Παράδοξο των διδύμων

Γενικά παράδοξο χαρακτηρίζεται κάθε φαινόμενο το οποίο φαίνεται ν’ αντιβαίνει τους κανόνες της κοινής λογικής, επειδή δίνει την εντύπωση ότι περιέχει κάποια αντιφατικά στοιχεία. Στην πραγματικότητα τα διάφορα παράδοξα εξηγούνται με τους φυσικούς νόμους.

Εισαγωγή

Οι καθημερινές μας εμπειρίες για την ταχύτητα κίνησης διαφόρων σωμάτων περιορίζονται σε ταχύτητες πολύ μικρότερες απ’ εκείνη του φωτός. Η Νευτώνεια μηχανική και οι πρώτες ιδέες για το χωροχρόνο αποσκοπούσαν στην ερμηνεία της κίνησης των σωμάτων αυτών. Ο στόχος αυτός ήρθε σε πέρας με μεγάλη επιτυχία ερμηνεύοντας πράγματι ένα πολύ μεγάλο φάσμα φαινομένων. Η Νευτώνεια μηχανική εξηγεί με μεγάλη επιτυχία φαινόμενα χαμηλών ταχυτήτων, αλλά αποτυγχάνει και δεν μπορεί να εξηγήσει φαινόμενα που γίνονται σε ταχύτητες πλησίον εκείνης του φωτός. Πειραματικά  έχει αποδειχτεί ότι η ισχύς της Νευτώνειας μηχανικής είναι περιορισμένη.
Σύμφωνα με τη θεωρία της σχετικότητας του Άλμπερτ Αϊνστάιν μπορούμε να προβλέψουμε τις πειραματικές παρατηρήσεις για ταχύτητες από u = 0 έως εκείνες που πλησιάζουν την ταχύτητα του φωτός. Η Νευτώνεια Μηχανική, που θεωρούταν επί δύο αιώνες ότι είναι η γενική θεωρία, αποτελεί ειδική περίπτωση της γενικότερης θεωρίας του Αϊνστάιν, της θεωρίας δηλαδή της ειδικής σχετικότητας.
Στο θέμα μας εδώ θα δώσουμε έμφαση μόνο στις επιπτώσεις της ειδικής θεωρίας της σχετικότητας του Αϊνστάιν όσο αφορά το χρόνο (παράδοξο διδύμων).

Η αρχή της σχετικότητας

Για να περιγράψουμε ένα φυσικό γεγονός πρέπει να ορίσουμε ένα σύστημα αναφοράς . Είναι γνωστό ότι απόλυτη ακινησία ή κίνηση δεν εννοείται. Ένα σώμα λέμε ότι κινείται, όταν αλλάζει θέση σε σχέση με ένα σύστημα συντεταγμένων το οποίο εμείς θεωρούμε ακίνητο (σύστημα αναφοράς). Εάν πάρουμε ένα σώμα που δεν επιδρά με κανένα άλλο σώμα, τότε υπάρχει κάποιο σύστημα αναφοράς, ως προς το οποίο το σώμα αυτό είτε είναι ακίνητο είτε κινείται ευθύγραμμα ομαλά. Το σύστημα αυτό το ονομάζουμε αδρανειακό σύστημα αναφοράς. Ένα τέτοιο αδρανειακό σύστημα είναι για παράδειγμα το σύστημα των μακρινών αστέρων, αφού η αλληλεπίδραση ενός σώματος με αυτά θεωρείται αμελητέα.
Προτού μελετήσουμε ένα απ’ τ’ αποτελέσματα της ειδικής θεωρίας της σχετικότητας, εκείνο της σχετικότητας του χρόνου, πρέπει να καταλάβουμε πως περιγράφεται ένα γεγονός, από έναν παρατηρητή που βρίσκεται σ’ ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς. Γνωρίζουμε απ’ την ίδια θεωρία ότι για να περιγράψουμε ένα γεγονός χρειαζόμαστε 4 συντεταγμένες, 3 για το χώρο (μήκος, πλάτος, ύψος) και μια για το χρόνο (χωροχρόνος). Παρατηρητές που βρίσκονται σε διαφορετικά αδρανειακά συστήματα αναφοράς θα περιγράψουν το γεγονός με διαφορετικές συντεταγμένες χωροχρόνου. Υποθέστε δύο παρατηρητές Α, και Β σε δύο διαφορετικές κορυφές με συγχρονισμένα τα ρολόγια τους. Ο παρατηρητής Α κάποια χρονική στιγμή ( t = x) στέλνει ένα σήμα φωτός και καταγράφεται από το ρολόι του. Επειδή το φως δε φτάνει “ακαριαία” στον παρατηρητή Β αυτός το καταγράφει με μία καθυστέρηση ίση με r / c, όπου r είναι η απόσταση των δύο κορυφών και c η ταχύτητα του φωτός. Ο χρόνος αυτός είναι πάρα μα πάρα πολύ μικρός  αλλά πάντοτε πεπερασμένος, συνεπώς και μετρήσιμος. Επομένως για να είναι συγχρονισμένο το δεύτερο ρολόι πρέπει να δείχνει χρόνο ίσο με r/c τη στιγμή που θα φτάσει το σήμα σ’ αυτόν. Καθώς προχωράμε στο θέμα μας θα παρατηρήσουμε ότι τ’ αποτελέσματα αυτά της θεωρίας του Einstein στη σχετική κίνηση βρίσκονται σε άμεση αντίθεση με τις απόψεις που έχουμε για το χώρο αλλά και το χρόνο. 
Θα δούμε ότι :
“Η απόσταση ανάμεσα σε δυο σημεία καθώς και το χρονικό διάστημα ανάμεσα σε δυο γεγονότα εξαρτάται απ’ το σύστημα αναφοράς στο οποίο γίνεται η μέτρηση, δεν υπάρχουν δηλαδή έννοιες του απόλυτου μήκους ή απόλυτου χρόνου”.

