Άλγεβρα φον Νόιμαν

Στα μαθηματικά, μια άλγεβρα φον Νόιμαν ή W*-άλγεβρα είναι μία *-άλγεβρα φραγμένων τελεστών σε ένα χώρο Χίλμπερτ, κλειστό στην ασθενή τοπολογία τελεστών και περιέχει τον ταυτοτικό τελεστή. Την είχε αρχικά εισαγάγει ο Τζον φον Νόιμαν, υποκινούμενος από τη μελέτη του στους μοναδιαίους τελεστές, στις αναπαραστάσεις ομάδας, στην εργοδική θεωρία και στη κβαντική μηχανική. Το διπλό αντιμεταθετικό θεώρημά του δείχνει ότι ο αναλυτικός ορισμός είναι ισοδύναμος με ένα καθαρά αλγεβρικό ορισμό ως άλγεβρα συμμετριών.
Υπάρχουν δυο βασικά παραδείγματα των αλγεβρών φον Νόιμαν. Ο δακτύλιος L∞(R) των ουσιωδώς φραγμένων μετρήσιμων συναρτήσεων στον πραγματικό άξονα, είναι μια αντιμεταθετική άλγεβρα φον Νόιμαν, η οποία ενεργεί με σημειακό πολλαπλασιασμό στο χώρο Χίλμπερτ L²(R) των τετραγωνικά ολοκληρώσιμων συναρτήσεων. Η άλγεβρα Β(Η) όλων των φραγμένων τελεστών σε ένα χώρο Χίλμπερτ H είναι μια άλγεβρα φον Νόιμαν μη-αντιμεταθετική, αν ο χώρος Χίλμπερτ έχει διάσταση τουλάχιστον 2.
Οι άλγεβρες φον Νόιμαν μελετήθηκαν για πρώτη φορά από τον von Neumann (1929)· αυτός και ο Φράνσις Μάρεϊ (Francis Joseph Murray) ανέπτυξαν τη βασική θεωρία, σύμφωνα με το αρχικό όνομα των δακτυλίων των τελεστών, σε μια σειρά από εργασίες που γράφτηκαν στην δεκαετία του 1930 και του 1940 (F.J. Murray & J. von Neumann 1938, 1940, 1943, 1949) και επανεκδόθηκαν στα άπαντα του  von Neumann (1961).
Οι αρχικές αναφορές του φον Νόιμαν μπορούν να βρεθούν σε διαδικτυακές σημειώσεις του Jones (2003) και του Wassermann (1991), καθώς και στα βιβλία των Dixmier (1981),  Schwartz (1967), Blackadar (2005)  και Sakai (1971). Η τρίτομη μελέτη του Takesaki (1979) δίνει μια εγκυκλοπαιδική αναφορά της θεωρίας. Το βιβλίο του Connes (1994) ασχολείται με πιο επιτηδευμένα θέματα.

