Έμι Νέτερ

Βιογραφία

Γεννήθηκε σε εβραϊκή οικογένεια στη βαυαρική πόλη του Έρλαγκεν. Ο πατέρας της ήταν ο μαθηματικός Μαξ Νέτερ. Η Έμι αρχικά σχεδίαζε να διδάξει γαλλικά και αγγλικά αφού περάσει τις απαιτούμενες εξετάσεις, αλλά, αντίθετα, σπούδασε μαθηματικά στο Πανεπιστήμιο του Έρλαγκεν, όπου ο πατέρας της δίδασκε. Μετά την ολοκλήρωση της διατριβής της το 1907 υπό την επίβλεψη του Paul Gordan, εργάστηκε στο Ινστιτούτο Μαθηματικών του Έρλαγκεν άνευ αποδοχών για επτά χρόνια (εκείνο τον καιρό ήταν πολύ ασυνήθιστο οι γυναίκες να κατέχουν ακαδημαϊκές θέσεις). Το 1915, προσκλήθηκε από τον Ντάβιντ Χίλμπερτ και τον Felix Klein για να ενταχθεί στο τμήμα μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο του Γκέτινγκεν, ενός παγκοσμίου φήμης κέντρου της μαθηματικής έρευνας. Όμως η φιλοσοφική σχολή έφερε αντιρρήσεις κι έτσι αυτή πέρασε τέσσερα χρόνια διδάσκοντας  υπό  το όνομα του Χίλμπερτ. Η εξουσιοδότηση της εγκρίθηκε το 1919, επιτρέποντάς της να αποκτήσει το βαθμό του Privatdozent.
Η Νέτερ παρέμεινε ένα ηγετικό στέλεχος του Τμήματος Μαθηματικών του Γκέτινγκεν μέχρι το 1933. Οι μαθητές της ήταν γνωστοί και ως "αγόρια της Νέτερ". Το 1924, ο Ολλανδός μαθηματικός BL van der Waerden εντάχθηκε στον κύκλο της και σύντομα έγινε ο κορυφαίος εκφραστής των ιδεών της Νέτερ. Το έργο της ήταν η βάση για το δεύτερο τόμο του επιδραστικού βιβλίου του το 1931, Moderne Algebra. Όταν ανέλαβε τη διεύθυνση της ολομέλειας το 1932 στο Διεθνές Συνέδριο των Μαθηματικών στη Ζυρίχη, το αλγεβρικό της δαιμόνιο είχε αναγνωριστεί σε όλο τον κόσμο. Το επόμενο έτος, η κυβέρνηση της ναζιστικής Γερμανίας καθαίρεσε τους Εβραίους από  πανεπιστημιακές θέσεις και η Νέτερ μετακόμισε στις Ηνωμένες Πολιτείες για να αναλάβει θέση στο Bryn Mawr College στην Πενσυλβάνια. Το 1935, υποβλήθηκε σε χειρουργική επέμβαση για μια ωοθηκική κύστη και, παρά τα σημάδια ανάκαμψης, πέθανε τέσσερις ημέρες αργότερα σε ηλικία 53 ετών.

Το μαθηματικό έργο της  Νέτερ έχει χωριστεί σε τρεις «εποχές». Στην πρώτη (1908-1919), συνεισέφερε σε μεγάλο βαθμό  στις θεωρίες των αλγεβρικών αναλλοίωτων και των αριθμητικών σωμάτων. Το έργο της πάνω στους διαφορικούς αναλλοίωτους του λογισμού των συναρτήσεων, το θεώρημα Νέτερ, έχει χαρακτηριστεί ως «ένα από τα πιο σημαντικά μαθηματικά θεωρήματα που αποδείχθηκε ποτέ στην καθοδήγηση της ανάπτυξης της σύγχρονης φυσικής».  Στη δεύτερη εποχή (1920-1926), ξεκίνησε ένα έργο το οποίο «άλλαξε το πρόσωπο της[αφηρημένης] άλγεβρας». Στην κλασική της δημοσίευση Idealtheorie in Ringbereichen (θεωρία των ιδεωδών σε χώρους δακτυλίων, 1921) η Νέτερ ανέπτυξε τη θεωρία των ιδεωδών στους αντιμεταθετικούς δακτυλίους σε ένα ισχυρό εργαλείο με μεγάλο εύρος εφαρμογών. Έκανε κομψή χρήση της συνθήκης ανερχόμενης αλυσίδας, και τα αντικείμενα που την ικανοποιούν ονομάζονται «Noetherian» προς τιμήν της. Στην τρίτη εποχή (1927-1935), δημοσίευσε σημαντικά έργα στην μη μεταθετική άλγεβρα και τους υπερσύμπλοκους αριθμούς και ένωσε τη θεωρία της αναπαράστασης ομάδων με τη θεωρία των συνόλων και των ιδανικών. Εκτός από τις δικές της εκδόσεις, η Νέτερ ήταν γενναιόδωρη με τις ιδέες της και πιστώνεται με πολλές γραμμές της έρευνα που δημοσιεύθηκε από άλλα μαθηματικοί, ακόμη και σε τομείς πολύ διαφορετικούς από το κύριο έργο της, όπως η αλγεβρική τοπολογία.

Βιογραφία

Ο πατέρας της Έμι, ο Μαξ Νέτερ, καταγόταν από οικογένεια εμπόρων στη Γερμανία. Είχε υποστεί παράλυση από την πολιομυελίτιδα όταν ήταν δεκατεσσάρων ετών.  Ανέκτησε και πάλι την κινητικότητα του, αλλά το ένα του πόδι δεν επανήλθε πλήρως. Σε μεγάλο βαθμό αυτοδίδακτος, του είχε απονεμηθεί διδακτορικό δίπλωμα από το Πανεπιστήμιο της Χαϊδελβέργης το 1868. Μετά από τη διδασκαλία εκεί για επτά χρόνια, πήρε μια θέση στην βαυαρική πόλη του Έρλαγκεν, όπου γνώρισε και παντρεύτηκε την Ίντα Αμαλία Κάουφμαν, κόρη ενός εύπορου εμπόρου.  Η συνεισφορά του Μαξ Νέτερ στα μαθηματικά ήταν κυρίως στην αλγεβρική γεωμετρία, ακολουθώντας τα βήματα του Alfred Clebsch. Η πιο γνωστή του δουλειά είναι το θεώρημα Brill-Νoether και το υπόλοιπο, ή το θεώρημα AF + BG, ενώ υπάρχουν διάφορα άλλα θεωρήματα που συνδέονται με αυτό, όπως το θεώρημα του Μαξ Νέτερ.
Η Έμι Νέτερ γεννήθηκε στις 23 Μαρτίου 1882 όντας το πρώτο από τα τέσσερα παιδιά. Το πρώτο της όνομα ήταν "Αμαλία", από το όνομα της μητέρας της και της γιαγιάς της (εκ του πατρός), αλλά σε νεαρή ηλικία άρχισε να χρησιμοποιεί το μεσαίο όνομά της. Ως κορίτσι, ήταν ιδιαίτερα συμπαθής. Δεν ξεχώριζε για τις ακαδημαϊκές της γνώσεις, αλλά για την εξυπνάδα  και τη φιλικότητα της. Η Έμι είχε προβλήματα όρασης και τραυλισμού κατά την παιδική ηλικία. Ένας οικογενειακός φίλος διηγήθηκε χρόνια αργότερα μια ιστορία από τα χρόνια που η Έμι ήταν νέα, όπου επέλυσε γρήγορα μια σπαζοκεφαλιά σε παιδικό πάρτι, δείχνοντας το λογικό της δαιμόνιο σε τόσο μικρή ηλικία. Η Έμι ήταν μαθημένη να μαγειρεύει και να καθαρίζει, όπως και τα περισσότερα κορίτσια της εποχής, και επίσης παρακολουθούσε μαθήματα πιάνου. Δεν ακολούθησε καμία από αυτές τις δραστηριότητες με πάθος, αν και λάτρευε να χορεύει.
Είχε τρία μικρότερα αδέρφια. Ο μεγαλύτερος, ο Άλφρεντ, γεννήθηκε το 1883, το 1909 του απονεμήθηκε από το Έρλαγκεν διδακτορικό στη χημεία, αλλά πέθανε εννέα χρόνια αργότερα. Ο Φριτζ Νέτερ, που γεννήθηκε το 1884, έχει μείνει στην ιστορία για τα ακαδημαϊκά επιτεύγματά του: μετά από σπουδές στο Μόναχο απέκτησε φήμη στα εφαρμοσμένα μαθηματικά. Ο νεότερος, Γκούσταβ Ρόμπερτ, γεννήθηκε το 1889. Πολύ λίγα πράγματα είναι γνωστά για τη ζωή του, όπως το ότι έπασχε από χρόνια ασθένεια και πέθανε το 1928.

Πανεπιστήμιο του Έρλαγκεν

Η Νέτερ απέκτησε από νωρίς επάρκεια στα Γαλλικά και Αγγλικά.Την άνοιξη του 1900 συμμετείχε στις εξετάσεις για καθηγητές αυτών των γλωσσών και έλαβε πολύ καλή συνολική βαθμολογία. Η απόδοσή της της έδινε την δυνατότητα  να διδάξει τις γλώσσες αυτές σε σχολεία που προορίζονταν για κορίτσια, ωστόσο επέλεξε να συνεχίσει τις σπουδές της στο Πανεπιστήμιο του Έρλαγκεν.
Αυτή ήταν μία αντισυμβατική απόφαση, διότι δύο χρόνια νωρίτερα η Ακαδημαϊκή Σύγκλητος του πανεπιστημίου είχε δηλώσει, ότι το να επιτραπεί η εκπαίδευση και στα δύο φύλα θα "ανέτρεπε όλη την ακαδημαϊκή τάξη". Η Νέτερ ως μία από τις δύο μόλις γυναίκες οι οποίες φοιτούσαν σε ένα πανεπιστήμιο των 986 ατόμων, επιτρεπόταν να παρακολουθεί μόνο τα μαθήματα και όχι να συμμετέχει όπως και οι υπόλοιποι φοιτητές και επιπλέον έπρεπε να ζητήσει την άδεια του κάθε καθηγητή χωριστά στου οποίου τις διαλέξεις επιθυμούσε να παρευρίσκεται. Παρόλα τα εμπόδια, στις 14 Ιουνίου του 1903 κατάφερε να περάσει τις εξετάσεις αποφοίτησης του Realgymnasium στη Νυρεμβέργη.
Κατά τη διάρκεια του χειμερινού εξαμήνου το 1903-1904, σπούδασε στο Πανεπιστήμιο του Γκέντινγκεν, παρακολουθώντας διαλέξεις του αστρονόμου Καρλ Σβάρτσιλντ και των μαθηματικών Hermann Minkowski, Otto Blumenthal, Felix Klein, και David Hilbert. Λίγο αργότερα οι περιορισμοί σχετικά με την συμμετοχή των γυναικών στο πανεπιστήμιο αυτό ακυρώθηκαν.
Η Νέτερ επέστρεψε στο Erlangen.Εκεί επίσημα ξαναμπήκε στο πανεπιστήμιο στις 24 Οκτωβρίου του 1904 και ανακοίνωσε την απόφασή της να επικεντρωθεί αποκλειστικά με τα μαθηματικά. Υπό την επίβλεψη του Paul Gordan έγραψε την διατριβή της Über die Bildung des Formensystems der ternären biquadratischen Form (Σε πλήρη συστήματα αμετάβλητων για τριαδικές τεταρτοβάθμιες μορφές, 1907). Αν και είχε καλή αποδοχή, η Νέτερ αργότερα περιέργαψε την διατριβή της ως "αποτυχία".
Για τα επόμενα επτά χρόνια (1908-1915) δίδαξε στο Πανεπιστήμιο του Μαθηματικού Ινστιτούτου του Έρλαγκεν χωρίς αμοιβή, μερικές φορές αντικαθιστώντας τον πατέρα της όταν ήταν πολύ άρρωστος για να διδάξει. Το 1910 και το 1911 δημοσίευσε μια επέκταση της διπλωματικής εργασίας της από τρεις μεταβλητές σε n μεταβλητές.
ο Gordan αποσύρθηκε την άνοιξη του 1910, αλλά συνέχισε να διδάσκει κατά καιρούς με τον διάδοχό του Erhard Schmidt, ο οποίος αποχώρησε λίγο αργότερα για μια θέση στο Βρότσλαβ. Ο Gordan αποσύρθηκε από τη διδασκαλία πλήρως το 1911 με την άφιξη του διαδόχου του Schmidt Ernst Fischer, και πέθανε το Δεκέμβριο του 1912.
Σύμφωνα με τον Hermann Weyl, ο Fischer είχε σημαντική επιρροή στην Νέτερ, ιδίως με την εισαγωγή της στο έργο του David Hilbert. Το 1913-1916 η Νέτερ δημοσιεύει πολλά άρθρα επεκτείνοντας και την εφαρμόζοντας τις μεθόδους του Hilbert για τα μαθηματικά αντικείμενα, όπως πεδία των πραγματικών συναρτήσεων και αμετάβλητες των πεπερασμένων συνόλων. Αυτή η φάση σηματοδοτεί την έναρξη της εμπλοκής της με την αφηρημένη άλγεβρα, το πεδίο των μαθηματικών στο οποίο θα συνεισέφερε πρωτοποριακά.

