Παλιρροϊκές δυνάμεις

Μαθηματική περιγραφή

Έστω ένα σφαιρικό σώμα μάζας m και ακτίνας r το οποίο περιστρέφεται γύρω από ένα σφαιρικό σώμα μάζας M και η απόσταση των κέντρων τους είναι D (υποθετικά σταθερή, δηλαδή υποθέτουμε κυκλική κίνηση με καλή προσέγγιση). Τότε στο κοντινότερο σημείο Α του m από το M δέχεται μία δύναμη ανά μονάδα μάζας ίση με: \vec{F_A}=-G\frac{M}{(D-r)^2}\hat{D}, όπου G η σταθερά της παγκόσμιας έλξης, που οφείλεται στο σώμα Μ. Η δύναμη ανά μονάδα μάζας στο κέντρο O_m του m που οφείλεται στο σώμα M είναι ίση με: \vec{F_{O_m}}=-G\frac{M}{D^2}\hat{D}. Δεδομένου ότι το σώμα m μένει σταθερά σε απόσταση D από το σώμα M αυτό σημαίνει ότι το m λόγω της διαφοράς των δυνάμεων όπως αυτές περιγράφηκαν προκαλούν την παραμόρφωση του σώματος m. Η διαφορά αυτή των δυνάμεων που ονομάζεται παλιρροϊκή δύναμη και προκαλεί την παραμόρφωση ισούται με: \vec{F}_{\pi}=\vec{F}_{O_m}-\vec{F}_A=-\left(-G\frac{M}{D^2}+G\frac{M}{(D-r)^2}\right)\hat{D} = -\left(G\frac{M}{D^2}\frac{1}{\left(1-\frac{r}{D}\right)^2}-G\frac{M}{D^2}\right)\hat{D}\simeq -\left(G\frac{M}{D^2}\left(1+2\frac{r}{D}\right)-G\frac{M}{D^2}\right)\hat{D}=-\frac{2GMr}{D^3}\hat{D},

άρα στο Α:  \vec{F}_{\pi_A}=-\frac{2GMr}{D^3}\hat{D}  ενώ στο αντιδιαμετρικό σημείο A' η δύναμη αυτή έχει το ίδιο μέτρο αλλά αντίθετη κατεύθυνση, δηλαδή:  \vec{F}_{\pi_{A'}}=\frac{2GMr}{D^3}\hat{D} .

Για την εύρεση αυτών των εκφράσεων χρησιμοποιήθηκε το ότι r\ll D, για να ισχύει με καλή προσέγγιση η ανάπτυξη σε πρώτη τάξη κατά Taylor του όρου \frac{1}{\left(1-\frac{r}{D}\right)^2}, αφού όταν |a|\ll1 τότε (1+a)^{\pm n}\simeq 1\pm na.
Γενικότερα θα μπορούσε να εξαχθεί μία σχέση που θα περιγράφει την παλιρροϊκή δύναμη όχι μόνο για το σημείο της Γης που βρίσκεται στην ελάχιστη και στη μέγιστη απόσταση από τη Σελήνη, αλλά για οποιοδήποτε σημείο της.

Παλιρροϊκές δυνάμεις ασκούμενες στη Γη

Η Γη φυσικά δέχεται τη βαρυτική δύναμη και επομένως την παλιρροϊκή δύναμη όλων των σωμάτων που υπάρχουν στο σύμπαν, αφού η δύναμη της βαρύτητας, μία από τις τέσσερις θεμελιώδεις δυνάμεις, έχει άπειρη εμβέλεια. Παρόλα αυτά η δυνάμεις των σωμάτων πλην του Ήλιου και της Σελήνης θα μπορούσαν να αγνοηθούν λόγω του ότι η βαρυτική δύναμη μειώνεται με γρήγορο ρυθμό με την απόσταση (x) κατά F_G \propto \frac{1}{x^2}.

