Θεωρία κατηγοριών

Η Θεωρία Κατηγοριών είναι το πεδίο εκείνο των μαθηματικών που εξετάζει τις γενικές ιδιότητες και τα χαρακτηριστικά των διαφόρων μαθηματικών δομών μέσα από την μελέτη σχέσεων μεταξύ αντικειμένων αυτών των δομών.
Η Θεωρία Κατηγοριών χρησιμοποιείται για να τυποποιήσει τα μαθηματικά και τις έννοιές τους ως συλλογές αντικειμένων και βελών (ή μορφισμών).
Η Θεωρία Κατηγοριών μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να τυποποιήσει τις έννοιες άλλων υψηλού επιπέδου αφαιρέσεων όπως  σύνολα, δακτύλιους, και ομάδες. Διάφοροι όροι που χρησιμοποιούνται στη Θεωρία Κατηγοριών, συμπεριλαμβανομένου του όρου «μορφισμός», συχνά χρησιμοποιούνται με διαφορετικό νόημα από ότι συνήθως στα μαθηματικά. Στη Θεωρία Κατηγοριών, ένας «μορφισμός» υπακούει ένα σύνολο όρων συγκεκριμένων για την θεωρία την ίδια. Κατά συνέπεια, πρέπει να ληφθεί προσοχή για να γίνει κατανοητό το πλαίσιο στο οποίο γίνονται δηλώσεις.

Μια αφαίρεση άλλων μαθηματικών εννοιών

Πολλοί σημαντικοί τομείς των μαθηματικών μπορούν να τυποποιηθούν ως κατηγορίες. Η Θεωρία Κατηγοριών είναι μια αφηρημένη μαθηματική θεωρία που όμως συχνά μας επιτρέπει να περιγράψουμε και να αποδείξουμε περίπλοκα και λεπτά μαθηματικά αποτελέσματα, σε διάφορους τομείς των μαθηματικών, με έναν πολύ απλούστερο τρόπο απ'ό,τι χωρίς τη χρήση της.
Το πιο προσιτό παράδειγμα μιας κατηγορίας είναι η κατηγορία συνόλων, συμβολίζεται με Set, όπου τα αντικείμενα της είναι σύνολα και τα βέλη είναι συναρτήσεις από ένα σύνολο σε ένα άλλο. Εντούτοις, τα αντικείμενα μιας κατηγορίας δεν είναι υποχρεωτικό να είναι πάντα σύνολα ούτε τα βέλη (οι μορφισμοί) πάντα συναρτήσεις. Οποιοσδήποτε τρόπος τυποποίησης μιας μαθηματικής έννοιας που ικανοποιεί τους βασικούς κανόνες (αξιώματα) της Θεωρίας Κατηγοριών, για τη συμπεριφορά των αντικειμένων και των βελών είναι μια έγκυρη κατηγορία, και όλα τα αποτελέσματα της Θεωρίας Κατηγοριών θα ισχύουν για αυτήν.
Ένα από τα απλούστερα παραδείγματα μιας κατηγορίας είναι αυτό του groupoid, που ορίζεται ως μια κατηγορία τα της οποίας τα βέλη, ή οι μορφισμοί όπως αλλιώς λέγονται, είναι όλα αντιστρέψιμα. Η έννοια groupoid είναι σημαντική στην τοπολογία. Οι κατηγορίες εμφανίζονται τώρα στους περισσότερους κλάδους των μαθηματικών,σε μερικούς τομείς της θεωρητικής πληροφορικής όπου αντιστοιχούν τους τύπους, και της μαθηματικής φυσικής όπου μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να περιγράψουν διανυσματικούς χώρους. Οι κατηγορίες εισήχθησαν αρχικά από το Samuel Eilenberg και τον Saunders Mac Lane το 1942-45, για τις ανάγκες της Αλγεβρικής Τοπολογίας.
Η Θεωρία Κατηγοριών είναι γνωστή σε διάφορα πρόσωπα όχι μόνο στους ειδικούς, αλλά και σε άλλους μαθηματικούς. Ένας όρος που χρονολογείται από τη δεκαετία του '40, «γενικές αφηρημένες αηδίες», αναφέρεται στο υψηλό επίπεδο αφαίρεσής, έναντι των περισσότερων κλασσικών κλάδων των μαθηματικών. Η Ομολογιακή Άλγεβρα είναι θεωρία κατηγορίας στην πτυχή της οργάνωσης και υποβολής προτάσεων των χειρισμών στην αφηρημένη άλγεβρα.

