Εξισώσεις Μάξγουελ

Διατύπωση σε όρους ηλεκτρικών φορτίων

Για να περιγράψουμε τον ηλεκτρομαγνητισμό σε αυτήν την διατύπωση, χρησιμοποιείται η ισχυρή γλώσσα του διανυσματικού λογισμού. Τα σύμβολα με τους έντονους χαρακτήρες αναπαριστούν διανυσματικές ποσότητες και τα σύμβολα με πλάγιους χαρακτήρες αναπαριστούν βαθμωτές ποσότητες ,εκτός αν αναφέρεται διαφορετικά.
Οι εξισώσεις εισάγουν το ηλεκτρικό πεδίο Ε, ένα διανυσματικό πεδίο και το μαγνητικό πεδίο Β, ένα αξονικό πεδίο , όπου το καθένα έχει γενικά χρονική εξάρτηση. Οι πηγές αυτών των πεδίων είναι ηλεκτρικά πεδία και ηλεκτρικά ρεύματα, που μπορούν να εκφραστούν ως τοπικές πυκνότητες και συγκεκριμένα πυκνότητα πεδίου ρ και πυκνότητα ρεύματος J. Ενας ξεχωριστός νόμος της φύσης, ο νόμος της δύναμης Lorentz, περιγράφει πως το ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο ενεργούν σε φορτισμένα σωματίδια και ρεύματα. Μια εκδοχή του νόμου αυτού είχε συμπεριληφθεί στις αρχικές εξισώσεις του Maxwell, αλλά κατά συνθήκη δεν ισχύει πλέον.
Στην ηλεκτρομαγνητική θεωρία οι εξισώσεις Μάξγουελ είναι μία τετράδα εξισώσεων που διατυπώθηκαν από τον Σκοτσέζο φυσικό και μαθηματικό Τζέημς Κλαρκ Μάξγουελ (James Clerk Maxwell) και περιγράφουν τη συμπεριφορά ηλεκτρικών και μαγνητικών πεδίων καθώς και τις αλληλεπιδράσεις τους με την ύλη. Η αρχική δημοσίευση του Μάξγουελ αναφερόταν σε οκτώ συνολικά, αλληλοσχετιζόμενες εξισώσεις.  Η μορφή των τεσσάρων εξισώσεων, όπως χρησιμοποιείται μέχρι σήμερα και όπως περιγράφεται παρακάτω, σχηματοποιήθηκε από τον αυτοδίδακτο Άγγλο φυσικό και μαθηματικό Όλιβερ Χέβισάϊντ, ο οποίος τις αναδιατύπωσε χρησιμοποιώντας διανυσματικό λογισμό, απλοποιώντας τις αποδείξεις τους και συμπυκνώνοντάς τις από 8 σε 4.
Οι τέσσερις εξισώσεις του Μάξγουελ περιγράφουν αντίστοιχα (με τη συνηθισμένη σειρά γραφής τους) το πως ηλεκτρικά φορτία παράγουν ηλεκτρικά πεδία (Νόμος του Gauss), την πειραματική απουσία μαγνητικών μονοπόλων, πως τα ηλεκτρικά ρεύματα και τα μεταβαλλόμενα ηλεκτρικά πεδία παράγουν μαγνητικά πεδία (Νόμος των Αμπέρ και Μάξγουελ) και το πως η μεταβολή ενός μαγνητικού πεδίου παράγει ηλεκτρικά πεδία (Νόμος του Φάραντεϊ για την επαγωγή).
H ακριβής διατύπωση των εξισώσεων Maxwell εξαρτάται από τον ακριβή ορισμό των σχετικών ποσοτήτων. Οι συμβάσεις διαφέρουν με τα μοναδιαία συστήματα: επειδή οι διάφοροι ορισμοί και οι διαστάσεις αλλάζουν απο την απορρόφηση διαστατικών παραγόντων, όπως η ταχύτητα του φωτός c. Aυτο κάνει τις σταθερές να βγαίνουν διαφορετικές.

