Ιστορία της Άλγεβρας

Ετυμολογία

Η λέξη «άλγεβρα» προέρχεται από την αραβική λέξη Αλ-Γιάμπρ, και αυτό προέρχεται από την πραγματεία γραμμένη το  820 από το μεσαιωνικό Πέρση μαθηματικό Αμπού Αμπντουλάχ Μοχάμεντ Ιμπν Μουσά Αλ Χουαρίζμι, με τίτλο, στην αραβική γλώσσα Κιτάμπ αλ-Γκιάμπρ, η οποία μπορεί να μεταφραστεί ως Το Συνοπτικό Βιβλίο για τον Υπολογισμό Ολοκλήρωση και Εξισορρόπηση. Η πραγματεία προβλέπεται για τη συστηματική λύση γραμμικών και τετραγωνικών εξισώσεων. Παρά το γεγονός ότι το ακριβές νόημα της λέξης Άλ-Γιάμπρ είναι ακόμα άγνωστο, οι περισσότεροι ιστορικοί συμφωνούν ότι η λέξη σήμαινε κάτι σαν "αποκατάσταση", "ολοκλήρωση",(Boyer 1991, "The Arabic Hegemony" p. 229)"Δεν είναι βέβαιο τι ακριβώς οι όροι Άλ-Γκιάμπρ και μουκαμπάλα σημαίνουν, αλλά η συνήθης ερμηνεία είναι παρόμοια με αυτή που υπονοείται στην παραπάνω μετάφραση. Η λέξη αλ-Γκιαμπρ προφανώς σήμαινε κάτι σαν "αποκατάσταση" ή "ολοκλήρωση" και φαίνεται να αναφέρεται στη μεταφορά των αφαιρετέων όρων στην άλλη πλευρά μιας εξίσωσης, η οποία είναι εμφανής στην πραγματεία. H λέξη μουκαμπάλα λέγεται ότι αναφέρεται σε «μείωση» ή «εξισορρόπηση" -δηλαδή, η ακύρωση των όμοιων όρων στις αντίθετες πλευρές της εξίσωσης". "Επανενωτής  των σπασμένων οστών» ή «ο θέτων οστά»". Ο όρος χρησιμοποιείται από τον Αλ Χουαρίζμι για να περιγράψει τις ενέργειες που ο ίδιος εισήγαγε, "μείωση "και" εξισορρόπηση ", αναφερόμενος στη μεταφορά των όρων που αφαιρέθηκαν στην άλλη πλευρά της εξίσωσης, δηλαδή, την ακύρωση των παρόμοιων όρων στις αντίθετες πλευρές της εξίσωσης.

Βαβυλωνιακή άλγεβρα

Η προέλευση της άλγεβρας μπορεί να αποδοθεί στους αρχαίους Βαβυλώνιους , ο οποίοι ανέπτυξαν  ένα θέσης αριθμητικό σύστημα που τους βοήθησε σε μεγάλο βαθμό στην επίλυση των αλγεβρικών ρητορικών εξισώσεών τους. Οι Βαβυλώνιοι δεν ενδιαφέρονταν για ακριβείς λύσεις, αλλά κατά προσέγγιση λύσεις, και έτσι θα χρησιμοποιούσαν συνήθως γραμμική παρεμβολή για την προσέγγιση ενδιάμεσων  τιμών.Ένα από τα πιο διάσημα δισκία είναι η ταμπλέτα Πλίμπτον 322 , που δημιουργήθηκε γύρω στα 1900-1600 π.Χ., η  οποία δίνει έναν πίνακα των πυθαγορείων τριάδων και αντιπροσωπεύει μερικά από τα πιο προηγμένα μαθηματικά πριν από την Ελληνική μαθηματικά.
Η Βαβυλωνιακή άλγεβρα ήταν πολύ πιο προχωρημένη από την αιγυπτιακή άλγεβρα  εκείνα τα χρόνια:λαμβάνοντας υπόψη ότι οι Αιγύπτιοι ήταν ενδιαφερόμενοι κυρίως στις γραμμικές εξισώσεις ενώ οι Βαβυλώνιοι ήταν περισσότερο με τις τετραγωνικές και κυβικές εξισώσεις. Οι Βαβυλώνιοι είχαν αναπτύξει ευέλικτες αλγεβρικές πράξεις με τις οποίες ήταν σε θέση να προσθέτουν  ίσα με ίσα και να πολλαπλασιάζουν τις δύο πλευρές της εξίσωσης με παρόμοιες ποσότητες έτσι ώστε να εξαλειφθούν τα κλάσματα και οι παράγοντες.  Ήταν εξοικειωμένοι με πολλές απλές μορφές παραγόντων, τριών όρων δευτεροβάθμιες εξισώσεις με θετικές ρίζες, και πολλές κυβικές εξισώσεις , αν και δεν είναι γνωστό εάν ήταν σε θέση να μειώσουν τη γενική κυβική εξίσωση. 

Αιγυπτιακή άλγεβρα

Η αρχαία Αιγυπτιακή άλγεβρα ασχολήθηκε κυρίως με γραμμικές εξισώσεις, ενώ οι Βαβυλώνιοι θεώρησαν τις εξισώσεις αυτές ότι είναι πολύ στοιχειώδεις και ότι τα μαθηματικά πρέπει να αναπτυχθούν υψηλότερο επίπεδο από αυτό των  Αιγυπτίων.
Ο πάπυρος του Ριντ, επίσης γνωστός ως ο Ahmes Πάπυρος, είναι ένας αρχαίος αιγυπτιακός πάπυρος γραμμένος το 1650 π.Χ. από τον Ahmes, ο οποίος το αναδιαμόρφωσε από μια προηγούμενη δουλειά που χρονολογούνται μεταξύ 2000 και 1800 π.Χ. Είναι το πιο εκτεταμένο αρχαίο αιγυπτιακό μαθηματικό έγγραφο γνωστό στους ιστορικούς. O πάπυρος του Ριντ περιλαμβάνει προβλήματα με γραμμικές εξισώσεις της μορφής  και  οι οποίες επιλύονται, όπου είναι γνωστά τα a, b, και c και το x, το οποίο αναφέρεται ως "AHA" ή σωρός, είναι ο άγνωστος. Οι λύσεις πιθανώς, αλλά όχι πάντα, προκύπτουν από τη χρήση της "μεθόδου λάθους θέσης", ή κανόνας  λάθους , όπου πρώτα μια συγκεκριμένη τιμή υποκαθίσταται στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης, μετά γίνονται οι απαιτούμενοι αριθμητικοί υπολογισμοί , τρίτον το αποτέλεσμα συγκρίνεται σε σχέση με την δεξιά πλευρά της εξίσωσης, και, τέλος, η σωστή απάντηση βρίσκεται με τη χρήση των αναλογιών. Σε μερικά από τα προβλήματα ο συγγραφέας ελέγχει λύση του, γράφοντας έτσι μια  από τις αρχαιότερες γνωστές απλές αποδείξεις.

