Εξισώσεις της Μαγνητοϋδροδυναμικής

Εξισώσεις της Μαγνητοϋδροδυναμικής (MHD) ονομάζουμε τις  μη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους, οι οποίες προκύπτουν από την σύζευξη των εξισώσεων του  Maxwell για το Η/Μ πεδίο ,σε συνδυασμό με τις εξισώσεις Νάβιερ -Στόουκς , όταν εφαρμοστούν σε αγώγιμο ιξώδες ρευστό το οποίο κινείται μέσα σε ηλεκτρομαγνητικό πεδίο, ιδιαίτερα όταν τα ρεύματα που δημιουργούνται από την κίνηση του ρευστού μεταβάλλουν το μαγνητικό πεδίο, έτσι ώστε το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο και οι εξισώσεις της δυναμικής να συζεύγνυνται.
Οι εξισώσεις MHD  εφαρμόζονται στα αγώγιμα ρευστά , είτε είναι υγρά είτε αέρια, στα οποία γίνονται συγκεκριμένες θεωρητικές παραδοχές (π.χ. το ρεύμα μετατόπισης του Maxwell  θεωρείται αμελητέο) και το ρευστό μπορεί να μελετηθεί ως ένα συνεχές μέσο χωρίς φαινόμενα μέσης ελεύθερης διαδρομής.
Οι εξισώσεις αυτές εφαρμόστηκαν  αρχικά σε αστροφυσικά και γεωφυσικά προβλήματα  όπου ακόμα εφαρμόζονται με επιτυχία στην περιγραφή της κίνησης ισχυρά ιονισμένων ρευστών ( π.χ. στην εξήγηση της κίνησης των δίσκων προσαύξησης γύρω από  υπερμαζικά αστρικά σώματα όπως  μαύρες τρύπες, αστέρες νετρονίων , στη περιγραφή του Πλάσματος  στο ηλιακό Στέμμα (Αστρονομία)  κ.λ.π.)
Από τη δεκαετία του 50 με την κατασκευή των θερμοπυρηνικών αντιδραστήρων σύντηξης (ΤΟΚΑΜΑΚ ) για την παραγωγή ισχύος, οι εξισώσεις   της Μαγνητοϋδροδυναμικής εφαρμόστηκαν για την μαθηματική μοντελοποίηση το υ περιορισμού του υπέρθερμου πλάσματος με ηλεκτρομαγνητικές δυνάμεις, έτσι ώστε να αποφεύγεται η επαφή του με τα τοιχώματα του αντιδραστήρα.

Εξισώσεις MHD (Μαγνητοϋδροδυναμικής)

Οι εξισώσεις της μαγνητοϋδροδυναμικής περιλαμβάνουν τις εξισώσεις του Maxwell
   (νόμος Ampere Maxwell) (το ρεύμα μετατόπισης θεωρείται μηδενικό)
 (νόμος της επαγωγής Faraday-Henry)
  (δεν υπάρχουν μονόπολα)
και την πυκνότητα της ηλεκτρομαγνητικής δύναμης Lorentz   την οποία την προσθέτουμε σαν δύναμη χώρου στην εξίσωση Navier-Stokes για ένα ασυμπίεστο Νευτώνιο ρευστό:
 (Navier-Stokes) (όπου ν= ο συντελεστής ιξώδους  του ρευστού μετρημένος  σε m²/sec)

Δύναμη Lorentz

Η δύναμη Lorentz    είναι δυνατόν εάν θέσουμε        και χρησιμοποιώντας την αντίστοιχη μαθηματική ταυτότητα της διανυσματικής ανάλυσης, να γραφεί στη μορφή:
  
όπου ο δεύτερος όρος είναι η μαγνητική πίεση και ο πρώτος  ονομάζεται τάση Faraday ή τάση Maxwell των δυναμικών γραμμών, εξαιτίας του γεγονότος ότι η δύναμη η οποία προκύπτει    είναι μηδενική στα τοιχώματα των ροϊκών σωλήνων. Στα 'άκρα' των δυναμικών γραμμών αυτές οι τάσεις παραμόρφωσης προκαλούν μια μη μηδενική δύναμη τάσης πάνω στους ροϊκούς σωλήνες. Σύμφωνα με τον νόμο του Gauss η δύναμη χώρου πάνω σε μια στοιχειώδη μάζα του ρευστού μπορεί να γίνει αντιληπτή ως το  αποτέλεσμα της επιφανειακής ολοκλήρωσης αυτών των τάσεων και της πίεσης. Επιστρέφοντας στην έννοια μιάς δύναμης χώρου πάνω στις στοιχειώδεις μάζες του ρευστού μπορεί κανείς να αναλύσει το ανισότροπο κομμάτι του διανύσματος  σε εφαπτομενική και ορθοκανονική συνιστώσα της καμπύλης  γραμμής η οποία είναι προσδεμένη πάνω στη δυναμική γραμμή:
  
