Διακριτή κατανομή Φουριέρ

Εφαρμογές

Η DFT έχει δει ευρεία χρήση σε πολλούς τομείς, μόνο σκίτσο μερικά παραδείγματα παρακάτω (βλέπε επίσης τις αναφορές στο τέλος). Όλες οι εφαρμογές του DFT εξαρτάται σε μεγάλο βαθμό από τη διαθεσιμότητα του ένα γρήγορο αλγόριθμο για να υπολογίσει discrete Fourier και τους αντίστροφες, fast Fourier transform.

Φίλτρο τράπεζα

Δείτε FFT φίλτρο τράπεζες και Δειγματοληψία του DTFT.

Συμπίεση δεδομένων

Το πεδίο της ψηφιακής επεξεργασίας σήματος εξαρτάται σε μεγάλο βαθμό από δραστηριότητες στο πεδίο των συχνοτήτων (δηλαδή ο μετασχηματισμός Fourier). Για παράδειγμα, αρκετές απώλειες εικόνας και ήχου μέθοδοι συμπίεσης απασχολούν το διακριτός μετασχηματισμός Fourier: το σήμα κόβεται σε μικρά τεμάχια, το καθένα έχει μεταμορφωθεί, και τότε οι συντελεστές Fourier της υψηλές συχνότητες, η οποία υποτίθεται ότι είναι δυσδιάκριτη, απορρίπτονται. Το πρόγραμμα αποσυμπίεσης υπολογίζει τον αντίστροφο μετασχηματισμό με βάση αυτό το μειωμένο αριθμό Fourier συντελεστές. (Εφαρμογές συμπίεσης συχνά χρησιμοποιούν μια εξειδικευμένη μορφή του DFT, ο διακριτός μετασχηματισμός συνημιτόνου ή μερικές φορές το τροποποιημένο διακριτός μετασχηματισμός συνημιτόνου.)
Κάποια σχετικά πρόσφατη αλγόριθμους συμπίεσης, ωστόσο, η χρήση wavelet transforms, τα οποία δίνουν μια πιο ομοιόμορφη συμβιβασμό μεταξύ του χρόνου και των συχνοτήτων από εκείνα που λαμβάνονται με τεμαχισμό των δεδομένων σε τμήματα και μετατρέποντας κάθε τμήμα. Στην περίπτωση JPEG2000, αυτό αποφεύγει την ψευδή χαρακτηριστικά της εικόνας που εμφανίζεται όταν οι εικόνες είναι εξαιρετικά συμπιεσμένο με το αρχικό JPEG.

Μερικές διαφορικές εξισώσεις

Discrete Fourier χρησιμοποιούνται συχνά για την επίλυση μερικών διαφορικών εξισώσεων, όπου και πάλι ο DFT χρησιμοποιείται ως προσέγγιση για τη σειρά Fourier (που ανακτάται στο όριο άπειρο N). Το πλεονέκτημα αυτής της προσέγγισης είναι ότι επεκτείνει το σήμα σε συγκρότημα exponentials εⁱⁿˣ, τα οποία είναι eigenfunctions διαφοροποίησης: d/dx eⁱⁿˣ = σ eⁱⁿˣ. Έτσι, στο Fourier εκπροσώπηση, η διαφοροποίηση είναι απλή—απλά πολλαπλασιάστε την από - n. (Σημειώστε, ωστόσο, ότι η επιλογή του n δεν είναι μοναδική λόγω aliasing * η μέθοδος είναι συγκλίνουσα, μια επιλογή παρόμοια με εκείνη των τριγωνομετρικών παρεμβολή παραπάνω τμήμα θα πρέπει να χρησιμοποιηθεί.) Μια γραμμική διαφορική εξίσωση με σταθερούς συντελεστές μετατρέπεται σε μια εύκολα επιλύσιμο αλγεβρική εξίσωση. Ένα, στη συνέχεια, χρησιμοποιεί το inverse DFT να μετατρέψει το αποτέλεσμα πίσω στο κανονικό χωρική αναπαράσταση. Η προσέγγιση αυτή ονομάζεται φασματική μέθοδος.

Πολλαπλασιασμός μεγάλων ακεραίων

Ο πιο γρήγορος γνωστοί αλγόριθμοι για τον πολλαπλασιασμό των πολύ μεγάλων ακεραίων χρήση του πολυωνύμου πολλαπλασιασμός μέθοδο που περιγράφεται παραπάνω. Ακέραιοι μπορεί να αντιμετωπιστεί ως η τιμή ενός πολυωνύμου αξιολογούνται συγκεκριμένα τον αριθμό της βάσης, με τους συντελεστές του πολυωνύμου που αντιστοιχούν στα ψηφία σε αυτή τη βάση. Μετά πολυωνύμου πολλαπλασιασμός, σχετικά χαμηλής πολυπλοκότητας μεταφορά διάδοσης βήμα ολοκληρώνει τον πολλαπλασιασμό.

