Βραχμαγκούπτα

Ζωή και έργο

Στους στίχους 7 και 8 του κεφαλαίου 24/ΣʹΔʹ της Βραχμασφουτασιντάντα, αναφέρεται πως ο Βραχμαγκούπτα σύνθεσε το κείμενο αυτό στην ηλικία των τριάντα ετών στην πόλη Σάκα κατά το ινδικό έτος 550 (628 μ.Χ.) κατά την βασιλεία του Βιαγραμούκα, και από εκεί εξάγεται ως έτος γέννησης του το 598.
Οι σχολιαστές του έργου του τον αναφέρουν ως τον μεγάλο σοφό του Μπινμάλ, μια πόλη στην πολιτεία του Ρατζαστάν της βορειοδυτικής Ινδίας. Κατά τους αρχαίους χρόνους το Μπινμάλ ήταν η έδρα των Γκουρτζάρ, ο πατέρας του ανήκε στους Τζισνουγκούπτα, και έζησε την περισσότερη ζωή του στο Μπινμάλ κατά την βασιλεία του Βιαγραμούκα. Ως συνέπεια, ο Βραχμαγκούπτα συχνά αναφέρεται ως ο Μπιλαμαλατσάρια, δηλαδή ο δάσκαλος από το Μπινμάλ (Μπιλάλα κατά τους αρχαίους χρόνους).
Ήταν ο επικεφαλής του αστεροσκοπείου στην Ουτζαΐν, και κατά την θητεία του αυτή έγραψε τις δύο πραγματείες του, την Βραχμασφουτασιντάντα και την Καντακαντιάκα, που καλύπτουν και οι δύο μαθηματικά και αστρονομία. Η Βραχμασφουτασιντάντα είναι το πιο διάσημο έργο του και επηρέασε σημαντικά τους άραβες αστρονόμους και μαθηματικούς. Ο Ιρανός λόγιος αλ-Μπιρούνι έγραψε το 1050 στο βιβλίο του Ταρίκ αλ-Χιντ, πως ο χαλίφης των Αββασιδών της Βαγδάτης ο αλ-Μα'μούν, παρέλαβε ένα βιβλίο που του αποστάλθηκε από την πρεσβεία των Αββασιδών στην Ινδία, και είχε μεταφραστεί στα Αραβικά ως η μαθηματική πραγματεία του Σιντχίντ. Είναι γενικά αποδεκτό πως το Σιντχίντ δεν είναι παρά το βιβλίο Βραχμασφουτασιντάντα του Βραχμαγκούπτα.
Ο Βραχμαγκούπτα είχε ασκήσει έντονη κριτική ενάντια στα έργα των άλλων αστρονόμων, και στη Βραχμασφουτασιντάντα είναι φανερό πως υπάρχει ένα σχίσμα ανάμεσα στους Ινδούς μαθηματικούς. Η διαμάχη εστιάζονταν κυρίως στη σχέση με την εφαρμοσμένη πλευρά των μαθηματικών και την χρήση τους στον πραγματικό κόσμο, παρά στη θεωρητική ορθότητά τους. Στην περίπτωση του Βραχμαγκούπτα, οι διαφωνίες ξεκινούσαν κυρίως από την επιλογή των εκάστοτε αστρονομικών παραμέτρων και θεωριών. Η κριτική απέναντι στις άλλες θεωρίες εμφανίζεται στα δέκα πρώτα κεφάλαια για την αστρονομία, με το εντέκατο κεφάλαιο να είναι αποκλειστικά αφιερωμένο στην κριτική, με τα κεφάλαια 12 και 18 να μη περιέχουν καθόλου κριτική. Χαρακτηριστικά άσκησε δριμεία κριτική στις απόψεις του προγενέστερού του Ινδού μαθηματικού και αστρονόμου Αριαμπάτα, ότι η Γη είναι μια περιστρεφόμενη σφαίρα, απόψεις που διαδίδονταν ευρέως από έναν σύγχρονό του αστρονόμο, τον Μπασκάρα Αʹ, αν και δεν είναι γνωστό κατά πόσο γνώριζε το έργο αυτού.

