Ανάλυση πίνακα σε ιδιάζουσες τιμές

Περιστροφή, αλλαγή κλίμακας

Στην ειδική αλλά συνηθισμένη περίπτωση που ο M είναι απλά ένας m×m τετραγωνικός πίνακας με θετική ορίζουσα του οποίου τα στοιχεία είναι πραγματικοί αριθμοί, τότε οι U, V*, και Σ είναι m×m πίνακες πραγματικών αριθμών, επίσης ο Σ μπορεί να θεωρηθεί ως ένας πίνακας αλλαγής κλίμακας, και οι U και V* ως πίνακες περιστροφής.
Αν πληρούνται οι παραπάνω συνθήκες, η έκφραση  μπορεί διαισθητικά να ερμηνευθεί ως μία σύνθεση (ή μια ακολουθία) τριών γεωμετρικών μετασχηματισμών: μιας περιστροφής, μιας αλλαγής κλίμακας και μιας ακόμα περιστροφής. Για παράδειγμα, η παραπάνω εικόνα εξηγεί πως ένας πίνακας στρέβλωσης μπορεί να περιγραφεί ως μία τέτοια ακολουθία.

Οι ιδιάζουσες τιμές ως ημιάξονες μιας έλλειψης ή ενός ελλειψοειδούς

Όπως φαίνεται στην εικόνα, οι ιδιάζουσες τιμές μπορούν να ερμηνευθούν ως οι ημιάξονες μιας έλλειψης στο επίπεδο. Αυτή η ιδέα μπορεί να γενικοποιηθεί στον n-διάστατο Ευκλείδειο χώρο, με τις ιδιάζουσες τιμές κάθε n×n τετραγωνικού πίνακα να θεωρούνται ως οι ημιάξονες ενός n-διάστατου ελλειψοειδούς. Δείτε παρακάτω για περισσότερες λεπτομέρειες.

Οι στήλες των U και V είναι ορθοκανονικές βάσεις

Καθώς οι πίνακες U και V* είναι ορθομοναδιαίοι, οι στήλες του καθενός σχηματιζουν ένα σύνολο ορθοκανονικών διανυσμάτων, που μπορούν να θεωρηθούν ως διανύσματα βάσης. Από τον ορισμό του ορθομοναδιαίου πίνακα, προκύπτει οτι το ίδιο ισχύει και για τους συζηγείς αναστρόφους αυτων, U* και V. Εν συντομία, οι στήλες των U, U*, V, και V* είναι ορθοκανονικές βάσεις.

Επίλυση ομογενών γραμμικών εξισώσεων

Ένα σύστημα ομογενών γραμμικών εξισώσεων μπορεί να γραφεί στη μορφή  για κάποιο πίνακα  και διάνυσμα . Μια συνήθης περίπτωση είναι ο  να είναι γνωστός και ένα μη μηδενικό  να υπολογίζεται που να ικανοποιεί την εξίσωση. Ένα τέτοιο  ανήκει στο μηδενοχώρο του  και ορισμένες φορές καλείται (δεξιό) μηδενοδιάνυσμα του . Το διάνυσμα  μπορεί να χαρακτηριστεί σαν δεξιό ιδιάζων διάνυσμα της αντίστοιχης ιδιάζουσας τιμής του  που είναι μηδέν. Η παρατήρηση αυτή μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι αν ο  είναι τετραγωνικός πίνακας και δεν έχει μηδενιζόμενη ιδιάζουσα τιμή, τότε η εξίσωση δεν έχει μη μηδενικό  σαν λύση. Ακόμα σημαίνει ότι αν υπάρχουν πολλές μηδενιζόμενες ιδιάζουσες τιμές, κάθε γραμμικός συνδυασμός των αντίστοιχων δεξιών ιδιαζώντων διανυσμάτων είναι μια αποδεκτή λύση. Ανάλογα με τον ορισμό του (δεξιού) μηδενοδιανύσματος, ένα μη μηδενικό  που ικανοποιεί την , με το  να δηλώνει το συζηγές αντίστροφο του , ονομάζεται αριστερό μηδενοδιάνυσμα του .

