Γενική τοπολογία

Υποχώροι και πηλίκα

Σε κάθε υποσύνολο ενός τοπολογικού χώρου μπορεί να δοθεί η έννοια του τοπολογικού υποχώρου στην οποία τα ανοιχτά σύνολα είναι οι τομές των ανοιχτών συνόλων του μεγαλύτερου χώρου με το υποσύνολό του.Για κάθε  οικογένεια δεικτών ενός τοπολογικού χώρου, το αποτέλεσμα μπορεί να δώσει την παράγων τοπολογία, η οποία παράγεται από την αντίστροφη εικόνα των ανοικτών συνόλων των στοιχείων αυτών στο πλαίσιο των προβολών αντίστοιχα. Για παράδειγμα, σε πεπερασμένο σύνολο, μια βάση για την παράγουσα τοπολογία αποτελείται από το σύνολο των ανοιχτών συνόλων. Για άπειρα στοιχεία, υπάρχει η απαίτηση ότι σε ένα ανοιχτό σύνολο, όλες οι προβολές τους είναι όλο το σύνολο.
Ένας χώρος πηλίκο ορίζεται ως: αν το X είναι ένας τοπολογικός χώρος το Y είναι ένα σύνολο, και αν η f : X→ Y είναι επί συνάρτηση, τότε το πηλίκο της τοπολογίας του Y είναι μια συλλογή αντικειμένων του Y που έχουν ανοιχτές αντίστροφες εικόνες υπό την f. Με άλλα λόγια,η τοπολογία πηλίκου είναι η καλύτερη τοπολογία του Y για το οποίο η  f είναι συνεχής.  Ένα κοινό παράδειγμα είναι μια σχέση ισοδυναμίας που ορίζεται στον τοπολογικό χώρο του X.  Η σχέση f είναι τότε η φυσική προεξωχή επι του συνόλου των κλάσεων ισοδυναμίας.

Παραδείγματα τοπολογικών χώρων

Ένα δοσμένο σύνολο μπορεί να έχει πολλές διαφορετικές τοπολογίες.  Εάν σε ένα σύνολο δίνονται διαφορετικές τοπολογίες,αυτό θεωρείται ως ένα διαφορετικός τοπολογικός χώρος .Σε κάθε ομάδα μπορεί να δοθεί η ονομασία διακριτή τοπολογία στην οποία κάθε υποσύνολο είναι ανοιχτό . Οι μόνες συγκλίνουσες ακολουθίες σε αυτή την τοπολογία είναι αυτά που είναι τελικά σταθερές. Επίσης, οποιοδήποτε σύνολο μπορεί να δοθεί η ονομασία τετριμμένη τοπολογία (που ονομάζεται επίσης  ενιαία τοπολογία), στην οποία μόνο το κενό σύνολο και όλος ο χώρος είναι ανοιχτά. Κάθε ακολουθία και η γνήσια σε αυτήν την τοπολογία συγκλίνει σε κάθε σημείο του χώρου. Αυτό το παράδειγμα δείχνει ότι σε γενικές γραμμές τοπολογικών χώρων, τα όρια των ακολουθιών δεν χρειάζεται να είναι μοναδικά. Ωστόσο, συχνά στους τοπολογικούς χώρους πρέπει να είναι χώροι Hausdorff, όπου το όριο των σημείων είναι μοναδικό.
Υπάρχουν πολλοί τρόποι να οριστεί μια τοπολογία R, το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Η βασική τοπολογία R παράγεται από τα ανοικτά διαστήματα. Το σύνολο όλων των ανοικτών διαστημάτων σχηματίζει μία  βάση η βάσεις για την τοπολογία, που σημαίνει ότι κάθε ανοιχτό σύνολο είναι μία ένωση από κάποια συλλογή συνόλων από τη βάση.Ειδικότερα, αυτό σημαίνει ότι ένα σύνολο είναι ανοιχτό, αν υπάρχει ένα ανοικτό διάστημα μη μηδενικής ακτίνας για κάθε σημείο του συνόλου.Γενικότερα, οι Ευκλείδειοι χώροι  Rⁿ μπορούν να δώσουν μια τοπολογία. Στη συνήθη τοπολογία του Rⁿ τα βασικά ανοικτά σύνολα είναι μπάλες. Ομοίως,το σύνολο C, των μιγαδικών αριθμών, και ο  Cⁿ έχουν μια βασική τοπολογία την οποία τα ανοικτά σύνολα είναι όλα ανοικτές μπάλες.
Σε κάθε μετρικό χώρο μπορεί να δοθεί μια μετρική τοπολογία, στην οποία τα βασικά ανοικτά σύνολα είναι ανοικτές μπάλες που ορίζονται από την έννοια του μετρικού. Αυτή είναι η  τοπολογία σε οποιοδήποτε νορμικό διανυσματικό χώρο. Σε ένα πεπερασμένο διαστάσεων διανυσματικό χώρο Αυτή η τοπολογία είναι η ίδια για όλους τους κανόνες.
Πολλά σύνολα γραμμικών τελεστών  σε συναρτησιακή ανάλυση είναι εμφωδιασμένα με τοπολογίες που ορίζονται από το πότε η συνάρτηση μιας συγκεκριμένης σειράς  συγκλίνει στο μηδέν.
Οποιοδήποτε πεδίο έχει τοπολογία εγγενή σε αυτό, και αυτό μπορεί να επεκταθεί σε διανυσματικούς χώρους πάνω από το πεδίο.
Κάθε πολλαπλότητα έχει μια φυσική τοπολογία από την ευκλείδεια τοπολογία.  Ομοίως, κάθε  απλό και κάθε σύμπλοκο συμπεριλαμβάνει μια τοπολογία από το Rⁿ.
Η τοπολογία Zariski ορίζεται αλγεβρικά στο φάσμα δακτυλίου . Στο Rⁿ ή Cⁿ, τα κλειστά σύνολα Zariski  είναι οι  λύσεις συνόλων όλων των πολυωνυμικών εξισώσεων.
Ένα γραμμικό γράφημα έχει φυσική τοπολογία  και γενικεύεται σε πολλούς γεωμετρικούς τομείς όπως η θεωρία γραφημάτων με κορυφές και γωνίες.
Ο χώρος Sierpiński είναι το πιω απλό μη διακριτό τοπολογικό διάστημα.  Σχετίζεται με την θεωρία υπολογισμών και τη σημασιολογία της.
Υπάρχουν πολλές τοπολογίες σε οποιοδήποτε [[πεπερασμένο σύνολο]. Τέτοια διαστήματα καλούνται πεπερασμένα τοπολογικά διαστήματα. Πεπερασμένα τμήματα χρησιμοποιούνται μερικές φορές για παραδείγματα και αντιπαραδείγματα για τα γενικότερα τοπολογικά διαστήματα .
Σε κάθε σύνολο μπορεί να δοθεί η έννοια της πεπερασμένης τοπολογίας στην οποία τα ανοικτά σύνολα είναι τα κενά και τα σύνολα των οποίων τα συμπληρώματα είναι πεπερασμένα. Αυτό είναι το μικρότερο τοπολογικό T₁ σε κάθε πεπερασμένο σύνολο.
Κάθε σύνολο είναι  τοπολογικά μετρίσιμο,όταν  ορίζεται ως ανοικτό αν είναι κενό η τα συμπληρωματικά του είναι μετρήσιμα. Όταν τα σύνολα είναι άπειρα, τότε χρησιμοποιείται ως αντιπαράδειγμα σε πολλές περιπτώσεις.
Η πραγματική γραμμή μπορεί να είναι το κατώτερο τοπολογικό όριο. Εδώ, τα βασικά ανοιχτά σύνολα είναι τα μισάνοιχτα διαστήματα  [a, b).  Αυτή η τοπολογία στο R είναι αυστηρά καλύτερη από την Ευκλείδεια τοπολογία που ορίστηκε παραπάνω ; μια ακολουθία συγκλίνει σε ένα σημείο σε αυτή την τοπολογία, εάν και μόνο εάν συγκλίνει και στην Ευκλείδεια τοπολογία. Αυτό το παράδειγμα δείχνει ότι ένα σύνολο μπορεί να έχει πολλές διακριτές τοπολογίες να ορίζονται σε αυτό.
Αν το Γ είναι διακριτός αριθμός, και το σύνολο Γ = [0, Γ) μπορεί να εφωδιαστεί με την τυπικη τοπολογία που γενικέυεται στα διαστήματα (a, b), [0, b) και (a, Γ) όπου a και b είναι στοιχεία του Γ.