Αριθμητική

Οι τέσσερις στοιχειώδεις πράξεις (πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός και διαίρεση) ήταν γνωστές σε πολλούς πολιτισμούς προγενέστερους του Βραχμαγκούπτα. Το σημερινό αριθμητικό σύστημα είναι βασισμένο στο Ινδοαραβικό και εμφανίστηκε πρώτα στη Βραχμασφουτασιντάντα. Ο Βραχμαγκούπτα περιγράφει τον πολλαπλασιασμό ως:
Ο πολλαπλασιαστέος επαναλαμβάνεται σαν ένα λουρί για τα ζώα, τόσο συχνά όσο υπάρχουν ακέραιες μονάδες στον πολλαπλασιαστή, και πολλαπλασιάζεται επανελλημένως με αυτούς, και τα γινόμενα προστίθενται. Είναι πολλαπλασιασμός. Ή ο πολλαπλασιαστέος επαναλαμβάνεται τόσες φορές, όσες υπάρχουν συστατικά μέρη στον πολλαπλασιαστή.
Η Ινδική αριθμητική ήταν γνωστή στη Μεσαιωνική Ευρώπη ως Μόντους Ίντοραμ(Modus Indoram), που στα Λατινικά σημαίνει μέθοδος των Ινδών. Στην Βραχμασφουτασιντάντα, ο Πολλαπλασιασμός ονομάστηκε Γκομουτρίκα(Gomutrika). Στην αρχή του κεφαλαίου δώδεκα της Βραχμασφουτασιντάντα, με τον τίτλο Υπολογισμοί, ο Βραχμαγκούπτα περιγράφει τις πράξεις των κλασμάτων. Ο αναγνώστης θεωρείται πως πρέπει να γνωρίζει τις βασικές αριθμητικές πράξεις μέχρι του σημείου του υπολογισμού των τετραγωνικών ριζών, αν και ο Βραχμαγκούπτα εξηγεί πως μπορεί να βρεθεί ο κύβος και η κυβική ρίζα ενός ακέραιου, και αργότερα περιγράφει τους κανόνες που διέπουν τον υπολογισμό των δυνάμεων του 2 και των τετραγωνικών ριζών. Ακολουθεί με το να παραθέτει τους κανόνες για υπολογισμούς με τέσσερις συνδιασμούς κλασμάτων, του  , και ,  , και , και του .

Προόδοι

Ο Βραχμαγκούπτα συνεχίζει με το να δίνει το σύνολο των τετραγώνων και των κύβων των πρώτων ν ακεραίων.
12.20. Το σύνολο των τετραγώνων είναι το [σύνολο] πολλαπλασιασμένο με δύο [φορές] τον αριθμό των βημάτων αυξημένου με ένα [και] διαιρεμένου με τρία. Το σύνολο των κύβων είναι το τετράγωνο αυτού [του συνόλου]. Σωροί αυτών των ίδιων σφαιρών [μπορούν επίσης να υπολογιστούν].
Εδώ ο Βραχμαγκούπτα βρήκε το αποτέλεσμα σε σχέση με το σύνολο των πρώτων ν ακεραίων, αντί σε σχέση με το ν όπως στην σύγχρονη πρακτική.
Ορίζει το σύνολο των τετραγώνων των πρώτων ν φυσικών αριθμών ως ν(ν+1)(2ν+1)/6, και το σύνολο των κύβων των πρώτων ν φυσικών αριθμών ως (ν(ν+1)/2)².