Διατύπωση σε όρους των ηλεκτρικών και μαγνητικών πεδίων

Για να περιγράψει τον ηλεκτρομαγνητισμό, η ισχυρή γλώσσα του διανυσματικού λογισμού χρησιμοποιείται σε αυτό το άρθρο. Σύμβολα με έντονους χαρακτήρες αντιπροσωπεύουν διανυσματικές ποσότητες, και τα σύμβολα με πλάγιους χαρακτήρες αντιπροσωπεύουν βαθμωτές (scalar) ποσότητες, εκτός αν αναφέρεται διαφορετικά.
Οι εξισώσεις εισαγάγουν το ηλεκτρικό πεδίο E, ένα διανυσματικό πεδίο, και το μαγνητικό πεδίο B, ένα ψευδοδιανυσματικό πεδίο (pseudovector field), όπου το καθένα έχει γενικά χρονική εξάρτηση. Οι πηγές αυτών των πεδίων είναι ηλεκτρικά φορτία και ρεύματα, τα οποία μπορούν να εκφραστούν ως τοπικές πυκνότητες που ονομάζονται πυκνότητα φορτίου ρ και ένταση ρεύματος J. Ένας ξεχωριστός νόμος της φύσης, ο νόμος της δύναμης Lorentz, περιγράφει πώς το ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο σε πράξη φορτισμένα σωματίδια και τα ρεύματα. Μια έκδοση του νόμου αυτού είχε συμπεριληφθεί στις αρχικές εξισώσεις του Maxwell, αλλά, κατά συνθήκη, δεν συμπεριλαμβάνεται πλέον.
Στις σχέσεις ηλεκτρικού-μαγνητικού πεδίου υπάρχουν τέσσερις
εξισώσεις. Δύο από αυτές περιγράφουν πώς τα πεδία μεταβάλλονται στο χώρο και λόγω πηγών, εάν υπάρχουν. Τα ηλεκτρικά πεδία που προέρχονται από τα ηλεκτρικά φορτία στο νόμο του Gauss, και τα μαγνητικά πεδία, όπως κλειστές γραμμές του πεδίου που δεν οφείλεται σε μαγνητικά μονόπολα του νόμου του Gauss για το μαγνητισμό. Τα άλλα δύο περιγράφουν πώς τα πεδία «κυκλοφορούν» γύρω από τις αντίστοιχες πηγές τους. Το μαγνητικό πεδίο "κυκλοφορεί" γύρω από ηλεκτρικά ρεύματα και χρονικά μεταβαλλόμενα ηλεκτρικά πεδία του νόμου του Ampere με την προσθήκη του Maxwell, ενώ το ηλεκτρικό πεδίο «κυκλοφορεί» γύρω από χρονικά μεταβαλλόμενο μαγνητικό πεδία του νόμου του Faraday.
Η ακριβής διατύπωση των εξισώσεων Maxwell εξαρτάται από τον ακριβή ορισμό
των σχετικών ποσοτήτων. Συμβάσεις διαφέρουν στα διάφορα συστήματα μονάδων. Επειδή οι διάφοροι ορισμοί και οι διαστάσεις αλλάζουν από την απορρόφηση πολυδιάστατων (dimensionful) παραγόντων όπως η ταχύτητα του φωτός c. Αυτό κάνει σταθερές βγαίνουν διαφορετικά.

Σχέσεις μεταξύ των διαφορικών και ολοκληρωτικών διατυπώσεων

Οι διαφορικές και ολοκληρωτικές εξισώσεις είναι μαθηματικά ισοδύναμες, από το θεώρημα απόκλισης στην περίπτωση του νόμου του Gauss και του νόμου του Gauss για το μαγνητισμό, και από το θεώρημα Kelvin-Stokes, στην περίπτωση του νόμου του Faraday και του νόμου του Ampere. Τόσο οι διαφορικές όσο και και οι ολοκληρωτικές εξισώσεις είναι χρήσιμες. Η ολοκληρωτική διατύπωση μπορεί συχνά να χρησιμοποιηθεί απλά και άμεσα για τον υπολογισμό πεδίων από συμμετρική κατανομή των φορτίων και των ρευμάτων. Από την άλλη πλευρά, οι διαφορικές εξισώσεις είναι ένα πιο φυσικό σημείο εκκίνησης για τον υπολογισμό των πεδίων σε πιο περίπλοκες (λιγότερο συμμετρικές) καταστάσεις, για παράδειγμα χρησιμοποιώντας ανάλυση πεπερασμένων στοιχείων.

Ροές και αποκλίσεις

Τα «πεδία που προέρχονται από τις πηγές» μπορούν να συναχθούν από τα διπλά ολοκληρώματα των πεδίων διαμέσου της κλειστής επιφάνειας ∂Ω , που ορίζεται ως η ηλεκτρική ροή  και η μαγνητική ροή , καθώς και από τις αντίστοιχες αποκλίσεις τους ∇ · E και ∇ · B. Αυτά τα επιφανειακά ολοκληρώματα και οι αποκλίσεις συνδέονται με το θεώρημα απόκλισης.

Ο νόμος του Gauss

Ο νόμος του Gauss περιγράφει τη σχέση ανάμεσα σε ένα στατικό ηλεκτρικό πεδίο και τα ηλεκτρικά φορτία που το προκαλούν: Τα στατικά ηλεκτρικά πεδία κατευθύνονται από τα θετικά φορτία προς τα αρνητικά φορτία. Στο πεδίο της γραμμικής περιγραφής, οι δυναμικές γραμμές του ηλεκτρικού πεδίου ξεκινούν μόνο από θετικά ηλεκτρικά  φορτία και τελειώνουν μόνο σε αρνητικά φορτία. Επομένως «μετρώντας» τον αριθμό των δυναμικών γραμμών που διέρχονται μέσω μιας κλειστής επιφάνειας παίρνουμε το συνολικό φορτίο (περιλαμβανομένου του δεσμευμένου φορτίου λόγω πόλωσης του υλικού) που περικλείεται από την επιφάνεια αυτή δια της διαπερατότητας του ελεύθερου χώρου (της διηλεκτρικής σταθεράς του κενού). Πιο τεχνικά, ο νόμος του Gauss εκφράζει τη σχέση που έχει η ηλεκτρική ροή μέσα από κάθε υποθετική κλειστή "Γκαουσιανή επιφάνεια" με το περικλειόμενο στην επιφάνεια ηλεκτρικό φορτίο.

Νόμος του Gauss για το μαγνητισμό

Ο νόμος του Gauss για το μαγνητισμό δηλώνει ότι δεν υπάρχουν «μαγνητικά φορτία» (που ονομάζονται επίσης και μαγνητικά μονόπολα), ανάλογα με τα ηλεκτρικά φορτία. Αντ 'αυτού, το μαγνητικό πεδίο που οφείλεται στα υλικά που παράγεται από μια διάταξη που ονομάζεται δίπολο. Τα μαγνητικά δίπολα είναι εκπροσωπούνται καλύτερα ως βρόχοι ρεύματος, αλλά μοιάζουν με θετικά και αρνητικά «μαγνητικά φορτία», άρρηκτα συνδεδεμένα μεταξύ τους, που δεν έχουν καθαρό «μαγνητικό φορτίο». Από άποψη των δυναμικών γραμμών, αυτή η εξίσωση δηλώνει ότι οι δυναμικές γραμμές του μαγνητικού πεδίου δεν αρχίζουν ούτε τελειώνουν, αλλά κάνουν βρόχους ή επεκτείνονται στο άπειρο και γυρνάνε πάλι πίσω. Με άλλα λόγια, κάθε γραμμή μαγνητικού πεδίου που εισέρχεται σε ένα δεδομένο όγκο πρέπει από κάπου να βγει από αυτόν τον όγκο. Ισοδύναμες τεχνικές καταστάσεις είναι το ότι το συνολικό άθροισμα της μαγνητικής ροής μέσω οποιασδήποτε Gaussian επιφάνειας είναι μηδέν, ή ότι το μαγνητικό πεδίο είναι ένα σωληνοειδές διανυσματικό πεδίο.

