωρίες συνόλων, οι οποίες ορίζονται χρησιμοποιώντας την τυπική λογική, η αφελής συνολοθεωρία ορίζεται άτυπα, στη φυσική γλώσσα.Περιγράφει τις πτυχές των μαθηματικών συνόλων όμοια με τα διακριτά μαθηματικά (για παράδειγμα τα διαγράμματα Venn και η συμβολική συλλογιστική περί της  δικής τους Άλγεβρας Μπουλ), και αρκεί για την καθημερινή χρήση εννοιών της θεωρίας συνόλων στα σύχρονα μαθηματικά.
Τα σύνολα είναι μεγάλης σημασίας για τα μαθηματικά, στην πραγματικότητα, στις σύγχρονες τυπικές προσεγγίσεις, τα περισσότερα μαθηματικά αντικείμενα (αριθμοί, σχέσεις, συναρτήσεις,κ.ο.κ.) ορίζονται με τους όρους των συνόλων. Η αφελής συνολοθεωρία μπορεί να θεωρηθεί ως θεμέλιος λίθος στις περισσότερες τυπικές προσεγγίσεις, και αρκεί για πολλούς σκοπούς.

Η θεωρία του Cantor

Κάποιοι πιστεύουν ότι η θεωρία του Γκέοργκ Κάντορ δεν ενοχοποιήθηκε λόγω αυτών των  παραδόξων (βλέπε  Frápolli 1991). Μία δυσκολία στον προσδιορισμό αυτού με βεβαιότητα, είναι ότι ο Κάντορ δεν παρείχε μια αξιωματικοποίηση του συστήματός του. Μέχρι το 1899, ο  Κάντορ γνώριζε κάποια από τα παράδοξα που προέρχονταν από την χωρίς περιορισμούς ερμηνεία της θεωρίας του, για παράδειγμα το παράδοξο του Κάντορ, το παράδοξο Μπουράλι-Φόρτι, και δεν πίστευε ότι απαξίωσαν τη θεωρία του. Το παράδοξο του Κάντορ μπορεί στην πραγματικότητα να εξαχθεί από την παραπάνω (εσφαλμένη) υπόθεση χρησιμοποιώντας όπου P(x) "x είναι πληθάριθμος". Ο Φρέγκε αξιωματικοποίησε μια θεωρία στην οποία  μια τυπική εκδοχή της αφελούς συνολοθεωρίας μπορεί να ερμηνευθεί, και είναι  αυτή η τυπική θεωρία την οποία ο Μπέρτραντ Ράσελ, στην πραγματικότητα εφάρμοσε όταν παρουσίασε το παράδοξό του, όχι απαραίτητα μια θεωρία την οποία ο Κάντορ, ο οποίος, όπως αναφέρθηκε, γνώριζε αρκετά παράδοξα, πιθανώς είχε στο μυαλό του.

Αξιωματικές θεωρίες

Η αξιωματική θεωρία συνόλων αναπτύχθηκε σε απάντηση αυτών των πρώιμων προσπαθειών για την κατανόηση των συνόλων,με το στόχο να προσδιοριστεί ακριβώς ποιες πράξεις επιτρεπόταν και πότε. Σήμερα, όταν οι μαθηματικοί μιλούν για "θεωρία συνόλων" ως τομέα των μαθηματικών, συνήθως εννοούν την αξιωματική θεωρία συνόλων. Ανεπίσημες εφαρμογές της θεωρίας συνόλων σε άλλα πεδία αναφέρονται κάποιες φορές ως εφαρμογές της «αφελούς συνολοθεωρίας», αλλά συνήθως γίνεται κατανοητό ότι δικαιολογούνται με όρους ενός αξιωματικού συστήματος (κανονικά Ζερμέλο-Φράνκελ θεωρία συνόλων).

Συνέπεια

Μία αφελής συνολοθεωρία δεν είναι απαραίτητα ασυνεπής, αν αυτή ορίζει σωστά τα σύνολα που επιτρέπεται να θεωρηθούν. Αυτό μπορεί να γίνει με χρήση των ορισμών, οι οποίοι είναι απεριόριστα αξιώματα. Είναι πιθανό να τεθούν όλα τα αξιώματα με σαφήνεια, όπως στην περίπτωση της Αφελούς Συνολοθεωρίας του Halmo, η οποία είναι στην πραγματικότητα μια άτυπη παρουσίαση της συνήθους αξιωματικής Ζερμέλο-Φράνκελ θεωρία συνόλων. Η «αφέλεια» βρίσκεται στο γεγονός ότι , η γλώσσα και οι συμβολισμοί είναι μέρος των συνηθισμένων άτυπων μαθηματικών, και από το ότι δεν ασχολείται με  την συνέπεια ή την πληρότητα του συστήματος αξιωμάτων.
Παρομοίως, μία αξιωματική θεωρία συνόλων δεν είναι απαραίτητα συνεπής, δηλαδή δεν είναι απαραίτητα απελευθερωμένη από παράδοξα. Έπεται από τα Θεωρήματα μη πληρότητας του Γκέντελ, πως ένα επαρκώς πολύπλοκο σύστημα, πρωτοβάθμιας λογικής, που περιλαμβάνει τις πιο συνήθεις αξιωματικές συνολοθεωρίες, δεν μπορεί να αποδειχθεί συνεπές από την ίδια την θεωρία του, υπό τον όρο ότι είναι πραγματικά συνεπής. Ωστόσο, τα συνήθη αξιωματικά συστήματα, γενικά θεωρούμε πως είναι συνεπή, και αποκλείουν, μέσω των αξιωμάτων, ορισμέναπαράδοξα, όπως αυτό του Ράσελ. Δεν είναι γνωστό, και ούτε θα είναι ποτέ, αν δεν υπάρχουν παράδοξα σε όλες αυτές τις θεωρίες ή σε οποιαδήποτε πρωτοβάθμια συνολοθεωρία.
Ο όρος αφελής συνολοθεωρία, χρησιμοποιείται ακόμη και σήμερα στην βιβλιογραφία, όταν αναφερόμαστε σε συνολοθεωρίες που μελετήθηκαν από τον Frege και τον Κάντορ, αντί των αντίστοιχων άτυπων της μοντέρνας αξιωματικής συνολοθεωρίας.

Χρησιμότητα

Η επιλογή ανάμεσα σε μια αξιωματική προσέγγιση και σε άλλες προσεγγίσεις, αποτελεί σε μεγάλο βαθμό και θέμα ευκολίας. Στην μαθηματική καθημερινότητα, η καλύτερη επιλογή μάλλον είναι η άτυπη χρήση της αξιωματικής συνολοθεωρίας. Αναφορές σε συγκεκριμένα τυπικά αξιώματα, εμφανίζονται μόνο όταν το απαιτεί η παράδοση, για π.χ. το αξίωμα της επιλογής συχνά αναφέρεται όταν χρησιμοποιείται. Παρομοίως, τυπικές αποδείξεις εμφανίζονται μόνον όταν ειδικές περιστάσεις το απαιτούν. Αυτή η άτυπη χρήση της αξιωματικής συνολοθεωρίας, μπορεί να έχει (ανάλογα με τον συμβολισμό), ακριβώς την εμφάνιση της αφελούς συνολοθεωρίας, όπως περιγράφεται παρακάτω, και είναι αισθητά ευκολότερη, και να διαβάζεται και να γράφεται, συμπεριλαμβανομένης και της τυποποίησης των περισσότερων προτάσεων και αποδείξεων και εν γένει της μαθηματικής συζήτησης, και είναι πιθανότατα, λιγότερο επιρρεπής σε λάθη για τους περισσότερους ανθρώπους, συγκριτικά με μια αυστηρή, τυπική προσέγγιση.

