Ταξινόμηση πεπερασμένων απλών ομάδων

Στα μαθηματικά, η κατάταξη των πεπερασμένων απλών ομάδων είναι ένα θεώρημα που αναφέρει ότι κάθε πεπερασμένη απλή ομάδα ανήκει σε μία από τις τέσσερις κατηγορίες που περιγράφονται παρακάτω. Αυτές οι ομάδες μπορούν να θεωρηθούν ως τα βασικά δομικά στοιχεία όλων των πεπερασμένων ομάδων, με έναν τρόπο που θυμίζει το πως οι πρώτοι αριθμοί είναι τα βασικά δομικά στοιχεία των φυσικών αριθμών. Το θεώρημα Jordan-Ηölder είναι ένας πιο ακριβής τρόπος για να δηλώσουμε το γεγονός αυτό των πεπερασμένων ομάδων. Ωστόσο, μια σημαντική διαφορά όσον αφορά την περίπτωση της παραγοντοποίησης ακεραίων είναι ότι τέτοια "δομικά στοιχεία" δεν καθορίζουν απαραίτητα μια ομάδα μοναδικά, δεδομένου ότι μπορεί να υπάρχουν πολλές μη-ισόμορφες ομάδες με την ίδια σύνθεση ή, να το πούμε αλλιώς, το επεκταμένο πρόβλημα δεν έχει μοναδική λύση.
Η απόδειξη του θεωρήματος ταξινόμησης αποτελείται από δεκάδες χιλιάδες σελίδες και εκατοντάδες άρθρα γραμμένα από 100 περίπου συγγραφείς, που δημοσιεύτηκαν ως επί το πλείστον μεταξύ 1955 και το 2004. Ο Ντάνιελ Γκόρενσταϊν (Daniel Γκορστάιν) (απεβίωσε 1992), Ρίτσαρντ Λύονς(Richard Λύονς) και ο Ρόναλντ Σόλομον (Ronald Σόλομον) οι οποίοι σταδιακά δημοσιεύουν μια απλοποιημένη και αναθεωρημένη έκδοση της απόδειξης.

Δήλωση για το θεώρημα της ταξινόμησης

Το θεώρημα της ταξινόμησης έχει εφαρμογές σε πολλούς κλάδους των μαθηματικών, ερωτήματα σχετικά με τη δομή των πεπερασμένων ομάδων (και τη δράση τους σε άλλους κλάδους των μαθηματικών) μερικές φορές μπορούν να περιοριστούν σε ερωτήσεις σχετικά με τις πεπερασμένες απλές ομάδες. Χάρη στο θεώρημα ταξινόμησης, τέτοιες ερωτήσεις μπορεί μερικές φορές να απαντηθούν ελέγχοντας κάθε οικογένεια απλών ομάδων και κάθε σποραδική ομάδα.
Ο Ντάνιελ Γκορεστάιν ανακοίνωσε το 1983 ότι οι πεπερασμένες απλές ομάδες είχαν ταξινομηθεί, αλλά αυτό ήταν πρόωρο, όπως είχε παραπληροφορηθεί για την απόδειξη της ταξινόμησης των ομάδων quasithin. Η ολοκληρωμένη απόδειξη της ταξινόμησης ανακοινώθηκε από τον Aschbacher (2004) αφού ο Aschbacher και ο Σμιθ δημοσίευσαν 1221-σελίδες απόδειξη για την ελλειπή περίπτωση των ομάδων quasithin .

Επισκόπηση της απόδειξης του θεωρήματος της ταξινόμησης

Ο Γκορεστάιν (1982,1983) έγραψε δύο τόμους που περιγράφει μέρος της απόδειξης που αναφέρεται στην περίπτωση χαμηλής βαθμίδας και περιττής χαρακτηριστικής, και οι Michael Aschbacher, Richard Λύονς, Stephen D. Smith έγραψαν έναν τρίτο τόμο καλύπτοντας το υπόλοιπο κομμάτι των δύο περιπτώσεων. Η απόδειξη μπορεί να σπάσει σε πολλά σημαντικά κομμάτια ως εξής:

