Θεώρημα του Καντόρ

Στη στοιχειώδη θεωρία συνόλων, το θεώρημα του Καντόρ ορίζει ότι, για κάθε σύνολο A το σύνολο όλων των υποσυνόλων του (το δυναμοσύνολο του Α), έχει αυστηρά μεγαλύτερη πληθικότητα από ότι το Α. Το θεώρημα του Καντόρ ισχύει και για πεπερασμένα σύνολα όπως φαίνεται από την απόδειξη που δίνεται παρακάτω: Μετρώντας το κενό υποσύνολο,τα υποσύνολα του Α με ένα μόνο μέλος, κλπ. για ένα σύνολο με n στοιχεία υπάρχουν  υποσύνολα και η πληθικότητα του συνόλου όλων των υποσυνόλων n <  είναι σαφώς μεγαλύτερη. Το θεώρημα ισχύει επίσης και για άπειρα σύνολα. Πιο συγκεκριμένα, το δυναμοσύνολο ενός άπειρα μετρήσιμου συνόλου είναι ένα άπειρο, μη μετρήσιμο σύνολο. Το θεώρημα πήρε το όνομα του από τον Γερμανό μαθηματικό Γκέοργκ Κάντορ ο οποίος ήταν ο πρώτος που το ανέφερε και το απέδειξε.

Απόδειξη

Δύο σύνολα Α,Β είναι ισοδύναμα (έχουν την ίδια πληθικότητα) αν και μόνο αν υπάρχει συνάρτηση  f: Α→ Β η οποία να είναι ένα προς ένα και επί. Για να αποδείξω το θεώρημα του Καντόρ αρκεί να δείξω ότι, για οποιοδήποτε σύνολο Α, δεν υπάρχει επί συνάρτηση  f: Α → P(Α), όπου P(A): δυναμοσύνολο του Α, δηλαδή αρκεί να δείξω ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα υποσύνολο του Α που δεν είναι στοιχείο της εικόνας του Α μέσω της συνάρτησης f. Ένα τέτοιο υποσύνολο είναι το σύνολο Β που ορίζεται με τον ακόλουθο τρόπο, που μερικές φορές καλείται διαγώνιο σύνολο Καντόρ της f. 
Αυτό σημαίνει, εξ ορισμού, ότι για όλα τα x στο A, x ∈ B αν και μόνο αν x ∉ f(x). Για όλα τα x, τα σύνολα B και f(x) δεν μπορεί να είναι ίδια, επειδή το B κατασκευάστηκε από τα στοιχεία του Α των οποίων οι εικόνες (μέσω της f) δεν περιλαμβάνουν τους εαυτούς τους. Πιο συγκεκριμένα, εξετάζει αν για κάθε x ∈ A, αν x ∈ f(x) ή x ∉ f(x). Στην πρώτη περίπτωση, f(x) δεν μπορεί να ισούται με το Β επειδή x ∈ f(x) από την υπόθεση και x ∉ Β , από την κατασκευή του Β. Στην τελευταία περίπτωση, f(x) δεν μπορεί να ισούται με το Β επειδή x ∉ f(x) από την υπόθεση και x ∈ Β από την κατασκευή του Β.
Λίγο πιο επίσημα, μόλις αποδείξαμε ότι η υπόθεση πως υπάρχει x στο A τέτοιο ώστε f(x) = B , συνεπάγεται την αντίφαση:
Επομένως, μέσω εις άτοπον απαγωγή, η υπόθεση πρέπει να ναι ψευδής. Οπότε δεν υπάρχει x τέτοιο ώστε f(x) = B, με άλλα λόγια, το Β δεν είναι η εικόνα της f. Επειδή το B ανήκει στο δυναμοσύνολο του Α, το δυναμοσύνολο του Α έχει μεγαλύτερη πληθικότητα από το Α.
Ένας άλλος τρόπος για να σκεφτείτε την απόδειξη είναι: το Β, κενό ή μη-κενό, ανήκει πάντα στο δυναμοσύνολο του Α. Αν η f είναι επί τότε κάποια στοιχεία του Α πρέπει να οδηγούν στο Β. Αλλά αυτό οδηγεί σε μια αντίφαση: δεν υπάρχει στοιχείο του Β που οδηγεί στο Β , διότι αυτό θα ερχόταν σε αντίθεση με το κριτήριο της ένταξης στο B, έτσι το στοιχείο που οδηγεί στο Β δεν πρέπει να ναι στοιχείο του Β , με την έννοια ότι πρέπει να πληροί το κριτήριο ένταξης στο Β, μία άλλη αντίφαση. Οπότε η υπόθεση ότι ένα στοιχείο του Α οδηγεί στο Β πρέπει να ναι ψευδής και η f να μην είναι επί.
Λόγω της διπλής εμφάνισης του x στην έκφραση "x ∉ f(x)", έχουμε ένα διαγώνιο επιχείρημα του Καντόρ. Για ένα αριθμήσιμο (ή πεπερασμένο) σύνολο, το επιχείρημα του Καντόρ που δόθηκε παραπάνω, μπορεί να απεικονιστεί με την κατασκευή ενός πίνακα του οποίου κάθε σειρά να αντιστοιχεί σε ένα μοναδικό x από το  , δηλαδή η ετικέτα της κάθε γραμμής να είναι  (με αυτή την σειρά) . Το Α θα πρέπει να ικανοποιεί κάποιες γραμμικές ιδιότητες έτσι ώστε να είναι δυνατή η ύπαρξη του. Κάθε στήλη του πίνακα Α να αντιστοιχεί σε ένα μοναδικό y από το δυναμοσύνολο του Α, δηλαδή η ετικέτα τις κάθε στήλης να είναι της μορφής , , ..., (με αυτή τη σειρά) . Η διασταύρωση της κάθε σειράς x και στήλης y ορίζει μία μεταβλητή σωστού/λάθους (δύτιμη) για το αν x ∈ y. Δεδομένου της διάταξης που ορίσθηκε για τις ετικέτες των γραμμών και των στηλών, η κύρια διαγώνιος Δ του πίνακα ορίζει αν x ∈ f(x) για όλα τα x ∈ Α . Το σύνολο Β που κατασκευάστηκε στις προηγούμενες παραγράφους συμπίπτει με τις ετικέτες των γραμμών του υποσυνόλου όπου οι καταχωρήσεις αυτής της κύρια διαγωνίου Δ που εισήλθαν όρισαν ότι x ∈ f(x) είναι ψευδής. Κάθε στήλη καταγράφει τις τιμές της χαρακτηριστικής συνάρτησης του συνόλου που αντιστοιχεί στη κάθε στήλη. Η χαρακτηριστική συνάρτηση του Β συμπίπτει με την λογική άρνηση (αληθές ↔ ψευδής) των καταχωρήσεων της κύριας διαγωνίου. Έτσι, η χαρακτηριστική συνάρτηση του Β δεν συμφωνεί με καμία στήλη σε καμία καταχώρηση. Κατά συνέπεια, καμία στήλη δεν αντιπροσωπεύει το Β.
Για ένα πεπερασμένο σύνολο, η απόδειξη μπορεί να παρουσιαστεί με μια πιο πεζή παρουσίαση γνωστή ως το παράδοξο του Μπάρτερ   
Παρά την απλότητα της παραπάνω απόδειξης, είναι μάλλον δύσκολη η παραγωγή της, για κάποιον που αποδεικνύει αυτόματα θεωρήματα. Η κύρια δυσκολία έγκειται σε μια αυτοματοποιημένη ανακάλυψη του διαγώνιου συνόλου του Καντόρ. Ο Λόρενς Πόλσον σημείωσε το 1992 ότι ο Ότερ δεν θα μπορούσε να το κάνει, ενώ η Ίζαμπελ θα μπορούσε, μολονότι ένα συγκεκριμένο ποσό της κατεύθυνσης της από την άποψη της τακτικής, θα μπορούσε ίσως να θεωρηθεί απιστία.

