Πρόβλημα τερματισμού

Στη θεωρία υπολογισμού, το πρόβλημα τερματισμού μπορεί να οριστεί ως εξής: "Δοθείσης μιας περιγραφής ενός αυθαίρετου υπολογιστικού προγράμματος αποφάσισε αν το πρόγραμμα θα σταματήσει να τρέχει ή αν θα συνεχίσει να τρέχει για πάντα". Το παραπάνω πρόβλημα είναι ισοδύναμο με το πρόβλημα της απόφασης, δοθέντος ενός προγράμματος και μιας εισόδου, αν αυτό τελικά θα σταματήσει εφόσον έχει τρέξει πεπερασμένες φορές ή αν θα συνεχίσει επ' άπειρον.
Ο Άλαν Τιούρινγκ, το 1936, απέδειξε ότι δεν υπάρχει κάποιος γενικός αλγόριθμος ο οποίος θα λύνει το πρόβλημα του τερματισμού για όλα τα πιθανά ζεύγη προβλήματος-εισόδου.  Κομμάτι κλειδί της απόδειξης ήταν ένας μαθηματικός ορισμός ενός υπολογιστικού προγράμματος, γνωστού ως μηχανή Τιούρινγκ. Το πρόβλημα τερματισμού είναι μη αποφασίσιμο στις μηχανές Turing. Είναι ένα από τα πρώτα παραδείγματα προβλήματος απόφασης.
Ο Jack Copeland (2004) προσδίδει τον όρο πρόβλημα τερματισμού στον Martin Davis.

Σπουδαιότητα και συνέπειες

Το πρόβλημα τερματισμού είναι ιστορικής σημασίας διότι ήταν ένα από τα πρώτα μη αποφασίσιμα προβλήματα. (Η απόδειξη του Τuring εκδόθηκε στον τύπο τον Μάιο του 1936, ενώ η απόδειξη του Alonzo Church ότι το πρόβλημα λογισμός λάμδα είναι επίσης μη αποφασίσιμο είχε εκδοθεί ένα μήνα πριν. Μεταγενέστερα περιγράφηκαν και άλλα άλυτα προβλήματα. Η πιο συνηθισμένη τεχνική για να αποδείξει κανείς ότι ένα πρόβλημα είναι άλυτο είναι η τεχνική της μείωσης. Αυτή η τεχνική εξηγείται ως εξής: έχουμε ένα νέο πρόβλημα που δεν γνωρίζουμε αν είναι επιλύσιμο ή όχι. Λαμβάνουμε μια υποθετική λύση του προβλήματος και δείχνουμε ότι αυτή η λύση θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί για να προσδιορίσει ένα απροσδιόριστο πρόβλημα μετατρέποντας μέρη του απροσδιόριστου προβλήματος σε περιστάσεις του νέου προβλήματος. Εφόσον ήδη γνωρίζουμε ότι δεν υπάρχει μέθοδος που να μπορεί να προσδιορίσει το παλιό πρόβλημα, καμιά μέθοδος δεν μπορεί να προσδιορίσει και το νέο. Συχνά ένα νέο πρόβλημα ανάγεται στο πρόβλημα τερματισμού για την εφαρμογή της παραπάνω τεχνικής.
Για παράδειγμα, το γεγονός ότι το πρόβλημα τερματισμού είναι άλυτο μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι δεν υπάρχει γενικός αλγόριθμος που να αποφασίζει αν μια δήλωση σχετική με τους φυσικούς αριθμούς είναι αλήθεια ή ψέμα. Ο λόγος είναι ότι η πρόταση που δηλώνει ότι ένα συγκεκριμένο πρόγραμμα θα σταματήσει δοθείσης συγκεκριμένης εισόδου μπορεί να μετατραπεί σε μια ισοδύναμη πρόταση σχετική με φυσικούς αριθμούς. Αν υπήρχε αλγόριθμος που θα μπορούσε να λύνει κάθε δήλωση σχετική με τους φυσικούς αριθμούς, θα μπορούσε σίγουρα να λύσει και αυτή, γεγονός άτοπο διότι τότε θα καθορίζονταν και η λύση του προβλήματος τερματισμού.
To θεώρημα Rice γενικεύει το θεώρημα που λέει ότι το πρόβλημα τερματισμού είναι άλυτο. Δηλώνει ότι για κάθε μη τετριμμένη ιδιότητα δεν υπάρχει μια γενική διαδικασία, η οποία, για όλα τα προγράμματα, να αποφασίζει αν η μερική συνάρτηση εφαρμοσμένη από το πρόγραμμα εισόδου έχει αυτήν την ιδιότητα. (Μια μερική συνάρτηση είναι μια συνάρτηση που μπορεί να μην βγάζει πάντα αποτέλεσμα, οπότε χρησιμοποιείται σε πειραματικά προγράμματα που είτε βγάζουν αποτέλεσμα είτε αδυνατούν να σταματήσουν να τρέχουν. Για παράδειγμα, η ιδιότητα "όταν η είσοδος είναι ο αριθμός 0, σταμάτα" είναι απροσδιόριστη. Εδώ, τετριμμένη ιδιότητα σημαίνει ότι το σύνολο από τις μερικές συναρτήσεις που ικανοποιούν την ιδιότητα δεν είναι ούτε το κενό σύνολο ούτε όλες οι μερικές συναρτήσεις. Η ιδιότητα "το πρόγραμμα τερματίζεται ή δεν τερματίζεται δεδομένης της εισόδου του αριθμού 0" είναι προφανώς αληθής για όλες τις μερικές συναρτήσεις, οπότε είναι τετριμμένη ιδιότητα και μπορεί να αποφασιστεί από έναν αλγόριθμο που απαντάει απλώς με "αληθής". Αυτό το θεώρημα ισχύει μόνο για ιδιότητες μιας μερικής συνάρτησης που εφαρμόζεται από το πρόγραμμα. Δηλαδή το θεώρημα Rice δεν εφαρμόζεται απευθείας σε ιδιότητες του ίδιου του προγράμματος. Για παράδειγμα, "σταμάτα όταν γίνει είσοδος ο αριθμός 0 σε 100 βήματα" δεν είναι ιδιότητα μερικής συνάρτησης που εφαρμόζεται από το πρόγραμμα-είναι μια ιδιότητα του προγράμματος που εφαρμόζει την μερική συνάρτηση και μπορεί λίγο πολύ να προσδιοριστεί.
Ο Gregory Chaitin όρισε μια πιθανότητα τερματισμού, που αναπαριστάται από το σύμβολο Ω, ένα είδος πραγματικού αριθμού που ανεπίσημα δηλώνει την πιθανότητα τερματισμού ενός τυχαίου προγράμματος. Αυτοί οι αριθμοί έχουν τον ίδιο βαθμό Turing όπως το πρόβλημα τερματισμού. Είναι ένας κανονικός και υπερβατικός αριθμός που μπορεί να προσδιορισθεί αλλά δεν μπορεί να υπολογιστεί. Αυτό σημαίνει ότι δεν υπάρχει αλγόριθμος που να παράγει όλα τα ψηφία του Ω αλλά μόνο μερικά αρχικά.
Αν και ο Turing είχε αποδείξει ότι δεν υπάρχει γενικός αλγόριθμος που να καθορίζει αν ένας αλγόριθμος τερματίζεται,υπάρχουν μεμονωμένες περιστάσεις που το πρόβλημα αυτό ξεπερνιέται. Δοθέντος συγκεκριμένου αλγορίθμου, μπορεί κανείς να δείξει ότι πρέπει να τερματίζεται για κάθε είσοδο και στην πράξη οι προγραμματιστές συχνά κάνουν αυτή τη δουλειά ως μέρος της διόρθωσης του αλγορίθμου. Αλλά κάθε απόδειξη ότι ο αλγόριθμος τερματίζεται αναπτύσσεται σύμφωνα με τον εκάστοτε αλγόριθμο. Αυτό διότι όπως προαναφέρθηκε δεν υπάρχει "μηχανικός, γενικός τρόπος" που να προσδιορίζει αν ένας αλγόριθμος που τρέχει σε μηχανή Turing τελικά σταματάει. Ωστόσο υπάρχουν ορισμένες ευριστικές τεχνικές
για την κατασκευή τέτοιων αποδείξεων, που τα καταφέρνουν σε συνηθισμένα προγράμματα. Αυτό το ερευνητικό πεδίο είναι γνωστό ως αυτόματη ανάλυση τερματισμού.
Εφόσον η αρνητική απάντηση στο πρόβλημα τερματισμού δείχνει ότι υπάρχουν προβλήματα που δεν λύνονται από τις μηχανές Turing, η πρόταση Church-Turing συγκεκριμενοποιεί τι μπορεί και τι δεν μπορεί να λυθεί από μια αποτελεσματική μέθοδο. Παρ' όλα αυτά, από όλες τις μηχανές που χωράει η ανθρώπινη φαντασία υπάρχουν και κάποιες που δεν υπόκεινται στην πρόταση Church-Turing, όπως οι μηχανές μαντείας. Ανοιχτό πρόβλημα αποτελεί το ερώτημα αν θα μπορούσαν να υπάρξουν καθοριστικές φυσικές διαδικασίες που, μακροπρόθεσμα, ξεφεύγουν της προσομοίωσης από μηχανές Turing, και συγκεκριμένα αν μια τέτοια υποθετική διαδικασία θα μπορούσε να αξιοποιηθεί στη μορφή μιας υπολογιστική μηχανής (έναν υπερυπολογιστή) που να μπορεί,μεταξύ άλλων, να λύνει το πρόβλημα του τερματισμού στις μηχανές Turing.

