Τρίγωνο

Βασικά στοιχεία

Τα τρίγωνα θεωρούνται στοιχεία δύο διαστάσεων εκτός και αν το κείμενο ορίζει διαφορετικά (βλέπε μη-επίπεδα τρίγωνα, παρακάτω). Τα πρώτα στάδια παρουσιάστηκαν από τον Ευκλείδη στα βιβλία 1-4 των Στοιχείων του, γύρω στο 300 π.Χ.
Εάν προσθέσουμε τις γωνίες ενός τριγώνου που ανήκει σε ένα επίπεδο (δηλ. ευκλείδειο χώρο) το άθροισμα τους είναι πάντα 180°. Αυτό επιτρέπει να βρούμε το μέτρο μίας γωνίας εάν μας δίνονται τα μέτρα των άλλων δύο. Μία εξωτερική γωνία αποτελείται από τη μία πλευρά της εσωτερικής γωνίας και την προέκταση της άλλης πλευράς, είναι επομένως παραπληρωματική (supplementary) προς την αντίστοιχη εσωτερική γωνία. Το μέτρο της εξωτερικής γωνίας ενός τριγώνου είναι ίσο με το άθροισμα των δύο εσωτερικών γωνιών που δεν είναι παραπληρωματικές με αυτήν. Αυτό είναι το θεώρημα της εξωτερικής γωνίας. Το άθροισμα των τριών  εξωτερικών γωνιών του κάθε τριγώνου είναι 360°.

Ύπαρξη τριγώνου

Αν από τρία μη συνευθειακά σημεία σχεδιάσω τρίγωνο, τότε το άθροισμα των μηκών δύο οποιωνδήποτε πλευρών του είναι πάντα μεγαλύτερο από το μήκος της τρίτης πλευράς. Ισχύει και το αντίστροφο. Η αρχή αυτή είναι γνωστή ως τριγωνική ανισότητα. Η ισότητα ισχύει όταν τα σημεία είναι συνευθειακά (εκφυλισμένο τρίγωνο). Αν δύο ευθ.τμήματα έχουν άθροισμα μικρότερο από τρίτο, δεν μπορεί να κατασκευαστεί τρίγωνο με αυτά.

