Απολλώνιο πρόβλημα

Στην Ευκλείδεια γεωμετρία του επιπέδου το Απολλώνιο πρόβλημα συνίσταται στην κατασκευή κύκλων που να είναι εφαπτόμενοι σε τρεις δεδομένους κύκλους στο επίπεδο (Σχήμα 1). Το πρόβλημα έθεσε και έλυσε ο Απολλώνιος ο Περγαίος (περ. 262 π.Χ. - περ. 190 π.χ.) στο έργο του Ἐπαφαί. Το πρωτότυπο έργο έχει χαθεί και σώζονται μόνο αναφορές στα αποτελέσματά του από τον Πάππο. Για τρεις δεδομένους κύκλους εν γένει υπάρχουν οκτώ διαφορετικοί κύκλοι που εφάπτονται σε αυτούς (Σχήμα 2) και κάθε κύκλος περικλείει ή όχι τους τρεις κατά διαφορετικό τρόπο.
Το 16ο αιώνα, ο Άντριαν φαν Ρόομεν έλυσε το πρόβλημα χρησιμοποιώντας τεμνόμενες υπερβολές χωρίς όμως να χρησιμοποιεί μόνο κατασκευές με κανόνα και διαβήτη. Ο Φρανσουά Βιέτ κατέληξε σε μία τέτοια λύση εργαζόμενος με απλούστερες περιπτώσεις, θεωρώντας μηδενική την ακτίνα ενός από τους τρεις δεδομένους κύκλους (εκφυλίζοντας τον σε σημείο) είτε θεωρώντας την άπειρη (οπότε ο κύκλος εκφυλίζεται σε ευθεία). Η προσέγγιση του Βιέτ, η οποία χρησιμοποιεί απλουστευμένες περιπτώσεις για να λύσει πολυπλοκότερες θεωρείται μία από τις πιθανές ανακατασκευές της λύσης του Απολλώνιου. Η μέθοδος του φαν Ρόομεν απλουστεύθηκε από τον Ισαάκ Νιούτον, ο οποίος απέδειξε ότι το πρόβλημα του Απολλώνιου είναι ισοδύναμο με την εύρεση ενός σημείου με γνωστές τις διαφορές των αποστάσεών του από τρία γνωστά σημεία. Αυτό έχει εφαρμογή στην πλοήγηση και σε συστήματα προσδιορισμού θέσεως όπως το LORAN.
Αργότερα οι μαθηματικοί εισήγαγαν αλγεβρικές μεθόδους, οι οποίες μετασχηματίζουν ένα γεωμετρικό πρόβλημα σε αλγεβρικές εξισώσεις. Αυτές οι μέθοδοι απλοποιήθηκαν εκμεταλλευόμενες την εγγενή συμμετρία του απολλώνιου προβλήματος. Επί παραδείγματι, οι κύκλοι-λύσεις εν γένει αποτελούν ζεύγη, όπου ο ένας περικλείει τους κύκλους που ο άλλος αποκλείει (Σχήμα 2). Ο Ζοζέφ Ντιάζ Ζεργκόν (Joseph Diaz Gergonne) χρησιμοποίησε αυτή την συμμετρία για μία κομψή απόδειξη με κανόνα και διαβήτη, ενώ άλλοι μαθηματικοί χρησιμοποίησαν γεωμετρικούς μετασχηματισμούς όπως η απεικόνιση σε κύκλο για την απλοποίηση της διάταξης των δεδομένων κύκλων. Αυτές οι εξελίξεις παρέχουν το γεωμετρικό υπόβαθρο για αλγεβρικές μεθόδους (με χρήση της σφαιρικής γεωμετρίας του Lie) και ταξινόμηση των λύσεων με βάση τις 33 διαφορετικές διατάξεις των δεδομένων κύκλων.
Το Απολλώνιο πρόβλημα έχει πολλές προεκτάσεις. Μελετήθηκαν γενικεύσεις του σε τρεις (κατασκευή σφαίρας εφαπτόμενης σε τέσσερις δεδομένες) και παραπάνω διαστάσεις. Η αρχική διάταξη τριών εφαπτόμενων μεταξύ τους κύκλων έχει ιδιαίτερο ενδιαφέρον. Ο Ρενέ Ντεκάρτ πρότεινε μια εξίσωση που συνδέει την ακτίνα του ζητούμενου κύκλου με τις ακτίνες των τριών δεδομένων κύκλων, γνωστή και ως θεώρημα του Καρτέσιου. Η επαναληπτική λύση του απολλώνιου προβλήματος σε αυτή την περίπτωση, οδηγεί στην απολλώνιο έμβυσμα (apollonian gasket), το οποίο είναι ένα από τα πρώτα φράκταλ που περιγράφηκαν εντύπως, ενώ είναι σημαντικό στην θεωρία αριθμών μέσω των κύκλων του Φορντ και την μέθοδο κύκλου Χάρντι-Λίτλγουντ (Hardy–Littlewood circle method).

Το πρόβλημα

Στη γενική μορφή του απολλώνιου προβλήματος ζητείται η κατασκευή ενός ή περισσοτέρων κύκλων οι οποίοι να εφάπτονται σε τρία δεδομένα αντικείμενα στο επίπεδο, όπου το αντικείμενο μπορεί να είναι ευθεία, σημείο ή κύκλος οιασδήποτε ακτίνας. Αυτά τα αντικείμενα μπορεί να είναι διατεταγμένα καθ' οιονδήποτε τρόπο και μπορούν και να αλληλοτέμνονται, όμως, συνήθως λαμβάνονται ώστε να είναι διακριτά, να μην συμπίπτουν δηλαδή. Μερικές φορές οι λύσεις του προβλήματος καλούνται Απολλώνιοι κύκλοι, αν και ο όρος χρησιμοποιείται και για άλλου είδους κύκλους, επίσης σχετιζόμενους με τον Απολλώνιο.
Η ιδιότητα της επαφής ορίζεται ως εξής. Αρχικά ένα σημείο, ευθεία ή κύκλος θεωρείται ότι εφάπτεται στον εαυτό του, έτσι αν δοθεί ένα κύκλος που είναι ήδη εφαπτόμενος σε άλλους δύο δεδομένους, η διάταξη λογίζεται ως λύση στο απολλώνιο πρόβλημα. Δύο διακριτά γεωμετρικά αντικείμενα θεωρείται ότι τέμνονται αν έχουν ένα κοινό σημείο. Εξ ορισμού ένα σημείο εφάπτεται σε ένα κύκλο ή μία ευθεία αν τα τέμνει, δηλαδή να βρίσκεται επί αυτών. Έτσι δύο διακριτά σημεία δεν μπορούν να είναι μεταξύ τους εφαπτόμενα. Αν η γωνία μεταξύ ευθειών ή κύκλων σε ένα σημείο τομής είναι μηδενική, τότε ορίζεται ότι αυτά εφάπτονται, το σημείο τομής ονομάζεται σημείο επαφής. Στην πράξη δύο διακριτοί κύκλοι είναι εφαπτόμενοι αν τέμνονται σε ένα μόνο σημείο, αν τέμνονται σε δύο ή κανένα σημεία τότε δεν εφάπτονται. Το ίδιο ισχύει και για ένα ζεύγος ευθείας και κύκλου. Δύο διακριτές ευθείες δεν μπορούν να εφάπτονται στο επίπεδο, εντούτοις δύο παράλληλες ευθείες μπορεί να θεωρηθεί ότι εφάπτονται σε ένα σημείο στο άπειρο στην Γεωμετρία της αντιστροφής.
Ο κύκλος-λύση μπορεί να είναι είτε εξωτερικά είτε εσωτερικά εφαπτόμενος σε κάθε ένα από τους δεδομένους κύκλους. Δύο κύκλοι είναι εξωτερικά εφαπτόμενοι όταν αποκλίνουν ο ένας από τον άλλον στο σημείο επαφής, και βρίσκονται σε αντίθετες μεριές της εφαπτομένης σε εκείνο το σημείο, καθώς και αλληλοαποκλείονται. Η απόσταση μεταξύ των κέντρων τους ισούται με το άθροισμα των ακτίνων τους. Αντιθέτως είναι εσωτερικά εφαπτόμενοι όταν και οι δύο κύκλοι κλίνουν με τον ίδιο τρόπο στο σημείο επαφής, βρίσκονται στην ίδια μεριά της εφαπτόμενης ευθείας και ο ένας κύκλος περικλείει τον άλλο. Σε αυτή την περίπτωση η απόσταση των κέντρων τους ισούται με την διαφορά των ακτίνων τους. Για παράδειγμα στο Σχήμα 1 ο κύκλος της ροζ λύσης εφάπτεται εσωτερικά στον μεσαίου μεγέθους δεδομένο μαύρο κύκλο στα δεξιά, ενώ είναι εξωτερικά εφαπτόμενος στον μικρότερο και στον μεγαλύτερο δεδομένο κύκλο στα αριστερά.
Το απολλώνιο πρόβλημα μπορεί να μετασχηματιστεί ως το πρόβλημα εύρεσης ενός ή περισσοτέρων σημείων, τέτοιων ώστε οι διαφορές των αποστάσεων τους από τρία δεδομένα σημεία να ισούνται με τρεις γνωστές τιμές. Έστω ένα κύκλος-λύση ακτίνας rₛ και τρεις δεδομένοι κύκλοι με ακτίνες r₁, r₂ και r₃. Αν ο κύκλος λύση είναι εξωτερικά εφαπτόμενος και στους τρεις δεδομένους κύκλους, οι αποστάσεις του κέντρου του από τα κέντρα των δεδομένων κύκλων ισούνται με d₁ = r₁ + rₛ, d₂ = r₂ + rₛ και d₃ = r₃ + rₛ, αντίστοιχα. Συνεπώς οι διαφορές αυτών των αποστάσεων είναι σταθερές, όπως d₁ − d₂ = r₁ − r₂. Εξαρτώνται μόνο από τις γνωστές ακτίνες των δεδομένων κύκλων και όχι από την ακτίνα του κύκλου-λύση rₛ, η οποία απαλείφεται. Ο δεύτερος μετασχηματισμός του απολλώνιου προβλήματος μπορεί να γενικευθεί και για εσωτερικώς εφαπτόμενους κύκλους-λύσεις (για τους οποίους η απόσταση από κέντρο σε κέντρο ισούται με την διαφορά των ακτίνων), αλλάζοντας τις αντίστοιχες διαφορές αποστάσεων σε αθροίσματα αποστάσεων έτσι ώστε η ακτίνα rₛ του κύκλου-λύση πάλι να απαλειφθεί. Ο επαναμετασχηματισμός των αποστάσεων των κέντρων είναι χρήσιμος στις παρακάτω λύσεις του Άντριαν φαν Ρόομεν και του Ισαάκ Νιούτον, καθώς και στον υπερβολικό προσδιορισμό θέσης με τον οποίο εντοπίζεται μία θέση από τις διαφορές στις αποστάσεις από τρία γνωστά σημεία. Για παράδειγμα, συστήματα πλοήγησης όπως το LORAN αναγνωρίζουν την θέση του δέκτη από τις διαφορές των χρόνων άφιξης των σημάτων από τρις διαφορετικές σταθερές θέσεις, που αντιστοιχούν στις διαφορές αποστάσεων από αυτούς τους πομπούς.

Ιστορία

Έχει αναπτυχθεί πλούσιο ρεπερτόριο γεωμετρικών και αλγεβρικών μεθόδων για την λύση του απολλώνιου προβλήματος, το οποίο έχει αποκληθεί και «το πιο διάσημο από όλα» τα γεωμετρικά προβλήματα. Η αρχική προσέγγιση του Απολλώνιου του Περγαίου έχει χαθεί, αλλά έχουν προταθεί ανακατασκευές της λύσης του από τον Φρανσουά Βιέτ και άλλους, βασισμένες σε στοιχεία από την περιγραφή του Πάππου. Η πρώτη νέα μέθοδος λύσης δημοσιεύτηκε το 1596 από τον Άντριαν φαν Ρόομεν, ο οποίος θεώρησε τα κέντρα των κύκλων-λύσεων ως σημεία τομής δύο υπερβολών. Η μέθοδος του φαν Ρόομεν βελτιώθηκε από τον Ισαάκ Νιούτον το 1687 στο έργο του Principia, και από τον Τζον Κέισι (John Casey) το 1881.
Η μέθοδος του φαν Ρόομεν, παρόλο που έλυσε επιτυχώς το απολλώνιο πρόβλημα, είχε ένα μειονέκτημα. Μία πολύτιμη ιδιότητα της κλασσικής Ευκλείδειας γεωμετρίας είναι η δυνατότητα να λύνονται τα προβλήματα με τη χρήση μόνο κανόνα και διαβήτη. Πολλές κατασκευές είναι αδύνατες χρησιμοποιώντας μόνο αυτά τα εργαλεία, όπως η τριχοτόμηση της γωνίας. Εντούτοις πολλά τέτοια αδύνατα προβλήματα μπορούν αν λυθούν με αλληλοτεμνόμενες καμπύλες όπως οι υπερβολές, οι ελλείψεις και οι παραβολές (κωνικές τομές). Για παράδειγμα ο διπλασιασμός του κύβου (το πρόβλημα της κατασκευής ενός κύβου με διπλάσιο όγκο από ένα δεδομένο κύβο) δεν μπορεί να λυθεί με κανόνα και διαβήτη, όμως ο Μέναιχμος απέδειξε ότι το πρόβλημα μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας τις τομές δύο παραβολών. Έτσι η λύση του φαν Ρόομεν, η οποία χρησιμοποιεί την τομή δύο υπερβολών, δεν εξακρίβωσε το αν μπορεί το πρόβλημα να λυθεί με κανόνα και διαβήτη.
Ο φίλος του φαν Ρόομεν, Φρανσουά Βιέτ, ο οποίος ήταν αυτός που τον είχε παροτρύνει να δουλέψει πάνω στο απολλώνιο πρόβλημα, ανέπτυξε μία μέθοδο που χρησιμοποιούσε μόνο κανόνα και διαβήτη. Πριν την λύση του Βιέτ, ο Ρεγκιομοντάνους (Regiomontanus) αμφέβαλε στο κατά πόσο ήταν δυνατό να λυθεί το πρόβλημα μόνο με κανόνα και διαβήτη. Ο Βιέτ έλυσε αρχικά το πρόβλημα για κάποιες απλές περιπτώσεις, όπως την εύρεση κύκλου που διέρχεται από τρία δεδομένα σημεία, το οποίο έχει μόνο μία λύση αν τα σημεία είναι διακριτά. Στην συνέχεια έλυσε μερικές πιο πολύπλοκες ειδικές περιπτώσεις, σε κάποιες περιπτώσεις μικραίνοντας ή μεγαλώνοντας τους δεδομένους κύκλους. Σύμφωνα με μία αναφορά του 4ου αιώνα από τον Πάππο, το βιβλίο του Απολλώνιου για το πρόβλημα με τίτλο Ἐπαφαί (λατ.: De tactionibus, De contactibus) ακολουθούσε παρόμοια προσέγγιση. Έτσι η λύση του Βιέτ θεωρείται ως μία πιθανή ανακατασκευή αυτής του Απολλώνιου, ενώ έχουν προταθεί ανεξάρτητα και άλλες ανακατασκευές από τρεις διαφορετικούς συγγραφείς.
Αρκετές άλλες γεωμετρικές μέθοδοι αναπτύχθηκαν τον 19ο αιώνα. Η πιο σημαντικές από αυτές ήταν του Ζαν-Βικτόρ Πονσελέ (Jean-Victor Poncelet) (1811) και του Ζοζέφ Ντιάζ Ζεργκόν (1814). Ενώ η μέθοδος του Πονσελέ βασίζονταν στα ομοθετικά κέντρα των κύκλων και στο θεώρημα της δύναμης σημείου, η μέθοδος του Ζεργκόν εκμεταλλεύτηκε την αντιδιαμετρική σχέση μεταξύ των ευθειών και των πόλων τους σε ένα κύκλο. Μεθόδους που χρησιμοποιούσαν γεωμετρία της αντιστροφής πρότεινες πρώτος ο Γιούλιους Πέτερσεν (Julius Petersen) το 1879. Ένα παράδειγμα είναι η μέθοδος της δακτυλιοειδούς λύσης του HSM Coxeter. Μια άλλη προσέγγιση χρησιμοποιεί την σφαιρική γεωμετρία Lie, που αναπτύχθηκε από τον Sophus Lie.
Αλγεβρικές λύσεις στο απολλώνιο πρόβλημα δόθηκαν για πρώτη φορά τον 17ο αιώνα από τον Ρενέ Ντεκάρτ και την Ελισάβετ της Βοημίας, αν και αρκετά πολύπλοκες. Πρακτικές αλγεβρικές μέθοδοι αναπτύχθηκαν στα τέλη του 18ου και τον 19ο αιώνα από αρκετούς μαθηματικούς όπως ο Λέοναρντ Όιλερ, ο Νίκολας Φους, Καρλ Φρίντριχ Γκάους, ο Λαζάρ Καρνό, και ο Αγκουστίν Λουί Κοσί.

Διατεμνόμενες υπερβολές

Η επίλυση του Άντριαν φαν Ρόομεν (1596) βασίζεται στην τομή δύο υπερβολών. Έστω οι δεδομένοι κύκλοι C₁, C₂ και C₃. Ο φαν Ρόομεν έλυσε το πρόβλημα λύνοντας το απλούστερο πρόβλημα της εύρεσης των κύκλων που είναι εφαπτόμενοι σε δύο δεδομένους κύκλους, όπως ο C₁ και ο C₂. Παρατήρησε ότι το κέντρο του εφαπτόμενου κύκλου πρέπει να βρίσκεται επί υπερβολής της οποίας οι εστίες είναι τα κέντρα των δεδομένων κύκλων. Για να γίνει πιο κατανοητό αυτό έστω οι ακτίνες του κύκλου-λύση και των δεδομένων κύκλων rₛ, r₁ και r₂, αντίστοιχα (Σχήμα 3). Η απόσταση d₁ μεταξύ των κέντρων της λύσης και του C₁ είναι είτε rₛ + r₁ είτε rₛ − r₁ ανάλογα με το αν οι κύκλοι έχουν εκλεγεί να εφάπτονται εξωτερικά ή εσωτερικά αντίστοιχα. Παρομοίως η απόσταση d₂ μεταξύ των κέντρων του κύκλου-λύση και του C₂ είναι είτε rₛ + r₂ είτε rₛ − r₂ ξανά αναλόγως με των τρόπο που εφάπτονται. Έτσι η διαφορά d₁ − d₂ μεταξύ αυτών των αποστάσεων είναι πάντα μία σταθερά η οποία είναι ανεξάρτητη του rₛ. Αυτή η ιδιότητα, της σταθερής διαφοράς μεταξύ των αποστάσεων από τις εστίες χαρακτηρίζει τις υπερβολές, έτσι τα πιθανά κέντρα του κύκλου-λύση βρίσκονται επί μίας υπερβολής. Μία δεύτερη υπερβολή μπορεί να σχεδιαστεί από το ζεύγος των δεδομένων κύκλων C₂ και C₃, όπου η εσωτερική ή εξωτερική επαφή της λύσης πρέπει να εκλεγεί σε συνέπεια με την πρώτη υπερβολή. Η τομή αυτών των δύο υπερβολών (αν υπάρχει) δίνει το κέντρο του κύκλου-λύση που έχει τις επιλεγμένες εσωτερικές ή εξωτερικές επαφές προς τους τρεις δεδομένους κύκλους. Το πλήρες σύνολο των λύσεων του απολλώνιου προβλήματος μπορεί να βρεθεί αν ληφθούν υπόψη όλοι οι πιθανοί συνδυασμοί εσωτερικών και εξωτερικών επαφών του κύκλου-λύση προς τους τρεις δεδομένους.
Ο Ισαάκ Νιούτον (1687) βελτίωσε την λύση του φαν Ρόομεν, έτσι ώστε τα κέντρα του κύκλου-λύση να βρίσκονται στην τομή μιας ευθείας και ενός κύκλου. Ο Νιούτον διατύπωσε το απολλώνιο πρόβλημα ως πρόβλημα τριπλευρισμού (trilateration), στον εντοπισμό θέσης του σημείου Ζ από τρία δεδομένα σημεία A, B και C, τέτοια ώστε οι αποστάσεις από το Z στα τρία δεδομένα σημεία να έχουν γνωστές τιμές. Αυτά τα τέσσερα σημεία αντιστοιχούν στο κέντρο του κύκλου-λύση (Z) και στα κέντρα των δεδομένων κύκλων (A, B and C).
Αντί να επιλύσει για τις δύο υπερβολές, ο Νιούτον κατασκεύασε τις διευθετούσες ευθείες. Για κάθε υπερβολή, ο λόγος των αποστάσεων από ένα σημείο Z προς μία εστία A και προς την διευθετούσα είναι μία σταθερά που καλείται εκκεντρότητα. Οι δύο διευθετούσες τέμνονται στο σημείο T και από τους δύο γνωστούς λόγους των αποστάσεών τους, ο Νιούτον κατασκεύασε μία ευθεία που περνά από το το Τ επί της οποίας πρέπει να βρίσκεται και το Z. Εντούτοις ο λόγος TZ/TA είναι επίσης γνωστός, έτσι το Z βρίσκεται επίσης σε ένα γνωστό κύκλο., αφού ο Απολλώνιος έδειξε ότι ένας κύκλος μπορεί να οριστεί ως το σύνολο των σημείων που έχουν ένα δεδομένο σταθερό λόγο αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία. (Αυτός ο ορισμός είναι και η βάση των διπολικών συντεταγμένων) Έτσι οι λύσεις στο Απολλώνιο πρόβλημα είναι τα τομές ευθείας με κύκλο.

Η ανακατασκευή του Βιέτ

Όπως περιγράφεται παρακάτω, το απολλώνιο πρόβλημα έχει δέκα ειδικές περιπτώσεις εξαρτώμενες από την φύση των δοσμένων αντικειμένων, τα οποία μπορεί να είναι κύκλος (C), ευθεία (L) ή σημείο (P). Είθισται αυτές οι δέκα περιπτώσεις να κωδικοποιούνται με τρία γράμματα όπως ΚΚΣ. Ο Βιέτ έλυσε και τις δέκα περιπτώσεις με κανόνα και διαβήτη και χρησιμοποίησε τις λύσεις των απλούστερων περιπτώσεων για την επίλυση των πιο σύνθετων.
Ο Βιέτ ξεκίνησε με την επίλυση της περίπτωσης ΣΣΣ (τρία σημεία) ακολουθώντας την μέθοδο του Ευκλείδη όπως περιγράφεται στα Στοιχεία. Από αυτό εξήγαγε ένα λήμμα που αντιστοιχεί στο θεώρημα δύναμης σημείου, το οποίο χρησιμοποίησε για να λύσει την περίπτωση ΕΣΣ (ευθεία και δύο σημεία). Ακολουθώντας την μέθοδο του Ευκλείδη έλυσε την περίπτωση ΕΕΕ (τρεις ευθείες) χρησιμοποιώντας τις διχοτόμους. Από εκεί εξήγαγε ένα λήμμα για την κατασκευή καθέτου στην διχοτόμο που περνά από ένα σημείο, το οποίο χρησιμοποίησε για να λύσει την περίπτωση ΕΕΣ. Αυτέ είναι οι πρώτες τέσσερις περιπτώσεις του προβλήματος που δεν έχουν να κάνουν με κύκλους.
Για να λύσει τα υπόλοιπα προβλήματα ο Βιέτ εκμεταλλεύτηκε το γεγονός ότι οι κύκλοι μπορούν να αλλάξουν μέγεθος ανά ζεύγη διατηρώντας ωστόσο την επαφή τους (Σχήμα 4). Αν η ακτίνα του κύκλου-λύση αλλάξει κατά Δr, η ακτίνα του εσωτερικά εφαπτόμενου κύκλου πρέπει αντίστοιχα να αλλάξει κατά Δr, ενώ οι ακτίνες των εξωτερικά εφαπτόμενων κύκλων πρέπει να αλλάξουν κατά −Δr. Έτσι καθώς ο κύκλος-λύση μεγαλώνει, οι εσωτερικά εφαπτόμενοι κύκλοι πρέπει να μεγαλώσουν, ενώ οι εξωτερικά πρέπει να μικρύνουν ώστε να διατηρηθεί η επαφή.
Ο Βιέτ χρησιμοποίησε αυτή την προσέγγιση ώστε να μετατρέψει ένα από τους δοσμένους κύκλους σε σημείο, μετασχηματίζοντας έτσι το πρόβλημα στην απλούστερη και ήδη λυμένη περίπτωση. Πρώτα έλυσε την περίπτωση KEE (κύκλος και δύο ευθείες) ελαττώνοντας τον κύκλο σε σημείο, μετατρέποντας το έτσι σε περίπτωση ΕΕΣ. Έπειτα έλυσε την περίπτωση ΚΕΣ (κύκλος, ευθεία, σημείο) χρησιμοποιώντας τρία λήμματα. Ελαττώνοντας ξανά ένα κύκλο σε σημείο μετασχημάτισε το πρόβλημα ΚΚΕ σε ΚΕΣ. Έπειτα έλυσε την περίπτωση ΚΣΣ και την ΚΚΣ, την τελευταία χρησιμοποιώντας δύο λήμματα. Τέλος έλυσε την γενική περίπτωση ΚΚΚ (τρεις κύκλοι) ελαττώνοντας τον ένα κύκλο σε σημείο μετασχηματίζοντας το πρόβλημα σε ΚΚΣ.

Ζεύγη λύσεων με αντιστροφή

Οι λύσεις του απολλώνιου προβλήματος εν γένει συναντώνται ανά ζεύγη, για κάθε κύκλο-λύση υπάρχει ένας συζυγής κύκλος-λύση (Σχήμα 6). Ένας κύκλος-λύση αποκλείει τους δοσμένους κύκλους που περικλείονται από τον συζυγή του, και αντίστροφα. Για παράδειγμα στο Σχήμα 6 ο ένας κύκλος-λύση (ροζ, πάνω αριστερά) περικλείει τους δύο δοσμένους κύκλους (μαύροι), αλλά αποκλείει τον τρίτο, αντίστοιχα ο συζυγής του (επίσης ροζ, κάτω αριστερά) περικλείει τον τρίτο δοσμένο κύκλο αλλά αποκλείει τους άλλους δύο. Οι δύο συζυγείς λύσεις σχετίζονται μέσω αντιστροφής, βάσει του ακόλουθου συλλογισμού. 
Εν γένει, οποιοιδήποτε τρεις διακριτοί κύκλοι έχουν ένα μοναδικό κύκλο—τον ριζικό κύκλο—ο οποίος τους τέμνει όλους κάθετα. Το κέντρο αυτού του κύκλου είναι το ριζικό κέντρο των τριών κύκλων. Για παράδειγμα ο πορτοκαλί κύκλος στο Σχήμα 6 τέμνει τους μαύρους δοσμένους κύκλους με ορθές γωνίες. Η αντιστροφή με βάση τον ριζικό κύκλο αφήνει τους δοσμένους κύκλους αμετάβλητους, αλλά μετασχηματίζει τους δύο συζυγής κύκλους-λύσεις τον ένα στον άλλον. Υπό την ίδια αντιστροφή τα σημεία που αντιστοιχούν στις επαφές των κύκλων μετασχηματίζονται το ένα στο άλλο. Για παράδειγμα στο Σχήμα 6, τα δύο μπλε σημεία που βρίσκονται σε κάθε πράσινη γραμμή μετασχηματίζονται το ένα στο άλλο. Έτσι οι ευθείες που συνδέουν τα συζυγή σημεία επαφής δεν μεταβάλλονται από την αντιστροφή, συνεπώς πρέπει να διέρχονται από το κέντρο της αντιστροφής το οποίο είναι το ριζικό κέντρο (οι πράσινες ευθείες τέμνονται στο πορτοκαλί σημείο στο Σχήμα 6).

