Συνάρτηση

Γενικά

Μπορούμε να πούμε ότι μια συνάρτηση είναι ο «τρόπος» ή «κανόνας» με τον οποίο αντιστοιχίζεται μία μοναδική τιμή της εξαρτημένης ποσότητας (σύνολο τιμών) σε κάθε τιμή της ανεξάρτητης ποσότητας (πεδίο ορισμού). Η έννοια της συνάρτησης εκφράζει τη διαισθητική ιδέα της ντετερμινιστικής εξάρτησης μιας ποσότητας από μια άλλη. Τούτο διότι εξορισμού απαγορεύεται η αντιστοίχιση μιας τιμής της ανεξάρτητης ποσότητας σε περισσότερες από μία τιμές της εξαρτημένης ποσότητας κατά τρόπο στοχαστικό ή τυχαίο, δηλαδή κατά τρόπο που δεν θα μπορούσαμε να γνωρίζουμε από πριν δεδομένο όρισμα σε ποια ακριβώς τιμή αντιστοιχεί. (Δηλαδή κάθε στοιχείο του πεδίου ορισμού αντιστοιχίζεται σε ακριβώς ένα στοιχείο του συνόλου τιμών).

Εισαγωγή και παραδείγματα

Για ένα παράδειγμα μιας συνάρτησης, έστω Χ το σύνολο που αποτελείται από τέσσερα σχήματα: ένα κόκκινο τρίγωνο, ένα κίτρινο ορθογώνιο, ένα πράσινο εξάγωνο και ένα κόκκινο τετράγωνο και έστω Υ το σύνολο που αποτελείται από πέντε χρώματα: κόκκινο, μπλε, πράσινο, ροζ και κίτρινο. Συνδέοντας κάθε σχήμα στο χρώμα του είναι μια συνάρτηση από το Χ στο Υ: κάθε σχήμα συνδέεται με ένα χρώμα (δηλαδή, ένα στοιχείο στο Υ), και κάθε σχήμα είναι "συνδεδεμένο", ή "χαρτογραφείται", σε ακριβώς ένα χρώμα. Δεν υπάρχει σχήμα που στερείται ενός χρώματος και ούτε κάποιο σχήμα που έχει δύο ή περισσότερα χρώματα. Αυτή η λειτουργία θα αναφέρεται ως "χρώμα της συνάρτησης σχήματος".
Η εισαγωγή σε μια συνάρτηση ονομάζεται όρισμα και η έξοδος ονομάζεται τιμή. Το σύνολο όλων των επιτρεπόμενων ορισμάτων σε μια συγκεκριμένη συνάρτηση ονομάζεται σύνολο ορισμού,ενώ το σύνολο των επιτρεπόμενων εξόδων ονομάζεται σύνολο τιμών. Έτσι, το σύνολο ορισμού του "χρώμα της συνάρτησης σχήματος" είναι το σύνολο των τεσσάρων σχημάτων, και το συνόλου τιμών αποτελείται από τα πέντε χρώματα.Η έννοια της συνάρτησης δεν απαιτεί ότι κάθε πιθανή έξοδος είναι η τιμή κάποιου ορισμού, π.χ. το μπλε χρώμα δεν είναι το χρώμα οποιουδήποτε από τα τέσσερα σχήματα στο Χ.
Ένα δεύτερο παράδειγμα μιας συνάρτησης είναι η εξής: το σύνολο ορισμού επιλέγεται να είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών (1, 2, 3, 4, ...), και το σύνολο τιμών είναι το σύνολο των ακεραίων (..., -3 , -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...). Η συνάρτηση σχετίζεται με οποιοδήποτε φυσικό αριθμό n,τον αριθμό 4-n. Για παράδειγμα, το 1 σχετίζεται με το 3 και το 10 με το -6.
Ένα τρίτο παράδειγμα μιας συνάρτησης έχει το σύνολο των πολυγώνων ως σύνολο ορισμού και το σύνολο των φυσικών αριθμών ως σύνολο τιμών. Η συνάρτηση συσχετίζει ένα πολύγωνο με τον αριθμό των κορυφών του. Για παράδειγμα, ένα τρίγωνο συνδέεται με τον αριθμό 3, ένα τετράγωνο με τον αριθμό 4, και ούτω καθεξής.
Ο όρος εύρος μερικές φορές χρησιμοποιείται είτε για το σύνολο τιμών είτε για το σύνολο όλων των πραγματικών τιμών που έχει μια συνάρτηση. Για να αποφευχθεί η ασάφεια αυτό το άρθρο αποφεύγει τη χρήση του όρου.

Ορολογία

Αν Α και Β είναι δύο σύνολα και f : Α → Β μια συνάρτηση από το Α στο Β, το Α λέγεται σύνολο ορισμού και το Β σύνολο τιμών. Κάθε στοιχείο a του Α λέγεται όρισμα της f και κάθε στοιχείο b του Β στο οποίο αντιστοιχίζεται ένα τουλάχιστον όρισμα a λέγεται τιμή ή εικόνα της f στο a, και γράφουμε b = f(a).
Σύμφωνα με τον προηγούμενο ορισμό, για να είναι η f συνάρτηση, θα πρέπει να ισχύει: αν f(a) ≠ f(a') τότε a ≠ a'. Δηλαδή δυο τιμές που είναι διαφορετικές να μην αντιστοιχούν παρά σε διαφορετικά ορίσματα.
Το τυχαίο στοιχείο του συνόλου Α, δηλαδή του πεδίου ορισμού, ονομάζεται ανεξάρτητη μεταβλητή της συνάρτησης. Ενώ το τυχαίο στοιχείο του συνόλου Β, δηλαδή του συνόλου τιμών, ονομάζεται εξαρτημένη μεταβλητή της συνάρτησης. Θα μπορούσε να ειπωθεί ότι οι δύο όροι δηλώνουν τη διαισθητική σχέση αιτιότητας μεταξύ των δύο μεταβλητών. Η ανεξάρτητη μεταβλητή λαμβάνει τιμή αυθαίρετα, ενώ η εξαρτημένη μεταβλητή λαμβάνει την τιμή της πάντα σε σχέση με την ίδια τη συνάρτηση και την ανεξάρτητη μεταβλητή.
Το γράφημα της συνάρτησης f : A → B είναι το σύνολο που αποτελείται από τα διατεταγμένα ζευγάρια της αντιστοίχισης
Για συναρτήσεις ορισμένες στο πεδίο των πραγματικών αριθμών το γράφημα ή αλλιώς γραφική παράσταση είναι η απεικόνιση αυτών των ζευγαριών στο καρτεσιανό επίπεδο, όπου κάθε ζευγάρι ορίσματος-τιμής είναι ένα σημείο της γραφικής παράστασης και το σύνολο των σημείων σχηματίζουν τη καμπύλη της γραφικής παράστασης.
Η αντίστροφη αντιστοίχιση f ⁻¹ της συνάρτησης f είναι η αντιστοίχιση από το Β στο Α, που ορίζεται ως εξής:
Η αντίστροφη αντιστοίχιση μιας συνάρτησης δεν είναι πάντοτε συνάρτηση, μια και δεν υπακούει απαραίτητα στο αξίωμα μονοτιμίας: ένα στοιχείο b μπορεί να είναι τιμή δύο διαφορετικών ορισμάτων a και a' της f. Στην περίπτωση πάντως που είναι, η f λέγεται αντιστρέψιμη και η f ⁻¹ αντίστροφη συνάρτηση της f.

Καθορισμός συνάρτησης

Μια συνάρτηση μπορεί να οριστεί από οποιοδήποτε μαθηματικό όρο σχετίζοντας το κάθε όρισμα (τιμή εισόδου) προς την αντίστοιχη τιμή εξόδου.Εάν το σύνολο ορισμού είναι πεπερασμένο, μια συνάρτηση f μπορεί να οριστεί απλά κατατάσσοντας όλα τα ορίσματα x και την αντίστοιχη συνάρτηση των τιμών της f(x). Συνηθέστερα, μια συνάρτηση ορίζεται από έναν τύπο, ή (γενικότερα) από έναν αλγόριθμο - μια συνταγή που λέει πώς να υπολογιστεί η τιμή του f(x) δίνοντας οποιοδήποτε χ στο σύνολο ορισμού.
Υπάρχουν πολλοί άλλοι τρόποι ορισμού συναρτήσεων. Παραδείγματα περιλαμβάνουν τμηματικούς ορισμούς, μαθηματική επαγωγή ή αναδρομή, αλγεβρική ή αναλυτική συνάρτηση κλείσιμο, όρια, αναλυτική συνέχεια, άπειρες σειρές, και λύσεις σε ολοκληρωτικές και διαφορικές εξισώσεις. Ο λογισμός λάμδα παρέχει μια ισχυρή και ευέλικτη σύνταξη για τον καθορισμό και το συνδυασμό συναρτήσεων πολλών μεταβλητών. Σε προχωρημένα μαθηματικά, ορισμένες συναρτήσεις υπάρχουν εξαιτίας ενός αξιώματος, όπως το Αξίωμα της επιλογής.

