Χρυσή τομή

Κατασκευή με κανόνα και διαβήτη

1. Κατασκευάζουμε τετράγωνο πλευράς 1 (κόκκινο).
2. Φέρουμε ευθεία παράλληλη προς τη μια βάση και χωρίζουμε το τετράγωνο σε δύο ίσα ορθογώνια (πλευρών 1 και 1/2) και φέρνουμε μία διαγώνιο (γκρι).
3. Κατασκευάζουμε κύκλο με κέντρο το μέσο της μίας πλευράς του τετραγώνου και ακτίνα τη διαγώνιο του ορθογωνίου.
4. Προεκτείνουμε την πλευρά του τετραγώνου στην οποία έχουμε ορίσει το κέντρο του  κύκλου έως το σημείο του κύκλου που τελειώνει η διάμετρος
Το ευθύγραμμο τμήμα που αποτελείται από την πλευρά του τετραγώνου μαζί με την προέκταση έχει μήκος φ.

Ιστορία

Η χρυσή τομή συνεπαίρνει Δυτικούς διανοούμενους ποικίλων ενδιαφερόντων για τουλάχιστον 2.400 χρόνια.
Οι Αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί πρώτοι μελέτησαν αυτό που τώρα ονομάζουμε χρυσή τομή γιατί εμφανιζόταν συχνά στη γεωμετρία. Η διαίρεση ενός τμήματος σε άκρο και μέσο λόγο (εξ ου και η χρυσή τομή) είναι σημαντική στη γεωμετρία των πενταγράμμων και πενταγώνων. Η αντίληψη αυτή αποδίδεται συνήθως στον Πυθαγόρα και τους ακολούθους του και λέγεται ότι η σχετική θεωρία διατυπώθηκε για πρώτη φορά από την πυθαγόρεια φιλόσοφο Θεανώ.
Ο χρυσός λόγος ήταν γνωστός στους Πυθαγόρειους. Στο μυστικό τους σύμβολο, την πεντάλφα, ο χρυσός λόγος εμφανίζεται στις πλευρές τους αστεριού καθώς και στο πηλίκο του εμβαδού του κανονικού πενταγώνου με κορυφές τις άκρες της πεντάλφα προς το εμβαδόν του κανονικού πενταγώνου που σχηματίζεται εντός του αστεριού.
Τα Στοιχεία του Ευκλείδη παρέχουν τον πρώτο γραπτό ορισμό αυτού που σήμερα ονομάζουμε χρυσή τομή: "Μια ευθεία γραμμή λέγεται ότι έχει κοπεί σε άκρο και μέσο λόγο, όταν όλη η ευθεία είναι για το μεγαλύτερο κομμάτι ότι είναι το μεγαλύτερο κομμάτι για το μικρότερο". Ο Ευκλείδης παραθέτει μια για το χώρισμα της γραμμής σε άκρο και μέσο λόγο. Σε όλα τα Στοιχεία αρκετές προτάσεις και οι αποδείξεις τους εμπεριέχουν τον χρυσό λόγο.
Η πρώτη γνωστή προσέγγιση του (αντίστροφου) χρυσού λόγου από δεκαδικό κλάσμα, ως περίπου 0,6180340, γράφτηκε το 1597 από τον Michael Maestlin του Πανεπιστήμιο του Τύμπιγκεν σε ένα γράμμα του προς τον πρώην φοιτητή του Γιοχάνες Κέπλερ.
Από τον 20ό αιώνα, η χρυσή τομή παριστάνεται με τον ελληνικό γράμμα Φ ή φ (φ, από το αρχικό γράμμα του γλύπτη Φειδία ο οποίος λέγεται ότι ήταν από τους πρώτους που τον χρησιμοποίησε στα έργα του) και πιο σπάνια από το τ το αρχικό γράμμα της λέξης τομή.