Η σχετικότητα του χρόνου

Είδαμε ότι παρατηρητές που βρίσκονται σε διαφορετικά αδρανειακά συστήματα θα βρίσκουν πάντοτε κατά τις μετρήσεις διαφορετικές τιμές για το χρονικό διάστημα που διέρρευσε μεταξύ δύο συμβάντων. Αυτό μπορούμε να το καταλάβουμε καλύτερα εάν θεωρήσουμε ένα βαγόνι που κινείται προς τα δεξιά με ταχύτητα u (σχήμα 1.). Το εσωτερικό της οροφής του βαγονιού έχει έναν καθρέπτη και ο παρατηρητής Α’ ακίνητος ως προς το βαγόνι κρατά ένα λέιζερ σε απόσταση d απ’ τον καθρέπτη. Σε μια στιγμή το λέιζερ εκπέμπει προς την κατεύθυνση του καθρέπτη ένα παλμό φωτός (γεγονός 1). Μετά από λίγο αφού ανακλαστεί στον καθρέπτη επιστρέφει πίσω στο λέιζερ (γεγονός 2). Ο παρατηρητής Α’ έχει ένα ρολόι και μετράει το χρονικό διάστημα Δt’ που διέρρευσε ανάμεσα στα δύο γεγονότα. Γνωρίζουμε ότι η ταχύτητα του παλμού του φωτός είναι c. Επομένως για να βρούμε το χρόνο ώσπου το φως να μεταβεί απ’ το λέιζερ στον καθρέπτη και να επιστρέψει στο λέιζερ, θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο της ταχύτητας,
όπου :
u = ταχύτητα
s = διανυθείσα απόσταση
t =  χρόνος
αντικαθιστώντας και λύνοντας ως προς t βρίσκουμε :
(Βασικό να σημειώσουμε ότι ο παρατηρητής Α’ χρησιμοποίησε ένα μόνο ρολόι που είναι ακίνητο (βρίσκεται στο ίδιο σημείο του συστήματος αναφοράς του κινούμενου οχήματος).
Θεωρούμε τώρα τα ίδια γεγονότα αλλά από τη σκοπιά του παρατηρητή Β’ που βρίσκεται στο έδαφος ακίνητος. Σύμφωνα με τον παρατηρητή Β’ ο καθρέπτης και το λέιζερ κινούνται προς τα δεξιά με ταχύτητα u μαζί με το τραίνο. Μέχρι τη στιγμή που ο παλμός θα φτάσει στον καθρέπτη, ό καθρέπτης θα έχει κινηθεί προς τα δεξιά κατά μια απόσταση ίση με από (1) και (2)
Δt = Το χρονικό διάστημα που κατά τον παρατηρητή Β απαιτείται ώσπου ο παλμός του φωτός να φτάσει απ’ το λέιζερ στον καθρέπτη και να επιστρέψει στο λέιζερ.
Συγκρίνοντας τα δύο σχήματα θα διαπιστώσουμε ότι κατά τον παρατηρητή Β’ η διαδρομή του παλμού είναι μεγαλύτερη απ’ εκείνη που νομίζει ο παρατηρητής Α’ !
Σύμφωνα με το 2ο αξίωμα της σχετικότητας  και οι δύο παρατηρητές πρέπει να μετρούν την ίδια ταχύτητα φωτός c. Επειδή κατά τον παρατηρητή Β’ η διαδρομή του φωτός είναι μεγαλύτερη, τότε και το χρονικό διάστημα Δt που μετράει στο ακίνητο σύστημα πρέπει να είναι μεγαλύτερο από το χρονικό διάστημα Δt’ που μετράει ο παρατηρητής Α’ στο κινούμενο σύστημα.
Για να βρούμε τη σχέση ανάμεσα στα δύο χρονικά διαστήματα θεωρούμε το ορθογώνιο τρίγωνο (σχήμα 3.) Εφαρμόζοντας το Πυθαγόρειο θεώρημα  βρίσκουμε :
Λύνοντας ως προς Δt βρίσκουμε :
Βάση της (2) η (5) γίνεται :
Τα δύο γεγονότα που παρατηρεί ο Β’ συμβαίνουν σε δύο διαφορετικά σημεία του χώρου και για να μετρήσει το Δt, πρέπει να χρησιμοποιήσει δύο συγχρονισμένα ρολόγια που βρίσκονται σε δύο διαφορετικά σημεία στο σύστημα αναφοράς του.
Βλέπουμε από την εξίσωση (6) ότι το Δt του παρατηρητή Α στο ακίνητο σύστημα αναφοράς είναι μεγαλύτερο από το Δt’ του Β στο κινούμενο σύστημα.  Δηλαδή :
Το φαινόμενο αυτό λέγεται διαστολή χρόνου. Το Δt’ λέγεται ιδιόχρονος.
Η διαστολή του χρόνου είναι ένα φαινόμενο που έχει επιβεβαιωθεί πειραματικά .
Αφού εξηγήσαμε το φαινόμενο της διαστολής του χρόνου ερχόμαστε στην ανθρώπινη εφαρμογή του με το υποθετικό πείραμα του ταξιδιού των διδύμων.