Λεπτομερής επεξήγηση της απόδειξης, όταν το X είναι άπειρα μετρήσιμο

Για να κατανοήσουμε την απόδειξη, ας εξετάσουμε την ειδική περίπτωση, όταν το X είναι άπειρα μετρήσιμο σύνολο. Χωρίς βλάβη της γενικότητας μπορούμε να πάρουμε X = N = {1, 2, 3,...}, το σύνολο των φυσικών αριθμών.
Ας υποθέσουμε ότι το N είναι ισοδύναμο με το δυναμοσύνολο του P(N). Ας δούμε ένα δείγμα με το πως δείχνει το P(N):
το P(N) περιέχει άπειρα υποσύνολα του N, π. χ. το σύνολο όλων των άρτιων αριθμών {2, 4, 6,...}, καθώς και το κενό σύνολο.
Τώρα που έχουμε μια ιδέα για το πως δείχνουν τα στοιχεία του P(N), ας προσπαθήσουμε να αντιστοιχίσουμε κάθε στοιχείο του N , με κάθε στοιχείο του P(N) για να δείξουμε ότι αυτά τα άπειρα σύνολα είναι ισοδύναμα. Με άλλα λόγια, θα προσπαθήσουμε να αντιστοιχίσουμε κάθε στοιχείο του N με ένα στοιχείο από το άπειρο σύνολο P(N), έτσι ώστε κανένα στοιχείο από τα δύο άπειρα σύνολα να μην παραμείνει αταίριαστο. Μια τέτοια προσπάθεια αντιστοίχισης των στοιχείων θα μοιάζει με:
Με βάση μια τέτοια αντιστοίχιση, μερικοί φυσικοί αριθμοί συνδιάστηκαν με υποσύνολα που περιέχουν τους ίδιους αριθμούς ως μέλος. Για παράδειγμα, στο παράδειγμά μας, ο αριθμός 2 είναι αντιστοιχισμένος με το υποσύνολο {1, 2, 3}, το οποίο περιέχει το 2 ως μέλος. Ας ονομάσουμε αυτούς τους αριθμούς ιδιοτελείς. Άλλοι φυσικοί αριθμοί συνδιάστηκαν με υποσύνολα που δεν τους περιέχουν. Για παράδειγμα, στο παράδειγμά μας, ο αριθμός 1 είναι αντιστοιχισμένος με το υποσύνολο {4, 5}, το οποίο δεν περιέχει τον αριθμό 1 ως μέλος. Λέμε ότι οι αριθμοί αυτοί είναι μη ιδιοτελείς. Ομοίως, το 3 και το 4 είναι μη-ιδιοτελείς.
Χρησιμοποιώντας αυτή την ιδέα, ας δημιουργήσουμε ένα ειδικό σύνολο των φυσικών αριθμών. Αυτό το σύνολο θα παρέχει την αντίφαση που επιδιώκουμε. Ας ορίσουμε το Δ να είναι το σύνολο όλων των μη-ιδιοτελή φυσικών αριθμών. Εξ ορισμού, το δυναμοσύνολο P(N) περιέχει όλα τα σύνολα των φυσικών αριθμών, και γι ' αυτό θα περιέχει και το σύνολο Δ ως στοιχείο. Αν η αντιστοίχιση είναι ένα προς ένα, το Δ πρέπει να αντιστοιχηθεί με κάποιο φυσικό αριθμό, ας πούμε δ. Ωστόσο, αυτό προκαλεί ένα πρόβλημα. Αν το δ ανήκει στο Δ, τότε το δ είναι ιδιοτελής, γιατί είναι στο αντίστοιχο σύνολο, σε αντίθεση με τον ορισμό του "Δ". Αν το δ δεν ανήκει στο Δ, τότε είναι μη-ιδιοτελής και θα πρέπει να είναι μέλος του Δ. Ως εκ τούτου δεν υπάρχει στοιχείο δ το οποίο να οδηγεί στο Δ.
Δεδομένου ότι δεν υπάρχει φυσικός αριθμός που μπορεί να αντιστοιχιστεί με το Δ, έχουμε διαψεύσει την αρχική μας υπόθεση, ότι υπάρχει ένα προς ένα αντιστοιχία μεταξύ των N και P(N).
Σημειώστε ότι το σύνολο Δ θα μπορούσε να ήταν κενό. Αυτό θα σήμαινε ότι : κάθε φυσικός αριθμός x αντιστοιχεί σε ένα σύνολο των φυσικών αριθμών που περιέχει το x. Τότε, κάθε αριθμός αντιστοιχεί σε ένα μη-κενό σύνολο και κανένας αριθμός δεν αντιστοιχεί στο κενό σύνολο. Αλλά το κενό σύνολο είναι μέλος της P(N), έτσι η αντιστοιχία εξακολουθεί να μην καλύπτει την P(N).
Μέσω εις άτοπον απαγωγή έχουμε δείξει ότι η πληθικότητα του N και του P(N) δεν μπορεί να είναι ίση. Ακόμα γνωρίζουμε, ότι η πληθικότητα του P(N) δεν μπορεί να είναι μικρότερη από την πληθικότητα του N επειδή το P(N) περιέχει όλα τα σύνολα με ένα στοιχείο σαν "αντίγραφο" του Ν μέσα στο P(N). Ως εκ τούτου, η μόνη δυνατότητα που μένει είναι η πληθικότητα του P(N) να είναι αυστηρά μεγαλύτερη από την πληθικότητα του N, αποδεικνύοντας το θεώρημα του Καντόρ.