Αισθητική

Το De Divina proportione, ένα τρίτομο έργο του Luca Pacioli, δημοσιεύθηκε το 1509. Ο Pacioli, ένας Φραγκισκανός μοναχός, ήταν κυρίως γνωστός  ως μαθηματικός, αλλά είχε επίσης εκπαιδευτεί και έδειχνε έντονο ενδιαφέρον για την τέχνη. Στο De Divina proportione διερευνήθηκαν τα μαθηματικά της χρυσής αναλογίας. Παρ'ότι  λέγεται συχνά ότι ο Pacioli υποστήριζε την εφαρμογή της χρυσή αναλογίας για να δώσει ευχάριστες, αρμονικές αναλογίες,ο Livio επισημαίνει ότι η ερμηνεία έχει προήλθε από ένα λάθος το 1799, και ότι ο Pacioli υποστήριζε πραγματικά το Βιτρούβιο σύστημα των ρητών αναλογιών. Ο Pacioli επίσης παρατήρησε θρησκευτική σημασία στην αναλογία, η οποία οδήγησε στον τίτλο του έργου του. Το De Divina proportione περιλαμβάνει απεικονίσεις των κανονικών στερεών από τον  Leonardo da Vinci, παλιό φίλο και συνεργάτη του Pacioli.

Αρχιτεκτονική

Η πρόσοψη του Παρθενώνα, καθώς και τα στοιχεία της πρόσοψης αυτού λέγεται από κάποιους ότι οριοθετήθηκαν από  ορθογώνια με χρυσές αναλογίες. Άλλοι μελετητές αρνούνται ότι οι Έλληνες είχαν κάποια αισθητική συσχέτιση με τη χρυσή αναλογία. Για παράδειγμα,ο Midhat J. Gazale λέει, "...Ωστόσο, έπρεπε να φτάσουμε στον Ευκλείδη προκειμένου να μελετηθούν οι μαθηματικές ιδιότητες της χρυσής τομής. Στα Στοιχεία (308 π.Χ.), ο Έλληνας μαθηματικός απλώς θεωρούσε τον αριθμό αυτό ως έναν ενδιαφέροντα άρρητο αριθμό, σε σχέση με τις μεσαίες και ακραίες αναλογίες. Η εμφάνιση του σε κανονικά πεντάγωνα και δεκάγωνα ήταν δεόντως σεβαστή, καθώς επίσης και στο δωδεκάεδρο (ένα κανονικό πολύεδρο που έχει ως έδρες δώδεκα κανονικά πεντάγωνα ). Είναι πράγματι υποδειγματικό ότι ο μεγάλος Ευκλείδης, σε αντίθεση με τις γενιές των μυστικιστών που ακολούθησαν, αντιμετώπισε με νηφαλιότητα τον αριθμό αυτό για αυτό που είναι, χωρίς να προσκολλήσει σε  αυτόν άλλες από τις πραγματικές του ιδιότητές."  Και ο Κιθ Ντέβλιν, λέει," Σίγουρα, ο συχνά επαναλαμβανόμενος ισχυρισμός ότι ο Παρθενώνας στην Αθήνα βασίζεται στη χρυσή αναλογία  δεν υποστηρίζεται από τις πραγματικές μετρήσεις. Στην πραγματικότητα, ολόκληρη η ιστορία για τους Έλληνες και την χρυσή αναλογία φαίνεται να είναι αβάσιμη.Το μόνο πράγμα που γνωρίζουμε με βεβαιότητα είναι ότι ο Ευκλείδης, στο περίφημο βιβλίο του Στοιχεία , που γράφτηκε γύρω στο 300 π.Χ., έδειξε πώς  υπολογίζεται η τιμή της χρυσής αναλογίας ". Εγγύς πηγές της εποχής, όπως ο Βιτρούβιος συζητούν αποκλειστικά αναλογίες που μπορούν να εκφραστούν σε ακέραιους αριθμούς. Ο Π. Φουτάκης μελέτησε τις διαστάσεις 15 αρχαίων ναών, 18 μνημειακών τάφων, 8 σαρκοφάγων και 58 επιτύμβιων στηλών γιά το διάστημα από τον 5ο αιώνα π.Χ. μέχρι τον 2ο αιώνα μ.Χ. Οι αρχαίοι ναοί αποτελούσαν το κατεξοχήν μέρος επικοινωνίας μεταξύ ανθρώπων και θεών, ενώ οι τάφοι, σαρκοφάγοι και επιτύμβιες στήλες συνδέονταν με το πέρασμα των θνητών από την υλική στην αιώνια ζωή. Εάν η χρυσή τομή είχε οποιεσδήποτε θεικές, μυστικιστικές ή αισθητικές ιδιότητες, τότε οι περισσότερες από αυτές τις κατασκευές θα χαρακτηρίζονταν από τον κανόνα της χρυσής αναλογίας. Το αποτέλεσμα αυτής της πρωτότυπης έρευνας είναι ξεκάθαρο: η χρυσή τομή ήταν εντελώς απούσα από την ελληνική αρχιτεκτονική του κλασικού 5ου αιώνα π.Χ., και σχεδόν απούσα για τους επόμενους έξι αιώνες. Τέσσερα σπάνια, και για αυτό πολύτιμα, παραδείγματα εφαρμογής αναλογιών χρυσής τομής εντοπίσθηκαν σε ένα αρχαίο πύργο της Μεθώνης Μεσσηνίας, στο Μεγάλο Βωμό της Περγάμου (στο ομώνυμο μουσείο του Βερολίνου), σε μια επιτύμβια στήλη από την Έδεσσα και σε ένα μνημειακό τάφο στην Πέλλα. Είναι η πρώτη φορά που παρουσιάζεται απόδειξη για εφαρμογή χρυσής τομής σε αρχαία ελληνική κατασκευή, ωστόσο, σύμφωνα με το συγγραφέα, εφαρμογή περιθωριακή η οποία υποδηλώνει ότι οι αρχαίοι Έλληνες δεν έδωσαν ιδιαίτερη σημασία στη χρυσή τομή στο χώρο της αρχιτεκτονικής.
