Ars Conjectandi

Υπόβαθρο

Στην Ευρώπη, το θέμα των πιθανοτήτων αναπτύχθηκε επίσημα πρώτη φορά τον δέκατο έκτο αιώνα με το έργο του Καρντάνο, του οποίου το ενδιαφέρον για τις πιθανότητες πήγαζε από την αγάπη του για τον τζόγο. Έθεσε επίσημα αυτό που σήμερα ονομάζεται κλασικός ορισμός της πιθανότητας: αν ένα γεγονός έχει a πιθανά αποτελέσματα και επιλεγούν οποιαδήποτε b από αυτά έτσι ώστε b ≤ a, η πιθανότητα να συμβεί οποιοδήποτε από τα b είναι  Ωστόσο η πραγματική του επιρροή δεν ήταν μεγάλη. Έγραψε μόνο ένα βιβλίο πάνω στο θέμα το 1525 με τίτλο Liber de ludo aleae (Βιβλίο πάνω στα παιχνίδια τύχης), το οποίο όμως δημοσιεύτηκε μετά τον θάνατό του το 1663.
Η ημερομηνία την οποία η ιστορικοί θεωρούν ως την αρχή των πιθανοτήτων με την σύγχρονη έννοια είναι το 1654, χρονιά κατά την οποία ο Πασκάλ και ο Φερμά άρχισαν να αλληλογραφούν σχετικά με τις πιθανότητες. Αιτία για αυτό ήταν γράμμα που είχε στείλει την ίδια χρονιά ένας τζογαδόρος από το Παρίσι ονόματι Αντουάν Γκομπό (Antoine Gombaud) στον Πασκάλ και άλλους μαθηματικούς ρωτώντας διάφορα σχετικά με πιθανότητες. Πιο συγκεκριμένα έθεσε το πρόβλημα της διαίρεσης του στοιχήματος, σχετικά με ένα θεωρητικό παιχνίδι δύο παιχτών στο οποίο κερδίζει ένας από τους δύο μετά από συγκεκριμένο αριθμό γύρων. Το ερώτημα αφορούσε τον δίκαιο διαμοιρασμό της αξίας που είχε συγκεντρωθεί αν το παιχνίδι σταματούσε πρόωρα λόγω κάποιας εξωτερικής αιτίας. Η αλληλογραφία Πασκάλ και Φερμά προκάλεσε το ενδιαφέρον άλλων μαθηματικών, όπως ο Κρίστιαν Χόυχενς, ο οποίος το 1657 δημοσίευσε το De ratiociniis in aleae ludo (Υπολογισμοί στα παιχνίδια της τύχης). Κατά την διάρκεια αυτής της περιόδου ο Πασκάλ δημοσίευσε επίσης τα αποτελέσματά του σχετικά με το τρίγωνο του Πασκάλ. Αναφέρονταν στο τρίγωνο, στο έργο του Traité du triangle arithmétique (Χαρακτηριστικά του αριθμητικού τριγώνου), ως το «αριθμητικό τρίγωνο». Αργότερα ο Γιαν ντε Βιτ δημοσίευσε παρόμοιο υλικό στο έργο του Waerdye van Lyf-Renten, στο οποίο χρησιμοποίησε στατιστικές έννοιες ώστε να προσδιορίσει το προσδόκιμο ζωής.
Ο Μπερνούλι είχε μεγάλη παραγωγή μαθηματικού έργου μεταξύ 1684 και 1689 στην οποία περιλαμβάνεται και το Ars Conjectandi. Όταν ξεκίνησε το έργο του το 1684 σε ηλικία 30 ετών, δεν είχε ακόμα διαβάσει το έργο του Πασκάλ για το αριθμητικό τρίγωνο ούτε του ντε Βιτ για την στατιστική πιθανότητα. Είχε ζητήσει ένα αντίγραφο του τελευταίου από τον γνωστό του, Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς, αλλά ο Λάιμπνιτς δεν κατάφερε να του το στείλει. Του έστειλε ωστόσο τα έργα του Πασκάλ και του Χόυχενς, στα οποία βασίζεται το Ars Conjectandi. Ο Μπερνούλι ονόμασε το έργο Ars Conjectandi επειδή επιθυμούσε να το συνδέσει με την έννοια ars inveniendi του σχολαστικισμού, το οποίο με την σειρά του υποδεικνύει ότι τα αποτελέσματά του θα μπορούσαν να εφαρμοστούν σε όλες τις πτυχές της ζωής και της κοινωνίας. Ο ανεψιός του, Νίκλαους Μπερνούλι, δημοσίευσε το χειρόγραφο το 1713, μετά τον θάνατο του Μπερνούλι το 1705.

Κληρονομιά

Ο Ντάναμ αποκάλεσε το Ars Conjectandi «το επόμενο ορόσημο στην θεωρία πιθανοτήτων [μετά το έργο του Καρντάνο]» καθώς και το «αριστούργημα του Μπερνούλι». Βοήθησε δε τα μέγιστα σε αυτό που Ντάναμ αποκαλεί «την από μακρού καθιερωμένη φήμη του Μπερνούλι».
Το έργο του Μπερνούλι επηρέασε πολλούς σύγχρονούς του και μεταγενέστερους μαθηματικούς. Το παράρτημα απειροστικού λογισμού αναφέρονταν πιο συχνά, με πιο σημαντικό παράδειγμα τον σκοτσέζο Κόλιν Μακλόριν. Ο Αβραάμ ντε Μουάβρ επηρεάστηκε εν μέρει από το έργο του Μπερνούλι. Έγραψε για την έννοια της πιθανότητας στο έργο του The Doctrine of Chances. Το πιο σημαντικό κατόρθωμα του ντε Μουάβρ στις πιθανότητες ήταν το θεώρημα του κεντρικού ορίου, με το οποίο μπόρεσε να προσεγγίσει την διωνυμική κατανομή. Το έκανε αυτό χρησιμοποιώντας μια ασυμπτωτική ακολουθία της παραγοντικής συνάρτησης—η οποία είχε αναπτυχθεί από τον Τζέιμς Στέρλινγκ—και την εξίσωση του Μπερνούλι για το άθροισμα δυνάμεων.
Ο Τομας Σίμπσον κατέληξε σε ένα αποτέλεσμα παρόμοιο με του ντε Μουάβρ. Σύμφωνα με τον πρόλογο του έργου του Σίμπσον, το έργο του βασίζονταν κατά πολύ σε αυτό του ντε Μουάβρ. Ο ίδιος ο ντε Μουάβρ χαρακτήρισε το έργο του Σίμπσον ως συντομευμένη έκδοση του δικού του. Το Τόμας Μπέις (Thomas Bayes) σε ένα δοκίμιο του πραγματεύτηκε θεολογικές προεκτάσεις των αποτελεσμάτων του ντε Μουάβρ. Η λύση του ντε Μουάβρ σε ένα πρόβλημα, συγκεκριμένα του καθορισμού της πιθανότητας ενός γεγονότος από την σχετική του συχνότητα, θεωρήθηκε ως απόδειξη για την ύπαρξη του Θεού από τον Μπέις.