Πολλαπλασιασμός

Υπολογισμός

Οι κοινές μέθοδοι για τον πολλαπλασιασμό αριθμών χρησιμοποιώντας μολύβι και χαρτί απαιτούν ένα πίνακα πολλαπλασιασμού απομνημονευμένων ή υπολογισμένων γινομένων μικρών αριθμών (συνήθως κάθε δύο αριθμούς από 0-9), αλλά η μέθοδος, του αρχαίου Αιγυπτιακού πολλαπλασιαστικού αλγορίθμου, δεν τον απαιτεί. 
Πολλαπλασιάζοντας "με το χέρι" αριθμούς, με περισσότερα από ένα ζεύγη δεκαδικών ψηφίων, είναι κουραστικό και επιρρεπές σε λάθη. Οι κοινοί λογάριθμοι εφευρέθηκαν για να απλοποιήσουν τους υπολογισμούς αυτούς. Ο λογαριθμικός κανόνας επιτρέπει στους αριθμούς να πολλαπλασιάζονται ταχύτατα με ακρίβεια περίπου τριών δεκαδικών ψηφίων. Στις αρχές του εικοστού αιώνα, υπολογιστικές μηχανές, όπως η Marchant Calculator, καθίστισαν ικανό τον αυτόματο πολλαπλασιασμό έως και 10 ψηφίων. Σύγχρονες ηλεκτρονικές υπολογιστικές μηχανές και αριθμομηχανές έχουν μειώσει σημαντικά την ανάγκη για τον πολλαπλασιασμό "με το χέρι".

Ιστορικοί αλγόριθμοι

Μέθοδοι πολλαπλασιασμού καταγράφηκαν από πολλούς αρχαίους πολιτισμούς, όπως ο Αιγυπτιακός, ο Ελληνικός, ο Ινδικός και ο Κινεζικός.
Το οστό Ishango, που χρονολογείται περίπου το 18.000 με 20.000 π.Χ, παραπέμπει στη γνώση του πολλαπλασιασμού κατά την Ανώτερη Παλαιολιθική εποχή στην Κεντρική Αφρική.

Βαβυλώνιοι

Οι Βαβυλώνιοι χρησιμοποίησαν το εξηνταδικό σύστημα αρίθμησης, ανάλογο με τη σύγχρονη εποχή δεκαδικό σύστημα. Έτσι, ο Βαβυλώνιος πολλαπλασιασμός ήταν κατά πολύ παρόμοιος με τον σύγχρονο δεκαδικό πολλαπλασιασμό. Λόγω της σχετικής δυσκολίας του να θυμόμαστε 60 × 60 διαφορετικά γινόμενα, οι Βαβυλώνιοι μαθηματικοί εφήυραν τους πολλαπλασιαστικούς πίνακες. Οι πίνακες αυτοί αποτελούνταν από έναν κατάλογο των πρώτων είκοσι πολλαπλάσιων ενός ορισμένου αριθμού ν (π.χ. ν, 2ν, ..., 20ν), ακολουθούμενοι από τα πολλαπλάσιά του 10ν (π.χ. 30ν 40ν, και 50ν). Έπειτα για να υπολογίσεις οποιοδήποτε εξηνταδικό γινόμενο, π.χ. 53ν, χρειάζεται μόνο να προσθέσεις το 50ν και το 3ν που είναι υπολογισμένα στον πίνακα.

Κινέζοι

Στο μαθηματικό κείμενο Zhou Bi Suan Jing, που χρονολογείται πριν από το 300 π.Χ., και τα Εννέα κεφάλαια σχετικά με την Μαθηματική Τέχνη, πολλαπλασιαστικοί υπολογισμοί γράφτηκαν με λόγια, παρόλο που οι αρχαίοι Κινέζοι μαθηματικοί ασχολούνταν με τον Ολοκληρωτικό λογισμό που αφορά μέρος προστιθέμενης αξίας, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό και διαίρεση. Αυτός ο δεκαδικός αριθμητικός αλγόριθμος εισήχθη στις αραβικές χώρες από τον Al Khwarizmi κατά τις αρχές του 9ου αιώνα.

Πολλαπλασιασμός με την θεωρία των συνόλων

Είναι δυνατόν, αν και αρκετά δύσκολο όμως, να δημιουργήσετε ένα αναδρομικό ορισμό του πολλαπλασιασμού με τη θεωρία των συνόλων. Ένα τέτοιο σύστημα βασίζεται συνήθως στον ορισμό πολλαπλασιασμού του Πεάνο.

Πολλαπλασιασμός στην Θεωρία Ομάδων

Υπάρχουν πολλά σύνολα που, στα πλαίσια της πράξης του πολλαπλασιασμού, ικανοποιούν τα αξιώματα που καθορίζουν την δομή μιας ομάδας. Αυτά τα αξιώματα είναι: το σύνολο να είναι κλειστό ως προς την πράξη του πολλαπλασιασμού, η συσχέτιση, και η ύπαρξη ενός ουδέτερου στοιχείου και ενός αντίστροφου.
Ένα απλό παράδειγμα είναι το σύνολο των μη μηδενικών ρητών αριθμών. Εδώ έχουμε ουδέτερο στοιχείο το 1, σε αντίθεση με τις προσθετικές ομάδες, όπου το ουδέτερο στοιχείο είναι τυπικά το 0. Σημειώστε ότι με τους ρητούς, θα πρέπει να αποκλείεται το μηδέν, επειδή, στον πολλαπλασιασμό, δεν έχει αντίστροφο: δεν υπάρχει ρητός αριθμός που μπορεί να πολλαπλασιάζεται με το μηδέν και να καταλήξει σε 1. Σε αυτό το παράδειγμα, έχουμε μια αβελιανή ομάδα, αλλά αυτό δεν ισχύει σε όλες τις περιπτώσεις.
Για να το δούμε αυτό, ας δούμε το σύνολο των τετραγωνικών αναστρέψιμων πινάκων δοθείσας διάστασης, πάνω από ένα συγκεκριμένο πεδίο. Τώρα είναι εύκολο να εξακριβωθεί το κλείσιμο, η συσχέτιση, και η ένταξη του μοναδιαίου και του αντίστροφου. Ωστόσο, ο πολλαπλασιασμός πινάκων δεν είναι αντιμεταθετικός και ως εκ τούτου αυτή η ομάδα δεν είναι αβελιανή.
Ο πολλαπλασιασμός ακεραίων δεν είναι μια ομάδα, ακόμα και αν εξαιρέσουμε το μηδέν. Αυτό φαίνεται εύκολα από την ανυπαρξία ενός αντίστροφου για όλα τα στοιχεία πλην των 1 και -1.
Ο Πολλαπλασιασμός στην θεωρία ομάδων συνήθως συμβολίζεται είτε από μια τελεία, ή με αντιπαράθεση (η παράλειψη ενός συμβόλου της πράξης μεταξύ των στοιχείων). Έτσι, πολλαπλασιάζοντας το στοιχείο a από το στοιχείο  b θα μπορούσε να συμβολιστεί ως  a  b ή ab. Όταν αναφερόμαστε σε μια ομάδα με την ένδειξη του συνόλου και της πράξης, τότε η τελεία χρησιμοποιείται για τον πολλαπλασιασμό, π.χ., το πρώτο παράδειγμα μας θα μπορούσε να υποδεικνύεται από το