Σημεία, γραμμές και κύκλοι που συνδέονται με ένα τρίγωνο

Υπάρχουν εκατοντάδες διαφορετικές κατασκευές που βρίσκουν ένα ειδικό σημείο (και συχνά εσωτερικό του τριγώνου), που ικανοποιεί μία μοναδική ιδιότητα. Συχνά αυτά τα σημεία κατασκευάζονται βρίσκοντας τρεις ευθείες που σχετίζονται με συμμετρικό τρόπο με τις τρεις πλευρές ή κορυφές και μετά αποδεικνύουμε ότι οι τρεις ευθείες συναντιούνται σε ένα μοναδικό σημείο: ένα σημαντικό εργαλείο για την απόδειξη της ύπαρξης αυτών είναι το θεώρημα Ceva, το οποίο δίνει ένα κριτήριο για το πότε τρεις τέτοιες ευθείες συντρέχουν. Όμοια, ευθείες που συνδέονται με ένα τρίγωνο κατασκευάζονται συχνά, βρίσκοντας ότι τρία συμμετρικά κατασκευασμένα σημεία είναι συγγραμμικά: εδώ το θεώρημα του Μενελάου μας δίνει ένα χρήσιμο γενικό κριτήριο.
Εδώ θα δείξουμε λίγες μόνο τέτοιες κατασκευές, αυτές που συναντάμε συχνότερα.
Μία διχοτόμος ενός τριγώνου είναι μια ευθεία που διέρχεται από μία κορυφή και χωρίζει την αντίστοιχη γωνία στην μέση. Οι τρεις διχοτόμοι τέμνονται σε ένα μοναδικό σημείο I (ή Χ1), στο έγκεντρο (incenter), δηλαδή το κέντρο του εγγεγραμμένου στο τρίγωνο κύκλου. Ο εγγεγραμμένος κύκλος είναι ο κύκλος που βρίσκεται στο εσωτερικό του τριγώνου και εφάπτεται και στις τρεις πλευρές. Υπάρχουν και τρεις άλλοι σημαντικοί κύκλοι: ο παρεγγεγραμμένος κείται έξω από το τρίγωνο και εφάπτεται σε μια πλευρά, καθώς και στις προεκτάσεις των άλλων δύο. Τα κέντρα του εγγεγραμμένου και των παραγεγραμμένων κύκλων σχηματίζουν ένα ορθοκεντρικό σύστημα.
Μία διάμεσος ενός τριγώνου είναι μια ευθεία που διέρχεται από μια κορυφή και το μέσο (το σημείο που χωρίζει σε δύο ίσα τμήματα) της απέναντι πλευράς, και διαιρεί το τρίγωνο σε δύο ίσου εμβαδού περιοχές. Οι τρεις διάμεσοι τέμνονται σε ένα μοναδικό σημείο G (ή X2), το βαρύκεντρο του τριγώνου. Το βαρύκεντρο ενός άκαμπτου τριγωνικού αντικειμένου είναι επίσης το κέντρο βάρους (μάζας) του: το αντικείμενο δηλ. μπορεί να ισορροπήσει σε αυτό, μέσα σε ένα ομοιόμορφο πεδίο βαρύτητας. Το βαρύκεντρο χωρίζει κάθε διάμεσο σε δύο τμήματα με αναλογία 2:1. Συγκεκριμένα η απόσταση του βαρύκεντρου από την κορυφή είναι διπλάσια από την απόσταση του βαρύκεντρου από το μέσο της απέναντι πλευράς.
Μία μεσοκάθετη σε μία πλευρά του τριγώνου είναι μια ευθεία που διέρχεται από το μέσο της πλευράς και είναι κάθετη σε αυτή, δηλαδή σχηματίζει ορθή γωνία με αυτή. Οι τρεις μεσοκάθετοι συναντιούνται σε ένα μοναδικό σημείο O (ή X3), το οποίο είναι το περίκεντρο (circumcenter) του τριγώνου. Αυτό το σημείο είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου, του κύκλου δηλαδή που διέρχεται από τις τρεις κορυφές. Η διάμετρος αυτού του κύκλου μπορεί να βρεθεί από το νόμο των ημιτόνων.
Αν το περίκεντρο βρίσκεται επάνω σε μία πλευρά τότε αυτή θα είναι διάμετρος και από σχετικό θεώρημα προκύπτει ότι η απέναντι γωνία θα είναι ορθή. Εάν το περίκεντρο βρίσκεται μέσα στον τρίγωνο τότε αυτό είναι οξυγώνιο, εάν όμως βρίσκεται έξω τότε είναι αμβλυγώνιο.
Το ύψος ενός τριγώνου είναι μια ευθεία που διέρχεται από μία κορυφή και είναι κάθετη στην απέναντι πλευρά (δηλαδή σχηματίζουν μια ορθή γωνία). Η απέναντι πλευρά καλείται βάση ως προς το ύψος αυτό και το σημείο όπου το ύψος τέμνει τη βάση ονομάζεται ίχνος του ύψους αυτού. Το μήκος του ύψους είναι η απόσταση της κορυφής από τη βάση. Τα τρία ύψη τέμνονται σε ένα μοναδικό σημείο H (ή X4), που ονομάζεται ορθόκεντρο του τριγώνου.
Το ορθόκεντρο βρίσκεται μέσα στο τρίγωνο αν και μόνο αν αυτό είναι οξυγώνιο.
Τα μέσα των τριών πλευρών και τα ίχνη των τριών υψών βρίσκονται σε έναν μοναδικό κύκλο, τον κύκλο των εννέα σημείων του τριγώνου. Τα υπόλοιπα τρία σημεία είναι τα μέσα των τμημάτων των υψών μεταξύ των κορυφών και του ορθοκέντρου. Ο κύκλος των εννέα σημείων εφάπτεται με τον εγγεγραμμένο κύκλο (στο σημείο Feuerbach) και τους τρεις παρεγγεγραμένους. Η ακτίνα του κύκλου των εννέα σημείων είναι το μισό της ακτίνας του περιγεγραμμένου κύκλου. To κέντρο του συμβολίζεται με Ν (ή X5).
Tο ορθόκεντρο H και το περίκεντρο O σχηματίζουν  μία ευθεία γνωστή ως η ευθεία του Euler(κόκκινη γραμμή). Το κέντρο του κύκλου των εννέα σημείων Ν βρίσκεται επάνω στην ευθεία Euler, στο μέσο μεταξύ του ορθοκέντρου και του περικέντρου, δηλ. ΝΗ = ΝΟ. Το βαρύκεντρο βρίσκεται επίσης επάνω στην ευθεία Εuler και η απόσταση του βαρυκέντρου από το ορθόκεντρο είναι διπλάσια της απόστασης του βαρυκέντρου από το περίκεντρο, δηλ. GH = 2GO.
Το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου I γενικά δεν βρίσκεται στην ευθεία του Euler.
Αν κάποιος πάρει το συμμετρικό της διαμέσου ως προς τη διχοτόμο που περνά από την ίδια κορυφή, τότε λαμβάνεται η συμμετρoδιάμεσος (symmedian). Οι τρεις συμμετρoδιάμεσοι τέμνονται σε ένα και μόνο σημείο K (ή Χ6).

