Λογική

Αυτόνομος κλάδος ή κλάδος της φιλοσοφίας;

Η λογική, ή καλύτερα επιστήμη της λογικής, είναι η μελέτη των τρόπων συλλογισμού. Με απλά λόγια, είναι η μελέτη του τρόπου με τον οποίο κάνουμε συλλογισμούς, με τον οποίο σκεπτόμαστε, ώστε να συνδέεται άρρηκτα με τη φιλοσοφική δραστηριότητα. Ο σκοπός της είναι να βρει τους συλλογισμούς εκείνους με τους οποίους θα σκεπτόμαστε σωστά (λογικά). Θα μπορούσε να θεωρηθεί ανεξάρτητος κλάδος, όπως η Φυσική και τα Μαθηματικά, για τους περισσότερους όμως φιλοσόφους αποτελεί κυρίως το όργανο της ορθής νόησης, που είναι απαραίτητο όχι μόνο για κάθε μορφή φιλοσοφικής δραστηριότητας, αλλά και για όλες τις επιστήμες.

Παραγωγικός και επαγωγικός συλλογισμός

Ο παραγωγικός συλλογισμός αφορά αυτό που έπεται αναγκαστικά από δοθείσες, προκείμενες, προτάσεις (αν Α, τότε Β). Ωστόσο, ο επαγωγικός συλλογισμός - η διαδικασία κατά την οποία απορρέει μια αξιόπιστη γενίκευση από παρατηρήσεις - μερικές φορές έχει συμπεριληφθεί στη μελέτη της λογικής. Παρομοίως, είναι σημαντικό να γίνει διάκριση της παραγωγικής εγκυρότητας και της επαγωγικής εγκυρότητας (που ονομάζεται «cogency», ελληνιστί «πειστικότητα»). Η εξαγωγή συμπεράσματος είναι παραγωγικά έγκυρη αν δεν υπάρχει πιθανή κατάσταση στην οποία όλες οι προτάσεις είναι αληθινές αλλά το συμπέρασμα ψευδές. Ένα επαγωγικό επιχείρημα μπορεί να μην είναι ούτε έγκυρο ούτε άκυρο, διότι οι προτάσεις του δίνουν σε κάποιο βαθμό πιθανότητας, αλλά όχι με βεβαιότητα, τη σύναψή του.
Η έννοια της παραγωγικής εγκυρότητας μπορεί να αναφέρεται με αυστηρότητα για τα συστήματα της τυπικής λογικής όσο αφορά τις καλώς εννοούμενες έννοιες της σημασιολογίας. Από την άλλη πλευρά η επαγωγική εγκυρότητα απαιτεί από εμάς να καθορίσουμε μια αξιόπιστη γενίκευση κάποιου συνόλου γενικεύσεων. Το έργο του να παρέχουμε τον ορισμό μπορεί να προσεγγιστεί με διάφορους τρόπους, λιγότερο ή περισσότερο τυπικούς. Μερικοί από αυτούς τους ορισμούς μπορούν να χρησιμοποιούν μαθηματικά μοντέλα πιθανοτήτων. Ως επί το πλείστον αυτή η συζήτηση της λογικής αφορά μόνο την παραγωγική λογική.

Υποθετικός-παραγωγικός συλλογισμός

Ο υποθετικός-παραγωγικός συλλογισμός («από την καλύτερη διαθέσιμη πληροφορία προς την βέλτιστη εξήγηση») είναι ένας τρόπος της συλλογιστικής όπου ο Τσαρλς Περς πρότεινε τον 19ο αιώνα να λειτουργεί πέρα και πάνω από την επαγωγή και την παραγωγή για να «ανοίξει νέους ορίζοντες» σε διαδικασίες θεωρητικοποίησης. Αυτός καθορίζει υποθετική-παραγωγική ως τη λογική συλλογιστική η οποία μας επιτρέπει να "καταστήσουμε κατανοητές" ορισμένες παρατηρήσεις ή, γεγονότα που αντιλαμβανόμαστε, «συσχετίζοντας αυτά πίσω σε μία προϋποτιθέμενη κατάσταση πραγμάτων που θα βοηθήσει να ρίξουμε φως επί των παρατηρήσεων». Ο ίδιος παρατηρεί ότι η "χαρακτηριστική φόρμουλα" της συλλογιστικής, που αποκαλεί υποθετική-παραγωγική (retroduction), περιλαμβάνει μια συλλογιστική από το επακόλουθο (τυχόν παρατηρήσεις ή φαινόμενα που αντιλαμβανόμαστε εμπειρικά) σε ένα πρότερο (δηλαδή, μια προϋποτιθέμενη κατάσταση των πραγμάτων που μας βοηθά να καταστήσουμε κατανοητό το παρατηρούμενο φαινόμενο). Ή, όπως αυτός θέτει διαφορετικά, μπορεί να θεωρηθεί ως «παλινδρόμηση από ένα επακόλουθο σε ένα υποθετικό πρότερο». 
Τυπικά (φορμαλιστικά) ο «υποθετικός-παραγωγικός συλλογισμός» του Περς αντιστοιχεί στο λογικό σφάλμα της επιβεβαίωσης του επομένου. Παράδειγμα τέτοιου συλλογισμού είναι:

