Εικασία του Πουανκαρέ

Η ερώτηση του Πουανκαρέ

Στις αρχές του 20ου αιώνα, ο Ανρί Πουανκαρέ δούλευε πάνω στα θεμέλια της τοπολογίας—αυτό που αργότερα θα ονομαζόταν "συνδυαστική τοπολογία" και, στη συνέχεια, "αλγεβρική τοπολογία"-, δείχνοντας ιδιαίτερο ενδιαφέρον για τις τοπολογικές ιδιότητες που χαρακτηρίζουν μια σφαίρα.
Το 1900, ο Πουανκαρέ ισχυρίστηκε ότι, η ομολογία, ένα εργαλείο που είχε επινοήσει βασιζόμενος σε προηγούμενη εργασία του Enrico Betti, ήταν αρκετά αξιόπιστη για να πει εάν μια 3-πολλαπλότητα είναι μια 3-σφαίρα. Ωστόσο, σε μια εργασία του το 1904, περιέγραψε ένα αντιπαράδειγμα προς αυτόν του τον ισχυρισμού, ένα χώρο που πλέον ονομάζεται σφαίρα ομολογίας Πουανκαρέ και ορίζεται ως το σύνορο μιας συμπαγούς, απλά συνεκτικής 4-διάστατης πολλαπλότητας. Για να αποδείξει ότι η σφαίρα ομολογίας Πουανκαρέ ήταν διαφορετική από την 3-σφαίρα, ο Πουανκαρέ εισήγαγε μια νέα τοπολογική αναλλοίωτη, τη θεμελιώδη ομάδα και έδειξε ότι η σφαίρα Πουανκαρέ είχε μια θεμελιώδη ομάδα της τάξης 120, ενώ η 3-σφαίρα είχε μια ασήμαντη θεμελιώδη ομάδα. Με αυτό τον τρόπο ήταν σε θέση να συμπεράνει ότι αυτοί οι δύο χώροι ήταν, πράγματι, διαφορετικοί.
Στην ίδια εργασία, ο Πουανκαρέ, αναρωτήθηκε αν μία συνεκτική, συμπαγής, τρισδιάστατη πολλαπλότητα με τις ίδιες ομάδες ομολογίας με αυτές της τρισδιάστατης σφαίρας είναι  ομοιομορφική με αυτήν;  Η νέα υπόθεση του Πουανκαρέ μπορεί να επαναδιατυπωθεί ως "κάθε βρόχος μπορεί να συρρικνωθεί σε ένα σημείο;"
Η αρχική διατύπωση ήταν η εξής:
"Σκεφτείτε μια συμπαγή 3-διάστατη πολλαπλότητα V χωρίς φράγμα. Είναι δυνατόν, η θεμελιώδης ομάδα της V να είναι ασήμαντη, ακόμα κι αν η V δεν  είναι ομομορφική ως προς την 3-διάστατη σφαίρα;"
Ο Πουανκαρέ δεν είχε δηλώσει εάν πίστευε ότι αυτή η πρόσθετη συνθήκη θα χαρακτήριζε την 3-σφαίρα, αλλά παρ ' όλα αυτά, η δήλωση ότι αυτό συμβαίνει είναι γνωστή  ως η Εικασία του Πουανκαρέ. Ακολουθεί η τυποποιημένη μορφή της εικασίας:
"Κάθε απλώς συνεκτική 3-πολλαπλότητα είναι τοπολογικά όμοια με την 3-σφαίρα"

