Κατανομή Πουασσόν

Ιστορία

Η κατανομή εισήχθει αρχικά από τον Siméon Denis Poisson (1781–1840) και δημοσιεύθηκε, μαζί με την θεωρία πιθανότητας του, το 1837 στο Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile (“Έρευνα σχετικά με την Πιθανότητα αποφάσεων σε ποινικές και αστικές υποθέσεις”). Το έργο ασχολείται με τον αριθμό των άδικων καταδικών σε μια δεδομένη χώρα  εστιάζοντας σε ορισμένες τυχαίες μεταβλητές N που μετρούν, μεταξύ των άλλων, τον αριθμό διακεκριμένων περιστατικών (μερικές φορές αποκαλούμενων "γεγονότα" ή “αφίξεις”) που πραγματοποιούνται κατά την διάρκεια ενός χρόνου-διαστήματος δεδομένου μήκους. Τα αποτελέσματα είχαν δοθεί παλαιότερα από τον Abraham de Moivre (1711) στο De Mensura Sortis seu; de Probabilitate Eventuum in Ludis a Casu Fortuito Pendentibus in Philosophical Transactions of the Royal Society, p. 219.
Μία πρακτική εφαρμογή αυτής της κατανομής έγινε από τον Ladislaus Bortkiewicz το 1898 όταν του δόθηκε η εργασία να διερευνήσει τον αριθμό των στρατιωτών του Πρωσικού στρατού που σκοτώθηκαν κατά λάθος από κλωτσιά αλόγου; αυτό το πείραμα εισήγαγε την κατανομή Poisson στον τομέα της εφαρμοσμένης μηχανικής αξιοπιστίας.

Παραγωγή τυχαίων μεταβλητών που ακολουθούν κατανομή Poisson

Ένας απλός αλγόριθμος για να παραχθούν τυχαίοι αριθμοί που ακολουθούν κατανομή Poisson (ψευδο-τυχαία δειγματοληψία αριθμών) δόθηκε από τον Knuth (δες τις Παραπομπές πιο κάτω):
algorithm poisson random number (Knuth):
    init:
         Let L ← e-λ, k ← 0 and p ← 1.
    do:
         k ← k + 1.
         Generate uniform random number u in [0,1] and let p ← p × u.
    while p > L.
    return k − 1.
Ενώ είναι απλός, η πολυπλοκότητα είναι γραμμική στην επιστρεφόμενη τιμή k, η οποία είναι λ κατά μέσο όρο. Υπάρχουν πολλοί άλλοι αλγόριθμοι για να ξεπεραστεί αυτό. Μερικοί δίνονται στο Ahrens & Dieter, δες Παραπομπές πιο κάτω. Επίσης, για μεγάλες τιμές του λ, μπορεί να υπάρχουν αριθμητικά προβλήματα σταθερότητας εξαιτίας του όρου e-λ. Μία λύση για τις μεγάλες τιμές του λ είναι η δειγματοληψία απόρριψης, ακόμα μία είναι να χρησιμοποιήσεις μία προσέγγιση Gaussian στην Poisson.
Ο αντίστροφος μετασχηματισμός δειγματοληψίας είναι απλός και αποδοτικός για μικρές τιμές του λ, και απαιτεί μόνον έναν ομοιόμορφο τυχαίο αριθμό u σε κάθε δείγμα. Οι αθροιστικές πιθανότητες εξετάζονται με τη σειρά μέχρι μία να ξεπεράσει το u.

Μέγιστη πιθανότητα

Δοθέντος ενός δείγματος n μετρήσιμων τιμών kᵢ = 0,1,2,..., i = 1,...,n θέλουμε να εκτιμήσουμε την τιμή της παραμέτρου  της κατανομής Πουασσόν με βάση την οποία πήραμε το δείγμα. Η μέγιστη πιθανότητα του εκτιμητή είναι:
 
Δεδομένου οτι κάθε παρατήρηση έχει αναμενόμενη τιμή  τότε αυτή είναι η μέση τιμή του δείγματος. Οπότε η μέγιστη πιθανότητα του εκτιμητή είναι ένας αμερόληπτος εκτιμητής του . Επίσης είναι ένας αποτελεσματικός εκτιμητής όταν η διακύμανση του εκτιμητή φτάνει το Cramer-Rao κατώτερο όριο(CRLB).Ως εκ τούτου είναι η ελάχιστη διακύμανση του αμερόλυπτου εκτιμητή. Επίσης μπορεί να αποδειχτεί οτι το άθροισμα (δηλαδή η μέση τιμή του δείγματος,αφού είναι ένα προς ένα συνάρτηση) είναι μια πλήρης και επαρκής στατιστική για το .
Για να αποδείξουμε την επάρκεια μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα παραγοντοποίησης. Σκεφτείτε να διαχωρίσεται το σώμα της συνάρτησης πιθανότητας της από κοινού κατανομής Poisson για το δείγμα σε δύο τμήματα:ένα το οποίο εξαρτάται αποκλειστικά απο το δείγμα  (Συμβολισμός ) και ένα που εξαρτάται απο την παράμετρο  και το δείγμα  μόνο μέσω της συνάρτησης . Τότε η  είναι επαρκής στατιστική για το .
Σημειώστε οτι ο πρώτος όρος  εξαρτάται μόνο απο το . Ο δεύτερος όρος , εξαρτάται από το δείγμα μόνο μέσω της . Έτσι το  είναι επαρκές.
Για λόγους πληρότητας μια οικογένεια κατανομών λέμε ό,τι έχει ολοκληρωθεί εάν και μόνο εάν  συνεπάγοντας ό,τι  για όλα τα . Εάν το μεμονομένο  είναι !!!!iid!!!!  τότε, . Γνωρίζοντας την κατανομή που θέλουμε να ερευνήσουμε, είναι εύκολο να παρατηρήσουμε ότι το στατιστικό αποτέλεσμα έχει ολοκληρωθεί.
Για να ισχύει αυτή η ισότητα, είναι προφρανές ότι το  πρέπει να είναι 0. Αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι κανένας απο τους άλλους όρους δεν θα είναι 0 για κάθε  στο άθροισμα και για όλες τις πιθανές τιμές του .
Εξαιτίας αυτού, H  για όλα τα  υπονοεί ότι , και το στατιστικό αποτέλεσμα έχει αποδειχθεί ότι έχει ολοκληρωθεί.

Όριο εμπιστοσύνης

Το όριο εμπιστοσύνης για την μέση τιμή μιας κατανομής Πουασσόν μπορεί να εκφραστεί χρησιμοποιώντας την σχέση μεταξύ των αθροιστικών συναρτήσεων κατανομής Πουασσόν και των x² κατανομών. Οι x² κατανομές είναι απο μόνες τους στενά συσχετιζόμενες με την Γάμμα κατανομή και αυτό οδηγεί σε μια εναλλακτική  έκφραση. Δωθήσας μιας παρατήρησης και απο μια κατανομή Πουασσόν με μέση τιμή μ, ένα όριο εμπιστοσύνης για μ με επίπεδο εμπιστοσύνης 1 – α είναι
ή ισοδύναμα,
όπου  είναι η συνάρτηση quantile (που αντιστοιχεί σε μια χαμηλότερη περιοχή της ουράς p) της x² κατανομής με n βαθμούς ελευθερίας και  είναι η συνάρτηση quantile της γ κατανομή με παράμετρο σχήματος n και κλίμακα παραμέτρου 1. Αυτό το διάστημα είναι "ακριβές" με την έννοια ότι η πιθανότητα κάλυψης δεν είναι ποτέ μικρότερη απο το ονοματικό 1 – α.
Όταν quantile απο την γ κατανομή δεν είναι διαθέσιμα, μια ακριβής προσέγγιση σε αυτό το ακριβές διάστημα έχει προταθεί (βασισμένη στον Wilson–Hilferty μετασχηματισμό):ref>Breslow, NE; Day, NE (1987). Statistical Methods in Cancer Research: Volume 2—The Design and Analysis of Cohort Studies. Paris: International Agency for Research on Cancer. ISBN 978-92-832-0182-3. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 8 Αυγούστου 2018. Ανακτήθηκε στις 30 Ιουνίου 2014.</ref>
όπου το  υποδηλώνει την κανονική τυπική απόκλιση με ανώτερη περιοχή ουράς α / 2.
Για την εφαρμογή αυτών των τύπων στο ίδιο πλαίσιο όπως παραπάνω (δοθέντος ενός δείγματος n διακριτών τιμών kᵢ οι οποίες πάιρνονται απο μια κανονική κατανομή με μέση τιμή ), κάποιος θα έθετε 
υπολογίζοντας ένα διάστημα για μ=nλ, και μετά διαιρώντας το διάστημα με .

Μπεϋζιανή συμπερασματολογία

Στην μπεϋζιανή συμπερασματολογία, η συζυγής πιθανότητα κατανομής για τον ρυθμό της παραμέτρου  της κατανομής Πουασσόν είναι η Γάμμα κατανομή. Έστω
σημειώνοντας ότι το  είναι κατανεμημένο σύμφωνα με την συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της γάμμα g παραμετροποιημένη με την έννοια μιας παραμέτρου σχήματος α και μιας αντίστροφης παραμέτρου κλίμακας β:
Τότε, δοθέντος ενός δείγματος n διακριτών τιμών kᵢ όπως παραπάνω, και έχοντας απο πριν την Gamma(α, β), η παραπάνω κατανομή γίνεται:
Η μέση τιμή, E[], απο παραπάνω πλησιάζει την εκτίμηση της μέγιστης πιθανότητας  όταν 
Η οπίσθια προγνωστική κατανομή (posterior predictive distribution) σε ειδικές περιπτώσεις είναι αρνητική διωνυμική κατανομή, η οποία μερικές φορές ονομάζεται Γάμμα - Πουασσόν κατανομή.

Ταυτόχρονη εκτίμηση των πολλαπλών μέσων τιμών Πουασσόν

Έστω ότι  είναι ένα σύνολο ανεξάρτητων μεταβλητών απο ένα σύνολο  Πουασσόν κατανομών, καθένα με μια παράμετρο   και θέλουμε να υπολογίσουμε αυτές τις παραμέτρους. Μετ'έπειτα, ο Clevenson και ο Zidek  έδειξαν ότι η κανονικοποιημένη απώλεια τετραγωνικού σφάλματος (normalized squared error loss) όταν , τότε, παρόμοια με το γνωστό παράδειγμα του Stein για τους κανονικούς μέσους, ο εκτιμητής MLE  είναι απαράδεκτος.
Σε αυτή την περίπτωση, δίνεται μια οικογένεια minimax εκτημητών για κάθε  και  καθώς,

Κατανομή Πουασσόν δυο μεταβλητών

Η κατανομή αυτή έχει επεκταθεί στο διδιάστατο χώρο. Η παραγώμενη συνάρτηση της κατανομής αυτής ειναι
με
Οι οριακές κατανομές είναι Poisson(θ₁) και Poisson(θ₂) και ο συντελεστής συσχέτισης έχει εύρος
Ένας απλός τρόπος να παραχθεί μια κατανομή Πουασσόν δυο μεταβλητών,  , είναι να πάρεις τρείς ανεξάρτητες κατανομές Πουασσόν,  , με μέσες τιμές, , και μετά να θέσεις  Η συνάρτηση πιθανότητας της κατανομής Πουασσόν δύο μεταβλητών είναι: