Συμμετρία (γεωμετρία)

Ένα γεωμετρικό αντικείμενο έχει συμμετρία , αν υπάρχει ένας μετασχηματισμός (τεχνικά, μια ισομετρία ή συσχετισμένη απεικόνιση ) που αντιστοιχεί το σχήμα/αντικείμενο στον εαυτό του, δηλαδή, λέμε ότι το αντικείμενο μένει αναλλοίωτο κατά  το μετασχηματισμό. Για παράδειγμα, ένας κύκλος που έχει περιστραφεί γύρω από το κέντρο του θα έχει το ίδιο σχήμα και μέγεθος με τον αρχικό κύκλο—όλα τα σημεία πριν και μετά το μετασχηματισμό θα είναι μη διακριτά. Ένας κύκλος είναι συμμετρικός κατά την περιστροφή ή περιστροφικά συμμετρικός. Αν η ισομετρία είναι η ανάκλαση ενός γεωμετρικού σχήματος, το σχήμα λέμε ότι έχει ανακλαστική συμμετρία ή γραμμική συμμετρία.Επιπλέον, είναι δυνατόν το σχήμα/αντικείμενο να έχει πάνω από μία γραμμές συμμετρίας .
Οι τύποι των συμμετριών που είναι εφικτοί για ένα γεωμετρικό αντικείμενο εξαρτώνται από το σύνολο των γεωμετρικών μετασχηματισμών που είναι δυνατοί, και για το ποιές είναι οι ιδιότητες του αντικειμένου που θα πρέπει να παραμείνουν αμετάβλητες μετά από ένα μετασχηματισμό. Επειδή η σύνθεση δύο μετασχηματισμών είναι και αυτή ένας μετασχηματισμός και κάθε μετασχηματισμός έχει έναν αντίστροφο μετασχηματισμό που τον αναιρεί, το σύνολο των μετασχηματισμών υπό τις οποίες ένα αντικείμενο είναι συμμετρικό συνθέτουν μια μαθηματική ομάδα.

Ανακλαστική συμμετρία

Ανακλαστική συμμετρία, κατοπτρική συμμετρία,συμμετρία ειδώλου, ή αμφίπλευρη συμμετρία είναι η συμμετρία που σχετίζεται με ανάκλαση.
Όταν έχουμε μία διάσταση, υπάρχει ένα σημείο συμμετρίας για το οποίο η ανάκλαση είναι εφικτή. Σε δύο διαστάσεις, υπάρχει ένας άξονας συμμετρίας, και σε τρεις διαστάσεις υπάρχει επίπεδο συμμετρίας . Ένα αντικείμενο ή σχήμα το οποίο είναι μη διακριτό από την μετασχηματισμένη εικόνα ονομάζεται κατοπτρικά συμμετρικό (βλ. κατοπτρικό είδωλο).
Ο άξονας συμμετρίας μιας εικόνας δυο διαστάσεων είναι μια γραμμή τέτοια ώστε αν κατασκευαστεί μία κάθετη, για οποιαδήποτε δύο σημεία τα οποία βρίσκονται πάνω στην κάθετη σε ίσες αποστάσεις από τον άξονα συμμετρίας του είναι ίδια. Ένας άλλος τρόπος για να το σκεφτεί κανείς είναι ότι αν η μορφή ήταν να διπλωθεί στη μέση κατά τον άξονα, τα δύο μισά θα ήταν ταυτόσημα: το ένα μισό είναι καθρέφτης του άλλου. Έτσι, ένα τετράγωνο έχει τέσσερις άξονες συμμετρίας, επειδή υπάρχουν τέσσερις διαφορετικοί τρόποι για να διπλωθεί και  όλα τα άκρα να ταιριάζουν. Ένας κύκλος έχει απείρως πολλούς άξονες συμμετρίας που διέρχονται από το κέντρο του, για τον ίδιο λόγο.
Αν το γράμμα T ανακλάται κατά μήκος ενός κάθετου άξονα, εμφανίζεται το ίδιο. Αυτό μερικές φορές ονομάζεται κατακόρυφη συμμετρία. Μπορεί κανείς να χρησιμοποιήσει καλύτερα μια ξεκάθαρη διατύπωση, π. χ., "το T έχει ένα κατακόρυφο άξονα συμμετρίας" ή "το T έχει αμφίπλευρη συμμετρία".
Τα τρίγωνα με ανακλαστική συμμετρία είναι ισοσκελή, τα τετράπλευρα με την ίδια συμμετρία  είναι οι χαρταετοί  και τα ισοσκελή τραπέζια.
Για κάθε γραμμή ή επίπεδο αντανάκλασης, η συμμετρική ομάδα είναι ισομορφική κατά Cₛ (βλέπε ομάδες σημείων στις τρεις διαστάσεις), ένας από τους τρεις τύπους της τάξης δυο (ενελίξεις), με αποτέλεσμα να είναι αλγεβρικά ισομορφική στο C₂.Το θεμελιώδες πεδίο ορισμού  είναι ένα  ημιεπίπεδο ή ένας ημιχώρος .