Νόμος του Faraday

Οι τύποι των εξισώσεων Maxwell-Faraday του νόμου του Faraday περιγράφουν πως ένα χρονικά μεταβαλλόμενο μαγνητικό πεδίο δημιουργεί («επάγει») ένα ηλεκτρικό πεδίο.  Αυτό δυναμικά επάγει ένα ηλεκτρικό πεδίο που έχει κλείστες τις δυναμικές γραμμές ακριβώς όπως το μαγνητικό πεδίο, αν δεν υπερκαλύπτεται (if not superposed) από ένα στατικό (προκαλούμενο από φορτίο) ηλεκτρικό πεδίο. Αυτή η πτυχή της ηλεκτρομαγνητικής επαγωγής είναι η αρχή λειτουργίας πίσω από πολλές ηλεκτρικές γεννήτριες: για παράδειγμα, ένας περιστρεφόμενος μαγνήτης δημιουργεί ένα μεταβαλλόμενο μαγνητικό πεδίο, το οποίο με τη σειρά του δημιουργεί ένα ηλεκτρικό πεδίο σε ένα κοντινό καλώδιο.

Ο νόμος του Ampere με την προσθήκη του Maxwell

Ο νόμος του Ampere με την προσθήκη του Maxwell δηλώνει ότι τα μαγνητικά πεδία μπορούν να δημιουργηθούν με δύο τρόπους: με ηλεκτρικό ρεύμα (αυτός ήταν ο αρχικός «νόμος του Ampere») και με μεταβαλλόμενα ηλεκτρικά πεδία (αυτήν ήταν η "προσθήκη του Maxwell").
Η προσθήκη του Maxwell στον νόμο του Ampere είναι ιδιαίτερα σημαντική: δείχνει ότι όχι μόνο ένα μεταβαλλόμενο μαγνητικό πεδίο προκαλεί ένα ηλεκτρικό πεδίο, αλλά και ένα μεταβαλλόμενο ηλεκτρικό πεδίο προκαλεί ένα μαγνητικό πεδίο  Ως εκ τούτου, αυτές οι εξισώσεις επιτρέπουν αυταρκεί (self-sustaining) "ηλεκτρομαγνητικά κύματα" να ταξιδέψουν στο κενό χώρο (δείτε την ηλεκτρομαγνητική κυματική εξίσωση).
Η ταχύτητα που υπολογίζεται για τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα, η οποία θα μπορούσε να προβλεφθεί από πειράματα σχετικά με τα φορτία και τα ρεύματα,  ταιριάζει ακριβώς με την ταχύτητα του φωτός. Πράγματι, το φως είναι μια μορφή ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας (όπως είναι ακτίνες Χ, τα ραδιοκύματα, και άλλα). Ο Maxwell κατανόησε τη σύνδεση μεταξύ των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων και του φωτός το 1861, ενώνοντας έτσι τις θεωρίες του ηλεκτρομαγνητισμού και της οπτικής.