Συνέλιξη

Όταν τα δεδομένα είναι convolved με μια λειτουργία με μεγάλη υποστήριξη, όπως για downsampling από ένα μεγάλο λόγος δειγματοληψίας, λόγω της Συνέλιξης θεώρημα και τον αλγόριθμο FFT, μπορεί να είναι πιο γρήγορα για να το μετατρέψει, να πολλαπλασιάσετε pointwise από το μετασχηματισμό του φίλτρου και στη συνέχεια να αντιστραφεί το μεταμορφώσει. Εναλλακτικά, ένα καλό φίλτρο επιτυγχάνεται απλώς με την περικοπή των μετατραπεί δεδομένων και την εκ νέου μετατροπή του συντομευμένη σύνολο δεδομένων.

Εκπροσώπηση θεωρία

Ο DFT μπορεί να ερμηνευθεί ως το συγκρότημα-valued εκπροσώπηση θεωρία της πεπερασμένης κυκλικής ομάδας. Με άλλα λόγια, μια ακολουθία από n μιγαδικοί αριθμοί μπορεί να θεωρηθεί ως ένα στοιχείο του n-διαστάσεων χώρο συγκρότημα Cⁿ ή αντίστοιχα μια συνάρτηση f από την πεπερασμένη κυκλική ομάδα τάξης n στο μιγαδικούς αριθμούς, το Zₙ → C. Οπότε η f είναι μια συνάρτηση κλάσης σχετικά με την πεπερασμένη κυκλική ομάδα, και έτσι μπορεί να εκφραστεί ως γραμμικός συνδυασμός των αμείωτη χαρακτήρες αυτής της ομάδας, που είναι οι ρίζες της ενότητας.
Από αυτή την άποψη, μπορεί κανείς να γενικεύσει τον DFT για την εκπροσώπηση θεωρία, γενικά, ή πιο στενά για την εκπροσώπηση θεωρία των πεπερασμένων ομάδων.
Σε πιο στενό ακόμα, μπορεί κανείς να γενικεύσει το DFT είτε από την αλλαγή του στόχου (παίρνει τιμές σε ένα πεδίο, εκτός από το μιγαδικοί αριθμοί), ή το domain (ομάδα άλλη από μια πεπερασμένη κυκλική ομάδα), όπως περιγράφεται στη συνέχεια.

Άλλα πεδία

Πολλές από τις ιδιότητες του DFT εξαρτώνται μόνο από το γεγονός ότι  είναι μια πρωτόγονη ρίζα της ενότητας, μερικές φορές συμβολίζεται  ή  (έτσι ώστε ). Αυτές οι ιδιότητες περιλαμβάνουν την πληρότητα, την καθετότητα, Plancherel/Parseval, περιοδικότητα, shift, συνέλιξη, και unitarity ιδιότητες παραπάνω, καθώς και πολλά FFT αλγόριθμοι. Για το λόγο αυτό, ο διακριτός μετασχηματισμός Fourier μπορεί να οριστεί χρησιμοποιώντας ρίζες της ενότητας σε πεδία άλλα από των μιγαδικών αριθμών, και τέτοιες γενικεύσεις είναι κοινώς ονομάζεται αριθμός της θεωρίας μετατρέπει (NTTs) στην περίπτωση των πεπερασμένων πεδίων. Για περισσότερες πληροφορίες, δείτε τον αριθμό της θεωρίας μετατρέψει και διακριτός μετασχηματισμός Fourier (γενικά).

Εναλλακτικές λύσεις

Υπάρχουν διάφορες εναλλακτικές λύσεις για τον DFT για διάφορες εφαρμογές, εξέχουσα μεταξύ των οποίων είναι κυματίδια. Το αναλογικό του DFT είναι η discrete wavelet transform (DWT). Από την άποψη του χρόνου–ανάλυση συχνότητας, ένα βασικό περιορισμό του μετασχηματισμού Fourier είναι ότι δεν περιλαμβάνει καταλύματος πληροφορίες, μόνο συχνότητας πληροφορίες, και έτσι έχει δυσκολία στην αντιπροσωπεύουν μεταβατικά φαινόμενα. Όπως κυματίδια έχουν θέση, καθώς και η συχνότητα, είναι καλύτερα σε θέση να αντιπροσωπεύουν τοποθεσία, σε βάρος μεγαλύτερη δυσκολία που αντιπροσωπεύει τη συχνότητα. Για λεπτομέρειες, ανατρέξτε σύγκριση των discrete wavelet transform, με το διακριτό μετασχηματισμό Fourier.