Κουρτ Γκέντελ

Παιδική ηλικία

Ο Κουρτ Γκέντελ γεννήθηκε στις 28 Απριλίου του 1906 στο Μπρνο, μέλος της (Γερμανικής εθνότητας) οικογένειας του Ρούντολφ Γκέντελ, διευθυντή εργοστασίου υφασμάτων, και της Μαριάν Γκέντελ (γεν. Χαντσουχ). Κατά τη γέννησή του η πόλη είχε μια ελαφρά πλειοψηφία Γερμανόφωνων, και αυτή ήταν και η γλώσσα των γονέων του.  Οι πρόγονοι του Κουρτ Γκέντελ ήταν συχνά ενεργοί στην πολιτιστική ζωή του Μπρνο.  Για παράδειγμα, ο παππούς του Ιωσήφ Γκέντελ ήταν διάσημος τραγουδιστής της εποχής, και για κάποια χρόνια μέλος της "Brünner Männergesangverein". 
Αν και ο ίδιος μιλούσε πολύ λίγα Τσέχικα, ο Γκέντελ έγινε αυτόματα Τσεχοσλοβάκος πολίτης στην ηλικία των 12 ετών, όταν η Αυστροουγγρική αυτοκρατορία διασπάστηκε στο τέλος του Α΄ Παγκοσμίου Πολέμου.  Αργότερα είπε στο βιογράφο του Τζον Ντόσον ότι ένιωθε σαν εξορισμένος Αυστριακός στην Τσεχοσλοβακία ("ein Österreicher im Exil in der Tschechoslowakei") εκείνη την περίοδο.  Επέλεξε να γίνει Αυστριακός πολίτης στην ηλικία των 23 ετών.  Όταν η Ναζιστική Γερμανία προσάρτησε την Αυστρία, ο Γκέντελ αυτόματα έγινε Γερμανός πολίτης στην ηλικία των 32 ετών.  Μετά τον Β΄ Παγκόσμιο Πόλεμο, στην ηλικία των 42 ετών, έγινε Αμερικάνος πολίτης.
Στην οικογένειά του, ο νεαρός Κουρτ ήταν γνωστός ως ο Herr Warum ("Κύριος Γιατί") εξ' αιτίας της ακόρεστής του περιέργειας.  Σύμφωνα με τον αδελφό του Ρούντολφ, στην ηλικία των έξι ή επτά ετών ο Κουρτ υπέφερε από ρευματικό πυρετό.  Επανήλθε τελείως, αλλά για το υπόλοιπο της ζωής του έμεινε πεπεισμένος ότι η καρδιά του είχε τραυματιστεί ανεπανόρθωτα.
Ο Γκέντελ παρακολούθησε το Evangelische Volksschule, ένα Λουθηρανικό σχολείο στο Μπρνο από το 1912 έως το 1916, και εγγράφηκε στο Deutsches Staats-Realgymnasium από το 1916 έως το 1924, όπου αρίστευσε με τιμές σε όλα του τα μαθήματα, και ιδιαίτερα στα μαθηματικά, τις γλώσσες και τη θρησκεία.  Αν και ο Κουρτ είχε αρχικά αριστεύσει στις γλώσσες, αργότερα ανέπτυξε περισσότερο ενδιαφέρον για την ιστορία και τα μαθηματικά.  Το ενδιαφέρον του για τα μαθηματικά αυξήθηκε όταν το 1920 ο μεγαλύτερος αδελφός του (γεννημένος το 1902) έφυγε για τη Βιέννη για να παρακολουθήσει την ιατρική σχολή του Πανεπιστημίου της Βιέννης (UV).  Στην εφηβεία του, ο Κουρτ μελέτησε τη στενογραφία Γκαμπελσμπέργκερ, το βιβλίο Θεωρία των χρωμάτων του Γκαίτε και κριτικές του Ισαάκ Νιούτον, και τα έργα του Εμμάνουελ Καντ.

Σπουδές στη Βιέννη

Στην ηλικία των 18, ο Κουρτ συνάντησε τον αδελφό του Ρούντολφ στη Βιέννη, και εγγράφηκε στο Πανεπιστήμιο της Βιέννης.  Μέχρι τότε, κατείχε ήδη μαθηματικά πανεπιστημιακού επιπέδου.  Αν και αρχικά είχε πρόθεση να μελετήσει θεωρητική φυσική, ο Κουρτ παρακολούθησε επίσης μαθήματα μαθηματικών και φιλοσοφίας.  Κατά την περίοδο αυτή, υιοθέτησε ιδέες μαθηματικού ρεαλισμού.  Διάβασε τα Metaphysische Anfangsgründe der Naturwissenschaft του Εμμάνουελ Καντ, και συμμετείχε στον Κύκλο της Βιέννης με τον Μόριτζ Σλικ, τον Χανς Χαν, και τον Ρούντολφ Κάρναπ.  Έπειτα μελέτησε θεωρία αριθμών, αλλά κατά τη συμμετοχή σε ένα σεμινάριο του Μόριτζ Σλικ που μελετούσε το βιβλίο Εισαγωγή στη Μαθηματική Φιλοσοφία του Μπέρτραντ Ράσελ, του κίνησε το ενδιαφέρον η μαθηματική λογική.
Η παρακολούθηση μιας διάλεξης του Νταβίντ Χίλμπερτ στη Μπολόνια περί της πληρότητας και συνέπειας των μαθηματικών συστημάτων, πιθανώς να έθεσε την πορεία της μετέπειτα ζωής του Γκέντελ.  Το 1928, ο Χίλμπερτ και ο Βίλχελμ Άκερμαν δημοσίευσαν το Grundzüge der theoretischen Logik (Αρχές της Μαθηματικής Λογικής), μια εισαγωγή στην λογική πρώτου βαθμού, όπου τέθηκε το πρόβλημα της πληρότητας:  Αρκούν τα αξιώματα ενός τυπικού συστήματος για να παραχθούν όλες οι προτάσεις που είναι αληθείς σε όλα τα μοντέλα του συστήματος;
Αυτό ήταν το θέμα που επέλεξε ο Γκέντελ για το διδακτορικό του.
Το 1929, σε ηλικία 23 ετών, ολοκλήρωση τη διδακτορική του διατριβή, υπό την εποπτεία του Χανς Χαν.  Σ' αυτή, ο Γκέντελ απέδειξε την πληρότητα του κατηγορηματικού λογισμού πρώτου βαθμού, αποτέλεσμα που έγινε γνωστό ως το θεώρημα πληρότητας του Γκέντελ.  Του απονεμήθηκε ο τίτλος του  διδάκτορα το 1930.  Η διδακτορική του διατριβή, σε συνδυασμό με κάποιες επιπλέον εργασίες, δημοσιεύθηκε από την Ακαδημία Επιστημών της Βιέννης.

