Αλγόριθμος του Ευκλείδη

Στα μαθηματικά, ο αλγόριθμος του Ευκλείδη ή Ευκλείδειος αλγόριθμος είναι μια αποτελεσματική μέθοδος για τον υπολογισμό του μέγιστου κοινού διαιρέτη (ΜΚΔ) δύο ακέραιων αριθμών, είναι επίσης γνωστός ως ο μεγαλύτερος κοινός παράγοντας  ή υψηλότερος κοινός παρονομαστής. Το όνομά του προέρχεται από τον Έλληνα μαθηματικό Ευκλείδη, ο οποίος τον περιγράφει στα βιβλία VII και X του βιβλίου του Στοιχεία.
Στην απλούστερη μορφή του, ο αλγόριθμος του Ευκλείδη ξεκινά με ένα ζεύγος θετικών ακεραίων και σχηματίζει ένα νέο ζευγάρι που αποτελείται από το μικρότερο αριθμό και τη διαφορά μεταξύ των μεγαλύτερων και των μικρότερων αριθμών. Η διαδικασία επαναλαμβάνεται έως ότου οι αριθμοί είναι ίσοι. Αυτός ο αριθμός είναι τότε ο μέγιστος κοινός διαιρέτης του αρχικού ζεύγους.
Η παλαιότερη περιγραφή που υπάρχει για τον Ευκλείδειο αλγόριθμο είναι στα Στοιχεία του Ευκλείδη (περ. 300 π.Χ.), καθιστώντας τον ένα από τους παλαιότερους αριθμητικούς αλγορίθμους ακόμα σε κοινή χρήση. Ο αρχικός αλγόριθμος αφορούσε μόνο φυσικούς αριθμούς και γεωμετρικά μήκη (πραγματικοί αριθμοί), αλλά ο αλγόριθμος γενικεύτηκε τον 19ο αιώνα και σε άλλους τύπους αριθμών, όπως Gaussian ακέραιοι και πολυώνυμα μιας μεταβλητής. Αυτό οδήγησε στις σύγχρονες αφηρημένες αλγεβρικές έννοιες, όπως οι Ευκλείδειες δομές. Ο Ευκλείδειος αλγόριθμος έχει γενικευτεί περαιτέρω και σε άλλες μαθηματικές δομές, όπως κόμβους κύκλων nots και πολυώνυμα πολλών μεταβλητών .
Ο αλγόριθμος έχει πολλές θεωρητικές και πρακτικές εφαρμογές. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να δημιουργήσει σχεδόν όλους τους πιο σημαντικούς παραδοσιακούς μουσικούς ρυθμούς που χρησιμοποιούνται σε διαφορετικούς πολιτισμούς σε όλο τον κόσμο.Πρόκειται για ένα βασικό στοιχείο του RSA αλγορίθμου, μια μέθοδο κρυπτογράφησης δημόσιου κλειδιού που χρησιμοποιείται ευρέως στο ηλεκτρονικό εμπόριο. Χρησιμοποιείται για την επίλυση Διοφαντικών εξισώσεων, όπως η εξεύρεση αριθμών που ικανοποιούν πολλαπλά σχήματα με ίδιο ύψος και μέγεθος ( Κινέζικο θεώρημα υπολοίπων ) ή πολλαπλασιαστικά αντίστροφα ενός πεπερασμένου σώματος. Μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για την κατασκευή συνεχών κλασμάτων , στην αλυσίδα Sturm,μέθοδο για την εύρεση πραγματικών ριζών ενός πολυωνύμου, και σε πολλές σύγχρονες ακέραιες παραγοντοποιήσεις αλγορίθμων. Τέλος, είναι ένα βασικό εργαλείο για την απόδειξη θεωρημάτων στη σύγχρονη θεωρία αριθμών, όπως το θεώρημα των τεσσάρων τετραγώνων του Lagrange και το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής (μοναδική παραγοντοποίηση).
Εάν υλοποιηθεί με τη χρήση υπολοίπων της Ευκλείδειας διαίρεσης και όχι με αφαιρέσεις, ο αλγόριθμος του Ευκλείδη υπολογίζει το ΜΚΔ μεγάλων αριθμών αποτελεσματικά: Ποτέ δεν απαιτεί περισσότερα βήματα διαίρεσης από πέντε φορές τον αριθμό των ψηφίων (με βάση το 10) από τον μικρότερο ακέραιο. Αυτό αποδείχθηκε από τον  Gabriel Lamé το 1844 και σηματοδοτεί την έναρξη της υπολογιστικής θεωρίας πολυπλοκότητας. Μέθοδοι για τη  βελτίωση της απόδοσης του αλγορίθμου αναπτύχθηκαν τον 20ο αιώνα.
Ο ΜΚΔ των δύο αριθμών είναι ο μεγαλύτερος αριθμός που διαιρεί τους δύο χωρίς να αφήνει υπόλοιπο . Ο Ευκλείδειος αλγόριθμος βασίζεται στην αρχή ότι ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των δύο αριθμών δεν αλλάζει εάν ο μικρότερος αριθμός αφαιρείται από το μεγαλύτερο αριθμό. Αν k , m και n είναι ακέραιοι, και το k είναι ένας κοινός παράγοντας των δύο ακεραίων  αριθμών Α και Β , τότε Α = ΝΚ και Β = mk συνεπάγεται A − B = (n − m)k, συνεπώς, k είναι επίσης ένας κοινός παράγοντας της διαφοράς. Αυτό το k μπορεί επίσης να αντιπροσωπεύει τον μέγιστο κοινό διαιρέτη όπως αποδεικνύεται παρακάτω. Για παράδειγμα, το 21 είναι ο ΜΚΔ των 105 και 252 (252 = 12 × 21; 105 = 5 × 21). Από το 252 − 105 = (12 − 5) × 21 = 147, ο ΜΚΔ των 147 και 105 είναι επίσης 21.
Δεδομένου ότι ο μεγαλύτερος από τους δύο αριθμούς μειώνεται, επαναλαμβάνοντας τη διαδικασία, αυτή θα δίνει διαδοχικά μικρότερους αριθμούς μέχρι ένας από αυτούς  να γίνει μηδέν. Όταν αυτό συμβεί, ο ΜΚΔ είναι ο μη μηδενικός αριθμός που απομένει. Αντιστρέφοντας τα βήματα του αλγόριθμου του Ευκλείδη , ο ΜΚΔ μπορεί να εκφραστεί ως το άθροισμα/γραμμικός συνδιασμός των δύο αρχικών αριθμών καθώς  πολλαπλασιάζεται με ένα θετικό ή αρνητικό ακέραιο, π.χ. 21 = [5 × 105] + [(−2) × 252]. Αυτή η σημαντική ιδιότητα είναι γνωστή ως ταυτότητα του Bézout.

