Ομάρ Καγιάμ

Όνομα

غیاث ‌الدین Γκιιάτ αντ-Ντιν - σημαίνει "ο Στρατιώτης της Πίστης" και υπονοεί τη γνώση του Κορανίου.
ابوالفتح عمر بن ابراهیم Αμπούλ-Φατχ Ουμάρ ιμπν Ιμπραχίμ - Αμπού σημαίνει πατέρας, Φατχ σημαίνει κατακτητής, Ουμάρ σημαίνει ζωή, Ιμπραχίμ είναι το πατρικό όνομα.
خیام Χαγιάμ - σημαίνει "σκηνοποιός", παρώνυμο από το επάγγελμα του πατέρα του.
نیشابورﻯ Nισαπουρί - συνδέεται με την πατρίδα του Νισαπούρ (ο καταγόμενος από τη Νισαπούρ).

Βιογραφικά στοιχεία

Ο Ομάρ Καγιάμ γεννήθηκε στη Νισαπούρ, στο βορειοανατολικό Ιράν, τότε σελτζουκική πρωτεύουσα του Χορασάν (βορειοανατολική Περσία), που εκείνη την εποχή ανταγωνιζόταν το Κάιρο και τη Βαγδάτη σε πολιτιστική υπεροχή. Πιστεύεται ότι είχε γεννηθεί σε μια οικογένεια σκηνοποιών (χαγιαμί "σκηνοποιός"), πράγμα που θα έκανε αργότερα λογοπαίγνιο:
Ο Καγιάμ, που έραψε τις σκηνές της επιστήμης,

έχει πέσει στο καμίνι της θλίψης και ξαφνικά καεί,

το ψαλίδι της Μοίρας έχει κόψει τα σχοινιά της σκηνής της ζωής του,

και ο μεσίτης της Ελπίδας τον πούλησε για το τίποτα!
Πέρασε μέρος των παιδικών του χρόνων στην πόλη Μπαλχ (στο σημερινό βόρειο Αφγανιστάν), σπουδάζοντας υπό το γνωστό λόγιο σεΐχη Μουχαμάντ Μανσουρί και αργότερα υπό τον ιμάμη Μοβαφάκ Νισαπουρί, που θεωρείτο ένας από τους μεγαλύτερους δασκάλους της περιοχής του Χορασάν. Mετακόμισε στη Μπουχάρα, έπειτα στη Σαμαρκάνδη (1070), όπου ολοκλήρωσε την εκπαίδευσή του και συνέγραψε την περίφημη Πραγματεία για την απόδειξη αλγεβρικών προβλημάτων (Risālah fiʾl-barāhīn ʿalā masāʾil al-jabr waʾl-muqābalah). Στη συνέχεια (1073) πήγε στο Ισφαχάν, προσκεκλημένος του Σελτζούκου σουλτάνου Μαλίκ Σαχ Α΄ και καθιερώθηκε ως ένας από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς και αστρονόμους της μεσαιωνικής εποχής.
Σε όλη του τη ζωή ο Ομάρ Καγιάμ ήταν ακούραστος: μπορούσε από το πρωί να διδάσκει άλγεβρα και γεωμετρία, το απόγευμα να παρευρίσκεται στο σελτζουκικό δικαστήριο ως σύμβουλος του Μαλίκ Σαχ Α΄, και τη νύχτα να μελετάει αστρονομία και να ολοκληρώνει σημαντικές πτυχές του ημερολογίου Τζαλαλί (αστρικό ημερολόγιο, που χρησιμοποιείτο στην Περσία και παραλλαγές του είναι ακόμη σε χρήση σήμερα στο Ιράν και στο Αφγανιστάν).
Τα χρόνια του Ομάρ Καγιάμ στο Ισφαχάν ήταν πολύ παραγωγικά, αλλά μετά το θάνατο του Μαλίκ Σαχ Α΄ (πιθανότατα από την αίρεση των Ασασίνων), η χήρα του Σουλτάνου στράφηκε εναντίον του ως συμβούλου, με αποτέλεσμα σύντομα να ξεκινήσει ταξίδι για προσκύνημα στη Μέκκα και στη Μεδίνα. Στη συνέχεια μπόρεσε να εργασθεί ως αυλικός αστρολόγος και πήρε την άδεια να επιστρέψει στη Νισαπούρ, όπου ήταν ξακουστός για τα έργα του και συνέχισε να διδάσκει μαθηματικά, αστρονομία και ιατρική.
Ο Ομάρ Καγιάμ πέθανε το 1131 και έχει ταφεί στο μαυσωλείο του Ιμαμζαντέχ Μαχρούκ στη Νισαπούρ. Το 1963 στο χώρο αυτό κατασκευάσθηκε το Μαυσωλείο του Ομάρ Καγιάμ από τον Χουσάνγκ Σεϊχούν (Ιρανό αρχιτέκτονα, 1920-2014).

Μαθηματικός

Ο Καγιάμ ήταν διάσημος την εποχή του ως μαθηματικός. Έγραψε τη σημαντική Πραγματεία για την Απόδειξη Αλγεβρικών Προβλημάτων (1070), που καθόρισε τις αρχές της άλγεβρας, μέρους του σώματος των περσικών Μαθηματικών, που τελικά μεταδόθηκαν στην Ευρώπη. Ειδικότερα παρήγαγε γενικές μεθόδους για την επίλυση κυβικών εξισώσεων και ακόμη μεγαλύτερης τάξης.
Στην Πραγματεία έγραψε για τον τριγωνικό πίνακα των διωνυμικών συντελεστών, γνωστό ως τρίγωνο του Πασκάλ.  Το 1077 ο Καγιάμ έγραψε τις Σαρχ μα ασκάλα μιν μουσανταράτ κιτάμπ Ουκλίντις (Εξηγήσεις των Δυσκολιών στα Αξιώματα του Ευκλείδη), που δημοσιεύθηκε στα Αγγλικά ως Για τις Δυσκολίες των Ορισμών του Ευκλείδη.  Σημαντικό μέρος του βιβλίου ασχολείται με το περίφημο αξίωμα παραλληλίας του Ευκλείδη, πράγμα που τράβηξε το ενδιαφέρον του Ταμπίτ ιμπν Κούρα. Ο Ιμπν αλ Χαϊτάμ είχε προηγουμένως επιχειρήσει μια απόδειξη του αξιώματος.  Η προσπάθεια του Καγιάμ ήταν μια διακριτή πρόοδος και οι αμφισβητήσεις του έφτασαν στην Ευρώπη και ίσως να συνέβαλαν στην τελική ανάπτυξη της μη ευκλείδειας γεωμετρίας.
Ο Ομάρ Καγιάμ παρήγαγε σημαντικό έργο στη γεωμετρία, ιδιαίτερα στη θεωρία των αναλογιών. Σύγχρονοί του σημαντικοί μαθηματικοί ήταν ο Αλ-Καζινί και ο Αμπού Χατίμ αλ-Μουζαφάρ ιμπν Ισμαήλ αλ-Ισφιζαρί.

Θεωρία των παραλλήλων

Ο Καγιάμ έγραψε ένα βιβλίο με τίτλο Εξηγήσεις των δυσκολιών στα αξιώματα των Στοιχείων του Ευκλείδη. Το βιβλίο αποτελείται από πολλές ενότητες για το αξίωμα των παραλλήλων (Βιβλίο Ι), για τον Ευκλείδιο ορισμό των λόγων και του ανθυφαιρετικού λόγου (τα σύγχρονα συνεχιζόμενα κλάσματα) (Βιβλίο ΙΙ) και για τον πολλαπλασιασμό των λόγων (Βιβλίο ΙΙΙ).
Η πρώτη ενότητα είναι μια πραγματεία που περιλαμβάνει προτάσεις και λήμματα σχετικά με το αξίωμα των παραλλήλων. Εφτασε στο Δυτικό κόσμο από μία αναπαραγωγή σε χειρόγραφο γραμμένο το 1387-1388 από τον Πέρση μαθηματικό Τουσί. Ο Τουσί ανα φέρει ρητά ότι ξαναγράφει την πραγματεία "με τα ίδια τα λόγια του Καγιάμ" και αναφέρει κατά λέξη τον Καγιάμ να λέει ότι "Αξίζει να προστεθούν στα Στοιχεία του Ευκλείδη (πρώτο βιβλίο) μετά την Πρόταση 28". Αυτή η πρόταση αναφέρει μια συνθήκη ικανή για νασ έχουμε δυο γραμμές στο ίδιο επίπεδο παράλληλες μεταξύ τους. Μετά την πρόταση αυτή ακολουθεί μια άλλη, με αριθμό 29, που έρχεται σε αντίθεση με την προηγούμενη. H απόδειξη του Ευκλείδη χρησιμοποιεί το λεγόμενο αξίωμα των παραλλήλων (αριθμούμενο 5). Η ένσταση για τη χρήση του αξιώματος των παραλλήλων και η εναλλακτική θεώρηση της πρότασης 29 υπήρξαν μείζον πρόβλημα για τη θεμελίωση της σήμερα ονομαζόμενης μη Ευκλείδιας γεωμετρίας.
Η πραγματεία του Καγιάμ μπορεί να θεωρηθεί ως η πρώτη επεξεργασία του αξιώματος των παραλλήλων, που δεν βασίζεται σε φαύλο κύκλο, αλλά σε ένα πιο ευφυές αξίωμα. Ο Καγιάμ αντικρούει τις προηγούμενες προσπάθειες άλλων Ελλήνων και Περσών μαθηματικών να αποδείξουν" την πρόταση. Και αυτός, όπως ο ΄Αριστοτέλης, αρνείται τη χρήση της κίνησης στη γεωμετρία και κατά συνέπεια απορρίπτει επίσης τη διαφορετική προσέγγιση του Αραβα Ιμπν Χαϊτάμ. Κατά μία έννοια έκανε την πρώτη προσπάθεια να διατυπώσει ένα μη Ευκλείδιο αξίωμα, ως εναλλακτικό του αξιώματος των παραλλήλων.

