0 (αριθμός)

Κλασσική Αρχαιότητα

Ευρήματα δείχνουν ότι οι αρχαίοι Έλληνες φαίνεται να ήταν αβέβαιοι για το αν η υπόσταση του μηδενός είναι αριθμός. Για το συγκεκριμένο θέμα αναρωτιούνταν: «Πώς μπορεί το τίποτε να είναι κάτι;», οδηγώντας σε φιλοσοφικές και θρησκευτικές διαφωνίες πάνω στη φύση και την ύπαρξη του μηδενός αλλά και του κενού, μέχρι το Μεσαίωνα. Τα παράδοξα του Ζήνωνα του Ελεάτη εξαρτώνταν σε μεγάλο βαθμό στην αβεβαιότητα της ερμηνείας του μηδέν.  
Μέχρι το 130 μ.Χ. ο Πτολεμαίος, υπό την επίδραση του Ίππαρχου και των Βαβυλωνίων, χρησιμοποιούσε ένα σύμβολο για το μηδέν (ένα μικρό κύκλο με επιγράμμιση) μαζί με εξηνταδικό αριθμητικό σύστημα, χρησιμοποιώντας αλλιώς τους αλφαβητικούς ελληνικούς αριθμούς, Επειδή χρησιμοποιούνταν και μόνο του, όχι μόνο ως ψηφίο κράτησης θέσης, το ελληνιστικό (αυτό) μηδέν  ήταν ίσως η πρώτη τεκμηριωμένη χρήση του αριθμού μηδεν (τουλάχιστον) στον Παλαιό Κόσμο. Ωστόσο, οι θέσεις (χρήσης του) συνήθως περιορίζονταν στο κλασματικό τμήμα ενός αριθμού (που ονομάζονταν λεπτά, δευτερόλεπτα, τριτόλεπτα, τεταρτόλεπτα, κ.τ.λ.) και δεν χρησιμοποιούνταν στο ακέραιο τμήμα του αριθμού. Μεταγενέστερα, σε Βυζαντινά χειρόγραφα του Ptolemy's Syntaxis Mathematica (γνωστά επίσης ως Almagest) το ελληνιστικό μηδέν μορφοποιήθηκε στο ελληνικό γράμμα Ο, αλλά στο ελληνικό αριθμητικό σύστημα το Ο΄ σήμαινε 70.
Ένα άλλο μηδέν χρησιμοποιούνταν σε πίνακες μαζί με ρωμαϊκούς αριθμούς μέχρι το 525 (με πρώτη γνωστή χρήση από το Διονύσιο το Μικρό), αλλά ως λέξη nulla, δηλαδή τίποτε και όχι ως σύμβολο. Όταν μια διαίρεση παρήγαγε μηδέν ως υπόλοιπο χρησιμοποιούνταν η λέξη nihil, που επίσης σήμαινε τίποτε.  Αυτά τα μεσαιωνικά μηδενικά χρησιμοποιούνταν σε όλους μετέπειτα μεσαιωνικούς υπολογισμούς (τουλάχιστον στην Ανατολή). Το αρχικό N χρησιμοποιούνταν ως σύμβολο του μηδέν σε πίνακες ρωμαϊκών αριθμών από το Βέδα και τους συναδέλφους του γύρω στο 725.