Κατηγορίες, αντικείμενα και μορφισμοί

Η μελέτη των κατηγοριών είναι μια προσπάθεια να συλλάβουμε με αξιωματικό τρόπο τα κοινά χαρακτηριστικά και τις ιδιότητες που υπάρχουν σε διάφορες συλλογές παρόμοιων μαθηματικών δομών συσχετίζοντάς τες με το πως μετασχηματίζονται η μία στην άλλη μέσα από διαδικασίες ( συνήθως πρόκειται για συναρτήσεις ) που διατηρούν τα χαρακτηριστικά αυτών των δομών. Μια συστηματική μελέτη της Θεωρίας Κατηγοριών επιτρέπει έπειτα σε μας να αποδείξουμε τα γενικά αποτελέσματα για οποιουσδήποτε από αυτούς τους τύπους μαθηματικών δομών από τα αξιώματα μιας κατηγορίας. Εξετάστε το ακόλουθο παράδειγμα. Η κατηγορία των ομάδων, Grp,  αποτελείται από όλα τα αντικείμενα που έχουν δομή ομάδας, αυτά είναι τα αντικείμενα αυτής της κατηγορίας. Κάποιος μπορεί να προχωρήσει και να αποδείξει θεωρήματα για τις ομάδες κάνοντας λογικούς συνειρμούς από το σύνολο των αξιωμάτων για τις ομάδες. Για παράδειγμα, αποδεικνύεται αμέσως από τα αξιώματα ότι το ουδέτερο στοιχείο μιας ομάδας είναι μοναδικό, αυτός είναι ο "κλασικός"  τρόπος χωρίς την χρήση μεθόδων από την Θεωρία Κατηγοριών. Θα μπορούσε όμως κάνεις επιπρόσθετα να δουλέψει και με έναν άλλο τρόπο. Αντί να εστιάσει μόνο στα μεμονωμένα αντικείμενα ( τις ομάδες στο παραδειγμά μας ) που έχουν μια συγκεκριμένη δομή, η Θεωρία Κατηγοριών δίνει έμφαση στους μορφισμούς – δηλαδή στις απεικονίσεις που διατηρούν την δομή – μεταξύ αυτών των αντικειμένων. Με τη μελέτη αυτών των μορφισμών, είμαστε σε θέση να μάθουμε περισσότερα για τη δομή των αντικειμένων. Στην περίπτωση των ομάδων, οι μορφισμοί είναι οι ομομορφισμοί ομάδας και αυτοί αποτελούν τα βέλη της Grp. Ένας ομομορφισμός μεταξύ δύο ομάδων «συντηρεί τη δομή ομάδας» υπό μια ακριβή έννοια – είναι μια «διαδικασία» που "μετασχηματίζει" μια ομάδα σε άλλη, με τέτοιο τρόπο ώστε να μεταφέρει τις πληροφορίες για τη δομή της πρώτης ομάδας στη δεύτερη ομάδα. Η μελέτη των ομομορφισμών ομάδων παρέχει ένα εργαλείο για την μελέτη των γενικών ιδιοτήτων των ομάδων και τις συνέπειες των αξιωμάτων ομάδας. Ένας παρόμοιος τύπος έρευνας εμφανίζεται σε πολλές μαθηματικές θεωρίες, όπως η μελέτη των συνεχών συναρτήσεων μεταξύ των τοπολογικών χώρων στην Tοπολογία (η σχετική κατηγορία συμβολίζεται Top), και η μελέτη των λείων απεικονίσεων στις πολλαπλότητες (manifolds).

Συναρτητές ( Functors )

Μια κατηγορία είναι από μόνη της ένας τύπος μαθηματικής δομής, έτσι μπορούμε να ερευνήσουμε τις «διαδικασίες» που διατηρούν αυτήν την δομή υπό κάποια έννοια. Μια τέτοια διαδικασία ονομάζεται συναρτητής (functor).
Η χάραξη διαγραμμάτων είναι μια οπτική μέθοδος που υποστηρίζεται με τα αφηρημένα «βέλη» που ενώνονται σε διαγράμματα. Το Functors αντιπροσωπεύεται από τα βέλη μεταξύ των κατηγοριών, υπό τον όρο στους συγκεκριμένους όρους commutativity καθορισμού. Το Functors μπορεί να καθορίσει (κατασκεύασμα) τα κατηγορικά διαγράμματα και τις ακολουθίες (δηλαδή Mitchell, 1965). Ένα functor συνδέει σε κάθε αντικείμενο μιας κατηγορίας ένα αντικείμενο μιας άλλης κατηγορίας, και σε κάθε μορφισμό στην πρώτη κατηγορία ένα μορφισμό στη δεύτερη.
Στην πραγματικότητα,αυτό που έχουμε κάνει είναι να καθορίσουμε μια κατηγορία κατηγοριών και functors – τα αντικείμενα είναι κατηγορίες, και οι μορφισμοί (μεταξύ των κατηγοριών) είναι functors.
Με τη μελέτη των κατηγοριών και των functors, μελετάμε όχι μόνο μια κατηγορία μαθηματικών δομών και των μεταξύ τους μορφισμών μελετάμε τις σχέσεις μεταξύ των διάφορων κατηγοριών μαθηματικών δομών. Αυτό είναι μια θεμελιώδης ιδέα, η οποία εμφανίστηκε αρχικά στην Αλγεβρική Τοπολογία. Οι δύσκολες τοπολογικές ερωτήσεις μπορούν να μεταφραστούν σε αλγεβρικές ερωτήσεις που είναι συχνά πιο εύκολο να απαντηθούν. Οι βασικές κατασκευές, όπως η θεμελιώδης ομάδα ή το θεμελιώδες groupoid ενός τοπολογικού χώρου, μπορούν να εκφραστούν ως θεμελιώδη functors στην κατηγορία groupoids κατά αυτόν τον τρόπο, και η έννοια είναι κυρίαρχη στην άλγεβρα και στις απαιτήσεις της.

Φυσικοί μετασχηματισμοί

Αφαιρώντας ακόμη μια φορά, μερικές διαγραμματικές ή/και διαδοχικές κατασκευές συσχετίζονται συχνά «φυσικά συνδεδεμένη» – μια ασαφής έννοια, εκ πρώτης όψεως. Αυτό οδηγεί στην έννοια διευκρίνισης του φυσικού μετασχηματισμού, ένας τρόπος «να χαρτογραφηθεί» ένα functor σε άλλο. Πολλές σημαντικές κατασκευές στα μαθηματικά μπορούν να μελετηθούν σε αυτό το πλαίσιο. «Naturality» είναι μια αρχή, όπως τη γενική συνδιακύμανση στη φυσική, η οποία είναι βαθύτερη από οτι αρχικά φαίνεται. Ένα βέλος μεταξύ δύο functors είναι ένας φυσικός μετασχηματισμός όταν υπόκειται σε ορισμένους όρους naturality ή commutativity.
Το Functors και οι φυσικοί μετασχηματισμοί («naturality») είναι οι βασικές έννοιες στη θεωρία κατηγορίας. [2]

Κατηγορίες - Ένας ορισμός.

Μια κατηγορία C αποτελείται από τις ακόλουθες τρεις μαθηματικές οντότητες:
Μια κλάση -δηλαδή μια συλλογή αντικειμένων- Obj(C) ή Ob(C), της οποίας τα στοιχεία καλούνται αντικείμενα. Η κλάση αυτή δεν είναι υποχρεωτικά σύνολο, ακόμα και μια γνήσια κλάση, όπως η κλάση όλων των συνόλων, μπορεί να χρησιμοποιηθεί.
Μια κλάση Arw(C), ή Ηom(C), τα στοιχεία της οποίας καλούνται βέλη ή μορφισμοί. Κάθε μορφισμός f σχετίζεται με δύο, όχι απαραίτητα διαφορετικά, αντικείμενα. Το ένα, ας το συμβολίσουμε Α, ονομάζεται πεδίο ορισμού ή αρχή ή αφετηρία του βέλους και το άλλο, ας το συμβολίσουμε Β, ονομάζεται συνπεδίο ορισμού ή τέλος ή στόχος. Η έκφραση  f : A → B, θα δηλωνόταν προφορικά ως «ο f είναι ένας μορφισμός από το A στο B», ή "είναι ένα βέλος με αρχή το Α και τέλος το Β", ή ακόμα πιο απλά "f από το Α στο Β". Επίσης το Α μπορεί να συμβολισθεί και ως src(f), ή dom(f), και το Β ως tar(f) ή cod(f). Η έκφραση  hom(Α, Β) - εκφράζεται εναλλακτικά ως homC(Α, Β), mor(Α, Β), ή C(Α, Β)- συμβολίζει την κλάση όλων των μορφισμών από το Α στο Β.
Μια (μερικώς ορισμένη) διμελή πράξη, που συμβολίζεται  με ∘, ανάμεσα στα βέλη και ονομάζεται "σύνθεση". Δηλαδή ένας διμελής εσωτερικός νόμος ο οποίος όμως δεν ορίζεται για όλα τα βέλη f και g. Ειδικότερα το g ° f ορίζεται μόνο αν tar(f) = src(g) και είναι ένα βέλος με πεδίο ορισμού το πεδίο του f και συνπεδίο ορισμού το συνπεδίο του g. Γράφεται πιο απλά και ως gf και μερικές φορές ονομάζεται και πολλαπλασιασμός των μορφισμών.
Για τα παραπάνω θα πρέπει να ισχύουν οι ακόλουθοι κανόνες(αξιώματα):
Α1. Κάθε βέλος έχει μοναδικό πεδίο ορισμού και μοναδικό συνπεδίο. Επομένως αν f : A → B και f : C → D τότε αναγκαστικά Α = C και B = D.
Α2. Αν f : A → B και g : B → C τότε ορίζεται η σύνθεση g ° f : A → C.
A3. Η πράξη της σύνθεσης είναι προσεταιριστική. Πιο συγκεκριμένα για κάθε f : A → B, g : B → C και h : C → D έχω: h ° (g ° f) = (h ° g) ° f και έτσι γράφω πιο απλά h ° g ° f.
