Προβλήματα του Χίλμπερτ

Τα Προβλήματα του Χίλμπερτ αποτελούν μια λίστα από είκοσι τρία (23) προβλήματα στα μαθηματικά τα οποία εκδόθηκαν από το Γερμανό μαθηματικό Ντάβιντ Χίλμπερτ το 1900. Τα προβλήματα ήταν όλα άλυτα εκείνη την περίοδο, και πολλά από αυτά είχαν μεγάλη επιρροή στους μαθηματικούς του 20ου αιώνα. Ο Χίλμπερτ παρουσίασε 10 από αυτά τα προβλήματα (1, 2, 6, 7, 8, 13, 16, 19, 21 και 22) όταν ήταν ομιλητής στο διεθνές συνέδριο μαθηματικών του Παρισιού, στις 8 Αυγούστου στη Σορβόνη. Η πλήρης λίστα με τα 23 προβλήματα δημοσιεύθηκε αργότερα, με πιο σημαντική τη μετάφραση της το 1902 από τη Μαρί Φρανσέ Ουίνστον Νίουσον  στο Περιοδικό της Αμερικάνικης Μαθηματικής Εταιρείας.

Φύση και επιρροές των προβλημάτων

Τα προβλήματα του Χίλμπερτ έχουν μεγάλη κύμανση τόσο σε θεματολογία όσο και σε ακρίβεια διατύπωσης.  Μερικά από αυτά είναι διατυπωμένα με τόση ακρίβεια ώστε είναι δυνατόν να απαντηθούν με μια θετική ή αρνητική απάντηση όσων αφορά την ισχύ τους, όπως το 3ο πρόβλημα (πιθανώς το πιο εύκολο για κάποιον μη μυημένο στα μαθηματικά για να το καταλάβει καθώς και το πρώτο το οποίο λύθηκε) ή το διαβόητο 8ο πρόβλημα (η υπόθεση του Ρίμαν).  Υπάρχουν άλλα προβλήματα (σημειωτέον το 5ο) για τα οποία οι ειδικοί έχουν συμφωνήσει σε μια διατύπωση και λύση, στην μετάφραση που δόθηκε, αλλά παραμένουν και άλυτα προβλήματα τα οποία συνδέονται μεταξύ τους, πράγμα το οποίο ενδέχεται να επιδίωκε ο ίδιος ο Χίλμπερτ.  Μερικές φορές οι διατυπώσεις του Χίλμπερτ δεν ήταν αρκετά ακριβείς, έτσι ώστε να προσδιορίσουν πλήρως ένα πρόβλημα, ωστόσο υποδηλώνονται σε ικανοποιητικό βαθμό, έτσι ώστε τα συγκεκριμένα προβλήματα να μπορούν να προσεγγιστούν σήμερα, για παράδειγμα οι περισσότεροι αλγεβριστές θα προτιμούσαν το 9ο πρόβλημα να αναφέρεται ως (εικασία) η αλληλογραφία του Λάνγκλαντς στις παραστάσεις της απολύτου ομάδας του Γκαλουά ενός σώματος αριθμών. Ακόμη άλλα προβλήματα (π.χ το 11ο και το 16ο) αποτελούν ακμάζοντες υποκλάδους των σύγχρονων μαθηματικών, όπως η θεωρία των τετραγωνικών μορφών και οι πραγματικές αλγεβρικές καμπύλες.
Υπάρχουν δύο προβλήματα τα οποία δεν είναι απλώς άλυτα, αλλά ίσως να είναι γενικώς μη επιλύσιμα με τις τωρινές μαθηματικές γνώσεις.  Το 6ο πρόβλημα αφορά την αξιωματοποίηση της φυσικής, ένα στόχο που έχουν καταστήσει οι φυσικοί του 20ου αιώνα (συμπεριλαμβανομένης και της αναγνώρισης της φυσικής ως μια αυστηρά ανεξάρτητης επιστήμης από τα μαθηματικά) κατά κάποιο τρόπο λιγότερο σημαντικό απ'ότι την εποχή του Χίλμπερτ. Επίσης, το 4ο πρόβλημα που αφορά τα θεμέλια της γεωμετρίας, διατυπώνεται με ένα τρόπο ο οποίος χαρακτηρίζεται ως ασαφής στο να επιτρέψει μια συγκεκριμένη απάντηση.
Αξιοσημείωτο είναι ότι, τα υπόλοιπα είκοσι ένα προβλήματα προσέλκυσαν μεγάλη προσοχή, και μέχρι και τον εικοστό πρώτο αιώνα θεωρούνται προβλήματα μεγάλης σημασίας.  Ο Πολ Κοέν έλαβε το Βραβείο Φιλντς το 1966 για την δουλεία του στο πρώτο πρόβλημα, ενώ η απόρριψη του δέκατου προβλήματος το 1970 από τον Ματιγιάσεβιτς (ολοκλήρωσε την δουλεία των Ντέιβις, Πούτναμ και Ρόμπινσον) του έδωσε μεγάλη αναγνώριση. Πτυχές αυτών των προβλημάτων παρουσιάζουν ακόμη και σήμερα μεγάλο ενδιαφέρον.

