Ντάβιντ Χίλμπερτ

Ζωή

Ο Χίλμπερτ, ο οποίος ήταν το πρώτο από τα δυο παιδιά του Ότο και της  Maria Therese (Erdtmann) Χίλμπερτ, γεννήθηκε  στην  Πρωσία - είτε στο Καίνιξμπεργκ (σύμφωνα με δήλωση του Χίλμπερτ) ή στο Βέλαου (Wehlau, γνωστό από το 1946 ως Znamensk) κοντά  στο Καίνιξμπεργκ, όπου ο πατέρας  του δούλευε την περίοδο της γέννησης του. Το φθινόπωρο του 1872 πήγε στο  Friedrichskolleg Γυμνάσιο του Friedrichskolleg (Collegium fridericianum, το ίδιο σχολείο το  οποίο παρακολούθησε και ο Ιμμάνουελ Καντ 140 χρόνια αργότερα) αλλά  ύστερα από μια δυστυχή περίοδο μεταφέρθηκε (φθινόπωρο του 1879) και αποφοίτησε (άνοιξη 1880) από το Wilhelm Gymnasium το οποίο προσανατολιζόταν στις επιστήμες. Μετά την αποφοίτηση εγγράφηκε (φθινόπωρο του 1880) στο Πανεπιστήμιο του Καίνιξμπεργκ. Την άνοιξη του 1882 ο Χέρμαν Μινκόβσκι (ο οποίος ήταν δύο χρόνια νεότερος από τον Χίλμπερτ και καταγόταν και ο ίδιος από το Καίνιξμπεργκ αλλά ήταν τόσο ταλαντούχος που αποφοίτησε νωρίτερα από το το γυμνάσιο και πήγε στο Βερολίνο για τρία εξάμηνα)  επέστρεψε στο Καίνιξμπεργκ και μπήκε στο πανεπιστήμιο. "Ο Χίλμπερτ ήξερε την τύχη του από τη στιγμή που την είδε. Παρά την αποδοκιμασία του πατέρα του , έγινε σύντομα φίλος με τον ντροπαλό, προικισμένο Μινκόβσκι." Τo 1884, o Adolf Hurwitz έφτασε από το Γκέτινγκεν σαν αναπληρωτής καθηγητής. Μια έντονη και προσοδοφόρα επιστημονική ανταλλαγή μεταξύ των τριών, και κυρίως μεταξύ των Μινκόβσκι  και Χίλμπερτ, οι οποίοι ασκούσαν μια αμοιβαία επιρροή ο ένας στον άλλο σε διάφορες περιόδους στην επιστημονική τους σταδιοδρομία. Ο Χίλμπερτ απέκτησε το διδακτορικό του το 1885, με διατριβή, γραμμένη από τον Ferdinand von Lindemann, υπό τον τίτλο "Über invariante Eigenschaften spezieller binärer Formen, insbesondere der Kugelfunktionen" («οι αμετάβλητες ιδιότητες των ειδικών δυαδικών μορφών, κυρίως των σφαιρικών αρμονικών συναρτήσεων»).
Ο Χίλμπερτ παρέμεινε στο  Πανεπιστήμιο του Καίνιξμπεργκ σαν Privatdozent (λέκτορας) από το 1886 ως το 1895. Ο Χίλμπερτ νυμφεύτηκε την Käthe Jerosch (1864–1945), κόρη ενός εμπόρου από το Καίνιξμπεργκ, μια ειλικρινή, νέα κοπέλα με ανεξαρτησία μυαλού, το οποίο ταίριαζε στο δικό του. Στο Καίνιξμπεργκ απέκτησαν το παιδί τους, Φραντς Χίλμπερτ (1893–1969). Tο 1895, ως αποτέλεσμα της παρέμβασης  του Φέλιξ Κλάιν (Felix Klein), διατήρησε τη θέση του καθηγητή των μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο του Γκέτινγκεν, που εκείνη την περίοδο ήταν το καλύτερο κέντρο έρευνας μαθηματικών στον κόσμο. Παρέμεινε εκεί για το υπόλοιπο της ζωής του.
Ο γιος του, Φραντς, υπέφερε κατά τη διάρκεια της ζωής του από μη διαγνώσιμη ψυχική ασθένεια, η κατώτερη του νοημοσύνη ήταν απογοήτευση για τον πατέρα του και αυτή η ατυχία ήταν ένα θέμα θλίψης στους μαθηματικούς και στους μαθητές του Γκέτινγκεν. Ο Μινκόβσκι, ο καλύτερος και πιο αληθινός φίλος του Χίλμπερτ, πέθανε πρόωρα από ρήξη εντέρου το 1909.

Φορμαλισμός

Σε ένα απολογισμό που είχε γίνει πρότυπο μέχρι τα μέσα του αιώνα,όπου το σύνολο των προβλημάτων του Χίλμπερτ ήταν επίσης ένα είδος μανιφέστου, άνοιξε το δρόμο για την ανάπτυξη του φορμαλιστικού σχολείου, ένα από τα τρία πιο σημαντικά σχολεία των μαθηματικών του 20ού αιώνα. Σύμφωνα με τον φορμαλιστή, τα μαθηματικά είναι η χειραγώγηση των συμβόλων σύμφωνα με συμφωνημένους τυπικούς κανόνες. Συνεπώς, είναι μια αυτόνομη δραστηριότητα της σκέψης. Ωστόσο, υπάρχει χώρος για αμφιβολίες κατά πόσο οι απόψεις του Χίλμπερτ ήταν απλά φορμαλιστικές στην ουσία.

Η επιρροή του Γκέντελ

Ο Χίλμπερτ και οι μαθηματικοί που συνεργάστηκαν μαζί του στην επιχείρησή του είχαν δεσμευθεί στο έργο αυτό. Η προσπάθεια του να υποστηρίξει αξιωματικά τα μαθηματικά με θεμελιώδεις αρχές, ώστε να επιλύσει θεωρητικές αβεβαιότητες, ήταν όμως καταδικασμένη να καταλήξει σε αποτυχία. Ο Κουρτ Γκέντελ απέδειξε ότι ένα μη αντιφατικό τυπικό σύστημα, αρκετά εκτενές ώστε να περιλαμβάνει τουλάχιστον αριθμητική, δεν μπορεί να επιδείξει την πληρότητά του μέσω μόνο των δικών του αξιωμάτων. Το 1931, τα θεωρήματα μη πληρότητας του Γκέντελ κατέδειξαν ότι το μεγάλο σχέδιο του Χίλμπερτ ήταν αδύνατο να επιτευχθεί έτσι όπως είχε οριστεί. Το δεύτερο σημείο δεν μπορεί με κανέναν λογικό τρόπο να συνδυαστεί με το πρώτο, εφόσον το σύστημα αξιωμάτων είναι πραγματικά πεπερασμένο.
Παρόλα αυτά, οι κατοπινές επιτυχίες της θεωρίας αποδείξεων τουλάχιστον αποσαφήνισαν τη συνοχή θεωριών κεντρικών για τα μαθηματικά. Η εργασία του Χίλμπερτ είχε εκκινήσει αυτήν την πορεία της αποσαφήνισης· στη συνέχεια η ανάγκη να κατανοηθεί η δουλειά του Γκέντελ οδήγησε στην ανάπτυξη της θεωρίας αναδρομής και της μαθηματικής λογικής ως αυτόνομου γνωστικού πεδίου, κατά τη δεκαετία του 1930. Οι βάσεις για τη μετέπειτα θεωρητική πληροφορική τέθηκαν κατόπιν από τον Αλόνσο Τσερτς και τον Άλαν Τούρινγκ, με υπόβαθρο ακριβώς αυτές τις εξελίξεις.

Συναρτησιακή Ανάλυση

Γύρω στο 1909,ο Χίλμπερτ αφοσιώθηκε στη μελέτη των διαφορικών και ενιαίων εξισώσεων· το έργο του είχε άμεσες συνέπειες σε σημαντικά τμήματα της σύγχρονης συναρτησιακής ανάλυσης. Για την εκτέλεση αυτών των μελέτων, ο Χίλμπερτ εισήγαγε την ιδέα ενός άπειρου διαστάσεων Ευκλείδειου Χώρου, που αργότερα ονομάστηκε Χώρος Χίλμπερτ. Το έργο του σε αυτό το μέρος της ανάλυσης παρείχε τη βάση για σημαντικές συνεισφορές στα μαθηματικά της φυσικής στις επόμενες δύο δεκαετίες, αν και από μια απρόβλεπτη κατεύθυνση. Αργότερα, ο Στέφαν Μπάνα ενίσχυσε την έννοια, καθορίζοντας τον Χώρο Μπάνα. Οι χώροι του Χίλμπερτ αποτελούν μια σημαντική κατηγορία αντικειμένων της Συναρτησιακής Ανάλυσης, ιδιαίτερα στη φασματική θεωρία των αυτοσυζυγείς γραμμικών φορέων, που αναπτύχθηκε γύρω από αυτό κατά τη διάρκεια του 20ού αιώνα.

