Δέσμη ινών

Ιστορία

Οι δέσμες ινών έγιναν από μόνες τους αντικείμενο μελέτης κατά την περίοδο 1935-1940. Ο πρώτος γενικός ορισμός εμφανίστηκε στα έργα του Hassler Whitney.
Ο Whitney ήρθε στον γενικό ορισμό μιας δέσμης ινών από την μελέτη του για μια πιο συγκεκριμένη έννοια της σφαιρικής δέσμης, που είναι μια δέσμη ινών της οποίας η ίνα είναι μια σφαίρα αυθαίρετης διάστασης.

Τετριμμένη δέσμη

Έστω E = B × F και έστω π : E → B να είναι η προβολή πάνω στον πρώτο παράγοντα. Τότε ο Ε είναι μια δέσμη ινών ( F) πάνω στο Β. Εδώ ο E είναι όχι μόνο τοπικά ένα γινόμενο, αλλά και γενικά. Κάθε τέτοια δέσμη ινών ονομάζεται μια τετριμμένη δέσμη. Κάθε δέσμη ινών πάνω από ένα συσταλτό CW-σύμπλοκο είναι τετριμμένη.

Λωρίδα Möbius

Ίσως το πιο απλό παράδειγμα από μια μη τετριμμένη δέσμη E είναι η λωρίδα του mobius. Έχει τον κύκλο που τρέχει κατά μήκος του κέντρου της λωρίδας ως μια βάση B και το ευθύγραμμο τμήμα για την ίνα F, έτσι ώστε η λωρίδα του mobius είναι μια δέσμη του τμήματος της γραμμής πάνω από τον κύκλο. Μια γειτονιά U του σημείου x ∈ B είναι ένα τόξο: στην εικόνα, αυτό είναι το μήκος ενός από τα τετράγωνα. Η αντίστροφη εικόνα  στην εικόνα είναι ένα (κάπως στριμμένο) κομμάτι της ταινίας, τέσσερα τετράγωνα πλάτος και ένα μήκος. Ο ομοιομορφισμός φ απεικονίζει την αντίστροφη εικόνα του U με μια φέτα κυλίνδρου: κυρτή, αλλά όχι στριμμένη.
Η αντίστοιχη τετριμμένη δέσμη B × F θα είναι ένας κύλινδρος, αλλά η λωρίδα του Möbius έχει μια πλήρη "στροφή". Σημειώστε ότι αυτή η στροφή είναι ορατή μόνο γενικά: τοπικά η λωρίδα του Möbius και ο κύλινδρος είναι πανομοιότυπα (κάνοντας μια ενιαία κάθετη περικοπή σε όποιο από τα δυο δίνει το ίδιο διάστημα).

Επικαλυμμένη απεικόνιση

Μια επικαλυμμένη απεικόνιση είναι μια δέσμη ινών έτσι ώστε η δέσμη προβολής να είναι ένας τοπικός ομοιομορφισμός. Επομένως, η ίνα είναι ένας διακριτός χώρος.

Διανυσματικές και κύριες δέσμες

Μια ειδική κατηγορία από δέσμες ινών, που ονομάζονται διανυσματικές δέσμες, είναι εκείνες των οποίων οι ίνες είναι διανυσματικοί χώροι (για να χαρακτηριστεί ως μια διανυσματική δέσμη η δομή της ομάδας της δέσμης — βλ. παρακάτω — θα πρέπει να είναι μια γραμμική ομάδα). Σημαντικά παραδείγματα διανυσματικών δεσμών περιλαμβάνουν την εφαπτόμενη δέσμη και συνεφαπτόμενη δέσμη μιας ομαλής πολλαπλότητας. Από κάθε διανυσματική δέσμη, μπορεί κανείς να κατασκευάσει το πλαίσιο δέσμης των βάσεων, η οποία είναι μια κύρια δέσμη (βλ.παρακάτω).
Μια άλλη ειδική κατηγορία δεσμών ινών, που ονομάζονται κύριες δέσμες, είναι δέσμες των οποίων οι ίνες είναι ελεύθερες και η μεταβατική δράση από μια ομάδα G δίνεται, έτσι ώστε κάθε ίνα να είναι ένας κύριος ομοιογενής χώρος. Η δέσμη συχνά ορίζεται μαζί με την ομάδα αναφερόμενη ως κύρια G-δέσμη. Η ομάδα G είναι επίσης μια δομή της ομάδας της δέσμης. Δίνεται ότι μια αναπαράσταση ρ της G σε ένα διανυσματικό χώρο V, μια διανυσματική δέσμη με ρ(G)⊆Aut(V) ως μια δομή ομάδας μπορεί να κατασκευαστεί, γνωστή και ως προσαρτημένη δέσμη.