Ο λόγος των παλιρροϊκών δυνάμεων της Σελήνης επάνω στη Γη προς των δυνάμεων του Ήλιου, είναι: \frac{F_{\pi_{\Sigma}}}{F_{\pi_{\Eta}}}=\frac{\frac{2GM_{\Sigma} M_{\Gamma} R_\Gamma}{R^3_{\Gamma-\Sigma}}}{\frac{2GM_{\Eta} M_{\Gamma} R_{\Gamma}}{R^3_{\Gamma-\Eta}}}=\frac{M_{\Sigma}}{M_{\Eta}}\left(\frac{R_{\Gamma-\Eta}}{R_{\Gamma-\Sigma}}\right)^3, όπου R_{\Gamma-\Sigma}: είναι η απόσταση Γης - Σελήνης, R_{\Gamma-\Eta}: η απόσταση Γης - Ηλίου, R_{\Gamma-\Gamma}: η μέση ακτίνα της Γης, M_{\Sigma}: η μάζα της Σελήνης, M_{\Gamma}: η μάζα της Γης και M_{\Eta}: η μάζα του Ηλίου. Αντικαθιστώντας λοιπόν τις τιμές αυτών των μεγεθών στον τελικό τύπο βρίσκουμε ότι ο λόγος που ψάχνουμε ισούται με: \frac{F_{\pi_{\Sigma}}}{F_{\pi_{\Eta}}}\simeq 2.2. Δηλαδή οι παλιρροϊκές δυνάμεις που ασκεί η Σελήνη είναι περίπου 2.2 φορές μεγαλύτερες από αυτές που ασκεί ο Ήλιος πάνω στη Γη. Αυτό το προς στιγμή παράδοξο, εξηγείται απλά μιας που παρότι η βαρυτική δύναμη του Ήλιου είναι κατά πολύ μεγαλύτερη \frac{F_{\Eta}}{F_{\Sigma}}=\frac{\frac{G M_{\Gamma} M_{\Eta}}{R^2_{\Gamma-\Eta}}}{\frac{G M_{\Gamma} M_{\Sigma}}{R^2_{\Gamma-\Sigma}}}=\frac{M_{\Eta}}{M_{\Sigma}}\left(\frac{R_{\Gamma-\Sigma}}{R_{\Gamma-\Eta}}\right)^2\simeq 175, η απόσταση Γης - Σελήνης είναι σχεδόν 390 φορές μικρότερη από την απόσταση Γης - Ήλιου και ο όρος αυτός συνεισφέρει στην τρίτη δύναμη στον παραπάνω υπολογισμό του \frac{F_{\pi_{\Sigma}}}{F_{\pi_{\Eta}}}.

Περιγραφή και Ερμηνεία του Φαινομένου

Λόγω των παλιρροϊκών δυνάμεων, ολόκληρη η Γη αλλάζει σχήμα. Και μιλώντας για ολόκληρη τη Γη εννοούμε την ατμόσφαιρά της, τους ωκεανούς, το έδαφος (αφού είναι ένα παραμορφώσιμο στερεό), το υπέδαφος κ.λ.π. Η αλλαγή αυτή του σχήματος της Γης συμβαίνει διότι το νερό που βρίσκεται κοντά στη Σελήνη έλκεται περισσότερο, οπότε και το νερό ανυψώνεται ενώ στο αντιδιαμετρικό σημείο η ελκτική δύναμη είναι ασθενέστερη, οπότε και το νερό ανυψώνεται επίσης. Λόγω δε και της περιστροφής της Γης γύρω από τον Ήλιο και της περιστροφής της Σελήνης γύρω από τη Γη αυτή η αλλαγή του σχήματος είναι περιοδική.

Εύκολα παρατηρήσιμη είναι η αλλαγή του σχήματος των ωκεανών της Γης που παρατηρείται ως αύξηση και μείωση της στάθμης της θάλασσας σε μερικά σημεία της Γης κατά πολλά μέτρα και κατά περιοδικό τρόπο. Αυτό το φαινόμενο είναι γνωστό ως Πλημμυρίδα-Άμπωτις και υποδηλώνει της αύξηση και αντίστοιχα τη μείωση της στάθμης της θάλασσας.

