Θεσιακό σύστημα

Θεσιακό σύστημα αρίθμησης είναι  μια μέθοδος αναπαράστασης ή κωδικοποίησης αριθμών. Το θεσιακό σύστημα διακρίνεται από άλλα συστήματα (όπως το Ρωμαϊκό σύστημα αναπαράστασης αριθμών) λόγω
της χρήσης του ίδιου συμβόλου για τις διαφορετικές τάξεις μεγέθους (για παράδειγμα, “θέση των μονάδων”,”θέση των
δεκάδων”, “θέση των εκατοντάδων”). Η απλότητά του ως αριθμητική οδήγησε
στη ραγδαία εξάπλωσή του παγκοσμίως.
Χρησιμοποιώντας ένα σύμβολο διαχωρισμού του ακεραίου από το
κλασματικό μέρος ενός αριθμού (για παράδειγμα, η υποδιαστολή σε σύστημα με βάση
10), το σύστημα μπορεί να επεκταθεί ώστε να περιλαμβάνει κλάσματα και αριθμητικές επεκτάσεις πραγματικών αριθμών. Το βαβυλωνιακό σύστημα αρίθμησης, με βάση 60,
ήταν το πρώτο θεσιακό σύστημα που αναπτύχθηκε και χρησιμοποιείται ακόμα και
σήμερα για τη μέτρηση χρόνου και γωνιών. Το ινδο - αραβικό  σύστημα αρίθμησης με βάση 10, είναι σήμερα το ευρύτερα χρησιμοποιούμενο σύστημα για υπολογισμούς.

Βάση αριθμητικού συστήματος

Στα αριθμητικά συστήματα 
η βάση είναι συνήθως ο αριθμός των μοναδικών ψηφίων, συμπεριλαμβανομένου
του μηδενός, που χρησιμοποιεί το σύστημα για την αναπαράσταση αριθμών. Για
παράδειγμα, στο δεκαδικό σύστημα η βάση είναι 10 γιατί σ’ αυτό χρησιμοποιούνται
τα ψηφία 0 έως 9. Όταν ένας αριθμός ‘’φτάσει’’ το 9, ο επόμενος από αυτόν
αριθμός δεν αναπαρίσταται  μ’ ένα
διαφορετικό σύμβολο αλλά με τον αριθμό ‘’1 ‘’ακολουθούμενο από τον αριθμό ’’ 0’’.
Αντίστοιχα, στο δυαδικό σύστημα, η βάση είναι 2, διότι όταν ένας αριθμός φτάσει
στο ‘’1’’, ο επόμενος δεν είναι το ‘’2’’ ή κάποιο άλλο σύμβολο, αλλά το ‘’10’’,
έπειτα από το οποίο ακολουθούν το ‘’11’’ και το ‘’100’’.
Το μεγαλύτερο σύμβολο ενός θεσιακού συστήματος έχει συνήθως
αξία κατά 1 μικρότερη από την αξία της βάσης. Τα συνήθη θεσιακά συστήματα
διαφέρουν μόνο ως προς την βάση την οποία χρησιμοποιούν.
Η βάση είναι ένας ακέραιος μεγαλύτερος του 1 (ή μικρότερος
του -1).Πράγματι, αν η βάση ενός συστήματος ήταν μηδέν αυτό δεν θα περιελάμβανε
καθόλου ψηφία ενώ αν ήταν 1 το μόνο ψηφίο που θα μπορούσε να
χρησιμοποιηθεί  είναι το 0. Οι αρνητικές
βάσεις σπάνια χρησιμοποιούνται. Σε ένα σύστημα με αρνητική βάση, οι αριθμοί
μπορούν να έχουν πολλές δυνατές αναπαραστάσεις.
(Σε συγκεκριμένα μη συνήθη θεσιακά συστήματα,
συμπεριλαμβανομένης της αμφιμονοσήμαντης αρίθμησης, ο ορισμός της βάσης ή τα
επιτρεπόμενα ψηφία μπορεί να παρεκκλίνουν από τα παραπάνω.)
Στο δεκαδικό σύστημα υπάρχουν 10 δεκαδικά ψηφία και ο αριθμός 2506 αναπαρίσταται ως εξής:
2506=2×10³+5×10²+0×10¹+6×10⁰
Στο δεκαεξαδικό σύστημα αρίθμησης υπάρχουν δεκάξι ψηφία (0-9 και A-F) και ο αριθμός 171B γράφεται:
171B=1×16³+7×16²+1×16¹+B×16⁰    (όπου το B παριστάνει τον αριθμό 11)
Γενικά,για βάση b, το σύστημα περιλαμβάνει b ψηφία και ο αριθμός α₃α₂α₁α₀ γράφεται:
α₃α₂α₁α₀= α₃×b³+α₂×b²+α₁×b¹+α₀×b⁰   (το α₃α₂α₁α₀ αντιστοιχεί σε μια σειρά ψηφίων και όχι σ' έναν πολλαπλασιασμό.)

