Διάστημα εμπιστοσύνης

Εισαγωγή

Τα διαστήματα εκτιμήσεων μπορούν να αντιπαραβληθούν με το σημείο εκτιμήσεων. Μια εκτίμηση είναι μια ενιαία τιμή που δίνεται ως η εκτίμηση μιας παραμέτρου του πληθυσμού που είναι ενδιαφέρον, για παράδειγμα το μέσο κάποιας ποσότητας. Το διάστημα εκτίμησης καθορίζει αντ' αυτού ένα εύρος εντός του οποίου η παράμετρος εκτιμάται να είναι λανθασμένη. Τα διαστήματα εμπιστοσύνης συνήθως αναφέρονται σε πίνακες ή γραφήματα μαζί με το σημείο εκτίμησης για τις ίδιες παραμέτρους, για να δείξουν την αξιοπιστία των εκτιμήσεων.
Για παράδειγμα, ένα διάστημα εμπιστοσύνης μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να περιγράψει πόσο αξιόπιστα είναι τα αποτελέσματα της έρευνας. Σε μια δημοσκόπηση της εκλογικής ψηφοφορίας-προθέσεων, το αποτέλεσμα θα μπορούσε να είναι ότι το 40% των ερωτηθέντων σκοπεύει να ψηφίσει ένα συγκεκριμένο κόμμα. Ένα 99% διάστημα εμπιστοσύνης για το ποσοστό στο σύνολο του πληθυσμού έχει την ίδια πρόθεση της έρευνας που μπορεί να είναι 30% έως 50%. Από τα ίδια στοιχεία μπορεί κανείς να υπολογίσει ένα 90% διάστημα εμπιστοσύνης, το οποίο σε αυτή την περίπτωση μπορεί να είναι από 37% μέχρι 43%. Ένας σημαντικός παράγοντας για τον καθορισμό του μήκους του διαστήματος εμπιστοσύνης είναι το μέγεθος του δείγματος που χρησιμοποιείται στη διαδικασία εκτίμησης, για παράδειγμα, ο αριθμός των ανθρώπων που παίρνουν μέρος σε μια έρευνα.

