Εικασία

Στα μαθηματικά, μια εικασία είναι ένα συμπέρασμα ή μια δήλωση που φαίνεται να είναι σωστή με βάση κάποια ελλιπή στοιχεία, αλλά δεν έχει βρεθεί ακόμα κάποια απόδειξη. Εικασίες όπως η Υπόθεση Ρίμαν ή πρώην εικασίες όπως το Τελευταίο θεώρημα του Φερμά (που πλέον έχει αποδειχθεί, αλλά εξακολουθεί να αναφέρεται ως εικασία) έχουν διαμορφώσει ένα μεγάλο μέρος της μαθηματικής ιστορίας, καθώς νέοι τομείς των μαθηματικών έχουν αναπτυχθεί για να τις επιλύσουν.

Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά

Στη θεωρία αριθμών, το Τελευταίο θεώρημα του Φερμά (που μερικές φορές ονομάζεται εικασία του Φερμά, ειδικά σε παλαιότερα κείμενα) αναφέρει ότι υπάρχουν τρεις θετικοί ακέραιοι αριθμοί α, β και γ που μπορούν να ικανοποιούν την εξίσωση αν + βν = γν για οποιαδήποτε ακέραια τιμή του ν μεγαλύτερη από δύο.
Αυτό το θεώρημα εμφανίζεται για πρώτη φορά ως εικασία από τον Πιερ ντε Φερμά το 1637 στο περιθώριο ενός αντιγράφου της εργασίας Αριθμητικά όπου ο ίδιος ισχυριζόταν ότι είχε μια απόδειξη αλλά ήταν πάρα πολύ μεγάλη για να χωρέσει στο περιθώριο. Η πρώτη επιτυχής απόδειξη κυκλοφόρησε το 1994 από τον Άντριου Γουάιλς και δημοσιεύεται επίσημα το 1995, μετά από 358 χρόνια προσπαθειών από μαθηματικούς. Το άλυτο πρόβλημα τόνωσε την ανάπτυξη της αλγεβρικής θεωρίας αριθμών στον 19ο αιώνα και την απόδειξη του θεωρήματος των modular forms στον 20ο αιώνα. Είναι από τα πιο αξιόλογα θεωρήματα στην ιστορία των μαθηματικών και πριν από την απόδειξή του, ήταν στο βιβλίο Γκίνες των παγκόσμιων ρεκόρ για τα "πιο δύσκολα μαθηματικά προβλήματα".

Θεώρημα των τεσσάρων χρωμάτων

Στα Μαθηματικά, το Θεώρημα των τεσσάρων χρωμάτων (ή αλλιώς το θεώρημα του χάρτη τεσσάρων χρωμάτων) ορίζει ότι, δεδομένου οποιουδήποτε διαχωρισμού ενός επιπέδου σε συνεκτικές περιοχές οι οποίες παράγουν ένα σχήμα που ονομάζεται χάρτης, δεν απαιτούνται περισσότερα από τέσσερα χρώματα για να χρωματιστούν οι περιοχές του χάρτη, με τρόπο τέτοιο ώστε να μην υπάρχουν δύο γειτονικές περιοχές που έχουν το ίδιο χρώμα. Δύο περιοχές ονομάζονται γειτονικές όταν μοιράζονται ένα κοινό σύνορο το οποίο δεν είναι γωνιά, όπου γωνιές ονομάζονται τα κοινά σημεία τριών ή περισσότερων περιοχών. Για παράδειγμα, στον χάρτη των Ηνωμένων Πολιτειών της Αμερικής, η Γιούτα και η Αριζόνα είναι γειτονικές, αλλά η Γιούτα και το Νέο Μεξικό, που μοιράζονται μόνο ένα σημείο το οποίο ανήκει επίσης στην Αριζόνα και το Κολοράντο, δεν είναι.
Ο Μέμπιους ανέφερε το πρόβλημα στις διαλέξεις του το 1840. Η εικασία προτάθηκε για πρώτη φορά στις 23 Οκτωβρίου το 1852 όταν ο Francis Guthrie, ενώ προσπαθούσε να χρωματίσει το χάρτη με τις κομητείες της Αγγλίας, παρατήρησε ότι χρειάστηκαν μόνο τέσσερα διαφορετικά χρώματα. Το θεώρημα των τεσσάρων χρωμάτων, το οποίο έχει μια σύντομη στοιχειώδη απόδειξη, αναφέρει ότι πέντε χρώματα αρκούν για να χρωματιστεί ένας χάρτης και αποδείχθηκε στα τέλη του 19ου αιώνα (Heawood 1890). Ωστόσο, η απόδειξη ότι αρκούν τα τέσσερα χρώματα ήταν σημαντικά δυσκολότερη. Μετά την πρώτη ανακοίνωση του θεωρήματος των τεσσάρων χρωμάτων το 1852 εμφανίστηκαν αρκετές πλαστές αποδείξεις και ψευδή αντιπαραδείγματα.
Το θεώρημα των τεσσάρων χρωμάτων αποδείχθηκε το 1976 από τον Κένεθ Άπελ και τον Βόλφγκανγκ Χάκεν. Ήταν το πρώτο μεγάλο θεώρημα που αποδείχθηκε με την χρήση ηλεκτρονικού υπολογιστή. Η προσέγγιση των Άπελ και Χάκεν έδειξε ότι υπάρχει ένα συγκεκριμένο σύνολο με 1.936 χάρτες, ο καθένας από τους οποίους δεν μπορεί να είναι μέρος ενός αντιπαραδείγματος μικρότερου μεγέθους του θεωρήματος των τεσσάρων χρωμάτων. Οι Άπελ και Χάκεν χρησιμοποίησαν ένα πρόγραμμα υπολογιστή για να επιβεβαιώσουν ότι ο καθένας από αυτούς τους χάρτες είχε αυτή την ιδιότητα. Επιπλέον, κάθε χάρτης που θα μπορούσε ενδεχομένως να είναι ένα αντιπαράδειγμα πρέπει να έχει ένα τμήμα που μοιάζει με έναν από αυτούς τους 1,936 χάρτες. Για να αποδειχθεί αυτό χρειάστηκαν εκατοντάδες σελίδες ανάλυσης με το χέρι. Οι Άπελ και Χάκεν κατέληξαν στο συμπέρασμα ότι δεν υπάρχουν άλλα μικρότερα αντιπαραδείγματα επειδή το καθένα πρέπει να περιέχει οποιονδήποτε από τους 1,936 χάρτες αλλά δεν περιέχουν κανέναν από αυτούς. Αυτή η αντίφαση σημαίνει ότι δεν υπάρχουν αντιπαραδείγματα και συνεπώς το θεώρημα είναι αληθές. Αρχικά, η απόδειξη τους δεν έγινε δεκτή από όλους τους μαθηματικούς, διότι μια απόδειξη με τη βοήθεια υπολογιστή ήταν ανέφικτο να ελεγθεί από έναν άνθρωπο, δηλαδή με το χέρι (Swart 1980). Από τότε η απόδειξη έχει κερδίσει την ευρύτερη αποδοχή, αν και εξακολουθούν να υπάρχουν αμφιβολίες (Wilson 2002, 216–222).

Κύρια εικασία

Η κύρια εικασία (γερμανικά: Hauptvermutung) της γεωμετρικής τοπολογίας είναι η εικασία σύμφωνα με την οποία οποιοιδήποτε δύο τριγωνισμοί ενός τριγωνοποιήσιμου χώρου έχουν μια κοινή διύλιση, τον τριγωνισμό ο οποίος είναι υποδιαίρεση και των δύο. Η εικασία αυτή διατυπώθηκε αρχικά το 1908 από τους Στάινιτζ και Τιτζ.
Είναι πλέον γνωστό ότι η εικασία αυτή είναι λανθασμένη. Η έκδοση της εικασίας για μη πολλαπλότητες απορρίφθηκε από τον Τζον Μιλνορ το 1961 χρησιμοποιώντας συστροφή Ρειντμάιστερ. Η έκδοση για πολλαπλότητες ισχύει για διαστάσεις m ≤ 3. Οι περιπτώσεις για m = 2 και 3 αποδείχθηκαν από τους Τίμπορ Ραντό και Έντγουιν Ε. Μόις την δεκαετία του 1920 και 1950, αντίστοιχα.

