Αξίωμα της επιλογής

Περιορισμός σε πεπερασμένα σύνολα

Η διατύπωση του αξιώματος της επιλογής δεν διευκρινίζει αν η συλλογή των μη κενό συνόλων είναι πεπερασμένη ή άπειρη, και ως εκ τούτου συνεπάγεται ότι κάθε πεπερασμένη συλλογή των μη κενό συνόλων έχει μια συνάρτηση επιλογής. Ωστόσο, η συγκεκριμένη περίπτωση, είναι ένα θεώρημα του Zermelo-Fraenkel Θεωρία Συνόλων,χωρίς το αξίωμα της επιλογής (ZF), αυτό αποδεικνύεται εύκολα με μαθηματική επαγωγή. Σε ακόμα πιο απλή περίπτωση μιας συλλογής από ένα σύνολο, μια συνάρτηση επιλογής μόνο αντιστοιχεί σε ένα στοιχείο,οπότε αυτή η παρουσία του αξιώματος της επιλογής λέει ότι κάθε μη κενό σύνολο έχει ένα στοιχείο, αυτό ισχύει τετριμμένα. Το αξίωμα της επιλογής μπορεί να θεωρηθεί ως επιβεβαίωση της γενίκευσης αυτού του χαρακτηριστικού,που είναι ήδη εμφανές για πεπερασμένα συλλογές, σε αυθαίρετες συλλογές.

Χρήση

Μέχρι τα τέλη του 19ου αιώνα, το αξίωμα της επιλογής χρησιμοποιούνταν συχνά σιωπηρά, παρά το γεγονός ότι δεν είχε ακόμη επισήμως δηλωθεί. Για παράδειγμα, αφού διαπιστώθηκε ότι το σύνολο X περιέχει μόνο μη κενά σύνολα, ένας μαθηματικός θα μπορούσε να πει "ας είναι F (s)  ένα μέλος του s για κάθε s στο X." Σε γενικές γραμμές, είναι αδύνατο να αποδειχθεί οτι το F υπάρχει χωρίς το αξίωμα της επιλογής, αλλά αυτό φαίνεται να είχε περάσει απαρατήρητο μέχρι τον Zermelo.
Δεν είναι κάθε περίπτωση που απαιτεί το αξίωμα της επιλογής. Για πεπερασμένα σύνολα X, το αξίωμα της επιλογής προκύπτει από τα υπόλοιπα αξιώματα της θεωρίας συνόλων. Στην περίπτωση αυτή, είναι ισοδύναμο με το να πούμε ότι αν έχουμε πολλά (έναν πεπερασμένο αριθμό) κουτιών,που το καθένα περιέχει τουλάχιστον ένα αντικείμενο, τότε μπορούμε να επιλέξουμε ακριβώς ένα αντικείμενο από κάθε κουτί. Είναι σαφές ότι μπορούμε να το κάνουμε αυτό: Ξεκινάμε από το πρώτο κουτί επιλέγουμε ένα αντικείμενο,πηγαίνουμε στο δεύτερο κουτί, επιλέγουμε ένα αντικείμενο,και ούτω καθεξής. Ο αριθμός των κιβωτίων είναι πεπερασμένος, έτσι ώστε τελικά η διαδικασία επιλογής μας κάποτε έρχεται στο τέλος της. Το αποτέλεσμα είναι μια ρητή συνάρτηση επιλογής: μια συνάρτηση που παίρνει το πρώτο κουτί στο πρώτο αντικείμενο που επιλέξαμε, το δεύτερο κουτί  στο δεύτερο αντικείμενο που επιλέξαμε, και ούτω καθεξής. (Μια επίσημη απόδειξη για όλα τα πεπερασμένα σύνολα θα χρησιμοποιούσε την αρχή της μαθηματικής επαγωγής για να αποδείξει "για κάθε φυσικό αριθμό k, κάθε οικογένεια των k μη κενό συνόλων διαθέτει μια συνάρτηση επιλογής.") Αυτή η μέθοδος δεν μπορεί, ωστόσο, να χρησιμοποιηθεί για να δείξει ότι κάθε μετρήσιμη οικογένεια μη κενών συνόλων έχει μια συνάρτηση επιλογής, όπως διαπιστώνεται από το αξίωμα της μετρήσιμης επιλογής. Αν η μέθοδος εφαρμοστεί σε μία άπειρη ακολουθία (Xi: i ω ∈) μη κενών συνόλων, μια συνάρτηση επιτυγχάνεται σε κάθε πεπερασμένο στάδιο, αλλά δεν υπάρχει στάδιο κατά το οποίο μια συνάρτηση επιλογής είναι κατασκευασμένη για όλη την οικογένεια, και καμμία "οριακή" συνάρτηση επιλογής μπορεί να κατασκευαστεί, σε γενικές γραμμές, στο ZF χωρίς το αξίωμα της επιλογής.

