Δυαδικό σύστημα

Παράδειγμα

Ο δυαδικός αριθμός  αναπαριστά ποσότητα ίση με 1 μονάδα , 0 δυάδες , 1 τετράδα  και 1 οκτάδα . Διαβάζεται : "ένα,ένα,μηδέν,ένα με βάση 2". Ισούται δηλαδή με τον αριθμό 13 του δεκαδικού συστήματος, .

Δυαδικό σύστημα στους υπολογιστές

Η αποθήκευση και επεξεργασία των δεδομένων στους ηλεκτρονικούς υπολογιστές γίνεται ψηφιακά. Οδηγώντας, για παράδειγμα, την είσοδο ενός λογικού κυκλώματος με τάση ρεύματος μεγαλύτερη μιας συγκεκριμένης τιμής (π.χ +3 Volts) αναπαριστούμε το ψηφίο "1", ενώ οδηγώντας την είσοδο με  τάση ρεύματος μικρότερη μιας συγκεκριμένης τιμής (π.χ +2 Volts) αναπαριστούμε το ψηφίο "0". Λόγω της σχετικά απλής υλοποίησης στα ηλεκτρονικά κυκλώματα το δυαδικό σύστημα χρησιμοποιείται εκτεταμένα στους ηλεκτρονικούς υπολογιστές για την αναπαράσταση αριθμητικών δεδομένων. Άλλα χρησιμοποιούμενα συστήματα είναι το σύστημα κινητής υποδιαστολής, το σύστημα σταθερής υποδιαστολής, η δυαδική κωδικοποίηση δεκαδικού, και άλλα.

Μετατροπή από το δεκαδικό στο δυαδικό σύστημα

Παρακάτω παρουσιάζεται μέσω παραδείγματος ένας απλός τρόπος μετατροπής φυσικών αριθμών από δεκαδική σε δυαδική μορφή.
Έστω ότι έχουμε τον αριθμό 13₁₀, όπως στο αρχικό παράδειγμα. Γράφουμε τις δυνάμεις του 2, μέχρι να προκύψει αριθμός μεγαλύτερος ή ίσος από τον ζητούμενο αριθμό, οπότε σταματάμε στον αμέσως προηγούμενο.
2⁰=1

2¹=2  

2²=4  

2³=8
Στην προκειμένη περίπτωση ο ζητούμενος αριθμός είναι το 13, άρα σταματάμε στο 2³=8, γιατί 2⁴=16>13. Παρατηρούμε ότι ο αριθμός 2³ χωράει μια φορά στο 13, άρα σημειώνουμε x1. To αποτέλεσμα της αφαίρεσης είναι 5. Το 2² χωράει μια φορά στο 5 άρα σημειώνουμε x1. Μένει 1 , όμως το 2¹ δε χωράει στο ένα άρα σημειώνουμε x0. Τέλος το 2⁰ χωράει μια φορά στο ένα , άρα σημειώνουμε x1.
13 
-2³  x1 

5   
-2²  x1 

1   
-2¹  x0 

1    
-2⁰  x1 

0
Γράφοντας τις σημειώσεις στη σειρά από πάνω ως κάτω, προκύπτει ο αριθμός σε δυαδική μορφή. Δηλαδή, 1101₂ = 13₁₀. Με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να μετατρέψουμε έναν δεκαδικό αριθμό σε οποιοδήποτε σύστημα, χρησιμοποιώντας κάθε φορά τις δυνάμεις της βάσης του εκάστοτε συστήματος αρίθμησης (οκταδικό, δεκαεξαδικό κτλ.).

Πρόσθεση δυαδικών αριθμών

Για την πρόσθεση των δυαδικών αριθμών ισχύουν οι ακόλουθοι κανόνες:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 0 και 1 το κρατούμενο

1 + 1 + 1 = 1 και 1 το κρατούμενο

Έτσι για παράδειγμα, για να προσθέσουμε σε μορφή ψηφιολέξης (byte) τους αριθμούς 121 και 107, έχουμε:

(121)  01111001

(107)  01101011 +

(228)  11100100

Όπου η πρόσθεση αρχίζει όπως και στο δεκαδικό από τα δεξιά, δηλ. από την λιγότερο σημαντική θέση.

Αφαίρεση δυαδικών αριθμών

Για την αφαίρεση των δυαδικών αριθμών ισχύουν οι ακόλουθοι κανόνες:

0 - 0 = 0

1 - 0 = 1

1 - 1 = 0

0 - 1 = 1 και 1 το δανειζόμενο

Έτσι για παράδειγμα, για να αφαιρέσουμε σε μορφή ψηφιολέξης (byte) τους αριθμούς 121 και 107, έχουμε:

(121)  01111001

(107)  01101011 -

(014)  00001110

Όπου η αφαίρεση αρχίζει όπως και στο δεκαδικό από τα δεξιά, δηλ. από την λιγότερο σημαντική θέση.

Αναπαράσταση αρνητικών αριθμών στο δυαδικό σύστημα

Για να αναπαρασταθούν αρνητικοί αριθμοί με το δυαδικό σύστημα αρίθμησης χρησιμοποιούνται δύο βασικά τρόποι, το συμπλήρωμα ως προς 1 και το συμπλήρωμα ως προς 2.

Πρόσημο και μέτρο

Υπάρχει και ένας τρίτος τρόπος αναπαράστασης των αρνητικών αριθμών, ο οποίος δε χρησιμοποιείται πολύ συχνά, αλλά είναι πιο προσιτός στον άνθρωπο , καθώς μοιάζει πολύ με τον τρόπο αναπαράστασης αρνητικών αριθμών στο δεκαδικό σύστημα.
Στο σύστημα αυτό, το πρώτο από αριστερά δυαδικό ψηφίο λαμβάνεται ως το πρόσημο του δυαδικού αριθμού, ενώ τα ψηφία που ακολουθούν χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό του μέτρου του. Αν το πρώτο ψηφίο από τα αριστερά είναι 0, ο αριθμός θεωρείται θετικός, ενώ αν το πρώτο ψηφίο από τα αριστερά είναι 1, ο αριθμός θεωρείται αρνητικός.
Έτσι, αν χρησιμοποιούμε 8 bits (δυαδικά ψηφία ) για την αναπαράσταση του αριθμού, το 7 είναι
00000111
ενώ , το -7 θα είναι αντίστοιχα
10000111