Περιστροφική συμμετρία

Περιστροφική συμμετρία είναι η συμμετρία εν σχέση με ορισμένες ή όλες τις περιστροφές στον m-διάστατο Ευκλείδειο χώρο. Οι περιστροφές είναι άμεσες ισομετρίες, δηλαδή, ισομετρίες που διατηρούν τον προσανατολισμό. Ως εκ τούτου, μια συμμετρική ομάδα της περιστροφικής συμμετρίας είναι μια υποομάδα της ειδικής Ευκλείδειας ομάδας  Ε⁺(m).
Η συμμετρία σε σχέση με όλες τις περιστροφές γύρω από όλα τα σημεία υπονοεί μεταφορική συμμετρία εν σχέση με όλες τις μεταφορές (επειδή οι μεταφορές είναι συνθέσεις περιστροφών γύρω από διακριτά σημεία), και η συμμετρική ομάδα είναι όλο το σύνολο E⁺(m). Αυτό δεν ισχύει για τα αντικείμενα, διότι καθιστά το χώρο ομοιογενή, αλλά μπορεί να ισχύει για  φυσικούς νόμους.
Για συμμετρία ως προς τις περιστροφές γύρω από ένα σημείο  μπορούμε να πάρουμε αυτό το σημείο ως σημείο αρχής. Αυτές οι περιστροφές αποτελούν την  ειδική ορθογώνια ομάδα SO(m), η οποία μπορεί να αναπαρασταθεί από την ομάδα των m × m ορθογώνιων πινάκων με ορίζουσα 1. Για m = 3 έχουμε την περιστροφική ομάδα SO(3) (τρισδιάστατη περιστροφική ομάδα) .
Σε μια άλλη έννοια της λέξης, η περιστροφική ομάδα του αντικειμένου είναι η συμμετρική ομάδα εντός του E⁺(m), η ομάδα των άκαμπτων κινήσεων με άλλα λόγια είναι η τομή της πλήρους συμμετρικής ομάδας και της ομάδας των άκαμπτων κινήσεων. Για χειρόμορφα αντικείμενα είναι το ίδιο με την πλήρη συμμετρική ομάδα.
Οι νόμοι της φυσικής είναι SO(3)-αμετάβλητες, αν δεν προσδιορίζουν διαφορετικές κατευθύνσεις στο χώρο. Από  το θεώρημα της Noether, η περιστροφική συμμετρία ενός φυσικού συστήματος είναι ισοδύναμη με την αρχή διατήρησης της στροφορμής . Βλέπε, επίσης, περιστροφική σταθερότητα.

Μεταφορική συμμετρία

Η μεταφορική συμμετρία αφήνει ένα αντικείμενο αναλλοίωτο κατά την διακριτή ή συνεχή ομάδα μεταφορών . Η εικόνα στα δεξιά δείχνει τέσσερα ίσα τρίγωνα που δημιουργούνται από τις μεταφορές κατά μήκος του βέλους. Αν η γραμμή των τριγώνων επεκταθεί στο άπειρο και προς τις δύο κατευθύνσεις, θα έχουν μία διακριτή μεταφορική συμμετρία: κάθε μεταφορά που αντιστοιχίζει ένα τρίγωνο σε ένα άλλο θα αφήσει όλη τη  γραμμή αμετάβλητη.

