0,999...

Αλγεβρικές Αποδείξεις

Αλγεβρικές αποδείξεις που δείχνουν ότι 0,999 ... αντιπροσωπεύει τον αριθμό 1 χρησιμοποιούν έννοιες , όπως κλάσματα,διχοτόμηση, και ψηφίο χειρισμού για τη δημιουργία μετασχηματισμών που διατηρούν την ισότητα από 0,999 ... προς 1.

Συζήτηση

Παρόλο που αυτές οι αποδείξεις αποδεικνύουν ότι 0,999 ... = 1,ο βαθμός στον οποίο αυτές "εξηγούν" την εξίσωση εξαρτάται από το κοινό.Στην εισαγωγική αριθμητική, όπως αποδείξεις που βοηθούν να κατανοηθεί γιατί 0,999 ...  =  1, αλλά 0,333 ...  < 0,34. Και στην εισαγωγική άλγεβρα, οι αποδείξεις εξηγούν γιατί η γενική μέθοδος μετατροπής κλασμάτων και δεκαδικών ψηφίων  λειτουργεί. Αλλά οι αποδείξεις ρίχνουν λίγο φως στη θεμελιώδη σχέση μεταξύ δεκαδικών ψηφίων και των αριθμων που αντιπροσωπεύουν, το οποίο κρύβεται πίσω από το ερώτημα "πώς δύο διαφορετικές δεκαδικές αναπαραστάσεις μπορούμε να πούμε ότι είναι ίσες σε όλα". Ο William Byers υποστηρίζει ότι ένας μαθητής ο οποίος συμφωνεί ότι 0,999 ... = 1 λόγω των παραπάνω αποδείξεων, αλλά χωρις να έχει αποσαφηνίσει τα πράγματα, δεν καταλαβαίνει πραγματικά την εξίσωση.  Ο Fred Richman ισχυρίζεται ότι το πρώτο επιχείρημα "παίρνει τη δύναμή του από το γεγονός ότι οι περισσότεροι άνθρωποι έχουν μάθει να δέχονται την πρώτη εξίσωση χωρίς να σκέφτονται". Μόλις ένα σύστημα αναπαράστασης ορίζεται, μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να δικαιολογήσει τους κανόνες της δεκαδικής αριθμητικής που χρησιμοποιείται στις παραπάνω αποδείξεις. Επιπλέον, μπορεί κανείς άμεσα να αποδείξει ότι και το 0,999 ... και  το 1,000 ... αντιπροσωπεύουν το ίδιο πραγματικό αριθμό. Αυτό γίνεται παρακατω.

Ένθετα διαστήματα και ελάχιστα άνω φράγματα

Ο ορισμός σειράς παραπάνω είναι ένας απλός τρόπος για να καθοριστεί ο πραγματικός αριθμός που ονομάζεται από μια δεκαδική επέκταση. Μια συμπληρωματική προσέγγιση έχει προσαρτηθεί στην αντίθετη διαδικασία: για ένα δοσμένο πραγματικό αριθμό, καθορίστε τη δεκαδική επέκταση (ες) για να τον ονομάσετε.
 
Εάν ένας πραγματικός αριθμός x είναι γνωστό ότι ανήκει στο κλειστό διάστημα [0, 10] (δηλαδή, είναι μεγαλύτερος από ή ίσος με το 0 και μικρότερος από ή ίσος με το 10), μπορεί κανείς να φανταστεί τη διαίρεση του διαστήματος σε δέκα κομμάτια που επικαλύπτονται μόνο στα άκρα τους: [0, 1], [1, 2], [2, 3], και ούτω καθεξής μέχρι [9, 10]. Ο αριθμός Χ πρέπει να ανήκει σε ένα από αυτά? Αν ανήκει στο [2, 3], τότε καταγράφεται το ψηφίο «2» και υποδιαιρεί το διάστημα σε [2, 2.1], [2.1, 2.2], .. ., [2,8, 2,9], [2,9, 3]. Συνεχίζοντας αυτή τη διαδικασία προκύπτει μια άπειρη ακολουθία του ένθετα διαστήματα,που επισημαίνονται με μια άπειρη ακολουθία ψηφίων b₀, b₁, b₂, b₃ ..., και  γράφεται
 
 
Σε αυτό το φορμαλισμό, οι ταυτότητες 1 = 0,999 ... και 1 = 1,000 ... αντανακλούν, αντίστοιχα, το γεγονός ότι το 1 έγκειται στο [0, 1] και [1, 2], οπότε μπορεί να επιλεχθεί κάποιο υποδιάστημα κατά την εύρεση ψηφίων του. Για να εξασφαλιστεί ότι αυτή η σημείωση δεν καταχράται το σύμβολο «=», κάποιος χρειάζεται ένας τρόπος για να ανακατασκευαστεί ένας μοναδικός πραγματικός αριθμός για κάθε δεκαδικό. Αυτό μπορεί να γίνει με τα όρια, αλλά και άλλες κατασκευές συνεχίζονται με το απαιτούμενο θέμα.

Μια απλή επιλογή είναι το θεώρημα ένθετων διαστημάτων, που εγγυάται ότι δοσμένης μιας ακολουθίας ένθετων, κλειστών διαστημάτων των οποίων τα μήκη  έχουν γίνει αυθαίρετα μικρά, τα διαστήματα περιέχουν ακριβώς ένα πραγματικό αριθμό  [τομή [(θεωρία συνόλων) | τομή]] τους. Έτσιb₀.b₁b₂b₃...  ορίζεται να είναι ο μοναδικός αριθμός που περιέχεται σε όλα τα διαστήματα [b₀,b₀ + 1],[b₀.b₁,b₀.b₁+0.1], και ούτω καθεξής. 0.999 ... τότε είναι ο μοναδικός πραγματικός αριθμός που βρίσκεται σε όλα τα χρονικά διαστήματα [0, 1], [0.9, 1], [0.99, 1], και [0,99 ... 9, 1], για κάθε πεπερασμένη συμβολοσειρά 9s. Καθώς το 1 είναι ένα στοιχείο του καθενός από αυτά τα διαστήματα, 0,999 ... . = 1 
 
Η Φωλιά θεώρημα διαστήματα συνήθως στηρίζεται σε ένα πιο θεμελιώδες χαρακτηριστικό των πραγματικών αριθμών: η ύπαρξη ελάχιστο άνω φράγμα s ή suprema. Για να εκμεταλλευθούν άμεσα αυτά τα αντικείμενα, μπορεί να καθοριστεί b₀.b₁b₂b₃...  ως το ελάχιστο άνω φράγμα του συνόλου των approximants  {b₀,b₀.b₁,b₀.b₁b₂, ...}. Έτσι στη συνέχεια  μπορεί να αποδειχθεί ότι αυτός ο ορισμός (ή το ένθετων ορισμός διαστήματα) είναι σύμφωνος με τη διαδικασία υποδιαίρεσης, υπονοώντας 0.999 ... = 1 και πάλι.Ο Tom Apostol συμπεραίνει οτι

Το γεγονός ότι ένας πραγματικός αριθμός μπορεί να έχει δύο διαφορετικές δεκαδικές αναπαραστάσεις είναι απλώς μια αντανάκλαση του γεγονότος ότι δύο διαφορετικά σύνολα των πραγματικών αριθμών μπορεί να έχουν την ίδιο ελάχιστο άνω φράγμα ..

Αποδείξεις από την κατασκευή των πραγματικών αριθμών

Ορισμένες προσεγγίσεις ορίζουν ρητά  πραγματικούς αριθμούς  δομές που δημιουργήθηκαν κατά την αριθμιτική ορθολογική, με αξιωματική θεωρία συνόλων. Οι φυσικός αριθμός  - 0, 1, 2, 3, και ούτω καθεξής - αρχίζουν με 0 και συνεχίζουν προς τα πάνω, έτσι ώστε κάθε αριθμός έχει διάδοχο. Κάποιος μπορεί να επεκτείνει τους φυσικούς αριθμούς με τα αρνητικά τους να δώσουν όλα τα ακέραιος , και να επεκτείνει περαιτέρω τις αναλογίες, δίνοντας την αριθμιτική ορθολογική . Αυτά τα αριθμητικά συστήματα  συνοδεύονται από την αριθμητική πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό και διαίρεση. Πιο διακριτικά, περιλαμβάνουν διάταξη, έτσι ώστε ένας αριθμός να μπορεί να συγκριθεί με ένα άλλο και βρέθηκε να είναι μικρότερος από, μεγαλύτερος από, ή ίσος με άλλο αριθμό.
Το βήμα από ρητούς σε πραγματικούς είναι μια σημαντική επέκταση. Υπάρχουν τουλάχιστον δύο δημοφιλείς τρόποι για να επιτευχθεί αυτό το βήμα, και οι δύο δημοσιευμένοι το 1872: Dedekind cut s\ και ακολουθία Cauchy. Αποδείξεις ότι 0.999 ... = 1 που χρησιμοποιούν άμεσα αυτές τις κατασκευές δεν βρίσκονται στα σχολικά βιβλία για την πραγματική ανάλυση, όπου η σύγχρονη τάση για τις τελευταίες δεκαετίες ήταν να χρησιμοποιήθει μια αξιωματική ανάλυση. Ακόμα και όταν μια κατασκευή προσφέρεται, συνήθως εφαρμόζεται προς απόδειξη αξιωμάτων των πραγματικών αριθμών, τα οποία υποστηρίζουν στη συνέχεια τις παραπάνω αποδείξεις. Ωστόσο, αρκετοί συγγραφείς εκφράζουν την ιδέα ότι, ξεκινώντας με μια κατασκευή είναι πιο λογικά σκόπιμο, και οι αποδείξεις που προκύπτουν είναι πιο ολοκληρωμένες.