Φυσική

Μέχρι το 1912 ο Χίλμπερτ ήταν σχεδόν αποκλειστικά ένας 'καθαρός' μαθηματικός. Όταν σχεδιάζοντας ένα ταξίδι από το Μπον, όπου βυθίστηκε στη μελέτη της φυσικής, οι συνάδελφοι του μαθηματικοί και ο φίλος του Έρμαν Μινκόφσκι αστειεύτηκαν ότι έπρεπε να περάσει 10 μέρες στην απομόνωση πριν να μπορέσει να επισκεφτεί τον Χίλμπερτ. Στην πραγματικότητα, ο Μινκόφσκι φαίνεται να ήταν υπεύθυνος για τις περισσότερες διερευνήσεις του Χίλμπερτ πριν το 1912, συμπεριλαμβανομένου του κοινού σεμιναρίου τους για το θέμα το 1905.
Το 1912, τρία χρόνια μετά το θάνατο του φίλου του,έστρεψε την εστίαση του στο αντικείμενο σχεδόν αποκλειστικά. Κανόνισε να έχει ένα "δάσκαλο φυσικής" για τον εαυτό του. Άρχισε να μελετά την Κινητική θεωρία και προχώρησε προς τη στοιχειώδη θεωρία της ακτινοβολίας και τη μοριακή θεωρία της ύλης. Ακόμη και μετά την αρχή του πολέμου το 1914, συνέχισε τα σεμινάρια και τα μαθήματα, όπου παρακολούθησε στενά τη δουλειά του Άλμπερτ Αϊνστάιν και άλλων.
Μέχρι το 1907 ο Αϊνστάιν είχε διαμορφώσει τις βασικές αρχές της θεωρίας της βαρύτητας, αλλά στη συνέχεια αγωνίστηκε για σχεδόν 8 χρόνια με ένα μπερδεμένο πρόβλημα για να βάλει τη θεωρία στην τελική της μορφή. Από τις αρχές του καλοκαιριού του 1915, το ενδιαφέρον του Χίλμπερτ για τη φυσική είχε εστιάσει στη Γενική θεωρία της Σχετικότητας, και προσκάλεσε τον Αϊνστάιν στο Γκέτινγκεν να παραδώσει διαλέξεις μιας εβδομάδας πάνω στο θέμα. Ο Αϊνστάιν έλαβε μια ενθουσιώδη υποδοχή στο Γκέτινγκεν. Κατά τη διάρκεια του καλοκαιριού ο Αϊνστάιν έμαθε ότι ο Χίλμπερτ εργαζόταν επίσης στις εξισώσεις πεδίου και διπλασίασε τις δικές του προσπάθειες. Κατά τη διάρκεια του Νοέμβρη του 1915 ο Αϊνστάιν δημοσίευσε πολλές εργασίες με αποκορύφωμα "Οι εξισώσεις πεδίου της βαρύτητας" (δες εξισώσεις πεδίου του Αϊνστάιν). Σχεδόν ταυτόχρονα, ο Ντάδιντ Χίλμπερτ δημοσίευσε "Τα Θεμέλια της Φυσικής", μια αξιωματική πηγή των εξισώσεων πεδίου(δες δράση των Αϊνσταιν-Χίλμπερτ). Ο Χίλμπερτ πιστώνει πλήρως τον Αϊνστάιν ως δημιουργό της θεωρίας, και ποτέ δεν προέκυψε δημόσια διαφωνία που να αφορά τις εξισώσεις πεδίου μεταξύ των δύο ανδρών κατά τη διάρκεια της ζωής τους. Δείτε περισσότερα στο Διαφορά σχετικότητας-προτεραιότητας.
Επιπροσθέτως, η εργασία του Χίλμπερτ πρόλαβε και βοήθησε πολλές αναπτύξεις στη Μαθηματική διατύπωση της κβαντικής μηχανικής. Η εργασία του ήταν μια βασική πτυχή της εργασίας του Χέρμαν Γουέιλ και τουΤζον φον Νόιμαν πάνω στη μαθηματική ισοδυναμία της Matrix μηχανικής του Βέρνερ Χάιζενμπεργκ και της Εξίσωσης Σρέντινγκερ του Έρβιν Σρέντινγκερ και ο συνώνυμός του Χώρος Χίλμπερτ έχει σημαντικό ρόλο στη κβαντική θεωρία. Το 1926 ο φον Νόιμαν έδειξε ότι αν οι ατομικές καταστάσεις ήταν κατανοητές σαν φορείς στο Χώρο Χίλμπερτ, τότε θα αντιστοιχούσαν στην θεωρία του Σρέντινγκερ και του Χάιζενμπεργκ.
Κατά τη διάρκεια αυτής της απορρόφησης στη φυσική, ο Χίλμπερτ δούλεψε πάνω στην αυστηρότητα στα μαθηματικά της φυσικής. Ενώ εξαρτώνταν σε μεγάλο βαθμό από τα ανώτερα μαθηματικά, οι φυσικοί ήταν "πρόχειροι" με αυτά. Για έναν "αγνό" μαθηματικό όπως ο Χίλμπερτ, αυτό ήταν "άσχημο" αλλά και δύσκολο να το καταλάβει. Καθώς άρχισε να κατανοεί τη φυσική και το πώς οι φυσικοί χρησιμοποιούσαν τα μαθηματικά, ανέπτυξε μια συνεκτική μαθηματική θεωρία για αυτά που βρήκε, σημαντικότερα στο χώρο των ολοκληρωτικών εξισώσεων. Όταν ο συνάδελφός του Ριχάρδος Κούραντ έγραψε το κλασσικό τώρα Μέθοδοι της Μαθηματικής Φυσικής περιλαμβάνοντας κάποιες από τις ιδέες του Χίλμπερτ, πρόσθεσε το όνομα του Χίλμπερτ σαν συγγραφέα παρόλο που ο Χίλμπερτ δεν είχε συμβάλει ακριβώς στο γράψιμο. Ο Χίλμπερτ είπε "Η φυσική είναι πολύ σκληρή για τους φυσικούς", υποννοώντας ότι τα απαραίτητα μαθηματικά ήταν γενικά πέρα από εκείνους, το βιβλίο Κούραντ-Χίλμπερτ τα έκανε πιο εύκολα για εκείνους.

Θεωρία Αριθμών

Ο Χίλμπερτ ενοποίησε το πεδίο της αλγεβρικής θεωρίας αριθμών με την πραγματεία του Zahlbericht το 1987 (κυριολεκτικά "έκθεση σχετικά με τους αριθμούς»). Επίσης επέλυσε ένα μοναδικό στη θεωρία αριθμών πρόβλημα του Warring το 1770. Καθώς με το θεώρημά του, χρησιμοποίησε μια απόδειξη ύπαρξης που δείχνει ότι πρέπει να υπάρχουν λύσεις για το πρόβλημα αντί να παρέχουμε ένα μηχανισμό για να παράγει τις απαντήσεις. Μετά είχε κάτι ακόμη να δημοσιεύσει πάνω στο θέμα, αλλά η εμφάνιση των Hilbert modular forms στη διατριβή ενός φοιτητή σημαίνει ότι το όνομά του είναι περισσότερο προσκολλημένο σε μια αρχική ιδέα.
Έκανε μια σειρά εικασιών για την κλασσική θεωρία πεδίου. Τα περιεχόμενα ήταν πολύ ισχυρά, και η δική του συνεισφορά βασίζεται στα ονόματα των Χίλμπερτ κλασσικό πεδίο  και σύμβολο Χίλμπερτ της τοπικής κλασσικής θεωρίας πεδίου. Τα αποτελέσματα αποδείχθηκαν περισσότερο από το 1930, μετά την εργασία του Τέιτζι Τακάτζι.
Ο Χίλμπερτ δεν εργάστηκε στις κεντρικές περιοχές της αναλυτικής θεωρίας αριθμών,αλλά το όνομά του είχε γίνει γνωστό για την εικασία Χίλμπερτ-Πόλυα, για λόγους ανεπίσημους.