Θεωρία κόμβων

Διαγράμματα Κόμβων

Ένας χρήσιμος τρόπος για να απεικονίσεις και να χειριστείς τους κόμβους είναι να τους προβάλεις πάνω σε ένα επίπεδο —και σκεφτείτε τον κόμβο ως μία σκιά στον τοίχο. Μία μικρή αλλαγή στην κατεύθυνση της προβολής θα εξασφαλίσει ότι αυτός είναι 1 προς 1 εκτός από τα διπλά σημεία, που ονομάζονται διασταυρώσεις, όπου η "σκιά" των κόμβων διασχίζει τα ίδια μία φορά εγκάρσια (Rolfsen 1976). Κάθε διασταύρωση , είναι ικανή να δημιουργήσει έναν γνήσιο κόμβο, όπου το πάνω μέρος του θα πρέπει να διακρίνεται από το κάτω. Αυτό συχνά γίνεται με τη δημιουργία ενός σχίσματος που είναι προς τα κάτω. Το διάγραμμα που προκύπτει είναι μία immersed plane curve με τα αντίστοιχα στοιχεία της να είναι πάνω και κάτω από τις αντίστοιχες διασταυρώσεις . (Αυτά τα διαγράμματα ονομάζονται Διαγράμματα κόμβων όταν αντιπροσωπεύουν Κόμβους σύνδεση διαγραμμάτων όταν αντιπροσωπεύουν σύνδεση.) Αναλογικά,κόμβοι σε επιφάνεια 4-χώρων μπορούν να είναι συναφή με μία βυθισμένη επιφάνεια 3-χώρων.
Ένα μειωμένο διάγραμμα είναι ένα διάγραμμα κόμβου στο οποίο δεν υπάρχουν αναγώγιμες διασταυρώσεις ( μηδαμινές ή αφαιρούμενες διασταυρώσεις), στο οποίο δηλαδή όλες οι αναγώγιμες διασταυρώσεις έχουν αφαιρεθεί.(Weisstein, ReducedKnotDiagram)(Weisstein, ReducibleCrossing)

Αναλλοίωτοι κόμβοι

Ένας αναλλοίωτος κόμβος είναι μια "ποσότητα" η οποία είναι ίδια με τον ισοδύναμο κόμβο (Adams 2004)(Lickorish 1997)(Rolfsen 1976).Για παράδειγμα,εάν ο αναλλοίωτος κόμβος υπολογίζεται από ένα διάγραμμα,θα πρέπει να δώσει την ίδια τιμή για δύο διαγράμματα κόμβων που αντιπροσωπεύουν τον ισοδύναμο κόμβο.Ένας αναλλοίωτος κόμβος μπορεί να πάρει την ίδια τιμή για δύο διαφορετικούς κόμβους,έτσι από μόνος του είναι ικανός να αναγνωρίσει όλους τους κόμβους.Ένας στοιχειώδες αναλλοίωτος κόμβος είναι τρίχρωμος.
Ο "κλασικός" αναλλοίωτος κόμβος περιλαμβάνει την ομάδα κόμβων, η οποία είναι η βασική ομάδα του συμπληρωματικού κόμβου, και το πολυώνυμο Alexander, το οποίο μπορεί να υπολογιστεί από τον αναλλοίωτο κόμβο του Alexander,μια μονάδα που κατασκευάζεται από το άπειρο κυκλικό κάλυμμα ου συμπληρωματικού κόμβου (Lickorish 1997)(Rolfsen 1976).Στα τέλη του 20 αιώνα,αναλλοίωτοι κόμβοι όπως οι κόμβοι "κβαντικών" πολυώνυμων, οι αναλλοίωτοι του Vasilliev και οι υπερβολικοί αναλλοίωτοι κόμβοι ανακαλύφθηκαν.Αυτοί οι προαναφερθείς αναλλοίωτοι κόμβοι είναι μόνο η κορυφή του παγόβουνου της σύγχρονης θεωρίας κόμβων.