Ελληνική Γεωμετρική Άλγεβρα

Δες ακόμα: Έλληνικά Μαθηματικά
Ορισμένες φορές εικάζεται ότι οι Έλληνες δεν είχαν Άλγεβρα, ωστόσο αυτό είναι ανακριβές. Από την εποχή του Πλάτωνα, τα ελληνικά Μαθηματικά έχουν υποστεί μια δραστική αλλαγή. Οι Έλληνες δημιούργησαν μια γεωμετρική άλγεβρα, στην οποία οι όροι αναπαρίστανται από πλευρές γεωμετρικών αντικειμένων, συνήθως ευθείες, οι οποίες έχουν γράμματα που να συνδέονται με αυτές και με αυτή την καινούργια μορφή της άλγεβρας ήταν σε θέση να βρουν λύσεις σε εξισώσεις χρησιμοποιώντας μια διαδικασία που εφηύραν, γνωστή ως "Οι εφαρμογές των χώρων" . Αυτή η διαδικασία είναι μόνο ένας μέρος της γεωμετρικής άλγεβρας και καλύπτεται εκτενώς στην Ευκλείδεια Γεωμετρία.
Ένα παράδειγμα γεωμετρικής άλγεβρας θα ήταν η επίλυση της γραμμικής εξίσωσης ax=bc. Οι Αρχαίοι Έλληνες θα επίλυαν αυτή την εξίσωση λαμβάνοντας της ως ισότητα μεταξύ δύο χώρων παρά σαν μια ισότητα των λόγων a:b και  c:x. Οι Έλληνες θα κατασκεύαζαν ένα ορθογώνιο με πλευρές a και b, στη συνέχεια θα προέκτειναν μια πλευρά του ορθογωνίου κατά μήκος a και τελικά θα θα ολοκλήρωναν το εκτεταμμένο ορθογώνιο μέχρις ότου βρουν την πλευρά του ορθογωνίου που είναι η λύση.

Το άνθος του Θυμαρίδα

Ο Ιάμβλιχος στο έργο του με τίτλο Αριθμητική εισαγωγή υποστηρίζει ότι ο Θυμαρίδας (400 - 350 π.Χ.) εργάστηκε με τις ταυτόχρονες εξισώσεις. Συγκεκριμένα, δημιούργησε τον διάσημο κανόνα γνωστό ως "το άνθος του Θυμαρίδα" ή "το λουλούδι του Θυμαρίδα" το οποίο υποστηρίζει ότι:
Αν το άθροισμα n μεταβλητών που δίνεται και επίσης το άθροισμα του κάθε ζεύγους που περιέχουν μία συγκεκριμένη μεταβλητή, τότε αυτή η μεταβλητή ισούται με το 1/(n-2) της διαφοράς μεταξύ των αθροισμάτων αυτών των ζευγών και του αρχικού δοσμένου αθροίσματος 
 
 ή χρησιμοποιώντας μία σύγχρονη αντίληψη, η λύση του παρακάτω συστήματος n γραμμικών εξισώσεων σε n αγνώστους,
    x + x₁ + x₂ + ... + xₙ₋₁ = s

    x + x₁ = m₁

    x + x₂ = m₂

    .

    .

    .

    x + xₙ₋₁ = mₙ₋₁
είναι
Ο Ιάμβλιχος συνεχίζει για να περιγράψει το πως ορισμένα συστήματα γραμμικών εξισώσεων που δεν έχουν αυτή τη μορφή μπορούν αναχθούν σε αυτή τη μορφή.

Ο Ευκλείδης από την Αλεξάνδρεια

O Ευκλείδης ήταν ένας Έλληνας μαθηματικός που έζησε στην Αλεξάνδρεια της Αιγύπτου, σχεδόν βέβαια κατά τη διάρκεια της βασιλείας του Πτολεμαίου Ι(323-283ΒCE). Ούτε ο χρόνος αλλά ούτε και το μέρος της γέννησής του δεν έχουν καθοριστεί, ούτε και οι συνθήκες του θανάτου του.
Ο Ευκλείδης θεωρείται ο "πατέρας της γεωμετρίας". Τα Στοιχεία του είναι το πιο επιτυχημένο εγχειρίδιο στην ιστορία των μαθηματικών. Παρόλο που είναι ένας από τους πιο διάσημους μαθηματικούς στην ιστορία, δεν υπάρχουν νέες ανακαλύψεις που να αποδίδονται σε αυτόν, μάλλον μνημονεύεται για τις επεξηγηματικές του ικανότητες. Τα Στοιχεία δεν είναι, όπως πολλοί πιστεύουν, μία συλλογή όλης της ελληνικής μαθηματικής γνώσης μέχρι τις μέρες του, παρά μια στοιχειώδης εισαγωγή σε αυτή.

Στοιχεία

Η γεωμετρική εργασία των Ελλήνων τυποποιήθηκε στα Στοιχεία του Ευκλείδη, παρέχοντας το πλαίσιο για γενικευμένους τύπους πέρα από την επίλυση συγκεκριμένων προβλημάτων σε πιο γενικά συστήματα διατύπωσης και επίλυσης εξισώσεων.
Το δεύτερο τεύχος των Στοιχείων περιέχει δεκατέσσερις προτάσεις, οι οποίες στην εποχή του Ευκλείδη ήταν ιδιαίτερα σημαντικές για όποιον ήθελε να ασχοληθεί με τη γεωμετρική άλγεβρα. Αυτές οι προτάσεις και τα πορίσματα αυτών είναι οι γεωμετρικές αντιστοιχίες της μοντέρνας συμβολικής άλγεβρας και της τριγωνομετρίας. Σήμερα, χρησιμοποιώντας τη μοντέρνα συμβολική άλγεβρα , επιτρέπουμε στα σύμβολα να αναπαριστούν γνωστά και άγνωστα μεγέθη (αριθμοί i,e) και στη συνέχεια εφαρμόζουμε αλγεβρικές λειτουργίες σε αυτά. Στην εποχή του Ευκλείδη, τα μεγέθη θεωρούνταν ευθύγραμμα τμήματα και τα αποτελέσματα αυτών αντλήθηκαν χρησιμοποιώντας τα αξιώματα ή τα θεωρήματα της γεωμετρίας.

