Περιοδικός αριθμός

Δεκαδική επέκταση και  επανάληψη ακολουθίας

Για να μετατρέψετε ένα πραγματικό αριθμό που απεικονίζεται ως ένα κλάσμα σε δεκαδική μορφή, μπορεί κανείς να χρησιμοποιήσει τη  διαίρεση. Για παράδειγμα, σκεφτείτε τον πραγματικό αριθμό 5/74:
           .  .
        0.0675
   74 ) 5.00000
        4.44
          560
          518
           420
           370
            500
κλπ. Παρατηρήστε ότι σε κάθε βήμα έχουμε ένα υπόλοιπο, τα διαδοχικά υπόλοιπα που εμφανίζονται παραπάνω είναι 56, 42, 50. Όταν φτάνουμε στο 50 σαν  υπόλοιπο, και  μειωθεί στο "0", βρισκόμαστε να διαιρούμε το 500 με το 74, το οποίο είναι το ίδιο πρόβλημα που ξεκίνησε με. Ως εκ τούτου, οι δεκαδικές επαναλήψεις: 0,0675 675 675 ....

Κάθε ρητός αριθμός είναι είτε ένας δεκαδικός τερματισμού, είτε ένας επαναλαμβανόμενος δεκαδικός

Για οποιονδήποτε διαιρέτη, μπορούμε να έχουμε μόνο πεπερασμένο πλήθος διαφορετικών υπολοίπων. Στο παραπάνω παράδειγμα, τα 74 πιθανά υπόλοιπα είναι 0,1,2,...,73. Εάν σε οποιοδήποτε σημείο της διαίρεσης το υπόλοιπο είναι μηδέν, η επέκταση τερματίζει σε εκείνο το σημείο. Αν το μηδέν δεν εμφανιστεί σαν υπόλοιπο, τότε η διαδικασία της διαίρεσης συνεχίζεται για πάντα, και τελικά το κάθε υπόλοιπο θα εμφανίζεται όπως εμφανιζόταν και πριν. Το επόμενο βήμα στη διαίρεση θα δώσει το ίδιο νέο ψηφίο στο πηλίκο, και το ίδιο νέο υπόλοιπο, όπως και στο περασμένο χρονικό διάστημα το υπόλοιπο ήταν το ίδιο. Ως εκ τούτου, η ακόλουθη διαίρεση θα επαναλάβει τα ίδια αποτελέσματα.

Κάθε δεκαδικός τερματισμού ή επαναλαμβανόμενος δεκαδικός είναι ένας ρητός αριθμός

Κάθε επανάληψη δεκαδικού αριθμού ικανοποιεί μια γραμμική εξίσωση με ακέραιους συντελεστές, με μοναδική λύση της έναν ρητό αριθμό. Για να αφομοιωθεί καλύτερα το τελευταίο σημείο, ο αριθμός α = 5.8144144144… ικανοποιεί την εξίσωση 10000α − 10α = 58144.144144… − 58.144144… = 58086, της οποίας η λύση είναι α = 58086/9990 = 3227/555. Η διαδικασία για το πως είναι εφικτό να βρεθούν αυτοί οι ακέραιοι συντελεστές περιγράφεται παρακάτω.

  Κανόνας πρώτων αριθμών

Για ένα αυθαίρετο ακέραιο n το μήκος  της ακολουθίας επαναλαμβανόμενων δεκαδικών 1 / n διαιρεί , όπου  είναι μια συνάρτηση totient. Το μήκος του είναι ίσο με το αν και μόνο αν το 10 είναι μια πρώτη ρίζα modulo n.
Ειδικότερα, συνάγεται ότι  αν και μόνο αν p είναι πρώτος και 10 είναι μια πρώτη ρίζα modulo p. Στη συνέχεια, οι επεκτάσεις των δεκαδικών n / p για n = 1, 2, ..., p - 1, έχουν όλες περιόδους μήκους p - 1 και διαφέρουν μόνο κατά μια κυκλική μετάθεση. Τέτοιοι αριθμοί p καλούνται πλήρη repetend πρώτοι.

