Τριγωνομετρία

Ιστορική αναδρομή

Ο όρος τριγωνομετρία καθιερώθηκε το 1595 από τον Γερμανό μαθηματικό Bartholomäus Pitiscus στο έργο του Trigonometria: sive de solutione triangulorum tractatus brevis et perspicuus. Εντούτοις η τριγωνομετρία αναπτύχθηκε και ήταν μέρος των μαθηματικών από την αρχαιότητα. Ο Αρίσταρχος χρησιμοποίησε ορθογώνια τρίγωνα για να υπολογίσει την απόσταση της Γης από τον Ήλιο και την Σελήνη. Οι αστρονόμοι Ίππαρχος και Πτολεμαίος χρησιμοποιούσαν καταλόγους που μετέτρεπαν γωνίες κύκλου σε μήκος χορδής, η γνωστή σε μας τριγωνομετρική συνάρτηση του ημίτονου.
Οι Σουμέριοι αστρονόμοι εισήγαγαν το μέτρο της γωνίας, χρησιμοποιώντας ένα διαχωρισμό του κύκλου σε 360 μοίρες. Αυτοί και οι διάδοχοί τους, οι Βαβυλώνιοι μελέτησαν τις αναλογίες των πλευρών ομοίων τριγώνων και ανακάλυψαν κάποιες ιδιότητες αυτών των αναλογιών, αλλά δεν το μετέτρεψαν σε μια συστηματική μέθοδο για την εύρεση πλευρών και γωνιών των τριγώνων. Οι αρχαίοι Νουβίοι χρησιμοποιούσαν μια παρόμοια μέθοδο. Οι αρχαίοι Έλληνες μετέτρεψαν την τριγωνομετρία σε μια διατεταγμένη επιστήμη.
Κλασικοί Έλληνες μαθηματικοί (όπως ο Ευκλείδης και ο Αρχιμήδης) μελέτησαν τις ιδιότητες των χορδών και των χαραγμένων γωνιών σε κύκλους, και απόδειξαν θεωρήματα που ισοδυναμούν με σύγχρονους τριγωνομετρικούς τύπους παρόλο που τα απεδείκνυαν γεωμετρικά και όχι αλγεβρικά. Ο Κλαύδιος ο Πτολεμαίος διεύρυνε τις χορδές του Ίππαρχου σε ένα κύκλο στην Αλμαγέστη του. Η σύγχρονη ημιτονοειδής συνάρτηση ορίσθηκε για πρώτη φορά στη Surya Siddhanta, και οι ιδιότητές της ήταν τεκμηριωμένες περαιτέρω από τον Ινδό μαθηματικό και αστρονόμο του 5ου αιώνα Αριαμπάτα. Τα ελληνικά και τα Ινδικά αυτά έργα έχουν μεταφραστεί και επεκταθεί από Ισλαμιστές μαθηματικούς του μεσαίωνα. Μέχρι το 10ο αιώνα, οι ισλαμιστές μαθηματικοί χρησιμοποιούσαν και τις έξι τριγωνομετρικές συναρτήσεις, είχαν ταξινομημένες τις τιμές τους, και τις χρησιμοποιούσαν για τα προβλήματα στη σφαιρική γεωμετρία. Την ίδια περίπου εποχή, Κινέζοι μαθηματικοί ανέπτυξαν την τριγωνομετρία ανεξάρτητα, αν και δεν ήταν σημαντικό πεδίο μελέτης για αυτούς. Η γνώση των τριγωνομετρικών συναρτήσεων και μεθόδων έφτασε στην Ευρώπη μέσω λατινικών μεταφράσεων των έργων των Περσών και αράβων αστρονόμων όπως ο Al Battani και Nasir al-Din al-Tusi. Ένα από τα πρώτα έργα στην τριγωνομετρία από έναν ευρωπαίο μαθηματικό είναι το De Triangulis από τον γερμανό μαθηματικό Regiomontanus του 15ου αιώνα. Η τριγωνομετρία ήταν ακόμα τόσο λίγο γνωστή στην Ευρώπη του 16ου αιώνα που ο Νικόλαος Κοπέρνικος αφιέρωσε δύο κεφάλαια του De Revolutionibus orbium coelestium για να εξηγήσει τις βασικές έννοιες.
Καθοδηγούμενη από τις απαιτήσεις της ναυσιπλοΐας και την αυξανόμενη ανάγκη για ακριβείς χάρτες των μεγάλων περιοχών, η τριγωνομετρία μεγάλωσε σε ένα σημαντικό κλάδο των μαθηματικών. Ο Bartholomaeus Pitiscus ήταν ο πρώτος που χρησιμοποίησε τη λέξη, δημοσιεύοντας την trigonometría του το 1595. Η Gemma Frisius περιέγραψε για πρώτη φορά τη μέθοδο της τριγωνοποίησης η οποία χρησιμοποιείται ακόμα και σήμερα στην χωρομέτρηση. Ήταν ο Leonhard Euler ο οποίος ενσωμάτωσε πλήρως τους μιγαδικούς αριθμούς στην τριγωνομετρία. Τα έργα του James Gregory τον 17ο αιώνα και του Colin Maclaurin τον 18ο αιώνα ήταν μεγάλη επιρροή στην ανάπτυξη των τριγωνομετρικών σειρών. Επίσης, τον 18ο αιώνα, ο Brook Taylor καθόρισε τη γενική σειρά Taylor.
Οι Άραβες υιοθέτησαν τις τριγωνομετρικές μελέτες των αρχαίων Ελλήνων και των Ινδών και ανάπτυξαν την σφαιρική τριγωνομετρία. Οι μαθηματικοί της Ευρώπης μυήθηκαν στην τριγωνομετρία τον 15ο αιώνα, όταν την εποχή της Αναγέννησης ασχολήθηκαν με τον υπολογισμό βαλλιστικών τροχιών. Ο Γερμανός αστρονόμος Ρεγιομοντάνος σύνταξε μια πεντάτομη διδασκαλία της επίπεδης και σφαιρικής τριγωνομετρία με τίτλο De triangulis omnimodis. Σήμερα ο τρόπος γραφής των τριγωνομετρικών συναρτήσεων βασίζεται κατά μεγάλο βαθμό στα έργα του Όιλερ.