Σύνολα, στοιχεία και ισότητα

Στην αφελή συνολοθεωρία, ένα σύνολο περιγράφεται ως μία καλά-ορισμένη συλλογή αντικειμένων. Αυτά τα αντικείμενα ονομάζονται στοιχεία ή μέλη του συνόλου. Αντικείμενα μπορεί να είναι οτιδήποτε: αριθμοί, άνθρωποι, άλλα σύνολα, κτλ. Για παράδειγμα, το 4 είναι μέλος του συνόλου των άρτιων ακεραίων. Σαφώς, το σύνολο των άρτιων αριθμών είναι άπειρα μεγάλο. Δεν απαιτείται ένα σύνολο να είναι πεπερασμένο.
Ο ορισμός του συνόλου αποδίδεται στον  Γκέοργκ Καντόρ. Στο άρθρο του Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre εν έτη 1915, έγραψε:
«Unter einer “Menge” verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die “Elemente” von M genannt werden) zu einem Ganzen.» – Georg Cantor
«Σύνολο είναι μία συλλογή καθορισμένων, διακριτών αντικειμένων της αντίληψης ή της σκέψης μας—τα οποία ονομάζονται στοιχεία του συνόλου» – Γκέοργκ Κάντορ

Σημείωση περί συνέπειας

Δεν συνεπάγεται από αυτόν τον ορισμό το πως μπορούν να σχηματιστούν τα σύνολα, και ποιες πράξεις πάνω στα σύνολα παράγουν εκ νέου ένα σύνολο. Ο όρος «καλά ορισμένη» στην έκφραση «καλά ορισμένη συλλογή αντικειμένων» δεν μπορεί, από μόνος του, να διασφαλίσει την συνέπεια και τη σαφήνεια του τι ακριβώς αποτελεί και τι όχι ένα σύνολο. Η προσπάθεια να επιτευχθεί αυτό αποτελεί αντικείμενο της αξιωματικής θεωρίας συνόλων ή της αξιωματικής κλασσικής θεωρίας.
Το πρόβλημα, που δημιουργείται με τις άτυπα διατυπωμένες θεωρίες συνόλων, που δεν πηγάζουν από (και δεν συνεπάγονται) κάποια συγκεκριμένη αξιωματική θεωρία, είναι ότι μπορεί να υπάρχουν πολλές, ευρέως διαφορετικές, διατυπωμένες εκδοχές, οι οποίες να έχουν διαφορετικά σύνολα καθώς και διαφορετικούς κανόνες ως προς το πώς δημιουργούνται νέα σύνολα, και οι οποίες όλες προσαρμόζονται στον αρχικό άτυπο ορισμό. Για παράδειγμα, ο ακριβής ορισμός του Κάντορ επιτρέπει μεγάλη ελευθερία ως προς το τι αποτελεί ένα σύνολο. Από την άλλη, είναι απίθανο ο Κάντορ να ενδιαφερόταν ιδιαίτερα για σύνολα που περιέχουν γάτες και σκύλους, αλλά μάλλον μόνο για σύνολα καθαρά μαθηματικών αντικειμένων. Ένα παράδειγμα μιας τέτοιας κλάσης συνόλων θα μπορούσε να είναι τοσύμπαν του Φον Νόιμαν. Αλλά ακόμα και εάν θέσουμε την κλάση των συνόλων υπό εξέταση, δεν είναι πάντοτε εμφανές ποιοι κανόνες για τον σχηματισμό συνόλων επιτρέπονται χωρίς να δημιουργούνται παράδοξα.
Με σκοπό λοιπόν τον  καθορισμό της συζήτησης παρακάτω, ο όρος "καλά ορισμένος" θα ερμηνεύεται αντ’ αυτού ως μία πρόθεση, είτε με έμμεσους είτε  με άμεσους κανόνες (αξιώματα ή ορισμούς), για την αποφυγή παρερμηνειών. Σκοπός μας είναι να κρατηθούν μακριά τα συχνά βαθειά και δύσκολα θέματα συνέπειας από το, συνήθως απλούστερο, επικείμενο πλαίσιο. Πάντως, μία ρητή αποφυγή όλων των ασυνεπειών (παραδόξων) δεν μπορεί να επιτευχθεί για μία αξιωματική συνολοθεωρία, λόγω του δεύτερου θεωρήματος της μη πληρότητας του Γκέντελ, και επομένως αυτό δεν δυσχεραίνει την χρησιμότητα της αφελούς συνολοθεωρίας σε σχέση με την αξιωματική θεωρία συνόλων στα απλά πλαίσια που εξετάζονται παρακάτω. Απλώς διευκολύνει και απλουστεύει τη συζήτηση. Στο εξής λοιπόν η συνέπεια θα θεωρείται δεδομένη εκτός και αν αναφέρεται ρητά.

