Τελευταίο θεώρημα του Φερμά

Στη θεωρία αριθμών, το τελευταίο θεώρημα του Φερμά (ορισμένες φορές ονομάζεται Υπόθεση του Φερμά, κυρίως σε παλαιότερα κείμενα) διατυπώνεται ως εξής: τρεις  θετικοί ακέραιοι αριθμοί a, b, και c δεν μπορούν να ικανοποιήσουν την εξίσωση aⁿ + bⁿ = cⁿ για κάθε ακέραιο αριθμό n μεγαλύτερο από το δύο. Επομένως, χωρίς τη χρήση μαθηματικών συμβόλων μπορεί να εκφραστεί: Είναι αδύνατον να χωρίσεις οποιαδήποτε δύναμη μεγαλύτερη της δεύτερης σε δύο ίδιες δυνάμεις
Το θεώρημα αυτό διατυπώθηκε πρώτη φορά το 1637 από τον Φερμά, με τη μορφή χειρόγραφης σημείωσης σε ένα βιβλίο (συγκεκριμένα στα Αριθμητικά του Διόφαντου), όπου ο ίδιος ισχυρίστηκε ότι έχει την απόδειξη του θεωρήματος αλλά είναι τόσο μεγάλη που δεν χωρούσε στη σημείωση. Καμία επιτυχής απόδειξη δεν δημοσιεύθηκε μέχρι το 1995, παρά τις προσπάθειες των αμέτρητων μαθηματικών κατά τα 358 χρόνια που μεσολάβησαν. Το άλυτο αυτό πρόβλημα συνδέεται άμεσα με την πρόοδο της αλγεβρικής θεωρίας αριθμών το 19ο αιώνα. Είναι ένα από τα πιο γνωστά θεωρήματα στην ιστορία των μαθηματικών και πριν την απόδειξη του 1995 από τους μαθηματικούς Άντριου Γουάιλς και Ρίτσαρντ Τέιλορ βρισκόταν στο Βιβλίο Γκίνες ως το "πιο δύσκολο μαθηματικό πρόβλημα".