Το παράδοξο των διδύμων

Ένα πολύ ενδιαφέρον αποτέλεσμα της διαστολής το χρόνου είναι το λεγόμενο παράδοξο των διδύμων.
Θεωρούμε δύο 20άχρονους δίδυμους το Σταμάτη και το Γρηγόρη. Ο Γρηγόρης μπαίνει σ’ ένα διαστημόπλοιο το έτος 2008 και ταξιδεύει σ’ ένα μακρινό αστέρι που απέχει απ’ τη Γη 30 έτη φωτός  με ταχύτητα πολύ κοντά σ’ εκείνη του φωτός. Αφού φτάσει στον προορισμό του επιστρέφει αμέσως στη Γη με την ίδια ακριβώς ταχύτητα. Όταν φτάνει στη Γη εκπλήσσεται με τις αλλαγές που βλέπει γύρω του. Οι πόλεις γύρω του έχουν αλλάξει, ο τρόπος ζωής των ανθρώπων έχει αλλάξει κι αυτός καθώς νέες τεχνολογίες έχουν μπει στη ζωή του, αλλά και άλλα πολλά. Η μεγαλύτερη έκπληξη όμως τον περιμένει όταν πηγαίνει στο σπίτι του δίδυμου αδερφού του Σταμάτη. Αντί να δει ένα παλικάρι 31 ετών (που είναι η ηλικία του) βλέπει ένα παππούλη με δύο εγγόνια στην ηλικία που είχε όταν ξεκίνησε το ταξίδι του! Ο Σταμάτης βλέποντας το δίδυμο αδερφό του τον αναγνωρίζει φυσικά αμέσως και ανοίγει την αγκαλιά του να τον υποδεχτεί :
“Καλωσόρισες Γρηγόρη ! Πως ήταν το ταξίδι ;” λέει ο Σταμάτης.
“Ένα ταξίδι στο διάστημα είναι μια εκπληκτική εμπειρία. Βλέπεις υπέροχους κόσμους που δε τους φαντάζεσαι καν… αλλά μια στιγμή ο Σταμάτης που είναι ;”
“ΕΓΩ ΕΙΜΑΙ, τόσο πολύ άλλαξα ;!” απαντά ο Σταμάτης. 
“Τι ‘κακό’ σε βρήκε και φαίνεσαι σαν να ‘σαι 80άρης;” ρωτά ο Γρηγόρης.
“Μα ΕΙΜΑΙ 80 ετών, βρισκόμαστε στο έτος 2068…”
Ο Γρηγόρης λιποθυμά και ο Σταμάτης τον αρχίζει “στα χαστούκια” για να τον συνεφέρει !
Ας το δούμε όμως απ’ τη σκοπιά της επιστήμης :
Είναι φυσικό ν’ αναρωτηθούμε “ποιος από τους δίδυμους αδερφούς ταξίδεψε με ταχύτητα πλησίον εκείνης του φωτός” διότι αυτός θα είναι που δε θα γέρασε.  
Στο σύστημα αναφοράς του Σταμάτη αυτός έμεινε στη Γη ενώ ο Γρηγόρης έφυγε για το ταξίδι. Απ’ την άλλη πλευρά κάποιος άλλος από αλλού μπορεί να πει ότι ο Σταμάτης μαζί με τη Γη ταξίδεψε με την προαναφερθείσα ταχύτητα και κατόπιν επέστρεψαν. Ακριβώς αυτό είναι το φαινομενικά παράδοξο.
Για να το λύσουμε πρέπει να επιστήσουμε την προσοχή μας στο γεγονός ότι, το σύστημα αναφοράς του Γρηγόρη αλλάζει κατάσταση από την αδράνεια δύο φόρες, ενώ το σύστημά αναφοράς του Σταμάτη είναι συνεχώς αδρανές, δηλ δεν αλλάζει η κινητική του κατάσταση. Το φαινομενικά λοιπόν αυτό παράδοξο εξηγείται στα πλαίσια της ειδικής θεωρίας της σχετικότητας.

