Πυθαγόρας

Ο βίος του

Είναι ο κατεξοχήν θεμελιωτής των ελληνικών μαθηματικών, δημιούργησε ένα άρτιο σύστημα για την επιστήμη των ουρανίων σωμάτων  που κατοχύρωσε με όλες τις σχετικές αριθμητικές και γεωμετρικές αποδείξεις και ήταν ιδρυτής ενός μυητικού φιλοσοφικού κινήματος που λέγεται Πυθαγορισμός (Pythagorism ή Pythagoreanism).Επειδή οι περισσότερες πληροφορίες γράφτηκαν πολλούς αιώνες μετά τον θάνατό του, πολύ λίγες αξιόπιστες πληροφορίες είναι γνωστές γι' αυτόν. Επίσης, επηρέασε σημαντικά τη φιλοσοφία και τη θρησκευτική διδασκαλία στα τέλη του 6ο αιώνα π.Χ., συχνά αναφέρεται ως σπουδαίος μαθηματικός και επιστήμονας και είναι γνωστός για το Πυθαγόρειο Θεώρημα που έχει το όνομά του. Γεννήθηκε περίπου το 580  π.Χ. και ως επικρατέστερος τόπος γεννήσεως παραδίδεται η νήσος Σάμος. Ακόμη είναι πιθανό να ταξίδεψε αρκετά όταν ήταν νέος. Γύρω στο 530 π.Χ. μετακόμισε σε μία ελληνική αποικία στη νότια Ιταλία. Οι υποστηρικτές του Πυθαγόρα  ακολούθησαν τις πρακτικές που ανέπτυξε και μελέτησαν τις φιλοσοφικές του θεωρίες. Τα μέρη συνάντησης των Πυθαγόρειων κάηκαν και ο Πυθαγόρας αναγκάστηκε να φύγει από την πόλη. Πέθανε στο Μεταπόντιον της Ιταλικής Λευκανίας σε ηλικία 84 ετών το 496 π.Χ.

Οι βασικές ιδέες της κοσμοθεωρίας του

Το αντικείμενο ενασχόλησης του Πυθαγόρα ήταν η καθοδήγηση μιας «εταιρείας». Αυτή η εταιρεία ήταν μία μυστική, θρησκευτική κίνηση, που είχε αναπτύξει και έντονη πολιτική δραστηριότητα. 
Οι Πυθαγόρειοι του 5ου αιώνα π.Χ συγκαταλέγονται στους πιο σημαντικούς επιστήμονες του καιρού τους και ο Πυθαγόρας φαίνεται να ενδιαφερόταν ιδιαίτερα για την επιστήμη. Στο Πυθαγόρειο σύστημα οι θρησκευτικοί και φιλοσοφικοί στόχοι είναι αλληλένδετοι. Από την εποχή του Doring έχει προβληθεί η σκέψη πως η ιδέα της κάθαρσης αποτελεί κλειδί για την κατανόηση της σχέσης θρησκείας και επιστήμης στον αρχικό Πυθαγορισμό. Η ιδέα της κάθαρσης δια της επιστήμης, απ΄ ό,τι είναι γνωστό, δεν αποδόθηκε στον Πυθαγόρα παρά μόνο από τον Ιάμβλιχο. Βέβαια ο Αριστόξενος, ο Ηρόδοτος, ο Εμπεδοκλής και ο Ίωνας από την Χίο αποκαλούν τον Πυθαγόρα: «πολυμαθή, ιστορικό και σοφιστή». Γύρω από το χαρακτηρισμό του Πυθαγόρα ως «σοφιστή» επικρατεί διχογνωμία. Μερικοί στη λέξη σοφιστής δίνουν την έννοια «επιστήμονας», σημασιολόγηση  που άλλοι απορρίπτουν. Η λέξη σοφιστής σύμφωνα με τους Λίντελ και Σκοτ αρχικά σήμαινε από τη μια αυτόν που κατείχε καλά την τέχνη του και από την άλλη τον φρόνιμο, τον συνετό. 
Υπάρχουν αρκετές μαρτυρίες που συνδέουν άμεσα τον Πυθαγόρα με την ιατρική ή τον παρουσιάζουν εφευρέτη διαφόρων θεραπευτικών μεθόδων (Ιάμβλιχος). Έχει επισημανθεί επίσης η συνάφεια των Πυθαγορείων με τα ευρήματα στην Ελέα και τις πρακτικές των ιατρομαντών. Οι τελευταίες, σε συνδυασμό με παρατεταμένες περιόδους νηστείας (όπως του Πυθαγόρα) και τον εγκλεισμό σε απομονωμένους υπόγειους θαλάμους, οδηγούσαν σε εκστατικούς οραματισμούς. Ο Εκαταίος ο Αβδηρίτης και ο Αντικλείδης παρουσιάζουν τον Πυθαγόρα ως τον εισηγητή της γεωμετρίας στην Ελλάδα από την Αίγυπτο. Στον ίδιο τον Πυθαγόρα αποδίδονται οι βασικές ιδέες της «θεωρίας» του «κόσμου» και της «κάθαρσης», ιδέες που συνέχουν τις δύο τάσεις της Πυθαγόρειας σχολής, την επιστημονική και τη θρησκευτική.
O Αέτιος λέει πως ο Πυθαγόρας ήταν ο πρώτος που χρησιμοποίησε τη λέξη «κόσμος», αποδίδοντάς της την έννοια της «του όλου περιοχής». Την άποψη του Αετίου αμφισβητούν οι Κερκ και Ρέιβεν, υποστηρίζοντας πως ο Πυθαγόρας χρησιμοποιούσε τη λέξη «κόσμος» με την έννοια της τάξης του σύμπαντος. Στοχαζόμενος την αρχή της τάξης,που αποκαλύπτεται ότι διέπει το σύμπαν και ρυθμίζει την κίνηση των ουράνιων σωμάτων, και εφαρμόζοντας την κοσμική τάξη στον εσωτερικό του κόσμο, ο άνθρωπος μπορεί προοδευτικά να αποκτήσει «αθανασία». 
Μια πολύ σημαντική ανακάλυψη που έκανε ο Πυθαγόρας είναι η αριθμητική ερμηνεία του σύμπαντος. Μετρώντας τα κατάλληλα μήκη της χορδής ενός μονόχορδου, διαπίστωσε πως τα σύμφωνα μουσικά διαστήματα μπορεί να εκφρασθούν σε απλές αριθμητικές αναλογίες των τεσσάρων πρώτων ακεραίων αριθμών. Σ΄αυτόν αποδίδονται οι αριθμητικοί λόγοι της οκτάβας (1/2, δια πασών), της τετάρτης καθαρής (3/4, συλλαβά), της πέμπτης καθαρής (2/3, δι' οξείαν) και του μείζονος τόνου (8/9, επόγδοος, που είναι η διαφορά μεταξύ τετάρτης καθαρής και πέμπτης καθαρής). Αντίστοιχα τα διαστήματα που εκφράζουν οι λόγοι αυτοί από τους αρχαίους Έλληνες ονομάζονταν: δια πασών(1/2), δια τεσσάρων(3/4, λόγος επίτριτος), δια πέντε(2/3, λόγος ημιόλιος) και επόγδοον (8/9, λόγος επόγδοος). Το ενδιαφέρον του Πυθαγόρα για τη μουσική αρμονία οφείλεται στην θεωρία της «Αρμονίας των Σφαιρών» που διατύπωσε η σύζυγός του Θεανώ. 
Επίσης έχουν αποδοθεί σε αυτόν διάφορες γεωμετρικές ανακαλύψεις με γνωστότερο το ομώνυμό του θεώρημα. Ορισμένοι αρχαίοι συγγραφείς απέδωσαν στον Πυθαγόρα την ανακάλυψη πως ο Εωσφόρος (Αυγερινός) και ο Έσπερος (Αποσπερίτης) είναι ένας και ο αυτός αστέρας της Αφροδίτης. Άλλοι απέδωσαν αυτήν την ανακάλυψη στον Παρμενίδη.

Γέννηση και καταγωγή

Οι περισσότεροι αρχαίοι συγγραφείς συμφωνούν πως είναι γιος του Μνησάρχου
, διαφωνούν όμως ως προς την καταγωγή του Μνησάρχου, γιατί άλλοι μεν λένε ότι ήταν Σάμιος
, ενώ ο Νεάνθης στο Ε' βιβλίο των «Μυθικών» γράφει πως ήταν Σύρος, από την Τύρο της Συρίας. Κατά την εκδοχή αυτή, ο Μνήσαρχος έφθασε στη Σάμο με σκοπό το εμπόριο, όταν οι Σάμιοι είχαν έλλειψη σιταριού, και αφού προσέφερε για πώληση σιτάρι, ετιμήθη από την πολιτεία κι έγινε πολίτης της Σάμου.Επειδή από παιδί ο Πυθαγόρας έδειχνε πως ήταν ικανός για κάθε σπουδή, ο Μνήσαρχος τον οδήγησε στην Τύρο και φρόντισε να μυηθεί στις διδασκαλίες των Χαλδαίων. Από εκεί ο Πυθαγόρας ήρθε ξανά στην Ιωνία και συναναστράφηκε αρχικά με τον Φερεκύδη από τη Σύρο κι έπειτα με τον Ερμοδάμαντα τον Κρεοφύλειο από την Σάμο.Όταν δε ο Μνήσαρχος απέπλευσε προς την Ιταλία, πήρε μαζί του τον νεαρό Πυθαγόρα στην Ιταλία, σύμφωνα με την εκδοχή του Νεάνθη.
Όμως, η επικρατέστερη εκδοχή μεταξύ των αρχαίων συγγραφέων, που παραδίδουν οι Απολλώνιος στο «Περί Πυθαγόρου», Πορφύριος στο «Πυθαγόρου Βίος» και Ιάμβλιχος στο «Περί του Πυθαγορείου βίου» θέλει τον Μνήσαρχο όχι μόνον Σάμιο αλλά και απόγονο του Αγκαίου, του πρώτου αποικιστή της Σάμου.
Λέγεται πως ο Αγκαίος, που κατοικούσε στη Σάμη της Κεφαλληνίας είχε γεννηθεί από το Δία και ότι αφού απέκτησε φήμη χάρη στην ανδρεία του είτε χάρη στη μεγαλοψυχία του, διέφερε από τους άλλους Κεφαλλήνες ως προς τη φρόνηση και την υπόληψη. Σε αυτόν δόθηκε χρησμός από την Πυθία να συγκεντρώσει αποίκους από την Κεφαλληνία, την Αρκαδία και τη Θεσσαλία και ακόμη να προσλάβει αποίκους και από τους Αθηναίους και από τους Επιδαύριους και από τους Χαλκιδείς, και αφού γίνει αρχηγός τους, να αποικήσει ένα νησί, που ονομαζόταν Μελάμφυλλος εξαιτίας της ευφορίας του εδάφους και της καλλιεργήσιμης γης, και να ονομάσει την πόλη που θα ιδρύσουν Σάμο, από τη Σάμη της Κεφαλληνίας. Ο Ιάμβλιχος παραδίδει τον εν λόγω χρησμό κάπως έτσι:
"Αγκαίε, την θαλασσίαν νήσον Σάμον αντί της Σάμης
 
σε διατάσσω να οικήσης. Φυλλίς δε ονομάζεται αύτη"
Το ότι η αποικία της Σάμου συστάθηκε από ανθρώπους προερχόμενους από τους προαναφερθέντες τόπους αποδεικνύεται από το ότι οι τιμές και οι θυσίες των θεών (καθώς είχαν μεταφερθεί από τους τόπους καταγωγής των αποίκων) μοιάζουν, καθώς επίσης μοιάζουν μεταξύ τους και τα ονόματα των συγγενειών και οι μεταξύ τους συνδυασμοί που τυχαίνει οι Σάμιοι να κάνουν. Λέγεται λοιπόν ότι ο Μνήσαρχος και η Πυθαΐς, οι γονείς του Πυθαγόρα, προέρχονταν από τον οίκο και την γενιά που δημιουργήθηκε από τον Αγκαίο, τον ιδρυτή της αποικίας της Σάμου. Επειδή δε η ευγενική αυτή καταγωγή θρυλείται μεταξύ των συμπολιτών του Πυθαγόρα, κάποιος Σάμιος ποιητής ισχυρίζεται ότι ο Πυθαγόρας ήταν γιος του Απόλλωνα και αναφέρει τα εξής σχετικά:
«Τον Πυθαγόρα, που γέννησε από τον Απόλλωνα τον φίλο του Διός,
 
η Πυθαΐς, η ομορφότερη μεταξύ των Σαμίων»
Η φήμη αυτή επικράτησε για τον εξής λόγο: Όταν ο Μνήσαρχος βρέθηκε στους Δελφούς για εμπορικούς λόγους, μαζί με την γυναίκα του που δε γνώριζε ακόμη ότι ήταν έγκυος, ζήτησε χρησμό από την Πυθία σχετικά με το επικείμενο ταξίδι του προς την Συρία. Η Πυθία χρησμοδότησε ότι αυτός μεν θα δοκιμάσει μεγάλη ευχαρίστηση και θα αποκτήσει πολλά χρήματα, η δε γυναίκα του ότι εγκυμονεί ήδη και πως θα γεννήσει παιδί που θα διαφέρει κατά την ωραιότητα και τη σοφία από όλους τους ανθρώπους και θα καταστεί πάρα πολύ ωφέλιμο στο ανθρώπινο γένος. Ο Μνήσαρχος κατανοώντας πως κάτι σπουδαίο και θεόσταλτο θα προέκυπτε, μετονόμασε μάλιστα την γυναίκα του από Παρθενίδα σε Πυθαΐδα μετά το χρησμό. Κατόπιν επιχείρησε το ταξίδι που σχεδίαζε έχοντας λάβει τόσο ευνοϊκή προτροπή, με αποτέλεσμα όσο βρισκόταν στην φοινικική Σιδόνα να γεννήσει η Πυθαΐδα το γιο τους. Ο Μνήσαρχος ονόμασε το νεογέννητο Πυθαγόρα καθώς είχε προφητευτεί από τον Πύθιο Απόλλωνα.
Πράγματι ήταν γεγονός αδιαμφισβήτητο από τους αρχαίους ότι η ψυχή του Πυθαγόρα είχε αποσταλεί από την ανώτατη αρχή του Απόλλωνα, είτε επειδή ήταν συναφής είτε κατ' άλλον τρόπο συνδεδεμένη με τον θεό. Η ίδια του η γέννηση και η ποικίλη σοφία της ψυχής του το αποδείκνυαν ολοφάνερα.

Η νεότητα και οι πρώτες σπουδές στην Ελλάδα

Όταν ο Μνήσαρχος επέστρεψε στη Σάμο με πολλά κέρδη και μεγάλη περιουσία, έχτισε ιερό του Πύθιου Απόλλωνα και πρόσεξε ιδιαίτερα την ανατροφή του παιδιού του, αναθέτοντάς την παράλληλα πότε στον Κρεώφυλο, πότε στον Φερεκύδη από τη Σύρο καθώς επίσης και σε ιερείς.
Ο νεαρός Πυθαγόρας μεγάλωνε με μεγάλη σεμνότητα και σωφροσύνη και έγινε όμορφος στην εμφάνιση πολύ περισσότερο από άλλους νέους. Απολάμβανε δε κάθε είδους σεβασμό ακόμη και από τους πολύ μεγαλύτερούς του σε ηλικία πολίτες. Όταν ομιλούσε μετέστρεφε τους πάντες με το μέρος του και εφαίνετο αξιοθαύμαστος ώστε από τους πολλούς να βεβαιώνεται με κάθε φυσικότητα πώς ήταν πράγματι υιός του θεού Απόλλωνος. Ενθαρρυνόμενος από τις σχετικές αυτές δοξασίες και την παιδεία που έλαβε από βρέφος και από τη φυσική του ομορφιά, ακόμη περισσότερο κατέβαλλε προσπάθεια να αποδεικνύει τον εαυτό του άξιο των προτερημάτων που τον διακοσμούσαν. Όλα όσα έλεγε ή έπραττε τα έκανε με μειλιχιότητα, δίχως να κυριεύεται ούτε από οργή, ούτε από ζήλια, ούτε από εριστικότητα ούτε από άλλη διαταραχή ή επιπολαιότητα. Μεγάλη θρησκευτικότητα χαρακτήριζε τη συμπεριφορά του και ακολουθούσε ιδιαίτερα σημαντικές δίαιτες, με ισορροπία ψυχής και εγκράτεια σώματος.
Όντας ακόμη έφηβος, η φήμη του έφθασε εις την Μίλητο προς τον Θαλήν και εις την Πριήνη προς τον Βίαντα, τους δύο εκ των επτά σοφών της αρχαιότητος και σε πολλά μέρη οι άνθρωποι εξεθείαζαν τον νεανία, αποκαλώντας τον, τον "εν Σάμω κομήτην". Μόλις εις τη Σάμο άρχισε να εμφανίζεται το τυραννικό καθεστώς του Πολυκράτους, εποχή όπου ο Πυθαγόρας ήταν περίπου δεκαοκτώ ετών, προβλέποντας ότι η τυραννία θα εμπόδιζε τα σχέδιά του και την φιλομάθειά του, έφυγε μαζί με τον Ερμοδάμαντα τον Κρεοφύλειο για τη Μίλητο και την Σχολή της Ιωνίας κοντά στον Φερεκύδη και στον φυσικό Αναξίμανδρο και στον φιλόσοφο Θαλή. Με την προσωπικότητα και την ευφράδεια της ομιλίας του, κέρδισε τον θαυμασμό και την εκτίμηση όλων και κατέστη κοινωνός των διδασκαλιών των. Μάλιστα ο Θαλής διακρίνοντας τη μεγάλη διαφορά του Πυθαγόρα εν συγκρίσει με τους άλλους  νέους, του παραστάθηκε με ευχαρίστηση και του μετέδωσε όσες γνώσεις κατείχε, που ήταν δυνατόν να μεταδοθούν. Κοντά στον Θαλή ο Πυθαγόρας έλαβε την πρώτη του σοβαρή εκπαίδευση πάνω στα μαθηματικά, τη γεωμετρία και όσα έχουν σχέση με τους αριθμούς και τους υπολογισμούς. Ήταν ο Θαλής που προέτρεψε τον Πυθαγόρα να μεταβεί στην Αίγυπτο και να συναναστραφεί με τους ιερείς της Μέμφιδος και της Διοσπόλεως, από τους οποίους ο ίδιος ο Θαλής είχε λάβει πολλές γνώσεις, προλέγοντας πως εάν ο Πυθαγόρας ερχόταν σε επαφή μαζί τους, θα γινόταν θεϊκότερος και σοφότερος από όλους τους ανθρώπους.

Τα ταξίδια και η παιδεία του Πυθαγόρα

Ο νεαρός Πυθαγόρας έχοντας βελτιώσει τις διατροφικές του συνήθειες κοντά στον Θαλή, χρησιμοποιώντας με άριστο μέτρο ελαφρές και ευκολοχώνευτες τροφές, δίχως υπερβολές στην οινοποσία, απέκτησε πολύ καλή υγεία, την ικανότητα να κοιμάται λίγο καθώς και διαύγεια και καθαρότητα ψυχής. Ακολουθώντας την προτροπή του διδασκάλου του, απέπλευσε προς την Σιδώνα θεωρώντας πως από εκεί θα μετέβαινε ευκολότερα προς την Αίγυπτο. Εκεί συνάντησε τους απογόνους του Μώχου, του φυσιολόγου-μάντη, και τους άλλους ιεροφάντες της Φοινίκης και μυήθηκε στα ιερά μυστήρια της Βύβλου και της Τύρου και εις τις τελετουργίες που ιερουργούνται σε πολλά μέρη της Συρίας. Όχι από λόγους δεισιδαιμονίας αλλά από μεγάλη επιθυμία και όρεξη για μάθηση, για να μην του διαφύγει κάτι αξιοσπούδαστο που υποκρύπτεται στα απόρρητα μυστήρια των Θεών και στις ιερές τελετές. Εκεί έμαθε πως τα περισσότερα τελετουργικά στοιχεία είναι "άποικα", δηλαδή προέρχονται από αλλού και ότι κατάγονται από τα ιερά της Αιγύπτου. Έτσι, αποφάσισε να διαπλεύσει προς την Αίγυπτο ελπίζοντας ότι εκεί θα μετάσχει σε μυστήρια θειότερα και γνησιότερα. 
Ο Ιάμβλιχος διηγείται πως κατά το ταξίδι οι Αιγύπτιοι ναύτες είχαν σκεφθεί να τον πουλήσουν διότι πίστευαν πως θα βγάλουν μεγάλο κέρδος από την πώληση ενός τέτοιου νέου, όμως εντός ολίγων ημερών άλλαξαν γνώμη βλέποντας την ασυνήθιστα ήρεμη και επιβλητική συμπεριφορά του Πυθαγόρα, καθώς και την μεγάλη του ικανότητα εγκράτειας στην τροφή, το ποτό και τον ύπνο. Επιπλέον, το πλοίο φαινόταν να προχωρεί με ευθύτητα και ομαλά, σαν να παραστεκόταν κάποιος θεός. Έτσι οι ναύτες πίστεψαν πώς είναι θείος δαίμονας και διήνυσαν το υπόλοιπο ταξίδι με ευχάριστη διάθεση, συμπεριφερόμενοι σεμνότερα προς τον φιλόσοφο, ώσπου το πλοίο έφθασε στα παράλια της Αιγύπτου δίχως να συναντήσει τρικυμία.
Αυτή την εκδοχή παραδίδει ο Ιάμβλιχος, ο Πορφύριος όμως γράφει ότι ο Πυθαγόρας για να μεταβεί εις την Αίγυπτο εξασφάλισε συστατικές επιστολές από τον τύραννο της Σάμου Πολυκράτη για τον βασιλέα της Αιγύπτου Άμασι με τον οποίο ο Πολυκράτης συνδεόταν με δεσμούς φιλοξενίας, ώστε να μπορέσει να γίνει δεκτός από τους Αιγύπτιους ιερείς για να διδαχθεί.
Όπως και να έχει, φαίνεται πως πρώτα ήλθε εις την Ηλιούπολη και από εκεί ταξίδεψε προς την Μέμφιδα και κατόπιν έφθασε εις την Διόσπολη. Οι Αιγύπτιοι ιερείς για να δοκιμάσουν την αντοχή του τον υπέβαλλαν σε δύσκολα προστάγματα εντελώς αντίθετα με την ελληνική αγωγή, νομίζοντας ότι ως ξένος δεν θα τα κατάφερνε στην σκληρή αιγυπτιακή ιερατική εκπαίδευση. Όμως ο Πυθαγόρας επιτέλεσε όλα τα προστάγματα με μεγάλη προθυμία και τόσο πολύ θαυμάστηκε που έλαβε την άδεια να θυσιάζει στους Θεούς και να παίρνει μέρος στις φροντίδες γι´αυτούς, προνόμιο που δεν αναφέρεται να παραχωρήθηκε σε κανέναν άλλο ξένο. Εκεί εντρύφησε ακόμη περισσότερο στη γεωμετρία και την αστρονομία τελειοποιώντας τις γνώσεις του κι έφθασε στο απόγειο της μάθησης της επιστήμης των αριθμών και της μουσικής.
Σύμφωνα με τον Ιάμβλιχο ο Πυθαγόρας έμεινε 22 χρόνια στην Αίγυπτο και κατόπιν μεταφέρθηκε στη Βαβυλώνα, αιχμάλωτος από τους στρατιώτες του Καμβύση και ότι εκεί πέρασε ευχάριστα, συναναστρεφόμενος τους Μάγους, δηλαδή τους Πέρσες ιερείς και διδασκόμενος θεολογικά και αστρονομικά θέματα για άλλα δώδεκα έτη, επιστρέφοντας στη Σάμο άγων ήδη το πεντηκοστό έκτο έτος της ηλικίας του. Ο Πορφύριος όμως παραλαμβάνοντας την πληροφορία από τον Αριστόξενο αναφέρει πως ήταν περίπου 40 ετών όταν έφυγε από τη Σάμο για την Ιταλία.

