2-διάνυσμα

Στα μαθηματικά, δυοδιάνυσμα ή 2-διάνυσμα είναι μια ποσότητα στην εξωτερική άλγεβρα ή στην γεωμετρική άλγεβρα η οποία επεκτείνει την ιδέα των βαθμωτών και των διανυσμάτων. Αν ένα κλιμακωτό θεωρείται ως τάξη μηδενικής ποσότητας,και ένα διάνυσμα είναι τάξη πρώτης ποσότητας,τότε ένα 2-διάνυσμα μπορεί να θεωρηθεί σαν να είναι δεύτερης τάξης. Τα 2-διάνυσμα έχουν εφαρμογές σε πολλούς τομείς των μαθηματικών και της φυσικής. Συσχετίζονται με μιγαδικούς αριθμούς σε δυο διαστάσεις και ψευδοδιανύσματα και τετραδόνια σε τρεις διαστάσεις. Μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να παράγουν περιστροφές σε κάθε διάσταση, και είναι ένα χρήσιμο εργαλείο για την ταξινόμηση κάθε περιστροφής. Χρησιμοποιούνται επίσης στη φυσική, δένοντας έναν αριθμό από διαφορετικές (άσχετες) ποσότητες.
Τα 2-διανύσματα δημιουργούνται από το εξωτερικό γινόμενο σε διανύσματα: δίνεται δύο διανύσματα α και β, το εξωτερικό τους προϊόν α ∧ β είναι μια bivector, όπως είναι το άθροισμα του κάθε 2-διανύσματα. Όχι όλα τα 2-διανύσματα μπορούν να παραχθούν ως μοναδικό εξωτερικό γινόμενο. Πιο συγκεκριμένα, μια bivector που μπορεί να εκφραστεί ως ένα εξωτερικό γινόμενο ονομάζεται απλή: σε τρεις διαστάσεις όλα τα 2-διανύσματα είναι απλά, αλλά σε περισσότερες διαστάσεις αυτό δεν συμβαίνει. Το εξωτερικό γινόμενο είναι αντισυμμετρικό , έτσι το α ∧ β μια είναι η άρνηση του 2-διάνυσμα α ∧ β, που παράγουν τον αντίθετο προσανατολισμό, καθώς και το α ∧ α είναι το μηδενικό 2-διάνυσμα.
Γεωμετρικά, ένα απλό 2-διάνυσμα μπορεί να ερμηνευθεί ως ένα προσανατολισμένο επίπεδο τμήμα, ως διανύσματα μπορούν να θεωρηθούν ως κατευθυνόμενο ευθύγραμμο τμήμα. Η 2-διάνυσμα α ∧ β έχει μέγεθος ίσο με το εμβαδόν του παραλληλόγραμμου με τα άκρα Α και Β, έχει τη στάση του επιπέδου που εκτείνεται από α και β, και έχει προσανατολισμό τέτοιο ώστε με τη περιστροφή να ευθυγραμμιστούν το α με το β.

Ιστορία

Το 2-διάνυσμα ορίστηκε πρώτα το 1844 από τo Γερμανό μαθηματικό Hermann Grassmann στο εξωτερική άλγεβρα ως αποτέλεσμα του εξωτερικού γινομένου των δύο διανυσμάτων. Περίπου την ίδια περίοδο το 1843 στην Ιρλανδία ο Γουίλιαμ Ρόουαν Χάμιλτον ανακάλυψε το τετραδόνιο. Δεν ήταν μέχρι που ο Άγγλος μαθηματικός William Kingdon Clifford το 1888 πρόσθεσε το γεωμετρικό γινόμενο από την άλγεβρα του Grassmann, ενσωματώνοντας τις ιδέες των Χάμιλτον και Grassmann, και εφηύρε την άλγεβρα του Clifford , ότι το bivector όπως είναι γνωστό σήμερα ήταν πλήρως κατανοητή.
Εκείνο τον καιρό, οι  Josiah Willard Gibbs  και Oliver Heaviside  ανέπτυξαν  τον διανυσματικό λογισμό  , που περιελάμβανε ξεχωριστό εξωτερικό γινόμενο  και εσωτερικό γινόμενο  που προέρχονται από τετραδικός πολλαπλασιασμό .
Η επιτυχία του διανυσματικού λογισμού, και του βιβλίου διανυσματικής ανάλυσης από Gibbs και Wilson, είχε ως αποτέλεσμα να παραμεληθούν από τις ιδέες του Χάμιλτον και Clifford για μεγάλο χρονικό διάστημα, δεδομένου ότι μεγάλο μέρος του 20ού αιώνα τα μαθηματικά και η φυσική διατυπώθηκαν σε διανυσματικούς  όρους. Ο Gibbs αντίθετα περιγράφει τα bivectors ως φορείς και χρησιμοποιείται "2-διάνυσμα " να περιγράψει μια άσχετη ποσότητα, μια χρήση που μερικές φορές έχει αντιγραφεί.
Σήμερα το 2-διάνυσμα  μελετάται σε μεγάλο βαθμό ως θέμα στην γεωμετρική άλγεβρα, μια άλγεβρα Clifford πάνω στους πραγματικούς ή σύνθετους διανυσματικούς χώρους με μια μη εκφυλισμένη τετραγωνική μορφή. Η αναβίωσή του οδηγήθηκε από τον David Hestenes ο οποίος, μαζί με άλλους, έβαλε τη γεωμετρική άλγεβρα σε μια σειρά από νέες εφαρμογές στη φυσική.

Επίσημος ορισμός

Για αυτό το άρθρο, το 2-διάνυσμα θα ληφθούν υπόψη μόνο στην πραγματική γεωμετρική άλγεβρα. Αυτό στην πράξη δεν περιορίζεται, καθώς όλες οι χρήσιμες εφαρμογές που κληρώνονται από την άλγεβρα. Επίσης εκτός αν ορίζεται διαφορετικά, όλα τα παραδείγματα έχουν μια Ευκλείδεια μετρική και έτσι μια θετική-οριστική τετραγωνική μορφή.

Το διαστημα  Λ2ℝn

Η άλγεβρα που δημιουργήθηκε από το γεωμετρικό γινόμενο, είναι η γεωμετρική άλγεβρα μέσα στο διανυσματικό χώρο. Για έναν Ευκλείδιο  διανυσματικό χώρο συμβολίζεται με  ή Cℓₙ(ℝ), όπου n είναι η διάσταση του διανυσματικού χώρου ℝⁿ.Cℓₙ είναι ένας διανυσματικός χώρος και μια άλγεβρα, που παράγεται από όλα τα γινόμενα μεταξύ των φορέων στο ℝⁿ, ώστε να περιέχει όλα τα διανύσματα και τα δυοδιανύσματα. Πιο συγκεκριμένα, ως διανυσματικός χώρος περιέχει τα διανύσματα και τα δυοδιανύσματα ως γραμμικούς υποχώρους , ομως οχι ως υποάλγεβρα. Ο χώρος από όλα τα δυοδιανύσματα συμβολίζεται με  Λ²ℝⁿ.

Η υποάλγεβρα

Η υποάλγεβρα που παράγεται από τα 2-διανύσματα είναι η υποάλγεβρα της γεωμετρικής άλγεβρας, και συμβολίζεται με Cℓₙ⁺.Τα αποτελέσματα της άλγεβρας θεωρώντας όλα τα βαθμωτά και τα δυοδιανύσματα προϊόντα που παράχθηκαν από το γεωμετρικό γινόμενο.Αυτό έχει διάσταση 2n − 1, και περιέχει  Λ²ℝⁿ  ως ένα γραμμικό υπόχωρο με διάσταση  n(n − 1) (ένας τριγωνικός αριθμός). Σε δύο και τρεις διαστάσεις η υποάλγεβρα περιέχει μόνο βαθμωτά και δυοδιανύσματα, και κάθε ένα είναι ιδιαίτερα ενδιαφέρον. Σε δύο διαστάσεις η υποάλγεβρα είναι ισομορφική προς τους μιγαδικούς αριθμούς, ℂ, ενώ σε τρεις είναι ισομορφική προς τα τετραδόνια, ℍ. Γενικότερα η υποάλγεβρα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την παραγωγή των εναλλαγών σε οποιαδήποτε διάσταση, και μπορεί να παραχθεί από τα δυοδιανύσματα στην άλγεβρα.

Σημασία

Όπως παρατηρήθηκε σε προηγούμενη ενότητα, η σημασία/μέγεθος ενός απλού 2-διανύσματος,το οποίο είναι το εξωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων a και b,είναι |a||b|sin θ, όπου θ είναι η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων.Συμβολίζεται με |B|, οπου B είναι το δυοδιάνυσμα.Για τα γενικά δυοδιανύσματα το μέγεθος μπορεί να υπολογιστεί λαμβάνοντας υπόψην τον κανόνα των δυοδιανυσμάτων θεωρούμενος ως ένα διάνυσμα στο διάστημα Λ²ℝⁿ  .Αν το μέγεθος είναι μηδέν, τότε όλες οι συνιστώσες των δυοδιανυσμάτων είναι μηδέν και το δυοδιάνυσμα είναι το μηδενικό δυοδιάνυσμα το οποίο ως στοιχείο της γεωμετρικής άλγεβρας ισούται με το βαθμωτό μηδέν.

Μονάδα 2-διανύσματος

Μια μονάδα 2-διανύσματος είναι το ίδιο με μια μονάδα μεγέθους. Μπορεί να παραχθεί από οποιαδήποτε ένα μη μηδενικό 2-διάνυσμα διαιρώντας το 2-διάνυσμα με το μέγεθός του, δηλαδή : 
      
Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζουν οι μονάδες των 2-διανυσμάτων που σχηματίζονται από τα γινόμενα των προτύπων βάσης. Αν ei και ej είναι ξεχωριστή βάση διανυσμάτων τότε το γινόμενο ei ∧ ej είναι ένα 2-διάνυσμα. Όπως τα διανύσματα είναι ορθογώνια αυτό είναι μόνο eiej, γραμμένο eij, με μονάδα μεγέθους όπως τα διανύσματα είναι μοναδιαία διανύσματα. Το σύνολο όλων αυτών των 2-διανυσμάτων αποτελεί τη βάση για  Λ²ℝⁿ. Για παράδειγμα σε τέσσερις διαστάσεις είναι η βάση για  Λ²ℝ⁴ (e1e2, e1e3, e1e4, e2e3, e2e4, e3e4)  ή   
 (e12, e13, e14, e23, e24, e34)

Απλό 2-διάνυσμα

Το εξωτερικό γινόμενο των δύο διανυσμάτων είναι ένα 2-διάνυσμα, αλλά δεν είναι όλα 2-διανύσματα είναι εξωτερικά τα γινόμενα των δύο διανυσμάτων. Για παράδειγμα, σε τέσσερις διαστάσεις το bivector
   : 
δεν μπορεί να γραφτεί ως το εξωτερικό γινόμενο των δύο διανυσμάτων. Ένα 2-διάνυσμα που μπορεί να γραφτεί ως το εξωτερικό γινόμενο των δύο διανυσμάτων είναι απλό. Σε δύο και τρεις διαστάσεις όλα τα 2-διανύσματα είναι απλά, αλλά όχι σε τέσσερις ή περισσότερες διαστάσεις: σε τέσσερις διαστάσεις κάθε 2-διάνυσμα είναι το άθροισμα των το πολύ δύο εξωτερικών γινομένων. Ένα 2-διάνυσμα έχει μια πραγματικό τετράγωνο, αν και μόνο αν είναι απλό, και μόνο απλό 2-διανύσματα μπορεί να αντιπροσωπευθεί γεωμετρικά από μια περιοχή προσανατολισμένη επίπεδη περιοχή.