Ιστορία των μαθηματικών

Το πεδίο σπουδών γνωστό ως η Ιστορία των Μαθηματικών είναι κατ' εξοχήν μια έρευνα στην προέλευση των μαθηματικών και σε μικρότερο βαθμό μια έρευνα στις μαθηματικές μεθόδους του παρελθόντος.
Πριν τη σύγχρονη εποχή και την παγκόσμια ανάπτυξη της γνώσης, γραπτά παραδείγματα νέων μαθηματικών εξελίξεων ήρθαν στο φως σε μικρό χρονικό διάστημα. Τα παλαιότερα  διαθέσιμα μαθηματικά κείμενα είναι τα Plimpton 322 (Μαθηματικά των Βαβυλωνίων 1900 π.Χ), Rhind Mathematical Papyrus (Μαθηματικά των Αιγυπτίων 2000-1800 π.Χ), Μαθηματικός Πάπυρος της Μόσχας (Μαθηματικά των Αιγυπτίων 1890 π.Χ). Όλα αυτά τα κείμενα απασχολούνται με το γνωστό πυθαγόρειο θεώρημα, που φαίνεται να είναι η αρχαιότερη και πλέον διαδεδομένη ανακάλυψη μετά την αριθμητική και τη γεωμετρία.
Η μελέτη των μαθηματικών ως θέμα από μόνο του ξεκινάει τον 6ο αιώνα π.Χ με τους Πυθαγόρειους που επινόησαν τον όρο Μαθηματικά από την αρχαία ελληνική λέξη μάθημα, το οποίο ερμηνεύεται ως θέμα οδηγιών. Οι αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί βελτίωσαν σε μεγάλο βαθμό τις μεθόδους (ειδικά μέσα από την εισαγωγή τους παραγωγικού συλλογισμού, του μαθηματικού σθένους και τις αποδείξεις) και επέκτειναν την ύλη των μαθηματικών. Οι Κινέζοι μαθηματικοί έκαναν πρώιμες συνεισφορές, συμπεριλαμβάνοντας ένα σύστημα αξιών. Το ινδοαραβικό αριθμητικό σύστημα, το οποίο χρησιμοποιείται σε ολόκληρο τον κόσμο σήμερα, και οι κανόνες για τη χρήση των λειτουργιών του,  πιθανότατα εξελίχθηκε κατά την πρώτη χιλιετία στην Ινδία και μεταδόθηκε στη Δύση μέσω των Ισλαμιστών μαθηματικών. Οι Ισλαμιστές μαθηματικοί, με τη σειρά τους, ανέπτυξαν και επέκτειναν τα μαθηματικά, που έγιναν γνωστά σε αυτούς τους πολιτισμούς. Πολλά γνωστά Ελληνικά και Αραβικά κείμενα στα μαθηματικά μεταφράστηκαν στα Λατινικά, κάτι που οδήγησε σε περαιτέρω εξέλιξη των μαθηματικών στην μεσαιωνική Ευρώπη.
Από την αρχαία εποχή διαμέσου του Μεσαίωνα, ξεσπάσματα μαθηματικής δημιουργικότητας πολλές φορές ακολουθούνταν από αιώνες στασιμότητας. Στις αρχές της Ιταλίας της Αναγέννησης του 16ου αιώνα, οι νέες μαθηματικές εξελίξεις που αλληλεπίδρασαν με νέες επιστημονικές ανακαλύψεις, πραγματοποιήθηκαν με αυξανόμενο ρυθμό, που συνεχίζεται μέχρι και σήμερα.

Προϊστορικά μαθηματικά

Η προέλευση της μαθηματικής σκέψης βασίζεται στις έννοιες του αριθμού, του μεγέθους και του σχήματος. Σύγχρονες μελέτες της γνωστικής λειτουργίας των ζώων, έχουν δείξει ότι οι έννοιες αυτές δεν αφορούν μόνο το ανθρώπινο ον. Τέτοιες έννοιες θα ήταν μέρος της καθημερινής ζωής και σε προϊστορικές κοινωνίες κυνηγών-τροφοσυλλεκτών. Η ιδέα του "αριθμού" σαν έννοια, που εξελίσσεται σταδιακά με την πάροδο του χρόνου, υποστηρίζεται από την ύπαρξη άλλων γλωσσών, οι οποίες διατηρούν τη διάκριση μεταξύ των εννοιών "ένα", "δύο" και "πολλά", αλλά όχι αριθμών μεγαλύτερων του δύο.
Το αρχαιότερο γνωστό, ενδεχομένως μαθηματικό, αντικείμενο είναι τα οστά Lebombo, που βρέθηκαν στην οροσειρά Lebombo της Σουαζιλάνδης και χρονολογούνται γύρω στο 35000 π.Χ.. Αποτελείται από 29 εμφανείς εγκοπές πάνω σε περόνη μπαμπουίνου. Άλλα προϊστορικά αντικείμενα, που ανακαλύφθηκαν στην Αφρική και τη Γαλλία, τα οποία χρονολογούνται μεταξύ 35000-20000 π.Χ., υποδηλώνουν τις πρώτες απόπειρες να προσδιοριστεί ποσοτικά ο χρόνος.
Το οστό Ishango, το οποίο βρέθηκε στις πηγές του ποταμού Νείλου (στο βορειοανατολικό Κονγκό), χρονολογείται έως και 20000 ετών και αποτελείται από ένα πλήθος ψηλών γραμμάτων σκαλισμένα σε τρεις στήλες, που διατρέχουν το μήκος του οστού. Συνήθεις ερμηνείες είναι ότι το οστό Ishango δείχνει είτε την αρχαιότερη γνωστή επίδειξη των ακολουθιών των πρώτων αριθμών, είτε ένα εξαμηνιαίο σεληνιακό ημερολόγιο. Στο βιβλίο How Mathematics Happened: The First 50,000 Years, ο Peter Rudman υποστηρίζει ότι η ανάπτυξη της έννοιας των πρώτων αριθμών θα μπορούσε μόνο να έχει έρθει σχετικά μετά την έννοια της διαίρεσης, πράγμα το οποίο χρονολογείται μετά το 10000 π.Χ., με τους πρώτους αριθμούς πιθανότατα να μην έχουν γίνει κατανοητοί μέχρι περίπου το 500 π.Χ.. Γράφει επίσης ότι: "δεν έχει γίνει καμία προσπάθεια να εξηγηθεί γιατί μία αντιστοιχία από κάτι που πρέπει να εμφανίζει πολλαπλάσια του 2, πρώτους αριθμούς από το 10 έως το 20, και κάποιους αριθμούς που σχεδόν είναι πολλαπλάσια του 10". Το οστό Ishango σύμφωνα με τον μελετητή Alexander Marshack, ίσως να έχει επηρεάσει τη μετέπειτα ανάπτυξη των μαθηματικών στην Αίγυπτο, γιατί όπως και σε κάποια στοιχεία του οστού Ishango, και η Αιγυπτιακή αριθμητική έκανε χρήση του πολλαπλασιασμού με το 2· αυτό, παρόλαυτά, αμφισβητείται.
Οι Αιγύπτιοι της Προδυναστικής περιόδου της Αιγύπτου της 5ης χιλιετίας π.Χ. εκπροσωπούνται εικονογραφικά, από γεωμετρικά σχέδια. Έχει διατυπωθεί η άποψη, ότι μεγαλιθικά μνημεία στην Αγγλία και τη Σκωτία, που χρονολογούνται από την 3η χιλιετία π.Χ., ενσωματώνουν γεωμετρικές ιδέες, όπως κύκλους, ελλείψεις, και πυθαγόρειες τριάδες στο σχεδιασμό τους.
Ωστόσο όλα τα παραπάνω αμφισβητούνται, και την τρέχουσα στιγμή, η παλαιότερη αδιαμφισβήτητη χρήση των Μαθηματικών, είναι σε Βαβυλωνιακές και της δυναστικής περιόδου Αιγυπτιακές πηγές. Συνεπώς, το ανθρώπινο όν χρειάστηκε τουλάχιστον 45000 χρόνια από την επίτευξη της συμπεριφορικής και γλωσσικής εξέλιξης, για να αναπτύξει τα μαθηματικά ως έχουν.