Πανεπιστήμιο του Göttingen

Την άνοιξη του 1915, η Νέτερ κλήθηκε να επιστρέψει στο Πανεπιστήμιο του Γκέτινγκεν από τον David Hilbert και Felix Klein. Η προσπάθειά τους να την προσλάβουν, όμως, είχε αποκλειστεί από τους φιλολόγους και ιστορικούς της φιλοσοφικής σχολής: οι γυναίκες, επέμεναν, δεν θα έπρεπε να γίνουν «privatdozent» (λέκτορας?). Ένα μέλος της σχολής διαμαρτυρήθηκε: «Τι θα σκεφτούν οι στρατιώτες μας όταν επιστρέψουν στο πανεπιστήμιο και να δουν ότι είναι υποχρεωμένοι να μάθουν υπό την διδασκαλία μιας γυναίκας;». Ο Hilbert απάντησε με αγανάκτηση, δηλώνοντας, «δεν βλέπω ότι το φύλο του υποψηφίου αποτελεί επιχείρημα κατά της εισδοχής της ως «privatdozent». Εξάλλου, είμαστε ένα πανεπιστήμιο, όχι ένα μπάνιο».
Η Νέτερ έφυγε για το Γκέτινγκεν τέλη Απριλίου. Δύο εβδομάδες αργότερα η μητέρα της πέθανε ξαφνικά στο Erlangen. Είχε προηγουμένως λάβει ιατρική φροντίδα για μια πάθηση των ματιών, αλλά το είδος της θεραπείας και η επίδραση στο θάνατό της τελικά είναι άγνωστη. Περίπου την ίδια περίοδο ο πατέρας της Νέτερ αποσύρθηκε και ο αδελφός της εντάχθηκε στο γερμανικό στρατό για να υπηρετήσει στον Πρώτο Παγκόσμιο Πόλεμο. Επέστρεψε στο Erlangen για αρκετές εβδομάδες, κυρίως για να φροντίσει τον ηλικιωμένο πατέρα της.
Κατά τα πρώτα χρόνια της διδασκαλίας της στο Γκέτινγκεν δεν είχε επίσημη θέση και δεν πληρωνόταν. Η οικογένειά της πλήρωνε για τη διαμονή της εκεί και υποστήριζε το ακαδημαϊκό έργο της. Οι διαλέξεις της συχνά διαφημιζόνταν υπό το όνομα του Hilbert, και η Νέτερ θα παρείχε "βοήθεια".
Λίγο μετά την άφιξή της στο Γκέτινγκεν, ωστόσο, επέδειξε τις δυνατότητές της αποδεικνύοντας ένα θεώρημα που είναι τώρα γνωστό ως θεώρημα Νέτερ, το οποίο δείχνει ότι ένας νόμος διατήρησης συνδέεται με οποιαδήποτε διαφορίσιμη συμμετρία ενός φυσικού συστήματος. Οι Αμερικανοί φυσικοί Leon M. Lederman και Christopher T. Hill υποστηρίζουν στο βιβλίο τους «Συμμετρία και το όμορφο Σύμπαν» ότι το θεώρημα της Νέτερ είναι «σίγουρα ένα από τα πιο σημαντικά μαθηματικά θεωρήματα που αποδείχθηκαν ποτέ στην καθοδήγηση της ανάπτυξης της σύγχρονης φυσικής, ενδεχομένως στο ίδιο επίπεδο με το Πυθαγόρειο θεώρημα».
Όταν o Πρώτος Παγκόσμιος Πόλεμος τελείωσε, η Γερμανική Επανάσταση του 1918-1919 έφερε μια σημαντική αλλαγή στην κοινωνική συμπεριφορά, καθώς και στα δικαιώματα των γυναικών. Το 1919 το Πανεπιστήμιο του Γκέτινγκεν επέτρεψε στην Νέτερ να προχωρήσει με την υφηγεσία της (υποψήφια για μονιμότητα). Η προφορική εξέταση της πραγματοποιήθηκε τέλη Μαΐου, και παρέδωσε με επιτυχία τη διάλεξη για την υφηγεσία της τον Ιούνιο.
Τρία χρόνια αργότερα, έλαβε μια επιστολή από τον Πρώσο Υπουργό Επιστήμης, Τέχνης και Δημόσιας Εκπαίδευσης, στην οποία της απονέμει τον τίτλο της «nicht beamteter ausserordentlicher professor» (μια μη-μόνιμη καθηγήτρια με περιορισμένα εσωτερικά διοικητικά δικαιώματα και καθήκοντα). Αυτό ήταν μια άνευ αποδοχών "έκτακτη" θέση καθηγήτριας και όχι η υψηλότερη θέση «συνηθισμένου» καθηγητή, η οποία ήταν μια θέση δημοσίου. Παρά το γεγονός ότι αναγνώρισε τη σημασία του έργου της, η θέση της εξακολουθούσε να μην της παρέχει μισθό. Η Νέτερ δεν πληρώθηκε για τις διαλέξεις της μέχρι που πήρε τη θέση της «Lehrbeauftragte für Algebra» ένα χρόνο αργότερα.

Δημιουργική εργασία στην αφηρημένη άλγεβρα

Αν και το θεώρημα της Νέτερ είχε μια βαθιά επίδραση στη φυσική, μεταξύ των μαθηματικών είναι καλύτερα ενθυμούμενη για τη δημιουργική συμβολή της στην αφηρημένη άλγεβρα. Όπως ο Nathan Jacobson λέει στην Εισαγωγή του στο «Noether's Collected Papers»,
Η ανάπτυξη της αφηρημένης άλγεβρας, η οποία είναι ένα από τις πιο χαρακτηριστικές καινοτομίες του εικοστού αιώνα στα μαθηματικά, οφείλεται σε μεγάλο βαθμό σε εκείνη- στις δημοσιευμένες εργασίες, διαλέξεις, και στην προσωπική επιρροή της στους συγχρόνους της.
Η πρωτοποριακή εργασία της Νέτερ στην άλγεβρα ξεκίνησε το 1920. Σε συνεργασία με τον W. Schmeidler, έκαναν μια δημοσίευση για τη θεωρία των ιδεωδών στην οποία ορίζουν τα αριστερά και δεξιά ιδεώδη σε ένα δακτύλιο. Το επόμενο έτος που έκανε μια δημοσίευση-ορόσημο που ονομάζεται «Idealtheorie στο Ringbereichen», αναλύοντας αύξουσες αλυσιδωτές καταστάσεις σε σχέση με τα ιδεώδη. Ο καταξιωμένος αλγεβριστής Irving Kaplansky αποκάλεσε αυτό το έργο "επαναστατικό". Η δημοσίευση αυτή έδωσε αφορμή για τον όρο Ναιτεριστικόςδακτύλιος (Noetherian ring), και πολλά άλλα μαθηματικά αντικείμενα που ονομάζονται Ναιτεριστικά. 
Το 1924 ένας νεαρός Ολλανδός μαθηματικός, o B.L. van der Waerden, πήγε στο Πανεπιστήμιο του Γκέτινγκεν. Αμέσως άρχισε να συνεργάζεται με την Νέτερ, η οποία παρείχε πολύτιμες μεθόδους ως προς την αφηρημένη σύλληψη. Ο Van der Waerden αργότερα είπε ότι η πρωτοτυπία της ήταν «απόλυτη πέρα από κάθε σύγκριση». Το 1931 δημοσίευσε το «Moderne Algebra», ένα κεντρικό κείμενο στον τομέα. Ο δεύτερος τόμος του δανείστηκε σε μεγάλο βαθμό μέρος της εργασίας της Νέτερ. Αν και η Έμι Νέτερ δεν επιδιώκει αναγνώριση, ο BL van der Waerden περιλαμβάνει ως σημείωση στην έβδομη έκδοση «βασισμένο εν μέρει σε διαλέξεις των Ε. Artin και E. Noether». Μερικές φορές είχε επιτρέψει τους συναδέλφους και τους μαθητές να λάβουν πίστωση για τις ιδέες της, βοηθώντας τους να αναπτύξουν τη σταδιοδρομία τους σε βάρος της δικιάς της.
Η επίσκεψη του Van der Waerden ήταν μέρος μιας συγκλήτου μαθηματικών από όλο τον κόσμο στο Γκέτινγκεν, η οποία έγινε ένα σημαντικό κέντρο της μαθηματικής και φυσικής έρευνας. Την περίοδο 1926-1930 ο Ρώσσος τοπολογιστής Pavel Alexandrov δίδασκε στο πανεπιστήμιο και γρήγορα έγινε καλός φίλος με την Νέτερ. Ξεκίνησε να αναφέρεται σε αυτήν ως “der Noether”, χρησιμοποιώντας το αρσενικό άρθρο στα Γερμανικά για να δείξει το σεβασμό του. Η Νέτερ προσπάθησε να μεριμνήσει για αυτόν να λάβει θέση στο Γκέτινγκεν ως τακτικός καθηγητής, αλλά κατάφερε μόνο να τον βοηθήσει να εξασφαλίσει μια υποτροφία από το Ίδρυμα Ροκφέλερ. Συναντιώνταν τακτικά και απολάμβαναν τις συζητήσεις σχετικά με τις διασταυρώσεις άλγεβρας και τοπολογίας. Το 1935 στο κείμενο του μνημόσυνου της ο Alexandrov ονόμασε την Έμι Νέτερ ως "η μεγαλύτερη γυναίκα μαθηματικός όλων των εποχών".