Φιλοσοφικά θέματα

Η αρχή πίσω από τα διαστήματα εμπιστοσύνης ήταν σχεδιασμένη για να δώσει μια απάντηση στο ερώτημα που έχει τεθεί στην στατιστική συμπερασματολογία για το πώς να ασχοληθεί με την αβεβαιότητα που ενυπάρχει σε αποτελέσματα που προέρχονται από τα δεδομένα τα οποία είναι ίδια μόνο με ένα τυχαία επιλεγμένο υποσύνολο του πληθυσμού. Υπάρχουν και άλλες απαντήσεις, ιδίως αυτές που παρέχονται από την Μπεϋζιανή συμπερασματολογία με τη μορφή αξιόπιστων διαστημάτων. Τα διαστήματα εμπιστοσύνης αντιστοιχούν σε ένα επιλεγμένο κανόνα για τον καθορισμό των ορίων εμπιστοσύνης, όπου ο κανόνας αυτός καθορίζεται ουσιαστικά πριν από οποιαδήποτε δεδομένα που λαμβάνονται, ή πριν από ένα πείραμα που έγινε. Ο κανόνας ορίζεται, όπως ότι πάνω από όλα τα πιθανά σύνολα δεδομένων που μπορούν να επιτευχθούν, υπάρχει μια υψηλή πιθανότητα (το "high" είναι συγκεκριμένα, ποσοτικά) ότι το διάστημα που καθορίζεται από τον κανόνα θα περιλαμβάνει την πραγματική τιμή της ποσότητας που βρίσκεται υπό εξέταση. Αυτός είναι ένας αρκετά απλός και λογικός τρόπος να καθορίσετε έναν κανόνα για τον προσδιορισμό της αβεβαιότητας των διαστημάτων. Η Μπεϋζιανή προσέγγιση φαίνεται να προσφέρει διαστήματα που μπορεί, με την επιφύλαξη της αποδοχής της ερμηνείας των "πιθανοτήτων", όπως η Μπεϋζιανή πιθανότητα, να ερμηνευθεί υπό την έννοια ότι το συγκεκριμένο διάστημα που υπολογίζεται από ένα δεδομένο σύνολο δεδομένων έχει μια ορισμένη πιθανότητα καθώς και την πραγματική αξία, υπό τον όρο ότι από τα δεδομένα και άλλες πληροφορίες που είναι διαθέσιμες. Η προσέγγιση του διαστήματος εμπιστοσύνης δεν το επιτρέπει αυτό, αφού σε αυτό το σκεύασμα και σε αυτό το ίδιο το στάδιο, και τα δύο από τα όρια του διαστήματος και τις πραγματικές αξίες είναι σταθερές αξίες και δεν υπάρχει τυχαιότητα που εμπλέκονται.
Για παράδειγμα, στο παράδειγμα δημοσκόπησης που περιγράφεται στην εισαγωγή, για να είναι 95% σίγουρο ότι ο πραγματικός αριθμός των ψηφοφόρων που προτίθενται να ψηφίσουν το εν λόγω κόμμα είναι μεταξύ 36% και 44%, δεν πρέπει να ερμηνεύεται με την κοινή λογική ότι υπάρχει 95% πιθανότητα ο πραγματικός αριθμός των ψηφοφόρων που προτίθενται να ψηφίσουν το εν λόγω κόμμα είναι μεταξύ 36% και 44%. Η πραγματική έννοια των επιπέδων εμπιστοσύνης και των διαστημάτων εμπιστοσύνης είναι μάλλον πιο λεπτή. Στην παραπάνω περίπτωση, η σωστή ερμηνεία είναι η εξής: Αν οι εκλογές επαναλήφθηκαν πολλαπλές φορές (θα μπορούσε να παράγει ένα 95% διάστημα εμπιστοσύνης για το εκλογικό διάστημα εμπιστοσύνης), κάθε φορά δημιουργώντας ένα 95% διάστημα εμπιστοσύνης από το δείγμα δημοσκόπησης, τότε το 95% των παραγόμενων διαστημάτων θα περιέχει το πραγματικό ποσοστό των ψηφοφόρων που προτίθενται να ψηφίσουν το συγκεκριμένο κόμμα. Κάθε φορά που οι δημοσκοπήσεις επαναλαμβάνονται,ένα διαφορετικό διάστημα εμπιστοσύνης παράγεται και ως εκ τούτου, δεν είναι δυνατόν να κάνει απόλυτες δηλώσεις σχετικά με τις πιθανότητες για κάθε ένα δεδομένο διάστημα. Για περισσότερες πληροφορίες, δείτε την ενότητα σχετικά με την έννοια και την ερμηνεία.
Οι ερωτήσεις σχετικά με το πώς ένα διάστημα που εκφράζει την αβεβαιότητα στην εκτίμηση μπορεί να διατυπωθεί και για το πώς αυτά τα διαστήματα μπορούν να ερμηνευθούν, δεν είναι αυστηρά μαθηματικά προβλήματα και φιλοσοφικά προβλήματα. Τα μαθηματικά μπορεί να πάρουν πάνω από μια φορά τις βασικές αρχές της προσέγγισης του "συμπεράσματος" που έχει δημιουργηθεί, αλλά έχει μόνο ένα περιορισμένο ρόλο στο να πει το γιατί μια προσέγγιση θα πρέπει να προτιμάται σε σχέση με ένα άλλο: Για παράδειγμα, ένα επίπεδο εμπιστοσύνης 95% χρησιμοποιείται συχνά στις βιολογικές επιστήμες, αλλά αυτό είναι ένα θέμα της σύμβασης ή της διαιτησίας. Στις φυσικές επιστήμες, ένα πολύ υψηλότερο επίπεδο μπορεί να χρησιμοποιηθεί.

Έλεγχος στατιστικών υποθέσεων

Τα διαστήματα εμπιστοσύνης είναι στενά συνδεδεμένα με τον έλεγχο στατιστικής σημαντικότητας . Για παράδειγμα, για κάποια εκτιμώμενη παράμετρο θ αν κάποιος θέλει να ελέγξει την μηδενική υπόθεση ότι το θ = 0 έναντι της εναλλακτικής ότι θ ≠ 0, τότε αυτός ο έλεγχος μπορεί να πραγματοποιηθεί με τον καθορισμό του εάν το διάστημα εμπιστοσύνης για το θ περιέχει το 0.
Γενικότερα, με δεδομένη τη διαθεσιμότητα της διαδικασίας ελέγχου μιας υπόθεσης που μπορεί να εξετάσει τη μηδενική υπόθεση θ = θ₀ έναντι της εναλλακτικής ότι θ ≠ θ₀ για κάθε τιμή του θ₀, ένα διάστημα εμπιστοσύνης με επίπεδο εμπιστοσύνης γ = 1 − α μπορεί να οριστεί ως το διάστημα που περιέχει οποιοδήποτε αριθμό θ₀ για τον οποίο η αντίστοιχη μηδενική υπόθεση επαληθεύεται σε επίπεδο σημαντικότητας α.
Αν οι εκτιμήσεις των δύο παραμέτρων (για παράδειγμα, οι μέσες τιμές μιας μεταβλητής σε δύο ανεξάρτητες ομάδες) έχουν διαστήματα εμπιστοσύνης που δεν επικαλύπτονται, τότε η διαφορά μεταξύ των δύο τιμών είναι πιο σημαντική από αυτές που υποδεικνύονται από τις επιμέρους τιμές του α. Έτσι, αυτός ο "έλεγχος" είναι πολύ συντηρητικός και μπορεί να οδηγήσει σε ένα αποτέλεσμα που είναι πιο σημαντικό από την ένδειξη των επιμέρους τιμών του α . Αν δύο διαστήματα εμπιστοσύνης επικαλύπτονται,οι δύο μέσες τιμές μπορει να εξακολουθούν να διαφέρουν σημαντικά. Κατά συνέπεια, και σύμφωνα με το Mantel-Haenszel Chi-squared test, μια προτεινόμενη διόρθωση με την οποία μπορεί να μειωθεί το σφάλμα των ορίων για τα δύο μέσα είναι ο πολλαπλασιασμό τους με την τετραγωνική ρίζα του ½ (0.707107) πριν γίνει η σύγκριση.
Ενώ οι συνθέσεις των εννοιών των διαστημάτων εμπιστοσύνης και των ελέγχων στατιστικών υποθέσεων διαφέρουν, κατά κάποιο τρόπο σχετίζονται και σε κάποιο βαθμό είναι συμπληρωματικές. Ενώ δεν είναι όλα τα διαστήματα εμπιστοσύνης κατασκευασμένα με αυτόν τον τρόπο, μια γενικού σκοπού προσέγγιση για την κατασκευή διαστημάτων εμπιστοσύνης είναι να οριστεί ένα 100(1 − α)% διάστημα εμπιστοσύνης για να περιλαμβάνει όλες αυτές τις τιμές θ₀ για τις οποίες ένας έλεγχος της υπόθεσης θ = θ₀ επαληθεύεται σε επίπεδο σημαντικότητας 100α%. Μια τέτοια προσέγγιση μπορεί να μην είναι πάντα διαθέσιμη, δεδομένου ότι προϋποθέτει την πρακτική διαθεσιμότητα ενός κατάλληλου ελέγχου σημασίας. Φυσικά, όλες οι παραδοχές που απαιτούνται για τον έλεγχο σημασίας θα μεταφερθούν στα διαστήματα εμπιστοσύνης.
Θα ήταν βολικό να γίνει η γενική συσχέτιση ότι οι τιμές των παραμέτρων μέσα σε ένα διάστημα εμπιστοσύνης είναι ισοδύναμες με αυτές τις τιμές που επαληθεύονται από τον έλεγχο μιας υπόθεσης, αλλά αυτό θα ήταν επικίνδυνο. Σε πολλές περιπτώσεις τα διαστήματα εμπιστοσύνης που εξετάζονται είναι μόνο κατά προσέγγιση έγκυρα, ίσως προέρχεται από το "συν ή μείον δύο φορές το τυπικό σφάλμα", και οι συνέπειες αυτού για τους υποθετικούς ελέγχους της αντίστοιχης υπόθεσης είναι συνήθως άγνωστες.
Αξίζει να σημειωθεί ότι το διάστημα εμπιστοσύνης για μια παράμετρο δεν είναι το ίδιο με την περιοχή αποδοχή ενός ελέγχου της παραμέτρου, όπως συχνά θεωρείται. Το διάστημα εμπιστοσύνης είναι μέρος του παραμετρικού χώρου, ενώ η περιοχή αποδοχής είναι μέρος του δειγματικού χώρου. Για τον ίδιο λόγο, το επίπεδο εμπιστοσύνης δεν είναι το ίδιο με τη συμπληρωματική πιθανότητα του επιπέδου σημαντικότητας.

