Ολοκληρωτικός τύπος του Cauchy

Θεώρημα

Ξεκινάμε με ένα θεώρημα που είναι λιγότερο γενικό από ό, τι μπορούμε πραγματικά να πούμε. Ας υποθέσουμε ότι το  είναι ένα ανοικτό υποσύνολο του μιγαδικού επιπέδου , η f : U → C είναι μια ολόμορφη συνάρτηση και ο κλειστός δίσκος  D = { z : | z − z₀| ≤ r} περιέχεται πλήρως στο U. Έστω  ο κύκλος που σχηματίζει το σύνορο του D. Τότε για κάθε α στο εσωτερικό του D ισχύει:
όπου το ολοκλήρωμα της κλειστής καμπύλης υπολογίζεται με την θετική φορά (αριστερόστροφα).
Η απόδειξη αυτής της πρότασης βασίζεται στο  ολοκληρωτικό θεώρημα του Caucy και απαιτεί μόνο, όπως και το θεώρημα,  η f  να έχει μιγαδική παράγωγο. Δεδομένου ότι ο αντίστροφος του παρονομαστή του ολοκληρώματος στον ολοκληρωτικό τύπο του Caucy μπορεί να αναπτυχθεί ως δυναμοσειρά με  μεταβλητή (a − z₀) (δηλαδή, όταν z₀=0, ), προκύπτει ότι οι ολόμορφες συναρτήσεις είναι αναλυτικές. Ειδικότερα, η f είναι στην πραγματικότητα απείρως διαφορίσιμη, με
Αυτός ο τύπος αναφέρεται μερικές φορές ως  διαφορίσιμος τύπος του Cauchy.
Το θεώρημα που αναφέρεται παραπάνω μπορεί να γενικευτεί. Ο κύκλος γ μπορεί να αντικατασταθεί από οποιαδήποτε καμπύλη με υπολογίσιμο μήκος στο U η οποία έχει ένα δείκτη στροφής περίπου a. Επιπλέον, όσον αφορά το ολοκληρωτικό θεώρημα του Cauchy, αρκεί  η f  να είναι ολόμορφη στην ανοικτή περιοχή που περικλείεται από την καμπύλη και συνεχής στη κλειστή περιοχή.
Σημειώστε ότι  κάθε συνεχής συνάρτηση στο σύνορο δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να παράγει μια συνάρτηση εντός του συνόρου που να ταιριάζει με το δοσμένο σύνορο της συνάρτησης. Για παράδειγμα, αν βάλουμε στη συνάρτηση, που ορίζεται για |z|=1,  στον ολοκληρωτικό τύπο του Cauchy, θα πάρουμε 0 για όλα τα σημεία στο εσωτερικό του κύκλου. Στην πραγματικότητα, δίνοντας μόνο το πραγματικό μέρος στο σύνορο της ολόμορφης συνάρτησης είναι αρκετό για να προσδιοριστεί η συνάρτηση από μια φανταστική σταθερά– υπάρχει μόνο ένα φανταστικό μέρος για το σύνορο που αντιστοιχεί στο δοσμένο πραγματικό μέρος, από μια σταθερά.  Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ένα συνδυασμό από ένα μετασχηματισμό Mobius και τον αντίστροφο τύπο του Stieltjes για την κατασκευή της ολόμορφης συνάρτησης από το πραγματικό μέρος στο σύνορο. Για παράδειγμα, η συνάρτηση  έχει πραγματικό μέρος . Στο μοναδιαίο κύκλο αυτό μπορεί να γραφτεί .  Χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό Mobius και τον τύπο του Stieltjes κατασκευάζουμε την συνάρτηση μέσα στον κύκλο. Ο όρος i/z δεν αλλάζει, και βρίσκουμε τη συνάρτηση . Αυτή έχει το σωστό πραγματικό μέρος στο σύνορο και επίσης μας δίνει το αντίστοιχο φανταστικό μέρος, από μια σταθερά, που ονομάζεται i.

Σκιαγράφηση απόδειξης

Χρησιμοποιώντας το ολοκληρωτικό θεώρημα του Cauchy, μπορεί κανείς να δείξει ότι το ολοκλήρωμα πάνω από το C (ή την καμπύλη με υπολογίσιμο μήκος) είναι ίσο με το ίδιο ολοκλήρωμα που παίρνουμε από έναν αυθαίρετα μικρό κύκλο γύρω από το a. Εφόσον η f(z) είναι συνεχής, μπορούμε να επιλέξουμε έναν κύκλο αρκετά μικρό για τον οποίον η f(z) είναι αυθαίρετα  κοντά στο f(a). Από την άλλη πλευρά, το ολοκλήρωμα
πάνω από οποιονδήποτε κύκλο C  με κέντρο a. Αυτό μπορεί να υπολογιστεί άμεσα, μέσω παραμετροποίησης (ολοκλήρωση με αντικατάσταση)  , όπου 0 ≤ t ≤ 2d και ε είναι η ακτίνα του κύκλου.
Αφήνοντας το ε → 0 παίρνουμε το ζητούμενο αποτέλεσμα

Λείες συναρτήσεις

Μια εκδοχή του ολοκληρωτικού τύπου του Κωσύ είναι ο τύπος Cauchy-Pompeiu, που ισχύει επίσης και για λείες συναρτήσεις, καθώς βασίζεται στο Θεώρημα του Stokes. Έστω D ένας δίσκος στο C και ας υποθέσουμε ότι η f είναι μία μιγαδική συνάρτηση C¹ στο κλειστό του D. Στη συνέχεια(Hörmander 1966, Theorem 1.2.1)
Μπορεί κανείς να χρησιμοποιήσει αυτόν τον τύπο για να λύσει τις ανομοιογενείς εξισώσεις Cauchy-Riemann στο D. Πράγματι, αν η φ είναι μια συνάρτηση στο D, τότε μια συγκεκριμένη λύση f της εξίσωσης είναι ολόμορφη συνάρτηση εξωτερικά από τον φορέα μ. Επιπλέον, αν σε ένα ανοιχτό σύνολο D,
για κάποιο φ ∈ Cᵏ(D) (k ≥ 1), τότε  είναι επίσης Cᵏ(D) και ικανοποιεί την εξίσωση
Το πρώτο συμπέρασμα είναι, επιγραμματικά, ότι η συνέλιξη μ∗k(z) ενός  συμπαγους μέτρου που υποστηρίζεται από τον πυρήνα Cauchy.
είναι μία ολόμορφη συνάρτηση υπό την υποστήριξη του μ. Εδώ σ.v. δηλώνεται η πρωτεύουσα τιμή. Το δεύτερο συμπέρασμα ισχυρίζεται ότι ο πυρήνας Cauchy είναι μια θεμελιώδης λύση των εξισώσεων Cauchy-Riemann. Σημειώστε ότι για  λείες μιγαδικές συναρτήσεις  f του συμπαγού φορέα στο C, ο γενικευμένος ολοκληρωτικός τύπος του Cauchy απλοποιείται σε
και είναι μια επιβεβαίωση του γεγονότος ότι, θεωρώντας τον ως κατανομή,  είναι μια θεμελιώδης λύση του τελεστή Cauchy-Riemann  . Ο γενικευμένος ολοκληρωτικός τύπος του Cauchy μπορεί να συναχθεί για οποιοδήποτε φραγμένη ανοικτή περιοχή του X με C¹ σύνορο ∂X και  από αυτό το αποτέλεσμα και τον τύπο της κατανομής παράγωγου της  χαρακτηριστικής συνάρτηση χX του X:
όπου η κατανομή στη δεξιά πλευρά δηλώνει την κλειστή καμπύλη ολοκλήρωσης κατά μήκος ∂X.

Πολλαπλές  μεταβλητές

Στις πολλαπλές μιγαδικές μεταβλητές, ο ολοκληρωτικός τύπος του Cauchy μπορεί να γενικευθεί για πολυδίσκους.(Hörmander 1966, Theorem 2.2.1) Έστω D ένας πολυδίσκος που δίνεται ως το καρτεσιανό γινόμενο των n ανοιχτών  δίσκών D₁, ..., Dₙ:
Ας υποθέσουμε ότι η f είναι μία ολόμορφη συνάρτηση συνεχής στο κλειστό του D. Tότε
όπου ζ = (d₁,...,zₙ) ∈ D.