Ελαχιστοποίηση μέσω της μεθόδου ελαχίστων τετραγώνων

Το πρόβλημα ελαχιστοποίησης μέσω της μεθόδου ελαχίστων τετραγώνων αναφέρεται στον υπολογισμό του διανύσματος  που ελαχιστοποιεί την 2-νόρμα ενός διανύσματος  κάτω απο την προυπόθεση . Η λύση τελικά είναι το δεξί ιδιάζων διάνυσμα του  που αντιστοιχεί στη μικρότερη ιδιάζουσα τιμή.

Χώρος στηλών, μηδενοχώρος και βαθμίδα

Η ανάλυση σε ιδιάζουσες μας προσφέρει επίσης μία αναπαράσταση του χώρου των στηλών και του μηδενοχώρου ενός πίνακα M. Τα δεξιά ιδιάζοντα διανύσματα αντιστοιχούν στις μηδενιζόμενες ιδιάζουσες τιμές του M παράγουν τον μηδενοχώρο του M. Για παράδειγμα. ο μηδενοχώρος του παραπάνω παραδείγματος παράγεται απο τις δύο τελευταίες στήλες του . Τα αριστερά-ιδιάζοντα διανύσματα που αντιστοιχούν σε μη μηδενικές ιδιάζουσες τιμές του M παράγουν τον χώρο των στηλών του M. Συνεπώς, η βαθμίδα του M ισούται με τον αριθμό των μη μηδενικών ιδιάζουσων τιμών που είναι ίση με τον αριθμό των μη μηδενικών διαγώνιων στοιχείων του .
Στην αριθμητική γραμμική άλγεβρα οι ιδιάζουσες τιμές μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον υπολογισμό της δραστικής (effective) βαθμίδας ενός πίνακα, μιας και τα σφάλματα στις στρογγυλοποιήσεις μπορουν να οδηγήσουν σε μικρές αλλά όχι μηδενικές ιδιάζουσες τιμές σε πίνακες που δεν έχουν πλήρη τάξη.

Αλγόριθμος του Kabsch

Ο αλγόριθμος του Kabsch (επονομαζόμενος και πρόβλημα του Wahba σε άλλα πεδία) κάνει χρήση της ανάλυσης σε ιδιάζουσες τιμές για να υπολογίσει την βέλτιστη περιστροφή (με βάση και την ελαχιστοποίση μέσω της μεθόδου ελαχίστων τετραγώνων) που θα ευθυγραμμίσει ένα σύνολο σημείων με ένα άλλο αντίστοιχο σύνολο σημείων. Χρησιμοποιείται, μεταξύ άλλων εφαρμογών, για να συγκρίνουμε τις δομές των μορίων.

Επεξεργασία σημάτων

Η ανάλυση σε ιδιάζουσες τιμές και ο ψευδοαντίστροφος έχουν εφαρμοστεί επιτυχημένα στην επεξεργασία σήματος και στα μεγάλα δεδομένα (big data), για παράδειγμα στην επεξεργασία γονιδιωματικού σήματος.