Μεταγενέστερες εξελίξεις και η απόδειξη του θεωρήματος

Με την ειδική περίπτωση n = 4 αποδεδειγμένη, το πρόβλημα ήταν να αποδειχθεί το θεώρημα για εκθέτες n, οι οποίοι είναι πρώτοι αριθμοί (ο περιορισμός αυτός θεωρείται τετριμμένος για να αποδεχθεί αφού: αν n δεν είναι πρώτος αριθμός τότε θα ήταν δυνατό να γραφεί με τη μορφή n = PQ, όπου P είναι ένας πρώτος αριθμός, και στη συνέχεια ισχύει aⁿ = aP.Q = (aQ)ᴾ για καθέναν από τους a,b και c και μια ισοδύναμη λύση, θα μπορούσε να υπάρχει για μία μικρότερη πρώτη δύναμη. Κατά τη διάρκεια των δύο επόμενων αιώνων (1637-1839), η εικασία έχει αποδειχθεί μόνο για τους πρώτους 3, 5, και 7, αν και η Σοφί Ζερμαίν καινοτόμησε και κατόρθωσε να προσεγγίσει μια απόδειξη που θα αφορούσε μια ολόκληρη κατηγορία των πρώτων αριθμών. Στα μέσα του 19ου αιώνα, ο Ερνστ Κούμερ επέκτεινε την απόδειξη της Ζερμαίν και, επίσης, απέδειξε το θεώρημα για όλες κανονικούς πρώτους αριθμούς, αφήνοντας τους ακανόνιστους να αναλυθούν μεμονωμένα. Με βάση τις εργασίες του Κούμερ και τη χρήση εξελιγμένων μελετών με τη βοήθεια υπολογιστών, άλλοι μαθηματικοί ήταν σε θέση να επεκτείνουν την απόδειξη για να καλύψουν όλους τους πρώτους εκθέτες μέχρι τέσσερα εκατομμύρια, αλλά μια απόδειξη για όλους τους εκθέτες ήταν απρόσιτη εκείνη την περίοδο για τη μαθηματική κοινότητα (πράγμα που σημαίνει ότι οι μαθηματικοί γενικά θεωρούν μια απόδειξη μπορεί να είναι είτε αδύνατη, ή στην καλύτερη περίπτωση εξαιρετικά δύσκολη, ή δεν είναι εφικτή με τις σημερινές γνώσεις).
Η απόδειξη του Τελευταίου Θεωρήματος του Φερμά στο σύνολό της, για όλα τα n, τελικά επιτεύχθηκε, μετά από 358 χρόνια, από τον Άντριου Γουάιλς, το 1995, ένα επίτευγμα για το οποίο τιμήθηκε και έλαβε πολλά βραβεία. Η λύση ήρθε με έμμεσο τρόπο, από έναν εντελώς διαφορετικό τομέα των μαθηματικών.
Περίπου το 1955 οι Ιάπωνες μαθηματικοί Γκόρο Σιμούρα και Γιουτάκα Τανιγιάμα διατύπωσαν την εικασία ύπαρξης σχέσης μεταξύ των ελλειπτικών καμπυλών και των modular forms, δύο εντελώς διαφορετικών περιοχών των μαθηματικών. Η αξίωση αυτή που έμεινε γνωστή ως Τανιγιάμα-Σιμούρα-Γουάιλς εικασία, και τελικά ως θεώρημα των modular forms, το οποίο εντάσσεται στον τομέα της μιγαδικής ανάλυσης, θεωρούνταν ανεξάρτητη, χωρίς προφανή σύνδεση με το Τελευταίο θεώρημα του Φερμά. Είχε ευρέως θεωρηθεί ως σπουδαίο μαθηματικό πρόβλημα, αλλά ήταν (όπως και εξίσωση του Φερμά) εντελώς απρόσιτο στην απόδειξη του.
Το 1984, ο Ζέραντ Φρέι παρατήρησε μια προφανή σχέση μεταξύ του θεωρήματος των modular forms και του Τελευταίου θεώρηματος του Φερμά. Αυτή η πιθανή σχέση επιβεβαιώθηκε δύο χρόνια αργότερα από τον Κεν Ρίμπετ. Ο Άγγλος μαθηματικός Άντριου  Γουάιλς, ο οποίος είχε γοητευθεί από τα 10 του χρόνια με το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά, αποφάσισε ακούγοντας αυτό, να προσπαθήσει και να αποδείξει το θεώρημα των modular forms, πιστεύοντας ότι επρόκειτο για έναν τρόπο ώστε να αποδείξει το Τελευταίο θεώρημα του Φερμά. Το 1993, μετά από έξι χρόνια, όπου εργάζεται κρυφά πάνω στο πρόβλημα, ο Γουάιλς κατόρθωσε να αποδείξει αρκετά για το θεώρημα των modular forms ώστε να φθάσει στη λύση του Τελευταίου θεωρήματος του Φερμά. Η απόδειξη του Γουάιλς ήταν τεράστια σε μέγεθος και σε πεδίο εφαρμογής. Ένα ελάττωμα ανακαλύφθηκε σε ένα τμήμα του αρχικού εγγράφου του κατά τη διάρκεια της αξιολόγησης από ομότιμους και απαιτείται ένα επιπλέον έτος και η συνεργασία του με έναν παλαιότερο φοιτητή, τον Ρίτσαρντ Τέιλορ για την διόρθωσή του. Ως αποτέλεσμα η τελική απόδειξη το 1995 συνοδεύτηκε από ένα δεύτερο, μικρότερο έγγραφο για την επίλυση του προβλήματος αυτού. Το επίτευγμα του Γουάιλς είχε αναφερθεί ευρέως στον Τύπο, και διαδόθηκε σε βιβλία και τηλεοπτικά προγράμματα. Τα υπόλοιπα μέρη του θεωρήματος των modular forms στη συνέχεια αποδείχθηκαν από άλλους μαθηματικούς, με βάση τις εργασίες του Γουάιλς, μεταξύ 1996 και 2001.

