Λέοναρντ Όιλερ

Τα πρώτα χρόνια

Ο Όιλερ γεννήθηκε στη Βασιλεία της Ελβετίας στις 15 Απριλίου 1707 και ήταν γιος του Πάουλ Όιλερ, πάστορα της αναμορφωμένης εκκλησίας, και της Μαργκερίτε Μπρούκερ, (Marguerite Brucker), κόρης πάστορα. Είχε δύο μικρότερες αδελφές, τις Άννα Μαρία και Μαρία Μαγδαληνή. Μετά τη γέννησή του, η οικογένειά του μετακόμισε από τη Βασιλεία  στο Ρίχεν (Riehen), όπου πέρασε και το μεγαλύτερο μέρος της παιδικής του ηλικίας. Ο πατέρας του ήταν φίλος με την οικογένεια Μπερνούλι και ειδικότερα με τον Γιόχαν Μπερνούλι ο οποίος τότε θεωρούνταν ως ο καλύτερος μαθηματικός της Ευρώπης, θα αποτελέσει τελικά την πιο σημαντική επιρροή στον νεαρό Λέοναρντ. Η πρώτη επίσημη εκπαίδευση του Όιλερ ξεκινά στη Βασιλεία, όπου είχε σταλθεί για να μείνει μαζί με τη γιαγιά του. Σε ηλικία δεκατριών ετών εγγράφηκε στο πανεπιστήμιο της Βασιλείας και το 1723 έλαβε μάστερ στη φιλοσοφία με διατριβή στη σύγκριση των φιλοσοφιών των Ρενέ Ντεκάρτ και Νιούτον. Εκείνη την περίοδο έκανε μαθήματα με τον Γιόχαν Μπερνούλι, ο οποίος γρήγορα ανακάλυψε το απίστευτο ταλέντο του νέου του μαθητή στα μαθηματικά.  Ο Όιλερ εκείνη την εποχή σπούδαζε Ελληνική και Εβραϊκή θεολογία, ύστερα από προτροπή του πατέρα του, με σκοπό να γίνει πάστορας, αλλά ο Μπερνούλι κατάφερε να πείσει τον Πάουλ Όιλερ ότι ο Λέοναρντ επρόκειτο να γίνει ένας σπουδαίος μαθηματικός. Το 1726 ο Όιλερ ολοκλήρωσε τη διατριβή του στη διάδοση του ήχου με τίτλο De Sono (Περί Ήχου).Τότε ήταν που επιχείρησε εντελώς αποτυχημένα να αποκτήσει μία θέση στο πανεπιστήμιο της Βασιλείας. Το 1727, πήρε μέρος για πρώτη φορά στο Paris academy στο διαγωνισμό Prize problem. Το ζητούμενο εκείνης της χρονιάς ήταν οι διαγωνιζόμενοι να βρουν τον καλύτερο τρόπο να τοποθετηθούν τα κατάρτια σε ένα πλοίο. Ο Πιερ Μπουγκέ (Pierre Bouguer) έγινε γνωστός ως "ο πατέρας της ναυτικής αρχιτεκτονικής" και κέρδισε, ενώ ο Όιλερ πήρε τη δεύτερη θέση. Ο Όιλερ αργότερα κέρδισε αυτό το ετήσιο βραβείο 12 kφορές.

