Πυθαγόρειο θεώρημα

Το Πυθαγόρειο θεώρημα ή θεώρημα του Πυθαγόρα στα μαθηματικά, είναι σχέση της ευκλείδειας γεωμετρίας ανάμεσα στις πλευρές ενός ορθογώνιου τριγώνου. Συνεπώς αποτελεί θεώρημα της επίπεδης γεωμετρίας.
Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο Θεώρημα, που εξ ονόματος αποδίδεται στον αρχαίο Έλληνα φιλόσοφο Πυθαγόρα: «ἐν τοῖς ὀρθογωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ὀρθὴν γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν τὴν ὀρθὴν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν τετραγώνοις.».
 Δηλαδή: «το τετράγωνο της υποτινούσης (της πλευράς που βρίσκεται απέναντι από την ορθή γωνία) ενός ορθογώνιου τριγώνου ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο καθέτων πλευρών».
Το θεώρημα μπορεί να γραφεί ως εξίσωση συσχετίζοντας τα μήκη των πλευρών α,β και γ, που ονομάζεται πυθαγόρεια εξίσωση:
, (όπου β και γ τα μήκη των δύο κάθετων πλευρών και α το μήκος της υποτείνουσας)
Τη παραπάνω αρχαία διατύπωση της πρότασης του εν λόγω θεωρήματος παρέχει ο Ευκλείδης στο πρώτο βιβλίο των Στοιχείων Γεωμετρίας του (47η πρόταση) με σχετική απόδειξη που κατά παράδοση οφείλεται στον Πυθαγόρα, ο οποίος κατ' άλλη, επίσης αρχαία, παράδοση, μετά την ανακάλυψή του αυτή θυσίασε προς τους θεούς εκατόμβη, γι' αυτό και το θεώρημα αυτό ονομάσθηκε «Εκατόμβη» ή «Θεώρημα εκατόμβης».
Αν και το θεώρημα σήμερα φέρει το όνομα του Έλληνα μαθηματικού Πυθαγόρα (570 π.Χ.- 495 π.Χ.), από ιστορικές έρευνες φαίνεται ότι είχε διατυπωθεί και νωρίτερα (ως εμπειρική παρατήρηση).Υπάρχουν αποδείξεις ότι Βαβυλώνιοι μαθηματικοί είχαν κατανοήσει τον τρόπο λειτουργίας του θεωρήματος, αν και δεν υπάρχει σχεδόν καμία απόδειξη ότι το χρησιμοποίησαν σε μαθηματικά πλαίσια. Μαθηματικοί από την Μεσοποταμία, την Ινδία και την Κίνα είναι επίσης γνωστοί για το ότι είχαν ανακαλύψει το αποτέλεσμα του θεωρήματος αποδεικνύοντας το, επιπλέον, σε συγκεκριμένες περιπτώσεις.
Το θεώρημα έχει μεγάλο αριθμό αποδείξεων, πιθανότατα μεγαλύτερο από κάθε άλλο μαθηματικό θεώρημα. Οι αποδείξεις είναι ευθείες και το σύνολο τους συμπεριλαμβάνει τόσο γεωμετρικές όσο και αλγεβρικές αποδείξεις, κάποιες από της οποίες χρονολογούνται αρκετές χιλιετίες πριν. Το θεώρημα μπορεί να γενικευτεί με πολλούς τρόπους, σε χώρους μεγαλύτερης διάστασης, σε μη Ευκλείδειους χώρους, σε μη ορθογώνια τρίγωνα ή ακόμα και σε ν-διάστατα στερεά.
Ισχύει και το αντίστροφο Πυθαγόρειο Θεώρημα: ότι δηλαδή, αν ισχύει η παραπάνω σχέση μεταξύ των πλευρών ενός τριγώνου, τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.

Ιστορικά

Υπάρχει μία διαφωνία για το κατά πόσο το πυθαγόρειο θεώρημα ανακαλύφθηκε μία φορά ή πολλές φορές σε διαφορετικά μέρη.
Η ιστορία του πυθαγορείου θεωρήματος μπορεί να διαιρεθεί σε τέσσερα μέρη: ανακάλυψη των πυθαγόρειων τριάδων, ανακάλυψη της σχέσης μεταξύ των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου, ανακάλυψη των σχέσεων μεταξύ ομοίων τριγώνων και και αποδείξεις του θεωρήματος στα πλαίσια κάποιου επαγωγικού συστήματος. 
Ο Bartel Leendert van der Waerden (1903–1996) υπέθεσε ότι πυθαγόρειες τριάδες ανακαλύφθηκαν αλγεβρικά από τους Βαβυλώνιους. Γραμμένος μεταξύ του 200 και του 1786 π.Χ., την περίοδο του Μέσου Βασιλείου της Αιγύπτου, ο αιγυπτιακός πάπυρος του Βερολίνου 6619 συμπεριλαμβάνει ένα πρόβλημα του οποίου η λύση είναι η πυθαγόρεια τριάδα 6,8,10, στο οποίο όμως δεν γίνεται αναφορά σε ορθογώνιο τρίγωνο. Ο πίνακας Plimpton 322, γραμμένος στη Μεσοποταμία μεταξύ του 1790 και του 1750 π.Χ. κατά τη διάρκεια της βασιλείας του Χαμουραμπί, περιέχει πολλές αναφορές σχετικές με πυθαγόρειες τριάδες. Από αιγυπτιακά μεγαλιθικά μνημεία των οποίων οι πλευρές είναι ακέραια πολλαπλάσια, φαίνεται ότι οι ιδιότητες των ορθογωνίων τριγώνων και οι σχέσεις των πλευρών τους, ήταν γνωστές από πολύ παλιά.
Στην Ινδία, το βιβλίο Baudhayana Sulba Sutra (οδηγίες για κατασκευή ναών), το οποίο χρονολογείται μεταξύ του 8ου και του 2ου αιώνα π.Χ., περιέχει μία λίστα από πυθαγόρειες τριάδες που ανακαλύφθηκαν αλγεβρικά, μία διατύπωση του πυθαγορείου θεωρήματος και μία γεωμετρική απόδειξη του θεωρήματος για ένα ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο (Το σχοινί που εκτείνεται κατά μήκος της διαγωνίου ενός ορθογωνίου, παράγει επιφάνεια ίδια με αυτή της κάθετης και της οριζόντιας πλευράς). Το Apastamba Sulba Sutra (600 π.Χ.) περιέχει μία γενική αριθμητική απόδειξη του θεωρήματος, χρησιμοποιώντας τον υπολογισμό ενός εμβαδού. Ο Van der Waerden πίστευε ότι σίγουρα βασιζόταν σε παλαιότερες παραδόσεις. Ο Boyer (1991) υποστηρίζει ότι στοιχεία που βρέθηκαν στο Sulba Sutra προέρχονται από λαούς της Μεσοποταμίας. 
Με περιεχόμενο γνωστό πολύ νωρίτερα αλλά διασωθέν σε κείμενα που χρονολογούνται τον 1ο αιώνα π.Χ., το κινέζικο κείμενο Zhou Bi Suan Jing δίνει μία αιτιολόγηση του πυθαγορείου θεωρήματος για την τριάδα 3,4,5- στην Ινδία είναι γνωστό και ως "θεώρημα Gougu". Κατά τη διάρκεια της δυναστείας Χαν (202 π.Χ.-220 μ.Χ.), οι πυθαγόρειες τριάδες εμφανίζονται στο "Εννέα κεφάλαια της μαθηματικής τέχνης" μαζί με μία αναφορά σε ορθογώνια τρίγωνα. Πολλοί πιστεύουν ότι το θεώρημα πρώτα ανακαλύφθηκε στην Κίνα, όπου ονομάζεται και Θεώρημα Shang Gao, από το όνομα του αστρονόμου και μαθηματικού δούκα του Zhou, του οποίου το έργο συνιστά το μεγαλύτερο μέρος του Zhou Bi Suan Jing.
Ο Πυθαγόρας χρησιμοποίησε αλγεβρικές μεθόδους για να κατασκευάσει πυθαγόρειες τριάδες, σύμφωνα με το σχολιασμό του Πρόκλου στον Ευκλείδη. Ο Πρόκλος όμως, έγραψε μεταξύ του 410 και 485 μ.Χ. Σύμφωνα με τον Thomas L. Heath (1861–1940), δεν επιβιώνει καμία συγκεκριμένη απόδοση του θεωρήματος στον Πυθαγόρα στην ελληνική λογοτεχνία τους 5 αιώνες αφότου εκείνος έζησε. Παρ'όλα αυτά, όταν συγγραφείς όπως ο Ευκλείδης και Κικέρων, το έκαναν με τρόπο που υποδήλωνε ότι το γεγονός ήταν ευρέως γνωστό και αναμφισβήτητο. Είτε το η ανακάλυψη του θεωρήματος αποδίδεται προσωπικά στον Πυθαγόρα είτε όχι, το σίγουρο είναι ότι σε κάθε περίπτωση, η ανακάλυψη του θεωρήματος χρονολογείται την εποχή των πυθαγόρειων μαθηματικών.
Γύρω στο 400 π.Χ., σύμφωνα με τον Πρόκλο, ο Πλάτωνας έδωσε μία μέθοδο για την εύρεση πυθαγόρειων τριάδων που συνδυάζει άλγεβρα και γεωμετρία. Γύρω στα 300 π.Χ., στα Στοιχεία του Ευκλείδη παρουσιάζεται η πρώτη εκτενής αξιωματική απόδειξη του θεωρήματος.

Πυθαγόρεια απόδειξη

Το πυθαγόρειο θεώρημα ήταν γνωστό πολύ πριν τον Πυθαγόρα, αλλά φαίνεται να είναι αυτός ο πρώτος που κατάφερε να το αποδείξει. Σε κάθε περίπτωση, η απόδειξη που του αποδίδεται είναι πολύ απλή και ονομάζεται απόδειξη με ανακατανομή.
Καθένα από τα δύο μεγάλα τετράγωνα της εικόνας περιέχει τέσσερα όμοια τρίγωνα και η μόνη διαφορά τους είναι ότι τα τετράγωνα κατανέμονται διαφορετικά. Για αυτό το λόγο, η λευκή περιοχή των δύο τετραγώνων πρέπει να έχει ίσο εμβαδόν. Ο υπολογισμός των εμβαδών των λευκών περιοχών, οδηγεί στο πυθαγόρεια θεώρημα και αποδεικνύει το ζητούμενο. 
Το γεγονός ότι αυτή η πολύ απλή απόδειξη αποδίδεται στον Πυθαγόρα, συχνά αναφέρεται σε συγγράμματα του μεταγενέστερου Έλληνα φιλόσοφου και μαθηματικού, Πρόκλου. Αρκετές ακόμα αποδείξεις του θεωρήματος περιγράφοντα παρακάτω, αλλά αυτή είναι γνωστή σαν πυθαγόρεια απόδειξη.

Άλλες αποδείξεις του θεωρήματος

Το πυθαγόρειο θεώρημα ίσως έχει περισσότερες αποδείξεις από κάθε άλλο (με το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας να είναι επίσης υποψήφιο για αυτή τη διάκριση): το βιβλίο Η πυθαγόρεια πρόταση περιέχει 370 αποδείξεις.

Απόδειξη με ανακατανομή

Έχει γίνει ήδη αναφορά στην πυθαγόρεια απόδειξη, η οποία είναι απόδειξη με ανακατανομή. Η ίδια ιδέα εκφράζεται από την κινούμενη εικόνα, η οποία αποτελείται από ένα μεγάλο τετράγωνο, πλευράς a+b, που περιέχει τέσσερα όμοια ορθογώνια τρίγωνα. Τα τρίγωνα εμφανίζοντα σε δύο κατανομές, η πρώτη από τις οποίες αφήνει ακάλυπτη μία περιοχή που αποτελείται από δύο τετράγωνα, πλευράς a και b και η δεύτερη ένα τετράγωνο πλευράς c. Το εμβαδόν του εξωτερικού τετραγώνου δεν αλλάζει,, όπως και το εμβαδόν των τεσσάρων τριγώνων, επομένως προκύπτει ότι a² + b² = c².
Μία δεύτερη απόδειξη ανακατανομής δίνεται στην δεύτερη κινούμενη εικόνα. Σχηματίζεται ένα μεγάλο τετράγωνο πλευράς c, από τέσσερα πανομοιότυπα ορθογώνια τρίγωνα πλευράς a,b και c, γύρω από ένα μικρό κεντρικό τετράγωνο. Στη συνέχεια σχηματίζονται δύο ορθογώνια παραλληλόγραμμα πλευράς a και b με μετακίνηση των τριγώνων. Ο συνδυασμός του μικρού τετραγώνου με τα δύο παραλληλόγραμμα παράγει δύο τετράγωνα με εμβαδά  a² και b², τα οποία έχουν ίσο εμβαδόν με το αρχικό μεγάλο τετράγωνο.
Η τρίτη κινούμενη απόδειξη δίνει ακόμα μία απόδειξη. Τα πάνω τετράγωνα χωρίζονται όπως φαίνεται στην εικόνα με μπλε και πράσινη σκιαγράφηση, σε κομμάτια τα οποία αν επανατοποθετηθούν μπορούν να σχηματίσουν το τετράγωνο της υποτείνουσας- ή αντίστροφα το μεγάλο τετράγωνο μπορεί να χωριστεί σε κομμάτια που σχηματίζουν τα δύο άλλα. Αυτό αποδεικνύει ότι το εμβαδόν του μεγάλου τετραγώνου ισούται με αυτό των άλλων δύο.