Σφαιρικές δέσμες

Μια σφαιρική δέσμη είναι μια δέσμη ινών της οποίας η ίνα είναι μια n-σφαίρα. Δίνεται μια διανυσματική δέσμη Ε με μια μετρική (όπως η εφαπτόμενη δέσμη σε μια πολλαπλότητα Rieman) της οποίας μπορεί κανείς να κατασκευάσει τη σχετική μοναδιαία σφαιρικής δέσμης, για την οποία η ίνα πάνω από ένα σημείο x είναι το σύνολο όλων των μοναδιαίων διανυσμάτων Eₓ. Όταν η διανυσματική δέσμη είναι η εφαπτόμενη δέσμη T(M), η μοναδιαία σφαιρική δέσμη είναι γνωστή ως η μοναδιαία εφαπτόμενη δέσμη, και συμβολίζεται με UT(M). 
Μια σφαιρική δέσμη  χαρακτηρίζεται μερικώς από κάθε τάξη του Euler , η οποία είναι βαθμού n+1 συνομολογικής τάξης στο συνολικό χώρο της δέσμης. Στην περίπτωση n=1, η σφαιρική δέσμη ονομάζεται  κυκλική δέσμη  και η τάξη του Euler  είναι ίση με την πρώτη τάξη του Chern , η οποία χαρακτηρίζει τελείως την τοπολογία της δέσμης . Για κάθε n, δεδομένου την τάξη του Euler μίας δέσμης, μπορεί κανείς να υπολογίσει κάθε συνομολογία, χρησιμοποιώντας μια μακρά ακριβή ακολουθία που ονομάζεται  ακολουθία Gysin .

Σπειροειδές απεικόνιση 

Αν X είναι ένας τοπολογικός χώρος και f:X → X είναι ένας ομοιομορφισμός στη συνέχεια μια σπειροειδής(τοροειδής) απεικόνιση Mf έχει την φυσική δομή μιας δέσμης ινών πάνω από τον κύκλο με την ίνα X. Η τοροειδής απεικόνιση ενός ομοιομορφισμού επιφανειών  έχει ιδιαίτερη σημασία στις 3-τοπολογικες πολλαπλότητες.

Χώροι πηλίκο

Αν G είναι μια τοπολογική ομάδα και H είναι μια κλειστή υποομάδα, τότε υπό ορισμένες συνθήκες, ο χώρος πηλίκο G/H , μαζί με την απεικόνιση  πηλίκο   π : G → G/H είναι μια δεσμη ινών, του οποίου η ίνα είναι ο τοπολογικός  χώρος H. Μια ικανή και αναγκαία  συνθήκη για  να σχηματίζουν τα (G,G/H,π,H) μια δέσμη ινών είναι η απεικόνιση π να δέχεται τοπικές διατομές (Steenrod 1951, §7). 
Οι πιο γενικές συνθήκες κάτω από τις οποίες ο απεικόνιση πηλίκο  θα δέχεται τοπικές διατομές δεν είναι γνωστές,ωστόσο αν το G είναι μια   ομάδα Lie και H μια κλειστή υποομάδα του G (και συνεπώς είναι μια  υποομάδα Lie από θεώρημα του Cartan ), τότε η απεικόνιση πηλίκο είναι μια δέσμη ινών. Ένα παράδειγμα είναι η ίνωση του Hopf , S³ → S² που είναι μια δέσμη ινών πάνω από τη σφαίρα S²  της οποίας το συνολικό διάστημα είναι S³. Από την οπτική των  ομάδων Lie , S³ μπορεί να προσδιοριστεί με την ειδική ενιαία ομάδα SU(2). Η αβελιανή υποομάδα διαγώνιων μητρών  είναι ισόμορφη με την κυκλική ομάδα U(1), και το πηλίκο SU(2)/U(1) είναι αμφιδιαφορίσιμο με τη σφαίρα. 
Πιο γενικά, αν η G είναι οποιαδήποτε τοπολογική ομάδα και H μια κλειστή υποομάδα η οποία συμβαίνει επίσης να είναι μια  ομάδα Lie , τότε G → G/H είναι δέσμη ινών.

