Ποσοστό

Στα μαθηματικά, το ποσοστό είναι ένας αριθμός ή ένας λόγος εκφρασμένος σε ένα κλάσμα με παρανομαστή το 100. Συχνά συμβολίζεται χρησιμοποιώντας το σύμβολο τοις εκατό "%" η με την συντομογραφία "pct.", Πολλές φορές χρησιμοποιείται και η συντομογραφία "pc" αντί για το "pct.". Το ποσοστό είναι ένας αδιάστατος αριθμός (καθαρός αριθμός).

Παραδείγματα

Για παράδειγμα, το 45% (διαβάζεται ως σαράντα πέντε τοις εκατό) είναι ίσο με το 45/100 ή με το 0,45. Τα ποσοστά που δεν είναι λόγος εκφράζονται ως την σχέση ενός τμήματος από το σύνολο. Για παράδειγμα, εάν το σύνολο είναι ο συνολικός αριθμός των μαθητών από μια τάξη, όταν το 50% των μαθητών στην τάξη είναι άνδρες τότε αυτό σημαίνει ότι 50 από τους 100 μαθητές είναι άνδρες.Αν υπήρχαν 1000 μαθητές τότε από αυτούς οι 500 θα ήταν άνδρες. Ένα αντίστοιχο σύστημα το οποίο εκφράζει έναν αριθμό ως κλάσμα με παρανομαστή το 1000 ονομάζεται "τοις χιλίοις". Τα ποσοστά χρησιμοποιούνται ως δείκτες για να εκφράσουν πόσο μεγάλη ή μικρή είναι μια ποσότητα σε σχέση με μία άλλη. Η πρώτη ποσότητα συνήθως αντιπροσωπεύει ένα μέρος της δεύτερης ποσότητας. Για παράδειγμα, μια αύξηση κατά $0,15 στην τιμή των $2,50 είναι μια αύξηση κατά 0,15/2,50=0,06 της τιμής. Εκφρασμένο σε ποσοστά, η αύξηση αυτή είναι μια αύξηση της τιμής κατά 6%. Ενώ οι ποσοστιαίες τιμές πολλές φορές περιορίζονται ώστε να βρίσκονται μεταξύ του 0 και του 100, δεν υπάρχει κανένας μαθηματικός περιορισμός και τα ποσοστά μπορούν να λάβουν και άλλες τιμές. Για παράδειγμα συχνά αναφέρονται σε τιμές 111% ή -35% ειδικά όταν θέλουμε να δείξουμε αλλαγές ποσοστού ή συγκρίσεις.

Ιστορία

Στην Αρχαία Ρώμη, πολύ πριν την ύπαρξη του δεκαδικού συστήματος,οι υπολογισμοί γινόντουσαν συχνά με κλάσματα τα οποία είναι πολλαπλάσια του 1/100.Για παράδειγμα, ο Αύγουστος εισέπραττε φόρο 1/100 για αγαθά που πωλούνταν σε δημοπρασία γνωστή ως 'centesima rerum venalium'.Ο υπολογισμός με αυτά τα κλάσματα ήταν παρόμοιος με τον υπολογισμό με ποσοστά. Όταν η ονομαστική αξία του χρήματος αυξήθηκε κατά το Μεσαίωνα, οι υπολογισμοί με παρονομαστή το 100 έγιναν πιο τακτικοί και από τα τέλη του 15ου αιώνα μέχρι τις αρχές του 16ου αιώνα έγινε συχνό φαινόμενο για αριθμητικά κείμενα να συμπεριλάβουν τέτοιου είδους υπολογισμούς. Σε πολλά από αυτά τα κείμενα εφάρμοζαν αυτές τις μεθόδους για το κέρδος και την απώλεια, τα επιτόκια, και τοv κανόνα των τριών. Μέχρι το 17ο αιώνα ήταν συνηθισμένο να παραθέτονται τα επιτόκια σε εκατοστά.