Αιγυπτιακά μαθηματικά

Ο όρος Αιγυπτιακά μαθηματικά αναφέρεται στα μαθηματικά που γράφτηκαν στην Αιγυπτιακή γλώσσα. Από την ελληνιστική περίοδο, τα Ελληνικά αντικατέστησαν τα Αιγυπτιακά ως γλώσσα που χρησιμοποιούσαν οι Αιγύπτιοι επιστήμονες. Η μαθηματική μελέτη στην Αίγυπτο συνεχίστηκε αργότερα στο πλαίσιο της Αραβικής Αυτοκρατορίας, ως μέρος των ισλαμικών μαθηματικών, όταν τα Αραβικά έγιναν η γραπτή γλώσσα των αιγυπτιακών μελετητών.
Το εκτενέστερο Αιγυπτιακό μαθηματικό κείμενο είναι ο Πάπυρος του Ράιντ (μερικές φορές ονομάζεται επίσης και Πάπυρος του Αχμές, που ήταν ο συγγραφέας του), που χρονολογείται στο 1650 π.Χ., αλλά είναι πιθανότατα αντίγραφο ενός παλαιότερου εγγράφου από τη περίοδο του Μέσου Βασιλείου περίπου το 2000-1800 π.Χ.. Πρόκειται για ένα εγχειρίδιο οδηγιών για μαθητές στην αριθμητική και τη γεωμετρία. Εκτός από την παροχή τύπων εμβαδών και μεθόδων για πολλαπλασιασμό, διαίρεση και εργασία με κλάσματα της μονάδας, περιέχει επίσης στοιχεία άλλων μαθηματικών γνώσεων, συμπεριλαμβανομένων των σύνθετων και πρώτων αριθμών: αριθμητικές, γεωμετρικές και αρμονικές έννοιες· και απλοϊκές κατανοήσεις τόσο του Κόσκινου του Ερατοσθένη όσο και τέλειας θεωρίας αριθμών (συγκεκριμένα του αριθμού 6). Επίσης, δείχνει πώς να λύσει κάποιος πρώτης τάξης γραμμικές εξισώσεις, καθώς και αριθμητικές και γεωμετρικές σειρές.
Άλλο ένα σημαντικό Αιγυπτιακό μαθηματικό κείμενο είναι ο Πάπυρος της Μόσχας, επίσης από τη περίοδο του Μέσου Βασίλειου, και χρονολογείται το περίπου το 1890 π.Χ.. Αποτελείται από αυτά που σήμερα αποκαλούμε προβλήματα, τα οποία προφανώς προορίζονταν για ψυχαγωγία. Ένα πρόβλημα θεωρείται ότι είναι ιδιαίτερης σημασίας, επειδή δίνει μία μέθοδο για την εύρεση του όγκου κόλουρου. "Σας λένε ότι μια κόλουρη πυραμίδα έχει ύψος 6, μήκος 4 στη βάση και 2 στην κορυφή. Υψώνετε το 4 στο τετράγωνο, αποτέλεσμα 16. Διπλασιάζετε το 4 αποτέλεσμα 8. Υψώνετε στο τετράγωνο αυτό το 2, αποτέλεσμα 4. Προσθέτετε το 16 και το 8 και το 4, αποτέλεσμα 28. Παίρνετε το 1/3 του 6, αποτέλεσμα 2. Παίρνετε το 28 2 φορές, αποτέλεσμα 56. Βλέπετε, είναι 56. Θα βρείτε ότι είναι σωστό".
Τέλος, ο Πάπυρος του Βερολίνου (περ. 1300 π.Χ.) δείχνει πως οι αρχαίοι Αιγύπτιοι θα μπορούσαν να λύσουν μία δεύτερης τάξης αλγεβρική εξίσωση.

Ελληνικά μαθηματικά

Τα Ελληνικά μαθηματικά παραπέμπουν στα μαθηματικά που είναι γραμμένα στην Ελληνική γλώσσα από την εποχή του Θαλή του Μιλήσιου (~ 600 π.Χ.) μέχρι το κλείσιμο της Ακαδημίας των Αθηνών, το 529 μ.Χ.. Οι Έλληνες μαθηματικοί ζούσαν σε πόλεις που εξαπλώθηκαν σε όλη την Ανατολική Μεσόγειο, από την Ιταλία έως τη Βόρεια Αφρική, αλλά παρέμεναν ενωμένοι γλωσσικά και πολιτισμικά.Τα ελληνικά μαθηματικά μετά την εποχή του Μεγάλου Αλεξάνδρου, συχνά ονομάζονται και Ελληνιστικά Μαθηματικά.
Τα ελληνικά μαθηματικά ήταν πολύ πιο περίπλοκα από τα μαθηματικά που αναπτύχθηκαν σε προγενέστερους πολιτισμούς. Όλα τα σωζόμενα αρχεία των προ-ελληνικών μαθηματικών, μας δείχνουν τη χρήση της επαγωγικής λογικής, δηλαδή, τις επαναλαμβανόμενες παρατηρήσεις που χρησιμοποιήθηκαν για τον καθορισμό των κανόνων του αντίχειρα. Οι Έλληνες Μαθηματικοί, αντίθετα, έκαναν χρήση του επαγωγικού συλλογισμού. Οι Έλληνες χρησιμοποιούσαν τη λογική για να εξάγουν συμπεράσματα από τους ορισμούς και τα αξιώματα και χρησιμοποιώντας μαθηματική ακρίβεια, να τα αποδείξουν.
Τα ελληνικά μαθηματικά, θεωρείται ότι έχουν ξεκινήσει με το Θαλή το Μιλήσιο (περ. 624-546 π.Χ.) και τον Πυθαγόρα τον Σάμιο (περ. 583-507 π.Χ.). Αν και το εύρος της επιρροής αμφισβητείται, πιθανότατα εμπνεύστηκαν από τα αιγυπτιακά και τα βαβυλωνιακά μαθηματικά. Σύμφωνα με το μύθο, ο Πυθαγόρας ταξίδεψε στην Αίγυπτο για να μάθει μαθηματικά, γεωμετρία και αστρονομία από τους Αιγύπτιους ιερείς.
Ο Θαλής χρησιμοποιούσε γεωμετρία για την επίλυση προβλημάτων όπως ο υπολογισμός του ύψους των πυραμίδων και την απόσταση των πλοίων από την ακτή. Σε αυτόν αποδίδεται η πρώτη χρήση παραγωγικού συλλογισμού που εφαρμόζεται στη γεωμετρία, το οποίο απορρέει από τα τέσσερα θεωρήματα που υποστηρίζεται ότι απέδειξε ο ίδιος. Ως αποτέλεσμα, έχει αναγνωριστεί ως ο πρώτος αληθινός μαθηματικός αλλά και ο πρώτος γνωστός άνθρωπος στον οποίο έχει αποδοθεί μια μαθηματική ανακάλυψη. Ο Πυθαγόρας ίδρυσε την Πυθαγόρεια Σχολή, η οποία υποστήριζε ότι τα μαθηματικά κυβερνούν το σύμπαν και σύνθημα της ήταν "Το παν είναι αριθμός". Ήταν οι Πυθαγόρειοι που επινόησαν τον όρο ¨μαθηματικά" και εκείνοι που ξεκίνησαν, για δικούς του λόγους, τη μελέτη των μαθηματικών. Στους Πυθαγόρειους αποδίδεται η πρώτη απόδειξη του Πυθαγορείου θεωρήματος, αν και η δήλωση του θεωρήματος έχει μια μεγάλη ιστορία, όπως και η απόδειξη της ύπαρξης των άρρητων αριθμών.
Ο Πλάτων (428/427 π.Χ. - 348/347 π.Χ.) παίζει σημαντικό ρόλο στην ιστορία των μαθηματικών κυρίως γιατί ενέπνεε και διεύθυνε τους υπόλοιπους. Η Ακαδημία του Πλάτωνα στην Αθήνα, έγινε το μαθηματικό κέντρο του κόσμου τον 4ο αιώνα π.Χ. και ήταν η Ακαδημία απ'την οποία προήλθαν κορυφαίοι μαθηματικοί της εποχής όπως ο Εύδοξος από την Κνίδο. Ο Πλάτωνας ασχολήθηκε επίσης και με τα θεμέλια των μαθηματικών, διευκρίνισε κάποιους ορισμούς και αναδιοργάνωσε τις υποθέσεις. Η αναλυτική μέθοδος αποδίδεται στον Πλάτωνα ενώ και μια φόρμουλα εύρεσης πυθαγορείων τριάδων φέρει το όνομα του.
Ο Εύδοξος (408-περ.355 π.Χ.) ανέπτυξε τη μέθοδο της εξάντλησης, έναν πρόδρομο για τη σύγχρονη ολοκλήρωση και μια θεωρία που αφορούσε λόγους, αποφεύγοντας έτσι το πρόβλημα των ασύμμετρων μεγεθών. Η πρώτη επέτρεψε τους υπολογισμούς των επιφανειών και των όγκων των καμπυλών, ενώ η τελευταία επέτρεψε στους επόμενους γεωμέτρες να κάνουν σημαντικές προόδους στη γεωμετρία. Αν και ο ίδιος δεν έκανε ειδικές τεχνικές μαθηματικές ανακαλύψεις, ο Αριστοτέλης (384-περ.322 π.Χ.) συνέβαλε σημαντικά στην ανάπτυξη των μαθηματικών, θέτοντας τις βάσεις της λογικής.

