Νηματική κατηγορία

Τυπικοί ορισμοί

Υπάρχουν δύο ουσιαστικά ισοδύναμοι τεχνικoί ορισμoi των νηματικών κατηγοριών, όπου και οι δύο θα περιγραφούν παρακάτω. Όλες οι συζητήσεις σε αυτή την ενότητα αγνοούν τα σύνολο-θεωρητικά ζητήματα που σχετίζονται με τις "μεγάλες" κατηγορίες. Η συζήτηση μπορεί να γίνει εντελώς ακριβής, για παράδειγμα, περιορίζοντας την προσοχή στις μικρές κατηγορίες ή χρησιμοποιώντας σύμπαντα.

Διασπάσεις και διάσπαση νηματικών κατηγοριών

Μία (κανονικοποιημένη) διάσπαση, έτσι ώστε η σύνθεση των δύο μορφισμών μεταφορών είναι πάντα ένας μορφισμός μεταφοράς ονομάζεται 'διάσπαση, και μια νηματική κατηγορία με διάσπαση ονομάζεται διασπασμένη (νηματική) κατηγορία. Από την άποψη των συναρτητών αντίστροφης εικόνας η προυπόθεση του να είναι σχησμα σημαίνει ότι η σύνθεση του αντίστροφου συναρτητή εικόνας που αντιστοιχούν σε συναρμολογούμενους μορφισμούς f,g στο Ε ισούται με τον συναρτητή της αντίστροφης εικόνας που αντιστοιχεί στην f o g. Με άλλα λόγια, οι ισομορφισμοί συμβατότητας cf,g του προηγούμενου τμήματος είναι όλα ταυτότητες για μια κατηγορία διάσπασης. Έτσι χωρίζονται οι E-κατηγορίες που αντιστοιχούν ακριβώς στον πραγματικό συναρτητή από την Ε στην κατηγορία των κατηγοριών.
Σε αντίθεση με τις διασπάσεις, δεν είναι όλες οι νηματικές κατηγορίες παραδέχονται φυλλίδια. Για παράδειγμα, δείτε παρακάτω below.

Συν-καρτεσιανοί μορφισμοί και συν-νηματικές κατηγορίες.

Κάποιος μπορεί να αναστρέψει την κατεύθυνση των βελών στους ορισμούς παραπάνω για να καταλήξουμε σε αντίστοιχες έννοιες των συν-καρτεσιανών μορφισμών, συν-νηματικών κατηγοριών και διάσπαση συν-νηματικών κατηγοριών (ή συν-διαχωρισμός των κατηγοριών). Πιο συγκεκριμένα, εάν φ: F →E είναι ένα συναρτητής, τότε ο μορφισμός m: x → y στο F ονομάζεται συν-καρτεσιανός αν είναι καρτεσιανός για τον αντίθετο συναρτητή φᵒᵖ: Fᵒᵖ → Eᵒᵖ. Στη συνέχεια ο m καλείται επίσης μια άμεση εικόνα και ο y μια άμεση εικόνα του x για f = φ(m). Μια συν-νηματική E-κατηγορία είναι μια Ε-κατηγορία, τέτοια ώστε να υπάρχει άμεση εικόνα για κάθε μορφισμό στο Ε και ότι η σύνθεση των άμεσων εικόνων είναι μια άμεση εικόνα. Ένας συν-διασπαστής και συν-διασπαστής ορίζονται ομοίως, που αντιστοιχεί η σύνθεση άμεσων εικόνων είναι άμεση εικόνα.

Οι 2-κατηγορίες νηματικών κατηγοριών και κατηγορίες διάσπασης

Οι νηματικές κατηγορίες πάνω από ένα σταθερό έντυπο Ε κατηγορίας 2-κατηγορία Fib(E), όπου η κατηγορία των μορφισμών μεταξύ δύο νηματικών κατηγοριών F και G ορίζεται να είναι η κατηγορία του Carte (F, G) του καρτεσιανού συναρτητή από το F στο G.
Παρομοίως, οι κατηγορίες διάσπαση πάνω από το έντυπο Ε 2-κατηγορία Scin (E) (από το γαλλικό catégorie scindée), όπου η κατηγορία των μορφισμών μεταξύ δύο κατηγοριών διάσπαση F και G είναι η πλήρης υποκατηγορία ScinE (F, G) των E-συναρτητών από το F στο G που αποτελείται από αυτούς τους συναρτητές που μετατρέπουν κάθε μορφισμό μεταφοράς F σε μορφισμό μεταφοράς του Γ. Κάθε τέτοιος μορφισμός της διαίρεσης κατηγορίας E-είναι επίσης ένας μορφισμός της E-νηματικής κατηγορίας, δηλαδή, ScinE(F,G) ⊂ CartE(F,G).
Υπάρχει ένας φυσικός επιλήσμων 2-συναρτητής i: Scin(E) → Fib(E) που ξεχνά απλά τη διάσπαση.

Ύπαρξη ισοδύναμων κατηγοριών διάσπασης

Ενώ δεν είναι όλες νηματικές κατηγορίες παραδέχονται μια διάσπαση, κάθε νηματική κατηγορία στην πραγματικότητα ισοδυναμεί με μια κατηγορία διάσπασης. Πράγματι, υπάρχουν δύο κανονικοί τρόποι για να κατασκευάσει μια ισοδύναμη κατηγορία διάσπαση για μια δεδομένη νηματική κατηγορία F πάνω στο Ε. Πιο συγκεκριμένα, ο επιλήσμων 2-συναρτητής i: Scin(E) → Fib(Ε) αναγνωρίζει το δικαίωμα 2-συζυγής S και αριστερά 2-συζυγής L (Θεωρήματα 2.4.2 και 2.4.4 του Giraud 1971) και S (F) και L (F) είναι οι δύο συναφείς κατηγορίες διάσπασης. Η επέκταση των συναρτητών S (F) → F και F → L (F) είναι τόσο καρτεσιανή όσο και ισοδυναμία (ibid.). Ωστόσο, ενώ η σύνθεσή τους S (F) → L (F) είναι μια ισοδυναμία (των κατηγοριών, και μάλιστα από νηματικές κατηγορίες), δεν είναι σε γενικές γραμμές ένας μορφισμός των κατηγοριών διαίρεσης. Έτσι, οι δύο κατασκευές διαφέρουν σε γενικές γραμμές. Οι δύο προηγούμενες κατασκευές των κατηγοριών διάσπαση χρησιμοποιούνται νε ένα κρίσιμο τρόπο στην κατασκευή της στοίβας που συνδέεται σε μια νηματική κατηγορία (και ειδικότερα στοίβας συνδέεται σε μία προ-στοίβα).