Θεωρία συνόλων

Ιστορία

Συνήθως οι μαθηματικές θεωρίες προκύπτουν και εξελίσσονται δια της αλληλεπιδράσεως μεταξύ των ερευνητών. Ωστόσο, η Θεωρία Συνόλων αναπτύχθηκε από μία και μοναδική εργασία του Γκέοργκ Κάντορ (Georg Cantor) το 1874: "Σχετικά με την χαρακτηριστική ιδιότητα των αλγεβρικών αριθμών".
Ήδη από τον 5ο αιώνα π.Χ, ο αρχαίος Έλληνας μαθηματικός Ζήνων από την μία αλλά και οι αρχαίοι Ινδοί μαθηματικοί από την άλλη, εργάστηκαν πάνω στην έννοια του απείρου. Αξιοσημείωτη είναι η δουλειά του Μπερνάρντ Μπολζάνο (Bernard Bolzano) στο πρώτο μισό του 19ου αιώνα. Η μοντέρνα αντίληψη περί απείρου ξεκίνησε μεταξύ 1867-71, και προέκυψε μέσα από την δουλειά του Κάντορ πάνω στην Πραγματική Ανάλυση. Μία συνάντηση των Κάντορ και Ντέντεκιντ (Richard Dedekind) το 1872 θα επηρεάσει ριζικά τον τρόπο σκέψης του Κάντορ καταλήγοντας στην σχετική εργασία του 1874.
Το έργο του αρχικά δίχασε του μαθηματικούς της εποχής. Παρ' όλο που οι Καρλ Βάιερστρας (Karl Weierstrass) και Ντέντεκιντ (Dedekind) υποστήριξαν τον Κάντορ, ο Λέοπολντ Κρόνεκερ (Leopold Kronecker), ο οποίος τώρα θεωρείται ως ο θεμελιωτής του μαθηματικού κονστρουκτιβισμού, δεν έπραξε το ίδιο. Η Καντοριανή Θεωρία Συνόλων έγινε ευρέως γνωστή εξαιτίας της χρησιμότητας των εννοιών της, όπως της αμφιμονοσήμαντης αντιστοιχίας συνόλων, της απόδειξής του ότι υπάρχουν περισσότεροι πραγματικοί αριθμοί απ'ότι ακέραιοι, και του "απείρου των απείρων" ("Ο παράδεισος του Κάντορ" - "Cantor's paradise") ως αποτέλεσμα του τελεστή του δυναμοσύνολου. Η χρησιμότητα της θεωρίας συνόλων οδήγησε στο άρθρο "Μένγκενλερε" ("Mengenlehre") του Άρτουρ Σουνφλις (Arthur Schoenflies) που δημοσιεύτηκε στην εγκυκλοπαίδεια του Klein το 1898.

Ορισμένη οντολογία

Κύριο άρθρο:το σύμπαν του von Neumann
Ένα σετ είναι καθαρό αν όλα τα μέλη του είναι σύνολα,όλα τα μέλη των μελών του είναι σύνολα, και ούτω καθεξής. Για παράδειγμα, το σύνολο {{}}που περιέχει μόνο το κενό σύνολο είναι ένα μη κενό καθαρό σύνολο. Στη σύγχρονη Θεωρία Συνόλων , είναι συνηθισμένο να περιορίζεται η προσοχή στο σύμπαν των καθαρών συνόλων του von Neumann, και πολλά συστήματα της Αξιωματικής Θεωρίας Συνόλων είναι σχεδιασμένα μόνο για την αξιωματική θεωρία των καθαρών συνόλων. Υπάρχουν πολλά τεχνικά πλεονεκτήματα σε αυτόν τον περιορισμό,και η ελάχιστη γενικότητα είναι χαμένη,επειδή ουσιαστικά όλες οι μαθηματικές έννοιες μπορούν να μοντελοποιηθούν από καθαρά σύνολα. Τα σύνολα στο σύμπαν von Neumann είναι οργανωμένα σε μια σωρευτική ιεραρχία, βασισμένη στο πόσο βαθιά τα μέλη τους,τα μέλη των μελών, κλπ είναι ένθετα.Στο κάθε σύνολο σε αυτή την ιεραρχία ανατίθεται ένας τακτικός αριθμός α, γνωστός ως τάξη του. Η τάξη ενός καθαρού συνόλου X ορίζεται ως το λιγότερο άνω άκρο όλων των διαδόχων της τάξης των μελών του X.Για παράδειγμα, στο κενό σύνολο ανατίθεται η τάξη 0,ενώ στο σύνολο {{}} συμπεριλαμβανομένου μόνο του κενού συνόλου ανατίθεται η τάξη 1.Για κάθε τακτικό α, το σύνολο Vα ορίζεται να αποτελείται από όλα τα καθαρά σύνολα με τάξη μικρότερη από α.Ολόκληρο το σύμπαν του von Neumann συμβολίζεται με V.

