Ολοκληρωμένο πλέγμα

Στα μαθηματικά, ένα ολοκληρωμένο (ή πλήρες) πλέγμα είναι ένα μερικώς διατεταγμένο σύνολο  (partially ordered set) στο οποίο όλα τα υποσύνολα έχουν ένα supremum sup (που ονομάζεται και join ή ένωση και είναι το ελάχιστο άνω φράγμα)  και ένα infimum inf (που ονομάζεται και meet ή τομή και είναι το μέγιστο κάτω φράγμα). Τα ολοκληρωμένα πλέγματα χρησιμοποιούνται σε πολλές εφαρμογές στα μαθηματικά και στην επιστήμη των υπολογιστών. Επειδή τα ολοκληρωμένα πλέγματα αποτελούν μία ειδική περίπτωση πλεγμάτων, μελετώνται επίσης στη θεωρία διατάξεων και στην καθολική άλγεβρα.
Τα ολοκληρωμένα πλέγματα δεν πρέπει να συγχέονται με τα ολικώς διατεταγμένα σύνολα (complete partial orders ή dcpos ή cpos), τα οποία απαρτίζουν μία περισσότερο γενική κατηγορία μερικώς διατεταγμένων συνόλων (partially ordered sets). Πιο συγκεκριμένα ένα ολοκληρωμένα πλέγμα είναι μία πλήρης αλγεβρα Boole και  πλήρης άλγεβρα Heyting (που ονομάζεται και locales).

Oρισμός

Ένα μερικώς διατεταγμένο σύνολο (L, ≤) είναι ένα ολοκληρωμένο πλέγμα, αν κάθε υποσύνολο A του L έχει ένα μέγιστο κάτω φράγμα (infimum που ονομάζεται και meet - τομή) και ένα ελάχιστο άνω φράγμα (supremum που ονομάζεται και join-ένωση) στο (L, ≤).
Η τομή (meet) παριστάνεται με  , και η ένωση (join) με  .
Ας σημειωθεί, ότι στην ειδική περίπτωση όπου Α είναι το κενό σύνολο, η τομή meet) του Α θα είναι το μέγιστο στοιχείο του L. Παρομοίως, η ένωση (join)  του Α θα είναι  το ελάχιστο στοιχείο του L. Επειδή εξ ορισμού έχουμε ως δεδομένη την ύπαρξη των δυαδικών τομών (meets) και ενώσεων (joins), τα ολοκληρωμένα πλέγματα απαρτίζουν μια ειδική κατηγορία φραγμένων πλεγμάτων. 
Περισσότερες λεπτομέρειες του παραπάνω ορισμού αναφέρονται στο άρθρο σχετικά με τις  ιδιότητες πληρότητας  (completeness properties) στην θεωρία διατάξεων.

Ολοκληρωμένα ημιπλέγματα

Στην θεωρία διατάξεων, οι τυχαίες τομές (meets) μπορούν να εκφραστούν με την χρήση τυχαίων ενώσεων (joins) και αντιστρόφως (για λεπτομέρειες, δείτε την παραπομπή completeness (order theory)). Αυτό σημαίνει, ότι αρκεί να διαθέτουμε είτε όλες τις τομές (meets) είτε όλες τις ενώσεις (joins) για να αναγνωρίσουμε την κατηγορία οποιουδήποτε ολοκληρωμένου πλέγματος.
Ως συνέπεια των προηγούμενων, πολλοί αναφέρονται στα ολοκληρωμένα πλέγματα με τους  όρους     ολοκληρωμένο ημιπλέγμα τομών ή ολοκληρωμένο ημιπλέγμα ενώσεων,για να αναφερθούν στα ολοκληρωμένα πλέγματα. Αν και οι ορισμοί αναφέρονται σε όμοια αντικείμενα, όμως εμπεριέχουν διαφορετικές έννοιες ομομορφισμού (homomorphism), όπως θα εξηγηθεί πιο κάτω, στην παράγραφο περί μορφισμών.
Από την άλλη πλευρά, πολλοί δεν αποδέχονται αυτήν την διαφοροποίηση των μορφισμών (ιδίως αφού οι νεες έννοιες των «μορφισμών ολοκληρωμένων ημιπλεγμάτων» μπορούν επίσης να καθοριστούν σε γενικές γραμμές). Κατά συνέπεια, τα ολοκληρωμένα ημιπλέγματα επαφών έχουν επίσης οριστεί ως τα ημιπλέγματα επαφών  που είναι επίσης και ολικώς διατεταγμένα σύνολα (complete partial orders). Αυτή η έννοια είναι αναμφισβήτητα η «πιο ολοκληρωμένη» έννοια ενός ημιπλέγματος επαφών που δεν είναι ακόμη πλέγμα (στην πραγματικότητα, μόνο το άνω στοιχείο μπορεί να λείπει). Η συζήτηση αυτή βρίσκεται επίσης στο άρθρο σχετικά με τα ημιπλέγματα (semilattices).