Μόσχα

Το χειμώνα του 1928-1929 η Νέτερ δέχτηκε μια πρόσκληση για το Κρατικό Πανεπιστήμιο της Μόσχας, όπου συνεργάστηκε με τον P.S. Alexandrov. Εκτός από την συνέχιση της έρευνάς της, δίδαξε μαθήματα αφηρημένης άλγεβρας και αλγεβρικής γεωμετρίας. Εργάστηκε με τους τοπολογιστές Lev Pontryagin και Nikolai Chebotaryov, οι οποίος αργότερα επικρότησαν τη συνεισφορά της στην ανάπτυξη της θεωρίας Γκαλουά.
Παρά το γεγονός ότι η πολιτική δεν ήταν κεντρικής σημασίας για τη ζωή της, η Νέτερ ανέπτυξε έντονο ενδιαφέρον για τα πολιτικά ζητήματα και σύμφωνα με τον Alexandrov, έδειξε σημαντική υποστήριξη στη Ρωσική Επανάσταση (1917). Ήταν ιδιαίτερα ευτυχής όταν είδε σοβιετική ανάπτυξη στους τομείς της επιστήμης και των μαθηματικών, το οποίο θεωρεί ενδεικτικό των νέων ευκαιριών που έγιναν δυνατές από το έργο των Μπολσεβίκων. Η στάση της αυτή προκάλεσε προβλήματα στη Γερμανία, με αποκορύφωμα την έξωση της από ένα ξενοδοχείο, αφού οι «ηγέτες» των φοιτητών παραπονέθηκαν ότι ζουν με «μια Μαρξιστικο-Εβραία».
Η Νέτερ προγραμμάτισε να επιστρέψει στη Μόσχα, μια προσπάθεια που υποστήριξε ο Alexandrov. Αφού έφυγε από τη Γερμανία το 1933, προσπάθησε να την βοηθήσει να αποκτήσουν μια θέση στο Κρατικό Πανεπιστήμιο της Μόσχας από το Σοβιετικό Υπουργείο Παιδείας. Αν και αυτή η προσπάθεια ήταν ανεπιτυχής, επικοινωνούσαν συχνά κατά τη διάρκεια της δεκαετίας του 1930, και το 1935 έκανε σχέδια για την επιστροφή της στη Σοβιετική Ένωση. [62] Εν τω μεταξύ, ο αδελφός της Φρίτζ Νέτερ δέχτηκε μια θέση στο Ινστιτούτο Έρευνας για τα Μαθηματικά και Μηχανική στο Τομσκ, στη Σιβηρία της Ρωσίας, αφού έχασε τη δουλειά του στη Γερμανία.

Αναγνώριση

Το 1932 η Έμι Νέτερ και ο Emil Artin έλαβαν το βραβείο Ackermann-Teubner για τη συμβολή τους στα μαθηματικά. Το βραβείο ήταν χρηματική ανταμοιβή των 500 μάρκων του Ράιχ και θεωρήθηκε ως μια αναμενόμενη επίσημη αναγνώριση του σημαντικού έργου της στον τομέα αυτό. Παρ 'όλα αυτά, οι συνάδελφοί της εξέφρασαν την απογοήτευσή τους για το γεγονός ότι δεν εξελέγη στο Göttingen Gesellschaft der Wissenschaften (ακαδημία των επιστημών) και ποτέ δεν προήχθη στη θέση του Ordentlicher Professor (καθηγητής). [31]
Οι συνάδελφοι της Νέτερ γιόρτασαν τα πεντηκοστά της γενέθλια της το 1932, σε παραδοσιακό στυλ μαθηματικών. Ο Helmut Hasse αφιέρωσε ένα άρθρο σε αυτήν στο Mathematische Annalen, όπου ο ίδιος επιβεβαίωσε την υποψία της ότι ορισμένες πτυχές της μη-αντιμεταθετικής άλγεβρας είναι απλούστερες από ό,τι εκείνες της αντιμεταθετικής άλγεβρας, αποδεικνύοντας έναν μη-αντιμεταθετικό νόμο της αμοιβαιότητας. Αυτό την ικανοποίησε πάρα πολύ. Επίσης, της έστειλε ένα μαθηματικό αίνιγμα, το «mμν-αίνιγμα των συλλαβών», το οποίο έλυσε αμέσως. Το αίνιγμα έχει χαθεί.
Τον Νοέμβριο του ίδιου έτους, η Νέτερ εκφώνησε μεγάλη διάλεξη (Vortrag großer) με θέμα «Υπερσύνθετα συστήματα σε σχέση με την αντιμεταθετική άλγεβρα και τη θεωρία αριθμών" στο Διεθνές Συνέδριο των Μαθηματικών στη Ζυρίχη. Το συνέδριο παρακολούθησαν 800 άτομα, μεταξύ αυτών και οι συνάδελφοι της Νέτερ Hermann Weyl, Edmund Landau και Wolfgang Krull. Υπήρχαν 420 επίσημες συμμετοχές και 21 παρουσιάσεις. Προφανώς, η εξέχουσα θέση της Νέτερ ήταν μια αναγνώριση της σημασίας της συνεισφοράς της στα μαθηματικά. Το συνέδριο του 1932 περιγράφεται ως η μεγάλη στιγμή της καριέρας της.

Απέλαση από Göttingen

Όταν ο Αδόλφος Χίτλερ έγινε ο γερμανός καγκελάριος του Ράιχ τον Ιανουάριο του 1933, η ναζιστική δραστηριότητα σε όλη τη χώρα αυξήθηκε δραματικά. Στο Πανεπιστήμιο του Γκέτινγκεν της Γερμανίας ο Φοιτητικός Σύλλογος οδήγησε την επίθεση στο "αντι-γερμανικό πνεύμα» που αποδιδόταν στους Εβραίους και βοηθήθηκε από έναν λέκτορα με το όνομαWerner Weber, έναν πρώην φοιτητή της Έμι Νέτερ. Οι αντισημιτικές συμπεριφορές δημιούργησαν ένα κλίμα εχθρικό ως προς τους εβραίους καθηγητές. Ένας νεαρός διαδηλωτής φέρεται να ζήτησε: "Άριοι μαθητές θέλουν Άρια μαθηματικά και όχι εβραϊκά μαθηματικά».
Μία από τις πρώτες ενέργειες της διοίκησης του Χίτλερ ήταν ο Νόμος για την Αποκατάσταση του Επαγγελματικού Δημόσιου Τομέα που απομάκρυνε Εβραίους και πολιτικά ύποπτους δημόσιους υπαλλήλους (συμπεριλαμβανομένων των πανεπιστημιακών καθηγητών) από τις δουλειές τους αν δεν είχαν «αποδείξει την πίστη τους στη Γερμανία» με επίδοση στον Πρώτο Παγκόσμιο Πόλεμο. Τον Απρίλιο του 1933 η Νέτερ έλαβε ειδοποίηση από το Πρωσικό Υπουργείο Επιστημών, Τεχνών, και Δημόσιας Εκπαίδευσης που έγραφε: "Βάσει της παραγράφου 3 του Υπαλληλικού Κώδικα, της 7ης Απριλίου 1933 με την παρούσα επιστολή σου αφαιρώ το δικαίωμα να διδάσκεις στο Πανεπιστήμιο του Γκέτινγκεν.» Αρκετοί από τους συναδέλφους της Νέτερ, συμπεριλαμβανομένων των Max Born και Richard Courant, είχαν επίσης τις ανακληθεί από τις θέσεις τους. Η Νέτερ αποδέχθηκε την απόφαση ήρεμα, παρέχοντας υποστήριξη στους άλλους κατά τη διάρκεια αυτής της δύσκολης χρόνου. Ο Hermann Weyl αργότερα έγραψε ότι «Το θάρρος της Έμι Νέτερ, η ειλικρίνεια, η αδιαφορία για την δική της μοίρα, το συμφιλιωτικό πνεύμα της-ήταν στη μέση του μίσους και της μιζέριας, της απόγνωσης και της θλίψης που μας περιβάλλει, μια ηθική παρηγοριά». Τυπικά, η Νέτερ παρέμεινε επικεντρωμένη στα μαθηματικά, συγκεντρώνοντας μαθητές στο διαμέρισμά της για να συζητήσουν θεωρία κλάσης σωμάτων. Όταν ένας από τους μαθητές της εμφανίστηκε με τη στολή της ναζιστικής παραστρατιωτικής οργάνωσης Sturmabteilung (SA), δεν έδειξε κανένα σημάδι ταραχής και, σύμφωνα με πληροφορίες, ακόμη και γέλασε γι 'αυτό αργότερα.

Bryn Mawr

Όπως δεκάδες πρoσφάτως άνεργοι καθηγητές άρχισαν να ψάχνουν για θέσεις εκτός της Γερμανίας, οι συνάδελφοί τους στις Ηνωμένες Πολιτείες άρχισαν να παράσχουν βοήθεια και ευκαιρίες απασχόλησης σε αυτούς. Ο Αλμπερτ Αϊνστάιν και ο Hermann Weyl είχαν διοριστεί στο Institute for Advanced Study στο Πρίνστον, ενώ άλλοι προσπάθησαν να βρουν έναν χορηγό για νόμιμη μετανάστευση. Η Νέτερ ήρθε σε επαφή με τους εκπροσώπους των δύο εκπαιδευτικών ιδρυμάτων, το Bryn Mawr College στις Ηνωμένες Πολιτείες και το Somerville College στο Πανεπιστήμιο της Οξφόρδης στην Αγγλία. Μετά από μια σειρά από διαπραγματεύσεων με το Ίδρυμα Ροκφέλερ, μια επιχορήγηση στο Bryn Mawr εγκρίθηκε για τη Νέτερ και πήρε μια θέση εκεί, αρχής γενομένης στο τέλος του 1933.
Στο Bryn Mawr η Νέτερ συνάντησε την Anna Wheeler, η οποία είχε σπουδάσει στο Γκέτινγκεν, λίγο πριν η Νέτερ φτάσει εκεί. Μια άλλη πηγή στήριξης στο κολέγιο ήταν ο πρώην πρόεδρος του Bryn Mawr, ο Marion Edwards Park, ο οποίος κάλεσε με ενθουσιασμό τους μαθηματικούς της περιοχής για να «δούμε την Δρ. Νέτερ σε δράση!" Η Νέτερ και μια μικρή ομάδα μαθητών δούλεψε γρήγορα μέσω του βιβλίου του Van der Waerden «Moderne Algebra I» και σε τμήματα της «Theorie der Erich Hecke» του του Erich Hecke (θεωρία των αλγεβρικών αριθμών, 1908).
Το 1934, η Νέτερ άρχισε να δίνει διαλέξεις στο Institute for Advanced Study στο Πρίνστον κατόπιν πρόσκλησης του Abraham Flexner και Oswald Veblen. Έχει επίσης συνεργαστεί και επιτηρήσει με τον Abraham Albert και Harry Vandiver.  Εντούτοις, παρατήρησε σχετικά με το Πανεπιστήμιο του Princeton ότι δεν ήταν ευπρόσδεκτη στο «πανεπιστήμιο των ανδρών, όπου η τίποτα γυναικείο δεν γίνεται δεκτό».
Η διαμονή της στις Ηνωμένες Πολιτείες ήταν ευχάριστη, περιβαλλόμενη από υποστηρικτικούς συναδέλφους και απορροφημένη στα αγαπημένα θέματά της. Το καλοκαίρι του 1934 σύντομα επέστρεψε στη Γερμανία για να δεί τον Emil Artin Fritz και τον αδελφό της πριν φύγει για Τομσκ. Παρά το γεγονός ότι πολλοί από τους πρώην συναδέλφους της είχαν αναγκαστεί να φύγουν από τα πανεπιστήμια, ήταν σε θέση να χρησιμοποιήσει τη βιβλιοθήκη ως μια «ξένη μαθήτρια».