Άλλα παραδείγματα

Η ανάλυση σε ιδιάζουσες τιμές εφαρμόζεται ευρέως και στην μελέτη των γραμμικών αντιστρόφων προβλημάτων και είναι χρήσιμη στην ανάλυση μεθόδων κανονικοποίησης όπως αυτή του Tikhonov. Χρησιμοποιείται ευρύτατα στην Στατιστική όπου σχετίζεται με την ανάλυση κυρίων συνιστωσών και την Ανάλυση Αντιστοιχιών. Στη επεξεργασία σημάτων χρησιμοποιείται στον τομέα της αναγνώρισης προτύπων. Μία ακόμη χρήση είναι η Λανθάνουσα σημασιολογική δεικτοδότηση στην επεξεργασία κειμένων φυσικών γλωσσών.
Η ανάλυση σε ιδιάζουσες τιμές παίζει επίσης σημαντικό ρόλο στον τομέα της κβαντικής πληροφορίας, σε μία μορφή που αναφέρεται συχνά ως ανάλυση Schmidt. Μέσω αυτής, οι καταστάσεις δύο κβαντικών συστημάτων αναλύονται, παρέχοντας μία ικανή και αναγκαία συνθήκη για την κβαντική διεμπλοκή τους: αν η βαθμίδα του πίνακα  είναι μεγαλύτερη από ένα.
Μία εφαρμογή της ανάλυσης σε ιδιάζουσες τιμές σε μεγάλους πίνακες είναι η αριθμητική πρόγνωση του καιρού, όπου οι μέθοδοι Lanczos χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό τον γραμμικώς ταχυτέρων αναπτυσσόμενων αναταράξεων της κύριας αριθμητικής πρόγνωσης με δοσμένες αρχικές συνθήκες για ενα χρονικό διάστημα ή ισοδύναμα για τον υπολογισμό των ιδιαζόντων διανυσμάτων που αντιστοιχούν στις μεγαλύτερες ιδιάζουσες τιμές του γραμμικοποιημένου διαδότη για τον παγκόσμιο καιρό σε ένα χρονικό διάστημα. Τα ιδιάζοντα διανύσματα εξόδου σε αυτήν την περίπτωση είναι ολόκληρα κλιματολογικά συστήματα. Αυτές οι διαταραχές χρησιμοποιούνται στη συνέχεια από πλήρη μη γραμμικά μοντέλα για να δημιουργήσουν ένα φάσμα όλων των πιθανών εξελίξεων του καιρού, βοηθώντας έτσι στην κατανόηση της αβεβαιότητας που θα συνοδεύει την κύρια πρόβλεψη.
Η ανάλυση σε ιδιάζουσες τιμές έχει επίσης εφαρμοστεί στην μοντελοποίηση ελλατωμένης τάξης. Σκοπός της μοντελοποίησης ελλατωμένης τάξης είναι η ελλάτωση των βαθμών ελευθερίας περίπλοκων συστημάτων τα οποία πρόκειται να μοντελοποιηθούν. Η ανάλυση σε ιδιάζουσες τιμές χρησιμοποιήθηκε σε συνδυασμό με συναρτήσεις ακτινικής βάσης για τον υπολογισμό μέσω παρεμβολής των λύσεων τριδιάστατων ασταθών προβλημάτων ροής. 
Η ανάλυση σε ιδιάζουσες τιμές έχει επίσης εφαρμοστεί στην θεωρία αντίστροφων προβλημάτων. Μία σημαντική εφαρμογή είναι η κατασκευή υπολογιστικών μοντέλων για δεξαμενές πετρελαίου.
Η ανάλυση σε ιδιάζουσες τιμές χρησιμοποιείται σε συστηµάτα προτάσεων για την πρόβλεψη της βαθμολόγισης των προιόντων από τους καταναλωτές.