Περιοχή Εμπιστοσύνης

Οι περιοχές εμπιστοσύνης γενικεύουν την ιδέα των διαστημάτων εμπιστοσύνης για την ενασχόλιση με πολλαπλές ποσότητες. Τέτοιες περιοχές μπορούν να δείξουν όχι μόνο την έκταση των πιθανών σφαλμάτων δειγματοληψίας , αλλά μπορούν επίσης να αποκαλύψουν αν (για παράδειγμα) είναι η υπόθεση ότι αν η εκτίμηση για μια ποσότητα είναι αναξιόπιστη, τότε η άλλη ποσότητα είναι, επίσης, πιθανό να είναι αναξιόπιστη.

Ζώνη Εμπιστοσύνης

Μια ζώνη εμπιστοσύνης χρησιμοποιείται στη στατιστική ανάλυση, για να αναπαραστήσει την αβεβαιότητα στην εκτίμηση μιας καμπύλης ή μιας συνάρτησης βασισμένες σε περιορισμένα ή θορυβώδη δεδομένα. Ομοίως, μια  ζώνη πρόβλεψης χρησιμοποιείται για να αναπαραστήσει την αβεβαιότητα σχετικά με την τιμή ενός νέου δεδομένου στη καμπύλη, αλλά το θέμα είναι στον θορύβο.Οι ζώνες εμπιστοσύνης και πρόβλεψης  χρησιμοποιούνται συχνά ως μέρος της γραφικής παρουσίασης των αποτελεσμάτων της παλινδρομικής ανάλυσης.
Οι ζώνες εμπιστοσύνης είναι στενά συνδεδεμένες με τα διαστήματα εμπιστοσύνης, τα οποία αντιπροσωπεύουν την αβεβαιότητα στην εκτίμηση μιας ενιαίας αριθμητικής τιμής. "Καθώς τα διαστήματα εμπιστοσύνης, από την κατασκευή τους, αναφέρονται σε ένα μόνο σημείο, είναι πιο μικρά (στο σημείο αυτό) από μια ζώνη εμπιστοσύνης που πρέπει να στηρίζεται ταυτόχρονα σε πολλά σημεία."

