Συμπαγής χώρος

Στα μαθηματικά, ειδικά στη γενική τοπολογία και στη μετρική τοπολογία, ένας συμπαγής χώρος είναι ένας μαθηματικός τοπολογικός χώρος στον οποίο κάθε άπειρη ακολουθία των σημείων που διαλέξαμε από το χώρο πρέπει τελικά να τον πάρουμε αυθαίρετα κοντά σε κάποιο σημείο του χώρου. Υπάρχουν πολλές διαφορετικές έννοιες της πληρότητας, σημειώνεται κατωτέρω, οι οποίες είναι ισοδύναμες σε καλές περιπτώσεις. Η έκδοση που μόλις περιγράφηκε είναι γνωστή ως διαδοχική συμπάγεια. Το θεώρημα Bolzano-Weierstrass δίνει μια αντίστοιχη συνθήκη για τη διαδοχική συμπάγεια κατά την εξέταση των υποσυνόλων του  ευκλείδειου χώρου: ένα σύνολο είναι συμπαγές αν και μόνο αν είναι κλειστό και φραγμένο. Τα παραδείγματα περιλαμβάνουν ένα κλειστό διάστημα ή ένα ορθογώνιο. Έτσι, αν κάποιος επιλέξει έναν άπειρο αριθμό σημείων στο κλειστό μοναδιαίο διάστημα), ορισμένα από αυτά τα σημεία πρέπει να τα πάρουμε αυθαίρετα κοντά σε κάποιο πραγματικό αριθμό σε αυτό το χώρο. Για παράδειγμα, ορισμένοι από τους αριθμούς 1/2, 4/5, 1/3, 5/6, 1/4, 6/7, ... τους παίρνουμε  αυθαίρετα κοντά στο μηδέν. (Επίσης, μερικοί τους  παίρνουν αυθαίρετα κοντά στο 1.) Σημειώνεται ότι το ίδιο σύνολο των σημείων δεν θα έχουν, ως ένα σημείο συσσώρευσης,  οποιοδήποτε σημείο ενός ανοικτού μοναδιαίου διαστήματος,ως εκ τούτου,αυτός ο  χώρος δεν μπορεί να είναι συμπαγής. Ο  Ευκλείδειος χώρος μόνος του δεν είναι συμπαγής, δεδομένου ότι δεν οριοθετείται. Συγκεκριμένα, θα μπορούσε κανείς να επιλέξει την ακολουθία των σημείων 0, 1, 2, 3, ..., της οποίας καμία υπο-ακολουθία δεν παίρνουμε τελικά αυθαίρετα κοντά σε κάθε δεδομένο πραγματικό αριθμό.
Εκτός από τα κλειστά και φραγμένα υποσύνολα του Ευκλείδιου χώρο, χαρακτηριστικά παραδείγματα των συμπαγών χώρων περιλαμβάνουν χώρους που δεν αποτελούνται από γεωμετρικά σημεία, αλλά από συναρτήσεις. Ο όρος συμπάγειας εισήχθη στα μαθηματικά από τον Maurice Fréchet το 1906 ως απόσταξη αυτής της έννοιας. Συμπαγές σε αυτή τη γενικότερη κατάσταση παίζει έναν εξαιρετικά σημαντικό ρόλο στην μαθηματική ανάλυση, επειδή πολλά κλασικά και σημαντικά θεωρήματα της ανάλυσης του 19ου αιώνα, όπως το θεώρημα ακραίας τιμής, είναι εύκολα γενικευμένη σε αυτή την κατάσταση. Μια τυπική εφαρμογή παράχθηκε από το θεώρημα της Arzelà-Ascoli, και ιδίως η ύπαρξη του θεωρήματος Peano, όπου κάποιος είναι σε θέση να συμπεράνει την ύπαρξη μιας συνάρτησης με κάποιες απαιτούμενες ιδιότητες ως οριακή περίπτωση κάποιων πιο στοιχειώδη κατασκευών.