Επίλογος

Δύο μεγάλες επαναστάσεις δημιούργησαν τη μοντέρνα φυσική : Η θεωρία της σχετικότητας και η κβαντική φυσική. 
Η πρώτη είναι μια θεωρία για το χώρο, το χρόνο και την κίνηση ενώ η δεύτερη περιγράφει τη συμπεριφορά της ύλης σε μοριακό, ατομικό αλλά και υποατομικό επίπεδο (ηλεκτρόνια, πρωτόνια, νετρόνια, κουάρκς, κ.α.).
Οι συνέπειές τους είναι αινιγματικές αλλά και βαθιές. 
Ένα απ’ τα “θύματα” της ειδικής θεωρίας της σχετικότητας είναι η αντίληψη ότι ο χρόνος είναι απόλυτος και οικουμενικός (Newton). Ο Αϊνστάιν απέδειξε, όπως είδαμε, ότι ο χρόνος είναι ελαστικός και συστέλλεται ή διαστέλλεται εξαιτίας της κίνησης. Κάθε παρατηρητής έχει την προσωπική του κλίμακα ροής χρόνου που είναι διαφορετική για κάποιον άλλο. Αυτή η “αλλόκοτη” συμπεριφορά του χρόνου ανοίγει το δρόμο για ταξίδια στο χρόνο, που έτσι κι αλλιώς κάνουμε στιγμή – στιγμή, αλλά σε κάποιους άλλους επιτρέπει να φτάνουν γρηγορότερα ! (παράδοξο διδύμων). Αρκεί να σκεφτούμε ότι ο Γρηγόρης “έχασε” 49 χρόνια γήινων πεπραγμένων !
Η στάση του φυσικού απέναντι στο χρόνο έχει επηρεαστεί πολύ απ’ τις εμπειρίες του (πειραματική επιβεβαίωση διαστολής του χρόνου) με αποτέλεσμα να επαναλαμβάνει τα λόγια από το φιλοσοφικό μυθιστόρημα του Βολταίρου “Το πεπρωμένο” :
“Τίποτα δεν είναι πιο μεγάλο, αφού αυτός  είναι το μέτρο της αιωνιότητας. Τίποτα δεν είναι πιο μικρό αφού δε φτάνει για τα σχέδιά μας. Τίποτα δεν είναι πιο μακρύ γι’ αυτόν που περιμένει, για τον άρρωστο που πονάει. Τίποτα δεν είναι πιο σύντομο γι’ αυτόν που είναι ευτυχισμένος. Εκτείνεται μέχρι το άπειρο σιγά – σιγά. Όλοι οι άνθρωποι τον παραμελούν και όλοι λυπούνται για την απώλειά του. Τίποτα δε γίνεται χωρίς αυτόν. Μας κάνει να ξεχνάμε ό,τι είναι ανάξιο για το μέλλον ενώ χαρίζει την αθανασία στα άξια ! ”

Βιβλιογραφία - Αναφορές

1. Τζον Γκρίμπινς: Τα Μυστήρια του χρόνου. Εκδόσεις ΩΡΟΡΑ, 1985
2. Κλίφορντ Μ. Ουίλλ: Είχε δίκιο ο Αϊνστάιν ; Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, 1994
3. Στίβεν Χόκινγκ: Το χρονικό του χρόνου (Από τη μεγάλη έκρηξη ώς τις μαύρες τρύπες). Εκδόσεις Κάτοπτρο, 1988
4. Κώστας Καπνισάκης: Διανυσματικός λογισμός. Εκδόσεις Gutenberg, 1985
5. Άρθουρ Μπάιζερ: Σύγχρονη Φυσική (σε μετάφραση : Αθηνά Πάκου και Νικόλαου Νικολή), 2002
6. Εγκυκλοπαίδεια Γιοβάνη
7. Αλέξανδρος Σταυρόπουλος: Η ζωή σ' επίπεδο μορίων. Αθήνα, 1991
8. https://web.archive.org/web/20070531042435/http://www.physics.uoi.gr/courses/atmo/sxetikotita.doc