Τον 3ο αιώνα π.Χ., το κορυφαίο κέντρο της μαθηματικής εκπαίδευσης και της έρευνας ήταν το Μουσείο της Αλεξάνδρειας. Εκεί δίδαξε ο Ευκλείδης και έγραψε τα Στοιχεία (περ. 300 π.Χ.), τα οποία θεωρούνται ευρέως ως τα πιο επιτυχημένα και με την μεγαλύτερη επιρροή, βιβλία όλων των εποχών. Τα Στοιχεία, τα οποία εισήγαγαν τη μαθηματική ακρίβεια μέσω της αξιωματικής μεθόδου, είναι το αρχαιότερο παράδειγμα που χρησιμοποίησε τη μορφή, ορισμός, αξίωμα, θεώρημα και απόδειξη, που χρησιμοποιείται μέχρι και σήμερα. Αν και τα περισσότερα από τα περιεχόμενα των Στοιχείων ήταν γνωστά, ο Ευκλείδης τα τοποθέτησε σ'ένα ενιαίο, συνεκτικό και λογικό πλαίσιο. Τα Στοιχεία ήταν γνωστά σε όλους τους μορφωμένους ανθρώπους της Δύσης μέχρι και τα μέσα του 20ου αιώνα και το περιεχόμενο τους εξακολουθεί να διδάσκεται σε τάξεις γεωμετρίας μέχρι και σήμερα. Εκτός από τα γνωστά θεωρήματα της Ευκλείδειας γεωμετρίας, τα Στοιχεία γράφτηκαν και ως ένα εισαγωγικό εγχειρίδιο που κάλυπτε όλα τα στοιχειώδη μαθηματικά της εποχής, όπως η θεωρία αριθμών, η άλγεβρα και η στερεά γεωμετρία, ενώ περιείχε και τις αποδείξεις ότι η ρίζα του 2 είναι άρρητος αριθμός και ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί. Ο Ευκλείδης έγραψε και για άλλα θέματα όπως για κωνικές τομές, οπτική,  και σφαιρική γεωμετρία,και την  μηχανική, αλλά μόνο τα μισά από αυτά έχουν σωθεί.
Ο Αρχιμήδης (287 - 212 π.Χ.) ο Συρακούσιος, θεωρείται ένας από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς της αρχαιότητας, χρησιμοποίησε τη μέθοδο της εξάντλησης για να υπολογίσει την περιοχή κάτω από το τόξο μίας παραβολής με το άθροισμα των άπειρων σειρών, με τρόπο όχι ιδιαίτερα ανόμοιο σε σχέση με τους μοντέρνους λογισμούς. Επιπλέον απέδειξε ότι κάποιος μπορεί να χρησιμοποιήσει τη μέθοδο της εξάρτησης για να υπολογίσει την τιμή του π με όσο περισσότερη ακρίβεια γίνεται, και να αποσπάσει την πιο ακριβή τιμή του π που έχει υπάρξει, 3¹⁰⁄₇₁ < π < 3¹⁰⁄₇₀. Επιπλέον σπούδασε την σπείρα, δίνοντας της το όνομα του, εξάγοντας συναρτήσεις από τους όγκους των γεωμετρικών επιφανειών  (παραβολή, έλλειψη, υπερβολή), και ενός ευφυέστατου συστήματος για να εκφράζει πολύ μεγάλους αριθμούς. Ενώ είναι γνωστός για τη συνεισφορά του στη φυσική και σε πολλές μηχανικές συσκευές, ο Αρχιμήδης εγκαθίδρυσε τον εαυτό του ανώτερο από κάθε σκέψη και γενικούς μαθηματικούς κανόνες. Θεώρησε ως το μέγιστο κατόρθωμα του την ανακάλυψη μέτρησης της επιφάνειας και του όγκου μίας σφαίρας, η οποία ισούται με τα 2/3 της επιφάνειας και του όγκου ενός εγγεγραμμένου κυλίνδρου στη σφαίρα.
Ο Απολλώνιος ο Περγαίος (262-190 π.Χ.) έκανε σημαντικές βελτιώσεις στην μελέτη του κώνου, αποδεικνύοντας ότι μπορεί κανείς να παρατηρήσει και τις τρεις διαστάσεις του κώνου μεταβάλλοντας την άκρη του σχήματος έτσι ώστε να δημιουργηθούν δύο αντίθετοι κώνοι με την ίδια άκρη. Επίσης χάραξε την ορολογία για τους κώνους όπως αυτή χρησιμοποιείται έως και σήμερα, με το όνομα παραβολή ("πλάγιο επίπεδο" ή "σύγκριση"), "έλλειψη" ("'έλλειψη"), and "υπερβολή" ("μπροστινό επίπεδο"). Η δουλεία του πάνω στην θεωρία των Κώνων είναι μία από τις καλύτερες όλων των εποχών, ή οποία διατηρείται από την αρχαιότητα έως και σήμερα και από την οποία εκπορεύονται πολλά ανεκτίμητα θεωρήματα για τους κώνους που θα χρησιμοποιηθούν αργότερα από μαθηματικούς και αστρονόμους που θα μελετήσουν την κίνηση των πλανητών, όπως ο Isaac Newton. Ενώ ούτε ο Απολλώνιος, αλλά ούτε και κανένας άλλος Έλληνα μαθηματικός έκανε την υπέρβαση στον τομέα της γεωμετρίας, η προσέγγιση των καμπυλών από τον Απολλώνιο τείνει να μοιάζει με την μοντέρνα και μέρος του έργου του θα βοηθήσει στην ανάπτυξη της αναλυτικής γεωμετρίας από τον  Descartes περίπου 1800 χρόνια μετά.
Περίπου την ίδια εποχή, Ερατοσθένης ο Κυρηναίος (c. 276-194 BC) επινόησε το Κόσκινο του Ερατοσθένη το οποίο έβρισκε τους πρώτους αριθμούς. Ο 3ος αιώνα π.Χ θεωρείται ως ο '' Χρυσός Αιώνας'' για τους Έλληνες μαθηματικούς,με προόδους στα καθαρά μαθηματικά σε σχέση με την προηγούμενη περίοδο ύφεση . Παρόλα αυτά, στους αιώνες που ακολούθησαν έγιναν σημαντικές πρόοδοι στα εφαρμοσμένα μαθηματικά, και ιδιαίτερα στην τριγωνομετρία , όπου σε μεγάλο βαθμό απευθυνόταν στις ανάγκες των αστροναυτών. Ο Ίππαρχος της Νίκαιας(c. 190-120 π.Χ) θεωρείται ο θεμελιωτής της τριγωνομετρίας και ιδιαίτερα του πρώτου γνωστού τριγωνομετρικού πίνακα, και σε αυτόν οφείλεται επίσης και η συστηματική χρήση του κύκλου με 360 μοίρες. Ο Ήρων ο Αλεξανδρεύς (c. 10–70 μ.Χ) είναι γνωστός για τον Τύπο του Ήρωνα με τον οποίο βρήκε την περιοχή ενός σκαλινού τριγώνου και ήταν ο πρώτος που αναγνώρισε την πιθανότητα οι αρνητικοί αριθμοί να έχουν τετραγωνική ρίζα. Ο Μενέλαος ο Αλεξανδρεύς (c. 100 μ.Χ) πρωτοστάτησε στην σφαιρική τριγωνομετρία μέσω του θεωρήματος Μενέλαου. Η πιο ολοκληρωμένη και σημαντική τριγωνομετρική συνεισφορά στην αρχαιότητα ήταν η Αλμαγέστη του Κλαύδιου Πτολεμαίου(c. AD 90-168), ορόσημο στην αστρονομική διατριβή εκ των οποίων οι τριγωνομετρικοί πίνακες χρησιμοποιήθηκαν από αστροναύτες για χιλιάδες χρόνια. Ο Κλαύδιος Πτολεμαίος έχει διατυπώσει επίσης και ένα θεώρημα, το θεώρημα του Πτολεμαίου από όπου απορρέουν τριγωνομετρικές ποσότητες, και η πιο ακριβής τιμή του π έξω από την Κίνα μέχρι την μεσαιωνική περίοδο, 3.1416.
Μετά από τον Κλαύδιο ακολούθησε μια περίοδος στασιμότητας,η περίοδος μεταξύ 250 και 350 μερικές φορές αναφέρεται ως '' Ασημένια Χρόνια'' των Ελλήνων μαθηματικών. Σε αυτή την περίοδο, ο Διόφαντος ο Αλεξανδρεύς έκανε σημαντικές βελτιώσεις στην άλγεβρα, και συγκεκριμένα την απροσδιόριστη ανάλυση,η οποία είναι επίσης γνωστή ως "Διοφαντική Ανάλυση". Η μελέτη των Διοφαντικών εξισώσεων και της Διοφαντικής προσέγγισης είναι μια σημαντική συνεισφορά στις έρευνες που γίνονται εως και σήμερα. Η βασική του δουλεία ήταν πάνω στην Αριθμητική, μια συλλογή από 150 αλγεβρικά προβλήματα τα οποία σχετίζονται με  ακριβής λύσεις για τις απροσδιόριστες εξισώσεις. Η Αριθμητική είχε μια σημαντική επιρροή στους μεταγενέστερους μαθηματικούς,όπως τον Πιέρ Ντε Φερμά , ο οποίος κατέληξε στο φημισμένο του θεώρημα, το Τελευταίο θεώρημα μετά από την προσπάθειά του να γενικεύσει το πρόβλημα που είχε διαβάσει στην Αριθμητική ( αυτό που χωρίζει ένα τετράγωνο σε δύο μικρότερα τετράγωνα). Ο Διόφαντος έκανε επίσης σημαντικές βελτιώσεις στον συμβολισμό, η Αριθμητική ήταν το πρώτο δείγμα από αλγεβρικούς συμβολισμούς και συγκοπές.
Η πρώτη γυναίκα μαθηματικός στην ιστορία ήταν η Υπατία  της Αλεξάνδρειας (350 - 415 μ.Χ.). Διαδέχθηκε τον πατέρα της ως Βιβλιοθηκάριος τηε Μεγίστης Βιβλιοθήκης και συνέγραψε μεγάλο έργο πάνω στα εφαρμοσμένα μαθηματικά. Λόγω μίας πολιτικής αντιπαράθεσης, τιμωρήθηκε από την Χριστιανική αδελφότητα της Αλεξάνδρειας, θεωρώντας την ως συνένοχο, μαστιγώνοντας την γυμνή και αφαιρώντας της το δέρμα χρησιμοποιώντας όστρακα (φήμες κάνουν λόγο για κεραμίδια).

