Τυπική απόκλιση

Εκτίμηση

Μπορεί κανείς να βρει την τυπική απόκλιση ενός ολόκληρου πληθυσμού σε περιπτώσεις (όπως τυποποιημένες δοκιμές), όπου γίνεται δειγματοληψία κάθε μέλος του πληθυσμού. Σε περιπτώσεις όπου αυτό δεν μπορεί να γίνει, η τυπική απόκλιση σ υπολογίζεται εξετάζοντας ένα τυχαίο δείγμα που λαμβάνεται από τον πληθυσμό και υπολογίζοντας μια στατιστική του δείγματος, η οποία χρησιμοποιείται ως εκτίμηση της τυπικής απόκλισης του πληθυσμού. Μια τέτοια στατιστική ονομάζεται εκτιμητής, και ο εκτιμητής (ή η τιμή του εκτιμητή, δηλαδή η εκτίμηση) ονομάζεται τυπική απόκλιση του δείγματος, και συμβολίζεται με s (με πιθανόν τροποποιήσεις). Ωστόσο, σε αντίθεση με την περίπτωση της εκτίμησης της μέσης τιμής του πληθυσμού, για τις οποίες η μέση τιμή δείγματος είναι ένας απλός εκτιμητής με πολλές επιθυμητές ιδιότητες (αμερόληπτη, αποτελεσματική, μέγιστης πιθανοφάνειας), δεν υπάρχει ενιαία εκτίμηση για την τυπική απόκλιση με όλες αυτές τις ιδιότητες. Η αμερόληπτη εκτίμηση της τυπικής απόκλισης είναι ένα πολύ τεχνικά εμπλεκόμενο πρόβλημα. Τις περισσότερες φορές, η τυπική απόκλιση εκτιμάται ότι χρησιμοποιεί τη διορθωμένη τυπική απόκλιση του δείγματος (χρησιμοποιώντας Ν - 1), που ορίζονται παρακάτω, και αυτό συχνά αναφέρεται ως "δείγμα τυπικής απόκλισης». Ωστόσο, άλλοι εκτιμητές είναι καλύτεροι από άλλες απόψεις: η μη διορθωμένη εκτιμήτρια συνάρτηση (χρησιμοποιώντας Ν) δίνει χαμηλότερο μέσο τετραγωνικό σφάλμα, ενώ με τη χρήση Ν - 1.5 (για την κανονική κατανομή) σχεδόν εξαλείφει εντελώς την μεροληψία.

Διάστημα εμπιστοσύνης της τυπικής απόκλισης ενός δείγματος

Η συνήθης απόκλιση που παίρνουμε από την δειγματοληψία μιας κατανομής δεν  είναι από μόνη της  απολύτως ακριβής, τόσο για μαθηματικούς λόγους (εξηγούνται εδώ από το διάστημα εμπιστοσύνης) όσο και για πρακτικούς λόγους μέτρησης (σφάλμα μέτρησης). Το μαθηματικό αποτέλεσμα μπορεί να περιγραφεί από το διάστημα εμπιστοσύνης ή CI. Για να δούμε πώς ένα μεγαλύτερο δείγμα θα κάνει το διάστημα εμπιστοσύνης πιο στενό, ας εξεταστούν τα ακόλουθα παραδείγματα :  Για ένα μικρό πληθυσμό Ν = 2, το 95% του CI της SD είναι από 0,45 * SD σε 31,9 * SD. Με άλλα λόγια, η τυπική απόκλιση της κατανομής στο 95% των περιπτώσεων μπορεί να είναι μεγαλύτερη κατά έναν συντελεστή 31 ή μικρότερο κατά ένα συντελεστή 2. Για ένα μεγαλύτερο πληθυσμό Ν = 10, το CI είναι 0.69 * SD έως 1,83 * SD. Έτσι, ακόμη και με έναν πληθυσμό των 10, η πραγματική SD μπορεί ακόμα να είναι σχεδόν κατά έναν  συντελεστή 2 υψηλότερη από ό, τι SD του δείγματος. Για έναν πληθυσμό δείγματος  Ν = 100, αυτό μειώνεται στο  0,88 * SD έως 1,16 * SD. Για να είμαστε πιο σίγουροι ότι η SD του δείγματος είναι κοντά στην πραγματική SD πρέπει να δοκιμάσουμε ένα μεγάλο αριθμό σημείων.

Ερμηνεία και εφαρμογή

Μια μεγάλη τυπική απόκλιση υποδηλώνει ότι τα σημεία των δεδομένων μπορούν να απομακρύνονται μακριά από τη μέση τιμή και μια μικρή τυπική απόκλιση δείχνει ότι είναι συγκεντρωμένα γύρω από τη μέση.
Για παράδειγμα, κάθε ένας από τους τρεις πληθυσμούς {0, 0, 14, 14}, {0, 6, 8, 14} και {6, 6, 8, 8} έχει μια μέση τιμή 7. Οι τυπικές αποκλίσεις τους είναι 7, 5 και 1, αντίστοιχα. Ο τρίτος πληθυσμός έχει μια πολύ μικρότερη τυπική απόκλιση από τα άλλα δύο επειδή οι τιμές του είναι όλες κοντά στο 7. Θα έχει τις ίδιες μονάδες με τα ίδια τα στοιχεία δεδομένων. Εάν, για παράδειγμα, το σύνολο δεδομένων {0, 6, 8, 14} αντιπροσωπεύει τις ηλικίες ενός πληθυσμού τεσσάρων αδελφών σε έτη, η τυπική απόκλιση είναι 5 χρόνια. Ως ένα άλλο παράδειγμα, ο πληθυσμός {1000, 1006, 1008, 1014} μπορεί να αντιπροσωπεύει τις διανυόμενες αποστάσεις από τέσσερις αθλητές, που μετράται σε μέτρα. Έχει μια μέση τιμή 1.007 μέτρων, και μια τυπική απόκλιση των 5 μέτρων.
Η τυπική απόκλιση μπορεί να χρησιμεύσει ως ένα μέτρο αβεβαιότητας. Στη φυσική επιστήμη, για παράδειγμα, η αναφερόμενη τυπική απόκλιση μιας ομάδας επαναλαμβανόμενων μετρήσεων δίνει την ακρίβεια αυτών των μετρήσεων. Όταν αποφασίζεται εάν οι μετρήσεις συμφωνούν με μια θεωρητική πρόβλεψη, η τυπική απόκλιση αυτών των μετρήσεων είναι ζωτικής σημασίας: εάν ο μέσος όρος των μετρήσεων είναι πολύ μακριά από την πρόβλεψη (με την απόσταση που μετράται σε τυπικές αποκλίσεις), τότε η θεωρία που δοκιμάζεται κατά πάσα πιθανότητα πρέπει να αναθεωρηθεί. Αυτό είναι λογικό, δεδομένου ότι δεν εμπίπτουν στο εύρος των τιμών που θα μπορούσε εύλογα να αναμένεται ότι θα συμβεί, αν η πρόβλεψη ήταν σωστή και η τυπική απόκλιση ποσοτικά κατάλληλα. Δείτε το διάστημα πρόβλεψης.
Ενώ η τυπική απόκλιση μετρά πόσο μακριά οι τυπικές τιμές τείνουν να είναι από τη μέση τιμή, υπάρχουν και άλλα μέτρα διαθέσιμα. Ένα παράδειγμα είναι η μέση απόλυτη απόκλιση, η οποία θα μπορούσε να θεωρηθεί ένα πιο άμεσο μέτρο της μέσης απόστασης, σε σύγκριση με την μέση τετραγωνική ρίζα της απόστασης είναι συνυφασμένη με την τυπική απόκλιση.

Παραδείγματα Εφαρμογών

Η πρακτική αξία της κατανόησης της τυπικής απόκλισης ενός συνόλου τιμών βρίσκεται στην εκτίμηση της απομάκρυνσης που υπάρχει από το μέσο όρο.

Πείραμα, βιομηχανική και έλεγχος υποθέσεων

Η τυπική απόκλιση χρησιμοποιείται συχνά για την σύγκριση πραγματικών δεδομένων σε σχέση με ένα μοντέλο για να ελεγχθεί το μοντέλο. Για παράδειγμα, σε βιομηχανικές εφαρμογές, το βάρος των προϊόντων που προέρχονται από μια γραμμή παραγωγής μπορεί να πρέπει να έχει συγκεκριμένη τιμή. Με ζύγιση κάποιου ποσοστού των προϊόντων, το μέσο βάρος μπορεί να βρεθεί, το οποίο θα είναι πάντα ελαφρώς διαφορετικό από το μακροπρόθεσμο μέσο όρο. Με τη χρήση τυπικών αποκλίσεων μια ελάχιστη και μέγιστη τιμή μπορεί να υπολογιστεί έτσι ώστε η μέση τιμή βάρους να είναι μέσα σε πολύ υψηλό ποσοστό (99,9% ή περισσότερο). Αν πέσει έξω από την περιοχή, τότε η διαδικασία παραγωγής μπορεί να χρειαστεί να διορθωθεί. Στατιστικοί έλεγχοι όπως αυτοί είναι ιδιαίτερα σημαντικοί όταν ο έλεγχος είναι ιδιαίτερα ακριβός. Για παράδειγμα, εάν το προϊόν πρέπει να ανοιχθεί και να στραγγιστεί και να ζυγιστεί, ή αν το προϊόν είχε χρησιμοποιηθεί για τη δοκιμή.
Στην πειραματική επιστήμη χρησιμοποιείται ένα θεωρητικό μοντέλο της πραγματικότητας. Η Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων χρησιμοποιεί συμβατικά ένα πρότυπο "5 σίγμα" για τη δήλωση μιας ανακάλυψης. Ένα επίπεδο-πέντε σίγμα μεταφράζεται σε μία περίπτωση στα 3,5 εκατομμύρια όπου η τυχαία διακύμανση θα αποδώσει το αποτέλεσμα. Αυτό το επίπεδο βεβαιότητας ήταν απαραίτητο, προκειμένου να βεβαιώσει ότι ένα σωματίδιο σύμφωνο με το μποζόνιο Higgs είχε ανακαλυφθεί σε δύο ανεξάρτητα πειράματα στο CERN, και αυτό ήταν και το επίπεδο σημαντικότητας που οδήγησε στη δήλωση της πρώτης ανίχνευσης των βαρυτικών κυμάτων.

