Θεωρία δακτυλίων

Ιστορία

Η θεωρία αντιμεταθετικών δακτυλίων γεννήθηκε στην αλγεβρική θεωρία αριθμών, την αλγεβρική γεωμετρία και τη θεωρία των αναλλοίωτων . Κύριας σημασίας στην ανάπτυξη αυτών των αντικειμένων ήταν οι δακτύλιοι ακεραίων σε αριθμητικά πεδία,πεδία αλγεβρικών συναρτήσεων και οι δακτύλιοι πολυωνύμων με δύο ή παραπάνω μεταβλητές. Η θεωρία των μη αντιμεταθετικών δακτυλίων ξεκίνησε με προσπάθειες να επεκταθούν οι μιγαδικοί αριθμοί σε πολλαπλά υπερμιγαδικά συστήματα αριθμών. Η γέννηση των θεωριών των αντιμεταθετικών και μη αντιμεταθετικών δακτυλίων χρονολογείται στις αρχές του 19ου αιώνα ενώ η ωρίμανση τους στην τρίτη δεκαετία του 20ου αιώνα. 
Ακριβέστερα, ο William Rowan Hamilton παρουσίασε τα quaternions (τετραδόνια) και τα biquaternions, ο James Cockle τα tessarines και τα coquaternions και ο William Kingdon Clifford ασχολήθηκε με split-biquaternions, τα οποία ονόμασε αλγεβρικούς κινητήρες. Αυτές οι μη αντιμεταθετικές άλγεβρες, και οι μη προσεταιριστικές άλγεβρες Lie, μελετήθηκαν ως μέρος της γενικής άλγεβρας προτού το αντικείμενο διαχωριστεί σε συγκεκριμένες μαθηματικές δομές. Ένα δείγμα αναδιοργάνωσης ήταν η χρήση του ευθύ αθροίσματος για την περιγραφή αλγεβρικών δομών.
Οι πολλαπλοί υπερμιγαδικοί αριθμοί αναγνωρίσθηκαν με δακτύλιους πίνακες από τους Joseph Wedderburn (1908) και Emil Artin (1928). Τα θεωρήματα δομής του Wedderburn σχηματίστηκαν για την περιγραφή αλγέβρων πεπερασμένης διάστασης πάνω από πεδίο ενώ ο Artin τα γενίκευσε σε δακτυλίους Artin.
To 1920, η Emmy Noether, σε συνεργασία με τον W. Schmeidler, δημοσίευσε μία εργασία πάνω στη θεωρία ιδεωδών στην οποία όρισαν τα αριστερά και δεξιά ιδεώδη σε ένα δακτύλιο. Τον επόμενο χρόνο δημοσίευσε μία εργασία ορόσημο με το «Idealtheorie in Ringbereichen», στην οποία ανέλυε προϋποθέσεις για αύξουσες αλυσίδες σε σχέση με (μαθηματικά ιδεώδη). Ο διακεκριμένος μαθηματικός και ειδικός στην άλγεβρα Irving Kaplansky χαρακτήρισε την εργασία «επαναστατική» [1]. Η δημοσίευσή της καθιέρωσε τον όρο « Δακτύλιος Noether» και πολλούς άλλους μαθηματικούς όρους που φέρουν το όνομα Noether.[1][2][3]   

Αντιμεταθετικοί δακτύλιοι

Ένας δακτύλιος καλείται αντιμεταθετικός αν και μόνον αν ο πολλαπλασιασμός του είναι αντιμεταθετικός. Οι αντιμεταθετικοί δακτύλιοι αναπαριστούν οικεία συστήματα αριθμών και πολλοί ορισμοί των αντιμεταθετικών δακτυλίων έχουν γραφεί για την διατύπωση των ιδιοτήτων των ακεραίων. Οι αντιμεταθετικοί δακτύλιοι είναι επίσης σημαντικοί στην αλγεβρική γεωμετρία. Στη θεωρία των αντιμεταθετικών δακτυλίων οι αριθμοί συχνά αντικαθιστώνται από ιδεώδη και τον ορισμό των πρώτων ιδεωδών που αναπαριστούν τους πρώτους αριθμούς. Οι ακέραιες περιοχές, απλοί αντιμεταθετικοί δακτύλιοι όπου δύο μη μηδενικά στοιχεία δεν έχουν ποτέ γινόμενο μηδέν γενικεύουν μία άλλη ιδιότητα των ακεραίων και αποτελούν κατάλληλο πεδίο για την μελέτη της. Οι δακτύλιοι κυρίων ιδεωδών είναι ακέραιες περιοχές στις οποίες κάθε ιδεώδες παράγεται από ένα στοιχείο, που αποτελεί επίσης ιδιότητα των ακεραίων. Οι Ευκλείδειες περιοχές είναι ακέραιες περιοχές στις οποίες μπορεί να εφαρμοστεί ο αλγόριθμος του Ευκλείδη. Σημαντικά παραδείγματα των αντιμεταθετικών δακτυλίων από δακτύλιους πολυωνύμων και τους αντίστοιχους δακτύλιους πηλίκο. Συνοπτικά: Ευκλείδεια περιοχή => Δακτύλιος κυρίων ιδεωδών => μοναδική παραγοντοποίηση =>ακέραια περιοχή => αντιμεταθετικός δακτύλιος. 