Ορισμοί

Υπάρχουν τρεις κοινοί τρόποι για να καθοριστούν οι άλγεβρες φον Νόιμαν.
Ο πρώτος και πιο συνηθισμένος τρόπος είναι να τις ορίσουμε ως ασθενείς κλειστές *-άλγεβρες φραγμένων τελεστών (σε ένα χώρο Χίλμπερτ) που περιέχουν τον ταυτοτικό. Σε αυτό τον ορισμό η ασθενής τοπολογία (τελεστών) μπορεί να αντικατασταθεί από πολλές άλλες κοινές τοπολογίες συμπεριλαμβανομένων των ισχυρών, υπερισχυρών η υπερασθενών τοπολογιών τελεστή. Οι *-άλγεβρες των φραγμένων τελεστών που είναι κλειστές σε τοπολογία νόρμας είναι οι C*-άλγεβρες. Οπότε, πιο συγκεκριμένα, κάθε άλγεβρα φον Νόιμαν είναι μια C*-άλγεβρα.
Ο δεύτερος ορισμός είναι ότι μια άλγεβρα φον Νόιμαν είναι ένα υποσύνολο των φραγμένων τελεστών που είναι κλειστοί σε * και ίσοι με τη διπλή τους αντιμετάθεση, ή ισοδύναμα η αντιμετάθεση με κάποια υποσύνολα κλειστά σε *. Το διπλό αντιμεταθετικό θεώρημα φον Νόιμαν (von Neumann 1929) αποδεικνύει ότι οι 2 πρώτοι ορισμοί είναι ισοδύναμοι.
Οι δυο πρώτοι ορισμοί περιγράφουν μια άλγεβρα φον Νόιμαν συγκεκριμένα ως ένα σύνολο τελεστών που ενεργούν σε ένα συγκεκριμένο χώρο Χίλμπερτ. Ο Sakai (1971) έδειξε ότι οι άλγεβρες φον Νόιμαν μπορούν επίσης να οριστούν αφηρημένα ως C*-άλγεβρες που έχουν προδυϊκό χώρο (predual)· με άλλα λόγια η άλγεβρα φον Νόιμαν, που θεωρείται ως χώρος Μπάναχ (Banach space), είναι δευτερεύουσα ενός άλλου χώρου Μπάναχ που λέγεται προδυϊκός. Ο προδυϊκός μιας άλγεβρας φον Νόιμαν είναι στη πραγματικότητα o μοναδικός ισομορφισμός. Μερικοί συγγραφείς χρησιμοποιούν τον όρο άλγεβρα φον Νόιμαν για τις άλγεβρες που ενεργούν σε ένα χώρο Χίλμπερτ και W*-άλγεβρα για την αφηρημένη έννοια, έτσι μια άλγεβρα φον Νόιμαν είναι μια W*-άλγεβρα μαζί με ένα χώρο Χίλμπερτ και μια κατάλληλη πιστή μοναδιαία δράση στο χώρο Χίλμπερτ. Οι συγκεκριμένοι και αφηρημένοι ορισμοί στην  άλγεβρα φον Νόιμαν είναι παρόμοιοι με τους συγκεκριμένους και αφηρημένους ορισμούς της C*-άλγεβρας, η οποία μπορεί να ορισθεί είτε ως κλειστή σε νόρμα *-άλγεβρες τελεστών σε χώρο Χίλμπερτ, ή σε Μπάναχ *-άλγεβρες τέτοιο ώστε ||αα*||=||α||||α*||.

Αντιμεταθετικές φον Νόιμαν άλγεβρες

Η σχέση μεταξύ αντιμεταθετικών αλγεβρών και μετρήσιμων χώρων είναι ανάλογη με αυτή των αντιμεταθετικών C*-αλγεβρών και των τοπικά συμπαγών χώρων Χαουσντορφ. Κάθε αντιμεταθετική φον Νόιμαν άλγεβρα είναι ισομορφική με το L∞(Χ) για κάποιους μετρήσιμους χώρους (Χ,μ) και αντίστροφα, για κάθε σ-πεπερασμένο μετρήσιμο χώρο Χ, η *-άλγεβρα L∞(Χ) είναι μια φον Νόιμαν άλγεβρα.

Λόγω αυτής της αναλογίας, η θεωρία των φον Νόιμαν αλγεβρών έχει κληθεί μη-αντιμεταθετική θεωρία μέτρου, καθώς η θεωρία των C*-αλγεβρών μερικές φορές καλείται μη-αντιμεταθετική τοπολογία ([[[Connes 1994]]]).

Προβολές

Οι τελεστές Ε σε μια φον Νόιμαν άλγεβρα για την οποία Ε=ΕΕ=Ε* ονομάζονται προβολές, είναι αυτοί οι τελεστές που δίνουν μια ορθογώνια προβολή του Η σε κάποιο κλειστό υπόχωρο. Ένας υπόχωρος του χώρου Χίλμπερτ Η λέγεται ότι ανήκει στην φον Νόιμαν άλγεβρα Μ αν είναι η εικόνα κάποιας προβολής στη Μ. Άτυπα αυτοί είναι οι κλειστοί υποχώροι που περιγράφονται από στοιχεία της Μ, ή ότι ορίζει η Μ.Η κλειστότητα της εικόνας οποιοδήποτε τελεστή στην Μ ή ο πυρήνας οποιουδήποτε τελεστή στν Μ ανήκει στην Μ, και η κλειστότητα της εικόνας οποιουδήποτε υποχώρου της Μ με ένα τελεστή στην Μ, επίσης ανήκει στην Μ. Υπάρχει μια ένα-προς-ένα αντιστοιχία μεταξύ των προβολών της Μ και των υποχώρων της( συνέπεια της πολικής ανάλυσης).

Η βασική θεωρία των προβολών εκπονήθηκε από τους Μουράι και φον Νόιμαν (1936). Δυο υπόχωροι που ανήκουν στην Μ ονομάζονται (Μουράι-φον Νόιμαν) ισοδύναμοι αν υπάρχει μερική ισομετρία που αντιστοιχεί τον πρώτο ισομορφικά στο δεύτερο, που αποτελεί στοιχείο της άλγεβρας φον Νόιμαν (άτυπα ,αν η Μ ορίζει ότι οι υπόχωροι είναι ισομορφικοί).Αυτό περιλαμβάνει μια φυσική σχέση ισοδυναμίας στις προβολές προσδιορίζοντας το Ε να είναι ισοδύναμο με το F αν οι αντίστοιχοι υπόχωροι είναι ισοδύναμοι, ή με άλλα λόγια, αν υπάρχει μια μερική ισομετρία του Η που αντιστοιχεί την εικόνα του Ε ισομετρικά στην εικόνα του F και είναι ένα στοιχείο της φον Νόιμαν άλγεβρα. Ένας άλλος τρόπος να δηλώσουμε αυτό είναι ότι η Ε είναι ισοδύναμη με την F αν E=uu* και F=u*u για κάποια μερική ισομετρία u στην M.

Η σχέση ισοδυναμίας ~, έτσι όπως ορίζεται είναι πρόσθετη στην εξής έννοια: Ας υποθέσουμε ότι Ε₁~F₁ και E₂~F₂. Αν Ε₁⊥E₂ και F₁⊥F₂, τότε Ε₁+Ε₂~F₁+F₂. Αυτό δεν είναι αλήθεια σε γενικές γραμμές, αν απαιτείται μοναδιαία ισοδυναμία στον ορισμό του ~, δηλαδή αν πούμε Ε είναι ισοδύναμη με την F αν u*Eu=F για κάποιο μοναδιαίο u.
Οι υποχώροι που ανήκουν στην Μ είναι μερικώς διατεταγμένοι από την έκλιση, και αυτό περιλαμβάνει μια μερική διάταξη ≤ των προβολών. Υπάρχει επίσης μια φυσική μερική διάταξη στο σύνολο των  κλάσεων ισοδυναμίας των προβολών, που προκαλείται από την μερική διάταξη ≤ των προβολών. Αν η Μ είναι τελεστής, η ≤ είναι μια ολική διάταξη στις κλάσεις ισοδυναμίας των προβολών, που περιγράφονται στην ενότητα των ίχνών (traces) παρακάτω.
Η προβολή (ή ένας υποχώρος της Μ) λέγεται πεπερασμένη προβολή, αν δεν υπάρχει καμία προβολή F<E που είναι ισοδύναμη της Ε. Για παράδειγμα όλες οι πεπερασμένης διάστασης προβολές (υποχώροι) είναι πεπερασμένες (εφόσον οι ισομετρίες μεταξύ των χώρων Χίλμπερτ αφήνουν τη διάσταση σταθερή), αλλά ο ταυτοτικός τελεστής σε έναν άπειρης διάστασης χώρο Χίλμπερτ δεν είναι πεπερασμένος στη φον Νόιμαν άλγεβρα των φραγμένων τελεστών, εφόσον είναι ισομετρικά ισόμορφο με ένα κατάλληλο υποσύνολο του εαυτού του.  Παρόλα αυτά είναι δυνατό οι άπειρης διάστασης υποχώροι να είναι πεπερασμένοι.

Οι ορθογώνιες προβολές δεν είναι αντιμεταθετικές αναλογίες του δείκτη της συνάρτησης L∞(R).L∞(R) είναι η ||·||∞–κλειστότητα του υποχώρου που παράγεται από το δείκτη των συναρτήσεων (indicator factors).Παρόμοια μια φον Νόιμαν άλγεβρα παράγεται απο τις προβολές της, αυτό είναι συνέπεια του φασματικού θεωρήματος για τους αυτοσυζυγείς τελεστές.

Οι προβολές ενός πεπερασμένου τελεστή από μια συνεχή γεωμετρία.

Παράγοντες τύπου Ι

Ένας παράγοντας λέγεται ότι είναι 'τύπου Ι' αν υπάρχει μια ελάχιστη προβολή Ε ≠ 0,δηλαδή μια προβολή Ε, έτσι ώστε δεν υπάρχει άλλη προβολή Φ με 0 < Φ < Ε. Κάθε παράγοντας τύπου I είναι ισομορφικός στην φον Νόιμαν άλγεβρα όλων των φραγμένων τελεστών σε κάποιο χώρο Χίλμπερτ; Δεδομένου ότι υπάρχει ένας χώρος Χίλμπερτ για κάθε πληθικό αριθμό, οι κλάσεις ισομορφισμού των παραγόντων του τύπου Ι αντιστοιχούν ακριβώς στους πληθικούς αριθμούς. Δεδομένου ότι πολλοί συγγραφείς θεωρούν τις φον Νόιμαν άλγεβρες μόνο σε διαχωρίσιμους χώρους Χίλμπερτ, είναι σύνηθες να καλέσει τους φραγμένους τελεστές σε ένα χώρο Χίλμπερτ πεπερασμένης διάστασης n παράγοντα τύπου Ι ₙ
και οι φραγμένοι τελεστές σε ένα διαχωρίσιμο απείρων διαστάσεων χώρο Χίλμπερτ, ένα παράγοντα τύπου Ι  ∞.

Παράγοντες τύπου ΙΙ

Ένας παράγοντας λέγεται ότι είναι τύπου ΙΙ αν δεν υπάρχουν ελάχιστες προβολές, αλλά υπάρχουν μη-μηδενικές πεπερασμένες προβολές. Αυτό σημαίνει ότι κάθε προβολή Ε μπορεί να μειωθεί στο μισό, με την έννοια ότι υπάρχουν ισοδύναμες προβολές Φ και Γ, έτσι ώστε Ε =Φ+Γ. Εάν ο ταυτοτικός τελεστής σε έναν παράγοντα τύπου II είναι πεπερασμένος, ο παράγοντας λέγεται ότι είναι του τύπου II ₁;  Σε αντίθετη περίπτωση, λέγεται ότι είναι του τύπου II ∞.  Οι καλύτερα κατανοητοί παράγοντες του τύπου II είναι υπερπεπερασμένος τύπου II₁ παράγοντας και ο υπερπεπερασμένος τύπου II∞ παράγοντας, βρέθηκε από Μουρέι & φον Νόιμαν (1936). Αυτοί είναι οι μοναδικοί υπερπεπερασμένοι παραγοντες τύπου ΙΙ ₁ και ΙΙ ∞;  υπάρχει ένας ανυπολόγιστος αριθμός άλλων παραγόντων από αυτούς τους τύπους που αποτελούν αντικείμενο εντατικής μελέτης. Μουρέι & φον Νόιμαν (1937) αποδείχθηκε το βασικό αποτέλεσμα ότι ένας παράγοντας του τύπου ΙΙ ₁ έχει μία μοναδική πεπερασμένη εγγράψιμη κατάσταση και το σύνολο των ιχνών των προβολών είναι [0,1].
Ένας παράγοντας του τύπου ΙΙ ∞ έχει μοναδικό ημιπεπερασμένο ίχνος με αναγωγή, και το σύνολο των ιχνών των προβολών είναι [0, ∞]. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών λ έτσι ώστε να υπάρχει μια κλίμακα αυτομορφισμού και το ίχνος από ένα συντελεστή λ ονομάζεται βασική ομάδα του τύπου II
∞ παράγοντα.
Το τανυστικό γινόμενο ενός παράγοντα του τύπου II ₁ και ενός άπειρου παράγοντα τύπου Ι έχει τον τύπο II ∞ και αντίστροφα κάθε παράγοντα του τύπου II ∞  μπορεί να κατασκευαστεί σαν αυτό. Η Βασική ομάδα τύπου II₁ παράγοντα ορίζεται ως η θεμελιώδης μονάδα τανυστικού γινομένου της με το άπειρο (διαχωρισμένο) παράγοντα του τύπου Ι. Για πολλά χρόνια, ήταν ένα ανοικτό πρόβλημα να βρει έναν παράγοντα τύπου II των οποίων η θεμελιώδη ομάδα δεν ήταν η ομάδα όλων των θετικών πραγματικών, αλλά ο Κονς στη συνέχεια έδειξε ότι η ομάδα άλγεβρα φον Νόιμαν από μία αριθμήσιμη διακριτή ομάδα με την ιδιοτητα Καζντάν του T τετριμμένη αναπαράσταση απομονώνεται στο δυΪκό χώρο, όπως ΣΛ (3,Ζ), έχει μια μετρήσιμη βασική ομάδα. Στη συνέχεια ο Sorin Popa έδειξε ότι η βασική ομάδα μπορεί να είναι τετριμμένη για ορισμένες ομάδες, συμπεριλαμβανομένης και της ημιευθές γινόμενο του Ζ² από το ΣΛ(2,Ζ).
Ένα παράδειγμα ενός τύπου II ₁ παράγοντας είναι η ομάδα άλγεβρα φον Νόιμαν από ένα αριθμήσιμο άπειρο αριθμό διαφορετικών διακριτών ομάδων, έτσι ώστε κάθε μη τετριμμένη κλάση συζυγίας να είναι άπειρη. 
ΜσΝτουφ (1969) βρήκε μια οικογένεια αμέτρητες τέτοιες ομάδες με μη-ισομορφικές άλγεβρες ομάδες φον Νόιμαν, δείχνοντας έτσι την ύπαρξη πολλών διαφορετικών, αμέτρητων διαχωρίσιμων τύπου II₁ παραγόντων.

