Πραγματική ανάλυση

Πραγματική ανάλυση (παραδοσιακά: θεωρία των συναρτήσεων μιας πραγματικής μεταβλητής) είναι ένας κλάδος της μαθηματικής ανάλυσης που ασχολείται με τους πραγματικούς αριθμούς και τις πραγματικές συναρτήσεις μίας πραγματικής μεταβλητής. Ειδικότερα, ασχολείται με τις αναλυτικές ιδιότητες των πραγματικών συναρτήσεων και ακολουθιών, συμπεριλαμβανομένων της σύγκλισης και των ορίων των ακολουθιών πραγματικών αριθμών, του λογισμού των πραγματικών αριθμών, της συνέχειας, της ομαλότητας και σχετικών ιδιοτήτων των πραγματικών συναρτήσεων.

Κατασκευή των πραγματικών αριθμών

Υπάρχουν διάφοροι τρόποι για τον ορισμό του συστήματος των πραγματικών αριθμών ως διατεταγμένου σώματος. Η συνθετική προσέγγιση δίνει μια λίστα αξιωμάτων για τους πραγματικούς αριθμούς ως ένα πλήρες διατεταγμένο σώμα. Σύμφωνα με τα συνήθη αξιώματα της θεωρίας συνόλων, μπορεί κανείς να δείξει ότι αυτά τα αξιώματα είναι κατηγορικά, με την έννοια ότι υπάρχει μοντέλο για αυτά, ενώ κάθε δύο τέτοια μοντέλα είναι ισόμορφα. Κάθε ένα από αυτά τα μοντέλα πρέπει να κατασκευαστεί ρητά, με τα περισσότερα από αυτά να δομούνται χρησιμοποιώντας τις βασικές ιδιότητες του συστήματος των ρητών αριθμών ως διατεταγμένου σώματος. Οι κατασκευές αυτές περιγράφονται με περισσότερες λεπτομέρειες στο κύριο άρθρο.

Ιδιότητες διάταξης των πραγματικών αριθμών

Οι πραγματικοί αριθμοί έχουν αρκετές σημαντικές θεωρητικές ιδιότητες των πλεγμάτων που απουσιάζουν από τους μιγαδικούς αριθμούς. Το σημαντικότερο, οι πραγματικοί αριθμοί συνιστούν διατεταγμένο σώμα, στο οποίο η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός διατηρούν τη θετικότητα. Επιπλέον, η διάταξη των πραγματικών αριθμών είναι ολική, ενώ έχουν και την ιδιότητα του ελάχιστου άνω φράγματος. Αυτές οι ιδιότητες της θεωρίας διάταξης οδηγούν σε μια σειρά από σημαντικά αποτελέσματα στην πραγματική ανάλυση, όπως το θεώρημα  σύγκλισης μονότονων συναρτήσεων, το θεώρημα ενδιάμεσης τιμής και το θεώρημα μέσης τιμής.
Ωστόσο, ενώ τα αποτελέσματα της πραγματικής ανάλυσης αναφέρονται στους πραγματικούς αριθμούς, πολλά από αυτά μπορούν να επεκταθούν και σε άλλα μαθηματικά αντικείμενα. Ειδικότερα, πολλές ιδέες στη συναρτησιακή ανάλυση και στη θεωρία τελεστών γενικεύουν ιδιότητες των πραγματικών αριθμών· τέτοιες γενικεύσεις περιλαμβάνουν τις θεωρίες των χώρων Riesz και των θετικά ορισμένων τελεστών. Επίσης, οι μαθηματικοί εξετάζουν τα πραγματικά και τα φανταστικά μέρη μιγαδικών ακολουθιών ή, μέσω της κατά σημείο αξιολόγησης, ακολουθιών τελεστών.

Ακολουθίες

Μια ακολουθία συνήθως ορίζεται ως μια συνάρτηση το πεδίο ορισμού της οποίας είναι ένα αριθμήσιμο ολικά διατεταγμένο σύνολο, αν και σε πολλούς κλάδους το πεδίο ορισμού είναι περιορισμένο (λόγου χάρη στους φυσικούς αριθμούς). Στην πραγματική ανάλυση, μια ακολουθία είναι μια συνάρτηση από ένα υποσύνολο των φυσικών αριθμών στους πραγματικούς αριθμούς. Με άλλα λόγια, μια ακολουθία είναι μία απεικόνιση f(n) : N → R. Μπορούμε να προσδιορίσουμε το aₙ = f(n)  για κάθε n ή απλά να γράψουμε aₙ : N → R.

Όρια

Όριο ονομάζεται η τιμή που "προσεγγίζει" μια συνάρτηση ή μια ακολουθία, καθώς το όρισμα ή ο δείκτης προσεγγίζουν κάποια τιμή. Τα όρια είναι απαραίτητα στον λογισμό (και στη μαθηματική ανάλυση σε γενικές γραμμές) και χρησιμοποιούνται για τον ορισμό της συνέχειας, των παραγώγων και των ολοκληρωμάτων.

Συνέχεια

Μια συνάρτηση από το σύνολο των πραγματικών αριθμών στους πραγματικούς αριθμούς μπορεί να αναπαρασταθεί με ένα γράφημα στο Καρτεσιανό επίπεδο· μια τέτοια συνάρτηση είναι συνεχής αν, σε γενικές γραμμές, η γραφική της παράσταση είναι μια ενιαία αδιάσπαστη καμπύλη, χωρίς "κενά" ή "άλματα".
Υπάρχουν διάφοροι τρόποι για να γίνει αυτή η διαισθητική προσέγγιση μαθηματικά αυστηρή. Οι ορισμοί αυτοί είναι ισοδύναμοι μεταξύ τους, συνεπώς ο πιο κατάλληλος ορισμός μπορεί να χρησιμοποιηθεί κάθε φορά για να καθοριστεί αν μια δοθείσα συνάρτηση είναι συνεχής ή όχι. Στους παρακάτω ορισμούς,
είναι μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα υποσύνολο I του συνόλου R των πραγματικών αριθμών. Το υποσύνολο αυτό θα αναφέρεται ως το πεδίο ορισμού της f. Μερικές πιθανές επιλογές περιλαμβάνουν το I=R (το σύνολο των πραγματικών αριθμών), ένα ανοιχτό διάστημα
ή ένα κλειστό διάστημα
Εδώ, οι a και b είναι πραγματικοί αριθμοί.

Ομοιόμορφη συνέχεια

Αν X και Y είναι υποσύνολα των πραγματικών αριθμών, μια συνάρτηση f : X → Y λέγεται ομοιόμορφα συνεχής αν για κάθε ε > 0 υπάρχει δ > 0 τέτοιο, ώστε για κάθε x, y ∈ X,  |x − y| < δ συνεπάγεται |f(x) − f(y)| < ε.
Η διαφορά μεταξύ της ομοιόμορφης συνέχειας και της απλής συνέχειας είναι ότι στην ομοιόμορφη συνέχεια η τιμή του δ εξαρτάται μόνο από το ε και όχι από κάποιο σημείο στο πεδίο ορισμού.

Απόλυτη συνέχεια

Έστω  ένα διάστημα στην πραγματική ευθεία R. Μια συνάρτηση  λέγεται απολύτως συνεχής στο  αν για κάθε θετικό αριθμό , υπάρχει ένας θετικός αριθμός  τέτοιος, ώστε κάθε φορά που μια πεπερασμένη ακολουθία ξένων ανά δύο υποδιαστημάτων  του  ικανοποιεί
τότε
Το σύνολο όλων των απολύτως συνεχών συναρτήσεων στο διάστημα I συμβολίζεται με AC(I).
Οι ακόλουθες συνθήκες που αφορούν μια πραγματική συνάρτηση f σε ένα συμπαγές διάστημα [a,b] είναι ισοδύναμες:
1) η f είναι απολύτως συνεχής·
2) η παράγωγος f' της f υπάρχει σχεδόν παντού, είναι ολοκληρώσιμη κατά Lebesgue και
 
για κάθε x στο [a,b]·
3) υπάρχει κατά Lebesgue ολοκληρώσιμη συνάρτηση g στο [a,b] τέτοια, ώστε
 
για κάθε x στο [a,b].
Αν αυτές οι ισοδύναμες συνθήκες ικανοποιούνται, τότε υποχρεωτικά ισχύει g = f' σχεδόν παντού.
Η ισοδυναμία μεταξύ των (1) και (3) είναι γνωστή ως θεμελιώδες θεώρημα του κατά Lebesgue ολοκληρωτικού λογισμού και οφείλεται στον Lebesgue.

Σειρές

Δοθείσης μιας άπειρης ακολουθίας αριθμών { αₙ }, μια σειρά είναι, άτυπα, το αποτέλεσμα από την πρόσθεση όλων αυτών των όρων μαζί: a₁ + a₂ + a₃ + · · ·. Τα προηγούμενα μπορούν να γραφούν πιο συνεπτυγμένα χρησιμοποιώντας το σύμβολο άθροισης ∑. Ένα παράδειγμα είναι η περίφημη σειρά από το παράδοξο της διχοτόμησης του Ζήνωνα και η μαθηματική της αναπαράσταση:
Οι όροι της σειράς συχνά παράγονται σύμφωνα με ένα συγκεκριμένο κανόνα, όπως με έναν τύπο ή με έναν αλγόριθμο.