Σημειογραφία

Σε ορισμένες περιπτώσεις, η βάση γράφεται ως δείκτης αμέσως μετά τον αριθμό που αναπαρίσταται στο αντίστοιχο σύστημα. Για παράδειγμα,το 23₈ υποδεικνύει ότι ο αριθμός 23 εκφράζεται στο σύστημα με βάση 8 (και συνεπώς είναι ισοδύναμος σε αξία με τον αριθμό 19 στο δεκαδικό σύστημα). Στο συγκεκριμένο άρθρο θα χρησιμοποιείται αυτός ο συμβολισμός.
Όταν μια βάση περιγράφεται με μαθηματική σημειογραφία, το γράμμα b είναι αυτό που χρησιμοποιείται γενικά ως σύμβολο της βάσης, και επομένως στο δυαδικό σύστημα, το b είναι ίσο με 2. Ένας άλλος συνήθης τρόπος αναπαράστασης της βάσης είναι η αναγραφή της ως δεκαδικός δείκτης μετά τον αριθμό που αναπαρίσταται. To 1111011₂ υποδηλώνει ότι ο αριθμός 1111011 είναι αριθμός βάσης 2, και άρα ισοδύναμα 123₁₀ (στο δεκαδικό σύστημα),173₈(Οκταδικό σύστημα αρίθμησης) και 7B₁₆ (δεκαεξαδικό σύστημα αρίθμησης). Σε βιβλία και άρθρα,όταν χρησιμοποιούνται συντομογραφίες αριθμών σε κάποια βάση, συχνά η βάση παραλείπεται ως δείκτης. Για παράδειγμα, ο δυαδικός 1111011 είναι ισοδύναμος με τον 1111011₂.
Η βάση b μπορεί επίσης να υποδηλώνεται και με την φράση, "βάση-b". Συνεπώς, οι δυαδικοί αριθμοί είναι "βάση-2",οι οκταδικοί "βάση-8",οι δεκαδικοί "βάση 10",κτλ.
Οι αριθμοί μιας δοθείσας βάσης b έχουν ψηφία {0,1,....,b-2,b-1}. Επομένως, οι δυαδικοί αριθμοί έχουν ψηφία {0,1}, οι δεκαδικοί {0,1...8,9} κτλ. Άρα, οι ακόλουθοι συμβολισμοί είναι λανθασμένοι: 52₂, 2₂, 1A₉ (σε κάθε περίπτωση ένα ή περισσότερα ψηφία δεν ανήκουν στο σύνολο των επιτρεπόμενων ψηφίων που ορίζεται από την αντίστοιχη βάση.)

