Τετραγωνικός τύπος

Παραγωγή του τύπου

Μόλις ο μαθητής κατανοήσει την συμπλήρωση τετραγώνου, μπορεί στη συνέχεια να παράγει τον τετραγωνικό τύπο. Για αυτό το λόγο η παραγωγή του τύπου αφήνεται πολλές φορές σαν εργασία για τους μαθητές, οι οποίοι μπορούν έτσι να βιώσουν εκ νέου την ανακάλυψη αυτού του σημαντικού τύπου. Η ρητή παραγωγή είναι ως εξής:
Διαιρούμε την δευτεροβάθμια εξίσωση με α, το οποίο είναι επιτρεπτό, γιατί το α  είναι μη-μηδενική τιμή:
Αφαιρούμε το  και από τα δύο μέλη της εξίσωσης:
.
Η δευτεροβάθμια εξίσωση είναι τώρα σε μια μορφή στην οποία μπορεί να εφαρμοστεί η μέθοδος της συμπλήρωσης του τετραγώνου. Έτσι, προσθέτουμε μια σταθερά και στα δύο μέλη της εξίσωσης, έτσι ώστε η αριστερή πλευρά να αποτελέσει ένα πλήρες τετράγωνο:
,
η οποία παράγει:
.
Κατά συνέπεια, μετά από αναδιάταξη των όρων στη δεξιά πλευρά ώστε να έχουν έναν κοινό παρονομαστή, παίρνουμε το ακόλουθο αποτέλεσμα:
.
Το τετράγωνο έχει έτσι συμπληρωθεί. Παίρνοντας την τετραγωνική ρίζα και των δύο μελών, έχουμε την ακόλουθη εξίσωση:
.
Απομονώνοντας το x παίρνουμε τον ακόλουθο τύπο:
.
Το Σύμβολο συν-μείον "±" υποδεικνύει ότι και οι δύο
    και    
είναι λύσεις της εξίσωσης. Υπάρχουν πολλές εναλλακτικές λύσεις αυτής της παραγωγής με μικρές διαφορές, κυρίως όσον αφορά το χειρισμό του α.
Ορισμένες πηγές, κυρίως παλιές, χρησιμοποιούν εναλλακτικές παραμετροποιήσεις της δευτεροβάθμιας εξίσωσης όπως ax² − 2bx + c = 0 ή ax² + 2bx + c = 0 , όπου το b είναι κατά μέγεθος το ήμισυ από το πιο κοινό. Αυτά οδηγούν σε ελαφρώς διαφορετικές μορφές της λύσης, αλλά παρόλα αυτά είναι ισοδύναμες.
Ένας λιγότερα γνωστός τετραγωνικός τύπος, όπως χρησιμοποιείται στη μέθοδο Muller, η οποία μπορεί να βρεθεί από τους τύπους του Vieta, παρέχει τις ίδιες ρίζες, μέσω της εξίσωσης:
.

