Αμφιμονοσήμαντο πρότυπο

Παραδείγματα

Πρώτα παραδείγματα 
Τετριμμένα, το μηδενικό πρότυπο {0} είναι μονομορφισμός.
Δοθέντος ενός χώρου Κ, κάθε Κ-διανυσματικός χώρος Q είναι ένα αμφιμονοσήμαντο k-πρότυπο. Ο λόγος: Αν το Q είναι υποχώρος του V, μπορούμε να βρούμε μία βάση του Q και να την επεκτείνουμε σε μία βάση του V. Η νέα επεκτεταμένη βάση διανυσμάτων καλύπτει έναν υποχώρο K του V και το V είναι το ευθύ εσωτερικό άθροισμα των Q και K. Σημειώνουμε ότι το ευθύ συμπλήρωμα του K από το Q δεν καθορίζεται μοναδικά από το Q, και παρομοίως ο επεκτεταμένος χάρτης h στον παραπάνω ορισμό δεν είναι τυπικά μοναδικός.
Οι ρητοί Q (με πρόσθεση) σχηματίζουν έναν μονομορφισμό αβελιανών ομάδων ( δηλαδή έναν μονομορφισμο Ζ-module). Ο διανυσματικός χώρος Q/Z και ο κυκλικός χώρος είναι επίσης αμφιμονοσήμαντα Ζ-πρότυπα. Ο διανυσματικός χώρος Z/nZ για n > 1 είναι μονομορφισμός σαν ένα Z/nZ-πρότυπο, αλλά όχι σαν μία αβελιανή ομάδα.
 Αντιμεταθετικά παραδείγματα 
Γενικότερα, για κάθε ακέραια περιοχή R με πεδίο κλασμάτων K, το R-πρότυπο Κ είναι ένα αμφιμονοσήμαντο R-πρότυπο, και πράγματι το μικρότερο αμφιμονοσήμαντο R-πρότυπο περιέχεται στο R. Για κάθε περιοχή Dedekind, το πηλίκο πρότυπο K/R είναι επίσης αμφιμονοσήμαντο, και οι αδιάσπαστοι προσθετέοι του είναι οι εντοπισμοί  για τα μη-μηδενικά προνομιακά ιδεώδη . Το μηδενικό ιδανικό είναι επίσης προνομιακό και αντιστοιχεί στον μονομορφισμό Κ. Με αυτόν τον τρόπο υπάρχει μία 1-1 αντιστοιχία ανάμεσα στα προνομιακά ιδεώδη και στα αδιάσπαστα αμφιμονοσήμαντα πρότυπα.
Μία ιδιαίτερα πλούσια θεωρία είναι διαθέσιμη για τους αντιμεταθετικούς δακτυλίους Noetherian χάρη στον Eben Matlis, (Lam 1999, §3I). Κάθε αμφιμονοσήμαντο πρότυπο είναι μοναδικά ένα ευθύ άθροισμα από αδιάσπαστα αμφιμονοσήμαντα πρότυπα, και τα αδιάσπαστα αμφιμονοσήμαντα πρότυπα προσδιορίζονται μοναδικά καθώς ο μονομορφισμός των πηλίκων R/P ποικίλλει επί του πρωτευόντος φάσματος του δακτυλίου. Ο μονομορφισμός του R/P σαν ένα R-πρότυπο είναι κανονικά ένα RP module, και είναι ένας μονομορφισμός RP του R/P. Με άλλα λόγια, αρκεί να θεωρούνται τοπικοί δακτύλιοι. Ο ενδομορφισμός δακτυλίων του μονομορφισμού του R/P είναι η ολοκλήρωση  από R έως P.
