Ταλάντωση

Μεγέθη των ταλαντώσεων

Στη φυσική έχουν οριστεί τα εξής μεγέθη που αφορούν όλες τις ταλαντώσεις. Τα δύο πρώτα μεγέθη ορίζονται σε όλα τα περιοδικά φαινόμενα:

Περίοδος

Περίοδος ονομάζεται το χρονικό διάστημα που χρειάζεται, για να ολοκληρωθεί μία επανάληψη του φαινομένου. Συμβολίζεται με Τ και μετριέται σε s (δευτερόλεπτα). Εξ' ορισμού προκύπτει ότι , όπου  είναι ο αριθμός των επαναλήψεων που έγιναν σε χρονικό διάστημα .
Για παράδειγμα, έστω ότι μετράμε την περίοδο του εικονιζόμενου σώματος. Σε χρόνο δέκα δεύτερα μπορείτε να μετρήσετε δέκα επαναλήψεις, άρα η περίοδος της ταλάντωσης του εικονιζόμενου σώματος είναι 10/10=1 δευτερόλεπτα.

Συχνότητα

Συχνότητα ονομάζεται ο αριθμός των επαναλήψεων που έγιναν στη μονάδα του χρόνου, δηλαδή ο αριθμός των επαναλήψεων διά του χρονικού διαστήματος στο οποίο μετρήσαμε. Συμβολίζεται με  και μετριέται σε δευτερόλεπτα εις τη μείον ένα ή , ή . Έτσι, ισχύει , όπου  είναι ο αριθμός των διαταραχών που πέρασαν σε χρονικό διάστημα . Η συχνότητα είναι αντίστροφο μέγεθος της περιόδου και ισχύει: . Στο εικονιζόμενο σώμα η συχνότητα είναι .

Κυκλική Συχνότητα

Κυκλική συχνότητα ονομάζεται το φυσικό μέγεθος το οποίο συνδέεται με την συχνότητα με την σχέση . Αν και η έννοια της συχνότητας είναι πιο πρακτική, δεν περιέχει καμία πληροφορία για τον τρόπο με τον οποίο εκτελείται μια περιοδική κίνηση κατά την διάρκεια μιας περιόδου. Όταν ένα περιοδικό φαινόμενο εκτελείται με σταθερή κυκλική συχνότητα σε ολόκληρη την διάρκεια μιας περιόδου, τότε είναι αυτό που λέμε αρμονική ταλάντωση. Η μονάδα της είναι το  οι φυσικές διαστάσεις της οποίας είναι , όπως ακριβώς και της συχνότητας , κάτι το οποίο συχνά αποτελεί αιτία σύγχυσης. Έτσι, όταν αναφερόμαστε στην συχνότητα , χρησιμοποιούμε ως μονάδα το Herz με τις ίδιες φυσικές διαστάσεις.

Φάση Ταλάντωσης

Κατά τη μελέτη των ταλαντώσεων αποδείχθηκε ότι αυτά μπορούν να μελετηθούν με βάση την αρμονική συνάρτηση. H φάση είναι βασικό μέγεθος αυτής της συνάρτησης. Συμβολίζεται με φ και μετριέται όπως και οι γωνίες σε rad (ακτίνια). Η φάση στις ταλαντώσεις εξαρτάται από το χρόνο για το οποίο μελετάμε. Συνήθως μια ταλάντωση που περιγράφεται (προσεγγιστικά) από την εξίσωση:
όπου  η συνάρτηση της φάσης συναρτήσει της στιγμής ,  το μέγεθος που διαταράσσεται και  το πλάτος της ταλάντωσης. Η φάση συνήθως είναι γραμμική συνάρτηση του χρόνου, δηλαδή της μορφής , οπότε η παραπάνω σχέση γίνεται:
όπου η  αποτελεί την αρχική φάση, η οποία εξαρτάται από το σημείο αρχής μέτρησης του χρόνου. Αν έχουμε να κάνουμε με μία μόνο ταλάντωση, τότε επιλέγουμε την αρχή μέτρησης του χρόνου έτσι ώστε να είναι .
Συχνά ως φάση αναφέρεται η αρχική φάση.

