Κάτοπτρο

Κάτοπτρο ονομάζεται το αντικείμενο του οποίου η επιφάνεια του ανακλά τις ακτίνες φωτός με αποτέλεσμα να σχηματίζεται το είδωλο του περιβάλλοντα χώρου πάνω σε αυτή. Ο πιο γνωστός τύπος κατόπτρου είναι το επίπεδο κάτοπτρο ή καθρέφτης, το οποίο έχει επίπεδη επιφάνεια. Επίσης, υπάρχουν τα καμπύλα κάτοπτρα που σχηματίζουν μεγεθυμένα ή είδωλα υπό σμίκρυνση, ή εστιάζουν το φως.
Η πιο συνηθισμένη χρήση του κατόπτρου είναι με τη μορφή καθρέφτη. Παρόλα αυτά κάτοπτρα χρησιμοποιούνται σε πειραματικές διατάξεις όπως τα τηλεσκόπια και τα λέιζερ, όπως επίσης σε μηχανήματα της βιομηχανίας. Παρόλο που τα περισσότερα κάτοπτρα κατασκευάζονται για να αντανακλούν το ορατό φως, υπάρχουν κάτοπτρα που ανακλούν άλλα μήκη κύματος της ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας, ιδιαίτερα σε όργανα οπτικής.
Σε ένα επίπεδο κάτοπτρο μια παράλληλη δέσμη φωτός αλλάζει διεύθυνση κίνησης αλλά εξακολουθεί να παραμένει παράλληλη. Τα είδωλα που παράγονται από επίπεδα κάτοπτρα είναι φανταστικά και έχουν το μέγεθος του πραγματικού αντικειμένου. Επίσης υπάρχουν κοίλα κάτοπτρα, όπου μια παράλληλη δέσμη φωτός συγκλίνει σε ένα σημείο που αποτελεί την εστία του κατόπτρου. Τέλος υπάρχουν κυρτά κάτοπτρα στα οποία μια παράλληλη δέσμη φωτός αποκλίνει δίνοντας την εντύπωση ότι προέρχεται από μια σημειακή πηγή η οποία βρίσκεται «πίσω» από το κάτοπτρο. Πρακτικά τα κοίλα και κυρτά κάτοπτρα δεν εστιάζουν μια παράλληλη δέσμη φωτός σε ένα σημείο λόγω σφαιρικής εκτροπής. Αντίθετα τα παραβολικά κάτοπτρα επιτρέπουν παράλληλες δέσμες φωτός (φως από μακρινά αστέρια ή δέσμες λέιζερ) να εστιάζονται σε μια πολύ μικρή περιοχή, όμως δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε κοντινές αποστάσεις γιατί δεν σχηματίζουν είδωλα κοντινών αντικειμένων αφού η δέσμη φωτός που προσπίπτει σε αυτά δεν είναι παράλληλη. 
Η γωνία πρόσπτωσης μιας δέσμης φωτός που προσπίπτει σε ένα κάτοπτρο είναι ίση με την γωνία ανάκλασης. Έτσι λοιπόν αν η προσπίπτουσα δέσμη σχηματίζει γωνία 30° με ευθεία κάθετη στο επίπεδο του κατόπτρου, τότε ανακλάται επίσης υπό γωνία 30° από την αντίθετη πλευρά.