Hackenbush

Η συνδυαστική θεωρία παιγνίων παρέχει εναλλακτικους πραγματικούς, καθώς, με το άπειρο Blue-Red Hackenbush ως ένα ιδιαίτερα σημαντικό παράδειγμα. Το 1974, η Elwyn Berlekamp περιγράφει μια αλληλογραφία μεταξύ Hackenbush χορδές και δυαδικες επεκτάσεις των πραγματικών αριθμών, η οποία υποκινήθηκε από την ιδέα της συμπίεσης δεδομένων. Για παράδειγμα, η αξία των Hackenbush εγχόρδων LRRLRLRL ... είναι 0.0101012 ... = 1/3. Ωστόσο, η αξία της LRLLL ... (που αντιστοιχούν σε 0,111 ... 2) απειροελάχιστα λιγότερο από 1. Η διαφορά μεταξύ των δύο είναι ο σουρεαλιστικός αριθμός 1/ω, όπου ω είναι η πρώτη άπειρη τακτικη' το σχετικό παιχνίδι είναι LRRRR ... ή 0.000 ... 2.
Αυτό είναι στην πραγματικότητα αληθές των δυαδικών επεκτάσεων των πολλών ρητών αριθμών, όπου οι τιμές των αριθμών είναι ίσες, αλλά οι αντίστοιχες διαδρομές δυαδικόυ δέντρου είναι διαφορετικες. Για παράδειγμα, 0,10111 ... 2 = 0,11000 ... 2, τα οποία είναι και τα δύο ίσα με 3/4, αλλά η πρώτη αναπαράσταση αντιστοιχεί στο δυαδικό LRLRRR διαδρομή δέντρο ... ενώ η δεύτερη αντιστοιχεί στη διαφορετική LRRLLL διαδρομής\ ....

Επανεξέταση αφαίρεσης

Ένας άλλος τρόπος με τον οποίο οι αποδείξεις θα μπορούσαν να υπονομευθούν αν είναι 1 - 0,999 ... απλά δεν υπάρχει, διότι η αφαίρεση δεν είναι πάντα δυνατό. Μαθηματικές δομές με μια λειτουργία προσθήκης, αλλά όχι λειτουργία αφαίρεσης περιλαμβάνουν αντιμεταθετική semigroup s, αντιμεταθετική monoid s και semiring s. Richman θεωρεί δύο τέτοια συστήματα,σχεδιασμένα έτσι ώστε 0.999 ... <1.
Πρώτον,ο Richman ορίζει ένα μη αρνητικό δεκαδικό αριθμό ως μια κυριολεκτική δεκαδική επέκταση . Αυτός ορίζει τη λεξικογραφική σειρά και η λειτουργία της πρόσθεσης, σημειώνοντας ότι 0.999 ... <1 μόνο και μόνο επειδή 0 <​​1 στη θέση του ενός, αλλά και για οποιαδήποτε nonterminatingΧ, ένα έχει 0.999 ... + Χ = 1 + Χ. Έτσι, μία ιδιαιτερότητα των δεκαδικών αριθμών είναι ότι η προσθήκη αυτή δεν μπορεί πάντα να ακυρωθεί?Επίσης κανένας δεκαδικός αριθμός δεν αντιστοιχεί σε ¹⁄₃. Μετά τον ορισμό του πολλαπλασιασμού, οι δεκαδικοί αριθμοί αποτελούν ένα θετικό, εντελώς διατεταγμένο, ευμετάβλητο semiring.
Κατά τη διαδικασία καθορισμού πολλαπλασιασμού,ο Richman ορίζει επίσης ένα άλλο σύστημα που ο ίδιος αποκαλεί "cut D", το οποίο είναι το σύνολο των Dedekind cut s των δεκαδικών κλασμάτων. Κανονικά ο ορισμός αυτός οδηγεί στους πραγματικούς αριθμούς, αλλά για ένα δεκαδικό κλάσμαd επιτρέπει τόσο η μείωση (- ∞, Α)όσο και το "κύριο cut" (- ∞,  d]. Το αποτέλεσμα είναι ότι οι πραγματικοί αριθμοί είναι «ανήσυχα ζουν μαζί με" τα δεκαδικά κλάσματα. πάλι 0,999 ... <1. δεν υπάρχει καμία θετική infinitesimals στην περικοπήD», αλλά υπάρχει« ένα είδος αρνητικής απειροελαχιστοποίησης, "0-, η οποία δεν έχει δεκαδική επέκταση.Επίσης καταλήγει στο συμπέρασμα ότι  0.999... = 1 + 0⁻, ενώ η εξίσωση  "0.999...+x=1"
δεν έχει καμία λύση.