Εικασίες του Βέιλ

Στα μαθηματικά, οι εικασίες Βέιλ ήταν κάποιες προτάσεις με μεγάλη επιρροή από τον Αντρέ Βέιλ, το 1949, στις συναρτήσεις γεννήτριες (γνωστές ως τοπικές συναρτήσεις ζήτα) που παράγονται μετρώντας το πλήθος των σημείων σε αλγεβρικές πολλαπλότητες πάνω σε πεπερασμένα σώματα.
Μια πολλαπλότητα V πάνω από ένα πεπερασμένο σώμα με q στοιχεία έχει ένα πεπερασμένο πλήθος ρητών σημείων, όπως και σημεία πάνω σε κάθε πεπερασμένο σώμα με qᵏ στοιχεία που συμπεριλαμβάνει αυτό το σώμα. Η συνάρτηση γεννήτρια έχει συντελεστές που προέρχονται από τους αριθμούς Nₖ των σημείων πάνω στο (ουσιαστικά μοναδικό) σώμα με qᵏ στοιχεία.
Ο Βέιλ έκανε την εικασία πως τέτοιες συναρτήσεις ζήτα, θα πρέπει να είναι ρητές συναρτήσεις, θα ικανοποιούν κάποια μορφή μια συναρτησιακής εξίσωσης και θα έπρεπε να έχουν τα μηδενικά τους σε περιορισμένες περιοχές. Τα τελευταία δύο κομμάτια είχαν μοντελοποιηθεί αρκετά συνειδητά στη συνάρτηση ζήτα και την υπόθεση Ρίμαν. Η ρητότητα αποδείχθηκε από τον Ντουόρκ το 1960, η συναρτησιακή εξίσωση από τον Γκρόδεντικ το 1965 και η αναλογία της υπόθεσης Ρίμαν αποδείχθηκε από τον Ντελίν το 1974.

Υπόθεση Ρίμαν

Στα μαθηματικά, η υπόθεση Ρίμαν, προτάθηκε από τον Μπέρναρντ Ρίμαν (Riemann 1859), είναι μια εικασία σύμφωνα με την οποία οι μη τετριμμένες ρίζες της συνάρτησης ζήτα έχουν όλες πραγματικό μέρος 1/2. Η ονομασία αυτή χρησιμοποιείται επίσης για κάποια ανάλογα στενά συνδεδεμένα θέματα, όπως η υπόθεση Ρίμαν για καμπύλες πάνω σε πεπερασμένα σώματα.
Η υπόθεση Ρίμαν συνεπάγεται αποτελέσματα που σχετίζονται με την κατανομή των πρώτων αριθμών. Μαζί με κατάλληλες γενικεύσεις, κάποιοι μαθηματικοί θεωρούν ότι είναι το πιο σημαντικό άλυτο πρόβλημα στα καθαρά μαθηματικά (Bombieri 2000). Η υπόθεση Ρίμαν, μαζί με την εικασία του Γκόλντμπαχ, είναι κομμάτι του όγδοου προβλήματος του Χίλμπερτ στην λίστα του Ντάβιντ Χίλμπερτ (David Hilbert) με τα 23 προβλήματα του Χίλμπερτ. Επίσης είναι και ένα από τα Millenium Prize Problems του Ινστιτούτου Μαθηματικών Κλέι.

Πρόβλημα P=NP

Το πρόβλημα P=NP είναι ένα μεγάλο άλυτο πρόβλημα στην επιστήμη των υπολογιστών. Άτυπα, ρωτάει αν κάθε πρόβλημα του οποίου η λύση μπορεί γρήγορα να επαληθευτεί από έναν υπολογιστή, αν επίσης μπορεί και να λυθεί από έναν υπολογιστή. Κοινώς εικάζεται ότι η απάντηση είναι όχι. Ουσιαστικά αναφέρθηκε το 1956 σε ένα γράμμα που γράφτηκε από τον Κουρτ Γκέντελ (Kurt Gödel) προς τον Τζον φον Νόιμαν (John von Neumann). Ο Γκέντελ ρώτησε αν ένα συγκεκριμένο πρόβλημα που είναι NP-πλήρες μπορεί να λυθεί σε πολυωνυμικό χρόνο. Η ακριβής δήλωση του προβλήματος P=NP παρουσιάστηκε το 1971 από τον Στίβεν Κουκ στη δημοσίευσή του "The complexity of theorem proving procedures" και θεωρείται από πολλούς πως είναι το πιο σημαντικό ανοιχτό πρόβλημα στον κλάδο. Είναι ένα από τα εφτά Millennium Prize Problems που επιλέχτηκαν από το Ινστιτούτο Μαθηματικών Clay το οποίο προσφέρει ένα βραβείο $1,000,000 για την πρώτη σωστή λύση του.

