Κινητική

Εξισώσεις της ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης

Ένα αντικείμενο που κινείται με σταθερή επιτάχυνση λέμε ότι κάνει ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση (Ομ.Επιτ.Κιν.). Η κίνησή του μπορεί να περιγραφεί με τέσσερις απλές αλγεβρικές εξισώσεις:
όπου vᵢ και vf είναι η αρχική και τελική ταχύτητα αντίστοιχα, xᵢ and xf είναι η αρχική και η τελική θέση αντίστοιχα σε σχέση με έναν   άξονα αναφοράς, a είναι η σταθερή επιτάχυνση, και t είναι το χρονικό διάστημα που πέρασε για να φτάσει το αντικείμενο απ'την αρχική στη τελική θέση.

Παράδειγμα: Ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη πτωτική κίνηση σε μία διάσταση

Ας θεωρήσουμε ένα αντικείμενο που βάλλεται ευθύγραμμα προς τα πάνω και ξαναπέφτει στο έδαφος έτσι ώστε η τροχιά του να είναι ευθεία γραμμή.  Αν θεωρήσουμε την πάνω κατεύθυνση ως τον θετικό άξονα, το σώμα δέχεται μια σταθερή επιτάχυνση με αλγεβρική τιμή περίπου -9.81 m/s².  Γι' αυτό η κίνησή του μπορεί να περιγραφεί με τις εξισώσεις τις ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης.
Υπάρχουν αρκετές ενδιαφέρουσες ερωτήσεις που θα μπορούσαμε να κάνουμε για την κίνηση του σωματιδίου: Πόσο θα βρίσκεται στον αέρα; Σε τι ύψος θα φτάσει πριν αρχίσει να πέφτει; Ποια θα είναι η τελική του ταχύτητα όταν φτάσει στο έδαφος; Για το συγκεκριμένο παράδειγμα ας θεωρήσουμε ότι η αρχικη ταχύτητα του σωματιδίου είναι +50 m/s.

Παράδειγμα: Βολή βλήματος σε δύο διαστάσεις

Ας υποθέσουμε ότι ένα βλήμα βάλλεται υπό γωνία  απ'το έδαφος και όχι κάθετα.  Το αντικείμενο θα ακολουθήσει τότε παραβολική τροχιά, και η οριζόντια κίνησή του μπορεί να μελετηθεί ανεξάρτητα απ'την κάθετη κίνησή του (Αρχή της επαλληλίας).

Κυκλική κίνηση

Περιστροφική κινηματική είναι η περιγραφή της περιστροφής ενός αντικειμένου και περιέχει τον ορισμό και την χρήση των εξής τριών ποσοτήτων:
Γωνιακή θέση: Αν ένα διάνυσμα οριστεί ως η προσανατολισμένη απόστασή του απ'τον άξονα περιστροφής (τον οποίο θεωρούμε σημείο αναφοράς) ενός σημειακού σημείου, η γωνιακή θέση αυτού του σημείου είναι η προσανατολισμένη γωνία θ από έναν άξονα αναφοράς (π.χ. τον θετικό ημιάξονα των x) αυτού του σημείου. Μια προσανατολισμένη γωνία είναι η γωνία που διαγράφηκε από έναν εκλεγμένο άξονα περιστροφής και κατά μία εκλεγμένη φορά περιστροφής ως θετική. Στην κινηματική των δύο διαστάσεων (όπως στην περιγραφή των πλανητών), ο άξονας περιστροφής είναι συνήθως το σημείο αναφοράς  και αναπαρίσταται με το σημείο περιστροφής (ή κέντρο της κίνησης), και η φορά περιστροφής αναπαρίσταται με το πρόσημο της γωνίας (παραδεχόμαστε ότι το θετικό πρόσημο σημαίνει αριστερόστροφη φορά περιστροφής). Η γωνιακή μετατόπιση μπορεί να θεωρηθεί ως η σχετική θέση μεταξύ δύο σημείων και χρησιμοποιείται για την περιγραφή της κίνησης. Αποτελεί την προσανατολισμένη γωνία που διαγράφηκε απ'το παραπάνω σημείο (ή διάνυσμα) από μια γωνιακή θέση σε μια άλλη.
Γωνιακή ταχύτητα: Το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας  είναι ο ρυθμός με τον οποίο η γωνιακή θέση  αλλάζει σε σχέση με τον χρόνο t:
Γωνιακή επιτάχυνση: Το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης  είναι ο ρυθμός με τον οποίο η γωνιακή ταχύτητα  αλλάζει σε σχέση με τον χρόνο t:
Οι εξισώσεις της γραμμικής κινηματικής μπορούν να επεκταθούν και για την περιστροφική κινηματική με αλλάγή των αντίστοιχων μεταβλητών:
.
Εδώ το  και το  είναι αντίστοιχα η αρχική και η τελική γωνιακή θέση,  και  είναι αντίστοιχα η αρχική και η τελική γωνιακή ταχύτητα, και  είναι η σταθερή γωνιακή επιτάχυνση. Αν και η θέση στον χώρο και η ταχύτητα στο χώρο είναι διανύσματα, όπως βέβαια είναι και η γωνιακή ταχύτητα, η γωνία δεν είναι διάνυσμα.

