Κλασική μηχανική

Ιστορία

Μερικοί Έλληνες φιλόσοφοι της αρχαιότητας, ανάμεσα τους και ο Αριστοτέλης, ιδρυτής της Αριστοτέλειας φυσικής, ήταν οι πρώτοι που πίστευαν οτι "όλα συμβαίνουν για κάποιο λόγο" και οτι θεωρητικές αρχές μπορούν να βοηθήσουν στο να καταλάβουμε την φύση. Σε έναν σύγχρονο αναγνώστη, πολλές απο αυτές τις ιδέες φαίνονται λογικές, όμως υπάρχει μία έλλειψη σε μαθηματική θεωρία και ελεγχόμενο πείραμα, όπως τα ξέρουμε σήμερα. Αυτά τα δύο έπαιξαν καθοριστικό ρόλο στον σχηματισμό της σύγχρονης επιστήμης, και ξεκίνησαν με την κλασική μηχανική.
Η μεσαιωνική "επιστήμη των βαρών" (μηχανική) χρωστάει πολλά στο έργο του Jordanus de Nemore. Στο βιβλίο του Elementa super demonstrationem ponderum, εισάγει την έννοια της "θεσιακής βαρύτητας" και την χρήση συνθετικών δυνάμεων.
Η πρώτη εξήγηση για τις κινήσεις των πλανητών ήταν το βιβλίο του Γιόχαν Κέπλερ Astronomia nova που εκδόθηκε το 1609. Συμπέρανε, βασιζόμενος στις παρατηρήσεις της τροχιάς του Άρη του Τύχο Μπράχε, οι τροχιές ήταν ελλείψεις. Αυτή η διαφωνία με τον μεσαιωνικό τρόπο σκέψης συνέβη την ίδια εποχή που ο Γαλιλαίος πρότεινε αφηρημένους μαθηματικούς νόμους για την κίνηση των αντικειμένων. Πραγματοποίησε (ή όχι) το διάσημο πείραμα πετώντας δύο μπάλες κανονιού διαφορετικού βάρους από τον Πύργο της Πίζας, δείχνοντας ότι φτάνουν στο έδαφος ταυτόχρονα. Η πραγματοποίηση αυτού του πειράματος είναι αμφίβολη, αλλά, το σημαντικό είναι ότι πραγματοποίησε ποσοτικά πειράματα κυλώντας μπάλες σε κεκλιμένο επίπεδο. Η θεωρία του για την επιταχυνόμενη κίνηση ήταν το αποτέλεσμα τέτοιων πειραμάτων, και αποτελούν ακρογωνιαίο λίθο της κλασικής μηχανικής.
Ως βάση για τις αρχές της φυσικής φιλοσοφίας του, ο Νεύτων πρότεινε τρεις νόμους της κίνησης: τον 1ο Νόμο γνωστό ως νόμο της αδράνειας, τον 2ο Νόμο γνωστό ως νόμο της κίνησης και τον 3ο Νόμο γνωστό ως αξίωμα δράσης-αντίδρασης, θέτοντας έτσι τα θεμέλια της κλασικής μηχανικής. Στον 1ο και 2ο νόμο του Νεύτωνα δόθηκε σωστή επιστημονική και μαθηματική αντιμετώπιση στο βιβλίο του Νεύτωνα Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica (Οι Μαθηματικές αρχές της Φυσικής Φιλοσοφίας), στο οποίο τους διακρίνει από προηγούμενες προσπάθειες εξήγησης παρόμοιων φαινομένων, οι οποίες ήταν είτε ατελής, λανθασμένες, ή δεν ήταν μαθηματικά διατυπωμένες.
Ο Νεύτων επίσης εισήγαγε τις έννοιες της διατήρησης της ορμής και της στροφορμής. Στην μηχανική, ο Νεύτων ήταν αυτός που παρείχε την πρώτη επιστημονική και μαθηματική διατύπωση της βαρύτητας στον Νόμο της παγκόσμιας έλξης. Ο συνδυασμός των νόμων της κίνησης και της βαρυτικής έλξης του Νεύτωνα παρέχουν την πιο πλήρη και την πιο ακριβή περιγραφή της κλασικής μηχανικής. Έδειξε οτι αυτοί οι νόμοι εφαρμόζονται σε καθημερινά φαινόμενα καθώς και σε ουράνια αντικείμενα. Για την ακρίβεια, εξασφάλισε μια θεωρητική εξήγηση για τους νόμους του Κέπλερ για την κίνηση των πλανητών.
