Κατανομή νόμου δύναμης

Στη στατιστική, ένας νόμος δύναμης είναι μια συναρτησιακή σχέση μεταξύ  δύο ποσοτήτων, όπου μια ποσότητα μεταβάλλεται ως δύναμη της άλλης. Για παράδειγμα, ο αριθμός των πόλεων που έχουν ένα ορισμένο μέγεθος πληθυσμού βρέθηκε να εξαρτάται από μια δύναμη του μεγέθους του πληθυσμού. Εμπειρικές  κατανομές νόμου δύναμης ισχύουν σε ένα περιορισμένο εύρος.

Εμπειρικά παραδείγματα των νόμων δύναμης

Οι κατανομές μιας ευρείας ποικιλίας  φυσικών, βιολογικών, και ανθρωπογενών φαινομένων ακολουθούν προσεγγιστικά κάποια κατανομή νόμου δύναμης πάνω σε ένα ευρύ φάσμα-εύρος  μεγεθών: σε αυτά περιλαμβάνονται τα μεγέθη των σεισμών,των κρατήρων στη Σελήνη και των  ηλιακών εκλάμψεων, η αναζήτηση τροφής διαφόρων ειδών, τα μεγέθη των μοντέλων για νευρωνικούς πληθυσμούς, η συχνότητα εμφάνισης των λέξεων στις περισσότερες γλώσσες,  η συχνότητα εμφάνισης των επωνύμων, το πλήθος των ειδών σε διάφορες κατηγορίες οργανισμών, τα μεγέθη της διακοπής ρεύματος,  η συχνότητα πολέμων, ποινικών διώξεων ανά κατάδικο και πολλές άλλες ποσότητες. Ελάχιστες κατανομές ταιριάζουν με κάποια κατανομή νόμου δύναμης σε όλες τις τιμές τους, αλλά περισσότερο ακολουθούν κάποια κατανομή νόμου δύναμης στην ουρά τους. Η συχνότητα της ακουστικής απόσβεσης ακολουθεί κατανομή νόμου δύναμης για μεγάλης συχνότητας μπάντες για πολλά σύνθετα μέσα. Οι νόμοι αλλομετρικής κλίμακας για σχέσεις μεταξύ βιολογικών μεταβλητών είναι ανάμεσα στις πιο γνωστές συναρτήσεις νόμου δύναμης στη φύση.

Ροπές

Οι κατανομές νόμου δύναμης έχουν ένα καλά ορισμένο μέσο  μόνο αν ο εκθέτης υπερβαίνει το 2 και έχουν πεπερασμένη διακύμανση  μόνο όταν ο εκθέτης υπερβαίνει το 3. Οι περισσότερες κατανομές νόμου δύναμης που εντοπίστηκαν στη φύση έχουν εκθέτες, έτσι ώστε η μέση τιμή τους να είναι καλά ορισμένη, αλλά η διακύμανση τους όχι. Παρουσιάζουν, δηλαδή, συμπεριφορά black swan.  Αυτό μπορεί να φανεί στο ακόλουθο πείραμα σκέψης: φανταστείτε ένα δωμάτιο με τους φίλους σας και υπολογίστε το μέσο μηνιαίο εισόδημα στο δωμάτιο αυτό.  Τώρα φανταστείτε τον πλουσιότερο άνθρωπο στον κόσμο να μπαίνει στο δωμάτιο αυτό, με μηνιαίο εισόδημα περίπου 1 δισεκατομμύριο δολάρια ΗΠΑ. Τι συμβαίνει με το μέσο εισόδημα στο δωμάτιο; Τα έσοδα διανέμονται σύμφωνα με μια κατανομή νόμου δύναμης που είναι γνωστή ως η  κατανομή Παρέτο (Για παράδειγμα, η εργασία των Αμερικανών κατανέμεται σύμφωνα με μία κατανομή νόμου δύναμης με εκθέτη 2).
Από τη μία πλευρά, αυτό καθιστά εσφαλμένη την εφαρμογή των παραδοσιακών στατιστικών μεθόδων που βασίζονται στη διακύμανση και τη τυπική απόκλιση (όπως ανάλυση παλινδρόμησης). Από την άλλη πλευρά, αυτό επιτρέπει αποδοτικές παρεμβάσεις ελαχίστου κόστους. Για παράδειγμα, δεδομένου ότι η εξάτμιση των καυσαερίων των αυτοκινήτων κατανέμεται σύμφωνα με μια κατανομή νόμου δύναμης μεταξύ των αυτοκινήτων (πολύ λίγα αυτοκίνητα μπορεί να συμβάλλουν κατά πολύ στη μόλυνση του αέρα) θα αρκούσε για μια σημαντική μείωση εκροής των συνολικών καυσαερίων η εξαφάνιση πολύ λίγων αυτοκινήτων από το δρόμο.

