Θεωρία Γκαλουά

Ιστορία

Η θεωρία Γκαλουά προέρχεται από την μελέτη των συμμετρικών συναρτήσεων. Οι συντελεστές του πολυωνύμου είναι τα στοιχειώδη συμμετρικά πολυώνυμα στις ρίζες. Για παράδειγμα το, (x – a)(x – b) = x² – (a + b)x + ab, όπου 1, a + b και ab είνει τα στοιχειώδη πολυώνημα βαθμού 0, 1 και 2, σε δύο μεταβλητές.
Αυτό, πρώτη φορά επισημοποιήθηκε τον 16ο αιώνα από τον Γάλλο μαθηματικό Φρανσουά Βιετά, στους τύπους Βιέτα, για την περίπτωση των θετικών πραγματικών ριζών. Κατά τη γνώμη του Βρετανού μαθηματικού Τσαρλς Χιούτον, τον 18ο αιώνα [ 2 ], η έκφραση των συντελεστών του πολυωνύμου σε σχέση με τις ρίζες (όχι μόνο για τις θετικές ρίζες) έγινε για πρώτη φορά κατανοητό από τον Γάλλο μαθηματικό Αλπέρ Ζιράρντ τον 17ο αιώνα. Ο Χιούτον γράφει:
...O Ζιράρντ  ήταν ο πρώτος άνθρωπος που κατανόησε τη γενική θεωρία του σχηματισμού των συντελεστών των αρμοδιοτήτων από το άθροισμα των ριζών και των προϊόντων τους. Ήταν ο πρώτος που ανακάλυψε τους κανόνες για την άθροιση των αρμοδιοτήτων από τις ρίζες της κάθε εξίσωσης.
Σε αυτό το πνεύμα, η διακρίνουσα είναι μια συμμετρική συνάρτηση στις ρίζες που αντανακλά τις ιδιότητες των ριζών - είναι μηδέν αν και μόνο αν το πολυώνυμο έχει μια πολλαπλή ρίζα και για τα τετραγωνικά και κυβικά πολυώνυμα είναι θετική, αν και μόνο αν όλες οι ρίζες είναι πραγματικές και διακριτές, ενώ αρνητική αν και μόνο αν υπάρχει ένα ζεύγος διακριτών μιγαδικών συζυγών ριζών. Δείτε Φύση των ριζών για λεπτομέρειες.
Το κυβικό πρώτη φορά λύθηκε εν μέρει το 15ο-16ο αιώνα από τον Ιταλό μαθηματικό Scipione del Ferro, ο οποίος δεν δημοσίευσε ωστόσο τα αποτελέσματά του. Η μέθοδος αυτή που δεν ήταν γνωστή τότε, έλυσε μόνο μία από τις τρεις κατηγορίες, όπως οι άλλες που εμπλέκονται λαμβάνοντας τετραγωνικές ρίζες των αρνητικών αριθμών και των μιγαδικών αριθμών. Αυτή η λύση στη συνέχεια ανακαλύφθηκε ανεξάρτητα πάλι το 1535 από τον Νικολό Φοντάνα Ταρτάλια, ο οποίος τη μοιράστηκε με τον Τζερόλαμο Καρντάνο, ζητώντας του να μην το δημοσιεύσει. Ο Καρντάνο επέκτεινε στη συνέχεια αυτή με τις άλλες δύο περιπτώσεις, χρησιμοποιώντας τετραγωνικές ρίζες των αρνητικών ως ενδιάμεσα βήματα. Δείτε λεπτομέρειες στηνμέθοδο του Καρντάνο. Μετά την ανακάλυψη της εργασίας του, ο Ferro ένιωθε ότι η μέθοδος Ταρτάλια ήταν πλέον μυστική και ως εκ τούτου ο ίδιος δημοσίευσε την ολοκληρωμένη λύση του το 1545 στο Magna Ars. Ο μαθητής του Λοντοβίκο Φερράρι έλυσε το τεταρτοβάθμιο πολυώνυμο, η λύση του επίσης περιλήφθηκε στο Ars Magna του Cardano. 
Ένα ακόμη βήμα ήταν το τεύχος Réflexions sur la résolution algébrique des équations το 1770 από το γαλλοϊταλό μαθηματικό Joseph Louis Lagrange, στη μέθοδο του επίλυση Lagrange, όπου ανέλυσε τη λύση των Cardano και Ferrarri των κυβικών και υψωμένων εις την τετάρτη δύναμη, εξετάζοντας τους όρους μεταθέσεων των ριζών, η οποία απέδωσε ένα βοηθητικό πολυώνυμο μικρότερου βαθμού παρέχοντας μια ενιαία κατανόηση των λύσεων και έθεσε τις βάσεις για την ομαδική θεωρία και τη θεωρία Galois. Κυρίως όμως, δεν είχε εξετάσει τη σύνθεση των μεταθέσεων. Η μέθοδος Lagrange δεν επεκτείνεται σε 4ου βαθμού εξισώσεις ή υψηλοτέρου.
Η 5ου βαθμού εξίσωση είχε σχεδόν αποδειχθεί ότι δεν έχει γενικές λύσεις από τον Paolo Ruffini το 1799, του οποίου η βασική αντίληψη ήταν να χρησιμοποιήσει ομαδικές μεταθέσεις, όχι μόνο μία μετάθεση. Η λύση του περιείχε ένα κενό, το οποίο ο Cauchy θεώρησε ήσσονος σημασίας, αν και αυτό δεν είχε επιδιορθωθεί μέχρι την εργασία του νορβηγικού μαθηματικού Niels Henrik Abel, ο οποίος δημοσίευσε μια απόδειξη το 1824, με αποτέλεσμα την δημοσίευση του θεωρήματος των Αbel και Ruffini.
Ενώ ο Ruffini και ο Abel απέδειξαν ότι η γενική 5ου βαθμού εξίσωση δεν θα μπορούσε να λυθεί, κάποια ιδιαίτερη 5ου βαθμού εξίσωση μπορεί να λυθεί, όπως η (x  - 1)⁵ = 0, και το ακριβές κριτήριο με το οποία ένα δοσμένο 5ου βαθμού ή υψηλότερου πολυώνυμο θα μπορούσε να καθοριστεί αν είναι επιλύσιμο ή όχι. Η απάντηση δόθηκε από τον Εβαρίστ Γκαλουά, ο οποίος έδειξε ότι αν ένα πολυώνυμο ήταν επιλύσιμο ή όχι, είναι ισοδύναμο με την ομάδα μεταθέσεων των ριζών του. Με σύγχρονους όρους η ομάδα Γκαλουά, είχε μια συγκεκριμένη δομή. Με σύγχρονους όρους, αποτελούσε ή όχι μια επιλύσιμη ομάδα. Αυτή η ομάδα ήταν πάντα επιλύσιμη για πολυώνυμα με βαθμό μικρότερο ή ίσο του τετάρτου, αλλά δεν είναι πάντα τόσο επιλύσιμη για πολυώνυμα πέμπτου βαθμού ή μεγαλυτέρου, πράγμα που εξηγεί γιατί δεν υπάρχει γενική λύση σε υψηλότερο βαθμό.

Ομαδική προσέγγιση στη θεωρία Γκαλουά

Παίρνοντας ένα πολυώνυμο, μπορεί κάποιες από τις ρίζες να συνδέονται με αλγεβρικές εξισώσεις. Για παράδειγμα μπορεί οι ρίζες Α και Β να μην έχουν κάποια τιμή αλλά να συνδέονται με τη σχέση: A² + 5B³ = 7. Η κεντρική ιδέα της θεωρίας Γκαλουά είναι να εξετάσει τις μεταθέσεις (ή αναδιατάξεις) από τις ρίζες έχουν την ιδιότητα ότι κάθε αλγεβρική εξίσωση που ικανοποιείται από τις ρίζες, ικανοποιείται ακόμη και μετά όταν οι ρίζες έχουν μετατεθεί. Μια σημαντική προϋπόθεση είναι ότι θα περιοριστούμε σε αλγεβρικές εξισώσεις των οποίων οι συντελεστές είναι απλοί αριθμοί (όχι παράμετροι) και θα περιοριστούμε στο πεδίο των ρητών αριθμών. Αυτές οι παραλλαγές μαζί σχηματίζουν μια ομάδα μεταθέσεων, που ονομάζεται επίσης και ομάδα Γκαλουά του πολυωνύμου (στους ρητούς αριθμούς). Για να φανεί αυτό το σημείο, θα εξεταστούν τα ακόλουθα παραδείγματα: