Σειρά Τέιλορ

Στα μαθηματικά, σειρά Τέιλορ (αγγλ. Taylor series)  είναι η αναπαράσταση μίας συνάρτησης ως άθροισμα απείρων όρων οι οποίοι υπολογίζονται από τις τιμές των παραγώγων της σε ένα συγκεκριμένο σημείο. 
Η έννοια της σειράς Τέιλορ καθιερώθηκε επισήμως από τον Άγγλο μαθηματικό Μπρουκ Τέιλορ (Brook Taylor) το 1715. Αν η σειρά έχει κέντρο το μηδέν, τότε η σειρά ονομάζεται επίσης σειρά Maclaurin, η οποία το όνομά της το πήρε από τον Σκωτσέζο μαθηματικό Κόλιν Μακλόριν ο οποίος έκανε εκτεταμένη χρήση αυτής της ειδικής περίπτωσης των σειρών Taylor τον 18ο αιώνα. 
Είναι κοινώς πρακτικό να χρησιμοποιείται πεπερασμένος αριθμός από τους όρους της σειράς Τέιλορ για να προσεγγίσουμε μια συνάρτηση. Το θεώρημα του Τέιλορ δίνει ποσοτικές εκτιμήσεις για το σφάλμα της προσέγγισης. Κάθε πεπερασμένος αριθμός αρχικών όρων της σειράς ονομάζεται πολυώνυμο Taylor. Η σειρά Τέιλορ μίας συνάρτησης ισούται με το όριο του πολυωνύμου Τέιλορ αυτής της συνάρτησης, υπό την προϋπόθεση ότι το όριο υπάρχει. Μία συνάρτηση ενδέχεται να μην ισούται  με την ίδια την σειρά Τέιλορ της, έστω και αν η Τέιλορ σειρά της συγκλίνει σε κάθε σημείο. Μία συνάρτηση η οποία είναι ίση με την ίδια τη σειρά Τέιλορ της σε ένα ανοιχτό διάστημα (ή σε ένα δίσκο στο μιγαδικό επίπεδο) είναι γνωστή ως μια αναλυτική συνάρτηση.

Ιστορία

Ο Έλληνας φιλόσοφος Ζήνων ασχολήθηκε με το πρόβλημα της άθροισης άπειρης σειράς προσπαθώντας να επιτύχει πεπερασμένο αποτέλεσμα, αλλά το απέρριψε θεωρώντας το απίθανο. Το αποτέλεσμα ήταν το λεγόμενο παράδοξο του Ζήνωνα. Αργότερα ο Αριστοτέλης έθεσε μία φιλοσοφική επίλυση του παραδόξου, ωστόσο το μαθηματικό περιεχόμενο του προβλήματος παρέμενε άλυτο έως ότου ασχολήθηκαν με αυτό ο Δημόκριτος και έπειτα ο Αρχιμήδης. Με την μέθοδο της εξάντλησης του Αρχιμήδη ήταν δυνατό να διαχειριστούν διαδοχικές υποδιαιρέσεις ώστε να επιτευχθεί πεπερασμένο αποτέλεσμα. Ο Λιου Χούι ανεξάρτητα χρησιμοποίησε μια παρόμοια μέθοδο λίγους αιώνες αργότερα.
Τον 14ο αιώνα, τα πρώτα παραδείγματα της χρήσης σειρών Τέιλορ και στενά συγγενικών μεθόδων δίνονται από τον Μαντάβα του Σανγκαμαγκράμα. Αν και δεν σώζεται καταγραφή του έργου του, συγγράμματα  μεταγενέστερων ινδών μαθηματικών υποδεικνύουν ότι είχε βρει κάποιες ειδικές περιπτώσεις σειρών Τέιλορ, όπως αυτές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων του ημιτόνου, του συνημιτόνου, της εφαπτομένης και του τόξου εφαπτομένης. Η σχολή μαθηματικών και αστρονομίας της Κεράλα επέκτεινε περαιτέρω το έργο του μέχρι τον 16ο αιώνα.
Τον 17ο αιώνα, ο Τζέιμς Γκρέγκορι επίσης εργάστηκε στον τομέα αυτό και δημοσίευσε διάφορες  σειρές Maclaurin. Το 1715 εν τέλει δόθηκε η γενική μέθοδος κατασκευής αυτών των σειρών για όλες τις συναρτήσεις για τις οποίες υπάρχουν από τον Μπρουκ Τέιλορ, του οποίου πήραν το όνομα.
Οι σειρές Maclaurin πήραν το όνομά του από τον Κόλιν Μακλόριν, καθηγητή στο Εδιμβούργο, ο οποίος δημοσίευσε την ειδική περίπτωση των σειρών Τέιλορ τον 18ο αιώνα.

Υπολογισμός της σειράς Τέιλορ

Αρκετές μέθοδοι υπάρχουν για τον υπολογισμό της σειράς Τέιλορ για μεγάλο αριθμό συναρτήσεων. Είναι δυνατόν να χρησιμοποιηθεί η σειρά Τέιλορ ως έχει και να γενικευθεί η μορφή των συντελεστών, ή να χρησιμοποιηθούν χειρισμοί όπως η αντικατάσταση, ο πολλαπλασιασμός ή η διαίρεση, πρόσθεση ή αφαίρεση μιας πρότυπης σειράς Τέιλορ για την κατασκευή της σειράς Τέιλορ μιας συνάρτησης. Σε κάποιες περιπτώσεις μπορεί να εξαχθεί η σειρά Τέιλορ από την επαναληπτική ολοκλήρωση κατά μέρη. Ιδιαίτερα βολικη είναι η χρήση του συστήματος  άλγεβρας υπολογιστών   για τον υπολογισμό σειράς Τέιλορ.

Σειρές Τέιλορ ως ορισμοί

Τυπικά, οι αλγεβρικές συναρτήσεις ορίζονται από μία αλγεβρική εξίσωση, και οι υπερβατικές συναρτήσεις είναι (συμπεριλαμβανομένων εκείνων που συζητήθηκαν παραπάνω) εκείνες που ορίζονται από κάποια ιδιότητα τους, όπως μια διαφορική εξίσωση . Για παράδειγμα η εκθετική συνάρτηση είναι η συνάρτηση η οποία είναι ίση με την παράγωγό της σε κάθε σημείο και έχει την τιμή 1 στην αρχή των αξόνων. Ωστόσο, μία αναλυτική συνάρτηση μπορεί να οριστεί και από την οικεία σειρά Τέιλορ.
Οι σειρές Τέιλορ χρησιμοποιούνται για τους ορισμούς συναρτήσεων και τελεστών σε ποικίλους τομείς των μαθηματικών. Ειδικότερα, αυτό είναι αληθές σε περιοχές όπου οι ορισμοί των κλασικών συναρτήσεων δεν ισχύουν. Για παράδειγμα με την χρήση σειρών Τέιλορ, μπορεί κανείς να ορίσει αναλυτικές συναρτήσεις πινάκων και τελεστών, όπως ο εκθετικός πίνακας ή ο λογαριθμικός πίνακας.
Σε άλλους τομείς, όπως η τυπική ανάλυση, είναι πιο βολικό να εργάζεται κανείς με δυναμοσειρές. Έτσι είναι δυνατόν να οριστεί μία διαφορική εξίσωση ως δυναμοσειρά η οποία να αποδειχθεί ότι είναι η επιθυμητή λύση της εξίσωσης.