Λογάριθμος

Λογαριθμικές ταυτότητες

Αρκετοί σημαντικοί τύποι, που αποκαλούνται και λογαριθμικές ταυτότητες, συσχετίζουν τους λογάριθμους μεταξύ τους.

Πρόδρομοι

Ο Ινδός μαθηματικός Βιρασένα εργάστηκε πάνω στην έννοια του ardhaccheda: ο αριθμός των φορών που ένας αριθμός της μορφής  2ⁿ μπορεί να διαιρεθεί. Για ακριβείς δυνάμεις του 2, αυτό είναι ο λογάριθμος με βάση το 2, ο οποίος είναι ακέραιος αριθμός, για άλλους αριθμόυς είναι αόριστος. Περιέγραψε σχέσεις όπως ο τύπος του γινομένου και εισήγαγε επίσης ακέραιους λογαρίθμους με βάση 3 (trakacheda) και 4 (caturthacheda). Ο Μίχαελ Στίφελ δημοσίευσε το έργο Arithmetica integra το 1544 στη Νυρεμβέργη το οποίο περιέχει ένα πίνακα ακεραίων και δυνάμεων του 2 οποίος θεωρείται πρώιμη εκδοχή ενός λογαριθμικού πίνακα.

Εφαρμογές

Οι λογάριθμοι έχουν πολλές εφαρμογές εντός και εκτός των μαθηματικών. Κάποιες χρήσεις τους έχουν σχέση με την έννοια της ανεξαρτησίας κλίμακας. Για παράδειγμα, κάθε τμήμα του όστρακου ενός ναυτίλου είναι σχεδόν αντίγραφο του επόμενου, κλιμακωμένο κατά ένα σταθερό παράγοντα. Έτσι δημιουργείται λογαριθμική σπείρα. Ο νόμος του Benford για την κατανομή των πρώτων ψηφίων δεδομένων μπορεί επίσης να εξηγηθεί από την ανεξαρτησία κλίμακας. Οι λογάριθμοι συνδέονται και με την αυτοομοιότητα. Για παράδειγμα, οι λογάριθμοι εμφανίζονται στην ανάλυση αλγορίθμων που λύνουν ένα πρόβλημα χωρίζοντάς το σε δύο παρόμοια μικρότερα προβλήματα κάνοντας επαλληλία στις λύσεις. Οι διαστάσεις των αυτοόμοιων γεωμετρικών σχημάτων, δηλαδή τα σχήματα των οποίων τα μέρη μοιάζουν με το σύνολο βασίζονται επίσης σε λογάριθμους. Οι λογαριθμικές κλίμακες είναι χρήσιμες για την ποσοτικοποίηση των σχετικών αλλαγών μίας τιμής αντί για τις απόλυτες διαφορές. Επιπροσθέτως, επειδή η λογαριθμική συνάρτηση log(x) αυξάνεται πολύ αργά για μεγάλα x, οι λογαριθμικές κλίμακες χρησιμοποιούνται για την συμπίεση μεγάλης κλίμακας επιστημονικών δεδομένων. Οι λογάριθμοι εμφανίζονται και σε πάρα πολλούς επιστημονικούς τύπους, όπως για παράδειγμα η πυραυλική εξίσωση Tsiolkovsky, η εξίσωση Fenske και η εξίσωση Nernst.