Αλγεβρική γεωμετρία

Η αλγεβρική γεωμετρία είναι κατά πολλούς τρόπους η κατοπτρική εικόνα της αντιμεταθετικής άλγεβρας. Ένα σχήμα κατασκευάζεται κατά μία έννοια από δακτυλίους. Ο Alexander Grothendieck έδωσε καθοριστικούς ορισμούς για τα αντικείμενα της αλγεβρικής γεωμετρίας. Όρισε το φάσμα ενός αντιμεταθετικού δακτυλίου ως το χώρο των κυρίων ιδεωδών με τοπολογία Zariski, αλλά πρόσθεσε δεμάτια δακτυλίων: σε κάθε ανοικτό κατά Zariski σύνολο αντιστοιχεί ένας αντιμεταθετικός δακτύλιος, με τη μορφή δακτυλίου « πολυωνυμικών συναρτήσεων» ορισμένες πάνω στο σύνολο. Αυτά τα αντικείμενα είναι τα «Αφινικά σχήματα»,. Κατά συνέπεια κατασκευάζεται ένα γενικό σχήμα με την συνένωση διάφορων αφινικών σχημάτων, σε αναλογία με το γεγονός ότι η συνένωση αφινικών πολλαπλοτήτων οδηγεί σε γενικές πολλαπλότητες. 

Μη αντιμεταθετικοί δακτύλιοι

Οι μη αντιμεταθετικοί δακτύλιοι μοιάζουν με δακτυλίους πινάκων κατά πολλούς τρόπους. Παρόμοια με το μοντέλο της αλγεβρικής γεωμετρίας, έγιναν προσπάθειες πρόσφατα να οριστεί η μη αντιμεταθετική γεωμετρία με βάση τους μη αντιμεταθετικούς δακτυλίους. Οι μη αντιμεταθετικοί δακτύλιοι και οι προσεταιριστικές άλγεβρες (δακτύλιοι που είναι και διανυσματικοί χώροι) μελετούνται συχνά μέσω των κατηγοριών των modules τους. Ένα module πάνω από δακτύλιο είναι μία Αβελιανή ομάδα πάνω στην οποία ο δακτύλιος λειτουργεί ως δακτύλιος ενδομορφισμών, παρόμοια με τον τρόπο που τα πεδία (ή σώματα) (ακέραιες περιοχές στις οποίες κάθε μη μηδενικό στοιχείο έχει αντίστροφο) λειτουργούν πάνω από διανυσματικούς χώρους. Παραδείγματα μη αντιμεταθετικών δακτυλίων δίνονται από δακτυλίους τετραγωνικών πινάκων ή πιο γενικά από δακτυλίους ενδομορφισμών Αβελιανών ομάδων ή modules και από δακτυλίους μονοειδών.

Θεωρία Αναπαραστάσεων

Η θεωρία αναπαραστάσεων είναι ένα κλάδος των μαθηματικών που βασίζεται σε μεγάλο βαθμό στους μη αντιμεταθετικούς δακτυλίους. Μελετά αφηρημένες αλγεβρικές δομές αναπαριστώντας τα στοιχεία τους ως γραμμικούς μετασχηματισμούς διανυσματικών χώρων και μελετά modules πάνω από αυτές τις αφηρημένες αλγεβρικές δομές. Στην ουσία, η αναπαράσταση κάνει ένα αφηρημένο αντικείμενο σαφέστερο περιγράφοντας τα στοιχεία του με πίνακες και τις αλγεβρικές πράξεις πρόσθεση πινάκων και πολλαπλασιασμός πινάκων, που δεν είναι αντιμεταθετικός . Τα αλγεβρικά αντικείμενα που υπόκεινται σε τέτοια περιγραφή περιλαμβάνουν ομάδες, προσεταιριστικές άλγεβρες και άλγεβρες Lie. Το κυριότερο από αυτά ( και ιστορικά πρώτο) είναι η θεωρία αναπαραστάσεων των ομάδων, στην οποία τα στοιχεί της ομάδας αναπαρίστανται από αντιστρέψιμους πίνακες έτσι ώστε η πράξη της ομάδας να αντιστοιχίζεται στον πολλαπλασιασμό πινάκων.

