Γεωδαισιακή

Στη διαφορική γεωμετρία, γεωδαισιακή είναι μια γενίκευση της έννοιας της «ευθείας γραμμής» σε «καμπυλωμένους χώρους». Ο όρος «γεωδαισιακή» προέρχεται από τη γεωδαισία, την επιστήμη της μέτρησης του μεγέθους και του σχήματος της Γης. Στην αρχική έννοια, μια γεωδαισιακή ήταν η συντομότερη διαδρομή μεταξύ δύο σημείων στην επιφάνεια της Γης, δηλαδή, ένα τμήμα ενός μέγιστου κύκλου. Ο όρος έχει γενικευτεί για να περιλαμβάνει μετρήσεις σε πολλά περισσότερα γενικά μαθηματικά πεδία. Για παράδειγμα, στη θεωρία γραφημάτων, θα μπορούσε κανείς να εξετάσει μια γεωδαισιακή μεταξύ δύο κορυφων/κόμβων ενός γραφήματος.
Στην παρουσία ενός αφινικού συνδέσμου, μια γεωδαισιακή ορίζεται να είναι μια καμπύλη της οποίας τα εφαπτόμενα διανύσματα παραμένουν παράλληλα εάν μεταφέρονται κατά μήκος της. Αν αυτός ο σύνδεσμος είναι ο Λέβι-Τσιβίτα σύνδεσμος που προκαλείται από μια μετρική κατά Ρίμαν, τότε οι γεωδαισιακές είναι (τοπικά) η συντομότερη διαδρομή μεταξύ των σημείων στο χώρο.
Οι γεωδαισιακές έχουν ιδιαίτερη σημασία για τη γενική σχετικότητα. Οι χρονοειδείς γεωδαισιακές στη γενική θεωρία της σχετικότητας περιγράφουν την κίνηση της ελεύθερης πτώσης των σημειακών σωματιδίων.

Εισαγωγή

Η συντομότερη διαδρομή μεταξύ δύο σημείων σε εναν καμπυλωμένο χώρο μπορεί να βρεθεί γράφοντας την εξίσωση για το μήκος της καμπύλης (μια συνάρτηση f από ένα ανοιχτό διάστημα του R στην πολλαπλότητα) και, στη συνέχεια, ελαχιστοποιώντας αυτό το μήκος, χρησιμοποιώντας τον λογισμό των μεταβολών. Αυτό έχει κάποια μικρά τεχνικά προβλήματα, επειδή υπάρχει ένας άπειρων διαστάσεων χώρος από διαφορετικούς τρόπους για να το παραμετροποιήσει κανείς τη συντομότερη διαδρομή. Είναι απλούστερο να απαιτήσει όχι μόνο η καμπύλη τοπικά να ελαχιστοποιεί το μήκος, αλλά επίσης να είναι παραμετροποιημένη "με σταθερή ταχύτητα", με την έννοια ότι η απόσταση από την f(s) στην f(t) κατά μήκος της γεωδαισιακής γραμμής είναι ανάλογη του |s−t|. Αντίστοιχα, μια διαφορετική ποσότητα που μπορεί να οριστεί, ονομάζεται η ενέργεια της καμπύλης. Η ελαχιστοποίηση της ενέργειας οδηγεί στις ίδιες εξισώσεις για μια γεωδαισιακή (εδώ "σταθερή ταχύτητα" είναι μια συνέπεια της ελαχιστοποίησης). Διαισθητικά, μπορεί κανείς να καταλάβει αυτή τη δεύτερη διατύπωση, σημειώνοντας ότι μια ελαστική ζώνη τεντωμένη ανάμεσα σε δύο σημεία θα συρρικνώσει το μήκος της, και κάνοντάς το αυτό θα ελαχιστοποιήσει την ενέργεια της. Το σχήμα που προκύπτει από την ζώνη είναι μια γεωδαισιακή.
Στην κατά Ρίμαν γεωμετρία οι γεωδαισιακές δεν είναι το ίδιο με τις "συντομότερες καμπύλες" ανάμεσα σε δύο σημεία, αν και οι δύο έννοιες είναι στενά συνδεδεμένες. Η διαφορά είναι ότι οι γεωδαισιακές είναι μόνο σε τοπικό επίπεδο η μικρότερη απόσταση μεταξύ των σημείων, και είναι παραμετροποιημένες με "σταθερή ταχύτητα". Πηγαίνοντας "από τον μακρύ δρόμο γύρω" σε ένα μέγιστο κύκλο μεταξύ δύο σημείων σε μια σφαίρα δημιουργείται μια γεωδαισιακή αλλά αυτή δεν είναι η συντομότερη διαδρομή μεταξύ των σημείων. Η απεικόνιση t → t²  ορισμένη από το μοναδιαίο διάστημα στο ίδιο δίνει τη συντομότερη διαδρομή μεταξύ του 0 και του 1, αλλά δεν είναι μια γεωδαισιακή επειδή η ταχύτητα της αντίστοιχης κίνησης ενός σημείου δεν είναι σταθερή.
Οι γεωδαισιακές είναι συχνά εμφανιζόμενες στη μελέτη της γεωμετρίας κατά Ρίμαν και γενικότερα στη μετρική γεωμετρία. Στη γενική θεωρία της σχετικότητας, οι γεωδαισιακές περιγράφουν την κίνηση των σημειακών σωματίδια υπό την επίδραση της βαρύτητας και μόνο. Συγκεκριμένα, η διαδρομή που λαμβάνεται από πτώση βράχου, η τροχιά δορυφόρου ή το σχήμα μιας πλανητικής τροχιάς είναι όλα γεωδαισιακές σε καμπυλωμένο χωρόχρονο. Γενικότερα, η γεωμετρία πολλαπλοτήτων του Ρίμαν ασχολείται με τα μονοπάτια που τα αντικείμενα μπορεί να πάρουν όταν δεν είναι ελεύθερα και η κίνησή τους περιορίζεται με διάφορους τρόπους.
Αυτό το άρθρο παρουσιάζει τον μαθηματικό φορμαλισμό που εμπλέκεται στον καθορισμό, την εύρεση, και την απόδειξη της ύπαρξης των γεωδαισιακών, στην περίπτωση των κατά Ρίμαν και ψευδο-Ρίμαν πολλαπλοτήτων.

Παραδείγματα

Τα πιο γνωστά παραδείγματα είναι οι ευθείες γραμμές στην Ευκλείδεια γεωμετρία. Σε μια σφαίρα, οι εικόνες των γεωδαισιακών είναι οι μέγιστοι κύκλοι. Η συντομότερη διαδρομή από το σημείο Α στο σημείο Β σε μια σφαίρα δίνεται από το μικρότερο τόξο του μέγιστου κύκλου που διέρχεται από τα Α και Β. Αν τα Α και Β είναι αντιδιαμετρικά σημεία, τότε υπάρχουν άπειρα συντομότερα μονοπάτια μεταξύ τους. Οι γεωδαισιακές σε ένα ελλειψοειδές συμπεριφέρονται με πιο περίπλοκο τρόπο από ό,τι σε μια σφαίρα. Ειδικότερα, δεν είναι κλειστά στη γενική περίπτωση (βλ. σχήμα).

Υπολογιστικές μέθοδοι

Αποτελεσματικοί επιλυτές για το ελάχιστο γεωδαισιακό πρόβλημα σε επιφάνειες που τίθεται ως Είκοναλ εξισώσεις μπορούν να βρεθούν στα