Ύψωση σε δύναμη

Τα θεσιακά συστήματα λειτουργούν χρησιμοποιώντας την διαδικασία ύψωσης σε δύναμη της βάσης. Η αξία ενός ψηφίου είναι το ψηφίο πολλαπλασιασμένο με την αντίστοιχη αξία της θέσης του. Η αξία της κάθε θέσης είναι ο αριθμός της βάσης υψωμένος στη n-οστή δύναμη, όπου n είναι ο αριθμός των ψηφίων που παρεμβάλλονται μεταξύ της θέσης που μας ενδιαφέρει και του συμβόλου που διαχωρίζει το ακέραιο από το κλασματικό μέρος του αριθμού. Αν ένα ψηφίο βρίσκεται στα αριστερά αυτού του συμβόλου (δηλαδή η αξία του είναι ακέραιος αριθμός), τότε το n είναι θετικό ή μηδέν. Αν το ψηφίο βρίσκεται στα δεξιά του συμβόλου (δηλαδή η αξία του είναι κλασματική), τότε το n είναι αρνητικός.
Ως παράδειγμα για την παραπάνω διαδικασία, παίρνουμε τον αριθμό 465 στην αντίστοιχη βάση του b(η οποία πρέπει να είναι τουλάχιστον 7 διότι το μεγαλύτερο σε αξία ψηφίο του αριθμού είναι το 6) και τότε αυτός γράφεται:
4×b²+6×b¹+5×b⁰
Αν ο αριθμός 465 βρισκόταν στο δεκαδικό σύστημα, τότε θα ήταν ισοδύναμος με:
4×10²+6×10¹+5×10⁰=4×100+6×10+5×1=465
(465₁₀=465₁₀)
Αν ωστόσο ο αριθμός βρισκόταν σε σύστημα με βάση 7, τότε θα γραφόταν:
4×7²+6×7¹+5×7⁰=4×49+6×7+5×1=243
(465₇=243₁₀)
10b=b για κάθε βάση b, αφού 10b=1×b¹+0×b⁰. Για παράδειγμα, 10₂=2,10₃=3,10₁₆=16₁₀. Να σημειωθεί ότι το τελευταίο "16" βρίσκεται σε βάση 10. Η βάση δεν διαφέρει για μονοψήφιους αριθμούς.
Αριθμοί που δεν είναι ακέραιοι χρησιμοποιούν και θέσεις που βρίσκονται μετά το σύμβολο που διαχωρίζει το ακέραιο από το κλασματικό μέρος. Για κάθε θέση μετά από αυτό το σύμβολο,η δύναμη n μειώνεται κατά 1. Για παράδειγμα, ο αριθμός 2.35 γράφεται:
2×10⁰+3×10⁻¹+5×10⁻²
Αυτή η ιδέα μπορεί να αποτυπωθεί και με τη χρήση ενός διαγράμματος. Ένα αντικείμενο αντιπροσωπεύει μια μονάδα. Όταν ο αριθμός των αντικειμένων είναι ίσος ή μεγαλύτερος από τη βάση b, τότε μια ομάδα αντικειμένων δημιουργείται από b αντικείμενα. Όταν ο αριθμός αυτών των ομάδων υπερβεί το b, τότε το σύνολο των ομάδων αυτών των αντικειμένων αποτελείται από b ομάδες με b αντικείμενα η καθεμία κτλ. Έτσι, ο ίδιος αριθμός σε διαφορετικές βάσεις θα έχει διαφορετική αξία.
241 σε βάση 5:
  2 σε ομάδες των 5² (25)      4 σε ομάδες των 5          1 σε ομάδα του 1
  ooooo    ooooo
  ooooo    ooooo                ooooo   ooooo
  ooooo    ooooo         +                         +         o
  ooooo    ooooo                ooooo   ooooo
  ooooo    ooooo
241 σε βάση 8:
  2 ομάδες των 8² (64)     4 ομάδες των 8          1 ομάδα του 1
oooooooo  oooooooo
oooooooo  oooooooo
oooooooo  oooooooo         oooooooo   oooooooo
oooooooo  oooooooo    +                            +        o
oooooooo  oooooooo
oooooooo  oooooooo         oooooooo   oooooooo
oooooooo  oooooooo
oooooooo  oooooooo
Το σύστημα μπορεί να επαυξηθεί επιτρέποντας τη χρήση ενός αρνητικού συμβόλου. Αυτό επιτρέπει την αναπαράσταση αρνητικών αριθμών. Για μια δοθείσα βάση, κάθε αναπαράσταση αντιστοιχεί σ' έναν ακριβώς πραγματικό αριθμό και κάθε πραγματικός αριθμός έχει τουλάχιστον μια αναπαράσταση. Οι αναπαραστάσεις των ρητών αριθμών είναι πεπερασμένες, περιοδικές, ή καταλήγουν σ' έναν άπειρο επαναλαμβανόμενο κύκλο ψηφίων.

