Ινδικά μαθηματικά

Προϊστορία

Ανασκαφές στη Χαράππα , Μοχέντζο ντάρο και άλλες τοποθεσίες τoυ πολιτισμού της Κοιλάδας του Ινδικού Ποταμού  αποκάλυψαν ενδείξεις χρήσης των πρακτικών μαθηματικών. Οι κάτοικοι  της ΚΙΠ κατασκεύασαν τούβλα των οποίων οι διαστάσεις με αναλογίες 4:2:1, οι οποίες θεωρούνταν ευνοϊκές για την σταθερότητα της κατασκευής των τούβλων. Χρησιμοποίησαν ένα  τυποποιημένο σύστημα βαρών βασισμένο στους λόγους : 1/20, 1/10, 1/5, 1/2, 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200, και 500, με την μονάδα βάρους να ισούται περίπου με 28 γραμμάρια (και περίπου ίσο με την Αγγλική ουγγιά ή την Ελληνική ουγγιά).  Παρήγαγαν μαζικά βάρη σε κανονικά γεωμετρικά σχήματα ,τα οποία εμπεριείχαν εξάεδρα, βαρέλια, κώνους, και κυλίνδρους, και με αυτόν τον τρόπο επιδεικνύοντας γνώσεις βασικής γεωμετρίας. Οι κάτοικοι της  κοιλάδας του Ινδικού ποταμού επίσης προσπάθησαν να τυποποιήσουν τη μέτρηση του μήκους σε ένα υψηλό βαθμό ακρίβειας. Σχεδίασαν έναν χάρακα—τον Χάρακα του Μοχέντζο-ντάρο —του οποίου η μονάδα μήκους (περίπου 1,32 ίντσες  ή 3,4 εκατοστά) διαχωρίζονταν σε δέκα ίσα μέρη. Τούβλα κατασκευασμένα στο αρχαίο Μοχέντζο-ντάρο συχνά είχαν  διαστάσεις οι οποίες αποτελούσαν ακέραια πολλαπλάσια αυτής της μονάδας μήκους.

Samhitas και  Brahmanas

Τα θρησκευτικά κείμενα της  Βεδικής περιόδου  παρείχαν στοιχεία για την χρήση μεγάλων αριθμών. Κατά την περίοδο του Yajurvedasaṃhitā (1200–900 π.Χ.), αριθμοί  μεγάλοι όσο το  10¹²  εμπεριέχονταν σε κείμενα. Για παράδειγμα , το Μάντρα  (θυσιαστήρια τελετουργία ) στο τέλος του  annahoma ("τελετή αφαίρεσης τροφής") τελούμενη κατά την διάρκεια της  aśvamedha, και εκφράζεται  ακριβώς πριν-, κατά την διάρκεια-, και αμέσως μετά την ανατολή του ηλίου, επικαλείται δυνάμεις του δέκα από το εκατό εώς και το τρις-εκατομμύριο  
 "Hail to śata ("hundred," 10²), hail to sahasra ("thousand," 10³), hail to ayuta ("ten thousand," 10⁴), hail to niyuta ("hundred thousand," 10⁵), hail to prayuta ("million," 10⁶), hail to arbuda ("ten million," 10⁷), hail to nyarbuda ("hundred million," 10⁸), hail to samudra ("billion," 10⁹, literally "ocean"), hail to madhya ("ten billion," 10¹⁰, literally "middle"), hail to anta ("hundred billion," 10¹¹,lit., "end"), hail to parārdha ("one trillion," 10¹² lit., "beyond parts"), hail to the dawn (us'as), hail to the twilight (), hail to the one which is going to rise (), hail to the one which is rising (udyat), hail to the one which has just risen (udita), hail to svarga (the heaven), hail to martya (the world), hail to all."
Η λύση για μερικά κλάσματα ήταν γνωστή στους Rigvedic ανθρώπους ως κράτη της purush Sukta ( RV 10.90.4 )
Με τα τρία τέταρτα Puruṣa ανέβηκε : το ένα τέταρτο από αυτόν ήταν και πάλι εδώ.
Η Satapatha Brahmana (-σαταπάθα μπραχμάνα-) ( προσεγγιστικά  7ος αιώνας π.Χ.) εμπεριέχει κανόνες για τελετουργικές γεωμετρικές κατασκευές που είναι παρόμοιες με τις Σούλμπα Σούτρας (Sulba Sutras).

Jain Mathematics (400 BC – 200 AD)

Παρόλο που ο Jainism σαν θρησκεία και φιλοσοφία προηγείται τον πιο διάσημο εκφραστής της, Mahavira (6th century BC) όπου ήταν σύγχρονος του Gautama Buddha περισσότερα κείμενα Jain με θέματα μαθηματικών γράφτηκαν μετά τον 6ο αιώνα π.Χ. Οι περισσότεροι Jain μαθηματικοί είναι σημαντικοί ιστορικά σαν τους ζωτικούς δεσμούς μεταξύ των μαθηματικών της Βεδικής περιόδου και της "Κλασσικής περιόδου ."
Μια σημαντική ιστορική συμβολή έχουν θέση οι Jain μαθηματικοί στην απελευθέρωση των ινδικών μαθηματικών από την θρησκεία και τους τελετουργικούς περιορισμούς . Συγκεκριμένα οι γοητεία τους με την απαρίθμηση των πολύ μεγάλων αριθμών και άπειρα, τους οδήγησε να χωρίσουν τους αριθμούς σε τρεις κατηγορίες : αυτούς που μπορούμε να μετρήσουμε , αυτούς που δεν μπορούμε να μετρήσουμε και τους άπειρους. Δεν είναι ικανοποιημένοι με μια απλή έννοια του απείρου, αλλά όρισαν πέντε είδη απείρων αριθμών :τους άπειρους σε μια κατεύθυνση , τους άπειρους σε δύο κατευθύνσεις , τους άπειρους σε μια περιοχή, τους άπειρους παντού και τους άπειρους διαρκώς.Επιπλέον, οι Jain μαθηματικοί επινόησαν συμβολισμούς για απλές αρμοδιότητες (και εκθέτες) αριθμών όπως τα τετράγωνα, οι κύβοι, οι οποίοι τους επέτρεψαν να καθορίσουν απλές αλγεβρικές εξισώσεις (beejganita samikaran).Οι  Jain μαθηματικοί ήταν οι πρώτοι που χρησιμοποίησαν τη γλώσσα shunya (κυριολεκτικά κενό στα Sanskrit) όταν αναφέρονταν στο μηδέν. Περισσότερο από μια χιλιετία μετά, η ονομασία τους έγινε στα Αγγλικά η λέξη  "zero" μετά από ένα βασανιστικό ταξίδι των μεταφράσεων και μεταγραφές από την Ινδία προς την Ευρώπη. (Δες Μηδέν: Ετυμολογία.)
Επιπλέον το  Surya Prajnapti, σημαντική δουλειά των Jain στα μαθηματικά περιλαμβάνει το Vaishali Ganit (c. 3rd century BC); , το Sthananga Sutra (fl. 300 BC – 200 AD); το Anoyogdwar Sutra (fl. 200 BC – 100 AD); και το  Satkhandagama (c. 2nd century AD). Στους σημαντικούς Jain μαθηματικούς περιλαμβάνονται ο  Bhadrabahu (d. 298 BC), ο συγγραφέας των δύο αστρονομικών βιβλίων , ο Bhadrabahavi-Samhita και ο σχολιαστής στο Surya Prajinapti; Yativrisham Acharya (c. 176 BC), που έγραψε ένα μαθηματικό κείμενο που ονομάζεται  Tiloyapannati; και Umasvati (c. 150 BC), ο οποίος έγινε πιο  γνωστός για την επιρροή  στα κείμενά του για την  Jain φιλοσοφία και μεταφυσική, στην σύνδεση ένα μαθηματικό έργο που ονομάζεται Tattwarthadhigama-Sutra Bhashya.

Προφορική παράδοση

Μαθηματικοί της αρχαιότητας και της πρόωρης μεσαιωνικής Ινδίας ήταν σχεδόν όλοι Sanskrit pandits (paṇḍita "γνωκιστικιστής άνθρωπος"),  ο οποίος έμαθε την Sanskrit γλώσσα και λογοτεχνία, και διέθετε «ένα κοινό απόθεμα των γνώσεων στη γραμματική (vyākaraṇa),εξήγηση (mīmāṃsā) και λογική (nyāya)."  Απομνημόνευση του "τι ακούστηκε"  (śruti in Sanskrit) μέσω απαγγελίας έπαιξε σημαντικό ρόλο στη μετάδοση των ιερών κειμένων στην αρχαία Ινδία. Απομνημόνευση και απαγγελία χρησιμοποιούνταν επίσης για να μεταφέρουν τα φιλοσοφικά και λογοτεχνικά έργα , καθώς και πραγματείες για την τελετουργία και τη γραμματική. Οι σύγχρονοι μελετητές της αρχαίας Ινδίας έχουν σημειωθεί για τα "πραγματικά αξιοσημείωτα επιτεύγματα των ινδικών pandits  που έχουν διατηρηθεί πάρα πολύ ογκώδη κείμενα από το στόμα σε στόμα για χιλιετίες.."

Τεχνικές απομνημόνευσης

Prodigous ενέργεια που δαπανάται από την αρχαία ινδική κουλτούρα στην εξασφάλιση ότι τα κείμενα αυτά μεταδίδονται από γενιά σε γενιά με την υπέρμετρη πιστότητα. Για παράδειγμα, η απομνημόνευση των ιερών Vedas περιλαμβάνει πάνω από έντεκα μορφές απαγγελία του ίδιου κειμένου. Τα κείμενα ήταν συνέχεια "απόδειξη-ανάγνωση" από τη σύγκριση των διαφόρων απάγγελων εκδόσεων .Στις μορφές απαγγελίας περιλαμβάνονται το jaṭā-pāṭha (literally "mesh recitation") στο οποίο κάθε δυο παρακείμενες λέξεις στο κείμενο για πρώτη φορά αναφέρεται στην αρχική τους σειρά, μετά επαναλαμβάνονται με την αντίθετη φορά και τελικά επαναλαμβάνονται ξανά με την κανονική φορά . Έτσι, η απαγγελία προχώρησε όπως:
Σε μια άλλη μορφή της απαγγελίας, dhvaja-pāṭha (κυριολεκτικά "σημαία απαγγελία") μια σειρά από Ν λέξεις όπου απήγγειλε (και απομνημόνευση) ζευγαρώνοντας τα δύο πρώτα δύο και την τελευταία λέξη και, στη συνέχεια, προχωρεί ως:
Η πιο σύνθετη μορφή της απαγγελίας, ghana-pāṭha (literally "dense recitation"), σύμφωνα με (Filliozat 2004, p. 139), πήρε την μορφή:

The Sūtra genre

Μαθηματική δραστηριότητα στην αρχαία Ινδία ξεκίνησε ως μέρος ενός «μεθοδολογικού προβληματισμού» για το ιερό Vedas, η οποία πήρε τη μορφή των έργων που ονομάζεται Vedāṇgas, ή, "Ancillaries of the Veda" (7th–4th century BCE). Η ανάγκη για τη διατήρηση της υγιούς του ιερού κειμένου με τη χρήση της śikṣā (phonetics) και chhandas (metrics);να διατηρήσει το νόημά της με τη χρήση vyākaraṇa (grammar) και nirukta (etymology);και να εκτελέσει σωστά τις τελετουργίες στο σωστό χρόνο με τη χρήση της kalpa (ritual) και jyotiṣa(astrology), οδήγησαν στις έξι κλάδους της Vedāṇgas. Μαθηματικά προέκυψε ως μέρος των τελευταίων δύο κλάδων, τελετουργικό και την αστρονομία (η οποία περιελάμβανε, επίσης, αστρολογία). Απο τα Vedāṇgas αμέσως πριν από την χρήση της γραφής στην αρχαία Ινδία,που διαμορφώθηκαν την τελευταία του αποκλειστικά προφορικής λογοτεχνίας.Είχαν εκφράζεται σε εξαιρετικά συμπιεσμένη μορφή μνημονική, το sūtra (literally, "thread"):
Οι γνώστες της σούτρα το γνωρίζουν ότι έχουν λίγα φωνήματα , να στερείται αμφισημίας , που περιέχουν την ουσία , που αντιμετωπίζει τα πάντα , όντας χωρίς παύση και αρεστός.
Ακραία συντομία επιτεύχθηκε μέσω πολλαπλών μέσων,η οποία περιελάμβανε τη χρήση αποσιωπητικά "η οποία περιελάμβανε τη χρήση αποσιωπητικά," χρησιμοποιώντας τεχνικές ονομασίες αντί περισσότερο περιγραφικά ονόματα, σύντομες λίστες μόνο που παραπέμπουν το πρώτο και τελευταίο εγγραφές, και χρησιμοποιώντας δείκτες και οι μεταβλητές. Το sūtras δημιουργεί την εντύπωση ότι η επικοινωνία μέσω κειμένου ήταν "μόνο ένα μέρος του όλου διδασκαλίας. Το υπόλοιπο της εντολής πρέπει να έχουν μεταδοθεί από το λεγόμενο Guru-shishya paramparai, 'αδιάκοπη διαδοχή από το δάσκαλό (guru) για το μαθητή (śisya),' και δεν ήταν ανοιχτή για το ευρύ κοινό »και ίσως ακόμη κρυμμένο μυστικό. Η συντομία επιτευχθεί μια sūtra καταδεικνύεται στο ακόλουθο παράδειγμα από το Baudhāyana Śulba Sūtra (700 BCE).
Ο σχεδιασμός της εγχώριας βωμό φωτιά στο Śulba Sūtra
Ο σχεδιασμός της εγχώριας βωμό φωτιά στην Βεδική περίοδο ήταν υποχρεωμένη από το τελετουργικό να έχει μια τετράγωνη βάση και αποτελείται από πέντε στρώματα των τούβλων με 21 τούβλα σε κάθε στρώμα. Μια μέθοδος για την κατασκευή του βωμού ήταν να διαιρέσει μια πλευρά του τετραγώνου σε τρία ίσα μέρη, χρησιμοποιώντας ένα καλώδιο ή σχοινί,στην επόμενη να διαιρέσει την εγκάρσια (ή κάθετη) πλευρά σε επτά ίσα μέρη, και με αυτόν τον τρόπο υπο-διαιρέσει την πλατεία σε 21 παράλληλα ορθογώνια. Τα τούβλα ακολούθως σχεδιαστεί ώστε να είναι το σχήμα του στοιχείου παραλληλόγραμμο και δημιουργήθηκε η στοιβάδα. Για να σχηματίσουν την επόμενη στρώση,ο ίδιος τύπος χρησιμοποιήθηκε, αλλά τα τούβλα διατεταγμένα εγκαρσίως. Η διαδικασία ακολούθως επαναλήφθηκε τρεις ακόμη φορές (με εναλλασσόμενες κατευθύνσεις) προκειμένου να ολοκληρωθεί η κατασκευή.Στο Baudhāyana Śulba Sūtra,Αυτή η διαδικασία περιγράφεται στις ακόλουθες λέξεις:
"II.64. Μετά τη διαίρεση του quadri - πλευρική σε επτά ,το ένα χωρίζει την εγκάρσια [ κορδόνι ] στα τρία.
II.65. Σε άλλο ένα στρώμα τοποθετεί την [ τούβλα ] Βορρά- κατάδειξης."
Σύμφωνα με (Filliozat 2004, p. 144),ο αντιπρόσωπος του την κατασκευή του βωμού έχει μόνο μερικά εργαλεία και τα υλικά που έχει στη διάθεσή του: ένα καλώδιο(Sanskrit, rajju, f.), δύο μανταλάκια (Sanskrit, śanku, m.), και πηλό για να κάνει τα τούβλα (Sanskrit, iṣṭakā, f.). Συντομίας επιτυγχάνεται στο sūtra, με το να μην παραπέμπουν ρητά πια είναι το επίθετο "εγκάρσια" πληροί τις προϋποθέσεις; Ωστόσο, από τη θηλυκή μορφή του (Sanskrit) επίθετο που χρησιμοποιείται, είναι εύκολα συμπεραίνεται ότι πληρούν τις προϋποθέσεις "καλώδιο". Ομοίως, στη δεύτερη stanza, "τούβλα" δεν αναφέρονται ρητά, αλλά προκύπτει και πάλι από το θηλυκό πληθυντικό του «Βορρά-κατάδειξης." Τέλος, η πρώτη stanza, Ποτέ δεν λέει ρητά ότι το πρώτο στρώμα των τούβλων είναι προσανατολισμένες στην κατεύθυνση Ανατολής-Δύσης, αλλά και αυτό υπονοείται με τη ρητή αναφορά του «Βορρά-κατάδειξης" στη δεύτερη stanza;για, εάν ο προσανατολισμός προορίστηκε να είναι η ίδια στις δύο στρώσεις, Δεν θα πρέπει είτε να αναφέρεται καθόλου ή να αναφέρεται μόνο στο πρώτο stanza. Όλα αυτά τα συμπεράσματα στα οποία κατέληξε το officiant καθώς θυμάται τον τύπο από τη μνήμη του.

