Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα

Ενα ιδιοδιάνυσμα ενός τετραγωνικού πίνακα  είναι ένα μη μηδενικό διάνυσμα  που, όταν πολλαπλασιαστεί με τον , ισούται με το αρχικό διάνυσμα, πολλαπλασιασμένο με έναν αριθμό , έτσι ώστε:
Ο αριθμός  ονομάζεται ιδιοτιμή του  που αντιστοιχεί στο .
Στην αναλυτική γεωμετρία, για παράδειγμα, ένα διάνυσμα με 3 στοιχεία, μπορεί να ταυτιστεί με ένα βέλος σε ένα τρισδιάστατο χώρο, ξεκινώντας από την αρχή των αξόνων. Σ'αυτην την περιπτωση, ένα ιδιοδιάνυσμα ενός 3x3 πίνακα  είναι ένα βέλος η κατεύθυνση του οποίου ή διατηρείται, ή γίνεται ακριβώς η αντίθετη, μετά τον πολλαπλασιασμό με τον . Η αντίστοιχη ιδιοτιμή είναι αυτή που καθορίζει πως αλλάζει το μήκος του βέλους από τη διαδικασία, και εάν η κατεύθυνση του αντιστρέφεται ή όχι.
Στην αφηρημένη γραμμική άλγεβρα, οι έννοιες αυτές συνήθως επεκτείνονται σε πιο γενικές καταστάσεις, όπου οι παράγοντες που χρησιμοποιούνται σε πραγματική κλίμακα, αντικαθίστανται από σώματα κάθε διάστασης (όπως για παράδειγμα οι αλγεβρικοί ή οι μιγαδικοί αριθμοί), οι καρτεσιανές συντεταγμένες  που αντικαθίστανται από τυχαίους διανυσματικούς χώρους (όπως για παράδειγμα των συνεχών συναρτήσεων, των πολυωνύμων ή των τριγωνομετρικών σειρών), και ο πολλαπλασιασμός πινάκων που αντικαθίσταται από κάθε γραμμικό τελεστή που απεικονίζει διανύσματα σε διανύσματα (όπως η παράγωγος από το διαφορικό λογισμό). Σ'αυτές τις περιπτώσεις, το "διάνυσμα" σε "ιδιοδιάνυσμα" μπορεί να αντικατασταθεί από έναν πιο ακριβή όρο, όπως "ιδιοσυνάρτηση","ιδιομορφή","ιδιοπροσωπία", ή "ιδιοκατάσταση". Επομένως, για παράδειγμα, η εκθετική συνάρτηση  είναι μια ιδιοσυνάρτηση του παράγωγου φορέα "  ", με ιδιοτιμή , αφού η παράγωγος της είναι η .
Το σύνολο όλων των ιδιοδιανυσμάτων ενός πίνακα (ή γραμμικού τελεστή), με το καθένα να ταιριάζει στην αντίστοιχη ιδιοτιμή του, καλείται το "ιδιοσύστημα" του πίνακα αυτού.
Ο ιδιοχώρος ενός πίνακα  είναι το σύνολο όλων των ιδιοδιανυσμάτων με την ίδια ιδιοτιμή, συμπεριλαμβανομένου και του μηδενικού διανύσματος.  
Μια ιδιοβάση του  είναι κάθε βάση του συνόλου όλων των διανυσμάτων που αποτελείται απο γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα του . Ενας πίνακας με στοιχεία πραγματικούς αριθμούς μπορεί να μην έχει καμία ιδιοτιμή, αλλά ένας πίνακας με στοιχεία μιγαδικούς αριθμούς, έχει πάντα τουλάχιστον μία μιγαδική ιδιοτιμή.
Οι όροι χαρακτηριστικό διάνυσμα, χαρακτηριστικη τιμή, και χαρακτηριστικός χώρος χρησιμοποιούνται και σε αυτές τις έννοιες.
Οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα έχουν πολλές εφαρμογές και στα θεωρητικά, αλλά και στα εφαρμοσμένα μαθηματικά. Χρησιμοποιούνται στην παραγοντοποίηση πινάκων, στην Κβαντική μηχανική, και σε πολλούς άλλους τομείς.

Τετριμμένες περιπτώσεις

Ο ταυτoτικός πίνακας  (όπου το τυχαίο σημείο του  είναι 1 αν , και 0 σε κάθε άλλη περίπτωση) αντικατοπτρίζει κάθε διάνυσμα στον εαυτό του. Έτσι κάθε διάνυσμα είναι ένα ιδιοδιάνυσμα του , με ιδιοτιμή 1.
Γενικότερα, αν ο  είναι ένας διαγώνιος πίνακας (με  όταν ), και  ένα διάνυσμα παράλληλο στον άξονα   (το οποίο είναι , και  αν ), τότε  όπου . Δηλαδή, οι ιδιοτιμές ενός διαγώνιου πίνακα είναι τα στοιχεία της κύριας διαγωνίου του. Αυτή είναι τετριμμένα και η περίπτωση ενός οποιουδήποτε  1 ×1 πίνακα

Ιδιοχώρος και φάσμα

Αν το  είναι ένα ιδιοδιάνυσμα του , με ιδιοτιμή , τότε κάθε γραμμικός συνδυασμός  του  με  μη μηδενικό, είναι επίσης ένα ιδιοδιάνυσμα με ιδιοτιμή , αφού . Επιπλέον, αν τα  και  είναι ιδιοδιανύσματα με την ίδια ιδιοτιμή , τότε το  είναι επίσης ένα ιδιοδιάνυσμα με την ίδια ιδιοτιμή . Επομένως, το σύνολο όλων των ιδιοδιανυσμάτων με την ίδια ιδιοτιμή , συμπεριλαμβανομένου του μηδενικού διανύσματος, είναι ένας γραμμικός υποχώρος του , που ονομάζεται ιδιοχώρος του  με παράμετρο . Αν ο υποχώρος αυτός έχει διάσταση 1, τότε συνήθως ονομάζεται ιδιογραμμή.
Ο γεωμετρικός πολλαπλασιαστής  μιας ιδιοτιμής  είναι η διάσταση του ιδιοχώρου με παράμετρο , π.χ. ο αριθμός των γραμμικά ανεξάρτητων ιδιοδιανυσμάτων με αυτή την ιδιοτιμή. Αυτά τα ιδιοδιανύσματα, μπορούν να επιλεγούν με τέτοιο τρόπο ώστε να είναι κατά ζεύγη ορθογώνια και να έχουν μήκος μονάδας κάτω από κάποιο αυθαίρετο εσωτερικό γινόμενο ορισμένο στον . Με άλλα λόγια, κάθε ιδιοχώρος έχει μια ορθοκανονική βάση αποτελούμενη από ιδιοδιανύσματα.
Αντίστροφα, κάθε ιδιοδιάνυσμα με ιδιοτιμή  πρέπει να είναι γραμμικά ανεξάρτητο με όλα τα ιδιοδιανύσματα που είναι συνδεδεμένα με μια διαφορετική ιδιοτιμή . Επομένως, ο γραμμικός μετασχηματισμός  που εφαρμόζεται σε ένα -διάστατο χώρο δεν μπορεί να έχει παραπάνω από  σαφείς ιδιοτιμές (ή ιδιοχώρους).
Κάθε υποχώρος που παράγεται από ιδιοδιανύσματα του  είναι ένας αμετάβλητος υποχώρος του .
Το σύνολο των ιδιοτιμών του  ονομάζεται μερικές φορες το φάσμα του . Η σειρά αυτού του συνόλου είναι αυθαίρετη, αλλά το πλήθος των φορών που εμφανίζεται μια ιδιοτιμή  είναι σημαντικό.
Δεν υπάρχει μοναδικός τρόπος να διαλέξουμε μια βάση για έναν ιδιοχώρο ενός αυθαίρετου γραμμικού τελεστή  που να βασίζεται μόνο στον , χωρίς κάποια επιπλέον στοιχεία, όπως η επιλογή της βάσης συντεταγμένων του  .  Ακόμη και για μια ιδιογραμμή, το διάνυσμα της βάσης είναι ασαφές και ως προς το μέγεθος, και ως προς την κατεύθυνσή του.  Αν ο βαθμωτός χώρος  είναι ο χώρος των πραγματικών αριθμών , τότε μπορουμε να ορίσουμε τους ιδιοχώρους από τις ιδιοτιμές. Αφου το μόντουλο  μιας ιδιοτιμής είναι σημαντικό σε πολλές εφαρμογές, οι ιδιοχώροι συχνά ορίζονται με αυτό το κριτήριο.

