Τετραγωνική ρίζα του 5

Απόδειξη του άρρητου αριθμού

Ας υποθέσουμε ότι η  είναι ρητός αριθμός, και την εκφράζουν σε χαμηλότερο δυνατό τρόπο (δηλαδή, ως ένα πλήρως μειωμένο κλάσμα), όπως  για τους φυσικούς αριθμούς m και n. Στη συνέχεια η  μπορεί να εκφραστεί με όρους όπως , η οποία είναι μια αντίφαση.

Γεωμετρία

Γεωμετρικά , η τετραγωνική ρίζα του 5 αντιστοιχεί στη διαγώνιο του ορθογωνίου του οποίου οι πλευρές έχουν μήκος 1 και 2 , όπως προκύπτει από το πυθαγόρειο θεώρημα . Μια τέτοια ορθογώνιος μπορεί να επιτευχθεί με τη μείωση κατά το ήμισυ ενός τετράγωνου , ή με την τοποθέτηση δύο ίσων τετραγώνων δίπλα δίπλα. Μαζί με την αλγεβρική σχέση μεταξύ √ 5 και φ, αυτό αποτελεί τη βάση για τη γεωμετρική κατασκευή ενός χρυσού ορθογωνίου από ένα τετράγωνο, και για την κατασκευή ενός κανονικού πεντάγωνου , δεδομένης κάθε πλευράς του (από τότε που η δεξιά-διαγώνια είναι ανάλογη σε ένα κανονικό πεντάγωνο είναι φ).
Σχηματίζοντας μία δίεδρη δεξιά γωνία με τα δύο ίσα τετράγωνα που είναι 1:2 ορθογώνιο, μπορεί να φανεί ότι η √ 5 αντιστοιχεί επίσης με τη σχέση μεταξύ του μήκους μίας ακμής κύβου και της συντομότερης απόστασης από ένα, από κάθε κόμβο με το αντίθετο , όταν διέρχονται από την επιφάνεια του κύβου (η μικρότερη απόσταση, όταν διέρχονται μέσα από το εσωτερικό του κύβου αντιστοιχεί στο μήκος της διαγωνίου του κύβου, η οποία είναι η τετραγωνική ρίζα του τρία επί την άκρη).
Ο αριθμός √ 5 μπορεί να είναι γεωμετρικά και αλγεβρικά να σχετίζεται με την τετραγωνική ρίζα του 2 και την τετραγωνική ρίζα του 3 , όπως είναι το μήκος της υποτείνουσας ενός ορθογωνίου τριγώνου με κάθετη μέτρηση √ 2 και √ 3 (και πάλι, το Πυθαγόρειο θεώρημα το αποδεικνύει  αυτό). Τα δεξιά τρίγωνα τέτοιων διαστάσεων μπορεί να βρεθούν μέσα σε ένα κύβο: οι πλευρές του κάθε τριγώνου που ορίζεται από το κεντρικό σημείο ενός κύβου, μία από τις κορυφές του, και το μέσο σημείο της πλευράς που βρίσκεται σε ένα από τα στάδια που περιέχει η κορυφή και η απέναντι σε αυτό , είναι σε αναλογία √ 2: √ 3: √ 5 . Αυτό προκύπτει από τις γεωμετρικές σχέσεις μεταξύ ενός κύβου και τις ποσότητες √ 2 (η άκρη να είναι απέναντι από τη διαγώνια αναλογία, ή την απόσταση μεταξύ των απέναντι στα άκρα), √ 3 (η άκρη στον κύβο, διαγώνια αναλογία) και √ 5 (ακριβώς η σχέση παραπάνω).
Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με διαστάσεις πλευρά 1: √ 5 ονομάζεται ρίζα πέντε ορθογώνιο και αποτελεί μέρος της σειράς της ορθογώνιας ρίζας, ένα υποσύνολο της δυναμικής ορθογωνίων , οι οποίες βασίζονται σε √ 1 (= 1), √ 2, √ 3, √ 4 (= 2), √ 5 ... διαδοχικά και κατασκευάστηκε με τη διαγώνιο της προηγούμενης ορθογώνιας ρίζας, ξεκινώντας από ένα τετράγωνο . Μια ρίζα 5 ορθογώνιο είναι ιδιαίτερα σημαντική, δεδομένου ότι μπορεί να χωριστεί σε ένα τετράγωνο και σε δύο ίσα χρυσά ορθογώνια , (διαστάσεων Φ × 1), ή σε δύο χρυσά ορθογώνια διαφόρων μεγεθών (διαστάσεις του Φ × 1 and 1 × φ). Μπορεί επίσης να αναλυθεί ως την ένωση των δύο ίσων χρυσών ορθογωνίων (με διαστάσεις 1 × φ), του οποίου αποτελεί τομή σε ένα τετράγωνο. Όλα αυτά μπορεί να θεωρηθούν ως η γεωμετρική ερμηνεία των αλγεβρικών σχέσεων μεταξύ √ 5, φ και Φ που αναφέρθηκε παραπάνω. Η ρίζα 5 ορθογώνιο μπορεί να κατασκευαστεί από ένα ορθογώνιο 1:2 (η ρίζα 4 ορθογώνιο), ή απευθείας από ένα τετράγωνο με τρόπο παρόμοιο με εκείνο για το χρυσό ορθογώνιο φαίνεται στην εικόνα, αλλά και την επέκταση του μήκους του τόξου √ 5/2 και στις δύο πλευρές.

Τριγωνομετρία

Όπως η √ 2 και η √ 3, έτσι και η τετραγωνική ρίζα του πέντε φαίνεται εκτενώς στους μαθηματικούς τύπους για τις ακριβές τριγωνομετρικές σταθερές , και ως εκ τούτου ο υπολογισμός της αξίας του είναι σημαντικός για τη δημιουργία τριγωνομετρικών πινάκων . Δεδομένου ότι η √ 5 είναι γεωμετρικά συνδεμένη σε ένα δεύτερο ορθογώνιο τετράγωνο και σε πεντάγωνα, εμφανίζεται επίσης συχνά στα παρασκευάσματα για τις γεωμετρικές ιδιότητες των στοιχείων που προέρχονται από αυτά, όπως στον τύπο για τον όγκο του δωδεκάεδρου .