Μιγαδικό επίπεδο

Τέμνοντας το επίπεδο

Όταν ασχολούμαστε με συναρτήσεις μιας μιγαδικής μεταβλητής είναι συχνά κατάλληλο να σκεφτούμε την διχοτόμηση στο μιγαδικό επίπεδο. Αυτή η ιδέα ανακύπτει φυσικά σε μερικά διαφορετικά παραδείγματα
Πλειότιμες σχέσεις και σημεία διακλάδωσης
Θεωρώ την απλή διπλότιμη σχέση
Πριν μπορούμε να αντιμετωπίσουμε την σχέση αυτή σαν μονότιμη συνάρτηση, το πλήθος των αποτελεσματικών τιμών πρέπει να είναι κάπως περιορισμένο . όταν ασχοληθούμε με την τετραγωνική ρίζα των μη αρνητικών πραγματικών αριθμών αυτό είναι εύκολα κατανοητό. Για παράδειγμα, μπορούμε απλά να ορίσουμε
να είναι ο μη αρνητικός πραγματικός αριθμός ψ όπως . Αυτή η ιδέα δεν λειτουργεί τόσο καλά στο δυσδιάστατο μιγαδικό επίπεδο. Για να δούμε γιατί, ας σκεφτούμε τον τρόπο που η τιμή του f(z) διαφέρει όσο το σημείο z κινείται γύρω από τον μοναδιαίο κύκλο. Μπορούμε να γράψουμε
 και παίρνουμε  (0≤θ≤π)
Αποδεικτικά, όσο το ζ κινείται προς όλες τις κατευθύνσεις γύρω από τον κύκλο, το w ιχνηλατεί μόνο στο ένα μισό του κύκλου. Έτσι, μια συνεχής κίνηση στο μιγαδικό επίπεδο μετασχηματίζει την θετική τετραγωνική ρίζα  σε αρνητική τετραγωνική ρίζα 
Αυτό το πρόβλημα ανακύπτει επειδή το σημείο z=0 έχει απλά μια τετραγωνική ρίζα, όταν κάθε άλλος μιγαδικός αριθμός z≠0 έχει ακριβώς δυο τετραγωνικές ρίζες. Στην γραμμή των πραγματικών αριθμών μπορούμε να αντιμετωπίσουμε το πρόβλημα από την ανόρθωση του "εμποδίου" μόνο στο σημείο x=0. Ένα μεγαλύτερο επίπεδο χρειάζεται στο μιγαδικό επίπεδο, να αποτρέψει κάθε κλειστό περίγραμμα από ολοκληρωτικά συμπεριλαμβανομένου του σημείου διακλάδωσης z=0. Αυτό κοινά έγινε από την εισαγωγή της τομής διακλάδωσης σε αυτή την περίπτωση η "τομή" μπορεί να εκτείνεται από το σημείο z=0 κατά μήκος των θετικών πραγματικών αξόνων στο άπειρο, έτσι το όρισμα της μεταβλητής ζ στο τεμνόμενο επίπεδο είναι περιορισμένο στο εύρος 0≤arg(z)≤2π.
Μπορούμε τώρα να δώσουμε μια ολοκληρωμένη περιγραφή του . Για να το κάνουμε χρειαζόμαστε δυο αντίγραφα του ζ-επιπέδου σε κάθε ένα από αυτά διχοτομώ κατά μήκος του πραγματικού άξονα. Σε ένα αντίγραφο ορίζουμε την τετραγωνική ρίζα του 1 για να είναι  και στο άλλο ορίζουμε την τετραγωνική ρίζα του 1 να είναι . Ορίζουμε αυτά τα δύο αντίγραφα αυτού του ολοκληρωτικού διαχωρισμού του επιπέδου στο χαρτί. Φτιάχνοντας ένα συνεχόμενο όρισμα βλέπουμε ότι η (τώρα μονότιμη) συνάρτηση απεικονίζεται στο πρώτο φύλλο πιο πάνω από το μισό του w-επιπέδου, όπου 0≤arg(w)<π ενώ η απεικόνιση του δεύτερου φύλλου βρίσκεται πιο χαμηλά στο w-επίπεδο (όπου π≤arg(w)<2π).
