Συνδιακύμανση και αντιδιακύμανση διανυσμάτων

Άτυπη χρήση

Στη Φυσική, το επίθετο συνδιακύμενος συχνά χρησιμοποιείται άτυπα ως συνώνυμο του αναλλοίωτος. Για παράδειγμα, η εξίσωση Σρέντινγκερ δεν διατηρεί τη γραπτή μορφή της κάτω από τις μετατροπές των συντεταγμένων της ειδικής σχετικότητας. Άρα, ένας φυσικός θα έλεγε πως η εξίσωση Σρέντινγκερ δεν είναι συνδιακύμενη. Αντιθέτως, η εξίσωση Κλάιν-Γκόρντον και η εξίσωση Ντιράκ πράγματι διατηρούν την γραπτή μορφή τους κάτω από τις μετατροπές των συντεταγμένων. Επομένως, ένας φυσικός θα μπορούσε να πει πως αυτές οι εξισώσεις "είναι συνδιακύμενες".
Παρά τη χρήση αυτή της λέξης "συνδιακύμενος", είναι πιο σαφές να πούμε ότι οι εξισώσεις Κλάιν-Γκόρντον και Ντιράκ είναι αναλλοίωτες και ότι η εξίσωση Σρέντινγκερ δεν είναι αναλλοίωτη. Για να αποφύγουμε την αμφισημία, επίσης, η μετατροπή κατά την οποία το αναλλοίωτο υπολογίζεται πρέπει να υποδεικνύεται.
Επειδή τα στοιχεία των διανυσμάτων είναι αντιδιακύμενα και εκείνα των διπλών διανυσμάτων είναι συνδιακείμενα, τα διανύσματα καθαυτά συχνά αναφέρεται ότι έιναι συνδιακείμενα και τα διπλά διανύσματα ότι είναι συνδιακείμενα.

Χρήση σε ανάλυση τανυστών

Η διάκριση μεταξύ συνδιακύμανσης και αντιδιακύμανσης είναι ιδιαίτερα σημαντική για υπολογισμούς με τανυστές, οι οποίοι συχνά έχουν "μικτή διακύμανση". Αυτό σημαίνει ότι έχουν τόσο συνδιακύμενα όσο και αντιδιακύμενα στοιχεία ή στοιχεία τόσο απλών όσο και διπλών διανυσμάτων. Το σθένος ενός τανυστή είναι ο αριθμός της διακύμενων και συνδιακύμενων όρων και, στη σημειογραφία του Αϊνστάιν, τα συνδιακύμενα στοιχεία έχουν δείκτες, ενώ τα αντιδιακύμενα εκθέτες. Η διττότητα μεταξύ συνδιακύμανσης και αντιδιακύμανσης παρεμβάλλεται κάθε φορά που το μέγεθος ενός διανύσματος ή ενός τανυστή αναπαρίσταται από τα στοιχεία του, παρά το γεγονός ότι η σύγχρονη διαφορική γεωμετρία χρησιμοποιεί πιο εκλεπτυσμένες μεθόδους χωρίς δείκτες κι εκθέτες για την αναπαράσταση τανυστών.
Στην ανάλυση με τανυστές, ένα συνδιακύμενο διάνυσμα ποικίλλει αντιστρόφως σε ένα αντίστοιχο αντιδιακύμενο διάνυσμα. Εκφράσεις για το μήκος, το εμβαδόν και τον όγκο αντικειμένων σε έναν διανυσματικό χώρο είναι δυνατό να δοθούν στο πλαίσιο των τανυστών με συνδιακύμενους ή αντιδιακύμενους δείκτες κι εκθέτες. Σε περιπτώσεις απλών διαστολών και συστολών των συντεταγμένων, η αμοιβαιότητα είναι ακριβής: σε περίπτωση ομοπαραλληλικών μετατροπών, τα στοιχεία ενός διανύσματος "μπερδεύονται", ακολουθώντας συνδιακύμενες και αντιδιακύμενες παραστάσεις.
Σε μία πολλαπλότητα, το πεδίο ενός τανυστή θα έχει τυπικά πολλαπλούς δείκτες και/ή εκθέτες. Ακολουθώντας μία ευρέως αποδεκτή σύμβαση, στα συνδιακύμενα διανύσματα χρησιμοποιούνται δείκτες, ενώ στα αντιδιακύμενα εκθέτες. Όταν η πολλαπλότητα έχει εφοδιαστεί με έναν μετρικό τανυστή, οι δείκτες και οι εκθέτες των συνδιακύμενων και των αντιδιακύμενων διανυσμάτων αντίστοιχα αποκτούν μία πολύ στενή σχέση. Οι εκθέτες των αντιδιακύμενων διανυσμάτων δύνανται να μετατραπούν σε δείκτες συνδιακύμενων κατόπιν συστολής με τον μετρικό τανυστή. Και το αντίστροφο είναι δυνατό, δηλαδή με την αντιστροφή του μετρικού τανυστή. Σημειωτέον, ότι γενικά δεν υφίσταται καμία τέτοιου είδους σχέση στον χώρο ο οποίος διαθέτει έναν μετρικό τανυστή. Επιπλέον, εάν το δούμε υπό ένα πιο θεωρητικό πρίσμα, ο τανυστής είναι απλώς "εκεί" και τα στοιχεία του -οιοδήποτε είδους- είναι υπολογιστικά τεχνουργήματα, οι τιμές των οποίων εξαρτώνται από τις εκάστοτε επιλεγμένες συντεταγμένες.
Η διευκρίνιση, μιλώντας με γεωμετρικούς όρους, είναι ότι ένας γενικός τανυστής θα έχει ανδιακύμενους καθώς επίσης και συνδιακύμενους δείκτες και εκθέτες αντίστοιχα, επειδή έχει μέρη που ανήκουν τόσο σε μία εφαπτομένη δεσμίδα όσο και σε μία συνεφαπτομένη δεσμίδα.
Ένα αντιδιακύμενο διάνυσμα είναι εκείνο το οποίο μετατρέπεται ως , όπου  είναι οι συντεταγμένες ενός σημείου στον αντίστοιχο χρόνο . Ένα συνδιακύμενο διάνυσμα είναι εκείνο που μετατρέπεται ως , όπου  είναι ένα βαθμωτό σώμα.

