Πολύεδρο

Πολυεδρική επιφάνεια

Ένα καθοριστικό χαρακτηριστικό σχεδόν όλων των ειδών των πολυέδρων είναι ότι μόλις δύο έδρες ενώνονται κατά μήκος οποιασδήποτε κοινής ακμής. Αυτό εξασφαλίζει ότι η πολυεδρική επιφάνεια είναι συνεχώς συνδεδεμένη και δεν τελειώνει απότομα ή δεν διασπάται σε διαφορετικές κατευθύνσεις.

Ικανότητα προσανατολισμού

Μερικά πολύεδρα, όπως όλα τα κυρτά πολύεδρα, έχουν δύο διακεκριμένες πλευρές στην επιφάνειά τους, για παράδειγμα η μία πλευρά κατά συνέπεια μπορεί να βαφτεί μαύρη και η άλλη άσπρη. Λέμε ότι το σχήμα είναι προσανατολίσιμο.
Άλλα για κάποια πολύεδρα αυτό δεν είναι δυνατόν, και τον σχήμα ορίζεται ως μη-προσανατολίσιμο. Όλα τα πολύεδρα με μονό αριθμό χαρακτηριστικής Όιλερ είναι μη-προσανατολίσιμα. Ένα δοσμένο σχήμα με ζυγό χ < 2 μπορεί ή δεν μπορεί να είναι προσανατολίσιμο.

Σχήμα κορυφής

Για κάθε κορυφή μπορεί κανείς να ορίσει ένα σχήμα κορυφής, το οποίο περιγράφει την τοπική δομή του σχήματος γύρω από την κορυφή. Αν το σχήμα της κορυφής είναι ένα κανονικό πολύγωνο, τότε η κορυφή η ίδια ορίζεται ως κανονική.

Ονόματα Πολυέδρων

Τα πολύεδρα συνήθως ονομάζονται με βάση τον αριθμό των εδρών. Το σύστημα της ονομασίας βασίζεται στα Αρχαία Ελληνικά,  για παράδειγμα τετράεδρο (4), πεντάεδρο (5), εξάεδρο (6), επτάεδρο (7), τριακοντάεδρο (30), και ούτω καθεξής. Μερικές φορές τροποποιούνται με βάση την περιγραφή των ειδών των εδρών που έχουν, για παράδειγμα το Ρομβικό δωδεκάεδρο εναντίον του Πενταγωνικού δωδεκαέδρου.
Μερικά πολύεδρα απέκτησαν κοινά ονόματα, για παράδειγμα το κανονικό εξάεδρο είναι ευρέως γνωστό ως κύβος. Άλλα έχουν πάρει το όνομά τους από αυτούς που τα ανακάλυψαν, όπως το τέρας του Miller ή το πολύεδρο του Szilassi.
Άλλα κοινά ονόματα δείχνουν ότι κάποια πράξη έχει εκτελεστεί σε ένα απλούστερο πολύεδρο, για παράδειγμα ο κόλουρος κύβος μοιάζει με κύβο του οποίου οι γωνίες έχουν κοπεί, και έχει 14 έδρες (άρα είναι επίσης παράδειγμα δεκατεσσεράεδρων).

Παραδοσιακά Πολύεδρα

Στην γεωμετρία, ένα πολύεδρο είναι παραδοσιακά ένα τρισδιάστατο σχήμα που αποτελείται από ένα πεπερασμένο αριθμό πολυγωνικών εδρών οι οποίες είναι τμήματα των επιπέδων; οι έδρες χωρίζονται σε ζεύγη κατά μήκος των ακμών που είναι ευθείες γραμμές, και οι ακμές τέμνονται σε σημεία που λέγονται κορυφές. Κύβοι, πρίσματα και πυραμίδες είναι παραδείγματα πολυέδρων. Το πολύεδρο περιβάλλει ένα φραγμένο όγκο σε τρισδιάστατο χώρο; μερικές φορές αυτός ο εσωτερικός όγκος θεωρείται ότι είναι μέρος του πολυέδρου, μερικές φορές μόνο η επιφάνεια θεωρείται, και περιστασιακά μόνο ο σκελετός των ακμών.
Ένα πολύεδρο λέγεται κυρτό εάν η επιφάνειά του (η οποία περιλαμβάνει έδρες, ακμές και κορυφές) δεν τέμνει τον εαυτό της και αν το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει οποιαδήποτε δύο σημεία του πολυέδρου περιέχεται στο εσωτερικό ή στην επιφάνεια.

Ορθογώνιο πολύεδρο

Ένα ορθογώνιο πολύεδρο είναι ένα σύνολο από έδρες που ενώνονται σε ορθές γωνίες, και το σύνολο των οποίων οι ακμές είναι παράλληλες προς τους άξονες ενός καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων. Εκτός από ένα ορθογώνιο κουτί, τα ορθογώνια πολύεδρα είναι μη-κυρτά. Είναι τα τρισδιάστατα αναλογικά των δισδιάστατων ορθογώνιων πολυγώνων, γνωστών επίσης ως ευθύγραμμα πολύγωνα. Τα ορθογώνια πολύεδρα χρησιμοποιούνται στην υπολογιστική γεωμετρία, όπου η περιορισμένη δομή τους τούς επέτρεψε να προοδεύσουν σε άλυτα προβλήματα αυθαίρετα πολύεδρα, για παράδειγμα, να ξεδιπλώσουν την επιφάνεια ενός πολυέδρου σε ένα πολυγωνικό δίκτυο.

Γενικεύσεις των πολυέδρων

Η ονομασία 'πολύεδρο' δημιουργήθηκε για να χρησιμοποιηθεί για μία ποικιλία αντικειμένων με παρόμοιες δομικές ιδιότητες με τα παραδοσιακά πολύεδρα.

Σύνθετα πολύεδρα

Το σύνθετο πολύεδρο είναι ένα το οποίο είναι κατασκευασμένο σε πολύπλοκο τρισδιάστατο Hilbert. Ο χώρος αυτός έχει έξι διαστάσεις: τρεις πραγματικές που αντιστοιχούν στον συνήθη χώρο, με την κάθε μία να συνοδεύεται από μία φανταστική διάσταση. Βλέπε για παράδειγμα Coxeter (1974).

Καμπυλωτά πολύεδρα

Ορισμένοι από τους τομείς της μελέτης επιτρέπουν τα πολύεδρα να έχουν καμπυλωτές επιφάνειες και ακμές.

Πολύεδρα με Ολόμορφες Έδρες ή Έδρες Σκελετού

Δεν είναι απαραίτητο να συμπληρωθεί η έδρα ενός σχήματος πριν πούμε ότι είναι πολύεδρο. Για παράδειγμα ο Leonardo da Vinci επινόησε μοντέλα πλαισίων των κανονικών στερεών, τα οποία ζωγράφισε για το βιβλίο του Pacioli Divina Proportione. Στην σύχγρονη εποχή, ο Branko Grünbaum (1994) έκανε μία ειδική μελέτη αυτής της τάξης των πολυέδρων στην οποία αναπτύχθηκε μία πρώιμη ιδέα των αφηρημένων πολυέδρων. Όρισε μία έδρα ως ένα κυκλικά διατεταγμένο σύνολο κορυφών και επέτρεψε οι έδρες να είναι λοξές όπως και επίπεδες.

Μη-γεωμετρικά πολύεδρα

Διάφορα μαθηματικά καταστευάσματα έχουν βρεθεί να έχουν ιδιότητες οι οποίες παρουσιάζονται επίσης στα παραδοσιακά πολύεδρα.

Τοπολογικά πολύεδρα

Ένα τοπολογικό πολύτοπο είναι ένας τοπολογικός χώρος που παρατίθεται μαζί με ένα ειδικό διαμερισμό σχημάτων που είναι τοπολογικά ισοδύναμα με κυρτά πολύτοπα και που είναι συνδεδεμένα μεταξύ τους με ένα κανονικό τρόπο.
Ένα τέτοιο σχήμα λέγεται απλό αν κάθε περιφέρειά του είναι simplex, δηλαδή σε έναν n-διάστατο χώρο κάθε περιοχή έχει n+1 κορυφές.  Η δυϊκότητα ενός απλού πολύτοπου λέγεται απλή.  Ομοίως, μία ευρέως μελετημένη τάξη πολύτοπων (πολύεδρα) είναι αυτή των κυβικών πολυέδρων, όταν το βασικό δομικό στοιχείο είναι ένας n-διάστατος κύβος.

Αφηρημένα πολύεδρα

Ένα αφηρημένο πολύεδρο είναι ένα μερικώς διατεταγμένο σύνολο (poset) στοιχείων των οποίων η μερική διάταξη υπακούει σε ορισμένους κανόνες. Οι θεωρίες διαφέρουν στις λεπτομέρειες, αλλά ουσιαστικά τα στοιχεία του συνόλου αντιστοιχούν στο σώμα, τις έδρες, τις ακμές και τις γωνίες του πολυέδρου. Το κενό σύνολο αντιστοιχεί στο μηδενικό πολύτοπο, ή nullitope, το οποίο έχει διαστατικότητα −1. Αυτά τα poset ανήκουν στην ευρύτερη οικογένεια των αφηρημένων πολυτόπων σε οποιοδήποτε αριθμό διαστάσεων.

Προϊστορία

Πέτρες σκαλισμένες σε σχήματα οι οποίες δείχνουν τις συμμετρίες των διαφόρων πολυέδρων έχουν βρεθεί στη Σκωτία και μπορεί να είναι μέχρι και 4,000 ετών. Αυτές οι πέτρες δείχνουν όχι μόνο τη μορφή των διαφόρων συμμετρικών πολυέδρων, αλλά και τις σχέσεις δυϊκότητας μεταξύ ορισμένων από αυτών(δηλαδή, ότι τα κέντρα των εδρών του κύβου δίνουν τις κορυφές ενός οκταέδρου, και ούτω καθεξής). Παραδείγματα τέτοιων λίθων βρίσκονται σε επίδειξη στην αίθουσα John Evans  του Ασμόλειου μουσείου στο Πανεπιστήμιο της Οξφόρδης. Είναι αδύνατο να γνωρίζουμε γιατί φτιάχτηκαν αυτά τα αντικείμενα, ή πως ο γλύπτης κέρδισε την έμπνευση για αυτούς.
Άλλα πολύεδρα έχουν φυσικά αφήσει το στίγμα τους στην Αρχιτεκτονική—κύβοι και ορθογώνια παραλληλεπίπεδα είναι προφανή παραδείγματα, με τις πρώτες πυραμίδες τεσσάρων-όψεων της αρχαίας Αιγύπτου επίσης να χρονολογούνται από τη Λίθινη Εποχή.
Οι Ετρούσκοι προηγήθηκαν των Ελλήνων στην ευαισθητοποίηση τους για μερικά τουλάχιστον από τα κανονικά πολύεδρα, όπως αποδεικνύεται από την ανακάλυψη κοντά στην Πάντοβα (στη Βόρεια Ιταλία) στα τέλη του 19ου αιώνα ενός δωδεκαέδρου από στεατίτη, η οποία χρονολογείται πάνω από 2,500 χρόνια (Lindemann, 1987). Οι κρύσταλλοι Pyritohedric βρίσκονται στη Βόρεια Ιταλία .