Κινεζικά μαθηματικά

Τα πρώιμα κινεζικά μαθηματικά διαφέρουν τόσο από άλλα μέρη του κόσμου που είναι εύλογο να συμπεράνει κανείς την ανεξάρτητη ανάπτυξή τους. Τα αρχαιότερα σωζόμενα μαθηματικά κέιμενα από την Κίνα είναι  το Chou Pei Suan Ching, το οποίο κατά πολλούς χρονολογείται ανάμεσα στο 1200 π.Χ. και στο 100 π.Χ., αν και η χρονολογία κοντά στο 300 π.Χ. μοιάζει να είναι η πιο πιθανή.
Μια ιδιαιτερότητα των Κινεζικών μαθηματικών είναι η χρήση του δεκαδικού συστήματος ταξινόμησης θέσης, οι λεγόμενοι "ράβδοι αριθμών" στους οποίους διαφορετικοί κρυπταλγόριθμοι χρησιμοποιήθηκαν για τους αριθμούς από το ένα ως το δέκα, και επιπρόσθετα άλλοι κρυπταλγόριθμοι για τις δυνάμεις του δέκα. Έτσι, ο αριθμός 123 θα γράφονταν με τη χρήση του συμβόλου "1", ακολουθούμενο από ένα σύμβολο για το "100", μετά ένα σύμβολο για το "2" ακολουθούμενο απο ένα σύμβολο για το "10", και τέλος ένα σύμβολο για τον αριθμό "3" ακολουθούμενο από ένα σύμβολο για τις μονάδες. Αυτό ήταν το πιο προηγμένο σύστημα αρίθμησης-θέσης στον κόσμο μέχρι εκείνη την περίοδο, και μάλιστα αρκετούς αιώνες πριν να διαδοθεί η χρήση του ευρέως, αλλά και πολύ πριν την ανάπτυξη του Ινδικού συστήματος αρίθμησης. Οι ράβδοι αριθμών επιτρέπουν την αναπαράσταση των αριθμών όσο μεγάλοι κι αν είναι αυτοί και επίσης προσφέρονται για την εκτέλεση των υπολογισμών στον κινεζικό άβακα το γνωστό μας αριθμητίρι. Η εποχή που ξεκίνησε η χρήση του Κινέζικου άβακα δεν έχει προσδιοριστεί με ακρίβεια, αλλά οι πρώτες γραπτές μαρτυρίες αναφέρουν από το 190 μ.Χ., στην Xu Yue's  σύμφωνα με το έργο Συμπληρωματικές σημειώσεις για την τέχνη των σχημάτων.
Το παλαιότερο υπαρκτό έργο πάνω στη γεωμετρία βρίσκεται στην Κίνα και προέρχεται από μια φιλοσοφική σχολή Mohist  στα λατινικά γνωστοί ως Micius το 330 π.Χ., αποτελούμενη από οπαδούς του Mozi (470–390 π.Χ.). Στο Mo Jing περιγράφονται διάφορες πτυχές που σχετίζονται με πολλούς τομείς της φυσικής επιστήμης, και ακόμα παρέχουν ένα μικρό αριθμό από γεωμετρικά θεωρήματα.
Στο  212 π.Χ., ο αυτοκτάτορας Qin Shi Huang (Shi Huang-ti) διέταξε όλα τα βιβλία της αυτοκρατορίας Qin να καούν και να επιβληθούν κηρώσεις σε όποιον αντιταχθεί. Αυτή η απόφαση δεν έγινε καθολικά αποδεκτή, αλλά συνέπεια αυτής είναι η μικρή μας γνώση για τα αρχαία κινεζικά μαθηματικά πριν απο αυτή την ημερομηνία. Μετά το κάψιμο των βιβλίων καύση των βιβλίων το 212 π.Χ., η δυναστεία των Χαν (202 π.Χ.–220 μ.Χ.) παρήγαγε μαθηματικό έργο το οποίο πιθανώς επεκτάθηκε σε έργα που έχουν πλέον χαθεί. Το πιο σημαντικό από αυτά είναι τα εννέα κεφάλαια σχετικά με τη μαθηματική τέχνη Τα εννέα κεφάλαια της μαθηματικής τέχνης, ο πλήρης τίτλος του οποίου εμφανίστηκε το 179 μ.Χ., χωρίς όμως να υπάρχει βάσει άλλων προγενέστερων τίτλων. Αποτελείται από 246 λεκτικά προβλήματα που σχετίζονται με τη γεωργία , τις επιχειρήσεις, καθώς και τη χρήση της γεωμετρίας για τον υπολογισμό υψών, ανοιγμάτων και αναλογιών κινεζική Παγόδα στην κατασκευή πύργων,μηχανική, τοπογραφία, και περιλαμβάνει υλικό σχετικά με ορθογώνια τρίγωνα και μια καλή προσέγγιση του αριθμού π. Περιλαμβάνει επίσης μαθηματικές αποδείξεις για το Πυθαγόρειο Θεώρημα, και μαθηματικούς τύπους για την Απαλοιφή Gauss. Ο Liu Hui βασίστηκε στις εργασίες του 3ου μ.Χ. αιώνα, και υπολόγισε το π με ακρίβεια 5 δεκαδικών ψηφίων. Στην πορεία γύρω στον 5ο αιώνα μ.Χ.,αν και πρόκειται περισσότερο για ένα θέμα καθαρά υπολογιστικής αντοχής και λιγότερο θεωρητικής γνώσης ο Zu Chongzhi προσέγγισε το π με ακρίβεια επτά δεκαδικών ψηφίων, η οποία προσέγγιση παρέμεινε ως η πιο ακριβής για τα επόμενα 1000 χρόνια. Επίσης ίδρυσε μια μέθοδο η οπoία στη συνέχεια θα ονομαζόταν  Αρχή του Cavaliery για να βρει τον όγκο της σφαίρας.
Το υψηλό επίπεδο των Κινεζικών μαθηματικών εμφανίζεται τον 13ο αιώνα (το τελευταίο μέρος από τη δυναστεία Sung), με την ανάπτυξη της Κινεζικής Άλγεβρας;. Το σημαντικότερο κείμενο από εκείνη την περίοδο είναι η Υψηλή οπτική των τεσσάρων στοιχείων του Chu Shih-chieh (1280-1303), που διαπραγματεύεται την επίλυση αλγεβρικών εξισώσεων ανώτερης τάξης, χρησιμοποιώντας μια μέθοδο ανάλογη εκείνης της  μεθόδου Horner. Η πολύτιμη οπτική περιέχει επίσης ένα διάγραμμα από το Τρίγωνο του Pascal με τους συντελεστές της διωνυμικής επέκτασης μέχρι την όγδοη δύναμη , αν και υπάρχουν και άλλα δύο κινεζικά έργα με αντίστοιχο περιεχόμενο, ήδη από το 1100. Οι Κινέζοι έκαναν επίσης χρήση των συνδιαστικών περίπλοκων κυκλωμάτων-διαγραμμάτων γνωστά ως μαγικά τετράγωνα και μαγικοί κύκλοι, περιγράφοντάς τα κατά τους αρχαίους χρόνους και τελικά τελοιοποιώντας τα από τον  Yang Hui (1238–1298 μ.Χ.).
Ακόμα και μετά την άνθιση των μαθηματικών στην Ευρώπη κατά την περίοδο της Αναγέννησης, τα ευρωπαϊκά και τα κινεζικά μαθηματικά ήταν ξεχωριστές παραδόσεις, με σημαντική πρόοδο για τα κινεζικά μαθηματικά να σημειώνεται από τα τέλη του 13ου αιώνα και μετά. Ιησουίτες ιεραπόστολοι όπως ο Ματέο Ρίτσι επιχείρησε έναν συγκερασμό,ένα πάντρεμα δηλαδή μεταξύ των δύο μαθηματικών παραδόσεων από τον 16ο έως το 18ο αιώνα, αν και σε αυτό το σημείο περισσότερες μαθηματικές ιδέες εισέρχονται από τα σύνορα της Κίνας παρά αναχωρούν.

Ισλαμικά μαθηματικά[edit]

