Πολυώνυμο

Ετυμολογία

Η λέξη πολυώνυμο προέρχεται από το Ελληνικό πολύ, και το Λατινικό binomium, «binomial». Η λέξη εισήχθηκε στην λατινική γλώσσα από τον Franciscus Vieta.

Πολυωνυμική συνάρτηση

Μία πολυωνυμική συνάρτηση  είναι μία συνάρτηση που προσδιορίζεται από ένα πολυώνυμο. Μερικές φορές, ο όρος πολυώνυμο αφορά τα πολυώνυμα που είναι αναλυτικά γραμμένα ως το άθροισμα (ή την διαφορά) των όρων περιλαμβάνοντας μόνο πολλαπλασιασμούς και δυνάμεις με μη μηδενικούς ακέραιους εκθέτες. Σε αυτήν την περίπτωση, τα άλλα πολυώνυμα ονομάζονται πολυωνυμικές εκφράσεις. Για παράδειγμα,  είναι μία μαθηματική έκφραση που αντιπροσωπεύει το ίδιο πράγμα με το  πολυώνυμο 
Ο όρος "πολυώνυμο", σαν ουσιαστικό, μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για ποσότητες που μπορούν να εκφραστούν ως πολυώνυμα κάποιων παραμέτρων, όπως στον πολυωνυμικό χρόνο, που χρησιμοποιείται στην περίπλοκη υπολογιστική θεωρία.
Τα πολυώνυμα εμφανίζονται σε πολλούς τομείς των μαθηματικών και της επιστήμης. Για παράδειγμα, χρησιμοποιούνται στις πολυωνυμικές εξισώσεις, που περιέχουν λύσεις για μία μεγάλη γκάμα προβλημάτων, από τα αρχικά προβλήματα λέξεων στα σύνθετα προβλήματα των επιστημών; χρησιμοποιούνται για να προσδιορίσουν πολυωνυμικές συναρτήσεις, που υπάρχουν απ την βασική χημεία και φυσική ως τα οικονομικά και την κοινωνιολογία; χρησιμοποιούνται στον λογισμό και την αριθμητική ανάλυση για την προσέγγιση άλλων συναρτήσεων.  Στα ανώτερα μαθηματικά, τα πολυώνυμα χρησιμοποιούνται για την κατασκευή πολυωνυμικών δακτυλίων, μία βασική διαδικασία στην άλγεβρα και την αλγεβρική γεωμετρία.
Μονώνυμο είναι το γινόμενο μιας σταθεράς με μια μεταβλητή υψωμένη σε οποιαδήποτε φυσική δύναμη. Η σταθερά ονομάζεται σταθερό μέρος ή συντελεστής, ενώ η υψωμένη μεταβλητή μεταβλητό μέρος. Ως μονώνυμο, επίσης, ορίζεται και οποιαδήποτε σταθερά.
Πολυώνυμο είναι αλγεβρική παράσταση σταθερών και μιας μεταβλητής που συνδέονται μεταξύ τους μόνο με τις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού, ενώ η μεταβλητή μπορεί να εμφανίζεται υψωμένη σε διάφορες φυσικές δυνάμεις. Ουσιαστικά το πολυώνυμο είναι άθροισμα μονωνύμων της ίδιας μεταβλητής. Κάθε δύναμη εμφανίζεται μία φορά στο πολυώνυμο, δηλαδή στην τελική μορφή του αθροίσματος δεν εμφανίζονται δύο μονώνυμα με την ίδια δύναμη της μεταβλητής. Οι συντελεστές των μονωνύμων θεωρούνται και ως συντελεστές του πολυωνύμου.
Συνήθως το πολυώνυμο της μεταβλητής x συμβολίζεται με P(x). Οι συντελεστές συμβολίζονται με ένα γράμμα με δείκτη συνήθως τη δύναμη της μεταβλητής που συνοδεύει. Ο σταθερός όρος έχει συνήθως δείκτη μηδέν. Έτσι, η γενική μορφή του πολυωνύμου είναι:
P(x)=ανxν+αν-1xν-1+...+ακxκ+...+α₁x¹+α₀
Σταθερό πολυώνυμο θεωρείται μια οποιαδήποτε σταθερά, ενώ αν η σταθερά είναι μηδέν, τότε το πολυώνυμο λέγεται μηδενικό πολυώνυμο. Το μηδενικό πολυώνυμο συμβολίζεται με 0, το οποίο είναι πάντα έντονα γραμμένο για να διακρίνεται από τον αριθμό μηδέν.
Βαθμός του πολυωνύμου ονομάζεται η μέγιστη δύναμη της μεταβλητής με μη μηδενικό συντελεστή. Σε σταθερό πολυώνυμο ορίζεται ως βαθμός του πολυωνύμου το μηδέν, ενώ σε μηδενικό πολυώνυμο δεν ορίζεται βαθμός. Ο βαθμός του πολυωνύμου P(x) συμβολίζεται με degP(x).
Ορισμένες εξαιρέσεις στους παραπάνω ορισμούς οφείλονται στο γεγονός ότι το 0⁰ δεν ορίζεται, αλλά οι ιδιότητες των πολυωνύμων θέλουμε να ισχύουν για όλους τους πραγματικούς αριθμούς, ακόμα και για το μηδέν. Προσέξτε ότι στη γενική μορφή του πολυωνύμου ο τελευταίος όρος δεν είναι α₀x⁰, αλλά α₀.

