Αλγεβρική ποικιλία

Οι αλγεβρικές ποικιλίες είναι το κεντρικό αντικείμενο μελέτης στην  αλγεβρική γεωμετρία. Κλασσικά, μια αλγεβρική ποικιλία ορίζεται ως το σύνολο των λύσεων ενός πολυωνυμικού συστήματος εξισώσεων  πάνω στο πραγματικό επίπεδο  ή μιγαδικό επίπεδο. Μοντέρνοι ορισμοί γενικεύουν αυτή την έννοια με πολλούς διαφορετικούς τρόπους, ενώ ταυτόχρονα προσπαθεί να διατηρήσει την γεωμετρική διαίσθηση πίσω από τον αρχικό ορισμό.
Οι συμβάσεις που αφορούν τον ορισμό της αλγεβρικής ποικιλίας διαφέρουν ελαφρώς. Για παράδειγμα, μερικοί ορισμοί οδηγούν στο συμπέρασμα ότι η αλγεβρική ποικιλία είναι αμείωτη, πράγμα που σημαίνει ότι δεν είναι η ένωση των δύο μικρότερων συνόλων που είναι κλειστά στην τοπολογία Zariski. Σύμφωνα με τον ορισμό αυτό, μη αμείωτες αλγεβρικές ποικιλίες ονομάζονται αλγεβρικά σύνολα. Σύμφωνα με άλλες συμβάσεις δεν απαιτούν παραγώγιση. Η έννοια της αλγεβρικής ποικιλίας είναι παρόμοια με εκείνη της αναλυτικής πολλαπλότητας.Μια σημαντική διαφορά είναι ότι μια αλγεβρική ποικιλία μπορεί να έχει μεμονωμένα σημεία, ενώ μια πολλαπλή δεν μπορεί.
Η έννοια της αλγεβρικής ποικιλίας είναι παρόμοια με εκείνη της αναλυτική πολλαπλότητας. Μια σημαντική διαφορά είναι ότι η αλγεβρική ποικιλία μπορεί να έχει μεμονωμένα σημεία ενώ στην αναλυτική πολλαπλότητα κάτι τέτοιο δεν είναι εφικτό.
Το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας εγκαθιστά μια σύνδεση μεταξύ της άλγεβρας και της γεωμετρίας με  το να δείξει ότι ένα monic πολυώνυμο (ένα αλγεβρικό αντικείμενο) σε μια μεταβλητή με  σύνθετους αριθμούς συντελεστές  καθορίζεται από το σύνολο των ριζών του (ένα γεωμετρικό αντικείμενο)στο καρτεσιανό επίπεδο. Γενικεύοντας αυτό το αποτέλεσμα,ο Nullstellensatz Hilbert παρέχει μια θεμελιώδη αλληλεπίδραση μεταξύ των υποσυνόλων των πολυωνυμικών δακτυλίων και των αλγεβρικών συνόλων. Χρησιμοποιώντας το Nullstellensatz και τα σχετικά αποτελέσματα, οι μαθηματικοί έχουν καθιερώσει μια ισχυρή σύνδεση μεταξύ των ερωτήσεων στα αλγεβρικά σύνολα και των θεμάτων της θεωρίας δακτυλίων. Αυτή η σύνδεση  είναι η ιδιομορφία της αλγεβρικής γεωμετρίας.

Εισαγωγή και ορισμοί

Μια αφινική ποικιλία σε αλγεβρικό κλειστό επίπεδο εννοιολογικά είναι ο απλούστερος τύπος ποικιλίας από τους ορισμούς, τους οποίους θα αναφέρουμε σε αυτό το κεφάλαιο. Στη συνέχεια κάποιος μπορεί να καθορίσει τις προβολικές και σχεδόν-προβολικές ποικιλίες με παρόμοιο τρόπο. Ο πιο γενικός ορισμός της ποικιλίας διατυπώνεται από το συνδυασμό μικρότερων σχεδόν παραβολικών ποικιλιών.  Δεν είναι προφανές ότι κάποιος μπορεί να κατασκευάσει πραγματικά νέα παραδειγμάτων ποικιλιών κατά αυτόν τον τρόπο,αλλά  Nagata έδωσε ένα παράδειγμα μιας τέτοιας νέας ποικιλίας στη δεκαετία του '50.

Αφινικές ποικιλίες

Ας είναι k ένα κλειστό αλγεβρικό σώμα και ας είναι Aⁿ ένας αφινικός n-χώρος στο k. Τα πολυώνυμα f στο δακτύλιο k[x₁, ..., xₙ] μπορούν να θεωρηθούν ως k-διανυσματικές συναρτήσεις στο Aⁿ υπολογίζοντας την f στα σημεία του, δηλαδή επιλέγοντας τιμές από το k για κάθε xᵢ. Για κάθε σύνολο S πολυώνυμων στο k[x1, ..., Χn], ορίζουμε το μηδενικό τόπο Z(S) το σύνολο των σημείων στο για τα οποία οι συναρτήσεις στο S ταυτόχρονα μηδενίζονται, δηλαδή

Z(S)={x ∈ An | f(x) = 0 για κάθε f∈S}

Ένα υποσύνολο V τουAⁿ ονομάζεται αφινικό αλγεβρικό σύνολο αν V = Z(S) για κάποια S. Ένα μη-μηδενικό αφινικό αλγεβρικό σύνολο ονομάζεται ανάγωγο αν δεν μπορεί να γραφεί ως ένωση δύο γνήσιων αλγεβρικών υποσυνόλων. Ένα γνήσιο αφινικό αλγεβρικό σύνολο ονομάζεται επίσης αλγεβρική ποικιλία. ( Αρκετοί συγγραφείς χρησιμοποιούν τη φράση αφινική ποικιλία για να αναφερθούν σε κάθε αλγεβρικό σύνολο, ανάγωγο ή όχι.)