Θάνατος

Τον Απρίλιο του 1935 οι γιατροί ανακάλυψαν έναν όγκο στη λεκάνη της Νέτερ. Ανήσυχοι για τις επιπλοκές από τη χειρουργική επέμβαση, προτείνουν δύο ημέρες ξεκούραση στο κρεβάτι πρώτα. Κατά την επέμβαση βρήκαν μια ωοθηκική κύστη «στο μέγεθος ενός μεγάλου πεπονιού». Δύο μικρότεροι, καλοήθεις όγκοι στη μήτρα της εμφανίστηκαν και δεν αφαιρέθηκαν για να αποφευχθούν περαιτέρω χειρουργικές επεμβάσεις. Για τρεις μέρες φαινόταν να αναρρώνει κανονικά, και ανέρρωσε γρήγορα από την κατάρρευση του κυκλοφορικού στην τέταρτη. Στις 14 Απριλίου έπεσε αναίσθητη, η θερμοκρασία της αυξήθηκε σε 109 °F (42.8 °C), και πέθανε. «[I]t δεν είναι εύκολο να πούμε τι είχε συμβεί στη Δρ Νέτερ», ένας από τους γιατρούς έγραψε. «Είναι πιθανό ότι υπήρχε κάποια μορφή ασυνήθιστης λοιμογόνου μόλυνσης, η οποία χτύπησε τη βάση του εγκεφάλου, όπου τα κέντρα θερμότητας βρίσκονται». 
Λίγες ημέρες μετά το θάνατο της Νέτερ, οι φίλοι της και συνεργάτες στο Bryn Mawr πραγματοποίησαν ένα μικρό μνημόσυνο στο σπίτι του College President Park. Ο Hermann Weyl και ο Richard Brauer ταξίδεψαν από το Πρίνστον και μίλησαν με τους Wheeler και Taussky για τη συνάδελφό τους και αναχώρησαν. Τους μήνες που ακολούθησαν γραπτά αφιερώματα άρχισαν να εμφανίζονται σε όλο τον κόσμο: Ο Albert Einstein με τους Van der Waerden, Weyl, και Pavel Alexandrov τήρησαν τα σέβη τους. Το σώμα της αποτεφρώθηκε και οι στάχτες της θάφτηκαν κάτω από τη διάβαση πεζών γύρω από τα μοναστήρια της M. Carey Thomas Library στο Bryn Mawr.

Συνεισφορά στα μαθηματικά και τη φυσική

Πρώτα απ 'όλα η Νέτερ τιμάται από τους μαθηματικούς ως αλγεβρίστρια και για την συνεισφορά της στην τοπολογία. Οι φυσικοί την εκτιμούν περισσότερο για το διάσημο θεώρημα της, λόγω της εκτεταμένης συνέπειάς στη Θεωρητική Φυσική και τα δυναμικά συστήματα. Έδειξε μια οξεία τάση για την αφηρημένη σκέψη, η οποία της επέτρεψε να προσεγγίσει τα προβλήματα των μαθηματικών σε καινούργιους και πρωτότυπους τρόπους Ο φίλος της και ο συνάδελφός Hermann Weyl περιγράφει την επιστημονική παραγωγή της σε τρεις εποχές:
Η Επιστημονική παραγωγή της Έμι Νέτερ ανήκει σε τρεις σαφώς διακριτές εποχές:
(1) η περίοδος της σχετικής εξάρτησης, 1907-1919;

(2) οι έρευνες που συσπειρώθηκαν γύρω από την γενική θεωρία των ιδεωδών 1920-1926;

(3) η μελέτη των μη-αντιμεταθετικών αλγεβρών, αναπαραστάσεις τους με γραμμικούς μετασχηματισμούς, και η εφαρμογή τους στη μελέτη των σωμάτων με αντιμεταθετικούς αριθμούς και της αριθμητικής τους.
— Weyl 1935
Στη πρώτη εποχή (1907–19), η Νέτερ ασχολήθηκε πρωτίστως με διαφορικούς και αλγεβρικούς invariants, αρχίζοντας με την διατριβή της υπό του Paul Gordan. Οι μαθηματικοί ορίζοντες της διευρύνθηκαν και το έργο της έγινε πιο γενικό και αφηρημένο, αφού έγινε γνώστης του έργο του David Hilbert, μέσω στενής συνεργασίας με τον αντικαταστάτη του Gordan, Ernst Sigismund Fischer. Αφού μετακόμισε στο Γκέτιγκεν το 1915, παρήγαγε την δημιουργική της εργασία της στη φυσική, τα δύο θεωρήματα της Νέτερ.
Στη δεύτερη εποχή (1920–26), η Νέτερ αφιέρωσε τον χρόνο της στην εξέλιξη της θεωρίας των μαθηματικών δακτυλίων.
Στη τρίτη εποχή (1927–35), η Νέτερ συγκεντρώθηκε στη μη-αντιμεταθετική άλγεβρα, στους γραμμικούς μετασχηματισμούς και commutative number fields.

Ιστορικό πλαίσιο

Τον αιώνα από το 1832 ως τον θάνατο της Νέτερ το 1935,ο τομέας των μαθηματικών-ειδική άλγεβρα-υποβλήθηκε μια βαθιά επανάσταση,της οποίας ο απόηχος είναι ακόμη αισθητός.Μαθηματικοί των προηγούμενων αιώνων είχαν δουλέψει πάνω σε πρακτικές μεθόδους για την επίλυση συκρεκριμένων τύπων εξισώσεων,π.χ.τριτοβάθμιων,τεταρτοβάθμιων και πεμπτοβάθμιων εξισώσεων,όπως επίσης και στο σχετικό πρόβλημα κατασκευής κανονικών πολυγώνων με κανόνα και διαβήτη.Ξεκινώντας με την απόδειξη του Καρλ Φρίντριχ Γκάους το 1832,σύμφωνα με την οποία πρώτοι αριθμοί όπως το 5 μπορούν να παραγοντοποιηθούν σε Γκαουσιανούς ακεραίους, την εισαγωγή του Εβαρίστ Γκαλουά στις ομάδες μεταθέσεων το 1832(αν και λογο του θανάτου του τα χαρτιά του δημοσιεύθηκαν μόλις το 1846 από τον  Liouville),η ανακάλυψη του William Rowan Hamilton των τεταρτυόνυμων το 1843 και ο πιό σύγχρονος ορισμός του Arthur Cayley πάνω στις ομάδες το 1854,η έρευνα στράφηκε προς τον καθορισμό των ιδιοτήτων των όλο και πιο αφηρημένων συστημάτων που ορίζονται από όλο και πιο καθολικούς κανόνες.Οι πιο σημαντικές συνεισφορές της Νέτερ στα μαθηματικά,ήταν για την ανάπτυξη του νέου αυτού τομέα,της αφηρημένης άλγεβρας.

Αφηρημένη άλγεβρα και εννοιολογικά μαθηματικά (begriffliche Mathematik)