Η Ισλαμική Αυτοκρατορία εδραιώθει σε ολόκληρη την Περσία, Μέση Ανατολή, Κεντρική Ασία, Βόρεια Αφρική, Ιβηρική Χερσόνησο, και τον 8ο αιώνα σε μέρη της Ινδίας πραγματοποίησε σημαντικές συνεισφορές στο κλάδο των Μαθηματικών. Παρόλα αυτά ένα μεγάλο μέρος των Ισλαμικών μαθηματικών κειμένων είναι γραμμένο στα Αραβικά,όπου τα περισσότερα από αυτά δεν είναι γραμμένα από Άραβες μελετητές σε όλο τον Ισλαμικό κόσμο την εποχή εκείνη,το οποίο μοιάζει πολύ στην ελληνική κατάσταση που επικρατούσε εκείνη την περίοδο στον Ελληνικό Κόσμο. Οι Πέρσες συνέβαλαν στον κόσμο των Μαθηματικών παράλληλα με τους Άραβες.
Τον 9ο αιώνα, ο Πέρσης μαθηματικός Μοχάμεντ Ιμπν Μουσά Αλ Χουαρίζμι έγραψε αρκετά σημαντικά βιβλία για τα Ινδουιστικά-Αραβικά νούμερα  και για την μέθοδο επίλυσης εξισώσεων. Το βιβλίο του On the Calculation with Hindu Numerals, γράφτηκε περίπου το 825, παράλληλα με την δουλεία του Αλ-Κίντι, έπαιξαν καθοριστικό ρόλο στη διάδοση των Ινδικών Μαθηματικών και Ινδικών αριθμών στη Δύση. Η λέξη αλγόριθμος προέρχεται από την λατινική λέξη, Algoritmi, και η λέξη άλγεβρα από τον τίτλο ενός από τα έργα του , Al-Kitāb al-mukhtaṣar fī hīsāb al-ğabr wa’l-muqābala (The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing). Έδωσε μια ακριβέστατη εξήγηση για την επίλυση δευτεροβάθμιων εξισώσεων με θετικές ρίζες, και ήταν ο πρώτος που δίδαξε άλγεβρα με στοιχειώδης μορφή και για τους δικούς του λόγους. . Επίσης,ασχολήθηκε με την θεμελιώδης μέθοδο της  "αναγωγής" και "υπόλοιπο", αναφερόμενος στην μεταφορά των αφαιρετέων όρων στην άλλη πλευρά της εξίσωσης , έτσι ώστε, την διαγραφή των όμοιων όρων στις αντίθετες πλευρές της εξισώσεις. Αυτή είναι η λειτουργία την οποία ο al-Khwārizmī περιέγραψε ως al-jabr. Η Άλγεβρα του δεν ασχολείται από δω και πέρα "με σειρές προβλημάτων που χρειάζονται λύση,αλλά μια έκθεση η οποία αρχίζει με βασικούς όρους όπου ο συνδυασμός τους θα πρέπει να δίνει όλες τις πιθανές λύσεις για την εξίσωση,η οποία αποτελεί το ακριβές μοντέλο της μελέτης." Επιπλέον μελετάει μια εξίσωση για δικό του σκοπό και "κατά γενικό τρόπο, σε τέτοιο βαθμό έτσι ώστε να μην προκύπτει απλά κατά την διάρκεια επίλυσης ενός προβλήματος, αλλά καλείται να προσδιορίσει μια άπειρη τάξη προβλημάτων"
Στην Αίγυπτο, ο Αμπού Καμίλ επέκτεινε την άλγεβρα στο σύνολο των άρρητων αριθμών , την αποδοχή των τετραγωνικών ριζών και των τέταρτων ριζών ως τις λύσεις και τους συντελεστές με τετραγωνικές εξισώσεις. Ανέπτυξε επίσης τεχνικές που χρησιμοποιούνται για την επίλυση των τριών μη γραμμικών εξισώσεων με τρεις άγνωστες μεταβλητές. Ένα μοναδικό χαρακτηριστικό των έργων του, είναι ότι προσπαθεί να βρει όλες τις πιθανές λύσεις για ορισμένα από τα προβλήματά του, συμπεριλαμβανομένου ενός όπου βρήκε 2676 λύσεις. Τα έργα του διαμόρφωσαν μια σημαντική βάση για την ανάπτυξη της άλγεβρας και επηρέασαν αργότερα μαθηματικούς , όπως ο Αl - Karaji και ο Fibonacci .
Περισσότερες βελτιώσεις στον τομέα της άλγεβρας πραγματοποιήθηκαν από τον Al-Karaji στην διατριβή του al-Fakhri, όπου ανέλυσε την μεθοδολογία του ενσωμάτωσης δυνάμεων ακέραιων αριθμών και ριζών ακέραιων αριθμών σε μια άγνωστη ποσότητα.Γύρω στο 1000 μ.Χ, σε ένα βιβλίο του Al-Karaji υπάρχει περίπου μια απόδειξη με μαθηματική επαγωγή,ο οποίος την χρησιμοποίησε για να αποδείξει το διωνυμικό θεώρημα,το τρίγωνο του Pascal και το άθροισμα των ολοκληρωμάτων των κύβων. Ο ιστορικός των μαθηματικών,F. Woepcke, παίνευσε τον Al-Karaji σχετικά με το γεγονός ότι ήταν  ''ο πρώτος που εισήγαγε την θεωρία του αλγεβρικού λογισμού.''Επίσης τον 10ο αιώνα, Abul Wafa μετέφρασε την δουλεία του Διόφαντου στα Αραβικά. Ibn al-Haytham ήταν ο πρώτος μαθηματικός που εξήγαγε τον τύπο του αθροίσματος τέταρτης δύναμης,χρησιμοποιώντας μια μέθοδο οποία μπορεί να χρησιμοποιηθεί γενικά για το άθροισμα οποιασδήποτε ακέραιας δύναμης.Χρησιμοποίησε την μέθοδο της ολοκλήρωσης για να υπολογίσει τον όγκο μιας παραβολής και ήταν ικανός να γενικέψει το αποτέλεσμά του αυτό για την ολοκλήρωση πολυωνύμων μεγαλύτερα από τετάρτου βαθμού. Έφτασε πολύ κοντά στο να ανακαλύψει έναν γενικό τύπο για την ολοκλήρωση πολυωνύμων αλλά δεν ασχολήθηκε με πολυώνυμα μεγαλύτερα του τέταρτου βαθμού.
Στο τέλος του 11ου αιώνα, ο Ομάρ Καγιάμ έγραψε το Συζητήσεις των δυσκολιών στον Ευκλείδη, ένα βιβλίο σχετικά με τα ελαττώματα που αντιλήφθηκε στα Στοιχεία του Ευκλείδη, και ιδιαίτερα στο αξίωμα των παράλληλων ευθειών. Ήταν επίσης ο πρώτος που βρήκε την γενική γεωμετρική λύση στην κυβική εξίσωση. Επίσης άσκησε μεγάλη επιρροή και στην ημερολογιακή μεταρρύθμιση.
Τον 13ο αιώνα, Nasir al-Din Tusi (Nasireddin)πραγματοποίησε βελτιώσεις στην σφαιρική τριγωνομετρία .Επίσης πρόσθεσε μια σημαντική δουλειά σχετικά με το αξίωμα των παράλληλων ευθειών του Ευκλείδη.Τον 15ο αιώνα, Ghiyath al-Kashi υπολόγισε την τιμή τουπ μέχρι το 16ο δεκαδικό ψηφίο.Ο  Kashi επίσης είχε έναν αλγόριθμο ο οποίος υπολόγιζε την ν-οστή ρίζα,ο οποίος ήταν μια ειδική περίπτωση των μεθόδων που ανακάλυψαν αιώνες αργότερα ο Ruffini and Horner.
Άλλα επιτεύγματα των Μουσουλμανικών Μαθηματικών κατά την διάρκεια αυτής της περιόδου είναι η σημειογραφία της υποδιαστολής στους Αραβικούς αριθμούς, η ανακάλυψη σύγχρονων τριγωνομετρικών συναρτήσεων εκτός από τις ημιτονοειδής,η εισαγωγή του al-Kindi's στην κρυπτανάλυση και στις ανάλυση συχνοτήτων, η βελτίωση της αναλυτικής γεωμετρίας από τον Ibn al-Haytham, το ξεκίνημα της αλγεβρικής γεωμετρίας από τον Ομάρ Καγιάμ και η βελτίωση μιας αλγεβρικής σημειογραφίας από τον al-Qalasādī.
Κατά την διάρκεια της Οθωμανικής Αυτοκρατορίας και την δυναστεία των Σαφαβίδων από τον 15ο αιώνα,την ανάπτυξη των Ισλαμικών μαθηματικών διαδέχθηκε η στασιμότητα.

