Θεώρημα Κέιλεϊ-Χάμιλτον

1
        ×
        1
      
    
    {\displaystyle 1\times 1}
  
 πίνακες

Για έναν  πίνακα , το χαρακτηριστικό πολυώνυμο δίνεται από την , οπότε  είναι προφανές.

Απόδειξη χρησιμοποιώντας πίνακες ενδομορφισμού

Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, ο πίνακας p(A) σε δήλωση του θεωρήματος προκύπτει υπολογίζοντας πρώτα την ορίζουσα και, στη συνέχεια, αντικαθιστώντας τον πίνακα Α με t,το να γίνει αυτή η αντικατάσταση στον πίνακα  πριν από τον υπολογισμό της ορίζουσαν είναι ανούσιο. Παρ ' όλα αυτά, είναι δυνατόν να δωθεί μια ερμηνεία όπου ο p(A) προκύπτει άμεσα ως η τιμή μίας συγκεκριμένης ορίζουσας, αλλά αυτό απαιτεί μια πιο περίπλοκη ρύθμιση, έναν εκ των πινάκων πάνω από τον δακτύλιο στον οποίο μπορεί κανείς να ερμηνεύσει τόσο τις καταχωρήσεις  του Α και τον ίδιο τον Α . Θα μπορούσε κανείς να πάρει αυτόν τον δαχτύλιο M(n, R) των n×n πινάκων πάνω από το R, όπου η καταχώρηση  γίνεται αντιληπτή, ως και ως ο ίδιος ο Α . Αλλά, λαμβάνοντας υπόψη πίνακες με πίνακες, ως  καταχωρήσεις μπορεί να προκαλέσει σύγχυση με το μπλοκ πίνακες, το οποίο δεν είναι επιθυμητό, καθώς αυτό δίνει τη λάθος έννοια της ορίζουσας (υπενθυμίζεται ότι η ορίζουσα ενός πίνακα ορίζεται ως το σύνολο του γινομένου των καταχωρήσεων, και στη περίπτωση ενός μπλοκ πίνακα αυτό γενικά δεν είναι το ίδιο όπως και το αντίστοιχο άθροισμα από των γινομένων των πινάκων!). !). Είναι πιο σαφές να διαχωρίσουμε τον Α από τον ενδομορφισμό φ ενός n-διάστατου διανυσματικού χώρου V (ή ελεύθερου R-module αν το R δεν είναι ένα πεδίο), το οποίο ορίζεται από αυτό σε μια βάση e₁, ..., eₙ, και για να παρθούν πίνακες πάνω από τον δακτύλιο End(V) όλων αυτών των ενδομορφισμών. Στη συνέχεια, φ ∈ End(V) είναι μια πιθανή καταχώρηση για τον πίνακα, ενώ ο Α παράγει το στοιχείο του M(n, και End(V)), του οποίου i,j καταχώρηση είναι ενδομορφισμός του κλιμακωτού πολλαπλασιασμού κατά , ομοίως o Iₙ θα πρέπει να ερμηνευθεί ως στοιχείο του M(n, και End(V)). Ωστόσο, αφού End(V) δεν είναι αντιμεταθετικός δακτύλιος, καμία ορίζουσα δεν ορίζεται στο M(n, και End(V)). αυτό μπορεί να γίνει μόνο για πίνακες πάνω από έναν αντιμεταθετικό υποδακτύλιο του End(V). Τώρα οι καταχωρήσεις του πίνακα  ,  βρίσκονται στον υποδακτύλιο R[φ] που παράγεται από το ταυτοτικό στοιχείο και την φ, η οποία είναι αντιμεταθετική. Στη συνέχεια, μία καθοριστική αντιστοίχηση  M(n, R[φ]) → R[φ] ορίζεται, και  υπολογίζει την τιμή p(φ) του χαρακτηριστικού πολυωνύμου του Α στο φ (αυτό ισχύει ανεξάρτητα από τη σχέση μεταξύ των Α και δ). το θεώρημα Cayley–Hamilton δηλώνει ότι p(φ) είναι το κενός ενδομορφισμός.