Λογαριθμική κλίμακα

Οι επιστημονικές ποσότητες συχνά εκφράζονται ως λογάριθμοι άλλων ποσοτήτων, χρησιμοποιώντας μία λογαριθμική κλίμακα. Για παράδειγμα, το ντεσιμπέλ είναι λογαριθμική μονάδα μέτρησης. Βασίζεται στον κοινό λογάριθμο λόγων—10 φορές ο κοινός λογάριθμος ενός λόγου ισχύος ή 20 φορές ο κοινός λογάριθμος του λόγου διαφοράς δυναμικού. Χρησιμοποιείται για να ποσοτικοποιήσει την απώλεια τάσης στη μετάδοση ηλεκτρικών σημάτων, για να περιγράψει επίπεδα ισχύος των ήχων στην ακουστική, και την απορρόφηση φωτός στα πεδία της φασματοσκοπίας και της οπτικής. Ο λόγος σήματος προς θόρυβο που περιγράφει την ποσότητα του ανεπιθύμητου θορύβου σε σχέση με ένα σήμα επίσης μετριέται σε ντεσιμπέλ. Κατά παρόμοιο τρόπο, ο λόγος αιχμής σήματος προς θόρυβο χρησιμοποιείται συχνά για την αποτίμηση της ποιότητας του ήχου και των μεθόδων συμπίεσης εικόνας κάνοντας χρήση του λογάριθμου.
Η ισχύς ενός σεισμού μετριέται λαμβάνοντας τον κοινό λογάριθμο της ενέργειας που ελευθερώνεται κατά την δόνηση. Αυτό χρησιμοποιείται στην κλίμακα μεγέθους ροπής ή την κλίμακα Ρίχτερ. Για παράδειγμα ένας σεισμός μεγέθους 5.0 απελευθερώνει 10 φορές και ένας μεγέθους 6.0 100 φορές την ενέργεια ενός σεισμού μεγέθους 4.0. Μία άλλη λογαριθμική κλίμακα είναι το φαινόμενο μέγεθος. Μετράει την λαμπρότητα των αστέρων λογαριθμικά. Ακόμα ένα παράδειγμα είναι το pH στη χημεία, το pH είναι ο αρνητικός κοινός λογάριθμος της ενεργότητας των ιόντων υδροξωνίου (η μορφή που παίρουν τα ιόντα υδρογόνου H⁺ στο νερό). Η ενεργότητα των ιόντων υδροξωνίου στο ουδέτερο νερό είναι  10⁻⁷ mol·L⁻¹, έτσι το pH είναι 7. Το ξύδι τυπικά έχει pH περίπου 3. Η διαφορά 4 με το ουδέτερο νερό αντιστοιχεί σε διαφορά 10⁴ στη ενεργότητα, δηλαδή η ενεργότητα των ιόντων υδροξωνίου στο ξύδι είναι περίπου 10⁻³ mol·L⁻¹.
Τα ημιλογαριθμικά γραφήματα κάνουν χρήση της λογαριθμικής κλίμακας για οπτικοποίηση, όπου ένας άξονας, τυπικά ο κατακόρυφος, είναι σε λογαριθμική κλίμακα. Για παράδειγμα το γράφημα στα αριστερά, συμπιέζει την μεγάλη αύξηση από το 1 εκατομμύριο στο 1 τρισεκατομμύριο στον ίδιο χώρο (στον κατακόρυφο άξονα) με την αύξηση από το 1 στο 1 εκατομμύριο. Σε τέτοιου είδους γραφήματα, οι εκθετικές συναρτήσεις του τύπου f(x) = a · bˣ εμφανίζονται ως ευθείες γραμμές με κλίση ανάλογη του b. Σε γραφήματα με λογαριθμική κλίμακα και στους δύο άξονες, συναρτήσεις του τύπου f(x) = a · xᵏ αναπαρίστανται ως ευθείες με κλίση ανάλογη του εκθέτη k. Αυτό έχει εφαρμογή στην οπτικοποίηση και ανάλυση εκθετικών νόμων.

Ψυχολογία

Οι λογάριθμοι εμφανίζονται σε διάφορους νόμους που περιγράφουν την ανθρώπινη αντίληψη: Ο νόμος του Χικ προτείνει λογαριθμική σχέση μεταξύ του χρόνου που χρειάζεται ένα άτομο για την επιλογή μίας απόφασης και του αριθμού των επιλογών που έχει. Ο νόμος του Φιτ προβλέπει ότι ο χρόνος που απαιτείται για ταχεία κίνηση σε μία περιοχή στόχο είναι λογαριθμική συνάρτηση της απόστασης και του μεγέθους του στόχου. Στην ψυχοφυσική, ο νόμος Βέμπερ-Φέχνερ προτείνει λογαριθμική σχέση μεταξύ του ερεθίσματος και της αίσθησης όπως για παράδειγμα το πραγματικό και το φαινόμενο βάρος ενός αντικειμένου που κουβαλάει ένα άτομο. (Αυτός ο «νόμος» ωστόσο είναι λιγότερο ακριβής από νεότερα μοντέλα όπως ο εκθετικός νόμος του Stevens.)
Ψυχολογικές μελέτες έχουν διαπιστώσει ότι μαθηματικώς ακαλλιέργητα άτομα τείνουν να εκτιμούν τις ποσότητες λογαριθμικά, δηλαδή τοποθετούν ένα αριθμό σε μία αβαθμονόμητη γραμμή στον λογάριθμό του, έτσι ώστε το 10 τοποθετείται τόσο κοντά στο 20 όσο το 100 στο 200. Η αύξηση της μαθηματικής κατανόησης μετατοπίζει αυτή την συμπεριφορά προς την γραμμική εκτίμμηση.

Θεωρία πιθανοτήτων και στατιστική

Οι λογάριθμοι εμφανίζονται και στην θεωρία πιθανοτήτων: σύμφωνα με τον νόμο των μεγάλων αριθμών, για ένα δίκαιο νόμισμα , καθώς ο αριθμός που ρίχνεται το νόμισμα τείνει στο άπειρο, η παρατηρούμενη αναλογία των «κεφαλών» τείνει στο μισό. Οι αυξομειώσεις αυτής της αναλογίας γύρω από το μισό περιγράφονται από τον νόμο του επαναλαμβανόμενου λογάριθμου.
Οι λογάριθμοι εμφανίζονται επίσης στις λογαριθμοκανονικές κατανομές. Όταν ο λογάριθμος μίας τυχαίας μεταβλητής έχει κανονική κατανομή, τότε λέγεται ότι η μεταβλητική έχει λογαριθμοκανονική κατανομή. Οι λογαριθμοκανονικές κατανομές εμφανίζονται σε πολλά πεδία, οπουδήποτε η μεταβλητή σχηματίζεται ως γινόμενο πολλών ανεξάρτητων θετικών τυχαίων μεταβλητών, όπως για παράδειγμα στη μελέτη της τύρβης.
Οι λογάριθμοι χρησιμοποιούνται για την εκτίμηση μέγιστης πιθανοφάνειας παραμετρικών στατιστικών μοντέλων. Για ένα τέτοιο μοντέλο, η συνάρτηση πιθανοφάνειας (likelihood function) εξαρτάται από τουλάχιστον μία παράμετρο που χρειάζεται να εκτιμηθεί. Ένα μέγιστο για τη συνάρτηση πιθανοφάνειας εμφανίζεται στην ίδια παράμετρο-τιμή όπως και στο μέγιστο του λογάριθμου της πιθανοφάνειας (λογαριθμο-πιθανοφάνεια), επειδή ο λογάριθμος είναι αύξουσα συνάρτηση.Η λογαριθμο-πιθανοφάνεια είναι ευκολότερο να μεγιστοποιηθεί, ειδικότερα για τις πολλαπλασιασμένες πιθανοφάνεις ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών.
Ο νόμος του Benford περιγράφει την εμφάνιση ψηφίων σε πολλά σύνολα δεδομένων, όπως για παράδειγμα τα ύψη κτηρίων]]. Σύμφωνα με τον νόμο του Benford, η πιθανότητα το πρώτο ψηφίο (στο δεκαδικό σύστημα) ενός αντικειμένου στο δείγμα δεδομένων να είναι d (από 1 έως 9) ισούται με log₁₀(d + 1) − log₁₀(d), ανεξαρτήτως της μονάδας μέτρησης. Συνεπώς, περίπου το 30% των δεδομένων αναμένεται να έχει πρώτο ψηφίο το 1, το 18% να ξεκινά με 2, κτλ. Οι εξεταστές λογιστικών βιβλίων εξετάζουν αποκλίσεις από τον νόμο του Benford ώστε να ανακαλύψουν λογιστικές απάτες.

