Συναρτησιακή ανάλυση

Συναρτησιακή ανάλυση είναι ένας κλάδος της μαθηματικής ανάλυσης, ο πυρήνας του οποίου σχηματίζεται από τη μελέτη των διανυσματικών χώρων εφοδιασμένη με κάποιο είδος ορίου που σχετίζεται με τη δομή (π.χ. εσωτερικό γινόμενο, κανόνας, τοπολογία, κλπ) και των γραμμικών τελεστών που ενεργούν σε αυτούς τους χώρους και με σεβασμό σε αυτές τις δομές με μία κατάλληλη έννοια. Οι ιστορικές ρίζες της συναρτησιακής ανάλυσης βρίσκονται στη μελέτη των συναρτησιακών χώρων και τη διαμόρφωση των ιδιοτήτων των συναρτησιακών μετασχηματισμών, όπως μετασχηματισμός Fourier, μετασχηματισμοί για τον καθορισμό της συνέχειας, ενιαίοι φορείς κλπ μεταξύ των συναρτησιακών χώρων. Αυτή η άποψη αποδείχθηκε ιδιαίτερα χρήσιμη για την μελέτη των διαφορικών εξισώσεων και των ολοκληρωτικών εξισώσεων.
Η χρήση της λέξης συνάρτηση πηγαίνει πίσω στον λογισμό των μεταβολών, που συνεπάγεται τη συνάρτηση της οποίας το όρισμα είναι συνάρτηση και το όνομα χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά στο βιβλίο του Hadamard 1910 για αυτό το θέμα. Ωστόσο, η γενική έννοια της συνάρτησης είχε προηγουμένως εισαχθεί το 1887 από τον ιταλό μαθηματικό και φυσικό Vito Volterra. Η μη γραμμική συναρτησιακή θεωρία συνεχίστηκε από τους μαθητές του Hadamard, συγκεκριμένα τους Fréchet και Lévy. Ο Hadamard επίσης ίδρυσε τη σύγχρονη σχολή της γραμμικής συναρτησιακής ανάλυσης  που αναπτύχθηκε περαιτέρω από τον Riesz και την ομάδα πολωνών μαθηματικών του Stefan Banach.
Στα σύγχρονα εισαγωγικά κείμενα για τη συναρτησιακή ανάλυση, το θέμα θεωρείται ως η μελέτη των διανυσματικών χώρων εφοδιασμένο με μια τοπολογία, συγκεκριμένα τους άπειρο-διάστατους χώρους. Αντίθετα, η γραμμική άλγεβρα ασχολείται κυρίως με πεπερασμένων διαστάσεων χώρους, και δεν χρησιμοποιεί τοπολογία. Ένα σημαντικό μέρος της συναρτησιακής ανάλυσης είναι η επέκταση της θεωρίας του μέτρου, η ολοκλήρωση, και η πιθανότητα των άπειρο-διάστατων χώρων, γνωστά ως άπειρο-διαστατική ανάλυση.

Κανονικοί διανυσματικοί χώροι

Η βασική και ιστορικά πρώτη τάξη των χώρων που μελετήθηκε στη συναρτησιακή ανάλυση είναι οι πλήρεις κανονικοί διανυσματικοί χώροι πάνω από τους πραγματικούς ή τους μιγαδικούς αριθμούς. Οι χώροι αυτοί ονομάζονται χώροι Μπάναχ. Ένα σημαντικό παράδειγμα είναι ένας Hilbert χώρος, όπου η νόρμα προκύπτει από το εσωτερικό γινόμενο. Οι χώροι αυτοί είναι θεμελιώδους σημασίας για πολλούς τομείς, όπως η μαθηματική διατύπωση της κβαντικής μηχανικής.
Γενικότερα, η συναρτησιακή ανάλυση περιλαμβάνει τη μελέτη των Fréchet χώρων και άλλων τοπολογικών διανυσματικών χώρων που δεν είναι εφοδιασμένοι με μία νόρμα.
Ένα σημαντικό αντικείμενο μελέτης στη συναρτησιακή ανάλυση είναι η συνεχείς γραμμικοί τελεστές που ορίζονται σε Μπάναχ και Χίλμπερτ χώρους. Αυτά αφορούν τον ορισμό των C*-αλγεβρών και άλλων φορέων αλγεβρών.

