Εξαναγκασμένη ταλάντωση

Σύστημα με απόσβεση και αρμονική διέγερση

Γενικά σε κάποιο σύστημα ενεργούν δυνάμεις απόσβεσης. Αυτές έχουν την μορφή  και τείνουν να μειώσουν το πλάτος της ταλάντωσης. Η σταθερά b ονομάζεται σταθερά απόσβεσης. Αν στον ταλαντωτή δεν ενεργεί κάποια δύναμη διέγερσης τότε θα έχουμε φθίνουσα ταλάντωση, αλλιώς θα έχουμε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση, τα χαρακτηριστικά της οποίας θα εξαρτώνται και από τη σταθερά απόσβεσης. Χαρακτηριστικά όταν η σταθερά απόσβεσης έχει πολύ μεγάλη τιμή, δεν παρατηρείται έντονα το φαινόμενο του συντονισμού.

Μελέτη συστήματος με απόσβεση

Μια δύναμη τριβής σε ταλαντούμενο σύστημα μπορεί να έχει την γενική μορφή: . Σε συστήματα που έχουμε την γνωστή μας τριβή, κυριαρχεί ο μηδενικός όρος. Σε συστήματα παράλληλης κίνησης σώματος μέσα σε ρευστό με ιξώδες κυριαρχεί ο πρωτοτάξιος όρος. Για συστήματα κίνησης σε ιξωδικό ρευστό με υψηλές ταχύτητες κυριαρχεί ο δευτεροτάξιος όρος.
Μπορούμε να δούμε πως όλες αυτές οι ταλαντώσεις είναι περιοδικές κινήσεις με το πλάτος ταλάντωσης να μειώνεται συνεχώς, όμως δεν είναι όλες αρμονικές κινήσεις. Για να είναι μια ταλάντωση αρμονική κίνηση θα πρέπει να εκτελείται με σταθερή κυκλική συχνότητα  σε όλη την διάρκεια μιας περιόδου, και την ιδιότητα αυτή την έχουν ταλαντώσεις που εκτελούνται με δύναμη τριβής της μορφής .
Για μια τέτοια κίνηση, ο Νόμος του Newton γράφεται:
όπου, αν απουσίαζε ο μεσαίος όρος της δύναμης τριβής, θα είχαμε γραμμική αρμονική ταλάντωση.
Για εξισώσεις τέτοιας μορφής αναζητάμε την λύση στη μορφή: . Παραγωγίζοντας και αντικαθιστώντας στην παραπάνω έχουμε:
Μπορούμε τώρα ν' απλοποιήσουμε την εξίσωση επιλέγοντας το  να είναι τέτοιο ώστε ο συντελεστής της 1ης παραγώγου να γίνει μηδέν:
Για αυτή την τιμή του  γίνεται:
που είναι η γνωστή μας εξίσωση με τις τριγωνομετρικές λύσεις. Ορίζοντας , η παραπάνω εξίσωση γράφεται:
με γενική λύση:
όπου . Η γωνία φάσης  καθορίζεται από τις αρχικές συνθήκες.
Αυτό το αποτέλεσμα μας δείχνει πως η τριβή μειώνει την συχνότητα ταλάντωσης και, αν είναι , η κίνηση γίνεται μη περιοδική. Δεν χρειάζεται να λύσουμε ξανά την διαφορική εξίσωση υπό διαφορετικές συνθήκες απόσβεσης αφού μπορούμε να περάσουμε σε υπερβολική γεωμετρία μέσω της: , όπου .
Εναλλακτικά, οι εκθετικές λύσεις προκύπτουν μηδενίζοντας τον συντελεστή  στην διαφορική εξίσωση της κίνησης, ο οποίος έχει αρνητικές πραγματικές ρίζες για το  για .

Μελέτη συστήματος με απόσβεση και αρμονική διέγερση

Για ένα σύστημα μάζας  και ελατηρίου σταθεράς , στο οποίο ασκείται μια δύναμη απόσβεσης ανάλογη της ταχύτητας , ασκούμε εξωτερική αρμονική διέγερση: . Ο Νόμος του Newton σε αυτή την περίπτωση γράφεται ως:
  
όπου   ο συντελεστής του εκθετικού απόσβεσης,    η κυκλική ιδιοσυχνότητα του συστήματος, αν σε αυτό δεν υπήρχε απόσβεση, και  το πλάτος της διέγερσης.
Δοκιμάζοντας μια τριγωνομετρική λύση με κυκλική συχνότητα ίση με την κυκλική συχνότητα του διεγέρτη:
  παίρνουμε το αλγεβρικό σύστημα:
     και    
με λύση:
   και   
Μετασχηματίζοντας αυτό το αποτέλεσμα στην γραφή με μία τριγωνομετρική συνάρτηση και γωνία φάσης, όπου είναι    και   έχουμε:
,  και     για την λύση της μορφής:
  και  

Από τα παραπάνω βλέπουμε πως, όταν δεν υπάρχει απόσβεση (), τόσο η ταχύτητα όσο και η απομάκρυνση του σώματος από την θέση ισορροπίας παίρνουν την μέγιστη τιμή τους (άπειρη) για , και το σύστημα βρίσκεται σε φάση () με τον διεγέρτη, για κάθε τιμή της κυκλικής συχνότητας. Συχνά μπερδευόμαστε όταν λέμε "καθώς αυξάνει η συχνότητα", έχοντας υπόψη μας μια μεταβατική κατάσταση. Οι παραπάνω λύσεις αναφέρονται σε ποικίλες καταστάσεις σταθερής κυκλικής συχνότητας.
Βλέπουμε τώρα πως, στην εξαναγκασμένη ταλάντωση, η ενέργεια του ταλαντούμενου συστήματος δεν μπορεί να παραμένει σταθερή κατά την διάρκεια μιας περιόδου επειδή ο διεγέρτης σε μερικές περιοχές της περιόδου προσφέρει ενέργεια και σε κάποιες άλλες αφαιρεί, προκειμένου να επιβάλλει την δική του συχνότητα ταλάντωσης:
Δηλαδή, όταν και μόνο όταν διεγέρτης και ταλαντωτής βρίσκονται σε κατάσταση συντονισμού τότε κινούνται σε φάση και η ενέργεια της ταλάντωσης είναι σταθερή, και αυτό ισχύει υπό την προϋπόθεση πως δεν υπάρχει απόσβεση.
Όταν υπάρχει απόσβεση, διεγέρτης και ταλαντωτής ταλαντώνονται με διαφορά φάσης , η οποία γίνεται  στην κατάσταση συντονισμού. Η ανταλλαγή ισχύος μεταξύ διεγέρτη και ταλαντωτή είναι:
η οποία δεν είναι θετικά ορισμένη. Έτσι, σε κάποιες περιοχές της περιόδου είναι θετική και σε κάποιες αρνητική. Για την περίπτωση του συντονισμού είναι , οπότε η ισχύς γίνεται θετικά ορισμένη:
συνθήκη που δηλώνει πως σ' αυτή την κατάσταση, ο ταλαντωτής παίρνει από τον διεγέρτη την μέγιστη δυνατή ισχύ.
Ένα άλλο σημαντικό στοιχείο που εισάγει η απόσβεση είναι πως η μέγιστη τιμή για την απομάκρυνση δεν εμφανίζεται στην συχνότητα συντονισμού    αλλά σε μικρότερη. Η συνθήκη ακρότατου μας δίνει:
ενώ η μέγιστη τιμή για το πλάτος ταχύτητας εμφανίζεται για , ανεξάρτητα απόσβεσης. Η συνθήκη αυτή μας δείχνει πως για  το πλάτος της ταλάντωσης αποτελεί γνησίως φθίνουσα συνάρτηση χωρίς να παρουσιάζει τοπικό μέγιστο.