Αντιμεταθετική άλγεβρα

Αντιμεταθετική άλγεβρα είναι ο κλάδος της άλγεβρας που ασχολείται με τη μελέτη των αντιμεταθετικών δακτυλίων, των ιδεωδών τους και των modules που παράγονται πάνω από αυτούς τους δακτύλιους. Η αντιμεταθετική άλγεβρα αποτελεί βασικό εργαλείο της αλγεβρικής γεωμετρίας και της αλγεβρικής θεωρίας αριθμών. Βασικά παραδείγματα αντιμεταθετικών δακτυλίων αποτελούν τα σώματα, ο δακτύλιος των ακεραίων καθώς και οι πολυωνυμικοί (μιας ή περισσοτέρων μεταβλητών) δακτύλιοι, οι δακτύλιοι των αλγεβρικών ακεραίων και οι δακτύλιοι των p-αδικών αριθμών.
Η μελέτη μη-αντιμεταθετικών δακτυλίων ονομάζεται μη-αντιμεταθετική άλγεβρα, η οποία περιλαμβάνει τη θεωρία δακτυλίων, τη θεωρία αναπαραστάσεων και τη θεωρία των αλγεβρών Banach.

Επισκόπηση

Η αντιμεταθετική άλγεβρα είναι ουσιαστικά η μελέτη των δακτυλίων που υπάρχουν στην αλγεβρική θεωρία αριθμών και την αλγεβρική γεωμετρία.
Στην αλγεβρική θεωρία αριθμών, οι δακτύλιοι των αλγεβρικών ακεραίων είναι οι δακτύλιοι του Dedekind, οι οποίοι αποτελούν, συνεπώς, μια σημαντική κατηγορία των αντιμεταθετικών  δακτυλίων. Οι εκτιμήσεις που σχετίζονται με την αριθμητική του μέτρου οδήγησαν στην έννοια του δακτυλίου αποτίμησης. Ο περιορισμός τουτομέα της αλγεβρικής επέκτασης όσον αφορά τους υποδακτυλίους οδήγησε στις έννοιες της ολοκληρωματικής επέκτασης και των ολοκληρωματικά κλειστών πεδίων ορισμού , καθώς και στην έννοια της διακλάδωσης μιας επέκτασης των αποτιμημένων δακτυλίων.
Η έννοια του εντοπισμού ενός δακτυλίου(ιδίως ο εντοπισμός όσον αφορά το πρώτο ιδεώδες, ο οποίος συνίσταται από την αναστροφή ενός ενιαίου στοιχείου και το ολικό πηλίκο δακτυλίου) είναι μία από τις κύριες διαφορές μεταξύ αντιμεταθετικής άλγεβρας και της θεωρία των μη-αντιμεταθετικών δακτυλίων. Αυτό οδηγεί σε μια σημαντική κατηγορία αντιμεταθετικών δακτυλίων, τους τοπικούς δακτύλιους που έχουν μόνο ένα μεγιστοτικό ιδεώδες. Το σύνολο των πρώτων ιδεωδών των αντιμεταθετικών δακτυλίων είναι φυσικά εξοπλισμένο με μια τοπολογία, τηνZariski τοπολογία. Όλες αυτές οι έννοιες χρησιμοποιούνται ευρέως στην αλγεβρική γεωμετρία και αποτελούν τα βασικά τεχνικά εργαλεία για τον καθορισμό της θεωρίας σχήματος, μια γενίκευση της αλγεβρικής γεωμετρίας που εισάγεται από τον Grothendieck.
Πολλές άλλες έννοιες της αντιμεταθετικής άλγεβρας είναι ομόλογες των γεωμετρικών εννοιών που συναντώνται στην αλγεβρική γεωμετρία. Αυτή είναι η περίπτωση της διάστασης του Krull, της πρωτοβάθμιας παραγοντοποίησης, των κανονικών δακτυλίων, των Cohen-Mecaulay δακτυλίων, των Gorenstein δακτυλίων και πολλών άλλων εννοιών.

Ιστορία

Το θέμα, που ήταν αρχικά γνωστό ως θεωρία ιδεωδών, ξεκίνησε με την εργασία του Richard Dedekinds σχετικά με ιδανικά, η οποία βασίστηκε στο προγενέστερο έργο του Ernst Kummer και του Leopold Kronecker. Αργότερα, ο David Hilbert εισήγαγε τον όρο δακτύλιος προκειμένου να γενικεύσει τον προηγούμενο όρο δακτύλιος αριθμός. Ο Hilbert εισήγαγε μια από τις πιο αφηρημένες προσεγγίσεις προκειμένου να αντικαταστήσει τις πιο συγκεκριμένες και υπολογιστικά προσανατολισμένες μεθόδους που στηρίζονται σε θέματα όπως η σύνθετη ανάλυση και η κλασική αμετάβλητη θεωρία. Με τη σειρά του, ο Hilbert επηρεάζεται έντονα από την Emmy Noether, η οποία αναδιατυπώνει πολλά από τα προηγούμενα αποτελέσματα σε σχέση με μια συνθήκη αύξουσας αλυσίδας, η οποία είναι τώρα γνωστή ως συνθήκη Noether. Ένα άλλο σημαντικό ορόσημο ήταν το έργο του φοιτητή του Hilbert, Εμάνουελ Λάσκερ, ο οποίος εισήγαγε τα πρωτεύοντα ιδεώδη και απέδειξε την πρώτη εκδοχή του θεωρήματος Lasker-Noether.
Ο κύριος υπεύθυνος για τη γέννηση της αντιμεταθετικής άλγεβρας ως ένα ώριμο θέμα ήταν Wolfgang Krull, ο οποίος εισήγαγε τις θεμελιώδεις έννοιες της τοπολογίας και της πλήρωσης ενός δακτυλίου, καθώς και των κανονικών τοπικών δακτυλίων. Εισήγαγε την έννοια της διάστασης Krull ενός δακτυλίου, το πρώτο για τους δακτύλιους Noether πριν από την κίνηση του να επεκτείνει τη θεωρία του για να καλύψει γενικά τους αποτιμημένους δακτύλιους και τους δακτύλιους Krull. Μέχρι σήμερα, το κύριο ιδανικό θεώρημα του Krullθεωρείται ευρέως το πιο σημαντικό θεμελιώδες θεώρημα στην αντιμεταθετική άλγεβρα. Τα αποτελέσματα αυτά άνοιξαν το δρόμο για την εισαγωγή της αντιμεταθετικής άλγεβρας στην αλγεβρική γεωμετρία, μια ιδέα που θα μπορούσε να φέρει την επανάσταση στο τελευταίο θέμα.
Μεγάλο μέρος της σύγχρονης ανάπτυξης της αντιμεταθετικής άλγεβρας δίνει έμφαση στις ενότητες. Τα ιδεώδη ενός δακτυλίου R και των R-αλγεβρών είναι ειδικές περιπτώσεις των R-modules, οπότε η θεωρία του module περιλαμβάνει τόσο την ιδανική θεωρία, όσο και την θεωρία των δακτυλιακών επεκτάσεων. Αν και είχε ήδη ξεκινήσει με το έργο του Kronecker, η σύγχρονη προσέγγιση της αντιμεταθετικής άλγεβρας χρησιμοποιώντας την θεωρία module, συνήθως πιστώνεται στον Krull και στονNoether.

Ολοκλήρωση

Μια ολοκλήρωση είναι οποιοδήποτε από τα διάφορα που σχετίζονται με το συναρτήσεις σε δακτύλιους και τις ενότητες που έχουν ως αποτέλεσμα την ολοκλήρωση των τοπολογικών δακτυλίων και modules. Η ολοκλήρωση είναι παρόμοια με την τοπολογία, και μαζί είναι ένα από τα πιο βασικά εργαλεία για την ανάλυση των αντιμεταθετικών δακτύλιων. Οι ολοκληρωμένοι αντιμεταθετικοί δακτύλιοι έχουν απλούστερη δομή από τους γενικούς και από αυτούς που υπάρχουν στο λήμμα του Hensel.

Συνδέσεις με την αλγεβρική γεωμετρία

Η αντιμεταθετική άλγεβρα (με τη μορφή πολυωνυμικών δακτυλίων και των συντελεστών τους, που χρησιμοποιούνται στον ορισμό των αλγεβρικών πολλαπλοτήτων) ήταν πάντα ένα μέρος της αλγεβρικής γεωμετρίας. Ωστόσο, στα τέλη της δεκαετίας του 1950, οι αλγεβρικές πολλαπλότητες ήταν ενταγμένες στην έννοια του συστήματος του Alexander Grothendieck. Τα τοπικά αντικείμενα είναι αφφινικά συστήματα ή φάσματα τα οποία είναι τοπικοί δακτύλιοι χώροι που αποτελούν μια κατηγορία, η οποία είναι μη ισοδύναμη (δυαδική) για την κατηγορία των αντιμεταθετικών μοναδιαίων δακτυλίων, για την επέκταση της δυαδικότητας μεταξύ της κατηγορίας των αφφινικών αλγεβρικών πολλαπλοτήτων πάνω από ένα πεδίο k, και την κατηγορία των πεπερασμένων παραγόμενων μειωμένων k-αλγεβρών. Η σύνδεση βρίσκεται στην Zariski τοπολογία, όπου κάποιος μπορεί να την ενσωματώσει στην κατηγορία των τοπικών δακτυλιακών χώρων, αλλά επίσης η χρήση της Yoneda ενσωμάτωσης, κατά την πιο αφηρημένη κατηγορία αλυσίδων των συνόλων πάνω από την κατηγορία των αφφινικών συστημάτων. Η Zariski τοπολογία ως θεωρητική έννοια, στη συνέχεια αντικαταστήθηκε από την Zariski τοπολογία, με την έννοια της τοπολογίας Grothendieck. Ο Grothendieck εισήγαγε τις Grothendieck τοπολογίες έχοντας κατά νου πιο εξωτικά, αλλά γεωμετρικά λεπτότερα και πιο ευαίσθητα παραδείγματα από την ακατέργαστη Zariski τοπολογία, δηλαδή την étale τοπολογία, και τις δύο επίπεδες Grothendieck τοπολογίες: fppf και fpqc, σήμερα κάποια άλλα παραδείγματα διέπρεψαν συμπεριλαμβανομένων της Nisnevich τοπολογίας. Οι αλυσίδες μπορεί να είναι επιπλέον γενικευμένες σε στοίβες κατά την έννοια του Grothendieck, συνήθως με κάποιες επιπλέον αντιπροσωπευτικές συνθήκες που οδηγούν σε Artin στοίβες και, ακόμα πιο συγκεκριμένα, σε Deligne-Mumford στοίβες, και οι δύο συχνά ονομάζονται αλγεβρικές στοίβες.