Πλειάδα (μαθηματικά)

Πλειάδα ή  ν-άδα (αγγλικά: n-tuple) στα μαθηματικά είναι μια πεπερασμένη διατεταγμένη λίστα (ή ακολουθία)  στοιχείων (elements), όπου  είναι ένας μη αρνητικός ακέραιος. Συμβολίζεται με τα στοιχεία της να περικλείονται μέσα σε απλές παρενθέσεις «» ή γωνιακές παρενθέσεις «». και να χωρίζονται με κόμμα «,». Για παράδειγμα μία -πλειάδα, της οποίας τα στοιχεία είναι , γράφεται πάντα με την συγκεκριμένη σειρά. Υπάρχει μόνο μία 0-πλειάδα, που είναι η κενή πλειάδα και γράφεται . Τα στοιχεία της μπορεί να είναι οτιδήποτε, αριθμοί, σύμβολα, αντικείμενα (υλικά ή άυλα, υπαρκτά ή ανύπαρκτα), σκέψεις, κλπ, όπως σε ένα σύνολο. Διαφέρει από το σύνολο κυρίως στο ό,τι τα στοιχεία της έχουν συγκεκριμένη σειρά και δεν είναι άπειρα. Το διάνυσμα είναι μία πλειάδα. Η πλειάδα δεν είναι διάνυσμα γιατί μπορεί να μην ανήκει σε ένα διανυσματικό χώρο (δεν έχει τις πράξεις της πρόσθεσης, του πολλαπλασιασμού, κλπ).
Μαθηματική εκφώνηση: Μία πλειάδα   στοιχείων εκφωνείται άδα ή διατεταγμένη  άδα.

Ορισμός

Η πλειάδα ορίζεται χρησιμοποιώντας την έννοια της συνάρτησης που μας επιτρέπει να αντιστοιχίσουμε τα στοιχεία ενός συνόλου (πεδίο ορισμού) στα στοιχεία ενός άλλου συνόλου (πεδίο τιμών). Για να ορίσουμε την πλειάδα ,   στοιχείων, αρκεί να πάρουμε το σύνολο των στοιχείων της (το οποίο επειδή είναι σύνολο δεν έχει διάταξη) και να ορίσουμε διάταξη. Θεωρούμε μία συνάρτηση , με πεδίο ορισμού το σύνολο , όπου τα στοιχεία του είναι φυσικοί αριθμοί, οι οποίοι έχουν την ιδιότητα της διάταξης: . Σαν πεδίο τιμών της συνάρτησης λαμβάνουμε το σύνολο των στοιχείων της πλειάδας που θέλουμε να ορίσουμε. Ορίζουμε την συνάρτηση  , η οποία μας επιτρέπει να δώσουμε ορισμένη διάταξη στα στοιχεία του συνόλου  και να ορισθεί η πλειάδα .
Με λιγότερο αυστηρούς όρους μπορούμε να γράψουμε: , όπου ,  και , όταν .

Η διάταξη των στοιχείων

Μία από τίς ιδιότητες της πλειάδας που την διαφοροποιεί από την έννοια του συνόλου είναι η «θέση» που έχουν τα στοιχεία της:
   (όπου το σύμβολο σημαίνει ικανή και αναγκαία συνθήκη)
Η ισότητα ισχύει όταν τα στοιχεία που βρίσκονται στην αντίστοιχη «θέση» είναι ίσα, ενώ στα σύνολα δεν υπάρχει συγκεκριμένη «θέση» για τα στοιχεία τους. Για παράδειγμα οι πλειάδες 3 στοιχείων: ,  είναι άνισες (διαφορετικές), ενώ τα σύνολα , , είναι ίσα ή πιό συγκεκριμένα είναι το ίδιο συνολο γραμμένο με διαφορετικό τρόπο.

Πολλαπλά ίδια στοιχεία

Σε μια πλειάδα  ενδέχεται να ισχύει για δύο στοιχεία της , όπου . Δηλαδή ένα ή περισσότερα στοιχεία της μπορούν να είναι τα ίδια, ενώ στα σύνολα δεν επιτρέπεται εξ΄ορισμού. Για παράδειγμα, ενώ η πλειάδα  είναι σωστά γραμμένη, το σύνολο  είναι λάθος με την σωστή του γραφή να είναι .

Πεπερασμένος αριθμός στοιχείων

Σε μιά πλειάδα ο αριθμός των στοιχείων είναι πεπερασμένος, ενώ σε ένα σύνολο μπορεί να είναι άπειρος, όπως στο μη πεπερασμένο σύνολο των φυσικών αριθμών .

Καρτεσιανό γινόμενο συνόλων

Το καρτεσιανό γινόμενο  πεπερασμένων συνόλων, είναι ένα σύνολο που τα στοιχεία του είναι πλειάδες των  στοιχείων. Αν , είναι πεπερασμένα σύνολα τότε το καρτεσιανό γινόμενό τους είναι:
,
τα στοιχεία του οποίου είναι διατεταγμένες άδες. Γιά παράδειγμα αν έχουμε τα σύνολα: , , τότε το καρτεσιανό γινόμενό τους είναι: , σύνολο με  στοιχεία, τα οποία είναι διατεταγμένες άδες, οι οποίες επειδή αποτελούνται από 2 στοιχεία, είναι ειδική περίπτωση πλειάδων και ονομάζονται διατεταγμένα ζεύγη.