Υπολογισμός των πλευρών και των γωνιών

Υπάρχουν διάφορες μέθοδοι για τον υπολογισμό του μήκους μιας πλευράς ή το μέγεθος μίας γωνίας. Ορισμένες μέθοδοι είναι κατάλληλες για τον υπολογισμό των τιμών σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, ενώ σε άλλες καταστάσεις απαιτούνται πιο πολύπλοκες μέθοδοι.

Επίλυση ενός τριγώνου  (solution of a triangle)

Η επίλυση ενός τριγώνου" (solution of triangles) είναι ένας ιστορικός όρος για την επίλυση του κύριου τριγωνομετρικού προβλήματος: όταν ξέρουμε τρία από τα χαρακτηριστικά στοιχεία του τριγώνου, δηλ. τα a, b, c, α, β, γ, να βρεθούν τα υπόλοιπα. Το τρίγωνο μπορεί να βρίσκεται σε ένα επίπεδο ή σε μία σφαίρα. Αυτό το πρόβλημα παρουσιάζεται συχνά σε διάφορες τριγωνομετρικές εφαρμογές, όπως η γεωδαισία, η αστρονομία, η κατασκευή, η πλοήγηση, κλπ.

Χρησιμοποιώντας επικαμπύλιο ολοκλήρωμα

Το εμβαδό περιοχής που περικλείεται από μία κλειστή καμπύλη, όπως το τρίγωνο, δίνεται από το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα γύρω από την καμπύλη, δηλ. της αλγεβρικής (με πρόσημο) απόστασης ενός σημείου, που κινείται επάνω στην καμπύλη, από μια αυθαίρετα προσανατολισμένη ευθεία L. Αν το σημείο κινείται κυκλικά κατά τη θετική (αντίθετη των δεικτών του ωρολογίου) φορά τότε τα σημεία που είναι δεξιά της L έχουν θετική απόσταση (ενώ αυτά που είναι αριστερά της έχουν αρνητική). Το βάρος για το ολοκλήρωμα λαμβάνεται να είναι η συνιστώσα του μήκους τόξου προς την L και όχι το ίδιο το μήκος τόξου.
Αυτή η μέθοδος είναι κατάλληλη για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός πολύγωνου. Ας λάβουμε για L να είναι ο x-άξονας. Το βάρος θα είναι η προβολή της πλευράς στον χ-άξονα. Το γραμμικό ολοκλήρωμα μεταξύ των διαδοχικών κορυφών (xᵢ,yᵢ) και (xᵢ+1,yᵢ+1) δίνεται από τη βάση επί το μέσο ύψος, δηλαδή  (xᵢ+1 − xᵢ)(yᵢ + yᵢ+1)/2. Το πρόσημο του εμβαδού είναι θετικό αν τα σημεία έχουν δεξιά τον χ-άξονα και αρνητικό αν τον έχουν αριστερά. Το εμβαδό του τριγώνου προκύπτει ως περίπτωση ενός πολυγώνου με τρεις πλευρές.
Ενώ η μέθοδος του επικαμπύλιου ολοκληρώματος έχει κοινό με άλλες μεθόδους συντεταγμένων την αυθαίρετη επιλογή του συστήματος συντεταγμένων, ωστόσο δεν κάνει αυθαίρετη επιλογή της κορυφής του τριγώνου ως αρχής ή της πλευράς ως βάση. Επιπλέον, η επιλογή του συστήματος συντεταγμένων που ορίζεται από την L επιτρέπει μόνο δύο βαθμούς ελευθερίας και όχι τρεις που είναι συνήθως, αφού το βάρος είναι τοπική απόσταση (π.χ. xᵢ+1 − xᵢ στην ανωτέρω) όπου η μέθοδος δεν απαιτεί την επιλογή ενός άξονα κάθετο προς L.
Όταν εργαζόμαστε σε πολικές συντεταγμένες δεν είναι απαραίτητο να μετατραπούν σε καρτεσιανές συντεταγμένες για να χρησιμοποιήσουμε επικαμπύλια ολοκληρώματα, δεδομένου ότι το γρμμικό ολοκλήρωμα μεταξύ δύο διαδοχικών κορυφών   (rᵢ,θᵢ) και (rᵢ+1,θᵢ₊₁) ενός πολύγωνου δίνεται απευθείας από rᵢrᵢ+1sin(θᵢ₊₁ − θᵢ)/2 . Αυτό ισχύει για όλες τις τιμές του θ, με κάποια μείωση στην αριθμητική ακρίβεια όταν το  | θ | είναι πολλές τάξεις μεγέθους μεγαλύτερο από το π. Το αρνητικό εμβαδό δείχνει ότι η κυκλική κατεύθυνση ήταναρνητική, η οποία πρέπει να λαμβάνεται υπόψη κατά την ανάμιξη πολικών και καρτεσιανών συντεταγμένων. Ακριβώς όπως η επιλογή του Υ-άξονα (x = 0), είναι αδιάφορο για το γραμμικό ολοκλήρωμα σε καρτεσιανές συντεταγμένες, έτσι και η επιλογή της μηδενικής επικεφαλίδας (θ = 0) είναι αδιάφορη εδώ.

