Ορθογώνιος πίνακας

Οφέλη

Η αριθμητική ανάλυση εκμεταλλεύεται πολλές από τις ιδιότητες των ορθογώνιων πινάκων για την (αριθμητική) γραμμική άλγεβρα, και προκύπτουν φυσικά. Για παράδειγμα, είναι συχνά επιθυμητό να υπολογίσει μια ορθοκανονική βάση για ένα χώρο, ή μια ορθογώνια αλλαγή βάσης. Αμφότερα λαμβάνουν τη μορφή ορθογώνιου πίνακα. Έχουν χαρακτηριστικό πολυώνυμο ίσο με ± 1 και όλες οι ιδιοτιμές τους είναι τάξης 1, κάτι που βοηθά την αριθμητική σταθερότητα. Μία συνέπεια είναι ότι ο αριθμός κατάστασης είναι 1 (η οποία είναι το ελάχιστο), έτσι ώστε τα σφάλματα  δεν αυξάνονται όταν πολλαπλασιάζονται με ένα ορθογώνιο πίνακα. Πολλοί αλγόριθμοι χρησιμοποιούν ορθογώνιους πίνακες, όπως αντανακλάσεις Householder και περιστροφές Givens  για το λόγο αυτό. Είναι επίσης χρήσιμο το γεγονός ότι, όχι μόνο είναι ένας ορθογώνιος πίνακας είναι αντιστρέψιμος, αλλά παίρνουμε εύκολα τον αντίστροφό του με ανταλλαγή δεικτών.
Οι μεταθέσεις είναι ουσιαστικής σημασίας για την επιτυχία πολλών αλγορίθμων, συμπεριλαμβανομένης της απαλοιφής Gauss με μερική οδήγηση (όπου οι μεταθέσεις κάνουν την οδήγηση). Ωστόσο, σπάνια εμφανίζονται ρητά ως πίνακες. Η ειδική μορφή τους επιτρέπει την αποτελεσματικότερη παρουσίαση, όπως μια λίστα από n δείκτες.
Ομοίως, οι αλγόριθμοι που χρησιμοποιούν Household και Givens πίνακες συνήθως χρησιμοποιούν εξειδικευμένες μεθόδους πολλαπλασιασμού και της αποθήκευσης. Για παράδειγμα, μια περιστροφή Givens επηρεάζει μόνο δύο σειρές από έναν πίνακα που πολλαπλασιάζει, αλλάζοντας έναν πλήρη πολλαπλασιασμό τάξης n³ σε μια πολύ πιο αποτελεσματική  n τάξη. Όταν χρήσεις αυτών των αντανακλάσεων και των περιστροφών εισάγουν μηδενικά σε ένα πίνακα, ο χώρος που περισσεύει είναι αρκετός για να αποθηκευτούν επαρκή στοιχεία για την αναπαραγωγή του μετασχηματισμού, και να το πράξουν ισχυρά. (Σύμφωνα με τον Stewart (1976), δεν αποθηκεύουμε μια γωνία περιστροφής, η οποία είναι ταυτόχρονα ακριβή και έχει κακή συμπεριφορά.)

Αποσυνθέσεις

Ένας σημαντικός αριθμός αποσυνθέσεων πινάκων (Golub & Van Loan 1996) αφορούν ορθογώνιοι πίνακες, συμπεριλαμβανομένων ιδίως:
QR αποσύνθεση: M = QR, Q  ορθογώνια, R άνω τριγωνικός.
Singular αποσύνθεσης αξίας: 'M = UΣVᵀ, U και V ορθογώνια, Σ μη αρνητική διαγώνιο.
Eigendecomposition ενός συμμετρικού μήτρας(αποσύνθεση σύμφωνα με φασματικό θεώρημα): S = QΛQᵀ, S συμμετρική, Q ορθογώνια, Λ διαγώνια.
Polar αποσύνθεση: M = QS, Q ορθογώνια, S συμμετρική μη αρνητική οριστική.