Εναλλακτικές μορφές

Γενικά κάθε έκφραση μπορεί να θεωρηθεί πολυώνυμο αν αποτελείται από μεταβλητές και σταθερές χρησιμοποιώντας μόνο πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό, και δυνάμεις αριθμών.  Έτσι ώστε να μπορεί να γραφεί σαν άθροισμα όρων.  Για παράδειγμα, (x + 1)³ είναι ένα πολυώνυμο; με κανονική μορφή is x³ + 3x² + 3x + 1. Ωστόσο, σε κάποιες περιπτώσεις, χρειάζεται μία πιο ακριβείς ορολογία για να μην υπάρχουν παρανοήσεις. Σε μια τέτοια περίπτωση, μπορούμε να πούμε: (x + 1)³ είναι μια πολυωνυμική έκφραση που μπορεί να επεκταθεί ή να ξαναγραφεί στο πολυώνυμο x³ + 3x² + 3x + 1. Παρ όλες τις διαφορές σαν εκφράσεις,  είναι ίσες στον δακτύλιο των πολυωνύμων με άγνωστοx και ακέραιους συντελεστές.
Όσο για τους ακεραίους, υπάρχουν δύο είδη διαιρέσεων για τα πολυώνυμα. Η Ευκλείδεια διαίρεση πολυωνύμων η οποία είναι γενίκευση της Ευκλείδειας διαίρεσης ακεραίων. Από αυτήν προκύπτουν δύο πολυώνυμα, ένα πηλίκο και ένα υπόλοιπο που έχουν την παρακάτω χαρακτηριστική ιδιότητα των πολυωνύμων: δοθέντων δύο πολυωνύμων a και b έτσι ώστε b ≠ 0, υπάρχει μοναδικό ζευγάρι πολυωνύμων, q, το πηλίκο, και r, το υπόλοιπο, έτσι ώστε a = b q + r και ο βαθμός του (r) < του βαθμού(b) (το μηδενικό πολυώνυμο θεωρείται ότι έχει αρνητικό βαθμό). Είτε με το χέρι είτε με υπολογιστή,αυτή η διαίρεση μπορεί να γίνει σύμφωνα με τον αλγόριθμο της πολυωνυμικής διαίρεσης.
Μία μορφή πηλίκου πολυωνύμων, στην, ένα αλγεβρικό κλάσμα όπου ο αριθμητής και ο παρονομαστής είναι πολυώνυμα, ονομάζεται «ρητή έκφραση» η «ρητό κλάσμα» και δεν είναι, γενικά, πολυώνυμο.  Η διαίρεση πολυωνύμου με αριθμό, ωστόσο, δίνει ένα άλλο πολυώνυμο.  Για παράδειγμα, x³/12 είναι ένας κανονικό όρος πολυωνύμου (και ένα πολυώνυμο μόνο του) επειδή είναι ισοδύναμο με το (1/12)x³ και 1/12 είναι απλά μια σταθερά. Όταν αυτή η έκφραση χρησιμοποιείται σαν όρος, ο συντελεστής της είναι 1/12. Για παρόμοιους λόγους, Αν υπάρχουν μιγαδικοί συντελεστές, μπορεί να υπάρχει όρος (2 + 3i) x³; παρ όλο που φαίνεται ότι μπορεί να χωριστεί σε δύο όρους, ο μιγαδικός αριθμός 2 + 3i είναι ένα μιγαδικός αριθμός, και είναι ο συντελεστής αυτούς του όρου. Η έκφραση 1/(x² + 1) δεν είναι πολυώνυμο επειδή περιέχει διαίρεση με ένα μη πολυώνυμο. Η έκφραση (5 + y)ˣ δεν είναι πολυώνυμο, επειδή χρησιμοποιεί μία μεταβλητή σαν εκθέτη.
Από τότε που η αφαίρεση μπορεί να αντικατασταθεί με την πρόσθεση της αντίθετης ποσότητας, και οι εκθέτες μπορούν να αντικατασταθούν από επαναλαμβανόμενους πολλαπλασιασμούς, όλα τα πολυώνυμα μπορούν να κατασκευαστούν με σταθερές και μεταβλητές χρησιμοποιώντας μόνο πρόσθεση και πολλαπλασιασμό.