Περιγραφή

Η απλούστερη μορφή του αλγορίθμου του Ευκλείδη ξεκινά με ένα ζεύγος θετικών ακεραίων και σχηματίζει ένα νέο ζευγάρι που αποτελείται από το μικρότερο αριθμό και τη διαφορά μεταξύ των μεγαλύτερων και των μικρότερων αριθμών. Η διαδικασία επαναλαμβάνεται έως ότου οι αριθμοί είναι ίσοι. Στη συνέχεια ο αριθμός αυτός είναι ο μέγιστος κοινός διαιρέτης του αρχικού ζεύγους. Ωστόσο, εάν ένας αριθμός είναι πολύ μικρότερος από τον άλλο, πολλά βήματα αφαίρεσης θα είναι αναγκαία πριν ο μεγαλύτερος αριθμός μειωθεί σε μία τιμή μικρότερη ή ίση από τον άλλον αριθμό στο ζεύγος.
Αφαιρώντας ένα μικρό θετικό αριθμό από ένα μεγάλο αριθμό αρκετές φορές μέχρι αυτό που  απομένει  είναι μικρότερο από τον αρχικό ελάχιστο αριθμό,  μπορεί να αντικατασταθεί με την εύρεση του υπόλοιπο σε μεγάλη διαίρεση. Έτσι, η μορφή διαίρεσης του αλγορίθμου του Ευκλείδη ξεκινά με ένα ζεύγος θετικών ακεραίων και σχηματίζει ένα νέο ζεύγος που αποτελείται από το μικρότερο αριθμό και το υπόλοιπο που λαμβάνεται διαιρώντας τον μεγαλύτερο αριθμό από το μικρότερο αριθμό. Η διαδικασία επαναλαμβάνεται έως ότου ένας αριθμός είναι μηδέν. Ο άλλος αριθμός είναι τότε ο μέγιστος κοινός διαιρέτης του αρχικούζεύγους.

Πραγματοποίηση

Ο Ευκλείδειος αλγόριθμος μπορεί να γίνει αντιληπτός στα πλάισια της αναλογίας που περιγράφεται παραπάνω για τον μέγιστο κοινό διαιρέτη.Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να καλύψουμε ένα α-επί- b ορθογώνιο με τετράγωνα πλακάκια ακριβώς, όπου α είναι ο μεγαλύτερος από τους δύο αριθμούς . Αρχικά προσπαθούμε να καλύψουμε το ορθογώνιο με b -by- b τετράγωνα πλακάκια. ωστόσο, αυτό αφήνει ένα r₀-by-bορθογώνιο ακάλυπτο, όπου r₀ < b. Στη συνέχεια προσπαθούμε να καλύψουμε το υπόλοιπο ορθογώνιο με r₀-by-r₀ τετράγωνα πλακάκια. Αυτό αφήνει ένα δδεύτερο ακάλυπτο ορθογώνιο r₁-by-r₀,το οποίο προσπαθούμε να καλυψουμε με τετράγωνα πλακάκια χρησιμοποιώντας r₁-by-r₁ και ούτω καθεξής. Η διαδικασία τελειώνει όταν δεν υπάρχει ακάλυπτο ορθογώνιο, δηλαδή, όταν τα τετράγωνα πλακίδια καλύψουν ακριβώς, το ορθογώνιο που απέμεινε από το προηγούμενο βήμα. Το μήκος των πλευρών του μικρότερου τετράγωνου πλακιδίου είναι ο ΜΚΔ των διαστάσεων του αρχικού ορθογωνίου. Για παράδειγμα, το μικρότερο τετραγωνικό πλακίδιο στο παρακείμενο σχήμα είναι 21-επί-21 (φαίνεται σε κόκκινο), και το 21 είναι ο ΜΚΔ των 1071 και 462, οι διαστάσεις του αρχικού ορθογωνίου (που φαίνεται στο πράσινο).

