Θεώρημα δείκτη Ατίγια-Σίνγκερ

Αναλυτικός δείκτης

Καθώς ο ελλειπτικός τελεστής D έχει ένα ψευδόαντίστροφο. Είναι ένας Fredholm χειριστής. Κάθε Fredholm χειριστής έχει ένα δείκτη, καθορισμένο από τη διαφορά μεταξύ (πεπερασμένης ) διάστασης του πυρήνα του D (λύση του Df=0 ) , και του (πεπερασμένης ) διάστασης του συμπυρήνα του D (οι περιορισμοί στη δεξιά πλευρά μιας ανομοιογενής εξίσωσης όπως Df=g, ή ισοδύναμα ο τελεστής του πυρήνα ). Με άλλα λόγια
index(D)=dim ker(D)-dim coker(D)=dim ker(d)-dim ker(D*)
Αυτό πολλές φόρες ονομάζεται ο αναλυτικός δείκτης του D.
Παράδειγμα: Υποθέτουμε ότι ο πολλαπλός κύκλος (γνωστός ως R/Z ), και D ο δείκτης d/dx, λ για κάποια πολύπλοκη σταθερά λ. (Αυτό είναι το πιο απλό παράδειγμα του ελλειπτικού χειριστή.) Ο πυρήνας είναι το κενό των πολλαπλάσιων των exp(λx) εάν το λ είναι το ακέραιο πολλαπλάσιο του 2πi και είναι 0 διαφορετικά, και ο πυρήνας του εφαπτόμενου είναι το αντίστοιχο κενό με το λ που αντικαθιστά τους πολλαπλούς συζυγούς. Οπότε ο D έχει δείκτη 0. Αυτό το παράδειγμα δείχνει ότι ο πυρήνας και ο συμπυρήνας του ελλειπτικού χειριστή μπορεί να αναπηδήσει χωρίς συνέχεια καθώς ο ελλειπτικός χειριστής μεταβάλλεται, οπότε δεν υπάρχει κατάλληλη φόρμουλα για τις διαστάσεις των συνεχών δεδομένων. Αντίστοιχα οι αναπηδήσεις στις διαστάσεις του πυρήνα και του συμπυρήνα είναι ίδιες, οπότε ο δείκτης, δεδομένου της διαφοράς των διαστάσεων, διαφέρει συνεχώς και μπορεί να δοθεί ως τοπολογικά δεδομένα της θεωρίας δείκτη.