Αρκετοί νόμοι της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού περιλαμβάνονται ή έχουν αποδειχθεί γεωμετρικά στα Στοιχεία. Για παράδειγμα, η πρόταση 1 του δεύτερου τεύχους αναφέρει
Έστω δύο ευθείες και η μία από αυτές έχει χωριστεί σε έναν αριθμό τμημάτων, τότε το ορθογώνιο που περιέχεται μεταξύ των δύο ευθειών ισούται με το ορθογώνιο που περιέχεται μεταξύ της άλλης ευθείας και του κάθε τμήματος.
Αλλά αυτό δεν είναι τίποτα περισσότερο από τη γεωμετρική εκδοχή του (αριστερού) επιμεριστικού νόμου   και στα βιβλία V και VII των Στοιχείων έχουν αποδειχθεί η αντιμεταθετική και η προσεταιριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού.
Πολλές από τις βασικές εξισώσεις έχουν αποδειχθεί γεωμετρικά. Για παράδειγμα, η πρόταση 5 του δεύτερου τεύχους αποδεικνύει ότι  και η πρόταση 4 του δεύτερου τεύχους αποδεικνύει ότι 
Επιπλέον, υπάρχουν γεωμετρικές λύσεις που δίνονται σε πολλές εξισώσεις.Για παράδειγμα, η πρόταση 6 του δεύτερου τεύχους δίνει τη λύση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης  και η πρόταση 11 του δεύτερου τεύχους των Στοιχείων δίνει τη λύση της εξίσωσης .

Δεδομένα

Τα Δεδομένα είναι μια εργασία γραμμένη από τον Ευκλείδη για χρήση στα σχολεία της Αλεξάνδρειας και προοριζόταν να χρησιμοποιηθεί σαν συνοδευτικός τόμος των πρώτων έξι βιβλίων των Στοιχείων. Το βιβλίο αυτό περιέχει δεκαπέντε ορισμούς και ενενήντα-πέντε λήμματα, στα οποία υπάρχουν περίπου είκοσι που εξυπηρετούν τους αλγεβρικούς κανόνες ή τύπους. Μερικά από αυτά τα λήμματα είναι γεωμετρικές ισοδυναμίες των λύσεων της δευτεροβάθμιας εξίσωσης. Τα Δεδομένα περιέχει τις λύσεις των εξισώσεων  ή  και τη γνωστή Βαβυλωνιακή εξίσωση , x ± y = b.

Κωνικές Τομές

Η κωνική τομή είναι μία καμπύλη που προκύπτει από την τομή ενός κώνου και ενός επιπέδου. Υπάρχουν τρεις κύριοι τύποι κωνικών τομών: η έλλειψη (περιλαμβανομένου του κύκλου), η υπερβολή και η παραβολή. Οι κωνικές τομές φημολογείται ότι ανακαλύφθηκαν από τον Menaechmus(c. 380 – c. 320 π.Χ.) και αφού η αντιμετώπιση με τις κωνικές τομές είναι ισοδύναμη με τις αντίστοιχες εξισώσεις, παίζουν γεωμετρικό ρόλο ισοδύναμους με κυβικές εξισώσεις και άλλες μεγαλύτερης τάξης εξισώσεις.
Ο Menaechmus γνώριζε ότι η παραβολή κατέχει την εξίσωση y² = lx, όπου / μία σταθερά που ονομάζεται latus rectum, ωστόσο δεν γνώριζε το γεγονός ότι οποιαδήποτε εξίσωση με δύο αγνώστους ορίζει μία καμπύλη. Προφανώς, προέκυψαν  αυτές οι ιδιότητες από τις κωνικές τομές και από άλλα στοιχεία. Χρησιμοποιώντας αυτή την πληροφορία ήταν τώρα δυνατόν να βρει μια λύση στο πρόβλημα της επικάλυψης του κύβου, επιλύοντας το για τα σημεία στα οποία οι δύο παραβολές τέμνονται, μία λύση ισοδύναμη με την επίλυση μιας κυβικής εξίσωσης.
Μαθαίνουμε από τον Ευτόκιο, πως η μέθοδος που χρησιμοποίησε για να λύσει την κυβική εξίσωση ήταν του Διονυσόδωρου (250 – 190 π.Χ.). Ο Διονυσόδωρος επίλυσε την κυβική εξίσωση χρησιμοποιώντας την τομή της ορθογώνιας υπερβολής και της παραβολής. Αυτό σχετίζεται με το πρόβλημα του Αρχιμήδη στο "Στη σφαίρα και στον κύλινδρο". Οι κωνικές τομές μελετήθηκαν και χρησιμοποιήθηκαν για χιλιάδες χρόνια από τους Έλληνες μαθηματικούς και αργότερα από τους Μουσουλμάνους και Ευρωπαίους μαθηματικούς.

Κινέζικη Άλγεβρα

Δες ακόμα Κινέζικα μαθηματικά
Τα κινέζικα μαθηματικά χρονολογούνται τουλάχιστον από το 300 π.Χ με το Chou Pei Suan Ching, το οποίο θεωρείται ένα από τα αρχαιότερα κινέζικα μαθηματικά κείμενα.

Εννιά κεφάλαια στη Μαθηματική Τέχνη

To Chiu-chang suan-shu ή αλλιώς Εννιά κεφάλαια στη Μαθηματική τέχνη, γράφτηκε περίπου το 250 π.Χ και είναι ένα από τα κινέζικα  μαθηματικά κείμενα με την περισσότερη επιρροή και αποτελείται από 246 προβλήματα. Το κεφάλαιο 8 ασχολείται με την επίλυση προσδιοριστικών και απροσδιόριστων συστημάτων γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας θετικούς και αρνητικούς αριθμούς, με ένα πρόβλημα από αυτά να είναι η επίλυση ενός συστήματος τεσσάρων εξισώσεων με πέντε αγνώστους.

Sea-Mirror of the Circle Measurements

Το  Ts'e-yuan hai-ching ή αλλιώς το Sea-Mirror of the Circle Measurements είναι μία συλλογή από περίπου 170 προβλήματα, γραμμένο από τον Li Zhi (1192-1272 μ.Χ). Χρησιμοποίησε τη μέθοδο fan fa,ή αλλιώς τη μέθοδο Horner για να επιλύσει εξισώσεις μέχρι έκτου βαθμού, ωστόσο δεν περιέγραψε τη δική του μέθοδο επίλυσης εξισώσεων.

Μαθηματική διατριβή σε εννιά ενότητες

Shu-shu chiu-chang ή αλλιώς Μαθηματική διατριβή σε εννιά ενότητες, γράφτηκε από τον πλούσιο κυβερνήτη και υπουργό Ch'in Chiu-Chao(1202-1261 μ.Χ) και με την επινόηση μίας μεθόδου επίλυσης συστημάτων αναλογιών που τώρα ονομάζεται Chinese reminder theorem, σημειώνει τη μεγαλύτερη επιτυχία στην απροσδιόριστη ανάλυση.

Brahma Sphuta Siddhanta

Ο Brahmagupta ήταν ένας Ινδός μαθηματικός που έγραψε το Brahma Sphuta Siddhanta. Στο έργο του Brahmagupta, έλυσε την γενική τετραγωνική εξίσωση, εξίσου για θετικές και αρνητικές ρίζες. Στην αόριστη ανάλυση, ο Brahmagupta έδωσε τις πυθαγόρειες τριάδες,, ,  ,αλλά αυτή είναι μια τροποποιημένη μορφή του παλιού βαβυλωνιακού κανόνα, με την οποία (ο Brahmagupta) ίσως ήταν εξοικειωμένος"</ref>. Ήταν ο πρώτος που έδωσε την γενική λύση στη γραμμική διοφαντική εξίσωση ax + by = c, όπου τα a,b,c είναι ακέραιοι. Αντίθετα με τον Διόφαντο ο οποίος έδωσε μια μόνο λύση, ο Brahmagupta έδωσε όλες τις πιθανές ακέραιες λύσεις, αλλά το γεγονός ότι ο Brahmagupta χρησιμοποίησε μερικά κοινά παραδείγματα με τον Διόφαντο, έχει οδηγήσει τους ιστορικούς στο συμπέρασμα ότι υπάρχει πιθανότητα ο Brahmagupta να είχε επηρεαστεί από τον Έλληνα Διόφαντο, ή τουλάχιστον ότι υπήρχε κοινή βαβυλωνιακή πηγή.
Όπως η άλγεβρα του Διόφαντου, έτσι και του Brahmagupta ήταν διακεκομμένη. Η πρόσθεση πραγματοποιείτο με το να τοποθετήσει τους αριθμούς πλάι-πλάι, η αφαίρεση με το να τοποθετεί μια τελεία επί του αφαιρετέου, και η διαίρεση με το να τοποθετεί τον διαιρέτη κάτω από το μέρισμα, παρόμοιο με τον συμβολισμό μας, αλλά χωρίς ράβδο. Πολλαπλασιασμός, εξέλιξη και άγνωστες ποσότητες αναπαραστάθηκαν από συντομογραφίες από κατάλληλους όρους</ref>. Η επέκταση της ελληνικής επιρροής σ'αυτή τη συγκοπή, αν μη τι άλλο, δεν είναι γνωστή, και είναι πιθανό, ότι τόσο η ελληνική, όσο και η ινδική συγκοπή ίσως προέρχονται από την κοινή βαβυλωνιακή πηγή</ref>.

