Μαθηματική σταθερά

Κοινές μαθηματικές σταθερές

Αυτές είναι οι σταθερές που είναι πιθανό να συναντήσει κάποιος κατά τη διάρκεια της φοίτησής του σε πανεπιστήμια σε πολλές χώρες.

Σταθερές στα προχωρημένα μαθηματικά

Αυτές είναι σταθερές που εμφανίζονται συχνά στα ανώτερα μαθηματικά.

Οι σταθερές του Feigenbaum α και δ

Οι επαναλήψεις των συνεχών απεικονίσεων θεωρούνται από τα πιο απλά παραδείγματα μοντέλων για δυναμικά συστήματα. Οι δύο σταθερές ονομάστηκαν έτσι εξαιτίας του φυσικομαθηματικού Mitchell Feigenbaum και εμφανίζονται στις εξής επαναληπτικές διαδικασίες: ως μαθηματικές σταθερές των λογιστικών απεικονίσεων με τετραγωνικά μέγιστα σημεία και τα διαγράμματα διακλάδωσής τους.
Η λογιστική απεικόνιση είναι ένα πολυώνυμο χαρτογράφησης, συχνά παρατεθείσα ως ένα αρχετυπικό παράδειγμα των τρόπων με τους οποίους εξηγεί  πως η χαοτική συμπεριφορά μπορεί να προκύψει από πολύ απλές μη-γραμμικές δυναμικές εξισώσεις. Η απεικόνιση δημοσιοποιήθηκε σε μια σημαίνουσα εργασία το 1976 από τον Αυστραλιανό βιολόγο Robert May, εν μέρει, ως ένα διακριτού-χρόνου δημογραφικό ανάλογο στη λογιστική εξίσωση που για πρώτη φορά δημιουργήθηκε από τον Pierre François Verhulst. Η διαφορική εξίσωση  προορίζεται για να συλλάβει τις δύο επιδράσεις της αναπαραγωγής και της λιμοκτονίας.
Η αριθμητική τιμή της α είναι περίπου 2.5029. Η αριθμητική τιμή της δ είναι προσεγγιστικά 4.6692.

Η σταθερά του Apéry ζ(3)

Παρά την ειδική αξία της συνάρτησης ζήτα του Riemann, η σταθερά του Apéry εμφανίζεται σε έναν αριθμό φυσικών προβλημάτων, συμπεριλαμβανομένων των δεύτερης και τρίτης τάξης όρων της γυρομαγνητικής αναλογίας του ηλεκτρονίου, που υπολογίζεται με τη χρήση της κβαντικής ηλεκτροδυναμικής.  Η αριθμητική τιμή της ζ(3) είναι προσεγγιστικά 1,2020569.

Η χρυσή αναλογία φ 

Ο αριθμός φ, επίσης αποκαλείται η χρυσή αναλογία, χρησιμοποιείται συχνά στη γεωμετρία, ιδιαίτερα σε σχήματα με πενταγωνική συμμετρία. Πράγματι, το μήκος της διαγωνίου ενός κανονικού πενταγώνου είναι φ φορές την πλευρά του. Οι κορυφές ενός κανονικού εικοσαέδρου είναι εκείνες των τριών αμοιβαίων  ορθογωνίων χρυσών παραλληλογράμμων σε ένα  εικοσάεδρο. Επίσης, αυτός εμφανίζεται στην ακολουθία Fibonacci, που σχετίζεται με την αύξηση της αναδρομικά. Η χρυσή αναλογία έχει την πιο αργή σύγκλιση  από οποιοδήποτε άρρητο αριθμό. Είναι, για αυτόν τον λόγο, μία από τις χειρότερες περιπτώσεις του θεωρήματος προσέγγισης του Lagrange και αυτό είναι είναι μια ακραία περίπτωση της ανισότητας του Hurwitz για τις διοφαντικές προσεγγίσεις. Αυτή ίσως μπορεί να είναι η εξήγηση γιατί οι γωνίες που βρίσκονται κοντά στη χρυσή αναλογία συχνά απεικονίζονται στην phyllotaxis (ανάπτυξη των φυτών). Προσεγγιστικά, ο αριθμός φ είναι ίσος με 1,61803398874, ή, ακριβέστερα (1+√5)/2.

Η σταθερά γ των Euler-Mascheroni

Η σταθερά γ των Euler-Mascheroni είναι μια περιοδική σταθερά στην θεωρία αριθμών. Ο Βέλγος μαθηματικός Charles Jean de la Vallée-Poussin απέδειξε το 1898 ότι, αν πάρετε οποιοδήποτε θετικό ακέραιο αριθμό n και τον διαιρέσετε με κάθε θετικό ακέραιο m μικρότερο του n, ο μέσος όρος κλασμάτων με τον οποίο το πηλίκο n/m πλησιάζει στον επόμενο ακέραιο αριθμό και τείνει να είναι το γ όταν το n πλησιάζει στο άπειρο. Παραδόξως, αυτό ο μέσος όρος δεν τείνει στο 3/2. Η σταθερά των Euler-Mascheroni  εμφανίζεται, επίσης, στο τρίτο θεώρημα του Merten και έχει σχέση με την συνάρτηση γάμμα, τη συνάρτηση ζήτα και πολλά άλλα ολοκληρώματα και σειρές. Ο ορισμός της σταθεράς των Euler-Mascheroni παρουσιάζει στενή σχέση μεταξύ του διακριτού και των συνεχούς. Η αριθμητική τιμή της γ είναι περίπου 0,57721.

Η Σταθερά λ του Conway

Η σταθερά λ του Conway είναι ο αναλλοίωτος ρυθμός αύξησης όλων των συμβολοσειρών που προέρχονται παρόμοια με την ακολουθία look-and-say  (με εξαίρεση μερικές τετριμμένες).
Δίνεται από τη μοναδική θετική πραγματική ρίζα ενός πολυωνύμου 71ου βαθμού  με ακέραιους συντελεστές.
Η τιμή του λ είναι περίπου 1,30357.

Σταθερά Ω του Chaitin

Στον τομέα της επιστήμης των υπολόγιστων που ονομάζεται θεωρία αλγοριθμικής πληροφόρησης,η σταθερά του Chaitin ειναι ο πραγματικός αριθμός που αντιπροσωπεύει την πιθανότητα με την οποία μια τυχαία επιλεγμένη μηχανη Turing θα σταματήσει.Η σταθερά του Chaitin δημιουργηθηκε από τον Αργεντινο-Αμερικανό μαθηματικό και επιστήμονα ηλεκτρονικών υπολογιστών Gregory Chaitin.Η σταθερα αυτή ,αν και δε μπορεί να υπολογιστεί με ακρίβεια,έχει αποδειχθεί πως είναι υπερβατικός και κανονικός αριθμός.Η σταθερά δεν είναι καθολική,αφού εξαρτάται σημαντικά απο την εκάστοτε αριθμιτική κωδικοποίηση που χρησιμοποιείται για τις μηχανές Turing,ωστόσο οι ενδιαφέρουσες ιδιότητες της είναι ανεξάρτητες της κωδικοποίησης που χρησιμοποιείται.

Απροσδιόριστες σταθερές

Όταν δεν προσδιορίζονται, οι σταθερές υποδηλώνουν κλάσεις παρόμοιων αντικειμένων,συνήθως συναρτήσεων, οι οποίες αντιπροσοπεύονται από μία σταθερά.Τέτοιες σταθερές συναντώνται συχνά όταν ασχολούμαστε με ολοκληρώματα και διαφορικές εξισώσεις.Παρ' όλο που δεν προσδιόριζονται,εχουν συγκεκριμένη τιμή,η οποία πολλές φορές δεν παίζει σημαντικό ρόλο στη λυση του προβλήματος .

