Παράγωγος

Η παράγωγος μιας συνάρτησης με πραγματική μεταβλητή είναι ένα μέτρο που εκφράζει τη μεταβολή της τιμής της συνάρτησης (μια συνάρτηση ή εξαρτημένη μεταβλητή) η οποία προσδιορίζεται από μια άλλη ποσότητα (η ανεξάρτητη μεταβλητή). Είναι ένα θεμελιώδες εργαλείο του λογισμού. Για παράδειγμα, η παράγωγος της θέσης ενός κινητού αντικειμένου σε σχέση με το χρόνο είναι η ταχύτητα του αντικειμένου: η οποία μετρά πόσο γρήγορα αλλάζει η θέση του αντικειμένου όταν ο χρόνος προχωρήσει. Η παράγωγος μετρά τον στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής της συνάρτησης, όπως διακρίνεται από τον μέσο ρυθμό μεταβολής, και ορίζεται ως το όριο του ρυθμού μεταβολής της συνάρτησης όπου το μήκος του διαστήματος που ορίζεται ο μέσος όρος τείνει στο μηδέν.
Η παράγωγος μιας συνάρτησης με επιλεγμένη τιμή εισόδου περιγράφει την καλύτερη γραμμική προσέγγιση της συνάρτησης κοντά σε αυτή τιμή εισόδου.H παράγωγος σε ένα σημείο της συνάρτησης μιας μεταβλητής είναι η κλίση της εφαπτόμενης γραμμής στην γραφική παράσταση της συνάρτησης στο σημείο αυτό.
Η έννοια της παραγώγου μπορεί να γενικευθεί σε συναρτήσεις πολλών πραγματικών μεταβλητών. Η παράγωγος μιας συνάρτησης πολλών μεταβλητών είναι ένας γραμμικός μετασχηματισμός που ονομάζεται διαφορικός πίνακας. Η αναπαράσταση του πίνακα είναι ένας Ιακωβιανός πίνακας, ο οποίος μειώνει την κλίση του διανύσματος στην περίπτωση πραγματικής συνάρτησης πολλών μεταβλητών.
Η διαδικασία εύρεσης της παραγώγου ονομάζεται παραγώγιση. Η αντίστροφη διαδικασία ονομάζεται αντιπαραγώγιση. Το Θεμελίωδες Θεώρημα του λογισμού αναφέρει ότι η αντιπαραγώγιση είναι το ίδιο με το ολοκλήρωμα. Παραγώγιση και ολοκλήρωση αποτελούν δυο βασικές λειτουργίες στο λογισμό.

Παράδειγμα

Η συνάρτηση τετραγωνισμού f(x)=x² είναι παραγωγίσιμη στο x=3, και η παράγωγός της (στο x=3) είναι ίση με 6. Το αποτέλεσμα αυτό βγαίνει με τον υπολογισμό του ορίου, με το h να τείνει στο μηδέν της διαφοράς πηλίκο f(3):
Η τελευταία σχέση δείχνει ότι η διηρημένη διαφορά ισούται με 6 + h όταν το h είναι διάφορο του μηδενός και είναι απροσδιόριστο όταν h=0, λόγω του ορισμού της διηρημένης διαφοράς. Ωστόσο ο ορισμός του ορίου επισημαίνει ότι η διηρημένη διαφορά δε χρειάζεται να προσδιοριστεί όταν h=0.Το όριο είναι το αποτέλεσμα καθώς το h τείνει στο 0, που σημαίνει ότι η τιμή είναι 6 + h καθώς το h τείνει να γίνει αρκετά μικρό:
Η κλίση της γραφικής παράστασης της συνάρτησης τετραγωνισμού στο σημείο (3,9) είναι 6, κι έτσι η παράγωγός της στο x=3 είναι f '(3)=6.
Γενικότερα, με παρόμοιο τρόπο υπολογισμού έχουμε ότι η παράγωγος της τετραγωνικής συνάρτησης στο x=a είναι f′(a) = 2a.

Συνέχεια και παραγωγισιμότητα

Αν y=f(x) είναι παραγωγίσιμη στο a, τότε η f πρέπει να είναι συνεχής στο a. Για παράδειγμα, επιλέγουμε ένα σημείο a και f μια δίκλαδη συνάρτηση που επιστρέφει την τιμή, ας πούμε 1, για όλα τα x μικρότερα του a, και επιστρέφει μια διαφορετική τιμή, ας πούμε 10, για όλα εκείνα τα x που είναι μεγαλύτερα ή ίσα με το a. Η f δεν έχει παράγωγο στο a. Αν το h είναι αρνητικό, τότε το a + h είναι στο χαμηλό τμήμα του σταδίου, κι έτσι η τέμνουσα γραμμή από το a στο a + h είναι απότομη, και αν το h τείνει στο μηδέν η κλίση τείνει στο άπειρο. Αν το h είναι θετικό, τότε το a + h είναι στο υψηλό τμήμα του σταδίου, κι έτσι η τέμνουσα γραμμή από το a στο a + h έχει μηδενική κλίση.Κατά συνέπεια οι τέμνουσες ευθείες δεν απευθύνονται σε οποιαδήποτε κλίση, καθώς το όριο της διηρημένης διαφοράς δεν υπάρχει.
Ωστόσο, ακόμη και αν μια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα σημείο, μπορεί να μην είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό. Για παράδειγμα η συνάρτηση της απολύτου τιμής συναρτήσει του x είναι συνεχής στο x=0, αλλά δεν είναι παραγωγίσιμη εκεί. Αν το h είναι θετικό, η κλίση της τέμνουσας γραμμής από το 0 στο h είναι ένα, ενώ αν το h είναι αρνητικό, τότε η κλίση της τέμνουσας γραμμής από το 0 στο h είναι μείον ένα. Αυτό γραφικά δείχνει μια απότομη στροφή στο σημείο x=0. Ακόμα μια συνάρτηση με ομαλή γραφική παράσταση δεν είναι παραγωγίσιμη σε σημείο όπου η εφαπτομένη είναι κατακόρυφη: Για παράδειγμα, η συνάρτηση  y = x1/3 δεν είναι παραγωγίσιμη στο x=0.
Συνοπτικά: για μια συνάρτηση f να έχει παράγωγο είναι αναγκαίο για την συνάρτηση f να είναι συνεχής, αλλά η συνέχεια από μόνη της δεν είναι επαρκής.
Οι περισσότερες συναρτήσεις που εμφανίζονται στην πράξη έχουν παράγωγο σε όλα τα σημεία ή σχεδόν σε όλα τα σημεία. Στην ιστορία του λογισμού, πολλοί μαθηματικοί υπέθεταν ότι οι συνεχείς συναρτήσεις ήταν παραγωγίσιμες στα περισσότερα σημεία. Κάτω από συνθήκες, για παράδειγμα αν η συνάρτηση είναι μονότονη ή συνάρτηση Lipschitz, αυτό αληθεύει.Ωστόσο, το 1872 ο Weierstrass βρήκε το πρώτο παράδειγμα συνάρτησης η οποία είναι συνεχής οπουδήποτε αλλά πουθενά παραγωγίσιμη. Αυτό το παράδειγμα είναι τώρα γνωστό ως συνάρτηση Weierstrass. Το 1931, ο Stefan Banach απέδειξε ότι το σύνολο των συναρτήσεων που έχουν παράγωγο σε κάποιο σημείο είναι ένα σύνολο πρώτης κατηγορίας στον χώρο των συνεχών συναρτήσεων. Αυτό σημαίνει ότι σχεδόν καμία συνεχής συνάρτηση έχει παράγωγο σε κάθε σημείο.

Σημείο καμπής

Κύριο άρθρο: σημείο καμπής
Ένα σημείο στο οποίο η δεύτερη παράγωγος έχει διαφορετικό πρόσημο ονομάζεται σημείο καμπής. Σε ένα σημείο καμπής, η δεύτερη παράγωγος μπορεί να είναι μηδενική, όπως στην περίπτωση του σημείου καμπής x=0 της συνάρτησης y=x³, ή μπορεί να αποτύχει να υπάρχει, όπως στην περίπτωση του σημείου καμπής x=0 της συνάρτησης y=x1/3 . Σε ένα σημείο καμπής, η συνάρτηση αλλάζει κυρτότητα από κοίλη σε κυρτή ή αντίστροφα.

Διαφορικό και Παράγωγος στο χρόνο

Ο Newton προσπάθησε να εξηγήσει το λογισμό με βάση την έννοια του διαφορικού και της παραγώγου ως προς τον χρόνο,που ακολουθούσαν τις δικές του μαθηματικές εφευρέσεις.Είπε ότι ο ρυθμός παραγωγής είναι η παράγωγος ως προς τον χρόνο ενός στοιχείου,η οποία συμβολίζεται από μια μεταβλητή με μια τελεία από πάνω.Όμοια ο ρυθμός της δεύτερης παραγώγου ως προς τον χρόνο συμβολίζεται με δύο τελείες από πάνω. Αυτοί οι παράγωγοι τείνουν πολύ κοντά στο μηδέν αλλα δεν είναι μηδέν. Αλλά όταν πολλαπλασσιάζουμε δύο παραγώγους της ίδιας τάξης,το αποτέλεσμα αυτό είναι πολύ κοντά στο μηδέν και το θεωρούμε ως μηδέν.Έτσι ο Newton πήρε τις παραγώγους και αντικατέστησε τις μεταβλητές του x με    και όλες τις μεταβλητές του y με     και μετά χρησιμοποίησε τους κανόνες της παραγώγισης για να πάρει την παράγωγο και να βρει ένα αποτέλεσμα για το   . Για παράδειγμα ,
χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι    μπορούμε να δούμε    και    έτσι  .
Ο Νεύτων περιέγραψε μαθηματικές ποσότητες σαν να είναι σε συνεχή κίνηση. Αυτή η κίνηση,είπε,μπορεί να θεωρηθεί ισάξια ενός σημείου που διατρέχει μια καμπύλη. Προσδιόρισε αυτή την ποσότητα και την ονόμασε ''διαφορικό''. Αυτή η ιδέα για το όνομα του γεννήθηκε από τον ρυθμό με τον οποίο αυτές οι ποσότητες αλλάζουν. Ο Newton  το ονόμασε στη τελική '' Διαφορικά και παράγωγοι ως προς τον χρόνο'' και το παρουσίασε. Έτσι, αν ένα διαφορικό παριστάνεται από το x, το ονομάζει παράγωγο του χ και όμοια την δεύτερη παράγωγο και συνεχίζει και τους υπόλοιπους συμβολισμούς. Αυτό μπορεί να συσχετιστεί με τον νεότερο συμβολισμό της παραγώγου. Στην σημερινή εποχή, η παράγωγος της μεταβλητής x έχει σχέση με μια ανεξάρτητη μεταβλητή του χρόνου,την t η οποία συμβολίζει το διάνυσμα της ταχύτητας και συμβολίζεται με dx/dt. Με άλλα λόγια η παράγωγος της f(x) ως προς τον χρόνο t είναι dx/dt.

Η στιγμή του διαφορικού

Ο Νεύτων καλεί o τη στιγμή ενός διαφορικού. Η στιγμή ενός διαφορικού παριστάνει το απείρως μικρό κομμάτι στο οποίο ένα στοιχείο αυξάνεται σε ένα μικρό χρονικό διάστημα. Κάποτε επέτρεψε στον εαυτό του να κάνει μια διάρεση μέσω του o ( παρόλα αυτά το o δεν μπορεί να θεωρηθεί ως μηδέν διότι αυτό θα καθιστούσε την διαίρεση αδύνατη). Ο Newton αποφάσισε ότι είναι δικαιολογημένο να απαλείψει όλους τους όρους που περιέχουν το o.

