Ομάδα Κόξετερ

Σταμαθηματικά, μια ομάδα Κόξετερ,που πήρε το όνομά της από τον H. S. M. Coxeter, είναι μια αφηρημένη ομάδα] που επιδέχεται μια τυπική περιγραφή, όσον αφορά τις ανακλάσεις (ή καλειδοσκοπικούς καθρέφτες). Πράγματι, οι πεπερασμένες Κόξετερ ομάδες είναι ακριβώς οι πεπερασμένες Ευκλείδιες ανακλαστικές ομάδες  ένα παράδειγμα είναι οι συμμετρικές ομάδες ενός κανονικού πολύεδρου. Ωστόσο, δεν είναι όλες οι Κόξετερ ομάδες πεπερασμένες, και δεν μπορούν να περιγραφούν όλες με ευκλείδιες ανακλαστικές ομάδες και συμμετρικές  ομάδες. Οι ομάδες Κόξετερ εισήχθησαν (Coxeter 1934) ως αφηρημένες ανακλαστικές ομάδες, και οι πεπερασμένες ταξινομήθηκαν  το 1935 (Coxeter 1935).
Οι ομάδες Κόξετερ βρίσκουν εφαρμογές σε πολλούς τομείς των μαθηματικών. Παραδείγματα των πεπερασμένων Κόξετερ ομάδων αποτελούν οι ομάδες συμμετρίας των κανονικών πολυτόπων, και οι []ομάδες Weyl των απλών Lie αλγεβρών. Παραδείγματα Κόξετερ απειροομάδων αποτελούν οι τριγωνικές ομάδες που πληρώνουν κανονικά τo Ευκλείδιο επίπεδο και υπερβολικό επίπεδο, και οι Weyl ομάδες άπειρων διαστάσεων των Kac–Moody-αλγεβρών.
Πρότυπες αναφορές περιλαμβάνουν (Humphreys 1992) και (Davis 2007).

Πεπερασμένες Κόξετερ Ομάδες

Οι πεπερασμένες Κόξετρ ομάδες κατατάσσονται (Coxeter 1935), όσον αφορά τα Κόξετερ–διαγράμματα Dynkin, σε ανακλαστικές ομάδες πεπερασμένης διάστασης Ευκλείδιων χώρων.
Οι πεπερασμένες Κόξετερ ομάδες αποτελούνται από τρεις μονοπαραμετρικές οικογένειες αύξουσας τάξης  μια μονοπαραμετρική οικογένεια διάστασης 2,  και έξι εξαιρετικές ομάδες:  και

