Διαφορική γεωμετρία

Η διαφορική γεωμετρία είναι μια μαθηματική αρχή που χρησιμοποιεί τις τεχνικές του διαφορικού λογισμού, ολοκληρωτικού λογισμού, γραμμικής άλγεβρας και πολυγραμμικής άλγεβρας για να μελετήσει τα προβλήματα στη γεωμετρία. Η θεωρία των επίπεδων και καμπυλών του χώρου και επιφανειών στον τρισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο αποτέλεσε τη βάση για την ανάπτυξη της διαφορικής γεωμετρίας κατά τη διάρκεια του 18ου αιώνα και του 19ου αιώνα.
 Από τα τέλη του 19ου αιώνα, η διαφορική γεωμετρία έχει εξελιχθεί σε ένα πεδίο που αφορά γενικότερα τις γεωμετρικές δομές στις διαφορίσιμες πολλαπλότητες. Η διαφορική γεωμετρία είναι στενά συνδεδεμένη με τη διαφορική τοπολογία και τις γεωμετρικές πτυχές της θεωρίας των διαφορικών εξισώσεων. Η διαφορική γεωμετρία των επιφανειών συλλαμβάνει πολλές από τις βασικές ιδέες και τεχνικές, χαρακτηριστικές αυτού του τομέα. 

Ιστορία της Ανάπτυξης

 Η διαφορική γεωμετρία προέκυψε και αναπτύχθηκε ως αποτέλεσμα και σε σχέση με τη μαθηματική ανάλυση των καμπυλών και επιφανειών. Η μαθηματική ανάλυση των καμπυλών και των επιφανειών είχε αναπτυχθεί για να απαντήσει σε μερικά από τα ενοχλητικά και αναπάντητα ερωτήματα που εμφανίστηκαν στο λογισμό, όπως οι λόγοι για τις σχέσεις μεταξύ πολύπλοκων σχημάτων και καμπυλών, σειρών και αναλυτικών συναρτήσεων. Αυτά τα αναπάντητα ερωτήματα υποδείκνυαν  μεγαλύτερες, κρυφές σχέσεις και συμμετρίες στη φύση, που οι τυποποιημένες μέθοδοι για την ανάλυση δεν θα μπορούσαν να εφαρμοστούν. 
 Όταν καμπύλες, επιφάνειες που περικλείονται από καμπύλες, και  σημεία σε καμπύλες βρέθηκαν να είναι ποσοτικά, και γενικά συσχετιζόμενα με μαθηματικές μορφές, η επίσημη μελέτη της φύσης των καμπυλών και των επιφανειών έγινε ένα πεδίο μόνο του, με το χαρτί του [Gaspard Monge Monge]'s  το 1795, και ειδικότερα, με την δημοσίευση του άρθρου του [Carl Friedrich Gauss Gauss], με τίτλο "Disquisitiones Generales Circa εξωτερική επιφάνεια Curvas", Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingesis Recentiores το 1827. 
Αρχικά εφαρμόστηκε στον ευκλείδειο χώρο, περαιτέρω εξερευνήσεις οδήγησαν σε μη ευκλείδειο χώρο, και μετρικούς και τοπολογικούς χώρους.

Riemann γεωμετρία

Η γεωμετρία του Riemann μελετά Πολλαπλότητες Riemann , ομαλές πολλαπλότητες  με μετρική του Riemann.  Αυτή είναι μια έννοια της απόστασης που εκφράζεται μέσω μιας ομαλής, θετικής, καθορισμένης συμμετρικής διγραμμικής μορφής που ορίζεται στον εφαπτόμενο χώρο σε κάθε σημείο. Η γεωμετρία του Riemann γενικεύει την Ευκλείδεια γεωμετρία σε χώρους που δεν είναι κατ ' ανάγκη επίπεδο, αν και εξακολουθούν να μοιάζουν με τον Ευκλείδειο χώρο σε κάθε σημείο απειροελάχιστα, δηλαδή στην πρώτη τάξη προσέγγισης. Διάφορες έννοιες με βάση το μήκος, όπως το μήκος του τόξου της καμπύλης, η περιοχή των επίπεδων περιοχών, και του όγκου των στερεών όλα διαθέτουν φυσικές αναλογίες στη γεωμετρία του Riemann. Η έννοια της κατευθυντήριας παραγώγου μίας συνάρτησης από τον λογισμό πολλών μεταβλητών επεκτείνεται στη γεωμετρία του Riemann με την έννοια της συναλλοίωτης παραγώγου του τανυστή. Πολλές έννοιες και τεχνικές της ανάλυσης και των διαφορικών εξισώσεων έχουν γενικευτεί στη σύνθεση των  πολλαπλοτήτων Riemann.
Η αμφιδιαφορίσιμη σχέση μεταξύ Riemann πολλαπλοτήτων η οποία διατηρεί την απόσταση ονομάζεται ισομετρία. Αυτή η έννοια μπορεί επίσης να οριστεί σε τοπικό επίπεδο, δηλαδή για μικρές γειτονιές των σημείων. Κάθε δύο κανονικές καμπύλες είναι τοπικά ισομετρικές. Ωστόσο, το Theorema Egregium του Καρλ Φρίντριχ Γκάους, έδειξε ότι για επιφάνειες, η ύπαρξη μιας τοπικής ισομετρίας επιβάλλει ισχυρή συμβατότητα συνθηκών των μετρικών: ηGaussian καμπυλότητα στα αντίστοιχα σημεία πρέπει να είναι η ίδια. Σε υψηλότερες διαστάσεις, η καμπυλότητα του Riemann τανυστή είναι ένα σημαντικό, κατά σημείο αμετάβλητο, μέτρο που σχετίζεται με τις πολλαπλότητες του  Riemann, που μετρά πόσο κοντά είναι στο να είναι επίπεδη. Μια σημαντική κατηγορία των πολλαπλοτήτων Riemann είναι οι συμμετρικοί χώροι Riemann, των οποίων η καμπυλότητα δεν είναι απαραίτητα σταθερή. Αυτές είναι οι πιο κοντινές αναλογίες στο «συνηθισμένο» επίπεδο και χώρο και εξετάζονται στην Ευκλείδεια και μη Ευκλείδεια γεωμετρία.

Ψευδο-Riemann γεωμετρία

 Η Ψευδο-Riemann γεωμετρία γενικεύει την γεωμετρία του Riemann στην περίπτωση κατά την οποία ο μετρικός τανυστής δεν χρειάζεται να είναι θετικά ορισμένος. Μια ειδική περίπτωση αυτού είναι η  Λορεντζιανή πολλαπλότητα, η οποία είναι η μαθηματική βάση του Αϊνστάιν για τη γενική  θεωρία της σχετικότητας της βαρύτητας.

Συμπλεκτική γεωμετρία

Η συμπλεκτική γεωμετρία είναι η μελέτη των συμπλεκτικών πολλαπλοτήτων. Μια σχεδόν συμπλεκτική πολλαπλότητα είναι διαφορίσιμες πολλαπλή εξοπλισμένη με μία ομαλή, μεταβαλλόμενη, μη εκφυλισμένη, με λοξή συμμετρία, διγραμμική μορφή σε κάθε χώρο εφαπτομένης, δηλαδή μία μη εκφυλισμένη δίμορφη ω, ονομάζεται συμπλεκτική μορφή. Μία συμπλεκτική πολλαπλότητα είναι σχεδόν συμπλεκτική πολλαπλότητα, όταν ισχύει η συμπλεκτική μορφή ω είναι κλειστή: dω = 0.
Μία αμφιδιαφόριση μεταξύ δύο συμπλεκτικών πολλαπλοτήτων η οποία διατηρεί τη συμπλεκτική μορφή, ονομάζεται συμπλεκτομορφισμός. Μη-εκφυλισμένες, με λοξή συμμετρία διγραμμικές μορφές μπορεί να υπάρχουν σε ίσων διαστάσεων διανυσματικούς χώρους, οπότε οι συμπλεκτικές πολλαπλότητες  πρέπει απαραίτητα να έχουν ίδια διάσταση. Σε διάσταση 2, μία συμπλεκτική πολλαπλότητα είναι απλά μια επιφάνεια προικισμένη με μια εμβαδική μορφή και ο συμπλεκτομορφισμός είναι ένας αμφιδιαφορισμός που διατηρεί το εμβαδό. Ο χώρος φάσεων ενός μηχανικού συστήματος είναι μία συμπλεκτική πολλαπλότητα και έκανε μια σιωπηρή εμφάνιση ήδη στο έργο του Joseph Louis Lagrange στην αναλυτική μηχανική και αργότερα ο [Carl Gustav Jacobi Καρλ Γκούσταβ] Jacobi's και William Rowan Hamilton's συνθέσεις της κλασικής μηχανικής.
Αντίθετα με τη γεωμετρία του Riemann, όπου η καμπυλότητα εφοδιάζει μία τοπικά αμετάβλητη από τις πολλαπλότητες Riemann, το θεώρημα του [Jean Gaston Darboux Darboux] αναφέρει ότι όλες οι συμπλεκτικές πολλαπλότητες είναι τοπικά ισόμορφες. Οι μόνες αμετάβλητες συμπλεκτικές πολλαπλότητες είναι παγκόσμιες στη φύση και οι τοπολογικές πτυχές διαδραματίζουν εξέχοντα ρόλο στη συμπλεκτική γεωμετρία. Το πρώτο αποτέλεσμα στη συμπλεκτική τοπολογία είναι ίσως το θεώρημα του Poincaré-Birkhoff , εικαζόμενο από τον Ανρί Πουανκαρέ, και στη συνέχεια αποδείχθηκε από τον G. D. Birkhoff το 1912. Ισχυρίζεται ότι αν μια περιοχή διατηρεί την απεικόνιση ενός δακτυλίου  που στρεβλώνει κάθε οριακή συνιστώσα σε αντίθετες κατευθύνσεις, τότε η απεικόνιση έχει τουλάχιστον δύο σταθερά σημεία.

CR γεωμετρία

Η CR γεωμετρία είναι η μελέτη των εσωτερικών γεωμετριών των ορίων των πεδίων ορισμών των μιγαδικών πολλαπλοτήτων.

Διαφορική τοπολογία

Η Διαφορική τοπολογία είναι η μελέτη των (παγκόσμιων) γεωμετρικών αναλλοίωτων χωρίς μετρική ή συμπλεκτική μορφή. Ξεκινά από τις φυσικές πράξεις όπως η Lie παράγωγος των φυσικών διανυσματικών δεσμών η διαφορική  [Georges de Rham de Rham] των δομών. Εκτός από την άλγεβρα Lie, επίσης και η άλγεβρα του Courant άρχισαν να παίζουν έναν πιο σημαντικό ρόλο.

 Oμάδες Lie

Μια ομάδα Lie είναι μια ομάδα στην κατηγορία ομαλές πολλαπλότητες. Εκτός από τις αλγεβρικές ιδιότητες αυτή εφαρμόζει επίσης και διαφορικές γεωμετρικές ιδιότητες. Η πιο προφανής δομή είναι αυτή της άλγεβρας Lie η οποία είναι o εφαπτόμενος χώρος στη μονάδα προικισμένη με την αγκύλη Lie μεταξύ των αριστερά-αμετάβλητων διανυσματικών πεδίων. Εκτός από τη θεωρία των δομών, υπάρχει επίσης το ευρύ πεδίο της θεωρίας αναπαράστασης.