Δύο παραδείγματα είναι το αμφιμονοσήμαντο Ζ-πρότυπο Z/pZ ( ομάδα Prüfer ) και το αμφιμονοσήμαντο k[x]-πρότυπο k ( δακτύλιος των αντίστροφων πολυωνύμων ). Το τελευταίο περιγράφεται εύκολα σαν k[x,x⁻¹]/k[x]. Αυτό το πρότυπο έχει μία βάση που αποτελείται από "αντίστροφα μονώνυμα",  τα οποία είναι x⁻ⁿ για n = 1, 2,.... Ο βαθμωτός πολλαπλασιασμός αν ορίζεται, και ο πολλαπλασιασμός  συμπεριφέρεται κανονικά εκτός αν x•x⁻¹ = 0. Ο ενδομορφισμός δακτυλίου είναι απλά  μια τυπική δυναμοσειρά.
 Αρτιανά παραδείγματα 
Αν G είναι μία πεπερασμένη ομάδα και K είναι ένα πεδίο με χαρακτηριστικά 0, τότε δείχνει τη θεωρία της αναπαράστασης ομάδας το οποίο κάθε subrepresentation από ένα δοθέν είναι ήδη ένας άμεσος προσθετέος του δεδομένου. Μεταφρασμένο στην γλώσσα των modules, σημαίνει ό,τι όλα τα modules πάνω σε μία αλγεβρική ομάδα kG είναι μονομορφισμοί. Άν το χαρακτηριστικό του Κ δεν είναι μηδέν, ίσως βοηθήσει το ακόλουθο παράδειγμα.
Άν το Α είναι μοναδιαίο της προσεταιριστικής άλγεβρας πάνω στο πεδίο Κ με πεπερασμένη διάσταση μεγαλύτερη του Κ, τότε το Homₖ(−, k) είναι μία δυαδικότητα ανάμεσα στα πεπερασμένα παραγόμενα αριστερά A-πρότυπα και στα πεπερασμένα παραγόμενα δεξιά A-πρότυπα. Ως εκ τούτου, οι μονομορφισμοί των πεπερασμένων παραγόμενων αριστερών A-προτύπων είναι ακριβώς τα πρότυπα της μορφής Homₖ(P, k) όπου P είναι ένα πεπερασμένο παραγόμενο προβολικού δεξιού A-προτύπου. Για την συμμετρική άλγεβρα, η δυαδικότητα συμπεριφέρεται ιδιαίτερα καλά και τα προβολικά πρότυπα και τα αμφιμονοσήμαντα πρότυπα συμπίπτουν.
Για κάθε αρτιανό δακτύλιο, ακριβώς όπως και στους αντιμεταθετικούς δακτυλίους, υπάρχει μία 1-1 αντιστοιχία ανάμεσα σε ένα προνομιακό ιδεώδες και στο αδιάσπαστο αμφιμονοσήμαντο πρότυπο. Η αντιστοιχία σε αυτήν την περίπτωση είναι ίσως ακόμη πιο απλή: ένα προνομιακό ιδεώδες είναι ένας εκμηδενιστής ενός μοναδικού απλού προτύπου, και το αντίστοιχο αδιάσπαστο αμφιμονοσήμαντο πρότυπο είναι ο μονομορφισμός του. Για πεπερασμένες διαστάσεις της άλγεβρας πάνω στα πεδία, αυτοί οι μονομορφισμοί είναι πεπερασμένα παραγόμενα πρότυπα. (Lam 1999, §3G, §3J).

