Σώμα Αριθμών

Στα μαθηματικά, ένα αλγεβρικό σώμα αριθμών (ή απλά σώμα αριθμών) F είναι μια πεπερασμένη (και άρα αλγεβρική) επέκταση σώματος του σώματος των ρητών αριθμών Q. Έτσι το F είναι ένα σώμα που περιέχει το Q και έχει πεπερασμένη διάσταση όταν λογίζεται ως διανυσματικός χώρος πάνω από το Q.
Η μελέτη των αλγεβρικών σωμάτων, και,γενικότερα, των αλγεβρικών επεκτάσεων του σώματος των ρητών αριθμών, είναι ένα κεντρικό θέμα της αλγεβρικής θεωρίας αριθμών.

Ορισμός

Ένα αλγεβρικό σώμα (ή απλά σώμα) είναι ένα πεπερασμένου βαθμού σώμα επέκτασης του σώματος των ρητών αριθμών. Εδώ η διάσταση του ως ένας διανυσματικός χώρος πάνω από το Q λέγεται απλά βαθμός.

Αρχιμήδειοι χώροι

Ο υπολογίζοντας των Αρχιμήδειων χώρων του F γίνεται ως εξής: έστω x ένα πρωτογενές στοιχείο του F, με ελάχιστο πολυώνυμο (πάνω από το Q) f. Πάνω από το R, το f δεν θα εξακολουθεί γενικά να είναι ανάγωγο, αλλά οι ανάγωγοι (πραγματικοί) παράγοντές του θα είναι είτε βαθμού ένα είτε δυο. Αφού δεν υπάρχουν επαναλαμβανόμενες ρίζες, δεν υπάρχουν ούτε επαναλαμβανόμενοι παράγοντες. Οι ρίζες r των παραγώντων βαθμού ένα είναι αναγκαστικά πραγματικοί, και αντικαθιστώντας το x με r δίνει ένα ενσωμάτωμα του F στο R; ο αριθμός τέτοιων ενσωματωμάτων είναι ίσος με τον αριθμό των πραγματικών ριζών του f. Περιορίζοντας την απόλυτη τιμή του R στο F παίρνουμε μια αρχιμήδεια απόλυτη τιμή στο F; μια τέτοια απόλυτη τιμή είναι επίσης γνωστή ως πραγματικός χώρος του F. Από την άλλη πλευρά, οι ρίζες των παραγώντων βαθμού δυο είναι ζεύγη μιγαδικών αριθμών, το οποίο επιτρέπει δυο ενσωματώματα μέσα στο C. Οποιοδήποτε από τα ενσωματώματα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να ορίσουμε μια απόλυτη τιμή στο F, η οποία είναι η ίδια και για τα δυο ενσωματώματα. Αυτή η απόλυτη τιμή λέγεται μιγαδικός χώρος του F.
Αν όλες οι ρίζες του f παραπάνω είναι πραγματικές ή, ισοδύναμα, κάθε ενσωμάτωμα F ⊂ C είναι ουσιαστικά μέσα στο R, το F λέγεται τέλεια πραγματικό.

Μη-Αρχιμήδειοι χώροι

Για να βρούμε μη-αρχιμήδειους χώρους, έστω ξανά f και x όμοια με παραπάπανω. Στο Qₚ, το f διασπάται σε παράγοντες διαφορετικών βαθμών, κανένας από τους οποίους δεν επαναλαμβάνεται, και οι βαθμοί των οποίων αθροίζονται ως το n, τον βαθμό του f. Για κάθε έναν από αυτούς τους p-αδικά ανάγωγους παράγοντες t, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι το x ικανοποιεί το t και να πάρουμε ένα ενσωμάτωμα του F σε μια αλγεβρική επέκταση πεπερασμένου βαθμού πάνω από το Qₚ. Ένα τέτοιο τοπικό σώμα συμπεριφέρεται σαν ένα σώμα, και οι p-αδικοί αριθμοί μπορούν να παίξουν το ρόλο των ρητών; ειδικότερα, μπορούμε να ορίσουμε τη νόρμα και το ίχνος με τον ίδιο ακριβώς τρόπο, δίνοντας τώρα συναρτήσεις χαρτογραφημένες μέσα στο Qₚ. Χρησιμοποιώντας αυτή την p-αδική νόρμα χάρτη Nₜ για τον χώρο t, μπορούμε να ορίσουμε μια απόλυτη τιμή αντίστοιχη ενός p-αδικά αναγώγου παράγοντα t βαθμού m με |θ|ₜ = |Nₜ(θ)|ₚ1/ᵐ. Μια τέτοια απόλυτη τιμή λέγεται μη-αρχιμήδεια ή p-αδικός χώρος του F.
Για κάθε μη-αρχιμήδειο χώρο v έχουμε ότι |x|ᵥ ≤ 1 για κάθε x στο OF, αφού το ελάχιστο πολυώνυμο για x έχει ακέραιους παράγοντες, και άρα η p-αδική ανάλυσή του έχει παράγοντες στο Zₚ. Συνεπώς, η νόρμα για κάθε παράγοντα είναι ένας p-αδικός ακέραιος, και ένας από είναι ο ακέραιος που ορίζει την απόλυτη τιμή για τον v.