Ιδιοβάση

Μια ιδιοβάση ενός γραμμικού τελεστή  που εφαρμόζεται σε ένα διανυσματικό χώρο  είναι μια βάση του  που αποτελείται εξ'ολοκλήρου από ιδιοδιανύσματα του  (πιθανότατα με διαφορετικές ιδιοτιμές). Τετοιού είδους βάση μπορεί και να μην υπάρχει.
Ας υποθέσουμε ότι ο  έχει πεπερασμένη διάσταση , και ας θέσουμε  το άθροισμα των γεωμετρικών πολλαπλάσιων  πάνω σε όλες τις ανεξάρτητες ιδιοτιμές  του .  Ο ακέραιος αυτός είναι ο μέγιστος αριθμός των γραμμικά ανεξάρτητων ιδιοδιανυσμάτων του , κι επομένως δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερος του .  Αν το  είναι ακριβώς , τότε ο  ορίζει μια ιδιοβάση, με προϋπόθεση ότι υπάρχει μια βάση του  που αποτελείται από  ιδιοδιανύσματα. Ο πίνακας  που αντιπροσωπεύει τον  ως προς τη βάση αυτή, είναι ένας διαγώνιος πίνακας, του οποίου τα διαγώνια στοιχεία είναι οι ιδιοτιμές που αντιστοιχούν σε κάθε διάνυσμα της βάσης αυτής.
Αντίθετα, αν το άθροισμα  είναι μικρότερο του , τότε ο  δεν ορίζει ιδιοβάση, και δεν υπάρχει κατάλληλη επιλογή συντεταγμένων, τέτοιες ώστε να επιτρέψουν τον  να αντικατασταθεί από ένα διαγώνιο πίνακα.
Ο  είναι τουλάχιστον ίσος με το πλήθος των ανεξάρτητων ιδιοτιμών του  , αλλά μπορεί να είναι και μεγαλύτερος απ'αυτό.  Για παράδειγμα, ο φορέας ταυτότητας  στον  έχει , και κάθε βάση του   είναι μια ιδιοβάση του ; αλλά η μόνη της ιδιοτιμή είναι το 1, με .

Γενικεύσεις σε άπειρο-διάστατους χώρους

Ο ορισμός μιας ιδιοτιμής ενός γραμμικού μετασχηματισμού  μένει έγκυρος ακόμη και όταν ο χώρος  είναι ένας απειροδιαστατος χώρος Χίλμπερτ ή Μπανάχ. Ονομαστικά, ένα μονοδιάστατο  αν και μόνο αν υπάρχει ενα μη μηδενικό διάνυσμα  τέτοιο ώστε .

Φασματική θεωρία

Αν  είναι μια ιδιοτιμή του , τότε ο τελεστής  δεν είναι ένα προς ένα, και έτσι το αντίστροφό του  δεν ορίζεται. Το αντίστροφο ισχύει για πεπερασμένης διάστασης διανυσματικούς χώρους, αλλά όχι για απειροδιάστατους. Γενικά ο τελεστής  δεν έχει αντίστροφο, ακόμη και όταν το  δεν είναι ιδιοτιμή.
Για αυτόν τον λόγο στη συναρτησιακή ανάλυση το ένα ορίζει το φάσμα ενός γραμμικού τελεστή  ώς σύνολο όλων των μονοδιάστατων  για τα οποία ο τελεστής  δεν έχει οριοθετημένο αντίστροφο. Έτσι το φάσμα ενός τελεστή πάντα περιέχει όλες τις ιδιοτιμές, αλλά δεν περιορίζεται σε αυτές.

Άλγεβρες συσχετισμού και θεωρία αναπαράστασης

Πιο αλγεβρικά αντί να γενικεύσουμε τον διανυσματικό χώρο σε έναν απειροδιάστατο χώρο, μπορούμε να γενικεύσουμε το αλγεβρικό αντικείμενο που δρα στον χώρο, αντικαθιστώντας έναν μονοδιάστατο τελεστή που δρα στον διανυσματικό χώρο με μια άλγεβρα αναπαράστασης - μια άλγεβρα συσχετισμού που δρα σε μία μονάδα.Η μελέτη αυτών των φαινομένων είναι το πεδίο μελέτης της θεωρίας αναπαράστασης.
Ενα καλύτερο ανάλογο των ιδιοτιμών δίνεται από τη θεωρητική-αναπαραστασιακή έννοια του βάρους, με τα ανάλογα των ιδιοτιμών και ιδιοχώρων να είναι τα διανύσματα βάρους και οι χώροι βάρους αντίστοιχα.

Αλγεβρικές πολλαπλότητες

Ας είναι  μια ιδιοτιμή ενός  πίνακα . Η αλγεβρική πολλαπλότητα  του  είναι η πολλαπλότητα του χαρακτηριστικου πολυωνύμου, η οποία είναι ο μεγαλύτερος ακέραιος αριθμός  τέτοιος ώστε το  να διαιρεί τέλεια το πολυώνυμο αυτό.
Οπως και η γεωμετρική πολλαπλότητα , η αλγεβρική πολλαπλότητα είναι ένας ακέραιος ανάμεσα στο 1 και το , και το άθροισμα  του  πάνω απ'όλες τις ξεχωριστές ιδιοτιμές επίσης δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερο του . Αν ληφθούν υπ'όψιν και οι μιγαδικές ιδιοτιμές, το  είναι ακριβώς .
Μπορεί να αποδειχθεί ότι η γεωμετρική πολλαπλότητα  μιας ιδιοτιμής, ποτέ δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερη της αλγεβρικής πολλαπλότητας . Επομένως, το  είναι το πολύ .

Διαγωνιοποίηση και ιδιοαποσύνθεση

Αν το σύνολο  της γεωμετρικής πολλαπλότητας όλων των ιδιοτιμών είναι ακριβώς , τότε ο  έχει ένα σύνολο  γραμμικά ανεξάρτητων ιδιοδιανυσμάτων.  Ας είναι  ένας τετράγωνος πινάκας του οποίου οι στήλες είναι αυτά τα ιδιοδιανύσματα, σε οποιαδήποτε σείρα. Έπειτα θα έχουμε , όπου  είναι ο διαγώνιος πίνακας τέτοιος ώστε  να είναι η ιδιοτιμη που αντιστοιχεί στη στήλη   του . Εφόσον οι στήλες του  είναι γραμμικά ανεξάρτητες, ο πίνακας  είναι αντιστρέψιμος. Πολαπλασιάζοντας και από τις δύο πλευρές  παίρνουμε .  Εξ' ορισμού, ο πίνακας  είναι διαγωνιοποιήσιμος.
Αντίστροφα, αν ο  είναι διαγωνιοποιήσιμος, ας είναι  ενας μη μοναδιαίος τετραγωνικός πίνακας, τέτοιος ώστε ο  να είναι κάποιος διαγώνιος πίνακας . Πολλαπλασιάζοντας και απο τις δύο πλευρές, στα αριστερά με τον  παίρνουμε .  Ετσι, κάθε στήλη του  είναι ένα ιδιοδιάνυσμα του , του οποίου η ιδιοτιμή είναι το αντίστοιχο στοιχείο του διαγώνιου . Εφόσον οι στήλες  πρέπει να είναι γραμμικά ανεξάρτητες, έπεται ότι . Προκύπτει λοιπόν πως  είναι ίσο με   αν και μόνο αν  είναι διαγωνιοποιήσιμος.
Αν  είναι διαγωνιοποιήσιμος, ο χώρος όλων των -στοιχείων διανυσμάτων μπορεί να αποσυντεθεί στο ευθύ άθροισμα των ιδιοχώρων του . Αυτή η αποσύνθεση καλείται ιδιοαποσύνθεση ενός πίνακα , και μένει αναλλοίωτη στις αλλαγές συντεταγμένων.
Ένας μη διαγωνιοποιήσιμος πίνακας λέγεται ελαττωματικός. Για ελαττωματικούς πίνακες, η έννοια του ιδιοδιανύσματος μπορεί να γενικευτεί σε γενικευμένα ιδιοδιανύσματα, και αυτά ενος διαγώνιου σε έναν Τζόρνταν μορφής πίνακα. Σε ένα αλγεβρικά κλειστό πεδίο, κάθε πίνακας  έχει Τζόρνταν μορφή και έτσι συμμετέχει σε μία βάση γενικευμένων ιδιοδιανυσμάτων, και μία αποσύνθεση σε έναν γενικευμένο ιδιοχώρο.

Υπολογισμός των ιδιοτιμών

Οι ιδιοτιμές ενός πίνακα  μπορούν να προσδιοριστούν βρίσκοντας τις ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου. Σαφείς αλγεβρικοί τύποι για τις ρίζες ενός πολυωνύμου υπάρχουν μόνο άν ο βαθμός του  είναι 4 ή μικρότερος. Σύμφωνα με το θεώρημα Αμπέλ-Ρουφινί δεν υπάρχει γενικός, σαφής και ακριβής αλγεβρικός τύπος που να υπολογίζει τις ρίζες ενός πολυωνύμου βαθμού 5 ή μεγαλύτερου.
Προκύπτει ότι κάθε πολυώνυμο βαθμού  είναι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο κάποιου συνοδευτικού πίνακα τάξης . Επομένως, για πίνακες τάξης 5 ή παραπάνω, οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα δεν μπορούν να προκύψουν από έναν ειδικό αλγεβρικό τύπο, και πρέπει συνεπώς να υπολογιστούν με προσεγγιστικές μεθόδους.
Θεωρητικά, οι συντελεστές του χαρακτηριστικού πολυωνύμου μπορούν να υπολογιστούν ακριβώς, αφού είναι αθροίσματα γινομένων από στοιχεία πινάκων, και υπάρχουν αλγόριθμοι που μπορούν να βρουν όλες τις ρίζες ενός πολυωνύμου αυθαίρετου βαθμού με όση ακρίβεια ζητηθεί. Παρόλαυτα, η προσέγγιση αυτή δεν είναι εφικτή στην πράξη, επειδή οι συντελεστές θα επηρεάζονταν από αναπόφευκτα λάθη στρογγυλοποίησης, και οι ρίζες ενός πολυωνύμου μπορει να είναι μια εξαιρετικά ευαίσθητη συνάρτηση των συντελεστών. (Οπως για παράδειγμα το πολυώνυμο του Wilkinson).
Αποτελεσματικές, ακριβείς μέθοδοι υπολογισμού ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων τυχαίων πινάκων δεν ήταν γνωστές, μέχρι την επινόηση του αλγορίθμου QR το 1961.
 Συνδυάζοντας τον μετασχηματισμό Χαουζχόλντερ με την LU αποσύνθεση, παίρνουμε αποτελέσματα σε έναν αλγόριθμο με καλύτερη σύγκλιση από τον αλγόριθμο QR. Για μεγάλους ερμιτιανούς αραιούς πίνακες, ο αλγόριθμος Λάνκζος είναι ένα παράδειγμα μιας αποτελεσματικής επαναληπτικής μεθόδου για να υπολογίσουμε ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα, ανάμεσα σε αρκετές άλλες πιθανότητες.

Ιστορία

Οι ιδιοτιμές συνήθως συστήνονται μέσα από το περιεχόμενο της γραμμικής άλγεβρας ή της θεωρίας πινάκων. Αντιθέτως, ιστορικά, αναπτύχθηκαν με τη μελέτη των τετραγωνικών μορφών και των διαφορικών εξισώσεων.
Ο Όιλερ μελέτησε την περιστροφική κίνηση ενός άκαμπτου σώματος και ανακάλυψε τη σημασία των κύριων αξόνων. Ο Λαγκράνζ ανακάλυψε ότι οι κύριοι άξονες είναι ιδιοδιανύσματα του αδρανούς πίνακα. Στις αρχές του 19ου αιώνα, ο Κωσύ είδε πώς ή δουλεία τους θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί για να ταξινομήσει τις τετραγωνικές επιφάνειες, και το γενίκευσε σε αυθαίρετες διαστάσεις. Επίσης, ο Κωσύ επινόησε τον όρο racine caractéristique (χαρακτηριστική ρίζα) για αυτό που σήμερα εμείς ονομάζουμε ιδιοτιμή. Ο όρος του παραμένει και χρησιμοποιείται πλέον στη χαρακτηριστική εξίσωση.
Ο Φουριέ χρησιμοποίησε το έργο του Λαπλάς και του Λαγκρανζ για να λύσει την εξίσωση θερμότητας για διαχωρισμένες μεταβλητές στο διάσημο βιβλίο του από το 1822 Théorie analytique de la chaleur. Ο Στερμ ανέπτυξε παραπάνω τις ιδέες του Φουριε και της έφερε στην προσοχή του Κωσύ, ο οποίος τις συνδύασε με τις δικές του ιδέες και κατέληξε στο γεγονός ότι οι πραγματικοί συμμετρικοί πίνακες, έχουν πραγματικές ιδιοτιμές. Αυτό, επεκτάθηκε από τον Ερμίτ το 1855 σε αυτό που σήμερα ονομάζεται ερμιτιανός πίνακας. Περίπου την ίδια περίοδο, ο Μπριόσι, απέδειξε ότι οι ιδιοτιμές ενός ορθογώνιου πίνακα βασίζονται στο μοναδιαίο κύκλο, και ο Κλεμπς βρήκε το αντίστοιχο αποτέλεσμα για τους αντισυμμετρικούς πίνακες. Τελικά, ο Βάιερστρας διευκρίνισε μια σημαντική οπτική της θεωρίας της σταθερότητας ξεκινώντας απο τον Λαπλάς συνειδητοποιώντας ότι οι ελλιπείς πίνακες μπορούν να προκαλέσουν αστάθεια.
Εν τω μεταξύ, ο Λιουβίλ μελέτησε προβλήματα ιδιοτιμών παρόμοια με εκείνα του Στέρμ: ο κλάδος που προέκυψε από την δουλέια τους καλείται πλέον Θεωρία των Λιουβίλ-Στέρμ. Ο Σβαρτς μελέτησε την πρώτη ιδιοτιμή της Λαπλασιανής εξίσωσης σε γενικούς τομείς μέχρι το τέλος του 19ου αιώνα, ενώ ο Πουανκαρέ μελέτησε την εξίσωση του Πουασόν μερικά χρόνια μετά.
Στις αρχές του 20ου αιώνα, ο Χίλμπερτ μελέτησε τις ιδιοτιμές του ολοκληρωματικού τελεστή βλέποντας τους τελεστές σαν απειροδιάστατους πίνακες. Ήταν ο πρώτος που χρησιμοποίησε την γερμανική λέξη eigen για να δηλώσει τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα το 1904, αν και ακολουθούσε ήδη μια σχετική ονομασία απο τον Χέλμχολντς. Για κάποιο χρονικό διάστημα, ο όρος που χρησιμοποιούνταν ήταν "κανονική τιμή"(proper value), αλλα ο πιό χαρακτηριστικός όρος "ιδιοτιμή"(eigenvalue) έχει επικρατήσει.
Ο πρώτος αριθμητικός αλγόριθμος για τον υπολογισμό των ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων εμφανίστηκε το 1929, όταν ο βόν Μίσις εξέδωσε την μέθοδο τις κίνησης. Μία από τις πιο δημοφιλείς μεθόδους σήμερα είναι, Ο QR αλγόριθμος, που προτάθηκε ανεξάρτητα, από τον Τζον Γ.Φ. Φρανσίς και τον Βέρα Κουμπλανόφσκαγια in 1961.