Παραδείγματα

Η φύση των μεμονωμένων μη κενών συνόλων στη συλλογή μπορεί να καταστήσει δυνατό να αποφευχθεί το αξίωμα της επιλογής ακόμα και για ορισμένες άπειρες συλλογές. Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι κάθε μέλος της συλλογής Χ είναι ένα μη κενό υποσύνολο των φυσικών αριθμών. Κάθε τέτοιο υποσύνολο έχει ένα ελάχιστο στοιχείο,οπότε για να  καθορίσουμε τη συνάρτηση επιλογής μας, μπορούμε απλά να πούμε ότι απεικονίζει κάθε σύνολο στο ελάχιστο στοιχείο αυτού του συνόλου. Αυτό μας δίνει μια σαφή επιλογή ενός στοιχείου από κάθε σύνολο, και καθιστά περιττή την εφαρμογή του αξιώματος της επιλογής.
Η δυσκολία εμφανίζεται όταν δεν υπάρχει φυσική επιλογή των στοιχείων από κάθε σύνολο. Αν δεν μπορούμε να κάνουμε σαφείς επιλογές, πώς ξέρουμε ότι το σύνολο μας υπάρχει; Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι το Χ είναι το σύνολο όλων των μη κενών υποσυνόλων των πραγματικών αριθμών. Πρώτα θα μπορούσαμε να προσπαθήσουμε να προχωρήσουμε σαν το X να ήταν πεπερασμένο. Αν προσπαθήσουμε να επιλέξουμε ένα στοιχείο από κάθε σύνολο, τότε, επειδή το Χ είναι άπειρο,η διαδικασία επιλογή μας δεν θα έρθει ποτέ στο τέλος της, και, κατά συνέπεια, δεν θα είμαστε ποτέ σε θέση να παράγουμε μια συνάρτηση επιλογής για όλο το X. Στη συνέχεια θα μπορούσαμε να προσπαθήσουμε να προσδιορίσουμε το ελάχιστο στοιχείο από κάθε σύνολο. Αλλά κάποια υποσύνολα των πραγματικών αριθμών δεν έχουν ελάχιστα στοιχεία. Για παράδειγμα, το ανοικτό διάστημα (0,1) δεν έχει ελάχιστο στοιχείο: εάν το χ είναι στην (0,1), τότε είναι x / 2, και το χ / 2 είναι πάντοτε αυστηρά μικρότερη από x. Έτσι, αυτή η προσπάθεια αποτυγχάνει, επίσης.
Επιπλέον, σκεφτείτε, για παράδειγμα, ο μοναδιαίος κύκλος S, και η δράση στον S από μια ομάδα G που αποτελείται από όλες τις ορθολογικές περιστροφές. Δηλαδή, αυτές είναι περιστροφές από τις γωνίες που είναι ορθολογικά πολλαπλάσια του π. Εδώ το G είναι μετρήσιμο, ενώ το S είναι μη μετρήσιμο. Ως εκ τούτου,το S σπάει σε πολλές τροχιές του G.Χρησιμοποιώντας το αξίωμα της επιλογής, θα μπορούσαμε να διαλέξουμε ένα σημείο από κάθε τροχιά,αποκτώντας ένα μη μετρησιμο X υποσύνολο του S με την ιδιότητα ότι όλες οι κατατμησεις του από G είναι ασύνδετες από X. Το σύνολο αυτών των κατατμήσεων διαιρεί τον κύκλο σε μια αριθμήσιμη συλλογή από ασυνεχή σύνολα, τα οποία είναι όλα ανάλογα ζεύγη. Δεδομένου ότι το Χ δεν είναι μετρήσιμο για κάθε αναλλοίωτη περιστροφή μετρήσιμα πρόσθετο πεπερασμένο μέτρο για S, βρίσκοντας έναν αλγόριθμο για να επιλέξουμε ένα σημείο σε κάθε τροχιά απαιτεί το αξίωμα της επιλογής. Δείτε μη μετρήσιμα σύνολα για περισσότερες λεπτομέρειες.
Ο λόγος που είμαστε σε θέση να επιλέξουμε ελάχιστα στοιχεία από υποσύνολα των φυσικών αριθμών είναι το γεγονός ότι οι φυσικοί αριθμοί είναι καλά διατεταγμένοι: κάθε μη κενό υποσύνολο των φυσικών αριθμών έχει ένα μοναδικό ελάχιστο στοιχείο κάτω από την φυσική διάταξη. Θα μπορούσε κανείς να πει, "Ακόμα κι αν η συνήθης διάταξη των πραγματικών αριθμών δεν λειτουργεί, μπορεί να είναι δυνατό να βρούμε μια διαφορετική διάταξη των πραγματικών αριθμών που είναι μια καλή διάταξη. Στη συνέχεια, η συνάρτηση επιλογής μας μπορεί να επιλέξει το ελάχιστο στοιχείο του κάθε συνόλου κάτω από την ασυνήθιστη διάταξη μας. "Το πρόβλημα γίνεται στη συνέχεια η οικοδόμηση ενός καλά διατεταγμένου, η οποία αποδεικνύεται ότι απαιτεί το αξίωμα της επιλογής για την ύπαρξή της, κάθε σύνολο μπορεί να είναι καλά διατεταγμένο , αν και μόνο αν το αξίωμα της επιλογής ισχύει.

