Πίνακας (μαθηματικά)

Βασικές πράξεις

Υπάρχει ένας αριθμός βασικών λειτουργιών που μπορούν να εφαρμοστούν για να τροποποιήσουν πίνακες , ονομάζονται πίνακας πρόσθεσης, βαθμωτού πολλαπλασιασμού, μεταφοράς, πίνακας πολλαπλασιασμού, λειτουργίες γραμμής, και υποπίνακας.

Τετραγωνικοί πίνακες

Ένας τετραγωνικός πίνακας είναι ένας πίνακας με το ίδιο αριθμό σειρών και στηλών. Ένας πίνακας ν-ν είναι γνωστός ως τετραγωνικός πίνακας τάξης ν. Οποιοιδήποτε δύο τετραγωνικοί πίνακες της ίδιας τάξης μπορούν να προστεθούν και να πολλαπλασιαστούν. 
Οι καταχωρήσεις  αᵢᵢ αποτελούν την κύρια διαγώνιο του τετραγωνικού πίνακα. Βρίσκονται στη νοητή γραμμή που εκτείνεται από την πάνω αριστερή γωνία στην κάτω δεξιά γωνία του πίνακα.

Διαγώνιοι και τριγωνικοί πίνακες

Εάν όλες οι καταχωρήσεις του A κάτω από την κύρια διαγώνιο είναι μηδέν,το A ονομάζεται άνω τριγωνικός πίνακας. Ομοίως, αν όλες οι καταχωρήσεις του A πάνω από την κύρια διαγώνιο είναι μηδέν, το A ονομάζεται κατώτερος τριγωνικός πίνακας. Αν όλες οι καταχωρήσεις έξω από την κύρια διαγώνιο είναι μηδέν,το A ονομάζεται διαγώνιος πίνακας.

Συμμετρικός ή αντισυμμετρικός πίνακας

Ένας τετραγωνικός πίνακας A ο οποίος είναι ίσος με τον ανάστροφό του, δηλαδή., A = Aᵀ, είναι ένας συμμετρικός πίνακας.Αν αντίθετα ,ο A ήταν ίσος με τον αρνητικό του ανάστροφο , δηλαδή, A = −Aᵀ, τότε A είναι ένας αντισυμμετρικός πίνακας. Σε μιγαδικούς πίνακες,η συμμετρία συχνά αντικαθιστάται από την έννοια Hermitian matrices, που ικανοποιεί A∗ = A, όπου το αστέρι ή ο αστερίσκος υποδηλώνει το συζυγή ανάστροφο ενός πινάκα, δηλαδή, η μετάθεση του συζυγή του A.
Με το spectral theorem, οι πραγματικοί συμμετρικοί πίνακες και οι Hermitian matrix έχουν eigenbasis; δηλαδή, κάθε διάνυσμα είναι εκφράσιμο σαν γραμμικός συνδυασμός των ιδιοδιανυσμάτων. Σε αμφότερες περιπτώσεις ,όλες οι ιδιοτιμές είναι πραγματικές. Το θεώρημα αυτό μπορεί να γενικευθεί σε απειροδιάστατες καταστάσεις που σχετίζονται με πίνακες που έχουν πάρα πολλές γραμμές και στήλες , δείτε παρακάτω.

Περίληψη αλγεβρικών πτυχών και γενικεύσεις

Οι πίνακες μπορούν να γενικεύονται με διαφορετικούς τρόπους. Η αφηρημένη άλγεβρα χρησιμοποιεί πίνακες με στοιχεία σε πιο γενικά  πεδία ή ακόμα δακτυλίους, ενώ η γραμμική άλγεβρα κωδικοποιεί ιδιότητες πινάκων στην έννοια των γραμμικών χαρτών. Είναι πιθανό να εξετάσετε πίνακες με άπειρες στήλες και σειρές. Άλλη επέκταση είναι οι  τανυστές, που μπορούν να θεωρηθούν ως υψηλότερων διαστάσεων συστοιχίες αριθμών, σε αντίθεση με τους φορείς, οι οποίοι συχνά μπορούν να πραγματοποιήσουν ακολουθίες αριθμών, ενώ οι πίνακες είναι ορθογώνιοι ή δύο διαστάσεων συστοιχία αριθμών .  Οι πίνακες, υπόκεινται σε ορισμένες απαιτήσεις τείνοντας να σχηματίσουν  ομάδες γνωστές ως ομάδες πινάκων.

Πίνακες με πιο γενικά στοιχεία

Αυτό το άρθρο εστιάζει σε πίνακες των οποίων τα στοιχεία είναι πραγματικά ή  περίπλοκοι αριθμοί. Ωστόσο, οι πίνακες μπορούν να θεωρηθούν με πιο γενικούς τύπους των στοιχείων από πραγματικούς ή περίπλοκους αριθμούς. Σε πρώτο βήμα της γενίκευσης, οποιοδήποτε πεδίο, π.χ., ανά σύνολο όπου οι πράξεις της πρόσθεσης, της αφαίρεσης, του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης  είναι καλά ορισμένες, μπορούν να χρησιμοποιηθούν αντί του R ή του C, για παράδειγμα   ορθολογικοί αριθμοί ή πεπερασμένα πεδία. Για παράδειγμα, η θεωρία κωδικοποίησης κάνει χρήση των πινάκων πάνω από πεπερασμένα πεδία. Οπουδήποτε οι  ιδιοτιμές θεωρούνται, όπως είναι οι ρίζες ενός πολυωνύμου μπορούν να υπάρχουν μόνο σε ένα πεδίο μεγαλύτερο από τους συντελεστές του πίνακα; για παράδειγμα μπορεί να είναι πολύπλοκοι σε περίπτωση ενός πίνακα με πραγματικά. Η πιθανότητα να επανερμηνεύει τα στοιχεία ενός πίνακα ως στοιχεία ενός μεγαλύτερου πεδίου (π.χ., το να βλέπεις ένα πραγματικό πίνακα ως ένα περίπλοκο πίνακα του οποίου τα στοιχεία τυχαίνει να είναι όλα πραγματικά) έπειτα επιτρέπουν θεωρώντας κάθε τετραγωνικό πίνακα να διαθέτει ένα πλήρες σύνολο των ιδιοτιμών. Εναλλακτικά εξετάστε μόνο πίνακες με στοιχεία μέσα σε ένα   κλειστό αλγεβρικά πεδίο, όπως είναι το  C, από την αρχή.
Πιο γενικά, η αφηρημένη άλγεβρα κάνει καταπληκτική χρήση των πινάκων με στοιχεία μέσα σε ένα δακτύλιο R. Οι δακτύλιοι είναι μια πιο γενική έννοια από τα πεδία με μια πράξη διαίρεσης με την έννοια ότι δεν χρειάζεται να υπάρχει . Παρομοίως, οι πράξεις οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού πινάκων εκτείνονται σε αυτή τη ρύθμιση , επίσης. Το σύστημα M(n, R) όλων των τετραγωνικών n επί n πινάκων στον R είναι ένας δακτύλιος το οποίο ονομάζεται δακτύλιος πίνακα, είναι ισομορφισμός στον ενδομορφισμό δακτυλίου της αριστερής  R-μονάδας Rⁿ. Αν ο δακτύλιος R είναι αντιμεταθετικός,π.χ., ο πολλαπλασιασμός του είναι αντιμεταθετικός, τότε M(n, R) είναι μία ενιαία μη αντιμεταθετική (εκτός αν  n = 1) συνειρμική άλγεβρα πάνω στον R. Η ορίζουσα τετραγωνικών πινάκων πάνω σε έναν αντιμεταθετικό δακτύλιο R μπορεί ακόμη να οριστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο Leibniz; όπως ένας πίνακας είναι αντιστρέψιμος αν και μόνο αν η ορίζουσα του είναι αντιστρέψιμη στον R, γενικεύοντας την κατάσταση πάνω στο πεδίο F, όπου κάθε μη-μηδενικό στοιχείο είναι αντιστρέψιμο. Οι πίνακες πάνω από τους  υπερδακτύλιους ονομάζονται υπερπίνακες.
Οι πίνακες που δεν έχουν πάντα όλα τους τα στοιχεία στον δακτύλιο – ή ακόμα σε κανένα δακτύλιο γενικά. Μία ειδική αλλά κοινή περίπτωση είναι οι block πίνακες, οι οποίοι μπορούν να θεωρηθούν σαν πίνακες των οποίων τα στοιχεία είναι από μόνα τους πίνακες. Τα στοιχεία δεν είναι απαραίτητο να είναι τετραγωνικοί πίνακες, και έτσι δεν χρειάζεται να είναι μέλη κανενός συνηθισμένου δακτυλίου; αλλά τα μεγέθη τους πρέπει να πληρούν σίγουρα προϋποθέσεις συμβατότητας.

Άπειροι πίνακες

Είναι επίσης δυνατό να σκεφτεί κανείς τους πίνακες με άπειρα πολλές γραμμές και/ή στήλες  ακόμη και αν, όντας άπειρα αντικείμενα, δεν μπορεί να γραφεί ρητά όπως οι πίνακες. Το μόνο που έχει που σημασία είναι ότι για κάθε στοιχείο στο σύνολο των γραμμών με δείκτες, και κάθε στοιχείο στο σύνολο των στηλών με δείκτες, υπάρχει ένα καλώς ορισμένο στοιχείο (αυτά τα σύνολα δεικτών δε χρειάζεται να είναι υποσύνολα των φυσικών αριθμών). Οι βασικές πράξεις της πρόσθεσης, της αφαίρεσης, του βαθμωτού πολλαπλασιασμού και της μεταφοράς μπορούν ακόμα να οριστούν χωρίς πρόβλημα: ωστόσο ο πίνακας πολλαπλασιασμού μπορεί να περιλαμβάνει άπειρες αθροίσεις για να οριστούν τα στοιχεία που προκύπτουν, και αυτά δεν ορίζονται γενικά.
Εαν ο R είναι ένας δακτύλιος με μονάδα, τότε ο δακτύλιος των ενδομορφισμών του  όπως το δεξιό πρότυπο R είναι ισομορφικό προς το δακτύλιο του πίνακα πεπερασμένης στήλης  του οποίου τα στοιχεία είναι με δείκτες από , και του οποίου οι στήλες κάθεμία περιέχουν μόνο πεπερασμένα πολλά μη μηδενικά στοιχεία. Τους ενδομορφισμούς του M μπορούμε να τους σκεφτούμε όπως το αριστερό πρότυπο R καταλήγοντας σε ένα ανάλογο αντικείμενο, οι πίνακες πεπερασμένης γραμμής  των οποίων οι γραμμές καθεμία έχουν πεπερασμένα πολλά μη μηδενικά στοιχεία.
Εάν οι άπειροι πίνακες χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν γραμμικές απεικονίσεις, τότε μόνο εκείνοι οι πίνακες μπορούν να χρησιμοποιηθούν των οποίων οι στήλες έχουν πεπερασμένο μη μηδενικών στοιχείων, για τον ακόλουθο λόγο. Για έναν πίνακα A να περιγράψει μία γραμμική απεικόνιση f: V→W, βάσεις και για τους δύο χώρους πρέπει να έχουν επιλεχθεί: θυμηθείτε ότι εξ ορισμού αυτό σημαίνει ότι κάθε διάνυσμα στο χώρο μπορεί να γραφεί μοναδικά ως ένα (πεπερασμένο) γραμμικό συνδυασμό] βάσης διανυσμάτων, έτσι γραμμένο ως μία (στήλη) διάνυσμα v από συντελεστές, μόνο πεπερασμένα πολλά στοιχεία vᵢ είναι μη μηδενικά. Οι στήλες του A περιγράφουν τις εικόνες μέσω της f των μοναδικών διανυσμάτων βάσης του V στη βάση του W, τα οποία έχουν νόημα μόνο αν αυτές οι στήλες έχουν μόνο πεπερασμένα πολλά μη μηδενικά στοιχεία. Δεν υπάρχει κανένας περιορισμός στις γραμμές του A ωστόσο: στο γινόμενο A·v υπάρχουν μόνο πεπερασμένα πολλοί μη μηδενικοί συντελεστές που περιλαμβάνουν το v, έτσι κάθε ένα από τα στοιχεία του, ακόμα και αν είναι δοσμένο ως άπειρο άθροισμα γινομένων, περιλαμβάνει μόνο πεπερασμένα πολλούς μη μηδενικούς όρους και είναι συνεπώς καλά ορισμένοι. Επιπλέον αυτό συμβάλλει στο σχηματισμό ενός γραμμικού συνδυασμού των στηλών του A που αποτελεσματικά περιλαμβάνει μόνο πεπερασμένα πολλά από αυτά, από όπου το αποτέλεσμα έχει μόνο πεπερασμένα πολλά μη μηδενικά στοιχεία, επειδή κάθε μία από εκείνες τις στήλες περιλαμβάνει. Επίσης μπορεί κανείς να δει ότι γινόμενα δύο πινάκων του δοσμένου τύπου είναι καλά ορισμένα (υπό την προϋπόθεση ότι ως συνήθως ο δείκτης στήλης και ο  δείκτης γραμμής των συνόλων ταιριάζουν), είναι ξανά του ίδιου τύπου, και αντιστοιχεί στη σύνθεση των γραμμικών απεικονίσεων.
Αν ο R είναι ένας σταθερός δακτύλιος, τότε ο όρος της γραμμής ή μίας στήλης πεπερασμένα μπορεί να χαλαρώσει.  Με το σταθερό στη θέση του, οι απόλυτα συγκλίνουσες σειρές μπορούν να χρησιμοποιηθούν αντί για τα πεπερασμένα αθροίσματα. Για παράδειγμα, οι πίνακες των οποίων τα αθροίσματα στήλης είναι απόλυτα συγκλίνουσες ακολουθίες σχηματίζουν ένα δακτύλιο. Κατά ανάλογο τρόπο φυσικά, οι πίνακες των οποίων τα αθροίσματα γραμμής είναι απόλυτα συγκλίνουσες σειρές επίσης σχηματίζουν ένα δακτύλιο.
Σ'αυτό το πνεύμα, οι άπειροι πίνακες μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να χρησιμοποιηθούν για να περιγράψουν τους τελεστές στους χώρους του Hilbert, όπου η σύγκλιση και η συνέχεια προκαλούν ερωτήματα, τα οποία καταλήγουν σε βέβαιους περιορισμούς οι οποίοι πρέπει να επιβάλλονται. Ωστόσο, η ρητή άποψη για τους πίνακες τείνει να θολώσει το θέμα, και η αφαίρεση και περισσότερο ισχυρά εργαλεία της συναρτησιακής ανάλυσης μπορούν να χρησιμοποιηθούν αντί αυτού.

Άδειοι πίνακες

Ένας άδειος πίνακας είναι ένας πίνακας στον οποίο ο αριθμός των γραμμών ή στηλών (ή και τα δύο) είναι μηδέν. Οι άδειοι πίνακες βοηθούν να αντιμετωπίσουμε απεικονίσεις που περιλαμβάνουν το μηδενικό διανυσματικό χώρο. Για παράδειγμα, αν ο A είναι ένας 3-επί-0 πίνακας και ο B είναι ένας 0-επί-3 πίνακας, τότε ο AB είναι ο 3-επί-3 μηδενικός πίνακας cαντίστοιχος προς τη μηδενική απεικόνιση από ένα τρισδιάστατο χώρο V στον εαυτό του, ενώ ο BA είναι ένας 0-επί-0 πίνακας. Δεν υπάρχει κοινός συμβολισμός για τους άδειους πίνακες, αλλά τα περισσότερα συστήματα υπολογισμού άλγεβρας επιτρέπουν τη δημιουργία και τον υπολογισμό με αυτά. Η ορίζουσα του 0-επί-0 πίνακα είναι 1 ως εξής από σχετικά το άδειο γινόμενο απαντά στον τύπο του Leibniz για την ορίζουσα όπως το 1. Αυτή η τιμή είναι επίσης συνεπής με το γεγονός ότι η ταυτοτική απεικόνιση από κάθε πεπερασμένων διαστάσεων χώρο στον εαυτό του έχει ορίζουσα 1, ένα γεγονός το οποίο συχνά χρησιμοποιείται ως μέρος του χαρακτηρισμού των οριζουσών.

Θεωρία Γραφήματος

Ο πίνακας adjacency ενός πεπερασμένου γραφήματος είναι μια βασική έννοια της θεωρίας γραφήματος. Καταγράφει ποια κορυφές του γραφήματος συνδέονται με μια ακμή. Πίνακες που περιέχουν μόνο δύο διαφορετικές τιμές (1 και 0 που σημαίνει για παράδειγμα "ναι" και "όχι", αντίστοιχα) ονομάζονται λογικοί πίνακες. Ο απόσταση (ή κόστος) πίνακας περιέχει πληροφορίες σχετικά με τις αποστάσεις των άκρων. Αυτές οι έννοιες μπορούν να εφαρμοστούν σε ιστοσελίδες συνδεδεμένες με υπερσυνδέσμους ή πόλεις που συνδέονται με δρόμους κλπ., Σε περίπτωση κατά την οποία (αν το οδικό δίκτυο είναι εξαιρετικά πυκνό) οι πίνακες τείνουν να είναι αραιοί, για παράδειγμα., περιέχουν λίγες μη μηδενικές εγγραφές. Ως εκ τούτου, ειδικά προσαρμοσμένοι αλγοριθμικοί πίνακες μπορούν να χρησιμοποιηθούν στην  θεωρία διαδικτύου.

Γραμμικοί συνδυασμοί των κβαντικών καταστάσεων

Το πρώτο μοντέλο της κβαντομηχανικής (Χάιζεμπεργκ, 1925) εκπροσωπείται από τους φορείς της θεωρίας από απειροδιάστατους πίνακες που ενεργούν για κβαντικές καταστάσεις. Αυτό είναι επίσης γνωστό και ως κβαντομηχανική. Ένα συγκεκριμένο παράδειγμα είναι  πίνακας πυκνότητας που χαρακτηρίζει τη «μικτή» κατάσταση ενός κβαντικού συστήματος ως γραμμικός συνδυασμός πρωτοβάθμιας, καθαρής ιδιοκατάστασης.
Ένας άλλος πίνακας που χρησιμεύει ως ένα βασικό εργαλείο για την περιγραφή των πειραμάτων σκέδασης που αποτελούν τον ακρογωνιαίο λίθο της σωματιδιακής φυσικής: Σύγκρουση αντιδράσεων, όπως στους επιταχυντές σωματιδίων, όπου σωματίδια που δεν αλληλεπιδρούν κατευθύνονται το ένας προς το άλλο και συγκρούονται σε μιας μικρή ζώνη αλληλεπίδρασης, με ένα σύνολο μη αλληοεπιδρώμενων σωματιδίων ως αποτέλεσμα, μπορεί να περιγραφεί ως το γινόμενο των εξερχόμενων κρατών σωματιδίων και ένας γραμμικός συνδυασμός των μελών προστιθέμενων σωματιδίων.  Ο γραμμικός συνδυασμός δίνεται από έναν πίνακα που είναι γνωστός ως S-πίνακας, ο οποίος κωδικοποιεί όλες τις πληροφορίες σχετικά με τις πιθανές αλληλεπιδράσεις μεταξύ των σωματιδίων.