Απόπειρες επίλυσης

Για αρκετό καιρό η εικασία ήταν αδιάφορη για την μαθηματική κοινότητα , μέχρι την στιγμή που ο  J. H. C. Whitehead αναθέρμανε το ενδιαφέρον για αυτή, όταν στη δεκαετία του 1930 ισχυρίστηκε για πρώτη φορά πως είχε βρει την απόδειξη, την οποία στη συνέχεια απέσυρε. Μέσα από αυτή τη διαδικασία όμως, ανακάλυψε μερικά ενδιαφέροντα παραδείγματα απλά συνδεδεμένων, μη-συμπαγών, 3-πολλαπλοτήτων μη ομομορφισμών στο R³, το πρωτότυπο της οποίας είναι γνωστό ως Πολλαπλότητα Whitehead.
Στη δεκαετία του 1950 και του 1960, διάφοροι μαθηματικοί ισχυρίστηκαν πως βρήκαν την απόδειξη, μόνο για να αποδειχθεί ότι έκαναν λάθος. Σημαντικοί μαθηματικοί όπως ο Bing, ο Haken, ο Moisè, και ο Παπακυριακόπουλος ασχολήθηκαν επίμονα με την εικασία. Το 1958, ο Bing, απέδειξε μια πιο "αδύναμη" εκδοχή της εικασία του Πουανκαρέ: αν κάθε απλώς κλειστή καμπύλη μιας συμπαγούς 3-πολλαπλότητας περιέχεται σε μια 3-σφαίρα, τότε η πολλαπλότητα είναι ομομορφική ως προς την 3-σφαίρα. Επίσης, ο Bing  περιέγραψε μερικές από τις παγίδες στην προσπάθειά απόδειξης της εικασία του Πουανκαρέ.
Με την πάροδο του χρόνου, η εικασία απέκτησε τη φήμη ότι είναι ιδιαίτερα δύσκολο να αντιμετωπιστεί. Ο John Milnor σχολίασε ότι μερικές φορές τα σφάλματα σε λανθασμένες αποδείξεις μπορεί να είναι "αρκετά δύσκολο να ανιχνευθούν." Εργασίες σχετικά με την εικασία βοήθησαν στην καλύτερη κατανόηση των 3-πολλαπλοτήτων. Εμπειρογνώμονες στον τομέα ήταν συχνά απρόθυμοι να ανακοινώσουν αποδείξεις, και είχαν την τάση να προβάλουν οποιαδήποτε τέτοια ανακοίνωση με σκεπτικισμό. Τη δεκαετία του 1980 και του 1990 δημοσιεύτηκαν πολλές ψευδείς αποδείξεις (όχι όμως σε  εγκεκριμένα περιοδικά).
Μια έκθεση του προσπαθεί να αποδείξει την εικασία του Πουανκαρέ μπορεί να βρεθεί στο μη-τεχνικό βιβλίο Το Βραβείο του Πουανκαρέ από τον Γιώργο Szpiro.

Διαστάσεις

Η ταξινόμηση των κλειστών επιφανειών δίνει καταφατική απάντηση στο αντίστοιχο ερώτημα για δύο διαστάσεις. Για διαστάσεις μεγαλύτερες από τρία, εφαρμόζεται η Γενικευμένη εικασία του Πουανκαρέ, η οποία διατυπώνεται ως εξής: είναι μια ομοτοπική ν-σφαίρα ομομορφική ως προς την ν-σφαίρα; Μια ισχυρότερη υπόθεση είναι απαραίτητη.  Σε τέσσερις και περισσότερες διαστάσεις υπάρχουν απλά συνδεδεμένες, κλειστες πολλαπλότητες που δεν είναι ομοτοπικά ισοδύναμες με μια n-σφαίρα.
Ιστορικά, ενώ η εικασία σε τρεις διαστάσεις φαινόταν λογική, η γενικευμένη εικασία έμοιαζε να είναι ψευδής. Το 1961 ο Stephen Smale σόκαρε τους απανταχού μαθηματικούς αποδεικνύοντας την Γενικευμένη Εικασία του Πουανκαρέ για τέσσερις και παραπάνω διαστάσεις και επέκτεινε τις τεχνικές του για να αποδείξει το θεμελιώδες θεώρημα του συν συνορισμου. Το 1982 ο Μιχαήλ Φρίντμαν απέδειξε την εικασία του Πουανκαρέ σε τέσσερις διαστάσεις. Η εργασία του Φρίντμαν άφησε ανοιχτό το ενδεχόμενο να υπάρχει μια ομαλή 4-πολλαπλότητα, ομομορφική ως προς την 4-σφαίρα, η οποία δεν είναι διαφορομορφική ως προς την 4-σφαίρα. Αυτή, η λεγόμενη ομαλή εικασία του Πουανκαρέ, σε διάσταση 4, παραμένει άλυτη και πιστεύεται ότι η απόδειξή της είναι πολύ δύσκολη. Για παράδειγμα, οι εξωτικές σφαίρες του Milnor δείχνουν ότι η ομαλή Poincaré εικασίες είναι ψευδής σε διάσταση επτά.
Αυτές οι παλαιότερες επιτυχίες σε ανώτερες διαστάσεις άφησαν την περίπτωση των τριών διαστάσεων στο περιθώριο. Η εικασία του Πουανκαρέ ήταν ουσιωδώς αληθινή τόσο σε διάσταση 4 όσο και σε ανώτερες διαστάσεις για πολύ διαφορετικούς λόγους. Στη διάσταση τρία ωστόσο, η εικασία είχε μια αβέβαιη φήμη μέχρι που η εικασία της γεωμετρικοποίησης την έβαλε στο πλαίσιο που διέπει όλες τις 3-πολλαπλότητες. Ο Τζον Μόργκαν έγραψε
" Πιστεύω ότι πριν την δουλειά του Thurston στις υπερβολικές 3-πολλαπλότητες και...την εικασία της γεωμετρικοποίησης δεν υπήρχε ομοφωνία ανάμεσα στους ειδικούς σχετικά με το κατά πόσο η εικασία του Πουανκαρέ είναι αληθής ή όχι. Μετά τον Thurston, άρχισε να φαίνεται πως η εικασία του Πουανκαρέ (και η εικασία της γεωμετρικοποίησης) ήταν αληθείς.

