Οικοδομήσιμο Σύμπαν

Στα μαθηματικά, και ειδικότερα στη θεωρία συνόλων, το οικοδομήσιμο σύμπαν (ή το οικοδομήσιμο σύμπαν του Γκέντελ), συμβολιζόμενο ως L, είναι μια συγκεκριμένη τάξη συνόλων που μπορεί να περιγραφεί εξολοκλήρου με όρους απλούστερων συνόλων. Προτάθηκε από τον Κουρτ Γκέντελ το 1938 στη μελέτη του "Η συνέπεια του αξιώματος επιλογής και της γενικευμένης υπόθεσης του συνεχούς". Σε αυτή, απέδειξε ότι το οικοδομήσιμο σύμπαν είναι ένα εσωτερικό μοντέλο στη θεωρία συνόλων Ζερμένο-Φράνκελ, και επίσης ότι το αξίωμα επιλογής και η γενικευμένη υπόθεση του συνεχούς είναι αληθή στο οικοδομήσιμο σύμπαν.

Το L είναι απόλυτο και ελάχιστο.

Αν το W είναι ένα δεδομένο μοντέλο του ZF και έχει τις ίδιες τάξεις με το V, τότε το L ορισμένο στο W είναι ίσο με το L ορισμένο στο V. Πιο συγκεκριμένα, το Lα είναι το ίδιο στο W και στο V, για κάθε τάξη α. Επιπλέον ίδιοι τύποι και ίδια μοτίβα στο Def (Lα) παράγουν τα ίδια κατασκευάσιμα σύνολα στο Lα+1.
Επιπρόσθετα, από την στιγμή που το Lείναι μια υποκλάση του V και, ομοίως, το L είναι μια υποκλάση του W, το L είναι η μικρότερη κλάση που περιέχει όλες τις τάξεις οι οποίες είναι δεδομένα μοντέλα του ZF. Πράγματι, το L είναι η τομή όλων αυτών των κλάσεων.
Εαν υπάρχει ένα σύνολο W στο V το οποίο είναι ένα δεδομένο μοντέλο του ZF, και η τάξη κ είναι το σύνολο των τάξεων που υπάρχουν στο W, τότε το Lκ είναι το L του W. Εαν υπάρχει ένα σύνολο που είναι δεδομένο μοντέλο του ZF, τότε το μικρότερο τέτοιο σύνολο είναι ένα τέτοιο Lκ. Αυτό το σύνολο ονομάζεται  ελάχιστο μοντελο του ZFC. Χρησιμοποιώντας το καθοδικό θεώρημα των Löwenheim–Skolem, μπορούμε να δείξουμε οτι το ελάχιστο μοντέλο (εαν αυτό υπάρχει) είναι ένα αριθμήσιμο σύνολο.
Φυσικά, κάθε βάσιμη θεωρία πρέπει να έχει ένα μοντέλο, επομένως ακόμα και στο ελάχιστο μοντέλο της θεωρίας συνόλων υπάρχουν σύνολα που είναι μοντέλα των ZF (υποθέτοντας οτι το ZF ειναι συνεπές). Όμως,αυτά τα μοντέλα συνόλων δεν είναι δεδομένα. Πιο συγκεκριμένα, δεν χρησιμοποιούν κανονικές σχέσις μεταξύ των στοιχείων και δεν είναι καλά ορισμένες.
Διότι και το L του L και το V του L είναι το πραγματικό L και, και το L του Lκ και το V του Lκ είναι το πραγματικό Lκ, έχουμε ότι το V=L ισχύει στο  L και σε κάθε Lκ το οποίο είναι μοντέλο του ZF. Όμως, το V=L δεν ισχύει σε κανένα άλλο δεδομένο μοντέλο του ZF.

L και μεγάλες τάξεις.

