Θεωρία ομάδων

Στα μαθηματικά και την αφηρημένη άλγεβρα, η θεωρία ομάδων είναι το πεδίο που μελετά τις αλγεβρικές δομές γνωστές ως ομάδες. 
Η έννοια της ομάδας είναι θεμελιώδης στην αφηρημένη άλγεβρα: Άλλες γνωστές αλγεβρικές δομές, όπως οι δακτύλιοι, τα σώματα, και οι διανυσματικοί χώροι, μπορούν να αντιμετωπιστούν σαν ομάδες που έχουν εφοδιαστεί με επιπρόσθετες πράξεις και αξιώματα. Οι ομάδες συναντώνται επανειλημμένα σε όλο το φάσμα των μαθηματικών, και οι μέθοδοι της θεωρίας ομάδων έχουν επηρεάσει πολλούς τομείς της άλγεβρας. Οι Γραμμικές αλγεβρικές ομάδες και οι ομάδες Lie είναι δύο κλάδοι της θεωρίας ομάδων οι οποίοι έχουν εξελιχθεί αρκετά ώστε να αποτελούν ερευνητικά πεδία από μόνοι τους.
Μία ποικιλία φυσικών συστημάτων, όπως οι κρύσταλλοι και τα άτομα υδρογόνου, μπορούν να μοντελοποιηθούν από συμμετρικές ομάδες. Επομένως, η θεωρία ομάδων και η στενά σχετιζόμενη θεωρία αναπαράστασης έχουν πολλές σημαντικές εφαρμογές στη φυσική, τη χημεία, και την επιστήμη υλικών. Η θεωρία ομάδων είναι επίσης θεμελιώδης στη θεωρία κρυπτογράφησης δημοσίου κλειδιού.
Ένα από τα σημαντικότερα μαθηματικά επιτεύγματα του 20ού αιώνα, είναι η ταξινόμηση των απλών πεπερασμένων ομάδων. Το θεώρημα αυτό αποτελεί συλλογικό έργο, και έχει μέγεθος περισσότερες από 10,000 δημοσιευμένες σελίδες, οι οποίες κατά κύριο λόγο δημοσιεύτηκαν ανάμεσα στο 1960 και το 1980.

Ιστορία

Η θεωρία ομάδων έχει τρεις κύριες ιστορικές καταβολές: τη θεωρία αριθμών, τη θεωρία αλγεβρικών εξισώσεων, και την γεωμετρία. Το αριθμο-θεωρητικό κομμάτι ξεκίνησε αρχικά από τον Λέοναρντ Όιλερ, και στη συνέχεια αναπτύχθηκε από τον Γκάους με την δουλειά του πάνω στους ισοϋπόλοιπους αριθμούς και στις προσθετικές και πολλαπλασιαστικές ομάδες που σχετίζονται με τα τετραγωνικά σώματα. Τα πρώτα αποτελέσματα σχετικά με τις ομάδες μεταθέσεων βρέθηκαν από τους Λαγκράνζ, Ρουφίνι, και Άμπελ, στην προσπάθεια αναζήτησης γενικών λύσεων για τις πολυωνυμικές εξισώσεις μεγάλου βαθμού. Ο Évariste Galois όμως ήταν εκείνος που επινόησε τον όρο "ομάδα" και καθιέρωσε μία σύνδεση ανάμεσα στην τότε εκκολαπτόμενη θεωρία ομάδων και την θεωρία σωμάτων, αυτό που σήμερα ονομάζουμε Θεωρία Γκαλουά. Στην γεωμετρία, οι ομάδες αρχικά έγιναν σημαντικές στην προβολική γεωμετρία και, αργότερα, στις μη ευκλείδειες γεωμετρίες. Μάλιστα, το πρόγραμμα Erlangen του Felix Klein διακήρυττε ότι η θεωρία ομάδων είναι η οργανωτική αρχή της γεωμετρίας.
Ο Εβαρίστ Γκαλουά, τη δεκαετία του 1830, ήταν ο πρώτος που χρησιμοποίησε ομάδες για να προσδιορίσει την επιλυσημότητα των πολυωνυμικών εξισώσεων. Οι Άρθουρ Κέλεϋ και Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ πήγαν την έρευνα ένα βήμα παραπέρα με τη δημιουργία της θεωρίας των ομάδων μεταθέσεων. Η δεύτερη ιστορική καταβολή των ομάδων προέρχεται από τις γεωμετρικές καταστάσεις. Στην προσπάθεια του να χειριστεί τις διάφορες πιθανές γεωμετρίες (όπως την ευκλείδεια, την υπερβολική, ή την προβολική) χρησιμοποιώντας θεωρία ομάδων, ο Felix Klein δημιούργησε το Πρόγραμμα Ερλάγκεν. Ο Σόφους Λι, το 1884, άρχισε να χρησιμοποιεί ομάδες (που τώρα καλούνται ομάδες Lie) που σχετίζονταν με αναλυτικά προβλήματα. Τρίτον, οι ομάδες χρησιμοποιήθηκαν, αρχικά έμμεσα και αργότερα άμεσα, στην αλγεβρική θεωρία αριθμών.
Οι διαφορετικότητα αυτών των πρώτων καταβολών συντέλεσε στην εμφάνιση διαφορετικών εννοιών για τις ομάδες. Η θεωρία ομάδων άρχισε να ενοποιείται γύρω στο 1880.Από τότε, το αντίκτυπο της θεωρίας ομάδων πάνω στα μαθηματικά διευρύνεται συνεχώς, συμβάλλοντας στην δημιουργία και την ανάπτυξη της αφηρημένης άλγεβρας στις αρχές του 20ου αιώνα , στην θεωρία αναπαράστασης, και σε πολλά ακόμα σημαίνοντα ερευνητικά πεδία. Η ταξινόμηση των απλών πεπερασμένων ομάδων είναι ένα τεραστίου όγκου έργο το οποίο άρχισε από τα μέσα του 20ου αιώνα, και κατηγοριοποιεί όλες τις απλές πεπερασμένες ομάδες.

Ομάδες Μεταθέσεων

Η πρώτη κλάση ομάδων που υπέστει συστηματική μελέτη ήταν οι ομάδες μεταθέσεων. Δοθέντος ενός τυχαίου συνόλου X, τότε το σύνολο G που είναι μία συλλογή των ένα–προς–ένα και επί απεικονίσεων από το X στον εαυτό του (γνωστές ως μεταθέσεις) το οποίο είναι κλειστό ως προς τη σύνθεση και την αντιστροφή, αποτελεί μία ομάδα η οποία δρα πάνω στο X. Όταν το X αποτελείται από n στοιχεία και το G από όλες τις μεταθέσεις, τότε το G είναι η συμμετρική ομάδα Sₙ . Γενικά κάθε ομάδα μεταθέσεων G είναι υποομάδα της συμμετρικής ομάδας του X. Μία πρώτη ερμηνεία σύμφωνη με τον Cayley παρουσίαζε κάθε ομάδα ως μία ομάδα μεταθέσεων, δρώντας στον εαυτό της (X = G) μέσω της αριστερής κανονικής αναπαράστασης.
Σε αρκετές περιπτώσεις η δομή μίας ομάδας μεταθέσεων, μπορεί να μελετηθεί χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες της δράσης της στο αντίστοιχο σύνολο. Για παράδειγμα με αυτόν τον τρόπο μπορεί κάποιος να δείξει ότι για n ≥ 5 η εναλλάσσουσα ομάδα Aₙ είναι απλή, δηλαδή δεν περιέχει καμία γνήσια κανονική υποομάδα. Το γεγονός αυτό παίζει σημαντικότατο ρόλο στην απόδειξη της αδυναμίας επίλυσης με ριζικά των γενικών αλγεβρικών εξισώσεων με βαθμό n' ≥ 5 .

Ομάδες Πινάκων

Η επόμενη σημαντική κλάση ομάδων δίνεται από τις ομάδες πινάκων, ή γραμμικές ομάδες. Εδώ η G είναι ένα σύνολο που αποτελείται από αντιστρέψιμους πίνακες δοσμένης τάξης n πάνω από ένα σώμα K, το οποίο είναι κλειστό ως προς το γινόμενο και την αντιστροφή. Μία τέτοια ομάδα δρα στον n-διάστατο διανυσματικό χώρο Kⁿ μέσω γραμμικών μετασχηματισμών. Αυτή η δράση κάνει τις ομάδες πινάκων εννοιολογικά παρόμοιες με τις ομάδες μεταθέσεων, και η γεωμετρία της δράσης μπορεί να αξιοποιηθεί για τον προσδιορισμό των ιδιοτήτων της ομάδας G.