Υπερβολικοί αναλλοίωτοι κόμβοι

Ο William Thurston απέδειξε ότι πολύ κόμβοι είναι υπερβολικοί, που σημαίνει ότι ο συμπληρωματικός κόμβος, δηλαδή το σύνολο των σημείων σε ένα χώρο 3-διαστάσεων που δεν περιλαμβάνονται στο κόμβο, παραδέχονται μια γεωμετρική δομή, συγκεκριμένα μια δομή της υπερβολικής γεωμετρίας. Η υπερβολική δομή εξαρτάται μόνο από τον κόμβο, έτσι ώστε οποιαδήποτε ποσότητα και να υπολογίζεται από την υπερβολική δομή να είναι ένας αναλλοίωτος κόμβος (Adams 2004).
Η γεωμετρία μας επιτρέπει αν δούμε πως μοιάζει το εσωτερικό ενός συμπληρωματικού κόμβου ή συνδέσμου, θα μπορούσε να παρομοιαστεί με τις ακτίνες του φωτός που ταξιδεύουν κατά μήκος του γεωδαιτικού της γεωμετρίας.Ένα παράδειγμα μας παρέχετε από την εικόνα που δείχνει το συμπλήρωμα των δαχτυλιδιών του Borromean. Οι κάτοικοι αυτού του συμπληρωματικού συνδέσμου βλέπουν τον χώρο από κοντά από το κόκκινο συστατικό. Οι σφαίρες στην εικόνα είναι οπτικές της χώρο σφαιρικής γειτονιάς του συνδέσμου. Με την πύκνωση του συνδέσμου με ένα τυποποιημένο τρόπο,λαμβάνονται οι χώρο σφαιρικές γειτονιές του συνδέσμου. Ακόμη και αν το όριο της γειτονίας είναι ένας τόρος,όταν βλέπουμε μέσα από το συμπληρωματικός σύνδεσμο,μοιάζει με σφαίρα. Κάθε συστατικό στοιχείο του συνδέσμου εμφανίζεται να έχει άπειρους τομείς (ενός χρώματος),καθώς υπάρχουν άπειρες ακτίνες φωτός που φτάνουν από τον παρατηρητή στο συστατικό στοιχείο του συνδέσμου. Το θεμελιώδες παραλληλόγραμμο(που εμφανίζεται στη εικόνα),δημιουργεί σχηματισμούς που μοιάζουν με πλακάκια τόσο οριζόντια όσο και κάθετα και μας δείχνει πως επεκτείνετε το σχέδιο των σφαιρών στο άπειρο.
Αυτό το μοτίβο,το χώρο σφαιρικό μοτίβο,είναι από μόνο του ένα χρήσιμο αναλλοίωτο κομβικό. Άλλα αναλλοίωτα υπερβολικά κομβικά περιλαμβάνουν ένα θεμελιώδες παραλληλόγραμμο, το μήκος του μικρότερου γεωδαιτικού και τον όγκο. Η σύγχρονες προσπάθειες πινακοποίηση των κόμβων και των συνδέσμων έχουν χρησιμοποίηση αυτές της σταθερές αποτελεσματικά. Οι γρήγοροι υπολογιστές και οι έξυπνες μέθοδοι έχουν κάνει τον υπολογισμό αυτών των αναλλοίωτων κόμβων,στην πράξη,μια πολύ εύκολη υπόθεση (Adams, Hildebrand & Weeks 1991).

Υψηλότερες διαστάσεις

Ένας κόμβος στις 3-διαστάσεις μπορεί να λυθεί όταν τοποθετηθεί στις 4-διαστάσεις. Αυτό γίνεται αλλάζοντας της διαβάσεις. Υποθέστε ότι το ένα νήμα είναι πίσω από ένα άλλο όπως φαίνεται από μια συγκεκριμένη οπτική γωνιά. Τοποθετήστε τον κόμβο στις 4 διαστάσεις, πιάστε το μπροστινό σκέλος (το μπροστινό σκέλος δεν έχει εμπόδιο εκεί), ύστερα μετακινήστε το προς τα εμπρός, και αφήστε το να πέσει πίσω, τώρα μπροστά έχουμε το πίσω σκέλος του κόμβου.Η ανάλογη διαδικασία για ένα επίπεδο θα ήταν να αφαιρέσουμε μια χορδή από την επιφάνεια,όπως και για τη σφαίρα να αφαιρέσουμε ένα σημείο από το εσωτερικό της.
Κανονικά, στις 4 διαστάσεις, κάθε μη-τεμνόμενος κλειστός βρόχος μιας μονοδιάστατης χορδής είναι ισοδύναμη με έναν μη-κόμβο. Αρχικά τοποθετήστε τον βρόχο μέσα σε ένα υποχώρο 3-διαστάσεων, πράγμα το οποίο γίνεται κάθε φορά, αν και πολύ σύνθετο για να εξηγηθεί.

Σφαίρες κόμβοι υψηλότερων διαστάσεων

Από την στιγμή που ένας κόμβος μπορεί να θεωρηθεί τοπολογικά μια σφαίρα 1-διάστασης, η επόμενη γενίκευση είναι να θεωρήσουμε μια μια σφαίρα 2-διαστάσεων να ενσωματώνετε μέσα σε μια σφαίρα 4-διαστάσεων. Σε μια τέτοια ενσωμάτωση ο κόμβος λύνεται αν υπάρχει ένας ομοιομορφισμός της σφαίρας 4 διαστάσεων στον εαυτό της, μεταμορφώνοντας έτσι την 2-σφαίρα σε μια "στρόγγυλη" σφαίρα 2 διαστάσεων. Αιωρούμενοι κόμβοι και περιστρεφόμενοι κόμβοι είναι κλασικές περιπτώσεις τέτοιων 2-σφαιρών κόμβων. Η μαθηματική τεχνική που ονομάζεται "γενική τοποθεσία" συνεπάγεται ότι για μια δοσμένη ν-σφαίρα μέσα στην κ-σφαίρα, αν το κ είναι αρκετά μεγάλο (βέβαια αυτό εξαρτάται και από το ν), η σφαίρα θα πρέπει να πάψει να είναι κόμβος. Γενικά, η τμηματικά συνεχής ν-σφαίρα δημιουργεί κόμβους μόνο (ν + 2)-διάστημα (Zeeman 1963), αν και πλέον αυτό δεν είναι προϋπόθεση για τις σφαίρες ομαλών κόμβων.}}, αν και αυτό δεν είναι πλέον προϋπόθεση για να υπάρξουν σφαίρες με ομαλούς κόμβους. Βασικά, υπάρχουν (4κ − 1)-σφαίρες με ομαλούς κόμβους σε 6κ-διάστημα, π.χ υπάρχει μια 3-σφαίρα με ομαλούς κόμβους στο 6-διάστημα (Haefliger 1962)(Levine 1965).Έτσι διαδικασία μετατροπής σε διανύσματα ενός ομαλού κόμβου μπορεί να είναι αυθαίρετα μεγάλη όταν δεν διορθώνεται η διάσταση της σφαίρας κόμβου, ωστόσο οποιαδήποτε ομαλή κ-σφαίρα μέσα σε μια ν-σφαίρα ,αν ισχύει 2ν − 3κ − 3 > 0 μπορεί να πάψει να είναι κόμβος. Η έννοια ενός κόμβου έχει έχει πολύ μεγαλύτερη γενίκευση στα μαθηματικά, δείτε: μαθηματικοί κόμβοι, κατάταξη ισότοπης εμβυθίσεως.
Κάθε κόμβος στο Sν είναι ένας σύνδεσμος μιας πραγματική αλγεβρική δομή με μοναδικότητα στο Rν⁺¹ (Akbulut & King 1981).
Ένας ν-κόμβος είναι μια μοναδική Sⁿ εμβύθιση στο Sμ. Ένας ν-σύνδεσμος είναι κ-αντιγραφές του Sν το οποίο βρίσκεται εμβυθισμένος στο Sμ, όπου κ είναι πραγματικός αριθμός. Οι δύο περιπτώσεις μ = ν + 2 περίπτωση και η μ > ν + 2 περίπτωση είναι ορισμένες καλά.Η ν > 1 περίπτωση έχει διαφορετικές βλέψεις από την ν = 1 περίπτωση και είναι ένα πολύ ενδιαφέρον πεδίο που αξίζει να ασχοληθεί κανείς .

