Αριθμός

Ένας αριθμός είναι ένα μαθηματικό αντικείμενο που χρησιμοποιείται για υπολογισμό, κατάταξη στοιχείων και μέτρηση. Στα μαθηματικά, ο ορισμός του αριθμού έχει επεκταθεί με την πάροδο των χρόνων να περιλαμβάνει τέτοιους αριθμούς όπως το 0, αρνητικούς αριθμούς, ρητούς αριθμούς, άρρητους αριθμούς και μιγαδικούς αριθμούς.
Οι μαθηματικές πράξεις είναι ορισμένες διαδικασίες που λαμβάνουν έναν ή περισσότερους αριθμούς ως είσοδο και παράγουν έναν αριθμό ως έξοδο. Οι μονομελείς πράξεις λαμβάνουν έναν αριθμό εισόδου και παράγουν ένα μοναδικό αριθμό. Για παράδειγμα, η πράξη για την εύρεση διαδοχικών αριθμών προσθέτει 1 σε ένα ακέραιο, και έτσι ο διάδοχος του 4 είναι 5. Οι δυαδικές πράξεις λαμβάνουν δύο αριθμούς εισόδου και παράγουν ένα μοναδικό αριθμό. Παραδείγματα δυαδικών πράξεων είναι η πρόσθεση, η αφαίρεση, ο πολλαπλασιασμός, η διαίρεση και η ύψωση σε δύναμη. Η μελέτη των αριθμητικών πράξεων λέγεται αριθμητική.
Ένα σύμβολο που αντιπροσωπεύει έναν αριθμό ονομάζεται αριθμητικό. Εκτός από τη χρήση τους στον υπολογισμό και τη μέτρηση,οι αριθμοί χρησιμοποιούνται συχνά για ετικέτες (αριθμοί τηλεφώνου), για διάταξη (αύξοντες αριθμούς), και για τους κωδικούς (π.χ., τα ISBN)
Γενικά, η λέξη αριθμός μπορεί να σημαίνει το αφηρημένο αντικείμενο, το σύμβολο ή τη λέξη αριθμό.

Ακέραιοι

Το αρνητικό από ένα θετικό ακέραιο ορίζεται ως ένας αριθμός που παράγει μηδέν όταν προστίθεται στο αντίστοιχο θετικό ακέραιο.Οι αρνητικοί αριθμοί συνήθως γράφονται με αρνητικό πρόσημο. Για παράδειγμα, το αρνητικό του 7 γράφεται -7, και 7 + (−7) = 0. Όταν το σύνολο των αρνητικών αριθμών συνδυάζεται με το σύνολο των φυσικών αριθμών (το οποίο περιλαμβάνει το 0), το αποτέλεσμα ορίζεται ως το σύνολο των ακεραίων, Ζ που επίσης γράφεται . Εδώ το γράμμα Ζ προέρχεται από τη γερμανική Zahl, που σημαίνει "αριθμός". Το σύνολο των ακεραίων σχηματίζει ένα δακτύλιο με πράξεις πρόσθεση και πολλαπλασιασμό.

Υπολογίσιμοι Αριθμοί

Προχωρώντας προς τα προβλήματα υπολογισμού,οι υπολογίσιμοι αριθμοί καθορίζονται στο σύνολο των πραγματικών αριθμών. Οι υπολογίσιμοι αριθμοί  , που είναι επίσης γνωστοί ως αναδρομικοί αριθμοί ή τα υπολογίσιμοι πραγματικοί, είναι οι πραγματικοί αριθμοί που μπορούν να υπολογιστούν, με οποιαδήποτε επιθυμητή ακρίβεια από ένα πεπερασμένο, περατούμενο αλγόριθμο. Ισοδύναμοι ορισμοί μπορούν να δοθούν χρησιμοποιώντας μ-αναδρομικές συναρτήσεις,μηχανές Turing ή  λ-λογισμό για την επίσημη εκπροσώπηση των αλγορίθμων. Οι υπολογίσιμοι αριθμοί  σχηματίζουν ένα κλειστό πραγματικό σώμα και μπορούν να χρησιμοποιηθούν στη θέση των πραγματικών αριθμών για πολλούς, αλλά όχι για όλους, μαθηματικούς σκοπούς.

