Δύναμη (μαθηματικά)

Ακέραιοι εκθέτες

Η πράξη της δύναμης με ακέραιο εκθέτη απαιτεί στοιχειώδη άλγεβρα μόνο.

Θετικοί εκθέτες

Η έκφραση α² = α·α ονομάζεται τετράγωνο του α επειδή η επιφάνεια ενός τετραγώνου με πλευρά α ισούται με α².
Η έκφραση α³ = α·α·α ονομάζεται κύβος, επειδή ο όγκος κύβου πλευράς α ισούται με α³.
Έτσι το 3² διαβάζεται «3 στο τετράγωνο» ή «τετράγωνο του 3» και το 2³ διαβάζεται «2 στον κύβο» ή «κύβος του 2».
Ο εκθέτης ορίζει το πόσες φορές πολλαπλασιάζεται η βάση με τον εαυτό της. Για παράδειγμα, 3⁵ = 3·3·3·3·3 = 243. Η βάση 3 εμφανίζεται 5 φορές στον επαναλαμβανόμενο (ή μεγάλο) πολλαπλασιασμό, επειδή ο εκθέτης είναι 5. Εδώ 3 είναι η βάση, 5 ο εκθέτης και 243 η δύναμη ή πιο συγκεκριμένα, η πέμπτη δύναμη του 3 ή το 3 στην πέμπτη. Έτσι το 3⁵ διαβάζεται απλώς 3 στην πέμπτη.
Πιο επίσημα, οι δυνάμεις με θετικό εκθέτη μπορούν να οριστούν με την αρχική συνθήκη α¹ = α και τη σχέση αⁿ⁺¹ = α·αn. Τότε ο λόγος ''Προσεταιριστική ιδιότητα/προσεταιριστική ιδιότητα'' του πολλαπλασιασμού, ισχύει για κάθε θετικούς m και n, αᵐ⁺ⁿ = αᵐ·αⁿ .

Δυνάμεις του δέκα

Στο δεκαδικό σύστημα, οι ακέραιες δυνάμεις του 10 γράφονται ως το ψηφίο 1 με ένα αριθμό μηδενικών να ακολουθούν ή να προηγούνται, ανάλογα με το μέγεθος και το πρόσημο του εκθέτη. Για παράδειγμα 10³ = 1000 και 10⁻⁴ = 0.0001.
Η δυνάμεις του 10 χρησιμοποιούνται στον επιστημονικό συμβολισμό για να περιγράψουν μεγάλους ή μικρούς αριθμούς. Για παράδειγμα, 299,792,458 μέτρα/δευτερόλεπτο (η ταχύτητα του φωτός στο κενό) μπορεί να γραφτεί ως 2,99792458·10⁸ m/s και εν συνεχεία κατά προσέγγιση ως 2,998·10⁸ m/s
Τα προθέματα του SI βασίζονται σε δυνάμεις του 10 και χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν μικρές ή μεγάλες ποσότητες. Για παράδειγμα το πρόθεμα k (Kilo- Κίλο) σημαίνει 10³ = 1000, έτσι ένα KPa (κιλο-πασκάλ) ισούται με 1000 Pa (Πασκάλ).

Δυνάμεις του δύο

Οι θετικές δυνάμεις του δύο είναι σημαντικές στην επιστήμη των υπολογιστών επειδή υπάρχουν 2ⁿ πιθανές τιμές σε μία δυαδική μεταβλητή n-bit.
Οι δυνάμεις του 2 είναι σημαντικές στη θεωρία συνόλων καθώς ένα σύνολο με n στοιχεία, έχει δυναμοσύνολο, ή σύνολο όλων των υποσυνόλων του με 2ⁿ στοιχεία.
Κοινή χρήση έχουν και οι αρνητικές δυνάμεις του 2.
Στο δυαδικό σύστημα, οι ακέραιες δυνάμεις του 2 γράφονται ως 1 με μηδενικά να προηγούνται ή να ακολουθούν αναλόγως με το πρόσημο και το μέγεθος του εκθέτη. Για παράδειγμα, το δύο στην τρίτη γράφεται ως 1000 στο δυαδικό.

Δυνάμεις του ένα

Όλες οι ακέραιες δυνάμεις του ένα ισούνται με ένα: 1ⁿ = 1.