Η επιστροφή στην Ελλάδα

Όταν ο Πυθαγόρας επέστρεψε στη Σάμο, κατασκεύασε διδασκαλείο ημικυκλικό που για αιώνες αργότερα διατηρήθηκε με την ονομασία «ημικύκλιο του Πυθαγόρα», στο οποίο οι Σάμιοι συσκέπτονταν για τα κοινά. Το λίγο διάστημα που έμεινε στην πατρίδα του, ασχολήθηκε με τη διδασκαλία κάποιων νέων, μεταξύ των οποίων ήταν ο Ευρυμένης ο Σάμιος, αθλητής που νίκησε πολλούς και μεγάλους αθλητές στους Ολυμπιακούς Αγώνες. Ενώ οι άλλοι αθλητές σύμφωνα με τον αρχαίο τρόπο τρέφονταν με νωπό τυρί, ξερά σύκα και στάρι, εκείνος ακολουθώντας τις οδηγίες του Πυθαγόρα έτρωγε καθημερινά κρέας δυναμώνοντας το σώμα του, όπως αναφέρει ο Διογένης Λαέρτιος. Φέρεται να δίδασκε την αρχή της Ύβρεως και της Νέμεσης και γι' αυτό επινόησε τη Δικαία Κούπα. Είχε φτιάξει μια κούπα εφαρμόζοντας τους νόμους της Φυσικής για να πίνει με μέτρο το κρασί. Υπήρχε μία γραμμή που όριζε μέχρι που έπρεπε να γεμίζει κανείς. Μια στάλα παραπάνω και η κούπα άδειαζε όλο το περιεχόμενο της.
Επίσης φέρεται να υποκίνησε την μάθηση της γεωμετρίας σε έναν νέο με το τέχνασμα να πληρώνει το νέο τρεις οβολούς για κάθε μάθημα που παρακολουθούσε. Όταν ο νέος είχε αντιληφθεί πλέον την υπεροχή των μαθηματικών και με ευχαρίστηση τα μάθαινε, ο Πυθαγόρας προφασίστηκε αδυναμία καταβολής των τριών οβολών. Όπως το περίμενε, ο νέος αρνήθηκε να σταματήσει τα μαθήματα, δίχως να τον ενδιαφέρει πλέον ο μισθός. Τότε ο Πυθαγόρας προφασίστηκε πως έπρεπε να εργαστεί για τα αναγκαία και δεν είχε άλλο χρόνο διαθέσιμο για να τον διδάσκει, αλλά ο νέος τόσο πολύ είχε αγαπήσει τα μαθηματικά που πρότεινε ο ίδιος μισθό τριών οβολών στον Πυθαγόρα για κάθε μάθημα. Λέγεται πως ο νέος ήταν συνονόματος του Πυθαγόρα (και υιός του Ερατοκλέους) και πως απέπλευσε μαζί με το δάσκαλό του, όταν αυτός αποφάσισε να φύγει από τη Σάμο.
Ο Πυθαγόρας επιχειρούσε με κάθε τρόπο να μεταδώσει στους συμπατριώτες του τα μαθήματα των αριθμών καθώς και άλλες γνώσεις της πολύ πλούσιας παιδείας του. Όμως οι Σάμιοι δεν έδειξαν το απαιτούμενο ενδιαφέρουν ούτε και ακολούθησαν τις διδασκαλίες του στον τρόπο ζωής τους με αποτέλεσμα ο Πυθαγόρας να παραιτηθεί εν τέλει από τις προσπάθειες διαπαιδαγώγησης τους. Τον θαύμαζαν βεβαίως και του προσέφεραν αξιώματα και μάλιστα τον ανάγκαζαν να συμμετέχει σε όλες τις δημόσιες λειτουργίες, ενώ η φήμη του τόσο είχε απλωθεί σε όλη την Ελλάδα που άλλοι μεγάλοι φιλόσοφοι επίσης ήλθαν εις την Σάμο, ζητώντας να τον συναντήσουν. Ο Πυθαγόρας διεπίστωσε ότι η συμμόρφωσή του προς τα πρόσθετα αυτά καθήκοντα προς την πατρίδα δυσχέραινε τη δυνατότητα να φιλοσοφεί. Επιπλέον η τυραννίδα του Πολυκράτους είχε πλέον επικρατήσει και ο φιλόσοφος την θεωρούσε εν μέρει υπεύθυνη για την αδιαφορία των Σαμίων προς τα μαθηματικά και την φιλοσοφία. Θεωρώντας πως δεν είναι σωστό ένας άνδρας φιλόσοφος με ελεύθερα φρονήματα να ζει κάτω από ένα τέτοιο πολίτευμα, απεφάσισε να μετοικίσει προς την νότια Ιταλία - είχε δε την γνώμη πως πατρίδα του είναι η χώρα εκείνη όπου περισσότεροι άνθρωποι είναι δυνατόν να βρεθούν με καλή διάθεση να μαθαίνουν.

Η φυγή προς τον Κρότωνα. Η δράση του Πυθαγόρα στην Ιταλία

Σύμφωνα με τον Πορφύριο, ο Πυθαγόρας δεν πήγε απευθείας εις τον Κρότωνα αλλά πρώτα επισκέφθηκε τους Δελφούς (κατ' άλλους και τη Δήλο). Εκεί μαθήτευσε και δίπλα στην Θεμιστόκλεια (ή Αριστόκλεια), την ιέρεια των Δελφών. Ο σεβασμός του προς την δασκάλα του και τις γνώσεις της ήταν τέτοιος που τον έκανε να οραματιστεί ένα είδος φιλοσόφου χωρίς περιορισμούς φύλου.  Ο Πορφύριος στο "Πυθαγόρου Βίος" έγραψε ότι ο Πυθαγόρας "δίδαξε και πολλά άλλα που έλεγε ότι τα έμαθε από την Αριστόκλεια στους Δελφούς". Αυτός ήταν και ο λόγος που η περίφημη Σχολή που θα ίδρυε αργότερα στον Κρότωνα δεχόταν και γυναίκες, πολλές από τις οποίες μάλιστα έγιναν και οι ίδιες σημαντικές φιλόσοφοι όπως η Αισάρα, η Δαμώ, η Μελίσσα, η Θεανώ, η Ασπασία, η Περικτιόνη (η μητέρα του Πλάτωνα), η Πλινθύς, η Πτολεμαΐδα, η Αριγνώτη, η Αρετή, κ.α. 
Κατόπιν έφθασε εις την Κρήτη θέλοντας να συναντήσει τους μύστες του Μόργου, ενός από τους Ιδαίους Δάκτυλους. Από αυτούς εκαθάρθη με την "κεραύνιαν λίθον", την ημέρα κοντά στην θάλασσα ξαπλωμένος μπρούμυτα και την νύχτα κοντά στον ποταμό στεφανωμένος με μαλλί μελανού αρνιού. Κατήλθε και στο Ιδαίο άντρο κρατώντας μελανού αρνιού μαλλί, όπου παρέμεινε τις καθιερωμένες 27 ημέρες και απέδωσε προσφορές στον Δία.
Όταν έφθασε εις την Ιταλία, πήγε πρώτα στον Κρότωνα, όπου έκανε μεγάλη εντύπωση στους εκεί κατοίκους. Ήταν ένας άνδρας με μακρόχρονες περιπλανήσεις και εξαιρετικός από την ίδια του τη φύση, καλά προικισμένος από την τύχη, φιλελεύθερος στα φρονήματα και μεγάλος, με πολλή χάρη και ευπρέπεια στον λόγο και στο ήθος και σε όλα τα άλλα, με αποτέλεσμα να γοητεύσει τους ανώτατους άρχοντες της πόλεως. Και αφού είπε πολλά καλά, κατά διαταγή των αρχόντων άρχισε να συμβουλεύει τους νέους. Μετά απ' αυτά, οι νέοι προσέρχονταν αθρόα κοντά στον Πυθαγόρα και ύστερα οι γυναίκες και έτσι ιδρύθηκε από αυτόν σύλλογος γυναικών. Η φήμη του μεγάλωσε ακόμη περισσότερο και απέκτησε πολλούς οπαδούς ακόμη και βασιλείς και δυνάστες από την γειτονική βάρβαρη χώρα. Εκείνα που έλεγε στους μαθητές του ("συνόντας") δεν είναι γνωστά με βεβαιότητα διότι υπήρχε σκόπιμη σιωπή. Κυρίως γινόταν γνωστά σε όλους πρώτον ότι η ψυχή είναι αθάνατη και έπειτα ότι η ψυχή μεταβιβάζεται σε άλλα γένη ζώων (μετενσάρκωση). Ο Ιάμβλιχος εξάλλου λέει ότι, σύμφωνα με τον Ηρακλείδη τον Ποντικό, ο Αιθαλίδης ήταν η πρώτη ενσάρκωση  του Πυθαγόρα. Ο τελευταίος δίδασκε επίσης ότι σε μερικές περιόδους εμφανίζονται πάλι εκείνα που υπήρξαν κάποτε, τίποτε νέο δεν υπάρχει και ότι όλα όσα γίνονται έμψυχα πρέπει να τα θεωρούμε σαν ομογενή. Αναφέρεται πως πρώτος ο Πυθαγόρας έφερε στην Ελλάδα αυτά τα δόγματα. .
Με την πρώτη του δημόσια ομιλία, ενώπιον του δήμου μετέστρεψε τους πάντες υπέρ του και όπως παραδίδει ο Νικόμαχος περισσότεροι από δύο χιλιάδες παρακολούθησαν τους λόγους του. Γοητεύτηκαν δε τόσο που δεν επέστρεψαν στις ιδιαίτερες πατρίδες τους αλλά μαζί με τα παιδιά και τις γυναίκες τους έκτισαν ένα τεράστιο οίκημα ομαδικής ακροάσεως, το Ομακοείον και ίδρυσαν την ονομαζόμενη απ' όλους Μεγάλη Ελλάδα στην Ιταλία, γινόμενοι πολίτες της. Και αφού αποδέχθηκαν ορισμένους Νόμους και παραγγέλματα απ' αυτόν σαν να ήταν θείες υποθήκες έξω από τις οποίες τίποτε δεν έκαναν, παρέμειναν με ομόνοια μαζί με το σύνολο των μαθητών επευφημούμενοι και μακαριζόμενοι από όλους τους γύρω των. Τις δε περιουσίες τους έθεταν σε κοινή χρήση και συγκατέλεγαν τον Πυθαγόρα μεταξύ των Θεών. Γι' αυτό ένα απ' τα απόρρητα που παρεδόθησαν σ' αυτούς κατά τα μαθήματα, είναι η λεγόμενη Τετρακτύς με την οποία ορκίζονταν για όλα όσα ήθελαν να βεβαιώσουν επικαλούμενοι την ενέργεια της ύπαρξης του Πυθαγόρα(σαν κάτι θείο):
Ού, μα τον αμετέραι γενεάι παραδόντα τετρακτύν,