Μη ύπαρξη ασύλληπτου

Πολλά από τα προβλήματα του Χίλμπερτ έχουν επιλυθεί (ή αμφισβητήσιμα επιλυθεί) με τρόπους πραγματικά εκπληκτικούς , που σε ορισμένες περιπτώσεις ενόχλησαν, και τον ίδιο τον Χίλμπερτ . Επηρεασμένος από τον Φρέγκε και τον Ράσελ , ο Χίλμπερτ προσπάθησε να προσδιορίσει τα μαθηματικά χρησιμοποιώντας τη λογική της μεθόδου των φορμαλιστικών συστημάτων, δηλαδή, άπειρες αποδείξεις από ένα σύνολο αποδεκτών αξιωμάτων.  Ένας από τους κύριους στόχους του προγράμματος του Χίλμπερτ ήταν μία απειροστική απόδειξη της συνέπειας των αξιωμάτων της αριθμητικής : αυτό ήταν το δεύτερο του πρόβλημα.
Παρόλα αυτά, το το δεύτερο θεώρημα της μη πληρότητας του Κουρτ Γκέντελ, δίνει μία ακριβή έννοια με την οποία μία τέτοια απειροστική απόδειξη της συνέπειας της αριθμητικής είναι πιθανόν αδύνατη. Ο Χίλμπερτ έζησε για 12 χρόνια μετά το θεώρημα του Γκέντελ , αλλά δεν φαίνεται να έχει γράψει καμία επίσημη απάντηση για το έργο του Γκέντελ. Χωρίς αμφιβολία όμως η σημασία του έργου του Γκέντελ στα μαθηματικά σαν σύνολο (και όχι μόνο σαν τυπική λογική) ήταν επαρκής και απεικονίζεται δραματικά κατά την εφαρμογή αυτών σε ένα από τα προβλήματα του Χίλμπερτ.
Το δέκατο πρόβλημα του Χίλμπερτ δεν ρωτάει αν υπάρχει ένας αλγόριθμος που να αποφασίζει αν λύνονται οι διοφαντικές εξισώσεις,αλλά μάλλον να ζητάει την  κατασκευή ενός τέτοιου αλγορίθμου: "που να βρίσκει ένα τρόπο σύμφωνα με τον οποίο μπορεί να προσδιοριστεί σε πεπερασμένο πλήθος αριθμών και πράξεων κατά πόσο η εξίσωση λύνεται σε λογικούς ακεραίους." Το ότι αυτό το πρόβλημα λύθηκε αποδεικνύοντας ότι δεν μπορεί κατά πάσα πιθανότητα να υπάρχει ένας τέτοιος αλγόριθμος θα ήταν κάτι πολύ περίεργο για αυτόν.
Αναφέροντας την άποψη του ότι κάθε μαθηματικό πρόβλημα θα έπρεπε να είχε μία λύση, ο Χίλμπερτ πιστεύει ότι υπάρχει το ενδεχόμενο ότι η λύση μπορεί να είναι μία απόδειξη ότι το αρχικό πρόβλημα είναι αδύνατο. Με περηφάνια, δήλωσε ότι το θέμα είναι να γνωρίζουμε τον έναν ή τον άλλον τρόπο για το ποία είναι η λύση, και πίστευε ότι πάντα μπορούμε να το γνωρίζουμε αυτό, ότι στα μαθηματικά δεν υπάρχει καμία μη συλλήψιμη έννοια.  Είναι σαφές ότι η λύση του δέκατου προβλήματος θα είχε θεωρηθεί ως ένα παράδειγμα αγνώστου: αυτό που αποδεικνύεται να μην υπάρχει δεν είναι ακέραια λύση, αλλά (κατά κάποιον τρόπο) η δικιά μας ικανότητα να διακρίνουμε αν υπάρχει λύση.
Από την άλλη μεριά, η δομή του πρώτου και δεύτερου προβλήματος είναι ακόμα πιο περίπλοκη: δεν υπάρχει καμία σαφής μαθηματική παραδοχή εάν τα αποτελέσματα του Γκέντελ (στην περίπτωση του δεύτερου προβλήματος), ή του Γκέντελ και του Κόχεν (στην περίπτωση του πρώτου προβλήματος)δίνουν οριστικές αρνητικές λύσεις ή όχι, αφού αυτές οι λύσεις ισχύουν για μία ορισμένη ομάδα προβλημάτων , αλλά δεν εξασφαλίζουν τη γενική απόδειξη τους.

Το 24ο πρόβλημα

Ο Χίλμπερτ αρχικά συμπεριέλαβε 24 προβλήματα στη λίστα του, αλλά αργότερα αποφάσισε να μην δημοσιεύσει το ένα από αυτά.  Το "24ο πρόβλημα" (στη θεωρία αποδείξεων, για ένα κριτήριο προς απλούστευση και γενίκευση των αποδεικτικών μεθόδων) ανακαλύφθηκε στα προσωπικά χειρόγραφα του Χίλμπερτ από τον Γερμανό Ρουίντιγκερ Θίλε το 2000.

Επακόλουθα

Από το 1900 μαθηματικοί και οργανώσεις μαθηματικών έχουν δημοσιεύσει λίστες προβλημάτων, αλλά εκτός από λίγες εξαιρέσεις, αυτές οι συλλογές δεν είχαν τόση επιρροή ούτε είχαν την επιρροή των προβλημάτων του Χίλμπερτ.
Εξαίρεση αποτελούν οι τρεις εικασίες που δημιουργήθηκαν από τον Αντρέ Βέιλ στα τέλη της δεκαετίας του 1940, (οι εικασίες του Βέιλ). Στους τομείς της Αλγεβρικής γεωμετρίας, της θεωρίας των αριθμών και τις σχέσεις μεταξύ των δύο, οι εικασίες Βέιλ ήταν πολύ σημαντικές. Η πρώτη από τις εικασίες αποδείχθηκε από τον Μπερνάρντ Ντορκ, ενώ μία απόδειξη για τις πρώτες δύο εικασίες μέσω της Ετάλ Σοχομολογκί δόθηκε από τον Αλεξάντερ Γκρότεντικ. Η τελευταία και βαθύτερη από τις εικασίες του Βέιλ (κάτι ανάλογο της υπόθεσης του Riemann) αποδείχθηκε από τον Πιέρ Ντελέν. Στους δύο τελευταίους απονεμήθηκε το Μετάλλιο Φιλντς. Ωστόσο, οι εικασίες του Βέιλ στο πεδίο εφαρμογής τους είναι απλά προβλήματα σε σχέση με αυτά του Χίλμπερτ. Παρόλα αυτά ο Βέιλ ήταν ένας εξαιρετικός μαθηματικός της δεκαετίας του 1940 και του 1950, και ήταν εξοικειωμένος με όλους σχεδόν τους τομείς των (θεωρητικών) μαθηματικών και είχε ουσιαστικό ρόλο στην ανάπτυξη πολλών από αυτούς.
Ο Πολ Έρντος, γνωστός μαθηματικός ο οποίος έχει θέσει εκατοντάδες, αν όχι χιλιάδες, μαθηματικά προβλήματα, προσέφερε χρηματικές αμοιβές για την επίλυση τους.  Το μέγεθος της αμοιβής εξαρτάται από την εκτιμώμενη δυσκολία του προβλήματος. 
Στο τέλος της χιλιετίας, που είναι επίσης και τέλος της εκατονταετίας στην οποία ανακοίνωσε ο Χίλμπερτ τα προβλήματα, αποτέλεσε εφαλτήριο για νέα προβλήματα. Αρκετοί μαθηματικοί αποδέχθηκαν την πρόκληση, ιδιαίτερα ο κάτοχος βραβείου Φίλντς Στέφαν Σμέιλ, ο οποίος ανταποκρίθηκε στο αίτημα του Βλαδίμηρ Άρνολντ προτείνοντας μια λίστα με 18 προβλήματα. Τα προβλήματα του Σμέιλ δεν έχουν λάβει έως τώρα πολύ μεγάλη προσοχή από τα μέσα μαζικής ενημέρωσης, και δεν είναι σαφές πόση προσοχή παίρνουν από τη μαθηματική κοινότητα.
Τουλάχιστον τα κύρια μέσα μαζικής ενημέρωσης, το ανάλογο εξ ορισμού των προβλημάτων του Χίλμπερτ του 21ου αιώνα, είναι η λίστα των επτά επικηρυγμένων προβλημάτων της χιλιετίας που επιλέχθηκε το 2000 από το  ινστιτούτο του Κλέι.  Σε αντίθεση με τα προβλήματα του Χίλμπερτ, όπου το κύριο βραβείο ήταν ο θαυμασμός του Χίλμπερτ και των μαθηματικών γενικότερα, κάθε πρόβλημα έχει ως βραβείο επίλυσης του ένα εκατομμύριο δολάρια. Όπως και με τα προβλήματα του Χίλμπερτ, ένα από τα βραβευμένα προβλήματα η εικασία του Πουανκαρέ) λύθηκε σχετικά σύντομα μετά την ανακοίνωση των προβλημάτων.
Το 2008, το κέντρο προηγμένων ερευνών άμυνας των Η.Π.Α ανακοίνωσε τη δικιά του λίστα με 23 προβλήματα τα οποία ελπίζει να προκαλέσουν ανάλογη μαθηματική έκρηξη με αυτών του Χίλμπερτ.

Περίληψη

Από τα καθαρά διατυπωμένα προβλήματα του Hilbert, τα προβλήματα 3, 7, 10, 11, 13, 14, 17, 19, 20, και 21 έχουν ένα γίνει πλήρως αποδεκτά ως προς τη διατύπωση τους. Από την άλλη, τα προβλήματα 1, 2, 5, 9, 15, 18₊,και 22 έχουν λύσεις που έχουν μερική αποδοχή, και υπάρχει κάποια διαμάχη για το αν όντως έχουν λυθεί τα προβλήματα.
Το + στο 18 υποδηλώνει ότι η λύση στην εικασία του Κέπλερ είναι απόδειξη με τη βοήθεια υπολογιστή, μια έννοια αναχρονιστική για ένα πρόβλημα του Χίλμπερτ και σε κάποιο βαθμό αμφιλεγόμενη, λόγω της έλλειψης της επαληθευσιμότητας από έναν ανθρώπινο αναγνώστη σε ένα εύλογο χρονικό διάστημα.  
Αυτό αφήνει τα 16 ,8 (υπόθεση του Ρίμαν) και 12 άλυτα. Σε αυτή την κατάταξη τα 4, 16, και 23 είναι πολύ ασαφή για να περιγραφούν κάποτε ως λυμένα. Η αποσυρμένη 24 είναι επίσης σε αυτή την κατηγορία. Τέλος η 6 θεωρείται  πρόβλημα της φυσικής και όχι των μαθηματικών .