Διάφορες ισοδύναμες έννοιες του συμπαγούς, συμπεριλαμβανομένου τη διαδοχική συμπάγεια και την συμπάγεια του οριακού σημείου, μπορεί να αναπτυχθεί στους γενικούς μετρικούς χώρους. Στους γενικούς τοπολογικούς χώρους  οι διαφορετικές έννοιες της συμπάγειας δεν είναι απαραίτητα ισοδύναμες, και η πιο χρήσιμη έννοια, εισήχθη από τον Pavel Alexandrov και τον Pavel Urysohn το 1929,η οποία προϋποθέτει την ύπαρξη ορισμένων  πεπερασμένων οικογενειών των ανοικτών συνόλων που καλύπτουν το χώρο με την αίσθηση ότι κάθε σημείο του χώρου πρέπει να βρίσκεται σε ένα σύνολο που περιέχεται στην οικογένεια. Αυτός ο πιο λεπτός  ορισμός εμφανίζει τους συμπαγές χώρους ως πεπερασμένα σύνολα. Σε χώρους που είναι συμπαγής σε αυτήν την τελευταία έννοια , είναι συχνά δυνατό να επιδιορθώσει από κοινού τις πληροφορίες που βρίσκονται τοπικώς-δηλαδή, σε μια γειτονιά του κάθε σημείου-σε αντίστοιχες δηλώσεις που κατέχουν  όλο το χώρο, και πολλά θεωρήματα είναι αυτού του χαρακτήρα.

Εισαγωγή

Ένα παράδειγμα ενός συμπαγούς χώρου είναι το κλειστό διάστημα [0,1] των πραγματικών αριθμών. Αν κάποιος διαλέξει έναν άπειρο αριθμό νούμερων διακριτών σημείων στο κλειστό διάστημα, τότε πρέπει να υπάρχει κάποιο σημείο συσσώρευσης στο εν λόγω διάστημα. Για παράδειγμα, η ακολουθία με μονούς όρους 1, 1/2, 1/3, 3/4, 1/5, 5/6, 1/7, 7/8, ... την παίρνουμε αυθαίρετα κοντά στο μηδέν, ενώ τους ζυγούς όρους τους παίρνουμε αυθαίρετα κοντά στο 1. Το δεδομένο παράδειγμα ακολουθίας δείχνει τη σημασία της συμπερίληψης των σημείων του [συνόρου] του διαστήματος, δεδομένου ότι τα οριακά σημεία πρέπει να είναι στον ίδιο τον χώρο: ένα ανοικτό (ή μισό-ανοιχτό) διάστημα πραγματικών αριθμών δεν είναι συμπαγής. Είναι επίσης σημαντικό ότι το διάστημα πρέπει να φράσσεται, δεδομένου ότι στο διάστημα [0, ∞) θα μπορούσε κανείς να επιλέξει την ακολουθία των σημείων 0, 1, 2, 3, ..., από τα οποία καμία υπακολουθία δεν παίρνει τελικά τιμές αυθαίρετα κοντά σε κάθε δεδομένο πραγματικό αριθμό.
Σε δύο διαστάσεις, οι κλειστοί δίσκοι είναι συμπαγείς αφού για οποιονδήποτε άπειρο αριθμό σημείων που παίρνουμε από ένα δίσκο, κάποιο υποσύνολο αυτών των σημείων θα πρέπει να πάρει τιμές αυθαίρετα είτε κοντά σε ένα σημείο εντός του δίσκου, ή προς ένα σημείο στο σύνορο. Ωστόσο ένας ανοικτός δίσκος δεν είναι συμπαγής, επειδή μια ακολουθία σημείων μπορεί να τείνει στο σύνορο χωρίς να παίρνει τιμές αυθαίρετα κοντά σε οποιοδήποτε σημείο στο εσωτερικό. Ομοίως, οι σφαίρες είναι συμπαγείς, αλλά μια σφαίρα που της λείπει ένα σημείο δεν είναι συμπαγής αφού μια ακολουθία σημείων μπορεί να τείνει στο σημείο που λείπει, χωρίς να τείνει σε οποιοδήποτε σημείο μέσα στο χώρο. Οι γραμμές και τα επίπεδα δεν είναι συμπαγείς, αφού μπορεί κανείς να πάρει μια σειρά από σημεία που ισαπέχουν σε οποιαδήποτε κατεύθυνση χωρίς να πλησιάζει σε οποιοδήποτε σημείο.
