Λογισμός των μεταβολών

Ο λογισμός των μεταβολών ή μεταβολικός λογισμός είναι κλάδος της μαθηματικής ανάλυσης που ασχολείται με τη μεγιστοποίηση ή την ελαχιστοποίηση συναρτησιακών ή συναρτησοειδών, τα οποία είναι απεικονίσεις από ένα σύνολο συναρτήσεων στους πραγματικούς αριθμούς. Τα συναρτησιακά συχνά εκφράζονται ως ορισμένα ολοκληρώματα συναρτήσεων και παραγώγων αυτών. Στο λογισμό των μεταβολών το ενδιαφέρον μας στρέφεται γύρω από τις ακρότατες συναρτήσεις, που είναι εκείνες για τις οποίες το συναρτησιακό λαμβάνει μέγιστη ή ελάχιστη τιμή, ή γύρω από τις στάσιμες συναρτήσεις, για τις οποίες η τιμή του συναρτησιακού παραμένει αμετάβλητη.

Εισαγωγικά

Ένα απλό παράδειγμα ενός τέτοιου προβλήματος είναι η εύρεση της καμπύλης βραχύτερου μήκους που συνδέει δυο σημεία. Απουσία περιορισμών, η λύση είναι προφανώς το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα δύο σημεία. Ωστόσο, αν η καμπύλη  πρέπει να κείται σε δεδομένη επιφάνεια στο χώρο, τότε η λύση είναι λιγότερο προφανής και πιθανώς να υπάρχουν πολλές λύσεις. Τέτοιες λύσεις είναι γνωστές ως γεωδαισιακές. Ένα σχετικό πρόβλημα ανακύπτει από την αρχή του Fermat: το φως ακολουθεί τη διαδρομή του ελάχιστου οπτικού μήκους που συνδέει δυο σημεία, όπου το οπτικό μήκος εξαρτάται από τις φυσικές ιδιότητες του μέσου. Μία αντίστοιχη έννοια στη μηχανική είναι η αρχή της ελαχίστης δράσης.
Πολλά σημαντικά προβλήματα περιέχουν συναρτήσεις πολλών μεταβλητών. Οι λύσεις των προβλημάτων συνοριακών τιμών για την εξίσωση του Laplace ικανοποιούν την αρχή του Dirichlet. Το πρόβλημα του Plateau απαιτεί την εύρεση επιφάνειας ελαχίστου εμβαδού με δεδομένο σύνορο στο χώρο· συνήθως η λύση (ή μία από τις λύσεις) μπορεί να βρεθεί εμπειρικά με την εμβάπτιση ειδικά κατασκευασμένου πλαισίου σε σαπουνάδα. Πειραματικές προσεγγίσεις όπως η προηγούμενη είναι σχετικά εύκολες, ωστόσο η μαθηματική τους ερμηνεία είναι πολύ δυσκολότερη: μπορεί να υπάρχουν περισσότερες από μια επιφάνειες ελαχιστοποίησης, και μάλιστα με μη-τετριμμένη τοπολογία.

