Θεωρία (μαθηματική λογική)

Θεωρίες εκφρασμένες σε τυπική γλώσσα γενικά

Όταν ορίζουμε θεωρίες για θεμελιακούς σκοπούς, πρέπει να το κάνουμε με περισσή φροντίδα και η κανονική συνολοθεωρητική γλώσσα μπορεί να μην είναι κατάλληλη.
Η κατασκευή μιας θεωρίας αρχίζει με το να προδιαγράψουμε μία καθορισμένη μη-κενή εννοιολογική κλάση , τα στοιχεία της οποίας καλούνται δηλώσεις. Αυτές οι αρχικές δηλώσεις συχνά καλούνται πρωτόγονα στοιχεία ή στοιχειώδεις δηλώσεις της θεωρίας, για να τις ξεχωρίζουμε από τις άλλες δηλώσεις οι οποίες μπορεί να παραχθούν από αυτές.
Μια θεωρία  είναι μία εννοιολογική κλάση που αποτελείται από ορισμένες από αυτές τις στοιχειώσεις δηλώσεις. Οι στοιχειώδεις δηλώσεις που ανήκουν στη  καλούνται στοιχειώδη θεωρήματα της  και λέμε ότι είναι αληθή. Με αυτόν τον τρόπο, μια θεωρία είναι ένας τρόπος να καθορίσουμε το υποσύνολο του  το οποίο αποτελείται εντελώς από αληθείς δηλώσεις.
Αυτός ο γενικός τρόπος καθορισμού μιας θεωρίας συνομολογεί πως η αλήθεια οποιασδήποτε από τις στοιχειώδεις δηλώσεις της δεν είναι γνωστή χωρίς αναφορά στην . Έτσι, η ίδια στοιχειώδης δήλωση μπορεί να είναι αληθής σε σχέση με μια θεωρία και να μην είναι σε σχέση με μία άλλη. Αυτό είναι όπως και στην συνήθη γλώσσα, όπου δηλώσεις όπως «Αυτός είναι ένας τρομερός άνθρωπος.» δεν μπορούν να κριθούν αν είναι αληθείς ή ψευδείς χωρίς αναφορά σε κάποια ερμηνεία του ποιος είναι «Αυτός» και τι σημαίνει να είσαι «τρομερός άνθρωπος» ως προς αυτή τη θεωρία.

Υποθεωρίες και επεκτάσεις

Μπορούμε να ορίσουμε μια θεωρία ' ώστε να είναι μια υποθεωρία μίας άλλης  ή ώστε να είναι μια επέκταση ή υπερθεωρία μιας άλλης χρησιμοποιώντας το συμβολισμό της θεωρίας συνόλων. Για παράδειγμα, για την περίπτωση της υποθεωρίας έχουμε '   αν κάθε στοιχειώδης δήλωση της ' είναι επίσης και της .

Συνεπαγωγικές θεωρίες

Μια θεωρία λέγεται πως είναι μια συνεπαγωγική θεωρία αν η  είναι επαγωγική κλάση. Αυτό σημαίνει ότι το περιεχόμενό της βασίζεται σε κάποιο τυπικό επαγωγικό σύστημα και ότι μερικές από τις στοιχειώδεις της δηλώσεις παίρνονται ως αξιώματα. Σε μια συνεπαγωγική θεωρία, οποιαδήποτε πρόταση είναι λογική συνέπεια ενός ή περισσοτέρων από τα αξιώματα είναι επίσης και πρόταση εκείνης της θεωρίας.

Παραδείγματα

Ένας τρόπος να προδιαγράψουμε μια θεωρία είναι να ορίσουμε ένα σύνολο από αξιώματα σε μια συγκεκριμένη γλώσσα. Η θεωρία μπορεί να θεωρηθεί πως περιέχει μόνο εκείνα τα αξιώματα ή και τις λογικές ή αποδείξιμές τους συνέπειες, όπως εμείς επιθυμούμε. Θεωρίες που αποκτήθηκαν με αυτόν τον τρόπο αποτελούν η ZFC και η αριθμητική του Πεάνο.
Ένας δεύτερος τρόπος να προδιαγράψουμε μια θεωρία είναι να αρχίσουμε με μία δομή και μετά να θέσουμε τη θεωρία ως το σύνολο των τύπων που ικανοποιούνται από τη δομή. Αυτή είναι μια μέθοδος για την παραγωγή πλήρων θεωριών. Παραδείγματα των θεωριών αυτής της μορφής αποτελούν τα σύνολα των αληθών προτάσεων στις δομές (, +, ×, 0, 1, =) και (, +, ×, 0, 1, =), όπου  είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών και  είναι το σύνολο των των πραγματικών αριθμών. Η πρώτη από αυτές, που καλείται η θεωρία της αληθινής αριθμητικής, δεν μπορεί να γραφτεί ως ένα σύνολο από λογικές συνέπειες από κάποιο απαριθμήσιμο σύνολο από αξιώματα. Η θεωρία του (, +, ×, 0, 1, =) δείχθηκε από τον Τάρσκι πως είναι αποφασίσιμη — είναι η θεωρία των πραγματικών κλειστών πεδίων.