Συνήθης διαφορική εξίσωση

Ιστορικό

Οι Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις (ΣΔΕ) προκύπτουν σε πολλά πλαίσια των μαθηματικών και της επιστήμης (κοινωνική καθώς και φυσική). Οι σύγχρονες μαθηματικές περιγραφές αλλάζουν τη χρήση των διαφορικών συμβολισμών. Ποικίλα διαφορικά, παράγωγοι και συναρτήσεις σχετίζονται μεταξύ τους μέσω εξισώσεων, έτσι μία διαφορική εξίσωση είναι αποτέλεσμα που περιγράφει τα δυναμικά μεταβαλλόμενα φαινόμενα, την εξέλιξη και τη διακύμανση. Συχνά, οι ποσότητες ορίζονται ως ρυθμός μεταβολής άλλων ποσοτήτων (για παράδειγμα, παράγωγα της μετατόπισης ως προς το χρόνο), ή οι κλίσεις των ποσοτήτων που είναι το πως θα εισαχθούν οι διαφορικές εξισώσεις.
Οι ειδικοί τομείς των μαθηματικών περιλαμβάνουν την γεωμετρία και την αναλυτική μηχανική. Οι επιστημονικοί τομείς περιλαμβάνουν ένα μεγάλο μέρος της φυσικής και της αστρονομίας (μηχανική ουρανίων σωμάτων), τη μετεωρολογία (μοντελοποίηση των καιρικών συνθηκών), τη χημεία (ποσοστά αντίδρασης), τη βιολογία (λοιμώδη νοσήματα, γενετική παραλλαγή), την οικολογία και την μοντελοποίηση του πληθυσμού (ανταγωνισμός πληθυσμού), την οικονομία (τάσεις αποθεμάτων, τα επιτόκια και οι μεταβολές των τιμών ισορροπίας της αγοράς).   
Πολλοί μαθηματικοί έχουν μελετήσει τις διαφορικές εξισώσεις και συνέβαλαν στον τομέα αυτό, μερικοί από αυτούς ήταν οι Ισαάκ Νεύτων, Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς, οικογένεια Bernoulli, Riccati, Clairaut, Ζαν λε Ροντ ντ' Αλαμπέρ και Λέοναρντ Όιλερ. 
Ένα απλό παράδειγμα είναι ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα - η σχέση ανάμεσα στη μετατόπιση  και το χρόνο  ενός αντικειμένου με δύναμη  δίνεται από τη διαφορική εξίσωση
η οποία περιγράφει την κίνηση ενός σωματιδίου σταθερής μάζας . Σε γενικές γραμμές,  είναι η συνάρτηση θέσης  του σωματιδίου στο χρόνο . Η άγνωστη συνάρτηση    εμφανίζεται και στα δύο μέρη της διαφορικής εξίσωσης, και περιλαμβάνεται στην παράσταση .

Ορισμοί

Σε ότι ακολουθήσει, ας είναι y μια εξαρτημένη μεταβλητή και x μια ανεξάρτητη μεταβλητή, και y = f(x) μια άγνωστη συνάρτηση του x. Η σημειογραφία της διαφόρισης ποικίλλει ανάλογα με τον συγγραφέα και πια σημειογραφία είναι πιο χρήσιμη για την εργασία που κάνουμε. Σε αυτό το πλαίσιο, η σημειογραφία του Λάιμπιντς(dy/dx,d²y/dx²,...dⁿy/dxⁿ) είναι πιο χρήσιμη για την παραγώγιση και την διαφόριση, ενώ η σημειογραφία του Νεύτωνα και του Λαγκράνζ (y′,y′′, ... y) είναι πιο χρήσιμη για την απεικόνιση παραγώγων οποιασδήποτε τάξης συμπαγώς.

Μοναδική λύση

Η θεωρία της μοναδικής λύσης των συνήθων και μερικών διαφορικών εξισώσεων ήταν αντικείμενο μελέτης από την εποχή του Λάιμπνιτς, αλλά ιδιαίτερη έμφαση δόθηκε  από τα μέσα του δέκατου ένατου αιώνα. Ένα πολύτιμο αλλά ελάχιστα γνωστό έργο για το θέμα αυτό είναι του Houtain (1854). O Νταρμπού (ξεκινώντας από το 1873) θεωρείται ο πατέρας της θεωρίας αυτής και στην γεωμετρική ερμηνεία των λύσεων άνοιξε ένα πεδίο εργασίας που πραγματοποιήθηκε από διάφορους συγγραφείς, όπως οι Casorati και Cayley. Στους τελευταίους οφείλεται (1872) η θεωρία των μοναδικών λύσεων των διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης που ήταν αποδεκτή από το 1900.

Αναγωγή σε ολοκλήρωση

Η πρωταρχική προσπάθεια για την αντιμετώπιση προβλημάτων με διαφορικές εξισώσεις ήταν η αναγωγή σε ολοκλήρωση. Δεδομένου ότι ήταν η ελπίδα των αλγεβριστών του δέκατου όγδοου αιώνα να βρουν μία μέθοδο για την επίλυση της γενικής εξίσωσης n-οστού βαθμού, έτσι αυτό ήταν και η ελπίδα των αναλυτών να βρουν μία γενική μέθοδο για οποιαδήποτε διαφορική εξίσωση. Ο Γκάους (1799) έδειξε πως η διαφορική εξίσωση πληροί τους περιορισμούς εάν εισαχθούν οι μιγαδικοί αριθμοί. Ως εκ τούτου, οι αναλυτές άρχισαν να αντικαθιστούν τη μελέτη των συναρτήσεων ανοίγοντας κατά συνέπεια έναν νέο τομέα. Ο Κωσύ ήταν ο πρώτος που εκτίμησε τη σημασία αυτής της άποψης. Έκτοτε, το πραγματικό ερώτημα θα έπρεπε να είναι όχι το αν μία λύση είναι δυνατή μέσω των γνωστών συναρτήσεων ή ολοκληρωμάτων, αλλά αν μία δεδομένη διαφορική εξίσωση αρκεί για τον ορισμό μιας εξίσωσης μιας ανεξάρτητης μεταβλητής ή μεταβλητών και αν ναι ποιες είναι οι ιδιότητες αυτής της συνάρτησης.

Θεωρία Fuchs

Κύριο άρθρο: Frobenius method
Δύο απομνημονεύματα του Φουξ (Crelle, 1866, 1868), ενέπνευσαν μία λογοτεχνική προσέγγιση, που αργότερα επεκτάθηκε από τους Thome και Φρομπένιους. Ο Collet ήταν μία εξέχουσα συμβολή το 1869, αν και οι μέθοδοι του για την ολοκλήρωση του μη-γραμμικού συστήματος είχε κοινοποιηθεί από τον Bertrand το 1868. Ο Clebsch (1873) αντέδρασε στη θεωρία με παραπλήσια στοιχεία της δικής του θεωρίας περί αβελιανών ολοκληρωμάτων. Τα τελευταία μπορούν να κατηγοριοποιηθούν σύμφωνα με τις ιδιότητες των θεμελιωδών καμπυλών που παραμένουν αμετάβλητες κατά τους ρητούς μετασχηματισμούς. Έτσι, ο Clebsch πρότεινε να κατηγοριοποιήσει τις υπερβατικές συναρτήσεις ορισμένες από διαφορικές εξισώσεις, σύμφωνα με τις ιδιότητες των αντίστοιχων επιφανειών f=0 υπό τον ένα προς ένα ρητό μετασχηματισμό.

Θεωρία Lie

Από το 1870, η εργασία του Sophus Lie έβαλε τη θεωρία των διαφορικών εξισώσεων σε πιο στέρεα θεμέλια. Έδειξε πως οι θεωρίες ολοκλήρωσης παλαιότερων μαθηματικών μπορούν με την εισαγωγή, αυτών που σήμερα αποκαλούμε ομάδες Lie, να αναφέρονται σε μία κοινή πηγή και οι συνήθεις διαφορικές εξισώσεις που ικανοποιούν τους ίδιους απειροελάχιστους μετασχηματισμούς παρουσιάζουν παρόμοιες δυσκολίες ολοκλήρωσης. Επίσης τόνισε το θέμα των μετασχηματισμών της επαφής.
Η θεωρία ομάδων διαφορικών εξισώσεων του Lie έχει επιβεβαιωθεί πως: (1) ενοποιεί τις πολλές συγκεκρινοποιημένες μεθόδους επίλυσης διαφορικών εξισώσεων και (2) παρέχει νέους ισχυρούς τρόπους στην εύρεση λύσεων. Η θεωρία έχει εφαρμογές σε συνήθεις και μερικές διαφορικές εξισώσεις.
Μία γενική προσέγγιση για την επίλυση διαφορικών εξισώσεων χρησιμοποιεί την ιδιότητα της συμμετρίας των ΔΕ, τους συνεχείς απειροελάχιστους μετασχηματισμούς  των λύσεων σε λύσεις (Θεωρία Lie). Η θεωρία ομάδων, η άλγεβρα Lie και η διαφορική γεωμετρία, χρησιμοποιούνται για την κατανόηση των δομών των γραμμικών και μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων για την παραγωγή ολοκληρώσιμων εξισώσεων, για την εύρεση ζευγών Lax, αναδρομικών τελεστών και τέλος για τις ακριβείς αναλυτικές λύσεις που ικανοποιούν τις ΔΕ.
Οι συμμετρικές μέθοδοι έχουν αναγνωριστεί για την έρευνα των διαφορικών εξισώσεων που εμφανίζονται στα μαθηματικά, τη φυσική, τη μηχανική και άλλους επιστημονικούς κλάδους.

Θεωρία Sturm–Liouville

Η θεωρία Sturm-Liouville είναι μία θεωρία ειδικού τύπου συνήθων διαφορικών εξισώσεων δεύτερης τάξης. Οι λύσεις τους είναι βασισμένες σε ιδιοτιμές και τις αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις γραμμικών τελεστών ορισμένων σε όρους ομογενών δευτεροβάθμιων γραμμικών εξισώσεων. Τα προβλήματα αναγνωρίστηκαν ως προβλήματα Sturm-Liouville, που πήραν το όνομα τους από τους J.C.F. Sturm και J. Liouville οι οποίοι μελέτησαν αυτού του είδους τα προβλήματα στα μέσα του δέκατου όγδοου αιώνα. Το ενδιαφέρον σημείο τους είναι ότι έχουν άπειρο αριθμό ιδιοτιμών και οι αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις σχηματίζουν ένα πλήρες, ορθοκανονικό σύνολο που καθιστά δυνατές ορθογωνιακές επεκτάσεις. Αυτό είναι μία ιδέα-κλειδί για τα εφαρμοσμένα μαθηματικά, τη φυσική και τη μηχανική. Τα προβλήματα Sturm-Liouville είναι επίσης χρήσιμα στην ανάλυση ειδικών μερικών διαφορικών εξισώσεων.

Απλοποιημένο θεώρημα ύπαρξης και μοναδικότητας μερικής λύσης

Το θεώρημα μπορεί να εκφραστεί απλά ως εξής  Για την εξίσωση και το πρόβλημα αρχικής τιμής:
Αν  και  είναι συνεχείς σε ένα κλειστό ορθογώνιο
στο x-y χωρίο, όπου  (είναι πραγματικοί αριθμοί) το  δηλώνει το καρτεσιανό γινόμενο και οι αγκύλες δηλώνουν ένα κλειστό διάστημα, τότε υπάρχει ένα διάστημα:
για κάποιο  όπου η λύση στο πρόβλημα αρχικών τιμών μπορεί να βρεθεί. Δηλαδή, υπάρχει λύση και είναι μοναδική. Δεδομένου ότι δεν υπάρχει κανένας περιορισμός για την  να είναι γραμμική, μπορεί να εφαρμοστεί και για μη-γραμμικές εξισώσεις που παίρνουν τη μορφή  και μπορεί να εφαρμοστεί και σε συστήματα εξισώσεων.

Μείωση της τάξης

Οι διαφορικές εξισώσεις συνήθως μπορούν να λυθούν πιο εύκολα αν η τάξη της εξίσωσης μπορεί να μειωθεί.