Άλλοι τύποι

Οι Αλγεβρικοί αριθμοί είναι εκείνοι που μπορούν να δοθούν ως το λύση σε μια πολυωνυμική εξίσωση με ακέραιους συντελεστές. Το συμπλήρωμα των αλγεβρικών αριθμών είναι οι υπερβατικοί αριθμοί.
Οι υπερπραγματικοί αριθμοί (Αγγλικά: hyperreal numbers) χρησιμοποιούνται στη μη τυπική ανάλυση. Οι υπερπραγματικοί αριθμοί (συνήθως συμβολίζεται με *R),υποδηλώνουν ένα διατεταγμένο σώμα που είναι μια καλή επέκταση σώματος του διατεταγμένου σώματος των πραγματικών αριθμών R και ικανοποιεί την αρχή της μεταφοράς. Η αρχή αυτή επιτρέπει τις αληθινές  πρώτης τάξης δηλώσεις για το R να ερμηνευθούν εκ νέου ως αληθινές πρώτης τάξης δηλώσεις στο *R.
Οι εξωπραγματικοί αριθμοί(suprreal number) και οι σουρεαλιστικοί αριθμοί (surreal number) αποτελούν μια επέκταση των πραγματικών αριθμών με την προσθήκη  απείρως μικρών και μεγάλων αριθμών, που όμως συνεχίζουν να αποτελούν σώματα.
Οι π-αδικοι αριθμοί μπορεί να έχουν απείρως μακριές επεκτάσεις στα αριστερά της υποδιαστολής,
με τον ίδιο τρόπο που οι πραγματικοί αριθμοί μπορεί να έχουν απείρως μεγάλες επεκτάσεις προς τα δεξιά. Το αριθμητικό σύστημα  που προκύπτει εξαρτάται από το τι βάση χρησιμοποιείται για τα ψηφία: οποιαδήποτε βάση είναι δυνατή, αλλά η βάση ενός πρώτου αριθμού  παρέχει τις καλύτερες μαθηματικές ιδιότητες.
Για την αντιμετώπιση των άπειρων συλλογών, οι φυσικοί αριθμοί έχουν γενικευτεί στους  διατακτικούς αριθμούς  και τους πληθικούς αριθμούς. Οι πρώτοι δίνουν την διάταξη της συλλογής, ενώ οι δεύτεροι δίνουν το μέγεθος της. Για το πεπερασμένο σύνολο, οι διατακτικοί  και οι πληθικοί αριθμοί είναι ισοδύναμοι, αλλά διαφέρουν ως προς την περίπτωση του απείρου.
Τα σύνολα αριθμών που δεν είναι υποσύνολα των μιγαδικών αριθμών μερικές φορές ονομάζεται υπερμιγαδικός. Αυτοί περιλαμβάνουν τις τετράδες Η, που εφευρέθηκε από τον Sir   William Rowan Hamilton,στην οποία ο πολλαπλασιασμός δεν είναι αντιμεταθετικός και τα  octonions στα οποία ο πολλαπλασιασμός δεν είναι προσεταιριστικός. Τα στοιχεία των πεδίων των συναρτήσεων, των μη μηδενικών χαρακτηριστικών,συμπεριφέρονται όπως οι αριθμοί και συχνά θεωρούνται ως  αριθμοί από τους αριθμητικούς θεωρητικούς.

Αριθμοί

Οι αριθμοί θα πρέπει να διακρίνεται από τον όρο αριθμοί στη γλωσσολογία, δηλαδή
τα σύμβολα που χρησιμοποιούνται για να αντιπροσωπεύσουν τους αριθμούς. Ο  Boyer έδειξε ότι οι Αιγύπτιοι δημιούργησαν το πρώτο κρυπτογραφημένο σύστημα αρίθμησης.  Οι Έλληνες  ακολούθησαν με τη χαρτογράφηση των αριθμών τους στο Ιωνικό και Δωρικό αλφάβητο. Ο αριθμός πέντε μπορεί να αντιπροσωπεύεται τόσο από τον αριθμό "5", όσο και από το Ρωμαϊκό σύστημα αρίθμησης με  "Ⅴ" και από κρυπτογραφημένα γράμματα.Μια σημαντική εξέλιξη στην ιστορία των αριθμών ήταν η ανάπτυξη ενός συστήματος θέσης, όπως η σύγχρονη δεκαδικοί, οι οποίοι μπορούν να αντιπροσωπεύσουν πολύ μεγάλους αριθμούς. Οι  ρωμαϊκοί αριθμοί  απαιτούν επιπλέον σύμβολα για μεγαλύτερους αριθμούς.

Η πρώτη χρήση των αριθμών

Οστά και άλλα αντικείμενα έχουν ανακαλυφθεί με  σημάδια κοπής πάνω σε αυτά και έτσι πολλοί πιστεύουν ότι είναι σημάδια καταμέτρησης ένα προς ένα   (tally marks). Αυτά μπορεί να έχουν χρησιμοποιηθεί για τη μέτρηση του χρόνου ,όπως είναι οι αριθμοί των ημερών, των σεληνιακών κύκλων ή την διατήρηση αρχείων ποσοτήτων, όπως των ζώων.
Ένα τέτοιο σύστημα καταμέτρησης δεν περιέχει την έννοια της τιμής θέσεως  (όπως στα σύγχρονα δεκαδικά σύμβολα), η οποία περιορίζεται στην εκπροσώπηση των μεγάλων αριθμών. Παρ 'όλα  θεωρείται η πρώτη κατηγορία του αφηρημένου συστήματος αρίθμησης.
Το πρώτο γνωστό σύστημα με την έννοια της τιμής θέσεως ήταν το σύστημα μέτρησης της αρχαίας Μεσοποταμίας  ( περίπου το 3400 π.Χ.) και το γνωστό σύστημα βάσης 10 από το 3100 π.Χ. στην Αίγυπτο.

Μηδέν

Η χρήση του 0 ως αριθμού θα πρέπει να διακρίνεται από τη χρήση του ως ένα αριθμητικό κράτησης θέσης στο σύστημα τιμής θέσεως. Σε πολλά αρχαία κείμενα  χρησιμοποιείται το 0. Οι Βαβυλώνιοι και οι Αιγύπτιοι το χρησιμοποιούσαν στα κείμενα τους. Οι Αιγύπτιοι χρησιμοποιούσαν τη λέξη nfr για να δηλώσουν το μηδενικό υπόλοιπο στις εγγραφές του συστήματος λογιστικής διπλής εγγραφής (double entry accounting). Στα ινδικά κείμενα χρησιμοποιείται η σανσκριτική λέξη shunye ή shunya να αναφερθούν στην έννοια του κενού. Στα μαθηματικά κείμενα αυτή η λέξη αναφέρεται συχνά στον αριθμό μηδέν.
Τα αρχεία δείχνουν ότι οι Αρχαίοι Έλληνες δεν ήταν σίγουροι για την κατάσταση του 0 ως αριθμού: και αναρωτιόνταν "πώς μπορεί το «τίποτα » να είναι κάτι;" ,έτσι οδηγήθηκαν σε ενδιαφέρουσες φιλοσοφικές και, κατά τη Μεσαιωνική περίοδο, σε θρησκευτικές διαφωνίες σχετικά με τη φύση και την ύπαρξη του 0 και του κενού.
Τα παράδοξα του Ζήνωνα του Ελεάτη εξαρτώνται σε μεγάλο βαθμό από την αβέβαιη ερμηνεία του 0. (Οι αρχαίοι Έλληνες, ακόμα και είχαν το ερώτημα κατά πόσον το 1  ήταν αριθμός.)
Οι Ολμέκοι του νότιο-κεντρικού Μεξικού άρχισαν να χρησιμοποιούν ένα πραγματικό μηδέν (ένα ανάγλυφο κέλυφος) στο Νέο Κόσμο, ενδεχομένως, από τον 4ο αιώνα π.Χ., αλλά σίγουρα από το 40 π.Χ., το οποίο έγινε αναπόσπαστο μέρος των αριθμών των Μάγια και του ημερολογίου των Μάγιας. Η αριθμητική των Μάγιας χρησιμοποιούσε τη βάση  4 και  5 γραμμένη  ως βάση  20. Ο Sanchez το 1961 ανέφερε μια βάση  4,ως  "δακτυλικό" άβακα βάσης 5.
Το 130 μ.Χ., ο Πτολεμαίος, επηρεασμένος από τον Ίππαρχο και τους Βαβυλώνιους, χρησιμοποιούσε ένα σύμβολο για το 0 (ένα μικρό κύκλο με μια γραμμή) εντός ενός εξηνταδικού συστήματος αρίθμησης, διαφορετικά χρησιμοποιούσε κατά αλφαβητική σειρά το Ελληνικό σύστημα αρίθμησης. Επειδή είχε χρησιμοποιηθεί μόνο του, όχι απλά ως ένα σύμβολο κράτησης θέσης, αυτό το ελληνιστικό μηδέν ήταν η πρώτη τεκμηριωμένη χρήση ενός πραγματικού μηδέν στον Παλαιό Κόσμο.
Στα μεταγενέστερα βυζαντινά χειρόγραφα της Μαθηματικὴς Σύνταξις (Αλμαγέστη), το Ελληνιστικό μηδέν είχε μεταμορφωθεί στο ελληνικό γράμμα όμικρον (που αλλιώς σημαίνει 70).
Ένα άλλο πραγματικό μηδέν χρησιμοποιήθηκε στους πίνακες μαζί με λατινικούς αριθμούς από το 525 (πρώτη γνωστή χρήση από τον  Dionysius Exiguus),αλλά ως  λέξη, μηδέν σήμαινε τίποτα, όχι ως σύμβολο. Όταν η διαίρεση έδινε 0 ως υπόλοιπο, γινόταν χρήση της λέξης nihil, που επίσης σημαίνει τίποτα. Αυτά τα μεσαιωνικά μηδενικά χρησιμοποιήθηκαν σε όλους τους μελλοντικούς μεσαιωνικούς υπολογισμούς (υπολογισμοί του Πάσχα). Μία μεμονωμένη χρήση της αρχής τους, Ν, χρησιμοποιήθηκε σε έναν πίνακα με λατινικούς αριθμούς από τον Bede ή έναν συνάδελφο του περίπου το 725, ήταν ένα  σύμβολο πραγματικού μηδέν.
Μια πρώτη τεκμηριωμένη χρήση του μηδενός  από τον  Brahmagupta (στο Brāhmasphuṭasiddhānta) χρονολογείται στο 628. Αντιμετώπιζε το 0 ως αριθμό και μελέτησε τις διαδικασίες που το περιείχαν, συμπεριλαμβανομένης της διαίρεσης. Εκείνη την εποχή (7ος αιώνας) η έννοια αυτή είχε φτάσει στην Καμπότζη  ως "αριθμοί Χμερ" (Khmer numerals) και έγγραφα αποδεικνύουν ότι η ιδέα αυτή εξαπλώθηκε στην Κίνα και τον Ισλαμικό κόσμο.

Αρνητικοί αριθμοί

Η αφηρημένη έννοια των αρνητικών αριθμών αναγνωρίστηκε ήδη από το 100 π.Χ. - 50 π.Χ.. Τα εννέα κινεζικά άρθρα σχετικά με την Μαθηματική Τέχνη (κινέζικα: Jiu-Zhang Suanshu) περιλαμβάνουν μεθόδους εύρεσης των περιεχών των ψηφίων. Κόκκινες ράβδοι χρησιμοποιούνταν για να υποδηλώσουν τους θετικούς συντελεστές,και μαύροι για τους αρνητικούς. Αυτή είναι η πρώτη γνωστή αναφορά στους αρνητικούς αριθμούς στην Ανατολή. Η πρώτη αναφορά σε  δυτικό έργο ήταν τον 3ο αιώνα στην Ελλάδα. Ο Διόφαντος αναφέρθηκε στην εξίσωση 4x + 20 = 0  (η λύση είναι αρνητική)  στην Αριθμητική, λέγοντας ότι η εξίσωση έδωσε ένα παράλογο αποτέλεσμα.
Γύρω στο 600, οι αρνητικοί αριθμοί χρησιμοποιούνταν στην Ινδία προκειμένου να δηλώσουν τα χρέη. Η προηγούμενη αναφορά του Διόφαντου συζητήθηκε ρητά από τον Ινδό μαθηματικό Brahmagupta, στο  Brāhmasphuṭasiddhānta 628, ο οποίος χρησιμοποίησε αρνητικούς αριθμούς για να αποδώσει το γενικό δευτεροβάθμιο τύπο που έχει εφαρμόγη μέχρι και σήμερα. Παρόλο που, τον 12ο αιώνα στην Ινδία, ο  Bhaskara έδωσε αρνητικές ρίζες για δευτεροβάθμιες εξισώσεις, είπε ότι η αρνητική αξία " σε αυτή την περίπτωση δεν πρέπει να ληφθεί υπόψη, γιατί  είναι ανεπαρκής ,οι άνθρωποι δεν εγκρίνουν τις αρνητικές ρίζες".
Οι Ευρωπαίοι μαθηματικοί, ως επί το πλείστον, αντιστάθηκαν στην ιδέα των αρνητικών αριθμών μέχρι τον 17ο αιώνα, αν και ο Fibonacci επέτρεψε τις αρνητικές λύσεις στα οικονομικά προβλήματα που θα μπορούσαν να ερμηνευθούν ως χρέη (chapter 13 of  Liber Abaci, 1202) και αργότερα ως ζημίες (Flos). Την ίδια στιγμή, οι Κινέζοι υποδεικνύουν τους αρνητικούς αριθμούς  σχεδιάζοντας  μια διαγώνια γραμμή στο δεξιότερο μη αρνητικό ψηφίο από τον αντίστοιχο θετικό αριθμό. Η πρώτη χρήση των αρνητικών αριθμών σε ένα ευρωπαϊκό έργο ήταν από τον Chuquet κατά τη διάρκεια του 15ου αιώνα. Τους χρησιμοποιούσε ως εκθέτες, αλλά τους ανέφερε ως «παράλογους αριθμούς".
Ακόμα πιο πρόσφατα, τον 18ο αιώνα, ήταν κοινή πρακτική να αγνοούνται τυχόν αρνητικά αποτελέσματα που επιστρέφονται από τις εξισώσεις με την την υπόθεση ότι δεν είχαν νόημα, όπως ακριβώς έκανε ο Ρενέ Ντεκάρτ  με τις αρνητικές λύσεις σε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων.

Ρητοί Αριθμοί

Είναι πιθανό ότι η έννοια των κλασματικών αριθμών χρονολογείται από τους προϊστορικούς χρόνους. Οι αρχαίοι Αιγύπτιοι χρησιμοποιούσαν τον αιγυπτιακό κλασματικό συμβολισμό για τους ρητούς αριθμούς σε μαθηματικά κείμενα , όπως ο  Μαθηματικός Πάπυρος του Rhind και ο   Πάπυρος του Kahun. Κλασικοί Έλληνες και Ινδοί μαθηματικοί έκαναν μελέτες για τη θεωρία των ρητών αριθμών, ως μέρος της γενικής μελέτης της θεωρίας αριθμών.  Το πιο γνωστό από αυτά είναι τα Στοιχεία του Ευκλείδη, που χρονολογείται περίπου στο 300 π.Χ.. Από τα ινδικά κείμενα, το πιο σημαντικό είναι το  Sthananga Sutra, το οποία καλύπτει επίσης  τη θεωρία αριθμών ως μέρος μιας γενικής μελέτης των μαθηματικών.
Η έννοια των δεκαδικών κλασμάτων συνδέεται στενά με το συμβολισμό της δεκαδικής αξίας θέσης. Οι δύο φαίνεται να έχουν αναπτυχθεί σε συνδυασμό. Για παράδειγμα, είναι σύνηθες για τις "Jain math sutras" να περιλαμβάνουν υπολογισμούς δεκαδικών κλασμάτων που προσεγγίζουν το π ή την τετραγωνική ρίζα του 2.  Ομοίως, στα μαθηματικά κείμενα των  Βαβυλωνίων γίνεται πάντα χρήση εξηνταδικών (βάση 60) κλασμάτων με μεγάλη συχνότητα.

Άρρητοι Αριθμοί

Η παλαιότερη γνωστή χρήση των άρρητων αριθμών ήταν στα ινδικά Sulba Sutras μεταξύ 800 και 500 π.Χ..   Οι πρώτες αποδείξεις ύπαρξης των άρρητων αριθμών συνήθως αποδίδονται στον  Πυθαγόρα, πιο συγκεκριμένα στον Πυθαγόρειο Μεταπόντιο Ίππασο, ο οποίος συνέταξε (την πιο πιθανή γεωμετρικά) απόδειξη της αρρητότητας της τετραγωνικής ρίζας του 2.
Η ιστορία λέει ότι ο Ίππασος ανακάλυψε τους άρρητους αριθμούς καθώς προσπαθούσε να εκφράσει την τετραγωνική ρίζα του 2 ως κλάσμα. Ωστόσο ο Πυθαγόρας πίστευε στην απολυτότητα των αριθμών, και δεν μπορούσε να δεχτεί την ύπαρξη των άρρητων αριθμών.  Δεν μπορούσε να διαψεύσει την ύπαρξή τους μέσα από τη λογική, αλλά δεν μπορούσε και να δεχθεί την ύπαρξή τους, και έτσι καταδίκασε τον Ίππασο σε θάνατο με πνιγμό.
Ο 16ος αιώνας έφερε την τελική ευρωπαϊκή αποδοχή των αρνητικών ακεραίων και των κλασματικών αριθμών. Μέχρι το 17ο αιώνα, οι μαθηματικοί χρησιμοποιούσαν  δεκαδικά κλάσματα με σύγχρονους συμβολισμούς. Δεν ήταν, όμως, μέχρι τον 19ο αιώνα που οι μαθηματικοί χώρισαν τους άρρητους σε αλγεβρικούς και υπερβατικούς  και για άλλη μια φορά ανέλαβαν την επιστημονική μελέτη των άρρητων αριθμών, που είχε παραμείνει σχεδόν σε αδράνεια από τον Ευκλείδη. Το 1872, η δημοσίευση των θεωριών του Καρλ Βάιερστρας (από τον μαθητή του Κόσσακ), Heine (Crelle, 74), Γκέοργκ Καντόρ (Annalen, 5), και Ρίτσαρντ Ντέντεκιντ επανέφεραν τη μελέτη για τους άρρητους αριθμούς. Το 1869, ο Méray είχε  το ίδιο σημείο εκκίνησης, με τον Heine, αλλά η θεωρία γενικά αναφέρεται στο έτος 1872.  Η μέθοδος του Weierstrass  ορίζεται εντελώς  από τον Salvatore Pincherle (1880), και του Dedekind έλαβε μεγαλύτερη αξία από το μετέπειτα έργο του συγγραφέα και εγκρίθηκε από τον  Paul Tannery (1894). Οι Weierstrass, Cantor, και Heine βάσισαν τις θεωρίες τους πάνω στις άπειρες σειρές, ενώ ο Dedekind βάσισε τη δική του στην ιδέα της  Τομής Ντέντεκιντ στο σύστημα των πραγματικών αριθμών, διαχωρίζοντας όλους τους ρητούς αριθμούς σε δύο ομάδες που έχουν ορισμένες χαρακτηριστικές ιδιότητες. Το θέμα μελετήθηκε περισσότερο και εμπλουτίστηκε στα χέρια των  Weierstrass, Kronecker (Crelle, 101), και Méray.
Τα συνεχή κλάσματα, που συνδέονται στενά με τους άρρητους  αριθμούς (και λόγω του Πιέτρο Κατάλντι, 1613), συγκέντρωσαν την προσοχή στα χέρια του Λέοναρντ Όιλερ, και κατά την έναρξη του 19ου αιώνα ήρθαν στο προσκήνιο μέσα από τα γραπτά του Ζοζέφ Λουί Λαγκράνζ. Άλλες αξιόλογες συνεισφορές έχουν γίνει από τους Druckenmüller (1837), Kunze (1857), Lemke (1870), και Günther (1872). Ο Ramus (1855) ήταν ο πρώτος που συνέδεσε το θέμα με την ορίζουσα που είχε αποτέλεσμα , με τις μεταγενέστερες εισφορές των Heine, Möbius, και Günther, στη θεωρία της Kettenbruchdeterminanten. Ο Dirichlet βοήθησε επίσης στη γενική θεωρία, αφού είχε πολλές συνεισφέροντες στις εφαρμογές του θέματος.

Υπερβατικοί και πραγματικοί αριθμοί

Τα πρώτα αποτελέσματα που αφορούν τους υπερβατικούς αριθμούς ήταν η  απόδειξη του  Γιόχαν Χάινριχ Λάμπερτ 1761  ότι το π δεν μπορεί να είναι ρητός και, επίσης, ότι το   eⁿ  είναι άρρητος αν το n είναι ρητός (αλλά όχι για n = 0). ( Η σταθερά e για πρώτη φορά αναφέρεται το 1618 στο έργο του Τζον Νάπιερ για τους  λογαρίθμους.) O Legendre επέκτεινε αυτό το στοιχείο για να αποδείξει ότι το π δεν είναι η τετραγωνική ρίζα ενός ρητού αριθμού.  Η αναζήτηση για τις ρίζες των αλγεβρικών ομογενών συναρτήσεων πολλών μεταβλητών (Quintic function) και των εξισώσεων μεγαλύτερου βαθμού ήταν μια σημαντική εξέλιξη, το  θεώρημα Abel-Ruffini (Ruffini 1799,  Abel 1824)  έδειξε ότι δεν μπορούσαν να επιλυθούν με  ριζικά
(τύποι που περιλαμβάνουν μόνο αριθμητικές πράξεις και ρίζες). Ως εκ τούτου, ήταν αναγκαίο να εξεταστεί το ευρύτερο σύνολο των αλγεβρικών αριθμών (όλες οι λύσεις των πολυωνυμικών εξισώσεων). Ο Γκαλουά (1832) συνέδεσε τις πολυωνυμικές εξισώσεις με τη  θεωρία των ομάδων και οδηγήθηκε στη Θεωρία Γκαλουά.
Η ύπαρξη των υπερβατικών αριθμών καθιερώθηκε για πρώτη φορά από τον  Liouville (1844, 1851). Ο Hermite απέδειξε το 1873 ότι το e είναι υπερβατικός και ο Lindemann απέδειξε το 1882 ότι το π είναι υπερβατικός. Τέλος ο Cantor έδειξε ότι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών είναι μη αριθμήσιμο  απειροσύνολο (Cantor's first uncountability proof) , αλλά το σύνολο όλων των αλγεβρικών αριθμών είναι αριθμήσιμο απειροσύνολο, έτσι υπάρχει ένας μη μετρήσιμος άπειρος αριθμός των υπερβατικών αριθμών.

