Μήκος τόξου

Γενική προσέγγιση

Μια καμπύλη στο επίπεδο μπορεί να προσεγγιστεί από τη σύνδεση ενός πεπερασμένου αριθμό σημείων στην καμπύλη χρησιμοποιώντας τμήματα της γραμμής για να δημιουργήσετε ένα πολυγωνικό μονοπάτι. Δεδομένου ότι είναι εύκολο να υπολογιστεί το μήκος του κάθε γραμμικού τμήματος (χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα σε Ευκλείδειο χώρο, για παράδειγμα), το συνολικό μήκος της προσέγγισης μπορεί να βρεθεί από την άθροιση των μηκών του κάθε γραμμικού τμήματος? Αυτή η προσέγγιση είναι γνωστή ως η (σωρευτικά) συγχορδιακή απόσταση. [1]
Εάν η καμπύλη δεν είναι ήδη μία πολυγωνική διαδρομή, χρησιμοποιώντας ένα προοδευτικά μεγαλύτερο αριθμό τμημάτων με μικρότερο μήκος θα οδηγήσει σε καλύτερη προσέγγιση. Τα μήκη των διαδοχικών προσεγγίσεων δεν θα μειωθούν και μπορεί να αυξάνεται επ 'αόριστον, αλλά οι ομαλές καμπύλες θα τείνουν σε ένα πεπερασμένο όριο καθώς τα μήκη των τμημάτων μικραίνουν αυθαίρετα.
Για κάποιες καμπύλες υπάρχει ένας μικρότερος αριθμός  ο οποίος είναι ένα άνω όριο του μήκους της κάθε πολυγωνικής προσέγγισης. Αυτές οι καμπύλες ονομάζονται ευθυγραμμίσιμες και ο αριθμός  ορίζεται ως το μήκος του τόξου.

Μήκος τόξου της παραβολής

Για τον υπολογισμό του μήκους του παραβολικού τόξου, βλέπε Παραβολή § Μήκος ενός τόξου μιας παραβολής.

Αρχαιότητα

Για ένα μεγάλο μέρος της ιστορίας των μαθηματικών, ακόμα και οι μεγαλύτεροι στοχαστές θεώρησαν αδύνατο να υπολογιστεί το μήκος του ακανόνιστου τόξου. Παρά το γεγονός ότι ο Αρχιμήδης είχε πρωτοπορήσει έναν τρόπο για την εξεύρεση του χώρου κάτω από μια καμπύλη με την "μέθοδο της εξάντλησης'' του, λίγοι πίστεψαν ότι ήταν ακόμη δυνατό για τις καμπύλες να έχουν σαφή μήκη, όπως και οι ευθείες γραμμές. Ο πρώτος λόγος που καταρρίφθηκε σε αυτόν τον τομέα, όπως συχνά έχει γίνει στο λογισμό, με προσέγγιση. Οι άνθρωποι άρχισαν να εγγράφουν πολύγωνα εντός των καμπυλών και να υπολογίζουν το μήκος των πλευρών για μια κάπως ακριβή μέτρηση του μήκους. Με τη χρήση περισσότερων τμημάτων, και μειώνοντας το μήκος του κάθε τμήματος, ήταν σε θέση να αποκτήσουν μια ολοένα και πιο ακριβή προσέγγιση. Ειδικότερα, με την εγγραφή ένος πολυγώνου πολλών πλευρών σε έναν κύκλο, ήταν σε θέση να βρουν κατά προσέγγιση τιμές του π.

