Συμπερασματικός κανόνας

Στην μαθηματική λογική, συμπερασματικός κανόνας ή επαγωγικός κανόνας (inference rule) είναι μια συνάρτηση από σύνολα προτάσεων σε προτάσεις. Το όρισμα της συνάρτησης λέγεται σύνολο προϋποθέσεων ή απλούστερα προϋποθέσεις ή υποθέσεις, και η τιμή της συνάρτησης λέγεται συμπέρασμα. Οι συναρτήσεις αυτές μπορούν επίσης να θεωρηθούν ως σχέσεις μεταξύ των υποθέσεων και του συμπεράσματος, όπου λέμε ότι το συμπέρασμα είναι παραγόμενο ή συνεπαγόμενο ή επαγόμενο από τις υποθέσεις. Αν το σύνολο των υποθέσεων είναι κενό, τότε το συμπέρασμα λέγεται και αξίωμα στη λογική που το περιέχει.
Μια επιθυμητή ιδιότητα ενός συμπερασματικού κανόνα είναι να είναι αποτελεσματικός. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει μια αποτελεσματική διαδικασία (ουσιαστικά ένας αλγόριθμος) που αποφασίζει αν μια δεδομένη πρόταση μπορεί να προκύψει από οποιοδήποτε σύνολο προτάσεων με χρήση αυτού του κανόνα. Παράδειγμα αναποτελεσματικού κανόνα είναι ο κανόνας ωμέγα άπειρης τάξης.
Ένας συμπερασματικός κανόνας δεν χρειάζεται να διατηρεί κάποια σημασιολογική ιδιότητα, όπως είναι π.χ. η αλήθεια ή η εγκυρότητα του συμπεράσματος. Πράγματι, δεν χρειάζεται μια λογική που ορίζεται συντακτικά να έχει οποιαδήποτε σημασιολογία ή ερμηνεία. Ένας κανόνας μπορεί π.χ. να διατηρεί την ιδιότητα ότι το συμπέρασμα είναι συνδυασμός των υπο-προτάσεων της μεγαλύτερης πρότασης από τις υποθέσεις. Παρ' όλα αυτά, σε πολλά συστήματα οι συμπερασματικοί κανόνες χρησιμοποιούνται από κοινού με μία σημασιολογία αλήθειας / ψεύδους για να παράγουν θεωρήματα, δηλαδή κατά την κατασκευή αποδείξεων.
Εξέχοντα παραδείγματα συμπερασματικών κανόνων στην προτασιακή λογική, είναι οι κανόνες του modus ponens και modus tollens. Για τη λογική πρώτης τάξης, οι συμπερασματικοί κανόνες χρειάζονται για τους λογικούς ποσοδείκτες. Τα σχήματα αξιωμάτων μπορούν επίσης να θεωρηθούν ως συμπερασματικοί κανόνες χωρίς προϋποθέσεις.
Υπάρχουν πολλά διαφορετικά συστήματα τυπικής λογικής, κάθε ένα από τα οποία έχει το δικό του σύνολο από καλά ορισμένες προτάσεις, συμπερασματικούς κανόνες και, ενίοτε, σημασιολογία. Για παράδειγμα, βλ. χρονική λογική, τροπική λογική, ή διαισθητική λογική. Η κβαντική λογική είναι επίσης μια μορφή λογικής διαφορετική από τις παραπάνω. Για χρήσεις συμπερασματικών κανόνων, βλ. ακόμα θεωρία αποδείξεων. Στον κατηγορηματικό λογισμό, χρειάζεται ένας επιπλέον συμπερασματικός κανόνας, η γενίκευση.

Γενικά

Στην τυπική λογική (και πολλές σχετικές περιοχές στα μαθηματικά και στην επιστήμη υπολογιστών), οι συμπερασματικοί κανόνες έχουν συνήθως την παρακάτω καθιερωμένη μορφή:   Υπόθεση #1

  Υπόθεση #2

        ...
  Υπόθεση #n   

  Συμπέρασμα
Η έκφραση αυτή δηλώνει ότι, οποτεδήποτε στην πορεία μιας λογικής επαγωγικής διαδικασίας, δίνονται ή παράγονται οι συγκεκριμένες υποθέσεις, τότε το συγκεκριμένο συμπέρασμα μπορεί επίσης να ληφθεί ως δεδομένο. Η συγκεκριμένη τυπική γλώσσα που χρησιμοποιείται για να εκφράσει τόσο τις υποθέσεις όσο και το συμπέρασμα εξαρτάται από το γενικό πλαίσιο όπου γίνεται η επαγωγική διαδικασία. Για παράδειγμα, στην απλή περίπτωση που χρησιμοποιούμε λογικές προτάσεις:
  A→B
  A        

  ∴B
το οποίο είναι απλά ο κανόνας modus ponens της προτασιακής λογικής. Οι συμπερασματικοί κανόνες διατυπώνονται συνήθως ως σχήματα κανόνων με χρήση καθολικών μεταβλητών. Στον παραπάνω κανόνα (σχήμα), τα A και B μπορούν να σημαίνουν οποιοδήποτε μαθηματικό αντικείμενο ή στοιχείο συνόλου ή του Σύμπαντος (συνήθως, συμβατικά, κάποιου υποσυνόλου όπως οι μαθηματικές προτάσεις), ώστε να παράγουν ένα πιθανώς άπειρο σύνολο «συγκεκριμένων» συμπερασματικών κανόνων.
Ένα σύστημα αποδείξεων σχηματίζεται από ένα σύνολο κανόνων εφαρμοζόμενων στη σειρά ώστε να σχηματίσουν αποδείξεις, ή παραγωγές (derivations). Οποιαδήποτε παραγωγή έχει ένα μόνο τελικό συμπέρασμα, που είναι και η πρόταση που αποδεικνύεται ή παράγεται. Αν κάποιες υποθέσεις μένουν ανικανοποίητες στην παραγωγή, τότε αυτή αποτελεί απόδειξη μιας υποθετικής θέσης: «αν οι υποθέσεις ισχύουν, τότε το συμπέρασμα ισχύει».