Σχετικά παράδοξα

Το θεώρημα του Καντόρ και η απόδειξη του είναι στενά συνδεδεμένα με τα δύο παράδοξα της θεωρίας συνόλων.
"Καντόρ παράδοξο" είναι το όνομα που δίνεται στο θεώρημα που ακολουθεί αμέσως μετά από το θεώρημα του Καντόρ, ονομασμένο από το γεγονός ότι δεν υπάρχει μεγαλύτερος πληθικός αριθμός. Αυτό το αποτέλεσμα μπορούμε να το πούμε περισσότερα " παραδόξως" ως: η υπόθεση ότι υπάρχει ένα σύνολο που περιέχει όλα τα σύνολα (που ονομάζεται επίσης καθολικό σύνολο) οδηγεί σε μια αντίφαση. Ωστόσο, για να διακρίνουμε αυτό το παράδοξο από αυτό που θα συζητηθεί παρακάτω, είναι σημαντικό να σημειωθεί ποια είναι αυτή η αντίφαση. Από το θεώρημα του Καντόρ έχουμε ότι |P(X)| > |X| για κάθε σύνολο X. Από την άλλη πλευρά, αν όλα τα στοιχεία του P(X) περιέχονταν στο X, θα είχαμε |P(X)| ≤ |X|. Μια στενά συνδεδεμένη συνέπεια αυτών των γεγονότων είναι ο ορισμός της (απεριόριστης) ακολουθίας των αριθμών Μπεθ που αντιστοιχούν στις πληθικότητες των N, P(N), P(P(N)), ...
Ένα άλλο παράδοξο μπορεί να προέρχεται από την απόδειξη του θεωρήματος του Καντόρ μέσο της αντικατάστασης της συνάρτησης f με την ταυτοτική συνάρτηση. Αυτό οδηγεί το διαγώνιο σύνολο του Καντόρ σε κάτι που μερικές φορές ονομάζεται το Ράσελ σύνολο του δοθέν συνόλου A 
Η απόδειξη του θεωρήματος του Καντόρ είναι ευθέως προσαρμοσμένη για να δείξει ότι : υποθέτοντας πως το σύνολο όλων των συνόλων U υπάρχει και λαμβάνοντας υπόψη το Ράσελ σύνολο του RU οδηγούμαστε στην αντίφαση:
Το επιχείρημα αυτό είναι γνωστό ως το παράδοξο του Ράσελ. Ως σημείο λεπτότητας, η έκδοση του παραδόξου του Ράσελ που παρουσιάσαμε εδώ είναι στην πραγματικότητα ένα θεώρημα Ζερμέλο; μπορούμε να συμπεράνουμε από την αντίφαση που καταχωρήσαμε ότι πρέπει να απορρίψουμε την υπόθεση ότι , αντικρούοντας έτσι την ύπαρξη ενός συνόλου που περιέχει όλα τα σύνολα. Αυτό ήταν δυνατό επειδή είχαμε χρησιμοποιήσει περιορισμένη κατανόηση (όπως εμφανίζεται στο ZFC) στον ορισμό του  που ειπώθηκε παραπάνω, το οποίο με τη σειρά του συνεπάγεται ότι:
Αν είχαμε χρησιμοποιήσει απεριόριστη κατανόηση (όπως στο Frege's σύστημα, για παράδειγμα) με τον καθορισμό του Ράσελ συνόλου απλά ως  , τότε το ίδιο το σύστημα των αξιωμάτων θα συνεπαγόταν την αντίφαση, χωρίς να απαιτούνταν περαιτέρω υποθέσεις.
Παρά τις συντακτικές ομοιότητες μεταξύ του Ράσελ συνόλου (σε οποιαδήποτε παραλλαγή) και του Καντόρ διαγωνίου συνόλου, ο Αλόνζο Χουρς τόνισε ότι το παράδοξο του Ράσελ είναι ανεξάρτητο από το σκεπτικό της πληθικότητας και τις βασικές του έννοιες, όπως η ένα-προς-ένα αντιστοιχία.

Ιστορία

Ο Καντόρ έδωσε ουσιαστικά αυτή την απόδειξη σε μία εφημερίδα που δημοσιεύτηκε το 1891 Über eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre, όπου εμφανίζεται επίσης για πρώτη φορά το διαγώνιο επιχείρημα για την μη –μετρησιμότητα των πραγματικών αριθμών (το οποίο είχε νωρίτερα αποδείξει με άλλες μεθόδους). Η έκδοση του επιχειρήματος που έδωσε στις εφημερίδες είχε διατυπωθεί από την άποψη των χαρακτηριστικών συναρτήσεων σε ένα σύνολο και όχι των υποσυνόλων ενός συνόλου. Έδειξε ότι, αν f είναι μια συνάρτηση που ορίζεται στο X, του οποίου οι τιμές είναι 2-συναρτήσει του Χ, τότε οι 2-συναρτήσει του Χ, G(x) = 1 − f(x)(x) δεν είναι στην περιοχή της f.
Μπέρτραντ Ράσελ είχε μια πολύ παρόμοια απόδειξη στις Αρχές των Μαθηματικών (1903, τμήμα 348), που έδειχνε ότι υπάρχουν περισσότερες λογικές συναρτήσεις   από ότι αντικείμενα. "Ας υποθέσουμε μια συσχέτιση όλων των αντικειμένων και κάποιων λογικών συναρτήσεων οι οποίες έχουν επηρεαστεί, και ας είναι phi-x η συσχέτιση του x. Στη συνέχεια, "not-phi-x(x)," δηλαδή "phi-x δεν κατέχει το x" είναι μια λογική συνάρτηση που δεν περιέχεται σε αυτό το συσχετισμό, διότι είναι αληθής ή ψευδής του x σύμφωνα με το phi-x είναι ψευδές ή αληθές του x, και ως εκ τούτου διαφέρει από το phi-x για κάθε τιμή του x." Αποδίδοντας ο ίδιος την ιδέα πίσω από την απόδειξη του Καντόρ.
Ερνστ Ζέρμελο έχει ένα θεώρημα (το οποίο ο ίδιος αποκαλεί "Θεώρημα του Καντόρ"), που είναι ταυτόσημη με την παραπάνω φόρμα στην εφημερίδα και η οποία έγινε το θεμέλιο της σύγχρονης θεωρίας συνόλων ("Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre"), που δημοσιεύθηκε το 1908. Δείτε την θεωρία συνόλων Zermelo.

Γενικεύσεις

Το θεώρημα του Καντόρ έχει γενικευθεί σε κάθε κατηγορία με προϊόντα.

Άλλες εφαρμογές

Ο Πάτρικ Κριμ έχει εφαρμόσει το θεώρημα του Καντόρ για να ισχυριστεί ότι το σύνολο όλων των αληθείς δεν υπάρχει.