Οι αριθμοί και το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης

Είναι γνωστό ότι καταγράφηκε το δεκαδικό σύστημα θέσης-αξίας που χρησιμοποιούνται σήμερα για πρώτη φορά στην Ινδία, στη συνέχεια διαβιβάστηκε προς τον ισλαμικό κόσμο, και τελικά στην Ευρώπη. Η συριακή επίσκοπος Severus Sebokht έγραψε στα μέσα του 7ου αιώνα μ.Χ. για τα "εννέα σημεία" των Ινδιάνων για την έκφραση αριθμούς. Ωστόσο, το πώς, πότε και πού εφευρέθηκε το πρώτο δεκαδικό σύστημα αξία τόπος δεν είναι τόσο σαφής.
Το πρώτα σωζόμενα σενάριο που χρησιμοποιείται στην Ινδία ήταν η Kharoṣṭhī γραφή που χρησιμοποιούνται για την καλλιέργεια Gandhara της βόρειο-δυτικά. Είναι πιστεύεται ότι είναι Αραμαϊκή προέλευση και ήταν σε χρήση από τον 4ο αιώνα π.Χ. έως τον 4ο αιώνα μ.Χ..Σχεδόν ταυτόχρονα, μια άλλη γραφή, η γραφή του Brāhmī , εμφανίστηκε σε ένα μεγάλο μέρος της υπο-ηπείρου, και θα γινόταν αργότερα το θεμέλιο της πολλά σενάρια της Νότιας Ασίας και Νοτιοανατολική Ασία. Και τα δύο σενάρια είχαν αριθμητικό σύμβολα και ο αριθμός των συστημάτων, τα οποία αρχικά δεν βασίζεται σε ένα σύστημα θέσης-αξίας.
ο πρώτο σωζόμενο αποδείξεις των δεκαδικών αριθμών αξίας χώρα στην Ινδία και η Νοτιοανατολική Ασία είναι από τα μέσα της πρώτης χιλιετίας CE. Μία πλάκα χαλκού από Gujarat, Ινδία αναφέρει την ημερομηνία 595 CE, γραμμένο σε δεκαδική μορφή αξίας θέση, αν υπάρχει κάποια αμφιβολία ως προς τη γνησιότητα της πλάκας. Δεκαδικοί αριθμοί εγγραφής τα έτη 683 CE έχουν επίσης βρεθεί σε επιγραφές πέτρα στην Ινδονησία και στην Καμπότζη, όπου ινδική πολιτιστική επιρροή ήταν σημαντική.
Υπάρχουν παλαιότερες γραπτές πηγές, αν και τα σωζόμενα χειρόγραφα αντίγραφα του έργου αυτών των κειμένων είναι από πολύ μεταγενέστερες ημερομηνίες. Ίσως η πρώτη τέτοια πηγή είναι το έργο της βουδιστικής φιλόσοφος Vasumitra χρονολογείται πιθανότατα στον 1ο αιώνα μ.Χ.. Συζητώντας τα λάκκους καταμέτρηση των εμπόρων, Vasumitra παρατηρήσεις, «Όταν [η ίδια] πηλό καταμέτρηση-κομμάτι είναι στη θέση των μονάδων, που χαρακτηρίζεται ως μία, όταν εκατοντάδες, εκατό." Παρά το γεγονός ότι αυτές οι αναφορές φαίνεται να υπονοεί ότι οι αναγνώστες του είχαν γνώση ενός δεκαδική αναπαράσταση τιμή τόπο, η "συντομίας υπαινιγμών τους και την ασάφεια των ημερομηνιών τους, ωστόσο, δεν αποδεικνύουν σταθερά τη χρονολογία της ανάπτυξης της ιδέας αυτής."
Ένα τρίτο δεκαδικό εκπροσώπηση εργαζόταν σε τεχνική σύνθεση στίχο, στη συνέχεια επισημαίνονται  Bhuta-sankhya (κυριολεκτικά, "οι αριθμοί αντικείμενο") χρησιμοποιείται από τις αρχές του σανσκριτικά συντάκτες των τεχνικών βιβλίων. Επειδή ήταν πολλή νωρίς, τα τεχνικά έργα που αποτελείται στο στίχο, αριθμοί συχνά εκπροσωπούνται από τα αντικείμενα στο φυσικό ή θρησκευτικό κόσμο ότι η αλληλογραφία τους, Αυτό επέτρεψε μια σχέση πολλά-προς-ένα αντιστοιχία για κάθε αριθμό και έκανε σύνθεση στίχο ευκολότερη. Σύμφωνα με Plofker 2009, ο αριθμός 4, για παράδειγμα, θα μπορούσε να εκπροσωπείται από τη λέξη "Veda"δεδομένου ότι υπήρχαν τέσσερα από αυτά τα θρησκευτικά κείμενα), ο αριθμός 32 με τη λέξη «δόντια» (από ένα πλήρες σύνολο αποτελείται από 32), και τον αριθμό 1 από το "φεγγάρι" (δεδομένου ότι δεν υπάρχει μόνο ένα φεγγάρι). Έτσι, Veda / δόντια / φεγγάρι θα αντιστοιχεί στο δεκαδικό αριθμητικό 1324, όπως η σύμβαση για τους αριθμούς ήταν να απαριθμήσει τα ψηφία τους από δεξιά προς τα αριστερά. Η παλαιότερη αναφορά που απασχολούν τους αριθμούς αντικείμενο είναι μια ca. 269 ​​CE Sanskrit κείμενο,Yavanajātaka (κυριολεκτικά «Ελληνική Horoscopy") του Sphujidhvaja, η στιχουργία του προγενέστερου (περίπου 150 CE) Ινδικής προσαρμογής της πεζογραφίας στο χαμένο έργο της Ελληνιστικής αστρολογίας.Η χρήση αυτή φαίνεται να κάνει την υπόθεση ότι από τη σήμανση μέσα του 3ου αιώνα, το δεκαδικό σύστημα αξιών μέρος ήταν γνωστό, τουλάχιστον στους αναγνώστες του αστρονομικά και αστρολογικά κείμενα στην Ινδία.
Έχει διατυπωθεί η υπόθεση ότι το ινδικό σύστημα δεκαδική τιμή τόπο βασίστηκε στα σύμβολα χρησιμοποιείται στις κινεζικές πίνακες καταμέτρηση ήδη από τα μέσα της πρώτης χιλιετίας π.Χ.. [54] Σύμφωνα με Plofker 2009,
Αυτοί οι πίνακες μέτρησης, όπως οι ινδικές λάκκους καταμέτρηση;, ..., είχε μια δομή δεκαδική τιμή τόπο ... Ινδοί μπορεί κάλλιστα να έχουν μάθει από αυτά την δεκαδική τιμή τόπο "αριθμοί ράβδος» από την Κινέζους βουδιστές προσκυνητές ή άλλους ταξιδιώτες, ή μπορεί να έχουν αναπτύξει την έννοια ανεξάρτητα από τις προηγούμενες σύστημα μη-τόπος-η αξία τους, αποδεικτικά στοιχεία δεν επιβιώνει για να επιβεβαιώσει είτε συμπέρασμα."[54]

