Αριθμοί Μπελ

Ομοιοκαταληξία

Οι αριθμοί Μπελ υπολογίζουν επίσης τα σχήματα ομοιοκαταληξίας ενός n-στιχου ποιήματος ή στροφής. Μία ομοιοκαταληξία περιγράφει ποιοι στίχοι ομοιοκαταληκτούν με ποιούς , και επομένως μπορεί να ερμηνευθεί ως μία διαμέριση ενός συνόλου  στίχων σε ομοιοκατάληκτα υποσύνολα.Οι ομοιοκαταληξίες σημειώνονται συνήθως ως ακολουθίες ρωμαϊκών γραμμάτων, ενός ανά στίχο, με τους ομοιοκατάλληκτους στίχους να παίρνουν το ίδιο γράμμα, και τους πρώτους στίχους κάθε ομοιοκατάληκτου συνόλου να λαμβάνουν ετικέτα αλφαβητικής σειράς. Επομένως, οι 15 πιθανές ομοιοκαταληξίες ενός 4-στιχου ποιήματος είναι AAAA, AAAB, AABA, AABB, AABΓ, ABAA, ABAB, ABAΓ, ABBA, ABBB, ABBΓ, ABΓA, ABΓB, ABΓΓ, και ABΓΔ.

Μεταθέσεις

Οι αριθμοί Μπελ εμφανίζονται σε ένα χαρτοπαικτικό πρόβλημα ανακατέματος που αναφέρει σε παράρτημά του ο Gardner (1978). Αν μία στίβα από n κάρτες ανακατεύεται με επαναλαμβανόμενη μετακίνηση της πάνω κάρτας και επανατοποθέτησης της οπουδήποτε στη στοίβα (συμπεριλαμβανομένης και της αρχικής της θέσης στην κορυφή της
στοίβας), με ακριβώς n επαναλήψεις αυτής της διαδικασίας, τότε υπάρχουν nⁿ διαφορετικοί τρόποι ανακατέματος που μπορούν να πραγματοποιηθούν. Από αυτούς, ο αριθμός αυτών που επιστρέφει την τράπουλα στην αρχική της σειρά είναι ακριβώς Bₙ. Επομένως, η πιθανότητα η τράπουλα να επιστρέψει μετά το ανακάτεμα κατ'αυτόν τον τρόπο στην αρχική της σειρά είναι Bₙ/nⁿ, που είναι σημαντικά μεγαλύτερη από την  1/n! πιθανότητα που θα περιέγραφε μία τυχαία μετάθεση της στοίβας.
Σχετικά με μοίρασμα τραπουλόχαρτων υπάρχουν αρκετά ακόμη προβλήματα που υπολογίζουν διαφορετικά είδη μεταθέσεων  και επίσης απαντώνται από τους αριθμούς Μπελ. Παραδείγματος χάριν, ο ν-οστος αριθμός Μπελ ισούται με τον αριθμό των μεταθέσεων n αντικειμένων στα οποία δεν υπάρχουν τρεις τιμές ταξινομημένες σε φθίνουσα διάταξη, εκ των οποίων οι δύο τελευταίες να είναι διαδοχικές. Σημειογραφικά για τα γενικευμένα μεταθετικά μοτίβα στα οποία οι τιμές που είναι διαδοχικές γράφονται παρακείμενα, ενώ οι μη διαδοχικές με μία παύλα ανάμεσά τους, μπορούν να περιγραφούν ως οι μεταθέσεις που διαφεύγουν του μοτίβου 1-23. Οι μεταθέσεις που διαφεύγουν τον γενικευμένων μοτίβων 12-3, 32-1, 3-21, 1-32, 3-12, 21-3, και 23-1 μπορούν επίσης να υπολογισθούν από τους αριθμούς  Μπελ. Οι μεταθέσεις στις οποίες κάθε 321 μοτίβο (χωρίς περιορισμό στις διαδοχικές τιμές) μπορεί να επεκταθεί σε ένα 3241 μοτίβο, υπολογίζονται επίσης από τους αριθμούς Μπελ. Ωστόσο, οι αριθμοί Μπελ αυξάνονται υπερβολικά γρήγορα για να υπολογίσουν  τις μεταθέσεις που αποκλίνουν από μοτίβα πέραν των γενικευμένων καθ'αυτόν τον τρόπο: βάση της (μη αποδεδειγμένης) εικασίας των Stanley–Wilf , ο αριθμός τέτοιων μεταθέσεων είναι μεμονωμένα εκθετικός , και οι αριθμοί  Μπελ έχουν υψηλότερο ασυμπτωτικό ρυθμό αύξησης από αυτόν.

