Θεώρημα μέσης τιμής

Στα Μαθηματικά το Θεώρημα Μέσης Τιμής (Θ.Μ.Τ. στο εξής) γεωμετρικά διατυπώνεται ως : δοσμένης μιας επίπεδης καμπύλης και δυο σημείων της, υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο στο οποίο η εφαπτομένη της καμπύλης να είναι παράλληλη προς την τέμνουσα που ορίζουν τα παραπάνω σημεία.
Το Θ.Μ.Τ στη σύγχρονη μορφή διατυπώθηκε από τον Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ. Είναι ένα από τα πιο σημαντικά αποτελέσματα του διαφορικού λογισμού, καθώς και ένα από τα πιο σημαντικά θεωρήματα στη μαθηματική ανάλυση αφού με τη βοήθειά του αποδεικνύονται πολλά άλλα θεωρήματα.
Το Θ.Μ.Τ είναι επακόλουθο του θεωρήματος του Μισέλ Ρολ.

Θεώρημα μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού

Αυτή η σχέση αυτή είναι γνωστή κι ως μορφή Ζοζέφ Λουί Λαγκράνζ και δηλώνει ότι για κάθε ευθεία από δύο σημεία γραφικής παράστασης σε μια παραγωγίσιμη συνάρτηση υπάρχει εφαπτομένη στην καμπύλη της συνάρτησης που να της είναι παράλληλη.
Η ποσότητα  παριστά την κλίση της ευθείας που ορίζουν τα σημεία  και .
Το Θ.Μ.Τ. είναι μια γενίκευση του θεωρήματος Rolle, η οποία υποθέτει , έτσι ώστε το δεξί μέλος της παραπάνω σχέσης να είναι μηδέν.
Σημείωση : Το θεώρημα όπως αναφέρεται, δεν αληθεύει, αν μια παραγωγίσιμη συνάρτηση παίρνει μιγαδικές τιμές.
Για παράδειγμα, αν ορίσουμε την  τότε :  ενώ .  

Απόδειξη

Ορίζουμε την συνάρτηση . Η συνάρτηση αυτή είναι συνεχής και παραγωγίσιμη με πρώτη παράγωγο ίση με
 και επιπλέον  οπότε πληροί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Rolle συνεπώς υπάρχει τουλάχιστον
ένα  ώστε  από όπου παίρνουμε .

Εφαρμογές του Θ.Μ.Τ

Το Θ.Μ.Τ μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την απόδειξη πολλών ανισοτήτων όπως για παράδειγμα της  η οποία για x=0 γίνεται ισότητα ενώ για
x>0 η συνάρτηση  ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ στο διάστημα  με πρώτη παράγωγο
  
άρα σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ θα υπάρχει  ώστε 
ομοίως για την περίπτωση όπου x<0 .

Πόρισμα

Ας θεωρήσουμε μια συνεχή και παραγωγίσιμη συνάρτηση σε ένα διάστημα . Εάν  σε κάθε εσωτερικό σημείο του διαστήματος τότε η  είναι σταθερή συνάρτηση.

Απόδειξη

Αρκεί να αποδείξουμε ότι για οποιαδήποτε      ισχύει    .
Πράγματι
● Αν    , τότε προφανώς .
● Αν  <  τότε στο διάστημα  η  ικανοποιεί τις υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. Επομένως, υπάρχει   τέτοιο, ώστε
 , (1)
Επειδή το ξ είναι εσωτερικό σημείο του , ισχύει , οπότε, λόγω της (1), είναι  .
Αν   < τότε ομοίως αποδεικνύεται ότι  . 
Σε όλες, λοιπόν, τις περιπτώσεις είναι  .

Παράδειγμα

Με την χρήση του ΘΜΤ θα αποδείξουμε ότι . Ορίζουμε την συνάρτηση  
η οποία είναι παραγωγίσιμη και ισχύει  άρα η  είναι σταθερή. 
Δηλαδή  για κάθε . Η τιμή της σταθερά βρίκεται θέτοντας x=0 οπότε  δηλαδή  
 για κάθε .  

Θεώρημα μέσης τιμής του Cauchy

To Θεώρημα μέσης τιμής του Κωσύ, γνωστό και ως επεκτεταμένο θεώρημα μέσης αποτελεί μια γενίκευση του Θ.Μ.Τ και αναφέρει το εξής:            
Εάν οι συναρτήσεις  και  είναι συνεχείς στο κλειστό διάστημα  και παραγωγίσιμες στο ανοικτό διάστημα  , τότε υπάρχει κάποιo  , τέτοιο ώστε  εφόσον βέβαια ισχύουνε οι περιορισμοί  και .        

Πρώτο θεώρημα μέσης τιμής για ολοκληρώματα (Θ.Μ.Τ.Ο.Λ.)

Ειδικότερα, αν  για όλα τα  στο , τότε υπάρχει  στο  τέτοιo ώστε :
. (2)
● Η σχεσή αυτή συναντάται κυρίως με την μορφή 
● Ο αριθμός  ονομάζεται μέση τιμή της συνάρτησης  στο  και συμβολίζεται ως .
Σχόλιο : Γεωμετρικά, η μέση τιμή   μιας μη αρνητικής συνάρτησης  στο διάστημα  παριστάνει το ύψος του ορθογωνίου που έχει βάση το  και εμβαδόν ίσο με το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα xʹx και τις ευθείες  και  

Απόδειξη

Χωρίς βλάβη της γενικότητας θεωρούμε ότι . Επειδή η  είναι συνεχής σε κλειστό διάστημα το θεώρημα μεγίστης ελαχίστης τιμής μας εξασφαλίζει την ύπαρξη  και  ώστε .
οπότε  (3)
όπου . Οπότε αν , η ισότητα (2) είναι αληθής αλλιώς τη σχέση (3) την διαιρούμε με Ι και προκύπτει ότι
 ώστε πάλι με τη χρήση του θεώρηματος μεγίστης ελαχίστης τιμής προκύπτει ότι  με

Γενίκευση για ορίζουσες

Θεωρούμε τρεις συναρτήσεις  και  οι οποίες ειναι παραγγωγίσιμες στο διάστημα  και συνεχείς στο .
Ορίζουμε την συνάρτηση  τότε υπάρχει  ώστε  όπου 
Η απόδειξη προκύπτει με την χρήση του Θεωρήματος Rolle αρκεί να παρατηρήσουμε ότι καθώς σε κάθε περίπτωση η ορίζουσα έχει δυο γραμμές ίσες.
Παρατήρηση : Αν θέσουμε  προκύπτει το ΘΜΤ με την μορφή Cauchy ενώ αν θέσουμε επιπλέον και  προκύπτει η μορφή Lagrange.

Πιθανολογικό Ανάλογο

Έστω  και  είναι μη αρνητικές τυχαίες μεταβλητές τέτοιες ώστε  <  και  (δηλαδή η Χ είναι μικρότερη από τη Υ με τη συνηθισμένη στοχαστική σειρά). Τότε υπάρχει μια συνεχής μη-αρνητική τυχαία μεταβλητή  με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας :
Έστω g μια μετρήσιμη και παραγωγίσιμη συνάρτηση ώστε  , με πρώτη παράγωγο μετρήσιμη και Riemann ολοκληρώσιμη στο διάστημα  για  . Τότε η ποσότητα  είναι πεπερασμένη και ισχύει

Γενίκευση στη Μιγαδική Ανάλυση

Όπως αναφέρθηκε και παραπάνω το Θ.Μ.Τ δεν ισχύει στην περίπτωση συνάρτησης με μιγαδικές τιμές. Ισχύει όμως η εξής πρόταση :
Έστω f :  →   μια ολόμορφη συνάρτηση στο ανοικτό και κυρτό σύνολο Ω, και έστω L η ευθεία που διέρχεται απο δυο διακεκριμένα σημεία a και  b του . Τότε υπάρχουνε σημεία u, v στην ευθεία ώστε
όπου  είναι το πραγματικό μέρος της συνάρτησης και  το φανταστικό της μέρος.