Τόρος

Στη γεωμετρία, o τόρος είναι ένα στερεό εκ περιστροφής που παράγεται από την περιστροφή ενός κύκλου στον τρισδιάστατο χώρο γύρω από έναν άξονα συνεπίπεδο με τον κύκλο. Συνήθως ο άξονας δεν τέμνει ούτε εφάπτεται με τον κύκλο, οπότε σε αυτή την περίπτωση η επιφάνεια έχει σχήμα δακτυλιοειδές και καλείται δακτυλιοειδής τόρος, ή απλά τόρος και υπονοείται σιωπηρά ότι έχει δακτυλιοειδές σχήμα. Ορισμένες φορές καλείται (λανθασμένα) δακτύλιος, ωστόσο ο δακτύλιος είναι ένα δισδιάστατο επίπεδο σχήμα διαφορετικό από τον τρισδιάστατο τόρο.
Όταν ο άξονας εφάπτεται με τον κύκλο, η επιφάνεια που προκύπτει ονομάζεται κερατοειδής τόρος, όταν ο άξονας συμπίπτει με μια χορδή του κύκλου, τότε ονομάζεται ατρακτοειδής τόρος (ή αξονικός τόρος). Μια εκφυλισμένη περίπτωση τόρου έχουμε όταν ο άξονας συμπίπτει με τη διάμετρο του κύκλου, οπότε παράγεται απλώς η επιφάνεια μιας 2-σφαίρας. Ο δακτυλιοειδής τόρος οριοθετεί ένα γεωμετρικό στερεό που λέγεται τοροειδές, ή δακτυλιοειδή τοροειδές. Διάφορα αντικείμενα που έχουν σχήμα που μοιάζει με το τοροειδές είναι για παράδειγμα τα τοροειδή πηνία, οι μετασχηματιστές, κάποια σωσίβια (κενά στο εσωτερικό τους), κ.λπ.
Ο τόρος δεν θα πρέπει να συγχέεται με τον στερεό τόρο, ο οποίος σχηματίζεται από την περιστροφή ενός δίσκου, αντί ενός κύκλου, γύρω από έναν άξονα. Συνεπώς, είναι ο τόρος μαζί με τον όγκο στο εσωτερικό του. Διάφορα αντικείμενα που προσεγγίζουν τον στερεό τόρο είναι το κουλούρι, το ντόνατς, κάποια σωσίβια (χωρίς κενό το εσωτερικό τους), κ.λπ.
Στην τοπολογία, ο δακτυλιοειδής τόρος είναι ομοιομορφικός προς το καρτεσιανό γινόμενο δύο κύκλων (S¹ × S¹), που τελευταία θεωρείται ως ο ορισμός του τόρου στον τομέα αυτό. Ο τόρος από τοπολογική άποψη είναι μια συνεκτική 2-πολλαπλότητα γένους 1.
Ο δακτυλιοειδής τόρος είναι ένας τρόπος για να ενσωματωθεί αυτός ο χώρος στον τρισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο, αλλά ένας άλλος τρόπος για να γίνει αυτό είναι το καρτεσιανό γινόμενο της ενσωμάτωσης του S¹ στο επίπεδο. Αυτό παράγει ένα γεωμετρικό αντικείμενο που ονομάζεται Κλίφορντ τόρος, μια επιφάνεια χώρου τεσσάρων διαστάσεων.
Η λέξη τόρος προέρχεται από την λατινική λέξη torus, που σημαίνει μαξιλάρι.

Δύο φύλλα κάλυψης

Ο 2-τόρος διπλοκαλύπτει τη 2-σφαίρα, με τέσσερα σημεία διακλάδωσης. Κάθε σύμμορφη δομή πάνω στον 2-τόρο μπορεί να παρασταθεί ως δύο φύλλα κάλυψης της 2-σφαίρας. Τα σημεία του τόρο που αντιστοιχούν στα σημεία διακλάδωσης λέγονται σημεία Weierstrass. Ο τύπος σύμμορφων του τόρου καθορίζεται, στην πραγματικότητα, από την εγκάρσια αναλογία των τεσσάρων σημείων διακλάδωσης.

Τοροειδή πολύεδρα

Τα πολύεδρα με τοπολογικό τύπο τόρου καλούνται τοροειδή πολύεδρα και έχουν χαρακτηριστική Όιλερ V − E + F = 0. Για τυχόν αριθμό οπών, ο τύπος γενικεύεται ως V − E + F = 2 − 2N, όπου N είναι ο αριθμός των οπών.
Ο όρος «τοροειδές πολύεδρο» χρησιμοποιείται επίσης σε υψηλότερου γένους πολύεδρα, καθώς και σε βυθίσεις τορειδών πολυέδρων.

Χρωματισμός ενός τόρου

Εάν χωρίσουμε έναν τόρο σε περιοχές, τότε είναι δυνατό να χρωματιστούν οι περιοχές αυτές, έτσι ώστε η κάθε γειτονική περιοχή να έχει διαφορετικό χρώμα, έτσι θα χρειαστούν τουλάχιστον επτά χρώματα. Αυτό έρχεται σε αντίθεση με το θεώρημα των τεσσάρων χρωμάτων που ισχύει στο επίπεδο, λόγω του ότι ο τόρος είναι τρισδιάστατο αντικείμενο.