Ιστορία της έννοιας της συνάρτησης

Η μαθηματική έννοια της συνάρτησης ( και το όνομα ) εμφανίστηκε τον 17ο αιώνα μαζί με την ανάπτυξη του λογισμού. Για παράδειγμα, η κλίση  μιας γραφικής παράστασης σε ένα σημείο, θεωρήθηκε ως συνάρτηση του χ- συντεταγμένη του σημείου. Οι συναρτήσεις δεν είχαν οριστεί ρητά στην αρχαιότητα, αλλά μερικοί πρόδρομοι της έννοιας μπορεί ίσως να θεωρηθούν τα έργα κάποιων μεσαιωνικών φιλοσόφων και μαθηματικών, όπως του Oresme.
Οι μαθηματικοί του 18ου αιώνα, συνήθως θεωρούσαν πως η συνάρτηση ορίζεται από μια αναλυτική έκφραση. Τον 19ο αιώνα, οι απαιτήσεις της ανάπτυξης της ανάλυσης από τον Weierstrass και από άλλους, την αναδιατύπωση της γεωμετρίας όσον αφορά την ανάλυση και την εφεύρεση της θεωρίας συνόλων από τον Cantor, οδήγησαν τελικά στην πολύ πιο γενική και σύγχρονη έννοια της συνάρτησης ως μονότιμη χαρτογράφηση μεταφορά.

Οι συναρτήσεις πριν τον 17ο αιώνα

Σύμφωνα με τους Dieudonné και Ponte, η έννοια της συνάρτησης εμφανίστηκε τον 17ο αιώνα ως αποτέλεσμα της ανάπτυξης της αναλυτικής γεωμετρίας και τον ολοκληρωτικό λογισμό. Παρ 'όλα αυτά, ο Medvedev δείχνει ότι η έννοια της συνάρτησης έχει αρχαία καταγωγή. Ο Ponte βλέπει πιο σαφείς προσεγγίσεις της έννοιας κατά τον Μεσαίωνα. Ιστορικά, ορισμένοι μαθηματικοί μπορεί να θεωρηθεί ότι είχαν προβλέψει και είχαν έρθει κοντά στη σύγχρονη διατύπωση της έννοιας της συνάρτησης. Μεταξύ αυτών είναι ο Oresme (1323-1382). Στη θεωρία του, μερικές γενικές ιδέες σχετικά με την ανεξάρτητη και την εξαρτημένη μεταβλητή φαίνεται να είναι σύγχρονες.
Η ανάπτυξη της αναλυτικής γεωμετρίας γύρω στο 1640, επέτρεψε στους μαθηματικούς να μελετήσουν γεωμετρικά προβλήματα σχετικά με καμπύλες και αλγεβρικές σχέσεις μεταξύ «μεταβλητών συντεταγμένων x και y». Ο Λογισμός αναπτύχθηκε χρησιμοποιώντας την έννοια των μεταβλητών, συνδεδεμένη με τη γεωμετρική τους έννοια, η οποία συνεχίστηκε και το 18ο αιώνα. Ωστόσο, η ορολογία της «συνάρτησης» προήλθε από τις αλληλεπιδράσεις μεταξύ του Leibniz και Bernoulli, προς το τέλος του 17ου αιώνα.

Η έννοια της «συνάρτησης» στην ανάλυση

Ο όρος «συνάρτηση» εισήχθη από τον Gottfried Leibniz, δημοσιευμένο το 1673, για να περιγράψει μια ποσότητα που σχετιζόταν με μια καμπύλη, όπως η κλίση μιας καμπύλης σε ένα συγκεκριμένο σημείο. Ο Johann Bernoulli άρχισε να δημιουργεί εκφράσεις από συγκεκριμένες «συναρτήσεις». Το 1698, ο ίδιος συμφώνησε με τον Lebniz, ότι οποιαδήποτε ποσότητα που σχηματίζεται «με έναν αλγεβρικό και υπερβατικό τρόπο, μπορεί να ονομάζεται συνάρτηση του x». Από το 1718, θεωρήθηκε ως συνάρτηση οποιαδήποτε έκφραση, που αποτελείται από μια μεταβλητή και κάποιες «σταθερές». Ο Alexis Claude Clairaut (περίπου το 1734) και ο Leonhard Euler εισήγαγαν το γνωστό συμβολισμό f(x) ως τη συνάρτηση.
Οι συναρτήσεις θεωρούνταν τότε ονομάζονται σήμερα διαφορίσιμες συναρτήσεις . Για αυτόν τον τύπο των συναρτήσεων, μπορεί κανείς να μιλήσει κανείς για τα όρια και τις παραγώγους· και τα δύο είναι μέτρα του προϊόντος ή της αλλαγής του προϊόντος, όταν αυτό εξαρτάται από την είσοδο ή τη μεταβολή της εισόδου. Τέτοιες συναρτήσεις είναι η βάση του λογισμού.

Euler

Στον πρώτο τόμο του θεμελιώδους του κειμένου του Introductio, στο Analysin infinitorum, που δημοσιεύθηκε το 1748, ο Euler έδωσε ουσιαστικά τον ίδιο ορισμό της συνάρτησης όπως ο δάσκαλός του Bernoulli, ως έκφραση ή τύπο, που περιλαμβάνει μεταβλητές και σταθερές π.χ., x² + 3x + 2. Ο ορισμός του Euler, συγκεκριμένα, έχει ως εξής:
«Συνάρτηση μιας μεταβλητής είναι μια αναλυτική έκφραση, που αποτελείται από οποιαδήποτε συνδυασμό της μεταβλητής με αριθμούς ή σταθερές».
Ο Euler επέτρεπε επίσης συναρτήσεις πολλών μεταβλητών, των οποίων οι τιμές καθορίζονται από μια έμμεση εξίσωση. Το 1755, ωστόσο, στο Institutiones Calculi differentialis, ο Euler έδωσε μια πιο γενική έννοια της συνάρτησης: «Όταν συγκεκριμένες ποσότητες εξαρτώνται από άλλες με τέτοιο τρόπο ώστε να μην επηρεάζονται όταν υποβάλλονται στις δεύτερες αλλαγές, τότε οι πρώτες ονομάζονται συναρτήσεις των δεύτερων». Αυτός ο ορισμός έχει έναν εξαιρετικά ευρύ χαρακτήρα, αφού περικλείει όλους τους τρόπους με τον οποίο μια ποσότητα μπορεί να προσδιοριστεί από άλλες.
Ο Medvedev εκτιμά ότι «Στην ουσία αυτός είναι ο ορισμός που έγινε γνωστός ως ορισμός του Dirichlet». Ο Edwards πιστώνει επίσης στον Euler μια γενική έννοια της συνάρτησης και λέει ακόμη ότι «Οι σχέσεις μεταξύ αυτών των ποσοτήτων δεν δίνονται από τους τύπους, αλλά από την άλλη πλευρά δεν είναι σίγουρα και αυτό που οι σύγχρονοι μαθηματικοί θεωρούν ως «συνάρτηση»».

Fourier

Στο Théorie του analytique de la Chaleur, ο Fourier ισχυρίστηκε ότι μια αυθαίρετη συνάρτηση θα μπορούσε να θεωρηθεί μια σειρά Fourier. Ο Fourier είχε μια γενική αντίληψη μιας συνάρτησης, η οποία περιελάμβανε συναρτήσεις, που δεν ήταν ούτε συνεχής ούτε ορίζονταν από μια αναλυτική έκφραση. Σχετικές ερωτήσεις σχετικά με τη φύση και την έκφραση των συναρτήσεων, που προκύπτουν από τη λύση της εξίσωσης κύματος για μια παλλόμενη χορδή, είχαν ήδη αποτελέσει αντικείμενο διαφωνίας μεταξύ των d'Alembert και Euler, και είχαν σημαντικό αντίκτυπο στη γενίκευση της έννοιας της συνάρτησης.
Ο Luzin παρατηρεί ότι: «Η σύγχρονη κατανόηση της συνάρτησης και του ορισμού της, η οποία φαίνεται σωστή για εμάς, θα μπορούσε να προκύψει μόνο μετά την ανακάλυψη του Fourier. Η ανακάλυψή του έδειξε καθαρά, ότι οι περισσότερες από τις παρανοήσεις που προέκυψαν κατά τη συζήτηση σχετικά με την παλλόμενη χορδή, ήταν το αποτέλεσμα της σύγχυσης δύο φαινομενικά πανομοιότυπων, αλλά στην πραγματικότητα πολύ διαφορετικών εννοιών, δηλαδή της συνάρτησης και της αναλυτικής αναπαράστασής της». Πράγματι, πριν από την ανακάλυψη του Fourier, δεν υπήρχε διάκριση μεταξύ των εννοιών της «λειτουργίας» και της «αναλυτική εκπροσώπησής της» και ήταν αυτή η ανακάλυψη που έφερε για αποσύνδεση τους.

Cauchy

Κατά τη διάρκεια του 19ου αιώνα, οι μαθηματικοί άρχισαν να επισημοποιούν όλες τις διαφορετικές εκφάνσεις των μαθηματικών. Ένας από τα πρώτους που το έκαναν αυτό, ήταν ο Cauchy.Τα κάπως ασαφή αποτελέσματά του, αργότερα γίνονται πλήρως αυστηρά από τον Weierstrass, ο οποίος στήριξε το λογισμό περισσότερο στην αριθμητική και όχι στη γεωμετρία, κάτι το οποίο βοήθησε στην επιβολή του ορισμού του Euler, πάνω από του Leibniz (βλ αριθμοποίηση ανάλυσης). Σύμφωνα με το Smithies, ο Cauchy σκέφτεικε τις συναρτήσεις όπως ορίζονται από τις εξισώσεις που εμπλέκουν πραγματικούς ή μιγαδικούς αριθμούς, και σιωπηρά υποτίθεται ότι ήταν συνεχείς.
Ο Cauchy κάνει ορισμένες γενικές παρατηρήσεις σχετικά με τις συναρτήσεις στο κεφάλαιο Ι, τμήμα 1 του Analyse algébrique του (1821). Από ό,τι λέει εκεί, είναι σαφές ότι κατά κανόνα μια συνάρτηση, ορίζεται από μια αναλυτική έκφραση (αν είναι ρητή) ή από μια εξίσωση ή ένα σύστημα εξισώσεων (αν είναι άρρητη). Διαφέρει από τους προκατόχους του στο γεγονός, ότι είναι είναι διατεθειμένος να εξετάσει το ενδεχόμενο, ότι μια συνάρτηση μπορεί να οριστεί μόνο για ένα περιορισμένο φάσμα της ανεξάρτητης μεταβλητής.