Δυνάμεις του μηδενός

Αν ο εκθέτης είναι θετικός, η δύναμη του μηδενός είναι μηδέν: 0ⁿ = 0, όπου n > 0.
Αν ο εκθέτης είναι αρνητικός, η δύναμη του μηδενός (0ⁿ, όπου n < 0) δεν ορίζεται, καθώς εξ ορισμού συνεπάγεται διαίρεση με το μηδέν.
Αν ο εκθέτης είναι μηδέν, κάποιοι συγγραφείς ορίζουν 0⁰=1, ενώ άλλοι το αφήνουν αόριστο, όπως αναλύεται παρακάτω

Δυνάμεις του μείον ένα

Αν το n είναι άρτιος ακέραιος, τότε (−1)ⁿ = 1.
Άν το n είναι περιττός ακέραιος, τότε (−1)ⁿ = −1.
Εξαιτίας αυτής της ιδιότητας, οι δυνάμεις του -1 είναι χρήσιμες για την έκφραση εναλλασόμενων ακολουθιών. Για παρόμοια ανάλυση των δυνάμεων του μιγαδικού αριθμού i, δείτε Δυνάμεις των μιγαδικών αριθμών.

Αρνητικές n-οστές ρίζες

Οι δυνάμεις ενός θετικού πραγματικού είναι πάντα θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Η λύση της x² = 4 μπορεί ωστόσο να είναι είτε 2 είτε -2. Η κύρια τιμή του  41/2, όμως το -2 είναι επίσης έγκυρη τετραγωνική ρίζα. Αν ο ορισμός της ύψωσης σε δύναμη των πραγματικών αριθμών επεκταθεί ώστε να επιτρέπονται και αρνητικά αποτελέσματα τότε το αποτέλεσμα δεν συμπεριφέρεται πλέον καλά.
Αν το n είναι άρτιος τότε η xⁿ = α έχει δύο λύσεις αν το α είναι θετικό, οι οποίες είναι η θετική και η αρνητική n-οστή ρίζα. Η εξίσωση δεν έχει πραγματική λύση αν το α είναι αρνητικό.
Αν το n είναι περιττός, τότε η xⁿ = α έχει μία πραγματική λύση. Η λύση είναι θετική αν το α είναι θετικός και αρνητική αν το α είναι αρνητικός.
Η ρητή δύναμη m/n, όπου m/n ανάγωγο, είναι θετική αν το m είναι άρτιος, αρνητική αν το α είναι αρνητικός και τα m και n είναι περιττοί, και μπορεί να είναι είτε θετική είτε αρνητική αν ο α είναι θετικός και το n περιττός. (−27)1/3 = −3, (−27)2/3 = 9, ενώ το 43/2 έχει δύο ρίζες, το 8 και το -8. Καθώς δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός x ώστε x² = −1, ο ορισμός του αᵐ/ⁿ όταν το α είναι αρνητικός και το n άρτιος πρέπει να κάνει χρήση της φανταστικής μονάδας i, όπως περιγράφεται αναλυτικότερα στην ενότητα Δυνάμεις των μιγαδικών αριθμών.
Ούτε με η μέθοδος του λογάριθμου όυτε η μέθοδος του ρητού εκθέτη μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να οριστεί το αʳ για αρνητικό πραγματικό α και οποιονδήποτε πραγματικό r. Η eʳ είναι θετική για κάθε πραγματικό r και έτσι το ln(α) δεν ορίζεται στους πραγματικούς για α ≤ 0. (Από την άλλη, μπορεί οριστεί οποιαδήποτε μιγαδική δύναμη ενός αρνητικού αριθμού α επιλέγοντας έναν μιγαδικό λογάριθμο του α.)
Η μέθοδος του ρητού εκθέτη δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για αρνητικές δυνάμεις του α επειδή βασίζεται την συνέχεια. Η συνάρτηση f(r) = αʳ έχει μοναδική συνεχή επέκταση από τους ρητούς αριθμούς στους πραγματικούς για κάθε α > 0. Όταν όμως α < 0, η συνάρτηση f δεν είναι καν συνεχής στο σύνολο των ρητών αριθμών στο οποίο ορίζεται.
Για παράδειγμα, έστω α = −1. Η n-οστή ρίζα του -1 είναι -1 για κάθε περιττό φυσικό αριθμό n. Έτσι αν το n είναι περιττός θετικός ακέραιος (−1) = −1 αν το m είναι περιττός, και (−1) = 1 αν το m είναι άρτιος. Έτσι το σύνολο των ρητών αριθμών q για το οποίο (−1)q = 1 είναι πυκνό στους ρητούς αριθμός, όπως είναι και το σύνολο των q για τους οποίους (−1)q = −1. Αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση (−1)q δεν είναι συνεχής για οποιονδήποτε ρητό q.
Προσοχή χρειάζεται όταν εφαρμόζονται οι ταυτότητες των δυνάμεων με αρνητικές n-οστές ρίζες. Για παράδειγμα, −27 = (−27) = ((−27)2/3)3/2 = 93/2 = 27 είναι προφανώς λάθος. Το πρόβλημα προκύπτει επειδή λαμβάνεται η θετική τετραγωνική ρίζα αντί για την αρνητική στο τελευταίο βήμα, όμως εν γένει προκύπτουν τα ίδια προβλήματα με αυτά που περιγράφονται για τους μιγαδικούς στην ενότητα Μη ισχύς των εκθετικών και λογαριθμικών ταυτοτήτων