Γεωμετρική σημασία

Επειδή οι U και V είναι ορθομοναδιαίοι, γνωρίζουμε ότι οι στήλες u₁, …, uₘ του U σχηματίζουν μία ορθοκανονική βάση του Kᵐ και οι στήλες v₁, …, vₙ του V μία ορθοκανονική βάση για το Kⁿ (θεωρόντας και τον γνωστό βαθμωτό πολλαπλασιασμό στους χώρους αυτούς).
Ο γραμμικός μετασχηματισμός T :Kⁿ → Kᵐ που απεικονίζει το x στο Mx έχει ιδιαίτερα απλή περιγραφή σε σχέση με αυτές τις ορθοκανονικές βάσεις: έχουμε T(vᵢ) = σᵢ uᵢ, για i = 1,...,min(m,n), όπου σᵢ είναι το i-στο στοιχείο της διαγωνίου του Σ, και T(vᵢ) = 0 για i > min(m,n).
Η γεωμετρική σημασία της ανάλυσης ενός πίνακα σε ιδιάζουσες τιμές συνοψίζεται ως εξής: για κάθε γραμμική απεικόνιση T :Kⁿ → Kᵐ μπορούμε να βρούμε ορθοκανονικές βάσεις των Kⁿ και Kᵐ έτσι ώστε η T να απεικονίζει το i-στο διάνυσμα βάσης του Kⁿ σε ένα μη αρνητικό πολλαπλάσιο του i-στου διανύσματος βάσης του Kᵐ, και να απεικονίσει την υπόλοιπη βάση σε μηδενικά διανύσματα. Σε σχέση με αυτές τις βάσεις, η απεικόνιση T αντιπροσωπεύεται από έναν διαγώνιο πίνακα με μη αρνητικά, πραγματικά στοιχεία.
Μία καλύτερη εποπτική περιγραφή των ιδιάζουσων τιμών και της ανάλυσης πίνακα σε αυτές -τουλάχιστον για πραγματικούς διανυσματικούς χώρους- είναι η εξής: Θεωρούμε μια σφαίρα S με ακτίνα ένα στον Rⁿ. Η γραμμική απεικόνιση T απεικονίζει την σφαίρα σε ένα ελλειψοειδές στον Rᵐ. Οι μη μηδενικές ιδιάζουσες τιμές είναι τα μήκη των ημιαξόνων του ελλειψοειδούς. Ειδικά όταν n=m, και όλες οι ιδιάζουσες τιμές είναι μη μηδενικές, η ανάλυση της γραμμικής απεικόνισης T μπορεί εύκολα να αναλυθεί σαν αλληλουχία τριών συνεχόμενων κινήσεων: Θεωρούμε το ελλειψοειδές T(S) και τους άξονές του, τότε θεωρούμε τις κατευθύνσεις στον Rⁿ που καθορίζονται από την T σε αυτούς τους άξονες. Αυτές οι κατευθύνσεις είναι μεταξύ τους ορθογώνιες. Αρχικά θεωρούμε την ισομετρία v* που απεικονίζει αυτές τις κατευθύνσεις στους άξονες συντεταγμένων του Rⁿ . Εν συνεχεία, ο ενδομορφισμός d διαγωνιοποιημένος κατά μήκος των αξόνων συντεταγμένων, μεγεθυνμένος ή συρρικνωμένος προς κάθε κατεύθυνση, χρησιμοποιώντας τα μήκη των ημιαξόνων της T(S) ως συντελεστές μεγέθυνσης. Η σύνθεση d o v* στέλνει την μοναδιαία σφαίρα σε ένα ελλειψοειδές ισομετρικό του T(S). Για να ορίσουμε την τρίτη και τελευταία κίνηση u, θεωρούμε την ισομετρία που μεταφέρει το ελλειψοειδές στο T(S). Όπως μπορεί εύκολα να ελεγθεί, η σύνθεση u o d o v* ταυτίζεται με το T.

