Διακριτά μαθηματικά

Διακριτά μαθηματικά ονομάζεται η μελέτη μαθηματικών δομών που είναι θεμελιωδώς διακριτές αντί για συνεχείς. Σε αντίθεση με τους πραγματικούς αριθμούς που έχουν την ιδιότητα να "μεταβάλλονται ομαλά", τα αντικείμενα που μελετώνται στα διακριτά μαθηματικά - όπως οι ακέραιοι, οι γράφοι και οι προτάσεις της λογικής – δεν μεταβάλλονται ομαλά κατά αυτόν τον τρόπο, αλλά έχουν ξεχωριστές, διακριτές τιμές. Τα διακριτά μαθηματικά επομένως αποκλείουν θέματα των "συνεχών μαθηματικών", όπως ο απειροστικός λογισμός και η ανάλυση. Συχνά τα διακριτά αντικείμενα μπορούν να απαριθμηθούν με βάση τους ακέραιους. Τυπικότερα, τα διακριτά μαθηματικά έχουν χαρακτηριστεί ως ο κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με αριθμήσιμα σύνολα (σύνολα που έχουν την ίδια πληθικότητα με τα υποσύνολα των φυσικών αριθμών, συμπεριλαμβανομένων των ρητών αριθμών αλλά όχι και των πραγματικών αριθμών). Όμως, δεν υπάρχει κάποιος ακριβής και καθολικά αποδεκτός ορισμός του όρου "διακριτά μαθηματικά." Στην πράξη τα διακριτά μαθηματικά περιγράφονται λιγότερο από το τι περιέχουν και περισσότερο με βάση τι δεν περιέχουν: συνεχείς μεταβλητές και σχετικές με αυτές έννοιες.
Το σύνολο των αντικειμένων που μελετώνται στα διακριτά μαθηματικά μπορεί να είναι πεπερασμένο ή άπειρο. Συχνά χρησιμοποιείται ο όρος πεπερασμένα μαθηματικά  για μέρη του πεδίου των διακριτών μαθηματικών που ασχολούνται με πεπερασμένα σύνολα, και ειδικότερα όταν αυτό έχει σχέση με εφαρμογές στο χώρο των επιχειρήσεων.
Η έρευνα στα διακριτά μαθηματικά αναπτύχθηκε πολύ γρήγορα στο δεύτερο μισό του εικοστού αιώνα, εν μέρει λόγω της ανάπτυξης των ψηφιακών υπολογιστών, οι οποίοι λειτουργούν σε διακριτά βήματα και αποθηκεύουν τα δεδομένα τους σε διακριτά bits. Οι έννοιες και ο μαθηματικός συμβολισμός των διακριτών μαθηματικών χρησιμεύουν στη μελέτη και την περιγραφή αντικειμένων και προβλημάτων διάφορων κλάδων της επιστήμης υπολογιστών, όπως οι υπολογιστικοί αλγόριθμοι, οι γλώσσες προγραμματισμού, η κρυπτογραφία, η αυτοματοποιημένη απόδειξη θεωρημάτων και η ανάπτυξη λογισμικού. Από την άλλη πλευρά, υλοποιήσεις σε υπολογιστές εφαρμόζουν τις ιδέες των διακριτών μαθηματικών σε πραγματικά προβλήματα, όπως στην επιχειρησιακή έρευνα.
Αν και τα βασικά αντικείμενα που μελετώνται στα διακριτά μαθηματικά είναι διακριτά αντικείμενα, για την απόδειξη θεωρημάτων κάποιες φορές χρησιμοποιούνται συναρτήσεις και ιδιότητες των πραγματικών ή ακόμη και των μιγαδικών αριθμών.

