Ευκλείδειο διάνυσμα

Αναπαράσταση ενός Διανύσματος

Στη γεωμετρία το διάνυσμα ορίζεται ως ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα δηλ, ως ένα ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγμένα, με το πρώτο άκρο να ονομάζεται αρχή του διανύσματος ή σημείο εφαρμογής και το δεύτερο πέρας του διανύσματος. Ένα διάνυσμα με αρχή το Α και πέρας το Β συμβολίζεται με  και παριστάνεται με ένα βέλος που ξεκινά από το Α και καταλήγει στο Β.
Εναλλακτικά για το συμβολισμό των διανυσμάτων χρησιμοποιούνται και έντονα κεφαλαία γράμματα του ελληνικού ή λατινικού αλφαβήτου (για παράδειγμα ) ή μικρά γράμματα επιγραμμισμένα με βέλος (για παράδειγμα ).

Μέτρο διανύσματος

Μέτρο ή μήκος ενός διανύσματος  ονομάζεται η απόσταση μεταξύ των άκρων του Α και Β, δηλαδή το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ. Συμβολίζεται με . Αν το διάνυσμα  έχει μέτρο 1 τότε ονομάζεται μοναδιαίο διάνυσμα.

Το μηδενικό διάνυσμα

Μηδενικό διάνυσμα είναι το διάνυσμα στο οποίο η αρχή και το πέρας συμπίπτουν και συμβολίζεται με . Για παράδειγμα το διάνυσμα  είναι ένα μηδενικό διάνυσμα.
Ως φορέα ενός μηδενικού διανύσματος θεωρούμε ότι είναι οποιαδήποτε από τις ευθείες που διέρχονται από την αρχή του.

Ίσα διανύσματα

Δύο μη μηδενικά διανύσματα ονομάζονται ίσα όταν έχουν ίδια κατεύθυνση και ίσα μέτρα (γράφουμε ).

Αντίθετα διανύσματα

Δύο μη μηδενικά διανύσματα ονομάζονται αντίθετα όταν έχουν αντίθετη κατεύθυνση και ίσα μέτρα (γράφουμε  ή ).

Πρόσθεση διανυσμάτων

Έστω δύο διανύσματα  και  και ζητούμε το άθροισμα . Με αρχή ένα σημείο Ο παίρνουμε τα διανύσματα  και . Το διάνυσμα  λέγεται άθροισμα ή συνισταμένη των δύο διανυσμάτων. Το άθροισμα των διανυσμάτων αποδεικνύεται ότι είναι ανεξάρτητο από την επιλογή του σημείου Ο. Το άθροισμα δύο διανυσμάτων μπορεί να βρεθεί και με το λεγόμενο κανόνα του παραλληλογράμμου.

Γωνία δύο διανυσμάτων

Γωνία δύο μη μηδενικών διανυσμάτων ονομάζουμε τη κυρτή γωνία που αυτά σχηματίζουν αν τα πάρουμε με κοινή αρχή και είναι ανεξάρτητη από την επιλογή του σημείου κοινής αρχής.

Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα

Έστω κ ένας πραγματικός αριθμός με κ0 και  ένα μη μηδενικό διάνυσμα. Ονομάζουμε γινόμενο του κ με το  ένα νέο διάνυσμα το οποίο είναι ομόρροπο του  αν κ>0 και αντίρροπο του  αν κ<0 και επίσης έχει μέτρο . Αν κ=0 ή τότε ορίζουμε ως  το μηδενικό διάνυσμα. Ως συνέπεια του ορισμού ισχύει: . Σημαντικό είναι επίσης το εξής θεώρημα, σύμφωνα με το οποίο αν  είναι δύο διανύσματα με , τότε

Εξωτερικό/Διανυσματικό γινόμενο δύο διανυσμάτων

Το εξωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι ουσιαστικά μια καινούρια πράξη μεταξύ διανυσμάτων. Διαφέρει από το εσωτερικό γινόμενο όσον αφορά τα αποτελέσματα των πράξεων. Στο μεν εσωτερικό γινόμενο λαμβάνουμε ένα βαθμωτό μέγεθος ως αποτέλεσμα, ενώ στο εξωτερικό παίρνουμε ένα διάνυσμα.
Το εξωτερικό γινόμενο δεν γενικεύεται για n διαστάσεις, έχει νόημα μόνο σε τρισδιάστατους χώρους.
Αν  και  είναι τα δύο διανύσματα, το εξωτερικό γινόμενο συμβολίζεται ως  και ορίζεται ως
 και  είναι τα μέτρα των διανυσμάτων  και , 
sin θ το ημιτονο αυτών των διανυσμάτων,  
 είναι η γωνία μεταξύ των δύο διανυσμάτων, και  είναι το μοναδιαίο διάνυσμα κάθετο στο επίπεδο που ορίζουν τα  και .
Γραφικά, το εξωτερικό γινόμενο αναπαρίσταται από το σχήμα, όπου φαίνεται ότι , δηλαδή στην πράξη του εξωτερικού γινομένου δεν ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα.
Τα φυσικά μεγέθη (διανύσματα) που παράγουν το νέο διάνυσμα γράφονται με συγκεκριμένη σειρά και η κατεύθυνση του εξωτερικού γινομένου προκύπτει με τον κανόνα του δεξιού χεριού .
Για παράλληλα ή αντιπαράλληλα διανύσματα το εξωτερικό γινόμενο δίνει το μηδενικό διάνυσμα, εφόσον  και .
Το εξωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων  και   μπορεί ακόμη να εκφραστεί με την μορφή ορίζουσας: .