Αλγεβρική τοπολογία

Η αλγεβρική τοπολογία είναι ένας κλάδος των μαθηματικών ο οποίος χρησιμοποιεί εργαλεία από την αφηρημένη άλγεβρα για τη μελέτη τοπολογικών χώρων. Βασικός στόχος της είναι η εύρεση αναλλοίωτων αλγεβρικών στοιχείων τα οποία ταξινομούν τους τοπολογικούς χώρους μέχρι και τον ομοιομορφισμό, αν και τα περισσότερα στοιχεία συνήθως ταξινομούν μέχρι και την ισοδυναμία ομοτοπίας.
Παρόλο που η αλγεβρική τοπολογία χρησιμοποιεί κυρίως την άλγεβρα για την μελέτη των τοπολογικών προβλημάτων, είναι μερικές φορές δυνατή και η χρησιμοποίηση της τοπολογίας. Παραδείγματος χάρη, η αλγεβρική τοπολογία επιτρέπει την εύκολη απόδειξη ότι οποιαδήποτε υποομάδα μιας ελεύθερης ομάδας αποτελεί με την σειρά της μια ελεύθερη ομάδα.  

Βασικοί κλάδοι της αλγεβρικής τοπολογίας

Παρακάτω υπάρχουν μερικά από τα κυριότερα αντικείμενα που διδάσκονται στην αλγεβρική τοπολογία:

Ομότοπες ομάδες

Στα μαθηματικά, οι ομότοπες ομάδες χρησιμοποιούνται στην αλγεβρική τοπολογία για την ταξινόμηση των τοπολογικών χώρων. Η πρωταρχική και η πιο απλή ομότοπη ομάδα είναι η θεμελιώδης ομάδα, η οποία καταγράφει πληροφορίες σχετικά με τους βρόχους μέσα σε ένα διάστημα. Ενστικτωδώς, οι ομότοπες ομάδες καταγράφουν πληροφορίες σχετικά με το βασικό σχήμα ή με τις οπές ενός τοπολογικού χώρου.

Ομολογία

Στην αλγεβρική τοπολογία και την αφηρημένη άλγεβρα, η ομολογία (λέξη προερχόμενη από το Ελληνικό επίθετο ὁμός = ίδιος) είναι μία βέβαιη, γενική διαδικασία συσχέτισης μιας ακολουθίας Αβελιανών ομάδων ή προτύπων με κάποιο δεδομένο μαθηματικό αντικείμενο όπως είναι ένας τοπολογικός χώρος ή μια ομάδα.

Συνομολογία

Στην θεωρία συνομολογίας και την αλγεβρική τοπολογία, η συνομολογία είναι ένας γενικός ορισμός για μια ακολουθία Αβελιανών ομάδων που χαρακτηρίζονται από ένα συν-αλυσιδωτό σύμπλοκο. Δηλαδή, η συνομολογία χαρακτηρίζεται ως η αφηρημένη μελέτη των συναλυσίδων, των ομόκυκλων και των ομοσύνορων. Η συνομολογία μπορεί να θεωρηθεί μια μέθοδος ανάθεσης αναλλοίωτων αλγεβρικών στοιχείων σε έναν τοπολογικό χώρο ο οποίος διαθέτει μια πιο εξευγενισμένη αλγεβρική δομή σε σχέση με την ομολογία. Η συνομολογία προέρχεται από την αλγεβρική δυαδικότητα της κατασκευής της ομολογίας. Με μια λιγότερο αφηρημένη προσέγγιση, οι συναλυσίδες, στην ουσία, πρέπει να αναθέτουν  'μεγέθη' στις αλυσίδες της θεωρίας της ομολογίας.

Πολλαπλότητες

Η πολλαπλότητα είναι ένας τοπολογικός χώρος στον οποίον σχεδόν κάθε σημείο φέρνει ομοιότητες με τον Ευκλείδειο χώρο. Τα παραδείγματα περιλαμβάνουν το επίπεδο, την σφαίρα και την σπείρα, τα οποία μπορούν να πραγματοποιηθούν στις τρεις διαστάσεις, αλλά και η επιφάνεια του Klein και το πραγματικό προβολικό επίπεδο, τα οποία μπορούν να πραγματοποιηθούν σε τέσσερις διαστάσεις. Τυπικά, τα αποτελέσματα στην αλγεβρική τοπολογία εστιάζουν σε καθολικές, μη διαφορίσιμες πτυχές των πολλαπλοτήτων• όπως για παράδειγμα η δυαδικότητα του Poincaré.