Ιστορία

Ο λογισμός των μεταβολών μπορεί να θεωρηθεί ότι ξεκινά με το πρόβλημα της βραχύχρονης καμπύλης που έθεσε ο Γιόχαν Μπερνούλι (1696). Το πρόβλημα αμέσως τράβηξε το ενδιαφέρον του Γιακόμπ Μπερνούλι και του Μαρκισίου de l'Hôpital, όμως η πρώτη σοβαρή μελέτη έγινε από το Λέοναρντ Όιλερ. Η συνεισφορά του άρχισε το 1733, και το έργο του «Elementa Calculi Variationum» έδωσε το όνομα του νεοσύστατου κλάδου.Σε μεγάλο βαθμό συνέβαλε και ο Λαγκράνζ, ενώ ο Λεζάντρ (1786) δημιούργησε μια,όχι εντελώς ικανοποιητική, μέθοδο για τη διάκριση μεγίστων - ελαχίστων. Μάλιστα, το συγκεκριμένο ζήτημα απασχόλησε από νωρίς και τους Ισαάκ Νεύτωνα και Γκότφριντ Λάιμπνιτς. Σε αυτή τη διάκριση συνέβαλαν επίσης και οι Βιτσέντζο Μπρουνάτσι (1810), Καρλ Φρίντριχ Γκάους (1829), Σιμεών Πουασόν (1831), Μιχαήλ Οστρογκράντσκι (1834) και Κάρλ Γιακόμπι (1837). Μια σημαντική δουλεία ήταν και αυτή του Sarrus (1842), την οποία βελτίωσε και συνόψισε ο Cauchy (1844). Άλλες πολύτιμες διατριβές αλλά και απομνημονεύματα  έχουν γραφτεί απο τους Strauch (1849), Jellett (1850), Otto Hesse (1857), Alfred Clebsch (1858) και Carll (1885), αλλά ίσως η πιο καθοριστική συμβολή του αιώνα είναι αυτή  του Karl Weierstraß: οι περίφημες διαλέξεις του άφησαν εποχή, και μπορεί να θεωρηθεί πως ήταν ο πρώτος που μας παρείχε μία πραγματικά αυστηρή θεωρητική θεμελίωση. Το 20ό και το 23ο πρόβλημα του Χίλμπερτ (1900) ενθάρρυναν την περεταίρω ανάπτυξη του κλάδου. Στον 20ο αιώνα πλέον, ο Ντάβιντ Χίλμπερτ, η Έμμυ Ναίτερ, ο Λεωνίδα Τονέλι, ο Ανρί Λεμπέγκ και ο Ζακ Ανταμάρ μεταξύ άλλων είχαν σημαντική συνεισφορά. Ακόμη, ο Μάρστον Μορς εφάρμοσε το λογισμό των μεταβολών σε αυτό που τώρα ονομάζεται θεωρία του Morse, ενώ οι Lev Pontryagin, Ralph Rockafellar και F. H. Clarke ανέπτυξαν νέα μαθηματικά εργαλεία για το λογισμό των μεταβολών στη θεωρία βέλτιστου ελέγχου. Ο δυναμικός προγραμματισμός του Μπέλμαν είναι μια εναλλακτική θεωρία για το λογισμό των μεταβολών.

Ακρότατα

Ο λογισμός των μεταβολών ασχολείται με μέγιστα ή ελάχιστα συναρτησιακών, τα οποία συλλογικά ονομάζονται ακρότατα. Ένα συναρτησιακό εξαρτάται από μια συνάρτηση, όπως, κατ' αναλογία, μια συνάρτηση μπορεί να εξαρτάται από μία αριθμητική μεταβλητή, γι' αυτό και ένα συναρτησιακό έχει περιγραφτεί ως συνάρτηση μίας συνάρτησης. Τα συναρτησιακά έχουν ακρότατα ως προς τα στοιχεία y δεδομένου χώρου συναρτήσεων με συγκεκριμένο πεδίο ορισμού. Ένα συναρτησιακό J [ y ] έχει ακρότατο στη συνάρτηση  f   αν η ΔJ = J [ y ]  - J [ f] έχει το ίδιο πρόσημο για κάθε y που ανήκει σε μία αυθαίρετα μικρή περιοχή της f . Η συνάρτηση f ονομάζεται ακρότατη συνάρτηση. Το ακρότατο J [ f ] ονομάζεται μέγιστο αν ΔJ ≤ 0 σε μία οσοδήποτε μικρή περιοχή της f , και ελάχιστο αν  ΔJ ≥ 0 αντίστοιχα. Σε ένα χώρο συνεχών συναρτήσεων, τα ακρότατα των αντίστοιχων συναρτησιακών λέγονται ασθενή ακρότατα ή ισχυρά ακρότατα, ανάλογα με το αν οι πρώτοι παράγωγοι των συνεχών συναρτήσεων είναι αντίστοιχα κατ' ανάγκην όλες συνεχείς ή όχι.
Τόσο τα ισχυρά όσο και τα ασθενή ακρότατα ενός συναρτησιακού αναφέρονται σε ένα διάστημα συνεχών συναρτήσεων, όμως το ασθενές ακρότατο έχει την πρόσθετη προϋπόθεση οι πρώτοι παράγωγοι των συναρτήσεων στο διάστημα να είναι συνεχείς. Έτσι, ένα ισχυρό ακρότατο είναι ταυτόχρονα και ασθενές, αλλά το αντίστοφο δεν ισχύει. Η εύρεση των ισχυρών ακρότατων είναι πιο δύσκολη σε σχέση με την εύρεση ασθενών. Ένα παράδειγμα που αποτελεί αναγκαία συνθήκη και χρησιμοποιείται για την εύρεση ασθενών ακρότατων είναι η εξίσωση Euler-Lagrange.