Υπολογισμός τριγωνομετρικών συναρτήσεων

Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις ήταν από τις πρώτες χρήσεις των μαθηματικών πινάκων. Τέτοιοι πίνακες ενσωματώθηκαν σε μαθηματικά εγχειρίδια και οι μαθητές διδάχθηκαν να αναζητούν τις τιμές και πως να παρεμβαίνουν μεταξύ των τιμών που αναφέρονται για υψηλότερη ακρίβεια. Οι κυλιόμενοι κανόνες είχαν ειδικές κλίμακες για τριγωνομετρικές συναρτήσεις.
Σήμερα, οι επιστημονικές αριθμομηχανές έχουν κουμπιά για τον υπολογισμό των βασικών τριγωνομετρικών συναρτήσεων (sin, cos, tan, και μερικές φορές cis και των αντιστρόφων τους). Οι περισσότερες επιτρέπουν την επιλογή της γωνίας μέτρησης:. μοίρες, ακτίνια και, μερικές φορές grad. Οι περισσότερες γλώσσες προγραμματισμού ηλεκτρονικών υπολογιστών παρέχουν βιβλιοθήκες συναρτήσεων που περιλαμβάνουν τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Η μονάδα FPU ενσωματώνεται σε τσιπ μικροεπεξεργαστών που χρησιμοποιούνται στους περισσότερους προσωπικούς υπολογιστές και έχει ενσωματωμένες οδηγίες για τον υπολογισμό των τριγωνομετρικών συναρτήσεων.

Πρότυπες σχέσεις

Ορισμένες εξισώσεις περιλαμβανομένων των τριγωνομετρικών συναρτήσεων είναι αληθείς για όλες τις γωνίες και είναι γνωστές ως τριγωνομετρικές ταυτότητες. Ορισμένες ταυτότητες εξισώνουν μια έκφραση σε μια διαφορετική έκφραση που περιλαμβάνει τις ίδιες γωνίες. Αυτά αναφέρονται στον κατάλογο των τριγωνομετρικών ταυτοτήτων. Οι τριγωνομετρικές ταυτότητες που συνδέουν τις πλευρές και γωνίες ενός δοσμένου τριγώνου αναφέρονται παρακάτω.
Στις ακόλουθες ταυτότητες, Α, Β και Γ είναι οι γωνίες ενός τριγώνου και α, β και γ είναι τα μήκη των πλευρών του τριγώνου απέναντι από τις αντίστοιχες γωνίες.

Σφαιρική τριγωνομετρία

Η σφαιρική τριγωνομετρία αποτελεί εν μέρει αντικείμενο της ουράνιας μηχανικής στην αστρονομία και αφορά στην επίλυση σφαιρικών τριγώνων.

Εφαρμογές της τριγωνομετρίας

Υπάρχει ένας μεγάλος αριθμός χρήσεων της τριγωνομετρίας και των τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Για παράδειγμα, η τεχνική του τριγωνισμού χρησιμοποιείται στην αστρονομία για να μετρήσει την απόσταση σε κοντινά αστέρια, στη γεωγραφία για τη μέτρηση αποστάσεων μεταξύ ορόσημων, και στα συστήματα δορυφορικής πλοήγησης. Οι συναρτήσεις ημίτονου και συνημίτονου είναι θεμελιώδους σημασίας στη θεωρία των περιοδικών συναρτήσεων όπως αυτές που περιγράφουν τα κύματα ήχου και το φωτός.
Τα πεδία που χρησιμοποιούν την τριγωνομετρία ή τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις περιλαμβανομένου και της αστρονομίας (ειδικά για τον εντοπισμό θέσης των ουράνιων αντικειμένων, στην οποία η σφαιρική τριγωνομετρία είναι απαραίτητη) και ως εκ τούτου στην πλοήγηση (στους ωκεανούς, σε αεροσκάφη, και στο διάστημα), θεωρία της μουσικής, σύνθεση ήχου, ακουστική, οπτική, ανάλυση των χρηματοπιστωτικών αγορών, ηλεκτρονικά, θεωρία πιθανοτήτων, στατιστική, βιολογία, ιατρική απεικόνιση (ακτινογραφία και υπερηχογράφημα), φαρμακευτική, χημεία, θεωρία αριθμών (και ως εκ τούτου, κρυπτογράφηση), σεισμολογία, μετεωρολογία, ωκεανογραφία, πολλές φυσικές επιστήμες, τοπογράφηση και γεωδαισία, την αρχιτεκτονική, φωνητική, οικονομία, ηλεκτρολογία, μηχανολογία, κατασκευές, γραφικά υπολογιστών, χαρτογραφία, κρυσταλλογραφία και την ανάπτυξη παιχνιδιών.