Lobachevsky και Dirichlet

Οι Nikolai Lobachevsky και Peter Gustav Lejeune Dirichlet παραδοσιακά πιστώνονται με το γεγονός, ότι έδωσαν το σύγχρονο «επίσημο» ορισμό μιας συνάρτησης, ως μια σχέση στην οποία κάθε πρώτο στοιχείο αντιστοιχίζεται σε ένα μοναδικό δεύτερο στοιχείο. Ο Lobachevsky (1834) γράφει ότι η γενική έννοια της συνάρτησης απαιτεί μια συνάρτηση του x να ορίζεται ως ένας αριθμός που δίνεται για κάθε x και μεταβάλλεται σταδιακά με το x. Η τιμή της συνάρτησης μπορεί να δοθεί είτε με μια αναλυτική έκφραση ή από μια κατάσταση που παρέχει ένα μέσο για την εξέταση όλων των αριθμών και επιλέγοντας ένα από αυτά ή, τέλος, η εξάρτηση μπορεί να υπάρχει αλλά να παραμένει άγνωστη. Ο Dirichlet (1837) γράφει «Αν τώρα ένα μοναδικό πεπερασμένο y που αντιστοιχεί σε κάθε x, και μάλιστα κατά τέτοιο τρόπο ώστε όταν το x να κυμαίνεται συνεχώς κατά το διάστημα από το Α στο Β, y = f (x) και μεταβάλλεται συνεχώς, τότε το y ονομάζεται συνεχής συνάρτηση του x για το διάστημα αυτό. Δεν είναι καθόλου απαραίτητο εδώ ότι y να δοθεί με τον ίδιο τρόπο από το x σε ολόκληρο το διάστημα, και δεν είναι απαραίτητο ότι θα πρέπει να θεωρηθεί ότι εκφράζεται σαν εξάρτηση χρησιμοποιώντας μαθηματικές πράξεις». Ο Eves ισχυρίζεται ότι «ο φοιτητής των μαθηματικών συναντάει συνήθως τον ορισμό της συνάρτησης κατά Dirichlet στο εισαγωγικό μάθημά του στο λογισμό.
Η αξίωση του Dirichlet σε αυτή τη μορφή έχει αμφισβητηθεί από τον Imre Lakatos:«Δεν υπάρχει τέτοιος ορισμός σε όλα τα έργα του Dirichlet. Αλλά υπάρχουν άφθονα στοιχεία ότι δεν είχε καμία ιδέα όσο αφορά αυτή την έννοια. Στο έργο του [1837], για παράδειγμα, όταν συζητά τμηματικά για συνεχείς συναρτήσεις, λέει ότι στα σημεία ασυνέχειας η συνάρτηση έχει δύο τιμές». Ωστόσο, ο Gardiner λέει «... μου φαίνεται ότι ο Lakatos το πηγαίνει πολύ μακριά, για παράδειγμα, όταν ισχυρίζεται ότι« υπάρχουν πολλές ενδείξεις ότι ο Dirichlet δεν είχε καμία ιδέα για την έννοια της συνάρτησης, όπως ορίζεται σήμερα». Επιπλέον, όπως προαναφέρθηκε, στο έργο του Dirichlet φαίνεται να περιλαμβάνεται ορισμός και ό,τι συνήθως αποδίδεται σε αυτόν, ακόμη και αν (όπως ο Lobachevsky), ο ίδιος δηλώνει μόνο ορισμό για συνεχείς συναρτήσεις μιας πραγματικής μεταβλητής. Ομοίως, ο Lavine παρατηρεί ότι: «Είναι ένα θέμα αμφισβήτησης πόση πίστωση αξίζει στον Dirichlet για τον σύγχρονο ορισμό της συνάρτησης, εν μέρει επειδή ο ορισμός του περιορίζεται στις συνεχείς συναρτήσεις .... Πιστεύω, όμως, ότι ο Dirichlet ορίζει την έννοια της συνεχούς συνάρτησης, για να καταστήσει σαφές ότι κανένας κανόνας δεν απαιτείται ακόμη και στην περίπτωση των συνεχών συναρτήσεων, όχι μόνο σε γενικές γραμμές. Αυτό αξίζει ιδιαίτερη έμφαση, λόγω του ορισμού του Euler για τη συνεχή συνάρτηση, όπως αυτή που δίνεται με ενιαία έκφραση. Αλλά επίσης αμφιβάλλω υπάρχουν επαρκή αποδεικτικά στοιχεία για να διευθετήσουν τη διαφορά».
Επειδή στους Lobachevsky και Dirichlet έχει πιστωθεί ότι ήταν από τους πρώτους, που εισήγαγαν την έννοια της αυθαίρετης αλληλογραφίας, η έννοια αυτή μερικές φορές αναφέρεται ως Dirichlet ή Lobachevsky-Dirichlet ορισμός της συνάρτησης. Μια γενική απόδοση αυτού του όρου χρησιμοποιήθηκε αργότερα από τον Bourbaki (1939), και κάποιοι στην εκπαιδευτική κοινότητα αναφέρονται σε αυτήν ως τον ορισμό «Dirichlet-Bourbaki» της συνάρτησης.

Dedekind

Ο Dieudonné, ο οποίος ήταν ένα από τα ιδρυτικά μέλη της ομάδας του Bourbaki, πιστώνει ένα ακριβή και σύγχρονο ορισμό της συνάρτησης στο Dedekind, στο έργο του Was sind und was sollen die Zahlen, το οποίο δημοσιεύτηκε το 1888, αλλά είχε ήδη συνταχθεί το 1878. Ο Dieudonné παρατηρεί ότι, αντί να περιορίζει τον εαυτό του, όπως και σε προηγούμενες αντιλήψεις , σε πραγματικές ή μιγαδικές συναρτήσεις, ο Dedekind ορίζει μια συνάρτηση ως μια ενιαία χαρτογράφηση μεταξύ οποιωνδήποτε των δύο σύνολων. Η εντελώς γενική αντίληψη της συνάρτησης ήταν κάτι καινούριο και τελείως απαραίτητο για το σύνολο των μαθηματικών.