Weyl ομάδες

Πολλές, αλλά όχι όλες οι ομάδες, είναι Weyl ομάδες, και κάθε ομάδα Weyl μπορεί να γίνει αντιληπτή  ως μια ομάδα Κόξετερ. Οι Weyl ομάδες είναι οι οικογένειες  και  και οι εξαιρετικές  και η  συμβολίζεται στην σημειογραφία των ομάδων Weyl , ως  Οι μη-Weyl ομάδες είναι οι  και  και η οικογένεια  , εκτός εάν αυτή συμπίπτει με μια από τις Weyl ομάδες (δηλαδή  και ).
Αυτό μπορεί να αποδειχθή από τη σύγκριση των περιορισμών (μη κατευθυνόμενο) των διαγραμμάτων Dynkin με τους περιορισμούς των Κόξετερ διαγραμμάτων των πεπερασμένων ομάδων: επισήμως, ένα διάγραμμα Dynkin μπορεί να επικρατήσει έναντι ενός Κόξετερ γραφήματος  με παραμερισμό της κατεύθυνσης των ακμών, και  αντικατάσταση κάθε διπλής ακμής με ακμή μήκους 4 και κάθε τριπλή μήκους 6. Επίσης, σημειώστε ότι κάθε πεπερασμένα παραγόμενη ομάδα Κόξετερ είναι μια ομάδα αυτομάτων. Τα διαγράμματα Dynkin έχουν το πρόσθετο περιορισμό ότι το μόνο μήκος που επιτρέπεται για μια ακμή είναι 2, 3, 4, και 6, η οποία παράγει τα παραπάνω. Γεωμετρικά, αυτό αντιστοιχεί στο θεώρημα περιορισμού της κρυσταλογραφίας, και το γεγονός ότι εξαιρούνται οι πολυτόποι δεν γεμίζουν το χώρο ή καλύπτουν το επίπεδο – για την  το δωδεκάεδρο (διττά, εικοσάεδρο) δεν γεμίζει το χώρο, για την  το 120-κελί (διττά, 600-κελί) δεν γεμίζει το χώρο, για την  μια σ-gon δεν γεμίζει το επίπεδο εκτός από  ή  (στο τριγωνικές, τετραγωνικές, εξαγωνικές στρώσεις, αντίστοιχα).
Να σημειωθεί ακόμα ότι τα (κατευθυνόμενα) διαγραμμάτα Dynkin Βₙ και Cₙ δημιουργούν την ίδια Weyl ομάδα (εξ ου και Κόξετερ ομάδα), επειδή διαφέρουν ως κατευθυνόμενα γραφήματα, αλλά συμφωνούν ως μη κατευθυνόμενα γραφήματα – η κατεύθυνση έχει σημασία για τα ριζικά συστήματα, αλλά όχι για τις ομάδες Weyl * αντίστοιχα στον υπερκύβο και στο υπεροκτάεδρο έχουν διαφορετικά κανονικά πολύτοπα αλλά έχουν την ίδια συμμετρία ομάδας.

Ομάδες συμμετρίας των κανονικών πολυτόπων

Όλες οι συμμετρικές των κανονικών πολυτόπων είναι πεπερασμένες Κόξετερ ομάδες. Να σημειωθεί ότι τα δυικά πολύτοπα έχουν την ίδια συμμετρία ομάδας.
Υπάρχουν τρεις σειρές κανονικών πολυτόπων σε όλες τις διαστάσεις. Η συμμετρική ομάδα ενός κανονικού n-απλού είναι η συμμετρική ομάδα Sₙ₊₁, επίσης γνωστή ως η ομάδα Κόξετερ τύπου Aₙ. Η συμμετρική ομάδα του n-κύβου και το διπλό του, του n-υπεροκτάεδρο,είναι η Βₙ, γνωστή και ως η υπεροεκταεδρική ομάδα.
Τα εξαιρετικά πολύτοπα σε διαστάσεις 2,3 και τέσσερα αντιστοιχούν σε άλλες Κόξετερ ομάδες. Σε δύο διαστάσεις, οι δίεδρες ομάδες, οι οποίες είναι οι ομάδες συμμετρίας των κανονικών πολυγώνων,  αποτελούν τη σειρά I₂(σ). Σε τρεις διαστάσεις, η συμμετρική ομάδα του κανονικού δωδεκάεδρο και του διπλού, το κανονικού εικοσάεδρου, Χ₃, είναι γνωστή ως η πλήρης εικοσαεδρική ομάδα. Στις τέσσερις διαστάσεις, υπάρχουν τρία ειδικά κανονικά πολύτοπα, των 24-κελιών, των 120-κελιών, και των 600-κελιών. Το πρώτο έχει συμμετρία ομάδας την F₄, ενώ τα άλλα δύο είναι δυικά και η έχουν ως ομάδα συμμετρίας την H₄.
Οι Κόξετερ ομάδες τύπου Dₙ, E₆, E₇, E₈ είναι οι συμμετρικές ομάδες ορισμένων ημικανονικών πολύτοπων.

Υπερβολικές Κόξετερ ομάδες

Υπάρχουν απείρως πολλες υπερβολικές Κόξετερ ομάδες που περιγράφουν ανακλαστικές ομάδες σε υπερβολικό χώρο, ιδίως οι υπερβολικές τριγωνικές ομάδες.