Μηδέν

Η Βραχμασφουτασιντάντα του Βραχμαγκούπτα είναι το πρώτο βιβλίο το οποίο αναφέρεται στο μηδέν ως κανονικό αριθμό -με εξαίρεση τις αναφορές του Αριαμπάτα-, αντί για ένα σύμβολο ως αναπαράσταση ενός άλλου αριθμού όπως κάναν οι Βαβυλώνιοι, ή ως σύμβολο για την έλλειψη μιας ποσότητας όπως έκανε ο Κλαύδιος Πτολεμαίος και οι Ρωμαίοι, και ανεξάρτητα οι Ολμέκοι στην Προκολομβιανή Αμερική, οπότε ο Βραχμαγκούπτα θεωρείται ως ο πρώτος που μορφοποίησε πλήρως την έννοια του μηδενός. Καθόρισε κανόνες για την χρήση του μηδέν με αρνητικούς και θετικούς αριθμούς. Το μηδέν συν ένα θετικό αριθμό, είναι ο θετικός αριθμός, και το μηδέν συν ένας αρνητικός αριθμός, είναι ένας αρνητικός αριθμός. Στο κεφάλαιο 18 του βιβλίου, περιγράφει τις πράξεις πάνω στους αρνητικούς αριθμούς, περιγράφωντας πρώτα την πρόσθεση και αφαίρεση τους,
18.30. [Το σύνολο] δύο θετικών [αριθμών] είναι θετικός, των δύο αρνητικών αρνητικός, ενός θετικού και αρνητικού η διαφορά τους, αν είναι ίσοι τότε είναι μηδέν. Το σύνολο ενός αρνητικού και του μηδέν είναι αρνητικός, θετικού και μηδενός θετικός, των δύο μηδενικών μηδέν.
[...]

18.32. Ένας αρνητικός πλην το μηδέν είναι αρνητικός, ένας θετικός [πλην το μηδέν] θετικός, μηδέν πλην μηδέν είναι μηδέν. Όταν ένας θετικός αφαιρείτε από έναν αρνητικό ή ένας αρνητικός από ένα θετικό, τότε προστίθεται.
Συνεχίζει με τον πολλαπλασιασμό,
18.33. Το γινόμενο ενός αρνητικού και ενός θετικού είναι αρνητικός, δύο αρνητικών θετικός, και των θετικών θετικός, το γινόμενο του μηδέν και ενός αρνητικού, του μηδέν και ενός θετικού, ή δύο μηδενικών είναι μηδέν.
Αλλά η περιγραφή που δίνει στην διαίρεση με το μηδέν, διαφέρει από την σύγχρονη έννοια,
18.34. Ένας θετικός διαιρεμένος με ένα θετικό ή με ένα αρνητικό είναι θετικός, το μηδέν διαιρεμένο με το μηδέν είναι μηδέν, ένας θετικός διαιρεμένος με ένα αρνητικό είναι αρνητικός, ένας αρνητικός διαιρεμένος με ένα θετικό είναι [επίσης] αρνητικός.
 18.35. Ένας αρνητικός ή ένας θετικός διαιρεμένος με το μηδέν έχει [το μηδέν] σαν τον διαιρέτη του, ή το μηδέν διαιρεμένο με ένα αρνητικό ή ένα θετικό [έχει τον αρνητικό ή τον θετικό ως τον διαιρέτη του]. Το τετράγωνο ενός αρνητικού ή ενός θετικού είναι θετικός, [το τετράγωνο] του μηδενός είναι μηδέν. Αυτό του οποίου [το τετράγωνο] είναι το τετράγωνο είναι η τετραγωνική ρίζα [του].
Εδώ ο Βραχμαγκούπτα λέει πως , και όσο για την περίπτωση  όπου  δεν έδωσε εξηγήσεις. Οι κανόνες που παραθέτει για την αριθμητική των αρνητικών αριθμών και το μηδέν, είναι αρκετά κοντά στις σύγχρονες έννοιες, εκτός από την διαίρεση με το μηδέν όπου στα σύγχρονα μαθηματικά δεν ορίζεται.

