Κυματική εξίσωση

Η κυματική εξίσωση είναι μια σημαντική γραμμική δεύτερης τάξης μερική διαφορική εξίσωση η οποία χρησιμοποιείται για να περιγραφούν κύματα – όπως παρουσιάζονται στη φυσική – όπως ηχητικά κύματα, κύματα φωτός και κύματα στο νερό. Προκύπτει σε τομείς όπως η ακουστική, ο ηλεκτρομαγνητισμός και η ρευστοδυναμική.
Ιστορικά, το πρόβλημα της παλλόμενης χορδής, όπως αυτή ενός μουσικού οργάνου, μελετήθηκε από τους Ζαν λε Ροντ ντ' Αλαμπέρ, Λέοναρντ Όιλερ, Ντάνιελ Μπερνούλι και Ζοζέφ Λουί Λαγκράνζ.  Το 1746, ο ντ'Αλαμπέρ ανακάλυψε τη μονοδιάστατη κυματική εξίσωση, και μέσα σε δέκα χρόνια ο Όιλερ ανακάλυψε την τρισδιάστατη κυματική εξίσωση.

Παράγωγος της κυματικής εξίσωσης

Η κυματική εξίσωση σε μία διάσταση του χώρου μπορεί να παραχθεί σε μια ποικιλία από φυσικά περιβάλλοντα. Πιο γνωστά, μπορεί να παραχθεί στην περίπτωση της χορδής που πάλλεται σε ένα επίπεδο δύο διαστάσεων, με κάθε ένα από τα στοιχεία του να έλκεται σε αντίθετες κατευθύνσεις από τη δύναμη της έντασης.
Ένα άλλο φυσικό περιβάλλον για παραγωγή κυματικής εξίσωσης σε μια διάσταση χώρου χρησιμοποιεί ο Νόμος του Χουκ.  Στην Θεωρία ελαστικότητας, Ο νόμος του Hooke είναι μια προσέγγιση συγκεκριμένων υλικών, δηλώνοντας ότι η ποσότητα από την οποία ένα υλικό σώμα παραμορφώνεται(η ένταση) γραμμικά σχετίζεται με τη δύναμη που προκαλεί την παραμόρφωση.

Ιδιομορφές κύματος στο επίπεδο

Ένας άλλος τρόπος για την επίλυση για τις λύσεις για την μονοδιάστατη κυματική εξίσωση είναι να αναλύσουμε πρώτα τις ιδιόμορφες συχνότητες. Η λεγόμενη ιδιομορφή είναι μια λύση που ταλαντώνεται στο χρόνο με μια καλά καθορισμένη γωνιακή συχνότητα  (Η γωνιακή συχνότητα (ω)είναι ένα μέγεθος που αναφέρεται σε όλα τα περιοδικά ϕαινόµενα και δίνεται απο την σχέση :
ω =2π/T= 2πf.
Η γωνιακή συχνότητα είναι ίση µε το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας στην ομαλή 
κυκλική κίνηση και εκφράζει τον αριθμό των επαναλήψεων ενός ϕαινοµένου σε χρόνο
2πsec.
Μονάδα µέτρησης της συχνότητας είναι το 1rad/sec.)
, με την οποία το χρονικό μέρος της κυματοσυνάρτησης για τέτοια ιδιομορφή παίρνει μια συγκεκριμένη μορφή . Η υπόλοιπη κυματοσυνάρτηση είναι μόνο εξαρτημένη από την χωρική μεταβλητή ,  ως εκ τούτου, να ανέρχεται σε διαχωρισμό των μεταβλητών . Τώρα γράφουμε την κυματική συνάρτηση ως
,
μπορούμε να πάρουμε μία συνήθη διαφορική εξίσωση για το χωρικό μέρος 
,
.
η οποία είναι ακριβώς μια εξίσωση ιδιοτιμών για , εξ ου και το όνομα ιδιοτιμή. Έχει τις γνωστές λύσεις επιπέδου κύματος.
,
με κυματαριθμό
.
Η συνολική κυματοσυνάρτηση για αυτή την ιδιομορφή είναι τότε ο γραμμικός συνδυασμός
,
όπου οι σύνθετοι αριθμοί  εξαρτώνται γενικά από τις ενδεχόμενες αρχικές και συνοριακές συνθήκες του προβλήματος.
Οι ιδιομορφές είναι χρήσιμες στην κατασκευή της ολοκληρωμένης λύσης στην κυματική εξίσωση, επειδή καθεμία από αυτές εξελίσσεται στο χρόνο ασήμαντα με τον συντελεστή φάσης . Έτσι, με αυτό, η πλήρης λύση μπορεί πάντα να αναλυθεί σε ιδιόμορφη επέκταση.
ή σε όρους των επίπεδων κυμάτων,
η οποία είναι ακριβώς στην ίδια μορφή όπως στην αλγεβρική προσέγγιση. Συναρτήσεις  είναι γνωστές ως Ανάλυση Φουριέ και καθορίζονται από αρχικές και οριακές συνθήκες. Αυτή είναι μία λεγόμενη μέθοδος πεδίο συχνοτήτων, σαν εναλλακτική στους απευθείας πολλαπλασιασμούς στο πεδίο χρόνου όπως η FDTD μέθοδος, του συνόλου επάλληλων κυμάτων  .

Κλιμακωτή κυματική εξίσωση σε τριών διαστάσεων χώρο

Η λύση σε πρόβλημα αρχικών τιμών για την κυματική εξίσωση σε χώρο τριών διαστάσεων μπορεί να επιτευχθεί από την λύση για ένα σφαιρικό κύμα. Αυτό το αποτέλεσμα μπορεί μετά να χρησιμοποιηθεί για να πετύχουμε τη λύση στο χώρο δύο διαστάσεων.

Μονοχρωματικό σφαιρικό κύμα

Αν και η λέξη "μονοχρωματικός" δεν είναι τελείως ακριβής, δεδομένου ότι αναφέρεται στο φως ή στην ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία με καλά καθορισμένη συχνότητα, η ουσία  είναι να ανακαλύψει την ιδιομορφή της εξίσωσης κύματος σε τρεις διαστάσεις.Μετά την παραγωγή στην προηγούμενη ενότητα στο Επίπεδο του κύματος ιδιομορφής, αν περιορίσουμε και πάλι τις λύσεις μας σε σφαιρικά κύματα που ταλαντώνονται σε χρόνο με σαφώς καθορισμένη γωνιακή συχνότητα ,στη συνέχεια η μετασχηματισμένη συνάρτηση  απλά έχει λύσεις επιπέδου κύματος,
,
ή
.
Από αυτό μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι η ένταση κορυφής του σφαιρικού κύματος ταλάντωσης, που χαρακτηρίζεται ως το τετράγωνο του πλάτους κύματος
.
πέφτει με ρυθμό ανάλογο του , ένα παράδειγμα του νόμου του αντιστρόφου τετραγώνου.

Κλιμακωτή κυματική εξίσωση στη γενική διάσταση και τύποι του Κιρκόφ

Θέλουμε να βρούμε λύσεις για να utt-Δυ =

Άλλα συστήματα συντεταγμένων

Στις τρεις διαστάσεις, η κυματική εξίσωση, όταν είναι γραμμένη σε ελλειπτικές κυλινδρικές συντεταγμένες, μπορεί να επιλυθεί με διαχωρισμό των μεταβλητών, που οδηγεί στην Διαφορική εξίσωση Μάθιου.