Η τομή διακλάδωσης στο παράδειγμα δεν βρίσκεται κατά μήκος του πραγματικού άξονα. Δεν είναι σε ευθεία γραμμή. Κάθε συνεχόμενη καμπύλη ενώνοντας την αρχή ζ=0 με το άπειρο μπορεί να δουλέψει. Σε μερικές περιπτώσεις η τομή διακλάδωσης δεν έχει να περάσει από το άπειρο. Για παράδειγμα θεωρώ τη σχέση
Εδώ το πολυωνυμικό  εξαλείφεται όταν z=±1 έτσι g αποδεικτικά έχει δύο σημεία διακλάδωσης. Μπορεί να διχοτομήσει το επίπεδο κατά μήκος του πραγματικού άξονα από το -1 στο 1 και περιέχει μια σελίδα στην οποία g(z) είναι μονότιμη συνάρτηση. Εναλλακτικά, η τομή μπορεί να γίνει από το z=1 κατά μήκος του θετικού πραγματικού άξονα μέχρι το άπειρο, συνεχίζει πάνω στον αρνητικό πραγματικό άξονα στο άλλο σημείο διακλάδωσης το z=-1.
Αυτή η κατάσταση είναι πιο εύκολα ορατή από την χρήση στερεογραφικής προβολής που περιγράφεται παραπάνω. Στη σφαίρα μια από αυτές τις τομές κατά μήκος του νότιου ημισφαιρίου, συνδέοντας το σημείο του ισημερινού (z=-1) με άλλο σημείο του ισημερινού (z=1) περνώντας μέσω του νότιου άκρου (αρχή, z=0). Η δεύτερη έκδοση από την τομή πηγαίνει κατά μήκος μέσω του βόρειου ημισφαιρίου και συνδέεται στα ίδια δυο σημεία από όπου περνάει μέσω του βόρειου άκρου (αυτό είναι το άπειρο).
Περιορίζοντας το πεδίου ορισμού της μερόμορφης συνάρτησης
Η μερόμορφη συνάρτηση είναι μια μιγαδική συνάρτηση όπου είναι ολόμορφη και άρα αναλυτική οπουδήποτε σε αυτό το πεδίο ορισμού εκτός από τις τελικές, ή αριθμήσιμα άπειρο, αριθμό των σημείων. Τα σημεία στα οποία η συνάρτηση δεν μπορεί να προσδιοριστεί ονομάζονται τα άκρα της μερόμορφης συνάρτησης. Μερικές φορές όλα αυτά τα άκρα βρίσκονται πάνω σε μια ευθεία γραμμή. Σε αυτή την περίπτωση μαθηματικοί μπορούν να πουν ότι η συνάρτηση είναι "ολόμορφη στο τεμνόμενο επίπεδο". Εδώ είναι ένα απλό παράδειγμα. Η συνάρτηση Γ, ορίζεται από τη σχέση
όπου γ είναι η σταθερά του Euler-Moscheroni, και έχει απλά άκρα στα 0,-1,-2,-3,... Επειδή ακριβώς ένας παρονομαστής στο άπειρο γινόμενο εξαλείφεται όταν ζ είναι μηδέν, ή ένας αρνητικός ακέραιος. Μέχρι όλες οι άκρες να βρίσκονται στον αρνητικό πραγματικό άξονα, από z=0 στο άπειρο, αυτή η συνάρτηση μπορεί να περιγραφεί ως "ολόμορφη στο τεμνόμενο επίπεδο", η τομή επεκτείνεται κατά μήκος του αρνητικού πραγματικού άξονα, από το 0 (μαζί με αυτό) στο άπειρο"
Εναλλακτικά, Γ(z) μπορεί να περιγραφεί σαν " ολόμορφη στο τεμνόμενο επίπεδο με -π<arg(z)<π εκτός το σημείο z=0"
Παρατηρώ ότι αυτή η τομή είναι ελαφρώς διαφορετική από το σημείο διακλάδωσης το οποίο συναντήσαμε, επειδή αυτό πραγματικά εξαιρεί τον αρνητικό πραγματικό άξονα από το τεμνόμενο επίπεδο.
Το σημείο διακλάδωσης αριστερά του πραγματικού άξονα συνδέεται με το τεμνόμενο επίπεδο από την μια πλευρά (0≤θ), αλλά αποκόπτεται από το τεμνόμενο επίπεδο κατά μήκος της άλλης πλευράς (θ<2π).
Φυσικά, δεν είναι πραγματικά απαραίτητο να αποκλείσουμε το ολόκληρο τμήμα της γραμμής από το z=0 στο άπειρο για να κατασκευαστεί ένα πεδίο ορισμού στο οποίο Γ(z) να είναι ολόμορφη. Αυτό που έχουμε να κάνουμε είναι να τρυπήσουμε το επίπεδο σε αριθμήσιμο άπειρο ζεύγος σημείων {0,-1,-2,-3,...}. Αλλά ένα κλειστό ολοκλήρωμα σε κλειστή καμπύλη όπου δεν είναι απαραιτήτως μηδέν, από το θεώρημα των ολοκληρωτικών υπολοίπων. Από την διχοτόμηση του μιγαδικού επιπέδου εξασφαλίζουμε περιορισμένο πεδίο ορισμού- επίσης εξασφαλίζουμε ότι το ολοκλήρωμα σε κλειστή καμπύλη του Γ επί κάθε κλειστή καμπύλη τοποθετείτε στο τεμνόμενο επίπεδο είναι πανομοιότυπα ίσο με μηδέν.
Προσδιορισμός περιοχών σύγκλισης
Αρκετές μιγαδικές συναρτήσεις ορίζονται από τις σειρές ή από συνεχή κλάσματα. Μια θεμελιώδης θεωρία της ανάλυσης από αυτή την άπειρα μεγάλη έκφραση της ανάλυσης είναι αναγνωρίσιμο το μέρος του μιγαδικού επιπέδου στις οποίες συγκλίνει σε πεπερασμένη τιμή. Η τομή στο επίπεδο μπορεί να διευκολύνει αυτή την διαδικασία, όπως δείχνει το επόμενο παράδειγμα.
Θωρώ την συνάρτηση που ορίζεται από την απειροσειρά
Από  για κάθε μιγαδικό αριθμό z, είναι προφανές ότι το f(z) είναι άρτια συνάρτηση του z, έτσι η ανάλυση μπορεί να περιοριστεί στο μισό μιγαδικό επίπεδο. Και μέχρι οι σειρές να είναι απροσδιόριστες όταν
Βγάζει νόημα να διχοτομήσουμε το επίπεδο κατά μήκος ολόκληρου του φανταστικού άξονα και αποδεικνύουμε την σύγκλιση της σειράς όπου το πραγματικό μέρος του z δεν είναι μηδέν πριν την ανάληψη του πιο δύσκολου σημείου του παραδείγματος f(z) όταν το z είναι ένας απλός φανταστικός αριθμός.
Σε αυτό το παράδειγμα η τομή είναι απλά εύκολη, επειδή τα σημεία στα οποία το άπειρο άθροισμα είναι απροσδιόριστο είναι απομονωμένα, και η τομή του επιπέδου μπορεί να αντικατασταθεί από μια κατάλληλη τρύπα του επιπέδου. Σε μερικά η τομή είναι απαραίτητη και όχι απλά κατάλληλη. Θεωρώ το άπειρο περιοδικό συνεχές κλάσμα
Αυτό μπορεί να δείξει ότι f(z) συγκλίνει σε τελική τιμή αν και μόνον αν ο z δεν είναι αρνητικός πραγματικός αριθμός όπως z<-1/4. Με άλλα λόγια, η συγκλίνουσα αρχή για αυτό το συνεχές κλάσμα είναι η τομή του επιπέδου, όπου η τομή εκτείνεται κατά μήκος του αρνητικού πραγματικού άξονα, από -1/4 στο άπειρο.

Χρήση του μιγαδικού επιπέδου στη θεωρία ελέγχου[επεξεργασία]

Στη θεωρία ελέγχου, η μια χρήση του μιγαδικού επιπέδου είναι γνωστή ως το s-επίπεδο''. Αυτό χρησιμοποιείται για να απεικονίσει τις ρίζες της εξίσωσης,που περιγράφουν την συμπεριφορά ενός συστήματος ( χαρακτηριστική εξίσωση) γραφικά. Η εξίσωση κανονικά εκφράζεται ως ένα πολυώνυμο μιας παραμέτρου 's' του μετασχηματισμού Laplace, εξ ου και το όνομα 's' επίπεδο.Τα σημεία στο s-επίπεδο παίρνει το τύπο s=σ+jω , όπου 'j' χρησιμοποιείται αντί για το συνηθισμένο'i αντιπροσωπεύοντας το φανταστικό στοιχείο.
Μια άλλη σχετική χρήση του μιγαδικού επιπέδου είναι με το κριτήριο της σταθερότητας των Nyquist . Αυτό είναι μία γεωμετρική αρχή, το οποίο επιτρέπει τη σταθερότητα ενός συστήματος ανάδρασης κλειστού βρόχου ,που θα καθοριστεί από την επιθεώρηση Nyquist plot του ανοιχτού βρόχου μέτρου και απόκριση φάσης ως μία συνάρτηση συχνότητας (ή βρόχος συνάρτησης μεταφοράς) στο μιγαδικό επίπεδο.
Το z-επίπεδο είναι μία έκδοση διακριτού χρόνου του s-επιπέδου όπου χρησιμοποιούνται z-μετασχηματισμοί αντί του μετασχηματισμού Laplace.