Επιμορφισμός

Στη Θεωρία κατηγοριών, ένας επιμορφισμός (ονομάζεται επίσης ένας επί μορφισμός ή, κοινώς, μία επί συνάρτηση) είναι ένας μορφισμός f  : X → Y που είναι δεξιά-ακυρωτικός με την έννοια ότι, για όλους τους μορφισμούς g ₁ , g ₂  : Y → Z ,
.
Oι επιμορφισμοί είναι κατηγορικοί αναλογικοί των επί συναρτήσεων (και στην κατηγορία των συνόλων η έννοια αντιστοιχεί στις επί συναρτήσεις), αλλά δεν μπορεί να συμπίπτει ακριβώς σε όλα τα πλαίσια, για παράδειγμα, η έγκλιση  είναι ένας δακτύλιος-επιμορφισμός. Το διπλό του επιμορφισμού είναι ένας μονορφισμος (δηλαδή επιμορφισμός σε μια κατηγορία C είναι ένας μονομορφισμός στη διπλή κατηγορία C ᵒᵖ ).
Πολλοί συγγραφείς στην αφηρημένη άλγεβρα και στην καθολική άλγεβρα ορίζουν έναν επιμορφισμό απλώς ως επί ή επί ομομορφισμός. Κάθε επιμορφισμός σε αυτή την αλγεβρική έννοια είναι ένας επιμορφισμός με την έννοια της θεωρίας κατηγοριών, αλλά το αντίστροφο δεν ισχύει σε όλες τις κατηγορίες. Σε αυτό το άρθρο, ο όρος "επιμορφισμός" θα χρησιμοποιηθεί με την έννοια της θεωρίας κατηγοριών που δίνονται παραπάνω. Για περισσότερες πληροφορίες σχετικά με αυτό, δείτε την ενότητα Ορολογία παρακάτω.

Ιδιότητες

Κάθε ισομορφισμός είναι ένας επιμορφισμός. Πράγματι, μόνο μια αντιστροφή δεξιάς πλευράς είναι απαραίτητη: εάν υπάρχει μορφισμός j  : Y → X τέτοια ώστε fj = id Y , τότε f φαίνεται εύκολα ότι είναι ένας επιμορφισμός. Μία απεικόνιση με μια τέτοια αντιστροφή δεξιάς πλευράς ονομάζεται διάσπαση επί . Στον topos, μία απεικόνιση που είναι τόσο μόνο μορφισμός όσο και επιμορφισμός είναι ισομορφισμός.
Η σύνθεση των δύο επιμορφισμών είναι και πάλι ένας επιμορφισμός. Εάν η σύνθεση fg των δύο μορφισμών είναι ένας επιμορφισμός, τότε η f πρέπει να είναι επιμορφισμός.
Ορισμένα από τα πιο πάνω παραδείγματα δείχνουν, ότι η ιδιότητα του να είναι ένας επιμορφισμός δεν καθορίζεται από τον μορφισμό μόνη της, αλλά και από την κατηγορία του πλαισίου. Εάν D είναι μια υποκατηγορία του C , τότε κάθε μορφισμός στην D είναι ένας επιμορφισμός όταν θεωρείται ως μορφισμός στο C είναι επίσης επιμορφισμός στο D, το αντίστροφο, όμως, δεν χρειάζεται να ισχύει, η μικρότερη κατηγορία μπορεί (και συχνά θα) να έχει περισσότερους επιμορφισμούς.
Όπως για τις περισσότερες έννοιες στη θεωρία κατηγοριών, οι επιμορφισμοί διατηρούνται κάτω από τις ισοδυναμίες των κατηγοριών: δίνεται μια ισοδυναμία F : C → D , τότε ένας μορφισμός f είναι ένας επιμορφισμός στην κατηγορία C, αν και μόνο αν F ( f ) είναι ένας επιμορφισμός στο D . Μια δυαδικότητα μεταξύ δύο κατηγοριών μετατρέπει τους επιμορφισμούς σε μονομορφισμούς, και το αντίστροφο.
Ο ορισμός του επιμορφισμού μπορεί να αναδιατυπωθεί για να δηλώσει ότι η f  : X → Y είναι ένας επιμορφισμός αν και μόνο αν η απεικόνιση
είναι 1-1 για κάθε επιλογή του Ζ . Αυτό με τη σειρά είναι ισοδύναμo με τoν επαγόμενo φυσικό μετασχηματισμό
που είναι ένας μονομορφισμός στην συναρτησιακή κατηγορία Σύνολο C .
Κάθε συνεξισωστής είναι ένας επιμορφισμός, το οποίο είναι συνέπεια της μοναδικότητας του ορισμού των συνεξισωστών. Επομένως, μεταξύ άλλων, κάθε συμπυρήνας είναι ένας επιμορφισμός.Το αντίστροφο, δηλαδή ότι κάθε επιμορφισμός είναι ένας συνεξισωστής, δεν είναι αληθής σε όλες τις κατηγορίες.
Σε πολλές κατηγορίες είναι δυνατόν να γραφεί κάθε μορφισμός ως σύνθεση ενός επιμορφισμού που ακολουθείται από έναν μονομορφισμό. Για παράδειγμα, δίνεται μια ομάδα ομομορφισμού f  : G → H , μπορούμε να ορίσουμε την ομάδα Κ = im ( f ) = f ( G ) και στη συνέχεια να γραφεί η f ως σύνθεση του επί ομομορφισμού G → K που ορίζεται σαν f, ακολουθούμενη από τον 1-1 ομομορφισμό K → Η η οποία στέλνει κάθε στοιχείο στον εαυτό του. Μία τέτοια παραγοντοποίηση ενός αυθαίρετου μορφισμού σε επιμορφισμό που ακολουθείται από ένα μονομορφισμό μπορεί να πραγματοποιηθεί σε όλες τις αβελιανές κατηγορίες και επίσης σε όλες τις συγκεκριμένες κατηγορίες που αναφέρονται παραπάνω στο τμήμα Παραδείγματα (αν και όχι σε όλες τις συγκεκριμένες κατηγορίες).

