Φέλιξ Κλάιν

Η ζωή του

Ο Φ. Κλάιν γεννήθηκε στο Ντίσελντορφ από Πρώσους γονείς. Ο πατέρας του, ο Κάσπαρ Κλάιν (1809-1889), ήταν γραμματέας αξιωματούχου της πρωσικής κυβερνήσεως στην Επαρχία του Ρήνου. Μητέρα του ήταν η Σοφί Ελίζε Κλάιν (1819-1890), το γένος Κάυζερ (Kayser). Πήγε γυμνάσιο στο Ντίσελντορφ και μετά σπούδασε μαθηματικά και φυσική στο Πανεπιστήμιο της Βόννης (1865-1866), με πρόθεση να γίνει φυσικός. Εκεί κατείχε τότε κοινή έδρα «Μαθηματικών και πειραματικής φυσικής» ο Γιούλιους Πλύκερ, ο οποίος όταν ο Κλάιν έγινε βοηθός του το 1866, είχε το ενδιαφέρον του στη γεωμετρία. Ο Κλάιν πήρε το διδακτορικό του υπό την επιβλεψη του Πλύκερ από το Πανεπιστήμιο της Βόννης το 1868.
Ο Πλύκερ απεβίωσε το ίδιο έτος, αφήνοντας ημιτελές το βιβλίο του για τα θεμέλια των συντεταγμένων γραμμών. Ο Κλάιν ήταν το προφανές πρόσωπο για την ολοκλήρωση του β΄ μέρους του έργου του Πλύκερ Neue Geometrie des Raumes και εξ αυτού γνωρίστηκε με τον Άλφρεντ Κλεμπς, που είχε μετακληθεί στο Πανεπιστήμιο του Γκέτινγκεν το 1868. Ο Κλάιν τον επισκέφθηκε το επόμενο έτος, κατά το οποίο επισκέφθηκε επίσης το Βερολίνο και το Παρίσι. Τον Ιούλιο του 1870, όταν ξέσπασε ο Γαλλοπρωσικός Πόλεμος, βρισκόταν πάλι στο Παρίσι και υποχρεώθηκε να εγκαταλείψει τη χώρα. Υπηρέτησε για λίγο ως νοσοκόμος στον πρωσικό στρατό και μετά διορίσθηκε λέκτορας στο Πανεπιστήμιο του Γκέτινγκεν, στις αρχές του 1871.
Το επόμενο έτος διορίσθηκε καθηγητής στο Πανεπιστήμιο του Ερλάνγκεν, σε ηλικία μόλις 23 ετών. Αιτία ήταν ο Κλεμπς, που θεωρούσε τον Κλάιν ως πιθανό μελλοντικά καλύτερο μαθηματικό της εποχής του. Ωστόσο ο Κλάιν δεν επιθυμούσε αυτό το ΑΕΙ, καθώς είχε λίγους φοιτητές, και έτσι ευχαριστήθηκε όταν τού προσφέρθηκε θέση καθηγητή στην Ανώτατη Τεχνική Σχολή του Μονάχου το 1875. Εκεί, μαζί με τον Αλεξάντερ φον Μπριλ δίδαξαν προχωρημένα μαθήματα σε πολλούς εξαίρετους φοιτητές, μεταξύ των οποίων στους Άντολφ Χούρβιτς, Βάλτερ φον Ντυκ, Καρλ Ρούνγκε, Μαξ Πλανκ, Λουίτζι Μπιάνκι και Γκρεγκόριο Ρίτσι-Κουρμπάστρο.
Το 1875 ο Κλάιν νυμφέυθηκε την Άννε Χέγκελ, εγγονή του μεγάλου φιλοσόφου Γκέοργκ Βίλχελμ Φρήντριχ Χέγκελ (Εγέλου).
Μετά από πέντε έτη στο Μόναχο, ο Κλάιν διορίσθηκε σε μία έδρα γεωμετρίας στη Λειψία. Εκεί ήρθε ως συνάδελφός του πλέον ο πρώην φοιτητής του Βάλτερ φον Ντυκ. Τα χρόνια του Κλάιν στη Λειψία, από το 1880 έως το 1886, άλλαξαν τη ζωή του. Το 1882 η υγεία του κατέρρευσε και το 1883-1884 υπέφερε από κατάθλιψη. Ωστόσο συνέχισε τις έρευνές του: το έργο του πάνω στις υπερελλειπτικές συναρτήσεις σίγμα χρονολογείται από τότε.
Το 1886 ο Κλάιν αποδέχθηκε μια θέση καθηγητή στο Πανεπιστήμιο του Γκέτινγκεν. Εκεί παρέμεινε πλέον μέχρι τη συνταξιοδότησή του το 1913, επιδιώκοντας να επανέλθει το ίδρυμα στη θέση του κυριότερου κέντρου μαθηματικών ερευνών παγκοσμίως. Στο Γκέτινγκεν δίδαξε ποικιλία μαθημάτων με έμφαση στη μαθηματική φυσική, όπως θεωρητική μηχανική και θεωρία δυναμικού.
Η οργάνωση της έρευνας από τον Κλάιν στο Γκέτινγκεν χρησίμευσε ως πρότυπο για τα καλύτερα ερευνητικά κέντρα του κόσμου. Εισήγαγε εβδομαδιαίες συναντήσεις για συζήτηση και δημιούργησε βιβλιοθήκη και μαθηματικό αναγνωστήριο. Το 1895 ο Κλάιν προσέλαβε τον Ντάβιντ Χίλμπερτ από το Πανεπιστήμιο του Καίνιξμπεργκ, που διετήρησε την καλή φήμη του Γκέτινγκεν μέχρι τη δική του αποχώρηση το 1932.
Υπό την αρχισυνταξία του Κλάιν το περιοδικό Mathematische Annalen (που είχε ιδρύσει ο Κλεμπς) έγινε ένα από τα κορυφαία ερευνητικά περιοδικά μαθηματικών στον κόσμο. Ο Κλάιν οργάνωσε μία μικρή ομάδα επιμελητών του, που συσκέπτονταν τακτικά, λαμβάνοντας δημοκρατικά αποφάσεις. Το περιοδικό ειδικευόταν στη μιγαδική ανάλυση, στην αλγεβρική γεωμετρία και στη θεωρία των αναλλοιώτων. Παρείχε επίσης σημαντική στήριξη στην πραγματική ανάλυση και στη νέα θεωρία των ομάδων.
Το 1893 στο Διεθνές Μαθηματικό Συνέδριο στο Σικάγο ο Κλάιν ήταν βασικός ομιλητής. Το ίδιο έτος, εν μέρει εξαιτίας των προσπαθειών του Κλάιν, το Πανεπιστήμιο του Γκέτινγκεν άρχισε να δέχεται και γυναίκες ως φοιτήτριες. Ο ίδιος επέβλεψε την πρώτη διδακτορική διατριβή στα μαθηματικά που εκπονήθηκε ποτέ από γυναίκα στο Πανεπιστήμιο αυτό: ήταν η διατριβή της Αγγλίδας Γκρέις Τσίσολμ Γιανγκ.
Περί το 1900 ο Κλάιν άρχισε να ενδιαφέρεται για τη διδασκαλία των μαθηματικών στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση και το 1905 ήταν αποφασιστική η συμβολή του στην εκπόνηση σχεδίου που συνιστούσε τη διδασκαλία στα γυμνάσια-λύκεια της αναλυτικής γεωμετρίας, εισαγωγικών στοιχείων του απειροστικού λογισμού και της έννοιας της συναρτήσεως. Αυτή η σύσταση υιοθετήθηκε βαθμιαία σε πολλές χώρες. Το 1908 ο Κλάιν εκλέχθηκε πρόεδρος της Διεθνούς Επιτροπής Διδακτικής των Μαθηματικών στο Διεθνές Συνέδριο των Μαθηματικών]] στη Ρώμη. Υπό την καθοδήγησή του, το γερμανικό τμήμα της Επιτροπής αυτής δημοσίευσε πολλούς τόμους επί της διδακτικής των μαθηματικών σε όλα τα επίπεδα.
Το 1893 η Μαθηματική Εταιρεία του Λονδίνου απένειμε στον Κλάιν την υψηλότερη τιμητική της διάκριση, το Μετάλλιο Ντε Μόργκαν. Ο Κλάιν είχε ήδη εκλεγεί το 1885 μέλος της Βασιλικής Εταιρείας, η οποία του απένειμε το Μετάλλιο Κόπλεϋ το 1912. Μετά την αποχώρησή του από το πανεπιστήμιο το 1913, ο Κλάιν συνέχισε να διδάσκει μαθηματικά στο σπίτι του για κάποια χρόνια ακόμη. Απεβίωσε στο Γκέτινγκεν σε ηλικία 76 ετών.

