Διανύσματα με στοιχεία μιγαδικούς αριθμούς

Στα μαθηματικά και στη φυσική, κυρίως στη θεωρία των ορθογωνίων ομάδων (όπως η περιστροφή ή οι ομάδες Lorentz), ένα διάνυσμα με στοιχεία μιγαδικούς αριθμούς (σπίνορας) είναι ένα στοιχείο ενός διανυσματικού χώρου, μια αναπαράσταση χώρου της άλγεβρας Clifford που συνδέεται με ένα διανυσματικό χώρο με μια τετραγωνική μορφή (όπως ο Ευκλείδειος χώρος με την πρότυπη μετρική ή ο χώρος Minkowski με τη μετρική Lorentz). Όπως τα διανύσματα, έτσι και τα διανύσματα μιγαδικών είναι αναπαραστάσεις ειδικής ορθογώνιας άλγεβρας Lie δηλαδή αυτά (Spinor) μετατρέπουν απειροελάχιστους ορθογώνιους μετασχηματισμούς (όπως οι απειροελάχιστες περιστροφές ή οι απειροελάχιστοι μετασχηματισμοί Lorentz). Γενικά τα διανύσματα μιγαδικών ανακαλύφθηκαν από τον Elie Cartan το 1913. Λίγο αργότερα, τα διανύσματα με στοιχεία μιγαδικούς αριθμούς αποδείχθηκαν ότι είναι απαραίτητα στην Κβαντική μηχανική για να περιγράψουν το ηλεκτρόνιο και άλλα spin-½ σωματίδια.
Όπως τα διανύσματα και οι τανυστές, οι ιδιότητες μετασχηματισμού των διανυσμάτων μιγαδικών βασίζονται στον ορισμό τους. Ωστόσο, σε αντίθεση με τα διανύσματα, τα αντίστοιχα των μιγαδικών  μετασχηματισμών πάνω σε σημείο υπό την ορθογώνια ομάδα. Αυτό σημαίνει ότι μια περιστροφή 360 μοιρών μετασχηματίζει ένα διάνυσμα μιγαδικών στον αντίστοιχο αρνητικό του, και έτσι περιστρέφεται 720 μοίρες για να αποκτήσει ξανά την αρχική του μορφή. Εξάλλου, σε αντίθεση με τους τανυστές, ο χώρος των μιγαδικών δεν μπορεί να δημιουργηθεί με μοναδικό και φυσικό τρόπο από διανύσματα χώρου. Ανάλογα με την τετραγωνική τους μορφή , μπορεί να υπάρχουν πολλοί διαφορετικοί αλλά στενά συνδεδεμένοι χώροι μιγαδικών με επιπλέον ιδιότητες.
Στη φυσική, τα διανύσματα αυτά έχουν ευρύ φάσμα εφαρμογών. Στην κβαντική μηχανική, τα διανύσματα μιγαδικών σε τρεις διαστάσεις συνηθίζουν να περιγράφουν το Σπιν από τα μη σχετικιστικά ηλεκτρόνια και άλλα φερμιόνια. Τα διανύσματα του Dirac, και του Lorentz σε χώρο με 4 διαστάσεις, απαιτούνται για τη μαθηματική περιγραφή της κβαντικής κατάστασης της Σχετικότητας ηλεκτρονίων μέσω της εξίσωσης του Ντιράκ. Στην Κβαντική θεωρία πεδίου, τα διανύσματα με στοιχεία μιγαδικούς αριθμούς περιγράφουν την κατάσταση των συστημάτων με πολλά σωματίδια.
Στα μαθηματικά και ιδιαίτερα στη Διαφορική γεωμετρία και στη σφαιρική ανάλυση,τα διανύσματα αυτά έχουν βρει ευρείες εφαρμογές στην αλγεβρική και διαφορική τοπολογία, symplectic geometry, gauge theory, complex algebraic geometry, index theory, and special holonomy.

Επισκόπηση

Στην κλασική γεωμετρία του χώρου, ένα διάνυσμα παρουσιάζει μια συγκεκριμένη συμπεριφορά όταν προκύπτει από περιστροφή ή από αντανάκλαση σε ένα υπερεπίπεδο. Ωστόσο, ορισμένες περιστροφές και αντανακλάσεις περιέχουν λεπτότερες γεωμετρικές πληροφορίες που μπορούν να εκφραστούν από τη δράση τους στα διανύσματα. Τα διανύσματα με στοιχεία μιγαδικούς αριθμούς είναι αντικείμενα που κατασκευάστηκαν με σκοπό να κάνουν τη γεωμετρία πληρέστερη.
Ουσιαστικά υπάρχουν δυο περιπτώσεις για να καταλάβουμε καλύτερα την έννοια ενός τέτοιου διανύσματος (spinor).
Στην πρώτη περίπτωση γνωρίζουμε εκ των προτέρων ότι υπάρχουν μερικές αναπαραστάσεις της άλγεβρας Lie των ορθογώνιων ομάδων που δεν μπορούν να σχηματιστούν από το συνηθισμένο τρόπο κατασκευής ενός τανυστή. Αυτές οι αναπαραστάσεις αργότερα αναφέρονται ως αναπαραστάσεις περιστροφής, και συμπεριλαμβάνουν τα συστατικά μέρη των μιγαδικών διανυσμάτων. Απ' την όψη αυτή, ένα διάνυσμα μιγαδικών πρέπει να ανήκει σε μια ομάδα από την ειδική ομάδα περιστροφής SO(n,R), ή γενικότερα από την ειδική γενικευμένη ορθογώνια ομάδα SO⁺(p,q,R) σε χώρους με μετρική υπογραφή (p,q). Αυτές είναι οι ομάδες Lies, και ονομάστηκαν ομάδες περιστροφής Spin(p,q). Όλες οι ιδιότητες των διανυσμάτων με μιγαδικούς αριθμούς, οι εφαρμογές τους και τα παράγωγα αντικείμενα, παρουσιάστηκαν πρώτα στις ομάδες περιστροφής. Οι αναπαραστάσεις των ομάδων αυτών παράγουν τιςπροβολικές αναπαραστάσεις των ίδιων των ομάδων, που δεν πληρούν ακριβώς τον ορισμό αυτό.
Η άλλη περίπτωση είναι γεωμετρική. Κάποιος μπορεί να κατασκευάσει τα διανύσματα με στοιχεία μιγαδικούς αριθμούς και να δει πως συμπεριφέρονται υπο την επίδραση των σχετικών ομάδων Lie. Η τελευταία προσέγγιση έχει το πλεονέκτημα ότι παρέχει μια στοιχειώδη περιγραφή για το τι είναι αυτό το διάνυσμα. Ωστόσο, όσο δύσκολη είναι αυτή η περιγραφή που περιπλέκει τις ιδιότητες από τα διανύσματα μιγαδικών αριθμών, χρειάζεται.

Άλγεβρα Clifford

Η γλώσσα της άλγεβρας Clifford παρέχει μια πλήρη αναπαράσταση όλων των ομάδων περιστροφής, και τις σχέσεις μεταξύ αυτών των αναπαραστάσεων, μέσω της classification of Clifford algebra\ταξινόμησης της άλγεβρας Clifford.
Αναλυτικά, αν το V είναι πεπερασμένων διαστάσεων διάνυσμα με ένα διγραμμικό τύπο g, η άλγεβρα Clifford Cℓ(V,g) είναι αυτή που παράγεται από το V με τη σχέση xy + yx = 2g(x,y). Είναι μια αφηρημένη εκδοχή της άλγεβρας που παράγεται από gamma ή από 2x2 πίνακες διανυσμάτων. Όπως η άλγεβρα Clifford συμβολίζεται Cℓₙ(C), όπου το C συμβολίζει ότι τα διανύσματα του V είναι κατασκευασμένα με μιγαδικούς αριθμούς, και ισχύει n = dim(V). Η Cℓₙ(C) είναι αλγεβρικά ισόμορφη με την Mat(2ᵏ,C) των 2ᵏx2ᵏ μιγαδικών πινάκων, αν n = dim(V) = 2k ή Mat(2ᵏ,C)⊕Mat(2ᵏ,C) είναι στοιχεία των 2ᵏx2ᵏ πινάκων, ενώ αν n = dim(V) = 2k+1 τότε είναι άτοπο. Έχει επομένως μια μοναδική αναπαράσταση, που συνήθως συμβολίζεται με Δ και έχει διάσταση 2ᵏ. Η so(V,g) έχει ενσωματωθεί στην σχέση Cℓ(V,g) εξοπλισμένη με μια παρένθεση. Επομένως, είναι επίσης μια αναπαράσταση του so(V,?g) και καλείται αναπαράσταση περιστροφής. Αν το n είναι περιττό, η παράσταση αυτή είναι ανάγωγη. Αν το n είναι άρτιος, χωρίζεται σε δυο ανάγωγες παραστάσεις Δ = Δ₊⊕Δ₋ και ονομάζεται αναπαράσταση μισής περιστροφής.
Οι ανάγωγες παραστάσεις γύρω απ' τα πραγματικά και στην περίπτωση που ο V είναι ένας πραγματικός διανυσματικός χώρος είναι πολύ πιο περίπλοκες, και ο αναγνώστης θα πρέπει να προσφύγει στην άλγεβρα Clifford για περισσότερες λεπτομέρειες.

Η σημασία του για τη Φυσική

Η πιο τυπική μορφή του διανύσματος με στοιχεία τους μιγαδικούς αριθμούς είναι ένα στοιχείο από τη θεμελιώδη αναπαράσταση του Cℓₚ₊q(C), στην άλγεβρα Clifford Cℓₚ,q(R),  στο οποίο η ομάδα Σπιν Spin(p,q) μπορεί να ενσωματωθεί. Σε ένα χώρο με διαστάσεις 2k ή 2k+1 ένα διάνυσμα μιγαδικών του Dirac μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένα διάνυσμα από 2ᵏ μιγαδικούς αριθμούς  Στις άρτιες διαστάσεις, η αναπαράσταση αυτή είναι αναγώγιμη όταν λαμβάνεται ως αναπαράσταση των ομάδων Lie του Spin(p,q) και μπορεί να αναλυθεί σε δυο: τις αριστερόχειρες και τις δεξιόχειρες αναπαραστάσεις των  διανυσμάτων μιγαδικών του Weyl . Επιπρόσθετα, μερικές φορές η μη-διανυσματική έκδοση του Cℓₚ,q(R) έχει μια μικρότερη πραγματική αναπαράσταση, την αναπαράστασηδιανυσμάτων μιγαδικών του Majorana. Αν αυτό συμβαίνει σε μια άρτια διάσταση , η αναπαράσταση του διανύσματος μιγαδικών του Majorana μερικές φορές θα αναλύεται σε δύο αναπαραστάσεις διανυσμάτων με στοιχεία μιγαδικούς των  Majorana–Weyl.
Απ' όλα αυτά, μόνο η αναπαράσταση του Dirac υφίσταται σε όλες τις διαστάσεις. Τα διανύσματα μιγαδικών των Dirac και Weyl είναι μιγαδικές παραστάσεις όταν τα διανύσματα Majorana είναι αληθινές παραστάσεις. Τα διανύσματα μιγαδικών των Dirac, Lorentz, Weyl και Majorana είναι συγγενικά και η σχέση τους μπορεί να διευκρινιστεί στη βάση της άλγεβρας των διανυσμάτων πραγματικών αριθμών.

Τα διανύσματα με στοιχεία μιγαδικούς αριθμούς στην θεωρία αναπαράστασης

Μια μεγαλύτερη μαθηματική εφαρμογή της κατασκευής των διανυσμάτων μιγαδικών αριθμών είναι να καθιστούν δυνατή την κατασκευή με ακρίβεια της γραμμικής αναπαράστασης της άλγεβρας Lie από τις ειδικές ορθογώνιες ομάδες, και συνεπώς τις αναπαραστάσεις των ίδιων των ομάδων των διανυσμάτων μιγαδικών. Σε ένα πιο βαθύ επίπεδο, τα διανύσματα αυτά έχουν βρεθεί για να είναι στην καρδιά των προσεγγίσεων του θεωρήματος Atiyah–Singer, και να παρέχουν λεπτομερή κατασκευή για τις αναπαραστάσεις διακριτών σειρών of ημιαπλών ομάδων.
Οι αναπαραστάσεις περιστροφής των ειδικών ορθογώνιων ομάδων Lie είναι διακεκριμένες από τον τανυστή που δίνονται από την κατασκευή του Weyl.Επειδή οι ομομορφισμοί των τανυστών είναι ακέραιοι γραμμικοί συνδυασμοί από τις ρίζες της άλγεβρας Lie , αυτοί είναι ημιακέραιοι γραμμικοί συνδυασμοί των αντίστοιχων τανυστών. Αναλυτικότερες λεπτομέρειες μπορούν να βρεθούν στο άρθρο spin representation.

Ιστορία

Η πιο γενική μαθηματική μορφή στα διανύσματα μιγαδικών ανακαλύφθηκε από τον Elie Cartan το 1913. Ο όρος "διανύσματα μιγαδικών" δημιουργήθηκε από τον Paul Ehrenfest πάνω στη μελέτη του στην Κβαντική μηχανική.
Τα διανύσματα μιγαδικών αριθμών εφαρμόστηκαν για πρώτη φορά στη Μαθηματική φυσική από τον Wolfgang Pauli το 1927, όταν παρουσίασε τους πίνακες περιστροφής του. Τον επόμενο χρόνο, ο Paul Dirac ανακάλυψε την πλήρη σχετικιστική θεωρία σπιν του ηλεκτρονίου δείχνοντας τη σύνδεση μεταξύ των διανυσμάτων με στοιχεία μιγαδικούς αριθμούς και των ομάδων Lorentz. Από τη δεκαετία του 1930, ο Dirac, ο Piet Hein και άλλοι από το ινστιτούτο Niels Bohr Institute (αργότερα έγινε γνωστό ως Ινστιτούτο Θεωρητικής Φυσικής του Πανεπιστημίου της Κοπεγχάγης) που δημιουργούσε παιχνίδια όπως Tangloids για να διδάσκουν το μοντέλο των διανυσμάτων μιγαδικών.
Οι χώροι διανυσμάτων μιγαδικών αριθμών αναπαρουσιάστηκαν ως αριστερά ιδεώδη ενός πίνακα το 1930, από τον G. Juvet και από τον Fritz Sauter. Ειδικότερα, αντί για αναπαράσταση των διανυσμάτων ως διανύσματα με μιγαδικές τιμές στον 2D χώρο διανυσμάτων όπως έκανε ο Paul, παρουσιάστηκαν ξανά σαν πίνακες 2 x 2 με μιγαδικούς αριθμούς στους οποίους τα στοιχεία της αριστερής στήλης είναι μη μηδενικά. Με αυτό τον τρόπο ο χώρος μιγαδικών αριθμών έγινε το κατώτατο αριστερό ιδεώδες στο Mat(2,C).
Το 1947 ο Marcel Riesz κατασκεύασε τους χώρους μιγαδικών αριθμών σαν στοιχεία ενός κατώτατου αριστερού ιδεώδους της άλγεβρας Clifford. Το 1966/1967, ο David Hestenes αντικατέστησε τους χώρους αυτούς με την Cℓ⁰1,3(R) της Cℓ1,3(R). Όπως στη δεκαετία του 1980, η ομάδα της θεωρητικής φυσικής στο Birkbeck College γύρω από τον David Bohm και τον Basil Hiley είχαν αναπτύξει τις αλγεβρικές προσεγγίσεις στην Κβαντική θεωρία που χτίστηκε στην αναγνώριση των διανυσμάτων μιγαδικών με κατώτατα αριστερά ιδεώδη από τους Sauter και Riesz'.

Κατασκευή με ακρίβεια

Ένας χώρος με διανύσματα μιγαδικούς αριθμούς μπορεί να κατασκευαστεί με ακρίβεια με συγκεκριμένους και με αφηρημένους τρόπους. Η ισορροπία αυτών των κατασκευών είναι μια συνέπεια της μοναδικότητας του διανύσματος μιγαδικών αριθμών της άλγεβρας Clifford.

Σύνθετα διανύσματα με στοιχεία μιγαδικούς αριθμούς

Αν δίνεται ένας διανυσματικός χώρος V και μια δευτεροβάθμια σχέση g, μια αναλυτική αναπαράσταση του πίνακα της Cℓ(V,g) ερμηνεύεται ως εξής. Επιλέγουμε μια ορθογώνια βάση e¹ … eⁿ του V, δηλαδή g(eμeν) = ημν όπου ημμ = ±1 και ημν = 0 για μ ≠ ν. Θέτουμε k = n/2. Και έχουμε 2ᵏx2ᵏ πίνακες γ¹ … γⁿ έτσι ώστε γμγν + γνγμ = ημν1. Μετά η σχέση eμ  → γμ επεκτείνεται μοναδικά σε ένα ομομορφισμό Cℓ(V,g) → Mat(2ᵏ,C) στέλνοντας τα eμ¹ … eμᵏ για την παραγωγή των γμ¹ … γμᵏ σε ένα γραμμικό πίνακα. Ο χώρος Δ = C²ᵏείναι τώρα ένας χώρος διανυσμάτων με στοιχεία μιγαδικούς αριθμούς. Κάποιος όμως θα χρειαστεί να φτιάξει τους πίνακες με ακρίβεια. Στη διάσταση 3, ορίζοντας τους πίνακες αυτούς να είναι οι πίνακες του Pauli δίνουμε αφορμή σε δυο όμοια διανύσματα μιγαδικών να χρησιμοποιηθούν στην μη σχετικιστική Κβαντική μηχανική. Επίσης χρησιμοποιώντας τους 4 x 4 πίνακες του Dirac δίνουμε σημασία στα μέλη του διανύσματος Dirac που χρησιμοποιούνται σε 3+1 διαστάσεις στην Κβαντική θεωρία πεδίου. Γενικότερα, κάποιος αντί γι' αυτούς τους πίνακες μπορεί να χρησιμοποιήσει τους πίνακες του Weyl–Brauer.
Στην κατασκευή αυτή η παράσταση Clifford Cℓ(V,g),η Lie so(V,g), και η ομάδα σπιν Spin(V,g), εξαρτώνται από την επιλογή ορθογώνιας βάσης και την επιλογή των πινάκων gamma. Αυτό μπορεί να προκαλέσει σύγχυση , αλλά τα ίχνη τους είναι ανεξάρτητα απ' αυτή την επιλογή. Προπάντων, όλες οι φυσικά αισθητές ποσότητες πρέπει να είναι ανεξάρτητες από τέτοιου είδους επιλογές. Στην κατασκευή αυτή ένα διάνυσμα μιγαδικών μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένα διάνυσμα των 2ᵏ μιγαδικών αριθμών και συμβολίζεται, όπως και τα διανύσματα, με τους δείκτες α,β,γ κ.ο.κ. Στην επιστήμη της φυσικής, οι τιμές αφηρημένων διανυσμάτων μιγαδικών αριθμών χρησιμοποιούνται για να υποδηλώσουν εκείνα τα διανύσματα ακόμα και όταν χρησιμοποιείται η κατασκευή ενός αφηρημένου διανύσματος μιγαδικών.