Αλλαγή μεγέθους και αντιστροφή

Η χρησιμότητα της αντιστροφής μπορεί να αυξηθεί σημαντικά με την αλλαγή μεγέθους. Όπως σημειώθηκε στην ανακατασκευή του Βιέτ, οι τρεις δεδομένοι κύκλοι και ο κύκλος λύση μπορούν να αλλάξουν μέγεθος ενώ διατηρούν την επαφή τους. Έτσι το αρχικό απολλώνιο πρόβλημα μετασχηματίζεται σε ένα άλλο που ενδεχομένως είναι ευκολότερο να λυθεί. Για παράδειγμα, οι τέσσερις κύκλοι μπορούν αν αλλάξουν μέγεθος ώστε ο ένας δοσμένος κύκλος να ελαττωθεί σε σημείο, εναλλακτικά, συχνά δύο δοσμένοι κύκλοι μπορούν μεταβληθούν ώστε εφάπτονται μεταξύ τους. Και τρίτον, δύο δοσμένοι κύκλοι που τέμνονται μπορούν να ρυθμιστούν ώστε να μην τέμνονται, ώστε να μπορεί να εφαρμοστεί η αντιστροφή σε δακτύλιο. Σε όλες αυτές τις περιπτώσει η λύση του απολλώνιο προβλήματος μπορεί να ανακτηθεί από το μετασχηματισμένο πρόβλημα με την άρση της αλλαγής μεγέθους και της αντιστροφής.

Ελάττωση ενός δοσμένου κύκλου σε σημείο

Στην πρώτη προσέγγιση, οι δοσμένοι κύκλοι μειώνονται ή μεγεθύνονται (αναλογικά με την επαφή) μέχρι κάποιος από αυτούς να ελαττωθεί σε σημείο (P). Σε αυτή την περίπτωση το απολλώνιο πρόβλημα εκφυλίζεται στην περίπτωση ΚΚΣ, που είναι το πρόβλημα εύρεση ενός κύκλου που να εφάπτεται σε δύο κύκλους και να διέρχεται από το σημείο P. Η αντιστροφή σε κύκλο με κέντρο το P μετασχηματίζει τους δύο δοσμένους κύκλους σε δύο νέους και τον κύκλο-λύση σε ευθεία. Έτσι η μετασχηματισμένη λύση είναι μία ευθεία που εφάπτεται στους δύο μετασχηματισμένους δεδομένους κύκλους. Υπάρχουν τέσσερις τέτοιες ευθείες-λύσεις, που μπορούν να κατασκευαστούν από το εξωτερικό και το εσωτερικό ομοθετικό κέντρο των δύο κύκλων. Η άρση της αναστροφής και της αλλαγής μεγέθους μετασχηματίζει αυτές τις λύσεις στον επιθυμητό κύκλο-λύση του αρχικού απολλώνιου προβλήματος. Όλες οι οκτώ γενικές λύσεις μπορούν να ανακτηθούν από την αλλαγή μεγέθους των κύκλων ανάλογα με τις εσωτερικές και εξωτερικές επαφές της κάθε λύσης, εντούτοις πρέπει να ελαττωθούν σε σημείο διαφορετικοί κύκλοι για διαφορετικές λύσεις.

Αλλαγή μεγέθους ώστε δύο δοσμένοι κύκλοι να αλληλοεφάπτονται

Στην δεύτερη προσέγγιση, οι ακτίνες των δοσμένων κύκλων ρυθμίζονται αναλογικά με μία ποσότητα Δr έτσι ώστε δύο από αυτούς να εφάπτονται μεταξύ τους. Το σημείο επαφής επιλέγεται ως το κέντρο της αντιστροφής σε κύκλο ώστε να τέμνει τον καθένα από τους εφαπτόμενους κύκλους σε δύο σημεία. Με την αντιστροφή, οι εφαπτόμενοι κύκλοι μετασχηματίζονται σε παράλληλες ευθείες: το μοναδικό σημείο επαφής τους βρίσκεται στο άπειρο, έτσι δεν συναντώνται. Η ίδια αντιστροφή μετασχηματίζει τον τρίτο κύκλο σε άλλο κύκλο. Η λύση του αντεστραμμένου προβλήματος πρέπει να είναι είτε (1) μία ευθεία παράλληλη στις δύο δοσμένες παράλληλες και εφαπτόμενη στον τρίτο δεδομένο κύκλο, είτε (2) ένας κύκλος σταθερής ακτίνας που εφάπτεται στις δύο ευθείες και τον τρίτο κύκλο. Η άρση της αναστροφής και η ρύθμιση όλων των κύκλων κατά Δr παράγει τον κύκλο-λύση που εφάπτεται στους αρχικούς τρεις κύκλους.

Αριθμός λύσεων

Το πρόβλημα της απαρίθμησης του αριθμού των λύσεων διαφορετικών τύπων του απολλώνιου προβλήματος ανήκει στο πεδίο της απαριθμητικής γεωμετρίας. Ο γενικός αριθμός λύσεων για κάθε ένα από τους δέκα τύπους του απολλώνιου προβλήματος δίνεται στον Πίνακα 1. Εντούτοις, ειδικές διατάξεις των δοσμένων στοιχείων μπορεί να αλλάξουν τον αριθμό των λύσεων. Για παράδειγμα το απολλώνιο πρόβλημα δεν έχει λύση αν ένας από τους κύκλους χωρίζει τους άλλους δύο (Σχήμα 11), για να εφάπτεται και στους δύο μη διαγραμμισμένους κύκλους, ο κύκλος λύση θα πρέπει να τέμνει τον διαγραμμισμένο. Αντίστροφα αν όλοι οι δοσμένοι κύκλοι εφάπτονται στο ίδιο σημείο τότε οποιοσδήποτε κύκλος εφάπτεται σε αυτό το σημείο είναι λύση του προβλήματος, τέτοιες περιπτώσεις του απολλώνιου προβλήματος έχουν άπειρες λύσεις. Αν οσοιδήποτε από τους δοσμένους κύκλους ταυτίζονται υπάρχουν αντίστοιχα άπειρες λύσεις. Αν μόνο δύο από τους δοσμένους κύκλους ταυτίζονται τότε υπάρχουν δύο διακριτοί δοσμένοι κύκλοι και τα κέντρα των κύκλων λύσεων σχηματίζουν μία υπερβολή, όπως χρησιμοποιήθηκε στην μία λύση του απολλώνιου προβλήματος.
Πρώτη φορά έγινε εξαντλητική καταμέτρηση των λύσεων για όλες τις πιθανές διατάξεις των τριών κύκλων, σημείων και ευθειών από των Muirhead το 1896, ενώδουλειά προς την κατεύθυνση αυτή είχε γίνει από τον Στρόλ (Stroll) και τον Study. Εντούτοις, το έργο του Muirhead ήταν ατελές, επεκτάθηκε το 1974 και η οριστική καταμέτρηση, 33 διακριτών περιπτώσεων δημοσιεύτηκε το 1983. Παρόλο που οι λύσεις του απολλώνιου προβλήματος εν γένει εμφανίζονται ανά ζεύγη που σχετίζονται δι' αντιστροφής σε μερικές περιπτώσεις είναι δυνατόν να υπάρχει περιττός αριθμός λύσεων. Π.χ. υπάρχει μοναδική λύση στην περίπτωση ΣΣΣ ή όταν ένας ή τρεις δοσμένοι κύκλοι είναι οι ίδιοι λύσεις. (Ένα τέτοιο παράδειγμα δίνεται παρακάτω στην ενότητα για το θεώρημα του Καρτέσιου.) Παρόλα αυτά δεν υπάρχει απολλώνιο πρόβλημα με επτά λύσεις. Έχουν αναπτυχθεί εναλλακτικές λύσεις βασισμένες γεωμετρία των κύκλων και των σφαιρών και έχουν χρησιμοποιηθεί για περισσότερες διαστάσεις.

Γενικεύσεις

Το απολλώνιο πρόβλημα μπορεί να επεκταθεί στην κατασκευή όλων των κύκλων που τέμνουν τρεις δοσμένους κύκλους με μία συγκεκριμένη γωνία θ ή με τρεις συγκεκριμένες γωνίες θ₁, θ₂ και θ₃;, το σύνηθες πρόβλημα αντιστοιχεί στην ειδική περίπτωση στην οποία ή γωνία τομής είναι μηδέν για όλους τους δοσμένους κύκλους. Μια άλλη γενίκευση είναι η δυαδική της πρώτης επέκτασης, και συνίσταται στην κατασκευή κύκλων με τρεις συγκεκριμένες αποστάσεις επαφής από τρεις δοσμένους κύκλους.
Το απολλώνιο πρόβλημα μπορεί να επεκταθεί από το επίπεδο σε σφαιρική επιφάνεια και άλλες δευτεροβάθμιες επιφάνειες. Για την σφαίρα, το πρόβλημα συνίσταται στην κατασκευή όλων των κύκλων (όρια των σφαιρικών τομών) που εφάπτονται σε τρεις δοσμένους κύκλους επί της σφαίρας. Αυτό το σφαιρικό πρόβλημα μπορεί να μετασχηματιστεί σε επίπεδο πρόβλημα χρησιμοποιώντας στερεογραφική προβολή. Αφού κατασκευαστούν οι λύσεις στο επίπεδο πρόβλημα μπορούν να καθοριστούν οι λύσεις του του σφαιρικού προβλήματος με αντιστροφή της στερεογραφικής προβολής. Ακόμα γενικότερα, μπορεί να θεωρηθεί το πρόβλημα τεσσάρων εφαπτόμενων καμπυλών που προκύπτουν από την τομή τυχαίων δευτεροβάθμιων επιφανειών με τέσσερα επίπεδα, όπως προτάθηκε για πρώτη φορά από τον Charles Dupin.
Λύνοντας το απολλώνιο πρόβλημα επαναληπτικά για την εύρεση των εγγεγραμμένων κύκλων, τα κενά μεταξύ των εφαπτόμενων κύκλων μπορούν να πληρωθούν αυθαίρετα, σχηματίζοντας το απολλώνιο έμβυσμα, γνωστή και ως Leibniz packing ή Apollonian packing. Αυτό το έμβυσμα είναι φράκταλ, όντας αυτοόμοιο και έχοντας διάσταση Hausdorff d η οποία δεν είναι μεν γνωστή με ακρίβεια αλλά είναι της τάξης του 1,3, το οποίο είναι μεγαλύτερη από από μία κανονική (ή πεπερασμένου μήκους) καμπύλη (d = 1) αλλά μικρότερη από από αυτή του επιπέδου (d = 2). Το απολλώνιο έμβυσμα περιγράφηκε για πρώτη φορά από τον Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς τον 17ο αιώνα, και είναι καμπύλος πρόδρομος του τριγώνου Σιερπίνσκι. Το απολλώνιο έμβυσμα έχει στενούς δεσμούς με άλλα πεδία των μαθηματικών, για παράδειγμα, είναι το οριακό σύνολο των συνόλων Klein.
Η διάταξη με ένα κύκλο να εφάπτεται σε τέσσερις κύκλους στο επίπεδο έχει ειδικές ιδιότητες, οι οποίες διερευνήθηκαν από τον Larmor (1891) και τον Lachlan (1893). Αυτή η διάταξη είναι και η βάση του θεωρήματος του Casey, όντας ταυτόχρονα και γενίκευση του θεωρήματος του Πτολεμαίου.
Η επέκταση του απολλώνιου προβλήματος σε τρεις διαστάσεις, δηλαδή το πρόβλημα εύρεσης σφαίρας που να εφάπτεται σε τέσσερις δοσμένες σφαίρες, μπορεί να λυθεί με ανάλογες μεθόδους. Για παράδειγμα, οι δοσμένες και η σφαίρα-λύση μπορούν να αλλάξουν μέγεθος έτσι ώστε μία δεδομένη σφαίρα να ελαττωθεί σε σημείο διατηρώντας τις επαφές όλων των σφαιρών. Η αντιστροφή σε αυτό το σημείο, μετασχηματίζει το πρόβλημα σε αυτό της εύρεσης ενός επιπέδου που να είναι εφαπτόμενο σε τρεις δοσμένες σφαίρες. Υπάρχουν εν γένει οκτώ τέτοια επίπεδα, τα οποία δίνουν τις λύσεις του αρχικού προβλήματος αναστρέφοντας την αντιστροφή και επαναφέροντας το μέγεθος. Το πρόβλημα αντιμετωπίστηκε πρώτη φορά από τον Πιέρ ντε Φερμά, ενώ έχουν αναπτυχθεί διάφορες εναλλακτικές μέθοδοι ανά τους αιώνες.
Το απολλώνιο πρόβλημα μπορεί να επεκταθεί σε d διαστάσεις, ώστε να ζητείται η κατασκευή υπερσφαιρών εφαπτόμενων σε ένα σύνολο d + 1 υπερσφαιρών. Μετά την δημοσίευση του Frederick Soddy μιας νέας απόδειξης του θεωρήματος του Καρτέσιου το 1936, αρκετοί έλυσαν (ανεξάρτητα) την περίπτωση των αμοιβαίως εφαπτόμενων αντικειμένων που αντιστοιχεί στους κύκλους Soddy d διαστάσεων.