Δύο από τα πιο βασικά αντικείμενα στην αφηρημένη άλγεβρα είναι οι ομάδες και οι δακτύλιοι.
Μια ομάδα αποτελείται από ένα σύνολο στοιχείων και μία πράξη, η οποία συνδυάζει ένα πρώτο και ένα δεύτερο στοιχείο και επιστρέφει ένα τρίτο. Η πράξη πρέπει να πληροί ορισμένους περιορισμούς για να ορίσει μια ομάδα: Πρέπει να είναι κλειστή (όταν εφαρμόζεται σε κάθε ζεύγος στοιχείων του  συνόλου, το παραγόμενο στοιχείο πρέπει επίσης να είναι ένα μέλος αυτού του συνόλου), πρέπει να είναι προσεταιριστική, πρέπει να υπάρχει ένα ουδέτερο στοιχείο (ένα στοιχείο το οποίο, όταν συνδυάζεται με ένα άλλο στοιχείο χρησιμοποιώντας την πράξη, δίνει αποτέλεσμα το αρχικό στοιχείο, όπως όταν προσθέσεις το μηδέν σε έναν αριθμό ή πολλαπλασιάσεις με τη μονάδα) και για κάθε στοιχείο πρέπει να υπάρχει ένα αντίστροφο στοιχείο.
Ένας δακτύλιος από την άλλη, περιλαμβάνει ένα σύνολο από στοιχεία, αλλά τώρα έχει δύο πράξεις. Η πρώτη πράξη πρέπει να κάνει το σύνολο μια ομάδα, και η δεύτερη πράξη να είναι προσεταιριστική και επιμεριστική σε σχέση με την πρώτη πράξη. Μπορεί να είναι και αντιμεταθετική: Αυτό σημαίνει ότι το αποτέλεσμα της εφαρμογής της πράξης από ένα πρώτο σε ένα δεύτερο στοιχείο είναι το ίδιο με το αποτέλεσμα της πράξης από το δεύτερο στο πρώτο-η σειρά των στοιχείων δεν έχει σημασία. Αν κάθε μη μηδενικό στοιχείο έχει ένα πολλαπλασιαστικό αντίστροφο (ένα στοιχείο Χ τέτοιο ώστε ax = xa = 1), ο δακτύλιος  ονομάζεται δακτύλιος με διαίρεση. Ένα σώμα ορίζεται ως ένας αντιμεταθετικός δακτύλιος διαίρεση.
Οι ομάδες μελετούνται συχνά μέσω των αντιπροσώπων τους. Στην γενικότερη μορφή τους, αυτοί αποτελούνται από μια επιλογή της ομάδας, ενός συνόλου, και την δράση της ομάδας στο σύνολο, δηλαδή, μια πράξη η οποία λαμβάνει ένα στοιχείο της ομάδας και ένα στοιχείο του συνόλου και επιστρέφει ένα στοιχείο του συνόλου. Τις περισσότερες φορές, το σύνολο είναι ένας διανυσματικός χώρος, και η ομάδα αντιπροσωπεύει τις συμμετρίες του διανυσματικού χώρου. Για παράδειγμα, υπάρχει μια ομάδα η οποία αντιπροσωπεύει τις σταθερές περιστροφές του χώρου. Αυτό είναι ένα είδος συμμετρίας του χώρου, επειδή ο ίδιος ο χώρος δεν αλλάζει όταν περιστρέφεται ακόμη και αν αλλάζουν οι θέσεις των στοιχείων σε αυτό. Η Νέτερ χρησιμοποίησε αυτά τα είδη των συμμετριών στην εργασία της σχετικά με τις αναλλοίωτες στη φυσική.
Ένα ισχυρό εργαλείο μελέτης των δακτυλίων είναι μέσω των modules τους. Ένα module αποτελείται από έναν δακτύλιο, ένα άλλο σύνολο, συνήθως διαφορετικό από το υποκείμενο σύνολο του δακτυλίου το οποίο ονομάζεται υποκείμενο σύνολο του module, μια πράξη σε ζεύγη των στοιχείων του υποκείμενου συνόλου του module, και μια πράξη η οποία λαμβάνει ένα στοιχείο του δακτυλίου και ένα στοιχείο του module και επιστρέφει ένα στοιχείο του module. To  υποκείμενo σύνολο του module με την πράξη του πρέπει να αποτελούν μια ομάδα. Ένα module  είναι μια δακτυλιο-θεωρητική εκδοχή παράστασης της ομάδας: Αγνοώντας τη δεύτερη πράξη του δακτυλίου και την πράξη σε ζεύγη των στοιχείων του module ορίζουμε μια αναπαράσταση της ομάδας. Η πραγματική χρησιμότητα των modules είναι ότι τα είδη των modules που υπάρχουν και οι αλληλεπιδράσεις τους, αποκαλύπτουν τη δομή του δακτυλίου με τρόπους που δεν είναι εμφανείς από τον ίδιο το δακτύλιο. Μια σημαντική ειδική περίπτωση αυτών είναι μια άλγεβρα. (Η λέξη άλγεβρα αναφέρεται και στον γνωστό κλάδο των μαθηματικών, καθώς και σε ένα στοιχείο που συναντάμε στον κλάδο της άλγεβρας.) Μια άλγεβρα αποτελείται από δύο δακτυλίους και μια πράξη η οποία παίρνει ένα στοιχείο από κάθε δακτύλιο και επιστρέφει ένα στοιχείο του δεύτερου δακτυλίου . Αυτή η πράξη καθιστά το δεύτερο δακτύλιο ένα module πάνω από τον πρώτο. Συχνά ο πρώτος δακτύλιος είναι ένα σώμα.
Λέξεις όπως "στοιχείο" και "που συνδυάζει την πράξη" είναι πολύ γενικές και μπορεί να εφαρμοστούν σε πολλές αληθινές και αφηρημένες καταστάσεις. Οποιοδήποτε σύνολο των πραγμάτων που υπακούει όλους τους κανόνες για ένα (ή δύο) πράξη (εις) είναι, εξ ορισμού, μια ομάδα (ή δακτύλιος), και υπακούει όλα τα θεωρήματα για τις ομάδες (ή δακτυλίους). Οι ακέραιοι αριθμοί και οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού, είναι μόνο ένα παράδειγμα. Για παράδειγμα, τα στοιχεία μπορεί να είναι οι λέξεις δεδομένων του υπολογιστή, όπου η πρώτη συνδυαστική πράξη είναι XOR και η δεύτερη είναι λογική σύζευξη. Τα  θεωρήματα της αφηρημένης άλγεβρας είναι ισχυρά, επειδή είναι γενικά: διέπουν πολλά συστήματα. Θα μπορούσε να φανταστεί κανείς ότι λίγα πράγματα μπορούμε να συμπεράνουμε σχετικά με τα αντικείμενα που ορίζονται με τόσες λίγες ιδιότητες, αλλά ακριβώς εκεί βρίσκεται το δώρο της Νέτερ:να ανακαλύψουμε όσα το δυνατόν περισσότερα μπορούν να συναχθούν από ένα δεδομένο σύνολο ιδιοτήτων, ή αντιστρόφως, ο προσδιορισμός του ελάχιστου συνόλου, του οποίου οι στοιχειώδεις ιδιότητες ευθύνονται για μια συγκεκριμένη παρατήρηση. Σε αντίθεση με τους  περισσότερους μαθηματικούς, δεν έβγαζε συμπεράσματα από τη γενίκευση  γνωστών παραδειγμάτων: αντίθετα, εργάστηκε άμεσα με τις αφηρημένες έννοιες. Όπως ο van der Waerden υπενθύμισε στην νεκρολογία της, 
Το αξίωμα με το οποίο η Έμι Νέτερ πορεύθηκε σε ολόκληρο το έργο της θα μπορούσε να διατυπωθεί ως εξής: «Κάθε σχέση μεταξύ των αριθμών, των συναρτήσεων και των πράξεων γίνεται φανερή, γενικά εφαρμόσιμη, και πλήρως παραγωγική μόνο αφού έχει απομονωθεί από συγκεκριμένα αντικείμενα και έχει διαμορφωθεί ως καθολικά έγκυρη έννοια.
Αυτά είναι τα καθαρά εννοιολογικά μαθηματικά (begriffliche Mathematik)  που ήταν χαρακτηριστικό της Noether. Αυτό το ύφος των μαθηματικών υιοθετήθηκε από άλλους μαθηματικούς και, μετά το θάνατό της, άνθισε σε νέες μορφές, όπως η θεωρία κατηγοριών.

Οι ακέραιοι ως παράδειγμα δακτυλίου

Οι ακέραιοι αποτελούν αντιμεταθετικό δακτύλιο του οποίου τα στοιχεία είναι οι ακέραιοι αριθμοί, με συνδυασμένες πράξεις την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό. Κάθε ζεύγος ακεραίων μπορούν να προστεθούν ή να πολλαπλασιάζονται, δίνοντας πάντα έναν άλλο ακέραιο, και η πρώτη πράξη, επιπλέον, είναι αντιμεταθετική, δηλαδή, για τυχόν στοιχεία a και b στον δακτύλιο, a + b = b + a. Η δεύτερη πράξη, ο πολλαπλασιασμός, είναι επίσης αντιμεταθετική, αλλά αυτό δεν είναι απαραίτητο να ισχύει και για άλλους δακτυλίους, πράγμα που σημαίνει ότι το a σε συνδυασμό με το b μπορεί να είναι διαφορετικό από το b σε συνδυασμό με το a  . Παραδείγματα μη αντιμεταθετικών δακτυλίων αποτελούν οι πίνακες και τα τετραδόνια. Οι ακέραιοι δεν αποτελούν ένα δακτύλιο με διαίρεση, διότι η δεύτερη πράξη δεν μπορεί πάντα να αντιστραφεί: Δεν υπάρχει  ακέραιος a τέτοιος ώστε 3 × a = 1.
Οι ακέραιοι έχουν επιπλέον ιδιότητες που δεν γενικεύονται σε όλους τους αντιμεταθετικούς δακτυλίους. Ένα σημαντικό παράδειγμα είναι το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής, η οποία λέει ότι κάθε θετικός ακέραιος μπορεί να αναλυθεί  μοναδικά σε πρώτους αριθμούς. Μοναδικές αναλύσεις δεν υπάρχουν πάντοτε σε άλλους δακτυλίους, αλλά η Νέτερ βρήκε ένα  θεώρημα μοναδικής  ανάλυσης, που σήμερα ονομάζεται Λάσκερ-Νέτερ, για τα ιδεώδη πολλών δακτυλίων. Μεγάλο μέρος του έργου της Νέτερ έγκειται στον καθορισμό του τι ιδιότητες  ισχύουν για όλους τους δακτυλίους, στην επινόηση νέων αναλόγων των παλαιών θεωρημάτων των ακεραίων, και στον καθορισμό του ελαχίστου συνόλου των υποθέσεων που απαιτούνται για να δώσουν ορισμένες ιδιότητες των δακτυλίων.

Αλγεβρική θεωρία αναλλοίωτων

Μεγάλο μέρος του έργου της Νέτερ στην πρώτη εποχή της καριέρας της συνδέθηκε με την θεωρία αναλλοίωτων, κυρίως με την αλγεβρική θεωρία αναλλοίωτων.  Η θεωρία αναλλοίωτων  ασχολείται με εκφράσεις που παραμένουν σταθερές (αναλλοίωτες) στο πλαίσιο μιας ομάδας  μετασχηματισμών. Ως ένα καθημερινό παράδειγμα, εάν ένα άκαμπτο μέτρο περιστρέφεται, οι συντεταγμένες (x, y, z) των τελικών σημείων αλλάζουν, αλλά το μήκος του L δίδεται από τον τύπο L² = Δx² + Δy² + Δz² παραμένει το ίδιο. Η θεωρία αναλλοίωτων ήταν ένας ενεργός τομέας  έρευνας στα τέλη του δέκατου ένατου αιώνα, οφείλεται εν μέρει στο πρόγραμμα του Έρλαγκεν του Felix Klein, σύμφωνα με το οποίο διαφορετικά είδη της γεωμετρίας πρέπει να χαρακτηρίζονται από τις αναλλοίωτες τους σύμφωνα με μετασχηματισμούς, π.χ., η πολλαπλή αναλογία της προβολικής γεωμετρίας. Το αρχετυπικό παράδειγμα αναλλοίωτων είναι η διακρίνουσα B² − 4AC μιας  δυαδικής τετραγωνικής μορφής Ax² + Bxy + Cy². Αυτή ονομάζεται αναλλοίωτη επειδή είναι αμετάβλητη ως προς γραμμικούς μετασχηματισμούς x→ax + by, y→cx + dy με την ορίζουσα  ad − bc = 1.Αυτοί οι μετασχηματισμοί αποτελούν την ειδική γραμμική ομάδα SL₂. (Δεν υπάρχουν αναλλοίωτες στο πλαίσιο της γενικής γραμμικής ομάδας όλων των αντιστρέψιμων γραμμικών μετασχηματισμών, διότι αυτοί οι μετασχηματισμοί μπορεί να είναι πολλαπλασιασμοί με  κλιμακωτό παράγοντα . Για να διορθωθεί αυτό, η κλασική θεωρία αναλλοίωτων  συμπεριέλαβε επίσης τις σχετικές αναλλοίωτες, οι οποίες αποτελούν αναλλοίωτες ως και τον κλιμακωτό παράγοντα ). Κάποιος μπορεί να ζητήσει όλα τα πολυώνυμα σε A, B, και C που παραμένουν αναλλοίωτα από τη δράση της SL₂: αυτές ονομάζονται οι αναλλοίωτες των δυαδικών τετραγωνικών μορφών, και αποδεικνύεται ότι είναι τα πολυώνυμα στη διακρίνουσα. Γενικότερα, μπορεί κανείς να ζητήσει τις αναλλοίωτες ομογενών πολυωνύμων A₀xʳy⁰ + ... + Aᵣx⁰yʳ του υψηλότερου βαθμού, οι  οποίες θα είναι συγκεκριμένα πολυώνυμα με συντελεστές A₀, ..., Aᵣ, και ακόμη γενικότερα, μπορεί κανείς να θέσει την ανάλογη ερώτηση για τα ομογενή πολυώνυμα με περισσότερες από δύο μεταβλητές.
Ένας από τους κύριους στόχους της θεωρίας αναλλοίωτων ήταν να λύσει το «πρόβλημα πεπερασμένης βάσης». Το ποσό ή το προϊόν δυο οποιωνδήποτε αναλλοίωτων είναι αναλλοίωτη, και το πεπερασμένο πρόβλημα βάση έθεσε το ερώτημα αν ήταν δυνατό να συμπεριλάβει όλες τις αναλλοίωτες, ξεκινώντας με ένα ολοκληρωμένο κατάλογο των αναλλοίωτων, που ονομάζονται γεννήτριες, και στη συνέχεια, προσθέτοντας ή πολλαπλασιάζοντας τις γεννήτριες μαζί. Για παράδειγμα, η διακρίνουσα δίνει μια πεπερασμένη βάση (με ένα στοιχείο) για τις αναλλοίωτες της  δυαδικής τετραγωνικής μορφής. Ο σύμβουλος της Νέτερ, ο Paul Gordan, ήταν γνωστός ως ο «βασιλιάς της θεωρίας αναλλοίωτων», και η κυρίαρχη συμβολή του στα μαθηματικά ήταν η λύση του προβλήματος πεπερασμένης βάσης, το 1870, για  αναλλοίωτες ομογενών πολυωνύμων με δύο μεταβλητές. Το απέδειξε δίνοντας μια κατασκευαστική μέθοδο για την εύρεση όλων των αναλλοίωτων και των  γεννητριών τους, αλλά δεν ήταν σε θέση να πραγματοποιήσει αυτή την κατασκευαστική προσέγγιση για αναλλοίωτες με τρεις ή περισσότερες μεταβλητές. Το 1890, ο David Hilbert απέδειξε μια παρόμοια πρόταση για τις αναλλοίωτες  ομογενών πολυωνύμων με οποιοδήποτε αριθμό των μεταβλητών. Επιπλέον, η μέθοδος του δούλευε, όχι μόνο για την ειδική γραμμική ομάδα, αλλά και για ορισμένες από τις υποομάδες της, όπως η ειδική ορθογώνια ομάδα. Η πρώτη απόδειξη του προκάλεσε κάποια διαμάχη, επειδή δεν είχε δώσει μια μέθοδο για την κατασκευή των γεννητριών, αν και σε μεταγενέστερο έργο έκανε τη μέθοδο του κατασκευαστική. Για τη διδακτορική της διατριβή, η Νέτερ επέκτεινε την  υπολογιστική απόδειξη του Gordan σε ομογενή πολυώνυμα με τρεις μεταβλητές. Η κατασκευαστική προσέγγιση της Νέτερ κατέστησε δυνατή τη μελέτη των σχέσεων μεταξύ των αναλλοίωτων. Αργότερα, αφού είχε στραφεί σε πιο αφηρημένες μεθόδους, η Νέτερ ονόμασε τη διατριβή της Mist (χάλια) και Formelngestrüpp (μια ζούγκλα από εξισώσεις).