Συστήματα συντεταγμένων

Σε κάθε περίπτωση κινησης, το χρησιμότερο σύστημα συντεταγμένων καθορίζεται απ' τις συνθήκες υπό τις οποίες γίνεται η κίνηση ή απ' τη γεωμερική φύση της δύναμης που προκαλεί ή επηρεάζει την κίνηση.  Συνεπώς για να περιγράψουμε την κίνηση μιας χάντρας που είναι περιορισμένη να κινείται σε ένα στεφάνι, η πιο χρήσιμη συντεταγμένη θα είναι η γωνία που σχηματίζει αναφορικά με το κέντρο του στεφανιού.  Παρομοίως, για να περιγράψουμε την κίνηση ενός σωματιδίου που κάνει κυκλική κίνηση λόγω της επίδρασης μιας κεντρομόλου δύναμης, το πιο χρήσιμο σύστημα συντεταγμένων είναι οι πολικές συντεταγμένες.

Ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων

Σε αυτό το σύστημα συντεταγμένων τα διανύσματα εκφράζονται ως άθροισμα συντεταγμένων στους x, y και z άξονες και τα σώματα που μελετάμε δεν περιστρέφονται. Συνήθως i είναι το μοναδιαίο διάνυσμα στον άξονα των x, j το μοναδιαίο διάνυσμα στον άξονα των y, και k  το μοναδιαίο διάνυσμα στον άξονα των z.
Το διάνυσμα θέσης, s (ή r), το διάνυσμα της ταχύτητας, v, και το διάνυσμα της  επιτάχυνσης, a εκφράζονται με την χρήση ορθοκανονικού συστήματος συντεταγμένων ως εξής:
Σημείωση: 
 ,

Περιστροφικό σύστημα αναφοράς δύο διαστάσεων

Αυτό το σύστημα αναφοράς περιγράφει μόνο την κυκλική κίνηση.
Αυτό το σύστημα συντεταγμένων βασίζεται σε τρία κάθετα μοναδιαία διανύσματα: το διάνυσμα i και το διάνυσμα j που σχηματιζούν ένα επίπεδο στο οποίο κείται το κινούμενο σώμα, και το διάνυσμα k γύρω απ'το οποίο λαμβάνει χώρα η περιστροφή. Σε αντίθεση με τις ορθοκανονικές συντεταγμένες,  που μελετάμε ένα σημείο που δεν περιστρέφεται, το αντικείμενο μελέτης μπορεί περιστρέφεται και να μεταφέρεται.

Παράγωγοι των μοναδιαίων διανυσμάτων

Τα διανύσματα θέσης, ταχύτητας και επιτάχυνσης ενός δοσμένου σημείου μπορούν να εκφραστούν χρησιμοποιώντας αυτό το σύστημα αναφοράς, αλλά πρέπει να είμαστε λίγο πιο προσεκτικοί στη μελέτη μας απ' ό,τι στις ορθοκανονικές συντεταγμένες. Εφόσον το σημείο μέλετης περιστρέφεται, πρέπει να λάβουμε  υπόψιν μας τις παραγώγους των μοναδιαίων διανυσμάτων όταν παραγωγίζουμε οποιοδήποτε απ' αυτά τα διανύσματα. Αν η αρχή του συστήματος περιστρέφεται με ρυθμό  αριστερόστροφα  (αυτό σημαίνει k χρησιμοποιώντας τον κανόνα του δεξιού χεριού) τότε οι παράγωγοι των μοναδιαίων διανυσμάτων είναι οι εξής:

Θέση, ταχύτητα και επιτάχυνση

Χρησιμοποιώντας αυτές τις παραπάνω σχέσεις, μπορούμε να μελετήσουμε τα διανύσματα θέσης, της ταχύτητας και της επιτάχυνσης ενός σωματιδίου χρησιμοποιώντας αυτό το πλαίσιο αναφοράς.

Θέση

Η θέση είναι:
Δηλαδη απέχει την απόσταση του από την αρχή και στην κατεύθυνση που απέχει από κάθενα απ'τα διανύσματα θέσης.

Ταχύτητα

Η ταχύτητα είναι ο ρυθμός μεταβολής της θέσης ως προς τον χρόνο:
Σύμφωνα με τον κανόνα της αλυσίδας, αυτό είναι:
Που απ'τους παραπάνω τύπους αυτό γίνεται:
ή ισοδύναμα
όπου  είναι η ταχύτητα του σωματιδίου σε σχέση με το σύστημα συντεταγμένων.

Επιτάχυνση

Επιτάχυνση είναι ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας.
Ξέρουμε ότι:
Ας εξετάσουμε το μέρος . Το  έχει δύο μέρη των οποίων θέλουμε να βρούμε την παράγωγο: την σχετική αλλαγή στην ταχύτητα (), και την αλλαγή σε αναφορά με το σύστημα συντεταγμένων ().
Στη συνέχεια ας εξετάσουμμε το . Χρησιμοποιώντας τον κανόνα της αλυσίδας:
 ξέρουμε από τα παραπάνω:
Οπότε τελικά έχουμε:
Και συμπτύσοντας τους όρους:

Συνθήκες κινηματικής

Μια συνθήκη κινηματικής είναι μια οποιαδήποτε κατάσταση που αφορά τις ιδιότητες ενός δυναμικού συστήματος που ισχύει καθ'όλη τη διάρκεια της μελέτης μας.  Παρακάτω είναι μερικά κοινά παραδείγματα:

Κύλιση χωρίς ολίσθηση

Ένα αντικείμενο που κυλίεται σε μια επιφάνεια χωρίς να ολισθαίνει προϋποθέτει ότι η ταχύτητα του  κέντρου μάζας του ισούται με το εξωτερικό γινόμενο της γωνιακής του ταχύτητας με ένα διάνυσμα με αρχή το σημείο επαφής και πέρας το κέντρο μάζας :
Για την περίπτωση που δεν υπερπηδά εμπόδια ή δεν γυρίζει πίσω, αυτό απλοποιείται σε v = R ω .

Μη εκτατό νήμα

Αυτή είναι η περίπτωση όπου σώματα συνδέονται μεταξύ τους με ένα νήμα που παραμένει τεντωμένο και δεν μπορεί να αλλάξει μήκος (μη εκτατό, μη ελαστικό νήμα).  Η συνθήκη που πρέπει να ικανοποιείται είναι ότι το άθροισμα όλων των μερών του νήματος, όπως και αν ορίζονται, είναι το συνολικό μήκος, και ο ρυθμός μεταβολής του μήκους του νήματος σε σχέση με τον χρόνο είναι μηδέν.