Σειρές Φουριέ

Ιστορία

Η εξίσωση θερμότητας είναι μια μερική διαφορική εξίσωση. Πριν από το έργο του Fourier, καμία λύση για την εξίσωση της θερμότητας δεν ήταν γνωστή στη γενική περίπτωση, αν και ήταν γνωστές οι μερικές λύσεις της στην περίπτωση που η πηγή θερμότητας συμπεριφερόταν με έναν απλό τρόπο, ιδίως, εάν η πηγή θερμότητας ήταν ένα ημιτονοειδές ή συνημιτονοειδές κύμα. Αυτές οι μερικές λύσεις καλούνται χαρακτηριστικές συναρτήσεις ή ιδιοσυναρτήσεις.  Η ιδέα του Fourier  ήταν να μοντελοποιήσει μια περίπλοκη πηγή θερμότητας ως μια επαλληλία (ή γραμμικό συνδυασμό) απλών ημιτονοειδών και συνημιτονοειδών κυμάτων, και να γράψει τη λύση ως μια επαλληλία των αντίστοιχων ιδιοσυναρτήσεων. Η σύνθεση των μελών της επαλληλίας ή του γραμμικού συνδυασμού ονομάζεται σειρά Fourier.
Από μια σύγχρονη άποψη, τα αποτελέσματα του Fourier είναι κάπως άτυπα, καθώς δεν υπήρχε ακριβής ορισμός των εννοιών της συνάρτησης και του ολοκληρώματος στις αρχές του δέκατου ένατου αιώνα. Αργότερα, οι Peter Gustav Lejeune Dirichlet και Μπέρναρντ Ρίμαν εξέφρασαν τα αποτελέσματα του Fourier με μεγαλύτερη ακρίβεια και τυπικότητα.
Αν και ο πρωταρχικός στόχος ήταν η επίλυση της εξίσωσης θερμότητας, αργότερα έγινε φανερό ότι οι ίδιες τεχνικές μπορούν να εφαρμοστούν σε ένα ευρύ φάσμα προβλημάτων μαθηματικών και φυσικής, και ιδιαίτερα προβλήματα που αφορούν γραμμικές διαφορικές εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές, για τις οποίες οι ιδιοσυναρτήσεις είναι ημιτονοειδών μορφών. Η σειρά Fourier έχει πολλές τέτοιες εφαρμογές στον τομέα της ηλεκτρολογίας, της ανάλυσης κραδασμών, στην ακουστική, οπτική, επεξεργασία σήματος, επεξεργασία εικόνας, στην κβαντομηχανική, οικονομετρία,  στη θεωρία λεπτού κέλυφους με τοιχώματα,  κ.τ.λ.

Άλλες εφαρμογές

Μια άλλη εφαρμογή των σειρών Fourier είναι η επίλυση του προβλήματος Basel χρησιμοποιώντας το θεώρημα Parseval. Το παράδειγμα γενικεύεται και μπορεί κανείς να υπολογίσει τη ζ(2n), για οποιοδήποτε θετικό ακέραιο  n.

Γέννηση της αρμονικής ανάλυσης

Από την εποχή του Fourier, πολλές διαφορετικές προσεγγίσεις για τον προσδιορισμό και την κατανόηση της έννοιας της σειράς Fourier έχουν αναπτυχθεί, οι οποίες συνάδουν η μία με την άλλη, αλλά η κάθε μία από τις οποίες τονίζουν διαφορετικές πτυχές του θέματος. Μερικές από τα πιο ισχυρές και κομψές προσεγγίσεις βασίζονται σε μαθηματικές ιδέες και εργαλεία που δεν ήταν διαθέσιμα κατά τα χρόνια του Fourier συμπληρώνοντας το πρωτότυπο έργο του. Ο Fourier όρισε αρχικά τη σειρά Fourier για πραγματικές συναρτήσεις, και χρησιμοπίησε αργότερα τις ημιτονοειδείς και συνημιτονοειδείς ως βασική οικογένεια αλγεβρικών συναρτήσεων για την αποσύνθεση.
Πολλοί άλλοι παρόμοιοι μετασχηματισμοί Fourier έκτοτε έχουν οριστεί, επεκτείνοντας την αρχική ιδέα σε άλλες εφαρμογές. Αυτός ο γενικός κλάδος της έρευνας ονομάζεται αρμονική ανάλυση. Μια σειρά Fourier, ωστόσο, μπορεί να χρησιμοποιηθεί μόνο για περιοδικές συναρτήσεις, ή για συναρτήσεις που οριοθετούνται σε (συμπαγές) διάστημα.