Λύση

Το Νοέμβριο του 2002, ο Ρώσος μαθηματικός Γκριγκόρι Πέρελμαν δημοσιεύτηκε το πρώτο από μια σειρά τριών Ε-prints στο arXiv που περιγράφει μια λύση της εικασίας του Πουανκαρέ. Η απόδειξη του Πέρελμαν χρησιμοποιεί μια τροποποιημένη έκδοση της ροής Ricci πρόγραμμα που αναπτύχθηκε από τον Ρίτσαρντ Χάμιλτον. Τον Αύγουστο του 2006, στον Πέρελμαν απονεμήθηκε, (αλλά αρνήθηκε) το Μετάλλιο Φιλντς για την απόδειξη του. Στις 18 Μάρτιος 2010, το μαθηματικό Ινστιτούτο Clay (Clay Mathematics Institute) απένειμε στον Πέρελμαν το $1 εκατ. του Βραβείου Χιλιετίας , σε αναγνώριση της απόδειξης. Ο Πέρελμαν απέρριψε και αυτό το βραβείο.
Ο Πέρελμαν απέδειξε την εικασία παραμορφώνοντας τη πολλαπλότητα χρησιμοποιώντας τη  ροή Ricci (η οποία συμπεριφέρεται παρόμοια με τη εξίσωση θερμότητας που περιγράφει τη διάχυση της θερμότητας μέσω ενός αντικείμενου). Η ροή Ricci συνήθως παραμορφώνει την πολλαπλότητα προς ένα πιο στρογγυλεμένο σχήμα, εκτός από ορισμένες περιπτώσεις, όπου εκτείνεται η πολλαπλότητα εκτός από τον εαυτό της προς αυτό που είναι γνωστό ως μοναδικότητες. Ο Πέρελμαν και ο Χάμιλτον στη συνέχεια, κόβουν την πολλαπλότητα σε μοναδικότητες (μια διαδικασία που ονομάζεται "χειρουργική") προκαλώντας ξεχωριστά κομμάτια που σχηματίσουν μπάλες-σαν σχήματα. Σημαντικά βήματα στην απόδειξη είναι αυτά που δείχνουν πως συμπεριφέρονται οι πολλαπλότητες όταν παραμορφώνονται από τη ροή Ricci, εξετάζοντας τι είδους ιδιομορφίες αναπτύσσονται, τον προσδιορισμό του κατά πόσον αυτή η χειρουργική διαδικασία μπορεί να ολοκληρωθεί και ότι η "επέμβαση" δεν χρειάζεται να επαναλαμβάνεται άπειρες φορές.
Το πρώτο βήμα είναι να παραμορφώνεται η πολλαπλότητα χρησiμοποιώντας της ροή Ricci. H ροή Ricci ορίζεται από τον Ρίτσαρντ Χάμιλτον ως ένας τρόπος παραμόρφωσης συλλεκτών. Η φόρμουλα για την ροής Ricci είναι μια απομίμηση της εξίσωσης θερμότητας η οποία περιγράφει τον τρόπο ροών θερμότητας σε στερεά. Όπως η ροή θερμότητας, έτσι και η ροή Ricci τείνει προς την ομοιόμορφη συμπεριφορά. Σε αντίθεση με τη ροή θερμότητας, η ροή Ricci μπορούσε να τρέξει σε μοναδικότητες και να σταματήσει να λειτουργεί. Μια μοναδικότητα μιας πολλαπλότητας είναι ένα μέρος όπου δεν είναι διαφορίσιμη: σαν μια γωνία ή ένα άνθος ή ένα τσίμπημα. Η ροή Ricci οριζόταν μόνο για τις ομαλά διαφορίσιμες πολλαπλότητες. Ο Χάμιλτον χρησιμοποίησε τη ροή Ricci για να αποδείξει ότι κάποιες συμπαγείς πολλαπλότητες ήταν αμφιδιαφορίσιμες σε σφαίρες και ήλπιζε να την εφαρμόσει για να αποδείξει η Εικασία του Πουανκαρέ. Χρειαζόταν λοιπόν να κατανοήσει τις μοναδικότητες.
Ο Χάμιλτον δημιούργησε μια λίστα με τις πιθανές ανωμαλίες που θα μπορούσαν να σχηματιστούν αλλά ανησυχούσε ότι ορισμένες ιδιομορφίες μπορεί να οδηγούσαν σε δυσκολίες. Ήθελε να κόψει (δημιουργία τομής)την πολλαπλότητα σε μοναδικότητες και επικόλληση στον καλύμματα ( cap = σύμβολο της τομής), και στη συνέχεια, εκτελέστε την ροή Ricci και πάλι, οπότε χρειαζόταν να κατανοήσει τις μοναδικότητες και να δείξει ότι ορισμένα είδη μοναδικοτήτων δεν εμφανίζονται. Ο Πέρελμαν ανακάλυψε ότι οι μοναδικότητες ήταν όλες πολύ απλές: ουσιαστικά ήταν τρισδιάστατοι κύλινδροι φτιαγμένοι από σφαίρες που απλώνονταν κατά μήκος μιας γραμμής. Ένας συνηθισμένος κύλινδρος γίνεται με κύκλους ενωμένους κατά το μήκος μιας γραμμής. Ο Πέρελμαν το απέδειξε αυτό χρησιμοποιώντας κάτι που ονομάζεται "Μειωμένος Όγκος", το οποίο είναι στενά συνδεδεμένο με τις ιδιοτιμές μιας ορισμένης ελλειπτικής εξίσωσης.