Εφαρμογές

Η κύρια εφαρμογή του απολλώνιου προβλήματος, όπως διατυπώθηκε από τον Ισαάκ Νιούτον, είναι ο υπερβολικός τριπλευρισμός, ο οποίος έχει στόχο τον καθορισμό της θέσης από τις διαφορές αποστάσεων μεταξύ τουλάχιστον τριών σημείων. Για παράδειγμα ένα πλοίο μπορεί να ζητά να καθορίσει την θέση του από τις διαφορές στον χρόνο άφιξης σημάτων από τρεις συγχρονισμένους μεταδότες. Λύσεις του απολλώνιου προβλήματος χρησιμοποιήθηκαν στον Α' Παγκόσμιο Πόλεμο για να καθοριστεί η θέση ενός στοιχείου πυροβολικού από τον χρόνο που χρειάστηκε για να ακουστεί μια βολή σε τρεις διαφορετικές θέσεις, ενώ ο υπερβολικό τριπλευρισμός είναι η αρχή που χρησιμοποιούν το Σύστημα πλοήγησης Decca και το LORAN. Παρομοίως η θέση ενός αεροσκάφους μπορεί να καθοριστεί από τις διαφορές στον χρόνο άφιξης του σήματος του αναμεταδότη του σε τέσσερις σταθμούς λήψης. Αυτό το πρόβλημα πολυπλευρισμού είναι ανάλογο με την γενίκευση του απολλώνιου προβλήματος σε τρεις διαστάσεις και έχει εφαρμογές σε παγκόσμιου εντοπισμού θέσης όπως το GPS. Χρησιμοποιείται ακόμα για τον καθορισμό της θέσης ζώων (πουλιά και φάλαινες) αν και δεν λαμβάνεται υπόψη στο πρόβλημα το γεγονός της διαφοράς στην ταχύτητα του ήχου ανάλογα με την διεύθυνση (το μέσο διάδοσης δεν είναι ισότροπο).
Το απολλώνιο πρόβλημα έχει και άλλες εφαρμογές. Στα Principia (Βιβλίο 1, Πρόταση 21) ο Ισαάκ Νιούτον χρησιμοποίησε την λύση του απολλώνιου προβλήματος για να κατασκευάσει μία τροχιά στην ουράνια μηχανική από το κέντρο έλξης και παρατηρήσεις των εφαπτόμενων ευθειών στην τροχιά που αντιστοιχούν σε στιγμιαίες ταχύτητες. Η ειδική περίπτωση του προβλήματος στην οποία οι τρεις δοσμένοι κύκλοι εφάπτονται μεταξύ τους βρίσκει εφαρμογή στην μέθοδο κύκλου Hardy–Littlewood της αναλυτικής θεωρίας αριθμών για την κατασκευή της καμπύλης Hans Rademacher για την μιγαδική ολοκλήρωση, που δίνεται από τα όρια ενός απειροσυνόλου κύκλων Ford, που καθένας εξ αυτών εφάπτεται με μερικούς άλλους. Τέλος, το απολλώνιο πρόβλημα έχει εφαρμογές σε μερικούς τύπους προβλημάτων συσκευασίας τα οποία προκύπτουν σε διάφορα πεδία όπως στον κώδικα διόρθωσης σφαλμάτων που χρησιμοποιείται στα DVD και στον σχεδιασμό φαρμακευτικών παρασκευασμάτων που συνδέονται με ένα συγκεκριμένο ένζυμο κάποιου παθογενούς βακτηρίου.