Τετραδόνιο

Στα μαθηματικά, τα τετραδόνια (quaternions) αποτελούν μία μη-αντιμεταθετική επέκταση της θεωρίας των μιγαδικών αριθμών. Παρουσιάστηκαν για πρώτη φορά από τον Ιρλανδό μαθηματικό Γουίλιαμ Ρόουαν Χάμιλτον το 1843 και εφαρμόστηκαν στη μηχανική μέσα στον τρισδιάστατο χώρο. Η αρχική διατύπωση των εξισώσεων του Maxwell για τον ηλεκτρομαγνητισμό ήταν σε μορφή τετραδονίων. Σήμερα, στις περισσότερες εφαρμογές έχουν αντικατασταθεί από την απλούστερη διανυσματική ανάλυση. Παρόλα αυτά, συναντώνται ακόμη σε εφαρμογές όπως στα τρισδιάστατα γραφικά ηλεκτρονικών υπολογιστών. Η άλγεβρα των τετραδονίων συχνά συμβολίζεται με το γράμμα H (προς τιμήν του Hamilton) ή με το παχύ  (Unicode U+210D, ℍ).

Μη αντιμεταθετικότητα του πολλαπλασιασμού

Σε αντίθεση με τον πολλαπλασιασμό των πραγματικών και των μιγαδικών αριθμών, ο πολλαπλασιασμός των τετραδονίων δεν είναι αντιμεταθετικός. Για παράδειγμα, ij = k, ενώ ji = −k. Η μη αντιμεταθετικότητα του πολλαπλασιασμού έχει ορισμένες απροσδόκητες συνέπειες, μεταξύ άλλων το γεγονός ότι οι πολυωνυμικές εξισώσεις σε τετραδόνια, μπορεί να έχουν περισσότερες διακριτές λύσεις από το βαθμό του πολυωνύμου.
Η εξίσωση z² + 1 = 0, για παράδειγμα, έχει απείρως πολλές λύσεις τετραδονίων της μορφής z = bi + cj + dk, όπου b² + c² + d² = 1, έτσι που οι λύσεις κείτονται σε μια διδιάστατη, σφαιρική επιφάνεια με κέντρο το μηδέν στον τριδιάστατο υπόχωρο των τετραδονίων με μηδενικό πραγματικό μέρος. Αυτή η σφαίρα τέμνει το μιγαδικό επίπεδο σε δύο σημεία, στο i και στο  −i.
Το γεγονός, ότι ο πολλαπλασιασμός τετραδονίων δεν είναι αντιμεταθετικός, καθιστά αυτά συχνά αναφερόμενα παραδείγματα ενός αυστηρού πεδίου λοξότητας (skew field).

Iστορία

O Γουίλιαμ Ρόουαν Χάμιλτον (William Rowan Hamilton 1805-1865) είχε υπόψη του την γεωμετρική αναπαράσταση των μιγαδικών αριθμών που είχε προτείνει ο Καρλ Φρίντριχ Γκάους (Carl Friedrich Gauss 1777- 1855). Ανέπτυξε τη θεωρία σύμφωνα με την οποία οι μιγαδικοί αριθμοί έχουν τη μορφή  επομένως μπορούν να αντιμετωπιστούν ως διατεταγμένα ζεύγη  και να συστηματοποιηθούν ως μια άλγεβρα διατεταγμένων ζευγών. Έπειτα από αυτό ο Χάμιλτον ήθελε να γενικεύσει την ιδέα των ζευγών σε τριάδες αλλά δεν μπόρεσε να ορίσει τις πράξεις τους, τη διαίρεση και τον πολλαπλασιασμό, διότι δεν μπορούσε να υπολογίσει το πηλίκο των συντεταγμένων δύο σημείων στο χώρο. Στις 16 Οκτωβρίου 1843 στο Δουβλίνο,καθώς περπατούσε με τη γυναίκα του, σχηματοποιήθηκε στο μυαλό του η μορφή των τετράδων (quaternions) με αποτέλεσμα να χαράξει σε μία πέτρα της Μπρούμ (Brougham Broom) γέφυρας τη φόρμουλα των τετράδων: 
Την επόμενη μέρα, έστειλε στον μαθηματικό Τζον Τόμας Γκρέιβς (John Thomas Graves 1806–1870) τη σκέψη του για αυτή την ανακάλυψη και αργότερα το γράμμα αυτό δημοσιεύτηκε στο περιοδικό "London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science", το οποίο ανέφερε "Ξαφνικά συνειδητοποίησα την ιδέα την οποία πρέπει να παραδεχτούμε, ότι με κάποια έννοια, μια τέταρτη διάσταση του χώρου με στόχο τον υπολογισμό των τριάδων... Ένα κύκλωμα φάνηκε να κλείνει και μία σπίθα έλαμψε εμπρός."
Στην Ελλάδα αναφορά στα στοιχεία των τετράδων του Hamilton και κάποια ίχνη των ιδεών Grassmann έχουμε στο βιβλίο "Ανωτέρα Άλγεβρα"(1879) του Ιωάννη Χατζιδάκη (1844-1921), καθηγητή στη τότε Σχολή Ευελπίδων. Η πρώτη δημοσιευμένη εργασία για τις τετράδες του Hamilton έγινε το 1883 από τον Κυπάρισσο Στέφανο (1857-1917), καθηγητή Μαθηματικών στο Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, για το Γερμανικό περιοδικό "Mathematische Annalen" τομέας του Διανυσματικού Λογισμού ο οποίος δεν αναπτύχθηκε διδακτικά και ερευνητικά στην Ελλάδα.