Έλεγχος Λόγου Πιθανοφανειών

Στη στατιστική, ένας έλεγχος λόγου πιθανοφανειών είναι ένα στατιστικό τεστ που χρησιμοποιείται για να τη σύγκριση  της καλής προσαρμογής δύο μοντέλων, ένα εκ των οποίων (το μηδενικό μοντέλο) είναι μια ειδική περίπτωση του άλλου (το εναλλακτικό μοντέλο). Το τεστ βασίζεται στον λόγο πιθανοφανειών, που εκφράζει πόσες φορές είναι πιο πιθανό τα δεδομένα να βρίσκονται κάτω από το ένα μοντέλο παρά στο άλλο. Αυτός ο λόγος πιθανοφανειών, ή αντίστοιχα ο λογάριθμος του, μπορεί στη συνέχεια να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό της p-τιμής (τιμή σημαντικότητας), ή σε σύγκριση με μια κρίσιμη τιμή  (σημείο αποκοπής) να αποφασισθεί εάν  θα απορριφθεί τo μηδενικό μοντέλο υπέρ του εναλλακτικού. Όταν χρησιμοποιείται ο λογάριθμος του λόγου των  πιθανοφανειών, το στατιστικό αυτό είναι γνωστό και ως λογαριθμικός λόγος πιθανοφανειών , και η κατανομή της πιθανότητας του ελέγχου αυτού του στατιστικού, με την αποδοχή του μηδενικού μοντέλου, μπορεί να προσεγγιστεί χρησιμοποιώντας του θεώρημα του Wilks.
Στην περίπτωση  διάκρισης μεταξύ των δύο μοντέλων, καθένα από το οποίο δεν έχει άγνωστους παραμέτρους, η χρήση του ελέγχου του λόγου πιθανοφανειών μπορεί να προσδιοριστεί από το λήμμα των  Neyman–Pearson, το οποίο αποδεικνύει ότι o εν λόγω έλεγχος έχει τη μεγαλύτερη ισχύ (ισχυρότατος έλεγχος) ανάμεσα σε όλους τους "ανταγωνιστές" .

Ερμηνεία

Ως συνάρτηση των δεδομένων  , ο λόγος πιθανοφάνειων είναι συνεπώς ένα στατιστικό. Ο έλεγχος λόγου πιθανοφανειών απορρίπτει τη μηδενική υπόθεση αν η αξία αυτού του στατιστικού είναι πάρα πολύ μικρή. Το πόσο μικρή θα είναι,  εξαρτάται από το επίπεδο σημαντικότητας του ελέγχου, δηλαδή, μέχρι ποια τιμή της πιθανότητας για το σφάλμα Τύπου Ι θεωρείται ανεκτή (Τα σφάλματα "Τύπου Ι"  αποτελούνται από την απόρριψη της μηδενικής υπόθεσης ενώ αυτή είναι αληθής).
Ο αριθμητής αντιστοιχεί στην μέγιστη πιθανοφάνεια που παρατηρήθηκε ως αποτέλεσμα κάτω από την μηδενική υπόθεση. Ο παρονομαστής αντιστοιχεί στην μέγιστη πιθανοφάνεια που παρατηρήθηκε ως αποτέλεσμα από διάφορες παραμέτρους σε όλο τον παραμετρικό χώρο. Ο αριθμητής αυτού του λόγου είναι μικρότερος από τον παρονομαστή. Ο λόγος πιθανοφανειών ως εκ τούτου, βρίσκεται μεταξύ 0 και 1. Οι χαμηλές τιμές του λόγου πιθανοφανειών σημαίνουν ότι το παρατηρούμενο αποτέλεσμα ήταν λιγότερο πιθανό να συμβεί κάτω από την μηδενική υπόθεση, σε σύγκριση με την εναλλακτική. Οι υψηλές τιμές του στατιστικού σημαίνουν ότι το παρατηρούμενο αποτέλεσμα ήταν σχεδόν το ίδιο πιθανό να πραγματοποιηθεί κάτω από την μηδενική όπως και την εναλλακτική. Συνεπώς, η μηδενική υπόθεση δεν μπορεί να απορριφθεί.

