Μέτρο του Χάαρ

Στη μαθηματική ανάλυση, το μέτρο του Χάαρ εκχωρεί έναν "αναλλοίωτο όγκο" σε υποσύνολα τοπικά συμπαγών τοπολογικών ομάδων, συνεπώς ορίζοντας ένα ολοκλήρωμα για τις συναρτήσεις σε αυτές τις ομάδες.
Αυτό το μέτρο εισήχθη από τον Άλφρεντ Χάαρ το 1933. Τα μέτρα του Χάαρ χρησιμοποιούνται σε πολλά μέρη της ανάλυσης, της θεωρίας αριθμών, της θεωρίας ομάδων, της θεωρίας εκπροσώπησης, της στατιστικής και της εργοδικής θεωρίας.

Μια κατασκευή χρησιμοποιώντας συμπαγή υποσύνολα

Η ακόλουθη μέθοδος κατασκευής του μέτρου του Χάαρ είναι περισσότερο ή λιγότερο η μέθοδος που χρησιμοποιήθηκε από τον Haar και τον Weil.
Για οποιαδήποτε υποσύνολα T, U του G με U nonempty καθορίζεται [T:U] να είναι ο μικρότερος αριθμός των αριστερά μεταφράσεων του U που καλύπτουν το Τ (έτσι αυτό είναι ένας μη- αρνητικός ακέραιος ή άπειρο). Αυτό δεν είναι προσθετικό σε συμπαγή σύνολα Τ, αν και έχει την ιδιότητα ότι [S:U]+ [T:U] = [S∪T:U] για ξένα συμπαγή σύνολα S και Τ με την προϋπόθεση ότι U είναι μια αρκετά μικρή ανοιχτή γειτονιά της ταυτότητας (ανάλογα με την S και T). Η ιδέα του μέτρου του Χάαρ είναι να λάβει ένα είδος ορίου του [T:U] ώστε, καθώς το U μικραίνει, να γίνεται αθροιστικό σε όλα τα ζεύγη των ασύνδετων συμπαγών συνόλων, αν και πρέπει πρώτα να ομαλοποιηθεί έτσι ώστε το όριο να μην είναι άπειρο. Έτσι καθορίζεται ένα συμπαγές σύνολο Α με μη- κενό εσωτερικό (που υπάρχει όσο η ομάδα είναι τοπικά συμπαγής) και για ένα συμπαγές σύνολο Τ ορίζεται 
όπου το όριο λαμβάνεται πάνω από ένα κατάλληλα κατευθυνόμενο σύνολο από ανοιχτές γειτονιές της ταυτότητας που τελικά περιέχεται σε κάθε δεδομένη γειτονιάˑ η ύπαρξη ενός κατευθυνόμενου συνόλου έτσι ώστε να υπάρχει το όριο εξής χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Tychonoff.
Η συνάρτηση μA είναι πρόσθετη σε ξένα συμπαγή σύνολα του G, πράγμα που σημαίνει ότι πρόκειται για ένα ομαλό περιεχόμενο. Από ένα ομαλό περιεχόμενο μπορεί κανείς να κατασκευάσει ένα μέτρο εκτείνοντας πρώτα το μA να ανοίξει σύνολα από το εσωτερικό της κανονικότητας, στη συνέχεια, σε όλα τα σύνολα από την εξωτερική κανονικότητα, και στη συνέχεια περιορίζοντάς την στα σύνολα Borel. (Ακόμη και για τα ανοιχτά σύνολα Τ, το αντίστοιχο μέτρο μA(T) δεν χρειάζεται να δοθεί από τον οριακό τύπο sup παραπάνω. Το πρόβλημα είναι ότι η συνάρτηση που δίνεται από τον τύπο sup δεν είναι μετρήσιμα υποπρόσθετη εν γένει και, ειδικότερα, είναι άπειρη σε οποιοδήποτε σύνολο, χωρίς συμπαγή κλείσιμο, οπότε δεν είναι ένα εξωτερικό μέτρο.)