Μερικές φορές, μια κατά τα άλλα πολύπλοκη πράξη απλοποιείται σε πολλαπλασιασμό με ένα βαθμωτό (ένας αριθμός). Αυτοί οι αριθμοί ονομάζονται ιδιοτιμές της πράξης. Οι ιδιοτιμές είναι στενά συνδεδεμένες με τις συχνότητες δόνησης και χρησιμοποιούνται στην ανάλυση ενός διάσημου προβλήματος: μπορείς να ακούσεις το σχήμα ενός τυμπάνου;. Ουσιαστικά, μία ιδιοτιμή είναι σαν μία νότα παιγμένη από την πολλαπλότητα. Ο Πέρελμαν απέδειξ ότι αυτή η νότα αγγίζει υψηλότερους τόνους, καθώς η πολλαπλότητα παραμορφώνεται από τη ροή Ρίτσι. Αυτό τον βοήθησε στο να εξαλειφθούν ορισμένες από τις πιο ενοχλητικές ιδιομορφίες που είχαν απασχολήσει τον Χάμιλτον, ιδιαίτερα η λύση που αφορούσε το κυλινδρικό σολιτόνιο, στο οποίο φαινόταν σαν ένα νήμα να εξέχει της πολλαπλότητας δίχως τίποτε από την άλλη πλευρά. Στην ουσία, ο Πέρελμαν έδειξε ότι όλα τα σκέλη αυτά μπορούν να κοπούν και να καλυφθούν και κανένα να μην προεξέχει σε μια πλευρά μόνο.
Ολοκληρώνοντας τη απόδειξη, ο Πέρελμαν λαμβάνει κάθε συμπαγή, απλά συνδεδεμένη, τρισδιάστατη πολλαπλότητα χωρίς όριο και αρχίζει να εφαρμόζει τη ροή Ρίτσι σε αυτή. Αυτό παραμορφώνει την πολλαπλότητα σε κυκλικά κομμάτια με νήματα δράμοντα μεταξύ τους. Τέμνει τα νήματα και συνεχίζει παραμορφώνοντας την πολλαπλότητα μέχρι που τελικά του απομένει μια συλλογή από στρογγυλές τρισδιάστατες σφαίρες. Τότε αναδομεί την αρχική πολλαπλότητα συνδέοντας τις σφαίρες μαζί με τρισδιάστατους κυλίνδρους, τις μεταμορφώνει σε ένα στρογγυλό σχήμα και βλέπει ότι, παρά την αρχική σύγχυση, η πολλαπλότητα ήταν στην πραγματικότητα ομοιομορφική σε μια σφαίρα.
Ένα άμεσο ερώτημα ήταν πώς μπορεί κανείς να είναι σίγουρος ότι δεν υπάρχουν άπειρες το πλήθος αναγκαίες περικοπές; Διαφορετικά, η κοπή μπορεί να συνεχίζεται επ' άπειρον. Ο Πέρελμαν απέδειξε ότι αυτό δεν μπορεί να συμβαίνει, με τη χρήση ελάχιστων επιφανειών στην πολλαπλότητα. Η ελάχιστη επιφάνεια είναι κατ' ουσίαν μία ταινία σαπουνιού. Ο Χάμιλτον είχε δείξει ότι το εμβαδόν της ελάχιστης επιφάνειας μειώνεται καθώς η πολλαπλότητα υποβάλλεται ροή Ρίτσι. Ο Πέρελμαν επαλήθευσε αυτό που συμβαίνει στο εμβαδόν της ελάχιστης επιφάνειας όταν η πολλαπλότητα είναι κομμένη σε φέτες. Απέδειξε ότι, εν τέλει,το εμβαδόν είναι τόσο μικρό ώστε οποιοδήποτε κόψιμο πέρα από αυτό το εμβαδόν είναι τόσο μικρό που μπορεί να κοπεί μόνο σε τρισδιάστατες σφαίρες και όχι σε πιο περίπλοκα κομμάτια. Αυτό περιγράφεται ως μια μάχη με μια λερναία Ύδρα από την  Σορμάνι στο βιβλίο του Σπίρο το οποίο αναφέρεται παρακάτω. Αυτό το τελευταίο μέρος της απόδειξης παρουσιάστηκε στην τρίτη και τελευταία εργασία του Πέρελμαν σχετικά με το θέμα.

