Τέλεια ισορροπία Markov

Ορισμός

Σε εκτεταμένης μορφής παίγνια και συγκεκριμένα σε στοχαστικά παίγνια, μια τέλεια ισορροπία Markov είναι ένα σύνολο από μικτές στρατηγικές για κάθε έναν από τους παίκτες που πληρούν τα ακόλουθα κριτήρια:
(1) Οι στρατηγικές έχουν την ιδιότητα αμνησίας του Markov, που σημαίνει ότι η μικτή στρατηγική του κάθε παίκτη μπορεί να εξαρτάται μόνο από την κατάσταση του παιγνίου. Οι στρατηγικές αυτές ονομάζονται λειτουργίες αντίδρασης Markov.
(2) Η κατάσταση μπορεί να κωδικοποιήσει μόνο πληροφορίες σχετικές με απολαβή. Αυτό αποκλείει στρατηγικές που εξαρτώνται από ανούσιες κινήσεις από τον αντίπαλο. Αποκλείει τις στρατηγικές που εξαρτώνται από ενδείξεις, διαπραγμάτευση ή συνεργασία μεταξύ των παικτών (π.χ. ανούσια ομιλία ή συμβάσεις).
(3) Οι στρατηγικές σχηματίζουν μια τέλεια ισορροπία υποπαιγνίου του παιγνίου.

Έμφαση στη συμμετρική ισορροπία

Σε συμμετρικά παίγνια, όταν οι παίκτες έχουν σύνολα στρατηγικής και δράσης που είναι κατοπτρικά είδωλα του άλλου, συχνά η ανάλυση επικεντρώνεται σε συμμετρική ισορροπία, όπου όλοι οι παίκτες παίζουν την ίδια μικτή στρατηγική. Όπως και στην υπόλοιπη θεωρία παιγνίων, αυτό γίνεται τόσο γιατί αυτά είναι πιο εύκολο να βρεθούν αναλυτικότερα όσο και επειδή αυτά θεωρούνται να είναι ισχυρότερα κομβικά σημεία από την ασύμμετρη ισορροπία.

Έλλειψη ευρωστίας

Η τέλεια ισορροπία Markov δεν είναι σταθερή σε σχέση με μικρές αλλαγές στο ίδιο το παίγνιο. Μια μικρή αλλαγή στις απολαβές μπορεί να προκαλέσει μια μεγάλη αλλαγή στο σύνολο της τέλειας ισορροπίας Markov. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι μια κατάσταση με μια μικρή επίδραση στις απολαβές μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να μεταφέρει ενδείξεις, αλλά αν η διαφορά απολαβής της από οποιαδήποτε άλλη κατάσταση πέφτει στο μηδέν, θα πρέπει να συγχωνευθεί με αυτήν, εξαλείφοντας την πιθανότητα της χρήσης της για να μεταφέρει ενδείξεις.

Εκτεταμένο παράδειγμα βιομηχανικής οργάνωσης

Ως παράδειγμα της χρήσης αυτής της έννοιας ισορροπίας θεωρείται ο ανταγωνισμός μεταξύ επιχειρήσεων που είχαν επενδύσει σε μεγάλο βαθμό σε σταθερές δαπάνες και είναι κυρίαρχοι παραγωγοί σε μια βιομηχανία, σχηματίζοντας ένα ολιγοπώλιο. Οι παίκτες λαμβάνονται να είναι προσηλωμένοι σε επίπεδα της παραγωγικής ικανότητας βραχυπρόθεσμα και οι στρατηγικές περιγράφουν τις αποφάσεις τους στον καθορισμό τιμών. Οι στόχοι των επιχειρήσεων διαμορφώνονται στη μεγιστοποίηση της παρούσας προεξοφλημένης αξίας των κερδών.

Παίγνιο αεροπορικού ναύλου

Συχνά ένα αεροπορικό εισιτήριο για μια συγκεκριμένη διαδρομή έχει την ίδια τιμή στην αεροπορική εταιρεία Α ή Β. Πιθανώς, οι δύο αεροπορικές εταιρείες δεν έχουν ακριβώς το ίδιο κόστος, ούτε αντιμετωπίζουν την ίδια συνάρτηση ζήτησης δεδομένου των ποικίλων προγραμμάτων τους τακτικών επιβατών, των διαφορετικών ανταποκρίσεων που θα κάνουν οι επιβάτες τους και ούτω καθεξής. Έτσι, ένα ρεαλιστικό μοντέλο γενικής ισορροπίας θα είναι απίθανο να οδηγήσει σε σχεδόν ίδιες τιμές.
Οι δύο αεροπορικές εταιρείες έχουν κάνει μη ανακτήσιμες επενδύσεις σε εξοπλισμό και προσωπικό. Στο εγγύς μέλλον αυτές μπορούν να θεωρηθούν ότι διαπράττονται για να προσφέρουν υπηρεσία. Φαίνεται λοιπόν ότι αυτές απασχολούνται ή παγιδεύονται σε ένα στρατηγικό παιχνίδι της μιας με την άλλη όταν καθορίζουν τις τιμές.

Ισορροπία

Εξετάζεται η ακόλουθη στρατηγική μιας αεροπορικής εταιρείας για τον καθορισμό της τιμής του ναύλου για μια συγκεκριμένη διαδρομή. Σε κάθε ευκαιρία καθορισμού τιμής:
(1) Αν η άλλη αεροπορική εταιρεία χρεώνει $300 ή περισσότερο ή δεν πωλεί εισιτήρια για τη συγκεκριμένη πτήση, χρεώνει $300.
(2) Αν η άλλη αεροπορική εταιρεία χρεώνει μεταξύ $200 και $300, χρεώνει την ίδια τιμή.
(3) Αν η άλλη αεροπορική εταιρεία χρεώνει $200 ή λιγότερο, επιλέγεται τυχαία μεταξύ των ακόλουθων τριών επιλογών με ίση πιθανότητα:
(α) Ταίριασμα με τη συγκεκριμένη τιμή.
(β) Χρέωση $300.
(γ) Έξοδο από το παίγνιο με παύση επ’ αόριστον να προσφέρει υπηρεσία σε αυτήν τη διαδρομή.
Αυτή είναι μια στρατηγική Markov διότι δεν εξαρτάται από ένα ιστορικό προηγούμενων παρατηρήσεων. Ικανοποιεί επίσης τον ορισμό της λειτουργίας αντίδρασης Markov διότι δεν εξαρτάται από άλλη πληροφορία που είναι άσχετη με τα έσοδα και τα κέρδη.
Υποτίθεται τώρα ότι οι δύο αεροπορικές εταιρείες ακολουθούν ακριβώς αυτήν τη στρατηγική. Υποτίθεται περαιτέρω ότι οι επιβάτες επιλέγουν πάντα τη φθηνότερη πτήση και έτσι αν οι αεροπορικές εταιρείες χρεώνουν διαφορετικές τιμές, αυτή που χρεώνει την υψηλότερη τιμή παίρνει μηδέν επιβάτες. Τότε αν κάθε αεροπορική εταιρεία θεωρήσει ότι η άλλη αεροπορική εταιρεία θα ακολουθήσει αυτήν τη στρατηγική, δεν υπάρχει υψηλότερης απολαβής εναλλακτική στρατηγική για τον εαυτό της, δηλαδή παίζει μια καλύτερη απόκριση στην στρατηγική της άλλης αεροπορικής εταιρείας. Αν οι δύο αεροπορικές εταιρείες ακολουθήσουν αυτήν τη στρατηγική, θα διαμορφώσουν μια ισορροπία Nash σε κάθε κατάλληλο υποπαίγνιο, συνεπώς μια τέλεια ισορροπία υποπαίγνιου Nash.
Αυτό το είδος της ακραίας απλοποίησης είναι απαραίτητο για το παράδειγμα αλλά θα μπορούσε να χαλαρώσει σε μια πιο λεπτομερή μελέτη. Μια πλήρης περιγραφή του παιγνίου, συμπεριλαμβανομένων των απολαβών, θα ήταν αναγκαίο να δείξει ότι οι στρατηγικές αυτές μπορούν να σχηματίσουν μια τέλεια ισορροπία υποπαιγνίου Nash. Για παράδειγμα ας υποτεθεί ωστόσο ότι οι στρατηγικές σχηματίζουν μια τέτοια ισορροπία και ως εκ τούτου ότι αποτελούν επίσης μια τέλεια ισορροπία Markov.

Συζήτηση

Ο σκοπός της μελέτης αυτού του μοντέλου στο πλαίσιο της αεροπορικής βιομηχανίας δεν είναι να ισχυριστεί ότι οι αεροπορικές εταιρείες ακολουθούν ακριβώς αυτές τις στρατηγικές. Αντίθετα, χρησιμοποιείται για να εξηγήσει την παρατήρηση ότι οι αεροπορικές εταιρείες χρεώνουν συχνά ακριβώς την ίδια τιμή, ακόμη και αν ένα μοντέλο γενικής ισορροπίας που καθορίζει ατελή υποκατάσταση γενικώς δεν θα παρέχει ένα τέτοιο αποτέλεσμα. Η έννοια της ισορροπίας μιας τέλειας ισορροπίας Markov βοηθάει να ρίξει φως στο ποια μπορεί να είναι η αιτία της σιωπηρής αθέμιτης συνεννόησης σε μια ρύθμιση ολιγοπωλίου.
Η δύναμη ενός σαφούς πλαισίου θεωρητικού παιγνίου είναι ότι επιτρέπει να πραγματοποιηθούν προβλέψεις για τις συμπεριφορές των αεροπορικών εταιρειών αν και όταν η έκβαση της ίσης τιμής καταρρέει και την ερμηνεία και την εξέταση αυτών των πολέμων των τιμών υπό το πρίσμα των διαφορετικών εννοιών ισορροπίας. Σε αντίθεση με μια άλλη έννοια ισορροπίας, οι Jean Tirole και Έρικ Μάσκιν προσδιορίζουν ένα εμπειρικό γνώρισμα τέτοιων πολέμων των τιμών:
Σε μια στρατηγική Markov πολέμου των τιμών, "μια επιχείρηση μειώνει την τιμή της όχι για να τιμωρήσει τον ανταγωνιστή της, αλλά μάλλον για να ανακτήσει το μερίδιο αγοράς". ενώ σε ένα γενικό επαναλαμβανόμενο πλαίσιο παιγνίου μια μείωση τιμής μπορεί να είναι μια τιμωρία στον άλλο παίκτη. Οι συγγραφείς υποστηρίζουν ότι η αιτιολόγηση του μεριδίου αγοράς είναι πιο κοντά στον εμπειρικό υπολογισμό από ότι η αιτιολόγηση τιμωρίας και έτσι η έννοια της τέλειας ισορροπίας Markov αποδεικνύεται πιο ενημερωτική, σε αυτήν την περίπτωση.