Υλοποιήσεις

Υλοποιήσεις του αλγορίθμου μπορεί να εκφραστούν σε ψευδοκώδικα.Για παράδειγμα,η μέθοδος που στηρίζεται σε διαιρέσεις μπορεί να προγραμματιστεί ως 
function gcd(a, b)
    while b ≠ 0
       t := b
       b := a mod t
       a := t
    return a
Στην αρχή της k επανάληψης, η μεταβλητή Β κατέχει το τελευταίο υπόλοιπο rₖ−1, ενώ η μεταβλητή a κατέχει το προηγούμενό του, rₖ−2. Το στάδιο b := a mod b είναι ισοδύναμο με τον ανωτέρω τύπο αναδρομής rₖ ≡ rₖ−2 mod rₖ−1. Η ψευδομεταβλητή t κρατά την τιμή της rₖ−1, ενώ το επόμενο υπόλοιπο rₖ υπολογίζεται συγχρόνως. Στο τέλος του βρόχου επανάληψης, η μεταβλητή b κατέχει το υπόλοιπο rₖ , ενώ η μεταβλητή a κατέχει το προηγούμενό του , rₖ−1.
Στην μέθοδο που βασίζεται στην αφαίρεση, που ήταν και η αρχική έκδοση του αλγορίθμου του Ευκλείδη, ο υπολογισμός του υπόλοιπου (b = a mod b) αντικαθίσταται από την επανειλημμένη αφαίρεση. Αντίθετα με την βασισμένη στη διαίρεση έκδοση, η οποία λειτουργεί με αυθαίρετους ακέραιους ως πρωταρχικό δεδομένο, η βασισμένη στην αφαίρεση έκδοση  υποθέτει ότι η είσοδος αποτελείται από θετικούς ακέραιους και σταματά όταν a = b:
function gcd(a, b)
    while a ≠ b
        if a > b
           a := a − b
        else
           b := b − a
    return a
Οι μεταβλητές a και b εναλλάσονται διατηρώντας τα προηγούμενα υπόλοιπα rₖ−1 και rₖ−2. Υποθέτοντας ότι a είναι μεγαλύτερο από b στην αρχή μιας επανάληψης, τότε a ισούται με rₖ−2, εφόσον rₖ−2 > rₖ−1. Κατά τη διάρκεια της επανάληψη του βρόχου, το a μειώνεται κατά πολλαπλάσια του προηγούμενου υπολοίπου b έως ότου a είναι μικρότερο από το b. Τότε το a είναι το επόμενο υπόλοιπο rₖ. Τότε το b μειώνεται κατά πολλαπλάσια του a έως ότου είναι πάλι μικρότερο από a, δίνοντας το επόμενο υπόλοιπο rₖ₊₁, και ούτω καθεξής.
Η αναδρομική έκδοση βασίζεται στην ισότητα των  ΜΚΔ των διαδοχικών υπολοίπων και τη συνθήκη τερματισμού ΜΚΔ(rN−1, 0) = rN−1.
function gcd(a, b)
    if b = 0
       return a
    else
       return gcd(b, a mod b)
Για παράδειγμα, ο ΜΚΔ(1071, 462) υπολογίζεται από τον αντίστοιχο ΜΚΔ(462, 1071 mod 462) = ΜΚΔ(462, 147) Ο τελευταίος ΜΚΔ υπολογίζεται από τον ΜΚΔ(147, 462 mod 147) = ΜΚΔ(147, 21) ο οποίος με τη σειρά του υπολογίζεται από τον ΜΚΔ (21, 147 mod 21) = ΜΚΔ (21, 0) = 21.

