Ομοτιμία του μηδενός

Το μηδέν είναι ένας άρτιος αριθμός. Με άλλα λόγια, η ομοτιμία του - η ιδιότητα ενός ακέραιου αριθμού να είναι άρτιος ή περιττός - είναι άρτια. Ο απλούστερος τρόπος για να αποδείξει κανείς ότι το μηδέν είναι άρτιος είναι να ελέγξει πως επαληθεύει τον ορισμό του "άρτιου": είναι ένα ακέραιο πολλαπλάσιο του 2, συγκεκριμένα 0 × 2. Ως αποτέλεσμα, το μηδέν έχει όλες τις ιδιότητες που χαρακτηρίζουν τους άρτιους αριθμούς: το 0 έχει διαιρέτη το 2, το 0 συνορεύει και από τις δύο πλευρές με περιττούς αριθμούς, το 0 είναι το άθροισμα ενός ακεραίου (0) με τον εαυτό του, και ένα σύνολο 0 αντικειμένων μπορεί να χωριστεί σε δύο ίσα σύνολα.
Το μηδέν πληροί τα μοτίβα που έχουν καθοριστεί από άλλους άρτιους αριθμούς. Οι κανόνες ομοτιμίας της αριθμητικής, όπως άρτιος − άρτιος = άρτιος, απαιτούν το 0 να είναι άρτιος. Το μηδέν είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης της ομάδας των άρτιων ακέραιων αριθμών, και είναι η βάση του αναδρομικού ορισμού που καθορίζει άλλους άρτιους φυσικούς αριθμούς. Εφαρμογές αυτής της αναδρομής από την θεωρία γραφημάτων μέχρι την υπολογιστική γεωμετρία βασίζονται στο ότι το μηδέν είναι άρτιος. Το 0 δεν διαιρείται απλώς από το 2, διαιρείται από όλους τους θετικούς ακέραιους αριθμούς. Στο δυαδικό σύστημα που χρησιμοποιούν οι υπολογιστές, είναι ιδιαίτερα σημαντικό ότι το 0 διαιρείται από κάθε δύναμη του δύο· υπό αυτήν την έννοια, το 0 είναι ο "πιο άρτιος" αριθμός που υπάρχει.
Στο ευρύ κοινό, η ομοτιμία του μηδενός μπορεί να προκαλεί σύγχυση. Σε πειράματα χρόνου αντίδρασης, οι περισσότεροι άνθρωποι αργούν πιο πολύ να αναγνωρίζουν το 0 ως άρτιο από ότι το 2, το 4, το 6, ή το 8. Μερικοί μαθητές των μαθηματικών — και κάποιοι δάσκαλοι — πιστεύουν πως το μηδέν είναι περιττός, ή και άρτιος και περιττός, ή τίποτα από τα δύο. Έρευνες στην μαθηματική μόρφωση υποδηλώνουν ότι αυτές οι εσφαλμένες αντιλήψεις μπορούν να γίνουν ευκαιρίες μάθησης. Η μελέτη ισοτήτων όπως 0 × 2 = 0 μπορούν να ξεκαθαρίσουν τις αμφιβολίες μαθητών στο να αποκαλούν το 0 αριθμό και να το χρησιμοποιούν στην αριθμητική. Συζητήσεις μέσα στην τάξη μπορούν να οδηγήσουν τους μαθητές στο να εκτιμήσουν τις βασικές αρχές της μαθηματικής λογικής, όπως το πόσο σημαντικοί είναι οι ορισμοί. Ο ορισμός της ομοτιμίας αυτού του εξαιρετικού αριθμού είναι ένα πρώτο παράδειγμα ενός μοτίβου που συναντάται πολύ συχνά στα μαθηματικά: της γενίκευσης μιας γνωστής έννοιας σε ένα άγνωστο περιβάλλον.