Bakhshali Manuscript

Το παλαιότερο σωζόμενο χειρόγραφο μαθηματική στη Νότια Ασία είναι η Bakhshali  χειρόγραφο, το φλοιό σημύδας χειρόγραφο γραμμένο σε "Buddhist hybrid Sanskrit" στο Śāradāscript, το οποίο χρησιμοποιήθηκε στη βορειοδυτική περιοχή της την ινδική υποήπειρο μεταξύ του 8ου και του 12ου αιώνα CE. Το χειρόγραφο ανακαλύφθηκε το 1881 από έναν αγρότη, ενώ το σκάψιμο σε ένα πέτρινο περίβλημα στο χωριό Bakhshali, κοντά στο Peshawar (στη συνέχεια, στη βρετανική Ινδία και τώρα στο Πακιστάν). Αγνώστου πατρότητας και σήμερα διατηρείται στη βιβλιοθήκη Bodleian στο Πανεπιστήμιο της Οξφόρδης, το χειρόγραφο έχει ποικιλοτρόπως ημερομηνία—ήδη από τα «πρώτους αιώνες της χριστιανικής εποχής" [56] και τόσο αργά όσο μεταξύ του 9ου και 12ου αιώνα μ.Χ... Το 7ο αιώνα μ.Χ. θεωρείται πλέον μια εύλογη ημερομηνία, έστω και με την πιθανότητα ότι το "χειρόγραφο σε μορφή σημερινή του αποτελεί ένα σχόλιο ή ένα αντίγραφο ενός πρόσθιου μαθηματικής εργασίας.""
Το επιζών χειρόγραφο έχει εβδομήντα φύλλα, μερικά από τα οποία βρίσκονται σε θραύσματα. Μαθηματικού περιεχομένου του αποτελείται από κανόνες και παραδείγματα, γραμμένο σε στίχους, μαζί με πεζογραφικά σχόλια, τα οποία περιλαμβάνουν λύσεις για τα παραδείγματα. Τα θέματα που αντιμετωπίζονται περιλαμβάνουν αριθμητικό (κλάσματα, τετραγωνικές ρίζες, κέρδη και ζημίες, απλό ενδιαφέρον, therule των τριών, και κανονισμούς falsi) και της άλγεβρας (ταυτόχρονες γραμμικές εξισώσεις και δευτεροβάθμιων εξισώσεων), και την αριθμητική πρόοδοι.Επιπλέον, υπάρχει μια χούφτα των γεωμετρικών προβλημάτων (συμπεριλαμβανομένων των προβλημάτων σχετικά με τον όγκο των παράνομων στερεών). Το χειρόγραφο Bakhshali επίσης «χρησιμοποιεί ένα δεκαδικό σύστημα αξιών χώρα με μια τελεία για το μηδέν." Πολλά από τα προβλήματά της είναι μια κατηγορία γνωστή ως «προβλήματα εξισορρόπησης», που οδηγούν σε συστήματα γραμμικών εξισώσεων. Ένα παράδειγμα από Θραύσμα ΙΙΙ-5-3V είναι η ακόλουθη:
"Ένας έμπορος έχει επτά άλογα asava, ένα δεύτερο έχει εννέα άλογα haya, και ένας τρίτος έχει δέκα καμήλες. Είναι εξίσου καλά μακριά στην αξία των ζώων τους, εάν καθένας δίνει δύο ζώα, ένα σε κάθε μία από τις άλλες. Βρείτε την τιμή του κάθε ζώο και η συνολική αξία των ζώων που κατέχονται από κάθε έμπορο. "[60]
Ο σχολιασμός πεζογραφία συνοδεύει το παράδειγμα λύνει το πρόβλημα με τη μετατροπή του σε τρεις (κάτω προσδιορίζεται) εξισώσεις σε τέσσερις αγνώστους και με την παραδοχή ότι οι τιμές είναι όλοι ακέραιοι.