Γεωμετρική σημασία

Χωρίς να εμβαθύνουμε στις παραβολές όπως γεωμετρικά αντικείμενα σε ένα κώνο (βλ Κωνική τομή), μια παραβολή είναι οποιαδήποτε καμπύλη που περιγράφεται από ένα δεύτερης τάξης πολυώνυμο, δηλαδή κάθε εξίσωση της μορφής:
όπου το  αντιπροσωπεύει το πολυώνυμο δεύτερης τάξης και τα ,και  είναι σταθεροί συντελεστές των οποίων οι δείκτες αντιστοιχούν στους αντίστοιχους όρους. Η πρώτη και κυριότερη γεωμετρική εφαρμογή της τετραγωνικής φόρμουλας είναι ότι θα καθορίσει τα σημεία κατά μήκος του άξονα x, απ' όπου θα περάσει η παραβολή. Επιπλέον, αν ο τετραγωνικός τύπος ήταν σπασμένος σε δύο όρους,
ο ορισμός του άξονα συμμετρίας εμφανίζεται ως ο όρος . Ο άλλος όρος, , πρέπει τότε να είναι η απόσταση των μηδενικών από τον άξονα συμμετρίας, όπου το σύμβολο "συν" αντιπροσωπεύει την απόσταση προς τα δεξιά, και το σύμβολο του "μείον" αντιπροσωπεύει την απόσταση προς τα αριστερά.
Αν αυτή η απόσταση έτεινε στο μηδέν, ο άξονας συμμετρίας θα ήταν η τιμή x του μηδενός, υποδεικνύοντας έτσι ότι υπάρχει μόνο μία δυνατή λύση της εξίσωσης. Αλγεβρικά, αυτό σημαίνει ότι √b² − 4ac = 0, ή απλά, b² − 4ac = 0 (όπου το αριστερό μέλος αναφέρεται ως διακρίνουσα), με τον όρο του να μειώνεται στο μηδέν. Αυτό είναι απλά μία από τις τρεις περιπτώσεις, όπου η διακρίνουσα μπορεί να δείξει πόσα μηδενικά θα έχει η παραβολή. Αν η διακρίνουσα ήταν θετική, η απόσταση θα ήταν μη μηδενική, και θα υπάρχουν δύο λύσεις, όπως αναμένεται. Ωστόσο, υπάρχει και η περίπτωση που η διακρίνουσα είναι μικρότερη από το μηδέν, και αυτό δείχνει ότι η απόσταση θα είναι φανταστικός αριθμός — ή κάποιο πολλαπλάσιο της μονάδας i, τέτοια ώστε i = √−1 — και οι τιμές στις οποίες μηδενίζει η παραβολή θα είναι ένα μιγαδικοί αριθμοί. Οι μιγαδικές ρίζες θα είναι συζυγείς μιγαδικοί αριθμοί, και εξ ορισμού δεν μπορεί να είναι απολύτως πραγματικές, όπου το πραγματικό μέρος της μιγαδικής ρίζας θα είναι ο άξονας συμμετρίας, ως εκ τούτου, η γεωμετρική ερμηνεία είναι ότι δεν υπάρχουν πραγματικές τιμές του x τέτοιες ώστε η παραβολή να διασχίζει τον άξονα x.

Ιστορική εξέλιξη

Οι παλαιότερες μέθοδοι για την επίλυση δευτεροβάθμιων εξισώσεων ήταν γεωμετρικές. Βαβυλωνιακές σφηνοειδής πλάκες περιέχουν προβλήματα που ανάγονται στην επίλυση δευτεροβάθμιων εξισώσεων . Ο Αιγυπτιακός Πάπυρος του Βερολίνου, που χρονολογείται από το Μέσο Βασίλειο ( 2050 π.Χ. έως το 1650 π.Χ.), περιέχει τη λύση μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης με δύο όρους.
Ο Έλληνας μαθηματικός Ευκλείδης (περίπου 300 π.Χ.) χρησιμοποίησε γεωμετρικές μεθόδους για να λύσει δευτεροβάθμιες εξισώσεις στο δεύτερο βιβλίο του Στοιχεία, μια σημαντική μαθηματική διατριβή. Κανόνες για δευτεροβάθμιες εξισώσεις φαίνονται στο Κινεζικό Τα Εννέα Κεφάλαια σχετικά με την Μαθηματική Τέχνη περίπου στο 200 π.Χ. Ο Έλληνας μαθηματικός Διόφαντος με το έργο του «Αριθμητικά» (περίπου στο 250 π.Χ.) έλυσε δευτεροβάθμιες εξισώσεις με μια πιο αλγεβρικά αναγνωρίσιμη μέθοδο από τη γεωμετρική άλγεβρα του Ευκλείδη. Η λύση δίνει μόνο μία ρίζα, ακόμα και όταν και οι δύο ρίζες είναι θετικές.
Ο Ινδός μαθηματικός Βραχμαγκούπτα (597-668 μ.Χ.) περιγράφει το τετραγωνικό τύπο στην διατριβή του Brāhmasphuṭasiddhānta που δημοσιεύθηκε το 628 μ.Χ., αλλά ήταν γραμμένο με λέξεις αντί για σύμβολα. Η λύση της εξίσωσης ax² + bx = c ήταν ως εξής: "ο απόλυτος αριθμός πολλαπλασιάζεται τέσσερις φορές με το [συντελεστή] του x εις το τετράγωνο και προσθέτουμε το τετράγωνο του [συντελεστή] του δεύτερου όρου. Από την τετραγωνική ρίζα του παραπάνω όρου, αφαιρούμε το [συντελεστή] του x, και το διαιρούμε με δύο φορές το [συντελεστή] του πρώτου όρου". Αυτό είναι ισοδύναμο με:
Τον 9ο αιώνα, o Πέρσης μαθηματικός Αλ-Χουαρίζμι, επηρεάστηκε από παλαιότερους Έλληνες και Ινδούς μαθηματικούς, για να λύσει δευτεροβάθμιες εξισώσεις αλγεβρικά. Ο τετραγωνικός τύπος που καλύπτει όλες τις περιπτώσεις βρέθηκε πρώτα απο τον Simon Stevin το 1594. Το 1637 ο Ρενέ Ντεκάρτ δημοσίευσε το La Géométrie που περιέχει τον τετραγωνικό τύπο, με τη μορφή που γνωρίζουμε σήμερα. Η πρώτη εμφάνιση της γενικής λύσης στη σύγχρονη μαθηματική λογοτεχνία εμφανίστηκε σε ένα 1896 έγγραφο από τον Henry Heaton.