Ιστορική εξέλιξη

Ο Ευκλείδειος αλγόριθμος είναι ένας από τους παλαιότερους αλγορίθμους ακόμα σε κοινή χρήση.  Φαίνεται στα Στοιχεία του Ευκλείδη (περ. 300 π.Χ.), και συγκεκριμένα στο βιβλίο 7 (Προτάσεις 1-2) και βιβλίο 10 (Προτάσεις 2-3). Στο βιβλίο 7, ο αλγόριθμος είναι σχεδιασμένος για ακέραιους, ενώ στο βιβλίο 10, δεν έχει διατυπωθεί για μήκη τμημάτων γραμμής. (Στη σύγχρονη χρήση, θα έλεγε κανείς ότι διατυπώθηκε εκεί για πραγματικούς αριθμούς. Όμως, μήκη, εμδαδά, και όγκοι,που αντιμετωπίστηκαν ως πραγματικοί αριθμοί στη σύγχρονη χρήση, δεν μετρούνται στις ίδιες μονάδες και δεν υπάρχει καμία φυσική μονάδα μήκους, εμβαδού, ή ο όγκου, ενώ η έννοια των πραγματικών αριθμών ήταν άγνωστη εκείνη την εποχή.) Ο τελευταίος αλγόριθμος είναι γεωμετρικός. Ο ΜΚΔ των δύο μηκών α και β αντιστοιχεί στο μέγιστο μήκος γ που μετρά το α και β ομοιόμορφα, με άλλα λόγια, τα μήκη α και β είναι και τα δύο ακέραια πολλαπλάσια του μήκους  g..
Ο αλγόριθμος μάλλον δεν ανακαλύφθηκε από τον Ευκλείδη, που συγκέντρωσε τα αποτελέσματα από προηγούμενους μαθηματικούς στο έργο του Στοιχεία. Ο μαθηματικός και ιστορικός BL van der Waerden ισχυρίζεται ότι το Βιβλίο 7 προέρχεται από ένα βιβλίο σχετικά με τη θεωρία αριθμών που γράφτηκε από μαθηματικούς στη σχολή του Πυθαγόρα. Ο αλγόριθμος ήταν πιθανώς γνωστός από τον Εύδοξο της Κνίδου (περίπου 375 π.Χ.).  Ο αλγόριθμος μπορεί ακόμη και να είναι προγενέστερος από τον Εύδοξο, αν κρίνουμε από τη χρήση του τεχνικού όρου ἀνθυφαίρεσις (αμοιβαία αφαίρεση) στα έργα του Ευκλείδη και του Αριστοτέλη.
Αιώνες αργότερα, ο αλγόριθμος του Ευκλείδη ανακαλύφθηκε ανεξάρτητα τόσο στην Ινδία όσο και στην Κίνα, κυρίως για την επίλυση διοφαντικών εξισώσεων που προκύπτουν στην αστρονομία και την δημιουργία ακριβών ημερολογίων. Στα τέλη του 5ου αιώνα, ο Ινδός μαθηματικός και αστρονόμος Αριαμπάτα περιέγραψε τον αλγόριθμο ως «κονιοποιητή», ίσως λόγω της αποτελεσματικότητάς του στην επίλυση διοφαντικών εξισώσεων . Παρά το γεγονός ότι μια ειδική περίπτωση του Κινέζικου θεωρήματος των υπολοίπων είχε ήδη περιγραφεί από τον Κινέζο μαθηματικό και αστρονόμο Sun Tzu,  η γενική λύση δόθηκε στη δημοσιότητα από τον Qin Jiushao το 1247 στο βιβλίο του Shushu Jiuzhang (數書九章 Mathematical Treatise in Nine Sections). Ο Ευκλείδειος αλγόριθμος περιγράφηκε για πρώτη φορά στην Ευρώπη στη δεύτερη έκδοση του Bachet's Problèmes plaisants et délectables (Ευχάριστα και απολαυστικά προβλήματα, 1624)  Στην Ευρώπη, επίσης χρησιμοποιήθηκε για την επίλυση διοφαντικών εξισώσεων  και στην ανάπτυξη συνεχών κλασμάτων. Ο γενικευμένος Ευκλείδειος αλγόριθμος, δόθηκε στη δημοσιότητα από τον Άγγλο μαθηματικό Nicholas Saunderson, ο οποίος τον απέδωσε στον Roger Cotes ως αποτελεσματική μέθοδο για τον υπολογισμό συνεχών κλασμάτων.
Τον 19ο αιώνα, ο Ευκλείδειος αλγόριθμος οδήγησε στην ανάπτυξη των νέων συστημάτων αριθμών, όπως οι Gaussian ακέραιοι και οι ακέραιοι του Eisenstein . Το 1815, ο Carl Gauss χρησιμοποίησε τον Ευκλείδειο αλγόριθμο για να αποδείξει τη μοναδική παραγοντοποίηση των Gaussian ακεραίων, μολονότι το έργο του εκδόθηκε για πρώτη φορά το 1832. O Gauss ανάφερε τον αλγόριθμο του στο Disquisitiones Arithmeticae (δημοσιεύθηκε 1801), αλλά μόνο ως μια μέθοδο για συνεχή κλάσματα. Ο Peter Gustav Lejeune Dirichlet φαίνεται να ήταν ο πρώτος που περιέγραψε την Ευκλείδειο αλγόριθμο ως βάση για ένα μεγάλο μέρος της θεωρίας αριθμών.Ο Lejeune Dirichlet τόνισε ότι πολλά αποτελέσματα της θεωρίας αριθμών, όπως η μοναδική παραγοντοποίηση, θα ίσχυαν και για οποιοδήποτε άλλο σύστημα των αριθμών στους οποίους ο Ευκλείδειος αλγόριθμος θα μπορούσε να εφαρμοστεί.Οι διαλέξεις του Lejeune Dirichlet για τη θεωρία αριθμών επεξεργάστηκαν και επεκτάθηκαν από τον Richard Dedekind , ο οποίος χρησιμοποίησε τον αλγόριθμο του Ευκλείδη για τη μελέτη των αλγεβρικών ακέραιων , ένα νέο γενικό τύπο αριθμών. Για παράδειγμα, Dedekind ήταν ο πρώτος που απέδειξε το θεώρημα του fermat για το άθροισμα των τετραγώνων δύο αριθμών χρησιμοποιώντας τη μοναδική παραγοντοποίηση των Gaussian ακέραιων. Ο Dedekind επίσης όρισε την έννοια της Ευκλείδειας δομής, ένα σύστημα αριθμών στο οποίο μια γενικευμένη εκδοχή του Ευκλείδειου αλγόριθμου μπορεί να οριστεί (όπως περιγράφεται κατωτέρω ευκλείδεις δομές). Στις τελευταίες δεκαετίες του 19ου αιώνα, ωστόσο, ο Ευκλείδειος αλγόριθμος σταδιακά υποκαταστάθηκε από την πιο γενική θεωρία του Dedekind των ιδανικών (θεωρία δακτυλίων).
Άλλες εφαρμογές του αλγορίθμου του Ευκλείδη αναπτύχθηκαν τον 19ο αιώνα. Το 1829,ο Charles Sturm έδειξε ότι ο αλγόριθμος ήταν χρήσιμος στη μέθοδο Sturm chain για την εύρεση των πραγματικών ριζών των πολυωνύμων σε οποιοδήποτε διάστημα.
Ο Ευκλείδιος αλγόριθμος ήταν ο πρώτος ακέραιος αλγόριθμος , ο οποίος είναι μια μέθοδος για την εύρεση ακέραιων σχέσεων μεταξύ ανάλογων πραγματικών αριθμών. Αρκετοί νέοι ακέραιοι αλγόριθμοι έχουν αναπτυχθεί τα τελευταία χρόνια, όπως ο αλγόριθμος Ferguson–Forcade  (1979) του Helaman Ferguson και RW Forcade, και οι παρεμφερείς του,ο δια βίου μάθησης αλγόριθμος,ο HJLS αλγόριθμος , και ο αλγόριθμος PSLQ.
Το 1969,οι Cole και Davie ανέπτυξαν ένα παιχνίδι δύο παικτών που  βασίζεται στον Ευκλείδειο αλγόριθμο, που ονομάζεται The Game of Euclid το οποίο έχει μια βέλτιστη στρατηγική. Οι παίκτες ξεκινούν με δύο σωρούς από α και β πέτρες. Οι παίκτες αναλαμβάνουν εκ περιτροπής την αφαίρεση m πολλαπλασίων του μικρότερου σωρού από το μεγαλύτερο. Ετσι, αν οι δύο σωροί αποτελούνται από χ και y πέτρες, όπου το Χ είναι μεγαλύτερο από το y , ο επόμενος παίκτης μπορεί να ελαττώσει το μεγαλύτερο  σωρό από x πέτρες σε x − my πέτρες, εφ' όσον ο τελευταίος είναι ένας μη αρνητικός ακέραιος αριθμός. Ο νικητής είναι ο πρώτος παίκτης που θα έχει ένα σωρό από μηδέν πέτρες.