Καθολικότητα

Η αντιστοιχία της κατανομής του νόμου δύναμης με ένα σταθερό εκθέτη μπορεί να οφείλεται σε δυναμικές διαδικασίες που παράγουν τη σχέση νόμου δύναμης. Στη φυσική, για παράδειγμα, μεταβάσεις φάσεων σε θερμοδυναμικά συστήματα  συνδέονται με την εμφάνιση των κατανομών  νόμου δύναμης ορισμένων ποσοτήτων, οι εκθέτες των οποίων αναφέρονται ως  κρίσιμοι εκθέτες  του συστήματος.  Διάφορα συστήματα με τους ίδιους κρίσιμους εκθέτες μπορεί να δειχθεί με τη θεωρία συνόλων επανακανονικοποίησης , ότι έχουν τις ίδιες δυναμικές. Για παράδειγμα, η συμπεριφορά του νερού και του CO₂  στα σημεία βρασμού τους εμπίπτουν στην ίδια κλάση καθολικότητας, επειδή έχουν παρόμοιους κρίσιμους εκθέτες. Στην πραγματικότητα, σχεδόν όλες οι μεταβάσεις φάσεων των υλικών περιγράφονται από ένα μικρό σύνολο καθολικών κλάσεων. Παρόμοιες παρατηρήσεις έχουν γίνει, αν και όχι τόσο εκτενώς, για διάφορα κρίσιμα συστήματα που αυτο-οργανώνονται και στα οποία το κρίσιμο σημείο του συστήματος είναι ένας  ελκυστής. Επισήμως, αυτή η κοινή χρήση των δυναμικών αναφέρεται ως καθολικότητα, και τα συστήματα με τους ίδιους ακριβώς εκθέτες δηλώνουν ότι ανήκουν στην ίδια κλάση καθολικότητας.