Γεωμετρική άλγεβρα

"Οποιος νομίζει ότι η άλγεβρα είναι ένα τέχνασμα για τη λήψη αγνώστων κάνει λάθος. Δεν πρέπει να δώσουμε καμμία σημασία στο γεγονός ότι η άλγεβρα και η γεωμετρία εμφανίζονται να είναι διαφορετικές. Τα αλγεβρικά είναι γεωμετρικά προβλήματα, που αποδεικνύονται μέσω των προτάσεων δύο και έξι του Βιβλίου δύο των Στοιχείων".
Ομάρ Καγιάμ.
Αυτή η φιλοσοφική άποψη των μαθηματικών (βλέπε παρακάτω) είχε σημαντικό αντίκτυπο στην περίφημη προσέγγιση και μέθοδο του Καγιάμ στη γεωμετρική άλγεβρα και ιδιαίτερα στην επίλυση κυβικών εξισώσεων. Σ'αυτή η επίλυσή του δεν είναι ένας άμεσος δρόμος προς μια αριθμητική λύση και στην πραγματικότητα οι λύσεις του δεν είναι αριθμοί, αλλά μάλλον ευθύγραμμα τμήματα. Από την άποψη αυτή το έργο του Καγιάμ μπορεί να θεωρηθεί η πρώτη συστηματική μελέτη και η πρώτη ακριβής μέθοδος επίλυσης κυβικών εξισώσεων.
Σε ένα ατιτλοφόρητο κείμενο του Καγιάμ για τις κυβικές εξισώσεις, που ανακαλύφθηκε τον 20ό αιώνα, όπου εμφανίζεται το παραπάνω απόσπασμα, ο Καγιάμ ασχολείται με προβλήματα γεωμετρικής άλγεβρας. Πρώτο είναι το πρόβλημα της "εύρεσης ενός σημείου στο τεταρτημόριο ενός κύκλου, τέτοιου ώστε όταν άγεται μία κάθετος από το σημείο αυτό προς μία από τις ακτίνες που το ορίζουν ο λόγος του μήκους της καθέτου προς την ακτίνα να ισούται προς το λόγο των τμημάτων που ορίζονται από τον πόδα της καθέτου". Πάλι στην επίλυση αυτού του προβλήματος το μετατρέπει σε ένα άλλο γεωμετρικό πρόβλημα : "εύρεση ενός ορθογώνιο τρίγωνου με την ιδιότητα η υποτείνουσά του να ισούται με το άθροισμα της μιας κάθετης πλευράς του συν το ύψος επί την υποτείνουσα". Για να επιλύσει αυτό το γεωμετρικό πρόβλημα εισάγει μια παράμετρο και καταλήγει στην κυβική εξίσωση x3 + 200x = 20x2 + 2000. Πράγματι βρίσκει μια θετική ρίζα για αυτή την εξίσωση τέμνοντας μια υπερβολή με ένα κύκλο.
Αυτή η ιδιαίτερη γεωμετρική επίλυση κυβικών εξισώσεων έχει περαιτέρω διερευνηθεί και επεκταθεί σε εξισώσεις τετάρτου βαθμού.
Σχετικά με γενικότερες εξισώεις δηλώνει ότι η επίλυση κυβικών εξισώσεων απαιτεί τη χρήση κωνικών τομών και είναι αδύνατο να επιλυθεί με τη χρήση κανόνα και διαβήτη. Αληθοφανής απόδειξη αυτού του αδύνατου υπήρξε μόνο 750 χρόνια μετά το θάνατο του Καγιάμ. Στο κείμενο αυτό ο Καγιάμ αναφέρει την πρόθεσή του για μια εργασία που θα παρέχει την πλήρη επίλυση των κυβικών εξισώσεων : "Αν μου δοθεί η ευκαιρία και μπορέσω να το καταφέρω, θα δώσω όλες αυτές τις δεκατέσσερις μορφές με όλες τις κατηγορίες και τις περιπτώσεις τους και πώς να διακρίνει κανείς τι είναι δυνατό και τι αδύνατο, έτσι ώστε να προκύψει μια εργασία, που να περιέχει στοιχεία πολύ χρήσιμα για αυτή την τέχνη ".
Αυτό αναφέρεται στο βιβλίο Πραγματεία για την Απόδειξη Αλγεβρικών Προβλημάτων(1070), που έθεσε τις αρχές της άλγεβρας, μέρος του σώματος των Περσικών Μαθηματικών, που τελικά μεταδόθηκαν στην Ευρώπη. Ιδιαίτερα επινόησε γενικές μεθόδους για την επίλυση εξισώσεων κυβικών και μερικών μεγαλύτερης τάξης.

Διωνυμικό θεώρημα και εξαγωγή ριζών

"Από τους Ινδούς έχουμε μεθόδους για την εύρεση τετραγωνικών και κυβικών ριζών, που βασίζονται στη γνώση ειδικών περιπτώσεων και συγκεκριμένα στη γνώση των τεραγώνων των εννέα ψηφίων 1², 2², 3² (κλπ.) και των αντίστοιχων γινομένων, δηλ. 2 x 3, κλπ. Εχουμε γράψει μια πραγματεία για την απόδειξη της εγκυρότητας αυτών των μεθόδων και το ότι ικανοποιούν τις συνθήκες. Επί πλέον έχουμε αυξήσει τα είδη τους και συγκεκριμένα υπό τη μορφή προσδιορισμού τέταρτων, πέμπτων, έκτων ριζών μέχρι οποιοδήποτε βαθμό. Κανένας δεν προγήθηκε σε αυτό από μας και αυτές οι αποδείξεις είναι καθαρά αριθμητικές, θεμελιωμένες στην αριθμητική των στοιχείων".
Ομάρ Καγιάμ  Πραγματεία για την Απόδειξη Αλγεβρικών Προβλημάτων
Αυτή η ιδιαίτερη αναφορά του Καγιάμ και ορισμένες προτάσεις, που βρίσκονται στο βιβλίο του της Αλγεβρας, έχουν κάνει μερικούς ιστορικούς των μαθηματικών να πιστεύουν ότι ο Καγιάμ είχε πράγματι ένα διωνυμικό θεώρημα μέχρι οποιαδήποτε δύναμη. Η περίπτωση της δύναμης 2 αναφέρεται ρητά στα στοιχεία του Ευκλείδη και η περίπτωση της μεγαλύτερης δύναμης 3 είχε εξετασθεί από Ινδούς μαθηματικούς. Ο Καγιάμ ήταν ο μαθηματικός που διαπίστωσε τη σημασία ενός γενικού διωνυμικού θεωρήματος. Το επιχείρημα ότι ο Καγιάμ είχε ένα διωνυμικό θεώρημα βασίζεται στην ικανότητά του να εξάγει ρίζες.