Ψηφία και Αριθμοί

Το ψηφίο είναι αυτό που χρησιμοποιείται ως θέση σε ένα σύστημα θέσης-τιμής, και ο αριθμός είναι ένα ή περισσότερα ψηφία. Τα συνηθέστερα ψηφία του σήμερα είναι τα δεκαδικά ψηφία "0", "1", "2", "3", "4", "5", "6", "7", "8", και "9". Η διάκριση μεταξύ ενός ψηφίου και ενός αριθμού είναι εντονότερη στο πλαίσιο μίας αριθμητικής βάσης.
Ένας μη μηδενικός αριθμός με περισσότερες από μία θέσεις ψηφίου θα σημαίνει ένα διαφορετικό αριθμό σε μία διαφορετική αριθμητική βάση, αλλά σε γενικές γραμμές, τα ψηφία θα σημαίνουν το ίδιο. Ο οκταδικής βάσης αριθμός 238 που περιέχει δύο ψηφία, τα "2" και "3" και έναν αριθμό βάσης (δείκτης) «8», σημαίνει 19. Στο σύστημα μας εδώ, ο δείκτης "8" του ο αριθμού 238 είναι μέρος του αριθμού, αλλά αυτό μπορεί να μην ισχύει πάντα. Φανταστείτε τον αριθμό "23" να έχει μια διφορούμενη αριθμητική βάση. Στη συνέχεια, το "23" θα μπορούσε πιθανότατα να είναι οποιασδήποτε βάσης, από βάσης-4  έως και βάσης-60. Στη βάση-4 το "23" σημαίνει 11, και στη βάση-60 σημαίνει τον αριθμό 123. Ο αριθμός «23», στην περίπτωση αυτή, αντιστοιχεί στο σύνολο των αριθμών {11, 13, 15, 17, 19, 21 , 23, ..., 121, 123} ενώ τα ψηφία του "2" και "3" διατηρούν πάντα την αρχική τους έννοια: το "2" σημαίνει "δύο", και το "3" σημαίνει "τρία".
Σε ορισμένες εφαρμογές, όταν ένας αριθμός με ένα σταθερό αριθμό θέσεων πρέπει να αντιπροσωπεύει ένα μεγαλύτερο αριθμό, χρησιμοποιείται μια υψηλότερη αριθμητική βάση με με περισσότερα ψηφία ανά θέση. Ένας τριψήφιος, δεκαδικός αριθμός μπορεί να αντιπροσωπεύει αριθμούς μόνο έως το 999. Αν όμως η αριθμητική βάση αυξάνεται στο 11, ας πούμε, με την προσθήκη του ψηφίου "Α", στη συνέχεια, τότε οι ίδιες τρεις θέσεις, μεγιστοποιημένες στο "ΑΑΑ", μπορούν να αποτελέσουν έναν αριθμό τόσο μεγάλο όσο το 1330. Θα μπορούσαμε να αυξήσουμε την αριθμητική βάση και πάλι και αντιστοιχίσουμε το "Β" στο 11, και ούτω καθεξής (αλλά υπάρχει επίσης μια πιθανή κρυπτογράφηση μεταξύ του αριθμού και του ψηφίου στον αριθμό-ψήφιο-αριθμός ιεραρχίας). Ένας τριψήφιος αριθμός "ZZZ" στη βάση του 60 θα μπορούσε να σημαίνει 215999. Αν χρησιμοποιήσουμε το σύνολο της συλλογής των αλφαριθμητικών μας θα μπορούσαμε τελικά να εξυπηρετήσουμε ένα σύστημα αρίθμησης βάσης-62, αλλά θα έχουμε αφαιρέσει δύο ψηφία, το κεφαλαίο "Ι" και το κεφαλαίο "O", για να μειωθεί η σύγχυση με τα ψηφία " 1 "και" 0 ".  Έχουμε μείνει με μια βάση-60, ή εξηκονταδικό αριθμητικό σύστημα που χρησιμοποιεί 60 από τα 62 πρότυπα αλφαριθμητικά. (Αλλά βλέπετε εξηκονταδικό σύστημα κατωτέρω.)
Τα κοινά αριθμητικά συστήματα στην επιστήμη των υπολογιστών είναι δυαδικά (Radix 2), οκταδικά (Radix 8), και δεκαεξαδικά (Radix 16). Στα δυαδικά μόνο τα ψηφία "0" και "1" υπάρχουν στα νούμερα. Στους οκταδικούς αριθμούς, υπάρχουν τα οκτώ ψηφία 0-7. Στα δεκαεξαδικά είναι τα 0-9 A-F, όπου οι δέκα αριθμοί διατηρούν τη συνήθη σημασία τους, και οι αλφαβητικοί αντιστοιχούν σε τιμές 10-15, για συνολικά δεκαέξι ψηφία. Ο αριθμός «10» είναι ο δυαδικό αριθμός "2", ο οκταδικός αριθμός "8", ή ο δεκαεξαδικός αριθμό "16".

Άπειρες αναπαραστάσεις

Οι αναπαραστάσεις των μη-ακέραιων αριθμών μπορούν να επεκταθούν ώστε να επιτρέπουν μια μη πεπερασμένη σειρά ψηφίων μετά το σύμβολο που χωρίζει το δεκαδικό από το κλασματικό μέρος. Για παράδειγμα, ο 1.12112111211112... με βάση 3 αντιπροσωπεύει το άθροισμα τις άπειρης σειράς:
1×3⁰+
1×3⁻¹+2×3⁻²+
1×3⁻³+1×3⁻⁴+2×3⁻⁵+
1×3⁻⁶+1×3⁻⁷+1×3⁻⁸+2×3⁻⁹+
1×3⁻¹⁰+1×3⁻¹¹+1×3⁻¹²+1×3⁻¹³+2×3⁻¹⁴+....
Καθώς μια άπειρη σειρά ψηφίων δεν μπορεί να γραφεί ολόκληρη λεπτομερώς, οι τελείες (...) υποδηλώνουν τα ψηφία που παραλείπονται, τα οποία μπορεί ή όχι να ακολουθούν μια συγκεκριμένη διάταξη. Μια τέτοια συνήθης διάταξη είναι όταν μια πεπερασμένη σειρά ψηφίων επαναλαμβάνεται άπειρες φορές. Αυτό συμβολίζεται με μια μπάρα πάνω από το επαναλαμβανόμενο τμήμα του αριθμού:
 ₅=2.42314314314314314...₅
Στο δεκαδικό σύστημα αυτού του είδους οι αριθμοί ονομάζονται περιοδικοί ή επαναλαμβανόμενοι δεκαδικοί.
Ένας άρρητος αριθμός έχει μια άπειρη μη επαναλαμβανόμενη αναπαράσταση σε οποιαδήποτε ακέραια βάση.Το αν ένας ρητός αριθμός έχει πεπερασμένη αναπαράσταση ή απαιτεί μια άπειρη επαναλαμβανόμενη αναπαράσταη εξαρτάται από την βάση. Για παράδειγμα, το ένα τρίτο μπορεί να γραφεί με τους εξής τρόπους:
0.1₃
₁₀=0.33333....₁₀
ή με την βάση να εννοείτε ως:
=0.33333....
₂=0.010101...₂
0.2₆
Για ακεραίους p και q με ΜΚΔ(p,q)=1, το κλάσμα p/q έχει μια πεπερασμένη αναπαράσταση σε βάση b, αν και μόνο αν οι πρώτοι παράγοντες του q είναι επίσης πρώτοι παράγοντες του b.
Για δοθείσα βάση, κάθε αριθμός που αναπαρίσταται από ένα πεπερασμένο αριθμό ψηφίων(χωρίς να χρησιμοποιείται το σύμβολο της μπάρας), έχει πολλές δυνατές αναπαραστάσεις, ανάμεσα στις οποίες υπάρχουν μια ή δυο πεπερασμένες:
1.Ένας πεπερασμένος ή ένας άπειρος αριθμός που τα τελευταία του ψηφία είναι μηδενικά μπορεί να γραφτεί:
3.46₇=3.460₇=3.460000₇=
2.Τo τελευταίο μη μηδενικό ψηφίο μπορεί να μειωθεί κατά ένα και έπειτα τοποθετούνται άπειρα ψηφία, το καθένα μικρότερο κατά ένα σε αξία από την βάση(ή αντικαθιστούν τα μηδενικά ψηφία που ακολουθούν):
3.46₇=₇
1₁₀=₁₀
220₅=₅