Πυθαγόρειες τριάδες

Στο κεφάλαιο δώδεκα του βιβλίου του, ο Βραχμαγκούπτα δίνει ένα τρόπο για την παραγωγή Πυθαγόρειων τριάδων:
12.39. Το ύψος ενός βουνού πολλαπλασιασμένο με τον πολλαπλασιαστή είναι η απόσταση στη πόλη, δεν διαγράφεται. Όταν διαιρείται με τον πολλαπλασιαστή αυξημένου κατά δύο τότε είναι το άλμα του ενός που κάνει το ίδιο ταξίδι.
Ή, με άλλα λόγια, αν δ = μχ/(χ + 2), τότε ο ταξιδιώτης που κάνει ένα "άλμα" κάθετα προς τα πάνω σε μια απόσταση δ, από ένα βουνό ύψους μ, και κατόπιν ταξιδεύει σε μια ευθεία γραμμή προς την πόλη σε μια οριζόντια απόσταση μ * χ από την βάση του βουνού, τότε ταξιδεύει την ίδια απόσταση όπως κάποιος που κατεβαίνει κάθετα από το βουνό και κατόπιν ταξιδεύει πάνω στον οριζόντιο άξονα προς στην πόλη. Διατυπωμένο γεωμετρικά, λέει πως εάν ένα τρίγωνο με οξεία γωνία έχει μια βάση μήκους α = μ * χ, και το ύψος του έχει μήκος β = μ + δ, τότε το μήκος, γ, της υποτείνουσας του δίνεται από το γ = μ (1+χ) – δ. Και πράγματα, η στοιχειώδης αλγεβραϊκή επεξεργασία δείχνει πως α² + β² = γ² όπου η τιμή του δ είναι γνωστή, οπότε και καταλήγουμε στο Πυθαγόρειο θεώρημα, την πιό διάσημη διατύπωση των Πυθαγόρειων τριάδων. Επίσης, εάν τα μ και χ είναι ρητοί αριθμοί, αυτό σημαίνει πως το ίδιο είναι και οι δ, α, β and γ. Μια Πυθαγόρεια τριάδα επομένως μπορεί να βρεθεί από το α, β και πολλαπλασιάζοντας τον κάθε αριθμό με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των παρονομαστών του.

Γεωμετρία

Ο Βραχμαγκούπτα αφιέρωσε ένα σημαντικό μέρος της δουλειάς του στη γεωμετρία.

Το θεώρημα του Βραχμαγκούπτα

Ο Βραχμαγκούπτα συνεχίζει,
12.23. Η τετραγωνική ρίζα του συνόλου των δύο γινομένων των πλευρών και αντίθετων πλευρών ενός άνισου τετράπλευρου είναι η διαγώνιος. Το τετράγωνο της διαγώνιου μειώνεται με το τετράγωνο του μισού του συνόλου της βάσης και της κορυφής, η τετραγωνική ρίζα είναι τα κάθετα [ύψη].
Έτσι, σε ένα "μη ίσο" κυκλικό πολύεδρο -το οποίο είναι ισοσκελές τραπεζοειδές-, το μήκος της κάθε διαγωνίου είναι .
Συνεχίζει με εξισώσεις για τα μήκη και εμβαδά των γεωμετρικών σχημάτων, όπως την περιφέρεια και μήκος ενός ισοσκελές τραπεζοειδούς και ενός σκαληνού τετράπλευρου, και τα μήκη των διαγωνίων σε ένα κυκλικό τετράπλευρο,
12.30-31. Απεικονίζοντας δύο τρίγωνα μέσα σε ένα [κυκλικό τετράπλευρο] με άνισες πλευρές, οι δύο διαγώνιου είναι οι δύο βάσεις. Τα δύο τμήματα τους είναι ξεχωριστά το άνω και κάτω τμήμα [που σχηματίζονται] στην τομή των διαγωνίων. Τα δύο [κάτω τμήματα] των δύο διαγωνίων είναι δύο πλευρές σε ένα τρίγωνο, η βάση [του τετράπλευρου είναι η βάση του τριγώνου]. Ο κάθετος του είναι το χαμηλότερο κομμάτι της [κεντρικής] καθέτου, το άνω τμήμα της [κεντρικής] καθέτου είναι το μισό του συνόλου των [πλευρών των] καθέτων μειωμένων κατά το χαμηλότερο [μέρος της κεντρικής καθέτου].

Αριθμός π

Στον στίχο 40, δίνει την εκτίμηση του αριθμού π,
12.40. Η διάμετρος και το τετράγωνο της ακτίνας πολλαπλασιάζονται [και τα δύο] με το τρία είναι [αντίστοιχα] η πρακτική περιφέρεια και το εμβαδό [ενός κύκλου]. Οι ακριβείς [τιμές] είναι οι τετραγωνικές ρίζες των τετραγώνων αυτών των δύο πολλαπλασιαζόμενων με δέκα.
Έτσι ο Βραχμαγκούπτα χρησιμοποιεί το 3 ως μια 'πρακτική' τιμή για το π, και  (3.16...) ως μια 'ακριβής' τιμή του π.

Μετρήσεις και κατασκευές

Σε μερικούς από τους στίχους πριν τον 40, ο Βραχμαγκούπτα περιγράφει κατασκευές διάφορων σχημάτων με ποικίλες πλευρές. Ουσιαστικα επεξεργάστηκε τα τρίγωνα με οξείες γωνίες για να παράγει ισοσκελή τρίγωνα, σκαληνά τρίγωνα, ορθογώνια, ισοσκελή τραπεζοειδή, ισοσκελή τραπεζοειδή με τρείς ίσες πλευρές, και ένα σκαληνό κυκλικό τραπεζοειδές.
Μετά την εκτίμηση της τιμής του π, ασχολήθηκε με την γεωμετρία των πλάνων και στερεών, όπως με την εύρεση της χωρητικότητας και του εμβαδού επιφανείας (ή τα κενά μέρη που εξάγωνται από τα στερεά). Βρήκε την χωρητικότητα των ορθογώνιων πρισμάτων, πυραμίδων, και τον κόλουρο κώνο μια τετράγωνης πυραμίδας. Επιπλέον βρήκε το μέσο βάθος μιας σειράς από χάσματα. Για την χωρητικότητα του κόλουρου κώνου της πυραμίδας, δίνει την 'πραγματική' τιμή ως το βάθος επί το τετράγωνο των μέσων τιμών των κορυφών της άνω και κάτω επιφάνειας, και την 'επιφανεική' το βάθος επί την μέση τιμή τους.

Πίνακας ημιτόνων

Στο κεφάλαιο 2 της Βραχμασφουτασιντάντα, με τον τίτλο Πλανητικά Πραγματικά Γεωγραφικά Μήκη, ο Βραγμαγκούπτα παρουσιάζει ένα πίνακα ημιτόνων:
2.2-5. Τα ημίτονα: Πρόγονοι, δίδυμοι, Μεγάλη Άρκτος, οι Βέδες, οι θεοί, φωτιές, έξι, γεύσεις, ζάρια, οι θεοί, η σελήνη, πέντε, ο ουρανός, η σελήνη, η σελήνη, βέλη, ήλιοι [...]
Εδώ ο Βραχμαγκούπτα χρησιμοποιεί ονόματα αντικειμένων τα οποία αντιπροσωπεύουν τα ψηφία των οποίων η αριθμητική τιμή εξαρτάται από τη θέση τους μέσα στο νούμερο, όπως ήταν κοινό να χρησιμοποιούνται ονομασίες αντικειμένων στις Σανσκριτικές πραγματείες. Οι Πρόγονοι αντιπροσοπεύουν το 14 σύμφωνα με την Ινδική κοσμολογία, οι δίδυμοι το 2, η Μεγάλη Άρκτος το 7 ως τα 7 αστέρια του αντίστοιχου αστερισμού, οι Βέδες το 4 για το σύνολο των Βεδών, τα ζάρια το 6 ως το σύνολο των πλευρών ενός ζαριού, και η αρίθμηση των υπόλοιπων αντικειμένων ακολουθεί παρόμοια λογική. Η παραπάνω παράθεση μεταφράζεται σε ένα κατάλογο ημιτόνων, 214, 427, 638, 846, 1051, 1251, 1446, 1635, 1817, 1991, 2156, 2312, 1459, 2594, 2719, 2832, 2933, 3021, 3096, 3159, 3207, 3242, 3263, and 3270, με την ακτίνα να είναι 3270.