Μία γεωμετρική ανάλυση προηγούμενης έρευνας το 2004 για το Μεγάλο Τζαμί της Καϊρουάν αποκαλύπτει μια συνεπή εφαρμογή της χρυσής αναλογίας σε όλο το σχεδιασμό, σύμφωνα με τον Boussora και τον Mazouz. Βρήκαν αναλογίες κοντά στη χρυσή  στο συνολικό ποσοστό του σχεδίου καθώς και στο χώρο προσευχής και στο χώρο του δικαστηρίου . Οι συντάκτες σημειώνουν, ωστόσο, ότι οι περιοχές που βρέθηκαν να έχουν αναλογίες κοντά στην χρυσή  δεν αποτελούν μέρος της αρχικής κατασκευής, και θεωρούν ότι αυτά τα στοιχεία προστέθηκαν σε μια ανακατασκευή.
Ο Ελβετός αρχιτέκτονας Λε Κορμπυζιέ, γνωστός για τη συμβολή του στο σύγχρονο διεθνές αρχιτεκτονικό στυλ, εστίασε τη φιλοσοφία του σχεδιασμού του σε συστήματα  αρμονίας και αναλογίας. Η πίστη του Λε Κορμπυζιέ στη μαθηματική τάξη του σύμπαντος ήταν στενά συνδεδεμένη με τη χρυσή αναλογία και τη σειρά Φιμπονάτσι, τις οποίες περιέγραψε ως "ρυθμούς εμφανείς δια γυμνού οφθαλμού και σαφείς στις σχέσεις τους το ένα με το άλλο. Και αυτοί οι ρυθμοί  βρίσκονται στη ρίζα των ανθρωπίνων δραστηριοτήτων. Αντηχούν στον άνθρωπο από οργανικό αναπόφευκτο, το ίδιο  αναπόφευκτο που προκαλεί την  παρατήρηση της Χρυσής Τομής από τα παιδιά, τους ηλικιωμένους, τους άγριους και τους μορφωμένους ".
Ο Λε Κορμπυζιέ χρησιμοποίησε ρητά τη χρυσή αναλογία στο  Modulor σύστημα του για την κλίμακα της αρχιτεκτονικής αναλογίας. Είδε το σύστημα αυτό, ως συνέχεια της μακράς παράδοσης του Βιτρούβιου,του "Άνθρωπος του Βιτρούβιου" του Leonardo da Vinci, του έργο του Leon Battista Alberti, και των άλλων που χρησιμοποίησαν τις αναλογίες του ανθρώπινου σώματος για να βελτιώσουν την εμφάνιση και τη λειτουργία της αρχιτεκτονικής. Εκτός από τη χρυσή αναλογία, ο Λε Κορμπυζιέ θεμελίωσε το σύστημα πάνω στις ανθρώπινες μετρήσεις και τους αριθμούς Φιμπονάτσι  . Επίσης, πρότεινε την εφαρμογή της χρυσής αναλογίας σε ανθρώπινες αναλογίες: χώρισε το ύψος ενός ανθρώπινου μοντέλου  στον ομφαλό με τα δύο τμήματα να βρίσκονται σε χρυσή αναλογία, κατόπιν  υποδιαίρεσε αυτά τα δύο τμήματα σε χρυσή αναλογία στα γόνατα και το λαιμό και  χρησιμοποίησε αυτές τις αναλογίες στο Modulor σύστημα του. Η Villa Stein στις Garches που σχεδίασε ο Λε Κορμπυζιέ το 1927 αποτέλεσε παράδειγμα της εφαρμογής του συστήματος του Modulor. Η ορθογώνια κάτοψη της βίλας, το υψόμετρο, και η εσωτερική δομή προσεγγίζονται από ορθογώνια με χρυσές αναλογίες.
Ένας άλλος Ελβετός αρχιτέκτονας, ο Μάριο Μπότα (Mario Botta), βασίζει πολλά από τα σχέδιά του σε γεωμετρικά σχήματα. Αρκετές ιδιωτικές κατοικίες που σχεδίασε στην Ελβετία αποτελούνται από τετράγωνα και κύκλους, κύβους και κυλίνδρους. Σε ένα σπίτι που σχεδίασε στο Origlio, η χρυσή αναλογία είναι η αναλογία μεταξύ του κεντρικού τμήματος και των πλευρικών τμημάτων του σπιτιού.
Σε ένα πρόσφατο βιβλίο, ο συγγραφέας Jason Elliot εικάζει ότι η χρυσή αναλογία χρησιμοποιήθηκε από τους σχεδιαστές του Naqsh-e Jahan Square και του παρακείμενου Lotfollah τζαμιού .