Επισκέψεις στις Ηνωμένες Πολιτείες της Αμερικής

Το 1933, ο Γκέντελ ταξίδεψε για πρώτη φορά στις Ηνωμένες Πολιτείες, όπου συνάντησε τον Άλμπερτ Αϊνστάιν, με τον οποίο έγινε καλός φίλος. Εκεί έδωσε μια διάλεξη στην ετήσια συνάντηση της Αμερικανική Μαθηματική Εταιρία.  Κατά το έτος αυτό ο Γκέντελ ανέπτυξε, επίσης, τις ιδέες του περί υπολογισιμότητας και αναδρομικών συναρτήσεων σε βαθμό ώστε να δώσει μια διάλεξη για τις γενικές αναδρομικές συναρτήσεις και την έννοια της αλήθειας.  Η εργασία αυτή αναπτύχθηκε στη θεωρία αριθμών, με χρήση της Γκεντελοποίησης.
Το 1934 ο Γκέντελ έδωσε μια σειρά από διαλέξεις στο Ινστιτούτο Προχωρημένων Σπουδών στο Πρίνστον, με τίτλο On undecidable propositions of formal mathematical systems (Περί των αναποφασιστέων προτάσεων των τυπικών μαθηματικών συστημάτων). Ο Στέφεν Κλέινι, που είχε μόλις τελειώσει το διδακτορικό του στο Πανεπιστήμιο του Πρίνστον, κράτησε σημειώσεις από τις διαλέξεις αυτές, οι οποίες αργότερα δημοσιεύθηκαν.
Ο Γκέντελ θα επισκεπτόταν ξανά το Ινστιτούτο Προχωρημένων Σπουδών το φθινόπωρο του 1935.  Το ταξίδι και η σκληρή δουλειά τον είχαν εξουθενώσει, και την επόμενη χρονιά χρειάστηκε να αναρρώσει από κατάθλιψη.  Επέστρεψε στη διδασκαλία το 1937.  Στην περίοδο αυτή εργάστηκε πάνω στην απόδειξη συνέπειας του αξιώματος επιλογής και της υπόθεσης του συνεχούς.  Στη συνέχεια έδειξε ότι οι υποθέσεις αυτές δεν μπορούν να διαψευσθούν από το κοινό σύστημα αξιωμάτων της θεωρίας συνόλων.
Νυμφεύτηκε την Αντελ Νιμπέρσκυ (γεν. Πόρκετ, 1899-1981), την οποία γνώριζε για πάνω από 10 χρόνια, στις 20 Σεπτεμβρίου του 1938.  Η σχέση τους είχε βρει αντίθετους τους γονείς του, λόγω του ότι αυτή ήταν διαζευγμένη χορεύτρια, έξι χρόνια μεγαλύτερή του. Δεν απέκτησαν παιδιά.
Στη συνέχεια, έφυγε για μια ακόμα επίσκεψη στις Ηνωμένες Πολιτείες, περνώντας το φθινόπωρο του 1938 στο Πρίνστον και την άνοιξη του 1939 στο Πανεπιστήμιο της Νοτρ Νταμ.
Ο Γκέντελ και η σύζυγός του Αντελ πέρασαν το καλοκαίρι του 1942 στο Μπλου Χιλ, Μέιν, στο Blue Hill Inn στην κορυφή του κόλπου. Ο Γκέντελ έκανε διακοπές από το Πρίνστον.  Παρ' όλα αυτά, το καλοκαίρι αυτό ήταν πολύ παραγωγικό.  Χρησιμοποιώντας το Heft 15 (τόμος 15) του ακόμα αδημοσίευτου Arbeitshefte (σημειωματάρια) του Γκέντελ, ο Τζον Ντόσον εικάζει ότι ο Γκέντελ ανακάλυψε μια απόδειξη για την ανεξαρτησία του αξιώματος επιλογής από την πεπερασμένη θεωρία τύπων, μια ασθενή μορφή της θεωρίας συνόλων, όσο ήταν στο Μπλου Χιλ το 1942. Ο στενός φίλος του Γκέντελ, Χάο Ουάνγκ υποστηρίζει την εικασία αυτή, σημειώνοντας ότι τα σημειωματάρια του Γκέντελ από το Μπλου Χιλ περιέχουν την πιο εκτεταμένη εξέταση του προβλήματος.

Πρίνστον

Μετά το Anschluss το 1938, η Αυστρία έγινε μέρος της Ναζιστικής Γερμανίας.
Η Γερμανία κατάργησε τον τίτλο του Privatdozent, και ο Γκέντελ αναγκάστηκε να κάνει αίτηση για νέα θέση υπό το νέο καθεστώς.  Οι προηγούμενες σχέσεις του με Εβραίους, μέλη του κύκλου της Βιέννης, και ειδικά με τον Χαν, ήταν εις βάρος του.  Το Πανεπιστήμιο της Βιέννης απέρριψε την αίτησή του.  Η ήδη δυσχερής κατάστασή του χειροτέρεψε όταν ο Γερμανικός στρατός τον βρήκε ικανό προς επιστράτευση. Ο Β΄ Παγκόσμιος Πόλεμος ξεκίνησε το Σεπτέμβριο του 1939.  Πριν το τέλος του έτους, ο Γκέντελ και η σύζυγός του άφησαν τη Βιέννη για το Πρίνστον.  Για να αποφύγουν τη δυσκολία του να διασχίσουν τον Ατλαντικό, οι Γκέντελ πήραν τον Υπερσιβηρικό Σιδηρόδρομο μέχρι τον Ειρηνικό, απέπλευσαν από την Ιαπωνία φτάνοντας στο Σαν Φρανσίσκο στις 4 Μαρτίου του 1940, και στη συνέχεια διέσχισαν τις Ηνωμένες Πολιτείες με τραίνο μέχρι το Πρίνστον όπου ο Γκέντελ θα αποδέχονταν μια θέση στο Ινστιτούτο Προχωρημένων Σπουδών.
Ο Γκέντελ επέστρεψε στη μαθηματική του εργασία πολύ γρήγορα.  Το 1940 δημοσίευσε την εργασία Consistency of the axiom of choice and of the generalized continuum-hypothesis with the axioms of set theory (συνέπεια του αξιώματος επιλογής και της γενικευμένης υπόθεσης του συνεχούς με τα αξιώματα της θεωρίας συνόλων) που έγινε κλασσική για τα σύγχρονα μαθηματικά.  Στην εργασία αυτή εισήγαγε το κατασκευάσιμο σύμπαν, ένα μοντέλο της θεωρίας συνόλων στο οποίο τα μόνα σύνολα που υπάρχουν είναι αυτά που μπορούν να κατασκευαστούν από απλούστερα σύνολα.  Ο Γκέντελ έδειξε ότι τόσο το αξίωμα επιλογής όσο και η γενικευμένη υπόθεση του συνεχούς είναι αληθή στο κατασκευάσιμο σύμπαν, και επομένως πρέπει να είναι συνεπή με τα αξιώματα Ζερμένο-Φράνκελ για τη θεωρία συνόλων.  Ο Πωλ Κοέν αργότερα κατασκεύασε ένα μοντέλο της ZF-συνολοθεωρίας στο οποίο το αξίωμα επιλογής και η γενικευμένη υπόθεση του συνεχούς είναι ψευδή,  οι αποδείξεις αυτές μαζί σημαίνουν ότι το αξίωμα επιλογής και η γενικευμένη υπόθεση του συνεχούς είναι ανεξάρτητα από τα αξιώματα ZF για τη θεωρία συνόλων.
Το 1951, ο Γκέντελ απέδειξε την ύπαρξη παράδοξων λύσεων για τις εξισώσεις πεδίων του Άλμπερτ Αϊνστάιν στη Γενική σχετικότητα.  Έδωσε αυτή την εκπόνηση στον Αϊνστάιν ως δώρο για τα εβδομηκοστά του γενέθλια  Αυτά τα «περιστρεφόμενα σύμπαντα» θα επέτρεπαν το ταξίδι στο χρόνο, και έκαναν τον Αϊνστάιν να έχει αμφιβολίες για τη θεωρία του.  Οι λύσεις αυτές έγιναν γνωστές ως η μετρική Γκέντελ.
Στα πολλά χρόνια που έμεινε στο Ινστιτούτο, τα ενδιαφέροντα του Γκέντελ στράφηκαν στη φιλοσοφία και τη φυσική.  Μελέτησε και θάυμαζε το έργο του Λάιμπνιτς, αλλά έφτασε να πιστεύει ότι μια εχθρική συνωμοσία κατόρθωσε να καταστείλλει κάποια από τα έργα του Λάιμπνιτς.  Σε μικρότερο βαθμό, μελέτησε τον Καντ και τον Έντμουντ Χάσσερλ.  Στην αρχή της δεκαετίας του 1970, ο Γκέντελ κυκλοφόρησε ανάμεσα σε φίλους του μια εκπόνηση της παραλλαγής του Λάιμπνιτς για την οντολογική απόδειξη του Άνσελμου του Καντερμπέρι για την ύπαρξη του Θεού.  Αυτό είναι σήμερα γνωστό ως η οντολογική απόδειξη του Γκέντελ.
Ο Γκέντελ έγινε μόνιμο μέλος του Ινστιτούτου Προχωρημένων Σπουδών το 1946.  Τότε περίπου σταμάτησε να δημοσιεύει, αν και συνέχισε να εργάζεται.  Έγινε ομότιμος καθηγητής στο Ινστιτούτο το 1953 και επίτημος καθηγητής το 1976.  Του απονεμήθηκε (μαζί με τον Τζούλιαν Σβίνγκερ) το πρώτο Βραβείο Άλμπερτ Αϊνστάιν το 1951, και επίσης το Εθνικό Μετάλλιο Επιστημών το 1974.

Θάνατος

Προς το τέλος της ζωής του, ο Γκέντελ υπέφερε κατά περιόδους από ψυχικές διαταραχές και ασθένεια.  Είχε έμμονους φόβους δηλητηρίασης, δεν έτρωγε παρά μόνο αφού η σύζυγός του Άντελ δοκίμαζε το φαγητό του.  Στο τέλος του 1977 η Άντελ νοσηλεύθηκε σε νοσοκομείο για έξη μήνες, και δεν μπορούσε να δοκιμάζει πλέον το φαγητό του Γκέντελ.  Κατά την απουσία της αρνήθηκε να φάει και, τελικά, πέθανε από ασιτία.  Ζύγιζε περίπου 30 κιλά όταν πέθανε.  Το πιστοποιητικό θανάτου του ανέφερε ότι πέθανε από «υποσιτισμό και εξάντληση που προκλήθηκε από διαταραχή προσωπικότητας» στο Νοσοκομείο του Πρίνστον στις 14 Ιανουαρίου του 1978

Κληρονομιά

Η Συντροφιά Κουρτ Γκέντελ, που ιδρύθηκε το 1987, ονομάστηκε έτσι προς τιμήν του.  Είναι μια διεθνής οργάνωση για την προώθηση της έρευνας στα πεδία της λογικής, της φιλοσοφίας και της ιστορίας των μαθηματικών.

Θρησκευτικές απόψεις

Ο Γκέντελ ήταν πεπεισμένος θεϊστής και ισόβια Χριστιανός.  Απέρριπτε την έννοια ότι ο Θεός ήταν απρόσωπος, όπως πίστευε ο Αϊνστάιν.  Πίστευε ακράδαντα στην μετά θάνατον ζωή, λέγοντας: "Πιστεύω στην μετά θάνατον ζωή, ασχέτως θεολογίας.  Άν ο κόσμος ήταν λογικά κατασκευασμένος, θα πρέπει να υπάρχει ζωή μετά το θάνατο."

Η φιλία του Γκέντελ με τον Αϊνστάιν

Ο Άλμπερτ Αϊνστάιν και ο Γκέντελ είχαν θρυλική φιλία, και έκαναν μαζί περιπάτους από και προς το Ινστιτούτο Προχωρημένων Σπουδών.  Η φύση των συνομιλιών τους αποτελούσε μυστήριο για τα άλλα μέλη του Ινστιτούτου.  Ο οικονομολόγος Όσκαρ Μόργκενστερν εξιστορεί ότι προς το τέλος της ζωής του ο Αϊνστάιν εξομολογήθηκε ότι η ίδια του η δουλειά δεν ήταν πια πολύ σημαντική, ότι ερχόταν στο Ινστιτούτο απλά... για να έχει το προνόμιο να περπατάει μέχρι το σπίτι με το Γκέντελ.
Στις 5 Δεκεμβρίου του 1947, οι Αϊνστάιν και Μόργκενστερν συνόδευσαν το Γκέντελ στις εξετάσεις του για την αμερικανική πολιτογράφηση, όπου παραστάθηκαν ως μάρτυρες. Ο Γκέντελ τους είχε εξομολογηθεί ότι είχε ανακαλύψει μια ασυνέπεια στο σύνταγμα των Ηνωμένων Πολιτειών, που θα μπορούσε να επιτρέψει οι Ηνωμένες Πολιτείες να γίνουν δικτατορία.  Οι Αϊνστάιν και Μόργκενστερν ανησυχούσαν ότι η απρόβλεπτη συμπεριφορά του φίλου τους θα μπορούσε να θέσει σε κίνδυνο την πολιτογράφησή του. Ευτυχώς, δικαστής ήταν ο Φίλιπ Φόρμαν. Ο Φόρμαν γνώριζε τον Αϊνστάιν και ήταν αυτός που είχε επιβλέψει τον όρκο στην ορκωμοσία πολιτογράφησης του Αϊνστάιν. Όλα πήγαιναν καλά μέχρι που ο Φόρμαν έτυχε να ρωτήσει τον Γκέντελ αν θεωρούσε ότι μια δικτατορία όπως το Ναζιστικό καθεστώς θα μπορούσε να συμβεί στις Ηνωμένες Πολιτείες.  Ο Γκέντελ τότε ξεκίνησε να εξηγεί την ανακάλυψή του στο Φόρμαν. Ο Φόρμαν κατάλαβε τι συνέβαινε, διέκοψε τον Γκέντελ και συνέχισε την ακροαματική διαδικασία με άλλες ερωτήσεις και ένα συμπέρασμα ρουτίνας.