Έλληνες

Οι αρχαιότερες γνωστές γραπτές εγγραφές αυτών των σχημάτων προέρχονται από τους κλασικούς Έλληνες συγγραφείς, που επίσης έδωσαν την πρώτη γραπτή μαθηματική περιγραφή τους. Οι Αρχαίοι Έλληνες ενδιαφέρονταν κυρίως για τα κυρτά κανονικά πολύεδρα, που έγιναν γνωστά ως Πλατωνικά Στερεά. Ο Πυθαγόρας γνώριζε τουλάχιστον τρία από αυτά, και ο Θεαίτητος (γύρω στο 417 B. C.) μπορούσε να περιγράψει και τα πέντε. Τελικά, ο Ευκλείδης περιέγραψε την κατασκευή τους με τα Στοιχεία του. Αργότερα, ο Αρχιμήδης επέκτεινε τη μελέτη του στα κυρτά ανομοιόμορφα πολύεδρα τα οποία τώρα φέρουν το όνομά του. Το αυθεντικό του έργο έχει χαθεί και τα στερεά του έχουν έρθει σε εμάς μέσω του Πάππου.

Κινέζοι

Μέχρι το 236 AD, στην Κίνα ο Liu Hui είχε περιγράψει την ανατομή του κύβου σε χαρακτηριστικό τετράεδρο (orthoscheme) και σε σχετικά στερεά, χρησιμοποιώντας σύνολα αυτών των στερεών ως βάση για τον υπολογισμό των όγκων της γης που θα μετακινόντουσαν κατά τη διάρκεια μηχανικών ανασκαφών.

Ισλαμιστές

Μετά το τέλος της Κλασικής Εποχής, οι μελετητές του Ισλαμικού πολιτισμού συνέχισαν να λαμβάνουν την Ελληνική γνώση forward (Βλέπε Mathematics in medieval Islam).
Ένας μελετητής του 9ου αιώνα, ο Thabit ibn Qurra έδωσε φόρμουλες για τον υπολογισμό του όγκου των πολυέδρων όπως οι κόλουρες πυραμίδες.
Μετά τον 10ο αιώνα ο Abu'l Wafa περιέγραψε τα κυρτά κανονικά και τα ψευδοκανονικά σφαιρικά πολύεδρα.

Αναγέννηση

Όπως και με άλλους τομείς της Ελληνικής σκέψης οι οποίοι διατηρήθηκαν και ενισχύθηκαν από τους Ισλαμικούς μελετητές, το ενδιαφέρον της Δύσης για τα πολύεδρα αναβίωσε κατά τη διάρκεια της Ιταλικής Αναγέννησης. Καλλιτέχνες κατασκεύασαν σκελετικά πολύεδρα, που τους απεικόνιζαν στη ζωή ως μέρος των ερευνών τους με προοπτική. Πολλά εμφανίζονταν σε πάνελ μαρκετερί της περιόδου. Η Piero della Francesca έδωσε την πρώτη γραπτή περιγραφή των άμεσων γεωμετρικών κατασκευών πολυέδρων τέτοιας προοπτικής. Ο Λεονάρντο ντα Βίντσι (Leonardo da Vinci) έκανε σκελετικά μοντέλα αρκετών πολυέδρων και ζωγράφισε τις απεικονίσεις τους σε ένα βιβλίο του Pacioli. Ένας πίνακας από έναν ανώνυμο καλλιτέχνη του Pacioli δείχνει ένα ποτήρι rhombicuboctahedron μισό-γεμάτο με νερό.
Καθώς η Αναγέννηση εξαπλωνόταν πέρα από την Ιταλία, αργότερα οι καλλιτέχνες όπως ο  Wenzel Jamnitzer, Dürer και άλλοι επίσης απεικόνισαν πολύεδρα διαφόρων ειδών, πολλά από τα οποία ήταν καινοτόμα, στην εφευρετική χαλκογραφία.

