Τετραγωνική αμοιβαιότητα

±3

3 είναι σε σειρές 11 , 13 , 23 , 37 , και 47 , αλλά όχι σε σειρές 5 , 7 , 17, 19 , 29, 31 , 41 , ή 43 .
Ο προηγούμενος είναι ≡ ± 1 ( mod 12 ) και η τελευταία είναι όλα ≡ ± 5 ( mod 12 ) .
-3 Είναι σε σειρές 7 , 13 , 19, 31 , 37 , και 43 αλλά όχι στις σειρές 5 , 11 , 17, 23 , 29, 41 , ή 47. Η πρώτη είναι ≡ 1 ( mod 3 ) και η τελευταία ≡ 2 ( mod 3 ) .
Δεδομένου ότι το μόνο κατάλοιπο ( mod 3 ) είναι 1 , βλέπουμε ότι -3 είναι ένα τετραγωνικό κατάλοιπο modulo κάθε πρωταρχικό το οποίο είναι ένα υπόλειμμα ( mod 3 ).

±5

5 είναι στις σειρές 11 , 19 , 29, 31 , και 41 αλλά όχι σε σειρές 3 , 7 , 13 , 17, 23 , 37 , 43 , ή 47 .
Ο προηγούμενος είναι ≡ ± 1 ( mod 5) και η τελευταία είναι ≡ ± 2 ( mod 5).
Δεδομένου ότι τα μόνα υπολείμματα ( mod 5 ) είναι ± 1 , βλέπουμε ότι το 5 είναι ένα τετραγωνικό κατάλοιπο modulo κάθε πρωταρχικό το οποίο είναι ένα υπόλειμμα ( mod 5 ) .
-5 είναι σε σειρές 3 , 7 , 23 , 29, 41 , 43 , και 47 αλλά όχι στις σειρές 11 , 13 , 17, 19 , 31 , ή 37. Η πρώτη είναι ≡ 1 , 3 , 7, 9 ( mod 20 ) και η τελευταία είναι ≡ 11 , 13 , 17, 19 ( mod 20 ) .

Σύνδεση με cyclotomy

Οι πρώτες αποδείξεις της τετραγωνική αμοιβαιότητας είναι σχετικά unilluminating . Η κατάσταση άλλαξε όταν ο Gauss χρησιμοποιείται [ [ Gauss συνοψίσω ] ] s για να δείξει ότι το [ [ τετραγωνικό πεδίο ] ] s είναι υποπεδία του [ [ cyclotomic πεδίου ] ] s , και εμμέσως συνάγεται η τετραγωνική αμοιβαιότητα από ένα θεώρημα αμοιβαιότητας για cyclotomic πεδία . Η απόδειξη του πετάχτηκε στη σύγχρονη μορφή του αργότερα αλγεβρικό θεωρητικούς αριθμό . Η απόδειξη αυτή χρησίμευσε ως πρότυπο για τη [ θεωρία [ πεδίο κλάσης ] ] , η οποία μπορεί να θεωρηθεί ως μια μεγάλη γενίκευση της τετραγωνικής αμοιβαιότητας
[ [ Robert Langlands ] ] διατύπωσε την [ [ πρόγραμμα Langlands ] ] , η οποία δίνει μια εικαστική μεγάλη γενίκευση της θεωρίας πεδίου τάξη . Έγραψε : 
Ιστορία και εναλλακτικές καταστάσεις
Υπάρχουν διάφοροι τρόποι για να αναφέρει το θεώρημα . Λάβετε υπόψη ότι η Euler και Legendre δεν έχουν σημειογραφία αντιστοιχίας του Gauss , ούτε ο Gauss έχει το σύμβολο του Legendre .
Σε αυτό το άρθρο  p  και  q  πάντοτε ανατρέχουν σε ξεχωριστούς θετικούς περιττούς πρώτους αριθμούς .

Άλλες δηλώσεις

Σημειώστε ότι οι δηλώσεις σε αυτό το τμήμα είναι ισοδύναμες με το τετραγωνικό αμοιβαιότητας: αν, για παράδειγμα, η εκδοχή του Euler έχει υποτεθεί , η εκδοχή Legendre-Gauss μπορεί να συναχθεί από αυτό, και το αντίστροφο.

Gauss

Η τέταρτη απόδειξη του  αποτελείται από την απόδειξη αυτού του θεωρήματος (με τη σύγκριση των δύο τύπων για την αξία των αθροισμάτων Gauss ) και, στη συνέχεια, να την περιορίζουν σε δύο πρώτους αριθμούς:
Έστω a,b, c, ... είναι άνισοι,θετικοί,περιττοί,πρώτοι, του οποίου το προϊόν είναι n, και έστω m ο αριθμός αυτών που είναι ≡ 3 (mod 4)? ελέγξτε εάν n/ a είναι ένα υπόλοιπο ενός, εάν n / b είναι ένα υπόλοιπο β, .... Ο αριθμός αυτών,που δεν είναι υπόλοιπα,θα είναι ζυγός όταν m ≡ 0, 1 (mod 4), και θα είναι περιττός αν m ≡ 2, 3 (mod 4).
 Δίνει το παράδειγμα. Έστω a = 3, b = 5, c = 7, και d = 11. Τρεις από αυτούς, 3, 7, και 11 ≡ 3 (mod 4), έτσι ώστε m ≡ 3 (mod 4).