Ολοκληρωμένα υποπλέγματα

Ένα υποπλέγμα M ενός ολοκληρωμένου  πλέγματος L ονομάζεται ολοκληρωμένο υποπλέγμα του L , αν για κάθε υποσύνολο Α του M τα στοιχεία Α και Α, όπως ορίστηκαν  στο L, βρίσκονται πράγματι εντός του M.
Ένα υποπλέγμα M ενός ολοκληρωμένου πλέγματος L ονομάζεται κλειστό υποπλέγμα του L όταν το M περιέχει μόνον τις μη κενές τομές (meets) και ενώσεις (joins).

Τοπικά πεπερασμένα ολοκληρωμένα πλέγματα

Ένα ολοκληρωμένο πλέγμα L είναι τοπικά πεπερασμένο αν το supremum του κάθε άπειρου υποσυνόλου είναι ίσο με 1, ή ισοδύναμα, το σύνολο  είναι πεπερασμένο για οποιοδήποτε . Το πλέγμα (Ν, |) είναι τοπικά πεπερασμένο. Ας σημειωθεί ότι σε αυτό το πλέγμα, το στοιχείο που γενικά συμβολίζεται με "0" είναι στην πραγματικότητα 1 και αντίστροφα.

Πληρωση

Εάν ένα ολοκληρωμένο (πλήρες) πλέγμα δημιουργείται ελεύθερα από ένα δεδομένο μερικώς διατεταγμένο σύνολο (partially ordered set ή αλλιώς poset) που χρησιμοποιείται αντί του συνόλου των γεννητριών που αναφέρθηκαν προηγουμένως, τότε αναφερόμαστε στην πληρότητα του poset. Ο ορισμός του αποτελέσματος αυτής της λειτουργίας είναι παρόμοιος προς τον προηγούμενο ορισμό των ελεύθερων αντικειμένων, όπου τα σύνολα και οι συναρτήσεις αντικαθίστανται από τα posets και τις μονότονες απεικονίσεις. Ομοίως, κάποιος μπορεί να περιγράψει την διαδικασία πλήρωσης ως ένα κατηγορικό τελεστή (functor) από την κατηγορία των posets με μονότονες συναρτήσεις προς κάποια κατηγορία πλήρων πλεγμάτων  με κατάλληλους μορφισμούς που είναι  αριστερές   στην κατηγορικό τελεστή στην αντίστροφη κατεύθυνση.
Όσο θεωρούμε τις συναρτήσεις τομών ή ενώσεων ως μορφισμούς, αυτό μπορεί εύκολα να επιτευχθεί μέσω της λεγόμενης πλήρωσης  Dedekind–MacNeille. Για αυτήν τη διαδικασία, τα στοιχεία του poset απεικονίζονται σε τομές Dedekind, οι οποίες μπορούν να απεικονιστούν με posets ή αυθαίρετα ολοκληρωμένα πλέγματα με τον ίδιο τρόπο όπως έγινε ήδη με τα σύνολα και τα ελεύθερα ολοκληρωμένα ημιπλέγματα.
Μετά το συμπέρασμα ότι τα ελεύθερα ολοκληρωμένα πλέγματα δεν υπάρχουν, συμπεραίνουμε πως μία ελεύθερη κατασκευή από poset δεν είναι δυνατή. Αυτό φαίνεται εύκολα αν θεωρήσουμε posets με διακριτή διάταξη, όπου κάθε στοιχείο συνδέεται μόνον με τον εαυτό του. Αυτά είναι ακριβώς τα ελεύθερα posets επί ενός υποκείμενου συνόλου. Αν υπήρχε μία ελεύθερη κατασκευή ολοκληρωμένου πλέγματος από posets, τότε και οι δύο κατασκευές θα ήταν δυνατόν να συντεθούν, πράγμα που είναι αντίθετο με το αρνητικό αποτέλεσμα πίό πάνω. 