Το μηδέν στην Αρχαία Ινδία

Το θέμα του μηδέν ως ένας αριθμός και όχι απλά ως ένα σύμβολο κράτησης θέσης αποδίδεται στην αρχαία Ινδία, όπου ως τον 9ο αιώνα μ.Χ., οι πρακτικοί υπολογισμοί πραγματοποιούνταν με τη χρήση του μηδέν, στο οποίο συμπεριφερόταν όπως σε οποιονδήποτε άλλον αριθμό, ακόμη και στην περίπτωση της διαίρεσης. Ο Ινδός λόγιος Πίγκαλα (Pingala, περίπου στη χρονική περίοδο 5ο-2ο π.Χ) χρησιμοποιούσε δυαδικούς αριθμούς στη μορφή βραχύτερων και μακρύτερων συλλαβών (με τις μακρύτερες να έχουν το μήκος δύο (2) βραχύτερων συλλαβών), φτιάχνοντας (δηλαδή) ένα σύστημα παρόμοιο με τον κώδικα Μορς. Αυτός και οι σύγχρονοί του Ινδοί λόγιοι χρησιμοποιούσαν τη σανσκριτική λέξη «σούνυα» (śūnya) για να αναφερθούν στο μηδέν.
Το 498 μ.Χ., ο Ινδός μαθηματικός και αστρονόμος Αριαμπάτα (Aryabhata) άρχισε το έργο του «σθανάτ σθανάμ ντασέγκουναμ συάτ» (sthānāt sthānaṁ daśaguņaṁ syāt, δηλαδή "θέση προς θέση στο δεκαπλάσιο της αξίας"), που αποτελεί την προέλευση του συμβολισμού του σύγχρονου δεκαδικού θεσιακού αξιακού συστήματος. Την δουλειά του συνέχισε ο Βραχμαγκούπτα, ο οποίος και έθεσε τους πρώτους κανόνες για υπολογισμούς με χρήση του μηδέν, καθώς και στο έργο του εμφανίζεται για πρώτη φορά οι σύγχρονη μορφή των αριθμών.
Το παλαιότερο γνωστό κείμενο που χρησιμοποίησε ένα δεκαδικό θεσιακό αξιακό σύστημα, που περιλαμβάνει και το μηδέν, είναι το κείμενο Jain από την Ινδία με τίτλο Λοκαβιμπάγκα (Lokavibhâga), χρονολογημένο στο 458 μ.Χ., όπου η λέξη «σούνυα» (shunya, δηλαδή «τίποτε» ή «άδειο») χρησιμοποιήθηκε γι' αυτόν το σκοπό. Η πρώτη γνωστή χρήση ειδικού γλύφου για τα δεκαδικά ψηφία που συμπεριλαμβάνει την αναμφισβήτητη παρουσία για το ψηφίο μηδέν, ένα μικρό κύκλο, εμφανίζεται σε μια λίθινη επιγραφή που βρέθηκε στο Ναός Τσατάρμπχ (Όρχα) (Chaturbhuja Temple) στο Γκάλια (Gwalior) της Ινδίας, χρονολογημένη στο 876 μ.Χ. Υπάρχουν πολλά κείμενα σε πλάκες χαλκού, όπου εμφανίζεται το ίδιο « ο » σ' αυτά και χρονολογήθηκαν μέχρι στιγμής από τον 6ο αιώνα μ.Χ., αλλά η αυθεντικότητά τους μπορεί να αμφισβητηθεί.

Το μηδέν στην Προκολομβιανή Αμερική

Εντελώς ανεξάρτητα από τον Παλαιό Κόσμο, οι Ολμέκοι φαίνεται να είχαν γνώση του μηδέν την οποία και μετέδωσαν και στους υπόλοιπους πολιτισμούς της Προκολομβιανής Αμερικής

Το μηδέν στα Μαθηματικά

Το μηδέν (0) είναι είναι ο ακέραιος αριθμός που προηγείται άμεσα από το ένα (1). Το μηδέν είναι ένας άρτιος αριθμός, αφού είναι διαιρετός διά δύο (2). Το μηδέν δεν είναι ούτε θετικός, ούτε αρνητικός, αλλά ουδέτερος και δεν φέρει πρόσημο. Σύμφωνα με τους περισσότερους ορισμούς, το μηδέν ανήκει στους φυσικούς αριθμούς, αλλά τότε είναι ο μοναδικός μη θετικός φυσικός αριθμός. Το μηδέν είναι ένας αριθμός του οποίου η ποσότητα είναι ανύπαρκτου μεγέθους. Στους περισσότερους πολιτισμούς, πρώτα ταυτοποιήθηκε το μηδέν και ύστερα σχηματίστηκε η ιδέα περί αρνητικών ποσοτήτων, αφού η ιδέα αυτή ουσιαστικά προϋποθέτει ότι το μηδέν είναι αποδεκτό. Σε ορισμένες περιπτώσεις, όμως, το μηδέν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να διακρίνει έναν αριθμό.