Γιατί το μηδέν είναι άρτιος

Ο καθιερωμένος ορισμός του "άρτιου αριθμού" μπορεί να χρησιμοποιηθεί στην άμεση μαθηματική απόδειξη ότι το μηδέν είναι άρτιος. Ένας αριθμός ονομάζεται "άρτιος" όταν είναι ένα ακέραιο πολλαπλάσιο του 2. Σαν παράδειγμα, ο λόγος που το 10 είναι άρτιος είναι πως ισούται με 5 × 2. Όμοια, το μηδέν είναι ένα ακέραιο πολλαπλάσιο του 2, δηλαδή 0 × 2, συνεπώς το μηδέν είναι άρτιος.
Επίσης είναι δυνατό να εξηγήσει κανείς γιατί το μηδέν είναι άρτιος χωρίς να αναφερθεί σε επίσημους ορισμούς. Οι παρακάτω εξηγήσεις δίνουν νόημα στην ιδέα ότι το μηδέν είναι άρτιος ως προς τις θεμελιώδεις έννοιες των αριθμών. Βάσει αυτών, κάποιος μπορεί να εκλογικεύσει τον ίδιο τον ορισμό — και για την εφαρμογή του στο μηδέν.

Βασικές εξηγήσεις

Το μηδέν είναι ένας αριθμός, και οι αριθμοί χρησιμοποιούνται στην μέτρηση. Δεδομένου ενός συνόλου αντικειμένων, κάποιος χρησιμοποιεί έναν αριθμό για να περιγράψει πόσα αντικείμενα υπάρχουν στο σύνολο. Το μηδέν είναι η μέτρηση του κανένα αντικείμενο; πιο επίσημα, είναι ο αριθμός των αντικειμένων σε ένα κενό σύνολο. Η έννοια της ομοτιμίας χρησιμοποιείται στην δημιουργία συνόλων δύο αντικειμένων. Αν τα αντικείμενα ενός συνόλου μπορούν να χωριστούν σε ομάδες των δύο, χωρίς να περισσεύει κανένα, τότε ο αριθμός των αντικειμένων είναι άρτιος. Αν περισσεύει ένα αντικείμενο, τότε ο αριθμός των αντικειμένων είναι περιττός. Το κενό σύνολο περιέχει μηδέν ομάδες των δύο, και δεν περισσεύει κανένα αντικείμενο από αυτήν την ομαδοποίηση, συνεπώς το μηδέν είναι άρτιος.
Οι ιδέες αυτές μπορούν να παρασταθούν σχεδιάζοντας αντικείμενα σε ζεύγη. Είναι δύσκολο να απεικονίσουμε μηδέν ομάδες των δύο, ή να δώσουμε έμφαση στο ανύπαρκτο αντικείμενο που έχει περισσέψει, συνεπώς βοηθάει να σχεδιάσουμε άλλες ομάδες και να τις συγκρίνουμε με τον μηδέν. Για παράδειγμα, στην ομάδα των πέντε αντικειμένων, υπάρχουν δύο ζεύγη. Το πιο σημαντικό είναι ότι περισσεύει ένα αντικείμενο, συνεπώς το 5 είναι περιττός. Στην ομάδα των τεσσάρων αντικειμένων, δεν περισσεύει κανένα αντικείμενο, συνεπώς το 4 είναι άρτιος. Στην ομάδα του ενός μόνο αντικειμένου, δεν υπάρχουν ζεύγη, και υπάρχει ένα αντικείμενο που περισσεύει, συνεπώς το 1 είναι περιττός. Στην ομάδα των μηδέν αντικειμένων, δεν περισσεύει κανένα αντικείμενο, συνεπώς το 0 είναι άρτιος.
Υπάρχει και άλλος ένας αδιαμφισβήτητος ορισμός της αρτιότητας: αν τα αντικείμενα ενός συνόλου μπορούν να τοποθετηθούν σε δύο ομάδες του ίδιου μεγέθους, τότε ο αριθμός των αντικειμένων είναι άρτιος. Αυτός ο ορισμός είναι ισοδύναμος με τον πρώτο. Και πάλι, το μηδέν είναι άρτιος γιατί το κενό σύνολο μπορεί να διασπαστεί σε δύο ομάδες μηδέν αντικειμένων η κάθε μία.
Οι αριθμοί μπορούν επίσης να παρασταθούν ως σημεία της ευθείας των πραγματικών αριθμών. Όταν διακρίνουμε τους άρτιους αριθμούς από τους περιττούς, το μοτίβο που ακολουθούν γίνεται προφανές, ειδικά όταν συμπεριλάβουμε και τους αρνητικούς αριθμούς:
Οι άρτιοι και οι περιττοί αριθμοί εναλλάσσονται. Ξεκινώντας από οποιονδήποτε άρτιο αριθμό, μετρώντας προς τα πάνω ή προς τα κάτω ανά δύο φτάνουμε σε άλλους άρτιους αριθμούς, και δεν υπάρχει κανένας λόγος να υπερπηδήσουμε το μηδέν.
Με την εισαγωγή του πολλαπλασιασμού, μπορούμε να ελέγξουμε την ομοτιμία με έναν πιο επίσημο τρόπο χρησιμοποιώντας αριθμητικές εκφράσεις. Κάθε ακέραιος είναι είτε της μορφής (2 × ▢) + 0 είτε της μορφής (2 × ▢) + 1; οι αριθμοί που έχουν την πρώτη μορφή είναι άρτιοι και οι αριθμοί που έχουν την δεύτερη μορφή είναι περιττοί. Για παράδειγμα, το 1 είναι περιττός επειδή 1 = (2 × 0) + 1, και το 0 είναι άρτιος επειδή 0 = (2 × 0) + 0. Η δημιουργία ενός πίνακα αυτών των αποτελεσμάτων ενισχύει την παραπάνω εικόνα της γραμμής των πραγματικών αριθμών.