Κατασκευή

Τα πρώτα κάτοπτρα ήταν λειασμένα φύλλα μετάλλων, κυρίως αργύρου και χαλκού. Τα περισσότερα κάτοπτρα σήμερα αποτελούνται από μια λεπτή στρώση αλουμινίου που έχει αποτεθεί στην οπίσθια πλευρά ενός τεμαχίου γυαλιού με αποτέλεσμα να βλέπει κανείς την ανακλαστική επιφάνεια μέσα από το φύλλο γυαλιού. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα το κάτοπτρο να είναι ανθεκτικότερο αλλά με αυτό τον τρόπο μειώνεται η ποιότητα του ειδώλου εξαιτίας της ανάκλασης αλλά και της διάθλασης από την εξωτερική επιφάνεια του γυαλιού. Αυτός ο τύπος κατόπτρου ανακλά το 80% περίπου του προσπίπτοντος φωτός. Η πίσω πλευρά του κατόπτρου συνήθως επαλείφεται με σκουρόχρωμο βερνίκι για να προστατεύσει το μέταλλο από την διάβρωση και την αποκόλληση από το γυαλί.
Αντίθετα, τα κάτοπτρα που χρησιμοποιούνται σε όργανα ακριβείας έχουν συνήθως την ανακλαστική επίστρωση στην πρόσθια επιφάνεια του γυαλιού για να βελτιώσουν την ποιότητα του ειδώλου. Τα μεταλλικά φύλλα επικαλύπτονται από μια πολύ λεπτή διαφανή επιφάνεια (από πυρίτιο συνήθως) για προστασία από την διάβρωση. Η επίστρωση αυτή είναι κατασκευασμένη με τέτοιο τρόπο ώστε να ενισχύει την ανακλαστική ικανότητα του κατόπτρου.
Τα κάτοπτρα που είναι κατασκευασμένα για ειδικές εφαρμογές, όπως σε λέιζερ και σε εξελιγμένα οπτικά συστήματα, χρησιμοποιούν ανακλαστικές οπτικές επιστρώσεις οι οποίες αποτελούνται από πολλά φύλλα διαφορετικών διηλεκτρικών υλικών. Οι επιστρώσεις σχεδιάζονται έτσι ώστε το κάτοπτρο να έχει πολύ μεγάλη ανακλαστικότητα και πολύ μεγάλη αντοχή. Τα κάτοπτρα αυτά χρησιμοποιούνται κυρίως στα πολύ ισχυρά λέιζερ.

Κοίλα και κυρτά κάτοπτρα

Τα κοίλα και κυρτά κάτοπτρα έχουν μια ακτίνα καμπυλότητας Ρ και ένα κέντρο καμπυλότητας Ο. Ονομάζουμε Α το κέντρο του κατόπτρου. Η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Α και Ο ονομάζεται κύριος άξονας του κατόπτρου. Το σημείο που βρίσκεται στο μέσο του τμήματος ΑΟ ονομάζεται κύρια εστία Ε και η απόσταση ΑΕ εστιακή απόσταση f. Στα κοίλα κάτοπτρα η κύρια εστία βρίσκεται μπροστά από το κάτοπτρο ενώ στα κυρτά πίσω από αυτό, (όπως στο σχήμα). Όταν μια παράλληλη δέσμη προσπίπτει πάνω σε ένα κοίλο κάτοπτρο τότε η ανακλώμενη διέρχεται από την εστία f. Αντίθετα όταν μια παράλληλη  δέσμη προσπίπτει σε ένα κυρτό κάτοπτρο τότε η προέκταση των ανακλώμενων ακτίνων διέρχεται από την κύρια εστία f.

Το κάτοπτρο στο οποίο οι ανακλώμενες ακτίνες συγκλίνουν σε κοινή εστία Ε είναι παραβολή με τύπο .

Το παραβολικό κάτοπτρο μπορεί να παρασταθεί ως τρισδιάστατο παραβολοειδές.