Θεωρία Γκαλουά

Η Θεωρία Γκαλουά ασχολείται με μετασχηματισμούς σωμάτων αριθμών που μεταθέτουν τις ρίζες μίας εξίσωσης. Θεωρήστε μία πολυωνυμική εξίσωση μιας μεταβλητής x βαθμού n,της οποίας οι συντελεστές προέρχονται από κάποιο σώμα βάσης,το οποίο μπορεί να είναι για παράδειγμα το σώμα των πραγματικών αριθμών, των ρητών ή των ακέραιων modulo7. Μπορεί να υπάρχουν τιμές του x,τέτοιες ώστε να κάνουν το πολυώνυμο να ισούται με μηδέν. Τέτοιες τιμές αν υπάρχουν λέγονται ρίζες. Αν έχουμε το πολυώνυμο x2 + 1 και βρισκόμαστε στο σώμα των πραγματικών αριθμών,τότε το πολυώνυμο δεν έχει ρίζες γιατί για κάθε τιμή του x το πολυώνυμο θα είναι μεγαλύτερο ή ίσο του ένα. Αν ωστόσο το σώμα είναι επεκτεταμένο, τότε το πολυώνυμο ίσως να έχει ρίζες και αν επεκταθεί αρκετά τότε πάντα θα έχει αριθμό ριζών ίσο με τον βαθμό του.Συνεχίζοντας στο προηγούμενο παράδειγμα,αν το σώμα που έχουμε είναι των μιγαδικών αριθμών,τότε το πολυώνυμο παίρνει δύο ρίζες,τις i και –i, όπου i η φανταστική μονάδα,δηλαδή i 2 = −1. Γενικά το σώμα επέκτασης στο οποίο το πολυώνυμο αναλύεται στις ρίζες του λέγεται σώμα ριζών του πολυωνύμου.
Η Ομάδα Γκαλουά ενός πολυωνύμου είναι το σύνολο όλων των δυνατών μετασχηματισμών της ομάδας ριζών του,διατηρώντας παράλληλα το σώμα βάσης και τις ρίζες του πολυωνύμου. (Στην μαθηματική γλώσσα αυτοί οι μετασχηματισμοί ονομάζονται αυτομορφισμοί). Η ομάδα Γκαλουά του x2 + 1 αποτελείτε από δύο στοιχεία: τον ταυτοτικό αυτομορφισμό ο οποίος στέλνει κάθε μιγαδικό αριθμό στον εαυτό του και  ο συζυγής αυτομορφισμός που στέλνει το i στο –i. Δεδομένου ότι η ομάδα Γκαλουά δεν αλλάζει το σώμα βάσης,αφήνει όλους του συντελεστές του πολυωνύμου σταθερούς,οπότε και το σύνολο των ριζών του. Κάθε ρίζα μπορεί να σταλθεί σε κάποια άλλη έτσι ώστε ο αυτομορφισμός αυτός να ορίζει μία μετάθεση των n ριζών μεταξύ τους. Η σημασία της ομάδας Γκαλουά προέρχεται από το Θεμελιώδες Θεώρημα της Θεωρίας Γκαλουά το οποίο αποδεικνύει ότι τα σώματα που βρίσκονται μεταξύ του σώματος βάσης και του σώματος ριζών βρίσκονται σε μία ένα προς ένα αντιστοιχία με τις υποομάδες Γκαλουά.
Το 1918 η Νέτερ δημοσίευσε μια σημαντική εργασία πάνω στο αντίστροφο πρόβλημα Γκαλουά.. Αντί να προσδιορίσουμε την ομάδα Γκαλουά των μετασχηματισμών δοθέντος σώματος και της επέκτασής του,η Νέτερ αναρωτήθηκε,έχοντας ένα σώμα και μία ομάδα,αν είναι πάντα εφικτό να βρούμε μία επέκταση του σώματος  που να έχει την συγκεκρίμενη ομάδα ως την ομάδα Γκαλουά του.Το ονόμασε ‘πρόβλημα της Νέτερ’το οποίο αναρωτιέται αν το σταθερό σώμα μιας υποομάδας G της ομάδας μεταθέσων Sn που δρα στο σώμα k(x1, ... , xn) είναι πάντα μία υπερβατική επέκταση του σώματος k.(Αναφέρθηκε για πρώτη φορά σε αυτό το πρόβλημα σε μια εργασία του 1913, όπου απέδωσε το πρόβλημα στον συνάδελφό της Fischer). Έδειξε ότι ισχύει για n = 2, 3,ή 4. Το 1969 ο R. G. Swan βρήκε ένα αντιπαράδειγμα στο πρόβλημα της Νέτερ, με n = 47 και G μία κυκλική ομάδα τάξης 47 (αν και αυτή η ομάδα μπορεί να ορισθεί ως ομάδα Γκαλουά πάνω από τους ρητούς με πολλούς τρόπους). Το αντίστροφο πρόβλημα Γκαλουά παραμένει άλυτο.

Φυσική

Ο David Hilbert και ο Felix Klein έφεραν την Νέτερ στο Γκέτιγκεν το 1915, ζητώντας την  εμπειρογνωμοσύνη της σε θέματα θεωρίας αναλλοίωτων για να τους βοηθήσει στην κατανόηση της γενικής σχετικότητας, μιας γεωμετρικής θεωρίας της βαρύτητας που αναπτύχθηκε κυρίως από τον Άλμπερτ Αϊνστάιν. Ο Hilbert είχε παρατηρήσει ότι η διατήρηση της ενέργειας φαινόταν να παραβιάζεται στη γενική σχετικότητα, το οποίο οφείλεται στο γεγονός ότι η βαρυτική ενέργεια μπορούσε να έλκεται. Η Νέτερ παρέδωσε την επίλυση αυτού του παραδόξου, καθώς και ένα θεμελιώδες εργαλείο της σύγχρονης θεωρητικής φυσικής, με το πρώτο θεώρημα της Νέτερ, το οποίο απέδειξε το 1915, αλλά δεν το δημοσίευσε μέχρι το 1918. Έλυσε το πρόβλημα, όχι μόνο για τη γενική σχετικότητα, αλλά προσδιόρισε τις  συντηρημένες ποσότητες για κάθε σύστημα  φυσικών νόμων που κατέχει κάποια συνεχή συμμετρία.

Αφού παρέλαβε το έργο της, ο Αϊνστάιν έγραψε στον Hilbert: "Χθες έλαβα από την Δεσποινίδα  Νέτερ μια πολύ ενδιαφέρουσα εργασία σχετικά με τις αναλλοίωτες.  Με εντυπωσιάζει το ότι τέτοια πράγματα μπορούν να γίνουν κατανοητά σε ένα τέτοιο γενικό τρόπο. Η παλιά φρουρά στο Γκέτινγκεν θα πρέπει να λάβει κάποια μαθήματα από την Δεσποινίδα Νέτερ! Φαίνεται να γνωρίζει καλά το αντικείμενο της".
Για παράδειγμα, αν ένα φυσικό σύστημα συμπεριφέρεται το ίδιο, ανεξάρτητα από το πόσο είναι προσανατολισμένο στο χώρο, οι φυσικοί νόμοι που το διέπουν είναι συμμετρικοί εκ περιστροφής: Από αυτή τη συμμετρία, το θεώρημα Νέτερ δείχνει ότι  η στροφορμή του συστήματος πρέπει να διατηρείται. Το φυσικό σύστημα δεν χρειάζεται να είναι συμμετρικό: Ένας οδοντωτός αστεροειδής πέφτοντας στο διάστημα διατηρεί στροφορμή, παρά την ασυμμετρία του. Αντίθετα, η συμμετρία των φυσικών νόμων που διέπουν το σύστημα είναι υπεύθυνη για τον νόμο διατήρησης. Ως άλλο παράδειγμα, αν ένα φυσικό πείραμα έχει το ίδιο αποτέλεσμα, σε οποιοδήποτε μέρος και οποιαδήποτε στιγμή, τότε οι νόμοι του είναι συμμετρικοί υπό συνεχείς μεταβολές στο χώρο και το χρόνο: Από το θεώρημα της Νέτερ, αυτές οι συμμετρίες αντιπροσωπεύουν τους νόμους διατήρησης της γραμμικής ορμής και ενέργειας μέσα σε αυτό το σύστημα, αντίστοιχα.
Το θεώρημα της Νέτερ έχει γίνει ένα θεμελιώδες εργαλείο της σύγχρονης θεωρητικής φυσικής, τόσο λόγω της επίγνωσης που δίνει στους νόμους διατήρησης, αλλά και ως ένα πρακτικό εργαλείο υπολογισμού. Το θεώρημα της, επιτρέπει στους ερευνητές να προσδιορίσουν τις διατηρητέες ποσότητες  από τις παρατηρούμενες συμμετρίες ενός φυσικού συστήματος. Αντιστρόφως, διευκολύνει την περιγραφή ενός φυσικού συστήματος που βασίζεται στις κατηγορίες των υποθετικών φυσικών νόμων. Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι ένα νέο φυσικό φαινόμενο έχει ανακαλυφθεί. Το θεώρημα της Νέτερ παρέχει έναν έλεγχο για θεωρητικά μοντέλα του φαινομένου: αν η θεωρία έχει μια συνεχή συμμετρία, τότε το θεώρημα της Νέτερ, εγγυάται ότι η θεωρία έχει μια διατηρητέα ποσότητα, και για να είναι η θεωρία σωστή, αυτή η διατήρηση πρέπει να είναι παρατηρήσιμη σε πειράματα.