Ζωγραφική

Ο φιλόσοφος Χάινριχ Κορνέλιους Αγκρίπα του 16ου αιώνα  ζωγράφισε έναν άνθρωπο πάνω σ'ένα πεντάγραμμο μέσα σε ένα κύκλο, γεγονός που συνεπάγεται μια σχέση με τη χρυσή αναλογία.
Οι εικονογραφήσεις του  Λεονάρντο ντα Βίντσι στα πολύεδρα στην De divina proportione (Στην θεϊκή αναλογία) και οι απόψεις του ότι ορισμένες σωματικές αναλογίες εμφανίζουν την χρυσή αναλογία έχουν οδηγήσει ορισμένους επιστήμονες να εικάζουν ότι ενσωμάτωσε τη χρυσή αναλογία στα έργα του. Ωστόσο, η άποψη ότι στην Μόνα Λίζα , για παράδειγμα, χρησιμοποιεί χρυσή αναλογία, δεν υποστηρίζεται σε κανένα από τα κείμενα του. Ομοίως, αν και ο Άνθρωπος του Βιτρούβιου συχνά  φαίνεται να είναι συνδεδεμένος με τη χρυσή αναλογία, οι αναλογίες του σχήματος στην πραγματικότητα δεν ταιριάζουν με αυτήν την άποψη, και το κείμενο αναφέρει μόνο αναλογίες ακεραίων αριθμών.
Ο Σαλβαδόρ Νταλί, επηρεασμένος από τα έργα του Matila Ghyka, χρησιμοποίησε ρητά τη χρυσή αναλογία στο αριστούργημά του,The Sacrament of the Last Supper (Το Μυστήριο του Μυστικού Δείπνου). Οι διαστάσεις του καμβά είναι ένα χρυσό ορθογώνιο. Ένα τεράστιο δωδεκάεδρο, με την  προοπτική τα άκρα να εμφανίζονται σε χρυσή αναλογία μεταξύ τους, αναστέλλεται πάνω και πίσω από τον Ιησού.
Έχει ειπωθεί ότι ο Πητ Μοντριάν έχει  χρησιμοποιήσει την χρυσή τομή εκτενώς στα γεωμετρικά έργα του, αν και άλλοι εμπειρογνώμονες (συμπεριλαμβανομένων του κριτικού Yve-Alain Bois) έχουν αμφισβητήσει τον ισχυρισμό αυτό.
Σε μια στατιστική μελέτη σε 565 έργα τέχνης διαφόρων σπουδαίων ζωγράφων, η οποία διενεργήθηκε το 1999, διαπιστώθηκε ότι αυτοί οι καλλιτέχνες δεν είχαν χρησιμοποιήσει τη χρυσή αναλογία ως προς το μέγεθος των καμβάδων τους. Η μελέτη κατέληξε στο συμπέρασμα ότι η μέση αναλογία των δύο πλευρών των έργων ζωγραφικής  είναι 1,34, με το μέσο όρο για μεμονωμένους καλλιτέχνες  να κυμαίνεται από 1,04 (Γκόγια) σε 1,46 (Μπελλίνι).