Hardy

Στο Hardy 1908, σελ .26-28 ορίζεται η συνάρτηση ως μια σχέση μεταξύ δύο μεταβλητών x και y, τέτοια ώστε «σε ορισμένες τιμές του x, σε κάθε περίπτωση, να αντιστοιχούν τιμές του y». Ο Hardy υποστηρίζει πως δεν απαιτείται η συνάρτηση να οριστεί για όλες τις τιμές του x, ούτε να συνδέσει κάθε τιμή του x σε μία μόνο τιμή του y. Αυτός ο ευρύς ορισμός της συνάρτησης περιλαμβάνει περισσότερες σχέσεις από ό,τι είναι συνήθως θεωρείται συνάρτηση στα σύγχρονα μαθηματικά. Για παράδειγμα, ο ορισμός Hardy περιλαμβάνει επιπλέον συναρτήσεις και ό,τι στη θεωρία υπολογισιμότητας καλούνται μερικές συναρτήσεις.

Οι συναρτήσεις πριν το 1850

Οι επιστήμονες αυτή την περίοδο ασχολούνται κατά κύριο λόγο με την ανάλυση συλλογισμών (τις 2000-χρόνων ιδέες του Αριστοτέλη), ή όπως αναφέρει ο Augustus De Morgan (1847): «η εξέταση του εν λόγω τμήματος της συλλογιστικής που εξαρτάται από τον τρόπο με τον οποίο σχηματίζονται συμπεράσματα, καθώς και η διερεύνηση των γενικών αξιωμάτων και των κανόνων για την κατασκευή επιχειρημάτων». Αυτή την περίοδο η έννοια της (λογικής) «συνάρτησης»δεν είναι σαφής, αλλά τουλάχιστον στο έργο των De Morgan και George Boole υπονοείται. Σε αυτό το έργο βλέπουμε αφαίρεση κάποιων μορφών επιχειρημάτων, την εισαγωγή των μεταβλητών, την εισαγωγή μιας συμβολικής άλγεβρας σε σχέση με αυτές τις μεταβλητές και μερικές από τις έννοιες της θεωρίας συνόλων.
Στο De Morgan, 1847, «FORMAL LOGIC OR, The Calculus of Inference, Necessary and Probable» De Morgan, παρατηρεί ότι «α) η λογική αλήθεια εξαρτάται από τη δομή της δήλωσης, και όχι με τα συγκεκριμένα θέματα που θα αναφερθούμε». Δεν σπαταλά χρόνο (πρόλογος σελίδα i): «Με τη μορφή της πρότασης, το συνδετικό ρήμα γίνεται τόσο αφηρημένο όσο και οι όροι». Εκείνος αμέσως (σελ. 1) αναφέρεται σε αυτό που αποκαλεί «η πρόταση» (σήμερα: συνάρτηση ή σχέση) σε μια μορφή όπως: «το Χ ίσο με Υ», όπου τα σύμβολα Χ, «ίσο με» και Υ αντιπροσωπεύουν, αντίστοιχα, το αντικείμενο, το συνδετικό ρήμα, και κατηγόρημα. Ενώ η λέξη «συνάρτηση» δεν εμφανίζεται, εμφανίζεται η έννοια της «αφαίρεσης», υπάρχουν οι «μεταβλητές», υπάρχει η έννοια του επιλόγου στο συμβολισμό του «όλα του Δ είναι στην О» (σελ. 9) και, τέλος, εισάγει ένα νέο συμβολισμό για λογική ανάλυση της έννοιας της «σχέσης» (που χρησιμοποιεί τη λέξη σε σχέση με αυτό το παράδειγμα «X) Y» (σελ 75).)ι:
«A₁ X)Y Για να πάρουμε ένα Χ είναι απαραίτητο να πάρουμε ένα Υ» (ή για να υπάρχει ένα Χ είναι απαραίτητο να υπάρχει ένα Y)
«A¹ Y) X Για να πάρουμε ένα Υ είναι απαραίτητο να πάρουμε ένα Χ» (ή για να υπάρχει Υ είναι απαραίτητο να υπάρχει ένα Χ), κ.λπ.
Το 1848 στο έργο του The Nature of Logic, ο Boole ισχυρίζεται ότι «η λογική παίζει σημαντικότερο ρόλο στην επιστήμη, από ότι η απλή επιχειρηματολογία με σημάδια» και ο ίδιος συζητά εν συντομία τις έννοιες «ανήκει» και «τάξη». «Ένα άτομο μπορεί να έχει μια μεγάλη ποικιλία από χαρακτηριστικά και, επομένως, αυτά να ανήκουν σε μια μεγάλη ποικιλία διαφορετικών τάξεων».
Ο De Morgan χρησιμοποιεί την έννοια της «μεταβλητής», που προέρχονται από την ανάλυση. Δίνει ένα παράδειγμα στο οποίο: «Μία κλάση βόδια αντιπροσωπεύουν το x και μία των αλόγων το y και χρησιμοποιώντας το σύμβολο +, θα μπορούσαμε να αντιπροσωπεύσουμε τη συνολική κατηγορία από βόδια και άλογα με x + y».
Στο πλαίσιο του «Διαφορικού Λογισμού» ο Boole ορίζει (γύρω στο 1849) την έννοια της συνάρτησης ως εξής: «Η ποσότητα δύο πραγμάτων, των οποίων η διαφορά είναι ομοιόμορφη, ονομάζεται η ανεξάρτητη μεταβλητή. Η ποσότητα δύο αντικειμένων, των οποίων η διαφορά εξαρτάται από τη μεταβολή της πρώτης λέγεται ότι είναι μια συνάρτηση. Ο Διαφορικός Λογισμός μας δίνει τη δυνατότητα σε κάθε περίπτωση να περάσουμε από τη συνάρτηση στο όριο. Αυτό γίνεται με μια συγκεκριμένη συνάρτηση. Αλλά η ίδια η ιδέα μιας πράξης είναι η ιδέα μιας αντίστροφη συνάρτησης. Το αποτέλεσμα αυτής της αντίστροφης συνάρτησης, είναι το αντικείμενο του σημερινού Ολοκληρωτικού Λογισμού.

