Θεώρημα μεταφοράς Reynolds

Το θεώρημα μεταφοράς Reynolds είναι ένα θεμελιώδες θεώρημα το οποίο χρησιμοποιείται στην τυποποίηση των βασικών νόμων διατήρησης μάζας, ορμής και ενέργειας στη ρευστοδυναμική. Το θεώρημα πήρε την ονομασία προς τιμήν του Osborne Reynolds (1842–1912), ιδιαίτερα γνωστός για τη συμβολή του στην ρευστοδυναμική με τον προσδιορισμό του αριθμού Reynolds.
Το θεώρημα αναφέρεται σε οποιαδήποτε εκτατική μεταβλητή, \textbf{J}, ενός ρευστού μέσα σε έναν όγκο ελέγχου. Το θεώρημα μεταφοράς Reynolds δηλώνει ότι ο ρυθμός μεταβολής μιας εκτατικής μεταβλητής \textbf{J} ενός συστήματος, είναι ίσος με τον χρονικό ρυθμό μεταβολής της μεταβλητής \textbf{J} μέσα στον όγκο ελέγχου, συν την συνολική εκροή της μεταβλητής αυτής από την επιφάνεια ελέγχου.
Η ακόλουθη απόδειξη του θεωρήματος παρουσιάζεται σύμφωνα με τις αποδείξεις των Gidaspow  και Aris . Λαμβάνουμε ισορροπίες σε μια αυθαίρετη ποσότητα F(t) η οποία μεταβάλλεται με τον χρόνο. Στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο ορίζουμε την μεταβλητή ανά μονάδα όγκου \textbf{J}(t,\textbf{x}), όπου t είναι ο χρόνος και \textbf{x} είναι το διάνυσμα θέσης έτσι ώστε
F(t) = \iiint_{V(t)} \textbf{J}(t,\textbf{x}) dV.
Σ´ένα διακριτό σύστημα αναφοράς (Lagrangian) ορίζουμε τρεις παραμέτρους (x^0, y^0, z^0) = \textbf{x}^0 οι οποίες αναπαριστούν τις χωρικές συντεταγμένες των ατομικών σωματιδίων από τα οποία αποτελείται η συνεχής φάση (continuum), την χρονική στιγμή t^0. Συνεπώς, οι χωρικές συντεταγμένες ενός ατομικού σωματιδίου για οποιαδήποτε χρονική στιγμή είναι συναρτήσεις των
\begin{matrix}
 x = x(t, x^0, y^0, z^0),\\
 y = y(t, x^0, y^0, z^0),\\
 z = z(t, x^0, y^0, z^0).\\
\end{matrix}
Οι συναρτήσεις x,y,z λαμβάνονται ως μονότιμες και τουλάχιστον δις διαφορίσιμες. Υποθέτουμε ότι οι μετασχηματισμοί είναι ένας προς ένα ούτως ώστε οι αντίστροφοι μετασχηματισμοί να υπάρχουν και να είναι τουλάχιστον δις διαφορίσιμοι. Συνεπώς,
\begin{matrix}
 x^0 = x^0(t, x, y, z),\\
 y^0 = y^0(t, x, y, z),\\
 z^0 = z^0(t, x, y, z).\\
\end{matrix}
Οι συναρτήσεις \textbf{x} και \textbf{x}^0 είναι αντίστροφες. Οι ταχύτητες ροής ή "σωματιδιακές ταχύτητες" για το συνεχές ως εκ τούτου ορίζονται
\textbf{v}(t,\textbf{x}) = \frac{d\textbf{x}}{dt} = \frac{\partial \textbf{x}(t,\textbf{x}^0)}{\partial t}.
Η διαφόριση της εξίσωσης της αυθαίρετης ποσότητας, F(t), μπορεί να γίνει αλλάζοντας τα όρια ολοκλήρωσης από έναν αυθαίρετο όγκο V(t) σε έναν σταθερό μη κινούμενο αρχικό όγκο V^0. Για να γίνει η αλλαγή των ορίων ολοκλήρωσης η χρήση της Ιακωβιανής ορίζουσας J από τον προχωρημένο λογισμό είναι απαραίτητη, η οποία εκφράζει μία τοπική σχέση μεταξύ σημείων στη διάταξη V(t) και αντίστοιχων σημείων στη διάταξη V^0. Η χρήση της Ιακωβιανής ορίζουσας έχει ως αποτέλεσμα
dV = J dV^0.
Άρα η διαφόριση της F(t) δίνει
\frac{dF(t)}{dt} = \frac{d}{dt} \iiint_{V(t)} \textbf{J}(t,\textbf{x}) dV = \frac{d}{dt}\iiint_{V^0} \textbf{J}\Big [(t,\textbf{x}(t,\textbf{x}^0)) \Big ]J dV^0,
όπου
J = \begin{vmatrix}
\frac{\partial x}{\partial x^0} &\frac{\partial y}{\partial x^0} &\frac{\partial z}{\partial x^0}\\
\frac{\partial x}{\partial y^0} &\frac{\partial y}{\partial y^0} &\frac{\partial z}{\partial y^0}\\
\frac{\partial x}{\partial z^0} &\frac{\partial y}{\partial z^0} &\frac{\partial z}{\partial z^0}\\
     \end{vmatrix}
= \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(x^0,y^0,z^0)},
\frac{dF(t)}{dt} = \iiint_{V^0} \Big(\frac{d\textbf{J}}{dt} \cdot J + \textbf{J} \cdot \frac{dJ}{dt} \Big) dV^0.