Θεώρημα διακρίνουσας Dedekind

Η σημαντικότητα της διακρίνουσας κρύβεται στο γεγονός ότι οι κλαδικοί μη αρχιμήδειο χώροι προκύπτουν όλοι από παραγοντοποιήσεις στο Qₚ όπου p διαιρεί την διακρίνουσα. Αυτό ισχύει ακόμη και για την πολυωνυμική διακρίνουσα; όμως το αντίστροφο επίσης ισχύει, ότι αν ένας πρώτος p διαιρεί την διακρίνουσα, τότε υπάρχει ένας p-χώρος ο οποίος διακλαδίζεται. Για το αντίστροφο χρειάζεται η ορίζουσα του σώματος. Αυτό είναι το Θεώρημα διακρίνουσας Dedekind. Στο παραπάνω παράδειγμα, η διακρίνουσα του σώματος Q(x) με x³ − x − 1 = 0 is −23, και όπως έχουμε δει ο 23-αδικός χώρος διακλαδίζεται. Η διακρίνουσα Dedekind μας λέει ότι είναι ο μόνος μη αχιμήδειος χώρος που το κάνει. Ο άλλος κλαδικός χώρος προέρχεται από την απόλυτη τιμή στο μιγαδικό ενσωμάτωμα του F.

Ομάδες Galois και συνομολογία

Γενικά στην αφηρημένη άλγεβρα, οι επεκτάσεις σωμάτων F / E μπορούν να μελετηθούν εξετάζοντας την ομάδα Galois Gal(F / E), που αποτελείται από αυτομορφισμούς του F αφήνοντας το E σταθερό. Για παράδειγμα, η ομάδα Galois Gal (Q(ζₙ) / Q) της κυκλοτομικής επέκτασης βαθμού n (δείτε παραπάνω) δίνεται από (Z/nZ)×, την ομάδα των αντιστρέψιμων στοιχείων στο Z/nZ. Αυτό είναι το πρώτο βασικό βήμα για το θεώρημα Iwasawa.
Για να συμπεριλάβουμε όλες τις πιθανές επεκτάσεις έχοντας συγκεκριμένες ιδιότητες, η ιδέα της ομάδας Galois εφαρμόζεται συνήθως στις (μη-πεπερασμένες) επεκτάσεις F / F ενός αλγεβρικά κλειστού συνόλου, κάτι που οδηγεί στην απόλυτη ομάδα Galois G := Gal(F / F) ή απλά Gal(F), και στην επέκταση F / Q. Το θεμελιώδες θεώρημα του Galois συνδέει σώματα μεταξύ του F και των αλγεβρικά κλειστών συνόλων του και των κλειστών υποομάδων (F). For example, the abelianization (the biggest abelian quotient) Gᵃᵇ of G corresponds to a field referred to as the maximal abelian extension Fᵃᵇ (λέγονται έτσι αφού κάθε μεγαλύτερη επέκταση δεν είναι αβελιανή, π.χ., δεν έχει αβελιανή ομάδα Galois). Από το θεώρημα Kronecker–Weber, η μέγιστη αβελιανή επέκταση του Q είναι η επέκταση που δημιουργείται από όλες τις ρίζες της μονάδας. Για γενικότερα σώματα, η θεωρία σωμάτων, και συγκεκριμένα ο νόμος της αλληλεξάρτησης του Artin δίνει μια απάντηση περιγράφοντας το Gᵃᵇ ως προς την ιδανική ομάδα κλάσης. Αξιοσημείωτο είναι επίσης το σώμα κλάσης του Hilbert, η μέγιστη αβελιανή άκλαδη επέκταση του F. Μπορεί να δειχτεί ότι είναι πεπερασμένη πάνω από το F, ότι οι ομάδα Galois του πάνω από το F είναι ισόμορφη με την ομάδα κλάσης του F, και συγκεκριμένα ο βαθμός της ισούται με αριθμό κλάσης h του F (δείτε παραπάνω).
Σε συγκεκριμένες περιπτώσεις, η ομάδα Galois δρα σε άλλα μαθηματικά αντικείμενα, π.χ σε μια ομάδα. Μια τέτοια ομάδα αναφέρεται ως Galois module. Αυτό επιτρέπει την χρήση της ομάδας συνομολογίας για την ομάδα Galois Gal(F), γνωστή επίσης ως συνομολογία Galois, η οποία αρχικά υπολογίζει την αποτυχία της ακρίβειας του να πάρουμε Gal(F)-αναλλοίωτες, αλλά προσφέρει βαθύτερη διορατικότητα (και ερωτήσεις) επίσης. Για παράδειγμα, η ομάδα Galois G μιας επέκτασης L / F δρα στο L×, τα μη μηδενικά στοιχεία του L. Αυτό το Galois module παίζει σημαντικό ρόλο σε πολλές αριθμητικές δυαδικότητες, όπως μια Poitou-Tate δυαδικότητα. Η ομάδα Brauer του F, που σχεδιάστηκε για να ταξινομεί άλγεβρες διαίρεσης πάνω από το F, μπορεί να αναδιατυπωθεί ως μια ομάδα συνομολογίας, την H²(Gal (F), F×).