Θεωρία

Submodules, κλάσματα, προϊόντα, και αθροίσματα  
Κάθε προϊόν ( ακόμα κ άπειρα ) από αμφιμονοσήμαντα πρότυπα είναι μονομορφισμός; αντιστρόφως, αν ένα ευθύ προϊόν από πρότυπα είναι μονομορφισμός, τότε κάθε πρότυπο είναι αμφιμονοσήμαντο (Lam 1999, σελ. 61). Κάθε ευθύ άθροισμα ενός πεπερασμένου πλήθους αμφιμονοσήμαντων προτύπων είναι μονομορφισμός. Γενικά, τα submodules, τα παράγοντα πρότυπα, ή τα άπειρα ευθεία αθροίσματα από αμφιμονοσήμαντα πρότυπα δεν χρειάζεται να είναι μονομορφισμοί. Κάθε submodule από κάθε αμφιμονοσήμαντο πρότυπο είναι μονομορφισμός άν ο δακτύλιος είναι Artinian ; κάθε παραγόμενο πρότυπο από κάθε αμφιμονοσήμαντο πρότυπο είναι μονομορφισμός αν και μόνο αν ο δακτύλιος είναι κληρονομικός hereditary , (Lam 1999, Th. 3.22) ; κάθε άπειρο ευθύ άθροισμα από αμφιμονοσήμαντα πρότυπα είναι μονομορφισμός αν και μόνο αν ο δακτύλιος είναι Noetherian , (Lam 1999, Th 3.46).
 Κριτήριο του Baer 
Στο αυθεντικό σύγγραμμά του ο Baer, απέδειξε ένα χρήσιμο αποτέλεσμα, γνωστό και ως Κριτήριο του Baer, για τον έλεγχο αν ένα πρότυπο είναι αμφιμονοσήμαντο: ένα αριστερό R-πρότυπο Q είναι αμφιμονοσήμαντο αν και μόνο αν κάθε ομομορφισμός g : I → Q ορίζεται σε ένα αριστερό ιδανικό I ή το R μπορεί να επεκταθεί σε όλο το R.
Χρησιμοποιώντας αυτό το κριτήριο, μπορούμε να δείξουμε ό,τι το Q είναι μία αμφιμονοσήμαντη αβελιανή ομάδα ( δηλαδή ένα αμφιμονοσήμαντο πρότυπο πάνω στο  Ζ ). Γενικότερα, μία αβελιανή ομάδα είναι αμφιμονοσήμαντη αν και μόνο αν είναι διαιρετή. Ακόμη πιο γενικά, ένα πρότυπο πάνω σε έναν τομέα κύριων ιδεών είναι αμφιμονοσήμαντο αν και μόνο αν είναι διαιρετό ( η περίπτωση των διανυσματικών χώρων είναι ένα παράδειγμα του θεωρήματος, όπως κάθε πεδίο είναι είναι ένας τομέας κύριων ιδεών και κάθε διανυσματικός χώρος είναι διαιρετός ). Πάνω από ένα γενικό ακέραιο τομέα, έχουμε ακόμα ένα συμπέρασμα: κάθε αμφιμονοσήμαντο πρότυπο πάνω από μια ακέραια περιοχή είναι διαιρετό.
Το κριτήριο του Baer έχει βελτιωθεί με πολλούς τρόπους (Golan & Head 1991, σελ. 119), συμπεριλαμβανομένου ενός αποτελέσματος (Smith 1981) και (Vamos 1983) για ένα αντιμεταθετικό δακτύλιο Noetherian, αρκεί να εξεταστεί μόνο το προνομιακή ιδεώδη  I . Το διπλό από το κριτήριο του Baer θα ήταν ένας απλός έλεγχος για την προβολικότητα, αλλά ακόμη και για τον δακτύλιο  Z  των ακεραίων, αυτό γίνεται το άλυτο πρόβλημα του Whitehead ( Whitehead problem ).