Απειρία και Απειροελάχιστο

Η αρχαιότερη γνωστή αντίληψη του μαθηματικού απείρου εμφανίζεται στην Yajur Veda, μια αρχαία ινδική γραφή, η οποία  αναφέρει, "Αν αφαιρέσετε ένα μέρος από το άπειρο ή  προσθέσετε ένα μέρος στο άπειρο, ακόμα αυτό που μένει είναι το άπειρο.". Η απειρία ήταν ένα δημοφιλές θέμα για φιλοσοφική μελέτη μεταξύ των μαθηματικών του  Τζαϊνισμού περ. το 400 π.Χ. Αυτοί διέκριναν πέντε είδη του απείρου : άπειρο σε μία και δύο κατευθύνσεις, άπειρο σε περιοχή, άπειρο παντού, και διαρκές άπειρο .
Ο Αριστοτέλης όρισε την παραδοσιακή δυτική έννοια του μαθηματικού απείρου. Τη διέκρινε ανάμεσα στην πραγματική απειρία και τη δυναμική απειρία - τη γενική ομόφωνη παραδοχή  ότι μόνο ο τελευταίος είχε πραγματική αξία. Στο Two New Sciences του Γαλιλαίου Γαλιλέι συζητήθηκε η ιδέα των μία προς μία αντιστοιχιών μεταξύ των άπειρων συνόλων. Αλλά το επόμενο μεγάλο βήμα στη θεωρία έγινε από τον Γκέοργκ Κάντορ. Το 1895 δημοσίευσε ένα βιβλίο για τη νέα θεωρία συνόλων του, εισάγοντας, μεταξύ άλλων, τους πληθικούς αριθμούς και  τη διατύπωση της υπόθεσης της συνέχειας. Αυτό ήταν το πρώτο μαθηματικό μοντέλο που εκπροσώπησε την απειρία με αριθμούς και έδωσε κανόνες για τις πράξεις με αυτούς τους άπειρους αριθμούς.
Στη δεκαετία του 1960, ο Abraham Robinson έδειξε πόσο οι απείρως μεγάλοι και οι απειροελάχιστοι αριθμοί μπορούν να καθορίζονται με αυστηρότητα και να χρησιμοποιηθούν για την ανάπτυξη του τομέα της μη τυπικής ανάλυσης.  Το σύστημα των υπερπραγματικών αριθμών αντιπροσωπεύει μια αυστηρή μέθοδο επεξεργασίας των ιδεών σχετικά με τους άπειρους και απειροελάχιστους αριθμούς που χρησιμοποιούσαν μαθηματικοί, επιστήμονες και μηχανικοί από την  εφεύρεση  του απειροστικού λογισμού από τον  Νεύτωνα και τον Λάιμπνιτς.
Μια σύγχρονη γεωμετρική εκδοχή του απείρου δίνεται από την προβολική γεωμετρία, η οποία εισάγει «ιδανικά σημεία στο άπειρο», ένα για κάθε χωρική κατεύθυνση. Κάθε οικογένεια  παράλληλων γραμμών σε μια δεδομένη κατεύθυνση είναι αξίωμα να συγκλίνει προς το αντίστοιχο ιδανικό σημείο. Αυτό είναι στενά συνδεδεμένο με την ιδέα  των μηδενιζόμενων σημείων σε ένα σχέδιο προοπτικής.

Πρώτοι αριθμοί

Οι πρώτοι αριθμοί  έχουν μελετηθεί σε όλη την καταγεγραμμένη ιστορία. Ο Ευκλείδης αφιέρωσε ένα βιβλίο από τα  Στοιχεία για τη θεωρία των πρώτων αριθμών.
Σε αυτό απέδειξε την απειρία των πρώτων αριθμών και το Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής και παρουσίασε τον Αλγόριθμος του Ευκλείδη
για την εύρεση του μέγιστου κοινού διαιρέτη δύο αριθμών.
Το 240 π.Χ., ο Ερατοσθένης χρησιμοποίησε το Κόσκινο του Ερατοσθένη για να απομονώσει γρήγορα τους πρώτους αριθμούς. Αλλά η περαιτέρω ανάπτυξη της θεωρίας των πρώτων αριθμών στην Ευρώπη χρονολογείται στην Αναγέννηση και στις μετέπειτα εποχές.
Το 1796, ο Adrien-Marie Legendre υπέθεσε το Θεώρημα πρώτων αριθμών που περιγράφει την ασυμπτωτική κατανομή των πρώτων αριθμών. Άλλα αποτελέσματα σχετικά με την κατανομή των πρώτων αριθμών περιλαμβάνουν την απόδειξη του Euler ότι το άθροισμα των αντίστροφων των πρώτων αριθμών αποκλίνει, και η Εικασία του Γκόλντμπαχ η οποία ισχυρίζεται ότι κάθε αρκετά μεγάλος άρτιος αριθμός είναι το άθροισμα των δύο πρώτων. Μια άλλη εικασία σχετικά με την κατανομή των πρώτων αριθμών είναι η εικασία του Riemann,  που διατυπώθηκε από τον Μπέρναρντ Ρίμαν το 1859. Το θεώρημα των πρώτων αριθμών τελικά αποδείχθηκε από τους  Jacques Hadamard και Charles de la Vallée-Poussin  το 1896. Οι εικασίες του Γκόλντμπαχ και του Riemann ακόμη και σήμερα δεν έχουν αποδειχθεί αλλά και δεν έχουν απορριφθεί.