Μερική διάταξη

Μια επιλογή από ανακλαστικούς γεννήτορες δημιουργεί μια συνάρτηση μήκος σε μια Κόξετερ ομάδα, δηλαδή τον ελάχιστο αριθμό χρήσεων από γεννήτριες που απαιτείται για να εκφράσω μια ομάδα στοιχείο, αυτό ακριβώς είναι το μήκος της μετρικής λέξης στο Cayley γράφημα. Μια έκφραση για το v χρησιμοποιώντας το l(v) των γεννητριών είναι μειωμένη λέξη. Για παράδειγμα, η μετάθεση (13) S₃ έχει δύο μειωμένη λέξεις, (12)(23)(12) και (23)(12)(23). Η συνάρτηση  ορίζει ένα χάρτη  γενικεύοντας την απεικόνιση του προσήμου για τις συμμετρικές ομάδες.
Χρησιμοποιώντας μειωμένη λέξη μπορεί κανείς να ορίσει τρεις μερικές διατάξεις στην ομάδα Coxeter, η (σωστή) αδύναμη διάταξη, την απόλυτη διάταξη και τη Bruhat διάταξη (το όνομά της από τον Φρανσουά Bruhat). Ένα στοιχείο v υπερβαίνει ένα στοιχείο u κατά τη Bruhat διάταξη, ώστε αν κάποια (ή αντίστοιχα, οποιαδήποτε) μειωμένη λέξη για το v περιέχει μειωμένη λέξη για το u ως δευτερεύουσα συμβολοσειρά, οπου κάποια γράμματα (σε οποιαδήποτε θέση) απορρίπτονται. Στην αδύναμη διάταξη, v ≥ u αν κάποια μειωμένη λέξη για το v περιέχει μειωμένη λέξη για το u ως ένα αρχικό τμήμα. Πράγματι, το μήκος λέξης  διαβαθμισμένα μερικώς διατεταγμένα σύνολα με αυτό τον τρόπο. Τα διαγράμματα Hasse που αντιστοιχούν σε αυτές τις εντολές είναι αντικείμενα μελέτης και σχετίζονται με το Cayley γράφημα που καθορίζεται από τις γεννήτριες. Η απόλυτη τάξη ορίζεται κατ ' αναλογία προς την αδύναμη διάταξη, αλλά με το να παράγει το σύνολο/αλφάβητο που αποτελείται από όλα τα συζυγή των Κόξετερ γεννητριών.
Για παράδειγμα, η μετάθεση (1 2 3) S₃ έχει μόνο μία μειωμένη λέξη, (12)(23), έτσι ώστε να καλύπτει (12) και (23) στη Bruhat διάταξη, αλλά καλύπτει μόνο την (12) στην αδύναμη διάταξη.

Ομολογία

Εφόσον μια ομάδα Κόξετερ W παράγεται από πεπερασμένα πολλά στοιχεία τάξης 2, η αβελιονοποιημένη είναι μια στοιχειώδης αβελιανή 2-ομάδα, δηλαδή μια ισόμορφη με το ευθύ άθροισμα πολλών αντιγράφων από την κυκλική ομάδα Z₂. Αυτό μπορεί να επαναληφθεί κατά τους όρους της πρώτης ομόλογης ομάδας του W.
Ο Schur πολλαπλασιαστής M(W) (σε σχέση με τη δεύτερη ομολογία) υπολογίστηκε από τους (Ihara & Yokonuma 1965) για πεπερασμένες ανακλαστικές ομάδες και από τον (Yokonuma 1965) για συναφής ανακλαστικές ομάδες, με ένα πιο ενοποιημένο λογαριασμό που δίνεται από τον (Howlett 1988). Σε όλες τις περιπτώσεις, ο Schur πολλαπλασιαστής είναι, επίσης, μια στοιχειώδης αβελιανή 2-ομάδα. Για κάθε άπειρη οικογένεια {Wₙ} είναι πεπερασμένη ή συναφή Weyl ομάδα, η τάξη των M(W) σταθεροποιείται καθώς το n πηγαίνει στο άπειρο.