Οι μεγάλες προκλήσεις, παρελθόν και παρόν

Η ιστορία των διακριτών μαθηματικών περιέχει αρκετά προβλήματα-προκλήσεις που εστίασαν σε συγκεκριμένες περιοχές του πεδίου. Στη θεωρία γράφων, σημαντική έρευνα ασχολήθηκε με προσπάθειες να αποδειχτεί το θεώρημα των τεσσάρων χρωμάτων, το οποίο αρχικά διατυπώθηκε το 1852, αλλά δεν αποδείχτηκε μέχρι το 1976 (από τον Kenneth Appel και τον Wolfgang Haken, χρησιμοποιώντας αρκετή υπολογιστική βοήθεια).
Το 1900, ο Γερμανός μαθηματικός Ντάβιντ Χίλμπερτ πρότεινε μια σειρά ανοικτών ερωτημάτων ως τις σημαντικότερες προκλήσεις στα μαθηματικά για την εποχή του. Αυτή είναι τα λεγόμενα προβλήματα του Χίλμπερτ, πολλά από τα οποία έχουν μέχρι σήμερα επιλυθεί. Σε αυτά περιλαμβάνονται και προβλήματα από τα διακριτά μαθηματικά όπως το δεύτερο πρόβλημα το οποίο ρωτάει αν τα αξιώματα της αριθμητικής Πεάνο, αριθμητικής πάνω στους φυσικούς αριθμούς, είναι συνεπή. Ο επίσης Γερμανός Κουρτ Γκέντελ απέδειξε το 1931 με το δεύτερο θεώρημα μη-πληρότητας ότι αυτό δεν ισχύει. Ένα άλλο διάσημο πρόβλημα από τα διακριτά μαθηματικά είναι το δέκατο πρόβλημα του Χίλμπερτ το οποίο ζητούσε να βρεθεί μια γενική διαδικασία που θα μπορεί να ελέγχει αν μια οποιαδήποτε διοφαντική εξίσωση είναι επιλύσιμη. Διοφαντική εξίσωση λέγεται γενικώς ένα σύστημα πολυωνύμων με ακέραιους συντελεστές, ορισμένο στο σύνολο των ακεραίων. Το 1970 ο Yuri Matiyasevich απέδειξε ότι μια τέτοια διαδικασία δεν υπάρχει. Τα παραπάνω είναι ενδεικτικά της δυσκολίας και πολυπλοκότητας που μπορεί να συναντήσει κανείς προσπαθώντας να επιλύσει προβλήματα διακριτών μαθηματικών.
Η ανάγκη κρυπτανάλυσης των Γερμανικών κωδίκων κατά το Δεύτερο Παγκόσμιο Πόλεμο οδήγησε σε ανάπτυξη της κρυπτογραφίας και της θεωρητικής πληροφορικής, με τον πρώτο προγραμματιζόμενο ψηφιακό ηλεκτρονικό υπολογιστή να αναπτύσσεται στο Bletchley Park της Αγγλίας. Την ίδια περίοδο, οι στρατιωτικές ανάγκες οδήγησαν σε ανάπτυξη της επιχειρησιακής έρευνας. Η κρυπτογραφία παρέμεινε σημαντική κατά τον Ψυχρό Πόλεμο, με την εμφάνιση νέων τεχνικών, όπως η κρυπτογραφία δημόσιου κλειδιού. Η επιχειρησιακή έρευνα συνέχισε να είναι σημαντικό εργαλείο στις επιχειρήσεις και στη διαχείριση έργου (project management), με τη μέθοδο κρίσιμου δρόμου (critical path method), η οποία αναπτύχθηκε κατά τη δεκαετία του 1950. Η βιομηχανία των τηλεπικοινωνιών οδήγησε επίσης σε νέα αποτελέσματα στα διακριτά μαθηματικά, ειδικά στη θεωρία γράφων και στη θεωρία πληροφορίας. Η τυπική επαλήθευση προτάσεων της λογικής είναι απαραίτητη για την ανάπτυξη λογισμικού συστημάτων ύψιστης ασφάλειας, με αποτέλεσμα νέες τεχνικές στην αυτοματοποιημένη απόδειξη θεωρημάτων.
Η υπολογιστική γεωμετρία είναι σημαντικό κομμάτι των γραφικών υπολογιστών και χρησιμοποιείται στα σύγχρονα βιντεοπαιχνίδια και στα εργαλεία σχεδίασης με τη βοήθεια υπολογιστή (computer-aided design tools).
Αρκετά πεδία των διακριτών μαθηματικών, ειδικά η θεωρητική πληροφορική, η θεωρία γράφων και η συνδυαστική, είναι σημαντικά για την αντιμετώπιση δύσκολων προβλημάτων βιοπληροφορικής σχετικά με τη φυλογενετική ταξινόμηση.
Σήμερα, ένα από τα πιο διάσημα ανοιχτά προβλήματα της θεωρητικής πληροφορικής είναι το πρόβλημα P = NP, που ασχολείται με τη σχέση μεταξύ των κλάσεων πολυπλοκότητας P και NP. Το Ινστιτούτο Μαθηματικών Clay έχει προσφέρει 1 εκατομμύριο δολάρια στις ΗΠΑ για την πρώτη σωστή απόδειξη, όπως και για άλλα έξι ανοιχτά μαθηματικά προβλήματα.