Θεωρία κόμβων

Η θεωρία κόμβων είναι η μελέτη των μαθηματικών κόμβων. Βασισμένος στους κόμπους που βρίσκουμε στο κορδόνι και το σχοινί στην καθημερινότητά μας, ο μαθηματικός κόμβος διαφέρει στο γεγονός ότι οι άκρες είναι συνδεδεμένες με τέτοιο τρόπο ώστε να μην είναι δυνατό το λύσιμό του. Με ακριβές μαθηματικό λεξιλόγιο, κόμβος ορίζεται η εμβύθιση ενός κύκλου σε έναν Ευκλείδειο χώρο τριών διαστάσεων, το , R3. Δυο μαθηματικοί κόμβοι θεωρούνται ισοδύναμοι εάν ο ένας μπορεί να μετασχηματιστεί στον άλλον μέσω μιας παραμόρφωσης του R3 (γνωστή ως μια περιβαλλοντική ισοτοπία)• οι παραμορφώσεις αυτές αντιστοιχούν στους χειρισμούς ενός δεμένου κορδονιού οι οποίοι δεν περιλαμβάνουν το κόψιμο του κορδονιού ή το πέρασμα του μέσα από το ίδιο.

Συμπλέγματα

Ένα πλεγματικό σύμπλεγμα είναι ένας τοπολογικός χώρος κάποιου συγκεκριμένου είδους, που κατασκευάζεται ''κολλώντας'' σημεία, ευθύγραμμα τμήματα, τρίγωνα και τα αντίστοιχα μέρη τους ν διαστάσεων. Τα πλεγματικά συμπλέγματα δεν πρέπει να συγχέονται με την πιο αφηρημένη έννοια του πλεγματικού συνόλου που εμφανίζεται στην σύγχρονη θεωρία της πλεγματικής ομοτοπίας. Το καθαρά συνδυαστικό αντίστοιχο σε ένα πλεγματικό σύμπλεγμα είναι ένα αφηρημένο πλεγματικό σύμπλεγμα.
Ένα σύμπλεγμα CW είναι ένα είδος τοπολογικού χώρου που θεσπίστηκε από τον J. H. C. Whitehead έτσι ώστε να καλύψει τις ανάγκες της θεωρίας της ομοτοπίας. Αυτή η κατηγορία χώρων είναι ευρύτερη και διαθέτει ορισμένες καλύτερες κατηγορηματικές ιιδιότητες από τα πλεγματικά συμπλέγματα, αλλά διατηρεί ακόμη μια συνδυαστική φύση η οποία επιτρέπει τον υπολογισμό (συχνά με ένα πολύ μικρότερο σύμπλεγμα).

Μέθοδος αναλλοίωτων αλγεβρικών στοιχείων

Μια παλαιότερη ονομασία του αντικειμένου ήταν η συνδυαστική τοπολογία, κάτι που υπονοούσε μια έμφαση στο πώς ένας χώρος Χ κατασκευάζονταν από απλούστερους χώρους (το σύγχρονο πρότυπο εργαλείο για μια τέτοια κατασκευή είναι το σύμπλεγμα CW). Στις δεκαετίες του 1920 και του 1930, υπήρξε μια ολοένα αυξανόμενη έμφαση στην έρευνα των τοπολογικών χώρων μέσω της εύρεσης των αντιστοιχιών τους στις αλγεβρικές ομάδες, κάτι το οποίο οδήγησε στην αλλαγή ονομασίας σε αλγεβρική τοπολογία. Η ονομασία συνδυαστική τοπολογία χρησιμοποιείται μερικές φορές για να δώσει έμφαση σε μια αλγεβρική προσέγγιση βασισμένη στην ανάλυση των χώρων. 
Στην αλγεβρική προσέγγιση, μπορούμε να βρούμε μια αντιστοιχία ανάμεσα στους χώρους και τις ομάδες η οποία εκτιμά την σχέση του ομοιομορφισμού των χώρων (ή την γενικότερη ομοτυπία τους). Αυτό μας επιτρέπει να ανασχεδιάσουμε τις αποφάνσεις για τους τοπολογικούς χώρους σε αποφάνσεις για ομάδες, οι οποίες έχουν μια πολύ διαχειρίσιμη δομή, κάτι το οποίο διευκολύνει την απόδειξη των αποφάνσεων αυτών. Δυο βασικοί τρόποι με τους οποίους μπορεί να συμβεί αυτό είναι μέσω θεμελιωδών ομάδων, ή γενικότερα μέσω της θεωρίας της ομοτοπίας, και μέσω ομάδων ομολογίας και συνομολογίας. Οι θεμελιώδεις ομάδες μας παρέχουν πληροφορίες σχετικά με την δομή ενός τοπολογικού χώρου, όμως συχνά δεν είναι Αβελιανείς και η εργασία πάνω σε αυτές μπορεί να αποδειχθεί δύσκολη. Η θεμελιώδης ομάδα ενός (τετελεσμένου) πλεγματικού συμπλέγματος έχει πράγματι μια τετελεσμένη παράσταση.
Οι ομάδες ομολογίας και συνομολογίας, από την άλλη, είναι Αβελιανείς ομάδες και σε πολλές σημαντικές περιπτώσεις είναι παραγόμενες από πεπερασμένο πλήθος γεννητόρων. Οι Αβελιανές ομάδες παραγόμενες από πεπερασμένο πλήθος γεννητόρων είναι πλήρως ταξινομημένες και σχετικά εύκολες για να εργαστούμε πάνω σε αυτές.