Επαναλαμβανόμενα δεκαδικά ψηφία ως άπειρη σειρά

Ένα επαναλαμβανόμενο δεκαδικό ψηφίο μπορεί επίσης να εκφραστεί ως μια άπειρη σειρά. Δηλαδή, ένας επαναλαμβανόμενος δεκαδικός μπορεί να θεωρηθεί ως το άθροισμα ενός άπειρου αριθμού των ρητών αριθμών. Για να πάρετε το πιο απλό παράδειγμα,
Η παραπάνω σειρά είναι μια γεωμετρική σειρά με τον πρώτο όρο ως 1/10 και το κοινό παράγοντα 1/10. Επειδή η απόλυτη τιμή του κοινού παράγοντα είναι μικρότερη από 1, μπορούμε να πούμε ότι η
γεωμετρική σειρά συγκλίνει και βρίσκει την ακριβή τιμή με τη μορφή ενός κλάσματος με τη χρήση του ακόλουθου τύπου όπου ο a είναι ο πρώτος όρος της σειράς και r είναι ο κοινός παράγοντας.

Άλλες ιδιότητες των μηκών repetend

Οι διάφορες ιδιότητες των μηκών repetend (περιόδους) δίνεται από τον Μίτσελ [7] και τον Dickson. [8] Η περίοδος 1 / k για k ακέραιος είναι πάντα ≤ k - 1. Αν p είναι πρώτος, το χρονικό διάστημα από 1 / p διαιρεί ομοιόμορφα σε p - 1. Αν k είναι σύνθετο, το διάστημα 1 / k είναι αυστηρά  μικρότερο από k - 1. Η περίοδος του c / k, για το c coprime έως k, ισούται με την περίοδο 1 / k. Αν k =2^{a}5^{b}n όταν n> 1 και  το n δεν είναι διαιρετό από το 2 ή το 5, τότε το μήκος της παροδικής του 1/k είναι max (a, b), και οι ισούται με περίοδος r, όπου r είναι ο μικρότερος ακέραιος τέτοιος ώστε 10^r\equiv1\pmodn. Αν p, p ', σ ", ... 
είναι διαφορετικοί πρώτοι, τότε η περίοδος 1/(pp'p" ...) ισούται με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των περιόδων 1/p, 1/σ, 1/σ ",.... Αν k και k'  δεν έχουν κοινούς τους πρώτους παράγοντες, εκτός από το 2 ή/και το 5, 
τότε, η περίοδος της 1/kk' ισούται με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των περιόδων 1/k και1/k'. για έναν πρώτο p, αν period(1/p)=period(1/p^2)=...=period(1/p^m) αλλά period(1/p^m)=/period(1/p^m+1)τότε για c>=0 έχουμε period(1/p^m+c)=(p^c) * period(1/p) Εάν το p είναι ένας κατάλληλος πρώτος  που καταλήγει σε 1-δηλαδή, εάν ο repetend του 1 / p είναι ένας κυκλικός  αριθμός μήκους p - 1 και ρ = 10h + 1 για κάποιο h - τότε κάθε ψηφίο 0, 
1, ..., 9 εμφανίζεται στην repetend ακριβώς h =(p-1)/10 φορές.
Για ορισμένες άλλες ιδιότητες της repetends, βλέπε επίσης. [9]

Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία

Επαναλαμβάνοντας δεκαδικά ψηφία (που ονομάζονται επίσης δεκαδικές ακολουθίες) έχουν βρεθεί κρυπτογραφήσεις και διορθώσεις σφαλμάτων κωδικοποίησης εφαρμογών.[10] Στις εφαρμογές αυτές επαναλαμβάνονται δεκαδικοί στην βάση 2 τα οποία χρησιμοποιούνται γενικά όπου δίνεται αφορμή για δυαδικές ακολουθίες. Το μέγιστο μήκος δυαδικής ακολουθίας για  1/p (όταν 2 είναι μια πρωτόγονη ρίζα του p) δίνεται από: [11] α(i)=(2^i)*modp*mod2. Αυτές οι αλληλουχίες της περιόδου ρ-1 έχουν μια συνάρτηση αυτοσυσχέτισης που έχει μια αρνητική κορυφή -1 για μετατόπιση του (ρ-1)/2. Η τυχαιότητα των σειρών αυτών έχει εξεταστεί από τις αδιάλλακτες δοκιμές