Εξωτερική άλγεβρα

Στα μαθηματικά, το εξωτερικό γινόμενο διανυσμάτων ή σφήνα είναι μια αλγεβρική κατασκευή που χρησιμοποιείται στη γεωμετρία για τη μελέτη περιοχών, όγκων και μεγαλύτερης διάστασης διανυσμάτων. Το εξωτερικό γινόμενο των δύο διανυσμάτων u και v, που συμβολίζεται με u ∧ v, ονομάζεται 2-διάνυσμα και υπάρχει σε ένα χώρο που ονομάζεται εξωτερικό τετράγωνο, ένα διανυσματικό χώρο, που διαφέρει από τον αρχικό χώρο των διανυσμάτων. Το μέγεθος του u ∧ v μπορεί να ερμηνευθεί ως το εμβαδόν του παραλληλογράμμου με πλευρές u και v, το οποίο σε τρεις διαστάσεις μπορεί επίσης να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας το γινόμενο των δύο διανυσμάτων. Όπως το γινόμενο διανυσμάτων,έτσι και το εξωτερικό γινόμενο είναι αντισυμμετρικό, δηλαδή ισχύει: u ∧ v = −(v ∧ u)  για οποιαδήποτε διανύσματα u και v. Μπορούμε να απεικονίσουμε ένα 2-διάνυσμα ως μια οικογένεια παραλληλογράμμων που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και έχουν ίδιο εμβαδόν και ίδιο προσανατολισμό— είτε δεξιόστροφο είτε αριστερόστροφο.
Το εξωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων, όπως το ορίσαμε, ονομάζεται 2- διάνυσμα. Γενικότερα, το εξωτερικό γινόμενο n διανυσμάτων μπορεί να οριστεί και μερικές φορές ονομάζεται n- διάνυσμα. Υπάρχει σε ένα χώρο που είναι γνωστός ως η νιοστή (n-οστή) εξωτερική δύναμη. Το μέγεθος του n- διανύσματος είναι ο όγκος του n-διαστάσεων παραλληλεπιπέδου του οποίου τα άκρα είναι δεδομένα διανύσματα, όπως το μέγεθος του βαθμωτού τριπλού γινομένου των διανυσμάτων σε τρεις διαστάσεις δίνει τον όγκο του παραλληλεπιπέδου που δημιουργείται από αυτά τα 3 διανύσματα.
Η εξωτερική άλγεβρα, ή Grassmann άλγεβρα από τον Hermann Grassmann, είναι το αλγεβρικό σύστημα από το οποίο προκύπτει και το εξωτερικό γινόμενο. Η εξωτερική άλγεβρα παρέχει μια αλγεβρική ρύθμιση με την οποία απαντώνται ερωτήματα που αφορούν την γεωμετρία. Για παράδειγμα, τα διανύσματα έχουν μια συγκεκριμένη γεωμετρική ερμηνεία, και τα αντικείμενα στην εξωτερική άλγεβρα, μπορoύν να ερμηνευθούν σύμφωνα με ένα σύνολο σαφών κανόνων. Η εξωτερική άλγεβρα περιέχει αντικείμενα που δεν είναι μόνο διανύσματα βαθμίδας k, αλλά και το σύνολο των διανυσμάτων αυτών, που ονομάζεται k-πολυδιάνυσμα . Αυτά τα k-διανύσματα, επειδή είναι απλά γινόμενα διανυσμάτων, ονομάζονται απλά στοιχεία της άλγεβρας. Βαθμίδα k-πολυδιανύσματος ορίζεται να είναι ο μικρότερος αριθμός απλών στοιχείων από τα οποία αυτό προκύπτει. Το εξωτερικό γινόμενο εκτείνεται σε όλη την εξωτερική άλγεβρα, έτσι ώστε να έχει νόημα να πολλαπλασιάσουμε δύο στοιχεία της άλγεβρας. Εξοπλισμένη λοιπόν με αυτό το γινόμενο, η εξωτερική άλγεβρα είναι μια προσεταιριστική άλγεβρα, πράγμα που σημαίνει ότι α ∧ (β ∧ γ) = (α ∧ β) ∧ γ για οποιαδήποτε στοιχεία α, β, γ. Το k-πολυδιάνυσμα έχει βαθμό k, που σημαίνει ότι προκύπτει από το εξωτερικό γινόμενο k διανυσμάτων. Όταν στοιχεία των διαφορετικών βαθμών πολλαπλασιάζονται, οι βαθμοί προστίθενται, όπως και στον πολλαπλασιασμό πολυωνύμων. Αυτό σημαίνει ότι η εξωτερική άλγεβρα είναι μια αναβαθμισμένη άλγεβρα.
Ο ορισμός της εξωτερικής άλγεβρας έχει νόημα για χώρους όχι μόνο των γεωμετρικών διανυσμάτων, αλλά και άλλων τέτοιων εννοιων, όπως τους διανυσματικούς χώρους ή τις διανυσματικές συναρτήσεις. Πολύ γενικά, η εξωτερική άλγεβρα μπορεί να οριστεί για χώρους πάνω από έναν αντιμεταθετικό δακτύλιο και για άλλες δομές που παρουσιάζουν ενδιαφέρον στην αφηρημένη άλγεβρα. Η εξωτερική άλγεβρα είναι μία γενική κατασκευή, που βρίσκει μία από τις πιο σημαντικές της εφαρμογές στις διαφορικές μορφές, οι οποίες είναι θεμελιώδους σημασίας σε χώρους όπου χρησιμοποιείται η διαφορική γεωμετρία. Διαφορικές μορφές είναι τα μαθηματικά αντικείμενα που αντιπροσωπεύουν απειροελάχιστες περιοχές απειροελάχιστων παραλληλόγραμμων (και υψηλότερων διαστάσεων σωμάτων), και έτσι μπορούν να ενσωματωθούν πάνω σε επιφάνειες και πολλαπλότητες υψηλότερων διαστάσεων , με τρόπο που γενικεύονται τα επικαμπύλια ολοκληρώματα στα μαθηματικά. Η εξωτερική άλγεβρα έχει επίσης πολλές αλγεβρικές ιδιότητες που την καθιστούν ένα βολικό εργαλείο στην ίδια την άλγεβρα. Ο συσχετισμός της εξωτερικής άλγεβρας με έναν διανυσματικό χώρο γίνεται με έναν συναρτητή στον διανυσματικό χώρο, που σημαίνει ότι είναι συμβατοί με ένα συγκεκριμένο τρόπο, δηλαδή με γραμμικούς μετασχηματισμούς διανυσματικών χώρων. H εξωτερική άλγεβρα είναι ένα παράδειγμα διάλγεβρας, με την έννοια ότι ο δισδιάστατος χώρος επίσης διαθέτει ένα γινόμενο, και αυτό είναι συμβατό με το εξωτερικό γινόμενο. Αυτή η διάλγεβρα είναι ακριβώς η άλγεβρα των εναλλασσόμενων πολυγραμμικών μορφών, και η αντιστοίχιση μεταξύ της εξωτερικής άλγεβρας και της διάλγεβρας δίνεται από το εσωτερικό γινόμενο.