Μαθηματικός

Ένας μαθηματικός είναι ένα άτομο με μια εκτενή γνώση μαθηματικών που χρησιμοποιεί αυτήν την γνώση στην εργασία του, για να λύσει τα μαθηματικά προβλήματα. Τα μαθηματικά ενδιαφέρονται για τους αριθμούς, τα στοιχεία, τη συλλογή, την ποσότητα, τη δομή, το διάστημα, και την αλλαγή.
Οι μαθηματικοί που ασχολούνται με την επίλυση των προβλημάτων έξω από τα καθαρά μαθηματικά καλούνται εφαρμοσμένοι μαθηματικοί. Οι εφαρμοσμένοι μαθηματικοί είναι μαθηματικοί επιστήμονες που, με την εξειδικευμένη γνώση και την επαγγελματική μεθοδολογία τους, προσεγγίζουν πολλά από τα «άλυτα» προβλήματα που παρουσιάζονται στους σχετικούς επιστημονικούς τομείς. Με την εστίαση τους σε μια ευρεία ποικιλία των προβλημάτων, τα θεωρητικά συστήματα, και τα προσαρμοσμένα τοπικά κατασκευάσματα, εφάρμοσαν την εργασία των μαθηματικών τακτικά στη μελέτη και τη διατύπωση των μαθηματικών προτύπων. Οι μαθηματικοί και οι εφαρμοσμένοι μαθηματικοί θεωρούνται δύο από τις σταδιοδρομίες STEM (science, technology, engineering, and mathematics - επιστήμη, τεχνολογία, μηχανική και μαθηματικά).
Η πειθαρχία των εφαρμοσμένων μαθηματικών ασχολείται με τις μαθηματικές μεθόδους που χρησιμοποιούνται χαρακτηριστικά στην επιστήμη, την εφαρμοσμένη μηχανική, την επιχείρηση, και τη βιομηχανία• κατά συνέπεια, τα «εφαρμοσμένα μαθηματικά» είναι μια μαθηματική επιστήμη με εξειδικευμένη γνώση. Ο όρος «εφαρμοσμένα μαθηματικά» επίσης περιγράφει την επαγγελματική ειδικότητα στην οποία οι μαθηματικοί εργάζονται στα προβλήματα, συνήθως συγκεκριμένα, αλλά μερικές φορές αφηρημένα. Δεδομένου ότι οι επαγγελματίες εστίασαν στην επίλυση προβλήματος, οι εφαρμοσμένοι μαθηματικοί εξετάζουν τη διατύπωση, τη μελέτη, και τη χρήση των μαθηματικών προτύπων στην επιστήμη, την εφαρμοσμένη μηχανική, την επιχείρηση, και άλλους τομείς της μαθηματικής πρακτικής.

Εκπαίδευση

Οι μαθηματικοί καλύπτουν συνήθως ένα εύρος των θεμάτων μέσα στα μαθηματικά στην προπτυχιακή εκπαίδευσή τους, και στην συνέχεια ειδικεύονται στα θέματα της επιλογής τους σε επίπεδο πτυχίου. Σε μερικά πανεπιστήμια, υπάρχουν κατάλληλες εξετάσεις που ελέγχουν το εύρος και το βάθος της κατανόησης ενός σπουδαστή των μαθηματικών. Oι σπουδαστές που επιτυγχάνουν έχουν την δυνατότητα να εργαστούν σε μια διδακτορική διατριβή.

Κίνητρα

Οι μαθηματικοί ερευνούν σε τομείς όπως η λογική, η καθορισμένη θεωρία, η θεωρία κατηγορίας, η αφηρημένη άλγεβρα, η θεωρία αριθμών, η ανάλυση, η γεωμετρία, η τοπολογία, τα δυναμικά συστήματα, η συνδυαστική, η θεωρία παιχνιδιών, η θεωρία πληροφοριών, η αριθμητική ανάλυση, η βελτιστοποίηση, ο υπολογισμός, οι πιθανότητες και η στατιστική. Αυτοί οι τομείς περιλαμβάνουν και τα καθαρά μαθηματικά και τα εφαρμοσμένα μαθηματικά και εγκαθιστούν τις συνδέσεις μεταξύ των δύο. Μερικοί τομείς, όπως η θεωρία των δυναμικών συστημάτων, ή η θεωρία παιχνιδιών, είναι ταξινομημένοι ως εφαρμοσμένα μαθηματικά λόγω των σχέσεων που κατέχουν με τη φυσική, τα οικονομικά και τις άλλες επιστήμες. Παρόλο που η θεωρία πιθανότητας και η στατιστική είναι θεωρητικής φύσης, ή εφαρμοσμένης φύσης, ή και τα δύο, είναι αρκετά αμφισβητούμενοι τομείς μεταξύ των μαθηματικών. Άλλοι κλάδοι των μαθηματικών, εντούτοις, όπως η λογική, η θεωρία αριθμού, η θεωρία κατηγορίας ή η καθορισμένη θεωρία γίνονται αποδεκτοί ως τμήμα των καθαρών μαθηματικών, αν και βρίσκουν την εφαρμογή σε άλλες επιστήμες (κυρίως πληροφορική και φυσική). Επιπλέον, η ανάλυση, η γεωμετρία και η τοπολογία, αν και θεωρούνται καθαρά μαθηματικά, βρίσκουν εφαρμογές στην θεωρητική φυσική – στην θεωρία χορδών για παράδειγμα.
Αν και είναι αλήθεια ότι τα μαθηματικά βρίσκουν τις διαφορετικές εφαρμογές σε πολλούς τομείς της έρευνας, ένας μαθηματικός δεν καθορίζει την αξία μιας ιδέας από την ποικιλομορφία των αιτήσεών του. Τα μαθηματικά είναι ενδιαφέροντα ιδίω δικαιώματι, και μια ουσιαστική μειονότητα των μαθηματικών ερευνά την ποικιλομορφία των δομών που μελετώνται στα ίδια τα μαθηματικά. Εντούτοις, μεταξύ των ακαδημαϊκών μαθηματικών, η πλειοψηφία των μαθηματικών εγγράφων που δημοσιεύονται στις Ηνωμένες Πολιτείες γράφονται από τους ακαδημαϊκούς εκτός των τμημάτων των μαθηματικών.
Επιπλέον, ένας μαθηματικός δεν είναι κάποιος που χειρίζεται απλώς τύπους, αριθμούς ή εξισώσεις - η ποικιλία των μαθηματικών επιτρέπει την έρευνα σχετικά με το πώς έννοιες σε μια περιοχή των μαθηματικών μπορούν να χρησιμοποιηθούν και σε άλλους τομείς. Για παράδειγμα, αν κάποιος χαρτογραφήσει ένα σύνολο λύσεων μιας εξίσωσης σε κάποιο  χώρο υψηλότερης διάστασης, μπορεί να ρωτήσει σχετικά με τις γεωμετρικές ιδιότητες του γραφήματος. Έτσι, μπορεί κανείς να καταλάβει εξισώσεις με μια καθαρή κατανόηση της αφηρημένης τοπολογίας ή γεωμετρίας – η ιδέα αυτή έχει σημασία στην αλγεβρική γεωμετρία. Ομοίως, ένας μαθηματικός δεν περιορίζει τη μελέτη του στους αριθμούς, στους ακέραιους. Σε αντίθεση προτιμά πιο αφηρημένες δομές, όπως δαχτυλίδια, και πιο συγκεκριμένα δαχτυλίδια αριθμών στο πλαίσιο της Αλγεβρικής Θεωρίας Αριθμών. Αυτό εξηγεί τον αφηρημένο χαρακτήρα των μαθηματικών και πως δεν περιορίζονται σε ερωτήσεις που μπορεί κανείς να κάνει στην καθημερινή ζωή.
