Δοκιμασία X2

Ένα χ² τεστ, που αναφέρεται επίσης ως  δοκιμή , είναι κάθε στατιστικό τεστ υπόθεσης στο οποίο η δειγματοληπτική κατανομή από το στατιστικό αποτέλεσμα της δοκιμής είναι μια χ² κατανομή , όταν η μηδενική υπόθεση είναι αληθής. Τα χ² τεστ είναι συχνά κατασκευασμένα από το άθροισμα των τετραγώνων των σφαλμάτων, ή μέσα από την διακύμανση του δείγματος.Τα αποτελέσματα ενός στατιστικού τεστ  που ακολουθούν μια χ² κατανομή  προκύπτουν από την υπόθεση των ανεξάρτητων κανονικά κατανεμημένων δεδομένων, τα οποία ελέγχονται σε πολλές περιπτώσεις με το κεντρικό οριακό θεώρημα. Ένα χ² τεστ μπορεί στη συνέχεια να χρησιμοποιηθεί για να απορρίψουμε τη μηδενική υπόθεση ,ότι τα δεδομένα είναι ανεξάρτητα.
Επίσης θεωρούμε ο,τι ένα  χ²-τεστ είναι ένα τεστ στο οποίο η κατανομή δειγματοληψίας (αν ισχύει η μηδενική υπόθεση) μπορεί να προσεγγίσει, όσο εμείς επιθυμούμε, μια χ² κατανομή μεγαλώνοντας το μέγεθος του δείγματος αρκετά. Τα χ² - τεστ μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να προσδιορίσουν αν υπάρχει σημαντική διαφορά μεταξύ των αναμενόμενων συχνοτήτων και των παρατηρούμενων συχνοτήτων σε μια ή περισσότερες κατηγορίες. Μήπως ο αριθμός των ατόμων ή αντικειμένων που εμπίπτουν σε κάθε κατηγορία διαφέρουν σημαντικά από τον αριθμό που θα περιμέναμε; Είναι η διαφορά μεταξύ των αναμενόμενων και των παρατηρούμενων συχνοτήτων επηρεασμένη από την διακύμανση της δειγματοληψίας, ή είναι μια πραγματική διαφορά;

Παραδείγματα χ² έλέγχου με δείγματα

Ένα στατιστικό τεστ που ακολουθεί μια κατανομή χ² ακριβώς, είναι το κριτήριο ότι η διακύμανση της κανονικής κατανομής του πληθυσμού έχει μια δεδομένη τιμή, βασισμένη  σε μια διακύμανση του δείγματος. Τέτοια τεστ δεν πραγματοποιούνται συχνά, επειδή η πραγματική διακύμανση του πληθυσμού είναι συνήθως άγνωστη. Ωστόσο, υπάρχουν πολλά στατιστικά τεστ, όπου η χ² κατανομή είναι προσεγγιστικά έγκυρη.

Το χ²-τέστ του Pearson

Το χ²-τεστ του Pearson είναι επίσης γνωστό ως χ²-τεστ για την ανεξαρτησία. Αναπτύχθηκε κατά το έτος 1900. Το χ²-τεστ του Pearson αποτελεί μια στατιστική δοκιμή η οποία εφαρμόζεται σε σύνολα κατηγοριοποιημένων δεδομένων για να αξιολογήθει πόσο πιθανό είναι οποιαδήποτε παρατηρούμενη διαφορά μεταξύ των συνόλων να προέκυψε κατά τύχη. Είναι κατάλληλο για ασύζευκτα δεδομένα από μεγάλα δείγματα. Είναι το πιο ευρέως χρησιμοποιούμενο από όλα τα  χ²-τεστ (π.χ., Yates, λόγου πιθανοφάνειας, κλπ.) - Στατιστικές διαδικασίες των οποίων τα αποτελέσματα αξιολογούνται από αναφορά στην κατανομή  χ².

Η διόρθωση του Yates για την συνέχεια

Χρησιμοποιώντας την κατανομή χ² για την ερμηνεία του χ²-τεστ του Pearson απαιτεί να υποθέσουμε ότι η διακριτή πιθανότητα των παρατηρούμενων διωνυμικών συχνοτήτων του πίνακα μπορεί να προσεγγιστεί από τη συνεχή κατανομή  χ² . Αυτή η υπόθεση δεν είναι απολύτως σωστή, και εισάγει κάποιο σφάλμα.
Για να μειωθεί το σφάλμα της προσέγγισης, ο Frank Yates πρότεινε μια διόρθωση για τη συνέχεια που προσαρμόζει τον τύπο για το  χ²-τεστ του Pearson  αφαιρώντας 0.5 από τη διαφορά μεταξύ κάθε παρατηρούμενης τιμής και της αναμενόμενης αξίας σε ένα 2 × 2 εφεδρικό πίνακα.. Αυτό μειώνει την  χ² αξία που λαμβάνεται και, συνεπώς αυξάνει τo παρατηρούμενο επίπεδο σημαντικότητας.

  χ²-τεστ για τη διακύμανση ενός κανονικού πληθυσμού

Αν ένα δείγμα μεγέθους n λαμβάνετε από έναν πληθυσμό που έχει μια κανονική κατανομή, τότε υπάρχει αποτέλεσμα (βλ. κατανομή του δείγματος διακύμανσης), το οποίο επιτρέπει σε ένα τεστ να κατασκευαστεί από το αν η διακύμανση του πληθυσμού έχει μια προκαθορισμένη τιμή. Για παράδειγμα, μια διαδικασία παραγωγής μπορεί να έχει σταθερή κατάσταση για ένα μεγάλο χρονικό διάστημα, επιτρέποντας σε μια τιμή διακύμανσης να καθορίζεται ουσιαστικά χωρίς σφάλμα. Ας υποθέσουμε ότι μια τιμή της διαδικασίας δοκιμάζεται,αυξάνοντας ένα μικρό δείγμα των n στοιχείων του προϊόντος του οποίου η μεταβολή είναι να δοκιμαστεί. Το στατιστικό αποτέλεσμα της δοκιμής T σε αυτή την περίπτωση θα μπορούσε να οριστεί να είναι το άθροισμα των τετραγώνων για το δείγμα, διαχωρίζοντας το από την ονομαστική τιμή για τη διακύμανση (δηλαδή η τιμή που θα ελεγχθεί ως περιουσία). Τότε T  έχει  χ² κατανομή με n − 1 βαθμούς ελευθερίας. Για παράδειγμα, αν το μέγεθος του δείγματος είναι 21, η αποδεκτή περιοχής για T,για επίπεδο σημαντικότητας 5% είναι το χρονικό διάστημα 9.59 να 34.17.

Εφαρμογές

Στην κρυπτανάλυση, τοχ² τεστ χρησιμοποιείται για να συγκρίνετε η κατανομή του απλού και (ενδεχομένως) αποκρυπτογραφημένου κρυπτογραφήματος. Η χαμηλότερη τιμή του τεστ σημαίνει ότι η αποκρυπτογράφηση είναι επιτυχής με υψηλή πιθανότητα. Η μέθοδος αυτή μπορεί να γενικευθεί για την επίλυση σύγχρονων κρυπτογραφικών προβλημάτων.