Σύγκλιση

Λόγω της συμαντικότηταας της μεθόδου ελαχίστων τετραγώνων, και λόγω της πληρότητας των θεμέλιων της σειράς Fourier, έχουμε αποκτήσει ένα στοιχειώδες αποτέλεσμα σύγκλισης.
Θεώρημα. Αν f ανήκει στο L²([−π, π]), τότε f∞ συγκλίνει η f στο L²([−π, π]), το οποίο σημαίνει ότι,   συγκλίνει στο 0 όταν N → ∞.
Έχουμε, ήδη, αναφέρει ότι, αν f διαφορίσιμη συνεχής συνάρτηση, τότε    είναι ο nοστός συντελεστής της σειράς Fourier της παραγώγου f′. Επομένως, ουσιαστικά από την ανισότητα Cauchy–Schwarz, όπου f∞ είναι απόλυτα αθροίσιμη.  Το άθροισμα αυτής της σειράς είναι μία συνεχής συνάρτηση, ίση με f , δεδομένου ότι η σειρά Fourier συγκλίνει κατά μέση τιμή στην f: 
Θεώρημα. Αν , τότε f∞ συγκλίνει στην f ομοιόμορφα (και επίσης,  σημειακά.)
Το συμπέρασμα αυτό μπορεί να αποδειχτεί εύκολα, αν f επιπλέιο θεωρείται ότι είναι C², μιας και σε αυτήν την περίπτωση  τείνει στο μηδέν καθώς n → ∞.  Γενικεύοντας, οι σειρές Fourier είναι απόλυτα αθρόισιμες, έτσι συγκλίνει ομοιόμορφα στην f, με την προϋπόθεση ότι η f ικανοποιεί τη συνθήκη Hölder προκειμένου α > ½.  Στην περίπτωση της απόλυτης άθροισης, η ανισότητα   αποδεικνύει την ομοιόμορφη σύγκλιση.
Πολλά άλλα αποτελέσματα έχουν προκύψει για τη σύγκλιση των σειρών Fourier ,  κυμαίνονται από το απλό αποτέλεσμα ότι η σειρά συγκλίνει στο x αν η f είναι διαφορίσιμη στο x, τα αποτελέσματα του Lennart Carleson είναι πολύ πιο εξελιγμένα από ότι η σειρά Fourier μιας L² συνάρτησης πραγματικής σύγκλισης σχεδόν παντού.
Αυτά τα θεωρήματα, και ανεπίσημες παραλλαγές τους που δεν διευκρινίζουν τις προϋποθέσεις σύγκλισης, αναφέρονται αρκετές φορές ως "θεώρημα του Fourier" ή "το θεώρημα Fourier".

Απόκλιση

Μιας και οι σειρές Fourier έχουν τόσο καλές ιδιότητες σύγκλισης, πολλοί εκπλήσσονται συχνά όταν προκύπτουν αρνητικά αποτελέσματα. Για παράδειγμα, η σειρά Fourier μιας συνεχούς περιοδικής συνάρτησης  Τ δεν χρειάζεται να συγκλίνει κατά σημείο. Η αρχή ομοιόμορφου φράγματος αποδίδει μία απλή μη εποικοδομητική απόδειξη αυτού του γεγονότος.
Το 1922, ο Andrey Kolmogorov δημοσίευσε ένα άρθρο με τίτλο "Une série de Fourier-Lebesgue divergente presque partout" στο οποίο έδωσε ένα παράδειγμα μιας ολοκληρώσιμης-Lebesgue συνάρτησης, της οποίας η σειρά Fourier αποκλίνει σχεδόν παντού. Αργότερα, επίσης, κατασκεύασε μία ολοκληρώσιμη συνάρτηση όπου η σειρά  Fourier της αποκλίνει παντού (Katznelson 1976).