Διανυσματικός χώρος

Ο διανυσματικός χώρος είναι μια μαθηματική δομή η οποία αποτελείται από μια συλλογή στοιχείων που ονομάζονται διανύσματα. Τα διανύσματα μπορούν να προστίθενται και να πολλαπλασιάζονται (κλιμακωτά) με αριθμούς, οι οποίοι στο κείμενο θα ονομάζονται ως βαθμωτά. Τα βαθμωτά είναι συνήθως πραγματικοί αριθμοί, αλλά υπάρχουν και διανυσματικοί χώροι με βαθμωτό πολλαπλασιασμό μιγαδικών αριθμών, ρητών αριθμών ή γενικά οποιουδήποτε σώματος. Οι πράξεις της πρόσθεσης και του βαθμωτού πολλαπλασιασμού πρέπει να πληρούν κάποιες προϋποθέσεις, οι οποίες καλούνται αξιώματα, παρατίθενται παρακάτω. Ένα παράδειγμα διανυσματικού χώρου είναι αυτός των ευκλείδειων διανυσμάτων, τα οποία μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να αναπαραστήσουν φυσικές ποσότητες όπως είναι οι δυνάμεις• οποιαδήποτε δυο διανύσματα δυνάμεων (ίδιου τύπου) μπορούν να προστεθούν για να παράγουν ένα τρίτο και ο πολλαπλασιασμός ενός διανύσματος δύναμης με έναν πραγματικό πολλαπλασιαστή, είναι ένα νέο διάνυσμα δύναμης. Από γεωμετρικής άποψης, τα διανύσματα που εκπροσωπούν μετατοπίσεις στο επίπεδο ή στον τρισδιάστατο χώρο αποτελούν επίσης διανυσματικούς χώρους.
Οι διανυσματικοί χώροι είναι αντικείμενο μελέτης της γραμμικής άλγεβρας μιας και χαρακτηρίζονται από τη διάστασή τους, η οποία καθορίζει τον αριθμό των ανεξάρτητων κατευθύνσεων στο χώρο. Ο διανυσματικός χώρος μπορεί να να εμπλουτιστεί με πρόσθετη δομή όπως είναι το μέτρο διανύσματος και το εσωτερικό γινόμενο.
Ιστορικά, οι πρώτες ιδέες που οδήγησαν στους διανυσματικούς χώρους μπορούν να εντοπιστούν πίσω στον χρόνο όσον αφορά την αναλυτική γεωμετρία του 17ου αιώνα, τους πίνακες, τα συστήματα εξισώσεων ευθείας, και τα Ευκλείδεια διανύσματα. Η σύγχρονη, πιο αφηρημένη αναφορά έγινε από τον Τζουζέπε Πεάνο το 1888. Σήμερα οι διανυσματικοί χώροι βρίσκουν εφαρμογή στο σύνολο των μαθηματικών, της επιστήμης και στις επιστήμες μηχανικών.

Παράδειγμα πρώτο: βέλη στο επίπεδο

Το πρώτο παράδειγμα ενός διανυσματικού χώρου αποτελείται από τα βέλη σε ένα σταθερό επίπεδο, ξεκινώντας από ένα σταθερό σημείο. Αυτό χρησιμοποιείται στη φυσική για να περιγράψει τις δυνάμεις και τις ταχύτητες. Έχοντας δυο τέτοια βέλη, v και w, το παραλληλόγραμμο που σχηματίζουν, περιέχει ένα διαγώνιο βέλος το οποίο έχει αρχή το κοινό σημείο των δυο αρχικών βελών. Αυτό το νέο βέλος ονομάζεται άθροισμα των δυο βελών και συμβολίζεται με v+w. Μια άλλη διεργασία που μπορεί να επιτευχθεί με τα βέλη είναι η εξής: δίνεται ένας οποιοσδήποτε θετικός πραγματικός αριθμός α και το βέλος με φορά ίδια με αυτή του v, αλλά επεκτείνεται ή συρρικνώνεται πολλαπλασιάζοντάς το με το μήκος του α, η πράξη αυτή ονομάζεται πολλαπλασιασμός του v με α. Συμβολίζεται με αv. Αν ο αριθμός α είναι αρνητικός, τότε το αv ορίζεται ως βέλος που δείχνει προς την αντίθετη κατεύθυνση. Οι παρακάτω εικόνες δείχνουν δυο παραδείγματα: αν α=2, το διάνυσμα που προκύπτει αw έχει την ίδια κατεύθυνση με το w, αλλά είναι επεκτεταμένο κατά το διπλάσιο μήκος του (δεξιά εικόνα). Ισοδύναμα 2w είναι το άθροισμα w + w. Επιπλέον, (-1)v= -v, έχει την αντίθετη κατεύθυνση αλλά το ίδιο μήκος με το v.

Οι μιγαδικοί αριθμοί και επεκτεταμένα σώματα

Το σύνολο των μιγαδικών αριθμών C, δηλαδή, οι αριθμοί που μπορούν να γραφτούν στη μορφή x + iy για τους πραγματικούς αριθμούς x και y, όπου  να είναι η φανταστική μονάδα,σχηματίζουν ένα διανυσματικό χώρο πάνω από τους πραγματικούς αριθμούς με τη συνήθη πρόσθεση και πολλαπλασιασμό: (x + iy) + (α + iβ) = (+ α x) + i (y + β) και γ · (x + iy) = (γ · x) + i (γ · y) για πραγματικούς αριθμούς x,y,α,β και γ. Τα αξιώματα των διανυσματικών χώρων ισχύουν και για τους μιγαδικούς μιας και ισχύουν οι ίδιοι κανόνες για τις αριθμητικές πράξεις και στους μιγαδικούς.
Στην πραγματικότητα, το παράδειγμα των μιγαδικών αριθμών είναι ουσιαστικά το ίδιο (δηλαδή, είναι ισομορφισμός) προς το διανυσματικό χώρο των διατεταγμένων ζευγών στους πραγματικούς αριθμούς που αναφέρονται παραπάνω. Αν θεωρήσουμε τον μιγαδικό αριθμό x + iy ότι αντιστοιχεί στο διατεταγμένο ζεύγος (x, y) στο μιγαδικό επίπεδο, τότε βλέπουμε ότι οι κανόνες για άθροισμα και βαθμωτό πολλαπλασιασμό αντιστοιχούν ακριβώς σε εκείνους του προηγούμενου παραδείγματος.
Γενικότερα, οι επεκτάσεις σωμάτων παρέχουν μια άλλη κατηγορία παραδειγμάτων των διανυσματικών χώρων: ένα σώμα Κ που περιέχει ένα μικρότερο σώμα E, είναι ένας Ε-διανυσματικός χώρος, με τον δεδομένο πολλαπλασιασμό και τις λειτουργίες της πρόσθεση του Κ. Για παράδειγμα οι μιγαδικοί αριθμοί είναι ένας διανυσματικός χώρος πάνω από το R και το επεκτεταμένο σώμα  είναι διανυσματικός χώρος πάνω από το Q.