Εικασία του Φερμά

Το Πρόβλημα II.8 του Αριθμητικά, θέτει το ερώτημα για τον τρόπο με τον οποίο το τετράγωνο ενός δοσμένου αριθμού μπορεί να διαιρεθεί σε δύο άλλα τετράγωνα, με άλλα λόγια για έναν ρητό αριθμό k, βρείτε τους ρητούς αριθμούς u και v ώστε k² = u² + v². Ο Διόφαντος απέδειξε ότι η παραπάνω εξίσωση λύνεται όταν ο k = 4 (η λύση είναι  u = 16/5 και v = 12/5).
Γύρω στο 1637, ο Φερμά έγραψε το τελευταίο του θεώρημα ως σημείωση στο "Αριθμητικά" δίπλα στο πρόβλημα του αθροίσματος των τετραγώνων του Διόφαντου.
Δεν είναι γνωστό εάν ο Φερμά είχε βρει πραγματικά μια έγκυρη απόδειξη. Έχει επιβιώσει μόνο η απόδειξη του για την περίπτωση n = 4. Ο Φερμά θέτει τις υποθέσεις των περιπτώσεων n = 4 και n = 3 ως προκλήσεις για τους μαθηματικούς ανταποκριτές του όπως ο Μαρίν Μερσέν, ο Μπλεζ Πασκάλ και ο Τζον Γουάλις. Ωστόσο, τα τελευταία τριάντα χρόνια της ζωής του, ο Φερμά δεν έγραψε ξανά για την "πραγματικά θαυμάσια" απόδειξή του στην γενική της περίπτωση.
Μετά το θάνατο του Φερμά, ο γιος του Κλεμάντ-Σάμουελ Φερμά παρήγαγε μια νέα έκδοση του βιβλίου, το 1670, επαυξημένη με τα σχόλια του πατέρα του. Η σημείωση στο περιθώριο έγινε γνωστή ως τελευταίο θεώρημα του Φερμά αφού πρόκειται για το θεώρημα του Φερμά που αποδείχθηκε τελευταίο.

Σοφί Ζερμαίν

Στις αρχές του 19ου αιώνα, η Σοφί Ζερμαίν ανέπτυξε διάφορες νέες προσεγγίσεις για να αποδείξει το "Τελευταίο θεώρημα του Φερμά" για όλους εκθέτες. Πρώτα, όρισε ένα σύνολο βοηθητικών πρώτων θ τους οποίους κατασκεύασε από τον πρώτο εκθέτη p από την εξίσωση θ = 2hp+1, όπου h είναι οποιοσδήποτε ακέραιος που δεν διαιρείται με το τρία. Έδειξε ότι, αν ένας μη ακέραιος p υψωθεί στην p-οστή δύναμη προκύπτει υπόλοιπο θ, τότε το θ πρέπει να διαιρεί το γινόμενο xyz. Στόχος της ήταν να χρησιμοποιήσει τη μαθηματική επαγωγή για να αποδείξει ότι, για κάθε δεδομένο p, απείρως πολλοί βοηθητικοί πρώτοι θ ικανοποιούν την κατάσταση της μη συνέχειας και διαιρούν το γινόμενο xyz, δεδομένου ότι το γινόμενο xyz μπορεί να έχει το πολύ ένα πεπερασμένο αριθμό πρώτων παραγόντων, μια τέτοια απόδειξη θα μπορούσε να είχε καθιερώσει το Τελευταίο θεώρημα του Φερμά. Αν και ανέπτυξε πολλές τεχνικές για τον καθορισμό της κατάστασης της μη συνέχειας, δεν πέτυχε τον στρατηγικό στόχο της. Εργάστηκε επίσης ώστε να καθιερωθούν χαμηλότερα όρια για το μέγεθος των λύσεων της εξίσωσης του Φερμά για έναν δεδομένο εκθέτη p, μια τροποποιημένη έκδοση του οποίου δόθηκε στη δημοσιότητα από την Αντριάν Μαρί Λεζάντρ. Ως πόρισμα αυτής της τελευταίας εργασίας, απέδειξε το θεώρημα της Σοφί Ζερμαίν, η οποία επιβεβαίωσε την πρώτη περίπτωση του Τελευταίου Θεωρήματος του Φερμά (δηλαδή, στην περίπτωση κατά την οποία το p δεν διαιρεί το xyz) για κάθε περιττό πρώτο εκθέτη λιγότερο από 100. H Ζερμαίν προσπάθησε ανεπιτυχώς να αποδείξει την πρώτη περίπτωση του Τελευταίου Θεωρήματος του Φερμά για όλους τους εκθέτες, ειδικά για n = 2p το οποίο αποδείχθηκε από τον Γκάι Τερζανιάν το 1977. Το 1985, ο Λεονάρντ Άντμαν, ο Ρότζερ Χεθ-Μράουν και ο Έτιεν Φουβριέ απέδειξαν ότι η πρώτη περίπτωση του Τελευταίου Θεωρήματος του Φερμά ισχύει για απείρως πολλούς περιττούς πρώτους p.

