Λογισμός

Λογισμός είναι η μαθηματική μελέτη της συνεχούς μεταβολής των τιμών. Έχει δύο κύριους κλάδους τον διαφορικό λογισμό (σχετικά με τα ποσοστά των αλλαγών και τις κλίσεις των καμπυλών) και τον ολοκληρωτικό λογισμό (σχετικά με τη σώρευση των ποσοτήτων και τις περιοχές κάτω από τις καμπύλες), αυτοί οι δύο κλάδοι συνδέονται μεταξύ τους με το θεμελιώδες θεώρημα του λογισμού. Και οι δύο κλάδοι κάνουν χρήση των θεμελιωδών εννοιών της σύγκλισης άπειρων ακολουθιών και άπειρων σειρών σε ένα καλά καθορισμένο όριο. Ο λογισμός έχει ευρέως διαδεδομένες χρήσεις στον τομέα της επιστήμης, της οικονομίας, και της μηχανικής και μπορεί να λύσει πολλά προβλήματα που η άλγεβρα μόνη της δεν μπορεί.
Ο λογισμός είναι ένα σημαντικό μέρος της σύγχρονης εκπαίδευσης μαθηματικών. Ένα μάθημα λογισμού αποτελεί πύλη για άλλα, πιο προχωρημένα θέματα στα μαθηματικά που είναι αφιερωμένα στη μελέτη των συναρτήσεων και των ορίων, και γενικά ονομάζονται μαθηματική ανάλυση.
Ο λογισμός ιστορικά έχει τίτλο "ο λογισμός των απειροελάχιστων» ή "απειροστικός λογισμός". Μερικά παραδείγματα άλλων γνωστών λογισμών είναι ο προτασιακός λογισμός (propositional calculus), ο λογισμός των μεταβολών (calculus of variations) και ο Λογισμός λάμδα.

Στα αρχαία χρόνια

Η αρχαία περίοδος εισήγαγε κάποιες από τις ιδέες που οδήγησαν στον ολοκληρωτικό λογισμό, αλλά δεν φαίνεται να είχαν αναπτυχθεί αυτές οι ιδέες με ένα αυστηρό και συστηματικό τρόπο. Υπολογισμοί όγκων και περιοχών, ένας σκοπός του ολοκληρωτικού λογισμού, μπορεί να βρεθεί στο μαθηματικό πάπυρο της Μόσχας (περ. 1820 π.Χ.), αλλά οι τύποι είναι απλές οδηγίες, με καμία ένδειξη ως προς τη μέθοδο, και μερικά από αυτά δεν διαθέτουν σωστές συνιστώσες. 

Από την εποχή των αρχαίων ελλήνων μαθηματικών, ο Εύδοξος (περ. 408 - 355 π.Χ.), χρησιμοποίησε τη μέθοδο της εξαντλήσεως, η οποία προδιαγράφει την έννοια του ορίου, για τον υπολογισμό επιφανειών και όγκων, ενώ ο Αρχιμήδης (περ. 287-212 π.Χ.) ανέπτυξε περαιτέρω την ιδέα, εφευρίσκοντας διαισθητικά μεθόδους που μοιάζουν με τις μεθόδους του ολοκληρωτικού λογισμού. 

Η μέθοδος της εξάντλησης αργότερα ανακαλύφθηκε εκ νέου στην Κίνα από τον Liu Hui, τον 3ο μ.Χ. αιώνα, προκειμένου να βρεθεί το εμβαδόν ενός κύκλου. 

Κατά τον 5ο αιώνα μ.Χ. ο Zu Chongzhi δημιούργησε μια μέθοδο που αργότερα ονομάστηκε αρχή του Καβαλιέρι για να βρει τον όγκο μιας σφαίρας.

Μεσαίωνας

Τον 14ο αιώνα, ο ινδός μαθηματικός Madhava Sangamagrama και το σχολείο Kerala της αστρονομίας και των μαθηματικών όρισε συστατικά του λογισμού, όπως η σειρά Taylor και οι άπειρες προσεγγίσεις σειράς.