Αγία Πετρούπολη

Σε αυτήν την περίοδο,οι δύο γιοι του Γιόχαν Μπερνούλι, Ντάνιελ και Νίκολας,  εργάζονταν στην Αυτοκρατορική Ρωσική Ακαδημία Επιστημών στην Αγία Πετρούπολη. Στις 10 Ιουλίου του 1726 ο Νίκολας πέθανε από σκωληκοειδίτιδα, αφού είχε παραμείνει για έναν χρόνο στη Ρωσία και, όταν ο Ντάνιελ ανέλαβε τη θέση του αδελφού του στα μαθηματικά / φυσική διαίρεση, συνέστησε ότι η θέση στη φυσιολογία που είχε εκκενωθεί από τον ίδιο θα έπρεπε να συμπληρωθεί από τον φίλο του Όιλερ. Τον Νοέμβριο του 1726 ο Όιλερ αποδέχτηκε διακαώς την προσφορά, αλλά καθυστέρησε να κάνει το ταξίδι στην Αγία Πετρούπολη καθώς είχε κάνει ανεπιτυχώς αίτηση για μια θέση καθηγητή φυσικής στο Πανεπιστήμιο της Βασιλείας.
Ο Όιλερ έφτασε στη ρωσική πρωτεύουσα στις 17 του Μάη του 1727. Προήχθη από την κατώτερη θέση του στο ιατρικό τμήμα της ακαδημίας σε μια θέση στο Τμήμα Μαθηματικών. Διέμεινε με τον Ντάνιελ Μπερνούλι, με τον οποίο είχε συχνά στενή συνεργασία. Ο Όιλερ έμαθε τη ρωσική γλώσσα και προσαρμόστηκε στη ζωή στην Αγία Πετρούπολη. Ανέλαβε επίσης πρόσθετη εργασία ως γιατρός στο Ρωσικό Ναυτικό. 
Η Ακαδημία στην Αγία Πετρούπολη, που είχε ιδρυθεί από τον Μεγάλο Πέτρο, είχε ως στόχο να βελτιώσει την εκπαίδευση στη Ρωσία και να κλείσει το επιστημονικό χάσμα με τη Δυτική Ευρώπη. Ως εκ τούτου, είχε γίνει ιδιαίτερα ελκυστική για τους ξένους μελετητές, όπως ο Όιλερ. Η ακαδημία διέθετε άφθονους οικονομικούς πόρους και μια περιεκτική βιβλιοθήκη που προερχόταν από τις ιδιωτικές βιβλιοθήκες του ίδιου του Πέτρου και της αριστοκρατίας. Πολύ λίγοι μαθητές φοιτούσαν στην ακαδημία, προκειμένου να περιοριστεί το βάρος της διδασκαλίας της σχολής, και η ακαδημία έδινε έμφαση στη έρευνα και προσέφερε στη σχολή της τόσο το χρόνο όσο και την ελευθερία να επιδιώξει επιστημονικές ερωτήσεις.
Η ευεργέτιδα της Ακαδημίας, Αικατερίνη Α΄, η οποία συνέχισε τις προοδευτικές πολιτικές του πρώην συζύγου της, πέθανε την ημέρα της άφιξης του Όιλερ. Κατόπιν, η ρωσική αριστοκρατία απέκτησε εξουσία μετά την ενθρόνιση του δωδεκάχρονου Πέτρου Β΄. Η αριστοκρατία ήταν καχύποπτη απέναντι στους ξένους επιστήμονες της ακαδημίας, και ως εκ τούτου διέκοψε τη χρηματοδότηση και προκάλεσε άλλες δυσκολίες στον Όιλερ και τους συνεργάτες του.
Οι συνθήκες βελτιώθηκαν ελαφρώς μετά το θάνατο του Πέτρου Β΄, και ο Όιλερ γρήγορα αναδείχθηκε μέσω των τάξεων στην ακαδημία και έγινε καθηγητής της φυσικής το 1731. Δύο χρόνια αργότερα, ο Ντάνιελ Μπερνούλι, ο οποίος είχε αγανακτήσει με τη λογοκρισία και την εχθρότητα που αντιμετώπιζε στην Αγία Πετρούπολη, έφυγε για τη Βασιλεία. Ο Όιλερ τον διαδέχθηκε ως επικεφαλής του τμήματος μαθηματικών.
Στις 7 Ιανουαρίου του 1734, νυμφεύτηκε την Katharina Gsell (1707–1773), κόρη του Georg Gsell, ενός ζωγράφου από το Ακαδημαϊκό Γυμνάσιο. Το νεαρό ζευγάρι αγόρασε ένα σπίτι δίπλα στον ποταμό Νέβα.  Από τα δέκα παιδιά τους, μόνο πέντε επέζησαν μετά την παιδική ηλικία.

Βερολίνο

Ανήσυχος για τη συνεχή αναταραχή στη Ρωσία, ο Όιλερ έφυγε από την Αγία Πετρούπολη στις 17 Ιουνίου του 1741 για να αναλάβει μία θέση στην Ακαδημία του Βερολίνου, η οποία του είχε προσφερθεί από τον Φρειδερίκο Β΄ της Πρωσίας. Έζησε για εικοσιπέντε χρόνια στο Βερολίνο, όπου έγραψε πάνω από 380 άρθρα. Στο Βερολίνο δημοσίευσε δύο εργασίες του, για της οποίες θα γινόταν πιο γνωστός: την Εισαγωγή στην ανάλυση των απείρως μικρών, ένα κείμενο για συναρτήσεις το οποίο δημοσιεύτηκε το 1748 και το Institutiones calculi differentialis ,που δημοσιεύτηκε το 1755 στο differential calculus. Το 1755 εκλέχθηκε ως εξωτερικό μέλος στη Σουηδική Βασιλική Ακαδημία των Επιστημών.
Επιπρόσθετα, ζητήθηκε από τον Όιλερ να διδάξει την πριγκίπισσα του Άνχαλτ-Ντεσσάου (Anhalt-Dessau), ανεψιά του Φρειδερίκου. Ο Όιλερ της έγραψε πάνω από 200 γράμματα στις αρχές του 1760, τα οποία αργότερα συγχωνεύθηκαν σε έναν best-selling τόμο με τίτλο Γράμματα του Όιλερ για διάφορα θέματα στη φυσική φιλοσοφία προς μία Γερμανίδα πριγκίπισσα. Αυτή η δουλειά περιείχε την έκθεση του Όιλερ σε ποικίλα θέματα που αφορούσαν τόσο τη φυσική και τα μαθηματικά, όσο πρόσφεραν πολύτιμες ιδέες για την προσωπικότητα και τα θρησκευτικά πιστεύω του Όιλερ. Αυτό το βιβλίο διαβάστηκε περισσότερο από κάθε μια από τις μαθηματικές του εργασίες και εκδόθηκε σε όλη την Ευρώπη και τις Η.Π.Α.. Η δημοσιότητα των «γραμμάτων» αποδεικνύει την ικανότητα του Όιλερ να επικοινωνεί για επιστημονικά θέματα αποτελεσματικά σε ένα ευρύ κοινό, μία σπάνια ικανότητα για έναν αφοσιωμένο ερευνητή επιστήμονα. 
Παρά την τεράστια συμβολή του Όιλερ στο κύρος της Ακαδημίας, ήταν τελικά αναγκασμένος να εγκαταλείψει το Βερολίνο. Αυτό ήταν εν μέρει λόγω της σύγκρουσης προσωπικοτήτων με τον Φρειδερίκο, ο οποίος θεωρούσε τον Όιλερ μη-εκλεπτυσμένο, ειδικά σε σύγκριση με τον κύκλο των φιλοσόφων που ο Γερμανός βασιλιάς έφερε στην Ακαδημία. Ο Βολταίρος ήταν μεταξύ αυτών των υπαλλήλων του Φρειδερίκου, και ο Γάλλος απολάμβανε εξέχουσα θέση μέσα στο κοινωνικό κύκλο του βασιλιά. Ο Όιλερ, ένας απλός θρησκευόμενος και σκληρά εργαζόμενος άνθρωπος, ήταν πολύ συμβατικός στις  πεποιθήσεις και τα γούστα του. Ήταν με πολλούς τρόπους το αντίθετο του Βολταίρου. Ο Όιλερ είχε περιορισμένη εκπαίδευση στη ρητορική, και είχε την τάση να συζητά θέματα για τα οποία γνώριζε λίγα, καθιστώντας τον ένα συχνό στόχο του πνεύματος του Βολταίρου. Ο Φρειδερίκος εξέφρασε επίσης την απογοήτευσή του σχετικά με τις πρακτικές ικανότητες του Όιλερ στη μηχανική:

Ήθελα να έχω ένα πίδακα νερού στον κήπο μου: ο Όιλερ υπολόγισε την απαραίτητη δύναμη των τροχών έτσι ώστε να αυξηθεί το νερό σε μια δεξαμενή, από όπου θα πρέπει να υποχωρήσει πάλι πίσω στα κανάλια, και τελικά να αναβλύζει στο Sanssouci. Ο μύλος μου διεξήχθη γεωμετρικά και δεν μπορούσαν να συγκεντρώσουν μια γουλιά νερό σε απόσταση μικρότερη από πενήντα βήματα προς τη δεξαμενή. Ματαιότης ματαιοτήτων! Ματαιότης της γεωμετρίας!

Επιδείνωση της όρασης

H όραση του Όιλερ επιδεινώθηκε κατά τη διάρκεια της μαθηματικής του σταδιοδρομίας. Τρία χρόνια μετά υπέφερε από ένα σχεδόν θανατηφόρο πυρετό το 1735, σχεδόν τυφλώθηκε από το δεξιό του μάτι, αλλά ο Όιλερ δεν κατηγόρησε  το επίπονο έργο για τη χαρτογράφηση που πραγματοποιήθηκε για την Ακαδημία της Αγίας Πετρούπολης για την κατάστασή του. Η όραση του Όιλερ στο δεξιό μάτι επιδεινώθηκε κατά τη διάρκεια της παραμονής του στη Γερμανία, στο βαθμό που ο Φρειδερίκος αναφέρονται σε αυτόν ως «Κύκλωπα». Ο Όιλερ αργότερα ανέπτυξε  καταρράκτη στο αριστερό μάτι του, καθιστώντας τον σχεδόν εντελώς τυφλό λίγες εβδομάδες μετά την ανακάλυψή του το 1766. Ωστόσο, η κατάστασή του φάνηκε  να έχει μικρή επίδραση στην παραγωγικότητα του, όμως ο ίδιος αποζημιώθηκε για αυτό με ψυχικές ικανότητες υπολογισμού  και φωτογραφική μνήμη. Για παράδειγμα, ο Όιλερ  μπορούσε να επαναλάβει την Αινειάδα του Βιργιλίου από την αρχή μέχρι το τέλος, χωρίς δισταγμό, και για κάθε σελίδα στην έκδοση  μπορούσε να δείξει ποια γραμμή ήταν η πρώτη και ποια η τελευταία. Με τη βοήθεια των γραφέων του, η παραγωγικότητα του Όιλερ σε πολλούς τομείς της μελέτης του  αυξήθηκε. Παρήγαγε κατά μέσο όρο, μια μαθηματική μελέτη κάθε εβδομάδα κατά το έτος 1775.

Επιστροφή στη Ρωσία

Η κατάσταση στη Ρωσία είχε βελτιωθεί σημαντικά μετά τον ερχομό στο θρόνο της Μεγάλης Αικατερίνης , και το 1766 ο Όιλερ αποδέχθηκε πρόσκληση για να επιστρέψει στην Ακαδημία της Αγίας Πετρούπολης  και πέρασε το υπόλοιπο της ζωής του στη Ρωσία. Ωστόσο, η δεύτερη διαμονή του στη χώρα αμαυρώθηκε από μία τραγωδία. Μια πυρκαγιά στην Αγία Πετρούπολη το 1771 του κόστισε σπίτι του, και σχεδόν τη ζωή του. Το 1773, έχασε τη γυναίκα του Katharina μετά από 40 χρόνια γάμου. Τρία χρόνια μετά το θάνατο της συζύγου του, ο Όιλερ παντρεύτηκε την ετεροθαλή αδελφή της, Salome Abigail Gsell (1723-1794).  Αυτός ο γάμος διήρκεσε μέχρι το θάνατό του.
Στην Αγία Πετρούπολη στις 18 Σεπτεμβρίου 1783 μετά από ένα γεύμα με την οικογένειά του, κατά τη διάρκεια μιας συνομιλίας του με έναν πρώην συνάδελφό του, τον ακαδημαϊκό Anders Johan Lexell, για τον πρόσφατα ανακαλυφθέντα  πλανήτη Ουρανό και την τροχιά του ο Όιλερ υπέστη εγκεφαλική αιμορραγία και πέθανε λίγες ώρες αργότερα. Μια σύντομη νεκρολογία για τη Ρωσική Ακαδημία Επιστημών γράφτηκε από τον Jacob von Staehlin-Storcksburg και ένα πιο λεπτομερές εγκώμιο  γράφτηκε και παραδόθηκε σε μια συνάντηση σε ένα μνημείο από τον Ρώσο μαθηματικό  Nicolas Fuss , έναn από τους μαθητές του Όιλερ. Στο εγκώμιο, γραμμένο για τη Γαλλική Ακαδημία από τον Γάλλο μαθηματικό και φιλόσοφο μαρκήσιο ντε Kοντορσέ (Marie Jean Antoine Nicolas de Caritat, Marquis of Condorcet), σχολίασε:
...il cessa de calculer et de vivre—... έπαυσε να υπολογίζει και να ζει.
Τάφηκε δίπλα στην Katharina στο Λουθηρανικό νεκροταφείο του Σμολένσκ στο νησί Βασιλιέφσκι (Vasilievsky). Το 1785, η Ρωσική Ακαδημία Επιστημών τοποθετεί μια μαρμάρινη προτομή του Όιλερ σε ένα βάθρο δίπλα στο κάθισμα του διευθυντή και, το 1837, τοποθετήθηκε μια επιτύμβια στήλη στον τάφο του Όιλερ. Για να γιορτάσει την 250η επέτειο από τη γέννηση του Όιλερ, η επιτύμβια στήλη μεταφέρθηκε το 1956, μαζί με τα λείψανά του, στην  νεκρόπολη του 18ου αιώνα στο Μοναστήρι Αλεξάντρ Νιέφσκι. 
Ο μαθηματικός και φιλόσοφος Ντε Κοντορσέ είπε στον επικήδειο: «Ο Όιλερ σταμάτησε να ζει και να υπολογίζει».