Συμβολισμός Alexander–Briggs

Αυτός είναι ο πιο συνηθισμένος συμβολισμός, λόγω της διατριβής του J. W. Alexander και του G. Briggs το 1927 που αργότερα επεκτάθηκε από τον Dale Rolfsen στον πίνακα κόμβων του (δείτε την εικόνα παραπάνω και τη Λίστα πρώτων κόμβων). Ο συμβολισμός απλώς ταξινομεί τους κόμβους σύμφωνα με τον αριθμό διασταυρώσεων τους. Οι αριθμοί διασταύρωσης γράφονται με έναν δείκτη , που υποδηλώνει την τάξη του ανάμεσα σε όλους τους κόμβους αυτού του αριθμού διασταύρωσης. Αυτή η τάξη είναι αυθαίρετη απότε δεν έχει ιδιαίτερη σημασία (παρ'όλα αυτά σε κάθε αριθμό διασταύρωσης ο κόμβος twist ακολουθεί μετά τον σπειροειδή κόμβο). Οι σύνδεσμοι γράφονται ανά αριθμό διασταύρωσης με έναν εκθέτη, που υποδηλώνει τον αριθμό των συνιστωσών και έναν δείκτη, που υποδηλώνει την τάξη ανάμεσα σε όλους τους συνδέσμους με τον ίδιο αριθμό συνιστοσών και διασταυρώσεων. Έτσι ο κόμβος trefoil συμβολίζεται ως 3₁ και ο σύνδεσμος Hopf ως 22

1.

Συμβολισμός Dowker

Ο συμβολισμός Dowker, ονομαζόμενος επίσης και συμβολισμός ή κώδικας Dowker–Thistlethwaite, για έναν κόμβο είναι μία πεπερασμένη ακολουθία άρτιων ακεραίων. Οι αριθμοί προκύπτουν ακολουθώντας τους κόμβους και σημειώνοντας τις διασταυρώσει με διαδοχικούς ακεραίους. Καθώς κάθε διασταύρωση συναντιέται δύο φορές δημιουργείται ένα ζεύγος άρτιων ακεραίων και περιττών ακεραίων. Ένα κατάλληλο πρόσημο δίνετε για δηλώσει την άνω και την κάτω διασταύρωση. Για παράδειγμα, ο κόμβος του διαγράμματος έχει διασταυρώσεις σημειωμένες με τα ζεύγη (1,6) (3,−12) (5,2) (7,8) (9,−4) και (11,−10). Οπότε ο συμβολισμός Dowker σύμφωνα με αυτή τη σήμανση είναι η ακολουθία: 6 −12 2 8 −4 −10. Το διάγραμμα ενός κόμβου έχει περισσότερους από έναν συμβολισμούς Dowker και υπάρχει μία κατανοητή ασάφεια όταν ανακατασκευάζεται ένας κόμβος από έναν συμβολισμό Dowker.

Συμβολισμός Conway

Ο συμβολισμός Conway για κόμβους και συνδέσμους, ονομαζόμενος από τονJohn Horton Conway, είναι βασισμένος στη θεωρία διαπλοκών (Conway 1970). Το πλεονέκτημα αυτού του συμβολισμού είναι ότι αναπαριστά κάποια χαρακτηριστικά των κόμβων και των συνδέσμων.
Ο συμβολισμός περιγράφει πως θα κατασκευαστεί ένα συγκεκριμένο διάγραμμα του συνδέσμου. Ξεκινάμε με ένα “βασικό πολύεδρο”, ένα 4-δύναμο ενωμένο επίπεδο γράφημα χωρίς digon περιοχές. Ένα τέτοιο πολύγωνο σημειώνεται πρώτα από τον αριθμό των κορυφών και στη συνέχεια από έναν αριθμό αστερίσκων, ο οποίος καθορίζει την θέση του πολυέδρου στη λίστα των βασικών πολυέδρων. Για παράδειγμα, το 10** δηλώνει το δεύτερο πολύεδρο με 10 κορυφές στη λίστα του Conway.
Κάθε κορυφή έπειτα έχει μία αλγεβρική διαπλοκή υποκατεστημένη σ’ αυτή (κάθε κορυφή είναι προσανατολισμένη έτσι ώστε να μην είναι αυθαίρετη η επιλογή της αντικατάστασης). Κάθε τέτοια διαπλοκή έχει ένα συμβολισμό που αποτελείται από αριθμούς και + ή − σύμβολα.
Ένα παράδειγμα είναι το 1*2 −3 2. To 1* δηλώνει το μόνο βασικό πολύεδρο με μία κορυφή. Το 2 −3 2 είναι μία ακολουθία που περιγράφει το συνεχές κλάσμα που σχετίζεται με μία ρητή διαπλοκή. Κάποιος μπορεί να εισαγάγει αυτή τη διαπλοκή στην κορυφή του βασικού πολυέδρου  1*.
Ένα πιο περίπλοκο παράδειγμα είναι το 8*3.1.2 0.1.1.1.1.1 Εδώ το 8* επίσης αναφέρεται στο βασικό πολύεδρο με 8 κορυφές. Οι τελείες χωρίζουν τον συμβολισμό για κάθε διαπλοκή.
Οποιοσδήποτε σύνδεσμος δέχεται τέτοια επεξήγηση και είναι ξεκάθαρο πως αυτός είναι ένας πολύ συμπαγής συμβολισμός, ακόμα και για πολύ μεγάλους αριθμούς διασταύρωσης. Υπάρχουν κάποιες συντομεύσεις που συχνά χρησιμοποιούνται. Το τελευταίο παράδειγμα συχνά γράφεται ως 8*3:2 0, όπου οι αριθμοί ένα παραλείπονται και γράφεται ο αριθμός των αναμενόμενων τελειών στο τέλος. Για έναν αλγεβρικό κόμβο, όπως στο πρώτο παράδειγμα, το 1* συχνά παραλείπεται.
Η πρωτοποριακή εργασία του Conway στο θέμα των λιστών βασικών πολυέδρων μέχρι 10 κορυφών, τα οποία χρησιμοποιεί για να ταξινομήσει τους συνδέσμους καθιερώθηκε για τους συνδέσμους. Για περεταίρω ταξινόμηση πολυέδρων περισσότερων κορυφών, δεν υπάρχουν τυπικοί τρόποι διαθέσιμοι.

Κώδικας Gauss

Ο κώδικας Gauss, που είναι παρόμοιος με το συμβολισμό Dowker, αναπαρηστά έναν κόμβο με μία ακολουθία ακεραίων. Παρόλα αυτά, αντί της αναπαράστασης κάθε διασταύρωσης από δύο διαφορετικούς αριθμούς, οι διασταυρώσεις σημειώνονται με ένα μόνο αριθμό. Όταν έχουμε άνω διασταύρωση, σημειώνεται ένας θετικός αριθμός και όταν είναι κάτω ένας αρνητικός αριθμός.
Για παράδειγμα, ο κόμβος trefoil με τον κώδικα Gauss δίνεται ως: 1,−2,3,−1,2,−3
Ο κώδικας Gauss έχει περιορισμένη ικανότητα ταυτοποίησης των κόμβων, λόγω μερικών προβλημάτων. Το αρχικό σημείο σε έναν κόμβο, από το οποίο ξεκινάμε να αναζητούμε τις διασταυρώσεις είναι αυθαίρετο και δεν υπάρχει τρόπος να καθοριστεί προς πια διεύθυνση θα αναζητηθούν. Επίσης ο κώδικας Gauss δεν μπορεί να υποδηλώσει την διεύθυνση που θα ακολουθηθεί σε κάθε διασταύρωση, το οποίο είναι απαραίτητο για να μπορεί να ταυτοποιηθεί ο κόμβος έναντι του αναστρόφου του. Για παράδειγμα, ο κώδικας Gauss για τους κόμβους trefoil δεν προσδιορίζει αν μελετούνται δεξιόστροφα ή αριστερόστροφα.
Αυτό το τελευταίο ζήτημα συχνά λύνεται με τον επεκταμένο κώδικα Gauss. Με αυτή την τροποποίηση, το θετικό/αρνητικό σύμβολο στην δεύτερη περίπτωση κάθε αριθμού επιλέγεται ώστε να αντιπροσωπεύει την διεύθυνση που θα ακολουθηθεί σε κάθε διασταύρωση, αντί του άνω /κάτω συμβόλου της διασταύρωσης, το οποίο γίνεται ξεκάθαρο στην πρώτη περίπτωση του αριθμού. Σε μία διασταύρωση που μελετάτε δεξιόστροφα δίνεται ένας θετικός αριθμός και σε μία που μελετάτε αριστερόστροφα δίνεται ένας αρνητικός αριθμός.