Μοριακά τροχιακά

Στην κβαντική μηχανική, και συγκεκριμένα στην ατομική και μοριακή φυσική, μέσω της θεωρίας Χαρτρι-Φοκ, τα ατομικά και μοριακά τροχιακά μπορούν να οριστούν απο τα ιδιοδιανύσματα του χειριστή Φοκ. Οι αντίστοιχες ιδιοτιμές ερμηνεύονται ως τα δυναμικά ιονισμόυ από το θεώρημα του Κούπμαν. Στην περίπτωση αυτή, ο όρος ιδιοδιάνυσμα χρησιμοποιείται  σε μια κάπως πιο γενική έννοια, αφού ο χειριστής Φοκ είναι άμεσα εξαρτώμενος στα τροχιακά και τις ιδιοτιμές τους.  Αν κάποιος θέλει να υπογραμμίσει την οπτική αυτή, θα πρέπει να αναφέρεται σε ένα μη γραμμικό πρόβλημα ιδιοτιμών. Τέτοιες εξισώσεις λύνονται συνήθως από μια επαναληπτική διαδικασία, που στην περίπτωση αυτή ονομάζεται μέθοδος αυτο-συνεπή πεδίου. Στην κβαντική χημεία, η εξίσωση Χαρτρι-Φοκ συνήθως εφαρμόζεται σε ένα μη-ορθογώνιο σύστημα βάσεων. Αυτή η εφαρμογή είναι ένα γενικευμένο πρόβλημα ιδιοτιμών που ονομάζεται εξισώσεις Ρουθαν.

Γεωλογία και παγολογία

Στη γεωλογία, και συγκεκριμένα στη μελέτη της παραγωγής πάγου, τα ιδιοδιανύσματα και οι ιδιοτιμές χρησιμοποιούνται με τέτοιο τρόπο. ώστε ένας όγκος πληροφοριών σχετικός με τον προσανατολισμό και το βάθος γεωλογικών κλαστικών συστατικών, μπορεί να περιγραφεί σε έναν τρισδιάστατο χώρο, με έξι νούμερα. Στο πεδίο, ο γεωλόγος μπορεί να συλλέξει τέτοιου είδους δεδομένα για εκατοντάδες χιλιάδες κλαστικά με ένα δείγμα χώματος, που μπορεί να συγκριθεί μόνο γραφικά, για παράδειγμα με ένα τριγωνικό διάγραμμα, ή σαν ένα στερεοδίκτυο σε ένα δίκτυο Γουλφ.
Το αποτέλεσμα αυτού του αισθητήρα προσανατολισμού, βρίσκεται στους τρεις ορθογώνιους )καθετους) άξονες του χώρου. Τα τρία ιδιοδιανύσματα ορίζονται ως  από τις ιδιοτιμές τους ; Το  λοιπόν είναι τα πρωτεύοντα στοιχεία προσανατολισμού και βάθους του κλαστικού, το  είναι τα δευτερεύοντα και το  είναι τα τριτεύοντα, αναλογικά με τη δύναμη. Ο προσανατολισμός του κλαστικού ορίζεται ως η κατεύθυνση του ιδιοδιανύσματος, πάνω σε ένα ανεμολόγιο των 360°. Το βάθος μετράται ως η ιδιοτιμή, το μόντουλο του αισθητήρα: αυτό ορίζεται από 0° (καθόλου βάθος) έως 90° (κάθετα). Οι αντίστοιχες τιμές των , , και  υπαγορεύονται από τη φύση του ιζήματος του υλικού. Αν , το υλικό ονομάζεται ισοτροπικό. Αν , το υλικό ονομάζεται επίπεδο. Αν , το υλικό ονομάζεται γραμμικό.