Σε αυτή τη μορφή, η ακόλουθη απόδειξη μπορεί να ληφθεί από αυτή (Atiyah & MacDonald 1969, Prop. 2.4) (η οποία στην πραγματικότητα είναι η πιο γενική δήλωση που συνδέεται με την Nakayama λήμμα * η οποία χρειάζεται κατ' εκδοχήν σε αυτή την πρόταση ολόκληρο τον δακτύλιο R). Το γεγονός ότι ο Α είναι ο πίνακας της φ στην βάση e₁, ..., eₙ σημαίνει ότι
Μπορεί κανείς να ερμηνεύσει αυτές, ως n στοιχεία μιάς εξίσωσης στον Vⁿ, τα μέλη της οποίας μπορούν να γραφτούν χρησιμοποιώντας τον βαθμωτό πίνακα διανυσμάτων M(n, και End(V)) × Vⁿ → Vⁿ που ορίζεται ως συνήθως, αλλά με ξεχωριστές καταχωρήσεις ψ ∈ End(V) και το v στον V "πολλαπλασιάζεται" με τη διαμορφώνοντας το , αυτό δίνει:
όπου  είναι το στοιχείο του οποίου η συνιστώσα i θα είναι eᵢ (με άλλα λόγια, είναι η βάση e₁, ..., eₙ του V που γράφεται ως μια στήλη διανυσμάτων). Γράφοντας αυτή την εξίσωση ως
κάποιος αναγνωρίζει τη μετατόπιση του πίνακα  που μελετήθηκε παραπάνω, και την ορίζουσά του (ως στοιχείο του M(n, R[φ])) είναι επίσης σ(φ). Αυτό που απορρέει από αυτή την εξίσωση ειναι ότι σ(φ) = 0 ∈ Ενδ(V), που πολλαπλασιάζεται από αριστερά με τον συζυγή πίνακα της , ο οποίος ορίζεται στον πίνακα δακτυλίου M(n, R[φ]), δίνοντας
η συσχέτιση  πίνακα-πίνακα και πίνακα-διανυσματικών πολλαπλάσιων που χρησιμοποιείται κατά το πρώτο βήμα είναι μια καθαρά τυπική ιδιότητα των πράξεων αυτών, ανεξάρτητα από τη φύση των καταχωρήσεων. Τώρα η συνιστώσα i αυτής της εξίσωσης λέει ότι σ(φ)(e ' ) = 0 ∈ V. έτσι p(φ) απαλοίφει  όλα τα  eᵢ,  και δεδομένου ότι τα στοιχεία αυτά παράγουν τον V έπεται ότι σ(φ) = 0 ∈ End(V), ολοκληρώνοντας την απόδειξη.
Ένα επιπλέον γεγονός που προκύπτει από αυτή απόδειξη είναι ότι ο πίνακας Α του οποίου το χαρακτηριστικό πολυώνυμο έχει βρεθεί δεν χρειάζεται να είναι ταυτόσημο με την τιμή του φ το οποίο αντικαταστάται σε αυτό το πολυώνυμο * αρκεί ότι η φ είναι ένας ενδομορφισμός του V που ικανοποιεί τις αρχικές εξισώσεις
για κάποια ακολουθία στοιχείων του e₁,...,eₙ που παράγουν τον V (ο χώρος αυτός μπορεί να έχει μικρότερη διάσταση από n, ή σε περίπτωση που ο δακτύλιος R δεν είναι σώμα  μπορεί να μην είναι ένα ελεύθερο συζυγές τελικά ).

