Ομοτοπία

Tυπικός ορισμός

Τυπικά, μια ομοτοπία μεταξύ δύο συνεχών συναρτήσεων f και g από ένα τοπολογικό διάστημα Χ σε ένα τοπολογικό διάστημα Υ ορίζεται να είναι μία συνεχής συνάρτησηH : X × [0,1] → Yαπό το προϊόν του X χώρου με τη μονάδα διάστημα [0,1] y να είναι τέτοια ώστε, εάν x ∈ X τότε H(x,0) = f(x) και H(x,1) = g(x).
Αν σκεφτούμε τη δεύτερη παράμετρο της H ,τόσο χρόνο μετά τότε H περιγράφει μια συνεχή παραμόρφωση της f σε g:σε χρόνο 0 έχουμε τη συνάρτηση f και σε χρόνο 1 έχουμε τη συνάρτηση g.Μπορούμε επίσης να σκεφτούμε τη δεύτερη παράμετρο, ως «ελέγχου δρομέας" που μας επιτρέπει την ομαλή μετάβαση από την f στην g, όπως ο δρομέας κινείται από 0 έως 1, και το αντίστροφο.
Μια εναλλακτική σημειογραφία είναι να πούμε ότι μια ομοτοπία μεταξύ δύο συνεχών συναρτήσεων f, g : X → Y είναι μια οικογένεια συνεχών συναρτήσεων hₜ : X → Y για t ∈ [0,1] όπως h₀ = f και h₁ = g, και κάθε γράφημα t ↦ hₜ(x) είναι συνεχής από [0,1] στο Y. Οι δύο εκδόσεις συμπίπτουν με τον καθορισμό hₜ(x) = H(x,t).

Ιδιότητες

Οι συνεχείς συναρτήσεις f και g λέγεται ότι είναι ομοτοπικές αν και μόνο αν υπάρχει μια ομοτοπία H λαμβάνοντας την f στη g, όπως περιγράφεται παραπάνω.Όντας ομοτοπία είναι μια σχέση ισοδυναμίας στο σύνολο όλων των συνεχών συναρτήσεων από το X στο Y .Αυτή η ομοτοπική σχέση είναι συμβατή με τη σύνθετη συνάρτηση με την εξής έννοια: Άν f₁, g₁ : X → Y είναι ομοτοπικές, και f₂, g₂ : Y → Z είναι ομοτοπικές, τότε οι συνθέσεις f₂ ∘ f₁ και g₂ ∘ g₁ : X → Z είναι επίσης ομοτοπικές.

Ισοδυναμία ομοτοπίας

Δεδομένων δύο θέσεις X και Y, λέμε ότι είναι 'ομοτοπικά' ισοδύναμα, ή του ίδιου ομοτοπικού τύπου, εφόσον υπάρχουν συνεχείς γραφήματαmaps f : X → Y και g : Y → X όπως αυτό g ∘ f είναι ομοτυπικό στο identity map idX και f ∘ g είναι ομοτυπικό στο idY.
Τα γραφήμα των f και g λέγονται ομοτοπικές ισοδυναμίες σε αυτή την περίπτωση.Κάθε ομοιομορφισμός είναι μία ομοτοπική ισοδυναμία, αλλά το αντίστροφο δεν είναι αληθές: για παράδειγμα, ένα στερεός δίσκος δεν είναι ομοιομορφικός σε ένα μόνο σημείο (δεδομένου ότι δεν υπάρχει αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία μεταξύ τους),αν ο δίσκος και το σημείο είναι ομοτοπικά ισοδύναμα(δεδομένου ότι μπορεί να παραμορφώσει το δίσκο κατά μήκος ακτινικών γραμμών συνεχώς σε ένα σημείο).
Δύο θέσεις X και Y είναι ομοτοπικά ισοδύναμα, εφόσον μπορεί να μετατραπεί σε ένα άλλο με την κάμψη, τη συρρίκνωση και την επέκταση των εργασιών.Για παράδειγμα, ένα στερεός δίσκος ή στερεά σφαίρα είναι ομοτοπικά ισοδύναμη σε ένα σημείο, καιR² − {(0,0)}είναι ομοτοπικά  ισοδύναμη με το μοναδιαίο κύκλο S1. Χώροι που είναι ομοτοπικά ισοδυναμοι με ένα σημείο ονομάζονται χώροι συστολής.