Οι συναρτήσεις από το 1850 έως το 1950

Ο Eves παρατηρεί ότι "οι επιστήμονες προσπάθησαν να πιέσουν προς τα κάτω το επίπεδο εκκίνησης της ανάπτυξης του ορισμού των μαθηματικών και να αντλήσουν τη θεωρία των συνόλων ή των τάξεων από μία θεμελίωση στη λογική των προτάσεων και των προτασιακών συναρτήσεων". Όμως, τα τέλη του 19ου αιώνα οι έρευνες των επιστημόνων για τη θεμελίωση των μαθηματικών έχουν υποστεί μία σημαντική διάσπαση. Η κατεύθυνση της πρώτης ομάδας του Λογικισμού, μπορεί πιθανώς να συνοψιστεί καλύτερα από τον Bertrand Russell 1903 - "για να ικανοποιηθούν δύο αντικείμενα, πρώτον, για να αποδειχθεί ότι όλα τα μαθηματικά προκύπτουν από τη συμβολική λογική, και, δεύτερον, να ανακαλυφθεί, στο μέτρο του δυνατού, ποιες είναι οι αρχές αυτής της συμβολικής λογικής.
Η δεύτερη ομάδα του Λογικισμού, οι υποστηρικτές της Θεωρίας Συνόλων, αρχικά εμφανίστηκε με "Θεωρία Συνόλων" του Georg Cantor (1870-1890), αλλά ήρθε στο προσκήνιο, εν μέρει ως αποτέλεσμα της ανακάλυψης του Russel, ένα παράδοξο το οποίο θα μπορούσε να προκύψει από την ιδέα του Frege για τη συνάρτηση αλλά και ως μια αντίδραση ενάντια προτεινόμενη λύση του Russell. Η απάντηση του Zermelo ήταν το 1908 στο Έρευνες στα θεμέλια της Θεωρίας Συνόλων Ι - στην πρώτη αξιωματική θεωρία όπου η έννοια της "προτασιακής συνάρτησης" παίζει ρόλο.

"Οι νόμοι της σκέψης" του George Boole, 1854 και "Η συμβολική λογική" του John Venn, 1881

Στο έργο του Μία έρευνα στους νόμους της σκέψης ο Boole ορίζει μία συνάρτηση με όρους ενός συμβόλου χ όπως περιγράφεται παρακάτω: Σε μια έρευνα του σε νόμους της σκέψης Boole ορίζεται πλέον μια λειτουργία από την άποψη της ένα σύμβολο x ως εξής:
"8. Ορισμός. -Οποιαδήποτε αλγεβρική έκφραση που περιλαμβάνει σύμβολο χ ονομάζεται συνάρτηση του χ, και μπορεί να συμβολίζεται με την συντετμημένη μορφή f(x)". Ο Boole στη συνέχεια χρησιμοποίησε αλγεβρικές εκφράσεις για να ορίσει τόσο αλγεβρικές όσο και λογικές έννοιες, π.χ., 1-x είναι λογικό ΧΩΡΙΣ(x), xy είναι το λογικό ΚΑΙ(x, y), x + y είναι το λογικό H'(x, y), x(x + y) είναι xx + xy, και «τον ειδικό νόμο" xx = x² = x.
Το 1881, ο Venn στο έργο του "Συμβολική Λογική" χρησιμοποιούσε τις εκφράσεις «λογική συνάρτηση" και το σύγχρονο συμβολισμό (x=f(y), y = f-1(x), βλ. σελίδα ΧΧΙ). Επίσης ιστορικά έχουν συνδεθεί τα κυκλικά διαγράμματα με τον Venn για να περιγραφούν οι «σχέσεις τάξεων», . οι έννοιες "ποσοτικοποιόντας το κατηγόρημα", "προτάσεις όσον αφορά την επέκτασή τους", «η σχέση εγκλεισμού και αποκλεισμού μίας τάξης σε μία άλλη", και "προτασιακή συνάρτηση" (όλα στις σ. 10), η ράβδος σε μια μεταβλητή για να δείξει την απουσία του x (σελίδα 43), κ.λ.π. Μάλιστα, εξίσωσε με σαφήνεια την έννοια της "λογικής συνάρτησης" με την «τάξη» [σύγχρονο "σύνολο"]: "... σύμφωνα με την άποψη που υιοθετείται στο βιβλίο, f(x) σημαίνει απλά μια λογική τάξη. Μπορεί να είναι μια σύνθετη τάξη από πολλές απλές τάξεις ή μία τάξη που υποδεικνύεται από ορισμένες αντίστροφες λογικές πράξεις, ή μπορεί να αποτελείται από δύο ομάδες τάξεων ίσες μεταξύ τους ή διαφορά τους δηλαδή να είναι ίση με το μηδέν, μια λογική εξίσωση. Αλλά από ότι να αποτελούνται ή και να παράγονται, η f(x) δεν θα είναι τίποτα άλλο παρά μια γενική έκφραση για τέτοιες λογικές τάξεις πραγμάτων, κατανοητή με την απλή λογική".

