Ολοκλήρωση κατά Λεμπέγκ

Εισαγωγή

Το ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης f με όρια ολοκλήρωσης a και b μπορεί να μεταφραστεί ως το εμβαδό κάτω από τη γραφική παράσταση της f. Αυτό είναι εύκολα αντιληπτό για απλές συναρτήσεις, όπως είναι τα πολυώνυμα, αλλά τι σημαίνει αυτό όταν μιλάμε για πιο περίπλοκες συναρτήσεις; Γενικά, για ποια κατηγορία συναρτήσεων έχει νόημα "το εμβαδό κάτω από την καμπύλη"; Η απάντηση έχει τεράστια θεωρητική και πρακτική σημασία.
Κατά το δέκατο ένατο αιώνα, έγιναν προσπάθειες να στηθεί ο Ολοκληρωτικός Λογισμός σε μια πιο αυστηρή βάση, στα πλαίσια μιας γενικότερης αυστηροποίησης των μαθηματικών. Το Ρίμαν ολοκλήρωμα, είναι μια επιτυχημένη τέτοια προσπάθεια που βοηθά στην επίτευξη αυτού τού στόχου. Ο ορισμός που έδωσε ο Ρίμαν, ξεκινά με την κατασκευή μιας ακολουθίας εμβαδών, που εύκολα υπολογίζονται, η οποία συγκλίνει στο ολοκλήρωμα μιας δοσμένης συνάρτησης. Αυτός ο ορισμός είναι επιτυχημένος, με την έννοια ότι δίνει την αναμενόμενη απάντηση σε ήδη λυμένα προβλήματα, καθώς και χρήσιμα αποτελέσματα σε πολλά άλλα προβλήματα.
Ωστόσο, η Ολοκλήρωση κατά Ρίμαν δεν αλληλεπιδρά καλά με τα όρια ακολουθιών συναρτήσεων, πράγμα που καθιστά δύσκολη την ανάλυση τέτοιων διαδικασιών. Αυτή είναι πρεωτεύουσας σημασίας σε άλλους κλάδους των μαθηματικών, όπως για παράδειγμα στην Ανάλυση Φουριέ. Το ολοκλήρωμα Λεμπέγκ μπορεί καλύτερα να περιγράψει κάτω από ποιές συνθήκες μπορεί το ολοκλήρωμα να βγει έξω από το όριο, με τα ισχυρά θεωρήματα της Μονότονης Σύγκλισης και της Κυριαρχούμενης Σύγκλισης. Ο ορισμός τού Λεμπέγκ, σε αντίθεση με τού Ρίμαν, θεωρεί μια άλλη κατηγορία εύκολα υπολογίσιμων εμβαδών και γι' αυτό το λόγο το ολοκλήρωμα Λεμπέγκ συμπεριφέρεται καλύτερα. Επιπλέον, το ολοκλήρωμα Λεμπέγκ καθιστά δυνατό τον υπολογισμό ολοκληρωμάτων για μια ευρύτερη κατηγορία συναρτήσεων. Για παράδειγμα, η συνάρτηση τού Ντίριχλετ, η οποία είναι 0 όταν το όρισμά της είναι άρρητος και 1 όταν είναι ρητός, ενώ δεν είναι Ρίμαν ολοκληρώσιμη, είναι Λεμπέγκ ολοκληρώσιμη και το ολοκλήρωμά της ισούται με 0.
Η προσέγγιση τού Λεμπέγκ για το ολοκλήρωμα συνοψίζεται σε ένα γράμμα του, όπου γράφει:
Πρέπει να πληρώσω ένα συγκεκριμένο ποσό. Βγάζω τα χαρτονομίσματα και τα νομίσματα από την τσέπη μου και για να πληρώσω, τα δίνω με τη σειρά που τα βρίσκω μέχρι να φτάσω το συνολικό ποσό. Αυτό είναι το Ρίμαν ολοκλήρωμα. Αλλά μπορώ να πληρώσω διαφορετικά. Αφού βγάλω όλα τα χρήματα από την τσέπη μου, στοιβάζω τα νομίσματα και τα χαρτονομίσματα σε σειρά με βάση την αξία τους και ύστερα πληρώνω δίνοντας τις στοίβες τη μία μετά την άλλη. Αυτό είναι το δικό μου ολοκλήρωμα.
Δηλαδή, μπορούμε να κατανείμουμε τις τιμές μιας συνάρτησης ελεύθερα, διατηρώντας όμως σταθερή την τιμή τού ολοκληρώματος. Η διαδικασία αυτής της ανακατανομής μπορεί να μετατρέψει μια παθολογική συνάρτηση σε μια "όμορφη" συνάρτηση, από την άποψη της ολοκληρωσιμότητας και επομένως μας επιτρέπει την ολοκλήρωση μιας τέτοιας συνάρτησης.

