Παράδοξο του Μπέντλεϊ

Το παράδοξο του Μπέντλεϊ (Bentley) ή παράδοξο των Νόιμαν - Ζεέλιγκερ (Neumann - Seeliger) ή βαρυτικό παράδοξο, είναι ένα κοσμολογικό πρόβλημα το οποίο αναδεικνύεται όταν ο Νόμος της Παγκόσμιας Έλξης του Ισαάκ Νεύτωνα χρησιμοποιείται για την μελέτη κοσμολογικών θεμάτων. Αποτελεί μια σημαντική αδυναμία της Νευτώνειας θεωρίας, και η αναλυτική μελέτη του προβλήματος οδήγησε στην συνειδητοποίηση πως η κλασική θεωρία της βαρύτητας δεν είναι κατάλληλη για την επεξήγηση των κοσμολογικών φαινομένων. Υπήρξαν πολλές προσπάθειες βελτίωσης της θεωρίας, μέχρι που το 1916 ο Άινσταϊν ολοκλήρωσε τη γενική θεωρία της σχετικότητας και εισήγαγε την έννοια της κοσμολογικής σταθεράς για να αντιμετωπίσει το παράδοξο, έως ότου ο Νόμος του Χαμπλ το 1929 έδειξε πως το μέγεθος του Σύμπαντος δεν είναι στατικό και διαστέλλεται.

Διατύπωση

Η αρχική διατύπωση του παραδόξου έγινε τον 17ο αιώνα και αναφέρει ότι, σύμφωνα με τις θεωρίες περί έλξης των σωμάτων του Νεύτωνα, κάθε άστρο στο Σύμπαν έλκεται προς κάθε άλλο άστρο, άρα δεν πρέπει να παραμένουν ακίνητα αλλά όλα μαζί να συμπτυχθούν σε κάποιο κεντρικό σημείο. Ο Νεύτωνας παραδέχθηκε την ύπαρξη του προβλήματος κατά την αλληλογραφία του με τον Ρίτσαρντ Μπέντλεϊ, έναν διάσημο λόγιο του Καίμπριτζ της εποχής, που του διατύπωσε το πρόβλημα.
Η απάντηση που φέρεται να επέλεξε να προσφέρει ο Νεύτωνας στο ερώτημα αυτό, ήταν πως μέσω κάποιας θεϊκής παρέμβασης η κατάρρευση αυτή εμποδιζόταν από το να συμβεί, με τον Θεό να κάνει συνεχείς μικρές διορθώσεις, ώστε τα πάντα στο Σύμπαν να είναι όμοια κατανεμημένα.

19ος αιώνας

Την περίοδο 1894 με 1896, οι Γερμανοί επιστήμονες Καρλ Νόιμαν (Carl Neumann) και Χούγκο φον Ζεέλιγκερ (Hugo von Seeliger) ασχολήθηκαν επίσης με το πρόβλημα, το οποίο επαναδιατύπωσαν λέγοντας πως σε ένα άπειρο Σύμπαν με Ευκλείδεια γεωμετρία και μη μηδενική μέση πυκνότητα της ύλης, το βαρυτικό δυναμικό (gravitational potential) είναι άπειρο.
Αν η πυκνότητα της ύλης ρ διανέμεται τυχαία στο διάστημα, το βαρυτικό πεδίο το οποίο παράγεται καθορίζεται από το βαρυτικό δυναμικό. Για να βρεθεί η τιμή του, είναι αναγκαίο να λυθεί η εξίσωση του Πουασόν (Poisson):
,
Όπου G αντιστοιχεί στην παγκόσμια βαρυτική σταθερά. Η γενική λύση της εξίσωσης αυτής μπορεί να γραφτεί και ως:
,
όπου r είναι η απόσταση μεταξύ του στοιχείου του όγκου dV και του σημείου όπου το βαρυτικό δυναμικό καθορίζεται με φ, και C μια αυθαίρετη σταθερά.
Αναλύοντας τη συνολική συμπεριφορά της εξίσωσης για διαφορετικές υποθετικές τιμές του συνόλου ενός άπειρου Σύμπαντος, υποστήριξαν πως εάν η μέση πυκνότητα της ύλης είναι μη μηδενική, τότε υπάρχει απόκλιση ως προς το σύνολο. Επιπρόσθετα, η ύπαρξη πεπερασμένων τιμών που είναι αναγκαίες για τον προσδιορισμό της μέσης πυκνότητας της ύλης στο Σύμπαν, όπου αυξάνοντας το r, μειώνεται ταχύτερα από το αντίστροφο του τετραγώνου (). Αν αυτή η συνθήκη παραβιαστεί, τότε σύμφωνα με τον Ζεέλιγκερ, ανάλογα με το πως προσεγγίζουμε το όριο του συνολικού σώματος έχουμε επίδραση στην αυθαίρετη βαρυτική δύναμη και το αποτέλεσμα μπορεί να πάρει όποιαδήποτε τιμή, συμπεριλαμβανομένης και της άπειρης.
Ο Ζεέλιγκερ συμπέρανε πως μια αυξανόμενη κλίμακα του Σύμπαντος, θα σημαίνει και ότι η πυκνότητα της ύλης θα έπρεπε να μειώνεται ταχέως προς το όριο που τείνει προς το μηδέν. Το συμπέρασμα αυτό έρχεται σε αντίθεση με τις παραδοσιακές απόψεις του απείρου και την ομοιογένεια του Σύμπαντος, και οδήγησε σε αμφιβολίες για το κατά πόσο η Νευτώνεια θεωρία είναι κατάλληλη για τη μελέτη των κοσμολογικών προβλημάτων.

Απόπειρες για λύση

Στην εναλλαγή του 19ου με τον 20ό αιώνα προτάθηκαν αρκετές λύσεις στο πρόβλημα.

Βάρος της ύλης

Ο απλούστερος τρόπος είναι να υποτεθεί πως υπάρχει μια περιορισμένη ποσότητα ύλης στο Σύμπαν. Οι επιπτώσεις της υπόθεσης αυτής θεωρείται πως είναι και πιο κοντά σε αυτές που αντιμετώπισε ο Νεύτωνας κατά την αλληλογραφία του με τον Μπέντλεϊ. Έτσι  αν μια συστοιχία αστέρων βρίσκεται υπό την βαρυτική επήρρεια άλλων άστρων, ή συμπιέζονται όλα μαζί σε ένα κοινό σώμα, ή απομακρύνονται στο άπειρο κενό. Ο Αϊνστάιν, αναλύοντας την υπόθεση μιας ισόποσης διανομής της ύλης σε ένα άπειρο Σύμπαν, υποστήριξε πως η άποψη αυτή δεν είναι συμβατή με τη θεωρία του Νεύτωνα. Επιπλέον, απαιτεί την ύπαρξη ενός κέντρου για το Σύμπαν, όπου η πυκνότητα των αστέρων θα είναι αρχικά στο απώγειο της, και θα μειώνεται όσο μεγαλώνει η απόσταση από το κέντρο. Έτσι σε ένα άπειρο Σύμπαν ο κόσμος θα ήταν άδειος. Επομένως ο κόσμος των αστέρων πρέπει να είναι ένας πεπερασμένος χώρος στον άπειρο ωκεανό του διαστήματος.
Ωστόσο και αυτή η ερμηνεία δεν είναι τέλεια, μια και οδηγεί στο συλλογισμό πως το φως που εκπέμπεται από τα άστρα καθώς και τα διάφορα αστρικά συστήματα, θα πρέπει να χάνεται συνεχώς στο άπειρο, χωρίς να επιστρέφει ποτέ, και χωρίς να επιδρά με κανένα από τα αστρικά σώματα και γενικότερα αντικείμενα της φύσης επί των σωμάτων. Ένας τέτοιος κόσμος, όπου η ύλη είναι συγκεντρωμένη σε ένα πεπερασμένο χώρο, θα κατέληγε να είναι εντελώς κενός αργά και συστηματικά.

Ιεραρχικό Σύμπαν

Η ιεραρχική ή φράκταλ κοσμολογία, η οποία εμφανίστηκε με τον επιστήμονα του 18ου αιώνα, Γιόχαν Λάμπερτ, έφερε μια πιο εξεζητημένη απόπειρα επίλυσης του προβλήματος. Το 1761 ο Λάμπερτ εξέδωσε την μελέτη Κοσμολογικές επιστολές περί της δομής του Σύμπαντος (Cosmological letters on the structure of the Universe), όπου πρότεινε πως το Σύμπαν είναι δομημένο ιεραρχικά, με κάθε άστρο και τους πλανήτες του να αποτελούν συστήματα πρώτου βαθμού, κατόπιν ομάδες άστρων να αποτελούν συστήματα δευτέρου βαθμού, και διαδοχικά ούτω καθ'εξής. 
Το 1908, ο Σουηδός αστρονόμος Καρλ Σαρλιέρ (Carl Charlier) χρησιμοποίησε την υπόθεση αυτή του Λάμπερτ για να λύσει το βαρυτικό παράδοξο ισχυριζόμενος πως η υπόθεση είναι ικανή για κάθε δύο γειτονικά συστήματα της ιεραρχίας αυτής, με την παρακάτω σχέση μεταξύ του μεγέθους των R_k συστημάτων και τον μέσο όρο των N_k χαμηλότερων συστημάτων πριν το επόμενο επίπεδο:
,
όπου το μέγεθος των συστημάτων μεγενθύνεται γρήγορα. Στον 21ο αιώνα οι ιδέες του Σαρλιέρ δεν είναι αποδεκτές, μια και το μοντέλο του -και η κοσμολογία τύπου φράκταλ γενικά- έρχεται σε αντίθεση με τα δεδομένα των αποτελεσμάτων των σύγχρονων παρατηρήσεων, ιδιαίτερα τις διάφορες έμμεσες ενδείξεις για την ύπαρξη μικρών ταλαντώσεων του βαρυτικoύ δυναμικού στο ορατό Σύμπαν.

Τροποποιήσεις του Νόμου της Παγκόσμιας Έλξης

Η τρίτη ομάδα των υποθέσεων, ασχολήθηκε με διάφορες πιθανές τροποποιήσεις του Νόμου της Παγκόσμιας Έλξης. Ο Γερμανός φυσικός Άουγκουστ Φεπλ (August Föppl) πρότεινε το 1897 πως το Σύμπαν διαθέτει μια ουσία με αρνητική μάζα η οποία εξισορροπεί την υπέρβαση της βαρύτητας. Ο Άγγλος μαθηματικός και στατιστικολόγος Καρλ Πήρσον (Karl Pearson), θεώρησε πως η αρνητική αυτή μάζα, ξεκινά ως κανονική και προχωρά προς τις απόμακρες περιοχές του διαστήματος, αλλά κάποια άστρα μπορεί να αποτελούνται από τέτοιο υλικό. Ο Ουίλιαμ Τόμσον (Λόρδος Κέλβιν) το 1884 διατύπωσε μια παρόμοια άποψη.
Κάποιοι επιστήμονες προσπάθησαν επίσης να εξηγήσουν το παράδοξο βάσει των παρατηρήσεων του ανώμαλου περιήλιου του Ερμή. Η απλούστερη εξήγηση ήταν πως το τετράγωνο της αποστάσεως στην εξίσωση του νόμου της παγκόσμιας έλξης θα έπρεπε να αντικατασταθεί από μια ελαφρώς μεγαλύτερη τιμή. Με την τροποποίηση αυτή, καλύπτονταν δύο στόχοι, με το παράδοξο να εξαφανίζεται, και το περιήλιο του Ερμή να είναι εξηγήσιμο βρίσκοντας μια κατάλληλη τιμή για την απόσταση. Όμως, σύντομα ανακαλύφθηκε πως η παραπάνω θεωρία δημιουργούσε ασυνέπειες για την εξήγηση της κίνησης της Σελήνης.
Οι Ζεέλιγκερ και Νόιμαν πρότειναν ακόμα μια τροποποίηση του νόμου:
σε αυτή, ο επιπλέον παράγοντας  προσδίδει ταχύτερη μείωση της βαρύτητας ανάλογα με την απόσταση, από ότι η Νευτώνεια διατύπωση. Η επιλογή του συντελεστή απόσβεσης  επίσης εξηγεί το περιήλιο του Ερμή, ωστόσο το πρόβλημα αυτή τη φορά ήταν πως η κίνηση της Αφροδίτης, Γης, και Άρη, έπαψαν να ανταποκρίνονται στις αστρονομικές παρατηρήσεις.

Άλλες απόπειρες

Υπήρξαν και άλλες απόπειρες για την βελτίωση της βαρυτικής θεωρίας, άλλα ήταν όλες ανεπιτυχείς, μια και πάντα σκάλωναν στην εξήγηση του περιηλίου του Ερμή, ή έδιναν ασύμβατα αποτελέσματα για άλλα αστρονομικά σώματα.
Η απόπειρα χρήσης της μη Ευκλείδειας γεωμετρίας, ήταν πιο επιτυχημένη, και εμφανίστηκε τη δεκαετία του 1870. Έτσι για την λύση του παραδόξου υπέθετε πως το Σύμπαν διαθέτει μη Ευκλείδεια γεωμετρία -Έρνστ Σκέρινγκ (Ernst Christian Julius Schering), Βίλχελμ Κίλινγκ (Wilhelm Killing), αργότερα επίσης οι Καρλ Σβαρτζάιλντ (Karl Schwarzschild) και Ανρί Πουανκαρέ. 
Ο Γερμανός αστρονόμος Πολ Σκουτς (Paul Scouts) πίστευε πως η καμπυλότητα του διαστήματος είναι θετική, με τον όγκο του Σύμπαντος να είναι πεπερασμένος, και μαζί με τη βαρύτητα εξουδετερώνεται ως φωτομετρικό παράδοξο. Παρόλα αυτά, για την εξήγηση του περιηλίου του Ερμή η θεωρία αυτή απαιτεί μια αρκετά μεγάλη καμπυλότητα στο διάστημα.