Α4. Για κάθε αντικείμενο Α υπάρχει (μοναδικό) βέλος από το Α στο Α, που το συμβολίζουμε με id(A) ή με 1Α και ονομάζεται ταυτοτικό βέλος  του Α,με την εξής ιδιότητα: Για κάθε βέλος f : A → B και για κάθε βέλος g : C → A, έχω:
f ° 1A = f και 1A ° g = g. 
Παρατηρήσεις.
Μερικοί συγγραφείς ειδικά της Θεωρητικής Πληροφορικής προτιμούν τον συμβολισμό f ; g αντί του g ° f. 
Στον ορισμό που δώσαμε αναφέραμε ότι οι Ob(C) και Arw(C) είναι κλάσεις, αυτό ακολουθούν οι πιο πολλοί συγγραφείς βιβλίων για κατηγορίες. Οι συγγραφείς αυτοί χρησιμοποιούν την λέξη "κλάση" με την αυστηρή μαθηματική έννοια, όπως απαιτεί μια Θεωρία Κλάσεων που είναι επέκταση του ZFC της Συνολοθεωρίας, π.χ. το σύστημα GB (Gödel - Bernays ). Κάποιοι όμως συγγραφείς χρησιμοποιούν τον όρο "συλλογή" (collection) αφήνοντας ανοικτό το ενδεχόμενο να μην είναι καν κλάσεις, πολύ περισσότερο δε σύνολα έτσι όπως βλέπει τα σύνολα η Αξιωματική Θεωρία Συνόλων.    
Από τα αξιώματα, μπορεί να αποδειχθεί ότι υπάρχει ακριβώς ένας ταυτοτικός μορφισμός για κάθε αντικείμενο. 
Πράγματι αν το αντικείμενο Α είχε δύο ταυτοτικά βέλη, ας τα συμβολίσουμε με η και ε, θα είχαμε ότι το η ° ε ορίζεται αφού tar(ε) = src( η ) = Α. Ακόμα αφού το ε είναι ταυτοτικό θα έχω η ° ε = η. Όμως και το η είναι ταυτοτικό άρα η ° ε =ε. Αφού η σύνθεση είναι πράξη το αποτέλεσμα η ° ε είναι μοναδικό. Επομένως η = ε.
Επειδή οι ταυτοτικοί μορφισμοί είναι μοναδικοί για κάθε αντικείμενο κατά κάποιο τρόπο χαρακτηρίζουν τα ίδια τα αντικείμενα, μπορούμε λοιπόν να τα θεωρίσουμε σαν αντιπροσώπους - αντικαταστάτες των αντικειμένων, έτσι μερικοί συγγραφείς παρεκκλίνουν από τον ορισμό που δίνεται πιο πάνω καταργόντας τα αντικείμενα και ορίζοντας τις κατηγορίες μόνο με τους μορφισμούς και την σύνθεση τους και χρησιμοποιόντας στην θέση των αντικειμένων τους ταυτοτικούς μορφισμούς.
Η πράξη της σύνθεσης γενικά δεν είναι αντιμεταθετική, δηλαδή συνήθως f ° g ≠ g ° f, μάλιστα τις πιο πολλές φορές αν το g ° f ορίζεται τότε το f ° g δεν ορίζεται! Αλλά ακόμα και όταν ορίζονται και τα δύο τότε συνήθως, όπως και στη σύνθεση των συναρτήσεων, τα αποτελέσματά τους είναι διαφορετικά.
Στην Θεωρία Κατηγοριών τις πιο πολλές φορές, για την ακρίβεια σχεδόν πάντα, γίνεται χρήση διαγραμμάτων. Για την ακρίβεια χρησιμοποιούνται κατευθυνόμενοι γράφοι (ουσιαστικά κατευθυνόμενα πολυγραφήματα) όπου τα αντικείμενα είναι οι κόμβοι και τα βέλη είναι οι ακμές, τα ταυτοτικά βέλη εννοούνται και συνήθως δεν αναπαρίστανται. Θα μπορούσαμε να πούμε οτί "ουσιαστικά" μια κατηγορία είναι ένα κατευθυνόμενο πολυγράφημα εφοδιασμένο με την πράξη της σύνθεσης των ακμών (βελών) και με μοναδικά ταυτοτικά βέλη για κάθε κόμβο (αντικείμενο), έτσι ώστε να ισχύουν τα Α1 - Α4.

Μορφισμοί

Οι σχέσεις μεταξύ των μορφισμών (όπως το fg = χ) απεικονίζονται συχνά χρησιμοποιώντας τα μεταλλακτικά διαγράμματα, με «τα σημεία» (γωνίες) να αντιπροσωπεύουν τα αντικείμενα και «τα βέλη» να αντιπροσωπεύουν τους μορφισμούς.
Οι μορφισμοί μπορούν να έχουν οποιαδήποτε από τις ακόλουθες ιδιότητες. Ένας μορφισμός φ: α → β είναι :
μονομορφισμός (ή αμφί) εάν το φ ∘ g1 = φ ∘ g2 συνεπάγεται g1 = g2 για όλους τους μορφισμούς g1, g2: Χ → a.
επιμορφισμός (ή επί) εάν g1 ∘ φ = g2 ∘ φ συνεπάγεται g1 = g2 για όλους τους μορφισμούς g1, g2: β → x.
ομομορφισμός εάν το φ είναι αμφί και επί
ισομορφισμός εάν υπάρχει ένα μορφισμός g: β →a έτσι ώστε φ ∘ g = 1b και g ∘ φ = 1a. [4] 
ενδομορφισμός αν α=β. ενδ(α) δείχνει την κατηγορία ενδομορφισμού του α
αυτομορφισμός εάν το φ είναι και ένας ενδομορφισμός  και ένας ισομορφισμός.
aut (α) δείχνει την κατηγορία αυτομορφισμού του α.
retraction εάν ένα σωστό αντίστροφο του φ υπάρχει, δηλ. εάν υπάρχει ένα μορφισμός g: β → α με το fg = 1b.
section εάν ένα αριστερό αντίστροφο του φ υπάρχει, δηλ. εάν υπάρχει ένα μορφισμός g: β → α με το gf = 1a.
Κάθε retraction είναι ένας επιμορφισμός, και κάθε section είναι μονομορφισμός. Επιπλέον, οι ακόλουθες τρεις δηλώσεις είναι ισοδύναμες:
f είναι μονομορφισμος και retraction
f είναι επιμορφισμος και section
f είναι ισομορφισμος

Συναρτητές

Οι συναρτητές (Functors) δομούν-συντηρούν τους χάρτες μεταξύ των κατηγοριών. Μπορούν να θεωρηθούν ως μορφισμοί στην κατηγορία όλων (των μικρών) κατηγοριών.
Ένας Functor Φ από μια κατηγορία Γ σε μια κατηγορία Δ, γράφεται Φ: Γ → Δ, περιλαμβάνει:
για κάθε αντικείμενο Χ στο Γ, ένα αντικείμενο Φ (Χ) στο Δ και για κάθε μορφισμό φ: Χ → Υ στο Γ, ένα μορφισμό Φ (φ): Φ (Χ) → Φ (Υ),
έτσι ώστε οι ακόλουθες δύο ιδιότητες ισχύουν:
Για κάθε αντικείμενο Χ στο Γ, Φ (1x) = 1F (Χ)
Για όλους τους μορφισμούς φ: Χ → Υ και γ: Υ → ζ, Φ (γ ∘ φ) = Φ (γ) ∘ Φ (φ).
Ένα contravariant functor Φ: Γ → Δ, είναι όπως ένα covariant functor, εκτός από το ότι «αντιστρέφει τους μορφισμούς» («αντιστρέφει όλα τα βέλη»). Πιο συγκεκριμένα, κάθε μορφισμός φ: Χ → Υ στο Γ πρέπει να οριστεί σε ένα μορφισμό Φ (φ): Φ (Υ) → Φ (Χ) στο Δ. Με άλλα λόγια, ένας contravariant functor λειτουργεί ως covariant functor από την αντίθετη κατηγορία Cop στο Δ.

Φυσικοί μετασχηματισμοί

Ένας φυσικός μετασχηματισμός είναι μια σχέση μεταξύ δύο functors. Το Functors περιγράφει συχνά τις «φυσικές κατασκευές» και οι φυσικοί μετασχηματισμοί κατόπιν περιγράφουν τους «φυσικoύς ομομορφισμούς» μεταξύ δύο τέτοιων κατασκευών. Μερικές φορές δύο αρκετά διαφορετικές κατασκευές παράγουν «το ίδιο» αποτέλεσμα. Αυτό εκφράζεται από έναν φυσικό ισομορφισμό μεταξύ των δύο functors.
Εάν Φ και G είναι (covariant) functors μεταξύ των κατηγοριών Γ και Δ, τότε ένας φυσικός μετασχηματισμός η από το Φ στο G συνδέει σε κάθε αντικείμενο Χ στο Γ ένα μορφισμό ηX: Φ (Χ) → Γ (Χ) στο Δ έτσι ώστε για κάθε μορφισμό φ: Χ → Υ στο Γ, έχουμε ηY ∘ Φ (φ) = G (φ) ∘ ηX αυτό σημαίνει ότι το ακόλουθο διάγραμμα είναι μεταλλακτικό:
Τα δύο functors Φ και G καλούνται φυσικά ισομορφικά εάν υπάρχει ένας φυσικός μετασχηματισμός από το Φ στο G έτσι ώστε ηX είναι ένας ισομορφισμός για κάθε αντικείμενο Χ στο Γ.

Καθολικές κατασκευές, όρια, και colimits

Χρησιμοποιώντας τη γλώσσα της Θεωρίας Κατηγοριών, πολλοί τομείς της μαθηματικής μελέτης μπορούν να ταξινομηθούν. Οι κατηγορίες περιλαμβάνουν τα σύνολα, ομάδες, τοπολογίες, και ούτω καθεξής.
Κάθε κατηγορία διακρίνεται από τις ιδιότητες που όλα τα αντικείμενά του έχουν από κοινού, όπως το κενό σύνολο ή το γινόμενο δύο τοπολογιών, όμως στον καθορισμό μιας κατηγορίας, τα αντικείμενα θεωρούνται ατομικά, δηλ., εμείς δεν ξέρουμε εάν ένα αντικείμενο Α είναι ένα σύνολο, μια τοπολογία, ή οποιαδήποτε άλλη αφηρημένη έννοια. Ως εκ τούτου, η πρόκληση είναι να καθοριστούν τα ειδικά αντικείμενα χωρίς αναφορά στην εσωτερική δομή εκείνων των αντικειμένων. Για να καθορίσει το κενό σύνολο χωρίς αναφορά στα στοιχεία, ή την τοπολογία προϊόντων χωρίς αναφορά στα ανοικτά σύνολα, κάποιο μπορεί να χαρακτηρίσει αυτά τα αντικείμενα από την άποψη των σχέσεών τους με άλλα αντικείμενα, όπως δίνονται από τoυς μορφισμούς των αντίστοιχων κατηγοριών. Κατά συνέπεια, ο στόχος είναι να βρεθούν οι καθολικές ιδιότητες που καθορίζουν μεμονωμένα τα αντικείμενα ενδιαφέροντος.
Πράγματι, καταλήγουμε ότι οι πολυάριθμες σημαντικές κατασκευές μπορούν να περιγραφούν με έναν καθαρώς κατηγορικό τρόπο. Η κεντρική έννοια που απαιτείται για το σκοπό αυτό καλείται κατηγορικό όριο, και μπορεί να είναι για να παραγάγει την έννοια ενός colimit.

Ισοδύναμες κατηγορίες

Υπάρχει μια φυσική ερώτηση να υποβληθεί: υπό ποιους όρους μπορούν δύο κατηγορίες να θεωρηθούν «ουσιαστικά οι ίδιες», υπό την έννοια ότι τα θεωρήματα για μια κατηγορία μπορούν εύκολα να μετασχηματιστούν στα θεωρήματα για την άλλη κατηγορία; Το σημαντικότερο εργαλείο που έχει υιοθετηθεί για να περιγράψει μια τέτοια κατάσταση καλείται ισοδυναμία των κατηγοριών, η οποία δίνεται από τα κατάλληλα functors μεταξύ δύο κατηγοριών. Η κατηγορική ισοδυναμία έχει βρει τις πολυάριθμες εφαρμογές στα μαθηματικά.