Τριγωνικές διατάξεις για υπολογισμό

Οι αριθμοί Μπελ μπορούν εύκολα να υπολογισθούν με τη δημιουργία του λεγόμενου Τριγώνου Μπελ , το οποίο καλείται επίσης διάταξη του Aitken ή τρίγωνο του Pierce , από τους Αλεξάντερ Άιτκεν and Τσαρλς Σάντερς Περς.
Παρακάτω βρίσκονται οι πέντε πρώτες σειρές του τριγώνου που κατασκευάζεται με τους παραπάνω κανόνες:
1. Ξεκίνα με το νούμερο ένα. Βάλτο σε μια σειρά από μόνο του.
    2. Ξεκίνα μια νέα σειρά με το δεξιότερο στοιχείο από την προηγούμενη σειρά σαν το πιο αριστερό στοιχείο.
    3. Καθορίστε τους αριθμούς όχι στην αριστερή στήλη με την λήψη του αριθμού στα αριστερά και ο αριθμός πάνω από τον αριθμό στα αριστερά ( ο αριθμός πάνω διαγώνια και αριστερά του αριθμού που υπολογίζουμε ).
    4. Επαναλάβετε το τρίτο βήμα έως ότου υπάρχει μια νέα σειρά με ένα αριθμό περισσότερο από την προηγούμενη σειρά.
    5. Ο αριθμός στην αριστερή πλευρά κάθε σειράς είναι ο αριθμός Μπελ για αυτή τη σειρά.
Παρακάτω βρίσκονται οι πέντε πρώτες σειρές του τριγώνου που κατασκευάζεται με τους παραπάνω κανόνες:
 1
 1   2
 2   3   5
 5   7  10  15
15  20  27  37  52
Οι αριθμοί Μπελ εμφανίζονται τόσο στις δεξιές όσο και στις αριστερές πλευρές του τριγώνου.

Γεννήτρια συνάρτηση

Η εκθετική γεννήτρια συνάρτηση  των αριθμών Μπελ είναι :
Σε αυτόν τον τύπο, η άθροιση στη μέση είναι η γενική μορφή που χρησιμοποιείται για να ορίσει την εκθετική γεννήτρια συνάρτηση για κάθε ακολουθία αριθμών , και ο τύπος στα δεξιά είναι το αποτέλεσμα της άθροισης στη συγκεκριμένη περίπτωση των αριθμών Μπελ.
Ένας τρόπος για να παράγεις το αποτέλεσμα χρησιμοποιεί αναλυτική συνδιαστική , ένα στυλ μαθηματικής λογικής στο οποίο τα σύνολα από μαθηματικά αντικείμενα περιγράφονται από τύπους εξηγώντας την κατασκευή τους από απλούστερα αντικείμενα , και μετά αυτοί οι τύποι χειρίζονται για να παράγουν  τις συνδιαστικές ιδιότητες των αντικειμένων . Στην γλώσσα της αναλυτικής συνδιαστικής , μία διαμέριση μπορεί να περιγραφεί σαν ένα σύνολο από μη κενές τεφροδόχους μέσα στις οποίες τα στοιχεία έχουν ετικέτες από 1 έως  n και έχουν κατανεμηθεί , η συνδιαστική κλάση  όλων των διαμερίσεων ( για όλα τα n) ίσως να εκφράζεται με την σήμανση  
Εδώ, το  είναι μια συνδιαστική κλάση με  ένα μόνο μέλος μεγέθους ένα  , ένα στοιχείο που μπορεί να τοποθετηθεί μέσα στην τεφροδόχο. Το εσωτερικό  τελεστής περιγράφει το σύνολο ή την τεφροδόχο που περιέχει ένα ή περισσότερα στοιχεία, και το εξωτερικό
 περιγράφει την συνολική διαμέριση ενός συνόλου αυτών των τεφροδόχων. Η εκθετική γεννήτρια συνάρτηση μπορe;i να διαβαστεί μεταφράζοντας τον  τελεστή μέσα στην εκθετική συνάρτηση και την μη κενό περιορισμό ≥1 μέσα στην αφαίρεση από μία.
Μια εναλλακτική μέθοδος για να παράγουμε την ίδια γεννήτρια συνάρτηση χρησιμοποιεί την επαναληπτική σχέση για τους αριθμούς Μπελ σε όρους από διωνυμικούς συντελεστές για να δείξουμε ότι η εκθετική συνάρτηση ικανοποιεί την διαφορική εξίσωση    . Η συνάρτηση αυτή  καθ'αυτή μπορεί να βρεθεί λύνοντας την εξίσωση  .