Υπολογιστική πολυπλοκότητα

Η ανάλυση αλγορίθμων είναι κλάδος της επιστήμης υπολογιστών που μελετά την απόδοση αλγορίθμων. Οι λογάριθμοι είναι πολύτιμοι για την περιγραφή αλγόριθμων οι οποίοι χωρίζουν ένα πρόβλημα σε μικρότερα, και έπειτα συνδυάζονται οι λύσει των υποπροβλημάτων.
Για παράδειγμα, για την εύρεση ενός αριθμού σε ένα ταξινομημένο κατάλογο, ο αλγόριθμος δυαδικής αναζήτησης ελέγχει τη μεσαία καταχώρηση και προχωρά με τον μισό κατάλογο πριν ή μετά το μεσαίο αν ο αριθμός δεν έχει ακόμα βρεθεί. Αυτός ο αλγόριθμος απαιτεί, κατά μέσο όρο, log₂(N) συγκρίσεις, όπου N είναι το μήκος του καταλόγου. Παρομοίως, ο αλγόριθμος merge sort ταξινομεί ένα αταξινόμητο κατάλογο χωρίζοντάς τον στη μέση και ταξινομώντας πρώτα τα μισά πριν συνδυάσει τα αποτελέσματα. Οι αλγόριθμοι merge sort τυπικά απαιτούν χρόνο περίπου ανάλογο του N · log(N). Η βάση του λογάριθμου δεν καθορίζεται εδώ επειδή το αποτέλεσμα αλλάζει μόνο κατά ένα σταθερό παράγοντα όταν χρησιμοποιείται άλλη βάση. Ένας σταθερός παράγοντας, συνήθως δεν λαμβάνεται υπόψη στην ανάλυση αλγορίθμων υπό το τυπικό μοντέλο ομοιόμορφου κόστους.
Μία συνάρτηση f(x) λέγεται ότι αυξάνεται λογαριθμικά αν η f(x) είναι (ακριβώς ή προσεγγιστικά) ανάλογη του λογαρίθμου του x. (Οι βιολογικές περιγραφές της ανάπτυξης οργανισμών, ωστόσο, χρησιμοποιούν αυτό τον όρο για εκθετικές συναρτήσεις.) Για παράδειγμα, οποιοσδήποτε φυσικός αριθμός N μπορεί να αναπαρασταθεί σε δυαδική μορφή σε όχι παραπάνω από log₂(N) + 1 bit. Με άλλα λόγια, το ποσό της μνήμης που απαιτείται για την αποθήκευση του N αυξάνεται λογαριθμικά με το N.

Φράκταλ

Οι λογάριθμοι εμφανίζονται στους ορισμούς των διαστάσεων φράκταλ. Τα φράκταλ είναι γεωμετρικά αντικείμενα με την ιδιότητα της αυτοομοιότητας: τα μικρότερα μέρη αναπαράγουν, τουλάχιστον χοντρικά, την πλήρη δομή. Το τρίγωνο Σιερπίνσκι (εικόνα) μπορεί να καλυφθεί από τρία αντίγραφα του εαυτού του, το καθένα με το μισό αρχικό μήκος. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα η διάσταση Hausdorff της δομής να είναι log(3)/log(2) ≈ 1.58. Μία άλλη βασισμένη στους λογάριθμους έννοια διάσταση, αποκτάται με το μέτρημα των κουτιών που απαιτούνται για την κάληψη του υπό εξέταση φράκταλ (διάσταση Minkowski–Bouligand).