Begriffsschrift του Frege 1879

Το Begriffsschrift του Gottlob Frege (1879) προηγήθηκε του Giuseppe Peano (1889), αλλά ο Peano δεν είχε καμία γνώση για αυτό μέχρι να δημοσιευθεί το 1889. Και οι δύο συγγραφείς επηρεάζονται έντονα από τον Russel (1913). Ο Russell με τη σειρά του επηρεάζεται πολύ από τα μαθηματικά του 20ου αιώνα και της λογικής μέσα από το "Principia Mathematica" (1913) που από κοινού εξέδωσε με τον Alfred North Whitehead.
Στην αρχή ο Frege εγκαταλείπει τις παραδοσιακές "έννοιες υποκείμενο και κατηγόρημα", αντικαθιστώντας του με το επιχείρημα και τη λειτουργία αντίστοιχα, η οποία πιστεύει ότι "θα αντέξει στη δοκιμασία του χρόνου". Είναι εύκολο να δούμε πώς το περιεχόμενο ως συνάρτηση ενός επιχειρήματος οδηγεί σε σχηματισμό των εννοιών. Επιπλέον, η επίδειξη της σχέσης μεταξύ των εννοιών των λέξεων, αν και, δεν, ή, υπάρχει, μερικοί, όλα, και ούτω καθεξής, αξίζει την προσοχή".
Ο Frege αρχίζει τη συζήτηση του για τη "συνάρτηση" με ένα παράδειγμα: Ξεκινήστε με την έκφραση  "Το υδρογόνο είναι ελαφρύτερο από ό, τι το διοξείδιο του άνθρακα". Τώρα αφαιρέστε το σύμβολο για το υδρογόνο (δηλαδή τη λέξη "υδρογόνο") και αντικαταστήστε το με το σύμβολο για το οξυγόνο (δηλαδή τη λέξη "οξυγόνο") αυτό κάνει μια δεύτερη δήλωση. Κάνετε αυτό και πάλι (χρησιμοποιώντας είτε δήλωση) και αντικαταστήστε το σύμβολο για το άζωτο (δηλαδή τη λέξη "άζωτο") και σημειώστε ότι «Αυτό αλλάζει το νόημα κατά τέτοιο τρόπο ώστε το "οξυγόνο" ή το " άζωτο" μπαίνει στις σχέσεις στη θέση του " υδρογόνου". Υπάρχουν τρεις καταστάσεις.: "Το υδρογόνο είναι ελαφρύτερο από το διοξείδιο του άνθρακα." "Το οξυγόνο είναι ελαφρύτερο από το διοξείδιο του άνθρακα." "Το άζωτο είναι ελαφρύτερο από το διοξείδιο του άνθρακα." Τώρα παρατηρείτε ότι και στις τρεις εκφράσεις μια "σταθερή συνιστώσα, που αντιπροσωπεύει το σύνολο των σχέσεων". Μπορούμε να την αποκαλέσουμε συνάρτηση δηλαδή, "... Είναι ελαφρύτερο από το διοξείδιο του άνθρακα", είναι η συνάρτηση. Ο Frege καλεί όρισμα της συνάρτησης "το σύμβολο" (π.χ., υδρογόνο, οξυγόνο ή άζωτο), το οποίο μπορεί να αντικατασταθεί από άλλο. Ο ίδιος σημειώνει ότι θα μπορούσαμε να έχουμε ορίσει τη συνάρτηση ως "το υδρογόνο είναι ελαφρύτερο από το ....", καθώς και με το όρισμα σε άλλη θέση. Η ακριβής παρατήρηση γίνεται από τον Peano (βλ. παρακάτω). Τέλος, ο Frege επιτρέπει την υπόθεση των δύο (ή περισσότερων ορισμάτων). Για παράδειγμα, καταργήστε "διοξείδιο του άνθρακα". Η συνάρτηση που προκύπτει είναι η εξής:
"... Είναι ελαφρύτερο από ..." Ο Frege γενικεύει τη μορφή της συνάρτησης σε Φ(Α) όπου το Α είναι η μεταβλητή και Φ( ) η συνάρτηση. Η συνάρτηση με δύο αγνώστους συμβολίζεται ως Ψ(Α, Β) με Α και Β τις μεταβλητές και Ψ( ) τη συνάρτηση και τονίζει ότι "γενικά η Ψ(Α, Β) διαφέρει από την Ψ(Β, Α)". Χρησιμοποιώντας το μοναδικό συμβολισμό του, μεταφράζει για τον αναγνώστη τον εξής συμβολισμό:
«Μπορούμε να διαβάσουμε | --- Φ (Α) ως" Α έχει την ιδιότητα Φ. | --- Ψ (Α,Β) μπορεί να μεταφραστεί με "Β συμβολίζει στη σχέση του Ψ προς Α" ή "Β είναι ένα αποτέλεσμα της εφαρμογής της διαδικασίας Ψ στο αντικείμενο Α".

Οι "Αρχές της Αριθμητικής" του Peano,1889

Ο Peano όρισε την έννοια της "συνάρτησης" με έναν τρόπο σχετικό με αυτόν του Frege, αλλά χωρίς την ακρίβεια. Πρώτα ορίζει το σύμβολο "Κ σημαίνει τάξη, ή σύνολο αντικειμένων"  Τα αντικείμενα αυτά πληρούν τρεις απλές συνθήκες ισότητας, α=α, (α=β) =(β=α), ΕΑΝ (α=β) ΚΑΙ (β=γ), ΤΟΤΕ (α=γ). Στη συνέχεια εισάγει το φ, "ως ένα σύμβολο ή ένα σύνολο συμβόλων τέτοια ώστε, εάν το χ είναι αντικείμενο της κλάσης s, τότε η έκφραση Φχ υποδηλώνει ένα νέο αντικείμενο". Ο Peano προσθέτει δύο προϋποθέσεις για αυτά τα νέα αντικείμενα: Πρώτον, ότι οι τρεις υποθέσεις ισότητας ισχύουν και για τα αντικείμενα Φχ, δεύτερον, ότι "αν x και y είναι τα αντικείμενα της κλάσης s και αν x = y, υποθέτουμε ότι είναι δυνατό να συναχθεί φχ = φy". Δεδομένου ότι πληρούνται αυτές οι προϋποθέσεις, η φ είναι μια "συνάρτηση μετασύμβολο". Ομοίως προσδιορίζει και τη "συνάρτηση προσύμβολο". Για παράδειγμα, αν η φ είναι η συνάρτηση presign α +, τότε φχ δίνει α+x ή αν φ είναι η postsign συνάρτηση +α τότε xφ δίνει x+α.