Παράγοντες τύπου ΙΙΙ

Τέλος, 'τύπου III' παράγοντες είναι παράγοντες που δεν περιέχουν μη μηδενικές πεπερασμένες προβολές καθόλου. Στην πρώτη εργασία τους οι Μουρέι & φον Νόιμαν (1936) δεν ήταν σε θέση να αποφασίσουν κατά πόσον ή όχι υπήρχαν; τα πρώτα δείγματα βρέθηκαν αργότερα από φον Νόιμαν (1940). Δεδομένου ότι ο φραγμένος τελεστής είναι πάντα άπειρο σε αυτούς τους παράγοντες, που μερικές φορές ονομάζεται τύπου III ∞ κατά το παρελθόν, αλλά πρόσφατα αυτή η σημειογραφία έχει αντικατασταθεί από την παράσταση III λ, όπου λ είναι ένας πραγματικός αριθμός στο διάστημα [0,1]. Πιο συγκεκριμένα, αν το φάσμα Κονς (με μέτρο της ομάδας του) είναι 1, τότε ο συντελεστής είναι του τύπου III ₀, αν το φάσμα Κονς είναι όλες οι αναπόσπαστες δυνάμεις του λ για 0 < λ < 1, τότε ο τύπος είναι III λ, και αν το φάσμα Κονς είναι όλοι οι θετικοί πραγματικοί τότε ο τύπος είναι III ₁. (Το φάσμα Κονς είναι μια κλειστή υποομάδα των θετικών πραγματικών, ώστε αυτοί να είναι οι μόνες δυνατότητες.) Το μόνο ίχνος σχετικά με τον τύπο III παράγοντες παίρνει την τιμή ∞ σε όλα τα μη-μηδενικά θετικά στοιχεία, καθώς και κάθε δύο μη μηδενικές προβολές είναι ισοδύναμες. κάποτε οι παράγοντες τύπου III θεωρήθηκαν δυσεπίλυτο αντικείμενο, αλλά θεωρία Τομίτα-Τακεσάκι,  έχει οδηγήσει σε μια καλή θεωρία δομής. Ειδικότερα, κάθε παράγοντας τύπου III μπορεί να γραφτεί σε έναν κανονικό τρόπο όπως η διασταυρούμενο προιόν παράγοντας του τύπου II∞ και οι πραγματικοί αριθμοί.

Ο προδυϊκός (The predual)

Κάθε φον Νόιμαν άλγεβρα  Μ έχει προδυϊκός  Μ∗, που είναι ο χώρος Μπάναχ όλων των εξαιρετικά ασθενώς συνεχών γραμμικών συναρτησοειδών στο Μ. Όπως υποδηλώνει το όνομα, Μ είναι (ως ένα χώρο Μπάναχ) η δυϊκή του προδυϊκού της. Ο προδυϊκός είναι μοναδικός με την έννοια ότι σε κάθε άλλο χώρο Μπάναχ των οποίων είναι δυϊκή Μ είναι κανονικώς ισομορφικό στο M∗. Σακέι (1971) έδειξε ότι η ύπαρξη ενός προδυϊκού χαρακτηρίζει μεταξύ φον Νόιμαν αλγεβρών και C * αλγεβρών.
Ο ορισμός του προδυϊκού δίνεται παραπάνω φαίνεται να εξαρτάται από την επιλογή του χώρου Χίλμπερτ  που Μ δρα πάνω, καθώς αυτό καθορίζει την υπερασθενή τοπολογία. Ωστόσο, ο προδυϊκός μπορεί επίσης να οριστεί χωρίς τη χρήση του χώρου Χίλμπερτ που πάνω ενεργεί το Μ ορίζοντας ότι είναι ο χώρος που παράγεται από όλα τα θετικά κανονικά γραμμικά συναρτησοειδή στο Μ. (Εδώ "κανονική" σημαίνει ότι διατηρεί το ελάχιστο άνω φράγμα όταν εφαρμόζεται σε αύξοντα δίκτυα των συζυγών τελεστών; 
ή ισοδύναμα σε αύξουσες ακολουθίες των προβολών.)
ο προδυϊκός Μ∗ είναι ένας κλειστός υπόχωρος του δυϊκού Μ* (το οποίο αποτελείται από όλες τις νόρμες-συνεχή γραμμικά συναρτησιακά στο Μ), αλλά είναι γενικά μικρότερος. Η απόδειξη είναι ότι Μ∗ (συνήθως) δεν είναι το ίδιο όπως M* είναι μη εποικοδομητικές και χρησιμοποιεί το αξίωμα της επιλογής σε ένα βασικό τρόπο; είναι πολύ δύσκολο να παρουσιάζουν σαφή στοιχεία της Μ* που δεν είναι στο Μ∗. Για παράδειγμα, με εξωτικά θετική γραμμική μορφή για την φον Νόιμαν άλγεβρα l∞(Z) δίνονται από ελεύθερα υπερφίλτρα που αντιστοιχούν σε εξωτικούς *-ομομορφισμούς στο C και να περιγράφουν την Στόουν-Σες συμπαγοποίηση του Ζ.

Παραδείγματα

Ο προδυϊκός της φον Νόιμαν άλγεβρα Λ∞(Ρ) των ουσιαστικά φραγμένων συνάρτησεων στο Ρ είναι ο χώρος Μπάναχ Λ¹(Ρ) των ολοκληρώσιμων συναρτήσεων. Το διπλό του Λ∞(Ρ) είναι αυστηρά μεγαλύτερο του Λ¹(Ρ). Για παράδειγμα ένα συναρτησιοειδές στο Λ∞(Ρ) που επεκτείνει το Ντιράκ μέτρο δ₀ σε ένα κλειστό υποχώρο φραγμένων συνεχών συναρτήσεων C⁰b(Ρ) δεν μπορεί να αναπαρασταθεί ως μια συνάρτηση στο Λ¹(Ρ). 
Ο προδυϊκός της φον Νόιμαν άλγεβρας Β(Η) από φραγμένους τελεστές σε χώρο Χίλμπερτ Η είναι ο χώρος Μπάναχ όλων των ίχνη κλάσεις τελεστών με το ίχνος νόρμα ||Α||= Tr(|Α|). Ο χώρος Μπάναχ του ίχνους των κλάσεων τελεστών είναι η ίδια η διπλή του C *-άλγεβρα των συμπαγών τελεστών (η οποία δεν είναι μια φον Νόιμαν άλγεβρα).