Αμφιμονοσήμαντοι cogenerators

Ίσως το πιο σημαντικό αμφιμονοσήμαντο πρότυπο είναι η αβελιανή (ή αντιμεταθετικη) ομάδα Q/Z. Είναι ένας αμφιμονοσήμαντος cogenerator στην κατηγορία των αβελιανών ομάδων,  που σημαίνει ότι είναι αμφιμονοσήμαντος και οποιδήποτε άλλο πρότυπο συμπεριλαμβάνεται σε ένα κατάλληλα μεγάλο γινόμενο από αντίγραφα του Q/Z. Δηλαδή ειδικότερα, οποιαδήποτε αβελιανή ομάδα είναι υποομάδα από μία αμφιμονοσήμαντη. Είναι ιδιαίτερα αξιοσημείωτο ότι ισχύει ακόμα και σε οποιονδήποτε δακτύλιο: κάθε πρότυπο είναι υποπρότυπο από ένα αμφιμονοσήμαντο, ή "η κλάση των αριστερών R-προτύπων έχει αρκετά αμφιμονοσήμαντα." Για την απόδειξη, γίνεται χρήση των ιδιόμορφων ιδιοτήτων της αβελιανής ομάδας Q/Z με σκοπό την δημιουργία ενός αμφιμονοσήμαντου cogenerator στην κλάση των αριστερών R-προτύπων.
Για ένα αριστερό R-πρότυπο Μ, το αποκαλούμενο "χαρακτήρας πρότυπο" M⁺ = HomZ(M,Q/Z) είναι ένα δεξιό πρότυπο το οποίο παρουσιάζει μία ενδιαφέρουσα δυαδικότητα, όχι μεταξύ των αμφιμονοσήμαντων προτύπων και των προβολικών προτύπων, αλλά μεταξύ των αμφιμονοσήμαντων προτύπων και των επίπεδων προτύπων (Enochs & Jenda 2001, pp. 78–80). Για οποιονδήποτε δακτύλιο R, ένα αριστερό R-πρότυπο είναι επίπεδο εάν και μόνο το χαρακτήρας πρότυπο του είναι αμφιμονοσήμαντο. Εάν ο R είναι αριστερός νοεθηριανός, τότε ένα αριστερό R-πρότυπο είναι αμφιμονοσήμαντο αν και μόνο αν το χαρακτήρας πρότυπο του είναι επίπεδο.

Αμφιμονοσήμαντα περιβλήματα

Το αμφιμονοσήμαντο περίβλημα ενός προτύπου είναι το μικρότερο  αμφιμονοσήμαντο πρότυπο συμπεριλαμβάνοντας αυτό που δίνεται και περιγραφόταν στο (Eckmann & Shopf 1953). Κάποιος μπορεί να χρησιμοποιήσει αμφιμονοσήμαντα περιβλήματα  για να ορίσει μία ελάχιστη ανάλυση (βλέπε παρακάτω). Εάν κάθε όρος της αμφιμονοσήμαντης ανάλυσης είναι το αμφιμονοσήμαντο περίβλημα του συμπηρήνα (cokernel) της προηγούμενης απεικόνισης, τότε η αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση έχει ελάχιστο μήκος.

Αμφιμονοσήμαντες αναλύσεις

Κάθε πρότυπο M  έχει επίσης μία αμφιμονοσήμαντη ανάλυση: μία τέλεια ακουθία της μορφής
0 → M → I⁰ → I¹ → I² → ...
όπου τα I ʲ είναι αμφιμονοσήμαντα πρότυπα. Αμφιμονοσήμαντες αναλύσεις μπορούν να χρησιμοποιηθούν για οριστούν παραγόμενοι συναρτητές όπως ο Εxt συναρτητής (Ext functor)
Το μήκος μίας πεπερασμένης αμφιμονοσήμαντης ανάλυσης είναι ο πρώτος δείκτης n όπου Iⁿ είναι μη μηδενικό και Iⁱ = 0 για i μεγαλύτερο του n. Εάν ένα πρότυπο Μ επιδέχεται μία πεπερασμένη αμφιμονοσήμαντη ανάλυση, το ελάχιστο μήκος μεταξύ όλων των πεπερασμένων αμφιμονοσήμαντων αναλύσεων του Μ ονομάζεται αμφιμονοσήμαντη διάσταση του και συμβολίζεται id(M). Εάν το Μ δεν επιδέχεται μία πεπερασμένη αμφιμονοσήμαντη ανάλυση, τότε από παραδοχή η αμφιμονοσήμαντη διάσταση λέγεται ότι είναι άπειρη. (Lam 1999, §5C) Για παράδειγμα, θεωρήστε ένα πρότυπο Μ τέτοιο ώστε id(M) = 0. Σε αυτήν την περίπτωση, η ακρίβεια της ακολουθίας 0 → M → I₀ → 0 υποδεικνύει ότι το βέλος στο κέντρο είναι ισομορφισμός, και ως εκ τούτου το Μ αυτό κάθε αυτό είναι αμφιμονοσήμαντο.
Ισοδύναμα, η αμφιμονοσήμαντη διάσταση του Μ είναι ο ελάχιστος ακέραιος αριθμός (εάν υπάρχει τέτοιος, αλλιώς ∞) n τέτοιος ώστε ExtAᴺ(-,M) = 0 για κάθε N>n.

Αλλαγή των δακτυλίων

Είναι σημαντικό κάποιος να είναι σε θέση να σκεφτεί πρότυπα πάνω σε υποδακτυλίους ή δακτύλιους πηλίκα, ειδικά για παράδειγμα πολυωνυμικούς δακτυλίους. Γενικά, αυτό είναι δύσκολο, αλλά είναι γνωστός ένας αριθμός αποτελεσμάτων, (Lam 1999, p. 62).
Έστω ότι S και R είναι δακτύλιοι, και ότι P είναι ένα αριστερό-R, δεξιό-S διπλοπρότυπο το οποίο είναι επίπεδο όπως ένα αριστερό-R πρότυπο. Για κάθε αμφιμονοσήμαντο δεξιό S-πρότυπο Μ, το σύνολο προτύπου ομομορφισμού HomS( P, M ) είναι ένα αμφιμονοσήμαντο δεξιό R-πρότυπο. Για παράδειγμα, εάν R είναι ένας υποδακτύλιος του S τέτοιος ώστε το S να είναι ένα R-πρότυπο, τότε κάθε αμφιμονοσήμαντο S-πρότυπο είναι ένα αμφιμονοσήμαντο R-πρότυπο. Ειδικότερα, εάν το R είναι ακέραια περιοχή και S το πεδίο κλασμάτων του, τότε κάθε διανυσματικός χώρος πάνω στο S είναι ένα αμφιμονοσήμαντο R-πρότυπο. Ομοίως, κάθε αμφιμονοσήμαντο R[x]-πρότυπο είναι ένα αμφιμονοσήμαντο R-πρότυπο.
Για δακτύλιους πηλίκα R/I, η αλλαγή δακτυλίων είναι επίσης ξεκάθαρη. Ένα  R-πρότυπο είναι  R/I-πρότυπο  ακριβώς  όταν  εκμηδενίζεται  από  το  Ι.  Το  υποπρότυπο   annI(M) = { m in M : im = 0 for all i in I } είναι ένα αριστερό υποπρότυπο του αριστερού R-προτύπου Μ, και είναι το μεγαλύτερο υποπρότυπο του Μ το οποίο είναι ένα R/I-πρότυπο. Εάν το Μ είναι ένα αμφιμονοσήμαντο αριστερό R-πρότυπο , τότε το annI(M) είναι ένα αμφιμονοσήμαντο αριστερό R/I-πρότυπο. Εφαρμόζοντας αυτό στα R=Z, I=nZ και M=Q/Z, κάποιος αντιλαμβάνεται το οικείο γεγονός ότι το Z/nZ είναι αμφιμονοσήμαντο ως πρότυπο πάνω στον εαυτό του. Ενώ είναι εύκολη η μετατροπή αμφιμονοσήμαντων R-προτύπων σε R/I-πρότυπα, αυτή η διαδικασία δεν μετατρέπει αμφιμονοσήμαντες R-αναλύσεις σε αμφιμονοσήμαντες R/I-αναλύσεις, και η ομολογία του συμπλέγματος που προκύπτει είναι μία από τις πρώτες και θεμελιώδεις περιοχές της σχετικής ομολογιακής άλγεβρας.
Το βιβλίο (Rotman 1979, p. 103) έχει μία εσφαλμένη απόδειξη ότι ο περιορισμός διατηρεί τα αμφιμονοσήμαντα, αλλά δόθηκε ένα αντιπαράδειγμα στο (Dade 1981).

Αυτό-αμφιμονοσήμαντοι δακτύλιοι

Κάθε δακτύλιος με ενότητα είναι ένα ελεύθερο πρότυπο και ως εκ τούτου είναι ένα προβολικό ως πρότυπο πάνω στον εαυτό του, αλλά είναι πιο σπάνιο για έναν δακτύλιο ναι είναι αμφιμονοσήμαντος ως πρότυπο πάνω στον εαυτό του, (Lam 1999, §3B). Εάν ένας δακτύλιος είναι αμφιμονοσήμαντος πάνω στον εαυτό του ως δεξιό πρότυπο, τότε ονομάζεται δεξιός αυτό-αμφιμονοσήμαντος δακτύλιος. Κάθε Φροβενιανή άλγεβρα είναι αυτό-αμφιμονοσήμαντη, αλλά καμία ακέραια περιοχή η οποία δεν αποτελεί πεδίο είναι αυτό-αμφιμονοσήμαντη. Κάθε κατάλληλο πηλίκο από ένα πεδίο Dedekind είναι αυτο-αμφιμονοσήμαντο.
Ένα δεξιός Νοεθηριανός, δεξιός αυτό-αμφιμονοσήμαντος δακτύλιος ονομάζεται ψευδο-Φροβενιανός δακτύλιος, και είναι δύο όψεων Αρτινιανός δακτύλιος και δύο όψεων αμφιμονοσήμαντος, (Lam 1999, Th. 15.1). Ένα σημαντικό πρότυπο θεωρητικής ιδιότητας των ψευδο-Φροβενιανών δακτυλίων είναι ότι τα προβολικά πρότυπα είναι ακριβώς τα ανφιμονοσήμαντα πρότυπα.

Αμφιμονοσήμαντα αντικείμενα

Κάποιος ακόμα μιλάει σχετικά με αμφιμονοσήμαντα αντικείμενα σε κατηγορίες πιο γενικές από τις πρότυπες κατηγορίες, για παράδειγμα σε κατηγορίες συναρτητών ή σε κατηγορίες δεσμών OX-προτύπων πάνω σε κάποιο δακτυλιοειδή χώρο (X,OX). Χρησιμοποιείται ο ακόλουθος γενικός ορισμός: ένα αντικείμενο Q της κατηγορίας C είναι αμφιμονοσήμαντο για οποιονδήποτε μονομορφισμό f : X → Y in C και για οποιονδήποτε μορφισμό g : X → Q υφίσταται ένας μορφισμός h : Y → Q with hf = g.

Διαιρετές ομάδες

Η έννοια του αμφιμονοσήμαντου αντικειμένου στην κατηγορία των αβελιανών ομάδων μελετήθηκε κάπως ανεξάρτητα από τα αμφιμονοσήμαντα πρότυπα υπό τον όρο διαιρετές ομάδες. Εδώ ένα Z-πρότυπο Μ είναι αμφιμονοσήμαντο αν και μόνο αν n⋅M = M για κάθε μη μηδενικό ακέραιο αριθμό n. Eδώ οι σχέσεις μεταξύ επίπεδων προτύπων, καθαρών υποπροτύπων, και αμφιμονοσήμαντων προτύπων είναι πιο ξεκάθαρες, αφού αναφέρεται σε ορισμένες ιδιότητες διαιρετότητας των πρότυπων στοιχείων από τους ακέραιους αριθμούς.

Καθαρά αμφιμονοσήμαντα

Στην σχετική ομολογική άλγεβρα, η ιδιότητα επέκτασης των ομομορφισμών μπορεί να απαιτείται μόνο για συγκεκριμένα υποπρότυπα, αντί για όλα. Για παράδειγμα, ένα καθαρό αμφιμονοσήμαντο πρότυπο μέσα στο οποίο  ένας ομομορφισμός από ένα καθαρό υποπρότυπο μπορεί να επεκταθεί σε ολόκληρο το πρότυπο.