Δεσμευμένο φορτίο και δεσμευμένο ρεύμα

Όταν ένα ηλεκτρικό πεδίο εφαρμόζεται σε ένα διηλεκτρικό υλικό  τα μόρια του ανταποκρίνονται με τον σχηματισμό μικροσκοπικών ηλεκτρικών διπόλων- οι ατομικοί τους πυρήνες κινούνται σε μικρή απόσταση στην κατεύθυνση του πεδίου, ενώ τα ηλεκτρονια τους κινούνται σε   μικρή απόσταση προς την αντίθετη κατεύθυνση. Αυτό παράγει ένα  μακροσκοπικό δεσμευμένο φορτίο στο υλικό, ακόμη και αν το σύνολο των φορτίων συνδέονται με τα μεμονωμένα μόρια. Για παράδειγμα, αν κάθε μόριο αποκρίνεται με παρόμοιο με αυτόν που φαίνεται στο σχήμα, αυτές οι μικροσκοπικες κινήσεις φόρτισης συνδυάζονται για να παράγουν ένα στρώμα θετικού δεσμευμενου φορτίου στη μία πλευρά του υλικού και ένα στρώμα αρνητικού φορτίου στην άλλη πλευρά. Το δεσμευμένο φορτίο είναι πιο βολικό να το περιγράψεις με τον όρο της πόλωσης Ρ του υλικού, τη διπολική ροπή του ανά μονάδα όγκου. Αν Ρ είναι ομοιόμορφη, ένας  μακροσκοπικός  διαχωρισμός του φορτίου παράγεται μόνο στις επιφάνειες όπου Ρ εισέρχεται και αφήνει το υλικό. Για μη ομοιόμορφες Ρ , ένα φορτίο παράγεται επίσης στο κύριο μέρος του. 
Κάπως ανάλογα, σε όλα τα υλικά τα συστατικά του ατόμου εμφανίζονται μαγνητικές ροπές που συνδέονται άρρηκτα με την στροφορμή των συστατικών των ατόμων, κυρίως των ηλεκτρονίων . Η σύνδεση με στροφορμή δείχνει την εικόνα ενός συγκροτήματος απο μικροσκοπικους βρόχους ρεύματος. Έξω από το υλικό, η συναρμολόγηση αυτών των μικροσκοπικών βρόχων ρεύματος δεν είναι διαφορετική από ενα μακροσκοπικό βρόχο ρεύματος που κυκλοφορεί γύρω από την επιφάνεια του υλικού, παρά το γεγονός ότι καμία μεμονωμένη χρέωση δεν διανύει μεγάλη απόσταση. Αυτά τα δεσμεύμενα ρεύματα μπορούν να περιγραφουν με την μαγνήτιση Μ . 
Τα πολύ περίπλοκα και κοκκώδη δεσμεύμενα φορτια και δεσμεύμενα ρεύματα, ως εκ τούτου, μπορούν να εκπροσωπούνται στο μακροσκοπικό επίπεδο συναρτήσει της P και της  M τα οποία υπολογίζουν κατά μέσο όρο αυτές τις κατηγορίες και τα ρεύματα σε αρκετά μεγάλη κλίμακα ώστε να μην φαινεται η διασπορά των μεμονωμένων ατόμων, αλλά και επαρκώς μικρές ώστε να ποικίλλουν με τη θέση στο υλικό. Ως εκ τούτου, οι μακροσκοπικες  εξισώσεις του Μάξγουελ αγνοουν πολλές λεπτομέρειες σε λεπτή χρονική κλίμακα που μπορεί να είναι ασήμαντες για θέματα κατανόησης σε πολύ  μεγάλη κλίμακα υπολογίζοντας πεδία που είναι κατά μέσο όρο πάνω από κάποιο κατάλληλο όγκο.

Λύσεις

Οι εξισώσεις του Maxwell είναι μερικές διαφορικές εξισώσεις που συνδέουν τα ηλεκτρικά και μαγνητικά πεδία μεταξύ τους και με τα ηλεκτρικά φορτία και ρεύματα. Συχνά, τα τέλη και τα ρεύματα εξαρτώνται από τα ηλεκτρικά και μαγνητικά πεδία, μέσω της εξίσωσης της δύναμης του Lorentz  και των καταστατικών εξισώσεων. Όλα αυτά αποτελούν ένα σύνολο συζευγμένων μερικών διαφορικών εξισώσεων, οι οποίες συχνά είναι πολύ δύσκολο να επιλυθούν. Στην πραγματικότητα, οι λύσεις των εξισώσεων αυτών περιλαμβάνουν όλες τα ποικίλα φαινόμενα σε ολόκληρο το πεδίο του κλασικού ηλεκτρομαγνητισμού. Μια διεξοδική συζήτηση αυτή είναι πέρα από το πεδίο εφαρμογής του άρθρου, αλλά ακολουθούν μερικές γενικές παρατηρήσεις.
Όπως κάθε διαφορική εξίσωση, οι οριακές,καθώς και οι αρχικές συνθήκες είναι απαραίτητες για μια μοναδική λύση. Για παράδειγμα, ακόμα και χωρίς φορτία και ρεύματα οπουδήποτε στον χωροχρόνο, πολλές λύσεις στις εξισώσεις του Maxwell είναι δυνατές, δεν είναι μόνο η προφανής λύση E = B = 0. Μια άλλη λύση είναι Ε=σταθερά , Β= σταθερά, ενώ ακόμη άλλες λύσεις έχουν τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα που γεμίζουν τον χωροχρόνο. Σε ορισμένες περιπτώσεις, οι εξισώσεις του Μάξγουελ επιλύονται μέσω άπειρου χώρου, και οι οριακές συνθήκες δίνονται ως ασυμπτωτικά όρια του απείρου. Σε άλλες περιπτώσεις, οι εξισώσεις του Maxwell λύνονται μόνο σε μια πεπερασμένη περιοχή του χώρου, με κατάλληλες οριακές συνθήκες για αυτή την περιοχή: Για παράδειγμα, το όριο θα μπορούσε να είναι ένα τεχνητό απορροφητική όριο που αντιπροσωπεύει το υπόλοιπο σύμπαν, οι περιοδικές οριακές καταστάσεις, ή (όπως με ένα κυματοδηγό ή κοιλότητα συντονισμού) τις  οριακές συνθήκες μπορεί να περιγράφουν τα τείχη που απομονώνουν μία μικρή περιοχή από τον έξω κόσμο.
Οι εξισώσεις Jefimenko (ή οι στενά συνδεδεμένες δυνατότητες Liénard-Wiechert) είναι η ρητή λύση των εξισώσεων Maxwell για τα ηλεκτρικά και μαγνητικά πεδία που δημιουργούνται από κάθε δεδομένη κατανομή των φορτίων και των ρευμάτων. Υποθέτει συγκεκριμένες αρχικές συνθήκες για να ληφθεί η λεγόμενη «καθυστερημένη λύση», όπου τα μόνα πεδία του παρόντος είναι αυτά που δημιουργούνται από τα φορτία. Οι εξισώσεις Jefimenko δεν είναι τόσο χρήσιμες σε περιπτώσεις όπου τα φορτία και τα ρεύματα τους επηρεάζονται από τα πεδία που δημιουργούν.
Οι αριθμητικές μέθοδοι για διαφορικές εξισώσεις μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την επίλυση των εξισώσεων του Maxwell όταν μια ακριβής λύση είναι αδύνατη. Αυτές οι μέθοδοι συνήθως απαιτούν έναν υπολογιστή, και περιλαμβάνουν τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων και το πεδίο του χρόνου μέθοδου των πεπερασμένων διαφορών. Για περισσότερες λεπτομέρειες, βλ. Υπολογισιμος ηλεκτρομαγνητισμό.
Οι εξισώσεις του Maxwell φαίνεται υπερπροσδιορισμένες, υπό την έννοια ότι περιλαμβάνουν έξι αγνώστους (οι τρεις συνιστώσες του E και Β), αλλά οκτώ εξισώσεις (ένα για κάθε έναν από τους δύο νόμους του Gauss, τρεις συνιστώσες φορέα καθένα για Faraday και τους νόμους του Ampere).(Τα ρεύματα και τα φορτία δεν είναι άγνωστοι, είναι ελεύθερα οι ιδιαιτερότητες που υπόκειται φορτίο διατήρησης) Αυτό συνδέεται με ένα συγκεκριμένο περιορισμένο είδος πλεονασμού στις εξισώσεις του Μάξγουελ: Μπορεί να αποδειχθεί ότι κάθε σύστημα που ικανοποιείτο νόμο του Faraday και τον νόμο του Ampere αυτόματα ικανοποιεί και τους δύο νόμους του Gauss, όσο αρχική κατάσταση του συστήματος το επιτρέπει. Παρόλο που είναι δυνατό να αγνοήσουμε απλώς τις δύο νόμους Gauss σε μία αριθμητική αλγόριθμο (εκτός από τις αρχικές συνθήκες), η ατελής ακρίβεια των υπολογισμών μπορεί να οδηγήσει σε ολοένα αυξανόμενες παραβιάσεις των νόμων αυτών. Με την εισαγωγή ψευδομεταβλητών που χαρακτηρίζουν αυτές τις παραβιάσεις, οι τέσσερις εξισώσεις δεν γίνονται υπερορισμένες μετά από όλα. Η προκύπτουσα σύνθεση μπορεί να οδηγήσει σε πιο ακριβείς αλγορίθμους που λαμβάνονται υπόψην και οι τέσσερις νόμοι.

