Αντιμεταθετική ιδιότητα

Ως αντιμεταθετική ιδιότητα χαρακτηρίζουμε στα μαθηματικά, την ιδιότητα μιας πράξης μεταξύ δύο μελών, να έχει το ίδιο αποτέλεσμα ακόμα και αν ανταλλάξουμε τη σειρά των μελών μεταξύ τους. Αποτελεί βασική ιδιότητα πολλών δυαδικών πράξεων και πολλές μαθηματικές αποδείξεις στηρίζονται σε αυτήν. Εκτός από τη γνωστή χρήση της ιδιότητας π.χ.: "3 + 4 = 4 + 3" ή "2 × 5 = 5 × 2", χρησιμοποιείται επίσης και σε πιο περίπλοκες εφαρμογές. Η ονομασία αυτής είναι απαραίτητη καθώς υπάρχουν πράξεις, όπως η αφαίρεση και η διαίρεση στις οποίες δεν ισχύει (π.χ.: 3 − 5 ≠ 5 − 3). Τέτοιου είδους πράξεις λέμε ότι δεν είναι αντιμεταθετικές ή ότι είναι μη-αντιμεταθετικές. Η ιδέα ότι απλές πράξεις όπως η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός των αριθμών, είναι αντιμεταθετικές προϋπήρχε για πολλά χρόνια χωρίς να της έχει δοθεί κάποιο όνομα μέχρι το 19ο αιώνα όταν τα μαθηματικά ξεκίνησαν να τυποποιούνται.

Χρήσεις

Η αντιμεταθετική ιδιότητα συνδέεται με δυαδικές πράξεις και συναρτήσεις. Αν αυτή ισχύει για δύο στοιχεία σε μια συγκεκριμένη δυαδική πράξη τότε τα στοιχεία αυτά λέμε ότι αντιμετατίθενται ως προς τη πράξη αυτή.

Μαθηματικοί ορισμοί

Ο όρος "αντιμεταθετικότητα" χρησιμοποιείται σε αρκετές σχετικές μεταξύ τους περιπτώσεις.
1.Μια δυαδική πράξη  σε ένα σύνολο S  λέγεται αντιμεταθετική αν:
Μια πράξη η οποία δεν ικανοποιεί την παραπάνω πράξη καλείται μη-αντιμεταθετική.
2.Λέμε ότι το x αντιμετατίθεται με το y ως προς μια πράξη  αν:
3.Μία δυαδική συνάρτηση  ονομάζεται αντιμεταθετική αν:

Ιστορία

Η ιδέα της αντιμεταθετικής ιδιότητας είναι αρκετά παλιά. Οι αρχαίοι Αιγύπτιοι γνώριζαν και χρησιμοποιούσαν την αντιμεταθετική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού για να απλοποιήσουν τις πράξεις τους. Επίσης στα Στοιχεία φαίνεται ότι ο Ευκλείδης έχει επίγνωση της αντιμεταθετικής ιδιότητας. Οι πρώτες χρήσεις της αντιμεταθετικής ιδιότητας εμφανίζονται στα τέλη του 18ου αιώνα και αρχές του 19ου αιώνα, όταν οι μαθηματικοί ξεκίνησαν να ασχολούνται με τη θεωρία των συναρτήσεων. Σήμερα, η αντιμεταθετική ιδιότητα είναι γνωστή και βασική στους περισσότερους κλάδους των μαθηματικών.
Η πρώτη καταγραφή του όρου αντιμεταθετικότητα βρίσκεται στο βιογραφικό του Φρανσουά Σερβουά (François Servois) το 1814, ο οποίος χρησιμοποίησε τη λέξη αντιμεταθετική όταν περιέγραφε συναρτήσεις οι οποίες είχαν αυτό που τώρα λέγεται αντιμεταθετική ιδιότητα. Αυτή η σύνθετη λέξη αποτελείται από τη πρόθεση αντί, το χρονικό επίρρημα μετά και το ρήμα θέτω.

Κανόνας της αντικατάστασης

Στην αληθο-συναρτησιακή προτασιακή λογική, η αντιμετάθεση ή η αντιμεταθετικότητα αναφέρεται σε δύο βασικούς κανόνες αντικατάστασης. Οι κανόνες αυτοί μας επιτρέπουν να αντιμεταθέσουμε προτασιακές μεταβλητές μέσα σε λογικές εκφράσεις με λογικές αποδείξεις. Οι κανόνες είναι οι εξής:
και
όπου "" είναι ένα σύμβολο που σημαίνει "το ένα μέλος συνεπάγεται το άλλο."