Αφηρημένα διανύσματα μιγαδικών αριθμών

Υπάρχουν τουλάχιστον δυο διαφορετικοί, αλλά ισοδύναμοι ουσιαστικά, τρόποι για να ορίσουμε τα διανύσματα μιγαδικών με ακρίβεια. Μια προσέγγιση επιδιώκει να προσδιορίσει τα ελάχιστα αριστερά ιδεώδη με τη δράση από το Cℓ(V,g) στον εαυτό τους. Υπάρχουν υποχώροι της άλγεβρας Clifford από τον τύπο Cℓ(V,g)ω, ομολογώντας τη φανερή δράση της Cℓ(V,g) από τον αριστερό πολλαπλασιασμό: c: xω > cxω. Υπάρχουν δυο παραλλαγές σ' αυτό το θέμα: το ένα μπορεί να βρει ένα αρχικό στοιχείο ω το οποίο είναι ένα μηδενοδύναμο στοιχείο της άλγεβρας Clifford,ή είναι ένα ταυτοδύναμο. Η κατασκευή μέσω της οποίας τα μηδενοδύναμα στοιχεία είναι πιο θεμελιώδη γίνεται από την αίσθησηon ότι τα ταυτοδύναμα μπορεί να παράγονται από αυτά. Με τον τρόπο αυτό, οι αναπαραστάσεις αναγνωρίζονται σε συγκεκριμένους υποχώρους της άλγεβρας Clifford στον εαυτό τους. Η δεύτερη προσέγγιση είναι ναι κατασκευάσουμε ένα διανυσματικό χώρο χρησιμοποιώντας ένα διακεκριμένο V και μετά ορίζουμε ακριβώς τη δράση της άλγεβρας Clifford εξωτερικά στο διανυσματικό χώρο.
Από άλλη προσέγγιση , η βασική έννοια είναι αυτή από ένα φανταστικό υποχώρο W. Κάθε κατασκευή εξαρτάται από την ελεύθερη επιλογή υποχώρου. Από φυσική άποψη, αντιστοιχεί στο γεγονός ότι δεν υπάρχει μετρίσιμο πρωτόκολλο που μπορεί να καθορίσει μια βάση από ένα χώρο σπιν, ακόμα και αν δίνεται μια βάση V.
Ως ανωτέρω, θέτουμε (V,g) να είναι ένας n-διάστατος χώρος μιγαδικών διανυσμάτων εξοπλισμένη με μια διγραμμική σχέση. Αν ο V είναι ένας πραγματικός χώρος, τότε αντικαθιστούμε το V με τον V⊗RC και θέτουμε το g να δηλώνει τη διγραμμική σχέση στον V ⊗ RC. Θέτουμε W να είναι ένας μέγιστος φανταστικός υποχώρος, δηλαδή ένας μέγιστος υποχώρος του V όπως ο g|W=0. Αν n=2k, τότε θέτουμε W΄ να είναι ένας φανταστικός υποχώρος συμπληρωματικός του W. Αν n=2k + 1, θέτουμε W΄ να είναι ένας μέγιστος φανταστικός υποχώρος με W∩W΄ = 0, και θέτουμε το U να είναι το ορθογώνιο συμπλήρωμα του W'⊕ W. Και οι δυο περιπτώσεις W και W΄ έχουν διάσταση k. Στην περίπτωση περιττής διάστασης, το U είναι μονοδιάστατο και παράγεται απ' το μοναδιαίο διάνυσμα u.

Ερμιτιανοί διανυσματικοί χώροι  και διανύσματα με μιγαδικές συνιστώσες

Εάν ο διανυσματικός χώρος  V  έχει επιπλέον δομή η οποία παρέχει μια αποσύνθεση της μιγαδικοποίησης του σε δύο μέγιστα ισότροπα  υποδιαστήματα, τότε ο ορισμός των διανυσμάτων με μιγαδικές συνιστώσες (με τη μια ή την άλλη μέθοδο) καθίσταται φυσική.
Το κύριο παράδειγμα είναι η περίπτωση όπου ο πραγματικός διανυσματικός χώρος  V  είναι ένας ερμιτιανός διανυσματικός χώρος (V, h), δηλαδή, το V είναι εξοπλισμένο με μια γραμμική μιγαδική δομή J η οποία είναι ένας ορθογώνιος μετασχηματισμός  εν σχέση προς το εσωτερικό γινόμενο g πάνω στον V.    Τότε το V ⊗R C διασπάται στους ιδιόχωρους  ±i του J. Αυτοί οι ιδιόχωροι είναι ισότροποι για την μιγαδικοποίηση του g και μπορούν να ταυτοποιηθούν  με το μιγαδικό διανυσματικό χώρο (V, J) και τον μιγαδικό συζυγή του (V, −J). Άρα για ένα ερμιτιανό διανυσματικό χώρο (V, h) ο διανυσματικός χώρος Λ⋅
CV (καθώς και ο μιγαδικός συζυγής του Λ⋅
CV) είναι ένας διανυσματικός χώρος  με μιγαδικές συνιστώσες για το θεμελιώδη πραγματικό Ευκλείδειο διανυσματικό χώρο.
Με τη δράση του Clifford όπως πιο πάνω αλλά με συστολή χρησιμοποιώντας την Ερμιτιανή μορφή,  αυτή η δομή δίνει ένα διανυσματικό χώρο με μιγαδικές συνιστώσες σε κάθε σημείο μιας σχεδόν Ερμιτιανής πολλαπλότητας  και είναι η αιτία γιατί κάθε σχεδόν μιγαδική πολλαπλότητα (ιδιαίτερα κάθε συμπλεκτική πολλαπλότητα) έχει μια [[περιδινητική δομή ᶜ]].  Ομοίως, κάθε μιγαδική διανυσματική δέσμη πάνω σε μια πολλαπλότητα φέρει μια περιδινητική δομή ᶜ .