Μιγαδικές δυνάμεις του e

Η δύναμη z = eˣ⁺ⁱ·ʸ μπορεί να υπολογιστεί ως eˣ · eⁱ·ʸ. Ο πραγματικός παράγοντας eˣ είναι η απόλυτη τιμή του z και ο μιγαδικός παράγοντας eⁱ·ʸ προσδιορίζει την κατεύθυνση του z.

Δυνάμεις μιγαδικών αριθμών

Οι ακέραιες δυνάμειες μή μηδενικών μιγαδικών αριθμών ορίζονται με επαναλαμβανόμενο πολλαπλασιασμό όπως παραπάνω. Αν i είναι η φανταστική μονάδα και n είναι ακέραιος, τότε iⁿ ισούται με 1, i, -1  ή -i, αναλόγως με το αν ο ακέραιος n είναι ίσος με 0, 1, 2, ή 3 modulo 4. Εξαιτίας αυτού, οι δυνάμεις του i είναι χρήσιμες στην έκφραση ακολουθιών με περίδο 4.
Οι μιγαδικές δυνάμεις θετικών πραγματικών ορίζονται μέσω του eˣ  όπως στην ενότητα Μιγαδικές δυνάμεις θετικών πραγματικών αριθμών παραπάνω. Αυτές είναι συνεχείς συναρτήσεις.
Η γενίκευση αυτών των συναρτήσεων στην περίπτωση των μη ακέραιων δυνάμεων μιγαδικών αριθμών οδηγεί σε δυσκολίες. Είτε πρέπει να οριστούν ως ασυνεχείς συναρτήσεις είτε ως πλειότιμες συναρτήσεις. Καμία από τις δύο επιλογές δεν είναι εντελώς ικανοποιητική.
Η ρητή δύναμη ενός μιγαδικού αριθμού πρέπει να είναι η λύση μιας αλγεβρικής εξίσωσης. Συνεπώς πάντα έχει πεπερασμένο αριθμό πιθανών τιμών. Για παράδειγμα το w = z1/2 πρέπει να είναι λύση της εξίσωσης w² = z. αν όμως  το w είναι λύση θα πρέπει να είναι και το -w, επειδή (−1)² = 1. Μπορεί να επιλεγεί αυθαίρετα μία μοναδική λύση η οποία αποκαλείται κύρια τιμή με βάση ένα γενικό κανόνα που ισχύει και για τις άρρητες δυνάμεις. 
Οι μιγαδικές δυνάμεις και λογάριθμοι διαχειρίζονται με πιο φυσικό τρόπο αν εκληφθούν ως μονότιμες συναρτήσεις σε μία επιφάνεις Riemann. Οι μονότιμες εκδοχές ορίζονται από την επιλογή φύλλου. Η τιμή έχει ασυνέχεια κατά μήκος της τομής διακλαδώσεως. Επιλέγοντας μία από τις πολλές λύσεις ως κύρια τιμή, οι συναρτήσεις παραμένου ασυνεχείς και οι συνήθεις κανόνες για τον χειρισμό των δυνάμεων μπορεί να οδηγίσουν σε σφάλμα.
Οποιαδήποτε μη ρητή δύναμη ενός μιγαδικού αριθμού έχει άπειρο αριθμό πιθανών τιμών εξαιτίας της πλειότιμης φύσης του μιγαδικού λογάριθμου (δείτε παρακάτω). Η κύρια τιμή είναι μία μοναδική τιμή που επιλέγεται από αυτές με βάση ένα κανόνα ο οποίος, ανάμεσα στις άλλες ιδιότητές του, διασφαλίζει ότι οι δυνάμεις μιγαδικών αριθμών με θετικό πραγματικό μέρος και μηδενικό φανταστικό μέρος δίνουν την ίδια τιμή με την αντίστοιχη δύναμη πραγματικού αριθμού.
Η ύψωση σε μιγαδική δύναμη ενός πραγματικού είναι τυπικά διαφορετική πράξη από την ανάλογη για μιγαδικό αριθμό. Ωστόσο στην κοινή περίπτωση του θετικού πραγματικού αριθμού η κύρια τιμή είναι η ίδια.
Οι δυνάμεις αρνητικών πραγματικών αριθμών δεν ορίζονται πάντα και είναι ασυνεχείς ακόμα και όταν ορίζονται. Όταν εμπλεκονται μιγαδικοί αριθμού συνήθως χρησιμοποιείται η πράξη των μιγαδικών.