Από την στιγμή που On⊂L⊆V, ιδιότητες των τάξεων που βασίζονται στην μη ύπαρξη κάποιας συνάρτησης η κάποιας άλλης δόμησης (δηλαδή τύποι τύπου Π₁ZF ) διατηρούνται καθώς πηγαίνουμε από το V στο L. Ως εκ τούτου οι αρχικές τάξεις των απόλυτων παραμένουν αρχικές στο L. Οι τακτικές τάξεις παραμένουν τακτικές στο L. Τα  ασθενή όρια τάξεων γίνονται ισχυρά όρια τάξεων στο L διότι η γενικευμένη υπόθεση του συνεχούς ισχύει στο L. Οι ασθενώς απρόσιτες τάξεις γίνονται ισχυρώς απροσιτες. Οι ασθενείςτάξεις του Mahlo γίνονται ισχυρώς Mahlo. Και γενικότερα, όλες οι μεγάλες τάξεις μικρότερες από 0# (δείτε την λίστα των μεγάλων τάξεων) θα είναι συσσωρευμένες στο L.
Όμως, το 0# δεν αληθεύει στο L ακόμα και αν αληθεύει στο V. Επομένως, όλες οι μεγάλες τάξεις η ύπαρξη των οποίων αναφέρεται στό 0# δεν έχουν τις ιδιότητες των μεγάλων τάξεων, αλλά διατηρούν τις ιδιότητες αυτών που είναι μικρότερες από 0# τις οποίες επίσης κατέχουν. Για παράδειγμα, οι μετρήσιμες τάξεις παύουν να είναι μετρήσιμες αλλα παραμένουν Mahlo στο L.
Είναι ενδιαφέρον το γεγονός ότι αν το 0# βρίσκεται στο V, τότε υπάρχει μια κλειστή μη οριοθετημένη κλάση τάξεων  οι οποίες είναι δυσδιάκριτες στο L. Παρόλο που κάποιες απο αυτές δεν είναι καν αρχικές τάξεις στο V,όλες έχουν ιδιότητες των μεγάλων τάξεων οι οποίες είναι μικρότερες από 0# στο L. Επιπλέον,κάθε αυστηρά αυξανόμενη συνάρτηση κλάσης από την κλάση των indiscernibles του εαυτού του μπορεί να επεκταθεί με μοναδικό τρόπο στην στοιχειώδη ενσωμάτωση του L στο L. Αυτό δίνει στο L μια ωραία δόμη επαναλαμβανομένων.

