Υπόθεση Ρίμαν

Συνέπειες της υπόθεσης Ρίμαν

Οι πρακτικές χρήσεις της υπόθεσης του Ρίμαν περιλαμβάνουν πολλές δηλώσεις γνωστές σωστά κάτω από την υπόθεση Ρίμαν, και μερικές οι οποίες μπορούν να αποδειχθούν ισοδύναμες με την υπόθεση Ρίμαν.

Εικασία των μεγάλων κενών μεταξύ των πρώτων

Το θεώρημα πρώτων αριθμών συνεπάγεται ότι, κατά μέσο όρο, το κενό μεταξύ του πρώτου p και του επόμενου διαδοχικού του είναι log p. Ωστόσο, κάποια κενά μεταξύ των πρώτων αριθμών μπορεί να είναι πολύ μεγαλύτερα από το μέσο όρο. Ο Κράμερ απέδειξε ότι, αν υποτεθεί η υπόθεση Ρίμαν, κάθε κενό είναι O(√p log p). Αυτή είναι μια περίπτωση κατά την οποία ακόμη και το καλύτερο φράγμα που μπορεί να αποδειχθεί χρησιμοποιώντας την υπόθεση Ρίμαν είναι πολύ ασθενέστερο από το τι φαίνεται αληθινό: Η εικασία του Κράμερ λέει ότι κάθε κενό είναι O((log p)²), το οποίο, καθώς μεγαλύτερο από το μέσο κενό, είναι πολύ μικρότερο από το φράγμα που συνάγεται από την υπόθεση Ρίμαν. Αριθμητικές αποδείξεις υποστηρίζουν την εικασία του Κράμερ (Nicely 1999).

Αποκλεισμένη μέση

Μερικές συνέπειες της υπόθεσης Ρίμαν είναι επίσης συνέπειες της άρνησής της, και είναι έτσι θεωρήματα. Στην ανάλυση τους από Hecke, Deuring, Mordell, θεώρημα Heilbronn, (Ιρλανδία & Rosen 1990, σελ. 359) λένε
Η μέθοδος της απόδειξης εδώ είναι πραγματικά εκπληκτική. Αν η γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν είναι αληθής, τότε το θεώρημα είναι αληθές. Αν η γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν είναι ψευδής, o τότε το θεώρημα είναι αληθές. Έτσι, το θεώρημα είναι αλήθεια!!   (σημεία στίξης στο πρωτότυπο)
Προσοχή πρέπει να λαμβάνεται για να καταλάβουμε τι εννοούμε λέγοντας ότι η γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν είναι ψευδής: πρέπει κανείς να προσδιορίσει επακριβώς ποια κλάση σειρών Dirichlet δίνει ένα αντιπαράδειγμα.

L-σειρές του Dirichlet και άλλα αριθμητικά πεδία

Η υπόθεση Ρίμαν μπορεί να γενικευθεί αντικαθιστώντας την συνάρτηση ζήτα με την επίσημη παρόμοια, αλλά πολύ πιο γενική, παγκόσμιες L-συναρτήσεις. Στο ευρύτερο αυτό πλαίσιο, περιμένει κανείς οι μη τετριμμένες ρίζες των παγκόσμιων L-συναρτήσεων να έχουν πραγματικό μέρος 1/2. Είναι αυτές οι εικασίες, παρά την κλασική υπόθεση Ρίμαν μόνο για την απλή συνάρτηση ζήτα του Ρίμαν, οι οποίες αντιπροσωπεύουν την πραγματική σημασία της υπόθεσης Ρίμαν στα μαθηματικά.
Η γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν επεκτείνει την υπόθεση Ρίμαν σε όλες τις L-συναρτήσεις Dirichlet. Ειδικότερα, αυτό συνεπάγεται την εικασία ότι οι ρίζες Siegel (ρίζες των L-συναρτήσεων μεταξύ 1/2 και 1)  δεν υπάρχουν.
Η επεκτεταμένη υπόθεση Ρίμαν επεκτείνει την υπόθεση Ρίμαν σε όλες τις Dedekind ζήτα συναρτήσεις των αλγεβρικών αριθμητικών πεδίων. Η επεκτεταμένη υπόθεση Ρίμαν για αβελιανή επέκταση των ρητών είναι ισοδύναμη με την γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν. Η υπόθεση Ρίμαν μπορεί επίσης να επεκταθεί στις L-συναρτήσεις των χαρακτήρων Hecke αριθμητικών πεδίων.
Η μεγαλιώδης υπόθεση Ρίμαν την επεκτείνει σε όλες τις αυτομορφικές συναρτήσεις ζήτα, όπως είναι ο μετασχηματισμός του Mellin των ιδιομορφών Hecke.