Εκπαίδευση

Το θέμα της ομοτιμίας του μηδενός συχνά αντιμετωπίζεται στα δύο ή τρία πρώτα χρόνια της πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης, όταν η έννοια των ζυγών και μονών αριθμών εισάγεται και αναπτύσσεται.

Γνώσεις των εκπαιδευτικών

Ερευνητές της μαθηματικής εκπαίδευσης στο Πανεπιστήμιο του Michigan έχουν συμπεριλάβει την αληθινή ή ψεύτικη προτροπή ότι το "0 είναι άρτιος αριθμός" σε μια βάση δεδομένων με περισσότερες από 250 ερωτήσεις που έχουν σχεδιαστεί για τη μέτρηση της γνώσης του περιεχομένου των εκπαιδευτικών. Γι' αυτούς, το ερώτημα διευκρινίζει "τη κοινή γνώση ... που κάθε μορφωμένος ενήλικος πρέπει να έχει", και είναι "ιδεολογικά ουδέτερη" στο ότι οι απαντήσεις δεν διαφέρουν μεταξύ των παραδοσιακών και μεταρρυθμιστικών μαθηματικών. Σε μια μελέτη του 2000-2004 700 εκπαιδευτικών της πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης στις Ηνωμένες Πολιτείες, η συνολική απόδοση σε αυτά τα ερωτήματα προέβλεψε σημαντικά σε βελτιώσεις των μαθητών τυποποιημένη δοκιμή στις βαθμολογίες μετά τη λήψη των εκπαιδευτικών κατηγοριών. Σε μια μελέτη σε βάθος του 2008, οι ερευνητές βρήκαν ένα σχολείο όπου όλοι οι εκπαιδευτικοί θεωρούσαν ότι το μηδέν δεν είναι ούτε περιττός ούτε ζυγός, συμπεριλαμβανομένου ενός καθηγητή, ο οποίος ήταν υποδειγματικός από όλα τα άλλα μέτρα. Η παρανόηση είχε εξαπλωθεί από ένα μαθηματικό στην κατασκευή τους.
Είναι αβέβαιο πόσες εκπαιδευτικές παρανοήσεις σχετικά με το μηδέν υπήρξαν. Μελέτες του Πανεπιστημίου του Michigan δεν δημοσιεύουν στοιχεία για τα επιμέρους ζητήματα. Η Betty Lichtenberg, η οποία ήταν αναπληρώτρια καθηγήτρια της μαθηματικής εκπαίδευσης στο Πανεπιστήμιο της Νότιας Φλόριντα, σε μια μελέτη του 1972 ανέφερε ότι όταν σε μια ομάδα των μελλοντικών δασκάλων δημοτικού δόθηκε μια αληθινή ή ψευδή δοκιμή, συμπεριλαμβανομένου του στοιχείου "Το μηδέν είναι ένας άρτιος αριθμός ", βρήκαν ότι πρόκειται για ένα "δύσκολο θέμα", με περίπου τα δύο τρίτα να έχουν απαντήσει "Λάθος".

