Ομολογική Άλγεβρα

Ομολογική Άλγεβρα είναι ο κλάδος των μαθηματικών που μελετά την ομολογία σε ένα γενικό αλγεβρικό περιβάλλον. Είναι μια σχετικά νέα επιστήμη, της οποίας η προέλευση μπορεί να εντοπιστεί σε έρευνες στα πλαίσια της συνδυαστικής τοπολογίας (ένας πρόδρομος στην Αλγεβρική Τοπολογία) και της αφηρημένης άλγεβρας (θεωρία των προτύπων  και συζυγίες) στα τέλη του 19ου αιώνα, κυρίως από τον Ανρί Πουανκαρέ και Νταβίντ Χίλμπερτ.
Η ανάπτυξη της ομολογικής άλγεβρας ήταν στενά συνυφασμένη με την εμφάνιση της θεωρίας κατηγοριών. Σε γενικές γραμμές, ομολογική άλγεβρα είναι η μελέτη των ομολογικών συναρτήσεων και των περίπλοκων αλγεβρικών δομών που συνεπάγονται. Μία πολύ χρήσιμη και συχνή έννοια στα μαθηματικά είναι η αλυσίδα συμπλεγμάτων, που μπορεί να μελετηθεί τόσο μέσω της ομολογίας όσο και μέσω της cohomology. Η Ομολογική Άλγεβρα παρέχει τα μέσα για την εξαγωγή πληροφοριών που περιέχονται στις αλυσίδες συμπλεγμάτων και τα παρουσιάζει με τη μορφή ομολογικών σταθερών των δακτυλίων, των προτύπων, των τοπολογικών χώρων και άλλων μαθηματικών αντικειμένων. Ένα ισχυρό εργαλείο για να γίνει αυτό, παρέχεται από τις φασματικές ακολουθίες.
Από τις αρχές της, η ομολογική άλγεβρα έχει παίξει τεράστιο ρόλο στην Αλγεβρική Τοπολογία. Η σφαίρα επιρροής της επεκτάθηκε σταδιακά και σήμερα περιλαμβάνει την αντιμεταθετική άλγεβρα, την αλγεβρική γεωμετρία, την Αλγεβρική Θεωρία Αριθμών, την Θεωρία αναπαραστάσεων, Μαθηματική Φυσική, Μιγαδική Ανάλυση και τη Θεωρία των μερικών Διαφορικών εξισώσεων. Η Κ-θεωρία είναι μια ανεξάρτητη θεωρία που βασίζεται στις μεθόδους της ομολογικής άλγεβρας, όπως και η μη-αντιμεταθετική γεωμετρία του Alain Connes.

Η ιστορία της ομολογικής άλγεβρας

Η Ομολογική άλγεβρα άρχισε να μελετάται στην πιο βασική της μορφή το 1800 ως κλάδος της τοπολογίας, αλλά δεν ήταν μέχρι το 1940 που έγινε ένα ανεξάρτητο θέμα για τη μελέτη των ext functor, tor functor και άλλων.

Ακριβείς ακολουθίες

Στο πλαίσιο της θεωρίας των ομάδων, μια ακολουθία
ομάδων και ομομορφισμών ονομάζεται ακριβής εάν η εικόνα (ή πεδίο τιμών) κάθε ομομορφισμού είναι ίση με τον πυρήνα της επόμενης:
Σημειώνεται ότι η ακολουθία των ομάδων και ομομορφισμών μπορεί να είναι είτε πεπερασμένη είτε να τείνει στο άπειρο.
Ένας παρόμοιος ορισμός μπορεί να γίνει και για ορισμένες άλλες αλγεβρικές δομές. Για παράδειγμα, κάποιος θα μπορούσε να έχει μια ακριβή ακολουθία των διανυσματικών χώρων και γραμμικών μετασχηματισμών, ή των προτύπων και πρότυπων ομομορφισμών. Γενικότερα, η έννοια της ακριβούς ακολουθίας έχει νόημα σε οποιαδήποτε κατηγορία με πυρήνες και cokernels.

Μακρά ακριβής ακολουθία

Μια μακρά ακριβής ακολουθία είναι μια ακριβής ακολουθία η οποία αναπροσαρμόζονται από τους φυσικούς αριθμούς

Το πέμπτο λήμμα

Εξετάστε το ακόλουθο αντιμεταθετικό διάγραμμα σε κάθε αβελιανή κατηγορία (όπως στη κατηγορία των αβελιανών ομάδων ή στην κατηγορία των διανυσματικών χώρων πάνω από ένα δεδομένο τομέα) ή στην κατηγορία των ομάδων.
Το πέμπτο λήμμα δηλώνει ότι, αν οι σειρές είναι ακριβείς, m και p είναι ισομορφισμοί, l είναι ένας επιμορφισμός, και q ένας μονομορφισμός, τότε το n είναι επίσης ένας ισομορφισμός.

Το λήμμα snake

Σε μια αβελιανή κατηγορία (όπως η κατηγορία των αβελιανών ομάδων ή η κατηγορία των διανυσματικών χώρων πάνω από ένα δεδομένο τομέα), δείτε το παρακάτω αντιμεταθετικό διάγραμμα:
όπου οι σειρές είναι ακριβείς ακολουθίες και 0 είναι το αντικείμενο μηδέν. Τότε υπάρχει μια ακριβής ακολουθία που συνδέει τους πυρήνες και τα cokernels των a, b, και c:
Επιπλέον, εάν ο μορφισμός f είναι ένας μονομορφισμός, τότε έτσι είναι και ο μορφισμός kera→ Keb, και αν g’ είναι ένας επιμορφισμός, τότε έτσι είναι και το Cokerb → Cokerc.

Παράγωγες συναρτήσεις

Ας υποθέσουμε ότι μας δίνεται μια αναλλοίωτη  left exact functor F: A → B μεταξύ δύο αβελιανών κατηγοριών Α και Β. Αν 0 → Α → Β → C → 0 είναι μια σύντομη ακριβής ακολουθία στο Α, στη συνέχεια, εφαρμόζοντας την F παράγεται η ακριβής ακολουθία 0 → F (A) → F (B) → F (C) και θα μπορούσε κανείς να ρωτήσει πώς να συνεχίσουμε αυτή τη σειρά προς τα δεξιά για να σχηματιστεί μια μακρά ακριβής ακολουθία. Για να κυριολεκτήσουμε, το ερώτημα αυτό δεν έχει οριστεί με ακρίβεια, δεδομένου ότι πάντα υπάρχουν πολλοί διαφορετικοί τρόποι για να συνεχίσουμε μια δεδομένη ακριβής ακολουθία προς τα δεξιά. Αλλά αποδεικνύεται ότι (αν ο A είναι αρκετά "καλό") υπάρχει ένας κανονικός τρόπος για να γίνει αυτό, που δίνεται από το δικαίωμα που προέρχεται από τους παράγοντες της F. Για κάθε i≥1, υπάρχει μια συνάρτηση RⁱF: Α → Β, και η παραπάνω ακολουθία συνεχίζει έτσι: 0 → F (A) → F (Β) → F (C) → R¹F (Α) → R¹F (Β) → R¹F (C) → R²F (Α) → R²F (Β) →... . Από αυτό βλέπουμε ότι η F είναι μια ext functor αν και μόνο αν R¹F = 0, οπότε κατά μία έννοια το right derived functor της F είναι το «πόσο μακριά» είναι η F από το να γίνει ακριβής.