Ομάδες συστατικού τύπου στοιχείο

Μια ομάδα που λέγεται ότι είναι του τύπου συστατικού στοιχείου, εφόσον για κάποια  C από μια εμπλοκή, C/O(C) έχει ένα στοιχείο (όπου O(C) είναι ο πυρήνας της C, η μέγιστη κανονική υποομάδα περιττής τάξης).
Αυτά είναι είτε περισσότερο ή λιγότερο ομάδες τύπου Lie περιττής χαρακτηριστικής μεγάλης βαθμίδας και εναλλασσόμενες ομάδες, μαζί με κάποιες σποραδικές ομάδες.
Ένα σημαντικό βήμα σε αυτή την περίπτωση είναι να εξαλείψει το εμπόδιο του πυρήνα για ανέλιξη. Αυτό επιτυγχάνεται με το B-θεώρημα, το οποίο ορίζει ότι κάθε στοιχείο του C/O(C) είναι η εικόνα από ένα στοιχείο του C.
Η ιδέα είναι ότι αυτές οι ομάδες έχουν ένα κανονικοποιητή σε εμπλοκή με ένα στοιχείο που είναι η μικρότερη quasisimple ομάδα, το οποίο μπορεί να θεωρηθεί ότι είναι ήδη γνωστό από την επαγωγή. Έτσι, για να ταξινομήσουμε αυτές τις ομάδες παίρνουμε κάθε κεντρική επέκταση της κάθε πεπερασμένης απλής ομάδας, και βρίσκουμε όλες τις απλές ομάδες, με κανονικοποιητή της εμπλοκής με αυτό ως συστατικό. Αυτό δίνει ένα αρκετά μεγάλο αριθμό διαφορετικών περιπτώσεων για έλεγχο: δεν υπάρχουν μόνο 26 σποραδικές ομάδες και 16 οικογένειες των ομάδων τύπου Lie και εναλλασσόμενες ομάδες, αλλά πολλές από τις ομάδες των μικρών τάξεων ή μικρών σωμάτων συμπεριφέρονται διαφορετικά από τη γενική περίπτωση και πρέπει να αντιμετωπίζεται ξεχωριστά. Επιπλέον οι ομάδες τύπου Lie είτε με άρτια είτε με περιττή χαρακτηριστική, συμπεριφέρονται επίσης αρκετά διαφορετικά.

Ομάδες χαρακτηριστικών τύπου 2

Μια ομάδα είναι χαρακτηριστικού τύπου 2 αν η γενικευμένη τοποθετούμενη υποομάδα F*(Y) της κάθε 2-τοπικής υποομάδα Υ είναι μια τύπου 2-ομάδα. Όπως υποδηλώνει το όνομα, αυτές είναι περίπου οι ομάδες τύπου Lie πάνω από τα πεδία με χαρακτηριστική 2, καθώς και μια συλλογή άλλων που εναλλάσσονται ή σποραδικές ή με περιττή χαρακτηριστική. Η ταξινόμησή τους είναι χωρισμένη σε μικρές και μεγάλες περιπτώσεις βαθμίδων, όπου η βαθμίδα είναι η μεγαλύτερη δυνατή βαθμίδα μιας περιττής αβελιανής υποομάδας κανονικοποιημένη σε μια μη τετριμμένη 2-υποομάδα, η οποία είναι συχνά (αλλά όχι πάντα) της ίδιας βαθμίδας με την Cartan subalgebra όταν η ομάδα είναι μια ομάδα Lie χαρακτηριστικού τύπου 2.
Οι ομάδες βαθμίδας 1 είναι η λεπτές ομάδες, που κατατάσσονται από τον Aschbacher, και αυτές που είναι βαθμίδας 2 είναι οι περιβόητες quasithin ομάδες, που κατατάχθηκαν από τους Aschbacher και Σμιθ. Αυτές αντιστοιχούν περίπου σε ομάδες τύπου Lie βαθμίδας 1 ή 2 πάνω από τα πεδία των χαρακτηριστικών 2.
Ομάδες βαθμίδας τουλάχιστον 3 υποδιαιρούνται περαιτέρω σε 3 κλάσεις χάρη στο θεώρημα τριχοτόμησης που αποδείχθηκε από τον Aschbacher για την περίπτωση που έχουμε βαθμίδα 3 και από Γκορεστάιν και Λύονς για περιπτώσεις με βαθμίδα τουλάχιστον 4. Οι τρεις τάξεις είναι ομάδες του GF(2) τύπου (που ταξινομούνται κυρίως από τον Timmesfeld), ομάδες "κανονικού τύπου" για κάποιο περιττό πρώτο (όπως κατατάσσονται από το θεώρημα Γκίλμαν–Griess και το έργο από πολλούς άλλους), και των ομάδων της μοναδικού τύπου, όπου το αποτέλεσμα του Aschbacher συμπεραίνει ότι δεν υπάρχουν απλές ομάδες. Γενικά η περίπτωση με την υψηλότερη βαθμίδα αποτελείται ως επί το πλείστον από ομάδες τύπου Lie  πάνω από τα πεδία των χαρακτηριστικών 2 του βαθμίδας τουλάχιστον 3 ή 4.