O Ερνστ Κούμμερ και η θεωρία των ιδανικών

Το 1847, ο Γκάμπριελ Λαμέ παρουσίασε μια απόδειξη για το τελευταίο θεώρημα του Φερμά βασισμένη στους παράγοντες της εξίσωσης  xᵖ + yᵖ = zᵖ οι οποίοι ανήκουν στους μιγαδικούς αριθμούς, και συγκεκριμένα το κυκλοτομικό πεδίο με βάση τις ρίζες του αριθμού 1. Ωστόσο, η απόδειξή του απέτυχε, επειδή θεώρησε εσφαλμένα ότι τέτοιοι πολύπλοκοι αριθμοί μπορούν να συνυπολογιστούν μοναδικά, παρόμοια με ακέραιους αριθμούς. Το κενό αυτό επισημάνθηκε αμέσως από τον Ζοζέφ Λουιβίλ, ο οποίος διάβάσε αργότερα μια εργασία που έδειχνε αυτή την αποτυχία της μοναδικής παραγοντοποίησης, που γράφτηκε από τον Ερνστ Κούμμερ. Ο Κούμμερ όρισε στο δικό του έργο το κατά πόσον το κυκλοτομικό πεδίο θα μπορούσε να γενικευθεί συμπεριλαμβάνοντας νέους πρώτους αριθμούς, έτσι ώστε η μοναδική παραγοντοποίησης αποκαταστάθηκε. Πέτυχε στο έργο αυτό από την ανάπτυξη των ιδανικών αριθμών. Χρησιμοποιώντας τη γενική προσέγγιση που περιγράφεται από τον Λαμέ, ο Κούμμερ απέδειξε και τις δύο υποθέσεις του τελευταίου θεωρήματος του Φερμά για όλους τους κανονικούς πρώτους αριθμούς. Ωστόσο, δεν μπορούσε να αποδείξει το θεώρημα για τους μη κανονικούς πρώτους αριθμούς που συμβαίνουν περίπου στο 39% τη φορά, οι μόνοι μη κανονικοί κάτω από 100 είναι 37, 59 και 67.

Εικασία του Μόρντελ

Στη δεκαετία του 1920, ο Λουί Μόρντελ θέτει μια εικασία που συνεπάγεται ότι η εξίσωση του Φερμά έχει το πολύ έναν πεπερασμένο αριθμό μη τετριμμένων πρώτων ακέραιων λύσεων, αν ο εκθέτης n είναι μεγαλύτερο από δύο. Αυτή η υπόθεση αποδείχθηκε το 1983 από τον Ζερ Φόλτινγκ, και σήμερα είναι γνωστή ως θεώρημα Faltings.

