Ομάδα

Ιστορία

Ένα παράδειγμα ομάδας αποτελούν οι συμμετρίες ενός γεωμετρικού σχήματος. Ενώ όμως εκτενή μελέτη των συμμετριών έχουν πραγματοποιήσει τόσο οι αρχαίοι Αιγύπτιοι όσο και ο Ευκλείδης, οι ομάδες αρχίζουν να αναγνωρίζονται ως μαθηματικά συστήματα μετά τον 18ο αιώνα.
H σύγχρονη έννοια της αφηρημένης ομάδας αναπτύχθηκε από διάφορους τομείς των μαθηματικών. Το αρχικό κίνητρο για τη θεωρία ομάδων ήταν η αναζήτηση λύσεων πολυωνυμικών εξισώσεων βαθμού μεγαλύτερου του 4. Το 19ο αιώνα ο μαθηματικός Εβαρίστ Γκαλουά, επεκτείνοντας προηγούμενη δουλειά των Πάολο Ρουφίνι και Ζοζέφ Λουί Λαγκράνζ, έδωσε ένα κριτήριο για την επιλυσιμότητα μιας συγκεκριμένης πολυωνυμικής εξίσωσης με χρήση της ομάδας συμμετριών των ριζών της. Τα στοιχεία μιας τέτοιας ομάδας Galois αντιστοιχούν σε συγκεκριμένες μεταθέσεις των ριζών. Αρχικά, οι ιδέες του Galois απορρίφθηκαν από τους συγχρόνους του και δε δημοσιεύθηκαν παρά μόνο μετά θάνατον. Οι ομάδες μεταθέσεων ερευνήθηκαν στη γενική τους μορφή από τον Augustin Louis Cauchy. Στο έργο του Arthur Cayley, On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θn = 1 (1854) δίνεται ένας πρώτος αφηρημένος ορισμός της πεπερασμένης ομάδας.
Η γεωμετρία ήταν το δεύτερο πεδίο στο οποίο οι ομάδες χρησιμοποιήθηκαν συστηματικά, ειδικά οι ομάδες συμμετρίας ως μέρος του προγράμματος Erlangen του Felix Klein το 1872. Μετά την εμφάνιση νέων γεωμετριών, όπως της υπερβολικής και της προβολικής, ο Klein χρησιμοποίησε τη θεωρία ομάδων για να τις οργανώσει πιο συνεκτικά. Επεικτείνοτας περεταίρω τις ιδέες αυτές, ο Sophus Lie καθιέρωσε τη μελέτη των ομάδων Lie το 1884.
Το τρίτο πεδίο που συνέβαλε στη θεωρία ομάδων ήταν η θεωρία αριθμών. Ορισμένες δομές αβελιανών ομάδων χρησιμοποιήθηκαν σιωπηρά στο αριθμοθεωρητικό έργο του Carl Friedrich Gauss, Disquisitiones Arithmeticae (1798), και σαφἐστερα από τον Λέοπολντ Κρόνεκερ. Το 1847, ο Ernst Kummer έκανε κάποιες πρώτες προσπάθειες να αποδείξει το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά αναπτύσσοντας ομάδες που περιγράφουν την παραγοντοποίηση σε πρώτους αριθμούς.
Η συνένωση αυτών των ποικίλων αποτελεσμάτων σε μια ενιαία θεωρία άρχισε με το Traité des substitutions et des équations algébriques (1870) του Camille Jordan. Ο Walther von Dyck (1882) έδωσε μια πρώτη μορφή του σύγχρονου ορισμού μιας αφηρημένης ομάδας. Μέχρι τον 20ο αιώνα, οι ομάδες είχαν τύχει ευρείας αναγνώρισης μέσω του επαναστατικού έργου των Ferdinand Georg Frobenius και William Burnside, οι οποίοι εργάστηκαν πάνω στη θεωρία αναπαραστάσεων πεπερασμένων ομάδων, την modular θεωρία αναπαραστάσεων του Richard Brauer και τις εργασίες του Issai Schur. Η θεωρία των ομάδων Lie, και γενικότερα των τοπικά συμπαγών ομάδων προωθήθηκε από τους Hermann Weyl, Élie Cartan και πολλούς άλλους. Το αλγεβρικό αντίστοιχό της, η θεωρία αλγεβρικών ομάδων, σχηματίστηκε αρχικά από τον Claude Chevalley (στα τέλη του 1930) και αργότερα από το καίριο έργο των Armand Borel και Jacques Tits.
Το Έτος Θεωρίας Ομάδων 1960-61 του Πανεπιστημίου του Chicago μάζεψε ειδικούς της θεωρίας ομάδων, όπως οι Daniel Gorenstein, John G. Thompson και Walter Feit, θέτοντας τα θεμέλια μιας συνεργασίας η οποία, με τη συμβολή πολλών άλλων μαθηματικών, ταξινόμησε όλες τις [[πεπερασμένες ομάδες το 1982. Αυτό το πρόγραμμα υπερέβη όλες τις προηγούμενες προσπάθειες λόγω του μεγέθους της, τόσο ως προς το μήκος των αποδείξεων, όσο και ως προς τον αριθμό των ερευνητών. Η έρευνα συνεχίζεται με σκοπό την απλοποίηση της απόδειξης της ταξινόμησης αυτής. Στις μέρες μας, η θεωρία ομάδων είναι ακόμη ένας ιδιαίτερα ενεργός κλάδος των μαθηματικών με αποφασιστική επιρροή σε πολλά άλλα πεδία.

Διαίρεση

Στις ομάδες μπορούμε να κάνουμε διαίρεση: δοθέντων στοιχείων a και b μιας ομάδας G, υπάρχει ακριβώς μία λύση x στην G που ικανοποιεί την εξίσωση x • a = b. Για την ακρίβεια, πολλαπλασιάζοντας από τα δεξιά με a⁻¹ προκύπτει ότι x = x • a • a⁻¹ = b • a⁻¹. Όμοια, υπάρχει ακριβώς μία λύση y στην G που ικανοποιεί την εξίσωση a • y = b, και προκύπτει ότιy = a⁻¹ • b. Γενικά, τα x και y δεν είναι απαραίτητο να είναι ίσα.
Άμεση συνέπεια αυτού είναι ότι ο πολλαπλασιασμός μιας ομάδας με ένα στοιχείο g είναι ισομορφισμός. Πιο συγκεκριμένα, αν το g είναι στοιχείο της ομάδας G, τότε υπάρχει ένας ισομορφισμός από την G στον εαυτό της που ονομάζεται αριστερή κλάση κατά g και στέλνει το h ∈ G στο g • h. Όμοια, η δεξιά κλάση κατά g είναι ισομορφισμός της G στον εαυτό της που στέλνει το h στο h • g. Αν η G είναι αβελιανή ομάδα, η αριστερή και δεξιά κλάση ενός στοιχείου ταυτίζονται.

Βασικές έννοιες

Για να κατανοήσουμε τις ομάδες, πέρα από τα σύμβολα όπως τα παραπάνω, πρέπει να εισάγουμε έννοιες που αφορούν τη δομή τους. Υπάρχει μια εννοιολογική αρχή που διέπει όλες τις ακόλουθες έννοιες: για να επωφεληθούμε από τη δομή των ομάδων, οι κατασκευές που σχετίζονται με τις ομάδες πρέπει να είναι συμβατές με την πράξη της ομάδας. Η συμβατότητα αυτή εκδηλώνεται στις ακόλουθες έννοιες με διάφορους τρόπους. Για παράδειγμα, οι ομάδες μπορούν να συνδέονται μεταξύ τους μέσω συναρτήσεων που ονομάζονται ομομορφισμοί ομάδων. Σύμφωνα με όσα αναφέρθηκαν παραπάνω, οι ομομορφισμοί οφείλουν να τηρούν τις δομές της ομάδας. Επίσης, μπορούμε να μελετήσουμε τη δομή των ομάδων χωρίζοντάς τες σε υποομάδες και ομάδες πηλίκου. Η αρχή της «διατήρηση της δομής» - ένα σύνηθες πρόβλημα στα μαθηματικά - είναι ένα παράδειγμα του να εργάζεσαι σε μία κατηγορία, στην προκειμένη περίπτωση, στην κατηγορία των ομάδων.

Παραδείγματα και εφαρμογές

Υπάρχουν αμέτρητα παραδείγματα και εφαρμογές για τις ομάδες. Πρώτα απ’ όλα, το σύνολο Z των ακέραιων εφοδιασμένο με την πράξη της πρόσθεσης, που περιγράφεται παραπάνω. Αν αντί για την πρόσθεση χρησιμοποιήσουμε τον πολλαπλασιασμό, προκύπτουν πολλαπλασιαστικές ομάδες. Αυτές οι ομάδες είναι προκάτοχοι σημαντικών κατασκευών της αφηρημένης άλγεβρας. Οι ομάδες χρησιμοποιούνται επίσης και σε άλλους τομείς των μαθηματικών. Διάφορα μαθηματικά αντικείμενα εξετάζονται συνήθως ταξινομώντας τα σε ομάδες και μελετώντας τις ιδιότητές τους. Για παράδειγμα, ο Henri Poincaré δημιούργησε αυτό που λέμε σήμερα αλγεβρική τοπολογία, ορίζοντας την θεμελιώδη ομάδα. Μέσω αυτής της σύνδεσης, τοπολογικές ιδιότητες όπως η ανοιχτή περιοχή και η συνέχεια προκύπτουν ως ιδιότητες των ομάδων. Για παράδειγμα, στοιχεία της θεμελιώδους ομάδας αναπαριστώνται από βρόχους. Η δεύτερη εικόνα στα δεξιά δείχνει βρόχους στον χώρο, γύρω από ένα σημείο που δεν ανήκει στον βρόχο. Ο μπλε βρόχος θεωρείται μη ομοτοπικός (γι’ αυτό και άσχετος), επειδή μπορεί να μικραίνει συνεχώς, μέχρι ένα σημείο. Η ύπαρξη της τρύπας εμποδίζει τον πορτοκαλί βρόχο να μικραίνει μέχρι ένα σημείο. Η θεμελιώδης ομάδα του επιπέδου που δεν περιλαμβάνει ένα σημείο, προκύπτει ως ένας άπειρος κύκλος, που παράγεται από τον πορτοκαλί βρόχο (ή οποιονδήποτε άλλον βρόχο που περιστρέφεται γύρω από την τρύπα). Με αυτόν τον τρόπο, η θεμελιώδης ομάδα ανιχνεύει την τρύπα. Σε πιο πρόσφατες εφαρμογές, η επίδραση έχει επίσης αντιστραφεί για να παρακινήσει γεωμετρικές κατασκευές στη θεωρία ομάδων. Με παρόμοιο τρόπο, η γεωμετρική θεωρία ομάδων ασχολείται με γεωμετρικές έννοιες, όπως για παράδειγμα, τη μελέτη των υπερβολικών ομάδων. Άλλοι τομείς στους οποίους χρησιμοποιείται η θεωρία ομάδων είναι η αλγεβρική γεωμετρία και η θεωρία αριθμών. Εκτός από τις παραπάνω θεωρητικές εφαρμογές, υπάρχουν πολλές πρακτικές εφαρμογές των ομάδων. Η κρυπτογραφία βασίζεται στο συνδυασμό της αφηρημένης προσέγγισης της θεωρίας ομάδων και στις γνώσεις πάνω στους αλγορίθμους που αποκτήθηκαν στην υπολογιστική θεωρία ομάδων, ιδίως όταν εφαρμόζεται για πεπερασμένες ομάδες. Οι εφαρμογές της θεωρίας ομάδων δεν περιορίζονται στα μαθηματικά. Επιστήμες όπως η φυσική, η χημεία και η επιστήμη των υπολογιστών ωφελούνται σε μεγάλο βαθμό από την θεωρία ομάδων.

Αριθμοί

Πολλά αριθμητικά συστήματα, όπως οι ακέραιοι και οι ρητοί, ανήκουν εκ φυσικού σε σύνολα που συμπεριφέρονται ως ομάδες. Σε μερικές περιπτώσεις, όπως συμβαίνει με τους ρητούς, και η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός δημιουργούν ομάδες. Τέτοια αριθμητικά συστήματα είναι προκάτοχοι κάποιων άλλων γενικών αλγεβρικών εννοιών, γνωστοί ως δακτύλιοι και σώματα. Άλλες έννοιες της αφηρημένης άλγεβρας, όπως τα πρότυπα, οι διανυσματικοί χώροι και οι άλγεβρες, σχηματίζουν επίσης ομάδες.

Ακέραιοι

Το σύνολο των ακεραίων Z εφοδιασμένο με την πρόσθεση, συμβολίζεται ως (Z, +), και αναφέρθηκε παραπάνω. Οι ακέραιοι, με την πράξη του πολλαπλασιασμού αντί για την πρόσθεση, δηλαδή το (Z, ·) δεν αποτελούν ομάδα. Ενώ πληρούνται όλες οι ιδιότητες της ομάδας, δεν υπάρχει το αντίστροφο στοιχείο: για παράδειγμα, το a = 2 είναι ένας ακέραιος, αλλά η μόνη λύση της εξίσωσης a · b = 1 είναι το b = 1/2, που ανήκει στους ρητούς και όχι στους ακέραιους. Οπότε, δεν υπάρχει το (πολλαπλασιαστικό) αντίστροφο στοιχείο για κάθε στοιχείο του Z.