Αληθο-συναρτησιακοί σύνδεσμοι

Αντιμεταθετικότητα είναι μία ιδιότητα μερικών λογικών σχέσεων της αληθο-συναρτησιακής προτασιακής λογικής. Οι ακόλουθες λογικές ισοδυναμίες δείχνουν ότι η αντιμεταθετικότητα είναι μία ιδιότητα συγκεκριμένων συνδέσμων. Οι παρακάτω είναι αληθο-συναρτησιακές ταυτολογίες.

Θεωρία συνόλων

Στις ομάδες και στη θεωρία συνόλων, πολλές αλγεβρικές δομές ονομάζονται αντιμεταθετικές όταν ορισμένοι τελεστές ικανοποιούν την αντιμεταθετική ιδιότητα. Σε ανώτερους κλάδους των μαθηματικών, όπως η ανάλυση και η γραμμική άλγεβρα, η αντιμεταθετικότητα των γνωστών πράξεων (όπως η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός των πραγματικών και των μιγαδικών αριθμών) χρησιμοποιείται σε αποδείξεις.

Προσεταιριστική ιδιότητα

Η προσεταιριστική ιδιότητα σχετίζεται άμεσα με την αντιμεταθετική. Σύμφωνα με την προσεταιριστική ιδιότητα μιας έκφρασης που περιλαμβάνει δύο ή περισσότερες εμφανίσεις του ίδιου τελεστή, η σειρά που εκτελούνται οι πράξεις δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα, αν και μόνον αν η σειρά των όρων δεν αλλάζει. Αντιθέτως, σύμφωνα με την αντιμεταθετική ιδιότητα η σειρά των όρων δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα. 
Οι περισσότερες αντιμεταθετικές πράξεις που συναντάμε είναι επίσης προσεταιριστικές. Ωστόσο, η αντιμεταθετική ιδιότητα δε συνεπάγεται την προσεταιριστική. Ένα παράδειγμα είναι η συνάρτηση
η οποία είναι ξεκάθαρα αντιμεταθετική (εναλλάσσοντας το x με το y δεν επηρεάζεται το αποτέλεσμα) αλλά δεν είναι προσεταιριστική ( για παράδειγμα,
).

Συμμετρία

Πολλές μορφές συμμετρίας συνδέονται άμεσα με την αντιμεταθετικότητα. Όταν ένας αντιμεταθετικός τελεστής είναι γραμμένος σαν δυαδική συνάρτηση τότε η τελική συνάρτηση είναι συμμετρική ως προς την ευθεία y = x. Για παράδειγμα, αν θέσουμε τη συνάρτσηση f να αναπαριστάνει την πρόσθεση (μία αντιμεταθετική πράξη) έτσι ώστε f(x,y) = x + y τότε η f  είναι μία συμμετρική συνάρτηση, όπως φαίνεται και στην εικόνα. 
Για τις σχέσεις, μια συμμετρική σχέση είναι ανάλογη μιας αντιμεταθετικής πράξης, έτσι ώστε αν μία σχέση R είναι συμμετρική, τότε .

Μη-αντιμεταθετικοί τελεστές στη κβαντική μηχανική

Στη κβαντική μηχανική όπως διατυπώθηκε από τον Σρέντιγκερ (Schrödinger), οι φυσικές μεταβλητές εκφράζονται με γραμμικούς τελεστές όπως το x (πολλαπλασιασμός επί x) και το . Αυτοί οι τελεστές δεν αντιμετατίθενται όπως γίνεται αντιληπτό θεωρώντας την επίδραση των συνθέσεών τους  και  (που λέγονται και γινόμενα τελεστών) σε μία μονοδιάστατη κυματική συνάρτηση 
Σύμφωνα με την αρχή της απροσδιοριστίας του Χάιζενμπεργκ (Heisenberg), αν δύο τελεστές που εκφράζουν ένα ζευγάρι μεταβλητών δεν αντιμετατίθενται, τότε οι μεταβλητές αυτές είναι μεταξύ τους συμπληρωματικές, που σημαίνει ότι δεν μπορούν να υπολογιστούν ταυτόχρονα ή με ακρίβεια. Για παράδειγμα, η  θέση και η γραμμική ορμή στη x-διάσταση ενός σωματιδίου εκφράζονται με τους τελεστές  και  (όπου  είναι η σταθερά του Πλανκ). Είναι το ίδιο αν εξαιρέσουμε τη σταθερά , έτσι ώστε οι τελεστές να μην αντιμετατίθενται και τελικά η φυσική εξήγηση να είναι ότι η θέση και η γραμμική ορμή σε μια δοσμένη κατεύθυνση είναι συμπληρωματικές μεταξύ τους.