Δεκαδικό σύστημα

Στο δεκαδικό(βάση 10) ινδο-αραβικό αριθμητικό σύστημα, κάθε θέση ξεκινώντας από τα δεξιά είναι και μια μεγαλύτερη δύναμη του 10. Η πρώτη από τα δεξιά θέση παριστάνει το 10⁰ (1), η δεύτερη το 10¹ (10), η τρίτη το 10² (10×10 ή 100), η τέταρτη το 10³ (10×10×10 ή 1000) κτλ.
Τα ψηφία που βρίσκονται στο κλασματικό μέρος διαχωρίζονται από το ακέραιο με ένα σύμβολο, το οποίο μπορεί να έχει διάφορες μορφές.Συνήθως αυτό το διαχωριστικό σύμβολο είναι μια τελεία ή ένα κόμμα.Τα ψηφία που βρίσκονται στα δεξιά του πολλαπλασιάζονται με το 10 υψωμένο σε αρνητική δύναμη. Η πρώτη θέση δεξιά του συμβόλου υποδηλώνει το 10⁻¹ (0.1), η δεύτερη το 10⁻² (0.01) κτλ.
Για παράδειγμα, ο αριθμός 2674 στο δεκαδικό σύστημα είναι:
(2×10³)+(6×10²)+(7×10¹)+(4×10⁰)
ή
(2×1000)+(6×100)+(7×10)+(4×1)

Εξηκονταδικό Σύστημα

Το σύστημα εξηκονταδικών ή βάσης-60 χρησιμοποιήθηκε για τα ακέραια και τα κλασματικά τμήματα των Βαβυλωνιακών αριθμών και άλλων Μεσοποτάμιων συστημάτων, από ελληνιστικούς αστρονόμους χρησιμοποιώντας ελληνικό σύστημα αρίθμησης μόνο για το κλασματικό μέρος, και εξακολουθεί να χρησιμοποιείται για το μοντέρνο χρόνο και τις γωνίες, αλλά μόνο για λεπτά και δευτερόλεπτα. Ωστόσο, δεν είναι όλες αυτές οι χρήσεις θεσιακές.
Ο μοντέρνος χρόνος διαχωρίζει κάθε θέση από την άνω και κάτω τελεία ή το σημείο. Για παράδειγμα, ο χρόνος μπορεί να είναι 10:25:59 (10 ώρες και 25 λεπτά και 59 δευτερόλεπτα). Οι γωνίες χρησιμοποιούν παρόμοιο σύστημα. Για παράδειγμα, μία γωνία μπορεί να είναι 10 ° 25'59 "(10 μοίρες 25 λεπτά 59 δευτερόλεπτα). Και στις δύο περιπτώσεις, μόνο τα λεπτά και τα δευτερόλεπτα χρησιμοποιούν εξηκονταδικό σύστημα - οι γωνιακοί βαθμοί μπορεί να είναι μεγαλύτεροι από 59 (μία περιστροφή γύρω από ένα κύκλο είναι 360 ° , δύο περιστροφές είναι 720 °, κλπ), και ο χρόνος και οι γωνίες χρησιμοποιούν δεκαδικά κλάσματα του δευτερολέπτου.  Αυτό έρχεται σε αντίθεση με τους αριθμούς που χρησιμοποιούνται από τους Ελληνιστικούς και της Αναγέννησης αστρονόμους, οι οποίοι χρησιμοποιούν τρίτα, τέταρτα, κλπ για ακριβέστερες προσαυξήσεις. Όπου εμείς θα γράφαμε 10 ° 25'59.392 ", αυτοί θα έγραφταν 10 ° 25'59" 23 '' '31' '' '12' '' '' ή 10 ° 25I59II23III31IV12V.
Χρησιμοποιώντας ένα ψηφιακό σύνολο ψηφίων με πεζά και κεφαλαία γράμματα επιτρέπεται η σύντομη σημειογραφία για τους εξηκονταδικούς αριθμούς, π.χ. το 10:25:59 γίνεται «Arz» (παραλείποντας τα Ι και Ο, αλλά όχι και τα ο i), το οποίο είναι χρήσιμο για χρήση σε URLs, κ.λπ., αλλά δεν είναι πολύ κατανοητή από τον άνθρωπο.
Στη δεκαετία του 1930, ο Otto Neugebauer εισήγαγε ένα σύγχρονο σύστημα συμβολισμών για τους Βαβυλωνιακούς και τους Ελληνιστικούς αριθμούς που αντικαθιστά τη σύγχρονη δεκαδική μορφή 0-59 σε κάθε θέση, ενώ χρησιμοποιώντας ένα ερωτηματικό (;) για το διαχωρισμό των ακεραίων και κλασματικών τμημάτων του αριθμού και χρησιμοποιώντας ένα κόμμα (,) για το διαχωρισμό των θέσεων σε κάθε τμήμα. Για παράδειγμα, ο μέσος συνοδικός μήνας που χρησιμοποιείται τόσο από τους Βαβυλωνιακούς όσο και τους Ελληνιστικούς αστρονόμους και εξακολουθεί να χρησιμοποιείται στο εβραϊκό ημερολόγιο είναι 29; 31,50,8,20 ημέρες, και η γωνία που χρησιμοποιείται στο παραπάνω παράδειγμα θα μπορούσε να γραφτεί ως 10; 25,59, 23,31,12 βαθμούς.