Τυποποίηση

Στην αρχική του απόδειξη ο Turing τυποποίησε την έννοια του "Αλγόριθμου" παρουσιάζοντας τις μηχανές Turing. Παρόλα αυτά το αποτέλεσμα δεν είναι πολύ συγκεκριμένο σε αυτές, απευθύνεται εξίσου σε κάθε άλλο μοντέλο υπολογισμού που είναι ισοδύναμο με την υπολογιστική δύναμη των μηχανών Turing, όπως είναι οι Μαρκοβιανοί αλγόριθμοι, Λογισμός λάμδα,Σύστημα Ποστ,Μηχανές καταγραφής,ή tag System.
Αυτό που έχει σημασία είναι ότι η τυποποίηση επιτρέπει μια άμεση χαρτογράφηση αλγορίθμων σε ένα είδος δεδομένων πάνω στα  οποία μπορεί να λειτουργήσει ο αλγόριθμος. Για παράδειγμα αν η τυποποίηση επιτρέπει σε αλγόριθμους να ορίζουν συναρτήσεις χαρακτήρων (λέξεων),(όπως οι μηχανές Turing) τότε θα έπρεπε να υπάρχει μια χαρτογράφηση τέτοιων αλγορίθμων σε χαρακτήρες και αν η τυποποίηση επιτρέπει σε αλγόριθμους να ορίζουν συναρτήσεις φυσικών αριθμών (όπως οι υπολογίσιμες συναρτήσεις τότε θα έπρεπε να υπάρχει μια χαρτογράφηση αλγορίθμων σε φυσικούς αριθμούς. Η χαρτογράφηση σε χαρακτήρες είναι συνήθως η πιο άμεση , αλλά μεταφράζοντάς τους χαρακτήρες ως αριθμούς σε ένα n-ψήφιο αριθμητικό σύστημα

Η σχέση με τα Θεωρήματα μη Πληρότητας του Gödel

Οι έννοιες που αναπτύχθηκαν από τα Θεωρήματα μη Πληρότητας του Gödel είναι παρόμοιες με αυτές που αναπτύχθηκαν από το πρόβλημα τερματισμού, όπως και οι αποδείξεις.Για την ακρίβεια, μία πιο αδύναμη μορφή του Πρώτου Θεωρήματος μη Πληρότητας αποτελεί μια άμεση συνέπεια της μη αποφασισιμότητας του προβλήματος τερματισμού.
Αυτή η αδύναμη μορφή διαφέρει από το κύριο συμπέρασμα του θεωρήματος μη πληρότητας υποστηρίζοντας οτι μία πλήρης, συνεκτική και έγκυρη αξιωματοποίηση όλων των προτάσεων για τους φυσικούς αριθμούς δεν είναι εφικτή. Το σημείο της "εγκυρότητας" αποτελεί και το αδύναμο σημείο: σημαίνει οτι χρειαζόμαστε ένα αξιωματικό σύστημα στην ερώτηση για να αποδείξουμε μόνο "αληθείς" προτάσεις για τους φυσικούς αριθμούς (είναι πολύ σημαντικό να παρατηρήσουμε οτι το συμπέρασμα της βασικής μορφής του Πρώτου Θεωρήματος της μη Πληρότητας του Gödel είναι ανεξάρτητο από την αμφισβήτηση της αλήθειας και αφορά μόνο την επίσημη αποδειξιμότητα).
Η αδύναμη μορφή του θεωρήματος μπορεί να αποδειχθεί από τη μη αποφασισιμότητα του προβλήματος τερματισμού ως εξής.Υποθέτοντας οτι έχουμε μία συνεκτική και πλήρη αξιωματοποίηση όλων των αληθών προτάσεων για τους φυσικούς αρθμούς.Τότε μπορούμε να δημιουργήσουμε έναν αλγόριθμο που απαριθμεί όλες αυτές τις προτάσεις.Αυτό σημαίνει οτι έχουμε έναν αλγόριθμο N(n),που δεδομένου ενός αριθμού n ,υπολογίζει μία πρόταση για τους φυσικούς αριθμούς όπως: για όλες τις αληθείς προτάσεις, υπάρχει τουλάχιστον ένα n τέτοιο ώστε το N(n) αποδίδει αυτή την πρόταση.Τώρα υποθέτοντας οτι θέλουμε να αποφασίσουμε,αν ο αλγόριθμος με την αναπαράσταση a σταματά για την εισαγωγή i.Χρησιμοποιώντας το Κleene's T κατηγορούμενο, μπορούμε να εκφράσουμε την πρόταση "Τοa σταματά στην εισαγωγή i όπως μια πρόταση H(a, i) στην γλώσσα της αριθμητικής. Εφόσον η αξιωματοποίση είναι πλήρης συνεπάγεται ότι είτε υπάρχει ένα n όπως το N(n) =  H(a, i) είτε υπάρχει ένα n' όπως το N(n') = ¬ H(a, i). Έτσι εάν επαναλάβουμε για όλα τα n μέχρι να πάρουμε είτε H(a, i) έιτε το αρνητικό του,πάντα θα σταματάμε.Αυτό σημαίνει οτι μας δίνει έναν αλγόριθμο για να αποφασίσουμε για το πρόβλημα τερματισμού. Από τη στιγμή που ξέρουμε οτι δεν υπάρχει ένας τέτοιος αλγόριθμος, συμπεραίνουμε οτι η υπόθεση οτι υπάρχει υπάρχει μία συνεκτική και πλήρης αξιωματοποίηση όλων των αληθών προτάσεων για τους φυσικούς αριθμούς είναι εσφαλμένη.