Συνέπειες στη διδασκαλία

Από μαθηματικής απόψεως, το να αποδείξεις ότι το μηδέν είναι άρτιος είναι ένα απλό θέμα της εφαρμογής του ορισμού, αλλά απαιτείται περισσότερη επεξήγηση στο πλαίσιο της εκπαίδευσης. Το ζήτημα που αφορά τα θεμέλια της απόδειξης για τον ορισμό του "άρτιου" ως "ακέραιο πολλαπλάσιο του 2", δεν είναι πάντα κατάλληλο. Ένας μαθητής κατά τα πρώτα έτη της πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης δεν μπορεί ακόμα να έχει μάθει τι σημαίνει "ακέραιος" ή "πολλαπλάσιο", πολύ λιγότερο πώς να πολλαπλασιάζονται με το 0. Επιπλέον, το να δηλώσεις έναν ορισμό της ισότητας για όλους τους ακέραιους μπορεί να φαίνεται σαν μια αυθαίρετη εννοιολογική συντόμευση, μιας που μόνο οι ζυγοί αριθμοί έχουν ερευνηθεί μέχρι στιγμής ότι είναι θετικοί. Αυτό μπορεί να βοηθήσει στο να αναγνωρίσουμε ότι η έννοια αριθμός συμπεριλαμβανομένου του μηδενός στους θετικούς ακέραιους αριθμούς και στους αρνητικούς ακεραίους αριθμούς η ομοτιμία επεκτείνεται σε ένα προβληματικό τρόπο.