Η κατάταξη των πεπερασμένων απλών ομάδων

Οι μαθηματικοί συχνά προσπαθούν για μια πλήρη ταξινόμηση (ή κατάλογος) μιας μαθηματικής έννοιας. Στο πλαίσιο των πεπερασμένων ομάδων, ο στόχος αυτός οδηγεί γρήγορα σε δύσκολα και βαθιά μαθηματικά. Σύμφωνα με το θεώρημα του Λαγκράνζ, πεπερασμένες ομάδες τάξης p, είναι κατ 'ανάγκην κυκλικές (αβελιανές) Zₚ ομάδες. Ομάδες p² τάξης μπορεί επίσης να αποδειχθεί ότι είναι αβελιανή, μια πρόταση η οποία δεν γενικεύεται για τάξη p³, ως μη αβελιανή ομάδα D₄ τάξης 8 = 2³ όπως φαίνεται παραπάνω. Το σύστημα άλγεβρας υπολογιστών μπορεί να χρησιμοποιηθεί στη λίστα μικρών ομάδων, αλλά δεν υπάρχει κατάταξη όλων των πεπερασμένων ομάδων. Ένα ενδιάμεσο βήμα είναι η κατάταξη των πεπερασμένων απλών ομάδων.  Μια τετριμμένη ομάδα ονομάζεται απλή, αν μόνο κανονικές υποομάδες της είναι η τετριμμένη ομάδα και η ίδια η ομάδα.  Το θεώρημα Jordan-Hölder παρουσιάζει πεπερασμένες απλές ομάδες, όπως τα δομικά στοιχεία για όλες τις πεπερασμένες ομάδες. περί του καταλόγου όλων των πεπερασμένων απλών ομάδων ήταν ένα σημαντικό επίτευγμα στη σύγχρονη θεωρία ομάδων. Ο νικητής του μεταλλίου Fields του 1998 Borcherds Richard κατάφερε να αποδείξει τα τερατώδη εικασία, μια εκπληκτική και βαθιά σχέση της μεγαλύτερης πεπερασμένης απλής σποραδικής ομάδα-η «ομάδα τέρας»-με ορισμένες σπονδυλωτή λειτουργίες, ένα κομμάτι της μιγαδικής ανάλυσης , και η θεωρία μέτρου, μια θεωρία υποτίθεται ότι θα ενοποιήσει την περιγραφή πολλών φυσικών φαινομένων.

Προσθετικές Ομάδες

Πολλές ομάδες είναι ταυτόχρονα ομάδες και παραδείγματα άλλων μαθηματικών δομών. Στη γλώσσα της θεωρίας κατηγοριών, είναι τα αντικείμενα της ομάδας σε μια κατηγορία, που σημαίνει ότι είναι αντικείμενα (δηλαδή, παραδείγματα άλλη μαθηματική δομή) τα οποία έρχονται με μετασχηματισμούς (που ονομάζονται πολυμορφισμοί) που μιμούνται τα αξιώματα της ομάδας. Για παράδειγμα, κάθε ομάδα (όπως ορίζεται παραπάνω) είναι, επίσης, ένα σύνολο, έτσι ώστε μια ομάδα είναι ένα αντικείμενο της ομάδας στην κατηγορία των συνόλων.

Γενικεύσεις

Στην αφηρημένη άλγεβρα, οι πιο γενικές δομές που ορίζονται με τη απλούστευση ορισμένων από τα αξιώματα καθορίζουν μια ομάδα. Για παράδειγμα, εάν η απαίτηση ότι κάθε στοιχείο έχει ένα αντίστροφο δεν πραγματοποιείται, η προκύπτουσα αλγεβρική δομή. Οι φυσικοί αριθμοί N (συμπεριλαμβανομένου του 0) με την πράξη της πρόσθεσης σχηματίζουν ένα μονοειδές, όπως και οι μη μηδενικοί ακέραιοι με πολλαπλασιασμό (Z \ {0}, ·), βλ. παραπάνω. Υπάρχει μια γενική μέθοδος για να προσθέσετε επίσημα αντίστροφα στα στοιχεία κάθε (abelian) μονοειδούς, με τον ίδιο τρόπο όπως (Q \ {0}, ·) προέρχεται από (Z \ {0}, ·), που είναι γνωστή ως ομάδα Grothendieck. Τα ομαδοειδή είναι παρόμοια με τις ομάδες εκτός από το ότι η σύνθεση a • b δεν χρειάζεται να οριστούν για όλες τις a και b. Μπορούν να προκύψουν από μελέτη περίπλοκων μορφών της συμμετρίας, συχνά σε τοπολογικές και αναλυτικές δομές, όπως το θεμελιώδες ομαδοειδές ή στοίβες. Τέλος, είναι δυνατό να γενικεύσουμε οποιαδήποτε από αυτές τις έννοιες, αντικαθιστώντας την δυαδική λειτουργία με αυθαίρετη n-οστη (δηλαδή μια πράξη λαμβάνοντας n επιχειρήματα). Με την κατάλληλη γενίκευση των αξιωμάτων της ομάδας μπορεί να δημιουργήσει μια n-αδική ομάδα.