Ομάδες Μετασχηματισμών

Οι ομάδες μεταθέσεων και οι ομάδες πινάκων είναι ειδικές περιπτώσεις ομάδων μετασχηματισμών, δηλαδή ομάδων που δρουν σε ένα συγκεκριμένο χώρο X διατηρώντας όμως την ενυπάρχουσα δομή. Στην περίπτωση της ομάδας μεταθέσεων το X είναι ένα σύνολο, ενώ στην περίπτωση των ομάδων πινάκων το X είναι ένας διανυσματικός χώρος. Η ιδέα της ομάδας μετασχηματισμών είναι στενά συνδεδεμένη με την έννοια της συμμετρικής ομάδας: οι ομάδες μετασχηματισμών συχνά αποτελούνται από όλους εκείνους τους μετασχηματισμούς που διατηρούν αναλλοίωτη  μία συγκεκριμένη δομή.
Η θεωρία των ομάδων μετασχηματισμών δημιουργεί μια σύνδεση μεταξύ της θεωρίας ομάδων και της διαφορικής γεωμετρίας. Μία μεγάλη γραμμή έρευνας, που αρχίζει από τον Lie και τον Klein, εξετάζει την δράση των ομάδων σε πολλαπλότητες μέσω ομοιομορφισμών και διαφορομορφισμών. Οι ομάδες καθαυτές μπορεί να είναι είτε διακριτές είτε συνεχείς.

Θεωρία Πεπερασμένων Ομάδων

Κατά την διάρκεια του εικοστού αιώνα, μαθηματικοί διερεύνησαν κάποιες πτυχές της θεωρίας των πεπερασμένων ομάδων σε μεγάλο βάθος, ειδικά την τοπική θεωρία των πεπερασμένων ομάδων και την θεωρία των επιλύσιμων και μηδενοδύναμων ομάδων. Σαν συνέπεια, επιτεύχθηκε η πλήρης ταξινόμηση των πεπερασμένων απλών ομάδων, που σημαίνει ότι όλες αυτές οι απλές ομάδες από τις οποίες δομούνται οι πεπερασμένες ομάδες είναι γνωστές.
Κατά την διάρκεια του δεύτερου μισού του εικοστού αιώνα, μαθηματικοί όπως ο Chevalley και ο Steinberg αύξησαν επίσης την κατανόηση μας για τα πεπερασμένα ανάλογα και τις κλασικές ομάδες, και άλλες σχετικές ομάδες. Μια τέτοια οικογένεια ομάδων είναι η οικογένεια των γενικών γραμμικών ομάδων πάνω σε πεπερασμένα σώματα. Οι πεπερασμένες ομάδες συχνά εμφανίζονται όταν θεωρείται συμμετρία μαθηματικών ή φυσικών αντικειμένων, όταν τα αντικείμενα αυτά εκφράζουν ένα πεπερασμένο αριθμό, διατηρούμενης της δομής, μετασχηματισμών. Η θεωρία των Lie ομάδων, οι οποίες μπορεί να θεωρηθεί ότι ασχολούνται με "συνεχή συμμετρία", επηρεάζονται έντονα από τις ομάδες Weyl. Αυτές είναι πεπερασμένες ομάδες παραγόμενες από κατοπτρισμούς που δρουν σε έναν πεπερασμένης διάστασης Ευκλείδειο χώρο. Με αυτόν τον τρόπο οι ιδιότητες των πεπερασμένων ομάδων μπορούν να παίξουν σημαντικό ρόλο σε αντικείμενα όπως είναι η θεωρητική φυσική και η χημεία.

Η Θεωρία του Lie

Μια Lie ομάδα είναι μια ομάδα η οποία είναι επίσης διαφορίσιμη πολλαπλότητα, με την ιδιότητα ότι οι λειτουργίες της ομάδας είναι συμβιβαστή με την ομαλή δομή. Οι Lie ομάδες πήραν το όνομα τους από τον Sophus Lie, ο οποίος έθεσε τα θεμέλια της θεωρίας των συνεχών μετασχηματισμών των ομάδων. Ο όρος ομάδες του Lie εμφανίστηκε πρώτη φορά στην Γαλλία το 1893 στην διπλωματική εργασία του φοιτητή του Arthur Tresse, στην σελίδα 3.
Οι ομάδες Lie αποτελούν την καλύτερα ανεπτυγμένη θεωρία των συνεχών συμμετριών των μαθηματικών αντικειμένων και δομών, και αυτό τις κάνει απαραίτητα εργαλεία σε πολλούς τομείς των σύγχρονων μαθηματικών, όπως και για τη μοντέρνα θεωρητική φυσική. Παρέχουν ένα φυσικό πλαίσιο για την ανάλυση των συνεχών συμμετριών των διαφορικών εξισώσεων (διαφορική θεωρία Galois), με αρκετά όμοιο τρόπο με αυτόν που οι ομάδες μεταθέσεων χρησιμοποιούνται στην θεωρία Galois για την ανάλυση διακριτών συμμετριών των αλγεβρικών εξισώσεων. Μια επέκταση της Θεωρίας Galois για την περίπτωση των ομάδων των συνεχών συμμετριών ήταν ένα από τα βασικά κίνητρα του Lie.

Συνδυαστική και γεωμετρική θεωρία ομάδων

Οι ομάδες μπορούν να περιγραφούν με διάφορους τρόπους. Οι πεπερασμένες ομάδες μπορούν να περιγραφούν αν καταγράψουμε τις ομάδες πινάκων που αποτελούνται από όλους τους πιθανούς πολλαπλασιασμούς g • h. Ένας πιο ολοκληρωμένος τρόπος για να προσδιορίσουμε μια ομάδα είναι από τους γεννήτορες της, που ονομάζονται και αναπαράσταση της ομάδας. Δοθέντος οποιουδήποτε συνόλου F με γεννήτορες {gᵢ}ᵢ ∈ I, η ελεύθερη ομάδα έχει γεννήτορες στοιχεία του F πάνω στην ομάδα G. Ο πυρήνας της απεικόνισης ονομάζεται υποομάδα σχέσεων , η οποία παράγεται από ένα υποσύνολο D. Η αναπαράσταση συνήθως δηλώνεται με〈F | D 〉. Για παράδειγμα, η ομάδα Z = 〈a | 〉μπορεί να παραχθεί από ένα στοιχείο a (ίσο με +1 ή -1), επειδή n · 1 είναι πάντα διάφορο του μηδενός εκτός κι αν το n είναι μηδέν. Μια γραμμή που αποτελείται από γεννήτορες και τα αντίστροφα στοιχεία τους ονομάζεται λέξη.
Η συνδυαστική θεωρία ομάδων μελετά τις ομάδες από την οπτική των γεννητόρων και των σχέσεων. Είναι ιδιαίτερα χρήσιμη όταν έχουμε πεπερασμένες ή πεπερασμένα παραγώμενες ομάδες. Το πεδίο αυτό κάνει χρήση των συνδέσεων των γράφων μέσω των βασικών ομάδων τους. Για παράδειγμα, μπορούμε να δείξουμε ότι κάθε υποομάδα μιας ελεύθερης ομάδας είναι ελεύθερη.
Υπάρχουν αρκετά ερωτήματα που προκύπτουν όταν μια ομάδα δίνεται από την αναπαράσταση της. Το πρόβλημα της λέξης ρωτά αν δυο λέξεις είναι το ίδιο στοιχείο μιας ομάδας. Συσχετίζοντας το πρόβλημα αυτό με τις μηχανές Turing, μπορεί κάποιος να δείξει ότι δεν υπάρχει αλγόριθμος που να το επιλύει. Ένα ακόμα άλυτο πρόβλημα αλγορίθμων είναι το πρόβλημα της ομάδας ισομορφισμών, το οποίο ρωτά αν δυο ομάδες που δίνονται από διαφορετικές αναπαραστάσεις είναι ισόμορφες. Για παράδειγμα η προσθετική ομάδα Z των ακεραίων μπορεί επίσης να παρασταθεί από την
〈x, y| xyxyx = e〉;

Μπορεί να μην είναι προφανές ότι αυτές οι δυο είναι ισόμορφες.
Η γεωμετρική θεωρία ομάδων αντιμετωπίζει αυτά τα προβλήματα από την σκοπιά της γεωμετρίας, είτε θεωρώντας τις ομάδες ως γεωμετρικά αντικείμενα, είτε βρίσκοντας κατάλληλα αντικείμενα στα οποία δρα η ομάδα. Η πρώτη ιδέα γίνεται ακριβής μέσω του γράφου του Cayley, του οποίου οι κορυφές αντιστοιχούν σε στοιχεία της ομαδάς και οι ακμές σε πολλαπλασιασμό απο δεξιά μέσα στην ομάδα. Αν δοθούν δυο στοιχεία, κατασκευάζεται η μετρική που δίνεται από το μήκος της ελάχιστης απόστασης μεταξύ των στοιχείων. Ένα θεώρημα των Milnor και Svarc αναφέρει ότι όταν δίνεται μια μετρική που δρα σε ένα μετρικό χώρο X, για παράδειγμα μια συμπαγής πολλαπλότητα, τότε η G είναι ψευδο-ισομετρική (δηλαδή φαίνεται όμοια από απόσταση) με τον χώρο X.

Εφαρμογές της Θεωρίας Ομάδων

Οι εφαρμογές της θεωρίας ομάδων είναι άφθονες. Σχεδόν όλες οι κατασκευές στην θεωρητική άλγεβρα είναι ειδικές περιπτώσεις των ομάδων. Οι δακτύλιοι, για παράδειγμα, μπορούν να θεωρηθούν σαν αβελιανές ομάδες (με αντίστοιχη πράξη την πρόσθεση) μαζί με μια δεύτερη πράξη (την αντίστοιχη πράξη τον πολλαπλασιασμό). Άρα τα θεωρητικά επιχειρήματα των ομάδων αποτελούν την βάση για μεγάλα κομμάτια της θεωρίας αυτών των οντοτήτων.

Aλγεβρική τοπολογία

Η αλγεβρική τοπολογία είναι ένας άλλος τομέας που εμφανώς συνδέει τις ομάδες με αντικείμενα για τα οποία ενδιαφέρεται η θεωρία. Υπάρχουν ομάδες που χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν κυρίως τις αναλλοίωτες των τοπολογικών χώρων. Αποκαλούνται "αναλλοίωτες" επειδή είναι ορισμένες με τέτοιο τρόπο ώστε δεν μπορούν να αλλάξουν εάν ο χώρος υποστεί κάποιες αλλαγές. Για παράδειγμα, η θεμελιώδης ομάδα " μετράει'' ποιες πορείες στο χώρο είναι ουσιαστικά διαφορετικές. Η εικασία του Poincare, αποδείχτηκε το 2002/2003 από τον Γρηγόρη Πέρελμαν, είναι μια περίφημη εφαρμογή αυτής της ιδέας. Η επιρροή όμως δεν είναι μονής κατεύθυνσης. Για παράδειγμα, η αλγεβρική τοπολογία χρησιμοποίησε τους χώρους Eilenberg–MacLane, οι οποίοι είναι χώροι που καθορίζονται από ομοτοπικές ομάδες. Παρόμοια, η αλγεβρική Κ-Θεωρία βασίζεται με κάποιο τρόπο στους ταξινομημένους χώρους των ομάδων. Τελικά το όνομα της υποομάδας στρέψης μιας άπειρης ομάδας δείχνει την κληρονομιά της τοπολογίας στην θεωρία ομάδων.

Συνδυαστική

Στην συνδυαστική, η έννοια της ομάδας μεταθετών και η ιδέα της δράσης ομάδας χρησιμοποιούνται σύχνα για να απλοποιήσουν το μέτρημα ενός συνόλου αντικειμένων;βλέπε πιο συγκεκριμένα το λήμμα του Burnside

Μουσική

Η παρουσία της 12-περιοδικότητας στον κύκλο των πεντάδων, αποδεικνύουν τις εφαρμογές της θεωρίας της στοιχειώδους ομάδας στην θεωρία μουσικών συνόλων.

Φυσική

Στην φυσική, οι ομάδες είναι πολύ σημαντικές επειδή περιγράφουν τις συμμετρίες στις οποίες οι νόμοι της φυσικής δείχνουν να υπακούουν. Σύμφωνα με το θεώρημα του Noether κάθε συνεχής συμμετρία ενός φυσικού συστήματος ανταποκρίνεται στον νόμο διατήρησης του συστήματος. Οι φυσικοί ενδιαφέρονται πολύ για την αναπαράσταση των ομάδων και κυρίως των ομάδων Lie,αφού οι αναπαραστάσεις τους συχνά δείχνουν τον δρόμο για πιθανές θεωρίες φυσικής.Παραδείγματα της χρήσης των ομάδων στη φυσική ειναι το μοντελο Standard, η θεωρία gauge,η ομάδα Lorentz και η ομάδα Poincaré.

Χημεία και υλικές επιστήμες

Στην χημεία και τις υλικές επιστήμες, οι ομάδες χρησιμοποιούνται για να ταξινομήσουν τις δομές των κρυστάλλων, τα κανονικά πολύεδρα και τις συμμετρίες των μορίων. Οι ορισμένες σημειακές ομάδες μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να προσδιορίσουν φυσικές ιδιότητες (όπως η πολικότητα και η chirality) , φασματοσκοπικές ιδιότητες ( ιδιαίτερα χρήσιμες για την φασματοσκοπία του Raman και την υπέρυθρη φασματοσκοπία, και για να κατασκευαστούν οι μοριακές τροχιές.
Η μοριακή συμμετρία είναι υπεύθυνη για πολλες φυσικές και φασματοσκοπικές ιδιότητες των χημικών ενώσεων και παρέχει πληροφορίες αναφορικά με το πως προκύπτουν οι χημικές αντιδράσεις.Έτσι ώστε για να οριστεί μια σημειακή ομάδα για οποιοδήποτε δοσμένο μόριο, είναι απαραίτητο να βρεθεί το σύνολο των συμμετρικών πράξεων που υπάρχουν σ'αυτό.Η πράξη συμμετρίας είναι μια πράξη όπως η περιστροφή γύρω από εναν άξονα ή η ανάκλαση μέσω ενός επίπεδου καθρέφτη.Με άλλα λόγια, είναι μια πράξη που μετακινεί το μόριο έτσι ώστε να είναι αδιαχώριστο απο την αρχική του διάταξη. Στην θεωρία ομάδων, η περιστροφή γύρω από τους άξονες και τους επίπεδους καθρέφτες ονομάζονται "συμμετρικά στοιχεία". Αυτά τα στοιχεία μπορούν να είναι ένα σημείο,μια γραμμή ή ένα επίπεδο ανάλογα με το ποια συμμετρική πράξη διενεργείται. Οι συμμετρικές πράξεις ενός μορίου καθορίζουν την ειδική σημειακή ομάδα γι'αυτό το μόριο.
Στην χημεία υπάρχουν πέντε σημαντικές πράξεις συμμετρίας.Η ταυτοτική πράξη (Ε) η οποία αφήνει το μόριο όπως είναι.Αυτό είναι ισότιμο με κάθε αριθμό της πλήρους περιστροφής γύρω από τους άξονες.Αυτή είναι μια συμμετρία για όλα τα μόρια,ενω, η συμμετρική ομάδα ενος chiral μορίου αποτελείται μόνο από την ταυτοτική πράξη.Η περιστροφή γύρω από έναν άξονα (Cₙ) αποτελείται από ένα περιστρεφόμενο μόριο γύρω από έναν συγκεκριμένο άξονα υπό μια συγκεκριμένη γωνία. Για παράδειγμα εάν ένα μόριο του νερού περιστραφεί 180° γύρω από έναν άξονα που περνάει μέσα από το άτομο οξυγόνου και μεταξύ των ατόμων του υδρογόνου είναι η ίδια διάταξη με την οποία άρχισε.Στην περίπτωση του  n = 2, εφαρμόζεται 2 φορές και παράγει την ταυτοτική πράξη.Άλλες πράξεις συμμετρίας ειναι : η αντανάκλαση, α αντιστροφή και η γενικευμένη περιστροφή (περιστροφή ακολουθούμενη απο την αντανάκλαση).