Μουσική

Ο Ernő Lendvai αναλύει τα έργα του Μπέλα Μπάρτοκ σαν να είναι βασισμένα  σε δύο αντιτιθέμενα συστήματα,της χρυσής αναλογίας και της ακουστικής κλίμακας , αν και άλλοι επιστήμονες μουσικής απορρίπτουν την ανάλυση αυτή. Στο Music for Strings,Percussion and Celesta του Bartok, η εξέλιξη του ξυλόφωνου συμβαίνει στα διαστήματα  Ο  Γάλλος συνθέτης Ερίκ Σατιέ χρησιμοποίησε τη χρυσή αναλογία σε πολλά από τα κομμάτια του, συμπεριλαμβανομένου του Sonneries de la Rose + Croix. Η χρυσή αναλογία είναι επίσης εμφανής στην οργάνωση των τμημάτων στη μουσική του Κλωντ Ντεμπυσσύ Reflets dans l'eau (Αντανακλάσεις στο νερό), από τις Εικόνες (1η σειρά, 1905), στις οποίες «η ακολουθία των πλήκτρων χαρακτηρίζεται από τα διαστήματα 34, 21, 13 και 8, και η κύρια κορύφωση εμφανίζεται στην θέση του φ ".
Ο μουσικολόγος Roy Howat έχει παρατηρήσει ότι τα τυπικά όρια της La Mer αντιστοιχούν ακριβώς στη χρυσή τομή. Ο Trezise βρίσκει τα εγγενή στοιχεία «αξιοσημείωτα», αλλά προειδοποιεί ότι κανένα γραπτό ή αναφερόμενο στοιχείο δεν δείχνει ότι ο Debussy αναζητούσε συνειδητά τέτοιες αναλογίες.
Η εταιρία Pearl Drums τοποθετεί τους αεραγωγούς των Masters Premium μοντέλων της με βάση τη χρυσή αναλογία. Η εταιρεία ισχυρίζεται ότι η ρύθμιση αυτή βελτιώνει την απόκριση των μπάσων και έχει υποβάλει αίτηση για δίπλωμα ευρεσιτεχνίας για αυτή την καινοτομία.

Φύση

Ο Adolf Zeising, του οποίου τα κύρια ενδιαφέροντα ήταν τα μαθηματικά και η φιλοσοφία, παρατήρησε τη χρυσή αναλογία να είναι εκφρασμένη στη διάταξη των κλαδιών,ανάμεσα στους μίσχους των φυτών και τις φλέβες στα φύλλα. Επέκτεινε την έρευνα του στους σκελετούς των ζώων και στις διακλαδώσεις των φλεβών και των νεύρων τους, με τις αναλογίες των χημικών ενώσεων και τη γεωμετρία των κρυστάλλων, ακόμη και με τη χρήση της αναλογίας σε καλλιτεχνικές προσπάθειες. Σε αυτά τα φαινόμενα είδε τη χρυσή αναλογία να λειτουργεί σαν καθολικός νόμος. Σχετικά με το σχέδιό του για την χρυσή αναλογία με βάση τις ανθρώπινες αναλογίες του σώματος,ο Zeising έγραψε το 1854 για ένα  καθολικό δίκαιο "στο οποίο περιέχεται το έδαφος-αρχή της όλης προσπάθειας για την ομορφιά και την πληρότητα στην σφαίρα τόσο της φύσης όσο και της τέχνης, και το οποίο διαπερνά, ως υψίστης σημασίας πνευματικό ιδεώδες, όλες τις δομές, μορφές και αναλογίες, είτε κοσμικές είτε μεμονωμένες, οργανικές ή ανόργανες, ηχητικές ή οπτικές.Και το οποίο  βρίσκει την πληρέστερη υλοποίηση, ωστόσο, στην ανθρώπινη μορφή ".
Το 2010, το περιοδικό Science ανέφερε ότι η χρυσή αναλογία είναι παρούσα σε ατομική κλίμακα στο μαγνητικό συντονισμό των περιστροφών στους κρυστάλλους κοβαλτίου νιοβίου.
Αρκετοί ερευνητές έχουν προτείνει συνδέσεις μεταξύ της χρυσής αναλογίας και του ανθρώπινου DNA.
Ωστόσο, ορισμένοι ερευνητές υποστηρίζουν ότι πολλές από τις εμφανείς περιπτώσεις της χρυσής τομής στη φύση, ιδίως σε σχέση με τις διαστάσεις των ζώων, στην πραγματικότητα είναι φανταστικές.

Πόρισμα του ότι ο √5 είναι άρρητος

Άλλη μια σύντομη απόδειξη—ίσως πιο διαδεδομένη—του ότι η χρυσή τομή είναι άρρητος αριθμός, είναι αυτή που χρησιμοποιεί το ότι το σύνολο των ρητών είναι "κλειστό" ως προς την συνήθη πρόσθεση και τον συνήθη πολλαπλασιασμό (το γινόμενο ρητών είναι ρητός και το άθροισμα των ρητών επίσης). Αν ο  είναι ρητός, τότε και ο  είναι επίσης ρητός, το οποίο όμως είναι αντίθετο με το γεγονός ότι ξέρουμε πως η τετραγωνική ρίζα όλων των μη-τετράγωνων φυσικών είναι άρρητος.

Συμμετρίες

Η χρυσή αναλογία και το αντίστροφο της χρυσής αναλογίας  έχουν μια σειρά από συμμετρίες που διατηρούν και διαπλέκουν αυτές τις αναλογίες. Και οι δύο διατηρούνται από τις κλασματικές γραμμικές συναρτήσεις - το γεγονός αυτό αντιστοιχεί στην ταυτότητα και τον ορισμό της δευτεροβάθμιας  εξίσωσης. Περαιτέρω, εναλλάσσονται με τις : - που είναι αντίστροφες, συμμετρικές στο , και (προβολικά) συμμετρικές στο 2.
Αναλύοντας βαθύτερα, αυτές οι συναρτήσεις σχηματίζουν μια υποομάδα της ομάδας πηλίκο  ισόμορφη με την συμμετρική ομάδα  που αντιστοιχεί στον σταθεροποιητή του συνόλου  των 3 βασικών σημείων της προβολικής ευθείας, και οι συμμετρίες αντιστοιχούν στην ομάδα πηλίκο  -η υποομάδα -  αποτελείται από το 3-κύκλους και η ταυτότητα  καθορίζει τους δύο αριθμούς, ενώ οι 2 κύκλοι εναλλάσσουν αυτούς, υλοποιώντας έτσι το χάρτη.

Πυραμίδες

Οι πυραμίδες της Αιγύπτου καθώς και οι μαθηματικές  κανονικές πυραμίδες που μοιάζουν με αυτές μπορούν να αναλυθούν σε σχέση με την χρυσή και τις άλλες αναλογίες.