Τετράπλευρο Καγιάμ-Σακέρι

Το τετράπλευρο Σακέρι πρωτομελετήθηκε από τον Καγιάμ στα τέλη του 11ου αιώνα στο Βιβλίο Ι των Εξηγήσεων των δυσκολιών στα αξιώματα των Στοιχείων του Ευκλείδη. Σε αντίθεση με πολλούς μελετητές του Ευκλείδη, πριν και μετά από τον ίδιο (περιλαμβανομένου φυσικά του Σακέρι) ο Καγιάμ δεν προσπαθούσε να αποδείξει το αξίωμα των παραλλήλων ως τέτοιο, αλλά να το συναγάγει από ένα ισοδύναμο αξίωμα, που διατύπωσε από τις "αρχές του Φιλοσόφου" (Αριστοτέλης) :
"Δύο συγκλίνουσες ευθείες γραμμές τέμνονται και είναι αδύνατο δύο συγκλίνουσες ευθείες γραμμές να αποκλίνουν στην κατεύθυνση στην οποία συγλίνουν".
Ο Καγιάμ τότε εξέτασε τις τρεις περιπτώσεις (ορθή, αμβλεία και οξεία) γωνιών των κορυφών ενός τετραπλεύρου Σακέρι και αφού απέδειξε σειρά θεωρημάτων για αυτές (ορθά) κατέρριψε τις περιπτώσεις αμβλείας και οξείας, βασιζόμενος στο αξίωμά του, και έτσι συνήγαγε το κλασικό αξίωμα του Ευκλείδη.
Μόνο μετά από 600 χρόνια ο Τζιορντάνο Βιτάλε προχώρησε πέρα από τον Καγιάμ στο βιβλίο του Euclide restituo (1680, 1686), όταν χρησιμοποίησε το τετράπλευρο για να αποδείξει ότι αν τρία σημεία ισαπέχουν της πλευράς ΑΒ και της απέναντι ΓΔ, τότε οι ΑΒ και ΓΔ ισαπέχουν παντού. Ο ίδιος ο Σακέρι βάσισε το σύνολο της μακράς, ηρωικής και τελικά εσφαλμένης απόδειξής του του αξιώματος των παραλλήλων γύρω από το τετράπλευρο και τις τρεις περιπτώσεις του, αποδεικνύοντας πολλά θεωρήματα για τις ιδιότητές του κατά την πορεία αυτή.

Aστρονόμος

Όπως οι περισσότεροι Πέρσες μαθηματικοί της εποχής,  ο Καγιάμ ήταν επίσης αστρονόμος και απέκτησε φήμη γι’ αυτό. Το 1073 ο Σελτζούκος Σουλτάνος Τζαλάλ αλ-Ντιν Μαλίκ-Σαχ Σαλτζουκί (Μαλίκ-Σαχ Α΄ 1072-92) προσκάλεσε τον Καγιάμ να χτίσει ένα αστεροσκοπείο, μαζί με διάφορους άλλους διακεκριμένους επιστήμονες. Σύμφωνα με κάποιες περιγραφές  η εκδοχή του μεσαιωνικού Ιρανικού ημερολογίου, στο οποίο 2.820 ηλιακά έτη μαζί περιέχουν 1.029.983 ημέρες (ή 683 δίσεκτα έτη, για μέση διάρκεια του έτους  365,24219858156 ημέρες) βασίστηκε στις μετρήσεις του Καγιάμ και των συνεργατών του. Άλλη άποψη είναι ότι το ημερολόγιο του Καγιάμ περιελάμβανε απλώς οκτώ δίσεκτα έτη κάθε τριάντα τρία έτη, για διάρκεια έτους 365,2424 ημέρες. Και στις δύο περιπτώσεις  το ημερολόγιό του ήταν ακριβέστερο ως προς  το μέσο τροπικό έτος από το Γρηγοριανό ημερολόγιο 500 χρόνια αργότερα. Το σύγχρονο Ιρανικό ημερολόγιο βασίζεται στους υπολογισμούς του.

Ηλιοκεντρική θεωρία

Υποστηρίζεται μερικές φορές ότι ο Καγιάμ απέδειξε ότι η γη περιστρέφεται γύρω από τον άξονά της παρουσιάζοντας ένα μοντέλο των άστρων στο σύγχρονό του Αλ-Γκαζαλί σε ένα πλανητάριο.
Η άλλη πηγή για την άποψη ότι ο Καγιάμ πίστευε στον ηλιοκεντρισμό είναι  η δημοφιλής αλλά αναχρονιστική απόδοση της ποίησης του Καγιάμ, στην οποία οι πρώτες γραμμές μεταφράζονται εσφαλμένα με μια  ηλιοκεντρική εικόνα του Ηλιου να εκσφενδονίζει «την Πέτρα που θέτει τα Αστέρια σε Κίνηση».