Πυθαγόρειες τριάδες

Μία πυθαγόρεια τριάδα αποτελείται από τρεις θετικούς ακέραιους αριθμούς α,β,γ τέτοιους ώστε α²+β²=γ² . Με άλλα λόγια μία αντιπροσωπεύει τα μήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου, όταν αυτά είναι ακέραιοι αριθμοί. Στοιχεία από μεγαλιθικά μνημεία της Βόρειας Ευρώπης δείχνουν ότι τέτοιες τριάδες ήταν γνωστές πολύ πριν την ανακάλυψη της γραφής.Τέτοιες τριάδες γράφονται συνήθως (α,β,γ). Οι γνωστότερες είναι (3,4,5) και (5,12,13).
Μία αρχέγονη πυθαγόρεια τριάδα είναι αυτή για την οποία οι α,β,γ είναι πρώτοι μεταξύ τους (δηλαδή ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των α,β,γ είναι 1).
Παρακάτω είναι μία λίστα με αρχέγονες πυθαγόρειες τριάδες με αριθμούς μικρότερους του 100:
(3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12, 35, 37), (13, 84, 85), (16,63, 65), (20, 21, 29), (28, 45, 53), (33, 56, 65), (36, 77, 85), (39, 80, 89), (48, 55, 73), (65, 72, 97)

Μη μετρήσιμα μήκη

Μία από τις συνέπειες του πυθαγορείου θεωρήματος είναι ότι ευθύγραμμα τμήματα των οποίων τα μήκη είναι μη μετρήσιμα (όπως οι ρίζες), μπορούν να κατασκευαστούν με χάρακα και διαβήτη. Το θεώρημα του Πυθαγόρα επιτρέπει την κατασκευή μη μετρήσιμων μηκών εξ'αιτίας του ότι συσχετίζονται τα τετράγωνα της υποτείνουσας και των δύο κάθετων πλευρών.
Το σχέδιο δεξιά δείχνει πως κατασκευάζονται ευθύγραμμα τμήματα με μήκη τετραγωνικές ρίζες οποιωνδήποτε θετικών ακεραίων. Κάθε τρίγωνο έχει μία πλευρά (συμβολίζεται με "1") που θεωρείται μοναδιαία για τη μέτρηση. Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το πυθαγόρειο θεώρημα συσχετίζει το μήκος της υποτείνουσας με την πλευρά που θεωρείται μοναδιαία, και αν οι πλευρές του τριγώνου είναι ρίζες μη τέλειων τετραγώνων, κατασκευάζονται έτσι μη μετρήσιμα μήκη. 
Τα μη μετρήσιμα μήκη έρχεται σε αντιπαράθεση με την θεώρηση των αριθμών από τον Πυθαγόρα που συμπεριλαμβάνει μόνο ακέραιους αριθμούς. Ο Πυθαγόρας, ασχολήθηκε με αναλογίες συγκρίνοντας τα κλάσματα με άλλα όπου ο αριθμητής ήταν ακέραιο πολλαπλάσιο του κοινού παρονομαστή.