Καιρός

Ως ένα απλό παράδειγμα, να εξετάσετε τις μέσες ημερήσιες μέγιστες θερμοκρασίες για δύο πόλεις, μία στην ενδοχώρα και μία στην ακτή. Είναι χρήσιμο να κατανοήσουμε ότι το εύρος στις καθημερινές μέγιστες θερμοκρασίες για τις πόλεις κοντά στην ακτή είναι μικρότερη από ό, τι για τις πόλεις ενδοχώρα. Έτσι, ενώ οι δύο αυτές πόλεις μπορούν να έχουν την ίδια μέγιστη μέση θερμοκρασία, η τυπική απόκλιση της μέγιστης ημερήσιας θερμοκρασίας για την παράκτια πόλη θα είναι μικρότερη από εκείνη του ενδοχώρα πόλης καθώς, σε οποιαδήποτε συγκεκριμένη ημέρα, η πραγματική μέγιστη θερμοκρασία είναι πιο πιθανό να είναι μακρύτερα από την μέση μέγιστη θερμοκρασία για την ενδοχώρα της πόλης από ό,τι για την παράκτια.

Οικονομία

Στα οικονομικά, η τυπική απόκλιση χρησιμοποιείται συχνά ως μέτρο του κινδύνου που συνδέεται με την διακύμανση της τιμής ενός συγκεκριμένου περιουσιακού στοιχείου (μετοχές, ομόλογα, ακίνητα, κλπ), ή ο κίνδυνος ενός χαρτοφυλακίου των περιουσιακών στοιχείων (ενεργά διαχειριζόμενων αμοιβαίων κεφαλαίων , ο δείκτης αμοιβαίων κεφαλαίων, ή ETFs). Ο κίνδυνος είναι ένας σημαντικός παράγοντας στον καθορισμό του πώς να διαχειριστεί αποτελεσματικά ένα χαρτοφυλάκιο επενδύσεων, διότι καθορίζει τη διακύμανση στην απόδοση του περιουσιακού στοιχείου ή / και του χαρτοφυλακίου, και δίνει στους επενδυτές μια μαθηματική βάση για τη λήψη επενδυτικών αποφάσεων (γνωστό ως βελτιστοποίηση μέσης διακύμανσης). Η βασική έννοια του κινδύνου είναι ότι καθώς αυτός αυξάνει, η αναμενόμενη απόδοση της επένδυσης θα πρέπει να αυξηθεί επίσης, μία αύξηση γνωστή ως ασφάλιστρο κινδύνου. Με άλλα λόγια, οι επενδυτές θα πρέπει να αναμένουν υψηλότερη απόδοση μιας επένδυσης, όταν η επένδυση φέρει ένα υψηλότερο επίπεδο κινδύνου ή αβεβαιότητας. Κατά την αξιολόγηση των επενδύσεων, οι επενδυτές θα πρέπει να εκτιμήσουν τόσο την αναμενόμενη απόδοση όσο και την αβεβαιότητα των μελλοντικών αποδόσεων. Η τυπική απόκλιση παρέχει μια ποσοτική εκτίμηση της αβεβαιότητας των μελλοντικών αποδόσεων.
Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι ένας επενδυτής είχε να επιλέξει ανάμεσα σε δύο μετοχές. Η μετοχή Α κατά τα τελευταία 20 χρόνια είχε μια μέση απόδοση των 10 τοις εκατό, με τυπική απόκλιση 20 ποσοστιαίες μονάδες (π.μ.) και η μετοχή Β, κατά την ίδια περίοδο, είχε μέση απόδοση του 12 τοις εκατό, αλλά σε υψηλότερη τυπική απόκλιση των 30 (π.