Αλγόριθμοι Παραγοντοποίησης

Ο υπολογισμός ενός μέγιστου κοινού διαιρέτη είναι ένα ουσιαστικό βήμα σε πολλές παραγοντοποιήσεις ακεραίων αλγορίθμων,   όπως αλγόριθμος r του Pollard ,  ο αλγόριθμος του Shor, η μέθοδος παραγοντοποίησης Ντίξον, και η ελλειπτική παραγοντοποίηση καμπύλης Lenstra .  Ο Ευκλείδειος αλγόριθμος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να βρεθεί το ΜΚΔ αποτελεσματικά. Συνεχή παραγοντοποιημένα κλάσματα χρησιμοποιούν συνεχή κλάσματα, τα οποία καθορίζονται χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο του Ευκλείδη.

Αλγοριθμική αποδοτικότητα

Η υπολογιστική αποδοτικότητα του αλγορίθμου του Ευκλείδη έχει μελετηθεί διεξοδικά.  Αυτή η αποτελεσματικότητα μπορεί να περιγραφεί από τον αριθμό των βημάτων της διαίρεσης που απαιτεί ο αλγόριθμος, πολλαπλασιαζόμενο με το υπολογιστικό κόστος κάθε βήματος. Η πρώτη γνωστή ανάλυση του αλγορίθμου του Ευκλείδη έγινε από τον A.-A.-L. Reynaud το 1811,  ο οποίος έδειξε ότι ο αριθμός των βημάτων διαίρεσης στην είσοδο των ( u , v ) οριοθετείται από το v.Αργότερα το βελτίωσε αυτό σε ν / 2 + 2. Μετέπειτα , το 1841,ο P.-J.-E. Finck έδειξε   ότι ο αριθμός των βημάτων διαίρεσης είναι το πολύ 2 log₂ v + 1 , και ως εκ τούτου ο αλγόριθμος του Ευκλείδη τρέχει σε πολυωνυμικό χρόνο στο μέγεθος της εισόδου. βλέπε επίσης   Η ανάλυση του τελειοποιήθηκε από τον Gabriel Lamé σε 1844,  ο οποίος έδειξε ότι ο αριθμός των βημάτων που απαιτούνται για την λύση δεν είναι ποτέ περισσότερα από πέντε φορές τον αριθμό h της βάσης-10 ψηφίων του μικρότερου αριθμού b .  Αφού το υπολογιστικό βάρος κάθε βήματος είναι συνήθως της τάξης h , η συνολική δαπάνη μεγαλώνει κατά  h².

Η χειρότερη περίπτωση αριθμού βημάτων

Αν ο Ευκλείδειος αλγόριθμος απαιτεί N βήματα για ένα ζευγάρι φυσικών αριθμών a > b > 0 , οι μικρότερες τιμές των a και b για την οποία αυτός αληθεύει, είναι οι αριθμοί Fibonacci FN₊₂ και FN₊₁  , αντίστοιχα.  Αυτό μπορεί να αποδειχθεί με επαγωγή .  Εάν N = 1, ο b διαιρεί τον  a ακριβώς.Οι μικρότεροι φυσικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει είναι b = 1 και a = 2, τα οποία είναι τα F₂ και F₃ , αντιστοίχως. Ας υποθέσουμε τώρα ότι το αποτέλεσμα ισχύει για όλες τις τιμές του Ν έως M − 1 . Το πρώτο βήμα ενός αλγορίθμου με Μ-βήματα είναι a = q₀b + r₀ , και το δεύτερο βήμα είναι b = q₁r₀ + r₁ . Δεδομένου ότι ο αλγόριθμος είναι αναδρομικός,απαιτούνται M − 1 βήματα για να βρεθεί ο ΜΚΔ (b, r₀) και οι μικρότερες τιμές τους είναι FM₊₁ και FM . Έχουμε συνεπώς την μικρότερη τιμή του a , όταν q₀ = 1 , το οποίο δίνει a = b + r₀ = FM₊₁ + FM = FM₊₂ . Η απόδειξη αυτή, η οποία δημοσιεύθηκε από τον Gabriel Lamé το 1844, αντιπροσωπεύει την αρχή τηςυπολογιστικής θεωρίας πολυπλοκότητας ,   καθώς επίσης και την πρώτη πρακτική εφαρμογή των αριθμών Fibonacci.  Το αποτέλεσμα αυτό αρκεί για να δείξει ότι ο αριθμός των βημάτων στον αλγόριθμο του Ευκλείδη δεν μπορεί ποτέ να είναι μεγαλύτερος από πέντε φορές τον αριθμό των ψηφίων του (βάση 10).  Για το αν ο αλγόριθμος απαιτεί Ν βήματα, τότε ο b είναι μεγαλύτερος ή ίσος με το FN₊₁ το οποίο με τη σειρά του είναι μεγαλύτερο ή ίσο με  φᴺ⁻¹ , όπου φ είναι η χρυσή τομή.Αφού b ≥ φᴺ⁻¹, τότε  N − 1 ≤ logφb. Αφού log₁₀φ > 1/5, (N − 1)/5 < log₁₀φ logφb = log₁₀b . Έτσι, N ≤ 5 log₁₀b . Επομένως, ο Ευκλείδειος αλγόριθμος χρειάζεται πάντα λιγότερες από O ( h ) διαιρέσεις, όπου h είναι ο αριθμός των ψηφίων του μικρότερου αριθμού b .

Αποδοτικότητα των εναλλακτικών μεθόδων

Ο Αλγόριθμος του Ευκλείδη χρησιμοποιείται ευρέως στην πράξη, ιδίως για τους μικρούς αριθμούς, λόγω της απλότητάς του. Για λόγους σύγκρισης, η αποτελεσματικότητα των εναλλακτικών αλγόριθμων του Ευκλείδη μπορεί να προσδιοριστεί.
Μια αναποτελεσματική προσέγγιση για την εύρεση του ΜΚΔ δύο φυσικών αριθμών a και  Β είναι να υπολογιστούν όλοι οι κοινοί διαιρέτες τους.ο ΜΚΔ είναι τότε ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης. Οι κοινοί διαιρέτες μπορούν να βρεθούν διαιρώντας τους δύο αριθμούς με διαδοχικούς ακέραιους από 2 έως τον μικρότερο αριθμό b . Ο αριθμός των βημάτων της προσέγγισης αυτής αυξάνει γραμμικά με το b , ή εκθετικά με τον αριθμό των ψηφίων. Μια άλλη προσέγγιση είναι αναποτελεσματική για να βρει τους πρωταρχικούς παράγοντες του ενός ή και των δύο αριθμών. Όπως σημειώνεται ανωτέρω , ο ΜΚΔ ισούται με το γινόμενο από των πρώτων κοινών παραγόντων των α και b.    Οι παρούσες μέθοδοι για την παραγοντοποίηση είναι επίσης αναποτελεσματικές. πολλά σύγχρονα συστήματα κρυπτογράφησης, ακόμη στηρίζονται στην εν λόγω αναποτελεσματικότητα.
Ο δυαδικός αλγόριθμος του ΜΚΔ είναι μια αποτελεσματική εναλλακτική λύση που περιλαμβάνει διαίρεση με πιο γρήγορες διαδικασίες, αξιοποιώντας τη δυαδική αναπαράσταση που χρησιμοποιείται από τους υπολογιστές. . Ωστόσο, αυτή η εναλλακτική επίσης εκτιμάται της τάξης του |O(h²)]]. Είναι γενικά πιο γρήγορη από τον Ευκλείδειο αλγόριθμο για πραγματικούς υπολογιστές, μολονότι εξελίσεται με τον ίδιο τρόπο. επιπλέον η αποτελεσματικότητά του μπορεί να φανεί εξετάζοντας μόνο τα μεγαλύτερα ψηφία των δύο αριθμών α και b . ο δυαδικός αλγόριθμος μπορεί να επεκταθεί και σε άλλες βάσεις ( k -ary αλγόριθμοι), ),  με έως και πενταπλάσια αύξηση στην ταχύτητα..
Μια αναδρομική προσέγγιση για όλους τους μεγάλους ακεραίους (με περισσότερα από 25.000 ψηφία) οδηγεί σε subquadratic  αλγορίθμων  ακεραίων για τον ΜΚΔ ,   όπως αυτές της Schönhage, και Stehle και Zimmermann. Αυτοί οι αλγόριθμοι εκμεταλλεύονται τον 2 × 2 μορφής πίνακα του Ευκλείδιου αλγόριθμου που δίνεται παραπάνω . Αυτές οι μέθοδοι γενικά της τάξης του O(h (log h)² (log log h))..

Άλλα συστήματα αριθμών

Όπως περιγράφεται παραπάνω, ο Ευκλείδειος αλγόριθμος χρησιμοποιείται για να βρούμε τον μέγιστο κοινό διαιρέτη δύο φυσικών αριθμών (θετικοί ακέραιοι). Ωστόσο, μπορεί να γενικευτεί στους πραγματικούς αριθμούς, και σε πιο εξωτικά συστήματα αριθμών, όπως πολυώνυμα , τετραγωνικοί ακέραιοι και Hurwitz quaternions . Στις τελευταίες περιπτώσεις, ο Ευκλείδειος αλγόριθμος χρησιμοποιείται για να καταδείξει την κρίσιμη ιδιότητα της μοναδικής παραγοντοποίησης, δηλαδή, ότι οι αριθμοί μπορούν να αναλυθούν κατά μοναδικό τρόπο σε ανάγωγα στοιχεία , οι αντίστιχοι των πρώτων αριθμών. Αυτής της μορφής η παραγοντοποίηση είναι ιδιαιτέρως χρήσιμη για πολλές αποδείξεις της θεωρίας αριθμών.

