Διάνυσμα Laplace–Runge–Lenz

Γενικό πλαίσιο

Ένα ενιαίο σωματίδιο το οποίο κινείται κάτω από οποιαδήποτε συντηρητική κεντρική δύναμη έχει τουλάχιστον τέσσερις σταθερές της κίνησης, την ολική ενέργεια (Ε) καθώς και τις τρεις καρτεσιανές συνιστώσες της στροφορμής διανύσματος (L). Η τροχιά του σωματιδίου περιορίζεται σε ένα επίπεδο που ορίζεται από την αρχική ορμή (p) του σωματιδίου (ή , ισοδύναμα, την ταχύτητά του (v) και το διάνυσμα r μεταξύ του σωματιδίου και του κέντρο της δύναμης (βλέπε εικόνα 1, παρακάτω).
Όπως ορίζεται παρακάτω (βλέπε μαθηματικό ορισμό), το διάνυσμα Laplace-Runge-Lenz (διάνυσμα LRL ) Α βρίσκεται πάντα στο επίπεδο της κίνησης για κάθε κεντρική δύναμη. Ωστόσο, το Α είναι σταθερό μόνο για μια κεντρική δύναμη αντιστρόφου τετραγώνου.  Για τις περισσότερες κεντρικές δυνάμεις, ωστόσο, αυτό το διάνυσμα Α δεν είναι σταθερό, αλλά αλλάζει τόσο σε μήκος 'όσο και σε κατεύθυνση, αν η κεντρική δύναμη υπακούει περίπου στο νόμο του αντιστρόφου τετραγώνου, το διάνυσμα Α είναι περίπου σταθερό σε μήκος, αλλά σιγά-σιγά περιστρέφει την κατεύθυνσή του. Ένα γενικευμένο συντηρημένη LRL διάνυσμα μπορεί να οριστεί για όλες τις κεντρικές δυνάμεις, αλλά αυτή το γενικευμένο διάνυσμα είναι μια πολύπλοκη συνάρτηση της θέσης, και συνήθως δεν εκφράζεται σε κλειστή μορφή. 
Το επίπεδο της κίνησης είναι κάθετο προς το διάνυσμα της στροφορμής L,  που είναι σταθερό. Αυτό μπορεί να εκφραστεί μαθηματικά ως το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων r · L = 0, ομοίως δεδομένου ότι το Α βρίσκεται σε αυτό το επίπεδο προκύπτει, A · L = 0.
Το διάνυσμα LRL διαφέρει από τις άλλες διατηρούμενες ποσότητες στην ακόλουθη ιδιότητα: Λαμβάνοντας υπόψη ότι για τυπικές διατηρούμενες ποσότητες υπάρχουν οι αντίστοιχες κυκλικές συντεταγμένες στο τρισδιάστατο σύστημα Lagrangian , εκεί δεν υπάρχουν τέτοιες συντεταγμένες για τον διάνυσμα LRL. Έτσι, η διατήρηση του διανύσματος LRL πρέπει να προέρχεται απευθείας π.χ. από τη μέθοδο των αγκύλων Poisson, η οποία περιγράφεται παρακάτω. Οι συντηρημένες ποσότητες αυτού του είδους ονομάζονται «δυναμικές», σε αντίθεση με τους συνήθεις «γεωμετρικούς» νόμους διατήρησης, π.χ. εκείνους της στροφορμής.

Ιστορία των παράλληλων ανακαλύψεων

Το διάνυσμα LRL Α είναι μια σταθερά της κίνησης του σημαντικού προβλήματος Κέπλερ και είναι χρήσιμο για την περιγραφή αστρονομικών τροχιών όπως η κίνηση των πλανητών. Παρ 'όλα αυτά ποτέ δεν ήταν ιδιαίτερα διαδεδομένο στους φυσικούς. Κατά συνέπεια έχει ανακαλύφθηκε ανεξάρτητα αρκετές φορές κατά τη διάρκεια των τελευταίων τριών αιώνων.  
Ο Jakob Hermann ήταν ο πρώτος που δείχνει ότι το Α διατηρείται για μια ειδική περίπτωση μιας κεντρικής δύναμης του αντίστροφου τετραγώνου   και επεξεργάστηκε τη σύνδεσή της με την εκκεντρικότητα της τροχιακής έλλειψης. Η εργασία του Hermann  γενικεύτηκε σε σύγχρονη μορφή από τον Johann Bernoulli το 1710.   Στο τέλος του αιώνα ο Pierre-Simon de Laplace ανακάλυψε ξανά τη διατήρηση του A περισσότερο αναλυτικά παρά γεωμετρικά.  Στα μέσα του δέκατου ένατου αιώνα ο William Rowan Hamilton βρίσκει το αντίστοιχο διάνυσμα εκκεντρότητας που ορίζεται παρακάτω, , και το χρησιμοποιεί για να αποδείξει ότι το διάνυσμα p της ορμής κινείται σε έναν κύκλο για την κίνηση κάτω από την επίδραση μιας δύναμης αντιστρόφως ανάλογης του τετραγώνου (Σχήμα 3)  .
Στις αρχές του εικοστού αιώνα ο Josiah Willard Gibbs βρίσκει το ίδιο διάνυσμα με διανυσματική ανάλυση.  Η ανακάλυψη του Gibbs χρησιμοποιήθηκε ως παράδειγμα από τον Runge Carle σε ένα δημοφιλές γερμανικό βιβλίο για διανύσματα, στην οποία αναφέρεται ο Wilhelm Lenz στην εργασία του σχετικά με την (παλιά) κβαντική μηχανική επεξεργασία του ατόμου του υδρογόνου. Το 1926, το διάνυσμα είχε χρησιμοποιηθεί από τον Wolfgang Pauli για να ερευνήσει το φάσμα του υδρογόνου με τη χρήση σύγχρονης κβαντομηχανικής, αλλά όχι την εξίσωση Schrödinger;  από τη δημοσίευσή του Pauli έμεινε γνωστό ως το διάνυσμα Runge-Lenz .

Σταθερές της κίνησης και υπερ-ολοκληρωσιμότητα

Οι επτά μονοδιάστατες ποσότητες Ε, Α και L (που είναι διανύσματα, οι δύο τελευταίες συνεισφέρουν τρεις διατηρημένες ποσότητες κάθε μία) σχετίζονται με δύο εξισώσεις, Α · L = 0 και A² = m²k² + 2 m E L², δίνοντας πέντε ανεξάρτητες σταθερές κίνησης. Αυτό είναι σύμφωνο με τις έξι αρχικές συνθήκες (αρχική θέση του σωματιδίου και διάνυσμα ταχύτητας, το καθένα με τρεις συνιστώσες) που προσδιορίζουν την τροχιά του σωματιδίου, δεδομένου ότι ο αρχικός χρόνος δεν καθορίζεται από μια συνέχεια της κίνησης. Δεδομένου ότι το μέγεθος του Α (και η εκκεντρότητα e της τροχιάς) μπορεί να προσδιοριστεί από τη συνολική στροφορμή L και την ενέργεια Ε, μόνο η κατεύθυνση του Α διατηρείται ανεξάρτητα. Περαιτέρω, εφόσον το Α πρέπει να είναι κάθετο στο L, συμβάλλει μόνον μία επιπλέον διατηρημένη ποσότητα.
Ένα μηχανικό σύστημα με d βαθμούς ελευθερίας μπορεί να έχει το πολύ 2d - 1 σταθερές της κίνησης, δεδομένου ότι υπάρχουν 2d αρχικές συνθήκες και ο αρχικός χρόνος δεν μπορεί να προσδιοριστεί από μια σταθερά της κίνησης. Ένα σύστημα με περισσότερες από d σταθερές της κίνησης ονομάζεται υπερ-ολοκληρώσιμο και ένα σύστημα με 2d - 1 σταθερές ονομάζεται μέγιστα υπερ-ολοκληρώσιμο. Δεδομένου ότι η λύση της εξίσωσης Hamilton-Jacobi σε ένα σύστημα συντεταγμένων μπορεί να δώσει μόνο d σταθερές της κίνησης, τα υπερ-ολοκληρώσιμα συστήματα πρέπει να να διαχωρισθούν σε περισσότερα από ένα σύστημα συντεταγμένων. Το πρόβλημα Kepler είναι μέγιστα υπερ-ολοκληρώσιμο, δεδομένου ότι έχει τρεις βαθμούς ελευθερίας (d = 3), και πέντε ανεξάρτητες σταθερές της κίνησης. Η Hamilton-Jacobi εξίσωση της είναι διαχωρίσιμη τόσο για σφαιρικές συντεταγμένες όσο και για τις παραβολικές συντεταγμένες , όπως περιγράφεται στη συνέχεια.
Τα μέγιστα υπερ-ολοκληρώσιμα συστήματα ακολουθούν κλειστές, μονοδιάστατες τροχιές στον χώρο, καθώς η τροχιά είναι η τομή των επιφανειών που καταλαμβάνουν στον τρισδιάστατο χώρο οι σταθερές της κίνησης. Κατά συνέπεια, οι τροχιές είναι κάθετες με όλες τις βαθμίδες όλων αυτών των ανεξάρτητων επιφανειών, πέντε σε αυτό το συγκεκριμένο πρόβλημα, και ως εκ τούτου καθορίζονται από τα συνήθη εξωτερικά γινόμενα όλων αυτών των βαθμίδων Ως εκ τούτου, όλα τα υπερ-ολοκληρώσιμα συστήματα περιγράφονται αυτόματα από την μηχανική Nambu, , εναλλακτικά, και ισοδύναμα, από την Χαμιλτονιανή μηχανική. Τα μέγιστα υπερ-ολοκληρώσιμα συστήματα μπορούν να υπολογιστούν χρησιμοποιώντας τις σχέσεις μετατροπής, όπως παρουσιάζεται στη συνέχεια. Ωστόσο, ισόποσα, είναι επίσης υπολογισμένα με το πλαίσιο Nambu, όπως αυτό το κλασσικό πρόβλημα Kepler στο άτομο του υδρογόνου.

Αποδείξεις ότι το διάνυσμα Laplace-Runge-Lenz διατηρείται στα προβλήματα Kepler

Τα παρακάτω είναι τα επιχειρήματα που δείχνουν ότι το LRL διάνυσμα διατηρείται, υπό την κεντρική δυνάμεις που υπακούουν σε ένα νόμο του αντιστρόφου τετραγώνου.