Γεωμετρική θεωρία ομάδων

Η Γεωμετρική θεωρία ομάδων είναι περιοχή των μαθηματικών αφιερωμένη στη μελέτη των πεπερασμένα παραγομένων ομάδων μέσω διερεύνησης των συνδέσεων μεταξύ αλγεβρικών ιδιοτήτων των ομάδων αυτών και τοπολογικών και γεωμετρικών ιδιοτήτων των χώρων στις οποίες δρουν οι ομάδες αυτές (δηλαδή όταν οι εν λόγω ομάδες αναγνωρίζονται ως γεωμετρικές συμμετρίες ή συνεχείς μεταμορφώσεις κάποιων χώρων).
Μια άλλη σημαντική ιδέα στη γεωμετρική θεωρία ομάδων είναι να εξετάσει πεπερασμένα παραγόμενες ομάδες αναγνωρίζοντας τες ως γεωμετρικά αντικείμενα. Αυτό γίνεται συνήθως με τη μελέτη των γραφημάτων Cayley των ομάδων, η οποία, εκτός από το γράφημα δομή, είναι προικισμένη με την δομή του μετρικού χώρου, δόθηκε από το λεγόμενο word μετρική.
Η γεωμετρική θεωρία ομάδων ως ξεχωριστή περιοχή είναι σχετικά νέα, και έγινε αναγνωρίσιμος κλάδος των μαθηματικών στα τέλη του 1980 και αρχές της δεκαετίας του 1990. Η γεωμετρική θεωρία ομάδων αλληλεπιδρά στενά με χαμηλή διαστάσεων τοπολογία, υπερβολική γεωμετρία, αλγεβρική τοπολογία, υπολογιστική θεωρία ομάδων και διαφορική γεωμετρία. Υπάρχουν, επίσης, σημαντικές συνδέσεις με την θεωρία πολυπλοκότητας, την μαθηματική λογική, την μελέτη των Ομάδων Lie και τις διακριτές υποομάδες αυτών, τα δυναμικά συστήματα, τη θεωρία πιθανοτήτων, τη Κ-θεωρία, και άλλες περιοχές των μαθηματικών.
Στην εισαγωγή του βιβλίου του, Θέματα Γεωμετρικής Θεωρίας Ομάδων, ο Pierre de la Harpe έγραψε: «Μία από τις προσωπικές μου πεποιθήσεις είναι ότι γοητεία με συμμετρίες και οι ομάδες είναι ένας τρόπος αντιμετώπισης των απογοητεύσεων των περιορισμών της ζωής: θα θέλαμε να αναγνωρίσουμε συμμετρίες που μας επιτρέπουν να αναγνωρίσουμε περισσότερα από αυτά που μπορούμε να δούμε. με αυτή την έννοια η μελέτη της θεωρίας της γεωμετρικής ομάδας είναι ένα μέρος του πολιτισμού, και μου θυμίζει πολλά πράγματα που Georges de Rham εφάρμοσε σε πολλές περιπτώσεις, όπως η διδασκαλία των μαθηματικών, να εκθέσει Στεφάν Μαλαρμέ (Stéphane Mallarmé), ή χαιρετισμό μια φίλο." (σελίδα 3 ).

Ιστορία

Η γεωμετρική θεωρία ομάδων αυξήθηκε από τη συνδυαστική θεωρία ομάδων που, σε μεγάλο βαθμό, μελέτησε τις ιδιότητες των διακριτών ομάδων μέσω της ανάλυσης ομαδικών παρουσιάσεών, που περιγράφουν ομάδες πηλίκα των ελεύθερων ομάδων * αυτό το πεδίο ήταν το πρώτη που συστηματικά μελετήθηκε από τον Walther von Dyck, μαθητής του Φέλιξ Κλάιν (Felix Klein), στις αρχές της δεκαετίας του 1880, ενώ σε μια πρώιμη μορφή βρισκόταν το 1856 ο Icosian Λογισμός του Γουίλιαμ Ρόουαν Χάμιλτον (William Rowan Hamilton), πού σπούδασε την εικοσάεδρη συμμετρία ομάδας μέσω του γραφήματος άκρης ( edge graph ) του δωδεκάεδρου. Επί του παρόντος, η συνδυαστική θεωρία ομάδων, σαν μια περιοχή που σε μεγάλο βαθμό έχει ενταχθεί από την γεωμετρική θεωρία ομάδων. Επιπλέον, ο όρος "γεωμετρική θεωρία ομάδων" παρουσιάζεται συχνά να περιλαμβάνει τη μελέτη διακριτών ομάδων με τη χρήση πιθανοτήτων, το μέτρο της θεωρίας, τις αριθμητικές, αναλυτικές και άλλες προσεγγίσεις που βρίσκονται έξω από το παραδοσιακό οπλοστάσιο της συνδυαστικής θεωρίας ομάδων.
Στο πρώτο μισό του 20ου αιώνα, το πρωτοποριακό έργο των Dehn, Nielsen, Reidemeister και Schreier, Whitehead, van Kampen, μεταξύ άλλων, εισήγαγε κάποιες τοπολογικές και γεωμετρικές ιδέες στη μελέτη διακριτών ομάδων. Άλλοι πρόδρομοι της γεωμετρικής θεωρίας ομάδων περιλαμβάνουν την μικρή ακύρωσης θεωρία και τη Θεωρια Μπάσο–Serre. Η μικρό ακύρωση θεωρίας είχε εισαχθεί από τον Μάρτιν Grindlinger στη δεκαετία του 1960 και αναπτύχθηκε περαιτέρω από τον Ρότζερ Λίντον και Πολ Schupp. Μελετά τα van Kampen διαγράμματα, που αντιστοιχούν σε παρουσιάσεις πεπερασμένων ομάδων, μέσω της συνδυαστικής καμπυλότητας συνθηκών και αναγγέλλει αλγεβρικές και αλγοριθμικές ιδιότητες των ομάδων που προέρχονται από αυτή την ανάλυση. Η Μπάσο–Serre θεωρία, που θεσπίστηκε το 1977 στο βιβλίο του Serre, παρουσιάζει διαρθρωτικές αλγεβρικές πληροφορίες για τις ομάδες, μελετώντας ομάδες δράσεων simplicial trees. Εξωτερική πρόδρομοι της γεωμετρικής θεωρίας ομάδων προαναγγέλλουν τη μελέτη των πλεγμάτων στα Lie Groups ( Ομαδες Ψεμα ), ειδικά το θεωρημα του Mostow για την ακαμψια ( Mostow rigidity theorem ), η μελέτη των ομάδων του Kleinian ( Kleinian groups ), και την πρόοδο που έχει επιτευχθεί στη Τοπολογία χαμηλών διαστάσεων και στην υπερβολική γεωμετρία στη δεκαετία του 1970 και στις αρχές της δεκαετίας του 1980, με ώθηση, κυρίως, από το προγραμμα του Thrurston ( Thurston Geometrization program ).
Η εμφάνιση της γεωμετρικής θεωρίας ομάδων, ως μια διακριτή περιοχή των μαθηματικών συνηθως εντοπίζονται στα τέλη της δεκαετίας του 1980 και στις αρχές της δεκαετίας του 1990. Ήταν ωθούμενη το 1987 από τη μονογραφία του Gromov "Υπερβολικές ομάδες" , που εισήγαγε την έννοια της υπερβολικής ομάδας (επίσης είναι γνωστή ως λέξη-υπερβολική ή Gromov-υπερβολική ή αρνητικά κυρτή ομάδα), η οποία συλλαμβάνει την ιδέα μιας πεπερασμένης παραγόμενης ομάδας έχοντας σε μεγάλη κλίμακα αρνητική καμπυλότητα, και από την μεταγενέστερη μονογραφία "Ασυμπτωτική Μεταβλητές με Άπειρες Ομάδες", που περιγράφεται το πρόγραμμα του Gromov για την κατανόηση διακριτών ομάδων μέχρι την σχεδόν-ισομετρία. Το έργο του Gromov είχε μια μετασχηματιστική επίδραση στην μελέτη διακριτών ομάδων και η φράση "γεωμετρική θεωρία ομάδων" άρχισε να εμφανίζεται αμέσως μετά. (βλ., π. χ.)