Κλασσική περίοδος(400–1600)

Αυτή η περίοδος είναι συχνά γνωστό ως η χρυσή εποχή των Ινδικών Μαθηματικών. Αυτή η περίοδος είδε μαθηματικούς ,όπως Aryabhata, Varahamihira, Brahmagupta, Bhaskara I,Mahavira, Bhaskara II, Madhava of Sangamagrama and Nilakantha Somayaji δίνουν σε ευρύτερα και σαφέστερα σχήμα σε πολλούς κλάδους των μαθηματικών. Η συνεισφορά τους θα εξαπλωθεί στην Ασία, τη Μέση Ανατολή, και τελικά στην Ευρώπη. Σε αντίθεση με τα μαθηματικά στην Βεδική περίοδο , τα έργα τους περιλαμβάνονται τόσο αστρονομικές και μαθηματικές εισφορές.Στην πραγματικότητα, τα μαθηματικά της περιόδου αυτής είχε συμπεριληφθεί στην «αστρικό επιστήμη» (jyotiḥśāstra) και αποτελείται από τρεις επιμέρους κλάδους: μαθηματικές επιστήμες (gaṇita ή tantra),ωροσκόπιο, αστρολογία (horā ή jātaka) και τη μαντεία (saṃhitā). Αυτή η τριμερής διαίρεση παρατηρείται σε  Varāhamihira'sΚατάρτιση του 6ου αιώνα—Pancasiddhantika(κυριολεκτικά panca, "πέντε" Siddhanta, "το συμπέρασμα της διαβούλευσης», με ημερομηνία 575 CE)—πέντε προηγούμενα έργα, Surya Siddhanta, Romaka Siddhanta, Paulisa Siddhanta,Vasishtha Siddhanta και Paitamaha Siddhanta, που ήταν προσαρμογές ακόμα παλαιότερα έργα της Μεσοποταμίας, ελληνική, αιγυπτιακή, ρωμαϊκά και ινδική αστρονομία. Όπως εξηγήθηκε προηγουμένως, τα βασικά κείμενα γράφτηκαν στα σανσκριτικά στίχο, και ακολούθησαν πεζογραφία σχόλια.