Η συμπάγεια γενικεύει πολλές σημαντικές ιδιότητες των κλειστών και φραγμένων διαστημάτων στη γραμμή των πραγματικών αριθμών. Δηλαδή διαστήματα της μορφής [a,b] για πραγματικούς αριθμούς a και b. Για παράδειγμα, κάθε συνεχής συνάρτηση ορίζεται σε ένα συμπαγή χώρο μέσα σε ένα διατεταγμένο σύνολο (με την τοπολογία σειρά) όπως η γραμμή των πραγματικών αριθμών είναι φραγμένη. Έτσι, αυτό που είναι γνωστό ως το θεώρημα της ακραίας τιμής του λογισμού γενικεύεται σε συμπαγείς χώρους. Με τον τρόπο αυτό, μπορεί κανείς να αποδείξει πολλά σημαντικά θεωρήματα στην κατηγορία των συμπαγών χώρων, που δεν συγκρατούν το γενικό πλαίσιο για τα μη-συμπαγή. Διάφοροι ορισμοί του συμπαγούς μπορεί να εφαρμοστούν, ανάλογα με το επίπεδο της γενικότητας. Ένα υποσύνολο του ευκλείδειου χώρου , ιδιαίτερα, λέγεται συμπαγές αν είναι κλειστό και φραγμένο. Αυτό συνεπάγεται, από το θεώρημα Bolzano-Weierstrass , ότι κάθε άπειρη ακολουθία από το σύνολο έχει μια υπακολουθία που συγκλίνει σε ένα σημείο εντός του συνόλου. Αυτό βοηθάει στην ιδέα της λήψης «μέτρων» σε ένα χώρο. Διάφορες ισοδύναμες έννοιες του συμπαγούς, όπως η διαδοχική συμπάγεια και την συμπάγεια του οριακού σημείου , μπορεί να αναπτυχθεί σε γενικούς μετρικούς χώρους.
Σε γενικούς τοπολογικούς χώρους , οι διαφορετικές έννοιες της συμπαγούς δεν είναι ισοδύναμες, και η πιο χρήσιμη έννοια της συμπαγούς-αρχικά ονομαζόταν δισυμπάγεια-περιλαμβάνει τις οικογένειες των ανοικτών συνόλων που καλύπτουν το χώρο υπό την έννοια ότι κάθε σημείο του χώρου πρέπει να ευρίσκεται σε ορισμένα σύνολα μέσα στην οικογένεια. Συγκεκριμένα, ένας τοπολογικός χώρος είναι συμπαγής αν, κάθε φορά που μια συλλογή των ανοικτών συνόλων καλύπτει το χώρο, κάποια υποσυλλογή αποτελείται μόνο από πεπερασμένα ανοιχτά σύνολα που καλύπτουν επίσης τον χώρο. Αυτή η μορφή του συμπαγούς ισχύει και για κλειστά και για φραγμένα υποσύνολα του ευκλείδειου χώρου και είναι γνωστή ως το θεώρημα Heine-Borel. Η συμπάγεια, όταν ορίζεται με αυτόν τον τρόπο, συχνά επιτρέπει σε κάποιον να λάβει τις πληροφορίες που είναι γνωστό τοπικώς-σε μια γειτονιά του κάθε σημείο που ανήκει στο χώρο -και να επεκταθούν οι πληροφορίες σε παγκόσμιο επίπεδο σε όλο το χώρο. Ένα παράδειγμα του φαινομένου αυτού είναι το θεώρημα Dirichlet, το οποίο είχε αρχικά εφαρμοστεί από τον Heine, ότι η συνεχής συνάρτηση σε ένα συμπαγές διάστημα είναι ομοιόμορφα συνεχής: εδώ η συνέχεια είναι μια τοπική ιδιότητα της συνάρτησης, και ομοιόμορφη συνέχεια η αντίστοιχη παγκόσμια ιδιοτητα.