Αριθμητική προσέγγιση

Η ανάλυση σε ιδιάζουσες τιμές ενός πίνακα M υπολογίζεται μεσω μία διαδικασιας που αποτελείται απο δύο βήματα. Στο πρώτο βήμα, ο πίνακας υποβιβάζεται σε έναν διδιαγώνιο πίνακα, δηλαδή σε έναν πίνακα του οποιου τα μόνα μη μηδενικά στοιχεία είναι αυτά της κύριας διαγώνιου καθώς και αυτά της υποδιαγωνίου ή της υπερδιαγωνίου. Το βήμα αυτό απαιτεί O(mn²) πράξεις κινητής υποδιαστολής (floating-point operations (flops)), αν υποθέσουμε ότι m ≥ n. Στο δεύτερο βήμα υπολογίζουμε την ανάλυση σε ιδιάζουσες τιμές του διδιαγώνιου πίνακα. Αυτό το βήμα μπορεί να γίνει μόνο με επαναληπτικές μεθόδους (όπως οι αλγόριθμοι για τις ιδιοτιμές ). Ωστόσο, στην πράξη αρκεί να υπολογίσουμε την ανάλυση σε ιδιάζουσες τιμές μέχρι μια συγκεκριμενη ακρίβεια, για παράδειγμα την machine epsilon. Αν αυτή η ακρίβεια θεωρηθεί σταθερή τότε το δεύτερο βήμα απαιτεί O(n) βήματα, καθένα από τα οποία κοστίζει O(n) flops. Συνεπώς, το πρώτο βήμα είναι υπολογιστικά πιο ακριβό και έτσι το συνολικό κόστος είναι O(mn²) flops (Trefethen & Bau III 1997, Lecture 31).
Το πρώτο βήμα μπορεί να υλοποιηθεί μέσω των αντικατοπτρισμών του Householder με κόστος 4mn² − 4n³/3 flops, αν υποθέσουμε ότι μας ενδιαφέρουν μόνο οι ιδιάζουσες τιμές και όχι τα ιδιάζοντα διανύσματα. Αν το m είναι πολυ μεγαλύτερο από το n τότε συμφέρει περισσότερο να υποβιβάσουμε πρώτα τον πίνακα σε τριγωνικό μεσω της QR παραγοντοποίησης και μετά με χρήση των αντικατοπτρισμών Householder να υποβιβάσουμε περαιτέρω τον πίνακα σε διδιαγώνια μορφή. Το συνολικό κόστος τότε είναι 2mn² + 2n³ flops (Trefethen & Bau III 1997, Lecture 31).
Το δεύτερο βήμα μπορεί να γίνει με μία παραλλαγή του QR αλγορίθμου για τον υπολογισμό των ιδιοτιμών, ο οποίος περιγράφηκε πρώτη φορά από τους Golub & Kahan (1965). Η υπορουτίνα DBDSQR της βιβλιοθήκης LAPACK υλοποιεί αυτήν την επαναληπτική μέθοδο, με μερικές προσθήκες ώστε να καλυφθεί και η περίπτωση που οι ιδιάζουσες τιμές είναι πολύ μικρές (Demmel & Kahan 1990). Η ρουτίνα DGESVD η οποία υπολογίζει την ανάλυση σε ιδιάζουσες τιμές αποτελείται από ένα αρχικό βήμα χρήσης αντικατοπτρισμών Householder, αν είναι απαραίτητο, και μία QR παραγοντοποίηση.
Ο ίδιος αλγόριθμος έχει υλοποιηθεί και στην GNU Scientific Library (GSL). Η GSL προσφέρει επίσης μία εναλλακτική μέθοδο, η οποία χρησιμοποιεί μονόπλευρους Jacobi orthogonalization στο βήμα 2 (GSL Team 2007). Αυτή η μέθοδος υπολογίζει την ανάλυση σε ιδιάζουσες τιμές του διδιαγωνίου πίνακα υπολογίζοντας μία σειρά από αναλύσεις σε ιδιάζουσες τιμές 2x2 πινάκων όμοια με τον τρόπο που ο αλγόριθμος ιδιοτιμών του Jacobi χρησιμοποιεί μεθόδους για τον υπολογισμό ιδιοτιμών 2x2 πινάκων(Golub & Van Loan 1996, §8.6.3). Επίσης μία άλλη μέθοδος για το βήμα 2 χρησιμοποιεί την ιδέα των αλγορίθμων διαίρει και βασίλευε για ιδιοτιμές (Trefethen & Bau III 1997, Lecture 31).

Ελλατωμένες αναλύσεις σε ιδιάζουσες τιμές

Στις εφαρμογές δεν συνηθίζεται να είναι απαραίτητη όλη η ανάλυση, συμπεριλαμβανομένης και μιας πλήρους unitary ανάλυσης του μηδενοχώρου του πίνακα. Αντ'αυτού, τις περισσότερες φορές επαρκεί (και είναι και ταχύτερο και πιο οικονομικό στην αποθήκευση) να υπολογίσουμε μια ελλατωμένη μορφή της ανάλυσης. Τα παρακάτω ισχύουν για έναν m×n πίνακα M βαθμίδας r:

Ανάλυση τανυστή σε ιδιάζουσες τιμές

Το πρόβλημα εύρεσης μιας προσέγγισης ενός τανυστή μέσω πίνακα χαμηλής ταξης δεν είναι ορθά ορισμένο. Με άλλα λόγια, δεν υπάρχει η "καλύτερη" λύση, παραμόνο μια σειρά απο καλύτερες κάθε φορά προσεγγίσεις που συγκλίνουν σε άπειρα μεγάλους πίνακες. Παρ'όλ αυτά, υπάρχουν αρκετοί τρόποι να δοκιμάσουμε να κάνουμε την ανάλυση.
Υπάρχουν δύο ειδών αναλύσεις τανυστών οι οποίες γενικεύουν την ανάλυση σε ιδιάζουσες τιμές στην περίπτωση των πολυδιάστατων διατάξεων . Ο ένας από αυτούς αναλύει ένα τανυστή σε άθροισμα τανυστών πρώτης-τάξης, βλέπε αλγόριθμο Candecomp-PARAFAC (CP). Ο CP αλγόριθμος δεν πρέπει να συγχέεται με την rank-R ανάλυση. Αυτό που κάνει ο CP αλγόριθμος είναι για ένα δωθέν N να αναλύει ένα τανυστή σε ένα άθροισμα από N τανυστές πρώτης-τάξης που ταιριάζουν βέλτιστα με τον αρχικό τανυστή. Ο δεύτερος τρόπος ανάλυσης υπολογίζει τους ορθοκανονικούς χώρους που σχετίζονται με τους διάφορους άξονες ή άλλα χαρηκτηριστικά ενός τανυστή (ορθοκανονικός χώρος γραμμών, χώρος στηλών κτλ.). Η ανάλυση αυτή αναφέρεται στη βιβλιογραφία ως Tucker3/TuckerM, M-mode ανάλυση, πολυγραμμική ανάλυση και κάποιες φορές ως higher-order SVD (HOSVD).