Προβλήματα ιδιοτιμών

Τόσο τα μονοδιάστατα, όσο και τα πολυδιάστατα προβλήματα ιδιοτιμών ανάγονται σε προβλήματα μεταβολών.

Αρχή του Φερμά

Σύμφωνα με την αρχή του Φερμά, το φως κατά τη διαδρομή του μέσα σε ένα μέσο από ένα σημείο Α σε ένα σημείο Β, ακολουθεί τον οπτικό δρόμο που (τοπικά) ελαχιστοποιεί το οπτικό μήκος του. Αν η τετμημένη  οριστεί ως παράμετρος κατά μήκος του οπτικού δρόμου, με   τότε το οπτικό μήκος δίνεται από τον τύπο:
όπου ο δείκτης διαθλάσεως  εξαρτάται από το υλικό του οπτικού μέσου. Αν θεωρήσουμε  τότε η πρώτη μεταβολή του A (η οποία εξαρτάται από το ε) είναι
Κάνοντας ολοκλήρωση κατά παράγοντες στον πρώτο όρο, καταλήγουμε στην εξίσωση Euler–Lagrange:
Ολοκληρώνοντας την παραπάνω εξίσωση μπορούν να υπολογιστούν οι ακτίνες φωτός. Αυτός ο φορμαλισμός χρησιμοποιείται στο πλαίσιο της Λαγρανζιανής οπτικής, καθώς και της Χαμιλτονιανής οπτικής.

Ο νόμος του Σνελ

Υπάρχει μια ασυνέχεια του δείκτη διάθλασης όταν το φως εισέρχεται ή εξέρχεται ενός φακού. Ας υποθέσουμε
όπου  και  είναι σταθερές. Συνεπώς, η εξίσωση του Euler-Lagrange παραμένει ως προηγουμένως στο διάστημα  και  και ο οπτικός δρόμος αποτελεί μια ευθεία γραμμή, καθώς ο δείκτης διάθλασης παραμένει σταθερός. Για  η  πρέπει να είναι συνεχής, με την  να μπορεί να είναι ασυνεχής. Εφαρμόζοντας την κατά παράγοντες μέθοδο στα ξεχωριστά χωρία και αξιοποιώντας την εξίσωση των Euler-Lagrange, η πρώτη μεταβολή παίρνει τη μορφή
Ο παράγοντας που πολλαπλασιάζει το  είναι το ημίτονο της γωνίας που σχηματίζει η προσπίπτουσα ακτίνα με τον άξονα των τετμημένων (άξονας των )· αντιστοίχως ο παράγοντας που πολλαπλασιάζει το  είναι το ημίτονο της γωνίας που σχηματίζει η διαθλόμενη ακτίνα με τον άξονα των τετμημένων. Ο Νόμος του Σνελ για τη διάθλαση απαιτεί αυτοί οι όροι να είναι ίσοι. Όπως μας αποδεικνύει ο παραπάνω υπολογισμός, ο νόμος του Σνελ (Willebrord Snel van Royen) είναι ισοδύναμος με την απαίτηση η πρώτη μεταβολή του μήκους του οπτικού δρόμου να μηδενίζεται.