Ο Νεύτων, παράλληλα με τις ανακαλύψεις του στην φυσική, ανάπτυξε τον απειροστικό λογισμό και τον χρησιμοποίησε για να κάνει μαθηματικούς υπολογισμούς. Για να είναι αποδεκτά τα  Principia, διαμορφώθηκε εξ'ολοκλήρου με γεωμετρικές μεθόδους που ήταν οι πλέον καθιερωμένες στην εποχή του, οι οποίες όμως γρήγορα υποσκιάστηκαν απο τον λογισμό του. Ωστόσο ήταν ο Λάιμπνιτς που ανέπτυξε τους όρους παράγωγος και ολοκλήρωμα που προτιμούνται σήμερα.
Ο Νεύτων, και οι περισσότεροι σύγχρονοι του, με την αξιομνημόνευτη εξαίρεση του Κρίστιαν Χόυχενς, δούλεψαν με την πεποίθηση οτι η κλασική μηχανική μπορούσε να εξηγήσει όλα τα φαινόμενα, συμπεριλαμβανομένου και του φωτός, στην μορφή της γεωμετρικής οπτικής. Ακόμη και όταν ανακαλύφθηκαν οι λεγόμενοι δακτύλιοι του Νεύτωνα (ένα φαινόμενο κυματικής συμβολής) η εξήγηση του παρέμεινε η ίδια, η μοριακή θεωρία του φωτός.
Μετά τον Νεύτωνα, η κλασική μηχανική έγινε ο κυριότερος τομέας ερευνών στα μαθηματικά και στην φυσική. Μετά τον Νεύτωνα, αρκετοί  ανασχηματισμοί επέτρεψαν προοδευτικά την εύρεση λύσεων σε έναν μεγάλο αριθμό προβλημάτων. Η πρώτη αξιομνημόνευτη αναδιατύπωση έγινε το 1788 από τον Ζοζέφ Λουί Λαγκράνζ. Η Λαγκρανζιανή μηχανική με την σειρά της αναδιατυπώθηκε το 1833 από τον Γουίλιαμ Ρόουαν Χάμιλτον.
Μερικές δυσκολίες που ανακαλύφθηκαν στα τέλη του 19ου αιώνα μπορούσαν να επιλυθούν μόνο από μοντέρνα φυσική. Μερικές από αυτές τις δυσκολίες σχετίζονται με την συμβατότητα της ηλεκτρομαγνητικής θεωρίας, και του διάσημου πειράματος των Michelson-Morley (Mάϊκελσον και Μόρλεϋ). Η ανάλυση αυτών των προβλημάτων οδήγησε στην ειδική θεωρία της σχετικότητας, η οποία συχνά περιλαμβάνεται στον όρο κλασική μηχανική.
Ένα δεύτερο σύνολο δυσκολιών σχετίζεται με την θερμοδυναμική. Όταν συνδυάζεται με την θερμοδυναμική, η κλασική μηχανική οδηγεί στο παράδοξο του Γκίμπς της κλασικής στατιστικής μηχανικής, στο οποίο η εντροπία δεν είναι μία καλώς-ορισμένη ποσότητα. Το πρόβλημα της ακτινοβολίας μέλανος σώματος δεν μπορούσε να λυθεί χωρίς την εισαγωγή των κβάντων. Καθώς τα πειράματα έφταναν σε ατομικό επίπεδο, η κλασική μηχανική αποτύγχανε να εξηγήσει, ακόμα και στο περίπου, βασικά πράγματα όπως τις ενεργειακές στάθμες και τα μεγέθη ατόμων και το φωτο-ηλεκτρικό φαινόμενο. Η προσπάθεια επίλυσης τέτοιων προβλημάτων οδήγησε στην ανάπτυξη της κβαντικής μηχανικής.
Από τα τέλη του 20ου αιώνα, η κλασική μηχανική έπαψε να είναι μια ανεξάρτητη θεωρία στην φυσική. Αντίθετα, η κλασική μηχανική θεωρείται μια κατά προσέγγιση θεωρία της γενικότερης κβαντικής μηχανικής. Έμφαση δίνεται πλέον στην κατανόηση των θεμελιωδών δυνάμεων της φύσης όπως στο Καθιερωμένο μοντέλο και στις πιο μοντέρνες επεκτάσεις του μια ενιαία θεωρία των πάντων. Η κλασική μηχανική είναι πλέον μια θεωρία για την μελέτη της μη-κβαντικής μηχανικής, δηλαδή σωματίδια χαμηλής ενέργειας σε ασθενή βαρυτικά πεδία. 
Στον 21ο αιώνα η κλασική μηχανική επεκτάθηκε στο μιγαδικό πεδίο και η μιγαδική κλασική μηχανική παρουσιάζει συμπεριφορά όμοια με την κβαντική μηχανική .

