Ολόμορφη συνάρτηση

Στα μαθηματικά, οι ολόμορφες συναρτήσεις είναι τα βασικά αντικείμενα μελέτης στην μιγαδική ανάλυση. Μια ολόμορφη συνάρτηση είναι μια μιγαδική συνάρτηση μιας ή περισσότερων μιγαδικών μεταβλητών που είναι μιγαδικά παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο μιας περιοχής του πεδίου ορισμού της Η ύπαρξη μιας μιγαδικής παραγώγου σε μια περιοχή τιμών είναι πολύ σημαντική,  γιατί υποδηλώνει ότι κάθε ολόμορφη συνάρτηση είναι στην πραγματικότητα απείρως διαφορίσιμη και ίση με τη δική της σειρά Taylor.
Ο όρος αναλυτική συνάρτηση συχνά χρησιμοποιείται αντί του "ολόμορφη συνάρτηση", αν και ο όρος "αναλυτική" χρησιμοποιείται επίσης με την ευρύτερη έννοια για να περιγράψει οποιαδήποτε συνάρτηση (πραγματική, μιγαδική, ή πιο γενικού τύπου) που μπορεί να γραφτεί ως συγκλίνουσα δυναμοσειρά γύρω από κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της. Το γεγονός ότι όλες οι ολόμορφες συναρτήσεις είναι μιγαδικές αναλυτικές συναρτήσεις, και αντιστρόφως, είναι ένα σημαντικό θεώρημα στη μιγαδική ανάλυση.
Οι ολόμορφες συναρτήσεις αναφέρονται επίσης, μερικές φορές, ως αναλυτικές συναρτήσεις ή ως σύμορφη απεικόνιση. Μία ολόμορφη συνάρτηση της οποίας το πεδίο ορισμού είναι όλο το μιγαδικό επίπεδο ονομάζεται μια ακέραια συνάρτηση. Η φράση "ολόμορφη σε ένα σημείο z₀" σημαίνει όχι μόνο παραγωγήσιμη στο z₀, αλλά παραγωγίσιμη παντού μέσα σε κάποια περιοχή του z₀ στο μιγαδικό επίπεδο.

Ορολογία

Η λέξη "ολόμορφος" εισήχθη από δύο μαθητές του Cauchy, τον Briot (1817–1882) και τον Bouquet (1819–1895), και προέρχεται από τις ελληνικές λέξεις ὅλος και  μορφή που σημαίνει "εμφάνιση".
Στις μέρες μας, ο όρος "ολόμορφη συνάρτηση" κάποιες φορές χρησιμοποιείται αντί του "αναλυτική συνάρτηση", καθώς ο δεύτερος είναι πιο γενικός. Και επίσης λόγω του ότι ένα πολύ σημαντικο συμπέρασμα στην μιγαδική ανάλυση είναι ότι κάθε ολόμορφη συνάρτηση είναι μιγαδικά αναλυτική κάτι που δεν προκύπτει άμεσα από τους ορισμούς. Ο όρος "αναλυτική", ωστόσο έχει ευρεία χρήση.

Πολλές μεταβλητές

Ο ορισμός μιας ολόμορφης συνάρτησης γενικεύεται άμεσα ώστε να αφορά πολλές μιγαδικές μεταβλητές. Έστω D είναι ένα ανοιχτό υποσύνολο του Cⁿ, και έστω f : D → C. Η συνάρτηση f είναι αναλυτική σε ένα σημείο p του D αν υπάρχει μια ανοιχτή περιοχή του p στην οποία η f ισούται με μια συγκλίνουσα δυναμοσειρά με n μιγαδικές μεταβλητές. Ορίζουμε ότι η f είναι ολόμορφη αν είναι αναλυτική σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της. Το λήμμα του Osgood δείχνει (χρησιμοποιώντας τον τύπο ολοκλήρωσης πολλών μεταβλητών του Cauchy) ότι, για μια συνεχή συνάρτηση f, αυτό είναι ισοδύναμο με το ότι η f είναι ολόμορφη ως προς κάθε μεταβλητή ξεχωριστά (δηλ. αν κάποιες n − 1 συντεταγμένες είναι σταθερές, τότε η περιορισμένη μορφή της f είναι μια ολόμορφη συνάρτηση της συντεταγμένης που απομένει). Με το πιο σύνθετο θεώρημα του Hartogs αποδεικνύεται ότι η υπόθεση συνέχειας είναι περιττή: η f είναι ολόμορφη αν και μόνον αν είναι ολόμορφη ως προς κάθε μεταβλητή ξεχωριστά.
Γενικότερα, μια συνάρτηση πολλών μιγαδικών μεταβλητών που είναι τετραγωνικά ολοκληρώσιμη σε ένα συμπαγές υποσύνολο του πεδίου ορισμού της είναι αναλυτική αν και μόνον αν ικανοποιεί τις εξισώσεις Cauchy–Riemann σε σχέση με τις κατανομές.
Οι συναρτήσεις πολλών μιγαδικών μεταβλητών είναι κατα βάση πιο σύνθετες από τις συναρτήσεις μιας μιγαδικης μεταβλητής. Για παράδειγμα, η περιοχή σύγκλισης μιας δυναμοσειράς δεν είναι απαραίτητα μια ανοιχτή σφαίρα. Αυτές οι περιοχές ονομάζονται πεδία Reinhardt, το απλούστερο παράδειγμα των οποιων είναι ένα polydisc (polydisk) Ωστόσο, παρουσιάζουν επίσης κάποιους βασικούς περιορισμούς. Σε αντίθεση με τις συναρτήσεις μιας μιγαδικής μεταβλητής, τα πιθανά πεδία στα οποία υπάρχουν ολόμορφες συναρτήσεις που δεν μπορούν να επεκταθουν σε μεγαλύτερα πεδία, είνα εξαιρετικά περιορισμένα. Ένα τετοιο σύνολο ονομάζεται πεδίο ολομορφίας (domain of holomorphy)

Επέκταση στην ανάλυση συναρτήσεων

Η έννοια της ολόμορφης συνάρτησης μπορεί να εκφραστεί σε χώρους απείρων διαστάσεων της ανάλυσης συναρτήσεων. Για παράδειγμα, η παράγωγος Fréchet ή Gâteaux μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να οριστεί η έννοια μιας ολόμορφης συνάρτησης σε έναν Banach στο πεδίο των μιγαδικών αριθμών.