Αναπαράσταση

Υπάρχουν διάφοροι άλλοι μαθηματικοί τρόποι που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να αναπαραστήσουν τα ολοκληρωμένα πλέγματα. Ένας από αυτούς είναι η πλήρωση Dedekind-MacNeille.  Όταν αυτή η πλήρωση  εφαρμόζεται σε ένα poset που είναι ήδη ένα πλήρες  πλέγμα, τότε το αποτέλεσμα είναι ένα πλήρες πλέγμα από σύνολα που είναι ισομορφικό με το αρχικό. Έτσι συμπεραίνουμε αμέσως ότι κάθε πλήρες πλέγμα είναι ισομορφικό με ένα πλήρες πλέγμα συνόλων.
Μια άλλη αναπαράσταση λαμβάνεται σημειώνοντας ότι η εικόνα  οποιουδήποτε τελεστή κλειστότητας σε ένα πλήρες πλέγμα είναι και πάλι ένα πλήρες πλέγμα (που ονομάζεται σύστημα κλειστότητας). Επειδή η ταυτοτική συνάρτηση (απεικόνιση) είναι επίσης ένας τελεστής κλειστότητας, αυτό σημαίνει ότι τα πλήρη πλέγματα είναι ακριβώς οι εικόνες των τελεστών πληρότητας σε πλήρη πλέγματα. Τώρα μπορεί να εφαρμοσθεί η πλήρωση Dedekind-MacNeille σε έναν τελεστή κλειστότητας: κάθε σύνολο στοιχείων απεικονίζεται στη μικρότερη κάτω (ή άνω) τομή Dedekind που περιέχει αυτό το σύνολο. Μιά τέτοια ελάχιστη τομή πράγματι υπάρχει και έτσι έχουμε έναν τελεστή κλειστότητας  στο δυναμοσύνολο πλέγμα όλων των στοιχείων. Συνοψίζοντας, μπορούμε να πούμε ότι κάθε πλήρες  πλέγμα είναι ισομορφικό προς την εικόνα του ενός τελεστή κλειστότητας σε ένα δυναμοσύνολο πλέγμα.
Αυτό με τη σειρά του χρησιμοποιείται στην ανάλυση δεδομένων, όπου χρησιμοποιούνται δυαδικές σχέσεις (πίνακες σχέσεων που ονομάζονται τυπικά πλαίσια) για να αναπαραστήσουν  τέτοιους τελεστές κλειστότητας.

Περισσότερα αποτελέσματα

Εκτός από την προηγούμενα αποτελέσματα αναπαραστάσεων, υπάρχουν και κάποιες άλλες θεωρήσεις που μπορούν να γίνουν για τα ολοκληρωμένα πλέγματα, ή που λαμβάνουν μια ιδιαίτερα απλή μορφή. Ένα παράδειγμα είναι το Knaster–Tarski θεώρημα, που θεωρεί ότι το σύνολο των σταθερών σημείων  μιας μονότονης συνάρτησης επί ενός ολοκληρωμένου πλέγματος είναι και πάλι ένα ολοκληρωμένο πλέγμα. Φαίνεται εύκολα ότι αυτή είναι  μια γενίκευση της παραπάνω παρατήρησης σχετικά με τις εικόνες των τελεστών κλειστότητας, αφού  αυτά είναι ακριβώς τα σύνολα των σταθερών σημείων τέτοιων τελεστών.