Μαθηματικές πυραμίδες και τρίγωνα

Μια πυραμίδα στην οποία το απόστημα (ύψος της παράπλευρης έδρας ) είναι ίσο με φ φορές την ημι-βάση (το ήμισυ του πλάτους βάσης) ονομάζεται μερικές φορές χρυσή πυραμίδα. Το ισοσκελές τρίγωνο, που είναι το πρόσωπο μιας τέτοιας πυραμίδας μπορεί να κατασκευαστεί από τα δύο μισά ενός  ορθογώνιου με χρυσές αναλογίες,ενώνοντας τις μεσαίου μήκους πλευρές για να κάνουν το απόστημα. Το ύψος αυτής της πυραμίδας είναι  φορές την ημι-βάση και το τετράγωνο του ύψους είναι ίσο με την πλευρά της πυραμίδας,δηλαδή φ φορές το τετράγωνο της ημι-βάσης.
Το μεσαίο ορθογώνιο τρίγωνο αυτής της "χρυσής" πυραμίδας (βλέπε διάγραμμα), με πλευρές  είναι ενδιαφέρον από μόνο του, αποδεικνύοντας με το Πυθαγόρειο θεώρημα τη σχέση  ή  . Αυτό το "Τρίγωνο του Κέπλερ"  είναι η μόνη αναλογία ορθογώνιου τριγώνου με μήκη πλευρών σε γεωμετρική πρόοδο, όπως ακριβώς το 3-4-5 τρίγωνο είναι η μόνη αναλογία ορθογώνιου τριγώνου με μήκη πλευρών σε αριθμητική πρόοδο. Η γωνία με εφαπτομένη  αντιστοιχεί στη γωνία που σχηματίζεται από την πλευρά της πυραμίδας και το έδαφος, 51,827 ... μοίρες (51 ° 49 '38 ").
Ένα σχεδόν παρόμοιο σχήμα πυραμίδας, αλλά με ρητές αναλογίες, περιγράφεται στο Rhind Mathematical Papyrus (την πηγή ενός μεγάλου μέρους της σύγχρονης γνώσης των αρχαίων αιγυπτιακών μαθηματικών),βασισμένο στο τρίγωνο 3:4:5. Η κλίση της πυραμίδας που αντιστοιχεί στη γωνία με εφαπτομένη 4/3 είναι 53,13 μοίρες (53 μοίρες και 8 λεπτά). Το απόστημα ή το ύψος της παράπλευρης έδρας είναι 5/3 ή 1.666 ... φορές την ημι-βάση.Το Rhind Papyrus έχει ακόμη ένα πρόβλημα με την πυραμίδα, πάλι με την κλίση ρητών αριθμών. Τα αιγυπτιακά μαθηματικά δεν περιλαμβάνουν την έννοια των άρρητων αριθμών, και η αντίστροφη κλίση ρητών αριθμών χρησιμοποιήθηκε στην κατασκευή των πυραμίδων.
Μια άλλη μαθηματική πυραμίδα με αναλογίες σχεδόν ταυτόσημες με της «χρυσής» είναι αυτή με περίμετρο ίση με 2π φορές το ύψος της, ή h: b = 4: π. Αυτό το τρίγωνο έχει μια γωνία κλίσης 51.854 ° (51 ° 51 '), πολύ κοντά στις ° 51.827 του τριγώνου του Kepler. Αυτή η σχέση της πυραμίδα αντιστοιχεί στην σχέση .

