Τοπολογικός χώρος

Στην τοπολογία και σε συναφείς κλάδους των μαθηματικών, ένας τοπολογικός χώρος είναι ένα σύνολο από σημεία, μαζί με ένα σύνολο από γειτονιές για κάθε σημείο, που ικανοποιεί ένα σύνολο από αξιώματα που αφορούν τα σημεία και τις γειτονιές. Ο ορισμός ενός τοπολογικού χώρου στηρίζεται στην Θεωρία συνόλων και είναι η πιο γενική έννοια του μαθηματικού χώρου που επιτρέπει τον ορισμό εννοιών όπως η συνέχεια, η συνεκτικότητα, και η σύγκλιση. Άλλοι χώροι, όπως οι πολλαπλότητες και οι μετρικοί χώροι, είναι ειδικές περιπτώσεις τοπολογικών χώρων με επιπλέον δομές και περιορισμούς. Όντας τόσο γενικοί, οι τοπολογικοί χώροι είναι μία κεντρική ενοποιητική έννοια και εμφανίζονται σχεδόν σε όλους τους κλάδους των σύγχρονων μαθηματικών. Ο κλάδος των μαθηματικών που μελετά τους τοπολογικούς χώρους ονομάζεται τοπολογία σημείων ή γενική τοπολογία.

Ορισμός

Η χρησιμότητα της έννοιας μιας τοπολογίας δείχνεται από το γεγονός ότι υπάρχουν διάφοροι ισοδύναμοι ορισμοί αυτής της δομής. Η πιο συχνά χρησιμοποιούμενη, και η πιο κομψή, είναι εκείνη που βασίζεται στον όρο των ανοιχτών συνόλων, αλλά η πιο διαισθητική είναι εκείνη που βασίζεται στον όρο των γειτονιών και γι αυτό δίνουμε αυτή πρώτη.

Συνεχείς συναρτήσεις

Μία συνάρτηση f : X→ Y μεταξύ τοπολογικών χώρων ονομάζεται συνεχής αν για όλα τα x ∈ X και όλες τις γειτονιές N της f(x) υπάρχει μία γειτονιά M του χ ώστε f(M) ⊆ N. Αυτό σχετίζεται εύκολα στον συνηθισμένο ορισμό της ανάλυσης. Ισοδύναμα, f είναι συνεχής αν η αντίστροφη εικόνα κάθε ανοιχτού συνόλου είναι ανοιχτή. Αυτή είναι μία προσπάθεια να συλλάβει τη διαίσθηση ότι δεν υπάρχουν άλματα ή διαχωρισμοί στη συνάρτηση. Ένας ομοιομορφισμός είναι μία αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία που είναι συνεχής και της οποίας η αντίστροφη συνάρτηση είναι επίσης συνεχής. Δύο χώροι ονομάζονται ομοιομορφικοί αν υπάρχει ομοιομορφισμός μεταξύ τους. Από τη σκοπιά της τοπολογίας, ομοιομορφικοί χώροι είναι ουσιαστικά ταυτόσημες.
Στη Θεωρία κατηγοριών,Top, στην κατηγορία των τοπολογικών χώρων με τοπολογικούς χώρους όπως αντικείμενα και συνεχείς συναρτήσεις όπως μορφισμοί είναι ένα από τις θεμελιώδεις κατηγορίες των μαθηματικών. Η προσπάθεια να ταξινομήσει τα αντικείμενα αυτής της κατηγορίας (μέχρι τον ομοιομορφισμό) από σταθερές έχει θέσει και παράξει ολόκληρες περιοχές της έρευνα, όπως ομοτοπίας, θεωρία ομολογίας. και θεωρίας-Κ, για να ονομάσουμε απλά κάποιες.

Παραδείγματα τοπολογικών χώρων

Ένα δοθέν σύνολο μπορεί να έχει πολλές διαφορετικές τοπολογίες. Αν σε ένα σύνολο δοθεί μια διαφορετική τοπολογία, θεωρείται ως διαφορετικός τοπολογικός χώρος. Σε οποιοδήποτε σύνολο μπορεί να δοθεί η διακριτή τοπολογία στην οποία κάθε υποσύνολο είναι ανοιχτό. Οι μόνες συγκλίνουσες ακολουθίες ή δίχτυα σε αυτήν την τοπολογία είναι εκείνα που είναι τελικά σταθερά. Επίσης, σε οποιοδήποτε σύνολο μπορεί να δοθεί η τετριμμένη τοπολογία (που ονομάζεται επίσης αδιάκριτη τοπολογία), στην οποία μόνο το κενό σύνολο και όλος ο χώρος είναι ανοιχτά. Κάθε ακολουθία και δίχτυ σε αυτήν την τοπολογία συγκλίνει σε κάθε σημείο του χώρου. Αυτό το παράδειγμα δείχνει ότι σε γενικούς τοπολογικούς χώρους, τα όρια των ακολουθιών δε χρειάζεται να είναι μοναδικά. Ωστόσο, συχνά τοπολογικοί χώροι πρέπει να είναι Hausdorff χώροι όπου τα οριακά σημεία είναι μοναδικά.
Υπάρχουν πολλοί τρόποι ορισμού μίας τοπολογίας για το R, το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Η πρότυπη τοπολογία για το R παράγεται από τα ανοιχτά διαστήματα. Το σύνολο όλων των ανοιχτών διαστημάτων σχηματίζει βάση ή βάσεις για την τοπολογία, πράγμα που σημαίνει ότι κάθε ανοιχτό σύνολο είναι μία ένωση κάποιας συλλογής συνόλων από τη βάση. Ειδικότερα, αυτό σημαίνει ότι ένα σύνολο είναι ανοιχτό αν υπάρχει ένα ανοιχτό διάστημα μη μηδενικής ακτίνας για κάθε σημείο του συνόλου. Γενικότερα, οι Ευκλείδειοι χώροι Rⁿ μπορεί να δίνουν μία τοπολογία. Στην συνηθισμένη τοπολογία για το Rⁿ τα βασικά ανοιχτά σύνολα είναι οι ανοιχτές μπάλες. Όμοια, C, το σύνολο των μιγαδικών αριθμών, και Cⁿ έχει μία πρότυπη τοπολογία στην οποία τα βασικά ανοιχτά σύνολα είναι ανοιχτές μπάλες.
Σε κάθε μετρικό χώρο μπορεί να δοθεί μία μετρική τοπολογία, στην οποία τα βασικά ανοιχτά σύνολα είναι ανοιχτές μπάλες που ορίζονται από τον μετρικό. Αυτή είναι μία πρότυπη τοπολογία για οποιοδήποτε νόρμα διανυσματικό χώρο. Για έναν πεπερασμένης διάστασης διανυσματικό χώρο αυτή η τοπολογία είναι η ίδια για όλες της νόρμες (κανόνες).
Πολλά σύνολα των γραμμικών μετασχηματισμών στην συναρτησιακή ανάλυση είναι τροφοδοτημένα με τοπολογίες που ορίζονται προσδιορίζοντας πότε μία συγκεκριμένη ακολουθία συναρτήσεων συγκλίνει στη μηδενική συνάρτηση.
Οποιοδήποτε τοπικό πεδίο έχει μια εγγενή τοπολογία σε αυτό, και αυτό μπορεί να επεκταθεί σε διανυσματικούς χώρους πέρα από εκείνο το πεδίο.
Κάθε πολλαπλότητα έχει μία φυσική τοπολογία δεδομένου ότι είναι τοπικά Ευκλείδεια. Όμοια, κάθε σύμπλεγμα και κάθε σύμπλοκο κληρονομεί μία φυσική τοπολογία από Rⁿ.
Η τοπολογία Zariski ορίζεται αλγεβρικά στο φάσμα ενός δακτυλίου ή μιας αλγεβρικής ποικιλίας. Στον  Rⁿ ή στον Cⁿ, τα κλειστά σύνολα της τοπολογίας Zariski είναι τα σύνολα λύσεων των συστημάτων των πολυωνυμικών εξισώσεων.
Ένα γραμμικό γράφημα έχει μία φυσική τοπολογία που γενικεύει  πολλές από τις γεωμετρικές πτυχές των γραφημάτων με κορυφές και ακμές.
Ο χώρος Sierpiński είναι ο πιο απλός μη διακριτός τοπολογικός χώρος. Έχει σημές σχέσεις με τη θεωρία υπολογισμού και τη σημασιολογία.
Υπάρχουν πολλές τοπολογίες σε οποιοδήποτε δοθέν πεπερασμένο σύνολο. Τέτοιοι χώροι ονομάζονται πεπερασμένοι τοπολογικοί χώροι. Πεπερασμένοι χώροι χρησιμοποιούνται κάποιες φορές για να παρέχουν παραδείγματα ή αντιπαραδείγματα  σε εικασίες για τους τοπολογικούς χώρους γενικότερα.
Σε οποιοδήποτε σύνολο μπορεί να δοθεί η πεπερασμένου συμπληρώματος τοπολογία, στην οποία τα ανοιχτά σύνολα είναι το κενό σύνολο και τα σύνολα των οποίων τα συμπληρώματα είναι πεπερασμένα. Αυτή είναι η μικρότερη  T₁ τοπολογία σε οποιοδήποτε άπειρο σύνολο.
Σε οποιοδήποτε σύνολο μπορεί να δοθεί η μετρήσιμου συμπληρώματος τοπολογία, στην οποία ένα σύνολο ορίζεται ως ανοιχτό αν είναι είτε κενό είτε το συμπλήρωμα του είναι μετρήσιμο. Όταν το σύνολο είναι μη μετρήσιμο, αυτή η τοπολογία εξυπηρετεί ως αντιπαράδειγμα σε πολλές περιπτώσεις.
Στην πραγματική γραμμή μπορεί επίσης να δοθεί η χαμηλότερη ορίου τοπολογία. Εδώ, τα βασικά ανοιχτά σύνολα είναι τα μισάνοιχτα διαστήματα [a, b). Αυτή η τοπολογία για το R είναι αυστηρά λεπτότερη από την  τοπολογία που ορίζεται παραπάνω; μία αλληλουχία συγκλίνει σε ένα σημείο σε αυτήν την τοπολογία αν και μόνο αν συγκλίνει από επάνω στην Ευκλείδεια τοπολογία. Αυτό το παράδειγμα δείχνει ότι ένα σύνολο μπορεί να έχει πολλές διαφορετικές τοπολογίες που ορίζονται σε αυτό.
Αν Γ είναι ένας τακτικός αριθμός, τότε το σύνολο Γ = [0, Γ) μπορεί να τροφοδοτηθεί με τοπολογία διάταξης που παράγεται από τα διαστήματα (a, b), [0, b) και (a, Γ) όπου a και b είναι στοιχεία του Γ