Οι Αρχές των Μαθηματικών του Bertrand Russell, 1903

Ενώ η επιρροή του Cantor και Peano ήταν υψίστης σημασίας, στο Παράρτημα Α "Λογικά και Αριθμητικά Δόγματα του Frege" από το έργο Αρχές των Μαθηματικών, ο Russell φτάνει σε μια συζήτηση της έννοιας της συνάρτησης του Frege "... ένα σημείο στο οποίο το έργο Frege είναι πολύ σημαντικό και απαιτεί προσεκτική εξέταση".Σε απάντηση της από το 1902 ανταλλαγής επιστολών με τον Frege για την αντίφαση που ανακάλυψε στο Begriffsschrift του Frege, ο Russell προσέγγισε αυτή την ενότητα την τελευταία στιγμή.
Για τον Russel η έννοια που προκαλεί σύγχυση είναι αυτή της "μεταβλητής": "6. Οι μαθηματικες προτάσεις χαρακτηρίζονται από το γεγονός ότι περιέχουν μεταβλητές. Η έννοια της μεταβλητής είναι μία από τις πιο δύσκολες που έχει να αντιμετωπίσει η λογική. Προς το παρόν, εγώ ανοιχτά ήθελα να καταστήσω σαφές ότι υπάρχουν μεταβλητές σε όλες τις μαθηματικές προτάσεις, ακόμη και αν εκ πρώτης όψεως ίσως φαίνεται να μην υπάρχουν.... Θα βρούμε πάντα, σε όλες τις μαθηματικές προτάσεις, ότι οι λέξεις οτιδήποτε ή κάποιος υπάρχουν και αυτές οι λέξεις είναι ενδείξεις μιας μεταβλητής και ενός συμπεράσματος ".Όπως εκφράζεται από τον Russell "η διαδικασία μετατροπής των σταθερών μιας πρότασης σε μεταβλητές οδηγεί σε αυτό που ονομάζεται γενίκευση, και μας δίνει την ουσία της πρότασης...Εφ 'όσον κάθε όρος της πρότασή μας μπορεί να μετατραπεί σε μια μεταβλητή, η πρόταση μας μπορεί να γενικευθεί και εφ 'όσον αυτό είναι δυνατόν, τα μαθηματικά πρέπει να το κάνουν" Αυτές τις γενικεύσεις ο Russell τις ονόμασε "προτασιακές συναρτήσεις". Πράγματι, ο ίδιος αναφέρει αποσπάσματα από το Begriffsschrift του Frege και παρουσιάζει ένα ζωντανό παράδειγμα από το "Function und Begriff" του Frege το 1891: Ότι «η ουσία της αριθμητικής συνάρτησης 2x3 + x είναι ό,τι έχει απομείνει όταν το x απομακρυνθεί, δηλαδή, στο παραπάνω παράδειγμα 2( )3 + ( ). Tο όρισμα x δεν ανήκει στη συνάρτηση, αλλά και τα δύο μαζί κάνουν τη συνάρτηση κατά μία έννοια. Ο Russel με τον ορισμό της συνάρτησης κατά μία έννοια :"Αναφέρει τις συναρτήσεις - και σε αυτό συμφωνώ μαζί του - ως πιο θεμελιώδεις από κατηγορήματα και σχέσεις" αλλά ο Russell απέρριψε τη θεωρία του Frege για τα αντικείμενα και τους ισχυρισμούς. Σκέφτεται ότι, αν ένας όρος υπάρχει σε μια πρόταση, η πρόταση μπορεί πάντα να αναλυθούν στο α και σε ένα ισχυρισμό για το α.

Εξέλιξη της έννοιας της συνάρτησης του Russell, 1908-1913.

Ο Russell θα μεταφέρει τις ιδέες του προς τα εμπρός στο έργο του Μαθηματική Λογική το 1908 βάση της θεωρίας των τύπων και του έργου του ίδιου και του Whitehead "Principia Mathematica", 1910-1913. Μέχρι τη στιγμή του "Principia Mathematica", o Russell, όπως o Frege, θεωρεί την προτασιακή συνάρτηση θεμελιώδη: "Προτασιακές Συναρτήσεις είναι το θεμελιώδες είδος από το οποίο οι πιο συνήθεις συναρτήσεις, όπως η "sinx" ή "logx" ή "the father of x " προέρχoνται. Αυτές οι παράγωγες συναρτήσεις... ονομάζονται "περιγραφικές συναρτήσεις". Οι συναρτήσεις των προτάσεων... είναι μια περίπτωση των προτασιακών συναρτήσεων".
Προτασιακές συναρτήσεις: Επειδή η ορολογία του είναι διαφορετική από τη σύγχρονη, ο αναγνώστης μπορεί να μπερδευτεί με την "προτασιακή συνάρτηση" του Russel. Ένα παράδειγμα μπορεί να βοηθήσει. O Russell γράφει μια προτασιακή συνάρτηση σε ακατέργαστη μορφή της, π.χ. όπως φŷ: "ŷ είναι κακό". (Παρατηρήστε την περισπωμένη ή «καπέλο» πάνω από τη μεταβλητή y). Για παράδειγμα μας, θα εκχωρήσει μόλις 4 τιμές για τη μεταβλητή Y: "Βαρίδι", "Aυτό το πουλί", "Emily το κουνέλι" και "y". Η υποκατάσταση μίας από αυτές τις τιμές για τη μεταβλητή Υ δίνει μια πρόταση. Αυτή η πρόταση ονομάζεται "τιμή" της προτασιακής συνάρτησης. Στο παράδειγμά μας, υπάρχουν τέσσερις τιμές του προτασιακού λειτουργία, π.χ., "Το βαρίδι είναι κακό", "Αυτό το πουλί είναι κακό", "Η Emily το κουνέλι είναι κακό" και "y είναι κακό". Μια πρόταση, αν είναι σημαντική, δηλαδή αν η αλήθεια του είναι καθορισμένη, έχει πραγματική τιμή αλήθειας ή ψεύδους. Αν η πραγματική τιμή μιας πρότασης είναι "αλήθεια", τότε η τιμή της μεταβλητής ικανοποιεί την προτασιακή συνάρτηση. Τέλος, σύμφωνα με τον ορισμό του Russell, "μια τάξη [σύνολο] είναι όλα τα αντικείμενα που πληρούν κάποια προτασιακή συνάρτηση" (σελ. 23). Σημειώστε τη λέξη "όλα" - είναι ο τρόπος με τον οποίο η σύγχρονη έννοια "για κάθε ∀" και "υπάρχει τουλάχιστον ένα ∃" εισάγονται στη μελέτη. (σελ. 15). Για να συνεχίσουμε το παράδειγμα: Ας υποθέσουμε (έξω από τα μαθηματικά / λογική) ότι ένας διαπιστώνει ότι οι προτάσεις "Το βαρίδι είναι κακό" έχει πραγματική τιμή "ψευδής", "Αυτό το πουλί είναι κακό" έχει τιμή "αληθής", " Η Emily το κουνέλι είναι κακό" δε προσδιορίζεται διότι "Η Emily το κουνέλι" δεν υπάρχει, και το" y είναι κακό "είναι ασαφές, γιατί η ίδια η μεταβλητή είναι ασαφής. Ενώ οι προτάσεις "Bob είναι κακό" και "Αυτό το πουλί είναι κακό" είναι σημαντικές (και οι δύο έχουν τιμή "αληθής"), μόνο η τιμή "Αυτό το πουλί» της μεταβλητής y ικανοποιεί την προτασιακή συνάρτηση φŷ: "y είναι κακό". Όταν κάποιος προσπαθεί να σχηματίσει την τάξη α: φŷ: "y είναι κακό", μόνο "Αυτό το πουλί» περιλαμβάνεται, με δεδομένες τις τέσσερις τιμές "Βαρίδι", "Αυτό το πουλί", "Η Emily το κουνέλι" και "y" για την μεταβλητή ŷ και των αντίστοιχων πραγματικών τιμών: ψευδής, αληθής, αόριστη, αδύνατη.
Ο Russell καθορίζει τις συναρτήσεις των προτάσεων με επιχειρήματα, και πραγματικές συναρτήσεις f(p). Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι κάποιος ήθελε να σχηματίσει τη "συνάρτηση της πρότασης με επιχειρήματα" p1: "ΔΕΝ (p) ΚΑΙ q" και να ορίσεi τις τιμές των μεταβλητών των p: "To βαρίδι είναι κακό" και q: "Αυτό το πουλί είναι κακό". (Υπάρχει περιορισμός σε λογικές συνδέσεις ΔΕΝ, ΚΑΙ, Η' και ΣΥΝΕΠΑΓΕΤΑΙ, και μπορούμε να εκχωρήσουμε μόνο "σημαντικές" προτάσεις στις μεταβλητές p και q). Στη συνέχεια, η «συνάρτηση πρότασης με επιχειρήματα" είναι p1: ΔΕΝ ( "Το βαρίδιο είναι κακό") ΚΑΙ "Αυτό το πουλί είναι κακό". Για τον προσδιορισμό της πραγματικής τιμής αυτής της "συνάρτησης πρότασης με επιχειρήματα" θα την υποβάλουμε σε "πραγματική συνάρτηση", π.χ., f (p1): f (ΔΕΝ ("Το βαρίδι είναι κακό") ΚΑΙ "Αυτό το πουλί είναι κακό"), η οποία αποδίδει πραγματική τιμή "αληθής". Η έννοια της "πολλά προς ένα" συναρτησιακής σχέσης": ο Russell συζητά για πρώτη φορά την έννοια της "ταυτότητας", τότε ορίζει μια περιγραφική συνάρτηση (σελίδες 30ff) ως τη μοναδική ix τιμή που ικανοποιεί προτασιακή συνάρτηση με δύο μεταβλητές (δηλαδή, "σχέση") φŷ.
Σημειώνεται ότι ο αναγνώστης θα πρέπει να προειδοποιείται εδώ ότι η σειρά των μεταβλητών αντιστρέφεται! y είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή και χ είναι η εξαρτημένη μεταβλητή, π.χ. χ = sin (y). Ο Russell συμβολίζει την περιγραφική συνάρτηση ως «το αντικείμενο που εκφράζεται συναρτήσει του y": Ry = DEF(ix)(xRy). O Russell επαναλαμβάνει ότι "RΎ είναι συνάρτηση του y, αλλά δεν είναι μια προτασιακή συνάρτηση [sic]. Θα το ονομάσουμε περιγραφική συνάρτηση. Όλες οι συνήθεις συναρτήσεις των μαθηματικών είναι αυτού του είδους. Έτσι στο συμβολισμό μας "sin y'" μπορεί να γραφεί "sin'y "και"sin" αντιπροσωπεύει τη σχέση που έχει το sin'y με το y".