Γινόμενο διανυσμάτων

Ορισμός

Το διανυσματικό γινόμενο δύο διανυσμάτων a και b μπορεί να οριστεί μόνο σε χώρους τριών διαστάσεων και συμβολίζεται a × b. Στη Φυσική, πολλές φορές χρησιμοποιείται ο συμβολισμός a ∧ b, όμως στα μαθηματικά αποφεύγεται, για να αποφευχθεί παρανόηση με το εξωτερικό γινόμενο.
Το γινόμενο a × b ορίζεται ως ένα διάνυσμα c, που είναι κάθετο προς τα a και b, με κατεύθυνση η οποία δίδεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού και έχει μέγεθος ίσο με το εμβαδόν του παραλληλόγραμμου που εκτείνονται οι φορείς.
Το διανυσματικό γινόμενο ορίζεται από τον τύπο:
,
όπου θ είναι η γωνία μεταξύ a και b στο επίπεδο που τα περιέχει (ως εκ τούτου, είναι μεταξύ 0 ° και 180 °), ‖a‖ και ‖b‖ είναι τα μέτρα των διανυσμάτων α και β, και το n είναι ένα διάνυσμα ίσο με τη μονάδα, κάθετο στο επίπεδο που ορίζεται από τα a και b. Η κατεύθυνσή του δίνεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού (που απεικονίζεται). Εάν τα διανύσματα a και b είναι παράλληλα (δηλαδή, η γωνία θ μεταξύ τους είναι είτε 0 ° ή 180 °), από τον ανωτέρω τύπο, το γινόμενο των a και b είναι το μηδενικό διάνυσμα 0.
Κατά σύμβαση, η κατεύθυνση του διανύσματος n δίνεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού, όπου ο δείκτης του δεξιού χεριού δείχνει προς την κατεύθυνση του a διανύσματος και το μεσαίο δάκτυλο στην κατεύθυνση του άλλου. Στη συνέχεια, το διάνυσμα n προκύπτει από τον αντίχειρα (δείτε την εικόνα στα δεξιά). Χρησιμοποιώντας τον κανόνα αυτό, συνεπάγεται ότι η ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα, δηλαδή b × a = −(a × b). Δείχνοντας με τον δείκτη προς το διάνυσμα b πρώτα, και στη συνέχεια, δείχνοντας το μεσαίο δάχτυλο προς το a, ο αντίχειρας θα μετακινηθεί προς την αντίθετη κατεύθυνση, αντιστρέφοντας την κατεύθυνση του n. 
Είναι απαραίτητο να ληφθεί σοβαρά υπόψιν ότι το χέρι που θα χρησιμοποιηθεί, για την εύρεση της κατεύθυνσης των διανυσμάτων, να είναι το δεξί (όπως αναφέρεται ρητά στον ορισμό παραπάνω). Εάν χρησιμοποιηθεί σύστημα συντεταγμένων με το αριστερό χέρι, η κατεύθυνση του διανύσματος n δίνεται από τον κανόνα του αριστερού χεριού και δείχνει προς την αντίθετη κατεύθυνση. 
Αυτό, όμως, δημιουργεί ένα πρόβλημα, διότι με τη μετατροπή από το ένα αυθαίρετο σύστημα αναφοράς στο ένα άλλο (π.χ., ένας καθρεφτικός μετασχηματισμός από ένα δεξιόχειρο σε ένα αριστερόχειρο σύστημα συντεταγμένων), δεν θα πρέπει να αλλάξει την κατεύθυνση του n. Το πρόβλημα λύνεται με τη συνειδητοποίηση ότι το γινόμενο των δύο διανυσμάτων δεν ένα «αληθινό» διάνυσμα, αλλά μάλλον ένα ψευτο-διάνυσμα.

Γινόμενο διανυσμάτων και Χρήση

Όταν μετρήσιμες ποσότητες αφορούν το γινόμενο διανυσμάτων και τη χρήση των ισότιμων συστημάτων που χρησιμοποιούνται δεν μπορεί να είναι αυθαίρετες. Ωστόσο, όταν οι νόμοι της φυσικής είναι γραμμένοι ως εξισώσεις, είναι δυνατόν να γίνει μια αυθαίρετη επιλογή του συστήματος συντεταγμένων. Για να αποφύγετε τα προβλήματα, πρέπει να είστε προσεκτικοί να μην γράψετε πουθενά μια εξίσωση όπου οι δύο πλευρές δεν συμπεριφέρονται εξίσου το ίδιο με όλους τους μετασχηματισμούς που πρέπει να ληφθούν υπόψη. Για παράδειγμα, αν η μία πλευρά της εξίσωσης είναι ένα γινόμενο δυο διανυσμάτων θα πρέπει να λάβουμε υπόψη ότι όταν η χρήση από ισότιμο σύστημα δεν καθορίζεται εκ των προτέρων, το αποτέλεσμα δεν είναι διάνυσμα αλλά ένα ψευδοδιάνυσμα. Ως εκ τούτου, για τη συνοχή,η άλλη πλευρά πρέπει να είναι επίσης ένα ψευδοδιάνυσμα.
Γενικότερα, το αποτέλεσμα ενός γινόμενο διανυσμάτων μπορεί να είναι ένα διανυσματικό αντικείμενο ή ένα ψευδοδιάνυσμα, ανάλογα με τον τύπο του τα τελεστέους (διανύσματα ή ψευδοδιανύσματα). Δηλαδή, διανύσματα και ψευδοδιανύσμαtα είναι αλληλένδετες με τους ακόλουθους τρόπους με εφαρμογή του το εξωτερικό γινόμενο: 
•διάνυσμα×διάνυσμα=ψευδοδιάνυσμα
•ψευδοδιάνυσμα×ψευδοδιάνυσμα=ψευδοδιάνυσμα
•διάνυσμα×ψευδοδιάνυσμα=διάνυσμα
•ψευδοδιάνυσμα×διάνυσμα=διάνυσμα
Έτσι από τις παραπάνω σχέσεις, η μονάδα βάσης διανυσμάτων,i, j και k ενός ορθοκανονικού,δεξιόχειρες(Καρτεσιανό) συντονίζουν πλαίσιο πρέπει όλα να είναι ψευδοδιανύσματα (αν μια βάση για μικτό διάνυσμα τύπων δεν επιτρέπεται δεδομένου ότι είναι συνήθως) από i × j = k, j × k = i and k × i = j.
Επειδή το εξωτερικό γινόμενο μπορεί επίσης να είναι ένα (αληθινο) διάνυσμα δεν μπορεί δηλαδή να αλλάξει κατεύθυνση με ένα είδωλο μετασχηματισμό. Αυτό συμβαίνει, σύμφωνα με τις παραπάνω σχέσεις, εάν ένας από τους τελεστέους είναι ένα (αληθινο) διάνυσμα και το άλλο είναι ένα ψευδοδιάνυσμα (π.χ., το εξωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων). Για παράδειγμα, ένα τριπλό γινόμενο διανυσμάτων που αφορά τρία διανύσματα είναι ένα (αληθινο) διάνυσμα.

Εφαρμογές

Το εξωτερικό γινόμενο έχει εφαρμογές σε διάφορα πλαίσια: π.χ. χρησιμοποιείται σε υπολογιστική γεωμετρία, της φυσικής και της μηχανικής. Ακολουθεί μια λίστα μη εξαντλητικού καταλόγου παραδειγμάτων.

Υπολογιστική Γεωμετρία

Το εξωτερικό γινόμενο εμφανίζεται στον υπολογισμό της απόστασης των δύο κλίσης γραμμών (γραμμές που δεν είναι στο ίδιο επίπεδο) από την άλλη στον τρισδιάστατο χώρο.
Το εξωτερικό γινόμενο μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να υπολογίσει το κανονικό για ένα τρίγωνο ή το πολύγωνο, μια λειτουργία που πραγματοποιείται συχνά σε γραφικά υπολογιστών. Για παράδειγμα,το τύλιγμα ενός πολυγώνου (δεξιόστροφα ή αριστερόστροφα) γύρω από ένα σημείο εντός πολυγώνου μπορεί να υπολογιστεί με τριγωνισμό του πολυγώνου (όπως το γωνστό σύστημα μιας ρόδας) και αθροίζοντας τις γωνίες (μεταξύ των ακτίνων) χρησιμοποιώντας το εξωτερικό γινόμενο για να παρακολουθείτε το πρόσημο του κάθε γωνία.
Στην υπολογιστική γεωμετρία του επιπέδου, το εξωτερικό γινόμενο χρησιμοποιείται για να καθορίσει το πρόσημο της οξείας γωνίας ορίζεται από τρία σημεία p_1=(x_1,y_1)</math>,  and . Αντιστοιχεί προς την κατεύθυνση του εξωτερικού γινομένου των δυο συνεπίπεδων διανυσμάτων που ορίζονται από τα ζεύγη των σημείων  and , i.e., δηλαδή, από το πρόσημο του. Στο «δεξιόχειρο'' σύστημα συντεταγμένων, εάν το αποτέλεσμα είναι 0, τα σημεία είναι συγγραμικά ;Εάν είναι θετικό, τα τρία σημεία αποτελούν μια θετική γωνία περιστροφής γύρω από το   ,αλλιώς μια αρνητική γωνία. Από μια άλλη άποψη, το σύμβολο  λέει αν το  είναι στα αριστερά ή στα δεξιά των .
Το εξωτερικό γινόμενο χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό του όγκου ενός πολυέδρου όπως ένα τετράεδρο ή ένα παραλληλεπίπεδο.

Γωνιακή ορμή και ροπή

Η γωνιακή ορμή  ενός σωματιδίου για μια δεδομένη καταγωγή, είναι ορίζεται ως: 
όπου  είναι η θέση του διανύσματος του σωματιδίου σε σχέση με την προέλευση, είναι η γραμμική ορμή του σωματιδίου.
Με τον ίδιο τρόπο,η ροπή  μιας δύναμης  εφαρμόζεται στο σημείο Β γύρω από το σημείο Α και δίνεται ως:
Στην μηχανική η ροπή μιας δύναμης την ονομάζεται επίσης ροπή και γράφεται ως .
Από τη θέση , γραμμική ορμή  και δύναμη  είναι όλα αληθή διανύσματα,τόσο η γωνιακή ορμή  και η στιγμή μιας δύναμης  είναι ψευδοδιανύσματα ή αξονικά διανύσματα.

Στερεό σώμα

Το εξωτερικό γινόμενο εμφανίζεται συχνά στην περιγραφή των άκαμπτων κινήσεων. Δύο σημεία P και Q σε ένα άκαμπτο σώμα μπορεί να σχετίζονται με:
όπου  είναι το σημείο της θέσης,  είναι η ταχύτητα και  είναι η γωνιακή ταχύτητα του σώματος.
Από τη στιγμή που η θέση  και η ταχύτητα  είναι αληθή διανύσματα,η γωνιακή ταχύτητα  είναι ένα ψευδοδιάνυσμα ή αξονικό διάνυσμα.

Δύναμη Λόρεντζ

Το εξωτερικό γινόμενο χρησιμοποιείται για να περιγράψουν τη δύναμη Lorentz εμπευσμένοι από ένα κινούμενο ηλεκτρικό φορτίο  :  
Από τότε που η ταχύτητα ,η δύναμη  και το ηλεκτρικό πεδίο  ειναι όλα αληθή διανύσματα,το μαγνητικό πεδίο  είναι ένα ψευδοδιάνυσμα.

Αλλα

Στο διανυσματικό λογισμό, το εξωτερικό γινόμενο χρησιμοποιείται για να καθορίσει τον τύπο του διανυσματικού φορέα.
Το τέχνασμα της επανασυγγραφής του εξωτερικού γινομένου σε όρους του πολλαπλασιασμού πινάκων εμφανίζεται συχνά στην επιπολική και στην πολυδιάστατη γεωμετρία,ιδίως όταν παραγωγίζοντας ταιριάζουν οι περιορισμοί.

Ιστορια

Το 1773, ο Ιταλός μαθηματικός Joseph Louis Lagrange, (γεννημένος Giuseppe Luigi Lagrancia), εισήγαγε τη μορφή των συνιστωσών στο γινόμενο διανυσμάτων, προκειμένου να μελετήσει το τετράεδρο σε τρεις διαστάσεις. Το 1843 ο Ιρλανδός μαθηματικός και φυσικός Sir William Rowan Hamilton εισήγαγε το τετραδικό διάνυσμα, και μαζί με αυτό τους όρους «φορέας» και «βαθμωτό». Δεδομένων δύο τετραδιων [0, u] και [0, v], όπου υ και ν είναι φορείς σε R3, το τετραδικό διάνυσμα τους μπορούν να συνοψιστούν ως [-u ⋅ v, u × v]. Ο James Clerk Maxwell χρησιμοποίησε το τετραδικό διάνυσμα του Hamilton για να αναπτύξει τις διάσημες εξισώσεις ηλεκτρομαγνητισμού, και για αυτό και για άλλους λόγους για έναν καιρό ήταν ένα ουσιαστικό μέρος της φυσικής εκπαίδευσης.
Το 1878 ο William Kingdon Clifford δημοσίευσε στοιχεία του Dynamic η οποία ήταν ένα προηγμένο κείμενο για την εποχή του. Αυτός ορίζει το γινόμενο δύο διανυσμάτων για να έχουν μέγεθος ίσο με το εμβαδόν του παραλληλογράμμου του οποίου οι δύο πλευρές έχουν κατεύθυνση κάθετη προς το επίπεδο τους.
Ο Oliver Heaviside στην Αγγλία και Josiah Willard Gibbs, καθηγητής στο Πανεπιστήμιο του Yale στο Connecticut, αισθάνθηκε επίσης ότι οι μέθοδοι τετραδικών διάνυσματων ήταν πολύ δυσκίνητη, συχνά απαιτείται το βαθμωτό ή διανυσματικό μέρος του αποτελέσματος που πρέπει να εξαχθεί. Έτσι, περίπου σαράντα χρόνια μετά το τετραδικό διάνυσμα και το γινόμενο εισήχθησαν στη θερμαινόμενη αντιπολίτευση. Ζωτικής σημασίας για την (ενδεχόμενη) αποδοχή ήταν η αποδοτικότητα της νέας προσέγγισης, επιτρέποντας τον Heaviside να μειώσει τις εξισώσεις του ηλεκτρομαγνητισμού Μάξγουελ από αρχικά 20 σε 4 μέχρι σήμερα.
Σε μεγάλο βαθμό ανεξάρτητα από την εξέλιξη αυτή, και σε μεγάλο βαθμό παραγνωρισμένη εκείνη την εποχή, ο Hermann Grassmann θα δημιουργήσει μια γεωμετρική άλγεβρα δεν συνδέεται με δύο ή τρεις διαστάσεις, πάρα με την εξωτερική επιφάνεια του διανύσματος να παίζει κεντρικό ρόλο. Το 1853 ο Augustin-Louis Cauchy, σύγχρονος του Grassmann, δημοσίευσε ένα έγγραφο σχετικά με αλγεβρικό κλειδιά που χρησιμοποιήθηκαν για την επίλυση εξισώσεων και είχαν τις ίδιες ιδιότητες πολλαπλασιασμού με το διανυσματικό γινόμενο. Ο William Kingdon Clifford συνδύασε τις άλγεβρες του Χάμιλτον και Grassmann για την παραγωγή της άλγεβρας του Clifford, όπου στην περίπτωση των τρισδιάστατων διανυσμάτων η bivector που παράγεται από δύο φορείς dualizes σε ένα φορέα, αναπαράγοντας έτσι το γινόμενο.
Η παράσταση του γινόμενου και η ονομασία «διανυσματικό γινομενο» ξεκίνησε με τον Gibbs. Αρχικά εμφανίστηκαν σε ιδιωτικά δημοσιεύσεις-σημειώσεις για τους μαθητές του το 1881 ως στοιχεία της Διανυσματικής Ανάλυσης. Το βοηθητικό πρόγραμμα για τους μηχανικούς σημειώθηκε από τον Aleksandr Kotelnikov. Σημειογραφίκα ο Gibbs και το όνομα «γινόμενο» αργότερα έφτασε σε ένα ευρύ κοινό μέσω της Διανυσματικής Ανάλυσης, ένα βιβλίο από τον Edwin Bidwell Wilson, πρώην φοιτητή. ο Wilson αναδιατάσσει υλικό από διαλέξεις Gibbs, σε συνεργασία με το υλικό από δημοσιεύσεις των Heaviside, Föpps, και Χάμιλτον. Χώρισε την ανάλυση του φορέα σε τρία μέρη:
Πρώτον, εκείνο που αφορά την προσθήκη και τα βαθμωτά και διανυσματικά γινόμενα των φορέων. Δεύτερον, αυτό το οποίο αφορά τον διαφορικό και ολοκληρωτικό λογισμό στις σχέσεις της με την κλιμακωτή και λειτουργιά του φορέα. Τρίτον, η οποία περιέχει τη θεωρία της λειτουργίας του γραμμικού φορέα.
Δύο κύρια είδη φορέα πολλαπλασιασμού ορίστηκαν, και τα έλεγαν ως εξής:
Το ευθη, βαθμωτο, ή γινόμενο των δύο διανυσμάτων
Η ασυμμετρία, του φορέα, ή γινόμενο των δύο διανυσμάτων
Εξετάστηκαν, επίσης, διάφορα είδη τριπλών διανυσμάτων και διανυσμάτων άνω των τριών φορέων. Η προαναφερθείσα επέκταση τριπλου διανύσματος συμπεριλαμβάνεται επίσης.