δοθείσες προτάσεις

«Όταν έχει βρέξει τότε το χώμα είναι βρεγμένο»

«το χώμα είναι βρεγμένο»

και συμπέρασμα

«(άρα) έβρεξε». Συμπέρασμα που γενικά μοιάζει έγκυρο, αυστηρά όμως όχι, αφού είναι σαφές ότι υπάρχουν κι άλλα ενδεχόμενα και το συμπέρασμα δεν προκύπτει αναγκαστικά (μπορεί το χώμα να είναι βρεγμένο επειδή κάποιος πότισε τα λουλούδια). Παρατηρήστε επίσης το συμπέρασμα αντιστρέφει τη «φορά» της αρχικά δοθείσας πρότασης (επιβεβαίωση του επομένου).
Αντίθετα ένας αυστηρά έγκυρος παραγωγικός συλλογισμός πάει ως εξής:

οι προκείμενες (δοθείσες προτάσεις που θεωρείται ή είναι γνωστό ότι είναι αληθείς)

«Όταν έχει βρέξει τότε το χώμα είναι βρεγμένο».

και

«Έχει βρέξει»

μας δίνουν το συμπέρασμα ότι άρα

«Το χώμα είναι βρεγμένο».
Η σύγχρονη χρήση του όρου «επαγωγική λογική» μερικές φορές περικλείει όλους τους μη-παραγωγικούς συλλογισμούς, συμπεριλαμβανομένων κι εκείνων που ο Περς αποκάλεσε «υποθετικούς-παραγωγικούς». 
Σε κάθε περίπτωση αυτό που εξετάζεται συνήθως στη φιλοσοφία είναι η εγκυρότητα αυτών των συλλογισμών ως προς τη μορφή τους, το αν δηλαδή το συμπέρασμα του συλλογισμού δικαιολογείται από τις δοθείσες προτάσεις, ασχέτως του αν οι προτάσεις αυτές πράγματι αληθεύουν.
Ορισμένοι συγγραφείς πιστεύουν ότι αυτός ο τρόπος της συμπερασματικής δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί στη κοινωνική θεωρητικοποίηση για να αξιώσει κοινωνικές δομές/μηχανισμούς που να εξηγούν τον τρόπο με τον οποίο τα κοινωνικά αποτελέσματα προκύπτουν στην κοινωνική ζωή και ότι, επίσης, με την σειρά τους δείχνουν ότι αυτές οι δομές/μηχανισμοί μεταβάλλονται με επαρκή κοινωνική βούληση (και οραματισμού εναλλακτικών λύσεων). Με άλλα λόγια, αυτή η λογική είναι ιδιαίτερα φιλελευθερογενής υπό την έννοια ότι μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να επισημάνει δυνατότητες μετασχηματισμού με τον τρόπο της οργάνωσης της κοινωνικής μας ύπαρξης από την επανεξέταση/εξερεύνηση των βαθιών δομών που δημιουργούν τα αποτελέσματα (και τις πιθανότητες επιβίωσης για τους ανθρώπους. Στο βιβλίο της 'New Racism'(2010), η Norma Romm ερμηνεύει με διάφορους τρόπους για το τι μπορεί να ειπωθεί έτσι ώστε να συμμετέχει στην retroduction ως μια μορφή συμπεράσματος και πώς αυτό μπορεί ακόμα να θεωρηθεί ότι συνδέεται με ένα ύφος θεωρητικοποίησης, όπου οι διαδικασίες της γνώσης (οι οποίες είναι διαλογικά ριζωμένες) είναι συνδεμένες σε κοινωνικά έργα δικαιοσύνης.