Συναφείς έννοιες 

Μεταξύ άλλων χρήσιμων ιδεών είναι τακτικός επιμορφισμός , οριακός επιμορφισμός, ισχυρός επιμορφισμός και διάσπαση επιμορφισμού. Ένας τακτικός επιμορφισμός συνεξισωστών είναι κάποιο παράλληλο ζεύγος μορφισμού. Ένας οριακός επιμορφισμός είναι ένας επιμορφισμός που δεν έχει κανέναν μονομορφισμό ως δεύτερο παράγοντα, εκτός αν αυτός ο μονομορφισμός είναι ένας ισομορφισμός . Ένας ισχυρός επιμορφισμός ικανοποιεί μια ορισμένη ιδιότητα ανύψωσης σε σχέση με τις αντιμεταθετικές πλευρές που συνεπάγονται έναν μονομορφισμό. Μια διάσπαση επιμορφισμού είναι ένας μορφισμός που έχει αντίστροφο δεξιάς πλευράς.
Ένας μορφισμός που είναι τόσο ένας μονομορφισμός όσο και ένας επιμορφισμός ονομάζεται ενδομορφισμός. Κάθε ισομορφισμός είναι έναε ενδομορφισμός, αλλά το αντίστροφο δεν ισχύει γενικά. Για παράδειγμα, η απεικόνιση από το μισάνοιχτο διάστημα [0,1) στο μοναδιαίο κύκλο S ¹ (σκέψη ως υπόχωρος του μιγαδικού επιπέδου ), η οποία στέλνει το x στο exp (2πi x ) (βλέπε τον τύπο του Euler ) είναι συνεχής και αμφιμονότιμη αλλά δεν είναι ομομορφισμός και από την αντίστροφη απεικόνιση δεν είναι συνεχής στο 1, γι 'αυτό είναι μια περίπτωση ενός ενδομορφισμύ που δεν είναι ισομορφισμός στην κατηγορία Top . Ένα άλλο παράδειγμα είναι η ενσωμάτωση Q  → R στην κατηγορία Haus, όπως σημειώνεται παραπάνω, είναι ένας ενδομοερφισμός, αλλά δεν είναι αμφιμονότιμη και επομένως ούτε ισομορφισμός. Ομοίως, στην κατηγορία των δακτυλίων , η απεικόνιση Z  → Q είναι ένας ενδομορφισμός αλλά δεν είναι ισομορφισμός.
Οι επιμορφισμοί χρησιμοποιούνται για να καθορίσουν αφηρημένα αντικείμενα πηλίκου και σε γενικές κατηγορίες: δύο επιμορφισμοί f ₁  : X → Y ₁ και f ₂  : X → Y ₂ λέγεται ότι είναι ισοδύναμοι αν υπάρχει ισομορφισμός j : Y ₁ → Y ₂ με j  f ₁ = f ₂ . Αυτή είναι μια σχέση ισοδυναμίας , και οι κλάσεις ισοδυναμίας ορίζoνται να είναι τα αντικείμενα πηλίκου του Χ.

Ορολογία

Οι συγγενικοί όροι επιμορφισμός και μονομορφισμός θεσπίστηκαν για πρώτη φορά από τον Bourbaki . Ο Bourbaki χρησιμοποιεί τον επιμορφισμό ως συντομογραφία για μία επί συνάρτηση. Πρόσφατη κατηγορία θεωριών ισχυρίζεται ότι οι επιμορφισμοί ήταν η σωστή αναλογία των επί συνάρτησεων σε μια αυθαίρετη κατηγορία, παρόμοιο με το πώς οι μονομορφισμοί είναι πολύ σχεδόν ανάλογοι των 1-1 συναρτήσεων. Δυστυχώς αυτό είναι λάθος,οι ισχυροί ή τακτικοί επιμορφισμοί συμπεριφέρονται πολύ πιο στενά με τις επί συναρτήσεις από τους συνηθισμένους επιμορφισμούς. Ο Saunders Mac Lane προσπάθησε να δημιουργήσει μια διάκριση μεταξύ επιμορφισμών, που ήταν απεικονίσεις σε μια συγκεκριμένη κατηγορία των οποίων η υποκείμενη σειρά απεικονήσεων ήταν επί, και επί μορφισμοί , οι οποίοι είναι επιμορφισμοί με τη σύγχρονη έννοια. Ωστόσο, η διάκριση αυτή ποτέ δεν επαληθεύτηκε.
Είναι ένα κοινό λάθος να πιστεύουμε ότι οι επιμορφισμοί είναι είτε ταυτόσημοι με τις επί συναρτήσεις ή ότι είναι μια καλύτερη ιδέα. Δυστυχώς αυτή η περίπτωση είναι σπάνια, ότι οι επιμορφισμοί μπορεί να είναι πολύ μυστηριώδες και να έχουν απροσδόκητη συμπεριφορά. Είναι πολύ δύσκολο, για παράδειγμα, να ταξινομηθούν όλοι οι επιμορφισμοί των δακτυλίων. Σε γενικές γραμμές, οι επιμορφισμοί έχουν δική τους μοναδική έννοια, που σχετίζεται με τις επί συναρτήσεις αλλά είναι τελείως διαφορετική.