Ύπαρξη και μοναδικότητα των απλών ομάδων

Το κύριο μέρος της ταξινόμησης παράγει την έννοια της χαρακτηριστικής σε κάθε απλή ομάδα. Στη συνέχεια είναι απαραίτητο να ελέγχεται ότι υπάρχει μια απλή ομάδα για κάθε χαρακτηριστική και ότι είναι αυτή είναι μοναδική. Αυτό δίνει ένα μεγάλο αριθμό από διαφορετικά προβλήματα, για παράδειγμα, οι αρχικές αποδείξεις της ύπαρξης και μοναδικότητας του Fischer–Griess Monster Group M, ανήλθαν σε περίπου 200 σελίδες, και ο προσδιορισμός των Ree ομάδων από τον Τόμσον και Bombieri ήταν ένα από τα δυσκολότερα μέρη της ταξινόμησης. Πολλές από τις υπάρχουσες αποδείξεις και κάποιες από τις αποδείξεις της μοναδικότητας για τις σποραδικές ομάδες χρησιμοποιούν υπολογιστικούς υπολογισμούς, οι περισσότεροι από τους οποίους έχουν πλέον αντικατασταθεί από σύντομες αποδείξεις.

Γιατί η απόδειξη παίρνει τόσο χρόνο;

Ο Γκορενστείν έχει συζητήσει  μερικούς από τους λόγους γιατί μπορεί να μην υπάρχει μια μικρή απόδειξη της ταξινόμησης, παρόμοια με την ταξινόμηση των σyμπαγών ομάδων τύπου Lie.
Ο πιο προφανής λόγος είναι ότι η λίστα με απλές ομάδες είναι αρκετά περίπλοκη:με 26 σποραδικές ομάδες ενδέχεται να υπάρχουν πολλές ειδικές περιπτώσεις που πρέπει να εξετάζονται σε κάθε απόδειξη. Μέχρι στιγμής κανείς δεν έχει βρει μια καθαρή εφαρμοσμένη περιγραφή των πεπερασμένων απλών ομάδων παρόμοια με την παραμετροποίηση των συμπαγών ομάδων τύπου Lie μέσα από τα διαγράμματα Dynkin.
Ο Atiyah και άλλοι έχουν προτείνει ότι η ταξινόμηση θα πρέπει να απλουστευθεί κατασκευάζοντας κάποιο γεωμετρικό αντικείμενο πάνω στο οποίο οι ομάδες θα δρούν και, στη συνέχεια, να ταξινομήσουν αυτές τις γεωμετρικές δομές. Το πρόβλημα είναι ότι κανείς δεν ήταν σε θέση να προτείνει έναν εύκολο τρόπο για να βρεθεί μια τέτοια γεωμετρική δομή που συνδέεται σε μια απλή ομάδα. Κατά κάποιο τρόπο η ταξινόμηση δεν λειτουργεί με την εύρεση γεωμετρικών δομών όπως τα BN-ζεύγη, αλλά αυτό έρχεται μόνο στο τέλος μιας μακράς και δύσκολης ανάλυσης της δομής μιας πεπερασμένης απλής ομάδας.
Μια άλλη πρόταση για την απλούστευση της απόδειξης είναι να κάνουν μεγαλύτερη χρήση της θεωρίας της εκπροσώπησης  Το πρόβλημα εδώ είναι ότι η θεωρία εκπροσώπησης φαίνεται να απαιτεί πολύ αυστηρό έλεγχο των υποομάδων μιας ομάδας, προκειμένου να λειτουργήσει σωστά. Για τις ομάδες μικρής τάξης έχει γίνει έλεγχος και η θεωρία της εκπροσώπησης λειτουργεί πολύ καλά, αλλά για ομάδες μεγαλύτερες βαθμού κανείς δεν έχει καταφέρει να τη χρησιμοποιήσει για να απλοποιήσει την ταξινόμηση. Κατά τις πρώτες ημέρες της ταξινόμησης υπήρχε σημαντική προσπάθεια που γίνεται για να χρησιμοποιηθεί η θεωρία εκπροσώπησης, αλλά αυτό δεν επιτεύχθηκε με μεγάλη επιτυχία στην περίπτωση υψηλότερης βαθμίδας.

Συνέπειες της ταξινόμησης

Αυτή η ενότητα παραθέτει κάποια αποτελέσματα που έχουν αποδειχθεί χρησιμοποιώντας την κατάταξη των πεπερασμένων απλών ομάδων.
Τις Schreier εικασίες
Το Signalizer θεώρημα συναρτητή
Τις Β εικασίες
Το Schur–Zassenhaus θεώρημα για όλες τις ομάδες (αν και αυτό χρησιμοποιεί μόνο το Feit–Thompson θεώρημα).
Μια μεταβατική μεταθετική ομάδα σε ένα πεπερασμένο σύνολο με περισσότερα από 1 στοιχείο έχει ένα σταθερό ελεύθερο στοιχείο πρωταρχικής δυναμικής σειράς.
Η ταξινόμηση των 2-μεταβατικών μεταθετικών ομάδων.
Η κατάταξη των βαθμίδας 3 μεταθετικών ομάδων.
Τις Sims εικασίες
Τις Frobenius εικασίες σχετικά με τον αριθμό των λύσεων της xn=1.