Αναπαράσταση σταθερών

Είναι συνιθισμένο να εκφράζουμε την αριθμητική τιμή μιας σταθεράς χρησιμοποιώντας τη δεκαδική της αναπαράσταση (ή τουλάχιστον κάποια από τα πρώτα ψηφία της αναπαράστασης).Αυτη η αναπαράσταση  όμως ίσως προκαλέσει προβλήματα για δύο λόγους.Πρώτον,παρ' όλο που  όλοι οι ρητοί έχουν πεπερασμένο ή συνεχώς επαναλαμβανόμενο δεκαδικό ανάπτυγμα, οι άρρητοι ωστόσο δεν έχουν τέτοιου είδους έκφραση κι αυτό τους καθιστά αδύνατο να περιγραφούν εντελώς με τέτοιο τρόπο.Επίσης,το δεκαδικό ανάπτυγμα ενός αριθμού δεν είναι απαραίτητα μοναδικό.Για παράδειγμα,οι δύο αναπραστάσεις 0.999 και 1 είναι ισοδύναμες με την έννοια ότι αντιπροσωπεύουν τον ίδιο αριθμό.
Ο υπολογισμός του δεκαδικού αναπτύγματος των σταθερών έχει αποτελέσει συνηθισμένο εγχείρημα ανά τους αιώνες. Για παράδειγμα ο Γερμανός μαθηματικός Ludolph van Ceulen που έζησε το 16ο αιώνα αφιέρωσε σημαντικό κομμάτι της ζωής του στον υπολογισμό των πρώτων 35 ψηφίων του π. Χρησιμοποιώντας υπολογιστές και υπερ-υπολογιστές έχουν υπολογιστεί περισσότερα από εκατό δισεκατομμύρια ψηφία κάποιων μαθηματικών σταθερών συμπεριλαμβανομένων των π,e και της τετραγωνικής ρίζας του 2.Έχουν αναπτυχθεί γρήγοροι αλγόριθμοι,κάποιοι από τους οποίους -όπως αυτός για τη σταθερά του Apéry- είναι απροσδόκητα γρήγοροι.
Κάποιες σταθερές διαφέρουν τόσο πολύ από το συνηθισμένο είδος ώστε έχει εφευρεθεί ένας νέος συμβολισμός για να τις αναπαριστούμε ικανοποιητικά.Κάτι τέτοιο απεικονίζεται στη διπλανή εικόνα στον αριθμό του Graham,όπου χρησιμοποιείται ο συμβολισμός του Knuth με άνω βέλος.
Είναι προς το συμφέρον μας να τις αναπαριστάνουμε χρησιμοποιώντας συνεχή κλάσματα όταν διεξάγουμε διάφορες έρευνες,όπως στατιστικές αναλύσεις.Πολλές μαθηματικές σταθερές έχουν μια αναλυτική μορφή,αυτό σημαίνει ότι μπορούν να κατασκευαστούν χρησιμοποιώντας ευρέως γνώστες πράξεις που βοηθούν στον υπολογισμό τους.Δεν έχουν όλες οι σταθερές αναλυτικές μορφές όπως συμβαίνει για παράδειγμα με τη σταθερά του Grossman και τη σταθερά του Foias.

Συμβολισμός και ονομασία των σταθερών

Η χρήση γραμμάτων για το συμβολισμό των σταθερών είναι ένας τρόπος που χρησιμοποιείται συχνά για να κάνουμε το συμβολισμό πιο συνοπτικό.Μια καθιερωμένη σύμβαση ,η οποία ξεκίνησε από τον Leonhard Euler το 18ο αιώνα,είναι η χρήση πεζών γραμμάτων από την αρχή του λατινικού αλφαβήτου (a,b,c,..) ή του ελληνικού αλφαβήτου (α,β,γ,..) για την ονομασία των σταθερών.
Ωστόσο,για κάποιες πιο σημαντικές σταθερές,τα σύμβολα μπορεί να είναι πιο περίπλοκα και να έχουν κάποιο επιπλέον γράμμα,αστερίσκο,αριθμό,λημνίσκο ή χρήση γραμμάτων από άλλα αλφάβητα όπως το εβραϊκό,το κυριλικικό ή το γοτθικό.
Μερικές φορές το σύμβολο που αναπαριστά μια σταθερά είναι μια ολόκληρη λέξη.Για παράδειγμα,ο 9χρονος ανιψιός του αμερικανού μαθηματικού Edward Kasner επινόησε τα ονόματα googol και googolplex.
Γενικότερα,τα ονόματα των σταθερών συνδέονται είτε με τη σημασία της σταθεράς(καθολική παραβολική σταθερά,σταθερά των δίδυμων πρώτων,..) είτε με κάποιο συγκεκριμένο πρόσωπο (σταθερά του Sierpiński,σταθερά του Josephson,.. ).