Πρόσθεση

Ο κάθε συντελεστής του νέου πολυωνύμου είναι το άθροισμα των συντελεστών των αντίστοιχων δυνάμεων της μεταβλητής. Αν η αντίστοιχη δύναμη σε ένα πολυώνυμο δεν υπάρχει ο συντελεστής μπορεί να θεωρηθεί ως μηδέν. Παράδειγμα:
 Αν ένας συντελεστής του αποτελέσματος είναι μηδέν τότε η αντίστοιχη δύναμη δεν αναγράφεται στο άθροισμα. Έτσι, ο βαθμός του πολυωνύμου αποτελέσματος είναι ίσος με το βαθμό του πολυωνύμου με το μεγαλύτερο βαθμό. Αν οι βαθμοί είναι ίσοι τότε ο βαθμός του αποτελέσματος μπορεί να είναι ίσος ή μικρότερος ή να μην ορίζεται. Η αφαίρεση μπορεί να γίνει με την πρόσθεση του πολυωνύμου με αντίθετους συντελεστές.

Πολλαπλασιασμός

Οι πράξεις για την εύρεση του αποτελέσματος εκτελούνται σύμφωνα με την επιμεριστική ιδιότητα, ενώ οι νέες δυνάμεις βρίσκονται με βάση τον ορισμό της δύναμης. Ο βαθμός του πολυωνύμου αποτελέσματος είναι σίγουρα ίσος με το άθροισμα των βαθμών των πολυωνύμων. Αν ένας βαθμός από τους δύο δεν ορίζεται, τότε δεν ορίζεται ούτε ο βαθμός του αποτελέσματος, γιατί είναι το μηδενικό πολυώνυμο.

Διαίρεση

Στη διαίρεση των πολυωνύμων Q(x) διά P(x) το πρόβλημα είναι να βρεθούν δύο άλλων πολυωνύμων q(x) και υ(x), ώστε Q(x)=P(x)q(x)+υ(x), με degυ(x)<degP(x). Αποδεικνύεται ότι τα δύο αυτά πολυώνυμα είναι μοναδικά σε κάθε διαίρεση. Το πολυώνυμο q(x) ονομάζεται πηλίκο, ενώ το πολυώνυμο υ(x) ονομάζεται υπόλοιπο. Αν υ(x)=0, τότε το πολυώνυμο P(x) ονομάζεται παράγοντας του Q(x) και η διαίρεση τέλεια. Ισχύει ότι degq(x)=degQ(x)-degP(x), αν ορίζονται βαθμοί στα δύο αρχικά πολυώνυμα.