Περιγραφή της Θεωρίας

Τα ακόλουθα μας εισάγουν στις βασικές έννοιες της κλασικής μηχανικής. Χάριν απλότητας, συχνά αντικείμενα του πραγματικού κόσμου αναπαριστώνται σαν σημειακά σωματίδια, αντικείμενα με  αμελητέες διαστάσεις. Η κίνηση ενός σημειακού σωματιδίου χαρακτηρίζεται από έναν μικρό αριθμό παραμέτρων: την θέση του, την μάζα του, και τις δυνάμεις που εφαρμόζονται σε αυτό. Θα αναλύσουμε κάθε μια από αυτές τις παραμέτρους με την σειρά.
Στην πραγματικότητα, τα αντικείμενα που μπορεί να περιγράψει η κλασική μηχανική εχουν πάντα μη μηδενικές διαστάσεις. (Η φυσική των "πολύ" μικρών σωματιδίων, όπως τα ηλεκτρόνια, περιγράφεται από την κβαντική μηχανική). Αντικείμενα με μη-μηδενικές διαστάσεις έχουν πιο πολύπλοκη συμπεριφορά απο τα υποθετικά σημειακά αντικείμενα, εξαιτίας των επιπρόσθετων διαστάσεων—για παράδειγμα, μια μπάλα μπορεί να περιστρέφεται ενώ κινείται στον αέρα. Ωστόσο, τα αποτελέσματα για σημειακά σωματίδια μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την μελέτη τέτοιων αντικειμένων αν τα αντιμετωπίσουμε σαν σύνθετα αντικείμενα, που είναι φτιαγμένα απο έναν μεγάλο αριθμό αλληλοεπιδρούμενων σημειακών σωματιδίων. Το κέντρο βάρους ενός σύνθετου αντικειμένου συμπεριφέρεται σαν ενα σημειακό σωματίδιο.
Η κλασική μηχανική χρησιμοποιεί έννοιες της κοινής λογικής για να περιγράψει το πως η ύλη και οι δυνάμεις υπάρχουν και αλληλεπιδρούν. Υποθέτει ότι η ύλη και η ενέργεια έχουν καθορισμένες , μετρήσιμες ιδιότητες όπως η θέση ενός αντικειμένου στον χώρο και η ταχύτητα του. Επίσης υποθέτει ότι τα αντικείμενα μπορούν να επηρεάζονται άμεσα μόνο από τον άμεσο περιβάλλοντα χώρο, γνωστή και ως αρχή της τοπικότητας. Στην κβαντική μηχανική τα αντικείμενα μπορεί να έχουν άγνωστη θέση και ταχύτητα, ή να αλληλεπιδρούν στιγμιαία με άλλα αντικείμενα σε απόσταση.

Επιτάχυνση

Η επιτάχυνση, ή ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας, είναι η παράγωγος της ταχύτητας ως προς τον χρόνο, η δεύτερη παράγωγος της θέσης σε σχέση με τον χρόνο ή:
Η επιτάχυνση μπορεί να προκύψει με την αλλαγή με την πάροδο του χρόνου του μεγέθους της ταχύτητας ή την αλλαγή της κατεύθυνσης της ή και τα δύο. Αν το μέγεθος της ταχύτητας  μειώνεται, αυτό λέγεται μερικές φορές "επιβράδυνση", αλλά γενικά οποιαδήποτε αλλαγή της ταχύτητας με την πάροδο του χρόνου, συμπεριλαμβανομένης της επιβράδυνσης, αναφέρεται απλά ως επιτάχυνση.

Πέρα από τους νόμους του Νεύτωνα

Η κλασική μηχανική περιλαμβάνει και περιγραφές της κίνησης σύνθετων μη-σημειακών σωμάτων. Οι νόμοι του Όιλερ επεκτείνουν τους νόμους του Νεύτωνα σε αυτή την περιοχή. Οι έννοιες της στροφορμής βασίζονται στον ίδιο λογισμό που χρησιμοποιήθηκε για να περιγράψει την μονοδιάστατη κίνηση. Η πυραυλική εξίσωση του Τσιολκόφσκι επεκτείνει την έννοια του ρυθμού μεταβολής της ορμής ενός αντικειμένου και περιλαμβάνει την περίπτωση που ένα αντικείμενο "χάνει μάζα".
Υπάρχουν δυο σημαντικές αναδιατυπώσεις της κλασικής μηχανικής: η Λαγκρανιανή μηχανική και η Χαμιλτόνια μηχανική. Αυτές, και άλλες σύγχρονες αναδιατυπώσεις, συνήθως παρακάμπτουν την έννοια της "δύναμης", και αντί αυτής αναφέρουν άλλες φυσικές ποσότητες, όπως η ενέργεια,η ταχύτητα και η ορμή, για την περιγραφή μηχανικών συστημάτων σε γενικευμένες συντεταγμένες.
Οι εκφράσεις για την ορμή και την κινητική ενέργεια που δόθηκαν παραπάνω είναι μόνο όταν δεν υπάρχει σημαντική ηλεκτρομαγνητική συμβολή σε αυτές. Στον ηλεκτρομαγνητισμό, ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα για αγωγούς που μεταφέρουν ρεύμα καταρρέει εκτός και αν συμπεριληφθεί η συνεισφορά του μαγνητικού πεδίου στην ορμή του συστήματος όπως αυτή εκφράζεται από το διάνυσμα Poynting διαιρεμένο με το c², όπου c η ταχύτητα του φωτός στο κενό.

Τα όρια της εγκυρότητας

Πολλοί κλάδοι της κλασικής μηχανικής είναι απλοποιήσεις ή προσεγγίσεις ακριβέστερων θεωριών; δυο από τις πιο ακριβείς είναι η γενική σχετικότητα και η σχετικιστική στατιστική μηχανική. Η γεωμετρική οπτική είναι μια προσέγγιση της κβαντικής θεωρίας του φωτός, και δεν έχει μια ανώτερη "κλασική" μορφή.