Ανάλυση κυρίων συνιστωσών

Η ιδιοσύνθεση ενός συμμετρικού θετικά ημιορισμένου πίνακα αποδίδει μία ορθογώνια βάση ιδιοδιανυσμάτων, καθένα εκ τον οποίων έχει μια μη-αρνητική ιδιοτιμή. Η ορθογώνια αποσύνθεση ενός (ΑΚΣ) πίνακα χρησιμοποιείται στην ανάλυση πολλών μεταβλητών, όπου το δείγμα με πίνακα συνδιασποράς είναι (ΑΚΣ). Αυτή η ορθογώνια αποσύνθεση καλείται ανάλυση κυρίων συνιστωσών (ΑΚΣ) στη στατιστική. Η ΑΚΣ μελετά γραμμικούς συσχετισμούς μεταξύ μεταβλητών. η ΑΚΣ εφαρμόζεται σε πίνακες συνδιασποράς ή σε πίνακες συσχετισμού (στους οποίους κάθε μεταβλητή είναι κλιμακωτή έτσι ώστε η διασπορά του δείγματος να ισούται με ένα). Για τους πίνακες συνδιασποράς και συσχετισμού, τα ιδιοδιανύσματα αντιστοιχούν στις κύριες συνιστώσες και οι ιδιοτιμές στις εξηγημένες διασπορές των κυρίων συνιστωσών. Η ανάλυση κυρίων συνιστωσών του πίνακα συσχετισμού παρέχει μία ορθογώνια ιδιοβάση για τον χώρο των παρατηρούμενων δεδομένων: Σε αυτή την βάση, οι μεγαλύτερες ιδιοτιμές αντιστοιχούν στις κύριες-συνιστώσες που σχετίζονται περισσότερο με την συμμεταβλητότητα ανάμεσα σε έναν αριθμό παρατηρούμενων δεδομένων.
Η ανάλυση κυρίων συνιστωσών χρησιμοποιείται για την μελέτη μεγάλων συνόλων δεδομένων, όπως αυτά που βλέπουμε στην εξόρυξη δεδομένων, χημική έρευνα, ψυχολογία, και στο μάρκετινγκ. Η ΑΚΣ είναι δημοφιλής κυρίως στην ψυχολογία, στον τομέα της ψυχομετρικής. Στην Q μεθοδολογία, οι ιδιοτιμές του πίνακα συσχετισμού καθορίζουν την κρίση του Q-μεθοδολόγου στην πρακτική σημαντικότητα (που διαφέρει από την στατιστική σημαντικότητα του ελέγχου της υπόθεσης): Οι παράγοντες με ιδιοτιμές μεγαλύτερες του 1 θεωρούνται πρακτικά σημαντικές, το οποίο οδηγεί στην εξήγηση σημαντικού ποσού των δεδομένων μεταβλητότητας, ενώ οι ιδιοτιμές που είναι μικρότερες του 1.00 θεωρούνται πρακτικά ασήμαντες, εξηγώντας μόνο ένα αμελητέο ποσοστό των δεδομένων μεταβλητότητας. Γενικότερα, η ανάλυση κυριών συνιστωσών μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως μέθοδος ανάλυσης παραγόντων σε μοντέλα διαρθρωτικής εξίσωσης.

Ιδιοπρόσωπα

Στην επεξεργασία εικόνας, οι επεξεργασμένες εικόνες προσώπων μπορούν να εκφραστούν σαν διανύσματα, τα στοιχεία των οποίων είναι οι φωτεινότητες για κάθε πίξελ. Η διάσταση του διανυσματικού αυτού χώρου είναι ο αριθμός των πιξελ. Τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα συνδιακύμανσης συνδέονται με ένα μεγάλο σύνολο απο κανονικοποιημένες εικόνες προσώπων, που ονομάζονται ιδιοπρόσωπα. Αυτό είναι ένα παράδειγμα ανάλυσης κυρίων συνιστωσών. Τα ιδιοπρόσωπα είναι πολύ χρήσιμα για να εκφράζουν κάθε εικόνα προσώπων σαν ένα γραμμικό συνδυασμό μερικών από αυτά. Στην αναγνώριση προσώπων, παρακλάδι της Βιομετρίας, τα ιδιοπρόσωπα παρέχουν ένα μέσο για να εφαρμοστεί συμπίεση δεδομένων σε πρόσωπα για σκοπούς ταυτοποίησης. Έρευνες σχετικές με τα ιδιο-οπτικά συστήματα που προσδιορίζουν χειρονομίες, γίνονται επίσης.
Παρόμοια με αυτές τις έννοιες, οι ιδιοφωνές αντιπροσωπεύουν τη γενική κατεύθυνση της μεταβλητότητας σε ανθρώπινες προφορές μιας ιδιαίτερης έκφρασης, όπως μια λέξη σε μία γλώσσα. Βασιζόμενη σε ένα γραμμικό συνδυασμό τέτοιων ιδιοφωνών, μπορεί να κατασκευαστεί μια νέα φωνητική προφορά της λέξης αυτής. Οι έννοιες αυτές έχουν φανεί χρήσιμες σε συστήματα αυτόματης αναγνώρισης λόγου, για ηχητική προσαρμογή.