Περαιτέρω έννοιες και αποτελέσματα

Οι ορισμοί των κατηγοριών και των functors παρέχουν μόνο τα πολύ βασικά της κατηγορικής άλγεβρας. Τα πρόσθετα σημαντικά θέματα παρατίθενται κατωτέρω. Αν και υπάρχουν ισχυρές αμοιβαίες σχέσεις μεταξύ όλων αυτών των θεμάτων, η δεδομένη διαταγή μπορεί να θεωρηθεί ως οδηγία για την περαιτέρω ανάγνωση.
Η functor κατηγορία DC έχει ως αντικείμενα τα functors από το Γ στο Δ και ως μορφισμούς τους φυσικούς μετασχηματισμούς τέτοιων functors. Το λήμμα Yoneda είναι ένα από τα διασημότερα βασικά αποτελέσματα της θεωρίας κατηγοριών. Περιγράφει τα αντιπροσωπεύσιμα functors στις κατηγορίες functor.
Δυαδικότητα: Κάθε δήλωση, θεώρημα, ή  καθορισμός στη θεωρία κατηγορίας έχουν έναν dual που λαμβάνεται ουσιαστικά με «την αντιστροφή όλων των βελών». Εάν μια δήλωση είναι αληθινή σε μια κατηγορία C τότε το dual του θα είναι αληθινό στη  dual category Cop. Αυτή η δυαδικότητα, που είναι διαφανής στο επίπεδο θεωρίας κατηγορίας, κρύβεται συχνά στις εφαρμογές και μπορεί να οδηγήσει σε εκπληκτικές σχέσεις.
Adjoint functors: Ένα functor μπορεί να αφεθεί (ή ορθότερα) adjoint σε ένα άλλο functor που map στην αντίθετη κατεύθυνση. Ένα τέτοιο ζευγάρι adjoint functors προκύπτει χαρακτηριστικά από μια κατασκευή που καθορίζεται από μια καθολική ιδιοκτησία αυτό μπορoύμε να το δούμε ως μια αφηρημένη και ισχυρή άποψη σχετικά με τις καθολικές ιδιότητες.

Higher-dimensional categories

Πολλές από τις ανωτέρω έννοιες, ειδικά η ισοδυναμία των κατηγοριών,adjoint functor pairs , και unctor categories, μπορούν να τοποθετηθούν στο πλαίσιο τωνHigher-dimensional categories . Εν συντομία, εάν θεωρούμε ένα μορφισμό μεταξύ δύο αντικειμένων ως «διαδικασία που μας πάει από ένα αντικείμενο σε ένα άλλο», κατόπιν οιHigher-dimensional categories μας επιτρέπουν να γενικεύσουν επικερδώς εξετάζοντας "higher-dimensional processes".
Παραδείγματος χάριν, μια (ακριβής) 2-κατηγορία είναι μια κατηγορία μαζί με «μορφισμοί μεταξύ μορφισμών», δηλ., διαδικασίες που μας επιτρέπουν να μετασχηματίσουμε έναν μορφισμό σε ένα άλλο. Μπορούμε έπειτα «να συνθέσουμε» αυτούς τους «ομομορφισμούς» και οριζόντια και κάθετα, και απαιτούμε έναν 2-διαστατικό «νόμο ανταλλαγής » για να το διατηρήσουμε, αφορώντας τους δύο νόμους σύνθεσης. Σε αυτό το πλαίσιο, το τυποποιημένο παράδειγμα είναι Cat, η 2-κατηγορία όλων (των μικρών) κατηγοριών, και σε αυτό το παράδειγμα, οι ομομορφισμοί των μορφισμών είναι απλά φυσικοί μετασχηματισμοί των μορφισμών υπό τη συνηθισμένη έννοια. Ένα άλλο βασικό παράδειγμα είναι να εξεταστεί μια 2-κατηγορία με ένα ενιαίο αντικείμενο ,αυτές είναι ουσιαστικά monoidal κατηγορίες. Το Bicategories είναι μια πιο αδύνατη έννοια 2 διαστατικών κατηγοριών στις οποίες η σύνθεση των μορφισμών δεν είναι αυστηρά συνειρμική, αλλά μόνο συνειρμική «μέχρι» έναν ισομορφισμό.
Αυτή η διαδικασία μπορεί να επεκταθεί για όλους τους φυσικούς αριθμούς ν, και αυτοί καλούνται ν-κατηγορίες. Υπάρχει ακόμη και μια έννοια της ω-κατηγορίας που αντιστοιχεί στον κανονικό αριθμό ω.
Οι Higher-dimensional categories είναι μέρος του ευρύτερου μαθηματικού τομέα της Higher-dimensional άλγεβρας, μια έννοια που εισάγεται από το Ronald Brown. Για μια συνομιλητική εισαγωγή σε αυτές τις ιδέες, δείτε το  John Baez, 'A Tale of n-categories' (1996).