Διαισθητική ερμηνεία

Για να πάρετε κάποια διαίσθηση σχετικά με τις διαφορετικές προσεγγίσεις για την ενσωμάτωση, ας φανταστούμε ότι είναι επιθυμητό να βρείτε τον όγκο ενός βουνού (πάνω από το επίπεδο της θάλασσας).

Η προσέγγιση Riemann-Darboux

Χωρίστε την βάση του βουνού σε ένα πλέγμα τετραγώνων του 1 μέτρου. Μετρήστε το ύψος του βουνού στο κέντρο κάθε τετραγώνου. Ο όγκος σε ένα τετραγωνικό πλέγμα είναι περίπου 1 τ.μ. × (ύψους του τετραγώνου), έτσι ώστε ο συνολικός όγκος είναι 1 τ.μ. φορές το άθροισμα των υψών.

Η προσέγγιση Lebesgue

Σχεδιάστε ένα χάρτη περίγραμμα του βουνού, όπου τα παρακείμενα περιγράμματα είναι 1 μέτρο ύψος ξεχωριστά. Ο όγκος της γης που περιέχεται σε ένα ενιαίο περίγραμμα είναι περίπου 1 m × (περιοχή του περιγράμματός του), έτσι ώστε ο συνολικός όγκος να είναι το άθροισμα των περιοχών αυτών φοράς 1 m.

Θεωρία μέτρου

Επιπλέον πληροφορίες: Μέτρο (μαθηματικά)
Η θεωρία μέτρου δημιουργήθηκε αρχικά για να παρέχει μια χρήσιμη αφαίρεση της έννοιας του μήκους των υποσυνόλων της πραγματικής γραμμής και, γενικότερα, της περιοχής και του όγκου των υποσυνόλων των Euclidean διαστημάτων. Ιδίως,έδωσε μια συστηματική απάντηση στο θέμα ,για το αν το ℝ έχει  μήκος. Όπως παρουσιάστηκε από τις επόμενες αναπτύξεις στην καθορισμένη θεωρία (δείτε το μη-μετρήσιμο σύνολο), είναι πραγματικά αδύνατο να οριστεί ένα μήκος σε όλα τα υποσύνολα ℝ , με τέτοιο τρόπο ώστε να συντηρεί μερικές φυσικές ιδιότητες προσθήκης και σταθερότητας μεταφράσεων. Αυτό σημαίνει ότι η επιλογή μιας κατάλληλης κατηγορίας  μετρήσιμων υποσυνόλων είναι μια ουσιαστική προϋπόθεση.
Το ολοκλήρωμα Riemann χρησιμοποιεί την έννοια του μήκους ρητά. Πράγματι, το στοιχείο του υπολογισμού για το ολοκλήρωμα Riemann είναι το ορθογώνιο [α, β] × [γ, δ], του οποίου  η περιοχή υπολογίζεται  να είναι (β − α) (δ − γ). Η ποσότητα (β − α) είναι το μήκος της βάσης του ορθογωνίου και το (δ − γ) είναι το ύψος του ορθογωνίου. Το ολοκλήρωμα Riemann θα μπορούσε μόνο να χρησιμοποιήσει τα επίπεδα ορθογώνια για να προσεγγίσει την περιοχή κάτω από την καμπύλη,επειδή δεν υπάρχει καμία επαρκής θεωρία για τη μέτρηση των γενικότερων συνόλων.
Στην ανάπτυξη της θεωρίας στα περισσότερα σύγχρονα εγχειρίδια (μετά το 1950), η προσέγγιση στο μέτρο και η ολοκλήρωση είναι αξιωματικές. Αυτό σημαίνει ότι ένα μέτρο σε οποιαδήποτε συνάρτηση μ καθορίζεται σε μια ορισμένη κατηγορία Χ υποσυνόλων ενός καθορισμένου Ε, το οποίο ικανοποιεί έναν ορισμένο κατάλογο ιδιοτήτων. Αυτές οι ιδιότητες μπορούν να αποδειχθούν και να ισχύουν  σε πολλές διαφορετικές περιπτώσεις.

Εναλλακτικές διατυπώσεις

Είναι δυνατό να αναπτύξουμε ένα ολοκλήρωμα με βάση το μέτρο Lebesque χωρίς να βασιστούμε στον πλήρη μηχανισμό της θεωρίας μέτρου. Μία ακόμα προσέγγιση είναι να παραχθεί από το ολοκλήρωμα Daniell. Υπάρχει επίσης μια εναλλακτική προσέγγιση να αναπτύξουμε την θεωρία ολοκλήρωσης με μεθόδους συναρτησιακής ανάλυσης. Το ολοκλήρωμα Riemann υπάρχει για οποιασδήποτε συνεχής συμπαγή συναρτήση f που ορίζονται για ℝⁿ (ή ένα σταθερό ανοικτό υποσύνολο). Ολοκληρώματα των πιο γενικών συναρτήσεων μπορούν να κατασκευαστούν ξεκινώντας από αυτά τα ολοκληρώματα. Έστω Cc, ο χώρος όλων των πραγματικών τιμών συμπαγών συνεχών συναρτήσεων του ℝ. Ορίζουμε ένα πρότυπο Cc από :  \|f\| = \int |f(x)| \, dx. Τότε Cc είναι μία νόρμα (και ειδικότερα, είναι ένας μετρικός χώρος.) Όλοι οι μετρικοί χώροι έχουν την ιδιότητα Hausdorff, όπου η L¹ είναι η ολοκλήρωσή του. Αυτός ο χώρος είναι ισόμορφος με τον χώρο των ολοκληρώσιμων συναρτήσεων Lebesque modulo τον υποχώρο των συναρτήσεων με ολοκλήρωμα μηδέν. Επιπλέον, το ολοκλήρωμα Riemann ∫ είναι ομοιόμορφα συνεχής συνάρτηση με τη νόρμα Cc, η οποία είναι πυκνή με την L¹. Ως εκ τούτου, το ∫ έχει μοναδική επέκταση σε όλο το L¹. Αυτό το ολοκλήρωμα είναι ακριβώς το ολοκλήρωμα Lebesgue.
Γενικότερα, όταν ο χώρος μέτρου στον οποίο ορίζονται οι συναρτήσεις είναι επίσης ένας τοπολογικά συμπαγής τοπολογικός χώρος (όπως στην περίπτωση του ℝ), είναι συμβατός με την τοπολογία σε κατάλληλη περίπτωση (μέτρο του Radon, του οποίου το μέτρο Lebesgue είναι ένα παράδειγμα) ένα ολοκλήρωμα που ακολουθεί τα παραπάνω μπορεί να οριστεί με τον ίδιο τρόπο, ξεκινώντας από τα ολοκληρώματα των συνεχών συναρτήσεων με συμπάγεια. Πιο συγκεκριμένα, οι συμπαγείς συναρτήσεις οι οποίες αποτελούν διανυσματικό χώρο που μεταφέρει μία φυσική topology, και ένα (Radon) μέτρο ορίζεται ως συνεχής γραμμική συνάρηση στο χώρο αυτό. Η τιμή του μέτρου μίας συμπαγούς συνάρτησης είναι εξ'ορισμού το ολοκλήρωμα της συνάρτησης. Αυτό προχωρά ώστε να επεκτείνει το μέτρο (το ολοκλήρωμα) σε γενικότερες συναρτήσεις μέσω της συνέχειας, και ορίζει το μέτρο ενός συνόλου ως το ολοκλήρωμα της συνάρτησης δείκτη του. Αυτή είναι μια προσέγγιση του Bourbaki (2004) και ενός πλήθους άλλων συγγραφέων. Για περισσότερες πληροφορίες κοιτάξτε Radon measures.