Προκείμενες

Μια προκείμενη είναι μια δήλωση την οποία ένα επιχείρημα θα ισχυριστεί για να επάγει ή αιτιολογήσει το συμπέρασμα του. Με άλλα λόγια: η προκείμενη είναι η παραδοχή πως κάτι είναι αλήθεια. Στη λογική, ένα επιχείρημα απαιτεί μια σειρά από (τουλάχιστον) δύο δηλωτικές φράσεις (ή "προτάσεις") γνωστές και ως προκείμενες μαζί με μια άλλη δηλωτική φράση (ή "πρόταση") γνωστή ως συμπέρασμα. Αυτή η δομή των δύο προκείμενων και του ενός συμπεράσματος αποτελεί τη βασική επιχειρηματολογική δομή. Τα πιο πολύπλοκα επιχειρήματα μπορεί να χρησιμοποιήσουν μια σειρά από κανόνες για να συνδέσουν διάφορες προκείμενες σε ένα συμπέρασμα, ή να αντλήσουν ορισμένα συμπεράσματα από τις αρχικές προκείμενες που θα λειτουργήσουν στη συνέχεια ως προκείμενες για πρόσθετα συμπεράσματα. Ένα παράδειγμα αυτού είναι η χρήση των κανόνων του συμπερασμού που βρίσκονται μέσα στη συμβολική λογική.

Περί των Σοφιστικών ελέγχων

Ο Αριστοτέλης ήταν ο πρώτος που θα συστηματοποιήσει τα λογικά σφάλματα σε μια λίστα. Στο έργο του Περί των Σοφιστικών ελέγχων (το οποίο συμπεριλαμβάνεται στο Όργανον) ο Αριστοτέλης προσδιορίζει δεκατρείς πλάνες, Τις χωρίζει σε δύο μεγάλες κατηγορίες, αυτές που εξαρτώνται από τη γλώσσα και αυτές που δεν εξαρτώνται από τη γλώσσα. Θα τις αποκαλούμε λεκτικές πλάνες και αιτιατές πλάνες, αντιστοίχως. Μια αιτιατή πλάνη είναι ένα σφάλμα πάνω σε αυτό που ο επιχειρηματολόγος συζητά (περί τίνος μιλάει), ενώ μια λεκτική πλάνη είναι ένα σφάλμα πάνω στον τρόπο με τον οποίο ο επιχειρηματολόγος συζητά (πώς μιλάει). Οι λεκτικές πλάνες είναι αυτές στις οποίες το συμπέρασμα προκύπτει από άτοπη (ακατάλληλη, αταίριαστη) και διφορούμενη χρήση των λέξεων.

Ιστορία

Στην Ευρώπη, ο Αριστοτέλης πρώτος ανέπτυξε την επιστήμη της λογικής. Η αριστοτελική λογική έγινε ευρέως αποδεκτή στην επιστήμη και τα μαθηματικά, ενώ παρέμεινε σε ευρεία χρήση στη Δύση μέχρι τις αρχές του 19ου αιώνα. Το αριστοτελικό σύστημα της λογικής ήταν αυτό που εισήγαγε τον υποθετικό συλλογισμό, τη χρονική τυπική λογική και την επαγωγική λογική, καθώς και σημαντικούς όρους όπως κατηγορία, συλλογισμός και πρόταση. Στην Ευρώπη, κατά την ύστερη μεσαιωνική περίοδο, έγιναν σημαντικές προσπάθειες να δείξουν ότι οι ιδέες του Αριστοτέλη ήταν συμβατές με τη χριστιανική πίστη. Κατά τον πρώιμο Μεσαίωνα, η λογική έγινε το επίκεντρο των φιλοσόφων, οι οποίοι θα συμμετάσχουν σε κρίσιμες λογικές αναλύσεις των φιλοσοφικών επιχειρημάτων, συχνά χρησιμοποιώντας παραλλαγές της μεθοδολογίας του σχολαστικισμού. Το 1323 κυκλοφόρησε το Summa Logicae του Ουίλιαμ του Όκχαμ. Μέχρι το 18ο αιώνα, η δομημένη προσέγγιση στην επιχειρηματολογία είχε εκφυλιστεί και έπεσε έπεσε σε δυσμένεια, όπως απεικονίστηκε στο σατυρικό έργο του Λούντβιχ Χόλμπεργκ Erasmus Montanus.
Ο Κινέζος φιλόσοφος της λογικής Γκονγκσούν Λονγκ (περ. 325-250 π.Χ.) πρότεινε το παράδοξο "ένα και ένα δεν μπορούν να γίνουν δύο, αφού κανένα δεν γίνεται δύο". Στην Κίνα, η παράδοση της επιστημονικής έρευνας σχετικά με τη λογική, όμως, παρουσιάστηκε στη δυναστεία Κιν μετά από την νομικιστική φιλοσοφία του Χαν Φέιτζι.
Στην Ινδία, οι καινοτομίες στο σχολαστικό σχολείο, που ονομαζόταν Nyaya, συνεχίστηκε από την αρχαιότητα ως τις αρχές του 18ου αιώνα με το Navya-Navya σχολείο. Μέχρι το 16ο αιώνα, ανέπτυξε θεωρίες που μοιάζουν με την σύγχρονη λογική, όπως του Γκότλομπ Φρέγκε "διάκριση μεταξύ της έννοιας και της αναφοράς των κύριων ονομάτων" και "ορισμός του αριθμού", καθώς και τη θεωρία των «περιορισμένων όρων καθολικά» προβλέποντας μερικές από τις εξελίξεις στη σύγχρονη θεωρία συνόλων. Από το 1824, η ινδική λογική προσέλκυσε την προσοχή πολλών Δυτικών μελετητών και επηρέασε σημαντικούς επιστήμονες της λογικής του 19ου αιώνα, όπως Τσαρλς Μπάμπατζ, Αουγκούστους ντε Μόργκαν και Τζορτζ Μπουλ. Τον 20ο αιώνα, δυτικοί φιλόσοφοι όπως οι Στάνισλαβ Σάγιερ και Κλάους Γκλάσοφ διερεύνησαν εκτενέστερα την ινδική λογική.
Η συλλογιστική λογική, που αναπτύχθηκε από τον Αριστοτέλη, κυριάρχησε στη Δύση μέχρι τα μέσα του 19ου αιώνα, όταν το ενδιαφέρον στα θεμέλια των μαθηματικών ώθησε στην ανάπτυξη της συμβολικής λογικής (που σήμερα ονομάζεται μαθηματική λογική). Το 1854, ο Τζορτζ Μπουλ δημοσίευσε Μια έρευνα των νόμων της σκέψης επί των οποίων θεμελιώθηκαν οι μαθηματικές θεωρίες της λογικής και των πιθανοτήτων (An Investigation of the Laws of Thought on Which are Founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities), εισάγοντας την συμβολική λογική και τις αρχές της λογικής του Μπουλ. Το 1879, ο Γκόντλομπ Φρέγκε δημοσίευσε το βιβλίο 'Begriffsschrift', το οποίο εγκαινίασε τη σύγχρονη λογική με την εφεύρεση της σημειογραφίας των ποσοδεικτών. Από το 1910 εώς το 1913, οι Άλφρεντ Νορθ Ουάιτχεντ και Μπέρτραντ Ράσελ δημοσίευσαν το Principia Mathematica σχετικά με τα θεμέλια των μαθηματικών, προσπαθώντας να αντλήσει μαθηματικές αλήθειες από αξιώματα και κανόνες συμπερασμού στη συμβολική λογική. Το 1931, ο Γκέντελ έθεσε σοβαρά προβλήματα με το πρόγραμμα της αναζήτησης των θεμελίων και η λογική έπαψε να επικεντρώνεται σε τέτοια ζητήματα. 
Η ανάπτυξη της λογικής από τους Φρέγκε, Ράσελ και Βιτγκεστάιν είχε βαθιά επίδραση στην πρακτική της φιλοσοφίας και στην αντίληψη της φύσης των φιλοσοφικών προβλημάτων (βλέπε αναλυτική φιλοσοφία), και φιλοσοφία των μαθηματικών. Η λογική, ειδικά η προτασιακή λογική, υλοποιείται σε κυκλώματα λογικής του υπολογιστή και είναι θεμελιώδους σημασίας για την επιστήμη των υπολογιστών. Η λογική συνήθως διδάσκεται από πανεπιστημιακά τμήματα φιλοσοφίας, συχνά ως υποχρεωτικό μάθημα.