Άλλα παράγωγα

Πολλές εναλλακτικές προελεύσεις της δευτεροβάθμιας εξίσωσης είναι στη βιβλιογραφία. Αυτές οι προελεύσεις μπορεί να είναι απλούστερες από την τυπική μέθοδο συμπλήρωσης τετραγώνου, επίσης μπορεί να αποτελούν ενδιαφέρουσες εφαρμογές άλλων αλγεβρικών τεχνικών, ή μπορεί να προσφέρουν διορατικότητα σε άλλους τομείς των μαθηματικών.

Εναλλακτική μέθοδος για την συμπλήρωση τετραγώνου

Η μεγάλη πλειοψηφία των αλγεβρικών κειμένων που δημοσιεύονται τις τελευταίες δεκαετίες διδάσκουν την συμπλήρωση τετραγώνου χρησιμοποιώντας την ακολουθία που παρουσιάστηκε νωρίτερα: (1) διαιρούμε κάθε μέλος με a έτσι ώστε το πολυώνυμο να γίνει μονικό , (2) αναδιατάσσουμε τους όρους, (3) και στη συνέχεια προσθέτουμε το  και στα δυο μέλη τις εξίσωσης για να γίνει η συμπλήρωση τετραγώνου.
Όπως επισήμανε ο Larry Hoehn το 1975,η συμπλήρωση τετραγώνου μπορεί να επιτευχθεί με μια διαφορετική ακολουθία που οδηγεί σε απλούστερη ακολουθία των ενδιάμεσων ορών: (1) πολλαπλασιάζουμε κάθε μέλος με το 4a, (2) αναδιατάσσουμε τους όρους, (3) στη συνέχεια, προσθέτουμε το b².
Αυτό στην πραγματικότητα αντιπροσωπεύει μια αρχαία προέλευση του τετραγωνικού τύπου, και ήταν γνωστό στους Ινδουιστές τουλάχιστον από το 1025.Σε σύγκριση με την προέλευση στην τυπική χρήση, αυτή η εναλλακτική προέλευση είναι συντομότερη, περιλαμβάνει λιγότερους υπολογισμούς με πραγματικούς συντελεστές, αποφεύγει κλάσματα μέχρι το τελευταίο βήμα, έχει απλούστερες εκφράσεις, και χρησιμοποιεί απλούστερα μαθηματικά. Όπως αναφέρει Hoehn, "είναι πιο εύκολο να προσθέσεις το τετράγωνο του b" από οτι " να προσθέσεις το τετράγωνο του μισού συντελεστή του όρου x".

Από την αντικατάσταση

Μια άλλη τεχνική είναι η λύση της αντικατάστασης. Στην τεχνική αυτή, αντικαθιστούμε  x = y + m  στην τετραγωνική εξίσωση και παίρνουμε:
Κάνοντας τις πράξεις και στη συνέχεια συγκεντρώνοντας τις δυνάμεις του y, προκύπτει:
Δεν έχουμε ακόμη ορίσει μια δεύτερη προϋπόθεση για τα y και m, οπότε τώρα μπορούμε να επιλέξουμε το m έτσι ώστε ο μεσαίος όρος να εξαφανιστεί. Δηλαδή, 2am + b = 0  ή  m = . Αφαιρούμε το σταθερό όρο και απο τα δύο μέλη της εξίσωσης (για να μετακινηθεί προς το δεξί μέλος) , και στη συνέχεια διαιρούμε με α και προκύπτει:
Αντικαθιστούμε το m και έχουμε:
Ως εκ τούτου,
αντικαθιστώντας το  x = y + m= y -  προκύπτει ο τετραγωνικός τύπος.

Χρησιμοποιώντας αλγεβρικές ταυτότητες

Η ακόλουθη μέθοδος χρησιμοποιήθηκε από πολλούς ιστορικούς των μαθηματικών:
Αφήστε τις ρίζες της τυπικής δευτεροβάθμιας εξίσωσης να είναι r₁ και r₂. Σε αυτό το σημείο, υπενθυμίζουμε την ταυτότητα:
Λαμβάνοντας την τετραγωνική ρίζα και στις δύο πλευρές, έχουμε:
Δεδομένου του συντελεστή  a ≠ 0, μπορούμε να διαιρέσουμε την τυπική εξίσωση με το  a για να αποκτήσουμε ένα τετραγωνικό πολυώνυμο που έχει τις ίδιες ρίζες. Δηλαδή,
Από αυτό μπορούμε να δούμε ότι το άθροισμα των ριζών της τυπικής δευτεροβάθμιας εξίσωσης δίνεται από το  , και το προϊόν αυτών των ριζών δίνεται από το
. Ως εκ τούτου, η ταυτότητα μπορεί να ξαναγραφεί ως: 
Από το r₂ = −r₁ − , αν λάβουμε
στη συνέχεια, θα αποκτήσουμε
και αν αντί για αυτό πάρουμε
στη συνέχεια υπολογίζουμε ότι
Συνδυάζοντας αυτά τα αποτελέσματα με τη χρήση της στενογραφίας ±, έχουμε ότι οι λύσεις της εξίσωσης δίνονται από τον τύπο:

Με τις επιλύουσες Lagrange

Ένας εναλλακτικός τρόπος για την εξαγωγή του τετραγωνικού τύπου είναι μέσω της μεθόδου των Επιλυουσών Lagrange, το οποίο είναι ένα πρώιμο κομμάτι της θεωρίας Γκαλουά. Αυτή η μέθοδος μπορεί να γενικευθεί για να δώσει τις ρίζες των κυβικών πολυωνύμων και των πολυωνύμων τετάρτου βαθμού, και οδηγεί στη θεωρία Γκαλουά, η οποία επιτρέπει σε κάποιον να καταλάβει τη λύση των αλγεβρικών εξισώσεων οποιουδήποτε βαθμού λαμβάνοντας υπόψη την ομάδα συμμετρίας των ριζών τους, την ομάδα Γκαλουά.
Αυτή η προσέγγιση επικεντρώνεται περισσότερο στις ρίζες από ότι στην αναδιάταξη της αρχικής εξίσωσης. Δίνεται ένα μονικό πολυώνυμο δευτέρου βαθμού
ας υποθέσουμε ότι παραγοντοποιείτε ως
επεκτείνοντας παράγεται το
όπου p = −(α + β) και q = αβ.
Δεδομένου ότι η προτεραιότητα του πολλαπλασιασμού δεν έχει σημασία, μπορεί κανείς να αλλάξει τα α και β και οι τιμές των p και q δεν θα αλλάξουν: κάποιος μπορεί να πει ότι p και q είναι συμμετρικά πολυώνυμα στα α και β. Στην πραγματικότητα, είναι τα στοιχειώδη συμμετρικά πολυώνυμα – κάθε συμμετρικό πολυώνυμο στα α και β μπορεί να εκφραστεί με τους όρους α + β και αβ . Η προσέγγιση της θεωρίας του Γκαλουά για την ανάλυση και την επίλυση πολυωνύμων είναι: δοθέντων των συντελεστών ενός πολυωνύμου, οι οποίοι είναι συμμετρικές συναρτήσεις στις ρίζες, μπορεί κανείς να "σπάσει τη συμμετρία" και να ανακτήσει τις ρίζες; Έτσι η επίλυση ένα πολυώνυμου βαθμού n σχετίζεται με τους τρόπους αναδιάταξης ("μετάθεση") n όρων, που ονομάζεται συμμετρική ομάδα σε n γράμματα, και συμβολίζεται με Sₙ . Για το πολυώνυμο δευτέρου βαθμού, ο μόνος τρόπος να αναδιατάξετε τους δύο όρους είναι να τους αλλάξετε (να τους "μεταθέσετε" ), και, έτσι, η επίλυση ενός πολυώνυμου δευτέρου βαθμού είναι απλή.
Για να βρείτε τις ρίζες α και β, να εξετάσετε το άθροισμα και τη διαφορά τους:
Αυτά ονομάζονται επιλύουσες lagrange του πολυώνυμου: παρατηρήστε ότι ένα από αυτά εξαρτάται από τη σειρά των ριζών, που είναι το σημείο κλειδί. Μπορεί κανείς να ανακτήσει τις ρίζες από τις επιλύουσες αντιστρέφοντας τις παραπάνω εξισώσεις:
Έτσι, επιλύοντας ως προς τις επιλύουσες δίνει τις αρχικές ρίζες.
Τώρα το  r₁ = α + β   είναι μια συμμετρική συνάρτηση των α και β, οπότε μπορεί να εκφραστεί με τους όρους p και q, και στην πραγματικότητα,  r₁ = −p , όπως αναφέρεται παραπάνω. Αλλά το r₂= α − β  δεν είναι συμμετρικό, αφού αλλάζοντας τα α και β παράγεται το −r₂ = β − α (τυπικά, αυτό ονομάζεται ομάδα δράσης της συμμετρικής ομάδας των ριζών). Αφού το r₂ δεν είναι συμμετρικό, δεν μπορεί να εκφραστεί με τους συντελεστές  p και q, καθώς αυτοί είναι συμμετρικοί στις ρίζες και, συνεπώς, το ίδιο είναι κάθε πολυωνυμική έκφραση που τους περιλαμβάνει. Αλλάζοντας την σειρά των ριζών το μόνο που αλλάζει είναι το r₂, κατά παράγοντα -1, και έτσι το τετράγωνο    r₂² = (α − β)  είναι συμμετρικό ως προς τις ρίζες, και έτσι μπορεί να εκφραστεί με τους όρους p και q. Χρησιμοποιώντας την εξίσωση
παράγεται
και έτσι
Αν λάβει κανείς τη θετική ρίζα, σπάζοντας τη συμμετρία, αποκτά:
και έτσι
Έτσι οι ρίζες είναι
που είναι o τετραγωνικός τύπος. Αντικαθιστώντας 
τα p = , q =  παράγεται η συνήθης μορφή, για όταν μια δευτεροβάθμια δεν είναι μονική. Οι επιλύουσες μπορούν να αναγνωριστούν ως 
 =  =  που είναι η κορυφή, και  r²= p² − 4q είναι η διακρίνουσα (ενός μονικού πολυώνυμου).
Μια παρόμοια αλλά πιο περίπλοκη μέθοδος λειτουργεί για κυβικές εξισώσεις, όπου υπάρχουν τρεις επιλύουσες και μια δευτεροβάθμια εξίσωση (η "επίλυση πολυώνυμων") που αφορά τα  r₂ και  r₃, την οποία μπορεί κανείς να λύσει από την δευτεροβάθμια εξίσωση, και ομοίως για μία εξίσωση τετάρτου βαθμού (βαθμός 4), του οποίου η επίλυση πολυωνύμου είναι κυβική, η οποία μπορεί με τη σειρά της να λυθεί. Η ίδια μέθοδος για μια εξίσωση πέμπτου βαθμού παράγει ένα πολυώνυμο 24 βαθμού, το οποίο δεν απλοποιεί το πρόβλημα, και στην πραγματικότητα οι λύσεις εξισώσεων πέμπτου βαθμού σε γενικές γραμμές δεν μπορεί να εκφραστεί χρησιμοποιώντας μόνο ρίζες.

Ανάλυση Διαστάσεων

Αν οι σταθερές a, b και/ή c δεν είναι αδιάστατες, τότε οι μονάδες του x πρέπει να είναι ίσες με τις μονάδες του , λόγω της απαίτησης ότι ax² και bx συμφωνήσουν συμφωνούν με τις μονάδες τους. Επιπλέον, με την ίδια λογική, οι μονάδες του c θα πρέπει να ισούνται με τις μονάδες , το οποίο μπορεί να επαληθευτεί χωρίς να λύνεται ως προς  x. Αυτό μπορεί να είναι ένα ισχυρό εργαλείο για την επαλήθευση ότι μια τετραγωνική έκφραση των φυσικών ποσοτήτων έχει ρυθμιστεί σωστά, πριν από την επίλυση του.