Τυχαιοποίηση

Ορισμένες αριθμητικές εφαρμογές, όπως μέθοδοι Monte Carlo και η εξερεύνηση των μεγάλων διαστάσεων χώρων δεδομένων, απαιτείται η παραγωγή ομοιόμορφα κατανεμημένων τυχαίων ορθογώνιων πινάκων. Στο πλαίσιο αυτό, "ομοιόμορφη" ορίζεται από την άποψη του μέτρου Haar, το οποίο ουσιαστικά προϋποθέτει ότι η διανομή δεν αλλάζει αν πολλαπλασιάζεται με οποιοδήποτε τυχαία επιλεγμένο ορθογώνιο πίνακα. Ορθογωνιοποιήση πινάκων με ανεξάρτητες και ομοιόμορφα κατανεμημένες τυχαίες εισόδους δεν οδηγεί σε ομοιόμορφα κατανεμημένος ορθογώνιους πίνακες [παραπομπή που απαιτείται] , αλλά ταιριάζει η αποσύνθεση QR των ανεξάρτητων κανονικά κατανεμημένων τυχαίων εισόδων, εφ 'όσον ο διαγώνιος πίνακας R περιέχει μόνο θετικές τιμές. Ο Stewart (1980) αντικατέστησε αυτή τη μέθοδο με μια πιο αποτελεσματική ιδέα των Diaconis & Shahshahani (1987) αργότερα γενικευμένη ως «αλγόριθμος υποομάδα» (στην οποία μορφή λειτουργεί εξίσου καλά για τις μεταθέσεις και περιστροφές). Για να δημιουργηθεί ένας  (n + 1)×(n + 1)  ορθογώνιος πίνακας, παίρνουμε έναν  n×n  πίνακα και ένα ομοιόμορφα κατανεμημένο μοναδιαίο διάνυσμα διάστασης n + 1. Κατασκευάζουμε μια αντανάκλαση Householder από το διάνυσμα και την εφαρμόζουμε στη συνέχεια στο μικρότερο πίνακα (ενσωματωμένα σε μεγαλύτερο μέγεθος με μία μονάδα (1) στη γωνία κάτω δεξιά).

Spin και το PIN

Ένα λεπτό τεχνικό πρόβλημα επηρεάζει ορισμένες χρήσεις των ορθογώνιων πινάκων. Δεν είναι μόνο τα στοιχεία ομάδας με χαρακτηριστική  1 και -1  που δεν είναι συνδεδεμένα το ένα με το άλλο, ακόμη και το στοιχείο με χαρακτηριστική  +1 , SO(n), που δεν είναι απλά συνδεδεμένο (με εξαίρεση για το SO(1), η οποία είναι τετριμμένη). Έτσι, μερικές φορές είναι βολικό, ή ακόμα και απαραίτητο, να εργαστεί κανείς με μια επικαλυπτόμενη ομάδα για το SO(n), την ομάδα spin, Spin(n). Ομοίως, ο O(n) έχει επικαλυπτόμενες ομάδες, τις pin ομάδες, Pin(n). Για n > 2, η  Spin(n) είναι απλά συνδεδεμένη και, συνεπώς, η γενική ομάδα που επικαλύπτει για SO(n). Μέχρι στιγμής, το πιο διάσημο παράδειγμα μιας spin ομάδας είναι Spin(3), η οποία δεν είναι τίποτα άλλο παρά η SU(2), ή η ομάδα των quaternions μονάδας.
Το Pin και ομάδες Spin βρίσκονται μέσα στην άλγεβρα Clifford , που οι ίδιες μπορούν να κατασκευαστούν από ορθογώνιους πίνακες.

Ορθογώνιοι Πίνακες

Αν Q δεν είναι ένας τετραγωνικός πίνακας, τότε οι σχέσεις  QᵀQ = I και QQᵀ = I δεν είναι ισοδύναμες. Η σχέση  QᵀQ = I  λέει ότι οι στήλες του Q είναι ορθοκανονικές. Αυτό μπορεί να συμβεί μόνο αν το Q είναι ένας m×n πίνακας με n ≤ m. Ομοίως, η σχέση  QQᵀ = I  λέει ότι οι γραμμές του Q είναι ορθοκανονικές, η οποία απαιτεί n ≥ m.
Δεν υπάρχει τυπική ορολογία για αυτούς τους πίνακες. Μερικές φορές ονομάζεται ΄΄ορθοκανονικοί πίνακες΄΄ και ενίοτε «ορθογώνιοι πίνακες", και μερικές φορές απλά "πίνακες με ορθοκανονικές σειρές  ή στήλες".