To L μπορεί να είναι καλά διατεταγμένο

Υπάρχουν ποικίλοι τρόποι για να διατάξουμε καλώς το L. Μερικοί από αυτούς εμπλέκουν τη "λεπτή δομή" του L, η οποία πρώτα περιγράφηκε από το Ρόναλντ Βγιορν Τζένσεν στη μελέτη του το 1972 με τίτλο "Η λεπτή δομή της οικοδομήσιμης ιεραρχίας". Εκτός από την επεξήγηση της λεπτής δομής, θα κάνουμε μία αναφορά στο πως το L μπορεί να είναι καλώς διατεταγμένο μόνο από τον ορισμό που δόθηκε παραπάνω.
Ας υποθέσουμε ότι τα x και y είναι δύο διαφορετικά σύνολα στο L και σκοπεύουμε να αποφασίσουμε αν x<y ή x>y. Αν το x εμφανιστεί πρώτα στο Lα+1 και το y εμφανιστεί πρώτα στο Lβ+1 και το β είναι διαφορετικό του α, τότε ας είναι x<y αν και μόνο αν α<β. Εφεξής, υποθέτουμε ότι β=α.
Θυμόμαστε ότι το Lα+1 = Def (Lα) ότι χρησιμοποιεί τύπους με παραμέτρους από το Lα για να προσδιορίσουμε τα σύνολα x και y. Αν αγνοήσουμε (προς το παρόν) τις παραμέτρους, τύποι είναι δυνατόν να δώσουμε στους τύπους μία πρότυπη αρίθμηση του Γκέντελ από φυσικούς αριθμούς. Αν το Φ είναι ο τύπος με το μικρότερο αριθμό του Γκέντελ ο οποίος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να ορίσει το x, και το Ψ είναι ο τύπος με το μικρότερο αριθμό του Γκέντελ που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να ορίσει το y, και τα Ψ είναι διάφορο του Φ, τότε ας είναι x<y αν και μόνο αν Φ<Ψ στην αρίθμηση του Γκέντελ. Εφεξής, υποθέτουμε ότι Ψ=Φ.
Ας υποθέσουμε ότι το Φ χρησιμοποιεί n παραμέτρους από το Lα. Ας υποθέσουμε ότι  τα z₁,...,zₙ είναι η ακολουθία των παραμέτρων που μπορεί να χρησιμοποιηθεί με το Φ για να προσδιορίσει το x, και τα w₁,...,wₙ είναι το ίδιο για το y. Τότε ας είναι x<y αν και μόνο αν ισχύει είτε zₙ<wₙ είτε (zₙ=wₙ and zₙ₋₁<wₙ₋₁) είτε (zₙ=wₙ and zₙ₋₁=wₙ₋₁ and zₙ₋₂<wₙ₋₂) είτε κ.λπ... Αυτό καλείτε αντίστροφη-λεξικογραφική διάταξη. Αν υπάρχουν ποικίλες ακολουθίες παραμέτρων που ορίζουν ένα από τα σύνολα, επιλέγουμε το ελάχιστο από αυτά κάτω από αυτήν τη διάταξη.
Η καλή διάταξη των μεμονωμένων παραμέτρων προκύπτει από την επαγωγική υπόθεση της άπειρης επαγωγής. Οι τιμές της n-άδας των παραμέτρων είναι καλά διατεταγμένες από τη διατάξη των γινομένων. Οι τύποι με τις παραμέτρους είναι καλά διατεταγμένες από το διατεταγμένο άθροισμα (από τους αριθμούς του Γκέντελ) των καλών διατάξεων.Και το L είναι καλά διατεταγμένο από το διατεταγμένο άθροισμα (από το α) των διαταξεων στο Lα+1.
Παρατηρείται ότι αυτή η καλή διάταξη μπορεί να οριστεί μέσα στο ίδιο το L από έναν τύπο της θεωρίας συνόλων χωρίς καθόλου παραμέτρους, μόνο με τις ανεξάρτητες μεταβλητές x και y. Και αυτός ο τύπος δίνει την ίδια αξία αληθείας ανεξαρτήτως από το αν υπολογίστηκε στο L, στο V, ή στο W (κάποια άλλα πρότυπα μοντέλα του ZF με τις ίδιες τάξεις) και θα υποθέσουμε ότι ο τύπος είναι λάθος αν το x ή το y δεν είναι στο L.
Είναι ευρέως γνωστό ότι το αξίωμα της επιλογής είναι ισοδύναμο με την ικανότητα της καλής διάταξης κάθε συνόλου. Έχονττας την ικανότητα να διατάξουμε καλώς την κατάλληλη κλάση V (όπως κάναμε εδώ με το L) είναι ισοδύναμο με το αξίωμα της καθολικής επιλογής το οποίο είναι πιο ισχυρό από το σύνηθες αξίωμα της επιλογής διότι καλύπτει επίσης κατάλληλες κλάσεις μη κενών συνόλων.

Το L έχει αρχή της ανάκλασης

Αποδεικνύοντας οτι το αξίωμα του διαχωρισμού, το αξίωμα της αντικατάστασης, και το αξίωμα της επιλογής ισχύουν στο L απαιτεί (τουλάχιστον όπως έχει δειχθεί παραπάνω) την χρήση της αρχής της ανάκλασης στο L. Εδώ περιγράφουμε μια τέτοια αρχή.
Με μαθηματική επαγωγή για n<ω, μπορούμε να χρησιμοποιησουμε ZF στο V για να αποδείξουμε οτι για κάθε διατακτικό αριθμό α, υπάρχει ένας διατακτικός αριθμός β>α ο οποίος για κάθε πρόταση P(z₁,...,zₖ) με z₁,...,zₖ στο Lβ και περιλαμβάνοντας λιγότερα από n σύμβολα (έχοντας μετρήσει το σταθερό σύμβολο για ένα στοιχείο του Lβ ως ένα σύμβολο) καταλήγουμε στο οτι το P(z₁,...,zₖ) ισχύει στο Lβ αν και μόνο αν ισχύει στο L.

