Πολλαπλότητα

Στα μαθηματικά μια πολλαπλότητα είναι ένας Τοπολογικός χώρος  που τοπικά μοιάζει με Ευκλείδειο χώρο κοντά σε κάθε σημείο. Πιο συγκεκριμένα, κάθε σημείο μίας n-διάστατης πολλαπλοτήτας έχει μια Γειτονία που είναι ομοιομορφική με ένα ανοιχτό υποσύνολο του n-διάστατου Ευκλείδειου χώρου.
Μονοδιάστατες πολλαπλότητες περιλαμβάνουν γραμμές και κύκλους αλλά όχι οχτάρια (επειδή έχουν σημείο διασταύρωσης που δεν είναι τοπικός ομοιομορφισμός του Ευκλείδειου 1-χώρου). Οι δισδιάστατες πολλαπλότητες ονομάζονται επίσης και επιφάνειες. Παραδείγματα περιλαμβάνουν το επίπεδο, τη σφαίρα και τον Τόρο , τα οποία μπορούν να ενσωματωθούν (χωρίς αυτο-διασταυρώσεις) στον τρισδιάστατο πραγματικό χώρο, αλλά επίσης και το μπουκάλι του Klein και το πραγματικό προβολικό επίπεδο τα οποία θα έχουν πάντα αυτο-διασταυρώσεις όταν θα εμβυθίζονται στον πραγματικό χώρο.
Αν και μια πολλαπλότητα μοιάζει τοπικά με Ευκλείδειο χώρο, παγκόσμια μπορεί και να μην ισχύει. Για παράδειγμα η επιφάνεια της σφαίρας δεν είναι ένας Ευκλείδειος χώρος αλλά σε μια περιοχή μπορεί να χαρτογραφηθεί με την βοήθεια της χαρτογραφικής προβολής της περιοχής του Ευκλείδειου χώρου (στο πλαίσιο της πολλαπλότητα ονομάζονται διαγράμματα ). Όταν μια περιοχή εμφανίζεται σε δύο γειτονικά διαγράμματα, οι δύο παραστάσεις δεν συμπίπτουν ακριβώς και ένας μετασχηματισμός χρειάζεται για να περάσει από τη μία στην άλλη, που ονομάζεται μεταβατικός χάρτης.
Η έννοια της πολλαπλότητας έχει κεντρική σημασία για πολλούς τομής της γεωμετρίας και της σύγχρονης μαθηματικής φυσικής επειδή επιτρέπει σε πιο περίπλοκες δομές να περιγραφούν και να κατανοηθούν σε σχέση με τις σχετικά καλά κατανοητές ιδιότητες του Ευκλείδειου χώρου. Οι πολλαπλότητες  προκύπτουν φυσικά ως λύσεις συνόλων από τα συστήματα των εξισώσεων και των γραφικών λειτουργιών. Οι πολλαπλότητες μπορεί να έχουν επιπλέον χαρακτηριστικά. Μια σημαντική κατηγορία πολλαπλοτήτων είναι των διαφορικών πολλαπλοτήτων. Αυτή διαφορική δομή επιτρέπει στον λογισμό να γίνει με πολλαπλότητα. Ένα Riemannian μέτρο σε μια πολλαπλότητα επιτρέπει αποστάσεις και γωνίες να μετρηθούν. Η συμπλεκτική πολλαπλότητα χρησιμεύει ως η φάση του χώρου στον Χαμιλτονιανό φορμαλισμό της κλασικής μηχανικής, ενώ των τεσσάρων διαστάσεων μοντέλο του χωροχρόνου της γενικής σχετικότητας στην Lorenzian πολλαπλότητα.

Εμπλουτισμένος Κύκλος

Εμφανίζεται χρησιμοποιώντας λογισμό, η λειτουργία μετάβασης του κύκλου Τ είναι απλά μα συνάρτηση μεταξύ ανοικτών διαστημάτων, που δίνει νόημα στο ότι το Τ είναι παραγωγίσιμο. Ο χάρτης μετάβασης Τ, και όλοι οι άλλοι είναι παραγωγίσιμοι στο διάστημα (0,1): ως εκ τούτου με αυτόν τον άτλαντα ο κύκλος είναι μια διαφορική πολλαπλότητα. Είναι επίσης ομαλή και αναλυτική επειδή η λειτουργία μετάβασης έχει και αυτή αυτές τις ιδιότητες.
Άλλες ιδιότητες του κύκλου του επέτρεψαν να ανταποκριθεί στις απαιτήσεις των πιο εξειδικευμένων τύπων πολλαπλότητας. Για παράδειγμα,ο κύκλος έχει την έννοια της απόστασης μεταξύ δύο σημείων, το τόξο μήκους δύο σημείων: ως εκ τούτου είναι μια Riemannian πολλαπλότητα.

Σφαίρα

Η σφαίρα είναι ένα παράδειγμα μιας πολλαπλότητας διάστασης 2. Η μοναδιαία σφαίρα των σιωπηρών εξισώσεων είναι 
x² + y² + z² – 1 = 0 
μπορεί να καλυφθεί από έναν άτλαντα των έξι διαγραμμάτων: το επίπεδο z = 0 διαιρεί τη σφαίρα σε μισές σφαίρες (z > 0 και z < 0) τα οποία μπορούν και τα δύο χα χαρτογραφηθούν στον δίσκο x² + y² < 1 με την προβολή στο επίπεδο των συντεταγμένων xy. Αυτό παρέχει δύο διαγράμματα: τα τέσσερα άλλα διαγράμματα παρέχονται από μια παρόμοια κατασκευή με τις άλλες δύο συντεταγμένες του επιπέδου.
Όσο για τον κύκλο, μπορεί κανείς να καθορίσει ένα διάγραμμα που να καλύπτει το σύνολο της σφαίρας εκτός από ένα σημείο. Έτσι τα δύο διαγράμματα είναι επαρκή, αλλά η σφαίρα δεν μπορεί να καλυφθεί από ένα ενιαίο  διάγραμμα.
Αυτό το παράδειγμα ιστορικά σημαντικό, καθώς ήταν το κίνητρο για την ορολογία: έγινε φανερό ότι το σύνολο της επιφάνειας την Γης δεν μπορεί να έχει επίπεδη αναπαράσταση αποτελούμενη από έναν μόνο χάρτη (που ονομάζεται επίσης "γράφημα" , δείτε ναυτικό χάρτη), και ως αποτέλεσμα χρειάζονται άτλαντες για την κάλυψη όλης της επιφάνειας της Γης.

Άλλες Καμπύλες

Οι πολλαπλότητες δεν χρειάζεται να συνδέονται (όλα σε ένα "κομμάτι"): ένα παράδειγμα είναι ένα ζεύγος χωριστών κύκλων.
Οι πολλαπλότητες δεν χρειάζεται να είναι κλειστές: έτσι ένα ευθύγραμμο τμήμα είναι μια πολλαπλότητα. Και δεν είναι ποτέ μετρήσιμα, εκτός εάν η διάσταση της πολλαπλότητας είναι 0. Βάζοντας αυτές τις ελευθερίες μαζί, άλλα παραδείγματα πολλαπλοτήτων είναι η παραβολή, η υπερβολή ( δύο ανοικτά, άπειρα τεμάχια) και ο γεωμετρικός τόπος των σημείων σε μια κυβική καμπύλη y² = x³−x  (ένα κλειστό κομμάτι βρόχου και ένα ανοικτό, άπειρα τεμάχια).
Πάντως, εξαιρούνται τα παραδείγματα όπως δύο κύκλους που εφάπτονται μοιράζονται ένα κοινό σημείο και με αποτέλεσμα να σχηματίζουν μια φιγούρα-8: στο κοινό σημείο ένα ικανοποιητικό διάγραμμα δεν μπορεί να δημιουργηθεί. Ακόμα και με την κάμψη που επιτρέπει η τοπολογία, η περιοχή του κοινού σημείου μοιάζει με ένα "+" και όχι με μια γραμμή. Ένα "+" δεν είναι ομοιομορφισμός σε ένα κλειστό διάστημα (ευθύγραμμο τμήμα) εφόσον διαγράφοντας το κεντρικό σημείο από το "+" παράγεται ένας χώρος με τέσσερις συνιστώσες (δηλαδή κομμάτια) λαμβάνοντας υπόψιν ότι η διαγραφή ενός σημείου από ένα κλειστό διάστημα δίνει έναν χώρο με το πολύ δύο κομμάτια: η τοπολογική λειτουργία πάντα διατηρεί των αριθμό των κομματιών.

Ιστορία [Επεξεργασία]

Για περισσότερες λεπτομέρειες σχετικά με αυτό το θέμα, δείτε την ιστορία των πολλαπλοτήτων .
Η μελέτη των πολλαπλοτήτων συνδυάζει πολλούς σημαντικούς τομείς των μαθηματικών: γενικεύει έννοιες όπως καμπύλες και επιφάνειες, καθώς και ιδέες από τη γραμμική άλγεβρα και την τοπολογία.

Πρόωρη ανάπτυξη [επεξεργασία]

Πριν από την σύγχρονη έννοια της πολλαπλότητας υπήρχαν πολλά σημαντικά αποτελέσματα.
Η μη Ευκλείδεια Γεωμετρία εξετάζει χώρους όπου το αίτημα της παραλληλίας του Ευκλείδη αποτυγχάνει. Ο Saccheri μελέτησε πρώτος τέτοιες  γεωμετρίες το 1733, αλλά επιζητούσε μόνο να τις διαψεύσει. Ο Gauss, Bolyai και Lobachevsky ανέπτυξαν περαιτέρω το αντικείμενο  100 χρόνια αργότερα. Η έρευνά τους αποκάλυψε δύο είδη χώρων των οποίων οι γεωμετρικές δομές διαφέρουν από εκείνες  του κλασικού Ευκλείδειου χώρου . Οι χώροι αυτοί ονομάστηκαν υπερβολική γεωμετρία και ελλειπτική γεωμετρία. Στη σύγχρονη θεωρία των πολλαπλοτήτων, οι έννοιες αυτές αντιστοιχούν σε πολλαπλότητες Riemann με σταθερή αρνητική και θετική καμπυλότητα, αντίστοιχα.
Ο Carl Friedrich Gauss μπορεί να ήταν ο πρώτος που θεώρησε αφηρημένους χώρους ως μαθηματικά αντικείμενα με δικές τους ιδιότητες. Το θεώρημα  του δίνει μια μέθοδο για τον υπολογισμό της καμπυλότητας μιας επιφάνειας χωρίς να ληφθεί υπόψη ο περιβάλλων χώρος στον οποίο βρίσκεται η επιφάνεια. Μια τέτοια επιφάνεια , στη σύγχρονη ορολογία, θα μπορούσε να ονομαστεί πολλαπλότητα και στη σύγχρονη άποψη, το θεώρημα απέδειξε ότι η καμπυλότητα της επιφάνειας είναι μια εγγενής ιδιότητα. Η θεωρία των πολλαπλοτήτων επικεντρώνεται αποκλειστικά σε αυτές τις εγγενείς ιδιότητες (ή σταθερές), ενώ σε μεγάλο βαθμό αγνοεί τις εξωγενείς ιδιότητες του χώρου περιβάλλοντος.
Ένα άλλο , πιο τοπολογικό παράδειγμα μιας  εγγενούς ιδιότητας μιας πολλαπλότητας είναι η χαρακτηριστική του Euler.O Leonhard Euler έδειξε ότι για ένα κυρτό πολύτοπο στον τρισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο με V κορυφές (ή γωνίες), ακμές Ε, και F πλευρές,
Ο ίδιος τύπος θα προκύψει αν προβάλλουμε τις κορυφές και τα άκρα του πολύτοπου επάνω σε μια σφαίρα, δημιουργώντας ένα τοπολογικό χάρτη με V κορυφές, ακμές Ε, και ΣΤ πλευρές, και στην πραγματικότητα, θα εξακολουθήσει να ισχύει για κάθε σφαιρικό χάρτη, ακόμα και αν αυτός δεν προκύπτει από κάποιο κυρτό πολύτοπο.  Αν και το  2 είναι ένα τοπολογικό αναλλοίωτο της σφαίρας, που ονομάζεται χαρακτηριστική του Euler, μια σπείρα μπορεί να τεμαχιστεί από τους «παράλληλους» και «μεσημβρινούς» κύκλους του , δημιουργώντας ένα χάρτη με V = 1 κορυφή, Ε = 2 άκρες, και F = 1 πλευρά. Έτσι η χαρακτηριστική του Euler της σπείρας είναι η 1 - 2 + 1 = 0. Η χαρακτηριστική του Euler των άλλων επιφανειών είναι ένα χρήσιμο τοπολογικό αναλλοίωτο, ο οποίος μπορεί να επεκταθεί σε υψηλότερες διαστάσεις χρησιμοποιώντας τους αριθμούς Betti. Στα μέσα του δέκατου ένατου αιώνα, το θεώρημα Gauss-Bonnet συνέδεσε την χαρακτηριστική του Euler με την καμπυλότητα του Gaussian.

Σύνθεση [επεξεργασία]

Έρευνες του Niels Henrik Abel και του Carl Gustav Jacobi στην αναστροφή των ελλειπτικών ολοκληρωμάτων κατά το πρώτο μισό του 19ου αιώνα, τους οδήγησε να εξετάσουν ειδικούς τύπους σύνθετων πολλαπλοτήτων, γνωστή σήμερα ως Ιακωβιανοί .Ο  Bernhard Riemann συνέβαλε περαιτέρω στη θεωρία τους, διευκρινίζοντας τη γεωμετρική σημασία της ανέλιξης της αναλυτικής συνέχειας των συναρτήσεων με σύνθετες μεταβλητές.
Μια άλλη σημαντική πηγή πολλαπλοτήτων στα μαθηματικά του 19ου αιώνα, ήταν η αναλυτική μηχανική, όπως αναπτύχθηκε από τον Simeon Poisson, Jacobi, και William Rowan Hamilton. Οι πιθανές καταστάσεις ενός μηχανικού συστήματος πιστεύεται ότι είναι σημεία ενός αφηρημένου χώρου, φασικών χώρων στους λαγκραγκιανούς και χαμιλτονιανούς φορμαλισμούς της κλασικής μηχανικής. Αυτός ο χώρος είναι, στην πραγματικότητα, μιας πολυδιάστατης πολλαπλότητας , της οποίας η διάσταση αντιστοιχεί στους βαθμούς ελευθερίας του συστήματος και όπου τα σημεία της καθορίζονται από τις γενικευμένες συντεταγμένες τους. Για μια αβίαστη κίνηση των ελεύθερων σωματιδίων η πολλαπλότητα είναι ισοδύναμη με την Ευκλείδειο χώρο, αλλά διάφοροι νόμοι διατήρησης την περιορίζουν το σε πιο περίπλοκες συνθέσεις, π.χ. Liouville tori. Η θεωρία ενός περιστρεφόμενου στερεού σώματος, που αναπτύχθηκε τον 18ο αιώνα από τον Leonhard Euler και Joseph-Louis Lagrange, δίνει άλλο ένα παράδειγμα όπου η πολλαπλότητα είναι τετριμμένη. Γεωμετρικές και τοπολογικές  πτυχές της κλασικής μηχανικής τονίστηκαν από τον Henri Poincaré, ένας από τους ιδρυτές της τοπολογίας.
Ο Riemann ήταν ο πρώτος που έκανε εκτεταμένες εργασίες γενικεύοντας την ιδέα μιας επιφάνειας σε υψηλότερες διαστάσεις. Η ονομασία «πολλαπλότητα» προέρχεται από τον αρχικό γερμανικό όρο του Riemann Mannigfaltigkeit, το οποίο μετέφρασε ο William Kingdon Clifford ως "πολλαπλότητα". Στην εναρκτήρια διάλεξη του στο Γκέτινγκεν ο Riemann περιγράφει το σύνολο όλων των δυνατών τιμών μιας μεταβλητής με ορισμένους περιορισμούς ως Mannigfaltigkeit, επειδή η μεταβλητή μπορεί να έχει πολλές τιμές. Ο ίδιος διακρίνει  stetige Mannigfaltigkeit και diskrete Mannigfaltigkeit (συνεχής πολλαπλότητα και ασυνεχή πολλαπλότητα), ανάλογα με το αν οι τιμές αλλάζουν συνεχώς ή όχι. Ως συνεχή παραδείγματα,ο  Riemann αναφέρεται όχι μόνο στα χρώματα και τις θέσεις των αντικειμένων στο χώρο, αλλά και τα πιθανά σχήματα μιας χωρικής φιγούρας. Χρησιμοποιώντας επαγωγή, ο Riemann κατασκευάζει ένα Ν-FACH ausgedehnte Mannigfaltigkeit (n φορές παρατείνεται πολλαπλότητα ή η-διαστάσεων πολλαπλότητα) ως συνεχή στοίβα πολλαπλοτήτων  (n-1) διαστάσεων . Η ενστικτώδης έννοια του Riemann για μια Mannigfaltigkeit εξελίχθηκε σε αυτό που είναι σήμερα επισημοποιημένο ως πολλαπλότητα. Οι Πολλαπλότητες και επιφάνειες Riemann ονομάστηκαν έτσι προς τιμήν του Riemann.

Ο ορισμός του  Poincaré  [επεξεργασία]

Στην πολύ  ισχυρή του εργασία, « Ανάλυση πράγματος»,ο Ανρί Πουανκαρέ έδωσε έναν ορισμό μίας (διαφορίσιμης) πολλαπλότητας (variété), ο οποίος χρησίμευσε ως πρόδρομος στη σύγχρονη έννοια της πολλαπλότητας. 
Στην πρώτη ενότητα της ανάλυσης πράγματος, ο Πουανκαρέ καθορίζει μια πολλαπλότητα ως το επίπεδο που έχει οριστεί από μία συνεχώς διαφορίσιμη συνάρτηση μεταξύ Ευκλείδειων χώρων που ικανοποιεί την υπόθεση του θεωρήματος της « Πεπλεγμένης συνάρτησης», χωρίς βλάβη της γενικότητας. Στην τρίτη ενότητα,  αρχίζει με την παρατήρηση ότι η γραφική παράσταση μιας συνεχώς διαφορίσιμης συνάρτησης είναι μια πολλαπλότητα στην τελευταία αυτή έννοια. Στη συνέχεια προτείνει ένα νέο, πιο γενικό, ορισμό της πολλαπλότητας που βασίζεται σε μια «αλυσίδα των Πολλαπλοτήτων» (une Chaîne des Variétés).
Η έννοια του Poincaré για μια «αλυσίδα των Πολλαπλοτήτων» είναι ένας πρόδρομος στη σύγχρονη έννοια του άτλαντα. Ειδικότερα, θεωρεί δύο πολλαπλότητες που ορίζονται αντίστοιχα ως γραφήματα των λειτουργιών  και . Αν αυτές οι πολλαπλότητες επικαλύπτονται (a une partie commune), τότε αυτός προϋποθέτει ότι οι συντεταγμένες  εξαρτώνται συνεχώς διαφορίσιμα στις συντεταγμένες   και το αντίστροφο ( «... les   sont fonctions analytiques des   et inversement »). Με τον τρόπο αυτό εισάγει ένα πρόδρομο στην έννοια ενός διαγράμματος και ενός χάρτη μετάβασης χ. Σημειώστε ότι υπονοείται στην ανάλυση πράγματος ότι μια πολλαπλότητα που  λαμβάνεται ως «αλυσίδα» είναι ένα υποσύνολο του Ευκλείδειου χώρου.
Για παράδειγμα, ο μοναδιαίος κύκλος στο επίπεδο μπορεί να θεωρηθεί ως η γραφική παράσταση της συνάρτησης   ή αλλιώς η συνάρτηση  σε μια γειτονική περιοχή  κάθε σημείου εκτός των σημείων (1,0) και (-1,0)? και σε μια γειτονική περιοχή από αυτά τα σημεία, μπορεί να θεωρηθεί ως το γράφημα του, αντίστοιχα, και . Ο λόγος που ο κύκλος μπορεί να αντιπροσωπεύεται από ένα γράφημα στη περιοχή του κάθε σημείου είναι επειδή η αριστερή πλευρά της εξίσωσης καθορισμού της  έχει μη μηδενική κλίση σε κάθε σημείο του κύκλου.Με το θεώρημα της «πεπλεγμένης συνάρτησης» , κάθε υποπολλαπλότητα του Ευκλείδειου χώρου είναι τοπικά η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης.
Ο Hermann Weyl έδωσε έναν εγγενή ορισμό για  τις διαφορίσιμες πολλαπλότητες στην διάλεξη του για  τις επιφάνειες Riemann  το 1911-1912, ανοίγοντας το δρόμο προς τη γενική έννοια του τοπολογικού χώρου που ακολούθησε σύντομα. Κατά τη διάρκεια της δεκαετίας του 1930 ο Hassler Whitney και άλλοι διευκρίνισαν τις θεμελιώδεις πτυχές του θέματος, και ως εκ τούτου εικασίες  που χρονολογούνται από το δεύτερο μισό του 19ου αιώνα έγιναν ακριβείς, και αναπτύχθηκε μέσω αυτών η «Διαφορική Γεωμετρία και η «Θεωρία των ομάδων Lie». Αξίζει να σημειωθεί ότι, η ενσωμάτωση του θεωρήματος Whitney [4] έδειξε ότι ο εγγενής ορισμός από την άποψη των διαγραμμάτων ήταν ισοδύναμος με τον ορισμό Poincaré με όρους των υποσυνόλων του Ευκλείδειου χώρου.

Τοπολογία των Πολλαπλοτήτων:  Οι σημαντικότερες εκφάνσεις [επεξεργασία]

Δισδιάστατες Πολλαπλότητες, επίσης γνωστές ως 2D επιφάνειες ενσωματωμένες στο κοινό 3D μας χώρο, θεωρήθηκαν από τον Riemann υπό το πρόσχημα των Riemann επιφανειών και αυστηρά κατατάχθηκαν στις αρχές του 20ου αιώνα από τον Poul Heegaard και Max Dehn. Ο Ανρί Πουανκαρέ πρωτοπόρησε στη μελέτη των τρισδιάστατων πολλαπλοτήτων και έθεσε ένα θεμελιώδες ερώτημα γι 'αυτούς, σήμερα γνωστό ως η εικασία Poincaré. Μετά από σχεδόν έναν αιώνα της προσπάθειας από πολλούς μαθηματικούς, ξεκινώντας με τον ίδιο τον Poincaré , μια συναίνεση μεταξύ των ειδικών (από το 2006) είναι ότι ο Gregory  Perelman απέδειξε την εικασία Poincaré (δείτε Solution of the Poincaré conjecture). Το Πρόγραμμα γεωμετρικοποίησης του William Thurston , που διατυπώθηκε στη δεκαετία του 1970, απέδωσε μια εκτεταμένη επέκταση της εικασίας του Poincaré  στις γενικές τρισιδιάστατες Πολλαπλότητες. Οι τετραδίαστατες Πολλαπλότητες ήρθαν στην πρώτη γραμμή της μαθηματικής έρευνας στη δεκαετία του 1980 από τον Michael Freedman και σε μια διαφορετική προσέγγιση, από τον Simon Donaldson, ο οποίος είχε ως κίνητρο την τότε πρόσφατη πρόοδο στη θεωρητική φυσική (θεωρία Yang-Mills), όπου χρησιμεύουν ως ένα υποκατάστατο για τον συνηθισμένο-δεδομένο «επίπεδο» χωροχρόνο. Ο Andrey Markov Jr. έδειξε το 1960 ότι δεν υπάρχει αλγόριθμος για την κατάταξη των τετραδιάστατων πολλαπλοτήτων. Σημαντικό έργο για τις πολυδιάστατες πολλαπλότητες, συμπεριλαμβανομένων των αναλόγων της εικασίας του Poincaré είχε γίνει νωρίτερα από τους René Thom, John Milnor, Stephen Smale και Σεργκέι Novikov. Μία από τις πιο διεισδυτικές και ευέλικτες τεχνικές που υποδεικνύουν πολλή δουλειά για την τοπολογία των πολλαπλοτήτων είναι η θεωρία Morse.