Κατανομή: Το θεώρημα του Wilks

Αν η κατανομή του λόγου πιθανοφανειών που αντιστοιχεί σε μια συγκεκριμένη μηδενική και εναλλακτική υπόθεση μπορεί να είναι καθορίζεται επακριβώς, τότε μπορεί άμεσα να χρησιμοποιηθεί για να σχηματιστούν οι περιοχές απόφασης (για την αποδοχή/απόρριψη της μηδενικής υπόθεσης). Στις περισσότερες περιπτώσεις, ωστόσο, η ακριβής κατανομή του λόγου  πιθανοφανειών που αντιστοιχεί σε συγκεκριμένες υποθέσεις είναι πολύ δύσκολο να προσδιοριστεί. Ένα βολικό αποτέλεσμα από τον Samuel S. Wilks, λέει ότι καθώς το μέγεθος του δείγματος  προσεγγίζει το  (άπειρο), ο στατιστικός έλεγχος   για ένα φωλιασμένο μοντέλο θα προσεγγίζει ασυμπτωτικά  την - κατανομή με βαθμούς ελευθερίας ίσους με τη διαφορά των διαστάσεων των  και . Αυτό σημαίνει ότι για μια μεγάλη ποικιλία υποθέσεων, ένας ειδικός μπορεί να υπολογίσει τον λόγο  πιθανοφανειών  για τα δεδομένα και να συγκρίνει την ποσότητα   στην  τιμή της  ,όπου αντιστοιχεί σε μια επιθυμητή στατιστική σημαντικότητα ( αυτός είναι ένας προσεγγιστικός έλεγχος).
Το θεώρημα του Wilks υποθέτει  ότι οι αληθείς αλλά άγνωστες τιμές των εκτιμώμενων παραμέτρων ανήκουν στο εσωτερικό του παραμετρικού  χώρου. Αυτό συχνά παραβιάζεται, για παράδειγμα, σε μοντέλα με τυχαία ή με μικτά αποτελέσματα όταν μια από τις συνιστώσες διακύμανσης, είναι αμελητέα σε σχέση με τις υπόλοιπες. Σε ορισμένες τέτοιες περιπτώσεις, με τη μία συνιστώσα διακύμανσης του να έχει ουσιαστικά μηδενική σε σχέση με τις υπόλοιπες ή όταν  τα μοντέλα δεν είναι σωστά εγκιβωτισμένα, οι Pinheiro και Bates, έδειξαν ότι η πραγματική κατανομή αυτού του  λόγου πιθανοφανειών  στατιστικού  θα μπορούσε να είναι σημαντικά διαφορετική από το απλό   στατιστικό, συχνά ακόμη και σε σημαντικό βαθμό. Οι απλές υποθέσεις θα μπορούσαν  να δώσουν στατιστικές πιθανότητες (p-τιμές)  οι οποίες θα ήταν , κατά μέσο όρο, αρκετά πιο μεγάλες σε ορισμένες περιπτώσεις και αρκετά πιο μικρές σε άλλες.
Σε γενικές γραμμές, για τον έλεγχο τυχαίων αποτελεσμάτων, συνιστάται η χρήση της μεθόδου  Περιορισμένης μέγιστης πιθανοφάνειας. Για ελέγχους  σταθερών  αποτελεσμάτων, αναφέρεται ότι, "δεν είναι εφικτή η προσαρμογή  ενός ελέγχου  λόγου πιθανοφανειών στη μέθοδο Περιορισμένης μέγιστης πιθανοφάνειας , επειδή  μεταβάλλοντας  τον προσδιορισμό των σταθερών  αποτελεσμάτων αλλάζει το νόημα των μεικτών , και το περιορισμένο μοντέλο, συνεπώς, δεν είναι φωλιασμένο μέσα στο μεγαλύτερο."
Προσομοιώθηκαν  έλεγχοι  θέτοντας μία και δύο τυχαίες συνιστώσες διακύμανσης με μηδέν. Σε αυτά τα συγκεκριμένα παραδείγματα, οι προσομοιωμένες  p-τιμές με k περιορισμούς αντιστοιχούν, αρκετά κοντά, σε ένα 50-50 μείγμα τιμών από    και  .  
(Για k = 1, η τιμή   είναι 0 με πιθανότητα1. Αυτό σημαίνει ότι μια καλή προσέγγιση θα ήταν η .) 
Οι Pinheiro και Bates, επίσης, προσομοίωσαν ελέγχους για διαφορετικά σταθερά αποτελέσματα. Σε μια δοκιμή ενός παράγοντα με 4 επίπεδα (οι βαθμοί ελευθερίας = 3), βρήκαν ότι ένα 50-50 μείγμα τιμών από   και  ήταν μια καλή αντιστοιχία  για πραγματικές  p-τιμές που προκύπτουν από την προσομοίωση – και το σφάλμα χρησιμοποιώντας το απλό  "να μην είναι πάρα πολύ ανησυχητικό". Ωστόσο, σε μια άλλη δοκιμή ενός παράγοντα με 15 επίπεδα, βρήκαν μια λογική αντιστοιχία απο   – 4 περισσότερους βαθμούς ελευθερίας από τους 14 που κάποιος θα έπαιρνε από μία απλή(ακατάλληλη) εφαρμογή του θεωρήματος  Wilks , και  η προσομοιωμένη  p-τιμή ήταν πολλές φορές η απλή τιμή της ." Κατέληξαν στο συμπέρασμα ότι για τον έλεγχο σταθερών αποτελεσμάτων, είναι σοφό να χρησιμοποιηθεί η προσομοίωση". (Οι ίδιοι έχουν εμπλουτίσει με την συνάρτηση "simulate.lme"  το πακέτο τους "nlme" για τα λογισμικά S-PLUS και R ώστε να υποστηρίζουν αυτή την προσομοίωση.)
Για να είμαστε σαφείς, οι παραπάνω περιορισμοί σχετικά με το θεώρημα του Wilks δεν αναιρούν οποιεσδήποτε ισχυρές ιδιότητες του συγκεκριμένου ελέγχου λόγου πιθανοφανειών , μόνο τη χρήση της - κατανομής για την εκτίμηση της στατιστικής σημαντικότητας.