Πλάτος Ταλάντωσης

Το μέγεθος που διαταράσσεται λαμβάνει μία μέγιστη και μία ελάχιστη τιμή. Είναι αδύνατον να διαταράσσεται περιοδικά ένα μέγεθος, δηλαδή να είναι περιοδικό φαινόμενο, χωρίς να λαμβάνει μια μέγιστη και μια ελάχιστη τιμή. Θεωρώντας ως μηδέν το σημείο όπου μηδενίζεται η δύναμη που συντηρεί την ταλάντωση, μετράμε ως πλάτος την μέγιστη απομάκρυνση από αυτό το σημείο, ως θετικά ορισμένη ποσότητα.. Σε συμμετρικές ταλαντώσεις η μέγιστη θετική και η μέγιστη αρνητική απομάκρυνση είναι ίσες. Αυτή η απόλυτη τιμή της μέγιστης απομάκρυνσης ονομάζεται πλάτος της ταλάντωσης. Συμβολίζεται με  και μετριέται στις κατάλληλες μονάδες, ανάλογα με την φύση της ποσότητας που μεταβάλλεται.
Το πλάτος μιας ταλάντωσης δεν είναι πάντα σταθερό αλλά μπορεί να εξαρτάται, όπως και η φάση, από το χρόνο και άλλα μηχανικά στοιχεία του συστήματος. Η ενέργεια ενός ταλαντωτή εξαρτάται από το τετράγωνο του πλάτους της ταλάντωσης.

Ενέργεια ταλάντωσης

Κάθε μηχανική ταλάντωση είναι αποτέλεσμα κάποιου πεδίου δυνάμεων και το είδος του πεδίου διαμορφώνει και το είδος της ταλάντωσης. Η δυναμική ενέργεια του πεδίου μετατρέπεται περιοδικά σε κινητική ενέργεια του ταλαντωτή και το αντίστροφο, όπου η περίοδος αυτής της μετατροπής είναι μικρότερη της περιόδου της ταλάντωσης. Για παράδειγμα η κινητική ενέργεια δεν εξαρτάται από την κατεύθυνση της ταχύτητας, ώστε ενώ αυτή εμφανίζεται σε μια περίοδο σε δύο αντίθετες κατευθύνσεις, η ενέργεια παίρνει δύο φορές την ίδια τιμή.
Η ενέργεια της ταλάντωσης είναι ανάλογη του τετραγώνου του πλάτους, δηλαδή συνήθως ισχύει , όπου  η ονομαζόμενη σταθερά ταλάντωσης.

Η Δύναμη Επαναφοράς

Για να είναι μια δύναμη κατάλληλη να συντηρήσει μια ταλάντωση, θα πρέπει να τείνει να κρατήσει το σύστημα σε μια θέση ισορροπίας, οπότε θα πρέπει να είναι αντίθετη προς την απομάκρυνση από την θέση αυτή και όσο αυξάνεται η απομάκρυνση, τόσο να αυξάνεται και το μέτρο της δύναμης. Τέτοια χαρακτηριστικά διαθέτει η δύναμη ενός ελατηρίου: , η οποία, σε συνδυασμό με τον νόμο του Νεύτωνα για την κίνηση δίνει:
όπου .
Σε οποιοδήποτε μηχανικό σύστημα καταφέρουμε να γράψουμε την δύναμη επαναφοράς στη μορφή , τότε αυτό το σύστημα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με κυκλική συχνότητα .

Δονήσεις

Εν προκειμένω και με τον όρο δονήσεις χαρακτηρίζονται οι γρήγορες ταλαντώσεις μικρού όμως πλάτους.

Για παράδειγμα δονήσεις εκτελεί μια τεντωμένη χορδή όταν αφήνεται ελεύθερη.