Ισλαμική Άλγεβρα

Τον πρώτο αιώνα της ισλαμικής αραβικής αυτοκρατορίας δεν
υπήρχε κάποιο επιστημονικό ή μαθηματικό επίτευγμα, αφού οι άραβες με τις
νεοκατακτημένες αυτοκρατορίες δεν είχαν κερδίσει ακόμα καμιά διανοητική και
έρευνα σε άλλα μέρη του κόσμου που είχαν ξεχαστεί. Στο δεύτερο μισό του 8ου
αιώνα, το Ισλάμ είχε μια πολιτισμική αφύπνιση και η έρευνες στα μαθηματικά και
τις άλλες επιστήμες αυξήθηκε. Λέγεται ότι ο μουσουλμάνος Abbasid caliph al-Mamun (809-833) είχε ένα όνειρο όπου
εμφανίστηκε ο Αριστοτέλης και ως συνέπεια ο Al-Mamun διέταξε να μεταφραστούν όσα περισσότερα ελληνικά έργα ήταν
εφικτό, συμπεριλαμβανομένου του Ptolemy’s Almagest and Euclid’s Elements. Οι ελληνικές λέξεις
θα δίδονταν στους μουσουλμάνους από την βυζαντινή αυτοκρατορία σαν ανταλλαγή
για συνθήκη, αφού οι δύο αυτοκρατορίες είχαν «δύσκολη ειρήνη». Πολλά από αυτά
τα ελληνικά έργα μεταφράστηκαν από τον Thabit ibn Qurra (826-901), ο οποίος μετάφρασε βιβλία γραμμένα απ’ τον
Ευκλείδη, τον Αρχιμήδη, τον Απόλλωνα, τον Πτολεμαίο και τον Ευτόκιο. Υπάρχουν
τρεις θεωρίες για την προέλευση της αραβικής άλγεβρας. Η πρώτη δίνει έμφαση
στην Hindu επιρροή, η δεύτερη στη Μεσοποταμική ή στην Περσική-Συριακή
επιρροή και η Τρίτη στην ελληνική. Πολλοί μελετητές πιστεύουν ότι αυτό είναι
αποτέλεσμα ενός συνδυασμού και των 3ων πηγών. Καθ’ όλη την διάρκεια
δύναμης τους, πριν πέσει ο ισλαμικός πολιτισμός, οι Άραβες χρησιμοποιούσαν μια
πλήρως ρητορική άλγεβρα, όπου συχνά ακόμη και οι αριθμοί γραφόντουσαν με
λέξεις. Οι Άραβες σταδιακά αντικατέστησαν τους διατυπωμένους αριθμούς (π.χ.
είκοσι δύο) με αραβικά νούμερα (22), αλλά οι άραβες δεν υιοθέτησαν ή εξέλιξαν
την συγκεκομμένη ή την συμβολική άλγεβρα, μέχρι το έργο του Ibn al-Banna τον 13ο
αι. και του Abu al-Hasan ibn Ali al-Qalasadi τον 15ο
αι.
Al-jabr wa’l muqabalah
Δείτε επίσης: The compendious book on
calculation by completion and balancing
Ο πέρσης μουσουλμάνος μαθηματικός Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi ήταν μέλος
στο «Σπίτι της σοφίας» στη Βαγδάτη το οποίο καθιερώθηκε απ’ τον Al-Mamun. Ο Al-Khwarizmi, ο οποίος πέθανε γύρω στο 850 π.Χ. , έγραψε περισσότερα
από 6 μαθηματικά και αστρονομικά έργα, μερικά από τα οποία ήταν βασισμένα στο «Indian Sindhind». Ένα από τα πιο
δημοφιλή βιβλία του al-Khwarizmi ήταν
αυτό με τίτλο Al-jabr wa’l muqabalah ή
το συνοπτικό βιβλίο στον υπολογισμό από ολοκλήρωση και ισορροπία, και δίνει
έναν υπερβολικά μεγάλο όγκο λυμένων πολυωνύμων δευτέρου βαθμού. Το βιβλίο
επίσης εισάγει τον θεμελιώδη νόμο της μείωσης και ισορροπίας, αναφερόμενο στη
μεταφορά αφαιρούμενων όρων από την άλλη μεριά μιας εξίσωσης, και αυτό είναι η
απλοποίηση όρων στα απέναντι μέλη μιας εξίσωσης. Αυτή είναι μια διαδικασία την
οποία ο Al-Khwarizmi αρχικά
περιέγραψε σαν al-jabr.
Ο R. Rashed και η Angela Armstrong έγραψαν:
«Το κείμενο του Al-Khwarizmi είναι φανερό ότι απέχει όχι μόνο από τις βαβυλωνιακές
πινακίδες, αλλά και από την αριθμητική του Διόφαντου. Πλέον δεν αφορά μια σειρά
προβλημάτων που αναζητούν λύση, αλλά την έκθεση, η οποία ξεκινά με την
πρωτόγονη άποψη στην οποία οι συνδυασμοί πρέπει να δώσουν όλα τα πιθανά
πρωτότυπα για τις εξισώσεις, οι οποίες εις το εξής αποτελούν ρητά το σωστό
αντικείμενο σπουδών. Από την άλλη μεριά, η ιδέα μιας εξίσωσης για τους δικούς
του λόγους, φαίνεται από την αρχή, και όπως θα μπορούσε να πει κάποιος, είναι
ένας γενικός τρόπος που δεν απλοποιεί την ανάδυση της λύσης ενός προβλήματος,
αλλά την επικαλείται ξεχωριστά για να καθορίσει μια άπειρη σειρά προβλημάτων.
Το al-Jabr χωρίζεται
σε έξι κεφάλαια καθένα από τα οποία ασχολείται μ’ ένα διαφορετικό τύπο
φόρμουλας. Το πρώτο κεφάλαιο περιέχει εξισώσεις των οποίων τα τετράγωνα είναι
ίσα με έναν αριθμό ax^2=c και
το τρίτο με ρίζες ίσες μ’ έναν αριθμό (bx=c), το
τέταρτο κεφάλαιο ασχολείται με τετράγωνα και ρίζες ίσες μ’ έναν αριθμό το 5ο
με τετράγωνα και αριθμό να είναι ίσο με τετράγωνο.
Στο Al-Jabr, ο Al-Khwarizmi χρησιμοποιεί γεωμετρικές
αποδείξεις, δεν αναγνωρίζει απλώς την λύση ως «x=0» και ασχολείται μόνο με θετικές
ρίζες. Επίσης καταλαβαίνει ότι η διακρίνουσα πρέπει να είναι θετική και
περιγράφει την μέθοδο της συμπλήρωσης τετραγώνων, παρ’ όλο που δεν δικαιολογεί
την διαδικασία. Η ελληνική επιρροή είναι εμφανής από τα γεωμετρικά θεμέλια του al-jabr και από ένα
πρόβλημα που το ανέλαβε ο Ήρωνας. Χρησιμοποίησε διαγράμματα με σύμβολα, αλλά
όλοι οι συντελεστές σ όλες τις εξισώσεις είναι αριθμοί, αφού δεν υπήρχε τρόπος
να εκφράσει χωρίς παραμέτρους αυτό που θα μπορούσε να εκφράσει γεωμετρικά, ο
στόχος ήταν η γενικότητα της μεθόδου.
Ο Al-Khwarizmi κατά
πάσα πιθανότητα δεν γνώριζε την «Αριθμητική» του Διοφάντου, η οποία έγινε γνωστή
στους Άραβες περίπου πριν τον 10ο αι. και παρ’ όλο που ο Al-Khwarizmi πιθανότατα
γνώριζε το έργο του Brahmagupta,
ο Al-jabr είναι
ρητορικός με τους αριθμούς, αφού τους εκφράζει με λέξεις, οπότε για παράδειγμα
όταν θα λέγαμε σαν:
Ο Διόφαντος θα το έγραφε έτσι:
Και ο Al-Khwarizmi θα
το έγραφε έτσι:
Ένα τετράγωνο και δέκα ρίζες στην ίδια ποσότητα ισούται με
39 μονάδες. Τώρα, τι πρέπει να είναι το τετράγωνο, έτσι ώστε όταν αυξηθεί με
δέκα δικές του ρίζες να είναι ίσο με 39;
Λογική αναγκαιότητα στις σύνθετες εξισώσεις
Ο ‘Abd al-Hamid ibn Turk έγραψε ένα χειρόγραφο με
τίτλο «Λογική-Αναγκαιότητες στις σύνθετες εξισώσεις» (το οποίο έχει πολλά κοινά
με το Al-jabr του
Al-Khwarizmi) και το οποίο εκδόθηκε περίπου
την ίδια εποχή - ή και νωρίτερα – από το Al-jabr.
Το χειρόγραφο δίνει την ακριβή γεωμετρική επίδειξη, όπως
υπάρχει και στο Al-jabr, και σε μια περίπτωση
έχει βρεθεί το ίδιο παράδειγμα με το Al-jabr και ακόμη ξεπερνά το Al-jabr με το να δίνει γεωμετρική απόδειξη, ότι αν η διακρίνουσα
είναι αρνητική, τότε η εξίσωση δευτέρου βαθμού δεν έχει λύση.
Το κοινό σημείο μεταξύ των δύο αυτών έργων έχει οδηγήσει