Στοιχεία συνόλου

Εάν το x είναι στοιχείο ενός συνόλου A, τότε λέμε επίσης ότι το x ανήκει στο A, ή ότι το x βρίσκεται στο A. Συμβολίζεται με x ∈ A. Το σύμβολο ∈ προέρχεται από το πεζό ελληνικό γράμμα έψιλον, "ε", εισήχθη από τον Τζουζέπε Πεάνο το 1889 πρέπει να είναι το πρώτο γράμμα της λέξης  ἐστί (που σημαίνει "είναι"). Το σύμβολο ∉ χρησιμοποιείται αρκετά συχνά ως x ∉ A, και σημαίνει " το x δεν βρίσκεται στο A".

Ισότητα

Δύο σύνολα A και B θα ονομάζονται εξ ορισμού ίσα όταν θα έχουν ακριβώς τα ίδια στοιχεία, όταν δηλαδή, κάθε στοιχείο του συνόλου A είναι και στοιχείο του συνόλου B και κάθε στοιχείο του B είναι στοιχείο του A. (Βλέπε αξίωμα έκτασης.) Έτσι ένα σύνολο καθορίζεται πλήρως από τα στοιχεία του, ενώ η περιγραφή του είναι επουσιώδης. Για παράδειγμα, το σύνολο με στοιχεία τους αριθμούς 2, 3, και 5 είναι ίσο με το σύνολο των πρώτων αριθμών που είναι μικρότεροι του 6.
Εάν τα σύνολα A και B είναι ίσα, τότε γράφουμε (συμβολισμός): A = B (ως είθισται).

Κενό σύνολο

Το κενό σύνολο, το οποίο συχνά συμβολίζεται με Ø ή κάποιες φορές με , είναι ένα σύνολο που δεν περιέχει καθόλου στοιχεία. Ακριβώς επειδή ένα σύνολο καθορίζεται πλήρως από τα στοιχεία του, υπάρχει ένα μοναδικό κενό σύνολο. (αξίωμα κενού συνόλου.) Παρόλο που το κενό σύνολο δεν έχει καθόλου στοιχεία, μπορεί να είναι στοιχείο άλλων συνόλων. Έτσι Ø ≠ {Ø}, επειδή το πρώτο σύνολο δεν έχει κανένα στοιχείο ενώ το δεύτερο έχει ένα(το κενό σύνολο). Στα μαθηματικά τα μοναδικά σύνολα με τα οποία χρειάζεται να ασχοληθεί κανείς μπορούν να δημιουργηθούν από το κενό σύνολο και μόνο (Halmos (1974)).