Ο χρόνος που κάνει η Σελήνη να ξαναβρεθεί πάνω από το ίδιο σημείο της Γης είναι περίπου 24h 50min. Οι 24h οφείλονται στην περιστροφή της Γης γύρω από τον άξονά της και τα 50min στην περιστροφή της Σελήνης γύρω από τη Γη. Επειδή είτε η Σελήνη βρίσκεται πάνω από έναν τόπο είναι πάνω από τον τόπο που είναι αντιδιαμετρικά της Γης, αυτός ο τόπος δέχεται την ίδια δύναμη, η περίοδος της αλλαγής του σχήματος της Γης και συνεπώς η περίοδος της Πλημμυρίδας ή της Άμπωτης είναι η μισή της της προαναφερθείσας περιόδου της Σελήνης και είναι δηλαδή περίπου 12h 25min. Φυσικά σε αυτές έχει επίδραση και ο Ήλιος, αλλά όπως είπαμε με κατά περίπου 2.2 φορές μικρότερες δυνάμεις και περίοδο σχεδόν 24h 4min όσο χρόνο δηλαδή χρειάζεται ο Ήλιος μέχρι να ξαναβρεθεί πάνω από το ίδιο σημείο της Γης τα 4min οφείλονται όπως και πριν στην περιφορά της Γης γύρω από τον Ήλιο.

Γη και Σελήνη: Μηχανική εξέλιξη

Λόγω του ότι υπάρχει απώλεια ενέργειας από το σύστημα Γης-Ήλιος-Σελήνης η οποία οφείλεται στις παλιρροϊκές δυνάμεις. Αυτό προκαλεί μεταξύ άλλων και μία επιβράδυνση της περιστροφής της Γης γύρω από τον άξονά της (ιδιοπεριστροφή), δηλαδή μία αύξηση της περιόδου της ιδιοπεριστροφής της Γης. Αυτή η αύξηση της ημέρας υπολογίζεται από τα αστρονομικά δεδομένα να είναι ίση με: 4.4\cdot 10^{-8}(sec) ανά ημέρα.

Η Γη έχει μία στροφορμή λόγω της ιδιοπεριστροφής της (ιδιοστροφορμή) η οποία ισούται με: L_{S_\Gamma}=I\omega_{S_\Gamma}, όπου \omega_{S_\Gamma}: είναι η γωνιακή ταχύτητα (ή συχνότητα) της ιδιοπεριστροφής της Γης (ιδιοσυχνότητα).

Η Σελήνη έχει επίσης μία στροφορμή λόγω της ιδιοπεριστροφής της, αλλά είναι αμελητέα λόγω της πολύ μικρής μάζας της Σελήνης. Έχει, όμως, φυσικά, και τροχιακή στροφορμή η οποία οφείλεται προφανώς στην περιφορά της Σελήνης γύρω από τη Γη και η οποία ισούται με: L_{O_\Sigma}=M_{\Sigma}\cdot\omega_{O_\Sigma} R^2_{\Gamma-\Sigma}, όπου φυσικά υπολογίζουμε την στροφορμή από το κέντρο της Γης.

Η ολική στροφορμή του συστήματος L_{total} η οποία λόγω, ανυπαρξίας (ή μάλλον αμελητέων) εξωτερικών δυνάμεων που να προκαλούν ροπή, διατηρείται, είναι το άθροισμα των επιμέρους, δηλαδή: L_{total}=L_{O_\Sigma}+L_{S_\Gamma} (το ότι διατηρείται μας δείχνει ότι ο ρυθμός μεταβολής των δύο επιμέρους στροφορμών είναι ίσος κατά απόλυτη τιμή και αντίθετος, κάτι που φαίνεται με απλή παραγώγιση ως προς τον χρόνο), ενώ η ενέργεια του συστήματος Γης-Σελήνης είναι (εφαρμόζοντας τις διάφορες προσεγγίσεις που αναφέραμε ήδη): E=\frac{1}{2}M_\Sigma u^2-\frac{GM_\Sigma M_\Gamma}{R_{\Gamma-\Sigma}}+\frac{1}{2}I\omega^2_{O_\Sigma}=-\frac{M^2_\Sigma \omega^4_{O_\Sigma} R^6_{\Gamma-\Sigma}}{2L^2_{O_\Sigma}}+\frac{(L_{total}-L_{O_\Sigma})^2}{2I}.