Συνεισφορές στα μαθηματικά και τη φυσική

Ο Όιλερ εργάστηκε σε όλους σχεδόν τους τομείς των μαθηματικών:γεωμετρία , απειροστικό λογισμό, τριγωνομετρία, άλγεβρα και θεωρία αριθμών καθώς και στη συνεχή φυσική τη σεληνιακή θεωρία και σε άλλους τομείς της φυσικής. Είναι δημιουργική φυσιογνωμία στην ιστορία των μαθηματικών: Αν τυπώνονταν, τα έργα του, πολλά από τα οποία είναι θεμελιώδους συμφέροντος, θα καταλάμβαναν μεταξύ 60 και 80 τόμους μεγέθους "quarto". το όνομα του Όιλερ συνδέεται με μεγάλο αριθμό θεμάτων.
Ο Όιλερ είναι ο μόνος μαθηματικός για τον οποίο  δύο αριθμοί έχουν ονομαστεί προς τιμήν του: ο πάρα πολύ σημαντικός αριθμός του Όιλερ στον λογισμό, e, περίπου ίσο με 2,71828, και η σταθερά Όιλερ-Μασκερόνι (Euler-Mascheroni Constant) γ ( γάμμα ), μερικές φορές αναφέρεται απλά ως «η σταθερά του Όιλερ", περίπου ίση σε 0,57721. Δεν είναι γνωστό αν το γ είναι λογική ή όχι.

Μαθηματική σημειογραφία

Ο Όιλερ εισήγαγε και διέδωσε αρκετούς συμβατικούς συμβολισμούς μέσα από τα πολυάριθμα και ευρείας κυκλοφορίας εγχειρίδιά του. Πιο συγκεκριμένα, εισήγαγε την έννοια της συνάρτησης  ,και ήταν ο πρώτος που έγραψε το f ( x ), το οποίο χαρακτηρίζει τη συνάρτηση f που εφαρμόζεται στη μεταβλητή x. Εισήγαγε επίσης τη σύγχρονη σημειογραφία για τις τριγωνομετρικές λειτουργίες, το γράμμα e για τη βάση του φυσικού λογαρίθμου (γνωστό σήμερα και ως αριθμός του Euler ), το ελληνικό γράμμα Σ για τα αθροίσματα και το γράμμα i να υποδηλώσει τη φανταστική μονάδα.  Η χρήση του ελληνικού γράμματοςπ για να υποδηλώσει την αναλογία περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του επίσης διαδόθηκε από τον Όιλερ, αν και δεν προέρχεται από αυτόν.

Θεωρία των αριθμών

Το ενδιαφέρον του Όιλερ για την αριθμητική θεωρία μπορεί να αποδοθεί στην επίδραση του Κρίστιαν Γκόλντμπαχ, φίλου του από την Ακαδημία της Αγίας Πετρούπολης. Ένα μεγάλο μέρος του αρχικού έργου του Όιλερ στην αριθμητική θεωρία βασίστηκε στο έργο του  Πιέρ ντε Φερμά. Ο Όιλερ ανέπτυξε κάποιες από τις ιδέες του Φερμά και διέψευσε κάποιες από τις εικασίες του.
Ο Όιλερ συνέδεσε τη μορφή της κατάταξης των πρώτων αριθμών με ιδέες στην ανάλυση. Απέδειξε ότι το άθροισμα των αντίστροφων των πρώτων αριθμών αποκλίνει. Με αυτό τον τρόπο, ανακάλυψε τη σχέση μεταξύ της Ζήτα συνάρτησης και των πρώτων αριθμών, και αυτό είναι γνωστό ως τύπος του Όιλερ για τη Ζήτα συνάρτηση.
Ο Όιλερ απέδειξε τις ταυτότητες του Νεύτωνα, το μικρό θεώρημα του Φερμά , το θεώρημα του Φερμά για το άθροισμα των τετραγώνων δύο αριθμών, και συνέβαλε σημαντικά στο θεώρημα των τεσσάρων τετραγώνων του Λαγκράνζ. Επίσης εφηύρε τησυνάρτηση totient φ ( n ),όπου ο αριθμός των θετικών ακεραίων είναι μικρότερος ή ίσος με του αριθμού n των σχετικά πρώτων ακεραίων. Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες αυτής της λειτουργίας, ο ίδιος γενίκευσε το μικρό θεώρημα του Φερμά σε αυτό που είναι σήμερα γνωστό ως θεώρημα του Όιλερ. Συνέβαλε σημαντικά στη θεωρία των τέλειων αριθμών, η οποία είχε συναρπάσει τους μαθηματικούς από την εποχή του Ευκλείδη. Ο Όιλερ διατύπωσε επίσης τον νόμο της τετραγωνικής αμοιβαιότητας. Η έννοια αυτή θεωρείται ως το θεμελιώδες θεώρημα της θεωρίας των αριθμών, και οι ιδέες του, άνοιξαν το δρόμο για το έργο του Καρλ Φρίντριχ Γκάους . 
Από το 1772 ο Όιλερ απέδειξε ότι 2 31  - 1 = 2,147,483,647 είναι Mersenne πρώτος αριθμός. Μπορεί να παρέμεινε ο πιο γνωστός πρώτος αριθμός έως το 1867.