Πληροφορική

Στην πληροφορική, το δυαδικό (βάση-2), οκταδικό (base-8) και δεκαεξαδικό (base-16) είναι βάσεις που χρησιμοποιούνται πιο συχνά. Οι υπολογιστές, σε πιο βασικό επίπεδο, ασχολούνται μόνο με ακολουθίες συμβατικών μηδενικών και μονάδων, και κατά συνέπεια είναι πιο εύκολο με την έννοια αυτή, να ασχοληθούν με δυνάμεις του δύο. Το δεκαεξαδικό σύστημα χρησιμοποιείται σαν "συντομογραφία" του δυαδικού - κάθε 4 δυαδικά ψηφία (bits) αφορούν ένα και μόνο ένα δεκαεξαδικό ψηφίο. Σε δεκαεξαδικό, τα έξι ψηφία μετά το 9 συμβολίζονται με Α, Β, C, D, Ε, και F (και μερικές φορές με a, b, c, d, e, και f).
Το οκταδικό σύστημα αρίθμησης χρησιμοποιείται επίσης ως ένας άλλος τρόπος για να αντιπροσωπεύουμε δυαδικούς αριθμούς. Στην περίπτωση αυτή, η βάση είναι 8 και ως εκ τούτου μόνο τα ψηφία 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, και 7 χρησιμοποιήθηκαν. Κατά τη μετατροπή από δυαδικό σε οκταδικό κάθε 3 bits αφορούν ένα και μόνο ένα οκταδικό αριθμό.