Θεωρία Κατηγοριών

Γενικά, όλες οι κατασκευές στην αλγεβρική τοπολογία είναι παραγοντικές• οι έννοιες της κατηγορίας, του συναρτητή και του φυσιολογικού μετασχηματισμού έχουν τις ρίζες τους εδώ. Οι θεμελιώδεις ομάδες και οι ομάδες ομολογίας και συνομολογίας δεν είναι μόνο αναλλοίωτα στοιχεία του βαθύτερου τυπολογικού χώρου, ε την έννοια ότι δυο τοπολογικοί χώροι που είναι ομομορφισμοί έχουν τις ίδιες συσχετιζόμενες ομάδες, αλλά επίσης οι  συσχετιζόμενοι μορφισμοί είναι επίσης αντίστοιχοι - μια συνεχόμενη απεικόνιση των χώρων συνάγει σε έναν ομαδικό ομομορφισμό στις συσχετιζόμενες ομάδες, και οι ομομορφισμοί αυτοί μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να δείξουν την ανυπαρξία (ή, σε πολύ μεγαλύτερο βάθος, την ύπαρξη) απεικονίσεων. 
 Ένας από τους πρώτους μαθηματικούς που εργάστηκε με διαφορετικούς τύπους συνομολογίας ήταν ο Georges de Rham. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την δομή διαφοροποίησης των ομαλών πολλαπλοτήτων μέσω της συνομολογίας Rham, Cech ή της συνομολογίας δεματίου για την έρευνα της επιλυσημότητας των διαφοροποιημένων συναρτήσεων που έχουν οριστεί στην συγκεκριμένη πολλαπλότητα. Ο De Rham έδειξε πως όλες αυτές οι προσεγγίσεις αλληλεπιδρούν και ότι οι αριθμοί Betti προερχόμενοι από την πλεγματική ομολογία είναι ίδιοι με εκείνους προερχόμενους από την συνομολογία Rham, όσον αφορά μια κλειστή, προσανατολίσιμη πολλαπλότητα. Αυτό επεκτάθηκε στην δεκαετία του 1950, όταν ο Eilenberg και ο Steenrod γενίκευσαν αυτή την προσέγγιση. Όρισαν την ομολογία και την συνομολογία ως συναρτητές εξοπλισμένους με φυσιολογικούς μετασχηματισμούς υποβαλλόμενους σε συγκεκριμένα αξιώματα (π.χ. μια ασθενής ισοδυναμία των χώρων μεταφέρεται σε έναν ισομορφισμό των ομάδων ομολογίας), επιβεβαίωσαν ότι όλες οι υπάρχουσες θεωρίες (συν)ομολογίας ικανοποιούσαν τα αξιώματα αυτά, και μετέπειτα απέδειξαν πως η θεωρία χαρακτηρίζεται από ένα τέτοιο αξιωματικό σύστημα.

Εφαρμογές της αλγεβρικής τοπολογίας

Συνηθισμένες εφαρμογές της αλγεβρικής τοπολογίας είναι οι ακόλουθες: