Μερική διαφορική εξίσωση

Στα μαθηματικά μία μερική διαφορική εξίσωση (ΜΔΕ) είναι μια διαφορική εξίσωση η οποία περιέχει άγνωστες συνάρτησεις πολλαπλών μεταβλητών και τις μερικές παραγώγους αυτών.(Σε αντίθεση με τις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις, οι οποίες ασχολούνται με τις συναρτήσεις μιας μεταβλητής και τα παράγωγά τους.) Οι ΜΔΕ χρησιμοποιούνται για να διαμορφώσουν τα προβλήματα που αφορούν τις συναρτήσεις πολλών μεταβλητών, και είτε λύνονται με το χέρι, ή χρησιμοποιούνται για να δημιουργήσουν ένα σχετικό υπολογιστικό μοντέλο.
Οι ΜΔΕ μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να περιγράψουν μια ευρεία ποικιλία  φαινομένων, όπως ήχο, θερμότητα , ηλεκτροστατική , ηλεκτροδυναμική , ροή του υγρού, ή ελαστικότητα. Αυτά τα φαινομενικά διαφορετικά φυσικά φαινόμενα μπορεί να υλοποιούνται με τον ίδιο ακριβώς τρόπο με τη ΜΔΕ, που δείχνει ότι αυτά διέπονται από τις ίδιες βασικές δυναμικές. Απλά όπως οι συνήθεις διαφορικές εξισώσεις συχνά απλοποιούν μονοδιάστατα δυναμικά συστήματα, έτσι και οι μερικές διαφορικές εξισώσεις συχνά απλοποιούν πολυδιάστατα συστήματα. Οι ΜΔΕ βρίσκουν τη γενίκευση τους στις στοχαστικές μερικές διαφορικές εξισώσεις.

Αξία αρχικών οριακών προβλημάτων

Κύριο άρθρο: Προβλήματα συνοριακών τιμών
Πολλά προβλήματα της μαθηματικής φυσικής διαμορφώνονται ως αρχικά διασυνοριακά προβλήματα.

Άλλα παραδείγματα

Η εξίσωση Schrödinger είναι μια ΜΔΕ στην καρδιά της μη σχετικιστικής κβαντικής μηχανικής. Στην WKB προσέγγιση είναι η Hamilton-Jacobi εξίσωση.
Εκτός από τη Dym εξίσωση και τη Ginzburg-Landau εξίσωση, οι παραπάνω εξισώσεις είναι γραμμικές με την έννοια ότι μπορούν να γραφτούν στη μορφή  Au =f για ένα δοσμένο γραμμικό τελεστή  Α και μια συγκεκριμένη συνάρτηση f.  Άλλες σημαντικές μη γραμμικές εξισώσεις περιλαμβάνουν τις εξισώσεις Navier-Stokes, που περιγράφουν τη ροή των υγρών, και τις εξισώσεις πεδίου του Αϊνστάιν ή της γενικής σχετικότητας.
Επίσης, δείτε το κατάλογος των μη γραμμικών μερικών διαφορικών εξισώσεων.

Ταξινόμηση

Μερικές γραμμικές, δεύτερης τάξης μερικές διαφορικές εξισώσεις μπορούν να χαρακτηριστούν ως παραβολικές μερικές διαφορικές εξισώσεις, υπερβολικές μερικές διαφορικές εξισώσεις ή ελλειπτικές μερικές διαφορικές εξισώσεις. Άλλες, όπως η Euler-Tricomi εξίσωση έχουν διαφορετικούς τύπους σε διαφορετικές περιοχές. Η ταξινόμηση παρέχει έναν οδηγό για τις κατάλληλες αρχικές και οριακές συνθήκες, και στην ομαλότητα των λύσεων.

Εξισώσεις πρώτης τάξης

Κύριο άρθρο:Πρώτης τάξης μερική διαφορική εξίσωση

Άπειρης τάξης ΜΔΕ στην κβαντομηχανική

Η Weyl κβαντοποίηση στο χώρο των φάσεων οδηγεί στις quantum Χάμιλτον εξισώσεις για τις τροχιές των κβαντικών σωματιδίων. Αυτές οι εξισώσεις είναι άπειρης τάξης ΜΔΕ. Ωστόσο, στην  ημικλασσική επέκταση έχει ένα πεπερασμένο σύστημα εξισώσεων σε οποιαδήποτε σταθερή διάταξη .Η εξίσωση της εξέλιξης της συνάρτησης Wigner είναι άπειρης τάξης ΜΔΕ επίσης. Οι  κβαντικές τροχιές είναι χαρακτηριστικά κβαντικές με τη χρήση του οποίου μπορεί κανείς να υπολογίσει την εξέλιξη της συνάρτησης Wigner.

Χωρισμός των μεταβλητών

Κύριο άρθρο Διαχωριστική μερική διαφορική εξίσωση
Οι γραμμικές ΜΔΕ μπορούν να ελλατωθούν σε συστήματα συνήθων διαφορικών εξισώσεων με την σημαντική τεχνική του διαχωρισμού των μεταβλητών.Η λογική αυτής της τεχνικής μπορεί να προκαλέσει σύγχυση με την πρώτη ματιά, αλλά στηρίζεται στη μοναδικότητα των λύσεων διαφορικών εξισώσεων: Όπως και με διαφορικές εξισώσεις, αν μπορεί κανείς να βρει οποιαδήποτε λύση που λύνει την εξίσωση και να ικανοποιεί τις συνοριακές συνθήκες, τότε αυτή είναι η λύση. Θεωρούμε ως συνάρτηση ότι η εξάρτηση της λύσης σε χώρο και χρόνο μπορεί να γραφτεί ως προϊόν των όρων που ο καθένας εξαρτάται από μία μόνο συντεταγμένη, και στη συνέχεια να δούμε εάν και πώς αυτό μπορεί να γίνει για την επίλυση του προβλήματος.
Στη μέθοδο του διαχωρισμού μεταβλητών, η μία μειώνει μια ΜΔΕ σε μια ΜΔΕ με λιγότερες μεταβλητές, η οποία είναι μια Συνήθης διαφορική εξίσωση. Εάν είναι σε μία μεταβλητή - αυτές είναι με τη σειρά ευκολότερο να επιλυθούν.
Αυτό είναι δυνατό για απλές ΜΔΕ, οι οποίες ονομάζονται διαχωρίσιμες μερικές διαφορικές εξισώσεις , και ο τομέας είναι γενικά ένα ορθογώνιο (ένα προϊόν των διαστημάτων). Διαχωρίσιμες ΜΔΕ αντιστοιχούν σε διαγώνιες μήτρες - λαμβάνοντας υπόψην  "την αξία της σταθεράς Χ " ως συντεταγμένη, κάθε συντεταγμένη μπορεί να κατανοηθεί ξεχωριστά.
Αυτό γενικεύει στη μέθοδο των χαρακτηριστικών, και χρησιμοποιείται επίσης στους αρχικούς μετασχηματισμούς.

Μέθοδος των χαρακτηριστικών

Κύριο άρθρο Μέθοδος των χαρακτηριστικών
Σε ειδικές περιπτώσεις, μπορεί κανείς να βρει χαρακτηριστικές καμπύλες των οποίων η εξίσωση μειώνεται σε μια ΣΔΕ - αλλάζοντας τις συντεταγμένες στον τομέα για να ισιώσουν αυτές οι καμπύλες,επιτρέπει το διαχωρισμό των μεταβλητών, και ονομάζεται μέθοδος των χαρακτηριστικών.
Γενικότερα, μπορεί κανείς να βρει χαρακτηριστικές επιφάνειες.

Αρχικός Μετασχηματισμός

Ένας αρχικός μετασχηματισμός δύναται να μετατρέψει την ΜΔΕ σε μια  απλούστερη, ιδιαίτερα σε μια διαχωρίσιμη ΜΔΕ. Αυτό αντιστοιχεί στο "diagonalizing" ένα χειριστή.
Ένα σημαντικό παράδειγμα είναι η Ανάλυση Fourier, η οποία diagonalizes την εξίσωση θερμότητας με χρήση του eigenbasis ημιτονοειδών κυμάτων.
Αν ο τομέας είναι πεπερασμένος ή περιοδικός, ένα άπειρο άθροισμα των λύσεων, όπως η σειρά Fourier είναι κατάλληλο, αλλά αποτελεί την αρχική των λύσεων όπως η Fourier αρχική  απαιτούνται κατά κανόνα για άπειρους τομείς. Η λύση για μια σημείακή πηγή για την εξίσωση θερμότητας έχει δοθεί παραπάνω και είναι ένα παράδειγμα για τη χρήση μιας αρχικής Fourier .

Αρχή της επαλληλίας

Επειδή κάθε επαλληλίας λύσεων μιας γραμμικής, ομογενούς ΜΔΕ είναι και πάλι μια λύση, οι ιδιαίτερες λύσεις που μπορεί στη συνέχεια να συνδυάζονται για να βρεθούν περισσότερες γενικές λύσεις.

Μέθοδο ομάδα Lie

Από το 1870 το έργο του Sophus Lie έθεσε τη θεωρία των διαφορικών εξισώσεων σε μια πιο ικανοποιητική βάση. Έδειξε ότι οι θεωρίες του να βρίσκεις αρχικές των ηλικιωμένων μαθηματικών μπορούν, με την εισαγωγή του τι είναι σήμερα και ονομάζονται ομάδες Lies να αναφέρεται σε μια κοινή πηγή. Και ότι οι συνήθεις διαφορικές εξισώσεις που παραδέχονται το ίδιο για τους απειροελάχιστους μετασχηματισμούς να παρουσιάζουν παρόμοιες δυσκολίες ένταξης. Τόνισε, επίσης, το θέμα των μετασχηματισμών επαφής.
Μια γενική προσέγγιση για την επίλυση των ΜΔΕ χρησιμοποιεί την ιδιότητα συμμετρίας των διαφορικών εξισώσεων,τους συνεχείς απειροελάχιστους μετασχηματισμούς των λύσεων σε λύσεις (θεωρία Lie).Η sυνεχής Θεωρία Ομάδων,οι άλγεβρες Lie και η διαφορική γεωμετρία χρησιμοποιούνται για να κατανοηθούν η δομή των γραμμικών και μη γραμμικών μερικών διαφορικών εξισώσεων για τη δημιουργία αρχικών εξισώσεων, ώστε να βρουν τα ζεύγη Lax , την αναδρομή των φορέων,τους  BACKLUND μετασχηματισμούς και, τέλος, να βρεθούν οι ακριβείς αναλυτικές λύσεις για τις ΜΔΕ.
Οι μέθοδοι της Συμμετρίας έχουν αναγνωριστεί για τη μελέτη διαφορικών εξισώσεων που προκύπτουν σε μαθηματικά, φυσική, η μηχανική, και πολλούς άλλους κλάδους.

Ημιαναλυτικοί μέθοδοι

Η adomian μέθοδος αποσύνθεσης, η Αλεξάντρ Lyapunov τεχνητή μικρή μέθοδος παραμέτρων, και αυτός είναι homotopy διατάραξης της μεθόδου είναι όλες ειδικές περιπτώσεις της γενικότερης homotopy μεθόδου ανάλυσης. Αυτές είναι οι μέθοδοι επέκτασης σειρών, και εκτός από τη μέθοδο Lyapunov, είναι ανεξάρτητες από τις μικρές φυσικές παραμέτρους σε σύγκριση με τη γνωστή θεωρία διαταραχών, δίνοντας έτσι αυτές οι μέθοδοι μεγαλύτερη ευελιξία και γενικότητα στη λύση.

Αριθμητικές μέθοδοι για την επίλυση ΜΔΕ

Τα τρία πιο ευρέως χρησιμοποιούμενες αριθμητικές μέθοδοι για την επίλυση ΜΔΕ είναι η μέθοδος πεπερασμένων στοιχείων (ΜΠΣ), οι μέθοδοι πεπερασμένων όγκων  (ΜΠΟ) και μέθοδοι πεπερασμένων διαφορών  (ΜΠΔ) . Η ΜΠΣ έχει μια εξέχουσα θέση μεταξύ αυτών των μεθόδων και ιδιαίτερα  στη εξαιρετικά αποτελεσματική  ανώτερη τάξη version hp-FEM. Άλλες εκδόσεις του ΜΠΣ περιλαμβάνουν τη γενικευμένη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων (ΓΜΠΣ), εκτεταμένη μέθοδο πεπερασμένων στοιχείων (ΕΜΠΣ),τη φασματική μέθοδο πεπερασμένων στοιχείων (ΦΜΠΣ), meshfree πεπερασμένων στοιχείων μέθοδο, ασυνεχείς Galerkin μέθοδο πεπερασμένων στοιχείων (ΑGΜΠΣ), Element-Free μέθοδος Galerkin (EFGM), Παρεμβολή Element-Free μέθοδος Galerkin (IEFGM), κλπ.