Σύγχρονη εποχή

Στην Ευρώπη, το θεμελιώδες έργο ήταν μια πραγματεία που οφείλεται στον Μποναβεντούρα Καβαλιέρι, ο οποίος υποστήριξε ότι οι όγκοι και οι περιοχές θα πρέπει να υπολογίζονται ως το άθροισμα των όγκων και των περιοχών των απειροελάχιστα λεπτών διατομών. Οι ιδέες του ήταν παρόμοιες με του Αρχιμήδη στη μέθοδο, αλλά αυτή η πραγματεία χάθηκε μέχρι τις αρχές του εικοστού αιώνα.Το έργο του Καβαλιέρι δεν ήταν σεβαστό δεδομένου ότι οι μέθοδοι του είχαν οδηγήσει σε λανθασμένα αποτελέσματα, και οι απειροελάχιστες ποσότητες που εισήγαγε ήταν κακόφημες από την πρώτη του. 
Ο Πιέρ ντε Φερμά υποστηρίζοντας ότι δανείστηκε από τον Διόφαντο, εισήγαγε την έννοια της επάρκειας (Adequality), η οποία αντιπροσώπευε την ισότητα μέχρι έναν απειροελάχιστο λανθασμένο όρο. 

Ο συνδυασμός επιτεύχθηκε από τους John Wallis, Isaac Barrow και James Gregory, τα δύο τελευταία αποδείκνυαν το δεύτερο θεμελιώδες θεώρημα του λογισμού γύρω από 1670.
Ο κανόνας του προϊόντος και o κανόνας της αλυσίδας, η έννοια των υψηλότερων παραγώγων, οι σειρές Taylor και οι αναλυτικές λειτουργίες εισήχθησαν από τον Ισαάκ Νεύτωνα σε μια ιδιότυπη σημειογραφία που θα χρησιμοποιούνται για την επίλυση προβλημάτων της μαθηματικής φυσικής.
Στα έργα του ο Ισαάκ Νεύτων αναδιατύπωνε τις ιδέες του για να ταιριάζουν με το μαθηματικό ιδίωμα της εποχής του, αντικατέστησε τους υπολογισμούς των απειροελάχιστων από ισοδύναμα γεωμετρικά επιχειρήματα, τα οποία θεωρήθηκαν υπεράνω κριτικής. Συνήθιζε τις μεθόδους του λογισμού για την επίλυση του προβλήματος της πλανητικής κίνησης, το σχήμα της επιφάνειας ενός περιστρεφόμενου ρευστού, το πεπλατυσμένο σχήμα της γης, η κίνηση του βάρους συρόμενη σε ένα κυκλοειδές και πολλά άλλα προβλήματα που συζητήθηκαν στο Principia Mathematica του (1687). Σε άλλη εργασία ανέπτυξε σειρά επεκτάσεων για τις συναρτήσεις, συμπεριλαμβανομένων των κλασματικών και των άρρητων δυνάμεων και ήταν σαφές ότι κατάλαβε τις αρχές της σειράς Taylor. Δεν δημοσιεύονται όλες οι ανακαλύψεις του.
Αυτές οι ιδέες εφαρμόστηκαν στον πραγματικό απειροστικό λογισμό από τον Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς, ο οποίος αρχικά κατηγορήθηκε για λογοκλοπή από τον Νεύτωνα. 