5×7×11 R 3;  3×7×11 R 5;  3×5×11 R 7;  and  3×5×7 N 11, έτσι υπάρχει μονός αριθμός,αυτών που δεν είναι υπόλοιπα.

Σύμβολο του Hilbert

O νόμος της τετραγωνικής αμοιβαιότητας μπορεί να διατυπωθεί ως προς το Hilbert σύμβολο
όπου  a  και  b είναι οποιοιδήποτε μη μηδενικοί ρητοί αριθμοί και  v παίρνει όλες τις μη τετριμμένες απόλυτες τιμές των ρητών (αρχιμήδειων και των  p  - adic απόλυτων τιμών για πρώτους  π ). Το σύμβολο Hilbert 
είναι 1 ή και μείον; 1. Ορίζεται να είναι 1 αν και μόνο αν η εξίσωση

έχει μια λύση στο σύνολο ολοκλήρωση των ρητών στο v εκτός από 
Ο νόμος της αμοιβαιότητας υποστηρίζει ότι Hilbert που , για σταθερές a και b και διαφορετικό v, είναι ένα για όλα, αλλά τελικά πολλά v και το προϊόν της  πάνω από όλα τα v είναι 1 (Αυτό τυπικά
μοιάζει με το θεώρημα υπόλοιπο από την ανάλυση).
Η απόδειξη του Hilbert μειώνει αισθητά τον έλεγχο μερικών ειδικών περιπτώσεων, και οι μη-τετριμμένες περιπτώσεις,αποδεικνύεται να είναι ισοδύναμο με το κύριο νόμο και των δύο συμπληρωματικών νόμων της τετραγωνική αμοιβαιότητας για το σύμβολο Legendre. Δεν υπάρχει το είδος της αμοιβαιότητας στο νόμο Hilbert αμοιβαιότητας το όνομά του δείχνει απλά την ιστορική πηγή του αποτελέσματος σε τετραγωνική αμοιβαιότητα. Σε αντίθεση με τη τετραγωνική αμοιβαιότητα, η οποία απαιτεί ειδικές συνθήκες (δηλαδή θετικότητα των πρώτων αριθμών που συμμετέχουν) και μια ειδική μεταχείριση από τους πρωταρχικούς 2, ο νόμος της αμοιβαιότητας Hilbert αντιμετωπίζει όλες τις απόλυτες τιμές των ρητών επί ίσοις όροις. Ως εκ τούτου, είναι ένας πιο φυσικός τρόπος έκφρασης της τετραγωνική αμοιβαιότητας με προοπτική γενίκευσης: ο νόμος της αμοιβαιότητας Hilbert επεκτείνεται με πολύ λίγες αλλαγές σε όλους τους παγκόσμιους τομείς και η επέκταση αυτή μπορεί δικαίως να θεωρηθεί ως γενίκευση της τετραγωνικής αμοιβαιότητας σε όλους τους παγκόσμιους τομείς.

Άλλοι δακτύλιοι

Υπάρχουν, επίσης,νόμοι τετραγωνικής αμοιβαιότητας σε δακτυλίους, εκτός από τους ακέραιους αριθμούς.

Ανώτερες δυνάμεις

Η προσπάθεια γενίκευσης της τετραγωνικής αμοιβαιότητας για υψηλότερες δυνάμεις  από το δεύτερο ήταν ένας από τους κύριους στόχους που οδήγησε τους μαθηματικούς του 19ου αιώνα, συμπεριλαμβανομένων των Καρλ Φρίντριχ Γκάους, Peter Gustav Lejeune Dirichlet, Καρλ Γκούσταβ Jakob Jacobi Gotthold Eisenstein, Richard Dedekind, Ernst Kummer και David Hilbert με τη μελέτη των γενικών πεδίων αλγεβρικού αριθμού  και τους δακτυλίους των ακεραίων αριθμών; ειδικά Kummer εφεύρει ιδανικά την κατάσταση και να απέδειξε υψηλότερους νόμους της αμοιβαιότητας.
Το ένατη στην λίστα των 23 άλυτα προβλήματα, το οποίο πρότεινε ο Ντάβιντ Χίλμπερτ  για το Συνέδριο των Μαθηματικών το 1900 ζήτησε την "απόδειξη της πιο γενικής νομοθεσίας περί αμοιβαιότητας [f] ή ένα αυθαίρετο πεδίων αριθμών ". Το 1923 Artin, βάσει των εκτελούμενων εργασιών από Furtwängler, Takagi, Hasse και άλλους, ανακάλυψε ένα γενικό θεώρημα για το οποίο όλοι οι γνωστοί νόμοι της αμοιβαιότητας είναι ειδικές περιπτώσεις; το απέδειξε το 1927.
Οι σύνδεσμοι που ακολουθούν παρέχουν πιο λεπτομερείς συζητήσεις αυτών των θεωρημάτων.