Νόμος των συνημιτόνων

Το Πυθαγώρειο θεώρημα είναι μία ειδική περίπτωση του γενικευμένου θεωρήματος,το οποίο σχετίζεται με τα μήκη των πλευρών οποιουδήποτε τριγώνου,ο νόμος των συνημιτόνων:

, 

όπου θ είναι η γωνία μεταξύ των πλευρ'ων a και b.
Όταν η γωνία θ γίνει 90 μοίρες,τότε cosθ=0 και ο τύπος συρρικνώνεται στο συνήθες Πυθαγόρειο θεώρημα.

Όλο το θεώρημα

ἐν τοῖς ὀρθογωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ὀρθὴν γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν τὴν ὀρθὴν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν τετραγώνοις. 
ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ ὀρθὴν ἔχον τὴν ὑπὸ ΒΑΓ γωνίαν· λέγω, ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ τετραγώνοις. 
ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ μὲν τῆς ΒΓ τετράγωνον τὸ ΒΔΕΓ, ἀπὸ δὲ τῶν ΒΑ, ΑΓ τὰ ΗΒ, ΘΓ, καὶ διὰ τοῦ Α ὁποτέρᾳ τῶν ΒΔ, ΓΕ παράλληλος ἤχθω ἡ ΑΛ· καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ, ΖΓ. καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΒΑΓ, ΒΑΗ γωνιῶν, πρὸς δή τινι εὐθείᾳ τῇ ΒΑ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΓ, ΑΗ μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη κείμεναι τὰς ἐφεξῆς γωνίας δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ποιοῦσιν· ἐπ᾽ εὐθείας ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΑ τῇ ΑΗ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΒΑ τῇ ΑΘ ἐστιν ἐπ᾽ εὐθείας. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΔΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΒΑ —ὀρθὴ γὰρ ἑκατέρα— κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΑΒΓ· ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΒΑ ὅλῃ τῇ ὑπὸ ΖΒΓ ἐστιν ἴση. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΔΒ τῇ ΒΓ, ἡ δὲ ΖΒ τῇ ΒΑ, δύο δὴ αἱ ΔΒ, ΒΑ δύο ταῖς ΖΒ, ΒΓ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ· καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΔΒΑ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΖΒΓ ἴση· βάσις ἄρα ἡ ΑΔ βάσει τῇ ΖΓ {ἐστιν} ἴση, καὶ τὸ ΑΒΔ τρίγωνον τῷ ΖΒΓ τριγώνῳ ἐστὶν ἴσον· καὶ {ἐστι} τοῦ μὲν ΑΒΔ τριγώνου διπλάσιον τὸ ΒΛ παραλληλόγραμμον· βάσιν τε γὰρ τὴν αὐτὴν ἔχουσι τὴν ΒΔ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς εἰσι παραλλήλοις ταῖς ΒΔ, ΑΛ· τοῦ δὲ ΖΒΓ τριγώνου διπλάσιον τὸ ΗΒ τετράγωνον· βάσιν τε γὰρ πάλιν τὴν αὐτὴν ἔχουσι τὴν ΖΒ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς εἰσι παραλλήλοις ταῖς ΖΒ, ΗΓ. {τὰ δὲ τῶν ἴσων διπλάσια ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν·} ἴσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΒΛ παραλληλόγραμμον τῷ ΗΒ τετραγώνῳ. ὁμοίως δὴ ἐπιζευγνυμένων τῶν ΑΕ, ΒΚ δειχθήσεται καὶ τὸ ΓΛ παραλληλόγραμμον ἴσον τῷ ΘΓ τετραγώνῳ· ὅλον ἄρα τὸ ΒΔΕΓ τετράγωνον δυσὶ τοῖς ΗΒ, ΘΓ τετραγώνοις ἴσον ἐστίν. καί ἐστι τὸ μὲν ΒΔΕΓ τετράγωνον ἀπὸ τῆς ΒΓ ἀναγραφέν, τὰ δὲ ΗΒ, ΘΓ ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ. τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΒΓ πλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ πλευρῶν τετραγώνοις. 
ἐν ἄρα τοῖς ὀρθογωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ὀρθὴν γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν τὴν ὀρθὴν {γωνίαν} περιεχουσῶν πλευρῶν τετραγώνοις· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.