Δεύτερη εποχή (1920-26)

Αν και τα αποτελέσματα της πρώτης εποχής της Νέτερ ήταν εντυπωσιακά και χρήσιμα, η φήμη της ως μαθηματικός στηρίζεται περισσότερο στην πρωτοποριακή εργασία που έκανε στη δεύτερη και στην τρίτη εποχή της, όπως σημειώνεται από τους  Hermann Weyl και BL van der Waerden στις νεκρολογίες τους για αυτήν.
Σε αυτές τις εποχές της, δεν εφάρμοσε απλώς τις ιδέες και τις μεθόδους των προηγούμενων μαθηματικών: αντίθετα, έγραφε νέα συστήματα  μαθηματικών ορισμών που θα χρησιμοποιούνταν από τους μελλοντικούς μαθηματικούς. Ειδικότερα, ανέπτυξε μια εντελώς νέα θεωρία των ιδεωδών  δακτυλίων, γενικεύοντας το προγενέστερο έργο του Richard Dedekind. Είναι επίσης γνωστή για το ότι ανέπτυξε  συνθήκες  αύξουσας αλυσίδας, μια απλή συνθήκη πεπερασμένων που απέδωσε ισχυρά αποτελέσματα στα χέρια της. Αυτές οι συνθήκες και η θεωρία των ιδεωδών επέτρεψαν στη Νέτερ να γενικεύσει πολλά παλιότερα αποτελέσματα και να ασχοληθεί με τα παλιά προβλήματα από μια νέα προοπτική, όπως με την θεωρία απαλοιφής και τις αλγεβρικές πολλαπλότητες που είχαν μελετηθεί από τον πατέρα της.

Συνθήκες αύξουσας και φθίνουσας αλυσίδας

Σε αυτή την εποχή, η Νέτερ έγινε διάσημη για την επιδέξια χρήση των συνθηκών  αύξουσας (Teilerkettensatz) ή φθίνουσας (Vielfachenkettensatz) αλυσίδας. Μια ακολουθία μη κενών υποσυνόλων A₁, A₂, A₃, κλπ από ενός συνόλου S συχνά λέγεται  φθίνουσα, εάν το καθένα είναι ένα υποσύνολο του επόμενου :
Ανάλογα, μια ακολουθία από υποσύνολα S λέγεται φθίνουσα εάν το κάθε υποσύνολο περιέχει το επόμενο :
Μια αλυσίδα γίνεται σταθερή μετά από έναν πεπερασμένο αριθμό βημάτων, αν υπάρχει ένα n τέτοιο ώστε  για κάθε m ≥ n. Μια συλλογή από υποσύνολα ενός συνόλου ικανοποιεί την συνθήκη αύξουσας αλυσίδας αν κάθε αύξουσα ακολουθία γίνεται σταθερή μετά από έναν πεπερασμένο αριθμό βημάτων. Ικανοποιεί την συνθήκη φθίνουσας αλυσίδας αν κάθε φθίνουσα ακολουθία  γίνεται σταθερή μετά από έναν πεπερασμένο αριθμό βημάτων.
Οι συνθήκες αύξουσας και φθίνουσας αλυσίδας είναι γενικές, πράγμα που σημαίνει ότι μπορούν να εφαρμοστούν σε πολλούς τύπους μαθηματικών αντικειμένων και, επιφανειακά, μπορεί να μην φαίνονται πολύ ισχυρές. Η Νέτερ έδειξε το πώς να εκμεταλλεύονται αυτές τις συνθήκες, όμως, με το μέγιστο όφελος: για παράδειγμα, πώς να τις χρησιμοποιείς για να δείξεις ότι κάθε σύνολο  υπο-αντικειμένων έχει ένα μέγιστο / ελάχιστο στοιχείο ή ότι ένα σύνθετο αντικείμενο μπορεί να παραχθεί από ένα μικρότερο αριθμό στοιχείων . Τα συμπεράσματα αυτά είναι συχνά ζωτικής σημασίας βήματα σε μια απόδειξη.
Πολλά είδη  αντικειμένων στην αφηρημένη άλγεβρα μπορούν να ικανοποιήσουν τις συνθήκες της αλυσίδας, και , αν ικανοποιούν μια συνθήκη αύξουσας αλυσίδας, συχνά καλούνται Ναιτεριανά προς τιμήν της. Εξ ορισμού, ένας Ναιτεριανός δακτύλιος ικανοποιεί μια συνθήκη αύξουσας αλυσίδας στα αριστερά και δεξιά ιδεώδη του, ενώ μια Ναιτεριανή ομάδα ορίζεται ως μια ομάδα στην οποία κάθε γνησίως αύξουσα αλυσίδα από υποομάδες είναι πεπερασμένη. Ένα Ναιτεριανό module είναι ένα module στο οποίο κάθε γνησίως αύξουσα αλυσίδα από υπο-modules διακόπτει  μετά από έναν πεπερασμένο αριθμό. Ένας  Ναιτεριανός χώρος είναι ένας τοπολογικός χώρος στον οποίο κάθε γνησίως αύξουσα αλυσίδα  ανοικτών υποχώρων διακόπτει μετά από έναν πεπερασμένο αριθμό όρων: Ο ορισμός αυτός είναι φτιαγμένος έτσι ώστε το φάσμα ενός Ναιτεριανού δακτυλίου να είναι ένας Ναιτεριανός τοπολογικός χώρος.
Η συνθήκη της αλυσίδας συχνά "κληρονομείται" από τα υπο-αντικείμενα. Για παράδειγμα, όλοι οι υποχώροι ενός Ναιτεριανού χώρου, είναι Ναιτεριανοί κι οι ίδιοι•  όλες οι υποομάδες, και οι ομάδες πηλίκο μιας Ναιτεριανής ομάδας είναι ,παρομοίως, Ναιτεριανοί• και, τηρουμένων των αναλογιών, το ίδιο ισχύει και για υπο-modules και modules πηλίκο ενός Ναιτεριανού module. Όλοι οι δακτύλιοι πηλίκο ενός Ναιτεριανού δακτυλίου  είναι Ναιτεριανοί, αλλά αυτό δεν ισχύει απαραίτητα  για τους υποδακτυλίους του. Η συνθήκη  αλυσίδας μπορεί επίσης να κληρονομηθεί από  συνδυασμούς ή επεκτάσεις ενός Ναιτεριανού  αντικειμένου. Για παράδειγμα, πεπερασμένα ευθεία αθροίσματα Ναιτεριανών δακτυλίων είναι Ναιτεριανά, όπως είναι ο δακτύλιος της τυπικής δυναμοσειράς πάνω σε ένα Ναιτεριανό δακτύλιο.
Μια άλλη εφαρμογή τέτοιων συνθηκών αλυσίδας είναι στην επαγωγή σε Ναιτεριανούς -επίσης γνωστή ως βάσιμη επαγωγή-που είναι μια γενίκευση της μαθηματικής επαγωγής. Συχνά χρησιμοποιείται για να περιορίσει γενικές προτάσεις σχετικά με συλλογές αντικειμένων σε προτάσεις σχετικά με συγκεκριμένα αντικείμενα αυτής της συλλογής. Ας υποθέσουμε ότι το S είναι ένα μερικώς διατεταγμένο σύνολο. Ένας τρόπος για να αποδειχθεί μια πρόταση σχετικά με τα αντικείμενα του S είναι να υποθέσουμε την ύπαρξη ενός αντιπαραδείγματος και να αναχθούμε σε μια αντίφαση, αποδεικνύοντας έτσι την άρνηση της αρχικής πρότασης. Η βασική προϋπόθεση της Ναιτεριανής επαγωγής είναι ότι κάθε μη κενό υποσύνολο του S περιέχει ένα ελάχιστο στοιχείο. Ειδικότερα, το σύνολο όλων των αντιπαραδειγμάτων περιέχει ένα ελάχιστο στοιχείο, το ελάχιστο αντιπαράδειγμα. Για να αποδείξει την αρχική πρόταση, ως εκ τούτου, αρκεί να αποδείξει κάτι φαινομενικά πολύ ασθενέστερο: Για κάθε αντιπαράδειγμα, υπάρχει ένα μικρότερο αντιπαράδειγμα.

Αντιμεταθετικοί δακτύλιοι,ιδεώδη και modules

Η εργασία της Νέτερ,  Idealtheorie in Ringbereichen (Θεωρία των ιδεωδών σε τομείς δακτυλίων, 1921), είναι το θεμέλιο της γενικής γενικής θεωρίας αντιμεταθετικών δακτυλίων, και δίνει έναν από τους πρώτους γενικούς ορισμούς ενός αντιμεταθετικού δακτυλίου. Πριν από την εργασία της, τα περισσότερα αποτελέσματα στην αντιμεταθετική άλγεβρα περιορίστηκαν σε ειδικά παραδείγματα αντιμεταθετικών δακτυλίων, όπως οι δακτύλιοι πολυωνύμων πάνω από σώματα ή οι δακτύλιοι των αλγεβρικών ακεραίων. Η Νέτερ απέδειξε ότι σε έναν δακτύλιο που ικανοποιεί την συνθήκη αύξουσας αλυσίδας σε ιδεώδη, κάθε ιδεώδες είναι πεπερασμένα παραγόμενο. Το 1943, ο Γάλλος μαθηματικός Claude Chevalley επινόησε τον όρο, Ναιτεριανός δακτύλιος, για να περιγράψει αυτή την ιδιότητα. Ένα σημαντικό αποτέλεσμα της εργασίας της Νέτερ του 1921  είναι το θεώρημα Λάσκερ-Νέτερ, το οποίο εκτείνει το θεώρημα του Λάσκερ για την πρωτογενή διάσπαση των ιδεωδών των δακτυλίων πολυωνύμων σε όλους τους Ναιτεριανούς δακτυλίους. Το θεώρημα Λάσκερ-Νέτερ μπορεί να θεωρηθεί ως μια γενίκευση του θεμελιώδους θεωρήματος της αριθμητικής το οποίο αναφέρει ότι κάθε θετικός ακέραιος μπορεί να εκφραστεί ως προϊόν πρώτων αριθμών, και ότι αυτή η διάσπαση είναι μοναδική.
Το έργο της Νέτερ Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl-und Funktionenkörpern (Αφηρημένη  Δομή της Θεωρίας των Ιδεωδών στους Αλγεβρικούς Αριθμούς και Σώματα Συναρτήσεων, 1927), που χαρακτηρίζεται από τους δακτυλίους στους οποίους τα ιδεώδη έχουν μοναδική παραγοντοποίηση σε κύρια ιδεώδη, όπως τα πεδία Dedekind: αναπόσπαστα πεδία που είναι Ναιτεριανά, διαστάσεων 0 ή 1, και αναπόσπαστα κλειστά στα σώματα πηλίκο τους. Αυτή η εργασία περιέχει επίσης αυτά που τώρα λέγονται τα θεωρήματα ισομορφισμών, τα οποία περιγράφουν ορισμένους θεμελιώδεις φυσικούς ισομορφισμούς, και κάποια άλλα βασικά αποτελέσματα για modules της Νέτερ και του Αρτίν.

Θεωρία απαλοιφής

Το 1923-24 η Νέτερ εφάρμοσε την θεωρία ιδεωδών της στην θεωρία απαλοιφής -σε ένα σκεύασμα που  απέδωσε στον μαθητή της, Kurt Hentzelt- δείχνοντας ότι τα θεμελιώδη θεωρήματα για την παραγοντοποίηση πολυωνύμων θα μπορούσαν να μεταφερθούν άμεσα.  Παραδοσιακά, η θεωρία απαλοιφής ασχολείται με την απαλοιφή ενός ή περισσότερων μεταβλητών από ένα σύστημα πολυωνυμικών εξισώσεων, συνήθως με τη μέθοδο των συνισταμένων. Για παράδειγμα, το σύστημα των εξισώσεων συχνά μπορεί να γραφτεί με τη μορφή ενός πίνακα M (που δεν περιέχει την μεταβλητή x) επί  ένα διάνυσμα v (έχουν μόνο διαφορετικές δυνάμεις των x) με αποτέλεσμα  το μηδενικό διάνυσμα, M•v = 0. Ως εκ τούτου, η ορίζουσα του πίνακα Μ πρέπει να είναι μηδέν, παρέχοντας  μια νέα εξίσωση στην οποία η μεταβλητή Χ έχει απαλειφθεί.

Θεωρία αναλλοίωτων των πεπερασμένων ομάδων

Τεχνικές όπως η αρχική μη κατασκευαστική λύση του Hilbert στο πρόβλημα πεπερασμένης βάσης δεν θα μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν για να πάρουμε ποσοτικές πληροφορίες σχετικά με τις αναλλοίωτες της δράσης ομάδας, και, επιπλέον,  δεν ίσχυαν  για όλες τις δράσης ομάδας. Στην εργασία της, το 1915 , η Νέτερ βρήκε μια λύση στο πρόβλημα της πεπερασμένης βάσης για μια πεπερασμένη ομάδα μετασχηματισμών G η οποία δρα σε έναν πεπερασμένης διάστασης διανυσματικό χώρο πάνω από ένα σώμα  χαρακτηριστικής μηδέν. Η λύση της δείχνει ότι ο δακτύλιος των αναλλοίωτων παράγεται από ομοιογενείς αναλλοίωτες των οποίων  ο βαθμός είναι μικρότερος ή ίσος με την τάξη της πεπερασμένης ομάδας• Αυτό ονομάζεται, δέσμευση της Νέτερ. Η εργασία  της έδωσε δύο αποδείξεις της δέσμευσης της Νέτερ, αμφότερες από τις οποίες λειτουργούν όταν η χαρακτηριστική του σώματος είναι σχετικά πρώτη με το |G|!, το παραγοντικό της τάξης |G| της ομάδας G. Ο αριθμός των γεννητριών δεν είναι απαραίτητο να ικανοποιεί τη δέσμευση της Νέτερ όταν η χαρακτηριστική του σώματος διαιρεί το |G|, αλλά η Νέτερ δεν ήταν σε θέση να καθορίσει αν η δέσμευση ήταν σωστή, όταν η χαρακτηριστική του σώματος διαιρεί  το |G|! αλλά όχι την |G| . Για πολλά χρόνια, ο προσδιορισμός της αλήθειας ή του ψεύδους της δέσμευσης  σε αυτή την περίπτωση ήταν ένα ανοικτό πρόβλημα που ονομάστηκε «το χάσμα της Νέτερ".  Τελικά επιλύθηκε ξεχωριστά από τον Fleischmann το 2000 και τον Fogarty το 2001, που και οι δύο έδειξαν ότι η δέσμευση εξακολουθεί να ισχύει.
Στην εργασία της το 1926, η Νέτερ επέκτεινε το θεώρημα του  Hilbert σε αναπαραστάσεις μιας πεπερασμένης ομάδας πάνω από κάθε σώμα• η νέα περίπτωση που δεν προκύπτει από το έργο του Hilbert, είναι όταν η χαρακτηριστική του σώματος διαιρεί την τάξη της ομάδας. Το αποτέλεσμα της Νέτερ επεκτάθηκε αργότερα από τον William Haboush σε όλες τις αναγωγικές ομάδες με την απόδειξη του για την εικασία Mumford. Σε αυτή την εργασία της η Νέτερ εισήγαγε επίσης το λήμμα κανονικοποίησης της Νέτερ, αποδεικνύοντας ότι μια πεπερασμένα παραγόμενη περιοχή A πάνω από ένα σώμα k έχει ένα σύνολο  x₁, ... , xₙ από αλγεβρικά ανεξάρτητα στοιχεία, όπως και ότι η A είναι ακέραια περιοχή πάνω από το k[x₁, ... , xₙ].

Συνεισφορές στην τοπολογία

Όπως σημείωσαν οι Pavel Alexandrov και Hermann Weyl στις νεκρολογίες τους, οι συνεισφορές της Νέτερ στην τοπολογία δείχνουν την γενναιοδωρία της με ιδέες και πως οι ιδέες της  μπορούσαν να «μεταμορφώσουν» ολόκληρους τομείς των μαθηματικών. Στην τοπολογία, οι μαθηματικοί μελετούν τις ιδιότητες των αντικειμένων που παραμένουν αναλλοίωτα ακόμη και μετά από παραμόρφωση, ιδιότητες όπως τη μεταξύ τους σύνδεση. Ένα γνωστό αστείο είναι ότι ένας τοπολόγος δεν μπορεί να διακρίνει ένα ντόνατ από μια κούπα καφέ, δεδομένου ότι μπορούν να παραμορφώνονται συνεχώς το ένα  στο άλλο.
Η Νέτερ πιστώνεται με τις θεμελιώδεις ιδέες που οδήγησαν στην ανάπτυξη της Αλγεβρικής Τοπολογίας από την προηγούμενη συνδυαστική τοπολογία, συγκεκριμένα, με την ιδέα των ομάδων ομολογίας. Σύμφωνα με τον απολογισμό του Alexandrov, η Νέτερ παρακολουθούσε διαλέξεις του Heinz Hopf και του ιδίου τα καλοκαίρια του 1926 και του 1927, όπου και «έκανε συνεχώς παρατηρήσεις, οι οποίες  συχνά ήταν βαθιές και λεπτές», και συνεχίζει ότι,
Όταν ... για πρώτη φορά εκείνη ήρθε σε επαφή με μια συστηματική κατασκευή της συνδυαστικής τοπολογίας,  αμέσως παρατήρησε ότι θα άξιζε τον κόπο να μελετήσει άμεσα τις ομάδες αλγεβρικών συμπλόκων και κύκλων ενός δεδομένου πολυέδρου και την υποομάδα της κυκλικής ομάδας που αποτελείται από κύκλους ομόλογους με το μηδέν• αντί του συνηθισμένου ορισμού των αριθμών Betti, πρότεινε αμέσως τον ορισμό της ομάδας Betti ως την συμπληρωματική (πηλίκο) ομάδα της ομάδας όλων των κύκλων  στην υποομάδα των κύκλων ομόλογη με μηδέν. Η παρατήρηση αυτή φαίνεται πλέον αυτονόητη. Όμως, σε εκείνα τα χρόνια (1925-1928) ήταν μια εντελώς νέα άποψη.
Η πρόταση της Νέτερ ότι η τοπολογία πρέπει να μελετηθεί αλγεβρικά, υιοθετήθηκε αμέσως από τους Hopf, Alexandrov, και άλλους, και έγινε ένα συχνό θέμα συζήτησης ανάμεσα στους μαθηματικούς του Γκέτινγκεν. Η Νέτερ παρατήρησε ότι η ιδέα της για μια ομάδα Betti κάνει τον τύπο των Euler-Poincaré πιο απλό να κατανοηθεί, και το έργο του Hopf για το θέμα αυτό "φέρει το αποτύπωμα αυτών των παρατηρήσεων της Έμι Νέτερ». Η Νέτερ αναφέρει τις ιδέες της για την  τοπολογία  μόνο ως ένα μέρος σε μια δημοσίευση του 1926, όπου τις παραθέτει ως εφαρμογή της θεωρίας ομάδων.
Η αλγεβρική προσέγγιση στην τοπολογία αναπτύχθηκε ανεξάρτητα στην Αυστρία. Σε μια σειρά μαθημάτων το 1926-1927 στη Βιέννη, ο Leopold Vietoris όρισε μια ομάδα ομολογίας, η οποία αναπτύχθηκε από τον Walther Mayer, σε έναν αξιωματικό ορισμό το 1928.

Υπερμιγαδικοί αριθμοί και θεωρία αναπαράστασης

Μεγάλο μέρος της έρευνας πάνω στους υπερμιγαδικούς αριθμούς και στην ομάδα αναπαραστάσεων διεξήχθη τον δέκατο ένατο και στις αρχές του εικοστού αιώνα, αλλά παρέμεινε ασύνδετη. Η Νέτερ ένωσε τα αποτελέσματα και παρέδωσε την πρώτη γενική  θεωρία αναπαράστασης των ομάδων και των αλγεβρών. Εν συντομία, η Νέτερ  ενέταξε την θεωρία των δομών των συνδυαστικών αλγεβρών και την θεωρία αναπαράστασης των ομάδων σε μια ενιαία αριθμητική θεωρία των modules και των ιδεωδών σε δακτυλίους που πληρούν τις συνθήκες αύξουσας αλυσίδας . Αυτό το ενιαίο έργο της Νέτερ ήταν θεμελιώδους σημασίας για την ανάπτυξη της σύγχρονης άλγεβρας.

Μη αντιμεταθετική άλγεβρα

Η Νέτερ ήταν επίσης υπεύθυνη για μια σειρά άλλων εξελίξεων στον τομέα της άλγεβρας. Μαζί με τους Emil Artin, Richard Brauer, και Helmut Hasse, ίδρυσε τη θεωρία των κεντρικών απλών αλγεβρών.
Μια πρωτοποριακή εργασία από την Νέτερ, τον Helmut Hasse, και τον Richard Brauer αναφέρεται σε άλγεβρες με διαίρεση, οι οποίες είναι αλγεβρικά συστήματα στα οποία η διαίρεση είναι δυνατή. Απέδειξαν δύο σημαντικά θεωρήματα: ένα τοπικό-παγκόσμιο θεώρημα που δηλώνει ότι αν μια πεπερασμένων διαστάσεων κεντρική άλγεβρα με διαίρεση πάνω από ένα σώμα αριθμών διασπάται τοπικά παντού, τότε διασπάται σε παγκόσμιο επίπεδο (οπότε είναι ασήμαντο), και από αυτό, συνάγεται το Hauptsatz τους («κύριο θεώρημα») : [[κάθε πεπερασμένων διαστάσεων κεντρική άλγεβρα με διαίρεση πάνω από ένα αλγεβρικό σώμα αριθμών F διασπάται πάνω σε μια κυκλική κυκλοτομική επέκταση]]. Αυτά τα θεωρήματα επιτρέπουν την ταξινόμηση όλων των πεπερασμένων διαστάσεων κεντρικών αλγεβρών με διαίρεση  πάνω από ένα συγκεκριμένο σώμα αριθμών. Μια επόμενη εργασία της Νέτερ έδειξε, ως ειδική περίπτωση ενός γενικότερου θεωρήματος, ότι όλα τα μέγιστα υποσώματα άλγεβρας με διαίρεση D είναι σώματα διάσπασης. Αυτή η εργασία περιέχει επίσης το θεώρημα Skolem-Νέτερ το οποίο ορίζει ότι οποιεσδήποτε δύο ενσωματώσεις μιας επέκτασης του σώματος k σε μια πεπερασμένης διάστασης κεντρική απλή άλγεβρα πάνω από το k, αποτελούν σύζευξη. Το θεώρημα Brauer-Νέτερ δίνει ένα χαρακτηριστικό των  σωμάτων διάσπασης μιας κεντρικής άλγεβρας με διαίρεση πάνω από ένα σώμα.