Γραμμική άλγεβρα

Ιστορικό

Το κεντρικό υπόδειγμα στο οποίο στηρίχθηκε η γραμμική άλγεβρα είναι το γεωμετρικό ευκλείδειο επίπεδο. Η εισαγωγή του καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων και η ακόλουθη ανάπτυξη της αναλυτικής γεωμετρίας, η οποία ένωσε την άλγεβρα με την ευκλείδεια γεωμετρία, έδωσε το έναυσμα για τη μελέτη των διανυσμάτων. Χάρη στο καρτεσιανό σύστημα τα τελευταία, από γεωμετρικά ευθύγραμμα τμήματα με μήκος και κατεύθυνση, άρχισαν να εκφράζονται ως ισοδύναμες ακολουθίες πραγματικών αριθμών: ένα οποιοδήποτε διατεταγμένο ζεύγος αριθμών εξέφραζε πλέον κάποιο διάνυσμα σε ένα δισδιάστατο σύστημα συντεταγμένων, εκτεινόμενο από την αρχή των αξόνων του συστήματος ως το σημείο που περιγραφόταν από το εν λόγω ζεύγος, ενώ μία οποιοδήποτε διατεταγμένη τριάδα αριθμών ισοδυναμούσε με ένα διάνυσμα σε κάποιο τρισδιάστατο σύστημα συντεταγμένων. Η φυσική σύντομα απαίτησε την επέκταση αυτών των ιδεών σε περισσότερες διαστάσεις, με αποτέλεσμα ως τον δέκατο ένατο αιώνα να γίνει στα μαθηματικά κοινός τόπος η μη διαισθητική αναφορά σε «χώρους» (αφηρημένες επεκτάσεις του καρτεσιανού επιπέδου και του τρισδιάστατου χώρου) πολλαπλών διαστάσεων, όπου κάποιες έννοιες όπως το εσωτερικό γινόμενο φαίνονταν δυσνόητες και χωρίς γεωμετρική αναλογία, καθώς οι άνθρωποι δεν μπορούσαν να τις οπτικοποιήσουν στη δεσμευμένη από τις τρεις διαστάσεις σκέψη τους, αλλά ορίζονταν και συμπεριφέρονταν εντελώς ανάλογα.
c
Πλέον κάθε διατεταγμένη ν-άδα αριθμών αντικατόπτριζε ένα ν-διάστατο διάνυσμα κάποιου αφηρημένου, ν-διάστατου χώρου. Το γεγονός αυτό είχε σημαντικές συνέπειες: πέρα από τα γεωμετρικά διανύσματα οτιδήποτε μπορούσε να αναπαρασταθεί ως διατεταγμένη ν-άδα αριθμών μπορούσε να αντιστοιχιστεί σε κάποιον νοητό αλγεβρικό χώρο (π.χ. οι πραγματικοί συντελεστές ενός πολυωνύμου). Περί τα μέσα του δεκάτου ενάτου αιώνα εμφανίστηκαν οι πίνακες ως ένα νέο, ισχυρό εργαλείο στα μαθηματικά. Ένας πίνακας δεν είναι παρά μία συλλογή διανυσμάτων με αυτοτελή όμως δομή. Μία ξεχωριστή άλγεβρα πινάκων άρχισε γρήγορα να αναπτύσσεται με αφετηρία την εργασία του Άρθουρ Κέυλυ το 1857. Όμως στις αρχές του εικοστού αιώνα είναι που η γραμμική άλγεβρα, θεμελιωμένη πλέον σε πορίσματα της αφηρημένης άλγεβρας και τις πρακτικές ανάγκες της νέας σχετικιστικής φυσικής, άρχισε να οριστικοποιείται και να λαμβάνει την τελική της μορφή και τη θέση της στον κόσμο των μαθηματικών. Πλέον ορισμένες ημιδιαισθητικές έννοιες γεωμετρικής καταγωγής, όπως η διάσταση, μπορούσαν να τυποποιηθούν με αυστηρή μη γεωμετρική ορολογία.