Σειρές Taylor

Η σειρά Taylor μιας πραγματικής ή μιγαδικής συνάρτησης ƒ(x) που είναι άπειρες φορές παραγωγίσιμη στον πραγματικό ή μιγαδικό αριθμό a είναι η δυναμοσειρά:
που μπορεί να γραφεί με τον πιο συνεπτυγμένο συμβολισμό του συμβόλου της άθροισης , όπως στην έκφραση:
όπου το n! δηλώνει το παραγοντικό του n , και ƒ(a) δηλώνει την τιμή της n-οστής παραγώγου της ƒ  στο σημείο α. Η παράγωγος μηδενικής τάξης της ƒ ορίζεται να είναι η ίδια η ƒ και (x − a)⁰ και 0! ορίζονται και τα δύο να είναι 1. Στην περίπτωση που a = 0, η σειρά ονομάζεται, επίσης, μια σειρά Maclaurin.

Σειρές Fourier

Μια σειρά Fourier αποσυνθέτει περιοδικές συναρτήσεις ή περιοδικά σήματα σε αθροίσματα ενός (ενδεχομένως απείρου) συνόλου απλών ταλαντούμενων συναρτήσεων, δηλαδή του ημιτόνου και του συνημιτόνου (ή των μιγαδικών εκθετικών συναρτήσεων). Η μελέτη των σειρών Fourier αποτελεί κλάδο της ανάλυσης Fourier.

Παραγώγιση

Τυπικά, η παράγωγος της συνάρτησης f στο a είναι το όριο
.
Αν η παράγωγος υπάρχει παντού, η συνάρτηση ονομάζεται παραγωγίσιμη. Μπορεί κανείς να λάβει παραγώγους υψηλότερης τάξης , επαναλαμβάνοντας αυτήν τη διαδικασία. Οι συναρτήσεις μπορούν να καταταχθούν με βάση την κλάση διαφορισιμότητάς τους. Η κλάση C⁰ αποτελείται από όλες τις συνεχείς συναρτήσεις. Η κλάση C¹ αποτελείται από όλες τις παραγωγίσιμες συναρτήσεις των οποίων οι  παράγωγοι είναι συνεχείς· τέτοιες συναρτήσεις καλούνται συνεχώς διαφορίσιμες. Έτσι, μια C¹ συνάρτηση είναι ακριβώς μια συνάρτηση της οποίας η παράγωγος υπάρχει και είναι κλάσης C⁰. Σε γενικές γραμμές, οι κλάσεις Cᵏ μπορούν να οριστούν αναδρομικά θεωρώντας το C⁰ ως το σύνολο όλων των συνεχών συναρτήσεων και θεωρώντας το Cᵏ για κάθε θετικό ακέραιο k ως το σύνολο όλων των διαφορίσιμων συναρτήσεων των οποίων οι παράγωγοι ανήκουν στην κλάση Cᵏ⁻¹. Ειδικότερα, η Cᵏ περιέχεται στη Cᵏ⁻¹ για κάθε k και υπάρχουν παραδείγματα που δείχνουν ότι αυτός ο εγκλωβισμός είναι αυστηρός. C∞ είναι η τομή των συνόλων Cᵏ καθώς το k διατρέχει τους μη αρνητικούς ακεραίους. Τα Cᵏ εγκλωβίζονται αυστηρά στην C∞.

Ολοκλήρωση Riemann

Το ολοκλήρωμα Riemann ορίζεται με βάση τα αθροίσματα Riemann συναρτήσεων, τα οποία αντιστοιχούν σε επισημασμένες διαμερίσεις ενός διαστήματος. Έστω [a,b] ένα κλειστό διάστημα της πραγματικής ευθείας· τότε, μια επισημασμένη διαμέριση του [a,b] είναι μια πεπερασμένη ακολουθία
η οποία διαμερίζει το διάστημα [a,b] σε n υποδιαστήματα [xᵢ₋₁, xᵢ] με δείκτη i, καθένα από τα οποία επισημαίνεται με ένα διακεκριμένο σημείο tᵢ∈ [xᵢ₋₁, xᵢ]. Ένα άθροισμα Riemann της συνάρτησης f ως προς μια τέτοια επισημασμένη διαμέριση ορίζεται ως
 
όπου κάθε όρος του αθροίσματος ισούται με το εμβαδόν του ορθογωνίου με ύψος ίσο με την τιμή της συνάρτησης στο διακεκριμένο σημείο του εκάστοτε υποδιαστήματος και πλάτος ίδιο με το πλάτος του υποδιαστήματος. Ας είναι Δᵢ = xᵢ−xᵢ₋₁ το πλάτος του υποδιαστήματος i· τότε ονομάζουμε λεπτότητα της εν λόγω επισημασμένης διαμέρισης το πλάτος του μεγαλύτερου υποδιαστήματος της διαμέρισης, maxᵢ=1...ₙ Δᵢ .Το ολοκλήρωμα Riemann της συνάρτησης f στο διάστημα [a,b] είναι ίσο με S αν:
Για κάθε ε > 0 υπάρχει δ > 0 τέτοιο, ώστε για κάθε επισημασμένη διαμέριση [a,b] με λεπτότητα μικρότερη από δ να έχουμε
Όταν τα επιλεγμένα  δίνουν τη μέγιστη (ή την ελάχιστη, αντίστοιχα) τιμή για κάθε διάστημα, το άθροισμα Riemann γίνεται ένα άνω (αντίστοιχα, κάτω) άθροισμα Darboux, γεγονός που υποδηλώνει την στενή σχέση μεταξύ του ολοκληρώματος Riemann και του ολοκληρώματος Darboux.

Κατά Lebesgue ολοκλήρωση

Η κατά Lebesgue ολοκλήρωση είναι μια μαθηματική κατασκευή που επεκτείνει το ολοκλήρωμα σε μια μεγαλύτερη κλάση συναρτήσεων· επίσης, επεκτείνει και τα πεδία ορισμού αυτών των συναρτήσεων.

Κατανομές

Οι κατανομές (ή γενικευμένες συναρτήσεις) είναι αντικείμενα που γενικεύουν συναρτήσεις. Οι κατανομές καθιστούν δυνατή την παραγώγιση συναρτήσεων των οποίων οι παράγωγοι δεν υπάρχουν με την κλασσική έννοια. Ειδικότερα, κάθε τοπικά ολοκληρώσιμη συνάρτηση έχει μια κατανομή ως παράγωγο.

Σχέση με τη μιγαδική ανάλυση

Η πραγματική ανάλυση είναι μια περιοχή της μαθηματικής ανάλυσης που μελετά έννοιες όπως τις ακολουθίες και τα όριά τους, τη συνέχεια, την παραγώγιση, την ολοκλήρωση και τις ακολουθίες συναρτήσεων. Εξ' ορισμού, η πραγματική ανάλυση εστιάζει στους πραγματικούς αριθμούς, συχνά συμπεριλαμβανομένων του θετικού και του αρνητικού απείρου για να σχηματιστεί η εκτεταμένη πραγματική ευθεία. Η πραγματική ανάλυση είναι στενά συνδεδεμένη με την μιγαδική ανάλυση, η οποία μελετά γενικά τις αντίστοιχες ιδιότητες των μιγαδικών αριθμών. Στην μιγαδική ανάλυση, είναι φυσικό να ορίζεται η παραγώγιση μέσω ολόμορφων συναρτήσεων, οι οποίες έχουν μια σειρά από χρήσιμες ιδιότητες, όπως το να μπορούν να παραγωγιστούν επαναλαμβανόμενα, να εκφράζονται ως δυναμοσειρές, και να ικανοποιούν τον ολοκληρωτικό τύπο του Cauchy.
Στην πραγματική ανάλυση είναι συνήθως πιο φυσικό να εξετάζουμε παραγωγίσιμες, ομαλές ή αρμονικές συναρτήσεις, οι οποίες είναι ευρύτερα εφαρμόσιμες, αλλά μπορεί να στερούνται μερικών ισχυρότερων ιδιοτήτων των ολόμορφων συναρτήσεων. Αποτελέσματα, ωστόσο, όπως το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας είναι πιο απλά όταν εκφράζονται μέσω των μιγαδικών αριθμών.
Τεχνικές από τη θεωρία των αναλυτικών συναρτήσεων μιας μιγαδικής μεταβλητής χρησιμοποιούνται συχνά στην πραγματική ανάλυση, όπως ο υπολογισμός πραγματικών ολοκληρωμάτων μέσω του λογισμού των καταλοίπων.

Σημαντικά αποτελέσματα

Στα σημαντικά αποτελέσματα περιλαμβάνονται τα θεωρήματα  Bolzano–Weierstrass και Heine-Borel, το θεώρημα ενδιάμεσης τιμής και το θεώρημα μέσης τιμής, το θεμελιώδες θεώρημα του απειροστικού λογισμού και το θεώρημα σύγκλισης μονότονων συναρτήσεων.
Διάφορες ιδέες από την πραγματική ανάλυση μπορούν να γενικευθούν από τον πραγματικό χώρο σε γενικούς μετρικούς χώρους, καθώς και σε χώρους μέτρου, χώρους Banach και χώρους Hilbert.