Το έργο του

Η διατριβή του Κλάιν, επί των συντεταγμένων γραμμών και των εφαρμογών τους στη μηχανική, ταξινομούσε δευτεροβάθμια συστήματα γραμμών με χρήση της θεωρίας των στοιχειωδών διαιρετών του Βάιερστρας.
Οι πρώτες σημαντικές συνεισφορές του Κλάιν έγιναν το 1870. Σε συνεργασία με τον Σόφους Λη ανεκάλυψε τις θεμελιώδεις ιδιότητες των ασύμπτωτων της Επιφάνειας Κούμερ. Αργότερα μελέτησαν τις Καμπύλες W, που είναι αναλλοίωτες υπό μία ομάδα προβολικών μετασχηματισμών. Ο Λη γνώρισε στον Κλάιν την έννοια της ομάδας, που θα διεδραμάτιζε μείζονα ρόλο στο μετέπειτα έργο του. Ο Κλάιν έμαθε για τις ομάδες και από τον Καμίγ Ζορντάν.
Ο Κλάιν επινόησε το 1882 τη γνωστή ως «Φιάλη του Κλάιν», μία κλειστή επιφάνεια με μόνο μία πλευρά, η οποία είναι αδύνατον να ενσωματωθεί στον τριδιάστατο ευκλείδειο χώρο, αλλά μπορεί να γυρίσει ως κύλινδρος μέσα από τον εαυτό της, ώστε να ενωθεί με το άλλο άκρο της «εκ των έσω». Μπορεί επίσης να ενσωματωθεί σε ευκλείδειους χώρους με διαστάσεις 4 ή περισσότερες. Η έννοια της Φιάλης του Κλάιν επινοήθηκε ως τριδιάστατη Λωρίδα του Μέμπιους.
Κατά τη δεκαετία του 1890 ο Κλάιν άρχισε να μελετά εντονότερα μαθηματική φυσική, γράφοντας εργασία πάνω στο γυροσκόπιο με τον Άρνολντ Σόμμερφελντ. Το 1894 είχε την ιδέα μιας εγκυκλοπαίδειας των μαθηματικών και των εφαρμογών τους, που υλοποιήθηκε ως Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften, γνωστή και ως «Εγκυκλοπαίδεια του Κλάιν». Αυτό το εγχείρημα, που διάρκεσε έως το 1935, παρέσχε μία σημαντική πρότυπη αναφορά διαχρονικής αξίας.