Επιρροή από τον ευρωκεντρισμό

Έχει ειπωθεί ότι οι ινδικές συνεισφορές στα μαθηματικά  δεν έχουν λάβει τη δέουσα αναγνώριση στη σύγχρονη ιστορία και ότι πολλές ανακαλύψεις και εφευρέσεις από τους Ινδούς μαθηματικούς αποδίδεται σήμερα σε πολιτισμικά Δυτικούς ομολόγους τους, ως αποτέλεσμα της ευρωκεντρισμού. Σύμφωνα με την υιοθέτηση από τον GG Ιωσήφ των  "Εθνομαθηματικών":
[Το έργο τους] υιοθετεί ορισμένες από τις αιτίες που διατυπώθηκαν σχετικά με την κλασσική Ευρωκεντρική τροχιά. Η συνειδητοποίηση [των Ινδικών και Αράβικων μαθηματικών] είναι πολύ πιθανό να μετριάζεται με απαξιωτικές απορρίψεις της σημασίας τους σε σχέση με τα Ελληνικά μαθηματικά. Οι συνεισφορές από άλλους πολιτισμούς - κυρίως την Κίνα και την Ινδία, γίνονται αντιληπτές είτε ως δανεικές από ελληνικές πηγές ή έχει να κάνει μόνο με μικρές εισφορές για την ενσωμάτωση της ανάπτυξης των μαθηματικών. Ένα άνοιγμα στα πιο πρόσφατα ευρήματα της έρευνας, ειδικά στην περίπτωση των Ινδικών και των Κινέζικων μαθηματικών, δυστυχώς λείπει "
Ο ιστορικός των μαθηματικών, Florian Cajori, πρότεινε ότι ο ίδιος και οι άλλοι υποψιάζονται ότι ο Διόφαντος πήρε την πρώτη γεύση αλγεβρικής γνώσης από την Ινδία». [84] Ωστόσο, ο ίδιος έγραψε ότι «είναι βέβαιο ότι τμήματα των ινδουιστών μαθηματικών είναι ελληνικής καταγωγής»
Πιο πρόσφατα, όπως συζητήθηκε στην παραπάνω ενότητα, η άπειρη σειρά του λογισμού για τριγωνομετρικές λειτουργίες (ανακαλύφθηκε από τον Gregory, ο Taylor και Maclaurin στα τέλη του 17ου αιώνα) έχουν περιγραφεί (με αποδείξεις) στην Ινδία, από μαθηματικούς του σχολείου της Κεράλα, αξιοσημείωτα περίπου δύο αιώνες νωρίτερα. Μερικοί μελετητές έχουν προτείνει πρόσφατα ότι η γνώση των αποτελεσμάτων αυτών θα μπορούσε να έχει διαβιβαστεί στην Ευρώπη μέσω της εμπορικής οδού από την Κεράλα από τους εμπόρους και τους Ιησουίτες ιεραποστόλους . Η Κεράλα ήταν σε συνεχή επαφή με την Κίνα και την Αραβία, και, από το 1500, με την Ευρώπη. Η ύπαρξη των διόδων επικοινωνίας και ένα κατάλληλο χρονολόγιο κάνει σίγουρα μια τέτοια μετάδοση εφικτή. Ωστόσο, δεν υπάρχει καμία άμεση απόδειξη, μέσω των σχετικών χειρογράφων, ότι η διαβίβαση αυτή όντως πραγματοποιήθηκε. Σύμφωνα με τον David Bressoud, «δεν υπάρχει καμία απόδειξη ότι το ινδικό έργο των σειρών ήταν γνωστό πέρα από την Ινδία, ή ακόμη και εκτός της Κεράλα, μέχρι τον δέκατο ένατο αιώνα. »
Και οι δύο, Άραβες και Ινδοί μελετητές, έκαναν ανακαλύψεις πριν από το 17ο αιώνα, που θεωρούνται πλέον μέρος του λογισμού. Ωστόσο, δεν ήταν στην ίδια θέση, όπως ήταν ο Νεύτωνας και ο Leibniz, για να «συνδυάσουν πολλές διαφορετικές ιδέες στο πλαίσιο των δύο κεντρικών θεμάτων της παραγώγου και του ολοκληρώματος, που δείχνουν τη σύνδεση μεταξύ των δύο, και να μετατρέψουν τον λογισμό στο μεγάλο εργαλείο για την επίλυση των προβλημάτων που έχουμε σήμερα ». Η πνευματική σταδιοδρομία τόσο του Νεύτωνα όσο και του Leibniz είναι καλά τεκμηριωμένες και δεν υπάρχει καμία ένδειξη ότι το έργο τους δεν είναι  δικό τους? Ωστόσο, δεν είναι γνωστό με βεβαιότητα αν οι άμεσοι προκάτοχοί του Νεύτωνα και του Leibniz, "συμπεριλαμβανομένων, ιδίως, του Fermat και του Roberval, έμαθαν μερικές από τις ιδέες των ισλαμικών και των ινδικών μαθηματικών μέσω πηγών που δεν είμαστε σε θέση να γνωρίζουμε ακόμη και τώρα.» Αυτό είναι ένας ενεργός τομέας της τρέχουσας έρευνας, κυρίως στις χειρόγραφες συλλογές της Ισπανίας και του Μαγκρέμπ, έρευνα που τώρα ακολουθείται, μεταξύ άλλων θέσεων, από το Centre National de Recherche Scientifique στο Παρίσι.