Μία ψευδής "απόδειξη": p(A) = det(AIn − A) = det(A − A) = 0

Μια συνεχές στοιχειώδες αλλά εσφαλμένο όρισμα για το θεώρημα είναι "απλά" να πάρετε τον ορισμό
και να αντικαταστήσετε τον Α με λ, λαμβάνοντας
Υπάρχουν πολλοί τρόποι για να δείτε γιατί αυτό το όρισμα είναι λάθος. Πρώτον, στο θεώρημα Cayley–Hamilton,ο  p(A) είναι ένας n×n πίνακας. Ωστόσο, στο δεξί μέρος της παραπάνω εξίσωσης είναι η τιμή της ορίζουσας, η οποία είναι κλιμακωτή. Έτσι, δεν μπορούν να εξισωθούν, εκτός αν n = 1 (δηλ. ο Α είναι απλά κλιμακωτός). Δεύτερον, στην έκφραση , η μεταβλητή λ προκύπτει στην πραγματικότητα στις διαγώνιες καταχωρήσεις του πίνακα . Για παράδειγμα, σκεφτείτε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο στο προηγούμενο παράδειγμα πάλι:
Αν κάποιος αντικαταστήσει όλο τον πίνακα Α με λ σε αυτές τις θέσεις, παίρνει 
κατά την οποία η έκφραση "πίνακας" απλά δεν είναι έγκυρη. Σημειώστε, ωστόσο, ότι ,αν αφαιρούνται κατά τα παραπάνω, βαθμωτά πολλαπλάσια του ταυτοτικού πίνακα αντί για βαθμωτά, δηλ. αν η αντικατάσταση γίνεται ως
τότε η ορίζουσα είναι όντως  μηδέν, αλλά ο ανεπτυγμένος πίνακας δεν υπολογίζεται από  ούτε μπορεί η ορίζουσά του (κλιμακωτή) να συγκριθεί με του p(A) (πίνακα). Οπότε το όρισμα ότι  ακόμα δεν μπορεί να εφαρμοσθεί.
Στην πραγματικότητα, αν ένα τέτοιο όρισμα ισχύει,πρέπει επίσης να ισχύει όταν άλλες πολυγραμμικές μορφές , αντί για την ορίζουσα, χρησιμοποιούνται. Για παράδειγμα, αν θεωρήσουμε μία σταθερή συνάρτηση και την ορίσουμε  και  στη συνέχεια, με το ίδιο όρισμα, θα πρέπει να είμαστε σε θέση να "αποδείξουμε" ότι q(A) = 0. Αλλά αυτός ο ισχυρισμός είναι αποδεδειγμένα λάθος. Στη 2-διάστατο περίπτωση, για παράδειγμα, η ορίζουσα ενός πίνακα δίνεται από
Έτσι, για τον πίνακα Α του προηγούμενου παραδείγματος,
Ακόμα μπορεί κανείς να επαληθεύσει ότι
Μία από τις αποδείξεις για το θεώρημα Cayley–Hamilton παραπάνω φέρει κάποια ομοιότητα με το όρισμα ότι το . Με την εισαγωγή ενός πίνακα με μη αριθμητικούς συντελεστές, μπορεί κανείς να αφήσει τον Α ως καταχώρηση σε έναν πίνακα, αλλά μετά ο  δεν είναι ίσος με Α, και το συμπέρασμα είναι διαφορετικό.

Αφηρημένες έννοιες και γενικεύσεις

Οι παραπάνω αποδείξεις δείχνουν ότι το θεώρημα Cayley–Hamilton ισχύει για πίνακες με καταχωρήσεις σε κάθε αντιμεταθετικό δακτυλίο R, και ότι σ(φ) = 0 θα ισχύει όποτε φ είναι ένας ενδομορφισμός συζυγής του R που παράγεται από στοιχεία του e₁,...,eₙ και που να ικανοποιεί
Αυτή η πιο γενική εκδοχή του θεωρήματος είναι η πηγή του καταξιωμένου Nakayama λήμμα στην αντιμεταθετική άλγεβρα και αλγεβρική γεωμετρία.