Προϊστορία της λογικής

Ο έγκυρος συλλογισμός έχει χρησιμοποιηθεί σε όλες τις περιόδους της ανθρώπινης ιστορίας. Ωστόσο, η λογική μελετά τις αρχές του έγκυρου συλλογισμού, της συναγωγής και της αποδεικτικής δομής. Είναι πιθανό ότι η ιδέα της απόδειξης ενός αποτελέσματος-συμπεράσματος προέκυψε για πρώτη φορά σε σχέση με τη γεωμετρία. Συγκεκριμένα, οι αρχαίοι Αιγύπτιοι είχαν ανακάλυψαν εμπειρικά κάποιες από τις αλήθειες της γεωμετρίας, όπως είναι ο τύπος για τον όγκο μιας κόλουρης πυραμίδας.
Μια άλλη προέλευση μπορεί να δει κανείς στη Βαβυλωνία. Το εγχειρίδιο ιατρικής διάγνωσης του Esagil-kin-apli στον 11ο αιώνα π.Χ. βασίστηκε σε μια λογική σειρά από αξιώματα και παραδοχές, ενώ οι Βαβυλώνιοι αστρονόμοι στο 8ο και 7ο αιώνα χρησιμοποίησαν μια εσωτερική λογική στα πλαίσια των προβλέψεων των πλανητικών συστημάτων τους, μια σημαντική συμβολή στη φιλοσοφία της επιστήμης.

Πριν τον Πλάτωνα

Αν και οι αρχαίοι Αιγύπτιοι ανακάλυψαν εμπειρικά μερικές αλήθειες της γεωμετρίας, το μεγάλο επίτευγμα των αρχαίων Ελλήνων ήταν να αντικαταστήσει τις εμπειρικές μεθόδους με επιστημονικές. Η συστηματική μελέτη αυτή φαίνεται να ξεκίνησε με τη σχολή του Πυθαγόρα στα τέλη του έκτου αιώνα π.Χ. Οι τρεις βασικές αρχές της γεωμετρίας είναι (1) ότι ορισμένες προτάσεις πρέπει να γίνονται δεκτές ως αληθινές χωρίς απόδειξη, (2) ότι όλες οι υπόλοιπες προτάσεις του συστήματος να προκύπτουν από τις προηγούμενες και (3) ότι η εξαγωγή πρέπει να είναι τυπική (φόρμαλ), δηλαδή, ανεξάρτητη από το συγκεκριμένο υπό εξέταση θέμα. Τα σπέρματα των πρώιμων αποδείξεων φυλάσσονται στα έργα του Πλάτωνα και του Αριστοτέλη, και η ιδέα ενός παραγωγικού τέτοιου συστήματος ήταν πιθανώς γνωστό στη Πυθαγόρεια σχολή και στην Πλατωνική Ακαδημία.
Ξεχωριστά από τη γεωμετρία, η ιδέα για ένα πρότυπο μοτίβο επιχειρήματος βρίσκεται στην reductio ad absurdum (εις άτοπον απαγωγή) χρησιμοποιήθηκε από τον Ζήνωνα της Ελέας, ένα προσωκρατικό φιλόσοφο του 5ου αιώνα π.Χ. Αυτή είναι η τεχνική της κατάρτισης ενός προφανώς ψευδούς, παράλογου ή αδύνατου συμπεράσματος από την υπόθεση, αποδεικνύοντας έτσι ότι η υπόθεση είναι ψευδής. Ο πλατωνικός διάλογος Παρμενίδης παρουσιάζει το Ζήνωνα να ισχυρίζεται ότι έχει γράψει ένα βιβλίο όπου υπερασπίζεται το μονισμό του Παρμενίδη καταδεικνύοντας το παράλογο συμπέρασμα να υποτεθεί ότι είναι δυϊσμός. Άλλοι φιλόσοφοι που άσκησαν τέτοια διαλεκτική αιτιολογία ήταν οι λεγόμενοι μικροί σωκρατικοί, συμπεριλαμβανομένων ο Ευκλείδης ο Μεγαρεύς, που ήταν πιθανότατα οπαδός του Παρμενίδη και του Ζήνωνα. Τα μέλη αυτής της σχολής ονομάστηκαν διαλεκτικοί. 
Περαιτέρω στοιχεία ότι προαριστοτελικοί διανοητές ασχολήθηκαν με τις αρχές του συλλογισμού βρέθηκαν σε ένα θραύσμα που ονομάζεται Δίσσοι λόγοι, το οποίο πιθανώς γράφτηκε στις αρχές του 4ου αιώνα π.Χ. Αυτό είναι μέρος μιας παρατεταμένης συζήτησης για την αλήθεια και την αναλήθεια.