κάποιους ιστορικούς στο να καταλήξουν ότι η αραβική άλγεβρα είχε αναπτυχθεί
καλά τον καιρό του Al-Khwarizmi και
 του ‘Abd al-Hamid.
Abu Kamil and al-Karkhi
Οι αραβικής καταγωγής μαθηματικοί χρησιμοποίησαν
(λανθασμένα) τους αριθμούς σαν σύμβολα άλγεβρας. Ο αιγύπτιος μαθηματικός Abu Kamil Shuja ibn Aslam (850-930) ήταν ο πρώτος
που αποδέχτηκε αυτή την κατάσταση (συνήθως στη μορφή μιας τετραγωνικής ρίζας,
μιας κυβικής ρίζας, ή μιας ρίζας τετάρτου βαθμού) σαν λύσεις σε τετραγωνικές
εξισώσεις ή σαν συντελεστές μιας εξίσωσης. Ήταν επίσης ο πρώτος που έλυσε ένα
μη-γραμμικό σύστημα 3ων εξισώσεων με 3 αγνώστους.
Ο Al-Karkhi (953-1029) ήταν επίσης
γνωστός σαν Al-karaji, ήταν ο διάδοχος του Abu al-Wafa al-Buzjani (940-998) και ανακάλυψε τις
πρώτες αριθμητικές λύσεις στις εξισώσεις της μορφής
Ο Al-Karkhi θεώρησε
τις ρίζες θετικές.Επίσης ο Al-Karkhi θεωρείται
το πρώτο άτομο που «ελευθέρωσε» την άλγεβρα από γεωμετρικά στοιχεία, τα οποία
είναι η βάση της άλγεβρας σήμερα. Το έργο του στην άλγεβρα και τα πολυώνυμα,
έδωσε τους κανόνες για αριθμητικές λειτουργίες για την χρήση πολυωνύμων. Ο
ιστορικός των μαθηματικών F.
Woepcke στο Extrait du Fakhri,
traite
d’Algebre par Abou Bekr Mohammed Ben Alhacan Alkarkhi (paris, 1853 ) επαίνεσε τον Al-Karaji ως τον
πρώτο άνθρωπο που εισήγαγε την θεωρία του αλγεβρικού λογισμού. Με βάση αυτό,
ερεύνησε τους διωνυμικούς συντελεστές και το τρίγωνο του Πασκαλ.
Omar
Khayyam, Sharaf al-Din, and al-Kashi
Ο Omar θεωρείται ότι αναγνώρισε τα θεμέλια της αλγεβρικής
γεωμετρίας και ότι βρήκε τη γενική γεωμετρική λύση της κυβικής εξίσωσης. Για να
λύσει μια εξίσωση τρίτου βαθμού  , ο Khayyam δημιούργησε
την παραβολή  , έναν κύκλο με
διάμετρο  , και μια κάθετη ευθεία στο
σημείο τομής τους. Η λύση δίνεται από το μήκος της οριζόντιας γραμμής που
αρχίζει από την αρχή των αξόνων και τελειώνει στην τομή της κάθετης ευθείας.
Ο Omar Khayyam
(1050-1123) έγραψε ένα βιβλίο για την άλγεβρα, το οποίο ξεπέρασε αυτό του Al-Jabr, αφού εμπεριείχε εξισώσεις τρίτου
βαθμού.Ο Omar παρείχε εξίσου αριθμητικές και γεωμετρικές λύσεις για τις
τετραγωνικές εξισώσεις, αλλά έδωσε μόνο γεωμετρικές λύσεις για τις γενικές
κυβικές εξισώσεις, αφού πίστευε λανθασμένα ότι αριθμητικές λύσεις δεν υπήρχαν.
Η μέθοδος του για τις λύσεις κυβικών εξισώσεων με χρήση κωνικών τομών
χρησιμοποιήθηκε από τους Menaechmus,
Archimedes, και ibn al-Haytham (Alhazen), αλλά ο Omar γενίκευσε
τη μέθοδο αυτή έτσι ώστε να καλύπτει όλες τις κυβικές εξισώσεις με θετικές ρίζες
και ο βαθμός των εξισώσεων δεν έπρεπε να υπερβαίνει το 3. Επίσης αναγνώρισε τη
στενή σχέση μεταξύ άλγεβρας και γεωμετρίας. Τον 12ο αι. Shara f al-Din al-Tusi (1135-1213) έγραψε το Al-Mu’adalat (Treatise on Equations),
το οποίο είχε να κάνει με 8 διαφορετικούς τύπους εξισώσεων με θετικές ρίζες και
με 5 τύπους κυβικών εξισώσεων που μπορεί και να μην είχαν θετικές ρίζες.
Χρησιμοποίησε αυτό που έγινε γνωστό αργότερα ως η μέθοδος Ruffini-Horner για να
προσεγγίσει αριθμητικά την ρίζα μιας κυβικής εξίσωσης. Επίσης, εξέλιξε τις
θεωρίες για τα μέγιστα και τα ελάχιστα στις καμπύλες για να λύσει εξισώσεις οι
οποίες ίσως να μην είχαν θετικές ρίζες. Επίσης κατάλαβε τη σημασία του
διαχωρισμού της κυβικής εξίσωσης και χρησιμοποίησε μια καινούρια μορφή της
φόρμουλας του Cardano,
έτσι ώστε να βρει αλγεβρικές λύσεις σε συγκεκριμένους τύπους κυβικών εξισώσεων.
Μερικοί μελετητές όπως ο Roshdi Rashed,
διαφωνούσαν στο γεγονός ότι o Sharaf al-Din ανακάλυψε
την παράγωγο των κυβικών πολυωνύμων και συνειδητοποίησε την σημασία τους, ενώ
άλλοι μελετητές συνδέουν την λύση με τις ιδέες του Ευκλείδη και του Αρχιμήδη. Ο
Sharaf
al-Din επίσης
ανέπτυξε την ιδέα μιας λειτουργίας. Στην ανάλυσή του για την εξίσωση  για παράδειγμα, ξεκίνησε με την αλλαγή της
μορφής της σε  . Μετά στην ερώτηση αν η
εξίσωση έχει λύση, αυτό εξαρτάται από το αν έχει ή δεν έχει την λειτουργία στο
αριστερό μέλος να φτάνει την τιμή d. Για να το εξακριβώσει αυτό, βρίσκει την μέγιστη τιμή αυτής της
λειτουργίας. Αποδεικνύει ότι η μέγιστη τιμή προκύπτει όταν x=2b/3, το οποίο δίνει την τιμή 
. Sharaf al-Din μετά
δήλωσε ότι αν αυτή η τιμή είναι μικρότερη από d, δεν υπάρχουν θετικές λύσεις, αν είναι
ίσο με d τότε υπάρχει μια λύση x=2b/3
και αν είναι μεγαλύτερη απ’ το d,
υπάρχουν δύο ρίζες, μια μεταξύ 0 και 2b/3, και μία μεταξύ 2b/3 και b.
Στην αρχή του 15ου αι. ο Jams hid al-Kashi ανέπτυξε την πρώτη φόρμα από τη μέθοδο Newton για να
λύσει την εξίσωση  για να βρει ρίζες του
Ν. Ο Al-Kashi επίσης
ανέπτυξε τα δεκαδικά κλάσματα και ισχυρίστηκε ότι το ανακάλυψε μόνος του. Παρ’
όλα αυτά, ο J. Lennart Berggrenn σημειώνει
ότι έκανε λάθος αφού τα δεκαδικά χρησιμοποιήθηκαν 5 αιώνες πριν από τον Baghdadi, μαθηματικό Abu’l-Hasan al-Uqlidisi τον 10ο αιώνα.
Al-Hassar,
Ibn al-Banna, and al-Qalasadi
Ο Al-Hassar ένας
μαθηματικός απ΄το Morocco,
που ειδικευόταν στην ισλαμική κληρονομική νομολογία κατά την διάρκεια του 12ου
αιώνα ανέπτυξε τον μοντέρνο συμβολικό μαθηματικό συμβολισμό για κλάσματα όπου ο
αριθμητής και ο παρονομαστής χωρίζονται από μια οριζόντια μπάρα. Ο ίδιος
κλασματικός συμβολισμός εμφανίστηκε σύντομα μέσα στην δουλειά του Fibonacci τον
13ο αιώνα. Ο Abu al-Hasan ibn Ali al-Qalasadi (1412-1486) ήταν ο τελευταίος
σημαντικός μαθηματικός του μεσαίωνα από την Αραβία ο οποίος έκανε την πρώτη
προσπάθεια για την δημιουργία αλγεβρικού συμβολισμού, από τότε που ο Ibn al-Banna, δύο αιώνες πριν ήταν αυτός ο
πρώτος που επιχείρησε μια τέτοια προσπάθεια μετά τον Διόφαντο και τον Brahmagupta, στα χρόνια τους.
Οι διακεκομμένοι συμβολισμοί από τους προηγούμενους στερούνταν συμβόλων για
μαθηματικές λειτουργίες. Ο Al-Qalasadi έκανε
το πρώτο βήμα προς την εισαγωγή για δημιουργία αλγεβρικών συμβόλων με τη χρήση
νούμερων και με μικρές αραβικές λέξεις, ή με τα αρχικά τους γράμματα σαν
μαθηματικά σύμβολα.

