Σειρά

Ιδιότητες των σειρών

Οι σειρές δεν κατηγοριοποιούνται μόνο σύμφωνα με το αν συγκλίνουν ή όχι, αλλά και σύμφωνα με τις ιδιότητες των όρων , τον τύπο της σύγκλισης, την τάξη του  κ.τ.λ..

Απόλυτη Σύγκλιση

Μια σειρά : συγκλίνει απόλυτα, όταν η σειρά της απόλυτης τιμής : συγκλίνει.

Ανάπτυξη των απειροσειρών

Ο Έλληνας μαθηματικός Αρχιμίδης παρουσίασε την πρώτη γνωστή σύνοψη μιας απειροσειράς με μία μέθοδο που χρησιμοποιείται μέχρι σήμερα στην αριθμητική ανάλυση. Χρησιμοποίησε την μέθοδο  της εξάντλησης για το υπολογισμό του εμβαδόν κάτω από ένα παραβολικό τόξο με το άθροισμα μιας απειροσειράς και απέδωσε μια αξιόλογη και ακριβή προσέγγιση του π.
Τον 17ο αιώνα, ο James Gregory δούλεψε πάνω σε ένα νέο δεκαδικό σύστημα πάνω στις απειροσειρές και δημοσίευσε αρκετές σειρές Maclaurin. Το 1715, μια γενική μέθοδος για την κατασκευή της σειράς Taylor για όλες τις συναρτήσεις που υπάρχουν ορίστηκε από τον Brook Taylor. Ο Λέοναρντ Όιλερ τον 18ο αιώνα, ανέπτυξε την θεωρία των υπεργεωμετρικών σειρών και σειρών q.

Ενιαία σύγκλιση

Η θεωρία την ενιαίας σύγκλισης αναπτύχθηκε από τον Κωσύ (1821), του οποίου οι περιορισμοί επισημάνθηκαν από τον Άμπελ, αλλά οι πρώτοι που επιτέθηκαν την επιτυχία του ήταν οι Seidel και Stokes (1847-48). Ο Κωσύ ασχολήθηκε ξανά με το πρόβλημα (1853), επιβεβαιώνοντας την κριτική του Άμπελ και έφτασε στα ίδια συμπεράσματα που είχε βρει ο Stokes. Ο Thomae χρησιμοποίησε το δόγμα (1866) αλλά πέρασε αρκετός καιρός στην αναγνώριση της σημαντικότητας του διαχωρισμού ανάμεσα στην ενιαία και μη-ενιαία σύγκλιση παρά των απαιτήσεων της θεωρίας των συναρτήσεων.

Σειρές του Φουριέ

Οι σειρές Φουριέ ερευνήθηκαν ως αποτέλεσμα φυσικής μελέτης την ίδια στιγμή που ο Γκάους, Άμπελ και Κωσύ δούλευαν με τη θεωρία των απειροσειρών. Οι σειρές ως επέκταση των ημίτονων και συνημίτονων, των πολλαπλών τόξων σε δυνάμεις των ημίτονων και συνημίτονων αναπτύχθηκαν από τον Γιακόμπ Μπερνούλι (1702) και τον αδερφό του Τζόχαν Μπερνουλί (1701) και νωρίτερα από τον Βιέτ. Ο Όιλερ και ο Λαγκράνζ απλούστευσαν το θέμα όπως έκαναν οι Poinsot, Schröter, Glaisher και Kummer. Ο Φουριέ (1807) έθεσε για τον εαυτό του ένα διαφορετικό πρόβλημα, την επέκταση μια δωθήσας συνάρτησης x σε σχέση με ημίτονα ή συνημίτονα πολλαπλάσιων του x, ένα πρόβλημα που ενσωμάτωσε στην θεωρία του «Théorie analytique de la chaleur» (1822). Ο Όιλερ ήδη έδωσε τον τύπο που καθόρισε τον συντελεστή στις σειρές· Ο Φουριέ ήταν ο πρώτος που ισχυρίστηκε και επιχείρησε να αποδείξει το γενικό θεώρημα. Ο Poisson (1820-23) επίσης επιτέθηκε στο πρόβλημα από διαφορετική προσωπική άποψη. Ο Φουριέ όχι, αλλά θεμελίωσε την απορία της σύγκλισης της σειράς του, ένα ζήτημα έμεινε για τον Κωσύ (1826) να προσπαθήσει και για τον Dirichlet (1829) να ασχοληθεί λεπτομερώς με επιστημονικό τρόπο. Ο χειρισμός του Dirichlet (1829) των τριγωνομετρικών σειρών ήταν θέμα κριτικής και βελτίωσης από τους Riemann (1854), Heine, Lipschitz, Schläfli και du Bois-Reymond. Μεταξύ κάποιων διακεκριμένων που συνέβαλαν στις θεωρίες των τριγωνομετρικών και σειρών Φουριέ είναι οι Dini, Hermite, Halphen, Krause, Byerly and Appell.

