Διαφορικός λογισμός

Στα μαθηματικά, ο διαφορικός λογισμός είναι μια υποκατηγορία του λογισμού που ασχολείται με τη μελέτη των ρυθμών μεταβολής των ποσοτήτων. Είναι μια από τις δύο παραδοσιακές υποδιαιρέσεις του λογισμού. Η άλλη είναι ο ολοκληρωτικός λογισμός.
Τα πρωτογενή αντικείμενα μελέτης του διαφορικού λογισμού είναι η παράγωγος μιας συνάρτησης, που σχετίζεται με έννοιες όπως το διαφορικό και οι εφαρμογές του.Η παράγωγος μιας συνάρτησης σε μια επιλεγμένη τιμή εισόδου περιγράφει το ρυθμό μεταβολής της συνάρτησης κοντά σε αυτή την τιμή εισόδου.  Η διαδικασία εύρεσης της παραγώγου ονομάζεται διαφόριση (παραγώγιση). Γεωμετρικά, η παράγωγος σε ένα σημείο είναι η κλίση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης σε εκείνο το σημείο, με την προϋπόθεση ότι η παράγωγος υπάρχει και ορίζεται στο σημείο αυτό. Για μια συνάρτηση πραγματικών αριθμών μιας μόνο πραγματικής μεταβλητής, η παράγωγος της συνάρτησης σε ένα σημείο καθορίζει γενικά την καλύτερη γραμμική προσέγγιση στη συνάρτηση σε αυτό το σημείο.
Ο διαφορικός λογισμός και ο ολοκληρωτικός λογισμός συνδέονται με το θεμελιώδες θεώρημα του λογισμού, το οποίο αναφέρει ότι η διαφόριση είναι η αντίστροφη διαδικασία της ολοκλήρωσης.
Η διαφόριση έχει εφαρμογές σε όλες σχεδόν τις ποσοτικές επιστήμες. Για παράδειγμα, στη φυσική η παράγωγος της μετατόπισης ενός κινούμενου σώματος σε σχέση με το χρόνο είναι η ταχύτητα του σώματος, και η παράγωγος της ταχύτητας ως προς το χρόνο είναι η επιτάχυνση του. Η παράγωγος της ορμής ενός σώματος ισούται με τη δύναμη που ασκείται στο σώμα, αναδιατάσσοντας αυτή την παράγωγο οδηγεί στην περίφημη εξίσωση F = ma που σχετίζεται με το δεύτερο νόμο του Νεύτωνα. Ο βαθμός αντίδρασης μιας χημικής αντίδρασης είναι μια παράγωγος. Στην επιχειρησιακή έρευνα, οι παράγωγοι καθορίζουν τους πιο αποτελεσματικούς τρόπους για την μεταφορά υλικών και για την σχεδίαση εργοστασίων.
Οι παράγωγοι χρησιμοποιούνται συχνά για να υπολογισθούν το μέγιστο και το ελάχιστο μιας συνάρτησης . Οι εξισώσεις που περιέχουν παραγώγους ονομάζoνται διαφορικές εξισώσεις και είναι θεμελιώδεις για την περιγραφή των φυσικών φαινομένων . Οι παράγωγοι και οι γενικεύσεις τους εμφανίζονται σε πολλούς τομείς των μαθηματικών , όπως η μιγαδική ανάλυση , η συναρτησιακή ανάλυση , η διαφορική γεωμετρία , η θεωρία μέτρου και η αφηρημένη άλγεβρα.

Ιστορία της παραγώγησης

Η έννοια της παραγώγου σαν μια εφαπτόμενη ευθεία είναι πολύ παλιά, γνωστή στους Αρχαίους Έλληνες γεωμέτρες όπως ο Ευκλείδης (350 π.Χ. - 270 π.Χ.), ο Αρχιμήδης (περ. 287 π.Χ. - περ. 212 π.Χ.) και Απολλώνιος ο Περγαίος (περ. 262 π.Χ. - περ. 190 π.Χ.). Ο Αρχιμήδης εισήγαγε επίσης τη χρήση των απειροελάχιστων ποσοτήτων ή απειροστών, αν και αυτά χρησιμοποιήθηκαν αρχικά για τη μελέτη επιφανειών και όγκων παρά για παραγώγους και εφαπτόμενες.
Τη χρήση των απειροστών για τη μελέτη των ρυθμών μεταβολής μπορούμε να τη βρούμε στα Ινδικά μαθηματικά, ίσως από το 500 μ.Χ., όταν ο αστρονόμος και μαθηματικός Aryabhata (476 μ.Χ. - 550μ.Χ.) χρησιμοποίησε απειροστά για να μελετήσει την τροχιά της Σελήνης. Η χρήση των απειροστών για τον υπολογισμό ρυθμών μεταβολής αναπτύχθηκε σημαντικά από τον Bhāskara II (1114 μ.Χ. - 1185 μ.Χ.). Πράγματι, υποστηρίζεται ότι στα έργα του μπορούν να βρεθούν πολλές από τις κύριες έννοιες του διαφορικού λογισμού, όπως για παράδειγμα το Θεώρημα του Rolle . Ο Πέρσης μαθηματικός Sharaf al-Dīn al-Tūsī (1135 μ.Χ. - 1213 μ.Χ.) ήταν ο πρώτος που ανακάλυψε την παράγωγο των πολυώνυμων τρίτου βαθμού (κυβικών πολυωνύμων), ένα σημαντικό αποτέλεσμα στο διαφορικό λογισμό . Στο έργο του "Πραγματεία στις εξισώσεις" ανέπτυξε έννοιες που σχετίζονται με το διαφορικό λογισμό, όπως η παράγωγος συνάρτηση και τα μέγιστα και ελάχιστα καμπυλών, με σκοπό να λύσει κυβικές εξισώσεις με ενδεχομένως μη θετικές λύσεις .
Η σύγχρονη ανάπτυξη του λογισμού πιστώνεται στους Ισαάκ Νεύτων (1643–1727) και Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς (1646–1716), οι οποίοι παρείχαν ανεξάρτητες και ενοποιημένες προσεγγίσεις. Η βασική ανακάλυψη ωστόσο, που τους έκανε να θεωρούνται ως οι θεμελιωτές του λογισμού, ήταν το Θεμελιώδες Θεώρημα του Λογισμού, το οποίο συνδέει την παραγώγιση με την ολοκλήρωση. Αυτό κατέστησε προηγούμενες μεθόδους για τον υπολογισμό επιφανειών και όγκων  απαρχαιωμένες, οι οποίες δεν είχαν επεκταθεί σημαντικά από την εποχή του Ibn al-Haytham (Alhazen). Για τις ιδέες τους πάνω στις παραγώγους και ο Νεύτων και ο Λάιμπνιτς βασίστηκαν σε σημαντικά έργα προηγούμενων μαθηματικών, όπως ο Πιερ ντε Φερμά (1600-1665), ο Ισαάκ Μπάροου (1630–1677), ο Ρενέ Ντεκάρτ ή Καρτέσιος (1596–1650), ο Κρίστιαν Χόυχενς (1629–1695), ο Μπλεζ Πασκάλ και ο Τζον Ουόλις. Σχετικά με την επιρροή του Φερμά ο Νεύτων έγραψε κάποτε σε ένα γράμμα: "Είχα την υπόδειξη για αυτή τη μέθοδο (μέθοδος των ροών) από τον τρόπο του Φερμά για τον σχεδιασμό των εφαπτομένων και εφαρμόζοντας τον σε αφηρημένες εξισώσεις, ευθέως και αντίστροφα, τον έκανα γενικό." Η αρχική ανάπτυξη της παραγώγου αποδίδεται γενικώς στον Ισαάκ Μπάροου. Παρ' όλα αυτά, ο Νεύτων και ο Λάιμπνιτς παραμένουν οι σημαντικότερες μορφές στην ιστορία της παραγώγισης και καθόλου άδικα καθώς ο Νεύτων ήταν ο πρώτος που εφάρμοσε την παραγώγιση στην θεωρητική φυσική, ενώ ο Λάιμπνιτς ανέπτυξε συστηματικά πολλούς από τους συμβολισμούς που χρησιμοποιούνται ακόμα και σήμερα.
Από το 17ο αιώνα πολλοί μαθηματικοί έχουν συνεισφέρει στην εξέλιξη του διαφορικού λογισμού. Στο 19ο αιώνα, ο λογισμός τέθηκε σε πολύ πιο αυστηρές βάσεις από μαθηματικούς όπως ο Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ, ο Μπερναντ Ρίμαν και ο Καρλ Βάιερστρας . Ήταν επίσης εκείνη την περίοδο που η έννοια της παραγώγισης επεκτάθηκε σε Ευκλείδιους χώρους και στο μιγαδικό επιπεδο.

Πολυώνυμα Taylor και σειρές Taylor

Η παράγωγος δίνει την καλύτερη δυνατή γραμμική προσέγγιση μιας συνάρτησης σε ένα δοσμένο σημείο, αλλα αυτή μπορεί να είναι πολύ διαφορετική από την αρχική συνάρτηση.Ένας τρόπος για την βελτίωση της προσέγγισης είναι η τετραγωνική προσέγγιση, δηλαδή η γραμμικοποίηση μιας συνάρτησης πραγματικών αριθμών f(x) στο σημείο x₀ είναι ένα γραμμικό πολυώνυμο a + b(x − x₀) και είναι δυνατόν να πάρουμε μια καλύτερη προσέγγιση εξετάζοντας ένα τετραγωνικό πολυώνυμο a + b(x − x₀) + c(x − x₀)². Ακόμη καλύτερα θα μπορούσε να είναι ένα κυβικό πολυώνυμο a + b(x − x₀) + c(x − x₀)² + d(x − x₀)³ και αυτή η ιδέα μπορεί να επεκταθεί σε αυθαίρετα υψηλού βαθμού πολυώνυμα. Για κάθε ενα από αυτά τα πολυώνυμα πρέπει να υπάρχει η καλύτερη δυνατή επιλογή των συντελεστών a, b, c, και d που κάνει την προσέγγιση όσο το δυνατόν καλύτερη.
Σε μία περιοχή του x₀ για το a η καλύτερη επιλογή είναι πάντα η f(x₀) και για το b η καλύτερη δυνατή επιλογή είναι πάντα η f'(x₀).Για το c, d και για τους συντελεστές των μεγαλύτερων βαθμών ,αυτοί οι καθορίζονται από τις υψηλότερες παραγώγους της f.Ο συντελεστής c είναι πάντα ίσος με  και ο d ίσος με . Χρησιμοποιώντας αυτούς τους συντελεστές παίρνουμε το πολυώνυμο Taylor της f. Το πολυώνυμο Taylor βαθμού d είναι το πολυώνυμο βαθμού d που προσεγγίζει καλύτερα την f, και οι συντελεστές του μπορούν να βρεθούν από την γενίκευση των παραπάνω τύπων.Το θεώρημα Taylor δίνει ένα ακριβές όριο για το πόσο καλή είναι η προσέγγιση. Αν η f είναι ένα πολυώνυμο βαθμού μικρότερου ή ίσου από το d ,τότε το πολυώνυμο Taylor βαθμού d ισούται με την f.
Το όριο των πολυωνύμων Taylor είναι μια άπειρη σειρά που ονομάζεται σειρά Taylor.Η σειρά Taylor είναι συχνά μια πολύ καλή προσέγγιση για την αρχική συνάρτηση.Οι συναρτήσεις που είναι ίσες με την δική τους σειρά Taylor ονομάζονται αναλυτικές συναρτήσεις. Είναι αδύνατο για συναρτήσεις με ασυνέχειες να είναι αναλυτικές ,αλλά υπάρχουν και ομαλές συναρτήσεις που δεν είναι αναλυτικές.

Θεώρημα πεπλεγμένης συνάρτησης

Μερικά φυσικά γεωμετρικά σχήματα,όπως ο κύκλος,δεν μπορούν να εξαχθούν σαν γραφική παράσταση μιας συνάρτησης.Για παράδειγμα f(x, y) = x² + y² − 1, τότε ο κύκλος είναι το σύνολο όλων των ζευγών (x, y) ,έτσι ώστε f(x, y) = 0. Αυτό το σύνολο ονομάζεται το μηδενικό σύνολο της f . Δεν είναι το ίδιο με τη γραφική παράσταση της f, η οποία είναι ένας κώνος.Το θεώρημα πεπλεγμένης συνάρτησης μετατρέπει σχέσεις όπως η f(x, y) = 0 σε συναρτήσεις.Ουσιαστικά δείχνει ότι αν η f είναι συνεχώς διαφορίσιμη,τότε κοντά στα περισσότερα σημεία ,το μηδενικό σύνολο της f μοιάζει με γραφική παράσταση συναρτήσεων.Τα σημεία για τα οποία δεν ισχύει το παραπάνω καθορίζονται από έναν όρο της παραγώγου της f. Ο κύκλος, για παράδειγμα, μπορεί να σχεδιαστεί από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων ± √1 - x². Στην περιοχή όλων των σημείων του κύκλου εκτός από το (−1, 0) και το (1, 0) , μία από αυτές τις συναρτήσεις έχει γραφική παράσταση που μοιάζει με κύκλο.(Αυτές οι συναρτήσεις ,επίσης,τυχαίνει να τέμνουν το (−1, 0) και το (1, 0) αλλά αυτό δεν συνεπάγεται από το θεώρημα πεπλεγμένης συνάρτησης).
Η πεπλεγμένη συνάρηση είναι στενά συνδεδεμένη με το θεώρημα αντίστροφης συνάρτησης,το οποίο λέει ότι αν η  είναι συνεχως παραγωγισιμη με μη μηδενικη παραγωγο σε ενα σημειο  ,τοτε η  ειναι αντιστρεψιμη σε μια περιοχη του  και η αντιστροφη ειναι συνεχως διαφορισιμη.