Τοπολογία

Αν και η τοπολογία είναι το πεδίο των μαθηματικών που τυποποιεί και γενικεύει τη διαισθητική έννοια της "συνεχούς παραμόρφωσης" των αντικειμένων, έχει οδηγήσει την έρευνα σε αρκετά διακριτά θέματα λόγω της χρήσης των τοπολογικών αναλλοίωτων, οι οποίες παίρνουν διακριτές τιμές.
Δείτε: συνδυαστική τοπολογία, τοπολογική θεωρία γράφων, τοπολογική συνδυαστική, υπολογιστική τοπολογία, διακριτός τοπολογικός χώρος, πεπερασμένος τοπολογικός χώρος, τοπολογία (χημεία).

Διακριτοποίηση

Η διακριτοποίηση ασχολείται με τη διαδικασία της μεταφοράς συνεχών μοντέλων και εξισώσεων στα διακριτά αντίστοιχά τους, συχνά για τη διευκόλυνση των υπολογισμών μέσω προσεγγιστικών μεθόδων. Σημαντικό παράδειγμα είναι η αριθμητική ανάλυση.

Διακριτά ανάλογα των συνεχών μαθηματικών

Υπάρχουν πολλές έννοιες των συνεχών μαθηματικών που έχουν διακριτές εκδόσεις, όπως ο διακριτός λογισμός, οι διακριτές πιθανοτικές κατανομές, οι διακριτοί μετασχηματισμοί Φουριέ, η διακριτή γεωμετρία, οι διακριτοί λογάριθμοι, η διακριτή διαφορική γεωμετρία, ο διαφορικός εξωτερικός λογισμός, η διακριτή θεωρία Μορς, οι εξισώσεις διαφορών, τα διακριτά δυναμικά συστήματα και τα διακριτά διανυσματικά μέτρα.
Στα εφαρμοσμένα μαθηματικά, η διακριτή μοντελοποίηση είναι το διακριτό ανάλογο της συνεχούς μοντελοποίησης. Στη διακριτή μοντελοποίηση, διακριτοί τύποι εφαρμόζονται σε δεδομένα. Μια συνηθισμένη μέθοδος που ακολουθείται σε αυτόν τον τύπο μοντελοποίησης είναι η χρήση σχέσεων (recurrence relations).

Υβριδικά διακριτά και συνεχή μαθηματικά

Ο λογισμός κλίμακας χρόνου ενοποιεί τη θεωρία των εξισώσεων διαφορών με αυτήν των διαφορικών εξισώσεων και έχει εφαρμογές σε πεδία που χρειάζονται ταυτόχρονη μοντελοποίηση διακριτών και συνεχών δεδομένων.