Εναλλακτικοί ορισμοί

Αρκετοί Χαρακτηρισμοί για μια τοπολογική δομή υπάρχουν και ως εκ τούτου υπάρχουν διάφοροι ισοδύναμοι τρόποι για να ορίσετε μια συνεχή συνάρτηση.

Ορισμοί περιοχών

Οι ορισμοί βασίζονται σε προεικόνες που είναι συχνά δύσκολα να χρησιμοποιηθούν άμεσα. Το ακόλουθο κριτήριο εκφράζει τη συνέχεια όσον αφορά τις τοπολογικές περιοχές:Η f είναι συνεχής σε ένα σημείο x ∈ X αν και μόνο αν για κάθε περιοχή V του f(x), υπάρχει περιοχή U του x τετοια ώστε η f(U) ⊆ V.Διαισθητικά, η συνέχεια σημαίνει ότι δεν έχει σημασία πόσο "μικρός" γίνεται ο  V  , υπάρχει πάντα ένα U που περιέχει το x και χαρτογραφεί στο εσωτερικό V.
Αν τα X και Y είναι μετρικοί χώροι, είναι ισοδύναμο να εξετάστουν οι περιχές των ανοικτών μπαλών του κέντρου στο Χ και f (x) αντί για όλες τις περιοχές. Αυτό δίνει τον παραπάνω ορισμό δ-ε της συνέχειας στο πλαίσιο των μετρικών χώρων. Ωστόσο, γενικά στους τοπολογικούς χώρους, δεν υπάρχει έννοια της εγγύτητας ή της απόστασης.
Σημειώστε, ωστόσο, ότι αν ο χώρος  είναι χώρος Hausdorff, εξακολουθεί να είναι αλήθεια ότι η f είναι συνεχής στο α αν και μόνο αν το όριο των f στο x προσεγγίζοντας το a είναι f (α). Σε ένα απομονωμένο σημείο, κάθε συνάρτηση είναι συνεχής.