Πληθικός αριθμός

Επίσημος ορισμός

Επισήμως, υποθέτοντας το αξίωμα της επιλογής, η πληθικότητα ενός συνόλου X είναι ο μικρότερος διατακτικός α τέτοιος ώστε να υπάρχει αμφίεση μεταξύ του X και α. Ο ορισμός αυτός είναι γνωστός ως ο von Neumann cardinal assignment. Αν  δεν υποθέσουμε ότι ισχύει το αξίωμα της επιλογής, πρέπει να κάνουμε κάτι διαφορετικό. Παλαιότερα ορίζαμε την πληθυκότητα ενός συνόλου X (εμφανείς στον Cantor και αποτυπωμένος από τον Frege) είναι η κλάση [X] όλων των συνόλων που είναι ισοπληθή με το X. Αυτό δεν λειτουργεί στην θεωρία των  ZFC ή σε άλλα συστήματα που σχετίζονται αξιωματική θεωρία συνόλων γιατί αν το X είναι μη-κενό, αυτή η συλλογή είναι πολύ μεγάλη για να είναι ένα σύνολο. Στην πραγματικότητα, για X ≠ ∅ , υπάρχει μια ένεση από το σύμπαν της κλάσης του [X], με αντιστοίχιση ενός συνόλου m στο {m} × X και έτσι από το αξίωμα του περιορισμού του μεγέθους, η [X] είναι μια κατάλληλη κλάση. Ο ορισμός δεν λειτουργεί ωστόσο στην θεωρία τύπων και στις New Foundations και σε σχετικά με αυτά συστήματα. Ωστόσο, εάν περιορίσουμε αυτήν την κλάση [Χ], στα στοιχεία της που είναι ισοπληθή με το Χ και που έχουν τον ελάχιστο βαθμό, τότε αυτό θα λειτουργήσει (είναι ένα τέχνασμα του  Dana Scott: ),(λειτουργεί, επειδή η συλλογή των αντικειμένων με δεδομένη τάξη είναι ένα σύνολο).
Επίσημα, η διάταξη μεταξύ των πληθαρίθμων ορίζεται ως εξής: |X| ≤ |Y|, σημαίνει ότι υπάρχει μια ένεση από X σε Y. Το Cantor–Bernstein–Σρέντερ θεώρημα λέει ότι αν |X| ≤ |Y| και |Y| ≤ |X|, τότε |X| = |Y|. Το αξίωμα επιλογής είναι ισοδύναμο με τον ισχυρισμό ότι, άν  δίνονται δύο σύνολα X και Y, είτε |X| ≤ |Y| και |Y| ≤ |X|.
Ένα σύνολο X είναι Dedekind-άπειρο , αν υπάρχει ένα κατάλληλο υποσύνολο Y του X με |X| = |Y|, και Dedekind-πεπερασμένο αν ένα τέτοιο υποσύνολο, δεν υπάρχει. Οι πεπερασμένοι πληθυκοί αριθμοί  είναι οι φυσικοί αριθμοί, δηλαδή, ένα σύνολο X είναι πεπερασμένο αν και μόνο αν |X| = |n| = n , για κάποιο φυσικό αριθμό n. Οποιοδήποτε άλλο σύνολο είναι άπειρο. Υποθέτοντας το αξίωμα της επιλογής, μπορεί να αποδειχθεί ότι έννοιες του Dedekind αντιστοιχούν στα πρότυπα αυτά. Μπορεί επίσης να αποδειχθεί ότι ο πληθάριθμος  (aleph null ή aleph-0, όπου το άλεφ είναι το πρώτο γράμμα του εβραϊκού αλφαβήτου, που εκπροσωπείται ), του συνόλου των φυσικών αριθμών είναι ο μικρότερος άπειρος πληθάριθμος, δηλαδή ότι κάθε άπειρο σύνολο έχει υποσύνολο πληθικότητας  Ο επόμενος μεγαλύτερος πληθάριθμος συμβολίζεται με  και ούτω καθεξής. Για κάθε διατακτικό αριθμό α υπάρχει ένας πληθάριθμος   και αυτή η λίστα εξαντλεί όλους τους άπειρους πληθαρίθμους.

Η αριθμητική των πληθαρίθμων

Μπορούμε να ορίσουμε αριθμητικές πράξεις με πληθαρίθμους, που γενικεύουν τις συνήθεις πράξεις των φυσικών αριθμών. Μπορεί να αποδειχθεί ότι για πεπερασμένους πληθαρίθμους, οι πράξεις αυτές συμπίπτουν με τις συνήθεις πράξεις των φυσικών αριθμών. Επιπλέον, αυτές οι πράξεις μοιράζονται πολλές ιδιότητες με την συνηθισμένη αριθμητική.

Διάδοχος πληθάριθμος

Αν το αξίωμα της επιλογής ισχύει, κάθε πληθάριθμος κ έχει διάδοχο κ⁺ > κ, και δεν υπάρχουν πληθάριθμοι μεταξύ του κ και του διαδόχου του. (Χωρίς το αξίωμα της επιλογής, χρησιμοποιώντας το  Hartogs θεώρημα, μπορεί να αποδειχθεί ότι, για κάθε πληθικό αριθμό κ, υπάρχει ένας ελάχιστος πληθάριθμος κ⁺, έτσι ώστε ) Για πεπερασμένους πληθαρίθμους, ο διάδοχος είναι απλά ο κ + 1. Για άπειρους πληθαρίθμους, ο διάδοχος πληθάριθμος διαφέρει από τον διάδοχο διατακτικό αριθμό.

Η πρόσθεση πληθαρίθμων

Αν X και Y είναι ξένα μεταξύ τους, το απότέλεσμα της πρόσθεσης δίνεται από την ένωση των X και Y. Αν τα δύο σύνολα δεν είναι ήδη ξένα μεταξύ τους, τότε μπορούν να αντικατασταθούν από ξένα μεταξύ τους σύνολα ίδιας πληθικότητας, π. χ. αντικαταστήστε το X με X×{0} και Y με Y×{1}.
Το μηδέν είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης, κ + 0 = 0 + κ = κ.
Η πρόσθεση είναι προσεταιριστική (κ + μ) + ν = κ + (μ + ν).
Η πρόσθεση είναι αντιμεταθετική κ + μ = μ + κ.
Επιπλέον είναι μη φθίνουσα και ισχύουν τα:
Υποθέτοντας το αξίωμα της επιλογής, η πρόσθεση απείρων πληθικών αριθμών είναι απλή. Αν είτε ο κ ή ο μ είναι άπειρος, τότε

Αφαίρεση

Υποθέτοντας ότι το αξίωμα της επιλογής και, δεδομένου των πληθικών αριθμών σ και μ, υπάρχει ένας πληθικός αριθμός κ τέτοιος ώστε μ + κ = σ αν και μόνο αν μ ≤ σ. Θα είναι ο μοναδικός (και ίσος με σ), αν και μόνο αν μ < σ.

Ρίζες

Υποθέτοντας ότι το αξίωμα της επιλογής και, δεδομένου ενός άπειρου πληθικού κ και ενός πεπερασμένου πληθικού μ μεγαλύτερου από το 0, ο πληθικός ν για τον οποίο ισχύει  θα είναι κ.

Λογάριθμοι

Υποθέτοντας ότι το αξίωμα της επιλογής και, δεδομένου ενός άπειρου πληθικού κ και ενός πεπερασμένου πληθικού μ μεγαλύτερου από 1, μπορεί να υπάρχει ή να μην υπάρχει πληθικός αριθμός λ που ικανοποιει τη σχέση . Ωστόσο, εάν ένας τέτοιος αριθμός υπάρχει, είναι άπειρος και μικρότερος από κ, και κάθε πεπερασμένος πληθικός ν μεγαλύτερος από 1 ικανοποιεί τη σχέση  .
Ο λογάριθμος ενός άπειρου πληθικού αριθμού κ ορίζεται ως ο μικρότερος πληθικός αριθμός μ τέτοιος ώστε κ ≤ 2μ. Οι λογάριθμοι των απείρων πληθικών αριθμών είναι χρήσιμοι σε μερικούς τομείς των μαθηματικών, για παράδειγμα, στη μελέτη των πληθικών μεταβλητών των τοπολογικών χώρων, παρόλο που τους λείπουν κάποιες από τις ιδιότητες που οι λογάριθμοι των θετικών πραγματικών αριθμών έχουν.

Η υπόθεση του συνεχούς

Η υπόθεση του συνεχούς δηλώνει ότι δεν υπάρχουν πληθικοί αριθμοί αυστηρά μεταξύ των  και  Ο τελευταίος πληθικός αριθμός επίσης συχνά συμβολίζεται με  * είναι η πληθικότητα του συνεχούς (το σύνολο των πραγματικών αριθμών). Στην περίπτωση αυτή  Η γενικευμένη υπόθεση του συνεχούς αναφέρει ότι για κάθε άπειρο σύνολο X, δεν υπάρχουν πληθικοί αυστηρά μεταξύ των | X | και 2| X |. Η υπόθεση του συνεχούς είναι ανεξάρτητη από τα συνήθη αξιώματα της θεωρίας συνόλων, τα αξιώματα των Zermelo-Fraenkel, μαζί με το αξίωμα της επιλογής .