Σκοτεινή Εποχή

Ακριβώς όπως ο θάνατος της Υπατίας σηματοδοτεί το κλείσιμο της Βιβλιοθήκης της Αλεξάνδρειας ως μαθηματικό κέντρο, το ίδιο κάνει και ο θάνατος του Βοήθιου, σημάνει και το τέλος των μαθηματικών στη Δυτική Ρωμαϊκή Αυτοκρατορία . Παρά το γεγονός ότι υπήρξε κάποια δουλειά που γινόταν στην Αθήνα , ήρθε για να κλείσει, όταν το 529 ο Βυζαντινός αυτοκράτορας Ιουστινιανός έκλεισε τις ειδωλολατρικές φιλοσοφικές σχολές. Το έτος 529 τώρα είναι η αρχή της μεσαιωνικής περιόδου. Οι μελετητές έφυγαν από τη Δύση προς την πιο φιλόξενη Ανατολή, ιδιαίτερα προς την Περσία, όπου βρήκαν καταφύγιο κάτω από το βασιλιά Χοσρόη και δημιούργησε αυτό που θα μπορούσαμε να αποκαλέσουμε μία "Αθηναϊκή Ακαδημία στην Εξορία". Σύμφωνα με μια συνθήκη με τον Ιουστινιανό,  ο Χοσρόης θα επιστρέψει τελικά τους μελετητές στην Ανατολική Αυτοκρατορία. Κατά τη διάρκεια του Μεσαίωνα, τα ευρωπαϊκά μαθηματικά ήταν στο ναδίρ τους με τη μαθηματική έρευνα να αποτελείται κυρίως από σχόλια για τα αρχαία συγγράμματα και το μεγαλύτερο μέρος αυτής της έρευνας επικεντρώθηκε στη Βυζαντινή Αυτοκρατορία . Το τέλος της μεσαιωνικής περιόδου ορίζεται ως την πτώση της Κωνσταντινούπολης στους Τούρκους το 1453.

Τέλη του Μεσαίωνα

Ο 12ος αιώνας είδε μια πλημμύρα μεταφράσεων από τα αραβικά στα λατινικά και από τον 13ο αιώνα, τα Ευρωπαϊκά μαθηματικά είχαν αρχίσει να ανταγωνίζονται τα μαθηματικά των άλλων χωρών. Τον 13ο αιώνα, η λύση της κυβικής εξίσωσης από Φιμπονάτσι είναι αντιπροσωπευτική της αρχή της αναβίωσης στην ευρωπαϊκή άλγεβρα.
Καθώς ο ισλαμικός κόσμος μειωνόταν μετά τον 15ο αιώνα, ο ευρωπαϊκός κόσμος ανέβαινε. Και εδώ είναι που Άλγεβρα αναπτύχθηκε περαιτέρω.