Ιστορία

Η ανάλυση ενός πίνακα σε ιδιάζουσες τιμές αρχικά αναπτύχθηκε από όσους ασχολήθηκαν με την διαφορική γεωμετρία, με σκοπό να ελλέγξουν αν η διγραμμική μορφή ενός πίνακα, μπορεί να ισούται με μία άλλη χρησιμοποιώνας ανεξάρτητους ορθογώνιους μετασχηματισμούς των δύο χώρων στους οποίυος δρα η διγραμμική μορφή. O Eugenio Beltrami και ο Camille Jordan ανακάλυψαν ξεχωριστά, το 1873 και 1874 αντίστοιχα, ότι οι ιδιάζουσες τιμές των διγραμμικών μορφών, γραμμένες σε μορφή πίνακα, συνιστούν ένα πλήρες σύνολο αναλλοίωτων για διγραμμικές μορφές κάτω απο ορθογώνιες αντικαταστάσεις. Ο James Joseph Sylvester επίσης κατασκεύασε την ανάλυση πίνακα σε ιδιάζουσες τιμές για πραγματικούς τετραγωνικούς το 1889, ανεξάρτητα και από τον Beltrami και από τον Τζόρνταν. Ο Sylvester ονόμασε τις ιδιάζουσες τιμές κανονικούς πολλαπλασιαστές (canonical multipliers) του πίνακα Α. Ο τέταρτος μαθηματικός που ανέλυσε έναν πίνακα σε ιδιάζουσες τιμές, ανεξάρτητα των προηγουμένων, ήταν ο Autonne το 1915, ο οποίος έφτασε εκεί μέσω της πολικής ανάλυσης. Η πρώτη απόδειξη της ανάλυσης ενός πίνακα σε ιδιάζουσες τιμές για ορθογώνιους και μιγαδικούς πίνακες, φέρεται να έγινε από τον Carl Eckart και τον Gale Young το 1936, οι οποίοι την είδαν σαν γενίκευση του μετασχηματισμού του κύριου άξονα για ερμιτιανούς πίνακες.
Το 1907, ο Erhard Schmidt όρισε μία έννοια ανάλογη με αυτή των ιδιαζόντων τιμών για τους ολοκληρωτικούς τελεστές (που είναι συμπαγής, κάτω απο ορισμένες αδύναμες υποθέσεις. Δεν γνώριζε για την δουλειά που γινόταν παράλληλα πάνω στις ιδιάζουσες τιμές πεπερασμένων πινάκων. Η θεωρία αναπτύχθηκε περαιτέρω από τον Émile Picard το 1910, ο οποίος ήταν ο πρώτος που αποκάλεσε τα στοιχεία  ιδιάζουσες τιμές (ή στα γαλλικά: valeurs singulières).
Πρακτικές μέθοδοι του υπολογισμού της ανάλυσης πίνακα σε ιδιάζουσες τιμές, χρονολογούνται από το 1954, 1955 με τον Kogbetliantz και το 1958 με τον Hestenes. Που θυμίζουν αρκετά τον αλγόριθμο υπολογισμού ιδιοτιμών του Jacobi, που χρησιμοποιεί περιστροφές επιπέδων ή περιστροφές του Givens. Παρ' ότι αυτές αντικαταστάθηκαν από τη μέθοδο των Gene Golub και William Kahan που εκδόθηκε το 1965, που χρησιμοποιεί μετασχηματισμούς του Householder ή αντανακλάσεις. Το 1970, ο Golub και ο Christian Reinsch δημοσίευσαν μία παραλαγή του αλγορίθμου Golub/Kahan που είναι και η πιο πολυχρησιμοποιημένη μέχρι σήμερα.