Άνω όριο εμβαδού

Το εμβαδό ενός τριγώνου με περίμετρο p είναι μικρότερο ή ίσο με  , όπου η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.

Διχοτόμηση εμβαδού

Υπάρχουν άπειρες ευθείες οι οποίες χωρίζουν το τρίγωνο σε δύο σχήματα με ίσο εμβαδό, ας τις πούμε διχοτόμες εμβαδού. Τρεις τέτοιες ευθείες είναι οι διάμεσοι, οι οποίες είναι οι μόνες διχοτόμες εμβαδού που περνούν από το βαρύκεντρο του τριγώνου. Τρεις άλλες διχοτόμες εμβαδού είναι παράλληλες προς τις πλευρές του τριγώνου.
Κάθε ευθεία σε ένα τρίγωνο η οποία χωρίζει στα δύο το εμβαδό του τριγώνου και την περίμετρό του στο μισό, περνάει από το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου. Μπορεί να υπάρχουν 1, 2 ή 3 από αυτές σε ένα τυχαίο τρίγωνο.

Θεώρημα τριχοτομιών του Morley

Το θεώρημα τριχοτομιών του F.Morley δηλώνει ότι σε κάθε τρίγωνο τα τρία σημεία τομής των γειτονικών τριχοτόμων, σχηματίζουν ένα ισόπλευρο τρίγωνο το οποίο ονομάζεται τρίγωνο του Morley.

Διαμέριση σε ισοσκελή τρίγωνα

Για κάθε ακέραιο n ≥ 4, κάθε τρίγωνο μπορεί να χωριστεί σε n ισοσκελή τρίγωνα.

Σχήματα περιγγεγραμμένα σε τρίγωνο

Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, κάθε τρίγωνο έχει έναν μοναδικό περιγεγραμμένο κύκλο που διέρχεται από τις τρεις κορυφές, του οποίου το κέντρο είναι το σημείο τομής των μεσοκάθετων των πλευρών του τριγώνου.
Από όλες τις ελλείψεις που διέρχονται από τις κορυφές του τριγώνου, η έλλειψη που το κέντρο της βρίσκεται στο βαρύκεντρο του τριγώνου, έχει το μικρότερο εμβαδό. Μια τέτοια λέγεται περιγγεγραμμένη έλλειψη του J.Steiner και το εμβαδό της είναι  T, όπου Τ είναι το εμβαδό του τριγώνου. Παρατηρούμε ότι είναι 4 φορές το εμβαδό της εγγεγραμμένης έλλειψης του J.Steiner.