Σύμβολο τοις εκατό

Ο όρος "τοις εκατό" προέρχεται από την ελληνικήν τοις εκατόν, που σημαίνει "από το εκατό".Το σύμβολο για το "τοις εκατό" εξελίχθηκε από τη σταδιακή συρρίκνωση του ιταλικού όρου 'per cento' , που σημαίνει «για εκατό".Το  "per"  ήταν συχνά συντομογραφία του "p."  και τελικά εξαφανίστηκε εντελώς. Το "cento" συμβολίστηκε από δύο κύκλους που χωρίζονται από μια οριζόντια γραμμή, από το οποίο προέρχεται το σύγχρονο σύμβολο "%".

Υπολογισμοί

Η επί τοις εκατό τιμή υπολογίζεται πολλαπλασιάζοντας την αριθμητική τιμή του λόγου με το 100. Για παράδειγμα, για να βρούμε τα 50 μήλα ως ποσοστό του 1250 μήλα, πρώτα υπολογίζουμε την αναλογία 50/1250 = 0,04, και στη συνέχεια πολλαπλασιάζονται με 100 για να ληφθεί 4%.Η επί τοις εκατό τιμή μπορεί επίσης να βρεθεί με πολλαπλασιασμό πρώτα, έτσι σε αυτό το παράδειγμα το 50 θα πολλαπλασιάζεται επί 100 για να δώσει 5,000, και αυτό το αποτέλεσμα θα διαιρεθεί με 1250 για να δώσει 4%.Για να υπολογιστεί ένα ποσοστό επί τοις εκατό, πρέπει να μετατραπούν τα δύο ποσοστά σε κλάσματα των 100, ή σε δεκαδικά ψηφία, και να πολλαπλασιαστούν. Για παράδειγμα, το 50% των 40% είναι:
50/100 × 40/100 = 0,50 × 0,40 = 0,20 = 20/100 = 20%.
Δεν είναι σωστό να διαιρέθει ένας αριθμός με το 100 και να χρησιμοποιήθει το σύμβολο τοις εκατό κατά την ίδια στιγμή. (Π.χ. 25% = 25/100 = 0,25, όχι 25% /100, το οποίο στην πραγματικότητα είναι 25/100/100= 0,0025. Ένας όρος όπως το 100/100% θα μπορούσε επίσης να είναι σφάλμα, αυτό θα μπορούσε να διαβαστεί ως 1 τοις εκατό, ακόμη και αν η πρόθεση ήταν να πω 100%.)
Κάθε φορά που μιλάμε για ένα ποσοστό, είναι σημαντικό να καθοριστεί με τι συσχετίζεται , δηλαδή ποιο είναι το σύνολο που αντιστοιχεί στο 100%. Το παρακάτω πρόβλημα απεικονίζει το σημείο αυτό.
Σε ένα συγκεκριμένο κολέγιο το 60% του συνόλου των φοιτητών είναι γυναίκες και το 10% του συνόλου των φοιτητών ασχολούνται με την επιστήμη των υπολογιστών σε μεγάλες εταιρείες. Αν το 5% των φοιτητριών ασχολούνται με την επιστήμη των υπολογιστών σε μεγάλες εταιρείες, ποιο είναι το ποσοστό από αυτούς που ασχολούνται με την επιστήμη των υπολογιστών σε μεγάλες εταιρείες να είναι γυναίκες;
Ζητείται δηλαδή να υπολογιστεί η αναλογία των γυναικών που ασχολούνται με την επιστήμη των υπολογιστών σε μεγάλες εταιρείες προς όλους που ασχολούνται με την επιστήμη των υπολογιστών σε μεγάλες εταιρείες . Γνωρίζουμε ότι το 60% του συνόλου των φοιτητών είναι γυναίκες, και μεταξύ αυτών το 5% είναι φοιτήτριες που ασχολούνται με την επιστήμη των υπολογιστών σε μεγάλες εταιρείες, έτσι καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι 60/100 × 5 /100 = 3/100 ή 3% του συνόλου των φοιτητών είναι γυναίκες που ασχολούνται με την επιστήμη των υπολογιστών σε μεγάλες εταιρείες. Διαιρώντας αυτό από το 10% που είναι το συνόλου των φοιτητών που ασχολούνται με την επιστήμη των υπολογιστών σε μεγάλες εταιρείες, φτάνουμε στην απάντηση: 3% /10% = 30 εκατοστά ή 30% του συνόλου που ασχολούνται με την επιστήμη των υπολογιστών σε μεγάλες εταιρείες είναι γυναίκες.
Αυτό το παράδειγμα είναι στενά συνδεδεμένο με την έννοια της δεσμευμένης πιθανότητας.

Ποσοστό αύξησης και μείωσης

Μερικές φορές λόγω ασυνεπής χρήσης, δεν είναι πάντοτε σαφές από τα συμφραζόμενα με τι βρίσκετε σε σχέση το ποσοστό. Όταν μιλάμε για μια «10% αύξηση» ή «10% πτώση» σε μια ποσότητα, η συνήθης ερμηνεία είναι ότι αυτό είναι σε σχέση με την αρχική τιμή της εν λόγω ποσότητας. Για παράδειγμα, αν ένα αντικείμενο είναι αρχικά στην τιμή των $ 200 και η τιμή αυξηθεί κατά 10% (αύξηση κατά $ 20), η νέα τιμή θα είναι $ 220. Να σημειωθεί ότι αυτή η τελική τιμή είναι 110% της αρχικής τιμής (100% + 10% = 110%).
Κάποια άλλα παραδείγματα με μεταβολές στα ποσοστά:
Μια αύξηση κατά 100% σε ποσότητα σημαίνει ότι το τελικό ποσό είναι 200% της αρχικής ποσότητας (100% του αρχικού + 100% αύξησης = 200% του αρχικού) με άλλα λόγια, η ποσότητα έχει διπλασιαστεί.
Μια αύξηση του 800% σημαίνει ότι το τελικό ποσό είναι 9 φορές το αρχικό (100% + 800% = 900% = 9 φορές μεγαλύτερο).
Μια μείωση 60% σημαίνει ότι το τελικό ποσό είναι 40% του αρχικού (100% - 60% = 40%).
Μια μείωση της τάξης του 100% σημαίνει ότι το τελικό ποσό είναι μηδέν (100% - 100% = 0%).
Σε γενικές γραμμές, μια μεταβολή x τοις εκατό σε μία ποσότητα καταλήγει σε μια τελική ποσότητα η οποία είναι 100 + χ τοις εκατό του αρχικού ποσού (ισοδύναμα, 1 + 0.01x φορές το αρχικό ποσό).

Συνθέτοντας ποσοστά

Είναι σημαντικό να γίνει κατανοητό ότι οι μεταβολές τοις εκατό, όπως έχουν συζητηθεί εδώ, δεν προσθέτονται με τον συνήθη τρόπο, μόνο εάν εφαρμόζονται διαδοχικά. Για παράδειγμα, αν η αύξηση 10% στην τιμή θεωρείται νωρίτερα (στο αντικείμενο $ 200, αυξάνοντας την τιμή του στα $ 220) και ακολουθεί μια μείωση 10% στην τιμή (μείωση των $ 22), η τελική τιμή θα είναι $ 198, δεν είναι η αρχική τιμή των $ 200. Ο λόγος για την εμφανή διαφορά είναι ότι οι δύο τοις εκατό αλλαγές (+ 10% και -10%) υπολογίζονται σε διαφορετικές ποσότητες ($ 200 και $ 220, αντίστοιχα), και για αυτό δεν «ακυρώνονται».
Γενικά, εάν μία αύξηση x τοις εκατό ακολουθείται από μια μείωση της τάξης του x τοις εκατό, και το αρχικό ποσό ήταν ρ, το τελικό ποσό είναι p (1 + 0.01x) (1 - 0.01x) = p (1 - (0.01x ) ^2) Έτσι, η καθαρή μεταβολή είναι μια συνολική μείωση κατά x τοις εκατό του x τοις εκατό (το τετράγωνο της αρχικής μεταβολής τοις εκατό, όταν εκφράζεται ως δεκαδικός αριθμός). Έτσι, στο ανωτέρω παράδειγμα, μετά από μια αύξηση και μείωση κατά x = 10 τοις εκατό, το τελικό ποσό, $ 198, ήταν το 10% του 10%, ή 1%, λιγότερο από το αρχικό ποσό των $ 200. Η καθαρή μεταβολή είναι η ίδια όταν έχουμε μείωση του ποσοστού x που ακολουθείται από μια αύξηση κατά x τοις εκατό και το τελικό ποσό είναι p (1 + 0.01x) (1 - 0.01x) = p (1 - (0.01x) ^2).
Αυτό μπορεί να επεκταθεί σε μια περίπτωση όπου δεν έχουν την ίδια ποσοστιαία μεταβολή. Εάν η αρχική μεταβολή τοις εκατό είναι το x και το δεύτερη ποσοστιαία μεταβολή είναι y, και το αρχικό ποσό ήταν p, τότε το τελικό ποσό είναι p (1 + 0.01x) (1 + 0.01y). Για να αλλάξουμε το παραπάνω παράδειγμα, μετά από μια αύξηση του x = 10 τοις εκατό και μείωση y = -5 τοις εκατό, το τελικό ποσό, $ 209, είναι 4,5% περισσότερο από το αρχικό ποσό των $ 200.
Όπως φαίνεται από τα παραπάνω, τοις εκατό μεταβολές μπορούν να εφαρμοστούν με οποιαδήποτε σειρά και να έχουν το ίδιο αποτέλεσμα.
Στην περίπτωση των επιτοκίων, ένα πολύ σύνηθες , αλλά μαθηματικά λάθος, τρόπος για να δηλώθει ότι το επιτόκιο αυξήθηκε για παράδειγμα από 10% σε 15% είναι να πούμε ότι το επιτόκιο αυξήθηκε κατά 5 τοις εκατό, όταν στην πραγματικότητα αυτό που εννοείται είναι ότι το επιτόκιο αυξήθηκε κατά 5 ποσοστιαίες μονάδες (π.μ.). Ως αποτέλεσμα, οι άνθρωποι συχνά δεν καταλαβαίνουν μέχρι να είναι αργά τη συγκλονιστική αλήθεια ότι οι μηνιαίες πληρωμές τους σε ένα δάνειο θα αυξηθούν κατά 20 τοις εκατό, όταν οι τράπεζες ή οι δημοσιογράφοι (λανθασμένα) μιλάνε για μια αύξηση 2%, που σημαίνει στην πραγματικότητα μια αύξηση από 10% σε 12%. Η ίδια σύγχυση μεταξύ των διαφόρων εννοιών του ποσοστού και στις ποσοστιαίες μονάδες προκαλεί μεγάλες παρεξηγήσεις για παράδειγμα, όταν οι δημοσιογράφοι τακτικά αναφέρουν εσφαλμένα σχετικά με τα αποτελέσματα των εκλογών. Ένα ακόμα παράδειγμα με τα ομόλογα, είναι σύνηθες να αναφέρεται σε αύξηση μιας ποσοστιαίας μονάδας ως αύξηση κατά 100 αρχικές μονάδες.