Υπολογιστικές μελέτες

Στο δεύτερο μισό του 20ου αιώνα, οι υπολογιστικές μέθοδοι που είχαν χρησιμοποιήθηκαν για την επέκταση της προσέγγισης του Κούμμερ για τους μη κανονικούς πρώτους αριθμούς. Το 1954, ο Χάρι Βανντιβερ χρησιμοποίησε ένα SWAC υπολογιστή για να αποδείξει το τελευταίο θεώρημα του Φερμά για όλους τους πρώτους μέχρι τον 2521.   Μέχρι το 1978 , ο Samuel Wagstaff το είχε επεκτείνει σε όλους τους πρώτους αριθμούς που είναι μικρότεροι από το 125.000.  Μέχρι το 1993, το τελευταίο θεώρημα του Φερμά είχε αποδειχθεί για όλους τους πρώτους αριθμούς που είναι μικρότεροι από τέσσερα εκατομμύρια 
Ωστόσο, παρά τις προσπάθειες αυτές και τα αποτελέσματά τους, δεν υπήρχε απόδειξη για το τελευταίο θεώρημα του Φερμά . Οι αποδείξεις των μεμονωμένων εκθετών από τη φύση τους δεν θα μπορούσε να ισχύει γενικά ακόμα και αν όλοι οι εκθέτες είχαν ελεγχθεί μέχρι και σε ένα εξαιρετικά μεγάλο αριθμό Χ, μπορεί να υπάρχει ένας εκθέτης μεγαλύτερος του X, για τον οποίο ο ισχυρισμός να μην ισχύει (Αυτός είναι και ο λόγος για τον οποίο κάποιες προηγούμενες εικασίες δεν είχαν γίνει αποδεκτές και συνεπώς δεν θα μπορούσε να αναιρεθεί για αυτή την εικασία)

Σύνδεση με ελλειπτικές καμπύλες

Η στρατηγική που τελικά οδήγησε σε μια επιτυχή απόδειξη του  Τελευταίου θεωρήματος του Φερμά προέκυψε από την "εκπληκτική"   εικασία των Τανιγιάμα-Σιμούρα-Γουέιλ, που προτάθηκε περίπου το 1955, και πολλοί μαθηματικοί πίστευαν ότι ήταν σχεδόν αδύνατο να αποδειχθεί,  και η οποία συνδέθηκε στη δεκαετία του 1980 από τον Ζέραρντ Φρέι και τον Κεν Ρίμπετ με την εξίσωση του Φερμά. Με την μερική εκπλήρωση απόδειξη αυτής της εικασίας το 1995, ο Άντριου Γουάιλς τελικά κατόρθωσε να αποδείξει το Τελευταίο θεώρημα του Φερμά, ανοίγοντας το δρόμο για μια πλήρη απόδειξη από τους άλλους για αυτό που είναι σήμερα το θεώρημα των modular forms.

Η εικασία Τανιγιάμα-Σιμούρα-Βέιλ

Περίπου το 1955, οι Ιάπωνες μαθηματικοί Γκόρο Σιμούρα και Γουτάκα Τανιγιάμα παρατήρησαν μια πιθανή σύνδεση μεταξύ δύο φαινομενικά εντελώς ξεχωριστών, υποκατηγοριών των μαθηματικών, της ελλειπτικής καμπύλης και της  μιγαδικής μορφής . Το αποτέλεσμα ήταν η δημιουργία του θεωρήματος modular forms (παλαιότερα ήταν γνωστό ως η εικασία  Τανιγιάμα-Σιμούρα) το θεώρημα αυτό διατυπώνει ότι κάθε ελλειπτική καμπύλη σχετίζεται με τα modular forms, που σημαίνει ότι μπορεί να συνδέεται με μια μοναδική μιγαδική μορφή. Αρχικά είχε απορριφθεί ως απίθανο ή πολύ υποθετικό, και είχε επανεξεταστεί όταν ο μαθηματικός André Weil βρήκε αποδεικτικά στοιχεία που το υποστηρίζουν, αλλά όχι την απόδειξη, με αποτέλεσμα η "εκπληκτική"   εικασία έγινε κυρίως γνωστή ως η εικασία Τανιγιάμα-Σιμούρα-Βέιλ. Και έγινε ένα μέρος του προγράμματος Λάνγκλαντ, το οποίο είναι μια λίστα με σημαντικές εικασίες που χρειάζονται απόδειξη ή διάψευση  .
Ακόμα και μετά την απόκτηση σοβαρή προσοχή, η εικασία θεωρήθηκε από τους σύγχρονους μαθηματικούς ως εξαιρετικά δύσκολο ή ίσως αδύνατο να αποδειχτεί.Για παράδειγμα, Γουάιλς «ex -επόπτη Τζον Χ. Κόατσε δηλώνει ότι φαινόταν «πραγματικά αδύνατο να αποδειχθεί», και ο Κεν Ρίμπετ θεωρούσε τον εαυτό του «ένα από τα άτομα της τεράστιας πλειοψηφίας των ανθρώπων που πίστευαν ότι ήταν εντελώς απρόσιτα ", προσθέτοντας ότι ο Άντριου Γουάιλς ήταν ίσως ένας από τους λίγους ανθρώπους στη γη που είχαν το θράσος να ονειρεύονται ότι μπορεί πραγματικά να αποδειχθεί." 