Διαφόριση της Ιακωβιανής ορίζουσας

Για το στοιχείο της πρώτης στήλης έχουμε
\frac{d}{dt}\frac{\partial x}{\partial x^0} = \frac{\partial}{\partial x^0} \cdot \frac{dx}{dt} = \frac{\partial u}{\partial x^0},
εφόσον
x = x(t, x^0, y^0, z^0)  και  u = \frac{dx}{dt}.
Για τον υπολογισμό του \frac{\partial v}{\partial x^0} δεν πρέπει να ξεχνάμε ότι
 u = u \Big[t, x(t, x^0, y^0, z^0), y(t, x^0, y^0, z^0), z(t, x^0, y^0, z^0) \Big].
Άρα
\frac{\partial u}{\partial x^0} = \frac{\partial u}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial x^0} + \frac{\partial u}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial x^0} + \frac{\partial u}{\partial z} \cdot \frac{\partial z}{\partial x^0}.
Για την ποσότητα \frac{dJ}{dt} λαμβάνουμε το άθροισμα τριών οριζουσών. Το πρώτο είναι
\begin{matrix}
\begin{vmatrix}
\frac{\partial u}{\partial x^0} &\frac{\partial y}{\partial x^0} &\frac{\partial z}{\partial x^0}\\
\frac{\partial u}{\partial y^0} &\frac{\partial y}{\partial y^0} &\frac{\partial z}{\partial y^0}\\
\frac{\partial u}{\partial z^0} &\frac{\partial y}{\partial z^0} &\frac{\partial z}{\partial z^0}\\
 \end{vmatrix}
=\begin{vmatrix}
 \frac{\partial u}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial x^0} + \frac{\partial u}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial x^0} + \frac{\partial u}{\partial z} \cdot \frac{\partial z}{\partial x^0}&\frac{\partial y}{\partial x^0} &\frac{\partial z}{\partial x^0}\\

\frac{\partial u}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial y^0} + \frac{\partial u}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial y^0} + \frac{\partial u}{\partial z} \cdot \frac{\partial z}{\partial y^0} &\frac{\partial y}{\partial y^0} &\frac{\partial z}{\partial y^0}\\

\frac{\partial u}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial z^0} + \frac{\partial u}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial z^0} + \frac{\partial u}{\partial z} \cdot \frac{\partial z}{\partial z^0} &\frac{\partial y}{\partial z^0} &\frac{\partial z}{\partial z^0}\\
 \end{vmatrix}\\


=\frac{\partial u}{\partial x}\underbrace{\begin{vmatrix}
\frac{\partial x}{\partial x^0} &\frac{\partial y}{\partial x^0} &\frac{\partial z}{\partial x^0}\\
\frac{\partial x}{\partial y^0} &\frac{\partial y}{\partial y^0} &\frac{\partial z}{\partial y^0}\\
\frac{\partial x}{\partial z^0} &\frac{\partial y}{\partial z^0} &\frac{\partial z}{\partial z^0}\\
 \end{vmatrix}}_{\text{J}}
+\frac{\partial u}{\partial y} \underbrace{\begin{vmatrix}
\frac{\partial y}{\partial x^0} &\frac{\partial y}{\partial x^0} &\frac{\partial z}{\partial x^0}\\
\frac{\partial y}{\partial y^0} &\frac{\partial y}{\partial y^0} &\frac{\partial z}{\partial y^0}\\
\frac{\partial y}{\partial z^0} &\frac{\partial y}{\partial z^0} &\frac{\partial z}{\partial z^0}\\
  \end{vmatrix}}_{0}
+\frac{\partial u}{\partial z} \begin{vmatrix}
\\
\\
0
\end{vmatrix}.
\end{matrix}
Η δεύτερη ορίζουσα της εξίσωσης που πολλαπλασιάζεται με τον όρο \frac{\partial u}{\partial y} είναι απλά μηδενική διότι περιέχει δύο πανομοιότυπες στήλες. Παρομοίως, διαφορίζοντας την δεύτερη και τρίτη στήλη λαμβάνουμε
\frac{dJ}{dt} = \Big(\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z} \Big) \cdot J,
\frac{\frac{dJ}{dt}}{J} = \nabla \cdot \textbf{v},
ή αλλιώς τον σχετικό ρυθμό διαστολής (είναι συνάρτηση της απόκλισης της ταχύτητας) ο οποίος είναι ανεξάρτητος του συστήματος αναφοράς. Επομένως, λαμβάνουμε
\frac{dF}{dt} = \iiint_{V^0} \Big[\frac{d\textbf{J}}{dt} + \textbf{J}(\nabla \cdot \textbf{v})\big]JdV^0 = \iiint \Big(\frac{d\textbf{J}}{dt} + \textbf{J}\nabla \cdot \textbf{v} \Big)dV.
Εφαρμόζοντας τον κανόνα της αλυσίδας λαμβάνουμε την παράγωγο
\frac{d\textbf{J}(t,x,y,z)}{dt} = \frac{\partial\textbf{J}}{\partial t} + \frac{\partial\textbf{J}}{\partial x} \cdot u + \frac{\partial\textbf{J}}{\partial y} \cdot v + \frac{\partial\textbf{J}}{\partial z} \cdot w = \frac{\partial\textbf{J}}{\partial t} + \nabla\textbf{J} \cdot \textbf{v},
όπου u,v,w είναι οι x,y,z συνιστώσες της ταχύτητας. Η τελευταία εξίσωση ονομάζεται υλική παράγωγος η οποία σε γενική μορφή είναι
\frac{d\textbf{J}(t,\textbf{x}(t))}{dt} = \frac{\partial\textbf{J}}{\partial t} +\textbf{v} \cdot \nabla\textbf{J}.
Άρα, χρησιμοποώντας την εξίσωση της παραγώγου της F(t) και τη γενικευμένη υλική παράγωγο το θεώρημα μεταφοράς Reynolds παίρνει τη μορφή
\frac{d}{dt} \iiint_{V(t)} \textbf{J}(t,\textbf{x})dV = \iiint_{V(t)} \Big(\frac{\partial\textbf{J}}{\partial t} + \nabla \cdot \textbf{J} \textbf{v}\Big)dV.