Δέσμες και συνδέσεις

Το σύστημα των διανυσματικών δεσμών, κύριων δεσμών και σχέσεων επί των δεσμών παίζει έναν εξαιρετικά σημαντικό ρόλο στη σύγχρονη διαφορική γεωμετρία. Μια ομαλή πολλαπλότητα φέρει πάντα μία φυσική διανυσματική δέσμη, την εφαπτόμενη δέσμη. Χαλαρά μιλώντας, αυτή η δομή από μόνη της είναι αρκετή μόνο για την ανάπτυξη της ανάλυσης σχετικά με την πολλαπλότητα, ενώ η γεωμετρία απαιτεί, επιπλέον, με κάποιο τρόπο να σχετίζονται οι εφαπτόμενοι χώροι σε διαφορετικά σημεία, δηλαδή μια έννοια της παράλληλης μεταφοράς. Ένα σημαντικό παράδειγμα είναι ο συσχετισμένος σύνδεσμος. Για μια επιφάνεια στο R3, τα εφαπτόμενα επίπεδα σε διαφορετικά σημεία μπορούν να προσδιοριστούν χρησιμοποιώντας ένα φυσικό μονοπάτι παραλληλισμού που προκαλείται από τον περικλείων Ευκλείδειο χώρο, ο οποίος έχει ένα καλά ορισμένο πρότυπο ορισμό της μετρικής και του παραλληλισμού. Στη Riemann γεωμετρία, η Levi-Civita σύνδεση εξυπηρετεί έναν παρόμοιο σκοπό. (Η Levi-Civita σύνδεση ορίζει ένα μονοπάτι παραλληλισμού, υπό τον όρο μίας αυθαίρετης Riemann μετρικής σε μια πολλαπλότητα.) Γενικότερα, οι διαφορικοί γεωμέτρες μελετούν τους χώρους με μία διανυσματική δέσμη και έναν αυθαίρετο συσχετισμένο σύνδεσμο ο οποίος δεν υπακούει στους όρους της μετρικής. Στη φυσική, η πολλαπλότητα μπορεί να είναι το χωροχρονικό συνεχές και οι δέσμες και οι συνδέσεις σχετίζονται με διάφορα πεδία της φυσικής.

Εσωτερικός έναντι εξωτερικού

Από την αρχή και μέσα από τα μέσα του 18ου αιώνα, η διαφορική γεωμετρία μελετήθηκε από την εξωτερική άποψη: καμπύλες και επιφάνειες θεωρούνται ότι κείτονται σε έναν Ευκλείδειο χώρο υψηλότερης διάστασης (για παράδειγμα, μια επιφάνεια σε έναν περικλείων χώρο των τριών διαστάσεων). Τα απλούστερα αποτελέσματα είναι αυτά στην διαφορική γεωμετρία των καμπυλών και τη διαφορική γεωμετρία των επιφανειών. Ξεκινώντας με το έργο του Riemann, η εσωτερική άποψη αναπτύχθηκε, στην οποία δεν μπορεί κανείς να μιλήσει για μετακίνηση  "εκτός" του γεωμετρικό αντικειμένου, επειδή θεωρείται δεδομένη κατά έναν αυθαίρετο τρόπο. Το θεμελιώδες αποτέλεσμα είναι το [Theorema Egregium Gauss theorema egregium], με αποτέλεσμα ότι η Gaussian καμπυλότητα είναι μια εσωτερική αμετάβλητος.
Η εσωτερική άποψη είναι πιο ευέλικτη. Για παράδειγμα, είναι χρήσιμο στη σχετικότητα, όπου ο χώρος-χρόνος, δεν μπορεί φυσικά να ληφθεί ως εξωτερικός (τι θα είναι "έξω" από τι;). Ωστόσο, υπάρχει ένα τίμημα στην τεχνική πολυπλοκότητα: οι εσωτερικοί ορισμοί της καμπυλότητας και των συνδέσεων έχουν γίνει πολύ λιγότερο οπτικά διαισθητικοί.
Αυτές οι δύο απόψεις μπορούν να συμβιβαστούν, δηλαδή η εξωτερική γεωμετρία μπορεί να θεωρηθεί ως μια δομή επιπρόσθετη με τις εσωτερικές. (Δείτε το Νας ενσωμάτωση θεώρημα.) Στο φορμαλισμό του γεωμετρικού λογισμού τόσο η εξωτερική και εσωτερική γεωμετρία μιας πολλαπλότητας μπορεί να χαρακτηριστεί από ένα μόνο διάνυσμα μονότιμης μορφής που ονομάζεται σχηματικός τελεστής.