Γενική απόδειξη του Γουάιλς

Η απόδειξη του Ρίμπετ έψιλον εικασία το 1986 πραγματοποίησε τον πρώτο από τους δύο στόχους που προτείνει ο Φρέι. Κατόπιν της επιτυχίας του Ρίμπετ, ο Άντριου Γουάιλς, ένας Άγγλος μαθηματικός που είχε γοητευτεί από την παιδική ηλικία με το τελευταίο θεώρημα του Φερμά, και με προγενέστερη μελέτη στο χώρο των ελλειπτικών εξισώσεων, αποφάσισε να δεσμευτεί με την επίτευξη του δεύτερου στόχου: να αποδειχθεί μια ειδική περίπτωσή της, το θεώρημα των modular forms (τότε γνωστή ως η εικασία Τανιγιάμα-Σιμούρα) για ημισταθερές ελλειπτικές καμπύλες.
Ο Γουάιλς εργάστηκε σε αυτό το έργο για έξι χρόνια με σχεδόν απόλυτη μυστικότητα, κάλυπτε μέχρι και τις προσπάθειές του με την εμφάνιση προηγούμενων εργασιών σε μικρά τμήματα ως ξεχωριστές εργασίες και εμπιστευτικά μόνο στη σύζυγό του. Αρχική του μελέτη πρότεινε μια απόδειξη με επαγωγή, και  βασίστηκε στην αρχική εργασία του και την πρώτη σημαντική ανακάλυψη σχετικά με τη  θεωρία του Γκαλουά πριν από τη προσπάθεια να επεκτείνει την Οριζόντια θεωρία του Ιγασάγα για την επαγωγή το 1990-1991, όταν φάνηκε ότι δεν υπήρχε επαρκής υπάρχουσα προσέγγιση στο πρόβλημα.  Ωστόσο, το καλοκαίρι του 1991, η θεωρία του Ιγασάνα, επίσης, φάνηκε να μην επαρκεί για την επίλυση των κεντρικών ζητημάτων του προβλήματος. Κατόπιν, πλησίασε τους συναδέλφους του για να αναζητήσει τυχόν υποδείξεις από έρευνα αιχμής και τις νέες τεχνικές, και ανακάλυψε το σύστημα του Όιλερ που πρόσφατα είχε αναπτύχθηκε από τον Βίκτορ Καλιβάγκην και τον Ματίας Φλατς, η οποία φαινόταν ιδανική για το επαγωγικό μέρος της απόδειξης του. Ο Γουάιλς μελέτησε και επέκτεινε αυτή την προσέγγιση, στην οποία και εργάστηκε. Δεδομένου ότι το έργο του στηρίχθηκε στη συγκεκριμένη μέθοδο προσέγγισης σε μεγάλο βαθμό, αλλά οι προσεγγίσεις ήταν καινούργιες για τον Γουάιλς, ο ίδιος τον Ιανουάριο του 1993 ζήτησε από τον συνάδελφό του στο Πρίνστον Νικ Κατζ να ελέγξει τον συλλογισμό του για λάθη. Το συμπέρασμά τους την εποχή εκείνη ήταν ότι οι τεχνικές που χρησιμοποιούνται από τον Γουάιλς φάνηκε να λειτουργούν σωστά.
Μέχρι τα μέσα του Μάη του 1993 ο Γουάιλς αισθάνθηκε έτοιμος να πει στη γυναίκα του ότι νόμιζε πως είχε την απόδειξη του τελευταίου θεωρήματος του Φερμά,  και τον Ιούνιο ένιωθε αρκετά σίγουρος για να παρουσιάσει τα αποτελέσματά του σε τρεις διαλέξεις που πραγματοποιήθηκαν στις 21 - 23 Ιουν. 1993 στο Ινστιτούτο Μαθηματικών Επιστημών Ισαάκ Νεύτων. Συγκεκριμένα, ο Γουάιλς παρουσίασε την απόδειξη της εικασίας Τανιγιάμα-Σιμούρα για ημισταθερές ελλειπτικές καμπύλες, καθώς και την απόδειξη της έψιλον εικασίας του Ρίμπετ, αυτό συνεπαγόταν την απόδειξη του τελευταίου θεωρήματος του Φερμά. Ωστόσο, κατέστη σαφές κατά τη διάρκεια της αξιολόγησης ότι ένα κρίσιμο σημείο στην απόδειξη ήταν εσφαλμένο. Περιείχε ένα λάθος σε ένα όριο της τάξης του συγκεκριμένου. Το σφάλμα απασχόλησε πολλούς μαθηματικούς και τη διαιτησία των χειρόγραφων ανέλαβε μια ομάδα μαθηματικών, συμπεριλαμβανομένου του Κατζ (στο ρόλο του ως κριτής), ο οποίος ειδοποίησε τον Γουάιλς στις 23 Αυγούστου 1993.