Ιστορική εξέλιξη

Τον 19ο αιώνα, πολλές διαφορετικές μαθηματικές ιδιότητες ήταν κατανοητό ότι αργότερα θα έπρεπε να θεωρηθούν ως συνέπειες της συμπάγειας. Από τη μία πλευρά, Bernard Bolzano (1817) γνώριζε ότι κάθε φραγμένη ακολουθία σημείων (για παράδειγμα, στη γραμμή ή στο επίπεδο) έχει μια υπακολουθία που θα πρέπει τελικά να πάρει τιμές αυθαίρετα κοντά σε κάποιο άλλο σημείο, που ονομάζεται οριακό σημείο. Η απόδειξη του Bolzano στηρίχθηκε στην μέθοδο της διχοτόμησης: η ακολουθία τοποθετείται σε ένα διάστημα που στη συνέχεια χωρίζεται σε δύο ίσα μέρη, και επιλέχθηκε ένα μέρος που περιέχει άπειρους όρους της ακολουθίας. Η διαδικασία θα μπορούσε στη συνέχεια να επαναληφθεί με τη διαίρεση του προκύπτοντος μικρότερου κλειστού διαστήματος σε όλο και μικρότερα τμήματα μέχρι να σταματήσει στο επιθυμητό οριακό σημείο. Η πλήρης σημασία του θεωρήματος του Bolzano, και η μέθοδος της απόδειξης, δεν θα εμφανιστούν παρά μετά από 50 χρόνια, όπου και ανακαλύφθηκε από τον Karl Weierstrass.
Στη δεκαετία του 1880, κατέστη σαφές ότι τα αποτελέσματα παρόμοια με το θεώρημα των Bolzano-Weierstrass μπορούν να διατυπωθούν για τούς χώρους των συναρτήσεων παρά μόνο για αριθμούς ή για γεωμετρικά σημεία. Η ιδέα σχετικά με τις συναρτήσεις , όπως οι η ίδια δείχνει ένα γενικευμένο χώρο χρονολογείται από τις έρευνες του Giulio Ascoli και του Cesare Arzelà  .Το αποκορύφωμα των ερευνών τους, το θεώρημα των Arzelà-Ascoli, ήταν μια γενίκευση του θεωρήματος των Bolzano-Weierstrass για τις οικογένειες των συνεχών συναρτήσεων , το ακριβές συμπέρασμα της ήταν ότι ήταν δυνατόν να εξαχθεί μια ομοιόμορφη συγκλίνουσα ακολουθία των συναρτήσεων από μια κατάλληλη οικογένεια συναρτήσεων. Το ομοιόμορφο όριο αυτής της ακολουθίας έπαιξε ακριβώς τον ίδιο ρόλο ως το "οριακό σημείο" του Bolzano. Προς την αρχή του εικοστού αιώνα, αποτελέσματα παρόμοια με εκείνα των Arzelà και Ascoli άρχισαν να συσσωρεύονται στην περιοχή των ολοκληρωτικών εξισώσεων, καθώς διερευνώνται από τον Χίλμπερτ και τον Erhard Schmidt. Για μια ορισμένη κατηγορία των συναρτήσεων του Green που προέρχονται από τις λύσεις των ολοκληρωτικών εξισώσεων, ο Schmidt είχε δείξει ότι μια ιδιότητα ανάλογη του θεωρήματος Arzelà-Ascoli που πραγματοποιήθηκε κατά την έννοια της μέσης σύγκλισης- ή σύγκλισης ,αυτό που αργότερα θα ονομαστεί ένας Hilbert χώρος. Αυτό οδήγησε τελικά στην έννοια του συμπαγή τελεστή ως ένα παρακλάδι της γενικής έννοιας ενός συμπαγούς χώρου. Ήταν ο Maurice Fréchet ο οποίος, στο 1906, έχει αποστάξει την ουσία της ιδιότητας του Bolzano-Weierstrass και επινόησε τον όρο συμπάγεια για να αναφερθεί στο γενικό φαινόμενο.