Πλέον θεωρείται ως ένας ανεξάρτητος εφευρέτης που έχει συμβάλλει στο λογισμό. Η συμβολή του ήταν να παρέχει ένα σαφές σύνολο κανόνων για την εργασία του με απειροελάχιστες ποσότητες, επιτρέποντας τον υπολογισμό της δεύτερης παραγώγου και υψηλότερες, και απέδειξε τον κανόνα της αλυσίδας. Σε αντίθεση με τον Νεύτωνα ο Λάιμπνιτς έδωσε πολλή προσοχή στο τρόπο γραφής των τύπων, συχνά περνώντας μέρες για τον καθορισμό των κατάλληλων συμβόλων για τις έννοιες.
Ο Λάιμπνιτς και ο Νεύτων συνήθως και οι δυο πιστώνονται με την εφεύρεση του λογισμού. Ο Νεύτων ήταν ο πρώτος που έγραψε για την εφαρμογή του λογισμού στη γενική φυσική και ο Λάιμπνιτς ανέπτυξε ένα μεγάλο μέρος του συμβολισμού που χρησιμοποιείται στο λογισμό μέχρι και σήμερα. Οι βασικές ιδέες που εισήγαγαν τόσο Νεύτων όσο και ο Λάιμπνιτς ήταν οι νόμοι της παραγώγισης και της ολοκλήρωσης, τη δεύτερη παράγωγο και μεγαλύτερη, και την προσέγγιση πολυωνυμικών σειρών. Από την εποχή του Νεύτωνα, το θεμελιώδες θεώρημα του λογισμού ήταν γνωστό.
Όταν ο Νεύτων και ο Λάιμπνιτς δημοσίευσαν τα πρώτα τους αποτελέσματα, υπήρχε μεγάλη διαμάχη σχετικά με το ποιος μαθηματικός (και κατά συνέπεια ποια χώρα) άξιζε πίστωσης. Ο Νεύτων ήταν ο πρώτος, αλλά ο Λάιμπνιτς δημοσίευσε για πρώτη φορά. Ο Νεύτων ισχυρίστηκε ότι ο Λάιμπνιτς έκλεψε τις ιδέες του από αδημοσίευτες σημειώσεις του, που ο Νεύτων είχε μοιραστεί με μερικά μέλη της Βασιλικής Εταιρείας. Αυτή η διαμάχη χωρίζει τους αγγλόφωνους μαθηματικούς από τους υπόλοιπους μαθηματικούς εδώ και πολλά χρόνια. Μια προσεκτική εξέταση των εγγράφων του Νεύτων και του Λάιμπνιτς δείχνει ότι έφτασαν στα αποτελέσματά τους ανεξάρτητα, με τον Λάιμπνιτς να ξεκινάει πρώτα με την ολοκλήρωση και τον Νεύτων με τη παραγώγιση. Σήμερα τόσο Νεύτων όσο και στον Λάιμπνιτς δίνεται πίστωση για την ανάπτυξη του λογισμού ανεξάρτητα. Ο Λάιμπνιτς όμως τιμήθηκε δίνοντας το όνομά του. Ο Νεύτων ονόμασε τον λογισμό του "η επιστήμη των συνεχών αλλαγών".
Από την εποχή του Νεύτων και του Λάιμπνιτς πολλοί μαθηματικοί έχουν συμβάλει στη συνεχή ανάπτυξη του λογισμού. Μια από τις πρώτες και πιο ολοκληρωμένες δουλειές σχετικά με την πεπερασμένη και την απειροστή ανάλυση γράφτηκε το 1748 από τη Maria Gaetana Agnesi.

Θεμέλια

Στις αρχές του λογισμού η χρήση των απειροελάχιστων ποσοτήτων δε ήταν αυστηρή και επικρίθηκε έντονα από ορισμένους συγγραφείς κυρίως από τους Μισέλ Ρολ (Michel Rolle) και Τζωρτζ Μπέρκλεϊ. Ο Μπέρκλεϊ (Berkeley) γράφει για τον απειροστικό λογισμό στο βιβλίο του The Analyst το 1734. Μια πρόσφατη μελέτη υποστηρίζει ότι ο λογισμός του Λάιμπνιτς ήταν πιο καλά θεμελιωμένος από του Μπέρκλεϊ.