Τμήματα

Ένα τμήμα (ή διατομή) μιας δέσμης ινών π είναι μια συνεχής απεικόνιση f : B → E τέτοια ώστε π(f(x))=x για όλα τα x στο B. Δεδομένου ότι οι δέσμες γενικά,δεν έχουν σφαιρικά ορισμένα τμήματα, ένας από τους σκοπούς της θεωρίας είναι να λυφθούν υπόψη για την ύπαρξή τους. Η έμφραξη της ύπαρξης ενός τμήματος μπορεί συχνά να μετρηθεί με μια συνομολογική τάξη, η οποία οδηγεί στη θεωρία των χαρακτηριστικών τάξεων στην αλγεβρική τοπολογία. 
Το πιο γνωστό παράδειγμα είναι το  θεώρημα της τριχωτής μπάλας, όπου η τάξη του Euler είναι η έμφραξη για την εφαπτομένη δέσμη των 2-σφαιρών  έχοντας ένα πουθενά μηδενιζόμενο τμήμα.

Διαφορίσιμες δέσμες ινών

Στην κατηγορία των διαφορίσιμων πολλαπλότητων, δέσμες ινών προκύπτουν φυσικά, από καταβύθισεις από μία πολλαπλότητα στην άλλη. Δεν συνεπάγεται πως κάθε (διαφορίσιμη) κατάδυση ƒ : M → N από διαφορίσιμη πολλαπλότητα M σε άλλη διαφορίσιμη πολλαπλότητα N ,μας δίνει μια διαφορίσιμη δέσμη ινών. Για ένα πράγμα, η απεικόνιση  πρέπει να ειναι επιρριπτική, και (M,N,ƒ) ονομάζεται πολλαπλότητα ινών. Ωστόσο, αυτή η προϋπόθεση δεν είναι αρκετά επαρκής, και υπάρχει μια ποικιλία από επαρκείς προϋποθέσεις σε κοινή χρήση.
Αν M και N είναι συμπαγές και  συνεκτικά, τότε για οποιαδήποτε καταβύθιση f : M → N , συνεπάγεται μια δέσμη ινών, με την έννοια ότι υπάρχει ένας ινοχώρος F αμφιδιαφορίσιμος σε κάθε  ίνα,οπως(E,B,π,F) = (M,N,f,F) είναι μια δέσμη ινών. (Μια επί απεικόνιση  f ακολουθεί  τις παραδοχές που έχουν ήδη δοθεί σε αυτή την περίπτωση.) Γενικότερα, η υπόθεση της πυκνότητας μπορεί να χαλαρώσει εάν η καταβύθιση f : M → N υποτίθεται ότι θα είναι μια επί συνάρτηση γνήσιας απεικόνισης, πράγμα που σημαίνει ότι ƒ⁻¹(K) είναι συμπαγές για κάθε συμπαγές υποσύνολο K του N. Άλλη μια επαρκής προϋπόθεση, λόγω του Ehresmann (1951), είναι ότι αν ƒ : M → N είναι μια επί συνάρτηση καταβύθισης με M και N διαφορίσιμες πολλαπλότητες , όπως ότι η αντίστροφη εικόνα ƒ⁻¹(K) είναι συμπαγές και συνδέονται για όλα τα x ∈ N, τότε ƒ παραδέχεται συμβατή δομή δέσμης ινών  (Michor 2008, §17).