Ταύτιση δύο πολυωνύμων

Δύο πολυώνυμα είναι ίσα μεταξύ τους αν και μόνο αν είναι του ίδιου βαθμού και κάθε συντελεστής του ενός πολυωνύμου που αντιστοιχεί στη δύναμη α ισούται με το συντελεστή του άλλου πολυωνύμου που αντιστοιχεί επίσης στη δύναμη α. Συμβολικά ισχύει:

Ανάπτυγμα σειράς Taylor

Έστω μία πραγματική συνάρτηση f πραγματικής μεταβλητής ορισμένη στους πραγματικούς αριθμούς η οποία είναι παραγωγίσιμη και κάθε παράγωγός της είναι παραγωγίσιμη. Αποδεικνύεται ότι για κάθε σημείο x₀ του πεδίου ορισμού της ισχύει:
Όπου fν(x₀) η νιοστή παράγωγος της f στο x₀.
Δηλαδή κάθε τέτοια συνάρτηση είναι πολυώνυμο άπειρων όρων. Επειδή ορίζονται δυνάμεις με μιγαδικές βάσεις το ανάπτυγμα της σειράς Taylor μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επέκταση των συναρτήσεων στους μιγαδικούς αριθμούς. Με βάση τη σειρά Taylor μπορούμε να υπολογίσουμε προσεγγίσεις της συνάρτησης, ειδικά αν η τελευταία είναι περίπλοκη. Συνήθως στους υπολογιστές ή τη μηχανική και τη φυσική, ανάλογα με την επιθυμητή ακρίβεια, αποφασίζουμε τους μ πρώτους όρους της σειράς, ώστε να μπορούμε να υπολογίζουμε με πιο εύχρηστο τύπο προσεγγίσεις μιας συνάρτησης. Αν λαμβάνουμε υπόψιν μόνο τους δύο πρώτους όρους, τότε η διαδικασία ονομάζεται γραμμικοποίηση.
Η ακρίβεια της προσέγγισης της σειράς εξαρτάται από την επιλογή του σημείου x₀ και των μ πρώτων όρων που θα επιλέξουμε. Όσο πιο κοντά στο x₀ και με όσους περισσότερους όρους υπολογίζουμε την προσέγγιση, τόσο καλύτερη είναι.
Προφανώς, η ανάπτυξη της σειράς Taylor, αν η f είναι πολυωνυμική, είναι η ίδια η f.

Ιστορία

Η εκτίμηση των ριζών των πολυωνύμων, ή η «λύση αλγεβρικών εξισώσεων», είναι ανάμεσα στα παλαιότερα προβλήματα των μαθηματικών.Ωστόσο,η σημειογραφία που χρησιμοποιούμε σήμερα καθιερώθηκε μόλις τον 15ο αιώνα. Πριν από αυτό, οι εξισώσεις γράφονταν με λέξεις. Για παράδειγμα, ένα αλγεβρικό πρόβλημα απ τους Κινέζους Η αριθμητική σε εννιά στάδια, περίπου στα 200 π.Χ, ξεκινάει «Τρία μέρη μιας καλής σοδειάς, δύο μέρη μιας μέτριας σοδειάς, και ένα μέρος μιας κακής σοδειάς πωλούνται για 29 dou.» Θα έπρεπε να γράψουμε 3x + 2y + z = 29.

Σημειογραφία

Η πιο πρόσφατη γνωστή χρήση του συμβόλου της εξίσωσης γίνεται στο βιβλίο του Robert Recorde The Whetstone of Witte,το 1557. Το σύμβολο + για την πρόσθεση, − για την αφαίρεση, και η χρήση ενός γράμματος για έναν άγνωστο εμφανίζεται στο βιβλίο του Michael Stifel Arithemetica integra, το 1544.Ο René Descartes, στο La géometrie,το 1637, εισήγαγε το μοντέλο του γραφήματος μιας πολυωνυμικής εξίσωσης. Καθιέρωσε τα γράμματα απ την αρχή του αλφαβήτου για να τις σταθερές και τα γράμματα απ το τέλος του αλφαβήτου για τις μεταβλητές, όπως φαίνεται απ τα παραπάνω, στην γενική μορφή για ένα πολυώνυμο μιας μεταβλητής, τα a δηλώνουν σταθερές και τα x δηλώνουν μεταβλητές.Ο Descartes εισήγαγε την χρήση των εκθετών.