Θεωρία γράφων

Το 1736, Όιλερ έλυσε το πρόβλημα που είναι γνωστό ως Επτά Γέφυρες του Königsberg.  Η πόλη του Κένιγκσμπεργκ, στην Πρωσία χτίστηκε στον ποταμό Πρέγκελ, και περιλάμβανε δύο μεγάλα νησιά που συνδέονταν μεταξύ τους και με την ηπειρωτική χώρα με επτά γέφυρες. Το πρόβλημα είναι να αποφασίσει κατά πόσον είναι δυνατόν να ακολουθήσει μια διαδρομή που διασχίζει κάθε γέφυρα ακριβώς μια φορά και να επιστρέφει στο σημείο εκκίνησης. Δεν είναι δυνατόν: δεν υπάρχει μονοπάτι του Όιλερ. Η λύση αυτή θεωρείται ότι είναι το πρώτο θεώρημα της θεωρίας γραφημάτων, ειδικότερα της θεωρίας του επίπεδου γραφήματος. 
V − E + F = 2
Ο Όιλερ επινόησε επίσης τον τύπο V - Ε + F = 2, που συσχετίζει τον αριθμό των κορυφών, των ακμών και των εδρών ενός κυρτού πολυέδρου, και ως εκ τούτου ενός επίπεδου γραφήματος. Η σταθερά στον τύπο αυτό είναι σήμερα γνωστή ως το χαρακτηριστικό Όιλερ για το γράφημα (ή άλλο μαθηματικό αντικείμενο), και σχετίζεται με το γένος του αντικειμένου.  Η μελέτη και η γενίκευση αυτού του τύπου, ειδικά από Cauchy   καιL'Huillier , , αποτελεί την προέλευση της τοπολογίας.
V − E + F = 2

Φυσική και Αστρονομία

Ο Όιλερ βοήθησε στην ανάπτυξη της εξίσωσης δοκού Euler-Bernoulli, η οποία έγινε ο ακρογωνιαίος λίθος της μηχανικής. Εκτός από την επιτυχή εφαρμογή των αναλυτικών εργαλείων του στα προβλήματα της κλασικής μηχανικής, ο Όιλερ εφάρμοσε αυτές τις τεχνικές και στα ουράνια προβλήματα. Το έργο του στην αστρονομία αναγνωρίστηκε με μια σειρά βραβείων από την Ακαδημία του Παρισιού κατά τη διάρκεια της καριέρας του. Επιτεύγματά του περιλαμβάνουν τον προσδιορισμό με μεγάλη ακρίβεια των τροχιών των κομητών και άλλων ουράνιων σωμάτων, την κατανόηση της φύσης των κομητών, καθώς και τον υπολογισμό της 
παράλλαξης του ήλιου. Οι υπολογισμοί του συνέβαλαν επίσης στην ανάπτυξη των ακριβών πινάκων γεωγραφικού μήκους .
Επιπλέον, ο Όιλερ συνέβαλε σημαντικά στην οπτική. Διαφώνησε με τη σωματιδιακή θεωρία του φωτός του Νεύτωνα στα Opticks, η οποία ήταν τότε η επικρατούσα θεωρία. Το 1740 οι μελέτες του σχετικά με την οπτική βοήθησαν να διασφαλιστεί ότι η θεωρία των κυμάτων του φωτός που προτείνει ο Κρίστιαν Χόιχενς θα γίνει ο κυρίαρχος τρόπος σκέψης, τουλάχιστον μέχρι την ανάπτυξη της κβαντικής θεωρίας του φωτός. 
Το 1757 δημοσίευσε ένα σημαντικό σύνολο εξισώσεων για την ροή ιδανικού υγρού χωρίς τη χρήση ιξώδους, που είναι γνωστές σήμερα ως εξισώσεις Euler.