Μεσαιωνικά Ευρωπαϊκά μαθηματικά

Το ενδιαφέρον των Μεσαιωνικών Ευρωπαίων στα μαθηματικά οδηγήθηκε από το ενδιαφέρον για κάτι διαφορετικό από τα σύγχρονα μαθηματικά. Ένα καθοριστικό στοιχείο ήταν η πεποίθηση ότι τα μαθηματικά προμηθεύουν το κλειδί για να καταλάβει κανείς την δύναμη της φύσης,αυτό συχνά τεκμηριώνεται από τον Τίμαιο του Πλάτωνα και το βιβλικό απόσπασμα ( στο Book of Wisdom) όπου ο Θεός είχε διατάξει όλα τα πράματα στο πλαίσιο του μέτρου, καθώς και τον αριθμό και το βάρος.
Ο Βοήθιος παρείχε ένα μέρος για τα μαθηματικά στο πρόγραμμα σπουδών τον 6ο αιώνα όταν επινόησε τον όρο quadrivium  για να περιγράψει την μελέτη της αριθμητικής, γεωμετρίας,αστρονομίας και μουσικής. Έγραψε το De institutione arithmetica,σε ελεύθερη μετάφραση από την ελληνική γλώσσα από τον Νικόμαχο την Εισαγωγή στην Αριθμητική, De institutione musica, το οποίο επίσης προέρχεται από την ελληνική πηγή, και μια σειρά από αποσπάσματα από τα Στοιχεία του Ευκλείδη. Η δουλεία του ήταν θεωρητική,παρά πρακτική, και ήταν η βάση των μαθηματικών σπουδών μέχρι την ανάκτηση των Ελληνικών και Αραβικών μαθηματικών ερευνών.
Τον 12ο αιώνα, Ευρωπαίοι μελετητές ταξίδεψαν στην Ισπανία και στη Σικελία αναζητώντας επιστημονικά Αραβικά κείμενα, περιλαμβάνοντας το Συνοπτικό Βιβλίο για τον Υπολογισμό με Μεταφορά και Απλοποίηση, του  al-Khwārizmī, το οποίο μεταφράστηκε στα λατινικά από τον Ρόμπερτ του Τσέστερ, και ολόκληρο το κείμενο από τα Στοιχεία του Ευκλείδη,το οποίο μεταφράστηκε σε πολλές εκδοχές από τους Αβελάρδο του Μπαθ, Herman of Carinthia, και Γεράρδο της Κρεμόνα.
Αυτές οι νέες πηγές πυροδότησαν μια ανανέωση στο κλάδο των μαθηματικών.Ο Φιμπονάτσι,γραπτώς στο Liber Abaci, το 1202 και εκσυχρονίστηκε το 1254, παρήγαγε τα πρώτα σημαντικά μαθηματικά στην Ευρώπη,δεδομένου την εποχή του Ερατοσθένη, ένα κενό πάνω από χιλιάδες χρόνια. Η έρευνα εισήγαγε τους αριθμούς Hindu-Arabic στην Ευρώπη και συζητήθηκαν αρκετά μαθηματικά προβλήματα.
Τον 14ο αιώνα έγινε εμφανής η εξέλιξη των καινούργιων ιδεών στο να διερευνάται ένα ευρύ φάσμα προβλημάτων. Μια σημαντική συμβολή ήταν η εξέλιξη των μαθηματικών του τοπικού κινήματος.
Ο Thomas Bradwardine πρότεινε ότι η ταχύτητα (V) αυξάνεται σε αριθμητική αναλογία όπως ο λόγος της δύναμης (F) με την αντίσταση (R) αυξάνει σε γεωμετρική αναλογία. Ο Bradwardine  εξέφρασε αυτό με μία σειρά από συγκεκριμένα παραδείγματα, αλλά παρόλο που ο λογάριθμος δεν είχε σχεδιαστεί ακόμα, μπορούμε να εκφράσουμε το συμπέρασμα αναχρονιστικά γράφοντας: V = log(F/R). Η ανάλυση του Bradwardine είναι ένα παράδειγμα μεταφοράς της μαθηματικής τεχνικής που  χρησιμοποιήθηκε από τον Αλ-Κίντι και τον Arnald of Villanova για να ποσοτικοποιηθεί η φύση της ένωσης φαρμάκων σε ένα διαφορετικό πρόβλημα.
Ένας από τους μαθηματικούς του 14ου αιώνα, ο William Heytesbury, ελλείψει διαφορικού λογισμού και της έννοιας των ορίων, πρότεινε να μετρηθεί η στιγμιαία ταχύτητα «από το μονοπάτι που θα περιγράφεται από (ένα σώμα), αν... μεταφερόταν ομοιόμορφα στο ίδιο επίπεδο ταχύτητας με την οποία κινείτο σε εκείνη τη χρονική στιγμή».
Ο Heytesbury και άλλοι καθόρισαν μαθηματικά την απόσταση που καλύπτει ένα σώμα το οποίο υπόκειται σε ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση (σήμερα: ενσωμάτωση), δηλώντας ότι: «ένα κινούμενο σώμα, το οποίο αφομοιώνει ή χάνει αυτή την αύξηση (της ταχύτητας), θα διασχισει σε μια δεδομένη χρονική στιγμή μία απόσταση εντελώς ίση με εκείνη που θα διέσχιζε αν κινείτο συνεχώς μέσα από την ίδια φορά με τη μέση ταχύτητα.
Ο Nicole Oresme στο Πανεπιστήμιο του Παρισιού και ο Ιταλός Giovanni di Casali περιείχαν, ο καθένας ξεχωριστά, γραφικές παραστάσεις αυτής της σχέσης, υποστηρίζοντας ότι η περιοχή κάτω από τη γραμμή που απεικονίζει τη σταθερή επιτάχυνση, συμβολίζει τη συνολική απόσταση που διανύθηκε. Σε μία μεταγενέστερη μαθηματική ερμηνεία στα «Στοιχεία του Ευκλείδη», ο Oresime έκανε μία πιο λεπτομερή γενική ανάλυση στην οποία έδειξε ότι ένα σώμα θα αποκτήσει σε κάθε διαδοχική αύξηση του χρόνου μία προσαύξηση για κάθε ιδιότητα που αυξάνει όπως οι μονοί αριθμοί. Από τότε που ο Ευκλείδης απέδειξε ότι το άθροισμα που αποκτήθηκε από το σώμα αυξάνεται όπως το τετράγωνο του χρόνου.

