Τανυστής

Oι τανυστές (tensors) είναι γεωμετρικά αντικείμενα που μπορούν να θεωρηθούν ως γενικευμένα διανύσματα. Περιγράφουν γραμμικές σχέσεις ανάμεσα σε διανύσματα, βαθμωτά μεγέθη και άλλους τανυστές. Βασικά παραδείγματα τέτοιων σχέσεων περιλαμβάνουν το εσωτερικό γινόμενο, το εξωτερικό γινόμενο και γραμμικούς μετασχηματισμούς. Τα διανύσματα και τα βαθμωτά μεγέθη είναι επίσης τανυστές. 
Οι τανυστές χρησιμοποιούνται για να αναπαραστήσουν αντιστοιχίες ανάμεσα σε σύνολα γεωμετρικών διανυσμάτων.  Για παράδειγμα, ο τανυστής τάσεων Cauchy T παίρνει τη διέυθυνση v σαν εισερχόμενα δεδομένα (input) και παράγει τις τάσεις T στην επιφάνεια κάθετα σε αυτό το διάνυσμα σαν εξερχόμενα δεδομένα (output), εκφράζοντας έτσι τη σχέση μεταξύ αυτών των δύο διανυσμάτων, όπως φαίνεται και στο σχήμα (δεξιά). 
Ένας τανυστής μπορεί να απεικονιστεί σαν μία πολυδιάστατη διάταξη αριθμητικών τιμών. Η τάξη (ή βαθμός) ενός τανυστή είναι η διαστατικότητα της διάταξης που χρειάζεται για να τον απεικονίσει ή ισοδύναμα, ο αριθμός των δεικτών που χρειάζονται για να ονοματιστεί και να διαχωριστεί ένα στοιχείο αυτής της διάταξης. Για παράδειγμα, ένας γραμμικός μετασχηματισμός μπορεί να απεικονιστεί από ένα μητρώο (πίνακα), μία δισδιάστατη διάταξη και επομένως είναι τανυστής 2ης τάξης. Ένα διάνυσμα μπορεί να απεικονιστεί σαν μία μονοδιάστατη διάταξη (μητρώο μίας στήλης) και είναι τανυστής 1ης τάξης. Τα βαθμωτά μεγέθη είναι απλοί αριθμοί και συνεπώς τανυστές μηδενικής τάξης.
Επειδή εκφράζουν σχέση μεταξύ διανυσμάτων, οι ίδιοι οι τανυστές πρέπει να είναι ανεξάρτητοι της επιλογής ενός συγκεκριμένου συστήματος συντεταγμένων. Παίρνοντας ένα συστήμα συντεταγμένων αναφοράς και εφαρμόζοντας σε αυτό τον τανυστή, προκύπτει μία οργανωμένη πολυδιάστατη διάταξη που απεικονίζει τον τανυστή σε αυτό το σύστημα αναφοράς. Η ανεξαρτησία συστήματος συντεταγμένων ενός τανυστή παίρνει τότε τη μορφή ενός νόμου συναλλοίωτου μετασχηματισμού, που συσχετίζει τη διάταξη που υπολογίζεται στο ένα σύστημα με αυτήν που υπολογίζεται σε κάποιο άλλο. Αυτός ο μετασχηματισμός θωρείται ότι δημιουργείται μέσα στην ιδέα του τανυστή σε ένα γεωμετρικό ή φυσικό χώρο και η ακριβής μορφή του μετασχηματισμού προσδιορίζει τον τύπο (ή σθένος) του τανυστή.
Oι τανυστές είναι σημαντικοί στη φυσική επειδή παρέχουν ένα συνοπτικό μαθηματικό πλαίσιο για το σχηματισμό και την επίλυση φυσικών προβλημάτων, σε περιοχές όπως ελαστικότητα, ρευστομηχανική και γενική σχετικότητα. Oι τανυστές εισήχθηκαν για πρώτη φορά από τον Tullio Levi-Civita και τον Gregorio Ricci-Curbastro, οι οποίοι συνέχισαν το προγενέστερο έργο του Bernhard Riemann και του Elwin Bruno Christoffel και υπολοίπων, σαν μέρος του απόλυτου διαφορικού λογισμού. Η σύλληψή τους επέτρεψε μια εναλλακτική διαμόρφωση της διαφορικής γεωμετρίας με φυσικές συντεταγμένες σαν πολλαπλότητα στη μορφή του τανυστή καμπυλότητας Riemann.