όπου R είναι η ακτίνα της τοπικής καμπυλότητας της δυναμικής γραμμής. Σημειώνουμε ότι αυτή η ανάλυση είναι ισοδύναμη με αυτό που μπορεί να γίνει με τον μη γραμμικό όρο    στην εξίσωση Navier - Stokes , εκτός από μια σημαντική διαφορά στο πρόσημο. Ο πρώτος όρος σε αυτή την περίπτωση είναι μια δύναμη η  οποία αντιτίθεται στην επιτάχυνση η οποία σχετίζεται με την αδράνεια, δηλ. την επιτάχυνση μιάς στοιχειώδους μάζας του ρευστού. Ο δεύτερος όρος είναι τότε μια φυγόκεντρος δύναμη η οποία κατευθύνεται προς τα έξω. Οι όροι της εξίσωσης αντιπροσωπεύουν αντίστοιχα μια επιταχύνουσα δύναμη οποτεδήποτε το μαγνητικό πεδίο αυξάνει κατά μήκος μιάς δυναμικής γραμμής και μια δύναμη προς τα μέσα (κεντρομόλος) όταν οι δυναμικές γραμμές καμπυλώνονται. Αυτές οι δυνάμεις έχουν σημαντικές επιπτώσεις για την  ευστάθεια  ενός πλάσματος. Ενώ η αδρανειακή δύναμη αντιστέκεται στην επιτάχυνση , ο πρώτος όρος της εξίσωσης προκαλεί επιτάχυνση στην κατεύθυνση της αύξησης  της έντασης του μαγνητικού πεδίου. Η δεύτερη συνιστώσα ενεργεί για να ευθυγραμμίσει τις μαγνητικές δυναμικές γραμμές, σύμφωνα  με την ιδέα των δυνάμεων τάσης οι οποίες ενεργούν στα άκρα των δυναμικών γραμμών. Σε όρους αυτών των τάσεων η δύναμη στην κατεύθυνση της αύξησης του μαγνητικού πεδίου προκύπτει εξαιτίας της διαφοράς του μέτρου μεταξύ των αντίθετων τάσεων στα άκρα των δυναμικών γραμμών.
Συμπερασματικά , η δύναμη Lorentz πάνω στο ρευστό μπορεί να θεωρηθεί ότι προκύπτει από την τάση που ασκείται όταν παραμορφώνονται οι δυναμικές γραμμές του μαγνητικού πεδίου μέσα στο ρευστό. Καθώς αυτές οι μαγνητικές γραμμές είναι σε κάποιο βαθμό 'παγωμένες' μέσα στο ρευστό αυτές οι τάσεις ως εκ τούτου ενεργούν ως δυνάμεις χώρου πάνω στο ρευστό. Σαν αποτέλεσμα οι δυναμικές γραμμές μπορούν να δρούν παρόμοια με μια χορδή κάτω από την επίδραση τάσης και προκαλούν μια κυματική κίνηση η οποία ονομάζεται 'κύματα Αλφεν' , όπου η απαραίτητη αδράνεια προσφέρεται από το ρευστό. Η χαρακτηριστική ταχύτητα με την οποία διαδίδονται τα μαγνητοακουστικά κύματα ονομάζεται ταχύτητα Alfven και ισούται με:
  (Ταχύτητα Alfven ) 
Στην MHD η μαγνητική επαγωγή Β και η ταχύτητα πλάσματος v προσδιορίζονται από την εξίσωση κίνησης:
όπου:
 (N/m³)
 (πυκνότητα δύναμης)   ρ g=δύναμη βαρύτητας  (Ν/m³)      του ρευστού  (N/m³)
n= o συντελεστής ιξώδους του ρευστού  με  μονάδα μέτρησης ( kg /m sec)
Επίσης άλλες εξισώσεις που περιλαμβάνονται στον φορμαλισμό της  Μαγνητοϋδροδυναμικής είναι οι εξής:
Η εξίσωση της συνέχειας για την μάζα και το φορτίο:
   εξίσωση συνέχειας για την μάζα   όπου ρ = πυκνότητα  του ρευστού 
         εξίσωση διατήρησης για το φορτίο όπου ρ=πυκνότητα φορτίου και   J=πυκνότητα ρεύματος
Η Αδιαβατική  εξίσωση 
 όπου  γ=cₚ /cᵥ 
H  εξίσωση διατήρησης της ενέργειας :

Αδιάστατοι  αριθμοί

Προσθέτοντας μια δύναμη χώρου στην εξίσωση Navier - Stokes , προσθετει κανείς ένα επιπλέον αδιάστατο αριθμό στον ήδη γνωστό  αριθμό Reynolds.
η χαρακτηριστική αναλογία μεταξύ του όρου της δύναμης Lorentz  και της αδράνειας δίνεται από μια 'παράμετρο αλληλεπίδρασης' η οποία ονομάζεται αριθμός Stuart και ορίζεται από την σχέση:
  
Εδώ ο αδιάστατος αριθμός Hartman δίνει εναλλακτικά την χαρακτηριστική αναλογία μεταξύ των ηλεκτρομαγνητικών δυνάμεων Lorentz και των δυνάμεων του ιξώδους.
 =αριθμός Hartman
Στην εξίσωση της επαγωγής από την άλλη μεριά μπορεί να οριστεί ένας 'μαγνητικός αριθμός Reynolds' ως η χαρακτηριστική αναλογία μεταξύ του όρου της μεταφοράς και της διάχυσης.
= μαγνητικός αριθμός Reynolds
Χρησιμοποιώντας τις τιμές:
ρ~4x10⁻⁷kg/m³ (n~10²⁰m⁻³) , σ~2.4x10⁹ S/m (~40 φορές περισσότερο από του χαλκού) , l~4m , B~4T , u~10⁵m/s(M~0.15) και v~1m²/s
οι οποίες είναι τυπικές τιμές για έναν ΤΟΚΑΜΑΚ τύπου ITER  προκύπτει για τους αδιάστατους αριθμούς:
Ν~4x10¹² , Re~4x10⁵ , Ha~10⁹ και Reₘ ~10⁹ (λ~3x10⁻⁴ m² /sec ).Βλέπουμε έτσι ότι οι δυνάμεις Lorentz είναι πολύ μεγαλύτερες από τις αδρανειακές δυνάμεις(Ν>>1) και ότι οι αδρανειακές δυνάμεις είναι με την σειρά τους πολύ μεγαλύτερες από τις δυνάμεις ιξώδους (Re>>1) . Στην εξίσωση της επαγωγής τα μη ιδανικά φαινόμενα μπορούν εύκολα να αγνοηθούν(Reₘ >>1) .

Θεώρημα Alfven

Για ένα μαγνητικό πεδίο      και μια ροή ρευστού με ταχύτητα  η εξίσωση της επαγωγής 
γίνεται   (1) . Τώρα θεωρείστε την μαγνητική ροή μεταξύ δύο γραμμών οι οποίες είναι κάθετες στον άξονα x  και περνούν από τα σημεία x=α και x=b,  τα οποία κινούνται μαζί με το πλάσμα. Ετσι α=α(t) και b=b(t) έτσι ώστε  H ροή είναι τότε 
.  Σημειώστε ότι η ροή είναι μια συνάρτηση με μεταβλητή μόνο το χρόνο. Η χωρική εξάρτηση έχει ολοκληρωθεί. Η μαγνητική ροή μεταβάλλεται με το χρόνο χάρις σε δύο φαινόμενα. Δηλαδή επειδή μεταβάλλεται το Βy με το χρόνο και επειδή τα ακραία σημεία κινούνται με ταχύτητες υα και υb  αυξάνοντας ή ελαττώνοντας τα όρια της ολοκλήρωσης. Διαφορίζοντας σε σχέση με το χρόνο πρέπει να θυμηθούμε να δίαφορίσουμε όχι μόνο το ολοκλήρωμα αλλά επίσης και τα όρια του ολοκληρώματος. 
Ετσι            Ως εκ τούτου μπορούμε να γράψουμε:
Με άλλα λόγια , το ποσό της μαγνητικής ροής παραμένη σταθερό , και λέμε ότι η μαγνητική ροή είναι παγωμένη μέσα στο πλάσμα.
Αυτό το αποτέλεσμα  αποτελεί το  θεώρημα του  Alfven  ή αλλιώς το θεώρημα της " παγωμένης μαγνητικής ροής " το οποίο απέδειξε ο Σουηδός Φυσικός Χάνες Αλφβέν το (1943), και το οποίο διατυπώνεται ως εξής:
"Σε ένα τέλεια αγώγιμο ρευστό (Rₘ ) , οι μαγνητικές δυναμικές γραμμές κινούνται μαζί με το ρευστό, ή αλλιώς : 
οι δυναμικές γραμμές είναι παγωμένες μέσα στο πλάσμα"

Ηλιακό Πλάσμα

Στην Ηλιακή Μαγνητοϋδροδυναμική  απαλείφουμε το ηλεκτρικό πεδίο , Ε, και την πυκνότητα του ηλεκτρικού ρεύματος ,J, και εργαζόμαστε με την πρωταρχική μεταβλητή Β.
Στην πραγματικότητα η σταθερά διάχυσης του μαγνητικού πεδίου δίνεται από τον Braginsky  ως
n=10⁹T-3/2 m²s⁻¹1  στο ηλιακό στέμμα
(Εάν θέσουμε Τ=10⁶ Κ=θερμοκρασία στέμματος =>10⁹(10⁶)-3/2=10⁹10⁻⁹=1). Ο τύπος  L²/nτ  είναι ένας αδιάστατος αριθμός , Rₘ ο οποίος λέγεται μαγνητικός αριθμός του Reynolds   όπου v  είναι η τυπική ταχύτητα του πλάσματος. Στον Ηλιο ο μαγνητικός αριθμός Reynolds είναι   φυσιολογικά πολύ μεγάλος επειδή τα L και V είναι τυπικά μεγάλα. Ο μαγνητικός αριθμός Reynolds  είναι ένα μέτρο του  μεγέθους  του όρου της μαγνητικής μεταφοράς   συγκρινόμενος με το μέγεθος του όρου διάχυσης    . Στις ηλιακές κηλίδες , οι οποίες είναι ψυχρότερες από το πλάσμα του ηλιακού στέμματος με ένα παράγοντα περίπου 100 , n=10³m²s⁻¹ , L=10⁴km , V=1km s⁻¹ =10³ms⁻¹ .
Ως εκ τούτου ο μαγνητικός αριθμός Reynolds  είναι ίσος με:   
Εάν Rₘ >>1 τότε η εξίσωση του νόμου της επαγωγής  προσεγγίζεται από την σχέση: 
Εάν Rₘ <<1 τότε η εξίσωση  του νόμου της επαγωγής προσεγγίζεται από τη σχέση:

Εξισώσεις Μαγνητοϋδροδυναμικής Ισορροπίας Πλάσματος  σε Θερμοπυρηνικό Αντιδραστήρα Σύντηξης

Μολονότι υπάρχουν πολύ παράμετροι που προσδιορίζουν έναν  αντιδραστήρα θερμοπυρηνικής σύντηξης, υπάρχουν επίσης πάρα πολλές σχέσεις και περιορισμοί μεταξύ τους. Σε ένα θερμοπυρηνικό αντιδραστήρα σύντηξης η θερμοκρασία του πλάσματος φτάνει σε  εκατομύρια βαθμούς Κelvin. 
Για να διατηρήσουμε ένα θερμό πλάσμα, πρέπει να το περιορίσουμε και να το κρατήσουμε μακριά από το τοίχωμα του θαλάμου κενού που το περιέχει. Η περισσότερα υποσχόμενη μέθοδος για ένα τέτοιο περιορισμό ενός υπέρθερμου πλάσματος είναι η χρήση κατάλληλων μαγνητικών πεδίων . Για τέτοια  συστήματα μαγνητικού περιορισμού πρέπει να ισχύει μια συνθήκη ισορροπίας.

Ισορροπία Πίεσης

Όταν ένα πλάσμα βρίσκεται σε μόνιμη κατάσταση η μαγνητοϋδροδυναμική εξίσωση κίνησης δίνει:
  (1)  και  (2)   (3)   (4).
Από  την εξίσωση  ισορροπίας (1) προκύπτει  (5)   (6)
H εξίσωση (5)  δείχνει ότι τα διανύσματα   και  είναι ορθογώνια και οι επιφάνειες σταθερής πίεσης συμπίπτουν με τις μαγνητικές επιφάνειες. 
Η εξίσωση (6) δείχνει ότι το διάνυσμα πυκνότητας ρεύματος   είναι παντού παράλληλο προς τις επιφάνειες σταθερής πίεσης. Με αντικατάσταση της (2) στην (1) προκύπτει:
 (7)
Οπου χρησιμοποιήσαμε τις ακόλουθες σχέσεις:
Οπου R είναι η ακτίνα καμπυλότητας της μαγνητικής δυναμικής γραμμής και  είναι το μοναδιαίο διάνυσμα το οποίο κατευθύνεται προς ένα σημείο πάνω στη δυναμική γραμμή από το κέντρο της καμπύλης. (l) είναι  το μήκος της καμπύλης  στη διεύθυνση της δυναμικής γραμμής. Βρίσκουμε  ότι το δεξί σκέλος της εξ. (7) μπορεί να αγνοηθεί όταν η ακτίνα καμπυλότητας είναι πολύ μεγαλύτερη από το μήκος στο οποίο το μέτρο της p μεταβάλλεται σημαντικά , δηλαδή το μέγεθος του πλάσματος , και η μεταβολή του Β κατά μήκος της δυναμικής γραμμής είναι πολύ μικρότερη από τη μεταβολή του    στην κάθετη διεύθυνση. Τότε η (7) γίνεται:
   όπου Β₀ είναι η τιμή του μαγνητικού πεδίου στο όριο του πλάσματος(p=0). Όταν το σύστημα είναι αξονικά συμμετρικό και
  η (7) συμπτύσσεται στην  (8)  Πολλαπλασιάζοντας την (8) επί r²  και ολοκληρώνοντας κατά μέλη παίρνουμε:
  δηλαδή  (9)   όπου το σύμβολο < >  σημαίνει μέση τιμή.
Καθώς το       είναι η πίεση του μαγνητικού πεδίου Β₀ η εξ. (9) είναι η εξίσωση ισορροπίας της πίεσης. Ο λόγος της πίεσης του πλάσματος προς την πίεση του εξωτερικού μαγνητικού πεδίου Β₀      
 ονομάζεται λόγος βήτα . 
Για ένα περιορισμένο πλάσμα , το β είναι  πάντοτε μικρότερο από τη μονάδα και χρησιμοποιείται σαν ένα μέτρο της αξίας του μαγνητικού πεδίου περιορισμού πλάσματος. Το γεγονός ότι το εσωτερικό μαγνητικό πεδίο είναι μικρότερο από το εξωτερικό δείχνει το διαμαγνητισμό του πλάσματος.

Μαγνητοϋδροδυναμική Αστάθεια Πλάσματος

Για μιά πίεση 1Atm απαιτείται ένα μαγνητικό πεδίο 5044 Gauss για τον μαγνητικό περιορισμό του πλάσματος. Ένα σωληνοειδές θα έπρεπε να έχει 4000 Αμπεροστροφές/εκατοστό για να παραγάγει ένα τέτοιο αξονικό πεδίο, πράγμα όχι πολύ εύκολο. Το σύνηθες φαινόμενο "pinch" (=στένωση των δυναμικών γραμμών για τον περιορισμό του πλάσματος), δημιουργείται από την ίδια τη ροή του πλάσματος μεσα στο θάλαμο του τοροειδούς. Το μαγνητικό πεδίο έχει την μορφή δακτύλιων γύρω από το ρεύμα. Εάν το πλάσμα είναι περιορισμένο σε μια ακτίνα R τότε η  μέση πίεση  είναι 
Εάν θεωρήσουμε το ρεύμα να περιορίζεται σε  ένα μικρότερο εμβαδό διατομής , μια "στένωση" σε ένα σημείο, τότε μικρότερη ακτίνα σημαίνει μεγαλύτερο μαγνητικό πεδίο . Αυτό με τη σειρά του σημαίνει μεγαλύτερη μαγνητική πίεση, η οποία δημιουργεί ακόμα μεγαλύτερη στένωση. Εάν το ρεύμα αποκλίνει από την ευθεία σε μια "τεθλασμένη" , τότε οι γραμμές της επαγωγής πλησιάζουν μεταξύ τους ( έτσι το Β αυξάνει) στο εσωτερικό τμήμα της τεθλασμένης, ενώ το αντίθετο συμβαίνει στην εξωτερική πλευρά της τεθλασμένης. Αυτό δημιουργεί παραπέρα τεθλασμένες τροχιές , και έτσι δημιουργείται μια αστάθεια στον περιορισμό του πλάσματος.