Λέξη και Σύμβολο

Στα βρετανικά αγγλικά, μερικές φορές το τοις εκατό γράφεται ως δύο λέξεις (per cent, αν και το ποσοστό και το εκατοστημόριο γράφονται ως μία λέξη) . Στα αμερικανικά αγγλικά, percent είναι η πιο συχνή παραλλαγή  (αλλά το per mille γράφεται ως δύο λέξεις).
Στις αρχές του εικοστού αιώνα, υπήρξε μια ακόμα διακεκομμένη μορφή συντομογραφίας του "τοις εκατό", εκτός από την συνηθισμένη μορφή "τοις εκατό". Η μορφή «τοις εκατό" χρησιμοποιείτε ακόμα ως μέρος μιας εξαιρετικά επίσημης γλώσσας που βρέθηκε σε ορισμένα έγγραφα, όπως συμφωνίες εμπορικού δανείου (ιδιαίτερα σε εκείνες που υπόκεινται, ή εμπνέονται από το κοινό δίκαιο), όπως και στα αντίγραφα Hansard της βρετανικής κοινοβουλευτικής διαδικασίας. Ο όρος έχει αποδοθεί στη Λατινική τοις εκατόν . Η διαδικασία να λαμβάνουμε υπόψη τις τιμές ως τμήματα του εκατό χρησιμοποιήθηκε αρχικά στην Ελλάδα. Το σύμβολο του τοις εκατό (%) εξελίχθηκε από ένα σύμβολο που ήταν η συντομογραφία του 'per cento' στα ιταλικά. Σε ορισμένες άλλες γλώσσες, χρησιμοποιείται η μορφή 'procent' ή 'prosent' αντ 'αυτού. Ορισμένες γλώσσες χρησιμοποιούν είτε σύμβολα που δηλώνουν το τοις εκατό είτε εκφράσεις σε φυσική γλωσσά που έχουν το ίδιο νόημα, π.χ. στην Ρουμανική διάλεκτο το 10% μπορεί να διαβάσει ή να γραφτεί μερικές φορές είτε δέκα για κάθε εκατό, όπως και στην αγγλική. Άλλες συντομεύσεις είναι σπανιότερες, αλλά μερικές φορές τις συναντάμε.
Στην γραμματική και στον τρόπο γραφής στα κείμενα συχνά διαφέρει το πώς πρέπει να γραφτούν τα ποσοστά. Για παράδειγμα, είναι σύνηθες να προτείνεται η λέξη ποσοστό (ή τοις εκατό) να διατυπώνεται σε όλα τα κείμενα, όπως στο "1 τοις εκατό» και όχι «1%». Άλλοι οδηγοί γραμματικής προτιμούν τη λέξη για να γράφεται στα ανθρωπιστικά κείμενα και το σύμβολο να χρησιμοποιούνται σε επιστημονικά κείμενα. Οι περισσότεροι οδηγοί γραμματικής συμφωνούν ότι πάντα πρέπει να συνοδεύεται με έναν αριθμό, όπως στο "5 τοις εκατό" και όχι "πέντε τοις εκατό", η μόνη εξαίρεση να είναι όταν είναι στην αρχή μιας πρότασης: " Δέκα τοις εκατό όλων των συγγραφέων αγαπούν τον τρόπο γραφής στα κείμενα" επίσης να χρησιμοποιούνται δεκαδικά αντί του κλάσματος, παραδείγματος "3,5 τοις εκατό του κέρδους» και όχι «3/2 τοις εκατό του κέρδους». Είναι επίσης ευρέως αποδεκτό να χρησιμοποιείται το σύμβολο τοις εκατό (%) σε μορφή πίνακα και σε γραφικό υλικό.
Όπως συνηθίζεται να κάνουν οι Άγγλοι , στον τρόπο γραφής, όπως στο εγχειρίδιο του Σικάγου, δηλώνουν ότι ο αριθμός και το σύμβολο τοις εκατό είναι γραμμένα χωρίς κενό μεταξύ τους. Ωστόσο, το Διεθνές Σύστημα Μονάδων και το  ISO 31-0 πρότυπο απαιτεί ένα χώρο.