Ιστορία

Το 1942-45, ο Samuel Eilenberg και ο Saunders Mac Lane εισήγαγαν τις κατηγορίες, τους συναρτητές, και τους φυσικούς μετασχηματισμούς ως τμήμα της εργασίας τους στην τοπολογία, ειδικά στην Αλγεβρική Τοπολογία. Η εργασία τους ήταν ένα σημαντικό μέρος της μετάβασης από τη διαισθητική και γεωμετρική ομολογία στην αξιωματική θεωρία ομολογίας.Ο Eilenberg και ο Saunders Mac Lane αργότερα έγραψαν ότι ο στόχος τους ήταν να καταλάβουν τους φυσικούς μετασχηματισμούς προκειμένου να το κάνουν αυτό, οι συναρτητές έπρεπε να καθοριστούν, το οποίο απαιτούσε τις κατηγορίες.
Ο Stanislaw Ulam, και μερικοί που γράφουν εξ ονόματός του, έχουν υποστηρίξει ότι οι σχετικές ιδέες ήταν τρέχουσες στα τέλη της δεκαετίας του 1930 στην Πολωνία. Ο Eilenberg ήταν Πολωνός, και μελέτησε τα μαθηματικά στην Πολωνία στη δεκαετία του '30. Η Θεωρία Κατηγοριών είναι επίσης, υπό κάποια έννοια, μια συνέχεια της εργασίας της Εmmy Noether (μίας από τους δασκάλους του  Mac Lane) στην τυποποίηση των αφηρημένων διαδικασιών. Η Noether συνειδητοποίησε ότι προκειμένου να γίνει κατανοητός ένας τύπος μαθηματικής δομής, κάποιος πρέπει να καταλάβει τις διαδικασίες που συντηρούν εκείνη την δομή. Προκειμένου να επιτευχθεί αυτή η κατανόηση,ο Eilenberg και ο Mac Lane πρότειναν μια αξιωματική διαμόρφωση της σχέσης μεταξύ των δομών και των διαδικασιών που τις συντηρούν.
Η επόμενη ανάπτυξη της Θεωρίας Κατηγοριών τροφοδοτήθηκε πρώτα από τις υπολογιστικές ανάγκες της Ομολογιακής Άλγεβρας, και αργότερα από τις αξιωματικές ανάγκες της Αλγεβρικής Γεωμετρίας, ο τομέας ανθεκτικότερος να στηριχτεί είτε στην αξιωματική καθορισμένη θεωρία είτε την άποψη Ράσελ-Whitehead των ενωμένων θεμελίων. Η γενική Θεωρία Κατηγοριών, μια επέκταση του καθολικού που πολλά νέα χαρακτηριστικά γνωρίσματα που επιτρέπουν τη σημασιολογικές ευελιξία και τη λογική υψηλός-διαταγής, ήρθε αργότερα εφαρμόζεται τώρα σε όλα τα μαθηματικά.
Ορισμένες κατηγορίες αποκαλούμενες τόποι (topoi, ενικός topos) μπορούν ακόμη και να χρησιμεύσουν ως μια εναλλακτική λύση στην Αξιωματική Θεωρία Συνόλων ως θεμέλιο των μαθηματικών. Οι τόποι μπορούν επίσης να θεωρηθούν ως συγκεκριμένος τύπος κατηγορίας με δύο πρόσθετα αξιώματα. Αυτές οι θεμελιώδεις εφαρμογές της θεωρίας κατηγορίας έχουν επιλυθεί με δίκαιες λεπτομέρειες σαν βάση και την αιτιολόγηση, τα εποικοδομητικά μαθηματικά. Η Θεωρία των Τόπων είναι μια μορφή αφηρημένης Θεωρίας Δραγμάτων (sheafσ), με γεωμετρική προέλευση, και οδηγεί σε ιδέες όπως η άσκοπη τοπολογία.
Η Κατηγορική Λογική είναι τώρα ένας καθορισμένος με σαφήνεια τομέας βασισμένος στη Θεωρία Τύπων για τις intuitionistic λογικές, με εφαρμογές στη λειτουργικό προγραμματισμό και στη θεωρία περιοχών, όπου μια καρτεσιανή κλειστή κατηγορία λαμβάνεται ως μη-συντακτική περιγραφή ενός υπολογισμού λάμδα. Στο ελάχιστο, η θεωρητική γλώσσα κατηγορίας διευκρινίζει τι ακριβώς αυτές οι σχετικές περιοχές έχουν κοινο (υπό κάποια αφηρημένη έννοια).
Η Θεωρία Κατηγοριών έχει εφαρμοστεί και σε άλλους τομείς. Παραδείγματος χάριν, ο John Baez έχει παρουσιάσει μια σύνδεση μεταξύ των διαγραμμάτων Feynman στη φυσική και των monoidal κατηγοριών. Μια άλλη εφαρμογή της Θεωρίας Κατηγοριων, πιο συγκεκριμένα: η Θεωρία Τόπων, έχει γίνει στη μαθηματική θεωρία μουσικής, βλέπε παραδείγματος χάριν στο βιβλίο The Topos of Music, Geometric Logic of Concepts, Theory, και Performance του Guerino Mazzola.
Πιο πρόσφατες προσπάθειες να εισάγουν προπτυχιακά σαν θεμέλιο των μαθηματικών εκαναν οι William Lawvere και Rosebrugh (2003) και Lawvere και Stephen Schanuel(1997)και Mirroslav Yotov (2012).