Ολισθαίνουσα ανακλαστική συμμετρία

Σε 2D (δυο διαστάσεις), ολισθαίνουσα ανακλαστική συμμετρία (σε 3D ονομάζεται συμμετρικό επίπεδο ολίσθησης, και transflection σε γενικές γραμμές) σημαίνει ότι μια ανάκλαση σε  γραμμή ή επίπεδο συνδιασμένη με μία μεταφορά κατά μήκος της γραμμής / του επιπέδου, καταλήγει στο ίδιο αντικείμενο. Η σύνθεση των δύο ολισθαινουσών ανακλάσεων έχει σαν αποτέλεσμα μια μεταφορική συμμετρία με διπλάσιο μεταφορικό διάνυσμα. Η συμμετρική ομάδα που περιλαμβάνει τις ολισθαίνουσες ανακλάσεις και τις σχετικές μεταφορές, είναι η διαζωματική ομάδα p11g και είναι ισομορφική στην άπειρη κυκλική ομάδα Z.

Διπλή περιστροφική συμμετρία

Σε 4D, μια διπλή περιστροφική συμμετρία μπορεί να παραχθεί ως σύνθετο από δύο ορθογώνιες περιστροφές. Είναι παρόμοιο με τον 3D κοχλιωτό άξονα, που είναι το σύνθετο της περιστροφής και μιας ορθογώνιας μεταφοράς.

Κλιμακωτή συμμετρία και μορφοκλασματικά σύνολα

Κλιμακωτή συμμετρία σημαίνει ότι εάν ένα αντικείμενο επεκταθεί ή μειωθεί σε μέγεθος, το νέο αντικείμενο έχει τις ίδιες ιδιότητες με το πρωτότυπο. Αυτό δεν ισχύει για τα περισσότερα φυσικά συστήματα, όπως μαρτυρά η διαφορά στη μορφή των ποδιών ενός ελέφαντα και ενός ποντικού (η λεγόμενη αλλομετρική κλιμάκωση). Ομοίως, αν ένα μαλακό κερί ήταν διευρυμένο με το μέγεθος ενός ψηλού δέντρου, θα κατέρρεε αμέσως κάτω από το βάρος του.
Μια πιο λεπτή μορφή της κλιμακωτής συμμετρίας αποδεικνύεται από μορφοκλάσματα (ή αλλιώς μορφοκλαστικά σύνολα). Όπως σχεδιάστηκε από τον Benoît Mandelbrot, μορφοκλάσματα είναι μια μαθηματική έννοια στην οποία η δομή μιας σύνθετης μορφής μοιάζει όμοια σε οποιοδήποτε βαθμό μεγέθυνσης, καθώς παρατηρείται στο σύνολο Mandelbrot. Μια ακτή είναι ένα παράδειγμα ενός αυτοφυούς μορφοκλάσματος, δεδομένου ότι διατηρεί όμοια-εμφανιζόμενη πολυπλοκότητα σε κάθε επίπεδο από την οπτική γωνία ενός δορυφόρου σε μικροσκοπική εξέταση του πώς το νερό απορροφάται ενάντια μεμονωμένων κόκκων άμμου. Η διακλάδωση των δέντρων, το οποίο δίνει τη δυνατότητα στα παιδιά να χρησιμοποιούν μικρά κλαδιά για στήριγμα για πλήρη δέντρα σε διοράματα, είναι ένα άλλο παράδειγμα.
Επειδή τα μορφοκλάσματα μπορούν να δημιουργήσουν την εμφάνιση των μοτίβων στη φύση, έχουν μια ομορφιά και οικειότητα που δεν βλέπουμε συνήθως με μαθηματικά δημιουργημένες συναρτήσεις. Τα μορφοκλάσματα έχουν επίσης βρει μια θέση στα κινηματογραφικά εφέ που εφέ μέσω του υπολογιστή, όπου η ικανότητά τους να δημιουργούν σύνθετες καμπύλες με φράκταλ συμμετρίες δίνει αποτέλεσμα σε πιο ρεαλιστικούς εικονικούς κόσμους.

