Σχέση ισοδυναμίας

Στα μαθηματικά, σχέση ισοδυναμίας ονομάζεται μια σχέση που καθορίζει ποια στοιχεία ενός συνόλου είναι ισοδύναμα μεταξύ τους, ως προς τη σχέση αυτή. Έτσι, κάθε σχέση ισοδυναμίας διαμερίζει ένα σύνολο σε ξένα υποσύνολα, όπου κάθε υποσύνολο περιέχει τα μεταξύ τους ισοδύναμα στοιχεία. Τα υποσύνολα αυτά ονομάζονται κλάσεις ισοδυναμίας.

Συμβολισμός

Αν και οι διάφοροι συμβολισμοί που χρησιμοποιούνται σε όλη τη βιβλιογραφία για να υποδηλώσουν ότι δύο στοιχεία α και β ενός συνόλου είναι ισοδύναμα,είναι ισοδύναμοι, οι πιο κοινοί είναι «α ~ b" και "a ≡ b",οι οποίοι χρησιμοποιούνται όταν το R είναι η προφανής σχέση που αναφέρεται, και παραλλαγές της «α ~ R b", "α ≡ R b" ή "aRb" αλλιώς.

Απλό παράδειγμα

Ας είναι    ένα σύνολο με μια σχέση ισοδυναμίας .Για αυτή τη σχέση οι κλάσεις ισοδυναμίας είναι:
Σύνολο όλων των κλάσεων ισοδυναμίας για αυτή τη σχέση είναι  .

Καλά ορισμένη σχέση ισοδυναμίας

Αν ~ είναι μια σχέση ισοδυναμίας στο Χ, και Ρ (χ) είναι μια ιδιότητα των στοιχείων του Χ, τέτοια ώστε οποτεδήποτε x ~ y, P (x) είναι αληθής εάν P (y) είναι αληθής, τότε η ιδιότητα P λέγεται καλά ορισμένη ή μία αμετάβλητη τάξη στο πλαίσιο της σχέσης ~.
Μια συχνή συγκεκριμένη περίπτωση συμβαίνει όταν f είναι μία συνάρτηση από το Χ σε άλλο σύνολο Ψ.Εάν x1 ~ x2 συνεπάγεται f (x1) = f (x2), τότε f λέγεται ότι είναι ένας μορφισμός για ~, αναλλοίωτη κάτω από ~, ή απλά αμετάβλητη στο πλαίσιο ~. Αυτό συμβαίνει, π.χ. στη θεωρία χαρακτήρα των πεπερασμένων ομάδων. Η τελευταία αυτή περίπτωση με την συνάρτηση f μπορεί να εκφράζεται από ένα αντιμεταθετικό τρίγωνο. Μερικοί συγγραφείς χρησιμοποιούν "συμβιβάζομαι με ~" ή απλά "σέβομαι ~" αντί για "αναλλοίωτη κάτω από ~".
Γενικότερα, μια συνάρτηση μπορεί να καθορίσει ισοδύναμα επιχειρήματα (κάτω από μια σχέση ισοδυναμίας ~ Α) σε ισοδύναμες τιμές (κάτω από μια σχέση ισοδυναμίας ~ B). Μια τέτοια λειτουργία είναι γνωστή ως ένα μορφισμός από ~Α στο ~Β.

Κλάση ισοδυναμίας, σύνολο πηλίκου, διαμέριση

Εστω X ένα μη κενό σύνολο, και έστω  . Μερικοί ορισμοί:

Κλάση ισοδυναμίας

Το σύνολο όλων των α και β για τα οποία α ~ b συνθέτουν μια κλάση ισοδυναμίας του X από την ~. Έστω       προσδιορίζει την ισοδύναμη κατηγορία στην οποία ανήκει το α. Στη συνέχεια, όλα τα στοιχεία του X είναι ισοδύναμα μεταξύ τους, όπως και τα στοιχεία της ίδιας κλάσης ισοδυναμίας.

Σύνολο πηλίκου

Το σύνολο όλων των πιθανών κλάσεων ισοδυναμίας του X συμβολίζεται με ~,   , είναι το πηλίκο του X από ~. Αν X είναι ένας τοπολογικός χώρος, υπάρχει ένας φυσικός τρόπος για να μετατρέψει το X / ~ σε ένα τοπολογικό χώρο.

Αντιστοιχία

Η προβολή της ~ είναι η συνάρτηση     που ορίζεται     από την οποία καθορίζονται τα στοιχεία του Χ στις αντίστοιχες κλάσεις ισοδυναμίας τους με ~.
Θεώρημα σχετικά με τις αντιστοιχίες:  Ας τη συνάρτηση f: X → B είναι τέτοια ώστε α ~ b → f (α) = f (β). Στη συνέχεια, υπάρχει μια μοναδική συνάρτηση g: X / ~ → B, τέτοια ώστε f = gπ. Αν f είναι μία surjection και α ~ b ↔ f (α) = f (β), τότε το G είναι μια αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία.

Ισοτιμία πυρήνα

Η ισοτιμία του πυρήνα της συνάρτησης f είναι η ισοδυναμία ~ σχέση που ορίζεται από    . Η ισοτιμία του πυρήνα είναι μια ένα προς ένα ταυτοτική σχέση.

Διαμέριση

Ένα διαμέρισμα του X είναι ένα σύνολο P των πεπερασμένων υποσυνόλων του X, τέτοιο ώστε κάθε στοιχείο του X είναι ένα στοιχείο ενός στοιχείου του P. Κάθε στοιχείο του P είναι ένα μέρος του διαμερίσματος. Επιπλέον, τα στοιχεία του P είναι ανά δύο ξένα μεταξύ τους και η ένωσή τους είναι το Χ.