Τρίγωνα στην κατασκευή

Τα ορθογώνια ήταν η πιο δημοφιλής και κοινή γεωμετρική μορφή για τα κτίρια αφού το σχήμα είναι εύκολο να ταχτοποιηθεί και να οργανωθεί.Ως πρότυπο, είναι εύκολο να σχεδιαστούν έπιπλα και φωτιστικά για να χωρέσουν μέσα σε ορθογώνια κτίρια. Όμως, τα τριγωνικά, ενώ είναι πιο δύσκολο να χρησιμοποιηθούν, προσφέρουν μια μεγάλη δύναμη. Καθώς η τεχνολογία υπολογιστών βοηθά τους αρχιτέκτονες στο δημιουργικό σχεδιασμό νέων κτιρίων, τριγωνικά σχήματα γίνονται όλο και πιο διαδεδομένα, όπως τμημάτων κτιρίων και ως πρωταρχικό σχήμα για ορισμένους τύπους των ουρανοξυστών, καθώς και σε οικοδομικά υλικά. Στο Τόκιο, το 1989, οι αρχιτέκτονες είχαν αναρωτηθεί αν ήταν δυνατό να οικοδομήσουμε ένα 500-όροφο πύργο για να παρέχετε οικονομικά προσιτός χώρος γραφείων για αυτή την πυκνή πόλη, αλλά με τον κίνδυνο σε κτίρια από τους σεισμούς, αρχιτέκτονες θεώρησαν ότι ένα τριγωνικό σχήμα θα ήταν αναγκαίο αν ένα τέτοιο κτίριο θα μπορούσε ποτέ να έχει κατασκευαστεί (δεν έχει από το 2011) . Στη Νέα Υόρκη, στο Broadway crisscrosses major avenues, τα προκύπτοντα κομμένα τεμάχια έχουν κοπεί ως τρίγωνα, και τα κτίρια έχουν κατασκευαστεί σε αυτά τα σχήματα. Ένα τέτοιο κτήριο είναι το τριγωνικού σχήματος κτίριο Flatiron που παραδέχονται πραγματικά οι άνθρωποι των ακινήτων έχει  «κυκεώνας των αμήχανη χώρους που δεν φιλοξενήσει άνετα μοντέρνα έπιπλα γραφείου", αλλά αυτό δεν εμπόδισε τη δομή από το να γίνει ένα ορόσημο εικονίδιο. Οι σχεδιαστές έχουν κάνει σπίτια Νορβηγία με τριγωνικό θέματα  σχήματα τριγωνικά έχουν εμφανιστεί σε εκκλησίες  καθώς και δημόσια κτίρια, συμπεριλαμβανομένων των κολεγίων  , καθώς και υποστηρίζονται για τα καινοτόμα σχέδια σε σπίτια .Τα τρίγωνα είναι ανθεκτικό, ενώ ένα ορθογώνιο μπορεί να καταρρεύσει σε μια παραλληλόγραμμη πίεση σε ένα από τα σημεία του, τα τριγωνικά έχουν μια φυσική δύναμη που υποστηρίζει την  κατασκευή έναντι πλευρικών πιέσεων. Ένα τρίγωνο δεν θα αλλάξει σχήμα εκτός αν οι πλευρές του κάμπτονται ή να επεκταθεί ή να σπάσει ή αν σπάσει αρθρώσεις του. Στην ουσία, κάθε μία από τις τρεις πλευρές στηρίζει τις άλλες δύο. Ένα ορθογώνιο, αντίθετα, εξαρτάται περισσότερο από την αντοχή των αρθρώσεων της σε μια δομική έννοια. Μερικές καινοτόμοι σχεδιαστές έχουν προτείνει τούβλα κάνοντας τα όχι από ορθογώνια, αλλά με τριγωνικά σχήματα που μπορούν να συνδυαστούν σε τρεις διαστάσεις. Είναι πιθανό ότι τρίγωνα μπορούν να χρησιμοποιηθούν όλο και περισσότερο σε νέους τρόπους, όπως αυξήσεις αρχιτεκτονική στην πολυπλοκότητα. Είναι σημαντικό να θυμόμαστε ότι τα τρίγωνα είναι ισχυρές από την άποψη της ακαμψίας, αλλά ενώ συσκευάζεται σε ένα tessellating τρίγωνων ρύθμιση δεν είναι τόσο ισχυρή όσο εξάγωνα υπό συμπίεση (εξ ου και η επικράτηση της εξαγωνικές μορφές στη φύση). Ψηφιδωτό τρίγωνα εξακολουθούν να διατηρούν ανώτερη δύναμη για προβόλους όμως, και αυτό είναι η βάση για ένα από τα ισχυρότερα κατασκευές άνθρωπο, η τετραδική αντηρίδες.

Το τρίγωνο σε μη ευκλείδειες γεωμετρίες

Στις Ρημάνειες γεωμετρίες, το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου γενικά διαφέρει των 180° (σε χώρους σταθερής καμπυλότητας η διαφορά είναι γενικά ανάλογη του εμβαδού του τριγώνου).