Ιστορία

Τα πρώτα κάτοπτρα που χρησιμοποιήθηκαν από τους ανθρώπους ήταν πιθανότατα λίμνες ακίνητου νερού ή νερού συγκεντρωμένου σε διάφορα δοχεία. Η ανάγκη για δημιουργία καλύτερων κατόπτρων από πιο λείες επιφάνειες οδήγησε στη λείανση του οψιδιανού, ενός ηφαιστειακού πετρώματος. Τέτοιες πέτρες έχουν βρεθεί στη σημερινή Τουρκιά και χρονολογούνται στο 6000 π. Χ. Στη Μεσοποταμία αργότερα το 4000 π. Χ. κατασκευάστηκαν καθρέπτες από χαλκό και στην Αίγυπτο το 3000 π. Χ. Στην κεντρική και νότια Αμερική λείες πέτρες παρατηρούνται από το 2000 π. Χ. Στη Κίνα καθρέπτες από μπρούντζο παρατηρούνται από το 2000 π. Χ. Παράλληλα στη Κίνα παράγονται καθρέπτες από κράμα χαλκοί και κασσίτερου.
Το γυαλί είναι ένα πολύ θεμιτό υλικό για τα κάτοπτρα καθώς η επιφάνεια του είναι λεία από τη φύση του και δημιουργεί ιδιαίτερα καθαρά είδωλα. Επίσης είναι σκληρό και ανθεκτικό στις γραντζουνιές. Όμως από μόνο του έχει χαμηλή ανακλαστικότητα με αποτέλεσμα οι άνθρωποι να το χρησιμοποιούν επικαλύπτοντας το με άλλα μέσα ώστε να την αυξήσουν. Τέτοια κάτοπτρα λέγεται πως ανακαλυφτήκαν στη Σιδώνα του Λιβάνου τον 1ο αιώνα  μ. Χ.
Παραβολικοί καθρέπτες μελετήθηκαν από τον μαθηματικό Διοκλή (240-180 π. Χ.). Ο Πτολεμαίος διεξήγαγε ποικίλα πειράματα με καμπύλα κάτοπτρα από σίδηρο και αναφέρθηκε σε κυρτούς και μη κυρτούς σφαιρικούς καθρέπτες.
Από τον 11ο αιώνα μ. Χ. γυάλινοι καθρέφτες παρασκευάζονται στην Ισπανία. Στη Κίνα από τον 6ο αιώνα επικαλύπτουν μέταλλα με κράματα άργυρου τον οποίο απομόνωναν στη συνεχεία ώστε να παραμείνει μόνο εκείνος στην επιφάνεια για τις ανακλαστικές του ιδιότητες.
Η κατασκευή γυάλινων καθρεφτών επικαλυμμένων με μέταλλα αντιμετωπίζει δυσκολίες καθώς είναι δύσκολο από τους αρχαίους να κατασκευάσουν γυαλί ομοιόμορφο σε πάχος και καθαρότητα. Μέτα από διάφορες νέες μεθόδους κατάφεραν να αντιμετωπίσουν αυτά τα προβλήματα φυσώντας ένα κυλινδρικό γυαλί του οποίου έκοβαν τα άκρα και το χώριζαν στο κέντρο ξεδιπλώνοντας το σε μια ίσια επιφάνεια. Αυτή η μέθοδος όμως παρήγαγε λιγότερο ανθεκτικό προϊόν.
Αυτή η τεχνική ξεκίνησε στη Γερμανία και τελειοποιήθηκε από τους Ενετούς τον 16ο  αιώνα. Εκείνοι πρόσθεσαν μόλυβδο και απομάκρυναν το ασβέστιο από το μείγμα του γυαλιού καθιστώντας το πιο καθαρό και εύπλαστο. Στα πρώτα χρόνια της επανάστασης επικάλυπταν το γυαλί με κράμα κασσίτερου για πιο καθαρή αντανάκλαση. Μάλιστα εκείνη τη περίοδο η Βενετία έγινε διάσημος προορισμός για αγορά καθρεφτών λόγω της ποιότητας τους εκεί βεβαία περιοριζόντουσαν όσον άφορα στο μέγεθος τους καθώς η επιφάνεια τους έφτανε μέχρι τα 100 τετραγωνικά εκατοστά. Αυτό άλλαξε κατά τη βιομηχανική επανάσταση.
Το 1985 ο Γερμανός Justus von Liebig τοποθέτησε λεπτή στρώση ασημιού πάνω στο γυαλί με τη χρήση νιτρικού άργυρου. Αυτό είχε ως αποτέλεσμα τη μαζική παράγωγη φθηνών καθρεπτών. Σήμερα ο πιο διαδεδομένος τρόπος κατασκευής αθάρρευτων συμπεριλαμβάνει ‘υγρή εναπόθεση’ άργυρου, νικελίου ή χρωμίου.

Συμβολισμός

Τα κάτοπτρα συμβολίζουν τη ματαιοδοξία του ανθρώπου και την ανάγκη του για καλλωπισμό. Σημαντικό παράδειγμα αποτελεί ο αρχαίος ελληνικός μύθος του ωραιοπαθούς νέου Νάρκισσου, που ερωτεύεται τον εαυτό του από την στιγμή που κοιτάζεται στα νερά μιας πηγής,και που τελικά πεθαίνει από μαρασμό.Επίσης την εμφάνιση του κατόπτρου έχουμε και στην γερμανική λογοτεχνία, στο πασίγνωστο παραμύθι των "Αδελφών Γκριμ"  "Η Χιονάτη", όπου ο μαγικός καθρέπτης πρέπει να απαντάει στην ερώτηση της ματαιόδοξης βασίλισσας: " Καθρέπτη, καθρεπτάκι μου ποια είναι η πιο ωραία στην χώρα;" .
Σε πολλούς πολιτισμούς πιστεύεται ότι το είδωλο του κατόπτρου είναι η ψυχή (ως υπερβατικό στοιχείο) του ανθρώπου. Έτσι το σπάσιμο του θεωρείται κακή τύχη (γρουσουζιά).