Λύση πολυωνυμικών εξισώσεων

Κάθε πολυώνυμο P με μεταβλητή x αντιπροσωπεύει μία συνάρτηση, ƒ(x) = P (όπου οι λύσεις του x στο P αντιστοιχούν σε τιμές της ƒ), ονομάζεται πολυωνυμική συνάρτηση του P; η εξίσωση του x που γίνεται f(x) = 0 είναι η πολυωνυμική εξίσωση που αντιστοιχεί στο P. Οι λύσεις αυτής της εξίσωσης, που ονομάζονται ρίζες του πολυωνύμου, είναι τα σημεία που μηδενίζεται η συνάρτηση ƒ (είναι τα σημεία όπου το γράφημα της ƒ τέμνει τον άξονα x). Ένας αριθμός a είναι μία λύση του P αν και μόνο αν το x − a (of degree one in x) διαιρεί το P. Αυτό μπορεί να σημαίνει ότι το x − a διαιρεί το P περισσότερες από μία φορά: Εάν το (x − a)² διαιρεί το P τότε a καλείται πολλαπλή ρίζα του P, διαφορετικά a καλείται απλή ρίζα του P. Εάν P είναι ένα μη μηδενικό πολυώνυμο, υπάρχει η μεγαλύτερη δύναμη m όπως (x − a)ᵐ που διαιρεί το P, η οποία καλείται πολλαπλότητα της ρίζας a στο P. Όταν P είναι το μηδενικό πολυώνυμο, η αντίστοιχη πολυωνυμική εξίσωση είναι ασήμαντη, και σε αυτήν την περίπτωση είναι σύνηθες να παραλείπεται όταν όταν με τους παραπάνω ορισμούς κάθε αριθμός μπορεί να είναι ρίζα ενός μηδενικού πολυωνύμου, με απροσδιόριστη (ή άπειρη) πολλαπλότητα. Με αυτήν την εξαίρεση, ο αριθμός των ριζών του P, ακόμη και να μετρηθεί με τις αντίστοιχες πολλαπλότητες, δεν μπορεί να υπερβαίνει τον βαθμό του P.
Μερικά πολυώνυμα, όπως το x² + 1, δεν έχουν καθόλου ρίζες στους πραγματικούς αριθμούς. Εάν, ωστόσο, επεκτείνουμε το πεδίο των ριζών στους μιγαδικούς αριθμούς, κάθε μη σταθερό έχει τουλάχιστον μία ρίζα αυτό είναι το Θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας. Αν χωρίσουμε διαδοχικά τους παράγοντες του x − a, κάποιος βλέπει ότι κάθε πολυώνυμο με μιγαδικούς  συντελεστές μπορεί να γραφεί σαν σταθερό. Ο αριθμός των μιγαδικών ριζών με τις πολλαπλότητες τους είναι ακριβώς ίσως με τον βαθμό του πολυωνύμου.
Υπάρχει μία διαφορά ανάμεσα στην εκτίμηση και τον υπολογισμό των ριζών. Μέθοδοι για τον υπολογισμό ριζών πολυωνύμου βαθμού 2, με συνθήκες τετραγώνου είναι γνωστές απ την αρχαιότητα (quadratic equation),και για πολυώνυμα βαθμού 3 η 4 παρόμοιες μέθοδοι (που χρησιμοποιούν κυβικές ρίζες όμως) έχουν βρεθεί τον 16ο αιώνα (κυβική εξίσωση και τεταρτοβάθμια εξίσωση για τις μεθόδους και Νικολό Φοντάνα Ταρτάλια, Λοντοβίκο Φεράρι, Τζερόλαμο Καρντάνο, και Βιετά για ιστορικές λεπτομέρειες). Αλλά μέθοδοι για 5ου βαθμού πολυώνυμα δεν έχουν βρεθεί ακόμη. Το 1824,ο Niels Henrik Abel απέδειξε το πολύ σημαντικό αποτέλεσμα ότι δεν μπορεί να υπάρξει γενικά μέθοδος, που να περιλαμβάνει μόνο αριθμητικές πράξεις, που να υπολογίζει τις ρίζες ενός πολυωνύμου βαθμού 5 η μεγαλύτερου (δες Abel-Ruffini theorem). Το 1830,ο Εβαρίστ Γκαλουά, μελέτησε την μεταλλαγή των ριζών ενός πολυωνύμου, επεκτείνοντας το θεώρημα Abel-Ruffini, δοθείσας μιας πολυωνυμικής εξίσωσης, κάποιος μπορεί να αποφασίσει αν είναι επιλύσιμο με πρωτογενή αναλυση, και αν είναι, να το λύσει. Αυτό το αποτέλεσμα σημάδεψε την Θεωρία Γκαλουά και Θεωρία ομάδων, δύο σημαντικούς τομείς των σύγχρονων μαθηματικών. Ο Galois ο ίδιος παρατήρησε ότι οι υπολογισμοί με την μέθοδο του είναι ανέφικτοι. Παρόλα αυτά, μέθοδοι για επιλύσιμες εξισώσεις βαθμού 5 και 6 έχουν δημοσιευθεί.
Αριθμητικές εκτιμήσεις των ριζών μιας πολυωνυμικής εξίσωσης με έναν άγνωστο είναι εύκολο να γίνουν σε έναν υπολογιστή με την μέθοδο Τζένκινς-Τράουμπ, μέθοδο Λαγκέρ, μέθοδο Ντουράντ-Κέρνερ η με κάποιους άλλους αλγορίθμους εύρεσης ριζών.
Για πολυώνυμα περισσότερων μεταβλητών η εντύπωση μιας ρίζας δεν υπάρχει, και υπάρχουν συνήθως άπειροι συνδυασμοί για τις τιμές των μεταβλητών για τις οποίες η πολυωνυμική συνάρτηση παίρνει την τιμή μηδέν. Ωστόσο οι βέβαιοι συνδυασμοί για τέτοια πολυώνυμα μας δείχνουν ότι μόνο για πεπερασμένους συνδυασμούς όλες οι πολυωνυμικές συναρτήσεις παίρνουν την τιμή μηδέν.
Για ένα σύστημα πολυωνυμικών εξισώσεων με πολλούς αγνώστους , υπάρχουν αλγόριθμοι που μας δείχνουν αν έχουν έναν πεπερασμένο αριθμό μιγαδικών ριζών. Αν ο αριθμός των ριζών είναι πεπερασμένος, υπάρχουν αλγόριθμοι για να υπολογίσουν τις ρίζες. Οι μέθοδοι που υπάρχουν σ αυτούς τους αλγόριθμους περιγράφονται στο άρθρο systems of polynomial equations.
Η ειδική περίπτωση που όλα τα πολυώνυμα είναι βαθμού ένα καλείται σύστημα γραμμικών εξισώσεων, για το οποίο ένα άλλο σύνολο από μεθόδους λύσεις υπάρχει, περιλαμβανομένου και του κλασσικού της Γκαουσιανής απόρριψης.
Έχει δειχτεί από τον Richard Birkeland και τον Karl Meyr ότι οι ρίζες κάθε πολυωνύμου μπορούν να εκφραστούν σε συνθήκες πολλαπλών μεταβλητών συναρτήσεων υπερβολικής γεωμετρίας. Ο Ferdinand von Lindemann και ο Hiroshi Umemura έδειξαν ότι οι λύσεις μπορούν επίσης να εκφραστούν σε συνθήκες Siegel modular functions, γενικεύσεις του θεωρήματος theta που εμφανίζονται στην θεωρία ελλειπτικών συναρτήσεων. Αυτοί οι χαρακτηρισμοί των ριζών των τυχαίων πολυωνύμων είναι γενικεύσεις των μεθόδων που είχαν ανακαλυφθεί για την λύση της εξίσωσης quintic.