Ρίζες τυχαίων μιγαδικών αριθμών

Αν και υπάρχουν άπειρες πιθανές τιμές για ένα γενικό μιγαδικό αλγόριθμο, υπάρχει πεπερασμένος αριθμός τιμών για τη δύναμη aᶻ στην σημαντική ειδική περίπτωση όπου z = 1/n και n είναι θετικός ακέραιος. Αυτές είναι οι n-οστές ρίζες του α, είναι οι λύσεις της εξίσωσης xⁿ = α. Όπως και με τις πραγματικές ρίζες, η δεύτερη ρίζα ονομάζεται τετραγωνική, και η τρίτη, κυβική ρίζα.
Είναι βολικό να ορίζεται η α1/ⁿ ως η κύρια τιμή της ρίζας. Αν α είναι θετικός πραγματικός αριθμός, είναι βολικό επίσης να επιλεγεί ένας θετικός πραγματικός ως η κύρια τιμή της ρίζας α1/ⁿ. Για μιγαδικούς αριθμούς εν γένει επιλέγεται η n-οστή ρίζα με το μικρότερο όρισμα ως κύρια τιμή, όπως και με τις κύριες τιμές των ριζών της μονάδας.
Το σύνολο των n-στών ριζών ενός μιγαδικού α υπολογίζεται πολαπλασιάζονταν την κύρια τιμή α1/n με κάθε μία από τις n-οστές ρίζες της μονάδος. Για παράδειγμα, οι τέταρτες ρίζες του 16 είναι 2, -2, 2i, και -2i, επειδή η κύρια τιμή της τέταρτης ρίζας του 16 είναι 2 και οι τέταρτες ρίζες της μονάδος είναι 1, −1, i, και −i.

Γλώσσες προγραμματισμού

Οι περισσότερες γλώσσες προγραμματισμού με συνάρτηση δύναμης υλοποιούνται χρησιμοποιώντας την συνάρτηση pow του IEEE και συνεπώς αποτιμούν το 0⁰ ως 1. Τα μεταγενέστερα πρότυπα της C και της C++ περιγράφουν αυτή τη συμπεριφορά ως μη κανονική. Η μέθοδος System.Math.Pow του .NET Framework επείσης χειρίζεται το  0⁰ ως 1.

Εκθετικός συμβολισμός για συναρτήσεις

Τοποθετώντας ένα ακέραιο εκθέτη μετά το όνομα ή το σύμβολο μίας συνάρτησης, σαν η συνάρτηση να υψώνονταν σε δύναμη, κατά κοινή χρήση σημαίνει επεναλαμβανόμενη σύνθεση συναρτήσεων παρά επαναλαμβανόμενο πολλαπλασιασμό. Συνεπώς το f³(x) μπορεί να σημαίνει f(f(f(x))), και πιο συγκεκριμένα το f ⁻¹(x) συνήθως συμβολίζει την αντίστροφη συνάρτηση της f. Οι επαναλαμβανόμενες συναρτήσεις έχουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον στη μελέτη των φράκταλ και των δυναμικών συστημάτων. Ο Babbage ήταν ο πρώτος που μελέτησε το πρόβλημα εύρεσης της τετραγωνικής ρίζας συνάρτησης f1/2(x).
Για ιστορικούς ωστόσο λόγους, ισχύει ειδική σύνταξη για τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις: ένας θετικός εκθέτης στο όνομα της συνάρτησης σημαίνει ότι το αποτέλεσμα υψώνεται σε αυτή τη δύναμη, ενώ ο εκθέτης -1 υποδηλώνει την αντίστροφη συνάρτηση. Έτσι, sin²x είναι απλώς συντομογραφία του (sin x)² χωρίς την χρήση παρενθέσεων, ενώ το sin⁻¹x αναφέρεται στην αντίστροφη συνάρτηση του ημιτόνου, που ονομάζεται arcsin x. Δεν υπάρχει ανάγκη για συντομογραφίες των αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων καθώς κάθε μία έχει το δικό της όνομα και συντομογραφία. Για παράδειγμα 1/sin x = (sin x)⁻¹ είναι csc x (συντέμνουσα). Παρόμοια σύμβαση ισχύει και για τους λογάριθμους, όπου log²x συνήθως σημαίνει (log x)², και όψι log log x.