Ωστόσο, μια διαφορετική έννοια της συμπάγειας είχε σιγά-σιγά αναδειχθεί στα τέλη του 19ου αιώνα από τη μελέτη του συνεχές, η οποία θεωρήθηκε ως θεμελιώδους σημασίας για την αυστηρή διατύπωση της ανάλυσης. Το 1870, ο Έντουαρτ Χάινε έδειξε ότι μια συνεχής συνάρτηση που ορίζεται σε ένα κλειστό και φραγμένο διάστημα είναι στην πραγματικότητα ομοιόμορφα συνεχής. Κατά τη διάρκεια της απόδειξης, έκανε χρήση ενός λήμματος που από οποιαδήποτε αριθμήσιμο κάλυμμα του διαστήματος από μικρότερα ανοιχτά διαστήματα, ήταν δυνατό να επιλέξει έναν πεπερασμένο αριθμό που επίσης το κάλυπτε. Η σημασία αυτού του λήμματος αναγνωρίστηκε από τον Émile Borel (1895), και ήταν γενικευμένη σε αυθαίρετες συλλογές διαστημάτων από τον Pierre Cousin (1895) και τον Henri Lebesgue  (1904). Το θεώρημα Heine-Borel, καθώς το αποτέλεσμα είναι πλέον γνωστό, είναι μια άλλη ειδική ιδιότητα που κατέχεται από κλειστά και φραγμένα σύνολα των πραγματικών αριθμών.
Αυτή η ιδιότητα ήταν σημαντική, διότι επέτρεψε το πέρασμα από την τοπική ιδιότητα για ένα σύνολο (όπως η συνέχεια της συνάρτησης) στη σφαιρική ιδιότητα σχετικά με το σύνολο (όπως η ομοιόμορφη συνέχεια μιας συνάρτησης). Αυτό το αίσθημα εκφράζεται από Lebesgue (1904), ο οποίος το εκμεταλλεύτηκε για την ανάπτυξη του ολοκληρώματος Lebesgue. Τελικά, η ρωσική σχολή της γενικής τοπολογίας, υπό τη διεύθυνση του Pavel Alexandrov και του Pavel Urysohn, που διατυπώθηκε από τη συμπάγεια των Heine-Borel με έναν τρόπο που θα μπορούσε να εφαρμοστεί στη σύγχρονη έννοια ενός τοπολογικού χώρου. Ο Alexandrov Urysohn(1929) έδειξε ότι η προηγούμενη έκδοση της συμπάγειας λόγω του Fréchet, που σήμερα ονομάζεται (σχετική) ακολουθιακά συμπαγής, υπό κατάλληλες συνθήκες, ακολουθούμενη από την έκδοση της συμπάγειας που διαμορφώθηκε από την άποψη της ύπαρξης των πεπερασμένων υπο-καλυμμάτων. Ήταν αυτή η έννοια της συμπάγειας που έγινε κυρίαρχη, γιατί δεν ήταν μόνο μια ισχυρότερη ιδιότητα, αλλά θα μπορούσε να διαμορφωθεί σε ένα γενικότερο περιβάλλον με ελάχιστα πρόσθετα τεχνικά μηχανήματα, καθώς στηρίχθηκε μόνο στη δομή των ανοικτών συνόλων σε ένα χώρο.