Αναγεννησιακά Μαθηματικά

Κατά τη διάρκεια της Αναγέννησης, η ανάπτυξη των μαθηματικών και της λογιστικής ήταν συνυφασμένη. Ενώ δεν υπάρχει άμεση σχέση ανάμεσα στην άλγεβρα και στην λογιστική, η διδασκαλία των θεμάτων και των βιβλίων που δημοσιεύονταν συχνά προορίζονταν για παιδιά εμπόρων που στέλνονταν σε reckoning schools (στη Φλάνδρα και στη Γερμανία) ή σε abacus schools (γνωστά στην Ιταλία ως abbaco), όπου μάθαιναν δεξιότητες χρήσιμες για το εμπόριο και τις συναλλαγές. Πιθανώς, δεν υπάρχει ανάγκη στην άλγεβρα για την εκτέλεση πράξεων λογιστικής, αλλά για πολύπλοκες πράξεις στο παζάρι ή για τον υπολογισμό των σύνθετων τόκων, μία βασική γνώση της αριθμητικής που ήταν υποχρεωτική και η γνώση της άλγεβρας ήταν πολύ χρήσιμη.
Η επανεξέταση της Αριθμητικής, Γεωμετρικής,  Λόγοι και Αναλογίες του Luca Pacioli (Luca Pacioli's Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni et Proportionalitẚ, italian "αναθεώρηση της Αριθμητικής, Γεωμετρίας, Λόγου και Αναλογίας") τυπώθηκε για πρώτη φορά και δημοσιεύτηκε στη Βενετία το 1494. Περιελάμβανε μία πραγματεία 27 σελίδων σχετικά με την τήρηση βιβλίων, "Στοιχεία Υπολογισμού και Καταγραφής" ("Particularis de Computis et Scripturis", Italian: "Details of Calculation and Recording"). Γράφτηκε αρχικά και πωλήθηκε κυρίως σε εμπόρους που χρησιμοποιούσαν το βιβλίο ως κείμενο αναφοράς, ως μία πηγή ευχαρίστησης από τους μαθηματικούς γρίφους που περιείχε και για να βοηθήσει στη εκπαίδευση των γιων τους. Στην "Summa Arithmetica" ο Pacioli εισάγει τα σύμβολα συν και πλην για πρώτη φορά σε εκτυπωμένο βιβλίο, σύμβολα που έγιναν τα βασικά στα Ιταλικά Αναγεννησιακά Μαθηματικά. Η "Summa Arithmetica" ήταν επίσης το πρώτο γνωστό βιβλίο που τυπώθηκε στην Ιταλία για να περιέχει άλγεβρα. Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι ο ίδιος ο Pacioli είχε δανειστεί ένα μεγάλο μέρος του έργου του Πιέρο ντέλλα Φραντσέσκα τον οποίο αντέγραψε.
Στην Ιταλία, κατά το πρώτο μισό του 16ου  αιώνα, οι Scipione del Ferro κα Νικολό Φοντάνα Ταρτάλια ανακάλυψαν λύσεις για τις κυβικές εξισώσεις. Ο Τζερόλαμο Καρντάνο τις δημοσίευσε το 1545 στο βιβλίο του 'Ars Magna', μαζί με μια λύση για τις εξισώσεις τετάρτου βαθμού, που ανακλήθηκαν από τον μαθητή του Λοντοβίκο Φεράρι. Το 1572 ο Ραφαέλ Μπομπέλι δημοσίευσε το 'L'Algebra' στο οποίο έδειξε πώς να αντιμετωπιστούν οι φανταστικοί αρθιμοί που θα μπορούσαν να εμφανιστούν στο τύπο για την επίλυση κυβικών εξισώσεων του Καρντάνο.
Το βιβλίο του Simon Steven De Thiende ('the art of tenths'), που δημοσιεύτηκε πρώτη φορά στα ολλανδικά το 1585, περιείχε την πρώτη συστηματική επεξεργασία της δεκαδικής μορφής, η οποία επηρέασε όλες τις μεταγενέστερες εργασίες για το σύστημα των πραγματικών αριθμών.
Οδηγούμενη από τις απαιτήσεις της ναυσιπλοΐας και την αυξανόμενη ανάγκη για ακριβείς χάρτες μεγάλων περιοχών, η τριγωνομετρία εξελίχθηκε σε ένα σημαντικό κλάδο των μαθηματικών. Ο Bartholomaeus Pitiscus ήταν ο πρώτος που χρησιμοποίησε τη λέξη δημοσιεύοντας την 'Trigonometria' του το 1595. Ο πίνακας ημιτόνων και συνημιτόνων του Regiomontanus δημοσιεύθηκε το 1533.
Κατά τη διάρκεια της Αναγέννησης, η επιθυμία των καλλιτεχνών να παρουσιάσουν το φυσικό κόσμο ρεαλιστικά σε συνδυασμό με την εκ νέου ανακάλυψη της φιλοσοφίας των Ελλήνων, όδήγησε τους καλλιτέχνες να μελετήσουν μαθηματικά. Επίσης, οι μηχανικοί και οι αρχιτέκτονες της εποχής χρειάζονταν τα μαθηματικά σε κάθε περίπτωση. Η τέχνη της ζωγραφικής με προοπτική και οι εξελίξεις στη γεωμετρία που εμπλέκονται μελετήθηκαν εντατικά.