Απόδειξη

Τα τυπικά μαθηματικά βασίζονται σε αποδείξιμη αλήθεια. Στα μαθηματικά, ένα οποιοδήποτε πλήθος περιπτώσεων που υποστηρίζουν μία εικασία, ανεξαρτήτως από το πόσες είναι, δεν επαρκεί για να αποδειχθεί η ισχύς της εικασίας, εφόσον ένα αντιπαράδειγμα θα κατέρριπτε κατευθείαν την εικασία. Μαθηματικά περιοδικά κάποιες φορές δημοσιεύουν μικρά αποτελέσματα ερευνητικών ομάδων οι οποίες έχουν διευρύνει την αναζήτηση για ένα αντιπαράδειγμα περισσότερο από πριν. Για παράδειγμα, η εικασία του Collatz, η οποία έχει σχέση με το αν συγκεκριμένες ακολουθίες ακέραιων έχουν πέρας (τερματίζουν), έχει δοκιμαστεί για όλους τους ακέραιους μέχρι το 1.2 × 10¹² (πάνω από ένα τρισεκατομμύριο). Ωστόσο, η αποτυχία εύρεσης ενός αντιπαραδείγματος μετά από εκτενή έρευνα δεν αποτελεί απόδειξη πως ένα αντιπαράδειγμα δεν υπάρχει, ούτε πως το θεώρημα είναι αληθές, επειδή το θεώρημα μπορεί να μην ισχύει για ένα πολύ ιδιαίτερο αντιπαράδειγμα.
Αντίθετα, ένα θεώρημα θεωρείται αποδεδειγμένο μόνο όταν έχει δειχθεί ότι είναι λογικά αδύνατο να μην ισχύει. Υπάρχουν διάφορες μέθοδοι γι'αυτό το σκοπό (βλ. Μαθηματική απόδειξη#Μέθοδοι απόδειξης για λεπτομέρειες).
Μια μέθοδος απόδειξης, χρήσιμη όταν υπάρχει μόνο ένα πεπερασμένο πλήθος περιπτώσεων που μπορούν να οδηγήσουν σε αντιπαραδείγματα, είναι γνωστή ως "ωμή βία" (brute force). Με αυτή την προσέγγιση, όλες οι πιθανές περιπτώσεις λαμβάνονται υπόψιν και αποδεικνύεται ότι δεν παράγουν αντιπαραδείγματα. Κάποιες φορές το πλήθος των περιπτώσεων είναι αρκετά μεγάλο, επομένως η μέθοδος της ωμής βίας μπορεί να χρειαστεί για πρακτικούς λόγους την χρήση ενός αλγόριθμου με υπολογιστή για να ελεγχθούν όλες οι περιπτώσεις. Η εγκυρότητα των αποδείξεων με τη χρήση ωμής βίας του θεωρήματος των τεσσάρων χρωμάτων με υπολογιστή (1976, 1997) αρχικά αμφισβητήθηκε, αλλά στη συνέχεια επιβεβαιώθηκε το 2005 από λογισμικό απόδειξης θεωρημάτων.
Όταν μια εικασία έχει αποδειχθεί, τότε δεν είναι πλέον εικασία αλλά είναι θεώρημα. Πολλά σημαντικά θεωρήματα αρχικά ήταν εικασίες, όπως το θεώρημα Γεωμετρικοποίησης (το οποίο έλυσε την εικασία του Πουανκαρέ), το τελευταίο θεώρημα του Φερμά και άλλα.

Διάψευση

ΟΙ εικασίες που έχουν διαψευστεί με αντιπαραδείγματα μερικές φορές αναφέρονται ως ψευδείς εικασίες (π.χ η εικασία του Pólya και η εικασία του αθροίσματος δυνάμεων του Όιλερ). Στην περίπτωση του τελευταίου, το πρώτο αντιπαράδειγμα που βρέθηκε εμπλέκει εκατομμύρια αριθμούς, αν και στη συνέχεια βρέθηκε ότι το ελάχιστο αντιπαράδειγμα είναι μικρότερο από αυτό.

Μη αποφάνσιμες εικασίες

Δεν καταλήγει κάθε υπόθεση στο να αποδειχθεί αληθής ή ψευδής. Η υπόθεση του συνεχούς, που προσπαθεί να ελέγξει τη σχετική πληθικότητα ορισμένων μη πεπερασμένων συνόλων, τελικά φαίνεται να είναι μη-αποφάνσιμη (ή ανεξάρτητη) από το γενικά αποδεκτό σύνολο των αξιωμάτων της θεωρίας συνόλων. Επομένως, είναι δυνατόν να υιοθετήσει αυτή τη δήλωση, ή την άρνηση του, ως ένα νέο αξίωμα κατά τρόπο συνεπή (όπως αντίστοιχα μπορούμε να θεωρήσουμε το Ευκλείδειο αξίωμα των παραλλήλων είτε ως αληθές ή ψευδές).
Σε αυτή την περίπτωση, αν μια απόδειξη χρησιμοποιεί αυτή τη δήλωση, οι ερευνητές συχνά θα αναζητούν μια νέα απόδειξη που δεν απαιτεί την υπόθεση (με τον ίδιο τρόπο κατά τον οποίο είναι επιθυμητό οι προτάσεις στην Ευκλείδεια γεωμετρία να μπορούν να αποδειχθούν χρησιμοποιώντας μόνο τα αξιώματα της ουδέτερης γεωμετρίας, δηλαδή χωρίς το αξίωμα των παραλλήλων). Μία σημαντική εξαίρεση σε αυτό, στην πράξη, είναι το αξίωμα της επιλογής. Εκτός αν μελετάται το συγκεκριμένο αξίωμα, η πλειονότητα των ερευνητών συνήθως δεν ανησυχεί αν το αποτέλεσμα απαιτεί το αξίωμα της επιλογής.

Υποθετικές Αποδείξεις

Μερικές φορές μία εικασία καλείται υπόθεση όταν χρησιμοποιείται συχνά και επανειλημμένα ως τεκμήριο σε αποδείξεις άλλων αποτελεσμάτων. Για παράδειγμα, η Υπόθεση Ρίμαν είναι μία εικασία της Θεωρία αριθμών και  ότι (μεταξύ άλλων) κάνει προβλέψεις σχετικά με την κατανομή των Πρώτων αριθμών. Μερικοί αριθμοθεωρητικοί υποστηρίζουν ότι η υπόθεση του Ρίμαν είναι αληθής. Εν αναμονή της τελικής απόδειξής της, ορισμένοι έχουν προχωρήσει στην ανάπτυξη περαιτέρω αποδείξεων οι οποίες εξαρτώνται από την αλήθεια αυτής της εικασίας. Αυτές καλούνται υπό όρους αποδείξεις: οι εικασίες υποτίθεται εμφανίζονται στις υποθέσεις του θεωρήματος, προς το παρόν. Αυτές οι "αποδείξεις", ωστόσο, θα καταρρεύσουν, αν αποδεικνυόταν ότι η υπόθεση ήταν ψευδής, έτσι υπάρχει μεγάλο ενδιαφέρον για την εξακρίβωση της αλήθειας ή του ψεύδους  εικασιών του τύπου αυτού.

Στις άλλες επιστήμες

Ο Καρλ Πόπερ (Karl Popper) ήταν πρωτοπόρος στη χρήση του όρου "εικασία" στη Φιλοσοφία της επιστήμης. Η εικασία σχετίζεται με την υπόθεση, η οποία στην επιστήμη υπονοεί μια ελέγξιμη υπόθεση.