Το σχήμα του σύμπαντος μέσα από τη εικασία του Πουανκαρέ

Το σύμπαν Φρήντμαν-Λεμέτρ-Ρόμπερτσον-Γουόκερ αντιστοιχεί σε μια χρονικώς εξελισσόμενη ακτίνα του χώρου S3. Υποστηρίζει ότι αν αυτό το σύμπαν τροποποιείται σε M3, στο τέλος η επιτάχυνση μπορεί να παράγει μια μετάπτωση φάσης μετατρέποντας τη M3 σε ένα χώρο σταθερής καμπυλότητας που αντιστοιχεί ακριβώς σε μία φάση ντε Σίτερ σχετική με τον S3. Μια άλλη άποψη είναι ότι από την Είκασία της γεωμετρικοποίησης (μια γενίκευση της εικασίας του Πουανκαρέ) απαιτεί να κατανοήσει όλες τις τοπικά ομοιογενείς γεωμετρίες σε κλειστές τρισδιάστατες πολλαπλότητες, χρησιμοποιώντας ροή Ricci μπορεί κανείς να θεωρήσει ότι η ταξινόμηση Μπιάνκι χρησιμοποιείται για τη μελέτη κοσμολογικών μοντέλων. Αυτό που μπορεί κανείς να προσθέσει σε αυτό το σενάριο είναι ότι μια τέτοια μετάβαση μπορεί να απαιτήσει μια συστροφή, προκειμένου να γίνει ο S3 (ή άλλα κοσμολογικά μοντέλα Μπιάνκι) παραλληλίσιμα.