Απλά συστήματα

Το απλούστερο μηχανικό σύστημα ταλάντωσης είναι μια μάζα συνδεδεμένη σε ένα ιδανικό ελατήριο που δεν εφαρμόζει πάνω του καμιά άλλη δύναμη (εκτός της θέσης ισορροπίας, το σύστημα αυτό είναι ισοδύναμο με κάποιο που εφαρμόζει πάνω του μια σταθερή δύναμη, όπως η δύναμη βαρύτητας). Ένα τέτοιο σύστημα μπορεί να προσομοιωθεί με προσέγγιση στον αέρα ή πάνω στον πάγο. Το σύστημα είναι σε θέση ισορροπίας όταν το ελατήριο είναι στο φυσικό του μήκος. Αν το σύστημα απομακρυνθεί από την θέση ισορροπίας του (δηλαδή το ελατήριο τεντωθεί ή συσπειρωθεί), τότε δρα μια δύναμη επαναφοράς στη μάζα που τείνει να την επαναφέρει στη θέση ισορροπίας. Όμως, κινούμενη η μάζα πίσω στη θέση ισορροπίας αποκτά ορμή, η οποία την κάνει να συνεχίσει να κινείται και πέρα από τη θέση ισορροπίας, και έτσι εμφανίζεται μια νέα δύναμη επαναφοράς που τείνει να επαναφέρει τη μάζα στη θέση ισορροπίας.

Φθίνουσες και εξαναγκασμένες ταλαντώσεις

Στα περισσότερα συστήματα, σύμφωνα με τον δεύτερο θερμοδυναμικό νόμο  υπάρχει μια συνεχής και αναπόφευκτη μετατροπή ενέργειας που απελευθερώνεται ως θερμότητα στο περιβάλλον. Ως εκ τούτου, όλες οι ταλαντώσεις τείνουν να φθίνουν με την πάροδο του χρόνου (φθίνουσες ταλαντώσεις), εκτός αν υπάρχει μια πηγή που προσφέρει ενέργεια στο σύστημα σε αξιοποιήσιμη μορφή. Επίσης σε ένα ταλαντούμενο σύστημα μπορεί να εφαρμόζει μια εξωτερική δύναμη (συχνά ημιτονοειδής), όπως όταν ένα σύστημα πηνίου-πυκνωτή συνδεθεί με μια εξωτερική πηγή εναλλασσόμενου ρεύματος. Οι ταλαντώσεις αυτές ονομάζονται εξαναγκασμένες.

Σύζευξη ταλαντώσεων

Ο αρμονικός ταλαντωτής και τα συστήματα τα οποία περιγράφει έχουν έναν απλό βαθμό ελευθερίας. Πιο πολύπλοκα συστήματα έχουν περισσότερους βαθμούς ελευθερίας, για παράδειγμα δύο μάζες και τρία ελατήρια (με κάθε μάζα πακτωμένη σε σταθερά σημεία και συνδεδεμένες μεταξύ τους). Σε τέτοιες περιπτώσεις, η συμπεριφορά κάθε μεταβλητής επηρεάζει τη συμπεριφορά της άλλης. Αυτό οδηγεί σε μια σύζευξη των ταλαντώσεων και των βαθμών ελευθερίας κάθε μίας.
Υπό κατάλληλες αρχικές συνθήκες ένα σύνθετο σύστημα ενδέχεται να ταλαντώνεται χωρίς να συμβαίνει σύζευξη των ταλαντώσεων. Σε αυτές τις περιπτώσεις μιλάμε για κανονικό τρόπο ταλάντωσης. Για παράδειγμα, δύο ίσες μάζες και τρία όμοια ελατήρια συνδεδεμένα στο φυσικό τους μήκος με τις μάζες διαδοχικά, ενώ οι ταλαντώσεις είναι γενικά συζευγμένες, αν τα δύο σώματα ταλαντώνονται σε φάση ή με διαφορά φάσης , τότε οι ταλαντώσεις
είναι ισοδύναμες με ταλαντώσεις ανεξάρτητων συστημάτων (αν και διαφορετικών από τα αρχικά), χωρίς να επηρεάζουν η μία την άλλη. Η συχνότητα ταλάντωσης είναι διαφορετική στις δύο περιπτώσεις.