Επεκτάσεις του δείκτη του θεωρήματος Ατίγια-Σίνγκερ

Teleman δείκτης θεωρήματος (Teleman 1983), (Teleman 1984)
Για κάθε αυθαίρετο ελλειπτικό χειριστή  (Atiyah 1970) σε ένα κοντινό , προσανατολισμένο ,τροπολογικό πολύπλευρο , ο αναλυτικός δείκτης είναι ίσος με τον τροπολογικό δείκτη. 
Η απόδειξη αυτού του αποτελέσματος διέρχεται από ειδικούς λόγους , συμπεριλαμβανομένου της επέκτασης της θεωρίας του Hodge σε συνδυασμό με την πολυπλοκότητα του  Lipschitz(Teleman 1980), (Teleman 1983), η επέκταση του διακεκριμένου χειριστή Ατίγια-Σίνκερ προς την πολυπλοκότητα του  Lipschitz  (Teleman 1983), η Κ-ομολογία του Kasparov  (Kasparov 1972) και του τροπολογικού ορίου (Kirby & Siebenmann 1977).
Αυτό το αποτέλεσμα δείχνει ότι το θεώρημα δείκτης δεν είναι μονάχα μια διαφορίσιμη δήλωση , αλλά μια τροπολογική δήλωση.
Connes–Donaldson–Sullivan–Teleman θεώρημα δείκτης (Donaldson & Sullivan 1989), (Connes, Sullivan & Teleman 1994)
Για κάθε σύμμορφη πολυπλοκότητα υπάρχει μια τοπική κατασκευή των χαρακτηριστικών κλάσεων των Hirzebruch–Thom.
Αυτή η θεωρία βασίζεται σε έναν διακεκριμένο χειριστή S, ορισμένο σε μεσαίο βαθμό διαφορικών μορφών ακόμη και ασύμορφων πολύπλευρων διαστάσεων (σύγκριση  (Donaldson & Sullivan 1989)).Χρησιμοποιώντας τροπολογικά όρια και την Κ-ομολογία μπορεί να παρέχουν μια ολοκληρωμένη δήλωση από ένα θεώρημα δείκτη πάνω στη σύμμορφη πολυπλοκότητα (βλέπε σελίδα 678 από  (Connes, Sullivan & Teleman 1994)). Η δουλειά  (Connes, Sullivan & Teleman 1994)" παρέχει τοπική κατασκευή για χαρακτηριστικές κλάσεις βασισμένες σε υψηλότερες  συγγενικές διαστάσεις της μετρήσιμης σκιαγράφησης Riemann της δύο διάστασης και της θεωρίας Yang–Mills θεωρίας τέσσερα."
Αυτά τα αποτελέσματα αποτελούν σημαντική πρόοδο κατα μήκος των γραμμών του προγράμματος Σίνκερ που λέγεται Prospects in Mathematics (Singer 1971). Την ίδια στιγμή , αυτοί παρέχουν επίσης, μια αποτελεσματική κατασκευή των λογικών κλάσεων Pontrjagin πάνω στην τροπολογική πολυπλοκότητα. To έγγραφο  (Teleman 1985)  παρέχει έναν ιστότοπο μεταξύ την αυθεντική κατασκευή του Thom από τις λογικές κλάσεις Pontrjagin (Thom 1956) και το θεωρία δεικτών.Είναι σημαντικό να αναφέρουμε ότι η φόρμουλα δεικτών είναι μια τροπολογική δήλωση. Οι θεωρίες παρεμπόδισης των  Milnor, Kervaire, Kirby, Siebenmann, Sullivan, Donaldson δείχνουν ότι μόνο μια μειονότητα από τροπολογικά πολύπλευρα κατέχουν διαφορικές κατασκευές και αυτές δεν είναι μοναδικές. Το αποτέλεσμα του Sullivan στον Lipschitz και η ασύμορφη κατασκευή  (Sullivan 1979) δείχνουν ότι κανένα τροπολικό πολύπλευρο σε διάσταση διαφορετική από τέσσερα κρατούμενα όπως μια κατασκευή που είναι μοναδική (μέχρι την ισοτοπία κοντά στην ταυτότητα )
Η σύμμορφη κατασκευή  (Connes, Sullivan & Teleman 1994) και πιο γενικά η  Lp-κατ ασκευή, p > n(n+1)/2, συστήνονται από τον  M. Hilsum (Hilsum 1999) είναι οι πιο αδύναμοι αναλυτικές κατασκευές πάνω στα τροπολογικά πολύπλευρα διάστασης n όπως είναι το θεώρημα δεικτών γνωστό.

Α γένος και το θεώρημα του Rochlin's

Το γένος Α είναι ένας λογικός αριθμός που ορίζεται για κάθε πολυσύνθετη μεταβλητή, αλλά γενικά δεν είναι ακέραιος.Οι Borel και Hirzebruch έδειξαν ότι είναι ζωτικής σημασίας για τις περιστρεφόμενες πολυσύνθετες μεταβλητές και ίσος ακέραιος αν επιπρόσθετο η διάσταση είναι 4 mod 8.Αυτό απορρέει από το θεώρημα δείκτη ,το οποίο υπαινίσσεται ότι το Α γένος για τους περιστρεφόμενους πολυσύνθετους είναι ο δείκτης του χειριστή Dirac.Ο έξτρα παράγοντας του 2 στις διαστάσεις 4mod8 προέρχεται από το γεγονός ότι σε αυτή την περίπτωση ο πίνακας και ο συμπληρωματικός του χειριστή Dirac έχουν τετραγωνισμένη κατασκευή ,έτσι ώστε τα  σύνθετα διανύσματα έχουν ίσες διαστάσεις , και έτσι ο δείκτης είναι ίσος.
Στην 4η διάσταση αυτό το αποτέλεσμα υπαινίσσεται οτι στο θεώρημα του Rochlin η διακεκριμένη περιστροφή του πολυσύνθετου διαιρείται από το 16 : αυτό ακολουθεί επειδή στην διάσταση 4 το Α γένος είναι μείον το ένα όγδοο του διακεκριμένου.

Σύνορα

Η αρχική απόδειξη βασίζεται στη θεωρία των  Hirzebruch–Riemann–Roch (1954) και συμπεριλαμβάνει την θεωρία των συνόρων και ψευδοαντίστροφους χειριστές.
Η ιδέα της αρχικής απόδειξης είναι περίπου ως εξής. Δεδομένου τους δακτυλίους που δημιουργούνται ανά ζεύγη  (X, V) όπου V είναι ένας ομαλός δεσμός διανυσμάτων  στα συμπαγή ομαλά προσανατολισμένα πολύπλευρα Χ , σε σχέση ότι το άθροισμα και το προϊόν του δακτυλίου που δημιουργούνται δίνονται από ξένες ενώσεις και προϊόντα των πολύπλευρων (με τους προφανείς χειριστές σε δεσμό διανυσμάτων) και καθένα σύνορο των πολύπλευρων με δεσμό διάνυσμα να είναι 0. Αυτό είναι όμοιο με το σύνορο δακτυλίων των προσανατολισμένων πολύπλευρων, εκτός όταν τα πολύπλευρα έχουν επίσης δεσμό διανυσμάτων. Οι τροπολογικοί και αναλυτικοί δείκτες και οι δυο επανερμηνεύτηκαν σαν λειτουργίες από τους δακτυλίους στους ακέραιους. Τότε ο ένας ελέγχει ότι αυτές οι δυο λειτουργίες είναι στην πραγματικότητα και οι δυο δακτύλιοι ομομορφισμού. Στην προσπάθεια να αποδειχθεί ότι είναι το ίδιο , είναι απαραίτητο να ελεγχθεί αν είναι το ίδιο σε έναν συνδυασμό από γεννήτορες αυτής της δακτυλίου. Η θεωρία συνόρων του Thom δίνει έναν συνδυασμό γεννητόρων , για παράδειγμα , ένα σύνθετο διάνυσμα κενού με ασήμαντα δεσμά μαζί με απαραίτητα δεσμά ακόμα και με διανύσματα σφαιρών. Άρα το θεώρημα των δεικτών μπορεί να αποδειχθεί ελέγχοντας αυτές τις ιδιαίτερα απλές περιπτώσεις.

ΘΕΩΡΗΜΑ Κ

Η πρώτη δημοσιευμένη απόδειξη των Atiyah και Singer χρησιμοποίησε την K-θεωρία αντί της θεωρίας του συνόρου. Ε'αν το i είναι συμπερίληψη φορητών πολυσύνθετων μεταβλητών από το Χ στο Y ,όρισαν μια "προς τα εμπρός" μέθοδο στους ελλειπτικούς χειριστές του Χ προς τους ελλειπτικούς χειριστές του Υ που διατηρούν τον δείκτη.Δεχόμαστε το Υ ως μια σφαίρα που περιλαμβάνει το Χ ,αυτό μειώνει το θεώρημα του δείκτη στην περίπτωση σφαιρών.Εάν Υ είναι μια σφαίρα και Χ είναι χωμένο στο Υ ,τότε κάθε ελλειπτικός χειριστής στο Υ είναι η εικόνα κάτω από κάποιον ελλειπτικό χειριστή στο σημείο.Αυτό μειώνει το θεώρημα του δείκτη στο περίπτωση του σημείου ,που είναι ασήμαντο.
ΕΞΙΣΩΣΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ
Οι Atiyah,Bott και Patodi(1973) δώσανε μια καινούργια απόδειξη του θεωρήματος δείκτη χρησιμοποιώντας την εξίσωση της θερμότητας ,που περιγράφεται στο (Melrose 1993) και στο (Gilkey 1994),στο Berdine,Getzier & Vergne (2004) όπου περιγράφουν μια απλότερη εξίσωση θερμότητας εκμεταλεύοντας την υπερσυμμετρία.
Εάν D είναι ένας διαφορικός χειριστής με συνεφαπτόμενο D ,τότε D*D και D*D είναι εφαπτόμενοι χειριστές των οποίων οι μη μηδενικές τιμές έχουν τους ίδιους πολλαπλασιαστές.Ωστόσο οι μηδενικοί τους χώροι μπορεί να έχουν διαφορετικούς πολλαπλασιαστές ,αφού αυτοί οι πολλαπλασιαστές είναι οι διαστάσεις των πινάκων D και D* .Γι αυτό ο δείκτης του D δίνεται από
Δείκτης(D)=dim Ker(D) − dim Ker(D*) = Tr(e−tD*D) − Tr(e−tDD*)
για κάθε θετικό t.Η σωστή πλευρά δίνεται από το ίχνος της διαφοράς των πινάκων των δύο χειριστών θερμότητας.Αυτοί έχουν μια ασυμπτωτική επέκταση για μικρό θετικό t ,η οποία μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να αξιολογήσει το όριο καθώς  το t τείνει στο 0,δίνοντας απόδειξη του θεωρήματος δείκτη του Atiyah-Singer.Οι ασυμπτωτικές επεκτάσεις για μικρό t εμφανίζονται πολύ περίπλοκες αλλά η θεωρία μη-μεταβλητών δείχνει ότι αυτές είναι τεράστιες ακυρώσεις μεταξύ των όρων ,το οποίο το κάνει δυνατό ώστε να βρεθούν οι κύριοι όροι.Αυτές οι ακυρώσεις αργότερα εξηγήθηκαν χρησιμοποιώντας την υπερσυμμετρία.