Μεταγενέστερες εξελίξεις

Η πλήρης Τανιγιάμα-Σιμούρα-Βέιλ εικασία τελικά αποδεικνύεται από τους Ντάιαμοντ (1996), Κόνραντ & Ντάιαμοντ & Τέιλορ (1999), και Μπρουέλ & Κόνραντ & Ντάιμοντ & Τέιλορ (2001), οι οποίοι με βάση τις εργασίες του Γουάιλς, διαχώρισαν σταδιακά και επεκτάθηκαν στις υπόλοιπες περιπτώσεις μέχρι να αποδειχθεί πλήρως. Η πλήρως αποδεδειγμένη εικασία έγινε γνωστή ως θεώρημα των modular forms. Πολλά άλλα θεωρήματα στη θεωρία αριθμών, που είναι παρόμοια με το Τελευταίο θεώρημα του Φερμά, προκύπτουν επίσης με την ίδια λογική, χρησιμοποιώντας το θεώρημα των modular forms. Για παράδειγμα, κανένας κύβος δεν μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο διαφορετικών n-οστών δυνάμεων, όπου n ≥ 3. (Η περίπτωση n = 3 ήταν ήδη γνωστή από τον Όιλερ)

Ακέραιος n < –2

Δεν υπάρχουν ακέραιες λύσεις για την εξίσωση  για ακέραιους n < –2. Αν υπήρχαν, τότε η εξίσωση θα μπορούσε να πολλαπλασιαστεί με τους  και τροποποιείται σε , το οποίο είναι αδύνατο σύμφωνα με το τελευταίο θεώρημα του Φερμά.

Μήπως ο Φερμά είχε μια γενική απόδειξη;

Οι μαθηματικές τεχνικές που χρησιμοποιούσε ο Φερμά για τη "θαυμάσια" απόδειξη είναι άγνωστες. Μόνο μία λεπτομερής απόδειξη του Fermat έχει διασωθεί, από την παράπανω απόδειξη ότι δεν υπάρχουν τρεις πρώτοι μεταξύ τους ακέραιοι (x, y, z) που να ικανοποιούν την εξίσωση x⁴ − y⁴ = z².
Η απόδειξη Τέιλορ και Γουάιλς στηρίζεται σε μαθηματικές τεχνικές που αναπτύχθηκαν τον 20ο αιώνα, που θα ήταν άγνωστες για τους μαθηματικούς που είχαν εργαστεί πάνω στο τελευταίο θεώρημα του Φερμά, ακόμη και έναν αιώνα νωρίτερα. 
Η υποτιθέμενη «θαυμάσια απόδειξη του "Φερμά", θα έπρεπε να είναι στοιχειώδης, λόγω της μαθηματικής γνώσης της εποχής, και έτσι δεν θα μπορούσε να ήταν η ίδια με την απόδειξη του Γουάιλς. Οι περισσότεροι μαθηματικοί και  ιστορικοί  αμφιβάλλουν ότι Fermat είχε μια έγκυρη απόδειξη του θεωρήματος του για όλους τους εκθέτες n.