Σύγχρονη Άλγεβρα

Άλλο ένα σημαντικό γεγονός για την περαιτέρω ανάπτυξη της άλγεβρας ήταν η γενική αλγεβρική λύση των κυβικών και των τεταρτοβάθμιων εξισώσεων, που αναπτύχθηκε στα μέσα του 16ου αιώνα. Η ιδέα ενός προσδιοριστή αναπτύχθηκε από τον Ιάπωνα μαθηματικό Kowa Seki τον 17ο αιώνα,ακολουθούμενη από τον Γκότφρίντ Λάιμπνιτς, δέκα χρόνια αργότερα, για τους σκοπούς των συστημάτων των ταυτόχρονων γραμμικών εξισώσεων με την επίλυση των πινάκων.Ο Γκάμπριελ Κράμερ έκανε επίσης κάποια εργασία στους πίνακες και τους καθοριστικούς παράγοντες sto 18ο αιώνα.
Το σύμβολο  συνήθως υποδηλώνει μια άγνωστη μεταβλητή . Ακόμη και αν κάθε γράμμα μπορεί να χρησιμοποιηθεί,  είναι η πιο κοινή επιλογή. Η παράδοση της χρησιμοποίησης  να εκπροσωπεί αγνώστους ξεκίνησε από το Ρενέ Ντεκάρτ στο έργο του Η Γεωμετρία (1637). Στα μαθηματικά, μια " πλάγια γράμματα Χ »() χρησιμοποιείται συχνά για να αποφευχθεί πιθανή σύγχυση με το σύμβολο του πολλαπλασιασμού.

Γκότφριντ Λάιμπνιτς

Αν και η μαθηματική έννοια της συνάρτησης ήταν απόλυτη σε τριγωνομετρικούς, λογαριθμικούς πίνακες, που υπήρχε στην εποχή του, ο Γκότφριντ Λάιμπνιτς ήταν ο πρώτος, το 1692 και το 1694, για να το χρησιμοποιήσει ρητά, για να υποδηλώσει οποιοδήποτε από τις διάφορες γεωμετρικές έννοιες που προέρχονται από μια καμπύλη, όπως τετμημένη , τεταγμένη , εφαπτομένη , χορδή , και η κάθετη . Τον 18ο αιώνα, η "συνάρτηση" έχασε τα γεωμετρικές ενώσεις.
Ο Λάιμπνιτς συνειδητοποίησε ότι οι συντελεστές ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων μπορεί να διατάσσονται σε μία συστοιχία, τώρα ονομάζεται πίνακας, η οποία μπορεί να χειριστεί για να βρει τη λύση του συστήματος, εάν υπάρχει. Αυτή η μέθοδος αργότερα ονομάστηκε απαλοιφή Γκάους .Ο Λάιμπνιτς ανακάλυψε επίσης την άλγεβρα Μπούλ και τη συμβολική λογική , επίσης, σχετικά με την άλγεβρα.

Αφηρημένη Άλγεβρα

Η ικανότητα να κάνεις άλγεβρα είναι μια δεξιότητα που καλλιεργείται στην μαθηματική εκπαίδευση . Όπως εξηγήθηκε από τον Andrew Warwick, οι φοιτητές του Πανεπιστημίου του Κέιμπριτζ στις αρχές του 19ου αιώνα ασκούνταν στα «μικτά μαθηματικά», κάνοντας ασκήσεις με βάση τις φυσικές μεταβλητές, όπως ο χώρος, ο χρόνος, και το βάρος.Με την πάροδο του χρόνου η σύνδεση των μεταβλητών με φυσικές ποσότητες να ξεθωριάζει ως μαθηματική τεχνική μεγάλωσε. Τελικά, τα μαθηματικά ασχολούνταν πλήρως με τα αφηρημένα πολυώνυμα, μιγαδικούς αριθμούς, hypercomplex αριθμούς και άλλες έννοιες.Η Εφαρμογή σε φυσική κατάσταση ονομαζόταν τότε εφαρμοσμένα μαθηματικά ή μαθηματική φυσική , και το πεδίο των μαθηματικών επεκτάθηκε για να συμπεριλάβει την αφηρημένη άλγεβρα . Για παράδειγμα, το ζήτημα των οικοδομήσιμων αριθμών έδειξαν κάποιους μαθηματικούς περιορισμούς, και το πεδίο της θεωρίας Γκαλουά αναπτύχθηκε.

Ο πατέρας της Άλγεβρας

Ο Ελληνιστής μαθηματικός Διόφαντος έχει παραδοσιακά γίνει γνωστός ως "ο πατέρας της άλγεβρας» , αλλά συζήτηση υπάρχει σήμερα ως προς το εάν ή όχι ο ΆΛ-Χουαρίζμι αξίζει αυτόν τον τίτλο αντί αυτού. Όσοι υποστηρίζουν την άποψη του Διόφαντου στο γεγονός ότι η άλγεβρα βρέθηκε στο Al-Jabr είναι πιο στοιχειώδης από το ότι η άλγεβρα βρέθηκε στα Αριθμητικά και ότι τα Αριθμητικά είναι συγκεκομμένο ενώ το Al-Jabr είναι πλήρως ρητορικό.
Όσοι υποστηρίζουν την άποψη του Αλ-Khwarizmi στο γεγονός ότι έδωσε μια εξήγηση για την αλγεβρική λύση της τετραγωνικών εξισώσεων με θετικές ρίζες, και ήταν η πρώτη για να διδάξει άλγεβρα σε στοιχειώδη μορφή και για τους δικούς του λόγους, ενώ ο Διόφαντος κατά κύριο λόγο ασχολείται με την θεωρία των αριθμών . Ο Αλ-Χουαριζμι εισήγαγε επίσης την θεμελιώδη έννοια της «μείωσης» και «εξισορρόπησης» (το οποίο χρησιμοποίησε αρχικά τον όρο al-Jabr να αναφερθώ), αναφορικά με τη μεταφορά των αφαιρούμενων όρων στην άλλη πλευρά μιας εξίσωσης, δηλαδή, η ακύρωση της παρόμοιων όρων στις αντίθετες πλευρές της εξίσωσης. Άλλοι υποστηρικτές του Αλ-Χουαρίζμι δείχνουν ότι στην άλγεβρα του δεν είναι πλέον να ανησυχούν "με μια σειρά από προβλήματα που πρέπει να επιλυθούν, αλλά μια έκθεση η οποία ξεκινά με την πρωτόγονη άποψη κατά την οποία οι συνδυασμοί θα πρέπει να δώσουν όλα τα πιθανά πρότυπα για τις εξισώσεις, που στο εξής αποτελούν ρητά το πραγματικό αντικείμενο της μελέτης. " Τονίζουν, επίσης, τη θεραπεία του για μια εξίσωση για τους δικούς του λόγους και του "με ένα γενικό τρόπο, στο μέτρο που αυτό δεν προκύπτει μόνο κατά τη διάρκεια της επίλυσης ενός προβλήματος, αλλά ειδικά καλείται να καθορίσει μια άπειρη τάξη προβλημάτων."