Γραφική παράσταση συνάρτησης

Γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f λέμε το σύνολο των σημείων Μ(x,f(x)) για κάθε x\in A, όπου Α ένα υποσύνολο των πραγματικών αριθμών το πεδίο ορισμού της f.
Αν για ένα σημείο M(x,y) ισχύει y=f(x), ανήκει στη γραφική παράσταση της f. Η εξίσωση y=f(x) λέγεται εξίσωση της γραφικής παράστασης της f.
Κάθε κατακόρυφη ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση της f το πολύ σε ένα σημείο.

Πεδίο ορισμού

Το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης είναι γραφικά η ορθή προβολή της γραφικής παράστασης της στον άξονα χ'χ. Τα διαστήματα συμβολίζονται με ευθύγραμμα τμήματα, ενώ οι μεμονωμένες τιμές με σημεία.

Συνέχεια-Παραγωγισιμότητα

Αν η συνάρτηση ή τμήμα της είναι συνεχής, τότε η γραφική παράσταση σε όλο το πεδίο ορισμού της ή το τμήμα είναι συνεχής γραμμή, δηλαδή μπορεί να σχεδιαστεί χωρίς το μολύβι να αφήσει το χαρτί. Όπου είναι παραγωγίσιμη, η γραφική παράσταση είναι καμπύλη ή ευθεία, δηλαδή μια ομαλή γραμμή χωρίς γωνίες.

Μονοτονία

Όπου η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα, η γραφική παράσταση ανεβαίνει και όπου είναι γνησίως φθίνουσα κατεβαίνει. Όπου είναι σταθερή, η γραφική παράσταση είναι ευθεία οριζόντια γραμμή.

Ακρότατα-Ασύμπτωτες

Σε όρους περιγραφής κορυφογραμμής, όπου η συνάρτηση εμφανίζει μέγιστο, η γραφική παράσταση εμφανίζει κορυφή, ενώ όπου υπάρχει ελάχιστο στη γραφική παράσταση εμφανίζεται κοιλάδα. Όσον αφορά τις ασύμπτωτες, στη γραφική παράσταση εμφανίζονται ως ευθείες τις οποίες η γραφική παράσταση της συνάρτησης τις πλησιάζει συνεχώς χωρίς να τις τέμνει. Μερικές φορές στη γραφική παράσταση εμφανίζεται λανθασμένα να ταυτίζεται από κάποιο σημείο και έπειτα με την ασύμπτωτη. Ασύμπτωτες μπορεί να είναι όχι μόνο ευθείες αλλά και καμπύλες, αν συνήθως δε χρησιμοποιούνται.

Σύνολο τιμών-Γνωστές τιμές-Ρίζες

Το σύνολο τιμών συνάρτησης εμφανίζεται γραφικά ως την ορθή προβολή της γραφικής παράστασης στον άξονα ψ'ψ, όπως και το πεδίο ορισμού. Οι γνωστές τιμές σημειώνονται με κουκίδες. Κατά την τελική κατασκευή, δηλαδή τη σχεδίαση της γραφικής παράστασης φροντίζουμε η καμπύλη να διέρχεται από αυτά τα σημεία. Συνήθως τα γνωστά σημεία είναι τα μέγιστα, τα ελάχιστα, τα σημεία καμπής, οι ρίζες, το σημείο τομής με τον άξονα ψ'ψ.

Κοιλοκυρτότητα

Αν η συνάρτηση είναι κυρτή, τότε η γραφική παράσταση είναι τέτοια, ώστε η εφαπτομένη σε οποιοδήποτε σημείο να μην είναι πάνω από οποιοδήποτε σημείο της συνάρτησης. Αντίστροφα, αν η συνάρτηση είναι κοίλη, τότε η γραφική παράσταση είναι τέτοια, ώστε η εφαπτομένη σε οποιοδήποτε σημείο να μην είναι κάτω από οποιοδήποτε σημείο της συνάρτησης. Εμπειρικά μια κυρτή συνάρτηση μοιάζει με ποτήρι που κρατάει νερό, ενώ η κοίλη με αναποδογυρισμένο ποτήρι που δεν κρατάει νερό.

Σύνοψη μεταβολών της εκθετικής συνάρτησης

Όλες οι παραπάνω πληροφορίες συγκεντρώνονται σε έναν πίνακα, ο οποίος ονομάζεται πίνακας μεταβολών της συνάρτησης.

Συμμετρίες

Αν μια συνάρτηση είναι συμμετρική, τότε μπορεί να κατασκευαστεί μόνο ένα μέρος της συνάρτησης και το υπόλοιπο προκύπτει με κατάλληλη επανάληψη του προηγούμενου μέρους. Στις περιοδικές συναρτήσεις επαναλαμβάνεται η γραφική παράσταση της περιόδου. Στις άρτιες ο άξονας ψ'ψ είναι άξονας συμμετρίας, ενώ στις περιττές σημείο συμμετρίας είναι η αρχή των αξόνων. Δεν υπάρχουν συναρτήσεις με άξονα συμμετρίας τον άξονα χ'χ γιατί τότε θα παραβιαζόταν ο ορισμός της συνάρτησης, εκτός από τις συναρτήσεις με μοναδική τιμή το 0. Οι συμμετρίες που αναφέρονται είναι ενδεικτικές, υπάρχει περίπτωση μια συνάρτηση να είναι συμμετρική ως προς την ευθεία χ=α και όχι τον άξονα ψ'ψ (την ευθεία χ=0).