Εξίσωση θερμότητας

Γενική Περιγραφή

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια συνάρτηση u η οποία περιγράφει την θερμοκρασία σε ένα δοσμένο σημείο (x, y, z). Η τιμή της συνάρτησης u μεταβάλλεται με την πάροδο του χρόνου καθώς η θερμότητα διαδίδεται στον χώρο. Η εξίσωση θερμότητας χρησιμοποιείται για να προσδιορίσουμε την μεταβολή της  συνάρτησης  u με το χρόνο.  Ο ρυθμός μεταβολή της u είναι ανάλογος με την "καμπυλότητα" της u.  Thus, the sharper the corner, the faster it is rounded off.  Over time, the tendency is for peaks to be eroded, and valleys filled in.  If u is linear in space (or has a constant gradient) at a given point, then u has reached steady-state and is unchanging at this point (assuming a constant thermal conductivity).
Στο διπλανό σχήμα περιγράφεται ο τρόπος με τον οποίο μεταβάλλεται η θερμότητα σε μια μεταλλική ράβδο με την πάροδο του χρόνου. Μια από τις ενδιαφέρουσες ιδιότητες της εξίσωσης θερμότητας είναι η αρχή του μεγίστου η οποία λέει ότι η μέγιστη τιμή της u is either earlier in time than the region of concern or on the edge of the region of concern. This is essentially saying that temperature comes either from some source or from earlier in time because heat permeates but is not created from nothingness. This is a property of parabolic partial differential equations and is not difficult to prove mathematically (see below).
Άλλη μια ενδιαφέρουσα ιδιότητα είναι ότι ενώ η u έχει ασυνέχεια σε ένα αρχικό (χρονικό) σημείο  t = t₀, η θερμοκρασία εξομαλύνεται καθώς  t > t₀. Παραδείγματος χάρη ,αν μια μεταλλική ράβδος έχει θερμοκρασία 0 και μια άλλη θερμοκρασία 100 και τις φέρουμε σε επαφή άκρο με άκρο, τότε πολύ γρήγορα η θερμοκρασία στο σημείο επαφής θα φτάσει τους 50 και η γραφική παράσταση της θερμοκρασίας θα διαπεράσει ομαλά τις τιμές από το 0 έως το 100.
Η εξίσωση θερμότητας χρησιμοποιείται στην θεωρία πιθανοτήτων για να περιγράψει τον τυχαίο περίπατο. Για το λόγο αυτό έχει εφαρμογή στα οικονομικά μαθηματικά.
Είναι επίσης σημαντική στη γεωμετρία Riemann και συνακόλουθα στη τοπολογία: προσαρμόστηκε (η εξίσωση θερμότητας) από τον Richard Hamilton όταν όρισε τη Ricci flow η οποία χρησιμοποιήθηκε αργότερα από τον Γκριγκόρι Πέρελμαν για να αποδείξει την τοπολογική εικασία του Πουανκαρέ.

Μερικές λύσεις της συνάρτησης Green μονοδιάστατες

Μία ποικιλία από λύσεις της συνάρτησης Green σε μία διάσταση αναφέρονται εδώ;άλλες υπάρχουν αλλού.Σε μερικές από αυτές το πεδίο ορισμού είναι (−∞,∞).Σε άλλες είναι το (0,∞)είτε με τις οριακές συνθήκες του Neumann ή του Dirichlet.Μία άλλη ποικιλία είναι εκείνη η οποία λύνει την ανομοιογενή εξίσωση :
όπου η f είναι μία συνάρτηση του χ και t.

Παραδείγματα

Επειδή η εξίσωση της θερμότητας είναι γραμμική,λύσεις από άλλους συνδυασμούς οριακών συνθηκών,ανομοιογενούς όρου και αρχικών συνθηκών μπορούν να βρεθούν παίρνοντας έναν κατάλληλο γραμμικό συνδυασμόαπό τις παραπάνω λύσεις της συνάρτησης του Green.

Για παράδειγμα, για να λύσεις

:

βάζοντας u = w + v όπου w, v,και r λύνουν τα προβλήματα
:

Κι άλλες εφαρμογές

Η εξίσωση της θερμότητας προκύπτει στο modeling από ένα αριθμό φαινομένων και συχνά χρησιμοποιείται στα οικονομικά μαθηματικά στη μοντελοποίηση options.Η διάσημη Black–Scholes διαφορική εξίσωση μπορεί να μετατραπεί σε εξίσωση θερμότητας που επιτρέπει σχετικά εύκολα λύσεις από ένα οικείο όργανο μαθηματικών.Πολλές από τις επεκτάσεις των απλών μοντέλων επιλογής δεν έχουν λύσεις και ως εκ τούτου πρέπει να λυθούν αριθμητικά για να αποκτήσουν μία μοντελοποιημένη τιμή.Η εξίσωση που περιγράφει την πίεση της διάχυσης σε ένα πορώδες μέσο είναι πανομοιότυπη στη μορφή με την αξίσωση θερμότητας.Προβλήματα διάχυσης που ασχολούνται με [[

Dirichlet οριακές συνθήκες|Dirichlet]], Neumann και Robin οριακές συνθήκες έχουν κλειστή μορφή αναλυτικών λύσεων (Thambynayagam 2011).

Η εξίσωση της θερμότητας χρησιμοποιείται ευρέως στην ανάλυση εικόνας  (Perona & Malik 1990) και στη μηχανική μάθηση όπως τη θεωρία οδήγησης πίσω από τις scale-space ή graph Laplacians μεθόδους.Η εξίσωση της θερμότητας μπορεί να λυθεί αποτελεσματικά αριθμητικώς χρησιμοποιώντας τη  Crank–Nicolson method του (Crank & Nicolson 1947).Αυτή η μέθοδος μπορεί να επεκταθεί σε πολλά μοντέλα χωρίς κλειστού τύπου λύσεις,βλέπε για παράδειγμα (Wilmott, Howison & Dewynne 1995).

Μία αφηρημένη μορφή της εξίσωσης της θερμότητας manifolds παρέχει μία σημαντική προσέγγιση για το Atiyah–Singer index theorem,και έχει οδηγήσει σε περεταίρω εργασίες για την εξίσωση της θερμότητας στη Riemannian geometry.