Όπως βλέπουμε από την δεύτερη τελευταία τριπλή ισότητα μπορούμε να θεωρήσουμε της ενέργεια του συστήματος ως συνάρτηση μόνο της τροχιακής στροφορμής της Σελήνης L_{O_\Sigma}.

Παραγωγίζοντας την συνάρτηση αυτή βρίσκουμε ότι η παράγωγός της έχει έναν μηδενισμό και συνεπώς η συνάρτηση έχει ακρότατο. Από τη φυσική εποπτεία του προβλήματος, δηλαδή το ότι το σύστημα χάνει ενέργεια καταλαβαίνουμε ότι αυτό το ακρότατο είναι ελάχιστο (πράγμα που μπορεί να επιβεβαιωθεί και από την δεύτερη παράγωγο της συνάρτησης). Συγκεκριμένα ο μηδενισμός της παραγώγου μας δίνει: \frac{dE}{dL_{O_\Sigma}}=0 \Rightarrow \frac{L_{O_\Sigma}}{M_\Sigma R^2_{\Gamma-\Sigma}}=\frac{L_{S_\Gamma}}{I} \Rightarrow \omega_{O_\Sigma}=\omega_{O_\Gamma}. Δηλαδή η συχνότητα περιφοράς της Σελήνης γύρω από τη Γη συνεχώς θα αυξάνεται και η συχνότητα της ιδιοπεριστροφής της Γης συνεχώς θα μειώνεται μέχρις ότου εξισωθούν.

Λόγω του ότι η σχεδόν κυκλική κίνηση που κάνει η Σελήνη γύρω από τη Γη οφείλεται στην κεντρομόλο βαρυτική δύναμη που ασκεί η Γη επάνω της, έχουμε: M_\Sigma \omega^2_{O_\Sigma} R_{\Gamma-\Sigma}=\frac{G M_\Sigma M_\Gamma}{R^2_{\Gamma-\Sigma}} \Rightarrow \omega^2_{O_\Sigma} R^3_{\Gamma-\Sigma} = G M_\Gamma.

Παραγωγίζοντας την τελευταία σχέση ως προς τον χρόνο \left(\frac{da}{dt}\equiv \dot a\right), έχουμε: 2 \omega_{O_\Sigma} R^3_{\Gamma-\Sigma} \dot \omega_{O_\Sigma} + 3 \omega^2_{O_\Sigma} R^2_{\Gamma-\Sigma} \dot R_{\Gamma-\Sigma} \Rightarrow \frac{\dot R_{\Gamma-\Sigma}}{R_{\Gamma-\Sigma}}=-\frac{2\dot \omega_{O_\Sigma}}{3\omega_{O_\Sigma}}.

Χρησιμοποιώντας την τελευταία σχέση βρίσκουμε το εξής: \frac{\dot L}{L}=2\frac{\dot R_{\Gamma-\Sigma}}{R_{\Gamma-\Sigma}}+\frac{\dot \omega_{O_\Sigma}}{\omega_{O_\Sigma}}=\frac{\dot R_{\Gamma-\Sigma}}{2R_{\Gamma-\Sigma}}.

Επίσης βλέπουμε ότι ισχύει (βλ. παραπάνω για τη διατήρηση της ολικής στροφορμής): \frac{\dot R_{\Gamma-\Sigma}}{R_{\Gamma-\Sigma}}=-\frac{2\dot \omega_{S_\Gamma} L_{S_\Gamma}}{\omega_{S_\Gamma}L_{S_\Gamma}}.

Αυτό που καταφέραμε φτάνοντας σε αυτήν τη σχέση είναι να συνδέσουμε τον ρυθμό μεταβολής ως προς το χρόνο της απόστασης Γης-Σελήνης με τον ρυθμό μεταβολής ως προς το χρόνο της συχνότητας της περιστροφής της Γης που είναι γνωστός. Κάνοντας τις αντικαταστάσεις μπορούμε να βρούμε το \dot r.
Επίσης συνδυάζοντας τις παραπάνω εξισώσεις βλέπουμε το εξής: -\frac{2\dot \omega_{S_\Gamma} L_{S_\Gamma}}{\omega_{S_\Gamma}L_{S_\Gamma}}=\frac{\dot R_{\Gamma-\Sigma}}{R_{\Gamma-\Sigma}}=-\frac{2\dot \omega_{O_\Sigma}}{3\omega_{O_\Sigma}} \Rightarrow \frac{\dot \omega_{S_\Gamma} L_{S_\Gamma}}{\omega_{S_\Gamma}L_{S_\Gamma}} {3\omega_{O_\Sigma}}=\dot \omega_{O_\Sigma}. Συνεπώς μπορούμε να βρούμε και τον ρυθμός μεταβολής της συχνότητας περιφοράς της Σελήνης γύρω από της Γη και συνεπώς να βρούμε το πότε ελαχιστοποιείται η ενέργεια και επομένως το σύστημα παύει να εξελίσσεται λύνοντας τις απλές αυτές συνήθεις γραμμικές διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης που επιδέχονται λύση χωριζομένων μεταβλητών για να βρούμε τις δύο συχνότητες (\omega_{S_\Gamma}, \omega_{O_\Sigma}) συναρτήσει του χρόνου και εξισώνοντάς τις. Και φυσικά μπορούμε να βρούμε την κοινή αυτή συχνότητα.

Ακόμα μπορούμε να βρούμε την απόσταση την οποία θα έχουν η Γη και η Σελήνη επίσης χρησιμοποιώντας τις προηγούμενες εξισώσεις. Οι τιμές που αναφέρονται στη βιβλιογραφία είναι \dot r\simeq 0.0002\frac{m}{month}, R'_{\Gamma-\Sigma}\simeq 1.5R_{\Gamma-\Sigma} και \omega '_{S_\Gamma} τέτοια ώστε η ημέρα της Γης να διαρκεί όσο περίπου 50 σημερινές ημέρες.

Δίας και Ιώ

Εξαιτίας της μεγάλης βαρύτητας του Δία και της εγγύτητας του τρίτου μεγαλύτερου δορυφόρου του Ιώ, οι παλιρροϊκές δυνάμεις που αναπτύσσονται μεταξύ των δύο σωμάτων έχουν ως αποτέλεσμα μια ελαφρά διαστολή και συστολή της Ιούς, που θερμαίνει το εσωτερικό της μέσω της τριβής. Αυτή η θερμότητα εκδηλώνεται με τη μορφή τεράστιων ηφαιστειακών εκρήξεων, των ισχυρότερων στο ηλιακό σύστημα.

Δακτύλιοι γύρω από Πλανήτες

Οι δακτύλιοι των πλανητών, όπως οι δακτύλιοι του Κρόνου, του Δία, του Ποσειδώνα και του Ουρανού αποτελούνται από θραύσματα σωμάτων ή από σκόνη που ποτέ δεν θα μπορέσει να σχηματίσει κάποιον πλανήτη ή φυσικό δορυφόρο λόγω των παλιρροϊκών δυνάμεων. Οι παλιρροϊκές δυνάμεις που δρουν πάνω σε ένα σώμα που βρίσκεται σε απόσταση μικρότερη από την απόσταση που είναι γνωστή ως όριο του Roche είναι καταστρεπτικές για ένα σώμα που υπάρχει μόνο λόγω της δικής του βαρύτητας και φυσικά δεν επιτρέπουν σε σκόνη να συμπυκνωθεί λόγω βαρύτητας σε κάποιο σώμα. Αυτό διαφέρει για κάποιο σώμα που η δομή του στηρίζεται και σε δυνάμεις μεταξύ των στοιχείων της ύλης του. Για παράδειγμα ένας τεχνητός δορυφόρος δε θα διαλυθεί ξεπερνώντας το όριο του Roche γιατί η δομή του δε στηρίζεται στην βαρύτητά του, αλλά στις δυνάμεις μεταξύ των ιόντων του μετάλλου από το οποίο είναι φτιαγμένος.
Περισσότερα στο άρθρο για το όριο του Roche.