Κριτική και Αποδοχή

Μια απόδειξη που απαιτεί το αξίωμα της επιλογής μπορεί να αποδείξει την ύπαρξη ενός αντικειμένου, χωρίς σαφή οριοθέτηση του αντικειμένου στη γλώσσα της θεωρίας συνόλων. Για παράδειγμα, ενώ το αξίωμα της επιλογής συνεπάγεται ότι υπάρχει μια καλή διάταξη των πραγματικών αριθμών, υπάρχουν μοντέλα της θεωρίας συνόλων με το αξίωμα της επιλογής στο οποίο δεν υπάρχει καλά-διατεταγμένο της πραγματικής ευθείας σύνολο που να είναι προσδιορίσιμο. Ομοίως, αν ένα υποσύνολο των πραγματικών αριθμών  δεν είναι Lebesgue μετρήσιμο μπορεί να αποδειχθεί πως υπάρχει με το αξίωμα της επιλογής, είναι συνεπής ότι δεν υπάρχει τέτοιο σύνολο που να είναι προσδιορίσιμο.
Το αξίωμα της επιλογής παράγει αυτά τα άυλα στοιχεία (αντικείμενα που έχουν αποδειχθεί για να υπάρξει, αλλά η οποία δεν μπορεί να κατασκευαστεί ρητά), η οποία μπορεί να συγκρούονται με κάποιες φιλοσοφικές αρχές. Επειδή δεν υπάρχει κανονική καλή διάταξη όλων των συνόλων, μια κατασκευή που βασίζεται σε ένα καλά-διατεταγμένων που δεν μπορεί να παράγει ένα κανονικό αποτέλεσμα, ακόμη και αν ένα κανονικό αποτέλεσμα είναι επιθυμητό (όπως είναι συχνά η περίπτωση στη θεωρία κατηγορία). Αυτό έχει χρησιμοποιηθεί ως επιχείρημα κατά του χρήση του αξιώματος της επιλογής.
Ένα άλλο επιχείρημα κατά το αξίωμα της επιλογής είναι ότι προϋποθέτει την ύπαρξη αντιφατικών αντικειμένων. Ένα παράδειγμα είναι το παράδοξο των Μπάναχ και Τάρσκι που λέει ότι είναι δυνατόν να αποσυντεθούν ("carve up"), 3-διάστατα στερεά μοναδιαίας σφαίρας σε πολλά κομμάτια και, χρησιμοποιώντας μόνο περιστροφές και τις μετακινήσεις, συναρμολογώντας τα κομμάτια σε δύο στερεές μπάλες κάθε μία με τον ίδιο όγκο με το πρωτότυπο. Τα κομμάτια σε αυτή την αποσύνθεση, κατασκευάστηκαν χρησιμοποιώντας το αξίωμα της επιλογής, είναι μη μετρήσιμα συνόλων.