Null-ομοτοπίας

Μία συνάρτηση f λέγεται ότι είναι null-ομοτοπία αν είναι ομοτοπική σε μια σταθερή συνάρτηση. (Η ομοτοπία από f σε μια σταθερή συνάρτηση, μερικές φορές ονομάζεται null-ομοτοπία.) Για παράδειγμα, μία απεικόνιση f από το μοναδιαίο κύκλο S1 σε οποιοδήποτε άλλο διάστημα Χ είναι null-ομοτοπία ακριβώς όταν μπορεί να επεκταθεί σε ένα διάγραμμα ροής  από το μοναδιαίο δίσκο D2 με Χ, που συμφωνεί με την f στο όριο. Όπως προκύπτει από αυτούς τους ορισμούς ένα διάστημα Χ είναι συσταλτότητα αν και μόνο αν το  διάγραμμα ροής της ταυτότητας από το Χ στον εαυτό του- είναι πάντα μια ομοτοπία ισοτιμίας-είναι null-ομοτοπία.

Σχετική ομοτοπία

Προκειμένου να προσδιοριστεί η βασική ομάδα, χρειάζεται η έννοια της ομοτοπίας σε σχέση με ένα υπόχωρο.Αυτά είναι ομοτοπίες που κρατούν τα στοιχεία του καθοριζόμενου υπόχωρου.Επισήμως: αν f και g είναι συνεχείς διαγράμματα ροής από το Χ στο Υ και Κ είναι ένα υποσύνολο του X, τότε λέμε ότι η f και g είναι σχετικά ομοτοπικές με το K. Αν υπάρχει μια ομοτοπία H : X × [0,1] → Yανάμεσα f και g όπως οτι H(k,t) = f(k) = g(k) για κάθε k ∈ K και t ∈ [0,1]. Επίσης αν g ειναι από το X στο K και f είναι το γράφημα, αυτό είναι γνωστό ως μια ισχυρή παραμόρφωση από X στο K.Όταν το Κ είναι ένα σημείο,χρησιμοποιείται ο όρος "στραμμένη ομοτοπία".

Ομοτοπικές ομάδες

Δεδομένου ότι η σχέση των δύο συναρτήσεων f, g : X → Y είναι σχετικές ομοτοπίες με ένα υπόχωρο είναι μια σχέση ισοδυναμίας,μπορούμε να εξετάσουμε τις κλάσεις ισοδυναμίας των γραφημάτων μεταξύ ενός σταθερού Χ και Υ.Εάν διορθώσουμε X = [0,1]ⁿ, το διάστημα μονάδας [0,1] πέρασε τον εαυτό της n φορές, και πάρουμε έναν υπόχωρο να είναι όριο της ∂([0,1]ⁿ) τότε οι κλάσεις ισοδυναμίας σχηματίζουν μια ομάδα, συμβολίζεται που πₙ(Y,y₀), όπου y₀ είναι η εικόνα του υποχώρου ∂([0,1]ⁿ).
Μπορούμε να ορίσουμε τη δράση μιας κλάση ισοδυναμίας σε μια άλλη, και έτσι παίρνουμε μια ομάδα.Αυτές οι ομάδες ονομάζονται ομοτοπίκες ομάδες.Στην περίπτωση n = 1, είναι ονομάζεται επίσης  η "θεμελιώδης ομάδα".

Ομοτοπική κατηγορία

Η ιδέα της ομοτοπίας μπορεί να μετατραπεί σε μια επίσημη κατηγορία της θεωρίας κατηγορίας.Η Ομοτοπική κατηγορία είναι η κατηγορία της οποίας τα αντικείμενα είναι τοπολογικών χώρων, και των οποίων μορφισμοί είναι ομοτοπικές κλάσεις ισοδυναμίας των συνεχών διαγραμμάτων ροής.Δύο τοπολογικοί χώροι Χ και Υ είναι ισομορφοι σε αυτή την κατηγορία, αν και μόνο αν είναι ομοτοπικά ισοδύναμοι.Στη συνέχεια, μια συνάρτηση στην κατηγορία των τοπολογικών χώρων είναι ομοτοπικά αμετάβλητη αν μπορεί να εκφραστεί ως συναρτηση στην Ομοτοπική κατηγορία.
Για παράδειγμα, ομάδες ομολογίας είναι μια συναρτησιακή ομοτοπία αμετάβλητη: αυτό σημαίνει ότι αν f και g από το Χ προς Υ είναι ομοτοπικές, τότε οι ομομορφισμοί ομάδων που επάγεται από f και g στο επίπεδο των ομάδων ομολογίας είναι το ίδιο:Hₙ(f) = Hₙ(g) : Hₙ(X) → Hₙ(Y) για κάθε n.Ομοίως, αν τα Χ και Υ είναι 0-συνδεδεμένα, και η ομοτοπία μεταξύ f και g είναι στραμμένη, τότε οι ομομορφισμοί ομάδων που επάγονται από f και g σχετικά με το επίπεδο των ομοτοπικών ομάδων είναι επίσης οι ίδιες: πₙ(f) = πₙ(g) : πₙ(X) → πₙ(Y).

Xρονικές ομοτοπίες

Σε μια πολλαπλή Lorentzian, ορισμένες καμπύλες διακρίνονται σε χρονικές.Μια χρονική ομοτοπία ανάμεσα σε δύο χρονικές καμπύλες είναι μια ομοτοπία τέτοια ώστε κάθε ενδιάμεση καμπύλη είναι χρονική.Μη κλειστή χρονική καμπύλη (CTC) σε μια πολλαπλή Lorentzian είναι χρονική ομοτοπική σε ένα σημείο(δηλαδή, null χρονική ομοτοπική);μια τέτοια πολλαπλή επομένως είναι πολλαπλα συνδέομενη με καμπύλες χρόνου.Μια πολλαπλή, όπως η σφαίρα μπορεί απλά να συνδεθεί (με οποιοδήποτε είδος της καμπύλης), και ακόμη και να είναι χρονική συνδέεται πολλαπλώς.

Ομοτοπική ιδιότητα ανύψωσης

Αν έχουμε μια homotopy H : X × [0,1] → Y και ένα κάλυμμα p : Y → Yκαι μας δίνεται ένα διάγραμμα ροής h₀ : X → Yτέτοια ώστε  H₀ = p ○ h₀   (h₀ καλείται a ανύψωση of h₀)τότε μπορούμε να άρουμε όλες H σε ένα διάγραμμα ροής H : X × [0,1] → Y τέτοια ώστεp ○ H = H.
Η ομοτοπική ιδιότητα ανύψωσης χρησιμοποιείται για να χαρακτηρίσει ινώσεις.

Ομοτοπική ιδιοτητα επέκτασης

Μια άλλη χρήσιμη ιδιότητα που αφορούν ομοτοπία είναι η ομοτοπίκή ιδιοτητα επέκτασης , η οποία χαρακτηρίζει την επέκταση της ομοτοπίας μεταξύ δύο συναρτήσεων από ένα υποσύνολο κάποιου συνόλου στο ίδιο σύνολο. Είναι χρήσιμο όταν ασχολείται με cofibrations.