Κανονικοί τρόποι

Μια γενική εφαρμογή των πινάκων στην φυσική είναι στην περιγραφή των γραμμικά συνδεδεμένων αρμονικών συστημάτων. Οι εξισώσεις κίνησης τέτοιων συστημάτων μπορούν να περιγραφούν σε μορφή πίνακα, με έναν πίνακα μάζας πολλαπλασιάζοντας μια γενικευμένη ταχύτητα για να δώσει τον κινητικό όρο, και ένας δυναμικός πίνακας πολλαπλασιάζοντας ένα διάνυσμα μετατόπισης για τον χαρακτηρισμό των αλληλεπιδράσεων. Ο καλύτερος τρόπος για να ληφθούν λύσεις είναι να προσδιοριστεί το αυτοδιάνυσμα του συστήματος, την κανονική λειτουργία, διαγωνιοποιώντας την εξίσωση του πίνακα. Τεχνικές όπως αυτή είναι ζωτικής σημασίας όταν πρόκειται για την εσωτερική δυναμική των μορίων: οι εσωτερικές δονήσεις των συστημάτων που αποτελούνται από αμοιβαίως δεσμευμένα άτομα συστατικού. Είναι επίσης αναγκαία για την περιγραφή οι μηχανικές δονήσεις και ταλαντώσεις ηλεκτρικών κυκλωμάτων.

Γεωμετρική οπτική

Η Γεωμετρική οπτική παρέχει επιπλέον εφαρμογές πινάκων. Σε αυτή την προσεγγιστική θεωρία, η κυματική φύση του φωτός είναι παραμελημένη. Το αποτέλεσμα είναι ένα μοντέλο στο οποίο οι ακτίνες φωτός είναι όντως γεωμετρικές ακτίνες. Εάν η εκτροπή των ακτίνων φωτός μέσω οπτικών στοιχείων είναι μικρή, η ενέργεια ενός φακού ή ενός ανακλώμενου στοιχείου σε μια δεδομένη ακτίνα φωτός μπορεί να εκφραστεί ως πολλαπλασιασμός ενός διανύσματος δύο συνιστωσών με έναν πίνακα 2 προς 2 που ονομάζεται πίνακας μεταφοράς ακτίνων: οι συνιστώσες του διανύσματος είναι η κλίση των ακτίνων φωτός και η απόσταση της από τον οπτικό άξονα, όσο ο πίνακας κωδικοποιεί τις ιδιότητες του οπτικού στοιχείου. Για την ακρίβεια, υπάρχουν δύο ειδών πίνακες, δηλαδή. ένας πίνακας διάθλασης που περιγράφει την διάθλαση σε μια επιφάνεια του φακού, και ένας πίνακας μετάφρασης, που περιγράφει την μετάφραση του επιπέδου αναφοράς  στην επόμενη διαθλώμενη επιφάνεια, όπου εφαρμόζεται ένας άλλος πίνακας διάθλασης.
Το οπτικό σύστημα, που αποτελείται από ένα συνδυασμό φακών και/ή αντανακλώντων στοιχείων, περιγράφεται απλώς ως ο πίνακας που προκύπτει από  το προιόν  των πινάκων των εξαρτημάτων.

Ηλεκτρονικά

Η παραδοσιακή ανάλυση πλέγματος στα ηλεκτρονικά οδηγεί σε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων που μπορούν να περιγραφούν με πίνακα.
Η συμπεριφορά πολλών ηλεκτρονικών συστατικών μπορεί να περιγραφεί μέσω πινάκων. Έστω A ένα δισδιάστατο διάνυσμα με την τάση εισόδου του στοιχείου v₁ και ρεύμα εισόδου i₁ως στοιχεία του, και έστω B ένα δισδιάστατο διάνυσμα με την τάση εξόδου του στοιχείου v₂ και του ρεύματος εξόδου i₂ ως στοιχεία του. Στη συνέχεια, η συμπεριφορά του ηλεκτρονικού στοιχείου μπορεί να περιγραφεί με  B = H · A, όπου H είναι ένας 2 x 2 πίνακας που περιέχει ένα στοιχείο  αντίστασης (h₁₂), ένα στοιχείο εισόδου (h₂₁) και δύο αδιάστατα στοιχεία (h₁₁ and h₂₂). Υπολογίζοντας ένα κύκλωμα τώρα μειώνεται σε πολλαπλασιασμό πινάκων.