Παρά αυτά τα γεγονότα, οι περισσότεροι μαθηματικοί αποδέχονται το αξίωμα της επιλογής ως έγκυρη αρχή για την απόδειξη νέων αποτελεσμάτων στα μαθηματικά. Η συζήτηση είναι αρκετά ενδιαφέρον, ωστόσο, θεωρείται από σημείωση ότι όταν ένα θεώρημα στο ZFC (ZF συν AC) είναι λογικά ισοδύναμο (μαζί με τα αξιώματα ZF) προς το αξίωμα της επιλογής, και οι μαθηματικοί αναζητούν αποτελέσματα που απαιτούν το αξίωμα της επιλογής να είναι ψευδής, αν αυτό το είδος της επαγωγής  είναι λιγότερο συνεχές από ό τον τύπο που απαιτεί το αξίωμα της επιλογής για να είναι αληθινό.
Είναι δυνατό να αποδείξουμε πολλά θεωρήματα χρησιμοποιώντας είτε το αξίωμα επιλογής, είτε την άρνηση του, τέτοιες καταστάσεις  είναι αληθές σε κάθε μοντέλο της Zermelo-Fraenkel Θεωρίας Συνόλων (ZF), ανεξάρτητα από την αλήθεια ή την αναλήθεια του αξιώματος της επιλογής του σε αυτό το συγκεκριμένο μοντέλο . Ο περιορισμός για την ZF καθιστά οποιαδήποτε αξίωση που βασίζεται είτε στο αξίωμα της επιλογής είτε της άρνησής της να ειναι αναπόδεικτό. Για παράδειγμα, το παράδοξο του Banach-Tarski δεν είναι ούτε  αποδείξιμο ούτε μη αποδείξιμο από το ZF: είναι αδύνατο να κατασκευαστεί η απαιτούμενη αποσύνθεση της μοναδιαίας μπάλας  στην ZF, αλλά και αδύνατο να αποδειχθεί οτι δεν υπάρχει τέτοια αποσύνθεση. Ομοίως, όλες οι δηλώσεις που αναφέρονται παρακάτω, τα οποία απαιτούν την επιλογή της ή κάποια ασθενέστερη εκδοχή της για την απόδειξη τους είναι αναπόδεικτες στο ZF, αλλά δεδομένου ότι το καθένα είναι αποδείξιμο στο ZF συν το αξίωμα της επιλογής, υπάρχουν μοντέλα της ZF στο οποίο κάθε κατάσταση είναι αληθινή. Καταστάσεις όπως το παράδοξο του Banach-Tarski μπορεί να επαναδιατυπωθεί ως υπό όρους καταστάσεις, για παράδειγμα, «Αν AC κατέχει, η αποσύνθεση του παράδοξου Banach-Tarski υπάρχει." Τέτοιες δηλώσεις υπό όρους είναι αποδείξιμες στο ZF, όταν οι αρχικές δηλώσεις είναι αποδείξιμες από ZF και του αξίωμα της επιλογής.

Ανεξαρτησία

Υποθέτοντας οτι ZF είναι συνεκτικό,ο Kurt Gödel έδειξε ότι η άρνηση του αξιώματος της επιλογής δεν είναι ένα θεώρημα της ZF με την κατασκευή ενός εσωτερικού μοντέλου (η οικοδομήσιμο σύμπαν), η οποία ικανοποιεί ZFC και δείχνοντας έτσι ότι η ZFC είναι συνεκτική. Υποθέτοντας οτι ZF είναι συνεκτικό, ο Paul Cohen χρησιμοποίησε την τεχνική της αναγκάζοντας, να αναπτύχθεί για το σκοπό αυτό, για να δείξει ότι το αξίωμα της επιλογής από μόνο του δεν είναι ένα θεώρημα της ZF με την κατασκευή ενός πολύ πιο σύνθετου μοντέλου που ικανοποιεί την ZF ¬ C (ZF με η άρνηση της AC προστίθεται ως αξίωμα) και δείχνοντας έτσι ότι η ZF ¬ C είναι συνεκτική. Μαζί με τα αποτελέσματα αυτά αποδεικνύεται ότι η αξίωμα της επιλογής είναι λογικά ανεξάρτητο από το ZF. Η υπόθεση ότι ο ZF είναι συνεκτικός είναι ακίνδυνο, διότι προσθέτοντας άλλο αξίωμα σε ένα ήδη ασυνεπή σύστημα δεν μπορεί να κάνει την κατάσταση χειρότερη. Λόγω της ανεξαρτησίας, η απόφαση για τη χρήση του αξιώματος της επιλογής (ή η άρνησή της),οδηγεί σε μια απόδειξη που δεν μπορεί να γίνει με προσφυγή σε άλλα αξιώματα της θεωρία των συνόλων. Η απόφαση πρέπει να γίνει για άλλους λόγους.
Ένα επιχείρημα που έχει εκδοθεί υπέρ της χρησιμότητας του αξιώματος της επιλογής είναι ότι είναι βολικό να το χρησιμοποιηθεί επειδή επιτρέπει σε κάποιον να αποδείξει κάποιες απλοποιημένες προτάσεις που διαφέρουν και δεν μπορούν να αποδειχούν. Πολλά θεωρήματα τα οποία είναι επιλεκτικά αποδεικτά χρησιμοποιούνται και είναι κομψού γενικού χαρακτήρα: κάθε ιδανικό σε ένα δαχτυλίδι περιέχει ένα μέγιστο ιδανικό, κάθε χώρος φορέας έχει μια βάση, και κάθε προϊόν μικρού χώρου είναι συμπαγής. Χωρίς το αξίωμα της επιλογής, αυτά τα θεωρήματα δεν μπορεί να κρατήσει για μαθηματικά αντικείμενα μεγάλων πληθάριθμων
Η απόδειξη του αποτελέσματος της ανεξαρτησίας δείχνει επίσης ότι μια μεγάλη τάξη των μαθηματικών καταστάσεων, συμπεριλαμβανομένων όλων των καταστάσεων που μπορεί να διατυπωθεί στη γλώσσα της αριθμητικής Peano, είναι αποδείξιμες σε ZF αν και μόνο αν είναι αποδείξιμες σε ZFC. Δηλώσεις σε αυτή τη κατηγορία περιλαμβάνεται τη δήλωση ότι P = NP, η υπόθεση Riemann, και πολλά άλλα άλυτα μαθηματικά προβλήματα. Όταν κάποιος προσπαθεί να λύσει τα προβλήματα σε αυτή την κατηγορία, δεν υπάρχει καμία διαφορά εάν χρησιμοποιεί ZF ή ZFC , αν το μόνο ζήτημα είναι η ύπαρξη μιας απόδειξης. Είναι δυνατόν, ωστόσο, ότι υπάρχει μια μικρότερη απόδειξη  θεωρήματος στο ZFC από ό, τι στο ZF.
Το αξίωμα της επιλογής δεν είναι η μόνη σημαντική δήλωση η οποία είναι ανεξάρτητη της ZF. Για παράδειγμα, η γενικευμένη υπόθεση του συνεχούς (GCH) δεν είναι μόνο ανεξάρτητη από ZF, αλλά και ανεξάρτητα από ZFC. Ωστόσο, ZF συν GCH συνεπάγεται AC, καθιστώντας GCH αυστηρά ισχυρότερη αξίωση από τους AC, ακόμα κι αν είναι τόσο ανεξάρτητη από το ZF.