19ος Αιώνας

Κατά την διάρκεια του 19ου αιώνα τα μαθηματικά έγιναν όλο και περισσότερα αφηρημένα. Τον 19ο αιώνα έζησε ο Καρλ Φρίντριχ Γκάους (1777–1855). Αφήνοντας κατά μέρος τις πάρα πολλές συνεισφορές του στην επιστήμη την Θεωρητικών Μαθηματικών είναι γνωστός για το επαναστατικό  του έργο πάνω στις  λειτουργίες πάνω πολύπλοκες μεταβλητές, στην γεωμετρία και στην σύγκλιση σειρών. Επίσης  έδωσε τις πρώτες ικανοποιητικές αποδείξεις στο θεμελιώδες  Θεώρημα της Άλγεβρας και του τετραγωνικού νόμου αντιστροφής.
Αυτόν τον αιώνα αναπτύχθηκαν δύο από τις μορφές μη Ευκλείδειας Γεωμετρίας, όπου το αξίωμα της παραλληλίας από την Ευκλείδεια Γεωμετρία δεν ισχύει. Ο Ρώσος μαθηματικός Nikolai Ivanovich Lobachevsky  και ο ανταγωνιστής του, μαθηματικός János Bolyai, ανεξάρτητα ο καθένας όρισε και μελέτησε την Υπερβολική Γεωμετρία, όπου η μοναδικότητα των παραλλήλων ευθειών δεν ισχύει. Σε αυτή την γεωμετρία το άθροισμα των γωνιών σε ένα τρίγωνο μπορούσε να είναι λιγότερο από  180 °. Η ελλειπτική γεωμετρία αναπτύχθηκε αργότερα τον 19ο αιώνα από τον Γερμανό μαθηματικό Bernhard Riemann, εδώ  παράλληλες δεν μπορούν να βρεθούν και ένα τρίγωνο προσθέτωντας τις γωνίες μπορεί να είναι παραπάνω από 180° μοίρες.Ο Riemann ανέπτυξε επίσης την Riemann θεωρία , η οποία ενοποιεί και  γενικεύει τους τρεις τύπους γεωμετρίας, και ορίζει την έννοια της πολλαπλότητας, η οποία γενικεύει τις ιδέες των καμπυλών και επιφανειών.
Ο 19ος αιώνας είδε την αρχή πολλών αφηρημένων μορφών άλγεβρας. Ο Hermann Grassmann από την Γερμανία ήταν ο πρώτος που έδωσε μία πρώτη εκδοχή των διανυσματικών χώρων. Ο William Rowan Hamilton από την Ιρλανδία ανέπτυξε μία αντιμεταθετική άλγεβρα.Ο George Boole επινόησε μία άλγεβρα η οποία στην συνέχεια εξελίχθηκε σε μία άλγεβρα Boolean, η οποία είχε μόνο τους αριθμούς 0 και 1. Η συγκεκριμένη άλγεβρα ήταν  η αφετηρία της μαθηματικής λογικής και έχει σημαντικές εφαρμογές στην επιστήμη των υπολογιστών.
Ο Augustin-Louis Cauchy, Bernhard Riemann, και Karl Weierstrass  αναδιατύπωσαν τον λογισμό σε έναν πιο αυστηρό τρόπο.
Επίσης, για πρώτη φορά, τα όρια των μαθηματικών ερευνήθηκαν. Ο Niles Henrik Abel, από την Νορβηγία και ο Εβαρίστ Γκαλουά (Evariste Galois), από την Γαλλία, απέδειξαν ότι δεν υπάρχει γενική αλγεβρική μέθοδος για την επίλυση πολυωνυμικών  εξισώσεων βαθμού μεγαλύτερου από τέσσερα (Abel–Ruffini theorem). Άλλοι μαθηματικοί του 19ου αιώνα, χρησιμοποίησαν  αυτήν την απόδειξη και  έδειξαν ότι η χρήση  χάρακα και διαβήτη δεν  είναι αρκετή για να διαιρεθεί στα τρία  μια αυθαίρετη γωνία,να καταστασκευαστεί μία πλευρά του κύβου από το διπλάσιο του όγκου ενός δεδομένου κύβου, ούτε να κατασκευάσει ένα τετράγωνο ίσο σε έκταση με δεδομένο κύκλο. Οι μαθηματικοί είχαν μάταια προσπαθήσει να λύσουν  όλα αυτά τα προβλήματα από την εποχή των αρχαίων Ελλήνων. Από την άλλη πλευρά, ο περιορισμός των τριών διαστάσεων στη γεωμετρία ξεπεράστηκε κατά τον 19ο αιώνα, μέσω εκτιμήσεων του χώρου των παραμέτρων και των hypercomplex αριθμών.
Ο Abel και ο Galois,μέσω των ερευνών, βρίσκοντας  λύσεις σε διάφορες πολυωνυμικές εξισώσεις, έθεσαν τις βάσεις για την περαιτέρω εξέλιξη της θεωρίας ομάδων και των τομέων σε σχέση με την αφηρημένη άλγεβρα. Κατά τον 20ο αιώνα οι φυσικοί και άλλοι επιστήμονες είχαν δει τη θεωρία της ομάδας ως έναν ιδανικό τρόπο  για να σπουδάσουν συμμετρία.
Αργότερα τον 19ο αιώνα , ο George Cantor καθόρισε τα πρώτα θεμέλια της θεωρίας συνόλων, γεγονός που επέτρεψε την αυστηρή αντιμετώπιση της έννοιας του απείρου και είχε γίνει η κοινή γλώσσα όλων σχεδόν των μαθηματικών. Η θεωρία  συνόλων του Cantor, και η άνοδος της μαθηματικής λογικής στα χέρια του Peano, LEJ Brouwer, David Hilbert, Bertrand Russell, και του Whitehead, ξεκίνησε μια πολύχρονη συζήτηση πάνω στα θεμέλια των μαθηματικών.
Τον 19ο αιώνα ιδρύθηκαν διάφορες μαθηματικές  εταιρείες όπως: η Μαθηματική Εταιρεία του Λονδίνου το 1865, η Μαθηματική Εταιρεία της Γαλλίας το 1872, το Circolo Matematico di Palermo το 1884, η  Μαθηματική Εταιρεία του Εδιμβούργου το 1883, και η Αμερικανική Μαθηματική Εταιρεία 1888. Η πρώτη διεθνής, κοινωνία ειδικού ενδιαφέροντος, η Quaternion Εταιρεία ιδρύθηκε το 1899, στο πλαίσιο ενός φορέα αμφιλεγόμενο.
Το 1897 , ο Hensel εισήγαγε τους εξαρτημένους απο το π αριθμούς (π-adic αριθμούς).

Το μέλλον των Μαθηματικών

Υπάρχουν πολλοί που παρατηρούν τις τάσεις στα μαθηματικά, το πιο αξιοσημείωτο είναι ότι το θέμα γίνεται ολοένα και μεγαλύτερο, οι υπολογιστές είναι ολοένα και πιο σημαντικοί και ισχυροί, η εφαρμογή των μαθηματικών στη βιοπληροφορική αναπτύσσεται με ταχείς ρυθμούς, ο όγκος των δεδομένων που πρόκειται να αναλυθεί παράγεται από την επιστήμη και την βιομηχανία, η οποία διευκολύνεται από τους υπολογιστές, και επεκτείνεται εκρηκτικά.