Αριθμητική γνώση

Οι ενήλικοι που πιστεύουν ότι το μηδέν είναι άρτιος αριθμός καταφέρνουν, ωστόσο, να μην είναι εξοικειωμένοι με τη σκέψη τους αυτή ότι είναι άρτιος, έτσι ώστε να επιβραδύνουν αρκετά το χρόνο αντίδρασης τους σε ένα πείραμα. Stanislas Dehaene, πρωτοπόρος στον τομέα της αριθμητικής νόησης διεξήγαγε μια σειρά από τέτοια πειράματα στις αρχές του 1990. Ένα ψηφίο ή αριθμός εμφανίζεται στο υποκείμενο του πειράματος σε μιαοθόνη και ένας υπολογιστής καταγράφει το χρόνο που χρειάζεται αυτός για να πατήσει ένα από τα δύο πλήκτρα ώστε να προσδιορίσει τον αριθμό ως μονό ή ζυγό. Τα αποτελέσματα έδειξαν ότι για το 0 η κίνηση ήταν βραδύτερη από ότι για την επεξεργασία άλλων ζυγών αριθμών. Σε μερικές παραλλαγές του πειράματος διαπιστώθηκαν καθυστερήσεις για διάστημα 60 χιλιοστών του δευτερολέπτου ή περίπου 10% του μέσου χρόνου αντίδρασης-μια μικρή διαφορά, αλλά σημαντική.
Τα πειράματα του Dehaene δεν έχουν σχεδιαστεί αποκλειστικά για την διερεύνηση του 0, αλλά και για να συγκρίνουν ανταγωνιστικά μοντέλα για το πώς η πληροφορία της ομοτιμίας επεξεργάζεται και εξάγεται. Το πιο συγκεκριμένο μοντέλο, η ψυχική υπόθεση υπολογισμού, υποδηλώνει ότι η αντίδραση για το 0 πρέπει να είναι γρήγορη, αφού το 0 είναι ένας μικρός αριθμός και είναι εύκολο να υπολογιστεί 0 × 2 = 0. (Κάποιοι γνωρίζουν να υπολογίζουν και να εμφανίζουν το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού με το μηδέν ταχύτερα από τον πολλαπλασιασμό των μη μηδενικών αριθμών, όμως είναι πιο αργοί στο να επαληθεύουν προτεινόμενα αποτελέσματα όπως 2 × 0 = 0.) Τα αποτελέσματα των πειραμάτων έδειξαν ότι κάτι πολύ διαφορετικό συνέβαινε: η πληροφορία της ομοτιμίας προφανώς ανακαλούνταν από τη μνήμη μαζί με ένα σύμπλεγμα σχετικών ιδιοτήτων, όπως το να είναι πρώτος ή πολλαπλάσιο του δύο. Τόσο η ακολουθία των δυνάμεων του δύο όσο και η ακολουθία θετικών αριθμών 2, 4, 6, 8, ... είναι καλά διακεκριμένες ψυχικές κατηγορίες, τα μέλη της οποίας είναι ακόμη σε επίπεδο πρωτοτύπου. Το μηδέν δεν ανήκει σε καμία λίστα, ως εκ τούτου και οι βραδύτερες απαντήσεις.
Επαναλαμβανόμενα πειράματα έχουν δείξει μια καθυστέρηση στο μηδέν, σε άτομα από όλες τις ηλικίες και με διαφορετικό εθνικό και γλωσσικό υπόβαθρο. Η ομάδα του Dehaene βρήκε ένα παράγοντα διαφοροποίησης: τις μαθηματικές γνώσεις. Σε ένα από τα πειράματά τους, μαθητές στο École Normale Supérieure χωρίστηκαν σε δύο ομάδες: σε εκείνους με λογοτεχνικές σπουδές και αυτούς που σπουδάζουν μαθηματικά, φυσική, ή βιολογία. Η επιβράδυνση στο 0 "βρέθηκε ουσιαστικά στη [λογοτεχνική] ομάδα", και στην πραγματικότητα, "πριν από το πείραμα, κάποια άτομα δεν ήταν σίγουρα αν το 0 ήταν μονός ή ζυγός και έπρεπε να θυμηθούν τον μαθηματικό ορισμό".
Αυτή η ισχυρή εξάρτηση από την εξοικείωση υπονομεύει εκ νέου την ψυχική υπόθεση υπολογισμού. Το αποτέλεσμα δείχνει επίσης ότι είναι ακατάλληλο να περιλαμβάνεται το μηδέν σε πειράματα όπου ζυγοί και μονοί αριθμοί συγκρίνονται ως ομάδα. Μία μελέτη αναφέρει, "Οι περισσότεροι ερευνητές φαίνεται να συμφωνούν ότι το μηδέν δεν είναι ένας τυπικός, άρτιος αριθμός και δεν θα πρέπει να διερευνηθεί ως μέρος της ψυχικής γραμμής για τους αριθμούς."