Μεταρρύθμιση του ημερολογίου

Ο Καγιάμ  ήταν μέλος μιας ομάδας που αναθεώρησε το Ιρανικό ημερολόγιο. Η ομάδα συστάθηκε από το Σελτζούκο Σουλτάνο  Μαλίκ-Σαχ Α΄ και  ολοκλήρωσε τις μεταρρυθμίσεις της το 1079, με αποτέλεσμα το ημερολόγιο Τζαλαλί.
Το ημερολόγιο Τζαλαλί παρέμεινε σε ισχύ σε όλο το Ευρύτερο Ιράν από τον 11ο ως τον 20ό αιώνα. Είναι η βάση του Ιρανικού ημερολογίου, που ακολουθείται σήμερα στο Ιράν και στο Αφγανιστάν.  Ενώ το ημερολόγιο Τζαλαλί είναι ακριβέστερο από το Γρηγοριανό, βασίζεται στην πραγματική ηλιακή κίνηση, όπως τα Ινδικά ημερολόγια, και απαιτεί ένα αστρονομικό όργανο για τον υπολογισμό των ημερομηνιών.  Η διάρκεια των μηνών μπορεί να διαφέρει  από 29 ως 31 ημέρες, ανάλογα με τη στιγμή που ο ήλιος εισέρχεται σε μια νέα ζωδιακή περιοχή (χαρακτηριστικό κοινό στα περισσότερα Ινδικά ημερολόγια). Αυτό σημαίνει ότι τα εποχιακά σφάλματα ήταν μικρότερα από ότι στο Γρηγοριανό ημερολόγιο.
Το σημερινό Ιρανικό ημερολόγιο τυποποιεί τη διάρκεια των μηνών βάσει μιας μεταρρύθμισης του 1925, ελαχιστοποιώντας έτσι τη επίδραση των ηλιακών διελεύσεων.  Τα εποχιακά σφάλματα είναι λίγο μεγαλύτερα από ότι στην εκδοχή Τζαλαλί, αλλά τα δίσεκτα έτη υπολογίζονται όπως πριν.

Ποίηση

Ο Καγιάμ πιστεύεται ότι έχει γράψει χίλια τετράστιχα ή ρουμπαγιάτ.  Στον αγγλόφωνο κόσμο έγινε γνωστός με τα  Ρουμπαγιάτ του Ομάρ Καγιάμ,  που είναι ποιητικές μάλλον παρά επί λέξει μεταφράσεις  από τον Εντουαρντ Φιτζέραλντ ( 1809–83). Υπάρχουν και άλλες  αγγλικές μεταφράσεις τμημάτων των ρουμπαγιάτ (ρουμπαγιάτ σημαίνει τετράστιχα), αλλά του Φιτζέραλντ είναι οι γνωστότερες.
Η ειρωνεία είναι ότι οι μεταφράσεις του Φιτζέραλντ  ξαναέκαναν γνωστό τον Καγιάμ στους Ιρανούς "που επί μακρόν είχαν αγνοήσει τον ποιητή από το Νισαπούρ".  Ένα βιβλίο του 1934 ενός από τους πιο επιφανείς συγγραφείς του Ιράν, του Σαντέκ Χενταγιάτ, τα Τραγούδια του Καγιάμ  (Ταρανεχα-γιε Καγιάμ) λέγετα ότι έχει "διαμορφώσει τον τρόπο με τον οποίο μια γενιά  Ιρανών εκτιμά" τον ποιητή..
Τα ποιήματα του Ομάρ Καγιάμ έχουν μεταφραστεί σε πολλές γλώσσες. Πολλές μεταφράσεις έγιναν άμεσα από τα Περσικά, πιο κυριολεκτικά από ότι η μετάφραση του  Εντουαρντ Φιτζέραλντ και σήμερα θεωρείται ένας από τους δημοφιλέστερους ποιητές όλων των εποχών. Ύμνησε επικούρειες απολαύσεις, κρασί και γυναίκες, για να προβάλει όμως εντονότερα τις φιλοσοφικές του σκέψεις, πολλές απ’ τις οποίες φαίνονται αιρετικές, αν σκεφτεί κανείς το περιβάλλον μέσα στο οποίο διαμορφώθηκαν. Άλλοι όμως μελετητές βλέπουν μυστικιστικά νοήματα στους στίχους του. Τρία δείγματα από ισάριθμα ρουμπαγιάτ :
XXV
Όμοια γι’ αυτούς πού για το Σήμερα φροντίζουν,
μα και γι’ αυτούς πού κάποιο Αύριο ατενίζουν
κράζει ο μουεζίνης απ’ τό Σκοτεινό Πυργί :
«Τρελοί ! η αμοιβή σας δεν είν’ ούτε Εδώ ούτ’ Εκεί».
XXXV
Γιά νά γνωρίσω το μυστήριο τής ζωής
κούπας τα χείλη άγγιξα, πήλινης, φτωχιάς.
Χείλος στό χείλος μού ψιθύρισε : όσο ζείς
πίνε• τί σαν πεθάνεις δεν ξαναγυρνάς.
LXXIV
Το χθές την τρέλλα αυτής της μέρας ετοιμάζει,
την αυριανή σιωπή, απελπισία ή δόξα.
Πιές, τι δεν ξέρεις από πού ήρθες και γιατί.
Πιές, τι δεν ξέρεις γιατί φεύγεις και για πού.

Θρησκευτικές απόψεις

Υπάρχουν ευρέως αποκλίνουσες απόψεις για τον Καγιάμ. Σύμφωνα με το Σεγιέντ Χοσείν Νασρ, κανένας άλλος Ιρανός συγγραφέας/λόγιος δεν έχει εκληφθεί με τόσο διαφορετικούς τρόπους.  Στο ένα άκρο του φάσματος υπάρχουν νάιτ κλαμπ που  φέρουν το όνομά του και θεωρείται αγνωστικός ηδονιστής. Στο άλλο άκρο θεωρείται μυστικός ποιητής Σούφι, επηρεασμένος από τις πλατωνικές παραδόσεις.
Ο Σεγιέντ Χοσείν Νασρ (γεν. 1933, Ιρανός Καθηγητής Ισλαμικών Σπουδών στο Πανεπιστήμιο Τζορτζ Ουόσιγκτον και επιφανής Ισλαμικός φιλόσοφος), έχοντας εξετάσει τα φιλοσοφικά έργα του Καγιάμ, υποστηρίζει ότι είναι πράγματι μειωτικό να κοιτάζουμε απλώς τα ποιήματα (που μερικές φορές αμφισβητούνται) για να καθορίσουμε τις προσωπικές του απόψεις για το Θεό ή τη θρησκεία. Στην πραγματικότητα έγραψε ακόμη και ένα δοκίμιο με τίτλο "αλ-Κουτμπάτ αλ-γκαρά" (Το Θαυμάσιο Κήρυγμα), για την εξύμνηση του Θεού, όπου υποστηρίζει ορθόδοξες απόψεις, συμφωνώντας με τον Αβικέννα για τη Θεία Ενότητα. Στην πραγματικότητα αυτή ηπραγματεία δεν αποτελεί εξαίρεση και ο Σ. Χ. Νασρ δείνει ένα παράδειγμα, όπου ο ίδιος αυτοπροσδιορίστηκε ως Σούφι, μετά την κριτική διαφόρων μεθόδων γνώσης του Θεού, προτιμώντας τη διαίσθηση από τη λογική (επιλέγοντας τη λεγόμενη μέθοδο "κασρ", ή της αποκάλυψης :
"..., Τέταρτο, οι Σούφι, που δεν επιζητούν τη γνώση με τη λογικότητα ή την αμετροεπή σκέψη, αλλά με τον εξαγνισμό της εσωτερικής τους ύπαρξης και τον καθαρμό των διαθέσεών τους. Καθαρίζουν τη λογική ψυχή από τις ακαθαρσίες φυσικής και σωματικής μορφής, μέχρι να γίνει καθαρή ουσία. Οταν τότε έρχεται ενώπιος ενωπίω με τον πνευματικό κόσμο οι μορφές του κόσμου αυτού αντανακλώνται πραγματικά μέσα της, χωρίς αμφιβολία ή ασάφεια. Αυτός είναι ο καλύτερος από όλους τους τρόπους, γιατί είναι γνωστό στο δούλο του Θεού, ότι δεν υπάρχει καλύτερος λογισμός άλλος από τη Θεία Παρουσία και στην κατάσταση αυτή δεν υπάρχουν εμπόδια ή πέπλα. Οτιδήποτε στερείται ο άνθρωπος οφείλεται στην ακαθαρσία της φύσης του. Αν το πέπλο ανασηκωθεί και αφαιρεθούν η οθόνη και το εμπόδιο, η αλήθεια των πραγμάτων, όπως είναι, θα γίνει προφανής και γνωστή. Και ο Κύριος των πλασμάτων [ο Προφήτης Μωάμεθ] αυτό υποδείκνυε όταν είπε : "Αληθινά, κατά τις ημέρες της ύπαρξής σας οι εμπνεύσεις προέρχονται από το Θεό. Δεν θέλετε να τις ακολουθήσετε ;" Πείτε στους λογικευόμενους ότι, για τους λάτρεις του Θεού, οδηγός είναι η διαίσθηση, όχι η αμετροεπής σκέψη".
- Ομάρ Καγιάμ
Ο ίδιος συγγραφέας συνεχίζει παραθέτοντας άλλα φιλοσοφικα κείμενα, που είναι πλήρως συμβατά με την Ισλαμική θρησκεία, όπως το αλ-Ριζαλάχ φιλ-βουτζούντ ("Πραγματεία για το Είναι"), γραμμένο στα Αραβικά, που αρχίζει με στίχους από το Κοράνι και υποστηρίζει ότι τα πάντα προέρχονται από το Θεό και ότι υπάρχει μια τάξη σε όλα αυτά. Σε άλλο έργο, Ριζαλάχ γιαβαμπάν λι-ταλάτ μασά ιλ ("Πραγματεία Απάντησης σε Τρεις Ερωτήσεις"), δίνει μια απάντηση στο ερώτημα, για παράδειγμα, τί γίνεται η ψυχή μετά το θάνατο. Ο Σ. Χ. Νασρ παραθέτει επίσης μερικά ποιήματα, όπου είναι απολύτως υπέρ της Ισλαμικής ορθοδοξίας, αλλά εκφράζοντας μυστικιστικές απόψεις (θέληση του Θεού, η εφήμερη κατάσταση αυτής της ζωής, ...) :
Είπες ότι θέλεις να με βασανίσεις / Αλλά δε θα φοβηθώ μια τέτοια προειδοποίηση / Γιατί εκεί όπου είσαι Εσύ δεν μπορούν να υπάρξουν βάσανα / Και εκεί όπου Εσύ δεν είσαι πώς μπορεί να υπάρχει ένα τέτοιο μέρος ;
Ο περιστρεφόμενος τροχός του ουρανού, μέσα στον οποίο αναρωτιόμαστε / Είναι μια φανταστική λάμπα της οποίας έχουμε γνώση από παρομοίωση / Ο ήλιος είναι το κερί και ο κόσμος η λάμπα / Είμαστε σαν μορφές που περιστρέφονται μέσα σε αυτόν / 
Μια σταγόνα νερού πέφτει σε ένα μεγάλο ωκεανό / Ενας κόκκος σκόνης ενώνεται με τη γη / Τι σημασία έχει να πηγαινοέρχεσαι ; / 
Μια μύγα εμφανίστηκε μια στιγμή, τότε αόρατη έγινε.
Εξετάζοντας πιθανές παρεξηγήσεις για τον Καγιάμ στη Δύση και αλλού, ο Χοσείν Νασρ καταλήγει λέγοντας ότι αν γίνει μια σωστή μελέτη των αυθεντικών ρουμπαγιάτ, αλλά μαζί με τα φιλοσοφικά έργα, ή ακόμη και την πνευματική βιογραφία με τίτλο Σαίρ βα σουλάκ (Πνευματική Διαδρομή), δεν μπορούμε πια να θεωρούμε τον Καγιάμ ηδονιστικό λάτρη του κρασιού, ή ακόμη και πρώιμο σκεπτικιστή, αλλά ένα βαθιά σκεπτικιστικό στοχαστή και επιστήμονα, που τα έργα του είναι σημαντικότερα από μερικούς στίχους. Ο Κ. Χ. Α. Μπγιέρεγκααρντ είχε νωρίτερα συνοψίσει την περίπτωση :
"Tα κείμενα του Ομάρ Καγιάμ είναι καλά δείγματα του Σουφισμού, αλλά δεν αξιολογούνται στη Δύση όπως θα έπρεπε και η μεγάλη μάζα του αγγλόφωνου πληθυσμού τον γνωρίζει, ατυχώς, μόνο μέσω των ποιημάτων του Εντουαρντ Φιτζέραλντ. Είναι ατυχές γιατί ο Φιτζέραλντ δεν είναι πιστός στον κύριο και πρότυπό του και κατά καιρούς βάζει λέξεις στη γλώσσα των Σούφι που είναι βλάσφημες. Μια τέτοια εξοργιστική γλώσσα είναι για παράδειγμα εκείνη του ογδοηκοστού πρώτου τετράστιχου. Ο Φιτζέραλντ είναι διπλά ένοχος γιατί ηταν περισσότερο Σούφι, από ό, τι ήταν πρόθυμος να παραδεχτεί".
Ενας Γάλλος ασιανολόγος, ονόματι Φραντς Τουσέν, ήταν τόσο απογοητευμένος με τη μετάφραση του Φιτζέραλντ (και με μερικές μεταφράσεις του Φιτζέραλντ από τα Αγγλικά στα Γαλλικά), ώστε έγραψε τη δική του κατ' ευθείαν από τα Περσικά κείμενα, προσπαθώντας μάλλον να εκφράσει το πνεύμα των στίχων, παρά να στιχουργήσει. Η μετάφρασή του εκδιδόταν χωρίς διακοπή από το 1924 ως το 1979 από τις εκδόσεις Editions d'Art Henri Piazza, όσο λειτοργούσαν. Αυτή η μετάφραση μεταφράστηκε με τη σειρά της σε άλλες γλώσσες σε σάιτ του Ιντερνετ.
Ο Αμπντουλάχ Ντουγκάν, Σουφιστής της τάσης Νακσμπαντί, σχολιάζει το ρόλο και τη συμβολή του Ομάρ Καγιάμ στο Σουφιστικό στοχασμό. Ο Ντουγκάν λέει ότι ενώ ο Ντουγκάν είναι ένας ελασσων δάσκαλος των Σούφι συγκρινόμενος με τους γίγαντες - Ρουμί, Ατάρ και Σανάι -, ένα στοιχείο που καθιστά το έργο του Ομάρ τόσο σχετικό με το θέμα και προσιτό είναι η πολύ ανθρώπινη κλιμακά του, καθώς μπορούμε να τον νοιώσουμε και να κατανοήσουμε την προσέγγισή του. Η συζήτηση για την ποιότητα της μετάφρασης των ρουμπαγιάτ από το Φιτζέραλντ έχει, σύμφωνα με το Ντουγκάν, εκτρέψει την προσοχή από μια πληρέστερη κατανόηση του βαθέος εσωτερικού μηνύματος που περιέχεται στο πραγματικό υλικό του Ομάρ - "Κάθε γραμμή των Ρουμπαγιάτ έχει περισσότερο νόημα από σχεδόν οτιδήποτε μπορείς να διαβάσεις στη Σουφική λογοτεχνία".

Φιλόσοφος

Ο ίδιος ο Καγιάμ απέρριπτε κάθε σχέση με τον τίτλο φαλσαφί "φιλόσοφος" με την αριστοτελική έννοια και τόνιζε ότι επιθυμεί "να ξέρει ποιος είναι". Στο πλαίσιο των φιλοσόφων χαρακτηριζόταν από μερικούς των συγχρόνων του ως "αποσπασμένος από τη θεία ευλογία".
Θεωρείται σήμερα δεεδομένο ότι ο Καγιάμ δίδαξε επί δεκαετίες τη φιλοσοφία του Αβικένα, ιδιαίτερα το Βιβλίο της Ιασης, στην πατρίδα του Νισαπούρ μέχρι το θάνατό του. Σε ένα περιστατικό είχε ζητηθεί η γνώμη του για μια διαφωνία μεταξύ του Αβικένα και ενός φιλόσοφου ονόματι Αμπούλ-Μπαρακάτ αλ-Μπαγκνταντί, που είχε ασκήσει έντονη κριτική στον Αβικένα. Λέγεται ότι ο Καγιάμ απάντησε : "(αυτός) δεν καταλαβαίνει καν την έννοια των λόγων του Αβικένα, πώς μπορεί να αντιτίθεται σε κάτι που δεν γνωρίζει;"
Ο φιλόσοφος Καγιάμ θα μπορούσε να κατανοηθεί από μάλλον δύο διακριτές πηγές. Η μία είναι από τα Ρουμπαγιάτ του και η άλλη από τα έργα του υπό το φως των πνευματικών και κοινωνικών συνθηκών της εποχής του. Για αυτά θα μπορούσαμε να πληροφορηθούμε από τις αξιολογήσεις των έργων του Καγιάμ από λόγιους και φιλόσοφους όπως οι Αμπούλ-Φαντλ Μπαϊχακί, Νιζαμί Αρουζί, και αλ-Ζαμακσαρί και τους Σουφιστές ποιητές και συγγραφείς Ατάρ του Νισαπούρ και Ναίμ αλ-Ντιν Ραζί.

Μαθηματική φιλοσοφία

Ως μαθηματικός, ο Καγιάμ έχει θεμελιωδώς συνεισφέρει στη φιλοσοφία των μαθηματικών, ιδιαίτερα στο πλαίσιο των Περσικών Μαθηματικών και της Περσικής φιλοσοφίας, με τα οποία σχετίζονται οι περισσότεροι άλλοι Πέρσες επιστήμονες και φιλόσοφοι, όπως οι Αβικένας, Αμπού Ραϊχάν αλ-Μπιρουνί και Τουσί. Υπάρχουν τρεις τουλάχιστον βασικές μαθηματικές ιδέες, με έντονη φιλοσοφική διάσταση, που μπορούν να συσχετισθούν με τον Καγιάμ.
1. Μαθηματική τάξη. Από πού προέρχεται αυτή η τάξη και γιατί ανταποκρίνεται στο φυσικό κόσμο ; Η απάντησή του είναι σε μια από τις φιλοσοφικές του "πραγματείες του είναι". Η απάντηση του Καγιάμ είναι ότι "Η Θεία Προέλευση όλης της ύπαρξης όχι μόνο δημιουργεί το βουγιούντ "είναι", δυνάμει του οποίου όλα τα πράγματα αποκτούν πραγματικότητα, αλλά είναι η πηγή της τάξης, που είναι αξεχώριστη από την ίδια την πράξη της ύπαρξης".
2. Η σημασία των αξιωμάτων στη γεωμετρία και η αναγκαιότητα για το μαθηματικό να βασιστεί στη φιλοσοφία και κατά συνέπεια η σημασία της σχέσης κάθε ιδιαίτερης επιστήμης με την κυρίως φιλοσοφία. Αυτό είναι το φιλοσοφικό υπόβαθρο της εκ μέρους του Καγιάμ συνολικής απόρριψης κάθε προσπάθειας να "αποδειχθεί" το αξίωμα των παραλλήλων και στη συνέχεια η άρνησή του να εισάγει την κίνηση σε μια προσπάθεια απόδειξης αυτού του αξιώματος, όπως είχε κάνει ο Ιμπν αλ-Χαϊτάμ, γιατί ο Καγιάμ συσχέτιζε την κίνηση με τον υλικό κόσμο και ήθελε να την κρατήσει μακριά από το νοητό καί άυλο κόσμο της γεωμετρίας.
3. Σαφή διάκριση έκανε ο Καγιάμ, στη βάση του έργου προγενέστερων Περσών φιλοσόφων όπως ο Αβικένας, μεταξύ των φυσικών σωμάτων και των μαθηματικών σωμάτων. Τα πρώτα ορίζονται ως σώματα της κατηγορίας της ουσίας και υφίστανται από μόνα τους και κατά συνέπεια είναι αντικείμενο των φυσικών επιστημών, ενώ τα δεύτερα, ονομαζόμενα όγκοι, άλλης κατηγορίας, δεν υφίστανται από μόνα τους στον εξωτερικό κόσμο και κατά συνέπεια είναι το αντικείμενο των μαθηματικών. Ο Καγιάμ ήταν πολύ προσεκτικός στο να σέβεται τα όρια κάθε κατηγορίας και επέκρινε τον Ιμπν αλ-Χαϊτάμ για την απόδειξή του του αξιώματος των παραλλήλων, ακριβώς επειδή είχε παραβεί αυτό τον κανόνα και είχε μεταφέρει ένα ζήτημα που ανήκε στη φυσική φιλοσοφία, δηλαδή την κίνηση που ανήκει στα φυσικά σώματα, στο πεδίο της γεωμετρίας, που ασχολείται με τα μαθηματικά σώματα.