Η άποψη του Klein

Με κάθε γεωμετρία, ο Felix Klein σχέτισε μια υποκείμενη ομάδα συμμετριών. Η ιεραρχία των γεωμετριών αναπαρίσταται έτσι μαθηματικά ως μια ιεραρχία αυτών των ομάδων, και η ιεραρχία των αναλλοίωτων τους. Για παράδειγμα, τα μήκη, οι γωνίες και οι περιοχές που τηρούνται σε σχέση με την ομάδα του Ευκλείδη από συμμετρίες, ενώ μόνο η περιστατική δομή και μη αρμονική αναλογία διατηρούνται κάτω από τους πιο γενικούς προβολικούς μετασχηματισμούς. Η έννοια της παραλληλίας, η οποία τηρείται στηναφινική γεωμετρία, δεν έχει νόημα στην προβολική γεωμετρία. Στη συνέχεια, αφαιρώντας τις υποκείμενες ομάδες συμμετριών από τις γεωμετρίες, οι σχέσεις μεταξύ τους μπορεί να αποκατασταθεί σε επίπεδο ομάδας. Δεδομένου ότι η ομάδα της αφινικής γεωμετρίας είναι μιαυποομάδα της ομάδας της προβολικής γεωμετρίας, κάθε αμετάβλητη έννοια στην προβολική γεωμετρία είναι είναι εκ των προτέρων βαρυσήμαντη στην αφινική γεωμετρία: αλλά όχι το αντίστροφο. Αν προσθέσετε απαιτούμενες συμμετρίες, έχετε μια πιο ισχυρή θεωρία, αλλά λιγότερες έννοιες και θεωρήματα (τα οποία θα είναι βαθύτερα και πιο γενικά).

Η άποψη του Thurston

Ο William Thurston εισήγαγε μια παρόμοια εκδοχή των συμμετριών στη γεωμετρία. Η γεωμετρία μοντέλων είναι μιααπλά συνδεδεμένη ομαλή πολλαπλότητα X μαζί με μια μεταβατική δράση μιας ομάδας Lie G στο Χ με συμπαγή σταθεροποιητές. Η ομάδα Lie μπορεί να θεωρηθεί ως η ομάδα των συμμετριών της γεωμετρίας.
Η γεωμετρία των μοντέλων ονομάζεται μέγιστη αν G είναι μέγιστη μεταξύ των ομάδων που ενεργούν ομαλά και μεταβατικά στο Χ με συμπαγείς σταθεροποιητές, δηλαδή αν είναι η μέγιστη ομάδα των συμμετριών. Μερικές φορές ο όρος αυτός περιλαμβάνεται στον ορισμό της γεωμετρίας των μοντέλων.
Μια γεωμετρική δομή σε μια πολλαπλότητα Μ είναι ένα; διαφορομορφισμός από Μ έως Χ/Γ για κάποιο γεωμετρικό μοντέλο X, όπου Γ είναι μία διακριτή υποομάδα της G η οποία δρα ελεύθερα στο X. Αν μια δεδομένη πολλαπλότητα επιτρέπει μια γεωμετρική δομή, στη συνέχεια επιτρέπει εκείνη του οποίου το μοντέλο είναι μέγιστο.
Ένα3-διαστάσεων μοντέλο γεωμετρίας Χ είναι σχετικό με την εικασία geometrization αν είναι μέγιστη και αν υπάρχει τουλάχιστον μια συμπαγής πολυπλοκότητα με μια γεωμετρική δομή σύμφωνα με το πρότυπο X. Ο Thurston ταξινόμησε τις 8 γεωμετρίες μοντέλων πληρόντας τους όρους αυτούς: που απαριθμούνται παρακάτω και οι οποίες μερικές φορές ονομάζονται γεωμετρίες Thurston. (Υπάρχουν επίσης αμέτρητα πολλές γεωμετρίες μοντέλων χωρίς συμπαγή πηλίκα).