Εφαρμογές

Πολλές μαθηματικές έννοιες μπορούν να οριστούν ακριβώς χρησιμοποιώντας μόνο σύνολα θεωρητικών εννοιών. Για παράδειγμα, μαθηματικές δομές τόσο διαφορετικές όσο γραφήματα,πολυχώροι,δακτύλιοι και διανυσματικοί χώροι μπορούν όλοι να όλοι να ορισθούν ως σύνολα ικανοποιώντας  διάφορες (αξιωματικές) ιδιότητες.Ισοδυναμία και προκείμενες σχέσεις είναι πανταχού παρόντα στα μαθηματικά, και η θεωρία των μαθηματικών σχέσεων μπορούν να περιγραφούν στη θεωρία συνόλων.
Η θεωρία συνόλων είναι επίσης ένα πολλά υποσχόμενο θεμελιακό σύστημα για το μεγαλύτερο μέρος των μαθηματικών. Από τη δημοσίευση του πρώτου τόμου του Principia Mathematica, προβλήθηκε ο ισχυρισμός ότι τα περισσότερα ή ακόμα όλα τα μαθηματικά θεωρήματα μπορούν να παραχθούν με τη χρήση ενός εύστοχα σχεδιασμένου συνόλου αξιωμάτων για τη θεωρία συνόλων, επαυξημένου με πολλούς ορισμούς, χρησιμοποιώντας την λογική πρώτης τάξης ή δεύτερης.Για παράδειγμα, ιδιότητες των φυσικών και πραγματικών αριθμών μπορούν να προκύψουν μέσα από τη θεωρία συνόλων, καθώς το κάθε σύστημα αριθμών μπορεί να ταυτοποιηθεί με ένα σύνολο από κλάσεις ισοδυναμίας κάτω από την κατάλληλη σχέση ισοδυναμίας της οποίας το πεδίο είναι κάποιο άπειρο σύνολο.
Η θεωρία συνόλων ως θεμέλιο για τη μαθηματική ανάλυση, την τοπολογία, την αφηρημένη άλγεβρα και τα διακριτά μαθηματικά είναι επίσης αναμφισβήτητη.Μαθηματικοί αποδέχονται ότι (κατ 'αρχήν) θεωρήματα σε αυτούς τους τομείς μπορεί να προέλθουν από τους σχετικούς ορισμούς και τα αξιώματα της θεωρίας συνόλων. Λίγες πλήρεις παραγωγές σύνθετων μαθηματικών θεωρημάτων από τη θεωρία συνόλων έχουν επισήμως επιβεβαιωθεί, ωστόσο, επειδή οι τυπικές παραγωγές είναι συχνά πολύ περισσότερες από ό,τι η φυσική γλώσσα αποδεικνύει μαθηματικούς που συνήθως υπάρχουν. Ένα έργο επαλήθευσης, Metamath, περιλαμβάνει τις ανθρωπίνως-γραπτές, τις υπολογιστικά-επαληθευμένες παραγωγές πάνω από 12.000 θεωρημάτων ξεκινώντας από τη ZFC θεωρία συνόλων, λογική πρώτης τάξης και προτασιακή λογική.