Γραφική Παράσταση

Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης είναι το σύνολο των διατεταγμένων ζευγών F. Αυτό είναι μια αφαίρεση της ιδέας ενός γραφήματος, σαν μια εικόνα που δείχνει τη συνάρτηση να απεικονίζεται σε ένα ζεύγος αξόνων συντεταγμένων.Για παράδειγμα,(3, 9), το σημείο πάνω από το 3 βρίσκεται επί του οριζόντιου άξονα και στα δεξιά του 9 επί του κατακόρυφου άξονα, βρίσκεται πάνω στη γραφική παράσταση της
y=x².

Τύποι και αλγόριθμοι

Διαφορετικοί τύποι ή αλγόριθμοι μπορεί να περιγράψουν την ίδια συνάρτηση.Για παράδειγμα, f(x) = (x + 1) (x − 1) είναι ακριβώς η ίδια συνάρτηση με την f(x) = x² − 1.Επιπλέον, η συνάρτηση δεν χρειάζεται να περιγράφεται από έναν τύπο, έκφραση, ή αλγόριθμο, ούτε απαιτείται να ασχολείται με τους αριθμούς.Το σύνολο ορισμών και σύνολο τιμών μιας συνάρτησης μπορεί να είναι αυθαίρετα σύνολα. Ένα παράδειγμα μιας συνάρτησης που ενεργεί για μη αριθμητικές εισόδους παίρνει αγγλικές λέξεις ως τιμή εισόδου, και επιστρέφει το πρώτο γράμμα της λέξης της τιμής εισόδου ως τιμή εξόδου.
Για παράδειγμα, η παραγοντική συνάρτηση ορίζεται στους μη αρνητικούς ακεραίους και παράγει έναν μη αρνητικό ακέραιο αριθμό. Ορίζεται από την ακόλουθο επαγωγικό αλγόριθμο: 0! που ορίζεται να ισούται με 1, και το n! που ορίζεται να είναι   για όλους τους θετικούς ακέραιους n. Η παραγοντική συνάρτηση  συμβολίζεται με το θαυμαστικό (που απεικονίζει το σύμβολο της συνάρτησης) μετά τη μεταβλητή (συμβολισμός postfix).

Ιδιότητες

Υπάρχουν ορισμένες βασικές ιδιότητες και έννοιες. Σε αυτή την ενότητα,f είναι μια συνάρτηση με σύνολο ορισμού Χ και σύνολου τιμών Y.

Αμφιμονοσήμαντες και επιρριπτικές συναρτήσεις

Μια συνάρτηση ονομάζεται αμφιμονότιμη (ή ένα-προς-ένα, ή ένεση) αν f(a) ≠ f(b) για οποιαδήποτε διαφορετικά στοιχεία a και b του συνόλου ορισμού.Ονομάζεται επιρριπτική (ή επί) αν f(X) = Y.Δηλαδή, είναι επί αν για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών υπάρχει ένα x στο σύνολο ορισμού, έτσι ώστε f(x) = y. Τέλος η f ονομάζεται αμφιρριπτική, αν είναι αμφιμονότιμη και επί. Αυτή η ονοματολογία εισήχθη από την ομάδα bourbaki.
Η παραπάνω χρώμα του σχήματος συνάρτηση δεν είναι αμφιμονότιμη αφού δύο διαφορετικά σχήματα (το κόκκινο τρίγωνο και το κόκκινο ορθογώνιο) έχουν την ίδια τιμή. Επιπλέον, δεν είναι επί, δεδομένου ότι η εικόνα της συνάρτησης περιέχει μόνο τρία, αλλά όχι και τα πέντε χρώματα του συνόλου τιμών.