Συναρτήσεις νόμου δύναμης

Το επιστημονικό ενδιαφέρον στις σχέσεις νόμου δύναμης προέρχεται κατά ένα τμήμα από την ευκολία με την οποία ορισμένες κλάσεις μηχανισμών τις παράγουν. Η παρουσίαση της σχέσης νόμου δύναμης σε μερικά δεδομένα μπορεί να επικεντρωθεί σε συγκεκριμένα είδη μηχανισμών που ίσως υπογραμμίζουν το εν λόγω φυσικό φαινόμενο, και μπορούν να υποδείξουν μια βαθιά σχέση με άλλα, φαινομενικά άσχετα συστήματα. Δείτε επίσης Καθολικότητα παραπάνω. Η ασάφεια των σχέσεων νόμου δύναμης στη φυσική οφείλεται κατά ένα τμήμα σε περιορισμούς της διάστασης, ενώ σε σύνθετα συστήματα οι νόμοι δύναμης θεωρούνται υπογραφές της ιεραρχίας ή από ειδικές στοχαστικές διαδικασίες. Υπάρχουν μερικά αξιοσημείωτα παραδείγματα του νόμου δύναμης στο νόμο Gutenberg-Richter για τα σεισμικά μεγέθη όπως και ο νόμος του Παρέτο για την κατανομή εισοδημάτων, η αυτο-ομοιότητα των fractals και ο αλλομετρικός νόμος στα βιολογικά συστήματα. Η έρευνα στις ρίζες της σχέσης νόμου δύναμης και τις προσπάθειες να παρατηρήσουμε και να εξακριβώσουμε αυτά στον πραγματικό κόσμο είναι ενεργό θέμα έρευνας σε ποικίλους τομείς της επιστήμης, συμπεριλαμβάνοντας τη φυσική, την πληροφορική, τη γλωσσολογία, τη γεωφυσική, τη νευρολογία, τα οικονομικά και άλλα.
Ωστόσο σημαντικό κομμάτι από το πρόσφατο ενδιαφέρον στους νόμους δύναμης πηγάζει από τη μελέτη των κατανομών πιθανότητας. Οι κατανομές μιας μεγάλης ποικιλίας από μεγέθη φαίνεται να υπακούουν στη σχέση νόμου δύναμης, τουλάχιστον στην ουρά τους (μεγάλα γεγονότα). Η συμπεριφορά αυτών των μεγάλων γεγονότων συνδέεται με αυτές τις ποσότητες στη μελέτη της θεωρίας των μεγάλων αποκλίσεων (που καλείται θεωρία ακραίων τιμών), που υπολογίζει τη συχνότητα εξαιρετικά σπάνιων γεγονότων όπως τα χρηματηστηριακά κραχ και τις μεγάλες φυσικές καταστροφές. Είναι πρωτίστως στη μελέτη των στατιστικών κατανομών που χρησιμοποιείται ο όρος "νόμος δύναμης". Σε άλλους τομείς, όπως στη φυσική και τη μηχανική μια συναρτησιακή μορφή νόμου δύναμης με έναν όρο και έναν θετικό ακέραιο εκθέτη θεωρείται τυπικά ως πολυωνυμική συνάρτηση.
Σε εμπειρικά δεδομένα, μια προσέγγιση σε ένα νόμο δύναμης  περιλαμβάνει συχνά ένα όρο απόκλισης που μπορεί να αντιπροσωπεύει μια αβεβαιότητα σε παρατηρούμενες τιμές (ίσως δειγματοληπτικά σφάλματα ή σφάλματα μέτρησης) ή να παρέχει έναν απλό τρόπο για τις παρατηρήσεις να αποκλίνουν από τη συνάρτηση νόμου δύναμης (ίσως για στοχαστικούς λόγους):
Μαθηματικά, ένας αυστηρός νόμος δύναμης δεν μπορεί να είναι μια συνάρτηση κατανομής, αλλά μια κατανομή που είναι μια αποκομμένη συνάρτηση δύναμης είναι πιθανή:  για  εκεί που ο εκθέτης  είναι μεγαλύτερος του 1 ( αλλιώς η ουρά έχει πεπερασμένη περιοχή), η ελάχιστη τιμή  που χρειάζεται να λάβουμε υπόψη αλλιώς η κατανομή έχει άπειρο άθροισμα καθώς το x προσεγγίζει το 0, και μια σταθερά C είναι ένας πολλαπλασιαστικός παράγων για να επιβεβαιώσει ότι το συνολικό άθροισμα των πιθανοτήτων είναι 1, όπως απαιτείται από την αθροιστική κατανομή. Πιο συχνά κανείς χρησιμοποιεί τον ασυμπτωτικό νόμο δύναμης, ένα νόμο που ισχύει στο όριο- περισσότερες λεπτομέρειες στις συναρτήσεις κατανομής. Τυπικά ο εκθέτης πέφτει στο όριο  πράγμα που δεν ισχύει πάντα.

Κλαδωτή συνάρτηση κατανομής νόμου δύναμης

 Μία κλαδωτή συνάρτηση κατανομής νόμου δύναμης ορίζεται με όριο στο  ως εξής:
 
  for 
 
 .