β-συζυγές και υποπαράγοντες

Μια β-συζυγές (ή αντιστοιχία) είναι ένας Χίλμπερτ χώρος H με πρότυπο πράξεις από δύο αντιμεταθετικές Φον Νόιμαν άλγεβρες.Οι β-συζυγές έχουν πολύ πιο πλούσια δομή από αυτή των πρότυπων. Κάθε β-συζυγές πάνω από δύο παράγοντες δίνει ένα υποπαράγοντα μέχρι ένας από τους παράγοντες πάντα να περιέχεται στην αντιμετάθεση του άλλου. Υπάρχει ακόμη ένα σχετικού suble τανυστικού γινομένου δράση λόγω Κοννς πάνω στις β-συζυγές. Η θεωρία των υποπαραγόντων , ξεκίνησε από τον Βάουγκχαν Τζόουνς, συμφιλιώνει αυτές τις δύο φαινομενικά διαφορετικές απόψεις.
Οι β-συζυγές είναι ακόμη σημαντικές για το γκρουπ Φον Νόιμαν άλγεβρα Μ από ένα διακριτό γκρουπ Γ. Πράγματι μία V είναι μια οποιαδήποτε μοναδιαία απεικόνιση του Γ, τότε, σχετικά με το Γ ως την διαγώνια υποομάδα Γ*Γ , η αντίστοιχη επαγώμενη αναπαράσταση πάνω l² (Γ, V) είναι φυσική μια β-συζυγές για δύο αντιμεταθετικά αντίγραφα του Μ .Σημαντική θεωρητική αναπαράσταση ιδιότητες του Γ μπορουν να διατυπωθούν εντελώς με όρους β-συζυγές και επιπλέον να βγάλουν νόημα για την ίδια την Φον Νόιμαν άλγεβρα.Για παράδειγμα ο Κοννς και ο Τζόουνς έδωσαν έναν ορισμό από ένα ανάλογο από Καζμπάν ιδιότητα T για Φον Νόιμαν άλγεβρες με αυτό τον τρόπο.

Μη-δεκτικοί παράγοντες

Οι Φον Νόιμαν άλγεβρες του τύπου Ι είναι πάντα δεκτικές, αλλά για τους άλλους τύπους υπάρχει ένας μη-μετρήσιμος αριθμός από διαφορετικούς μη δεκτικούς παράγοντες,το οποίο δείχνει πολύ δύσκολο να τους κατατάξουμε σε κλάσεις, ή ακόμη και να τους διακρίνουμε τον έναν από τον άλλον. Παρ'όλα αυτά ο Βοϊκουλέσκου έδειξε ότι η κλάση των μη δεκτικών παραγόντων προερχόμενοι από την ομάδα μέτρου κατασκευαστικού χώρου είναι ασύνδετη από την κλάση που προέρχεται από την ομάδα των Φον Νόιμαν άλγεβρων από τις ελεύθερες ομάδες.Αργότερα ο Ναρουτάκα Οζάουα απέδειξε ότι η ομάδα φον Νόιμαν άλγεβρας από υπερβολικές ομάδες παράγει πρώτο αριθμό τύπου ΙΙ₁ παράγοντες, δηλ. κάποιος που δεν μπορεί να παραγοντοποιηθεί ως τανυστικό γινόμενο τύπου ΙΙ ₁ παράγοντες, ένα αποτέλεσμα αποδείχθηκε πρώτα από τον Λίμινγκ Τζι για ελεύθερη ομάδα παραγόντων χρησιμοποιώντας την ελεύθερη θεωρία πιθανοτήτων του Βοϊκουλέσκου. Η δουλειά του Πόπα πάνω στις βασικές ομάδες των μη δεκτικών παραγόντων παρουσιάζει μία ακόμη σημαντική βελτίωση.Η θεωρία των παραγόντων πέρα από το υπερπεπερασμένο εξαπλώνεται ραγδαία στο παρόν, με αρκετά νέα και εκπληκτικά αποτελέσματα, έχει μερικές σχετικές ιστοσελίδες φαινόμενα ακαμψίας στη Θεωρία γεωμετρικών ομάδων και εργοδική θεωρία.

Εφαρμογές

Οι φον Νόιμαν άλγεβρες έχουν βρει εφαρμογές σε ποικίλες περιοχές των μαθηματικών όπως θεωρία νοτ , στατιστικές μηχανικές, Ευρεία κβαντική θεωρία,τοπική κβαντική φυσική , ελεύθερη πιθανότητα, μη αντιμεταθετική γεωμετρία , γεωμετρία , πιθανότητα .