Κατηγοριοποίηση

Τα πολυώνυμα κατηγοριοποιούνται σύμφωνα με πολλές διαφορετικές ιδιότητες.

Αριθμός μεταβλητών

Μία κατηγοριοποίηση των πολυωνύμων βασίζεται στον αριθμό των διαφορετικών μεταβλητών. Ένα πολυώνυμο μιας μεταβλητής ονομάζεται μονοπαραμετικό πολυώνυμο, ένα πολυώνυμο με περισσότερες από μία μεταβλητή πολυπαραμετρικό πολυώνυμο. Αυτές οι παρατηρήσεις αναφέρονται περισσότερο στο είδος των πολυωνύμων γενικά και πώς αυτά λειτουργούν παρά στο κάθε ένα ξεχωριστά για παράδειγμα όταν δουλεύουμε με μονοπαραμετρικά πολυώνυμα κάτι που δεν αποκλείει τα σταθερά πολυώνυμα (το οποίο είναι αποτέλεσμα,για παράδειγμα, από την αφαίρεση μη σταθερών πολυωνύμων), ωστόσο μιλώντας αυστηρά για σταθερά πολυώνυμα δεν περιλαμβάνουν καθόλου μεταβλητές. Είναι δυνατόν να ταξινομήσουμε περαιτέρω τα πολυπαραμετρικά πολυώνυμα σαν δυπαραμετρικά, τρειπαραμετρικά, και ούτω καθεξής, ανάλογα με τον μέγιστο αριθμό μεταβλητών που περιέχουν. Για να συνοψίσουμε τα πράγματα με μία λογική αφαίρεσης, μια μελέτη των τρειπαραμετρικών πολυωνύμων συνήθως και περιλαμβάνει τα δυπαραμετρικά, και ούτω καθ εξής.  Επιτρέπεται, επίσης, να τα ονομάσουμε «πολυώνυμα του x, y, και z», βάζοντας στην σειρά τις μεταβλητές τους.

Συντελεστές

Μία άλλη κατηγοριοποίηση των πολυωνύμων γίνεται με βάση το είδος των συντελεστών τους.  Υπάρχουν πολυώνυμα με ακέραιους, ρητούς, πραγματικούς, ή μιγαδικούς συντελεστές, και στην θεωρητική άλγεβρα πολυώνυμα με πολλούς άλλους τύπους συντελεστών, όπως συντελεστές που είναι ακέραιοι modulo p.  Ειδικό ενδιαφέρον παρουσιάζει η περίπτωση των πολυωνύμων που έχουν συντελεστές πολυώνυμα με άλλες μεταβλητές. Αυτό δείχνει ότι ένα πολυώνυμο, για παράδειγμα, x, y, z μπορεί να θεωρηθεί σαν μονοπαραμετρικό στο z με τους συντελεστές του να είναι διπαραμετρικοι στο x καιy. Αυτό χρησιμοποιείται συχνά στη θεωρία πολυπαραμετρικών πολυωνύμων.
Στην κατηγοριοποίηση με βάση των αριθμό μεταβλητών, όταν εργαζόμαστε με συντελεστές από ένα γνωστό σύνολο, όπως είναι οι μιγαδικοί αριθμοί, μπορούμε να χρησιμοποιούμε συντελεστές και από κάθε υποσύνολο αυτού.  Έτσι  είναι ένα πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές,αλλά είναι επίσης και ένα πολυώνυμο με μιγαδικούς συντελεστές, επειδή οι ακέραιοι είναι υποσύνολο των μιγαδικών.

Αριθμός μη μηδενικών όρων

Τα πολυώνυμα μπορούν επίσης να κατηγοριοποιηθούν με βάση τους όρους με μη μηδενικούς παράγοντες, έτσι ένα πολυώνυμο με έναν όρο καλείται μονόνυμο, με δύο όρους δυόνυμο, και ούτω καθ εξής.  (Μερικοί συγγραφείς με την λέξη «μονόνυμο» εννοούν το «μονικό μονόνυμο».)

Άλλες χρήσεις των πολυωνύμων

Τα πολυώνυμα συχνά χρησιμοποιούνται για την κωδικοποίηση πληροφοριών. Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο ενός πίνακα περιέχει πληροφορίες για τις ιδιοτιμές του. Το ελάχιστο πολυώνυμο ενός αλγεβρικού στοιχείου καταγράφει την απλούστερη αλγεβρική σχέση που ικανοποιείται από αυτό το στοιχείο. Το χρωματικό πολυώνυμο ενός γραφήματος μετράει τον αριθμό των κατάλληλων χρωματισμών του γραφήματος.

Επεκτάσεις της έννοιας ενός πολυωνύμου

Τα πολυώνυμα μπορεί να περιέχουν περισσότερες από μία παραμέτρους, τέτοια ονομάζονται πολυπαραμετρικά. Οι δακτύλιοι πολυωνύμων με πεπερασμένο αριθμό μεταβλητών είναι θεμελιώδους σημασίας στην αλγεβρική γεωμετρία η οποία μελετά τον ταυτόχρονο μηδενισμό όλων πολυπαραμετρικών πολυωνύμων. Αυτοί οι δακτύλιοι εναλλακτικά μπορούν να κατασκευαστούν επαναλαμβάνοντας την κατασκευή ενός δακτυλίου με μονοπαραμετρικά πολυώνυμα και συντελεστές άλλους δακτυλίους: έτσι ο δακτύλιος R[X,Y] πολυωνύμων του X και του Y μπορεί να θεωρηθεί σαν δακτύλιος (R[X])[Y] πολυωνύμων του Y με συντελεστές πολυώνυμα του X, ή ο δακτύλιος (R[Y])[X] πολυωνύμων του X με συντελεστές πολυώνυμα του Y. αυτές οι παρατηρήσεις συμφωνούν με τις αριθμητικές πράξεις (είναι ισομορφισμοί δακτυλίων), αλλά μερικά σημεία όπως ο βαθμός ή πότε ένα πολυώνυμο θεωρείται μονικό μπορεί να διαφέρουν. Μπορούν να κατασκευαστούν δακτύλιοι πολυωνύμων με άπειρες παραμέτρους, αλλά απ την στιγμή που τα πολυώνυμα είναι (πεπερασμένες) εκφράσεις, κάθε πολυώνυμο μπορεί να περιέχει μόνο πεπερασμένο αριθμό παραμέτρων.
Ένα δυαδικό πολυώνυμο που η δεύτερη παράμετρος έχει την μορφή εκθετικής συνάρτησης, για παράδειγμα το P(X,eX ), ονομάζεται εκθετικό πολυώνυμο.
Τα πολυώνυμα Laurent, επιτρέπουν να υπάρχουν αρνητικές δυνάμεις στις παραμέτρους τους.
Τα Πηλίκα πολυωνύμων ονομάζονται ρητές εκφράσεις (ή ρητά κλάσματα), και συναρτήσεις που υπολογίζουν ρητές εκφράσεις ονομάζονται ρητές συναρτήσεις. Τα ρητά κλάσματα είναι μορφές πηλίκων πολυωνύμων (αποτελούνται από πολυώνυμα όπως οι ρητοί αριθμοί αποτελούνται από ακεραίους,γράφοντας ένα κλάσμα με δύο από αυτούς). Η ρητή συνάρτηση που προσδιορίζεται από ένα ρητό κλάσμα είναι το πηλίκο των πολυωνυμικών συναρτήσεων που προσδιορίζεται απ τον αριθμητή και τον παρονομαστή των ρητών κλασμάτων. Τα ρητά κλάσματα περιλαμβάνουν τα πολυώνυμα Laurent, αλλά δεν αποκλείουν τους παρονομαστές απ τις δυνάμεις των παραμέτρων. Ενώ οι πολυωνυμικές συναρτήσεις προσδιορίζονται για κάθε τιμή των παραμέτρων, μία ρητή συνάρτηση προσδιορίζεται μόνο για τιμές των παραμέτρων  γα τις οποίες ο παρονομαστής δεν είναι μηδέν. Μια ρητή συνάρτηση δίνει ρητό αποτέλεσμα για κάθε τιμή για την οποία ορίζεται; αυτό δεν ισχύει για άλλες συναρτήσεις όπως τις τριγωνομετρικές, λογαριθμικές και εκθετικές
Η σειρά δύναμης είναι σαν τα πολυώνυμα, αλλά μπορεί να περιέχει άπειρους μη μηδενικούς όρους, όποτε δεν έχει πεπερασμένο βαθμό. Σε αντίθεση με τα πολυώνυμα δεν μπορούν να γραφούν λεπτομερώς (όπως δεν μπορούν και οι πραγματικοί αριθμοί), αλλά γενικά ισχύουν οι ίδιοι κανόνες με τα πολυώνυμα.