Μια κατασκευή χρησιμοποιώντας υποστηριζόμενες συμπαγώς συναρτήσεις

Ο Cartan εισήγαγε έναν άλλο τρόπο κατασκευής του μέτρου του Χάαρ ως μέτρο ραδόνιο (μια θετική γραμμική συνάρτηση σε υποστηριζόμενες συμπαγώς συνεχείς συναρτήσεις), η οποία είναι παρόμοια με την παραπάνω κατασκευή εκτός του ότι τα A, S, T και U είναι θετικές συνεχείς συναρτήσεις της συμπαγής υποστήριξης και όχι υποσύνολα του G. Στην περίπτωση αυτή, ορίζουμε [T:U] να είναι το μεγαλύτερο κάτω πέρας (infimum) των αριθμών c₁+...+cₙ  τέτοια ώστε το T(g) να είναι μικρότερο από το γραμμικό συνδυασμό   c₁U(g₁g)+...+cₙU(gₙg) των αριστερών μεταφράσεων του U για κάποια g₁,...,gₙ. Όπως και πριν, ορίζουμε
Το γεγονός  ότι το όριο υπάρχει, χρειάζεται κάποια προσπάθεια για να αποδειχθεί, Ωστόσο το πλεονέκτημα για να γίνει αυτό είναι ότι η απόδειξη αποφεύγει τη χρήση του αξιώματος της επιλογής και δίνει επίσης τη μοναδικότητα του μέτρου του Χάαρ ως υποπροΪόν. Η συνάρτηση μA εκτείνεται σε μια θετική γραμμική συνάρτηση σε συμπαγή φορέα συνεχών συναρτήσεων και έτσι δίνει ένα μέτρο Χάαρ. (Σημειώστε ότι ακόμα κι αν το όριο είναι γραμμικό στο Τ, οι επιμέρους όροι [T:U] δεν είναι συνήθως γραμμικοί στο Τ.)

Μια κατασκευή χρησιμοποιώντας μέσες τιμές συναρτήσεων

Ο Von Neumann έδωσε μια μέθοδο κατασκευής του μέτρου του Χάαρ χρησιμοποιώντας μέσες τιμές των συναρτήσεων, αν και λειτουργεί μόνο για συμπαγής ομάδες. Η ιδέα είναι ότι δίνοντας μια συνάρτηση f σε μια συμπαγή ομάδα, μπορεί κανείς να βρει ένα κυρτό συνδυασμό Σaᵢf(gᵢg) (όπου Σaᵢ=1) της αριστερής μετάφρασης που διαφέρει από μια συνεχή συνάρτηση από το πολύ κάποιο μικρό αριθμό ε. Τότε ένας δείχνει ότι όσο το ε τείνει στο μηδέν, οι τιμές αυτών των σταθερών συναρτήσεων τείνουν σε ένα όριο, το οποίο ονομάζεται μέση τιμή (ή ολοκλήρωμα) της συνάρτησης f.
Για τις ομάδες που είναι τοπικά συμπαγής, αλλά όχι συμπαγής η κατασκευή αυτή δε δίνει μέτρο Χάαρ όσο η μέση τιμή των συμπαγώς υποστηριζόμενων συναρτήσεων είναι μηδέν. Ωστόσο, κάτι σαν αυτό λειτουργεί για σχεδόν περιοδικές συναρτήσεις στην ομάδα που έχουν μια μέση τιμή, αν και αυτό δεν δίνεται με σεβασμό στο μέτρο του Χάαρ.

Μια κατασκευή για ομάδες Lie

Σε μια ομάδα Lie n- διαστάσεων, το μέτρο του Χάαρ μπορεί να κατασκευαστεί εύκολα ως το μέτρο που προκαλείται από μια αριστερή- αμετάβλητης n-μορφή. Αυτό ήταν γνωστό πριν από το θεώρημα του Χάαρ.

Το δεξί μέτρο Χάαρ

Μπορεί επίσης να αποδειχθεί ότι υπάρχει ένα μοναδικό (πάνω στον πολλαπλασιασμό από μια θετική σταθερά) δεξιό-μετάφραση-αναλλοίωτο μέτρο του Borel  που πληροί τις παραπάνω προϋποθέσεις κανονικότητας και να είναι πεπερασμένο σε συμπαγή σύνολα, αλλά δεν χρειάζεται να συμπίπτει με το αριστερό-μετάφρασης -αναλλοίωτο μέτρο . Τα αριστερά και δεξιά μέτρα Χάαρ είναι τα ίδια μόνο για τις λεγόμενες unimodular ομάδες (βλέπε παρακάτω). Είναι αρκετά απλό, όμως, να βρούμε μια σχέση μεταξύ της  και . 
Πράγματι, για ένα σύνολο Borel S, ας συμβολίζουμε με  το σύνολο των αντίστροφων των στοιχείων του S. Αν ορίσουμε
τότε αυτό είναι ένα δεξί μέτρο Χάαρ. Για να δείξουμε δεξί αναλλοίωτο, εφαρμόζουμε τον ορισμό:
    
Επειδή το δεξί μέτρο είναι μοναδικό, έπεται ότι  μ₋₁ είναι ένα πολλαπλάσιο του ν και οπότε
για όλα τα Borel σύνολα S, όπου k είναι κάποια θετική σταθερά.

Η αρθρωτή συνάρτηση

Η αριστερή μετάφραση ενός δεξιού μέτρου Χάαρ είναι ένα δεξί μέτρο Χάαρ. Πιο συγκεκριμένα, αν ν είναι ένα δεξί μέτρο Χάαρ, τότε
είναι επίσης δεξί αμετάβλητο. Έτσι, από τη μοναδικότητα του μέτρου Χάαρ, υπάρχει μια συνάρτηση Δ από την ομάδα των θετικών πραγματικών, που ονομάζεται αρθρωτό (modulus) Χάαρ, αρθρωτή συνάρτηση ή αρθρωτός χαρακτήρας, τέτοια ώστε για κάθε Borel σύνολο S
Αφού το δεξί μέτρο Χάαρ είναι καλά καθορισμένο σε ένα θετικό συντελεστή κλίμακας, αυτή η εξίσωση δείχνει ότι η αρθρωτή συνάρτηση είναι ανεξάρτητη από την επιλογή του δεξιού μέτρου Χάαρ στην παραπάνω εξίσωση.
Η αρθρωτή συνάρτηση είναι μια συνεχής ομάδα ομομορφισμού στην πολλαπλασιαστική ομάδα των θετικών πραγματικών αριθμών. Μια ομάδα καλείται unimodular αν η αρθρωτή συνάρτηση είναι πανομοιότυπη 1, ή, ισοδύναμα, εάν το μέτρο Χάαρ είναι τόσο αριστερό και δεξί αμετάβλητο. Παραδείγματα unimodular ομάδων είναι οι αβελιανές ομάδες, οι συμπαγείς ομάδες, οι διακριτές ομάδες (π.χ., πεπερασμένων ομάδων), semisimple Lie ομάδων και συνδέδεμένες nilpotent ομάδες Lie. Ένα παράδειγμα μιας μη-unimodular ομάδας είναι η ομάδα των μετασχηματισμών affine.
στην πραγματική ευθεία. Αυτό το παράδειγμα δείχνει ότι μια επιλύσιμη ομάδα Lie δεν χρειάζεται να είναι unimodular. Σε αυτή την ομάδα, ένα αριστερό μέτρο Χάαρ δίνεται από το dadb/a², και ένα δεξί μέτρο Χάαρ από το dadb/|a|.

Μέτρα για ομογενείς χώρους

Αν η τοπικά συμπαγής ομάδα G δρα μεταβατικά σε ένα χώρο G/H, μπορεί κανείς να ρωτήσει αν αυτός ο χώρος έχει ένα αναλλοίωτο μέτρο, ή ακόμη γενικότερα ένα σχετικά αναλλοίωτο μέτρο με την ιδιότητα ότι μ(gE) = χ(g)μ(E) για κάποιο χαρακτήρα χ της G. Μια αναγκαία και ικανή συνθήκη για την ύπαρξη ενός τέτοιου μέτρου είναι ότι χ=Δ/δ στο H, όπου Δ και δ είναι οι μετροσυναρτήσεις των G και H. Ειδικότερα ένα αναλλοίωτο μέτρο στο Q υπάρχει αν και μόνο αν η μετροσυνάρτηση της G που περιορίζεται στο H είναι η μετροσυνάρτηση του H. 
Παράδειγμα. Αν G είναι η ομάδα SL₂(R) και H η υποομάδα άνω τριγωνικών πινάκων, τότε η μετροσυνάρτηση της H είναι μη τετριμμένη αλλά η μετροσυνάρτηση της G είναι τετριμμένη. Το πηλίκο αυτών δεν μπορεί να επεκταθεί σε οποιονδήποτε χαρακτήρα της της G, έτσι ο χώρος πηλίκο G/H (ο οποίος μπορεί να θεωρηθεί ως μονοδιάστατος πραγματικός προβολικός χώρος) δεν έχει ακόμη και ένα σχετικά αναλλοίωτο μέτρο.

Χρήσεις

Στο ίδιο τεύχος της Επετηρίδας των Μαθηματικών και αμέσως μετά την εφημερίδα του Χάαρ, το θεώρημα Χάαρ χρησιμοποιήθηκε για να λύσει το πέμπτο πρόβλημα του Χίλμπερτ για τις συμπαγείς ομάδες από τον Τζον φον Νόιμαν.
Εκτός αν η G είναι μία διακριτή ομάδα, είναι αδύνατο να οριστεί ένα αριθμήσιμο προσθετικό αριστερό-αναλλοίωτο κανονικό μέτρο για όλα τα υποσύνολα της G, λαμβάνοντας το αξίωμα της επιλογής, σύμφωνα με τη θεωρία των μη μετρήσιμων συνόλων.

Αφηρημένη αρμονική ανάλυση

Τα μέτρα Χάαρ χρησιμοποιούνται στην αρμονική ανάλυση σχετικά με τοπικά συμπαγείς ομάδες, ιδιαίτερα στην θεωρία της δυικότητας του Ποντριάγκιν. Για να αποδείξουμε την ύπαρξη ενός μέτρου Χάαρ σε μία τοπικά συμπαγή ομάδα G αρκεί να δείξουμε ένα αριστερό-αναλλοίωτο μέτρο του Radon στην G.

Μαθηματική στατιστική

Στη μαθηματική στατιστική, τα μέτρα Χάαρ χρησιμοποιούνται για πρότερα μέτρα, τα οποία είναι πρότερες πιθανότητες για συμπαγείς ομάδες μετασχηματισμών. Αυτά τα πρότερα μέτρα χρησιμοποιούνται για την κατασκευή αποδεκτών διαδικασιών, με προσφυγή στον χαρακτηρισμό των αποδεκτών διαδικασιών ως Μπεϋζιανές διαδικασίες (ή όρια Μπεϋζιανών διαδικασιών) από τον Wald. Για παράδειγμα, ένα δεξί μέτρο Χάαρ για μια οικογένεια κατανομών με μια παράμετρο θέσης ως αποτέλεσμα του εκτιμητή Pitman, ο οποίος είναι ο καλύτερος ισαλλοίωτος. Όταν το αριστερό και το δεξί μέτρο του Χάαρ διαφέρουν, το δεξί μέτρο συνήθως προτιμάται ως μια πρότερη κατανομή. Για την ομάδα των συσχετισμένων μετασχηματισμών στον παραμετρικό χώρο της κανονικής κατανομής, το δεξί μέτρο του Χάαρ είναι το Jeffreys κατανομή μέτρο. Δυστυχώς, ακόμη και τα δεξιά μέτρα του Χάαρ μερικές φορές οδηγούν σε άχρηστες κατανομές, οι οποίες δεν μπορεί να προτείνονται για πρακτική χρήση, όπως και άλλες μέθοδοι κατασκευής πρότερων μέτρων που αποφεύγονται υποκειμενικές πληροφορίες.
Μια άλλη χρήση του μέτρου Χάαρ στην στατιστική είναι στην υπό συνθήκη συμπερασματολογία, στην οποία η δειγματοληπτική κατανομή ενός στατιστικού στοιχείου προσαρμόζεται σε ένα άλλο στατιστικό στοιχείο των δεδομένων. Στην αναλλοίωτη-θεωρητική υπό συνθήκη συμπερασματολογία η δειγματοληπτική κατανομή προσαρμόζεται σε μια σταθερά της ομάδας μετασχηματισμών (ως προς την οποία το μέτρο του Χάαρ ορίζεται). Το αποτέλεσμα της κατάστασης μερικές φορές εξαρτάται από την σειρά με την οποία χρησιμοποιούνται οι σταθερές και από την επιλογή μιας μέγιστης σταθεράς, έτσι ώστε από μόνη της μια στατιστική αρχή αμεταβλητότητας αποτυγχάνει να επιλέξει οποιοδήποτε μοναδικό καλύτερο υπό συνθήκη στατιστικό στοιχείο (άν υπάρχει κάποιο); τουλάχιστον άλλη μια αρχή χρειάζεται.
Για τις μη συμπαγείς ομάδες, στατιστικολόγοι έχουν επεκτείνει τα αποτελέσματα του μέτρου Χάαρ χρησιμοποιώντας δεκτικές ομάδες.

Το αντίστροφο θεώρημα του Weil

Το 1936 ο Weil απέδειξε ένα αντίστροφο (του είδους) του θεωρήματος του Χάαρ, δείχνοντας ότι αν μια ομάδα έχει ένα δεξί αμετάβλητο μέτρο για το οποίο μπορεί κανείς να ορίσει ένα προϊόν συνέλιξη, τότε μπορεί κανείς να καθορίσει μια τοπολογία σε μια ομάδα, και το ολοκλήρωμα της ομάδας είναι τοπικά συμπαγής και το δεδομένο μέτρο είναι ουσιαστικά το ίδιο με το μέτρο του Χάαρ σε αυτό το ολοκλήρωμα.