17ος αιώνας

Τον 17ο αιώνα, η μέθοδος της εξάντλησης οδήγησε στην ευθυγράμμιση με γεωμετρικές μεθόδους από αρκετές υπερβατικές καμπύλες: η λογαριθμική σπείρα από Evangelista Torricelli το 1645 (μερικές πηγές λένε John Wallis στα 1650), η κυκλοειδής από τον Christopher Wren το 1658, και η αλυσοειδή από Gottfried Leibniz το 1691.
Το 1659,ο Wallis πιστώνεται την ανακάλυψη του William Neile της πρώτης ευθυγράμμισης μιας μη τετριμμένης αλγεβρικής καμπύλης, την ημικυβική παραβολή.
αναπόσπαστη μορφή
Πριν από την πλήρη επίσημη ανάπτυξη του λογισμού, η βάση για τη σύγχρονη ολοκληρωτική μορφή για το μήκος του τόξου ανακαλύφθηκε ανεξάρτητα από τον Hendrik van Heuraet και τον Pierre de Fermat.
Το 1659 ο van Heuraet δημοσίευσε μια κατασκευή που δείχνει ότι το πρόβλημα του προσδιορισμού μήκους τόξου μπορεί να μετατραπεί σε πρόβλημα του προσδιορισμού της περιοχής κάτω από μια καμπύλη (δηλαδή, αποτελεί αναπόσπαστο). Ως παράδειγμα της μεθόδου του, καθόρισε το μήκος του τόξου μιας ημικυβικής παραβολής, το οποίο απαιτείται για να βρεθεί η περιοχή κάτω από μια παραβολή. Το 1660, ο Fermat δημοσίευσε μια πιο γενική θεωρία που περιέχει το ίδιο αποτέλεσμα στο έργο του De linearum curvarum cum lineis rectis comparatione dissertatio geometrica (Γεωμετρική διατριβή για καμπύλες γραμμές σε σύγκριση με ευθείες γραμμές).

Καμπύλες με το άπειρο μήκος

Δείτε επίσης: Ακτογραμμή παράδοξο
Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, μερικές καμπύλες είναι μη-ευθυγραμμίσιμες. Δηλαδή, δεν υπάρχει ανώτατο όριο για τα μήκη των πολυγωνικών προσεγγίσεων; το μήκος μπορεί να γίνει αυθαίρετα μεγάλο. Ανεπίσημα, οι εν λόγω καμπύλες λέγεται ότι έχουν άπειρο μήκος. Υπάρχουν συνεχείς καμπύλες επί των οποίων κάθε τόξο (εκτός από ένα μόνο σημείο τόξου) έχει άπειρο μήκος. Ένα παράδειγμα μιας τέτοιας καμπύλης είναι η καμπύλη Koch. Ένα άλλο παράδειγμα μίας καμπύλης με άπειρο μήκος είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης που ορίζεται από την  για κάθε ανοικτό σύνολο με μηδέν ως έναν από τους οριοθέτες της και . Μερικές φορές η Hausdorff διάσταση και το μέτρο Hausdorff χρησιμοποιούνται για την ποσοτικοποίηση του μεγέθους αυτών των καμπυλών.

Γενίκευση σε (ψευδο-) Riemannian Πολλαπλότητες

Έστω M είναι μια (ψευδο) Riemannian πολλαπλότητα, γ: [0, 1] → Μ μια καμπύλη στην Μ και g ένας (ψευδο-) μετρικός 
Το μήκος του γ ορίζεται να είναι
όπου γ '(t) ∈ Tγ (t) M είναι το διάνυσμα εφαπτομένη της γ σε t. Το πρόσημο της τετραγωνικής ρίζας επιλέγεται μια φορά για μια δεδομένη καμπύλη, για να εξασφαλιστεί ότι η τετραγωνική ρίζα είναι ένας πραγματικός αριθμός. Το θετικό πρόσημο επιλέγεται για καμπύλες χώρου? σε έναν ψευδο-Riemannian συλλέκτη, το αρνητικό πρόσημο μπορεί να επιλεχθεί για καμπύλες χρόνου. Έτσι το μήκος μιας καμπύλης είναι ένα μη αρνητικός πραγματικός αριθμός. Συνήθως δεν υπάρχουν καμπύλες που θεωρούνται  εν μέρει χώρου και εν μέρει χρόνου.
Στη θεωρία της σχετικότητας, μήκος τόξου καμπυλών χρόνου (παγκόσμιες γραμμές) είναι ο ιδανικός χρόνος να παρέλθει κατά μήκος της παγκόσμιας γραμμής, και μήκος τόξου μιας καμπύλης χώρου η ιδανική απόσταση κατά μήκος της καμπύλης.