Σε μια διαφορετική κατεύθυνση, οι μαθηματικοί κάνουν ερωτήσεις για το χώρο και τους μετασχηματισμούς που δεν περιορίζονται σε γεωμετρικά σχήματα, όπως τετράγωνα και κύκλους. Για παράδειγμα, ένας ενεργός τομέας της έρευνας στην διαφορική τοπολογία ασχολείται με τους τρόπους που μπορεί κανείς να "εξομαλύνει" υψηλότερων διαστάσεων στοιχεία. Στην πραγματικότητα, αν κάποιος μπορεί να εξομαλύνει ορισμένες σφαίρες υψηλότερων διαστάσεων που ήταν, μέχρι πρόσφατα, ένα ανοικτό πρόβλημα - γνωστό ως εικασία Poincaré. Μια άλλη πτυχή των μαθηματικών, η συνολοθεωρητική τοπολογία και η σημειολογική τοπολογία, αφορά αντικείμενα διαφορετικής φύσεως από τα αντικείμενα στο σύμπαν μας, ή σε υψηλότερων διαστάσεων ανάλογων του σύμπαντος μας. Αυτά τα αντικείμενα συμπεριφέρονται με έναν περίεργο τρόπο κάτω από παραμορφώσεις, και οι ιδιότητες που κατέχουν είναι εντελώς διαφορετικές από εκείνες των αντικειμένων στο σύμπαν μας. Για παράδειγμα, η «απόσταση» μεταξύ δύο σημείων σε ένα αντικείμενο, μπορεί να εξαρτάται από τη σειρά με την οποία θα εξετάσουμε το ζεύγος των σημείων. Αυτό είναι τελείως διαφορετικό από την καθημερινή ζωή, στην οποία γίνεται δεκτό ότι η ευθεία απόσταση από το άτομο Α στο άτομο Β είναι η ίδια με εκείνη μεταξύ του ατόμου Β και του ατόμου Α.
Μια άλλη πτυχή των μαθηματικών, που συχνά αναφέρεται ως «θεμελιώδεις μαθηματικά», αποτελείται από τα πεδία της λογικής και της θεωρίας συνόλων. Αυτά διερευνούν διάφορες ιδέες σχετικά με τους τρόπους που μπορούν να αποδειχθούν ορισμένες αξιώσεις. Αυτή η θεωρία είναι πολύ πιο περίπλοκη από ότι φαίνεται, δεδομένου ότι η αλήθεια μιας απαίτησης εξαρτάται από το πλαίσιο στο οποίο διατυπώνεται ο ισχυρισμός, σε αντίθεση με τις βασικές ιδέες της καθημερινής ζωής όπου η αλήθεια είναι απόλυτη. Στην πραγματικότητα, αν και ορισμένοι ισχυρισμοί μπορεί να είναι αλήθεια, είναι αδύνατον να αποδειχθούν ή να διαψευθούν στα φυσικά περιβάλλοντα.
Η Θεωρία Κατηγοριών, ένα άλλο πεδίο στο πλαίσιο των «θεμελιώδων μαθηματικών», έχει τις ρίζες της στην αφηρημένη αξιωματοποίηση του ορισμού «τάξη των μαθηματικών δομών», που αναφέρεται ως «κατηγορία». Μια κατηγορία αποτελείται διαισθητικά από μια συλλογή αντικειμένων, και καθορίζεται από τις σχέσεις μεταξύ τους. Ενώ αυτά τα αντικείμενα μπορεί να είναι οτιδήποτε (όπως οι «πίνακες» ή «καρέκλες»), οι μαθηματικοί συνήθως ενδιαφέρονται κυρίως, πιο αφηρημένα, για τις κατηγορίες των εν λόγω αντικειμένων. Σε κάθε περίπτωση, είναι οι σχέσεις μεταξύ αυτών των αντικειμένων, και όχι τα πραγματικά αντικείμενα που κατά κύριο λόγο μελετήθηκαν.

Βραβεία στα μαθηματικά

Δεν υπάρχει κανένα βραβείο Νόμπελ στα μαθηματικά, αν και μερικές φορές οι μαθηματικοί έχουν κερδίσει το βραβείο Νόμπελ σε έναν διαφορετικό τομέα, όπως τα οικονομικά. Τα προεξέχοντα βραβεία στα μαθηματικά περιλαμβάνουν το Abel Prize, το μετάλλιο Chern, το μετάλλιο Fields, το βραβείο Gauss, το βραβείο Nemmers, το βραβείο Balzan, το βραβείο Crafoord, το βραβείο Shaw, το βραβείο Steele, το βραβείο Wolf, το βραβείο Schock, και το βραβείο Nevanlinna