Άλλες βάσεις

Τα συστήματα με βάση 12(δωδεκαδικά) έχουν γίνει δημοφιλή λόγω της ευκολίας στους πολλαπλασιασμούς και τις διαιρέσεις συγκριτικά με το δεκαδικό σύστημα, ενώ οι προσθέσεις και οι αφαιρέσεις παραμένουν εξίσου εύκολες.Το 12 συνιστά μια χρήσιμη βάση γιατί έχει πολλούς διαιρέτες.Είναι το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των ένα, δύο, τρία, τέσσερα και έξι. Στα αγγλικά υπάρχει ακόμα και ειδική λέξη,η "dozen"(όπως στα ελληνικά,"ντουζίνα") για την περιγραφή του 12, και κατ' αναλογία με τη λέξη που χρησιμοποιείται για το 10², δηλαδή "hundred"("εκατό"),για το 12² χρησιμοποιείται η λέξη "gross". Το κανονικό δωδεκάωρο ρολόι καθώς και η συχνή χρήση του δώδεκα στις αγγλικές μονάδες, τονίζει τη χρησιμότητα της βάσης αυτής. Επιπλέον, πριν τη μετατροπή του στο δεκαδικό, το παλιό Βρετανικό νόμισμα, η Στερλίνα ή αλλιώς λίρα Αγγλίας, χρησιμοποιούσε μερικώς τη βάση 12: υπήρχαν 12 πένες(d) στερλίνας σε ένα σελίνι (s),20 σελίνια σε μια λίρα(£) και άρα 240 πένες σε μια λίρα. Γι' αυτό και η ονομασία LSD ή πιο σωστά £sd.
Ο πολιτισμός των Μάγια και άλλοι προ-Κολομβιανοί Μεσοαμερικανικοί πολιτισμοί χρησιμοποιούσαν το σύστημα με βάση 20(εικοσαδικό), όπως και πολλές φυλές από τη Βόρεια Αμερική(δύο από αυτές στη νότια Καλιφόρνια).Αποδείξεις για την ύπαρξη του αριθμητικού συστήματος με βάση 20 βρέθηκαν επίσης και σε γλώσσες της κεντρικής και δυτικής Αφρικής.
Υπολείμματα ενός Γαλατικού συστήματος με βάση 20 υπάρχουν επίσης στη Γαλλία, όπως φαίνεται σήμερα από τα ονόματα των αριθμών μεταξύ του 60 και του 99. Για παράδειγμα, το εξήντα πέντε είναι "soixante-cinq"(δηλαδή, "εξήντα" και "πέντε"), ενώ το εβδομήντα πέντε είναι "soixante-quinze"("εξήντα" και "δεκαπέντε"). Επιπλέον, για κάθε αριθμό μεταξύ του 80 και του 99, ο αριθμός που βρίσκεται στη θέση των δεκάδων εκφράζεται σαν πολλαπλάσιο του 20(κατά κάποιο τρόπο παρόμοιο με τον αρχαϊκό Αγγλικό τρόπο ομιλίας των "scores"("εικοσάδων"), πιθανότατα προερχόμενο από το υποβόσκον Κελτικό σύστημα).Για παράδειγμα, το οδόντα δύο είναι "quatre-vingt-deux"(δηλαδή, "τέσσερις εικοσάδες" και "δύο"), ενώ το ενενήντα δύο είναι "quatre-vingt-douze"(δηλαδή, "τέσσερις εικοσάδες" και "δώδεκα"). Στην παλιά Γαλλική γλώσσα,το σαράντα εκφραζόταν ως δύο εικοσάδες, το εξήντα τρεις εικοσάδες, το πενήντα τρία ως δύο εικοσάδες και δεκατρία κτλ.
Η Ιρλανδική γλώσσα επίσης χρησιμοποιούσε τη βάση 20 στο παρελθόν, με το είκοσι να γράφεται "fichid", το σαράντα "dhá fhichid",το εξήντα " trí fhichid" και το ογδόντα "ceithre fhichid". Ένα υπόλειμμα αυτού του συστήματος φαίνεται σήμερα στην ονομασία του σαράντα "daoichead".
Η Ουαλική γλώσσα συνεχίζει να χρησιμοποιεί το αριθμητικό σύστημα με βάση 20, κυρίως σε ημερομηνίες,ηλικίες και σε κοινές φράσσεις. Ο αριθμός 15 είναι επίσης σημαντικός,με τα 16-19 να γράφονται "ένα στο 15","δύο στο δεκαπέντε" κτλ. Το 18 είναι κανονικά δύο εννιά.Ένα δεκαδικό σύστημα χρησιμοποιείται επίσης συχνά.
Οι Δανικοί αριθμοί παρουσιάζουν μια δομή παρόμοια με αυτή της βάσης 20.
Η γλώσσα των Μαορί της Νέας Ζηλανδίας περιλαμβάνει επίσης αποδείξεις για ένα υποβόσκον σύστημα βάσης 20, όπως φαίνεται στις φράσεις "Te Hokowhitu a Tu"(οι επτά εικοσάδες του Τu) που αναφέρεται σε μια εκδήλωση πολέμου και "Tama-hokotahi"(ο ένας άντρας είναι ισοδύναμος με 20),που χρησιμοποιείται για να περιγράψει έναν γενναίο πολεμιστή.
Το δυαδικό σύστημα χρησιμοποιούνταν από το Αρχαίο Αιγυπτιακό Βασίλειο, το 3000 π.Χ. μέχρι το 2050 π.Χ.Ήταν ένας τρόπος γραφής με κυρτά, καμπυλωμένα, ενωμένα γράμματα στον οποίο στρογγυλοποιούσαν τους ρητούς μικρότερους του 1 σε 1/2+1/4+1/8+1/16+1/36+1/64, με το 1/64 να παραλείπεται(ονομαζόταν το μάτι του Ρα.)
Οι αριθμοί που χρησιμοποιούσαν οι Αυστραλοί Ιθαγενείς περιελάμβανε τη χρήση του δυαδικού συστήματος ή συστημάτων παρόμοιων με αυτό.Για παράδειγμα, στη γλώσσα Kalaw Lagaw Ya, οι αριθμοί ένα έως έξι είναι urapon, ukasar, ukasar-urapon, ukasar-ukasar, ukasar-ukasar-urapon, ukasar-ukasar-ukasar.
Οι Ιθαγενείς τις Βόρειας και Κεντρικής Αμερικής χρησιμοποιούσαν την βάση 4 (τετραδικό σύστημα) για την αναπαράσταση των τεσσάρων βασικότερων κατευθύνσεων.Οι Μεσοαμερικανοί συνήθιζαν να προσθέτουν ένα δεύτερο σύστημα με βάση το 5 για να δημιουργήσουν ένα τροποποιημένο σύστημα βάσης 20.
Το πενταδικό σύστημα αρίθμησης έχει χρησιμοποιηθεί από πολλούς πολιτισμούς για μετρήσεις.Είναι βασισμένο απλά στον αριθμό των ψηφίων του ανθρώπινου χεριού.Μπορεί επίσης να θεωρηθεί ως υπο-βάση άλλων βάσεων, όπως η βάση του 10,η βάση του 20 και η βάση του 60.
Το Οκταδικό σύστημα επινοήθηκε από την φυλή "Yuki" της Βόρειας Καλιφόρνια, που χρησιμοποιούσαν τα κενά ανάμεσα στα δάχτυλα για να μετράνε και τα οποία αντιστοιχούσαν στους αριθμούς 1 έως 8. Υπάρχουν επίσης γλωσσικές αποδείξεις ότι την εποχή του χαλκού,οι πρωτο-ινδοευρωπαίοι(από όπου κατάγονται οι περισσότερες Ευρωπαϊκές και Ινδικές γλώσσες) μπορεί να αντικατέστησαν ένα οκταδικό σύστημα( ή ένα σύστημα όπου μπορούσες να μετρήσεις μέχρι το 8) με ένα δεκαδικό σύστημα.Η απόδειξη είναι ότι η λέξη που χρησιμοποιούνταν για τον αριθμό 9,"newm",έχει υποτεθεί ότι προκύπτει από την λέξη "new"("νέος"),newo-, υποδηλώνοντας ότι ο αριθμός 9 είχε ανακαλυφθεί πρόσφατα και γι' αυτό αποκαλούνταν "new number"("νέος αριθμός").
Πολλά αρχαία αριθμητικά συστήματα χρησιμοποιούσαν το πέντε ως πρωτεύουσα βάση, ιδέα που σχεδόν σίγουρα προέρχεται από τον αριθμό των δαχτύλων στο ανθρώπινο χέρι.Συχνά, αυτά τα συστήματα συμπληρώνονταν από μια δευτερεύουσα βάση,μερικές φορές δέκα και άλλες φορές είκοσι.Σε μερικές Αφρικανικές χώρες,η λέξη για το πέντε είναι ίδια με τη λέξη "χέρι" ή "πρώτος"(γλώσσα "Dyola" της Γουινέα-Μπισσάου,γλώσσα "Banda" τηςΚεντρική Αφρική).Η αρίθμηση συνεχίζεται προσθέτοντας 1,2,3 ή 4 σε συνδυασμούς του 5, μέχρι να φτάσεις τη δευτερεύουσα βάση.Στην περίπτωση του είκοσι,η αντίστοιχη λέξη συχνά σημαίνει "ολοκληρωμένος άνθρωπος".Αυτό το σύστημα συχνά αναφέρεται ως "quinquavigesima".Μπορούμε να το βρούμε σε πολλές γλώσσες της περιοχής του Σουδάν.
Η γλώσσα "Telefol",της Παπούα Νέα Γουινέα, είναι αξιοσημείωτη για την χρήση ενός αριθμητικού συστήματος με βάση το 27.

