Σύστημα γραμμικών εξισώσεων

Σύστημα γραμμικών εξισώσεων ή αλλιώς γραμμικό σύστημα είναι ένα σύνολο από γραμμικές εξισώσεις με τους ίδιους αγνώστους, τους οποίους προσπαθούμε να προσδιορίσουμε έτσι ώστε να επαληθεύουν όλες τις εξισώσεις. Για παράδειγμα, το
είναι ένα σύστημα 2 γραμμικών εξισώσεων με δύο αγνώστους. Λύση του συστήματος ονομάζουμε τις τιμές που πρέπει να πάρουν οι μεταβλητές έτσι ώστε να επαληθεύουν ταυτόχρονα τις δύο εξισώσεις. Για παράδειγμα στο παραπάνω σύστημα η λύση είναι . Η μελέτη και επίλυση των γραμμικών συστημάτων είναι ένα βασικό κομμάτι της Γραμμικής Άλγεβρας.

Γενική μορφή

Ένα γραμμικό σύστημα με  γραμμικές εξισώσεις και  αγνώστους έχει τη μορφή
όπου οι  είναι οι άγνωστοι, οι  είναι οι συντελεστές του συστήματος και  είναι οι σταθεροί όροι του συστήματος. Οι συντελεστές και οι σταθεροί όροι θεωρείται ότι ανήκουν σε ένα σώμα , το οποίο συνήθως είναι το  (το σύνολο των πραγματικών αριθμών) ή το  (το σύνολο των μιγαδικών αριθμών). Μπορούμε να δούμε ένα τέτοιο σύστημα ως έναν γραμμικό συνδυασμό διανυσμάτων όπου οι άγνωστοι είναι οι συντελεστές:
.
Έτσι μπορούμε να εφαρμόσουμε εργαλεία διανυσματικών χώρων. Για παράδειγμα, τα διανύσματα που βρίσκονται στο αριστερό μέρος της εξίσωσης ορίζουν ένα διανυσματικό χώρο. Το σύστημα θα έχει λύση αν το διανύσμα που βρίσκεται στο δεξί μέλος της εξίσωσης ανήκει και αυτό στον ίδιο διανυσματικό χώρο. Χρησιμοποιώντας συμβολισμό πινάκων, το σύστημα μπορεί να γραφεί πιο κομψά ως εξής:
όπου ο  είναι ένας πίνακας , ενώ τα  είναι διανύσματα με  συντεταγμένες:
.

Γραφική μέθοδος

Οι δύο εξισώσεις του συστήματος ως γνωστόν παριστάνουν ευθείες. Ζωγραφίζουμε τις ευθείες αυτές στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων. Υπάρχουν τρεις δυνατές περιπτώσεις:
(α) Αν οι ευθείες τέμνονται σε ένα σημείο, τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση, τη δυάδα που δίνεται από τις συντεταγμένες του σημείου τομής. Οι ευθείες τέμνονται όταν
(β) Αν οι ευθείες είναι παράλληλες, τότε το σύστημα είναι αδύνατο. Οι ευθείες είναι παράλληλες όταν έχουν την ίδια κλίση, δηλαδή όταν:
(γ) Αν οι ευθείες ταυτίζονται, τότε το σύστημα είναι αόριστο, δηλαδή έχει άπειρες λύσεις. Οι ευθείες ταυτίζονται όταν μπορούμε να κάνουμε πράξεις και να καταλήξουμε σε ισοδύναμο σύστημα που θα έχει

Μέθοδος αντικατάστασης

Επιλέγουμε την πιο "απλή" οπτικά εξίσωση (δηλαδή με τους μικρότερους συντελεστές αγνώστων) και απομονώνουμε τον έναν από τους δύο αγνώστους στο ένα μέλος:
Αυτό που βρίσκουμε το βάζουμε στην άλλη εξίσωση αντί του αγνώστου και προκύπτει μία πρωτοβάθμια εξίσωση, με έναν άγνωστο μόνο, τον y, ο οποίος υπολογίζεται με απλές αλγεβρικές πράξεις, και βρίσκεται να ισούται με
Τα a, b, c, a', b, c, είναι όλα γνωστοί σταθεροί αριθμοί, δηλαδή το y θα είναι και αυτό πλέον αριθμός. Βάζοντας την τιμή του y στην πρώτη εξίσωση, υπολογίζουμε τέλος και το x:
Για να έχουν νόημα οι παραπάνω υπολογισμοί, πρέπει οι παρονομαστές που προέκυψαν στο τέλος να μην είναι μηδέν. Διακρίνουμε λοιπόν τις παρακάτω τρεις περιπτώσεις:
(α) Αν , τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση:
(β) Αν  και είτε  είτε , τότε το σύστημα είναι αδύνατο. Επίσης, όταν όλοι οι συντελεστές είναι μηδέν και τουλάχιστον ένας από τους σταθερούς όρους δεν είναι μηδέν, το σύστημα είναι πάλι αδύνατο.
(γ) An ,  και , τότε το σύστημα είναι αόριστο.

Γραφική μέθοδος

Για κάθε ανίσωση του συστήματος βρίσκουμε την αντίστοιχη εξίσωση
Όπως και πριν, οι εξισώσεις αυτές παριστάνουν δύο ευθείες. Σχεδιάζουμε τις ευθείες στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων. Διαλέγουμε ένα σημείο  έξω από τις ευθείες (προτιμάμε ένα σημείο με "εύκολες" συντεταγμένες, συνήθως το (0,0)) και ελέγχουμε αν επαληθεύει τις ανισώσεις. Για κάθε ανίσωση που επαληθεύει, "σβήνουμε" (γραμμοσκιάζουμε) το ημιεπίπεδο που δεν περιέχει το Μ. Αλλιώς "σβήνουμε" το ημιεπίπεδο που περιέχει το Μ. Η περιοχή του επιπέδου που παραμένει "καθαρή" είναι και το σύνολο των λύσεων του συστήματος.

Γραμμικά συστήματα περισσότερων μεταβλητών

Στην γενική περίπτωση, όπου έχουμε περισσότερες άγνωστες μεταβλητές, εφαρμόζουμε συνήθως μεθόδους γραμμικής άλγεβρας (π.χ. τον αλγόριθμο απαλοιφής του Gauss - που αποτελεί γενίκευση της μεθόδου των αντιθέτων συντελεστών), και συγκεκριμένα θεωρίας πινάκων ή γραμμικού προγραμματισμού (μέθοδος σίμπλεξ).