Μονοτονία συνάρτησης

Γνήσια αύξουσα

Όταν η τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής αυξάνεται, η τιμή της εξαρτημένης επίσης αυξάνεται και αντίστροφα, αν η τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής μειώνεται, η τιμή της εξαρτημένης επίσης μειώνεται. Γενικά, ισχύει η ισοδυναμία f(α)>f(β) <=> α>β, όπου f είναι η συνάρτηση.

Γνήσια φθίνουσα

Όταν η τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής αυξάνεται, η τιμή της εξαρτημένης μειώνεται και αντίστροφα, αν η τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής μειώνεται, η τιμή της εξαρτημένης αυξάνεται. Γενικά, ισχύει η ισοδυναμία f(α)>f(β) <=> α<β.
Αν η συνάρτηση είναι σε ένα τμήμα του πεδίου ορισμούτ της, ή στο πεδίο ορισμού της γνήσια αύξουσα ή γνήσια φθίνουσα, τότε ονομάζεται γνησίως μονότοτονη. Αυτό ο όρος διακρίνει τις περιπτώσεις όπου μία συνάρτηση μπορεί να είναι σταθερή σε κάποια τμήματα του πεδίου ορισμού της.

Αύξουσα

Όταν η τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής αυξάνεται, η τιμή της εξαρτημένης επίσης αυξάνεται ή μένει κατά τόπους σταθερή και αντίστροφα, αν η τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής μειώνεται, η τιμή της εξαρτημένης επίσης μειώνεται ή μένει κατά τόπους σταθερή. Γενικά, ισχύει η συνεπαγωγή α>β => f(α)≥f(β), όπου f είναι η συνάρτηση.

Φθίνουσα

Όταν η τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής αυξάνεται, η τιμή της εξαρτημένης μειώνεται ή μένει κατά τόπους σταθερή και αντίστροφα, αν η τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής μειώνεται, η τιμή της εξαρτημένης αυξάνεται ή μένει κατά τόπους σταθερή. Γενικά, ισχύει η συνεπαγωγή α>β => f(α)≤f(β), όπου f είναι η συνάρτηση.

Σταθερή

Ανεξάρτητα από τις αλλαγές της εξαρτημένης μεταβλητής η τιμή της συνάρτησης δε μεταβάλλεται. Ισχύει f(α)=f(β), όπου f είναι η συνάρτηση, ανεξάρτητα αν α>β, α<β ή α=β.

Παράγωγος αριθμός

Η μονοτονία μπορεί να μελετηθεί τόσο σε παραγωγίσιμες, όσο και σε μή παραγωγίσιμες συναρτήσεις. Η μελέτη της μονοτονίας στις παραγωγίσιμες συναρτήσεις γίνεται με τον παράγωγο αριθμό πόυ μπορεί να οριστεί ως το όριο του λ, όταν το Δα τείνει στο μηδέν. Αποδεικνύεται ότι η μονοτονία σε περιοχή του σημείου στο οποίο βρίσκουμε την παράγωγο μπορεί να προσδιοριστεί με βάση το πρόσημο της παραγώγου, όπως και στο λόγο μεταβολής. Για αυτό και η παράγωγος ονομάζεται και ρυθμός μεταβολής. Αν η παράγωγος είναι μηδέν, τότε δε μπορούμε να τη χρησιμοποιήσουμε για το προδισε υποσύνολα του πεδίου ορισμού (συνήθως διαστήματα) ή όλο το πεδίο ορισμού. Συνήθως προσπαθούμε να βρούμε διαδοχικά υποσύνολα του πεδίου ορισμού, όπου το καθένα έχει ένα συγκεκριμένο είδος μονοτονίας, ενώ ο συνδυασμός τους είναι το ίδιο το πεδίο ορισμού. Σε διαστήματα στα οποία η παράγωγος συνάρτηση είναι θετική, η αρχική συνάρτηση είναι γνήσια αύξουσα, ενώ σε διαστήματα στα οποία η παράγωγος είναι αρνητική η συνάρτηση είναι γνήσια φθίνουσα.
Σημεία στα οποία η μονοτονία είναι διαφορετική στις δυο μεριές του σημείου είναι ακρότατα. Ο παράγωγος αριθμός σε αυτά τα σημεία είναι μηδέν (αυτή η πρόταση είναι γνωστή και ως μικρό θεώρημα του Φερμά).

Εφαπτομένη

Έστω η ευθεία που σχηματίζει με τον άξονα x'x γωνία θ εφαπτομένης ίση με το λόγο μεταβολής. Αποδεικνύεται ότι αυτή η ευθεία διέρχεται από τα σημεία που χρησιμοποιήσαμε για τον προσδιορισμό του λόγου μεταβολής τους και το είδος μονοτονίας της εξαρτάται από τη σχέση των ανισοτικών σχέσεων των δύο σημείων. Η εφαπτομένη της θ ονομάζεται και κλίση της ευθείας. Η εφαπτομένη σε σημείο γραφικής παράστασης έχει κλίση ίση με τον παράγωγο αριθμό στο σημείο επαφής, που ισούται με την εφαπτομένη της γωνίας θ.
Αν τα δύο σημεία ορίζουν κλειστό διάστημα συνέχειας της συνάρτησης και ανοιχτό διάστημα στο οποίο είναι παραγωγίσιμη, τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο εντός του ανοιχτού διαστήματος στο οποίο ο παράγωγος αριθμός να ισούται με την κλίση του αρχικού λόγου μεταβολής. Αυτή η πρόταση είναι γνωστή και ως θεώρημα μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού. Γεωμετρικά η παραπάνω πρόταση σημαίνει ότι υπάρχει τουλάχιστον μία εφαπτόμενη ευθεία στη γραφική παράσταση η οποία να είναι παράλληλη (ή να ταυτίζεται) με την αρχική ευθεία. Σε μαθηματική γλώσσα: