Πρόσθεση

Η πρόσθεση είναι μία μαθηματική πράξη που αντιπροσωπεύει το συνολικό ποσό των αντικειμένων μαζί σε μια συλλογή. Καθορίζεται από το σύμβολο συν (+). Για παράδειγμα, στην εικόνα στα δεξιά, υπάρχουν 3 + 2 μήλα, δηλαδή, τρία μήλα και δύο μήλα μαζί, το οποίο είναι ένα σύνολο από 5 μήλα. . Ως εκ τούτου, 3 + 2 = 5. Εκτός από την καταμέτρηση των φρούτων, η πρόσθεση μπορεί επίσης να αντιπροσωπεύει το συνδυασμό άλλων φυσικών και αφηρημένων ποσοτήτων χρησιμοποιώντας διαφορετικά είδη αντικειμένων: αρνητικούς αριθμούς , κλάσματα, άρρητους αριθμούς , Ευκλείδειο διάνυσμα , δεκαδικά ψηφία, λειτουργίες, πίνακες και πολλά άλλα.
Η πρόσθεση ακολουθεί αρκετά σημαντικά σχέδια. Είναι μετατρέψιμη, πράγμα που σημαίνει ότι η σειρά δεν έχει σημασία, και είναι συνειρμική, πράγμα που σημαίνει ότι όταν κάποιος προσθέτει περισσότερους από δύο αριθμούς, η σειρά με την οποία γίνεται η πρόσθεση , δεν έχει σημασία (βλ.  Άθροιση). Η επαναλαμβανόμενη πρόσθεση του 1 είναι το ίδιο όπως η μέτρηση : η πρόσθεση του 0 δεν αλλάζει έναν αριθμό.Η πρόσθεση υπακούει προβλέψιμους κανόνες που αφορούν συναφείς πράξεις , όπως η αφαίρεση και ο πολλαπλασιασμός. Όλοι αυτοί οι κανόνες μπορούν να αποδειχθούν, ξεκινώντας με την πρόσθεση φυσικών αριθμών και γενικεύονται μέσω των πραγματικών αριθμών και πέρα. Οι γενικές δυαδικές πράξεις που συνεχίζουν αυτά τα πρότυπα μελετώνται στην αφηρημένη άλγεβρα.
Η εκτέλεση της πρόσθεσης είναι μία από τις πιο απλές αριθμητικές εργασίες. Η πρόσθεση είναι  προσβάσιμη σε πολύ μικρά παιδιά : η πιο βασική πράξη, 1 + 1, μπορεί να πραγματοποιηθεί από βρέφη ηλικίας μόλις πέντε μηνών και ακόμη και από μερικά ζώα. Στην πρωτοβάθμια εκπαίδευση, οι μαθητές διδάσκονται να προσθέτουν αριθμούς στο δεκαδικό σύστημα, ξεκινώντας με μονά ψήφια και σταδιακά στην αντιμετώπιση πιο δύσκολων προβλημάτων. Τα μηχανικά βοηθήματα κυμαίνονται από την αρχαία άβακα μέχρι τον σύγχρονο υπολογιστή, όπου η έρευνα στις πιο αποτελεσματικές υλοποιήσεις της πρόσθεσης συνεχίζεται μέχρι σήμερα.

Ερμηνείες

Η πρόσθεση χρησιμοποιείται για να διαμορφώσει αμέτρητες φυσικές μεθόδους. Ακόμη και για την απλή περίπτωση της πρόσθεσης φυσικών αριθμών , υπάρχουν πολλές πιθανές ερμηνείες και ακόμη περισσότερες ορατές αναπαραστάσεις.

Αντιμεταθετική Ιδιότητα

Η πρόσθεση είναι αντιμεταθετική ιδιότητα, το οποίο σημαίνει πως  οι όροι μπορούν να αντιστρέφονται και το αποτέλεσμα να παραμένει το ίδιο. Συμβολικά, εάν το "α" και το "β" αποτελούν δύο οποιουσδήποτε αριθμούς, τότε : α + β = β + α.
Το γεγονός ότι η πρόσθεση είναι αντιμεταθετική, είναι γνωστό ως "ο αντιμεταθετικός νόμος της πρόσθεσης". Αυτή η φράση υποδεικνύει πως υπάρχουν και άλλοι αντιμεταθετικοί νόμοι: για παράδειγμα, υπάρχει ο αντιμεταθετικός νόμος του πολλαπλασιασμού Παρόλα αυτά, πολλές  δυαδικές πράξεις δεν είναι αντιμεταθετικές, όπως η αφαίρεση και η διαίρεση, οπότε είναι παραπλανητικό να μιλάμε για ένα απόλυτο "αντιμεταθετικό νόμο".

Προσεταιριστική ιδιότητα

Μία κάπως πιο πολύπλοκη πραξη της πρόσθεσης είναι η  προσεταιριστική ιδιότητα, η οποία εφαρμόζεται στην πρόσθεση πολλών αριθμών. Η πράξη:"'α + 'β + γ"
μπορεί  να γίνει και (α + β) + γ ή α + (β + γ).  Η πρόσθεση αυτή είναι προσεταιριστική  όπου φαίνεται ότι η αλλαγή των παρενθέσεων δεν επηρρεάζει το αποτέλεσμα. Για τρεις τυχαίους αριθμούς,  α, β, και γ, ισχύει ότι: (α + β) + γ = α + (β + γ).
Για παράδειγμα, (1 + 2) + 3 = 3 + 3 = 6 = 1 + 5 = 1 + (2 + 3).
Δεν είναι όλες οι πράξεις προσεταιριστικές , οπότε σε άλλες πράξεις όπως η αφαίρεση, είναι σημαντικό να διευκρινίζεται η  προτεραιότητα πράξεων.

Ουδέτερο στοιχείο

Όταν προσθέτεις το μηδέν με οποιοδήποτε άλλον αριθμό, το αποτέλεσμα δεν αλλάζει. Το μηδέν είναι ουδέτερο στοιχείο για την πρόσθεση. Συμβολικά για κάθε "α" : α+ 0 = 0 + α = α.
Ο νόμος αυτός εντοπίστηκε για πρώτη φορά από τον Brahmagupta στο έργο του  Brahmasphutasiddhanta το 628 μ.Χ. , παρόλο που τον διατύπωσε σαν τρεις διαφορετικούς νόμους, βασιζόμενος στον εάν το α είναι αρνητικό, θετικό ή μηδενικό χρησιμοποιώντας λόγια και όχι αλγεβρικά σύμβολα.  Αργότερα οι Ινδοί Μαθηματικοί εξέλιξαν την έννοια περίπου το 830, ο Μαθηματικός Mahavira έγραψε, "το μηδέν γίνεται το ίδιο με ότι προστίθεται σε αυτό,  καταλήγωντας στην αντιστοιχία 0 + α = α. Τον 21ο αιώνα, ο  Bhaskara έγραψε, "Στην πρόσθεση ή την αφαίρεση του 
κώδικα cipher, η ποσότητα είτε θετική είτε αρνητική , παραμένει η ίδια, καταλήγωντας στην αντιστοιχία α + 0 = α.

Διαδοχικός

Στο πλαίσιο των ακεραίων, η πρόσθεση  παίζει επίσης έναν ειδικό ρόλο: για κάθε ακέραιο α, ο ακέραιος (α + 1) είναι κατά ένα μεγαλύτερος, επίσης γνωστό και ως διαδοχικός. Λόγω αυτής της διαδοχής, η πράξη κάποιων a + b μπορεί επίσης να θεωρηθεί ως το  διαδοχικός του a, κάνοντας πρόσθεση επαναλαμβάνεται η διαδοχή.

Μονάδες

Για να προσθέσετε αριθμητικές φυσικές ποσότητες με μονάδες, πρέπει πρώτα να εκφράζονται με ίδιες μονάδες. Για παράδειγμα, εάν ένα μέτρο 5 ποδιών παρατείνεται κατά 2 ίντσες, το άθροισμα είναι 62 ίντσες, δεδομένου ότι 60 ίντσες αντιστοιχούν με 5 πόδια. Από την άλλη πλευρά, δεν είναι δυνατόν  να προσθέσετε  3 μέτρα και 4 τετραγωνικά μέτρα, για το λόγο ότι οι μονάδες αυτές είναι ασύγκριτες. Αυτό το είδος της εξέτασης χρησιμοποιείται  για την διαστατική ανάλυση.

Έμφυτη Ικανότητα

Μελέτες που έγιναν σχετικά με την μαθηματική ανάπτυξη και ξεκίνησαν περίπου το 1980, ανακάλυψαν το φαινόμενο της  εξοικείωσης: Τα πολύ μικρά παιδιά ανταποκρίνονται άμεσα σε απροσδόκητες καταστάσεις. Ένα σπουδαίο πείραμα  από την  το οποίο πραγματοποιήθηκε το 1992 με κουκλοθέατρο από χαρακτήρες τουMickey Mouse  , έδειξε ότι τα 5-χρόνα παιδιά "θεωρούν" πως 1+1=2, και όταν δημιουργείται υπόνοια μέσω μιας φυσικής κατάστασης πως 1+1 κάνει 1 ή ακόμη και 3, τα παιδιά μένουν έκπληκτα. Από τότε, αυτή η ανακάλυψη έχει επιβεβαιωθεί  και από μελέτες πολλών εργαστηρίων με διαφορετικές μεθοδολογίες. Το 1992, ένα άλλο πείραμα με λίγο μεγαλύτερα παιδιά , ηλικίας από 18 έως 35 μηνών, αξιοποίησε την κινητική τους ανάπτυξη επιτρέποντάς τους να συλλέγουν μπάλες ping-pong από ένα κουτί; Τα μικρότερα παιδιά ανταποκρίθηκαν καλά στους μικρότερους αριθμούς , ενώ τα μεγαλύτερα παιδιά ήταν σε θέση να υπολογίσουν ποσά μέχρι και το 5 .
Ακόμη και κάποια ζώα δείχνουν μια περιορισμένη ικανότητα στην πρόσθεση, ειδικά οι πίθηκοι. Σε ένα πείραμα το οποίο πραγματοποιήθηκε το 1995 και μιμήθηκε το αποτέλεσμα του πειράματος της Wynn το 1992 (στο οποίο χρησιμοποιήθηκαν μελιτζάνες αντί για κούκλες), 2 είδη πιθήκων,οι rhesus macaque και οι cottontop tamarin παρουσίασαν παρόμοιες αντιδράσεις με τα μικρά παιδιά. Το εντυπωσιακό αποτέλεσμα του πειράματος αποτέλεσε το γεγονός ότι , αφού διδάχθηκαν τις έννοιες των Αραβικών αριθμών  από το 0 έως το 4, αποδείχθηκε πως ακόμη και ένας χιμπατζής ήταν σε θέση να υπολογίσει το άθροισμα δύο αριθμών χωρίς επιπλέον εκπαίδευση

Ανακαλύπτοντας την πρόσθεση σαν παιδιά

Τυπικά τα παιδιά πρώτα μαθαίνουν την μέτρηση. Σε ένα πρόβλημα το οποίο απαιτεί συνδυασμό δύο ή τριών αντικειμένων, τα μικρά παιδιά κάνουν αναπαράσταση του προβλήματος με την χρήση αντικειμένων , με ζωγραφιές ακόμα και με τα δάχτυλά τους, για να μετρήσουν το σύνολο . Αποκτώντας εμπειρία, μαθαίνουν να ανακαλύπτουν την στρατηγική της "μέτρησης": για να βρουν την πράξη του δύο και τρία , τα παιδιά μετρούν από το δύο μετρώντας ακόμη τρεις αριθμούς, λέγοντας τρία, τέσσερα, πέντε (συνήθως χρησιμοποιώντας τα δάχτυλά τους), φτάνοντας στο πέντε. Αυτή η στρατηγική χρησιμοποιείται σχεδόν παγκοσμίως. Τα παιδιά το μαθαίνουν από τους δασκάλους τους. Άλλα το ανακαλύπτουν μόνα τους. Με περισσότερη εξάσκηση, τα παιδιά μαθαίνουν να προσθέτουν πολύ πιο γρήγορα εξερευνώντας την αντιμεταθετική ιδιότητα της πρόσθεσης μετρώντας από τον μεγαλύτερο αριθμό, δηλαδή ξεκινώντας από το τρία και μετρώντας τέσσερα, πέντε.Τελικά τα παιδιά θυμούνται συγκεκριμένους κανόνες της πρόσθεσης, είτε μέσω της εμπειρίας τους, είτε με την απομνημόνευση. Όταν κάποιοι κανόνες αποτυπωθούν στην μνήμη, τα παιδιά βρίσκουν την λύση αγνώστων κανόνων από τους ήδη γνωστούς.  Για παράδειγμα, εάν ένα παιδί κληθεί να προσθέσει τους αριθμούς έξι και εφτά, τότε αφού ξέρει ότι 6+6=12 τότε καταλαβαίνει ότι το άθροισμα του 6+7 είναι ένας αριθμός παραπάνω από το 12, δηλαδή 13. Τέτοιες πράξεις μπορούν να λυθούν πολύ εύκολα, και τα παιδιά του δημοτικού τελικά απομνημονεύουν τους κανόνες ώστε να κάνουν τις πράξεις της πρόσθεσης γρήγορα και χωρίς δυσκολία.