Τα ισχυρότερα αξιώματα

Το αξίωμα της Κατασκευασιμότητας και η γενικευμένη υπόθεση του συνεχούς και με τα δυο συνεπάγεται το αξίωμα της επιλογής, αλλά είναι απολύτως ισχυρότερο από αυτό.
Στις θεωρίες κατηγορίας, όπως η Von Neumann-Bernays-Gödel θεωρία των συνόλων και Μορς-Kelley θεωρία των συνόλων, υπάρχει ένα πιθανό αξίωμα που ονομάζεται το αξίωμα της παγκόσμιας επιλογής το οποίο είναι ισχυρότερο από ό, τι το αξίωμα της επιλογής για τα σύνολα, εφόσον ισχύει και για τις σωστές τάξεις. Και το αξίωμα της παγκόσμιας επιλογή γίνεται ύστερα από το αξίωμα του περιορισμού του μεγέθους.

Ηπιότερες μορφές

Υπάρχουν πολλές ασθενέστερες καταστάσεις που δεν είναι ισοδύναμες με το αξίωμα της επιλογής, αλλά είναι στενά συνδεδεμένα. Ένα παράδειγμα είναι το εξαρτημένο αξίωμα της επιλογής (DC). Ένα ακόμη παράδειγμα που είναι ασθενέστερο το αξίωμα της επιλογής μετρήσιμων (ACω ή CC), το οποίο αναφέρει ότι μια συνάρτηση επιλογής υπάρχει για κάθε μετρήσιμο σύνολο συνόλων μη κενών. Αυτά τα αξιώματα είναι επαρκή για πολλές
αποδείξεις στην πρωτοβάθμια μαθηματική ανάλυση, και είναι σύμφωνες με ορισμένες αρχές, όπως το μέτρο Lebesgue όλων των συνόλων της πραγματικής ευθείας, που είναι  από την πλήρη αξίωματα της επιλογής.
Άλλα αξιώματα επιλογής ασθενέστερα από τα αξιώματα της επιλογής περιλαμβάνουν το Boolean πρωταρχικό ιδανικό θεώρημα και το τυποποιημένο αξίωμα. Το πρώτο είναι ισοδύναμο με ZF με την ύπαρξη υπερσυνόλων που περιέχει κάθε δεδομένο φίλτρο, και αποδεικνύεται από Tarski το 1930.

Ισχυρότερες μορφές της άρνησης AC

Τώρα, σκεφτείτε ισχυρότερες μορφές της άρνησης AC. Για παράδειγμα, αν θα συντομεύσει από την BP τον ισχυρισμό ότι κάθε σύνολο των πραγματικών αριθμών έχει την ιδιότητα του Baire, τότε η BP είναι ισχυρότερη από ό, τι ¬ AC, η οποία υποστηρίζει την ανυπαρξία οποιασδήποτε λειτουργίας επιλογής ίσως μόνο ένα ενιαίο σύνολο μή κενών συνόλων. Σημειώστε ότι η ενισχυμένη αρνήσεις μπορεί να είναι συμβατές με τις εξασθενημένες μορφές των AC. Για παράδειγμα, ZF + DC  + BP είναι συνεπής, αν ZF είναι.
Είναι επίσης σύμφωνη με ZF + DC ότι κάθε συνόλου των πραγματικών είναι Lebesgue μετρήσιμο? Ωστόσο, το αποτέλεσμα της συνέπειας, λόγω Robert M. Solovay, δεν μπορεί να αποδειχθεί σε ZFC το ίδιο, αλλά απαιτεί ένα ήπιο μεγάλο  πληθικό αριθμό (η ύπαρξη απρόσιτες πληθικό). Το πιό ισχυρότερο αξίωμα της αοριστίας  μ.Χ., προϋποθέτει ότι κάθε συνόλου των πραγματικών είναι Lebesgue μετρήσιμο, έχει την ιδιότητα του Baire, και έχει το τέλειο ακίνητο σύνολο (και τα τρία από τα αποτελέσματα αυτά αντικρούονται από AC μόνα τους). ZF + DC + AD είναι συνεπής με την προϋπόθεση ότι ένα αρκετά ισχυρά μεγάλα αξιώματα πληθικού είναι συνεπής (η ύπαρξη απείρως πολλών πληθικών Woodin).