Τα θεμέλια που είχαν βάλει ο Νεύτων και ο Λάιμπνιτς για τον λογισμό επειδή ήταν αυστηρά διατυπωμένα βοήθησαν τους μαθηματικούς για ένα μεγάλο μέρος του επόμενου αιώνα και εξακολουθούν να είναι σε κάποιο βαθμό ένας ενεργός τομέας της έρευνας σήμερα. 
Αρκετοί μαθηματικοί, συμπεριλαμβανομένου του Colin Maclaurin, προσπάθησαν να αποδείξουν την ορθότητα της χρήσης απειροελάχιστων, αλλά δεν μπόρεσαν να το αποδείξουν μέχρι 150 χρόνια αργότερα όταν χάρη στο έργο των Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ και Weierstrass ένας τρόπος βρέθηκε τελικά για να αποφευχθεί η απλή "έννοια" των απείρων μικρών ποσοτήτων. Τα θεμέλια του διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού είχαν τεθεί. Στα έγγραφα του Κωσύ υπάρχει ένα ευρύ φάσμα της θεμελιακής προσέγγισης, συμπεριλαμβανομένου του ορισμού της συνέχειας, όσον αφορά στα απειροελάχιστα, και ένα (κάπως ασαφές) πρωτότυπο ενός (ε, δ)-ορισμό του ορίου στον ορισμό της διαφοροποίησης. Στο έργο του ο Weierstrass διατύπωσε εκ νέου την έννοια του ορίου. Μετά το έργο του Weierstrass έγινε κοινό στο βασικό λογισμό σχετικά με τα όρια αντί για απειροελάχιστες ποσότητες. Μπέρναρντ Ρίμαν ([Bernhard Riemann) χρησιμοποίησε αυτές οι ιδέες να δώσει έναν ακριβή ορισμό του ολοκληρώματος. Επίσης κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου ότι οι ιδέες του λογισμού γενικεύονταν στον Ευκλείδειο χώρο και στο μιγαδικό επίπεδο.
Στα σύγχρονα μαθηματικά, τα θεμέλια του λογισμού που περιλαμβάνονται στο πεδίο της πραγματικής ανάλυσης το οποίο περιέχει πλήρεις ορισμούς και τις αποδείξεις από τα θεωρήματα του λογισμού. Η εμβέλεια του λογισμού έχει επίσης επεκταθεί σε μεγάλο βαθμό. Ο Henri Lebesgue εφηύρε τη θεωρία μέτρου που χρησιμοποιείται για να ορίσει ολοκληρώματα όλες όμως τις πιο παθολογικές λειτουργίες. Ο Laurent Schwartz εισήγαγε τις Κατανομές, οι οποίες μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να πάρει την παράγωγο οποιασδήποτε συνάρτησης απολύτως.

Σημασία

Ενώ μερικές από τις ιδέες του λογισμού είχαν αναπτυχθεί νωρίτερα στην Αίγυπτο, την Ελλάδα, την Κίνα, την Ινδία, το Ιράκ, την Περσία, και την Ιαπωνία, η σύγχρονη χρήση του λογισμού ξεκίνησε στην Ευρώπη, κατά τη διάρκεια του 17ου αιώνα, από τους  Ισαάκ Νεύτων και ο Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς ,έχοντας ως εφόδιο το έργο των προηγούμενων μαθηματικών, εισήγαγαν τις βασικές αρχές του λογισμού.
Εφαρμογές του διαφορικού λογισμού περιλαμβάνουν υπολογισμούς που αφορούν την ταχύτητα και την επιτάχυνση, την κλίση της καμπύλης, και τη βελτιστοποίηση. Εφαρμογές του ολοκληρωτικού λογισμού περιλαμβάνουν υπολογισμούς που αφορούν το εμβαδόν, τον όγκο, το μήκος του τόξου, το κέντρο της μάζας, το έργο, και την πίεση. Πιο προηγμένες εφαρμογές περιλαμβάνουν δυναμοσειρές και σειρές Φουριέ.
Ο  λογισμός χρησιμοποιείται επίσης για να αποκτήσουν μια ακριβέστερη κατανόηση της φύσης του χώρου, του χρόνου, και η κίνηση. Για αιώνες οι μαθηματικοί και φιλόσοφοι πάλευαν με τα παράδοξα που αφορούν τη διαίρεση με το μηδέν ή τα αθροίσματα απείρως πολλών αριθμών. Αυτά τα ερωτήματα ανακύπτουν στη μελέτη της κίνησης και του εμβαδού. Ο αρχαίος Έλληνας φιλόσοφος Ζήνων ο Ελεάτης έδωσε πολλά διάσημα παραδείγματα τέτοιων παράδοξων.  Ο λογισμός παρέχει εργαλεία, ειδικά το όριο και την άπειρη σειρά, τα οποία επιλύουν τα παράδοξα αυτά.