Ισοδυναμία Morita

Δύο δακτύλιοι R,S θεωρούνται ισοδύναμοι κατά Morita αν και μόνο αν η κατηγορία των αριστερών modules πάνω από τον R είναι ισοδύναμη με την κατηγορία των αριστερών modules πάνω από τον S. Στην πραγματικότητα, δύο δακτύλιοι που είναι ισοδύναμοι κατά Morita πρέπει να είναι ισόμορφοι και άρα η έννοια δεν προσθέτει κάτι καινούργιο στην κατηγορία των αντιμεταθετικών δακτυλίων. Παρ' όλα αυτά, οι αντιμεταθετικοί δακτύλιοι μπορεί να είναι ισοδύναμοι κατά Morita με μη ανιμεταθετικούς δακτυλίους, οπότε η ισοδυναμία Morita είναι ευρύτερη από την ισομορφία. Η ισοδυναμία Morita είναι ιδιαίτερα σημαντική στην αλγεβρική τοπολογία και την συναρτησιακή ανάλυση. 

Πεπερασμένα παραγόμενα προβολικά modules επί δακτύλιο και ομάδα Picard

Έστω R ένας αντιμεταθετικός δακτύλιος και  το σύνολο των κλάσεων ισομορφισμών των πεπερασμένα παραγόμενων προβολικών modules πάνω από το R. Έστω επίσης,  υποσύνολα που αποτελούνται από αυτά με σταθερή βαθμίδα n. (Η βαθμίδα ενός module M είναι η συνεχής συνάρτηση.)  συμβολίζεται συχνά με by Pic(R). Είναι μία Αβελιανή ομάδα που καλείται ομάδα Picard του R.[7] Αν R είναι ακέραια περιοχή με το πεδίο κλασμάτων F του R, τότε υπάρχει μοναδική ακολουθία ομάδων:[8]
όπου  ) είναι το σύνολο ων κλασματικών ιδεωδών του R. Αν R κανονική περιοχή (δηλ. , κανονικό για κάθε πρώτο ιδεώδες), τότε Pic(R) είναι ακριβώς η ομάδα διαιρέτης του R.
Για παράδειγμα, αν R είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών, τότε η Pic(R) εξαφανίζεται. Στην αλγεβρική θεωρία αριθμών, ο R θεωρείται ότι είναι ο δακτύλιος των ακεραίων ο οποίος είναι Dedekind και γι’ αυτό κανονικός. Άρα Pic(R) είναι πεπερασμένη ομάδα (πεπερασμένoς αριθμός κλάσεων) που μετρά την απόκλιση του δακτυλίου των ακεραίων από το να είναι PID.
Επίσης μπορεί να θεωρηθεί η πλήρωση ομάδας του  . Αυτό οδηγεί στον αντιμεταθετικό δακτύλιο K₀(R). Να σημειωθεί ότι K₀(R) = K₀(S) για δύο δακτυλίους R, S που είναι ισοδύναμοι κατά Morita.

Δομή των μη αντιμεταθετικών δακτυλίων

Η δομή ενός μη αντιμεταθετικού δακτυλίου είναι πολυπλοκότερη από αυτή ενός αντιμεταθετικού δακτυλίου. Για παράδειγμα, υπάρχουν απλοί δακτύλιοι, που περιέχουν απλά γνήσια (με δύο πλευρές) ιδεώδη, που περιέχουν απλά γνήσια αριστερά ή δεξιά ιδεώδη. Υπάρχουν πολλές αναλλοίωτες για αντιμεταθετικούς δακτυλίους, ενώ είναι δύσκολο να βρεθούν για μη αντιμεταθετικούς. Για παράδειγμα, το μηδενικό ριζικό ενός δακτυλίου, το σύνολο όλων των μηδενοδύναμων στοιχείων, μπορεί να μην είναι ιδεώδες, εκτός και αν ο δακτύλιος είναι αντιμεταθετικός. Συγκεκριμένα, το σύνολο όλων των μηδενοδύναμων στοιχείων του δακτυλίου όλων των n x n πινάκων πάνω από ένα δακτύλιο διαίρεσης, δεν δημιουργεί ποτέ ιδεώδες, ανεξαρτήτως από το δακτύλιο διαίρεσης που επιλέγεται. Υπάρχουν όμως ανάλογα του μηδενικού ριζικού, ορισμένα για μη αντιμεταθετικούς δακτυλίους, που συμπίπτουν με το μηδενικό ριζικό όταν υποτεθεί αντιμεταθετικότητα.
Η ιδέα του ριζικού Jacobson ενός δακτυλίου, δηλαδή η τομή όλων των δεξιών/αριστερών εκμηδενιστών απλών δεξιών/αριστερών modules, είναι ένα τέτοιο παράδειγμα. Το γεγονός ότι το ριζικό Jacobson radical μπορεί να θεωρηθεί ως τομή όλων των μεγίστων δεξιών/αριστερών ιδεωδών στο δακτύλιο, δείχνει πως η εσωτερική δομή του δακτυλίου φαίνεται πάνω στα modules του. Είναι επίσης γεγονός ότι η τομή όλων των μεγίστων δεξιών ιδεωδών στο δακτύλιο είναι ίδια με την τομή όλων των μεγίστων αριστερών ιδεωδών στο δακτύλιο, για όλους τους δακτυλίους, αντιμεταθετικούς ή μη αντιμεταθετικούς. 
Οι μη αντιμεταθετικοί δακτύλιοι είναι ενεργό πεδίο έρευνας στα μαθηματικά λόγω της πανταχού παρουσίας του Για παράδειγμα, ο δακτύλιος των n x n πινάκων πάνω από ένα πεδίο, είναι μη αντιμεταθετικός, παρά την συχνή εμφάνιση του στη γεωμετρία, στη φυσική και πολλά κομμάτια των μαθηματικών. Πιο γενικά, οι δακτύλιοι ενδομορφισμών αβελιανών ομάδων είναι σπάνια αντιμεταθετικοί, με απλούστερο παράδειγμα αυτό του δακτυλίου ενδομορφισμών της τετραεδρικής ομάδας Klein.
Ένας από τους πιο γνωστούς μη αντιμεταθετικούς δακτυλίους είναι ο δακτύλιος διαίρεσης των quaternions.

O δακτύλιος συντεταγμένων μίας αλγεβρικής πολλαπλότητας

Αν Χ είναι μία αφινική αλγεβρική πολλαπλότητα, τότε το σύνολο όλων των αναλυτικών συναρτήσεων πάνω στο Χ σχηματίζει το δακτύλιο συντεταγμένων του Χ. Για μία προβολική πολλαπλότητα, υπάρχει ανάλογος δακτύλιος που καλείται ομογενής δακτυλίων συντεταγμένων. Αυτοί οι δακτύλιοι είναι στην ουσία το ίδιο πράγμα με τις πολλαπλότητες: Αντιστοιχίζονται ουσιαστικά με μοναδικό τρόπο. Αυτό φαίνεται μέσω της Nullstellensatz του Ντάβιντ Χίλμπερτ ή σχηματικές- θεωρητικές κατασκευές (δηλ. Spec και Proj).

Δακτύλιος των αναλλοίωτων

Ένα βασικό (και ίσως το πιο θεμελιώδες) ερώτημα της κλασσικής αναλλοίωτων είναι η εύρεση και η μελέτη πολυώνυμων στον πολυωνυμικό δακτύλιο   που είναι αναλλοίωτα πάνω από πράξη μίας πεπερασμένης ομάδας (ή πιο γενικά αναγωγικής) G πάνω στον V. Το κύριο παράδειγμα είναι ο δακτύλιος των συμμετρικών πολυωνύμων : τα συμμετρικά πολυώνυμα είναι πολυώνυμα τα οποία είναι αναλλοίωτα μέσω μεταθέσεων των μεταβλητών. Το θεμελιώδες θεώρημα των συμμετρικών πολυωνύμων διατυπώνει ότι αυτός ο δακτύλιος είναι  όπου  aείναι βασικά συμμετρικά πολυώνυμα..