Συστήματα ριζών

Ορισμοί και πρώτα παραδείγματα

Σαν πρώτο παράδειγμα, θεωρούμε τα έξι διανύσματα στο δισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο, R², όπως φαίνεται στην εικόνα στα δεξιά; και τα ονομάζουμε ρίζες. Αυτά τα διανύσματα ορίζουν όλο το χώρο. Αν θεωρήσουμε τη  κάθετη γραμμή σε κάθε ρίζα, έστω β, τότε η ανακλαστική ιδιότητα του R² στέλνει κάθε ρίζα, έστω α, σε άλλη ρίζα. Επίσης, η ρίζα στην οποία στάλθηκε η ισότητα  β + n α, όπου  n ακέραιος (σ' αυτή την περίπτωση, n είναι ίσο 1). Αυτά τα έξι διανύσματα ικανοποιούν τον ακόλουθο ορισμό, και ακόμη αποτελούν ένα σύστημα ριζών, το γνωστό A₂.

Δυο παραδείγματα τάξης

Υπάρχει μόνο ένα σύστημα ριζών τάξης 1,που περιέχει δυο μη μηδενικά διανύσματα . Αυτό το σύστημα ριζών ονομάζεται  .
Στη τάξη δυο υπάρχουν τέσσερις δυνατότητες, που ανταποκρίνονται στο , όπου . Να σημειώσουμε ότι το σύστημα ριζών που παράγει ένα πλέγμα δεν είναι μοναδικό  :  και  παράγουν ένα τετράγωνο πλέγμα ενώ  και  παράγουν ένα εξάγωνο πλέγμα, μόνο δυο από τους πέντε δυνατούς τύπους των δισδιάστατων πλεγμάτων.
Αν Φ είναι ένα σύστημα ριζών του V, και U είναι ένας υποχώρος του V τέτοιος ώστε Ψ = Φ ∩ U, then Ψ είναι ένα σύστημα ριζών του  U.  Έτσι, εξαντλώντας όλες τις περιπτώσεις των τεσσάρων συστημάτων ριζών τάξης 2 βλέπουμε τις γεωμετρικές δυνατότητες για οποιεσδήποτε δυο ρίζες επιλεγμένες από ένα σύστημα ριζών τυχαίας τάξης. Συγκεκριμένα, δυο τέτοιες ρίζες αντιστοιχούν στις γωνίες των  0, 30, 45, 60, 90, 120, 135, 150, ή 180 μοιρών.

Ιστορικό

Η λογική ενός συστήματος ριζών εισήχθηκε από τον  Wilhelm Killing γύρω στο 1889 στη Γερμανία). Τα χρησιμοποίησε στη προσπάθειά του να ορίσει την απλή άλγεβρα Lie στο τομέα των μαθηματικών τωνμιγαδικών αριθμών. Όμως έκανε ένα λάθος στον όρισμό του , ταξινομώντας δυο συστήματα ριζών τάξης 4 όταν στην πραγματικότητα υπάρχει μόνο 1 , γνωστό ως F₄. Ο Cartan αργότερα διόρθωσε αυτό το λάθος, δείχνοντας οτι τα δυο συστήματα ριζών του Killing είναι ισόμορφα.
Ο Killing ανακάλυψε τη δομή της άλγεβρας Lie , θεωρώντας (όπως ονομάζεται σήμερα) μια Cartan υποάλγεβρα . Έπειτα μελέτησε τις ρίζες του  χαρακτηριστικού πολυωνύμου , όπου . Εδώ μια ρίζα θεωρείται ως μια συνάρτηση του , ή στη πραγματικότητα ένα στοιχείο του διπλού διανυσματικού χώρου  . Αυτό το ζεύγος λύσεων του συστήματος ριζών μέσα στο , όπως ορίστηκε παραπάνω, όπου το εσωτερικό γινόμενο είναι ο τύπος του Κilling.

