Χώρος Χίλμπερτ

Εφαρμογές

Πολλές από τις εφαρμογές των χώρων Hilbert εκμεταλλεύονται το γεγονός ότι οι χώροι Hilbert υποστηρίζουν γενικεύσεις των απλών γεωμετρικών εννοιών όπως η προβολή και την αλλαγή της βάσης από τα συνήθη πεπερασμένων διαστάσεων περιβάλλον τους. Ειδικότερα, η φασματική θεωρία της συνεχούς αυτοσυζυγής γραμμικών φορέων σε ένα χώρο Hilbert γενικεύει τη συνήθη φασματική αποσύνθεση της μήτρας, και αυτό παίζει συχνά σημαντικό ρόλο σε εφαρμογές της θεωρίας σε άλλους τομείς των μαθηματικών και της φυσικής.

Μερικές διαφορικές εξισώσεις

Χώροι Hilbert αποτελούν βασικό εργαλείο για τη μελέτη των μερικών διαφορικών εξισώσεων. Για πολλές τάξεις των μερικών διαφορικών εξισώσεων, όπως γραμμικές ελλειπτικές μερικές διαφορικές εξισώσεις, είναι δυνατόν να εξετάσει μια γενικευμένη λύση (γνωστή ως ένα ασθενές) με τη διεύρυνση της κατηγορίας των λειτουργιών. Πολλές αδύναμες τυποποιήσεις περιλαμβάνουν την κατηγορία των λειτουργιών Sobolev, η οποία είναι ένας χώρος Hilbert. Ένα κατάλληλο ασθενές σκεύασμα μειώνει σε ένα γεωμετρικό πρόβλημα το αναλυτικό πρόβλημα της εύρεσης ενός διαλύματος ή, συχνά αυτό είναι πιο σημαντικό, δείχνοντας ότι υπάρχει μια λύση και είναι μοναδική για τα δεδομένα στοιχεία σύνορο. Για γραμμικές εξισώσεις ελλειπτικού, ένα γεωμετρικό αποτέλεσμα που εξασφαλίζει μοναδική φερεγγυότητα για μια μεγάλη κατηγορία προβλημάτων είναι το θεώρημα Lax-Milgram. Αυτή η στρατηγική αποτελεί το στοιχείο της μεθόδου Galerkin (πεπερασμένων στοιχείων) για την αριθμητική επίλυση μερικών διαφορικών εξισώσεων. [31]
Ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα είναι η εξίσωση Poisson-Δυ = g με οριακές συνθήκες Dirichlet σε περιορισμένη Ω τομέα στο R2. Το ασθενές σκεύασμα αποτελείται από την εξεύρεση μιας συνάρτησης u τέτοια ώστε, για όλες τις λειτουργίες συνεχώς παραγωγίσιμη ν σε Ω φυγής στο όριο:
Αυτό μπορεί να αναδιατυπωθεί ως προς το χώρο Hilbert H1 
0 (Ω) που αποτελείται από τις λειτουργίες u τέτοια ώστε u, μαζί με την ασθενή μερικές παραγώγους της, είναι ολοκληρώσιμο τετράγωνο στο Ω, και εξαφανίζονται στο όριο. Το ερώτημα, λοιπόν, μειώνει την εξεύρεση u σε αυτό το χώρο, έτσι ώστε για όλα τα v σε αυτό το χώρο
όπου α είναι μια συνεχής διγραμμική μορφή, και b είναι μια συνεχής γραμμική λειτουργικό, δίνεται αντίστοιχα από
Δεδομένου ότι η εξίσωση Poisson είναι ελλειπτικό, όπως προκύπτει από την ανισότητα Poincaré ότι η διγραμμική μορφή a είναι καταναγκαστική. Το θεώρημα Lax-Milgram εξασφαλίζει στη συνέχεια την ύπαρξη και την μοναδικότητα των λύσεων της εξίσωσης.
Οι χώροι Hilbert επιτρέπουν πολλές ελλειπτικές διαφορικές εξισώσεις που πρέπει να διατυπωθούν με παρόμοιο τρόπο, και το θεώρημα Lax-Milgram είναι τότε ένα βασικό εργαλείο για την ανάλυση τους. Με κατάλληλες τροποποιήσεις, παρόμοιες τεχνικές μπορούν να εφαρμοστούν σε παραβολική μερικών διαφορικών εξισώσεων και ορισμένων υπερβολικων μερικών διαφορικών εξισώσεων.

Η κβαντομηχανική

Στο μαθηματικά αυστηρή διατύπωση της κβαντομηχανικής, που αναπτύχθηκε από τον John von Neumann, οι πιθανές καταστάσεις (πιο συγκεκριμένα, η καθαρή κατάσταση) είναι ένα σύστημα κβαντικής μηχανικής που εκπροσωπείται από  το μοναδιαίο διάνυσμα (που ονομάζεται κρατικών φορέων) που κατοικούν σε ένα πολύπλοκο διαχωρίσιμο χώρο Hilbert, που είναι γνωστή ως το χώρο κατάστασης, και ορίζεται μέχρι ένα σύνθετο αριθμό του κανόνα 1 (ο παράγοντας φάσης). Με άλλα λόγια, οι πιθανές καταστάσεις είναι σημεία του projectivization  από ένα χώρο Hilbert, που συνήθως ονομάζεται σύνθετη προβολική χώρο. Η ακριβής φύση αυτού του χώρου Hilbert εξαρτάται από το σύστημα. Για παράδειγμα, η θέση και η ορμική στάση για ένα μοναδικό μη-σχετικιστικό σπιν μηδέν σωματίδιο είναι ο χώρος όλων των ολοκληρώσιμων τετραγωνικών λειτουργίων, ενώ η στάση για την περιστροφή  ενιαίων πρωτονίων είναι μονάδα στοιχείων των δύο διαστάσεων συγκροτημάτων Hilbert χώρων της spinors. Κάθε παρατηρήσιμη αντιπροσωπεύεται από ένα αυτοσυζυγή γραμμικό τελεστή που δρουν στο χώρο κατάστασης. Κάθε ιδιοκατάσταση του ένα παρατηρήσιμο αντιστοιχεί σε μία διοσυνάρτηση του φορέα, καθώς και των συνδεδεμένων ιδιοτιμών αντιστοιχούν στην αξία του παρατηρήσιμου εν λόγω ιδιοκατάσταση.
Η εξέλιξη του χρόνου από μια κβαντική κατάσταση περιγράφεται από την εξίσωση του Schrödinger, στο οποίο η Hamiltonian, o χειριστής που αντιστοιχεί στη συνολική ενέργεια του συστήματος, δημιουργεί την εξέλιξη του χρόνου.
Το εσωτερικό γινόμενο μεταξύ δύο κρατικών φορέων είναι ένα σύνθετο αριθμό γνωστό ως πιθανότητα πλάτος. Κατά τη διάρκεια μια ιδανικής μέτρησης του συστήματος της κβαντικής μηχανικής, η πιθανότητα ότι ένα σύστημα καταρρέει από μια δεδομένη αρχική κατάσταση σε μια συγκεκριμένη ιδιοκατάσταση δίνεται από την πλατεία της απόλυτης τιμής των πλατών πιθανοτήτων μεταξύ των αρχικών και των τελικών καταστάσεων. Τα πιθανά αποτελέσματα της μέτρησης είναι οι ιδιοτιμές του χειριστή που εξηγεί την επιλογή του αυτο-τελεστή, για όλες τις ιδιοτιμές πρέπει να είναι πραγματική. Η κατανομή πιθανότητας παρατηρούνται σε μια δεδομένη κατάσταση μπορεί να βρεθεί υπολογίζοντας τη φασματική αποσύνθεση του αντίστοιχου οικονομικού φορέα.
Για ένα γενικό σύστημα, η στάση συνήθως δεν είναι καθαρή, αλλά, αντίθετα, εκπροσωπήθηκαν ως στατιστικά μείγματα καθαρών στάσεων, ή μικτές καταστάσεις, με μήτρες πυκνότητα: ιδιο-τελεστές της εντοπίζουν για ένα χώρο Hilbert. Επιπλέον, για γενικά συστήματα κβαντικής μηχανικής , τα αποτελέσματα μιας μόνο μέτρησης μπορεί να επηρεάσει άλλα μέρη του συστήματος, κατά τρόπο που περιγράφεται αντί από ένα θετικό φορέα αξιόλογο μέτρο. Έτσι, η δομή και των δύο κρατών και παρατηρήσιμα στην γενική θεωρία είναι σημαντικά πιο περίπλοκη από ό, τι την εξιδανίκευση για τα καθαρή στάση.
Αρχή της αβεβαιότητας Heisenberg αντιπροσωπεύεται από τη δήλωση ότι οι φορείς εκμετάλλευσης που αντιστοιχούν σε ορισμένες παρατηρήσιμες δεν μετακινούνται, και δίνει μια ειδική μορφή  συλλέκτη που πρέπει να έχουν.

Ασθενώς συγκλίνουσες ακολουθίες

Σε ένα χώρο Hilbert H, μια ακολουθία {xₙ} είναι ασθενώς συγκλίνουσα σε ένα διάνυσμα x ∈ H όταν :
 για κάθε v ∈ H.
Για παράδειγμα οποιαδήποτε ορθοκανονική ακολουθία {fₙ} συγκλίνει ασθενώς στο  0, ως συνέπεια της ανισότητας του Bessel. Κάθε ασθενώς συγκλίνουσα ακολουθία {xₙ} οριοθετείται, από την αρχή ομοιόμορφου φράγματος.
Αντίθετα, κάθε φραγμένη ακολουθία σε ένα χώρο Hilbert δέχεται ασθενώς συγκλίνουσες Υπακολουθίες (θεώρημα του Alaoglu).Το γεγονός αυτό μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να αποδειχθούν αποτελέσματα ελαχιστοποίησης για συνεχή κυρτή συνάρτηση,με τον ίδιο τρόπο με τον οποίο το  θεώρημα Bolzano-Weierstrass , χρησιμοποιείται για συνεχείς συναρτήσεις στον Rᵈ. Μεταξύ των πολλών παραλλαγών,
μια απλή διατύπωση έχει ως εξής:
 Άν f: H → R είναι μια κυρτή συνεχής συνάρτηση τέτοια ώστε f(x) τείνει στο +∞ όταν ||x|| τείνει στο +∞,
τότε η  f δέχεται ελάχιστο σε κάποιο σημείο x₀ ∈ H.
Το γεγονός αυτό (και οι διάφορες γενικεύσεις του) είναι θεμελιώδους σημασίας στην άμεση μέθοδο του υπολογισμού των μεταβολών. Τα ελάχιστα αποτελέσματα για κυρτές συναρτήσεις είναι επίσης μια άμεση συνέπεια  του γεγονότος ότι τα κλειστά φραγμένα κυρά υποσύνολα σε ένα χώρο Hilbert H είναι ασθενώς συμπαγή, αφού ο H είναι αντανακλαστικός.Η ύπαρξη ασθενώς συγκλίνουσας υπακολουθίας είναι μια ειδική περίπτωση του θεωρήματος Eberlein-Šmulian .

Ιδιότητες χώρου Banach

Κάθε γενική ιδιότητα του χώρου Banach συνεχίζει να ισχύει και στους χώρους Hilbert. Το θεώρημα ανοιχτής απεικόνισης δηλώνει ότι ένας surjective γραμμικός μετασχηματισμός από ένα χώρο Banach σε έναν άλλο, είναι μία ανοιχτή απεικόνιση που σημαίνει ότι στέλνει ανοιχτά σύνολα σε ανοιχτά σύνολα. Μία συνέπεια είναι το φραγμένο αντίστροφο θεώρημα, ότι μια συνεχής και bijective γραμμική συνάρτηση από έναν Banach χώρο σε έναν άλλο είναι ισομορφισμός. Το θεώρημα αυτό είναι πολύ πιο απλό να αποδειχθεί στην περίπτωση των χώρων Hilbert από ό,τι στην περίπτωση των χώρων Banach. Το θεώρημα της ανοιχτής απεικόνισης είναι ισοδύναμο με το κλειστό θεώρημα γράφημα, το οποίο υποστηρίζει ότι μια συνάρτηση από ένα χώρο Banach σε έναν άλλο είναι συνεχής αν και μόνο αν η γραφική της παράσταση είναι ένα κλειστό σύνολο. Στην περίπτωση των χώρων Hilbert,αυτό είναι βασικό στη μελέτη των unbounded operator.
Το γεωμετρικό Hahn-Banach θεώρημα ισχυρίζεται ότι ένα κλειστό κυρτό σύνολο μπορεί να διαχωριστεί από οποιοδήποτε σημείο έξω από αυτό μέσω ενός υπερεπιπέδου του χώρου Hilbert.Αυτή είναι μια άμεση συνέπεια της ιδιότητας καλύτερης προσέγγισης: Άν y είναι το στοιχείο ενός κλειστού κυρτού συνόλου F κοντά στο x,τότε το διαχωριστικό υπερεπίπεδο είναι κάθετο προς το τμήμα xy που διέρχεται από το μέσο του.

Διάσταση Hilbert

Ως συνέπεια του λήμματος του Zorn κάθε χώρος Hilbert δέχεται μια ορθοκανονική βάση. Επιπλέον, οποιασδήποτε δύο ορθοκανονικές βάσεις του ίδιου χώρου έχουν την ίδια πληθάριθμος, που ονομάζεται διάσταση του χώρου Hilbert. Για παράδειγμα, αφού ο ℓ²(B) έχει μια ορθοκανονική βάση που υποδεικνύεται από τον B, η Hilbert διάσταση του είναι ο πληθάριθμος του B (ο οποίος μπορεί να είναι ένας πεπερασμένος ακέραιος, ή ένας αριθμήσιμος ή μη αριθμήσιμος απόλυτος αριθμός).
Ως συνέπεια της ταυτότητας του Parseval, εάν {eₖ}ₖ ∈ B είναι μια ορθοκανονική βάση του Η τότε η απεικόνιση Φ : H →  ℓ²(B) που ορίζεται από τη σχέση Φ(x) = (⟨x,eₖ⟩)ₖ∈B είναι ένας ισομετρικός ισομορφισμός των χώρων Hilbert:είναι μια αμφιμονοσήμαντη γραμμική απεικόνιση τέτοια ώστε : για κάθε x και y στον H. Ο απόλυτος αριθμός του B είναι η Hilbert διάσταση του H. Έτσι, κάθε χώρος Hilbert είναι ισομετρικά ισομορφικός με ένα χώρο ακολουθιών  ℓ²(B) για κάποιο σύνολο Β.

Διαχωρίσιμοι χώροι

Ένας χώρος Hilbert είναι διαχωρίσιμος χώρος  αν και μόνο αν ο ίδιος δέχεται μία μετρήσιμη ορθοκανονική βάση.Επομένως, όλοι οι απειροδιάστατοι διαχωριζόμενοι χώροι Hilbert είναι ισομετρικά ισομορφικοίμε τον ℓ².
Στο παρελθόν, οι χώροι Hilbert συχνά εξ ορισμού απαιτούνταν να είναι διαχωρίσιμοι. Οι περισσότεροι χώροι που χρησιμοποιούνται στη φυσική είναι διαχωρίσιμοι και δεδομένου ότι όλοι είναι ισόμορφοι μεταξύ τους,ο ένας αναφέρεται συχνά σε οποιοδήποτε απειροδιάστατο διαχωρίσιμο χώρο Hilbert ως  "χώρο Hilbert". Ακόμη και στην κβαντική θεωρία πεδίου, οι περισσότεροι από τους χώρους Hilbert είναι στην πραγματικότητα διαχωρίσιμοι, όπως ορίζεται από τα αξιώματα Wightman. Ωστόσο, μερικές φορές υποστηρίζεται ότι οι μη-διαχωριζόμενοι χώρουι Hilbert είναι επίσης σημαντικοί για την κβαντική θεωρία πεδίου, κυρίως επειδή τα συστήματα στη θεωρία έχουν έναν άπειρο αριθμό ελευθερίας, και κάθε άπειρο  γινόμενο τανυστή (χώρων διάστασης μεγαλύτερης από ένα) είναι μη διαχωρίσιμο. Για παράδειγμα, ένα μποζονικό πεδίο  μπορεί φυσικά να θεωρηθεί ως ένα στοιχείο ενός γινομένου τανυστή του οποίου οι συντελεστές αντιπροσωπεύουν αρμονικούς ταλαντωτές σε κάθε σημείο του χώρου. Από αυτή την άποψη,το πεδίο ενός μποζονίου μπορεί να φαίνεται σαν να είναι ένας μη-διαχωριζόμενος χώρος. Ωστόσο, αυτός είναι μόνο ένας μικρός διαχωρίσιμος υπόχωρος του πλήρους γινομένου τανυστή που μπορεί να περιέχει πεδία με φυσική σημασία (στο οποίο τα αισθητά μπορούν να οριστούν). Ένας άλλος μη-διαχωριζόμενος χώρος Hilbert παρουσιάζει την κατάσταση μιας άπειρου συλλογής σωματιδίων σε μια απέραντη περιοχή του χώρου. Μία ορθοκανονική βάση του χώρου αναπροσαρμόζεται από την πυκνότητα των σωματιδίων, μια συνεχή παράμετρο, και δεδομένου ότι το σύνολο των πιθανών πυκνοτήτων είναι αμέτρητο, η βάση δεν είναι μετρήσιμη.