Φυσικός αριθμός

Στα μαθηματικά, οι φυσικοί αριθμοί είναι εκείνοι που χρησιμοποιούνται για τη μέτρηση ("υπάρχουν έξι νομίσματα στο τραπέζι") και για τη σύγκριση ("υπάρχουν περισσότερες καρέκλες από τους πίνακες"). Μια μεταγενέστερη έννοια είναι εκείνη ενός ονομαστικού αριθμού, ο οποίος χρησιμοποιείται μόνο για την ονομασία. 
Δεν υπάρχει καθολική συμφωνία για το αν θα συμπεριλαμβάνεται  το μηδέν στο σύνολο των φυσικών αριθμών: μερικοί ορίζουν τους φυσικούς αριθμούς να είναι οι  θετικοί ακέραιοι  1, 2, 3,... ενώ για άλλους ο όρος προσδιορίζει τους μη-αρνητικούς ακέραιους 0, 1, 2, 3, .... Ο πρώτος ορισμός είναι ο παραδοσιακός, με τον τελευταίο ορισμό να εμφανίζεται για πρώτη φορά τον 19ο αιώνα. Μερικοί συγγραφείς χρησιμοποιούν τον όρο φυσικό αριθμό αποκλείοντας το 0 και  ακέραιο αριθμό για να το  συμπεριλάβουν. Άλλοι χρησιμοποιούν τον όρο ακέραιο αριθμό κατά τρόπο που να περιλαμβάνει τόσο το μηδέν όσο και τους αρνητικούς ακέραιους, δηλαδή ως ισοδύναμο του ακεραίου  όρου.
Ιδιότητες των φυσικών αριθμών που σχετίζονται με τη διαιρετότητα, όπως η κατανομή των  πρώτων αριθμών, μελετούνται στη  θεωρία αριθμών. Προβλήματα σχετικά με την καταμέτρηση και την παραγγελία, όπως η κατάτμηση  απαρίθμηση, μελετούνται στη Συνδυαστική.

Ιστορία των φυσικών αριθμών και το καθεστώς του μηδενός

Οι φυσικοί αριθμοί είχαν τις ρίζες τους στις λέξεις που χρησιμοποιούνται για να μετρήσουν τα πράγματα,ξεκινώντας με τον αριθμό 1.
Η πιο πρωτόγονη μέθοδος που αντιπροσωπεύει ένα φυσικό αριθμό είναι να βάλεις κάτω μια κουκκίδα για κάθε αντικείμενο. Αργότερα, μια σειρά από αντικείμενα που μπορούσαν να ελέγχονται για την ισότητα, το πλεόνασμα ή το έλλειμμα, διαγράφοντας μια τελεία για κάθε αντικείμενο στο σύνολο. 
Το πρώτο μεγάλο βήμα προς την αφαίρεση ήταν η χρήση των συστημάτων αρίθμησης για να αντιπροσωπεύσουν τους αριθμούς. Αυτό επέτρεψε να αναπτυχθούν συστήματα  για την καταγραφή μεγάλων αριθμών. Οι αρχαίοι  Αιγύπτιοι ανέπτυξαν ένα ισχυρό σύστημα αρίθμησης με διάφορα ιερογλυφικά  για το 1, 10, αλλά και για όλες τις δυνάμεις του 10 έως και πάνω από 1 εκατομμύριο. Μια πέτρα λιθοτεχνίας από  Καρνάκ , που χρονολογείται γύρω στο 1500 π.Χ. και τώρα βρίσκεται στο μουσείο του Λούβρου στο Παρίσι, απεικονίζει το 276 ως 2 εκατοντάδες, 7 δεκάδες, και 6,  και ομοίως για τον αριθμό 4.622. Οι Βαβυλώνιοι είχαν ένα αξιόλογο σύστημα αρίθμησης που βασιζόταν κυρίως στους αριθμούς  1 και 10.
Ένα μεταγενέστερο βήμα ήταν η ανάπτυξη της ιδέας ότι το 0 μπορεί να θεωρηθεί ως ένας αριθμός, με το δικό του ψηφίο. Η χρήση του ψηφίου 0 με αξιολογικό συμβολισμό (μέσα σε άλλους αριθμούς) χρονολογείται ήδη από το 700 π.Χ. από τους Βαβυλώνιους, αλλά παραλείπεται ένα τέτοιο ψηφίο όταν θα ήταν το τελευταίο σύμβολο στον αριθμό. Οι πολιτισμοί των Olmec και των Maya χρησιμοποίησαν  το 0 ως ξεχωριστό αριθμό ήδη από τον 1ο αιώνα π.Χ. , αλλά η χρήση αυτή δεν είχε εξαπλωθεί πέρα από την Κεντρική Αμερική. Η χρήση του ψηφίου 0 στη σύγχρονη εποχή ξεκίνησε από την Ινδό μαθηματικό Brahmagupta το 628. Ωστόσο, το 0 είχε χρησιμοποιηθεί ως ένας αριθμός στα μεσαιωνικά (για τον υπολογισμό της ημερομηνίας του Πάσχα), αρχίζοντας από τον Dionysius Exiguus το 525, χωρίς να συμβολίζεται από ένα ψηφίο (σύμφωνα με τους Λατινικούς αριθμούς δεν υπήρχε ένα σύμβολο για το 0) αντί του συμβόλου χρησιμοποιήθηκε το nulla ή τοnullae,  γενική της  nullus, η λατινική λέξη "τίποτα", χρησιμοποιήθηκε για να υποδηλώσει μια τιμή 0. 
Η πρώτη συστηματική μελέτη των αριθμών ως αφαιρέσεις (δηλαδή, ως αφηρημένες οντότητες συνήθως  πιστώνεται στους αρχαίους Έλληνες φιλόσοφους στον Πυθαγόρα και στον Αρχιμήδη. Στα στοιχεία του Ευκλείδη συναντούμε τον πρώτο ορισμό των φυσικών αριθμών: «[α΄] Μονάς ἐστιν, καθ' ἣν ἕκαστον τῶν ὄντων ἓν λέγεται. [β΄] Ἀριθμὸς δὲ τὸ ἐκ μονάδων συγκείμενον πλῆθος.» (Στοιχεία, βιβλίο VII, όροι κγ΄). Με βάση τον παραπάνω ορισμό ο μικρότερος φυσικός αριθμός είναι το "2", καθώς το "1" είναι η ιδεατή μονάδα, η οποία θα μπορούσε να θεωρηθεί ότι δεν αντιπροσωπεύει αριθμό.
Ανεξάρτητες μελέτες, επίσης, εμφανίστηκαν περίπου την ίδια ώρα στην Ινδία, Κίνα, και στην Κεντρική Αμερική.
Αρκετοί ορισμοί των φυσικών αριθμών  αναπτύχθηκαν τον 19ο αιώνα. Με τους ορισμούς αυτούς ήταν βολικό να περιλαμβάνεται το 0 (που αντιστοιχεί στο κενό σύνολο) ως ένα φυσικός αριθμός. Το να συμπεριλαμβάνεται και το 0 είναι πλέον η κοινή σύμβαση μεταξύ των επιστημόνων της βασικής θεωρίας , της λογικής  και της πληροφορικής.  Πολλοί άλλοι μαθηματικοί περιλαμβάνουν επίσης το 0, αν και ορισμένοι έχουν διατηρήσει την παλαιότερη παράδοση και λαμβάνουν ότι το 1 είναι ο πρώτος φυσικός αριθμός.  Μερικές φορές, το σύνολο των φυσικών αριθμών συμπεριλαμβανομένου και του μηδενός καλείται σύνολο ακεραίων αριθμών ή μετρήσιμων αριθμών. Από την άλλη πλευρά, ο ακέραιος στα λατινικά για το «σύνολο», είναι οι ακέραιοι  που συνήθως υφίστανται για τους αρνητικούς και θετικούς ακέραιους αριθμούς (και το 0) μαζί.

Τυπικοί ορισμοί

Ιστορικά, ο ακριβής μαθηματικός ορισμός των φυσικών αριθμών αναπτύχθηκε με κάποια δυσκολία. Τα αξιώματα Peano έχουν τις προϋποθέσεις που αναφέρεται ότι οποιοσδήποτε επιτυχής ορισμός πρέπει να πληροί. Ορισμένες κατασκευές δείχνουν ότι, με δεδομένη τη  θεωρία των συνόλων, τα μοντέλα του Peano αξιώματα πρέπει να υπάρχει.

Συναρτησιακή προσέγγιση

Ο Βίτγκενσταϊν στο Tractatus Logico-Philosophicus (1921) έγραφε «ο αριθμός είναι ο εκθέτης μιας πράξης», δίνοντας έτσι ένα ριζικά διαφορετικό νόημα στους φυσικούς αριθμούς: ο αριθμός δεν είναι σύνολο κάποιων στοιχείων αλλά επανάληψη κάποιας πράξης, δηλαδή κάποιας συνάρτησης. Ο Τσερτς (Church) το 1933 αναδιατυπώνει την ιδέα αυτή, στα πλαίσια του λαμδαλογισμού, ορίζοντας τους φυσικούς αριθμούς μέσα από τα αριθμιακά Τσερτς (Church numerals) ως εξής:
Έτσι, το αριθμιακό , δηλαδή ο φυσικός αριθμός , εκφράζεται μέσα από τις  διαδοχικές εφαρμογές μιας πράξης  σε ένα όρισμα x. Μια απλή και εύχρηστη εκδοχή αυτής της ιδέας είναι ο επαγωγικός ορισμός των φυσικών αριθμών με χρήση αποκλειστικά του μηδέν  και της συνάρτησης διαδοχής :
Δηλαδή, ο φυσικός αριθμός  βλέπεται εδώ ως η εφαρμογή της συνάρτησης διαδοχής  στο μηδέν,  διαδοχικές φορές: