Σπείρα του Ούλαμ

Η σπείρα του Ούλαμ (αγγλικά: Ulam spiral) ή σπείρα πρώτων αριθμών αποτελεί γραφική αναπαράσταση ομάδων πρώτων αριθμών, η οποία αναπτύχθηκε από τον Πολωνό μαθηματικό Στάνισλαβ Ούλαμ το 1963. Κατασκευάζεται με τη διευθέτηση των θετικών ακεραίων αριθμών εντός μιας τετράγωνου σχήματος σπείρας και σημειώνοντας με ειδική σήμανση ή χρωματισμό τους πρώτους αριθμούς εντός της. Ένα από τα χαρακτηριστικά της σπείρας, είναι η θεσιακή κατανομή των πρώτων αριθμών ως προς τις διαγώνιες, οριζόντιες και κάθετες γραμμές που σχηματίζουν. Η εμφάνιση τέτοιων γραμμών δεν είναι κάτι αναπάντεχο, καθώς οι γραμμές πρώτων στην σπείρα αντιστοιχούν σε πολυώνυμα δευτεροβάθμιων εξισώσεων, και ορισμένα από αυτά τα πολυώνυμα όπως ο τύπος x² − x + 41 του Λέοναρντ Όιλερ για την παραγωγή πρώτων αριθμών, παράγουν πρώτους με μεγάλη συχνότητα εμφάνισης στην σπείρα.  
Ωστόσο η σπείρα σχετίζεται και με άλλα σημαντικά ανεπίλυτα προβλήματα της θεωρίας αριθμών όπως τα προβλήματα του Λαντάου. Συγκεκριμένα, καμία δευτεροβάθμια εξίσωση δεν έχει αποδειχτεί πως μπορεί να παράγει πρώτους αριθμούς επ' άπειρον, και πολύ περισσότερο το να έχει ασυμπτωτική συχνότητα πρώτων αριθμών ώστε να σχηματίζει ομαδοποιήσεις σε γραμμές.

Ιστορία

Ο Στάνισλαβ Ούλαμ ανακάλυψε τη σπείρα το 1963 καθώς παρακολουθούσε μια -κατά τα λεγόμενα του- πολύ βαρετή παρουσίαση σε επιστημονικό συνέδριο και για να περάσει η ώρα έκανε διάφορα σχέδια, μουτζούρες και υπολογισμούς στο σημειωματάριο του. Οι πρώτοι υπολογισμοί του με το χέρι σε ότι αφορούσε την ιδέα της σπείρας, αφορούσαν μονάχα μερικές εκατοντάδες σημεία επί της σπείρας. Λίγο αργότερα, αποφάσισε να δοκιμάσει περαιτέρω την ιδέα αυτή μαζί με συνεργάτες του, και χρησιμοποίησαν τον ηλεκτρονικό υπολογιστή MANIAC II στο παρατηρητήριο του Λος Άλαμος στο Νέο Μεξικό των ΗΠΑ, ώστε οι υπολογισμοί να επεκταθούν σε 100.000 σημεία. Κατόπιν υπολογίστηκε η πυκνότητα των πρώτων αριθμών για αριθμούς έως το 10.000.000 μαζί με τις πλούσιες σε πρώτους αριθμούς γραμμές και τις όχι και τόσο πλούσιες. Παρήχθησαν απεικονίσεις της σπείρας έως τα 65.000 σημεία και κατόπιν φωτογραφήθηκαν. Οι απεικονίσεις αυτές χρησιμοποιήθηκαν κατόπιν για την εικονογράφηση του άρθρου στο επιστημονικό περιοδικό Scientific American σχετικά με την ιδέα της σπείρας, και από εκεί η κατασκευή αυτή απέκτησε ευρύτερη δημοσιότητα το 1964. 
Το άρθρο του Scientific American έκανε σύντομη αναφορά και στον Λώρενς Μονρώ Κλάουμπερ, ο οποίος το 1932, 30 έτη πριν την εφεύρεση του Ούλαμ, είχε συντάξει ένα παρόμοιο σχεδιάγραμμα το οποίο είχε τριγωνικό σχήμα και περιείχε συγκεντρώσεις πρώτων αριθμών και ο Κλάουντερ είχε επίσης σχολιάσει τον συσχετισμό των γραμμών με τις δευτεροβάθμιες εξισώσεις παραγωγής πρώτων αριθμών. Ο ίδιος περιέγραψε την κατασκευή του λέγοντας πως οι ακέραιοι τοποθετούνται σε τριγωνικό σχήμα με το 1 να βρίσκεται στην κορυφή του τριγώνου, στην αμέσως παρακάτω γραμμή οι αριθμοί 2 έως 4, στην τρίτη γραμμή οι αριθμοί 5 έως 9, και παρομοίως στις υπόλοιπες γραμμές. Όταν σημειωθούν οι πρώτοι αριθμοί, προκύπτουν συγκεντρώσεις των αριθμών αυτών σε ορισμένες κάθετες και οριζόντιες γραμμές, παρόμοιες με τις εξισώσεις παραγωγής πρώτων αριθμών του Όιλερ.
Πέρα από τους Κλάουμπερ και Ούλαμ, ο συγγραφέας επιστημονικής φαντασίας Άρθουρ Κλαρκ στο διήγημα του με τίτλο Η πόλη και τα άστρα (1956), είχε περιγράψει το φαινόμενο της συγκέντρωσης πρώτων αριθμών και τα πιθανά σχέδια και επαναλήψεις που μπορεί να προκύψουν, χωρίς ωστόσο να προχωρήσει παραπέρα με κάποια υλοποίηση.

Παραλλαγές

Αρχίζοντας με την τριγωνική παραλλαγή του Λώρενς Μονρώ Κλάουμπερ από το 1932, η μελέτη του περιγράφει τον σχηματισμό τριγώνου όπου η κάθε γραμμή ν περιέχει τους αριθμούς (ν  −  1)² + 1 μέσω n². Όπως και στην σπείρα του Ούλαμ παράγονται πρώτοι αριθμοί που βρίσκονται σε ευθείες γραμμές. Οι κάθετες γραμμές αντιστοιχούν στην μορφή k² − k + M. 

Μια άλλη παραλλαγή, κυκλική, είναι αυτή που προτάθηκε από τον Σακς το 1994. Στην σπείρα του Σακς, οι μη αρνητικοί αριθμοί τοποθετούνται επί της σπείρας του Αρχιμήδη αντί για την τετράγωνη σπείρα του Ούλαμ, και η απόσταση τους είναι τέτοια ώστε ένα τέλειο τετράγωνο εμφανίζεται σε κάθε κύκλο επανάληψης (στην Ούλαμ εμφανίζονται 2 ανά κύκλο επανάληψης). Το πολυώνυμο x² − x + 41 εμφανίζεται ως μια καμπύλη όπου το χ παίρνει τις τιμές 0, 1, 2, κτλ. Η καμπύλη αυτή προσεγγίζει ασυμπτωτικά μια οριζόντια γραμμή στο αριστερό μισό της σπείρας.