μ.). Με βάση τον κίνδυνο και την απόδοση, ο επενδυτής μπορεί να αποφασίσει ότι η μετοχή Α είναι η ασφαλέστερη επιλογή, διότι οι πρόσθετες δύο ποσοστιαίες μονάδες κέρδους της μετοχής Β δεν αξίζουν τις επιπλέον 10 ποσοστιαίες μονάδες της τυπικής απόκλισης (μεγαλύτερος κίνδυνος ή αβεβαιότητα της προσδοκώμενης απόδοσης). Η μετοχή Β είναι πιο πιθανό να υπολείπεται της αρχικής επένδυσης (αλλά και να υπερβεί την αρχική επένδυση) πιο συχνά από ό, τι η μετοχή Α υπό τις ίδιες συνθήκες, και εκτιμάται ότι θα επιστρέψει μόνο δύο τοις εκατό περισσότερο κατά μέσο όρο. Σε αυτό το παράδειγμα, η μετοχή Α αναμένεται να κερδίσει περίπου 10 τοις εκατό, συν ή πλην 20 (π.μ.) (ένα εύρος από 30 τοις εκατό έως -10 τοις εκατό), περίπου τα δύο τρίτα των μελλοντικών αποδόσεων του έτους. Κατά την εξέταση πιο ακραίων δυνατών αποδόσεων ή αποτελεσμάτων στο μέλλον, ο επενδυτής θα πρέπει να περιμένει τα αποτελέσματα από το 10 τοις εκατό συν ή πλην 60 (π.μ.) ή ένα εύρος από 70 τοις εκατό έως -50 τοις εκατό, το οποίο περιλαμβάνει τα αποτελέσματα για τρεις τυπικές αποκλίσεις από τη μέση απόδοση (περίπου 99,7 τοις εκατό των πιθανών αποδόσεων).
Ο υπολογισμός του μέσου όρου (ή του αριθμητικού μέσου όρου) για την επιστροφή της εγγύησης κατά τη διάρκεια μιας δεδομένης περιόδου θα πρέπει να  δημιουργήσει την αναμενόμενη απόδοση του περιουσιακού στοιχείου. Για κάθε περίοδο, αφαιρώντας την αναμενόμενη απόδοση από την πραγματική επιστρέφει τη διαφορά από τη μέση. Τετραγωνίζοντας τη διαφορά σε κάθε περίοδο και λαμβάνοντας το μέσο όρο δίνει την συνολική διακύμανση της επιστροφής του περιουσιακού στοιχείου. Όσο μεγαλύτερη είναι η διακύμανση, τόσο μεγαλύτερο κίνδυνο μεταφέρει η ασφάλεια. Βρίσκοντας την τετραγωνική ρίζα αυτής της διακύμανσης θα δώσει την τυπική απόκλιση του εργαλείου της εν λόγω επένδυσης.
Η τυπική απόκλιση του πληθυσμού χρησιμοποιείται για να οριστεί το πλάτος Bollinger Bands, ένα ευρέως γνωστό εργαλείο τεχνικής  ανάλυσης. Για παράδειγμα, το άνω Bollinger Band δίνεται ως x + nσₓ . Η πιο συχνά χρησιμοποιούμενη τιμή για το n είναι 2, υπάρχει περίπου πέντε τοις εκατό πιθανότητα να πέσει έξω, υποθέτοντας μια κανονική κατανομή των αποδόσεων.
Οικονομικές χρονολογικές σειρές είναι γνωστό ότι είναι μη στάσιμες σειρές, ενώ οι στατιστικοί υπολογισμοί παραπάνω, όπως η τυπική απόκλιση, ισχύουν μόνο για σταθερές σειρές. Για να εφαρμοστούν τα παραπάνω στατιστικά εργαλεία για τις μη στάσιμες σειρές, η σειρά πρέπει πρώτα να μετατραπεί σε στάσιμη σειρά, επιτρέποντας τη χρήση των στατιστικών εργαλείων που έχουν τώρα μια έγκυρη βάση από την οποία μπορούν να δουλέψουν.

Ιστορία

Ο όρος τυπική απόκλιση χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά εγγράφως από τον Karl Pearson το 1894, μετά τη χρήση του όρου στις διαλέξεις του. Αυτό αντικατέστησε τις προηγούμενες εναλλακτικές ονομασίες για την ίδια ιδέα: για παράδειγμα, ο Gauss χρησιμοποιεί το μέσο σφάλμα. Αξίζει ίσως να σημειωθεί ότι το μέσο σφάλμα είναι μαθηματικά διαφορετικό από την τυπική απόκλιση.