Αριθμητικές συναρτήσεις ζήτα αριθμητικών διατάξεων και των L-παραγόντων τους

Οι αριθμητικές συναρτήσεις ζήτα γενικεύουν τις Ρίμαν και Dedekind ζήτα συναρτήσεις καθώς και οι ζήτα συναρτήσεις με πολλαπλότητες πέρα των πεπερασμένων πεδίων σε κάθε αριθμητική διάταξη ή μια δίαταξη πεπερασμένου τύπου πάνω στους ακέραιους. Η αριθμητική συναρτηση ζήτα μιας ομαλής συνδεδεμένης ισοδιάστατης αριθμητικής δίαταξης της διάστασης του Κρόνεκερ n μπορεί να παραγοντοποιηθεί σε γινόμενο κατάλληλα ορισμένων L-συναρτήσεων και ενός βοηθητικού παράγοντα Jean-Pierre Serre (1970). Υποθέτοντας μια συναρτησιακή εξίσωση και μερομορφική συνέχεια, η γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν για τον L-παράγοντα αναφέρει ότι οι ρίζες της μέσα στην κρίσιμη λωρίδα  βρίσκονται πάνω στην κεντρική γραμμή. Αντίστοιχα, η γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν για την αριθμητική ζήτα συνάρτηση μιας ομαλής συνδεδεμένης ισοδιάστατης αριθμητικής δίαταξης δηλώνει ότι οι ρίζες τησ μέσα στην κρίσιμη λωρίδα βρίσκονται πάνω στις κάθετες γραμμές  και οι πόλοι της μέσα στην κρίσιμη λωρίδα βρίσκονται πάνω σε κάθετες γραμμές . Αυτό είναι γνωστό για διατάξεις σε θετική χαρακτηριστική και ακολουθεί από τον Pierre Deligne (1974, 1980), αλλά παραμένει εντελώς άγνωστη στη χαρακτηριστική μηδέν.

Συναρτήσεις ζήτα Ihara

Η συνάρτηση ζήτα Ihara ενός πεπερασμένου γραφήματος είναι μια ανάλογη της συνάρτησης ζήτα Selberg που εισάχθηκε από τον Yasutaka Ihara. Ένα ομαλό πεπερασμένο γράφημα είναι ενα γράφημα Ραμανούτζαν, ένα μαθηματικό μοντέλο αποτελεσματικών δικτύων επικοινωνίας, αν και μόνο αν η συνάρτηση του ζήτα Ihara ικανοποιεί την αναλογία της υπόθεσης Ρίμαν, όπως τονίστηκε από τον T. Sunada.

Eικασία ζεύγους συσχέτισης του Montgomery

Ο Montgomery (1973) πρότεινε την εικασία ζεύγους συσχέτισης την οποία οι συσχετισμένες συναρτήσεις των (κατάλληλα κανονικοποιημένων) ριζών της συνάρτησης ζήτα πρέπει να είναι οι ίδιες με αυτές των ιδιοτιμών ενός τυχαίου ερμιτιανού πίνακα. Ο Odlyzko (1987) έδειξε ότι αυτό υποστηρίζεται από μεγάλης κλίμακας αριθμητικούς υπολογισμούς αυτών των συναρτήσεων συσχέτισης.
Ο Montgomery έδειξε ότι (υποθέτοντας την υπόθεση Ρίμαν) τουλάχιστον τα 2/3 όλων των ριζών είναι απλές, και μια σχετική εικασία είναι ότι όλες οι ρίζες της συνάρτησης ζήτα είναι απλές (ή γενικότερα δεν έχουν μη τετριμμένες ακέραιες γραμμικές σχέσεις μεταξύ των φανταστικών μέρών τους). Οι συναρτήσεις ζήτα Dedekind όλων των αλγεβρικών αριθμητικών πεδίων, οι οποίες γενικεύουν την συνάρτηση ζήτα του Ρίμαν, συχνά έχουν πολλαπλές μιγαδικές ρίζες. Αυτό γιατί οι συναρτήσεις ζήτα Dedekind παραγοντοποιούνται σαν ένα γινόμενο δυνάμεων των L-συναρτήσεων του Αρτιν, άρα οι ρίζες των L-συναρτήσεων του Αρτιν μερικές φορές οδηγηγούν σε πολλαπλές ρίζες των ζήτα συναρτήσεων Dedekind. Άλλα παραδείγματα ζήτα συναρτήσεων με πολλαπλές ρίζες είναι οι L-συναρτήσεις κάποιων ελλειπτικών καμπυλών: αυτές μπορούν να έχουν πολλαπλές ρίζες στο πραγματικό της κρίσιμης γραμμής τους; Η εικασία του Birch-Swinnerton-Dyer προβλέπει ότι η πολλαπλότητα αυτής της ρίζας είναι η τάξη της ελλειπτικής καμπύλης.

Άλλες συναρτήσεις ζήτα

Υπάρχουν πολλά άλλα παραδείγματα συναρτήσεων ζήτα με αναλογίες της υπόθεσης Ρίμαν, κάποιες από τις οποίες έχουν αποδειχθεί. Οι συναρτήσεις ζήτα Goss των πεδίων συναρτήσεων έχουν μια υπόθεση Ρίμαν, που αποδείχθηκε από τον Sheats (1998). [[Κύρια εικασία της θεωρίας του Iwasawa]|Η κύρια εικασία]] της θεωρίας του Iwasawa, αποδείχθηκε από τους Barry Mazur και Andrew Wiles για κυκλοτομικά πεδία, και από τον Wiles για ολοκληρωμένα πραγματικά πεδία, προσδιορίζει τις ρίζες μιας p-αδικης L-συνάρτησης με τις ιδιοτιμές ενός τελεστή, ώστε να μπορεί να θεωρηθεί ως ανάλογη της εικασίας του Χίλμπερτ–Pólya για ''p''-αδικες ''L''-συναρτήσεις (Wiles 2000).

Προσπάθειες για την απόδειξη της υπόθεσης Ρίμαν

Αρκετοί μαθηματικοί ασχολήθηκαν την υπόθεση του Ρίμαν, αλλά καμία από τις προσπάθειές τους δεν είχαν γίνει ακόμη δεκτές ως σωστές λύσεις. Ο Γουότκινγκς (2007) παραθέτει μερικές λανθασμένες λύσεις, και πολλά άλλα είναι ανακοινώθηκαν συχνά.

Θεώρημα του Lee-Yang

Το Θεώρημα του Lee-Yang αναφέρει ότι τα μηδενικά της συγκεκριμένης συνάρτησης επιμερισμού στη στατιστική μηχανική βρίσκονται όλα σε μια "κρίσιμη γραμμή" με το πραγματικό μέρος 0, και αυτό έχει οδηγήσει σε κάποια υπόθεση για μια σχέση με την υπόθεση Ρίμαν (Knauf 1999).

Μη αντιμεταθετική γεωμετρία

Ο Connes (1999, 2000) είχε περιγράψει μια σχέση μεταξύ της υπόθεσης Ρίμαν και της μη αντιμεταθετικής γεωμετρίας, και δείχνει ότι μία κατάλληλη αναλογία του τύπου ίχνους του Selberg για τη δράση της idèle ομάδας στο χώρο κατηγορίας adèle συνεπάγεται την υπόθεση Ρίμαν. Μερικές από αυτές τις ιδέες αναλύονται στο Lapidus (2008).

Ο χώρος του Χίλμπερτ(Hilbert) με ακεραίες(παντού αναλυτικές) συναρτήσεις

Louis de Branges (1992)  έδειξε ότι η υπόθεση Ρίμαν θα ακολουθούταν από μια θετική συνθήκη σε ένα συγκεκριμένο χώρο του Χίλμπερτ των ακεραίων συναρτήσεων. 
Ωστόσο ο Conrey & Li (2000) έδειξε ότι οι απαραίτητες θετικές προϋποθέσεις δεν είναι ικανοποιητικές.

Ψευδοκρύσταλλοι

Η υπόθεση Ρίμαν συνεπάγεται ότι τα μηδενικά της συνάρτησης ζήτα σχηματίζουν ένα ψευδοκρύσταλλο, που σημαίνει μια κατανομή με διακριτική στήριξη του μετασχηματισμού Fourier, είχε επίσης διακριτική στήριξη. 
Ο Dyson (2009) πρότεινε, προσπαθώντας να αποδείξει την υπόθεση Ρίμαν με ταξινόμηση, ή τουλάχιστον τη μελέτη, 1-διαστάσεων ψευδοκρυστάλλων.