Άλγεβρα και γεωμετρία

Στη θεωρία κατηγοριών υπάρχουν συνδιακύμενοι συναρτητές και αντιδιακύμενοι συναρτητές. Η τοποθέτηση του διπλού χώρου σε έναν διανυσματικό χώρο είναι ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα ενός αντιδιακύμενου συναρτητή. Μερικές δομές της πολυγραμμικής άλγεβρας είναι "μικτής" διακύμανσης, η οποία τις εμποδίζει από το να είναι συναρτητές.
Στη διαφορική γεωμετρία τα στοιχεία ενός διανύσματος σχετικό με μία βάση μιας εφαπτομένης δεσμίδας είναι συνδιακύμενα, εάν αλλάξουν κατόπιν γραμμικής μετατροπής ως αλλαγή της βάσης. Είναι, αντίθετα, αντιδιακύμενα, εάν αλλάξουν με την αντίστροφη μετατροπή. Μερικές φορές αυτή είναι αιτία σύγχυσης για δύο διακριτούς αλλά συναφείς λόγους. Ο πρώτος είναι ότι τα διανύσματα, τα στοιχεία των οποίων είναι συνδιακύμενα (ονομάζονται μονο-μορφικά), στην ουσία "τραβούν" κάτω από επίπεδες συναρτήσεις, που σημαίνει ότι η διαδικασία που αντιστοιχεί στον χώρο των συνδιακύμενων διανυσμάτων σε μία επίπεδη πολλαπλότητα είναι στην πραγματικότητα αντιδιακύμενος συναρτητής. Παρομοίως, διανύσματα, των οποίων τα στοιχεία είναι αντιδιακύμενα "σπρώχνουν" κάτω από επίπεδες απεικονίσεις, ούτως ώστε η διαδικασία που αντιστοιχεί στον χώρο των αντιδιακύμενων διανυσμάτων σε μία επίπεδη πολλαπλότητα να είναι ένας συνδιακύμενος συναρτητής. Κατά δεύτερον, στη διαχρονική προσέγγιση της διαφορικής γεωμετρίας, δεν είναι οι βάσεις μίας εφαπτομένης δεσμίδας εκείνες που αποτελούν το πιο παλιό αντικείμενο, αλλά κάπως αλλάζουν στο σύστημα συντεταγμένων. Διανύσματα με αντιδιακύμενα στοιχεία μετατρέπονται κατά τον ίδιο τρόπο που αλλάζει και στις συντεταγμένες (επειδή οι τελευταίες αλλάζουν αντίθετα με την προηγηθείσα αλλαγή της βάσης). Παρομοίως, διανύσματα με συνδιακύμενα στοιχεία μετατρέπονται κατά τρόπο αντίθετο με αυτόν που αλλάζει στις συντεταγμένες.