Μη-θεσιακές θέσεις

Κάθε θέση δε χρειάζεται να είναι θεσιακή. Οι Βαβυλωνιακοί εξηκονταδικοί αριθμοί ήταν θεσιακοί, αλλά σε κάθε θέση βρισκόντουσαν ομάδες των δύο ειδών γραμμών που εκπροσωπούσαν μονάδες και δεκάδες (μια στενή κάθετη γραμμή (|) και μια ανοιχτή αριστερή γραμμή κατάδειξης (<)) - μέχρι 14 χαρακτήρες ανά θέση (5 δεκάδες (<<<<<) και 9 μονάδες (|||||||||) ομαδοποιημένες σε ένα ή δύο κοντινά τετράγωνα που περιέχουν μέχρι τρεις σειρές των συμβόλων, ή μια κάτοχο θέσης (\\) για την έλλειψη μιας θέσης.  Οι Ελληνιστές αστρονόμοι χρησιμοποίησαν ένα ή δύο αλφαβητικά ελληνικά συστήματα αρίθμησης για κάθε θέση (ένα που επιλέχθηκε από 5 γράμματα και αντιπροσώπευε τους αριθμούς 10-50 ή / και ένα που επιλέχθηκε από 9 γράμματα κ αντιπροσώπευε τους αριθμούς 1-9, ή ένα μηδενικό-σύμβολο).