Γραφικές μέθοδοι για την αναγνώριση μιας κατανομής νόμου δύναμης

Παρ' ότι έχουν προταθεί ισχυρότερες και πιο εξελιγμένες μέθοδοι, οι πιο συχνά χρησιμοποιούμενες γραφικές μέθοδοι για την αναγνώριση του νόμου δύναμης σε αθροιστικές συναρτήσεις κατανομών χρησιμοποιώντας τυχαία δείγματα είναι τα Q-Q plots του Παρέτο, τα διαγράμματα υπολειπόμενης διάρκειας ζωής  και τα διαγράμματα λογαρίθμων. Μια άλλη ισχυρότερη γραφική μέθοδος χρησιμοποιεί δέσμες των συναρτήσεων υπολειπόμενων ποσοστημορίων. (Κρατήστε στο μυαλό σας ότι οι κατανομές νόμου δύναμης καλούνται ακόμη και κατανομές τύπου Παρέτο.) Υποτίθεται εδώ ότι ένα τυχαίο δείγμα αποκτάται από μια συνάρτηση κατανομής, και ότι θέλουμε να ξέρουμε εάν η ουρά της κατανομής ακολουθεί ένα νόμο δύναμης (με άλλα λόγια, θέλουμε να ξέρουμε αν η κατανομή έχει "ουρά Παρέτο"). Εδώ, ένα τυχαίο δείγμα καλείται ώς "τα δεδομένα".
Τα Q-Q plots του Παρέτο συγκρίνουν τα [ποσοστημόριο|ποσοστημόρια] από τα λογαριθμισμένα δεδομένα με τα αντίστοιχα ποσοστημόρια μιας εκθετικής κατανομής με μέσο 1 (ή με τα ποσοστημόρια μιας τυπικής κατανομής Παρέτο) σχεδιάζοντας τα σε διάγραμμα. Εάν το διάγραμμα διασποράς που προκύπτει δείχνει ότι τα σημεία "συγκλίνουν ασυμπτωτικά" σε μια ευθεία, τότε πρέπει κανείς να περιμένει μια κατανομή νόμου δύναμης. Ένα χαρακτηριστικό στα Q-Q plots του Παρέτο είναι ότι συμπεριφέρονται ανεπαρκώς όταν ο δείκτης ουράς  (που ονομάζεται και δείκτης του Παρέτο) είναι κοντά στο 0, επειδή τα Q-Q plots δεν είναι σχεδιασμένα για να αναγνωρίζουν κατανομές με βραδέως μεταβαλλόμενες ουρές.
Από την άλλη πλευρά, στην έκδοσή του για την αναγνώριση των κατανομών νόμου δύναμης, το διάγραμμα μέσης υπολειπόμενης ζωής αποτελείται από τα λογαριθμισμένα δεδομένα πρώτα, και μετά σχεδιάζοντας το μέσο από εκείνα τα λογαριθμισμένα δεδομένα που είναι μεγαλύτερα από το στατιστικό i-οστής τάξης έναντι του στατιστικού i-οστής τάξης για i=1,...,n, όπου n είναι το μέγεθος του τυχαίου δείγματος. Εάν το διάγραμμα διασποράς που προκύπτει υποδεικνύει ότι τα σημεία τείνουν να σταθεροποιούνται γύρω από μια οριζόντια ευθεία, τότε αναμένουμε την κατανομή νόμου δύναμης. Επειδή το διάγραμμα μέσης υπολειπόμενης ζωής είναι πολύ ευαίσθητο σε παράτυπα σημεία (δεν είναι ισχυρό), παράγει συνήθως σημεία που είναι δύσκολο να ερμηνευτούν. Για το λόγο αυτό, τέτοια διαγράμματα ονομάζονται Hill horror plots.
Τα διαγράμματα λογαρίθμων είναι ένας εναλλακτικός τρόπος για την εξέταση της ουράς μιας κατανομής με τη χρήση ένός τυχαίου δείγματος. Αυτή η μέθοδος αποτελείται από τη σχεδίαση του λογαρίθμου ενός εκτιμητή της πιθανότητας ώστε ένας συγκεκριμένος αριθμός της κατανομής να συμβαίνει ως προς το λογάριθμο του αριθμού αυτού. Συνήθως, αυτός ο εκτιμητής είναι ο αριθμός των φορών που ο αριθμός εμφανίζεται στο σύνολο των δεδομένων. Εαν τα σημεία του διαγράμματος τείνουν να "συγκλίνουν" σε μεια ευθεία γραμμή για μεγάλους αριθμούς του άξονα x, τότε ο ερευνητής συμπεραίνει ότι η κατανομή έχει ουρά που υπακούει στο νόμο δύναμης. Παραδείγματα της εφαρμογής από αυτόυς τους τύπους διαγραμμάτων έχουν εκδοθεί.  Ένα πλεονέκτημα αυτών των διαγραμμάτων είναι ότι, προκειμένου να παρέχουν αξιόπιστα αποτελέσματα, απαιτούν μεγάλες ποσότητες δεδομένων. Επιπροσθέτως, είναι κατάλληλα μόνο για διακριτά (ή ομαδοποιημένα) δεδομένα.
Έχει προταθεί και μία άλλη γραφική μέθοδος για την αναγνώριση κατανομών νόμου δύναμης με χρήση τυχαίων δειγμάτων. Αυτή η μεθοδολογία αποτελείται από την κατασκευή του διαγράμματος για μια "δέσμη λογαριθμημένων δειγμάτων". Αρχικά προτεινόμενη ως ένα εργαλείο για τη διερεύνηση της ύπαρξης ροπών και της ροπογεννήτριας συνάρτησης χρησιμοποιώντας τυχαία δείγματα, μια μεθοδολογία δέσμης είναι βασισμένη στις συναρτήσεις υπολειπόμενων ποσοστημορίων (RQFs), που ονομάζονται και συναρτήσεις υπολειπόμενων εκατοστημορίων,, οι οποίες παρέχουν έναν πλήρη χαρακτηρισμό της συμπεριφορές της ουράς για πολλές γνωστές κατανομές, συμπεριλαμβανομένων των κατανομών νόμου δύναμης, κατανομές με άλλων τύπων βαριές ουρές και ακόμη κατανομές χωρίς βαριές ουρές. Τα διαγράμματα δέσμης δεν έχουν το μειονέκτημα των Q-Q plots του Παρέτο, τα διαγράμματα μέσης υπολειπόμενης ζωής και τα διαγράμματος λογαρίθμων που προαναφέρθηκαν (είναι ισχυρά στα παράτυπα σημεία, επιτρέπουν την αναγνώριση του νόμου δύναμης με μικρές τιμές του , και δεν απαιτούν συλλογή πολλών δεδομένων). Επιπροσθέτως, άλλοι τύποι της συμπεριφοράς της ουράς μπορούν να αναγνωριστούν κατά τη χρήση των διαγραμμάτων δέσμης.
.