Αιγυπτιακές πυραμίδες

Στα μέσα του δέκατου ένατου αιώνα,ο Röber μελέτησε ποικίλες Αιγυπτιακές πυραμίδες συμπεριλαμβανομένων των Khafre, Menkaure και μερικών από της Γκίζας και Σαxάρας και ερμηνεύτηκε ότι είπε ότι το μισό της βάσης της πυραμίδας είναι η μέση της πλευράς ,διατυπώνοντας ότι οι άλλοι συγγραφείς αναγνώριζαν ως το τρίγωνο του Kepler. Πολλές άλλες μαθηματικές θεωρίες σε σχέση με το σχήμα των πυραμίδων έχουν επίσης διερευνηθεί.
Μία Αιγυπτιακή πυραμίδα εξαιρετικά κοντά σε μια "χρυσή πυραμίδα" είναι η Μεγάλη Πυραμίδα της Γκίζας (επίσης γνωστή ως η Πυραμίδα του Χέοπα). Η κλίση της 51 ° 52 'είναι πολύ κοντά στην "χρυσή" κλίση της πυραμίδας των 51 ° 50' και στην βασισμένη στον αριθμό π κλίση της πυραμίδας των 51 ° 51 '. Άλλες πυραμίδες της Γκίζας (Chephren, 52 ° 20', και Mycerinus, 50 ° 47 '), είναι επίσης αρκετά κοντά. Το αν η σχέση με τη χρυσή αναλογία σε αυτές τις πυραμίδες έχει σχεδιαστεί ή έχει προκύψει κατά λάθος παραμένει άγνωστο. Επίσης,αρκετές άλλες Αιγυπτιακές πυραμίδες είναι πολύ κοντά στο 3:4:5 σχήμα.
Συμβάλλοντας έντονα στην αντιπαράθεση ο αρχιτεκτονικός συντάκτης της Μεγάλης Πυραμίδας,Eric Temple Bell, μαθηματικός και ιστορικός, ισχυρίστηκε το 1950 ότι τα Αιγυπτιακά μαθηματικά δεν θα είχαν την δυνατότητα να υπολογίσουν το ύψος της παράπλευρης έδρας της πυραμίδας, ή την αναλογία προς το ύψος, εκτός από την περίπτωση της 3:4:5 πυραμίδας,δεδομένου ότι το τρίγωνο 3:4:5 ήταν το μόνο ορθογώνιο τρίγωνο γνωστό στους Αιγυπτίους. Επιπλέον,υποστήριξε ότι οι αρχαίοι Αιγύπτιοι δεν γνώριζαν το Πυθαγόρειο θεώρημα και με κανέναν τρόπο δεν θα μπορούσαν να εξηγήσουν άρρητους αριθμούς, όπως ο π ή ο φ.
Ο Michael Rice  ισχυρίζεται ότι οι κύριες αρχές στην ιστορία της αιγυπτιακής αρχιτεκτονικής έχουν υποστηρίξει ότι οι Αιγύπτιοι ήταν εξοικειωμένοι με τη χρυσή αναλογία ,η οποία αποτελεί κομμάτι των μαθηματικών των πυραμίδων, όπως αναφέρει ο Giedon (1957). Οι ιστορικοί των επιστημών ανέκαθεν διαφωνούσαν για το αν οι Αιγύπτιοι είχαν κάποια τέτοια γνώση ή όχι, αντιτάσσοντας ότι η εμφάνιση της χρυσής τομής στις πυραμίδες ήταν προιον τύχης.
Το 1859, ο πυραμιδιολόγος John Taylor ισχυρίστηκε ότι, στη Μεγάλη Πυραμίδα της Γκίζας, η χρυσή αναλογία εκπροσωπείται από την αναλογία του ύψους της παράπλευρης έδρας,σχηματίζοντας μια γωνία θ με το έδαφος, προς το μισό του μήκους της πλευράς της βάσης, που ισοδυναμεί με την τέμνουσα της γωνίας θ.  Τα παραπάνω δύο μήκη ήταν περίπου 186,4 και 115,2 μέτρα αντίστοιχα. Η αναλογία αυτών των μηκών είναι η χρυσή αναλογία, με ακρίβεια περισσοτέρων ψηφίων από αυτών στις αρχικές μετρήσεις. Ομοίως,ο Howard Vyse, σύμφωνα με το Matila Ghyka, ανέφερε το ύψος της Μεγάλης πυραμίδας 148,2 m, και το μισό μήκος της πλευράς της βάσης της 116,4 m, αποδίδοντας 1,6189 για το λόγο του ύψους της παράπλευρης έδρας προς το μισό μήκος της πλευράς της βάσης, και πάλι με μεγαλύτερη ακρίβεια .