Λογική

Στον Όιλερ επίσης οφείλεται η χρήση κλειστών καμπυλών για να τονίσει τη συλλογιστική λογική (1768). Αυτά τα διαγράμματα έχουν γίνει γνωστά ως διαγράμματα Όιλερ .

Προσωπική ιδεολογία και θρησκευτικές πεποιθήσεις

Ο Όιλερ και ο φίλος του Ντάνιελ Μπερνούλι ήταν αντίπαλοι του Λάιμπνιτς για τον μοναδισμό και τη φιλοσοφία του Κρίστιαν Βολφ. Ο Όιλερ επέμεινε ότι η γνώση είναι εν μέρει βάσιμη, βάσει ακριβών ποσοτικών νόμων, κάτι που ο μοναδισμός και η θεωρία του Βολφ δεν ήταν σε θέση να παράσχουν. Οι θρησκευτικές τάσεις του Όιλερ ίσως επίσης να ευθύνονταν για την απέχθεια του δόγματος, έφτασε σε τέτοιο σημείο ώστε να ονομάσει τις ιδέες του Βολφ ως «ειδωλολατρικές και αθεϊστικές» 
Πολλά από όσα είναι γνωστά για τις θρησκευτικές πεποιθήσεις του Όιλερ μπορεί να συναχθούν από τις Επιστολές προς μια Γερμανίδα πριγκίπισσα και μια προηγούμενη εργασία, την Rettung der Göttlichen Offenbahrung Gegen die Einwürfe der Freygeister (Άμυνα της Θείας Αποκάλυψης κατά των κατηγοριών των Freethinkers). Τα έργα αυτά δείχνουν ότι ο Όιλερ ήταν ένας αφοσιωμένος Χριστιανός που πίστευε στην Αγία Γραφή για να εμπνευστεί, η Rettung ήταν κυρίως ένα επιχείρημα για την θεοπνευστία της Αγίας Γραφής. 
Υπάρχει ένας διάσημος μύθος , εμπνευσμένος από τα επιχειρήματα του Euler σε κοσμικούς φιλοσόφους πάνω στη θρησκεία, που ειπώθηκαν κατά τη διάρκεια της δεύτερης θητείας του Euler στην ακαδημία της Αγίας Πετρούπολης. Ο Γάλλος φιλόσοφος Ντενί Ντιντερό είχε επισκεφθεί τη Ρωσία μετά από πρόσκληση της Μεγάλης Αικατερίνης. Ωστόσο, η αυτοκράτειρα είχε θορυβηθεί ότι τα επιχειρήματα του φιλοσόφου για την αθεΐα επηρέαζαν τα μέλη του δικαστηρίου της και έτσι ο Όιλερ κλήθηκε να αντιμετωπίσει τον Γάλλο. Ο Ντιντερό ενημερώθηκε ότι ένας ειδικευμένος μαθηματικός είχε προσκομίσει μια απόδειξη για την ύπαρξη του Θεού: συμφώνησε να δει την απόδειξη, όπως αυτή παρουσιάστηκε στο δικαστήριο. Ο Όιλερ εμφανίστηκε, προχώρησε προς τον Ντιντερό και με έναν τόνο τέλειας καταδίκης ανακοίνωσε αυτό το ανακόλουθο: "Κύριε, ως εκ τούτου, υπάρχει Θεός-απαντήστε!" Ο Ντιντερό, για τον οποίο (όπως λέει η ιστορία) όλα τα μαθηματικά ήταν ασυναρτησίες, στάθηκε αποσβολωμένος καθώς ξέσπασαν δυνατά γέλια στην αίθουσα. Αμήχανος, ζήτησε να φύγει από τη Ρωσία, ένα αίτημα που χορηγήθηκε με ευχαρίστηση από την αυτοκράτειρα. Όσο ψυχαγωγικό μπορεί να είναι αυτό το ανέκδοτο, σε αυτό οφείλεται το ότι στη συνέχεια ο ίδιος ο Ντιντερό έκανε έρευνα στα μαθηματικά .  Ο μύθος προφανώς ειπώθηκε για πρώτη φορά από τον   , και με σημαντικά διακοσμητικά στοιχεία Augustus De Morgan ..

Επέτειοι

Ο Όιλερ απεικονίστηκε στο ελβετικό χαρτονόμισμα των 10 φράγκων και σε πολυάριθμα γραμματόσημα της Ελβετίας, της Γερμανίας και της Ρωσίας. Ο αστεροειδής 2002 Euler ονομάστηκε προς τιμήν του. Επίσης μνημονεύεται από την Λουθηρανική Εκκλησία στο Ημερολόγιο των Αγίων της στις 24 Μαΐου-ήταν ένας αφοσιωμένος Χριστιανός (και πιστός στην αδιαμφισβήτητη αλήθεια της Βίβλου) που έγραψε απολογητική και πολέμησε σθεναρά εναντίον των επιφανών αθεϊστών της εποχής του. 
Στις 15 Απριλίου 2013, τα 306α γενέθλια του Όιλερ γιορτάστηκαν με ένα Google Doodle.

Έργο

Διακρίθηκε στα ανώτερα μαθηματικά και κυρίως στον διαφορικό και ολοκληρωτικό λογισμό. Οι σπουδαιότερες εργασίες του αναφέρονται στην ανάλυση των ισοπεριμέτρων, στη συσχέτιση των κυκλικών και των εκθετικών συναρτήσεων, στη θεωρία της περιστροφής σώματος γύρω από σταθερό σημείο, στην αναλυτική γεωμετρία (την οποία συμπλήρωσε και τελειοποίησε), στη θεωρία των αριθμών κ.τ.λ. Ακόμη υπήρξε ο εισηγητής της συντομογραφίας και του συμβολισμού (τριγωνομετρία), κάνοντας πρώτος τη χρήση του συμβόλου e για τον προσδιορισμό της βάσης των φυσικών λογαρίθμων. Πολλοί μαθηματικοί όροι φέρουν το όνομά του, όπως η σταθερά του Όιλερ, ο αριθμός του Όιλερ (το γνωστό e), οι μεταβλητές, η γραμμή και η εξίσωση του Όιλερ κ.ά. Από τα έργα του σπουδαιότερα είναι: Η μηχανή ή η επιστήμη της κίνησης (1736), Θεωρία των κινήσεων πλανητών και κομητών (1744), Εισαγωγή στην ανάλυση των απείρως μικρών (1748, 2 τόμοι), Γενικές αρχές του διαφορικού λογισμού (1755), Γενικές αρχές του ολοκληρωτικού λογισμού (1768 - 1774), Εγχειρίδιο άλγεβρας (1770),Θεωρία των κινήσεων της Σελήνης (1772). Τα έργα του σήμερα ξεπερνούν τους 75 τόμους συνολικά.
Θεωρείται μάλιστα ο "πατέρας" του γνωστού παιχνιδιού σουντόκου, αφού ο ίδιος διατύπωσε πρώτος τους κανόνες του.
Για την ακρίβεια, το έργο του αποτελείται από 75 τόμους, συνολικά 45.000 σελίδες μαθηματικών. Επίσης υπάρχουν 4.000 χειρόγραφα (αλληλογραφία με διάσημους σύγχρονους του μαθηματικούς).

The Professor and his Beloved Equation

Στην ταινία του Takashi Koizumi του 2006, με τίτλο The Professor and his Beloved Equation (Hakase no Aishita Sûshiki), η αγαπημένη εξίσωση του "Καθηγητή" που υποδύεται ο Akira Terao είναι η : .

Επιστημονικά συγγράμματα

Στον πρόλογο της αγγλικής έκδοσης του συγγράματος "Nuclear: Turkey like N. Korea?" αναφέρεται πως η ανάπτυξη του θέματος των πυρηνικών βασίζεται σε Ευκλείδεια και Οϊλεριανή λογική.
Αναφορικά με τον Όιλερ, ο συγγραφέας σημειώνει πως προκειμένου να δώσει απάντηση σε ένα τόσο λεπτό θέμα με εγκυρότητα και αποφεύγοντας θεωρίες συνομωσίας αποσυνδέει το θέμα των πυρηνικών από τα φυσικά χαρακτηριστικά του (εν προκειμένω: πρώτη ύλη, αντιδραστήρας) και εξετάζει το ενδεχόμενο μιας μελλοντικής τροπής υπό το πρίσμα των πολιτικών ενεργειακής αποδοτικότητας και κλιματικής αλλαγής της Ευρωπαϊκής Ένωσης.
Πιο συγκεκριμένα, χρησιμοποιεί την τεχνική της αποσύνδεσης από τα φυσικά χαρακτηριστικά εμπνευσμένος από την λύση του Όιλερ στο γνωστό πρόβλημα των Επτά Γεφυρών του Κένιγκσμπεργκ.