Ιστορία

Οι ιδέες για την μεταγενέστερη τανυστική ανάλυση ξεκίνησε από τη δουλειά του Carl Friedrich Gauss στη διαφορική γεωμετρία και ο σχηματισμός τους επηρεάστηκε κατά πολύ από την θεωρία αλγεβρικών μορφών και αναλλοίωτων που αναπτύχθηκε στο μέσο του 19ου αιώνα. 
Η λέξη "τανυστής" εισήχθηκε το 1846 από τον William Rowan Hamilton για να περιγράψει κάτι διαφορετικό από αυτό που σημαίνει τώρα. Η σύγρονη χρήση ήρθε από τον Woldemar Voigt το 1898.
Ο τανυστικός λογισμός αναπτύχθηκε γύρω στο 1890 από τον Gregorio Ricci-Curbastro με την ονομασία απόλυτος διαφορικός λογισμός, και αρχικά παρουσιάστηκε από τον Ricci το 1892. Έγινε προσιτός σε πολλούς μαθηματικούς με την δημοσίευση του Ricci και του Tullio Levi-Civita στο κλασικό κείμενο Μέθοδοι απόλυτου διαφορικού λογισμού και οι εφαρμογές τους.
Στον 20ο αιώνα, το αντικείμενο έγινε γνωστό σαν τανυστική ανάλυση και επιτεύχθηκε ευρύτερη αποδοχή με την εισαγωγή της γενική σχετικότητας του Albert Einstein, γύρω στο 1915. Η γενική σχετικότητα σχηματίστηκε ολοκληρωτικά στη γλώσσα των τανυστών. Ο Einstein είχε μάθει γι αυτούς, με μεγάλη δυσκολία, από τον μαθηματικό γεωμετρίας Marcel Grossmann. 
Ο Levi-Civita ξεκίνησε τότε μια συνεργασία με τον Einstein, για να διορθώσει τα λάθη που ο Einstein είχε κάνει στη χρήση της τανυστικής του ανάλυσης. Η συνεργασία διήρκησε κατά τα χρόνια 1915–17 και χαρακτηριζόταν από αμοιβαίο σεβασμό:
"Θαυμάζω την κομψότητα της μεθόδου υπολογισμού σου. Πρέπει να είναι ωραίο να διασχίζεις αυτά τα πεδία πάνω στο άλογο των πραγματικών μαθηματικών, ενώ εμείς πρέπει να βγάλουμε το δρόμο κουραστικά με τα πόδια." Albert Einstein The Italian Mathematicians of Relativity 
Οι τανυστές επίσης φάνηκαν χρήσιμοι σε άλλα πεδία, όπως μηχανική συνεχούς μέσου (Continuum mechanics). Μερικά πολύ γνωστά παραδείγματα τανυστών στη διαφορική γεωμετρία είναι σε τετραγωνική μορφή, όπως οι μετρικοί τανυστές και ο τανυστής καμπυλότητας Riemann. Η εξωτερική άλγεβρα του Hermann Grassmann, από τα μέσα του 19ου αιώνα, είναι η ίδια μια τανυστική θεωρία και εξαιρετικά γεωμετρική, αλλά πέρασε κάποιος χρόνος μέχρι να θεωρηθεί μαζί με τη θεωρία των διαφορικών μορφών, σαν φυσικά ενοποιημένη με τον τανυστικό λογισμό. Το έργο του Élie Cartan έκανε τις διαφορικές μορφές από τα βασικά είδη τανυστών που χρησιμοποιούνται στα μαθηματικά. 
Περίπου από το 1920 και μετά, συνειδητοποιήθηκε ότι οι τανυστές παίζουν βασικό ρόλο στην αλγεβρική τοπολογία (για παράδειγμα στο θεώρημα Künneth). Αντίστοιχα υπάρχουν τύποι τανυστών στο έργο πολλών κλάδων της αφηρημένης άλγεβρας, συγκεκριμένα στην ομολογική άλγεβρα και θεωρία απεικόνισης. Η πολυγραμμική άλγεβρα μπορεί να αναπτυχθεί σε μεγαλύτερη γενικότητα από τα βαθμωτά μεγέθη που προέρχονται από ένα πεδίο, αλλά η θεωρία είναι τότε σίγουρα λιγότερο γεωμετρική και οι υπολογισμοί περισσότερο τεχνικοί και λιγότερο αλγοριθμικοί. Οι τανυστές γενικεύονται μέσα στο θεώρημα κατηγορίας μέσω της έννοιας της μονοειδούς κατηγορίας, από τη δεκαετία του 1960.

Ορισμός

Υπάρχουν αρκετές προσεγγίσεις για να οριστούν οι τανυστές. Αν και φαινομενικά διαφορετικές, οι προσεγγίσεις απλώς περιγράφουν την ίδια γεωμετρική ιδεά χρησιμοποιώντας διαφορετικές γλώσσες και σε διαφορετικά επίπεδα σκέψης.