Χώροι Χίλμπερτ

Οι Χίλμπερτ χώροι μπορεί να είναι εντελώς ταξινομημένοι: υπάρχει ένας μοναδικός χώρος Χίλμπερτ μέχρι ισομορφισμού για κάθε πληθικότητα της ορθοκανονικής βάσης. Οι Πεπερασμένων διαστάσεων Χίλμπερτ χώροι, είναι πλήρως κατανοητοί στη γραμμική άλγεβρα, και οι άπειρο-διάστατοι διαχωρήσιμοι Χίλμπερτ χώροι είναι ισομορφικοί με το .Με τη διαχωρισημότητα να είναι σημαντική για τις εφαρμογές, η συναρτησιακή ανάλυση των Χίλμπερτ χώρων, ως επί το πλείστον ασχολείται με αυτό το χώρο. Ένα από τα ανοιχτά προβλήματα στη συναρτησιακή ανάλυση είναι να αποδείξουμε ότι κάθε φραγμένος γραμμικός τελεστής σε χώρο Χίλμπερτ έχει ένα σωστό αμετάβλητο υποδιάστημα. Πολλές ειδικές περιπτώσεις του προβλήματος αμετάβλητων υποδιαστημάτων έχουν ήδη αποδειχθεί.

Χώροι Μπάναχ

Οι Γενικοί Μπάναχ χώροι είναι πιο περίπλοκοι από τους, Χίλμπερτ χώρους, και δεν μπορούν να καταταχθούν με ένα τόσο απλό τρόπο. Ειδικότερα, πολλοί Μπάναχ χώροι στερούνται μιας ιδέας ανάλογης με μια ορθοκανονικη βαση.
Παραδείγματα χώρων Μπάναχ είναι οι -χώροι για κάθε πραγματικό αριθμό  . Δίνεται, επίσης, ένα μέτρο  για να ορίσετε και, στη συνέχεια , μερικές φορές, επίσης, δηλώνεται  ή , έχει ως διανύσματα κλάσεις ισοδυναμίας  μετρήσιμων συναρτήσεων των οποίων η απόλυτη τιμή της -οστής δύναμης έχει πεπερασμένο ολοκλήρωμα, που είναι, συναρτήσεις  για τις οποίες έχει
.
Αν  είναι το καταμέτρηση μέτρο, τότε το ολοκλήρωμα μπορεί να αντικατασταθεί από ένα άθροισμα. Δηλαδή, έχουμε απαιτήσει
.
Τότε δεν είναι απαραίτητο να ασχοληθούμε με κλάσεις ισοδυναμίας, και ο χώρος συμβολίζεται , που γράφεται πιο απλά  σε περίπτωση που  είναι το σύνολο των μη-αρνητικών ακεραίων.
Στους χώρους Μπάναχ, ένα μεγάλο μέρος της μελέτης περιλαμβάνει τον διπλό χώρο: ο χώρος όλων των συνεχών γραμμικών χάρτών από το χώρο στο υποκείμενο πεδίο, το λεγόμενο συναρτησιακό. Ένας χώρος Μπάναχ μπορεί να ταυτοποιηθεί κανονικά με ένα υποδιάστημα του bidual, το οποίο είναι το διπλό τoυ διπλού χώρου. Ο αντίστοιχος χάρτη είναι μια ισομετρία , αλλά σε γενικές γραμμές δεν είναι επάνω. Ένας γενικός χώρος Μπάναχ και το bidual του δεν χρειάζεται καν να είναι ισομετρικά ισομορφικό με οποιοδήποτε τρόπο, σε αντίθεση με την πεπερασμένων διαστάσεων κατάσταση. Αυτό εξηγείται στο άρθρο για τους διπλούς χώρους.
Επίσης, η έννοια της παραγώγου μπορεί να επεκταθεί σε αυθαίρετες συναρτήσεις μεταξύ χώρων Μπάναχ. Δείτε, για παράδειγμα, το άρθρο της παραγώγου Frechet.

Σημαντικά και θεμελιώδη αποτελέσματα

Σημαντικά αποτελέσματα της συναρτησιακής ανάλυσης περιλαμβάνουν:

Ομοιόμορφη φραγμένη αρχή

Η ομοιόμορφη φραγμένη αρχή ή Banach-Steinhaus θεώρημα είναι ένα από τα θεμελιώδη αποτελέσματα στην συναρτησιακή ανάλυση. Μαζί με το Hahn–Banach θεώρημα και το θεώρημα ανοιχτής απεικόνισης, θεωρείται ένας από τους ακρογωνιαίους λίθους του πεδίου. Στην βασική του μορφή, ισχυρίζεται ότι για μια οικογένεια συνεχών γραμμικών τελεστών (και έτσι φραγμένων τελεστών) της οποίας το πεδίο είναι Banach χώρο, φραγμένη κατά σημείο είναι ισοδύναμη με ομοιόμορφα φραγμένη στο τελεστή του κανόνα.
Το θεώρημα εκδόθηκε για πρώτη φορά το 1927 από τους Stefan Banach και Hugo Steinhaus αλλά ήταν επίσης αποδεδειγμένο ανεξάρτητα από τον Hans Hahn.
Θεώρημα (Ομοιόμορφη Φραγμένη Αρχή). Ας είναι το X ένας Banach χώρος και Y ένας κανονικός διανυσματικός χώρος. Ας υποθέσουμε ότι η F είναι μια συλλογή συνεχών γραμμικών τελεστών από το X στο Y. Αν για όλα τα x ανήκουν στο X έχουμε:
τότε