Χρηματικά βραβεία

Το 1816 και ξανά το 1850, η Γαλλική Ακαδημία των Επιστημών αθλοθέτησε ένα βραβείο για μια γενική απόδειξη του Τελευταίου θεωρήματος του Φερμά. Το 1857, η Ακαδημία έδωσε 3000 φράγκα και ένα χρυσό μετάλλιο στον Κούμμερ  για την έρευνά του σχετικά με τους ιδανικούς αριθμούς, παρόλο που ο ίδιος δεν είχε υποβάλει δήλωση για το βραβείο.  Άλλο βραβείο αθλοθετήθηκε από την Ακαδημία των Βρυξελλών το 1883..
Το 1908, ο Γερμανός βιομήχανος και ερασιτέχνης μαθηματικός Paul Wolfskehl κληροδότησε 100.000 μάρκα στην Ακαδημία Επιστημών της Γκότιγκεν για να αθλοθετηθεί βραβείο για μια πλήρη απόδειξη του Τελευταίου θεωρήματος του Φερμά. Στις 27 Ιουνίου 1908 η Ακαδημία δημοσίευσε εννέα κανόνες για την απονομή του βραβείου. Μεταξύ άλλων, οι κανόνες αυτοί απαιτούσαν η απόδειξη να δημοσιευθεί σε επιστημονικό περιοδικό, το βραβείο να μη χορηγηθεί πριν περάσουν δύο έτη από τη δημοσίευση, και να μη δοθεί μετά την 13 Σεπτεμβρίου 2007, περίπου έναν αιώνα μετά ο αγώνας ξεκίνησε.  Ο Wiles εισέπραξε τα χρήματα του βραβείου, που ανέρχονταν τότε σε 50.000 δολάρια περίπου, στις 27 Ιουνίου 1997.
Πριν από την απόδειξη του Γουάιλς, χιλιάδες λανθασμένες αποδείξεις υποβλήθηκαν στην επιτροπή Wolfskehl, που γεμίζουν κάπου 3 μέτρα χαρτί αλληλογραφίας. Κατά το πρώτο έτος (1907-1908) υποβλήθηκαν 621 απόπειρες απόδειξης , αν και από τη δεκαετία του 1970, ο ρυθμός υποβολής είχε μειωθεί σε περίπου 3-4 προσπάθειες απόδειξης ανά μήνα. Σύμφωνα με τον F. Schlichting, μέλος της κριτικής επιτροπής του βραβείου Βόλφσκελ, οι περισσότερες από τις αποδείξεις βασίζονταν σε στοιχειώδεις μεθόδους που διδάσκονται στα σχολεία, και συχνά υποβάλλονταν από "ανθρώπους με τεχνική εκπαίδευση, αλλά αποτυχημένη καριέρα".

3.98712 + 4.36512 = 4.47212

Το άθροισμα 3.987¹² + 4.365¹² ισούται με 4.472,0000000070576171875¹² έχοντας απόκλιση μόλις 0,000000002 τοις εκατό από την ακέραια τιμή του 4.472¹². Ωστόσο ο έλεγχος της τιμής σε αριθμομηχανές χειρός οι οποίες συνήθως διαθέτουν χώρο για έως 10 μόνο χαρακτήρες στην οθόνη τους, επιστρέφει 4.472,0000 ως αποτέλεσμα, δίνοντας την εσφαλμένη εντύπωση πως ισχύει η εξίσωση 3.987¹² + 4365¹² = 4.472¹² παρότι έχει αποδειχθεί ότι δεν υπάρχουν λύσεις για εκθέτες μεγαλύτερους του 2 σύμφωνα με το θεώρημα του Φερμά. Η εξίσωση αυτή προέκυψε από την τηλεοπτική σειρά κινουμένων σχεδίων Οι Σίμσονς όπου εμφανίζεται σε μαυροπίνακα έχοντας γραφεί από τον χαρακτήρα του Χόμερ.