Υπολογιστές

Οι Αναλογικοί υπολογιστές δουλεύουν απευθείας με φυσικές ποσότητες, έτσι οι προσθετικοί μηχανισμοί εξαρτώνται από τη μορφή των προσθετέων. Ένας μηχανικός αθροιστής μπορεί να αντιπροσωπεύει δύο προσθετέους όπως τις θέσεις των μπλοκ ολισθήσεως, στην οποία περίπτωση μπορούν να προστεθούν με ένα συνηθισμένο μοχλό. Αν οι προσθετέοι είναι οι ταχύτητες περιστροφής δυο άξονες, μπορούν να προστεθούν με ένα διαφορικό. Ένας υδραυλικός αθροιστής  μπορεί να προσθέσει πιέσεις σε δύο θαλάμους με την αξιοποίηση του Δεύτερου νόμου του Νεύτωνα για να εξισορροπήσουν τις δυνάμεις σε μια συνδεσμολογία  πιστονιών. Η πιο συνηθισμένη περίπτωση για έναν γενικού σκοπού αναλογικό υπολογιστή είναι να προσθέτεις δύο τάσεις (που πηγάζουν στο έδαφος); αυτό μπορεί να επιτευχθεί πρόχειρα με μία αντίσταση δίκτυο, αλλά ένα καλύτερο σχέδιο  χρησιμοποιεί έναν λειτουργικό ενισχυτή.
Η πρόσθεση είναι επίσης ζωτικής σημασίας για τη λειτουργία των ψηφιακών υπολογιστών, όπου η αποδοτικότητα της πρόσθεσης, συγκεκριμένα ο μηχανισμός μεταφοράς , είναι ένας σημαντικός περιορισμός για την συνολική απόδοση. 
Ο Μπλεζ Πασκάλ εφηύρε την μηχανική αριθμομηχανή το 1642, ήταν η πρώτη επιχειρησιακή αριθμομηχανή. Έκανε χρήση ενός ιδιοφυούς υποβοηθούμενου της βαρύτητας μεταφορικού μηχανισμού. Ήταν η μοναδική επιχειρησιακή μηχανική αριθμομηχανή τον 17ο αιώνα και οι πρώτοι αυτόματοι, ψηφιακοί υπολογιστές. Η αριθμομηχανή του Pascal ήταν περιορισμένη από το μεταφορικό της μηχανισμό που ανάγκαζε τους τροχούς της να γυρνάνε μόνο από τη μία μεριά , έτσι μπορούσε να προσθέσει αλλά, για να αφαιρέσει, ο χειριστής έπρεπε να χρησιμοποιήσει τη μέθοδο του συμπληρώματος που απαιτεί τόσα βήματα όσα και η πρόσθεση. Τον Pascal ακολούθησε ο  Giovanni Poleni ο οποίος έφτιαξε τη δεύτερη λειτουργική μηχανική αριθμομηχανή το 1709, ένα υπολογιστικό ρολόι, το οποίο ήταν ξύλινο και μπορούσε, μόλις, να πολλαπλασιάσει δύο αριθμούς αυτόματα.