Σε άλλους κλάδους των Μαθηματικών

Στη θεωρία συνόλων, το 0 είναι ο πληθάριθμος του κενού συνόλου. Αν (για παράδειγμα) ένας δεν έχει μήλα, τότε έχει 0 μήλα. Στην πραγματικότητα, σε ορισμένες αξιωματικές εξελίξεις των μαθηματικών από τη θεωρία συνόλων, το ίδιο το 0 ορίζεται να είναι το κενό σύνολο. Όταν η «συνάρτηση πληθάριθμου» εφαρμοστεί σε ένα κενό σύνολο, επιστρέφει την τιμή 0, δηλαδή . 
Στην προτασιακή λογική, το 0 μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να υποδηλώσει ότι μια τιμή αλήθειας είναι ψευδής.
Στην αφηρημένη άλγεβρα, το 0 συχνά χρησιμοποιείται για να υποδηλώσει ένα μηδενικό στοιχείο, που είναι ένα ουδέτερο στοιχείο για την πρόσθεση (αν ορίζεται σε μια αλγεβρική δομή υπό κατασκευή) και ένα απορροφητικό στοιχείο για τον πολλαπλασιασμό (επίσης αν ορίζεται στη δομή αυτή).
Στη θεωρία δικτύων, το 0 μπορεί να υποδηλώνει το στοιχείο - πυθμένα, ενός οριοθετημένου δικτύου.
Στη θεωρία κατηγοριών, το 0 μερικές φορές χρησιμοποιείται για να υποδηλώσει ένα αρχικό αντικείμενο μιας κατηγορίας.
Στη θεωρία αναδρομής, το 0 μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να υποδηλώσει το βαθμό αναδιάρθρωσης των μερικώς υπολογίσιμων συναρτήσεων.
Στη μαθηματική ανάλυση, υπάρχει η έννοια του μηδενισμού (ρίζας) μιας συνάρτησης f, δηλαδή κάθε τιμή της μεταβλητής   , όπου Df  το σύνολο ορισμού της συνάρτησης f, για την οποία τιμή x ισχύει f(x) = 0. Υπάρχουν συναρτήσεις που δεν έχουν καθόλου μηδενισμούς (ρίζες), άλλες που έχουν έναν, άλλες περισσότερους από έναν και η σταθερή συνάρτηση , που έχει μηδενισμούς (ρίζες) κάθε στοιχείο του πεδίου ορισμού της. Στον δακτύλιο των μιγαδικών αριθμών μάλιστα αποδεικνύεται ότι κάθε μη σταθερό πολυώνυμο έχει τουλάχιστον μία (μιγαδική) ρίζα. Αυτό είναι το λεγόμενο Θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας, το οποίο μπορεί να αποδειχθεί με πολλούς διαφορετικούς τρόπους, από περιοχές όπως Θεωρία Σωμάτων, Θεωρία Galois, Αλγεβρική Τοπολογία, Μιγαδική Ανάλυση και Ρημάνεια Γεωμετρία.

Το μηδέν στη Φυσική

Η τιμή 0 παίζει έναν ειδικό ρόλο για πολλές φυσικές ποσότητες. Σε μερικές ποσότητες, το μηδενικό επίπεδο είναι φυσικά διαχωρισμένο από όλα τα άλλα επίπεδα, ενώ σε μερικές άλλες το 0 είναι περισσότερο ή λιγότερο αυθαίρετα επιλεγμένο. Για παράδειγμα, για την απόλυτη θερμοκρασία (όπως μετριέται σε Κέλβιν), το 0 είναι η χαμηλότερη δυνατή τιμή, αν και οι αρνητικές θερμοκρασίες ορίζονται μεν, αλλά δεν είναι πραγματικά ψυχρότερες. Αντίθετα, όταν η θερμοκρασία είναι εκφρασμένη σε βαθμούς Κελσίου, το 0 είναι αυθαίρετα ορισμένο στο σημείο πήξης του νεροὐ. Επίσης, η ένταση ήχου μετριέται σε Ντεσιμπέλ ή Φον, αλλά η μηδενική ένταση ήχου είναι αυθαίρετα επιλεγμένη σε μια τιμή αναφοράς, όπως για παράδειγμα το απόλυτο κατώφλι της ακοής. Επίσης, το μηδενικό επίπεδο ενέργειας ενός κβαντικού μηχανικού φυσικού συστήματος ορίζεται ως η ενέργεια της βασικής κατάστασης συστήματος, που είναι η ελάχιστη ενέργεια που μπορεί να κατέχει το σύστημα.

Το μηδέν στη Χημεία

Το 0 έχει προταθεί ως ο ατομικός αριθμός του υποθετικού χημικού στοιχείου με την ονομασία «τετρανετρόνιο». Έχει αποδειχθεί ότι ένα συγκρότημα τεσσάρων (4) νετρονίων μπορεί να είναι αρκετά σταθερό ώστε να θεωρείται ένα άτομο από μόνο του. Αυτό θα μπορούσε (θεωρητικά) να δημιουργήσει ένα χημικό στοιχείο χωρίς (καθόλου) πρωτόνια και φορτίο στον πυρήνα του. 
Από το 1926, ο Καθηγητής Αντρέας φον Αντρόποφ (Andreas von Antropoff) πρότεινε τον όρο νιουτρόνιο (neutronium) για μια υποθετική μορφή ύλης που αποτελείται μόνο από νετρόνια, και χωρίς κανένα πρωτόνιο, που θα τοποθετούνταν, ως χημικό στοιχείο με ατομικό αριθμό 0, ως πρώτο σε μια νέα έκδοση του περιοδικού πίνακα των χημικών στοιχείων. Συνεπώς θα τοποθετούνταν ως ένα ευγενές αέριο, στο μέσο πολλών σπειροειδών αναπαραστάσεων του περιοδικού συστήματος, για την ταξινόμηση των χημικών στοιχείων.