Διακύμανση

Στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική, η διακύμανση είναι η αναμενόμενη τιμή της τετραγωνικής απόκλισης της τυχαίας μεταβλητής από τη μέση τιμή, και άτυπα μετρά πόσο μακριά ένα σύνολο (τυχαίων) αριθμών απλώνεται από τη μέση τιμή του. Η διακύμανση έχει κεντρικό ρόλο στη στατιστική. Χρησιμοποιείται στην περιγραφική στατιστική, στατιστική συμπερασματολογία, έλεγχο υποθέσεων, έλεγχο καλής προσαρμογής, Μόντε Κάρλο δειγματοληψίας, μεταξύ πολλών άλλων. Αυτό την καθιστά μία κεντρική ποσότητα σε πολλά πεδία όπως η Φυσική, Βιολογία, Χημεία, Οικονομικά, και Χρηματοοικονομικά. Η διακύμανση είναι το τετράγωνο της τυπικής απόκλισης, η δεύτερη κεντρική ροπή της κατανομής, και η συνδιασπορά της τυχαίας μεταβλητής με τον εαυτό της, και συχνά συμβολίζεται σ² ή Var(X).

Ρίψη νομίσματος

Η διωνυμική κατανομή με  περιγράφει την πιθανότητα να εμφανιστούν  κεφαλές σε  ρίψεις. Έτσι, η αναμενόμενη τιμή του αριθμού των κεφαλών είναι  και η διακύμανση είναι .

Χαρακτηριστική ιδιότητα

Η δεύτερη ροπή μιας τυχαίας μεταβλητής αποκτά την ελάχιστη τιμή όταν λαμβάνονται γύρω από την πρώτη ροπή (δηλαδή, μέση τιμή) της τυχαίας μεταβλητής, δηλ. . Αντίθετα, αν μια συνεχής συνάρτηση  ικανοποιεί  για όλες τις τυχαίες μεταβλητές X, τότε είναι αναγκαστικά της μορφής όπου a > 0. Αυτό ισχύει επίσης στην πολυδιάστατη περίπτωση.

Μονάδες μέτρησης

Σε αντίθεση με την αναμενόμενη απόλυτη απόκλιση, η διακύμανση μιας μεταβλητής έχει μονάδες που είναι το τετράγωνο από τις μονάδες της μεταβλητής. Για παράδειγμα, μια μεταβλητή που μετράται σε μέτρα θα έχει μια απόκλιση που μετράται σε μέτρα στο τετράγωνο. Για το λόγο αυτό, η περιγραφή των συνόλων δεδομένων μέσω της τυπικής απόκλισης ή της ρίζας μέσης τετραγωνικής απόκλισης συχνά προτιμάται σε σχέση με τη διακύμανση. Στο παράδειγμα με τα ζάρια, η τυπική απόκλιση √2.9 ≈ 1.7, ελαφρώς μεγαλύτερο από την αναμενόμενη απόλυτη απόκλιση 1.5.
Η τυπική απόκλιση και η αναμενόμενη απόλυτη απόκλιση μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως δείκτης της "εξάπλωσης" της κατανομής. Η τυπική απόκλιση είναι πιο δεκτική στην αλγεβρική χειραγώγηση από την αναμενόμενη απόλυτη απόκλιση, και, μαζί με τη διακύμανση και τη γενίκευση συνδιακύμανση, χρησιμοποιείται συχνά στην θεωρητική στατιστική * εντούτοις, η αναμενόμενη απόλυτη απόκλιση τείνει να είναι πιο ανθεκτική, καθώς είναι λιγότερο ευαίσθητη σε έκτοπες παρατηρήσεις που προκύπτουν από τα σφάλματα μετρήσεων ή μία υπερβολικά ασύμμετρη κατανομή.

Διακύμανση πληθυσμού και διακύμανση δείγματος

Πραγματικές παρατηρήσεις όπως οι μετρήσεις από τη χθεσινή βροχή καθ'όλη τη διάρκεια της ημέρας τυπικά δεν μπορούν να είναι πλήρη σύνολα όλων των πιθανών παρατηρήσεων που θα μπορούσαν να γίνουν. Οπότε, η διακύμανση που υπολογίζεται από το πεπερασμένο σύνολο γενικά δεν θα ταιριάζει με τη διακύμανση που θα υπολογιζόταν από το συνολικό πλήθος των πιθανών παρατηρήσεων. Αυτό σημαίνει ότι εκτιμάται η μέση τιμή και η διακύμανση που θα είχαν υπολογιστεί από ένα πλήρες σύνολο παρατηρήσεων με τη χρήση μιας εκτιμήτριας συνάρτησης. Ο εκτιμητής είναι μια συνάρτηση από το δείγμα των n παρατηρήσεων η οποία σχεδιάζεται αμερόληπτα  από το σύνολο του πληθυσμού των πιθανών παρατηρήσεων. Σε αυτό το παράδειγμα,αυτό το δείγμα θα ήταν το σύνολο των πραγματικών μετρήσεων της χθεσινής βροχόπτωσης από τις διαθέσιμες μετρήσεις βροχής εντός της γεωγραφικής περιοχής που ενδιαφέρει.
Ο πιο απλός εκτιμητής για την μέση τιμή του πληθυσμού και τη διακύμανση του πληθυσμού είναι απλά η μέση τιμή και η διακύμανση του δείγματος, η μέση τιμή δείγματος και (μη διορθωμένη) διακύμανση του δείγματος – αυτά είναι συνεπείς εκτιμητές (που συγκλίνουν στη σωστή τιμή καθώς ο αριθμός των δειγμάτων αυξάνει), αλλά μπορεί να βελτιωθεί. Η εκτίμηση της διακύμανσης του πληθυσμού παίρνοντας τη διακύμανση του δείγματος είναι κοντά στην επιθυμητή, σε γενικές γραμμές, αλλά μπορεί να βελτιωθεί με δύο τρόπους. Πιο απλά, η διακύμανση του δείγματος υπολογίζεται ως μέσος όρος των τετραγωνικών αποκλίσεων σχετικά με τη μέση τιμή (του δείγματος), διαιρώντας με το π.δ. Ωστόσο, χρησιμοποιώντας τιμές διαφορετικές από το n βελτιώνεται ο εκτιμητής με διάφορους τρόπους. Τέσσερις κοινές τιμές για τον παρονομαστής είναι n, n − 1, n + 1 και n − 1.5: n είναι ο απλούστερος (διακύμανση του πληθυσμού του δείγματος), n − 1 μειώνει την μεροληψία, n + 1 ελαχιστοποιεί το μέσο τετραγωνικό σφάλμα για την κανονική κατανομή, και n − 1.5 κυρίως μειώνει την μεροληψία σε αμερόληπτη εκτίμηση της τυπικής απόκλισης της κανονικής κατανομής.
Πρώτον, αν και η πραγματική μέση τιμή είναι άγνωστη (και υπολογίζεται ως η μέση τιμή δείγματος), τότε η διακύμανση του δείγματος είναι μεροληπτικός εκτιμητής: υποτιμά τη διακύμανση κατά ένα παράγοντα (n − 1) / n * η διόρθωση από αυτόν τον παράγοντα (διαίρεση με n − 1 αντί για n) ονομάζεται διόρθωση Bessel. Ο εκτιμητής που προκύπτει είναι αμερόληπτος, και καλείται η (διορθωμένη) διακύμανση του δείγματος ή αμερόληπτη διακύμανση του δείγματος. Για παράδειγμα, όταν n = 1 η διακύμανση της μια μόνο παρατήρηση για τη μέση τιμή του δείγματος  (από μόνη της), είναι προφανώς μηδέν, ανεξάρτητα από τη διακύμανση του πληθυσμού. Αν η μέση καθορίζεται με κάποιο άλλο τρόπο από ό,τι από τα ίδια δείγματα που χρησιμοποιούνται για την εκτίμηση της διακύμανσης τότε αυτή η μεροληψία δεν τίθεται και η διακύμανση μπορεί με ασφάλεια να εκτιμηθεί όπως αυτή από τα δείγματα για την (ανεξάρτητα γνωστή) μέση τιμή.
Δεύτερον, η διακύμανση του δείγματος, γενικώς, δεν ελαχιστοποιεί το μέσο τετραγωνικό σφάλμα μεταξύ της διακύμανσης του δείγματος και της διακύμανσης του πληθυσμού. Η διόρθωση της μεροληψίας συχνά κάνει τα πράγματα χειρότερα.: μπορείτε πάντα να επιλέξετε ένα συντελεστή κλίμακας που αποδίδει καλύτερα από τη διορθωμένη διακύμανση του δείγματος, αν και η βέλτιστη παράγοντας κλίμακας εξαρτάται από την υπερβολική κύρτωση του πληθυσμού (βλ μέσο τετραγωνικό σφάλμα: διακύμανση), και εισάγει μεροληψία. Αυτό αποτελείται από μείωση του αμερόληπτου εκτιμητή (διαιρώντας με έναν αριθμό μεγαλύτερο από n − 1), και είναι ένα απλό παράδειγμα από μια συρρίκνωση εκτιμητή: "συρρικνώνει" τον αμερόληπτο εκτιμητή προς το μηδέν. Για την κανονική κατανομή, διαιρώντας με n + 1 (αντί για n − 1 ή n) ελαχιστοποιεί το μέσο τετραγωνικό σφάλμα. Ο εκτιμητής που προκύπτει είναι μεροληπτικός, ωστόσο, και είναι γνωστό ως μεροληπτική διακύμανση του δείγματος.

Ανισότητα του Samuelson

Η ανισότητα του Samuelson  είναι ένα αποτέλεσμα που δηλώνει όρια για τις τιμές που μπορούν να πάρουν μεμονωμένες παρατηρήσεις σε ένα δείγμα, δεδομένου ότι η μέση τιμή του δείγματος και η (μεροληπτική) διακύμανση έχουν υπολογιστεί. οι Τιμές πρέπει να βρίσκονται εντός των ορίων

Έλεγχος ισότητας διασπορών

Ο έλεγχος για την ισότητα δύο ή περισσότερων διακυμάνσεων είναι δύσκολος. ΤοF τεστ και το Χ-τετράγωνο τεστ επηρεάζονται αρνητικά από τη μη-κανονικότητα και δεν συνιστώνται για το σκοπό αυτό.
Πολλοί μη παραμετρικοί έλεγχοι έχουν προταθεί: αυτά περιλαμβάνουν τα Barton–David–Ansari–Freund–Siegel–Tukey test, το τεστ Capon, Mood τεστ, Klotz τεστ και το Sukhatme τεστ. Το Sukhatme τεστ ισχύει για δύο διακυμάνσεις και απαιτεί και οι δύο μέροι όροι να είναι γνωστοί και ίσοι με το μηδέν. Τα Mood,Klotz,Capon και Barton–David–Ansari–Freund–Siegel–Tukey τεστ εφαρμόζονται επίσης για δύο διακυμάνσεις. Επιτρέπουν να είναι άγνωστη η μεση τιμή, αλλά απαιτούν να είναι ίσες οι δύο μέσες τιμές.
Το Lehmann τεστ είναι ένας παραμετρικός έλεγχος δύο διασπορών.Είναι γνωστές αρκετές παραλλαγές αυτού του τεστ. Άλλοι έλεγχοι της ισότητας των διασπορών είναι το Box τεστ, το Box–Anderson τεστ και το Moses τεστ.
Μέθοδοι αναδειγματοληψίας, οι οποίες περιλαμβάνουν το bootstrap και το jackknife, μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να ελεγχθεί η ισότητα των διακυμάνσεων.

Ιστορία

Ο όρος διακύμανση εισήχθη για πρώτη φορά από τον Ρόναλντ Φίσερ το 1918 στο άρθρο The Correlation Between Relatives on the Supposition of Mendelian Inheritance:
Το σώμα των διαθέσιμων στατιστικών μας δείχνει ότι οι αποκλίσεις μιας ανθρώπινης μέτρησης από την μέση τιμή της ακολουθούν εκ του σύνεγγυς την Κανονική κατανομή, και, ως εκ τούτου, ότι η μεταβλητότητα μπορεί να μετρηθεί ομοιόμορφα  από την τυπική απόκλιση που αντιστοιχεί στο τετραγωνική ρίζα του μέσου τετραγωνικού σφάλματος. Όταν υπάρχουν δύο ανεξάρτητες αιτίες μεταβλητότητας ικανές να παράγουν μια κατά τα άλλα ομοιόμορφη κατανομή του πληθυσμού με τυπικές αποκλίσεις  και διαπιστώθηκε ότι η κατανομή, όταν και οι δύο αιτίες που ενεργούν από κοινού, έχει μια τυπική απόκλιση . Ως εκ τούτου, είναι επιθυμητό στην ανάλυση των αιτίων της μεταβλητότητας να ασχοληθούμε με το τετράγωνο της τυπικής απόκλισης ως μέτρο της μεταβλητότητας. Θα ονομάζουμε την ποσότητα αυτή  Διακύμανση...

Ημιδιακύμανση

Η ημιδιακύμανση υπολογίζεται με τον ίδιο τρόπο όπως η διακύμανση, αλλά μόνο οι παρατηρήσεις οι οποίες είναι κάτω από το μέσο όρο περιλαμβάνονται στον υπολογισμό. Είναι μερικές φορές περιγράφεται ως ένα μέτρο καθοδικού κινδύνου  σε ένα πλαίσιο επενδύσεων. Για ασύμμετρες κατανομές, η ημιδιακύμανση μπορεί να παρέχει πρόσθετες πληροφορίες που η διακύμανση δεν παρέχει.

Γενικεύσεις

Αν  είναι μια βαθμωτή μιγαδική τυχαία μεταβλητή, με τιμές στο  , τότε, η διακύμανση είναι πού  είναι ο συζυγής μιγαδικός του . Αυτή η διακύμανση είναι βαθμωτή.
Αν  είναι μία διανυσματική τυχαία μεταβλητή, με τιμές στο και θεωρώντας την ως ένα διάνυσμα στήλης,τότε  η φυσική γενίκευση της διακύμανσης είναι πού  και  είναι ο ανάστροφος του  Το αποτέλεσμα είναι θετικά ημι-ορισμένος τετραγωνικός πίνακας, που συνήθως αναφέρεται ως ο πίνακας διακύμανσης-συνδιακύμανσης.
Αν  είναι ένα διάνυσμα - και μιγαδική τυχαία μεταβλητή, με τιμές στο ,τότε η γενίκευση της διακύμανσης είναι πού  είναι ο συζυγής ανάστροφος του . Αυτός ο πίνακας είναι επίσης θετικά ημι-ορισμένος και τετραγωνικός.