Οι Αθροιστές εκτελούν πρόσθεση ακεραίων στους ηλεκτρονικούς ψηφιακούς υπολογιστές, συνήθως χρησιμοποιώντας δυαδική αριθμητική. Η απλούστερη αρχιτεκτονική  είναι ο αθροιστής ριπής, που ακολουθεί τον βασικό πολυψήφιο αλγόριθμο. Μια μικρή βελτίωση είναι το σχέδιο παράκαμψης μεταφοράς , ξανά ακολουθούμενο από την ανθρώπινη διαίσθηση; κανείς δε θα εκτελέσει όλες τις μεταφορές στην πληροφορική 999 + 1, αλλά ένας  παρακάμπτει την ομάδα των 9αριών και προχωράει στην απάντηση.
Από τη στιγμή που υπολογίζουν ένα ψηφίο τη φορά, οι παραπάνω μέθοδοι είναι πολύ αργές για τους περισσότερους σύγχρονους σκοπούς .
Στους σύγχρονους ψηφιακούς υπολογιστές, η πρόσθεση ακεραίων είναι τυπικά η γρηγορότερη  αριθμητική καθοδήγηση, ακόμα έχει τη μεγαλύτερη επίπτωση στην επίδοση, αφού υποστηρίζει όλες τις λειτουργίες κινητής υποδιαστολής  καθώς και τις βασικές εργασίες όπως η παραγωγή διεύθυνσης κατά τη διάρκεια πρόσβασης μνήμης και φέρει εντολές μέσω διακλάδωσης. Για την αύξηση της ταχύτητας, τα σύγχρονα μοντέλα υπολογίζουν ψηφία  παράλληλα και τα συστήματα αυτά παίρνουν τα ονόματα της μεταφοράς που επιλέγουν, μπροστινή μεταφορά, και η ψευδομεταφορά  του Ling . Σχεδόν όλες οι σύγχρονες υλοποιήσεις είναι, στην πραγματικότητα, υβρίδια των τριών αυτών μοντέλων.
Σε αντίθεση με την πρόσθεση στο χαρτί, η πρόσθεση σε έναν υπολογιστή συχνά αλλάζει τους προσθετέους. Στον αρχαίο άβακα και στο χαρτί ,οι δύο προσθετέοι καταστρέφονται , αφήνοντας μόνο το άθροισμα. Η επιρροή του άβακα στη μαθηματική σκέψη ήταν αρκετά ισχυρή που πρώιμα Λατινικά κείμενα συχνά ισχυριζόντουσαν ότι στη διαδικασία πρόσθεσης "ενός αριθμού σε έναν άλλο", και οι δύο αριθμοί εξαφανίζονται. Στη σύγχρονη εποχή, η εντολή ΠΡΟΣΘΕΣΗ ενός μικροεπεξεργαστή αντικαθιστά το στοιχείο στο οποίο προσθέτουμε με το άθροισμα αλλά διατηρεί αυτό που προσθέσαμε. Σε μια υψηλού επιπέδου γλώσσα προγραμματισμού, η εκτίμηση α + β δεν αλλάζει ούτε το α ούτε το β; αν ο στόχος είναι να αντικατασταθεί το α με το άθροισμα  αυτό πρέπει να ζητηθεί ρητά, τυπικά με τη δήλωση α = α + β.  Κάποιες γλώσσες όπως η C ή η C++ επιτρέπουν αυτό να είναι  σύντομα γραμμένο ως  a += b.

Πρόσθεση φυσικών και πραγματικών αριθμών

Για να αποδείξει τις συνήθεις ιδιότητες της πρόσθεσης, κάποιος πρέπει πρώτα να ορίσει την πρόσθεση στο ευρύτερο πλαίσιο του προβλήματος. Η πρόσθεση αρχικά ορίζεται στους φυσικούς αριθμούς. Στη θεωρία συνόλων, η πρόσθεση επεκτείνεται στη συνέχεια σε προοδευτικά μεγαλύτερα σύνολα που περιλαμβάνουν τους φυσικούς αριθμούς: τους ακέραιους, τους ρητούς αριθμούς, και τους πραγματικούς αριθμούς. (Στη μαθηματική διδασκαλία, θετικά κλάσματα προστίθενται πριν ακόμη θεωρηθούν οι αρνητικοί αριθμοί; αυτή είναι και η ιστορική διαδρομή)

Πρόσθεση στη θεωρία συνόλων και θεωρία κατηγοριών

Μια εκτεταμένη γενίκευση της πρόσθεσης των φυσικών αριθμών είναι η πρόσθεση  τακτικών αριθμών και απόλυτων αριθμών στη θεωρία συνόλων. Αυτοί δίνουν δύο διαφορετικές γενικεύσεις της πρόσθεσης των φυσικών αριθμών στους υπερπεπερασμένους.
Σε αντίθεση με τις περισσότερες προσθετικές ιδιότητες, η πρόσθεση των τακτικών αριθμών δεν είναι μεταθετική.
Η πρόσθεση των απόλυτων αριθμών, όμως, είναι μια μεταθετική πράξη στενά συνδεδεμένη με το εγχείρημα της ξένης ένωσης.
Στη θεωρία κατηγοριών, η ξένη ένωση θεωρείται σαν μια ειδική περίπτωση της λειτουργίας του κατηγορηματικού αθροίσματος , και γενικά τα κατηγορηματικά αθροίσματα είναι ίσως τα πιο αφηρημένα από όλες τις γενικεύσεις της πρόσθεσης. Κάποια κατηγορηματικά αθροίσματα, όπως το  Ευθύ άθροισμα και το Wedge sum, ονομάστηκαν επικαλούμενα τη σύνδεσή τους με την πρόσθεση.

Άλλοι τρόποι να προσθέτεις

Η Σταδιακή αύξηση, επίσης γνωστή ως η διαδοχική πράξη, είναι η πρόσθεση του 1 σε έναν αριθμό.
Η Άθροιση περιγράφει την πρόσθεση αυθαιρέτως πολλών αριθμών, συνήθως περισσότερων από δύο. Περιλαμβάνει την ιδέα του αθροίσματος ενός μόνο αριθμού, που είναι ο ίδιος ο αριθμός, και το κενό άθροισμα, που είναι μηδέν. Ένα άπειρο άθροισμα είναι μια λεπτή διαδικασία γνωστή ως σειρά.
Μετρώνταςένα πεπερασμένο σύνολο είναι ισοδύναμο με το να προσθέτεις  1 στο σύνολο.
Η Ολοκλήρωση είναι ένα είδος "άθροισης" πάνω σε ένα συνεχές, η πιο σωστά και γενικά, πάνω σε μια διαφορίσιμη πολλαπλότητα. Ολοκλήρωση πάνω από μια πολλαπλότητα διάστασης μηδέν οδηγεί στην άθροιση.
Οι Γραμμικοί συνδυασμοί συνδυάζουν  πολλαπλασιασμό και πρόσθεση; είναι αθροίσματα στα οποία κάθε όρος έχει ένα πολλαπλασιαστή, συνήθως έναν πραγματικό ή ένα μιγαδικό αριθμό. Οι γραμμικοί συνδυασμοί είναι ιδιαίτερα χρήσιμοι σε πλαίσια όπου η απλή πρόσθεση θα παραβίαζε κάποιους κανόνες ομαλοποίησης, όπως η μίξη των στρατηγικών στη θεωρία παιχνιδιών ή η υπέρθεση των καταστάσεων στη κβαντομηχανική.
Η Συσπείρωση χρησιμοποιείται για να προσθέτει δυο ανεξάρτητες  τυχαίες μεταβλητές ορισμένες από συναρτήσεις κατανομής. Ο συνήθης ορισμός της συνδυάζει ολοκλήρωση, αφαίρεση, και πολλαπλασιασμό. Γενικότερα, η συσπείρωση  είναι χρήσιμη ως ένα είδος πλευρικού πεδίου της πρόσθεσης; σε αντίθεση, η πρόσθεση διανυσμάτων είναι ένα είδος πλευρικού εύρους της πρόσθεσης.