Αστεροειδή πολύεδρα

Για περίπου 2.000 χρόνια, η έννοια του πολυέδρου ως στερεό κυρτό είχε παραμείνει όπως είχε αναπτυχθεί από τους Αρχαίους Έλληνες Μαθηματικούς.
Κατά τη διάρκεια της Αναγέννησης σχήματα αστέρων ανακαλύφθηκαν. Μία Τάρσια μαρμάρινη πλάκα στο δάπεδο της  Βασιλικής του Αγίου Μάρκου, στη Βενετία, απεικονίζει ένα αστεροειδές δωδεκάεδρο. Καλλιτέχνες όπως ο Wenzel Jamnitzer ευχαριστιόντουσαν απεικονίζοντας καινοτόμες αστεροειδές μορφές αυξανόμενης πολυπλοκότητας.
Ο Γιοχάνες Κέπλερ (Johannes Kepler) συνειδητοποίησε ότι τα αστεροειδή πολύγωνα, συνήθως πενταγράμματα, μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν για τη δημιουργία αστεροειδών πολυέδρων. Κάποια από αυτά τα αστεροειδή πολύεδρα μπορεί να ανακαλύφθηκαν πριν την εποχή του Κέπλερ, αλλά ήταν ο πρώτος που αναγνώρισε ότι θα μπορούσαν να θεωρηθούν "κανονικά" εάν αφαιρεθεί ο περιορισμός ότι τα κανονικά πολύτοπα είναι κυρτά. Αργότερα, ο Louis Poinsot συνειδητοποίησε ότι τα αστεροειδή σχήματα κορυφών (κύκλοι γύρω από κάθε γωνία) μπορούν επίσης να χρησιμοποιηθούν, και ανακάλυψε τα εναπομείναντα δύο κανονικά αστεροειδή πολύεδρα. Ο Cauchy απέδειξε ότι η λίστα του Poinsot είναι ολοκληρωμένη, και ο Cayley τους έδωσε τα αποδεκτά Αγγλικά ονόματά τους: (του Kepler) το μικρό αστρόμορφο δωδεκάεδρο και το μεγάλο αστρόμορφο δωδεκάεδρο, και (του Poinsot) το μεγάλο εικοσάεδρο και το μεγάλο δωδεκάεδρο. Συνολικά ονομάζονται τα Kepler-Poinsot πολύεδρα.
Τα Kepler-Poinsot πολύεδρα μπορούν να κατασκευαστούν από τα Πλατωνικά στερεά με μία διαδικασία που λέγεται αστερισμός. Οι περισσότεροι αστερισμοί δεν είναι κανονικοί. Στη μελέτη των αστερισμών των Πλατωνικών στερεών δόθηκε μεγάλη ώθηση από τον H. S. M. Coxeter και άλλους το 1938, με το πλέον διάσημο βιβλίο Τα 59 εικοσάεδρα. Αυτή η μελέτη πρόσφατα εκδόθηκε ξανά (Coxeter, 1999).
Η αμοιβαία διαδικασία του αστερισμού λέγεται facetting (or faceting). Κάθε αστερισμός ενός πολύτοπου είναι δυϊκός, ή αμοιβαίος, σε κάποιο facetting του δυϊκού πολύτοπου. Τα κανονικά αστεροειδή πολύεδρα μπορούν επίσης να αποκτηθούν με facetting στα Πλατωνικά στερεά. Ο Bridge 1974 έκανε μία λίστα με τα πιο απλά facettings του δωδεκαέδρου, και την αντάλλαξε για να ανακαλύψει τον αστερισμό του εικοσαέδρου που έλειπε από τα διάσημα "59". Περισσότερα έχουν ανακαλυφθεί από τότε, και η ιστορία δεν έχει ακόμα τελειώσει.

Τα πολύεδρα στην φύση

Για τα φυσικά γεγονότα των κανονικών πολυέδρων, δες Κανονικό πολύεδρο: Κανονικά πολύεδρα στη φύση.
Μη-κανονικά πολύεδρα εμφανίζονται στη φύση ως κρύσταλλοι.