Καθημερινές Καταστάσεις

Ορισμένες από τις καταστάσεις, όπου η ομοτιμία του μηδενός εμφανίζεται είναι καθαρά ρητορικές. Το θέμα παρέχει υλικό για πίνακες μηνυμάτων στο Διαδίκτυο και ask-the-expert ιστοσελίδες. Η Linguist Joseph Grimes αναφέρει ότι αν ρωτήσεις "Είναι το μηδέν ζυγός αριθμός;" τα παντρεμένα ζευγάρια είναι ένας καλός τρόπος για να τους κάνεις να διαφωνήσουν. Οι άνθρωποι που πιστεύουν ότι το μηδέν δεν είναι ούτε ζυγός ούτε περιττός μπορούν να χρησιμοποιήσουν την ομοτιμία του μηδενός ως απόδειξη ότι κάθε κανόνας έχει ένα αντιπαράδειγμα, ή σαν ένα παράδειγμα μιας ερώτησης τέχνασμα.
Γύρω στο έτος 2000, τα μέσα μαζικής ενημέρωσης σημείωσαν ένα ασυνήθιστο ζεύγος ορόσημο: "19/11/1999" ήταν η τελευταία ημερολογιακή ημέρα που θα συμβεί για πολύ μεγάλο χρονικό διάστημα, η οποία αποτελείται μόνο από μονούς αριθμούς , και ότι "η 02/02/2000" ήταν η πρώτη "άρτια" ημέρα σε ένα πολύ μεγάλο χρονικό διάστημα. Παρόλο που αυτά τα αποτελέσματα κάνουν χρήση του μηδενός ως άρτιο αριθμό, μερικοί αναγνώστες διαφωνούν με αυτή την ιδέα.
Σε τυποποιημένη δοκιμή, αν μια ερώτηση ρωτά για τη συμπεριφορά των άρτιων αριθμών, μπορεί να είναι απαραίτητο να έχετε κατά νου ότι το μηδέν είναι άρτιος. Επίσημες δημοσιεύσεις σχετικά με τις GMAT και GRE δοκιμές δηλώνουν ότι είναι άρτιος το 0.
Η ομοτιμία του μηδενός σχετίζεται με την περιττή-άρτια ταξινόμηση, με βάση την οποία μπορούν να οδηγούνται αυτοκίνητα ή να αγοράζεται βενζίνη σε εναλλασσόμενες ημέρες, σύμφωνα με την ομοτιμία του τελευταίου ψηφίου της πινακίδας τους. Το μισό των αριθμών σε μια δεδομένη σειρά τελειώνει σε 0, 2, 4, 6, 8 και το άλλο μισό σε 1, 3, 5, 7, 9, οπότε είναι λογικό να περιλαμβάνει το 0 με τους άλλους άρτιους αριθμούς. Ωστόσο, το 1977, το σύστημα ταξινόμησης του Παρισιού οδήγησε σε σύγχυση: σε μια "μονή μέρα", η αστυνομία απέφυγε την επιβολή προστίμων στους οδηγούς των οποίων οι πινακίδες τελειώνουν στο 0, επειδή δεν ήξεραν αν ήταν άρτιος αριθμός. Για να αποφευχθεί η σύγχυση, η σχετική νομοθεσία προβλέπει ότι μερικές φορές το μηδέν είναι άρτιος. Οι εν λόγω νόμοι έχουν περάσει στην Νέα Νότια Ουαλία και στην Πολιτεία της Maryland.
Στα σκάφη του Ναυτικού των ΗΠΑ, τα ζυγά βρίσκονται στην πλευρά του λιμανιού , αλλά το μηδέν αποκλειστικά εκεί που τέμνουν την κεντρική γραμμή. Δηλαδή, οι αριθμοί διαβάζονται 6-4-2-0-1-3-5 από το λιμάνι προς τα δεξιά. Στο παιχνίδι της ρουλέτας, ο αριθμός 0 δεν μετράται ως μονός ή ζυγός, δίνοντας στο καζίνο ένα πλεονέκτημα σε τέτοια στοιχήματα. Ομοίως, η ομοτιμία του μηδενός μπορεί να επηρεάσει τις επιδόσεις σε prop bets, όταν η έκβαση εξαρτάται από το αν κάποια τυχαία στιγμή ο αριθμός είναι μονός ή ζυγός, και καταλήγει να είναι μηδέν.
Το παιχνίδι του "μονά-ζυγά" επηρεάζεται επίσης: αν και οι δύο παίκτες δείχνουν μηδέν δάκτυλα, ο συνολικός αριθμός των δακτύλων είναι μηδέν, έτσι ώστε ο παίκτης να κερδίζει. Ένα εγχειρίδιο εκπαιδευτικών προτείνει αυτό το παιχνίδι ως ένα τρόπο για να εισάγουν τα παιδιά στην ιδέα ότι το 0 είναι διαιρετό από το 2.