Εκτίμηση του εκθέτη από εμπειρικά δεδομένα

Υπάρχουν πολλοί τρόποι να εκτιμήσει κανείς την τιμή του εκθέτη για μια ουρά νόμου δύναμης. Εντούτοις, δεν δίνουν όλοι αποτελέσματα αμερόληπτα και συνεπή. Μερικές από τις πλέον αξιόπιστες τεχνικές βασίζονται συνήθως στη μέθοδο της μέγιστη πιθανοφάνεια. Οι εναλλακτικές μέθοδοι βασίζονται συνήθως στη δημιουργία γραμμικής παλλινδρόμησης είτε στους λογαρίθμους των διαγραμμάτων συχνοτήτων είτε σε λογαριθμημένα δεδομένα, αλλά αυτές οι προσεγγίσεις είναι καλό να αποφεύγονται καθώς μπορούν να οδηγήσουν σε ιδιέταιρα μεροληπτικές εκτιμήσεις του εκθέτη.

Εκτίμηση του εκθέτη με τη μέθοδο του Kolmogorov–Smirnov

Μια άλλη μέθοδος για την εκτίμηση του εκθέτη της κατανομής νόμου δύναμης, η οποία δεν περιλαμβάνει ανεξάρτητα και παρόμοια κατανεμημένα (iid) δεδομένα, χρησιμοποιεί την ελαχιστοποίηση του στατιστικού Kolmogorov–Smirnov, , μεταξύ των συναρτήσεων αθροιστικής κατανομής των δεδομένων και της κατανομής νόμου δύναμης:

με
όπου  και  δηλώνουν τις cdfs των δεδομένων και του νόμου δύναμης με εκθέτη , αντίστοιχα. Δεδομένου ότι αυτή η μέθοδος δεν αναλαμβάνει iid δεδομένα, παρέχει έναν εναλλακτικό τρόπο για να προσδιοριστεί ο εκθέτης της κατανομής νόμου δύναμης για τα σύνολα των δεδομένων στα οποία δεν μπορεί να αγνοηθεί η χρονική συσχέτιση.

Δυο σημεία μεθόδων προσαρμογής

Αυτό το κριτήριο  μπορεί να εφαρμοστεί για την εκτίμηση του εκθέτη του νόμου δύναμης στην περίπτωση μιας ελεύθερης κλίμακας κατανομής και παρέχει μια περισσότερο συγκλίνουσα εκτίμηση από αυτήν της μεθόδου μέγιστης πιθανοφάνειας. Έχει εφαρμοστεί για τη μελέτη κατανομών θραυσματικών ανοιγμάτων. Σε κάποια περιεχόμενα η κατανομή περιγράφεται όχι από τη συνάρτηση αθροιστικής κατανομής, από τηναθροιστική συχνότητα μιας ιδιότητας "Χ", ορισμένης ως ο αριθμός των στοιχείων ανά μέτρο (ή μονάδα εμβαδού, δευτερόλεπτο κλπ.) για τα οποία ισχύει X>x, όπου "x" είναι ένας τυχαίος πραγματικός. Για παράδειγμα, η αθροιστική κατανομή των θραυσματικών ανοιγμάτων,"Χ" για δείγμα "Ν" στοιχείων ορίζεται ως " ο αριθμός των θραυσμάτων ανά μετο έχοντας άνοιγμα μεγαλύτερο του "x". Η χρήση της αθροιστικής συχνότητας έχει κάποια πλεονεκτήματα, π.χ, επιτρέπει σε κάποιον να συγκεντρώσει στο ίδιο διάγραμμα δεδομένα συγκεντρωμένα από δείγματα διαφορετικών μηκών και κλιμάκων (π.χ. από outcrop και από μικροσκόπιο).
.

Επιβεβαίωση της κατανομής νόμου δύναμης

Παρά το γεγονός ότι οι σχέσεις των κατανομών νόμου δύναμης είναι ελκυστικές για πολλούς θεωρητικούς λόγους, ο ισχυρισμός ότι τα δεδομένα ακολουθούν πράγματι μια σχέση κατανομής νόμου δύναμης απαιτεί περισσότερα από την απλή αντιστοίχιση ενός συγκεκριμένου μοντέλου στα δεδομένα. Για παράδειγμα η λογαριθμοκανονική κατανομή συγχέεται πολλές φορές με την κατανομή νόμου δύναμης. Όπως για παράδειγμα γίνεται στο νόμο του Gibrat ο οποίος παρουσιάζει περίπου ανάλογη συμπεριφορά με την λογαριθμοκανονική κατανομή ,της οποίας το διάγραμμα λογαρίθμων είναι ευθεία όπως και της κατανομής νόμου δύναμης. Μία εξήγηση αυτού είναι ότι αν και ο λογάριθμος της λογαριθμοκανονικής συνάρτησης  πυκνότητας είναι τετραγωνικός σε σχέση με την log(x), έτσι προκύπτει ένα κυρτό σχήμα στο διάγραμμα των λογαρίθμων, εάν ο τετραγωνικός όρος είναι μικρός σε σχέση με το γραμμικό όρο τότε το αποτέλεσμα που θα εμφανιστεί μπορεί να είναι σχεδόν γραμμικό. Ως εκ τούτου, ένα λογαριθμικό διάγραμμα που ελαφρά κοίλο προς τα κάτω μπορεί να αντανακλά μια λογαριθμοκανονική κατανομή και όχι μια κατανομή νόμου δύναμης. Σε γενικές γραμμές, πολλές εναλλακτικές κατανομές που μοιάζουν πολύ με την κατανομή νόμου δύναμης μπορούν να εμφανιστούν να ακολουθήσουν μια μορφή νόμου δύναμης ως ένα βαθμό Επίσης, οι ερευνητές έχουν συνήθως να αντιμετωπίσουν το πρόβλημα του να αποφασίσουν αν ή όχι μια κατανομή πιθανοτήτων του πραγματικού κόσμου ακολουθεί μια κατανομή νόμου δύναμης ή μια άλλη που της μοιάζει πολύ. Ως λύση σε αυτό το πρόβλημα, ο Diaz  πρότεινε μια γραφική μεθοδολογία που βασίζεται σε τυχαία δείγματα που επιτρέπουν οπτικά τη διάκριση αυτή μεταξύ των διαφόρων τύπων συμπεριφοράς στην ουρά. Αυτή η μεθοδολογία χρησιμοποιεί δέσμες συναρτήσεων υπολειόμενου ποσοστημόριου, που ονομάζονται επίσης συναρτήσεις ζωής υπολειπόμενων ποσοστημορίων, οι οποίες χαρακτηρίζουν πολλούς διαφορετικούς τύπους κατανομών ουρών, τόσο βαριές όσο  και μη βαριές ουρές.
Μια μέθοδος για να επιβεβαιώσουμε αν μια κατανομή είναι κατανομή νόμου δύναμης ελέγχει πολλές ορθογώνιες προβλέψεις ενός συγκεκριμένου είδους παραγωγικόυ μηχανισμόυ έναντι στα δεδομένα. Απλά η αντιστοίχιση μιας σχέσης νόμου δύναμης σε ένα συγκεκριμένο είδος  δεδομένων δεν θεωρείται ορθολογική προσέγγιση. Ως εκ τούτου, η επιβεβαίωση των ισχυρισμών της κατανομής νόμου δύναμης παραμένει ένας πολύ δραστήριος τομέας της έρευνας σε πολλούς τομείς της σύγχρονης επιστήμης.