Αριθμητικές ζήτα συναρτήσεις των μοντέλων των ελλειπτικών καμπυλών επί των αριθμητικών πεδίων

Όταν κάποιος πηγαίνει από τη γεωμετρική διάσταση ένα, π.χ. ένα αλγεβρικό αριθμητικό πεδίο, στη γεωμετρική διάσταση δύο, π.χ. ένα κανονικό μοντέλο της ελλειπτικής καμπύλης ενός αριθμητικού πεδίου, το δισδιάστατο τμήμα της γενικευμένης υπόθεσης Ρίμαν για την συνάρτηση ζήτα του μοντέλου αφορά στους πόλους της συνάρτησης ζ. Στη διάσταση ένα, η μελέτη του ολοκληρώματος της ζήτα στην ερευνητική μελέτη του Tate δεν οδηγεί σε καινούργιες πληροφορίες για την υπόθεση του Riemann. Αντίθετα, στη διάσταση δύο η μελέτη του Ιβάν Φεσενκο για τη δισδιάστατη γενίκευση στη μελέτη του Tate  περιλαμβάνει μία ολοκληρωμένη παρουσίαση του ολοκληρώματος της συνάρτησης ζ που συνδέεται στενά με τη συνάρτηση ζ. Σε αυτήν την καινούργια συνθήκη, η οποία δεν υφίσταται στη διάσταση ένα, οι πόλοι της συνάρτησης ζ μπορούν να μελετηθούν μέσω του ολοκληρώματος της συνάρτησης ζ και των σχετικών adele ομάδων. Ο σχετικός ισχυρισμός του Φεσένκο (2010) για τη θετικότητα του τέταρτου παραγώγου μίας ορισμένης συνάρτησης που σχετίζεται με το ολοκλήρωμα της συνάρτησης ζ υποδεικνύει το πολικό τμήμα της γενικευμένης υπόθεσης Ρίμαν. Ο Suzuki (2011) απέδειξε ότι ο τελευταίος, σε συνδυασμό με κάποιες τεχνικές υποθέσεις, υποδεικνύει την εικασία του Φεσένκο.

Πολλαπλές συναρτήσεις ζ

Η απόδειξη του Deligne για την υπόθεση Ρίμαν αναφορικά με τα πεπερασμένα πεδία χρησιμοποίησε τις συναρτήσεις ζ για την πολλαπλότητα των γινομένων, των οποίων οι μηδενικές τιμές και οι πόλοι αντιστοιχούν στο σύνολο των μηδενικών τιμών και των πόλων της πρότυπης συνάρτησης ζ, έτσι ώστε να περιοριστούν τα πραγματικά μέρη των μηδενικών τιμών της πρότυπης συνάρτησης ζ. Αναλογικά, ο  Kurokawa (1992) εισήγαγε τις πολλαπλές συναρτήσεις ζ, των οποίων οι μηδενικές τιμές και οι πόλοι αντιστοιχούν στο σύνολο των μηδενικών τιμών και των πόλων της συνάρτησης ζ του Ρίμαν. Για να κάνει τις σειρές να συγκλίνουν περιόρισε το σύνολο των μηδενικών τιμών ή των πόλων, όλα με μη – αρνητικό υποθετικό τμήμα. Μέχρι τώρα, τα γνωστά όρια των μηδενικών τιμών και των πόλων των πολλαπλών συναρτήσεων ζ δεν είναι αρκετά δυνατά, ώστε να δώσουν χρήσιμες εκτιμήσεις για τις μηδενικές τιμές της συνάρτησης ζ του Ρίμαν.

Μηδενικές τιμές στην κρίσιμη γραμμή

Ο Hardy (1914) και ο Hardy & Littlewood (1921) ) έδειξαν ότι υπάρχουν απείρως πολλά μηδενικά στην κρίσιμη γραμμή, εξετάζοντας στιγμές ορισμένων λειτουργιών που σχετίζονται με τη συνάρτηση Ζήτα. Ο Selberg (1942)απέδειξε ότι τουλάχιστον ένα (μικρό) θετικό ποσοστό των μηδενικών  κείνται επί της γραμμής. Ο Levinson (1974) βελτίωσε αυτό το ποσοστό στο ένα τρίτο των ριζών συσχετίζοντας τα μηδενικά της συνάρτησης Ζήτα με εκείνα της παραγώγου της, και ο Conrey (1989) βελτιώθηκε περαιτέρω σε αυτό με τα  δύο πέμπτα.
Τα περισσότερα  μηδενικά βρίσκονται κοντά στην κρίσιμη γραμμή. Πιο συγκεκριμένα, οι Bohr & Landau (1914) ) έδειξαν ότι για κάθε θετικό ε, όλα, αλλά ένα απειροελάχιστο ποσοστό των μηδενικών βρίσκονται σε απόσταση ε της κρίσιμης γραμμής. Ο Ivić (1985) δίνει αρκετά πιο ακριβές εκδόσεις αυτού του αποτελέσματος, που ονομάζεται μηδενική εκτίμηση πυκνότητας, στο οποίο δεσμεύεται ο αριθμός των μηδενικών σε περιοχές με φανταστικό μέρος στα πιο πολλά T και πραγματικό μέρος τουλάχιστον 1/2+ε.