Η άνοδος της σύγχρονης λογικής

Το χρονικό διάστημα μεταξύ 14ου αιώνα μ.Χ. - αρχές 19ου αιώνα μ.Χ. ήταν σε μεγάλο βαθμό παρακμής και παραμέλησης της λογικής, και θεωρείται γενικά ως άγονο από τους ιστορικούς της λογικής. Η αναβίωση της λογικής συνέβη στα μέσα του 19ου αιώνα, κατά την αρχή μιας επαναστατικής περιόδου όπου το θέμα εξελίχθηκε σε έναν αυστηρό και τυπολατρικό επιστημονικό τομέα του οποίου υπόδειγμα ήταν η ακριβής μέθοδος που χρησιμοποιείται στα μαθηματικά. Η ανάπτυξη της σύγχρονης "συμβολικής" ή "μαθηματικής" λογικής κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου είναι η πιο σημαντική στα 2000 έτη της λογικής, και είναι αναμφισβήτητα ένα από τα πιο σημαντικά και αξιοσημείωτα γεγονότα στην ανθρώπινη ιστορία της διανόησης.

Επιχείρημα

Στη λογική και τη φιλοσοφία, το επιχείρημα είναι μια προσπάθεια να πείσει κάποιον για κάτι, δίνοντας τους λόγους για να αποδεχθεί ένα συγκεκριμένο συμπέρασμα όπως προκύπτει. Η γενική δομή ενός επιχειρήματος σε μια φυσική γλώσσα είναι εκείνη των προκείμενων (συνήθως σε μορφή θεωρημάτων, δηλώσεων ή προτάσεων) υπέρ του ισχυρισμού: του συμπεράσματος. Η δομή ορισμένων επιχειρημάτων μπορεί επίσης να καθοριστεί σε μια τυπική γλώσσα, και τα τυπικώς ορισμένα "επιχειρήματα" μπορούν να γίνουν ανεξάρτητα από τα επιχειρήματα των φυσικών γλωσσών, όπως στη λογική, τα μαθηματικά και την επιστήμη των υπολογιστών.
Σε ένα τυπικό παραγωγικό (ή απαγωγικό) επιχείρημα, οι προκείμενες χρησιμοποιούνται για να δώσουν εγγύηση από την αλήθεια του συμπεράσματος, ενώ σε ένα επαγωγικό επιχείρημα, θεωρούνται ότι δίνουν τους λόγους που αιτιολογούν (συνηγορούν) τη πιθανή αλήθεια του συμπεράσματος. Τα πρότυπα για την αξιολόγηση των μη παραγωγικών επιχειρημάτων μπορούν να σε διαφορετικά ή πρόσθετα κριτήρια από την αλήθεια, για παράδειγμα, η πειστικότητα των λεγόμενων "αναγκαίων ισχυρισμών" σε υπερβατικά επιχειρήματα, η ποιότητα των υποθέσεων στον υποθετικό-παραγωγικό συλλογισμό (retroduction), ή ακόμη και η γνωστοποίηση νέων δυνατοτήτων στη σκέψη και δράση. 
Τα πρότυπα και τα κριτήρια που χρησιμοποιούνται στην αξιολόγηση των επιχειρημάτων και των μορφών του συλλογισμού τους μελετήθηκαν στη λογική. Ακόμη, έχουν μελετηθεί αποτελεσματικοί τρόποι διατύπωσης επιχειρημάτων (θεωρία επιχειρημάτων). Ένα επιχείρημα σε μια τυπική γλώσσα δείχνει τη λογική μορφή του συμβολικά αναπαριστανόμενου ή φυσικής γλώσσας επιχειρήματος που λαμβάνεται βάση τις ερμηνείες του.

Κβαντική λογική

Ένα έγγραφο, το 1936, από τον Γκάρετ Μπίρκοφ και τον Τζον φον Νόιμαν ήταν αρκετό για να θεμελιώσει την κβαντική λογική. H προσπάθειά τους εντείνονταν στον συμβιβασμό της ανακολουθίας της κλασικής λογικής στις αξιώσεις της κβαντικής μηχανικής με τα πραγματικά περιστατικά σχετικά με τη μέτρηση των συμπληρωματικών μεταβλητών στην κβαντική μηχανική, όπως η θέση και η ορμή.
Η κβαντική λογική μπορεί να διαμορφωθεί είτε ως μια τροποποιημένη έκδοση της προτασιακής λογικής είτε ως μια μη-μεταθετική και μη-συνειρμική λογική πολλών τιμών (multi-valued logic). Ωστόσο, έχει κάποιες ιδιότητες που την διακρίνουν σαφώς από την κλασική λογική, με κυριότερη την αδυναμία του επιμεριστικού νόμου της προτασιακής λογικής.

Δισθενές και ο νόμος της αποκλεισμένης μέσης

Οι λογικές που διατυπώθηκαν παραπάνω είναι όλες «δισθενείς» ή «δύο-τιμών». Για αυτό γίνονται περισσότερα φυσικά αντιληπτές ως διαίρεση προτάσεων σε αληθινές και ψευδείς. Οι μη κλασσικές λογικές είναι αυτά τα συστήματα που απορρίπτουν το δισθενές. 
Ο Χέγκελ ανέπτυξε τη δική του διαλεκτική λογική η οποία επέκτεινε την υπερβατική λογική του Καντ αλλά η οποία την "προσγείωσε" διαβεβαιώνοντάς μας ότι «ούτε στον ουρό ούτε στη γη, ούτε στον κόσμο του μυαλού ούτε της φύσης, δεν υπάρχει "είτε Α, είτε Β" όσο η κατανόηση συντηρείται. Ότι υπάρχει είναι απτό, διαφορετικό και σε αντίθεση από μόνο του».
Το 1910, ο Νικολάι Βασίλιεφ επέκτεινε τον νόμο της αποκλεισμένης μέσης και το νόμο των αντιθέτων και πρότεινε το νόμο του αποκλεισμένου τέταρτου και λογική ανθεκτική στην αντίφαση. Στις αρχές του 20ου αιώνα ο Γιαν Λουκάσιεβιτς διερεύνησε την επέκταση των παραδοσιακών τιμών αληθές/ψευδές για να συμπεριλάβει μια τρίτη τιμή, "πιθανό", εφευρίσκοντας την τριαδική λογική, την πρώτη λογική πολλαπλών τιμών.
Λογικές όπως η λογική fuzzy (ασαφής λογική), δεδομένου ότι έχουν επινοηθεί με έναν άπειρο αριθμό από "βαθμίδες αλήθειας", αναπαραστάθηκαν από ένα πραγματικό αριθμό μεταξύ 0 και 1.
Η ενορατική λογική προτάθηκε από τον L. E. J. Brouwer ως η σωστή λογική για τη συλλογιστική στα μαθηματικά, με βάση την απόρριψη του νόμου της αποκλεισμένης μέσης, ως τμήμα του ενορατισμού. Ο Brouwer απέρριψε την τυποποίηση των μαθηματικών, ο μαθητής του Arend Heyting όμως μελέτησε την ενορατική λογική ως τυπική, όπως έκανε και ο Gerhard Gentzen. Η ενορατική λογική προσελκύει μεγάλο ενδιαφέρον στους επιστήμονες πληροφορικής, καθώς είναι μια εποικοδομητική λογική και μπορεί να εφαρμοστεί για την εξαγωγή προγραμμάτων που επαληθεύονται από αποδείξεις.
Η τροπική λογική δεν είναι αληθινή υποθετική (conditional), και για αυτό έχει συχνά προταθεί ως μη κλασική λογική. Ωστόσο η τροπική λογική είναι συνήθως τυποποιημένη με την αρχή της αποκλεισμένης μέσης και η σχεσιακή της σημασιολογία είναι δισθενής, οπότε η ένταξη της είναι αμφισβητήσιμη.

Απόρριψη της λογικής αλήθειας

Η φιλοσοφική φλέβα των διαφόρων ειδών του σκεπτικισμού περιέχει πολλά είδη της αμφισβήτησης και απόρριψης των διαφόρων βάσεων στις οποίες στηρίζεται η λογική, όπως η ιδέα της λογικής μορφής, ο σωστός συμπερασμός, ή έννοια, συνήθως οδηγεί στο συμπέρασμα ότι δεν υπάρχουν λογικές αλήθειες. Παρατηρήστε ότι αυτό είναι το αντίθετο στις συνήθεις απόψεις στο φιλοσοφικό σκεπτικισμό, όπου η λογική κατευθύνει την σκεπτικιστική έρευνα να αμφιβάλλει για τις θεόσταλτες σοφίες και ξεπερασμένες απόψεις, όπως στο έργο του Σέξτου του Εμπειρικού.
Ο Φρίντριχ Νίτσε προβάλλει ένα ισχυρό παράδειγμα της απόρριψης της συνήθους βάσης της λογική: η ριζική απόρριψη της εξιδανίκευσης τον οδήγησε να απορρίψει την αλήθεια ως «...ένας κινητός στρατός από μεταφορές, μετώνυμα και ανθρωπομορφισμούς - με λίγα λόγια... μεταφορές οι οποίες έχουν φθαρεί και χωρίς αισθητηριακή δύναμη. Κέρματα που έχουν χάσει το νόημά τους και πλέον έχουν σημασία ως μέταλλο, και όχι ως κέρματα». Η απόρριψη της αλήθειας δεν τον οδήγησε να απορρίψει την ιδέα του συμπερασμού ή λογικής εντελώς, αλλά πρότεινε ότι «η λογική άρχισε να λειτουργεί στο ανθρώπινο κεφάλι έξω από το παράλογο, του οποίου το πεδίο κανονικά θα έπρεπε να ήταν απέραντο. Αναρίθμητα όντα που συμπέραναν κατά τρόπο διαφορετικό από το δικό μας έχασαν τη ζωή τους». Έτσι, υπάρχει η ιδέα ότι η λογική συναγωγή έχει την χρησιμότητα της στην ανθρώπινη επιβίωση, αλλά και ότι η ύπαρξή του δεν υποστηρίζει την ύπαρξη της αλήθειας, ούτε έχει μια πραγματικότητα πέρα από την καθορισμένη: «Επίσης, η λογική, ακόμη, βασίζεται σε υποθέσεις που δεν αντιστοιχούν σε τίποτα στον πραγματικό κόσμο».  
Ωστόσο, η θέση που κατέχει ο Νίτσε υπέστη σε ακραία εξέταση για διάφορους λόγους. Ο ίδιος αδυνατεί να αποδείξει το βάσιμο των ισχυρισμών του και απλώς τους ισχυρίζεται ρητορικά. Παρά το γεγονός , δεδομένου
ότι επικρίνει τα καθορισμένα κριτήρια ισχύος, αυτό δεν υπονομεύει τη θέση του, θα μπορούσε κανείς να υποστηρίξει ότι η απόδειξη της ισχύος που προβλέπεται στο όνομα της λογικής είναι εξίσου βασισμένη στη ρητορική. Η θέση του έχει υποστηριχθεί ότι είναι αυτο-διαψεύσιμη από φιλόσοφους, όπως ο Γιούργκεν Χάμπερμας, ο οποίος κατηγόρησε το Νίτσε για το ότι δεν έχει μια συνεκτική οπτική γωνία πόσο μάλλον για μια θεωρία της γνώσης. Και πάλι, δεν είναι σαφές αν αυτή είναι μια καθοριστική κριτική για τα κριτήρια μιας συνεκτικής και συνεπής θεωρίας τα οποία είναι ακριβώς αυτά που είναι υπό αμφισβήτηση. Ο Γκέοργκ Λούκατς στο βιβλίο του The Destruction of Reason (Η καταστροφή του Λόγου) ισχυρίστηκε ότι «δεν μπορούμε να μελετήσουμε τις δηλώσεις του Νίτσε σε αυτόν τον τομέα από μια λογικο-φιλοσοφική οπτική γωνία, θα είμαστε αντιμέτωποι με το χάος των πιο μακάβριων ισχυρισμών, αυθαίρετα και βίαια ασυμβίβαστων». Παρ' όλα αυτά, από την άποψη αυτή η θεωρία του θα ήταν μια πολύ καλύτερη απεικόνιση μιας συγκεχυμένης και χαοτικής πραγματικότητας παρά μια συνεπή και συμβατή θεωρία. Ο Μπέρτραντ Ράσελ αναφέρει τις αξιώσεις του Νίτσε ως «κούφια λόγια» στο βιβλίο του A History of Western Philosophy.