Τοπολογικές κατασκευές

Σε κάθε υποσύνολο ενός τοπολογικού χώρου μπορεί να δοθεί η υποχώρου τοπολογία στην οποία τα ανοιχτά σύνολα είναι τομές των ανοιχτών συνόλων του μεγαλύτερου χώρου με το υποσύνολο. Για οποιαδήποτε οικογένεια με δείκτες ενός τοπολογικού χώρου, στο προϊόν μπορεί να δοθεί η τοπολογία προϊόντος, η οποία παράγεται από τις αντίστροφες εικόνες των ανοιχτών συνόλων των παραγόντων κάτω από τις αντιστοιχήσεις προβολών. Για παράδειγμα, στα πεπερασμένα προϊόντα, μία βάση για το προϊόν τοπολογίας αποτελείται από όλα τα προϊόντα των ανοιχτών συνόλων. Για τα πεπερασμένα προϊόντα, υπάρχει η πρόσθετη απαίτηση ότι σε ένα βασικό ανοιχτό σύνολο, όλα εκτός τελικά από πολλές προβολές τους είναι ολόκληρος ο χώρος.
Ένας χώρος πηλίκο ορίζεται ως εξής: αν Χ είναι ένας τοπολογικός χώρος και Υ είναι ένα σύνολο, και αν f : X→ Y είναι μία επιρριπτική συνάρτηση, τότε η τοπολογία πηλίκο για το Y είναι μία συλλογή υποσυνόλων του Υ που έχει ανοιχτές αντίστροφες εικόνες κάτω από την f. Με άλλα λόγια, η τοπολογία πηλίκο είναι η λεπτότερη τοπολογία για το Y για το οποίο η f είναι συνεχής. Ένα συνηθισμένο παράδειγμα μίας τοπολογίας πηλίκου είναι μία σχέση ισοδυναμίας ορίζεται για τον τοπολογικό χώρο Χ. Η αντιστοιχία f είναι η φυσική προβολή πάνω στο σύνολο των κλάσεων ισοδυναμίας.
Η τοπολογία Vietoris για το σύνολο όλων των μη κενών υποσυνόλων ενός τοπολογικού χώρου Χ, που ονομάστηκε προς τιμή του Leopold Vietoris, παράγεται από την ακόλουθη βάση: για κάθε n-πλειάδα U₁,..., Uₙ των ανοιχτών συνόλων του Χ, κατασκευάζουμε ένα βασικό σύνολο που αποτελείται από όλα τα υποσύνολα της ένωσης των Uᵢ που έχουν μη κενές τομές με κάθε Uᵢ.

Κατάταξη τοπολογικών χώρων

Τοπολογικοί χώροι μπορούν να ταξινομηθούν γενικά, μέχρι τους ομοιομορφισμούς, από τις τοπολογικές ιδιότητες τους. Μία τοπολογική ιδιότητα είναι μία ιδιότητα των χώρων που είναι αναλλοίωτη από τους ομοιομορφισμούς. Για να αποδείξουμε ότι δύο χώροι δεν είναι ομοιομορφικοί αρκεί να βρεθεί μία τοπολογική ιδιότητα που δεν τη μοιράζονται. Παραδείγματα τέτοιων ιδιοτήτων είναι ορθότητα, συμπαγές, και διάφορα αξιώματα διαχωρισμού
Βλέπε το άρθρο τοπολογικές ιδιότητες για περισσότερες λεπτομέρειες και παραδείγματα

Τοπολογικοί χώροι με αλγεβρική δομή

Για οποιαδήποτε αλγεβρικά αντικείμενα μπορούμε να εισαγάγουμε την διακριτή τοπολογία, σύμφωνα με την οποία οι αλγεβρικές πράξεις είναι συνεχείς συναρτήσεις. Για οποιαδήποτε τέτοια δομή που δεν είναι πεπερασμένη, συχνά έχουμε μία φυσική τοπολογία συμβατή με τις αλγεβρικές πράξεις, με την έννοια ότι οι αλγεβρικές πράξεις συνεχίζουν να είναι συνεχείς. Αυτό οδηγεί σε έννοιες όπως τοπολογικές ομάδες,τοπολογικοί διανυσματικοί χώροι, τοπολογικοί δακτύλιοι και τοπικά πεδία.