Ευρύς ορισμός [επεξεργασία]

Ο ευρύτερα κοινός ορισμός της πολλαπλότητας είναι ένας τοπολογικός χώρος τοπικά ομομορφικός σε έναν τοπολογικό χώρο φορέα πάνω από τους πραγματικούς αριθμούς. Αυτό παραλείπει τα αξιώματα των σημειακών συνόλων, επιτρέποντας υψηλότερες πληθυκότητες και μη-Hausdorff Πολλαπλότητες, και παραλείπει την πεπερασμένη διάσταση, επιτρέποντας σε δομές όπως οι πολλαπλότητες Hilbert  να διαμορφωθούν σε χώρους Hilbert, οι πολλαπλότητες Banach να διαμορφωθούν σε χώρους Banach, και οι πολλαπλότητες Fréchet πρέπει να διαμορφωθούν σε χώρους Fréchet. Συνήθως η μία χαλαρώνει την μία ή την άλλη προϋπόθεση: Οι πολλαπλότητες με τα αξιώματα των σημειακών συνόλων μελετώνται στην γενική τοπολογία, ενώ οι απείρων διαστάσεων Πολλαπλότητες μελετώνται στην Λειτουργική Ανάλυση.

Διαγράμματα, άτλαντες και χάρτες μετάβασης

Κύριο άρθρο: Άτλας (τοπολογία)
Δείτε επίσης: Διαφορικές πολλαπλότητες
Στη σφαιρική γη μπορούμε να πλοηγηθούμε χρησιμοποιώντας επίπεδους χάρτες και διαγράμματα, τα οποία έχουν συλλεχθεί σε έναν Άτλαντα. Ομοίως μια διαφορίσιμη πολλαπλότητα μπορεί να περιγραφεί με την χρήση μαθηματικών χαρτών, που ονομάζονται διαγράμματα συντεταγμένων, και συλλέγονται σε έναν μαθηματικό άτλαντα. Γενικά, δεν είναι δυνατόν να περιγραφεί μια πολλαπλότητα με μόνο ένα διάγραμμα, γιατί η συνολική δομή της πολλαπλότητας είναι διαφορετική από την απλή δομή των διαγραμμάτων. Για παράδειγμα, κανένας επίπεδος χάρτης δεν μπορεί να αντιπροσωπεύσει ολόκληρη την Γη χωρίς διαχωρισμό των παρακείμενων λειτουργιών πέρα από τα όρια του χάρτη ή της επικάλυψης της κάλυψης. Όταν μια πολλαπλότητα κατασκευάζεται από πολλαπλά επικαλυπτόμενα διαγράμματα η περιοχή η οποία επικαλύπτεται κουβαλάει πληροφορίες που είναι απαραίτητες για την κατανόηση της συνολικής δομής.

Διαγράμματα

Κύριο άρθρο: Διάγραμμα συντεταγμένων   
Ένας χάρτης συντεταγμένων, ένα διάγραμμα συντεταγμένων, ή απλά ένα διάγραμμα μιας πολλαπλότητας είναι ένας αντιστρέψιμος χάρτης μεταξύ ενός υποσυνόλου της πολλαπλότητας και ενός απλού χώρου τέτοια ώστε ο χάρτης και ο αντίστροφός του να διατηρούν την επιθυμητή δομή. Για μια τοπολογική πολλαπλότητα, ο απλός χώρος είναι κάποιος Ευκλείδειος χώρος Rₙ και επικεντρώνεται στην τοπολογική δομή. Αυτή η δομή διατηρείται με ομοιομορφισμό, αντιστρέψιμους χάρτες που είναι συνεχής και προς τις δύο κατευθύνσεις. 
Σε κάθε περίπτωση μιας διαφορικής πολλαπλότητας, ένα σύνολο διαγραμμάτων που ονομάζονται άτλαντας μας επιτρέπει να κάνουμε λογισμούς στην πολλαπλότητα. Οι πολικές συντεταγμένες, για παράδειγμα, σχηματίζουν ένα διάγραμμα για το επίπεδο R₂ μείον του θετικού x-άξονα της προέλευσης. Ένα άλλο παράδειγμα ενός διαγράμματος του χάρτη xₜₒₚ που αναφέρεται στην παραπάνω ενότητα, ένα διάγραμμα για τον κύκλο.

Χάρτες μετάβασης

Διάγραμμα είναι ένας άτλαντας που μπορεί να επικαλύπτεται και ένα μόνο σημείο μιας πολλαπλότητας μπορεί να αντιπροσωπεύεται σε πολλά διαγράμματα. Αν δύο διαγράμματα επικαλύπτονται, τμήματα αυτών αντιπροσωπεύουν την ίδια περιοχή της πολλαπλότητας, όπως ένας χάρτης της Ευρώπης και ένας χάρτης της Ασίας μπορεί να περιέχει την Μόσχα. Δεδομένων δύο επικαλυπτόμενων διαγραμμάτων, μια συνάρτηση μετάβασης μπορεί να οριστεί σε μια ανοικτή μπάλα στην Rⁿ πολλαπλότητα και πηγαίνει πίσω σε μια άλλη (ή ίσως και στην ίδια) ανοικτή μπάλα στην Rⁿ. Ο χάρτης που προκύπτει, όπως και ο χάρτης Τ στο παράδειγμα με τον κύκλο παραπάνω, ονομάζεται αλλαγή συντεταγμένων, μια μεταβατική συνάρτηση, ή χάρτης μετάβασης.

Πρόσθετες δομές

Ένας άτλαντας μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για να καθορίσει πρόσθετες δομές πάνω στην πολλαπλότητα. Η δομή ορίζεται πρώτα σε κάθε διάγραμμα ξεχωριστά. Αν όλοι οι χάρτες μετάβασης είναι συμβατοί με με αυτή τη δομή, η δομή μεταφέρεται στην πολλαπλότητα.
Αυτός είναι ο τυπικός τρόπος που οι διαφορίσιμες πολλαπλότητες ορίζονται. Αν οι μεταβατικές συναρτήσεις ενός άτλαντα για μια τοπολογική πολλαπλότητα διατηρούν τις φυσικές διαφορικές δομές της Rⁿ  (δηλαδή, αν είναι αμφιδιαφόριση) οι διαφορικές δομές μεταφέρονται στην πολλαπλότητα και μετατρέπονται σε μια διαφορική πολλαπλότητα. Οι πολύπλοκες πολλαπλότητες εισάγονται με έναν ανάλογο τρόπο με την προϋπόθεση ότι οι μεταβατικές συναρτήσεις ενός άτλαντα είναι ολομορφικές συναρτήσεις. Για τις συμπλεκτικές πολλαπλότητες, οι μεταβατικές συναρτήσεις πρέπει να είναι συμπλεκτομορφικές.
Η δομή στην πολλαπλότητα εξαρτάται από τον άτλαντα, αλλά μερικές φορές διαφορετικοί άτλαντες λέγετε ότι μπορούν να δώσουν την ίδια δομή.Αυτοί οι άτλαντες ονομάζονται συμβατοί.
Αυτές οι έννοιες γίνονται ακριβής με την χρήση των ψευδοομάδων.

Πολλαπλότητα με σύνορο [επεξεργασία]

Δείτε επίσης: Τοπολογική πολλαπλότητα  και πολλαπλότητα με σύνορο
Μια πολλαπλότητα με σύνορο είναι μία πολλαπλότητα με μια άκρη. Για παράδειγμα, ένα φύλλο χαρτί είναι μια 2-πολλαπλότητα με όριο 1-διάστασης. Το όριο μίας n-πολλαπλότητας με σύνορο είναι μία (n - 1) -πολλαπλότητα. Ένας δίσκος (κύκλος συν εσωτερικό) είναι μια 2-πολλαπλότητα με σύνορο. σύνορο του είναι ένας κύκλος , μία 1-πολλαπλότητα. Ένα τετράγωνο με εσωτερικό είναι επίσης μία 2-πολλαπλότητα με σύνορο. Μια μπάλα (σφαίρα συν εσωτερικό) είναι μία 3-πολλαπλότητα με σύνορο. σύνορο του είναι μια σφαίρα, μία 2-πολλαπλότητα. (Βλέπε επίσης Οριακά (τοπολογία)).
Στην τεχνική γλώσσα, μια πολλαπλότητα με σύνορο είναι ένας χώρος που περιέχει τόσο εσωτερικά σημεία όσο και οριακά σημεία. Κάθε εσωτερικό σημείο έχει μία ομομορφική περιοχή στην ανοικτή n-σφαίρα  {(x₁, x₂, …, xₙ) | Σ xᵢ² < 1}. Κάθε οριακό σημείο έχει ομομορφική περιοχή  στη "μισή" n-σφαίρα {(x₁, x₂, …, xₙ) | Σ xᵢ² < 1 και x₁ ≥ 0}. Ο ομοιομορφισμός οφείλει  να διαβιβάζει  κάθε οριακό σημείο σε σημείο με  x1 = 0.