παγάν αενάου φύσεως ριζώματ' έχουσαν.
(Όχι, μα τον παραδόσαντα και στη δική μας γενεά την τετρακτύν,

την πηγή αενάου φύσεως που ρίζες έχει)
Και όταν ταξίδεψε προς την Ιταλία και την Σικελία, όσες πόλεις βρήκε υποδουλωμένες τη μια στην άλλη, άλλες από πολλά χρόνια και άλλες πρόσφατα, αφού τις ενέπνευσε με ελεύθερα φρονήματα, απελευθέρωσε με την βοήθεια των σε ακροατών του, τον Κρότωνα, τη Σύβαρη, την Κατάνη, το Ρήγιο και μερικές άλλες. Έθεσε δε και νόμους μαζί με τον Χάρωνδα από την Κατάνη και τον Ζάλευκο τον Λοκρό, με τους οποίους νόμους έγιναν αξιοζήλευτες για πολύ καιρό. Λέγεται πως ο Σίμιχος, ο τύραννος των Κεντοριπίνων όταν άκουσε τον Πυθαγόρα, απαρνήθηκε την εξουσία και τα χρήματα και τα μοίρασε στην αδελφή του και στους συμπολίτες του. Ο Αριστόξενος παραδίδει πως ήρθαν κοντά του για να διδαχθούν Λευκανοί, Μεσσάπιοι, Λευκέτιοι και Ρωμαίοι. Ο Πυθαγόρας απέτρεψε οριστικά στάσεις και αναρχία όχι μόνο στην εποχή του αλλά και μεταξύ των απογόνων των μαθητών του για πολλές γενεές διατηρήθηκαν οι διδαχές του. Αυτός έκανε γνωστό το σοφό απόφθεγμα: "με κάθε τρόπο πρέπει να διώχνεται και να καυτηριάζεται με φωτιά, και με σίδερο και με άλλες επινοήσεις η αρρώστια από το σώμα, η πολυτέλεια από την κοιλιά, η επανάσταση από την πόλη, η διχόνοια από το σπίτι και απ' όλα μαζί η αμετρία".

Τα τελευταία έτη του βίου. Η καταστροφή του Ομακοείου

Επειδή τόσο ο ίδιος ο Πυθαγόρας όσο και οι μαθητές του περιβάλλονταν από μεγάλο κύρος και απολάμβαναν της εμπιστοσύνης και του θαυμασμού των κατοίκων της Ιταλίας, παρουσιάστηκε το φαινόμενο να τους αναθέτουν οι εκεί πόλεις τη διοίκησή τους. Ωστόσο, σε μεταγενέστερο χρόνο, έγιναν αντικείμενο φθόνου και στόχος συνομωσιών:
Υπήρχε ένας άντρας από τον Κρότωνα, ο Κύλων, που παρότι καταγόταν από αριστοκρατική γενεά και διέθετε πλούτο μεγαλύτερο από των άλλων πολιτών, δεν διέθετε ευγενή χαρακτήρα αλλά ήταν φορτικός, βίαιος και τυραννικός. Χρησιμοποιούσε τον κύκλο των φίλων του και την δύναμη του πλούτου του για να μπορεί να αδικεί και όντας άπληστος είχε την αξίωση να κατέχει οτιδήποτε του φαινόταν καλό. Αυτός λοιπόν πίστευε πως έπρεπε να γίνει μέτοχος και στην φιλοσοφία του Πυθαγόρα και να γίνει δεκτός μεταξύ των μαθητών. Προσήλθε στον Πυθαγόρα αυτοεπαινούμενος και επιθυμώντας να γίνει μαθητής του. Όμως ο Πυθαγόρας διακρίνοντας από τη φυσιογνωμία του ανδρός και από άλλα σημάδια το ποιόν του, τον διέταξε αμέσως να φύγει και να επιστρέψει στις ασχολίες του. 
Ο Κύλων το εξέλαβε ως μεγάλη προσβολή και οργίσθηκε πολύ. Συγκέντρωσε τους φίλους του, όπου κατηγόρησε τον Πυθαγόρα και μαζί τους άρχισε να προετοιμάζεται για να βλάψει αυτόν και τους μαθητές του. Φαίνεται πως υπήρχαν και πολιτικά αίτια όμως για το μίσος του Κύλωνος διότι ήθελε να μεταβάλει το πατροπαράδοτο πολίτευμα του Κρότωνος που όριζε ορισμένο αριθμό πολιτών με το δικαίωμα να συμμετέχουν στην εκκλησία του δήμου (οι «χίλιοι»). Ο Κύλων ήθελε να συμμετέχουν όλοι, ώστε να μπορεί να εξαγοράζει πολιτική δύναμη, δωροδοκώντας πολλούς από εκείνους. Όμως, σε αυτά του τα σχέδια εναντιώθηκαν οι Πυθαγόρειοι Κροτωνιάτες Αλκίμαχος, Δείναρχος, Μέτων και Δημοκίδης.
Υποβοηθούμενος από τον ρήτορα Νίνονα, που συνέγραψε βιβλίο που υποτίθεται πως περιείχε τις μυστικές διδασκαλίες των Πυθαγορείων, ο Κύλων έβαλε να αναγνώσουν το πλαστό σύγγραμμα και άρχισε να συκοφαντεί τους Πυθαγόρειους πως ετοιμάζουν τυραννίδα. Εντός ολίγων ημερών με δημαγωγία και συκοφαντία ξεσήκωσε τον λαό εναντίον των Πυθαγορείων και ο ίδιος με τους υποστηρικτές του επιτέθηκαν στους συντρόφους την ημέρα που είχαν συγκεντρωθεί στην οικία του Μίλωνα. Ο Πυθαγόρας έλειπε σε ταξίδι προς τη Σύρο, για να περιποιηθεί τον άρρωστο Φερεκύδη που υπήρξε δάσκαλός του. Επακολούθησε συμπλοκή κατά την οποία σκοτώθηκαν πολλοί από τους συντρόφους του Πυθαγόρα και πυρπόλησαν το οίκημα. Μόνον ο Άρχιππος και ο Λύσις κατάφεραν να διαφύγουν με κάποιο τρόπο. Ο Λύσις έφθασε εις την Θήβα όπου έζησε τον υπόλοιπο βίο του και μάλιστα συναναστράφηκε με τον νεαρό τότε Επαμεινώνδα του οποίου έγινε και διδάσκαλος, μεταφυτεύοντας εκεί τα σπέρματα της Πυθαγορείου φιλοσοφίας.
Οι πιο ακριβείς ιστορικοί, όμως, όπως ο Δικαίαρχος αναφέρουν πως ο Πυθαγόρας βρισκόταν εκεί διότι ο Φερεκύδης πέθανε πριν την αναχώρηση του Πυθαγόρα από τη Σάμο. Από τους συντρόφους λέγουν πως σαράντα συνελήφθησαν συγκεντρωμένοι σε σύσκεψη στην οικία του Μίλωνα, ενώ άλλοι φονεύθηκαν κατά τις συμπλοκές που ακολούθησαν στην πόλη. Ο Πυθαγόρας μαζί με τους υπόλοιπους διέφυγαν αρχικώς μεταβαίνοντας προς τους Λοκρούς. Οι εκεί πολίτες όμως φοβούμενοι πιθανό πόλεμο αρνήθηκαν να τους δεχθούν και αφού τους προμήθευσαν τα αναγκαία, ο Πυθαγόρας έπλευσε προς τον Τάραντα κι από εκεί προς το Μεταπόντιο. Εκεί λέγεται ότι τελείωσε τη ζωή του, αποσυρόμενος στο ιερό των Μουσών και παραμένοντας εκεί για σαράντα ημέρες δίχως τροφή.
Οι καλούμενοι Κυλώνειοι συνέχιζαν να προκαλούν προβλήματα προσπαθώντας να υποκινήσουν ταραχές και στάσεις και σε άλλες πόλεις, όσες ήθελαν να ρυθμίζονται τα πολιτικά ζητήματα από Πυθαγόρειους. Για ένα διάστημα επικρατούσε η καλοκαγαθία των Πυθαγορείων αλλά σιγά σιγά οι ίδιοι έπαυσαν να φροντίζουν για την διακυβέρνηση των πόλεων, εξ αιτίας της αδιαφορίας που έδειξαν οι πόλεις για το κακό που έγινε εις τον Κρότωνα και επίσης λόγω της απώλειας των ικανότατων προς πολιτική διακυβέρνηση ανδρών. Ο Αριστόξενος διηγείται πως σχεδόν όλοι έφυγαν από την Ιταλία εκτός από τον Αρχύτα τον Ταραντίνο και πως αρκετοί εξ αυτών συγκεντρώθηκαν εις το Ρήγιο, διαφυλάσσοντας τα παραδοσιακά ήθη και φιλοσοφία μέχρις ότου πέθαναν με αξιοπρέπεια. «Οι Πυθαγόρειοι έδιωξαν απ' αυτούς, τους θρήνους, τα δάκρυα και κάθε τι παρόμοιο. Απείχαν κι από τις παρακλήσεις, τις ικεσίες και απ' όλες τις τέτοιου είδους δουλοπρεπείς κολακείες». Ο Νικόμαχος γράφει πως οι διασκορπισμένοι Πυθαγόρειοι διατήρησαν ακέραια την φιλία μεταξύ των και απέφευγαν την επικοινωνία με τους ανθρώπους. Φοβούμενοι μήπως εκλείψει το όνομα της φιλοσοφίας από τους ανθρώπους και οι ίδιοι μισηθούν από τους Θεούς γι' αυτό, συνέταξαν κεφαλαιώδη υπομνήματα με τα συγγράμματα των παλαιοτέρων και όσα θυμόντουσαν, ορκίζοντας τις γυναίκες και τους απογόνους των να μην τα δώσουν σε κανέναν έξω από τους Οίκους.
Σύμφωνα με έρευνες ο Πυθαγόρας παντρεύτηκε την διάσημη φιλόσοφο και επιστήμονα Θεανώ. Απέκτησαν έναν γιό, τον Τηλαύγη και τρία κορίτσια, τη Δαμώ, τη Μυία και την Αριγνώτη που έγιναν όλα σημαντικοί πυθαγόρειοι φιλόσοφοι.
Διάδοχος του Πυθαγόρα έγινε ο Αρισταίος ο Κροτωνιάτης που κατείχε άριστα τη διδασκαλία. Έλαβε σύζυγο την σύζυγο του Πυθαγόρα Θεανώ και ανέθρεψε τον νεότερο αδελφό της Μνήμαρχο. Ο Μνήμαρχος αργότερα διαδέχθηκε τον Αρισταίο. Άλλοι επιφανείς Πυθαγόρειοι ήταν ο Φιλόλαος από το Μεταπόντιο και ο Αρχύτας ο Ταραντίνος. Μέσω του Φιλολάου κάποια συγγράμματα των μεταγενέστερων Πυθαγορείων παρεδόθησαν στον Δίωνα, μαθητή του Πλάτωνος με αποτέλεσμα την γόνιμη συνέχεια του Πυθαγορισμού μέσω της Πλατωνικής Ακαδημίας.
Με το όνομα του Πυθαγόρα σώζεται το επίγραμμα VII 746 της  Παλατινής Ανθολογίας το οποίο θεωρείται ψευδεπίγραφο.

Πυθαγόρειο Θεώρημα

Υπάρχουν τεκμήρια του 4ου αιώνα π.Χ., που ενισχύουν την εκδοχή να είχε ανακαλύψει ο ίδιος ο Πυθαγόρας το ομώνυμο γεωμετρικό Θεώρημα, σύμφωνα με το οποίο σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο της υποτείνουσας (η πλευρά απέναντι από την ορθή γωνία) είναι ίση με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών,.
Σε αντιδιαστολή με τους Βαβυλώνιους και τους Ινδούς που επέλυαν σχετικά προβλήματα με τελείως πρακτικό τρόπο, ο ίδιος ή οι μαθητές του φέρονται να είχαν εκπονήσει την πρώτη θεωρητική του απόδειξη. Ωστόσο, έχει προταθεί πως ο τρόπος με τον οποίο χειρίστηκαν οι Βαβυλώνιοι τους Πυθαγόρειους αριθμούς φανερώνει ότι ήξεραν έναν τρόπο απόδειξης ο οποίος δεν έχει ανακαλυφθεί ακόμη.  Πράγματι, έχει υποστηριχθεί ότι το πυθαγόρειο θεώρημα, καθώς και η λύση στο πρόβλημα εύρεσης της τετραγωνικής ρίζας του αριθμού 2, παρουσιάστηκαν  στις ινδικές Śulbasūtras  (Śulba σημαίνει «νήμα ή σχοινί») πριν από την εποχή του Σάμιου φιλοσόφου. Εντούτοις, η χρονολόγηση αυτών των κειμένων παραμένει αβέβαιη· θεωρητικά, οι Śulbasūtras αποτελούν μέρος των Kalpa Sūtras, παράλληλα με τις Śrautasūtras, Gṛihya Sūtras και Dharma Sūtras.  Ένα απλοϊκό επιχείρημα που επιστρατεύεται συχνά για να υποστηρίξει την παλαιότητά τους είναι ότι «πραγματεύονται  την κατασκευή ιερών βωμών»: Οι κατόψεις των βωμών σχεδιάζονταν σε επίπεδο έδαφος με τη χρήση σχοινιών προσαρτημένων σε πακτωμένους πασσάλους. Η κειμενική  ανάλυση δείχνει ότι στη δομή τους δεν διακρίνονται οι ανωμαλίες και η αρχαϊκή φρασεολογία που χαρακτηρίζουν τα παλαιότερα  κείμενα, ενώ, αντίθετα,  περιέχουν νεότερους όρους. Γενικότερα εκτιμάται ότι τα εν λόγω έργα συντάχθηκαν κατά το τέλος της περιόδου των Sūtras, όταν πλέον είχε αναπτυχθεί  ενδιαφέρον για το αντικείμενο. Ο τρόπος διατύπωσης των λύσεων στα προβλήματα που απασχόλησαν τις Śulbasūtras του Baudhāyana δείχνει ότι το ενδιαφέρον των Ινδών για τα μαθηματικά προερχόταν αποκλειστικά από την ανάγκη εξυπηρέτησης πρακτικών αναγκών. Το ίδιο ισχύει και για τους Βαβυλώνιους· τα επόμενα παραδείγματα είναι χαρακτηριστικά της ακολουθούμενης μεθοδολογίας από τους τελευταίους: α) λύση μιας υποπερίπτωσης του πυθαγόρειου θεωρήματος: «Το εγκάρσια τανυζόμενο νήμα σε ένα τετράγωνο παράγει μια επιφάνεια με διπλάσιο μέγεθος από αυτήν του αρχικού τετραγώνου» και β) εύρεση κύκλου του οποίου η επιφάνεια είναι ίση με αυτήν ενός τετραγώνου. Η προτεινόμενη βαβυλωνιακή λύση (χωρίς περαιτέρω απόδειξη ή θεωρητική συζήτηση) είναι: «Χάραξε τη μισή διαγώνιο (του τετραγώνου) από το κέντρο προς την πλευρά ανατολής-δύσης· στη συνέχεια σχεδίασε κύκλο μαζί με το ένα τρίτο του τμήματός της που βρίσκεται εκτός του τετραγώνου».

Τα Ακούσματα

Κατά την όψιμη αρχαιότητα, διάφοροι συγγραφείς παρέθεταν συλλογές αφορισμών που τις ονόμαζαν «ακούσματα» ή «σύμβολα», και τις παρουσίαζαν  ως προερχόμενες από τη διδασκαλία των Πυθαγορείων. Μέρος αυτού του υλικού είναι πολύ παλιό, αλλά δεν προσφέρεται για ακριβή χρονολόγηση. Ήδη από τον 4ο αιώνα, τα «ακούσματα» αποτελούσαν αντικείμενο μελέτης από διάφορους λογίους, όπως π.χ. από τον Αναξίμανδρο τον Νεότερο. Ο εν λόγω συγγραφέας έγραψε την Εξήγηση των Πυθαγορείων συμβόλων, γεγονός που οδηγεί στο συμπέρασμα ότι η εν λόγω παράδοση προηγούνταν του Πλάτωνα. Ο κόσμος του Πυθαγόρα, όπως ανασυντίθεται από τα παλαιότερα ακούσματα, ήταν διαποτισμένος με την ίδια ηθική διάσταση που διέκρινε τις πεποιθήσεις του ως προς τη μοίρα της ψυχής και τη μετεμψύχωση. Έτσι, η απάντηση στο ερώτημα «Τι είναι οι νήσοι των ευλογημένων;» (δηλαδή ποιος θα ήταν ο μεταθανάτιος προορισμός μας εάν είχαμε ζήσει μια καλή ζωή;) είναι: «Ο ήλιος και η σελήνη». Εξάλλου, από το απόφθεγμα «Οι πλανήτες είναι τα σκυλιά της Περσεφόνης» προκύπτει ότι οι πλανήτες αποτελούν όργανα εκδίκησης για τις αδικίες που διέπραξε η ψυχή. Οι παραπάνω ρήσεις, παράλληλα με τη φράση «οι ψυχές δεν μπορούν να ανέλθουν χωρίς μουσική», αναδεικνύουν μια σημαντική πτυχή της πυθαγόρειας εσχατολογίας: η ψυχή όσων τήρησαν τις ηθικές επιταγές της αδελφότητας ανεβαίνει πάνω από τον ουρανό και εγκαθίσταται στον ήλιο και τη σελήνη. Από τα υπόλοιπα ακούσματα,  συχνά αναφέρονται  τα εξής: η βροντή είναι απειλή που απευθύνεται σε εκείνους που βρίσκονται στα τάρταρα και αποσκοπεί στον εκφοβισμό τους· οι σεισμοί οφείλονται  στις συναντήσεις  των νεκρών· οι Πλειάδες είναι η λύρα των Μουσών· η θάλασσα είναι τα δάκρυα του Κρόνου· η Μεγάλη Άρκτος και η Μικρή Άρκτος είναι τα χέρια της Ρέας.