Χαρακτηριστικά μεγέθη

Μία πραγματική τιμή λ λέγεται ιδιοτιμή ενός πίνακα Α αν υπάρχει τουλάχιστον ένα διάνυσμα x τέτοιο ώστε Α*x=λx <=> (Α-λΙ)x=0 (1). Τα διανύσματα για τα οποία ισχύει αυτή η σχέση ονομάζονται ιδιοδιανύσματα του Α και το σύνολο των ιδιοδιανυσμάτων για δεδομένη ιδιοτιμή λᵢ λέγεται ιδιόχωρος του Α για λᵢ. Διαισθητικά τα ιδιοδιανύσματα είναι τα διανύσματα τα οποία όταν μετασχηματίζονται από τον Α αλλάζουν μόνο ως προς το μήκος και όχι ως προς την κατεύθυνσή τους· το μέγεθος της αλλαγής του μήκους τους καθορίζεται από τις αντίστοιχες ιδιοτιμές. Τα ιδιοδιανύσματα επομένως είναι τα διανύσματα των οποίων τις συνιστώσες ο πίνακας, πολλαπλασιαζόμενος με αυτά, τροποποιεί όλες εξίσου. Ένας διαγώνιος πίνακας όταν πολλαπλασιάζεται με ένα διάνυσμα το τροποποιεί ως προς την i-οστή συνιστώσα του όσο προδιαγράφει η μη μηδενική τιμή στην i-οστή γραμμή του πίνακα. Ως αποτέλεσμα οι τιμές στη διαγώνιο ενός διαγώνιου πίνακα αποτελούν τις ιδιοτιμές του τελευταίου και τα αντίστοιχα κανονικά διανύσματα βάσης (π.χ. για τον τρισδιάστατο χώρο τα [1,0,0], [0,1,0] και [0,0,1]) αποτελούν τα ιδιοδιανύσματά του. Από κοινού οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα αποκαλούνται χαρακτηριστικά μεγέθη ενός πίνακα. Αποδεικνύεται ότι το ομογενές γραμμικό σύστημα (1) έχει λύση διάφορη της τετριμμένης μόνο όταν |Α-λΙ|=0, καθώς και ότι δύο όμοιοι πίνακες διαθέτουν τα ίδια χαρακτηριστικά μεγέθη.
Τα ιδιοδιανύσματα έχουν πολλαπλές χρήσεις στα εφαρμοσμένα μαθηματικά, κυρίως μέσω της δυνατότητας που παρέχουν για παραγοντοποίηση ενός τετραγωνικού πίνακα Α με προτυποποιημένο τρόπο χάρη στην ισότητα Α=P*Δ*P⁻¹, η οποία ισχύει όταν ο Α είναι συμμετρικός ή όταν καμία ιδιοτιμή του δεν επαναλαμβάνεται για διαφορετικά, γραμμικά ανεξάρτητα μεταξύ τους ιδιοδιανύσματά του. Οι πίνακες P και Δ κατασκευάζονται από τα χαρακτηριστικά μεγέθη του Α (ο Δ είναι διαγώνιος με στοιχεία τις ιδιοτιμές του Α, ενώ ο P έχει ως στήλες τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα). Έτσι είναι φανερό ότι τα ιδιοδιανύσματα και οι ιδιοτιμές ορίζουν μοναδικά τον πίνακα Α, περιγράφοντας ουσιαστικά τον τρόπο με τον οποίον αυτός μετασχηματίζει τα διανύσματα με τα οποία πολλαπλασιάζεται. Aυτή η διαδικασία παραγοντοποίησης πινάκων ονομάζεται διαγωνοποίηση και μπορεί να επεκταθεί και σε μη τετραγωνικούς πίνακες (ανάλυση ιδιαζόντων τιμών).
Με την ανάλυση ιδιαζόντων τιμών αποδεικνύεται και μία πολύ χρήσιμη επιπρόσθετη ισοδυναμία: το γινόμενο πινάκων στο οποίο παραγοντοποιείται ο πίνακας ισούται με ένα βεβαρυμένο άθροισμα μικρότερων πινάκων (τα βάρη και οι πίνακες αυτοί κατασκευάζονται με βάση το αρχικό γινόμενο). Τα βάρη (οι ιδιάζουσες τιμές του πίνακα) έχουν την ιδιότητα να μικραίνουν πολύ γρήγορα κατ' απόλυτη τιμή μέσα σε αυτό το άθροισμα και επομένως οι αντίστοιχοι όροι του τελευταίου συνεισφέρουν πολύ λίγο στον αρχικό πίνακα. Εξαλείφοντας τους όρους αυτούς και προσθέτοντας τους υπόλοιπους (αυτούς με τα μη αμελητέα βάρη) κατασκευάζουμε έναν πίνακα ο οποίος έχει παρόμοιες ιδιότητες με τον αρχικό αλλά μικρότερη διάσταση (προσέγγιση πινάκων).