Τανυστής στιγμιαίας αδράνειας

Στη μηχανική, τα ιδιοδιανύσματα του τανυστή αδράνειας καθορίζουν τους κύριους άξονες ενός στερεού σώματος. Ο τανυστής στιγμιαίας αδράνειας είναι μια ποσότητα κλειδί, που είναι απαραίτητη για να προσδιορίστει η περιστροφή ενός στερεού σώματος γύρω από το κέντρο μάζας του.

Τανυστής πίεσης

Στη στερεά μηχανική, ο τανυστής πίεσης είναι συμμετρικός και επομένως μπορεί να αποσυντεθεί σε ένα διαγώνιο τανυστή με ιδιοτιμές στη διαγώνιο και ιδιοδιανύσματα σαν βάση. Επειδή είναι διαγώνιος, σ'αυτή τη δομη, ο τανυστής πίεσης δεν έχει διάτμητα στοιχεία. Τα στοιχεία που έχει είναι τα πρωταρχικά στοιχεία.

Ιδιοτιμές ενός γραφήματος

Στην φασματική γραφική θεωρία, μια ιδιοτιμή ενός γραφήματος ορίζεται ως μια ιδιοτιμή του αντίστοιχου πίνακα γειτνίασης  του γραφήματος, ή (περισσότερο) του λαπλασιανού πίνακα του γραφήματος (βλέπε επίσης Διακριτός χειριστής Λαπλάς), που είναι ή  (μερικές φορές με ονομασία συνδυαστικός Λαπλασιανός) είτε  (μερικές φορές με ονομασία κανονικοποιημένος Λαπλασιανός), όπου ο  είναι ένας διαγώνιος πίνακας με  ισό με το βαθμότης κορυφής , και στον , το -στο διαγώνιο στοιχείο είναι η . Το -στο πρωταρχικό ιδιοδιάνυσμα ενός γραφήματος, προσδιορίζεται ως το ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί ή στην -στη μεγαλύτερη, είτε στην -στη μικρότερη ιδιοτιμή του Λαπλασιανού. Το πρώτο πρωταρχικό ιδιοδιάνυσμα του γραφήματος, είναι επίσης γνωστό ως το πρωταρχικό ιδιοδιάνυσμα.
Το πρωταρχικό ιδιοδιάνυσμα χρησιμοποιείται για τη μέτρηση της εγκεντρότητας των κορυφών του. Ενα παράδειγμμα, είναι ο αλγόριθμος PageRank της Google. Το πρωταρχικό ιδιοδιάνυσμα του επεξεργασμένου αντίστοιχου πίνακα γειτνίασης του γραφήματος του παγκοσμίου δικτύου, έχει τις σελιδοβαθμίδες ως στοιχεία του. Το διάνυσμα αυτό αντιστοιχεί στη στάσιμη κατανομή της Αλυσίδας Μαρκόφ που αντιπροσωπεύεται από τον γραμμο-κανονικοποιημένο αντίστοιχο πίνακα. Παρολαυτά, ο αντίστοιχος πίνακας πρέπει πρώτα να τροποποιηθεί για να σιγουρευτεί ότι μια στάσιμη κατανομή υπάρχει. Το δεύτερο μικρότερο ιδιοδιάνυσμα μπορει να χρησιμοποιηθεί για να χωρίσει το γράφημα σε συμπλέγματα, μέσω της φασματικής συμπλεγματοποίησης. Άλλες μέθοδοι είναι επίσης διαθέσιμές για συμπλεγματοποίηση.

Βασικός ρυθμός αναπαραγωγής

Ο βασικός ρυθμός αναπαραγωγής () είναι ένας θεμελιώδης αριθμος για τη μελέτη του τρόπου εξάπλωσης των λοιμώξεων. Αν ένα μολυσμένο άτομο τοποθετηθεί σε έναν πληθυσμό με εντελώς ευαίσθητα άτομα, τότε ο  είναι ο μέσος αριθμός ατόμων που θα μολύνει ένα μολυσμένο άτομο. Ο χρόνος παραγωγής μιας λοίμωξης, είναι το χρονικό διάστημα  που μεσολαβεί ανάμεσα στα γεγονότα, το ένα άτομο να μολυνθεί, μέχρι το επόμενο άτομο να μολυνθεί. Σε έναν ετερογενή πληθυσμό, ο πίνακας της επόμενης γενιάς καθορίζει πόσα άτομα του πληθυσμού θα μολυνθούν, όταν έχει περάσει χρόνος . Η  είναι λοιπόν η μεγαλύτερη ιδιοτιμή του πίνακα της επόμενης γενιάς.