Ισοτοπία

Σε περίπτωση που δίνονται δύο συνεχείς συναρτήσεις f και g, από τον τοπολογικό X χώρο για τον τοπολογικό Y χώρο είναι ενσωμάτωσεις, μπορεί κανείς να ρωτήσει αν μπορεί να συνδεθεί <<μέσω ενσωμάτωσης>>.Αυτό οδηγεί στην έννοια της Ισοτοπίας,η οποία είναι μία ομοτοπία, H ,από τη σημειογραφία που χρησιμοποιείται πριν, τέτοια ώστε για κάθε σταθερό t, H(x,t) δίνει μια ενσωμάτωση.
Ένα σχετικό, αλλά διαφορετικό,  θέμα είναι εκείνο των ισοτοπιών περιβάλλοντος.
Η απαίτηση ότι δύο ενσωματώσεις είναι ισοτοπικές είναι μια ισχυρότερη απαίτηση από το ότι είναι ομοτοπικές.Για παράδειγμα,τo διάγραμμα ροής από το διάστημα [−1,1] στους πραγματικούς αριθμούς που ορίζονται από  f(x) = −x δεν είναι ισοτοπική προς την ταυτότητα g(x) = x.Κάθε ομοτοπία από την f στην ταυτότητα θα πρέπει να ανταλλάσσει τα τελικά σημεία,πράγμα που σημαίνει ότι το καθένα θα πρέπει να «περάσει μέσα» από κάθε άλλο.
Επιπλέον,η f έχει αλλάξει τον προσανατολισμό του διαστήματος και η  g όχι,που είναι αδύνατο υπό Iσοτοπία. Ωστόσο,τα διαγράμματα ροής είναι ομοτοπικά? μία ομοτοπία από f προς την ταυτότητα είναι  H: [−1,1] × [0,1] → [−1,1]δίνεται από H(x,y) = 2yx-x.
Δύο ομοιομορφισμοί (οι οποίοι είναι ειδικές περιπτώσεις ενσωματώσεων)της μοναδιαίας μπάλας που συμφωνούν για το όριο μπορεί να αποδειχθεί ότι είναι ισοτοπικοί χρησιμοποιώντας το τέχνασμα του Αλεξάνδρου.Για το λόγο αυτό,το γράφημα του μοναδιαίου δίσκου στο R² ορίζεται από  f(x,y) = (−x, −y)  είναι ισοτοπικό σε μία περιστροφή 180 μοιρών γύρω από την αρχή των αξόνων, και έτσι το γράφημα της ταυτότητας και της f είναι ισοτοπικά επειδή μπορούν να συνδέονται με περιστροφές.
Σε γεωμετρική τοπολογία-για παράδειγμα στην κόμπο θεωρία η ιδέα της Iσοτοπίας χρησιμοποιείται για την κατασκευή σχέσεων ισοδυναμίας.Για παράδειγμα, πότε δύο κόμβοι πρέπει να θεωρούνται το ίδιο;Παίρνουμε δύο κόμβους, K₁ and K₂, στον τρισδιάστατο χώρο.Ένας κόμβος είναι μια ενσωμάτωση από ένα μονοδιάστατο χώρο, το «βρόχο της χορδής" (ή ο κύκλος), σε αυτό το χώρο, και αυτή η ενσωμάτωση δίνει ένα ομοιομορφισμό μεταξύ του κύκλου και της εικόνας στο χώρο ενσωμάτωσης.Η διαισθητική ιδέα πίσω από την έννοια της ισοδυναμίας κόμπο είναι ότι κάποιος μπορεί να παραμορφώσει μία ενσωμάτωση στο άλλο μέσω ενός μονοπατιού των ενσωματώσεων:μια συνεχή συνάρτηση ξεκινώντας από t=0 δίνοντας τη K₁ ενσωμάτωση, που λήγει σε t = 1 δίνει τη K₂ ενσωμάτωση,με όλες τις ενδιάμεσες τιμές να αντιστοιχούν σε ενσωματώσεις .Αυτό αντιστοιχεί στον ορισμό της Iσοτοπίας. Ένα περιβαλλοντικό Iσότοπο, που δειδάχθηκε στο πλαίσιο αυτό, είναι μια Iσοτοπία του μεγαλύτερου χώρου, που θεωρείται υπό το πρίσμα της δράσης στο ενσωματωμένο submanifold.Κόμβοι K₁ και K₂ θεωρούνται ισοδύναμα όταν υπάρχει ένα περιβαλλοντικό Iσότοπο που κινείται K₁ στο K₂.Αυτός είναι ο κατάλληλος ορισμός στην τοπολογική κατηγορία.Παρόμοια γλώσσα χρησιμοποιείται για ισοδύναμη έννοια σε περιπτώσεις όπου κάποιος έχει ισχυρότερη την έννοια της ισοδυναμίας.Για παράδειγμα, ένα μονοπάτι ανάμεσα σε δύο λείες ενσωματώσεις είναι μια ομαλή Iσοτοπία.

Εφαρμογές

Με βάση την έννοια της ομοτοπίας, οι μέθοδοι υπολογισμού αλγεβρικών και διαφορικών εξισώσεων έχουν αναπτυχθεί.Οι μέθοδοι για τις αλγεβρικές εξισώσεις περιλαμβάνουν τη  μέθοδο ομοτοπικής συνέχειας  και τη συνεχής μέθοδο.Οι μέθοδοι για διαφορικές εξισώσεις περιλαμβάνουν την ομοτοπική μέθοδο ανάλυσης.