Θεμελιώδες θεώρημα άλγεβρας

Το Θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας (ή Θεώρημα ντ' Αλαμπέρ-Γκάους) είναι ένα από τα σημαντικότερα θεωρήματα στα μαθηματικά. Σύμφωνα με αυτό, όλα τα πολυώνυμα με μιγαδικούς συντελεστές έχουν τουλάχιστον μία μιγαδική ρίζα.
Ο τυπικός ορισμός του θεωρήματος είναι: 
Κάθε πολυώνυμο μιας μεταβλητής, μη μηδενικού βαθμού και με μιγαδικούς συντελεστές, έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο σύνολο C των μιγαδικών αριθμών.
Το θεώρημα διατυπώνεται και ως εξής: Κάθε μη μηδενικό πολυώνυμο μίας μεταβλητής και βαθμού n με μιγαδικούς συντελεστές έχει, συμπεριλαμβανομένων των πολλαπλοτήτων, ακριβώς n ρίζες. Η ισοτιμία των δύο προτάσεων μπορεί να αποδειχθεί με τη χρήση διαδοχικών πολυωνυμικών διαιρέσεων.
Στην ορολογία της θεωρίας σωμάτων, το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας ισοδυναμεί με το γεγονός ότι το σώμα των μιγαδικών αριθμών είναι αλγεβρικά κλειστό.
Παρόλο το όνομά του, δεν υπάρχει αμιγώς αλγεβρική απόδειξη του θεωρήματος, καθώς κάθε απόδειξη πρέπει να χρησιμοποιεί την πληρότητα των πραγματικών (ή κάποια ισοδύναμη σύνθεση), η οποία δεν είναι αλγεβρική έννοια. Επιπλέον δεν είναι θεμελιώδης για την σημερινή άλγεβρα΄ έλαβε το όνομά του σε μία εποχή όπου η μελέτη της άλγεβρας αφορούσε κυρίως την επίλυση των πολυωνυμικών εξισώσεων με πραγματικούς και μιγαδικούς συντελεστές.

Τοπολογικές αποδείξεις

Ας z0 ∈ C είναι τέτοια ώστε το ελάχιστο | p (z) | για να επιτευχθεί το όλο συγκρότημα αεροπλάνο στο z0? θεωρήθηκε στην απόδειξη που χρησιμοποιεί το θεώρημα Liouville ότι ένας τέτοιος αριθμός πρέπει να υπάρχει. Μπορούμε να γράψουμε p (z) ένα πολυώνυμο z - z0: υπάρχει κάποιο φυσικό αριθμό k και υπάρχουν κάποιες μιγαδικών αριθμών, το CK + 1, ..., cn, έτσι ώστε ck ≠ 0 και ότι
Σε περίπτωση που η p (z0) είναι μη μηδενική, προκύπτει ότι αν το α είναι μια ρίζα k-p-(z0) / ck και αν t είναι θετική και αρκετά μικρό, τότε | p (z0 + ta) | <| p (z0) |, το οποίο είναι αδύνατο, δεδομένου ότι | p (z0) | είναι το ελάχιστο | p | σχετικά D.
Για άλλη μια τοπολογική απόδειξη με αντίφαση, ας υποθέσουμε ότι p (z) δεν έχει μηδενικά. Επιλέξτε ένα μεγάλο θετικό αριθμό R τέτοια ώστε, για | z | = R, η κορυφαία όρος zn του p (z) κυριαρχεί σε όλους τους άλλους όρους σε συνδυασμό; Με άλλα λόγια, τέτοια ώστε | z | ν> | an-1zn-1 + · · · + a0 |. Ως Ζ διασχίζει τον κύκλο δίνεται από την εξίσωση | z | = R άπαξ αριστερόστροφα, p (z), όπως Ζη, άνεμοι η φορές αριστερόστροφα γύρω 0 Στο άλλο άκρο, με το |. Z | = 0, η "καμπύλη "p (z) είναι απλά η ενιαία (μη μηδενικό) σημείο p (0), των οποίων ο αριθμός είναι περιέλιξης σαφώς 0. Εάν ο βρόχος που ακολουθείται από το Ζ είναι συνεχώς παραμορφώνεται μεταξύ αυτών των άκρων, η διαδρομή του ρ (z) παραμορφώνεται επίσης συνεχώς. Μπορούμε να γράψουμε ρητά μια τέτοια παραμόρφωση ως Η (Reiθ, t) = p ((1 - t) Reiθ), όπου 0 ≤ t ≤ 1 Εάν κάποιος θεωρεί τη μεταβλητή t ως χρόνος, τότε σε χρόνο μηδέν η καμπύλη είναι ρ (. z) και τη χρονική στιγμή ένα η καμπύλη είναι p (0). Σαφώς σε κάθε σημείο t, p (z) δεν μπορεί να είναι μηδέν με την αρχική υπόθεση, ως εκ τούτου, κατά τη διάρκεια της παραμόρφωσης, η καμπύλη δεν διασχίζει μηδέν. Ως εκ τούτου, η περιέλιξη αριθμό της καμπύλης γύρω από το μηδέν δεν πρέπει ποτέ να αλλάξει. Ωστόσο, δεδομένου ότι ο αριθμός περιέλιξης ξεκίνησε ως n και έληξε 0, αυτό είναι παράλογο. Ως εκ τούτου, p (z) έχει τουλάχιστον ένα μηδέν.