Ασύμπτωτες σειρές

Ασύμπτωτες σειρές, ή και ασύμπτωτη προέκταση, είναι απειροσειρές των οποίων τα μερικά σύνολα έχουν υποστεί στρογγυλοποίηση στο όριο του πεδίου ορισμού. Γενικά δεν συγκλίνουν αλλά είναι χρήσιμες ως ακολουθίες στρογγυλοποίησης, όπου η κάθε μία παρέχει μία τιμή κοντά στην επιθυμητή απάντηση για ένα πεπερασμένο αριθμό όρων. Η διαφορά είναι ότι από μία ασύμπτωτη σειρά δεν μπορεί να παραχθεί αποτέλεσμα τόσο ακριβές όσο το επιθυμητό, με τον τρόπο που οι συγκλίνων σειρές μπορούν. Στην πραγματικότητα, μετά από ένα ορισμένο αριθμό όρων, μία τυπική ασύμπτωτη σειρά φτάνει στην βέλτιστη προσέγγιση· αν προστεθούν περισσότεροι όροι, οι περισσότερες τέτοιες σειρές θα παράγουν χειρότερα αποτελέσματα.

Αποκλίνουσα σειρά

Κάτω από πολλές περιστάσεις, είναι επιθυμητό να ορίσουμε ένα όριο στις σειρές όπου η σύγκλιση με το σύνηθες τρόπο αποτυγχάνει. Η μέθοδος της αθροισιμότητας είναι ένας τέτοιος ορισμός ορίου σε ένα υποσύνολο ενός συνόλου από αποκλίνουσες σειρές όπου κατάλληλα επεκτείνει την κλασική έννοια της σύγκλισης. Οι μέθοδοι αθροισιμότητας συμπεριλαμβάνουν, σε αύξουσα σειρά γενίκευσης, το σύνολο του Cesàro, το (C,k) σύνολο, το σύνολο του Abel και το σύνολο του Borel.
Υπάρχουν διάφορα γενικά αποτελέσματα που αφορούν πιθανές μεθόδους αθροισιμότητας. Το θεώρημα του Silverman–Toeplitz χαρακτηρίζει τις μεθόδους αθροισιμότητας πινάκων, οι οποίοι είναι μέθοδοι που αθροίζουν μία αποκλίνουσα σειρά εφαρμόζοντας έναν απειροπίνακα στο διάνυσμα των συντελεστών. Η πιο γενική μέθοδος άθροισης μιας αποκλίνουσας σειράς είναι μη-κατασκευαστική και αφορά τα όρια Banach.

Συμπεράσματα πάνω σε σύνολα με τυχαίους δείκτες

Ορισμοί μπορούν να δοθούν για  πάνω από ένα αυθαίρετο σύνολο δείκτη I. Υπάρχουν δύο κύριες διαφορές με τη συνήθη έννοια της σειράς: πρώτον, δεν υπάρχει συγκεκριμένη σειρά στο σύνολο Ι. Δεύτερον, αυτό το σύνολο Ι μπορεί να είναι μη μετρήσιμο.