Στη θεωρία κατηγοριών

Σε μία κλειστή καρτεσιανή κατηγορία η εκθετική πράξη μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την ύψωση ενός τυχαίου αντικειμένου στη δύναμη ενός άλλου τυχαίου αντικειμένου. Αυτό γενικεύει το καρτεσιανό γινόμενο στην κατηγορία των συνόλων. Αν  είναι ένα αρχικό αντικείμενο σε μία καρτεσιανή κλειστή κατηγορία, τότε το εκθετικό αντικείμενο  είναι ισομορφικό με οποιοδήποτε τερματικό αντικείμενο .

Επαναλαμβανόμενη ύψωση σε δύναμη

Όπως η ύψωση σε δύναμη φυσικών αριθμών είναι στην ουσία επαναλαμβανόμενος πολλαπλασιασμός, είναι πιθανό να οριστεί μία πράξη με βάση την επαναλαμβανόμενη ύψωση σε δύναμη. Αυτή η πράξη κάποιες φορές ονομάζεται tetration. Η επανάληψη του tetration οδηγεί σε άλλη πράξη και ούτω καθεξής. Αυτή η ακολουθία πράξεων εκφράζεται από την συνάρτηση Ackermann και τον συμβολισμό άνω βέλους Knuth. Όπως ακριβώς η δύναμη αυξάνεται ταχύτερα από ότι ο πολλαπλασιασμό, και με την σειρά του ο πολλαπλασιασμός ταχύτερα από την πρόσθεση, η δύναμη της δύναμης αυξάνει ταχύτερα από την δύναμη. Αποτιμημένες στο (3,3), η πράξεις της πρόσθεσης, πολλαπλασιασμού, ύψωσης σε δύναμη και tetration δίνουν 6, 9, 27, και 7,625,597,484,987 αντίστοιχα.

Ιστορία του συμβολισμού

Ο όρος δύναμη χρησιμοποιήθηε από τον έλληνα μαθηματικό Ευκλείδη για το τετράγωνο μίας ευθείας. Τον 9ο αιώνα, ο Αλ Χουαρίζμι χρησιμοποίησε τους όρους mal για το τετράγωνο και kab για τον κύβο, τα οποία μεταγενέστεροι ισλαμιστές μαθηματικοί τα αναπαριστούσαν ως m και k αντίστοιχα, κατά τον 15ο αιώνα, όπως φαίνεται στο έργο του Αμπού αλ-Χασάν ιμπν Αλί αλ-Καλασαντί.
Ο Nicolas Chuquet χρησιμοποίησε μία μορφή εκθετικού συμβολισμού τον 15ο αιώνα, η οποία χρησιμοποιήθηκε αργότερα από τον Henricus Grammateus και τον Μίχαελ Στίφελ τον 16ο αιώνα. Ο Σάμιουελ Τζικ (Samuel Jeake) εισήγαγε τον όρο indices (δείκτες) το 1696. Τον 16ο αιώνα ο Robert Recorde χρησιμοποίησε τους όρους τετράγωνο, κύβος, zenzizenzic (για την τέταρτη δύναμη), surfolide (πέμπτη), zenzicube (έκτη), second surfolide (εβδόμη) και Zenzizenzizenzic (ογδόη). 
Κάποιοι μαθηματικοί (όπως π.χ. ο Ισαάκ Νεύτων) χρησιμοποίησαν εκθέτες μόνο για δυνάμεις μεγαλύτερες του δύο, προτιμώντας να αναπαριστούν τα τετράγωνα ως επαναλαμβανόμενο πολλαπλασιασμό. Έτσι έγραφαν τα πολυώνυμα ως ax + bxx + cx³ + d.