Ορισμός

Ας είναι Χ  ένα τυχαίο δείγμα από μια κατανομή πιθανότητας με στατιστικές παραμέτρους θ, η οποία είναι μια ποσότητα που πρέπει να εκτιμηθεί, και ϕ, που αντιπροσωπεύει τις ποσότητες που δεν είναι του άμεσου ενδιαφέροντος. Ένα διάστημα εμπιστοσύνης για την παράμετρο θ, με επίπεδο εμπιστοσύνης ή την εμπιστοσύνη του συντελεστή γ, είναι ένα διάστημα με τυχαία άκρα (u(X), v(X)), που καθορίζονται από το ζεύγος των τυχαίων μεταβλητών u(X) και v(X), με την ιδιότητα:
  για όλα τα 
Οι ποσότητες ϕ για τις οποίες δεν υπάρχει άμεσο ενδιαφέρον ονομάζονται ενοχλητικές παράμετροι, καθώς η στατιστική θεωρία δεν έχει βρει ακόμα τρόπο να τις αντιμετωπίσει.
Ο αριθμός γ, με τυπικές τιμές κοντά αλλά όχι μεγαλύτερες από 1, μερικές φορές δίνεται με τη μορφή 1 − α (ή ως ποσοστό 100%·(1 − α)), όπου α είναι ένας μικρός μη αρνητικός αριθμός, κοντά στο 0.
Εδώ το Pr,θ,ϕ δείχνει την κατανομή πιθανότητας του X που χαρακτηρίζεται από το (θ, ϕ). Ένα σημαντικό μέρος αυτής της ειδίκευσης είναι ότι το τυχαίο διάστημα (u(X), v(X)) δίνει στην άγνωστη τιμή θ  μια μεγάλη πιθανότητα, ανεξάρτητα το ποια είναι η αληθινή τιμή του θ  στην πραγματικότητα.
Ας σημειωθεί εδώ ότι  Pr,θ,ϕ δεν αναφέρεται ρητά σε δοθείσα παραμετροποιημένη οικογένεια κατανομών, αν και συχνά συμβαίνει. Όπως και η τυχαία μεταβλητή X θεωρητικά αντιστοιχεί άλλες πιθανές αντιλήψεις του x από τον ίδιο πληθυσμό ή από την ίδια έκδοση της πραγματικότητας, οι παράμετροι (θ, ϕ), δείχνουν ότι θα πρέπει να εξετάσουμε άλλες εκδοχές της πραγματικότητας, στην οποία η κατανομή του X μπορεί να έχει διαφορετικά χαρακτηριστικά.
Σε μια συγκεκριμένη περίπτωση, όταν το x είναι το αποτέλεσμα του δείγματος, X, το διάστημα (u(x), v(x)) είναι αναφέρεται επίσης ως ένα διάστηκα εκπιστοσύνης για το θ. Σημειώστε ότι δεν είναι πλέον δυνατόν να πούμε ότι το (παρατηρήθεν) διάστημα (u(x), v(x)) έχει πιθανότητα γ να περιέχει την παράμετρο θ. Αυτό το διάστημα που παρατηρήθηκε είναι μόνο μια συνειδητοποίηση όλων των πιθανών διαστημάτων για τα οποία ισχύει το επιχείρημα για την πιθανότητα.

Διαστήματα εμπιστοσύνης κατά προσέγγιση

Σε πολλές εφαρμογές, τα διαστήματα εμπιστοσύνης που έχουν ακριβώς το απαιτούμενο επίπεδο εμπιστοσύνης είναι δύσκολο να κατασκευαστούν. Αλλά πρακτικά, χρήσιμα διαστήματα μπορούν ακόμα να βρεθούν: ο κανόνας για την κατασκευή του διαστήματος μπορεί να γίνει αποδεκτός ως η παροχή διάστηματος εμπιστοσύνης με επίπεδο γ αν
 για όλα τα 
σε ένα αποδεκτό επίπεδο προσέγγισης. Εναλλακτικά, ορισμένοι συγγραφείς απλά απαιτούν
  για όλα τα 
το οποίο είναι χρήσιμο αν οι πιθανότητες είναι μόνο εν μέρει προσδιορισμένες, ή ανακριβείς.

Εναλλακτικές και κριτικές

Τα διαστήματα εμπιστοσύνης είναι μια μέθοδος εκτίμησης διαστημάτων, και το πιο ευρέως χρησιμοποιούμενο σε frequentist στατιστικά στοιχεία.
Μια ανάλογη αντίληψη στην στατιστική κατά Bayes είναι τα διαστήματα αξιοπιστίας, ενώ μια εναλλακτική frequentist μέθοδος είναι αυτή των διαστημάτων πρόβλεψης που, παρά την εκτίμηση παραμέτρων, εκτιμούν την έκβαση των μελλοντικών δειγμάτων. Για άλλες προσεγγίσεις για την έκφραση της αβεβαιότητας, χρησιμοποιώντας διαστήματα, δείτε εκτίμηση διαστήματος.

Διαστήματα εμπιστοσύνης για ποσοστά και τις σχετικές ποσότητες

Ένα κατά προσέγγιση διάστημα εμπιστοσύνης για τη μέση τιμή ενός πληθυσμού μπορεί να κατασκευαστεί για τυχαίες μεταβλητές που δεν είναι κανονικά κατανεμημένες στον πληθυσμό, επικαλούμενη το κεντρικό οριακό θεώρημα, αν τα μεγέθη των δειγμάτων και οι μετρήσεις τους είναι αρκετά μεγάλα. Οι τύποι είναι ταυτόσημοι με την παραπάνω περίπτωση (όπου η μέση τιμή δείγματος είναι κανονικά κατανεμημένα  σε σχέση με τη μέση τιμή του πληθυσμού). Η προσέγγιση θα είναι αρκετά καλή με μόνο μερικές δεκάδες παρατηρήσεις του δείγματος, αν η κατανομή πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής δεν είναι πολύ διαφορετική από την κανονική κατανομή (π. χ. η αθροιστική συνάρτηση κατανομής δεν έχει ασυνέχειες και οι ασυμμετρίες της είναι μέτριες).
Ένα είδος μέσης τιμής δείγματος είναι η μέση τιμή του δείκτη μεταβλητής, η οποία παίρνει την τιμή 1, αν είναι αλήθεια, και την τιμή 0, αν είναι ψέμα. Η μέση μιας τέτοιας μεταβλητής είναι ίση με το ποσοστό που έχει τη μεταβλητή ίση με ένα (και στον πληθυσμό και σε κάθε δείγμα). Αυτή είναι μια χρήσιμη ιδιότητα του δείκτη μεταβλητής, ειδικά για τον έλεγχο υποθέσεων. Για να ισχύει το κεντρικό οριακό θεώρημα, πρέπει να χρησιμοποιηθεί ένα αρκετά μεγάλο δείγμα. Ένας δύσκολος κανόνας είναι ότι πρέπει να δούμε τουλάχιστον 5 περιπτώσεις κατά τις οποίες ο δείκτης είναι 1, και τουλάχιστον 5 στις οποίες είναι 0. Διαστήματα εμπιστοσύνης που κατασκευάζονται χρησιμοποιώντας τους παραπάνω τύπους μπορεί να περιλαμβάνουν αρνητικούς αριθμούς ή αριθμούς μεγαλύτερους του 1, αλλά τα ποσοστά προφανώς δεν μπορεί να είναι αρνητικά ή να υπερβαίνουν το 1. Επιπλέον, τα ποσοστά του δείγματος μπορούν να πάρουν μόνο ένα πεπερασμένο αριθμό τιμών, έτσι ώστε το κεντρικό οριακό θεώρημα και η κανονική κατανομή να μην είναι τα καλύτερα εργαλεία για την οικοδόμηση ενός διαστήματος εμπιστοσύνης. Δείτε "Διάστημα εμπιστοσύνης για τη διωνυμική κατανομή" για καλύτερες μεθόδους που είναι ειδικές για αυτή την περίπτωση.