Υποσύνολα

Δοθέντων δύο συνόλων A και B, το σύνολο A είναι ένα υποσύνολο του B εάν κάθε στοιχείο του A είναι ταυτόχρονα και στοιχείο του B.
Ειδικότερα, κάθε σύνολο B είναι υποσύνολο του εαυτού του. Κάθε υποσύνολο του B που δεν είναι ίσο με το B ονομάζεται γνήσιο υποσύνολο.
Εάν A είναι ένα υποσύνολο του B, τότε μπορούμε να πούμε επίσης ότι το B είναι ένα υπερσύνολο του A, ότι το A περιέχεται στο B, ή ότι το B περιέχει το σύνολο A. Συμβολίζουμε με, A ⊆ B που σημαίνει ότι το A είναι υποσύνολο του B, και με B ⊇ A που σημαίνει ότι το B είναι υπερσύνολο του A.
Μερικοί συγγραφείς χρησιμοποιούν τα σύμβολα ⊂ και ⊃ για υποσύνολα, ενώ άλλοι χρησιμοποιούν αυτά τα σύμβολα μόνο για γνήσια υποσύνολα. Για λόγους λοιπόν σαφήνειας, μπορεί κανείς να χρησιμοποιεί ρητά τα σύμβολα ⊊ και ⊋ για να δηλώσει ανισότητα.
Ας συμβολίσουμε με R το σύνολο των πραγματικών αριθμών, με Z το σύνολο των ακεραίων, με O το σύνολο των περιττών ακεραίων, και με P το σύνολο όλων των προέδρων των ΗΠΑ. Τότε το O είναι υποσύνολο του Z, το Z είναι υποσύνολο του R, και (ως εκ τούτου) το O είναι υποσύνολο του R, όπου σε όλες τις περιπτώσεις ο όρος υποσύνολο θα μπορούσε να ληφθεί ως γνήσιο υποσύνολο.
Δεν είναι όλα τα σύνολα συγκρίσιμα κατ αυτόν τον τρόπο. Για παράδειγμα, δεν μπορούμε να ισχυριστούμε ούτε ότι το σύνολο R είναι υποσύνολο του συνόλου P ούτε ότι το P είναι υποσύνολο του R.
Είναι άμεσο επακόλουθο του ορισμού της ισότητας συνόλων που δόθηκε παραπάνω, ότι δοθέντος δύο συνόλων A και B, A = B αν και μόνο εάν A ⊆ B και B ⊆ A. Στην πραγματικότητα αυτός δίνεται συχνά ως ο ορισμός της ισότητας. Συνήθως όταν κάποιος προσπαθεί να αποδείξει ότι δύο σύνολα είναι ίσα, στοχεύει στο να δείξει αυτές τις δύο εγκλείσεις. Το κενό σύνολο είναι υποσύνολο κάθε συνόλου (ο ισχυρισμός ότι κάθε στοιχείο του κενού συνόλου είναι επίσης στοιχείο κάθε άλλου συνόλου A είναι αληθής με κενό τρόπο).
Το σύνολο όλων των υποσυνόλων ενός συνόλου A ονομάζεται δυναμοσύνολο του A και συμβολίζεται με  ή με . Μερικές φορές το "P" είναι καλλιγραφικό. Εάν το σύνολο A έχει n στοιχεία, τότε το  θα έχει  στοιχεία.

Καθολικά σύνολα και απόλυτα συμπληρώματα

Σε ορισμένες περιπτώσεις, θα μπορούσε κάποιος να θεωρήσει όλα τα σύνολα, ως υποσύνολα κάποιου καθολικού συνόλου.
Για παράδειγμα, όταν μελετάμε τις ιδιότητες των πραγματικών αριθμών R (και των υποσυνόλων του R), το R μπορεί να θεωρηθεί ως το καθολικό σύνολο. Ένα πραγματικά καθολικό σύνολο, δεν περιλαμβάνεται στην κανονική θεωρία συνόλων (βλέπε Παράδοξα παρακάτω), ωστόσο περιλαμβάνεται σε κάποιες μη – κανονικές συνολοθεωρίες.
Δοθέντος ενός καθολικού συνόλου  U και ενός υποσυνόλου  A του U, το συμπλήρωμα του A (στο U) ορίζεται ως :AC := {x ∈ U : x ∉ A}.
Με άλλα λόγια, AC ("A-συμπλήρωμα") είναι το σύνολο όλων των στοιχείων του U που δεν είναι στοιχεία του A.
Κατά συνέπεια, σύμφωνα με τους ορισμούς των R, Z και O, όπως ορίστηκαν στην παράγραφο υποσύνολα, αν Z είναι το καθολικό σύνολο, τότε OC είναι το σύνολο των άρτιων ακεραίων, ενώ αν R είναι το καθολικό σύνολο, τότε OC είναι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών που είναι είτε άρτιοι ακέραιοι, είτε όχι ακέραιοι.