Φασματικό θεώρημα

Υπάρχουν πολλά θεωρήματα που είναι γνωστά ως Φασματικό Θεώρημα, αλλά το συγκεκριμένο έχει πολλές εφαρμογές στη συναρτησιακή ανάλυση. Ας είναι Α ο τελεστής του πολλαπλασιασμού από τον t στον L²[0, 1], που είναι
Θεώρημα: Ας είναι Α ένας φραγμένος αυτο-συζυγής τελεστής σε ένα χώρο Χίλμπερτ H. Στη συνέχεια, υπάρχει ένα μέτρο χώρου (X, Σ, μ) και μια ουσιωδώς φραγμένη μετρήσιμη συνάρτηση με πραγματικές τιμές f στο X και ενός ενιαίου τελεστή U:H → L²μ(X) τέτοιο ώστε
όπου T είναι ο πολλαπλασιασμός τελεστών:
και 
Αυτή είναι η αρχή του τεράστιου χώρου έρευνας της συναρτησιακής ανάλυσης που ονομάζεται θεωρία τελεστών (βλέπε επίσης το φασματικό μέτρο).
Υπάρχει επίσης ένα ανάλογο φασματικό θεώρημα για φραγμένους κανονικούς τελεστές σε χώρους Hilbert. Η μόνη διαφορά με το συμπέρασμα είναι ότι τώρα η  μπορεί να είναι συνάρτηση με μιγαδικές τιμές.

Θεώρημα Ανοιχτής Απεικόνισης

Το θεώρημα ανοιχτής απεικόνισης, επίσης γνωστό ως το Banach–Schauder θεώρημα (το όνομά του από τον Stefan Banach και Juliusz Schauder), είναι ένα θεμελιώδες αποτέλεσμα, το οποίο αναφέρει ότι αν ένας συνεχής γραμμικός τελεστής μεταξύ των χώρων Μπάναχ είναι απεικόνιση επί, τότε είναι μια ανοιχτή απεικόνιση. Πιο συγκεκριμένα:
Θεώρημα ανοιχτής συνάρτησης. Αν X και Y είναι Banach χώροι και Α : X → Y είναι μια απεικόνιση επί συνεχούς γραμμικού τελεστή, τότε Α είναι μια ανοιχτή απεικόνιση (δηλ. αν U είναι ένα ανοιχτό σύνολο στο X, τότε το A(U) είναι ανοικτό στο Y).
Η απόδειξη χρησιμοποιεί το θεώρημα κατηγορίας του Baire και η πληρότητα των X και Y είναι απαραίτητη στο θεώρημα. Η πρόταση του θεωρήματος δεν ισχύει πλέον, ακόμα κι αν ο χώρος απλά υποτίθεται ότι είναι ένας κανονικός χώρος, αλλά είναι αλήθεια αν X και Y ανήκουν στους Fréchet χώρους.

Θεώρημα κλειστής γραφικής παράστασης

Το θεώρημα κλειστής γραφικής παράστασης αναφέρει τα εξής: Αν X είναι ένας τοπολογικός χώρος και Y είναι συμπαγής χώρος Hausdorff, τότε η γραφική παράσταση μιας γραμμικής απεικόνισης T από X σε Y είναι κλειστή αν και μόνο αν T είναι συνεχής.

Θεμέλια των μαθηματικών σκέψεων

Οι περισσότεροι χώροι θεωρούνται ότι στη συναρτησιακη ανάλυση έχουν άπειρη διάσταση. Για να δείξουμε την ύπαρξη μιας βάσης διανυσματικού χώρου, για αυτούς τους χώρους μπορεί να χρειαστεί το λήμμα του Zorn. Ωστόσο, μια κάπως διαφορετική έννοια, βάση Schauder, είναι συνήθως πιο σχετική προς τη συναρτησιακή ανάλυση. Πολλά σημαντικά θεωρήματα χρειάζονται το θεώρημα Hahn-Banach, συνήθως αποδεικνύεται χρησιμοποιώντας το αξίωμα της επιλογής, αν και το αυστηρά ασθενέστερο πρώτο ιδεώδες θεώρημα του Boole αρκεί. Το θεώρημα κατηγορίας του Baire, που χρειάζεται για να αποδείξει πολλά σημαντικά θεωρήματα, απαιτεί επίσης μια μορφή του αξιώματος της επιλογής.