Τοπική-ολική αρχή

Μιλώντας γενικά, ο όρος "τοπικός σε ολικό" αναφέρεται στην ιδέα ότι ένα ολικό πρόβλημα λύνεται πρώτα σε τοπικό επίπεδο, το οποίο τείνει να απλοποιεί την ερώτηση. Μετά, φυσικά, οι πληροφορίες που συλλέγονται στην τοπική ανάλυση πρέπει να τοποθετηθούν μαζί για να γυρίσουμε σε μια καθολική δήλωση. Για παράδειγμα, η ιδέα των τροχαλιών φετιχοποιεί αυτή την ιδέα στην τοπολογία και στην γεωμετρία.

Τοπικά και ολικά σώματα

Τα σώματα μοιράζονται μια μεγάλη ομοιότητα με μια άλλη κλάση σωμάτων που χρησιμοποιείται πολύ στην αλγεβρική γεωμετρία γνωστή ως σώματα συναρτήσεων αλγεβρικών καμπυλών πάνω από πεπερασμένα σώματα. Ένα παράδειγμα είναι το Fₚ(T). Είναι όμοια από πολλές απόψεις, για παράδειγμα σε αυτό το νούμερο οι δακτύλιοι είναι μονοδιάστατοι κανονικοί δακτύλιοι, όπως είναι οι δακτύλιοι συντονισμού (τα σώματα πηλίκο εκ των οποίων είναι το σώμα συνάρτησης στην ερώτηση) των καμπυλών. Ως εκ τούτου, αμφότεροι οι τύποι σωμάτων λέγονται ολικά σώματα. Σύμφωνα με τη φιλοσοφία που είδαμε παραπάνω, μπορούν να μελετηθούν σε ένα τοπικό επίπεδο πρώτα, δηλαδή, κοιτώντας στα αντίστοιχα τοπικά σώματα. Για σώματα F, τα τοπικά σώματα είναι τα συμπληρώματα των F σε όλους τους χώρους, περιλαμβάνοντας τους αρχιμήδειους (δείτε την τοπική ανάλυση). Για σώματα συναρτήσεων, τα τοπικά σώματα είναι συμπληρώματα των τοπικών δακτυλίων σε όλα τα σημεία της καμπύλης για σώματα συναρτήσεων.
Πολλά αποτελέσματα που ισχύουν για σώματα συναρτήσεων ισχύουν επίσης, τουλάχιστον αν αναδιατυπωθούν σωστά, για σώματα αριθμών. Όμως, η μελέτη των σωμάτων ενέχει συνήθως δυσκολίες και φαινόμενα που δεν ανέκυψαν στα σώματα συναρτήσεων. Για παράδειγμα, στα σώματα συναρτήσεων, δεν υπάρχει διχοτόμηση στους μη αρχιμήδειους και στους αρχιμήδειους χώρους. Παρ'όλα αυτά, τα σώματα συναρτήσεων εξυπηρετούν συνήθως ως πηγή έμπνευσης για το τί να περιμένουμε σε μια περίπτωση σώματος.

Αρχές του Hasse

Μια πρωτότυπη ερώτηση, σε παγκόσμιο επίπεδο, είναι αν κάποια πολυωνυμική εξίσωση έχει λύση στο F. Σε αυτή την περίπτωση, η λύση αυτή είναι επίσης λύση σε όλα τα συμπληρώματα. Η τοπική-καθολική αρχή ή αρχή του Hasse διαβεβαιώνει για τετραγωνικές εξισώσεις, το αντίστροφο ισχύει, επίσης. Οπότε, ελέγχοντας αν μια τέτοια εξίσωση έχει μια λύση που να κάνει για όλα τα συμπληρώματα του F, το οποίο είναι συνήθως ευκολότερο, αφού οι αναλυτικές μέθοδοι (κλασικά εργαλεία όπως θεώρημα ενδιαμέσων τιμών στους αρχιμήδειους χώρους και p-αδική ανάλυση στους μη αρχιμήδειους ) μπορούν να χρησιμοποιηθούν. Αυτός ο υπαινιγμός δεν ισχύει, όμως, για γενικότερους τύπους εξισώσεων. Όμως, η ιδέα της μετάβασης από τα τοπικά δεδομένα στα καθολικά αποδεικνύεται καρποφόρα στην θεωρία σωμάτων κλάσης, για παράδειγμα, όπου η θεωρία σωμάτων κλάσης χρησιμοποιείται για πάρουμε καθολικές εμπνεύσεις που αναφέρθηκε πιο πάνω. Αυτό σχετίζεται επίσης με το γεγονός ότι οι ομάδες Galois των συμπληρωμάτων του Fᵥ μπορούν να οριστούν, ενώ οι ομάδες Galois καθολικών σωμάτων, ακόμη και του Q είναι πολύ λιγότερο κατανοητές.