Η γενικευμένη υπόθεση του συνεχούς ισχύει στο L

Ας ισχύει , και T είναι κάποιο οικοδομήσιμο υποσύνολο του S. Τότε υπάρχει κάποιο β με , άρα , για κάποιον τύπο Φ και κάποια  που ανήκουν στο . Σύμφωνα με το καθοδικό θεώρημα Löwenheim–Skolem, πρέπει να υπάρχει κάποιο μεταβατικό σύνολο K που να περιέχει το  και κάποια , και έχει την ίδια θεωρία πρώτης τάξης με το  με τα  να υποκαθιστούν τα ; και αυτό το K θα έχει ττον ίδιο διατακτικό αριθμό με το . Απο΄την στιγμή που το  ισχύει στο , ισχύει και στο K, επομένως ισχύει  για κάποιο γ που έχει ίδιο διατακτικό αριθμό με το α. Και  διότι το  και το  έχουν την ίδια θεωρία. Επομένως το T πραγματικά βρίσκεται στο .
Επομένως όλα τα οικοδομήσιμα υποσύνολα ενός άπειρου συνόλου S έχουν τάξεις με (στις περισσότερες) τον ίδιο διατακτικό αριθμό κ ως τάξη του S;έπεται οτι αν το α είναι ο αρχικός διατακτικός αριθμός του κ⁺,τότε το  παίζει τον ρόλο του "δυναμοσυνόλου" του S στο L. Και αυτό με την σειρά του σημαίνει οτι το "δυναμοσύνολο" του S έχει ως μεγαλύτερο δυνατό διατακτικό αριθμό το ||α||. Υποθέτοντας οτι το S αυτό καθαυτό έχει διατακτικό αριθμό κ, το "δυναμοσύνολο" πρέπει τότε να έχει διατακτικό αριθμό ακριβώς κ⁺. Αλλά αυτό ακριβώς είναι η γενικευμένη υπόθεση του συνεχούς σχετικοποιημένη στο L.

Τα οικοδομήσιμα σύνολα ορίζονται από διατακτικούς αριθμούς

Υπάρχει ένας τύπος της θεωρίας συνόλων που εκφράζει την ιδέα ότι X=Lα. Έχει μόνο ελεύθερες μεταβλητές για το X και το α. Χρησιμοποιώντας αυτό, μπορούμε να επεκτείνουμε τον ορισμό κάθε οικοδομήσιμου συνόλου. Αν το s∈Lα+1, τότε s = {y|y∈Lα κα Φ(y,z₁,...,zₙ) στο (Lα,∈)} για κάποιο τύπο Φ και κάποια z₁,...,zₙ στο Lα. Αυτό είναι ισοδύναμο με το εξής:για όλα τα y, y∈s αν και μόνο αν [υπάρχει X τέτοιο ώστε X=Lα και y∈X και Ψ(X,y,z₁,...,zₙ)] όπου Ψ(X,...) είναι το αποτέλεσμα του περιορισμού κάθε ποσοδείκτη στο Φ(...) προς το X. Παρατηρείται ότι υπάρχει κάθε zₖ∈Lβ+1 για κάθε β<α. Συνδυάζουμε τους τύπους για το z's με τον τύπο για το s και εφαρμόζουμε τους υπάρχοντες ποσοδείκτες πάνω στο z's και έτσι, παίρνουμε τον τύπο που ορίζει το οικοδομήσιμο σύνολο s χρησιμοποιώντας μόνο τους διατακτικούς αριθμούς α που εμφανίζονται σε εκφράσεις όπως X=Lα ως παραμέτρους.
Παράδειγμα: Το σύνολο {5,ω} είναι οικοδομήσιμο. Είναι το μοναδικό σύνολο, s, που ικανοποιεί τον τύπο:
,

όπου   είναι η σύντμηση για:

Στην πραγματικότητα, ακόμα κι αυτός ο περίπλοκος τύπος έχει απλοποιηθεί από ό,τι οι οδηγίες που δόθηκαν στην πρώτη παράγραφο έχουν αποφέρει. Αλλά το θέμα παραμένει, αφού υπάρχει ένας τύπος της θεωρίας συνόλων που είναι αληθής μόνο για το επιθυμητό οικοδομήσιμο σύνολο s και το οποίο περιέχει παραμέτρους μόνο για διατακτικούς αριθμούς.