Πρώτες συνέπειες των αξιωμάτων των συστημάτων ριζών

Το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των δυο ριζών περιορίζεται να είναι  ακέραιο πολλαπλάσιο της τετραγωνικής ρίζας ενός ακεραίου. Αυτό είναι διότι και  είναι και οι δυο ακέραιοι, από υπόθεση, και
Από τότε που ,οι μόνες πιθανές αξίες για τα  are , ανταποκρίνονται στις γωνίες των  90°, 60° ή 120°, 45° ή 135°, 30° ή 150°, και 0 ή 180°. Η περίπτωση 2 λέει ότι μόνο αυτά που δεν είναι πολλαπλάσια του α εκτός των  1 και -1 μπορεί να είναι ρίζες, έτσι 0 ή 180°, που αντιστοιχούν στα 2α ή  −2α, αποκλείονται.

Το διατεταγμένο σύνολο ριζών

Το σύνολο των θετικών ριζών ορίζεται από τη σχέση   αν και μόνο αν  είναι ένας μη αρνητικός γραμμικός συνδυασμός απλών ριζών. Αυτό το διατεταγμένο σύνολο έχει βαθμό , και έχει πολλές αξιοσημείωτες συνδυαστικές ιδιότητες, μία από τις οποίες είναι ότι μπορεί κανείς να προσδιορίσει τους βαθμούς των θεμελιωδών αναλλοίωτων του αντίστοιχου συνόλου Weyl από αυτό το διατεταγμένο σύνολο. Το γράφημα Hasse είναι μια οπτικοποίηση του ορισμού του διατεταγμένου συνόλου.

Ορισμός των συστημάτων ριζών από τα διαγράμματα Dynkin

Ανάγωγα συστήματα ριζών αντιστοιχούν σε ορισμένα γραφήματα, τα διαγράμματα Dynkin που πήραν το όνομά τους από τον Eugene Dynkin. Ο ορισμός αυτών των γραφικών είναι ένας απλός τρόπος συνδυαστικής, και επάγει έναν ορισμό των ανάγωγων συστημάτων ριζών.
Δοθέντος ενός συστήματος ριζών, επιλέγοντας ένα σύνολο Δ  απλών ριζών όπως προηγουμένως. Οι κορυφές που σχετίζονται με το διάγραμμα Dynkin αντιστοιχούν στα διανύσματα του Δ.  Μια άκρη που σχεδιάζεται μεταξύ κάθε μη ορθογώνιου ζεύγους από διανύσματα: είναι μια μόνο ακμή χωρίς διεύθυνση εφόσον σχηματίζουν μια γωνία των  ακτίνια, μια διπλή ακμή με διεύθυνση αν σχηματίζουν γωνία  ακτίνια, και μια τριπλή ακμή αν σχηματίζουν γωνία  ακτίνια.   Ο όρος "ακμή με διεύθυνση" σημαίνει ότι οι διπλές και οι τριπλές ακμές σημειώνονται με μια γωνία με κατεύθυνση προς το πλησιέστερο διάνυσμα.
Παρόλο που ένα δοσμένο σύστημα ριζών έχει περισσότερα από ένα σύνολα από απλές ρίζες, η ομάδα Weyl δρα σημαντικά σε τέτοιες επιλογές. Συνεπώς, το διάγραμμα Dynkin είναι ανεξάρτητο της επιλογής των απλών ριζών; είναι καθορισμένο από το ίδιο το σύστημα ριζών. Αντίθετα,  δοθέντων δυο συστημάτων ριζών με το ίδιο διάγραμμα Dynkin, το ένα μπορεί να ταιριάξει ρίζες, ξεκινώντας με τις ρίζες της βάσης , και αποδεικνύοντας ότι τα συστήματα είναι στη πραγματικότητα τα ίδια.
Έτσι το πρόβλημα ορισμού των συστημάτων ριζών ανάγεται στο πρόβλημα ορισμού πιθανών διαγραμμάτων Dynkin . Τα συστήματα ριζών είναι ανάγωγα αν και μόνο αν τα διαγράμματά τους Dynkin συνδέονται. Τα διαγράμματα Dynkin κωδικοποιούν το εσωτερικό γινόμενο  E με τους όρους της βάσης  Δ, και η συνθήκη ότι το εσωτερικό γινόμενο πρέπει να είναι θετικά ορισμένο φανερώνει ότι έχουμε ότι χρειάζεται για τον επιθυμητό ορισμό.