Τύπος του Όιλερ

 Ο τύπος του Όιλερ, που πήρε το όνομά του από τον Leonhard Euler, είναι ένας μαθηματικός τύπος στη μιγαδική ανάλυση που καθορίζει τη θεμελιώδη σχέση μεταξύ των τριγωνομετρικών συναρτήσεων και της εκθετικής συνάρτησης με φανταστικό όρισμα. Σύμφωνα με τον τύπο του Όιλερ για κάθε πραγματικό αριθμό x ισχύει
 e^{ix}=\cos x+i\sin x, 
όπου e είναι η βάση του φυσικού λογαρίθμου, i η φανταστική μονάδα, ενώ τα cos and sin συμβολίζουν τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις του συνημιτόνου και του ημιτόνου, αντίστοιχα, με το όρισμα x να δίνεται σε ακτίνια. Η παραπάνω μιγαδική εκθετική συνάρτηση καλείται μερικές φορές cis(x) ("cosine plus i sine"). Ο τύπος του Όιλερ ισχύει και στην περίπτωση που το όρισμα x είναι μιγαδικός αριθμός, με αποτέλεσμα ορισμένοι συγγραφείς να αναφέρονται σε αυτή την πιο σύνθετη εκδοχή της ως τύπο του Euler.
Ο τύπος του Όιλερ συναντάται στα μαθηματικά, τη φυσική και τη μηχανική. Ο φυσικός Richard Feynman αποκάλεσε την εξίσωση "κόσμημα" και "τον πιο αξιοσημείωτο τύπο στα μαθηματικά."

Ιστορία

Ο Johann Bernoulli παρατήρησε ότι
\dfrac {1}{1+x^{2}}=\dfrac {1}{2}\left( \dfrac {1}{1-ix}+\dfrac {1}{1+ix}\right)
και εφόσον
\int \dfrac {dx}{1+ax}=\dfrac {1}{a}\ln \left( 1+ax\right) +C ,
η παραπάνω εξίσωση μας λέει κάτι για τους μιγαδικούς λογαριθμούς, παρ' όλο που ο Bernoulli δεν προχώρησε σε υπολογισμό του ολοκληρώματος. Από την αλληλογραφία του Bernoulli με τον Euler (που επίσης γνώριζε την παραπάνω εξίσωση) προκύπτει ότι ο Bernoulli δεν κατανοούσε πλήρως τους μιγαδικούς λογαρίθμους. Ο Euler πρότεινε επίσης ότι οι μιγαδικοί αριθμοί μπορούν να έχουν απείρως πολλές τιμές.
Εν τω μεταξύ, ο Roger Cotes, το 1714, ανακάλυψε ότι
ix=\ln \left( \cos x+i\sin x\right). 
(\ln είναι ο φυσικός λογάριθμος)
Στον Cotes διέφυγε ότι ένας μιγαδικός λογάριθμος μπορεί να έχει απείρως πολλές τιμές, που διαφέρουν μεταξύ τους κατά πολλαπλάσια του 2iπ εξαιτίας της περιοδικότητας των τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Γύρω στο 1740 ο Euler έστρεψε την προσοχή του από τους λογαρίθμους στην εκθετική συνάρτηση και κατέληξε στον τύπο που χρησιμοποιείται σήμερα και έχει το όνομά του. Δημοσιεύτηκε το 1748 και προέκυψε από τη σύγκριση των αναπτυγμάτων σε σειρά της εκθετικής συνάρτησης και των τριγωνομετρικών εκφράσεων.
Κανένας από τους παραπάνω μαθηματικούς δεν είδε τη γεωμετρική ερμηνεία του τύπου. Η θεώρηση των μιγαδικών αριθμών ως σημεία του μιγαδικού επιπέδου περιγράφηκε 50 χρόνια αργότερα από τον Caspar Wessel.

Τοπολογική ερμηνεία

Στη γλώσσα της τοπολογίας ο τύπος του Όιλερ δηλώνει ότι η φανταστική εκθετική συνάρτηση t\mapsto e^{it} είναι ένας (επιρριπτικός) μορφισμός των τοπολογικών ομάδων από την ευθεία των πραγματικών αριθμών ℝ στο μοναδιαίο κύκλο \mathbb S^1. Στην πραγματικότητα, αυτό αναδεικνύει το ℝ ως χώρο κάλυψης του \mathbb S^1. Ομοίως, η ταυτότητα του Euler λέει ότι ο πυρήνας της απεικόνισης είναι \tau\mathbb Z, όπου \tau = 2\pi. Οι παρατηρήσεις αυτές μπορούν να συνδυαστούν και να συνοψιστούν από ένα μεταθετικό διάγραμμα.

Άλλες εφαρμογές

Στις διαφορικές εξισώσεις η συνάρτηση eⁱˣ χρησιμοποιείται για να απλοποιήσει την εξαγωγή σχέσεων ακόμα και αν ο τελικός τύπος είναι μία πραγματική συνάρτηση που περιλαμβάνει ημίτονα και συνημίτονα. Ο λόγος που συμβαίνει αυτό είναι το γεγονός ότι η μιγαδική εκθετική συνάρτηση είναι η ιδιοσυνάρτηση της παραγώγισης. Η ταυτότητα του Όιλερ είναι απλή συνέπεια του τύπου του Όιλερ.
Στην ηλεκτρονική μηχανική και σε άλλα πεδία, τα σήματα που μεταβάλλονται περιοδικά με το χρόνο συχνά περιγράφονται σαν ένας συνδυασμός συναρτήσεων ημιτόνου και συνημιτόνου (βλέπε ανάλυση Fourier), τις οποίες μας διευκολύνει να εκφράσουμε ως το πραγματικό μέρος εκθετικών συναρτήσεων με φανταστικούς εκθέτες χρησιμοποιώντας τον τύπο του Όιλερ. Επίσης, η ανάλυση σε στρεφόμενα διανύσματα μπορεί να συμπεριλάβει τον τύπο του Όιλερ για να αναπαραστήσει την εμπέδηση ενός πυκνωτή ή ενός πηνίου.

Ορισμοί της εκθετικής συνάρτησης

Η εκθετική συνάρτηση eˣ για πραγματικές τιμές του x μπορεί να οριστεί με μερικούς διαφορετικούς ισοδύναμους τρόπους. Αρκετές από αυτές τις μεθόδους μπορούν ευθέως να επεκταθούν για να δώσουν ορισμούς του eᶻ για μιγαδικές τιμές του z απλώς αντικαθιστώντας το z στη θέση του x και χρησιμοποιώντας μιγαδικές αλγεβρικές πράξεις. Συγκεκριμένα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε έναν οποιοδήποτε από τους παρακάτω δύο ορισμούς που είναι ισοδύναμοι. Από μία πιο προχωρημένη οπτική, καθένας από τους ορισμούς μπορεί να ερμηνευτεί ότι μας δίνει αναλυτική επέκταση κατά μοναδικό τρόπο του eˣ στο μιγαδικό επίπεδο.

Αποδείξεις

Υπάρχουν διάφοροι τρόποι απόδειξης του τύπου του Όιλερ.