Ευκλείδειες δομές

Μια σειρά από στοιχεία μεταξύ των οποίων γίνονται δυαδικές πράξεις ,+ και ·, ονομάζονται Euclidean domains όταν σχηματίζουν αντιμεταθετικό δακτύλιο R και, σε γενικές γραμμές, αν ο γενικός Ευκλείδειος αλγόριθμος μπορεί να εφαρμοστεί σε αυτούς . Οι δύο πράξεις ενός τέτοιου δακτυλίου δεν χρειάζεται να είναι η πρόσθεση και πολλαπλασιασμός της συνήθους αριθμητικής.αντίθετα, μπορούν να είναι πιο γενικά, όπως οι πράξεις σε μια ομάδα ή σε ένα μονοειδές . Παρ 'όλα αυτά, αυτές οι γενικές πράξεις θα πρέπει να υπακούν τους κανόνες που διέπουν τις συνήθεις αριθμητικές πράξεις, όπως προσεταιριστικότητα, αντιμεταθετικότητα και επιμεριστικότητα .
ο γενικευμένος Ευκλείδειος αλγόριθμος απαιτεί μια "Ευκλείδεια συνάρτηση" , δηλαδή, μια απεικόνιση f από το "R" στο σύνολο των θετικών ακέραιων τέτοια ώστε, για κάθε δύο μη μηδενικά στοιχεία a και b του "R" ,να υπάρχουν "q" και "r" στο "R" τέτοια ώστε a =qb + r και f(r) < f(b). Ένα παράδειγμα αυτής της απεικόνισης είναι συνάρτηση που χρησιμοποιείται για να διατάξουμε του Gaussian ακέραιους . Η συνάρτηση f μπορεί να είναι η δύναμη ενός αριθμού, ή ο βαθμός ενός πολυωνύμου . Η βασική αρχή είναι ότι σε κάθε βήμα του αλγορίθμου η "f" μειώνεται συνεχώς. Ως εκ τούτου, εάν η "f" μπορεί να μειωθεί μόνο έναν πεπερασμένο αριθμό φορών, ο αλγόριθμος πρέπει να σταματήσει σε έναν πεπερασμένο αριθμό βημάτων. Η αρχή αυτή στηρίζεται σε μεγάλο βαθμό στην αρχή της καλής διάταξης των μη-αρνητικών ακεραίων.σε γενικές γραμμές, αυτό προϋποθέτει ότι κάθε σύνολο των μη-αρνητικών ακεραίων έχει ελάχιστο στοιχείο.
Το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής ισχύει για κάθε Ευκλείδεια δομή: Οποιοσδήποτε αριθμός από μία Ευκλείδεια δομη μπορεί να αναλυθεί κατά μοναδικό τρόπο σε ανάγωγα στοιχεία. Κάθε Ευκλείδεια δομή είναι πολλαπλασιαστικός δακτύλιος, αν και το αντίστροφο δεν ισχύει. Η Ευκλείδεια δομή και το UFD είναι υποομάδες της ομάδας των ακεραίων που ανα δύο έχουν μέγιστο κοινό διαρέτη , ομάδες στις οποίες ο μέγιστος κοινός διαιρέτης δύο αριθμών υπάρχει πάντα. Με άλλα λόγια, ένας μέγιστος κοινός διαιρέτης μπορεί να υπάρχει (για όλα τα ζεύγη των στοιχείων μιας ομάδας), αν και μπορεί να μην είναι δυνατόν να βρεθεί χρησιμοποιώντας ένα Ευκλείδειο αλγόριθμο. Μια Ευκλείδεια δομή είναι πάντα μια ομάδα principal ideal domain  (PID), μια ακεραία περιοχή στην οποία το μοναδιαίο στοιχείο του δακτυλίου είναι μοναδικό  . Και πάλι, το αντίστροφο δεν ισχύει: δεν είναι κάθε PID είναι μια Ευκλείδεια δομή.
Η μοναδική παραγοντοποίηση της Ευκλείδειας δομής είναι χρήσιμη σε πολλές εφαρμογές. Για παράδειγμα, η μοναδική παραγοντοποίηση των ακεραίων Gaussian είναι χρήσιμη στο να προκύπτουν τύποι για όλες τις πυθαγόρειες τριάδες και οδηγεί στην απόδειξη του θεώρηματος του Φερμά για το άθροισμα των τετραγώνων δύο αριθμών . . Η μοναδική παραγοντοποίηση ήταν επίσης ένα βασικό στοιχείο σε μια απόπειρα απόδειξης του Τελευταίου Θεωρήματος του Φερμά Fermat's Last Theorem που δημοσιεύθηκε το 1847 από τον Gabriel Lamé, ο ίδιος μαθηματικός ο οποίος ανέλυσε την αποτελεσματικότητα του αλγορίθμου του Ευκλείδη, που βασίζεται σε πρόταση του Joseph Liouville. η προσέγγιση Lamé απαιτούσε τη μοναδική παραγοντοποίηση των αριθμών της μορφής "x" + ω"y" , όπου "x" και "y" είναι ακέραιοι, και ω = e²ⁱπ/ⁿ είναι "n" ρίζα της μονάδας, δηλαδή, ωⁿ = 1.  Αν και αυτή η προσέγγιση ισχύει για ορισμένες τιμές των "n" (όπως το "n" = 3, τους ακέραιους Eisenstein), σε γενικές γραμμές τέτοιοι αριθμοί δεν παραγοντοποιούνται μοναδικά. Αυτή η αποτυχία της μοναδικής παραγοντοποίησης στους τομείς cyclotomic field οδήγησε τον Ernst Kummer στην σύλληψη των ideal numbers και, αργότερα,τον Richard Dedekind στην θεωρία των ιδανικών.