Αριθμητική με mod

Οι αριθμοί Μπελ υπακούν στην αναλογία του Touchard : Εάν p είναι ένας οποιοσδήποτε πρώτος αριθμός  τότε
or, generalizing 
Λόγω της αναλογίας του Touchard, οι αριθμοί Μπελ είναι περιοδικοί modulo p ,  για κάθε πρώτο αριθμό p : για παράδειγμα , για p=2, οι αριθμοί Μπελ επαναλαμβάνουν το μοτίβο περιττός-περιττός-άρτιος με περίοδο τρία . Η περίοδος αυτής της επανάληψης, για έναν αυθαίρετο πρώτο αριθμό p , πρέπει να είναι διαιρέτης του
και για όλα τα p μέχρι το 101 είναι ακριβώς αυτός ο άνθρωπος .

Λογαριθμική κοιλότητα

Οι αριθμοί Μπελ σχηματίζουν μια λογαριθμική κυρτή ακολουθία . Διαιρώντας με τα παραγοντικά  Bₙ/n! , δίνει μια λογαριθμική κοίλη ακολουθία

Πρώτοι αριθμοί Μπελ

Ο Γκάρντνερ (1978) αναρωτήθηκε εάν υπάρχουν άπειροι αριθμοί Μπελ είναι επίσης πρώτοι αριθμοί . Οι πρώτοι αριθμοί Μπελ που είναι πρώτοι είναι οι :
2, 5, 877, 27644437, 35742549198872617291353508656626642567, 359334085968622831041960188598043661065388726959079837 .
που αντιστοιχούν στους δείκτες 2,3,7,13,42 και 55 .
Ο επόμενος Μπελ πρώτος είναι ο B2841 , που είναι  περίπου 9.30740105 × 10⁶⁵³⁸ 
Ο Phil Carmody έδειξε ότι είναι πιθανός πρώτος το 2002. Μετά από 17 μήνες υπολογισμών με το πρόγραμμα ECPP  Primo του Marcel Martin, ο Ignacio Larrosa  Cañestro απέδειξε ότι ήταν πρώτος το 2004. Απέκλεισε ότι υπάρχουν  άλλοι πρώτοι κάτω από τον B₆₀₀₀ , που αργότερα επεκτάθηκε στον B₃₀₄₄₇  από τον Eric Weisstein .

Ιστορία

Οι αριθμοί Μπελ  έχουν πάρει το όνομα τους από τον Έρικ Τεμπλ Μπελ,ο οποίος έγραψε γι' αυτούς το 1938, μετά από ένα έγγραφο που δημοσιεύτηκε το 1934, στο οποίο μελέτησε τα πολυώνυμα Μπελ. Ο Μπελ δεν ισχυρίστηκε ότι είχε ανακαλύψει αυτούς τους αριθμούς: σε μια εργασία του το 1938 αλλά έγραψε ότι οι αριθμοί Μπελ ''είχαν συχνά διερευνηθεί'' και ''εκ νέου ανακαλυφθεί πολλές φορές''. Ο Μπελ επισημαίνει πολλές προηγούμενες δημοσιεύσεις πάνω σε αυτούς τους αριθμούς,ξεκινώντας με το Ντομπίνσκι (1877) τo οποίο έδωσε την φόρμουλα Ντομπίνσκι για τους αριθμούς Μπελ.Ο Μπελ ονόμασε αυτούς τους αριθμούς ''εκθετικούς αριθμούς'' ενώ η ονομασία ''Αριθμοί Μπελ'' και o συμβολισμός Bₙ  για αυτούς τους αριθμούς δόθηκε από τους Μπέκερ & Ράιορνταν (1948).
Η πρώτη  εξαντλητική απαρίθμηση των διαμερίσεων φαίνεται να έχει προκληθεί στην Μεσαιωνική Ιαπωνία, όπου(εμπνεόμενοι από την απήχηση του βιβλίου The Tale Of Genji) ένα παιχνίδι συναναστροφής με ονομασία gengi-ko, ξεπήδησε,στο οποίο οι παίκτες λάμβαναν πέντε πακέτα από θυμίαμα να μυρίσουν και καλούνταν να μαντέψουν ποιο ήταν ίδιο και ποιο διαφορετικό με το καθένα.Οι 52 πιθανές απαντήσεις,υπολογισμένες από  τον αριθμό Μπελ B5, έχουν αναπαρασταθεί από 52 διαφορετικά διαγράμματα ,τα οποία τυπώθηκαν πάνω από τους τίτλους των κεφαλαίων  σε μερικές εκδόσεις του The Tale of Genji.
Στο δεύτερο σημειωματάριο του Σρινιβάσα Ραμάνουτζαν,ανακάλυψε όχι μόνο τα πολυώνυμα Μπελ αλλά και τους αριθμούς Μπελ. Προηγούμενες αναφορές στο τρίγωνο του Μπελ, το οποίο είχε τους αριθμούς Μπελ και στις δύο πλευρές του είχαν  συμπεριλάβει οι Περς(1880) και Άιτκεν(1933).