Μιγαδική ανάλυση

Ιστορία

Η ανάλυση μιγαδικών αριθμών είναι ένας από τους κλασικούς κλάδους των Μαθηματικών με ρίζες στον 19ο αιώνα και λίγο προγενέστερα. Σημαντικοί μαθηματικοί που σχετίζονται με την μιγαδική ανάλυση περιλαμβάνουν τους Euler, Gauss, Riemann, Cauchy, Weierstrass και πολλούς ακόμη στον 20ο αιώνα. Η ανάλυση μιγαδικών αριθμών, συγκεκριμένα η θεωρία των σύμμορφων απεικονίσεων, έχει πολλές εφαρμογές στη φυσική και χρησιμοποιείται επίσης στην αναλυτική θεωρία των αριθμών. Στη σύγχρονη εποχή έχει γίνει πολύ δημοφιλής μέσω μίας νέας ώθησης από την δυναμική των μιγαδικών αριθμώνκαι τις εικόνες των μορφοκλασματικών, που δημιουργούνται από επαναλαμβανόμενες ολομορφικές συναρτήσεις. Μία ακόμη σημαντική εφαρμογή της μιγαδικής ανάλυσης είναι η θεωρία των χορδών που μελετά σύμμορφες σταθερές στην κβαντική θεωρία.

Ολομορφικές συναρτήσεις

Οι ολομορφικές συναρτήσεις είναι μιγαδικές συναρτήσεις, ορισμένες σε ένα ανοιχτό υποσύνολο του μιγαδικού επιπέδου,που είναι διακριτές. Η μιγαδική διακριτότητα έχει πολύ σημαντικότερες συνέπειες από την συνηθισμένη (πραγματική) διακριτότητα. Για παράδειγμα, οι ολομορφικές συναρτήσεις είναι άπειρα διακριτές, ενώ οι περισσότερες πραγματικές διακριτές συναρτήσεις δεν είναι. Οι περισσότερες στοιχειώδεις συναρτήσεις, συμπεριλαμβανομένης της εκθετικής συνάρτησης, των τριγωνομετρικών συναρτήσεων και των πολυωνυμικών συναρτήσεων, είναι ολομορφικές.

Βασικά συμπεράσματα (αποτελέσματα)

Ένα από τα κεντρικά (βασικά) εργαλεία της ανάλυσης μιγαδικών αριθμών είναι το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα. Το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα κατά μήκος μίας κλειστής καμπύλης μίας συνάρτησης που είναι ολομορφική παντού εντός της περιοχής που περιβάλλεται από την κλειστή καμπύλη είναι πάντα 0, όπως δηλώνει το θεώρημα των ολοκληρωμάτων του Cauchy. Οι τιμές μίας τέτοιας ολομορφικής συνάρτησης μέσα σε ένα δίσκο μπορούν να υπολογιστούν μέσω ενός επικαμπύλιου ολοκληρώματος στα όρια του δίσκου, όπως φαίνεται στην φόρμουλα ολοκληρωμάτων του Cauchy. Τα επικαμπύλια ολοκληρώματα στο πεδίο των μιγαδικών συχνά χρησιμοποιούνται για να ορίσουν περίπλοκα πραγματικά ολοκληρώματα, και εδώ εφαρμόζεται μεταξύ άλλων η θεωρία των ολοκληρωτικών υπολοίπων (μέθοδοι επικαμπύλιας ολοκλήρωσης). Ένας "πόλος" (ή μεμονομένο σημείο ανωμαλίας) μίας συνάρτησης είναι ένα σημείο όπου η τιμή της συνάρτησης γίνεται άπειρη. Αν μία συνάρτηση έχει ένα τέτοιο πόλο τότε κάποιος μπορεί να υπολογίσει εκεί το ολοκληρωτικό υπόλοιπο της συνάρτησης, κάτι που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να υπολογιστούν επικαμπύλια ολοκληρώματα σχετικά με την συνάρτηση. Αυτό είναι το περιεχόμενο του ισχυρού θεωρήματος των ολοκληρωτικών υπολοίπων. Η αξιοσημείωτη συμπεριφορά των ολομορφικών συναρτήσεων κοντά σε ουσιώδη σημεία ανωμαλίας περιγράφεται στο θεώρημα του Picard. Συναρτήσεις που έχουν μόνο πόλους αλλά όχι ουσιώδη σημεία ανωμαλίας ονομάζονται μερόμορφες. Η σειρά Laurent είναι το μιγαδικό ισοδύναμο της σειράς Taylor, αλλά μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να μελετήσουμε την συμπεριφορά των συναρτήσεων κοντά σε σημεία ανωμαλίας μέσα από άπειρα σύνολα περισσότερο κατανοητών συναρτήσεων, όπως οι πολυωνυμικές.
Μία φραγμένη συνάρτηση που είναι ολομορφική σε όλο το μιγαδικό πεδίο είναι σταθερή, αυτό είναι το θεώρημα του Liouville. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να δώσει μία λογική και σύντομη απόδειξη για το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας που λέει ότι το πεδίο των μιγαδικών αριθμών είναι αλγεβρικά κλειστό.
Αν μία συνάρτηση είναι ολομορφική σε ένα συνεκτικό πεδίο τότε οι τιμές της προσδιορίζονται πλήρως από τις τιμές της σε οποιοδήποτε μικρότερο υποπεδίο. Η συνάρτηση στο μεγαλύτερο πεδίο συνεχίζεται κανονικά από τις τιμές στο μικρότερο πεδίο. Αυτό επιτρέπει στην επέκταση του ορισμού των συναρτήσεων όπως η συνάρτηση ζήτα του Riemann οι οποίες αρχικά ορίζονται ως άπειρα σύνολα που συγκλίνουν μόνο σε περιορισμένα πεδία σε όλο το μιγαδικό πεδίο. Μερικές φορές, όπως στην περίπτωση του φυσικού λογάριθμου,είναι αδύνατον να συνεχίσουμε αναλυτικά μία ολομορφική συνάρτηση σε ένα περίπλοκο συνεκτικό πεδίο αλλά είναι πιθανό να το επεκτείνουμε σε μία ολομορφική συνάρτηση σε μία κοντινή επιφάνεια γνωστή ως επιφάνεια Riemann.
Όλα αυτά αναφέρονται στην ανάλυση μιγαδικών αριθμών με μία μεταβλητή. Υπάρχει επίσης μία πλούσια θεωρία για την ανάλυση μιγαδικών αριθμών σε περισσότερες από μία μιγαδικές διαστάσεις στις οποίες οι αναλυτικές ιδιότητες όπως το ανάπτυγμα δυναμοσειράς συνεχίζονται ενώ οι περισσότερες από τις γεωμετρικές ιδιότητες των ολομορφικών συναρτήσεων σε μία μιγαδική διάσταση (όπως η συμμορφία) δε συνεχίζονται. Το θεώρημα των απεικονίσεων του Riemann για την σύμμορφη θέση συγκεκριμένων πεδίων στο μιγαδικό επίπεδο που μπορεί να είναι το σημαντικότερο αποτέλεσμα στην μονοδιάστατη θεωρία αποτυγχάνει σημαντικά σε υψηλότερες διαστάσεις.