Περιορισμοί για μια θεωρία του ηλεκτρομαγνητισμού

Ενώ οι εξισώσεις του Maxwell (μαζί με το υπόλοιπο της κλασικής ηλεκτρομαγνητισμού) είναι εξαιρετικά επιτυχείς στην εξήγηση και την πρόβλεψη μιας ποικιλίας φαινομένων, δεν είναι ακριβέις, αλλά προσεγγίστικές. Σε ορισμένες ειδικές περιπτώσεις, μπορεί να είναι αισθητά ανακριβείς. Παραδείγματα περιλαμβάνουν εξαιρετικά ισχυρά πεδία (βλέπε Euler-Heisenberg Lagrangian) και εξαιρετικά μικρές αποστάσεις (βλέπε πόλωση κενού).Επιπλέον, διάφορα φαινόμενα συμβαίνουν στον κόσμο, ακόμη και αν οι εξισώσεις του Maxwell τα προβλέπουν να είναι αδύνατα, όπως το "nonclassical light » και η κβαντική διεμπλοκή των ηλεκτρομαγνητικών πεδίων (βλ. κβαντική οπτική). Τέλος, οποιοδήποτε φαινόμενο που σχετίζεται με μεμονωμένα φωτόνια, όπως το φωτοηλεκτρικό φαινόμενο, ο νόμος του Planck, το δίκαιο Duane-Hunt, single-φωτονίων ανιχνευτές φωτός, κλπ., θα ήταν δύσκολο ή αδύνατο να εξηγήσει κανείς αν και οι εξισώσεις του Μάξγουελ ήταν ακριβώς αληθινοί, μιας και οι εξισώσεις του Maxwell δεν περιλαμβάνουν τα φωτόνια. Για τις πιο ακριβείς προβλέψεις σε όλες τις περιπτώσεις, οι εξισώσεις του Maxwell έχουν αντικατασταθεί από τηνκβαντική ηλεκτροδυναμική.

Παραλλαγές

Δημοφιλείς παραλλαγές στις εξισώσεις Maxwell , ως κλασική θεωρία των ηλεκτρομαγνητικών πεδίων είναι σχετικά σπάνιες, επειδή οι τυπικές εξισώσεις έχουν αντέξει στη δοκιμασία του χρόνου εξαιρετικά καλά.

μαγνητικά μονόπολα

Οι εξισώσεις του Maxwell υποθέτουν ότι υπάρχει ηλεκτρικό φορτίο, αλλά όχι μαγνητικό φορτίο (ονομάζεται επίσης μαγνητικά μονόπολα), στο σύμπαν. Πράγματι, μαγνητικό φορτίο δεν έχει παρατηρηθεί ποτέ (παρά τις εκτεταμένες αναζητήσεις) και μπορεί να μην υπάρχει. Αν δεν υπάρχουν, ο νόμος τόσο του Gauss για το μαγνητισμό και νόμος του Faraday θα πρέπει να τροποποιηθούν, και οι προκύπτουσες τέσσερις εξισώσεις θα είναι απόλυτα συμμετρικές υπό την ανταλλαγή των ηλεκτρικών και μαγνητικών πεδίων.