Κοινή γνώση

Το ερώτημα

Η έννοια της κοινής γνώσης συχνά εισάγεται με κάποια παραλλαγή του εξής παζλ:
Σε ένα νησί ζουν κ άνθρωποι που έχουν γαλάζια μάτια και οι υπόλοιποι κάτοικοι έχουν πράσινα μάτια. Αρχικά, κανένας στο νησί δεν γνωρίζει το χρώμα των ματιών του. Δια νόμου επιβάλλεται, αν κάποιος ανακαλύψει το χρώμα των ματιών του, να εγκαταλείψει το νησί τα ξημερώματα της επόμενης ημέρας. Στο νησί κάθε άνθρωπος γνωρίζει το χρώμα των ματιών όλων των άλλων ανθρώπων, δεν υπάρχουν ανακλαστικές επιφάνειες, όπως καθρέπτες, και δεν επιτρέπεται καμιά κουβέντα για το χρώμα των ματιών.
Κάποια στιγμή, ένας επισκέπτης έρχεται στο νησί συγκεντρώνει όλους τους κατοίκους του και κάνει την ακόλουθη δημόσια δήλωση: "Τουλάχιστον ένας από σας έχει γαλάζια μάτια". Ο επισκέπτης λέει την αλήθεια και όλοι το γνωρίζουν αυτό και όλοι γνωρίζουν ότι όλοι το γνωρίζουν, και ούτω καθ' εξής: άρα είναι κοινή γνώση ότι τουλάχιστον ένας κάτοικος έχει γαλάζια μάτια.
Με δεδομένο ότι όλοι οι κάτοικοι του νησιού είναι απόλυτα λογικοί και αυτό είναι κοινή γνώση, τι θα συμβεί;

Η απάντηση

Η απάντηση είναι ότι το ξημέρωμα ακριβώς κ ημέρες μετά την ανακοίνωση, όλοι οι γαλαζομάτηδες θα φύγουν από το νησί.
Η λύση επιβεβαιώνεται με τη μέθοδο της επαγωγής. Αν κ=1 (δηλαδή υπάρχει ακριβώς ένας γαλαζομάτης), αυτός θα το αναγνωρίσει αμέσως, επειδή παρατηρώντας όλους τους άλλους κατοίκους του νησιού θα δει ότι έχουν όλοι πράσινα μάτια, και θα φύγει το ξημέρωμα της επόμενης ημέρας. Αν κ=2, κανένας δεν θα φύγει με το πρώτο ξημέρωμα. Οι δυο γαλαζομάτηδες, βλέποντας μόνον ένα άλλο άτομο με γαλάζια μάτια, και επειδή κανένας δεν έφυγε την πρώτη ημέρα (άρα κ>1), θα φύγουν τη δεύτερη ημέρα. Συνεχίζοντας έτσι, μπορεί να αποδειχθεί ότι κανένας δεν θα φύγει τις πρώτες κ-1 ημέρες αν και μόνον εάν υπάρχουν τουλάχιστον κ γαλαζομάτηδες. Εκείμοι που έχουν γαλάζια μάτια, βλέποντας κ-1 γαλαζομάτηδες μεταξύ των άλλων κατοίκων και γνωρίζοντας ότι πρέπει να είναι τουλάχιστον κ, θα καταλάβουν ότι οι ίδιοι πρέπει να έχουν γαλάζια μάτια και να φύγουν.
Το ενδιαφέρον με αυτό το σενάριο είναι ότι για κ>1, ο επισκέπτης λέει στους κατοίκους κάτι που ήδη γνωρίζουν: ότι υπάρχουν γαλαζομάτηδες μεταξύ τους. Ωστόσο, πριν να γίνει η ανακοίνωση, αυτό το γεγονός δεν είναι κοινή γνώση.
Για κ=2, είναι απλώς γνώση "πρώτου βαθμού". Κάθε γαλαζομάτης γνωρίζει ότι υπάρχει κάποιος με γαλάζια μάτια, αλλά κάθε γαλαζομάτης δεν γνωρίζει ότι ο άλλος γαλαζομάτης έχει την ίδια γνώση.
Για κ=3, είναι γνώση "δεύτερου βαθμού". Μετά δυο ημέρες, κάθε γαλαζομάτης γνωρίζει ότι ένας δεύτερος γαλαζομάτης γνωρίζει ότι ένα τρίτο άτομο έχει γαλάζια μάτια, αλλά κανένας δεν γνωρίζει ότι υπάρχει ένας τρίτος γαλαζομάτης με αυτή τη γνώση, μέχρι την τρίτη ημέρα.
Γενικά, για κ>1, είναι γνώση "(κ-1) βαθμού". Μετά από κ-1 ημέρες, κάθε γαλαζομάτης γνωρίζει ότι ένας δεύτερος γαλαζομάτης γνωρίζει ότι ένας τρίτος γαλαζομάτης γνωρίζει ότι ... (επαναλάβετε για συνολικά κ-1 επίπεδα) το κ-οστό άτομο έχει γαλάζια μάτα, αλλά κανείς δεν γνωρίζει ότι υπάρχει ένα κ-οστό άτομο με αυή τη γνώση, μέχρι την κ-οστή ημέρα. Η έννοια της κοινής γνώσης έχει ένα απτό αποτέλεσμα. Η γνώση ότι όλοι γνωρίζουν κάνει τη διαφορά. Όταν η δημόσια ανακοίνωση του επισκέπτη (ένα γεγονός ήδη γνωστό σε όλους) γίνεται κοινή γνώση, οι γαλαζομάτηδες του νησιού μπορούν να συνάγουν την κατάστασή τους και να φύγουν.