Υπολογίζοντας την παράγωγο

Η παράγωγος μιας συνάρτησης μπορεί, κατά κανόνα, να υπολογιστεί μέσω του ορισμού θεωρώντας τις διηρημένες διαφορές και υπολογίζοντας τα όριά τους. Πρακτικά, από την στιγμή που οι παράγωγοι απλών συναρτήσεων είναι γνωστές, οι παράγωγοι άλλων συναρτήσεων είναι πιο εύκολα υπολογίσιμοι χρησιμοποιώντας κανόνες για την εύρεση της παραγώγου σύνθετων συναρτήσεων μέσω απλούστερων.

Παράγωγος σε περισσότερες διαστάσεις

Δείτε επίσης:Διανυσματική συνάρτησηκαι Συναρτήσεις με πολλές μεταβλητές

Ιστορία

Η δημιουργία του Λογισμού ήταν ένα από τα μεγαλύτερα επιτεύγματα του 1600, αλλά ο εφευρέτης του λογισμού  αμφισβητείται ευρέως: Ήταν ο Ισαάκ Νεύτων και ο Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς; O Νεύτων και ο Λάιμπνιτς διατύπωσαν αρχικά τον διαφορικό λογισμό που ουσιαστικά κάνει χρήση της έννοιας του  απειροελάχιστου, το οποίο αναφέρεται ως ένα απείρως μικρός αριθμός. Εκείνη την εποχή πριν από την μη-τυπική ανάλυση, η έννοια των απειροστών ήταν πολύ ασαφής και ενόχλησε πολλούς μαθηματικούς. Ωστόσο, η έννοια των απειροστών ήταν απαραίτητη για την ανάπτυξη του διαφορικού λογισμού.
Η μέθοδος του Νεύτωνα αφορούσε τη λήψη αναλογιών απειροστών. Οι όροι για την αναλογία η οποία είχε ένα απειροελάχιστο ως παράγοντα αντιμετωπίστηκαν ως μηδέν και έτσι το προϊόν των απειροστών είναι ίσο με μηδέν. Ο ίδιος εξήγησε, «οι όροι που έχουν [ένα απειροελάχιστο] ως παράγοντα θα είναι ισοδύναμοι με τίποτα σε σχέση με τους άλλους. Ως εκ τούτου, τα απαλοίφω ... " Τελικά οι Κωσύ, Weierstrass και Riemann, αναδιαμόρφωσαν το λογισμό όσον αφορά τα όρια και όχι τα απειροστά. Ως εκ τούτου, η ανάγκη για αυτές τις απείρως μικρές (και ανύπαρκτες) ποσότητες εξαλείφθηκε και αντικαταστάθηκε από μια έννοια των ποσοτήτων που είναι «κοντά» σε άλλες. Έτσι, η παράγωγος όσο και το ολοκλήρωμα πρέπει να επαναδιατυπωθούν όσον αφορά τα όρια.
Στο δέκατο ένατο αιώνα, ο Γερμανός μαθηματικός Καρλ Βάιερστρας (Karl Weierstrass) εισήγαγε τη διαδικασία έψιλον-δέλτα, η οποία προέβλεπε μια αυστηρή βάση για το λογισμό και αποθάρρυνε τους μαθητές να χρησιμοποιούν την ιδέα των απειροστών. Στη συνέχεια, το 1960 ο Έιμπραχαμ Ρόμπινσον (Abraham Robinson) βρήκε έναν τρόπο για να παράσχει μια βάση για τα απειροστά και έτσι τα απειροστά έγιναν αποδεκτά. Ο Ρόμπινσον ονόμασε τη διαμόρφωση του μη τυπική ανάλυση . Ο σκοπός αυτού του υλικού είναι να εξηγήσει, να δείξει και να δικαιολογήσει την μη-τυπική σύνθεση ανάλυση των απειροστών.